TS PHÙNG DUY QUANG
BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP
ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ
NHÀ XUẤT BẢN THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG, 2019
1
LỜI NÓI ĐẦU
Sách “Bài tập Toán cao cấp ứng dụng trong kinh tế” ñược biên soạn tương ứng
chương trình Toán cao cấp trong chương trình ñào tạo các ngành Kinh tế, Tài chính Ngân
hàng, Quản trị Kinh doanh, Kinh tế quốc tế, Thương mại quốc tế của trường Đại học Ngoại
thương.
Sách ñược biên soạn với mục ñích là rèn luyện tư duy suy luận bằng các tri thức của
toán học cao cấp trang bị trong lý thuyết, cũng như các kỹ năng giải toán bằng các công cụ
của toán học cao cấp khi tiếp cận các bài tập. Nhằm mục ñích ñổi mới việc giảng dạy và
học tập toán cao cấp của sinh viên Đại học Ngoại thương theo phương thức ñào tạo tín chỉ,
sách ñược biên soạn trên tinh thần hỗ trợ và giúp ñỡ các bạn sinh viên học tập tốt môn
Toán cao cấp. Với mục ñích trên chúng tôi cố gắng ñưa vào khối lượng tương ñối lớn các
bài tập Toán cao cấp ứng dụng trong kinh ñể người ñọc thấy ñược mạch ứng dụng của toán
học cao cấp trong lĩnh vực kinh tế.
Ngoài lời nói ñầu, mục lục, tài liệu tham khảo; sách ñược kết cấu như sau:
Chương 1. Ma trận và ñịnh thức
Chương 2. Không gian véc tơ
Chương 3. Hệ phương trình tuyến tính
Chương 4. Một số mô hình tuyến tính ứng dụng trong phân tích kinh tế
Chương 5. Phép tính vi phân, tích phân hàm một biến số
Chương 6. Ứng dụng của phép tính vi phân, tích phân hàm một biến số trong kinh
tế
Chương 7. Phép tính vi phân hàm nhiều biến
Chương 8. Ứng dụng phép tính vi phân hàm nhiều biến trong kinh tế
Sách lần ñầu tiên ra mắt bạn ñọc nên không thể tránh các sai sót. Mọi góp ý xin gửi về
TS Phùng Duy Quang, Trưởng Khoa Cơ bản, Trường Đại học Ngoại thương, ñịa chỉ email:
quangpd@ftu.edu.vn.
Trân trọng giới thiệu cùng bạn ñọc.
2
Hà nội, ngày 04 tháng 09 năm 2019
Chủ biên
TS Phùng Duy Quang
Phụ trách bộ môn Toán, Trưởng Khoa Cơ bản
Trường Đại học Ngoại thương
3
MỤC LỤC
Trang
Chương 1. Ma trận và Định thức
5
Chương 2. Không gian véc tơ
10
Chương 3. Hệ phương trình tuyến tính
15
Chương 4. Một số mô hình tuyến tính ứng dụng trong phân tích kinh tế
20
Chương 5. Phép tính vi phân, tích phân hàm một biến số
30
Chương 6. Ứng dụng của phép tính vi phân, tích phân hàm một biến số trong
36
kinh tế
Chương 7. Phép tính vi phân hàm nhiều biến
45
Chương 8. Ứng dụng phép tính vi phân hàm nhiều biến trong kinh tế
47
Tài liệu tham khảo
54
4
PHẦN 1. TOÁN CAO CẤP 1
Chương 1. MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Bài 1.1. Tính các ñịnh thức sau
5 −7
b)
8 − 12
a) − 2010
−1 0
5
2
e) 3
0 −3
f) − 2 3
2 −4
−2 4 1
4 −2
−9 6
c)
1 3
3
9
d) 1
3 −5
2 − 8 13
4
2
g) 1 − 1
1
5
3
2
3
−3
5 −3 2
3
−1
h) 2 − 1 1
3
2
1
Bài 1.2. Tính các ñịnh thức sau
a)
−1 0
2 1
3
4
−2
−3
b)
2 − 3 −1
3 4 −6
2 −1
1
2
c) − 3 1
4 −3
4
3
4
1 0 −3 2
− 2 2 3 −1
3
2
4 −5
6 −5
1
4
3 −4 0
−1 0 − 2 − 3 1
3 5
4
2
1
3
0 −1
2 0 − 2 d) − 3 − 2 1 − 1 2
0 −1 3
−2 4
3 −1 1
−1 8
0
5
−4
3
5
−5
2
2 8 9
Bài 1.3. Chứng minh rằng ñịnh thức : D = 1 8 7 chia hết cho 17.
1 7 0
2 9 0
Bài 1.4. Chứng minh rằng ñịnh thức D = 1
2 5 chia hết cho 19.
4 6 5
Bài 1.5. Chứng minh các ñồng nhất thức sau:
a
b
a) a1
b1
b2
a2
ax + by + c
a
b
c
a1 x + b1 y + c1 = a1
a 2 x + b2 y + c 2
a2
b1
b2
c1
c2
1 a bc
b) 1 b ca = (b − a)(c − a)(c − b)
1 c
5
ab
1 a a2
1
1
1
c) a
b
b3
c = (a + b + c)(b − a )(c − a )(c − b) d) 1 b ca = 1 b b 2
c3
1 c ab 1 c c 2
a3
1 a bc
Bài 1.6. Trong các ñịnh thức cấp n, xác ñịnh dấu của
a) Tích các phần tử nằm trên ñường chéo chính
b) Tích của các phần tử nằm trên ñường chéo phụ
Bài 1.7. Định thức cấp n sẽ thay ñổi thế nào nếu:
a) Đổi dấu tất cả các phần tử của nó
b) Viết các cột theo thứ tự ngược lại
Bài 1.8. Tìm giá trị lớn nhất của ñịnh thức cấp 3 chỉ nhận các phần tử là
a) 0 và 1
b) 1 và -1
Bài 1.9. Giải phương trình sau
− 3x 2 − x 2 x 2
1
−2 3 −4
=0
−3
2 −2 2
9
2
3
18
Bài 1.10. 1) Tính AB và BA (nếu tồn tại), biết rằng:
1 2 3
a) A = 
; B =
0 − 4 2 
0 − 1
2 3 


4 1 
− 1 0 2 
b) A =  1 2 − 1 ; B =
 0 − 1 1 
1 0 − 2 2 
2 1
2 − 1

3 − 2 1
0 
2) Tính
cos x − sin x 
cos x 
a) 
 sin x
n
 4 1
b) 

0 3
n
a 1 0 
c) 0 a 1
0 0 a 
6
100
Bài 1.11. Tìm tất cả các ma trận B giao hoán với ma trận A, nghĩa là AB = BA, biết:
1 2
1 − 1
1 

a) A = 

3 4
b) A = 
1
Bài 1.12. Tìm ma trận nghịch ñảo của các ma trận sau:
1 2
a) 

3 4
− 1 0 2
c)  3 1 3
 2 3 1 
a b 
b) 

c d 
0 
 2 −1 3
− 4 2 − 2 3 

e) 
1
3
1 − 2


2
1 
−1 4
 2 −1 3 
d) − 3 2 − 1
 1
0 5 
1
0
f) 
0

0
0
−1
3
2 4 − 6
0 −2 3 

0 0 − 1
1
2
Bài 1.13. Giải các phương trình A × X = B, biết:
 − 2 3
5 6 
5 − 4 
a) A = 
 ; B = 7 8 
 − 3 4


1
c) A = 
− 3
1
0

d) A =  .

0
0
− 3
;B=
9 
b) A = 
 ; B =  − 2 3
 4 − 3


 4 3
1 2 


1 ... 1 1
1

0
1 ... 1 1

. ... . . ; B =  .


0 ... 1 1
0
0
0 ... 0 1
2 ... n − 1
1 ...
.
...
0 ...
0 ...
n 
n − 2 n − 1
.
. 

1
2 
0
1 
Bài 1.14. a) Cho A là ma trận vuông thỏa mãn ñiều kiện: A 2 − 2010 A + E = 0 . Tìm ma trận
nghịch ñảo A-1 của A (nếu tồn tại) (E là ma trận ñơn vị).
b) Cho A là ma trận vuông cấp n có r (A) ≠ n − 1. Tìm r( A )
Bài 1.15. Tìm hạng của các ma trận sau:
7
 2 −1 3 
0
3 − 1
A= 
;
− 2 4
2


5 7
2
1
2
B= 
1

2
2 − 1 3 1 
1 2 − 2 3 


D = 3 1 1 2  ; E =


2 4 − 4 4 
8 6 − 2 10
2
3
− 1
0 − 1 4 
;
2 −2 3 

1 4
0
0 
− 1 − 2 3
2
1 − 2 − 1 
C= 
;
3
3 − 5 − 1


2 − 4 − 2
4
− 1 2 − 3 0 4
 3 − 1 2 3 2 ; F =


 1
3 − 4 3 1 
2
3 − 4
1
− 2 0
1
3 

1
6 10 − 8 


− 2 − 4 − 6 7 
Bài 1.16. Tìm m ñể ma trận sau có hạng bé nhất:
1 m − 1 2 
2 − 1 m 5 


1 10 − 6 1 
a b 
thoả mãn: X 2 − (a + d)X + ad − bc = 0

c d 
Bài 1.17. a) Chứng minh rằng, ma trận A = 
b) Giả sử A là ma trận vuông cấp 2 và k là số nguyên lớn hơn 2. Chứng minh rằng Ak = 0
khi và chỉ khi A2 = 0.
Bài 1.18. a) Giả sử Ak = 0 (k là số nguyên lớn hơn 2). Chứng minh rằng
(E – A)-1 = E + A + A2 + … + Ak -1
b) Cho A là ma trận vuông cấp n có các phần tử trên ñường chéo chính bằng 0, các
phần tử còn lại bằng 1 hoặc 2000. Chứng minh rằng r (A) ≥ n − 1
Bài 1.19. a) Cho A là ma trận vuông cấp n có A-1 = 3A. Tính det(A2009 – A)
b) Chứng minh rằng không tồn tại các ma trận A, B vuông cấp n sao cho AB – BA = E.
Bài 1.20. Tính các ñịnh thức cấp n sau
8
1
2
3
... n
1
−1
0
3
... n
1 1+ a
0
... n
b) 0
1
...
... ...
...
...
...
...
− 1 − 2 − 3 ... 0
0
0
0
... 1 + a
a) − 1 − 2
...
...
x
−y
0
c) 0
...
x
0
...
0
1
0
1
0
...
0
0
− y ... 0 0
x ... 0
0
... ... .... ...
0
1
... x
... 1
−y
1
a
0
...
0
a
...
0
1 + a ...
0
1 0 0 ... 0
1 a 1 0 ... 0
1 1 a 2 ... 0
d)
... ... ... ... ...
1 0 0 ... a n − 2
1 0 0 ... 1
9
...
1
0
0
...
0
a n −1
CHƯƠNG 2. KHÔNG GIAN VÉC TƠ
Bài 2.1. Tìm véc tơ x = 2x1 – x2 + x3 biết:
a) x1 = (2; 1; -1; 3); x2 = (- 2; 1; 3; 4); x3 = (-3; 1; 4; 5)
b) x1 = (a; 1; 2; -1); x2 = (- 2; - a; 1; -1);x3 = (- 2; 4; a; 3)
Bài 2.2. Xét sự ñộc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính của các hệ véc tơ sau
a) U = {x1 = (2; 1; -1); x2 = (- 2; 3; -4); x3 = (3; - 1; 2)}
b) U = {x1 = (3; -2; 4); x2 = (- 2; 2; 0); x3 =(- 1; 2; 4)}
c) U = {x1 =(1;1;0); x2 =(0;1;1); x3 = (1;0;1); x4 =(2;-2; 2)}
d) U = {x1 = (1; -1; 2); x2 = (2; 0; 1)}
e) U = {x1 =(1;-1;2;3); x2 = (2;3;- 2;- 4); x3 = (3;2; 0; -1)}
Bài 2.3. Biểu diễn véc tơ a qua các véc tơ u1, u2, u3
a) a = (4; 9; -3; -1); u1 = (1; 2; -1; 1); u2 = (0; - 1; 2; 2); u3 = (2; 4; 1; -1)
b) a = (3; 0; 4) ; u1 = (1; -1; 2); u2 = (2; -1; 4); u3 = (0; 1; -1)
Bài 2.4. Trong R3, hệ véc tơ nào sau ñây là cơ sở của R3
a) U = {u = (1 ; -2 ; 3)}
b) U = {u1 = (1 ; -1 ; -2) ; u2 = (3 ; 0 ; 1)}
c) U = {u1 =(1 ; -2 ; 1) ;u2 = (1 ;-3 ; - 4) ; u3 = (2 ; -5 ; - 3) }
d) U = {u1 = (1 ; -1 ; -3) ;u2 = (0 ; 0 ; 0); u3 = (5 ; -4 ; 0)}
e) U = {u1 = (1 ; 1 ; 0) ; u2 = (-1 ; 1 ; 2); u2 = (2 ; 0 ; 1) ; u3 = (1 ; 2 ; 3)}
f) U = {u1 = (1 ; 1 ; -2) ; u2 = (0 ; -1 ; 1) ; u3 = (0 ; 0 ; 2)}
Bài 2.5. Tìm hạng của hệ véc tơ sau
a) U = {u1 = (3 ; 1 ; -2) ; u2 = (-2 ; 1 ; 3) ; u3 = (-1 ; 3 ; 4)}
b) U = {u1 = (-1 ; 1 ; 2) ; u2 = (2 ; - 3 ; -1) ; u3 = (-3 ; 2 ; 6)}
c) U = {u1 = (2 ; 3 ; 1 ; 2) ; u2 = (3 ; 1 ; 2 ; 7) ; u3= (2 ; 4 ; 3 ; 3) ; u4= (1 ; 1 ; 2 ; 3)}
d) U = {u1 = (1;2 ;3 ; -3) ; u2 = (2 ; 1 ; -2 ; 3) ; u3 = (-3 ; 1 ; 2 ; 1) ; u4 = (-3 ; 6 ; 3 ; 2)}
e) U = {u1 = (1 ; 0 ; 1 ; -2) ; u2 = (1 ; 1 ; 3 ; -2) ; u3 = (2 ; 1 ; 5 ; -1) ; u4=(1 ; -1 ; 1 ; 4)}
10
Bài 2.6. Tuỳ theo giá trị của m, tìm hạng của hệ véc tơ sau
a) U = {u1= (1 ; - 2 ; 3) ; u2 = (2 ; 1 ; 0) ; u3 = (m ; 0 ; 0)}
b) U = {u1 = (1 ; 2 ; -1) ; u2 = (2 ; 4 ; m)}
c) U = {u1 = (1;1;1; 2) ; u2 = (1; -1; 2; 0) ; u3 = (1; 2; 0; 0) ; u4 = (m -1; -1; -1; -2)}
Bài 2.7. Tập hợp nào sau ñây là không gian con của không gian R3
a) F = {(x1; 0; x2); x1, x2 ∈ R}
b) F = {(x1; 0; 1); x1 ∈ R}
c) F = {(a; b; a - 2b); a, b ∈ R }
d) F = {(x1, x2, x3): x1 - 2x2 + x3 = 1; x1, x2, x3 ∈ R}
Nếu F là không gian con của R3 thì tìm cơ sở và số chiều của F.
Bài 2.8. Tìm cơ sở và số chiều của không gian con F của R3 sinh bởi hệ véc tơ sau
a) U = {u1 = (- 1 ; 2 ; -3)}
b) U = {u1 = (1 ; - 1 ; 2) ; u2 = (-3 ; 0 ; 1)}
c) U = {u1 = (1 ; 2 ; 1) ;u2 = (- 1 ;- 3 ; 4) ; u3 = (0 ; - 1 ; 5) }
d) U = {u1 = (-1 ; 1 ; - 3) ; u2 = (0 ; 0 ; 0) ; u3 = (-1 ; 0 ; - 4)}
e) U = {u1 = (1 ; 0 ; 0) ; u2 = (1 ; -1 ; 0) ; u3 = (1 ; 1 ; -1) ;u4 = (1 ; - 2 ; - 3)}
f) U = {u1 = (1 ; 0 ; 0) ; u2 = (1 ; - 1 ; 0) ; u3 = (-1 ; 1 ; 1)}
Bài 2.9. Tìm m ñể hệ véc tơ sau là cơ sở của không gian R3
a) U = {u1 = (3; 1; m); u2 = (1; 1; 0) ; u3 = ( 2; 1; m)}
b) U = {u1 = (1; - 2; 2); u2 = (0; 1; -1) ; u3 = (1; -1; m)}
Bài 2.10. Cho tập F = {( x; y; z)∈ R 3 : ax + by − z = 0; a , b ∈ R }
a) Chứng minh rằng F là không gian con của R3
b) Tìm dim F

