Ed ,e 11naaa , PAGINA EM BRANCO Ed ,e 11naaa estatistica aplicada 4A edi9ao Ed ,e 11naaa , PAGINA EM BRANCO Ed ,e 1naaa 1 LARSON FARBER estatfstica aplicada 4~ edicao Tradu~ao Luciane Paulete Viana Revisao Tecnica Fernanda Cesar Bonafini Mestre em educa<;ao motemdtica - UNESP Rio Claro PEARSON $At) Paulo Brasil Argentina Co!On1bia Costa Rica Chile Esp.'\nh:i. Gutue1nata r..1Cxico Peru Porto Rico Venezuela Ed ,e 1naaa 1 ©2010 by Pearson Education do Brasil Titulo original: Ele111e11/ary slalisliSC$: picl11ri11g Ille world, fo11rlll edilio1t © 2009, 2006, 2003, 2000 by Pearson Education, Inc. Tradu~ao autorizada a partir da edi~ao original em ingl@s, publicada poela Pearson Educatton, Inc. sob o selo Prentice I-tall. Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publica.,ao poder<! ser reproduzida ou transn1itida de qualqucr modo ou por qualquer outro meio, eletrOnico ou mec:3nico, incluindo fotoc6pia, grava<ao ou qualquer outro tipo de sistema de annazenamento e transmissao de informa<;ao, sem pr~via autoriza<;Jo, por escrito, da Pearson Education do Brasil. Dire/or edilorial: Roger Trimer Gere111e edilorial: Sabrina Cairo Supervisor de prod11cffo edilorial: Marcelo Fran.,ozo Edilorns: Marina S. Lupinetti e Renata Gon.,alves Prept1rn(ffo: Monica Santos R<'Visffo: Regiane Miyashiro, Fernanda Magalhaes e Opportunity Translations O.pa: Alexandre Mieda Projelo srafico e diagramacifo: Global tee Artes Gn!ficas Ltda. Oados lnternacionais de Ca1aloga(io na Pubtica(io (CJP) (C1imara Brasilcira do Livro, SP, Brasil) LarSon, Ron Es.tntfstic-,1 ~plicadJ I Ron l.'lrson.. Betsy Farber; trJdtu;Jo l.uciane Ferreira Pauleti Vianna. -- 4. ed. -- Sao Paulo: Pearson Prentice Hall 2010. 1 1'itulo original: Eleinentary statistics 1. Estatistica 1. Farbcr1 Sctsy. n.'fltu1o. ISBN 978-85-7605-372-9 09-09661 Indices para cat.Slogo sistcmatico: -i. EstaUstica 519.5 2009 Dircitos cxclusivos para a lingua portuguesa cedidos ~Pearson Education do Brasil Ltda., uma empresa do grupo Pearson Education. Av. Ermano Marchetti, 1.435 CEP: 05038-001 - Lapa - S~o Paulo - SP Tel.: (11) 2178-8686- Fax: (11) 2178·8688 e-mail: vendas@pearsoned.com Ed ,e 1naaa 1 Sumario PARTE I - ESTATISTICADESCRI T! VA Capitulo 1 lntroducao aestatistica Onde escamos ..................... . .. . ..... . ................ . . .. .... .. .. . .. . ...... 2 Pora onde vamos ..... . . . ..... . .. . .. .. . . .. . .. . . . . .. . . . ...... .. ...... . .. ..... .... .. .. 2 I.I Uma visao geral sobre estatistica ..... . . ..... ........ ......... . .. . .. . .. . .. . .. ... . 3 l.Z Classifica~ao dos dados ............................................... ......... 8 Estudo de caso: dassificando os programas de TV nos Estados Unidos . .. . . . • .. • .. • . . . . . 14 1.3 Planejamento experimental .. . .. . .. . ... ... ... .... ......... . .... .. ... .. . .. . .. . . . 15 Usos e abusos - estatistica no mundo real. . .. . . . .. . . . ... . . . ... . . .. . .... . . . .. . ... . . 24 Resumo do capitulo . .. .. . .. . .. ... ............ . ..... ..... .. ........ .. . .. . .. ... 25 Exercicios de revisao .. .. . . . . . . . . . . . .. .. .. . .. .. . . ... . . ..... ... . .. . .. . . . . . . . .. . . . 26 Teste do capitulo . . ... .. . .... . . . . . . . .... . .... . . ................ . ..... . . . . .. . . . 27 Juntando tudo..... .. . ... . . ...... ... . .. . • . •.• . .. • •• . . • . •• . .. . . . . • . •••• .. . . . 27 Hist6ria da estatlstica - linha do tempo .... .. .. . ... . . . .. ..... ......... .. ...... 28 Tecnologia: usando a tecnologia na estatfstica . . . . ... ... .. .. ... . . ..... . .. . .. . ... 29 (apitulo 2 htatistirn descritiva Onde estamos .. .. . . .... .. .. .. .. . ... .... ........ . . .. .. ....... ... . . . . ..... . .. . . . . .. 3 1 Pora onde vamos . ... ... ... . ... .. . .. . .. . ...... .. .. . . . . .. . . . . . . . .. .. . . . .. . .. . .. .. . . . 31 Z.I Z.Z Distribui~Oes de frequencia e seus graficos . .. . ... . . . ... . ...... .. .... .. ..... . .. . . . 32 Mais graficos e representa~Oes ............................... . .. . .. . .. . . .. ..... 44 ZJ Medidas de tendencia central . .. . .. . .. . . . . . . . . . . ... . ... . .. . ..... . .. . .... .. . . ... 55 Z.4 Medidas de varia~ao .. . .. . .. . .. . .. .... . .. .. . ... . . ..... . .. . .. .. . . . ..... .. . ..... 67 Esludo de caso: ganho dos atletas . .... . .. . . . . .. . .. . ..... . .. .. . . ..... . ..... . .. . . . 82 Z.5 Medidas de posic~o . .. .... .. . ..... . .. . . . .. . ............ . .... .... .. . .......... . 83 Usos e abusos - estalfstica do mundo real ..... ..... . ..... . ..... .. . . .. . ........ ... 94 Resumo de capitulo . .. . .. . .. . .. . .. . .... .. ..... .. . ..... . .. .. ... . . .. . .... . .. . . . . 95 Exercicios de revisao .. . .. . .. . ..... . .... . .. . . . . .. . ..... . .. . . ..... .. .. . .. . .. . . . . 96 Teste do capitulo . ...... ... . . .. .. . . .... . .. . .. . .. . .. . .. . .. .. ........ .. .. . .. . . . . 98 Juntando tudo . . . .......... . .. . .. . .... . • . . • .. •. . •. .•....... •.. • .. • .. • .. • ..... 98 Tecnologia: produ~ao mensal de leite ....... . .............. . .. . . .... . .. . ....... . 99 Usando a tecnologia para determinar estatisticas descritivas ..... .•.. • .. •. . • . . . .... 100 Ed ,e 1naaa 1 vi • [1w ls1ic..pfiCdda PARTE 1 - PROBABILIDADE EDISTRIBUl(UES DE PROBABILIDADE Capitulo 3 Probabilidade Onde estamas . . . . .. . ..... . . .. .. . .. . . . .. . .. . ..... . .. . . ..... . . ....... ... .... .. . . 104 Para onde vamos ... . .... . .................... . .. .. . . .. ... . .......... . ..... . ..... . 104 3.1 3.Z 3.3 3.4 Conceitos basicos de probabilidade e contagem . ... .... .... ... .... .. ... . .... ... ..... . 105 Probabilidade condicional ea regrade multiplica~ao .. . . • . ....•......•..•..•• . .. . 119 A regra da adi~ao . . . . . .. . ....... . . . ..... . . .. . .. . .. ... . .......... . ............ 128 Estudo de caso: probabilidade e estrategias para encontrar vagas no estacionamento . . .. . . 137 T6picos adicionais sobre probabilidade e contagem . ... . ...... . ........ . . . . . . ..... . 138 Usos e abusos - estatistic<1 no mundo real. . . . . .. . .. . .. ... . . . ...... . . ...... . .. .. . . 147 Resumo do capitulo ... . . ... ... . . ... . . . .... . . .. . .. . ... . . . .......... . . .. .. .. . . 148 Exercfcios de revisao . ......... . . . .... .. .. .... . . . . . . . .... . . . ... . .. . . . .. . . . .. .. 149 Teste do capitulo ... . . .. , ............. . .. . ..... . .... . . . . . ...... .. .. . . .. .. .... 151 Juntando tudo . . . . . . .. . . . . ... . . . .. .. . . . . . . . . . .... . ... . .. . .. . .. . ... .. . . • . . ... 152 Tecnologia: simula~ao - compondo uma variancia de Mozart com dados . .. . ..• . ... 152 (apitulo 4 Oistribui,oes deprobabilidades disuetas Onde estomos . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . , . . .. . .. . ... ............ . ..... . . .. .. . . 154 Pora onde vomos . .. . .......... . ... . . .. .. •. . •.. .. . . .. .... . . . .. . •. . . •. ..... .. •. .. . . 154 4.1 4.Z 4.3 Distribui~oes de probabilidades . ... . . • . . • . ...... . ...... . .. . .. . . • . . • . . • .. • . .. .. 155 Distribui~oes binomiais...................... .. ... . .. .... . . .. . . • . .• . .•..•..... 165 Estudo de caso: distribui~o binomial de acidentes de avi3o ... . .. . .. • . • ..•..•..•..... 178 Mais distribui~oes de probabilidade discretas .. ... .. . . . .. . .. .. . . . ... . . .. . . .. .. . . .. . 179 Usos e abusos - estatistica no mundo real. .. . .. . . .. . .. . .... . ..... . ..... . .. . .. .. . . 185 Resumo do capitulo . . .. . . .. . . .. .. . .. . .. . . .. . .. . ....... . . . .. . . .. . .. . .. . . ..... 186 Exercicios de revis3o . . .... . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . .. .. . . .. .... . . . . .. . .. . .. .. . . 187 Teste do capitulo ...... ..... . ... . .. . .. . ..... . .. . . ...... . ...... ........ . .. .. . . 189 Juntando tudo ..... . .......................... . ......................... . .. . 189 Tecnologia: usando a distribui~o de Poisson como modelos de Q.ueuing . .. • . • . .. . . 190 Capitulo 5 Oistribui,oes de probabilidades normais Onde estomos ..... . .... .. .... ...... . ..... . ........ . .............. . .............. 192 Pora onde vamos .... .. .... ............. .... ..... . .. . .. .......... .... . ........ . .. . 192 5.1 5.Z 5.3 5.4 5.5 lntrodu~ao a distribui~ao normal e distribui\:iio normal padrao.... ..•..•..•. . • ..... 193 Oistribui~6es normais: encontrando probabilidades . .. . .... .. .. . . . .. . •• . •. . •. .... 204 Distribui~6es normais: encontrando valores .. . . . .... . .... . . . ................ .. .. 210 Estudo de caso: pesos de belles nascidos nos Estados Unidos . . .. . •...•..•..•..•. .... 217 Distribui~6es de amostragem e o teorema do limite central . .. . .......... ..... .... 219 Aproxima~oes normais para distribui9oes binomiais .. . .... . . . . •...•. . •..•..•• .. . . 232 Usos e abusos - estatistic<1 no mundo real. .. . ... . .. . .. . . . . . ... .... . . . .. . .. . . . .. .. 241 Resumo do capitulo . . .. .. . ... . . . ..... .. . . .. . ........ . . . . . . ..... . ...... . . .. .. 242 Exercfcios de revisao .. . ....... . ......... . ............ . ... . . .. .. . ............. 243 Teste do capitulo . . . . ... , ..... . . . ..... . . . ... . ..... . ... ........ . . ...... . . . .. . .245 Ed ,e 1naaa 1 S•m!rio vii Juntando tudo • .. •... .. . .. . . .......... .. . .. .... . ..... . .. .. •.•. • .. • .. . . .. .. . .245 Tecnologia: distribui~o de idade nos Estados Unidos ......•.... • .. . .. •.. ••. . .. . .246 PART[ l - (STATlmcA INHHNCIAL Capitulo6 lntervalos de confian(a Ondeestamos .. . . .. . .. . .. .. ... . . .. . .. . .... .. ....... . ..... . ..... . .. . .. . .. .. . . .. . .250 Pora onde vamos .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . .... .. . . .................... . ..... . ....... 250 6.1 lntervalos de confian~a para a media (amostras grandes) ........... . .. • ..... .... .251 Estudo de caso: altura dos ombros dos ursos negros dos Apalaches .. • . .. . .•••. . . .. .. . .261 6.Z lntervalos de confian~ para a media (amostras pequenas)........•. . .. • .. . .. . .. . .262 6.3 lntervalos de confian~ para as propor~<les populacionais .• .. ...••.• ... • •• • •. . •. . •270 6.4 lntervalos de confian~ para variancia e desvio padrao ... . . . .. .. . . •. . .. • •. . . .. •. . . 278 Usos e abusos - estatfstica no mundo real. . .. ..... . ........... . .... . .. . .. . .. . .. . .283 Resumo do capitulo ........ . ............•. •. . • . . •..•. . ... . . . .. . ..... . .. . .. . .284 Exercicios de revisao .. . .. .. . .. . . . .. . . . . .. . . ..... . ..... . .. .. . . ..... . .. . .. . . ...285 Teste do capitulo . .... .. . .. . . .. . .. . .... .. ..... . ................ . ..... . .. . .. . .287 Juntando tudo .... . ... ............. .. .... .. ................. .. . ..... . ..... .. 288 Tecnologia: a Gallup Organization .. . . .. . .. . . .. .. . . ..... . .. . ..... . .. . .. . ..... . . 289 Usando a tecnologia para construir intervalos de confian~a ....... • . . ........ . ..... 290 Capitulo7 Testes de hip6tese com uma amostra Onde estamos .. .. . . .. . . .. .. . . .. . .. . . .. . . •.. . . . .. . •. . ..... . .. . .. • .. . .. . .. . . .. .. . . 292 Poro onde vomos ................ . ... . .... . . . . ..... . ..... .. ............ . .. . ....... 292 7.1 lntrodu~ao aos testes de hip6tese .. . .... .. . . ..... . ..... . .. . .•... .... .. . . .. .. . .293 7.Z Testes de hip6teses para a media (amostras grandes) . . . ..... . ... .. . . .. .... . ..... 305 Estudo de caso: temperatura corporal humana - o que e normal?. ...... . ..... . . .. . .. .319 7.3 Testes de hip6tese para a media (amostras pequenas). . ..... . . .... . . ..... . . .. .. . .319 7.4 Teste de hip6tese para propor~oes .. . ..... . .... . .. ......... . .. . .. . .... .. ..... . .327 7.5 Teste de hip6tese para variancia e desvio padrao . ...... . . .. . ... . .. . .. . .. . .. . .. . .333 Usos e abusos - estatfstica no mundo real .. .. .. . .... .......... . . . .. . .. . .. . . . ... . .340 Resumo do capitulo ..... . ............. .. . . . .. . ....... . ..... . .. . .. . . .. .... . . .343 Exercicios de revisao . . .. .•.. • ..• . . • .. • .. • .. ... • .. ... . ..... . .•..... , . . • . . .... . 344 Teste do capftulo ..... . .. . .. . .. ....... .. . ... . . .. . .. . .. ... . .. .. . . . .. .. . .. ... . .346 Juntando tudo ... .. ..... .. .... .. ..... ... . .......... .. ...... ........ . . .. . . .. .347 Tecnologia: o caso das mulheres desaparecidas . .. • . ...•....... •. . • .. • .. • .. • .. . .347 Usando tecnologia para efetuar testes de hip6tese ......•.......... • .. • ..... • .. ..349 Capitulo8 Testes de hip6tese com duas amostras Ondeestamos ......... . . ....... . ..... . .. .. .. .. ......................... .. .. . .. . .351 Poro onde vamos . . . .. . ....... . .. . .. .. . ....... . . ... . ................... . .. . .. . .. .. 351 8.1 Testando a diferen~a entre as medias (amostras grandes e independentes)•. .. . . •. . .352 Estudo de caso: dietas e perda de peso . .. ....... . .. . . ..... . .. .. . . .. .... .. . . .. .. . .361 8.Z Testando a diferen~ entre as medias (amostras pequenas e independentes) . ...•. . .362 Ed ,e 1naaa 1 viii • f11a1~1ICtapliC1d• 8.3 Testando a diferen~a entre as medias (amostras dependentes) . . . . .• . .•..•..•. .. . .369 8.4 Testando a diferen~a entre as propor~oes . .... .................. ........... . . ... 377 Usos e abusos - estatlstico no mundo real. .. . . .. . . . ... . .. . . .. . .. . .. . .. . .. . . . . .. . .383 Resumo do capitulo . . . . . . .. . .. . .. . . .. . . ...... .. .. . .. . . .. . . .. . • ..• . . • .. • . .. . . 384 Exerdcios de revisao . .. .. . . . .. . .... .. . . . .. . . .. .... . .. .. . . .. . .. . .. . . .... .. .. .. 385 Teste do capitulo . . . . ... . . . .. . . . . .. . . . . . . . .. . .. . . .. .. . . .. .. . . . . . . .. . . . . .. .. . . 387 Juntando tudo ... ... . .. . .... .. .. . ...... .. .... . . . .. .. . .... .... . . .. . . .... . . .. .388 Tecnologia: cara ou coroa ... ... . . . ... . . .... .. .. . . . . . . .. .. . . . . .. .. . . . •. . • . . . . .389 Usando tecnologia para efetuar testes de hip6tese de du as amostras . . .... •. . .. .. . .390 PARU 4 - MAIS IHHREHCIAS ESTATiSTICAS Capitulo9 Correlacao ereqressao Ondeestomos ... . . . . . .. . .. .. . . . .... ... .. ... ... . . .. . ... . . . . .. . . . . . . . .. . . . . .. . .... 394 Poro onde vomos . .. . .. . .. . .. . .. . . .. . . . .. . . . . ... .. .... .. .. . ... ..... . .. .. .. ... . .. . .394 9.1 Correla~o... .. .. .. . .... . . ..... . .... . . . . .. . . ..... . .... .. ... . .. . .. . . . . . .. .. .. 395 9.2 Regressao linear.. . ..... . .... . . . .. . . .. .. . . .. . .. . .. . .. . . .. .. . . . . . . . . . . . . . . . .. .409 Estudo de caso: correla<;ao da medi<;ao dos corpos ... . .. ............ . .. .... .. .. . .. . 417 9.3 Medidas de regressao e intervalos de previsao . . . . .. .. . ... . . .. . . . . . . . ... . . . . . .... . 419 9.4 Regressao multipla .. . ..... .. ......... . . ........ . .. ... .. . ... . . . .. .. . . .. .. .. . .427 Usos e abusos - estatistico no mundo real. . .. . .. . .. . .. ..... .. . . . .. .. .. ....... . .. .431 Resumo do capitulo . ..... . ..... .. .... . ....... .. .. . .. ... .. .. ............. . .. .432 Exerdcios de revisao . . .......... ... .. .. . .. .. .... .. ........ .. ... . .. .... . ..... .433 Teste do capitulo . . . .. . . .• . •• . •. . . • . •• . .. . •. . .. . . .. . .. . .. . .. • . .• . •. . •. . • ... . .435 Juntando tudo . ................ . .. . .. . ..... . ..... . .. .. . ...... . .. ........ . .. .436 Tecnologia : U.S. Food and Drug Administration FDA . .. . . .. . . . . .. . . .. . •..•• . •. .. . .437 (apitulo 10 Testes qui-quadrado ea distribuicao F Ondeestomos ..... . .. . ..... . ..... . .. . . . ........ . ..... . .. ..... .. .. .... .. .. . .. . .. .439 Poro onde vomos . .. . .. . ....... . . .. . ........ . .. .. . .. . . .. .. . .. . .. . .. . .. . .. .. .. . . .. .439 10.1 10.2 Testes de ajuste .. . ............. . .. . .. . .. . .. . .. . . . . .. . . . . . .. . . .. . .. . ..... .. . .440 lndependencia . .. . . . . .. . • .. •. . • . . • .. • .. • . .. . .. . .. . . . . .. . . .. • . •. . •. . •. . •. .. . .450 Estudo de caso: fatos sobre a seguranco no transito . . . . . .. . .. . .. . .. . . • . . •. . • . . •. .. . .460 10.3 Comparando duas variancias ...... . .. .. . .. . ... .. . ... .. . .... .. .. .. .. .... ... .. . .46 1 10.4 An~lise da variancia • . ..•.• . .•• . . .. • . .• . .• . •. . .• . . .. .• . . . . • .. . . •• . • • . •• . •. .. . .469 Usos e abusos - estatlstica no mundo real. . ... .... . . .. . .. ... .......... .... .. .... . 478 Resumo do capitulo .. .. . . . ... . . . .. .. . . .. . .. . .. . . .. .. . . .. .. . . . . . . . . . . . . .. .. . . 479 Exerdcios de revisao .. ........ .... .. . . . ..... . .. . .... . .. .... . ...... . .... ... .. .480 Teste do capitulo . .. . .. . .... .... .... . .. .. ..... . . .. . .. . ..... . ... . .. .... .. . . .. .482 Juntando tudo . . . .... . . . .. . . . . . . . .. . ... . .. . . . . ..... . . . .. . .. . . • .. •. . • .. . . .. .. 482 Tecnologia: salarios de professores ... . ... . ... . . . . . . . .. . . .. . . .. . •. . • ... . . . .. . . .483 Ed ,e 1naaa 1 lrm!1io Capitulo 11 ix Testes nao parametricos Onde estamos ............... .. . . ..... . .. . .. . . . . .. . ..... . . . ........ . .. . .. . ..... . .485 Para onde vamos . .. . ..... . ... •..... . .... . •.. . . . .. . .. . ..... . .. .. . • .. . .. • .. . . .. .. . .485 11.l Teste dos sinais .. . . .. .. .... . ..... . . .. .... . .. . .. . ........... . ..... . .. . .. . .. . .486 11.2 Teste de Wilcoxon • .. . .. . .. . .. . . .. . . .. • .. . . .•..• . ...•....... • •• • .. • .. • .. . . .. .494 Estudo de caso: ganhos per diploma universiMrio .. . . .... . ..... . ... . .. . .. . .. .. . .. . . .502 11.3 11.4 11.5 Teste de Kruskal·Wallis .................................. . ... . .. . .. . .. . .. ..... 503 Correla~ao de postos..... . .. . .. . . .. .. . . .. ................... .. . . .. . .. . .. . .... 507 Testes de corridas ............. .. . ...... .. . ............ . ....... . .. . .. . ..... .. 512 Usos e abusos-estatfstica no mundo real. .. ...... . ..... . .. . .... . .. . .. . .. . ....... 519 Resumo do capitulo .. ...... . .... .. .. .. . ... ... . ..... ... ..... . .. . .. . .. . ..... .. 520 Exercicios de revisao .. . .. . .. . . . . . .. .. . . ... ... . . .... . . . .... .. . . .. .. . .. . . . . . .. .521 Teste do capitulo .. . .. . .. . .. . ........... . ... . . . . .. . .. . .... . .. . .. . . .. . . ... . . . .523 Juntando tudo .... . .... ...... . .. . .... . . ..... . .. ... . .... .. . . .. . .. . .. . . .. ..... 524 Tecnologia: renda nos Estados Unidos e pesquisa economica . . . . • . . • .. • .. • .... .. .525 Apendice A A Apresenta~o alternativa da distribui~ao normal padrao.... . •• .. .•. . • .. •. . • .. • ... .. A2 Apendice B B Tabelas. . .. . .. . . . . . . . . .. . ..... . .. .. . . . . .. . ..... . ..... . . ... . . .. . .. . .. . . . . .. . . .A7 Apendice C ( Representa~iies de probabilidade normal e seus graticos. .. ... . .. • .. . .. • .. • .... .. .A30 Respostas dos exercicios Tente voce . . . .. .. • .. • .. • . . ... • . . ... . . • .. • .. • .. • . .. .. . .A32 Respostas dos exerdcios selecionados... .. . . . . . . .. . . ........ . . . .. . .. . .. . .. . .. . .A5 I fndice de aplica~iies . .... . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . ........ . ....... . .. . .. . ..... ..626 fndice remissivo ... . ..... . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. ..... . .. ... . ..... . .. . .. ... . .632 Sobre os autores .... . ... . ..... . .. . . . . .. . . . .. . .. . .. . .. . .. .. . . . .... . .. . .. . .. . .638 Ed ,e 11naaa , PAGINA EM BRANCO Ed ,e 1naaa 1 Prefacio Bem-vindo ~ quarta edi~iio de Estntfsticn nplicndn. Somos gratos pela impressionante aceitai;.\o e pelo apoio ~s tr~ primeiras edic;Oes. ~ gratificante saber que nossa visiio ao combinar teoria, didatica e planejan1ento para exemplificar o uso da estatrstica para retratar e descrever o mundo tern ajudado estudantes a aprender sobre a estatrstica e a tomar decisiles fundamentadas. I (aracteristicas da quarta edi~ao \\ll~ll\ A.berturadepartei Os assuntos deste livro sao agrupados em quatro partes: Estntfstica descritivn, Probnbilidnde e distrib11i{iles de probnbilidnde, Estntfsticn i11fere11cinl e Mais i11fereucins eslntfstic.ns. Cada parte apresenta um agrupamento natural de assuntos dentro de um cenario mais amplo da estatistica. A.berturade<ap[tulos No inicio de cada capitulo, a sei;.10 011de estnmos mostra como o capitulo se encaixa em um cenario mais amplo da estatistica, relacionando-0 aos t6picos estudados anteriormente. Em seguida, a se~ao Pnm 011de vnmos fornece uma visao geral do capltulo, explorando conceitos no contexto do mundo real. Orqanizai!odoscapitulos Cada caprtulo eorganizado por objetivos de aprendizagem, os quais sao apresentados na se«io 0 q11e voe€ deve npre11der, apresentada em t6picos que us.1m linguagem cotidiana. Os mesmos objetivos s.io, entao, us.1dos como subtltulos ao longo do capitulo. Exemplospassoap.issoinlilulados Todo conceito no livro eclaramente ilustrado com um ou mais exemplos passo a passo. A maioria dos exemplos conta com um passo para sua interprela~ao, mostrando como a solu~ao pode ser interpretada dentro de um contexto da vida reaJ. Este passo adicional promove o pensamento critico e habilidades de reda~ao. Cida um dos mais de 210 exemplos ~nu merado e intitulado para mais ~cil referencia e consul ta. Tentevoci Os exemplos s.io seguidos por exerdcios similares chamados Te11te voce, de modo <JUe se possa imediatrunente praticaro que foi aprendido. As respostas dessesexercicioss.io fornecidas no final do livro. Definiiiiel Conceitos importru1tes contam com defini~ fonnais sempre seguidas de instrui;oes que explicam, usando Jin· guagem simples, como aplicar tal defini~o. lnllruioes Em todo o livro, a apresenta~o de uma f6rmula estatfstica eseguida de um conjunto de instrui;oes passo a passo scl>re sua aplic~o. Em alguns casos, as instru~ sao divididas em duas colunas: Em pnlnvms e Em sfmbolos. Dicas deestudo Oicas de estudo presentes nas margens das paginas mostram como ler tabelas, usar tecnologia ou interpretar resultados ou grMicos. ~etlatandoomundo Cada capitulo traz um 'mini estudo de caso' da vida real chamado Retrntmutoo 1111111do, que ilustra o conceito (ou conceitos) importante de cada se~ao. Cada Retmtm1rlo o 1111111rlo se encerra com uma questao e pode ser usado para uma discussao mais geral em classe ou para um trabalho em grupo. lxemplosde ternologia Muitas sei;oes trazem exemplos que mostrrun como a tecnologia pode ser usada para calcular f6rmulas, f:azt>r testes ou mostrar dados. Tais exemplos sao ilustrados por telas do MlNffAB, do Excel e da Tl-83/ 84. 5ao fomecidas tambem telas adicionais no fim de c.ipitulos selecionados. lmportante Notas nas margens das paginas ajudmn a guiar importantes interpreta~Oes ou cstabelecem relac;Oes entre difeientes conceitos. Exercicios Os grupos de exercicios desta quarta edi~o incluem mais de 2.100 exercicios, oferecendo pratica em realiza~ao de calculose tomada de decis0es, e fornecendo explica~Oes e aplic.ic;Oes de resultados em situai;oes de vida real (aproximadamente 40%dos exerdcios s.io novos ou foram revis.'ldos). Os exerdcios sao divididos em trus ~<les: Ed ,e 1naaa 1 Co11str11i11do /Jabilidades btisicas e co11ceilos: sao exerdcios de respostas curtas, verdadeiro ou falso ou elaborados usando vocabul~rio cuidadosamente selecionado para facilitar seu entendimento. Usa11do e illterpreta11do co11ceitos: sao problemas qtte envolvem habilidades ou palavras que variam do desenvolvimento de habilidades Wsicas a problemas mais desafiadores e interpretativos. Expa11di11do co11ceitos: sAo exercfcios que vao alem do material apresentado na se~Ao- tendem a ser mais desafiadores e nao sao pre-requisitos para as sei;oes subsequentes. \l.ll~ll'. Resumodocaprtu!o Cada capftulo e finalizado com um resumo que responde ~ pergunro 0 que voce apre11de11? Os objctivos de estudo s.'io relacionados aos exemplos da se¢o, hem como aos exerdcios de revis.'lo. !xerdcios de revisao Uma serie de exerc!cios de revis.'io segue cada resumo do capftulo, e a ordem dos exerclcios obedece ~ organiza<;ao do capflulo. As respostas para os exercfcios fmpares silo dadas no fim do livro. Testedocapilulo looo capitulo termina com um teste e as respostas para todas as questiles do teste sao fornecidas no final do livro. \l.ll~ll'. Atividadesapplet Se¢es selecionadas contem atividades que levam a investiga~Oes interativas sobre os conceitos da lii;-ao, com exercfcios que pedem aos estudantes que tomem decisiies. Os applets de acompanhamento estao disponfveis no site do livro. Utudo de caso Cada capftulo apresenta um estudo de caso que traz dados atuais em contexto da vida real e questoes que ilustram os conceitos mais importantes do capftulo. \l.ll~ll'. Usos eabusos -estatistica no mundo real Uma discussao sobre como as tt!<:nicas estatfsticas podcm ser usadas e sobre abusos co- muns esta presente cm todos os capi\ulos. A discuss.10 agora inclui ~tica, quando apropriado. Os exercfcios ajudam os estudantes a aplicar seu conhecimento. utatistica real - deci~ reais Esta ~ao encoraja os estudantes a pens.1rem criticamente e a tomarem decis0es embasadas em dados reals. Os exercfcios guiam os estudantes desde a interpreta~ao ate a chegada ~ conclus0es. Projeto tecnologi<o Cada capftulo tem um projeto tccno16gico usando MINITAB, Excel e Tl-83/84, que fomece ao estudante uma vis.'io de como a te01ologia e us.1da para lidar com conjuntos de dados grandes ou situa~<'ies de vida real. \l.ll~ll'. Revisaoacumulada Uma revisao acumulada, no fim dos capftulos 2, 5, 8 e 11, conclui cada uma das: quatro partes do livro. Os exercfcios estilo dispostos em ordem aleat6ria e podem incorporar ideias multiplas. Algumas respostas selecionadas desses exercicios s.;o dadas no final do livro. \l.11~111. Respostasusandotecnologia As respostas dadas no final do livro est~o em tabelas. As respostas encontradas com o uso da te010· logia tambem estiio incluidas quando ha discrepancias de,•ido a arredondamentos. \l.ll~ll'. Reqmdearredoodamento As regras de arredondamento estiio nas dicas de estudo dos calculos. \1.11~11'. Abrangiflciadocurso Em resposta as sugestc5es de instrutores de esrotfstica, o seguinte conteudo e novo ou revisado: • No Capitulo l, sele~ao aleat6ria, fontes de tendenciosidade na amostragem e pesquisa, tratamentos, grupos de controle, unidades experinlf:!Jltais, atribuit;Oes aleat6rias, replicat;ao.. fontes de tendencios-idade e confusao foram adicio- • • • • • • • r41das. Uma cobertura adicional de planejamento experimental foi incorporada para cobrir diferentes tipos de experi· mentos que podem scr us.1dos por pesquis.1dores. No Capitulo 2, agrupamentos e lacunas foram adicionados a 2.3 Medidas da tendencia central. No Capitulo 3, os t6picos Coram reorganizados para aprescntar os princfpios de contagem no infcio do capftulo. Diversos exemplos foram inchrfdos. No Capitulo 6, propriedades dos pontos estimadores foram inseridos. No Capitulo 7, o poder do teste e definido. No Capftulo 8, as definic;Oes de amostras dependentes e independentes estao agora presen.tes no inicio do capilulo. No Capitulo 10, a cobertura do teste de ajuste qui·quadrado foi aumentada para cobrir as d istribuii;Qes qui·quadrado. Frequencias marginais e conjuntas para tabelas de contingencia tambem foram adicionadas. No Apendice C, adicionamos groficos de probabilidade normal. Esta discussao foca em como avaliar a normalidade em grupos de dados pequenos. Ed ,e 1naaa 1 l'r•l!cio xiii I Mantendo a for'a didatica da terceira edi,ao A.borda~mqrafica Como a maioria dos livros de introdui;ao a estatistica, coml!\amOS o capnulosobre estatistica descritiva com uma pesquisa sobre as diversas maneiras de representar os dados graficamente. Uma difereni;a entre este livro e os muitos outros eque continuamos a incorporar a representa~ao grafica dos dados durante toda a obra. Por exemplo, veja o uso de gnlficos ramo-e·folhas para representar os dados nas paginas 317 e 319. Esta enfase nas representa~aes grMicas e benefica para qualquer estudante, especialmente aqueles que usam estrategias de aprendizagem visuais. A.bo1da~m ponderada 0 livro oonsegue alcan~ar um equilfbrio entre cakulo, tomada de decisfo e entendimento oonceitual. Fornecemos muitos exemplos, exercfcios e exercfcios 'lente v~ que vao alem dos calculos. Variedade deaplicacoei na vidareal Esoolhemos aplica~ na vida real que sao representativas para os estudantes dos cursos introdut6rios de estatistica. Queremos que a estatfstica seja viva e relevante para os estudantes d:e modo que eles entendam a importiincia do raciocinio do estudo da estatistica. Queremos que as aplica~ sejam autenticas - mas tambem acessfveis. Veja o fndice de aplica\()es na pagina 11. Dadose linha1das fontei Os co1tjuntos de dados deste livro foram escolhidos por inten.'SSe, variedade e adequa~o para ilustrarem os conceitos. Amaioria dos mais de 240 conjuntos de dados oonMm dados atuais e suas fonles. Os conjuntos de dados remanescentes contem dados simulados que ~o representativos de situa~ da vida real. Gonjuntos de dados contendo 20 ou mais entradas estao disponfveis no site de apoio do livro e os grupos de exercicios disponiveis eletronicamente s.io indicados pelo icone {'~ . Te<noloqia flexiwl Embora a maioria das f6rmulas no livro seja ilustrada com calculos 'manuais', assumimos que a maioria dos es!udantes tenha acesso a alguma ferramenta tecnol6gica, como MINITAB, Excel, Tl-83 ou Tl-84. Devido ao foto de a toecnologia variar muito, tomamos o texto acessfvel: ele pode ser usado em cursos com nao mais do que uma cakuladora cientifica 011 em cursos que requerem uso frequente de ferramentas tecno16gicas so6sticada.s. Qualquer que seja seu uso da temologia, temos certeza de que voce oonoorda que o objetivo deste curso nao seja o calculo, mas sim levar ~ compreens:lio de conceitos basicos e usos da estatistica. Prr·requisitos Fizemos esfor~s para manter as manipul~ies alg~bricas em um minimo - frequentemente mostramos vers-Oes informais das f6m1ulas usando palavras no lugar de ou em adi(ao a variaveis. lscolha das ~belas Nossa experiencia mostrou que os estudantes acham mais facil us.v uma tabela de fun~io cumulativa de densidade (mF) do que us.'11' uma tabela '0-a-z'. 0 uso da tabela O)f para encontrar a area abaixo da curva normal~ o topioo da ~ao 5.1 nas paginas 1%-200. Sabendo que alguns professores preferem usar a tabela 'O a z', fornecemos uma apresenta(ao alternativa deste t6pico no Apendice A. I Encontrando os padroes PadrOei MM. AHATY~ Nffil Este livro respondc ~. necessidade de um livro que seja amigo do estudante e que enfatize o uso de estatistica. Nossa experiencia indica que o trabalho como professor nao ~ criar eslatisticos, mas sim criar oonsumidores in· f<>rmados dos relat6rios estatistioos. Por esta razllo, incluimos exercicios que requcrem que o estudante interprete rcsultados. f()m~a explica~ escritas, enoontre padr<ies e tome decisOes. Decisoes GAISE Fundada pela A111ericn11 Statisticnl Associatiou, o projeto Guias para Avalia(ao e h1stru(ao na Educa(ao Estatfstica (GA ISE) desenvolveu seis recomenda(Oes para o ensino de estatfstica introdut6ria em cursos supcriores. Saoelas: • Enfatizar a alfabetiw~o estatfstica e dcsenvolver o pensamento estatistioo. • Us.~r dados reais. • Enfotizarentendi111ento ronceitual em vez de mero oonhecimento de pl'OCl.>dimentos. • Estimular o aprendizado ativo em sala de aula. • Us.ir a tccnologia para dcsenvolver o entendimento conceitual ea analise de dados. • Usar avalia~Oes para melhorar e avaliar o aprendizado do aluno. Os exemplos, os exercicios e as caracterfsticas deste livro atendem a todas essas recomenda~<les. Ed ,e 1naaa 1 xiv • I ls1a1r11i<aapli"d' Site de apoio Recursosparaeitudantei 0 site de apoio deste livro oferece aos estudantes: • • Dicas de como estudar estatfstica - um guia rapido apresenta dicas de como aperfei~oar o estudo da estatfstica e facilitar seu entendimento. Companion • Principais f6rmulas- um csquema apresenta as principais f6rmulas de cad a capitulo. Website • Correlac;iio de applets - uma listagem resume os applets, os conceitos que abordam e sua descri\iio. • Applets - applets para serem utili1.ados nas atividades intcrativas propostas ao longo do livro. • Conjuntos de dados - conjuntos de dados contendo 20 ou mais entradas e nos quais se baseiam alguns exerdcios do livro estAo disponfveis para consulta. • Exerdcios adicionais- atividades propiciam priltica extra sobre o conteudo de cada capftulo do livro. Recurso1 para professores· Os professores que adotam este Ii vro contain com: • Manual de solu~es (em ingles) - resolu~iio dos exercicios contidos no livro, devidamente identificados por se~. • Apresenta~ em PowerPoint - slides editaveis que acompanham o conteUdo de cada capitulo e que podem ser utilizados durante as apresenta~Oe5 em sala de aula. ' f$St!S mnterinis sao de 11so excl11sivo do professor e eslffo protegidos por seulm. Pam 1,,, net'SS<> a cles, os professores que ndotnm o livro de-<Nt111 eufrnr c111 coulnto co111 seu reprt."Set1lnule Penrscu on euuiar ,,,,, e-u1ail 1K'ra u11iversildriO'S@penrso11ed.co111. Ed ,e 1naaa 1 Agr~decimentos Devemos agradecer aos muitos revisores que nos ajudaram a fonnatar e refinar Estntfstic.a nplicndn, quarta edi~ao. Rosalie Abraham, Florida Community CoUege at Jacksonville Ahmed Adala, Metropolitan Community College Polly Amstutz, University of Nebraska Kearney David P. Benzel, Montgomery College C.=I Curtis, Fresno City College David DiMarco, Neumann College Harold W. Ellingsen, Jr., SUNY-Potsdam Michael Eurgubian, Santa Rosa Jr. College Sandeep Holay. Southeast Community College, Lincoln Campus M. Kazemi, University ·of North Carolina I Revisores das edi~iies anteriores Frieda Canter, California State University David Kay. Moorpark College Benny Lo, DeVry University, Fremont Mike McCann, Ventura Community College Julie Norton, California State University-Hayward Lynn Onken, San Juan College Agnes Tuska, California State University-Fresno Jean Sells, Sacred Heart University Sonja Hensler, St. Petersburg Jr. College Nancy johnso1i Manatee Community College Susan Kellicut, Seminole Community College Jeffrey Linek, St. Petersburg Jr. College Diane Long, College of DuPage Elisabeth Schuster, Benedictine University Carole Shapero, Oakton Community College ling-Xiu Wang, Oakton Community College Sandra L. Spain, Thomas Nelson Community College Charles Ehler, Anne Arundel Community CoUege Rita Kolb, Cantonsville Community Colles• Neal Rogness, Grand Valley State University Jane Keller, Metropolitan Community College Vicki McMillian, Ocean County College Vicki L. McMillian, Ocean County College Lyn A. Noble, l'lorida Community College at Jacksonville-South C.1mpus Eric Preibisius, Cuyamaca Community College Melonie Rasmussen, Pierce College John Seppala, Valdosta State University Aileen Solomon, Trident Technical College Deborah Swiderski, Macomb Community College William J. Thistleton, SUNY-lnstituteofTechnology, Utica Clark Vangilder, DeVry University Ed ,e 1naaa 1 Dex Whittinghall, Rowan University Gary Egan, Monroe Community College Hyune-Ju Kim, Syracuse University Rowan Lindley, Il'estchester Community College Lynn Meslinsky, Erie Community College Cara DeLong, Fayetteville 'technical Community College Mohammad Kazemi, University of North Carolina- Charlotte Rhonda Magel, North Dakota State University G. Andy Chang, Youngstown State University Douglas Frank, Indiana University of Peru1sylva1\ia Michelle Strager-McCarney, Penn State-Erie, The Behrend College Okay Akman, College of Charleston Ginger Dewe); York Technical College Martin Jones, College of Charleston Lindsay Packer, College of dwleston Aileen Solomon, Trident ·1echnical College Jill Fanter, Walters State Community College John Bernard, University of1exas-Pan American John J. Avioli, Christopher Newport University Sandra L. Spain, Thomas Nelson Community College Keith J. Craswcll, Western Washington University Trunbem agradecemos cspecialmente ao pessoal da Pearson Education que trabalhou conosco no desenvolvimcnto desta quarta edi~o de Estnlislicn nplirodn: Deirdre Lynch, Dawn Murrin, Lynn Savino Wendel, Linda Mihatov Behrens, Diane Peirano, Wayne Parkins, Joanne Wendelken, Maureen Eide, john Christiana e Thomas Benfatti. Tambem agradecemos o pessoal de Larson Texts, Inc., que nos auxiliaram no desenvolvimento e na produc;lio do livro. Poessoalmente, agradccemos a nossos dlnjuges, Deanna Gilbert Larson e Richard Farber, pelo an1or, pela paciencia e pelo apoio. Tambem agradecemos especialmente a R. Scott O'Neil. Trabalhamos muito para fozer de Eslnlfslicn npliroda um livro limpo, claro e agradavel, que possa ser usado para o ensino ea aprendizagem da estatfstica. Apesar de todos os esfor<;os para assegurar a acuidade ea facilidade de uso, muitos usuarios terao, sem duvidas, sugestiies de melhorias as quais sempre seriio bem-vindas. Ron Larson, odx@psu.edu Betsy Farber, farberb@bucks.edu Ed1t11.11aa a Parte 1 [statistica descritiva Capitulo I lntroducao aestatfstica (apitulo Z [statfstica descritiva t1,[11.11§§§ Capitulo 1 lntrodu(ao aestatfstica Onde estamos V~ ja deve estar familiarizado com muitas das pra· ticas de estatislica, tais romo pesquisas, coleta de dados e descri~ao de popul~. 0 que voct! pode nilo saber eque a roleta de dadosestatlsticos precisose frequentemente dificil e tern um alto cuslo. Considere, por exemplo, a enorme tarefa de se contar e descrever a popula¢<> inteira dos Estados Unidos. Se v~ fosse o n!SpO<l53vel por tal censo, como o faria? Como voct! poderia ter certeza de que seus resulta· dos sao exatos? Essas e muitas outras preocupa¢es s.'lo de respons.1bilidade do U11itfti State> Ct11s11s 811rrn11 (811ren11 de Censo dos Estados Unidos}, que conduz o censo em todas as d<!cadas. Regi6es americ~nas com crescimento mais r.lpido R•giilo Para onde vamos No Capftulo 1, voe~ sera apresentado aos conceitos ba· sicos e aos objetivos da eslatfstica. Por exemplo, a estatistica foi us.1da para a constru<;ao dos graficos ao !ado, que mos· tram o rapido crescimento de regi0es dos Estados Unidos com 10.<XX> ou mais habitantes, de 20CO a 2005, e onde est3o as regiOes com os 100 crescimentos mais rapidos. de 200) a 2005. Quando conduz o censo, o 811ren11 envia formu16rios curios para toda a popula¢<> e pergunta sobre caracterlsti· cas como g~nero, idade, ra\3 e propriedade de im6veis. Um formulario maior, que cobre muitos t6picos adidonais, een· viado a 17% da popula~ilo. Esses 17% formam uma amostra. Neste curso, voce aprendera como dados coletados de uma am0$lra 5fto popula~~o. u~dos para in.fe rir caracterlsticas sobre unu• localiza~io das 100 rcgioes de crescimento mais r.lpido Sul 64.... Ccntro-ocstc 18.... Ed ,e 1naaa 1 C.phulo I Ill • l•troc!u<a0At1ldll~<i« Uma visao geral sobre estatistica Delini(ao de estatistica-* Conjuntos de dados --* Ramos da estatistica I Definicao de estatistica Conforme com~mos o curso, voce pode se perguntar: oq11e eestntfstica? Por q11e e·u rleuo t'>t111inr i>statlsticn? Como o est11rlo rln t'>tnllstica pode me njurlnr profissio11n/111e11te? Quase todos os dias somos expostos aestatistica. Por exemplo, considere os trechos a s.eguir, retirados de jornais e publica~6es recentes. • "As pessoas que comem tn.'s por~6es di arias de graos integrais t~m risco de sofrer problemas cardfacos reduzido em 37%." (Font.: 111w1.. c,.;,., C<>111~il.) • "Setenta p<>r cento dos 1.500 danos a espinha dorsal em menores de idade resultam de acidentes de carro e 6S dos feridos nao estavam usando o cinto de seguran~a." (r,,,,,,, UPI.) • "Espera-se que a produ~ao americana de carvao, que awnentou em 2.5% em 2006, sofra u1na redu~ao de 3,1%enl 2007." (fu111e: £nngy l1~for1r111tfo11 Arfmuii)lmlirin.) As l~ afirma~6es que vocc acabou de ler s3o baseadas na coleta de dados. efinicao Dados consistern em inform~0es Que ~m de observa~. contageos. medi~ ou respostas. As vezes, os dados saoapresentados graficamente.Se vocc alguma vez leu o l/SA TODAY, cerlamente ja viu uma das caracteristicas mais populares do jornal, os l/SA TODAY Sunpslwts. Cr<lficos que apresentam informa~ties de forma facil de ser entendida. 0 uso de dados estatisticos remonta aos oonsos feitos na antiga BabilOnia, no Egito e, mais tarde, no lmperio Romano, quando os dados eram coletados sobre assuntos relacionados ao Estado, tais como nascimentos e 6bitos. Na verdade, a palavra estntistica ederivada da palavra latinn sl11l11s1 que significa "estado". Entao, o que t1 estatistica? efinicao Estatfstica ea ci~ncia Que coleta, organiza. analisa e interpreta dados para a tomada de decis0es. 0 que voce deve aprender • Adefirilao de estatiSlica. • Como distiiguir en~e uma popir ~e uma amos!ra. um parame- tio eum dado estatistico. • Como distinguir entre estatistka descritiva eestaUstica inferencial. 3 Ed ,e 1naaa 1 lmportante Um censo consiste de dados de uma popula,ao inteira. I Conjuntos dedados H~ dois tipos de conjuntos de dados usados em estatfstica. Esses conjuntos siio chamados de populn(iio e nmostrn. Mas, a n1enos que a popula- ~llo seja pequena, e normalmente impraticavel obter todos os dados da popula,ao. Na maioria dos estudos, as informa><'les devem ser obtidas de uma amostra. Uma popula~ao eurna col~o de todos os resultados, respostas., medi~ ou contagens que sao de interesse. Uma arnostra eum subgrupo de urna popul~o. Dados amostrais podem ser usados para formar conclus6es sobre popula<;Qes. Os dados amostrais devem ser coletados usando o metodo apropriado, tal como a seleo;Jo aleat6ria. Se os dados n~o forem coletados usando-se o metodo apropriado, eles nao terao valor. Exemplo [O _I_,__ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ ldentificando conjunto de dados Em uma pesquisa recente, foi pcrguntado a 1.708 adultos americanos se eles con· sideram o aquecimento global um problema queexige uma a,ao imediata do govemo. Novecentos e trinta e n.ove deles responderam que sim. ldentifique a popula\liO ea amostra. Descreva o conj unto de dados. (Adoptfflf•>•it: ''""' Rt«urrli C1n1n.) Solufiio A popula9<'1o consiste das respostas de todos os adultos nos Estados Unidos, ea amostra consiste das respostas de 1.708 adultos nos Estados Unidos na pesquisa. A amostra eum subgrupo das respostas de todos os adultos nos Estados Unidos. 0 conj unto de dados consiste de 939 sim e 769 n~o. Respostas de todos os adultos nos Estados Unidos (poputa~ao) Respostas dos adultos na pesquis.1 (amostra) 0 departa1l\ento de energia dos Estad0$ Un,idos t:ondu~ p<:Squisas se1r1anais eJn aproximadamente 800 postos de gasolina para detenninar o pre'° mMio por galao de gasolina comum. Em 12 de feven!iro de 2CXJ7, op~ mMio era$ 2,24 por galao. ldentifique a popula~ao ea amostra. 