Uploaded by Badr Alhakim

The Proff in Static

advertisement
Ch2: Force Vectors
Chapter Objectives:
2.1 Scalars and Vectors.
2.3 Vector Addition Of Forces.
2.4 Addition Of System Of Coplanar.
2.5 Cartesian Vectors.
2.6 Addition Of Cartesian Vectors.
2.7 Position Vectors.
2.8 Force Vector directed along a line .
2.9 Dot Product.
2.1 Scalars and Vectors :* Scalar is any positive or negative quantity(Only Magnitude). ‫مقدار فقط‬
* Vector is any physical quantity that the described by magnitude and
direction .
‫مقدار و اجتاه معا‬
2.3 Vector Addition Of Forces :-
**Finding the Resultant Force ?
1) If the vectors are collinear ; the resultant is formed by an algebraic or scalar
addition ; Otherwise we Subtract
‫اذا اكن املتجهنينيني بنينينفا الاجتنينياة و حملرينينيد ا نينيةل‬
)1(
‫هلنينيم يكنينيون املقنينيدار ومعهنينيم و الاجتنينياة نفسنينيه يبق ني‬
‫امنينيا اذا اكع عكنينيا الاجتنينياة يكنينيون املقنينيدار بطنينير‬
.‫ال ني م منينين الك نينيم و الاجتنينياة منينيع املتجهنينيه ال نينير‬
‫‪2) If we have tow Forces or more and we have to find the Resultant by‬‬
‫‪(Graphical Method ) .‬‬
‫اخدنا القوة الثانية رسمناها على المستوى الديكارتي و من‬
‫رأس القوة الثانية عملنا مستوى ديكارتي جديد و رسمنا‬
‫عليه القوة االولى كما هي تماما ‪ ،‬و وصلنا بين ذيل القوة‬
‫الثانية و رأس القوة االولى ( التوصيلة هاي هي المحصلة )‬
‫و رح نوجدها ك مقدا و اتجاه من قوانين‬
‫اخدنا القوة االولى رسمناها على المستوى الديكارتي‬
‫و من رأس القوة االولى عملنا مستوى ديكارتي‬
‫جديد و رسمنا عليه القوة الثانية كما هي تماما ‪ ،‬و‬
‫وصلنا بين ذيل القوة االولى و رأس القوة الثانية‬
‫( التوصيلة هاي هي المحصلة ) و رح نوجدها ك‬
‫مقدار و اتجاه من قوانين ساين و كوساين‬
‫مالحظات هممة‬
‫مجموع زوااي املثلث ‪180‬‬
‫‪90 10‬‬
‫‪15‬‬
‫‪15‬‬
‫بالتبادل‬
‫(‪)2‬‬
‫توضيح الية الحل‬
‫اخدنا القوة ‪ 100‬عينناها على المستوى الديكارتي بزاوية ‪ 15‬و من رأس هذة القوة عملنا مستوى جديد و رسمنا عليه القوة ‪ 150‬بزاوية ‪ 10‬و‬
‫وصلنا بين ذيل ال ‪ 100‬و رأس ‪ ( 150‬التوصيلة هاي هي المحصلة)‬
‫و باستخدام القوانين السابقة ل كوساين و ساين نجد المقدار و االتجاة ‪ ،‬يعني بقانون الكوساين نجد المقدار و المقصود ب (ثيتا) هي الزاوية‬
‫المحصورة بين الضلعين (القوتين) و من قانون ساين نجد االتجاة بنختار ضلع معلوم و زاوية مقابله معلومة و الضلع المقابل ل زاوية االتجاة‬
‫الزاوية يلي بنوجدها مش هي نفسها االتجاة النه الزم ناخد االتجاة من محور السينات الموجب لعند المحصلة‬
‫‪** Finding the Components Of a Forces :‬‬‫( حتليل اىل مركبة س ينية و صادية عىل حماور ام تعلمنا سابقا ) ‪o Rectangular Component‬‬
‫(للمقدار) ‪Magnitude‬‬
‫‪( Direction‬االتجاة )‬
‫(ملا يطلب حنلل ل مركبات و لكن عىل حماور غم منتظمة) ‪o Non-rectangular Components :-‬‬
‫مثلث ‪2‬‬
‫مثلث ‪1‬‬
‫مثلث ‪1‬‬
‫من رأس المحصلة نرسم خطوط موازية للمحاور المعطاة ( الغير منتظمة ) ‪،‬‬
‫سيتكون لدينا مثلثين نختار احدهما لتطبيق قوانين ساين و كوساين عليهم ‪ ،‬و كل‬
‫خط موازي لمحور سيكون عليه نفس القوة التي على المحور ‪....‬‬
‫(‪)3‬‬
F2.1) Determine the magnitude of the resultant force acting on the screw eye and its
direction measured clockwise from the x-axis :
F2.2) Two forces act on the hook ; Determine the magnitude of the
resultant force :
)4(
F 2.4) Resolve the 30-Ib force into components along the u and v axis ; and Determine the magnitude
of each of these components
F 2.6) If force F is to have a component along the u-axis of Fu=6 KN ; Determine the magnitude of F
and the magnitude of its components Fv along the V-axis
)5(
‫الرش العام للسكشن هاد‪ :‬هو انه ر يعطيين ا رت من‬
‫قوة و ر حنللهم لكهم ل مركبة س ينية و صادية عشان‬
‫نوجد حم ةل املركبتني ك مقدار و اجتاة‬
‫& )‪(2D‬بعدين و طبعا ر نش ت ل هاد احليك عىل‬
‫)‪(3D‬ثالث ابعاد‬
‫‪2.4 Addition Of System of Coplanar Forces :‬‬‫‪Cartesian Vector Notation :-‬‬
‫‪2D‬‬
‫معنا زاوية حنلل علهيا‬
‫معنا مثلث حنلل عليه بدل زاوية‬
‫حتذير هام ‪ :‬ملا بدع حنسب الاجتاة للمح ةل‬
‫بناخد الزاوية من حمور س املوجب لعند خط‬
‫ا ةل‬
‫‪Magnitude‬‬
‫‪2D‬‬
‫حتليل لك قوة عىل ا اور‬
‫‪Direction‬‬
‫حللنا لك قوة عىل ا اور ‪ ،‬و تبنا لك قوة عىل شلك اكرتزياين ‪ ،‬و‬
‫لجياد ا ةل بنجمع السينات من لك قوة و بنجمع ال ادات أيضا‬
‫وت بح دلينا ا ةل ك اكرتزياين بنطلع مهنا مقدار و اجتاة ‪...‬‬
‫(‪)6‬‬
2.9 ) Determine the Magnitude of the Resultant Force acting on the corbel
and its direction measured counterclockwise from the X-axis
)7(
2 . 10 ) If the resultant force acting on the bracket is to be 750 N directed a long the positive x-axis
, determine the magnitude of (F) and its direction
2.12 ) Determine the magnitude of the resultant force and its direction measured
counterclockwise from the positive X-axis
)8(
‫‪2.5 Cartesian Vectors :-‬‬
‫حنلل لك قوة عىل ثالث حماور مث تابة ا ةل ام‬
‫تعلمنا سابقا بنجمع أش ياء لك حمور حلاهل و بنوجد‬
‫ا ةل ك اكرتزياين ‪.....‬‬
‫بعد ما حنلل لك قوة علو ا اور الثالث ر‬
‫تعمل القوة مع لك حمور زاوية ‪ ،‬ر تكون زاوية‬
‫ا ور مع القوة يه الاجتاة لهذا ا ور نفسه ‪...‬‬
‫ملا يطلب ا ةل مكقدار و اجتاة لزم احلل لك‬
‫قوة عىل ا اور و ام تعلمنا سابقا اما بكون‬
‫التحليل عن طريق زاوية او مثلث ‪ ،‬و هون ر‬
‫نتعمل طريقة جديدة للتحليل بدون وجود مثلث‬
‫او زاوية ‪ ،‬ييل يه تابة القوة ك اكرتزياين و‬
‫ذكل عن طريق متجه الوحدة‬
‫بقدر من خالل هاي القوانني انه اطلع مقدر‬
‫القوة عىل حمور معني طبعا اذا اكنت معي الزاوية‬
‫للمحور نفسه ‪ ،‬و اذا اكنت زاوية مفقودة‬
‫بس تخدم القانون الفوق لس تخراهجا‬
‫اجتاة ا ةل‬
‫مع لك حمور‬
‫‪Unit Vector‬‬
‫لجياد متجه الوحدة يف حال‬
‫قدرع حنلل عىل ا اور الثالث‬
‫لجياد الاجتاة بني القوة و لك حمور‬
‫لكتابة القوة عىل شلك اكرتزياين نرضب مقدار القوة املعط‬
‫ابلسؤال يف متجه الوحدة و مهنا بنقدر حن ل عىل املقدار للقوة‬
‫عن طريق اجلذر‬
‫(‪)9‬‬
‫طبعا بلك الس ئةل هون حللنا لك‬
‫القوى عىل ا اور الثالث و‬
‫اوجدع حم ةل لك حمور و تبنا‬
‫ا ةل ك اكرتزياين ‪...‬‬
‫(‪)10‬‬
2.6 Addition of Cartesian Vectors
‫الاجتاهات‬
)11(
2. 15 Express the force as a Cartesian Vector
2. 16 Express a force as a Cartesian Vector
)12(
.
.
2.18 Determine the Resultant force acting on the hook
)13(
‫‪2.7 Position Vectors:‬‬‫ر نس تعم مبتجه املوقع حلىت نقدر نطلع متجه‬
‫الوحدة و حملكتب القوة ك اكرتزياين ولكن بدون‬
‫حتليل لعدم وجود زوااي حنلل علهيا أو ملا يكون‬
‫معلوم عنا نقاط بنعمل هيك ‪ ،‬ف متجه املوقع‬
‫ر يكون مسافة بني نقطني معلومتني‬
‫طلعنا متجه الوحدة من خالل متجه‬
‫املوقع ‪ ،‬ر نس تفيد منه يف السكشن‬
‫التايل حلىت نطلع القوة ك اكرتزياين‬
‫متجه الوحدة ‪ :‬املوقع ك متجه‬
‫مقسوما عىل املوقع ك مقدار‬
‫(‪)14‬‬
‫‪2.8 Force Vector Directed Along a Line :-‬‬
‫ر عخد متجه الوحدة ييل‬
‫تعلمنا نطلعه من السشكن‬
‫السابق و نرضبه مبقدار القوة‬
‫املعط و هيك بكون طلعت‬
‫القوة ك اكرتزياين‬
‫املطلوب القوة ك متجه ‪ ،‬و املعط مقدار القوة ‪ ،‬ف احلل انه اجيب‬
‫متجه الوحدة عن طريق املوقع و ارضب الوحدة ابملقدار‬
‫و ابلنس بة لالحداثيات ‪ ،‬لزم احلل اخلط الزرق (‪ )4‬عىل‬
‫حمور واي املوجب و حمور س السالب بزاوية ‪ 30‬مع واي‬
‫هيك بكون طلعت احداثيات س و ص بضل ز و ييل يه‬
‫نفا ارنفاع املثلث ال م من تشابه املثلثات)‬
‫املطلوب حم ةل القوى عند ‪، A‬‬
‫جاي عند ‪ A‬قوة من ‪ B‬و قوة ‪C‬‬
‫من و لك قوة فهيم بطلعها عن‬
‫طريق رضب الوحدة مبقدار القوة‬
‫‪ ..‬نفسها ‪ ،‬مث مجع جري ابلهناية‬
‫(‪)15‬‬
F2.19 ) Express the position vector r(AB) in cartesian vector form ; then determine
its magnitude and coordinate direction angles :
F 2.20 ) Determine the length of the rod and the position
vector directed from A to B ; What is the angle θ ?