x − 2 y + mz = 0 
 (m là tham số)
=0 
x + y
Bài 2.11. Cho tập F = ( x; y; z)∈ R 3 : 

a) Chứng minh rằng F là không gian con của R3
b) Tìm dimF
11
Bài 2.12. Cho hệ {u1, u2, u3} là phụ thuộc tuyến tính trên Rn và u3 không biễu diễn tuyến
tính qua {u1, u2}. Chứng minh rằng u1 và u2 tỷ lệ nhau.
Bài 2.13. Chứng minh rằng hạng của hệ véc tơ không ñổi nếu:
a) Đổi chỗ hai véc tơ trong hệ
b) Nhân một véc tơ của hệ với một số khác không
c) Nhân một véc tơ của hệ với một số thực khác không rồi cộng vào một véc tơ khác
trong hệ
Bài 2.14. Cho U = {u1, u2, …, um} ⊂ Rn. Gọi L(U) là tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính
của các phần tử trên U:
L(U) = {u = t1u1 + t2u2 + … + tmum| t1, t2, …, tm ∈ R}
Chứng minh rằng L(U) là không gian véctơ con của Rn và dimL(U) = r(U)
Bài 2.15. Cho hệ véc tơ U = {u1, u2, …, um} là ñộc lập tuyến tính trên Rn và hệ
{X, u1, u2, …, um } phụ thuộc tuyến tính. Chứng minh rằng véc tơ X biểu diễn duy nhất
dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các véc tơ trong hệ U.

x

Bài 2.16. Cho tập F = ( x; y; z)∈ R 3 : 1

1



0 1 =0 

2 −2

y
z
a) Chứng minh rằng F là không gian con của R3
b) Tìm cơ sở và số chiều của F.
Bài 2.17. Cho hệ véc tơ a1 = (2; 1; 0); a2 = (-1; 1; 1); a3 = (1; 2; -1) và các véc tơ b1 = a1 –
a2; b2 = 2a2 – a3; b2 = 2a2 – a3; b3 = a1 – 2a3.
a) Xét sự ñộc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính của hệ véc tơ {b1, b2, b3}
b) Biểu diễn véc tơ x = (3; 1; -1) qua hệ véc tơ {b1, b2, b3}


a b 
; a , b, c, d ∈ R 

c d

Bài 2.18. Cho tập E = A = 

a) Chứng minh rằng E với phép toán cộng hai ma trận, nhân ma trận với một số lập
thành một không gian véc tơ trên R.
b) Tìm cơ sở và số chiều của E.
Bài 2.19. Cho E, F là các không gian véc tơ con của E. Hỏi E ∪ F có là không gian con của
Rn hay không?
12
Bài 2.20. Trong R4, cho hệ véc tơ
U = {u1=(-1; 2;1;2); u2 =(1; m; 1; 3); u3 =(1; -1; -1; -1); u4 =(-1; 2; m; 2); u5 =(1; 1; -1; 1)}
Tìm một cơ sở không gian con L(U).
Bài 2.21. Trong không gian R4, cho hệ véc tơ U = {u1, u2, u3, u4}với u1 = (2; 3; 3; -1); u2 =
(1; -1; 3; 3);
u3 = (2; 3; 1; a); u4 = (1; -1; b; 1)
a) Tìm ñiều kiện của a, b ñể u là một cơ sở của R4.
b) Khi a = -1, b = 2; hãy biểu diễn X = (2; 3; 0; 1) qua hệ véc tơ U
Bài 2.22. Cho các tập con của R3:
{
E = ( x; y; z) ∈ R 3 : x − 2 y + z = 0
}


 x − y + 2z = 0
F = ( x; y ; z) ∈ R 3 : 

2 x − 3y + mz = 0 

Tìm m ñể E ∩ F là không gian con của R3 có số chiều bằng 1.
Bài 2.23. Trong R3, hãy chứng minh rằng L({u1, u2}) = L({v1, v2})
a) u1 = (3; -4; 2); u2 = (2; 3; -1); v1 = (0; -17; 7);
v2 = (11; -9; 5)
b) u1 = (2; -1; 5); u2 = (-1; 4; 3); v1 = (1; 2; 8);
v2 = (4; 5; 21)
Bài 2.24. Trong R4, cho hệ véc tơ U = {u1 = (1; 2; a; 1); u2 = (a; 1; 2; 3); u3 = (0; 1; b; 0)}
a) Xác ñịnh a, b ñể hệ U là phụ thuộc tuyến tính.
b) Với a, b tìm ñược, hãy tìm một cơ sở và số chiều của L(U).
Bài 2.25. Giả sử u, v ∈ R n và A là ma trận vuông cấp n. Chứng minh rằng
a) Nếu {Au, Av} là ñộc lập tuyến tính thì {u, v} là ñộc lập tuyến tính.
b) Nếu {u, v} là ñộc lập tuyến tính và A khả nghịch thì {Au, Av} ñộc lập tuyến tính
Bài 2.26. Trong không gian R4, cho
F = {( x + z; y; y + z; x + 2 y) : x, y, z ∈ R} và
V = {(1; 0; 0; 1); (0; 1; 1; 2); (1; 0; 1; 0); (-1; 1; 1; 1)}
a) Chứng minh rằng F là không gian con của R4 và V là hệ sinh của F.
b) Tìm một cơ sở của F và hạng của V.
13
c) Véc tơ a = (1; 1; 1; 3) có phải là một tổ hợp tuyến tính của V hay không? Bổ sung
các véc tơ vào hệ V ñể trở thành một cơ sở của R4.
14
CHƯƠNG 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Bài 3.1. Giải các hệ phương trình tuyến tính sau:
 x1 - x 2 + 2x 3 = 1

1. 3x1 - 2x 2 + 5x 3 = 2
-x + x - x = 2
2
3
 1
− 2x 3 = −3
 x1

2 . −2x1 + x 2 + 6x 3 = 11
− x + 5x − 4x = -4
2
3
 1
4x1 + x 2 + 2x 3 = 1

3 .  x1
+ x3 = 2
6x + x
+ 4x 3 = 3
2
 1
 x1 − 2x 2 + x 3 + 2x 4 = −1

4 .  x1 − 3x 2 − x 3 + 3x 4 = 2
− x + x − 3x − x = 4
2
3
4
 1
5x1 − x 2 + 2x 3 + x 4 = 7

5. 2x1 + x 2 + 4x 3 − 2x 4 = 1
x - 3x − 6x + 5x = 0
3
4
2
 1
 x1 + 2x 2
−2x − x

2
6.  1
3
x
2

 5x1 + x 2
− x1 + 2x 2 + x 3 + 3x 4
2x − x + 2x + 5x

2
3
4
7.  1
5x1 − 4x 2 + 3x 3 + 7x 4
3x1 - 3x 2 + x 3 + 2x 4
3x1 − 2x 2 − 5x 3 + x 4 = 3
2x − 3x + x + 5x = −3

2
3
4
8.  1
- 4x 4 = − 3
 x1 − 2x 2
x1 − x 2 - 4x 3 + 9x 4 = 22
= −1
= 2
= 5
=3
− 3x 3 + x 4 = 1
+ x 3 − 3x 4 = 0
- x3 + x 4 = -1
- 4x3 + 6x 4 = 1
3x1 + 5x 2 − 2x 3 = 2

9. 2x1 − 7x 2 + 2x 3 = 12
− x + 5x + 3x = 9
2
3
 1
 x1 − 4x 2 + 2x 3 = −4

- x3 = 9
3x1
10. −3x1 + 5x 2 + 3x 3 = −15
 2x + 7x − 3x = 13
1
2
3

−
 2x1 + 4x 2 − 5x 3 = 11
- 4x 3 + 7x 4 = 2
2x1

11.  x1 + x 2
- 2x 4 = 7
5x − 6x + 3x
=-6
2
3
 1
=3
2x1 + 5x 2 − 3x 3

12. 
- 3x 2 + 2x 3 − 2x 4 = 3
−3x
- 5x3 + x 4 = -12
1

2x 4 = −14
2x1 − 3x 2 +

13. 3x1 + x 2 − 5x 3 + 3x 4 = 1
4x − 2x − 5x − 3x = 2
2
3
4
 1
− 5x 3 + 3x 4 + 4x 5 = −2
 x1

14. 
2x 2 + 3x 3
− 6x 5 = 6
2x − 3x
+ 5x 5 = −7
2
 1
Bài 3.2. Tìm các giá trị của tham số a trong mỗi hệ phương trình sau ñể hệ có nghiệm:
4x1 − x 2 + 3x 3 + x 4 = 3

1.  x1 − x 2 − 2x 3 + x 4 = a
 3x − x − x = 7
2
3
4

 x1 + x 2 − x 3 = 1

2.  x1 + ax 2 + 3x 3 = 2
2x + 3x + ax = 3
2
3
 1
15
 x1 + x 2 − x 3 = 1

3.  x1 + ax 2 − x 3 = 1
 x + x + ax = a
2
3
 1
Bài 3.3. Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
ax + y + z + t = 1

1.  x + ay + z + t = 1
x + y + az + t = 1

−ax + y + z = a

2. ax + y − 2z = 1
− x − ay − 2z = 1

+ 2z = 2
ax

=1
3. 5x + 2y
x - 2y + bz = 3

ax+by + z =1

4. x+aby + z =b
x +by + az = 1

x + ay + a 2 z = a 3

5. x + by + b 2 z = b 3
x + cy + c 2 z = c 3

+y +z =k
kx

6. 2x + (k + 1) y + 2z = 2
 − x − y + ( k + 2) z = 1

+ by
+ 2z = 1
ax

7. ax + (2b − 1)y
+ 3z = 1
ax
+ by + (b + 3)z = b

ax + y + z + t = 1
 x + ay + z + t = a

8. 
2
 x + y + az + t = a
 x + y + z + at = a 3

Bài 3.4. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss:
 x1 + x 2
2x + 4x - x
2
3
 1
1.  x1 + 3x 2
3x + 7x - 3x
2
3
 1
 x1 + 4x 2 - 2x3
+ 2x 4 = 5
+ 5x 4 = -1
+ 5x 4 = -3
+ 9x 4 = -14
+ x 4 = -11
4x1 + 2x 2 + x 3 − 3x 4
 x - x + x + 2x

2
3
4
3.  1
2x1 + 3x 2 − 3x 3 + x 4
4x1 + x 2 − x 3 + 5x 4
=7
=5
=3
=1
3x1 − x 2 − x 3 + 2x 4 = 1
 x − x − 2x + 4x = 5

3
4
2.  1 2
x
+
x
+
3x
−
6x
2
3
4 = −9
 1
12x1 − 2x 2 + x 3 − 2x 4 = −10
 x1 − 3x 2 + 5x 3 = −21
−3x + 5x + 6x = 5

2
3
4.  1
 4x1 − 3x 2 − 7x 3 = 6
 2x1 − 4x 2 − 3x 3 = 0
 x1 − 3x 2 + 5x 3 − 2x 4 = −1
−3x + 5x − 7x + 3x = 1

2
3
4
5.  1
5x
−
7x
+
4x
−
2x
2
3
4 = −5
 1
 3x1 − 5x 2 + 2x 3 − x 4 = −5
 x1 + 5x 2 − 4x 3 + 2x 4 = −3
− x + 11x − 6x − x = −5

2
3
4
6.  1
−
3x
+
x
+
2x
−
5x
1
2
3
4 =1

−4x1 + 12x 2 − 4x 3 − 6x 4 = −4
 x1 + 5x 2 + 2x 3 − 3x 4 = −15
3x − 2x + 5x − 4x = −8

2
3
4
7.  1
4x1 + 12x 2 − 10x 3 − x 4 = −11
5x1 + 3x 2 − 7x 3 + x 4 = 11
 x1 + 3x 2 − 5x 3 − 2x 4 + 4x 5 = 1
−4x + 5x − 3x + 3x − 5x = 3

2
3
4
5
8.  1
−3x1 + 8x 2 − 8x 3 + x 4 − x 5 = 4
 6x1 + x 2 − 7x 3 − 7x 4 + 3x 5 = −1
16
Bài 3.5. Tìm ñiều kiện ñể các hệ thuần nhất sau: có nghiệm duy nhất, vô số nghiệm
ax - y + z = 0

1. bx + y - z = 0
x + 2y - az = 0

y
+z
+t=0
ax +
2x + (a+1)y
+ 2z
+ 2t = 0

2. 
- y + (a+2)z +
2t = 0
-x
-x
-y
+ 2z + (a+2)t = 0
 ax + by - cz + dt = 0
-bx + ay - dz - ct = 0

3. 
 cx + dy + az - bt = 0
-dx + cy + bz + at = 0
Bài 3.6. Tìm một hệ nghiệm cơ bản và công thức nghiệm tổng quát của các hệ thuần nhất
sau:
2x1 + x 2 − 4x 3 = 0