1r1..1r: E••·'li.v ,,,v,,,,,,,,,,, ·\dm """'m"""·> • ldenti fique a populn(llo. • ldentifique a nmoslra. • Do que consiste o conj unto de dados? Seo conjunto de dados~ uma popula,ao ou uma amostra nonnahnente depende do contexto da vida real. No caso do Exemplo l, a popula(i>o era o conj unto de respostas de todos os adultos dos Estados Unidos. Dependendo da proposta da pesquiS<J, a popula~o poderia ter sido o grupo de respostas de todos os adultos que moram na Calif6rnia ou daqueles que tern telefones celulares ou que Jeem determinado joma.I. Ed ,e 1naaa 1 Cipflulo 1 Oois importantes tennos usados neste livro s<lo parfimelro e estat(sfica. • l•trod,cao1<Sldlbli" Dica de estudo Os tennos prirhmetro e estatfs!ica silo f<lceis de lembrar efini(ao Um par~metfo ~a descri¢o num ~ri~ de uma aJracterfstica popvladonal. se Uma estatlstica ea descri~o numerica de uma carocterislica omostrol. mOnico de se relacionar as primeiras letras em popula¢o pnrfimefro e as Ultimas tetras em amos/ra e estatlstica. Exemplo m voe~ usar o recurso mne- Distinguindo entre parametro e estatistica Oecida se o valor numerico descreve um parfunetro populacional ou uma estatfstica amostral. Explique seu raciociltio. 1 . Uma pesquisa recente de uma amostra de MBAs reportou que o saMrio m<!dio para um MBA emais do que S 82.000. CF'""" 77.- 11~1/ Slr«I ''"""nl.) 2. Os s.1l~rios iniciais para 667 MBAs i;raduados na Escola de Nei;6cios da Universidade de d1icago aumentaram 8,5% em compara~o ao ano anterior. 3. Em uma checagem aleat6ria de uma amostra de lojas varejistas, o FDA (Foorl m1rl Drug Atf111i11istratio11) descobriu que 34%das lojas nilo estavam estocando peixes na temperatura apropriada. So/t1ftiO l. Em raz.io de a media de$ 82.000 ser baseada em um subgrupo de uma popul~o. ela euma estatlstica amostral. 2. Devido ao fato de o aumento porcentual de 8,5% ser baseado nos s.1l~rios iniciais de todos os 667 graduandos, ele eum parametro populacional. 3. Devido ao fato de a porcentagem de 34% ser baseada em um subgrupo de uma popul~ao, ele euma estatfstica amostral. Tente Em 2006, a liga dos times de beisebol gastou um total de$ 2.326.706.685 nos voci salarios dos jogadores. Esse valor numerico descreve um parAmetro populacional ou un1a estatfstica an1ostral? (Fo11tt: USA TMtiy.) a. Oecida se 0 valor numerico ede uma pop11/a1tlo OU umaamo:;/m. b. Especifique se 0 valor numeriCO eUln parfimelro OU uma tS/alistica. R.-..pr1...i11 Utf 1'· I Retratando o mundo Quoo preciso e o censo americano? De acordo com uma avalia<;ao p6s·censo condu· zida pelo 811m111, o censo de 1990 contou de fonna equivocada a popula~ dos Estados Unidos: aproximadmnente 4 milh0es de pessoas a menos do que, de fato, havia no pals. 0 censo de 19'Xl foi o primeiro desde 1940 a ser menos preci· so do quc seu anterior. Note que a contagem errada para o ce1'lSO de 2000 foi de -1,3 milhOesdc pessoas. lssosigniflCll que o censo de 2000 contou a popula<;i!o dos EUA para mais 1,3- milhOes. Contagem do censo dos EUA para menos A'' Neste curso, veremos como o uso da estatistica pode ajuda-lo a tomar decis6es infonnadas que afetam sua vida. Considere o censo que o governo americano realiza a cada d&:ada. Quando reali?.a o censo, o 811rt1111 tenta contatar todos quc moram nos Estados Unidos. Esta e uma tarefa impossivel. ~ importante que o censo seja preciso, pois os funcionarios publicos tomam muitas deci50es baseados na informa~~o do censo. Os dados colctados no censo de 2010 indicarilo como atribuir assentos no congresso e como distribuir recursos publicos. I ~ ~~~~~~~~~ Ramos da estatistica 0 estudo de estatlstica tem duas ramificai;oes consideraveis: estatistka descritiva e estatistica inferencial. -1 ·1-19.1() -1 ••l 1%0 1980 llJ(J() Ano Q11ais slio algumns tins dijirultlnrles ao se coletm· tlndos de 11111a po1111tarno? 5 Ed ,e 1naaa 1 6 • ls1a1h1i" apli<a.14 efinicao Estatlstica desCtitiva eo ramo da estatistica que eovolve a organiza,ao. o resumo ea representa~ dos dados. Estatistica inferencial e o ramo da estatistica que envolve o uso de uma amostra para chegar a condusoes sabre uma popul~o. Uma fetramenta basica no estudo da estatistica inferencial ea probabilidade. Exemplo m [statistica descritiva e inferencial Decida qual parte do estudo representa o ramo descritivo da estatfstica. Que conclus<les podem ser tomadas do estudo usando estatistica inferencial? l. Uma grande amostra de homens, com 48 anos de idade, foi estudada durante 18 anos. Para os que sao solteiros, 70% ainda estavam vivos aos 65 anos. Para os caSa· dos, 90% estavain vlvos aos65 anos. (Fms1(':T11.tf0l1r11.t1'.tiffnn1i(v l:-:t.1tt"-) Soltelros Casados 2. Em uma amostra dos analistas de Wall Street, a porce.ntagem dos que previram incorretamente os lucros de empresas de alta tecnologia em um ano rromte foi de 44%.(f(lllf(; 8&....,,r:bf1g _\'(";'17';.) Solufdo 1. A estatistica descritiva envolve afirmar;Oes tais como "Para os que sao solteiros, 70'fii ainda estavam vivos aos 65 anos'' e "Para os casados, 90';t; ainda estavam vivos aos 65 anos." Uma i nfer~ncia possivel tirada do estudo e que o fato de ser casado esta associado a uma vida ma is longa. 2. A parte do estudo que representa o ramo descritivo da estatistica envolve afirma· ~6escomo "a porcentagem dosque previram incorretamenteos lucros deempresas de alta tecnologia em um ano recente era de 44%.'' Uma inferencia possivel com bMC no cstudo e quc o mercado de a<;Qeo e diffcil de scr previsto, ate mesmo paro os profissionais. Uma pesquisa conduzida entre 1.017 homens e mulheres pela Corpora~ao In· temacional de l'esquisa de Opini~o descobriu qu~ 76% das mulheres e 60% dos homens haviam passado por exames fisicos no ano anterior. ~'"''t" Mm'< tt..1111.) a. ldentifique o aspecto descritivo da pesquisa. b. Quais infe~cias podem ser retiradas com base nessa ~uisa? Durante esse curso, voce vera aplicar;Oes em ambas as ramificar;Qes. Um tema principal desse curso ser~ como usar os dados estatisticos amostrais para fazer infe· ~ncias sobre parfunetros populacionais desconhecidos. Ed ,e 1naaa 1 (opftol• I Ill • lotrC>dll!!O ! !'totfstko 7 Exercicios Construindo habi!idades basicas e conceitos 19. e1elacionada a uma popula(<lo? Por que a amosua e mais usada do que a popula¢o? !dados dos adu.ltos nos EUA que possuem computador 1. Como uma amostra 2. 3. Quale a diferen;a enue parametro e dados estatisticos? 4. Quais 5ao as duas maiores tamifiu!caes da estatistic.l? ldadesdos adultos nos EU;I\ quepossuem Verdadeiro ou !also? Nos e><etdcios de 5 a 10, detemiine sea afirma¢o everdadeira oo falsa. Se for falsa, reescreva·a de forma que seja verdadeira. 5. Um dado estatlstico e uma medida que deweve as caraaerfsti· cas de uma popula(Ao. 6. uma amostra e um subgrupo de uma popula¢o. 7. ~ impossfvel para o Bureau que rea&zo os censos nos EUA obter todos os dados de censo sobte a pop1Jla(<lo dos Estados Unidos. 8. A estatfstic.l inferencial envolve o uso de uma popula(<lo para chegar a cooclusaes sobre a amostta correspondente. 9. Uma popula9\(> ea col~o de alguns 1esultados. respostas. medi¢es ou comagens que 5ao de imeresse. 1O. Apalavra estatistica deriva do latim status, que significa •estado". Classificando um conjunto de dados Nos e><ercicios de 11 a 16, determine se o conjumo de dados e uma popula~o ou uma amostra. Explique. 11. Aidade de cada memb<o do Congresso dos Estados Unidos. 12. A altura de cada quana pessoa que entra em um parque de di· vers6es. 13. Uma pesquisa com 500 espectadores de um estadio com 42.000 espectadores. 14. Os sal.!rios anuais para cada advogado em um escrit6tio. 1S. Os flivejs de colesterol de 20 paciemes em um hospital corn I00 pacientes. 16. 0 numero de te!evisores em cada resi£1cia nos Estados Unidos. Analise grafica Nose><erclcios de 17 a 20, use o diagrama de Venn para identifi· car a popula~~o ea amostra. 17. Conjunto de eleitores no condado de Warren ~ Conjuntodc eleitores no condado de Warren que respondemm uma pesquisa telelonica. computadores Dell. 20. Renda dos pro prietarios de im6veis 1'0 Texas Renda dos proprietarios de im6veis no Texas com hipoteca. Usando e interpretando conceitos ldentificando popula~oes e amostras Nos e><ercfcios de 21 a 28, idemtifique a popu~o ea amostra. 21. Uma pesquisa com 1.000 adtJltos nos Estados Ullidos descobriu que 12% pieferern tirar ferias nos meses de in,<emo. (Fonte: Ro<mussen Reporu.J 22. Um estudo com 33.043 oian~s na Italia foi conduzido para encontrar uma lig~o entre anormalidades no ritmo car&co e a sindrome de mone subita inifantil. (f""': H.w £r>glond Joumd of Meoloi;o.) 23. Uma pesquisa em 1.906 resid&cias nos Estados Unidos descobriu que 13% tern telev~ de alta definil<Jo. 24. uma pesquisa com 1.000 usuarios de oomputadot descobnu que I No planejam comprar o sislema operacional Microsoh Wmdows Vista•. (Foo!c: Rasmvs.<en RifKxts.) 25. Uma pesquisa corn 1.045 eleitores descobriu que 19% acham que a economiit P. um ;is.c;.unto importante para ~r consi<lera<lo ao votar para o congresso. (Foore: P•n<et(l(I s"'""' Resead1 AssooOle.s """nol:Cllal.) 26. Uma pesquisa corn 496 estudantes de uma facuklade descobriu que 10% planejam viajar para fora do pais durame as ferias de primavera. 27. Uma pesquisa com 546 mulheres descobriu que mais de 56% ~o o investiOO< prim.lrio em suas residencias. (Map:orlo de:~ 18. Alunos graduados na Universid;ide Cald\vell Alunos graduado$ na universidade C.1ldwell queestudam estc1tlstica. >r<>dl YA:rif•ttfe l01 k1',,.l) 28. Uma pesquisa corn 791 pessoas que estao saindo de ferias nos Estados Unidos planejam gastar pelo menos US$ 2.000 nas pt<r ximas ferias. Distinguindo entre um par ametro e uma estatistica Nos e><etcicios de 29 a 36, detE<mine se O valor r>.m~rico eum parameuo ou uma estatisUca. Explique seu racioclnio. Ed ,e 1naaa 1 29. Am~ (a) ldentifique a amosua usada na pesquisa. dos sa!Ari05 anuais para 35 dos 1.200 contadotes de uma empresa e de $ 68.000. 30. Na pesquisa de uma amostra de estudantes de ensino medic, 43% disseram que as maes foram as responsAveis por lhes ensi· nat corno lidar com o d nhetco. tfonre-: HrJtris PcB c.-&mc()lpcttJtcd.) '°' 31. Sessenta e dois dos 97 passageirosa bordo da aero0<1ve Hinder· burg sobreviveiam asua explosao. (b) Qua! ea popula¢o da amowa? 40. Falla de sono Em um estudo recente, voluntJnos que dormiram 8 horas em uma noite eiam ues vezes mais capazes de responder coueiamente as questoes de um teste de matemAtica em rela>ao aqueles que niio tiveram horas de sono suficientes. (FOf>te· CBS Nw~) 32. Em janeiro de 2007, 44% dos g<:Ne1TI<Jdores dos 50 estados none· 'i!mericanos e<am repubficanos. (a) ldentifique a amosua usada no eSludo. 33. Na pesquisa de uma amosua de usu~rios de compuiador, 8% disseram que seus compuiadores tinham mau funcionamento e precisariam de rep<iros t&nicos. (c) Que pane do estudo representa o ramo descri1ivo da esta· tlstica? 34. Em um ano recente, a categoria de interesse para 12% de todas as reviSlas foi espones. (Foo:e: oxtndr}t Comm"""'""") 35. Em uma pesquisa recente oom 1.503 adultos nos ES!ados Uni· dos, 53% disseram que usam tanto uma linha fixa quanto o 1elefone celular. (fotw: Pe"' R('flM(dl Ctnrer.) 36. Num ano recerne, a nota media de matemAtka para todos os graduandos no NJ era 21,1. (/~.:Act Ille) 37. Qua! pane da pesquisa descrita no Exe<cfcio 27 rep<esenta o ramo descritivo da esiatistica? F3¥1 uma infeiencia oom base nos resultados da pesquisa. 38. Qua! parte da pesquisa descrita no Exercfcio 28 represenla o ramo descritivo da estatistica? FayJ uma inferencia oom base nos resu!tados da pesquisa. (b) Qua! era a popula,ao da amostra? (d) Fa91 uma inleie.1cia com base nos resultados do estudo. 41. Morar na Florida Um estudo roostra que os cida~os mais velhos que vivem na Fl6rida t~m melhor mern6ria do que aqueles que nao vivem na fl6rida. (a) Fa91 uma infere<icia com base nos resultados do estudo. (b) 0 que ha de errado com esse tipo de racioc>io? 42. Aumento no indice de obesidade Um estudo mOSlra qoe o fndice de obesidade entre meninO<S com idades entre 2 e 19 anos aumentou nos ultimas anos. (fo111c. <117.sllrigron R>SL) (a) Fa91 uma infe.bicia com base nos resultados do estudo. (b) 0 que ha de errado com esse tipo de raciodnio? 43. Reda~o Esaeva um ensaio sobre a importAncid da estatfstica para o que vem a seguir: (a) Um estudo sobre a efic.lcia die uma nova dtoga. Expandindo conceitos (b) Uma analise de um processo de fabrica"1o. 39. ldentificando conjuntos de dados em anigos Encontre um arligo de jomal ou revisia que desae\lil uma pesquisa. lfl (c) Chegar a conclusaes sob<e as opiniOes de eleitores usando pesquisas. (lassifica~ao dos dados 0quevoce deve aprender • Como distinguir eoue dados qualitativos equantitati'los. • Como classificar dados em rela(30 aos 4 niveis de mensura(.lo: nominal. ordinal, inteMlar ou racional Tipos de dados-+ Niveis de mensura1.lo I Tipos de dados e Quando l'i'alizamos um estudo, importante saber o tipo de dados envolvido. A natu.reza dos dados com os quais estamos trabaJhando <ieterminar~ quaJ procedimento estatistico pode ser usado. Nesta ~ao. voce aprender~ a classificar dados por tipo e rlivel de mensur~o. Os conjuntos de dados podem ser do tipo qunlitntivo e qumrtitntivo. Definicao Dados qualitativos consistem de auibutos, r6tulos ou entradas ni!o numericas. Dados quantitativos consistem de medidas numericas ou contagens. Ed 1t 1naaa 1 {apltslo I Exemplo • latrodocao l ~latllli<a m Classlficando dados por tipo Os pre~s·base para diversos vefct1los s..io apresentados na tabela a seguir. Quais dados &io qualilalivos e quais sao quanlilalivos? Explique seu raciodnio. (fo1>1t: H>1d .\lofcvG>1npn1151-) Modelo Pre~o-base Fusion 14 S s 17.795 F·ISOXL s 18.710 five Hundred SEL $23.785 Escape x1:r Sport s 24.575 2007 Explorer Sport 'lrac Limited s 26.775 Fn.><-star SEL $ 27.500 Cro,\•n Victoria LX s 28.830 Expedilion x1;r $3-'i.480 Sol11fiiO A informa<;ao moslrada na labela pode ser separada em doisconjunlos de dados. Um grupo conlem os nomes dos modelos de vefculos e o outro conlem os pre<;os·base para os modelos. Os nomes sao entradas nao numfricas, porlanlo, s.10 dados qualitahivos. Os pre<;os sao entradas numericas, porlanlo, silo dados quanlitativos. Tente As popula<;Oes de diversas cidades norle-americanas sao apresenladas na ta- vocf bela. Quais dados s.'io qualilativos e quais sllo quantitativos? ~r.111c 115 '""''" 1 811rm11.} a. ldentifique os conleudos de c.1da conjunlos de dados. b. Deddasecada conjuntodedadosconsisteem entradas numericas ou naonumeric.is. c. Especifique os dados qualitativos e os quanlilalivos. I Hiveis de mensura(ao Outra caracterislica de dados e o nivel de mensura<;ao. 0 nivel de mensura<;ao delennina quais ~lculos eslalislicos s.io significanles. Os qualro niveis de medida, em ordem do mais baixo para o mais alto, sao 11omi11nl, ordi11nl, i11ter1111/nr e mcio11nl. efini(ao Dados no nivel nominal de mensura~ao sao apenas qualitativos. Dados neste nivel podem ser categorizados usandCHe nomes, r6tulos ou qualidades. NAo sao realizados ~lculos mate~ticos neste nivel. Dados no nfvel ordinal de mensura~o sac> qualitativos ou quantitativos. Dados neste nfvel podem ser organizados em ordem ou posi~o. mas as difere~ entre as entradas de dados niio sAo signifocantes. Cidade Popula~io Ocveland, OH D~tnoit Ml Houston, TX 2.016.582 Las Vegas, NV 545.147 Portland, OR 533.427 Topeka, KS 121.946 452.208 886.671 9 Ed ,e 1naaa 1 J0 • utatk\ica •Pli<1d• Exemplo OJ lmportante Quando numecos est1io no nfvel nominal de mensura· ~do, eles si1nplesnlente repre- s.entam um r6tulo. Exemplos de numeros usados como rotulos induem 0 numero do seguro social e os numeros nos uniformes esportivos. Por exemplo, nao faria sen· lido somar os numeros dos uniformes dos Ghkago Bears (time de futebol americano). (!assificando dados por nlve! A seguir temos dois conjuntos de dados. Que conji.~nto de dados consiste e1n dados no nfvel nominal? Que conj unto de dados consiste em dados no nivel ordinal? Explique. (f()ntt; .\':rl~n .\kdm R.e~1clr.) Os cinco programas de TV mais assislidos (de 12/02/21J07a18/02f2007) 1. AmericJn Idol - 2. American Idol -quarta·foira 3. Grey's anatomy 4. House S. CSI : - ~l'!'AE (ABQ WPXI (NBQ KOKA (CBS) Wl'GH (f-OX) - Retratando o mundo No comew de 2007, a revista Forbes escolheu as 25 melho· res cidades a111eriau1as para se conseguir u111 emprego. Para fonnar as posit;Oes, a f-orbes usou cinco pontos de dados: indice de desemprego, cresci· mento de vagas, awnento de renda, renda domestica media e custo de vida. Os dados de m">Sciniento foran' entao n1e-. didos nas 100 maiores areas metropolitanas de 2003 a 2005. {ft•riff; f1wM..) Sol11fao 0 primeiro co1~unto de dados lista a posi<;llo de cinco programas de 'JV. Os da· dos consistem das posi~iies 1, 2, 3, 4 e 5. Em razao de as posi~des poderem ser listadas em ordem, esses dados eslao no nfvel ordinal. Note que a diforenr;a entre uma posi~ao I e 5 nao tem significado matem~tico. 0 segundo grupo consiste das siglas de cada afiliada de rede de Pittsburg. As siglas simplesmente nomeiam as afiliadas, entaoesses dados estio no nivel nominal. en "t 1. 2. a. b. Considere o conjunto de dados a seguir. Para cada grupo, decida se os dados estao no nfvel nominal ou ordinal. As posio;Oes finais para a Divisllo do Pacifico da NBA. Uma col~ao de m1meros de telefone. ltle11tifiq11e o que cada conj unto de dados representa. Especifique o nflll'I tie mens11m{no e justifique sua resposea. Rl'i'~''' Cinco melhores cidades para se obter emprego Raleigh-Cory, NC ""I'· A.12 efini {~o jack.<c>nvitle, FL Ortando-Kissimmoc, FL Washington·ArlingtonAlexandria, DC-VA·MD·IVV Nl'Sta lista, qua/ ter~a-feira Afiliadas das redes em Pittsburg. PA e o 11fvel tie Dados no nivel de mensura~ao intervalar podem ser ordenados e voce pode calcular diferenc;as significativas entre as entradas de dados. No nivel intervalar, um regislro nulo simplesmente representa uma posiy'io em uma escala; a entrada nao eum zero inerenie. Dados no nivel de mensura~ao racional sao similares aos dados no nivel intervalar, com uma propriedade adicionada: neste nivel, um registro nulo e um zero inerente. Uma ra~o de dois vafores de dados pode ser f01111ada de modo que um valor de dado possa ser significativamente expresso como o muftiplo de outro. 111e11s11rn{ifo? Um w·o i11ere11te e um zero que significa "nada". Por exemplo, a quantia de dinheiro que vo& tern em sua poupan¥1 pode ser zero d61ares. Neste caso, o zero represenla nenhum dinhciro; eum zero inerente. Por outro lado, a temperatura de 0 •c nao representa uma condic;lio no qual o aquecimento nao est~ presente. A temperatura de 0 ''C simplesmente representa uma posi<;llo na escala Celsius; nao ewn zero inerente. Ed ,e 1naaa 1 (apitulo I Para distinguir entre dados no nfvel intervalar e no nfvel racional, determine sea expressao "du as vezes mais" tem algum sentido no contexto dos dados. Por exemplo, S2 edu as vezes mais que $ J, en tao estes dados estlio no nfvel racional. Por outro !ado, 2 "C niio eduas vezes mais quente que 1 "C. entlioesses dados estao no nivel intervalar. Exemplo m Classlficando dados por nlvel Temos dois conjuntos de dados. Qua) conjunto de dadosesta no nfvel interva.lar? Qual conjunto de dados esta no nrvel racional? Explique. (f<>mr. .1&1pr /.Mgu" li<M111/J.l Sol11pio Ambos os conjuntos de dados contem dados quantitativos. Considere as datas das vit6rias dos Yankees na serie mundial. Faz sentido encontrar difereni;as entre dados espedficos. Por exemplo, o tempo entre a primeira ea ultima vit6ria dos Yankees e 2000 - 1923 =77 anos. Mas niio faz sentido dizer que um ano e multiplo do outro. Entiio, esses dados estao no nfvel intervalar. Usando o total de /10111e ru11s•, podemos encontrar diferen\as e escrever razoes. Com base nos dados, podemos ver que o Detroit alingiu 31 lwmcrml$ a mais do que oSealtle, e que o Chicago atingiu duas vezes mais do que o Kansas City. Enlao, esses dados est.10 no nfvel racional. ._v • 1. A temperatura corporal (em grnus Fahrenheit) de um allela duranle uma sessiio de exercfcios. Z. Os Indices cardfacos (em batidas por minuto) de um alleta durante uma sessao de exercfcios. a. ld1mtifiq11e o que cada conjunto de dados representa. b. Especifique o 11(ve/ de 111ens11ra¢0 e juslifique sua resposta. As tabelas a seguir resumem quais opera~ s.'io significativas em cada um dos q uatro nfveis de mensura\lio. Quando identificar o nfvel de mensura<;ao do conjunto de dados, use o nfvel mais alto que for adequado. Oetenninar se Cttegorizar os dados Ordenaros dados Submiros v;llores dos dados Nonlinal Sinl Nao Nao Ordinal lnt<!rvalar Sim Si1n Nao Sim Sinl Sim Nao Racional Sim Sinl Sinl Sim Nive.I de mensura~io u.m valor de dado emUJtiplo de outro Nao N.\o • ln11odu<IO ! ~tatflli<• Vi t6rias do New York Yankees na sfrie mundial (anos) 1923, 1927, 1928, 1932, 1936, 1937, 1938, 1939, 1941, 1943, 19~7, 19~9, 1950, 1951, 1952. 1953, 1956, 1958, 1961, 1962. 1977, 1978, 19%, 1998, 1999, 2000. Totais de /Jome mus• da Liga Americana em 2006 (por time) 8.ill.i more '164 Bosto n 192 Chicago 236 Ocvcland 196 Detroit 203 Kans.is City 124 losAngcles 159 lvlinncsota 143 Nova lorque 210 01\k~and 175 Seattle in Tampa Bay 190 Texas 183 Toro:nto 199 II Ed ,e 1naaa 1 Resumo dos quatro nlveis de mensura~ao Nivel nominal (dados qualitativos) Exemplo de conjunto de dados Tipos de J1uts.icn lomdn por 111110 tstn~bo dr rlidio P<>r cxc1nplo. tuna nlilSica tocOOa pclu r.ldio podc.rfo scr colocada en1 uina das qu3tro catcsorias Pop Rock modcmo Jw. contcn1porunco Hin hoo Ni vel ordinal (dados qualitativos ou quantitativos) C.11,culos significativos C-0toqut e111 11111n catrgorin IUO$tradas. C/.,,ificardo de JiImes pe/o 1lssociorAo de Clo<>ijim¢o Ci11.,11atogrrifico dos El/A Coloque e11111111a categm·l" e orde1'1e. Po.r cxetnp.fo. un 13 elassifitac;OO G Geneml 1l11dienct!s (Livre para todos os pUblicos) PG h~n1 tun3 restri~lo 1naior 00 PG Plm:ntal Guido11cc Sttg;.'fsted (Sugere-5'? aoompanha1nc1110 quc uma classifica~;lo G. dos pais) PG· 13 Parents Strongly Cau1ic:>11e~I (1\ oon1panha1ncn10 dos pais Cn1uito OCttSS.irio) R Re,,,ictetl (Rcstrito) NC-1 7 - 1Vo One Under J7Adntiltfd (Proibido par.i mcnorcs de 17 anos) Coloqut t•11111111a cotegorit1, ort.ktN! Nivel intervaJ;ir (dados quantitativos) Tt•111pcrat11m 111fdia 111e11~l (cut gmus Fa/ire11l1eit) pnrn Sacra111e11to, CA Jan 46,3 Jul Fcv Mar 51,2 54.S Abril 58.9 Maio 65.S 71.5 Jun Ago Set Out Nov l)cz ... e1tc01ttre as difertt1ft1S eiure QS 75,4 74.8 71.7 64.4 53.3 45.8 \'(1/()11!.$, Por ~xcmplo. 71.5-65.S • 6 'F. EnUlo.junOO e6fl 1113.is quenlc quc 1naio. (f41J1fl': Nntii.mnJ Cli11m/1( Dnhl Ct111t•r.) Nivel raciona.1 (dados quantitativos) PnYipitn\ilO ltll~tUn 111e11sol (t.>111 polegadlf'S) para Sncra11ll'lllo, C1'\ Coloqtte e11111111n categorin, orde11e, 3,8 Jul 0.1 e11coulrt as difen._•11\0S e11lre os Fcv 3.S Ago 0.1 valo~ ee11co11trc a raZtfc do$ Mar 2.8 Set 0.4 Vt1lc"". Porexemplo, 1,0/0,5 ~ 2. Abril 1.0 Out 0.9 Maio 0.5 NQv 2,2 Entao~ hj duas ve7.es nlais Jun 0,2 (le1. 2,5 chuva c1n abril do que em (fMtc: ,\ 'mrt11rol ("/1mar1c Dora C't>mcr. 1 maio. Jan Ill Exercicios Construindo habi!idades basicas e conceitos I. Nomeie ccda nlvel de mensur~ para os dados que podem ser qualitalivo5. 2. Nomeie ccda nivel de mensura<;ao para os dados que podem ser quantitativos. Verdadeiro ou falso? Nos exercfcios de 3 a 6, determine sea afirma~ao everdadeira ou falsa. Se f0< falsa, reesaeva·a de fomia que seja verdadeira. 3. Dados no nivel o«fmal sao someme quantitativos. 4. Para os dados no !Wei intervalar, voe~ ll<lo pode cclcular diferen· ~s significctivas. 5. Mais tipos de C<llculos poclem ses reafizados com dados no nivel nominal do que oom dados no nive1 inteNalar. 6. Dados no nivel racional nao poclem ser ordenados. Classificando dados por tipo Nos exercicios de 7 a 12, determine se os dados s.lo qualitativos au -iuantitativos. 7. 8. 9. 10. Os numeros de telefones em uma lista telef6nicc. As temperaturas diarias mais altas para o mes de julho. As durai;Oes de musiccs em um MP3 player. Os mimeros dos jogad0<es de umt time de futebol. 11. R"'f'O'taS em uma ~de O(lini)o 12. Me<fldas da press.lo arterial &ast61icc. Us.indo e interpretando conceitos Classificando dados por nivel Nos exerdcios de 13 a 18, determine se os dados sao qualitativos ou quantitativos e identifique o nfvel de mensur~. Explique. 13. Fulebol americano Os cinco maiores times na ultima pesquisa S<Jbre times universitarios estao 6stados a seguir. (f'<We: /.MlxYJred , ....... I. A6rida 2. Ohio State 3. LSU 4. USC 5. Boise Stale 14. Polftica Os tres partidos politicos no 1100 Coogresso estao lis· tados a seguir. Republicano Democrata lndependente Ed ,e 1naaa 1 C.pfi•l• I 15. Melhores vendedores A regioo representando o melhor ven· Nordeste Sudoeste 13 Perlil de genero no llll' Congresso Nordesle Sudoeste l()CJ - EAM ~ 300 - 16. Comprimento de peixes liStamos os comprimentos (em po- ~ legadas) para uma amostra de robalos pescados em aguas de Maryland (/doprodor1': Nanoom Marine Hshf!tlfS-._ ,_Sia/JS· (;($ Olld ln11odO(!O !fsoa1fllica 21. dedor de uma emp<esa nos ultimas seis anos. Sudeste Sudeste • z 200 + - - - 100 -i-- -.---. l I '---""~-'--.I-~"--·~ Ea:lnOllllCS 0.;!SiM) lloiulhe r 16 17,25 19 18,75 21 20,3 19,8 24 21,82 Homcnt G~ncro 17. Lista de best-sellers Os cinco livros de fi~o de G<Jpa dura da lista dos mais vendidos do New York Times de 21 de fevereiro de 2007 estao listados a seguir. (For.lo: The 11w1 II>* r,,,.,,J 1. Step on a Crack 2. Flum Lovin' 3. Natural Born Charmer 4. High Profile 5. H.innibal Rising 18. Pre~os dos ingressos 0 pr~o mMio dos ing1essos pa1a dez conce<tos de rock em 2005 est.l listado a seguir. (Fome.· The 11.,,, 22. lmpostos estaduais oeoletados por ano \\Y<f""'5.) S 134 $104 S55 $63 S76 S38 $35 $81 S47 S97 Analise grafica Nos exercfcios de 19 a 22, identifique o nlvel de mensura~o dos dados ~Slados no eixo horizontal dos grafteos. 19. 0 aquecimenlo global contribui para El Nii\os mais severos? 200 I :1lxr.? 2003 :!rot 2005 Ano (/001c: U.S. CerlM Bf/,_) 23. Os dados a seguir aparecem em uma ficha de admis~ em um consult6rio medico. ldentifique <> nf,oel de menSUtatAo dos dados (a} Tempe<atura (b) Alergias (c) Peso (d) Nlvel de dor (escala de oa 10} 24. Os dados a seguir aparecem em uma ficha para emprego. ldenti· fique o nlvel de mensura~o dos dados. (a) Gradua~o maxima atingida (b) (c} Ano de g1adua~o universitAria (d) Numero de anos perrnaneOdos no ultimo emprego me (Fame: Yoolelmsh kx NaJional Res;vese"otoes Sc.iM<'e Fwndot""" Ame<Kon A'.et..roh!/ :of SOO..y) 20. Ml!dia de nevascas em janeiro para 15 cidades 3 5 7 9 II Ne\ 3.'>ca.oi (em p0iegada.<o) 1 (Fon:.: Nar<;nal Omaoc Cenior.) G~ero Expandindo conceitos Reda~•o 0 que e um zero inetente? Desaeva tres exemplos de cor4untos de dados que contenham um zero inetente e tres exemplos que n<o contenham. 26. Reda~<o Desaeva dois exemplos de conjuntos de dados para cada un dos quatro nfveis de mensura~o. Justifique sua res· pasta. 25. Ed ,e 1naaa 1 14 • C>iatktkaapll"da Estudo de caso Classificando os programas de TV nos Estados Uni dos O grupo Nielsen Media Research dassiftca os prog1amas de 1V nos Estados Unidos M mais de 50 anos. Ele utifi24 <five<sos proc;edimentos amosuais, mas. o principal ~ o rastreamento dos padraes de audieicia de I 0.000 residencias. Essas c:on1~m rnais de 30.000 pessoas e sao escolhidls de modo a foimar uma amostragem representativa da pop~o getal. N; residencias represemam <fiversas 1001ridades, grupos ~tnicos e de renda. Os dados reunidos da amostra de 10.000 resid~ncias pela Nielsen sao usados para descrever infei~ncias sobre a popula,ao de todas as residendas nos Estados Unidos. Programas de TV vistos por todas as residi!ncias nos Est.dos Unidos (111,4 milhOes) Programas de TV vistos pe:.la amostra da Nielsen (10.000 residencias) Programas mais vistos no hor.irio nobre na semana de 12/02/2007 a 18/02/2007 Posi~io Posi1ao na Nome do programa semana Canal Diae hor.lrio Oassifie<1~ao de audifncia Share Audienci-a 25 24 19.35-1.000 18.().15.000 17.809.000 16.469.000 15.323.000 14.093.000 13.060.000 11.167.000 11.099.000 10.909.000 anterior American Idol - terca-feira American Idol - auatta-fcira FOX FOX I l 2 3 2 3 Grey's anatomy ABC ·1er, 20h Quar, 21h Qui.2th 4 4 Hou~ FOX T~.2lh 5 6 7 8 9 JO 5 7 8 10 8 17 ($1 CSI: ~·lianli CBS CBS Oesnrrate House\vivc.'S 1\BC Deal or No deaJ - ~unda- fcira Two and a Half Men Shark NBC CBS CBS Qui, 21h '""' 22h Dom, 2lh Se•. 20h ...... 2Jh Qui,22h 17,4 16,2 16,0 14,ll 13,S 12,7 11,7 10,0 10,0 9,8 23 22 20 21 18 15 14 16 Exercicios Pontos de audiencia Cada ponto de dassifica~o representa 1.114.000 res~cias, ou l<!O das residencias nos Est.idos Unidos. Um programa com classifica~o de 8,4 tetn duas vezes mais o numero de resicMndas do que um progr:ama com 4,2? Explique seu raciocinio. 2. Porcentagem amostral Qual porcentagem do numero total de resid~ncias americanas foi uSdda na amostra da Nielsen? 3. Nfvel nominal de mensura~o Quais colunas na tabela 00<1tem dados no nfvel nominal? 4. Nivel ordinal de mensura~ao Quais colunas na tabela comOO\ dados no nfvel ordinal? Descreva duas maneiras nas quais os dados podem set orderudos. t. Ed ,e 1naaa 1 (apftolo I • lnirodll(!O ! ""'k1ka 15 5. Nivel intervalar de mensura<;ao Q\Jais colunas na tabela contem dados no nivel interva· tar? Como podemos ordenar esses dados? Qual ~a unidade de medi<;ao para a diferen,a de duas entradas no conjunto de dados? 6. Nivel racional de m ensura~o Quais trk cofunas cont~ dados no nivel racionaP. 7. Share A coltm listada como ·share· fornece a porcen1<1gem de 1Vs em uso em certo momento. A classifica<;ao da Nielsen e feita po< meio de audiencia ou share> E"lllique seu raciocinio. 8. lnferencias Quais decisOes (inferencias) podem ser tomadas com base na dassi~o da Nielsen? Ill Planejamento experimental Planejamento de um estudo estatistico --+ Coleta de dados --+ Planejamento experimental - > Tecnicas de amostraqem I Planejamento de um estudo estatistico 0 objetivo de todo estudo estatfstico ecoletar dados e entao usa·los para tomar uma decis.io. Qualquer decisiio que seja tomada usando os resultados de um estudo estatfstico sera tao boa quanto o processo utilizado para obteny'\o desses dados. Seo processo liver lalhas, entao a decis.io resultante sera questionavel. Embora voe~ possa nunca desenvolver um estudo estatistico, e provavel que toenha que interprel<lr os resultados de um. E antes disso, deve-se determinar se os resultados s.'\o validos. Em outras palavras, devemos estar familiarizados com a forma de se planejar um estudo estatfstico. lnstru(oes Planejando um estudo estatistico 0 que voce deve ilprender • Como planejar um estudo estalistico. • Coolo colelar dados fazendo um estudo obsefV3Cio113l reafizando um experimento, usando ~mula­ ~ ou usando uma pesquisa. • Como p~nejar um expErimento. • Coolo a~r uma amostra usando amosttagem aleatoria, amosttagem aleat6ria simples, amosttagem estratificada, amostragem por agrupame11to e amostragem sistematica. e como OOitificar uma amostra tendencio.sa. 1. Jdentifiquea variavel (as variaveis) de interesse (foco)e a popula~aodo estudo. 2. Desenvolva um piano detalhado para a coleta de dados.Se usar uma amostra, tenha certeza de que a amostra representa a popula~ao. 3. Colete os dados. 4. Descreva os dados usando tecnicas de estatfstica descritiva. 5. lnterprete os dados e tome as decis6es sobre a populaijlio usando estatistica infen:ncial. 6. ldentifique quaisquer erros posslveis. lmportante I Coleta de dados Ha varias maneiras de se coletar dados. Frcquentemente, o foco do estudo deter· mina a melhor maneira de fazer a coleta. A seguir, temos um breve resumo de quatro rn~todos de coleta de dados. • Fafa um estudo observacioual Em um esh1do observaciounl, um pesquis.1dor observa e mede as caracteristicas de interesse de parte de uma popula~ao, mas nao muda as condi.,WS existentes. l'or exemplo, foi realizado um cstudo obser· vacional no qual os pt.>Squisadores observaram e registraram o comportamento oral com objetos nao alimentfcios de crian~s acima de 3 anos de idade. (r..11..: P1vfiotri('. .\ fo})'tll11Ji>.) A diferen~a entre llm estudo observacional e um experi· mento e que, em um estudo observacional, o pesquisador nao inlluencia as respostas, enquanto que em um expe· rimento, um pesquisador deliberadamente aplica um tra ramento antes de observar as ·respostas. Ed ,e 1naaa 1 16 • u1ttllti<,.plicado - [~ A organiz.~'lo Gallup oonduz muitas pesquisas sobre o presidente, o oongressoe aS&mtos polftioos e nllo polmcos. Uma pesquisa Gallup comumente citada e o fndice de aprovas;i;o publica do presidente. Por exemplo, os indices de aprova~'lo para o Presidente George W. Busl\ de 2005 a 2007, slio mostrados no grafioo a seguir. (Os Indices siio da primeira pesquisa conduzida em janeiro de cada ano.) indice de aprova~ao do presidente, 200!>-2007 ~ > 70 60 n 50 ec.. .g E 52 -• J "" -- ,.11.. - "" "1' 20 -£ 1'., c JO ~ 200; 2006 2001 Ano Discula alg1111u1s 111n11eiras tlll'$ qunis " Gnll11p poderin sefocio,,nr 11111n n111ostm teutieucio:il1 I"'"' co11d11zir a pesq11isn. Como tr Gnl/11p poderin sdecimrnr 11111a m11ostm q11e11ifo sefrr te111ie11ri<>sn? • Realize 11111 experimeuto Ao realizar um experi111t11to, um trata111t11to e apli- cado em uma parte da popula~ilo e as respostas silo observadas. Outra parte da popula\<io pode ser usada como grupo de controle, no qual nenhum tratamento eaplicado. Em muitos casos, indivfduos (as vezes chamados de unidat.lt:.s exV'!'rinu:ntais) <lo gruJJO tie <..\J1 1lrole n..'C..'\.:of.Je111 phu.::t:bos, u111ln1h1111CtllO 11Jo medicamentoso e que nao causa danos, foito para parecer o tratamento real. As respostas do grupo de tratamento e do grupo de controle podem ser comparadas e estudadas. Por exemplo, loi realizado um experimento no qual diabeticos tomaram extrato de canela diariamente enquanto o grupode controle nlio tomou nada. D;?pois de 40 dias, os diabelicos que tomaram o extrato de canela reduziram seu risco de problem as cardfacos, enquanto o grupo de controle nao experimentou mudan~as. (fmrtr: Dm!r<t<> '""·) • Use 11111a si11111laftio Uma simula~iio eo uso de um modelo matematico ou ffsico para reproduzir as condi~Oes de uma situa~o ou processo. A coleta de dados frequentemente envolve o uso de computadores. As simula~Oes pennitem que voce estude situa~ que s.io impraticaveis ou mesmo perigosas para serem criadas na vida real, e frequentemente economizam tempo e dinheiro. Por exemplo, os fobricantes de autom6veis us.1m simula~Oes com bonecos para estudar os efeitos das batidas em humanos. Durante a leitura deste livro, voce tera a oportunidade de usar npl'lets que simulam os processos eslatisticos em computador. • Use 11111 leva11ta111t11to 011 pesquisa de mtrcado Um levantamento ou pesquisa de mercado e uma investiga~1io de uma ou mais caracterfsticas de uma popula~l\o. Mais frequentemente, essas pesquisas s1io conduzidas com pessoas, por meio de perguntas feitas a elas. Os tipos mais comuns de levantamento s.1o realizados por meio de entrevistas, correio ou telefone. Ao plantjar esse tipo de pesquisa, e importante escolher bem as perguntas para nao obter resultados tendenciosos. !'or exemplo, uma pesquis.1 eoonduzida em uma amostra de medicos do sexo feminino para determinar se o argumento principal para a escolha profissional ea estabilidade financeira. Ao planejar uma pesquisa, seria aceitavel fazer uma lista de razOese perguntar a cada indiv(duo na a1nostra para selecionar sua pri ~ 1neira esco1ha. Exemplo m Oe<idindo o metodo de co!eta de dados Considere os estudos estatisticos a seguir. Qual metod.o de sele\<io de dados voce usaria para coletar os dados para cada estudo? Explique seu raciodnio. 1. Um estudo do efeito da mudan<;a dos pad roes de voo no numero de acidentes com aviOes. 2. Umestudo dos efeitosda ingest1iode farinha de aveia na redu~o de press1ioarterial. 3. Um estudo sobre como alunos da quarta sene resolvem um quebra·c:a~a. 4. Um estudo sobre os indices de aprova~ao presidencial com os residentes nos Estados Unidos. Sol11pio 1. Por ser in1possfvel criar essa situa~5o, use si1nulac;3o. 2. Neste estudo, voce quer medir o efeito que um tratame11to (ingeshio de aveia) tem nos pacientes. Entao, voce deve realizar um experimento. 3. Como voce quer observar e medir certas c:aractensticas de parte de uma popula\<iO, voe\! poderia fazer um estudo observacional. 4. Voce poderia us.1r uma pesquisa para perguntar "Voce aprova a mancira pela qua I o presidente esta lidando com o cargo?". Ed ,e 1naaa 1 (1pltulo I ente "1 • lnuodu<ac> ! e11<1!11io 17 Considere os estudos estatisticos a seguir. Qual metodo de coleta de dados voce usaria para Cada estudo? t. Um estudo sobre os efeitos dosexercicios no alivio da depressao. 2. Un' estudo do sucesso de graduandos de urna grande un.iversidade pa1a enoontrar um emprego durante o primeiro ano da gradua\iio. a. ldentifique o faco do estudo. b. ldentifique a pop111nr1W do estudo. c. Escolha um m~torlo apropriado para a cnletn de dados. I Planejamento experimental Para produzir resultados significativos e n~o tendenciosos, os experimentos de· vem ser cuidadosamente planejados e executados. i;: importante saber quais passos devem ser realizados para que os resultados sejam v~lidos. Tn'!s elementos-<:have de um experimento bem planejado sao co11trole, nlentoriZll(t!O e replicn(/To. Em ratiio do fato de que os resultados podem ser arruinados por uma variedade de fatores, a capacidade de co11trolnr esses fatores de influencia e importante. Um desses fatores e11111n vnrilfvel co11fo1111di11g. Uma variilvel confounding ocorre quando umpesquisador ~o pode dizer a diferen'3 entre os efeitos de d~erentes fatores em uma variavel. Por exemplo, para atrair mais consumidores, o dono de uma cafeteria faz um experimento reformando a loja e usando cores vibrantes. Ao mesmo tempo, um shopping center da regiao realiza sua grande inaugurao;ao. Se os neg6cios aumentarem na cafeteria, n.io podemos deterrninar se isso ocorreu por causa das novas cores ou por causa do novo shopping perto da cafeteria. Os efeitos das cores e do shopping center s.econfundem. Outro fator que pode afetar os resulladosexperimentaise o efeito placebo. 0 efeito placebo ocorre quando um sujeito reage favoravelmente a um placebo quando, de foto, ele(a) nilo recebeu tratamento mcdicamentoso nenhum. Para ajudar a oontrolar ou minimizar o efeito placebo, uma tecnica chamada cega pode ser usada. D.efinicao A tecnica cega e uma tecnica na qual o sujeito nao sabe se es~ recebendo tratamento ou placebo. Em um experimento duplamente cego (double-blind), nem o sujeito nem opesquisador sabem se o sujeito estil recebendo tratamento ou placebo. 0 pesquisador einformado depois que todos os dados forem colerados. Este tipo de p!anejamenro experimental eo preferido pelos pesquisadores. Outrn tecnica que pode ser usada para obter resultados imparciaise a nlentoriZll(/To. efinicao Aleatoriza~3o e o processo de se designar sujeitos aleatoriamente para diferemes grupos de uatamento. lmportante -111~~~~~~~~~- o efeito Hawthorne ocorre em um experimento quando ossujeitos mudam o comportamento simplesmente porque sabem que est5o participando de um experimento. Ed ,e 1naaa 1 Planejamento de blocos aleat6rios Em um planejamento completamente aleat6rio, os sujeitos Silo designados para diforentes grupos de tratamento por meio da sele~ao aleat&ia. Em alguns experimentos. pode ser necessario usar blocos, que sao grupos de sujeitos com caracterrsticas similares. Um planeja.mento experimental comumente usado eo planejamento de blol':OS alet'll61'iOS. p()fa se U:)c;)f urn plcl1lejdJrtelllO de bJCK.-OS d_ 1etll6tiO$, voce deve divid(t sujeitos com caracterfsticas similares em blocos e, entao, designa-los aleatoriamente para os grupos. Por exemplo, um pesquisador que esta testando os efeitos de uma nova bebida para perda de peso pode, primeiramente, diviclirossujeitosem categorias de idade, tais como 30 a 39 anos, 40a 49 anose acima de SO anos. Entao, dentro de cad a grupo de idade, designar aleatoriamenteos sujeitos ou para o gm po de tratamento ou para o gmpo de controle, conforme mostrado. Outro tipo de planejamcnto experimental eo planejamento de pares combina· dos, noqualossujeitoss.'locolocadosem pares de acordocom a similaridade. Um sujeito no par e a!Mtoriamente selecionado para receber o tratamento e o outro sujeito recebe um tratamentodiferente. Por exemplo, doissujeitos podem :ser colocados em pares por causada idade, deurna 1ocalizac;ao geogrtificaou un1a caracterfstica ffsicae1n particular. Outra parte importante do planejamento experimental eo tamanho da amostra. Para aumentar a validade dos resul!ados experimentais, a repliro¢o enecessaria. efinicao Replicacao ea repeticao de um experimento usando um grande grupo de sujeitos. !'or exemplo, suponha que um experimenlo seja plantjado para testar uma va· cina contra gripe. No experimento, 10.000 pessoas recebem a vacina e outras 10.000 rccebem um placebo. Por conta do tamanho da amostra, a efic.icia da vacina seria provavelmente observada. Mas, se os sujeitos no experimento nao forem selecionados de modo que ambos os grupos sejam similares (de acordo com g~nero e idade}, os rcsultados terao mcnor vaJor. Exemplo m AnaliS<lndo um p!anejamento experimental Uma empresa quer testar a efic.icia de uma nova goma de mascar para ajudar as pessoas a pararcm de fumar. ldentifique um problema em potencial com o planejamento experimental dado e sugira uma maneira de melhora-lo. 1. Aempresa identifica de2 adul!os que sao fumantes h~ bastante tempo. Cinco deles recebem a nova goma de mascar e os outros cinco recebem um placebo. Depois de dois meses, eles &io avaliados e descobrc-se que os cinco sujeitos que esti\o usando a nova goma pararam de fu1nar. 2. A empresa identifica mil adultos que sao fumantes ha bastante tempo. Eles s.'lo divididos em blocos de acordo com o genero. As mulhcres reccbem a nova goma e os homens recebem o placebo. Depois de dois meses, o grupo de mulheres tinha um nllmero signific.1.nte de sujeitos que pararam de fumar. Solufdo 1. 0 tamanho da amostra usado nao egrande o suficiente para validar os resultados. 0 experimento deve ser rcplic.1do para meU1orar a validade. 