)16(
F 2.21 ) Express the force as a Cartesian vector :
F 2.24 ) Determine the resultant force at A :
)17(
‫توضيح بس يط‬
‫حول الاحداثيات‬
‫لس تخراج احداثيات النقاط ننظر للك اخلطوط ا يطة لهذة النقطة لي خط موازي و بناءا عليه حندد ‪ ،‬و اذ مل يكن خط موازي لحد ا اور س يكون الاحدايث صفر ‪،‬‬
‫و مثال اذا اكنت النقطة عىل ارتفاع او عزةل لالسفل بكون الها احدايث(ز) ‪ ،‬و اذا اكنت مقدمة لالمام او راجعة للخلف بكون الها احدايث (س) ‪ ،‬و اذا اكنت للميني او‬
‫لليسار يعين الها احدايث (ص)‬
‫و امه يش ‪ :‬اذا اكنت النقطة عىل احد ا اورابلزبط موجودة ف الاحداثيات للمحورين الاخرين صفر ‪ ،‬مبعىن انه اذا اكنت نقطة ما تقع عىل حمور (س) ف احداثياهتا عىل‬
‫ص & ز (صفر)‬
‫تدريب عىل الاحداثيات‬
‫و لزم ننت ه النقطة عا اور مجيعها ابجلهة املوج ة او السالب ‪ ،‬لهنا ر تأثر عىل احلل ‪...‬‬
‫(‪)18‬‬
‫(الرضب النقطي ) ‪2.9 Dot Product :-‬‬
‫اهداف الرضب النقطي‪ ،‬اإجياد الزاوية بني متجهني‬
‫عن طريق القانون املبارش‪ ،‬و الاخر هو اإجياد‬
‫القوى املوازية و العمودية‪..‬‬
‫مالحظات للعلم‬
‫اإلجابة دائما كمية قياسية‬
‫( مقدار فقط )‬
‫ضرب المحاور المختلفة دائما ‪0‬‬
‫ضرب المحاور المتشابه دائما =‪1‬‬
‫هاد احليك ملا يعطيين لك‬
‫قوة ك متجه بنرضهبم‬
‫رضب عادي و ا اور‬
‫املتلفة صفر و املتاش به ‪1‬‬
‫اليجاد الزاوية‬
‫املطلوب هو الزاوية بني القوة و الاسطوانة‬
‫؛ ف املفروض ا تب لك وحدة فهيم ك متجه‬
‫موقع مثال حلىت اقدر اس تخدم قانون الرضب‬
‫النقطي ييل هو رضب متجهني ببعض و‬
‫بطبق عىل القانون‬
‫‪A) The angle between two vectors or intersecting‬‬
‫‪AB‬‬
‫نفا فكرة السؤال السابق‬
‫(‪)19‬‬
‫اإجياد املوازي و العمودي خلط معني‬
‫دامئًا البداية نفسهـا و بنمكل لعند املطلوب و ق ل لك يش‬
‫طبعا لزم نوجد متجه الوحدة لنه ر حنتاجه ب ض النظر‬
‫عن املطلوب ؛ البداية بتكون مع املوازي ك مقدار و هو‬
‫عبارة عن القوة ك متجه مرضوبه ب متجه الوحدة ؛ اثن ًيا‬
‫املوازي ك متجه هو عبارة عن عجت اخلطوة السابقة (‬
‫مرضواب مبتجه الوحدة ؛ اثلثًا العمودي ك‬
‫املوازي ك مقدار )‬
‫ً‬
‫مقدار هو قانون اجلذر و بنحتاج فيه القوة ك مقدار و‬
‫املوازي ك مقدار؛ راب ًعا العمودي ك متجه هو القوة ك متجه‬
‫عقص املوازي ك متجه‬
‫‪B) The components of a vector Parallel & Perpendicular to a line‬‬
‫اإجياد متجه الوحدة‬
‫اخلطوة الوىل ‪ :‬املوازي ك مقدار =‬
‫القوة ك مقدار رضب متجه الوحدة‬
‫اخلطوة الثانية ‪ :‬املوازي ك متجه = املوازي ك‬
‫مقدار(الناجت السابق) رضب متجه الوحدة‬
‫اذا طلب ‪ Cartesian Parallel‬نتوقف لعند خطوة ‪3‬‬
‫اخلطوة الثالثة ‪ :‬العمودي ك مقدار‪...‬‬
‫اذا طلب ‪ Magnitude Perpendicular‬نتوقف لعند‬
‫خطوة ‪4‬‬
‫خطوة ‪4‬‬
‫اخلطوة الرابعة ‪ :‬العمودي ك متجه‬
‫طلب الموازي ك مقدار‬
‫لذلك نطبق الخطوة‬
‫األولى القوة ك متجه‬
‫ضرب متجه الوحدة‬
‫طلب العمودي ك مقدار ف ر نطبق‬
‫اخلطوة الاوىل و الثالثة حسب احلاجة ؛‬
‫ر نطلع املوازي ك مقدار مث العمودي ك‬
‫مقدار‬
‫طلعنا متجه الوحدة ل‪ DE .‬ول‪EB .‬‬
‫و‬
‫رضبنا متجه‪ EB .‬ابلقوة املوجودة عليه‬
‫‪ 600‬هيك صارت معنا القوة ك مقدار‬
‫بعدها بطبق قانون العمودي ك مقدار‬
‫(اجلذر)‬
‫(‪)20‬‬
‫‪F2.29) Find the magnitude of the projected‬‬
‫‪component of the force along the pipe :‬‬
‫املطلوب هو املوازي ك مقدار ل‪ AO.‬ف املفروض اطبق‬
‫اول خطوة ؛ لزم حن ل عىل القوة ك متجه (وذكل عن‬
‫طريق رضهبا ك مقدار ب متجه الوحدة ) مث رضب هذا‬
‫الناجت ب متجه الوحدة ليعطي املوازي ك مقدار‬
‫‪F2.25 ) Determine the angle θ between the‬‬
‫‪force and the line AO :‬‬
‫مطلوب زاوية بني خطني ف املفروض نوجد املتجهني ييل عىل‬
‫اخلطني ؛ واحد مهنم معط القوة ييل عليه ك متجه و الاخر احنا‬
‫بنطلع متجه املوقع مثال ( لنه الارسع) و بطبق قانون الزاوية‬
‫‪F2.25 ) Determine the angle θ between the force and the line AO :‬‬
‫(‪)21‬‬
F2,27 ) Determine the angle θ between the force and the line OA:
F2.28) Determine the projected component of the force along the line OA :
)22(
F2.30) Determine the components of the force acting parallel and perpendicular
to the axis of the pole:
)23(
‫‪Chapter four‬‬
‫‪Force System resultant‬‬
‫‪Chapter Objectives :‬‬
‫‪4.1 Moment of a force – scalar formulation .‬‬
‫‪4.2 Cross Product.‬‬
‫‪4.3 Moment of a Force Vector Formulation .‬‬
‫‪4.4 Principle Of Moments .‬‬
‫‪4.5 Moment of a force about a specified axis .‬‬
‫‪4.6 Moment of a couple .‬‬
‫‪4.7 Simplification of a force and Couple system.‬‬
‫‪4.8 Further simplification of a force and couple.‬‬
‫‪4.9 Reduction of a simple Distributed Loading.‬‬
‫العزم‬
‫‪Section One : Moment of a force scalar formulation .‬‬
‫‪The Moment is a (vector):‬‬
‫اذا اكن اجتاه التفاف السهم مع عقارب الساعة‬
‫يكون العزم سالب (‬
‫)‬
‫)اتجاه(‪Direction‬‬
‫اما اذا اكن اجتاه الالتفاف عكس عقارب‬
‫الساعة يكون العزم موجب (‬
‫)مقدار(‪Magnitude‬‬
‫)‪.‬‬
‫بنحدد الاجتاه عن طريقة انه انخد‬
‫)و‬
‫سهم القوة كام هو (‬
‫نلفه حول النقطة املطلوب العزم لها‬
‫‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫بنلف السهم حول النقطة (مع ‪,‬سالب)‬
‫‪.‬‬
‫مقدار العزم هو انجت‬
‫رضب القوة يف املسافة‬
‫العمودية عىل النقطة‬
‫املراد العزم عندها ‪.‬‬
‫بنلف السهم حول النقطة (عكس ‪ ,‬موجب)‬
‫مطلوب العزم حول النقطة‬
‫‪ :‬هو القوة يف املسافة‬
‫العمودية عىل النقطة‪ ,‬القوة‬
‫معلومة و املسافة تؤخد‬
‫معودية عىل القوة لعند‬
‫النقطة ‪....‬‬
‫(‪)35‬‬
‫‪Resultant Moment :‬‬
‫هو وجود أكرث من قوة عىل نقطة واحدة ‪ ,‬لك‬
‫قوة رح جيي مهنا عزم عىل النقطة ‪ ,‬بنحسب لك‬
‫عزم حلال كام تعلمنا سابقا ‪ ,‬مث انخذ حمصلهتم و‬
‫هو مجع جربي ( مع الانتباه ل إلشارة)‪...‬‬
‫عنا اربع قوى (‪ )50,60,20,40‬بنحسب العزم‬
‫لكل وحدة وبنجمع ‪ ,‬ولكن القوة ‪ 60‬ما في منها‬
‫عزم النها بتمر بالنقطة يعني ما في مسافة عمودية‬
‫‪ ,‬و عشان احصل المسافة بين مثال قوة ال ‪ 40‬و‬
‫النقطة رح بنحلل مسافة ال ‪ 3‬ع زاوية ‪ 30‬الى‬
‫افقية ‪3‬كوساين‪ 30‬و عمودية ‪3‬ساين‪, 30‬بتصير‬
‫المسافة هي ‪3+4‬كوساين ال ‪( 30‬المسافة االفقية)‬
‫كام الحظنا سابقا ان لك القوى املعطاه ال حتتاج اىل‬
‫حتليل ‪ ,‬ماذا لو اكنت القوة ب ميلن ( حتتاج اىل‬
‫حتليل ) ‪ ,‬نقوم بتحليل القوة اىل مركبتهيا مث نعترب لك‬
‫مركبة و كهنا قوة حلالها و بناخد العزم للك وحدة‬
‫حلال و ابالخر بناخد حمصلهتم ‪...‬‬
‫‪Section Four : Principle of Moment‬‬
‫القوة ‪ 5‬حتللت‬
‫بزاوية ‪ 45‬و مكلنا‬
‫طريقة ‪1‬‬
‫طريقة ‪2‬‬
‫هباي الطريقة حسبنا القوة ل حتت عىل نفس الامتداد‪ ,‬و‬
‫حللنا الحظنا انه يف وحدة من املركبتني العزم الها صفر‬
‫الهنا مرت ابلنقطة يعين ما يف مسافة معودية اما الخرى‬
‫لها عزم و هو مقدارها ابملسافة العمودية‬
‫هباي الطريقة حللنا القوة ماكهنا الصيل‬
‫املعطى ابلسؤال ‪ ,‬و اخدان مسافة‬
‫معودية من لك قوة لعند النقطة و مكلنا‬
‫‪....‬‬
‫هاي الطريقة اسهل النه بنلغي احد القوى من خلل التحليل ‪,‬‬
‫و بنلحظ اجلواب الهنايئ نفسه ب الك الطريقتني‪...‬‬
‫(‪)36‬‬
‫عنا تلت قوى من لك قوة بيجي عزم اول قوة‬
‫‪ 1500‬رضب املسافة العمودية مهنا عىل‬
‫النقطة ايل يه ‪ 10‬كوساين‪( 75‬حتليل ال‬
‫‪ ,)10‬اتين قوة ‪ 200‬رضب املسافة العمودية‬
‫(حتليل اخلط ‪ 30‬املايل بزاوية ‪, 2.5+ )75‬‬
‫اتلت قوة ‪ 175‬رضب املسافة ايل يه حتليل‬
‫خط ‪ ,1.75+ 2.5+ 30‬و بعدها بنجمعهم مع‬
‫الانتباه ل اإشارة العزم للك قوة ‪ ,‬وهون‬
‫اشارهتم لكهم سالب النه لو لفينا سهم القوة‬
‫حول النقطة ( ‪ ) A‬رح نكون مع عقارب‬
‫الساعة‪..‬‬
‫‪F4.2) Determine the Moment of the force about point O:‬‬
‫نفس فكرة السؤال السابق ك حتليل‬
‫‪Ib=N‬‬
‫‪F4.3) Determine the moment of the force about point O:‬‬
‫املسافة العمودية من القوة عىل‬
‫النقطة يه ‪+4‬حتليل خط ال ‪3‬‬
‫بزاوية ‪ 1-45‬ايل يه املسافة الزايدة‬
‫‪=3072.8 Ib‬‬
‫(‪)37‬‬
‫‪F4.4) Determine the moment of the force about point O ; neglect the thickness of the member:‬‬
‫ابلنس بة للمسافة بني املركبة الصادية للقوة ‪ 50‬و النقطة‬
‫يه عبارة عن ‪ + 100‬حتليل خط ال ‪ 200‬بزاوية‬
‫(كوساين)‪, 100+ 45‬اما املركبة الس ينية ف املسافة‬
‫يه فقط حتليل خط ال ‪( 200‬ساين)‬
‫‪F4.5) Determine the moment of the force about point O:‬‬
‫عشان نعرف حنلل ال ‪ 600‬زبطنا الزاوية‬
‫اخدان ‪ 30‬ابلتبادل مع ييل حتت صارت‬
‫ال ‪ 600‬بتتحلل عىل زاوية ‪ 50‬و بناخد‬
‫املسافة العمودية للك مركبة ‪...‬‬
‫‪F4.8) Determine the resultant moment produced by the forces about point O:‬‬
‫(‪)38‬‬
‫ملحظة ‪ :‬ك قانون اخر للرضب املتجهيي ‪,,‬يف‬
‫حال اكنت معروفة الزاوية بني املتجهني‬
‫‪Section Two : Cross Product‬‬
‫‪, C is a Vector‬‬
‫‪Magnitude‬‬
‫‪Direction‬‬
‫توضيح الية الرضب للك حمور‬
‫‪:‬‬
‫‪For element k:‬‬
‫‪For element i:‬‬
‫‪For element j:‬‬
‫الزم حنط املتجهات‬
‫ابلرتتيب الول فوق و‬
‫التاين حتت‬
‫مثل اذا اردان املتجه اخلاص مبحور( ‪) X‬‬
‫بنشطب خط ( ‪ ) i‬و لك ايل حتته‬
‫وبنرضب عىل شلك ‪X‬‬
‫و ابلنس بة للرضب عىل شلك ‪ X‬بكون ابلرتتيب الايت رضوري ‪,‬‬
‫اعىل يسار رضب اسفل ميني انقص اعىل ميني رضب اسفل يسار‬
‫و هيك بنعمل للك حمور و بنجمعهم ابالخر لكهم‬
‫مع كتابة ( ‪) I ; j ; k‬‬
‫‪and‬‬
‫‪; While‬‬
‫‪As mag‬‬
‫‪Direction‬‬
‫بدان نوجد الرضب للك حمور ف‬
‫بنغطي عىل معود احملور نفسه و بنطبق‬
‫اعىل يسار رضب اسفل ميني انقص‬
‫اعىل ميني رضب اسفل يسار‬
‫(‪)39‬‬
‫السكشن هاد عبارة عن طريقة اتنية الجياد العزم‬
‫( املومنت) ‪ ,‬الفرق بيهنا و بني القانون ييل‬
‫اخدان ببداية الشابرت‬
‫‪Section Three : Moment of a force – Vector formulation‬‬
‫انه هناك معي مسافة (معودية) بني النقطة‬
‫املطلوب الها املومنت مع القوة ييل بتصنع‬
‫املومنت ‪ ,‬ولكن هون ما يف هاي‬
‫املسافة(العمودية) ‪ ,‬املسافة ييل بتكون معي‬
‫هون يه بني القوة و النقطة ولكن مش معودية‬
‫لهيك بس تخدم الرضب املتجهيي ييل تعلمناه‬
‫ابلصفحة ييل قبل ‪...‬‬
‫بنجيب ك متجة عن طريق‬
‫الفرق بني نقطتني ( احداثيات)‬
‫طبعا نفس القانون ولكن بصيغة‬
‫اتنية ‪,‬بس تخدمه اذا معي الزاوية‬
‫و القوة ك و املسافة ( ييل‬
‫مش معودية) ك مقادير ‪.‬‬
‫اضاءة ‪ :‬حول املسافة (ييل مش معودية)‬
‫رضوري اعرف انه مش مقيدة ب مسافة معينة ‪,‬‬
‫ممكن لك طالب ايخد مسافة غري عن غريه‪ ,‬ولكن‬
‫املهم انه املسافة نكون بني النقطة ييل بدي الها‬
‫املومنت و نقطة عىل القوة او امتدادها ‪...‬‬
‫القانون الرئييس لهاد‬
‫الشابرت ‪ ,‬و بنعمل رضب‬
‫متجهيي (كروس)‬
‫حص و برضو حص‬
‫املهم حتقق الرشط‬
‫‪Az Magnitude‬‬
‫عن طريق القوة ك اكرتزيايل ( شابرت ‪)2‬‬
‫‪Direction‬‬
‫? ‪Find the Moment about point O‬‬
‫يف أس ئةل بزيبط تنحل ابلطريقتني‬
‫النه متوفر مسافة معودية و مسافة‬
‫مش معودية زي هاد السؤال و اكيد‬
‫بيطلع معنا نفس االإجابة الهنائية ك‬
‫مقدار و اجتاه ‪ ,‬و هباي احلاةل‬
‫بنختار الطريقة ييل اسهل علينا ‪...‬‬
‫)‪(40‬‬
‫اكلعادة وجود اكرت من قوة يعين وجود‬
‫اكرت من مومنت ‪ ,‬ذلكل بوجد مومنت‬
‫لك وحدة حلال و بناخد حمصلهتم‬
‫اول خطوة اكيد احصل عىل القوة ك متجه ( شابرت ‪)2‬‬
‫بنرضب مقدار القوة ب متجه الوحدة ييل الها ‪..‬‬
‫هل عندي خيارين ل تمكةل احلل ( زي ما حكينا قبل انه ممكن اخد املسافة ييل مش معودية زي ما بدان ) و هون‬
‫عندي مسافتني بقدر احل علهيم (بنرضب القوة ييل طلعناها ك متجه ب متجه احدى املسافتني ( اختار زي ما بدك ) ‪..‬‬
‫القوة ك متجه معطاه‬
‫ضل جنيب املسافة ‪,,‬‬
‫اخرتان مسافة واصةل‬
‫بني النقطة ‪ p‬ييل‬
‫بده عندها مومنت و‬
‫نقطة ‪ A‬املوجودة‬
‫عىل القوة‬
‫)‪(41‬‬
‫املسافة يه بني النقطة ‪ A‬ييل بده عندها‬
‫مومنت مع النقطة ‪ B‬املوجودة عىل القوة‬
‫السؤال طالب احداثيات جمهوةل من نقطة موجودة‬
‫عىل املسافة الواصةل بني النقطة ييل بده املومنت‬
‫عندها و النقطة ييل عىل القوة ‪ ,,‬بنوجد املومنت‬
‫ييل جاي من القوة طبيعي و بنلحظ هون انه‬
‫كامن عندي مومنت حمسوب وجاهز هاد الزم‬
‫اخده مضن حمصةل املومنت ‪ ,, ....‬و املطلوب التاين‬
‫هو املسافة العمودية ‪ ,‬بنجيهبا من القانون الول‬
‫‪F 4.11) Determine the Moment of force F about point O ; Express the result as a Cartesian vector .‬‬
‫)‪(42‬‬
‫‪F 4.12) If F1= (100i-120j+75k) Ib and F2=(-200i+250j+100k)Ib ; Determine the resultant moment produced by these‬‬
‫‪forces about point O ; Express the result as a Cartesian Vector .‬‬
‫هباد الشابرت رح نتعمل‬
‫حنسب العزم حول خط‬
‫حمدد او حمور معني ‪ ,‬ييل‬
‫قبل كنا حنسب حول نقطة‬
‫معينة‬
‫متجه الوحدة للخط‬
‫ييل بده اهل املومنت‬
‫‪Section Five: Moment of a force about a Specified Axis‬‬
‫‪About specified line‬‬
‫‪a‬‬
‫‪About specified axis‬‬
‫‪a‬‬
‫ب‬
‫ملا يطلب عن حمور معني بنرضب ال‬
‫متجه الوحدة للمحور ييل طلبه ‪ ,‬علام ابن لك حمور‬
‫اهل متجه وحدة خاص فيه ‪ ,‬و الزم تكون بني‬
‫القوة و احملور ييل بدان عليه املومنت ‪...‬‬
‫الزم تكون بني القوة و‬
‫اخلط ييل بده عليه املومنت‬
‫يف طريقتني للحل‬
‫‪= 1i‬‬
‫‪2‬‬
‫رضبنا القوة و املسافة‬
‫والوحدة مرة وحدة‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪//‬‬
‫‪1‬‬
‫رضبنا القوة ابملسافة رضب‬
‫متجهيي= مومنت ‪ ,‬بعدها رضبنا‬
‫املومنت ابلوحدة ك متجه‬
‫‪j‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪k‬‬
‫‪z‬‬
‫‪z‬‬
‫)‪(43‬‬
Two Method
‫ ما الها مومنت‬50 ‫بالنسبة للقوة‬
‫ النها موازية اله‬Y ‫على‬
‫بنضرب القوة بالمسافة العمودية‬
)‫على المحور( اول سكشن‬
F 4.13) Determine the magnitude of the moment of the force F=(300i-200j+150k)N about the x-axis :
F 2.14) Determine the magnitude of the moment of the force F=(300i-200j+150k)N about the OA axis :
(44)
F 4.18) Determine the moment of force F about the X ; the Y; the Z axis ; Solve the problem using both a
scalar and a vector anyalsis
Section Six : Moment of a Couple
‫هو عبارة عن قوتني‬
‫متوازيتني متساويتني‬
‫يف املقدار و منعاكس تني‬
‫يف الاجتاه‬
; but the Opposite direction .