1. 3x1 + 5x 2 − 7x 3 = 0
4x − 5x − 6x = 0
2
3
 1
2x1 − x 2 + 5x 3 + 7x 4 = 0

2. 4x1 − 2x 2 + 7x 3 + 5x 4 = 0
2x − x + x − 5x = 0
2
3
4
 1
− x1 + 2x 2 + 3x 3 + x 4 = 0
2x + 3x − x + 2x = 0

2
3
4
3.  1
−
3x
−
x
+
4x
−
x
1
2
3
4 =0

 x1 − 2x 2 -3x 3 - x 4 = 0
 x1 + 3x 2 + 4x 3 + 3x 4 = 0
 2x + 5x + 5x + 8x = 0

2
3
4
4.  1
4x
x
−
2x
+
x
+
6
24
2
3
4 =0
 1
-3x1 − 4x 2 + 3x 3 − 19x 4 = 0
3x1 + x 2 − 8x 3 + 2x 4 + x 5 = 0
2x − 2x − 3x − 7x + 2x = 0

2
3
4
5
5.  1
 x1 + 11x 2 − 12x 3 + 34x 4 − 5x 5 = 0
 x1 − 5x 2 + 2x 3 − 16x 4 + 3x 5 = 0
 3x1 − 2x 2 + x 3 − 4x 4 = 0

6.  −2x1 + 7x 2 − 6x 3 + x 4 = 0
 x + 5x − 5x − 3x = 0
1
2
3
4

 x1 − 2x 2 + 4x 3 − 3x 4 = 0

7. 4x1 − 3x 2 + 5x 3 − 7x 4 = 0
2x + x − 3x − x = 0
2
3
4
 1
 x1 + 4x 2 + 6x 3 + 4x 4 − x 5 = 0

8. − x1 + 2x 2 − 2x 3 − 8x 4 − 6x 5 = 0
 x + x + 4x + 6x + 4x = 0
2
3
4
5
 1
Bài 3.7. Cho véctơ X = (2k, 1, 1); X1 = (k, 1, 1); X2 = (-1, 2k, -2); X3 = (-1, -1, -1). Với
những giá trị nào của k thì véctơ X:
a) Biểu diễn một cách duy nhất qua X1, X2, X3
b) Có vô số cách biểu diễn qua X1, X2, X3
c) Không biểu diễn ñược qua X1, X2, X3
Bài 3.8. Hãy xác ñịnh m sao cho x là tổ hợp tuyến tính của các véctơ u, v, w:
a) x = (7, -2, m); u = (2, 3, 5), v = (3, 7, 8), w = (1, -6, 1)
b) x = (5, 9, m); u = (4, 4, 3), v = (7, 2, 1), w = (4, 1, 6)
c) x = (1, 3, 5); u = (3, 2, 5), v = (2, 4, 7), w = (5, 6, m)
Bài 3.9. 1) Cho ma trận A = [aij]n x n thoả mãn
17
|akk| >
n
∑| a
ks
| , ∀k = 1, n
s =1
s≠k
Chứng minh rằng hệ phương trình tuyến tính Ax = B có nghiệm duy nhất (∀B).
2) Cho aij ∈ Z ( ∀i, j = 1, n ); p ∈ Z (p ≠ 0; ± 1) . Chứng minh rằng, hệ phương trình sau có
nghiệm duy nhất:
x1

a
x
+
a
x
+
a
x
+
........
+
a
x
=
11
1
12
2
13
3
1
n
n

p

x2

a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + ........ + a 2 n x n = p


x3
a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 + ........ + a 3n x n =
p

..................................................................

a x + a x + a x + ........ + a x = x n
n2 2
n3 3
nn n
 n1 1
p


3) Cho n là một số nguyên dương lẻ và các số aịj (i, j = 1, 2, ..., n) thoả mãn các ñiều kiện
a ij + a ji = 0
(∀i, j = 1, 2, ..., n)

a ii = 0
Chứng minh rằng hệ phương trình
n
∑a
ij
x j = 0 (i = 1, n ) có nghiệm không tầm thường.
j=1
4) Chứng minh rằng: nếu a ≠ 0 thì hệ
ax + (1 − b) y + cz + (1 − d ) t = a
(b − 1) x + ay + (d − 1)z + ct = b


− cx + (1 − d ) y + az + (b − 1) t = c
(d − 1) x − cy + (1 − b)z + at = d
luôn có nghiệm duy nhất với mọi b, c, d ∈ R.
Bài 3.10. Cho hệ phương trình
ax1 + bx 2 + bx 3 + ... + bx 2007 + bx 2008 = 1
bx + ax + bx + ... + bx
2
3
2007 + bx 2008 = 2
 1
................
bx + bx + bx + ... + ax + bx
2
3
2007
2008 = 2007
 1
bx1 + bx 2 + bx 3 + ... + bx 2007 + ax 2008 = 2008
18
Tìm ñiều kiện ñối với a và b ñể hệ phương trình ñã cho có nghiệm duy nhất.
Bài 3.11. Cho hệ phương trình tuyến tính có 10 phương trình và 11 ẩn số. Biết rằng
a) Bộ số (1992, 1993, …, 2002) là một nghiệm của hệ phương trình ñã cho.
b) Khi xoá cột thứ j trong ma trận hệ số của hệ ñã cho thì ñược một ma trận vuông có
ñịnh thức ñúng bằng j (j = 1, 2, …, 11). Hãy tìm tất cả các nghiệm của phương trình ñã
cho.
Bài 3.12. Cho ma trận vuông A = [aij]n×n (n > 1) có hạng là R. Ma trận A = [Aij]n×n, trong
ñó Aij là phần phụ ñại số của aij của ma trận A. Tìm hạng của ma trận A .
19
CHƯƠNG 4.
MỘT SỐ MÔ HÌNH TUYẾN TÍNH ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ
Bài 4.1. Trong một nền kinh tế có 3 ngành sản xuất: ngành 1, ngành 2 và ngành 3. Cho biết
0, 3 0, 2 0, 3 
ma trận hệ số kỹ thuật là A =  0,1 0,3 0, 2 và mức cầu cuối cùng ñối với hàng hóa của
0, 3 0,3 0, 2 
các ngành 1, 2, 3 lần lượt là 6, 9, 8 triệu USD. Hãy xác ñịnh mức tổng cầu ñối với hàng hóa
và tổng chi phí cho các hàng hóa ñược sử dụng làm ñầu vào của sản xuất của mỗi ngành.
 a 11
a 21
Bài 4.2. Cho hai ngành sản xuất có ma trận hệ số ñầu vào: A = 
a 12 
.
a 22 
Chứng minh rằng det(E – A) > 0.
Bài 4.3. Một nền kinh tế có 3 ngành sản xuất và có mối quan hệ trao ñổi hàng hóa như sau:
Ngành cung ứng sản
Ngành sử dụng sản phẩm (Inputs)
phẩm (Output)
1
2
3
B
1
20
60
10
50
2
50
10
80
10
3
40
30
20
40
1) Xác ñịnh tổng cầu của các ngành.
2) Lập ma trận hệ số kỹ thuật A.
Bài 4.4. Cho ma trận hệ số kỹ thuật của 3 ngành sản xuất:
 0,2 0,3 0,2
A =  0,4 0,1 0,2 . Đơn vị: triệu VNĐ
0,132 0,3 0,2
1) Giải thích ý nghĩa của con số 0,4 trong ma trận A.
2) Cho biết: (E − A)
−1
1,656 0,701 0,446
= 0,786 1,486 0,34 
0,446 0,573 1,274 
và véc tơ cầu cuối cùng BT = (10, 5, 6). Hãy xác ñịnh tổng cầu của các ngành.
20
3) Tổng cầu của các ngành sẽ thay ñổi thế nào nếu như cầu cuối cùng của ngành 1 tăng
1 ñơn vị còn các ngành khác giữ nguyên.
 0,3 0,2
 và ma trận cầu
0,2 0,4
Bài 4.5. Cho ma trận hệ số kỹ thuật của 2 ngành sản xuất A = 
 30 
cuối cùng B =   .
100


1) Tìm ma trận tổng cầu theo phương pháp Cramer.
2) Tính (E –A)-1 và nêu ý nghĩa của phần tử ở dòng 2 cột 1 của ma trận ñó.
Bài 4.6. Xét nền kinh tế có 2 ngành với ma trận hệ số chi phí trực tiếp dạng giá trị:
 0,1 0,15
A=
.
0,2 0,1 
1) Tính ñịnh thức của ma trân D với D = A3/6.
2) Cho biết mệnh ñề sau ñây là ñúng hay là sai?
|A(E-A)-1 + E| > |(E-A)-1|
3) Giải thích ý nghĩa kinh tế của phần tử a12, tổng các phần tử của dòng 1, tổng
các phần tử của cột 2.
4) Lập bảng I/O nếu ma trận tổng cầu là: XT = (200 400).
5) Lập bảng I/O nếu cầu cuối cùng của ngành 1 là 120 và tổng cầu của ngành 2 là 400.
6) Xác ñịnh ma trận tổng cầu nếu ma trận cầu cuối cùng là BT = (10 10).
7) Cho biết muốn tăng cầu cuối cùng của ngành 1 lên 1 ñơn vị thì tổng cung của ngành
2 phải tăng bao nhiêu?
Bài 4.7. Giả sử nền kinh tế có 3 ngành thuần túy với giả thiết sau ñây
* Ngành 1 làm ra 100 tỷ sản phẩm và ngành 1 sử dụng 20 tỷ sản phẩm của mình, 10 tỷ sản
phẩm ngành 2, 10 tỷ sản phẩm ngành 3.
* Ngành 2 làm ra 50 tỷ sản phẩm và ngành 2 sử dụng 10 tỷ sản phẩm của mình, 10 tỷ sản
phẩm ngành 1, 10 tỷ sản phẩm ngành 3.
* Ngành 3 làm ra 40 tỷ sản phẩm và ngành 3 sử dụng 8 tỷ sản phẩm của mình, 8 tỷ sản
phẩm ngành 1, 16 tỷ sản phẩm ngành 2.
1) Lập bảng I/O với các giả thiết trên.
2) Tìm ma trận hệ số kỹ thuật A và giải thích ý nghĩa kinh tế của:
21
- Một phần tử của A
- Một cột bất kỳ của A
- Một dòng bất kỳ của A
- Tổng các phần tử của một dòng bất kỳ của A
- Tổng các phần tử của một cột bất kỳ của A
3) Tìm ma trận Leontiev (E-A) và ma trận nghịch ñảo C = (E - A)-1. Hãy giải thích ý
nghĩa kinh tế của:
- Một phần tử của C
- Một cột bất kỳ của C
- Một dòng bất kỳ của C
- Tổng các phần tử của một dòng bất kỳ của C
- Tổng các phần tử của một cột bất kỳ của C
4) Cho tổng cung của ngành 3 là 600, hãy xác ñịnh lượng giá trị chuyển dịch từ
ngành 2 sang ngành 3.
5) Cho ma trận cầu cuối cùng là BT = (20 20 10), hãy xác ñịnh ma trận tổng cầu X.
6) Với ma trận A ñã có, hãy lập bảng I/O nếu tổng cung của các ngành 2, 3 lần lượt là
80 tỷ, 60 tỷ và cầu cuối cùng của ngành 1 là 132 tỷ.
Bài 4.8. Giả sử thị trường gồm 2 mặt hàng: hàng hóa 1 và hàng hóa 2, với hàm cung và
hàm cầu như sau:
Hàng hóa 1: Qs1 = -3 + 5p1, Qd1 = 12 – 4p1 + 2p2
Hàng hóa 2: Qs2 = -1 + 4p2, Qd2 = 15 + 2p1 - p2
Hãy xác ñịnh giá và lượng cân bằng của hai mặt hàng.
Bài 4.9. Cho hàm cầu và hàm cung của thị trường 2 hàng hóa:
Q d1 = 18 − 3p1 + p 2 Q d 2 = 12 + p1 − 2p 2
,

Q S1 = −2 + p1
Q S2 = −2 + 3p 2
1) Để các nhà sản xuất cung ứng hàng hóa cho thị trường thì mức giá 1, 2 phải thỏa
mãn ñiều kiện nào?
2) Xác ñịnh giá và lượng cân bằng cho các hàng hóa.
Bài 4.10. Cho hàm cầu và hàm cung của thị trường 2 hàng hóa:
22
Q d1 = 18 − 3p1 + p 2 Q d 2 = 12 + p1 − 2p 2
,
(với a là tham số dương)

Q S1 = −2 + p1
Q S2 = −2 + ap 2
1) Để các nhà sản xuất cung ứng hàng hóa cho thị trường thì mức giá 1, 2 phải thỏa
mãn ñiều kiện nào?
2) Xác ñịnh giá và lượng cân bằng cho các hàng hóa theo a?
3) Khi a tăng thì giá cân bằng của các hàng hóa thay ñổi thế nào?
Bài 4.11. Cho hàm cầu và hàm cung của thị trường 2 hàng hóa:
Q d1 = 11 − 3p1 + p 2
,

Q S1 = −2 + p1
Q d2 = 11 + p1 − 2p 2

Q s2 = −2 + 2p 2
1) Xác ñịnh hai mặt hàng trên là hai mặt hàng thay thế hay bổ sung?
2) Để các nhà sản xuất cung ứng hàng hóa cho thị trường thì p1, p2 phải thoả mãn
ñiều kiện gì?
3) Xác ñinh giá và lượng cân bằng?
Bài 4.12. Cho hàm cầu và hàm cung của thị trường 2 hàng hóa:
Q d1 = 40 − 2p1 + 0,5p 2 Q d2 = 90 + 0, 5p1 − p 2
,

