TOSHKENT MOLIYA INSTITUTI
“OLIY VA AMALIY MATEMATIKA”
KAFEDRASI
MATEMATIKA
07
MA’RUZA
ARIFMETIK VEKTOR FAZO.
CHIZIQLI FAZO
PhD. Sotvoldiyev Akmaljon Ibroximovich
REJA:
1
Arifmetik vektorlar va ular ustida chiziqli amallar.
2
Skalyar ko‘paytma,
orasidagi burchak.
3
Chiziqli fazo. Chiziqli fazoning o‘lchovi va bazisi.
4
Ortogonal vektorlar sistemasi. Shmidt formulasi.
5
Vektor va aralash ko‘paytmalar.
uzunlik
va
ikki
vektor
Asosiy adabiyotlar ro‘yhati
1. Xashimov A.R., Sotvoldiyev A.I., Xujaniyozova G.S., Xolbozorov Q.X. Iqtisodchilar uchun
matematika (1-modul). Darslik. T.: “Nihol-print” OK. 2022. 272 b.
2. Татарникова О.В., Швед Е.В., Шершнев В.Г. Высшая математика для экономистов. Учебник.
M.: Кнорус. 2021. 630 с.
3. Татарникова О.В. Высшая математика для экономистов. Практикум. M.: Кнорус. 2020. 317 с.
4. Бабаджанов Ш.Ш., Наимов А.Н., Хашимов А.Р. Математика для экономистов. Учебник. T.:
“Иқтисод-молия”. 2019. 1232 c.
5. Бабаджанов Ш.Ш. Математика для экономистов. Учебное пособие. T.: “Иқтисод-молия”.
2018. 748 c.
6. Xashimov A.R., Xujaniyozova G.S. Iqtisodchilar uchun matematika (mustaqil ta’lim bo‘yicha
praktikum). T.: “Iqtisod-moliya”. 2019. 400 b.
7. Xashimov A.R., Babadjanov Sh.Sh., Xujaniyozova G.S. Iqtisodchilar uchun matematika. Darslik.
T.: “Iqtisod-moliya”. 2019. 572 b.
8. Черняк А.А. и др. Математика для экономистов на базе Mathcad. СПб.: БХВ-Петербург.
2014. 496 с.
9. Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах: Учебное пособие для вузов. Т. 1,
2, 3. СПб.: Политехника. 2003. 477 с.
Ta’rif. n ta sonning tartiblangan tizimiga n oʻlchovli vektor
deyiladi.
Vektorlarni lotin alifbosining bosh harflari bilan A, B, …,
X, Y, … koʻrinishida belgilanadi:
 x1 
x 
X = 2
  
 
 xn 
yoki

a = (a1 , a2 , ..., an )
n oʻlchovli vektorlar ustida qoʻshish va songa koʻpaytirish
amallari xuddi matritsalardagi kabi aniqlanadi.
 x1   y1 
x  y 