..
‫علشان حنس بلهم املومنت بنختار مقدار احدمه و بنرضبه‬
‫ابملسافة العمودية بيهنم‬
M=Fd
(45)
F
d
-F
It is simply the vector sum of all the couple moment of the system .
MR =
(r F).
‫ و‬, ‫ حلال‬Couple ‫بنحسب املومنت للك‬
‫ الجياد احملصةل‬Couple moment ‫بعدها بنجمع‬
Determine the couple moment acting on the pipe AB is directed 30 below the x-y plane:
(46)
F4.20) Determine the resultant couple moment acting on the triangular plate?
F 4.21) Determine the magnitude of F so that the resultant couple moment acting on the beam is 1.5
KN.m clockwise .
F 4.23) Determine the resultant couple moment acting on the pipe assembly.
(47)
‫‪F 4.24) Determine the couple moment acting on the pipe assembly and express the result‬‬
‫‪as a cartesian vector .‬‬
‫‪Section Seven : simplification of a force and couple system‬‬
‫علشان حنل سؤال تبس يط القوى و العزوم‬
‫املوجودة يف النظام الزم نبسط لك القوى يف قوة‬
‫وحدة معادةل هلم و نفس اليش ابلنس بة للمومنت‬
‫خطوات حل السؤال ابلتفصيل ‪:‬‬
‫أوال ‪ :‬اإجياد حمصةل جميع القوى عن طريقة التحليل و مث حمصةل حمور و حمصةل حمور‬
‫مث اإجياد مقدار القوة ابس تخدام‬
‫و الزاوية ابس تخدام‬
‫‪,‬‬
‫‪.‬‬
‫اثنيا ‪ :‬جند حمصةل املومنت عن طريق مجعهم ( مع الانتباه ل إلشارة)‪.‬‬
‫اثلثا ‪ :‬نعيد رمس الشلك وكن بدون القوى لكها و املومنت لكهم ‪ ,‬برنمس فقط القوة احملصةل ب‬
‫اجتاهها و املومنت احملصل‬
‫)‪(48‬‬
‫‪Point O‬‬
‫‪F 4.30) Replace the loading system by an equivalent resultant force and couple moment acting at point O :‬‬
‫خطة احلل ‪:‬‬
‫اول يش كتبنا القوة الوىل ك اكرتزيايل و يه موازية حملور ‪, -Y‬‬
‫و كتابة القوة الثانية ك اكرتزياين عن طريق رضب مقدارها ب متجه‬
‫الوحدة الها ‪ ,‬مث اإجياد حمصةل القوى مقدار و اجتاه ‪.‬‬
‫اما ابلنس بة للمومنت ف بنوجد املومنت ييل بيجي من لك قوة و‬
‫عنا كامن أساسا مومنت موازي حملور ‪ -X‬و بناخد حمصلهتم ‪.‬‬
‫)‪(49‬‬
F 4.26) Replace the loading system by an equivalent resultant force and couple moment
acting at point A
F 4.29) Replace the loading by an equivalent resultant force and couple moment acting at
point O
(50)
‫‪Section Eight : Further simplification of a force and couple‬‬
‫يف هاد السكشن رح نتعمل كيف حنسب‬
‫املسافة العمودية بني النقطة والقوة (‬
‫احملصةل ) ييل تعلمنا نطلعها ابلسكشن ييل‬
‫قبل ‪ ,‬و رح نطبق نفس خطوات‬
‫السكشن السابق ولكن مع خطوة زايدة و‬
‫يه ‪:‬‬
‫يف هاد السكشن يف ‪ 3‬حاالت للس ئةل ايل مه فوق ‪ ,‬ما بيجي غريمه ابالمتحان و رح نوحض لك حاةل ب سؤال‬
‫‪:‬‬
‫خطة حل احلاةل الوىل ‪:‬‬
‫بنعمل نفس خطوات السكشن السابق يعين بنطلع حمصةل القوى و حمصةل املومنت ‪ ,‬و همم نعرف انه املومنت قبل يساوي املومنت‬
‫بعد ‪ ,‬و بعد ما نبسط السؤال برنمس رمسة جديدة فهيا القوة احملصةل و املومنت احملصل و بصري هديف انه ابسط اكرت مبعىن انه‬
‫اش يل املومنت و اوجد مسافة بني القوة و النقطة ييل بنوجد عندها املومنت قبل النه أساسا املومنت هو القوة ابملسافة ‪,‬و الية‬
‫استبدال املومنت ب مسافة بتعمتد عىل فكرة انه اوجد املومنت بعد ما رمسنا الرمسة املبسطة و نساويه ابملومنت قبل التبس يط‬
‫)‪(51‬‬
‫‪BC‬‬
‫كالعادة بنوجد القوة المحصلة و المومنت المحصل و بنعين‬
‫القوة المحصلة على رسمة جديدة لحالها و بنحللها و بناخدلها‬
‫المومنت عن نفس النقطة الي اخدنا عندها من قبل و ورح‬
‫يكون عنا مجهولين الي هم المسافة بين مركبات القوة والنقطة‬
‫الي عندها المومنت ( هو أساسا المطلوب) بنوجدهم من فكرة‬
‫المومنت قبل يساوي المومنت بعد‬
‫بنوجد القوة المحصلة و المومنت المحصل بنعين القوة المحصلة على‬
‫رسمة جديدة و بنوجد المسافات (االفقية و العمودية) الي هم بعد‬
‫المحصلة عن المحاور بينها وبين النقطة يلي اوجدنا عندها المومنت‬
‫سابقا عن طريق بنساوي المومنت قبل بالمومنت بعد‬
‫)‪(52‬‬
F 4.32) Replace the loading system by an equivalent resultant force and specify where the resultant’s line of action
intersects the member measured from A.
F4.36) Replace the loading shown by an equivalent single resultant force and specify the x and y
coordinates of its line of action .
(53)
‫‪Section nine : Reduction of a simple Distributed loading .‬‬
‫يف هاد السكشن رح نتعمل كيف‬
‫نبسط قوة موزعة عىل مسافة و خنلهيا‬
‫قوة حمددة لنفس املسافة‬
‫مقدار القوة‬
‫املسافة ( الاجتاه)‬
‫)‪(54‬‬
‫هو عبارة عن اشاكل يمت حساب مقدار‬
‫القوة و موقعها دون احلاجة اىل تاكمل‬
‫اكملس تطيل و املثلث و هدول حفظ طبعا‬
‫ملا يكون قوة موزعة عىل مس تطيل بنس تخدم القانون طول‬
‫رضب عرض وبتكون هاي مقدار القوة ‪ ,‬و ابلنس بة للموقع‬
‫ف هو يف منتصف املس تطيل ‪.‬‬
‫قوة موزعة عىل مثلث ‪ ,‬بنحسب املقدار للقوة عن طريق‬
‫و يكون موقعها عىل بعد ‪ L/3‬من‬
‫القانون‬
‫الارتفاع العىل للمثلث ( اجلهة العالية) و ‪ 2L/3‬من‬
‫الارتفاع القل للمثلث ‪.‬‬
‫االرتفاع االعلى‬
‫االرتفاع األقل‬
‫نجزء الشكل هذا الى مستطيل و مثلث ‪ ,‬و‬
‫نطبق قانون المثال لحال‪ ,‬و قانون المستطيل‬
‫لحال‬
‫)‪(55‬‬
‫‪F 4.155) Replace the distributed loading by an equivalent resultant force and specify‬‬
‫‪where its line of action intersects a vertical line along member BC ; measured from C .‬‬
‫عنا مستطيلين بنعمل كل مستطيل‬
‫لحاله بنطلع القوة و مكانها طبعا في‬
‫منتصف المستطيل (سكشن ‪)9‬‬
‫بعدها بنكمل على سكشن‪ 8‬بناخد‬
‫محصلة القوى على كل محور ‪ ,‬و‬
‫بنرسم رسمة جديدة عليها القوة‬
‫المحصلة باالتجاه يلي طلعناه و‬
‫بنحللها لحتى نوجد بعدها عن الممبر‬
‫االفقي و العمودي ‪...‬و على وجه‬
‫الخصوص في السؤال هاد طالب‬
‫نحلل القوة المحصلة و نوجد البعد‬
‫عن نقطة ‪ C‬لذلك محللة ال ‪12‬‬
‫الى ‪ 9‬و ‪ 8‬ال ‪ 9‬بتمر بالنقطة‬
‫المطلوبة ما في بعد يعني صفى‬
‫بنطلع بعد ال ‪ 8‬عنها‬
‫‪= 48+180=228‬‬
‫)‪(56‬‬
1.5
F4.37) Determine the resultant force and specify where it acts on
6(1.5)
the beam measured from A .
3+0.75
3(1.5)
0.75
9(3)
F 4.40) Determine the resultant force and specify where it acts on the beam measured
from A
F 4.42) Determine the resultant force and specify where it acts on the beam measured
from A.
(57)
‫ملخص شابرت ‪4‬‬
‫الجياد املومنت‬
‫اذا طلب‬
‫مومنت عن‬
‫حمور معني‬
‫‪3D‬‬
‫‪2D‬‬
‫الزم تكون معودية بني‬
‫القوة و النقطة املطلوبة‬
‫بني القوة و النقطة املطلوبة‬
‫عندها املومنت‬
‫اذا اكنت القوة مائةل و ما يف مسافة معودية عىل النقطة الزم حنللها علشان نقدر انخد مسافة بني مركباهتا و النقطة املطلوب‬
‫عندها املومنت ‪ ,‬علشان اوجد املومنت بطبق احد القوانني يف العىل ‪ ,‬اما لو مائةل و يف مسافة معودية ما يف داعي حنلل‬
‫اذا اكن عندي اكرث من قوة يعين يف اكرث من مومنت النه لك قوة بيجي مهنا مومنت عدا التايل ‪:‬‬
‫*اذا اكنت القوة بمتر ابلنقطة املطلوب عندها املومنت ف هون املومنت زيرو‬
‫* او اذا اكنت القوة موازية للمحور ييل مطلوب حوهل املومنت هيك القوة هاي مومنهتا زيرو‬
‫سؤال تبس يط القوى و املومنت‬
‫)‪(58‬‬
Chapter Objective :
✓
✓
✓
✓
✓
✓
5.1 Conditions for Rigid-body Equilibrium.
5.2 Free-body Diagrams 2D.
5.3 Equations of Equilibrium 2D.
5.4 Two-Force Member .
5.5 Free-body Diagrams 3D.
5.6 Equations of Equilibrium3D.
The resultant force equal zero
We said the body in Equilibrium when
And the couple moment equal zero
‫الشابرت قامئ عىل فكرة انه اجلسم ييل عندي‬
‫ طيب شو يعين اتزان ؟‬, ‫مزتن‬
‫هو انه حمصةل القوى ييل عىل اجلسم‬
‫ و كامن حمصةل املومنت‬, ‫بتساوي صفر‬
.‫بتساوي صفر‬
On this sketch it is necessary to show all the forces and couple moment that the surroundings exert
on the body so that these effects can be accounted for when the equations of equilibrium are applied .