Q S1 = −12 + 2p1
Q s2 = −20 + 2p 2
1) Xác ñịnh hai mặt hàng trên là hai mặt hàng thay thế hay bổ sung?
2) Để các nhà sản xuất cung ứng hàng hóa cho thị trường thì p1, p2 phải thoả mãn
ñiều kiện gì?
3) Xác ñinh giá và lượng cân bằng?
Qd = a − bp
, (a, b, c, d > 0)
Qs = −c + dp
Bài 4.13. Cho mô hình cân bằng thị trường 1 hàng hoá: 
1) Nêu ý nghĩa kinh tế của b, d; chỉ ra mức giá cuối cùng mà người tiêu dùng có thể
chấp nhận ñược (mức tối ña) và mức giá tối thiểu ñể người sản xuất có thể khởi nghiệp
ñược (mức tối thiểu); từ ñó chỉ ra ñiều kiện tồn tại trạng thái cân bằng.
2) Xác ñịnh trạng thái cân bằng.
3) Phân tích sự biến ñộng của trạng thái cân bằng khi các tham số a, b, c, d thay ñổi.
4) Giả sử nhà nước ñánh thuế 1 ñơn vị hàng trao ñổi là t (ñơn vị tiền tệ), hãy cho
biết số phần trăm chịu thuế của người tiêu dùng và người sản xuất.
23
Bài 4.14. Xét mô hình kinh tế:
Y = C + Io + Go (Io >0, Go>0)
C = bYd + Co
(Co>0, 0 < b < 1)
Yd = (1- t)Y
(t là thuế suất thu nhập, 0 < t <1)
Trong ñó: Y – thu nhập quốc dân, C – tiêu dùng, Io – ñầu tư, Go – chi tiêu chính phủ,
Yd – thu nhập sau thuế.
1) Xác ñịnh thu nhập quốc dân và tiêu dùng cân bằng.
2) Cho biết : Io = 200; Go = 450 (ñơn vị: tỷ VNĐ), Co = 150, b = 0,85 và thuế suất
thu nhập t = 0,2.
+) Xác ñịnh thu nhập quốc dân và tiêu dùng cân bằng.
+) Tăng Io lên 1% thì thu nhập quốc dân cân bằng thay ñổi như thế nào ?
Bài 4.15. Cho mô hình kinh tế
Y = C + Io + G o
C = a + bY
(Io> 0, Go> 0, a >0, 0<b<1)
Trong ñó: Y-thu nhập quốc dân, C-tiêu dùng, Io-ñầu tư, Go-chi tiêu chính phủ
1) Giải thích ý nghĩa kinh tế của a,b.
2) Xác ñịnh trạng thái cân bằng ( Y, C ) bằng quy tắc Cramer.
3) Có ý kiến cho rằng khi Io và Go cùng tăng 1 ñơn vị thì thu nhập Y tăng 2 ñơn vị, ý
kiến này ñúng hay sai?
4) Phân tích sự biến ñộng của trạng thái cân bằng khi a, b thay ñổi.
Bài 4.16. Cho mô hình kinh tế
Y = C + Io + Go (Io > 0, Go > 0)
C = a + b(Y-T) (a > 0, 0<b<1)
T = c + dY
(c>0, 0<d<1)
Trong ñó: Y-thu nhập, C-tiêu dùng, T-thuế, Io-ñầu tư, Go-chi tiêu chính phủ
1) Giải thích ý nghĩa kinh tế của a, b, c, d.
2) Xác ñịnh trạng thái cân bằng ( Y, C, T ) bằng quy tắc Cramer.
3) Phân tích sự biến ñộng của trạng thái cân bằng khi a, b, c, d thay ñổi.
Bài 4.17. Cho mô hình kinh tế
24
Y = C + Io + G
(Io > 0)
C = a + b(Y-To) (a>0, 0<b<1)
G = gY
(0<g<1, b + g <1)
Trong ñó: Y-thu nhập, C-tiêu dùng, T-thuế, Io-ñầu tư, G-chi tiêu chính phủ
1) Giải thích ý nghĩa kinh tế của a, b, g.
2) Xác ñịnh trạng thái cân bằng ( Y, C, G ) bằng quy tắc Cramer.
3) Phân tích sự biến ñộng của trạng thái cân bằng khi a, b, g thay ñổi.
Bài 4.18. Cho mô hình kinh tế
Y = C + Io + Go (Io>0, Go>0)
C = Co + b(Y-T) (Co>0, 0 < b < 1)
T = tY
(0 < t < 1)
Trong ñó: Y-thu nhập, C-tiêu dùng, T-thuế, Io-ñầu tư, Go-chi tiêu chính phủ, t – thuế suất.
1) Xác ñịnh thu nhập quốc dân và chi tiêu cân bằng.
2) Trong khi các tham số khác không ñổi, tăng Io lên 1ñơn vị, giảm Go xuống 2 ñơn vị
và tăng Co lên 1 ñơn vị thì thu nhập quốc dân cân bằng thay ñổi như thế nào?
3) Cho biết: Io = 210; Go = 900; Co = 150; b = 0,8; t = 0,2.
+) Xác ñịnh thu nhập quốc dân và chi tiêu cân bằng?
+) Giảm Go xuống 1% thì thu nhập quốc dân cân bằng thay ñổi như thế nào?
4) Do suy thoái kinh tế nên mức tiêu dùng cận biên ñối với thu nhập sau thuế chỉ còn
là 0,7. Giả sử Io = 210, thì Go phải là bao nhiêu thì ổn ñịnh ñược thu nhập quốc dân.
Bài 4.19. Cho mô hình kinh tế
Y = C + I + Go
(Go > 0)
C = bo + b 1 Y
(bo>0, b1>0)
I = ao + a1Y – a2Ro (ao>0, a1>0, a2 >0, a1+b1 <1, Ro>0)
Trong ñó: Y-thu nhập, C-tiêu dùng, I-ñầu tư, Ro-lãi suất, Go-chi tiêu chính phủ
1) Xác ñịnh thu nhập và tiêu dùng cân bằng.
2) Cho b0 = 200, b1 =0,7, ao =100, a1=0,2, a2=10, Ro=7, Go=500.
Khi tăng Go lên 1% thì thu nhập cân bằng tăng lên bao nhiêu %?
Bài 4.20. Cho mô hình kinh tế
Y = C + Io + G + NXo (Io >0, NXo >0)
25
C = 20 + 075Yd
G = 20 + 0,1Y
Yd = (1-t)Y
(0<t<1)
Trong ñó: Y-thu nhập, C-tiêu dùng, Io-ñầu tư, t – thuế suất, G-chi tiêu chính phủ, NXo-xuất
khẩu ròng, Yd-thu nhập khả dụng.
1) Cho biết ý nghĩa kinh tế của t.
2) Cho Io=50, NXo=30, tìm t ñể cân ñối ñược ngân sách.
3) Có ý kiến cho rằng ñầu tư Io không ảnh hưởng ñến ngân sách, ý kiến ñó ñúng hay
sai?
Bài 4.21. Cho mô hình kinh tế
Y = C + Io + Go +Xo – M (Io >0, Go>0, Xo>0)
C = 0,8Yd
M = 0,2 Yd
Yd = (1-t)Y
(0 < t <1)
Trong ñó: Y-thu nhập, C-tiêu dùng, Io-ñầu tư, Go-chi tiêu chính phủ, Xo-Xuất khẩu, M –
nhập khẩu, Yd-thu nhập khả dụng, t-thuế suất.
1) Có ý kiến cho rằng khi Io, t không thay ñổi thì tăng Go lên 1 ñơn vị và giảm nhâp
khẩu Xo một ñơn vị thì thu nhập cân bằng Y không ñổi. Ý kiến ñó ñúng không ?
2) Giả sử Io=300, Go=400, Xo=288, t=0,2 thì nền kinh tế có thặng dư hoặc thâm hụt
ngân sách, thặng dư hoặc thâm hụt thương mại?
3) Cho Io=300, Xo=288, t=0,2 thì Go phải bằng bao nhiêu ñể thu nhập cân bằng là
2500. Cho biết trong trường hợp này nếu Go tăng thêm 1% thì nhập khẩu M thay ñổi như
thế nào?
Bài 4.22. Cho mô hình kinh tế
Y = C + I + Go (Go > 0)
C = 15 + b(Y-T) (0<b<1)
T = 25 + 0,25Y, I = 65 – r
L=M
L = 5Y – 50r
M=Mo =1500, Go = 94
26
Trong ñó : Y-thu nhập, C-tiêu dùng, I-ñầu tư, r-lãi suất, Go-chi tiêu chính phủ, Mo-cung
tiền,T- thuế
1) Xác ñịnh trạng thái cân bằng.
2) Thu nhập cân bằng thay ñổi như thế nào khi tiêu dùng cận biên ñối với thu nhập
sau thuế thay ñổi.
3) Mức thâm hụt ngân sách là bao nhiêu nếu nguồn duy nhất của chính phủ là thuế.
Bài 4.23. Cho mô hình kinh tế
Y = C + I + Go
C = a + b(Y – To)
I = d + iY
Điều kiện: Go>0; To>0; a > 0; 0< b<1; bTo< a; d > 0; 0< i < 1; b + i < 1.
Trong ñó: Y- thu nhập quốc dân, C-tiêu dùng, I – ñầu tư; Go- chi tiêu chính phủ, T - thuế.
1) Tìm thu nhập quốc dân cân bằng.
2) Khi i tăng thì thu nhập quốc dân tăng hay giảm, vì sao?
Bài 4.24. Cho mô hình kinh tế
Y = C + Io + Go (Io>0, Go>0)
C = 60 + 0,7Yt
Yt = (1 –t)Y
(0 < t <1)
Trong ñó: Y -thu nhập quốc dân, C - tiêu dùng, Yd - thu nhập sau thuế, t - thuế suất.
1) Xây dựng mô hình cân bằng thu nhập quốc dân. Xác ñịnh thu nhập quốc dân và tiêu
dùng cân bằng: Y, C
2) Y, C tăng hay giảm khi t tăng? Vì sao?
3) Cho biết Go = 140; Io = 90 (triệu USD); t = 0,4:
+) Xác ñịnh thu nhập và tiêu dùng cân bằng.
+) Tăng Io lên 1% thì thu nhập quốc dân cân bằng thay ñổi như thế nào?
Bài 4.25. Cho mô hình kinh tế
Y = C + I + Go
C = a +bYt; Yt = (1-t)Y
I = d + xY
27
Điều kiện: Go>0; a> 0; d>0; 0 < b < 1; 0 < x, t< 1; b(1- t) + x < 1
Trong ñó: Y - thu nhập quốc dân, C - tiêu dùng, I - ñầu tư, Yd - thu nhập sau thuế; Go chi tiêu chính phủ.
1) Xây dựng mô hình cân bằng thu nhập quốc dân.
2) Khi x tăng thì thu nhập cân bằng tăng hay giảm?
3) Thuế suất tăng thì thu nhập quốc dân cân bằng tăng hay giảm, vì sao?
4) Cho biết Go = 500 (tỷ USD); a = 150; x = 0,1; b = 0,8; t = 0,4; d =100:
+) Xác ñịnh thu nhập và tiêu dùng cân bằng.
+) Tăng Go lên 1% thì thu nhập quốc dân cân bằng, tiêu dùng cân bằng thay ñổi như thế
nào?
Bài 4.26. Cho mô hình kinh tế
Y=C+I
C = Co +aY
(Co >0, 0 < a < 1)
I = Io – br
(Io >0, b> 0)
L = Lo + mY – nr (Lo>0; m, n > 0)
MS = L
Trong ñó Y: thu nhập quốc dân; I: ñầu tư; C: tiêu dùng; L: mức cầu tiền; Ms: mức cung
tiền; r: lãi suất.
1) Hãy xác ñịnh thu nhập quốc dân và lãi suất cân bằng
2) Với a = 0,7; b = 1800; Co =500; Lo =800; m = 0,6; n =1000; Ms =2000; Io= 400:
tính hệ số co giãn của thu nhập, lãi suất theo mức cung tiền tại ñiểm cân bằng và giải thích
ý nghĩa của chúng.
Bài 4.27. Xét mô hình IS – LM với
Y = C + I + Go (Go > 0)
C = aY + Co
(Co > 0, 0 < a < 1)
I = Io – br
( Io > 0, b > 0)
L=M
L = mY – nr
(m > 0, n > 0)
M = Mo
(Mo>0)
28
Trong ñó Y: thu nhập quốc dân; I: ñầu tư; C: tiêu dùng; L: mức cầu tiền; M: mức cung
tiền; r: lãi suất.
1) Xác ñịnh thu nhập quốc dân cân bằng và lãi suất cân bằng
2) Cho biết Go = 60; Mo = 1350; a = 0,7; Co = 2; Io = 80; b = 2; m = 4; n = 30.
+) Xác ñịnh thu nhập quốc dân cân bằng và lãi suất cân bằng.
+) Tăng Mo lên 1% thi thu nhập cân bằng và lãi suất thay ñổi như thế nào.
29
PHẦN 2. TOÁN CAO CẤP 2
Chương 5. PHÉP TÍNH VI PHÂN, TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN SỐ
Bài 5.1. Tính các giới hạn sau
2
n − 1
 1
+
+
+
....

2
2
n →∞
n
n2 
n
1 1
1
+ + ... + n
2 4
2
b) lim
n →∞
1 1
1
1 + + + ... + n
3 9
3
 1
1
1 
+
+ ... +

n →∞
(n − 1)n 
 1.2 2.3
d) lim
1+
a) lim
1 − 2 + 3 − 4 + ... + (−2n )
n →∞
n2 +1
c) lim
 1

1
1
+
+ ... +

n →∞
n (n + 1)(n + 2) 
 1.2.3 2.3.4
11 + 2 2 + ... + n n
e) lim
n →∞
nn
f) lim
Bài 5.2. Tính các giới hạn sau bằng phương pháp khử dạng vô ñịnh
7 + 2x − 5
b) lim
x →0
x −3
a) lim
x →9
m
d) lim
x →0
f) lim 3
x →0
m
1 + ax − 1
a+x − a−x
(a ≠ 0) c) lim
(a > 0)
x →0
x
x
1 + ax − m 1 + bx
( a , b ≠ 0)
x
x
1+ x −1
e) lim
x →0
x
g) lim
x → +∞
1 − 2 x + x 2 − (1 + x )
x
n
h) lim m
x →1
x+ x+ x
x −1
x −1
1 
 n
−

n
x →0
1− x 
1 − x
i) lim
Bài 5.3. Tính các giới hạn sau
a) lim
x →0
+
1 − cos x
1 − cos x
π

− x  tan x
x→  2

2
b) limπ 
π
 

 sin x − 

3


d) limπ
− x tan x 


x→
1 − 2 cos x
3




(
g) lim sin x + 1 − sin x
x →+∞
)
sin ax + tan bx
(a + b ≠ 0)
x →0
(a + b ) x
c) lim
e) lim(1 − x ) tan
x →1
h) lim
x →0
30
πx
2
f) lim
x →0
cos ax − cos bx. cos cx
x2
1 1
1 
−


x  sin x tan x 
1 − cos x. cos 2 x.... cos nx
1 + x sin x − 1
ln(1 + mx )
lim
lim
k)
l)
x →0
x →0
x →0
x2
x2
x
i) lim
m) lim
x →1
x −1
x ln x
n) lim sin
x →a
1

p) lim x 1 − cos 
x →∞
x

x −a
πx
. tan
2
2a
ex − e− x
q) lim
x →0
sin x
2
x 
π
− arctan

x +1
4
o) lim x 
x →∞
r) lim
x →0
ln(cos x )
ln(1 + x 2 )
Bài 5.4. Tính các giới hạn sau (dạng vô ñịnh 1∞ )
 x2 +1
a) lim

