第一章
绪论
1-1 求图示杆在各截面（I）、（II）、（III）上的内力，并说明它的性质．
解 ：（ a）I-I 截面： N = 20KN
(拉)
II-II 截面： N = -10KN （压）
III-III 截面： N = -50KN (压)
（b）I-I 截面： N = 40KN （拉）
II-II 截面： N = 10KN
(拉)
III-III 截面： N = 20KN （拉）
1-2 已知P、M0、l、a，分别求山下列图示各杆指定截面（I）、(II)上的内力
解 ：（ a）：（ I）截面：内力为零。
（II）截面：M = Pa （弯矩）
Q = -P
（剪力）
1
P sin θ
3
1
M = PL sin θ
6
2
（II）截面： Q = P sin θ
3
2
M = PL sin θ
9
（b）：（ I）截面： Q =
（c）：（ I）截面： Q = −
M =
M0
L
1
M0
2
（II）截面： Q = −
M0
L
1
M = M0
3
1-3 图示 AB 梁之左端固定在墙内，试求（1）支座反力，（2）1-1、2-２、3-3 各横截面上
的内力（1-1，2-2 是无限接近集中力偶作用点．）
解： Y A = 10 × 1 = 10 （KN）
M A = −10 × 1.5 + 5 = −10 （KN-M）
（1-1）截面： Q = 10 × 1 = 10 （KN）
M = −10 × 1 ×
1
= −5 （KN-M）
2
（2-2）截面： Q = 10 （KN）
M = 5 − 5 = 0 （KN-M）
（2-3）截面： Q = 10 （KN）
M = −10 × 1 × 1 + 5 = −5 （KN-M）
1-4 求图示挂钩AB在截面 1-1、2-2上的内力．
2
P
3
解 ：（ 1-1）截面： N =
M =
3
P⋅a
4
（2-2）截面： Q =
M =
2
P
3
2
P⋅a
3
1-5 水平横梁 AB 在 A 端为固定铰支座，B 端用拉杆约束住，求拉杆的内力和在梁 1-1 截面
上的内力．
解 ：（ 1）拉杆内力 T：
∑M A = 0
T ⋅ sin30� × 2 = P ×1
T=
100
= 100 （KN）（ 拉 ）
2 × sin 30 �
（2）（ 1-1）截面内力：Q、N、M：
Q = −T sin 30 � = −50 （KN）
N = −T cos 30 � = −86.6 （KN）（ 压 ）
(
)
M = T sin 30 � × 0.50 = 25 （KN-M）
1-6 一重物 P＝10 kN由均质杆 AB及绳索 CD支持如图示，杆的自重不计。求绳索CD的拉
力及 AB杆在截面1-1上的内力．
解：（1）绳索CD拉力T：
∑MA = 0
P × ( 4 × sin 30� ) = T × ( 3 × sin 30� )
T = 13.33
( KN )
（2）1-1 截面内力：
N = 10 × cos 30� + 13.33 × cos 30� = 20.2
( KN )
Q = −13.33 × sin 30� + 10 × sin 30� = −1.667
( KN )
M = − P × 2.5 × sin 30� + T ×1.5 × sin 30� = −2.50
( KN − m )
1-7 杆AC及BD铰接于A、B、D三处如图示．在C端作用一铅直载荷P，AB＝BC＝BD
＝a。试求截面1-1和II-II上的内力．
解 ：（ I-I）截面：
N = − P cos 30 � = −
Q = P sin 30 � =
M =
3
P
2
P
2
1
Pa
P ⋅ a ⋅ sin 30 � =
2
4
（II-II）截面：
∑MA = 0
(
)
P ⋅ 2a cos 60 � = TBD ⋅ a ⋅ cos 30 �
TBD = 1.1547 P （压）
N = − P cos 30 � + 1.1547 P cos 60 � = 0.2887 P （压）
Q = P sin 30 � − 1.1547 P cos 30 � = −0.50 P
(
)
M = − P ⋅ 1.5a ⋅ cos 60 � + TBD ⋅ a ⋅ cos 30 � = −0.25Pm
1-8 图示为一端固定的圆弧形杆，在自由端承受P力如图示．试求各横截面1-1,2-2,3-3
上的内力．
解：1-1 截面： N1 = 2 3P ， Q1 = 2 P ， M 1 =
3
PR
2
2-2 截面： N 2 = P ， Q2 = 0 ， M 2 = PR
3-3 截面： N 3 = 0 ， Q3 = P ， M 3 = PR
1-9 铰接梁的尺寸及载荷如图示，D为中间铰．试求：（1）支座反力，（2）中间铰
两侧截面上的内力．
解（1）： R A =
P
4
（↑ ）
3
13
⎛
⎞
R B = ⎜ P ⋅ a + P ⋅ 3a ⎟ ÷ 2a = P （ ↑ ）
4
8
⎝
⎠
RC =
（2）： Q D左
QD右
1
P （↑ ）
8
3
=− P
4
3
=− P
4
M D左 = M D右 = 0
习 题
2-1
一木柱受力如图示，柱的横截面为边长 20cm的正方形，材料服从虎克定律，其弹性模量
E = 0.10 × 105 MPa．如不计柱自重，试求：
（1）
（2）
（3）
（4）
解：
（1）
（2）
σ =
作轴力图；
各段柱横截面上的应力；
各段柱的纵向线应变；
柱的总变形．
轴力图
AC 段应力
− 100 × 10 3
0.2
2
= −2.5 × 10 6 Ρa = −2.5ΜΡa
CB 段应力
σ =
− 260 × 10 3
0 .2
2
= −6.5 ×10 6 Ρa = −6.5ΜΡa
（3） AC 段线应变
σ
−2.5
ε= =
= −2.5 ×10 − 4
Ε 0.1× 10 5
CB 段线应变
σ
−6.5
ε= =
= −6.5 ×10 − 4
Ε 0.1× 10 5
（4） 总变形
N-图
∆ ΑΒ = −2.5 × 10 −4 × 1.5 − 6.5 × 10 −4 × 1.5 = 1.35 × 10 −3 m
2-2 图(a)所示铆接件，板件的受力情况如图（ｂ）所示．已知：P＝7 kN，t＝0.15cm，b1＝0.4cm，
b2=0.5cm，b3=0.6cml。试绘板件的轴力图，并计算板内的最大拉应力。
解:
（1）轴力图
1
×7
3
×10 7 × 10 −6 = 194.4ΜΡa
0.15 × 0.4 × 2
2
×7
3
σ2 =
× 10 7 × 10 −6 = 311.1ΜΡa
0.15 × 0.5 × 2
（2） σ 1 =
σ3 =
7
× 10 7 × 10 − 6 = 388.9ΜΡa
0.15 × 0.6 × 2
最大拉应力 σ max = σ 3 = 388.9ΜΡa
2-3 直径为１cm的圆杆，在拉力P＝10 kN的作用下，试求杆内最大剪应力，以及与横截面夹角为
α ＝30o的斜截面上的正应力与剪应力。
解:
（1） 最大剪应力 τ max =
（2）
σα =
σ 1 Ρ
2 × 10
=
=
× 10 7 × 10 −6 = 63.66ΜΡa
2
2
1
2 2 πd
π
×
1
4
α = 30 ° 界面上的应力
σ
(1 + cos 2α ) = 63.66 × 3 = 95.49ΜΡa
2
2
σ
× sin 2α = 63.66 × sin 30 ° = 55.13ΜΡa
2
2-4 图示结构中ABC与CD均为刚性梁，C与D均为铰接，铅垂力P＝20kN作用在C铰，若（1）杆的
直径d1=1cm，（2）杆的直径d2=2cm，两杆的材料相同，E＝200Gpa，其他尺寸如图示，试求（1）两杆
的应力；（2）C点的位移。
τα =
解
（1） 1 杆的应力
σ (1) =
Ρ
4 × 20
1
πd 1 2
4
π × 12
× 10 7 × 10 −6 = 254.6ΜΡa
2 杆的应力
σ ( 2) =
2Ρ
1
πd 2 2
4
2 × 20
π ×2
2
× 10 7 × 10 − 6 = 127.3ΜΡa
（2） C 点的位移
σ (1)
254.6
∆l1 =
l1 =
× 2 = 2.546 × 10 −3 m = 0.2546cm
Ε
200 × 10 3
σ ( 2)
127.3
l2 =
× 2 = 1.273 ×10 −3 m = 0.1273cm
3
Ε
200 × 10
∆c = 2∆2 + ∆1 = 0.509cm
∆l 2 =
2-5 某铣床工作台进给油缸如图示，缸内工作油压 p = 2MPa ，油缸内径D＝7.5cm，活塞杆直径d
＝1.8cm.，已知活塞杆材料的许用应力 [σ ] = 50 Mpa。试校核活塞杆的强度。
解
(
p × 14 π D 2 − d 2
σ max =
1
πd 2
4
) = 2 × ( 7 .5
2
− 1.8 2 )
1.8 2
= 32.7 ΜΡa < [σ ]
故安全
2-6 钢拉杆受轴向拉力P＝４０kN，杆材料的许用应力 [σ ] = 100 MPa，杆的横截面为矩形，并且b
＝2a，试确定a与b的尺寸。
解
Α≥
Ρ
[σ ]
=
40
× 10 = 4cm 2
100
Α = ab = 2a 2
a≥ Α
2
= 1.414cm
b ≥ 2.828cm
2-7 大功率低速柴油机的气缸盖螺栓如图示，螺栓承受预紧力 P＝390 kN，材料的弹性模量E＝
210Gpa，求螺栓的伸长变形。
解:
∆l =
Ρl1
Ρl
390 ⎛ 90 802 ⎞
+ 2 =
+
⎜
⎟ = 0.376mm
ΕΑ1 ΕΑ 2 14 π 210 ⎝ 67 2 76 2 ⎠
2-8 常用仓库搁架前后面用两根圆钢杆AB支持，其平面投影图如图示，估计搁架上的最大载重量
o
为P＝10kN，假定合力P作用在搁板BC的中线上。已知 α = 45 ，杆材料的许用应力[ σ ]＝160 Mpa，试
求所需圆钢杆的直径。
解
ΑΒ 杆轴力 N =
1 1
×
Ρ = 3.536ΚΝ
2
2
ΑΒ 杆直径 D ≥
4N
= 0.53cm
π [σ ]
2-9 图示吊钩的上端为T110x2梯形螺纹，它的外径d＝110mm，内径d1=97 mm，其材料为20号 钢 ，
许用应力[ σ ]=50 Mpa。试根据吊钩的直杆部分确定吊构所容许的最大起吊重量P。
解:
Ρ≤
πd 2 [σ ] π × 110 2 × 50
=
×10 = 369.5ΚΝ
4
4
2-10 吊架结构的尺寸及受力情况如图示。水平梁AB为变形可忽略的粗刚梁，CA是 钢杆 ，长 l1 ＝2 m，
横截面面积A1=2 cm2，弹性模量E１＝200Gpa；DB是钢杆，长 l2 ＝１m，横截面面积A2=8cm2，弹性模量
E2=100Gpa，试求：
（1）使刚性梁AB仍保持水平时，载荷P离DB杆的距离x；
（2）如使水平梁的竖向位移不超过0.2cm，则最大的P力应为多少?
解
（1） ∆l1 =
∆l1 = ∆l 2
x = 0 .6 m
1
3
Ρxl1
Ε 1 Α1
∆l 2 =
1
3
Ρ (3 − x )l 2
Ε 2 Α2
(2) Ρ ≤
3Ε 1 Α1
3 × 200 × 2
=
× 10 −1 = 200ΚΝ
xl1
0 .6 × 2
2-11 铰接的正方形结构如图所示，各杆材料皆为铸铁，许用拉应力[ σ +]=400kg/cm2，许用压应力
[ σ − ]=600kg/cm2，各杆的截面积均等于25cm2。试求结构的许用载荷P。
解:
AC、CB、BD、DA 杆受拉力，大小为 Τ1 =
Ρ
2
DC 杆受压力，大小为 Τ2 = Ρ
[σ + ] ≥ Τ1
得 Ρ1 ≤
[σ − ] ≥ Τ2
得 Ρ2 ≤ 600 × 25 = 15000kg
Α
Α
2 × 400 × 25 = 14142kg
故 Ρ ≤ 14142kg
2-12 图示拉杆沿斜截面m－n由两部分胶合而成，设在胶合面上许用拉应力[ σ ]＝100MPa，许用剪
应力 [τ ] =50MPa，胶合面的强度控制杆件的拉力，试求：为使杆件承受最大拉力P， α 角的值应为多少？
0
若横截面面积为4cm2，并规定 α ≤ 60 ，试确定许可载荷P。
解:
（1） tgα =
τα
50
=
= 0.5
σ α 100
α = 26.5° 时杆件承受最大拉力。
[σ ]
100
× 4 × 10 −1 = 160ΚΝ
2
°
cos α
cos 60
2[τ ]
2 × 50
Ρ≤
Α=
× 4 × 10 −1 = 46.1ΚΝ
sin 2α
sin 120 °
故许可载荷 Ρ 为 46.1 ΚΝ
（2） Ρ ≤
2
Α=
2-13 油缸盖与缸体采用６个螺栓连接．已知油缸内径D＝350 mrn，油压p＝１Mpa。若螺栓材料的
许用应力[ σ ]=40 MPa，求螺栓的内径d．
解
π
pD 2
4
π
Ρ ≤ 6 × [σ ]d 2
4
Ρ=
∴d ≥
pD 2
350 2
=
= 22.59mm
6[σ ]
6 × 40
2-14 试确定轧钢机承压装置安全螺栓的直径d，当P＝6000kN时，螺径即行断裂，其材料的强度极
限 σ b ＝600 Mpa。各接触面间的摩擦力可不计。
解: 螺栓所受的拉力为 R =
[σ ] ≥
4R
πd 2
d≤
4R
=
π [σ ]
Ρ
2
2 × 6000
× 10 = 7.98cm
π × 600
2-15 木材试件（立方体 2 × 2 × 2 cm）在手压机内进行压缩。作用力 P＝400N，其方向垂直于杠
杆OA，此杠杆可绕固定心轴 o转动，在某一时刻，拉杆 BC垂直于 OB且平分 ECD角， ∠CED＝
arctan(0.2) = 11� 20′ 。杠杆长度OA＝lm，OB＝5cm，拉杆BC的直径dl＝1.0cm，CE杆与CD杆的直径相
同d2＝2.0cm。试求（1）此时拉杆BC，以及杆CD与CE内的应力；（2）木材的弹性模量E=10GPa，计算
被压试件的缩短变形。
解:
（1） Ν BC =
400 × 1
= 8000 Ν
0.05
Ν CD = Ν CE = −
1
2
Ν BC
4000
=−
= −20396Ν
°
sin 11.31
sin 11.31°
Ν BC 8000 × 4
=
× 10 − 2 = 101.9ΜΡ
Α1
π
σ BC =
σ CD = σ CE =
Ν CD
20396 × 4
=−
× 10 − 2 = −64.9ΜΡ
2
Α2
2 π
（2） 被压试件的缩短量
∆l =
Νl 8000 / 0.2 × 2
=
× 10 − 7 = 0.01cm
ΕΑ
10 × 4
2-16 设水平刚性杆AB不变形，拉杆CD的直径d=2cm，许用应力[ σ ]=160MPa，材料的弹性模量E
＝200GPa，在B端作用载荷P＝12kN．试校核CD杆的强度并计算B点的位移．
解:
Ν CD =
12 × 2.5
3/2
= 34.64ΚΝ
σ CD =
Ν CD 4 × 34.64
=
× 101 = 110.3 ≤ [σ ]
Α
4π
∆l CD =
σ CD l
110.3
=
0.635mm
Ε
200 sin 60 °
B 点的位移 ∆ B = ∆l CD ×
2
3
故安全
× 2.5 = 1.833mm ，方向向下。
2-17 设压入机体中的钢销子所受的连结力是沿着它的长度 l 平均分布的，为了拔出这个销子，在它
的一端施加 P＝20kN 的力。已知销子截面积 A＝2cm2,长度 l =40cm，a=15 cm，E＝200GPa，试绘出杆的
应力图和计算杆的伸长。
解: l 部分应力沿 x 分布：
σ =
Ρx
20 x
=
× 10 3 = 250 xΜΡ a (0 ≤ x ≤ l )
Αl 2 × 40
*
当 l ≥ a 时， σ = 250 × 0.4 = 100ΜΡa
应力图为
∆=
σ * a 1 σ * l 100
+
=
(15 + 20) × 10 − 2 = 0.175mm
Ε
2 Ε
200
2-18 试求下列各简单结构中节点A的位移，设各杆的抗拉压刚度均为EA。
解:
（a） AC 杆受力为零，BA 杆伸长为
∆l AB =
Ρl
ΕΑ cos α
∆l AB
2Ρl
=
sin α ΕΑ sin 2α
A 点沿 BA 方向移动 ∆ A =
（b） AB 杆受拉力为 P，BC 杆受拉力为 P，BD 杆受压力为 2 P
∆ AB =
PL
EA
∆ BC =
PL
EA
∆ BD =
2 P × 2 L 2 PL
=
EA
EA
由几何关系，得 B 点位移
1
水平位移 ∆ B = ∆ BC +
2
1
垂直位移 ∆ B = ∆ B +
1
2
1
2
∆ BD = (1 + 2 )
PL
EA
∆ BD = (1 + 2 2 )
PL
EA
故 A 点位移
1
1
水平位移 ∆ A = ∆ B = (1 +
2
1
2)
PL
EA
垂直位移 ∆ A = ∆ B + ∆ AB = 2(1 +
2)
PL
EA
2-19 水平刚性梁ABCD在B、D两点用钢丝绳悬挂，尺寸及悬挂方式如图示，E、F两处均为无摩阻
力的小滑轮。若已知钢丝绳的横截面面积A=1.0cm2，弹性模量E=200GPa，铅垂载荷P=20kN作用于C点，
试求C点的铅垂向位移。
解
钢丝绳的拉力为 T，则
5T + 9T = 8 P
T = 11.429ΚΝ
钢丝绳的伸长
Tl 11.429 × 8
=
×101 = 4.57mm
EA
200 × 1
∆l =
9
∆ B + ∆ B = ∆l
5
∆B =
5
∆l
14
C 点铅垂直位移为
∆C =
8
∆ B = 2.61mm
5
2-20 图示空间简单桁架，三杆均由钢制成，杆A１C１与杆B１C１的截面积 A＝10cm2，C1D1杆的截面
积 A′ =20GPa，弹性模量E＝200cm2，承受载荷P=150kN，试求各杆内的应力及节点Ｃ的位移。
解:
此结构为空间垂直结构
4
N C1D1 = P
5
3
2 N B1C1
N C1D1 =
=
13
5
× 150 = 187.5ΚΝ
4
3
P
4
13
× 150 = 67.6ΚΝ
8
N B1C1 = N A1C1 =
各杆的应力为
σ C1D1 =
187.5
× 10 = 93.75ΜΡa
20
σ A1C1 = σ B1C1 =
67.6
× 10 = 67.60ΜΡa
10
各杆的伸长为
∆C1D1 =
93.75 × 5
= 2.344mm
200
∆ A1C1 = ∆ B1C1 =
67.60 × 13
= 1.219mm
200
C 水平方向的位移为
∆C H = ∆OC1 =
3
× 1.219 = 1.014mm
13
C 垂直方向的位移为
∆C V =
5
3
∆C1D1 + ∆OC1 = 2.284mm
4
4
2-21 变宽度梯形平板的厚度t，受力及尺寸如图示，板材料的弹性模量E。试求板的伸长变形 ∆l 。
解
取一微段 dx ，其宽为
bx = b +
b
x
L
微段变形为
∆δ =
P ⋅ dx
Ebt
板的伸长为
∫
L
∆l = ∆δ =
0
∫
L
0
Pdx
PL
=0.693
Ebt
Et (b + bL x)
2-22 竖直悬挂的圆截面锥形直杆，上端固定，下端自由，自由端直径为d，固定端直径为3d，材
料的比重为 γ 。试求：
(1) 由于自重，截面y上的轴力FN= f1 ( y ) ；
(2) y截面上的应力； σ = f 2 ( y ) ；
(3) 最大轴力 FN max ，最大应力 σ max
解:
（1） 截面 y 的直径为
y 截面以下体积为 V =
轴力 N = Vγ =
πγd 2
24h 2
dy =
2dy
h
1 1
h
× π (d y 2 y − d 2 )
4 3
2
(8 y 3 − h 3 )
（2） y 截面上的应力 σ =
γ
N
=
(8 y 3 − h 3 )
A 24 y 2
（3） 最大轴力、应力都在 y = 1.5h 处
13πγd 2 h
12
σ max =
P
sin θ
N BC = Ptgθ
13γh
27
2-23 支架由AB和BC两杆组成，承受铅直载荷如图示。这两杆由同一材料制成，若水平杆BC的
长度保持常数L， θ 角随A点沿竖直方向移动而变化，AB杆的长度随A点的位置而定。设材料的拉伸许
用应力与压缩许用应力相等，当这两杆受力均完全达到许用应力时，该结构具有最小重量，试求此时
的 θ 角。
N max =
解:
N AB =
两杆同时达到许用应力时的截面积为
AAB =
N AB
[σ ]
N BC
[σ ]
ABC =
结构重量 W 为
W = γ ( AAB
dW
=0
dθ
L
γLP
1
+ ABC L) =
(
+ ctgθ )
cosθ
[σ ] sin θ cosθ
得 θ = 54.73
�
2-24 图示铰接正方形结构，各杆的横截面面积均为A1，材料的弹性模量均为E，试计算当载荷P
作用时节点B、D间的相对位移。
解:
T AB = TBC = TCD = TDA =
P
2
TBD = − P
∆l AB = ∆l BC = ∆l CD = ∆l DA =
∆l BD = −
Pa
2 EA
2 Pa
EA
B、D 相对位移为
δ BD = 2∆l AB + ∆l BD =
Pa
(2 + 2 )
EA
2-25 钢制受拉杆件如图所示．横截面面积A＝2cm2， l ＝5m，单位体积的重量为76.5kN/m3。如
不计自重，试计算杆件的变形能U和比能u；如考虑自重影响，试计算杆件的变形能，并求比能的最大
值。设E＝200Gpa。
解:
不计重力时，
变形能为 U 1 =
P 2l
32 2 × 5
=
× 10 = 64 Ν ⋅ m
2 EA 2 × 200 × 2
U1
64
=
= 6.4 × 10 4 Ν / m 2
−4
Al 2 × 5 × 10
比能为 u1 =
考虑自重时
比能为 u =
P2
1
+
(γ ⋅ x) 2
2
2E
2 EA
变形能为 U =
∫
l
0
l
[
udx = ∫ P 2 / 2 EA 2 +
0
1
(γ ⋅ x) 2 dx = 64 + 0.609 = 64.609 Ν ⋅ m
2E
]
4
当 x = l 时，比能最大，为 u max = 6.4 × 10 N / m
2
2-26 电子秤的传感器是一空心圆筒，受轴向拉伸或压缩如图示，已知圆筒的外径D＝80mm，筒
−6
壁厚t＝9mm，在秤某一重物W时，测得筒壁产生的轴向应变 ε = −476 ×10 ，圆筒材料的弹性模量E
＝210Gpa，问此物体W为多少重？并计算此传感器每产生23.8 × 10-6应变所代表的重量。
解:
A = πD� t = π (80 − 9) × 9 = 2007.5mm 2
物体重 W = EAε = 210 × 2007.5 × 476 × 10 −6 = 200.7 ΚΝ
W� = EAε � = 10ΚΝ 系统误差 0.03 ΚΝ
2-27 试求上题中薄圆筒在秤重物时的周向应变 ε θ 和径向应变 ε r ，已知材料的 µ = 0.3 。
解: ε θ = µε = 0.3 × 476 × 10 −6 = 142.8 × 10 −6
ε γ = µε = 0.3 × 476 × 10 −6 = 142.8 × 10 −6
2-28 水平刚梁AB用四根刚度均为EA的杆吊住如图示，尺寸 l 、a、θ 均为已知，在梁的中点C作
用一力偶m(顺时外转向)，试求（1）各杆的内力，（2）刚梁AB的位移。
解: 1、4 杆不受力
N2 = N3 =
m
a
∆l 2 = ∆l 3 =
ml
aEA
结点 A、B 的水平位移为 ∆ Η =
刚梁旋转角度
α=
∆l 3
ml
=
tgθ aEAtgθ
2 ∆l
2ml
= 2
a
a EA
2-29 BC与DF为两相平行的粗刚杆，用杆（1）和杆（2）以铰相连接如图示，两杆的材料相同，
弹性模量为E，杆(1)的横截面为A，杆(2)的横截面２A，一对力P从x=0移动至x=a。试求两P力作用点之
间的相对位移随x的变化规律。
解:
N1 a − x
=
N2
x
N1 + N 2 = P
x
解得 N 1 = (1 − ) P
a
∆l1 =
N 1l
EA
N2 =
P
x
a
∆l 2 =
N 2l
EA
力作用点之间的相对位移为 δ ，则
δ − ∆l1
x
=
∆l 2 − ∆l1 a
δ =
x
Pl
(∆l 2 − ∆l1 ) + ∆l1 =
(3 x 2 − 4ax + 2a 2 )
a
2a 2 EA
2-30 图示两端固定的等直杆件，受力及尺寸如图示。试计算其支反力，并画杆的轴力图。
解:
只计 P 时，有
R 1A + R 1B = P
R 1A ⋅ 2a R 1B ⋅ a
=
EA
EA
只计 2P 时，有
R A2 + R B2 = 2 P
R A2 ⋅ a R B2 ⋅ 2a
=
EA
EA
R 1A + R A2 = R A
且有
R 1B + R B2 = R B
联立，解得
RA =
5
P (方向水平向左)
3
（b）
R Al
R l
ql
+
− B =0
EA 2 EA EA
R A + R B = ql
RB =
4
P (方向水平向右)
3
3
q (方向水平向左)
4
解得 R A =
RB =
1
q (方向水平向右)
4
2-31 图示钢杆，其横截面面积A１＝25cm2，弹性模量E＝210Gpa。加载前，杆与右壁的间隙 δ ＝
0.33mm，当P＝200kN时，试求杆在左、右端的支反力。
解:
RC + R D = P
R C × 1 .5 R D × 1 .5
−
= 0.3 × 10 −3
EA
EA
解得 RC = 152.5ΚΝ （方向水平向左）
R D = 47.5ΚΝ （方向水平向右）
2-32 两根材料不同但截面尺寸相同的杆件，同时固定联接于两端的刚性板上，且E1＞E2，若使两
杆都为均匀拉伸，试求拉力P的偏心距e。
解:
P1l
Pl
= 2
E1 A E 2 A
P1 + P2 = P
解得 P1 =
PE1
E1 + E 2
Pe = ( P1 − P2 )
e=
P2 =
PE 2
E1 + E 2
b
2
b E1 − E 2
2 E1 + E 2
2-33 图示（1）与（2）两杆为同材料、等截面、等长度的钢杆，若取许用应力[ σ ]=150MPa，略
去水平粗刚梁AB的变形， P = 50kN ，试求两杆的截面积。
解:
δ1 =
1
δ2
2
1
N2
2
N 1 ⋅ a + N 2 ⋅ 2a − P ⋅ 3a = 0
N1 =
N 1 = 30ΚΝ
N 2 = 60ΚΝ
A=
N2
60
=
×101 = 4cm 2
[σ ] 150
2-34 两杆结构其支承如图示，各杆的刚度EA相同，试求各杆的轴力。
解:
（a） N 2 = 0
N 1 cos 60 � = P
N1 = 2P
（b） N 1 + N 2 cos 30 � = P
N 1 h ⋅ tg 60 �
N2h
sin 60 � =
EA
cos 60 � ⋅ EA
N 1 = 0.606 P
N 2 = 0.455P
2-35 图示（1）杆与（2）杆的刚度EA相同，水平刚梁AB的变形略去不计，试求两杆的内力。
解:
N 1 ⋅ a + N 2 sin 45 � ⋅ 2a = P ⋅ 2a
∆l 2 = 2 ∆l 2
即 N1 + 2 N 2 = 2P
N1 = N 2
得 N 1 = N 2 = 0.828P
2-36 两刚性铸件，用螺栓1与2联接，相距20cm如图示。现欲移开两铸件，以便将长度为20.02cm、
截面积A＝6cm2的铜杆3自由地安装在图示位置。已知E1＝E2＝200Gpa，试求（1）所需的拉力P；（2）
力P去掉后，各杆的应力及长度。
解:
2∆l ⋅ E1 A1 2 × 0.02 × 200 × π / 4 × 10 3
=
= 31.4ΚΝ
l
0 .2
(2) 2 N 1 = N 3
(1) P =
∆l1 + ∆l 2 = 0.02 × 10 −2 即
解得 N 1 = N 2 = 10.3ΚΝ
N
σ 1 = σ 2 = 1 = 131.1ΜΡa
A1
∆l1 =
N 1 ⋅ l1
= 0.131mm
E1 A1
N 1 ⋅ l1 N 3 ⋅ l 3
+
= 0.02 × 10 − 2
E1 A1
E 3 A3
N 2 = 20.6ΚΝ
σ3 =
∆l 3 =
N3
= 34.33ΜΡa
A3
N 3 ⋅ l3
= 0.0687mm
E 3 A3
各杆的长度为
l1 = l 2 = 20.0131mm
l 3 = 20.01313mm
2-37 图示三杆结构中，杆（1）是铸铁的，E1=120Gpa， [σ 1 ] ＝80MPa；杆（ 2）是铜的，EA＝100GPa，
[σ 2 ] ＝60Gpa；杆（3）是钢的，EA＝200GPa， [σ 3 ] =120Mpa。载荷P＝160kN，设A1：A2：A3=2：２：
１，试确定各杆的截面积。
解:
各杆的应力关系为
⎧⎪ N 2 sin 30 � = P − N 3
⎨
⎪⎩ N 2 cos 30 � = N 1
将变形 ∆l1 =
N 1l1
E1 A1
∆l 2 =
N 2l2
E 2 A2
∆l 3 =
N 3l3
E 3 A3
代入几何关系 ∆l 3 = ∆l 2 ⋅ csc 30 � + ∆l1 ⋅ ctg 30 �
联立解之得
N 1 = 197.6ΚΝ
N 2 = 148.2ΚΝ
N 3 = 148.2ΚΝ
2-38 图示结构由钢杆组成，各杆的截面面积相等，[ σ ]=160MPa，当P=100kN时，试求各杆的截面
面积。
解:
杆 3 的支座反力为 N
各杆的变形为
∆l1 = ∆l 2 =
N ⋅a
EA
∆l 3 =
N ⋅ a ( N − P) ⋅ a
+
EA
EA
代入 ∆l1 = ∆l 3 cos 60 �
得 N = 42.857 KN
A3 =
100 − x
= 3.57cm 2
[σ ]
A1 = A2 =
N
= 4.68cm 2
[σ ]
2-39 刚性横梁由钢杆（1）、（2）、（3）支承，它们的面积相同为 A＝2cm2，长度L=1m，弹性
模量E＝200GPa，若在制造时(3)杆比L短了 δ ＝0.08cm，试计算安装后（１）、（２）、（３）杆中的
内力各为多少？
解
N1 = N 3
N 2 = 2N 3
∆l 2 N 2
=
=2
∆l1 N 1
∆l 2
x
=
∆l1 a − x
∴ x=
∴
2a
3
δ − ∆l 3 x + a
a
=
= 1 + = 2.5
∆l 2
x
x
2.5∆l 2 + ∆l3 = δ
2.5
N 2l N 3l
+
=δ
EA EA
5N 3 + N 3 =
其中 N 2 = 2 N 3
EA
δ
l
∴ N 3 = 5.33KN （拉）
N 1 = 5.33KN （拉）
N 2 = 10.66 KN （压）
2-40 图示结构中的三角形板可视为刚性板。（1）杆材料为钢，A１＝10cm2，E1=200GPa，温度膨
胀系数 α1 = 12.5 × 10 −6 1
o
C ；（2）杆材料为铜，A2 ＝20cm2，E2=100GPa， α 2 = 16.5 × 10 −6 1 o C 。
当P＝20t，且温度升高20oC时，试求（1）、（2）杆的内力。
解：
∑M
B
=0
2 N1 + 4 N 2 = 2P 即 N1 + 2 N 2 = P
∆l1 ∆l 2
=
2
4
∆l t2 −
即 ∆l 2 = 2∆l1
N 2 l2
Nl
= ∆l t1 − 1 1
E 2 A2
E1 A1
∆l t1 = 12.5 × 10 −6 × 20 × 2 = 500 × 10 −6
∆l t2 = 16.5 × 10 −6 × 20 × 1 = 330 × 10 −6
联解之，得
N 1 = 84.56 KN （压）
N 2 = 52.28KN （压）
2-41
短了 δ =
某结构如图所示，其中横梁ABC可看作刚体，由钢杆（1）、（2）支承，杆（1）的长度做
l
， 两 杆 的 截 面 积 均 为 A ＝ 2cm2 ， 弹 性 模 量 E=200GPa ， 线 膨 胀 系 数
3× 10 3
α = 12.5 × 10 −6 1 o C ，试求（1）装配后各杆横截面上的应力；（2）装配后温度需要改变多少才能消
除初应力。
解：
y a = 0.5 ， a = 26.565�
N 1 ⋅ 2l sin α = N 2 l sin 45 �
2
∆l 2
δ − ∆l1
=
�
sin α
sin 45
联解之，得 N 1 = 2.96 KN
N 2 = −37.56 KN
σ 1 = 14.8MPa
σ 2 = −18.78MPa
2
∆t 2l ∆t 5l − δ
=
sin α
sin 45 �
�
当 ∆t = 59.628 C 时动应力为零。
2-42 图示为一个套有铜管的钢螺栓，已知螺栓的截面积A1＝6cm2，弹性模量El＝200GPa；钢套管
的截面积A2=12cm2，弹性模量E2=100Gpa。螺栓的螺距 δ = 3mm ，长度 l ＝75cm，试求（１）当螺母拧
紧
1
1
转时，螺栓和铜管的轴力 FN 1 和 FN 2 ；（2）螺母拧紧 转，再在两端加拉力P＝80kN，此时的轴
4
4
力 FN′ 1 和 FN′ 2 ；（3）在温度未变化前二者刚好接触不受力，然后温度上升 ∆t ＝50oC，此时的轴力 FN′′1
−6
和 FN′′2 。已知钢和铜的线膨胀系数分别为 α1 = 12.5 × 10 1
解：
（1） ∆l1 + ∆l 2 =
n
4
N 1l1 N 2 l 2 h
+
=
E1 A1 E 2 A2 4
∵ N1 = N 2
∴ N1 =
h
4
l
l
+
E1 A1 E 2 A2
N 2 = 60 KN
= 60 KN
（拉）
（压）
（2）
∵ 80 KN > 60 KN 故钢管此时不受力
'
∴ N 1 = 80 KN
'
N2 = 0
o
C ， α 2 = 16.5 × 10 −6 1 o C 。
（3） ∆l t1 + ∆l N1 = ∆l t 2 − ∆l N 2
∴ N1 ' ' =
(α 2 − α 1 )∆T ⋅ E1 A1
EA
1+ 1 1
E 2 A2
∴ N 2 ' ' = 10.5 KN
= 10500 N = 10.5 KN
（拉）
（压）
2-43 刚性梁AB如图示，CD为钢圆杆，直径d＝２cm，E＝210Gpa。刚性梁B端支持在弹簧上，弹簧
刚度K(引起单位变形所需的力)为40kN/cm， l =1m，P=10kN试求CD杆的内力和B端支承弹簧的反力。
解:
设 CD 杆伸长 ∆l ，则弹簧压缩 4∆l
N CD
l CD
3
+ 4 K∆l ⋅ l = Pl
4
4
3EA∆l
3
+ 4 K∆l = P
4
4
∆l = 9.149 × 10 −3 cm
CD 杆的内力 N CD = 6.036ΚΝ
弹簧反力 N B = 1.464ΚΝ
2-44 图示桁架，BC杆比设计原长 l 短了d，使杆B端与节点G强制地装配在一起，试计算各杆的轴
力及节点C的位移，设各杆的抗拉（压）刚度均为EA。
解:
N2 = N4 = N5
N 2 = 2 N 1 cos 30 �
δ C = ∆ − ∆l 2 − δ G = ∆ −
δC =
N 2l
N 2l
−
EA EA cos 60 �
∆l1
N 1 2l cos 30 �
N2
N 2l
2l cos 30 �
=
=
⋅
=
�
�
�
�
cos 30
EA cos 30
2 cos 30 EA cos 30
EA cos 30 �
∴
N2 =
N 2l
N l
N 2l
+ 2 +
=∆
�
EA EA cos 60 �
EA cos 30
∆ ⋅ EA
4.155l
∆ ⋅ EA
4.155l
∆ ⋅ EA
N1 = N 3 =
7.197l
∆
δC =
3.598
N4 = N5 = N2 =
习
题
3-1 夹剪的尺寸如图示，销子C的直径d＝0.5 cm，作用力 P=200 N，在剪直径与用
子直径相同的铜丝A时 ，若a＝2cm，b＝15cm．试求铜丝与销子横截面上的平均剪进力τ。
解:
P × b = QA × a
QA =
Pb 200
=
× 15 = 1500 N
a
2
τA =
4Q A
4 × 1500
=
= 76.39 MPa
2
πd
π × 0.5 2 × 10 − 4
P(a + b) = QC × a
P(a + b) 200(2 + 15)
=
= 1700 N
a
2
4 × 1700
τC =
= 86.58MPa
π × 0.5 2 × 10 − 4
QC =
3-2 图示摇臂，试确定其轴销B的直径d。已知用材料的许用应力[τ j]=100Mpa,
[σjy]=240Mpa。
解:
74
∑MB = 0
P ⋅ cos 45� × 0.6 = 50 × 0.4
P = 47.14 KN
RB = 37.27 KN
τ =
R
≤ [τ ]
2 d2
d=
2R
=
π [τ ]
π
4
2 × 37.27 × 10 3
= 1.54 × 10 − 2 m ＝15.4mm
π × 100 × 10 6
验算挤压应力
σ jy =
R
37.27 × 10 3
=
= 242 MPa ≈ [σ jy ]
A jy 1.54 × 10 − 2 × 1 × 10 − 2
3-3 图示直径为 d的拉杆，其端头的直径为D，高度为h，试建立 D、h与d的合理比
值（从强度考虑）。
已知： [σ]＝120 MPa ，[τ j]＝90
MPa，
[σjy]＝240 MPa．
解:
d=
4P
= 1.030 P × 10 −3
π [σ ]
π 2 π 2
p
D − d =
[σ jy ]
4
4
D = 1.261 P × 10 −3
h=
P
= 1.717 P × 10 −3
2πd [τ ]
∴ d : D : h = 1 : 1.22 : 1.67
3－4 两根矩形截面木杆，用两块钢板连接在一起，受轴向载荷P＝45kN作用。已知截
面宽度 b＝25 cm，沿材的顺纹方向，许用拉应力[σ]＝6MPa，许用挤压应力[σjy]＝10 MPa，
许用剪应力[τj]＝1MPa，试确定接头的尺寸δ、 l 和 h。
75
解
P2
≤ [τ ]
l ⋅b
l=
45 × 10 3
P
=
= 0.09m = 90mm
2 ⋅ b ⋅ [τ ] 2 × 25 × 10 − 2 × 10 6
P2
≤ [σ jy ]
δ ⋅b
δ≥
P
45 × 10 3
=
= 0.009m = 9mm
2b[σ jy ] 2 × 25 × 10 2 × 10 × 10 6
P
≤ [σ ]
(h − 2δ )b
h≥
p
45 × 10 3
+ 2δ =
+ 2 × 0.009 = 0.048m = 48mm
b[σ ]
25 × 10 − 2 × 6 × 10 6
3－5 货轮的传动轴和艉轴系利用轴
缘法兰上的12只螺栓相联接，螺栓直径d
mm，螺栓中心圆的直径D=650 mm，已知
的扭矩Mn＝600 kN·m，螺栓和轴的材料
端
＝
传
均
35 号 钢 ， 其 许 用 应 力 [ τ j ]=80Mpa,[ σ
凸
75
递
为
jy]=1
20MPa、试校核螺栓的剪切和挤压强度。
76
解:
12 P ×
D
= Mn
2
∴P=
Mn
600
=
= 153.85KN
6 D 6 × 0.65
τ =
4 P 4 × 153.85 × 10 3
=
= 34.8MPa < [τ ]
πd 2
π × 75 2 × 10 − 6
σ jy =
P
153.85 × 10 3
=
= 22.8MPa < [σ jy ]
A jy 75 × 90 × 10 −6
3-6 某拖轮的螺旋桨
受总推力P=250KN，凸缘最
为45号钢，许用剪应力[τ
剪切强度。
推进轴，其凸缘法兰承
小宽度b=50mm，材料
j]=22.5Mpa。试校合其
解
τ =
P
250 × 10 3
=
= 3.979 MPa < [τ ]
2πrb π × 0.4 × 0.05
3-7 图 示 轴 的 直 径 d=80mm, 键 的 尺 寸 b=24mm,h=14mm ， 键 的 许 用 剪 应 力 [ τ
j]=40Mpa，许用挤压应力[σjy]=90Mpa。若通过键所传递的扭矩为3200N.m。试确定键的
长度 l 。
77
解:
P×
d
= Mn
2
P=
2M n 2 × 3200
=
= 80 KN
d
80 × 10 −3
P
30 × 10 3
l≥
=
= 8.33cm
b[τ ] 24 × 10 −3 × 40 × 10 6
l≥
2P
2 × 30 × 10 3
=
= 12.7cm
h σ iy 10 × 10 −3 × 90 × 10 6
[ ]
取 l = 127 mm
3-8 销钉式安全联轴器如图所示．允许传递扭矩Mn=300N.m。销钉材料的剪切强度
极限τb＝360 MPa，轴的直径D＝30mm。试确定销订的直径d。
解:
Q=
Mn
300
=
= 10 KN
D
30 × 10 −3
τb =
4Q
πd 2
d=
4 × 10 × 10 3
= 5.95mm
π × 36 × 10 6
3-9
冲床的最大冲击力为400 kN，冲头材料的许用应力[σ]＝440MPa，被冲钢板
的剪切强度极限 τ b ＝360 MPa．求在最大冲力作用下所能冲剪的圆孔的最小直径d和的
最大厚度t。
78
解:
4P
≤ [σ ]
πd 2
d≥
4P
4 × 400 × 10 3
=
= 3.4cm
π [σ ]
π × 440 × 10 4
P
≥τb
πtd
P
400 × 10 3
t≤
=
= 1.04cm
πτ b d 360 × 10 6 × 3.4 × 10 − 2
3-10 以楔C把钩杆AB固定联接于平板D的孔中。试求楔的尺寸：宽度δ，高度 h
以及钩杆的尾长 x 。设挤压许用应力[σjy]=320MPa，剪切许用应力[τj]＝100MPa，P力
可由钩杆中的抗拉许用应力[σ]＝160MPa来求得。
解
⎡π
⎤
⎡π
⎤
P = [σ ] ⋅ A = [σ ] ⋅ ⎢ d 2 − d × δ ⎥ = 160 × 10 6 × ⎢ × (4 × 10 − 2 ) 2 − 4 × 10 − 2 δ ⎥
⎣4
⎦
⎣4
⎦
= 201061 − 4 × 10 −2 × 160 × 10 −6 δ
解之得：
79
P = 134 KN
δ = 0.01047 m = 10.47 mm
取 δ = 10.5mm
h≥
P
134000
=
= 63.8mm
−3
2 × 10.5 × 10 [τ ] 2 × 10.5 × 10 −3 × 100 × 10 6
x≥
P
134000
=
= 16.75mm
2[τ ]d 2 × 100 × 10 6 × 40 × 10 −3
3-11 厚度为t=20mm的钢板，上下用两块广度均为 t1＝10mm的盖板和直径d＝28
mm的铆钉联接，每边铆钉数 n＝3，如图示，若钢的许用应力： [τ j]=100MPa，[σ
jy]=280MPa，[σ]=100Mpa。试求这个接头所能承受的许可拉力多少？
解：
柳钉： P =
2×3 2
6
πd [τ ] = π × 26 2 × 100 = 318.6 KN
4
4
[ ] = 3 × 26 × 10
挤压: P = 3at σ
jy
−3
× 20 × 10 −3 × 280 × 10 4 = 436.8 KN
缀板：
π ⎤
π
⎡
⎛
⎞
P = [σ ]⎢t × b − 2 × d 2 ⎥ = 160 × 10 6 ⎜ 20 × 130 × 10 −6 − 2 × × 26 2 × 10 −6 ⎟ = 246.2 KN
4 ⎦
4
⎣
⎝
⎠
∴ P = 246.2 KN
3-12 图示节点板用 4只直径为 d＝17 mm的铆钉固定在立柱上，已知节点板承受载
荷P=20kN，试求各铆钉内的剪应力。
80
解：
Qy =
p 20
=
= 5 KN
4
4
P × 90 = (Q X 1 × 120 + Q X 2 × 40) × 2
Q X1
QX 2
=
120
=3
40
Q X 1 = 6.75KN
Q X 2 = 0.45P = 2.25KN
Q1 = QY 2 + Q X 2 = 5 2 + 6.75 2 = 84 KN
1
Q2 = QY 2 + Q X
τ1 =
τ2 =
2
= 5 2 + 2.25 2 = 5.48 KN
2
Q1
84 × 10 3
=
= 370.07 MPa
π 2 π
2
−6
d
× 17 × 10
4
4
Q2
5.48 × 10 3
=
= 24.14 MPa
π 2 π
2
−6
d
× 17 × 10
4
4
81
习题
4-1 解: 各杆的扭矩图
KN ⋅ m
KN ⋅ m
KN ⋅ m
4-2 解
（1）扭矩图
（2） M 1 = 9.55
N
50
= 9.55 ×
= 2.388KN ⋅ m
A
200
10
= 0.4775KN ⋅ m
200
M 3 = M 4 = 2M 2 = 0.955KN ⋅ m
M 2 = 9.55 ×
1 和 3 轮换位： (M n )max = 0.4775 + 0.955 = 1.4325KN ⋅ m
4-3 解
JP =
π d 4 54 π
=
= 61.36cm4
32
32
2J P
= 24.54cm3
d
−nρ
τA =
= 32.59MPα
JP
WP =
τ max
Mn
1×103
=
=
= 40.75MPα
WP 24.54 ×10−6
4-4 解
π
π
π
(d外2 − d内2 ) = d 2 = × 52
4
4
4
(1 − 0.52 )d外2 = 52
∴ d外 = 5.77cm
WP =
d内 = 2.89cm
π
π
3
d外（
1 − α 4）= × 5.773 ×（1 − 0.54）= 35.36cm3
16
16
τ max =
Mn
1×103
=
= 28.28MPα
WP 35.36 ×10−6
4-5 解
N
15000
= 9.55 ×
= 573 KN ⋅ m
n
250
π
a
π
30
WP = D3 (1 − ( ) 4 ) = × 553 (1 − ( ) 4 ) = 29775.96cm3
16
D
16
50
M n = 9.55
τ max =
Mn
573 × 1000
=
= 19.24 MPα < [τ ]
WP 29775.96 × 10−6
4-6 解
M n = 9.55
N
7.5
= 9.55 ×
= 0.71625 KN ⋅ m
n
100
16M n
≤ [τ ] = 40 × 106
3
π D1
D1 ≥ 4.50cm
16M n
≤ [τ ]
π D23 (1 − 0.54 )
D2 = 4.599cm
4-7 解
M n = 2 ASδτ = 2 ×
ϕ=
π
× 152 × 10 −4 × 0.25 × 10−2 × 56 × 106 = 4948 N ⋅ m
4
M nl
M nl
4948 × 4.6
=
=
= 4.29 × 10 −2 rad = 2.46
3
9
3
−6
−2
GJ n 2Gπ r δ 2 × 80 × 10 × π × (15 2) ×10 × 0.25 × 10
4-8 解
JP =
d
π
π
5.6 4
4
4
d外（
1 −（ 内 ）4）= ×10（
1 −（
））= 885.20cm4
32
d外
32
10
WP =
2J P
= 177.04cm3
D
τ max =
ϕ AB
Mn
1325
=
= 7.48MPα
WP 177.04 × 10−6
M nl
1325 × 280 × 10−3
=
=
= 5.23 ×10−4 (rad )
9
−8
GJ P 80 × 10 × 885.2 × 10
4-9 解
N
110
= 9.55 ×
= 17.5 KN ⋅ m
n
60
π
π