2. Os grupos nao sao similares. A nova goma de mascar pode ter mais efeito nas mulheres do que nos homens ou vice-versa. Os sujeitos podem ser divididos em blocos de acordo com genero, mas depois, dentro de cada bloco, eles precisam ser alea!oriamenle designados para estar no grupo de !ratamenlo ou de controle. Ed 1t 1naaa 1 (a~ltulo· I • lnuodu<IO l estotlllica 19 ente Usando as informa<;()es do Exemplo 2, suponha que a empresa identifique 240 vocf adultos fumantes. Eles sao designados aleatoriamente para estar no grupo de tmtamento ou de controle. Cada sujeito tambem recebe um DVD sobreos perigos do cigarro. Depois de quatro meses, a maioria dos sujeitos no grupo de tratamento parou de fumar. a. ldentifique um problema em pote11cial com o plantjamento experimental. b. Como o planejamento poderia ser 111el/1omtfo? I Tecnicas de amostragem lmportante - Um censo euma contagem ou medi<;iio de uma popula9'10 inteira. A reali7..a9'10 de um censo fornece informa<;(jes completas, mas ela e frequentemente cara e dificil de realizar. Uma amostragem euma contagem ou medi~~o de pnrle de uma popula9'10 e e mais comumente usada nos estudos estatisticos. Para coletar dados imparciais, o pesquisador deve ter certeza de que a amostra representa a popula<;ao. Tecnicas de amostragem apropriadas devem ser utilizadas para assegurar que as inferencias sobre a popula<;~o sao v~lidas. Lembre-se de que quando um estudo e realizado com dados fol hos, os resultados S<'° question~veis. Mesmo com os melhores metodos de amostragem, um erro de amostragem pode acontecer. Um erro de amostragem ea diferen<;a e11tre os resultados da amostra e da popula<;~o. Quando aprendemos sobre estalislica inferencial, tambem aprendemos tecnicas para controlar esses erros de amostragem. Uma arnostra aleat6ria eaquela na qual todos os membros de uma popula<;iio t~m chances iguais de serem selecionados. Uma amostra aleat6ria simples e aquela na qual toda amostra possfvel de mesmo tamanho tern a mesma d1ance de ser selecionada. Uma maneira de coletar uma amostra aleat6ria simples edesignar um n(tmero diferente para cada membro da popula~iio e entao usar uma tabela numerica aleat6ria, como a do Apendice B. As respostas, contagens ou medi<;()es provenientes de membros da popula~ao cujos numeros correspondem aqueles gerados com o uso da tabela farao parte da amostra. Calculadoras e programas de computador tambem sao utilizados para gerar numerosaleat6rios (ver p. 29). -·· Tabela 1 Niimeros ateat6rios '.'~ Para explorar mrus este 16· pico, ver Atividades 1.3 na p. 24. 926'.lO 78240 !9267 95'157 53497 23894 37708 m62 7!'145 78735 71549 44$43 26104 67318 00701 34986 59654 71966 27386 50004 05358 94001 29281 18544 31524 49587 76612 39789 13537 48086 59483 60680 06.148 7693$ 90.179 51392 558$7 71015 092-09 79157 (lblte de Tooo'o I enconuodo no ApOO<ke B.) Por exemplo, para usar uma amoslra aleat6ria simples na contagem do numero de pessoas que moram nas residencias do Condado de West Ridge, voce poderia designar um mimero diferente para cada residencia, usar uma ferramenta tecnol6gica ou uma tabela de mlmeros aleat6rios para gerar uma amostra de mimeros e entao contar o mimero de pessoas que vivem em cada uma das residencias selecionadas. Exemplo !JJ t:Jsando uma amostra aleatoria simples Ha 731 estudantes que se inscreveram no curso de estatfstica em sua faculdade. Voce deseja formar uma amostra de 8 estudantes para responder as quest<ies de uma pesquisa. Selecione os estudantes que pertencerao aamostra aleat6ria simples. Uma amostra rendenciosa e aquela que niio e representativa da popula9iio da q11al e extrafda Por exemplo, uma amostra consistindo apenas de estudantes universi~1rios entre 18 e 22 anos n.~ seria representativa de toda a popula· 9'10entre18 e 22 anos do pa(s. Ed ,e 1naaa 1 ZO • Cl1111!1io apllcoda Dica de estudo Aqui estao as instru<:Oes para usar um gerador de numeros iu1teiros aleatOrios enl un1a 'rI- 83/84 para o Exemplo 3. IMATHI Escolha o menu PRB. S:randl( [I][J[ZJl}Jf]] , I s I l I I HITER I randlnt(l,731,8) (537 33 249 728... Soillfiio Designe numeros de 1 a 731 para cada estudantedo curso. Na tabela de niimeros aleat6rios, escolha um ponto de partida aleatoriamente e leia os digitosem grupos de 3 (porque 731 eum 11(1mero de 3 dfgitos). Por exemplo, se voci! com~ar na terceira fileira da tabela, no com~ da segunda coluna, voce agruparia os numeros como a seguir: 719166 2173816 5010041 053158 9140311 2912811 185144 lgnorando os numeros maiores do que 731, entao os primeiros oito numeros s.'io 719, 662, 650, 4, 53, 589, 403e129. Os estudantes que reccl>eram esses niimeros formarao a amostra. Para encontrar a amostra usando a Tl-83/84, siga as instru~Cies ao !ado. • Uma empresa emprega 79 pessoas. Escolha uma amostra aleat6ria simples vocf composta de cinco para pesquisar, 3 a. Na tabela, escolha aleatoriamente um po11to de partida. b. Leia os dlgitos em grupos de dois. c. Escreva os cinco numeros aleat6rios. Quando voce escolhe os membros de uma amostra, voce tem que decidir se e ter o mesmo membro da popula~o mais de uma vect. Se for aceit~vel, entao o processo amostral e feito com reposi~ao, Se 11<'\o for aceitavel, o processo e dito ;em reposi(.tio. Existem muitas outras tdcnicas de amostragem comumente usadas. Cada uma tern vantagens e desvantagens. • Amostrn estrnllficndn Quando e importante que uma amostra tenha membros de cada segmento da popula~ao, devemos usar uma amostra estratifiaida. Depen, dendo do foco do estudo, membros de uma popula~iio sao divididos em dois ou mais grupos, chamados de estratos, que compartilham uma caracteristica similar como idadc, sexo, grupo etnico ou ate mesmo preferencia polftica. Uma amostra eentiio selecionada aleatoriamente de cada um dos estratos. 0 uso de uma amostra estratifkada assegura que cada segmento da popula~ao sera representado. Por exemplo, para colctar uma amostra estratificada do numero de pessoas que moram em Condado de West Ridge, voce poderia dividir as residencias em niveis socioecon<lmicos e, entilo, selecionar alcatoriamente resiMncias de cada nfvel. aceit~vel Se voce oontinuar pressionan· do ENTER, ira gerar mais amostras aleat6rias de oito mumeros inteiros. (b»OO@o oo©o@o©l Grupo I: Grupo2: renda baixa rend• nwdia 0(Q)oo@ Grupo 3: rendo alr;i Amos1ta estratificada • Amostra por agmpa111e11to Quando a popula~iio esM em subgrupos que ocorren1 naturaln1cntc, cada un1 tendo caracteristicas sintilares, un1n an1os· tra por agrupamento pode ser a mais apropriada. Para selecionar uma amostra por agrupamento, divida a popula~iio em grupos, chamados c/11s1eri:, c selecione todos os membros em um ou mais (mas niio em todos) c/11stcrs. Excmplos de clusters poderiam ser ~ diferentes do mesmo curso ou diferentes filiais de um banco. Por exemplo, para ooletar uma amostra por agrupamento do numcro de pcssoas quc moram nas residencias do Condado de West Ridge, divida as resiMncias em grupos de acordo com os c6digos postais, entiio, selecione todas as residencias em um ou mais, mas niio todos, Ca,n1lo I • c6digos poslais c conic o numcro de pessoas que vivem em cada residencia. Ao se usar uma amostra agrupada, devemos ter cuidado para ter certeza de que todos os grupos letn caractcrrsticas similarcs. Por exemplo, se um dos grupos de c6digo postal lcm uma propo~ao maior de pessoas de alla renda. os dados podem ntlo representar a popula(oo. Zonas de c6digos postais oa regiao de West Ridge • Amostrn sisttmaticn Uma amostra sistemjtica e aquela na qua! e atribuido um numero a cada membro da popula(llo. Os membros da popula(<'lo sao ordcnados de alguma maneira. um numcro inicial e sclccionado alcatoriamente e, en1ao, membros da amostra s.'o selecionados cm inlervalos regulares a partir do numcro inicial. (Por cxcmplo, cada 3", 5<' otl 1()()> membro eselecionado.) Por exemplo, para colctar uma amostra sistcmjtica do mimero de pessoas que moram cm West Ridge, poderfamos designar um numero diferenle para cada rcsiMncia, cscolher alcatoriamenle um numero inicial, selecionar cada J()()I residencia e contar o mlmero de pcssoos vivendo em cada uma. Uma vantagem da amostra sistcmdtica e que ela e fdcil de ser usada. No caso de qualquer padrao que aconlC(a regularmcntc nos dados. cntrelanto, csse ti po de amostragem deve ser evilado. O@O O@O o@o O@O O@O 0 Amostra sis1emA11a Um tipo de amostra quc frequentcmente lcva a cstudos tendenciosos (portanto, nl!o erecomendada) ea amostra de ronveniencia. Uma amostra de conveniencia consiste somente de membros disponfveis de uma populat;l!o. Exemplo I I, l<lentificando as tecnicas de amostra9em Voce csta realizando um cstudo para detenninar a opinilio dos estudantes em sua escola sobre a pesquisa de relulas-tronco. ldcntifique a toouca de amostragem que voce usaria sc sclccionasse as amostras lisladas. L Voce sclecion.1 uma dasse aleatoriamente e questiona cada aluno da dasse. z_ Voe~ divide a popula(lio de cstudantes com rela~o ~ graduai;Ocs, scleciona aleatoriamente e qucstionar al guns de cada curso de graduat;ao. 3. Voe~ designa um namcro para cada aluno e gcra m1meros aleatorianwnte. Enrao, voce qucstionn cada cstudanlc cujo numcro ~ selecionado alealoriamentc. Soillfiio t. Pelo fato de cada classc scrum subgrupo que ocorre naturalmente (um cluster) e voce qucstiona cadn aluno na classc, csta e uma amostra por agrupamento. 2. Como os cstudantcs sao divididos em estratos (graduai;Ocs) e uma amostra eselecionada de cada gradua(<'lo, esla ~ uma amostrn cstratificada. l•uodocao I ~111b1k• ZI lmportante Para uma amostr~1 pc;trnHfl- cada, cada um dos cstratos contt!m membros com certas caracteristicas (por exemplo, um grupo de idade em particular). Em contraste, osd11sltrs consistem de um grupamen· to geogr.llico, e cada clusltr deve consistir de membros com todas as caracterfsticas (por exemplo, todas as lail<"5 etarias). Com amostras estratificadas. alguns dos membros de cada grupo sao usados. Na amostra por agrupamento, todos os membra; de um ou mais grupos s.'lo us.idos. Ed ,e 1naaa 1 ZZ • Cl111l11i<aaJlli<oda 3. Cada amostra de mesmo tamanho tem chances iguais de ser selecionada e cada aluno tem chances iguais de ser selecionado, enrao esta uma amostra aleat6ria simples. e voci 4 Voce quer deternlinar a opiniao dos estudantes de s ua escola sobre as <:elulas· -tronco. ldenti(ique a Mcnica de amostragem que est~ sendo usada se voe@ selecionar as amostras listadas. 1. Voce seleciona estudantes que estao em sua au la de estatistica. 2. Voce design.1 um numero para cada estudante e, depois de escolher um numero injcial, questiona cada 259 aluno. a. Determine como a amostra e selecionntfn. b. Jdentifique a tec11icn tfe nmostrngem correspondente. ~ms.lo 11a p. Ill AJ2 Exercicios Construindo habi!idades basicas e conceitos 1. Qua! a dife<en<;a enue um estudo observaciooal e um expe<i· mento? 2. Qua! a difeieni;a entte um censo e uma amosttagem? 3. Descreva dois m~odos que voce pode usar P<1ra gerar numeros alea16rios. 4. 0 que e a repli~o em um expeimento e por que ela e im· ponante? Verdadeiro ou falso? Nos exe<ckios de 5 a 10, detennine sea affrma~o eve<dadeita ou falsa. Se for falsa, reescreva·a de forma que seja veidadeifa. 5. Em um planejamento de blocos cornpletamente ale.it6rios, sujei· tos com caraae~sticas similares sAo d'Mdidos em blocos e, ent~, denuo de cada bloro, sao designados ale.itoriamente grupos de tratamento. Um experimento duplamente cego e usado P<''a aumentar o efei· to placebo. 7. Usar amostras sistematicas garante que membros de cada grupo dentro de uma popula'°o sejam amosuados. 8. Um C4n'° euma contag4m de p,itle de uma popula~o. 9. O me1odo para sele<;llo de uma amosua estratificada e ordei>ar uma popula<;ao de alguma maneira e. ent.lo, selecionar membros da populai;llo em inteNalos regulares. 10. Para selecionar uma amosva por agrupamento, d'Mde-se a po· pula,.io em grupos e ent.lo seleciona·se todos os me<nbros em pelo menos um (mas M<> todos) os grupos, 6. Deddindo o metodo para coleta de dados Nos exercicios de 11 a 14, decida qua! metodo de coleta de da· do~ voce usatia ""'a coletar os dados para o estudo. Eicpl~. 11. Um esludo dos efeitos de batatas chips feitas com um substituto da gordura no siSlema digest61io humano. 12. Um esl\ldo dos efeitos de um r6tulo de advertencia de um pro· duto para determinar se os consumid0<es ainda vAo compra·lo. 13. Um estudo da velocidade na qual um virus se espalharia na ~re.1 metropolil<lna. 14. Um estudodas idadesde 535 membrosdocongresso americano. US4ndo e interpretando conceitos 15. Droga antialergica Uma industria farmaceutica quer testar a efic.!cia de uma nova dr0ga antial~rgica. Aempresa identifica 250 mulheres de 30 a 35 anos que sofrem de alergias diversas. Os Su· jeitos s.Jo designados aleatoriamente em dois grupos. Um grupo recebe a nova droga e outro recebe um placebo que patece com a nova dloga. Depois de seis meses, os simomas dos sujei1os sao estudados e oomP<1rados. (a) identifique as unidades experimentais neste expe<imento. (b) Quantos ttatamentos sao usados nes1e experimento? (c) ldentifique um p!Oblema em potencial com o planejamemo expe<imental usado e sugira uma maneira para melh«.l·lo. (d) Como este experimento pode ser designado como ~­ mentecego? 16. Tenis A Nike desel1\/00eu um oovo ripo de tenis criado P<1ra ajudar a postergar o prin~ da artrite no joelho. Oitenta pessoas com sinais precoces de anrite lo.ram vcluntarias para o estudo. Metade dos vclunt.!rios usou o novo tenis e a outta metade usou 1e.1is regulares, que tinham a mesma aparencia dos tenis do ex· peiimento. Os individuos usaram os tenis todos os dios. Na con· du~ do estudo, os si>tomas foram avaliados e uma ressonancia magnetica foi re.ifiiada em seus joelhos. (Fr.nie: \'~Pc$<) (a) identifique as unidades experimentais neste experimento. (b) Quantos vatamentos sao usados neste experimento? (c) identifique um Ploblema em potencial com o planejamento expe<imental usado e sugira uma maneira P<1ra methora-lo. (d) O experimento e desaito como um experimemo controlado por placebo, estudo dupfamente cego. Eicplique o que isso significa. (e) Dos 80 voluntarios, suponha que 40 sejam homens e 40 sejam mulheres. Como os blocos poderiam ser usados no planejamento do experimento? Ed ,e 1naaa 1 ldentificando tecnicas de amostragem Nos exerdcios de 17 a 26, identi~ue a ti!alica de amostragem e diSCUla as f0<1tes de parcialidade em potencial (se hoUYet). Elcplique. 17. Usando discagem aleat6ria, os pesquisad<ites ligaram para 1.599 pessoas e peiguntaram que obstaculos (tais coma ter que 01idar das crian(aS) nAo permitiram que contir<Jassem se exercitando. (Fon1c: >or.!clrr"fh l'ot""'4 rno '"'Shope UpAmer.-ol) 18. EscoUlidas aleatoriameme, 500 pessoas da z0<1a rural e 500 pes- 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. soas da zona Ulbana com 65 anos ou mais foram questionadas sobre sua saUde e experiencia com dtogas piescntas. Ques1ionando estudantes ao safrem da biblioteca, um pesquisad0< pergumou a 358 deles sobre seus h.lbitos com rela~ bebida. Dep<lis de um furacao, uma area do desasrre foi dividida em 200 grades iguais. Trinta das grades sac selecionadas, e cada casa OQJ· pada na grade e eotrevistada para ajudar a focar os esfor~os de alivio para os residentes que ma is necessitam. Escolhidos aleatoriamente, 1.210 pacientes amb.Jlatori<lis de hos· pitais foram contatados e questionados sobre suas opiniOes a respeito do tratamento que receberam. Para assegurar a qualidade. cada 20• ~de motor eseleci0<1ada de uma linha de montagem e testada para durabilidade. Sementes de soja sAo plantadas em um c.impo de 48 acres. 0 campo e dividido em sut.lreas de um acre. Uma amostrade plan· tas eretirada de c.ida subarea para estimar a coUleita. At> questionar professores conforme salam da sala de professores, um pesquisador perguntou a 32 deles sabre seu estilo de ensino e m~odos para dar as notas. Uma lista de gereotes cornpilada e ordenada. ~ que um numero inicial e escolhido aleatonamerue, c.ida none name e selecionado ate que 1.000 gerentes sAo selecio<la<los. Eles sAo questionados se usam midia digital. liga¢es feitas para n0mecos selecionadosaleatoriamente, 1.012 entrevistados foram questionados se alugam ou se sAo propnet.lrios de suas residencias. Priva~o do sono Um pesquisadof quer estudar os efenos da falta de sono nas habaidades motoras. Dezoito pessoas foram volunt.llias para o experimento: Jake, Maria, Mike, Lucy, Ron. Adam, Bridget, Carlos, Steve, Susan, Vanessa, Rici\, Dan, Kate, Pele, Judy, Mary e Connie. Use um gerador de numero aleat6rio para esar lher nave sujeitos para o grupo de ttaiamento. Os outros nove iri!o para o grupo de co.wale. Liste os sujeitos em cada grupo. Diga qual meiodo voce usou para gerar OS numeros aleat6rios. Gera~ de numeros aleat6rios Voluntaries para um experi· mcnto silo nume,.dos de 1 a 70. Eles serao designados alea· toriamente para dais grupos de tratamento diferentes. Use um geradot de rinneros aleat6rios diferente do usado no Exerdcio 27 para escolher 35 sujeitos para o grupo de tratamento. Os outros 35 irao para o grupo de controle. Liste os sujeitos, de ac0<do com o numero, em Cdda grupo. Diga qual metodo voce usou para gerar os n0meros a1eat6rios. a e Escolhendo entre um censo e uma amostragem Nos exercicios 29 e 30, determine se 'IOCe fana um censo ou usaria amosttagem. Se esr..olhesse amostragem. decida qual tecnica usaria. Exp6que. 29. o sal.lno medio de 50 funcionarios de uma emp1esa. 30. A cor de c.irro mais pop1Jiar entre 25.000 estudantes de uma universidade. Reconhecendo uma questao tendenciosa lllos exerdcios de 31 a 34, determine sea qoost<lo da pesquisa e teoden<iosa. Se a questao f0< tendellciosa, sugira uma melhor maneira de fonnular a questao. 31. POI que beber SIJCO de frutas e bom para voce? 32. Per que os me1oristas que muclam de faixas varias vezes sao perigosos? 33. Quantas horas de sono voce tern em media por noite? 34. Voce acha que a mk&a tem um efeito negativo nos h.lbitos alimentares de adolescentes do sexo feminine? 35. Reda\ao A classif~ dos programas de TV feita pela Nielsen Media Research e descrita nap. 14. Discuta os esuatos usados naamostra. 36. Reda\ao A classific.i'30 dos programas de TV feita pela Nielsen Media Research e descrita nap. 14. Perque importante ter uma e amostra estratificada para essa dassifica<;ao? Expandindo conceitos e abertas: Os dais tipos de questOes em uma pesquisa sAo as quest6es .abertas e as fechadas. uma questAo aberta permite qualquet tipo de resposta; uma quest<lo fechada permite somente uma resposta fixa. Uma quest!o aberta e uma questao fechada com suas escolhas posslveis sAo dadas a seguir. tiste uma vantagem e uma desvantagem de uma ques!Ao aberta. Ent.lo, lisle uma e uma desvantagem de uma questao fechada. Quesrrlo oberro Que medida pode ser tomada para fazer com que esiudantes adquiram h.lbitos alime.1tares mais saud.lveis' Questoo fethodo Como faria OS estudantes adotarem habi· tos afimentares mais saud.lveis? I, Um cuso de nutri\<lo obrigat6rio. 2. Ofe<ecer somente cornidas saud.lveis na c.ifeteria e retirar as comidasnilo saud.lveis. 3. Ofececer mais comidas sau<l.!veis na cafeteria e aumentac os pr~ das cornidas nilo saud.lveis. 38. Quern escolheu essas pessoas? Algumas agendas de pesquisa pedem que pessoas liguem para um telefone e deem a resposta para uma questao. (a) tiste uma vantagem e uma des37. Questaes fechadas '"""'&em voce vantagem de uma pe$qUi$CJ '°"1duzida deita maneira. (b) Qua! 39. 40. 41. 42. 43. tecnica de amosuagem eusada em tal pesquisa? De um exemplo de um experimento no qual h.l um elemento de confusAo. Pot que e i"l'Qllante usar a tecnica cega em um experimento? Em que o efeito placebo e o efei1o Hawthorne sAo similares? Em que sAo diferentes? Em que o planejamento de blocos aleat6rios em expe<imentos e similar a uma amostra esvatificada? Usando ti!cnicas de amostragem Sua escola pediu que voce pesquisasse e0<n 150 estudantes quern usa a nova sala de gi· nastic.i. Descreva seu procedime.110 para obter ..na amostra de c.ida tipo: aleat6na, estratificada, por agrupamento, sistematic.i e de conveniencia. Ed ,e 1naaa 1 24 • iii lstatlstk,.plicada Atividades Passo l Especifique o numero de amostras. Passo 4 Clique SAMPLE para gerar uma lista de valores aleat6rios. HUmeros a!eat6rjos Applet o apj)let para mimeros aleat6rios efeito para que voce ge1e numeros aleat6rios de uma amplnude de valores. Voce pode especificar valoces inteiros para valor nW<imo, valor minimo e numero de amostras nos campos ap<opriados. VO<! oAo deve usar pontos decimais quando p<eencher os campos. Quando o bolao SAMPLE (amo&ra) e dicado, o apj)let gera valores aleatOrios, que Silo mostrados como uma lista no campo de texto. Ghegando a condusiiff I. Especifrque o valor minimo, m~~mo e OOme<os de amostra como sendo 1, 20 e 8, respectivamente, conforme mostra· do. Execute o applet Continue gerando listas ate que vore ob«enha uma que mostre que a amostra aleat6ria eretirada com subslitui¢o. Escreva a lista. Como voce sabe que a 6sta uma amostra aleat6ria retirada com 500stitu~o? e Minimum vallte: MaxinlUlll Minimum va1u~; v~1lu e: Nu1nbcr of santplcs: Maxiinun1 value: 20 Snmplcl Nu1nbcr of S.'1 1npk-s: S S.1mpl~ Explore Passo 1 Especifique um valor mlnimo Passo 2 Especifique um valor ma.imo. 2. Use o applet para repetir o Exemp!o 3 nap. 19. Quais valores voce usou para o minimo, mAximo e ntimero de amos· tras? Quais rnetodos voce p<elere> Exp!ique. Usos e abusos - estatistica no mundo real Usos Experimento com resultados favor~eis Um experimento qve corne~ou em mar'° de 2003 estudou 321 mulheres com c.lncer de mama em est.!gio ava~do. Todas foram tral<ldas previarneme corn ouuas drogas, mas o c.lncer parou de respondei as medica¢es. Entao, foi dada a esse grupo de mulheres a oponunidade de experimenl<lr uma nova droga combinada com uma droga de quimioterapia em panicular. Os sujenos foram divid'Jdos em dois grupos, um que tomou a OOJa droga cornbinada corn a quimioterapia e outro que tomou somente a droga da quimioterapia. Depois de ues anos. os resultados mosuaram que a nova droga em cornbina>OO com a droga da quimioterapia postergoo a progressao do cancer. 0 resuliado foi !<lo significativo que o est\Jdo foi interrornpido e a nova droga foi oferecida para todas as mulheres do estudo. O FDA (Food ood Drug Mministra!ion), ent.lo, ap<OllOU a nova droga em corjumo com a droga da quimioterapia. Abusos Experimentos com resultados desfavor~eis De 1988 a 1991, 180 mil adolescemes na Noruega foram usados para tesaar uma oo.-a vaciia corwa a baa~ mortal menir>gororoJs b. irnp<ov~vel que haja cornpliul¢es serias", enquanto informa¢es fornecidas pelo parlarnento noruegues afirrnou que ·efenos colaterais serios n00 podern ser exclufdos". A vacina experimental teve alguns resuliados desastrosos: mais de SOOe!eitos colaterais foram reponados, sendo alguns conside- Uma cartiha descrevendo os possfveis efeitos da vacina afirmava: ·e Ed ,e 1naaa 1 rados ~rios, e muitos dos sujeitos desenvolveram ~rias doencas neurol6gicas. Os resultados mostraram que a vacina forneceu imunidade a someme 57% dos casos. Este resultado nao foi o suficiente para que a vacina fosse adicionada ao pcograma de vacinas noroegu~ Oesde e111ao, indeniza¢es foram pagas as vitimas das vacinas. Etica Os eoqierimemos nos ajudam a entendei mais o mundo que nos rodeia. M<ls. em alguns casos, eles podem causar mais mal do que bem. Dos e.perimentos na Noruega, surgem algumas ~taes eticas. O experimento noruegu~ foianMtico se os interesses dos sujeitos foram negligenciados? Qvandoo experimento deveria ter sido parado? 0 experimento deveria ter sido cooduzido? Se os efeitos colaterais nAo foram repoflddos e foram escondidos dos sujeitos, nao ha ques~o etica aqui, ele eSi<l simplesmeme errado. Po< outro lado, o experimento do cAncer de mama nAo queria nega1 a nova droga para um grupo de pacieltes com uma doem;a fatal. M<ls. novamente, questaes surgem. Po< qoanto tempo um pesquisador deve manter um e><Perimento que mostra resultados melhores dos que os esperados? Quando um pesquisadol pode conduir que uma droga e segura para os sujeitos efl\'QMdos? uercicios Encontre um exemplo de um experimemo real que tenha resultados desfavor~is. 0 que poderia ter sido feito para evitar o resultado do e.perimento? 2. Parondo um experimento Em sua opiniao, quais sao alguns dos problemas que podem surgir seas temativas dlnicas de uma nova droga experimental ou vacina pararem muito cedo e entao distribuldas a outros sujeitos ou pacieltes? I. Resultados desfavoraveis Resumo do capitulo 0 que voce aprendeu? Se~ao I.I • Como distinguir entre popula~o e amostra. • Como distinguir entre um par~metro e um dado estaHstico. • Como distinguir entre estatfstica descritiva e estatfstica inferencial. Se~ao 1.2 • Como distinguir entre dados qualitativos e quantitativos. • Como classificar os dados com rela\ao aos quatro niveis de mensura\Jo: nominal, Exemplo [xercicios de revisao 1 1a4 2 5a8 3 9e10 1 11a14 15a 18 2e3 ordinal, intervalar e racional. se,ao 1.3 • Como s.io coletados os dados: por meio de estudo observacional, fazendo um experimento, usando uma simula~ao ou usando uma pesquisa. • Como planejar um experimento. • Como criar uma amostra usando amostragem aleat6ria, amostragem aleat6ria simples, amostragem estratificada. runostragem por agntprunento e amostragem sistematica. • Como identificar uma amostra tendenciosa. 19a22 2 23e24 3e4 25a30 3e4 31a34 Ed ,e 1naaa 1 Z6 • lstatf\licaapll<ada Exercicios de revisao Secao I.I Nos exerclcios de 1 a 4 , identifiq1Je a poputa,ao ea amostra. 1. Uma pesquisa com 1.000 adultos no<te-ameri<:anos descobriu que 92% estao preocupados com a dependencia do 61eo estran· geiro. (Fonte: 1~ UMITh)') 2. Trinta e oito enfermeiras que trabalham na area de S.lo Francis· co foram perguntadas a respeito da administra~o de assist~ncia medica. 3. Um estudo de 146 cMiles de credito descobriu que a taxa de juros media para atrasos em pagamentos S 27,46. (l'onre: Con- e sumer""""'-) 4. Uma pesquisa com 1.205 medicos descobriu que cerca de 60% consideram deixar apratica da medicina porque sao desencoraia· dos pelo sistema de saUde dos Estados Unidos. (Fool!>: The Physioon f.rec"""° JtXJmo1 ofMed~ol Ala/1"9f'l""'I.) Nos exercicios de 5 a 8, determine se o valor numbico descreve um parametro ou um dado estatistico. 5. A folha de pagamento da equipe do New York Mets em 2006 eta S 101.084.963. (Foore: USA Todor} 6. Em uma pesquisa com 752 adultos nos Estados Unidos, 42% acham que deveria haver uma lei proibindo pessoas de levarem celulares em lugares publicos. (FcNe: U<ti>1:roty of1~) 7. Em um estudo recente com graduandos em matemalica em uma unive<sidade, 10 estudantes deixaram a ffsica em segundo piano. 8. Noventa por cen10 de uma amostra de estvdant.es da nona serie em Indiana que foram pesquisados disseram que fumam cigarros diariamente. (Fom•: kl<flanq l.Ol.'..,.,I)<) 9. Que pane do esludo deseti10 no Exerclcio 3 representa o ramo descritivo da estalistica? Fa(<l uma inferencia baseada nos resul· tados do estudo. 10. Que pane do levantamento descrito no Exeicicio 4 representa o ramo descritivo da estatistica? Fa(<l uma infei~cia baseada nos resultados do levantamemo. Secao l.Z Nos exetcicios de 11 a 14, deletmine quais dados ~o qualitativos e quais sao quantitalivos. Explique seu raciocinio. 11. O salarlo mensal dos luncionarios de uma empresa de contabi· lidade. I 2. Os numeros do seguro social dos f1J1Cion.!rios de uma empresa de contalJjlidade. 13. As idades de uma amostra de 350 funcionarios de uma empresa de software. I4. Os c6digos postais de uma amostra de 350 dientes de uma loja de anigos espo<tii.•os. Nos exeicicios de 15 a 18, identifique os n!veis de mensura<;ao dos COlljuiltos de dados. Expfique. 15. As temperaturas diarias (em graus Fahre.'Yleit) em Mol•we, Mzona, para uma semana de jt.dlo (fonl.:illllfJllOAi.r~N"-''""k): 93 91 86 94 103 104 103 16. As classes de tamanhos de autom6'1eis da EPA (Agenda de Pro· t~o Ambiental) para uma amostJa de autom6veis estao llstadas <J seguii: suhcompaao compacto tamanho medio grande compacto grande I 7. Listamos os quatro depanamemos de uma empresa de eSlam· pagem. Administra,.io \lendas Produ(<'io FaMamento 18. A altura dos atletas (em polegadas) do Los Angeles Sparks em 2006 est.Jo fiSladas a seguir (Fon<e: ~\:>men's Bosklbol ils· '°""""") 69 74 63 n 11 74 75 10 74 75 75 75 11 Seciio 1.3 Nos exeicicios de I 9 a 22, decida quaI metodo de coleia de dados voce usaria para o estudo. Explique. 19. Um estvdo de doa¢es dos CEOs para a caridade em Syracuse, Nwa YOO. 20. Um eSludo dos efeitos dos cangurus no ecossistema do parque national de Everglades, na F16rida. 21. Um estudo dos efeitos de leniliiames na planta<;ao de soja. 22. Um estudo sobre a opiniao de estudantes univer~tariosa respeito da polui~o ambiental Nos exercicios 23 e 24, um experimento Seta reafizado para testar os efeitos da lalta de sono na mem6ria. Duzentos estudantes f()(am ''Oiuntarios para o experimento. Os estudantes serao colocados em um dos cinco grupos de tratamento, ;nduindo o grupo de controle. 23. Explique como voe~ poderia planejar um expe<imento de modoa usar um planejamento de blocos .ileat6rios. 24. Explique como voe~ poderia planejar um experimento de modo a usar um planejamento de blocos <ompletamente afeat6rio. Nos exercicios de 25 a 30, identilique qua! t&nica de amostra· gem foi usada no estudo. Expl'ique. 25. Ligandoparanumerosgeradosafeatoriamente,umestudopergun· toua 1.00 I aduftos none-a mericarnos quais cond',.oos med'rcas po· deriam Set prevenidas por sua dieta. (AdoprorkJdt: ~m"'°'llbi~.) 26. Um estudante pediu a 18 amigos para patticiparem em um ex· peiimento psicol6gico. 27. Um estudo sobre a gravidez em Cebu, Filipinas. selecionou aleatoriamente 33 comunidades da area metropolitana de Cebu, ent.lo for.am entre\'i~ad.¥.. todas as mulher~ S"avidas disponiveis nessas comunidades. /,Maplodo de: Cebu tongrrudincl Heal1h Olld NW<lion Srlll'<'f.) 28. Oficiais de policia param e checam o motorista de cada terceiro veicUo para verificar 0 teor de alcool no sangue. 29. Vinte e cinco estudantes s<'lo selecionados afeatoriamente de cada sene de uma escofa secunci!aria e pesquisados solxe seus habitos de estudo. 30. Um jornalista ent1evista 154 pessoas q<.-e esperam por suas ba· gagens no aeiopono e peigunta a elas o <l'JOO seguras se sentem durante os voos. Nos exerclcios de 3I a 34, identifique uma parciafidade ou um erro que pode ocorret na pesquisa indicada ou estudo. 31. Estudo no Exerclcio 25. 32. Expeiimento no Exercicio 26. 33. Estudo no Exerclcio 27. 34. Amostragem no Exetcicio 28. Ed ,e 1naaa 1 (apftul> I • lntrodl(IO ! " tatktica Z7 Teste do capitulo F~ este teste como se estivesse fazendo uma p<ova em sala. Depois, compare sws resposias com as resposias dadas no final do lf.<o. I . ldenlifique a popula<;ao e a amowa no es1\Jdo a segvir. Um estudo de 372 pacientes com d'!Slurbios de ansiedade foi conduzido paia descobrir a rela<;ao entre a in~o de cafe e esses disrurbios. 2. Determine se 0 valor numerico e um paramello OU um dado estatlstico. (a} Em uma pesquisa com 798 USU<lrios de Internet, 19'!\> dis· seram que tern 00<1exao sem fio em casa. (FOll/e: f'eoy tnremet ot>d MietlCOO L<ie F1oJ«t) (b) Em uma vota~ao, 84% dos funcionArios de uma empresa votaram a fa\'Or de novas vending machines automaticas no p<Mio. (c} Uma pesquisa com cerca de 1.000americanos mowou que somente 40% tern uma coot<I poopa~ de emergencia. lfoole: Consum<'f federo<""1 or""""1ca) 3. Determine se OS dados sao qualitativos OU quantitativos. (a) Uma fista de n.Jrneios de caixas postais em um correio. (b) As notas finals em um teste de quimica. cada live! de mensura<;ao dos conjuntos de dados. Eiqifique. (a) Uma lsta dos numeros dos crachas de policiais em uma 4. fdell!ifique juisdiylo. (b) O numero de velas vendidas por um fab<icante em cada trimestre do ano ftScal corrente. (c} Os anos de nascimento dos corredores da maratona de Boston. 5. Decida qua! metodo de coleta de dados voce usaria para reunir dados para cada um dos eswdos. fJ<pfique seu raciodnio. (a) Um estudo solxe os efeitos de uma dieta com baixa ingest.lo de vitamina Ce ferro nos adulcos. (b) A idade de pessoas que moram ate 500 ml has de sua casa. 6. Um eswdo para testar os efeitos de uma nova droga na hiper· tens3o anerial ~ sendo realiiado. 0 pesquisador idenlifica 320 pessoas com idades enue 35 e SO aros com hipenensao para panicipar do experimemo. Os ·sujeitos sao d'rvididos em grupos iguais de acordo com a idade. Deniro de cada grupo, eles sao selecionados aleatoriamenle Jlilra o grupo de conuole ou para o grupo de uatamenlo. Que tipo de p!anejamento foi utifizado nesle experimento? 7. ldentifique que tecnica de amosuagem foi usada em cada estudo. Eiqifique. (a} Um jornalista vai a um local de acampamento para perguntar as pessoas como se sentem em rela~ao apolui<;ao do a1. (b) Para controle de qualidade, cada decima p~ de uma maquina e selecionada de uma linha de montagem e 1estada pa1a acuidade. (c) Um estudo sobre as atituodes relacionadas ao fumo econ· duzido em uma faculdade. Os estudantes sao divididos por dasse (calouros. alunos do segundo, terceiro e ultimoanos). Entao, uma amosua aleatMa eselecionada de cada classe e encrevistada. 8. Que tecnica de amosilagem usada no Exercicio 7 pode levar a um estudo 1endencioso? Juntando tudo Estatistica real - decisiies reais Como voce adquiriu Voce trabalha em uma empresa de pesquisas. Sua emp<esa venceu uma co.-1corrMcia e realiiara um estudo para uma publica<;ao de uma indUstria at!tea. Os ed'rt0<es da publica<;ao gostariam de saber aopiniao de seus leitores sobre areas corno compra de passagens, servi,os. seguran~, conforto, aescimento econOmico e p<Ole~o. Tambem querein sabet a opini~o de adulcos que usam os seiw;os aereos para negOc1os e lazer. Os ed'~ores forneceram seu banco de dados de leit0<es e 20 ques!Oes que gostariam que fossem aplicadas (duas questOes amostrais de um estudo anterior sao fornecidas promamerr te}. Voe~ sabe que o cus10 para contatar todos os leitores e muito alto. Assim, p<ecisa determinar uma maneira de contatar uma amostra represe.itativa da popula~o inteira de leicores sua passagem? Resposta Porceotagem 35, l'lb Oirct.amente da oompd'ia ~rea On·ine, uieto site da empresa abea 20,9'1b 21,0'lb On-line, IJlOI Oln<O Exercicios I. Como voceforio? (a) Que tecnica de amostragem voe~ usaria para selecionar uma amostra para o estudo? (b) A1ecnica que voe~ escolheu na quest~o anterior fornece uma amoscra represeniativa de uma pcpula~o? (c) Desaeva o metodo de coleta de dados. (d) tdentifique posslveis falhas e parcialidades no estudo. site (que n!o o da oompanllia ~rea) 18,5% OWo 4,5% (Fonre: ReSO!:rce S)<l<m Group) Ed ,e 1naaa 1 ZS • ls1a1i5ticaaplicad• Quantos asscx:iados, amigos ou familiares viajaram juntos em seu grupo? Resposta Porcen!agem 2. Classifica~do de dodos (a) Que tipo de dados voce espe1aria coletar: qualitativos. quantitativos ou ambos? Por que? (b) Em quais niveis de mcnwro¢o vo:C adio quc os dados; estariom? Por quC? 1 (viaiou soonho) 48,l"l!> 2 ('iajoo «>m mais utna 29.l"l!> (c) Os dados coletados para o estudo representam IJlla popula¢o oo uma amosua? (d) As descri¢es numt!ricas dos dados seroo parametros ou dados estalisticos? 7, l'lb 3. Como eles fizeram Quando o Resource Systems Croop realizou um estudo similar. utiizou uma pesquisa via ~ (Wajou com mas 3 pestoaS) 7,7'11> 5 ('t<Saiou com mais 4 pesooas) 3,0'lb 6 ou mais (viajou cam 5 ou mais pessoas) 3,sqQ lmemel Foram enviados 1.000 convites para a panicipa\\'lo na pesquisa e o grupo recebeu 62 t pesquisas completas. (a) Oescreva algunserros ~is na coleta de dados por meio de pesquisas via Internet (b) Compare seu metodo de coleta de dados no Exerdcio t aeste metodo. pessoa) 3 (viaiou «>m mas 2 pessoas) (ICl>.'e: R<soorce s~ Gtoop.) Hist6ria da estatistica - linha do tempo contribuldor comribui~ SOOiloXVll Esludou os regisuos de 6bi1os em Londtes no incio de 1600. foi o primcoo a rwlizar ol>servi¢es estalisticas «>m base em _.tidades ma5SA-as de dados {C.r>'tulo 2); seu uabalho projeiou afundac;!o ii>ilr• • esta!lslica mr:dema. Pascal e R?rmai irr:caiam oorr~ncias. sobre P<oblemas W~oos de pcobabilidadc ((apitulo 3) - espe<iall11"'11e""'8es relacionados a aposlas e jogo. John Graun1 (1620-1674) Blaise Pm (1623-1662) Pierre de r"'""I ( 1601 - 1665) Pierre Laplace (1749-1827) Carl Friedrich Gauss (tn7- 1855) 5ec1J1o XVIII Lambert Quetele1 (I 79&-1874) SOOJlo XIX FrilllOs Galton (1822-1911) v.llliam Gossel (187&-1937) SOOrlo XX (;nlr;io) O>a<lesSpearman (1863-1945) Ronald Fisher (1890-1962) Frank Vl\l:oxon (1892- 1965) David Kendoll (1918- ) E!ludou probabilidade (Clpltulo 3) e ~ oeditada a ele a inser~ da pcobabilidade em uma ~ matematica. Es<udou regressao e ~odo dos m;.,irnos quadfados (Clpitulo 9) por meio da astmoomia. Em sua hwa, a cistribui(ao normal e as veies. dlamada de cislr;~ Gaussiana. Usoo """tis1ica descritiva (Clpltulo 2) para aoalisar dados de crimes e mor1,1idade e e!ludou too>icas de censo. Desct.-..eu distribu~ normal {C.pltulo S) em oonex.!o cam ca:acleristicas humanas. como altura. USOu reg<ess!o e ~ (Clpr1ulo 9) para eSl<rdar v~ ~em tun.nos. l\ele eaediada • desa>be<tado Teorema do linile (Capllulo 5). °"'"' "-' ~rson (1857- 1936) John Turley (1915-2000) ' Perlodo S«uloXX Esludou a~ natural usando 0011~ (Qpitulo 9). F0tmou opcimeiro depanamento ~mico de eslatfslica e ajudou a desenvol..., • <Wlise "';. -quadrado (Clpaulo 6). fsludou o processo de pcooo,ao de <erveja e deserwotveu o ,.,,.., para CX>rrigi1 pcoblcmas rel.ldonados a 16manhos peqoonos <le amo!lras (Capr'lulo 6). Ps«:Ologo bfi1anico que loi um dos P<;meiros a desemolver tes1es de ilteligerlcia usaodo an!I~ de fa1ores (capltulo 10). Esludou biologia e ~ n<llural. desenvol\<!u a m<J/A (Cl?<1ulo 10), mosuou a impor!Ancia do planejamemo experimental (C.p(tulo I) e foi o pffileiro a idenuficar as t;p01eses nula e alttmotiva ((apillio 7). Sioqiimico que usoo es1alislica para e!lud.lr pa1<iogias de plantas. lnuodwiu os testes de duas amo!lras (Glpi1'*> 8), o que le\w ao d~to de estatisticas n~ para~ic,,,s. TraballlOU em Pmcemon <llrai>te a II Guerra Murldial. Apresen!OU 100iic.lrs de analise de dados eicploral<lrias 1ais como diagramas ramo"'"'1has (Glp(tu!o 2). Tambem uabalhou nos Laboea100os Bel e emais corliecido por seu uabalho com est.J•istica inlerendal (capllulos 6 a 11). Trabalhou em Pmcemon e Clmbridge. ~ a aUloridade prin<ipal sobre pcobabilidade aplicada e analise de dados (capitulos 2 e 3). Ed ,e 1naaa 1 (apntl• t Tecnologia I MINITAB \ Usando a tecnologia na estatistica Com grandes conjuntos de dados, voce descobri~ que calculadoras e S()ftwares de computador podem ajudar a realizar calculos e criar gnlficos. Dos muitos progra· mas de estat(stica e calculadoras que estao disponrveis, escolhemos incorporar a calcuJadora grafica Tl-83/84, o MINITAB e o S()ftware Excel neste livro. 0 exemplo a seguir mostra oomo usar ess.is tres ferrilmentas tecnol6gicas para gerar uma lista de numeros aleat6rios. Esta lista de nl'.tmeros aleat6rios pode ser usada para selecionar membros da amostra ou realizar simula~<ies. Exemplo Gerando uma lista de mimeros aleatorios Um departamento de oontrole de qualidade inspeciona uma amostra aleat6ria de 15 dos 167 carros que silo montados em uma fl\brica de autom6veis. Como os carros devcm ser cscolhidos? So/11pio Uma i11aneira de escolher uma amostra ~ prin1eiro numerar os carros de 1 a 167. Entao, voce pode usar a tecnologia para fom1ar uma lista de numeros aleat6rios de 1 a 167. Cada uma das ferramentas tecno16gicas requer diferentes passos pal'il gerar a lis· ta. Cada uma, entretanto, requer que voce identi fique o valor minimo oomo 1 e o valor maxi mo oomo 167. Cheque o manual do usuario para instru~Oes espedficas. MINITAB • 1 ...s.3 4 5 6 7 ~ 9 10 11 12 , 13 14 15 I EXCEL C1 TI-8J!84 \ randln~1.167.151 {1742152595 116125 64122 55 58 6082152105} 1~ 74 160 18 70 so_ s2_ 37 6 82 126 __ sa 104 137 103 64 135 - - 90 Lembre-se de que quando voce gera uma lista de numeros aleat6rios, voce deve decidir see aceitavel ter nlimeros que se repetem. Se for aceitavel, entiio o processo de amostragem edi to com rcposi,no. Se nao for, entao o processo edito sem reposir;no. Com cada uma das tres ferramcntas tecnol6gicas mostradas no exemplo anterior, voce tem a capacidade de selecionar uma lista de modo que os mlmeros apa~am em ordem. Asele~~o ajuda averse qualquer um dos numeros na lista se repete. Se isso nao for aceit~vel voce devc especificar que a femunenta gere mais nl'.tmeros aleat6rios do quc a quantidade de que voce precisa. • EXCEL ln11•docl•!"t111ltica 29 Ed ,e 1naaa 1 30 • r11a1l11ica apll<tda Exercicios 1. 0 SEC (Secunlies and Exchange Comission) esl~ inves1igando uma emp!esa de servi~os financeiros que tern 86 eo«elores. 0 SEC decide revisar os 1egisuos de uma amostra aleat6tia de 10 corre10<es. Descreva como essa inves1igaao pode se feita. Entao, use a tecnologia para gerar uma lisla de 10 numeros alea16rios de I a 86 e ordene a lista. 2. Um departamento de comrole de qualidade est~ teslando 25 d · meras de celulares de um carregamenlo de 300 telelones com cameras. Desaeva como esse teste poderia ser feito. Emao, use a 1ecnologia para gerar uma lista de 25 niimeros aleat6rios de I a 300 e ordene a rJSta. 3. Considere a populaao de dez dlgitos: O, l, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Selecione tres amostras aleat6tias de cinco digitos de sua lista. Enconue a media de cada amosua. Compare seus resultados com a media da pop<Jla~ inteira. Comente. (Oico: para enamtrar a media, some as entradas de dados e divida o resultado pelo numero de entradas.) 4. Considere a populaao de 4l rilmeros inteiros de o a 40. Qual e a media desses n<Jmeros? Selecione tres amostras aleat6rias de sete numeros dessa lista. Eocontre a media de cada amostra. Compare seus resultados com a media da populal<lo inteira. Comeflte. (Dica: para encontrar a media, some as entradas de dados e dMda o resultado pelo numero de entradas.) 5. Use numeros aleat61ios para simular a jogada de um dado de seis lados 60 vezes. Quanras vezes voce obteve cada ntimeto de I a 6? Os resultados sao os que esperava? 6. Voce jogoo 001 dado de seis lado<s 60 vezes e obteve a seguime contagem: 20 uns 20 dois l 5 tres 3 quatros 2 cincos 0 seis Esse parece um resultado razoovel? Que inferencias podem ser feitas desse 1esultado? vore 7. Use n~meros aleat6rios para simular o la~mento de uma moeda 100 vezes. Onde 0 representa cara e I coroa. Quantas vezes obteve cada numero? Os resultados sao os que voce esperava? vore 8. Vocejogou uma moeda lOOvezeseobteve n carase 23 coroas. Esse parece um resultado razoovel? Que inlerencias voce pode razer do resultado? 9. Um analista politico gostaria de pe5quisar uma amostra de eleito· res registrados de uma regi3<>. A regi!o tern 47 zonas eleitorais. Como ete poderia usar numeros aleat6rios para obter uma amos· ua agrupada? t1,[11.11§§§ Capitulo 2 ' I -_ _ _ Estatlstica descritiva fff(" 11m11lil'llt'tn111' Onde estamos dbtfl"'tl("4• deJr•'•J11f1""' No Capftulo 1, vod> aprendeu que M muitas maneiras para se colelar dados. Normalmente, os pesquisadores prccisam lrabalhar com dados amostrais a fim de an.ilisarem popula¢es. mas ocasionalmente e possivel oolelnr lodos os dados para certa popula~. Por exemplo, a seguir lemos a representa(ao do mimero de to11clulow11s marcados por todos os 119 times de futebol americano da primeira divis.\o da NCAA na lemporada de 2006. ftK~~.••Rn•~~~~~~--~ ~-~~~~-~-~K~~--~~~ 47, 41, 39, 41, 45, 44, 45, 43, 42, 42, 48, 43, 40, 39, 44, 37, 40, 45, G~--~K~~~~·~~.K•BaR ) Oust Frequlnri• f 15-24 16 25-34 34 35--H 30 -15-&1 23 ~ 13 65-74 2 T:>-M 0 85-94 I ~RRRRRRRK~.~~K R~.~R~ 28, 29, 28, 29, 31, 27, 29, 28, 27, 30, 25, 23, 24, 26, 22, 25, 20, 21, 21, 22, 21, 24, 21, 17, 15, 18, 18, 15, 15 Para onde vamos e ·g No Cap«ulo 2, vod> aprendera maneiras de organizar e descrever conjunlos de dados. 0 objetivo ~ lonw os da· dos mrus ~s de serem entendidos d~cndo lend~n­ cias, ml!dias e varia¢es. Por exemplo, nos dados brulos que mostram o mlmero de to11clid!r.;i11s de todos os limes da primeira divisJo da NCAA nao e f~cil ver um padr.'lo ou alguma caractcristica em especial. Aqui tcmos algumas manci rns nas quais voce pode organizar e descrever os dados. "'J$° +-- c...._ ,...___, 25 -1-- g. lO !! ~ 1 IS 10 5 {'~ ~~ ~., i'., ~., ~., ~., ...., TcJ11t•l1dtn~°tJJ M(!dia 15+15+ 15+ 17+18+ ···+63+<>5+68+89 119 4.624 =li9 "'38,9 to11c/ldow11s Amplitude= 89-15 ....