(a) To use the formulae
sin (A  B), cos (A
 B) and tan (A 
B).
(b) To derive and use the double angle
formulae
(c) To derive and use the half angle formulae
(d) Find the value of an angle without using
table or calculator
Compound Angles Formulae
sin( A  B)  sin A cos B  cos A sin B
cos(A  B)  cos A cos B + sin A sin B
tan A  tan B
tan(A  B) 
1 + tan A tan B
If we substitute B with A into the compound angle
formulae, we have
sin(A + A)  sin A cos A  cos A sin A
 2sin A cos A
cos(A + A)
 cos A cos A  sin A sin A
2
2
 cos A  sin A
tan A  tan A
tan(A + A) 
1  tan A tan A
2 tan A

2
1  tan A
Thus,
Double Angle Formulae
sin 2A  2sin A cos A
2
2

cos
A

sin
A
cos 2A
 2cos 2 A  1
 1  2sin 2 A
tan 2A 
2 tan A
2
1  tan A
or
or
sin 2 x  cos2 x  1
By substituting A with A in the double
2
angle formulae.
Half- Angle Formulae
A
A
sin A  2 sin
cos
2
2
A
A
2
cos A  cos
 sin
2
2
2
A
2 tan
2
tan A 
2 A
1  tan
2
or
A
 2cos
1
2
or
A
 1  2sin
2
2
2
A
from cos A  1  2sin
2
A
1

cos
A
sin  
2
2
2
A
from cos A  2cos
1
2
A
1

cos
A
cos  
2
2
2
Example 1
3
5
If sin A  and cos B  , A and B are acute
5
13
angles, find without using calculators, the
value of
a) sin (A+B)
b) cos (A-B)
c) tan (A+B)
Solution
5
A
3
13
12
B
4
Given
3
sin A 
5
4
cos A 
5
3
tan A 
4
5
5
cos B 
13
12
sin B 
13
12
tan B 
5
a) sin (A+B)  sin A cos B  cos A sin B
3 5 4 12
   
5 13 5 13
15  48

65
63

65
b) cos (A-B)  cos AcosB  sin AsinB
4 5 3 12
   
5 13 5 13
20  36

65
56

65
c) tan (A+B)  tan A  tan B
1  tan A tan B
3 12

 4 5
3 12
1 
4 5
15  48
20

9
1
5
63 5


20 4
63

16
sin( A  B)  sin A cos B  cos A sin B
Example 2
Simplify:
a) sin 4x cos x – cos 4x sin x
Solution
a) sin 4x cos x – cos 4x sin x
= sin (4x – x)
= sin 3x
tan 2x  tan x
b)
1  tan 2x tan x
= tan (2x –x)
= tan x
tan A  tan B
tan( A  B ) 
1  tan A tan B
cos( A  B)  cos A cos B  sin A sin B
Example 3
Find the values of the followings
without using calculator:
a) cos 170o cos 70o – sin 170o sin 70o
= cos ( 170o + 70o)
= cos 240o
= - cos 60o
1
 
2
240o
-ve
60o
b) 
tan107o  tan 47o

 1  tan107o tan 47o


2
o
  tan 60 
o
o
 tan(107  47 )


=3
3

2

2




2
Example 4
Find the exact value:
a) sin 15o = sin (600 - 450 )
= sin 600 cos 450- cos 60o sin 45o
3
2 1
2


 
2
2
2 2

6
4
2

 
b) tan
 tan   
3 4
12


tan
 tan
3
4



1  tan tan
3
4
3 1

1 3
3 1 1  3


1 3 1 3
 2
3
Example 5
8
Given that sin A   ,
17
where A in the fourth quadrant, find
without using calculator:
a) tan 2A
b) cos 2A
A
c) cos
2
A
d ) sin
2
Solution
Given A in the fourth quadrant.
8
sin A  
,
17
15
A
17
8
15
cos A 
,
17
8
tan A  
15
a) tan 2A 
2 tan A
2
1  tan A
8 

2 

15 


2
8 

1  

 15 
16

15

64
1
225
16 225
 
15 161
240

161
2
2

cos
A

sin
A
b) cos 2A
2
 15 
 8 
    
 17 
 17 
225  64

289
161

289
2
A
c) cos A  2 cos
1
2
15
2A
 2 cos
1
17
2
Since A is in the 4th
32
2 A
quadrant
2 cos

2 17
o
o
A
32
16
270

A

360
cos  

2
34
17
o A
o
135   180
2
4

A
4
17  cos  
2
17
2
A
A
d) sin A  2 sin
cos
2
2
8
A 4 
  2sin  

17
2
17 
A
8
17
sin  

2
17
8
17

17
Example 6
Find the exact value of
1o
2 tan 67
2
a)
o
1
1  tan 2 67
2
45o
135o
o

1

 tan 2  67


2


= tan 135o
= - tan 45o
= -1
 45 
b) sin 22.5  sin 

 2 
o
o
A
cos A  1  2sin
2
A
1  cos A
sin

2
2
2
Since 22.5o is in the 1st quadrant
A
sin

2
1  cos A
2
REMEMBER?????!!!!!
A
from cos A  1  2sin
2
A
1

cos
A
sin  
2
2
2
A
from cos A  2cos
1
2
A
1

cos
A
cos  
2
2
2
Let A = 45o
sin
22.5o
o

1  cos 45
2

2
1
2
2

2 2
4

2
2
2
Example 7
Prove the identity
sin(x  y )
 tan x  tan y
cos x cos y
Solution
sin(x  y ) sin x cos y  cos x sin y

cos x cos y
cos x cos y
sin x cos y
cos x sin y


cos x cos y cos x cos y
sin x sin y


 tan x  tan y
cos x cos y
Example 8
Prove the identity
tan   cot   2cosec 2
Solution
sin  cos 

tan   cot  
cos  sin 
sin   cos 

cos  sin 
2
1


sin  cos  2
2

2sin  cos 
2
2

sin 2
2
 2cos ec2
Example 9
Show that






tan   A   tan   A   2sec 2A
4

4

Solution






tan   A   tan   A 
4

4



tan  tan A tan  tan A
4
4




1  tan tan A 1  tan tan A
4
4
1  tan A 1  tan A


1  tan A 1  tan A
1  tan A   1  tan A 


2
1  tan A
2
2
1  2 tan A  tan A  1  2 tan A  tan A

2
1  tan A
2
2  2 tan A
2

2
2
1  tan A
cos A

2
2
cos A  sin A
2
2(1  tan A)

2

cos A
2
1  tan A
2
2
cos
A
2


2sec A
2
2
2
cos
A
cos
A

sin
A

2
sin A
2
1
2

 2sec 2A
cos A
2
2
cos 2A
Exercise:
a) sin 4A  4  sin A cos A  cos A sin A 
3
3
b) sin 3A  3sin A  4sin A
3
sin( A  B)  sin A cos B  cos A sin B
cos(A  B)  cos A cos B + sin A sin B
tan A  tan B
tan(A  B) 
1 + tan A tan B