J P = D 4 = ×154 = 4970.10cm 4
32
32
2J P
WP =
= 662.68cm3
D
M n = 9.55
τ max
Mn
17.5 × 105
=
=
= 26.4 MPα < [τ ]
WP 662.68 × 10−6
θ=
Mn
17500
=
= 4.4 ×10−3 rad / m = 0.252� / m < θ
5
GJ P 80 ×10 × 4970 ×10−8
4-10 解
（1） M n = 9.55
mT =
N
10
= 9.55 ×
= 0.53KN ⋅ m
n
180
M n 0.53 × 103
=
= 13.25 Nm / m
a
40
（2）
τ max =
0.53 ×103
0.53 ×103 ×16
=
= 24.14 MPα < [τ ]
π D3
π × 63 (1 − 0.4823)4 × 10−6
4
(1 − α )
16
（ 3 ）
ϕ AB = ∫
a
0
M ( x)dx M n (l − a)
+
GJ P
GJ P
�
= 0.2512rad = 14.39
4-11 解
(
M n ⋅ 0.5 M n ⋅ 0.5 180
+
)
≤ 0.6�
GJ P1
GJ P2
π
Mn =
τ max =
0.6π
180
(
0.5
0.5
0.6π
+
)=
GJ P1 GJ P2
180
(
0.5
0.5
+
) = 4.781KN ⋅ m
9 π
4
9 π
80 ×10 32 × 0.1 80 × 10 32 × 0.084
M n d2
Mn
4781
=
=
= 47.56 MPα
π
π
2 J P2
3
3
2 × 0.08
2 × 0.08
32
32
4-12 解
（1） 1PS = 0.736 KW
N
300 × 0.736
= 9.55 ×
= 7.0288 KN ⋅ m
n
300
2 M 3 3514.4 × 2
键： Q =
=
= 87.86 KN
d
0.08
M 1 = 9.55
[Q ] = 100 ×106 × 0.01× 0.03 = 30KN
Q
= 2.928
[Q ]
故需 n = 3 个键
（2）强度
AB 段 τ max =
16 × 7028.8
7028.8
=
= 60.6 MPα > [τ ]
3
4
π D (1 − α ) π × 0.13 × (1 − 0.84 )
BC 段 τ max =
16 × 3514.4
= 34.95MPα > [τ ]
π × 0.083
（3）A 轮与 B 轮对换受力合理，强度也就够了。
4-13 解
M A = τ max ⋅WP = 80 × 106 ×
M CD = M A ×
π
× 63 × 10−6 = 3.393KN ⋅ m
16
18
16 M 3 16 × 10149
= 10.149 KN ⋅ m d 2 = 3
=
= 0.0865m = 8.65cm
6
π [τ ]
π × 80 × 106
（2） ϕ AD = ϕ AB − ϕ CD =
M CD × 0.25
M A × 0.3
−
π
π
80 × 109 × × 64 × 10−8 80 × 109 × × 8.654 × 10−8
32
32
= 1.00 ×10−2 − 0.577 ×10−2 = 0.423 ×10−2 rad = 0.242�
4-14 解
（1） 实心轴脚标用 1，空心轴脚标用 2，则：
M1 M 2
=
= τ max
W P1 W P2
D2 3
D1
3
=
1
1 − 0.5 4
= 1.0667
D2
= 1.0217
D1
ϕ 1 J P2 D 2 4 (1 − 0.5 4 )
=
=
= 1.022 倍
ϕ 2 J P1
D1 4
（2）
M1 M 2
=
= τ max
W P1 W P2
D2 3
D1
3
=
2
1 − 0.5 4
= 2.1333
D2
= 1.287
D1
ϕ 1 J P2 D 2 4 (1 − 0.5 4 )
=
=
= 2.57 倍
ϕ 2 J P1
D1 4
4-15 解
(1)
（2） ∑ X = 0
∵ 平面 ACDF 上，应力分布以 x 轴为对称轴，截面对称，应力反对称故满足 ∑ x = 0 。
∵ 端面 ADC 与 DEF 形状面积相同，而应力各处对应大小相等方向相反故满足
∑z =0。
∵ 由于 ABC 及 DEF 两端 面剪应力形成的 M X 是大 小相等方向相反的，故满足
∑M x = 0。
∵ 平面 ACDF 应力的合力形成的对 Y 轴的力矩等于端面 DEF 上的水平合力对 y 轴的
力矩，故 ∑ M y = 0 满足。
∵ 所有应力对 x 轴不形成力矩，故 ∑ M z = 0 ，自然满足。
（3） AFDC 不再保持平面。
（AFDC 变形图）
4-16 解
W P1
W P2
=
D3
d3
=8
(τ 1 ) max =
M1 + M 2
W P1
(τ 2 ) max =
M2
W P2
∵
(τ 1 ) max = (τ 2 ) max
∴
M1 + M 2 M 2
=
W P1
W P2
M1 + M 2 M 2
=
=8
W P1
W P2
即
M1
M
+1 = 8 故 1 = 7
M2
M2
4-17 解
M = 9.55
N
3
= 9.55 ×
= 1.061KN − m
n
27
按强度条件计算：
d =3
16M max
16 ×1.061×10 3
=3
= 5.13cm
π [τ ]
π × 40 ×10 6
按刚度条件计算：
d =4
32 M max 180
32 × 1.061× 10 3 ×180
×
=4
= 5.27cm
π [Gθ ]
π
π 2 × 80 × 10 9
取 d = 53mm 。
4-18 解
轴： M n1 = W P [τ 1 ] =
π 3
π
d [τ 1 ] = × 4 3 × 10 −6 × 60 × 10 6 = 753.98 N ⋅ m
16
16
套筒： M n2 =
πD 3
π × 6 3 ×10 −6
(1 − α 4 )[τ 2 ] =
16
16
⎡ ⎛ 4 ⎞4 ⎤
⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ × 45 ×10 6 = 1531.5 N − m
⎢⎣ ⎝ 6 ⎠ ⎥⎦
2
−4
πd 3 2
[τ 3 ]⋅ d = π ×1.3 ×10 × 90 ×10 6 × 4 ×10 −2 = 477.84 N − m
4
4
∴ 可以传替 477.84N-m 转矩。
销钉： M n3 = Q ⋅ d = A[τ 3 ]⋅ d =
4-19 解
d ' d ' ' d ' d ' ' cos 45 � γ ⋅ bd cos 2 45 � γ
=
=
=
ad
bd
2
bd / cos 45 �
4-20 解
∵ γ = 2ε 4
ε ad =
∴ τ max = Gγ = 2Gε 4
M n = τ max W P = 2Gε 45�
πD 3
(1 − α 4 )
16
4
= 2 × 80 × 10 9 × 425 × 10 −6 ×
π × 0.4 3
⎛ 24 ⎞
(1 − ⎜ ⎟ )
16
⎝ 42 ⎠
= 743.77 ×10 3 N − m = 743.77 KN − m
M ⋅ n 743.77 ×120
N= n =
= 9345.8 KW
9.55
9.55
4-21 解
纵截面上的剪应力：
Mκ
τ=
2 As ⋅ t
整个纵街面上的合剪力为 τ ⋅ l ⋅ t ，由 n 个柳钉承受每个柳钉的剪力 Q j ：
Qj =
M nl
τ ⋅l ⋅t l ⋅t M n
=
⋅
=
2
n
n 2πr0 t 2πr0 2 n
4-22 解
（1） M n = ml − mx
（2） dϕ x =
mxdx
GJ P
x
∫
ϕ x = dϕ x =
0
(0 ≤ x ≤ l )
x
∫
0
mx
1 mx 2
dx =
GJ P
2 GJ P
(0 ≤ x ≤ l )
x
或 ϕ x = dϕ x =
∫
0
x
∫
0
ml − mx
m
x2
dx =
(lx −
)
GJ P
GJ P
2
(0 ≤ x ≤ l )
4-23 解
M A + M C = ml
M C ⋅ 2l −
1 2
ml = 0 即 ϕ C = 0
2
MC =
1
ml
4
MA =
3
ml
4
4-24 解
ϕ 外 = ϕ内
M外
=
M内
J外
J内
=
(D − t ) 3
(d − t )
3
=
9.5
= 1.396
8.5
M 内 + M 外 = M = 20
∴ M内 =
20
= 8.347 KN ⋅ m
2.396
M 外 = 11.653KN ⋅ m
内管： τ =
外管： τ =
θ=
M外
GJ P外
M内
2 AS t
M外
2 AS t
=
=
8.347 ×10 3
8 .5 2
2π
× 10 − 4 × 0.5 ×10 − 2
4
11.653 × 10 3
9.5 2
2π
×10 − 4 × 0.5 × 10 − 2
4
11.653 × 10 3 × 180
=
3
80 × 10 9 × 2π ×
= 147.2 MPα
= 164.4 MPα
= 2.48 � / m
9 .5
× 0.5 ×10 −8 π
8
4-25 解
ϕ外 =
Ml
=
GJ P外
20 ×10 3 × 1× 180
9 .5 3
80 × 10 9 × 2π ×
× 0.5 ×10 −8 π
8
焊后 M 卸去：
ϕ 外 ' = ϕ 外 − ϕ内 '
M 外 = M内
故 M 外 = M内 =
ϕ外
l 180 1
1
(
+
）
G π J P外 J P内
= 4.256 � / m
4.256 × 80 ×10 9 × π × 10 −8
1
1
1 ×180 ×（
+
）
3
2π ×（9.5 / 2） × 0.5 2π ×（8.5 / 2）3 × 0.5
= 8.35 KN ⋅ m
=
τ外 =
τ内 =
M外
2 AS t
M内
2 AS t '
=
=
8.35 × 10 3
= 117.8MPα
9.5 2
−8
2π ( ) × 0.5 × 10
2
8.35 × 10 3
= 147.2 MPα
8.5
2π ( ) 2 × 0.5 × 10 −8
2
4-26 解
先求三螺栓截面形心位置：
D 1 D
e= 0 × = 0
2 3
6
C − (1) =
D0
− e = 5cm
2
C − (2) =
D0
− e = 5cm
2
Q 2 C − (2 ) 7.906
=
=
= 1.581
Q1 C − (1)
5
M n = 2Q2 × 7.906 ×10 −2 + Q1 × 5 ×10 −2
= 2(1.581Q1 ) × 7.906 × 10 −2 + Q1 × 5 ×10 −2 =2.5
Q1 = 8.334 KN
Q 2 = 13.176 KN
τ1 =
τ2 =
4Q1
πd 2
4Q 2
πd 2
4-27 解
=
=
4 × 8334 × 10 −6
π × 2.5 2 ×10 − 4
= 16.98MPα
4 × 13176 ×10 −6
π × 2.5 2 × 10 − 4
= 26.85MPα
本题为一次静不定问题，静力平衡方程式为
M A − M B = −3M
变形协调方程 ϕ B − ϕ A = 0
M A a ( M A + M ) 2a M B a
即
+
+
=0
GJ P
GJ P
GJ P
由（1）与（2）式解得
MA =−
5
7
M ， M B = M = M n max
4
4
7
M
由4
≤ [τ ] 求得 M ≤ 1454 N ⋅ m
WP
4-28 解
h 102
=
= 4.435
b 23
查表 α = 0.276
Mn
τ max =
ab 2 h
4-29 解
M n = 9.55
τ max =
277 × 10 −6
=
0.276 × 23 2 × 102 × 10 −9
= 18.6 MPα
0.736 × 35
= 0.342KN ⋅ m
720
Mn
2
Mn
=
ab n
3
0.208b =
= 60.89 MPα < [τ ]
0.342 ×10 −3
0.208 × 3 3 ×10 −6
4-30 解
1 2
πd = a 2 = 2b 2
4
π
d
4
正方形： α 1 = 0.208
β 1 = 0.141
矩 形： α 2 = 0.246
β 2 = 0.229
a = 2b =
园 形： J P =
π 4
d = 0.0981d 4
32
2
⎛π ⎞
正方形： J n2 = βb 3 h = 2 × 0.229b 4 = ⎜ ⎟ × 2 × 0.229d 4 = 0.0706d 4
⎝8⎠
2
矩 形： J n
⎛π ⎞
= βb h = 0.141a = ⎜ ⎟ × 0.141d 4 = 0.0869d 4
⎝ 4⎠
3
4
∴ J P : J n1 : J n2 = 1 : 0.886 : 0.719
4-31 解
d = 2a
正方形： a = 0.208
M n1 = αa 3 [τ ]
M n2 =
M n1
M n2
π 3
d [τ ]
16
=
αa 3
0.208 × 16a 3
=
= 0.375
3 3
π 3
π
2
a
d
16
(1 − 0.375) × 100% = 62.5%
4-32 解
（降低百分率）
τ max =
16 PR 16 × 56 × (36 + 31) / 4
=
πd 3
2.53 π
= 305.7 MPa < [τ ]
3
8PD0 ⋅ n 8 × 56 × [(36 + 31) / 2]3 × 5 × 10 −9
=
πd 3
80 × 10 9 × 2.5 4 × 10 −12
λ=
= 26.9mm = 26.9 × 10 −3 mm
4-33 解
a
60
⋅ h1 =
× 9 = 12mm
b
45
h=
Gd 4
80 × 10 9 × 4 4 × 10 −12
=
= 5970 N / m
64 R 3 n 64 × ( 35 ) 3 × 10 −9 × 10
2
c=
h = 12mm 时须加的力 P '
P' = ch = 5970 × 12 × 10 −3 = 71.64 N
弹簧总受压力：
P = P '+180 = 251.64 N
4c'+2 4 × 8.75 + 2
K=
=
= 1.1563N
4c'−3 4 × 8.75 − 3
2 R 35
(c ' =
=
= 8.75)
d
4
τ max = K
16 PR
16 × 251.64 × 35 / 2 × 10 −5
=
1
.
156
×
= 405.2MPa
πd 3
π × 4 3 × 10 −9
4-34 解
d ≥3
n=
8 PD 3 8 ×1000 × 4 × 10 −2
=
≥ 5.96mm
π [τ ]
π × 480 × 10 6
λGD 4
8 PD 3
=
30 ×10 −3 × 80 × 10 9 × 6 4 × 10 −12
8 × 1000 × 40 3 ×10 −9
若取 d = 6mm
= 6圈
4-35 解
c1 =
c2 =
Gd1 4
64 R13 n1
Gd 2 4
64 R 2 3 n 2
=
80 × 10 9 × 10 4 × 10 −12
=
64 × 10 × (30 3 × 10 −9 )
80 ×10 9 × 10 4 ×10 −12
64 × 10 × 50 3 ×10 −9
P1 c1 46296
=
=
= 4.6296
P2 c 2 10000
P = P1 + P2
= 46296 N / m
= 10000 N / m
60
+2
K = 10
= 1.238
60
4
−3
10
4
[P1 ] = [τ ]πd1
3
480 ×10 6 × π × 10 3 × 10 −9
=
16 R1
16 × 30 × 10 −3
= 3141.6 N
[P] = ⎡⎢[P1 ] + [P1 ]
⎤
3141.6 ⎤
⎡
/ K = ⎢3141.6 +
/ 1.238 = 3086 N = 3.086 KN
4.6296 ⎥⎦
4.6296 ⎥⎦
⎣
⎣
4-36 解
M n = P × OA = 100 × 0.1 = 10 N ⋅ m
M 2l
1
Pδ 0 = n =
2
2GJ P
δ0 =
24 PR 3
Gd 4
4-37 解
Q=P
3
P 2 R 2 ( πR )
4
2π 4
2G
32
24 × 100 × 0.13
=
82 × 10 9 × 10 4 × 10 −12
= 0.293cm
M n = PR
( M n ) max = PR2
(τ )max
16 PR 2
=
πd
(1 +
3
d
)
4R2
[P ] = πd 3 [τ ] / 16 R2 (1 +
d
20
) = π × 20 3 × 10 −9 × 300 × 10 6 / 16 × 200 × 10 −3 × (1 +
) = 2327 N = 2.327 KN
4 R2
4 × 200
1
外力功： A = Pλ
2
应变能： U =
2πn
∫
0
λ=
16 Pn
Gd 4
4-38 解
2GJ P
4
4
R − R1 3
P2
P 2πn R 2 − R1
( R1 + 2
a) da =
×
2GJ P
2πn
2GJ P
R 2 − R1
( R1 2 + R 2 2 )( R1 + R 2 ) =
(1) τ max =
(2) τ max =
4-39 解
dU =
M n 2 ( Rda)
Mn
=
2 Ast min
16 × 2.327 × 10 3 ×10
80 × 10 9 × 20 4 × 10 −12
4 × 10 −3
π
2 (120 − 5) 2 × 10 −6 × 5 × 10 −3
4
(
= 3.351MPa
Mn
Mn
4 × 10 −3
=
=
= 4.01MPa
π 3
π
110 4
WP
D 1−α 4
120 3 × 10 −9 × (1 − (
) )
16
16
120
(
)
)(
)
× 50 2 × 10 − 6 + 200 2 × 10 − 6 50 × 10 −3 + 200 × 10 −3 = 0.309m = 309mm
3M n δ max
τ max =
=
n
η
∑h δ
3
3 × 10 × 4 ×10 −3
= 15.22 MPa
1.12 × 30 × 4 3 × 10 −12 + 50 × 4 3 × 10 −12
i i
i =1
3M n l
φ=
ηG
∑
hi δ i 3
=
3 × 10 × 500 × 10 −3
[
1.12 × 28 × 10 9 × 2 × 30 × 4 3 × 10 −12 + 50 × 4 3 × 10 −12
] = 0.0679rad
4-40 解
闭口： τ max =
Mn
≤ [τ ]
2 Asδ
M n1 ≤ [τ ]× 2 × 297 × 97 ×10 −6 × 3 × 10 −3 = 10.3KN ⋅ m
θ≤
M nS
4GAs 2 t
M n1 ≤ [θ ]× 4GAs 2 t / s = 4 × 0.5 ×
π
× G × (300 ×100)2 × 10 −12 × 3 ×10 −3 / 2(300 + 100)× 10 −3 = 9.42 KN ⋅ m
180
开口：
M n2 ≤ [θ ]G
M n1
M n2
=
∑h δ
i i
3
[(
)]
(
)
/ 3 = 80 ×10 9 × 2 300 × 3 3 × 10 −12 + 2 100 × 3 3 × 10 −12 × (0.5 × π / 180 ) / 3 = 5.026 N ⋅ m
9.42 × 10 3
= 1874(倍）
5.026
4-41 解
τ max =
Mn
2 AS δ
1
1
1
1
1
1
：
：
=
:
:
AS矩 AS方 AS圆 2b 2 a 2 πd 2
4
∵ 2(2b + b) = 4a = πd
τ 矩：τ 方：τ 原 =
∴ θ 矩：θ 方：θ 原 =
1
A S矩
2
1
1
： 2 ： 2 = 1 : 0.790 : 0.487
AS方 AS圆
4-42 解
许用应力法：
[M n ] = [τ ]W P
= 80 ×10 6 ×
⎡ ⎛ 6 ⎞4 ⎤
π
×10 3 × 10 −6 ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ = 13.67 KN ⋅ m
16
⎢⎣ ⎝ 10 ⎠ ⎥⎦
极限扭矩法：（设 τ s = [τ ] ）
⎡ D3 d 3 ⎤
80 ×10 6 10 3 6 3
−
×(
− ) × 10 −6 = 16.42 KN ⋅ m
⎢
⎥ = 2π
3 ⎢⎣ 8
8 ⎥⎦
3
8
8
[M n ] = 2π × τ s
4-43 解
假定平面假设仍成立
τ ρ = Grρ
rρ = ρ
dϕ
dx
M n = GC
∵
2π
∫ ∫
0
d /2
0
2π
∫ ∫
0
dϕ
dx
D/2
d/2
∴ Mn =
2π
∫ ∫
0
d /2
0
ρ 2 dA + G S
dϕ
dx
2π
∫ ∫
0
ρ 2 dA = J Pc =
π 4
d
32
ρ 2 dA = J Ps =
π
(D 4 − d 4 )
32
D/2
ρ 2 dA
d /2
dϕ
π
π
(GC × d 4 + G S × ( D 4 − d 4 ))
dx
32
32
dϕ
π 4
(GC
d + G S J Ps )
dx
32
Mn
dϕ
故
=
dx G C J Pc + G S J Ps
或记为 M n =
dϕ
dx
G C ρM n
=
GC J Pc + G S J Ps
∵τ ρ = Gρ
∴ τ ρc
G S ρM n
G C J Pc + G S J Ps
τ ρs =
Mn
dϕ
=
dx G C J Pc + G S J Ps
l
故 ϕ = dϕ =
∫
0
l
∫G
0
M n ⋅ dx
M nl
M nl
=
=
J
+
G
J
G
J
+
G
J
G
J
C Pc
S Ps
C Pc
S Ps
C Pc + G S J Ps
τ 分布图
第五章
弯曲内力
5-1 试求下列各梁在指定 1、2、3 截面上的剪力和弯矩值．
解 ：（ a）
（b）
M 1 = −M 0
M 2 = −M 0
M3 = −
Q1 = ql
Q2 = ql
Q3 = ql
（d）
3
M 2 = − ql 2
2
Q1 = − qa
Q2 = − qa
M1 = 0
M 2 = −qa 2
Q1 =
1
q0l
6
Q2 =
1
q0l
24
Q3 =
M0
2a
Q2 =
3
M 1 = − ql 2
2
（c）
M0
2a
Q1 = 0
M0
2
3
M 3 = − ql 2
2
3
Q3 = qa
4
M 3 = − qa 2
1
Q3 = − q0 l
3
（e）
（f）
1
q0 l 2
16
M1 = 0
M2 =
Q1 = 5KN
Q1 = −5KN
Q1 = −5KN
M1 = 0
M2 = 0
M3 = 0
Q1 = 10 KN
Q2 = 10 KN
M 1 = 5 KN ⋅ m
M3 = 0
M 2 = 5KN ⋅ m
Q3 = 10 KN
M 3 = −10 KN ⋅ m
5-2 试写出下列各梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图，确定|Fmax|和|Mmax|。
解 ：（ a）
Q ( x) =
3M 0
l
M (x) =
Qmax =
3M 0
l
M
（b） Q1 ( x) = 0
Q2 ( x ) = − p
max
3M 0
x − M0
l
= 2M 0
M 1 ( x) = pa
M 2 ( x) = pa − p( x − a)
Q
= p
max
（c） Q1 ( x) = − p
Q2 ( x ) =
1
p
2
Q
= p
max
M
max
= pa
M 1 ( x) = − px
M 2 ( x) = − px −
M
max
3
p( x − a)
2
= pa
3M 0
l
P
2
P
（a）Q 图
P
（b）Q 图
2M 0
（c）Q 图
Pa
M0
（a）M 图
（b）M 图
qa
ql
qa / 4
P
（d）Q 图
（e）Q 图
ql 2
2
ql 2
2
（d）M 图
（c）M 图
ql 2
2
（f）Q 图
Pa
ql 2
2
（e）M 图
（f）M 图
3
ql
4
3
qa
4
3
a
8
1
ql
4
1
q0 l
4
qa
（g）Q 图
9
ql 2
128
1
q0 l
4
（h）Q 图
1 2
ql
10
（i）Q 图
1 2
qa
4
1 2
qa
2
（g）M 图
1
q0l 2
12
3 2
qa
4
（h）M 图
3
qa
2
3
ql
8
（i）M 图
1
ql
2
1
P
4
0.5a
1
qa
2
qa
（j）Q 图
1 2
qa
2
qa 2
（j）M 图
3
a
8
5
ql
8
（k）Q 图
1
ql 2
128
3
P
4
（l）Q 图
1
Pa
4
1 2
ql
8
（k）M 图
1
Pa
2
（l）M 图
5-3 利用 q、 FS 、M 的微分关系作出下列各梁的剪力图和弯矩图，并求出| FSmax |和|Mmax|。
解：
1
P
3
1
P
3
P
qa
1
P
3
（a）Q 图
P
（b）Q 图
2qa
（c）Q 图
Pa
3
qa 2
Pa
3
（a）M 图
qa
Pl
2
1 2
qa
2
（b）M 图
qa
（c）M 图
1.0 KN
0.5m
qa
（d）Q 图
1.0 KN
（e）Q 图
（f）Q 图
3 2
qa
2
0.25 KN ⋅ m
1 2
qa
2
（d）M 图
1 2
qa
2
（e）M 图
（f）M 图
1
ql
4
12.5 KN
1
ql
4
3KN
1KN
28
m
16
3.5 KN
（g）Q 图
4 KN
（h）Q 图
l
4
（i）Q 图
1
ql
4
9.77 KN ⋅ m
1 2
ql
32
1KN ⋅ m
9 KN ⋅ m
1 2
ql
32
2 KN ⋅ m
（g）M 图
（h）M 图
5
ql
8
（i）M 图
qa
2 KN
ql/8
l
10
7
ql
8
2 KN
（j）Q 图
3 2
ql
16
（k）Q 图
（l）Q 图
49 2
ql
256
1KN ⋅ m
1 2
qa
2
qa 2
1KN ⋅ m
（j）M 图
1
q0 l
2
（k）M 图
5
q0 l
6
1KN ⋅ m
（l）M 图
13
ql
8
5
ql
8
2
q0 l
3
（m）Q 图
（n）Q 图
13
ql
8
（o）Q 图
13 2
ql
32
4
q0l 2
9
1
q0 l 2
6
（m）M 图
19 2
ql
32
（n）M 图
3 2
ql
16
（o）M 图
5-4 木梁浮在水面上，承受载荷如图示，求作其剪力图和弯矩图。
解：
20 KN
8m
1
q0 l
8
15 KN
10 KN
10 KN
4m
20 KN
0.5a
1
q0 l
8
15 KN
（a）Q 图
（b）Q 图
（c）Q 图
11
q0 a 2
12
30 KN ⋅ m
15 KN ⋅ m
15 KN ⋅ m
11
q0 a 2
12
80 KN ⋅ m 80 KN ⋅ m
60 KN ⋅ m
（a）M 图
5-5
（b）M 图
（c）M 图
求作下列各饺接梁的剪力图和弯矩图。
解：
5
qa
2
1
qa
2
1
a
2
qa
1
qa
2
qa
qa
1
qa
2
qa
（a）Q 图
（b）Q 图
1 2
qa
8
（c）Q 图
1 2
qa
2
1 2
qa
2
1 2
qa
2
qa 2
qa 2
3qa 2
（a）M 图
（b）M 图
（c）M 图
8 KN
qa
5 KN
1KN
8 KN
1 2
qa
2
3KN
3 2
qa
2
（d）Q 图
（e）Q 图
（f）Q 图
qa 2
1
KN ⋅ m
4
qa 2
2 KN ⋅ m
8 KN ⋅ m
（d）M 图
6 KN ⋅ m
（e）M 图
（f）M 图
5-6 根据 q、 FS 、M 的微分关系，检查并改正下列各梁的 FS 图和 M 图的错误。
FS
FS
FS
FS
解：
1
qa
4
qa
a
4
qa
qa
7
qa
4
（a）Q 图
（b）Q 图
3 2
qa
2
49 2
qa
32
5 2
qa
4
1 2
qa
2
1 2
qa
4
1 2
qa
2
（a）M 图
（b）M 图
2
qa
3
qa
1
qa
2
2
a
3
qa
（c）Q 图
1
qa
3
（d）Q 图
2qa 2
qa 2
3 2
qa
2
1 2
qa
2
1
qa 2
18
1 2
qa
6
（c）M 图
1 2
qa
13
（d）M 图
5-7 起吊一根自重为 q（N／m）的等截面钢筋混凝土梁，求吊装时的起吊位置应为多少
才最合理（最不易使杆折断）？
解：令 M 1 = M 2
1
M 1 = − qx 2
2
l l ql l
M 2 = − q ⋅ ⋅ + （ − x）
2 4
2 2
x=
−l ± l2 +l2
= 0.207l
2
P = ql
M2
x
x
L
M1
M1
(M 图)
5-8 小车可在梁上移动，它的每个轮子对梁的作用力均为 P。试分析小车处于什么位
置时梁内的弯矩最大（以 x 表示梁上小车的位置）？
P[2(l − x) − a ]
l
P
M ( x) = R ⋅ x = [2 x(l − x) − ax ]
l
dM ( x)
=0
dx
P
(2l − 4 x − a ) = 0
l
2l − a
x=
4
解： R =
M mzx
P (2l − a )
= R⋅x =
l
8
2
a
x
P
L
5-9 作图示梁 ABC 的剪力图和弯矩图。
P
解：
D
B
C
E
D
B
C
P
E
Pa
P
A
D
B
C
A
D
B
P
C
Pa
（Q 图）
5-10 用叠加法作下列各梁的弯矩图
（M 图）
1 2
ql
4
1
Pa
2
1 2
ql
2
（a）
（b）
7 2
ql
6
35 2
ql
72
（c）
5
Pl
9
2
Pl
3
7 2
ql
16
1
Pl
3
1 2
ql
8
1 2
qa
2
（d）
（e）
5-11 求作下列图示平面刚架的内力图。
解 ：（ a）
1 2
qa
2
（f）
P
Pa
P
Pa
(M 图)
（b）
(Q 图)
(N 图)
40 KN ⋅ m
40
KN
3
40 KN ⋅ m
40
KN
3
20 KN
(M 图)
(Q 图)
(N 图)
（c）
qa
1 2
qa
2
1 2
qa
2
1 2
qa
2
1 2
qa
2
qa
(M 图)
(Q 图)
M
2
M
2a
(N 图)
（d）
M
2a
(M 图)
(Q 图)
(N 图)
（e）
1
qa
4
1 2
qa
4
1 2
qa
2
qa
5
qa
4
1 2
qa
4
(M 图)
(Q 图)
(N 图)
（f）
1 2
qa
2
qa
1 2
qa
2
qa
qa
(M 图)
(Q 图)
(N 图)
（g）
1
Pl
2
1
Pl
2
1
Pl
2
P
1
Pl
2
P
1
Pl
2
P
(M 图)
P
P
(Q 图)
(N 图)
（h）
2 Pa
2
Pa
3
4
Pa
3
2
Pa
3
4
Pa
3
4
Pa
3
P
2
4
Pa
Pa
3
3
(M 图)
2
Pa
3
P
4
Pa
3
(Q 图)
5-12 简支梁上的分布载荷按抛物线规律变化，其方程为 q ( x) =
2
Pa
3
(N 图)
4q 0 x
x
(1 − ) 试作剪力图
l
l
和弯矩图。
解：
1
q0 l
3
1
q0l 2
12
1
q0 l
3
(Q 图)
(M 图)
5-13 已知梁的剪力图，试求此梁的载荷及弯矩图（设梁上没有集中力偶作用）。
解：
20 KN
60 KN
（a）
2 KN / m
（b）
54 KN ⋅ m
30 KN / m
141.67 KN ⋅ m
48 KN ⋅ m
140 KN ⋅ m
60 KN ⋅ m
（M 图）
5-14 已知梁的弯矩图，试求此梁的载荷及剪力图。
FS
FS
（M 图）
37.5 KN
25 KN
40 KN ⋅ m
20 KN
解：
20 KN
29.1667 KN
25 KN
8.333KN
20 KN
（Q 图）
（Q 图）
5-15 图示梁上作用有集度为 m=m(x)的分布力偶矩，试建立 m、 FS 、M 之间的微分关系。
m( x )
解：
∑M = 0
M + Q ⋅ dx + m( x)dx = M + dM
∴
dM
= Q + m( x )
dxx
Q
M
Q
dx
M + dM
5-16 悬臂梁上表面受切向分布力 t 作用，t 为单位长度上的力 N／m，已知 t、h、L。试
分别作此梁的轴力、剪力和弯矩图。
1
htL
2
解：
tL
（N 图）
（Q 图）
（M 图）
5-17 某简支梁上作用有 n 个间距相等的集中力，其总载荷为 P，所以每个载荷等于 P/n，
梁的跨度为 l，载荷的间距为 l/(n＋1)。
（1）试导出梁中最大弯矩的一般公式；
（2）将（1）的答案与承受均布载荷 q 的简支梁的最大弯矩相比较，设 P＝ql 。
n
个P。
2
p l p l
l
p l
2l
p l n
l
M max = × − ( −
)− ( −
) − ⋯⋯ − ( − ×
)
2 2 n 2 n +1 n 2 n +1
n 2 2 n +1
p
l
n
= ×
(1 + 2 + 3 + ⋯⋯ + )
n n +1
2
解：若 n 为偶数，则 M max 一侧有
n n
( + 1)
pl
2
=
× 2
n(n + 1)
2
=
pl (n + 2)
8(n + 1)
n −1
个P。
2
p l p l
l
p l n −1
l
= × − ( −
) − ⋯⋯ − ( −
×
)
2 2 n 2 n +1
n 2
2
n +1
若 n 为奇数，则 M max 一侧有
M max
=
pl pl (n − 1)
pl
n −1
−
+
(1 + 2 + 3 + ⋯⋯
)
4
4n
n(n + 1)
2
n −1 n −1
×(
+ 11)
pl pl pl
pl
2
2
=
−
+
+
×
4
4 4n n(n + 1)
2
=
pl
(n + 1)
8n
若 ql = p
1
1
M max = ql 2 = pl
8
8
n=∞
n =1
n=2
n=3
n=4
1
pl
8
1
M max = pl
4
1
M max = pl
6
1
M max = pl
6
3
M max =
pl
20
M max →
弯曲应力
6-1 求图示各梁在m－m截面上A点的正应力和危险截面上最大正应力。
题 6-1图
解 ：（ a） M m − m = 2.5 KN ⋅ m
M max = 3.75KN ⋅ m
πd 4 π × 10 4 × 10 −8
Jx =
=
= 490.8 × 10 −8 m 4
64
64
σA =
2 .5 × 10 3 × 4 × 10 −2
= 20 .37 MPa （压）
490 .8 × 10 −8
σ max =
3.75 × 10 3 × 5 × 10 −2
= 38 .2 MPa
490 .8 × 10 −8
（b） M m − m = 60 KN ⋅ m
M max = 67.5KN ⋅ m
Jx =
bh 3 12 × 18 3 × 10 −8
=
= 5832 × 10 −8 m 4
12
12
σA =
60 × 10 3 × 6 × 10 −2
= 61 .73 MPa （压）
5832 × 10 −8
σ max
67 .5 × 10 3 × 9 × 10 −2
=
= 104 .2 MPa
5832 × 10 −8
（c） M m − m = 1KN ⋅ m
M max = 1KN ⋅ m
J x = 25.6 × 10 −8 m 4
W x = 7.8 × 10 −6 m 3
y A = 1.52 − 0.53 = 0.99cm
σA
1 × 10 3 × 0 .99 × 10 −2
=
= 38 .67 MPa （压）
25 .6 × 10 − 8
σ max =
6-2
1 × 10 3
= 128 .2 MPa
25 .6 × 10 −8
图示为直径D＝6 cm的圆轴，其外伸段为空心，内径d＝4cm，求轴内最大正应力。
解： W x1 =
πD 3
(1 − α 4 )
32
=
π × 63
4 ⎞
⎛
× 10 − 6 × ⎜1 − ( ) 4 ⎟
32
6 ⎠
⎝
= 17.02 × 10 −6 m 3
Wx 2 =
πD 3 π × 6 3 × 10 −6
=
= 21.21 × 10 − 4 m 3
32
32
0 . 9 × 10 3
σ1 =
= 52 . 88 MPa
17 . 02 × 10 − 6
σ1 =
1 .172 × 10 3
= 55 .26 MPa
21 . 21 × 10 − 6
σ max = 55 . 26 MPa
6-3 T字形截面铸铁梁的尺寸与所受载荷如图示。试求梁内最大拉应力与最大压应力。
已知Iz=10170cm4，h1=9.65cm，h2=15.35cm。
解：A 截面：
σ max 1 =
40 × 10 3
× 9 .65 × 10 − 2 = 37 .95 Mpa
−8
10170 × 10
σ min 1 = −
E 截面
（拉）
40 × 10 3
× 15 .35 × 10 − 2 = − 50 .37 Mpa （压）
10170 × 10 − 8
σ max 2 =
20 × 10 3
× 15 .35 × 10 − 2 = 30 .19 Mpa
−8
10170 × 10
σ min 2 = −
（拉）
20 × 10 3
× 9 .65 × 10 − 2 = − 18 .98 Mpa （压）
−8
10170 × 10
6-4 一根直径为d的钢丝绕于直径为D的圆轴上。
（1） 求钢丝由于弯曲而产生的最大弯曲正应力（设钢丝处于弹性状态）
（2） 若 d＝lmm，材料的屈服极限 σ s =700MPa，弹性模量E=210GPa，求不使钢丝产生
残余变形的轴径D。
解：
1 M
=
ρ EJ
M =
EJ Eπd 4
=
ρ
32 D
σ max =
M 32 M
d
=
= E⋅
3
W
D
πd
E ⋅ d 210 × 10 9 × 1 × 10 − 3
D≥
=
= 0 .3 m = 30 cm
σs
700 × 10 6
6-5
矩形悬臂梁如图示．已知 l= 4 m，
b 2
= ，q=10kN/m，许用应力[σ]=10Mpa。
h 3
试确定此梁横截面尺寸。
解： M max =
1 2 1
ql = × 10 × 4 2 = 80 KN ⋅ m
2
2
2
h × h2
6h 2
h3
W =
= 3
=
6
6
9
σ =
M
M
80 × 10 3
h2
⇒W =
=
=
W
σ
9
10 × 10 6
h = 0 . 416 m = 41 . 6 cm
b = 27 . 7 cm
6-6 20a工字钢梁的支承和受力情况如图所示。若[σ]＝160MPa，试求许用载荷P。
解： W = 237 cm
M
max
=
2P
KN ⋅ m
3
[M ] = [σ ] ⋅ W
[P ] =
6-7
2
P
3
3
= 160 × 10 6 × 237 × 10 − 6 =
2
P
3
（M 图）
2
P
3
3
× 160 × 237 = 56 .880 KN
2
压板的尺寸和载荷情况如图所示。材料为 45钢， σ s ＝380 MPa，取安全系数
n = 1.5 。试校核压板强度。
解： W =
1
30 × 20 3 30 × 12 3
×(
−
) = 1568 mm
10
12
12
2
M = 18 × 10 3 × 20 × 10 − 3 = 360 N ⋅ m
σ =
M
360
=
= 229 . 6 MPa < [σ ]
W
1568 × 10 − 9
6-8 由两个槽钢组成的梁受力如图示。已知材料的许用应力[σ]＝150 MPa，试选择槽
钢号码。
解： M
max
Wx =
= 60 KN ⋅ m
M max
60 × 10 3
=
= 0 . 4 × 10 − 3 m 3 = 400 cm 3
6
[σ ] 150 × 10
查 表 ：（ 22a， W x = 217 . 6 cm
3
> 200 cm 3 ）
60 KN ⋅ m
20 KN ⋅ m
（ M 图）
6-9 割刀在切割工件时，受到P＝1kN的切销力的作用。割刀尺寸如图所示。试求割刀
内最大弯曲应力。
解： M
Ι
= p × 8 × 10 − 3 = 8 N ⋅ m
M ∏ = p × 30 × 10 − 3 = 30 N ⋅ m
WΙ =
2 . 5 × 13 2
= 70 . 42 mm
6
W∏ =
4 × 15 2
= 150 mm
6
3
3
(σ Ι )max
=
MΙ
8
=
= 114 MPa
WΙ
70 .4 × 10 − 9
(σ ∏ )max
=
M∏
30
=
= 200 MPa
W ∏ 150 × 10 − 9
6-10 图示圆木，直径为D，需要从中切取一矩形截面梁。试问（1）如要使所切矩形截
面的抗弯强度最高，h、b分别为何值？（2）如要使所切矩形截面的抗弯刚度最高，h、b又
分别为何值？
解： W =
bh 2 b ( D 2 − b 2 )
=
6
6
dW
=0
db
∴
D 2 − 3b 2
=0
6
∴
b2 =
D2
3
h2 = D2 −
D2 2 2
= D
3
3
∴ 从强度讲： b = 0.57735D
∴
h = 0.8165D
b (D 2 − b 2 )3
bh 2
J =
=
12
12
dJ
=0
db
3
2
1
3
( D − b ) + b × × ( D 2 − b 2 ) 2 × ( − 2b ) = 0
2
2
2
∴ 从刚度讲
b = 0.50D
h = 0.866D
6－11 T字形截面的铸铁梁受纯弯曲如图示，欲使其最大压应力为最大拉应力的 3倍 ，
巳知h= 12cm，t=3cm，试确定其翼板宽度b之值。
压
y上
σ max
=
＝3
解： 拉
σ max y下
y上＝3 y下
y上＋y下＝h =12
y 下＝
12
＝ 3 cm
4
S = ( b × 3 )( 3 −
b =
3
) − (9 × 3) × 4 .5 = 0
2
9 × 3 × 4 .5
= 27 cm
3 × 1 .5
6-12 图示简支梁，由No.18工字钢制成，在外载荷作用下，测得横截面A处梁底面的纵
−4
向正应变 ε = 3.0 × 10 ，试计算梁的最大弯曲正应力σmax。已知钢的弹性模量 E=200GPa,
a=1m。
解： σ
A
= E ε = 200 × 10 9 × 3 . 0 × 10 − 4 = 60 MPa
σ max M max 3 / 4
=
=
=2
σA
MA
3/8
σ max = 2σ A = 2 × 60 = 120 MPa
3 2
qa
4
3 2
qa
8
1 2
qa
4
（M 图）
6-13 试计算图示矩形截面简支梁的1-1面上a点和b点的正应力和剪应力。
解：1－1 截面
Q = 3 . 6364 KN
M = 3 .6364 KN ⋅ m
J =
bh 3
7 . 5 × 15 3
=
= 2109 . 375 cm
12
12
4
σa =
M
3.6364 × 10 3
y=
× 3.5 × 10 − 2
−8
J
2109.375 × 10
= 6 . 03 MPa
σb =
3.6364 × 10 3 × 7.5 × 10 −2
2109.375 × 10 −8
= 12 . 93 MPa
QS 3.6364 × 10 3 × (4 × 7.5) × 5.5 × 10 −6
τa =
=
Jb
2109.375 × 10 −8 × 7.5 × 10 − 2
= 0 . 379 MPa
6-14 计算在均布载荷 q＝10 kN／m作用下，圆截面简支梁的最大正应力和最大剪应
力，并指出它们发生在何处。
解： M max =
1 2 1
ql = × 10 × 10 3 × 12
8
8
= 1.25 × 10 3 N ⋅ m
Qmax =
1
1
ql = × 10 × 10 3 × 1
2
2
= 5 × 10 3 N
σ
max =
M
1 . 25 × 10 3
=
π
W
× 5 3 × 10 − 6
32
= 101 . 86 MPa
τ max =
在跨中点上、下边缘
Q 4
5 × 10 3
4
× =
×
A 3 π
3
× 5 2 × 10 − 4
4
= 25 . 46 MPa
在梁端，中性轴上
6-15 试计算 6-12 题工字钢简支梁在图示载荷下梁内的最大剪应力。
3
qa
8
解：
W
2
W = 185 cm
q=
Q
1
qa
4
= 60 MPa
3
60 × 10 6 × 185 × 10 − 6 × 8
= 29 .6 KN / m
3 × 12
=
max
τ max =
3
qa
4
3
3
qa = × 29 .6 × 1 = 22 .2 KN
4
4
（Q 图）
QS
22 .2 × 10 3
=
= 22 .12 MPa
Jt
15 .4 × 10 − 2 × 6 .5 × 10 − 3
6-16 矩形截面木梁所受载荷如图示，材料的许用应力[σ]=10Mpa。试选择该梁的截
面尺寸，设 h : b = 2 : 1
19 KN
141KN ⋅ m
8 KN
9 KN
1KN
8 KN ⋅ m
21KN
（Q 图）
（ M 图）
解： R A = 19 KN
W =
1
bh
6
σ
=
max
h =
2
R B = 29 KN
=
h3
12
M
14 × 10 3
=
≤ [σ
W
h3
12
]
14 × 10 3 × 12
= 0 . 256 m = 25 . 6 cm
10 × 10 6
3
b = 12 . 8 cm
τ max = 1 . 5
6-17
80Mpa。
Q
21 × 10 3
= 1 .5 ×
= 0 . 961 MPa < [τ ]
A
12 . 8 × 25 . 6 × 10 − 4
试为图示外伸梁选择一工字形截面，材料的许用应力 [σ]= 160MPa，[τ]＝
解： W =
M
20 × 1000
=
= 125 cm 3
6
[σ ] 160 × 10
取 I 16 ，
W = 141 cm
3
J : S = 13 .8( cm )
τ =
QS
15 × 10 3
=
= 0 . 181 MPa < [τ ]
Jt
13 . 8 × 6 × 10 − 3
故
取 No16 工字钢
Q ( x)
M ( x)
15 KN
20 KN ⋅ m
5 KN
10 KN ⋅ m
10 KN
（Q 图）
（M 图）
6-18 图示起重机安装在两根工字形钢梁上，试求起重机在移动时的最危险位置及所采
用工字型钢的号码。已知 l＝10 m，a＝4 m，d=2 m。起重机的重量 W＝50 kN，起重机的
吊重P=10 kN，钢梁材料的许用应力［σ］=160 MPa，[τ]= 100Mpa。
解：轻压： 10 KN ， 50 KN
R =
1
[50 (10 − x ) + 10 ( 8 − x ) ] = 58 − 6 x
10
M ( x ) = Rx = ( 58 − 6 x ) ⋅ x
dM
=0
dx
58 − 12 x = 0
x = 4 . 833 m
M max = ( 58 − 6 × 4 .833 ) × 4 .833 = 140 .17 KN ⋅ m
M max
140 . 17 × 10 3
W =
=
[σ ]
160 × 10 6
= 0 . 876 × 10
取 两个 I 28 a
−3