__,,,,, .\f,,.,111111 mflfiit \~tllt<l'h'•"'did"' ooamr = 74 to11clulow11s ..-- - / Ed ,e 1naaa 1 0que voce Ill Distribui~oes de frequencia e seus graficos Oistribui(oes de frequencia -r Grcificos de distribui(oes de frequencia deve aprender CQrno construir Ul113 distnllu~ao de frequencia ir(luindo limites ponlos medias. frequencias relaliva~ frequencias acumuladas e limites • CQrno conSlfuir listogramas de freqoencia, poligooos de frequencia, histogramas de frequencia relativa e ogivas. 111 I Distribui,oes de frequencia Voci! aprendera que ha muitas maneiras para se organizar e descrever um conjunto de dados. Algumas caracterrsticas importantes que devem ser consideradas quando organizamos e descrevcmos um conjunto de dados sao o ccntto, a variabi· lidade (ou amplitude) e a forma. As medidas centrais e as formas das distribui<;Oes ser5o abordadas na ~o 2.3. Quando um dado tern muitas cntradas, podc ser dincil de ver padr0cs. Nesta ~o, voce aprendera como organizar conjuntos de dados agrupando os dados em intervalos chamados de classes e fonnando uma distribui<;ao de frequ~ncia. Voce tambem aprendera como usar as distribui~Oes de frequencia para a construi;.'io de gr.ificos. A distribui~~o de frequencia e uma tabela que mostra classes ou intervafos das entradas de dados com uma contagem do numero de emradas em cada classe. A lrequencia f de uma classe e o numero de entrada de dados em uma classe. Exemplo de uma frequencia distribui~iio de Oasse Frequencia f t-S 5 6-10 8 11-15 6 16-20 8 21-25 5 26-30 4 Na distribuii;.1o de frequencia mostrada aesquerda h~ seisclasses. As frequencias para cada uma das seis classes siio 5, 8, 6, 8, 5 e 4. Cada dasse tem um limite inferior de classe, que eo mcnor numero que pode pertencer aclasse, e um Ii mite superior de classe, que eo maior numero que pode pertencer a classe. Na distribui<3o de frequen· cia mostrada, oslimites inferioresda classe saoS, 10, 15, 20, 25e 30. A largura de classe e a distancia entre os limites inferiores (ou superiores) de suas consecutivas classes. Por exemplo, a largura da classe na dislribui<~o de frequencia mostrada e 6 - 1 = s. A diferen(a entre as entradas de dados m<ix.imas e rninimas echamada de am· plitude. Na tabela de frequ~ncia mostrada, suponha que a maior entrada de dado seja 29, ea mfnima seja l. A amplitude e, ent3o, 29 - 1 = 28. Voce aprendera mais sobre amplitude na ~ao 2.4. lnstru(iies Construlndo uma distrlbui,ao de frequencla com base em um conjunto de dados 1. Dccida. o nUmcro de cl\lSGC!; pa.ro serc1n inclufdos no Dica de estudo Na distribuii;.'lo de frequen· cia, e melhor que eada classe renha a mesma largura. As r.espostas usanlo o valor mJ· nimo do dado para o limite inferior da primeira classe. As vezes, pode ser mais conveniente escolher um valor que stja sensiveJmentc mais baixo que o mJnimo. A distri· bui<;ao de frequ@ncia produzida ira variar levemente. distribui~5o de frcqu~n cia. 0 numero de classes deve estar entre 5 e 20; caso contrario, pode ser diffcil detectar os padr<ies. 2. Encontre a largura da classe como a seguir. Oetennine a amplitude dos dados, divida a amplitude pelo numero de classes e nrredo11de pnm o pr6xi1110 mimero q11e sejn co11ue11ienle. 3. Encontre os Ii mites de dasse. Voce pode usar a entrada de dados minima como o limite inferior da primeira classe. Para encontrar os limites inferiores restantes, adicione a largura da classe ao Ii mite inferior da classe precedente. Ent3o, encontre o limite supe.rior da primeira classe. Lembre-se que as classes 11<'\o se sobrcp6em. Encontre os limitessuperiores d.e classe restantes. 4. Fa~a uma marca de contagem para cada entrada de dados em ordem da classe apropriada. 5. Conte as marcris para encontrar a frequencia total f para cada classe. !opl1Ulo l • ls111b1ico oln<1itiva 33 Exemplo 1 I Construindo uma distribui,10 de frequenda com base em um conjunto de dados 0 conjunto do dadoc ;1.mostr~is a Sl"guir lista o nUm~ de minutos que SO usua- rios de lnlemct gastam na rede duranle sua mais recenle sessao. Construa uma distribuic;OO de frequma para as sele dasses. 50 40 41 17 II 7 22 44 28 21 19 23 'Yi 51 54 42 86 41 78 56 72 56 17 7 69 ~ &l 56 29 33 46 31 39 20 18 29 34 59 73 77 36 39 ~ 62 54 67 39 31 53 44 SofuftiO 1. O numero de classes (7) edado no problema. 2. A enlrada de dados minima e7 ea enlrada de dados m~xi111.1 e86, enliio, a amplitude e 86 - 7 = 79. Oivida a amplilude pelo numero de dasses e arredonde para encontrar a largura da dasse. l.argum da classe - 79 7 "'11,29. " 3. Aentrada mfnima de dados eum limile inferior convenicnte para a primeira classe. Para cncontrar os lhnites infcriores das scis classes restantes, adicione a largura de dasse 12 ao limile inferior de cada dasse anlerior. 0 limite superior e18, que e um a menos do que o limile inferior dn seglll1da classe. Os limites superiores das outras classess.'lo 18 + 12 '" 30, 30 + 12 + 42, eassim pordiante. Os limites inforiores e superiores para lodas as sele classes S<'lo moslrados. 4. Fac;a as marcas de oonlagem para c.1da cnlrada de dados na classe apropriada. Por excmplo, a enlrada de dado 51 est6 na clnsse 43-54, enliio fa~a uma marca de contagem nesta classe. Continue ale que v~ lenha feilo uma ma.rca para cada uma das 50 enlradas de dados. 5. 0 mlmero de marcas de oonlagcm para uma classe ea frequ~ncia para esta dasse. A distribui~3o de frequ~ncia emoslrada na tabela a seguir. A primeira classe, 7-18, lem seis marcas. EnlAo, a frequ~ncia para esla dasse e 6. Note que a soma das f:requ~ncias e50, que ~ o numero de entradas no oonjunlo de dados amoslrais. A soma e denotada por I:j. em que I:~ a leira grega maiuscula sigma. r Distribui~io de \hnul<><~ c:•n·h~ frequencia p.ua uso de lntemel (em minutos) a.7-18 19-JO 31-'12 ~ s.s-u 67-18 79-90 Muto Frequlncia, f tiff I l!IHl!I lllHlff Ill tiff Ill tiff tiff I II 6 u~ •Se v~ obtiver um numcro inteiro quando calcular a largura da classe de uma distribuic;OO de frequ@ncin, use o proximo mimcro intciro oomo a largura da classe. F<11.Cndo isso, v~ prova que tern espa<;o suficiente em sun distribuic;OO de frequencia para todos os valores dos dados. mfnimo Limite timile mJximo 7 18 19 31 JO 42 n SI 55 66 67 18 19 90 Dico de e>tudo •A letra grega 111.1i1iscula sig- ma (L') eusada pela eslatistica para indicar uma somal6ria de valores. 10 13 8 5 6 2 [;( & .....1 '-un>c'mdc lmportante '.'\ot~ qiw .t -.omce d.a., (n."qU~nriJ':> ~ idCntiCI _., .10 ntim1.'1'0 d;a .1nu~r.1. 50 lento Construa uma distribui~3o de frequencia usando o oonjunlo de dados do nu- mero de to11c/11lmv11i lislado no infcio do caprtulo, nap. 31. Use oilo dasses. Ed ,e 1naaa 1 a. Estabele~a o 111l111ero de clns...:es. b. Encontre os valores m.fnimo e m<\ximo ea lnrg11rn dns c/11sses. c. Encontre os li111ites dns classes. d. fn~a as n1nrcns de coutnse.111 para as entr;ldas de dados. e. Eocreva a freq11e11cin f para cada classe. R17S11P$l11 nn I'· .AJZ Depois de construir uma distribui~ de frequencia padrao tal oomo a do Exemplo 1, voce pode incluir diversas caracteristicas adicionais que ajudarao a fomecer um melhor entendimento dos dados. Essas caracterfsticas (pontos m&tios, frequencia relativa e frequencia act1mulada) podem ser indufdas como colun<lS adicionais em sua tabela. Definicao 0 ponto media de uma dasse e a soma dos limites inferiores e superiores da classe dividida por dois. 0 ponto medio e, as vezes, chamado de morco do closse. Pot .d. (fmileinferiordadasse)+(limiesuperiordadasse) . nome IO= 2 A frequencia relativa de uma classe e a p0<~0 ou porcentagem de dados que esta em determinada dasse. Para encontrar a frequencia relativa de uma classe, divida a frequencia f pelo tamanho n da amostra. Frequencia relativa F~ncia da dasse Tanarro da anostra f =-. n Afrequencia acumulada de uma classe ea soma da frequencia para aquela classe e todas as anteriores. Afrequenda aasmulada da tlltima classe eigual ao tamanho n da amostra. Depois de encontrar o primeiro ponto m&tio, voce pode encontrar os pontos restantes adiciooando a largura da classe aos pontos anteriores. Por exemplo, se o primeiro ponto mMio e12,5 ea classe e12, entao os pontos rcstantes sao: 12,5 + 12 = 24,5 ~ 24,5 + 12 = 36,5 ~ 36,5 + 12 = 48,5 ~ 48.5 +12 = 60.5. e assim por diante. Voce podeeocrever a frequencia relativa como uina frac;lio, um decimal ou porcen· tagem. A soma das frequencias relalivasde todas as classes deve ser igt1al a 1 ou 100%. Exemplo m Encontrdndo pontos medios, frequencidsre!dtivds e frequencids dcumu!adas Usando a distribuiy'lo de frequ~ncia oonstrufda no Exemplo I, encontre o ponto m&tio, a lrequencia relativa e acumulada para cada classe. lde.1tifique quaisquer padriies. Ed ,e 1naaa 1 So/11fiio 0 ponto m&lio, a frequencia relativa ea acumulada para as Ires primeiras dasses siio: Class• f Pontomedio Frequtncia reJativa Frequencia acumu.lada 7-tS 6 7 +18 = 125 2 ' 6 50 = 0,12 6 19-30 IO 19+ 30 = 24,5 2 .!Q=O2 6 + 10 = 16 3H2 13 31+ 42 36 - 2 - =- ,;) 13 = O 26 50 ' 16+13 = 29 50 ' Os pontos m&lios rcstantes, as frequencias relativas e acumuladas s.'lo mostradas na distribui~ao de frequencia expandida que vem a seguir. Distribui~ao de \Unuto-. <>1l·line ~ frequencia para o uso da Internet (em minutos) Classe "'Freqaencia / ./ 1\'Uml'ro d~ usu.'l.rio:;. - 7-18 19-30 31-42 43-54 12,5 24,5 36,5 6 10 13 8 5 6 2 55-66 67-78 76-90 Ponto Frequencia Fxequ~ncia medio Ttlativa ., acumulada 48,5 60,5 72,5 84,5 £/ = 50 0,12 Q,2 0,26 0,16 0,1 0, 12 0,().1 Pol'(,lode lbU<lri"" 6 16 29 J7 42 48 50 )) = I II ItiterpretafiiO Ha divcrsos padroes no conjw1to de dados. Por exemplo, o tempo mais oomum gasto pelos usuarios on-line foi de 31 a 42 minutos. Tente Usando a distribui~ao de frequencia oonstru!da no Tente vore 1, encontre o vocf ponto m&lio, a frequ~ncia relativa e acumulada para cada classe. Jdentifique quaisquer padr<iesa. Use as formulas para enoontrar o1•.mto mtdio, aji·q111!11cia n'lntim eafn'.'1111!11cin ac1111111/arfa. b. Orgm1ize os rcsultados em uma distribui~o de frequencia. c. lde11tifiq11e os pad.roes que surgem dos dados- I Graficos de distribui,oes de frequencia As vezes, e mais Meil identificar padroes de um conjunto de dados olhando o graficoda distribui~~o de frequ~ncia. Um desses grafioos eo histograma de frequ~ncia. efinitao Um histograma de frequencia e um diagrama de bairas que representa a distribui¢o de frequ~nda de um coojunto de dados. Um histograma tern as seguintes propriedades: Ed ,e 1naaa 1 36 • b1atl!\i(aapll<od• 1. Aescala horizontal e quanlitativa e mede os valores dos dados. 2. A escala vertical mede as frequencias das classes. 3. As barras consecutivas devem estar encos1adas umas n.as outras. Dica de estudo Se as entradas de dados silo n\lmeros intejros, subtraia 0,5 de cada limite inferior para encontrar as fronteiras inferiores da classe. Para encontrar as fronteiras superiores, adi· cione 0,5 a cada limite superior. A fronteii:a superiot de \llnla dasse sera igual a fron· teira inferior da pr6xima classe mais alta. aasse Fronteiras frequCncia de classe f 7- IS 6,5-IS,5 6 19-30 18,5-30,5 10 31-42 30,5-42,S 13 43-54 42,5-54,S 55-66 54,5-66,5 8 5 67-78 66,5-78,5 6 79-90 78,5-90,S 2 Em virtude de as barras consecutivas no histograma estarem cncostadas, elas devcm cOmCf<lJ' e terminar nas fronteiras da classe ao i1w~s de em scus limites. As frontciras das classes s.io numeros que sepamm as classes sem formar lacun.15 entre clas. Voce pode marcar a escala horizontal tanto nos pontOoS m~dios quanto nas fron· teiras das classes, conforme o Exemplo 3. Exemplo DJ..;. 3_,__ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ Construindo um histograma de frequencia Fa~a um histograma de frequenda para a distribui~iio de frequencia no Exemplo 2. Descreva qualqucr padriio. Solupfo Primeiro, encontre as fronteiras da dassc. Adistancia entrc o limite superior da primei· ra classe e o Ii mite inferior da segunda e 19- 8 = 1. Metade dessa distancia e 0,5. Entao, as fronteiras inferior e superior da primeira classe sao as seguintes: Fronteira inferior da primeira classe = 7 -0,5 = 6,5 Fronteira superior da primeira classe = 18 + 0,5 = 18,5 As fronteiras das classes remanescentes siio mostradas na tabela. Usandoos pon· tos m<!<liosou as fronteiras das classes para a escala horizontal e escolhendo os va.lores de frequencia possfveis para a escala vertical, voce pode construir o histograma. Uso da Internet (rotulado com pontos medios das classes) ~ lmportante e costume.iro, cm diagr;imas de barras, deixar espa~ en· tre as barras; ja em histogra· mas, costuma-se ru'io deixar esses espa~s. fil• ·~ Cl ~2 "'~ ] " 13 Uso da lntemet (rohtlado com fronteiras de classes) 13 12 ID 10 s 6 '2 8 6 8 5 6 5 2 12.S 2.1.S 36,5 48.S 60.S 72.S SIS F.ixo qu1.:brttdo Tcsnpo on·Unt (minulOS) 6 2 6.S 1s,s 30,s .. u S-l.S 66.5 i8.S ro.s Tcrnpoon·linc (lninutos) 111terpretapio De qualquer histograma, podemos ver que mais da metade dos usuarios gasta entre 19 e 54 minutos na Internet durante sua sessiio mais recente. Use a distribui~io de frequencia do Te11te uocl 1 par.a construir um histograma de frequencia que represente o numero de touchdowm feitos por todos os times da primeira divis.'!o do futebol americano. Descreva quaisquer padraes. a. b. c. d. Encontre as fro11teiras das classes. Escolha asescalns /1orizo11tnis e r.ierticnis apropriadas. Use a distribui~ao de frequencia para encontrar a nlt11rn de cnda bnrrn. Deocreoo qualquer padr~o para os dados. Edifii,IJd§d Outra maneira de representar graficamcntc a distribui~ao de frequ~ncia e usar "m pollgono de frequ~ncia. Um poligono de frequencia eum gr~fico de linhas que enfatiza as mudan"'s contrnuas nas frequ~ncias. Exemplo - 4 Consuuindo um poll9ono de frequencia Far.i um polrgono de frequ~a para a dislribui~ de frequencia no Exemplo 2. 5-0lupio Para construir um polrgono de frequblda. use as mesmas escalas horizontais e verticais que foram usadas no histograma nomeado oom os pontos mt!dios no Exemplo 3. Entao, ~resente os pontos mt!dios ea frequ~ncia de cada dasse e oonecte os pontos em ordem da esqucrda para a direita.J~ queogr~fioo deveoom~e terminar noeixo horizontal, prolongue o lado esquerdo a uma largura de dasse antes do ponto mt!dio da primeira classe e prolongue o lado direito a uma largura de classe depois do ponto m(\dio da ullima classe. Uso de lntemet O'°' t -t + Its U.5 :l6..S "8..S 60.S n.5 84,S 96.S Tempo on~li nc (minutos) Irrterprtlaftio Podemos ver que a frequ@ncia de usudrios aumenta ate 36,5 minutos e depois decai. Tenet Use a distribui~:.O de frequ~cia do Tentc voce l para oonstruir um polfgono wd 4 --- Di ca de estudo de frequ@ncia que represente o mimero de to11cl1dom11s marcados por todos os times da primeira divis3o do futebol americano. Descreva quaisquer padroes. '"· Escolha astsrolns liorizo11tnis t iwtknis apropriadas. b. Dts.-11l1t os po11tos m«tios e as frequbldas de cada dasse. ~. Co11«tt os po11tos e estenda os lados o quanto for necess<lrio. d. Dtsrrr..w quaisquer padl'M para os dados. Um histogr~mi de frequencfa relitivi tern a mesma forma ea mesma escala horizontal do histograma de freq~ncia oorrespondente. Adi~ eque a esrala vertkal mede as frequ~ncias rtlnlims e nao as frequ~ncias. Exemplo l 5 Construindo um histo9rama de frequencia relativa Fa"' um histograma de frequ~ncia relativa para a distribui(~o de frequ~ncia do Exemplo2. Um histograma e seu polfgono de frequ~ncia correspondente costumam ser fcitos juntos. Se v~ ainda nao construiu o histogroma. comece construindo um polfgono de frequencia escolhendo as escalas verticais e horizontais apropriadas. A ~la horizontal deve oonsistir dos pontos mt!dios da classe e a escala vertical deve consistir dos valores de frequ~ncia apropriados. Ed ,e 1naaa 1 38 • lstat~ica'91lcad• - I Retratando o mundo 0 Old Failhul, um gi!iser no parque nacional de Yellowstone, entra em erup~ao regulam1ente. As amplitudes de tempo de uma amostra das eru~tles sao dadas no histograma de frcquencia relativa. (fwltr; Sol11flio 0 histograma de frequencia relativa e mostrado. Note que a forma do histograma ea mesma forma do histograma de frequcncia construido no E~emplo 3. A (mica diforen· \<' eque a escala vertical mede as frcqucncias relativas. Uso de Internet 0.28 0.2• 0.20 Ytll~t~IOrtt' N11/1onnl Pnr4·.} 0,16 0,12 -1-,- - 1 Erup~iies o.os do Old Faithful o,o.i 6,S 1$,S 30.S 42,S Sl.S 66,S '1$,S 90,S Te1np<> on-line (minutos) /11terpret11fiio 2J) 2.6 3.l l8 "" [)u~ilo d:t CNp;ilo (~m minutw:) Ci11q11e11/fl por ce11to das ernpfO<>s d1ira111111mt>S do q11e q11m1· tos 111in11tos? Com base neste grMico, uma informa')iio que pode ser rapidamente encontrada eque 0,20 ou 20% dos usuanos de Internet gastam entre 18,5 e 30,5 minutos on-line, infoni1a· .,au que nao eimediatamente 6bvia no histogram• de frcquencia. Tiiite Use a distribui~ao de frcquencia do Te11te voce 1 par<i construir um histograma Yocf de frequcncia relativa que represente o n(1mero de to11cl1rlow11s marcados por 5 todos os times da primeira divisao do futebol americano. a. Use 1111res11111 esrola /Jorho11t11/ como a usada no histograrna de frequencia. b. Reui>e a esm/11 verticnl para refletir as frequencias relativas. c. Use as frequencias relativas para c11ro11tmr 11 alt11m rle cnda IH!rm. R011(1Slt1 1u 1I'· All Se VOCC quiser descrever 0 m'imero de entradas de dados que S<iO iguais a OU menores que certo valor, voe@ pode facilmente faze-lo construindo um grafico de frequencia acumulada. efinicao Um gr.lfico de frequencia acumulada ou ogiva (pronunria-se o'jiva) e um grafico de linhas que mostra as frequencias acumuladas de cada classe em sua fronteira da classe superior. As fronteiras superiores s.io marcadas no eixo horizontal e as frequencias acumuladas slo marcadas no eixo vertical. lnstru~oes Construindo uma ogiva (grafico de frequencia acumulada) 1. Construa uma distribui~ao de frequcncia que inclua as frequcncias acumula- das conforme uma das colunas. 2. Especifique as e$C.111as horizontais e verticais. A escala horizontal consiste das fronteiras da dasse superior ea escala vertical mede as ifrequ@ncias acumuladas. 3. Representeos pontos que descrevem as fronteiras das classessuperiorese suas frequ@ncias acumuladas correspondentes. Ed ,e 1naaa 1 C.pnlilo1 • f1101ts1icadf1critiva 39 4. Conecte os pontos em ordem da esquerda para a direita. 5. 0 grMico deve come.;ar na fronteira inferior da primeira classe (a frequ@ncia acumulada e zero) e deve tenninar na fronteira superior da ultima dasse (a (requencia acun1ulada ~ iguaJ ao larnanho da a.nostril). Exemplo m Maior fronteiI> Construindo uma ogiva Oesenhe uma ogiva para a distribui~ao de frequencia do Exemplo 2. Estime quantos usuarios gastam 60 minutos ou menos on-line durante sua ultima sessao. Tambem use o gr~fico para estimar quando ocorre o maior aumento no uso. Sol11pio Usando a distribui~ao de ftequ@ncia acumulada, podemos construir a ogiva mostrada a seguir. As fronteiras da classe superior, as frequencias e as frequencias acumuladas s.io mostradas na tabela ao Iado. Note que o grafico come~a em 6,5, onde a frequencia acumulada e0 e termina em 90,5, onde a frequencia acumulada e50. Uso da Internet 6.S 18..S 30..S 4?.S S4.S 66.S T\.>mpo on~linc (lninulo:<) ?8.S 90..5 fltterpretafiio Com base na ogiva, podemos ver que por volta de 40 usuarios gastam 60 minutos ou menos durante sua ultima sessiio. t evidente que o maior aumento no uso ocorre entre 30,5 e 42,5 minutos, jaque o segmento de linha emais indinado entre essas duas fronteiras de classe. Outro tipo de ogiva utiliza porcentagem cornoo eixo vertical em vez da ftequen· cia (ver Exempto 5 na Se~o 2.5) r.r.=" Use a distribui~ao de frequencia do Te11te wee 1 para constrwr uma ogiva que representc o ntlmero de to11cl11loums marcados por todos os times da primcira divisao do futebol americano. Estime o numero de times que marcaram 44 to11cl1dow11s ou menos. a. Especifique as escalt1$ lrorizo11tnis e verticnis. b. Represe11teos pontos dados pelas fronteiras de classe superior e as (requencias acumuladas. c. Co11strun o grafico. d. £.;time o numero de times que marcou 441011cl1dow11s ou menos. e. l11te.rprete o resultado no contexto dos dados. R~14'W1111n p. A33 f Frequ@ncia acumulada 18,5 6 6 30,5 10 16 42,5 13 29 54,5 8 37 66,5 5 42 78,5 6 48 90,5 2 50 declasse Ed ,e 1naaa 1 Dica de estudo •lnstru<;Oes detalhadassobre o uso do MINITAB, do Excel e da 1'1·83/84 podem ser vistas no Guia de Tecnologia que acompanha esse texto. Por exemplo, aqui temos inslrn· <,;Oes para se criar um histo; grarna na Tl-83/84. Exemplo m Usando a terno!ogia para construir histogramas Use uma ca.lculadora ou um computador para construir um histograrna para a distribuic;ilo de frequencia no Exemplo 2. Sol11fdo MINITAB, Excel ea 1'1·83/84 - c.1da um tem caracteristicas para fazer histogramas. Tente usar essa tecnologia para desenhar os histogramas conforme mostrados. ISTAT! I ENTER I Digite os pontos m~ios MINITAB I .• em LI. l 1: -- J. Digite a frequ@ncia em L2. EXCll !l'.:] ISTATPLOT I •' Ligue o Plot 1. Destaque o histograrna. Xlist: L1 Freq: L2 Tl·8J ~ ~ ~ D .t;:.. -~ ~ "' I IZOOMI [2] I WINDOW I Xscl = 12 I GRAPH I Use uma calculadora ou um computador para construir um histograma de frequencia que represente o numero de to11cl1rlow11s marcados por todos os times da primeira divisao do futebol americ.1no listados no infcio do c.1pftulo, na p. 31. Use oito classes. a. E11tre com os dados. b. Co11strun um histograma. IJI Exe rcicios Construindo habilidades basicas econceitos 7. Uma ogiva ~ um gr~fico que mostra a frequ@ncia re!ativa. 8. As fronceira-s de classes s!o usadas para assegurar que as bartas l. Quais sao os beneflcios de representar conjuntos de dados usando as distribui~oes de frequoocia? 2. Quais S<lo os beneficios de representar conjuntos de dados usando os grafocos de distribuii;OO de frequ00cia? 3. Qual a dilere<><;a entre os limites de dasse e as fronteiras de dasse? 4. Qual a difer~ enue a fr•ncia relativa ea arumulada? Verdadeiro ou fatso? Nos exercicios de 5 a 8. determine se a frase e verdadeira ou falsa. Se for falsa, reescreva·a de forma que seja verdadeira. 5. Em uma distn~o de frequ~ncia. a largura da dasse ea diS!An· cia entre os limites supe<iores e inferiores de uma dasse. 6. 0 ponto mMio de uma dasse e a soma de seus limites superio· res e inferio<es dividida por 2. consecutivas de um histograma se encostem. Nos exercicios de 9 a 12, use as emradas de dados minimas e mAximas e o r(Jmero de classes para encontrar a laigura da dasse, os 6mites inferiores e superiores da dasse. 9. minimo = 7, mAximo = 58,6 classes. 10. mlnimo = 11, mAl<imo = 94,8 dasses. 11. mlnimo R 1s, rmllimo • 123,6 classes. 12. mfrimo = 24,maximo = 171,lOdasses. Lendo uma distribui~ao de frequencia Nos exe<dcios 13 e 14, use a distribui9Jo de frequencia dada para encontrar: Ed ,e 1naaa 1 (•pftulo2 (a) a larguta da dasse. (b) os pontos m~ios da dasse. (c) as fronteiras da dasse. • lst11T11i<• dt1uitlY4 41 18. Altura d"' arvore 13. Cleveland, OH - temperaturas altas (OF) aasse Frequ~ncia, f 20-30 19 31-41 43 42-52 68 53-63 69 64-74 74 75-85 68 86-96 24 UI :?3 28 .lJ 3S ~3 4S Altura$ (cn1 polc-gad:u) Analise grafica Nos exerdcios 19 e 20, use a ogiva pa1a apioximar: (a) o numero na amootra. (b) a localiz~o do maior aumento na freq~ia. 19. 14. Beagles machos Tempo gasto para chegar ao trabalho (em minutos) Classe Frequ~ncia, 0-9 188 10-19 3n 20-29 264 30-39 205 4()..49 83 S0-59 76 6()..69 32 f 15. Use a dislribui<;ao de frequblcia do Elcercicio 13 para construir uma distribuit;do de frequencia expandida, como mootrada no Elcemplo 2. 16. use a distribui\:Ao de frequencia do Elcercicio 14 para consuuir uma diwibui~~o de frequ~ncia expandida, como moouada no Exemplo 2. Analise grafica Nos exercicios 17 e 18, use o histograma de frequencia para: (a) de1e1minar o numero de classes. (b) estimar a frequencia da classe com a menor frequ~icia. (c) estimar a frequ~ da dasse com a maior frequ~cia. (d) determinar a largura da classe. 17. Salario do fw1cionario JOO ~ 2l0 Mulheres adultascom idades entre 20 e 29 anos 5860626' 666810n1• Alturas (c-1n polcgndas) 21. use a ogiva do Exercicio 19 para aproximar: (a) a frequ~ia acumulada para o peso de 24,5 libras. (b) o peso para o qoal a frequencia acumulada e45. 22. Use a ogiva do Exercfcio 20 para aproximar: (a) a frequencia acumulada para a altura de 70 polegadas. e (b) a altura para o quaI a frequencia acum\Aada 25. ., zoo ·~ l 20. ISO "- 100 j() Sabirio (cm 1nilhatc$ de cl61arc..c;) Analise grafica Nosexeidcios 23e 24,useohistograma defreq~ia relativa para: (a) identificar a dasse com maiol e menor frequencia relativa. (b) apioximar a maior ea menor frequencia relativa. (c) ap<oximar afrequencia relativa da segunda dasse. Ed ,e 1naaa 1 4Z • bt.,lstk,.plicada 23. Pescada amarela do Atlantico Construindo a distribui~ao de frequencia Nos exercrcios 27 e 28, conStrua uma <islnllui¢o de trequenda 0.20 para o r.onjunto de <l.:tdns. usa.'l<fo o nlmero de das.ses indir.ado. Na .~ ii 0.l6 'll 0.12 S..S '7,.S 9..S 11..S 13.S IS.S llS Con1pri1nen10 (e1n J>Olegada.s) 24. Tempo de resposta da emergcnda -~ ~ ·" ~ ·~ ...~ Usando e interpretando conceitos -""~ tabela, indua os pomos med"oos e as frequ~ndas acum.iladas. Qua! dasse tern a maio< freq~da equal tern a menor? i,'.~27. Numero de vezes que um jornal e lido Numeto de classes: s Conjunto de d.ldos: tempo (em minutos) gasto na leitura de um jomal em um d'ia: 7 39 13 9 25 8 22 0 2 18 2 30 7 35 12 15 8 6 5 29 0 11 39 16 15 -:'.~28. Gasto com livros Numeio de classes: 6 Conjunto de dados: quantia (em d61ares) gasta em livros por um semestre: 91 472 279 249 530 376 188 341 266 199 142 273 189 130 489 266 248 101 375 486 190 398 188 269 43 30 127 354 84 '°"' Construindo uma distribui~ao de frequencia e um histograma de frequ@ncia Nos exetdcios de 29 a 32, construa a disin"bui<Jo de frequ~ e o histograma de frequ~nda para o conjunto de dados usando o nuAnalise grafica mero de classes indicado. Descreva quaisque1 padrOes. Nos exetcicios 25 e 26, use o po!igono de frequenda para identi· ;:'.~29. vendas near a dasse com mai0< e mel10f frequencia. Numeto de classes: 6 25. Conjunto de dados: ve.idas em julho (em d61ares) de todos os Resultados dos testes SAT para 50 estudantes representantes de ve.idas em uma empresa: 11.s 1s.s 19.s 20.S 21.s Tempo (cm minut0$) 2.114 2.468 7.119 1.876 4.105 3.183 1.93 1 1.355 4.278 1.030 2.000 1.077 5.835 1.512 1.697 2.478 3.981 1.643 1.858 1.500 4.608 2.478 12 ·G c 9 "~ "- 6 •g 3 .. . ~~~~e~~~s~~iS '.'.~30. Pung~ncia da pimenta Numeto de dasses: 5 Conjunto de dados: pungeocias (em milhares na escala de Scovil· le) de 24 pimentas do 1ipo rabosco: 35 51 44 42 37 38 36 39 44 43 40 40 32 39 4 1 36 42 39 40 46 37 35 41 39 26. Tamanhos dos sapatos de SO mulheres ·~ IS -~ " J: 10 5 Tainanho .::~ 31. Tempo de rea~.Jo Numeio de classes: 8 Conjumos de dados: tempos de rea<;Ao (em milissegundos) de uma amostra de 30 mulheres adultas a um estfmulo audi1ivo: 507 389 305 29 1 336 310 514 442 307 337 373 428 387 454 323 441 388 426 469 351 411 382 320 450 309 416 359 388 422 413 '.~32 Tempo para fraturar Numeio de classes: 5 Coojunto de dados: pressilo necessaria (em l bras PO< polegada quadrada) para determinar tempo para fratura em 25 amosttas de argamassa: i. \. 1ndica que o <Of'juoto de d..00. de$e .,...cicio est8 disponi-..1 no site de~ do ro10. Ed ,e 1naaa 1 (4pltul-0 l • 1>111k1.icad!l<1i1iv• 43 2.750 2.862 2.885 2.490 2.512 2.456 2.S54 2.532 2.885 ."~39, Compra de gasolina Conjunto de dados: gasolina (em galiies) comprada P°' uma 2872 2.601 2.877 2721 2.692 2.888 2.755 2.853 2.517 amowa de motoristas durante um abastecimento: 2.867 2.718 2.641 2.834 2.466 2.596 2.519 7 4 18 4 9 8 8 7 6 2 Construindo uma distribui~3o de frcquancia c 9 5 9 12 4 14 15 7 10 2 histograma de frequencia relativa 3 11 4 4 9 12 5 3 Nos exerdcios de 33 a 36, consl/Ua a distribui<;ao de frequ~· cia e o hislograma de frequencia relativa para os conjuntos de dados ' l4o. Lig~oes em telelones celulares usando 5 dasses. Qual classe tem a maior frequ~ncia relativa equal Conjunto de dados: du!a<;ao (em minutos) de uma amostra de tern a menor? liga¢es em telefooes celufares: ;;'~33, Pontos no boliche Conjuntodedados:pootosnobolicheemumaamostrademem· bros da liga: 1 20 10 20 13 23 3 7 18 7 4 5 15 7 29 10 18 10 10 23 4 12 8 6 154 257 195 220 182 240 177 228 235 146 174 192 165 207 185 180 264 169 225 239 148 190 182 205 148 188 Constluindo uma distribui~ao de frequencia e um poligono de frequencia Nos exeidcios 41 e 42, construa uma distribui<;ao de frequ~· :;~34. Saques em caixas eletronicos cia e um poligooo de frequ~ncia para o conjunto de dados. Descreva Conjunto de dados: uma amostra dos saques realizados em caixa qt1aisquer padriies. eletrOnico (em d61ares): ;;'~41. Notas de exames 35 10 30 25 75 10 30 20 20 10 40 50 40 30 60 70 25 40 10 60 20 80 40 25 20 10 20 25 30 50 80 20 '"~35. Alturas de plantas Conjunto de dados: alturas (em polegadds) de uma amostra de ~de tomate: 40 44 35 49 35 43 35 36 39 37 41 41 48 52 37 45 40 36 35 50 42 51 33 34 51 39 ;:'~36. Anosdeservi~o Coojunto de dados: anos de seflli~ de uma amostra de policiais estadua~deNcwaYolk: 12 7 9 8 9 8 12 10 9 10 6 8 13 12 10 ll 7 14 12 9 8 10 9 11 13 8 Construindo uma distribui~ao de frequencia acumulada e uma ogiva Nos exerclcios de 37 a 40. construa uma distribuicao de heQOOicia acumulada e uma ogiva para os coojuntos de dados usando 6 classes. Entao, descreva a locafira<;.lo do mai0< aumento na hequ~ncia. "'~>7. ldades para aposentadoria Conjunto de dados: idades para apose1tadoria para uma amostra dem~icos: 70 54 55 71 57 58 63 65 60 66 57 62 63 60 63 60 66 60 67 69 69 52 61 73 ·.'~:>a. lngest~o de gordura saturada Coojunto de dados: ingestoo diaria de g0<dura saturada (em gra· mas) em uma amostra de pessoas: 38 32 34 39 40 54 32 17 29 33 57 40 25 36 33 24 42 16 31 33 Numero de classes: 5 Conjunto de dados: notas de exames para todos os estudantes em uma classe de estatistica: 83 92 94 82 73 98 78 85 72 90 89 92 96 89 75 85 63 4.J 75 82 ;:·~42. Filhos de presidentes norte·americanos Numero de classes: 6 Conjuntos de dados: nume<o de filhos de presidentes none·americanos: (fonr.:fllesdtn«d>ltk"'.com.) 0 5 6 0 3 4 0 ·4 IO 15 0 6 2 3 0 4 5 4 8 7 3 5 3 2 6 3 3 2 2 6 1 2 3 2 2 4 4 4 6 2 Expandindo conceitos ;,'~43, 0 que vocHaria? Voce trabalh.1 em um banco e deve decidir a quantia de dimei· ro que sera colocada em um caixa eletrOOico a c4da dia. Voce nao quer colocar dinheiro em excesso (por razao de seguranyi) ou pouco o!Meiro (que pode causar p<oblema< com O< clieme<). As <i<Janlia< retiradas d'iariamente (em centenas de d61ares) em um periodo de 30 dias sao mostradas abai:co. 72 98 74 84 61 76 97 73 86 76 104 76 86 82 84 67 70 81 85 78 82 92 St 80 80 88 82 89 91 83 (a) Consl/Ua um histograma de frequencia relativa para os da· dos usando oito classes. (b) Se voce colocar S9.000 no caixa e!eu<ioico a cada dia, qual a poccentagem de dias em um m~ na qual voce deve esperar ftcar sem dinheiro no caixa? Explique seu raciocinio. (c) Sevoce deseja queocaiica fique sem dinheiroem 10%dos dias, quanto dinheiro, em centenas de d61aies, voce deveria colocar no caixa efetr<ioico .a cada dia? Elqlique seu raciocfnio. Ed ,e 1naaa 1 ..• 1,1, • l>tatfltic,.plic><I• " it44. 0 que voce faria? (b) Se vocA decidir pot uma rota minima de 986, qual potcen- uabalha no departimemo de admissao de uma faculdade e deve recomendar as notas mfnimas nos testes SAT para que a faculdade aceite um esrudante. A seg1Jir, temos as notas dos testes SAT de Voe~ tagem de candidatos cumprirao essa exigencia? Eicplique seu raciocfnio. (c) Se vocA quise< aceitar um maximo de 88% dos candidatos, um;a amostra de 50 estudantes: quaI deve ser a nota n1£~n'la7 f)pfique seu raciocWo. 1.325 1.072 982 996 872 849 785 706 669 1.049 i.'.~45. Reda~o 885 1.367 935 980 1.188 8691.0061.127 9791.034 Oqueacontecequandoonumerodedasses~aumentadopara um histograma de fr~~ncia? Use o conjunto de dados a segtJir e 1.052 1.165 1.359 667 1.264 727 808 955 544 1.202 uma ferramenta tecool¢gica para oiar l'.islogramas de frequencia com 1.051 1.173 410 1.148 1.195 1.141 1.193 768 812 887 5, 10 e 20 classes. Qual grafico melhor representa os dados? 1.211 1.266 830 672 917 988 791 1.035 688 700 2 7 3 2 II 3 15 8 4 9 10 13 9 (a) Construa um histograma de frequencia relativa para os da· 7 11 IO I 2 12 5 6 4 2 9 15 dos usando 10 dasses. Mais graficos e representa~oes 0 que voce deve aprender ,. Como representar graf1C3111enle e inlerpietar cor$mlos de dados quantitalivos usando um diag<ama de ramo-e-folhas eumdiag<ama deponlos. • Como representar grafKamente e inlerpretar conjurtos de dados qualilalivos usando graficos setonais ~o de pizza) e graficos de Pareto. ,. Como represertar graficamente einlerpretar conjuntos de dados emparelhados usando grafKos de dispersao e graficos da ~ie temporal. Representando em qraficos conjuntos de dados quantitativos ~ Representando em qraficos conjuntos de dados qualitativos - > Representando em qraficos conjuntos de dados emparelltados I Representando em graficos conjuntos de dados quantitativos Na Se~ao 2.1, voce aprendeu diversas maneiras lradicionais de se represenlar graficamente dados quantitativos. Nesta se<;<)o, v~ aprendera uma nova maneira de representar dados quantitativos, chamada diagrama de ramo-e-folhas. Os grMicos ramo-e-folhas s.~o exemplos da analise explorat6ria de dados (EDA, em ingl~ exploratory data mtalysis), que foi desenvolvida por John Turkey em 1'177. Em um diagrama de ramo·e-folhas, cada numero ~ separado em um ramo (por exemplo, as entradas dos digitos na extremidade esquerda) e uma folha (por exemplo, o digito mais ~ direita). V~ deve ter tantas folhas quanto entradas no conjunto de dados original. Um diagrama de ramo-e-folhas ~similar a tun histograma, mas tern a vantagem de que o gnlfico ainda cont~m os valores originais dos dados. Outra vantagem de um diagrama de ramo-e-folhas ~ que ele forne.:e uma maneira r~pida de se dassi ficar dados. Exemplo m Construindo um diagrama ramo-e-folhas A seguir, temos os numeros de mensagens de textoenviadas no m~ passado por um andar de um dormit6rio universitario. usu~rios de telefonia celular em 155 159 144 129 105 145 126 116 130 114 122 112 112 142 126 118 118 108 122 121 109 140 126 119 113 117 118 109 109 119 139 139 122 78 133 126 123 145 121 134 124 119 132 133 124 129 112 126 148 147 Ed ,e 1naaa 1 (•pitulo 2 • l1111f11i<a dtsoi<iv• 45 Solt1fliO Em razao de as entradas de dados irem de um numero baixo (78) para um numero alto (159), voe.? deve usar valores de ramo de7 a 15. Para construir o diagrama, lisle esses ramos aesquerda de uma linha vertical. Para cada entrada de dados, lisle uma folha a direita de seu ramo. Por exemplo, a entrada 155 tern um ramo de 15 e uma folha de 5. 0 diagrama ramo·e-folhas sera dcsordenado. Para obter o diagrama ramo-e-folhas, reescreva o diagrama com folhas em ordem crescente da esquerda para a direita. J!: importante induir uma chave para o grafico para identificar os valores dos dados. Numero de mensagens de texto enviadas 7 8 Chave: 1515=155 8 9 10 58999 11 6422889378992 12 962621626314496 13 0993423 14 4520587 15 59 Diagram• ramo-e-folhas deso<denado Numero de mensagens de texto enviadas 7 s Chave: 1515=155 8 9 10 11 12 13 14 15 58999 2223467888999 112223446666699 0233499 0245578 59 Diagrama ramo-e-folhas ordenado I11ter1iretarao Com o diagrama ramo-e-folhas ordenado, voe@ pode conduir que mais de 50')1, dos usuMios de telefone celular enviaram entre 110 e 130 mensagens de texto. Use um diagrama de ramo-e-folhas para organizar o numero de torrchdowrrs ·~ listado no inicio do capitulo nap. 31. 0 que podemos conduir? Tente a. b. c. d. Liste todos os ramos possiveis. Lisle as fol has de end a entrada de dados adireita de seu ramo e inclua uma chave. Reescreva o diagrama ramo-e-folhas de modo que as folhas estejam ordenadas. Use o grafico para tirar suas conclusOt>s. Exemplo m Construindo varia~oes do diagrama ramo-e-folhas Organize os dados fornecidos no Exemplo 1 usando um diagrama de ramo-e-folhas que tenha duas fileiras para cada ramo. 0 que podemos conduir? Soluflio Construa um diagrama ramo-e-folhas conforme descrito no Exemplo I, mas agora lisle cnda ramo duas vezes. Use as folhas 0, 1, 2, 3 e 4 na primeira fileira do ramo e as fol has 5, 6, 7, 8 e 9 na segunda fileira do ramo. A seguir, temos o grMko ramo-e-folhas revisado. lmportante Voce pode 11sar os diagramas de ramo-e-folhas para identificar valores de dados incomuns cnamados de \la.lores discrepantes. No Exemplo 1, ovalordedados78eum valor discrepante. Vo~ aprendera mais sobre isso na ~ 2.3. Ed ,e 1naaa 1 46 • u1aolsli<ddplicada lmportante Compare os exemplos 1 e 2. Note que, ao usar duas fileiras por ramo, voe<! obtein um quadro mais detalbado dos dados. Numero de mensagens de texto enviadas Chave: 1515=155 1 7 8 8 8 9 9 10 10 58999 II 42232 11 68897899 12 22123144 12 9666696 13 03423 13 99 14 420 14 5587 15 15 59 Oiagrama ramo~folhas desordenado Numero de mensagens de texto enviadas 7 Chave: 1515=155 7 8 8 8 9 9 10 10 58999 11 222.34 11 67888999 12 112.22344 12 6666699 13 023'34 13 99 14 024· 14 5578 15 15 59 Diagrama ramo-e·folhas ordeoado lltterpretapio Com base no diagrama, podemos concluir que a maioria dos usuarios de telefonia celular enviou entre 105e135 mens.igens de texto. Tente Usando duas fileiras para cada ramo, revise o diagrama ramo-e-folhas que voc6 voce construiu no "lcnte voce 1. a. Lisle cada ramo duns vezes. b. Lisle todas as folhas 11sm1do nfileim do rm110 npropriadn. R(:;olJ<J:.>111 Ufl p. A.34 Voce tambem pode usar um diagrama de pontos para representar dados quantitativos. Em um diagrama de pontos, cada entrada de dados e representada usando um ponto ncima do eixo hori_zontn.I. Co1no no diagrrunn TQmo-e-folhas, um diagra1na de pontos permite que se veja como os dados s<io distribuldos, detennina entradas de dados especlficas e identifica valores discrepantes dos dados. Exemplo [Tl,_____________ Construindoumdiagrama de pontos Use um diagrama de pontos para organizar os dados das mensagel\S de texlo dados no Exemplo I. 155 159 144 129 105 145 126 116 130 114 122 112 112 142 126 118 118 108 122 121 109 140 126 119 Ed ,e 1naaa 1 c.,r..102 113 117 118 109 109 119 139 139 122 78 133 126 123 145 121 134 124 119 132 133 124 129 112 126 148 147 SolltfliO De modo que cada entrada de dados esteja inclufda no diagrama de pontos, o eixo horizontal deve induir os m1meros entre 70e 160. Para representara entrada de dados, represente um ponto acima da posi<;<io da entrada no eixo. Se uma entrada for repetida, represente um outro ponto acima do ponto anterior. Nurnero de mensagens de texto enviadas ••• •• •• •• • •• •••• •• • •• ••• ••• • ••• • ••• •• • • •• ••• •••• • • - 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 ° 10 15 80 SS 90 9S 100 10.5 110 ll S 120 l?S 150 l:lS 1.ao 1.as ISO ISS USO Interpretaftio No diagrama de pontos, podemos ver que a maioria dos valores agrupa-se entre 105 e 148 e que o valor que ocorre na maioria das vezes e 126. Voce tambem pode ver que 78 e um valor de dados incomum. Tente Use um diagrama de pontos para organizar o numero de to11d1dow11s no convoc:I junto de dados listado na abertura deste capftulo, na p. 31. 0 que podemos concluir com o grafico? a. Escolha uma escala apropriada para o eixo /1oriu111tal. b. Represente cada cntrnda de dados por um diagrama de pontos. c. Dcscre<Nl quaisquer padr6es. A tecnologia pode ser usada para construir um diagrama ramo-e-folhas e um diagrama de pontos. Por exemplo, a seguir temos um diagrama de pontos MINITAB para os dados das mensagens de texto. MINITAB I Numbe.r 0£ Text Messages Sent ... I . " .. , .! ,_ .J!i!.1 ! . "' "' •. ... :....:.. !..O uo "" Representando em graficos conjuntos de dados qualitativos Graficos de pizza (setoriais) fomecem uma maneira conveniente de se apresent.ar graficamente dados qualitativos como porcentagens de um inteiro. Um gralico de pizza (setoria!J eum cfrculodividido em setores que representam c.1tegorias. A<\rea de cada setor e proporcional ~ frequencia de cada categoria. Na maioria dos casos, voe~ interpretara um grafico de pizza ou ir<\ construi-lo usando tecnologia. 0 Excmplo 4 mostra como construir um grMico de pizza~ miio. • btotllli<od.,niliY4 47 Ed ,e 1naaa 1 48 • utatlslica aplicada Exemplo m_ ,._____________ Ocupantes de veiculos motorizados mortos em 2005 Construindo um 9rafico de pizza 0 1.uJn,ero de ocupantes de vei'culos molorizados mortos e1n acidentes em Ti po de vefcalo Mortos Carros 18.440 2005 e mostrado na tabela ao lado. Use um grafico de pizza para organizar os dados. 0 que pode1nos conc1uir? (Fo11t(; ll. S. {}(pnrlml'nt o/T1nnipw.111111ion. i\1nfit>ual H1slm"'Y Troffir Caminh<les 13.778 SAftt,11 Admi11i~t1t1t">11.) Motnciclctas 4.553 SoluftiO Outros 823 Comec:e encontrando a frequencia relativa, ou porcentagem, de cada categoria. Entao, construa um grMico de pizza usando o anguJo central que corresponda a cada categoria. Para encontrar o Angulo central, multiplique 360" pela frequ~ncia relativa da categoria. l'orexemplo, o l\ngulo centraJ para c.mos e360" (0,49)"' 176". Para constru.ir um g.rafico de pizza no Excel, siga as instru¢es na margcm esquerda. Dica de estudo Aqui estllo as instru¢es para a oonstnu;ao de um grafioo de pizza usando Excel. Primeiramente, entre oom os tipos de uefcuJos e suas frequencias relativas correspondentes (em porcentagens) em duas colunas separadas. Entllo, selecione as duas colunas, clique em I 11serir Grnfico e selecione Pizza como seu tipo de grafico. Clique em Pr6xi1110 em Ferrn111e11tns de Grifjicos enquanto monta seu grAfico de pizza. Ocupantes de vefculos motoi:izados mortos em 2005 ,,.. "-""'·' I Frequ@:ncia i:elativa Angulo Canos 18.440 0,49 176" eaminh0es 13.778 0,37 133" Motocidetas 4.553 0,12 43" Out<os 823 0,02 7" Ocupantes de veiculos motorizados mortos em 2005 1llterprel1tfiiO No gr~fico de pizza, podemos ver que a maioria das fatalidades cm acidentes com veiculos motorizados ocorreu com ocupantes de carros. 0 ntlmerode ocupantes de vefculos motorizados mortos em acidentesem 1995 voc6 e mostrado na tabela seguinte. Use um grafico de pi= para organizar os da4 dos. Compare OS dados de 1995 com OS dados de 2005. m..,. , lt. 5. 0.·1•1,tmmt •>f Tente T1m1..pPrttJJh~1t, 1\nfii)ru1I Jli,i:Jr.m.v Tmff:< Safety AdminNtml~>Jt.) Ocupantcs de vekulos motorizados mortos em 1995 lipo de veiculo Mortos Carros 22.423 CanlinhOes 10.216 ~1otociclctas 2.227 Outros 425 a. Enoontrc a frequbtcia relatioo de cada categoria. b. Use o n11g11lo w1tml para encontrar a pol\iiO que corresponde a cada categoria. c. Compare os dados de 1995 com os de 2005. Outra maneira de representar grafic.1mentc dados qua>litativos e usando um grafico de Pareto. Um gr.ifico de Pareto e um grafico de ban-as verticais no qual a altura de cada barra representa a frequ~ncia ou a frequ~ncia relativa. As barras silo posicionadas em ordem de altura decrescenle, com a barra mais alta posicionada ~ esquerda. ial posicionamento ajuda a enfatizar dados importantese efrequentemente usado nos neg6cios. Ed ,e 1naaa 1 ('!'flOIO2 Exemplo [5] ____________ Recenten1ente. a indUstria de varejo perdeu 41 miU10es coin redu~ao nos esto- ques. A redu~~o de estoque e uma perda de estoque por meio de quebra, roubo de carga, roubo em lojas e assim por diante. As causas da redu~ao de estoque sao erro administrativo (7,8 milhees), roubos por funcionarios (15,6 milh6es), roubo em lojas (14,7 milh6es) e fraudes nas vendas (2,9 milh6es). Se voe~ fosse um varejista, para qua) causa de redu~:io de estoques voce olharia primeiro? (FClfllr: .Vatu•m1I Retm1 fnJnnl11,,rn11dCt'ntnfor R.l'tailurg Ed11rntic111. UmrtNt_v of f'h1ridn.) ~Ull\11<4 dfSUi!in 49 - -, Retratando o mundo ' Construindoum grafico de Pareto • - - - -- - -- - ---- - -- Os cinco veiculos mais vendi· dos nos Estados Unidos. em janeiro de 2007, silo mostrados no grjfico de Pareto a seguir. Tres dos veiculos mais vendi· dos foram carros. Os outros dois foram caminhOes. (f'""" Autn1ntnCvrsw1rltt•ri.l SolufliO Usando as frequencias para os eixos verticais, podemos construir o grafico de Pareto como mostrado abaixo. Os cinco velculos mais vendidos em janeiro de 2007 Causas para redu~iio de estoques !