(a) To use the formulae sin (A B), cos (A B) and tan (A B). (b) To derive and use the double angle formulae (c) To derive and use the half angle formulae (d) Find the value of an angle without using table or calculator Compound Angles Formulae sin( A B) sin A cos B cos A sin B cos(A B) cos A cos B + sin A sin B tan A tan B tan(A B) 1 + tan A tan B If we substitute B with A into the compound angle formulae, we have sin(A + A) sin A cos A cos A sin A 2sin A cos A cos(A + A) cos A cos A sin A sin A 2 2 cos A sin A tan A tan A tan(A + A) 1 tan A tan A 2 tan A 2 1 tan A Thus, Double Angle Formulae sin 2A 2sin A cos A 2 2 cos A sin A cos 2A 2cos 2 A 1 1 2sin 2 A tan 2A 2 tan A 2 1 tan A or or sin 2 x cos2 x 1 By substituting A with A in the double 2 angle formulae. Half- Angle Formulae A A sin A 2 sin cos 2 2 A A 2 cos A cos sin 2 2 2 A 2 tan 2 tan A 2 A 1 tan 2 or A 2cos 1 2 or A 1 2sin 2 2 2 A from cos A 1 2sin 2 A 1 cos A sin 2 2 2 A from cos A 2cos 1 2 A 1 cos A cos 2 2 2 Example 1 3 5 If sin A and cos B , A and B are acute 5 13 angles, find without using calculators, the value of a) sin (A+B) b) cos (A-B) c) tan (A+B) Solution 5 A 3 13 12 B 4 Given 3 sin A 5 4 cos A 5 3 tan A 4 5 5 cos B 13 12 sin B 13 12 tan B 5 a) sin (A+B) sin A cos B cos A sin B 3 5 4 12 5 13 5 13 15 48 65 63 65 b) cos (A-B) cos AcosB sin AsinB 4 5 3 12 5 13 5 13 20 36 65 56 65 c) tan (A+B) tan A tan B 1 tan A tan B 3 12 4 5 3 12 1 4 5 15 48 20 9 1 5 63 5 20 4 63 16 sin( A B) sin A cos B cos A sin B Example 2 Simplify: a) sin 4x cos x – cos 4x sin x Solution a) sin 4x cos x – cos 4x sin x = sin (4x – x) = sin 3x tan 2x tan x b) 1 tan 2x tan x = tan (2x –x) = tan x tan A tan B tan( A B ) 1 tan A tan B cos( A B) cos A cos B sin A sin B Example 3 Find the values of the followings without using calculator: a) cos 170o cos 70o – sin 170o sin 70o = cos ( 170o + 70o) = cos 240o = - cos 60o 1 2 240o -ve 60o b) tan107o tan 47o 1 tan107o tan 47o 2 o tan 60 o o tan(107 47 ) =3 3 2 2 2 Example 4 Find the exact value: a) sin 15o = sin (600 - 450 ) = sin 600 cos 450- cos 60o sin 45o 3 2 1 2 2 2 2 2 6 4 2 b) tan tan 3 4 12 tan tan 3 4 1 tan tan 3 4 3 1 1 3 3 1 1 3 1 3 1 3 2 3 Example 5 8 Given that sin A , 17 where A in the fourth quadrant, find without using calculator: a) tan 2A b) cos 2A A c) cos 2 A d ) sin 2 Solution Given A in the fourth quadrant. 8 sin A , 17 15 A 17 8 15 cos A , 17 8 tan A 15 a) tan 2A 2 tan A 2 1 tan A 8 2 15 2 8 1 15 16 15 64 1 225 16 225 15 161 240 161 2 2 cos A sin A b) cos 2A 2 15 8 17 17 225 64 289 161 289 2 A c) cos A 2 cos 1 2 15 2A 2 cos 1 17 2 Since A is in the 4th 32 2 A quadrant 2 cos 2 17 o o A 32 16 270 A 360 cos 2 34 17 o A o 135 180 2 4 A 4 17 cos 2 17 2 A A d) sin A 2 sin cos 2 2 8 A 4 2sin 17 2 17 A 8 17 sin 2 17 8 17 17 Example 6 Find the exact value of 1o 2 tan 67 2 a) o 1 1 tan 2 67 2 45o 135o o 1 tan 2 67 2 = tan 135o = - tan 45o = -1 45 b) sin 22.5 sin 2 o o A cos A 1 2sin 2 A 1 cos A sin 2 2 2 Since 22.5o is in the 1st quadrant A sin 2 1 cos A 2 REMEMBER?????!!!!! A from cos A 1 2sin 2 A 1 cos A sin 2 2 2 A from cos A 2cos 1 2 A 1 cos A cos 2 2 2 Let A = 45o sin 22.5o o 1 cos 45 2 2 1 2 2 2 2 4 2 2 2 Example 7 Prove the identity sin(x y ) tan x tan y cos x cos y Solution sin(x y ) sin x cos y cos x sin y cos x cos y cos x cos y sin x cos y cos x sin y cos x cos y cos x cos y sin x sin y tan x tan y cos x cos y Example 8 Prove the identity tan cot 2cosec 2 Solution sin cos tan cot cos sin sin cos cos sin 2 1 sin cos 2 2 2sin cos 2 2 sin 2 2 2cos ec2 Example 9 Show that tan A tan A 2sec 2A 4 4 Solution tan A tan A 4 4 tan tan A tan tan A 4 4 1 tan tan A 1 tan tan A 4 4 1 tan A 1 tan A 1 tan A 1 tan A 1 tan A 1 tan A 2 1 tan A 2 2 1 2 tan A tan A 1 2 tan A tan A 2 1 tan A 2 2 2 tan A 2 2 2 1 tan A cos A 2 2 cos A sin A 2 2(1 tan A) 2 cos A 2 1 tan A 2 2 cos A 2 2sec A 2 2 2 cos A cos A sin A 2 sin A 2 1 2 2sec 2A cos A 2 2 cos 2A Exercise: a) sin 4A 4 sin A cos A cos A sin A 3 3 b) sin 3A 3sin A 4sin A 3 sin( A B) sin A cos B cos A sin B cos(A B) cos A cos B + sin A sin B tan A tan B tan(A B) 1 + tan A tan B