m 3 = 876 cm
W z = 508 .15 cm 3 >
3
W
= 438 cm 3
2
10 KN
50 KN
d
10m
6-19
等腰梯形截面梁，其截面高度为 h。用应变仪测得其上边的纵向线应变
ε 1 = −42 × 10 −6 ，下边的纵向线应变 ε 2 = 14 × 10 −6 。试求此截面形心的位置。
解： σ 上＝
M ⋅ y1
= E ⋅ ε1
Jb
σ 下＝
M ⋅ y2
= E ⋅ε2
Jb
ε1
y
42
＝ 1 =
= 3
ε2
y2
14
y1 + y 2 = h
∴ 3 y2 + y2 = h
1
3
h y1 = h
4
4
∴ y2 =
6-20 简支梁承受均布载荷q，截面为矩形 b × h ，材料弹性模量E，试求梁最底层纤维
的总伸长。
ql
qx 2
x−
2
2
解： M ( x ) =
M ( x)
bh 2
E
6
ε ( x) =
∆l =
∫
l
0
ε ( x ) dx =
6q
Ebh 2
l x2
ql 3
(
×
)
dx
=
∫0 2 2
2 Ebh
l
2
6-21 矩形截面悬臂梁受力如图（a）所示，若假想沿中性层把梁分开为上下两部分：
（1）试求中性层截面上剪应力沿x轴向的变化规律，参见图（b）；
（2）试说明梁被截下的部分是怎样平衡的？
解 ：（ 1） τ x =
3Q 3 qx
=
2 A 2 bh
（2）由 τ 产生的合力为 T
T =
∫
l
0
τ x ⋅ bdx =
∫
l
0
3 qx
3 ql 2
⋅ bdx =
2 bh
4h
由弯曲产生的轴间力为 N
N=
∫
h/2
0
σ ⋅ b ⋅ dy =
∫
h/2
0
M max
J
ql 2
y
h/2
2
b ⋅ dy = ∫
bdy （自证）
0
b 3
h
12
j ql 2
=T
4 h
6-22 正方形截面边长为a，设水平对角线为中性轴。试求
（1）证明切去边长为
a
的上下两棱角后，截面的抗弯模量最大；
9
（2）若截面上的弯矩不变，新截面的最大正应力是原截面的几倍？（提示：计算Iz时可
按图中虚线分三块来处理）。
解：原来正方形：
J z0
a4
=
12
y 0 max =
Wz 0 =
a
2
2 3
a = 0.1179a 3
12
削去 x 后：
a−x 3
⎛
)
⎜ ( 2 ⋅ x )(
(a − x )
a − x (a − x ) 2
2
⎜
Jz =
+2
+ 2 ⋅x⋅
⋅
⎜
12
12
2
2 2
⎜
⎝
4
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
Wz =
Jz
Jz
2
=
=
(a − x) 2 (a + 3 x)
a
−
x
y max
12
2
dW
=0
dx
9 x 2 − 10ax + a 2 = 0
x=
Wx =
a
9
2 8 2 12
8 2 3
( a) ( a) =
a = 0 . 1397 a 3
12 9
9
81
σ max 新 W z 0 0.1179
＝
=
= 0.844 (倍)
σ max 原
Wz
0.1397
6-23 悬臂梁AB受均布载荷q及集中力P作用如图示。横截面为正方形 a × a ，中性轴即
正方形的对角线。试计算最大剪应力τmax值及其所在位置。
解： Q = ( P + ql )
τ =
QS
J zb
b = 2(
S =(
τ =
=
Jz =
a4
12
2
a − y)
2
⎛
⎞
2
2
1 2
a − y) × (
a − y ) × ⎜⎜ y + (
a − y ) ⎟⎟
2
2
3 2
⎝
⎠
P + ql
2
2
2
⋅(
a − y) × (
a + y)
4
2
6
3
a
×2
12
6( P + ql ) 1 2
2
2
( a +
ay − y 2 )
4
6
6
3
a
dτ
=0
dy
y=
2
a
8
QS ∗
( P + ql )
2
2
= 4
×(
a−
a) ×
J zb
2
8
a
2
2
⋅2⋅(
a−
a)
12
2
8
2
2
2
2
2
9 ( P + ql )
×(
a−
a) × (
a+ ×
a) =
2
8
6
3
8
8a 2
τ max =
6-24 试绘出图中所示各截面的剪应力流方向，并指出弯曲中心的大致位置。
解：
6-25 确定开口薄壁圆环截面弯曲中心的位置。设环的平均半径 R0，壁厚 t，设壁厚 t
与半径 R0 相比很小。
解： dS
S=
= R0 dϕ ⋅ t ⋅ R0 ⋅ sin ϕ
θ
∫
0
2
2
tR 0 sin ϕ dϕ = tR 0 (1 − cos θ )
π
3
J z = 2∫ tR0 dϕ ( R0 sin ϕ ) 2 = tR0 ⋅ π
0
π
e=
2
2 ∫ tR0 (1 − cos θ )R0 ⋅ R0 dθ
0
3
tR0 π
= 2 R0
6-26 试导出图示不对称工字形截面的弯曲中心位置（当在垂直于对称轴的平面内弯曲
时）。假设厚度t与其他尺寸相比很小。
解： e
1
(2b) 2 h 2t
=
4J z
e 11 =
b 2 h 2t
4Jz
J z = 2 ( 3b × t ) ×
e = e 1 − e 11 =
h 2 th 3
+
4
12
3b 2 h 2 t
3b 2 h 2 t
9b 2
=
=
4J z
⎛ th 3
h 2 ⎞ h + 18 b
4⎜⎜
+ 2 (3bt
)⎟
4 ⎟⎠
⎝ 12
6-27 在均布载荷作用下的等强度悬臂梁，其横截面为矩形，并宽度 b=常量，试求截
面高度沿梁轴线的变化规律
解： σ
l
1
ql 2
M
3 ql 2
2
=
=
=
2
2
W
bh 0
bh 0
6
1 2
qx
M ( x) 2
3ql 2
σx =
=
=σl =
2
W ( x)
bh 02
bh x
6
3qx2 3ql2
σx = 2 = 2
bhx
bh0
x 2 h x2
= 2
l2
h0
2
h0 x 2
h x
= 0
2
l
l
hx =
6-28 图示变截面梁，自由端受铅垂载荷P作用，梁的尺寸l、b、h均为已知。试计算梁
内的最大弯曲正应力。
解： M ( x) = P ⋅ x
l
l
h ( x ) = h( + x ) /
2
2
l ⎞
⎛ l
⎜ h( + x) / ⎟
2
2⎠
W (x) = b ⎝
6
σ ( x) =
M ( x)
=
W ( x)
dσ ( x)
=0
dx
6 l 2 Px
l
4 bh 2 ( + x ) 2
2
1
x= l
2
l
l
l ⎞
⎛
⎜ h( + ) / ⎟
2
2
2⎠
W = b ⎝
6
σ
max
2
M=
1
Pl
2
2
2b ⋅ h 2
=
3
1
Pl
3 Pl
= 2 2 =
2 bh
4 bh 2
3
6-29 当载荷P直接作用在跨长为l＝6m的简支梁AB的中点时，梁内最大正应力超过容
许值30％。为了消除此过载现象，配置如图所示的辅助梁CD，试求此梁的最小跨长a。
解：
Pl
P
× 0.70 = x
4
2
x = 0 . 35 l
a = l − 2 x = l − 0 . 7 l = 0 . 3l = 1 .8 m
6-30 图示外伸梁由25a号工字钢制成，跨长 l=6 rn，在全梁上受集度为 q的均布载荷作
用。当支座截面A、B处及跨度中央截面 C的最大正应力σ均为140MPa时，试问外伸部分的
长度及载荷集度q等于多少？
3
qa 2
解： R A = ql + qa +
8
2l
MA =
1 2
qa
2
MC = (
=
3ql
qa 2
l ⎛
l a ⎞
ql l
+ qa +
) × − ⎜ qa × ( + ) ⎟ − ( × )
8
2l
2 ⎝
2 2 ⎠
2 4
ql 2 qa 2
−
16
4
M A = M C ⇒ l = 12 ⋅ a
a =
l
= 0 . 2887 l = 1 . 7322 m
12
查表：
1
qa 2 = 140 × 10 6 × 401 . 883 × 10 − 6
2
2 × 140 × 401 .883
q=
= 37 .503 KN / m
1 . 7322 2
MC
MA
MB
(M 图)
6-31
图示悬臂梁跨长 L=40cm，集中力 P＝250N，作用在弯曲中心上，梁的截面为
等肢角形，尺寸如图，试绘剪应力流分布图，并计算了 σ max 和 τ max 之值。
解： J z =
40 4 38 4
−
= 39571 . 999 mm
12
12
4
M max = Pl = 250 × 0 .4 = 100 N ⋅ m
Q max = 250 N
2
40 × 10 − 3
2
= 71 . 46 MPa
39572 × 10 −12
100 ×
σ max =
τ max
QS
=
=
Jt
2
× 20 × 10 − 9
2
= 3 . 57 MPa
39572 × 10 −12 × 2 × 10 − 3
250 × 40 × 2 ×
6-32 圆锥形变截面悬臂梁其两端直径之比db:da＝3:1，在自由端承受集中力P作用，试
求梁内的最大弯曲正应力，并将此应力与支承处的最大应力比较。
解： M ( x) = Px
3
l
⎛
⎞
⎜ da ⋅ ( + x ) ⎟ π
2
⎟ ⋅
W (x) = ⎜
l
⎜
⎟ 32
⎜
⎟
l
⎝
⎠
σ ( x) =
M ( x)
W ( x)
dσ
=0
dx
xm =
l
4
P⋅
σ
max
σb =
∴
6-33
=
l
4
27 × π
da
8 × 32
=
3
64 Pl
27 π da
3
Pl
32 Pl
=
3
π (3 da )
27 π da 3
32
σ max
=2
σb
工字形截面的简支钢梁，跨度 l＝4m，跨度中央受集中载荷 P 作用。如材料屈
服点 σ s =240MPa，安全系数 n=1.6，试按极限载荷法计算此梁的许可载荷。
解： 200 × 50 + ( y1 − 50 ) × 25 = 100 × 50 + [(300 − y1 ) − 50 ] × 25
y 1 = 50 mm
S1 = 200 × 50 × 25 = 25 × 10 −5 m 3
S 2 = 100 × 50 × 225 + 25 × 200 × 100 = 162 .5 × 10 − 5 m 3
M max = 240 × 10 6 × ( 25 × 10 − 5 + 162 . 5 × 10 − 5 ) = 450 KN ⋅ m
P jx =
[P ] =
4 M max
4 × 450
=
= 450 KN
l
4
P jx
1 .6
= 281 . 25 KN
6-34
矩形截面简支梁，在跨度中央承受集中力P。论确定塑性区域的长度和塑性区城
边界方程式 a = f ( x ) 。
1 2
bh
6
1
W jx = bh 2
4
解： W z =
M
故
jx
= 1 .5
Ms
M
s
=
P
1
× ( l − e)
2
2
1
Pl
4
∴
= 1 .5
P 1
( l − e)
2 2
1
故 e= l
6
Pl P
Ma =
− x
4 2
σs =
M jx =
M jx
Ws
=
Pl
bh 2
1
Pl
4
a
2
0
M a = ∫ σ ⋅ ydA = 2 b ∫
A
= σ s(
ba 2 bh 2 ba 2
+
−
)
6
4
4
将 σ s 及 M a 代入上方程：
1 2
2h 2 x
a =
3
l
∴
a =h
h
2σ s 2
y dy + 2 b s ∫a2 ydy
a
2
6x
l
习 题
7-1 用积分法求图示各悬臂梁自由端的挠度和转角，梁的抗弯刚度EI为常量。
7－1
∴ EJy '' = M 0
1
EJy ' = M 0 x + C
EJy = M 0 x 2 + Cx + D
2
边界条件: x = 0 时
y = 0 ； y' = 0
（a） M( x) = M 0
代入上面方程可求得：C=D=0
1
1
M0 x2
θ =y ' =
M0 x
2EJ
EJ
1
1
θ B = M 0l
yB =
M 0l 2
EJ
2EJ
2
q(l − x)
1
qx 2
（b） M( x) =
= − ql 2 + qlx −
2
2
2
2
1
qx
∴ EJy '' = − ql 2 + qlx −
2
2
1
1
qx 3
EJy ' = − ql 2 x + qlx 2 −
+C
2
2
6
1 2 2 1 3 qx 4
EJy = − ql x + qlx −
+ Cx + D
4
6
24
y = 0 ； y' = 0
边界条件： x = 0 时
∴y =
代入上面方程可求得：C=D=0
∴y =
1
1
1
qx 4
(− ql 2 x 2 + qlx 3 −
)
EJ 4
6
24
244
1 1 2
1
1
(- ql x + qlx 2 − qx 3 )
EJ 2
2
6
-1 3
-1 4
θB =
ql
yB =
ql
6EJ
8EJ
θ =y ' =
（c）
l−x
q0
l
q0
1
3
⎛l−x⎞
M ( x) = − q( x) ( l − x ) ⎜
⎟ = − ( l − x)
2
6l
⎝ 8 ⎠
q
3
∴ EJy '' = 0 ( l − x )
6l
q
4
EJy ' = − 0 ( l − x ) + C
24l
q
5
EJy = 0 ( l − x ) + Cx + D
120l
y = 0 ； y' = 0
边界条件： x = 0 时
q( x) =
−q0l 4
q l5
D= 0
24l
120l
4
5
q0
ql
ql
5
∴y =−
(l − x ) − 0 x + 0
120lEJ
24lEJ
120lEJ
2
− q0 x
=
(10l 3 − 10l 2 + 5lx 2 − x3 )
120lEJ
q0l 3
q0l 4
θB = −
yB = −
24EJ
30EJ
代入上面方程可求得： C =
(d)
M ( x) = Pa − Px
EJy '' = Pa − Px
1
EJy ' = Pax − Px 2 + C
2
1
1
EJy = Pax 2 − Px3 + Cx + D
2
6
边界条件： x = 0 时
y = 0 ； y' = 0
代入上面方程可求得：C=D=0
245
1 3⎞
⎛1
2
⎜ Pax − Px ⎟
6
⎝2
⎠
1 ⎛
1 2⎞
θ = y' =
⎜ Pax − Px ⎟
EJ ⎝
2
⎠
∴y =
1
EJ
yB = yC + θ C ia =
Pa 3 Pa 2
5Pa 3
+
ia =
3EJ 2 EJ
6 EJ
Pa 2
θB =
2 EJ
(e)
M ( x)1 = − qi
3a 2
+ qax ( 0 ≤ x ≤ a )
2
q
2
( 2 a − x ) ( a ≤ x ≤ 2a )
2
3a 2
EJy1'' = − qi
+ qax
2
3a
1
EJy1' = − qa( x + x 2 ) + C1
2
2
3a 2 1 3
EJy1 = − − qa ( x + x ) + C1 x + D1
4
6
边界条件： x = 0 时
y = 0 ； y' = 0
M ( x) 2 = −
代入上面方程可求得：C=D=0
qax 2
qax 2
18
a
−
4
x
=
−
(
)
( 9a − 2 x )( 0 ≤ x ≤ a )
24EJ
12EJ
1
EJy2 '' = − q((2a )2 − 4ax + x 2 )
2
1
x3
'
2
2
EJy2 = − q(4a x − 2ax + ) + C2
2
3
1
2
x4
EJy2 = − − q(2a 2 x 2 − ax3 + ) + C2 x + D2
2
3
12
边界条件： x = a 时
y1 = y2 ；θ1 = θ 2
∴ y1 = −
代入上面方程可求得： C2 =
y2 =
9a 2
6
D2 = −
qa 4
24
−q
16 x 4 − 128ax 3 + 384a 2 x 2 − 64a 3 + 16a 4 ) ( a ≤ x ≤ 2a )
(
384 EJ
246
41 qa 4
24 EJ
7 qa 3
θB = −
6 EJ
yB = −
(f)
5qa 2
qx 2
+ 2qax −
(0 ≤ x ≤ a)
2
2
5qa 2
qa ⎛
a⎞
M ( x) 2 = −
+ 2qax − ⎜ x − ⎟ ( a ≤ x ≤ 2a )
2
5 ⎝
2⎠
M ( x)1 = −
⎛ 5a 2
1 ⎞
EJy = − q ⎜
− 2ax + x 2 ⎟
2 ⎠
⎝ 2
⎛ 5a 2
1 ⎞
EJy1' = − q ⎜
x − ax 2 + x3 ⎟ + C1
6 ⎠
⎝ 2
''
1
⎛ 5a 2 2 1 3 1 4 ⎞
EJy1 = − q ⎜
x − ax + x ⎟ + C1 x + D1
3
24 ⎠
⎝ 4
边界条件： x = 0 时
y = 0 ； y' = 0
代入上面方程可求得：C1=D1=0
''
EJy2 = − q(2a 2 − ax)
1
EJy2' = −q (2a 2 x − ax 2 ) + C2
2
1
EJy2 = − − q (a 2 x 2 − ax 3 ) + C2 x + D2
6
边界条件： x = a 时
y1 = y2 ； y1'' = y2''
9a 3
6
71 qa 4
yB = −
24 EJ
13 qa 3
θB = −
6 EJ
C2 = −
D2 = −
a4
24
7-2 用积分法求图示各梁的挠曲线方程，端截面转角θA和θB，跨度中点的挠度和最
大挠度，梁的抗弯刚度EI为常量。
247
7-2
(a) 解：
M ( x) =
M0
x
l
EJy '' = M ( x) =
M0
x
l
M0 2
x +C
2l
M
EJy = 0 x 3 + Cx + D
6l
边界条件： x = 0
y=0
∴D = 0
y=0
∴C =
EJy ' =
x=l
− M 0l
6
M 0l 2 ⎛ x x 3 ⎞
⎜ − ⎟
6 EJ ⎝ l l 3 ⎠
∴y =−
M 0l 2 ⎛ 1 3 x 2 ⎞
∴θ = y = −
⎜ −
⎟
6 EJ ⎝ l l 3 ⎠
'
− M 0l 2
l
；此时挠度最大 f =
3
9 3EJ
2
⎛ l ⎞ − M 0l
中点挠度 y ⎜ ⎟ =
⎝ 2 ⎠ 16 EJ
− M 0l
Ml
θA =
θB = 0
6 EJ
3EJ
（b）解： 设中点为C点，则分析CB段
当 y ' = 0 时，可得 x =
248
M ( x)1 =
M0
x
l
''
EJy1 = M ( x) =
M0
x
l
M0 2
x +C
2l
M
EJy1 = 0 x 3 + Cx + D
6l
边界条件： x = 0
y=0
'
EJy1 =
x= l
2
y=0
∴D = 0
∴C =
− M 0l
24
M 0 ⎛ x3 lx ⎞
∴ y1 = −
⎜ − ⎟
6 EJ ⎝ l
4⎠
M ⎛ 3x2 l ⎞
∴θ = y ' = 0 ⎜
− ⎟
6 EJ ⎝ l
4⎠
− M 0l 2
72 3EJ
− M 0l
θA =
24 EJ
可得最大挠度
f =
（x=
l
）
2 3
− M 0l
θB =
24 EJ
（c）解：
q0
x
l
q x2
EJy ''' = 0 + C
2l
q0 x3
''
EJy =
+ Cx + D
6l
q x 4 Cx 2
EJy ' = 0 +
+ Dx + A
24l
2
q0 x5 Cx 3 Dx 2
'
EJy =
+
+
+ Ax + B
120l
6
2
⎧y=0
⎧y=0
边界条件： x = 0 ⎨ ''
x = l ⎨ ''
⎩y = 0
⎩y = 0
ql
D=0
∴C = − 0
6
7q l 3
A= 0
B=0
360
EJy '''' =
249
q0 x
( 3x4 − 7l 4 − 10l 2 x 2 )
360lEJ
q0
θ = y' = −
15 x 4 − 30l 2 x 2 )
(
360lEJ
q l4
最大挠度： f = − 0
（ x = 0.5193l ）
153EJ
7 q0l 3
q l3
θA = −
θB = 0
360 EJ
45 EJ
∴y =−
（d） 解：
M ( x)1 =
3qlx qx 2 ⎛
−
⎜0 ≤ x ≤
8
2 ⎝
M ( x) 2 =
ql
l
( l − x ) ⎛⎜ ≤ x ≤ l ⎞⎟
8
⎝2
⎠
l⎞
⎟
2⎠
3qlx qx 2
EJy =
−
8
2
2
3qlx qx 3
EJy1' =
−
+ C1
16
6
3qlx3 qx 4
EJy1 =
−
+ C1 x + D1
48
24
ql
EJy2 '' = ( l − x )
8
ql ⎛
x2 ⎞
EJy2 ' = ⎜ lx − ⎟ + C2
8⎝
2⎠
''
1
ql ⎛ x 2 x3 ⎞
⎜ l − ⎟ + C2 x + D2
8⎝ 2 6⎠
y2 = 0
x=0
x=0
y1 = 0
边界条件：
;
x=l 2
y1' = y 2'
y1 = y2 x = l 2
EJy2 =
−9ql 3
C1 =
384
D1 = 0
−17 ql 3
384
ql 4
D1 =
384
C2 =
250
−qx
l⎞
⎛
9l 3 − 24lx 2 + 16 x 3 ) ⎜ 0 ≤ x ≤ ⎟
(
384 EJ
2⎠
⎝
− ql
⎛l
⎞
y2 =
−l 3 + 17l 2 x − 24lx 2 + 8 x 3 ) ⎜ ≤ x ≤ l ⎟
(
384 EJ
⎝2
⎠
y1 =
41ql 4
( x = 0.25l )
1536 EJ
5ql 4
⎛l⎞
y⎜ ⎟ = −
768EJ
⎝2⎠
f =
3ql 3
128EJ
7 ql 3
θB =
384 EJ
θA = −
7-3 已知下列各梁的抗弯刚度EI为常量，试用初参数法求各梁的挠曲线方程，并计算
θC、yC、及θD、yD 。
7-4 计算下列铰接梁在C处的挠度，设梁的抗弯刚度EI为常量。
(a)解：
251
M0
a
M0
C
A
M0
M a2
yc = a × a 3 = 0
3EJ
3EJ
(b) 解：
q
A
1
qa
2
C
C
1
− qa
4qa 4
2
2
yc =
× ( 2a ) = −
3EJ
3EJ
(c) 解：
A
P
P
B
P
D
yC = y D + θ B ia + y C'
− Pa 3 ⎛ − Pa 3 ⎞ ⎛ − Pa3 ⎞
+⎜
⎟+⎜
⎟
3EJ ⎝ 3EJ ⎠ ⎝ 3 EJ ⎠
− Pa 3
=
EJ
=
(d) 解：
D
C
P
A
P
B
P
E
yC = y E + θ B ia + y C'
3
− P ( 2a ) − Pa 3 − Pa3
=
−
−
3EJ
3EJ
3EJ
3
−10 Pa
=
3EJ
252
B
7-5 门式起重机横梁由4根36a工字钢组成如图所示，梁的两端均可视为铰支，钢的弹
性模量E=210Gpa。试计算当集中载荷P＝176 kN作用在跨中并考虑钢梁自重时，跨中截面
C的挠度yC。
解：查自重得：
q = 587.02 N / m
J = 15760cm4
Pl 3
5ql 4
f =−
−
48EJ 384EJ
−176 × 103 × 113
=
48 × 210 × 109 × 15760 × 10−8 × 4
−587.02 × 5 × 114
+
385 × 210 × 109 × 15760 × 10−8 × 4
= 0.0377 m = 3.77cm
7-6 松木桁条的横截面为圆形，跨长为 l =4m，两端可视为简支，全跨上作用有集度为q
＝1.8 kN/m的均布载荷。已知松木的许用应力[ σ ]＝10MPa，弹性模量E=1.0×103Mpa。此
桁条的容许挠度[y]= l /200，试求此桁条横截面所需的直径。
5 ql 4
384 EJ
4
5 ql
l
所以 ：
=
384 EJ 200
5 1.82 × 103 × 43 × 64 × 200
d=
×
= 0.006179
384
1×10 × π
M ql 2 32
σ=
=
i
= 1.689 MPa < [σ ]
W
8 πd2
所以取 d = 4 0.006179 = 0.28m
解：此松木条的最大挠度为
7-7 试用虚梁法求图示悬臂梁自由端B的 θ B 和 y B 。
253
(a) 解：
2l
3
Pl
3
(-)
2
Pl
3
2Pl
3
Pl
⎛ 1 ⎛2
2 ⎞
1 ⎛1
1 ⎞⎞
θB = − ⎜
⎜ Pl × l ⎟ +
⎜ Pl × l ⎟ ⎟
3 ⎠ 2 EJ ⎝ 3
3 ⎠⎠
⎝ 2 EJ ⎝ 3
2
5 Pl
=−
18 EJ
1 ⎛⎛ 1 2
2 ⎞ ⎛1 4⎞ ⎛1 1
1 ⎞ ⎛2 2⎞ ⎞
yB = −
⎜ × Pl × l ⎟ × ⎜ + ⎟ l + ⎜ × Pl × l ⎟ × ⎜ + ⎟ l ⎟
⎜
EJ ⎝ ⎝ 2 3
3 ⎠ ⎝3 9⎠ ⎝2 3
3 ⎠ ⎝3 9⎠ ⎠
=−
18 Pl 3
81EJ
(b)解：
9qa 3
⎛ 1 1 1 2
⎞
θB = − ⎜
× × qa × a ⎟ = −
6 EJ
⎝ EJ 3 2
⎠
⎞ ⎛3
1 ⎛ ⎛ 1 qa 2
1 ⎛ qa 4 qa 3b ⎞
⎞⎞
yB = −
× a ⎟×⎜ a + b⎟⎟ = −
+
⎜⎜−
⎜
⎟
EJ ⎝ ⎝ 3 2
EJ ⎝ 8
6 ⎠
⎠⎠
⎠ ⎝4
7-8 试用虚梁法求图示简支梁跨中挠度 y C 。
解：
Pa
Pa
( +)
3
QAf = − Pa 2
2
⎛ 3
⎛1
⎞ ⎛a⎞
⎛ a ⎞⎞ 1
yC = ⎜ − Pa 2 i( 2a ) + ⎜ Paia ⎟ × ⎜ ⎟ + ( Paia ) × ⎜ ⎟ ⎟
⎝2
⎠ ⎝3⎠
⎝ 2 ⎠ ⎠ EJ
⎝ 2
14 P 3
=−
a
6 EJ
254
7-9 图示简支梁中段受均布载荷q作用，试用叠加法计算梁跨度中点C的挠度 y C ，梁
的抗弯刚度EI为常数。
解：
3
− qb ( b + a )
qb3
qb 4
fC =
−
a−
3EJ
6 EJ
8 EJ
4
2 2
3
5qb
qa b qa b 5qab3
=−
−
−
−
24 EJ
EJ
3EJ
6 EJ
7-10 用叠加法求图示外伸梁外伸端的挠度和转角，设EI为常量。
(a) 解：
⎛1 2⎞
2
⎜ qa ⎟ ( 2a )
qa ( 2a )
qa 4
−5q 4
2
⎠
yC =
×a− ⎝
×a−
=
a
16 EJ
3EJ
8 EJ 24 EJ
⎛1 2⎞
qa ⎟ ( 2a )
2
qa ( 2a ) ⎜⎝ 2
qa3
qa3
⎠
θC =
−
−
=−
16 EJ
3EJ
6 EJ
4 EJ
3
3
4
ql
qa l qa
qa
yC =
×a −
−
=−
( 3a3 − 4a 2l − l 3 )
24 EJ
6 EJ 8EJ
24 EJ
(b) 解：
1 2
qa l
3
3
ql
qa
qa
θC =
−
−2
=−
4a 2l + 4a 3 − l 3 )
(
24 EJ 6 EJ
3EJ
24 EJ
255
7-11 用叠加法求图示悬臂梁中点处的挠度 y C ，和自由端的挠度 y B ，EI为常量。
解：
4
3
⎛ 3l ⎞
⎛ 3l ⎞
q⎜ ⎟ q⎜ ⎟
4
ql
l
2399ql 4
4
4
yC = −
− ⎝ ⎠ − ⎝ ⎠ × =−
3EJ
8EJ
6 EJ
4
6144 EJ
4
3
2
⎛ l ⎞ ⎛ 3ql ⎞⎛ l ⎞ ⎛ 17 2 ⎞⎛ l ⎞
q⎜ ⎟ ⎜
⎟⎜ ⎟ ⎜ ql ⎟⎜ ⎟
4
2 ⎠ ⎝ 4 ⎠⎝ 2 ⎠ ⎝ 32
⎝
⎠⎝ 2 ⎠ = − 97 ql
θC =
−
−
8EJ
3EJ
2 EJ
768 EJ
7-12 外伸梁受力及尺寸如图示，欲使集中力 P作用点处 D的挠度为零，试求 P与 ql
间的关系。
解：
⎛ ql 2 ⎞
2
( 2l )
3
⎜
⎟
P ( 2l ) ⎝ 2 ⎠
yD = −
+
=0
48EJ
16 EJ
3
∴ P = ql
4
7-13 若图示梁截面A的转角 θ A = 0 ，试求比值
解：
256
a
。
b
Pal Pbl
−
=0
3EJ 6 EJ
a 1
∴ =
b 2
θA =
7-14 悬臂梁的固定端为弹性转动约束，该处截面转角θ = kM ，其中k为已知常数，
M为该梁面上的弯矩，已知梁的抗弯刚度为EI。试求梁自由端的挠度和转角。
解：
ql 4 kql 3
−
8EJ
2
3
ql
kql 2
θ=
+
6 EJ
2
y=−
7-15 简支梁AB，承受集中力P如图示，A端为固定铰支座， B端为弹性支座，弹簧
常数为k(N/m)，梁的抗弯刚度为EI，求C处的挠度。
解：
⎛ 2l ⎞⎛ l ⎞
P ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎡
2
2
P
3 ⎠⎝ 3 ⎠ 2 ⎛ l ⎞ ⎛ 2l ⎞ ⎤
⎝
yC = − −
⎢l − ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎥
9k
6lEJ
⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎦⎥
⎣⎢
P
4 Pl 3
=− −
9k 243EJ
7-16 图示梁的右端为一滑块约束，它可自由上下滑动，但不能转动和左右移动，若
EI为已知，试求滑块向下的位移。
解：
257
M ( x ) = Pl − Px
EJy '' = Pl − Px
P
EJy ' = Plx − x 2 + C
2
1
P
EJy = Plx 2 − x3 + Cx + D
2
6
边界条件： x = 0 时
y' = 0
x=l 时
y=0
∴C = 0
D=−
Pl 3
3
Pl 3
yA = −
3EJ
7-17 已知在梁的挠曲线方程为 y =
截面（x=
q0 x
(3x 4 − 10l 2 x 2 + 7l 4 ) 。试求 （1）梁中间
360 EIl
l
）上的弯矩；（2）最大弯矩值；（3）分布载荷的变化规律；（4）梁的支承情
2
况。
q0
( 60 x3 − 60l 2 x )
360l
l
1
当x= 时
M = − q0l 2
2
16
q0
'
最大弯矩时： M = 0 即
(180 x2 − 60l 2 ) = 0
360l
M max = 0.064q0l 2
qx
''
分布荷载为： q = M = 0
l
'
根据： x = 0 时 y = 0, y = 0
x = l 时 y = 0, y ' ≠ 0
''
解： M = EJy =
支承情况为：梁的左端为固定端，右端为铰支端。
258
∴ xm =
1
l
3
7-18 梁的轴线应弯成什么样的曲线，才能使载荷P在梁上移动时其左段梁恰好为水
平线（写出该曲线方程式）。
题 7-18 图
解：
M ( x ) = Px
EJy '' = Px
1
EJy ' = Px 2 + C
2
Px 2
即： θ =
+C
2 EJ
x = 0 时θ = 0 ∴ C = 0
x
∴ y = ∫ θ dx =
0
Px 2
∴θ =
2 EJ
Px3
6 EJ
即：若使 P 在梁上移动时左端保持水平则： y =
Px3
6 EJ
3
7-19 图示等截面梁的抗弯刚度EI。设梁下有一曲面 y = − Ax ，欲使梁变形后恰好与
该曲面密合，且曲面不受压力．试问梁上应加什么载荷？并确定载荷的大小和方向。
解：
y = − Ax 3
y ' = −3 Ax 2
y '' = −6 Ax
y ( 3 ) = −6 A
y ( 4) = 0
∵ y ( 4) = 0
∴ q ( x ) = 0 即不受分布荷载。
设右端受集中力 P
259
∵ EJy '' = M ( x )
∴ M ( x ) = −6 EJAx
∴ Px = −6 EJAx
∴ P = −6 EJA
即：受向下的集中荷载 6 EJA .
7-20 重量为P的直梁放置在水平刚性平面上，当端部受集中力P/3后，未提起部分保
持与平面密合，试求提起部分的长度a等于多少（提示：应用梁与平面密合处的变形条件）？
解：
M 1
=
EJ ρ
当x = a时
ρ =∞
所以
1
=0
ρ
即： M ( a ) = 0
P
P
a − a2 = 0
3
2l
2
∴a = l
3
∴
7-21 简支梁受力如图所示，若E为已知，试求A点的轴向位移。梁的截面为b×h矩形。
解：
260
2
⎡ ⎛2 ⎞
⎤
1 ⎞
⎛
⎛2 ⎞
x − l ⎟ P⎜ l ⎟ ⎛
2 ⎥
⎢ P⎜ l⎟ 2
⎜
⎞
1 ⎢ ⎝3 ⎠ x
3 ⎠
3
⎛2 ⎞
θ=
× −P⎝
− ⎝ ⎠ ⎜ l 2 − ⎜ l ⎟ ⎟⎥
EJ ⎢ l
2
2
6l ⎜⎝
⎝ 3 ⎠ ⎟⎠ ⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
2
x= l
3
2
⎡ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞2
⎤
⎛2 1 ⎞
⎛2 ⎞
P
l
l
l
−
l
P⎜ l ⎟ ⎛
2 ⎥
⎢ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜
⎟
1 ⎢ ⎝3 ⎠ ⎝3 ⎠
3 3 ⎠
3
⎛2 ⎞ ⎞
θB =
×
−P⎝
− ⎝ ⎠ ⎜ l 2 − ⎜ l ⎟ ⎟⎥
EJ ⎢ l
2
2
6l ⎜⎝
⎝ 3 ⎠ ⎟⎠ ⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
2
2
2
2
2
1 ⎡ 4 Pl
Pl 5 Pl ⎤ 1 12 5Pl
10 Pl
=
−
−
= × 3×
=
⎢
⎥
EJ ⎣ 27
18
81 ⎦ E bh 162 27 Ebh3
h 10 Pl 2 h
5 Pl 2
xA = θ B × =
× =
2 27 Ebh3 2 27 Ebh 2
7-22 悬臂梁受外力偶矩M如 图示 ，①若 l ＝3m，截面为No.20a工 字钢 ，σ max ＝60 Mpa，
E=2.l×105 Mpa。试求挠曲线的曲率半径。②试分别根据精确结果及小挠度微分方程，判
断挠曲线是怎样的几何曲线（不必具体列出曲线方程）?若所得结果不同，试说明为何有
这些差别?
解：
M 1
EJ
=
∴ρ =
EJ ρ
M
M
σ max =
ymax = 600
J
J = 2370
W = 237
∴ M = 600 × 237 = 142200
EJ 2.1×106 × 2370
∴ρ =
=
= 3.49 × 104 cm
M
142200
261
精确方城：
1
=
ρ
d2y
dx 2
3
⎡ ⎛ dy ⎞ 2 ⎤ 2
⎢1 + ⎜ ⎟ ⎥
⎢⎣ ⎝ dx ⎠ ⎥⎦
1 d2y
小挠度下： ≈
ρ dx 2
7-23 设在梁顶面上受到均布的切向载荷，其集度为t，梁截面为b×h矩形，弹性模量
E为已知。试求梁自由端A点的垂直位移及轴向位移（提示：将载荷向轴线简化）。
解：
N ( x) = tix
M ( x ) = t i xi
h
2
thx
2
thx 2
EJy ' = −
+C
4
thx3
EJy = −
+ Cx + D
12
x=l 时
y = 0; y ' = 0
EJy '' = −
thl 2
4
thl 2
θA =
4 EJ
∴C =
thl 3
6
thl 3
yA = −
6 EJ
D=−
262
xA =
tl 2
h tl 2
iQA i −
2 Ebh
2 Ebh
7-24 简支梁上下两层材料相同，若两层间的摩擦力忽略不计，当梁承受均匀载荷 q
作用时，试求两层中最大正应力的比值。（提示：两梁具有相同的挠曲线）。
解：
M 1 ⎛ h1 ⎞
σ1
J ⎜⎝ 2 ⎟⎠
= 1
σ 2 M 2 ⎛ h2 ⎞
J 2 ⎜⎝ 2 ⎟⎠
1 M1 1
M
=
;
= 2
ρ1 EJ1 ρ 2 EJ 2
1
1
M
J
∵ =
∴ 1 = 1
ρ1 ρ 2
M 2 J2
∴
σ 1 h1
=
σ 2 h2
7-25 AB梁的一端为定铰支座 A。另一端支承在弹性刚架 BCD上，AB梁中点F受有集
中力P作用，各杆抗弯刚度均为EI，试用叠加法求AB梁中点F的挠度。
解：
⎛P ⎞
⎜ a ⎟ a Pa 2
2 ⎠
θc = ⎝
=
EJ
2 EJ
Pa3
yB1 = θ c ia =
2 EJ
3
Pa
yB 2 = −
6 EJ
Pa3 1 ⎛ Pa3 Pa3
yF = −
− ⎜
+
48 EJ 2 ⎝ 2 EJ 6 EJ
⎞
17 Pa3
=
−
⎟
48 EJ
⎠
7-26 试问应将集中力P安置在离刚架上的B点多大的距离x处，才能使B点的位移等于
263
零。各杆抗弯刚度均为EI。
解：将载荷 P 移至 B 点，可知 B 点受一集中力 P 和一弯矩 Px
Pl 3
3EJ
Pl 2 x
弯矩引起的位移为： yB 2 =
2 EJ
3
Pl
Pl 2 x
yB1 + yB 2 = 0
∴−
+
=0
3EJ 2 EJ
集中力引起的位移： yB1 = −
7-27
2
∴x = l
3
用叠加法求图示各刚架在指定截面C的位移，设各杆截面相同，EI和 GI p GI均
为已知。
⎛ qa 2 ⎞ 2
⎜
⎟a
2 ⎠
qa 4 5qa 4
⎝
解：(a) xC =
+
=
EJ
8EJ 8EJ
⎛ qa 2 ⎞ 2
⎜
⎟a
2 ⎠
qa 4
⎝
yC =
=
2 EJ
4 EJ
( ←)
(↓)
(b)
Pa3
3EJ
3
Pl
pal Pa 3
=
+
+
3EJ GJ n 3EJ
yC = y B + ϕ B ia +
7-28 图示为某扭转试验机的测力装置，其扭矩Mn是根据外伸梁C点的挠度来测量的。
已知： l ＝600mm，a＝100mm，b＝200mm，E＝200GPa，梁的横截面尺寸为35×10mm2，
试求当梁上C处的百分表读数增加 l rnm时轴上所增加的扭转力矩。
解：
264
Pl 2
yC = θ ia =
ia
16 EJ
M
P= n
b
M l2 a
yC = n i
16 EJ b
⎛ 3.5 × 13
⎞
16 × 200 ×109 × ⎜
×10 −8 ⎟
16 EJ b
⎝ 12
⎠ × 0.2 = 51.85 NM
M n = 2 i i yC =
2
l
a
0.6
0.1
7-29 一钢制梁厚度h，长2 l ，左段宽度a，右段成三角形如图所示；左端固定，右端
自由，承受载荷P，弹性模量E为已知。试求自由端C的挠度。
解： 从 B 处分为两段：AB 段和 BC 段
2
Pl 3 ( Pl ) l
−
3EJ
2 EJ
2
Pl
Pl 2
3Pl 2
θB = −
−
=−
2 EJ EJ
2 EJ
1 l P (l − x )
yC = y B + θ B il − ∫
dx
E 0 Jx
yB = −
其中 J =
( l − x ) ah
ah3
; Jx =
12
12l
3
2
Pl 3 ( Pl ) l 3Pl 2
1 l P (l − x )
34 Pl 3
∴ yC = −
−
−
il − ∫
dx = −
3EJ
2 EJ
2 EJ
E 0 Jx
Eah3
265
7-30 试计算由示各阶梯形梁的最大挠度。设 I 2 = 2 I 1 。
2
Pa )ia
(
Pa 3 ( Pa ) a
Pa 2
Pa 3
3Pa 3
解：(a) y = −
−
−
ia −
ia −
=−
3EJ 2
2 EJ 2
2 EJ 2
EJ 2
3 EJ1
2 EJ1
(b)
1 Pa
1 Pa
5 Pa 2
yA = i
ia + i
i 2a =
(↓)
2 2 EJ 2
2 EJ 2
4 EJ 2
5Pa 2
1 Pa
1 ⎞ 1Pa
⎛
⎛1
⎞
M C = yc = −
i 2a + i
ia i⎜ a + a ⎟ +
i2ai⎜ i2a ⎟
4 EJ 2
2 2 EJ 2 ⎝
3 ⎠ 2 EJ 2
⎝3
⎠
=−
3 Pa 3
2 EJ 2
266
15-1 两端为球铰的压杆，当它的横截面为图示各种不同形状时，试问杆件会在哪个平面
内失去稳定（即在失稳时，杆的截面绕哪一根轴转动）？
解：(a),(b),(e)任意方向转动，(c),(d),(f)绕图示 Z 轴转动。
15-2 图示各圆截面压杆，横截面积及材料都相同，直径 d＝1.6cm，杆材 A3 钢的弹性模
量 E=200MPa，各杆长度及支承形式如图示，试求其中最大的与最小的临界力之值。
2 × 30
= 150
0.4
相当长度： µ l = 2 × 0.3 = 0.6m
1× 50
= 125
(b) 柔度： λ =
0.4
相当长度： µ l = 1× 0.5 = 0.5m
0.7 × 70
(c) 柔度： λ =
= 122.5
0.4
相当长度： µ l = 0.7 × 0.7 = 0.49m
0.5 × 90
= 112.5
(d) 柔度： λ =
0.4
相当长度： µ l = 0.5 × 0.9 = 0.45m
1× 45
(e) 柔度： λ =
= 112.5
0.4
相当长度： µ l = 1× 0.45 = 0.45m
解：(a) 柔度： λ =
由 E=200Gpa 及各柔度值看出：各压杆的临界力可用欧拉公式计算。即： Pcr =
π 2 EJ
( µl )
2
各压
杆的 EJ 均相同，故相当长度最大的压杆(a)临界力最小，压杆(d)与(e)的临界力最大，分别为：
Pcr =
π EJ
( µl )
2
π
× 1.64 × 10−8
64
0.62
π 2 × 200 × 109 ×
2
=
= 17.64 ×103 N
Pcr =
π 2 EJ
( µl )
2
π
× 1.64 × 10−8
64
0.452
π 2 × 200 × 109 ×
=
= 31.30 × 103 N
15-3 某种钢材 σ P =230MPa， σ s =274MPa， E=200GPa，直线公式 σ cr = 338 − 1.22λ ，
试计算该材料压杆的 λ P 及 λ S 值，并绘制 0 ≤ λ ≤ 150 范围内的临界应力总图。
λp = π
解：
λs =
σ ej
E
200 ×109
=π
= 92.6
σp
230 × 106
a − σ s 338 − 274
=
= 52.5
b
1.22
σ ej = σ z
σ ej = 338 − 1.22λ
σ ej =
( MPa )
274
λ
≤ 52.5
274
52.5
225
92.6
216
100
π 2E
λ2
137
120
87
150
15-4 6120型柴油机挺杆为45钢制成的空心圆截面杆，其外径和内径分别为， 12mm和
10mm，杆长为383mm，两端为铰支座，材料的E＝210GPa， σ P =288MPa，试求此挺杆的临界
力 Pcr 。若实际作用于挺杆的最大压缩力P=2.33kN，规定稳定安全系数 nW =2~5。试校核此挺杆
的稳定性。
解：(1)
λp = π
E
210 ×103
=π
= 84.33
σp
288
π
D4 − d 4 )
(
64
π
( D4 − d 4 ) 1 2 2 1 2 2
J
64
i=
=
=
D +d =
12 + 10 = 3.905mm
π
A
4
4
2
2
(D − d )
4
µ l 1× 383
λ=
=
= 98 > λ p = 84.83
i
3.905
J=
该压杆属大柔度杆
Pcr =
π 2 EJ
( µl )
2
=
π 2E
π 2 × 210 × 109 π
i
A
=
× ( 0.0122 + 0.012 )
2
2
λ
98
4
= 7.46 × 103 N
P
7.46
（2） n工作 = cr =
= 3.2 > nw
P 2.33
该杆的稳定性足够。
15-5 设图示千斤顶的最大承载压力为P＝150kN，螺杆内径 d ＝52mm， l =50cm．材料为
A3钢，E=200GPa。稳定安全系数规定为 nW = 3 。试校核其稳定性。
解：千斤顶螺杆简化为一端固定一端自由的压杆，故 µ = 2 。
柔度应为： λ =
µ l 2 × 500
=
= 77 < λ p = 100
1
i
× 52
4
应采用经验公式计算其临界力：由表中查出： a = 304 MPa
则：
b = 1.12 MPa 。
σ ej = a − bλ = 304 − 1.12 × 77 = 218MPa
Pej = σ ej A = 218 × 103 ×
n工作 =
Pej
P
=
π
× 0.0522 = 462 KN
4
462
= 3.08 > nw = 3
150
所以满足稳定性要求。
15-6 10t船用轻型吊货杆 AB ，长为16cm，截面为空心圆管，壁厚 t =
D
，轴向压缩力
35
P=222kN，规定稳定安全系数 nW = 5.5 ，材料为A3钢，E=210GPa，吊杆两端均为铰支座。试
确定用杆的截面尺寸。
解：先按大柔度杆解
Pcr =
π 2 EJ
( µl )
2
π 2 × 210 × 109 ×
=
π ⎛ 2 ⎛
2D ⎞
⎜⎜ D − ⎜ D −
⎟
64 ⎝
35 ⎠
⎝
(1×16 )
4
⎞
⎟⎟
⎠
2
= 8.3458 × 107 N
Pcr
8.3458 × 107 × D 4
> nw = 5.5
= 5.5
P
222 × 103
222 × 55
D=4
= 347mm ≐ 350mm
8.3458 × 104
D
t=
= 10mm
∴ d = 330mm
35
校核应用的公式是否对：
D2 − d 2 1
=
3502 − 3302 = 120.26mm
4
4
ul 1× 16000
λ= =
= 133 > λ p
i
120.26
i=
所以上面的计算有效。
15-7 图示托架中的AB杆，直径d＝40mm，长 l ＝800mm，两端铰支，材料为A3钢，试求
(a)托架的权限载荷 Qmax ；
(b)若工作载荷Q＝70kN，稳定安全系数 nW ＝2.0，问此托架是否安全？
解： （1）AB 杆
d
= 10mm
4
l = 800mm
ul 1× 800
λ= =
= 80
i
10
A3 钢 λ p = 100
µ = 1, i =
∴λ < λp
属于等杆
σ cr = a − bλ = 304 − 1.12 × 80 = 214.4MPa
π
Pcr = σ cr A = 214.4 × × 402 = 269.4 KN = N AB
4
Q极限 × 900 = Pcr sin θ × 600
8002 − 6002
× 600
800
Q极限 =
= 118.8 KN
900
Q极限 118.8
=
= 1.70 < nw = 2.0
（2） η工作 =
Q工作
70
Pcr i
所以托架不安全。
�
15-8 两端固支的A3钢管，长6m，内径为60mm，外径为70mm，在 T = 20 C 时安装，此
−6
�
时管子不受力。已知钢的线膨胀系数 α = 12.5 × 10 1 / C ，弹性模量 E=206GPa．当温度升高
到多少度时，管子将失稳？
解:
J 1
1
=
D2 − d 2 =
702 − 602 = 2.3cm
A 4
4
µ l 0.5 × 600
λ=
=
= 130.5 > λ p = 100
i
2.3
i=
属大柔度杆
�
设温度 ∆t C ;则管子变形 δ = α∆tl 伸长
Pcr l
缩短
EA
变形协调条件 δ + ∆ = 0 或者 δ = ∆
P l π 2E
l
α∆tl = cr = 2 i Ai
EA λ
EA
2
π
π2
∴∆t = 2 =
= 46.4�
2
−6
λ α (130.5 ) × 12.5 × 10
管子受压力 P = Pcr 变形 ∆ =
�
即升至 T = 20 + 46.4 = 66.4 C 的管子失稳.