> 26 - Roubopor f11-nc-io1d !'i0$ F.rro a hninistr.:.tivo 25 - f·r.n• l.'$ 1ias '-cnid3$ Vckulo fnterpretafiio Q1m11tos dos 5 vekulos 111ais No grMico, e£acil ver que as causas da redw;ao de estoque que devem ser analisadas primeiramente silo roubo por £uncionMios e roubo em Jojas. mm ve11ditfo:; /Itta To.vota? ente Acada ano, o Better Business Bureau (BBB) recebe reclama\(ies de clientes. Nos ";' anos mais recentes, o BBB recebeu as seguintes reclama\(ies: 7.792 reclama~6es sobre lojas de m6veis. 5.733 reclama~ sobre lojas de inform~tica e servi~os. 14.668 redama~0es sobre concessionarias de autom6veis. 9.728 reclama~ sobre meranicas de autom6veis. 4.649 reclama~<les sobre empresas de lavagem a seco. Use um grMico de Pareto para organizar os dados. Que fonte ea maior causa de r·eclama~Oes? (Fo11/r: &·Urr BtJ<-uit-..: 8nnn11.) a. Encontre afrequtucia 011 afreq11e11cia relatioo para cada entrada de dados. b. Posicio11e as IH!rmse111 orde111 decre>ce11te de acordo com a frequencia ou a froquencia relativa. c. /11terprete os resultados no contexto dos dados. I Representando em 9raflcos conjuntos de dados emparelhados Se dois conjuntos de dados t~m o mesmo numero de entradas e cada entrada do primeiro corresponde a uma entrada do segundo, eles silo chamados de conjunto de dados emparelhados. Por exemplo, suponha que um conjunto de dados contenha veurlitfos em jm1eiro de 2(J/Ji .fo· Ed ,e 1naaa 1 1>11111110 a~ll"da 50 • os custos de um item e um segundo conjunto de dados contem a quantidade de vendas para o item para cada custo. )a que cada custo corresponde a uma quantidade de vendas, os conjuntos de dados siio emparelhados. Uma maneira de representar conjuntos de dados emparelhados eusando um grifico de dispersiio, no qua! os pares orde1unJos ~o reprtt:Sc11la<los co1110 po11los e111 u111 pla1lO l'<.>0rtfc11u<lo. U1n grtlfilU de dispet5<'\o eusado para mostrar a rela~iio entre duas variaveis quantitativas. Exemplo m lnterpretando umgraficode dispersio 0 estatlstico britanico Ronald Fisher (ver p. 28) apresentou um famoso conjunto de dados chamado de conj unto de dados de Iris de Fisher. Esse conjunto de dados descreve varias caracteristicas fisicas tais como o comprimento de petalas ea sua largura (em milfmetros), para tres especies de iris (flor). No grMico de dispers.io mostrado, os comprime11tos de petalas formam o primeiro conjunto de dados e as larguras formam o segundo conjunto de dados. Conforme o comprimento da petala aumenta, o que tende a acontecer com a largura? (li•llr: M•<t: R. A. 1936.J Conjunto de dados de Iris de Fisher .• ..-·•••....- .•. ...--.. ..• ..·-· •• • •-· • ...-:.-·- .---'--- ~ 25 + - - .§ E 20 ~ e -• •... . • •.• ..... - ~IS +--- ]l " .g '8. 10 e s ~ .:i •• -·.·-· ·-· 10 Tempo de emprtgo (emanos) SaUrio (em d61ares) 5 32.000 4 32.500 8 40.000 4 27.350 2 25.000 10 43.000 7 41.650 6 39.225 9 45.100 3 28.000 10 Sol11ftiO 0 eixo horizontal representa o comprimento da petala e o vertical representa a largura da petala. Cada ponto no grafico de dispersiio representa o comprimento das petalas ea largura em uma flor. 111terpretnfiio Com base no grafico de dispersiio, voce pode ver que, conforme o comprimento da petala aumenta, a largura tamMm tende a aumentar. ente 0 periodo de emprego e os sal~rios de 10 funcion~rios estao listados na tabela vocf ao lado. Fa\a o gralico para os dados usando um gr~fico de dispersao. 0 que 6 podemos concluir? a. Classifique os eixos /1oriu111tal e vertical. b. Represe11te gmficnme11te os dados emparelhados. c. Descreoo quaisquer tendencias. Voce aprender~ mais sobre graficos de dispers.'io e como analisa·los no C1pitulo 9. Um conj unto de dados constitufdo de entradas de dados tomados a intervalos regu· lares durante um periodo de tempo echamado de serie temporal. l'or exemplo, a quanti· dade de precipita~o medida a cada dia em um mes eum exemplo de uma serie temporal. Voce pode usar um gr.i.6co de serie temporal para representa• uma serie desse ti po. Ed ,e 1naaa 1 (apfielo 2 • utatilll<a d!>nill" SI Exemplo [7] ____________ 'l Construindo um grafico de serie temporal A tabcla lista o nU1nero de usu~rios de tele£onia celular (en\ milhOes) econ tam~­ dia de um usuario local por servi~ (em d61ares) para oanode 1995 ate oanode 2005. Construa um grMiro de wrie temporal para o numero de usuarios de c:elulares. 0 que VO~ pode concluir? (fll11lr~ ((Jf11ktr Trl1'fOll/nllH1it't1tii1#1 & llrtrnt4'1 .-l...ai,1/N111.) 1 A110 Usuirios (em milhOes) Cont>. media (em d6Jares) 1995 33,S 51,00 1996 44,0 47,70 1.997 55,3 42,78 1998 69,2 39,43 1999 86,0 41,24 2000 109,5 45,27 2001 128,4 47,37 2002 140,8 48,40 2003 158,7 49,91 2004 182,J 50,64 2005 207,9 49,9S Sol11fdo Deixc o eixo horizontal representar os anos e o vertical representar o numero de usuarios (em milh0es). Ent3o, represente os dados emparelhados e ronecte-os rom seg· mentos de linha. Usu~rios IQIO\ l lXlf> l '>Ol de tclefonia celular I~ llXIO ~rttl ~I >Ml ml \ XWl.I >M\ An<> Iirterpretafiio Os grafiros mostram que o numero de usuarios tem aumentado desdc 1995, com os maiorcs aumentos tendo ocorrido recentemente. Use a tabela do Exemplo 7 para constn1ir um grafico de serie temporal para a media da conta de celular de um usuario local para os anos de 1995 a 2005. 0 que podemos concluir? a. Oassifique os eixos l1orizo11/ais e verticais. b. Represe11te gmftcnmente os dados emparelhadose co11ecte-os com segmentos de linha. c. Descreua quaisquer padr0cs. R1.-:=1w-it1t 1111 p. A35 Veja os passos MINITAB e Tl-83/84 nas p. 100 e 101. Ed ,e 1naaa 1 52 • f>to1l11i<..pli<dda ID Exercicios Construindo habilidades basicas e conceitos de reprcsentl)r grl)fie.;imente os dildos quanlitatiws e os dados quafrtatilios. 2. QuaI ea vanra~m de se usar um diagrama ramo-e-folhas em vez de um hisrograma? Qual a desvanragem? 3. Em rermos de represen13\Ao de dados. como um diagrama de ramo-e.folhas se assemelha a um d'iagrama de pontos? 4. Como um grafico de Pareto difere de um grMico de barras verli· cais padrao? 12 13 13 Contextualizando os graficos Nos eocercicios de 5 a 8, relaci011e o grafrco com a desai.ao da amostra. 16 1. Cite .:ilgum;;is ~neir1Js 5. 6. 0 Chave: 12193 12,9 10. 12 9 3 67 7 14 1 1 1 13 4 4 14 699 15 000 1 24 15 67 88 89 16 67 11. • • • • Chave: 018 = 0.8 1 2 3 4 8 568 1345 09 00 6 7 8 9 78 Chave: 617 = 67 455888 1355889 00024 • • • • • • • • • • • 13 1-1 7. ~+H- 1111 11111111 1 20 25 30 8. JS 40 • I ll II I l+l+>- 1:30 13.S Cinco maiores anunciantes dos esportes e~ 11 I 111111111 I 11 I I I I I I 215 125 Analise gratica Nos exerciciosde 13 a 16, o que podemos conduir observando o grafico? •••• • • • • •• • '210 120 13. • • 205 19 Usando e interpretando conceitos 1111111111111111111111111111111111II • IS JS • •• • ••• •• ••• •• •• • •• ••• . .. .• . -• . . . . 10 17 • • • • 200 16 12. 21S S IS ~.!:! 220 - :!! 200 ~ .g ~ (a) Tempo (em minutos) que uma amostra de funcionarios leva para chegar ao trabalho (b) Media das notas de uma amoslra de estudanles com gradu· 2l0 r. ~,g l~c ll() 100 l() ~oemfiMrxas (c) Velorid•rle m.lxima (em mi~ por ho"') do! <1ma •m0$tt• de carros esponivos de alto desempenho (d) ldade (em anos) de uma amosua de residentes em um asilo Analise gratica Nos eocercicios de 9 a 12, use um diagrama ramo-e-folhas ou um diagrama de ponlos para i star as entradas de dados Qual e a mai<lma enrrada de dados? Quale a mhlina? 9. Chave: 217= 27 2 7 3 2 4 5 6 7 8 1334778 0 1 12333444456689 888 388 5 14. Portfolio de a~oes ~~.llOO +---------:­ ~ ~ 20.()(X) + - - c "'.2: ~ 10.cm +--- 2003 200< 2005 W06 2007 Ano Ed ,e 1naaa 1 C.pftulo l 15. Como outros ntotorislas nos irritam? 2%Cuktadosocsden1ais 1% Alta v('locid,1dl' 3~ Jg1"M."lf"•t•n a sinallz.l(lo 21 ~ 1Jsan1 CC'IU!.tto."':S ly;\. \'('lotiditd.c f>ldtlltica oltsuitiva 53 Anuncios Use um diagrama de pontos para represe<>tar os dados. Os dados repiesentam o numero de anuncios vistos ou oovidos em uma semana por IUllla amostra de 30 pessoas dos Estados Unidos598 494 441 595 120 690 G64 40G 735 000 734 590 673 545 702 481 298 135 846 764 317 649 732 582 637 588 540 727 486 703 ha.ix-a demal:;, 13'1. N!lo ,11in;tl~n1 234l> And11m rol.'ldos no l ~ Outros vtk ulodi'I frentt 16. Uso do telefone celular na dire1iio J)c:svios • Attic· F«had!1$ Quast rn~-4Q <'.1u~ uina b=itida lncidc-nte (Adoplodo de US'l l'<x/or) Tempo de vida de moscas domesticas Use um diagrama de pontos para representar os dado~ Os dados represe<>lam o tempo de vida (em dias) de 40 moscas domesticas. 9 9 4 4 8 11 10 5 8 13 9 6 7 11 13 11 6 9 8 14 10 6 10 10 8 7 14 11 7 8 6 11 13 10 14 14 8 13 14 10 23. Na,oes Unidas Use um gr~ftco de pizza para representar os dados. Os dados representam o numero de palses nas Na,<les Unidas por continente. /fCl''e: U¥»red No"""') America do Norte 23 Amt!<ica do Sul 12 Europa 43 Oceania 14 Africa 53 Asia 47 24. Or~amento da NASA Use um gr~fico de pizza para representar os dados. Os dados representam o orcamento da NASA de 2007 (em milhoes de d<llares) aividido em tres categorias. (Fonrc: N05o.) Representando graficamente conjuntos de dados Nos exerdcios de 17 a 32, organize os dados usando o tipo de grafico illdic:ado. 0 que podemos concluir sobre os dados? ,:·~ 17. Notas de exames Use um diagrama ramo-e·folhas para repie· sentar os dado~ Os dados representam as notas de uma turma de biologia em um teste. 75 85 90 80 87 67 82 88 95 91 73 80 83 92 94 68 75 91 79 95 87 76 91 85 As pessoas mais ricas do mundo Use um diagrama ramo-e·folhas para representar os dados. Os dados representam as ida· des das 25 pessoas mais ricas do mulldo. (FOO"': Fctbe<) 51 76 67 80 56 73 58 71 78 49 62 84 50 49 87 40 59 47 54 84 6 1 79 59 52 63 Es~ssura do gelo Use um diagrama ramo-e·folhas para represe<>tar os dados. Os dados representam a espessura (em centimetros) de gelo med'ido em 20 localidades diferentes em um Iago congelado. 5,8 6,4 6,9 7,2 5, 1 4,9 4,3 5,8 7,0 6,8 8, I 7,5 7,2 6,9 5,8 7,2 8,0 7,0 6,9 5,9 Pre~os de m~s Use um <fklgrama ramo-e-folhas para represe.'ltar os dados. Os dados representam o prew (em centavos po< libra) pago po< ma'3s a 28 fazendeiros. 19,2 19,6 16,4 17,1 19,0 17,4 17,3 20,1 19,0 17,5 17,6 18,6 18,4 17,7 19,5 18,4 18,9 17,5 19,3 20,8 19,3 18,6 18,6 18,3 17,1 18,1 16,8 17,9 Ci~ncia, aeron~utica e eJ<plora~o 10.651 6.108 l~ogeral 34 25. Bagagem nas linhas aereas Use um grMico de Pareto para represenlar os dados. Os dados sao o resultado de um estudo realizado muncialmente em 2005 com todas as companhias ~re­ as sobre as causas dos atrasos na entrega das bagagens. (Forno: Capacidade de eJ<plora\:AQ sooe!4 ldt!mallollGI cit Te'ffiJmmulNCa<ior.$ Ml°"'""'i"">) Manejamemo errado na transfer~'lcia de bagagEllS Erro de carga/descarga Falha no carregamer\to no aero,pocto de origem Restriylo de espaco ou peso Manejamento errado na chegada Outros 61% 4% 15% 5% 3% 12% 26. fndice de raios UV Use um grMico de Pareto para rep<ese<>· tar os dados. Os dados repres.entam o indke de raios ultravioleta para cinco cidades na parte da tarde em uma clata recente. (Fem: NotrtJr.tJI Oceooic and Armosphetic A<lmmYG6on.) Atlanta, GA Boise, ID Concord, NH Denver, CO Miami, FL 9 7 8 7 10 27. Remunera~o por hora Use um gr~fico de dispe<sao para rep<esentar os dados da tabe0. Os dados representam o n(Jmero de was trabalhadas ea remuneraylo (em d6klres) para uma amostra de 12 trabalhadores. Oesaeva quaisquer tend~1cias. Ed ,e 1naaa 1 54 • b"t~tkaapli<ad• Hora:s Remunera~ 33 37 12,16 9,98 34 10,79 40 11,71 11,80 11,51 13,65 35 33 40 33 28 45 37 28 31. B"'""" oftobw Slawl(S.) t994 1995 1996 1997 1998 1999 12,05 10,54 10.33 11,57 10,17 28. Salarios Use um graf'Ko de dispas3o para rep<esellar os dados mostrados na tabela. Os dados represeniam o ntlmero de alunos por p<ofessor e 0 salario meoodosp<ofessaes (em milares de d61ares) para uma amosva de 10 escolas. Desoeva quaisquer tendffilcias. NUmero de alunos p<>r professor Expandindo conceitos 17,1 28,7 17,5 47.5 18,9 31,8 17,1 28,1 20,0 40,3 18,6 33,8 14,4 49.S 16,5 37.5 13,3 42,5 18,4 31,9 Um grafico equivocado? Nos exercicios 33 e 34, (a) explique por que o grMico leva a condus0es erradas; (b) redeseme o grafico de modo que ele MO !eve a cooclusao erradas. 33. Vendas para a Empresa A 30. Temperalura maxima di.!ria use um gr.!fico de serie ternpo<al para representar os dados. Os dados representam a temperatura maxima para uma cidade no penodo de 12 dias. Tl" 77' 79" 81° 82° 82° 0,87 2000 0.96 1,16 2001 0,93 1,31 2002 1,18 1,17 1,56 2003 1,09 2004 1,20 0,92 1,35 2005 32. Pre~o da came moida Use um gralico de serie temporal para representar os dados. Os dados •ep<esemam o pr~ da came 100% moida (em d61ares por fibra) para osanos indicados. (/Orl· re u.s 8Ulf!OJ clLIJ/lcl Srl/llSlxs.) 1994 1,38 2000 1,63 1995 1,40 2001 1,71 1996 1,42 2002 1,69 1997 1,39 2003 2,23 2004 1998 1,39 2,14 1999 1,53 2005 2,30 Saijrio mMio 29. indice de raios W Use um gr.!lico de serie temporal para re· presentar os dados. Os dados represenlam o indice de raio ulva· violela em Memphis, TN, entre os dias 14 a 23 de junho duran1e um ano recente. (Fan!e: >'Aleorhet s"""'"' In""no"""ol) 14 de junho 9 19 de junho 10 15dejunho 4 20dejunho 10 16dejunho 10 21dejunho 10 17dejunho 10 22dejunho 9 18 de junho 10 23 de junho 9 l de maio 2demaio 3demaio 4demaio 5demaio 6demaio Pre~o dos ovos Use um gralico de serie temporal para repre· sentar os dados. Os dados representam o pr~o dos ovos de dasse A (em d61ares por duzia) para os anos indicados. (rt.>«.· u. ~ 7 demaio 8demaio 9demaio IOdemaio II de maio 12 de maio as• 87' 90' 88° 89" 82° Tri1nestn: 34• Vendas para a f;mpresa B 4° tri1nesrre 20% - Ila • rinlCGltc 20% 3u rrin1C;Stn:: ZO 1ri1nesrre 15% 45% 111 trimestre 2' trimestre 3-• trimestre 4• trimestre 20% ls<lb 45'!1> 20'M> 35. Salarios de um escrit6rio de advocacia Um diagrama ramo·e-folhas casado compara dais c.onjuntos de dados usar.do os mesmos ramos para cada co.ijunto de dados. N.. folhas para o primeiro conjunto est~o em um lado e as folhas jl<lra o segundo corjunto estao do outro lado. 0 diagrama ramo-e-folhas casado representa os salarios (em milhares de d61ares) de todos os ad· vogados de dois pequenos escritooos de act.'OO!cia. Ed ,e 1naaa 1 (•pftulol Escrit6rio A 50 85 2 22 99700 I I Escrit6rio 8 9 10 11 12 13 14 99 5 I 0 5 5 52 I 15 16 17 18 99 87 5 3 19 20 03 5 7 00 5 I 2 5 9 0 Chave: 511910 = S 195.000 para o escrit6rioA e S 190.000 para o escrit6rio B (a) Quais ~ os salarios mais altos e mais baixos no escrit6rio A? E no escrit6rio B? (b) Quamos advogados 114 em cada escrit6rio? (c) Compare a disllibui(Ao dos salarios de cada escrit6rio. 0 que podemos percebe<? [s1a11lti<a olrlcritiva 55 36. Aulas de ioga 0 diag1ama ramo-e-folhas casado mosua a idade de todos os alunos de duas turmis de loga. Aula das 15h 0335 2259 I 3339 5556 499 • Aula das 20h z 8888899999 000234455699 8531 1 9 0 4 34 4 9753 I 98888420 5 6 77655533 7 5 4 8 6 Chave:Sj3fl = 35anosnaa<Aadas 15he31anosnaauladas20h (a) Quais S<'lo as maiores e meoo<es klades dos alunos da aula das !Sh? Edas 20h' (b) Quamos participantes 114 em cada aula? (c) Compare adistribuio;lio das i<lades em cada dasse. QIJe con· clus0es podemos faier lmeados em svas obsefva¢es? ID Medidas de tendencia central Media, mediana e moda ~ Media ponderada e media de dados agrupados ~ rorma das distribui~oes I Media, mediana e moda Nas Se¢es 2.1 e 2.2, aprendemos sobre as representa~es gr~flcas dos dados qua.ntitalivos. Nas S~Oes 2.3 e 2.4, aprendcremos sobre como suplemcnlar as repres.enta<;Oes grMicas com eslatrslicas num~ricas que descrevem o centro ea variabilidade do conjunto de dados. Uma medida da tendencia central e um valor que representa uma entrada Ifpica ou central do conj unto de dados. As Ires medidas da tcndcncia central mais comumen· le usadas s.io a media, a median.1 ea mod a. 0 que voce deve aprender • Como encontrar a media, a mediana ea moda de uma popuJa.. ~.io ou de uma amostra. • Como eocontrar a media poncJe. rada de um conjunto de dados e a media de uma distribui(ao de frequfficia. • Como descrever a forma da dis· tribuii<lo simetrica. uniforme ou aSlirnE!rica e como comparar a media e a mediana de cada um efinicao desses aspeaos. A media de um conjunto de dados ea soma das entradas de dados dividida pelo numero de entradas. Para encontrar a media de um conjunto de dados, use uma das f6rmulas a seguir. Media amostral: x=Ex n Aletra grega minuscula ,, (pronuncia-se mi) representa a media populacional ex Q~-se 'X' bar· ra) representa a m~dia amosual. Note que N representa o numero de entradas em uma popu· la¢o en representa o numero de emradas em uma omosrto. Lembre-se que a letra maitiscula sigma (2-) indica a soma dos valores. Media populacional: 11 =E x N Exemplo :Jl Encontrando a media amostral Os p~ (ern d6lares) para 111naamostra de voosde ida e vol ta partindo deChicago, Illinois, para Cancun, Mexico, s.'\o listados a seguir. Qua! ea media dos p~ dos voos? 872 432 3'11 427 388 782 3'11 Ed ,e 1naaa 1 56 • l11a1~tic"9licad• Dica de estudo Note que a media no Exemplo 1 tern uma casa decimal a n1ajs do que o conjunto ori- ginal de valores dos dados. Essa regra de arredowtnmeuto seni usada em todo o livro. Outra importante regra de arredo11rlame11to e que ela nao deve ser (eita ate o resultado final do cakulo. Sol11flio A soma dos pre<;os dos voos e: E x = 872 +432 + 397 + 427 + 388 +782 + 3'17 = 3.695. Para encontrarmos a media dos pre~s, dividin10$ 01 so1na dos p~ pelo nU1ne· rode prer;os na amostra: x= L:x = 3.695 "<527,9. II 7 Entao, a media dos prer;os dos voos eaproximadameinte $ 527,90 34 27 50 45 41 37 24 57 40 38 62 44 39 40 a. E11co11tre a S<lma das entradas dos dados. b. Divina n soma pelo mimero de entradas de dados. c. /11terprete os resultados no contexto dos dados. Re-.pct.:0111 1u1 I'· A.lS efinic~o A mediana de um conjunto de dados eum valor que est~ no meio dos dados quando o con· junto de dados eordenado. A mediana mede o centro de um conjunto de dados ordenado dividindo-se em duas panes iguais. Seo conjunto de dados tern um numeco impar de entradas, a mediana ea entcada de dados do meio. Seo conjunto de dad06 tern um numero par de en· tradas. a mediana e a media das duas entradas do meio. Exemplo m Encontrando a mediana £ncontre a mediana dos pre<os dados no Exemplo !. Sol11fliO Para encontrar a mediana dos prec;os. primciro ordene os dados. 388 3'17 397 427 432 782 872 Em raz.'io das sete entradas (um numero fmpar), a mediana est;I no meio, na quarta cntrada de dados. Entao, a mediana dos prer;os dos voos e$ 427. = As idades para uma amostra de las de um concerto de rock s.'io listadas a se· guir. Encontre a mediana das idades. 24 27 19 21 18 23 21 20 19 33 30 29 21 18 24 26 38 19 35 34 33 30 21 27 30 a. Orrleue os dados. b. E11co11tre neutrntfn tlo 111eio. c. luterprete os resultados no contexto dos dados. Ed ,e 1naaa 1 (aplt•l•2 Exemplo m p~o de voo de S 432 1\i\o est 57 Dica de estudo a ,,,.;s disponfvel. QuaI 6 a media- na dos p~ restantes? Solupio Os pre~os restantes, em ordem. sao 31!8, 3'11, 397, 427, 782 e 872. Por haver seis cntradas (mimcro par), a mcdiana ~ a m~ia das duas entradas domeio. M ct· e 1ana [>1a1i<li<a desoitiva . -•Em um conjunto de dados, fncontrando a mediana No Exemplo 2, o • ha o mesmo numero de valon::s de dados iu.inla da n\e- dinna bem como abaixo da mediana. Por exemplo, no Exoemplo 2, tr@s dos p~s estiio abaixo de S427 e ires esrae> acirna de$ 427. 397 + 427 412 2 Entao, a mediana dos pre~s dos voos restantes eS 412. Os p~os (em d6lares) para uma amostra de tocadores de MP3 s3o listados a seguir. Encontre a mediana dos pr~s. 80 250 200 150 270 140 70 100 130 160 a. Ortle11e os dados. b. E11co11tre a 111Mia das du as entradas do meio. c. /11terprete os resultados no oontexto dos dados. efinitCio A moda de um conjunto de dados e uma entrada do conjunto de dados que ocorre com a maier frequencia. Se nenhuma entrada e repetida, o conjunto de dados nlio tern moda. Se duas entradas ocorrem com a mesma frequenda, cada entrada e uma moda e o oonjunto e diamado de bimodal. Exemplo [4J Encontrando a moda Encontre a moda dos p~s de voo do Exemplo 1. Solupio Ordenar os dados ajuda a encontrar a moda. 388 397 397 427 432 782 872 Com os dados ordenados, podemos ver que a entracla de 397 ooorre duas vezcs, enquanto as outras entradas de dados ooomm somente wna Vf!'l.. Ent.'io, a moda dos p~ ~ S 397. 25, 5, 18, 12, 60, 44, 24, 22, 2, 7, 15, 39, 58, 53, 36, 42, 16, 20, 1, 5, 39, 51, 44, 23, 3, 13, 37, 56, 58, 13, 47, 23, 1, 17, 39, 13, 24, 0, 39, 10, 41, I, 48, 17, 18, 3, 72, 20, 3, lmportante .-••- - - A moda e a unica medida de tend@ncia central que pode ser usada para dcscrever dados no nfvel nominal de medi<;ao. Mas quando trabalhamos com dados quantitativos, raramente ela e11tilizada. Ed ,e 1naaa 1 58 • lmt~ti<Hplicad• 9, o. 12, 33, 21, 40, 68, 25, 40, 59, 4, 67, 29, 13, 18, 19, 13, 16, 41, 19, 26, 68, 49, 5, 26, 49, 26, 45, 41, 19, 49. a. Ortfe11e OS dados. b. ldenti.fique a entrada ou entrad;u; que ocorrem com n1niorfrequi11c.in. c. /111erprelc os n.'SUltados no contexto dos dados. Rc-..,1ttSl1t un p. .AJ.S Exemplo W l'artido politico Frequ~ncia / Dcn1ocrntas 34 Ropublicanos 56 Outro 21 Nao n.~ponde:ran1 9 Encontrando a moda Em um debate politico, pede-se que uma amostra dos membros da plateia no· meie o partido polftico ao qual pertencem. Suas respostas s.'io mostradas na tabela. Qual ~a moda da respostas? Sol11pio A resposta que ocorre com maior frequcncia ~ Partido Republicano. Ent~o, a moda e Partido Republicano. lltterprelnfiiO Nessa amostra, havia mais republicanos do que pessoas de qualquer outra afilia~~o. ~ Em uma pesquisa, 240 americanos adultoss.'io questionados se os Estados Uni· i=J dos terlio uma presidente algum dia. Dos entrev·istados, 171 responderam 5 "sin1", 45 responderan1"nao",e24 responderam 1'niiosei". Qual ~a moda das respostas? a. ldentifique a entrada que ocorre com a mniorfreq11€ncin. b. /11lerprele os resultados no contexto dos dados. En1bora a m~dia, a n1ediana ea n1oda descrevall\ cad a wna, deternlinada entra· da tipica dos dados, ha vantagens e desvantagens no uso de cada uma delas. A m~dia e uma mediqao confi~vel, pois leva em conta cada entrada dos dados, mas pode ser muito afetada quando o conjunto de dados tern valores discrepantes. efinicao Um valor discrepante (outlier) e uma entrada de dados que est.! muito afastada das outras entradas em um conjunto de dados. Um conjunto de dados pode ter um ou mais valores discrepantes, causando lacunas em uma distribui\ao. As condus<'ies que siio tomadas de um conjunto de dados que conMm valores discrepantes podem conter falhas. Exemplo ldades da tunna 20 20 20 20 20 20 21 21 21 21 22 22 22 23 23 23 23 24 24 65 m Comparando a media, a mediana ea moda Enoontre a medi<1. a medim1a ea moda da amostra das idades da turma ~ esquerda. Qual medida da tendencia central melhor descreve wna enlrada tfpica desse conjunto de dados? H~ valores discrepantes? Ed1t11.11aaa (apRolol • l~•llllli.d"nftlVd 59 SofoftiO _ Ex 475 .r a - = -~23,Sanos Mt!dia: II ' 20 A National Associatio;-;;rl Re.;illors (Associa(ilo N~ci;;: nal de Corrctores de lm6veis dos Estados Unidos) mant~m um banco de dados das casas avenda existentes. Uma lista usa a 111trlu11111 dos p~ das casas vendid<lS e outra usa a 111Min dos p~ das casas vendidas. As vendas para o pri.meiro trimestre de 2006 sao mostradas no gr.ifico de I 21+22 ~lcd1ann - - - -. 2l,5 dl\06 2 Mod a: Aentrada quc orotre com maior frequmcia ~ 20 anos. J11ttrptdafdO A mt!dia leva todas as cntradas cm considera.;~ mas~ inlluenciada peto valor discrepante de 65. A mediana tambt!m leva cm considera¢o todas as enlradas e nao ~ afetada pelo valor discrepante. Nesse caso, a moda existe, mas nao parece representar uma entrada tipica. Algumas VC2e5, a compa~ grafka pode ajudar a decidir qual medida de tendencia central melhor representa o conjunto de dados. 0 histograma mostra a distribuii;.lo dos dados ea locali~ da mt'dia. da mediana e da moda. Nesse caso, parece que ~a mediana que mclhor descrevc o ronjunto de dados. barras. (f Ir, \1d "' \ ,if R.i .,,.,....l ldade dos estudantes na turma Venda de casas nos EUA em 2006 6 s ~. [3 · .!! ... 2 J$ .&()4550S5606S ldadc .....6 V:ilor d1,crcp;1111c _f Remova a cntrnda de dados 65 do conjunto de dados anterior. Entao, refa~a o exemplo. Como a ausencia do valor discrcpante muda cad a uma das medidas? Tente a. Enconlrc a mtdia, a 11lt'lfimra ea modn. b. Compare ess.is medidas da tcndQncia central com as do Exemplo 6. R6p1~t"" I Noteq11< 110grrlfiron111Mindr I"'' fOS estd em tomo de S45.000,Ql.J 1tt1 p. AJ,; Media ponderada e media de dados agrupados As vezes, os dados cont~ entrad3S que ~ um maior efeito na media do queoutras. Para enoontrar a ~ia de tais conjuntos de dada;. voce deve encontrar a ~a pondErada. efinicao Uma media ponderada ea mMa de IJll oonjinto de dados aJjas emradas 1~ pesos variados. Uma mMa ponde<ada edada por. - E(x·w) x LW onde we o peso de cada entrada x. Exemplo L 1 Encontrando a mfdla ponderada VocQ est~ frequcntando uma aula na qual sua nota ~ determinada com base em 5 fontes: 50'~. da m~dia de seu cxnmc, 15%do scu cxamc bimestral, 20')1i de seu exame l amais do q11e a 111t-dimN1 do pn'\l). Que fatom faum <0111 q11e n 111«dia dos pn'\US ><!pr mnior do q11f '111ra? ) Ed ,e 1naaa 1 60 • utatktlca'91lcad• final, 10%de seu trabalho no laborat6rio de informatica e 5'% de seus deveres de casa. Suas notas s.~o: 86 (m&lia do exame), % (examc bimestral),, 82 (exame final). 98 (labo· rat6rio) e 100 (dever de casa). Qual e a media pondcrada <le suas notas? Se a media m<nima para um Ae<JO, v~obteve uma nota A? Sol urtio Comece organizando os dados e os pesos na tabela. I Nola, x Peso, ro XIV Examc bimcstral 86 96 Exame final 82 l.aborat6rio OcvC'r de ca.o;.a 98 100 0,50 0,15 0.20 0.10 0,03 43,0 14.4 16,4 9,8 5,0 li!v = I E(x · w) = 88.6 Fonle ~lc?dia do cxanu? _ DxwJ x=-- L:w 88,6 =1 =88,6 A m&lia ponderada para o curso e 88,6. Portanto, voce nao obteve um A. Tente Houve um erro no calculo da nota de seu exame final. Ao inves de 82, voce v;e a. obteve 98. Quale sua nova media ponderada? Multiplique cada nota por seu peso e e11co11tre n somn tie ;;e11s prolf11tos. b. Encontre a soma dos pesos. c. Enoonlre a 111Mia po111fernlfa. d. lllterprete os resultados no oontexto dos dados. Se os dados silo apresenlados em uma aproxin1ar a m~dia oomo a seguir. distribui~5o de frequencia, voce pode efinicao Oica de estudo Se adistribui~o de frequencia representa a popula~ao, enrao a media da distribui<;ao de frequencia eaproximada por f,(xf) N A media de uma distribui~ao de _ [(x·f) Note que n = ~I x=--, n em que x e f sao os pontos medios e as frequencias de uma dasse, respectivamente. lnstru(oes 11= - - . ondeN=Ef frequencia para uma amostra e apro~mada por: Encontre a media da distribui~ao de frequencia Em palavrns 1. Enoontre o ponto medio de cada dasse. Em sfmbolos 1. x = Oimit~ inferior)tOimitesuperior) 2. Enoontre a soma dos proclutos dos pon· 2. E(xJJ tos medios e as frequencias. 3. Enoontre a soma das frequencias. 3. 11=Ef 4. Encontre a m&lia da distribui¥'0 de 4. .-' ( ; DxfJ frequencia. II 2 Ed ,e 1naaa 1 (ap!1olo l Exemplo • [11a1h!i<4 des<ri1iva 61 m Ponto £ncontrando a media da distribuirao de frequencia m~diodas Use a d istribui{30 de (rcquCncia ?l dircikl para aproximar o nU_mcro m~dio de Frequ@nda dassesx I V<·/) minutos que uma amostra de usu~rios de Internet gasta on-line durante sua mais recente sessao. 12_.5 6 75.0 24,5 lO 2~5,0 Sollifdo 3';,5 13 474,0 41!,5 8 388.0 6CJ,5 5 JOio 72,5 6 435,0 84,5 2 169.0 II : SI) .r: = 2.089,0 x 'f.(.r·/) - 2.089 "'41,8 II 50 Entao, a media do tempo gasto on-line foi de aproximadamente 41,8 minutos. Tente Use a distribui\50 de frequ@ ncia do numero medio de /011d11fow11s marcados por ¥OC6 todos os times da primeira divisilo de futebol americano (fente v~ 2, p. 35). a. Encontre o poulo medio de cada classc. b. Encontre a somn dos produtos de cada ponto medio e sua frequencia correspondente. c. Encontre a somn tins freq11e11cins. d. Encontre a medin rln dislrib11i(l'lo rlefreq111!11cin. Rcspn.:t11 nn p. AJS I forma das distribui~oes Um grMico revela diversas caracterfsticas de uma dislribuiyio de frequencia. Uma delas ea fonna das distribuic;<X!s. efini~ao Uma distnbui~o de frequencia e simetrica quando a linha ver1ica1 pode ser desenhada do meio do grafte0 da distnbuiciio e as metades resultantes sao aprox.imadamente imagens espelhadas. Uma distribuiciio de frequencia e uniforme (oo retangular) quando todas as entradas, ou dasses. na distribui~ tern frequencias iguais ou aproximadarnente iguais. Uma distribu~ao uniforrne tambem esimetrica. Uma distribuiciio de frequencias eassimetrica se a "cauda" do grafico se alonga mais em um dos !ados. Uma distribuiciio e assimetrica a esquerda (negativamente assimetrica) sea cauda se estende aesquerda, e assimetrica adireita (positivamente assimetrica) se a cauda se eS1ende adireita. Quando a distribui,ao for simelrica e unimodal. a media, a mediana e a moda s.'io iguais. Se a distribuiv1o for assimetrica aesquerda, a media e menos que a mediana e a mediana e igualmente menor que a moda. Se a distribuii;iio for assimetrica a direita, a mi!dia emaior que a mediana e igualmente maior que a moda. Exemplos dessas distribuic;<X!s comuns sao mostrados a seguir. -l Para explorar mais este t6pico. veja 2.3 Atividades 11<1 p. 67. Ed ,e 1naaa 1 62 • lsmb\icaaplicada lmportante Flque atento que lul muitas rormasdiferentesdedistribui- Distribui~o simetrica 40 ,__ 35 3() Distribui~o assimetrica a esquerda -- ,__ 40 35+-- - - - - -_.l 3() ~ao. En1 aJguns ..:asos, a for- ma pode n~ ser classificada como simetrita, unifonne ou assimetrica. Uma distribui~o pode ter varias lacunas causa· das por valores discrepantes ou po~ agrupamento nos da· dos. Os agrupamentos pod em ocorrer quando di versos tipos de dados sao incluidos em 1.11m conjunto de dados. 20 15 •t-10 • t-5 2<•+-- - - - -n - t-- r 3 5 7 10 ~ ~ I 15 -, 9 1,1 1-r-..l&h;i 13 5 3 l5 5 ~ le<li.i rt:t ~. I • Distribuitao assimetrica a direita Oistribui~o uniforme ,__ ,___ 35 40 3() ?5 20 15 lO 5 40 +----·ri ------~ - 35 30 2s+-- -r"l 20 1s-r--.-1 IO . .5 . . 7 5 . . . .. 19 II tM~dia ri.lcdi:in.:i 13 1'3 IS IS A media sempre ira na di~ao em que a distribui~ao for assimetrica. Por exemplo, quando a distribui~iio e assimetrica a esquerda. a media esta ll esquerda da mediana. Ill Exercicios Construindo habilidades basicas econceitos Verdadeiro ou fatso? Nos exercicios de 1a 6, determine sea frase everdadeira ou falsa. Se for falsa. reesae-.oa-a de forma que seja vetdadeira. 1. A media e a medida de te~cia central que mais pode ser afetada po< um valor exttemo (val0< dscrepante). Analise grafica Nos exerdcios de 9 a 12, delermine se a forma aproximada da distribui~o no histograma e slmetrica, unifonne, assimetrica a esque<da, assimetrica a direita ou nenhuma das anteriores. Justifique sua resposta. 9. 22 2Q 18 ,, 16 2. Cada conjunto de dados deve let uma moda. 12 10 :;. Alguns conjuntos de dados quantitalivos nao tern mediana. 8 6 •z 4. A media ea unica medida de te~cia central que pode ser usada para dados no nivel nominal de medit<io. S. Quando cada dasse de dados tern a mesma frequencia, a distri· bui~o e assimetrica a direita. 6. Quando a media emaior que a mediana, a distribui<Ao eassimetrica a esquerda. 7. Constrva um conjuntode dados no qua! a mediana nao represen· ta um numeio tipico no conjunto de dados. 8. Construa um conjunto de dados no qual a mediana e a moda sao as mesmas. 25.000 -15.000 6S,000 fSS..000 10. IS 12 -1-- - 9 •· 85 95 105 11.S 1~5 1]5 14S ISS Ed ,e 1naaa 1 C.pfilil•1 11. 18 IS ·- - -- 1--- - - -,_ - - 12 9 6 J I 'l ) 4 5 6 7 8 9 I() 11 IZ 12.. 52.S 62.S 7?.S 82.3 Relacionando Nos eicercicios de 13 a 16, relacione a distribuiylo com um dos graficos dos exe<dcios de 9 a 12. Justifique sua decis<lo. 13. A dis1ribui¢0 de frequeocia de 180 rolos de um dodoolgono (poligono de 12 lados). 14. A distribuiy!o de frequ~ncia dos sa~rios em uma empresa onde alguns exec.u1ivos tern salarios muito maiores do que a maioria dos funcionArios. 15. A dis1ribui<;<io de frequencia das notas 90 em um teste no qual alguns poucos estudantes tiveram uma nota muito menor da dos ouuos. 16. AdiSlll~o de frequ~ncia dos pesos para uma amostra de me· ninos da s~ma serie. Usando e interpretando conceitos Encontrando e discutindo a media, a mediana ea moda Nos exercfcios de 17 a 34, enconue a media. a mediana e a moda dos dados, se pc>sWel. Se quaisquer dessas medidas nao pu· derem ser encontradas ou n.lo representarem o centro dos dados, eiqilique o porqire. 17. SVVs 0 numero maximo de lugares em uma amostra de 13 utiitalios eSjlOllivos. 6699655575558 18. Educa<;<io O Cl!SIO cla educa¢o po< aluno (em milhares de dO. lares) em uma amosua de IOfaruldadesde ane. 30 35 19 22 22 20 23 21 35 25 19. Carros ~ortivos 0 tempo (em seg\J<l(los) para uma amostra de sete carros esportivos P<Jra ir de Oa 60 milhas per hora. 3,7 4,0 4,8 4,8 4,8 4,8 5.1 20. Coleslerol Os n!veis de colesterol para uma amostra de 10 fun· cionarias. 154 240 171 188 235 203 184 173 181 275 .... "' '· it;21. NFL (Liga nacional de futebol americano) Os pcntos medios po< jogo marcados por cacla time durante a tempcracla regular de 2006. (f·ome:NR.. ) • [Sla.lhtica dtSnitiva 63 19,6 18,2 26,6 19,9 16,2 17,6 22,1 30,8 22,I 18,8 16,9 26,7 23,3 14,9 19,1 18,8 16,7 26,7 23,2 20,7 24,1 25,8 19,8 22,2 10,5 24,9 18.6 20,9 22.9 13,2 20,2 19.2 Falhas de energia A dura<;ao (em minutos) das falhas de e<iergia em uma resid~ncia nos ultirnos 10 anos. 18 26 45 75 125 80 33 40 44 49 89 80 96 125 12 61 31 63 103 28 23. Qualidade do ar As respostaS de uma amosua de 1.040 pessoas que foram pe<guntadas sea qualidade do ar em sua oomu11idade esta melhor ou pfor do que esrava 10 anos a1ras. Melhor: 346 Pior: 450 lgual: 244. 24. uime As respostasde uma amosttade 1.019 pessoasquestionaclas sobre como se semem quando pensam em criminalidade. Despreocupados: 34 Cautelosos: 6n Tensos: 125 Com medo: 188 25. Velocidade m~xima A velocidade maxima (em milhas por hora) para uma amosua de sere carros esportivos. 187,3 181.8 180.0 169.3 162,2 158,I 155,7 26. Preferencias de compras A resposta de uma amostra de 1.00I pessoas que foram perguntadas se suas pr6"imas cornpras de vefculos serao de carros nacionais ou impo11<1dos. Nacional: 704 lmportado: 253 Nao sabem: 44 27. A>oes O pr~ recomenclad0> (em d61ares) P<Jra diversas a¢es q.Je os an.ilistas preveem que irao produzir pelo me.1os 10% de retornos anuais. (Font< Money.) 41 20 22 14 15 25 18 40 17 14 28. Disturbios alimentares 0 nl)mero de semanas que uma amostra de 5 P<Jcientes corn disrurbios alimentares tratados com psicoterapia psicodin.\mica leva P<Jra atingir o peso-alvo. (Fonte: 1be Jcvmol ofC011St,i!J/I;/ onrl CJit>«>I PJ',<e~) 15,0 31,5 10.0 25,5 1,0 29. Disturbios alimentares 0 numero de semanas que uma amostra de 14 pacientes com dist<rbiosaftmentares tratados com psicoterapia psicodinamica e tecnicas de componame.1to cognitivo leva para atingir o peso-alvo. (f"""'' The i<Mt>OI cl Cor:QJ:"'J and C/ir.ia;/ Psydlo/oY'f.) 2,5 20,0 11,0 10,5 17,5 16,5 13,0 15,5 26,5 2,5 27.0 28,5 1,5 5,0 30. Aeronaves O rilmefo de aeronaves que as linhas a~reas em suas frotas. (fQfi!..: Aill."' '"''"""' ASSOO<ltm) 699 480 25 35 110 445 458 374 93 356 380 31. Pesos (em libras) dos caes em um canil 1 o2 Cllave: l!O = 10 2 3 4 I 47 78 155 5 07 6 5 7 8 9 10 6 t~m Ed ,e 1naaa 1 61, • u1aolsli<ddplicada 32. Ponto medio das notas dos estudantes em uma aula 37. Voce dorme o su.ficiente? CMe: 0)8 = 0,8 0 8 1 568 2 1345 3 09 4 00 120 (; 100 ·~ 80 'g l 33. Tempo (em minutos) que funcionarios levam para chegar ao trabalho dirigindo 60 40 20 - - 10 IS 20 2.S 30 :lS .ao . 38. Altura dos jogadores de dois times d~ futebol 34. Velocidade maxima (em milhas por hora) de carros esportivos de al!o desempenho 1 6 • • • •••• • ••••• • . ~~, l)orrnc o de m.ai~ tJe ITl«l0$ 1Cll)po ~IC. Respos:l:l • !11111111111111111111111111111111111 ~ S . Pt\.-ci~ • • . .. .. -• . . . . I· :~ !" g. 3 +-- ·-1 tt :? 11 I 1111111111 11 I I I I I I • 2<JO 205 210 m no 70 71 72 73 74 15 76 77 Alrura (e1n 1:aolegadM) An~lise grafica Nos exetdcios 35 e 36, as ie!fas A, B e C silo marcadas no eixo ho1izontal. Descreva a fomia dos dados Em seguida, de;ermine a media, a mediana e a moda. JUSlifique. 39. indice cardiaco de uma amostra de adultos 35. Dias em que os funcionarios ficam doentes • ·g 16 ·g 14 l'J g- 12 ~ ·~ 10 &- IS +---~-< 10 ,u -! 45 40 + - - 35 30 25 20 s 8 6 lv=;=L.,.~.1,-~~-r'-~ 4 SS tiO (,5 70 7S 80 SS 2 fodice cardf:K"O (b:uim1c111os, por minu1os) t 11• 16 18 20 22 24 26 2s iot AUC oi-u$ 40. lndice de massa corporal (IMO das pessoas em uma aula de gin3stica 36. Recebimento dos funcion3rios por hora 16 l'J •8 ·~ 14 12 ·~ ·g10+---~ ~ 8 ~6 "' • + - - - - - -rrll I 2+ - -n 10 12 1 6 s !~ 18 14 16 18 20 22! j26f28 1\ u c RC(tbi1ncnto por hora Nos exetcicios de 37 a 40, sem realizar ne<lhom C<llaJlo, determine quais medidas da tende:icia central melha< representam os graficos a seguir. Exp!ique. 20 2? 24 26 IMC 28 30 Encontrando a media ponde<ada Nos exetcicios de 41 a 46, encon!fe a m!!dia pondetada dos dados. 41. Nola final Fornecemos as notas e suas po<centagens na nota final para um aluno de estallslka. Qual e a nota media do aluno? Edifii,IJBa a (apRolol Pofceotagem oa N<ll• - ~deusa 5'M> 80 35"" PlqelOS 100 ~ ~ 90 151111 Tts4eiNI 93 251111 ld6de 42. Sal.WS Os sal!nos ~ 1111CaS (per ~ acingw:la) p.11a 25 Mcion.!rios em irna ~sac> cildos a segUt. Quale a~ dos satancs rms P¥• esses funcicn¥ios? 8 com MBA: S45.500 17 tom bachorelado em Adrrnstt~: S 32.000 u . Saldo de <onta Para o mes de abti. irna coma NricAria tem saldo de S 523 para 24 dias. S 2.415 para 2 dias e S 250 para 4 dias. Qual e a ~ de saldo para abri? 44. Saldo de conta Para o mes de nnalO, uma conca Nnc.lrii tern saldo de S 759 para 15 dias. S 1.985 para 5 dias. $ 1.410 para 5 dias e S348 para 6 di.ls.Quale a m~ia de saldo para maio? 45. Nolas Um estudante recebe as seguinces nocas. tom Avalendo 4 pootos, 8 valendo 3 poncos. Cvalendo 2 pontos e Dvalendo 1 pooto. Quat h no1a ~ia? 8 em duas aulas de 3 a~nos Dem uma aula de 2 creditos A em uma aula de 4 u~nos C em uma aula de 3 crt!ditos 46. Nolas As no1as ~ias paraum curso de esca1!s1ica (por gradua~ao) sao dadas a seguir. Quais sao as nocas mMsas para o rurso? 9 g1aduandos em engenharia: 85 5 graduandos em matema1ica: 90 13 graduandos em administrac.lo: 81 lll•lllli« dt\nftlVd 65 49. ldades ldade dos me<adores de uma cidade. no1a final 85 • Frequ~n<ia 0-9 55 Hr.19 70 20-29 35 3()...39 56 4!H9 74 S0-59 42 6()...69 38 1()...19 17 10 80-89 so. Liga¢es telef6nicas ~ das ~ de ~ Ost.Inoa (em mimr.os) feias pc:< uma pessoa em um dia. Ou~ NUmero de cham6das 1-5 e;..10 11-15 l&-20 21-25 12 26 20 7 II 26-30 SHS 3&-40 7 41-45 1 4 4 ldentificando a forma da d'istribui~~o fllos exercicios 51 a 54, C<J<lstrua uma diwibui~o de frequ~ia e um histograma de frequencia dos <!ados usando o numero in6cado Encontrando a media para dados agrupados de dasses. Desueva a forma do histograma como sim~trico, uniforrne, Nos ecerdcios de 47 a 50,aproxime a meda dos dados agrupados. assim~ negativo, assini!lrico positiYo ru nenhum dos anteriores. 47. Ahura de mulheres Aaltuta (em ~s) de 18 esluci¥ltes ·~51. Hospitaliza¢es do se.xo fem111ino ~ante irna aula de educac.10 fisia NU!nero de classes: 6 Corjunto de dados: o oomero de <ias em que 20 pacientes fica. Altur-• ram hospitaliz.ados: (em poltgidas) 6 9 7 14 4 4 s 6 8 4 11 10 6 8 6 5 766311 8 ~2. 69-71 camas de hospitais l\'(mero de classes: 5 48. Altura de homens A •ra (em poleg.ldas) de 23 estudantes do sexo masciMo dlrante irna de edJCac.1o fisica. aw Altura (em poltg6das) Frequt<>Qa 63-65 3 ('6-68 6 69· 7t 7 72-74 4 7'>-77 .I I ~.o de dados: nUnelO de camas em uma amostra de 24 hospitais: 149 167 162 127 130 180 160 167 221 145 137 194 207 150 254 262 244 297 137 204 166 174 180 151 ·~53. Altura de homens Numero de dasses: 5 Conjunto de dados: alturas (aproocimadas ~ pi6xima polegada) de 30 home.is: 67 76 69 68 72 68 65 63 75 69 66 72 67 66 69 73 64 62 71 73 68 12 11 65 69 66 74 n 68 69 Ed ,e 1naaa 1 ..• 66 • h1'tisti"apli<«la " Jt54. Dado de 6 lados Nume<o de dasses: 6 Conjunto de dados: o resultado da rolagem de um dado de seis lados 30 vezes: 1461532546 124356321 562443 624 55. Conteudo de cafe Durante uma checagem de seguran,a. o contelido de cafe (em oncas = 28,34 gramas) de cinco reci· pientes de cate h1stantaneo foi regis1rado como 6.03; 5.59; 6,40; 6,00; 5,99 e 6,02. (a) fn(O(ltre a media ea mediana do conteudo de cafe. (b) 0 terceiro valor foi incorretamente medido e e, na verdade, 6,04. Encontre a media e a mediana do contetldo de cafe novamente. (c) Qual medida da tendencia central, a media ou a mecfrana, foi mais afetada pelo erro na entrada do dado? 56. Exporta~oes dos EUA Os dados a seguir sao das exporra~ees dos EUA (em bilhees de d61ares) para 19 paises em um ano recente. (Fonse: us ~ol~.) C.n~da 230,3 M~ico 134,2 Alemanha 41,3 Taiwan 23,0 Holanda 31,1 China 55,2 Australia 17,8 Malasia 12,6 Suica 14,4 Aribia Saudita 7/J Jap!o 59,6 Reino Unido 45,4 ~oreia do Sul 32.S Cingapura 24.7 Fran~ 24.2 Brasi 19,2 ~gica 21,3 tt41ia 12,6 Taillridia 8,2 (a) Encontre a media ea mediana. (b) Encontre a media ea mediana sem as exporta¢es para o Canada. (c) Qual med'ida de tend!ncia central, a med'ra ou a mediana, foi moi> •fe14do pet. elimin•¢o do> dod0> do C.nadi? Expandindo conceitos 57. Colle As distancias (em jardas) para nove buracos de um jogo de golfe sao listadas. 336 393 408 522 147 504 In 375 360 (a) Encomre a rnMta ea mediana dos dados. (b) Cooverta as <fostancias para pe~ Refaca a pane (a). (c) Compare as medidas encootradas na pane (b) com os resul· tados na parte (a). O que p<ldemos notar> (d) Use os resuhados da pane (c) para explicar o conjunto de dados fomecido se as dist.lncias sao me<idas em polegadas. 58. Analise de dados Um setlli~ de teste ao consumidor obteve as seguintes milhas po< ga!~o em cinco testes de desempenho com ues tipos de carros compaaos. Tcste 1 Testc 2 Tate J Tcstc 4 TC3te !i Carro A 28 32 28 30 34 carro B 31 29 31 29 31 cano c 29 32 28 32 30 (a) 0 fabricante do carro Aquer anunciar que seu carro teve o melhor desempenho no teste. Que medida da tendencia central - media, mediana ou moda - deve<ia ser usada para essa afirma~o? Expfique. (b) O fabricante do carro B quer anunciar que seu carro teve o melhor desempenho no teste. Que medida da tendencia central - media, mediana ou moda - deve<ia ser usada para essa afirma~o? Expfique. (c) O fabricante do carro C quer all<Jlciar que seu carro teve o melhor desempenho no teste. Que medida da te.