X + Y=  2  +  2 =
    
   
 xn   yn 
 2
 5
; Y
=
X =
 3
 
 −4 
M.
 −1
5
 
6
 
7
 x1 + y1 
x + y 
2
 2
  


+
x
y
n
 n
 2   −1
 5 5

X +Y
=  + =
 3 6
   
 −4   7 
va
 x1 
x 
 2
λ X λ=
=
 
 
 xn 
X=
+Y ? =
5X ?
1
10 
 ;
9
 
3
 2
 5

5 X=  =
 3
 
 −4 
 10 
 25 


 15 


−
20


 λ x1 
λx 
 2
  


x
λ
 n
Vektorlar ustida chiziqli amallar quyidagi xossalarga ega:
1o.
X +Y =Y + X
5o.
1⋅ X =
X
2o.
X + (Y + Z ) = ( X + Y ) + Z
6o.
(α + β ) X =α X + β X
3o. X + Θ = X
4o.
X + (− X ) =Θ
7o. α ( X + Y ) = α X + α Y
8o. α ( β X ) = (αβ ) X
Bu yerda Θ = (0 0 … 0)T; X, Y, Z − n oʻlchovli vektorlar;
α va β − ixtiyoriy sonlar.
Ta’rif. Barcha n oʻlchovli vektorlar toʻplami yuqorida
kiritilgan chiziqli amallar bilan birgalikda n oʻlchovli arifmetik
vektor fazo deyiladi.
 Agar vektorlarning komponentlari haqiqiy sonlardan iborat
boʻlsa, bu arifmetik vektor fazoga haqiqiy arifmetik vektor
fazo deyiladi.
 Agar vektorlarning komponentlari kompleks sonlardan
iborat boʻlsa, bu arifmetik vektor fazoga kompleks
arifmetik vektor fazo deyiladi.

n
haqiqiy arifmetik
vektor fazo

n
haqiqiy arifmetik
vektor fazo
Ta’rif. Ikkita bir xil oʻlchovli
 x1 
x 
2
=
X =
va Y

 
 xn 
 y1 
y 
 2
  
 
 yn 
vektorlarning skalyar koʻpaytmasi deb, shu vektorlar mos
koordinatalari koʻpaytmalarining yig‘indisiga teng songa
aytiladi.
( X ,Y ) = X ⋅ Y = Y ⋅ X
T
T
( X , Y )= x1 y1 + x2 y2 + ... + xn yn
M.
 2
 5
; Y
=
X =
 3
 