15-9 有一结构ABCD，由3根直径均为d的圆截面钢杆组成如图，在B点铰支，而在C点和D
点固定，A点为铰接。
L
= 10π 。若此结构由于杆件在ABCD平面内弹性失稳而丧失承载能力。
d
试确定作用于节点A处的载荷P的临界值。
解：AB 杆为铰支 µ = 1
AC，AD 杆为一端铰支一端固定 µ = 0.7
AB 失稳此结构仍能继续承载，直到 AC,AD 杆也失稳，此时整个结构才丧失承载能力。
由于对称 ( Pcr ) AC = ( Pcr ) AD
∑ y = 0: P = (P )
cr
=
cr
AB
+ 2 ( Pcr ) AC cos 30�
π 2 EJ
π 2 EJ
36.1EJ
+
2
×
icos 30� =
2
2
l
l2
l ⎞
⎛
0.7
×
⎜
⎟
cos 30� ⎠
⎝
15-10 铰接杆系 ABC 如图示，是由两根具有相同截面和同样材料的细长杆所组成，若由
⎛
⎝
于杆件在 ABC 平面内失稳而引起毁坏。试确定载荷 P 为最大时的 θ 角。 ⎜ 0 < θ <
π⎞
⎟。
2⎠
解：当 AB,BC 杆的轴力同时达到临界力时，P 最大。
两杆的临界力为：
( Pcr ) AB = P cos θ =
π 2 EJ
l AB2
( Pcr ) AC = P sin θ =
π 2 EJ
2
l AC
设 BC 间距为 L，则 l AB = L cos β , l AC = L sin β 代入上式
Aπ 2 EJ ⎫
L2 sin 2 β ⎪⎪
⎬ 消去 P 得
π 2 EJ ⎪
P sin θ = 2 2
L sin β ⎪⎭
π 2 EJ
π 2 EJ
=
L2 cos 2 β cos θ L2 sin 2 β sin θ
P cos θ =
2
即： tgθ = ctg β
∴θ = arctg ( ctg 2 β )
15-11 某快锻水压机工作台油缸柱塞如图示。已知油压力p=32 MPa，柱塞直径d=120mm，
伸入油缸的最大行程 l ＝1600mm，材料为45钢，E＝210Gpa。试求柱塞的工作安全系数。
6
解：工作压力 P工作 = pA = 32 × 10 ×
µ = 2.0
π
2
× ( 0.12 ) = 361.73 ( KN )
4
l = 1.6m
J 1
0.12
= d=
= 0.03 ( m )
A 4
4
µ l 2 × 1.6
∴λ =
=
= 106.7
i
0.03
i=
45 钢
E
210 ×109
λp = π
=π
= 86
σp
280 × 106
∴λ > λp
属细长杆
π 2E
λ2
σ cr
σ cr π 2 E
π 2 × 210 × 109
=
=
=
=
= 5.7
σ 工作
P λ 2 P 106.7 2 × 32 ×106
∴σ cr =
η工作
15-12 蒸汽机车的连杆如图所示，截面为工字形，材料为A3钢，连杆所受最大输向压力为
465kN。连杆在摆动平面（xy平面）内发生弯曲时，两端可认为是固定支座，试确定其安全系数 。
解 ：（ 1）xy 平面内：
µ = 1, l = 3100mm
E
A
1
1
J z = ( 96 ×1403 ) − ⎡⎣( 96 − 14 ) × 853 ⎤⎦
12
12
7
4
= 1.7755 × 10 mm
i=
A = 140 × 96 − 85 × ( 96 − 14 ) = 6470mm2
∴ i = 52.39mm
µ l 1× 3100
∴λ =
=
= 59.2
i
52.39
A3 钢： λ p = 100, λs = 106
∴ xy
面内属短杆 λ < λ p
∴ Pcr = σ s i A = 235 × 106 × 6470 ×10 −6 = 1520 ( KN )
∴η xy =
（2）xz 面内：
Pcr 1520
=
= 3.27mm
P工作 465
µ = 0.5, l = 3100mm
E
A
1
1
J y = × 85 × 143 + 2 × ⎡⎣(140 − 85) × 963 ⎤⎦
12
12
6
4
= 4.074 ×10 mm
∴ i = 25.10mm
µ l 2 × 3100
∴λ =
=
= 247 > λ p
i
25.10
i=
所以属细长杆。
π 2E
π 2 × 200 × 109
i
A
=
× 6470 ×10 −6
λ2
247 2
= 209 ( KN )
∴ Pcr =
∴η xy =
Pcr
209
=
<1
P工作 465
所以不安全。
15-13钢结构压杆由两个 56 × 56 × 8 等边铰钢组成，杆长1.5m，两端铰支，P=150kN，铰钢
为A3钢，计算临界应力的公式有：（1）欧拉公式。（2）抛物线公式。试确定压杆的临界应力
及工作安全系数。
解： µ = 1, l = 1.5m, P工作 = 150 KN
查表： 56 × 56 × 8 角钢：
A = 2 × 8.367cm 2
J z = 2 × 23.63cm 4
J y = 2 × 47.24cm 4
Jz
2 × 23.63
=
= 1.68cm
A
2 × 8.367
µ l 1×1.5
∴λ =
=
= 89.3
i 0.0168
A3 钢： λe = 123 > λ
∴ imin =
所以采用抛物线公式计算：
a = 240MPa
b = 0.00682MPa
σ cr = a − bλ 2 = 240 − 0.00682 × 89.32 = 185.6 MPa
∴η工作 =
Pcr 185.6 ×106 × 2 × 8.367 ×10−4
=
= 2.07
P工作
150 × 103
15-14 图示结构，用 A3钢 制 成 ，E＝200GPa， σ P ＝200MPa，试 问 当 q＝20N/mm和q=40N/mm
时，横梁截面B的挠度分别为多少？BD杆长2m，截面为圆形，直径d=40mm。
解：首先考虑 q 不同时，BD 杆的轴力的变化。
l
N BD i
N BD l 3
5ql 4
2
∆lBD = yB =
−
=−
48 EJ 384 EJ
EA
5
A
ql 3 i
J
∴ N BD = 384
l2 A 1
i +
48 J 2
J d2
=
, l = 4m
A 16
5
16
× 20 × 103 × 43 ×
0.042 = 50 KN
（1） q = 20 N / mm 时：∴ N BD = 384 2
4
16
1
×
+
2
48 0.04 2
5
16
× 40 ×103 × 43 ×
0.042 = 100 KN
（2） q = 40 N / mm 时：∴ N BD = 384 2
4
16
1
×
+
2
48 0.04 2
µ l 1× 2
λ=
=
= 200 > λ p
0.04
i
4
π 2E π
π 2 × 200 × 109
2
∴ N cr = Ai 2 = × 0.04 ×
= 61.9 KN
λ
4
200 2
∴
当 q = 20 N / mm 时： N BD < N cr
N BD l
50 × 103 × 4
=
= 3.98 × 10−4 m
π
EA 2 200 × 109 × × 0.042 × 2
4
当 q = 40 N / mm 时： N BD > N cr 所以杆件失稳破坏。
∴
yB =
15-15 由两槽钢组成的立柱如图示，两端均为球铰支承，柱长 l ＝4m。受载荷P＝800kN，
型钢材料为A3钢，许用压应力 [σ ] ＝120MPa，试选选槽钢的型号，并求两槽钢间的距离2b及连
接板间的距离a。
解：(1)选槽钢
设
φi = 0.90
p
800 × 103
A≥
=
= 7.4 ×10−3 m 2 = 74cm 2
6
φi (σ ) 0.9 × 120 × 10
选 22 号槽钢
A = 36.24cm 2
J z = 2571.4cm 4 ; i = 8.42cm
J y = 176.4cm 4 ; i = 2.21cm
X 0 = 2.03cm
λ=
µ l 1× 400
=
= 47.5; φi' = 0.90
i
8.42
故合适
P
800 × 103
=
= 110.4 MPa > φ [σ ] = 108MPa
A 2 × 36.24 × 10−4
110.4 − 108
但
= 2.2% 仍可用
108
σ=
（2）求 2b
应使组合截面的 J z = J y
2
2 J z = 2 ⎡ J y + ( b − X 0 ) A⎤
⎣
⎦
2
2 × 2571.4 = 2 ⎡176.4 + ( b − 2.03) × 36.24⎤
⎣
⎦
故 b = 10.16cm
（3）求 a
λ整 = λ局
µ l 1× 400
µ l 1× a
=
; λ局 =
=
i
8.42
i 2.21
1× 400 1× a
=
8.42
2.21
a = 1.05m
λ整 =
15-16 图示万匹柴油机连杆作为等截面压杆考虑， D＝260mm，d＝80mm，许用压应力
[σ ] ＝150MPa，材料为高强度钢，试计算许用压力P。
解：
π
D 4 − d 4 ) = 2.223 × 10−4 m 4
(
64
1
A = π ( D 2 − d 2 ) = 4.807 × 10−2 m2
4
i = I = 6.801× 10−2 m
A
I=
此连杆有两种失稳形式：
（1） 在 xy 平面内：
µ = 1, l = 2.88
µl
∴λ =
= 42.35 < λ p
i
查 λ − ϕ 表得 ϕ = 0.918 ；故许用压力为
[ P ] = ϕ [σ ] A = 0.9925 ×1.5 ×108 × 4.807 ×10−2
= 7.16 × 106 N
3
结论：该连杆的许用压力为 6.61× 10 KN
15-17 试用挠曲线近似微分方程式及边界条件推导两端均为固定支座压杆的临界力如图
a）。
15-7（a
解：根据上下对称知两支座处水平反力为零，其反力偶相等。因此，在杆的任何一截面 x 上的弯
矩为： M ( x ) = Pcrν − M e
（1）
''
由挠曲线近似微分力和有： EIν = M e − Pcrν
2
令κ =
（2）
Pcr
''
2
2 Me
得：ν + k ν = k
EI
Pcr
（3）
上式的通解为：ν = A sin kx + B cos kx +
Me
Pcr
（4）
'
求导可得：ν = Ak cos kx − Bk sin kx
（5）
M
'
由边界条件： x = 0;ν = 0,ν = 0 得 A = 0, B = − e
Pcr
M
代入（4）得 ν = e (1 − cos kx )
Pcr
（6）
'
再由边界条件： x = L;ν = 0,ν = 0 得
（7）
1 − cos kL = 0,sin kL = 0
即要求 kL = 2nπ ( n = 0,1, 2,iii )
其最小非零解为 kL = 2π
由此得该压杆临界力 Pcr 的欧拉公式
Pcr =
π 2 EI
( 0.5L )
2
15-18 一根长为 2L，下端固定，上端自由的等截面压杆，如图（a），为提高其承压能力 ，
在长度中央增设肩撑如图（b），使其在横向不能横移。试求加固后压杆的临界力计算公式，并
计算与加固前的临界力的比值。
解：当 0 ≤ x ≤ L 时， M ( x ) = − Pcr (δ −ν ) + Q ( L − x )
''
''
2
2
⎛
由 EIν 1 = − M ( x ) ，有 ν 1 + k ν 1 = k ⎜ δ +
⎝
θ
( L − x)
Pcr
θ
ν 1' = A1k cos kx − B1k sin kx + δ +
Pcr
当 L ≤ x ≤ 2L 时
M ( x ) = − Pcr (δ −ν )
(5 )
Q
Q ⎞
x−
L ⎟ （1）
Pcr
Pcr ⎠
∴ν 1 = A1 sin kx + B1 cos kx + δ −
''
''
2
2
由 EIν 2 = − M ( x ) 有 ν 2 + k ν 2 = k δ
（1）
(3)
( 4)
(6 )
∴ν 2 = A2 sin kx + B2 cos kx + δ
( 7) (8 )
ν 2' = A2 k cos kx − B2 k sin kx
'
由边界条件 x = 0;ν = 0,ν = 0 得
θ
θL
, B1 =
−δ
kPcr
Pcr
由边界条件 x = 2 L;ν = δ 有
A2 sin 2θ L + B2 cos 2θ L = 0
A1 = −
'
( 9)
( 10)
'
由边界条件 x = L;ν 1 = ν 2 ,ν 1 = ν 2 有
A1 sin kL + B1 cos kL = A2 sin kL + B2 cos kL
θ
A1k cos kL − B1k sin kL +
= A2 k cos kL − B2 k sin kL
Pcr
( 11)
(12 )
由(11 ) (12 )联立，解得：
B2 = −
A2 =
⎛θL
⎞
θ
sin 2kL + 2 ⎜
− δ ⎟ cos 2 kL
kPcr
⎝ Pcr
⎠
(13)
⎛θL
⎞ cos 2θ L cos θ L
θ
cos 2θ L − ⎜
−δ ⎟
kPcr
sin kL
⎝ Pcr
⎠
(14)
将 A1 , A2 , B1 , B2 代入（12），整理可得
δ Pcr
sin kL − sin 2θ L
× k = kL +
θ
cos 2θ L
又由边界条件 x = L;ν 1 = ν 2 = 0 得
A1 sin kL + B1 cos kL + δ = 0
代入 A1 , B1 得
δ Pcr
kL cos kL − sin kL
×k =
θ
cos kL − 1
（15）
（16）
（17）
由式（15）（ 17）得
kL +
sin θ L − sin 2θ L kL cos kL − sin kL
=
cos 2θ L
cos kL − 1
（18）
整理上式，得稳定方程
kL cos 2θ L + ( 2 − 3cos kL ) sin kL = 0
P
2
式中 k = cr
EL
解放程（19）可得
k=
π
(取最小正 k)
2.51L
故加固后临界力计算公式为
Pcr =
π 2 EI
( 2.51L )
2
'
加固前临界力 Pcr =
π 2 EI
( 4L )
2
则
加固后Pcr
42
=
= 2.54
加固前Pcr 2.512
即加固后临界力为加固前的 2.54 倍。
（19）
15-19 一等截面压杆，下端固定，上端由一弹簧常数为C（N/m）的弹簧支持，但设失稳
时的挠曲线为
πx ⎞
⎛
y = f ⎜1 − cos ⎟
2l ⎠
⎝
试用能量法确定它的临界力。
提示：当 oA 杆挠曲时，A 点下移 δ =
时，弹簧力也将完成功 −
2
1 l
′
(
y
)
dx ，P 力完成功为 Pδ ，而当 A 点侧移 f
2 ∫0
1 2
Cf 。
2
πx⎞
⎛
⎟得
2l ⎠
⎝
πf
πx
y' =
sin
2l
2l
2
π f
πx
y '' = 2 cos
4l
2l
EI l '' 2
EI π 4 2 l EI π 4 f 2
应变能： U =
y
dx
=
×
f × =
(
)
2 ∫0
2 16l 4
2
64l 3
解：由 y = f ⎜1 − cos
P 外力做功：
l l ' 2
l π4 2 l 2 πx
π4 f 2
− Pcrδ = − Pcr × ∫ ( y ) dx = − Pcr × × 2 f ∫ sin
dx = −
Pcr
0
2 0
2 4l
2l
16l
1 2
弹簧力做功： cf
2
压杆总势能
1
H = U − Pcr λ + cf 2
2
∂H
16l ⎛ c EI π 4 ⎞
= 0 ，得临界力 Pcr = 2 ⎜ +
由
⎟
∂f
π ⎝ 2 64l 3 ⎠
15-20 一两端铰支压杆AB，在其中点C处受有一轴向力P。假设失稳时的挠曲线为
y = f sin
π
x
l
试按能量法求临界力。
πx
l
πf
πx
y' =
cos
l
l
2
π f
πx
y '' = − 2 sin
l
l
EI
应变能为： U =
2
解： y = f sin
l
'' 2
∫ (y )
0
dx =
EI π 4 2 l EIπ 4 f 2
×
f × =
2 l4
2
4l 3
P 外力做功：
l/2
2
2
l⎞
1
⎛ l/2
− Pcr × ⎜ ∫
1 + ( y ' ) dx − ⎟ = − Pcr ∫ ( y ' ) dx
0
2⎠
2
⎝ 0
1
π2
l
= − Pcr × 2 f 2 ×
2
l
4
2 2
π f
即 Wp = −
Pcr
8l
π 4 EIf 2 π 2 f 2
−
Pcr
则压杆总势能为 H =
4l 3
8l
∂H
由
= 0 临界力为
∂f
Pcr =
2π 2 EI
π 2 EI
=
2
l2
( 0.5l )
15-21 设压杆轴线的初弯曲可用半波正弦曲线来表示，
即
y 0 = a sin
π
x
l
在压力P作用下，试证压杆挠曲线的方程式应为
y = y 0 + y1 =
式中
α=
1
πx
a sin ，
1−α
l
P
Pl 2
= 2
Pcr π EJ
解：设压杆在压力 P 作用下其挠度曲线为 y ( x ) ，如图示
(
''
''
则 M = EI y − y0
)
同时 M = − py
故可得平衡方程
EI ( y '' − y0'' ) + py = 0
2
令 h = P EI ,上式化为
（1）
（2）
2
πx
⎛π ⎞
y + h y = − ⎜ ⎟ a sin
l
⎝l ⎠
''
2
（3）
π
x ，代入（3）式
l
2
2
π
π
π
⎛π ⎞
⎛π ⎞
2
− A ⎜ ⎟ sin x + h A sin x = − ⎜ ⎟ a sin x
l
l
l
⎝l ⎠
⎝l ⎠
2 2
π l
P
=
可导出 C = 2 2
（4）
2
π l −h
Pcr
∗
设（3）式的特解为 y = c sin
故可得出（3）式的一般解为
1
π
a sin x
1− α
l
由边界条件 y ( 0 ) = 0, y ( l ) = 0
∴ A = 0, B = 0
1
π
故挠度曲线为 y ( x ) =
a sin x
1−α
l
y = A cos kx + B sin kx +
习
题
8-1 构件受力如图所示。（1）确定危险点的位置；（2）用单元体表示危险点的应力
状态。
解：(a) 在任意横截面上，任意一点
σ
σ=
P
π 2
d
4
σ
(b) 在 BC 段的外表面处
σ=
σ
τ
P
τ=
π 2
d
4
3M
π 3
d
16
(c)A 截面的最上面一点
σ=
σ
σ
Pl
π 3
d
32
τ=
M
π 3
d
16
τ
8-2 图示悬臂粱受载荷P=20kN作用，试绘单元体A、B、C的应力图，并确定主应力
的大小及方位。
288
解：
M
−20 ×1000
=
= −60 MPa
W 5 × 20 2
−6
×10
6
M
20000 × 5 ×10 −2
σB =
yB =
= −30 MPa
5 × 203
J
−8
× 10
6
20000 × 5 × 5 × 7.5 ×10 −6
τB =
= 2250 KPa = 2.25 MPa
5 × 20 2
−8
−2
× 10 × 5 ×10
6
σA =
σ
σ
σB
σB
τB
σC = 0
τC
τ C = 1.5
Q 20000 ×1.5
=
= 3 MPa
A 20 × 5 ×10 −4
τ
τ
σ3
σ1
σ
σ3
σ
σ1
σ 1 = 0.168
σ1 = 0
< B点 > σ 3 = −30.168
< A点 > σ 3 = 60
α = 85.7 �
α = 90�
289
τ
σ1
σ3
σ
σ1 = 3
< C点 > σ 3 = −3
α = −45�
8-3 主应力单元体各面上的应力如图所示，试用解析法或图解法计算指定斜截面上的
正应力 σ α 和剪应力 τ α ，并找出最大剪应力值及方位（应力单位：MPa）。
解：(a) σ α =
20 + ( −5 ) 20 − ( −5 )
σ1 + σ 2 σ1 − σ 2
+
cos 2α =
+
cos 60� = 13.75MPa
2
2
2
2
290
20 − ( −5 )
σ1 − σ 2
sin 2α =
sin 60� = 10.825MPa
2
2
20 − ( −5 )
τ max =
= 12.5MPa
2
α = 45� （与 σ 1 = 20 方向夹角）
τα =
(b)
20 + ( −10 ) 20 − ( −10 )
σ1 + σ 2 σ1 − σ 2
+
cos 2α =
+
cos ( −135� ) = −5.606MPa
2
2
2
2
20 − ( −10 )
σ −σ2
τα = 1
sin 2α =
sin ( −135� ) = −10.606 MPa
2
2
20 − ( −10 )
τ max =
= 15MPa
2
α = 45� （与 σ 1 方向夹角）或135� （与水平方向交角）
σα =
(c)
σα =
σ1 + σ 2 σ1 − σ 2
40 + 10 40 − 10
+
cos 2α =
+
cos ( −120� ) = 17.5MPa
2
2
2
2
σ1 − σ 2
40 − 10
sin 2α =
sin ( −120� ) = −13.0 MPa
2
2
40 − 10
τ max =
= 15MPa
2
α = 45� （与 σ 1 = 40 方向夹角）
τα =
(d)
σ1 + σ 2 σ1 − σ 2
20 + 20 20 − 20
+
cos 2α =
+
cos ( 45� ) = 20MPa
2
2
2
2
τα = 0
τ max = 0
σα =
8-4 单元体各面的应力如图示（应力单位为 MPa），试用解析法和图解法计算主应
力的大小及所在截面的方位，并在单元体内注明。
291
解：(a)
1
3
σ =
σx +σ y
2
2
⎛ σ −σ y ⎞
2
± ⎜ x
⎟ + τ xy
⎝ 2 ⎠
2
52.426
40 − 20
⎛ 40 + 20 ⎞
2
=
± ⎜
⎟ + 30 = −32.426 MPa
2
⎝ 2 ⎠
⎛
2τ xy ⎞
1
�
α = tg −1 ⎜ −
⎟⎟ = 22.5
⎜
2
⎝ σ x −σ y ⎠
τ
σ3
σ1
σ
(b)
292
2
σ +σ y
⎛ σ −σ y ⎞
2
σ = x
± ⎜ x
⎟ + τ xy
2
2
⎝
⎠
1
3
2
37
30 − 20
⎛ −30 − 20 ⎞
2
=
± ⎜
⎟ + 20 = −27 MPa
2
2
⎝
⎠
1
−2 × 20
α = tg −1
= −70.67�
2
−30 − 20
τ
σ1
σ3
σ
(c)
2
σ +σ y
⎛ σ −σ y ⎞
2
σ = x
± ⎜ x
⎟ + τ xy
2
⎝ 2 ⎠
1
2
2
62.4
30 + 50
⎛ 30 − 50 ⎞
2
=
± ⎜
⎟ + 20 = 17.6 MPa
2
⎝ 2 ⎠
1
−2 × 20
α = tg −1
= 58�17'
2
30 − 50
τ
σ2
σ1 σ
(d)
293
1
3
σ =
σx +σ y
2
2
⎛ σ −σ y ⎞
2
± ⎜ x
⎟ + τ xy
2
⎝
⎠
2
120.7
100
⎛ 100 ⎞
2
=
± ⎜
⎟ + 50 = −20.7 MPa
2
⎝ 2 ⎠
2 × ( −50 )
1
α = tg −1
= −22.5�
2
100
τ
σ3
σ1
σ
σ1 = 0
< A点 > σ 3 = 60
α = 90�
8-5 作出图示单元体的三向应力图，并求出主应力和最大剪应力，画出主单元体。
解：
(a)
(b)
294
τ
τ
τ max
τ max
σ3
σ1
σ2
σ3
σ
σ1
σ2
σ
σ1 = 51, σ 3 = −41
σ 2 = 0,τ max = 46
σ1 = 88.3,σ 3 = −28.3
σ 2 = 0,τ max = 58.3
(c )
(d)
τ
τ
τ max
σ3
σ1
σ2
σ
−30
σ
σ 1 = 120, σ 3 = −22.5
σ1 = −30, σ 3 = −30
σ 2 = 72.5,τ max = 71.2
σ 2 = −30,τ max = 0
(e)
τ
τ max
σ3
σ2
σ1
σ
σ1 = 52, σ 3 = −42
σ 2 = 50,τ max = 47
8-6 已知矩形截面梁某截面上的弯矩和剪力分别为M＝10kN·m，FS＝120kN，试绘
出截面上1、2、3、4各点单元体的应力状态，并求其主应力。
295
解：
−10 × 103
= −120 MPa
5 × 102
−6
× 10
6
Q
120 × 103
σ ( 2) = 1.5 = 1.5 ×
= 36 MPa
A
5 × 10 × 10−4
⎧
10 ×103 × 2.5 ×10−2
σ
=
= 60MPa
⎪
3
( 3)
5
×
10
−8
⎪
×10
12
⎪
⎪
⎨
⎛ 2.5
⎞
120 × 103 × 2.5 × 5 × ⎜
+ 2.5 ⎟ × 10−6
⎪
Q
⎝ 2
⎠
⎪τ (3) = s =
= 27 MPa
3
5 × 10
Jb
⎪
−8
−2
× 10 × 5 × 10
⎪⎩
12
σ ( 4) = 120MPa
σ (1) =
σ
τ = 36
σ1 = −σ 3 = 36MPa
σ 3 = −120MPa
60
σ1 = 70.36 MPa
σ 3 = −10.36 MPa
σ1 = 120MPa
27
8-7 在棱柱形单元体的AB面上以及与ABC面平行的前后面上（与纸平面平行的面），
均无应力作用。在AC面和BC面上的正应力均为-15MPa，试求 AC和BC面上的剪应力与此单
元体主应力的大小和方向。
296
解：
∑x =0
τ = 15MPa
2
−15 − 15
⎛0⎞
σ1 =
± ⎜ ⎟ +τ 2
2
⎝2⎠
0
= −15 ± 15 =
MPa
−30
∴σ 1 = σ 2 = 0; σ 3 = −30 MPa
（方向平行于 AB）
8-8 某点的应力状态如图所示，已知 σ α 、τ α 与 σ y ，试参考如何根据已知数据直接作
出应力图。
解： σ x , σ y 面上无 τ 故为主应力 σ 2 , σ 3 ，所以可以直接作应力圆。
8-9 每边均为1cm的钢质立方体，放在边长均为1.0001cm的刚性方槽内，立方体顶上
承受总压力P＝15kN，材料的E＝200GPa， µ ＝0.30。试求钢质立方体内三个主应力之值。
P
−15 × 1000
=
= −150 MPa(上下面）
−4
1× 1× 10
10−4
150 × 106
⎛ σ3 ⎞
∆ = ⎜ µ i ⎟i a − 0.0001 = 0.3 ×
× 1× 10−2 − 0.0001
9
200 × 10
⎝ E⎠
−3
= 0.125 × 10 ( cm )
解： σ 3 = −
∆ 0.125 × 10−3
=
= 0.125 × 10−3
a
1
'
Eε
200 ×109 × 0.125 ×10−3
σ=
=
= 35.7 MPa ( 侧面 )
1− µ
0.7
σ 1 = σ 2 = −35.7 MPa
ε' =
所以三个主应力：
σ 3 = −150MPa
8-10 在一块厚钢块上挖了一条贯穿的槽，槽的宽度
297
和深度都是1cm。在此槽内紧密无隙地嵌入了一铝质立方块，其尺寸是1×1×1cm，并受P＝
6kN压缩力如图示，试求铝立方块的三个主应力。假定厚钢块是不变形的，铝的E=71GPa，
µ ＝0.33。
解
−6 × 1000
＝ − 60 MPa
1×1×10−4
σ1 = 0
σ 3＝
σ 2 = µ (σ 3 + σ 1 ) = −0.33 × 60 ×106 = −19.8µ Pa
8-11 已知单元体的应力圆如图所示（应力单位：MPa）。试作出主单元体的受力图，
并指出与应力圆上A点相对应的截面位置（在主单元体图上标出）。
解：(a)
σA
τA
45�
σ 1 = 200 MPa
σ A = 100 MPa
τ A = 100 MPa
σ 2 = 0MPa
σ1 = 200
σ
τ
(b)
298
σA
τA
45�
σ A = 0MPa
τ A = 30MPa
σ1 = 200
σ
σ 1 = 30MPa
σ 2 = 0 MPa
σ 3 = −30MPa
τ
σ3
(c)
σ3
σ1
σ1
σ2
σ3
σA
τA
σ 1 = 80MPa
σ 2 = 40MPa
σ 3 = 20 MPa
σ A = 60MPa
τ A = 20MPa
45�
σ1 = 200
σ
τ
σ2
(d)
σ3
σ1
σ 1 = 200 MPa
σ 2 = 200 MPa
σ 3 = 200 MPa
σ A = 200MPa
σ1
σ2
σ3
�
−6
8-12 直径d＝2cm的受扭圆轴，今测得与轴线成 45 方向的线应变 ε 45 = 520 × 10 。
已知E＝200GPa， µ =0.3，试求扭转力矩 M n 。
299
解：
1
τ
[σ 1 − µσ 3 ] = (1 + µ )
E
E
9
Eε 45�
200 ×10 × 520 ×10−6
τ=
=
= 80 MPa
1 + 0.3
(1 + µ )
ε 45� =
Mn =
τ iπ d 3 80 × 106 × π × 8 × 10−6
=
= 125.6 NM
16
16
一个No28a工字钢梁，受力如图所示，今测得在梁的中性层上 K点、与轴线成
8-13
�
45 方向上的线应变 ε 45 = −260 × 10 −6 。已知E＝200GPa， µ =0.3。试求此时梁承受的载
荷P。
解： No.28aI :
J = 7114.14cm 4
J / S = 24.62cm
t = 0.35cm
【纯剪】
1
−τ
[σ 3 − µσ 1 ] = (1 + µ )
E
E
Eε 45�
200 × 109 × 260 × 10−6
τ =−
=
= 40MPa
1 + 0.3
(1 + µ )
ε 45� =
2
P
3
τ=
( J / S )t
P=
3τ ( J / S ) t 3 × 40 × 106 × 24.62 × 0.85 × 10−4
=
= 125.56 KN
2
2
300
8-14
钢质构件上截取一单元体abcd，各面上作用有应力 σ = 30MPa ， τ = 15MPa
如图示。已知E＝200GPa， µ ＝0.28。试求此单元体对角线 bc 长度的变化。
解：
30 30
± icos 60� ∓ 15isin 60�
2
2
9.50
=
MPa
20.49
1
ε 30� = ( 9.5 × 106 − 0.28 × 20.49 × 106 ) = 0.000018814
E
∆lBC = 25 × 2 × 0.000018814 = 94.07 × 10−5 cm
σ βα =
8-15
由光弹性法测得图示应力状态的主剪应力τ 12 ，又测得厚度改变率为 ε =
如材料的 E 和 µ 已知，试求主应力 σ 1 和 σ 2 之值。
解：
301
∆δ
。
δ
σ1 − σ 2
2
∆δ 1
= (σ 1 − µσ 2 )
δ
E
E ∆δ
σ 1 = τ 12 −
2µ δ
E ∆δ
σ 2 = −τ 12 −
2µ δ
σ1 = 0
E ∆δ
σ2 = −
µ δ
τ 12 =
8-16 在一块每边长为2.5cm的正方体上，进行压缩试验，当载荷为400kN时，它沿着
通过顶面的对角线以及相邻垂直面上的对角线平面破坏，如图示阴影线平面。试求在破坏
的瞬间，这个面上的全应力、正应力和剪应力。
解：
n=
1
3
−400 × 103 1
× = −213.33MPa
2.52 × 10−4 3
2
2
−400 × 103 1
2
4
2
τ N = σ 3 n + σ 3 n = σ 3 in 1 − n =
×
× 1− 3
2.52 × 10−4
3
= 301.69 MPa
σ N = σ 3 in 2 =
p = σ N 2 + τ N 2 = 213.332 + 301.692 = −369.49 MPa
8-17 单元体受力如图示，应力单位为MPa，试求
（1）画出三向应力图，计算最大剪应力；
（2）将单元体的应力状态分解为只有体积改变和只有形状改变的应力状态；
302
（3）计算单元体图（b）应力状态下的形状改变比能（E=200GPa， µ = 0.3 ）。
解：(1)
τ
τ
τ max = 45
τ max = 80
0
60
30
160
50
120
σ
σ
( a)
(b )
(2) (a)
σm
(a)
σm
σm
σ 3'
σm =
σ 2'
160 + 60 + 0
= 73.33MPa
3
σ 1' = 160 − 73.33 = 86.667MPa
σ 2' = 60 − 73.33 = −13.33MPa
σ 1'
σ 3' = 0 − 73.33 = −73.33MPa
(b)
σm
σm
σm
σ 3'
120 + 50 + 30
= 66.66MPa
3
σm =
σ 2'
σ 1'
σ 1' = 120 − 66.67 = 53.33MPa
σ 2' = 50 − 66.67 = −16.667 MPa
σ 3' = 30 − 66.67 = −36.667MPa
(3)
303
1+ µ
(σ12 + σ 22 + σ 32 − σ1σ 2 − σ 2σ 3 − σ1σ 3 )
3E
1 + 0.3) × 1012
(
=
1202 + 502 + 302 − 120 × 50 − 50 × 30 − 30 × 120 )
3 (
3 × 200 × 10
= 0.0145MJ / m3
µf =
8-18 P 力通过铰链机构压缩正立方体 ABCD 的四面，因而在此立方体的四个面上得
到均匀分布的压应力，若 E=40GPa， µ = 0.3 ，P＝50kN。试求 7×7×7cm3 的正立方体的体
积将减小若干？
解：
P
= 2 × 50 = 70.71KN
cos 45�
σ1 = 0
R
σ2 = σ3 = 2
= 14.43MPa
7 × 10−4
1
1
⎡ 0 − 0.3 ( 2 × ( −14.43) ) ⎤⎦ × 106
ε 1 = ⎡⎣σ 1 − µ (σ 2 + σ 3 ) ⎤⎦ =
9 ⎣
E
40 × 10
−6
= 216.5 × 10
1
1
⎡ −14.43 × 106 (1 − 0.3) ⎤⎦
ε 2 = ε 3 = [σ 2 − µσ 3 ] =
E
40 × 109 ⎣
= −252.5 × 106
R=
θ = ε1 + ε 2 + ε 3 = ( 216.5 − 2 × 252.5) × 10−6 = −288.5 × 10−6
304
8-19
在钢结构的表面某点处，利用直角应变花分别测得应变值为 ε 0 = 561 × 10
−6
−6
，
−6
ε 45 = 450 × 10 ， ε 90 = −100 × 10 ，试确定该点的主应变大小、方向和最大剪应变值。
8-20
若 已 测 得 等 角 应 变 花 三 个 方 向 的 应 变 分 别 为 ε 0 = 400 × 10
−6
−6
，
−6
ε 60 = 400 × 10 ， ε 120 = −600 × 10 。试求主应变及其方向，若材料为碳钢，E＝200GPa，
µ =0.25。试求主应力及其方向。
解：
ε 0� + ε 90�
2
2
2
ε 0� − ε 45� + ε 45� − ε 90�
2
2
2
⎛ 561 + ( −100 ) ⎞
2
2
2
−6
=⎜
( 561 − 450 ) + ( 450 + 100 ) × 10−6
⎟ ×10 ±
2
2
⎝
⎠
= 230.5 × 10−6 ± 396.75 × 10−6
ε1 =
±
(
) (
)
+627.25 × 10−6
=
−166.25 × 10−6
2 × 450 × 10 −6 − ( 561 + ( −100 ) ) × 10−6
1
α � = tg −1
= 16.8�
−6
2
( 561 − ( −100 ) )10
γ max = ε1 − ε 2 = ( 627.85 + 166.25) × 10−6 = 793.5 × 10−6
8-21 钢质薄壁容器，承受内压力 p 作用，容器平均直径 Dm = 50cm ，壁厚 t=1cm。
−6
弹性模量E=200GPa， µ ＝0.30，观测得圆筒外周向应变 ε θ = 350 × 10 。试求内压 p 为
多少？
解：
305
ε1 =
(ε
2
0�
+ ε 60� + ε 90�
3
)±
2
3
(ε
0�
− ε 60�
2
) + (ε
60�
− ε120�
2
) (ε
120�
− ε 0�
)
2
⎛ 400 + 400 − 600
⎞
2 2
= ⎜⎜
±
0 + 10002 + 10002 ⎟⎟ × 10−6
3
3
⎝
⎠
−6
−6
= 66.667 × 10 ± 666.667 × 10
=
+733.3336 × 10 −6
−600 ×10 −6
− 3 ( −600 − 400 )
1
α � = tg −1
= 30�
2
2 × 400 − 400 + 600
1
⎧
⎪⎪ ε1 = E [σ 1 − µσ 2 ]
⎨
⎪ε = 1 [σ − µσ ]
1
⎪⎩ 2 E 2
1
⎧
−6
733.3336
×
10
=
[σ 1 − 0.25σ 2 ]
⎪⎪
200 × 10
⎨
1
⎪ −600 ×10 −6 =
[σ 2 − 0.25σ 1 ]
⎪⎩
200 ×10
⎧ σ = 124.44 MPa
∴⎨ 1
⎩σ 2 = −88.889 MPa
8-22 图示半径为 R ，厚度为 t 的圆板，在周边受径向均有载荷 q 作用，试求圆板厚
度变化量 ∆t 及体积应变 θ 。
解： σ 1 = σ 2 = q
σ3 = 0
（1） ∆t :
306
∆t = ε , t = −
µt
2µ qt
(σ 1 + σ 2 ) = −
E
E
(2) θ :
θ=
1 − 2µ
1 − 2µ
(σ 1 + σ 2 + σ 3 ) =
( 2q )
E
E
307
第九章 强度理论
习
+
题
−
9-1 脆性材料的极限应力 σ b ＝40MPa， σ b ＝130MPa，从受力物体内取下列三个单元
体(a)、(b)、(c)，受力状态如图示。试按（1）第一强度理论，（2）第二强度理论，判断何
者已到达危险状态，设 µ = 0.30 。
解：按第一强度理论
1
（a）： σ xd = σ 1 = 45 > 40 ，危险。其余安全。
按第二强度理论
2
+
（b） σ xd = σ 1 − µ (σ 2 + σ 3 ) = 35 + µ ×120 = 35 + 0.3 ×120 = 71 > σ b ，危险。其余安全。
9-2 塑性材料的极限应力σs＝200 MPa，从受力物体内取下列三个单元体（a）、（b）、
（c），受力状态如图示。试按（1）第三强度理论，（2）第四强度理论，判断何者已达到
危险状态。
解：按第三强度理论：
3
（a） σ xd = σ 1 − σ 3 = 160 + 60 = 220 > τ s 危险。其余安全。
按第四强度理论：按下列公式计算
σ xd4 =
1⎡
2
2
2
σ 1 − σ 2 ) + (σ 2 − σ 3 ) + (σ 1 − σ 3 ) ⎤
(
⎦
2⎣
全部都不安全。
9-3 工字钢梁受载荷时，某一点处的受力情况表示如下：
σ =120MPa， τ =40MPa。若[ σ ]=140MPa，试按第四强度理
论作强度校核。
解：
τ
题 9-3 图
σ xd4 = σ 2 + 3τ 2
σ
σ
= 1202 + 3 × 402 = 138MPa < [σ ]
τ
所以安全。
9-4 某梁在平面弯曲下，已知危险截面上作用有弯矩M＝50.9 kN ⋅ m ，剪力FS＝134.6
kN，截面为No. 22b工字钢，[ σ ]＝160 MPa，试根据第三强度理对梁作主应力校核。
解：A 点：
M 50.9 ×103
=
= 156.62 MPa
W 325 × 10−6
= σ 1 − σ 3 = 156.62 MPa
σ max =
σ xd3
C
点
σ xd4 =
1⎡
2
2
2
σ 1 − σ 2 ) + (σ 2 − σ 3 ) + (σ 1 − σ 3 ) ⎤
(
⎦
2⎣
2
3 ⎛ pD ⎞
3 ⎛ pD ⎞
=
⎜
⎟ =
⎜
⎟ ≤ [σ ]
16 ⎝ t ⎠
4 ⎝ t ⎠
4t [σ ] 4 × 0.4 × 102 × 130 × 106
p=
=
= 1.5MPa
3D
3 × 80 × 10−2
QS
134.6 × 103
=
= 75.76 MPa
Jt 18.7 × 10−2 × 9.5 × 10−3
σ xd3 = 2τ = 151.53MPa
τ=
B 点：
：
My 50.9 × 103 × 97.7 × 10−3
=
= 139.29 MPa
J
3570 × 10−8
3
−3
QS 134.6 × 10 × (112 × 12.3) × 103.85 × 10
τ=
=
= 56.78MPa
Jt
3570 × 10−8 × 9.5 × 10−3
σ=
σ xd3 = 139.292 + 4 × 56.782 = 179.72MPa > [σ ]
9-5 外伸梁受力及尺寸如图示，设[ σ ]＝140 MPa，试选定该梁的工字钢型号，并作主
应力校核。
70
(+)
( −)
( −)
20
30
( Q −图)
24.44
(+)
( −)
(−)
30
Wz =
20
( M −图)
M max 30 × 103
=
= 0.214 × 10−3 m
6
[σ ] 140 ×10
选 No.20c 工字钢
3
−4
My 30 × 10 × (10 − 1.14 ) ×10
验算翼缘腹板交界处： σ =
=
= 112.2 MPa
J
2370 × 10−8
1.14 ⎞
⎛
6
70 × 103 × (10 × 1.14 ) × ⎜10 −
⎟ ×10
QS
2
⎝
⎠
τ=
=
= 45.36 MPa
Jt
2370 ×10 −11 × 0.7
σ xd3 = 112.22 + 4 × 45.362 = 144.29 MPa ≈ [σ ]
最大剪应力（中性轴处）
Qmax
70 ×103
=
= 58.14MPa
−4
J
17.2
×
0.7
×
10
t
S
= 2τ max = 116.28MPa
τ max =
τ xd3
9-6 圆柱形薄壁容器内直径 D＝80 cm，厚度 t＝0.4 cm，承受内压强 p，如材料的许用
应力[ σ ]=130 MPa。试按第四强度理论决定最大许可压强 p之值。
解：
σ xd4 =
1⎡
2
2
2
σ 1 − σ 2 ) + (σ 2 − σ 3 ) + (σ 1 − σ 3 ) ⎤
(
⎦
2⎣
2
3 ⎛ pD ⎞
3 ⎛ pD ⎞
=
⎜
⎟ =
⎜
⎟ ≤ [σ ]
16 ⎝ t ⎠
4 ⎝ t ⎠
4t [σ ] 4 × 0.4 × 102 × 130 × 106
p=
=
= 1.5MPa
3D
3 × 80 × 10−2
9-7 一锅炉内直径D＝1m，受内压强 p＝3MPa，材料的屈服极限σs＝300 MPa，安全
系数ns＝2，试用最大剪应力理论计算锅炉的壁厚。
解： t ≥
pD
3 × 106 × 1
=
= 0.01m = 1.0cm
300 × 106
2 [σ ]
2×
2
9-8 铸铁圆柱形容器外直径D = 20 cm，壁厚 t＝2cm，受内压强p＝4MPa，并在容器两端
受轴向压力 P ＝200 kN作用，设 µ = 0.25 ，
许用拉应力[ σ +]＝25 MPa，（1）用第二强
度理论讲行校核；（2）若在两端加外扭矩Mn
＝1000 N ⋅ m 作用，用第二强度理论校核强
度。
解 ：（ 1） σ 0 =
σz =
6
pD0 4 × 10 × ( 0.2 − 0.04 )
=
= 16 MPa
2t
2 × 0.02
4 ×106 × ( 0.2 − 0.04 )
pD0
p
200 ×1000
−
=
−
4t π Dt
4 × 0.02
π ( 0.2 − 0.02 ) × 0.02
= −9.6MPa
σ xd2 = σ 1 − µ (σ 2 + σ 3 ) = 16 + 0.25 × 9.6 = 18.4MPa < [σ + ]
（2）
τ=
Mn
1000
=
= 0.98MPa
2
2π r t 2π × 0.09 2 × 0.02
2
16.119
16 + 8
⎛ 16 − 8 ⎞
2
σ 13 =
± ⎜
⎟ + 0.98 = 12 ± 4.119 = 7.881
2
⎝ 2 ⎠
安全。
9-9 车轮与钢轨接触点处的主应力为-800MPa，-900MPa，-1100MPa。钢轨材料的许用
应力[ σ ] = 300 MPa，试对此点作强度校核（选用第三或第四理论）。
