國立成功大學 機械工程學系
機工實驗(一)：固力實驗
實驗 6-1：光彈應力
一、 實驗目的
如圖(一)，觀察具雙折射效應的透明光彈模型，於偏振光場中，施加載荷
後，顯現與等主應力差(Principal Stress Difference)及主應力方向(Principal
Stress Direction)有關的全場干涉條紋。由於這些條紋的分佈和該受力模型的
應力分佈有關，實驗中可觀看到不同幾何形狀受到不同載荷作用時，全場的
應力變化、應力集中現象等固體力學行為，加深材料力學學習的成效。
圖(一) 光彈模型受力後的情形
二、 實驗設備
如圖(二)，本實驗設備包括投影機、偏光板、析光板、1/4 波板×2、及光
彈模型施力用的拉伸及壓縮裝置各一，另有數位相機一台。
圖(二) 光彈實驗的設備
三、 實驗原理
1. 光─應力定律
1853 年 Maxwell 提出了受力透明體之光折射率改變與主應力值呈線
性比例關係，如下所示：
1
n1 − n0 = C1σ 1 + C2 (σ 2 + σ 3 )
n2 − n0 = C1σ 2 + C2 (σ 3 + σ 1 )
(6-1)
n3 − n0 = C1σ 3 + C2 (σ 1 + σ 2 )
其中：
n0
n1 、 n2 、 n3
σ1 、σ 2 、σ 3
C1 、 C 2
：光彈材料未受力時之折射率
：沿各主應力方向之折射率
：光彈材料受力時之主應力
：光─應力常數
由(6-1)式，消去 n0 ，再令：光─應力係數 C = C1 − C 2 代入可得：
n1 − n2 = C (σ 1 − σ 2 )
n2 − n3 = C (σ 2 − σ 3 )
n3 − n1 = C (σ 3 − σ 1 )
(6-2)
當觀察 σ 1 與 σ 2 所形成的平面時，在兩主應力方向的折射率差( n1 − n2 )只與兩主
應力差( σ 1 − σ 2 )成正比，而與第三軸向的應力 σ 3 無關。
通過光彈模型之入射光，其光速會有所改變，沿著 σ 1 及 σ 2 方向的光速分別為：
V
V
(6-3)
V1 = 0
V2 = 0
n1
n2
其中： V0 = 光在真空中的行進速度
由(6-3)式，令 h 為光彈材料厚度，則光在 σ 1 與 σ 2 兩不同方向前進，通過厚度
所需的時間差 ∆T 可表示如下：
h h
h
(6-4)
∆T = T1 − T2 = −
= (n1 − n2 )
V1 V2 V0
所以兩主應力方向的光程差 ∆P 可表示為：
∆P = V0 × ∆T = h(n1 − n2 )
(6-5)
將(6-2)代入(6-5)可得：
∆P = hC (σ 2 − σ 1 )
(6-6)
若入射光之波長為 λ ，則其角度相位差 φ 可表示為：
φ = 2π
∆P
(6-7)
λ
2
由(6-6)代入(6-7)可得：
φ = 2π
hC
λ
(σ 2 − σ 1 )
(6-8)
由(6-7)的結論，和兩方向能量間的干涉情形以 2π 為週期可知令：
N=
∆P
λ
=
φ
2π
(6-9)
稱 N 為等色線條紋序數
令光彈材料條紋常數 f σ =
σ1 −σ 2 =
Nf σ
h
，
λ
，則(6-8)式可以表示成：
C
τ max =
1
(σ 1 − σ 2 ) = Nfσ
2
2h
(6-10)
其中：
σ 1 、 σ 2 ：最大、最小主應力
f σ ：光彈材料條紋值
N ：等色線條紋序數
h ：光彈模型厚度
τ max ：最大剪應力
2. 等色線與等頃線
(a) 平面偏光場
如圖(三)所示，實驗中使用一偏光板(Polarizer)與析光板(Analyzer)，將欲
檢視之光彈模型置於中間。
當光經過偏光板射出時，僅通過與偏光板光軸 P 平行之分量，表示為：
E p = A cos ωt
(6-11)
3
圖(三) 平面偏光場
其中 E p 代表光場向量的大小， A 代表偏極光的振幅， ω 代表角頻率， t 代表
時間。
如圖(四)所示，當光進入模型時，光場 E p 分解在主應力 σ 1 、 σ 2 方向上之分量
為：
Eσ 1 = A cosθ cos ωt
Eσ 2 = A sin θ cos ωt
(6-12)
其中 θ 為試件主應力軸 σ 1 與偏光板光軸 P 的夾角。
圖(四) 光進入模型時的光場分布
4
當光離開模型時，此兩分量因速度不同而在 σ 1 、 σ 2 方向上，造成相對的相位
遲滯 φ ，所以(6-12)式可重新表示為：
Eσ 1 = A cosθ cos ωt
Eσ 2 = A sin θ cos(ωt − φ )
(6-13)
由(6-2)、(6-8)式可知：
φ=
2πh
λ
(n1 − n2 )
(6-14)
其中：
h ：模型厚度
n1 、 n2 ：光在 σ 1 、 σ 2 方向上之折射率
λ ：入射光波長
如圖(五)所示，當光進入析光板射出時，僅通過與析光板光軸 A 平行之分量，
光場 E A 為：
E A = Eσ 1 sin θ − Eσ 2 cosθ
(6-15)
圖(五) 光通過析光板時的光場分布
將(6-13)式代入(6-15)可得：
φ  φ