~dencia central - media, mediana ou moda - deveria ser usada para essa afirma~o? Expfique. 59. Amplitude total media Outra medida da tendelicia cemral que raramente usada, mas facil de ser calculada, a amplitude total media. Ela pode ser encOnlrada pela f61mula. e e (Entrada ~ma de dados)+ (Entrada minima de dados) 2 Qua! dos fabricantes p<esentes oo Exe<cicio S8 iria preferir usar a amplitude total media estatistica em seus anin:ios? Explique. '.:~60. Analise de dados Estudantes em uma aula de psicologia experimental realililram uma pesquisai sob<e a depressao como sinal de estresse. Um tesle foi administrado com uma amostra de 30 esludant~ As notas sao fomecidas. 44 St II 90 76 36 64 37 43 72 53 62 36 74 St 72 37 28 38 61 47 63 36 41 22 37 51 46 85 13 (a) Encontre a media ea med'iana. (b) Desenhe um grafico de ramo-e-lolhas para os dados usando uma fileira PO< ramo. Localize a media ea me<fiana no grafico. (c) Oescreva a forma da distribui~o. 61. Media ajustada Para encontrar 10% de uma media ajustada de um conjunto de dados. ordene os dados, exdua o menor 10% das entradas e o maior 10% das e<ltradas e encontre a media das emradas restantes. (a) Encootre 10% de uma mMia ajustada para os dados do Exe<cicio 60. (b) Compare as quatro medidas da tendt!ncia central, incluindo a semiamplitude. (c) Qual e o beneflcio de se usar a mMa ajuSlada versus a media encomrada usando 1odas as entradas de dados? Explique. Ed ,e 1naaa 1 (apftulo 2 • iii [11111<\icades<rit~a 67 Atividades Media versus mediana e Applet 0 applet da media versus mediono planejado para permi1ir que voce invesligue interativameme a media e a mediana como as mecidas do cen110 do conjunto de dados. Pon· tos podem ser adicionados para representar clicando o mouse acima do eixo horizontal. A mMa dos pontos e m05trada como uma seta verde e a mediana e mostrada como uma seta ver· melha. Se dois vaf0<es f0tem os mesmos, ent~o uma Urica seta amarela emosttada. Valores numericos para a media ea me<ilna ~ mostrados acima do grAfico. Pontos do grAfiw podem ser removidos dicando no ponto e, ent.io, arrasl.lndo o ponto P<Jra a &xeira. Todos os pomos no grAfico podem ser removidos simpfesmente dicando-se denuo da lixeira. A amplitude dos valo<es para o eixo pode ser espedficada colocando imites superiores e inferiores e entao cicando em UPDATE. 2 4 Lower Limil: I 6 Explore Passo 1 Especifique um limite inferior. Passo 2 Especifique um limite S\4)eri«. Passo 3 Adicione 15 po<'1tos no grAfrco. Passo 4 Remova todos os pontos do grAfico. thegando a condus06 I. Especifique o limite inferior como 1 e o superior como 50. Adicione pelo menos dez pontos que estejam entre 20 e 40 de modo que a m~ e a mediana sejam as mesmas. Qua! e a forma da <fisuibuir;ao? O que acontece primeiramente a media e amediana quando voce acfrciona al&\fnS pontos que sejam menores que 10? O que acootece com o tempo coolo,me co.~tinuamos a adicionar ponlos que sejam menores que 10? 2. Especifique o limite inferior oomo Oe o superior como 0,75. Coloque dez poolos ao grAfim Ent.lo, mude o ~mite supe· rior para 25. Ad'Jcione ao grafico mais dez pontos que ~o maiores que 20. A media pode ser qualquer um dos pontos que foi representado? A medfana pode ser qualquer um dos pomos representados? Explique. 8 Upper Unlit: 9 Ill Medidas de varia~ao Amplitude -+ Desvio, vari/incia e desvio padrao-+ lnterpretando o desvio padr/io -+ Desvio padrao para dados agrupados I Amplitude Nesta ~30, voce aprender~ difercntes maneiras de medir a varia~3o do conjunto de dados. A medida mais simples ea amplitude do conj unto. efinicao • CDmo enrontrar a amplitude de um conjunto de dados- • Como encoooar a variancia e o devio padrao da popula\.lo e da amostla. • Como usar a regra empfrica e o A amplitude de um COl'ljunto de dados ea daeren~ entre as entradas maximas e minimas no conjunto. Para enc011trar a amplitude. os dados devem ser quantitativos. Amplitude = (Entrada m~~ma de dados) - (En11ada minima de dados) Exemplo 0 que voce deve aprender m fncontrando a amplitude de um conj unto de dados Duas corpora<;Qcs contrataram 10 formandos cad a. 0 saf~rio iniciaf para cada formando e moslrado a seguir. Encontre a amplitude dos salarios iniciais para a EmpresaA. teorema de Oiebychev parainter· prelar o desl'io pactrao. • Como aproximar o desvi'o padrao para dados agrupados- Ed ,e 1naaa 1 Sa.larios inidais para a Empresa A (milhares de d6Jares) Salarios J 41 J 38 J 391 45 147 , 41 I 44 I 41 137 , 42 Salirios iniciais para a Empres:a B (milhares de d6lares) lmportante Soluftio Ordenar os dados ajuda a encontrar os sal.lrios mfnimos e maxi mos. Ambos os conjunto,de dados no Exemplo 1 t@m a media de 41,5, a mediana de 41 e a moda de 41. E ainda, os dois conjuntos diferem significantemente. Adiferen~ eque as entradas no segundo conjun· to t~m uma varia~o maior. Seu objetivo nesta ~ e aprender como medir a vari~o no conj unto de dados. 37 38 39 41 41 41 42 44 45 47 ~linum'I _ ) Amplitude = (Salario maximo)- (Salario rninimo) = 47 -37 = 10. Entao, a amplitude dos salilrios iniciais para a Empresa A e10 ou S 10.000. Encontre a amplitude dos salanos iniciais para a Empresa B. ~ a. ldentifique os salarios 111f11i111os e111dxi111os. b. Enoontre a a111plit11de. c. Comparesua respostacom a do Exemplo 1. Tente Ri~1os.1111u1 I'· I ;\35 Desvio, variancia e desvio padrao Como uma medida de varia~ao, a amplitude tern como vantagem ser facil de cal· cular. Adesvantagem, entretanto, eque a amplitude usa somente duas entradas do con· junto de dados. Duas medidas de varia~ao que usam todas as entradas do conjunto de dados s.io a variiincia e o desvio padrao. Porem, antes de aprendennos essas medidas, precis.1111os entender o que chamamos desvio padraoe entrada no conjunto de dados. Desvios dos dez salarios iniciais da Empresa A Sala.rio, Desvio (milhares de d6lares) x (milhues de d6lares) x - 11 41 -0.5 38 39 45 47 41 44 41 37 -3,5 -2.S 3.5 5,5 -0.S 2.5 -0,5 -4.5 42 0,5 C:\' e 4l5 1.1x-11) a O efinicao 0 desvio de uma entrada x em uma popula<;ao ea diferen.;a er>tre a entrada e a media µ do conjunto de dados. Desvio de x = x - µ. Exemplo W [n(ontrando os desvios de um (Onjunto de dados Encontre o desvio de cada salario inicial para a Empresa A dado no Exemplo 1. SoluftiO A media dos sal~rios iniciais e11 = 415/10 = 41,5. Para encontrar o quanlo um salario desvia da media, subtraia 41,5 do salario. Por exemplo, o desvio de 41 (ou $ 41.000) e: 41 -41,5 = 0,5 (ou - $ 500). .\.J ~µ A tabela aesquerda lista os desvios de cada um dos dez s.1l~rios iniciais. Ed ,e 1naaa 1 Tente Encontre o desvio de cada salario inicial para a Empresa Bdado no Exemplo I. a. Encontre n merlin de cada conjunto de dados. b. S11btrnin a m&lia de cada salario. voc'6 No Exemplo 2, note que a soma dos desvios ezero. Em razao de isso ser verda· deiro para qualquer conjunto de dados, n.io raz sentido encontrar a media dos desvios. Para superar esse problema, voe~ pode razer o quadrado de cada desvio. Quando adicionamos os quadrados dos desvios, calculamos a quantidade chamada soma dos quadrados, denotada para SS,. Em um conjunto de dados populacional, a media dos quadrados dos desvios echamada de variancia populacional. efini{ao A variancia populacional do conjunto de dados populacional de N entradas e: Variancia populacional = 111 = 'f.(x-1•>' N 0 sfmbolo" e a letra minuscula grega sigma. efini{ao 0 desvio padrao populacional de um C011junto de dados populacional de N entradas e a raiz quadrada da variancia populaciona!. Desvio padrao populacional =11' =,P = p:xx~ 1'f' lnstru~oes Encontrando a variancia populacional·eodesvio padrao Em palavras 1. Encontre a m&lia do conj unto de dados populacional. 2. Encontre o desvio de cada entrada. 3. Fa\<! o quadrado de cada desvio. 4. Adicione para obter a soma dos quadrados. S. Oivida por N para obter a variaslo populacional. 6. Encontre araizquadrada da variancia paraobter o desvio padrao populaciorial. Em simbolos L:x 1. µ = - N 2. x-1• 3. (x - 11>2 4. SS, = E <x- 1•>' "i:(x~11) 1 S. 112 _ 6. "= JL:(x~ µ)' Ed ,e 1naaa 1 70 • lstat15ticaaplicad• Soma dos quadrados dos salarios iniciais da Empresa A Quadrados ;r Desvio x-µ 41 38 -0,5 -3,5 39 45 -2,5 47 41 5,5 0,2S 12,2.5 6,25 12,25 30.25 0,25 6,25 0,25 20,25 0,25 SS, = SS,5 SaUrio 3,5 -0,5 44 ,C,:> 41 -0,5 Y7 -4,5 42 0,5 1:=0 Dica de estudo Note que a variancia e o de$· vio padrao do Exemplo 3 tern uma casa decimal a mais do que o co)'ljunto de dados ori· ginal. Esta e a mesma r:egra de arredondamento usada para calcular a m~ia. Dica de estudo Encontre a varifulcia popul:i.cional e o desvio padr5o dos salarios iniciais para a Empresa A dados no Exemplo 1. So/11ftiO A tabela ~ esquerda resume os passos usados para encontrar SS,. SS,=88,5, Simbolos nas formulas da variancia e do desvio padriio 11'= ~~5 ..,S,9, 11= .JS,$5;,;3,0 Assim, a variancia populacional e de aproximadamente 8, 9 e o desvio padrao populacional ede aproximadan1ente de 3,0 OU$ 3.000. Tente vocf a. b. c. d. e. Encontre o desvio padrilo populacional dos sal~rios iniciais para as empres.'s dadas no Exemplo 1. Encontre a 111i!rlin e cndn desvio pndrlio como voce fe-4 no Te11tevocf 2. Fn{n o q11ndrndo de cada desvio e osndicio11e para obter a soma dos quadrados. Divitfa por N para obter a variancia popuJacionaJ. Encontre a rniz q11ndrndn da variancia. illter11rete os resultados fornecendo o desvio padrao populacional em d61ares. R~10Sl1t IUI I'· Amostra i! A36 efinicao Avariiincia amostral e o desvio padrao amostral de cada conjunto de dados amostral de n entradas estao listados a seguir. n- 1 Desvio padrao amostral = s = .[si = Jr:.<x - xY n- 1 lnstru~oes Encontrando a variancia amostral e odesvio padrao Em palavras 1. Encontre a media do conjunto de dados amostral. 2. 3. 4. 5. 6. Encontre o desvio de cada entrada. Fai;a o quadrado de cada desvio. Adicione. para obter a soma dos quadrados. Divida por 11 - 1 para obter a varia~ao amostral. Encontre a raiz quadrada da variAncia para obter o desvio padrao amostral. Va.riinda u' Desvio padrao q ' Media JI J N6merode entradas N II x-p x-X 1. x=Ex lXx -11>' !:Ix -~>' 2. x-x Sc>ma dos quadrados N= lO, Variancia da amostra = s' - Z::.( x- xj Note que quando encontra· mos a variancia pop11/ncio11n/, dividimos por Nonumerode enti'adas, mas por razi\es tee· micas, quando encontramos a variancia n111ostrnl divic(imos porn-1, unl nUmeroan1enos que o numero de entradas. Desvio m Encontrando odesvio padr3o popu!acional <x- µ>' --~~~~~~~~~~ Popula~ao Exemplo Em sfmbolos II Ed ,e 1naaa 1 (•pftolo2 • boa11ltlcade1ni1ivo 71 3. (x- x!' 4. SS,= E(x-x>' Eix-xJ' s.), = ~-11 - l 6. s = E<x - xl' 11-l Exemplo [4J fncontre o desvio padrao amostral Os salarios fomecidos no Exemplo 1 s."io para as filiais de Chicago das empresas A e B. Cada empresa tem divers,15 outras filiais e voce planeja usar os salarios iniciais das filiais de Chicago para estimaros salarios iniciais para popul~6es maiores. Encont-re o desvio padrlio amostml dos salfaos iniciais para a filial de Chicago da Empresa A. SolufiiO SS, =88,5 11=10 s' = ss,s ,,,9,s 9 Assim, a vari5ncia amostrnl ede aproximadamente 9,8 e odesvio padrao amost:ral e de aproximadamente 3,1OU$3.100. a. Encontre a soma dos quadmdos como voce fez no Tcnte vod! 3. b. Divida por 11 - 1 para a vari5ncia amostral. c. Encontre a miz quatlratia da varifincia amostral. m Exemplo Usando a tecnologia para encontrar o desvio padrao Na tabela s.'lo mostradas amostras dos Indices de loca<;llo de escrit6rios (em d61ares por pes quadrados por ano) para o distrito de neg6cios de Miami. Use tuna calculadora ou computador para encontrar a media do Ind ice de loca~ao e o desvio padriio antostral. (:t.da-pt1tdt> d.- C11~r1UT11 & l\'It/afield tn<.) Sol11fiiO 0 MINITAB, Excel ea Tl-83/84 t~m caracterfsticas quc calculam automaticamente a media e o desvio padrao do conjunto de dados. Tente usar essa tecnologia para encont:rar a media co dcsvio padrao dos Indices de loca<;ao. A partir dos displays, podcmos vcr que x"' 33,73 es"' 5,09. MINITAB l Desaiptive Statistics Variable Rental Rates Variable Rental Rates N 24 SE Mean 1.04 ,-, I / Mean' Median TrMean ,33.73 / 35.38 Maximum 40.50 33.88 Q1 29.56 MJnimuIT; 23.75 I ® 09 Q3 37.44 t~ Veja os passos MINLTAB e Tl-83/84 nas p. 100 e 101. Ed ,e 1naaa 1 Dica de estudo EXCEL Tl-83/84 1-Var Stats Aqui estao as instru~ para calcular a media amostral e o ·::X ;:;33.72~i1-6667:> ~-,;;909,5----- desvio padriio an1ostral em. l)x' = 27899,5 uma Tl-83/84 para o Exemplo 5. CSX Variilncia da amostra lSTAr( f-',-t----~~K~ u= rtosis Skeyvnes~ Escolha o menu I EDIT I 1: Edit Entre as amostras dos fndices de loca~llo em LI extensao Minimo Maximo Soma Canta lsrATI Escolha o menu 2q,§lp172 -0.74282 _ _:(>2_0345 16,75 23,75 405 809.5 24 5.089373342:::> ox - 4 .982216539 n = 24 1:::rmMia <:::>: .ie...;o mao 5ao listadas amostras dos Indices de loca~ao de escrit6rios (em d6lares por pes quadrados por ano) para o distrito de neg6cios de Seattle. Use a calculadora ou oomputador para encontrar a media dos indices e o desvio padrao da amostra. lCALCI 1: 1 - Var Stats I ENTER I l2ndl [ill l (:\d.ltptiuW df C1l.J1mn11 it i\"n~fi,•ld.111(.) I ENTER I Indices de loo~io de es<rit6rios, 35,00 33,50 37,00 23,75 26,50 31,25 36,50 4-0,00 32,00 39,25 37,50 34,75 37,75 27,00 37,00 24,50 37,25 36,75 35,75 26,00 29,00 4-0,50 33,00 38,00 I 40,00 43,00 46,00 40,50 35,75 39,75 32,75 36,75 35,75 38,75 38,75 36,75 38,75 39,00 29,00 35,00 42,75 32,75 40,75 35,25 a. Digite os dados. b. Cnlc11/e a m~dia amostral e o desvio padrao amostral. I lnterpretando o desvio padrao Na interpreta~Ao do desvio padrAo, lembre-se de que ele ~a medida de quanto uma entrada tipica se desvia da m~dia. Quanto mais espalhadas estiverem as entradas, nlaior serti o desvio padrao. s s 2 l :~g I •• 65 =• f.i2 I I 7 " ·~ 6 ·~ fl I 2 J ~ S 6 7 3 9 Valorcs do$ d;idos lmportante Quando todos os valores de da<los slio iguais, o desvio padrao~ O. Do controrio, o desvio padrao tem.que ser positivo. :ii ~ = •+-- - ~ < 5 <g .. ;·~ Para explorar mais esle 16pico, veja 2.4Atividades nap. 82. 8 7 Exemplo l ~+-.-.-.dI I 2 J 4 5 6 1 S 9 I 2 3 4 S 6 1 8 9 Valore$ dos dudos Vatore..s ~ d:l(los m [stimando o desvio padrao Sem calcular, estime o desvio padroo populacional de cada conjunto de dados. 1. a ~ 0 1 2.,.&S67 Valor<:s dos <IO"tdos 012l"S6 7 Valon.'S dos d.idos 0 , 0 , 0 , 0~ 01?34S67 Valores dos dados Ed ,e 1naaa 1 <•1t•l•2 • £mtfsti<adt><ritiYol 73 So/11fdO e 1. Cada uma das oito entradas t! 4. Entiio, cada desvio 0, o que implica" = O. 2. Cada uma das oito entradas tern desvio de :!: I. Entllo, o desvio padrllo populacional dcveria ser 1. Calculando, voce pode ver que" = 1 3. Cada uma das oito entradas tern desvio de ± 1 ou ±3. Entao, o desvio padrao po- pulacional deveria scr 2. Calculando, voce pode vcr que q ""2,24. ente Escreva um conjunto de dados que tenha 10 entradas, uma media de 10 e voci um desvio padrao populacional de aproximadamente 3. (Ha varias respostas 6 corretas.) a. fatrl!'IJ(J um conj unto de dados que tenha 5 entradas que sejam Ires unidades menores que 10 e cinco entradas que sejam tres unidades maiores que 10. b. Calwle o desvio padr<'io populacional para cl'K!car que q eaproximadamente 3. Rt>Sp()::fn 1u1 I'- A3 Muitos conjuntos de dados da vida real t~m distribuio;Oes que siio aproximadamente simt!tricas e tern curva em forma de sino. Mais tarde neste livro, estudaremos esse ti po de distribui~ao em detalhes. Agora, entretanto, a Ri-gra Empfrim aseguir pode ajuda-lo aver como o desvio padrao pode ser valoroso como uma med id a de varia~ao. Distribui~ao em forma de sino - - - - - - 9<J.7%cQn1 3 dcs\•i0$ 1>.'ldrito -- ~·--- 95~~-om 2 ~vios padriio ' 1 : - - Retratando om~ 68%co1n--. I des\•io ' pad mo 34% '.i+.t X+-21 X+ 3.J- eqra empirica (ou reqra 68-95-99,7) Para os dados com distribui~o (simetrica) com formato de curva, o desvio padrao tern as caracteristicas a seguir, 1. Em tomo de 68% dos dados est~ dentro de um desvio padrao em rela<;ao ~ media. 2. Em torno de 95% dos dados esta dentro de dois desvios padrao em relai;<lo am~dia. 3. Em tomo de 99,7% dos dados esta dentro de tres desvios padrao em rela9]o a media. Exemplo - Uma pesquisa foi conduzida pelo National Center for Health Statistics (Centro Nacional de F.statrsticas M&licas) para encontrar a altura m&iia dos homl!ns nos EUA. 0 histograma m06lra a distribui~ das alturas para OS n4 homens CXaminados no conjunto con1 idades enlre 20 e 29. Neste conjunto, a m&lia era de 69,6 polegadas e o desvio J"'drao era 3,0 polegadas. (fc1111r. ~'""1nl U111fr fi,, llfll'lrlr Slali-""-) Alturas dos homens nos EUA com idades entre 20 e 29 m tlsando a regra emplrica Em uma pesquisa conduzida pelo National Center for Health Statistics (Centro Nacional de Estatisticas Medicas), uma amostra das alturas medias das mulheres nos EUA (idadesentre 20e 29) era de 64 polegadas, com desvio padrao amostral de 2,71 polegadas. Estime a porcentagem de mu theres cujas alturas estllo entre 64 e 69,42 polegadas. £111 tern1os gerais, qunis duns nltmn> coutfor 95% !In mMin rfo,;. ilnrfos? Ed ,e 1naaa 1 74 • !statll\ico apli<1da Alturas das mulheres nos EUA com idades entre 20 e 29 Solufiio Adistribtti\ao das alturas das mulheres emostrada no grafico. Em raz.io de a distribui\ao ter formato de sino, voce pode usar a regra empirica. A altura media e 64, entao, quando voe~ adicionar dois desvios padrao a altura media, voe~ obtem: l' + 2s = 64 +2 (2,71) = 69,42. )a que 62,42 e dois desvios padrao acima da altura media, a porcentagem das al turns entre 64 polegadas e 69,42 polegadas 5<'\o 34% + 13,5% = 47,5%. Iuterpretafiio Entao, 47,5%das mulheres t~m entre 64 e 69,42 polegadas de altura. 5.S..81 58.SS 61.19 i:_,, i-~ 6-t l-1 T 66,7l 69,41 12: 13 I ••• t 1 21 ente Estime a porcentagem das alturas que esliio entre 61,29 e 64 polegadas. a. Quantos desvios padrao estao 61,29 aesquerda de 64? '- ft11 1\J1urat (cm pokgad.1s) lmportante Gs valores dos dados que estao a mais de dois desvios padrao da media S<"io incomuns. Os valores de dados que estao a mais de tres desvios padrao da media siio muito incon1uns. -;:6 b. Use a regra empirica pa.ra estimar a porcentagem dos dadosentrex-s ex. c. /uferprete os resultados no contexto dos dados. A regra empfrica se aplica somente as distribui~6es em forma de sino (simetricas). Mase se a dislribui\aO nao for em forma de sino ou ·se a fom1a da distribuii;iio for desconhecida? 0 teor-ema a seguir fornece uma afirmay.io de desigualdade que se aplica a todas as distribui¢es. Seu nomee em homenagem .ao estatfslico russo Pafnuli Chebychev (1821-1894). 'lieorema de Chebychev Apor~ de qualque< coojunto de dados que estej.lm dentro de k desvios padrao (k >l) da media e, pelo menos: l l - k' ' l 3 2 4 • k = 2: em qualquer conjunto de dados, pelo menos I- - 2 = - ou 75% dos dados estao dentro de 2 desvios padrao em ref~o a media. 8 • k = J: em qualquer conjunto de dados, pelo menos 1-~ = - ou 88,9% dos dados estao dentro de 3 desvios padrao em ref~o a media. 3 9 Exemplo m Usando o teorema de Chebychev As distribui~6es das idades para o Alasca ea F16rida sao mostradas no histograma. Oecida qual ~ qual. Aplique o leorema de Chebychev para os dados da F16rida usando k = 2. 0 que podemos conduir? 120 ~ _g 100 6 80 e ""·~ -; I ,.....,,...,_ !' = 31.6 o= 19.) ~ 2500 11=39,2 :£ :?.000 o=24.8 e ~ l.SOO· ~ g 60 ~ 1.000 .I() 1 If. 500 20 S IS ZS 3S 45 55 6S 15 8.S ldade (c1n ;ioos) $ IS " ll ~ ll 6S " ldndc (c111 anos) ~ Solupio 0 histograma da direita mostra a distribui('Jo de idades na Fl6rida. Podemos afirmar isso, pois a popula\<'lo emaior e mais velha. Movendo dois desvios padrao para a esquerda da media chega-se em 0, pois 11 - 2<7 - 39,2 - 2(24,8) = - 10.4. Mover dois desvios padrao para a direita da media nos coloca emµ + 2<7 = 39,2 + 2(24,8) = 88,8. Pelo teorema de Chebychev podemos dizer quc pclo mcnos 753 da popula\ao da Fl6rida esta entre Oe 88,8 anos de idade. ~ Aplique o teorema de Olebychev para os dados do Alasca usando k = 2. ~ a. Srrbtrnin dois desvios padrao a partir da media b. Micio11f dois desvios padrik> h media. c. Apliqtlf o teorema de Chebychev p;ir.i k- 2 e i11tttpmt os resultados. ~1".l• ll4 p. •430 I Desvio padrao para dados agrupados Na Se('ao 2.1 aprendemos quc conjuntos de dados grandes s.'\o melhores representados por uma distribui,ao de frequ@ncia. A f6rmula para o desvio padrao amos· tral para uma distribui\~O de lrequ~ncia e: Desvio padrao amostrnl = s= No Exemplo 8, o teorema de Chebychev fomece uma afirmao;ao de desigualdade em que pelo menos 75% da popu la~ da Fl6rida tem idade abaixo de 88,8. Essa e uma afinn~ verdadeira, mas ~ ~ tao forte quanto poderia ser uma afinn~ feita com base no histograma Em geral, o trorema de Chebychev fonv.>ce a ~tagem minima dos valoresdos dados que estao dentro do numero dado de desvios padrao da m(!dia. Dependendo da dis· tribui~. M provavelmente uma maior porc:entngem de dados na amplitude dada. -·-- Dica de estudo EC.r - x)' I, 11 - lmportante l Lembre-se de que as (6rmulas para dados agrupados pe· dem que voe~ multiplique as frequencias. onde 11 = £[eo mimero de entrndas no conjunto de dados. Exemplo I 9 £ncontrando o desvio padr3o para dados agrupados Voe@ coletou uma amostra aleat6ria do numero de crian('as por resid@ncia em certa regiao. Os resultndos sao rnostrados na tabela h direita. Encontre a media amostral e o desvio padrao amostral para o conj unto de dados. Numuo de crianr~s em SO residf:ncias I I 3 2 Solitr-ao I I Esses dados poderiam ser tratadoscomo 50 cntradas individuais e poderiamos usar as f6rmulas para a media e o desvio p.ldr3o. Mas como temos muitos numeros repetidos, entretanto, emais facil usannos a distribui~ de frequ~a I 3 5 0 I I 3 6 3 t 3 x I >/ x-i Cx-X>' Cx - iYf 0 10 19 7 7 2 0 19 14 21 - 1,8 3,24 0,64 0,1>1 1,44 32.40 12,16 0,28 10.00 9,68 10,24 I 2 3 4 5 6 4 i:: - so 1 =Ex[ = 91"' 1,8 II 5() 8 5 24 i:: - 91 -0,8 0.2 1,2 2,2 3,2 4.2 4,84 10,24 17,64 70,56 S = 145,40 _/ ,\Jrd1r1tJJllL...,trl?I 2 4 0 I 2 0 0 3 6 6 0 I 0 I I 0 3 I I 0 0 6 0 I I I 2 I I 2 2 2 4 Ed ,e 1naaa 1 76 • &t'1llli<"pli<ilo Dica de estudo Aqui estao as instru~ para o c.ilculo da mo!dia e do des· vio padrao an1osb·al en1 un1a 'CT-83/84 para os dados agru· t dos_ jo Exemplo 9. Esoolhaomenu EDIT 1: Edit Entre os valores de x em L1 Entre as &equencias fem L2 lSTATI Esoolhaomenu CALC 1: 1- VarStats Use a soma dos quadrados para encontrar o desvio padrilo amostral. f.(x - x)'f = J145,4 ,,, 1, 7 11 - l 49 Ent~o, a media amostral e aproximadamente 1,8 crian"1S e o desvio padrao e aproxin1adan1ente 1,7 crian~as. s= ente Altere para 4 trtls dos 6 expostos no oonjunto de dados. Como essa mudan"1 voci afeta a n1Cdia an1ostral e o desvio padriio an1ostral? 9 a. Escreva as tres primeiras colunas da distrib11i(Jio de freq11i11cia. b. Enoontre a 111Mia a111ostral. c. Complete as Ires lilti111as collmas da distribui"'° de frequencia. d. Enoontre o desvio pndrllo a111ostral. lENTERI l?iliiJ Ll, ~ L2 lENTERI Quando a distribui~'lo de frequencia tem classes, podemos estimar a media amostral e o desvio padrao usando pontos medios de coda classe. Exemplo Castos antes de viagens OOJ Usando pontos medios das classes 0 grafico circular aesquerda mostra os resultados de uma pesquisa na qual 1.000 adultos foram questionados sobre o quanto ga.~tam na prepara~ao para viagens pessoais no ano. Fa~a uma distribu i~ao de frequ@ncia para os dados. Entao use a tabela para estimar o desvio padrilo amostral do conjunto de dados. {.~doptadntk Tr1n'tl lmtu~try A'"'~1'11im1 ofAmtnro.) Sol11ftiO Comece usando a distribui~o de frequencia para organizar os dados. Oasse x 0-99 100-199 200-299 300-399 49,5 40()...J99 500+ 149,5 249,5 349,5 449,5 599,5 I .t/ 380 18.810 34.385 230 210 52.395 17.475 50 26.970 60 70 41.965 i:; = 1.000 E = 192.000 x-X (x-XJ' tt- Xff - 142,5 20.306,25 ] .806,25 3.306,25 7.716.375,0 415.437,5 694.312,5 1.240.312,5 3-978.375,5 t 1.623.937,5 - 42.5 57,5 157,5 257,5 407,5 2~.806.25 66.306,25 166.056,25 E = 25.668.750,0 x='f,xf = t92.000 = 192 II 1.QOO Use a soma dos quadrados para encontrar o desvio padrilo amostral. s = 'f.(x- x)'f = J25.668.750 .,,,160, 3 11 - l 999 Entao, a media amostral eS 192 por ano e o desvio padrao amostral e aproxima· damente $ 160,3 por mm. Ed ,e 1naaa 1 (apltulo 2 Na distribui~ao de frequencia, 599,5 foi escolhido para representar a dasse de S500 ou mais. Como a m&lia e o desvio padrao amostral mudariam se usassemos $ 650 para representar esta dasse? a. Escreva as quatro primeiras colunas da dislrib11i(lio defreq11€11cin. b. Encontre a merlin n111ostrnl. c. Complete as Ires 11/timns colmtns da distribui~ao de frequ~ncia. d. Encontre o desvio padrtio nmostrnl. R~1~t11 ''" p. A36 Ill Nos exercfcios I e 2 e<icontre a amplitude, a mecia, a vari3ncia e o desvio padrJo do conjunto de dados populacional. 9 7 5 7 8 10 4 11 6 2. 15 24 17 19 20 18 20 16 21 23 17 18 22 14 Nos exercicios 3 e 4, encon~e a amplitude. a mMa, a vari.lncia e o desvio padrJo do conjunto de dados amostral. 3. 17 8 13 18 15 9 10 11 6 4. 28 25 21 15 7 14 27 21 24 14 17 16 9 Raciodnio gr~fico Nos exercicios 5 e 6, encon~e a amplitude do conj\llto de dados represemados pelo grafico 5. 2 3 4 5 6 7 8 9 6. fatatl>tica d01<1itiv• 71 Dica de estudo Quando uma classe ~ aberta, como na tlltima classe, devemos designar um unico valor para representar o ponto medio. Para este exemplo, selecione 599,5. Exercicios Construlndo habl!idades bAsicas e conceltos 1. 12 • 39 002367 0 1 2338 0 1 19 1299 59 48 0256 Chave: 213 ; 23 Idade das noivas no primeiro casamento 8 ...,._,..,.~.,...,....,~.,_..r,.....,,. :?.& 2$ 26 27 28 ?9 30 JI 32 ,l.\ 34 Jdadc (cm anos) 7. Explique como ellCOfltramos a amplitude de um conjunto de da· dos. Qua! a vantagem de usa1mos a amplitude como uma medi· da de vatia.;30? Qual a desvantagem? 8. Explique como encontramos o desvio de uma entrada em um cmjuf\lO de dados. Qua! ~a soma de IOOos os desvios em um conjunto de dados? 9. Por que o desvio padrao ~ usado com mais freq~ncia do que a vari!ncia? (Dico: considere as unida<fes de variancia.) 10. Exp!ique a relaylo entre a varia~cia e o desvio padrao. Pode uma dessas duas medidas ser negativa? ExpliQUe. Eoconue um conjun· to de dados para oqual n ; 5, 7 es ; 0. 11. ldades no casamento As idades de 10 noivas em seu primeiro casamento sJo fomecidas a seguir. 31,8 24,5 26,7 21.3 45,6 35,9 22.5 33,1 42,3 30,6 {a) Encontre a amplitude do conjunto de dados. (b) Mude 45,6 para 65,6 e encont1e a amplitude desse novo conjunto de dados. (c) Compare sua resposta em (a) com a resposta em (b). 12. Encontce um conjunto de dados i'Ol"Jlacional que comenha seis entradas, mMia de 5 e que tellha desvio padrAo de 2. x; Usando e interpretando conceitos 13. Raciocfnio grafico Ambos os conjuntos de dados a segtir tern mMia de 165. Um tern desvio padrao de 16 e o outro de 24. Qua! ~ qual? E>;plique seu racic>cinio. (a) 12 8 9 Chave: 1218 = 128 13 55 8 14 1 2 15 006 7 16 459 17 1368 t6 069 t9 6 20 35 7 (b} 12 13 1 14 2 3 5 15 04568 16 1 I 2 3 3 3 17 1588 18 2 3 45 19 02 20 14. Racioclnio grafico Ambos os graficos representados a seguir tern media de 50. Um tern desvio padrao de 2.4 e o outro tern desvio pa<frJo de 5. Qual e qua!? EJ<plique. Edifii,IJ§§d 78 • b1<U11k"pll<M• (a) sl~ 42 45 ... SI 5' $7 liO \'>lo< dos dados (b) lO "M<.L,1;1,J,l,J..Y.,,,,,,,........ ~~....~ .. 2 .as 411 '' s.a s1 (I() Valor ~ d11ck». 15. Reda(Ao Descreva a d~er~ enue o cAlculo do desvio pad.10 populaciooal e do deS100 padr3o amOSlral. 16. Reda(Ao Dado um oonjunto de dados, como sabemos se cal· culamos • ou s? 17. Oferlas salariais Vod est.I se candida1ando a um emprego em duas empresas. AEmpresa Aoferece sal.!rios iniciais com 1• = S 31.000 e • = S 1.000. Aempresll 8 oferece salarios iniciais com 11 = $31.000 e • = S 5.000. Em qua! emp<esa voce mais prova· velmente conseguiria uma ofena de S 33.000 ou mais? 18. Tacadas de golfe Um site da lniemet compara as tacadas por rodada de dois jogadores de golfe profissiooais. Qual jogador de goffe mais consistente: jogador A com ,, = 71,5 iacadas e • = 2.3 tacadas ou jogadol B com ,, = 70, 1 iacadas e a • 1,2 1acadas? e 21 . Notas no teste SAT Listamos uma amostra das nocas no ieste SAT para 8 estudantes do sexo masculino e 8 do selCI) feminino. Home/ls: 1.059 1.328 1.175 1.i23 923 1.017 1.214 1.042 Mu/heres: 1.226 965 841 1.053 1.056 1.393 1.312 1.222 (•) Eni:on"" o omplitude, • vati6 ncio e ode>"° padlao de GOdo corjtM\to de dados. (b) lnterprete os <esubados no conte>to da Vida real 22. Salarios anuais Lislamos uma amoslra dos sal.!nos anua1S (em nillares de dOlares) para p<ofessaes primanos de escofas po)bica e panialar. Ftolesstxes de escolo p6bka: 38.6 38, I 38.7 36.S 34,8 35,9 39,9 36,2 A'olessOfes de escolo pot1iah: 21.S 18,4 20,3 17.6 19,7 18,3 19,4 20.8 (a) Encontte a ampilude, a ~ncia e o desvio paa.!o de cada oorjtJnto de dados. (b) lnterpre1e os resUiados no oomexio da vida real Raciocinio grafico Nos exerddos de 23 a 26, compare os ues conjuntos de dados. 23. (a) Semcalcular.determinequal conjuntodedadostemom.iior desvio padr.!o amostral. Qual tem o menor desvio padrao amosual? Elcp!ique. (i) 4 $678910 V.-.kw~d.~ (ii) Comparando dois conjuntos de dados Nos ewdcios de 19 a 22. (()(lllale os dors ~de dados e in:erprete os resullados. 19. Salarios anuais Lislamos uma amostra dos sat.!rios anuais (em milares de dOla1es) 1>o11a os funoon.1rio5 nuiopais de Los Angeles e ~ Bead\ 1.osAngeles: 20,2 26,1 20,9 32,1 35,9 23.0 28,2 31,6 18,3 Long Beoch:20,9 18,2 20.8 21,1 26,S 26,9 24,2 25,1 22.2 (a) Encontre a am!)l4ude, a vananoa e o ~ padr3o de cada CJOnjllllO de dados. (b) lnterprete os resultados no oontexlO de um cenano real 20. Salarios anuais '- seguir, liSlamos uma amosua dos sal&nos anuais (em rnilhares de d61a<es) para os funcion6rios municipais de Dallas e Houston. Oollos: 34,9 25,7 17,3 16,8 26,8 24,7 29,4 32,7 25,S HouSlOn: 25,6 23,2 26,7 27,7 25,4 26.4 18.3 26,1 31,1 (a) Encontre a amplitude, a variancia e o desvio padr3o de cada conj\Jlto de dados. (b) lnterprete os resuluidos no c.on1exio da vida real. • ~:t ~~ "'t J J: ?+- ..... (i) • 6- t ~ s -~ ~ ·~ J [ ~ l + - - -1 .. 5673910 Valor do.s d~m (b) Quais as semelhan~ entre os oonju111os de dados? E as difeten(<!S? 24. (a) Semcalcular. determinequal conjuntodedadostemomaior desvio padrao amostral. Qual tern o menor desvio padr3o amosual? Clql!ique. Ed ,e 1naaa 1 (apftulo2 (o) 0 9 I 58 2 33 7 7 3 25 (i) • • • • • • • • • • 4 , I I Chave: 41 1= 41 (ii) I I • • • • • • • • • • I •s I I 6 7 79 1 ~ s •• • • • • •••••• • • • • • • • • I I I I I I I • 2 3 .&S678 4 (iii) Chave: 411 = 41 0 I 5 2 33337777 3 5 4 I ~ (i~ 0 9 I 5 2 333777 3 5 (iii) 2 [11111<\iCd dts<ritiv• • 1 2.l.&S67S I Cha•oe: 411 = 41 (b) Quais as semelhani;as enue os conjuntos de dados? E as d"dereni;as? 25. (a) Semi;ak\llar.detetminequal conjuntodedados temomai0< desvio Pi'd«lo amostral. Qual tern o menor desvio padrao amostraP. Explique. (i) (b) Quais as semelhani;as en11e os coojootos de dados? E as dffereni;as? 27. Reda~ao Oiscuta as similaridades e difereni;as entre a regra empirii;a e o leO!ema de Chebychev. 28. Reda~ao o que devemos saber sob<e o conjumo de dados an· tes de usarmos a regra emplrica? 29. • • • • • • • • • • • • • • • 10 IZ II IJ 30. 14 (ii) • 31. • • • • II 13 • • • • • • • • • • 10 12 I.& (iii) • • • • • • • • • • • • • • • 10 II 12 • • • • •••••••• • • • • • • • • 13 32. 14 (b) Quais as semelhani;as enue os conjuntos de dados? E as difereni;as? 26. (a) Sem i;akular. determine qual conjunto de dados tern o maior desvio padrao amostral. Qual tern o me:10< desvio pad<ao amos· tral? Explique. 33. Usando a regra empfrica f'los exerclcios de 29 a 34, use a regra empirii;a. 0 valor medio de tetras e cons.uu¢es por aoe de uma amostra de fazendas $ 1.500, com desvio padrao de S 200. 0 conjunto de dados tern disuibui~o em forma de sioo. Estime a porcenta· gem de fazendas cujos valores das coostru~Oes e te«as por acre estejam enve S 1.300 e S 1.700. 0 valor medio de tetras e conwu<;Oes por acre de uma amostra de fazendas e S 2.400, com desvio padrao de S 450. Entre quais dois valores estao 95% dos dados? (Assuma que o conjU11to de dados tern distribtiic;3o em forma de sino.) usandoas amosuas estatisticas do Exercido 29, la<;a as atividades a seguir: (assuma que o nlllnero de lazendas na amostra e75.) (a) Use a regra empfrica para estimar o mimero de lazendas cujos valores das tetras e construr;Oes estejam entre S 1.300 e S 1. 700 por acre. (b) Se amosuarmos 25 fazendas adicionais, quantas dessas fazendas 1/0C~ esperaria ter valores de tetras e consttu¢es enue $ 1.300 e S 1.700 J>OC acre? Usaodoas amosuas estatisiicas do Exercicio 30, fa<;a as atividades a seguir: (assuma que o niJmero de fazendas na amostra e40.) (a) Use a regra empfrica paia estim.lr o ntimero de lazendas cujos valores das te«as e constru~oes estejam entre S 1.500 e S 3.300 PO< acre. (b) Se amoslfarmos 20 fazendas ad"scionais, quantas dessas fa. zendas 1/0C~ esperaria ter val0<es de terras e constru<;Oes enue S 1.500 e $ 3.300 por aae? usaodo as estatislicas amostrais do Exercieio 29 e a regra empiri· ca, deiermine quais das fazendas a seguir, cujos valores das terras e consw¢es pot acre sao fornecidos, sao vale<es disaepames (mais do que dois desvios padr!o a partir da media). s 1.1so. s 1.ns. s 1.000. s 1.475, s 2.000. s 1.850 e Ed ,e 1naaa 1 34. Usando as estatfsticas amostrais do Exerdcio 30 ea reg1a empfri· ca, determine quais das fazendas a seguir, cujos va!0<es das terras e contru<;Oes por aae silo f0<necidos, silo valores discrepantes (mais do que dois desvios padrao a partir da media). s3.325, $ 2.450, s 3.200, s 1.490, s 1.675, s 2.950 35. Teorema de Chebychev O Old Fahhful e um famoso geiser no Yello1.-scone National Polk. A partir de uma amostra com n = 32, a dura¢o media das eru~Oes do Old Fahhf\JI de 3.32 minutos e 0 desvio padrao de 1,09 minutos. Usando 0 teorema de e e Chebychev, determine quantas eru~Oes (pelo menos) duraram eme 1, 14 e 5,5 minutos. (IMre.· Yell>......,,. lla"""'71 Ai<k) 36. Teorema de Chebychev O tempo !Mdio das mulheres em uma c0<rida de 400 metros rasos e 57,07 seguridos, con> desvio padrao de 1,05. ApflQ\le o te0<ema de Chebychev para os dados usando k = 2. ~1terprete os resuhados. de dados. En!Ao, apro~me a meoia populacional e o desvio padrao populacional do conjunto de dados 167 180 192 173 145 151 174 175 178 160 195 124 244 146 162 146 177 163 149 188 de cafe\.ia em uma amostra de por~Oes de cinco onqas (I oz = 28,34 g) de cafe e mostrada no histograma. Fa<;a a dislribui¢o de frequencia para os dados. En!Ao, use a tabela para estimar a mo!dia amosual e o desvio padt.!o amosual do conjun.to de dados. 41. Quantidade de cafeina A quantidade 25 C.ilcolos usando conjunto de dados agrupados Ii Nos exercicios de 37 a 44, use f6rmulas para dados agrupados para encontrar a media e o desvio padr<lo indicados. 37. Animais de estima~ao por residencia Os resultados de uma amostra aleat6ria do numero de animais de estima,ac> em certa regiao s<lo mostrados no histograma. ESlime a mMa amostral e o desvio padrao amostral do conjooto de dados. ~ w+-- -1 ·~ s 6 ~ 4 -.: 2 z It 10 7 7 5 0 3 NtinlCro de ani.mats 36. Carros por residencia Os resu11"dos de uma amostra aleat6ria do numero de carros por resid~ncia em ceru regiao sao mostra· dos no hislOgrama. Estime a mMsa amostral e o desvio padrao amostral do conjunto de dados. .\lg 70.S 92.S Cafcfn~ 114,S 136.S 158.S (em n1iligra1nas) riamente e essas f0<am questionadas sobre o nUme<o de vezes que foram ao supermercado na semana anteri0< ada pesquisa. As respostas s<lo mostradas no histograma. Fa<;a a distriboi~o de frequeocia para os dados. Entao, use a tabekl para estimar a m~­ dia amostral e o desvio padr<lo amostral do conjunto de dados. 14 ~ G 12 ·~ 10 c 8 ~ ., "e ~ 6 c 4 z l " ~ 24 25 ~ 20 ·;;; u 10 8 jl s ·= z 0 - -9 5 2 4 l 0 ~ NUmcro de id:is a-a supcnncrc;Ldo ts 2 15 "2 2 42. ldas ao supermercado Foram selecionadas 30 pessoas aleato· .~ I'? .g tO .l l NUn1l.!ru de carms •''f.o 43. Popula~o americana A distribui{.lo esiimada (em mi!Mes) da popula~o dos EUA pot idade para o anode 2011 e mostrada no grafrco. F~ a distnbu~o de frequencia paia os dados. Enlllo, use a tabela para estimar a media amostral e o desvio padrao amostral do conjunto de dados. Use 70 como ponto medio para ·Gs anos ou mais". (Folll•cU.~ Cens.us6Ut1'0v.) ',,Ji;39. Vrt6rias no futebol 0 nUmero de vh6rias para cada time da Na· tional Football league (liga Nacional de Futebol) em 2006 es~ lislado a seguir. F~ a distribui¢o de freq00ncia (usando cinco classes) para o co,.umo de dados. Entao, apro~me a media populacional e o desvio padrao populacio.ial do conjunto de dados. 45-64 unos 5-13 (fOOIJ): Naoooal Foor/Jo/I~.) ano~ 12 10 7 6 13 6 8 4 12 6 8 6 14 9 9 2 10 9 8 5 13 8 6 3 10 8 7 4 9 8 7 5 14-17 :tnos ;.'~40. Consumo de ~gua 0 nume10 de galoes de ~ua consumidos diariamente em um pequeno vilarejo ~ fislado a seguir. Fasa a distribui¢o de frequencia (usando cinco classes) para o conjunto 35-44 anos 18-24 nnos Ed ,e 1naaa 1 (ap!t•lo2 44. Popu la~ao do Japao No gralico de barras temos a popul~o japonesa estimada para o anode 2014. Fa(il a distribui¢o de frequ~ncia para OS dados. Enti!O, use a tabela para estimar a media amostral e o desvio padrao amostral do conjunto de dados. (Fon": u.s CenM &A""' JnrflnctKitlol Dow Bose) • llta1bticadewiriva 81 {a) Use a f6<mula rapida para calcular o desvio padriio amostral para osdados do Exerdcio 21. (b) Compare seus resuhados com os ol>tidos no Exerdcio 21. 47. Dados para promo~iio Uma amostra dos salarios anuais (em 1nilha1es de dO&ares) dos (unc:ion3rK>s de urna ernixesa e listada a seguir. 42 36 48 51 39 39 42 36 48 33 39 42 45 (a) Encontre a m!dia amostral e o desvio padriio amostral. {b) cada foocionario na amostra recebe 5% de aumento. En· centre a media amoscral e o desvio padrao amostral para o conjunto de dados revisados. 5 IS 25 35 .is 55 65 15 SS 95 ldades (cm anos) Expandindo conceitos t.l 4S. Coeficiente de vari~o 0 coeficiente de varia~o OJ des· Cleve o desvio padrao como uma porcentagem da media. Po< nao tet unidades, podemos usar o coeficiente de varia.;ao para comparar dados com unidades diferentes. CV - Oesvio: (a) Enconue a mMa amosual e o desvio padrao amost1al. (b) cada funcionario na amostra recebe $ 1.000 de aumento. Encontre a media amostra! e o desvio padrao amostral para o conjunto de dados revisados. x 100% A tabela seguinte mostra as alturas (em polegadas) e pesos (em &bias) dos memb<os de um time de basquete. Encootre o coeficiente de varia(!o para cada conjunto de dados. 0 que podemos conduir? Alturas l'esos 72 180 74 168 68 76 225 201 74 189 G9 192 72 79 197 162 70 174 69 171 n 185 75 210 46. F-Ormula rapida Voc! usava SS, = I:(x - x)' quando calculava a variancia e o desvio padriio. Uma f6rmula ahemativa que, as vezes. pode ser mais co1werjeme para c.ilculos a ~o e SS ' (c) Para calcular o salario mensal, divida cada saldtio original por 12. Encontre a media amoSllal e o desvio padriio amostral para o conjunto de dados revisado. {d) Oque podemJS oondur oorn os resU!adosde (a), (b) e (c)? 48. Dados de altera~ao Uma amostra dos saL!rios anuais (em milhares de d61ares) dos funcionarios de uma empresa e listada a seguir. 40 35 49 53 38 39 40 37 49 34 38 43 47 ,.. , (Ex)' n • t...X - - - Podemos e<l(Ontrar a variancia amostral dividindo-se a soma dos quadtados porn - I e o desvio padrao amostral encontrando-se a raiz quadtada da vari.lncia amosttal. ( c) cada funcionario na amostra tem uma redu~o de s 2.000 em seu saL!rio original. Enco.itre a media amostral e odes· vio padrao amostral para o conjunto de dados revisado. (d) 0 que podemos conduir oom os resultados de (a), (b) e (c)? 49. Desvio absoluto medio Uma outra medida de varia~ litil para um conjunto de dados e o desvio absoluto medio MAD. Ele e cakulado pela f6rmula: E lx -x l n (a) Encontre os desvios absolutos medios do conj unto de dados do Exercicio 21. Compare seus resultados com o desvio padtdc> amostral {b) Encontre os desvios absolU1os medias do conj unto de dados do Exerdcio 22. Compare seus resultados com o desvio pa· drao amostral SO. Teorema de Chebychev Peb menos 99% dos dados em qual· quer conjunto de dados fica denuo de quantos desvios padr~o da mMia? Expfque como voe~ ob1eve sua resposta. 51. lndice de simetria de Pearsont 0 estatistico ingl~ Ka~ Pearson {1857-1936) apresentou a f6rmula para a simetria da distrib~o. P - 3( X-medlrio) s ind<e de S'111!Vic de PeatSCn A maioria clas distribui¢es tern fndice de simetria entre - 3 e 3. Quando P> 0, OS dados sao sim~ricos. (alcule 0 coeficiente de simetria para cada distnbui¢o. Oescreva .a forma de cada uma. (a) x = 17, s = 2,3, mediana = 19 (b)x = 32,s = 5,t, rnediana = 25 Ed ,e 1•naaa 82 • lstatiltica'91lcad• iii Atividades Desvio padrao Explore Passo 1 EspecifKJue urn lin1Le inrerior. Passo 2 Especifique um linVte superior. Applet o applet do desvio podroo foi desenvolvido para permitir que voe~ iovestigue interativamente o desvio padrao como medida de dispersao para um conjunto de dados. Pontos podem ser adicionados arepiesenta"1o gr.!fica dicondo o mouse a<ima do eixo horizontal. A mMa dos pontos e mos11ada como uma seta verde. Um valor n""1i!Jico para o desvio padrao ~ mos· trado acima da representa¢o gralica. Os po<10s no grafico po<fem ser rernovidos dicando-se no ponto e entao arrastando-o para a lixeira. Todos os pontos no grAfico podern ser rem011idos simplesmeme dicando dentro da lixeira. A amplitude dos valO<es para o eixo horizontal po<fe ser especificada colocando-se limites superiores e illfer.ores e entao clicando em UPDATE. 4 2 6 Org•niz•s•o N6.merode jogadores MLB 824 MlS 32 1 NBA 444 NFL NHL NASCAR 1.877 l'GA 263 727 78 2. 8 Upper Umit: 9 Low·er U mit: I t. Passo 3 Adicione 15 pontos ao grafico. Passo 4 Remova todos os pontos do gr.!fico. Chegando a condus0es Especift<lue o limite inferior como 10 e o superior como 20. Represente 10 ponios que tern media de apro~madame11· te 15 e desvio padrao de aproximadamente 3. Escreva as estima1ivas dos valores dos pontos. Represente um ponto com val0< de 15. O que acon1ece com a mMia e o desl.io pad<ao? Represente um ponto com valor de 20. 0 que acoo· tece com a mMia e o desvio p;adrao? Especifique um limite inferior de 30 e superior como 40. Como pcdemos representar oito pontos de modo que os pontos te<lham o maior desvio padrao possivel? Use o applet para representar o conjunto de pontos e entao, use a f6rmula para o desvio padrao para confirmar o valor fome· cido pelo applet. Como po<femos repiesemar oito pontos de modo que os pontos tenham o menor desvio padrao poss~-efl Eicplique. Vpd•te I Estudo de caso Gan hos dos atletas Os ganllos dos atletas profissionais em diferentes espones podem variar. um atleta pcde receber um saklrio·base, ganhar b6nus ao assinar um novo contrato ou at~ mesmo ganllar dinheiro terminando uma corrida em cena posi~ao ou um tomeio em certo lugar. Os dados seguintes mostram os ganhos (some<1te para desempenho, sem endossos) da Major league BasebaD(MLB), Major l eague Soccer (MLS), National Basketball Association (NBA), Natiooal Football L..gue (NFL), National Hod<ey League (NHL), National Association for Stock Car Auto R4cing (NASCAR) e Professional Coif Association (PGA) para um ano recente. Numero de jogadores separados por ganhos 5500.001 Organlzasao 5 0 - 5-00.000 52.000.000 s MLB m 207 MLS NBA NFL NHL NASCAR l'GA 316 31 760 85 '2J 115 5 166 7S8 448 13 11 7 s 2.000.00l - s 6.000.001 - s 10.000.001 + s6,000.000 s J 0.000.000 189 0 147 274 177 33 29 73 0 58 70 17 5 2 56 0 42 15 0 0 0 Ed 1t 1naaa 1 (apnolo1 • llwistico dosuitiva 83 Exercicios 1. l ucro Qual associai;ao teve o maior total de ganhos de jogadoces? Explique. 