解： σ xd = σ 1 − σ 3 = −800 − ( −1100 ) = 300 = [σ ]
3
σ xd4 更小。
9-10 钢制油罐长度 L ＝ 9.6 m，内径 d ＝2.6 m，
壁厚δ＝8 mm，油罐内承受压强 p=0.6MPa，并承受均
匀分布载荷 q 作用。若[ σ ]=160MPa，试用第三强度
理论求许用均布载荷 q 之值。
解：
1
1
M max = ql 2 = q × 9.62
8
8
L
2
J z π D 2δ π ( 2.6 + 0.016 ) × 0.008
=
=
= 4.30 ×10−2 M 3
D
4
4
6
pD 0.6 ×10 × 2.6
σ2 =
=
= 97.5MPa
2t
2 × 0.008
1
× 9.6 2 × q
pD M
6
8
σ1 =
+
= 48.75 × 10 +
4t W
4.30 ×10 −2
1
× 9.62 × q
σ xd3 = σ 1 − σ 3 = 48.75 ×106 + 8
≤ [σ ] = 160 ×106
4.30 × 10−2
q = 415.24 KN / m
W=
9-11 直径为 d = 10 mm的柱塞通过密闭高压容器，并承受扭矩 Mn=2 N ⋅ m 作用，容器
+
−
内压为 p = 100MPa ，柱塞材料的抗拉强度 σ b ＝250 MPa，抗压强度 σ b =625 MPa，试按
莫尔理论计算危险点的相当应力。
解：
Mn
Mn
Mn
2.0 × 16
=
= 10.186MPa
3
πd
π × 0.013
16
σ 2 = P = −100MPa
1.027
−100
σ1 =
± 1002 + 10.1862 =
MPa
3
−101.027
2
τ=
σ
m
xd
σ b+
256
= σ 1 − − σ 3 = 1.027 −
× ( −101.027 ) = 42.4 MPa
σb
625
9-12 内径为d，壁厚为t的圆筒容器，内部盛有比重为 γ ，高度为H的液体，竖直吊装如
3
图示。试按第三强度理论沿容器器壁的母线绘制圆筒的相当应力 σ xd 图（不计端部影响）。
解：
πd2
γ Hd
σy =
iγ H π dt =
= 常量
4
4t
pd γ d
σz =
=
x
2t
2t
当 x = x0 , σ y = σ z ,
γ Hd γ d
H
=
x0 , x0 =
4t
2t
2
（1）当
⎧σ 1 = σ y
⎪
x ≤ x0 , σ y > σ z , ⎨σ 2 = σ z
⎪σ =0
⎩ 3
σ xd3 = σ 1 =
（2）当
γ Hd
4t
⎧σ 1 = σ z
⎪
x > x0 , σ y > σ z , ⎨σ 2 = σ y
⎪σ =0
⎩ 3
σ xd3 = σ 1 =
γd
x0
2t
第十章
组合变形的强度计算
10-1 图示为梁的各种截面形状，设横向力 P 的作用线如图示虚线位置，试问哪些为平
面弯曲？哪些为斜弯曲？并指出截面上危险点的位置。
（a）
斜弯曲
(b)
平面弯曲

弯心
（ ）
斜弯曲
“×”为危险点位置。
（ ）
弯扭组合
(c)
平面弯曲

(d)
斜弯曲

弯心
弯心
（ ）
平面弯曲
（ ）
斜弯曲
10-2 矩形截面木制简支梁 AB，在跨度中点 C 承受一与垂直方向成 ϕ ＝15°的集中力 P
4
＝10 kN 作用如图示，已知木材的弹性模量 E = 1.0 × 10 MPa 。试确定①截面上中性轴的
位置；②危险截面上的最大正应力；③C 点的总挠度的大小和方向。
解： Py = P cos ϕ = 10 × cos 15 � = 9.66 KN
Pz = P sin ϕ = 10 × sin 15� = 2.59 KN
Jz =
15 × 20 3
= 10 4 cm 4
12
W z = 10 3 cm 3
Jy =
20 × 153
= 5625 cm 3
12
W y = 750 cm 3
M z max =
M y max =
σ max =
Py l
4
=
9.66 × 3
= 7.25 KN-M
4
Pz l 2.59 × 3
=
= 1.94 KN-M
4
4
M z max M y max
+
Wz
Wy
7.25 × 10 3 1.94 × 10 3
= 3
+
10 × 10 −6 750 × 10 −6
= 9.84 MPa
中性轴：
⎛ J
⎞
α = tan −1 ⎜ − z tan ϕ ⎟
⎜ Jy
⎟
⎝
⎠
4
⎛ 10
⎞
= tan −1 ⎜⎜ −
tan 15 � ⎟⎟
⎝ 5625
⎠
= 25.47 �
fy =
fz =
Py l 3
48 EJ z
=
9.66 × 10 3 × 33
= 0.5434 × 10 −2 m
9
4
−8
48 × 10 × 10 × 10 × 10
Pz l 3
2.59 × 10 3 × 33
=
= 0.259 × 10 − 2 m
48 EJ y 48 × 10 × 10 9 × 5625 × 10 −8
f = 0.5434 2 + 0.259 2 = 0.602 cm
�
20cm
方向 ⊥ 中性轴： α = 25.47
15cm
P2
h
b
10-3 矩形截面木材悬臂梁受力如图示， P1 ＝800 N， P2 ＝1600 N。材料许用应力
[σ]=10MPa，弹性模量 E＝10GPa，设梁截面的宽度 b 与高度 h 之比为 1：2。①试选择梁的
截面尺寸；②求自由端总挠度的大小和方向。
解 ：（ I） M z max = P2 × 1 = 1.6 KN
M y max = P0 × 2 = 1.6 KN
Wz =
bh 2 b(2b) 2 2 3
=
= b
6
6
3
Wy =
bh 2 2b 3 1 3
=
= b
6
6
3
σ max =
M z max M y max 1.6 × 10 3 1.6 × 10 3
+
=
+
≤ [σ ] = 10 × 10 6
3
3
2
1
Wz
WY
b
b
3
3
b = 9 cm ， h = 18 cm
2
2
⎛ P × 2 3 ⎞ ⎛ P2 × 13 P2 × 13 ⎞
⎟ +⎜
（II） f = ⎜ 1
+
× 1⎟⎟ 1.97 × 10 −2 m = 1.97cm
⎜ 3EJ y ⎟ ⎜ 3EJ z
2 EJ z
⎠
⎝
⎠ ⎝
tan α =
fz
1.95
=
f y 0.305
, α = 81.1�
10-4简支梁的受力及横截面尺寸如图示。钢材的许用应力[ σ ]＝160 MPa，试确定梁危
险截面中性轴的方向与校核此梁的强度。
解： J z =
π 4 bh 3 π
4 × 63
d −
=
× 10 4 −
= 909.748
32
12 32
12
π 4 bh 3 π
6 × 43
4
Jy = d −
=
× 10 −
= 949.748
32
12 32
12
cm 4
cm 4
中性轴：
⎛ J
⎞
⎛ 909.748
⎞
α = tan −1 ⎜ − z tan ϕ ⎟ = tan −1 ⎜ −
tan 45 � ⎟ = −43.77 �
⎜ Jy
⎟
⎝ 949.748
⎠
⎝
⎠
∗
�
危险点： z = 10 ⋅ sin 43.77 = 6.918
y ∗ = 10 ⋅ cos 43.77 � = 7.221
M max = 14 × 1 = 14 KN ⋅ m
M y = M max ⋅ cos 45 � = 9.9
M z = M max ⋅ sin 45� = 9.9
cm
cm
σ max =
9.9 × 10 3 × 6.918 × 10 −2
949.748 × 10 −8
+
9.9 × 10 3 × 7.221 × 10 −2
909.748 × 10 −8
= 150.69
MPa ≤ [σ ]
10-5 图示简支梁的截面为200 × 200 × 20（mm）的等边角钢，若 P =25kN，试求最大弯
矩截面上A、B和C点的弯曲正应力。
J y 0 = 1180.04cm 4 ， J z 0 = 4554.55cm4
Wz 0 = 322.06cm3 ， Wy 0 = 146.55cm3
解：
pl
= 25
KN ⋅ m
4
M y = M z = M ⋅ cos 45� = 17.68
M max =
KN ⋅ m
My
Mz
17.68 × 10 3 × 141.42 × 10 −3 17.68 × 10 3 × 60.95 × 10 −3
σA =−
⋅ yA −
⋅ zA = −
−
J zO
J yo
4554.55 × 10 −8
1180.04 × 10 − 4
= −146.2
σC =
σB =
MPa
My
Mz
⋅ yA −
⋅ z A = −36.42 MPa
J zO
J yo
My
J yO
⋅ zB =
17.68 × 10 3
× 80.47 × 10 −3 = 120.56
−8
1180.04 × 10
MPa
10-6 旋臂 式 吊 车 梁 为 16 号工 字 钢 ， 尺 寸 如 图 所 示 ， 允 许 吊 重 P=10kN，材 料 的
[ σ ]=160MPa。试校核吊车梁的强度。
解： B 点：
P × (1.08 + 1.94)
= 15.57
KN
1.94
N 1.94
=
H
0.8
1.94
H=
× 15.57 = 37.76
KN
0.8
H=
No16 工字钢： A = 26.1cm
σ
max
=
2
， J z = 1130cm
4
， W z 141cm
N M 37.76 × 10 3 10 × 1.08 × 10 3
+
=
+
= 91.1
A W 26.1 × 10 − 4
141 × 10 −6
3
MPa (压) < [σ ]
10-7 图示等截面构件的许用应力[ σ ]＝120 MPa，矩形截面尺寸 2.5 × 10cm2，试确定许
用载荷[P]，并作危险截面上的应力分布图，指出最大应力发生在哪一点？
60cm
解：N = P
M max = 60 P × 10 −2 , W =
A = 2.5 × 10 = 25cm 2
2.5 × 10 2
= 41.667cm 3
6
N M
+
≤ [σ ]
A W
P = 120 × 10
6
⎛
1
60 × 10 − 2 ⎞
⎜
⎟
+
⎜ 25 × 10 − 4 41.667 × 10 −6 ⎟
⎝
⎠
= 8108 N = 8.108 KN
最大应力点：
10-8 悬重构架如图所示，立柱 AB 系用 No25a 的工字钢制成。许用应力[ σ ]＝160 MPa，
在构架 C 点承受载荷 P＝20kN。①绘立柱 AB 的内力图；②找出危险截面，校核立柱强度；
③列式表示顶点 B 的水平位移。
解 ：（ i）
图
（II）
图
N M
20 × 10 3
60 × 10 3
+
=
+
= 153.42 × 10 6 Pa
−4
−6
A W 48.5 × 10
401.883 × 10
= 153.42 MPa < [σ ]
σ max =
P × 93 P × 6 2
(3 × 9 − 6) = 117 P (→)
(III) f B =
−
3EJ
6 EJ
EJ
60cm
B
C
10-9 图示起重结构，A 及 B 处可作铰链支承看待，C、D 与 E 均用销钉连结。AB 柱的
截面为 20cm × 30cm 的矩形。试求其危险截面上的最大正应力。
解：
R A = 25 × 2.4 / 3.6 = 16.6667
KN
N = 25 KN
M max = 25 × 10 3 × 2.4 − 16.667 × 2.4 × 10 3 = 20
A = 0.2 × 0.3 = 0.06
s
KN ⋅ m
M2
W=
0.2 × 0.3 2
= 0.003
6
σ =
N M 25 × 10 3 20 × 10 3
+
=
+
= 7.083
A W
0.06
0.003
M2
M Pa
10-10 有一等直实心圆杆，其 B 端为铰支承，A 端靠在光滑
的竖直墙面上（摩擦力可略去）如图示。杆长 L，杆截面直径d，
已知杆的总重 P 及倾角 α 。试确定自 A 点至由于杆自重产生最
大压应力的横截面之距离 S。
解：设杆的自重为 q （N/M）
轴向分量： q ⋅ sin α
横向分量： q ⋅ cos α
∑MB = 0
RA =
q ⋅ l ⋅ cos α 1
= ql cot α
2 sin α
2
1
ql ⋅ cot α ⋅ cos α + q ⋅ sin α × S
2
1
1
1
M ( s ) = ( R A ⋅ sin α ) ⋅ S − (q ⋅ cos α ) ⋅ S 2 = ql cot α sin α ⋅ S − q cos α ⋅ S 2
2
2
2
N M
dσ
σ = +
，
=0
A W
ds
在 S 截面： N = R A ⋅ cos α + (q ⋅ sin α ) ⋅ S =
1
(q ⋅ sin α ) + 1
A
W
S=
1
cos α cos α
⎛1
⎞
×
× 2s ⎟ = 0
⎜ q ⋅ l ⋅ cot α ⋅ sin α − q ×
2
sin α sin α
⎝2
⎠
l
d
l d
+
= + ⋅ tan α 0
2 8 cot α 0 2 8
10-11 某厂房柱子，受到吊车梁的铅垂轮压 P＝220 kN，屋
架传给柱顶的水平力 Q =8 kN，及风载荷 q＝1kN/m 的作用。P
力作用线离柱的轴线距离 e＝0.4m，柱子底部截面为矩形，尺
寸为 lm × 0.3m，试计算柱子底部危险点的应力。
解：
N = P = 220
M max =
σ =−
KN
1 × 9.5 2
+ 220 × 0.4 − 8 × 9.5 = 57.129
2
KN ⋅ m
0.41
N M
220 × 10 3 57.129 × 10 3 × 6
±
=−
±
=
MPa
2
− 1.876
A W
1 × 0.3
0.3 × 1
10-12 简单夹钳如图示。如夹紧力 P=6kN，材料的许用应力[ σ ]=140MPa。试校核其
强度。
解：
σ =
P Peb
6 × 10 3
6 × 6 × 10 3 × 6 × 10 −2
+ 2 =
+
= 130 × 10 6 Pa = 130 MPa < [σ ]
−4
2
−6
A bh
2 × 3 × 10
2 × 3 × 10
10-13 轮船上救生艇的吊杆尺寸及受力情况如图示，图中载荷 W 系包括救生艇自重及被
救人员重量在内。试求其固定端 A-A 截面上的最大应力。
解：
N = 18
KN
M = 18 × 1.5 = 27 KN ⋅ m
σ =
N M
18 × 10 3
27 × 10 3
+
=
+
= 160.75
A W π × 12 2
π × 12 2
−4
−6
× 10
× 10
4
32
MPa
10-14 正方形截面拉杆受拉力 P＝90kN 作 用 ，a＝5cm，如在杆的根部挖去 1／4 如图示 。
试求杆内最大拉应力之值。
解：
⎛ 2 ⎞
a 2 × ⎜⎜
a⎟
2 ⎟⎠
⎝
形心位置： e =
= 1.179
3× a2
cm
2
⎡ 4
⎞ ⎤
⎛ a4
2
2
2 ⎞ ⎢a
2⎛
J z = 2⎜⎜
+ a × e ⎟⎟ +
+ a ⎜⎜
a − e ⎟⎟ ⎥ = 364.6
12
12
2
⎢
⎝
⎠ ⎣
⎝
⎠ ⎥⎦
σ max =
P
+
A
Pe(
cm 4
2
2 ×5
+ e)
(90 × 10 3 × 1.179 × 10 −2 )(
+ 1.179) × 10 −2
3
90
×
10
2
2
=
+
2
−4
−8
Jz
3 × 5 × 10
364.6 × 10
= 25.72 × 10 6 Pa = 25.72MPa
10-15 承受偏心拉伸的矩形截面杆如图示，今用电测法测得该杆上、下两侧面的纵向应
变 ε 1 和 ε 2 。试证明偏心距 e 在与应变 ε 1 ， ε 2 在弹性范围内满足下列关系式
h
解：
ε1 =
σ 1 1 ⎛ P 6 Pe ⎞
= ⎜ +
⎟
E E ⎝ bh bh 2 ⎠
ε2 =
σ 21 1 ⎛ P 6 Pe ⎞
= ⎜ − 2⎟
E
E ⎝ bh bh ⎠
1 2P
⋅
E bh
1 12 Pe
ε1 − ε 2 = ⋅
E bh
∴ ε1 + ε 2 =
故
12 Pe
2
ε1 − ε 2
6
= bh = × e
2P
ε1 + ε 2
h
bh
∴e =
ε1 − ε 2 h
×
ε1 + ε 2 6
10-16 图示正方形截面折杆：外力 P 通过 A 和 B 截面的形心。若已知 P＝10kN，正方
形截面边长 a=60 mm。试求杆内横截面上的最大正应力。
解：
BC 杆 C 截面：
0.1
= 6 KN
1
0.8
M = ( P ⋅ cos α ) × 0.6 = 10 ×
× 0.6 = 4.8 KN ⋅ m
1
N = P ⋅ sin α = 10 × 10 3 ×
σ max =
N M
6 × 10 3
6 × 4.8 × 10 3
+
=
+
= 135 × 10 6 Pa = 135MPa
−4
−6
A W 36 × 10
216 × 10
AC 杆 C 截面：
N = P ⋅ cos α = 8 KN
M = ( P ⋅ cos α ) × 0.6 = 10 ×
σ max =
0.8
× 0.6 = 4.8 KN ⋅ m
1
N 6M
6 × 10 3
+ 3 =
+ 133.3 × 10 6 = 135.6 × 10 6 Pa = 135.6 MPa
−4
A a
36 × 10
40
10-17 试确定图示 T 字形截面的核心边界。图中 y、z 两轴为截面形心主惯轴。
解：
ey = −
iy
z
iz
az
z
,
ez = −
iz
z
az
⎛ 60 × 40 3 40 × 90 3 ⎞
⎟
= ⎜⎜
+
12 ⎟⎠
⎝ 12
(60 × 40 + 90 × 40) = 458.33cm 2
⎛ 40 × 60 3
⎞
90 × 40 3
2
⎜
=
+
30
×
(
40
×
60
)
+
+ 20 2 × (40 × 90) ⎟⎟
iz ⎜ 12
12
⎝
⎠
z
(60 × 40 + 90 × 40)
= 800cm 2
800
= 20 cm . a z = ∞, e z = 0
− 40
800
ey = −
= −13.33 cm . a z = ∞, e z = 0
60
458.33
ez = −
= −10.185 cm
ey = 0
45
458.33
ez = −
= 10.185 cm
ey = 0
45
800
ey = −
= −7.4
(6) e y = −7.4
108
458.33
ez = −
= −10.185
e z = 10.185
45
(1) e y = −
(2)
(3)
(4)
(5)
10-18 材料为灰铸铁 HT15－33 的压力机框架如图示。许用拉应力[ σ + ]＝30MPa，许
用压应力[ σ − ]＝80 MPa。试校核框架立柱的强度。
题 10-18 图
解：
yz =
(2 × 10) × 1 + (2 × 6) × 5 + (2 × 5) × 9
= 4.05cm
2 × 10 + 2 × 6 + 2 × 5
y1 = 5.95cm
,
A = 42cm 2
⎡10 × 2 3
⎤ ⎡ 2 × 63
⎤ ⎡ 5 × 23
⎤
Jy = ⎢
+ (2 × 10) × 3.05 2 ⎥ + ⎢
+ 2 × 6 × 0.95 2 ⎥ + ⎢
+ 10 × 4.95 2 ⎥
⎣ 12
⎦ ⎣ 12
⎦ ⎣ 12
⎦
4
= 487.9cm
σ内
N M z2
12 × 10 3
2.89 × 10 3 × 4.05 × 10 −2
= +
=
+
= 26.85MPa < [σ + ]
A Ty
42 × 10 −4
487.9 × 10 −8
σ外 =
N M z1
2.89 × 10 3 × 5.95 × 10 −2
−
= 2.86 × 10 6 −
= −32.38MPa < [σ − ]
A Jy
487.9 × 10 −8
10-19 电动机功率 N＝8.83kW，转速 n=800r/m。皮带轮直径 D＝250mm，重量 G＝700N，
皮带拉力为 T1，T2（T1＝2T2），轴的外伸端长 L=120mm，轴材料的许用应力[ σ ]＝100MPa。
试按第四强度理论设计电动机轴的直径 d。
解：
M n = (T1 −T 2 ) ⋅
D T2 D
N
8.83
=
= 9.55 = 9.55 ×
= 0.1054 KN − m
2
2
n
800
T2 =
2 × 0.1054
= 0.843KN
0.25
R=
(3T
2
cos 45�
) + (G + 3T
2
2
cos 45 �
3
⎛ 3 × 843 ⎞ ⎛
3 × 343 ⎞
= ⎜
⎟ + ⎜ 700 +
⎟
2 ⎠ ⎝
2 ⎠
⎝
= 3064 N
)
2
2
= 3.064 KN
M = R × l = 3.064 × 0.12 = 0.368 KN − m
σ xd =
M 2 + 0.75M n 2
≤ [σ ]
Wz
Wz =
M 2 + 0.75M n 2
=
[σ ]
d =3
3.79 × 32
= 3.38cm
π
(0.368
2
)
+ 0.75 × 0.1054 2 10 6
100 × 10
6
= 0.379 × 10 −5 M 3
10-20 直径为 60cm 的两个相同皮带轮，n＝100 r／m 时传递功率 N＝7.36kW，C 轮上皮
带是水平的， D 轮上是铅垂方向的。皮带拉力 T2 ＝1.5 kN， T1 ＞ T2 ，设轴材料许用应力
[ σ ]=80MPa，试根据第三强度理论选择轴的直径，皮带轮的自重略去不计。
解：
M n = 9.55
N
7.36
= 9.55 ×
= 0.7029 KN ⋅ m
n
100
(T1 − T2 ) D = M n
2
T1 = T2 +
2M n
2 × 0.7029
= 1.5 +
= 3.843KN
D
0.6
M B = (T1 + T2 ) × 0.25 = 5.343 × 0.25 = 1.336 KN ⋅ m
M D = 1.425 2 + 0.445 2 = 1.493KN ⋅ m
Wz =
d =3
(1.493
M D2 + M n2
=
[σ ]
2
)
+ 0.703 2 × 10 6
80 × 10
6
= 20.63cm 3
32W z 3 32 × 20.63
=
= 5.95cm
π
π
10-21 图示钢制圆轴上有两个齿轮，齿轮 C 上作用着铅垂切向力 P1＝5kN，齿轮 D 上作
用着水平切向力 P2＝10 kN。若［ σ ］＝100 MPa，齿轮 C 的节圆直径 dC=30cm，齿轮 D 的
节圆直径 dD＝15cm。试用第四强度理论选择轴的直径。
解：
M n = P1 ×
dc
= 5 × 0.15 = 0.75KN ⋅ m
2
(1.125 + 0.1875 + 0.75× 0.75 )×10
2
(Wz )
=
2
2
6
100×10
6
= 13.125cm3
d1 = 3
32W z 3 32 × 13.125
=
= 5.11cm
π
π
(Wz )2 =
d2 = 3
(0.5625
2
)
+ 0.375 2 + 0.75 × 0.75 2 × 10 6
100 × 10
6
= 9.375cm 3
32W z 3 32 × 9.375
=
= 4.57cm
π
π
10-22 某型水轮机主轴的示意图如图所示。水轮机的输出功
率为 N ＝37500kW ，转 速 n ＝150r／ m。已 知轴向推力 Py ＝
4800kN，转轮重 W1＝390kN；主轴的内径 d＝34cm，外径 D＝
75cm，自重 W＝285kN。主轴材料为 45 钢，其许用应力为[ σ ]
＝80 MPa。试按第四强度理论校核主轴的强度。
解：
M n = 9.55 ×
37500
= 2387.5 KN ⋅ m
150
N = Py + Wc + W = 4800 + 390 + 285 = 5475KN
A=
Wp =
N 5475 × 10 3
σ = =
= 15.6
A
0.351
(
)
(
)
π D2 − d 2
π 0.75 2 − 0.34 2
=
= 0.351m 2
4
4
πD 3
π × 0.753
1− a4 =
× 1 − 0.453 4 = 0.0793m 3
16
16
(
)
(
)
τ =
M n 2387.5 × 10 3
=
= 30.1MPa
Wp
0.0793
σ xd 4 = σ 2 + 3τ 2 = 15.6 2 + 3 × 30.12 = 54.4 MPa < [σ ]
10-23 图为某精密磨床砂轮轴的示意图。已知电动机功率 N＝3 kW，转子转速 n＝1400
r/m ，转 子 重 量 Q1 ＝ 101N。砂 轮 直 径 D ＝ 250 mm ，砂 轮 重 量 Q2 ＝ 275 kN 。磨 削力
Py : Pz = 3 : 1 ，砂轮轴直径 d＝50m，材料为轴承钢，[ σ ]＝60MPa。（1）试用单元体表示
出危险点的应力状态，并求出主应力和最大剪应力；（2）试用第三强度理论校核轴的强度。
Q2
Pz
Q2
Py
解：
M n = 9.55
Pz ⋅
N
3
= 9.55 ×
= 0.02046 KN ⋅ m = 20.46 N ⋅ m
n
1400
D
= Mn
2
Pz =
2M n 2 × 20.46
=
= 163.68 N
D
0.25
Py = 3Pz = 491.04 N
显然： Py、Pz、Q1和Q2 相较均可以忽略不计。
故 M max ≈ 275 × 1000 × 0.13 = 35750 N ⋅ m
σ max =
M 35750 35750 × 32
=
=
= 2913MPa >> [σ ]
3
π 3
W
π
×
0
.
05
d
32
10-24 曲柄臂尺寸如图示，若 P＝50 kN，［ σ ］＝90 MPa，试按第三强度理论对 m-m
及臂矩形截面 n-n 截面进行校核。
n
n
解：
m-m： M n = P × 0.17 = 50 × 0.17 = 8.5 KN ⋅ m
M = P(160 + 90) × 10 −3 = 12.5KN ⋅ m
σ xd 3
32 × M n 2 + M 2
πd
3
n-n： M n = P × 90 × 10
−3
=
32 ×
(8.5
2
)
+ 12.5 2 × 10 6
π × 0.12
3
= 89.1MPa < [σ ]
= 4.5 KN ⋅ m
M = P × 140 × 10 −3 = 7 KN ⋅ m
σ =
M
7 × 10 3
=
= 26.667 MPa
W z 7 × 15 2
−6
× 10
6
h 150
=
= 2.14
b 70
a = 0.249
{
ξ = 0.79
Mn
4.5 × 10 3
τ = ξ 2 = 0.79 ×
= 19.42 MPa
ab h
0.249 × 15 × 7 2 × 10 −6
σ xd 3 = σ 2 + 4τ 2 = 26.667 2 + 4 × 19.42 2 = 47.11MPa < [σ ]
10-25 图示传动轴左端伞形齿轮 C 上所受的轴向力 P1=16.5 kN，周向力 P2＝45.5kN，径
向力 P3＝4.14kN。右端齿轮 D 上所受的周向力 P2 ' = 144.9kN ，径向力 P3 ' = 52.8kN ，若
d=8cm，[ σ ]=300MPa，试按第四强度理论对轴进行校核。
3
D
解：
-
M max = 12.1716 2 + 4.4352 2 = 12.95 KN ⋅ m
σ max =
N M max 16.5 × 10 3 12.59 × 10 3
+
=
+
= 3.283 + 257.63 = 260.92MPa
A
Wz
π × 0.08 2
π × 0.083
4
32
M n 3.913 × 10 3
τ =
=
= 38.92MPa
π
Mp
× 0.083
16
σ
xd
4
= σ 2 + 3τ 2 = 260.92 2 + 3 × 38.92 2 = 269.48MPa < [σ ]
10-26 正方形截面的半圆形杆，一端固定一端自由，作用力垂直干半圆平面。其受力和
尺寸如图所示。试按第三强度理论求 B、C 截面上危险点的相当应力。
解：
B 截面： M = 1 × 0.2 = 0.2 KN ⋅ m
M n = 1 × 0.2 = 0.2 KN ⋅ m
σ =
M 6 M 6 × 0.2 × 10 3
= 3 = 2
= 44.4 MPa
Wz
a
3 × 10 −6
τ =
Mn
0.2 × 10 3
=
= 35.6 MPa
Wk 5.616 × 10 −6
(W
= α × a 3 = 0.208 × 33 = 5.616cm 3
k
σ xd 3 = σ 2 + 4τ 2 = 83.90MPa
C 截面： M n = 1 × 0.4 = 0.4 KN ⋅ m
τ =
Mn
0.4 × 10 3
=
= 71.2 MPa
Wk 5.616 × 10 −6
)
σ xd 3 = 2τ = 2 × 71.2 = 142.4MPa
第十一章
q=
变形能法
P
l
2
A
D
l
EI
A
l
l
l
11-1 求图示两等直杆的变形能。已知两杆的抗拉刚度 EA 相同。
解：
N 2 dx
（a） dU =
2 EA
l
N = qx =
P
x
t
P2 x2
P 2l
dx
=
0 2 EAl 2
6 EA
l
U = ∫ dU = ∫
0
l
(b)
x
N = P (1 + )
l
2
x⎞
P ⎜1 + ⎟
l
7 P 2l
l⎠
⎝
U =∫
dx =
0
2 EA
6 EA
2⎛
11-2 两根圆截面直杆的材料相同，尺寸如图所示，其中一根为等截面杆，另一根为变截
面杆，试比较两根杆的变形能。（各杆自重不计）
解：杆（a）
Ua =
P 2l
2P 2l
=
2
π
2 E × d 2 πEd
4
杆（b）
3
l
P2 × l
P2 ×
2
8
4 = 7P l
Ub =
+
2
π
π
2 E × (2d ) 2 2 E × d 2 8πEd
4
4
故
U a 16
=
Ub
7
11-3 图示桁架各杆材料相同，截面面积相等，试求在 P 力作用下，桁架的变形能。
解：
支反力
R Ax = P
R Ay = R B =
P
2
各杆的轴力和变形能如表所示
杆号
1
2
3
4
5
内力 Ni
杆长
2P 2
2l
2 P 2 l (4 EA)
− 2P 2
2l
2 P 2 l (4 EA)
0
各杆的变形能 Ui
l
P 2
P 2
0
l
P 2 l (8EA)
l
P 2l (8 EA)
故珩架的变形能为
5
U = ∑ Ui =
i =1
2 2 + 1 P 2l
P 2l
= 0.957
4
EA
EA
11-4 试计算图示各杆的变形能。
(a) 轴材料的剪切弹性模量为G， d 2 =
3
d1 ；
2
(b) 梁的抗弯刚度EI，略去剪切变形的影响。
解：
（a） M n1 = m
M n2 = m
U1 =
m 2l
4GJ P1
U2 =
m 2l
4GJ P2
J P1 =
π 4
d1
32
J P2 =
π 4 5.06π 4
d2 =
d1
32
32
U = U1 + U 2 =
9.6m 2 l
Gπd14
(b) 支反力
R A = RB =
M
l
M 1 = − R A x1 = −
M
x1
l
（ 0 ≤ x1 ≤
l
）
3
M 2 = RB x 2 =
M
x2
l
（ 0 ≤ x2 ≤
2
U = U AC + U BC
2l
）
3
2
⎛ M ⎞
⎛M ⎞
x1 ⎟
x2 ⎟
l ⎜−
2l ⎜
M 2l
l
l
⎝
⎠
⎝
⎠
3
3
=∫
dx1 + ∫
dx 2 =
0
0
2 FJ
2 EJ
18 EJ
11-5 试求图示悬臂梁的弹性变形能，梁的抗弯刚度为 EI，并求自由端的挠度。
题 11-5 图
解：
M（x）= Px +
qx 2
2
2
⎛
qx 2 ⎞
⎜ Px +
⎟ dx
⎜
2
2 ⎟⎠
l M ( x ) dx
l⎝
1
U =∫
=∫
=
0
0
2 EJ
2 EJ
2 EJ
1
=
2 EJ
δB =
q2 4 ⎞
2 2
3
⎜
∫0 ⎜⎝ P x + qPx + 4 x ⎟⎟⎠dx
l⎛
⎛ P 2 l 3 Pql 4 q 2 l 3 ⎞
⎜
⎟
⎜ 3 + 4 + 20 ⎟
⎝
⎠
∂U
1
=
∂P 2 EJ
⎛ 2 3 ql 2 ⎞ Pl 3 ql 4
⎜ Pl +
⎟=
⎜3
⎟ 3EJ + 8 EJ
4
⎝
⎠
11-6 试求下列图示各梁 A 点的挠度和截面 B 的转角，已知截面抗弯刚度 EI。
解：
（a）
M
a
M
yB =
a
∑MB = 0
yc =
∑MC = 0
M
x1 − M
a
M
M ( x2 ) = − x2
a
M ( x1 ) =
1/2
1/2a
求
δA
1
x1
2
1
M � ( x2 ) = x2
2
⎛M
⎞1
⎛ M ⎞ 1
x 2 ⎟ × x 2 dx 2
⎜ x1 − M ⎟ x1dx1
⎜−
a⎝ a
a⎝
2
a
⎠
⎠ 2
δA = ∫
+∫
0
0
EJ
EJ
3
2
3
1 ⎛M a
M a
M a ⎞
⎜ ⋅
=
−
⋅
−
⋅ ⎟
EJ ⎜⎝ 2a 3
2 2 2a 3 ⎟⎠
M � ( x1 ) =
=−
Ma 2
4 EJ
求 θB
M � ( x1 ) =
1
x1
2a
(向上)
M � ( x2 ) = −
1
x2 + 1
2a
⎛M
⎞ 1
⎛ M ⎞ ⎛ 1
⎞
x1 − M ⎟ x1dx1
− x2 ⎟ × ⎜ −
x2 + 1⎟ dx2
⎜
⎜
a
a
a
a ⎠ ⎝ 2a
⎠ 2a
⎠
θB = ∫ ⎝
+∫ ⎝
0
0
EJ
EJ
1 ⎛ M a3 M a 2 M a3 M a 2 ⎞
=
⋅ − ⋅ +
⋅ − ⋅ ⎟
⎜
EJ ⎝ 2a 2 3 2a 2 2a 2 3 a 2 ⎠
=−
(b)
5Ma
12 EJ
∑MC = 0
∑Y = 0
(顺时针)
8
y B = qa
3
4
y C = qa
3
4
1
qax1 − qx12
3
2
1
M ( x 2 ) = − qx 22
2
M ( x1 ) =
求
δA
1
M � ( x1 ) = − x1
3
M � ( x 2 ) = − x2
a⎛ 1
⎤
1 ⎡ 3a ⎛ 4
1 2 ⎞⎛ 1 ⎞
2⎞
qax
−
qx
−
x
dx
+
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ − qx 2 ⎟(− x 2 )dx 2 ⎥
1
1
1
1
⎢
∫
∫
0
0
EJ ⎣ ⎝ 3
2
⎠⎝ 3 ⎠
⎝ 2
⎠
⎦
1 ⎛ 4
27 a 3 q 81a 4 q a 4 ⎞
⎜ − qa ⋅
=
+ ⋅
+ ⋅ ⎟⎟
EJ ⎜⎝ 9
3
6 4
2 4 ⎠
δA =
=−
qa 4
2 EJ
求 θB
M � ( x1 ) =
1
x1
3a
M � ( x2 ) = 0
1 ⎡ 3a x1 ⎛ 4
q ⎞ ⎤
qax1 − x12 ⎟dx1 ⎥
⎜
⎢
∫
EJ ⎣ 0 3a ⎝ 3
2 ⎠ ⎦
1 ⎛ 4 27 a 3 q 81a 2 ⎞
⎜ q⋅
⎟
=
−
⋅
EJ ⎜⎝ 9
3
6a 4 ⎟⎠
θB =
5qa 3
=−
8EJ
(c)
∑MC = 0
∑Y = 0
MC =
5 2
qa
2
y C = 2qa
5
1
M ( x1 ) = 2qax1 − qa 2 − qx12
2
2
M ( x 2 ) = − qax 2
求
δA
M � ( x1 ) = x1 − 2a
M � ( x 2 ) = − x2
a
⎤
1 ⎡ a⎛
5 2 1 2⎞
2
qax
−
qa
−
qx
(
x
−
2
a
)
dx
+
− qax 2 (− x 2 )dx 2 ⎥
⎜
⎟
1
1
1
1
⎢
∫
∫
0
0
EJ ⎣ ⎝
2
2
⎠
⎦
1 ⎛2 4 5 4 1 4 4 4
1 4 1 4⎞
4
=
⎜ qa − qa − qa − qa + 5qa + qa + qa ⎟
EJ ⎝ 3
4
8
2
3
3
⎠
(
δA =
=
71qa 4
24 EJ
求 θB
M � ( x1 ) = −1
M � ( x2 ) = 0
⎤
1 ⎡ a⎛
5q 2 1 2 ⎞
⎜ 2qax1 − a − qx1 ⎟(− 1)dx1 ⎥
⎢
∫
0
EJ ⎣ ⎝
2
2
⎠
⎦
3
2
1 ⎛5 3 q a
a ⎞
⎜ qa + ⋅
⎟
=
−
2
qa
⋅
EJ ⎜⎝ 2
2 3
2 ⎟⎠
θB =
=−
(d)
5qa 3
3EJ
∑MC = 0
∑Y = 0
M ( x1 ) = − qax1
yB =
yC =
5
qa
2
1
qa
2
)
M ( x2 ) =
求
1
1
qax 2 − qx 22
2
2
δA
M � ( x1 ) = − x1
1
M � ( x2 ) = − x2
2
2a ⎛ 1
1 ⎡ a
1
⎞⎛ 1 ⎞ ⎤
δA =
(
− qax1 )(− x1 )dx1 + ∫ ⎜ qax 2 − qx 22 ⎟⎜ − x 2 ⎟dx2 ⎥
⎢
∫
0 ⎝2
EJ ⎣ 0
2
⎠⎝ 2 ⎠ ⎦
=
1
EJ
⎛1 4 2 4
4⎞
⎜ qa − qa − qa ⎟
3
⎝3
⎠
=
2qa 4
3EJ
求 θB
M � ( x1 ) = 0
M � ( x2 ) = −
1
x2
2a
1 ⎡ 2a ⎛ 1 2 1
⎞⎛ x ⎞ ⎤
− qx 2 + qax 2 ⎟⎜ − 2 ⎟dx 2 ⎥
⎜
⎢
∫
EJ ⎣ 0 ⎝ 2
2
⎠⎝ 2a ⎠ ⎦
1 ⎛ 3 q a 3 q 8a 3 ⎞
⎜ qa + ⋅
⎟
=
− ⋅
EJ ⎜⎝
2 3 4 3 ⎟⎠
θB =
qa 3
=
3EJ
11-7 图示变截面梁，试求在 P 力作用下截面 A 的转角和截面 B 的铅直向位移。
解：
（a） M ( x1 ) = Px1
M (x 2 ) = Pa
M (x3 ) = Px3
求 θA
M 0 ( x1 ) = 1 −
x1
4a
M 0 ( x2 ) =
1
(a + x2 )
4a
M 0 ( x3 ) =
x3
4a
1
θA =
EJ
1 ⎞
1
⎛
∫0 Px1 ⎜⎝1 − 4a ⎟⎠dx1 + 2EJ
a
2a
∫0
1
1
Pa ⋅ (a + x 2 )dx 2 +
4a
EJ
aPx3
∫0
⋅
1
x3 dx3
4a
⎛ a 2 P a3 ⎞
1 ⎛ Pa
P 4a 2 ⎞ 1 P a 3
⎜P⋅
⎟+
⎜
⎟+
−
⋅
2
a
+
⋅
⎜
⎟ 2 EJ ⎜ 4
⎟ EJ ⋅ 4a ⋅ 3
2
4
a
3
4
2
⎝
⎠
⎝
⎠
=
1
EJ
=
Pa 2
EJ
求 δB
M 0 ( x1 ) =
x1
2
M 0 ( x2 ) =
1
(a + x2 )
2
M 0 ( x3 ) =
x3
2
1
δB =
EJ
1
1
∫0 Px1 ⋅ 2 x1dx1 + 2 EJ
a
1 P a3
1
=
⋅ ⋅
+
EJ 2 3 2 EJ
=
（b）
4 Pa 3
3EJ
M (x1 ) = − Px1
⎛L
⎞
M ( x 2 ) = − P⎜ + x 2 ⎟
⎝2
⎠
求 θA
M 0 ( x1 ) = −1
M 0 ( x 2 ) = −1
2a
∫0
1
1
Pa ⋅ (a + x 2 )dx 2 +
2
EJ
aPx3
∫0
⎛ Pa 2
Pa 4a 2 ⎞ 1 P a 3
⎜
⎟
⎜ 2 ⋅ 2a + 2 ⋅ 2 ⎟ + EJ ⋅ 2 ⋅ 3
⎝
⎠
1
⋅ x3 dx3
2
θA =
1
EJ
L
L
⎡ ⎛L
⎤
1
⎞
∫0 (− Px1 )(− 1)dx1 + 2EJ ∫0 2 ⎢⎣− P⎜⎝ 2 + x2 ⎟⎠(− 1)⎥⎦ dx2
2
1
L2
1
=
⋅P⋅
+
EJ
8 2 EJ
=
⎛ PL L
L2 ⎞
⎜
⎟
⎜ 2 ⋅ 2 + P⋅ 8 ⎟
⎝
⎠
5 PL2
16 EJ
求 δB
M 0 ( x1 ) = 0
M 0 ( x2 ) = − x2
L
⎡
⎛L
⎤
δB =
1
2 EJ
∫0 2 ⎢⎣− P⎜⎝ 2 + x2 ⎟⎠(− 1)⎥⎦ dx2
=
1
2 EJ
⎛ PL L2
L3 ⎞
⎜
⎟
⋅
+
P
⋅
⎜ 2 2
⎟
24
⎝
⎠
=
5PL3
96 EJ
⎞
11-8 外伸梁的两支座均为弹性支座，弹簧的刚度（引起单位变形所需的力）分别为 k1
和 k2，已知梁的抗弯刚度 EI，试求外伸端 A 的铅直位移。
解：先求设两支座为非弹性支承时，A 端的铅直位移 δ A1 。
∑MB = 0
⎛ b⎞
y c = P ⎜1 + ⎟
⎝ a⎠
∑MC = 0
yB =
M (x1 ) = −
Pb
a
Pb
x1
a
M (x 2 ) = − Px 2
b
M 0 (x1 ) = − x1
a
M 0 (x 2 ) = − x 2
b
⎤
1 ⎡ a⎛ Pb ⎞⎛ b ⎞
−
x
−
x
dx
+
− Px 2 (− x 2 )dx 2 ⎥
⎜
⎟
⎜
⎟
1
1
1
⎢
∫
∫
0
0
EJ ⎣ ⎝ a ⎠⎝ a ⎠
⎦
2
3
3
1 ⎛ Pb a
b ⎞
⎜
⎟
=
⋅
+
P
⋅
EJ ⎜⎝ a 2 3
3 ⎟⎠
(
δ A1 =
=
Pb 4
(a + b )
3EJ
求两支座为弹性支承时，A 端的铅直位移 δ A2 。
δ A2
所以
Pb 2
P ⎛
b⎞
=
+
⎜1 + ⎟
k1 a k 2 ⎝
a⎠
2
)
δ A = δ A1 + δ A2 =
2
Pb 4
(a + b ) + Pb + P
3EJ
k1a k 2
⎛ b⎞
⎜1 + ⎟
⎝ a⎠
2
q
k1
k2
题 11-9 图
11-9 等直铰接梁 ABC 的载荷如图示，B 为中间铰，已知梁的抗弯刚度 EI。试用单位载
荷法求中间铰 B 左右两截面的相对转角。
解：
2
qx12 qL
M (x1 ) = qLx1 −
−
2
2
M (x2 ) = 0
1
x1 − 2
L
1
M 0 (x2 ) = − x2
L
M 0 (x1 ) =
θ=
1
EJ
1
=
EJ
=
2 ⎞
qx 2
⎜ qLx1 − 1 − qL ⎟⎛⎜ 1 x1 − 2 ⎞⎟dx1
⎜
2
2 ⎟⎠⎝ L
⎠
⎝
L⎛
∫0
⎛ L3
q L4 qL L2
L2
L3
2 ⎞
⎜q ⋅ −
⋅
−
⋅
−
2
qL
⋅
+
q
⋅
+
qL
L ⎟⎟
⎜
3
2
L
4
2
2
2
3
⎝
⎠
7qL3
24 EJ
11-10 求图示各刚架指定截面的位移和转角，略去轴力和剪力的影响，刚架各杆的抗弯
刚度 EI 均相同。
(a) θ A , y A ；(b) θ B , y A ；(c) θ A , x B , y C ；(d) y C ；(e) θ A , y C 。
解 ：（ a） θ A =
1
yA =
EJ
（b）
1
EJ
⎛ 1 qa 2
⎞ 2qa 3
qa 2
⎜ ⋅
⎟=
⋅
a
⋅
1
+
⋅
a
⋅
1
⎜3 2
⎟ 3EJ
2
⎝
⎠
⎛ 1 qa 2
⎞ 5qa 4
3a qa 2
⎜ ⋅
⎟
⎜ 3 2 ⋅ a ⋅ 4 + 2 ⋅ a ⋅ a ⎟ = 8 EJ
⎝
⎠
1
θB =
EJ
⎛ 1 qa 2
1⎞
qa 3
⎜− ⋅
⎟
⎜ 2 2 ⋅ a ⋅ 3 ⎟ = − 12 EJ
⎝
⎠
yA =
1
EJ
⎛ 1 qa 2
3a 1 qa 2
2 ⎞ 7 qa 4
⎜ ⋅
⋅
a
⋅
+
⋅
a
⋅
a ⎟⎟ =
⎜3 2
4
2
2
3
⎝
⎠ 24 EJ
θA =
1
EJ
⎛ 2 qa 2 a ⎞
qa 3
⎜⎜ ⋅
⋅ ⎟⎟ =
⎝ 3 8 2 ⎠ 24 EJ
XB =
1
EJ
⎛ 2 qa 2
⎞ qa 4
⋅
⋅
a
⋅
a
⎜
⎟=
⎝3 8
⎠ 12 EJ
（c）
YC =
1
EJ
⎛ 2 qa 2 a 5 a ⎞ 5qa 4
⎜⎜ 2 ⋅ ⋅
⋅ + ⋅ ⎟⎟ =
⎝ 3 8 2 8 4 ⎠ 384 EJ
(d)
YC =
2
EJ
⎛ 1 Pa
2 a Pa
a 5Pa a 1 19a ⎞ 51Pa 3
⎜⎜ ⋅
⎟=
⋅a⋅ ⋅ +
⋅a⋅ +
⋅ ⋅ ⋅
3 2 2
2
4
2 2 30 ⎟⎠ 48 EJ
⎝2 2
(e)
θA =
YC =
1
EJ
1
EJ
1
2 ⎞ 4Ma
⎛
⎜ M ⋅ a ⋅1 + M ⋅ a ⋅ ⎟ =
2
3 ⎠ 3EJ
⎝
a 1
2 ⎞ 5Ma 2
⎛
M
⋅
a
⋅
+
M
⋅
a
⋅
a⎟ =
⎜
2 2
3 ⎠ 6 EJ
⎝
11-11 刚架各部分的 EI 相等，试求在图示一对 P 力作用下，A、B 两点间的相对线位移。
解：
（a）
X AB =
2 1
2
1
Ph 2 (2h + 3a )
⋅ ⋅ ph ⋅ h ⋅ h +
⋅ ph ⋅ a ⋅ h =
EJ 2