E A = A sin (2θ )sin   sin  − ωt 
2 2

(6-16)
5
故光強度(Intensity) I 為：
φ 
I = A sin 2 2θ sin 2  
2
(6-17)
主應力方向 θ 透過 sin 2 2θ 項會造成光強度的變化；當 θ = 0 或 π/2 時，I = 0，
即當偏光板(Polarizer)軸與主應力方向平行或垂直時，則光強度會為零。
(b) 圓偏光場
如圖(六)所示，當光源通過偏光鏡後成為平面偏振光，然後進入第一
塊四分之一波片板成為圓偏極光，接著通過光彈模型，便產生相對相位
差，接著再通過第二塊四分之ㄧ波片板，光又變回平面偏極光，最後通過
析光鏡，觀察者即可由析光鏡見到相位差造成的條紋，此條紋即為等色線
條紋。
圖(六) 圓偏光場
普通光源通過偏光鏡後，只與偏光鏡主軸同方向振動的能量才能順利
穿越偏光鏡，因此通過偏光鏡後之光場向量可表示成:
E p = A cos ωt
(6-18)
其中:
E p ：光場向量的大小
A:入射光之最大振幅
ω:入射光之振動角頻率
t:時間
6
也就是說光通過偏光鏡後形成平面偏極光，接著光進入第一塊四分之一
波片時，因光在快軸及慢軸方向上前進速度不同，因此必須把平面偏振光分
成兩各方向分量來討論，一個在快軸方向，另一個在慢軸方向傳遞，如圖(七)
所示。當穿出波片後兩分量產生四分之一週期的相位差，其光場之分量分別
為 E f 1 及 E s1 ，可表示成:
Ef1 =
2
A cos ωt
2
E s1 =
2
A sin ωt
2
(6-19)
圖(七) 光源通過第一塊1/4波板之光場向量圖
光場向量分量 E f 1 及 E s1 進入模型後，又可分解成 σ 1 及 σ 2 方向之兩分量
Eσ 1 及 Eσ 2 ，如圖(八)所示可表示成:
π


π
Eσ 1 = E f 1 cos − θ  + E s1 sin  − θ 
4


4
π

π

Eσ 2 = E s1 cos − θ  − E f1 sin  − θ 
4

4

其中：
θ ： σ 1 與偏光鏡主軸(P軸)之夾角
7
(6-20)
圖(八) 光源通過光彈模型之光場向量圖
將(6-19)代入(6-20)中可得：
π
2


A cos ωt − + θ 
2
4


π
2


=
A sin  ωt − + θ 
2
4


Eσ 1 =
Eσ 2
(6-21)
此外兩個光場分量 Eσ 1 和 Eσ 2 在通過光彈模型會產生相對相位差ψ，所以式
(6-21)可以寫成:
π
2


A cos ωt − + θ 
2
4


π
2


A sin  ωt − + θ - φ 
=
2
4


Eσ 1 =
Eσ 2
(6-22)
接著當圓偏極光進入第二塊四分之一波片時，如圖(九)所示，又沿著快軸慢軸
分成兩個光場向量 E f 2 及 E s 2 表示成:

π

π
E f 2 = Eσ 2 cos − θ  − Eσ 1 sin  − θ 

4

4

π

π
E s 2 = Eσ 1 cos − θ  + Eσ 2 sin  − θ 

4

4
8
(6-23)
圖(九) 光源通過第二塊1/4波板之光場向量圖
將(6-22)代入(6-23)可以得到:
又光通過四分之一波片時會產生
π
2
相對相位差，因此(6-24)式再演變為:
最後光源通過檢光鏡，如圖(十)所示，再度分解成水平和垂直兩分量，與檢光
鏡光軸相同的才能穿越，因此通過析光鏡之光場向量表示成:
E ax =
1
A[cos(ωt + 2θ ) − cos(ωt + 2θ − φ )]
2
9
(6-26)
圖(十) 光源通過析光鏡之光場向量圖
(6-26)可簡化成：
1 
1  
E ax = A sin  φ  sin  ωt + 2θ − φ 
2 
2  
(6-27)
因為光強度I與振幅的平方成正比，所以通過析光鏡後光強度I為:
1 
I = A 2 sin 2  ∆ 
2 
(6-28)
所以此光場可分為兩個場域討論：
(1)
暗場(dark field)
∆
= nπ (n=0,1,2,3 … )的時候，I=0 形成暗點，此時的條紋序數
2
為整數。
當
(2)
亮場(light field)
1 
當使用亮場排列時，通過析光鏡的亮度值 I = A 2 cos 2  ∆  ，所以
2 
1
∆  2n + 1 
當 =
π (n=0,1,2,3 …)，亦即 N = n + 時光強度I=0形成暗
2
2  2 
點，此時的條紋稱為半及條紋。
10
所以暗場和亮場的分別在於，暗場最暗處發生在整數條紋的地方；而亮
場最暗處則代表著半級條紋。兩種場域條紋都可以用來求得材料內部之應力
差值。
(c) 等色線與等頃線之解讀法
顏色
N值
黑
黃
0
紅 藍-綠
黃-紫
1
綠
2
黃 紅
綠 黃
紅
3
(d) Conclusions
a. 光應力定律： σ 1 − σ 2 =
Nf σ
Nf
1
， τ max = (σ 1 − σ 2 ) = σ
h
2
2h
φ 
b. 模型置於平面偏光場之光強度為： I = A sin 2 2θ sin 2  
2
1 
c. 模型置於圓偏光場之強度為： I = A 2 sin 2  ∆ 
2 
d. 等色線即主應力差值 (σ 1 − σ 2 ) 。
e. 等頃線即主應力所在的方向。
四、 實驗預報
1. 請證明光─應力定律： σ 1 − σ 2 =
Nf σ
Nf
1
， τ max = (σ 1 − σ 2 ) = σ 。(本題須
h
2
2h
手動書寫)
2. 請證明光彈模型置於平面偏光場中，使用者所觀察到之光強度為：
φ 
I = A sin 2 2θ sin 2   ，並討論此光強度的特性。(本題須手動書寫)
2
3. 請證明光彈模型置於圓偏光場中，使用者所觀察到之光強度為：
1 
I = A 2 sin 2  ∆  ，並討論此光強度的特性。(本題須手動書寫)
2 
4. 如圖(十一)，請利用材力公式或電腦軟體(如：ANSYS)模擬懸臂樑自由
端受力下之 σ x 、 σ y 及 τ xy ，然後算出主軸方向角 θ ，繪製等值線，即為
11
等頃線圖；算出 (σ 1 − σ 2 ) ，繪製等值線，即為等色線圖。
圖(十一) 懸臂樑自由端受力之情形
五、 實驗內容
實驗項目(一)：懸臂樑於自由端施予一集中負載實驗
1. 打開投影機光源，如圖(十二)所示，轉動析光板上的 Analyzer Handles
旋扭，由光彈儀上觀察，使光場達到最暗為止，此時即為平面偏光暗場，
且析光板上的 Direction Indicator 會在 0 度的位置。
圖(十二) 光彈儀上的操作裝置
2. 將長方形試件置於壓縮機構中，一端挾持成懸臂樑並於自由端施予一集