Supported Reaction
‫ هو رمس مجليع القوى و املومنت ييل بتأثر عىل اجلسم ييل عندي و ابس تخدام معادالت الاتزان بنقدر نطلع ال‬: ‫خمطط اجلسم احلر‬
Drawing free body diagram important to solving supported reactions by
equilibrium equations. ‫و نركز هون النه ما بنقدر نطبق معادالت الاتزان بدون رمس اخملطط‬
(59)
‫الية الرمس انه برنمس لك القوى وذكل حسب نوع الس بورتد ييل عندي ‪ ,‬و رح نوحض هاد احليك بعد ما نتعمل أنواع الس بورتد يف اجلدول التال‪:‬‬
‫)‪(60‬‬
‫طبعا ابلنس بة لرمس القوى ح افرض اجتاهات من عندي و بمكل حل السؤال و اذا طلع الاجتاه ل أي قوة سالب مثال ف هذا يعين انه الاجتاه الصحيح عكس الاجتاه‬
‫ييل فرضناه و اذا طلع موجب يعين الفرض ص و فامي ييل امثةل تدريب عىل كيفية حتديد القوى املؤثرة عىل اجلسم بناءا عىل نوع الس بورتد ( ييل ابجلدول)‪.‬‬
‫‪EX-Draw Free Body Diagram in the bodies below :‬‬
‫هباد اجلسم عند ‪ B‬نوع الس بورتد هو ‪Cable‬‬
‫يعين عندي قوة شد ‪ , TB‬وعند ‪A‬‬
‫الس بورتد هو ‪ PIN‬ذلكل جمهولني ال مه‬
‫‪ AX‬و‪. AY‬‬
‫‪ PIN‬يعين ‪ AX‬و ‪AY‬‬
‫عند ‪ A‬يف‬
‫عند ‪ B‬يف ‪ Roller‬يعين‬
‫عند ‪ B‬يف ‪ Roller‬يعين ‪ , By‬و عند‬
‫‪ A‬يف ‪( Member fixed‬رقم ‪ 9‬من الجدول ) يعين‬
‫‪ MA‬و ‪ Ax‬مش ‪ Ay‬النه لو بنالحظ انه‬
‫بنقدر حنرك العمود لفوق يعين عىل حمور‪.‬‬
‫عند ‪ C‬يف ‪ Pin‬يعين ‪ Cx‬و ‪ , Cy‬و‬
‫عند ‪ B‬يف ‪ Roller‬يعين ‪ , By‬و‬
‫ابلنس بة للقوة ‪ 400‬فقط مت حتليلها‬
‫‪BX‬‬
‫‪,‬و‬
‫‪.‬‬
‫عند ‪ B‬يف ‪ Pin‬يعين ‪ Bx‬و ‪, By‬‬
‫و عند ‪ A‬يف ‪ Roller‬يعين ‪Ay.‬‬
‫مالحظات عىل السؤال السابق ‪:‬‬
‫‪ )1‬جيع المثةل اكنت‪ 2D‬مبعىن انه شغيل لكه عىل حمورين فقط ‪,‬ذلكل ( عندي ‪ 3‬جماهيل بلك فرع فهيم)‪.‬‬
‫‪)2‬و هدول املاهيل بنوجدمه من الثالث معادالت لالتزان ييل رح نتعرف علهيم ‪:‬‬
‫اول معادةل ‪ :‬حمصةل القوى عىل حمور ‪0 = X‬‬
‫مالحظة ‪ :‬اذا اكن عندي اكرت من ‪3‬‬
‫جماهيل رح نتعمل كيف حنهل يف شابرت ‪6‬‬
‫عن طريق تقس مي الشلك ‪...‬‬
‫اثين معادةل حمصةل القوى عىل حمور ‪0 = Y‬‬
‫اثلث معادةل حمصةل املومنت = ‪0‬‬
‫خطة احلل ‪:‬‬
‫‪ )1‬حندد القوى( املاهيل) ييل من الس بورتد و‬
‫اكيد حسب النوع‬
‫‪Draw F.B.D and Find the unknown :‬‬
‫‪ )2‬بنبلش ب أي معادةل من ال‪ 3‬ييل فوق و‬
‫يفضل اختيار املعادةل ييل بطلع مهنا جمهول‬
‫دايركت‪..‬‬
‫‪ )3‬و ابلنس بة ملعادةل املومنت خبتار نقطة اطبق‬
‫علهيا حساب املومنت ( و يفضل اختيار النقطة‬
‫ييل مبر فهيا اكرب قدر من القوى ‪ ,‬علشان الغي‬
‫املومنت اهلم )‬
‫)‪(61‬‬
(62)
(63)
‫السكشن قائم على فكرة انه اذا اثر على ‪ Member‬قوتان لهما‬
‫نفس المقدار و اتجاه معاكس ولهما نفس خط امتداد عمل القوة‬
‫فنبدل القوتين بقوة واحدة ‪( ,‬بشرط مايكون في أي قوة خارجية‬
‫على ال ‪ Member‬الواصل بينهم‪.‬‬
‫القوة ‪ FB‬معلنا الها ازاحة لعند النقطة ‪ D‬و حللناها عندها ‪ ,‬وبس تفيد من‬
‫حتليلها عند ‪ D‬انه رح متر وحدة من مركباهتا ابلنقطة ‪ A‬ف ما بيكون الها‬
‫مومنت ملا انخده عند ‪ . A‬اما لو حللنا عند ‪ B‬رح يكون يف مومنت‬
‫للمركبتني ‪ ,‬و طبعا بزيبط احلل سواء حللنا عند‪ D‬او‪ ,B‬بس اكيد داميا‬
‫بنختار الاسهل ‪.‬‬
‫)‪(64‬‬
(65)
Q: Determine the Reaction at the supports?
(66)
‫طبعا هاد السكشن‬
‫نفس مبدأ ال ‪2D‬‬
‫من انحية انه الزم‬
‫نرمس ‪ F.B.D‬حلىت‬
‫نقدر نطلع املاهيل‬
‫و رح نتعمل كيف‬
‫نرمس القوى و ذكل‬
‫أيضا من خالل‬
‫معرفتنا ل أنواع‬
‫الس بورتد يف‬
‫اجلدول التال‪:‬‬
‫)‪(67‬‬
‫عند ‪ C‬في ‪ Cable‬يعني قوة شد ‪ , Tc‬و‬
‫عند ‪ B‬في ‪ Roller‬يعني ‪ , Bz‬و عند ‪A‬‬
‫‪.‬‬
‫في ‪ Socket‬يعني ‪ Ay‬و ‪ Ax‬و ‪Az‬‬
‫و الان بعد ما عرفنا أنواع الس بورتد و كيف حندد القوى بناءا عىل النوع ‪ ,‬رح نتعمل كيف نطلع املاهيل ييل عنا‪ ,,‬و ذكل عن طريق انه الزم‬
‫احلل أي قوة بدها حتليل النه الزم اكتب لك قوة ك اكرتزياين فيكتور و بعد ذكل بنطبق قوانني الاتزان ال ‪6‬‬
‫حمصةل املومنت عىل لك احملاور تساوي صفر‬
‫وملا نطبق معادالت املومنت بفضل انه خنتارالنقطة‬
‫ييل رح نعمل علهيا املومنت انه يكون مبر فهيا اكرب‬
‫عدد ممكن من القوى املهوةل علشان يصري‬
‫املومنت اهلم صفر النه مروا بنقطة املومنت‬
‫حمصةل القوى عىل الثالث‬
‫حماور تساوي صفر‬
‫)‪(68‬‬
‫اول اشي كتبنا القوة ك‬
‫كارتيزيان ( شابتر ‪)2‬‬
‫والزم نطلع المومنت لكل قوة و ما‬
‫ننسى قوة الوزن كمان ‪ ,‬بدل ما‬
‫اضرب كل قوة بالمسافة بضرب‬
‫محصلى القوى بنفس المسافة النها‬
‫مشتركة ‪ ,‬هي رابطة بين جميع القوى‬
‫و النقطة يلي بنحسب عندها المومنت ‪O‬‬
‫)‪(69‬‬
Determine the force components acting on the ball and socket at A ; the reaction at the roller B and
the Tension on the cord CD needed for equilibrium of a quarter circular plate.
If the cable can be subjected to a maximum tension of 300 N determine the maximum force F which may
be applied to the plate ; compute the x ;y and z components of reaction at the hinge A for this loading
(70)
(71)
‫ملخص الشابرت‬
‫الشابرت اكمل قامئ عىل (الاتزان) سواء اكن السؤال‬
‫‪2D‬‬
‫او‬
‫‪3D‬‬
‫‪.‬‬
‫و الاتزان هون يعين اجلسم اثبت ما بتحرك و علشان ما يتحرك الزم حمصةل القوى عىل لك احملاور صفر و حمصةل املومنت ييل بيجي من القوى‬
‫تساوي صفر ‪.‬‬
‫علشان حنل أي سؤال هباد الشابرت سواء اكن‬
‫او‬
‫الزم ‪:‬‬
‫نرمس ‪Free Body Diagram‬‬
‫يعين حندد جيع القوى و املومنت املؤثرة عىل اجلسم و ذكل بناءا عىل نوع الس بورتد ييل ابلسؤال (الزم حنفط اجلداول السابقة )‬
‫بعد ما حددان القوى و املومنت الزم نوجد قميهم (املاهيل) و ذكل عن طريق معادالت الاتزان‬
‫‪2D‬‬
‫‪3D‬‬
‫مالحظات هممه بتساعد ابحلل ‪:‬‬
‫دامئا نبلش ب معادةل فهيا جمهول واحد اذا اكن متوفر علشان اخلص منه و اطلعه ‪.‬‬
‫و ملا ايج اطبق معادالت املومنت خبتار النقطة ييل بدي امعل عندها املومنت صفر انه يكون مير فهيا اكرت من قوة جمهوةل‬
‫اذا امكن ‪ ,‬النه كام نعمل انه اذا مرت القوة ابلنقطة ييل ابخد عندها املومنت صفر ف املومنت ييل جاي مهنا صفر بكون ‪.‬‬
‫)‪(72‬‬
‫‪Chapter Objective :‬‬
‫‪Simple Trusses .‬‬
‫‪Method of joints .‬‬
‫‪Zero Force members.‬‬
‫‪The Method of Section .‬‬
‫مش مطلوب‬
‫‪Frames and Machines.‬‬
‫‪6.1‬‬
‫‪6.2‬‬
‫‪6.3‬‬
‫‪6.4‬‬
‫‪6.5‬‬
‫‪6.6‬‬
‫‪Truss is a structure assumed to composed of slender member joined together at friction joints‬‬
‫الترس هي مجموعة من (الممبرز) بنربطهم ببعض‬
‫بواسطة ( الجوينت )‪ ,‬وكل ممبر يتمثل بقوتين اما بكونوا‬
‫شد ( ‪ ) tension‬او ضغط (‪.) Compression‬‬
‫الزم نعرف انه في وزن لل ممبر ولكن رح نهمله النه صغير ‪.‬‬
‫بالنسبة للقوة هون سواء كانت شد او ضغط بتتمثل ع‬
‫الجوينت ( المفاصل يلي بتربطهم ) و ما بتكون على‬
‫ال ممبر نفسه ‪ ,‬و رح ناخد اذا كانت على الممبر نفسه‬
‫بسكشن ‪ 6‬بكون اسمها فرام مش ترس‬
‫و الترس بنعمل على شكل مثلث مو مربع مثال او مستطيل النه امتن و اقوى‬
‫اتجاه القوتين على الممبر‬
‫داخلين ل جوا يعني‬
‫ضغط و بتكون إشارة‬
‫القوة سالبة ( ‪.) C‬‬
‫اتجاه القوتين يلي على‬
‫الممبر طالعين ل برا‬
‫بتكون شد و بتكون إشارة‬
‫القوة موجب ( ‪) T‬‬
‫لما تكون القوة ضغط ‪:‬‬
‫بقدر اكتبها سالبة ك مقدار و عالرسمة ارسمها‬
‫زي كانها شد (يعني طالعة ل برا )‬
‫او انه اكتب مقدارها موجب و عالرسمة‬
‫ارسمها ضغط (يعني داخلة ل جوا )‬
‫صار اقوى بس عملناه مثلثين‬
‫ضعيف ممكن ينكسر‬
‫و بهاد الشابتر برضو بنتعامل مع اجسام متزنه ‪ ,‬و بنستخدم معادالت‬
‫االتزان السابقة لحتى نطلع القوى ‪ ,‬و في طريقتين رئيسيتين ل نطلع القوة ‪:‬‬
‫‪Method of Sections‬‬
‫بستخدم طريقة السكشن لما يطلب القوة في‬
‫ممبر معين ‪ ,‬ما في داعي احسب لكل الترس‬
‫‪Method of joints‬‬
‫بستخدم طريقة الجوينت لما يطلب‬
‫القوى في جميع الممبر الي عندي‬
‫)‪(73‬‬
‫الترس ( الجسم ) متزن لذلك‬
‫الجوينت في حالة اتزان‬
‫اول خطوة هي انه اوجد السبورتد (شابتر‪, )5‬‬
‫بعدها بنرسم مخطط الجسم الحر لكل جوينت (‬
‫انه بحدد القوى يلي الممبر ) و ببلش من الجوينت‬
‫يلي عليها قوتين اذا وجدت و طبعا بفترض انها‬
‫قوة شد ( وضروري جدا انه ابين القوى على‬
‫الرسمة) ‪ ,‬بطبق معادالت االتزان لكل جوينت‬
‫لحال ‪ ,‬و اذا طلعت القوى موجبه معناته فرضي‬
‫صحيح (جوينت) ف بثبتها على الرسمة انها شد‬
‫(طالعة ل برا ) ‪ ,‬و اذا سالبة بخليها عالرسم شد‬
‫او بعكس بخليها موجبة و االتجاه بعمله ضغط‬
‫عالرسمة ‪ ,‬و رح نوضح باالمثلة‪..‬‬
‫‪Solution stepes :‬‬
‫اول شي طلعنا السبورتد ‪ ,‬و بعدها بنختار‬
‫عدد كافي من النقاط ( يفضل اختيار عدد‬
‫نقاط من اجل التسهيل و اكتساب الوقت‬
‫باالمتحان ) بشرط ان تكون النقاط المختارة‬
‫تجد القوى على كل ممبر عن طريق تطبيق‬
‫معادالت االتزان على كل نقطة ‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫طلعنا السبورتد‬
‫(شابتر‪)5‬‬
‫)‪(74‬‬
‫‪I‬‬
‫يعني ممبر القوة‬
‫عليه صفر‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫أي ممبر بين ‪ Pin‬و ‪Roller‬‬
‫دائما تساوي صفر‬
‫او ممكن يكون‬
‫في نقطة بتربط‬
‫بين ‪ 2‬ممبر‬
‫وقوة و تكون‬
‫القوة و واحد من‬
‫الممبر على‬
‫استقامة ف‬
‫الممبر الثاني‬
‫بكون صفر ‪,‬‬
‫‪If three members form a truss‬‬
‫‪joint for which two of the‬‬
‫‪member are collinear and‬‬
‫‪there is no external load or‬‬
‫‪reaction at that joint ; then the‬‬
‫‪third non-collinear member is‬‬
‫‪a zero force member .‬‬
‫اذا كان في قوة بتربط بين ‪ 3‬ممبر و‬
‫كان منهم ‪ 2‬ممبر على استقامة وحدة‬
‫(الزاوية بينهم ‪ )180‬و الممبر الثالث‬
‫ليس على استقامتهم و كمان ما في‬
‫أي قوة خارجية او سبورتد رياكشن‬
‫على النقطة ‪ ,‬فان الممبر الثالث ( الي‬
‫مش على استقامتهم) = صفر‬
‫‪1‬‬
‫‪If a joint has only two‬‬
‫‪non-collinear‬‬
‫‪members and there is‬‬
‫‪no external load or‬‬
‫‪support reaction at‬‬
‫‪that joint ; then those‬‬
‫‪two members are zero‬‬
‫اذا كانت النقطة تربط بين ‪ 2‬ممبر‬
‫ليسوا على استقامة واحد (الزاوية‬
‫بينهم مش ‪ )180‬ولم يكن هناك قوة‬
‫خارجية او سبورتد رياكشن على‬
‫النقطة فان ال ‪ 2‬ممبر بتكون القوة‬
‫يلي عليهم صفر كالشكل التالي‪:‬‬
‫)‪(75‬‬
‫توضيح ‪:‬‬
‫الممبر ‪ 0 = AG‬النه بين ‪ Pin‬و ‪Roller‬‬
‫‪.‬‬
‫الممبر ‪ 0 = HB‬بناءا على حالة ‪ 2‬الن ‪ AH‬و ‪ HF‬على استقامة و‬
‫مش على استقامتهم لذلك هو صفر ‪.‬‬
‫الممبر ‪ CD‬و ‪ 0 = ED‬على حالة ‪ 1‬النهم ل نفس الجوينت و مش على‬
‫استقامة و ما في قوى خاارجية‪.‬‬
‫الممبر ‪ 0 = FE‬على حالة ‪ 2‬الن ‪ CE‬و القوة ‪ p‬على استقامة و هو مش‬
‫على استقامتهم لذلك هو صفر‬
‫معلومة عالماشي‬
‫شغلة مهمه ‪:‬‬
‫قبل ما نبلش ب أي سؤال افضل اشي انه‬
‫نحدد ‪ Zero force member‬النه رح يريحنا‬
‫كتير بالحل لما نعرف انه هاد الممبر مثال‬
‫صفر (بعتبره مش موجود أساسا)‪.‬‬
‫ضروري‬
‫تتدربوا على‬
‫األمثلة في‬
‫االعلى‬
‫‪Please note that zero force‬‬
‫‪member used to increase‬‬
‫‪stability and rigidity of the‬‬
‫‪truss ; and to provide support‬‬
‫‪for various different loading‬‬
‫‪conditions.‬‬
‫)‪(76‬‬
F 6.3 Determine the force in members AE and DC ; state if the members are in tension or compression ?