2. Ganhos medios Estime a rOOlia dos ganhos de um joga-00< de cada cxganizaylo. Use S 16.!lOO.OUO oomo mediana para S 10.000.001 +. 3. lucro Qual organiza,.io teve os maiores ganhos por jogador? Expfoque 4. Desvio padrao Estime o desvio padrao para os ganhos de um jogad0< em cada organi· ta~. Use S 16.500.000 como mecfiana para S 10.000.001+. 5. Desvio padrao Qual 0<ganiza<;ao teve o mai0< desW> padrao? Explique. 6. Distribui~ao em forma de sino Das sete organiza¢es, qua! es!A mais em forma de sino? Explique. Bl Medidas de posi~ao Quartis -~ Percentis e outros fractis-+ Escore padr3o I Quartis Nesta~' voce aprendera como usar os fractis para especificar a posi<;ao de uma entrada de dados dentrodc um conjuntode dados. Fractis sa.o numeros quesepa.ram, ou dividem, um conjunto de dados ordenado em partes iguais. Por exemplo, a mediana e umfractil porque divide um conjunto de dados ordenados em duas partes iguais. efini(ao Os tres quartis, Q,, Q, e QJ, dividem aproximadamente um conjunto de dados ordenado em quatro partes iguais. Aproximadamente 1/4 dos dados esta acima ou abaixo do primeiro quartil Q,. Aproximadamente metade dos dados esta acima ou abaixo do segundo quartil Q, (o segundo quarta eo mesmo que a mediana do conjunto de dados). Aproximadamente 3/4 dos dados estao acima ou abaixo do terceiro quartil Q,. Exemplo ITT Encontrando os quartis de um conjunto de dados As notas dos testes de 15 funcionfoos matriculados em um curso de treinamento de CPR sao listadas a seguir. Encontre o primeiro, o segundo e o terceiro quartis das notas dos testes. 13 9 18 15 14 21 7 10 11 20 5 18 37 16 17 Solrrpio Primeiro, ordcne o co.njunto de dados e encontre a mediana Q,. Depois de encontrar Q~ divida o conjunto de dadose.m duas metades. 0 ptimeiroe o terceiroquartil sao as medianas das metades inferior e superior do conjunto de dados. ,\frtm/(1n,¥tior 5791011 1314 1 Q, 15 i Q, 16 1718 18 20 21 37 I Q, Iirterpretaf tio Aproximadamente 1/4 dos fundon6rios obteve 10 ou menos; aproximadamente metade obteve 15 ou menos; e aproximadamente 3/4 ol>tiveram 18 ou menos. 0 que voce deve aprender • Como encontrar o plineiro, o segundo e o terceiro quarlil de um coojunto de dados. • Como encontrar a amplitude inter· quai1il de um coojUllto de dados. • Como represenlaf graficamente um conjunto de dados usan00 um gralko caif.a.e.bigodes. • Como inteiprelaroutros friidis. tais como perceritis. • Como eocootrat e inteQ>retar o escore pa<kao (z-escore). Ed ,e 1naaa 1 84 • 1'11tlslica apli<ada Encontre o primeiro, osegundoe o terceiro quartis para o numero de to11d1dow11s marcados por toda primeira divis.io dos times de fu tebol americano usando os dados listados no infcio do capitulo, na p. 31. a. Orde11e os dados. b. Enoontre a mediana QL c. Enoontre o primeiro e o terceiro quartis Q, e Q,. Exemplo m Usando a tecnologia para encontrar quartis Os custos do ensino (em milhares de d61ares) em 25 faculdades estao listados a seguir. Use a calculadora ou computador para encontrar o primeiro, o segundo e o terceiro quartis. 23 25 30 23 20 22 21 15 25 24 30 25 30 20 23 29 20 19 22 23 29 23 28 22 28 Dica de estudo •Existem diferentes formas de se enoontrar os quartis de um conjunto de dados. Desoon· side.rondo a maneira con10 vocil os enoontrou, os resuJtados silo pouoo mais que uma entrada de dados. Por exemplo, no Ex~plo 2, o primeioo quartil deteominado pelo Excel e22 em vez de 21,5. Soillflio 0 MINITAB, o Excel ea TI-83/84 tem caracterfsticas que automaticamente calculam quartis. Tente usar essa tecnologia para encontrar o primeciro, o segundo e o terceiro quartis para os dados dos custos de ecnsino. Vocil pode ver nos grafioos que Q,= 21,5, Q,= 23 e Q, = 28. MINITAB l Descriptive Statistics Variable Tuition N 25 Minimum variable Tuition 15.000 £XCEL A 13 1 2 ~ ~ Mean 23.960 Q1 21.500 I 0 G Quarti~[A1:A25,1) ~Q_ 22 a 15 - Quartile[A1:A25._!1J_ 2~ - Ouortile{A1 :A.::!5,3) s' 25 28 ".fo 24 - - 11 ~ "12 25 ~~ 30 20 _1.§. _23 j§_ ..?9 17 20 fB 19 19 22 20 23 29 '22 23 _2 fl.. '1r ~ '21 '231 24 ..?2. 25 28 - -- - irMean SlOev 2 4.087 Q3 2 8.000 Maximum Tl-83/84 [ 23 25 23 ~~ ,_20 ~ 22 .J 2 1 SE Mean 0.788 Median 23.000 1 -VarS<ats t n = 25 minX = 15 Q,= 21 .5 Med = 23 Q,= 28 maxX = 3 0 3.942 30.000 Ed ,e 1naaa 1 (apllo1o 1 • I11terpretafiio Aproximadamente 1/4 dessas foculdades cobra$ 21.500 ou menos, 1/3 cobra$ 23.000 ou menos e 3/4 cobram S28.000 ou menos. Tente vod Os custos do ensino (en1 milha1es de dVlatl.>s) e.rn 25 universidades estiio lis~ tados a seguir. Use a calculadora ou computador para encontrar o primeiro, o segundo e o terceiro quartis. 20 26 28 25 31 14 23 15 12 26 29 24 31 19 31 17 15 17 20 31 32 16 21 22 28 a. E11tre os dados. b. Calc11/e o primeiro, o segundo e o terceiro quartis. c. 0 que podemos conduir? Depois de encontrar os quartis dos conjuntos de dados, vod! pode encontrar a amplitude interquartil. Definitao A amplitude interquartil (IQR) de um oon~nto de dados e a difere<iyl emre o tetceiro e o primeiro quanil. Amplitude interquartil (JQR) = Q, - Q, Exemplo m Encontrando aamplitude interquartil Enoonlre a amplitude interquartil da~ 15 notas de testes do Exemplo 1. 0 que podemos ooncluir com o resultado? Sol11fiio Pelo Exemplo 1, sabemosque Q, = lOe Q3 = 18. Entao, a amplitude interquartile: IQR=Q, -Q, = 18-10=8. fltterpretafiio As notas do teste na por~o da metade do oonjunto de dados variam no maximo 8 em pontos. Tente Enoontre a amplitude interquartil para o n(unero de touc/ulowus marcados por wci todos os times da primeira divis.io de futebol americano listados na p. 31 do 3 inlcio do capftulo. a. Encontre o primeiro e o terceiro quart is Q, e Q, b. Subtrnin Q, de Q, c. lnterprete o resultado no oontexto dos dados. 0 JQR e uma medida de varia~ao que fomece uma ideia de quanto 50% dos dados varia. Tambem pode ser usado para identificar valores discrepantes. Qualquer valor de dado que seja maior que 1,5 JQRs a esquerda de Q, ou a direita de Q, e um valor discrepante. Por exemplo, o IQR no Exemplo 1e18-10 = 8. Entao, 1,5 IQRS a di· reita de Q3 eQ3 + 1,5(8) = 18+ 12 = 30. Em razaode 37> 30, '57 eum valor discrepante. Clla1l1ti<• d1><riliv• SS Ed ,e 1naaa 1 i - - Retratando o mundo Dos primeiros 43 presidentes n.orte--an1ericanos, ·rhcodore Roosevelt era o mais jovem no momento da posse, com 42 anos. Ronald Reagan era o mais velho, tomou posse aos 69 1111os. 0 grAfico caixa·e·bigodes resume a idade dos primeiros 43 presidentes norte·:americanos no momenta da posse. (r,.,..,,;.fri,•""'·S<J'<) Outra importante aplica~o dos quartis ~ represe11tar conjuntos de dados usando o grafico caixa-e-bigodes. Um gr.lfico caixa·e·bigodes ~ uma ferramenta de analise de dados explorat6ria que enfatiza as caracterlslicas mais importantes de um conjunto de dados. Para representar graficamente um grafico caixa-e-bigodes, voe<! deve saber os valores a seguir. 1. A entrada ntin.inia 2. 0 primeiro quartil Q, 3. A mediana Q, 4. 0 terceiro quartil Q, 5. A entrada maxima Esses cinco numeros sao chamados de Regra dos cinco itens de um conjunto de dados. lnstru(oes Desenhando um grafico caixa·e·bigodes 1. Encontre a regra dos cinco itens do conjunto de dados. ldade dos presidcntes norte--a1nericanos na posse 5t 55 58 . 'EE1 42 . 69 • 1111111111111111111111111111111~ 4() (lO 70 so 2. Construa uma escala horizontal que transpasse a amplitude dos dados. 3. Represente os cinco numeros sobre a escala horizontal. 4. D.!senhe uma caixa acima da escala horizontal a partir de Q, para Q, e desenhe uma linha vertical na caixa em Q; s. Desenhe os bigodes a partir da caixa para as entradas minimas e maximas. Caixa Bigo<lc Aproxi111ntfn111e11te q1urutns itfn· dt'S de.• prt$ide11les uortc.'-n111e· r icn11os silo represe11tnrlns ,,.,10 l>igorlc h rlireitn? Veja os passos para MINI· TABeTJ-83/84nasp. IOOelOI. / Bigo<lc Ent~da /~'---~I~'2 --~I\ / 1nf1\ima Exemplo \ Q1 Median~.Q Entrada ~ m~xinla m Desenhando um grafi(o caixa-e-bigodes lmportante -·~~~~~~~~~~ Voce pode usar um grafico caixa-e-bigodes para determinar a forma da distribtii· s;.io. Note que o gnlfico caixa· ·e·bigodes no Exemplo 4 representa uma distribui~ao assim~trica adireita. Desenhe um grafico caixa-e-bigodes que represente as 15 notas de testes dadas no Exemplo I. 0 que podemos conduir com o grafico? Solupio A regra dos Cinco itens ~ dada a seguir. Usnndo·a, pode-se construir o grafico caixa·e· -bigodes mostrado. Mitt = 5 Q, = 10 Q, = 15 Q, = 18 Mtix = 37. Notas dos testes na aula de CPR 5 to 15 18 37 I I I I I I I I I t I I : I I t I I t l I I I I I I I I I I t I l 5 6 1 S 910 11 1 21 3 1 .a1 S 1 6 17 1 $19 20 ? 1 22?32J 2S2627 2 S 29 303 1 ~? 3.l.l4 ~36 J7 lrrterprelnfiiO Voce pode tirar diver><'lS conclustles com o grafico. Uma delas ~ que aproxima· damente metade das notas est~ entre 10 e 18. Olhando para o comprimento do bigode direito, podemos concluir tambem que a nota 37 ~um possfvel valor discrepante. Ed ,e 1naaa 1 Capflulo2 • [1111lu.icades<1itiv< 87 Desenhe um grafico caixa-e-bigodes que represente o numero de to11c/1dow11s marcados pelos times da primeira divisao de futebol americano listados na p. 31 do inlcio do capitulo. Encontre a regra dos ci11co ite11s do conj unto de dados. b. Construa uma escala /lorizo11tal e repme11te os cinco numeros acima. c. Desenhe a caixa, a li11/ia vcrtiral e os bigodt'S. d. Apresente conclus<ies. a. Rr-:-1"1:'tfl 1rit p. A36 I Percentis e outros fractis Alem de usar quartis para especificar uma medida de posi~ao, podemos tambem UJSar os percentis e os decis. Esses fractis comuns sao resumidos a seguir. Fractil Simboloo Resumo Quartis Divide um conjunto de dados cm 4 partt'S iguais Q, QyQ, Dccis Divide um c:onjunto de dados cm 10 partes iguais D,, D, Dy···· D, Perccntis Divide um c:onjunto de dados cm too partes iguais lmportante Note que o 2&' percentil e o mesmo que Q,; 0 50' e0 mesmo que Q, ou mediana, e o 75' percentil 1fo mesmo que Q,. P,.P,P, ... ,P,. Os percentis sao gerahnente usados nas areas relacionadas h saUde e educ.~o para indicar como um indivfduo se compara a outros em um conjunto. Eles tambem podem ser usados para identificar valores excepcionalmente altos ou baixos. Por exemplo, as notas de um teste e as medidas de crescimento de crian~as silo normalmente express."lS em percentis. Notas ou medidas no 95' percentil ou acima silo excepcionalmente altas, enquanto aquelas no 5' percentil ou abaixo sao excepcionahnente baixas. Exemplo m lnterpretando percentis Dica de estudo -111~~~~~~~~~~ A ogiva representa a distribui~ao de frequ~ncia acumul.ada para as nota.s em um toeste SAT de alunos preouniversitirios. Qual nota representa o 12' percentil? Como devemos interpretar esse resultado? (fon1r: Co/I'S' l!rurd On-liu,.) Not.ls do teste SAT 100 "'" 'JO - 90 $0 70 00 70 .E 60 .."" "°'° ...~ '°3040 0 ~ Not.ls do teste SAT 40 30 10 1() 10 10 600 900 1.200 1.500 1.800 2.100 2..100 Nola.<1 (,(IC) 900 1.200 1.500 l.SOO 2.100 2.400 Solupio Com base na ogiva, podemos ver que o 72• percentil corresponde a uma nota no tes!e de 1.700. (; importante entender o que sig;nifica percentil. Por exemplo, se o peso de uma crian~a de 6 meses de idade est~ no 7&> percentil, a crian~ pesa mais do quo 78% de todas as crianyis de mesma idade. 1590 n5o significa que a crian~a pese 78% de algum peso ideal . Ed ,e 1naaa 1 88 • Cst•llltic..~ic~a To11chdow11s marcados por todos os times da primeira divisiio do futebol americano TuterprelafiiO lsso signilica quc 72% dos estudantes teve uma nota de 1.700 ou menos. 0 niimero de to11cl11tow11s marcados por todos os times da primeira divis.'lo do 1-00 vocl ... 5 ., . i ;: ~" '° fulcbol a11u.:ric<uto esh~ rupn.--sentc:ido no grtifil"O de fm1ue11Ci<1 ucu111ulad<1 i\ es· querda. Em qual percentil esta um time que marcou 40 to11chdow11s? a. Us.? o grtlfico para encontrar o percentil que corresponde aos to11cltdow11s dados. b. l11lt'Yprete os resultados no oontexto dos dados. Rri110:>l11 1u1 p. 1\36 ·olO "'10"' ~., ·'J' . .;-" ~'"; ~., ~"'> '\,,..,~., ~., Tqi~htkJvms m.1K.,do$ I Escore padrao Quando sabemos a media e o desvio padrao de um ronjunto de dados, podemos medir a posi¢o do valor de um dado no conj unto de dados com um escore padrao ou z-escore. efinicao Oescore padrao ou z-escore representa o numero de desvios padrao que umvalor dadox esM a partir da media µ. Para eoconuaro z·escore para certo valor, use a f6nnula a seguir: vb - media z - des\io padrao - x - 11 -0-. Um z-escore pode ser negativo, positivo ou zero. Se z for negativo, o valor x correspondenle esta abaixo da media. Se z for positivo, o valor x oorrespondente esta acima da media. Ese z = 0, o valor x correspondente eigual :a media. Um z-escore pode ser usado para identificar valores incomuns do conj unto de dados que seja aproxima· damenle em forma de sino. Exemplo nJ Encontrando z-escores A velocidade media de vefculos em uma reta de uma rodovia ede 56 milhas por hora (mhp), com desvio padrao de 4 milhas por hora. Voe~ mede a velocidade de trlls c-arros que estao passando pela reta da rodovia como 62 1nilhas por horns, 47 milhas por hora e 56 milhas por hora. Enoontre o z-escore que corresponde a cada velocidade. 0 que podemos concluir? Solrrftio 0 z-escore que corresponde a cad a velocidade e cal cu Iado a seguir. x=- 4i mlrp z=62- 56 = l,5 4 47- 56 - =-2,25 4 z= - x-= S6111!1p 50- 56 z=- -= 0 4 Tuterpretaftlo A partir dos z-escores, podemos ooncluir que a veloddade de 62 mhp esta 1,5 desvio padrao acima da media; a velocidade 47 mhp esta 2,25 desvios padrllo abaixo da media ea velocidade 56 mhp e igual a media. Se a distribui')iio das velocidades e aproximadamente em forma de sino, o carro que viaja a 47 nihp esti! excepcionalmente devagar, pois sua velocidade corresponde a um z-escore de -2,25. Ed ,e 1naaa 1 C•pftulo 2 • lmrl!lieid"'ritiv• As contas de servi~os publicos de uma cidade t@m media de$ 70 e desvio padrao de S 8. Encontre os z-escores que correspondem as contas de$ 60, $ 71 e S 92. 0 que podemos concluir? a. ldeutijique 11 ea da distribui~ao normal nao padrao. b. Trnusfon11e cada valor para um z-escore. c. luterprete os resultados. Quando a distribui~ao eaproximadamente em forma de sino, sabemos, pela regra empfrica, que aproximadamente 95% dos dados esta dentro de 2 desvios padrao da media. Entao. quandoesses valores de distribui¢o s.'lo transformados em z-escores, aproximadamente 95%dos z-escores deveriam estar entre-2 e 2. Um z-escore fora <les- • s.a amplitude ocorrera aproximadamente 5%do tempo e sera considerado incomum. Entao, de acordo com a regra empfrica, um z-<?Seore menor do que -3 ou maior que 3 sera 11111ito incomum, com ta! score ocorrendo 0,3% do tempo. No Exemplo 6, usamosz-<?Seorcs para comparar valoresde dados dentro do mesmo conjunto. Podemos usar tambem os z~ore para comparar valores de dados de conjuntos diferentes. Exemplo m Comparando z-escores de conjuntos de dados diferentes Em 2007, o ator Forest Whitaker ganhou o Oscar de melhor ator, aos 45 anos de idade, por sua atua~ao no filme 0 Ultimo Rei rill £sc6dn. A atriz Helen Mirren ganhou o premio de melhor atriz aos 61 anos por seu papel em A Rniulln. A idade media para todos os vencedores do premio de melhor ator e43,7, com desvio padrilo de 8,8. A idade media para as vencedoras do premio de melhor atriz e36, com desvio padrao de 11,5. Encontre o z~ore que corresponde a idade de cada ator ou atriz. Entao, compare os r-esultados. Solu~tio 0 z-escore que corresponde a idade de cad a ator ou atriz ecakulado a seguir. x - 11 Forest Whitaker z=-a 45- 43,7 8,8 ~o,1s. Helen Mirren x- µ z= - a 61- 36 =-11,5- ~2.. 17. A idade de Forest Whitaker esta 0,15 desvios padrao acima da media. e a de Helen Mirren esta 2,17 desvios padrao acima da m~dia. J11tcrprelnftiO 0 z-escore correspondente ~ idade de Helen Mirren e ma is de dois desvios padrao da media, entao e considerado incomum. Comparado a outras vencedoras do premio de melhor atriz, ela e relativamente mais velha. enquanto a idade de Forest Whitaker ~ pouco acima da media dos ganhadores do premio de mclhor ator. Escores n1uito inco1nuns faores incomu~ / Escores comun~ • 89 Ed ,e 1naaa 1 90 • btatkticaapllcad• Em 2007, Alan Arkin ganhou o pr~mio de melhor ator coadjuvante aos 72 anos por seu papel no filme Peq11e11n Miss S1111s/1i11e. Jennifer Hudson ganhou o Oscar de melhor atriz coadjuvante aos 25 anos por seu papel em Drenmgir/s. A m&lia de idade para ganhadores do Oscar de melhor ator coadjuvante e de 50,1 anos, com desvio padrao de 13,9. A idade media para as ganhadoras d o premio de melhor atriz coadjuvante ede 39,7, com desvio padrao de 14. Encontre o z-escore que corresponde a idade de cada ator ou atriz. Ent5o, compare os resultados. a. lde11tifiq11e 11e u da distribuiQ'io normal n~o padrao. b. Trn11sfor111e cada valor para um z-cscore. c. luterprete os resultados. Ill Exercicios (c) o primeiro quanil. (d) o segundo quanil. (e) o terceiJo quartil. (Q a amplitude interquartil. Construindo habi!idades basicas e conceitos Nos exercidos 1 e 2, (a) encontre os tres quartis e (b) desenhe um grafico de caixa-e-bigodes. ·"~ 1. 4 7 7 5 2 9 7 6 8 5 8 4 t 5 2 8 7 6 6 9 :. 2 2 7 1 3 I 2 8 9 9 2 5 4 7 3 7 5 4 7 2 3 5 9 5 6 3 9 3 4 9 8 8 2 3 9 5 3. Os gols marcados poi jogo por um time de futebol rep<esetllilm o primeiro quartil para todos os times da liga. 0 que podemos concluir sobre os gols marcados pelo time por iogo? 4. Um vendedO< de uma empiesa vendeu $ 6.903.435 em equipa· mento de hordwote ano passado, nilmero que rep<esenta o oita· vo dec:il do desempenho de vendas da emp1esa. 0 que podemos concluir sobre o desempenho do vended0<? 5. Anota de um estudante em um eirame atuarial eo 78• percentil 0 que podemos conduir sobre a nota do estudante no eirame? 6. Um orientador diz aos pais de uma crianca que o QI de seu filho esta no 93' percentil para o CO<ljunto das criany)s de mesma idade. 0 que podemos C0<1duir sobce o QI da crianca? Verdadeiro ou !also? Nos exercicios de 7 a 10, delermine seas afirma¢es sao verdadei· 11. 10 17 20 12. 100 130 205 270 320 •I I I 11tI111It11It111 11 11 I00 ISO 200 250 300 13. 900 1.250 1.500 WO 1.100 1.950 2.100 1.$00 L300 '2.100 14. f • so 25 f t 6570 1S 30 35 .ao 4.5 50 SS fill 6S 70 85 7.~ 80 115 15. - 0.5 0.1 0.7 -1.9 Usando e interpretando conceitos I I I l I I I I If -2 Analise grafica Nos exercidos de 11 a 16, use o grafico de caixa-e-bigodes para identificar: (a) a entrada minima. (b) a entrada maxima. 15 10 II 12 13 14 IS 16 17 18 19 20 ZI ras oo falsas. Se forem falsas. reesaeva-as de forma que seja verdedeim. 7. 0 segundoquartil ea mediana de <Ill conjunto de dadosordenado. 8. Os cinco itens que precisamos para fazer o gr.!fico de caixa-e·bigodes S<'lo o minimo, o maximo, O,. O, ea medi.l. 9. 0 50" perce.1til eequivalente a Q, IO. £ imposslvel tee z·escore de O. 13 -1 0 2.1 It I I I I It ~ l 16. -1.3 _, -o¥flf:o.4 If I I I I I I I I I I I I I 0 2.1 I 2 1 ~ Ed ,e 1naaa 1 lnterpretando graficos Nos exercicios de 17 a 20, use o grofico de cai>f<l-<!·bigodes para determinar se a forma da distrib\ri<;ao 1ep1esemada e sim~ica, assi· metrica a esquerda, assimetrica adireiui ou nenhuma das ahernativas s •3 Ju~tTfique wa fe",,PO~ta. 17. IS 16 t 17 T --{}--- 13 19 t 20 R 21 t 22 23 2• S Usando a tecnologia para encontrar quartis e fazer graticos Nos exerclcios de 23 a 26, use uma calc.uladora ou um c.ompu· uido< para (a) enconvar o primeiro, o segundo e o terceim quanis do conjunto de dados e (b) desenhar graficos cai>fd-<!·bigodes que rep1esen14m o conjunto de dados '.'~23. Assistindo televiSlio O nlimeto de horas que uma amos1ta de 28 pessoas assiste t~o diariameote. 2 4 I 5 7 2 5 4 4 2 3 6 4 3 5 2 0 3 5 9 4 5 2 I 3 6 7 2 ·~24. Dias de ferias o numero de d'ias de ferias usados por uma amostra de 20 funcionarios em um ano 1ecente. 3 9 2 I 7 5 3 2 2 6 4 0 10 0 3 5 7 8 6 5 l25. Distancias de aeronaves As distancias (em milhas) de um ae1opo«o de uma amoslra de 22 viage.is de ida e voha. 2,8 2,0 3,0 3,0 3,2 5.9 3.S 3.6 1,8 5,5 3,7 5,2 3,8 3,9 6,0 2,5 4,0 4, I 4,6 5,0 5,5 6,0 :·~.26. Ganhos por hora Os ganhos pOf hora (em d61ares) de uma amostra de 25 fabticantes de eqtipamentos para IOdovias 01!:::::::::==========~200 0 18. 01!:::::::::::::::::========:=1100 0 19. 1~ro1m1~001~14~13•1~1m1~00 01!:::::::::::::::::======::::::::=1120 0 20. 700 0 0 21. Analise grafica As letrasA, Bee Sliomarcadas nohistograma. Relacione-as com Q,. Q, (a mediana) e Q,. JUS1ifique suas respostas. 5 • 3 15 16 'l ij 18 1 )? A C 19 21 12 22. Analise grafica As tetras R, s e T sao marcadas no histograma. Refadone-as com P.,, P,,, e P"' Justifique suas respostas. 14,20 19,05 15,35 15,20 19,45 15,95 16,50 16,30 15,25 15,05 19. 10 15,20 16,22 17,75 18,40 15,25 27. Assistindo televisao Refira-5e aos coojunto de &dos fomeci· dos no El<erclcio 23 e o grafico caix.>-e-bigodes que voce desenhou pa1a representar os dados. (a) Ap<oximadamente 75% das pessoas nao assistem mais do que quantas horas de tefe.Jisao por dia? (b) Qllal a porcentagem de pessoas que assistem mais do que 4 horas de televiSlio por aoa? ( c) Se scledooormos urno pessoo o!catoricrnente o portir do amOSlfa, qual ea probabilidade dest4 pessoa assislir menos do que 2 hQ<as de televisao po< dia? ES(Jeva sua resposta em porcentagem. 28. Ganhos de um fabricante R-efva-se ao conjunto de dados no Exerdcio 26 e ao gr~fko que voe~ desenhou para rep1esentar o conjunto de dados (a) AJlloximadamente 75% dos fabricantes obliveram menos de quanto por ano? (b) Qual a porcentagem de fabricantes que ob!Neram mais de S 15,80 por hora? (c) Se selecionarmos aleatoriamente um dos fabricantes da amost•a. qua! ea probabilidade de Q\Je 0 fab<icante tenha obtido mais de$ 15.80 po.i hora? Escreva sua respos!4 como porcentagem. Ed ,e 1naaa 1 9Z • lsmh\iraaplkada Analise grafica Nos eocercicios 29 e 30, os pontos medios A, Be C s3o ma1cados no histograma. Relaciooe aos z-escores indialdos. Qual z-escoies, se algum, seria coosidetado incomum? 29. (b) Avidautitdeu~pneusselecionadosaleatoriamentee30.500 m~has, 37.250 milhas e 35.000 milhas. Usando a regra emplrica, eocooue o percentil que corresponde a cada vida util. 36. Vida de moscas de frutas Avida de moscas de frutas tem uma distribvi<;Jo em fotfl"la de sino, com m~dia de 33 dias e desvio z=O z = 2,14 Z=-1,43 Notas em reste de estatfstica vida eincomum 14 212 (b) As vidas de tr~ moscas selecionadas aleatoriamente sAo 29 dias, 41 dias e 25 di•s. Usar>do a regra empirica, encomre o percentil que corresponde a «Xia perlodo de vida. E10+----==I ~ padrAo de 4 dias. (a) A vida de tres moscas sek!cionadas aleatoriameme sao 34 dias, 30 dias e 42 cfias. Enoontre o z-escore que corresponde a cada vida e determine se qualquer um desses periodos de 8 z •+----1 4 48 SJ SS 6J ~ 7J 7S ' I ~otG.~ (~ntre 80) t ;\ C II 30. Z= 0,77 Z • 1.54 z = -1,54 lnterpretando percentis Noseocerciciosde 37 a42, useadistrib~ode frequ~ acumulada para responder as perguntas. Adisvibuir;iio de frequenoa OOJmulada rep<esenta as alruras dos homens nos Estado6 Unidos no co.1jun10 de 20 a 29 anos de idade. As alturas tem distribui(<lo em forma de sino (veja Reuatando o mundo, p. 73) com media de 68,9 polegadas e desvio padrao de 3,0 polegadas. (fonr• CM'C< for 1-'h Sia"""-) ""''""'°' Notas em teste de biologia 16 100 14 e 12 90 S!:l0+ - - - ,5 z Adultos do sexo masculino com idades entre 20 e 29 llO 'IO & ~ 00 6 ~ .!'. so 4 2 17 20 13 24 29 8 C 'j N0<os (dc111re',3-0) 'j A Comparando as notas em testes Para as notas no teste de estatis6ca do Exercicio 29, a mMia e 63 e o desvio padrao e 7,0, e para as notas do teste de biologia do E>ercicio 30, a media e 23 e o desvio padrao e 3,9. Nos eocercicios 31 a 34, voce 1ecebe as notas de um aluno que fez ambas as provas. (a) Translorme cada nota de teste em um z-escore. (b) Determine em qual testeo estudante teve uma melhor nota. 31. Um estudante tira 73 no teste de estatistica e 26 no de biologia. 32. Um estudante tira 60 no teste de estatistica e 20 no de biologia. 33. Um estudante tira 78 no teste de estatistica e 29 no de biologia 34. Um estudante tira 63 no teste de est.Jtistica e 23 no de biologia. 35. Vida util de pneus Cerlil marca de pneus automotivos tern media de vida util de 35.000 milhas e desvio padrao de 2.250 mihas (assuma que a vida util dos pneus tem disuibui(Ao em forma de sino). 40 30 20 10 ' I I I I I I I • 62 6-1 ti6 68 70 72 74 76 73 Altura (Cm pOICf!ld:'lS) 37. Qual altura representa o 40' perc.entir? Como .ore interpretaria isso? 38. Qual o percentil e a altura de 76 polegadas? Como voce interpretaria isso? 39. Tr~ adultos do seoco masculino no wnjunto de 20 a 29 anos s3o se&eeionC?d0$ aleatoriamente. Suas altvras $30 74 polegadas. 62 polegadas e 80 polegadas. Use z·escoies para determinar quais alturas, se alguma, sao incomuns. 40. Tees adultos do sexo masculioo no conjunto de 20 a 29 anos s3o selecionados aleat0<iamen1e. Aaltura deles sao 70 polegadas, 66 polegadas e 68 polegadas. Use z-escoies para determinar quais alturas. se alguma, s3o incomuns. 41. Encontre o z-escore para um homem no oonj!Jlto 20 a 29 anos cuja altura seja 71, I polegadas. Qual e esse percentil? 42. Encontre o z-escore para homens no conjunto de 20 a 29 anos cuja altura seja 66,3 polegadas. Qual e esse percen1m (a) A vida Util de tres poeus selecionados aleatori.Jmente e 34.000 milhas, 37.000 milhas e 31.000 milhas. Eoconue o Expandindo conceitos z-escore que corresponde a cada vida util. De acoidowm os z-escores, a vida util de qualquer um desses poeus poderia .•:~43. ldades dos executivos As idades de uma amostra de 100 executivos estao listadas a seguir. sec considerada incomom? Ed ,e 1naaa 1 (dJ>fto'lo1 31 60 50 47 62 51 54 52 51 67 61 36 44 47 41 53 61 63 48 74 47 54 49 33 49 59 51 53 60 42 so 48 42 42 36 56 51 54 42 27 43 43 49 42 61 62 47 59 56 63 51 35 57 59 28 65 32 63 54 36 48 56 38 48 32 47 36 82 64 40 45 40 52 43 63 52 54 39 54 68 44 40 57 42 48 41 54 49 41 60 55 39 54 49 51 45 46 37 49 57 48. • Cmtiltira d"rritivo 93 Oura~o das mtiskas Gralicos caixa-e-bigodes lado a lado podem ser usados para comparac dois ou mais oonjumos de da· dos. Cada grafico caixa-e-bigodes desenhado no mesmo numerode frnlla para comparar os C011jun1os de dados mais facifmente. Fomecemos a dura,ao d<IS musicas (em segundos) de dois CDs dfferemes. e CD2 '200 ?24 21s iss 390 Ultrapassado ou no topo? N(imoro de 100cxccutivos1op nos grupos de idaoo a S<1gulr: (a) Oescreva a fomia de cada dis1ribui9'10. Qual CD tern menos varia'°o na dura~ das miusicas? (b} Qua! d'istn~ e mais propensa a tel outliers? Explique o seo racioclnio. 13 2 , 24.S 34,5 44.5 54.S 64.$ 74.5 64.5 ldade (a) Ordene os dados e encomre o primeico, o segundo e o ter· ceiro quartis. (b) Desenhe um gcafico caixa-e·bigodes que represente o conjulto de dados. (c) lnteq>rete os resutrados no comexto dos dados. (d) Com base nessa amostra, em qual idade voce esperaria ser um executivo? Explique seu caciocinio. (e) Qwis conjumos de idades. se algum, pode ser con~derado inc.oir.im? EJ<plique. Midquartil uma outra medida de positAo e cllamada de midquartiL Vore pode encontrar o midquartil de um conjunto de da· dos usando a f6ml\Jla a seguir. Midquartil = Q, +Q, . 2 Nos execclcios 44 a 47, encomre o midquana do conjunto de dados fomecido. 44. 5 7 1 2 3 10 8 7 5 3 45. 2S 36 47 33 34 40 39 24 32 22 38 41 46. 12,3 9,7 8,0 15,4 16,1 11,8 12,7 13,4 12,2 8,1 7,9 10,3 11,2 47. 21.4 20,8 19,7 15,2 31.9 18,7 15,6 16.7 19,8 13.4 22,9 28,7 19,8 17,2 30,1 (c) Qua! CD voce acha que tern o desvio padrao de 16,3?f:xpli· que seu raciodnio. 49. Compras com cartao de credito As suas compras mensais com cartao de credito (arredondadas para o d61ar mais pr6ximo) nos ultimos dois anos e as de seu amigo estao lisiadas a segvir. Voce: 60 95 102 110 130 130 162 200 215 120 124 28 58 40 102 105 141 160 130 210 145 90 46 76 Sell amigo: 100 125 132 9085 75 140 160 180 190 160 105 145150 15182 78 115170 158140 130 165 125 Use uma calculadola ou um compviador para desenhar um grafico caixa-e-bigodes !ado a lado qve repteseme os conjuntos de dados. Entao, desc1eva as f0<mas da distribui'"°. Encontrando percentis Vock. pode encomrar o percentil que corresponde a um valor de dados especifico vsando a f6rmula a seguir, emao arredondando o resultado para o pr6>imo numero inteito. Percenij de x = numero dos valores de dados menores que x ·lOO. numero total de valores de dados Nos e.erdcios SO e 51, use a informa'°o do Exemplo 7 e o fato de que howe 80 atores e atrizes pcemiados com o Oscar de melhoc ator/atriz. 50. Cinquenta e um vencedore-s do Oscar eram mais jovens que F'oresl Whitaker quando ganharam o pr~mio de melho< ator. Encoo· tie o percemil que corresponde ~ idade de Forest Whitaker. 51. Someme quatro vencedoras do Oscar de me!I'°' atriz eram mais velhas qve Helen Mirren quando ganharam o premio. Encontre o percenril que corresponde aidade de Helen Mirren. Ed ,e 1naaa 1 Usos e abusos - estatistica no mundo real Usos A estatfs1ic.l desoitiva nos ajuda a ver tendi!ncias ou padrees a panir de um conjumo de dados bruto. Uma boa d~ de um coojooto de dados co.isiste em (I) uma medida do cemrodosdados.(2) uma medida davariabllidade (oudispers.'lo)<losdados e(3)a forma (ou distribui{<lo) dos dados. Q\Jando lemos 1el.!16rios, notfcias ou anilncios preparados por outras pessoas. 1a1ameme recebemos dados brutos usadoo em um estudo. Em vez <fisso, vemos graficos. medidas da tendencia central emediclas de variabifidade. Para sermos leitores perspkazes, precisamos emender os termos e temivls da estalfstica descri1iva. Abu sos Saber como as estatlsticas sao calculadas pode ajuda·lo a ar>alisar estatlsticas ques1ionaveis. Por exemplo, suponha que 'oo! esteja entrevis1Mdo para a posi{<lo de vendas ea empresa reporta que a comiss~ media anual recebida por cinco pessoas de sua equipe de vendas e S60.000. Esta euma afirma<;<lo equivocada se for baseada em quatro comissc3es de$ 25.000 e uma de S200.000. A mediana descreveria maiscooetamente a comiss.lo anual. mas a empresa usou a media, pois e uma quantia maior. Os gralioos estatlsticos tambem podem ser equivocados. Compare os dois graf1COs de serie temporal abaixo que mostram os pr~ das a¢es no final do ano da Kellogg Comparl'f. Os dados silo os mesmos para cada um 0 primei10 grafico, entretamo, tern um eixo vertical retirado, o que faz com que pareyi que o pr~ das ~oes subiu muito de 1999 a 2006. No segundo grafoco, a escala no eixo venical comeyi no zero. Esse grafico mostra cooeramente que os pr~ das a¢es aumemaram modestamente d..-ame esse periodo. (fol/le: Ke.log</ Q:mpony) Pre~o das a~oes da Kellogg Pre~o das a~oes da Kellogg n~ ss+------------ '"~ ">O+ - - - - - - - - - - - - '.g ~(JC) ~ ~ ~ ~ ~ ~ +------------ 50 E4_s - E50 l: ~: l lS '---+-li--+--+--f-+--+--1-1999 2000 2001 X>Ol 2003 2004 200S 3Xl6 Ano f 'o '-+--+-1-+--+-l-+--+-• 191)9 2CKX> 2001 2002200.l'?ffi.&200S1CNl6 AnQ Etica Mark Tw.iin ajudou a popularizar o ditado "H.l u~ tipos de mentiras: mentiras. mentiras deslavadas e estalisticas'. Resumindo, ate mesmo a estatistica mais precisa pode ser usada para apoiar estu<los ou afirma~Oes que sao inoo<retos. Pessoas inescrupulosas podem usar estatlsticas equivocadas para "provar' seus pootos de vista. Ser informado de como a estotis1ic.l foi calculada e questionar os dados euma das mane•as de evitar ser enganado. (xercicios I. Em um jornal ou revista, enconue um exemplo de um grafico que pode levar a condusc3es inoonetas. 2. Oescteva a situa'3o na qual uma estatistica poderia ser usada para se tomar uma condusao errada. Ed ,e 1naaa 1 (aplllllo1 • m1tl11icode>ni1iva 95 Resumo do capitulo 0 que voce aprendeu? [xemplo [xercicios de revisao 1e2 1 3a7 2a6 1a3 7e8 6e7 9e 10 4e5 11 e12 la6 13e 14 7e8 15a 18 Se,ao Z.I • Como construir uma distribui~o de frequencia incluindo Ii mites, pontos medias, frequi!ncias relativas, frequi!ncias acumuladas e fronteiras. • Como construir histogramas de frequ@ncia, polfgonos de frequ@ncia, histogramas de frequencia relativa e ogivas. se,ao z.z • Como representar graficamente conjuntos de dados usando ferramentas de analise de dados explorat6ria dos diagramas de ramo·e·folhas e diagramas de pontos. • Como representar graficamcntc c interprctar dados emparclhados usando graficos de dispersao e serie temporal. • Como representar graficamente conjuntos de dados qualitativos usando graficos de pi22a c grMicos de Pareto. Se,ao Z.3 • Como encontrar a media, a mediana ea mod a de uma popula~ilo e de uma amostra: Ex _ Ex Jl = -,x = - . N II • Como encontrar a media ponderada de um conjunto de dados ea media da distribui~ilodefrequ@ncia: x Lg·wl, ,r _ 2:(.r·/). iU U • Como descrever a forma da distribui<;llo como simetrica, uniforme ou assimetrica e como comparar a n1ed.ia ea mediana para cada uma. 19a24 Se,ao Z.4 • Como e1\contrar a ampIitudc dos dados. • Como encontrar a vari§ncia e o desvio padrao de uma popula~ao e de uma amostra: 1 25e26 2a5 27a30 6a8 31 a34 9e t 0 35e36 la3 4 5 6e7 37a39e41 - Jt:<xN- 11>' , S_- r:<x- 1x)' . ,,_ Il - Como usar a Regra Empiric.1 e o teorema de Chebychcv para interprerar o desvio padrao. • Como aproximar o desvio padrilo amostral para os dados agrupados: a S= r:<x- x)2/ 11 - J Se,ao Z.5 • • • • Como encontrar as amplitudes dos quartis e interquartis de um conj unto de dados. Como desenhar um grafico caixa-e·bigodes. Como interpretar outros fractis, tais como percentis. Como encontrar c interprctar o escore padrao (z-escore) z = (x - µ). " 40e42 43e44 45a48 Ed ,e 1naaa 1 96 • u1otl1ti<"Pli<od• Exercicios de revisao ~Se~c=a=o=Z·~'---------------- .:~ 10. O Iodice de desemprego nos EUA em um periodo de 12 anos e fomecido a seguir. Use os dados p;a<a construir um grafic.o da ~rie Nos exe<ooos 1 e 2, use o coo~ul'llo de dados a segu;r. 0 con· junto de dados representa a renda (em milhares de d61ares) de 20 fun<ionarios de um pequeno neg6cio. 30 28 26 39 34 33 20 39 28 33 26 39 32 28 31 39 33 31 33 32 1. Fa12 a frequ~ de dislribu;,Ao do conjunto de dados usando cinco classes. lnclua os pontos medios das classes, limites, frontei· ras, frequencias. freqOOicias relativas e frequencias acumuladas. 2. Fa12 o histograma de frequencia relativa usando a distriboi,ao de freq~cia e as frequencias acumuladas, <~ Nos exercicios 3 e 4 use o conjunto de dados a segui1. Os dados representam os vdumes lfquidos atuais (em 0"\2S) em latinhas de 24 0013S. 11,95 11,91 11,86 11,94 12,00 11,93 12,00 11,94 12,10 11,95 11,99 11,94 11,89 12,01 11,99 11,94 11,92 11,98 11,88 11,94 11,98 11,92 11,95 11,93 ·'.ii, 3. F0\2 o histograma de frequencia usando sete classes 4. Fa12 o histog1ama de frequencia relativa do co.ijunto de dados usando sete classes. t~ Nos exerdcios 5 e 6, use o conjunto de dados a seguir. Os dados representam o numero de salas reservadas durante uma noite de ne· g6cios em uma am05tra de hott\i~ 153 104 118 166 89 104 100 79 93 96 116 94 140 84 81 96 108 111 87 126 101 111 122 108 126 93 108 87 103 95 129 93 s. Fa12 a di~ de frequencia com seis classes e desenhe um polfgocio de frequencia. 6. Fa12 uma ogiva do atjunto de dados usando seis dasses. Secao Z.Z ; '.~ Nos exerdcios 7 e 8, use os dados a seguir. Os dados represen· tam as medias das altas temperaturas di3rias (em graus Fahrenheit) durante o mes de janeiro em Chicago, IRinois. (Fcttie: No/JO/lo/Oreonie afld Arm<>spt>enc Ad11ill6UC/JOll.) 33 23 28 24 31 34 35 13 25 44 21 18 22 43 24 28 38 47 20 17 51 37 19 25 32 23 29 25 23 27 31 7. Fa12 um d'r4grama ramo-e-folhas para o c.onjunto de dados. Use uma linha po1 ramo. 8. Fa12 um diagrama de ponlos do c.onjunto de dados. 9. A seguir, temos as alturas (em pes) e o numero de andares de nove ed'riicios notaveis em Miami. Use 05 dad05 para construir um grafico de dispersao. ~e tipo de padrao emostrado no grafico de dispersao? (Fanre Empor• lluidings.l Altura (em pes) 764 625 520 510 484 492 450 430 410 Numero de andares 55 47 51 28 34 39 33 31 40 temporal (Fome: us /Jtiteau ol l.alicr S'Clllst.a.) Ano 199 5 1996 1997 1998 1999 2000 indice de desemprego 5.6 5.4 4.9 4,5 4,2 4,0 Ano 2001 2002 2003 2004 2005 2006 lndice de desemprego 4,7 5.8 6,0 5,5 5,1 4,6 Nos exerdcoos · 11 e 12, use os dados a seguir, · que r..,..esen ..,. 1am os ••te io es re'"'"os 0 •-..:..0 K~"el Cl b ( - m·1•·res) em ~ ma r •·- n ~·""~ ""' u "" '''° 2006. ((1)Jl(e: AmeooM KeMel CkJb.) I Ra14 Nlimero registrado {em milh;uesl t.abrador Rclrie\'Cf 124 Yori<sl>re Tetrier 48 Pas!OI alemlo 44 Colden Retriever 43 Beas!• 39 Oasdlshund 36 Boll!!r 35 11. Fa12 um grafico de Pateto do conjunto de dados. 12. Fa12 um gralicode piua do conjunto de dados. Secao Z.3 13. Encontre a meaia, a mediana ea moda dos conjuntos de dados 3 5 12 16 7 9 13 7 8 11 14. Encootre a media, a mediana ea moda dos conjuntos de dados. 42 36 39 42 44 45 42 42 36 38 15. Estime a media da distribu~ao de frequeocia feita no Exerclcio 1. 16. A distribti¢o de frequencia a seguir mostra o nume10 de assinaturas de revista por 1esidMcia para uma amostra de 60 resi· dMcias. Encont1e o n6meio medio de assinaturas por reside<lcia. Numero de revistas O 1 2 3 4 5 6 F1equencia 13 9 19 8 5 2 4 11. Fornecem05 seis n0tas de lesteS- AS cU.:o primeiras notas sao 15% da nota final e a Ultima nota e 25<ib da nota final. Encontre a media ponderada das notas. 78 72 86 91 87 80 18. l'ornecem05 quatro nOtas de testes- As tres primeiias notas sao 20<ib da nO!a final e a ultima nota 4Cl'lb da nota final. Encontre a media pondeiada das notas. 96 85 91 86 19. Descteva a forma da distribuiylo no histog1ama feito pot voce no El<erdcio 3. Adistribuiylo e simetrica, unifonne ou assimeuica? 20. Descteva a forma da disuibuiylo no histograma feito por voce no El<erdcio 4. A distribui¢o e simetrice, un~orme ou assimeuica? e N05 exerclci05 21 e 22, determine sea forma aproximada da diseassimeuica adireita, assimeoo Aesquerda ou simetrica. tribui~ no histograma Ed ,e 1naaa 1 (apltulo2 21. ' , 32. A taxa • 6 I() I .& 18 :?? 26 lO l4 22. 12 10+ - - 8 6+ - - • 2+ - 2 • 10 1.a 1s n ~ ro u 23. Para o histograma do Exerdcio 21, qwl med'iana? emaior: a rnedia ou a 24. Para o histograma do Exercicio 22, qwl med'iana1 emaior. a m&lia ou a 25. 0 coojunto de dados representa o prew mi!<f'IO de uma entrada de cinema (em d61ares) para uma amostra de l2 cidadesameri· canas. Encontre a amplitude dos dados. 7,82 7,38 6,42 6,76 6,34 7,44 6,15 5,46 7,92 6,58 8,26 7,17 26. 0 coojmto de dados representa o prew mi!<f'IO de uma entrada de cinema (em d61ares) para uma amostra de 12 cidades japonesas. Encontre a amplitude dos dados 19,10 16,66 18,56 19,59 4 2 9 12 15 3 6 8 da 1V via sat~ie 1 4 14 12 3 3 (S\lprema Cone de Juslica americana) em 19 de mar,o de 2007 estA listada a seguir. Encomre a media populacional e o desvio padr~ dos dados. l,fon:t: of~ Vto'.M Sra"'-) Supt"""""" 71 m E ~ M ~ de un)c) cimostra e resid~llcias era de S 49,50 por ~com desvio packAo de $ 2,75 por ~ Es1ime a porcentagem das taxas de televisao via sa1~fite enue S 46,75 e $ 52,25. (Assuma que o coojunto de dados tern distri· bu~o em forma de sino.) 33. Amedia de vendas por dieme para 40 clientes de um posto de gasolina e$ 36,00, com desvio pad1~0 de S 8,00. Com base no teorema de Chebychev, quantos clientes gastam entre S 20,00 es 52,00? 34. O tempo medio dos voos das2-0 primeitas naves espaciaisera de aptoximadamente 7 dias e o ~ pad1~0 eta aproximadamente 2 dias. Qim base no 1eorema de Chebychev, quantos dos voos dUfou 3 e 11 d'ras? (Foore: NAS>I.) 35. Em uma amostra aleat6ria de residencias, o '1Umero de aparelhos de televisao e listado. Enconue a media amostral e o desvio pad1~0 dos dados. o l 8 2 13 3 10 4 5 5 3 36. Em uma amostra aleat6ria de aviiles, rrstamos o nU11le<o de deleitos enconuados em suas fuselagens. Encontre a mMia amostral e o desvio padr~o dos dados. Numero de defeilos Numero de aviiles o 4 1 5 2 2 3 9 4 l 5 3 6 mao 2.5 de estalistica. 28. A idade de coda membro da Supreme Court of the United Slates H 97 1'1os exercicios de 37 a 40, use o conjunto de dados a seguir. Os dados represeniam a altura (em polegadas) de alunos do curso 17,68 17,19 15,89 16,49 27. A milhagem (em milllares) para uma !rota de verculos de uma ernp<esa de aluguef de carros estA lis1ada a seg1Jir. Encomre a mMia populacional e o desvio padrao dos dados. ~ ~dia Numero de televisores Numero de residencias Secao 2.4 19,73 16,48 16,63 15,99 [s111klica des<ritiva 31. A taxa media da lV via sa1o!l'tte de uma amostra e 1esid~ncias era de$ 49,00 por ~s com desvio padrao de S 2,50 por m~ Entre qwis dois valores estAo 99,7% dos dados? (Assuma uma disuibu~ em forma de ~no.) 12 I0+ - 8 :? • 56 29. Os p<= (em d61ares para um ano escolar) dos dormitOrios para uma amostra de univeJSidades com quatro anos de dura~o es· tao liSlados a seguir. Enconlre a mi!<fia amostral e o desvio padrao amowar dos dados. 2.445 2.940 2.399 1.960 2.421 2.940 2.657 2.153 2.430 2278 1.947 2.383 2.710 2.761 2.377 30. listamos uma amostra dos salarios (em d61ares) de professores do en~no medio. Encontre a ~dia amostral e o desvio padrao dos dados. 49.632 54.619 58.298 48.250 51.842 50.875 53.219 49.924 52 54 55 56 56 56 58 !>9 60 61 61 63 65 67 68 68 70 71 72 37. Enconue a ahura que conesponde ao primeiro quartil. 38. Encontre a ahl>'a corresponden1e ao tercei10 quartil. 39. Encontre a amplitude inle<quartil 40. Fa~a um g1afico de caixaffigodes dos dados. 41 . Enconlre a amplitude inte<quartil dos dados do Exercicio 14. 42. Os pesos (em fibras) dos jogadores da defesa de um time de futebol colegial sao fornecidos. Fa_. o gralico caixa·e-bigodes dos dados. 173 145 205 192 197 227 156 240 172 185 208 185 190 167 212 228 190 184 195 43. Uma nota 68 em um teste de um aluno representa o 77' percentil das noos. Qua! porcentagem de alunos obteve mais do que 68? 44. Em 2007 havia 768 eSla¢es de radio ·antigas" nos EUA. Se uma esta~ descobre que 84 esta¢es tern maior audiencia que ela. em qual percentil essa e~ se aprol<ima do ronling diario de auciencia? (fume.· Rodi>lic<lrar:«"rt) Ed ,e 1naaa 1 98 • [11'thti<4'plic«la Nos exerclcios de 45 a 48, use a informa~ a seguir. Os pesos de 19 jogadores de futebol oolegiais tem <istrib<Ji>Ao em fOtm<l de sino, com mMia de 186 libras e desvio padf<lo de 18 libras. Use z-esccxes para determiriar se os pesos a seguir dos jogad0<es de futebol selecio· nados aleatotiamente sao incomuns. 45. 213 libras. 46. 141 fibras. 47. 178 fibras. 40. 249 libro>. Teste do capitulo Fayi este Leste como se ~ es1ivesse fazendo uma pto.<a em sala. Oepois. compare suas respostas com as 1espostas dadas no final do ~ro. "'.~ I. 0 ooojwno de dados eo numerode minutes em que uma amos· trade 25 pessoas se exercita a cada semaria. 