 −4 
 −1
5
 
6
 
7
( X ,Y ) = ?
 −1
5
( X , Y ) = X T ⋅ Y = ( 2 5 3 −4 ) ⋅   =
6
 
7
=2 ⋅ (−1) + 5 ⋅ 5 + 3 ⋅ 6 + (−4) ⋅ 7 =− 2 + 25 + 18 − 28 =13
Vektorlarning skalyar ko‘paytmasi quyidagi xossalarga
ega:
1o. ( X , X ) ≥ 0
2o.
( X , X ) =⇔
0
X=
Θ
4o. ( X ,Y + Z=) ( X ,Y ) + ( X , Z )
5o.
(λ X , Y ) = λ ( X , Y )
3o. ( X ,Y ) = (Y , X )
Bu yerda Θ = (0 0 … 0)T; X, Y, Z − n oʻlchovli vektorlar;
λ − ixtiyoriy sonlar.
Ta’rif. Vektor komponentlari kvadratlari yig‘indisining
kvadrat ildiziga teng boʻlgan
X = ( X , X )= x12 + x22 + ... + xn2
songa n oʻlchovli X vektor uzunligi (moduli, normasi)
deyiladi.
Vektorlarning uzunligi quyidagi xossalarga ega:
1o.
X ≥0
2o. λ X= λ ⋅ X
3o.
X +Y ≤ X + Y
(uchburchak tengsizligi)
Teorema. n arifmetik fazodan olingan ixtiyoriy X va Y
vektorlar uchun
( X ,Y ) ≤ X ⋅ Y
n
yoki
∑ xi yi ≤
=i 1
n
2
x
∑i⋅
n
2
y
∑ i
=i 1 =i 1
Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi o‘rinli.
Ta’rif. Ikkita n oʻlchovli noldan farqli X va Y vektorlar
n
orasidagi burchak
( X ,Y )
=
cos ϕ =
X ⋅Y
formula bilan aniqlanadi.
∑x y
i =1
n
2
x
∑i⋅
i
i
n
2
y
∑ i
=i 1 =i 1
, ϕ ∈ [0;π ]
M.
X=
(−2 4 − 6)T
va
Y =(−2 − 1 3)T
vektorlar orasidagi burchakni toping.
cos ϕ
(−2) ⋅ (−2) + 4 ⋅ (−1) + (−6) ⋅ 3
=
(−2) 2 + 42 + (−6) 2 ⋅ (−2) 2 + (−1) 2 + 32
4 − 4 − 18
18
18
9
=
=
−
=
− =
−
28
14
4 + 16 + 36 ⋅ 4 + 1 + 9
56 ⋅ 14
 9
ϕ arccos  − 
=
 14 
Ta’rif. Agar elementlari ixtiyoriy tabiatli boʻlgan L toʻplam
berilgan va bu to‘plam elementlari orasida qoʻshish va songa
koʻpaytirish amallari kiritilgan, ya’ni
1) ixtiyoriy x∈L va y∈L elementlar juftiga x va y
elementlarning yig‘indisi deb ataluvchi yagona z=x+y∈L
element mos qoʻyilgan;
2) x∈L element va λ∈K (K − haqiqiy yoki kompleks sonlar
toʻplami) songa x vektorning λ songa koʻpaytmasi deb
ataluvchi yagona z=λx∈L element mos qoʻyilgan boʻlib,
aniqlangan bu qoʻshish va songa koʻpaytirish amallari quyidаgi
8 ta aksiomani bajarsa, u holda L toʻplаm chiziqli (yoki vektor)
fazo dеyilаdi.
Aksiomalar:
1o. x + y = y + x
x
5o. 1 ⋅ x =
2o. ( x + y ) + z =x + ( y + z )
6o. (α + β )x =α x + β x
x
3o. x + θ =
7o. α ( x + y ) = α x + α y
4o. x + (− x) =θ
8o. α ( β x) = (αβ ) x
Ta’rif. n oʻlchovli L chiziqli fаzoda har qanday n ta chiziqli
erkli vektorlar sistemasi bu fazoning bazisi deyiladi.
Odatda bazis vektorlar sistemasi e1, e2, …, en kabi belgilanadi.
Ta’rif.
x= µ1e1 + µ2e2 + ... + µnen
tenglik x∈L elementning {e1, e2, …, en} bazis vektorlari
bo‘yicha yoyilmasi deyiladi.
Izoh: Agar vektorlar sistemasi chiziqli bog‘liq bo‘lsa, u
holda sistemadagi ixtiyoriy vektorni boshqalari orqali ifodalash
mumkin.
Ta’rif. n o‘lchovli A1 va A2 vektorlarning skalyar
ko‘paytmasi nolga teng bo‘lsa, u holda bu vektorlar o‘zaro
ortogonal vektorlar deyiladi.
 “Ortogonal” iborasi real fazo vektorlari uchun
“perpendikulyar” iborasi bilan almashtirilishi mumkin.
M.
A1 = (−1 2 0 3)T va A2 = (4 2 −5 0)T vektorlar ortogonal.
Chunki,
( A1 , A2 ) =−1 ⋅ 4 + 2 ⋅ 2 + 0 ⋅ (−5) + 3 ⋅ 0 =0
 Agar n o‘lchovli vektorlardan tarkib topgan vektorlar
sistemasi berilgan bo‘lib, sistema vektorlarining har qanday
ikki jufti o‘zaro ortogonal bo‘lsa, u holda bu sistemaga
ortogonal vektorlar sistemasi deyiladi.
M.
A1 = (3 2 1)T, A2 = (2 −3 0)T va A3 = (−3 −2 13)T
vektorlar sistemasi ortogonaldir. Chunki,
( A1 , A2 ) = 0;
( A1 , A3 ) = 0;
( A2 , A3 ) = 0
Izoh: Har qanday nolmas vektorlardan iborat ortogonal
vektorlar sistemasi chiziqli erkli sistemadir.
n o‘lchovli k ta A1, A2, …, Ak vektorlardan iborat chiziqli
erkli sistema berilgan bo‘lsin.
A1, A2, …, Ak vektorlar sistemasi ustida ortogonal vektorlar
sistemasini qurish mumkin, ya’ni A1, A2, …, Ak chiziqli erkli
sistemani mos ravishda B1, B2, …, Bk ortogonal sistema bilan
almashtirish mumkin.
Bunday almashtirish Shmidt formulalari yordamida
amalga oshiriladi.
Shmidt formulalari
B1 = A1
t −1 ( B , A )
i
t
Bt =
At − ∑
i =1 ( Bi , Bi )
⋅ Bi (t ∈ 2, 3, ... , k )
 A1, A2, …, Ak chiziqli erkli vektorlar sistemasi ustida
ortogonal B1, B2, …, Bk vektorlar sistemasini qurish usuli
A1, A2, …, Ak vektorlar sistemasini ortogonallash jarayoni
deyiladi.
M.
A1 = (1 1 1)T, A2 = (0 1 1)T va A3 = (0 0 1)T vektorlar
sistemasi ustida ortogonal sistema quring.
Berilgan vektorlar sistemasi chiziqli erkli sistemadir, chunki
r(A) = 3, m = 3. Demak, ortogonallash jarayonini qo‘llab,
berilgan sistemani B1, B2, B3 ortogonal sistema bilan
almashtirish mumkin.
B1 = A1
B1 = (1 1 1)T ,
T
( B1 , A2 )
2
 2 1 1
T
T
=
−
⋅
=
B=
A
−
B
(0
1
1)
(1
1
1)
2
2
1
−
 ,
( B1 , B1 )
3
 3 3 3
T
T
(B , A )
(B , A )
1
1 3  2 1 1 
1 1
B3 = A3 − 1 3 B1 − 2 3 B2 = (0 0 1)T − ⋅ (1 1 1)T − ⋅ ⋅  −
=
0
−
 