(77)
(78)
(79)
‫علشان اطبق طريقة السكشن ‪:‬‬
‫اول شي الزم اوجد السبورتد‪ ,‬بعدها بعمل‬
‫قطع ‪ ,‬بشرط يقطع الممبر المطلوب فيه القوة‬
‫‪ ,‬بنختار الجزء يلي بدنا إياه من الترس و‬
‫بنرسمله مخطط الجسم الحر و بنطبق االتزان‬
‫عليه ‪ ,,‬بالنسبة ل اختيار الجزء ( يفضل‬
‫اختيار الجزء يلي فيه عدد اقل من القوى او‬
‫مثال اذا في جزء ما بيحتوي على سبورتد‬
‫بختاره هو و ما بحتاج اعمل اول خطوة اذا‬
‫اخترته ‪ ,‬و طبعا هاد الحكي اذا توفر جزء بال‬
‫سبورتد)‬
‫‪Solution steps:‬‬
‫‪1. Find support reaction if needed .‬‬
‫‪2. Make cut ( section) passing through‬‬
‫‪the required members .‬‬
‫‪3. Draw F.B.D for the appropriate part‬‬
‫‪of the truss .‬‬
‫‪4. Apply equilibrium to this part .‬‬
‫)‪(80‬‬
‫السكشن األساسي يلي بدنا إياه الي هو فوق‬
‫قطع الممبر ‪ ED‬و ‪ EB‬و ‪ , EF‬ولكن رح‬
‫يكون ‪ 3‬مجاهيل و انا عندي معادلتين اتزان‬
‫فقط بطلعوا مجهولين ف لنوجد المجهول التالت‬
‫بناخد سكشن بمر فيه احد الممبر ال ‪ 3‬ف‬
‫اخترنا انه نطلع ‪ , ED‬و بنقدر نحل بطريقة‬
‫تانية انه ناخد سكشن عاليسار و نوجد ‪ EF‬و‬
‫بضل ‪ ED‬و‪ EB‬مجهول بنحلهم من االتزان‬
‫)‪(81‬‬
O
Ay
(82)
Gy
‫‪O‬‬
‫‪Ey‬‬
‫‪Ay‬‬
‫هون الزم استخدم ال ‪2‬‬
‫سكشن علشان اطلع كل‬
‫المجاهيل ( المطلوب)‬
‫)‪(83‬‬
‫كل األسئلة يلي قبل كان عدد المجاهيل فيهم نفس عدد معادالت االتزان او اقل ف بنقدر نوجدهم بسهولة و لكن في هذا السكشن عند رسم مخطط الجسم‬
‫الحر يكون عدد المجاهيل في السؤال اكثر من عدد معادالت االتزان و الحل انه نفصل الشكل الى جزأين او ثالث أجزاء او اكثر وذلك حسب الحاجة‪.‬‬
‫و بعد ما نفصل بنرسم مخطط الجسم الحر لكل جزء على حدى و نطبق عليه معادالت االتزان ‪.‬‬
‫و طبعا قبل خطوة الفصل نتاكد انه طلعنا اكبر عدد ممكن من المجاهيل ‪.‬‬
‫الفرق بين الفرام و الترس ‪ :‬انه بالفرام القوة بتكون على الممبر نفسه اما الترس بتكون على الجوينت كما ذكرنا سابقا‬
‫)‪(84‬‬
‫بعد ما حددنا السبورتد لقينا انه في اربع مجاهيل و‬
‫ما بقدر احلهم ع معادالت االتزان النهم اكثر ‪ ,‬اول‬
‫اشي بنعمله بنطلع اكبر عدد ممكن من المجاهيل عن‬
‫طريق اخد مومنت عند نقطة بمر فيها اكبر عدد من‬
‫المجاهيل ولتكن ‪ , C‬و بعدها بنلجأ لتقسيم الشكل‬
‫فصل عند ‪B‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫عند القطع عند ‪ B‬الزم‬
‫نبين القوى الداخلية‬
‫‪Determine the horizontal and vertical of force that the pins A; B and C exert on their connecting‬‬
‫‪members .‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪(85‬‬
‫إيجاد السبورتد‬
‫‪1‬‬
‫نوجد ماا يمكن قبل الفصل ثم نفصل و نكمل إيجاد المجاهيل‬
‫‪2‬‬
‫بالنسبة ألسئلة البكرات الزم نعرف انه قوة الشد بالحبل الواحد للبكرة متساوية‬
‫)‪(86‬‬
2P P
P
2P
9P
2P
9p – 100= 0
9p = 100
100
P = 11.11111111 N
100
490.5 = 18P + 6P + 2P
490.5 = 26P
P = 18.865
(87)
+
(88)
+
The two planks are connected together by cable BC and a smooth spacer DE . Determine the
reactions at the smooth supports A and F , and also find the force developed in the cable and spacer.
+
1
(89)
2
F 6-16 Determine the horizontal and vertical components of reaction at pin C.
Cy
Cx
FAB
45
‫تحلل‬
1200
Cx
Ax
Ay
(90)
Cy
‫‪Chapter Objectives :‬‬
‫‪7.1 -- Internal loadings developed in structural members .‬‬
‫‪7.2 – Shear and Moment Equations and Diagrams.‬‬
‫‪Beams : is defined as a structural member designed primarily to support forces acting perpendicular to‬‬
‫‪the axis of the member.‬‬
‫‪Internal loading can be determined by using the method f section .‬‬
‫•‬
‫نس تخدم طريقة القطع الجياد القوى ادلاخلية كام ييل ‪:‬‬
‫القوى ادلاخلية‬
‫)‪Shear force (V‬‬
‫قوة الكسر‬
‫)‪Bending Moment (M‬‬
‫قوة العزم ( الدوران )‬
‫نرسمها من الجهتين دائما من األسفل‬
‫الى األعلى ‪ ,‬أو من يمين القطع بتكون‬
‫مع عقارب الساعة ‪ ,‬و من يسار القطع‬
‫عكس عقارب الساعة‬
‫بتكون موازية لسطح القطع بحيث يكون ‪:‬‬
‫الجزء اليمين من القطع الشير لألعلى ‪.‬‬
‫)‪Normal force (N‬‬
‫القوة العمودية‬
‫بتكون دائما عمودية على‬
‫السطح ( خارجة منه) ‪.‬‬
‫الجزء اليسار من القطع الشير لألسفل‪.‬‬
‫طريقة الحل بالتفصيل ‪:‬‬
‫‪ -1‬نرسم مخطط الجسم الحر ‪F.B.D‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ -2‬نجد ‪ Supported Reaction‬عن طريق معادالت االتزان ‪.‬‬
‫‪ -3‬نعمل القطع بحيث يقطع النقطة التي يريدها السؤال ‪ ,‬و بختار جزء واحد من القطع اما يمين او يسار و بنرسمله القوى القوى الداخلية‬
‫( كما في األعلى ) و بطبق معادالت االتزان على الجزء يلي اخترته ‪.‬‬
‫*‬
‫مالحظة ‪ :‬ممكن ما احتاج اعمل أول خطوتين يعني في أسئلة ما بحتاج اطلع ‪ Supported reaction‬ألنه ممكن اختار جزء بعد‬
‫القطع ما يكون فيه ‪ Support‬ف الزم ننتبه و نختار الجزء المناسب ( األسهل) ‪.‬‬
‫)‪(92‬‬
‫القطع‬
‫‪O‬‬
‫‪By‬‬
‫في هذا السؤال الزم اطلع‬
‫السبورتد رياكشن النه اذا قطعنا‬
‫عند ( ‪ ) C‬رح يكون الجزء‬
‫اليمين و اليسار فيهم سبورت‬
‫‪Ax‬‬
‫‪Ay‬‬
‫‪Q- Determine the internal forces at point B cantilever beam‬‬
‫في هذا السؤال اذا قطعنا عند ‪ B‬كما‬
‫طلب و اخدنا الجزء اليمين ما بنحتاج‬
‫نعمل اول خطوتين النه ما في سبورت‬
‫ف بدون تضييع وقت بنبلش دايركت‬
‫بالجزء األيمن و المعادالت‬
‫‪Q- Determine the internal forces at point D .‬‬
‫‪Ax‬‬
‫‪O‬‬
‫‪By‬‬
‫‪Ay‬‬
‫)‪(93‬‬
‫‪27‬‬
‫‪O‬‬
‫‪By‬‬
‫‪Ax‬‬
‫‪Ay‬‬
‫نقطع يمين و يسار و اذا في ‪ Load‬على النقطة نفسها ‪ ,‬اما‬
‫اذا كان ‪ Distributed load‬ف نقطع قطع واحد على‬
‫نفس النقطة و بناخد اما يمين او يسار و بهاد السؤال يمين‬
‫النقطة ‪ C‬اسهل ( ما في كتير قوى)‪.‬‬
‫‪18‬‬
‫‪1.5‬‬
‫قطع‬
‫‪9‬‬
‫‪2‬‬
‫‪O‬‬
‫‪By‬‬
‫‪Ax‬‬
‫‪Ay‬‬
‫)‪(94‬‬
‫قطع‬
‫‪T‬‬
‫‪Ax‬‬
‫‪Ay‬‬
‫نقطع الحبل لكي نجد قوة الشد‬
‫في الحبل لتساعدنا في إيجاد‬
‫ال ‪ reaction‬عند ‪. A‬‬
‫‪600‬‬
‫‪636.92‬‬
‫‪150‬‬
‫‪5‬‬
‫‪7.5‬‬
‫‪Ax‬‬
‫‪265.4‬‬
‫‪By‬‬
‫‪Ay‬‬
‫توضيح بالنسبة لرسمة‬
‫السكشن ‪ , C‬كيف صار‬
‫ارتفاع المستطيل ‪ 44‬علما‬
‫بأنه كان ‪ , 40‬ألنه كل ما‬
‫كان البعد بين ‪ A‬و ‪B‬‬
‫يساوي ‪ 15‬يكون ارتفاع‬
‫المستطيل ‪ 20‬ولكن لما‬
‫قطعنا عند ‪ C‬أصبحت‬
‫المسافة بين ‪ A‬و ‪B‬‬
‫تساوي ‪ 12‬ف رح يصير‬
‫ارتفاع المستطيل ‪ 44‬و‬
‫ذلك عن طريق النسبة‬
‫والتناسب ( بمعنى انه كلما‬
‫ابتعدنا عن النقطة ‪3 B‬‬
‫سم يزيد االرتفاع‬
‫للمستطيل بمقدار ‪4‬‬
‫وحدات‬
‫‪20‬‬
‫‪X‬‬
‫‪15 cm‬‬
‫‪12 cm‬‬
‫)‪Then : 15X = 20(12‬‬
‫‪X = 16‬‬
‫‪60 – 16 = 44‬‬
‫)‪(95‬‬
600 cos30
800 cos30
600 sin30
800 sin30
Ax
By
Ay
400
FDC (3/5)
Supported :
Ax
FDC (4/5)
Ay
5
4
2
Mb
266.7
Nb
200
(96)
F
3 DC
200
Vb
‫‪Shear and moment diagrams for a beam provide graphical description of how the internal shear‬‬
‫‪and moment vary throughout the beam’s length .‬‬
‫‪To obtain these diagrams the method of section is used to determine shear (V) and moment (M).‬‬
‫عشان نرسم مخطط الشير و المومنت الزم اطلع قيمتهم عن طريق القطع ‪.‬‬
‫الزم اطلع قيم الشير و المومنت على طول البيم بحيث نقطع قبل وبعد كل ‪ Load‬و ‪ Supported reaction‬كما في المثال التالي ‪.‬‬
‫توضيح المثال ‪:‬‬
‫بالبداية بنوجد السبورتد ‪,‬‬
‫وبعدها بنعمل قطع قبل و بعد‬
‫كل قوة على البيم و بعد القطع‬
‫بنوجد ‪ V‬و ‪ M‬عند كل‬
‫قطع كما تعلمنا ب ‪ 7.1‬مع‬
‫تحديد مسافة القطع و من ثم‬
‫نحدد قيم ‪ V‬على مستواه‬
‫البياني ف يتشكل مخطط ل و‬
‫كذلك الحال ل ‪. M‬‬
‫طريقة أأخرى لرمس اخملطط و يه ا ألسهل ‪:‬‬
‫‪ (1‬جند ال‬
‫‪Support reaction‬‬
‫أأوال ‪.‬‬
‫‪(2‬‬
‫نبدا برمس خمطط الشري ابالنتباه اىل القوة اذا اكن ‪ Load‬عادي او ‪ Distributed load‬او قوة‬
‫لالعىل فاننا نرتفع اىل ا ألعىل بنفس مقدار القوة واذا اكن اجتاه القوة لالسفل بنزنل لالسفل بنفس مقدار القوة ‪.‬‬
‫‪(3‬‬
‫ابلنس بة خملطط املومن تفاننا نعمتد عىل رمسة الشري ييل رمسناها ( علشان هيك رضوري تكون حص النه احلل مبين علهيا ) و ذكل حبساب مساحة لك جزء‬
‫من الشري ( املساحة حتت املنحىن للشري = قمية املومنت ) ‪ ,‬اذا اكن اجلزء فوق حمور فنصعد لالعىل بنفس مقدار املساحة ييل طلعناها و اذا اكن‬
‫اجلزء حتت حمور بنزنل لالسفل بنفس مقدار املساحة ييل طلعناها ذلكل اجلزء و طبعا مع الانتباه اذا اكن يف مومنت عىل البمي او ال‬
‫‪Support reaction‬‬
‫اذا اكن اجتاه القوة‬
‫اذا اكن يف مومنت عىل البمي ‪ :‬اذا اكن املومنت عكس عقارب الساعة بنزنل ل حتت ‪ ,‬اذا اكن مع العقارب بنطلع لفوق‬
‫‪ )1‬اذا القوة عادية السفل او العلى فاننا ننخفض او نرتفع بمقدار القوة وبين كل قوة‬
‫و قوة بكون الشير ثابت و الصعود و النزول بالنسبة للمومنت يكون خطي ‪.‬‬
‫‪ )2‬اذا كانت القوة على شكل ‪ Distributed loed‬و كان مستطيل تحديدا يكون‬