中荷載，如圖(十三)所示。然後擺放於偏光板和析光板之間，如圖(十四)
所示。此時影像中所看到的黑色條紋即為 0 度與 90 度等傾線(主應力方
向角，亦有可能是零階等色線)，彩色條紋即為等色線。變化集中荷載
之大小，觀察其條紋圖像之變化。
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圖(十三) 懸臂樑受集中負載圖
圖(十四) 光彈模型置入情形
3. 轉動析光板上的 Direction Knob 旋扭同步調整偏光板與析光板的角度，
每 轉動 15 度，觀察並拍照記錄其等傾線條紋，直到 90 度為止。
4. 將 1/4 波板以 45 度方向分別置入偏光板上方及析光板下方，形成圓偏光
暗場，觀察並記錄其等色線條紋圖像。
實驗項目(二)：具裂縫與不具裂縫之長方形試件受彎矩實驗
1. 打開投影機光源，將平面光場調為最暗，Direction Indicator 於 0 度位置。
將不具裂縫與具裂縫的長方形試件以圖(十五)的方式施予負載，然後分
別置入光彈儀中，拍照紀錄其條紋。
圖(十五) 長方形試件受力情形
2. 把兩個四分之一波片分別以 45 度角，置入偏光板的上方與析光板的下
方，形成圓偏光場。將不具裂縫與具裂縫的長方形試件以圖(十五)的方
式施予負載，然後分別置入光彈儀中，拍照紀錄其條紋。
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實驗項目(三)：具圓孔之長方形試件受單軸拉伸實驗
1. 如圖(十六)，提供單軸拉伸力於具圓孔之光彈試件上。
圖(十六) 具圓孔之光彈試件受單軸拉力的情形
2. 打開投影機光源，將平面光場調為最暗，Direction Indicator 於 0 度位置。
將圖(十六)之工件置於光彈儀中，拍照紀錄其條紋。
3. 把兩個四分之一波片分別以 45 度角，置入偏光板的上方與析光板的下
方，形成圓偏光場。將圖(十六)之工件置於光彈儀中，拍照紀錄其條紋。
六、 實驗結報(問題討論)
1. 在懸臂樑受自由端受力實驗中，當改變負荷大小時，其條紋圖像作何
變化，並解釋其原因為何？
2. 懸臂樑受自由端受力實驗中，每 15 度所得的等傾線繪在同一張圖像
上，並與實驗預報之理論等傾線圖像作比較。
3. 請將懸臂樑受自由端受力實驗中所得到的等色線圖像與實驗預報之
理論等色線圖像作比較。
4. 比較並討論具裂縫與不具裂縫之長方形光彈試件受三點受力下等傾
線、等色線條紋的異同。
5. 試述具圓孔之長方形光彈試件在軸向拉力下，條紋圖像顯示的現象及
14
意義。
6. 在實驗過程中，是否有發現其他的力學現象，如果有，請討論之。
七、 Reference
1. J.W. Dally, W.F. Riley,“Experimental stress analysis”, McGraw-Hill, Inc,
U.S.A., 1991
2. R.C. Hibbeler, “Mechanics of Materials 6th Edition”，Pearson Prentice Hall,
Inc, 2003
3. I.Glickman,F.W.Roeber,M.Brion,“Photoelastic analysis of internal stress in
the periodontium created by occlusal forces”,Journal periodontal, Vol.41,
pp.30-35, 1970
4. 陳建宏，“套環式和磁性式連接體之覆蓋義齒 光彈應力 分析”，國立
台灣科技大學機械工程學系，碩士論文，1999。
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