3
EJ
3EJ
（b）忽略轴力的影响
X AB =
2
EJ
3
Pl
∫ (P × sin 45 )dx = 3EJ
l
�
0
11-12 图示变截面悬臂梁，自由端 A 受集中力 P =1 kN 作用，材料的弹性模量 E=200 GPa，
A
α = 45�
P
10
A
a
A
求 A 点的挠度（长度单位：mm）。
解： M ( x ) = − PX
a
EI C
M 0 ( x) = − x
b ( x ) = 20 +
x
5
x⎞
⎛
20 + ⎟ × 103
⎜
b ( x) h ⎝
5⎠
J ( x) =
=
12
12
l ( − Px )( − x ) dx
P l
x 2 ⋅12
fy = ∫
= ∫
dx
0
x⎞
EJ ( x )
E 0⎛
3
⎜ 20 + ⎟ × 10
5⎠
⎝
3
=
60 P
E × 103
400
2
⎡1
⎤
2
⎢⎣ 2 (100 + x ) − 200 × (100 + x ) + 100 ln (100 + x ) ⎥⎦
0
60 P ⎛ 1
1
⎞
× 5002 − 200 × 500 + 1002 ln 500 − × 100 + 200 × 100 − 1002 ln100 ⎟
3 ⎜
E × 10 ⎝ 2
2
⎠
60 P
=
(12.5 ×104 − 10 ×104 + 6.21×104 − 0.005 ×104 + 2 ×104 − 4.61×104 )
E × 103
60 × 103
=
× 6.1× 104 × 103
9
3
200 ×10 ×10
= 0.0183 m
= 18.3 mm
=
11-13 图示结构在截面 C 处受垂直集中力 P 的作用，试用能量法计算截面 C 的垂直位移 。
设 BC 杆的抗弯刚度为 EI，AD 杆的拉压刚度为 EA，BD＝DC＝a。
解：
外力作用下得
YB = P
,
YD = 2 P
,
N AD = 2 2 P
在单位力（C 点）作用下得
YB0 = 1
,
YD0 = 2
0
N AB
=2 2
,
a
1 ⎡ a
1
(
− Px1 )(− x1 )dx1 + ∫ (− Px 2 )(− x 2 )dx 2 ⎤ +
2 2 P × 2 2 × 2a
∫
⎥⎦ EA
0
EJ ⎢⎣ 0
2 Pa 3 8 2 Pa
=
+
3EJ
EA
fC =
11-14 图示桁架的各杆拉压刚度 EA 均相同，在 P 力作用下，求节点 A 的位移和 AB 杆
的转角。
解：
'1)
"1)
（1）求 P 力作用下各杆的内力，得 Np 图；
（2）在 A 点加水平和垂直方向的单位力，为了求 AB 杆的转角，在 B 点也加水平单位
'
''
力，计算各杆的内力，得 N i , N i , N i ，如图示。
（3）求 xA、y A 和 θ AB ，由
n
∆=∑
i =1
得
N ip i N i1 ili
EA
1 ⎡
P ⋅1 ⋅ l + − 2 P − 2
EA ⎣
1
Pl
yA =
( P ⋅1 ⋅ l ) = −
(↑)
EA
EA
xA =
(
)(
)
Pl
2l ⎤ =
1+ 2 2
⎦ EA
(
)
(←)
1
−NP ⋅ N " ) = 0
(
EA
x A + xB
P
=
=
1+ 2 2
l
EA
xB = ∑
θ AB
(
) (↖)
A
A
C
L
11-15 桁架结构尺寸受载如图示，各杆的抗拉压刚度均相同，试求：(a) A 点的铅直位移 ，
(b) 节点 A 和 E 之间的相对位移。
解：
④
①
③
⑤
④
⑧
⑦
⑥
①
⑤
⑦
⑥
⑨
②
③
⑧
⑨
②
0
各杆编号如图示，分别计算出外载内力 N i 、A 点作用铅直向下单位力时内力 N i 及在节点
'
A.E 处分别加一单位力时各杆内力 N i ，列表计算如下：
标号
1
N i0
Ni
−
4
2P
3
−
4
P
3
4
P
3
2
3
2
3
4
− P
3
4
5
−
1
3
−
2
3
2
3
b
16 2
Pb
9
b
8 / 9Pb
b
−4 / 9Pb
b
8 / 9Pb
2
2
2
2
2
−1
1/3
Ni N i0 li
li
0
0
−
P
3 2
5P / 3
6
2
2
3
N i0'
2 /
2b
N i N i0' li
0
0
2 2 / 3Pb
−2 2 / 3Pb
− 2 / 9 Pb
b
5 / 9 Pb
b
0
1/ 3 Pb
5 2 / 6 Pb
2
7
0
0
2 /
0
2
8
9
yA
5 2P
−
3
2
−
3
5P / 3
1/3
0
i i
∑N N l
=
∆ AE
i
EA
=
0
0
2b
b
10 2 / 9 Pb
5 / 9 Pb
Pb ⎛ 25
22 ⎞
Pb
2 + ⎟ = 6.372
⎜
EA ⎝ 9
9 ⎠
EA
0
0
(↓)
1⎞
⎛5
2 + ⎟ Pb
⎜
Pb
3⎠
∑ Ni N l = ⎝ 6
=
= 1.511
EA
EA
EA
0'
i i
11-16 刚架各段杆的 EI 为已知，试求在缺口 A 截面处由于 P 力引起的位移。
解：
0
在 A 加相反的两水平单位力，作 M P 图和 M 图如图。
1 Ph h Ph 2
ω1 = ⋅
⋅ =
2 2 2
8
2 h h
M C01 = ⋅ =
3 2 3
Ph
Pha
h
⋅a =
M C02 =
2
2
2
0
∑ ωM C = 1 ( 4ω ⋅ M 0 + 2ω ⋅ M 0 )
∆ 水平
=
A
1
C1
2
C2
EJ
EJ
1 ⎛
Ph 2 h
Pha h ⎞
=
× + 2×
× ⎟
⎜ 4×
EJ ⎝
8 3
2
2⎠
ω2 =
=
Ph 2 ⎛ h
⎞
⎜ + a⎟
2 EJ ⎝ 3
⎠
A
30�
30�
L
h
a
L
L
11-17 在图示结构中各杆的 E、I、A 均相同，试求在一对 P 力作用下，节点 A，B 的相
对位移。如仅在节点 A、B 处加一对等值反向的 P 力，则 C、D 两处的相对位移是多少？
解：
AE、AF、BE、BF 各杆轴力为零，画 M D 图；在 A、B 各点加一等值共线反向力“1”，各
0
杆轴力均为“1”，作 M 图，如图示。
1
2ω1 ⋅ M C01 + ω2 ⋅ M C02
EJ
⎞
1 ⎛ 1 Pl l 5 3l Pl
=
+ ⋅ l ⋅ 3l ⎟⎟
⎜⎜ 2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
EJ ⎝ 2 2 2 6
2
⎠
Pl 3 ⎛ 5 3
3⎞
=
+
⎜⎜
⎟
EJ ⎝ 24
2 ⎟⎠
∆ AB =
=
(
)
17 3 Pl 3
24 EJ
根据位移互等定理，若在 A、B 处加一对等值反向的力 P，则
∆ CP = ∆ AB =
17 3 Pl 3
24 EJ
11-18 试证明在图示两相同的悬臂梁上，图(a)截面 A 的挠度和图(b)截面 B 的挠度相等。
证明：在（a）图 A 点加单位力，在（b）图 B 点加单位力。
P
P
A
B
B
a
a
L
(a)
(b)
在图（a）中，
yA =
1
EJ
∫
a
0
M ( x ) ⋅ M 0 ( x ) dx =
1
EJ
∫
a
0
P ⋅ ( l − a + x ) ⋅ xdx
a
P ⎡
x 2 x3 ⎤
P ⎡
a 2 a3 ⎤
=
( l − a ) + ⎥ = ⎢( l − a ) + ⎥
EJ ⎢⎣
2 3 ⎦ 0 EJ ⎣
2 3⎦
在图（b）中
1 a
1
M ( x ) ⋅ M 0 ( x ) dx =
∫
EJ 0
EJ
P ⎡
a 2 a3 ⎤
=
l
−
a
+
(
)
EJ ⎢⎣
2 3 ⎥⎦
yB =
∫
a
0
Px ⋅ ( l − a + x ) dx
证毕。
11-19 图示刚架的各组成部分的抗弯刚度 EI 相同，抗扭刚度 GIp 也相同。在 P 力作用下 ，
试求截面 A 和 C 的水平位移。
解：
AD 段， M 1 = Px1
, M n1 = 0
CD 段， M 2 = Px2
, M n2 = 0
DB 段， M 3 = P ( a + x3 ) + Px3 = Pa + 2 Px3
, M n 3 = Pa
0
在 A 点作用一个水平单位力，如图，各段 M n 均为零。
M 10 = x1
∴
M 20 = 0
M 30 = a + x3
a
1 ⎡ a
Px
⋅
x
dx
+
1
1
∫0 ( Pa + 2 Px3 )( a + x3 ) dx ⎤⎥⎦
EJ ⎢⎣ ∫0
a
⎤
1 ⎡ Px13 a
2
2
=
0 + P ∫0 ( a + ax3 + 2 ax3 + 2 x3 ) dx ⎥
⎢
EJ ⎣ 3
⎦
XA =
=
P ⎛ a3
3 3 2 3 ⎞ 21 Pa 3 7 Pa 3
3
+
a
+
a + a ⎟=
=
⎜
EJ ⎝ 3
2
3 ⎠ 6 EJ
2 EJ
在 C 点作用一水平单位力，各段弯矩和扭矩分别为
0
M n01 = 0
0
M n02 = 0
0
M n03 = a
AD 段， M 1 = 0
CD 段， M 2 = x2
DB 段， M 3 = x3
a
1 ⎡ a
Pa ⋅ a ⋅ a ⎤
⎢ ∫0 Px2 ⋅ x2 dx + ∫0 ( Pa + 2 Px3 ) x3dx +
⎥
EJ ⎣
GJ P ⎦
1 ⎛ Pa 3 P 3 2 P 3 ⎞ Pa 3
=
+ a +
a ⎟+
⎜
EJ ⎝ 3
2
3
⎠ GJ P
XC =
=
⎛ 3
3 Pa 3 Pa 3
1 ⎞
+
= Pa3 ⎜
+
⎟
2 EJ GJ P
⎝ 2 EJ GJ P ⎠
11-20 图示水平刚架各部分的 EI、GIp 相等，A 处有一缺口，受一对垂直于刚架平面的
铅直力 P 作用，试求缺口两侧的相对位移δ。
解：
（1）计算由 P 力和单位力产生的内力：
AB 段
M 1P = − Px1
, M10 = − x1
BC 段
M 2 P = − Px2
, M 20 = − x2
M 2n = − P ⋅
CF 段
a
2
, M 20n =
⎛a
⎞
M3p = P ⋅⎜ − x ⎟
⎝2
⎠
M 3n = Pb
a
2
, M 30p =
a
−x
2
, M 30n = b
（2）求 ∆ A
2
2
⎡ a/2
⎤⎤
b
a/2
a/2
2 ⎡ b ⎛a⎞
⎛a
⎞
2
2
⎢ ∫0 Px1 ⋅ x1dx + ∫0 Px2 dx + ∫0 P ⎜ − x ⎟ dx +
⎢ ∫0 P ⎜ ⎟ dx + ∫0 Pb dx ⎥ ⎥
GJ n ⎣⎢
⎝2
⎠
⎝2⎠
⎢⎣
⎦⎥ ⎥⎦
2
3
⎡ a3
⎤
⎡
⎛a⎞ ⎛a⎞ ⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
2 ⎢
b3
a2 a
2 ⎛ Pa 2b Pb 2 a ⎞ ⎥
2⎠ ⎝2⎠ ⎥
⎝
8
⎢
=
P⋅ + P⋅ + P
⋅ − a⋅
+
+
+
⎜
⎟
⎢4 2
EJ ⎢
3
3
2
3 ⎥ GJ n ⎝ 4
2 ⎠⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢⎣
⎥⎦
⎣
⎦
P
Pab ⎛ a
⎞
=
a 3 + 4b3 ) +
(
⎜ + b⎟
6 EJ
GJ n ⎝ 2
⎠
2
∆A =
EJ
11-21 试求下列平面圆弧曲杆指定点的位移，杆的抗弯刚度 EI 已知，略去轴力和剪力的
影响。（a）yA，xA；（b）xA ，yB
解：
a）分别在 A 点加水平和垂直单位力如图。
M p = PR (1 − cos θ )
M 0 = − R sin θ
M ⊥0 = R (1 − cos θ )
1 π
PR (1 − cos θ ) ⋅ ( − R sin θ ) Rdθ
EJ ∫0
π
PR 3 π
=
− sin θ ) dθ + ∫ cos θ sin θ dθ
(
∫
0
EJ 0
PR 3 ⎡
1 π
⎤
=
cos θ π0 + ∫ sin 2θ dθ ⎥
⎢
0
EJ ⎣
2
⎦
xA =
=−
2 PR3
EJ
(←)
1 π
PR (1 − cos θ ) ⋅ R (1 − cos θ ) Rdθ
EJ ∫0
PR 3 π
=
(1 − 2 cosθ + cos2 θ ) dθ
EJ ∫0
3PR 3
=−
2 EJ
yA =
（b） M P = −
P
R
( R − R cos θ ) ， M A0 = − R sin θ ， M B0 = − (1 − cos θ )
2
2
2 π 2 PR3
(1 − cos θ ) ⋅ sin θ dθ
EJ ∫0 3
PR 3 π 2 ⎛
1
⎞
=
sin θ − sin 2θ ⎟dθ
⎜
∫
0
EJ
2
⎝
⎠
xA =
=
PR 3 ⎡
⎢ − cos θ
EJ ⎣⎢
PR 3
=
EJ
π
2
0
1
1
+ ⋅ cos 2θ ⋅
2
2
π
2
0
⎤
⎥
⎦⎥
⎡ 1
⎤
⎢⎣1 + 4 ( −1 − 1) ⎥⎦
PR 3
=
2 EJ
2 π 2 PR 3
2
(1 − cos θ ) dθ
∫
0
EJ
4
3 π
PR
2
=
1 − 2 cos θ + cos 2 θ )dθ
(
∫
0
2 EJ
π
⎤
PR 3 ⎡ π2
1 π2
2
=
θ
−
2
⋅
sin
θ
⋅ ∫ (1 + cos 2θ ) dθ ⎥
⎢ 0
0 +
2 EJ ⎢⎣
2 0
⎥⎦
yB =
π
⎡
⎤
PR 3 ⎢ π
1 ⎛π ⎞ 1 ⎛ 1
⎞2 ⎥
=
− 2 + ⋅ ⎜ ⎟ + ⋅ ⎜ sin 2θ ⎟
2 EJ ⎢ 2
2 ⎝ 2⎠ 2 ⎝2
⎠0 ⎥
⎣
⎦
PR 3 ⎛ 3π
⎞
− 2⎟
⎜
2 EJ ⎝ 4
⎠
3
PR
=
( 3π − 8 )
8 EJ
=
11-22 有一钢制圆环，其平均半径为 R，抗弯刚度为 EI，于某一点处沿径向切开，缝中
置放一小块体，使环张开如图示，块体的宽度 e，试求环中的最大弯矩。
解：设块体对圆环作用一对相反力 P，加单位力。
e
M P (θ ) = PR (1 − cos θ ) ， M 0 (θ ) = R ⋅ (1 − cos θ )
2 π
2
PR3 (1 − cos θ ) dθ
∫
0
EJ
2 PR 3 π
=
1 − 2 cos θ + cos 2 θ ) dθ
(
∫
0
EJ
2 PR 3 ⎡
1 π
π
=
θ
−
2sin
θ
+
(
)
(1 + cos 2θ ) dθ ⎤⎥
∫
0
⎢
0
EJ ⎣
2
⎦
3
2 PR ⎡
1
π ⎤
=
π + (θ )0 ⎥
⎢
EJ ⎣
2
⎦
e=
3PR3π
=
EJ
∴ P=
EJ ⋅ e
3R 3 ⋅ π
当 θ =π 时
M max = PR (1 − cos π ) =
EJ ⋅ e
2 EJ ⋅ e
⋅ R ⋅2 =
3
3R ⋅ π
3 π R2
11-23等截面曲杆BC的轴线为3／4圆 周，若 AB杆可
视为刚性杆，试求P力作用下，截面A的水平位移及垂
直位移。
解：
在 B 处加水平及垂直单位力如图所示。曲杆的弯
A
R
0
矩方程 M P (θ ) 、 M ⊥ (θ ) 及
M �0 (θ ) 为下列各式：
M P (θ ) = PR cos θ
，
题 11-23 图
M ⊥0 (θ ) = R (1 − cos θ ) ， M �0 (θ ) = R ⋅ sin θ
1 32π
PR cos θ ⋅ ( cos θ − 1) R ⋅ Rdθ
EJ ∫0
PR 3 32π
=
cos 2 θ − cos θ ) dθ
(
∫
0
EJ
3π
⎤
PR 3 ⎡ 32π 1
2
=
1
+
cos
2
θ
d
θ
−
cos θ dθ ⎥
(
)
⎢ ∫0
∫
0
EJ ⎣
2
⎦
δ B⊥ =
PR 3 ⎡ 1 3π 2 1 sin 2θ
=
θ 0 + ⋅
EJ ⎢⎣ 2
2
2
3
PR ⎛ 3π
⎞
=
+ 0 + 1⎟
⎜
EJ ⎝ 4
⎠
PR3
= 3.36
EJ
(↓)
3π
0
2
− sin θ
3π
0
2
⎤
⎥⎦
1 32π
PR cos θ ⋅ R ⋅ sin θ ⋅ Rdθ
EJ ∫0
PR 3 32π 1
=
sin 2θ dθ
EJ ∫0 2
3π
PR3 1 1
=
⋅ ⋅ ( − cos 2θ ) 0 2
EJ 2 2
PR 3 1
=
⋅ ⋅ (1 + 1)
EJ 4
PR3
=
2 EJ
δ B� =
11-24 一开有微小缺口的圆环，在均匀外压 p 作用下，试求缺口处的相对位移δAB，已
知环的截面抗弯刚度 EI。
解：利用对称性，取半圆 ADC 作受力分析，C 截面视作刚性固定
θ
M = ∫ R 2 R sin (θ − ϕ ) dϕ = R 2 p (1 − cos θ )
0
在 A 点沿切线加单位力 1，则有
M 0 = R (1 − cos θ )
2
∆ AB = R ∫
π
0
R 4 p (1 − cos θ ) dθ 3R 4 pπ
=
EJ
EJ
11-25 图示为一水平放置的 1／4 圆弧曲杆，它的抗弯刚度 EI 和抗扭刚度 GIp 均为已知。
试求在铅垂方向的 P 力作用下，自由端 B 处的铅垂位移。
0
解：在距自由端 B 为 ϕ 截面处外载荷及单位载荷的内力如图所示，（括号内 M 0 ， M n
表示单位力）在 ϕ 截面内力
M = PR sin ϕ ， M 0 = R sin ϕ
M n = PR ( cos ϕ − 1) ， M n0 = R ( cos ϕ − 1)
1 π2
PR ( cos ϕ − 1) R ( cos ϕ − 1) Rdϕ
GJ ∫0
1 π2
+
PR sin ϕ R sin ϕ Rdϕ
EJ ∫0
π PR3 PR3 ⎛ 3π
⎞
=
+
− 2 ⎟ (↓ )
⎜
4 EJ GJ n ⎝ 4
⎠
δB =
11-26 半圆形小曲率曲杆的 A 端固定，在自由端作用扭转力偶矩 Me。曲杆横截面为圆形 ，
其直径为 d。试求 B 端的扭转角。
解：
由 M e 在任意截面上引起的内力：
M θ = M e sin θ
M n = M e cos θ
——弯矩
——扭矩
由单位离 1 在该截面上引起的内力：
M θ0 = sin θ
M n0 = cos θ
——弯矩
——扭矩
自由端 B 的扭转角 ϕ B
M θ M θ0
M M0
ds + ∫ n n ds
S
S GJ
GJ
p
ϕB = ∫
MeR π 2
MeR π
sin
θ
d
θ
+
cos 2 θ dθ
∫
∫
0
0
EJ
GJ P
32M e ⋅ R 16M e ⋅ R
=
+
Ed 4
Gd 4
16M e ⋅ R ⎛ 2 1 ⎞
=
+
d 4 ⎜⎝ E G ⎟⎠
=
Mn
45�
B
45�
Me
Me
题 11-27 图
11-27 图 示 简 易 吊 车 的 吊 重 P ＝ 2.83 kN 。 撑 杆 AC 长 为 2m ， 截 面 的 惯 矩
I = 8.53 ×10 6 mm4。拉杆 BD 的横截面面积为 600 mm2。如撑杆只考虑弯曲的影响，试求 C
点的垂直位移。设 E＝200GPa。
解：
∑M
A
=0
N BD = 2 P = 4 KN
0
N BD
=
2
2
AC 杆由于 P 及单位力引起的弯矩图如（a）及(b)所示。则有，
⎛
1× 4
1 2
2⎞
δ C = 2 × ⎜ 1× 2 × × ×
2 = 0.0599 ×10 −2 m = 0.599 mm
⎟ EJ +
2 3 2 ⎠
EA
⎝
11-28 刚架受力作用如图示，欲使 C 点由于弯曲作用所产生的位移发生在沿 P 力 方 向 ，
π
区间内变化，试确定 α 值。
2
解：由外力分解后得 P sin α ， P cos α ，它们分别产生弯矩见图 a,b。由与之对应的单
而 α 角在 0 < α <
位力 1 引起的弯矩图见 c，d。
由图乘法可得垂直位移 δ cv 和水平位移 δ CH 分别为
1 2
1
P ⋅ l ⋅ sin α ⋅ L ⋅ × L
PL
cos α ⋅ L ⋅ ⋅ L
2 3 + L ⋅ P ⋅ sin α ⋅ L ⋅ L −
2
δ cv =
EJ
EJ
EJ
Pl 3 ⎛
3
⎞
=
⎜ 4sin α − cos α ⎟
3EJ ⎝
2
⎠
− LP ⋅ sin α ⋅ L ⋅
δ CH =
δ cv
δ CH
EJ
L 2L
L
PL cos α ⋅ ⋅
3
2 3 = Pl ( 2 cos α − 3sin α )
2+
EJ
6 EJ
3
⎛
⎞
2 ⎜ 4sin α − cos α ⎟
2
⎠ = tgα
= ⎝
( 2 cos α − 3sin α )
8 − 3ctgα = 2 − 3tgα
ctgα − tgα = 2 ，
∵
tg 2α =
2tgα
1 − tg 2α
2tgα
=1
1 − tg 2α
α
l
b
T2
B
h
T1
tg 2α = 1 ， α = 22.5�
∴
11-29 图示矩形截面梁 AB，设其底面和顶面的温度分别升高 T1oC 和 T2oC，沿横截面高
度按线性规律变化，试用单位载荷法计算 A 端横截面的铅垂位移和水平位移。
解：
dθ =
∵
a ( T1 − T2 ) dx
h
M = EJ
d 2v
dx 2
l
MM y0 dx
0
EJ
yA = ∫
∴
=
d 2 v a (T1 − T2 )
=
dx 2
h
M = EJa ( T1 − T2 ) h
al 2
(T1 − T2 )
2h
MM x0 dx
l
= a (T1 − T2 )
0
EJ
2
xA' = ∫
l
求 的
单位力
求水平位移
的单位力
''
由于梁轴线因 T1 ， T2 影响将发生平位移 xA
xA'' = a (T1 + T2 )
∴
l
2
xA = xA' + xA'' = a ⋅ L ⋅ T1
11-30 图示三角支架，两杆横截面面积均为 A ，材料相同，材料的应力-应变关系是
σ = B ε ，其中 B 为常数，这一关系对于拉伸和压缩是相同的。试用虚功原理求 A 节点的
水平位移与铅直位移。
解：
L2 = L cos α ， L1 = L
N2 =
P
sin α
， N1 = Pctgα
2
⎛ σ ⎞ ⎛ Pctgα ⎞
ε1 = ⎜ 1 ⎟ = ⎜
⎟
⎝ B ⎠ ⎝ A⋅ B ⎠
P
⎛
⎞
ε2 = ⎜
⎟
⎝ A ⋅ B sin α ⎠
2
2
⎛ Pctgα ⎞
∆1 = L ⋅ ε1 = l ⋅ ⎜
⎟
⎝ A⋅ B ⎠
∆2 =
2
l
l ⎛
P
⎞
⋅ε2 =
⋅⎜
⎟
cos α
cos α ⎝ A ⋅ B sin α ⎠
δ AV = N10 ⋅ ∆1 + N 20 ⋅ ∆ 2 =
∆1 cos α + ∆ 2
sin α
δ AH = N10 ⋅ ∆1 + N 20 ⋅ ∆ 2 = ∆1
2
第十二章 超静定系统
12-1 试问下列结构(梁或刚架)中那些是静定的?哪些是超静定的?若是超静定的,试说明它
的次数。
答：a ,
b,f,
d,e,
g,h,
c,
静定
一次超静定
二次超静定
三次超静定
几何可变
12-2 试求下列各超静定梁的支反力，设各梁均为等截面梁，其抗弯刚度为 EI。
a)解：图 a 可分解如下图
f BP + f BR = 0 ---------（1）
Pl 2
L
5 PL
(3L − ) = −
24 EI
2
48 EI
3
R L
= B
3EI
f BP = −
f BR
代入（1）式得
RB =
5
11
3PL
P(↑) ; R A = (↑) ; M A =
（�）
16
16
16
b)解：设支承 B 反力为 R B
由 P 和 R B 共同作用下 B 点的总挠度要求为零，即有
f BP + f BR = 0
RB L3
PL2
−
(3 × 1.5L − L) +
=0
6 EI
3EI
7
3
P ↑ ; RC = P ↓
4
4
1
M C = PL （�）
4
RB =
()
()
c)解：设支承 B 反力为 R B ，则必定有
f BP + f BR = 0 ---------（1）
Pb[3(2l ) 2 − 4b 2 ]
48EI
3
RB (2l )
RB l 3
=
=
48EI
6 EI
f BP = −
f BR
代入(1)式 得 R B =
d)解：
Pb(3l 2 − b 2 )
2l 3
∵ f BM + f BRP = 0
Ml 2
,
2 EI
( R − P)
f BRP = B
l,
3 EI
RB − P 3 M 0 l 2
l =
;
3 EI
2 EI
3M 0
RB − P =
2l
3M 0
RB =
+ P (↑ )
2l
3M 0
RA =
(↓ )
2l
f BM = −
M A = − M 0 （�）
e)解：e 图可由下图 e’和 e”叠加而成
f qp + f RB = 0 − − − − − (1)
(ql )( 32 l ) 2
ql 4 ql 3
3l
−
⋅l −
(6l − )
8EI 6 EI
6 EI
2
95
=−
ql 4
48 EI
R (2l ) 3 8l 3
f RB = B
=
RB
3EI
3EI
f qp = −
因为
代入（1）式得
95ql
161`
(↑) ； R A =
ql (↑) ；
128
256
33
M A = − ql 2 （�）
64
RB =
f)解：A , B 端转角为零，则有：
θ Aq0 + θ AM A , M B = 0 ----------（1）
θ Bq0 + θ BM A , M B = 0 ----------（2）
式中，
θ Aq0 = −
8q 0 l 3
；
360 EI
θ AM A , M B =
θ Bq0 =
7q0 l 3
360 EI
M A ⋅l M B ⋅l
+
3EI
6 EI
θ BM A , M B = −
M B ⋅l M A ⋅l
−
3EI
6 EI
将以上 θ 表达式代入（1），（ 2）联立求解得：
1
q0 l 2 ；
20
7
RA =
q0l
；
20
MA =
1
q0 l 2 ；
30
3
RB =
q0l
20
MB =
12-3 梁AB的一端固定，另端由拉杆拉住，梁与杆系用同一材料两成，其弹性模量为 E，
梁截面惯矩为I，拉杆的截面积为A，梁上承受均布载荷q，试求拉杆BC的内力。
解：AB 梁的 B 端有拉杆支承，B 点由于 BC 杆的伸长而下沉 ∆ B ，同时悬臂梁 AB 在均布
载荷 q 及拉杆 BC 的拉力作用下发生在 B 点的位移也是 ∆ B
ql 4 N BC ⋅ l 3 N BC ⋅ l
+
=
8EI
3EI
EA
l
l
ql 4
N BC (
−
)=
3EI EA
8EI
−
∴
N BC =
ql 3
8I
(
l2 1
3qAl 2
− )=
（拉）
3I A
8(l 2 A − 3I )
12-4 两悬臂梁 AB 及 CD 中央并不固接，而以方块支持如图示。当受集中力 P 作用力后，试
问两梁如何承担 P 力? 已知: L1 = 3m, L2 = 2m, P = 10kN , EI 1 : EI 2 = 4 : 5 。
解：解除约束，受力如图。
U = U AB + U CD = ∫
L2
=∫
L2
0
2
2
M AB
dx
M CD
dx
+∫
L1 2 EI
2 EI 2
1
2
L1 ( − Nx ) dx
[( N − P) x] 2 dx
+∫
0
2 EI 2
2 EI 1
( N − P) 2 L32 N 2 L13
=
+
6 EI 2
6 EI 1
=
4( N − P) 2 9 N 2
+
3EI 2
2 EI 1
由卡氏定理得
∂U
=0
∂N
2 × 9 N 8( N − P)
+
=0
2 EI 1
3EI 2
算得
故 N =
8I1
P
2TI 2 + 8I 1
N = 1.9 KN
∴ AB 梁受力
PAB = P − 1.9 = 10 − 1.9 = 8.1KN
CD 梁受力
PCD = N = 1.9 KN
方向向下
方向向下
12-5 变截面超静定梁 ABC，试求支座 A,C 的反力。
解：解除约束，受力如图
l
2
0
U =∫
l
[ RC x − p ( x − )] 2
( RC x)
2 dx
dx + ∫
l
2
2 EI
2 × 2 EI
2
因为 ∆ cy = 0
1
EI
l
2
0
∫
RC x 2 dx +
l
由卡氏定理得
1
2 EI
l
∫ [R
l
2
C
∂U
=0
∂RC
l
x − P( x − )]xdx = 0
2
RC l 3 1
1
l3
P⋅l 1 2 l2
( ) + [( RC − P) (l 3 − ) +
⋅ (l − )] = 0
3 2
2
3
8
2 2
4
5
RC = P
18
由平衡条件得
13
P
18
l
2
M A = RC l − P ⋅ = − Pl （方向与图示相反）
2
9
R A = P − RC =
12-6 梁ABC与杆BD系用同一材料制成，梁的 A端固定，在B点与杆BD相铰接如图示。梁上
承受均布荷重q，梁截面的惯矩为I，杆的截面积为A。试求BD杆的内力。
解：截开 BD 杆，系统受力如图
2
U=
利用
2
[
3a
a (q x )
N 2 5a
2
+∫
dx + ∫
0
a
2 EA
2 EI
∂U
= 0 ， sin θ = 1
∂N
qx 2
− N sin θ ( x − a)]2
2
dx
2 EI
5 有
N 5a 1 3a qx 2
+
[
− N sin θ ( x − a)][− sin θ ( x − a )]dx = 0
EA
EI ∫a 2
N 5a
1
8 Na 3 17 4
+
⋅(
− qa ) = 0
EA
3
EI 5 3 5
17 qQ
N=
8 5 15 I
+
5
Aa 2
12-7 试求下列等截面刚架的支反力。截面抗弯刚度为 EI，略去轴力与剪力的影响。
（a）解：如图解除约束
U BC
U AB
q 2 2
x1 ) dx
2
=∫
0
2 EI
ql 2 2
ql 2
l 2
(
R
l
−
)
[
R
l
−
−
P
(
x
−
)]
l
C
C
2
l
2
2
2
2
=∫
dx + ∫l
dx
0
2 EI
2 EI
2
( RC x1 −
l
U = U BC + U AB
∂U
∵
=0
∂RC
∴
1
EI
∫
l
0
( RC x1 −
∴ RC =
q 2
1
x1 ) x1 ⋅ dx +
2
EI
l
2
0
∫
( RC l −
ql 2
1
) ⋅ l ⋅ dx +
2
EI
l
∫l [ RC l −
2
ql 2
l
− P( x 2 − )]ldx = 0
2
2
3( P + 5ql )
32
有平衡条件：
R A = ql − RC =
17ql − 3P
32
HA = P
M A = RC l −
ql 2
l
ql 2 + 13Pl
− P⋅ = −
2
2
32
（b）解： 解除约束如图
l
l
l
1
2
2
( ∫ M 2 AB ⋅ dx + ∫ M BC
⋅ dx + ∫ 2 M CP
dx)
0
0
2 EI 0
l
l
l
1
l2
l 2
2
=
[ ∫ ( M 0 − RD l − Px + P )dx + ∫ ( RD x − P ) ⋅ dx + ∫ ( Px) 2 dx]
0
0
2 EI 0
2
2
U = U AB + U BC + U CD =
利用 ∆ DY = 0
由卡氏定理得
∂U
= 0 ，即
∂RD
l
l
1
l
l
[ ∫ 2( M 0 − RD l − Px + P )(−l )dx + ∫ 2( RD x − R ) xdx] = 0
0
2 EI 0
2
2
解得
RD =
3 P M0
( +
)
4 4
l
3 P M
∴ R A = − RD = − ( + 0 )
4 4
l
HA = P
M
l
11
M A = M 0 − P ⋅ − RD ⋅ l = 0 − Pl
2
4 16
(c) 解除约束如图
有静平衡条件
2
P
3
1
∑ M D = 0 ，得 y A = 3 P
∑M
A
= 0 ，得 y D =
∑X =0
，得 X A = X D
U = U DC + U CE + U BE + U AB
=∫
a
0
2
2
2
a ( y x − x a)
2 a ( y x − x a)
a ( x x)
( X D x) 2
D
A
A
dx + ∫ D
dx + ∫
dx + ∫ A
dx
0
0
0
2 EI
2 EI
2 EI
2 EI
将 yD =
2
1
P, y A = P, x A = x D 代入上式
3
3
又 ∵ ∆ XD = 0
a3 2 a3
2 Pa 3
a3
3
3
X D ⋅ − px + x D a + 2 X D a −
+ XD
=0
3 3
2
3
3
∂U
∴
=0 有
∂X D
2a 3
+ 3 X D a 3 = Pa 3
3
3
XD = P
11
3
∴XA = XD = P
11
XD ⋅
d) 二次超静定问题
解除 A 断约束，受力如图
U = U AC + U BC
=∫
a
0
利用
2
( y A x)
dx + ∫
0
2 EI
∆ Ax = 0
∆Ay = 0
x 22
+ x A x) 2
2
dx
2 EI
( yAa − q
a
,由卡氏定理得，
∂U
∂U
= 0,
= 0，
∂X A
∂Y A
∂U
1
a3
a4
a3
=
(yA
−q⋅
+ XA ) =0
∂X A EI
2
8
3
a3
∂U
1
qa 4 x A a 3
3
=
(yA
+ y Aa −
+
)=0
∂Y A EI
3
6
2
即
12 y A + 8 x A = 3qa
8 y A + 3 X A = qa
3
qa
7
解得 ，
（向下）
1
y A = − qa
28
XA =
∴ X B = qa − X A =
yB =
4
qa
7
1
qa
28
M B = yAa − q ⋅
a2
3
+ X A a = − qa
2
28
（方向与图示相反）
12－8 试作图示刚架的弯矩图。
（a） 解：采用图形互乘法有
1
(ω1c1 +ω2c2 +ω3c3 +ω4c4 )
2EI
1 1
2
a
1
Pa a
1
Pa
a
=
[ RAxa2 × a + RAxa × × a + (RAxa + RAxa + ) × × a + (RAxa + + RAxa + Pa) × × a]
2EI 2
3
3
2
3 3
2
3
3
3
3
1 4RAxa 5Pa
=
[
+
]
2EI 3
18
∆Ax =
利用 ∆ Ax = 0 ，得
R Ax = −
5P
24
（b） 解：为一次超静定问题。在 C 绞点处截开，建立等效系统如图，由对称性可得
y C = 0 ，仅 xC 未知。
U = U AD + U DC
aa
1 2 2
(q
− xC x1 ) 2
a ( qx 2 )
a
24
=∫
dx + ∫ 2 2
dx
0
0
2 EI
2 EI
C 点的绝对位移（x 方向）为 0，由卡氏定理
∂U
=0
∂X C
qa 2
∫0 ( 8 − xC ⋅ x1 )(− x1 )dx = 0
3qa
∴ XC =
16
1
2 EI
a
（c）解：此为一次超静定问题，解除约束如图；由静力平衡条件得
∑M
P⋅
B
=0
a
+ R Ax a − R Ay a = 0
2
得 R Ay =
P
+ R Ax
2
U = U AC + U CD + U BC
P
[( + R Ax ) x1 ] 2
2
2
a
a ( Px ) dx
a ( R x ) dx
Ax
2
=∫
dx + ∫
+∫
0
0
0
2 EI
2 EI
2 EI
∂U
=0
∂R Ax
由卡氏定理得
∫
a
0
(
a
P
+ R Ax ) x 2 dx + ∫ ( R Ax x) xdx = 0
0
2
P
4
得 R Ax = −
（d） 解：解除 B 点约束，受力情况如图。
U = U AC + U CD + U BC
=∫
qx 2 2
)
2
2
a ( y a ) dx
a ( y x ) dx
2
B
B
dx + ∫
+∫
0
0
2 EI
2 EI
2 EI
( yB x − yB a −
2a
0
因为 ∆ By = 0
由卡氏定理得
，
∂U
=0
∂y B
2a 3 q 16 4 8a 4
a3
3
即 yB ⋅
− ( a −
) + yB a + yB ⋅
=0
3
2 4
3
3
得 yB =
1
qa
3
12－9 试求图示双铰圆拱的支座反力及中点C沿P力方向的位移。
1． 建立等效系统如图，由于结构及载荷的对称性可知
Y A = YB =
P
2
2． 求等效系统的变形
M (θ ) =
P
( R − R cos θ ) − HR sin θ
2
∂M (θ )
= − R sin θ
∂H
由对称性可只考察细圆环的一半
∂M
P
Rdθ
( R − R cos θ ) − H sin θ ](− R sin θ ) Rdθ
π [
∂
H
2
2
δx = ∫
=∫
0
EI
EI
3
3
1 πHR
PR
=
(
−
)
EI
4
4
π
2
0
M⋅
利用多于约束处水平位移等于 0 的变形条件即 δ x = 0
1 πHR 3 PR 3
δx =
(
−
)=0
EI
4
4
P
H=
π
3． 求 P 力作用下的位移 δ cy
由于结构对称性，只考虑有半环
P
P
( R − R cos θ ) − R sin θ
2
π
∂M (θ ) 1
P
= ( R − R cos θ ) − sin θ
∂P
2
π
M (θ ) =
π
δ cy = 2∫ 2 M ⋅
0
∂M
R ⋅ dθ
∂P
（1）
（2）
（3）
把（1），（ 2）代入（3）得
δ cy
12－10
PR 3 3π
3
=
( +
− 1)
EI 8 2π
6
2
图示悬臂梁 AD和BE的抗弯刚度同为 EJ = 24 × 10 N ⋅ m ,由刚架DC相连接。
CD杆, l = 5m, A = 3 × 10 −4 m 2 , E = 200GPa 。 若 P = 50 N ,试求悬臂梁AD在D
点的挠度。
解：等效系统如图，由迭加法得
y D + ∆LPC = y C
Na 3 Nl Pa 2
Na 3
∴
+
=
(6 a − a ) −
3EI EA 6 EI
3EI
解得
5 × 50 × 10 3 × 2 3
5 Pa 3
500
6 EI
6 × 24 × 10 6
N=
=
=
KN
3
3
11
2a
l
2× 2
5
+
+
3EI EA 3 × 24 × 10 6 200 × 10 6 × 3 × 10 4
100 3
× 2 × 10 3
Na 3
yD =
= 11
× 10 3 = 5.05mm
3EI
3 × 24 × 10 6
12－11
图示悬臂梁的自由端恰好与光滑斜面接触,若温度升高 ∆T ,试求梁内的最大弯矩。
设 E、A、J、 α 已知,且梁的自重以及轴力对弯曲变形的影响均可忽略不计。
0
解：根据斜面与梁成 45 可知
（1）
由变形后的几何条件，得
R=N
∆l = ∆l t − ∆l N = f
（2）
∆l t = αl∆T
其中
查表得
∆l N =
f =
Nl
EA
Rl 3
3EI
，
代入（2）， 得 αl∆T −
联立（1），（ 3）， 解 得
R=N =
α∆T
1
l2
+
EA 3EI
12－12 试求图示封闭形刚架在转角连接处的弯矩。
（a）解：建立等效系统如图（a），应用图形互乘法
1
(ω 1C1 + ω 2 C 2 )
2 EI
1
PL a
1
PL L
=
[( x1 +
) × × 1 + ( x1 + x1 +
) × × 1]
2 EI
4
2
2
4
2
1 (a + L) x1 PL( L + 2a )
=
[
+
]
2 EI
2
16
∆θ C =
由
∆θ C = 0
得
Nl Rl 3
=
EA 3EI
（3）
(a + L) x1 PL( L + 2a)
+
=0
2
16
− PL( L + 2a )
∴ x1 =
8(a + L)
∴ M 转角处 = x1 +
=
PL − PL( L + 2a) PL
=
+
4
8(a + L)
4
PL
PLa
−
8 8(a + L)
（b） 1）建立等效系统如图
设对称截面上内力为 x1 , x 2 , x3 ，由于结构，载荷的对称性
知剪力
x3 = 0 。根据静力平衡条件得
x 2 = qb / 2
2）根据截面处相对转角为 0 的条件建立正则方程。
截面处弯矩
⎧ 1 2
qx
AB段
⎪
M =⎨ 2
1
qb
qa a
⎪ qx 2 −
x+
⋅
BC段
2
2 4
⎩2
在单位力偶作用下
M 0 = −1
a
2
0
δ 1 p = 2∫
b
M1 ⋅ M 0
M2 ⋅M 0
2
dx + 2∫
dx
0
EI
EI
qx 2
⋅ (−1)
b
qx 2 qbx qa 2
2
2
= 2∫
dx + 2∫ (
−
+
)(−1)dx
0
EI
2
2
8
1
=−
(qa 3 − 3qb 3 + 3qa 2 b)
24 EI
a
b
M 0 ⋅ M 0 ⋅ dx
M 0 ⋅ M 0 dx
δ 11 = 2∫ 2
+ ∫2
0
0
EI
EI
1
=
( a + b)
EI
a
2
0
X 1 ⋅ δ 11 + δ 1 p = 0
代入正则方程得
X1 ⋅
1
1
( a + b) −
(qa 3 − 2qb 3 + 3qa 2 b)
EI
24 EI
(qa 3 − 2qb 3 + 3qa 2 b)
24(a + b)
1
a
M B = X 1 − qx( ) 2
2
2
3
3
(qa − 2qb + 3qa 2 b) qa 2
=
−
24(a + b)
8
X1 =
a 2 − ab + b 2
= −q
12
12-13 链条的一环如图所示，试求环内的最大弯矩。环的抗弯刚度EI，尺寸如图示。
解：取等效系统如图（a），其正则方程为
δ 11 x1 + δ 1 p = 0
1. 外力 P 产生的内力
P
a(1 − cos θ )
2
AC段
M P=
CE 段
Mp =0
单位力矩产生的内力
2
0
AC： M = −1
M 0 = −1
CE：
3
计算 δ 11 ,
δ 1 p , x1
π
a
2 2
2 π
5.14
[ ∫ (−1) 2 adθ + ∫ (−1) 2 ds ] =
( + 1) =
a
0
0
EI
EI 2
EI
π
2 2 Pa
Pa π
Pa
=
[∫
(1 − cosθ )(−1)adθ ] = −
( − 1) = 0.57
EI 0 2
EI 2
EI
δ 11 =
δ1p
代入正则方程，
x1 = −
4
δ1p
δ 11
0.57 Pa
= EI = 0.111Pa
5.14 Pa
EI
求原结构的弯矩方程 ：
AC ： M = M P + x1 M
0
= 0.5Pa − 0.5Pa cos θ − 0.111Pa = 0.389 Pa − 05 Pa cos θ
CE： M = −0.111Pa
可得：在 A 处 M 最大
M max = 0.389 Pa
车床夹具如日所示，抗弯刚度 EI 已知，试求夹具 A 截面上的弯矩。
12－14
解：考虑对称轴从夹具中截取圆心角为
件求得 A 和 B 截面上的轴力为
2π
的一部分，如图 a 所示。由静力平衡条
3
P
，把 A 和 B 截面上的弯矩 X 1 作为多余未知量，又
3
因截出部分对 p 力作用点 C 对称，故只考虑圆心角为
可知
π
的 AC 部分即可；由图 b 和 c
3
M =
PR
(1 − cos Φ)
3
∆1 p = ∫
M 0 = −1
MM 0
PR 2
ds = −
EI
3EI
π
3
0
∫
(1 − cos Φ)dΦ = −
PR 2 π
3
( −
)
2
3EI 3
M 0M 0
R π3
πR
ds =
dΦ =
∫
EI
EI 0
3EI
∆1 p
1
3
X1 = −
= PR(
−
) = 0.099 PR
δ 11
3 2π
故
M A = 0.099 PR
δ 11 = ∫
12－15 图示结构中各杆的材料和截面均相同，试求各杆的内力。
解 ：（ a）以 5 杆为多余约束，解除它代以 N，相对线位移＝0，
N i N i0
δ =∑
li = 0
EA
i =1
1 3
a N a
δ =
( N 5 a + 2 N 5 a + 2 P + 5 + 2 Pa + 2 N 5 a ) = 0
EA 2
2
2
N 5 = −0.561P
6
即
N1 = N 2 = N 4 = − N
N 3 = −( P + N
2 = 0.396 P
2 ) = −0.604 P
N 6 = 2 P + N = 0.853P
列表计算
杆号
N i0
Ni
1
2
3
− N3
2
−1
2
− N5
2
−1
2
−1
2
−1
2
− (P + N5
4
− N5
5
2
1
N5
6
2
2P + N 5
li
a
a
a
a
2a
1
2a
N i N i0 l i
1 2 N5a
1 2 N5a
( 2P + N 5 ) a
1 2 N5a
2N 5a
2Pa+ 2 N 5 a