2
x →∞
 x 
x 2 +1
 k
b) lim 1 + 
x →+∞
 x
1 / sin 3 x
 1 + tan x 
d) lim

x →0
 1 + sin x 
1/ x 2
mx
1
1

e) lim  sin + cos 
x →+∞
x
x

 cos x 
c) lim

x →0
 cos 2 x 
x
1/ x
f) lim(cos x + a sin bx )
x →0
Bài 5.5. Tìm miền liên tục của hàm số sau
a) y =
x
sin x
b) y =
sin x
c) y = log 5 (sin x ) d) y = 4 4 + 3x − x 2
x
Bài 5.6. Tìm a ñể hàm số sau liên tục trên toàn bộ R
2
 −2x + a khi x < 1
 x + a khi x ≥ 0
a) f (x) = 
b) f (x) =  x
log
x
khi
x
≥
1
khi x < 0
 4
 2
1
 x 2 − 3x + 2
 3
x
sin
khi
x
≠
0
khi x ≠ 2


d) f (x) =  x − 2
c) f (x) = 
x
a
a
khi x = 0
khi x = 2

 (1 + x) n − 1
 ln(1 + x) − ln(1 − x)
khi
x
≠
0
khi x ≠ 0


e) f (x) = 
f) f (x) = 
x
x
a
a
khi x = 0
khi x = 0

 e bx − ecx
khi x ≠ 0

g) f (x) =  x
a
khi x = 0

Bài 5.7. Tìm các ñiểm gián ñoạn của các hàm số sau:
s inx
1
π
a) y =
b) y =
c) y = sin
1− x
1− e
x
x
d) y = x sin
π
x
e) y =
2
2
1
x−2
1
x −2
+1
−1
31
f) y =
1
1
x + e x −3
Bài 5.8. Dùng ñịnh nghĩa tính ñạo hàm của các hàm số sau tại ñiểm x bất kỳ thuộc tập xác
ñịnh.
a) y = x 3
b) y = -x – cotx
c) y = x x
d) y = xn.
Bài 5.9. Tính ñạo hàm của các hàm số sau :
(2 − x 2 )(3 − x 2 )
x
a) y =
b) y = x arccos − 4 − x 2
2
(1 − x)
2
1
c) y = tan 2 (sin x) + ln(cos (s inx))
d) y = ln(ln(lnx)-1)
2
1
s inx
1 
e) y = arcsin
f) y = ln  + 1 + 2 
x 
1 + sin 2 x
x
h) y = sinnx – cosnx
g) y = cos(sin2x). sin (cos2x)
i) y = sin(sin(sinx)))
Bài 5.10. Tính ñạo hàm của các hàm số sau :
x
a
b
a b x
a) y =   .   .  
b) y = x [sin(lnx) – cos(lnx)]
b x  a 
d) y = x x
c) y = x x
2
1
f) y = x
e) y = x ln x
g) y = log cos x (s inx)
Bài 5.11. Tính các giới hạn sau :
ln(x − a)
a) lim
x →a ln(e x − e a )
d) lim+
x →0
ln(sin(ax))
(a > 0)
ln(s inx)
x
πx
2
b) lim−
x →1 ln(1 − x)
tan
e) lim
x→
π
2a
xe x /2
c) lim
x →+∞ x + e x
1 − sin(ax)
(2ax − π) 2
π
ex − e− x
g) lim x
h) lim
x →0
x →a ln(1 + x)
π
cot x
2
Bài 5.12. Tính các giới hạn sau :
3
ex − 1 − x3
a) lim
b) l im+ (x 2 ln x)
6
x →0
x →0
sin 2x
f) lim
x →+∞
π − 2arctan x
3
x
e −1
1 
 1
c) lim 
− 2
 x sin x x 
x →0
d) lim+ ( ln x.ln(x − 1) )
m 
 k
e) lim 
−

x →1 1 − x k
1− xm 

g) lim (t anx)2 cos x
h) lim ( π − 2x )
x →1
x →π /2
x→
cos x
π 
 x
f) lim 
−

π cot x
2 cos x 
x→ 
2
1
i) lim (x + 2x ) x
x →+∞
π
2
32
1
tan
πx
πx  2
 t anx  x 2

lim
tan
k) lim 
l)