( B1 , B1 )
( B2 , B2 )
3
3 2  3 3 3 
2 2
Tekshirish:
T
1
1
2 1 1
 2 1 1
 2
( B1 , B2 ) =(1 1 1) ⋅  −
1
1
1
=
⋅
−
+
⋅
+
⋅
=
−
+ + =0,



3
3
3 3 3
 3 3 3
 3
T
1 1
1
1 1

 1
( B1 , B3 ) = (1 1 1) ⋅  0 −
 = 1 ⋅ 0 + 1 ⋅  −  + 1 ⋅ = 0 − + = 0,
2 2
2
2 2

 2
T
1 1
2
1  1 1 1
1 1
 2 1 1 
( B2 , B3 ) =−
0
0
0
0
⋅
−
=
−
⋅
+
⋅
−
+
⋅
=
−
+ =

 



2 2
3
3  2 3 2
6 6
 3 3 3 
Vektor va aralash ko‘paytmalar
Ta’rif.
𝒂𝒂 va 𝒃𝒃 vektorlarning vektor koʻpaytmasi deb, bu vektorlar
tekisligiga perpendikulyar bo‘lgan 𝒄𝒄 vektorga (𝒄𝒄 = [𝒂𝒂 × 𝒃𝒃]) aytiladi
va u quyidagi xossalarga ega boʻladi:
1) 𝒄𝒄 vektor uzunligi: |𝒄𝒄| = |𝒂𝒂| ⋅ |𝒃𝒃| ⋅ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 tenglik bilan
aniqlanadi va son jihatidan 𝒂𝒂 va 𝒃𝒃 vektorlarga qurilgan
parallelogrammning yuziga teng boʻladi (bu yerda α – 𝒂𝒂 va 𝒃𝒃
vektorlar orasidagi burchak);
2) 𝒄𝒄 vektor uchidan qaraganda 𝒂𝒂 va 𝒃𝒃 vektorlar orasidagi α
burchak soat strelkasiga qarama-qarshi yoʻnalishda aniqlanadi.

b = (b1 , b2 , b3 )

a = (a1 , a2 , a3 )
va
vektorlarning vektor koʻpaytmasi
yordamida quyidagicha aniqlanadi:
 
i
j

 
c = [a × b ] = a1 a2
b1 b2

k
 a2
a3 = i
b2
b3
3-tartibli
determinant
a3  a1 a3  a1 a2
−j
+k
b3
b1 b3
b1 b2
Vektor koʻpaytma quyidagi xossalarga ega:
10.
 
 
[a × b ] =
−[b × a ]
20.

 
 

α [a × b ] = [α a × b ] = [a × α b ]
30.
 
 
 
a ⊥ b ⇒ [a × b ] = a ⋅ b
40.
  
 
 
[a × (b + c )] = [a × b ] + [a × c ]


va
=
a (1, 5, − 2)
b = (−2, 4, 7)
vektorlarning vektor ko‘paytmasini toping.
M.
 