‫االنخفاض و االرتفاع بالنسبة للشير خطي اما المومنت ‪. Parabolic‬‬
‫‪ )3‬اذا كان ‪ Distributed load‬مثلث بتكون الرسمات كما هو موضح في الجدول‬
‫‪.‬‬
‫)‪(97‬‬
‫تفاصيل الحل ‪:‬‬
‫بالنسبة لرسمة الشير بالبداية في قوة من السبورتد مقدارها ‪ 162.5‬و‬
‫اتجاهها لالعلى ف بنطلع بنفس المقدار لالعلى و من النقطة ‪ A‬الى ‪ C‬ال‬
‫يوجد أي قوة ف بنمشي افقي لعند ‪ C‬و بنكمل على نفس المبدأ ‪.‬‬
‫اما رسمة المومنت ف بنتطلع على رسمة الشير او جزء موجود فوق محور‪X‬‬
‫يعني بحسب مساحته‪ A1‬و بما انه فوق يعني بالموجب ف بطلع بمقدار‬
‫المساحة يلي حسبناها ( مساحة المستطيل ) و بطلع بشكل خطي لالعلى لعند‬
‫النقطة ‪ C‬و لكن بالجزء الثاني كام الشكل تحت محور ‪ X‬ف بحسب مساحته‬
‫و بنزل بمقدار المساحة يلي حسبناها لهذا الجزء ‪ A2‬بشكل خطي لالسفل و‬
‫بحسب مساحة باقي الجزء على نفس المبدأ ‪.‬‬
‫وجود المومنت على البيم بأثر على المومنت ديجرام‬
‫‪MA‬‬
‫‪Ax‬‬
‫سالب يعني عكس االتجاه يلي‬
‫فرضناه (عكس عقارب الساعة )‬
‫‪Ay‬‬
‫‪MA = -1800‬‬
‫‪100‬‬
‫‪+‬‬
‫‪Zero‬‬
‫‪-500‬‬
‫‪-MA - 800 – 100(10) = 0‬‬
‫أول اشي بسبب المومنت عند ‪ A‬هو عكس عقارب الساعة‬
‫يعني بننزل ل تحت بمقدارة بعدين بنتطلع على رسمة الشير‬
‫ما فيها اال جزء واخد ( مستطيل ) و هو فوق محور الصفر‬
‫يعني موجب مساحتة = ‪ , 1000=100*10‬ولكن ننتبه انه‬
‫عند ‪ B‬مومنت و ‪ B‬موجودة في منتصف المسافة بطلع ‪500‬‬
‫نصف المساحة بعدين تأثير المومنت الي مع عقارب الساعة‬
‫ف بنطلع بمقداره ‪ 800‬و بعدها بنكمل ال ‪ 500‬باقي المساحة‬
‫‪M.D‬‬
‫‪-‬‬
‫‪Ay=100‬‬
‫‪Ay – 100 = 0‬‬
‫طلعنا ‪ 100‬عند ‪ A‬النه القوة لفوق و ضل ثابت‬
‫النه ما في أي قوة على البيم لحتى وصل ‪ C‬و‬
‫نزلنا النه القوة ‪ 100‬ل تحت‬
‫‪Sh .D‬‬
‫‪Zero‬‬
‫‪Ax = 0‬‬
‫‪-1300‬‬
‫‪-1800‬‬
‫‪2.5‬‬
‫‪Ax‬‬
‫‪O‬‬
‫بالنسبة للشير‪:‬‬
‫بنطلع ‪ 10‬من القوة‬
‫عند ‪ A‬و‬
‫بسبب‬
‫‪DISTRIBUTED LOAD‬‬
‫بنزل بشكل خطي‬
‫بمقدار ‪-5 10‬‬
‫دايما مقعر ألعلى‬
‫( صحن مقلوب )‪.‬‬
‫‪Ay‬‬
‫‪MA‬‬
‫‪10‬‬
‫‪+‬‬
‫‪S.D‬‬
‫‪M.D‬‬
‫‪-30‬‬
‫‪Ay=10‬‬
‫‪M A = -30‬‬
‫‪Ay-10= 0‬‬
‫‪-MA -10(2.5)-5 = 0‬‬
‫بننزل ‪ 30‬النه المومنت بالبداية عكس عقارب الساعة بعدين بنتطلع‬
‫على رسمة الشير بنحسب مساحة المثلث = ‪ 25= 5 * 10 * 0.5‬و‬
‫بطلع بمقدار ‪ 25‬النه المثلث فوق خط الصفر (طبعا بنطلع على‬
‫شكل ‪ Prabolic‬النه الشير خطي ) ‪ ,‬و اخر اشي المومنت ‪ 5‬مع‬
‫عقارب الساعة بنطلع ‪ 5‬لفوق ‪.‬‬
‫)‪(98‬‬
‫‪160‬‬
‫‪W = 40 N.m ; a = 2m‬‬
‫‪Ax‬‬
‫‪O‬‬
‫‪Ay= 0‬‬
‫‪Ay‬‬
‫‪By‬‬
‫‪By= 160‬‬
‫‪80‬‬
‫‪+‬‬
‫‪By(2) – 160(2) = 0‬‬
‫بسبب ال ‪ Distributed load‬بننزل ‪ 60‬لألسفل بشكل خطي‬
‫ولكن الزم ننتبه انه النص في قوة على البيم رح تأثر على رسمة‬
‫الشير ف بننزل نص قيمة ال ‪80= Distributed load‬و بطلع‬
‫بمقدار القوة ‪ 160 = By‬و برجع بنزل كمان ‪ ( 80‬النص التاني‬
‫من ال ‪) Distributed load‬‬
‫‪S.D‬‬
‫_‬
‫‪Ay-160+160 = 0‬‬
‫‪-80‬‬
‫برسمة الشير في جزأين جزء فوق محور الصفر و جزء تحته‬
‫‪,‬بنحسب مساحة األول وبننزل ل تحت بمقدار المساحة على شكل‬
‫اقتران تربيعي النه الشير خطي و كذلك االمر للتاني بنحسب‬
‫مساحته و بنطلع لفوق بمقدارها‬
‫‪M.D‬‬
‫‪-80‬‬
‫‪30‬‬
‫‪Draw the shear and moment diagram :‬‬
‫‪15 KN‬‬
‫‪8KN‬‬
‫‪8‬‬
‫‪1‬‬
‫‪.C‬‬
‫‪OD‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪.B‬‬
‫‪Ay = 8‬‬
‫‪A‬‬
‫‪1‬‬
‫‪Ax‬‬
‫‪Dy = 38 KN‬‬
‫‪Ay-8-8-30+38 = 0‬‬
‫‪-8(1)-8(2)-30(3)+Dy(3) =0‬‬
‫‪Dy‬‬
‫‪Ay‬‬
‫‪15‬‬
‫‪8‬‬
‫‪S.D‬‬
‫طلعنا‪ 8‬بالبداية بعدين ثابت لعند النقطة ‪ B‬عندها قوة ‪ 8‬لتحت‬
‫ف بننزل ‪ 8‬لعند ‪ C‬ثابت و في عند ‪ C‬قوة ل تحت بمقدار ‪8‬‬
‫بننزل بمقدارها االن في ‪ Distributed load‬على شكل‬
‫مستطيل ف بننزل بمقداره = ‪ 30‬ولكن النه بمنتصفه في قوة‬
‫لالعلى ف باالول بننزل ‪ 15‬و بعدين عند ‪ D‬بنطلع ‪ 38‬و‬
‫بنرجع ننزل كمان ‪.15‬‬
‫‪-8‬‬
‫‪-23‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬
‫‪M.D‬‬
‫بنطلع بشكل خطي بمقدار ‪ ( 8‬مساحة الجزء األول ) بعدين‬
‫بضل ثابت بعند ‪ C‬النه رسمة الشير في ذلك الجزء منطبقة‬
‫على المحور ‪ :‬المساحة = ‪ 0‬يعني ال بنطلع وال بننزل ‪ ,‬بعدين‬
‫بننزل بشكل ‪ Parabolic‬بمقدار ‪ 15.5‬مساحة الجزء الثالث‬
‫مستطيل‪+‬مثلث ‪ ,‬طبعا بننزل النه الجزء الي تحت محور‬
‫الصفر و بعدين بنطلع بمقدار ‪ ( 7.5‬مساحة المثلث األخير )‬
‫‪-7.5‬‬
‫)‪(99‬‬
‫‪320‬‬
‫‪4‬‬
‫‪By = 206.25‬‬
‫‪OAy = 133.75‬‬
‫‪By‬‬
‫‪Ax‬‬
‫‪-320(4) + By (8) – 20(11) – 150 =0‬‬
‫‪Ay – 320 + 206.25 – 20 = 0‬‬
‫علشان نطلع قيمة ‪x‬‬
‫و نكمل حل بناخد‬
‫سكشن بيتضمن ‪x‬‬
‫‪Ay‬‬
‫‪40x‬‬
‫‪40‬‬
‫‪.‬‬
‫‪M‬‬
‫‪O‬‬
‫‪133.75‬‬
‫‪x‬‬
‫‪V‬‬
‫‪20‬‬
‫‪133.75‬‬
‫‪S.D‬‬
‫‪x‬‬
‫‪V = 40X – 133.75‬‬
‫‪X = 3.43‬‬
‫‪133.75 – 40 X – V = 0‬‬
‫‪V=0‬‬
‫‪0 = 40X – 133.75‬‬
‫‪-133.75(x) + 40 x (x/2) +M = 0‬‬
‫‪-186.25‬‬
‫‪223.6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪M = 223.6‬‬
‫*‬
‫‪M = 133.75 X – 4X /2‬‬
‫ولكن علشان نعرف لوين وصل المنحنى الي رسمناه الزم نعوض ‪( 8‬طول ال ‪ distributed‬كامل ) في معادلة المومنت الي طلعناها قبل‬
‫‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪M = 133.75 X – 20X‬‬
‫فالمومنت راح يوصل ل ‪ 210‬تحت محور ‪X‬‬
‫‪-150‬‬
‫‪M = - 210‬‬
‫و من مساحة اخر جزء بالشير ‪60 = 3* 20‬‬
‫‪X=8‬‬
‫و في مومنت ‪ 150‬مع عقارب الساعة فبطلع لفوق بمقدار ‪150‬‬
‫‪-210‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x/2‬‬
‫‪27‬‬
‫‪By = 18‬‬
‫‪O‬‬
‫‪Ax‬‬
‫‪-27(6) + By (9) = 0‬‬
‫‪Ay – 27 +18 = 0‬‬
‫‪Ay = 9‬‬
‫طلعنا ‪ 9‬من قوة رد الفعل عند ‪ A‬النها لفوق و بسبب ‪ Distributed load‬على شكل مثلث رح ننزل‬
‫‪Ay‬‬
‫بمقداره على شكل ‪ Parabolic‬و بنطلع ‪ 18‬بسبب القوة عند ‪ B‬النها لفوق‬
‫ولكن في هذا السؤال ال نعلم اين قطع محور ‪ X‬فالزم نوجد هاي المسافة ‪ ,‬نقطع المثلث على مسافة ‪. X‬‬
‫‪By‬‬
‫اول اشي نوجد ‪ W‬و نحفظها دايما هيك ‪:‬‬
‫‪S.D‬‬
‫مقدار ‪ W‬االصلية ‪ .‬المسافة الجديدة ( ‪) X‬‬
‫_________________________________ = ‪W‬‬
‫المسافة القديمة هي طول ال ‪ Distributed‬قبل القطع‬
‫‪9‬‬
‫‪x‬‬
‫‪-18‬‬
‫‪31.18‬‬
‫‪5.2‬‬
‫*‬
‫‪M.D‬‬
‫‪2‬‬
‫‪v = 9 – x/3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪M= 9x – x/9‬‬
‫االن نجد ‪x‬‬
‫‪M‬‬
‫‪2‬‬
‫‪9 – x/3 – v = 0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪N‬‬
‫‪M + x/3 (x/3) – 9x = 0‬‬
‫عن طريق انه رسمة الشير قطعت محور الصفر‬
‫يعني الشير يساوي صفر ‪.‬‬
‫‪V=0‬‬
‫‪9- x /3 =0‬‬
‫‪x = 5.2‬‬
‫عندما تقطع رسمة الشير محور الصفر عذا يعني انه عند النقطة يلي‬
‫عندها الشير صفر في ماكسمم مومنت ( اعلى قيمة للمومنت)‬
‫‪X = 5.2‬‬
‫‪M =31.18 KN . m‬‬
‫و بنطلع الماكسمم مومنت عن طريق تعويض ‪x‬‬
‫معادلة المومنت فوق‬
‫‪O‬‬
‫‪V‬‬
‫‪X‬‬
‫‪2X‬‬
‫‪6X‬‬
‫______ =‬
‫______ = ‪W‬‬
‫‪3‬‬
‫‪9‬‬
‫يلي طلعناها في‬
‫)‪(100‬‬
‫‪36‬‬
‫‪18‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Bx = 0‬‬
‫‪By = 33‬‬
‫‪Bx‬‬
‫‪Ay‬‬
‫‪By‬‬
‫‪-18 (2) – 36 (4.5) + By (6) = 0‬‬
‫‪-18 – 36 + Ay +33 = 0‬‬
‫‪Ay = 21‬‬
‫بنطلع ‪ 21‬بسبب القوة عند ‪ A‬بعدين في‬
‫على شكل مثلث ف بننزل بمقداره = ‪ 18‬على شكل ‪Parabolic‬‬
‫بعدين في ‪ Distributed load‬على شكل مستطيل ف بننزل‬
‫بمقداره = ‪ 36‬بشكل خطي و اخر اشي بنطلع ‪ 33‬بسبب القوة عند ‪B‬‬
‫و علشان نوجد ‪ x‬نقطع المثلث مسافة ‪ x‬نفس المثال السابق‬
‫‪2‬‬
‫‪2x x/3‬‬
‫‪Distributed load‬‬
‫‪21‬‬
‫‪3‬‬
‫‪X‬‬
‫‪-33‬‬
‫‪45.365‬‬
‫*‬
‫‪3.24‬‬
‫‪W = 4x‬‬
‫‪12x‬‬
‫‪W = ______ = 4x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪M= 21X – 2/3 X‬‬
‫‪M‬‬
‫‪x‬‬
‫‪v‬‬
‫‪21‬‬
‫‪2‬‬
‫‪M + 2X (X/3) – 21(X) =0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪V = 21 – 2X‬‬
‫‪X= 3.24‬‬
‫‪2‬‬
‫‪21 – 2X – V =0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪21 -2X =0‬‬
‫‪V=0‬‬
‫نجد الماكسمم مومنت عن طريق تعويض ‪ X‬بمعادلة المومنت‬
‫‪M = 45.365‬‬
‫)‪(101‬‬
(102)
‫‪Chapter Objective :‬‬
‫‪Characteristics of dry friction .‬‬
‫‪Problems involving dry friction .‬‬
‫قوة تقاوم حركة سطحين متصلين ينزلقان بالنسبة لبعضهما البعض بحيث تكون هذه القوة باتجاه السطح ( اتجاههما موازيا للسطح ) ويتم توجيهها‬
‫لمقاومة الحركة بين السطح ‪.‬‬
‫‪Impending‬‬
‫‪moment‬‬
‫‪Static Friction ( F s ) : is directly proportional‬‬
‫‪the resultant normal force .‬‬
‫‪Normal force‬‬
‫معامل االحتكاك السكوني ‪,‬‬
‫و بكون مقدار ثابت لكل‬
‫مادة ( يعطى بالسؤال )‪.‬‬
‫اذا زاد مقدار ‪ P‬المؤثر على الكتلة بحيث يصبح اكبر قليال من ‪ F s‬فان قوة االحتكاك عند سطح التالمس ستنخفض الى قيمة اصغر‬
‫تسمى ) ‪The Kinetic friction force ( F‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k‬‬