（b）
以 3 杆为多余约束，代以 N 8 ，列表计算
N i N i0
δ =∑
li = 0
EA
i =1
12
假定各杆内力为正，设各杆长为 a。
杆号
1
Ni
− N8
N i0
li
－1
a
N i N i0 l i
N8 a
2
2
− N8
3
− N8
4
− N8
5
− N8
6
− N8
7
P
8
N8
9
N8
10
P
11
N8
12
可知
N8
－1
a
－1
a
－1
a
－1
a
－1
a
0
1
a
a
1
a
0
1
a
a
1
a
N8 a
N8 a
N8 a
N8 a
N8 a
0
N8 a
N8 a
0
N8 a
N8 a
N 8 ＝0
故
12－16
N 1 = N 2 = N 3 = N 4 = N 5 = N 6 = N 9 = N 11 = N 12 = 0
N 7 = N 10 = P
水平折杆的截面为圆形，d＝2cm，A、D两端固定支承，角 B，C为直角，在BC中
点 承 受 铅 垂 载 荷 P 如 图 示 ， 若 l = 5cm ， 材 料 的 许 用 应 力
[σ ] = 160Mpa , G = 80MPa. E = 200MPa 。试求许可载荷P。
解： 由对称性易知 A、D 处约束反力 R A = R D = P 2 ，约束反力矩（弯矩）
M A = M D = Pl 4 ；
0
解除 A、D 处关于扭转的约束，设 A、D 处扭转反力矩为 M n （A、D 处大小相等，
方向相反），变形协调条件： ϕ AD = 0
∴
−
1 1 1
1
l
1
⋅ Pl ⋅ l ⋅ 1 +
2 ⋅ M n0 ⋅ ⋅ 1 +
M n0 ⋅ l ⋅ 1 = 0
EI 2 4
GI P
2
EI
1
Pl
1
0
8
Mn =
=
Pl
EI
28
2
+1
GI 0
危险截面为 A、D，使用第三强度理论：
M 2 + M n2
≤ [σ ]
W
2
即
2
⎛1⎞ ⎛ 1 ⎞
Pl ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟
⎝ 8 ⎠ ⎝ 28 ⎠
≤ [σ ]
1
πd 3
32
∴
P ≤ 19.3KN = [P ]
12－17 试用三弯矩方程求下列各梁的
（1）支座反力
（2）绘梁的剪力图与弯矩图，
(3)设梁材料的许用应力 [σ ] = 120MPa ，试选择工字钢梁的截面。
解 ：（ a）
（1） M A = −20 KN ⋅ m
6 1
2
1
l
M A ⋅ l + 2M B ⋅ 2l + M C ⋅ l = − ( l ⋅ 10 ⋅ l + l ⋅ 15 ⋅ )
l 2
3
2
2
6 1
1
M B ⋅ l + 2M C ⋅ l = − ( l ⋅ 15 ⋅ l )
l 2
2
⎧4 M B + M C = −22.5
⇒⎨
⎩ M B+2M C = −22.5
∴
M A = −20 KN ⋅ m , M B = −3.22 KN ⋅ m
M C = −9.65KN ⋅ m
R A = 33.4 KN , RB = 13.4 KN , RC = 3.22 KN
（2）弯矩图
（3）
σ max =
M max 20 × 10 3
=
≤ [σ ] = 120 × 10 6
W
W
∴
W ≥ 1.67 × 10 −4 m 3 = 167cm 3
∴
选用N 0 ⋅ 18工字钢。
（b）
(1)
6 1
8
2M A ⋅ l + M B ⋅ l = − ( l ⋅ 60 ⋅ )
l 2
3
6 1
7
M A ⋅ l + 2M B ⋅ l = − ( l ⋅ 60 ⋅ )
l 2
3
⎧2M A = M B = −96
⇒⎨
⎩ M A + 2 M B = −84
∴
M A = −36 KN ⋅ m
R A = 32.4 KN
M B = −24 KN ⋅ m
RB = 17.6 KN
（2） 弯矩图
（3） σ max =
M max
W
=
36 × 10 3
≤ [σ ] = 120 × 10 6
W
W ≥ 3 × 10 −4 m 3 = 300cm 3
∴
选用 No.22a 工字钢。
（c）
M B = − qa 2 ，
（1） 易知
∴
M B ⋅ 3a + 2M C (3a + 3a) = −
MC = −
6 1
2
5
( ⋅ 3a ⋅ qa 2 ⋅ a)
3a 2
3
3
1
qa 2
36
1
197
qa , RB =
qa
2
108
19
35
R C = qa
RD =
qa
54
108
RA =
∴
（2） 弯矩图
12－18 在连续梁中抽取相邻的两跨度地出，如其3个支座（1）（2）（3）不在同
一水平线上，支座（1）比支座（2）高 δ 1 ，支座（2）比支座（3）高 δ 2 ，试问三
弯矩方程应作何修正？
解：相当于相邻两静定简支梁有初始相对转角（在支座（2）截面处）：
故三弯矩方程应作如下修正：
∆ 2 P + δ 21 M 1 + δ 22 M 2 + δ 23 M 3 + ∆02 = 0
l1
l
l
l
+ 2M 2 ( 1 + 2 ) + M 3 2
I1
I1 I 2
I2
6ω a 6ω a
δ
δ
= − 1 1 − 2 2 − E( 2 − 1 )
I 1l1
I 2l2
l 2 l1
即
M1
12－19
梁AB用一桁架加固，梁的抗弯刚度为 EI，抗拉刚度为EA。桁架中1、2、3、4、5
五杆的抗拉任刚度均为 EA1 ，受力及尺寸如图示。试用力法求杆1中的轴力 FN 1 。
解：在一对单位力作用下，
N 10 = 1,
h
N 20 = N 40 = − （压缩）
a
N
0
3
= N
∆ 1p =
0
5
1
= −
[−2 ⋅
1
a2 +h2
a⋅
a
1
2
1
1
l
Pa ⋅ h − ( Pl + Pa)( − a)h]
2
3
4
2
2
EI
2
Ph
= −
(3l 22 − 4a 2 )
24 EI
2
δ 1t =
1
1
2
l
⎛h⎞
[2 ⋅ ah ⋅ h + 2 ⋅ ( − a )h ⋅ h] + 1 ⋅ l ⋅ 1 EA + [1 ⋅ (l − 2a) + 2 ⋅ ⎜ ⎟ h +
EI
2
3
2
⎝a⎠
2 ⋅ ( a2 + h
2
a
2
2
2) a +h ]
3
h 3 + (a 2 + h 2 ) 2
+2
]
a2
由
∆ 1P + δ 11 X 1 = 0
EA1 =
h2
l
1
(3l − 4a ) +
+
[l − 2a +
3EI
EA EA1
∴
Ph
(3l 2 − 4a 2 )
24 EI
X1 =
= N1
3
2
h
l
1
2(h 3 + (a 2 + h 2 ) 2 )
(3l − 4a ) +
+
[l − 2a +
]
3EI
EA EA1
a2
如略去轴向变形，则
3l 2 − 4a 2
N1 =
P
3h(3l − 4a )
12-20
超静定刚架受力如图示，其各段的抗弯刚度均为EI，试求A点的水平位移。
解：取静定基如下：
1
1
1
∆ 1P = − Pl ⋅ l ⋅ l = − Pl 3
2
3
6
1
1
∆ 2 P = − Pl ⋅ l ⋅ l = − Pl 3
2
2
1
1
∆ 3 P = − Pl ⋅ l ⋅ l = − Pl 3
2
2
1
2
5
δ 11 = 2 ⋅ l ⋅ l ⋅ l + l ⋅ l ⋅ l = l 3
2
3
3
1
1
δ 12 = l ⋅ l ⋅ l + l ⋅ l ⋅ l = l 3
(= δ 21 )
2
2
1
δ 13 = 2 ⋅ 1 ⋅ l ⋅ l + l ⋅ 1 ⋅ l = 2l 2
(= δ 31 )
2
1
2
4
δ 22 = l ⋅ l ⋅ l + l ⋅ l ⋅ l = l 3
2
3
3
1
3 2
δ 23 = 1 ⋅ l ⋅ l + 1 ⋅ l ⋅ l = l
(= δ 32 )
2
2
δ 33 = 3l
⇒
⎧ ∆1P + δ 11 x1 + δ 12 x 2 + δ 13 x3 = 0
⎪
⎨ ∆ 2 P + δ 21 x1 + δ 22 x 2 + δ 23 x3 = 0
⎪∆ + δ x + δ x + δ x = 0
311 1
32 2
33 3
⎩ 3P
1
3
2
x1 = − P
x2 = P
x3 = Pl
2
7
7
1 1 3
1
1 2
1
1 1 11
1
17 Pl 3
δA =
( l ⋅ Pl ⋅ l + l ⋅ Pl ⋅ l − ⋅ l ⋅ Pl ⋅ l ) =
EI 2 14
6
2 7
6
2 2 84
2
672 EI
⇒
12－21
在曲率半径 R＝2m的半圆形曲杆AB中有拉杆CD，承受载荷 P = 20 KN 如 图 示 。
2
设曲杆的横截面为边长 a = 12cm 的正方形，拉杆的横截面面积为 A = 36cm ，曲
杆与拉杆的材料相同，试求拉杆内力与支座反力（曲杆内的轴力影响略去不计）。
解：选静定基如图，则
⎧1
⎪ PR(1 − cos ϕ )
M (ϕ ) = ⎨ 2
1
⎪ PR(1 + cos ϕ )
⎩2
0 ≤ϕ ≤
π
2
π
≤ϕ ≤π
2
M 10 = R sin ϕ
1
M 20 = − R(sin ϕ − )
2
0
N2 = 1
π
5π
≤ϕ ≤
6
6
1 π
1 PR 3
0
M
⋅
M
Rd
ϕ
=
1
EI ∫0
2 EI
1 5π 6
1 PR 3
1 π
0
∆ 2P =
M
⋅
M
Rd
ϕ
=
−
( 3− − )
2
∫
π
EI 6
2 EI
4 3
3
1 π 02
1 πR
δ 11 =
M 1 Rdϕ =
∫
EI 0
2 EI
1 5π 6 0
R3 π
3
0
δ 12 =
M 1 ⋅ M 2 Rdϕ = −
( −
)(= δ 21 )
∫
π
EI 6
EI 3 4
∆ 1P =
δ 22
⇒
⇒
∴
1
=
EI
5π
∫
π
6
2
6
N0
R3 π 3 3
3R
M Rdϕ + 2 ⋅ 3R =
( −
)+
EA
EI 2
4
EA
02
2
⎧ ∆ 1P + δ 11 x1 + δ 12 x 2 = 0
⎨
⎩∆ 2 P + δ 21 x1 + δ 22 x 2 = 0
⎧ 1.57 x1 − 0.614 x 2 = −0.5 P
⎨
⎩− 0.61x1 + 0.274 x 2 = 0.217 P
x1 = −0.07 P = −1.4 KN
x 2 = 0.635 P = 12.7 KN
12－22
有2n根截面相同、材料相同的钢杆，一端用铰与半径为 R的刚性圆周边连接，另
一端互相铰接于圆心 C处，各杆沿四周均布（即相邻两杆间的夹角为 π
n
）．在绞C
上作用一垂直力P，求在P力作用下各杆的内力。
解：选静定基如图，解除第 3，4，…，2n 杆的约束， x3 ， x 4 ，…， x 2 n 为相应未知
内力，则易求得：
cos α 2
cos α 2
P=−
P
π
sin(α 2 − α 1 )
sin
n
cos α 1
cos α 1
N 2P =
P=
P
π
sin(α 2 − α 1 )
sin
n
π
sin(i − 2)
sin(
a
−
α
)
n
i
2
N 10,i =
=
π
sin(α 2 − α 1 )
sin
n
π
sin(i − 1)
sin( ai − α 1 )
n
N 20,i = −
=−
π
sin(α 2 − α 1 )
sin
n
N 1P = −
…，（i = 3,4,…,2n)
2n
力法方程：
∆ ip + ∑ δ ij x j = 0 （i = 3,4, …,2n)
j =3
即：
R
R 2n
( N 1p N 10,i + N 2p N 20,i ) +
∑ ( N10,i N10, j + N 20,i N 20, j + δ ij* ) x j = 0
EA
EA j =3
⎧1
δ ij* 为 Kronic 符号： δ ij* = ⎨
⎩0
（注意
i= j
）
i≠ j
2n
N 1p N 10,i + N 2p N 20,i + ∑ ( N 10,i N 10, j + N 20,i N 20, j ) x j + xi = 0
j =3
2n
N 1 = N 1p + ∑ N 10, j x j
j =3
由于
2n
N 2 = N 2p + ∑ N 20, j x j
j =3
0
0
故有： N 1,i N 1 + N 2,i N 2 + xi = 0
0
0
将上式分别乘 N 1,i 和 N 2 ,i 后对 i 求和则有：
2n
2n
⎧
0 2
(
1
+
N
)
N
+
(
N 10,i N 20,i ) N 2 = N 1p
∑
∑
1,i
1
⎪⎪
i =3
i =3
⎨
2n
2n
2
⎪(1 + ∑ N 20,i ) N 2 + (∑ N 10,i N 20,i ) N 1 = N 2p
⎪⎩
i =3
i =3
以下计算上述过程中的系数：
2n
i =3
=
sin 2
1
π
2 sin 2
n
π
n
∑ sin 2
i =3
(2n − 2 + cos
2n
同理
2n
1
2
∑ N10,i =
∑N
i =3
0 2
2 ,i
(i − 2)π
=
n
1
2 sin 2
2n
(1 − cos
π ∑
i =3
n
(4n − 2)π
4nπ
+ cos
)=
n
n
n − 1 + cos 2
＝
sin 2
π
n
π
n
2(i − 2)π
)
n
n − 1 + cos 2
sin 2
π
n
π
n
第十三章 动载荷
13－1
铸铁杆 AB长 l = 1.8m ，以等角速度绕垂直轴 O－O 旋转如图示。已知铸铁的比重
γ = 74kN / m 3 ，许用拉应力 [σ ] = 40MPa ，材料的弹性模量E＝160 Gpa。试求此
杆的极限转速，并计算此杆在转速 n = 100r / m 时的绝对伸长。
解： （1） 极限转速
a n = r ( x)ω 2
qd (r ) = ma n =
γAdr
r ( x)ω 2
g
l
Nd (r ) = ∫ 2 qd (r )dr =
0
γAω 2 1 l 2
( )
g 2 2
Nd
≤ [σ ]
A
γAω 2 1 l 2
( ) ≤ [σ ]
g 2 2
σd =
2 g[σ ] 2 × 9.8 × 40 × 10 5
ω ≤
=
= 13079.75 1
s
74 × 10 3 × 0.9 2
γ ( l 2) 2
60ω
ω = 114.37 1
n jx =
= 1092 r
s
m
2π
2
（2） 当 n＝1000 r
m
2πn 2π × 1000
=
= 104.72 1
s
60
60
l Nd ( r )
2rω 2 (l 2) 3 2 × 74 × 10 3 × 104.72 2 × 0.9 2
∆l = 2∫ 2
=
=
= 2.52 × 10 − 4 m = 0.0252cm
9
0
EA
3Eg
3 × 160 × 10 × 9.8
ω=
13 － 2
桥式 起 重 机 的 横 梁 由 14 号工 字 钢 组 成 ， 中 间 悬 挂 一 重 物 Q ＝ 50kN，吊 索 截面
A = 50 × 10 −4 m 2 ，起重机以匀速 v = 1m / s 向前移动（方向垂直于纸面），当起重机
突然停止移动时，重物像单摆一样向前摆动，由此时吊索及梁在垂直平面内的最大应
力比原来增大多少？（设吊索自重以及由重物摆动引起的斜弯曲影响都忽略不计）。
解： v1 = 0 时
V2 1m
=
2
r
4 s
Q V
50 1
Pd = ma n = ⋅
=
= 1.276 KN
g l
9.8 4
an =
N 0 = 1∆I : W z = 102cm 3
1
1
N d max = Pd l 2 = × 1.276 × 5 2
4
4
（1）梁 ： σ d max =
M d max 1.276 × 25
=
= 15.64 MPa
Wz
4 × 102
（2）吊索： σ d max =
Pd
1.276
=
= 2.55MPa
A 5 × 10 − 4
13－3 轴上装一钢质圆盘，盘上有一圆孔。若轴与盘以 ω = 40 1 s 的匀角速度旋转，论求
轴内由这一圆孔引起的最大正应力。
解：
a n = rω 2 = 0.4 × 40 2 = 640 m
s2
γ ⋅ A ⋅δ
π
⋅ a n = 7800 × × 0.3 2 × 0.03 × 640 = 10600 N
g
4
1
1
N d max = Pd L = ⋅ 10600 × 0.8 = 2120 N ⋅ m
4
4
M
32 × 2120
σ d = d max =
= 12.5 MN m 2
3
Wz
π × 0.12
Pd = ma n =
13－4 飞轮轮缘的平均直径 D＝1.2m，材料比重 γ = 72kN / m 3 ，弹性模量 E = 200GPa ，
轮缘与轮幅装配时的过盈量 ∆D = 0.2mm ，若不计轮相的影响，求飞轮允许的最大
转速。
解：
γA
Dω 2
2g
1
1 γA 2 2 γA 2
N D = qd ⋅ D =
Dω = V
2
4 g
g
γ
σ d = Nd A = V 2
g
γ 2
ε =σ E =
V
gE
∆D
γD 2
∵ ε=
∴
∆D = D ⋅ ε =
V
D
gE
2
V 2 = ∆D × g × E γD = 0.2 × 10 −3 × 9.8 × 200 × 10 9 72 × 10 3 × 1.2 = 4537 m 2
s
V
2πn
V = 67.36 m
ω=
2=
s
D
60
1
n = 60V πD = 60 × 67.36 ⋅
= 1072 r m
π × 1.2
qd =
12－5 长 8rn 的 No20a 槽钢被吊在绳子上以 1.8m / s 的等速下降。如下降速度在 0.2 s 内均
匀地减小到 0.6m / s ，试求槽钢内的最大弯曲正应力和最大挠度。
解：
a =
Vt −V0
t
K d = 1+
=
a
0.6 − 1.8
0.2
6
= −6 m s 2
= 1+
= 1.61
g
9.8
No20a : q = 22.63kg M × 9.8 = 221.8 N m
W z = 24.2cm 3
y c = 2.01cm ;
I z = 128cm 4
b = 7cm
E = 210GPa
q d = q × K d = 221.8 × 1.61 = 357.1 N m
1
1
Pd = q d × L = × 357.1 × 8 = 1428.2 N
2
2
4
M d max = Pd × 3 − qd × 4 × = 1428.2 × 3 − 357.1 × 4 × 2 = 1427.9 N ⋅ m
2
M
1428
σ d max = d max =
= 59 MPa
Wz
24.2 × 10 −6
63
63 × 357.1
f d max = − qa = −
= 0.0837 m = 8.37cm
EI
210 × 10 9 × 128 × 10 −8
∴
13-6
图 示 机 车 车 轮 以 n = 300r / min 的 转 速 旋 转 。 平 行 杆 AB 的 横 截 面 为 矩 形 ，
h = 5.6cm, b = 2.8cm ，长度 l = 200cm, r = 25cm ，材料的比重 γ = 7.8 g / cm 3 。
试确定平行杆最危险的位置和杆内最大正应力。
解：
a
Rω 2
0.25 2π × 30 2
qd = q(1 + ) = A × γ (1 +
) = 0.056 × 0.028 × 7800[1 +
×(
) ]
g
g
9.81
60
= 3138 Nm
σ d max =
M d max
1 8 × 3138 × 2 2
=
× 10 − 6 = 107.2 MN m 2
2
Wz
1 6 × 0.028 × 0.056
13－7
调速器绕O－O轴旋转，转速n＝100r/min，尺寸如图示。若略去BC杆的惯性力，
假定AB杆不变形，E=200GPa，试求BC杆内的最大正应力。
解：
fd = Pd l BC 3EI
Q
Q
Pd = ma n = rω 2 = ω 2 (0.12 + f d )
g
g
3
Q
g Ql BC
× 0.12
−
g
3EI
ω2
1
I = × 0.03 × 0.004 3 = 1.6 × 10 −10 m 4
12
3
Ql BC
20 × 0.4 3
f =
=
= 0.0133m
3EI
3 × 200 × 10 9 × 1.6 × 10 −10
2πn 2 × π × 100
ω=
=
= 10.47 1
s
60
60
Pd =
Pd =
20
9.8
× 0.12
− 0.133 = 31.5 N
9.8
10.47 2
Pd
Q
= 12.6 − 20 × 0.0133 × 31.5 20 = 12.6 − 0.42 = 12.18 Nm
M Q
12.8
20
σ d max =
+ =
+
= 152.25 + 0.17
2
W A 1 6 × 0.03 × 0.004
0.004 × 0.03
= 152.4 MPa
M d max = Pd × l BC − Q ⋅ f d = 31.5 × 0.4 − 20 × f ⋅
13－8
图示钢轴AB的直径为8crn。轴上有一直径为3cm的钢质圆杆CD，CD垂直于AB。
若 AB 以匀角速度 ω = 40 1 s 转动。材料的许用应力 [σ ] = 70 MPa ，比重为
7.8 g / cm 3 。试校核AB轴及CD杆的强度。
解：
qd ( x) = ma n = γ ⋅ Axω 2 = 7800 ×
π
× 0.08 2 × x × 40 2 = 62700 x N m
4
x = 0.6m qd1 = 37620 N m
d
x = 0.04m qd 2 = 2510 N m
2
0.6
N d = ∫ 62700 xdx = 11236 N
0.04
自重
∴
CD 杆
AB 轴
13－9
π
0.08 2 × (0.6 − 0.04) = 215 N
4
= 11236 + 215 = 11451N = 11.45KN
N CD = γAL = 7800 × 9.8 ×
N d max = N d + N CD
σ d max =
N d max 11.45 × 4
=
× 10 −6 = 2.28 KN < [σ ]
A
π × 0.08
M d max N d max
11.45 × 1.2 × 32
=
× L × 32 =
× 10 − 6
3
3
Wz
πd
4 × π × 0.08
= 68.3MPa < [σ ]
σ d max =
2
在直径为0.1m的轴上，装着一个转动惯量为 500 N ⋅ m ⋅ s 的飞轮，轴的转速
n = 300r / min 。制动器突然制动，将飞轮在20转内刹停（等减速），试求轴内
最大剪应力之值（轴承摩擦力不计）。
解： ω 0 = 2πn 60 = 2 × π × 300 60 = 10π
n1 = 20rρ
2
0
ω1 = 0
2
1
ω − ω = 2εϕ
∴
ϕ = n1 × 2π
5
ε = ω 02 2ϕ = (10π ) 2 2 × 20 × 2 × π = π = 3.931 s 2
4
M d max = I 0 ⋅ ε = 500 × 3.93 = 1965 N ⋅ m = 1.965KN ⋅ m
M
1.965 × 32
τ d max = d max =
= 10 MPa
Wz
π × 0.13
13－10
直径d＝30 cm，长l＝600cm的木桩，下端固定，上端受重 W=5kN的重物作用，木
材的E=10GPa，求下列3种情况下木桩内的最大正应力，
（1）重物以突加方式作用于木桩上，
（2）重物自离桩顶100cm的高度自由落下，
（3）在桩顶放置直径为15cm，厚度为2cm，弹性模量E＝8MPa的橡皮垫，重物仍从离
桩顶100cm高度自由落下。
解 ：（ 1）突加： K d = 2
σ d = σ j ⋅ Kd =
W
5 × 10 3 × 4 × 2
⋅2 =
= 2 × 0.0707 = 0.14 MPa
A
π × 0.3 2
（2）冲击： ∆ j =
Kd = 1+ 1+
Wl
5 × 10 3 × 6 × ∆
=
= 4.24 × 10 −5 m
EA 10 × 10 9 × π × 0.3 2
2H
2 ×1
= 1+ 1+
= 217
∆j
4.24 × 10 −5
σ d = σ j ⋅ K d = 0.0707 × 217 = 15.4MPa
（3）冲击：
W ×a
5 × 10 3 × 0.02 × 4
= 4.24 × 10 −3 −
EA
8 × 10 6 × π × 0.15 2
= 4.24 × 10 −3 − 7.07 × 10 − 4 = 7.494 × 10 − 4 m
∆ j = 4.24 × 10 −3 −
Kd = 1+ 1+
2H
2 ×1
= 1+ 1+
= 51.2
∆j
7.494 × 10 − 4
σ d = σ j ⋅ K d = 0.707 × 51.2 = 3.62MPa
13－11 一梁受冲击载荷作用，计算图示的两种情况下梁内最大弯曲正应力之比。梁本
身质量忽略不计。
解：设
2H
2H
2H
>> 1, K d = 1 + 1 +
= 1+
=
∆j
∆j
∆j
K d( a ) K d(b ) = ∆( aj )
2H
∆j
∆(bj )
P( l 2 ) 3
Pl 3
Pl 3
(b )
∆ =
, ∆j =
=
3EI
3EI
24 EI
(a)
(b )
K d K d = 3 24 = 1 2 2
1
M d( a ) max = Pl , M d(b ) max = Pl
2
(a)
(a)
(a)
(a)
σ d max σ max K d
M max
W
1
1
=
⋅
=
×
=
(b )
(b )
(b)
(b)
σ d max σ max K d
M max W 2 2
2
(a)
j
σ d( a ) max
K d( a )
2H
6 HEI
当 Kd = 1+ 1+
时， ( b )
= 2 (b ) = 2(1 + 1 +
)
∆j
σ d max
Kd
Pl 3
(1 + 1 +
48HEI
)
Pl 3
13－12 重量P＝2kN的冰块以等速度 v = 1m / s 运动，撞击在长度L=3m，直径d＝0.2m的
木桩的顶端上，试求木桩内的冲击应力。已知木桩的E=11GPa，木桩的质量可略去
不计。
解：
∆j =
Pl 3
2 × 10 3 × 33 × 64
=
= 2.08cm
3EI 3 × 11 × 10 9 × π × 0.2 3
K d = V 2 g ⋅ ∆ j = 12 9.8 × 2.08 × 10 −2 = 2.214
σ d max = K a ⋅ σ j = 2.214 ×
Pl
2 × 10 3 × 3 × 32
= 2.214 ×
= 2.214 × 7.64 = 16.9 MPa
W
π (0.2) 3
图示铅直钢杆AB，上端 A固定，下端B有一圆盘，上面放一个螺旋弹簧以缓和冲击
13－13
作用。此弹簧在1kN的静荷作用下缩短0.0625cm，AB杆长L＝400cm，杆的直径为4cm，
重物Q＝15kN，沿杆自由落下， E＝200Gpa。试求使杆中的应力等于120MPa，重物
下坠所须的高度H应等于多少？并求如没有弹簧时，引起杆AB内相同冲击应力重物下
坠容许的高度。
解：
（1） 弹簧常数：
C = 1000 0.625 = 1.6 × 10 6 N m
λ = Q C = 15000 1.6 × 10 6 = 9.371 × 10 −3 m
∆ j = Ql EA = 15 × 10 3 × 4 200 × 10 9 × π × 0.02 2 = 0.239 × 10 −3 m
σ j = Q A = 15 × 10 3 × 10 − 6 π × 0.02 2 = 11.94 MN m 2 ≈ 12 MPa
σ d = [σ ] = 120MPa
∴
Kd =
σ d 120
2H
=
= 10 ≥ 1 + 1 +
σj
12
∆j
1
H ≤ [(10 − 1) 2 − 1]∆ j = 40∆ j = 40(∆1j + λ ) = 40(0.239 × 10 −3 + 9.371 × 10 −3 ) = 0.384m
2
(2) 无弹簧即 λ = 0 ，
H = 40∆1j = 40 × 0.239 × 10 −3 = 0.00956m
13－14
图示16号工字钢梁左端固定铰支，右端置于一螺旋弹簧上，弹簧共有10圈，平
均直径为100mm，簧丝直径为20mm，若梁的许用应力 [σ ] = 160 MPa ， E ＝
200GPa，弹簧的许用剪应力 [τ ] = 200 MPa ，G＝80GPa，现有 Q＝2kN的重物
自高度H处自由落下冲击于梁的中点，试求许可高度H。
解：弹簧所受压力 P =
Q
= 1KN
2
8 PD 3 n 8 × 1 × 10 3 × 0.13 × 10
λj =
=
= 62.5 × 10 − 4 m
4
9
4
Gd
80 × 10 × 0.02
100
= 5；
20
4C − 1 0.615 4 × 5 − 1 0.615
K=
+
=
+
= 1.31
4C − 4
C
4×5 − 4
5
M
8 PD
8 × 1 × 10 3 × 0.1
τ j = K ⋅ n = K ⋅ 3 = 1.31 ×
× 10 −6 = 41.7 MPa
Wn
πd
π × 0.02 3
τ
200
τ d = [τ ] = 200 MPa
K d1 = d =
= 4.8
τ j 41.7
弹簧指数
C=D d=
NO16 I
I z = 1130cm 4 , W z = 141cm 3
M
Ql
2 × 10 3 × 3
σj =
=
=
= 10.64 MPa
W z 4W z 4 × 141 × 10 − 6
σ
160
σ d = [σ ] = 180MPa
K d'' = d =
= 15
σ j 10.64
综合考虑梁和弹簧，系统的动荷系数应取 K d = 4.8 ，由
Kd = 1+ 1+
2H
1
, ∴ H ≤ [( K d − 1) 2 − 1]∆ j
∆j
2
1
Ql 3 1
2 × 10 3 × 33
1
∆ j = f j + λj =
+ λj =
+ λ 62.5 × 10 − 4
9
−6
2
48 EI 2
2
48 × 200 × 10 × 11.3 × 10
−4
= 36.23 × 10 m
1
H ≤ [(4.8 − 1) 2 − 1] × 36.23 × 10 − 4 = 24.3 × 10 −3 m
2
13-15
在两根No 20a工字钢梁上装有一家绞车，其下有一载重盘。重物 Q=1kN从高度
2
h=40cm处自由降落在盘上，已知绳长L=1200cm，绳的横截面积 A = 1.75cm ，绳
的弹性模量E=170GPa，梁的弹性模量E＝200Gpa，试求绳内及梁内的最大应力。
解： ∆ j = f l + ∆l =
2
Ql 3
QL
+
2 × 48 EI EA
No 20aI： W z = 237cm 3 ,
I z = 2370cm 4 ，
1
1 × 10 3 × 8 3
⋅
= 1.125 × 10 −3 m
9
−8
2
2 48 × 200 × 10 × 23.70 × 10
1 × 10 3 × 12
∆l =
= 0.403 × 10 −3 m
170 × 10 9 × 1.75 × 10 − 4
∆ j = 1.125 × 10 −3 + 0.403 × 10 −3 = 1.528 × 10 −3 m
fl =
Kd = 1+ 1+
（1） 绳： σ j =
2H
2 × 0.4
= 1+ 1+
= 23.9
∆j
1.528 × 10 −3
Q
1 × 10 3
=
= 2.86 MPa
2 A 2 × 1.75 × 10 − 4
σ d = σ j ⋅ K d = 2.86 × 23.9 = 68.3MPa
（2） 梁： σ
j max
=
M j max
2W z
=
Ql
1 × 10 3 × 8
=
= 4.22 MPa
4 × 2 × W z 8 × 237 × 10 −6
σ d max = σ j ⋅ K d = 4.22 × 23.9 = 100.8MPa
13－16 圆轴直径d＝6cm，l=2cm。左端固定，右端有一直径D＝40cm的鼓轮，轮上绕以钢
2
绳，绳的端点悬挂吊盘。绳长 l1 = 1000cm ，横截面面积 A = 1.2cm ，E＝200Gpa。
轴的剪切弹性模量G=80Gpa。重量Q＝800N的物块自h＝20crn处落于吊盘上，求轴内
最大剪应力和绳内最大正应力。
解： ∆l j =
Ql1
0.3 × 10 3 × 10
=
× 10 4 = 0.333 × 10 −3 m
EA 200 × 10 9 × 1.2
1
1
QD × l
× 0.8 × 10 3 × 0.4 × 2 × 32
M nl 2
2
ϕ=
=
=
= 3.145 × 10 −3 rad
9
3
GI n
GI n
80 × 10 × π × 0.06
∆ j = ∆l j + ϕ ×
∴
Kd = 1+ 1+
（
σj =
D
= 0.333 × 10 −3 + 3.145 × 0.2 = 0.962 × 10 −3 m
2
2H
2 × 0.2
= 1+ 1+
= 21.4
∆j
0.962 × 10 −3
）
1
Q 0.8 × 10 3
=
= 6.66MPa
A 120 × 10 − 6
绳
σ d = σ j ⋅ K d = 6.66 × 21.4 = 142.5MPa
（2 轴：
τ j max
τ d max
1
PD × 32
Mn 2
0.5 × 0.8 × 10 3 × 0.2
=
=
=
= 3.77 MPa
Wn
πd 3
π × 0.033
= τ j max × K d = 3.77 × 21.4 = 80.7 MPa
13－17 重物Q=200N，自h＝1.5cm的高度降落，冲击在一个圆环上，圆环平均直径D＝
50cm，其截面为圆形，直径 d=3cm。圆环材料为低炭钢， E＝200Gpa。若不计圆
环质量，试求环内最大应力。
解： ∆ j = 0.149
PR 3
0.2 × 10 3 × (0.25) 3
= 0.149
= 0.586 × 10 − 4 m
π
EI
200 × 10 9 × (0.03) 4
64
：
Kd = 1+ 1+
2H
2 × 1.5 × 10 −2
= 1+ 1+
= 23.65
∆j
0.586 × 10 − 4
M j max = 0.3189 R = 0.318 × 0.2 × 10 3 × 0.25 = 15.9 Nm
π 3 π
d = × 0.033 = 2.65 × 10 −6 m 3
32
32
M j max
15.9
σ j max =
=
= 6MPa
Wz
2.65 × 10 − 6
σ d max = σ j max ⋅ K d = 6 × 23.65 = 141.9MPa
Wz =
13－18 梁相同简支梁分别支承如图（a）和图（ b）所示，受到同一重物Q以速度 v 冲击 ，
试分别计算其动荷系数。
解： ∆ j =
（a）
Ql 3
48 EI
V = 2 gh
K d( a ) = 1 + 1 +
= 1+ 1+
2H
V2
= 1+ 1+
∆j
g∆ j
48 EIV 2
gQl 3
(b)
（b） K d ＝
V2
=
g∆ j
48EIV 2
gQl 3
2
13－19 CD 杆长 100cm，截面为正方形 3 × 3cm ，杆端锤重 60N，杆原轴（半径 R=20cm）
固定在一起，并以转速 n = 100r / min 绕 AB 轴旋转。试求当轴 AB 突然停止时，杆
内的最大应力和最大挠度（杆的质量忽略不计）．
解：
1
1
1
1 Pd l 3
mV 2 = Pd ⋅ ∆ d = Pd ⋅
2
2
2
2 EI
Q 2
1 Pd2 l 3
ω (l + R) =
g
3 EI
3
Q
3
60
1
Pd2 = 3 (l + R ) ⋅ EI = (1 + 0.2)
× 200 × 10 9 × (0.03) 4 = 392.6 KN 2
g
1
9.8
12
l
∴
Pd = 626.6 N
M
P × L×6
σ d max = d max = d
= 139.2 MPa
Wz
0.033
P l3
626.6 × 13 × 12
∆d = d =
= 1.546cm
3EI 3 × 200 × 10 9 × 0.03 4
13－20
图示各梁皆为No20a工字钢梁，梁上荷重 Q=5kN，不计梁本身的质量，试求此
荷重振动的自然频率。已知：E=210GPa，L=4m。
解：NO 20aI：I＝2370 cm
ω=
（a）
4
g
∆j
∆( aj ) = Ql 3 3EI = 5 × 10 3 × 4 3 3 × 210 × 10 9 × 2370 × 10 −8
ω = 9.8 0.0214 = 21.4 1
（b）
∆(bj ) = Ql 3 48EI =
s
1 (a)
∆ j = 0.00134m
16
ω = 9.8 0.00134 = 85.5 1
∆( cj ) = Ql 3 192 EI =
（c）
s
1 (a)
∆ j = 0.335 × 10 −3 m
64
ω = 9.8 0.335 × 10 −3 = 171.2 1
13－21
s
重2.4kN的电动机，被装在两根 NO.14工字钢悬臂梁的端部。电动机的转速
n = 600r / min ，在运转时所产生的离心惯力等于400N，E＝200GPa，假定阻力
与振动运动的速度成正比，阻尼系数 γ = 2 1 s 。梁的质量可略去不计。试求：
（1） 梁内最大正应力，(2) 引起共振现象时梁的长度以及此时梁内的最大正应力 。
解： NO 14I： I z = 712cm 4 , W z = 102cm 3
（1）
σ j max = M max 2W z = Ql 102 × 2 = 2.4 × 10 3 × 2 102 × 2 × 10 −6 = 23.5MPa
(2) 干扰力频率： P =
共振时： p = ω , ω =
2πn 2π × 600
=
= 20π 1
s
60
60
g ∆ j = 20π 1
s
∆ j = g ω 2 = 9.8 (20π ) 2 = 2.48 × 10 −3 m
∵
∆ j = Ql 3 3EI
∴
l = 3 3EI∆ j Q = 3 3 × 200 × 10 9 × 712 × 10 −8 × 2.48 × 10 −3 2.4 × 10 3
= 3 4.414 = 1.64m
放大系数
σj =
β=
1
P
n P
[1 − ( )]2 + 4( ) 2 ( ) 2
ω
ω ω
=
1
n
4
ω
=
20π
= 15.71
2× 2
Ql
= 2.4 × 10 3 × 1.64 2 × 102 × 10 −6 = 19.3MPa
2W
H
)
Q
H
400
= (1 + β )σ j = (1 + 15.71 ×
) × 19.3 = 3.618 × 19.3 = 69.8MPa
Q
2400
σ d max = σ j ⋅ K d , ( K d = 1 + β
12－22
梁的跨度为L，刚度为EI，试问集中质量 m 的作用点位置改变时，梁的自由振
动频率将如何变化？（梁的本身质量略去不计）。
解： ∆ j =
P(l − x) 2 x 2 mg (l − x) 2 x 2
=
3EIl
3EIl
ω = g ∆j =
3EIl
m(l − x) 2 x 2
习
14-1
题
195-2c型柴油机连杆大头螺栓如图示，工作时所受最大拉力Pmax=9.58 kN，Pmin
＝8.71 kN，螺栓最小直径 d =8.5mm。试求其应力幅 σ a ，平均应力 σ m 和循环特征 r ，并作
出 σ − t 曲线。
解:
1
σ a = Pa / A = (Pmax − Pmin ) / 2 A = (9.58 − 8.71)× 10 3 / 2 × × 3.14 × 8.5 2 ×10 − 6 = 7.67 MPa
4
1
σ m = Pm / A = (Pmax + Pmin ) / 2 A = (9.58 + 8.71) × 10 3 / 2 × × 3.14 × 8.5 2 × 10 −6 = 161MPa
4
σ
r = min = 0.91
σ max
14-2 某阀门弹簧如图所示，当阀门关闭时,最小工作载荷Pmin＝200N，
当阀门顶开时最大工作载荷Pmax ＝500N。设簧丝的直径d＝5mm，弹簧
外径 D1 = 36mm ，试求平均应力 τ m ，应力振幅 τ a ，循环特性r，并作
出 τ − t 曲线。
解:
C = D / d = 14.4
∴ K = (4C + 2 ) / (4C − 3) = 1.09
∴τm = K
τa = K
16 Pm D / 2
πd 3
16 Pa D / 2
πd 3
16 ×
= 1.09 ×
16 ×
= 1.09 ×
r = Pmin / Pmax = 0.4
200 + 500 36
× ×10 −3
2
2
= 280MPa
3.14 × 5 3 × 10 −9
500 − 200 36
× × 10 −3
2
2
= 120 MPa
3.14 × 5 3 × 10 −9
14-3 阶梯轴如图所示。材料为铬镍合金钢，
σ b = 920MPa ， σ −1 = 420MPa ， τ −1 = 250MPa 。轴的尺寸
d=40mm，D＝50mm，r=5mm。试计算弯曲和
扭转时的有效应力集中系数和尺寸系数。
解:
D
r
= 1.25 ， = 0.125
d
d
查图表 14-12（c）可得 K σ = 1.57
由已知条件
由图表 14-16，当 d=40mm 时
对 σ b = 500MPa 的钢材， ε σ = 0.84
对 σ b = 1200MPa 的钢材， ε σ = 0.73
对 σ b = 920MPa 的钢材， ε σ = 0.73 +
14-4
1200 − 920
× (0.84 − 0.73) = 0.774
1200 − 500
图示为一货车车轴，轴上的载荷 P=110kN，轴的材料为碳钢， σ b = 550 MPa ，
σ −1 = 240MPa ， a = 118mm ， l = 1435mm ， d = 133mm ， D = 146mm ，
r = 20mm ，轴表面经磨削加工，规定安全系数 n = 1.8 。试校核此轴1-1截面（d同D段交
界处）的疲劳强度。
解：
1-1 截面处的弯矩 M = Pa = 110 ×10 3 × 118 ×10 −3 = 13KN ⋅ m
D / d = 146 / 133 = 1.1 r / d = 20 / 133 = 0.15
查图表 14-12（a）得 K σ = 1.24
查图表 14-16 对 σ b = 500MPa 的钢材 ε σ = 0.68
对 σ b = 1200MPa 的钢材 ε σ = 0.61
∴ 对 σ b = 550 MPa 的碳钢
ε σ = 0.61 +
1200 − 550
× (0.68 − 0.61) = 0.675
1200 − 500
由轴表面经磨削加工 ∴ β = 1
故工作安全系数
ε ⋅ β σ −1
nσ = σ
⋅
K σ σ max
M
13 × 10 3
=
= 55.3MPa
W 0.1× 0.1333
0.675 × 1 240
∴ nσ =
×
= 2.36 > n = 1.8
1.24
55.3
∵ σ max =
∴ 疲劳强度足够。
附录 I
截面图形的几何性质
I-1 求下列截面图形对 z 轴的静矩与形心的位置。
b
t
t
h
t
h2
= t (b(h + ) + )
解 ：（ a） s z = bt (h + ) + ht ⋅
2
2
2
2
t
h2
t
h2
t (b(h + ) + ) b(h + ) +
s
2
2 =
2
2
yc = z =
A
t (b + h)
b+h
（b）
3
1
( D) 3 − ( D) 3
D D D π 3D 2
D 2
2 4
2
11 3
4
s z = −2 × × + { [( ) − ( ) ] × (
)} =
D
D 2 π
4 4 4
2 4
4
3 3D 2
192
( ) −( )
4
4
11 3
D
sz
192
yc =
=
= 0.1367 D
D D π
3D 2
D 2
A
2( × ) + × [( ) − ( ) ]
4 4
2
4
2
（c） s z = (b − t ) × t ×
yc =
I-2
t
h
t h2
+ ht × = t[(b − t ) ⋅ + ]
2
2
2 2
s z (b − t )t + h 2
=
A 2(h + b − t )
试求（1）图示工字形截面对形心轴 y 及 z 的惯性矩 I z 与Iy。
（2）图示 T 字形截面对形心轴的惯矩 I z 与Iy。