[a × b=
]

j

k
−2 4
7

i
1

 



5 −2= 35i + 4k + 4 j − (−10k − 8i + 7 j=
)

c (43, − 3, 45)
Demak,=



= 43i − 3 j + 45k
Ta’rif. Ikkita 𝒂𝒂 va 𝒃𝒃 vektorlarning vektor koʻpaytmani
uchinchi 𝒄𝒄 vektorga skalyar koʻpaytirish 𝒂𝒂 , 𝒃𝒃 va 𝒄𝒄
vektorlarning aralash koʻpaytmasi deb ataladi va (𝒂𝒂, 𝒃𝒃, 𝒄𝒄) kabi
belgilanadi.
a1 a2 a3
  
  
a , b , c = [a × b ] ⋅ c = b1 b2 b3
c1 c2 c3
(
) (
)
Aralash koʻpaytma quyidagi xossalarga ega:
10.
20.
  
  
  
(=
a , b , c ) (b
=
, c , a ) (c , a , b ) vektorlarning oʻrinlari doiraviy almashtirilgan.
  
  
  
  
  
  
(a , b , c ) =
−(b , a , c ); (a , b , c ) =
−(c , b , a ); (a , b , c ) =
−( a , c , b )
qo‘shni vektorlarning oʻrinlari almashtirilgan.
M.


a = (−3, 0, 5); =
b (6, − 4, 1)
va

c = (−3, 2, 5)
vektorlarning aralash ko‘paytmasini toping.
(
−3 0 5
  
[a × b ] ⋅ c = 6 −4 1 = 60 + 60 + 0 − (60 − 6 + 0) =
−3 2 5
)
= 120 − 54 = 66
Skalyar, vektor va aralash ko‘paytmalarining
geometrik ma’nolari
Vektorning proeksiyasi


Pra (b ) = b cos ϕ va

Prb (a )

= a cos ϕ


M.
a = (1, 1, 2) va =
b (6, − 4, 1)


vektorlar berilgan bo‘lsa, Pra (b ) va Prb (a ) larni toping.

 


 a ⋅ b
a ⋅b 6 − 4 + 2
4
Pra (b ) =
b cos ϕ =
b⋅   =
=
=
,

a
1+1+ 4
6
a⋅b


 
a ⋅b
6−4+2
4


 a ⋅b
Prb (a ) =
a cos ϕ =
a⋅   =
=
 =
36 + 16 + 1
53
a⋅b
b
 Ikki vektorlardan yasalgan parallelogrammning yuzi:
 
S = a ⋅ b ⋅ sin ϕ
yoki
 
S= [a × b ]


M.
=
a (0, − 1, 2) va b = (5, 4, 2)
vektorlardan qurilgan parallelogramm yuzini toping.

a=

b=
0−4+4
0 + 1 + 4= 5,
=
cos ϕ = 0,
5 ⋅ 45
25 + 16 + 4= 45,
ϕ = 900
 
i
j


[a × b ] =
0 −1
5 4
 
S = a ⋅ b ⋅ sin ϕ =
= 5 ⋅ 45 ⋅ sin 900 =15

k
 





2 =
−2i + 0 + 10 j − (−5k + 8i + 0) =
−10i + 10 j + 5k
2
 
2
2
(−10, 10, 5)
S = [a × b ] = (−10) + 10 + 52 = 225 =15
 Uchta vektorning aralash ko‘paytmasi (noldan farqli bo‘lsa)
bu vektorlardan yasalgan parallelepiped hajmiga teng:
V par =
(
  
[a × b ] ⋅ c
)



M.
=
a (1, − 2, 0);=
b (3, 4, − 1) va c = (4, 5, 7)
vektorlardan qurilgan parallelepiped hajmini toping.
V par =
(
  
[a × b ] ⋅ c =
)
1 −2 0
3 4 −1 = 28 + 0 + 8 − (0 − 5 − 42) = 36 − (−47) = 83
4 5 7
Izoh: Agar aralash ko‘paytma nolga teng bo‘lsa, u holda bu
vektorlar komplanar vektorlar (bir tekislikda yotuvchi) bo‘ladi.
E’TIBORINGIZ
UCHUN RAXMAT