x →0
x →1
4 
 x 

Bài 5.13. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau :
a) f(x) = sin (nx + a) (a là hằng số)
b) f(x) = cos(nx + a)
1
c) f(x) = e2x
d) f (x) = 2 2
(a, b là hằng số)
a x + b2
1
e) f (x) =
(a, b là hằng số và 0< b< a).
a + b − (a − b)x 2
Bài 5.14. Dùng tính chất và quy tắc tính tích phân bất ñịnh, tính :
e− x
x 2x 3x
3
4
x
b) ∫ x . 1 + x dx
c) ∫ e (1 + 2 )dx
a) ∫ 2 3 5 dx
x
dx
sin x cos x
d) ∫ x(x + a)(x + b)dx
e) ∫
f) ∫
dx
x
2
2
e
cos x − sin x
cos 2x
g) ∫ 2
dx
h) ∫ e −3sin x cos xdx
i) ∫ x(1 − x)100 dx
2
sin x.cos x
2 − x4
∫
∫ 1 + x 2 dx
4 − x2
Bài 5.15. Dùng phương pháp ñổi biến số, tính các tích phân sau :
sin 3 x
sin 2x
3
4 3
a) ∫ x (5 − 2x ) dx
b) ∫
dx
c) ∫
dx
3
2
x
5 − cos 4 x
k)
2 + x2 − 2 − x2
dx
dx
d) ∫
1+ x +1
dx
g) ∫
x +1 + x −1
l)
x2 − a2
e) ∫
x
xdx
h) ∫ 3
1 − 3x
f)
i)
∫
∫x
dx
x2 +1
xdx
1 + x 2 + (x 2 + 1)3
Bài 5.16. Dùng phương pháp ñổi biến số, tính các tích phân sau:
dx
dx
5x + 3
a) ∫
b) ∫
c) ∫
x x2 − a2
ex − 1
3 − x2
e 2x
dx
d) ∫ a 2 + x 2 dx
e) ∫
dx
f) ∫
2x
1 − 3e
5 − 7x − 3x 2
dx
dx
h) ∫
i) ∫
g) ∫ x 3 . 3 1 + x 2 dx
(x − a)(x − b)
(x 2 + 1)3
Bài 5.17. Dùng phương pháp ñổi biến số, tính các tích phân sau:
sin x cos x
∫ a 2 sin 2 x + b 2 cos 2 x dx
x
d) ∫
dx
2−x
a)
dx
∫ 1 + sin x
arctan x dx
e) ∫
.
1+ x
x
b)
33
dx
∫ 1+ ax
x
f) ∫ x.
dx
2a − x
c)
Bài 5.18. Dùng phương pháp tích phân từng phần, tính các tích phân sau:
a) ∫ e x dx
b) ∫ x 2 e − x / 2 dx
c) ∫ x 2 arcsin xdx d) ∫ x 5 e x dx
2
e) ∫ sin x dx
i)
∫
x 2 ± a 2 dx
1− x
f) ∫ sin(ln x )dx
g)
∫ 1 + x dx
h) ∫ ln( x + 1 + x 2 )dx
k) ∫ ln 2 xdx
l)
∫
m)
x cos x
dx
sin 2 x
∫
a 2 − x 2 dx
n) ∫ x 2 ln(1 + x )dx
Bài 5.19. Tích phân các hàm hữu tỷ sau:
2 x 2 + 3x
3x 3 − 2 x 2 + 4
3x − 1
dx
b)
dx
c)
∫ x4 + x2 +1
∫ x 3 (x − 2) 2 dx
∫ x 2 − 4x + 8
dx
dx
x5 + 1
x 2 + 6x + 9
d) ∫ 4
dx e) ∫ 3
dx f) ∫
g) ∫
2
2
10
2
x ( x + 1)
x ( x 7 + 1)
x − 8x + 16
x + x + 3x − 5
a)
Bài 5.20. Tích phân các hàm vô tỷ sau:
a)
∫
e)
∫
dx
dx
b) ∫
2
x 2x − 9
x−x
dx
xdx
f)
∫
3
x ( 4 x + 1)10
ax + b
x 3dx
xdx
c) ∫
d)
∫ − 3x 2 + 4x − 1
1+ 3 1+ x4
x 3dx
dx
g) ∫ 2
h)
∫
4
(a − x 2 ) 3 / 2
( x − 1) 3 ( x + 2) 5
Bài 5.21. Tích phân của hàm lượng giác sau:
a)
1 − sin x + cos x
1 + cos x
dx
sin 3 x
cos 3 x
e) ∫
dx
sin x
dx
h) ∫
1 + sin x
∫ 1 + sin x − cos x dx
b)
cos x
∫ (1 − cos x ) 2 dx
dx
g) ∫ 4
sin 3 x cos 5 x
d)
∫
c)
∫ cos
sin 2 x
dx
3
x − sin 2 x − 1
f) ∫ cos x cos 2 x cos 4 xdx
i)
dx
∫ tan
8
k)
x
1 + tan x
∫ 1 − tan x dx
Bài 5.22. Tính các tích phân sau
1
a) ∫ 5
dx
3− x
2
π/ 2
dx
e) ∫
− π / 2 1 + cos x
−3
dx
b) ∫
x +9 − x
0
4
dx
f) ∫ 2
3 x − 3x + 2
16
π
2
dx
i) ∫
2
2
0 1 + a sin x
n)
1
ex
0
e x + e −x
∫
x 2 −1
dx
x
2
k)
∫
1
3
dx
o)
∫
1
1+ x2
dx
x2
dx
c) ∫
2
1 x. 1 − ln x
1
dx
g) ∫ −x
+ ex
0 e
n
e
dx
l) ∫ 2
5/2
0 ( x + 3)
d)
p)
∫x .
2
34
5
1
x2 −1
∫
0
x n −1dx
a 2 − x 2n
ln 2
h)
∫
e x − 1dx
0
3
2
a
2
a/2
m)
∫
0
5
q)
∫
5/2
x
dx
a−x
(25 − x 2 ) 3
dx
x4
a
π
r) ∫ x 2 a 2 − x 2 dx s)
0
x sin xdx
2
x
∫ 1 + 2 cos
0
Bài 5.23. Dùng phương pháp tích phân từng phần tính các tích phân sau:
eπ / 2
a)
∫ cos(ln x )dx
b) ∫ x 3e 2 x dx
1
c)
∫
0
e
f)
0
2
a +x
d) ∫ e x cos xdx
2
0
π
3
e
e) ∫ ln 3 xdx
3
0
π
2
x 3dx
a 7
1
∫ ln x xdx
g)
1/ e
x sin x
∫0 cos 2 x dx
π
h) ∫ ( x cos x ) 2 dx
0
Bài 5.24. Tính các tích phân sau
3
5
2
∫ x . 1 + x dx
a)
0
π
4
π
2
x sin x
b) ∫
dx
3
cos
x
0
c)
dx
∫0 2 cos x + 3 d)
dx
2
∫
0
1 + x + ( x + 1) 3
Bài 5.25. Xét sự hội tụ hoặc phân kỳ của tích phân suy rộng sau
dx
+∞
∫x
a)
1
1 + x 5 + x 10
+∞
∫e
e)
0
b
i)
∫
a
xdx
∫−∞1 + x 2
+∞
b)
+∞
−ax
cos(bx )dx
f)
∫e
− x
dx
0
1
dx
(a < b) k) ∫ x ln 2 xdx
( x − a )( x − b)
0
35
dx
∫1 x 2 (1 + x )
1/ e
dx
g) ∫
2
0 x ln x
3
dx
+∞
c)
l)
∫
1
4x − x 2 − 3
+∞
d)
∫ xe
−x 2
dx
0
e1 / x dx
h) ∫
x3
0
2
x 5 dx
1
m)
∫
0
4 − x2
Chương 6. ỨNG DỤNG PHÉP TÍNH VI PHÂN, TÍCH PHÂN
HÀM MỘT BIẾN TRONG KINH TẾ
Bài 6.1. Cho hàm cung, hàm cầu của thị trường 1 hàng hóa:
QS = 4P – 1
Qd = 4- P2
1) Tìm ñiều kiện của P ñể hàm cung, hàm cầu cùng dương.
2) Tìm giới hạn cao nhất (thấp nhất) của giá mua (giá bán) của người mua (bán)
3) Tìm giá cân bằng và lượng cân bằng.
Bài 6.2. Cho mô hình thị trường
Hàm cung: QS = 0,1P2 + 5P + 10
Hàm cầu: Q D =
50
P −2
Chứng tỏ rằng mô hình trên có giá cân bằng thuộc khoảng (3; 5).
Bài 6.3. Cho mô hình thị trường
QS= 6P – 4
QD= 3 – P2; P>0
1) Tìm hàm cầu ñảo.
2) Giới hạn cao nhất (thấp nhất) của giá người mua (người bán) chấp nhận là bao
nhiêu?
3) Chứng minh tồn tại ñiểm cân bằng thị trường này.
Bài 6.4. Một doanh nghiệp sản xuất có hàm doanh thu TR = 4000Q – 33Q2 và hàm chi phí
TC = 3Q3 – 3Q2 + 400Q + 500. Xác ñịnh mức sản lượng cho lợi nhuận tối ña.
Bài 6.5. Một doanh nghiệp ñộc quyền có hàm cầu P = 40 – 0,03Q và hàm chi phí TC =
10Q + 120. Hãy xác ñịnh sản lượng và mức giá ñể doanh nghiệp tối ña hóa lợi nhuận.
Bài 6.6. Cho hàm chi phí trung bình
AC =
12
− 0,5Q + 0,25Q 2 + 10
Q
1) Tìm hàm chi phí cận biên.
2) Với P = 106, tìm Q* thỏa mãn ñiều kiện cực ñại lợi nhuận.
Bài 6.7. Cho hàm doanh thu bình quân: AR = 240 – 0,5Q
36
1) Tìm hàm doanh thu cận biên MR.
2) Cho biết hàm chi phí TC = 40 + 12Q – 2Q2 + 0,25Q3
Xác ñịnh lợi nhuận cận biên Mπ và tính Mπ tại ñiểm Q1 = 20; Q2 = 10.
3) Có tồn tại hay không ñiểm hòa vốn thuộc (10; 20)
Bài 6.8. Doanh thu trung bình AR = 240 + 12Q – 0,5Q2 (Q>0)
1) Viết hàm chênh lệch giữa doanh thu cận biên và doanh thu trung bình.
2) Tìm cực trị của doanh thu trung bình.
Bài 6.9. Cho hàm chi phí trung bình: AC = 12 +
0,1
0,2 + Q
1) Tính chi phí cận biên MC tại Qo = 10.
2) Tìm hàm chênh lệch giữa chi phí trung bình và chi phí cận biên; cho nhận xét về
hàm này.
3) Tính hệ số co giãn của chi phí theo sản lượng Q tại Qo = 10.
Bài 6.10. Cầu về hàng hóa A là: QD = 200P-0.5, thị trường hàng hóa A có 2 hàm cung là:
QS1= 5P0.5 và QS2 = 4P0.75.
1) Hãy lập mô hình thị trường hàng hóa A.
2) Thị trường có tồn tại trạng thái cân bằng không?
Bài 6.11. Cho mô hình thị trường 1 hàng hóa như sau
P = 180 – 0.5Qd2
P = 30 + 2Qs2
1) Hãy xác ñịnh trạng thái cân bằng của thị trường.
2) Chính phủ ñánh thuế t/ñơn vị hàng hóa, phải ñịnh t là bao nhiêu ñể tổng thuế thu
ñược là lớn nhất.
3) Khi t tăng 1% thì giá cân bằng có tăng 1% không?
Bài 6.12. Hàm cầu về ngô có dạng: QD = 200 – 50p. Có 50 cơ sở giống nhau có hàm chi
phí tại ñó mỗi cơ sở là TC = Q2 (Q - sản lượng ngô ở mỗi cơ sở). Xác ñịnh mức sản lượng
Q ñể tối ña hóa lợi nhuận và giá cân bằng của thị trường.
Bài 6.13. Cho hàm cung QS, hàm cầu QD về 1 loại hàng hoá:
QS = 0,2p2 +5p -10
QD =
50
với p là giá hàng hoá
p−2
37
1) Với ñiều kiện nào của P thì cung và cầu ñều dương? Với ñiều kiện trên hãy viết
phương trình cân bằng thị trường
2) Xác ñịnh hàm dư cầu và khảo sát tính ñơn ñiệu của hàm này. Chứng tỏ rằng luôn tồn
tại duy nhất giá trị cân bằng trong khoảng (3,5)
Bài 6.14. Cho hàm doanh thu TR = 1400Q – Q2 (Q>0)
1) Tìm hàm doanh thu cận biên MR(Q).
2) Tại ñiểm Qo = 500, khi Q tăng lên một ñơn vị thì doanh thu sẽ thay ñổi bao nhiêu
ñơn vị.
3) Tính giá trị doanh thu cận biên tại Qo = 710 và giải thích ý nghĩa kết quả nhận ñược.
Bài 6.15. Cho hàm tổng chi phí TC = 2Q2 +3Q + 100 (Q>0)
1) Tìm hàm chi phí cận biên MC(Q).
2) Tính chi phí cận biên tại mức sản lượng Qo = 2 và giải thích ý nghĩa kết quả nhận
ñược.
Bài 6.16 Cho hàm cầu QD = 8p – p2 (p>0), po = 5
Tại mức giá po, khi tăng giá lên 3% thì lượng cầu thay ñổi một lượng xấp xỉ bằng
bao nhiêu %
Bài 6.17. Hãy phân tích mối quan hệ giữa hàm chi phí bình quân AC(Q) và hàm chi phí
cận biên MC(Q), cho biết hàm chi phí TC = Q2 + 8Q + 18 (Q>0).
Bài 6.18. Hãy phân tích mối quan hệ giữa hàm sản xuất bình quân APL và hàm sản xuất
cận biên MPL, biết hàm sản xuất ngắn hạn có dạng: Q = 60L – 3L2 (L >0).
Bài 6.19. Cho biết hàm sản xuất ngắn hạn Q = 100 L (L>0) và giá của sản phẩm p =
4USD, giá thuê lao ñộng bằng pL = 20USD. Hãy tìm mức sử dụng lao ñộng ñể cho lợi
nhuận tối ña.
Bài 6.20. Cho hàm tổng chi phí TC = Q3 – 120Q2 + 14Q (Q>0). Tìm mức sản lượng Q ñể
chi phí bình quân ñạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 6.21. Cho biết hàm chi phí TC = Q3 -7Q2 + 49Q - 4 (Q>1) và hàm cầu ñảo p = 40 –Q.
Hãy xác ñịnh mức sản lượng Q cho lợi nhuận ñạt cực ñại.
Bài 6.22. Một doanh nghiệp có hàm tổng doanh thu TR = 58Q – 0,5Q2 và hàm tổng chi
phí TC =
1 3
Q − 8,5Q 2 + 97Q + FC , trong ñó Q là sản lượng (Q>0) và FC là chi phí cố ñịnh.
3
38
1) Với FC = 4, hãy xác ñịnh mức sản lượng tối ña hóa lợi nhuận.
2) Hãy phân tích tác ñộng của chi phí cố ñịnh FC tới mức sản lượng tối ña hóa lợi
nhuận và mức lợi nhuận tối ña.
Bài 6.23. Một công ty cạnh tranh hoàn hảo có hàm tổng chi phí TC = Q3 – Q2 + 1 (Q ≥ 1).
1) Với giá thị trường p, hãy viết phương trình xác ñịnh hàm cung của công ty.
2) Hãy phân tích tác ñộng của giá p tới mức cung tối ña hóa lợi nhuận và tới mức lợi
nhuận tối ña của công ty.
Bài 6.24. Doanh nghiệp ñộc quyền có hàm cầu ñảo: p = 490 – 2Q và hàm chi phí TC =
0,5Q2AD0,5; trong ñó Q là sản lượng và AD là chi phí quảng cáo.
1) Với AD = 9, hãy xác ñịnh mức sản lượng và giá bán tối ưu
2) Hãy phân tích tác ñộng của chi phí quảng cáo AD tới mức sản lượng và giá bán tối
ưu.
Bài 6.25. Cho hàm tổng chi phí TC = Q3 – 5Q2 + 14Q + 144 (Q>0)
1) Khảo sát sự thay ñổi tuyệt ñối của TC theo Q, từ ñó cho nhận xét về mở rộng sản
xuất.
3) Tính hệ số co giãn của TC theo Q tại Qo = 2.
5Q 2
Bài 6.26. Cho hàm chi phí TC = 5000 +
(Q là sản lượng, Q>0)
Q+3
1) Tìm hàm chi phí cận biên MC.
2) Tính chi phí trung bình AC tại Qo = 100.
Bài 6.27. Cho hàm chi phí trung bình ñể sản xuất ra một sản phẩm:
AC = Q2 – 12Q + 60 (Q là sản lượng, Q>0)
1) Xác ñịnh các biểu thức tính sự thay ñổi tuyệt ñối và tương ñối của AC theo Q và cho
các nhận xét.
2) Xác ñịnh hàm chi phí cận biên MC và mô tả trên cùng mặt phẳng tọa ñộ ñồ thị hai
hàm MC, AC. Từ ñó hãy nêu các nhận xét quan hệ giữa MC và AC.
Bài 6.28. Cho biết hàm doanh thu và hàm chi phí của nhà sản xuất như sau:
TR= 1400Q – 7,5Q2; TC = Q3 – 6Q2 + 140Q + 750 (Q>0)
Hãy chọn mức sản lượng ñể lợi nhuận tối ña.
Bài 6.29. Hãy xác ñịnh mức sản lượng tối ưu của nhà sản xuất ñộc quyền, biết
39
Hàm chi phí cận biên MC = 3Q2 – 6Q + 96
2
p
3
Hàm cầu ñối với sản phẩm: Q = 148 Bài 6.30. Cho mô hình thị trường 1 hàng hoá
QS = 0,3pa (0<a<1)
QD= 0,1pbMcqd (b<0, 0<c<1, d ≠ 0)
QS, QD là các hàm cung, cầu của hàng A, p là giá hàng A, M là thu nhập khả dụng, q là giá
hàng B
1) Giải thích ý nghĩa kinh tế của a?
2) Hai hàng hoá nêu trong mô hình có quan hệ thay thế hay bổ sung?
3) Tìm mối liên hệ giữa b, c, d ñể khi p, M, q thay ñổi cùng 1 tỉ lệ thì cầu D không
ñổi.
4) Phân tích ảnh hưởng của M tới lượng cân bằng.
Bài 6.31: Hàm cung QS và hàm cầu QD của hàng A có dạng
QS = 0,7p – 150
QD= 0,3M – 0,5p +120
p:giá hàng A, M: thu nhập khả dụng
1) Có ý kiến cho rằng lượng cân bằng không phụ thuộc vào thu nhập, ý kiến này ñúng
hay sai?
2) Giả sử nhà nước ñánh thuế thu nhập với thuế suất t, phân tích tác ñộng của thuế tới
mức giá cân bằng.
Bài 6.32. Cho mô hình thị trường hàng A dạng:
Qd = D(p, Yo)
( D'p < 0;D'Yo > 0 )
Qs = S(p, To)
( S'p > 0;S'To < 0 )
p là giá hàng A, Yo là thu nhập, To là thuế
1) Phân tích ảnh hưởng của Yo, To tới giá cân bằng, giải thích ý nghĩa kinh tế của các
kết quả nhận ñược.
2) Dùng hàm cung phân tích ảnh hưởng của Yo tới lượng cân bằng, dùng hàm cầu
phân tích ảnh hưởng của To tới lượng cân bằng.
40
Bài 6.33. Gọi p là giá hàng A, q là giá hàng B, M là thu nhập, T là thuế. Mô hình thị trường
có dạng
Da = 0,8M0,4p-0,5q0,1
Sa = 5,4p0,3T-0,05
1) Cho biết quan hệ giữa 2 hàng hoá A, B.
2) Phân tích tác ñộng của M, T tới giá cân bằng mặt hàng A.
3) Lượng cung Sa thay ñổi thế nào khi giá hàng A tăng 7% và thuế cũng tăng 7%.
Bài 6.34. Cho hàm tổng chi phí: TC = Q3 – 5Q2 + 14Q +75 với Q là sản lượng (Q>0)
1) Tìm hàm VC, AVC, xác ñịnh FC.
2) Tìm hệ số co giãn của C theo Q tại mức Qo=10 và giải thích ý nghĩa ktế của nó
3) Tìm các hàm MC và AC, chứng minh MC cắt AC tại ñiểm AC cực tiểu.
Bài 6.35: Cho hàm doanh thu trung bình AR = 60 – 3Q. Tìm hàm MR, chứng minh rằng
AR, MR có cùng tung ñộ gốc, nhưng ñộ dốc của MR gấp ñôi ñộ dốc của AR.
Bài 6.36. Cho hàm tổng chi phí: TC(Q) = Q3 – 4Q2 + 1800Q + 150 ( Q ≥ 0 )
Hàm cầu về sản phẩm của công ty là Q = 9000 – p
1) Viết hàm tổng doanh thu là hàm của Q (là hàm của p).
2) Tìm MC và MR theo Q.
3) Tìm Q* ñể lợi nhuận ñạt cực ñại.
Bài 6.37. Cho hàm lợi nhuận π = −Q 3 + 3Q 2 + 1320Q − 10 (Q ≥ 0)
1) Tính π(0) và giải thích ý nghĩa kinh tế.
2) Tìm mức sản lượng Q* ñể lợi nhuận ñạt cực ñại.
Bài 6.38. Cho hàm sản xuất Q =
−2 3
L + 10L2
3
Trong ñó: Q- sản lượng, L – số ñơn vị lao ñộng sử dụng
1) Tìm tập xác ñịnh thực tế của hàm trên.
2) Tìm hàm sản phẩm trung bình AQ và hàm sản phẩm biên MQ. Chứng minh
rằng AQ =MQ tại mức sản lượng Q mà AQ ñạt cực ñại.
3) Tìm mức sử dụng lao ñộng L* tại ñó Q ñạt giá trị lớn nhất.
4) Tìm hệ số co giãn của Q theo L tại mức L = 5 và giải thích ý nghĩa kinh tế.
41
Bài 6.39. Một công ty có hàm tổng doanh thu TR = 60Q – 1,5Q2 và hàm tổng chi phí
Q3
TC =
− 9,5Q 2 + 101Q + FC .
3
1) Cho FC = 3, tìm mức cung Q* ñể lợi nhuận ñạt cực ñại.
2) Gọi π * là mức lợi nhuận cực ñại. Phân tích ảnh hưởng của FC tới Q* và π * .
Bài 6.40. Hàm cầu ngược p = 200- Q; TC = Q2
Trong ñó: P –giá; Q – sản lượng
1) Tìm mức sản lượng và mức giá sao cho lợi nhuận cực ñại.
2) Tìm hệ số co giãn của cầu tại mức tối ña lợi nhuận.
3) Giả sử chính phủ ñánh một lượng thuế t vào mỗi sản phẩm bán ra. Tìm mức
cung tối ña hóa lợi nhuận; sản lượng ñó thay ñổi thế nào khi t thay ñổi.
Bài 6.41. Một doanh nghiệp ñộc quyền có hàm doanh thu biên MR = 1800- 1,8Q2
1) cho biết nếu tại mức sản lượng Qo =10 mà doanh nghiệp giảm giá 1% thì mức
cầu sẽ biến ñộng như thế nào?
2) Nếu doanh nghiệp ñịnh giá bán po = 50 thì tổng doanh thu là bao nhiêu?
3) Nếu doanh nghiệp tăng mức sản lượng cung từ 10 lên 20 thì tổng doanh thu tăng
lên bao nhiêu?
Bài 6.42. Cho hàm lợi nhuận bậc hai: π(Q) = hQ 2 + jQ + k (Q ≥ 0)
Hãy cho biết các ñiều kiện ñối với các hệ số h, j, k ñể hàm lợi nhuận trên thỏa mãn ñồng
thời các ñiều kiện kinh tế sau:
1) Khi sản lượng bán ra Q = 0 thì lợi nhuận âm.
2) Lợi nhuận π(Q) ñạt cực ñại tại Q* > 0.
Bài 6.43. Cho hàm chi phí TC(Q) = aQ2 + bQ + c ( a > 0; Q >
−b
)
2a
1) Cho biết các ñiều kiện ñối với a, b, c ñể hàm TC(Q) là hàm chi phí hợp lý về mặt
kinh tế; lập hàm AC và MC.
2) Cho hàm cầu ngược về sản phẩm của công ty là p = p(Q) có p’(Q) < 0. Hãy lập
hàm doanh thu, doanh thu bình quân, doanh thu cận biên.
3) Hãy lập hàm lợi nhuận; chỉ ra ñiều kiện ñể hàm lợi nhuận ñạt cực ñại
Bài 6.44. Tìm hàm tổng chi phí, hàm chi phí bình quân trong các trường hợp sau:
42
1) MC = 15Q2 + 8Q + 3; FC = 100
2) MC = 3Qe0,5Q; FC = 30
3) MC = 2e0,2Q; FC = 90
Bài 6.45. Tìm hàm tổng doanh thu TR(Q) trong các trường hợp sau:
1) MR = 28Q – e0,3Q
2) MR = 10(1 + Q)-2
Bài 6.46. Tìm hàm tổng nhập khẩu M(Y) với Y là thu nhập quốc dân nếu khuynh hướng
nhập khẩu biên M’(Y) = 0,1 và M = 20 khi Y = 0.
Bài 6.47. Biết tiêu dùng C bằng thu nhập Y khi Y = 100$ và khuynh hướng tiêu dùng là:
C’(Y) = MPC(Y) = 0,8 + 0,1Y-0,5.
1) Tìm hàm tiêu dùng.
2) Cho biết mức tăng lên của tiêu dùng khi thu nhập tăng từ 100$ lên 200$
3) Tính hê số co giãn của tiêu dùng tại mức thu nhập Y = 200$, giải thích ý nghĩa
của nó.
1
3
Bài 6.48. Cho hàm ñầu tư I( t ) = 12t (trong ñó t là biến thời gian)
1) Xác ñịnh hàm vốn K(t) khi K(0) = 25.
2) Xác ñịnh tổng lượng vốn tích lũy ñược trong khoảng thời gian t ∈ [0;1] .
Bài 6.49. Cho cầu về một loại hàng hóa (Q) phụ thuộc vào giá của hàng hóa ñó (p) và thu
nhập (Y) dạng: Q = 4Y0,5 – lnp + 2
1) Tính và giải thích ý nghĩa kinh tế của các hệ số co giãn riêng của Q theo p, theo
Y.
2) Tại mức cầu Qo cho trước, tại mức giá po: giá p tăng 1 ñơn vị thì thu nhập Y phải
tăng bao nhiêu thì cầu không ñổi.
Bài 6.50. Cho biết hàm cung và hàm cầu ñối với một loại sản phẩm:
Q d = 113 − p ; Q s = p − 1
Hãy tính thặng dự của nhà sản xuất và thặng dư của người tiêu dùng.
Bài 6.51. Cho QS và QD là hàm cung và hàm cầu một loại hàng hóa:
QS = 50p2 – 20
QD= 0,5p-2M2
43
Với p là giá một ñơn vị hàng hóa, M là thu nhập của người tiêu dùng (M>0)
1) Tìm ñiều kiện ñối với p sao cho hàm cung và hàm cầu ñều nhận giá trị dương. Với
ñiều kiện này hãy viết mô hình cân bằng thị trường, viết hàm dư cung và xét tính ñơn ñiệu
của hàm này theo p.
2) Cho p là giá cân bằng và Q lượng cân bằng. Nếu thu nhập M giảm thì sẽ tác ñộng
như thế nào tới p; Q .
Bài 6.52. Y là thu nhập, S là tiết kiệm.
Biết rằng mức tiết kiệm S = -7,42 khi thu nhập Y = 5.
1) Hãy xác ñịnh hàm tiết kiệm nếu biết khuynh hướng tiết kiệm cận biên
MPS = Y – 0,4.
2) Kể từ mức thu nhập dương nào trở lên sẽ có tiết kiệm dương?
44
CHƯƠNG 7.
PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN SỐ
Bài 7.1. Tìm tập xác ñịnh của hàm số sau:
a) y = 1 − x 2 + y 2 − 1 b) y = 1 − x 2 − y 2 c)
d) y = ln( y 2 − 4 x − 8)
( x 2 + y 2 − a 2 )(b 2 − x 2 − y 2 )
e) y = R 2 − x 2 − y 2 − z 2 +
1
(0 < r < R )
x + y + z2 − r2
2
2
Bài 7.2. Tính các giới hạn: lim lim f ( x , y) , lim lim f ( x , y) , lim f ( x , y)
x →0 y →0
a) f ( x , y) =
x−y
x+y
x →0
y →0
y →0 x →0
b) f ( x , y) = ( x + y) sin
1
1
sin
x
y
x 2 y2
c) f ( x , y) = 2 2
x y + ( x − y) 2
1 + x 2 + y2 − 1
d) f ( x , y) =
x 2 + y2
sin(x 4 y 2 )
e) f ( x , y) = 2
(x + y2 )2
f) f ( x , y) = ( x 2 + y 2 ) x y
2 2
Bài 7.3. Tính các giới hạn sau:
x 2 + y2
a) lim 4
4
x →∞
y →∞ x + y
d) lim
x →∞
y →∞
 xy 
b) lim 2