b
(a)
解(a) J z =
bh 3 (b − t )(h − 2t ) 3 bh 3 − (b − t )(h − 2t ) 3
−
=
12
12
12
2tb 3 (h − 2t )(t ) 3 t (2b 3 + (h − 2t )t 2 )
Jy =
+
=
12
12
12
(b) y c =
25 2 × 5 + 5 2 × (15 − 5)
= 9.643cm
2(15 × 5 + 20 × 5)
15 × 5 3
5 × 20 3
2
Jz =
+ (9.643 − 2.5) ⋅ 15 × 5 +
+ (25 − 10 − 9.643) 2 × 20 × 5 = 10186cm 4
12
12
3
3
20 × 5
5 × 15
Jy =
+
= 1615cm 4
12
12
I-3
求图示椭圆截面对长轴的惯矩、惯性半径与对形心的极惯矩。
解：
y = b ⋅ sin θ , z = a ⋅ cos θ
dy = b cos θdθ
∴
b
b
b
−b
−b
J z = ∫ y 2 dA = ∫ y 2 ⋅ 2 zdy
π
J z = ∫ 2b 2 ⋅ sin 2 θ a cos θb cos θdθ = 2ab 3 ∫ 2π sin 2 θ cos 2 θdθ =
−b
−
2
π 3
ab
4
π 3
ab
b
4
iz =
=
πab
2
π
π
J p = J z + J y = (ab 3 + a 3b) = ab(a 2 + b 2 )
4
4
Jz
=
A
y
y
I-4
试求图示的
解： J yz =
1
的圆面积（半径 a）对于 z，y 轴的惯性积 I zy 。
4
a
∫∫ zydzdy = ∫ zdz ∫
0
a2 −z2
0
a
ydy = ∫ zdz ⋅
0
a2 − z2
2
1 a
a4
2
2
= ∫ z (a − z )dz =
2 0
8
I-5
图示矩形截面h : b＝3 : 2。试求通过左下角A点一对主轴u及v的方位，并求 I u 及 I v 之
值。
解：
1
1
1
J y = hb 3 , J z = bh 3 , J yz = b 2 h 2
3
3
4
1 2 2
2
×
b h
2 J yz
1 −1
1 −1
4
α 0 = tg (−
) = tg (−
)
1 3 1 3
2
Jz − Jy
2
bh − hb
3
3
1 2 3 2
b ( b)
1
2
2
= tg −1 (−
= −30.5 0
1
3
3
2
(b ⋅ ( b) 3 − (b 3 ⋅ b))
3
2
2
1
3
3
J u 3 (bh + hb ) 1 1
1.46 4
1
=
±
[ (bh 3 + hb 3 )] 2 + 4 × ( b 2 h 2 ) 2 =
b
Jv
0.169
2
2 3
4
I-6
求下列各图形的形心位置、形心主惯轴方位，与形心主惯矩值。
解：(a)
yc =
sz
=
A
J zc = J yc =
2a 2 ⋅ a + a 2 ⋅
2a 2 + a 2
a
2 = 5 a , z = 5 a , α = 45 0
c
0
6
6
1
−a
a4
a a
11
2a ⋅ a 3 + 2a 2 ( ) 2 +
+ a2 ( + )2 = a4
12
3
12
2 6
12
a a
a a a
1
J xcyc = 2a 2 (− )( ) + a 2 (− )( + ) = − a 4
3 6
3 2 6
3
J 1, 2 =
Jz + Jy
2
±
1
11
1
1
( J z − J y ) 2 + 4 J zy2 = a 4 ±
4(− a 4 ) 2
2
12
2
3
5 4
a
= 4
7 4
a
12
yc =
（b）
zc =
J zc =
J yc
sz
=
A
sy
A
=
7 × 1 × 0.5 + 12.5 × 1×
12.5 × 1 + 7 × 1
12.5
2 = 4.186cm
8 × 1 × 4 + 11.5 × 1 × 0.5
= 1.936cm
12.5 × 1 + 7 × 1
7 × 13
1 × 12.5 3 12.5
+ (4.186 − 0.5) 2 × 7 × 1 +
+(
− 4.86) 2 × 1 × 12.5 = 282.6cm 4
12
12
2
1× 83
11.5 × 13
2
=
+ (4 − 1.936) × 1 × 8 +
+ (1.936 − 0.5) 2 × 1 × 11.5 = 101.42cm 4
12
12
J xcyc = ai bi Ai = −1.436 × 2.064 × 12.5 − 2.564 × 3.686 × 7 = −103.205cm 4
J 1, 2 =
J zc + J yc
2
± (
Jz − Jy
2
) 2 + J zy =
2
329.33 4
= 192.01 ± 137.32 =
cm
54.69
α 0 = tg -1 (1 −
I-7
J zcyc
J zc − J min
) = tg -1 (1 −
282.6 + 101.42
282.6 − 101.42 2
± (
) + 103.205 2
2
2
− 103.205
) = 24.36 0
282.6 − 54.69
图示截面由No14b的槽钢截面与12 × 2cm的矩形截面组成，试确其形心主惯矩。
解：NO 14b:
A=21.31 cm
2
J x 0 = 609.4cm 4
J y 0 = 61.1cm 4
x0 = 1.67cm
xc =
21.31 × 1.67 + 12 × 2 × 6
= 3.96cm
21.31 + 12 × 2
yc =
21.31 × (−9) + 12 × 2 × (−1)
= −4.76cm
21.31 + 12 × 2
2 × 12 3
+ 2 × 12 × (6 − 3.96) = 561cm 4
12
12 × 2 3
J x = 609.4 + 21.31(−4.24) 2 +
+ 12 × 2 × (3.75) 2 = 1338cm 4
12
J xy = 21.31(−9 + 4.74) × (1.67 − 3.96) + 2 × 12 × (−1 + 4.75) × (6 − 3.96) = 390cm 4
J y = 61.1 + 21.31(1.67 − 3.96) +
J 1, 2 =
1500 4
1338 + 561
1338 − 561 2
± (
) + 390 2 =
cm
400
2
2
25.5
-
I-8 求图示花键轴截面的形心主惯矩，键可近似地看作矩形。
解：
π
(4.7 4 − 2.55 4 ) + 2 × (0.9 × 0.25) × 2.475 2 + 4 × (0.9 × 0.25)(2.475 × cos 45 0 ) 2 +
64
0.25 × 0.9 3
2×
= 27.42cm 4
12
Jz =
I-9
试证由一矩形以其对角线所分成的两个三角形分别对 x 及 y 轴的惯积是相等的，且等
于矩形面积惯积的一半。
解：对角线 y=(h/b)x 或 x=(b/h)y
J
I
yx
h
b
y
h
0
= ∫ ydy ∫ xdx = ∫
0
h
0
y2
b2h2
ydy =
2
8
h
x
b2h2
J yxII = ∫ xdx ⋅ ⋅ x =
0
2
8
b h
b2h2
J yx矩形＝ × × b × h =
= 2 J yxI = 2 J yxII
2 2
4
I-10
图示正六边形截面，试计算 I x 和 I y 。
解：
a × ( 3a) 3
Jx = Jy =
+ 2×
12
( 3a ) 3 ⋅ a ×
48
1
2 = 5 3 × a 4 = 5.413R 4
16
I-11 求图示薄壁截面对水平形心轴 x 的惯矩 I x 。
解：
Jx =
40 4 38 4
−
= 39571.99mm 4
12
12
a
I-12
图示截面由两个No22 a的槽钢组成，试问当间距 a 为何值时 I x = I y 。
解： J x = 2393.9 × 2cm
x0 = 2.10cm
4
J y 0 = 157.8 × 2 cm 4
A = 31.84cm 2
a
157.8 + ( + 2.1) 2 × 31.84 = 2393.9 × 2
2
a = 12.56cm
I-13
欲使通过矩形截面长边之中点A（或B）的任意轴 u 都是截面的主轴，则矩形截面的
高 h 与宽 b 之比应为多少（h : b＝？）？
解： J uv =
J z − J y1
2
sin 2α + J xy1 ⋅ cos 2α = 0
∴
α为任意角， J xy1 = 0
∴
满足上式， 须
J z = J y1
1 3 1 3
bh = b h
12
3
1 2 1 2
h = b
12
3
I-14
h
=2
b
图示狭长矩形截面，A、B点的纵坐标分别为 y A 和 y B ，面积为 A = tL 。试证明该
截面对 x 轴的惯矩为： I x =
A 2
2
y A + y A yB + yB 。
3
(
)
解：
dL =
Jx = ∫
∫
yB
L yA
L ⋅ dy
yB − yA
yB
y 2 tdL = tL ⋅ ∫ y 2
yA
dy
A
= ( y A2 + y A y B + y B2 )
yB − yA 3
习题答案
第一章 绪论
1-1 (a) I-I 截面 FN = 20 kN ；II-II 截面 FN = −10 kN ；III-III 截面 FN = −50 kN
(b) I-I 截面 FN = 40 kN ；II-II 截面 FN = 10 kN ；III-III 截面 FN = 20 kN
1-2 (a) （I） 截面 M = 0 ， FS = 0 ；（ II）截面 M = Pa ， FS = − P
(b) （I）截 面 M =
FS =
1
1
2
Pl sin θ ， FS = P sin θ ；（ II ）截 面 M = Pl sin θ ，
6
3
9
2
P sin θ
3
(c) （I） 截面 M =
M
M
1
1
M 0 ， FS = − 0 ；（ II）截面 M = M 0 ， FS = − 0
2
l
3
l
1-3 (2) 1-1 截面 M = −5 kN ⋅ m ， FS = 10 kN ；2-2 截面 M = 0 ， FS = 10 kN ；
3-3 截面 M = −5 kN ⋅ m ， FS = 10 kN
1-4 1-1 截面 FN =
2
3
2
2
P ， M = Pa ；2-2 截面 FS = P ， M = Pa
3
4
3
3
1-5
FNBC = 100 kN ；1-1 截面 FN = −86.6 kN， M = 25 kN ⋅ m ， FS = −50 kN
1-6
FNCD = 13.33 kN ；1-1 截面 FN = 20.2 kN， M = −2.5 kN ⋅ m ， FS = −1.667 kN
1-7 I-I 截 面
FN = −
3
P
Pa
P ， FS = ， M =
； II-II 截 面 FN = −0.2887 P ，
2
2
4
FS = −0.5P ， M = −0.25 P
1-8
1-1 截面 FN = 2 3P ， FS = 2 P ， M =
3
PR ；2-2 截面 FN = P ， FS = 0 ，
2
M = PR ；3-3 截面 FN = 0 ， FS = P ， M = PR
1-9
（ 1 ） RA =
P
13P
P
3
3
， RB =
， RC =
；（ 2 ） FSD左 = P ， FSD右 = − P ，
4
8
8
4
4
M D左 = M D右 = 0
第二章 拉伸与压缩
2-1 (2)
σ AC = −2.5 MPa ， σ CB = −6.5 MPa ； （ 3 ） ε AC = −2.5 × 10 −6 ，
ε CB = −6.5 × 10 −6 ；（4） ∆ AB = −1.35 × 10 −5 m
2-2
σ max = 388.9MPa
2-3
τ max = 63.66MPa ； σ 300 = 95.49MPa ， τ 300 = 55.13MPa
2-4
σ 1 = 254.6MPa , σ 2 = 127.3MPa , ∆ C = 2.546 × 10 −3 m
2-5
σ = 32.7MPa
2-6
a = 1.414cm 2 , b = 2.828cm 2
2-7
∆l = 0.0376 cm
D ≥ 0.58 cm
P ≤ 369 kN
(1) x = 0.6 m ；（2） P = 200 kN
P ≤ 14140 kgf
d ≥ 22.6 mm
d = 80 mm
2-8
2-9
2-10
2-11
2-13
2-14
2-15 (1) σ BC = 102MPa , σ CE = σ CD = 64.8MPa ；（2） ∆l = 0.1018 mm
2-16 ∆ B = 1.83mm(↓)
2-17 ∆ = 0.175 mm
2-19 ∆ C = 2.61 mm
2-20 ∆ CH = 1.46 mm， ∆ CV = 4.024 mm
2-21 ∆l = 0.694 Pl / Ebt
2-22
(1) FN = f1 ( y ) =
FN max =
2-23
πγ d 2
πγ 8 yh 3
3
3
(
8
y
−
h
)
；
（
2
）
σ
=
f
(
y
)
=
(
) ；（ 3 ）
2
24 h 2
24 y 2
13
12
πγd 2 h ， σ max = γh
12
27
θ = 54 0 44′
Pa
(2 + 2 )
EA
Pl 1
2-29 δ =
(3x 2 − 4ax + 2a 2 )
2
EA 2a
2-24
δ =
2-32
e=
2-33
A1 = 2cm 2 , A2 = 4cm 2
2-34
FN 1 = 0.606 P, FN 2 = 0.455P
2-35
FN 1 = FN 2 = 0.828P
2-37
A1 = A2 = 2 A3 = 247 cm 2
2-38
A1 = A2 = 4.68cm 2 , A3 = 3.57cm 2
2-39
FN 1 = FN 3 = 5.33 kN， FN 2 = −10.66 kN
2-40
FN 1 = −84.56 kN， FN 2 = −52.28 kN
2-41
(1) σ 1 = 14.8MPa , σ 2 = −18.78MPa ; (2) ∆t = 59.628 C
2-42
(1) FN 1 = − FN 2 = 60 kN ; (2) FN′ 1 = 80kN, FN′ 2 = 0 ; (3) FN′′1 = − FN′′2 = 10.5 kN
2-43
RB = 2.71 kN,
2-44
FN 2 = FN 4 = FN 5 =
b E1 − E 2
2 E1 + E 2
0
FNCD = 19.25 kN
∆⋅E⋅ A
∆⋅E⋅ A
∆
, FN 1 = FN 3 =
, δC =
4.155l
7.197l
3.598
第三章 剪切实用计算
3-1
τ = 86.58MPa
d = 15.4 mm
3-3 d : D : h = 1 : 1.22 : 1.67
3-4 δ = 9 m, l = 90 mm, h = 48 mm
3-2
3-5
τ = 34.8MPa , σ jy = 22.8MPa
3-6
τ = 3.979MPa ]
3-7
3-8
l = 127 mm
d=5.95mm
3-9
d=3.4cm, t=1.04cm
3-10 δ = 10.5 mm, h=63.8mm, x=16.75mm
3-11 P=246.2kN
3-12 τ 1 = 379.07 MPa , τ 2 = 24.14MPa
第四章 扭转
4-3
4-4
4-6
4-7
τ A = 32.59MPa , τ max = 40.75MPa
τ max = 28.28MPa
D1 ≥ 4.50 cm,
D2 = 4.699 cm
ϕ = 4.29 × 10 −2
4-8 τ max = 26.4MPa ,
4-11
ϕ AB = 5.23 × 10 −4
M n = 4.781kN ⋅ m , τ max = 47.56MPa
4-13 d 2 = 8.65cm,
4-14
2.57倍
4-16
M1 / M 2 = 7
ϕ AD = 0.423 × 10 −2
4-17 d=53mm
4-18 M n = 477.84 N ⋅ m
4-20 N = 9345 kW
4-21
FS =
4-23 M A =
M nl
2πr02 n
3
1
ml , M C = ml
4
4
4-24 内管: τ = 147.2MPa ; 外管: τ = 164.4MPa ;
4-26
τ 1 = 16.98MPa , τ 2 = 26.85MPa
4-27
M ≤ 1454 N ⋅ m
4-28
τ max = 18.6MPa
4-30
I n1 : I n 2 : I n3 = 1 : 0.886 : 0.716
4-31 降低62.5%
4-33
τ max = 405.2MPa
4-34
4-35
d=6mm, n=6圈
[P]=3.086kN
4-36
δ =0.293cm
4-38 (1) τ max = 3.851MPa ; (2) τ max = 4.01MPa
4-39 τ max = 15.22MPa ,
ϕ = 0.0679 rad
第五章 弯曲内力
5-1 (a) FS 1 = 0, FS 2 =
M0
M
, FS 3 = 0
2a
2a
M 1 = −M 0 , M 2 = −M 0 , M 3 = −M 0 / 2
(b) FS 1 = ql , FS 2 = ql , FS 3 = ql
θ = 2.48 0 / m
3
1
1
M 1 = − ql 2 , M 2 = − ql 2 , M 3 = − ql 2
2
2
2
3
(c) FS 1 = − qa, FS 2 = −qa, FS 3 = qa
4
M 1 = 0, M 2 = − qa 2 , M 3 = − qa 2
1
1
1
q0 l , FS 2 =
q 0 l , FS 3 = − q 0 l
6
24
3
1
M 1 = 0, M 2 = q0 l 2 , M 3 = 0
16
(d) FS 1 =
(e) FS 1 = 5kN, FS 2 = −5kN, FS 3 = −5kN
M 1 = 0, M 2 = 0, M 3 = 0
(f) FS 1 = 10kN, FS 2 = 10kN, FS 3 = 10kN
M 1 = 5kN ⋅ m, M 2 = 5kN ⋅ m, M 3 = −10kN ⋅ m
5-2
(a) FS ( x) = 3M 0 / l , M ( x) = 3M 0 x / l − M 0
FS max = 3M 0 / l , M
max
= 2M 0
(b) FS 1 ( x) = 0, M 1 ( x) = pa
FS 2 ( x) = − p, M 1 ( x) = pa − p ( x − a)
FS max = p, M
max
= pa
(c) FS ( x) = − p, M ( x) = − px
FS ( x) = p / 2, M ( x) = − px −
FS max = p, M
5-7
x=0.207l
5-8
x=
2l − a
4
max
= pa
3
p( x − a)
2
第六章 弯曲应力
6-1 (a) σ A = 30.37 MPa , σ max = 38.2MPa
(b) σ A = 61.73MPa , σ max = 104.2MPa
(c) σ A = 38.67 MPa , σ max = 128.2MPa
6-2 σ max = 55.26MPa
6-4
6-5
D ≥ 30 cm
h=0.416m, b=27.7cm
6-6 [P]=56.88kN
6-10 (1) b=0.5774D, h=0.8165D ; (2) b=0.50D, h=0.866D
6-11 b=27cm
6-12 σ max = 120MPa
6-13
σ a = 6.03MPa , σ b = 12.93MPa , τ a = 0.379MPa , τ b = 0
6-14
σ max = 101.86MPa (在跨中点上,下边缘),
6-15
τ max = 22.12MPa
6-16
h=25.6cm, b=12.8cm
6-18
x=4.833m
6-19
yC =
6-20
ql 3
∆l =
2 Ebh 2
6-28
σ max =
6-29
6-30
a=1.8m
a=1.7322m, q=37.503kN/m
6-31
σ max = 71.46MPa , τ max = 3.57MPa
6-32
σ max / σ b = 2
3
h
4
3Pl
4bh 2
τ max = 3.397MPa (在梁端, 中性轴上)
第七章 弯曲变形
7-1
(a) y =
(b)
y=
(c) y =
M 0 x2
M 0l 2
M 0l 2
, yB =
, θB =
2 EI
2 EI
2 EI
1
ql 2 2 ql 3 q 4
ql 4
ql 3
(−
x + x −
x ) , yB = −
, θB = −
EI
4
6
24
8 EI
6 EI
− q0 x 2
q l4
− q0 l 3
(10l 3 − 10l 2 x + 5lx 2 − x 3 ) , y B = − 0 , θ B =
120lEI
30 EI
24 EI
P
5Pa 3
Pa 2
2
3
(d) y =
(3ax − x ) , y B =
, θB =
6 EI
6 EI
2 EI
qax 2
(e) y1 = −
(9a − 2 x) (0 ≤ x ≤ a ) ,
12 EI
y2 = −
q
(16 x 4 − 128ax 3 + 384a 2 x 2 − 64a 3 + 16a 4 ) (a ≤ x ≤ 2a )
384 EI
yB = −
41qa 4
7 qa 3
, θB = −
24 EI
6 EI
(f) y1 = −
y2 = −
q
(30a 2 x 2 − 8ax 3 + x 4 ) (0 ≤ x ≤ a) ,
24 EI
q 2 2 1 3 a3
1
(a x − ax −
x ) + a 4 ( a ≤ x ≤ 2a )
EI
6
6
24
71qa 4
13qa 3
yB = −
, θB = −
24 EI
6 EI
7-2
(a) y ( x) = −
θA = −
M l2
M 0 x3
M l2
l
l
( − lx) , y ( ) = − 0 , f max = − 0 ( x =
)
6 EI l
2
16 EI
9 3EI
3
M 0l
M 0l
, θB =
6 EI
3EI
(b) y ( x) =
M 0 x 3 lx
M 0l 2
l
l
( − ) , y ( ) = 0 , f max = −
(x =
)
6 EI l
4
2
72 3EI
2 3
θA =θB = −
(c) y ( x) = −
M 0l
24 EI
q0 x
(3x 4 − 7l 4 − 10l 2 x 2 ) ,
360lEI
f max = −
q0 l 4
( x = 0.5193l )
153EI
7q0 l 3
q0 l 3
θA = −
, θB =
360 EI
45 EI
qx
(9l 3 − 24lx 2 + 16 x 3 ) (0 ≤ x ≤ l / 2)
384 EI
,
ql
3
2
2
3
y 2 ( x) = −
(−l + 17l x − 24lx + 8 x ) (l / 2 ≤ x ≤ l )
384 EI
y1 ( x) = −
(d)
l
5ql 4
3ql 3
7ql 3
y( ) = −
, θA = −
, θB =
2
768EI
128 EI
384 EI
7-3
(a) y ( x) =
yC = −
1 Pa 2
P
2P
[
x − ( x − a) 3 +
( x − 2a ) 3 ]
EI 12
3!
3!
3Pa 3
11Pa 2
Pa 3
Pa 2
, θC = −
, yD =
, θD =
4 EI
12 EI
12 EI
12 EI
1
qa 3
qa 3 qa 2
q
qa
(b) y ( x) =
[−
x−
x −
( x − a) 2 − ( x − a) 4 +
( x − 2a ) 4 ]
EI
16
2 × 3!
2
4!
4
yC =
qa 4
3qa 3
17 qa 4
19qa 3
, θC =
, yD = −
, θD = −
48EI
16 EI
48 EI
48 EI
y ( x) =
(c)
1
39qa 4 47qa 3
qa 3 9qa
q
[−
+
x−
x +
( x − a) 3 − ( x − a ) 4
EI
48
48
3!
4 × 3!
4!
3qa
+
( x − 2a ) 3 ]
2 × 3!
yC = −
(d) y ( x) =
yC = −
39qa 4
47qa 3
7 qa 4
3qa 3
, θC =
, yD =
, θD = −
48 EI
48 EI
48 EI
48EI
1
39qa 3
7 qa 3 q 4 qa
q
[−
x−
x − x − ( x − a ) 3 + ( x − 2a ) 4 ]
EI
6
3 × 3!
4!
3!
4!
115qa 4
17qa 4
29qa 4
8qa 3
, θC = −
, yD = −
, θD =
72 EI
18EI
18 EI
9 EI
1
4qa 2 2 3qa 3 qa
q
qa
(e) y ( x) =
[−
x +
x − ( x − a ) 3 − ( x − a ) 4 − ( x − 2a ) 2 ]
EI
2!
2!
3!
4!
2!
101qa 4
8qa 3
7qa 4
17 qa 3
yC = −
, θC = −
, yD = −
, θD = −
24 EI
3EI
EI
6 EI
7-4
(a) y C = −
7-5
y C =3.77cm
7-6
d=0.28m
7-7
(a) y B = −
7-8
yC = −
7-9
fC =
M 0a2
4qa 4
Pa 3
10 Pa 3
, (b) y C = −
, (c) y C = −
, (d) y C = −
3EI
3EI
EI
3EI
2 Pl 3
5 Pl 2
, θB = −
9 EI
18 EI
(b)
yB = −
1 qa 4 qa 3b
qa 3
(
+
), θ B = −
EI 8
6
6 EI
11P 3
a
6 EI
qb(b + a) 3 qab 3 qb 4
−
−
3EI
6 EI 8EI
5qa 4
qa 3
, θC = −
7-10 (a) y C = −
24 EI
24 EI
(b) y C = −
7-11 y B = −
qa
q
(3a 3 − 4a 2 l − l 3 ), θ C = −
( 4a 2 l + 4 a 3 − l 3 )
24 EI
24 EI
2399ql 4
97 ql 4
, yC = −
6144 EI
768 EI
3
ql
4
7-12
P=
7-13
a/b=1/2
7-14 y = −
ql 4 kql 3
ql 3 ql 2 k
−
, θ=
+
8EI
2
6 EI
2
7-15 y C = −
P
4 Pl 3
−
9k 243EI
7-16 y A = −
Pl 3
3EI
7-17 (1) M =
7-18 y =
Px 3
3EI
7-20 a =
2
l
3
7-21 x A =
q x
1
q 0 l 2 , (b) M max = 0.064q0 l 2 , (c) q = 0
16
l
5Pl 2
27 Ebh 2
7-22 小挠度下：
1 d2y
≈
ρ dx 2
thl 3
tl 3
h tl 2
, xA =
QA ⋅ −
6 EI
2 Ebh
2 Ebh
7-23
yA = −
7-24
σ 1 h1
=
σ 2 h2
7-25
yF = −
7-26
x = 2l / 3
17 Pa 3
48EI
qa 4
4 EI
7-27
(a) y C =
(b) y C =
7-28
M n = 51.85N ⋅ m
7-29
yC = −
7-30
(a) f = −
Pl 3 Pal Pa 3
+
+
3EI GI n 3EI
34 Pl 3
Eah 3
Pa 3
3EI
(b) f = −
3Pa 3
2 EI
第八章 应力和应变分析基础
8-3
(a) σ α = 13.75MPa , τ α = 10.825MPa , τ max = 12.5MPa , α = 45
0
(b) σ α = −5.606MPa , τ α = −10.606MPa , τ max = 15MPa , α = 45
(c) σ α = 17.5MPa , τ α = −13.0MPa , τ max = 20.0MPa , α = 45
(d) σ α = 20MPa , τ α = 0 , τ max = 13.5MPa , α = 45
8-4
0
(a) σ 1 = 52.426MPa ， σ 3 = −32.426MPa ， α = 22.5
0
0
(b) σ 1 = 37 MPa ， σ 3 = −27 MPa ， α = −70 40′
0
(c) σ 1 = 62.4MPa ， σ 2 = 17.6MPa ， α = 58 17 ′
(d) σ 1 = 120.7 MPa ， σ 3 = −20.7 MPa ， α = −22.5
8-5
0
(a) σ 1 = 88.3 ， σ 2 = 0 ， σ 3 = −28.3 ， τ max = 58.3
(b) σ 1 = 51 ， σ 2 = 0 ， σ 3 = −41 ， τ max = 4.6
(c) σ 1 = 120 ， σ 2 = 72.5 ， σ 3 = −22.5 ， τ max = 71.2
(d) σ 1 = −30 ， σ 2 = −30 ， σ 3 = −30 ， τ max = 0
0
0
(e) σ 1 = 52 ， σ 2 = 50 ， σ 3 = −42 ， τ max = 47
8-7 τ = 15MPa ， σ 1 = σ 2 = 0 ， σ 3 = −30MPa
8-9 σ 1 = σ 2 = −135.7 MPa ， σ 3 = −150MPa
8-10 σ 1 = −60MPa ， σ 2 = 0 ， σ 3 = −19.8MPa
8-12
M n = 125.6 N ⋅ m
8-13
P = 125.56 kN
8-14
∆l bc = 94.07 × 10 −3 cm
8-15
σ1 = 0, σ 2 = −
8-16
σ = −213.33MPa , τ = −301.69MPa , p = 369.49MPa
8-18
θ = −288.5 × 10 −6
8-19
ε 1 = 627.25 × 10 −6 ， ε 2 = −166.25 × 10 −6 ， α 0 = 16.8 0 ， γ max = 793.5 × 10 −6
8-20
σ 1 = −88.889MPa ， σ 3 = 124.44MPa ， α = 30 0
8-21
p = 8.29MPa
8-22
∆t = −
E ∆δ
µ δ
2µqt
1 − 2µ
, θ =
( 2q )
E
E
第九章 强度理论
9-1
（1）按第一强度理论，(a)危 险 ；（ 2）按第二强度理论，(b )危险
9-2
（1）按第三强度理论，(a)危 险 ；（ 2）按第四强度理论，全部不危险
9-3
σ xd4 = 138MPa
9-4
3
σ xd
= 179.72MPa
9-6
p = 1.5MPa
9-7
t ≥ 1.0 cm
9-8
(1) σ xd = 18.4MPa (2) 安全
9-9
3
4
σ xd
= 300MPa = [σ ] ， σ xd
更小
2
9-10 q = 415.24 kN/m
M
9-11 σ xd = 42.4MPa
3
9-12 σ xd
=
γHd
4t
第十章 组合变形时的强度计算
10-1 （a）斜弯曲 (b) 平面弯曲 (c) 平面弯曲 (d) 斜弯曲 (e) 斜弯曲 (f) 弯扭组合 (g) 平
面弯曲 (h) 斜弯曲
10-2
（2） σ max = 9.84MPa （3） f = 0.602 cm
10-3
(1) b=9cm , h=18cm (2) f = 1.97 × 10 −2 cm, α = 81.1
10-4
σ max = 150.69MPa
10-5
σ A = −146.2MPa , σ B = 120.56MPa , σ C = −36.42MPa
10-6
σ max = 91.1MPa (压)
10-7
[P] = 8.108 kN
10-8
(2) σ max = 158.42MPa (3) f B =
10-9
σ max = 7.083MPa
0
10-10 S =
l d
+ tan α
2 8
10-12
σ max = 130MPa
10-13
σ max = 160.75MPa
117 P
( →)
EI
10-14
σ max = 25.72MPa
10-16
σ max = 135.6MPa
10-18
σ 内 = 26.85MPa < [σ + ] , σ 外 = −32.38MPa < [σ − + ]
10-19
10-21
d=3.38cm
d=5.95cm
d=5.11cm
10-22
σ xd4 = 54.4MPa
10-23
σ max = 2913MPa
10-24
m-m截面： σ xd = 89.1MPa ；n-n截面： σ xd = 47.11MPa
10-25
4
σ xd
= 269.48MPa
10-26
3
σ xd
= 142.4MPa
10-20
3
3
第十一章 变形能法
P 2l
7P 2l
, (b) U =
6 EA
6 EA
11-1 （a） U =
11-2
U a 16
=
Ub
7
11-3
U = 0.957
11-4 (a) U =
11-5
δB =
P 2l
EA
9.6m 2 l
Gπd14
Pl 2 ql 2
+
3EI 8 EI
(b) U =
m2l
18EI
11-6 (a) δ A = −
(b) δ A = −
(c) δ A =
Ma 2
5Ma
(向上) , θ B = −
(顺时针)
4 EI
12 EI
qa 4
5qa 3
, θB =
2 EI
8 EI
71qa 4
5qa 3
, θB =
24 EI
3EI
2qa 4
qa 3
(d) δ A =
, θB =
3EI
8 EI
4 Pa 3
Pa 2
11-7 (a) δ B =
, θA =
3EI
EI
(b) δ B =
11-8
δA =
11-9
θ=
11-10
5PL3
5 PL2
, θA =
96 EI
16 EI
Pb 2
Pb 2 P
b
( a + b) +
+ (1 + ) 2
2
3EI
k2
a
k1 a
7qL3
24 EI
2qa 3
5qa 4
(a) θ A =
, yA =
3EI
8 EI
(b) θ B = −
qa 3
7 qa 4
, yA =
12 EI
24 EI
(c) θ A =
qa 3
qa 4
5qa 4
, xB =
, xC =
24 EI
12 EI
384 EI
(d) y C =
51qa 4
48 EI
4 Ma
5Ma 2
, yC =
3EI
6 EI
(e) θ A =
11-11(a) X AB =
Ph 2 (2h + 3a)
Pl 3
, (b) X AB =
3EI
3EI
11-12
f A = 18.3mm
11-13
2 Pa 3 8 2 Pa
fC =
+
3EI
EA
11-14
xA =
11-15
11-16
11-17
11-19
Pl
Pl
P
(1 + 2 2 ) (←) , y A = −
(↑) , θ AB =
(1 + 2 2 ) (逆时针)
EA
EA
EA
Pb
Pb
y A = 6。
372
(↓) , ∆ AE = 1.511
EA
EA
Ph 2 h
∆A =
( + a)
2 EI 3
∆ CD
17 3Pl 3
=
24 EI
7 Pa 3
3
1
3
XA =
, X C = Pa (
+
)
2 EI
2 EI GI P
11-20 δ =
P
Pab a
(a 3 + 4b 3 ) +
( + b)
6 EI
GI n 2
11-21 (a) x A = −
(b) x A =
11-22
11-23
M max =
δ Bx
2 PR 3
3πPR 3
(←) , y A =
EI
2 EI
PR 3
PR 3
, xA =
(3π − 8)
2 EI
8 EI
2 EIe
3πR 2
PR 3
PR 3
=
(←) , δ By = 3.36
(↓)
2 EI
EI
3R 4 pπ
EI
11-24
∆ AB =
11-25
πPR 3 PR 3 3π
δB =
+
( − 2) (↓)
4 EI
GI P 4
11-26
ϕB =
11-27
δ C = 0.599mm
11-28
α = 22.5 0
11-29
x A = αLT , y A =
11-30
δ AH = ∆1 , δl AV =
16M e R 2 1
( + )
E G
a4
αl 2
(T1 − T2 )
2h
∆1 cos α + ∆ 2
sin α
第十二章 超静定系统
12-1
a，静定；b，f，一次超静定；d，e，二次超静定；g，h，三次超静定；c，几何可
变
12-2
a） R B =
3PL
5
11
P(↑) , R A = P(↑) , M A =
(逆时针)
16
16
16
7
3
PL
b) R B = P (↑) , RC = P (↓) , M A =
(逆时针)
4
4
4
c) R B =
Pb(3l 2 − b 2 )
(↑)
2l 3
d) R B =
3M 0
3M 0
+ P(↑) , R A =
(↓) , M A = − M 0 (逆时针)
2l
2l
e) R B =
95ql
161ql
33ql 2
(↑) , R A =
(↑) , M A = −
(逆时针)
128
256
64
f) R A =
7q 0 l
3q l
ql 2
3ql 2
(↑) , RB = 0 (↑) , M A =
(逆时针) , M B =
(顺时针)
20
20
20
20
3qAl 3
8(l 2 A − 3I )
12-3
FNBC =
12-4
AB 梁受力 PAB = 8.1 kN (↓) , CD 梁受力 PCD = 1.9 kN (↓)
12-5
RA =
12-6
FN =
12-7
13
2
P , M A = − Pl
18
9
17qQ
8 5 15 I
+
5
Aa 2
(a) R Ax
17ql − 3P
ql 2 + 13Pl
=
（ ↑ ）, R Ay = P(←) , M A =
(逆时针)
32
32
(b) R Ax = − R Dx =
MA =
3 P M0
( +
（
) ↓ ）, R Ay = P(→) ,
4 4
l
4M 0 − 11Pl
(逆时针)
16
2
1
2
P(→) , R Ay = P(↑) , RDy = P(↑)
11
3
3
3
1
4
11
(d) R Ax = qa (→) , R Ay =
qa(↓) , RBx = qa(→) , RBy =
qa(↑) ,
7
28
7
28
3
M B = qa (逆时针)
28
5
3qa
12-8 (a) R Ax =
P(←) , (b) RCx =
(←) , RCy = 0
24
16
P
1
(c) R Ax = (←) , (d) R By = qa (↑)
4
3
(c) R Ax = − R Dx =
12-9
δ cy =
PR 3 3π
3
( +
− 1)
EI 8 2π
12-10 y D = 5.05 mm
12-12 (a) M =
PL
PLa
a 2 − ab + b 2
−
, (b) M = − q
8 8(a + L)
12
12-13
M max = 0.389 Pa
12-14
M A = 0.099 PR
12-15
(a) FN 1 = FN 2 = FN 4 = 0.398 P ,
FN 3 = −0.604 P, FN 5 = −0.561P, FN 6 = 0.858P
(b) FN 7 = FN 10 = P , 其余为零
12-16
[P] = 19.3 kN
12-19
FN 1 =
3l 2 − 4a 2
P
8h(3l − 4a )
12-20
δ Ax =
17 Pl 3
(→)
672 EI
第十三章 动载荷
13-1
n jx = 1092 r / m , ∆l = 0.0252 m
13-2
梁: σ d max = 15.64MPa ,
13-3
σ d max = 12.5MPa
13-4
n = 1072 r / m
13-5
σ d max = 59MPa , f d max = 8.37 cm
13-6
σ d max = 107.2MPa
吊索: σ d max = 2.55MPa
13-7
σ d max = 152.4MPa
13-8
CD 杆: σ d max = 2.28MPa , AB 轴: σ d max = 68.3MPa
13-9
τ d max = 10MPa
13-10 (1) σ d max = 0.14MPa , (2) σ d max = 15.4MPa , (3) σ d max = 3.62MPa
13-11
)
σ d( amax
6 HEI
48 HEI
= 2(1 +
) /(1 + 1 +
)
(b)
3
σ d max
Pl
Pl 3
13-12 σ d max = 16.9MPa
13-13 (1) H = 0.334 m,
13-14 H = 24.3 mm
(2) H = 0.00956 m
13-15 绳: σ d max = 68.3MPa ,
梁: σ d max = 100.8MPa
13-16 绳: σ d max = 142.5MPa ; 轴: τ d max = 80.7 MPa
13-17
σ d max = 141.9MPa
(a)
13-18 K d
= 1+ 1+
48 EIV 2
(b)
, Kd =
gQl 3
48 EIV 2
gQl 3
13-19 σ d max = 139.2MPa , ∆ d = 1.546 m
13-20 (a) ω = 21.41 / s , (b) ω = 85.51 / s , (c) ω = 171.21 / s
13-21 (1) σ d max = 23.5MPa , (2) ω = 20π / s , σ d max = 69.8MPa
13-22 ω =
3EIl
m(l − x) 2 x 2
第十四章 交变应力
14-1
σ a = 7.67MPa , σ m = 161MPa , r = 0.91
14-2
τ a = 120MPa , τ m = 280MPa , r = 0.4
14-3
ε σ = 0.744
14-4
nσ = 2.36
14-5
M 2 / M 1 =1.69
14-6
r = 11.2 mm
14-7
nσ = 5.5
14-8
α = 33.7 0
14-9
[M 1 ] = 411N ⋅ m , [M 2 ] = 636 N ⋅ m
14-10 nστ = 1.35
14-11 nσ = 1.79
14-13 nτ S = 7.36
14-14
1-1 截面: nστ = 2.25 ; 2-2 截面: nστ = 4.47
第十五章 压杆稳定性
15-1
(a)、(b)、(e)绕任意方向转动，(c)、(d)、(f)绕 z 轴转动。
15-3
λ p = 92.6 , λ s = 52.5
15-4 （1） Pcr = 7.46 kN, (2) n工作 = 3.2
15-5
n工作 = 3.08
15-6
d = 330 mm
15-7
Qmax = 118.8 kN, n工作 = 1.70
15-8
T = 66.4 0 C
15-9
Pcr =
36.1EI
l2
2
15-10 θ = arctg (ctg β )
15-11 n工作 = 5.07
15-12
xy 平面： n工作 = 3.27 ； xz 平面： n工作 = 0.45
15-15 22 号槽刚， b = 10。16cm ， a = 1.05 m
15-16
[P] = 6.61× 10 6 N
15-18
π 2 EI
Pcr =
(2.51L) 2
15-19
Pcr =
16l c π 4 EI
( +
)
π 2 2 64l 3
15-20
Pcr =
π 2 EI
(0.5l ) 2