‫معامل االحتكاك الحركي‬
‫( معطى بالسؤال )‪.‬‬
‫بستفيد منه اذا احتجت ال‬
‫وكان معطيني بالسؤال‬
‫‪ ,‬أو العكس ‪.‬‬
‫عندما تكون ‪ F = P‬يعني ما في حركة ( الجسم ساكن ) ألنه‬
‫فالمحصلة بتكون صفر يعني بنتعامل‬
‫بتكون بعكس اتجاه‬
‫‪.‬‬
‫مع ‪THE STATIC FRICTION FORCE‬‬
‫ولكن اذا كان احدهما اكبر من األخرى فان الجسم يتحرك‬
‫باتجاه األكبر وهون بنتعامل‬
‫مع ‪THE KINETIC FRICTION FORCE‬‬
‫)‪(103‬‬
‫جسم ثابت ما عليه وال قوة تحركه ‪ ,‬في هاي الحاله بكون عدد المجاهيل يساوي عدد معادالت االتزان ‪.‬‬
‫)‪1‬‬
‫‪ 3‬معادالت لكل جزء و بنستخدم معادلتين ال ( ‪) Friction‬‬
‫‪To check‬‬
‫* نجد‬
‫‪F.B.D‬‬
‫عن طريق معادالت االتزان ‪.‬‬
‫* التحقق من قيم قوة االحتكاك عند ‪. A & B‬‬
‫* اذا كانت‬
‫ف سيحدث انزالق‬
‫( ‪ ) Slipping‬و لن يبقى الجسم متزن ‪.‬‬
‫‪6 Unknowns‬‬
‫بما انه قوة االحتكاك اقل من القوة‬
‫يلي طلعناها اذا ال يوجد انزالق ‪,‬‬
‫علشان يكون في انزالق الزم تكون‬
‫تساوي او اكبر ‪.‬‬
‫‪There is no slipping .‬‬
‫نفرض القوة العمودية على مسافة ‪ x‬من‬
‫مركز الصندوق و بنطلعها من معادلة‬
‫المومنت و اذا كانت قيمتها اقل من‬
‫نصف عرض الصندوق لن يكون هناك‬
‫انقالب للصندوق و العكس صحيح ‪.‬‬
‫)‪2‬‬
‫الجسم على وشك الحركة عند جميع النقاط‬
‫‪ 3‬معادالت اتزان ‪ +‬معادلتين احتكاك‬
‫‪F.B.D‬‬
‫‪5 Unknown‬‬
‫عدد المجاهيل يساوي عدد معادالت االتزان ‪ +‬معادلتين االتزان ‪.‬‬
‫بالبداية بنحدد مخطط الجسم الحر و ما في‬
‫احتكاك عند ‪ B‬النه ‪. Smooth surface‬‬
‫لدينا ‪ 4‬مجاهيل ب ‪ 3‬معادالت اتزان و معادلة‬
‫بنحل عليهم و بنطلع‬
‫احتكاك‬
‫المجاهيل ‪.‬‬
‫)‪(104‬‬
‫)‪3‬‬
‫الجسم على وشك الحركة عند بعض النقاط‬
‫‪ 6‬معادالت اتزان ( ‪ 3‬معادالت لكل ممبر ) ومعادلتين‬
‫االحتكاك ‪.‬‬
‫‪F.B.D‬‬
‫عدد المجاهيل في هاي الحالة اقل من ( عدد معادالت االتزان‬
‫‪ +‬معادالت االحتكاك ) ‪.‬‬
‫‪7 Unknown‬‬
‫و في هاي الحالة الزم نحدد نوع الحركة بحيث ‪:‬‬
‫اما ان يسبب ‪ Slipping‬عند ‪ A‬و ‪ No slipping‬عند ‪C‬‬
‫بحيث‬
‫‪Fc < 0.5 Nc‬‬
‫‪And‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫و اما ان سبب ‪ Slipping‬عند ‪ C‬و ‪ No slipping‬عند ‪A‬‬
‫بحيث‬
‫‪And FA< 0.3 NA‬‬
‫و نحسب ‪P‬‬
‫‪.‬‬
‫في الحالتين و نختار القيمة األصغر ل‬
‫بالبداية نفصل عند ‪ B‬و‬
‫نحدد ‪ F.B.D‬على‬
‫الممبرين ‪.‬‬
‫كيف نعرف انه السؤال‬
‫على الحالة الثالثة ؟‬
‫بكون عدد المجاهيل‬
‫اقل من (عدد معادالت‬
‫االتزان ‪ +‬عدد‬
‫معادالت االحتكاك)‬
‫في هذا السؤال عندي‬
‫‪ 7‬مجاهيل و ‪6‬‬
‫معادالت اتزان‬
‫ومعادلتين احتكاك‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪+‬‬
‫‪Member AB :‬‬
‫ما في داعي اليجاد ‪ Ax‬و‪Ay‬‬
‫ما بنحتاجهم بالحل ‪.‬‬
‫‪N B = 400‬‬
‫‪-800(2) + N B (4) = 0‬‬
‫‪Member BC :‬‬
‫بالبداية نجد ‪ FB‬عن طريق معادلة االحتكاك ‪:‬‬
‫بما انها اكبر يعني ما في‬
‫انزالق عند ‪ , C‬لذلك‬
‫من المؤكد انه عند ‪ . B‬و‬
‫يال نطلع قيمته ‪.‬‬
‫‪Fc = 240‬‬
‫‪320 -80 – Fc = 0‬‬
‫‪Nc = 400‬‬
‫‪P = 320‬‬
‫‪Nc – 400 = 0‬‬
‫‪80 (1) – P (0.25) = 0‬‬
‫هأل بنعمل شيك اب على ‪ Friction‬عند‬
‫‪P = 266.67‬‬
‫‪C‬‬
‫‪.‬‬
‫‪P(0.75) – 200(1) = 0‬‬
‫صار عندي قيمتين ل ‪ P‬و حكينا بنختار األصغر دايما ‪.‬‬
‫)‪(105‬‬
‫)‪By (0.9) – 0.3By (0.9) – 980 (0.9) + P (1.5) = 0 …………. (1‬‬
‫)‪Ax – 0.3By =0 ………… (2‬‬
‫)‪0.3 Ax +By + P -980 = 0 ………… (3‬‬
‫بتعويض معادلة ‪ 2‬في ‪1‬‬
‫‪P =-1.09 By + 980‬‬
‫بتعويض قيمة ‪ P‬في المعادلة االولى ‪By (0.9) – 0.3 By (0.9) – 980 (0.9) + (980 – 1.09By)(1.5) = 0‬‬
‫‪P = 342.35‬‬
‫تعويض بمعادلة ‪3‬‬
‫‪By = 585‬‬
‫ال ‪ Ax‬هي نفسها ‪ NA‬يعني عادي لو حطينا ‪ NA‬و نفس االشي‪ By‬نفسها ‪.NB‬‬
‫والوزن ‪ 980‬من كتلة الجسم المعطى بالسؤال = ‪100‬‬
‫‪100(9.8) = 980 N‬‬
‫)‪(106‬‬
‫‪Chapter Objectives :‬‬
‫‪9.1 Centroid of an Area .‬‬
‫‪9.2 Composite Body .‬‬
‫‪9.5 Fluid Pressure .‬‬
‫هو نقطة تحدد المركز الهندسي لجسم ما ‪.‬‬
‫و تكون هذه النقطة متطابقة مع مركز الكتلة عندما يكون الجسم منتظم او متجانس مثل‪:‬‬
‫‪h/3‬‬
‫‪h‬‬
‫‪b‬‬
‫‪h/2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪b/2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪r‬‬
‫‪.‬‬
‫‪b/2‬‬
‫‪h‬‬
‫‪b‬‬
‫اما اذا الجسم غير منتظم فنجد المركز كما يلي ‪:‬‬
‫نرسم قطعة مستطيلة بحيث تمس المنحنى و أحد المحاور ( الطريقة االسهل ) ‪.‬‬
‫نجد مساحة ( ‪ ) dA‬لهذة القطعة ( مساحة المستطيل = طول * عرض )‪.‬‬
‫نجد االحداثي السيني و الصادي لمركز هذة القطعة ‪.‬‬
‫نطبق القانون اليجاد المركز‬
‫نرسم قطعة تمس المنحنى و احد المحاور ( هون بيزبط تمس أي محور بدنا إياه )‬
‫تكملة الحل بالطريقتين سواء مس المحور السيني او الصادي‬
‫)‪(107‬‬
‫اذا مس محور الصادات‬
‫اذا مس محور السينات‬
‫‪.‬‬
‫‪dy‬‬
‫‪X‬‬
‫)‪(108‬‬
‫‪dy‬‬
‫‪x‬‬
‫علشان نطبق النطقة يلي حكينا فيها القطعة المستطيلة الزم تمس المنحنى و احد المحاور‬
‫الزم نقسم الشكل لجزأين متماثلين جزء بالربع األول و جزء بالثاني وبما ان الجزأين‬
‫متماثلين ف ناخذ لهم قطعة مستطيلة واحدة افقية ‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫في هاد السؤال ما بنقدر نرسم قطعة مستطيلة تمس المنحنى و احد المحاور ف عادي برسم قطعة‬
‫بالطول مثال كما هو موضح طولها ( ‪ ) 4 - y‬لو رسمناها افقية بكون طولها ( ‪. ) 8 - y‬‬
‫_‬
‫بالنسبة ل ‪ y‬ف هي تساوي نصف القطعة‬
‫المستطيلة و لكن الزم توصل لمحور السينات‬
‫فالمسافة بين القطعة و محور السينات تساوي‬
‫‪ y‬زي ما افترضنا بالبداية‬
‫وزن الجسم هو‬
‫غاما مضروبة‬
‫بالمساحة‬
‫‪Ax = 0‬‬
‫‪By = 5‬‬
‫‪-6.67(0.75) +By (1) = 0‬‬
‫‪Ay -6.67 +5 = 0‬‬
‫‪Ay= 1.67‬‬
‫)‪(109‬‬
‫‪61.7‬‬
‫‪F.B.D‬‬
‫; ‪Contains of a series of connected ( simpler) shaped bodies which may be rectangular ; triangular‬‬
‫‪semicircular .‬‬
‫طريقة الحل في هاد السكشن ‪ ,‬طبعا هو بيطلب إيجاد المركز للشكل المعطى كامل ‪ (.‬بكون الشكل عبارة عن مجموعة اشكال مركبة مع بعضها )‬
‫نقسم الشكل كامل الى اشكال منتظمة ( مستطيل ‪ ,‬مثلث ‪ ,‬دائرة ‪ ,‬نصف دائرة )‬
‫نجد مساحة كل شكل بحيث اذ كان ثقب على شكل مستطيل مثال فسماحتة تكون بالسالب و نجمع كل‬
‫المساحات‬
‫نحدد ‪ X‬و ‪ Y‬لمركز كل شكل لحاله ‪.‬‬
‫نجد‬
‫و‬
‫عن طريق معادلة المركز‬
‫طبعا ما بصير‬
‫استخدم هاي‬
‫الخطوات اال اذا كان‬
‫الجسم منتظم اذا ما‬
‫كام منتظم بنرجع ل‬
‫السكشن القبل‬
‫و الجدول هاد بسهل هاي الخطوات ‪ +‬رح يتم التوضيح باالمثلة ‪.‬‬
‫)‪(110‬‬
‫‪YA‬‬
‫‪XA‬‬
‫)‪40 (3600‬‬
‫‪=14400‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪40(3600)=144000‬‬
‫‪X‬‬
‫‪component‬‬
‫‪A‬‬
‫‪40 40‬‬
‫½‬
‫‪(120)(60)=3600‬‬
‫‪A1‬‬
‫)‪60 110 60(12000)=720000 110 (12000‬‬
‫‪=1320000‬‬
‫= )‪(100)(120‬‬
‫‪12000‬‬
‫‪A2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪A3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪+‬‬
‫‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪+‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪.‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0.5‬‬
‫=‬
‫‪-1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪A1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪-2.5‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪A2‬‬
‫‪YA‬‬
‫‪4.5‬‬
‫‪9‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪=14‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪XA‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4.5‬‬
‫‪1.5 -6‬‬
‫‪0.5 -2.5‬‬
‫‪= -4‬‬
‫طبعا في خيار تاني للحل و هو انه ناخد المثلث و المربع‬
‫‪3‬‬
‫‪X‬‬
‫‪1‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-2.5‬‬
‫‪A‬‬
‫‪½ (3)(3)=4.5‬‬
‫‪2(3)=6‬‬
‫‪1(1)=1‬‬
‫‪=11.5‬‬
‫و المستطيل‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪component‬‬
‫‪A1‬‬
‫‪A2‬‬
‫‪A3‬‬
‫‪1‬‬
‫ولكن المستطيل راح تكون مساحته بالسالب ( ألنه مش من ضمن الشكل األساسي)‬
‫)‪(111‬‬
‫الواجهة االمامية للشكل‬
‫‪YA‬‬
‫‪A1‬‬
‫‪325= 25+300‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪Component‬‬
‫‪A‬‬
‫‪300(50)=15000 300+25=325 325(15000)=4875000‬‬
‫‪A1‬‬
‫‪50(300)=15000‬‬
‫‪A2‬‬
‫‪150‬‬
‫‪150(15000)=2250000‬‬
‫‪150‬‬
‫‪=7125000‬‬
‫‪= 30000‬‬
‫_‬
‫_‬
‫في هاد السؤال طلب فقط ‪ Y‬ف ما في داعي ل أي شي بيتعلق ب ‪X‬‬
‫‪A2‬‬
‫‪7125000 = 237.5‬‬
‫___________ =‬
‫‪30000‬‬
‫هون المساحة‬
‫سالبة النه مش‬
‫ضمن الشكل‬
‫األصلي‬
‫‪3‬‬
‫‪2.5‬‬
‫_‬
‫‪3.5‬‬
‫‪+‬‬
‫‪A2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪4‬‬
‫=‬
‫‪A1‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪1.75+0.5=2.25‬‬