2 
x →∞
x
+
y


y →∞
x2
x+y
e) lim( x 2 + y 2 ).e − ( x + y )
2
x →∞
x − xy + y
y →∞
2
x 2 − y2
c) lim 2
2
x →∞
y →∞ x + y
Bài 7.4. Xét tính liên tục của hàm số f(x,y) tại ñiểm (0, 0)
 x 3 − y3
khi x 2 + y 2 ≠ 0
 2
2
a) f(x,y) =  x + y
.
0
khi x 2 + y 2 = 0

 sin x 2 y
khi x 2 + y 2 ≠ 0
 2
2
b) f ( x , y) =  x + y
.
2
2
0
khi x + y = 0

45

x →∞
y →a 
f) lim1 +
1

x
x2
x+y
Bài 7.5. Tìm các ñạo hàm riêng cấp 1 của hàm số sau
a) f ( x , y) = x y + 3
c) f ( x , y) =
y
x
x
y
cos
y
x
b) f ( x , y) = sin
d) f ( x , y) = x y
x cos y − y cos x
e) f ( x , y) =
1 + sin x + sin y
x
y
cos
y
x
2
 y
f) f ( x , y) =  
x
x
Bài 7.6. Tìm các ñạo hàm riêng cấp 2 của các hàm số sau
b) f ( x , y) = x 2 cos y + y 2 cos x
a) f ( x , y) = y ln(xy)
c) f ( x , y) =
x+y
x−y
d) f ( x , y) = ( x 2 + y 2 )e x + y
e) f(x, y) = ln(x + y)
Bài 7.7. Tìm cực trị của các hàm số sau
a) f(x,y) = x2 + xy + y2 – 2x – 2y b) f(x,y) = (y-x)2 + (y + 2)3
2
c) f(x, y) = 1 − x + y
2
a 3 b3
d) f ( x , y) = x + xy + y + +
x y
2
e) f(x, y) = 6 – 4x – 3y với ñiều kiện x2 + y2 = 1
f) f(x, y) = x2 + y2 + xy – 5x- 4y + 10 với x + y = 4
46
2
CHƯƠNG 8.
ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN SỐ
TRONG KINH TẾ
1
3
2
3


2
Bài 8.1. Cho hàm sản xuất: Q =  K 0,5 + L0, 6  . Trong ñó Q là sản lượng, K là vốn, L là
lao ñộng (Q, K, L >0).
1) Tìm hàm sản lượng cận biên của vốn và lao ñộng?
2) Với hàm sản xuất trên thì hiệu quả có tăng khi quy mô sản xuất tăng hay không?
Bài 8.2. Hàm lợi ích của hộ gia ñình có dạng
U(x, y) = 10xy – 3x2 – 2y2
Trong ñó x là số ñơn vị hàng hóa 1, y là số ñơn vị hàng hóa 2 (x >0 , y >0).
1) Hàm lợi ích trên có thỏa mãn quy luật lợi ích cận biên giảm dần hay không?
2) Viết ñường bàng quan tại x = 2 và y =2; tìm ñộ dốc của ñường này và giải thích ý
nghĩa của giá trị tìm ñược.
Bài 8.3. Một công ty sản xuất 2 loại sản phẩm (cạnh tranh hoàn hảo). Cho biết giá của 2
loại sản phẩm lần lượt là P1, P2 và hàm tổng chi phí có dạng:
TC = 2Q12 + 2Q 22 + Q1Q 2
1) Tìm mức sản lượng cho mỗi loại sản phẩm ñể ñạt lợi nhuận tối ña.
2) Khi P1, P2 biến ñộng sẽ tác ñộng như thế nào ñến các mức sản lượng tối ưu.
Bài 8.4. Một công ty ñộc quyền sản xuất một loại sản phẩm ở hai cơ sở với hàm chi phí
tương ứng: TC1 = 128 + 0, 2Q12 ;TC 2 = 156 + 0,1Q 22 (Q1, Q2 lần lượt là lượng sản xuất của cơ sở
1, 2). Hàm cầu ngược về sản phẩm của công ty có dạng: P = 600 – 0,1Q; trong ñó Q = Q1 +
Q2 và Q<6000.
1) Xác ñịnh lượng sản phẩm cần sản xuất ở mỗi cơ sở ñể tối ña hóa lợi nhuận.
2) Tại mức sản lượng tối ña hóa lợi nhuận, hãy tính ñộ co giãn của cầu theo giá.
Bài 8.5. Một hãng ñộc quyền sản xuất ra một mặt hàng nhưng tiêu thụ ở hai thị trường với
các hàm cầu: Q1 = 24 – 0,2P1; Q2 = 10 – 0,05P2 và hàm chi phí kết hợp là TC =35 + 40Q
(Q = Q1+ Q2). Hãy xác ñịnh lượng hàng hóa và giá bán ñể thu ñược lợi nhuận tối ña.
Bài 8.6. Hãng kinh doanh ñộc quyền có các hàm cầu trên hai thị trường
47
Q1 = 40 – 2P1 – P2; Q2 = 35 – P1 – P2
Cho biết hàm tổng chi phí: TC = Q12 + 2Q 22 + 10
1) Tìm mức sản lượng cho mỗi thị trường ñể lợi nhuận tối ña.
2) Hãy tính mức giá cho mỗi thị trường khi lợi nhuận tối ña.
Bài 8.7. Nhu cầu 2 mặt hàng phụ thuộc vào giá có dạng
Q1 = 40 – 2P1 – P2; Q2 = 35 – P1 – P2
và hàm tổng chi phí: TC = Q12 + 2Q 22 + 10
1) Xác ñịnh sản lượng ñể lợi nhuận ñạt giá trị lớn nhất.
2) Tính chi phí cận biên cho từng mặt hàng tại mức tối ưu.
Bài 8.8. Một trung tâm thương mại có doanh thu phụ thuộc vào thời lượng quảng cáo trên
ñài phát thanh (x: phút, x >0) và trên ñài truyền hình (y: phút, y > 0). Hàm doanh thu: TR =
320x – 2x2 – 3xy – 5y2 + 540y + 2000
Chi phí cho mỗi phút quảng cáo trên ñài phát thanh là 1 triệu ñồng, trên ñài truyền hình là 4
triệu ñồng. Ngân sách chi cho quảng cáo là 180 triệu ñồng.
1) Tìm x, y ñể cực ñại doanh thu.
2) Nếu ngân sách chi cho quảng cáo tăng 1 triệu ñồng thì doanh thu cực ñại sẽ tăng lên
bao nhiêu?
Bài 8.9. Cho hàm sản xuất Q = 0,3K0,5L0,5
Trong ñó Q là sản lượng; K là vốn và L là lao ñộng (Q, K, L >0).
1) Tính sản lượng cận biên của vốn và lao ñộng tại Ko = 4; Lo = 9.
2) Chứng minh rằng các hàm sản lượng cận biên theo vốn, lao ñộng là hàm thuần nhất
bậc 0.
3) Cho biết quá trình sản xuất trên có hiệu quả như thế nào với việc tăng quy mô sản
suất?
Bài 8.10. Một hộ gia ñình có hàm lợi ích tiêu dùng với 2 loại hàng hóa như sau:
U(x1, x2 ) = 5 x 10, 4 x 02, 4
Trong ñó x1 là số ñơn vi hàng hóa 1, x2 là số ñơn vị hàng hóa 2 (x1, x2 >0).
Ngân sách tiêu dùng là 300USD; giá một ñơn vị hàng hóa 1, 2 lần lượt là 3USD, 5USD.
1) Tìm gói hàng hóa mà tại ñó hộ gia ñình có lợi ích tiêu dùng ñạt giá trị lớn nhất.
48
2)Nếu ngân sách tiêu dùng giảm 1USD thì mức lợi ích tối ña giảm bao nhiêu?
3)Nếu ngân sách tiêu dùng giảm 2% thì mức lợi ích tối ña giảm bao nhiêu?
Bài 8.11. Một doanh nghiệp có hàm sản xuất Q =K0,3L0,5
Trong ñó Q, K, L lần lượt là sản lượng, vốn, lao ñộng (Q, K, L > 0).
1) Quá trình sản xuất có hàm sản lượng trên có hiệu quả như thế nào ñối với việc tăng
quy mô sản xuất.
2) Tìm sản lượng cận biên theo vốn, theo lao ñộng.
3) Nếu doanh nghiệp thuê một ñơn vị vốn là 6USD; một ñơn vị lao ñộng là 2USD; ngân
sách chi cho các yếu tố ñầu vào là 384USD. Tìm mức sử dụng vốn và lao ñộng ñể sản
lượng tối ña.
4) Nếu tăng ngân sách chi cho yếu tố ñầu vào 10USD thì sản lượng tối ña tăng bao
nhiêu?
2
1
Bài 8.12. Cho hàm sản xuất Cobb – Douglas: Q = 30K 3 L3 (K > 0; L > 0)
Trong ñó Q là sản lượng; K là vốn; L là lao ñộng (Q, K, L >0).
1) Tìm và giải thích ý nghĩa kinh tế của
∂Q
∂Q
= Q 'K = Q1 ;
= Q 'L = Q 2 tại ñiểm Ko = 27
∂K
∂L
và Lo = 64.
2) Tính các hệ số co giãn riêng của Q theo K và L.
Cho biết ý nghĩa tại ñiểm Ko =27; Lo = 64.
3) Nếu K và L cùng tăng 1% thì Q tăng bao nhiêu phần trăm.
4) Với hàm sản xuất trên khi tăng quy mô thì hiệu quả có tăng không?
5) Hàm số ñã cho có thỏa mãn quy luật lợi ích cận biên giảm dần hay không?
6) Tại mức ñầu vào Ko = 27, Lo = 64; giả sử dK = 0,1; dL = 0,3 là các mức biến ñộng
của vốn và lao ñộng. Tìm các mức biến ñộng dQK, dQL và giải thích ý nghĩa kinh tế
các ñại lượng ñó. Tìm và giải thích ý nghĩa vi phân toàn phần dQ.
Bài 8.13. Cho hàm sản xuất Q = 0,3K0,5L0,5
Trong ñó Q là sản lượng; K là vốn; L là lao ñộng (Q, K, L >0).
1) Hãy tính sản lượng cận biên của vốn và lao ñộng tại Ko = 4; Lo = 9.
2) Quá trình công nghệ thể hiện bằng hàm số trên có năng suất cận biên giảm dần
hay không? Hãy giải thích.
49
3) Nếu K tăng lên 8% và L không ñổi thì Q tăng bao nhiêu %?
4) Viết phương trình ñường mức tại Ko = 16; Lo= 9.
Bài 8.14. Cho biết hàm lợi nhuận của một doanh nghiệp sản xuất ba loại sản phẩm là
π = −Q12 − 3Q 22 − 7Q 32 + 300Q 2 + 1200Q 3 + 4Q1Q 3 + 20
Hãy tìm mức sản lượng Q1, Q2, Q3 ñể doanh nghiệp thu ñược lợi nhuận tối ña.
Bài 8.15. Một hộ gia ñình có hàm lợi ích tiêu dùng với 2 loại hàng hóa như sau:
U(x1, x2 ) = 5 x 10, 4 x 02, 4
Trong ñó x1 là số ñơn vi hàng hóa 1, x2 là số ñơn vị hàng hóa 2 (x1, x2 >0).
Ngân sách tiêu dùng là 300USD, giá một ñơn vị hàng hóa 1, 2 lần lượt là 5USD, 3USD.
1) Hàm số trên có tuân theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần hay không?
2) Hai hàng hóa trên là thay thế hay bổ sung cho nhau?
3) Nếu ngân sách tiêu dùng giảm 2% thì mức lợi ích tối ña giảm bao nhiêu?
Bài 8.16. Cho hàm lợi ích tiêu dùng U = x1x2 + x1 + x2
Trong ñó x1 là số ñơn vi hàng hóa 1, x2 là số ñơn vị hàng hóa 2 (x1, x2 >0).
Giả sử giá của các mặt hàng tương ứng là p1 = 2$; p2 = 5$ và thu nhập dành cho tiêu dùng
là 51$. Hãy xác ñịnh lượng cầu ñối với mỗi mặt hàng trên nếu người tiêu dùng tối ña hóa
lợi ích của mình.
Bài 8.17. Cho biết hàm lợi ích tiêu dùng: U = 100 x 10, 6 x 02, 25 . Trong ñó x1 là số ñơn vi hàng
hóa 1, x2 là số ñơn vị hàng hóa 2 (x1, x2 >0).
Giả sử giá của các mặt hàng tương ứng là p1 = 8$; p2 = 5$ và thu nhập dành cho tiêu dùng
là 680$. Hãy xác ñịnh lượng cầu ñối với các mặt hàng ñể người tiêu dùng tối ña hóa lợi ích
của mình.
Bài 8.18. Một doanh nghiệp có hàm sản xuất như sau: Q = 12 3 K 2 . L . Trong ñó Q là sản
lượng; K là vốn; L là lao ñộng (Q, K, L >0).
1) Hãy tính MPPK, MPPL tại ñiểm (Ko=125, Lo= 100) và giải thích ý nghĩa.
2) Chứng tỏ rằng MPPK giảm khi K tăng và L không ñổi.
3) Chứng tỏ rằng MPPL giảm khi L tăng và K không ñổi.
Bài 8.19. Cho biết hàm lợi ích của người tiêu dùng U =100 x0,4y0,7; trong ñó x là lượng
hàng hóa A (x>0), y là lượng hàng hóa B (y>0).
50
1) Hãy lập các hàm số biểu diễn lợi ích cận biên của mỗi hàng hóa. Hàm này có phù
hợp với quy luật lợi ích cận biên giảm dần hay không?
2) Nếu lượng hàng hóa A tăng 1% và lượng hàng hóa B không ñổi thì lợi ích tăng bao
nhiêu %.
Bài 8.20. Một doanh nghiệp sản xuất 2 loại sản phẩm với hàm chi phí kết hợp như
sau: TC = 45 + 125Q1 + 84Q 2 − 6Q12 Q 22 + 0,8Q13 + 1,2Q 32 (Q1>0, Q2>0, Q3>0).
Hãy lập các hàm số biểu diễn chi phí cận biên của mỗi sản phẩm.
Bài 8.21. Cho hàm cầu ñối với một mặt hàng như sau:
Q = 35 − 0,4p + 0,15m + 0,12p s
Trong ñó Q, p là lượng cầu và giá của hàng hóa ñó, m là thu nhập, ps là hàng hóa thay thế.
Hãy lập hàm số biểu diễn.
1) Hệ số co giãn của cầu theo giá p;
2) Hệ số co giãn của cầu theo thu nhập m.
3) Hệ số co giãn của cầu theo giá hàng hóa thay thế ps.
Bài 8.22. Hãy ñánh giá hiệu quả của quá trình sản xuất khi tăn quy mô qua các hàm sản
xuất sau:
1) Q = 20K 0 , 4 L0, 3
2) Q = 5K0,6L0,8
3) Q = 12 K . 3 L2
4) Q = (2K 0, 6 + 3L0, 7 ) 2
Bài 8.23. Cho biết hàm lợi ích U = (x1 + 3)x2.
Trong ñó x1 là lượng hàng hóa A (x1>0), x2 là lượng hàng hóa B (x2>0). Hãy chọn túi hàng
ñể lợi ích tối ña trong ñiều kiện giá hàng hóa A bằng 5$, giá hàng hóa B là 20$, ngân sách
tiêu dùng là 185$.
Bài 8.24. Giả sử doanh nghiệp ñộc quyền sản xuất hai loại sản phẩm với hàm chi phí kết
hợp TC = Q12 + 5Q1Q 2 + Q 22 (Q1>0, Q2>0). Giả sử cầu ñối với hàng hóa ñó là p1 =56 - 4Q1;
p2 = 48 - 2Q2. Hãy xác ñịnh mức sản lượng và giá tối ưu của các sản phẩm.
Bài 8.25. Một công ty ñộc quyền sản xuất một loại sản phẩm tại hai nhà máy với hàm chi
phí cận biên như sau (Qi là lượng sản phẩm sản xuất ở nhà máy i, Qi>0; MCi là chi phí cận
biên của nhà máy i): MC1 = 2 + 0,2Q1, MC2 = 6 + 0,04Q2.
51
Công ty ñó bán sản phẩm trên thị trường với hàm cầu ngược: p = 66-0,1Q. Nếu công ty ñó
muốn tối ña hóa lợi nhuận thì phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm với giá bao nhiêu?
Bài 8.26. Một công ty sản xuất một loại sản phẩm với hàm sản xuất như sau:
Q =K(L + 5). Trong ñó Q là sản lượng, K là vốn, L là lao ñộng (Q, K, L >0). Công ty này
nhận hợp ñồng cung cấp 5600 sản phẩm. Hãy cho biết phương án sử dụng các yếu tố K, L
sao cho việc sản xuất lượng sản phẩm theo hợp ñồng tốn ít chi phí nhất, trong ñiều kiện giá
thuê tư bản wK=70 và giá thuê lao ñộng wL = 20.
Bài 8.27. Một nhà sản xuất ñộc quyền sản xuất ra một loại sản phẩm và bán sản phẩm ñó
cho hai loại khách hàng. Cho biết hàm chi phí: TC = 90 + 20Q (Q>0).
Nếu nhà sản xuất ñưa Q1 (Q1>0) sản phẩm ra bán cho loại khách hàng thứ nhất thì các
khách hàng này bằng lòng trả giá p1 = 50 – 5Q1 (USD) cho mỗi sản phẩm. Nếu nhà sản
xuất ñưa Q2 (Q2>0) sản phẩm ra bán cho loại khách hàng thứ 2 thì các khách hàng này
bằng lòng trả giá p2 = 100-10Q2 (USD) cho mỗi sản phẩm. Hãy cho biết lượng cung tối ưu
và giá tối ưu cho mỗi loại khách hàng.
Bài 8.28.
1) Cho biết hàm ñầu tư I = 40.5 t 3 và quỹ vốn tại thời ñiểm t = 0 là 90. Hãy xác ñịnh
hàm quỹ vốn K(t).
2) Cho biết hàm ñầu tư I = 60.3 t và quỹ vốn tại thời ñiểm t = 1 là 85. Hãy xác ñịnh
hàm quỹ vốn K(t).
3) Cho biết xu hướng tiêu dùng cận biên MPC = 0,8 ở mọi mức thu nhập Y và mức tiêu
dùng thiết yếu (mức tiêu dùng khi Y =0) là 40. Hãy xác ñịnh hàm tiêu dùng C(Y).
4) Cho biết hàm cầu ngược p = 42 – 5Q – Q2. Giả sử sản phẩm ñược bán trên thị trường
với giá po= 6. Hãy tính thặng dư của người tiêu dùng.
Bài 8. 29. Hàm thỏa dụng của hộ gia ñình khi tiêu dùng hàng hóa 1, 2 có dạng
U = 40x 10, 25 x 02,5 ; trong ñó x1, x2 là mức tiêu dùng hàng hóa 1, 2 (x1>0, x2>0). Giá
hàng ñược cho như sau p1 = 4; p2 = 10.
1) Có ý kiến cho rằng hàng hóa 1 luôn có thể thay thế hàng hóa 1 và tỷ lệ thay thế là
1:1. Hãy nhận xét ý kiến này.
2) Hãy xác ñịnh mức cầu hàng hóa 1, 2 của hộ gia ñình nếu thu nhập là 600.
52
Bài 8.30. Một doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo có hàm sản xuất Q = K0,5 + L0,5
với pK = 6; pL = 4; p = 2 (Q là sản lượng, K là vốn, L là lao ñộng, Q>0, K>0, L>0).
1) Hãy xác ñịnh mức sử dụng vốn, lao ñộng tối ưu.
2) Hãy phân tích tác ñộng của giá vốn, lao ñộng tới mức lợi nhuận tối ña.
Bài 8.31. Mức cầu một loại hàng hóa (Qd) phụ thuộc vào giá hàng hóa ñó (p) và thu nhập
của người tiêu dùng (M) có dạng như sau: Qd= 1,5M0,3p-0,2
Mức cung loại hàng trên (Qs) có dạng: Qs = 1,4p0,3
1) Xác ñịnh hệ số co giãn của cầu theo giá, theo thu nhập.
2) Hãy xem xét tác ñộng của thu nhập M tới mức giá cân bằng.
Bài 8.32. Cho hàm sản xuất Y(t) = 0,2K0,4L0,8
Trong ñó K =120 + 0,1t; L = 200 + 0,3t (t là thời gian, t >0).
1) Tính hệ số co giãn của Y theo K và theo L.
2) Tính hệ số tăng trưởng của vốn K, lao ñộng L và Y tại to = 10.
c) Hãy cho biết hiệu quả của việc tăng quy mô sản xuất trong trường hợp này.
Bài 8.33. Nhu cầu hai mặt hàng phụ thuộc giá như sau:
Q1 = 40 – 2P1 – P2; Q2 = 35 – P1 – P2.
Tổng chi phí là hàm của các sản lượng:
TC = Q12 + 2Q 22 + 12
Trong ñó: Pi, Qi là giá và sản lượng hàng hóa thứ i (i =1,2)
1) Xác ñịnh mức Q1, Q2 sao cho tổng lợi nhuận lớn nhất.
2) Tính chi phí cận biên cho từng mặt hàng tại mức tối ưu tìm ñược ở câu a).
3) Hai mặt hàng này có thay thế lẫn nhau trong tiêu dùng không?
Bài 8.34. Thu nhập quốc dân của một quốc gia (Y) phụ thuộc vào vốn (K), lao ñộng ñược
sử dụng (L) và ngân sách ñào tạo 5 năm trước ñó (G) như sau:
Y = 0,24K0,3L0,8G0,05
Trong ñó các yếu tố biến ñổi theo thời gian như sau: hàng năm vốn tăng 15%, công ăn
việc làm tăng 9%, chi phí cho ñào tạo tăng 20%. Tính hệ số tăng trưởng của thu nhập quốc
dân.
53
2
1
Bài 8.35. Cho hàm sản xuất Q = 300K 3 L4 (Q>0, K>0, L>0) . Trong ñó Q là sản lượng, K
là vốn, L là lao ñộng (Q, K, L >0). Gọi PQ, PL, PK là giá bán một sản phẩm, giá thuê một
ñơn vị vốn và giá thuê một ñơn vị lao ñộng. Hãy xác ñịnh vốn và lao ñộng sao cho lợi
nhuận ñạt cực ñại biết PQ =1, PK=100, PL = 150.
Bài 8.36. Một doanh nghiệp có hàm sản xuất: Q = K 0 , 4 L0, 3 . Trong ñó Q là sản lượng, K là
vốn, L là lao ñộng (Q, K, L > 0).
1) Hãy ñánh giá hiệu quả của quá trình sản xuất ñối với tăng quy mô sản xuất.
2) Giả sử giá thuê tư bản là 4USD, giá thuê lao ñộng là 3USD và doanh nghiệp tiến
hành sản xuất với ngân sách cố ñịnh là 1050USD. Hãy cho biết danh nghiệp ñó sử
dụng bao nhiêu ñơn vị tư bản và bao nhiêu ñơn vị lao ñộng thì thu ñược sản lượng
tối ña.
Bài 8.37. Một doanh nghiệp có hàm sản xuất: Q = 40K 0, 75 L0, 25 . Trong ñó Q là sản lượng, K
là vốn, L là lao ñộng (Q, K, L > 0). Nếu doanh nghiệp thuê một ñơn vị vốn là 3USD; một
ñơn vị lao ñộng là 1USD; ngân sách chi cho yếu tố ñầu vào là B = 160 USD.
1) Với hàm sản xuất trên khi tăng quy mô sản xuất thì hiệu quả thay ñổi như thế nào?
Nếu K tăng lên 1% và L tăng 3 % thì sản lượng tăng lên bao nhiêu % tại mỗi mức
(K, L)?
2) Xác ñịnh mức sử dụng vốn và lao ñộng ñể sản lượng tối ña. Nếu tăng ngân sách chi
cho yếu tố ñầu vào 1USD thì sản lượng tối ña tăng bao nhiêu ñơn vị?
3) Hàm số trên có tuân theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần hay không?
4) Xác ñịnh hàm sản lượng cận biên theo vốn, theo lao ñộng.
5) Xác ñịnh phương trình ñường ñồng lượng tại ñiểm Ko = 625; Lo = 16
6) Vốn và lao ñộng là hai hàng hóa thay thế hay bổ sung cho nhau.
54
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Alpha C. Chiang, Fundamental Methods of Mathematical Economics, McGRAW-HILL
Book Copany, 1984.
2. Lê Đình Thúy (chủ biên), Toán cao cấp cho các nhà kinh tế, NXB Thống kê, 2004.
3. Bài tập Toán cao cấp cho các nhà kinh tế, NXB ĐHKTQD, 2008
4. Nguyễn Huy Hoàng, Toán cao cấp T1, T2. NXB Giáo dục Việt Nam, 2010.
5. Nguyễn Huy Hoàng,Hướng dẫn giải bài tập Toán cao cấp cho các nhà kinh tế T1, T2.
NXB Giáo dục Việt Nam, 2010.
6. Ngô Văn Thứ, Nguyễn Quang Dong, Mô hình toán kinh tế, NXB Thống kê, 2005
55