‫‪1.25+0.5=1.75‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪A2‬‬
‫‪A1‬‬
‫‪YA‬‬
‫‪XA‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪X‬‬
‫‪Area‬‬
‫‪Component‬‬
‫‪24‬‬
‫‪18‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪4(3)=12‬‬
‫‪A1‬‬
‫‪-19.69‬‬
‫‪-15.3‬‬
‫‪2.25‬‬
‫‪1.75‬‬
‫‪3.5(2.5)=-8.75‬‬
‫‪A2‬‬
‫‪=4.31‬‬
‫‪=2.7‬‬
‫‪A1+A2=3.25‬‬
‫‪+ 0.5‬‬
‫طريقة أخرى ل تقسيم الشكل هي اخد هذا المستطيل‬
‫‪3.5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0.5‬‬
‫)‪(112‬‬
‫‪25‬‬
‫‪25‬‬
‫‪150‬‬
‫‪25‬‬
‫‪112.5‬‬
‫‪100‬‬
‫‪50‬‬
‫‪100‬‬
‫‪50‬‬
‫‪112.5‬‬
‫‪87.5‬‬
‫‪100‬‬
‫‪75‬‬
‫‪100‬‬
‫‪150‬‬
‫‪25‬‬
‫‪75‬‬
‫‪87.5‬‬
‫‪75‬‬
‫‪75‬‬
‫‪+‬‬
‫‪A4‬‬
‫‪A3‬‬
‫‪YA‬‬
‫‪125000‬‬
‫‪421875‬‬
‫‪125000‬‬
‫‪421875‬‬
‫‪=1093750‬‬
‫بعد تقسيم الشكل أي جزء‬
‫يقع ضمن الربع الثاني رح‬
‫تكون ‪ x‬سالبة النه على‬
‫محور ‪ x‬السالب‬
‫‪+‬‬
‫‪XA‬‬
‫‪218750‬‬
‫‪281250‬‬
‫‪-218750‬‬
‫‪-281250‬‬
‫‪= Zero‬‬
‫‪A2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪X‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪87.5‬‬
‫‪50‬‬
‫‪75‬‬
‫‪112.5‬‬
‫‪-87.5‬‬
‫‪50‬‬
‫‪-75 112.5‬‬
‫‪A1‬‬
‫‪Area‬‬
‫‪100(25)=2500‬‬
‫‪150(25)=3750‬‬
‫‪100(25)=2500‬‬
‫‪150(25)=3750‬‬
‫‪= 12500‬‬
‫‪component‬‬
‫‪A1‬‬
‫‪A2‬‬
‫‪A3‬‬
‫‪A4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪x‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪y‬‬
‫‪r=1.5‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪3‬‬
‫=‬
‫‪A3‬‬
‫‪A2‬‬
‫‪A1‬‬
‫‪YA‬‬
‫‪13.5‬‬
‫‪-1.13‬‬
‫‪-2.813‬‬
‫‪XA‬‬
‫‪13.5‬‬
‫‪-1.13‬‬
‫‪-2.813‬‬
‫‪y‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪2/‬‬
‫‪2.5‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪2/‬‬
‫‪2.5‬‬
‫‪Component area‬‬
‫‪A1‬‬
‫‪9‬‬
‫‪A2‬‬
‫‪-1.77‬‬
‫‪A3‬‬
‫‪-1.125‬‬
‫)‪(113‬‬
‫‪9.81‬‬
‫‪Flued‬‬
‫‪surface‬‬
‫أي نقطة تقع على سطح الماء ‪P = 0‬‬
‫نرسم اسهم عمودية من بداية السطح الى النقطة المطلوب‬
‫الحساب عندها ( على ال ‪) P=0 Surface‬‬
‫و كل ما نزلنا لتحت اكثر بزيد مقدار ال ‪ P‬و بنوصل بينهم‬
‫‪.‬‬
‫بخط ف بصير عندي ‪Distributed load‬‬
‫طبعا ممكن يطلب بين نقطتين تحت سطح السائل و رح‬
‫نوضح باالمثلة‪.‬‬
‫)‪(114‬‬
‫اذا ما اعطاني نقطة معينة بالسؤال برسم من‬
‫السطح لعند اخر نقطة بالقاع ( قاع السائل)‬
‫_‬
‫الزم نبسط ال ‪ Distributed load‬و هو‬
‫مثلث يعني بناخد مساحته كما تعلمنا سابقا و‬
‫بتكون على بعد ثلثي المسافة من الجهة العالية‬
‫و على بعد ثلث المسافة من الجهة األقل‬
‫ارتفاع ‪ ,‬ولكن في مشكلة انه ارتفاع المثلث‬
‫مش عندي الموجود فقط هو الطول = ‪ 6‬ف‬
‫علشان نوجد المساحة للمثلث الزم نجيب اول‬
‫االرتفاع ( ‪.) W‬‬
‫‪W‬‬
‫بالنسبة ل ‪ b‬يلي هي سمك الحائط اذا ما حدد‬
‫كم يعني بكون =‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪FR‬‬
‫‪=58.86 kN.m‬‬
‫اذا كان الحائط موازيا لسطح‬
‫السائل فاألسهم بتبلش من‬
‫مستوى السطح لعند الحائط او‬
‫ممكن يكون معطيني الرتفاع‬
‫معين فبنلش ب رسم األسهم من‬
‫هذا االرتفاع لعند الحائط‬
‫سمك الحائط‬
‫و بنرسم ال ‪ Distributed load‬بين‬
‫‪ A‬و ‪ B‬النه هو طلب هيك ب نص‬
‫السؤال ‪.‬‬
‫)‪= 998.4(3‬‬
‫‪=2995.2‬‬
‫)‪=(62.4)(4)(4‬‬
‫‪= 998.4‬‬
‫)‪(115‬‬
‫في هذا السؤال طلب بين نقطتين تحت السطح ف لما نبلش من‬
‫الصفر كنا نبدأ رسم من السطح ولكن بما انه ‪ A‬تحت السطح‬
‫بعمق ‪ 3‬ف ما رح تكون ‪ P‬عندها صفر ف بنرسمه من‬
‫األساس طويل و ببلش يزيد لحتى نوصل ‪ , B‬و في مثل هذة‬
‫االسئلة بنحسب ‪ W‬عند ‪ A‬و ‪ W‬عند ‪. B‬‬
‫‪F1‬‬
‫‪F2‬‬
‫)‪(116‬‬
748.8
3
x
4
F2
F1
1248
1
F1
F2
F3
2
3
(117)
Cy
Cx
Dx
(118)
Chapter objectives :
10.1
10.2
10.3
10.4
10.5
10.6
10.7
Definition of moment of inertia for areas (MOI).
Parallel-Axis Theorem for an area.
Radius of Gyration of an area (k).
Moment of inertia for composite areas .
Product for inertia an area .
Moment of inertia for an area about inclined axis.
Mohr ‘s circle moment of inertia graphical method.
‫هو عبارة عن منطقة تفاضلية‬
. y ‫ و‬x ‫حول محور‬
(119)
‫بالبداية نأخذ قطعة مستطيلة موازية‬
‫للمحور المطلوب بالسؤال و نطبق‬
‫على القانون ‪.‬‬
‫‪dA=bdy‬‬
‫‪h‬‬
‫حيث ‪ b‬عدد ثابت‬
‫‪0‬‬
‫‪3‬‬
‫حدود التكامل لقانون ‪ Ix‬بنجيبها من محور ‪. y‬‬
‫‪Iy‬‬
‫‪x‬‬
‫توضيح لحدود التكامل ‪ ,‬بما انه‬
‫طول الشكل = ‪ h‬و محور ‪x‬‬
‫في منتصف الشكل ف اكيد‬
‫طول الشكل تحت ‪ x‬يساوي‬
‫طول الشكل فوق ‪ x‬ف يعني‬
‫من فوق ‪ h/2‬و من تحت‪. h/2‬‬
‫في هذا السؤال الرسمة ليست‬
‫في ربع واحد فقط ‪ ,‬عادي‬
‫بنرسم قطعة مستطيلة موازية‬
‫للمحور المطلوب‪ ,‬ولكن يجب‬
‫االنتباه لحدود التكامل في الحل‪.‬‬
‫و بدنا نعرف انه لما نحدد حدود التكامل‬
‫الزم تشمل الشكل كامل و ما اله عالقة‬
‫بالقطعة يلي رسمناها ‪.‬‬
‫‪/12‬‬
‫‪/12‬‬
‫)‪(120‬‬
(121)
(122)
‫بنستخدم هاي الطريقة اليجاد ‪ Moment of inertia‬لمنطقة حول أي‬
‫محور موازي لمحور يمر بمركز الشكل‬
‫‪Area‬‬
‫رح نتعمق بهاد‬
‫السكشن في‬
‫المواد القادمة‪.‬‬
‫بهاد السكشن رح‬
‫نحتاج سكشن‬
‫‪2‬‬
‫رح يساعدنا‬
‫بالحل و تنظيم‬
‫االجابات‬
‫)‪(123‬‬
‫هاي الاشاكل الزم حنفظهم بيلزموان ابحلل ‪...‬‬
‫كل شي لهاد الشكل سالب‬
‫النه فراغ ( مش ضمن‬
‫الشكل األصلي )‬
‫‪+‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫‪Iy +Adx‬‬
‫‪Ix + Ady‬‬
‫‪dy‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪Iy‬‬
‫‪Ix‬‬
‫‪Area‬‬
‫‪Shape‬‬
‫‪4.69*10^6‬‬
‫‪-2.86*10^6‬‬
‫‪=1.83*10^6‬‬
‫‪8.87*10^6‬‬
‫‪-5.83*10^6‬‬
‫‪= 3.04*10^6‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪4.69*10^6‬‬
‫‪- 2.86*10^6‬‬
‫‪8.87*10^6‬‬
‫‪-5.83*10^6‬‬
‫‪110(80)= 8800‬‬
‫‪100(70)= -7000‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪total‬‬
‫)‪(124‬‬
=
2
Shape
Area
Ix
dy
Ix+Ady
1
2
Total
100(150)=15000
-𝜋(25)^2=-1963.5
28.125*10^6
-306.8*10^3
75
75
112.5*10^6
-11.35*10^6
=101.15*10^6
Shape
1
2
3
Total
Area
1/12(bh^3)
1/12(hb^3)
Ix
Iy
‫في الربع الثاني‬
dx
200(100)=30000 225*10^6 25*10^6 -250
600(100)=60000 50*10^6 1800*10^6
0
300(100)=30000 225*10^6 25*10^6
250
2
Ix+Ady
Iy+Adx
200
0
-200
1.425*10^9
50*10^6=0.05*10^9
1.425*10^9
= 2.9*10^9
1.9*10^9
1800*10^9
1.9*10^9
= 5.6*10^9
‫في الربع الرابع‬
(125)
2
dy
‫‪200‬‬
‫‪r=75‬‬
‫‪300‬‬
‫دائرة‬
‫‪300‬‬
‫‪+‬‬
‫مثلث‬
‫‪+‬‬
‫مستطيل‬
‫=‬
‫‪150‬‬
‫كل شي الها‬
‫بالسالب النها‬
‫فراغ‬
‫‪2‬‬
‫‪Ix+Ady‬‬
‫‪dy‬‬
‫‪Ix‬‬
‫‪Area‬‬
‫‪Shape‬‬
‫‪1.8*10^9‬‬
‫‪0.34*10^9‬‬
‫‪-0.42*10^9‬‬
‫‪=1.72*10^9‬‬
‫‪150‬‬
‫‪100‬‬
‫‪150‬‬
‫‪½ (200)(300)^3=450*10^6‬‬
‫‪1/36(150)(33)^3=112.5*10^6‬‬
‫‪-𝜋/4(75)^4= -24.85*10^6‬‬
‫‪200(300)=60000‬‬
‫‪½ (300)(150)=22500‬‬
‫‪-𝜋(75)^2= -17671.5‬‬
‫مستطيل‬
‫مثلث‬
‫دائرة‬
‫‪total‬‬
‫‪30‬‬
‫‪150‬‬
‫‪30‬‬
‫‪+‬‬
‫‪yA‬‬
‫‪472500‬‬
‫‪67500‬‬
‫‪= 540000‬‬
‫‪150‬‬
‫بالبداية الزم نحدد على‬
‫أي ارتفاع موجود‬
‫محور‪ x‬ف الزم نطلع‬
‫_‬
‫‪ ( y‬شابتر ‪) 9‬‬
‫=‬
‫‪Y‬‬
‫‪105‬‬
‫‪15‬‬
‫‪Component‬‬
‫‪Area‬‬
‫‪1‬‬
‫‪150(30)=4500‬‬
‫‪2‬‬
‫‪30(150)=4500‬‬
‫‪Total‬‬
‫‪=900‬‬
‫هيك صار سؤال عادي بنكمل على شابتر ‪10‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Ix+Ady‬‬
‫‪dy‬‬
‫‪Ix‬‬
‫‪Area‬‬
‫‪Shape‬‬
‫‪17.553*10^6‬‬
‫‪9.453*10^6‬‬
‫‪=27*10^6‬‬
‫‪105-60=45‬‬
‫‪60-14=45‬‬
‫‪½ (30)(150)^3=8.44*10^6‬‬
‫‪½ (150)(30^3=0.34*10^6‬‬
‫‪4500‬‬
‫‪4500‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Total‬‬
‫)‪(126‬‬
‫‪Determine the moment of inertia about the x and y axis‬‬
‫نفس فكرة‬
‫السؤال السابق‬
‫_‬
‫طلعنا بالبداية ‪ x‬علشان نقدر نحدد محور ال ‪ y‬و منه‬
‫بعرف المسافة بين محور ‪ y‬و مركز الشكل ‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Iy+Adx‬‬
‫‪Ix+Ady‬‬
‫‪dy‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪Iy‬‬
‫‪Ix‬‬
‫‪A‬‬
‫‪Shape‬‬
‫‪28.75*10^6‬‬
‫‪130.21*10^6‬‬
‫‪0‬‬
‫‪17.8‬‬
‫‪-20.9*10^6‬‬
‫‪-53.3*10^6‬‬
‫‪0‬‬
‫‪27.8‬‬
‫½‬
‫‪(250)(100)^3=20.83*10^6‬‬
‫ =‪-½(200)(80)^3‬‬‫‪8.53*10^6‬‬
‫½‬
‫‪(100)(250)^3=130.21*10^6‬‬
‫‪-½ (80)(200)^3=-53.3*10^6‬‬
‫‪25000‬‬
‫‪1‬‬
‫‪-16000‬‬
‫‪2‬‬
‫‪= 7.85*10^6‬‬
‫‪= 76.9*10^6‬‬
‫‪Total‬‬
‫السبب‬
‫كل األسئلة يلي‬
‫رح تمر معكم‬
‫بتكون صفر‬
‫)‪(127‬‬
‫نأخذ قطعة مستقيمة توازي محور ‪ x‬و بيزبط توازي ‪ y‬ولكن اخترنا االسهل ‪.‬‬
‫نالحظ ان ‪ h‬و ‪b‬‬
‫ثوابت يعني بقدر‬
‫اطلعهم برا‬
‫التكامل‬
‫طبعا بنقدر نحل أي سؤال ع الجدول ‪,‬‬
‫المطلوب بنقسمه الشكال بنقدر نتعامل‬
‫معها مثل مستطيل دائرة مثلث و‬
‫نطبق عالجدول فقط‪.‬‬
‫)‪(128‬‬
(129)
(130)
Download