108 139 120 123 120 132 123 131 131 157 150 124 11 1 101 135 119 116 117 127 128 139 119 118 114 127 4. Lisiamos os sak!rios semanais (em delares} para de enfermeitos. uma amostra 774 446 1.0!9 795 908 667 444 %0 (a) Enoootre a meaia, a mediana ea moda dos salaries Qual descreve melh0< um salario 1ipico? (b) Encontre aamplitude, a variancia e desvio padrao do conjunto de dados. lnterpiete os 1esul1ados no contexto da "<la real. (a) Fa,a a disttibu~o de frequencia do conjunto de dados 5. A m<!dia dos pr~os de 1esidblcias novas de uma amosua de casas e $ 155.000 com desvio padrao de S 15.000. O conjunto usando cinco classes. lndua fimites de dasse, pontos me· de dados tem <flSltibui,ao em f0<nria de sine. Entre quais dos dois dios, frequencias. frooteiras, frequencias 1ela1ivas e frequen· pr~ estAo 95% das casas? cias acumuladas. 6. Refira-se ~s estatfsticas amostrais do Exercicio 5 e use z-escores (b} Represente os dados usando um hislograma de frequ~ para determiriar qual, se algum, dos prews a seguir ~ incomum. e um pollgono de freqOOicia nos mesmos eixos. (c) Repiesente os dados usando um hislograma de frequ~ncia (a} S 200.000 relativa. (b) 55.000 (d) Descte-.'<l a f0<ma da distrib.Jk;lo ca<no simetrica, unifa<me (c) S 175.000 ou assimetrica. (d) 122.000 (e) Rep1esente os dados usando um gtafico caixa-e·bigodes. <~ 7. Onlime.o de vit6'ias para cada time da liga de beisebol em 2006 (f) Represente os dados util~ando uma ogiva. esta listado a seguir. MG/!lf teo9,,. BO!<boil) 2. Use as f6'mulas da distrilxii¢o de freque<lcia para aproximar 97 87 86 70 61 96 95 90 78 62 a mi!<lia amostral e o desvio padrao do coojunto de dados no Exerclcio I. 93 89 80 78 97 85 79 78 71 83 82 80 75 67 66 88 88 76 76 76 3. As ve<idas de ptodutos esponivos (em bilhOes de d61ares) nos EUA podem ser dassifw:adas em quatro areas: vestuArio ( 11,7). (a) Encontre os quanis do conjunto de dado~ calcados ( 15,7}, equipamentos (24,0} e transpo11e reaeaciorial (b) Encontre a amprrtude interquanil. (38,5). Represente os dados usando (a} um grafico de pizza e (c) Fa~ um grafico caixa-e-bigodes. (b) grafico de Pate to (Fonre: NolxNral ~iog Goods As"""'""') s s lfM'" IPrP(OS •m dr\la,..,,: das ap61ict!S de seguro automotive pages por 10 motoristas selecionados aleatoriamente em 4 cidades 'UdadeA Cidade.8 Cidade c CidadeO: 2.345 2.465 2.514 2.030 1.450 2. 152 1.984 1.600 2.545 1.545 2.715 1.570 1.640 2.716 2.145 1.850 1.983 1.987 1.600 1.450 1.745 2.302 2.200 1.430 1.590 2.542 2.005 1.545 1.875 1.945 1.792 1.800 1.920 1.380 1.645 2.575 2.655 2.400 1.368 2.016 Juntando tudo (statistica real - decisiies reais Voce eum jornar!Sla 1esponsavel pela col\Jna de consume de um jomal Voe! tem recebido diversas cartas e e·mails de leit0<es que es!Jo preocupados com o custo de suas ap61ices de seguro automolivo. Um dos leit0tes escreveo o seguinte: "Eu ocho que, em mMio, um mot01ista em nosso ddode pogo mais em sua ap6/ice de seguro do que os mororisros de oottos ddodes como a nossa neste Esrado.' Seu edit0< pede que voce investigue os custos das ap61ices de seguros e escreva um anigo sobre isso. Voce ja reoniu os dados mosllados ~ esquerda (sua cid.ade ea cidade A}. Os dados repiese<itam as ap6!ices de seguros automolivos pages anualmente (em d6Jares) po< uma amostra a!eat6ria de motorisias em sua cidade e em tres outras ·cidades de tamanho similar em seo estado. (Os pr~os das ap61ices da amostra incluem cobertu1a compreensiva, colis.lo, danos fisicos, danos a piopriedade e motoristas nao cobenos.) Ed ,e 1naaa 1 (opltulo 2 • [1111bli" d11<rl1iv1 99 [xercicios 1. Como voce forio isso? (a) Como voce investigaria a afirma~o sobre o pr~ das ap61ices de seguro? (b) Quais medidas estalfsticas deste cap~ulo ~ usaria? 2. Representando os dodos (a) Que tipo de grAfico voce usaria para representar os dados? Por q~? (b) Consuua o grafico da pane (a). (c) Com base no que vore fez na parte (b), parece que a meefoa das ap61ices de seguro de sua cidade, cidade A, emaior do que qualquer ooua cidade? Explique. Menores apolices de seg1119~ aulomolivo M!CU.~O!l.\Of -'~. S 869 -------------"'"'"·VA -131!1t9 $ 954 ' ' " Cl•i'1>. \YI - 3. Medindo os dados (a) Quais me.Mas estatisticas discutidas neste capitulo voce usaria para analisar os dados sabre as ap61ices de seguro? (b) Calcule as medidas da parte (a). (c) Compare as medidas da parte (b) com o graf1CO que voce fez no Exerdcio 2. As medidas apoiam sua condus.'lo no Exercicio 2? Expique. -------------S 966 -------------$ Raleigh!. ~c Bisma<ck. NO - - .. 989 4. Discutindo os dodos (a) 0 que voce diria aos lei1ores? A media das ap6foces de seguco em sua cidade e mais aha do que nas oouas? (b) Quais cazaes voce poderia dar a seus leilores sabre o porq~ de os pc~s variarem de cidade para cidade? Tecnologia MINITAB I A Dairy Farmers of America (Associa95o de Produtores de Laticinios da America) e uma associa~ao que foniece ajuda a produtores de laticinios. Parte dessa ajuda e reunir e distribuir estatfsticas sobre a produ\<]o de leite. Produ~ao mensal de leite 0 conjunto de dados a ~uir foi fomecido por um produtor de leite. Ele lista a de leite (em libras) para 50 vacas leiteiras Holstein. 11n1t1114 0.1iry, (f,.,,,, produ~ao mcnsal Oym¥r, NY.) 2.825 1.258 1.AA4 2.2('(1 2.711 2.cm 2.982 2.3S9 2.882 1.874 2.733 2.045 2.046 1.647 l.'179 2.069 1.677 2.364 2.051 1.319 2.484 1.619 2.669 2.202 2.923 4.285 2.5'17 3.109 3.223 2.281 2.862 3.512 2.004 2.383 l.230 3.353 2.444 1.6S8 1.732 1.665 1.449 1.773 2.2('(1 2.230 1.294 2.029 2.284 2.159 1.147 2.936 www.dfamilk.com i I:: ! uoo ; •.,oo 8 I Vaeas leltelras, 1996-2005 ~·· . 1ot1QO do 10 anoi t .QOO ,.,,. 9611'798910001~030i'OJ ((()ll!e; Nor10>1olAt]tl..VotU!al S!or•OC> St>M<e.) (Fcnre: Na!JOOa/ AgrKui"'1ol Sro11sto 5'Yv<"e.) De 1996 a 2005, o numero de vacas leireiras nos Eslados Unidos decresceu ea jllodu~oan11<1I de leite aumentou. EXCEL Tl-83/84 I Ed ,e 1naaa 1 JOO • ls1athlic..plicada Exercicios Nos exerdcios de 1 a 4, use um computador ou a1lculad0<a. Se pos.sfvel, imprima seus resultados. 1. C.ncontre e mtdia omosar~ dos &dos. 2. Encontre o clesvio padcao amostral dos dados 3. Fa~ a distribu~o de frequencia paca os dad05. Use uma classe com largura 500. 4. Fa~ um hislograma para os dados. A distriooic;OO parece ter f0<· ma desino? s. Qual p0<centagem da distribui~o estA dentrodeumdesvio padtao em rela~o Am&lia? Dentro de dois desvios padrao em rela~ A media? Como esses resuhados conc0<dam com a regra empfrica? Nos exercfcios de 6 a 8, use a distribu~o de frequencia encon· trada oo Exercicio 3. 6. use a distnbui~ao de fiequencia para estimar a media amostral dos dados Compate seus 1esultados com o Exerdcio I. 7. Use a dislribuil.io de frequ~ncia para encontrar o desvio padrao amostral para osdados. Compare seus result.!doscom Exerdcio 2. 8. Reda~o use os 1esultados dos exercicios 6 e 7 para escrever uma afirme(.lo geral sobte a media e desvio padrao para 05 dados grupados. As f6rm<Jlas para os dados grupados fomecem result<Jdos que sao tao corretos quanto as f<lfmulas das entradas individuais? Usando a tecnologia para determinar estatisticas descritivas Aqui estao algumas impress6es MINffAB e Tl-83/84 para tr@s exemplos deste capitulo. (ver Exemplo 7, p. 51) MINITAB Qhart... .., !:listogram ... !;!o-xploL .. 220 >CO c 180 ~atrix. P1o<- Qr.aftsman Plot... g 160 'E 140 g Con;our Pio<.. 120 "' ,,tl=> ~ .8 ·c 01sµlay Ocscnpt1ve Statistics ~~i:! Des0J>tive_S~tistics=1 (J) 100 BO BO 40 20 1-Sample ;?; .. . 1-Sample t. .. 51-Sample t. .. eaired t ... 0 Year MINITAB 1995 1997 acoi 1999 Estatistica desailiva 2 V2riances .. . Variable Qorrelation .. . S&~lies ~~ance.. . Variable S.."1- N 10 Minimum 3711CXl EIOL.. ]me Series Plot... Qhart... l:!istogram •. 20J5 Mean SE Mean TrMean StOev 41 .500 0.992 41.375 3 .136 Q1 38.750 Median 4 1 (lO(l Q3 44250 Maximum (Ver Exemplo 4, p. 86.) (2reph 2C03 (Ver Exemplo 4, p. 71) l 1 ptoportion ... 2 PrQportions ... t!l,ormality Te<:t... I MINITAB I 35 Matrix.·PloL * I Qr.aftsman Plot... Co 11..tou r Aot. .. • I 4 7oon Ed ,e 1naaa 1 (apltulo 2 (Ver Exemplo 7, p. 51.) Tl-8 3/84 (Ver Exemplo 4, p. 71.) l Tl-83/84 EDIT • btatllll<•dfllritivo (Ver Exemplo 4, p. 86.) l Tl-83/84 [ llll!il TESTS 11 Ploe1 ...0tt II 1.Var Stat s 11 P1ot1 ...ott LL1 2: Plot2 ...0ff 2: 2-Var Stat s LL1 2 : Plot2 ...Dff l2 LL1 0 L2 0 L2 0 3: Med-Med 4 : LinReg{ax+b) 5: Q uadReg 6 : CubicReg 7 J QuartReg 3 : Plot3 ...0ff LL1 Tl-83/84 [ 11!11 Plot2 Plot3 Ill Off Type: L R >0·. oc:!l-< • Tl-8 3/84 I 1-Var Stat s L 1 El l2 LL1 0 l2 0 l2 O 3: Plot3.,.Qff !.::.:.:. L1 • 4 1 PlotsOlf Tl-83/ 84 [ ml Plot2 • c1hb Plol3 • Off Type IL. !.::.:.:. 1.:6_ c1hb "°'" g IL. Xli st: L 1 Xlist: L 1 Ylis ~ L 2 Mark: IOI Freq: 1 + . Tl-83/84 I fJl!'AI MEMORY 4 1 ZOecimal 5: ZSq uare 6 : ZStandard 7: ZTrig 8 : Zlnteger ZoomSta 0 : ZoomFit • Iii Tl-83 / 84 I • Tl-8 3/84 1 1-Var Stat s x= 41 .5 Ex= 415 Ex 2 = 17311 Sx= 3.13581462 ux= 2.974894956 t n~ 10 • Tl-83/84 1 MEMORY 41 ZOecimal • 5: ZSq uare 6: :zstandard 7: ZTrig 8 : Zlnteger ZoomStat CJ: ZoomFit l!I Tl-8 3/84 I • Ed ,e 1naaa 1 102 • lstatklicaaplicad• Revisao acumulada - capitulos I e Z Nos exercicios 1e 2, identifique a tecnica de amostragem usada e diSCllla afonte de teodenciosidade em po1encial (se houver). E1"1ique. 1. Para assegurar qualidade, cada quadrag~ma escova de dentes eretirada de uma linha de produ¢o e teslada para se ter ceJteia que as cerdas nao se soliam da escwa. 2. Usando discagem aleat(lriij, pesquisadores perguntaram a opiniao de 1.200 adt.itos americanos sobre aquecimento global. 3. Emumanorecente,asfahasnaoavisadasemempresaseorganiza~eesame<icanasatingiramum fndicede 2,5%, omaiordesde 1999. Descobriu-se que as faltas ocorriam por causa da mentalidade de concess.lo de direitos (11%), assuntos familiares (24%), doencas (35%), necessidades pessoais (18%) e esuesse (12%). Use um grafico de Pareto pa1a organiw os dados. (Fame Hams. ""''""""'·> Nos exerdcios 4 e 5, detefffiine se o valor oomerico e um para· metro ou um dado estatistico. Expfique seu raciocinio. 4. 0 salario medio anual para 43 funcionarios de uma empresa e $42.500. 5. Em uma pesquisa recente com 1.000 adullos dos Estados Unidos, 28% disseram ser etico os rep6rteres publicarem noticias baseadas em fontes anOnimas. (Foru•. Rosmvssen Repcro.) 6. 0 salario medio anual de uma amostra de engenheiros eletricos eS83.500, corn desvio padrao de $ 1.500. 0 conjunto de dados tern distribui~o em fofffi3to de sino. (a) Use a regra empfrica para estimar o rilmeto de engenheiros eletricos cujos salarios anuais estao entre $ 80.500 e $ 86.500. (b) Se 40 engenheiros eletricos adicionais fossem amostrados, quantos apioximadamente voce espe1aria que tivessem sa!Arios anuais entre S 80.500 e S86.500? Nos exeteicios 7 e 8, identifique a popula91o e a amOStra. 7. Uma pesquisa com 1.948 aduhos americanos descobriu que 52% aaediiam que fontes ahemalivas de energia s.lo a melhor fomla para os Estados Unidos reduzirem a confia~ no petr6feo esuangeiro. (For.·• /J/oombe•g Po>!) 8. Um estudo com 232.606 pessoas foi conduzido para desco· brir uma liga~o entre a ingestao de vitaminas antioxidantes e uma ex~ativa devida mais longa. (Fon1e:Joumolofrhl:Amoncon Med.cal Assoc"11""1.) Nos exerdcios 9 e 10, decida qua! metodo voce usaria para coleiar dados para os estudos. Explique. 9. Um estudo sobre os anos de~ de 100 memb<os do senado. 10. Um estudo sobre os efeitos da excfusao das ferias do calendario escolar. Nos exercfcios 11 e 12, determine se os dados s.lo qualitalivos ou quaintilalivos e identifique o nlvel de mensura~o docooµito de dados. 11. listamos o rn'.rmero de jogos iniciados po< cada arremessador (no beisebol) com pelo menos um inicio para os Houstan Astros em 2006. (Fotw: Ma,at L"1!JU'! Bos.obcl) 2 8 19 19 9 11 32 35 24 3 12. As regiiies tipir.mente usadas p;1ra a c.llwlo do pr~ ml!dio das casas estao listadas: nordeste cemro-oeste sul oeste 13. Os numeros de tomados po< ES1ado em um ano recente estao !is· iados. Enconue o primeiro, segundo e terceiro quarlis do conjunto de da-Oos e faca um diagrama caixa·e-bigodes que represente o conjunto de dados. (Forue: Noe..,,,,1 CJrmqx °"" ""'"'·> 81 2 4 1 6 5 0 8 69 21 14 71 105 23 53 30 34 46 136 39 10 4 27 0 17 40 I 0 23 11 56 2 0 0 54 0 7 14 0 24 4 0 63 6 14. 530 fomecidas cinco notas de testes. As quatro primeiras llOlaS eq<ivalem a 15% da nola final ea ultima ~ 40% da noia final. Encontre a mt!dia ponderada das notas. 19 23 105 85 92 4 84 89 91 15. O tamanho das caudas (em pes) dos crocodilos americanos estJo listados: 6,5 3,4 4,2 7, 1 5,4 6,8 7,5 3,9 4,6 (a) Encontre a media, a mediana ea moda do tamanho das caudas. Qua! desaeve melhor o tamanho da cauda de um tipko crocodilo americanol Eicpfique seu raciodnio. (b) Encontre a amplitude, a variancia e o desvio padrao do conjunto de dados. lnterprete os resuhados no contexto da vida real 16. Um estudo mostra que o mimer<> de manes po< doern;as do co· ra91o em mulheres decresceu a cada ano nos ultimos cinco anos. (a) Fa,. uma infetencia baseadao nos resultados do estudo. (b) 0 que h.\ de errado com esse tipo de raciocinio? Nos exerdciosde 17 a 19, use o conjuntode dados a seguiI, que represenia os pontos marcados por cadla jogadc< do Detroit Red Wings em uma temporada recente do NHL (..,,,,., Not,,nallladey~.} 11 15 8 87 32 1 8 16 59 0 0 9 62 12 80 15 2 11 15 0 45 59 81 58 19 34 85 17. Faca a dis1ribui910 de frequ~ncia usando oito classes. tndua a dasse de pontos medios, limites, fronteiras, frequ~ncias. frequencias relativas e frequ~ncias acumuladas. 16. Oescteva a fofffid da distribu~o. 19. Fa'8 um histograma de frequenci<l relativa usando a distribui<;ao de frequencia do Exetcfcio 17. Entao, determine qual classe tern a maior frequencia relativa equal tern a meno<. Edit i'.'ldd d Parte 2 1 Probabilidade e distribui{Oes de probabilidade (apitulo 3 Probabilidade (apitulo 4 Distribui,oes de probabilidades discretas (apitulo 5 Distribui,oes de probabilidades normals Ed ,e 1naaa 1 Capitulo I 3l ~ ]- - - - Probabilidade Onde estamos Nos capftulos 1 e 2, voce aprendeu a coletar e descrever dados. Estando os dados coletados e descritos, voce pode usar o resultado para escrever resu1nos, formar suas conclusOes e tomar decislies. Por exemplo, no programa de televisao americano Deni or 110 rltwl, os participantes jogam e negociam para atingir um valor de ate S 1.000.000,00. Coletando e analisando osdados, voce pode determinar as chances de ganhar $ 1.000.000,00. Cada jogo consiste de 26 malas lacradas contendo quantias em d61ares variando de $ 0,1 a $ 1.000.000,00. Se.m saber a quantia de cada mala, os participantes escolhcm uma mala cada um, que continua selada ate o final do jogo. A cada rodada, um numero pre-determinado de malas e aberto revelando a quantia em cada uma delas. No final de cada rodada, o #banqueiro1' oferece ao participante llllla quantia em dinheiro baseada nas quantias das malas que nao foram abertas, em troc:i da mala do participante. 0 partici pante pode aceitar a oferta do banqueiro e assim o jogo termina ou pode continuar a pr6xima rodada. Seo participa1~te niio a.ceitar nenhuma oferta e todas as malas forem abertas, entao o participante recebe o valor que esta na mala escolhida no infcio do jogo. pante contenha S 1.000.000,00 se a mala com essa quantia ainda nao foi aberta. Rodada I 2 3 4 5 6 7 8 9 Total de malas abertas 0 6 11 15 18 20 21 22 2J 24 Probabilidade I I -151 -11I sI 26 20 I 6 -I 5 1 I I •I 3 2 Voce tamb~m pode encontrar a probabilidade de um participante escolher a mala que contenha ao menos $100.000,00 (sete malas t~m ao menos $100.000,00). Probabilidade de ao menos $ 100.000,00 em uma mala = 7 26 .. o.269. Entiio, voce pode encontrar a probabilidade de um participante escolher uma mala que contenha menos de $100.000,00 subtraindo-se a probabilidade de escolher a mala que contenha ao menos $ 100.000,00 de 1. ProbabiJidade de menos de S100.000,00 em uma mala = 1 - Probabilidade de ao menos S 100.000,00 na mala Para onde vamos No Capftulo 3, v~ aprendera como determinar a probabilidade de que um evento ocorra. Por exemplo, a prolJi1l>ilh.ladt!' de quc u µri111eira 111ah1 c.:st'Olhic.lu JX'IU par· ticipante contenha $ 1.000.000,00 e 1/26, pois M 26 malas no inicio do jogo e somente 1 mala contem S 1.000.000,00. A tabela mostra a probabilidade de que a mala do partici- 7 19 = l - 26 = 26 ..o,731. Entiio, a probabilidade de que um participante escolha uma ma la que contenha ao menos S 100.000,00 ede 0,269, ou 26,9%. Aprobabilidade de que um participante escolha uma mala que contenha menos que $ 100.000,00 e de aproximadamente 0,731 ou 73,1%. t1,e1 1•11aaa (opltulol Ill P1.Wili4adt 105 Conceitos basicos de probabilidade e contagem 0 que voce deve aprender [xperimentos de probabilidade --+ 0 principio fundamental da contaqem --+ Tipos dr prob•bilidade > Cvrntos complrmrntarr> > AplicatOes das probabilidades I • Experimentos de probabilidade Quando meteorologistas dizem que Muma chance de 90% de chuva ou m<!dicos dizem que ha 35% de chance de sucesso em uma cirurgia, eles estiio afirmando as possibilidades, ou probabilirlarles, de que um evcnto espccllico ocorra. Decis6es do t ipo "v~ deveria estar jogando golfe" ou •vo~ deveria proceder com a cirurgia" silo frequentemente baseadas nessas probabilidades. No caprtulo anterior, voce aprendeu sobre o pa~I do ramo descritivo da estatistica. Em raz~ de a probabilidade ser a base da estatistica inferencial, e necessario aprender sobre probabilidade antes de seguirmos para esse segundo ramo- a estatistica inferencial. • Com> idenclfa o espa(O alll05tral de um expetimento de probaMidade e romo 1derlificar Mlltos simples. • Como usar o prindpio fundamental da contagem para eoointrar o ml~o de maneiras em que dois ou mai$ eventos podem ocorrer. • Como dtstingllir eotre probabilidade cklssica, probabilidade emplnca e pr~ sOOie«Na. • Com> encoooat a probabidade do~deumeveM Um experimento de probabilidade euma ~. ou tentativa, pela qua! resUtados espeo'ficos ( contagens. meef¢es ou respostaS) silo obcidos. 0 resultado de uma unica tentaliva em um experimento de probabilidade e um resultado. 0 grupo de todos os resuhados ~is de um experimento de probabilidade eo espa~o amostral. Um evento eum subgrupo do espa~ amostral. Ele pode consistir de um ou mais resultados. Exemplo ,TJ Um experimento de probabilidadc consiste do lan\.)mento de uma moeda e entJo a rolagem de um dado de seis !ados. Determine o numero de resultados e identifique o esp.~ amostral. Sol11fdo Ha dois resultados possfveis quando lan~amos a moeda: uma cara (H) ou uma coroa (r). Para cad a um desses, ha seis resultados possivcis quando jogamos o dado: 1, Uma maneira de listar resultados para a~ que ocorrem em sequencia diagrama de arvore. 2, 3, 4, 5 ou 6. Oiagrama de arvore para o experimento com a moeda e o dado l I 2 . 3 I I 4 I 5 I 2 6 I I I I I I HI H2 HJ H4 H5 H6 Tl I 3 I I 4 I s I 6 I I I I I T2 T3 ~~~~- Aqui temos um cxemplo simples do uso do termo experi· 111e1rto de probnbilidnrlt, tsprl\'O nmostrn/, wmto e m111tndo. Experimento de prob.'lbilidade: l..an~amento de um dado de seis lados. Espa~ amostral: 11. 2. 3, 4, 5, 61 Evento: Rolar um numero par, 12. 4, 6) T H I l'O'e e o pmdpio fundamet1al de corugem para encontrar mai$ probabilidades. Dica de estudo ldentiflcando o espato amostral de um experimento de probabilidade (; US.'f um • Com> UScV um diapna de ar· T4 TS T6 No diagrama de olrvore, o cspa~ amostral tem 12 resultados. (Hl, H2. H3, H4, HS, H6, Tl, 1'7.. T3, 1'4, T5, T6J Para cada e~rimento de prooobilidadc, delcrrninc o numero de resultados e idcntifique o cspa~ amostral. Resultado: Rolar um 2 {21 Ed ,e 1naaa 1 106 • [uatl1ti<Hplica& Pesquisa Deveria haver lin1ite no nUmero de vezes que um senador eteito? e Marque uma das respostas: Oconcordo D Oiscordo 0Naosei 1. Um experimento de probabilidade oonsiste em gravar as respostas para a pesquisa h esquerda e o genero da pESSO<l que esta respondendo. 2. Um experimento de probabilidade consiste em grava:r as respostas para a pesquisa a esquerda e o partido polftico (democrata, republicano ou outro) de quem responde. a. lniciar com um diagrama de ~rvore formando um ramo para cada resposta possivcl para a pesquisa. b. No final de cad a ramo de respostasda pesquisa, desenhar um novo ramo para cada resultado possfvel. c. Encontrar o 111l111ero de n..-sullatfos e1n um espa~o amostral. d. Listar o esJlll\O a111oslml. R~.ptl::'ltJ un p. A.l7 No restante deste capitulo, aprenderemos oomo calcu.lar a probabilidade ou possibilidade de um even to. Eventos&'lo frequentemente represenlados por letras maiusculas, tais como A, Be C. Um evento que consista de um unico resultado echamado de even to simples. No Exemplo I, o evento de "jogar caras e rolar um 3" e um evento simples e pode ser representado como A= IH3J. Em contraste, o evento de "jogar caras e rolar um rn1mero p.'U"' nao esimples, pois consiste de tres resultados possiveis B= (HZ 1-14, H6J. Exemplo m_ z~------------ !dentificando eventos simples Determine o numero de resultados em cada evento. Eot~o, decida se cada eve11to e simples ou nao. Explique seu raciocinio. 1. Para oontrole de qualidade, voce seledona aleatotiamente uma pe~a de maquina de um lote que foi fabricado naquele dia. 0 evento A e selecionar uma pe<;a de maquina com um defeito especifico. 2. Voce Inn.,.. um dado de seis lados. 0 evento 8 e rolnr pelo menos um 4. Solupio 1. 0 evento A tem somente um resultado: escoU1er uma pe<a da maquina com um defeito especifioo. Entao, o evento esimples. 2. 0 evento Btem tr~ resultados: rolar um 4, 5 ou 6. Devido ao fato de o evento ter mais de um resultado, ele nilo esimples. 1. EventoC: a idade do estudanteesta entre 18e 23, inclusive. 2. Evento D: a idade do estudante e 20. a. Determinar o numero de resultados em um evento. b. Afirmarseoeventoe simp/esou nao. Rt':li~t1t 1111 p. I A.li 0 principio fundamental da contagem Em alguns casos, um evento pode ocorrer de diversas maneiras diferentes, o que foz com que nao seja P'jtico escrever toclos os resultados. Quando isso ocorre, voce Ed ,e 1naaa 1 C.pnulo~ pode confiar n<> princlpio fundamental da contagem. Ele pode ser usado para encontrar o numero de maneiras em que dois ou mais eventos podem ocorrer em sequencia. incipio fundamental da contaqem Se um evento pode ocorrer de m maneiras e um segundo evento pode ocorrer den maneiras, o numero de maneiras que os dois event<>s podem ocorrer em sequencia em . n. Essa regra pode ser expandida para qualquer numero de eventos oco<rendo em sequencia. Em palavrasl o nUn\cro de n1anciras nas quais un1 evcnto pode ocorrer eni se- e encontrado multiplicando-se o numero de maneiras nas quais um cvento pode ocorre.r pelo numero de maneiras nas qua is o outro evento pode ocorrer. qu~ncia m Exemplo llsando o prindpio fundamental da contagem Voe~ esta comprando um carro novo. Os fabricantes possiveis, tan1anho dos car- ros e as cores estao listados. Fabricante: Ford, GM, Honda 'l'amanho: compacto, medio Cor: branco (W), vermelho (R), preto (B), verde (G) De quantas maneiras diferentes voei! pode seledonar um fabricante, um tamanho e uma cor? Use um diagrama de arvore para checar seu resultado. SoluftiO Ha tres escolhas de fabricantes, dois tamanhos e quatro cores. Usando o principio fundamental da contagem, podemos conduir que o numero de maneiras para selecionarmos um fabricante, um tamanho e uma core 3 · 2 · 4 = 24 maneiras. Usando o diagrama de arvore, podemos ver por que ha 24 op~Oes. Diagrama de arvore para sele~a o de carros Ford I I conlpacto I I I I GM I n1~d i o I I WRBGWRBG ..... Tente - °'·• I I compacto I I i I Honda I n1~dio I I WRBGWRBG I I compacto I I I I I 01Cdio I I WRBGWRBG Suas escolhas agora induem um Toyot<1. um carro grande ou um carro bronze OU cinza. De quantas maneiras diferentes voce pode selecionar um fabricante, um tamanho e uma cor? a. Encontre o 111il11ero de 111n11eirns que cada even to pode ocorrer. b. Use o pri11cipiufr111da111e111al da cq111age111. c. Use um diagmma de lfroore para checar seu resultado. • P1oba~ilidade 107 Ed ,e 1naaa 1 108 • utotlstlcupllc<& Exemplo [i.J Usando oprinclpio fundamental da contagem 0 c6digo do :tc<H>so para o s-isto1na do scguran~a de urn carro consisto <.>tn quatro digitos. Cada dfgito pode ser de Oa 9. C6digo de acesso DODD 12 dlgito 22 digito 3• digito digito Quantos c6digos de acesso sao possiveis se: 1. Cada dfgito pode ser usado somente uma vez e nao pode ser repetido? 2. Cada dfgito pode ser repetido? 3. Cada dfgito pode ser repetido, mas o primeiro dfgito n!io pode ser 0 ou I? SolllfliO 1. )a que cada dfgito poder ser usado somente uma vez, ha 10 escolhas para o primeiro dfgito, 9 restantes para o segundo digito, 8 restantes para o terceiro dfgito e 7 escolhas para o quarto dlgito. Usando o princlpio Fundamental da conlagem, podemos concluir que ha 10 · 9 · 8 · 7 = 5.040 possfveis c6digos de acesso. 2. Em virtude de cada dfgito poder ser repetido, ha 10 escolhas para cada um dos 4 dfgitos. Entiio, ha 10 · 10 · 10 · 10 = 10' = 10.000possfveis c6digos de acesso. 3. Em razao de o primeiro dfgito nao poder serOou I, ha .8 escolhas para o primeiro dfgito. Entilo, ha 10 escolhas para cada um dos tres dfgitos restantes. Entao ha 8 · 10 · 10 -10 = 8.000 possrveis c6digos de acesso. Tente Quantas placas de autom6vel voci! pode fonnar, se cada placa consiste de: voc6 4 1. Seis (de 26) tetras alfabeticas, cada letra podendo ser repetida? 2. Seis (de 26) letras alfobeticas, cada letra niio podendo ser repetida? 3. Seis (de 26) letras alfabeticas, cada tetra podendo ser repetid<1, mas a primeira nao pode ser A, B, C ou D? a. lde11tifiq11e cada evento e o 111l111ero de 111m1eims como cada evento pode ocorrer. b. Use o pri11cfpio f1111dn111e11tnl da a111tage111. I Tipos de probabilidade 0 metodo que voce ira utilizar para calcular uma probabilidade depende do tipo de probabilidade. H~ tres tipos de probabilidade: probabilidade classica, probabilidade empfrica e probabilidade subjetiva. A probabilidade de que o evento E ocorrer;I e cscrita como l'(E) e le-se "probabilidade de um evento £"_ Ed ,e 1naaa 1 (apflvlol efinicao • Ptobabilidide 109 Dica de estudo Probabilidade classica (ou te6rica) eusada quando cada resultado em um~ amostral e igualmente possivel de ocorrer. Aprobabiridade cijssica para um evento Ee dada por: Probabilidades podem ser escritas como fra<;<)es, decimais ou pon:entagens. No Exenl· Ntimero de resultados no evento E P(f) = - - - - - - - - - - Ntimero total de resultados no espa<;o amostral Exemplo plo 5, as probabilidades ~o escritas como frai;Qes e decimais, arredondados quando necessario para t~ posi<;<)es. Essa n•gra de nrredo11dn111e11to sen! usada em todo o livro. m Encontrando probabilidades classicas Voe~ joga um dado de seis lados. Encontrc a probabilidade de cada evento. 1. Evento A: la~ar um 3 2. Evento 8: lan~ar um 7 3. Evento C: lan~ar um numero menor que 5 Sol11fiiO Quando um dado de seis lados e lan~ado, um espa~o amostral consiste de seis rcsultados: 11, 2, 3, 4, 5, 61. 1. Ha um resultado no evento A= 131. Entao, I P(rolar um 3) = '6"'0,167. 2. Em razao de 7 nao estar no Enhlo, espa~o amostral, nao ha resultados no evento 8. P(rolar um 7) = Q= o. 6 3. Ha quatro resultados noeventoC = fl, 2, 3, 4J. Entao, P(rolar um numero menorque 5) Baralho padrao de cartas de jogo =±= 3.;:::0,667. 6 3 Voe~ seleciona uma carta de um baralho norma.1. Encontre a probabilidade de cada evento. 1. Evento D: selecionar um sete de ouros 2. Evento E: selecionar um ouros 3. Evento F: selecionar u1n ouros, uma copas, uma espadas ou um paus a. ldentificar o 111i111ero total de n'Sultndos no espa<;o amostra.I. b. Encontrar o 111l111ero de resu//ndos no evento. c. Usar a f6r11111ln tin prolmbilidnde cltfssim. RespiJ.'lt1 "" p. A37 Quando um experimento e repetido muitas vezes, s~o formados padroes rcgulares. Esses padroes permitem encontrar a probabilidade empiric.'1. a qual pode ser usada mesmo se cada resultado de um evento nao liver a mesma chance de ocorrcr. Co1>as Ouros A¥ K¥ A+ K+ A • A • K• K• Q• Q• Q• Q• J. 10• J• 10+ 10• 9¥ 9+ s• s• 9• 10• 9• 6+ 1S•6 •• 61s••• 5. 5• 5 ... 3. 3• 2• 2• 7¥ 6• 5¥ 4¥ 3¥ 2• 7. 4. 2. Espad<IS J. P~us l• 4• 4• 3• Ed ,e 1naaa 1 - I Retratando o mundo Pareceque n3o importa oquao estranho um evento possa pa· r«er, alguem quer saber a probabilidade oom a qual ele ir~ ocorrer. A tabela a seguir lista a probabilidade de que alguns eventos intrigantes ooorram. efinicao Probabilidade empirica (ou estatistica) e baseada em obseiva~¢es obtidas de experimentos de probabilidade. A probabilidade empirica de um evento £ea frequ~ncia relativa do evemo £. P(£) = Frequencia do evemo E Ftequencia total ( =- n (Adliptl!dtl .tr lift: Ti1t• O:'flts. > - .....,,.-- ..... Ouais sao as~ ~ Even to Ser auditado pt~olRS Probabilidade 0,6% Exemplo m Encontrando probabi!idades empiricas Uma empresa est~ oonduzindo uma pesquisa on·l.ine com individuos seleciona· dos aleatoriamente para determinar sc o congestionamento no transito eum problema em sua oomunidade. Ate agora, 320 pessoas responderam a pesquisa. A distribui~o de lrequencia mostra os resultados. Qual e a probabilidade de que a pr6xima pessoa que responda a essa pesquisa diga que 0 oongestionamento e um problema serio em sua co1nunidade? .Escrever um l>est·&tller da lista do Nt'lo York Tiuzes Canharum Oscar ·rersua identidade Resposta 0,0045 0,000087 ~ um j>roblcma serio. 123 ~ un\ probJcma nlodcrado. ll5 Nao oum i>roblcma. 82 0,5% 'ff= 320 roubada VcrumOVNI 0,000000.1 Qua/ des~ ewutos tem maior chnuce de ()(,Orrer? En 111e11or? NUmero de vezes,/ Sol11pio 0 evento e a resposta "E um problema serio''. A freq uencia desse evento e 123. Em raz~o de o total das frequ@nciasser 320, a probabilidade empiric.1 de que a pr6xima pessoa diga que o congestionamcnto eum problema serio em sua comunidade e: P{problema serio) = ~~ = 0, 384. ;,·~ Para explorar mais este 16· pico, veja 3.1 Atividades nap. 118. Uma empresa de seguro determina que de cada 100 reclama~Oes. 4 sao frau· dulentas. Qual ea probabilidade de que a proxima reclama~ao recebida pela empresa seja fraudulenta? a. /rfe11tifiq11e o evento. focontre a freq11e11cia do evento. b. E11co11tre afrequf.ucin total para o e.<JN:ri111e11to. c. Enoontre afi·•"llleucia relntioo do evento. Rt":io11tt;t11 nn p. ;U7 Conforme aumentamos o ni1mero de vezes que um experimento de proba· bil idade e repetido, a probabilidadc ernpirica (frequcncia relativa) de um evento aproxima-se de sua probabilidade te6rica. lsso e conheddo como lei dos grandes numeros. Ed 1t 1naaa 1 · i dos grandes numeros Probabilidade de Confonne um experimento e repetido v.!rias vezes, a probabilidade empfrica de um evento se aproxima da su.i probabilidade te6rica (reaQ. Como exemplo dessa lei., suponha que voce queira determinar a probabilidade de Jan~r un1a cara con1 un1a inoeda nao adulterada. Se vocC lanc;ar a moeda 10 vezes e obter somente 3 caras, voce obtem a probabilidade empirica de 1~. Devido ao foto de ter lan~ado a moeda apenas poucas vezes, sua probabilidade empirica nao erepresen· tativa da probabilidade te6rica, que e Se, entretanto, voce lan\<lr a moeda milhares de vezes, ent~o a lei dos grandes numeros lhe diz que a probabilidade empirica sen\ bem pr6xima aprobabilidade te6rica ou real. 0 diagrama de dispers.'io aesquerda mostra os resultados da simula~ao do lanc;;amento de uma moeda 150 ve?.es. Note que, conforme o numero de lan~amento aumenta, a probabilidade de lan~ar uma cara se toma cada vez ma.is pr6xima da proba· biLidade te6rica de 0,5. !. Exemplo Voce pesquisou uma amostra de 1.000 func.iom\rios de uma empresa e registrou a idade de cada um. Os resultadossao mostrados aesquerda na distribuii;<io de frequen· cia. Se voe~ selecionar aleatoriamente outro funciom\rio, qua! ea probabilidade de que o fonciom\rio tenha entre 25 e 34 anos? Solupio 0 evento eselecionar um funcion~rio que tenha entre 25 e 34 anos. Em sua pes· quisa, a frequencia deste evento e 366. Como total das frequencias e 1.000, a probabilidade de selecionar um funcionMio entre as idades de 25 e 34 anos e: 366 J'(idades de 25 ate 34 anos)= = 0,366. 1.000 ente Encontre a probabilidade de que um funcionfuio escolhido aleatoriamente tenha entre 15 e 24 anos. a. Encontre a freqm!trcin do evento. b. Encontre o total de freq11e11cins. c. Encontre afreq111!11cin relntiva do evento. Rf:5pp;;tn '"' 11· A37 0 terceiro tipo de probabilidade ea probabilidade subjetiva. As probabilidades s.ubjelivas resultam da intui~ao, de suposio;Oes fundamentadas e estimativas. Por exem· plo, dada a saude de um paciente ea extensilo dos ferimentos, um medico pode sentir que o paciente tem 90% de chance de recupera~.l.o. Ou um analista de neg6cios pode prever que a d1ance dos funcion~rios de certa empresa entrarem em greve e de 0,25. Exemplo ~ cara ~~1· 0.8 • ~ (),1 Mt _ S o.s - \{"t/!'-11111!1'!1.twa""""'u F!" ."llb"-'!'"1!1 . __ .._ ..~ ~~ 0.2 0.1 30 (,() 90 120 150 NUmcro de l;u~~unentos m Usando a distribui,ao de frequencia para encontrar probabilidades voc6 lan~ar uma 00 Classificando tipos de probabilidade Classifique cada afirma~ao como um exemplo de probabilidade cl~ssica, empi· rica ou subjetiva. liilade dos funcioni.rios Freqaencia,f 15a 24 54 25a34 366 J5a44 45a54 233 180 55a64 125 Acima de 65 anos 42 21 = 1.000 Ed ,e 1naaa 1 11 Z • [$1'1llli<.,pllcada 1. A probabilidade de que voe~ se casanl aos 30 anos ede 0,5. 2. A probabilidade de que um e)eitor escolhido aleatoriamente ir~ votar em um repu· blicanoede0,45. 3. A probabilidade de ganhar na loteria de bilhete de 1.CXX> com um bilhete ede 1 • 1.000 So/uplo 1. Essa probabilidade e mais baseada em uma suposi~ao fundamentada. ~um exem- plo de probabilidade subjetiva. 2. Essa afirma~ao e mais prov~vel de ter sido baseada em uma pesquisa de uma amostra de eleitores, entao eum exemplo de probabilidade empfrica. 3. Porque voci! sabe o mlmerode resultados e cada um eigualmente provavel, e um exemplo de probabilidade dassica. Tente vocf 8 Baseado em contagens anteriores, a probabilidade de que um salm~o passe com sucesso atraves de uma barragem no rio Columbia ede 0,85. Essa afirma· ~o eum exemplo de probabilidade classica, empfrica ou subjetiva? (foritc Army Cc,rp:o rif EJ1gi1k't'1:..) a. ldentifique o evmto. b. Decida sea probabilidade edeter111i11ndn sabendo-se todos os resultados possiveis, se a probabilidade c t'Slimndn a partir de resultados de um experimento ou se a probabilidade e uma s11posi(t!Ofi111dn111e11tndn. c. Escreva uma c1111c/11slfo. R~"t'IJt'!>la un I'· Ali Uma probabilidade nao pode ser negativa ou maior que 1. Ent3o, a probabilida· de de um evento Ee sempre entre 0 e 1, inclusive, conforme a regra a seguir. egra da amplitude das probabilidades A probabmdade de um evento Eesta entre o e I. Ou seja, o ~ P(t:) ~ I. Se a probabilidade de um evento for 1, o evento ecerto de ocorrer. Se a probabi· lidade de um evento e0, o evento eimpossivel. Uma probabilidade de 0.5 indica que o evento tem uma chance equilibrada de ocorrer. 0 grafico a seguir mostra a amplitude possfvel de probabilidades e seus signi· ficados. Provi.'iV<:I lmpro\'~vcl 0 Ccn:ii 0,5 Um evento que ocorra com probabilidade de 0,5 ou menos e tipicamenle considerado incomum. Eventos incomuns s.io altamente improvaveis de ocorrer. Mais adiante neste livro, voce inl identificar eventos incomuns quando estudar estatistica inferencial. I {ventos complementares Asoma das probabilidades de todos os resultados em um espa{O amostral e1 ou 100%. Um resultado importante desse fato e que, se s.1bemos a probabilidade de um even to£, podemos encontrar a probabilidade de um ro111ple111e11lo do eve11to E. Ed ,e 1naaa 1 u pf!Ulo l • 113 Piobolilidode efinicao O complemento do evento Eeo grupo de todos os resultados em um esp3'Q amostral que nAo esia induido no evento E. O complemento do evemo E edenotado por E' e elido como •E linha~ E' E 6 5 Por exemplo, se voce jogar um dado e deixar Eser o evento "o numero que seja ao menos 5", enti1o o complemento de E. eo evento "numero que seja menor que 5". Em simbolos, E = IS, 61 e E' =11, 2, 3, 41. Usando a definic;iio do complemento de um evento e o futo de a soma das pro· babilidades de todos os resultados ser 1, podemos detenninar as f6rmulas a seguir: P(E) + P(E.') = 1 P(E) = 1 - P(E') P(E') = 1 - 1'(£) 0 diagrama de Venn ilustra a relac;iio entre o espa~ amostral, um evento Ee seu complemento E'. Exemplo [91..:. 9. . . . 1 - - - - - - - - - - - Encontrando a probabilidade de complemento de um evento Use a distribui~ao de frequ~ncia no Exemplo 7 para encontrar a probabilidade de escolher aleatoriamente um funcion~rio que nao tenha entre 25 e 34 anos. Sol11fiio Com base no Exemplo 7, sabemos que 366 P(idade cntre 25 e 34 anos) = 1.000 = 0,366. Entiio, a probabilidade de que ltm funcio11<irio nao tenha entre 25 e 34 anos ~ de 366 P(idade que nao tenha entre 25 e 34 anos) = 11.000 634 =-1.000 = 0,634. Use a distribui~ao de frequ~ncia no Exemplo 7 para encontrar a probabilidade de se C$COlher aleatoriamente um funcion~rio que nao tenha entre 45 e 54 anos. a. £11co11tre a probabilidade de se escolher aleatoriamente um funcionario que tenha e ntre 45 e 54 anos. b. S11btrnia a prob.1bilidade resultante de 1. c. Apresente a probabilidade como frac;ao e decimal. I Aplicaciies das probabilidades Exemplo [iOJ tlsando um diagrama de arvore Um experimento de probabilidade consiste em lan~ar uma moeda e girar a ro· !eta mostrada a seguir. A roleta tem a mesma probabilidade de parar em cada um dos numeros. Use um diagrama de arvore para encontrar a probabilidade de cada evento. 2 3 4 A Mea do retangulo represe.nta a probabilidade total do espa~o amostral (1 = 100%). A area do drcu lo representa a probabilida· de d<> evento E. e a area fora do drculo representa a probabilida· de do complemento do evento E. Ed ,e 1naaa 1 114 • CitatMie>aplkad. 1. Evento A: lanr;ar uma coroa e girar um numero fmpar. 2. Evento 8: lani;ar uma cara ou girar um numero maior que 3. Soluftio Com base nodiagrama de ~rvore b esquerda, vocil pode ver que h~ 16 resultados. 1. Ha quatro resultados noevento A = I'll, T3, TS, T71. En tao, .±.=.!.4 = 0,25. P(lan<;ar uma coroa e girar um numero impar) = 16 Diagrama de arvore para o experimento da moeda e roleta 2. Ha 13 resultados no evento B = IHI, H2, H3, H4, HS, H6, H7, HS, T4, TS, T6, '17, TSI. Entilo, 1-Hl P(lan~1r uma cara ou girar um numero maior que 3) = 13 ,,,0,813 . 2-H2 3-H3 4-H4 H 16 !:: Encontrea probabilidade de larn;ar uma coroa e girar um numero menorque6. 6-H6 10 a. Determine o 111l111ero totnl de resultados. 7 - li7 b. Encontre o numero de resultados no eve11to. 8-HS c. Encontre a probabilidnde do eve11to. 5-H5 I-Tl R~io::ta 111111. Al7 2-n 3-T3 T 4 - T4 s-Ts G-T6 1-n s-Ts Exemplo 0 _..110 .._....__ _ _ _ _ _ _ _ _ __ Usando o principio fundamental da contaqem Seu numero de identificar;~o na faculdade consiste de 8 digitos. Cada dfgito pode ser 0 ate 9 e cada digito pode ser repetido. Quale a probabilldade de obter seu m\mero de identifica~o quando geramos aleatoriamente oito digitos? SoluftiO Uma vez que cada dlgito pode ser repetido, M 10 escolhas para cada um dos 8 digitos. Entao, usando o prindpio fundamental da contagem, ha 10 · 10 · JO· 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 10' = 100.000.000 possfveis mlmeros de identificai;no. Mas somente um desses numeros corresponde ao seu numero de identifica\ao. Entao, a probabitidade de gerar aleatoriamenle 8 dfgitos e obter seu m1mero de identifica~iio e1/100.000.000. Seu numero de identifica~ao consiste de 9 digitos. Os dois primeiros dfgitos de vocf cada numero serao os dois tiltimos digitos do seu anode gradua~o. Os outros 11 dfgitos podem ser de 0 a 9 e cada dlgito pode ser repetido. Qual e a probabilidade de voci! obter seu numero de idenlifica(aO quando geramos aleatoriamente os outros sete dfgitos? Tente a. Encontre o 111l111ero totnl de posslveis numeros de idenlifica~ao. Assuma que voce ira se graduar em 2012. b. Encontre a protmbilidnde de gerar aleatoriamentc seu ntimero de identifica~o. Re:o11(t<lf1 IUI P· iUi Ed ,e 1naaa 1 (opflolo3 Ill Piobabili.S.de 115 Exercicios Construindo habilidades basicas e conceitos I. Oe1e1mine quais dos nume<os a segui1n.lo poderiam 1ep<esen1ar a probabilidade de um evento. fJcplique seu 1aciocinio. (a) O (b) 0,001 (c) - I (d) 50% (e) 745/1.262 (f) 45/31 2. Exprique p0< que a frase a seguir es1a incomeia: A probabilidade de chuvas amanh.l 150%. e 3. Quando usamos o principio fundamental da contagem, o que estamos contando? 4. Use suas pr6prias palavras para desaever a lei dos grandes nu· meros. De um exemplo. tdentifique um espa~o amostral Nos exerdcios de 5 a 8, idenlifique o espa~o amosuat do ex· perimento de probabilidade e determine o numero de cesultados no espaeo amostral Faca um <fragrama de atvO<e se for apl'Opriado. 5. Supondo a inicial do nome do meio de um es1udante. 6. • n!o pode se< zero e o ultimo dlgito deve ser Cmpar. Quantos c6digos diferentes est<'lo disponiveis? 16. Teste de verdadeiro OU !also Assumindo que nao M pergun· tas deixadas sem resposia, de quantas maneiras um teste de ver· dadeiro ou falso pode ser respondido? Verdadeiro ou falso Nos exercfcios de 17 a 20, detemiine sea afinna~o e verdadeira ou falsa. Se for falsa, reesaeva-a de 'forma que seja verdadeira. 17. Se voce rolar um dado de seis lados seis vezes. voce ira tirar um numero pqr pelo menos uma vez. 18. Voce tira cara ou coroa com uma moeda nao adulterada nove vezes e da coroa a cada vez. A probabilidade de que de cara na decima vez emaioc do que 0,5. 19. Uma probabilidade de 0,25 in&ca um evento incomum. 20. Se um evemo esi<l quase ceno para acontecer, seu complemento sera um evento incomum. Probabilidades celacionadas Nos exe1dcios de 21 a 24, relacione o evento com sua probal»- lidade. l.Q~ndo tres moedas. 7. Oeterminando o tipo sanguineo de uma pessoa (A. B, AB. 0) e o falor Rh (positivo ou negative). 21. 8. Jogando um par de dados de seis lados. 22. Reconhecendo eventos simples Nos exe<cidos de 9 a 12. determine o numero de resultados de cada evento. EntJo. decida se o evento e um evento simples ou nao. Exp!ique seu raciocillio. 9. Um oomputad-0< e usado para selecionar aleatoriamente um numero entre I e 2.000. O evento A e selecionar 359. Io. Um computador e usado para selecionar aleatoriamenie um numero entre I e 2.000. 0 evento 8 selecionar um OOmerO menor que 200. 11. Voce seleciona aleatoriamenle uma carta de um baralho normal. 0 evenlo A e selecionar um cei. 12 Voce seleciona uma carta de um baralho normal. 0 evento 8 e selecionar um quauo de copas. 13. Vagas de emprego Uma empresa de seguros es1a conua1ando para duas posi~ees: atu.lrio e perito em seguros. De quamas maneiras essas v.Jgas podem ser preenchidas se M 9 pessoas se candidatando para a vaga de a!Wrio e 15 pessoas para a vaga de perito? 14. Menu Um menu tern tres o~ees de salada, seis pratos prin· cipais e quatro sobremesas. Quantas relei¢es est.lo disponiveis se voce selecionar uma salada, um prato principal e uma sobremesa? Is. Sistema de seguranca O c6digo de acesso para o sistema de seguranca de um cano collSiste de 4 d[gitos. o primeiro digito e 23. 24. (a) 0,95 (b) 0,05 (c) 0,25 (d) 0 Voce joga uma moeda e seleciona alea1oriameite um niJme<o de Oa 9. Qual a probabilidade de obte< coroa e selecio.1ar um 3? Um gerador de nume<oS aleat6rios e usado para selecionar um numero de I a 100. Qual e a probabilidade de selecionar um numero 153? Um participante de um programa de TV deve selecionar aleatoiiamente uma porta. Uma porta dobra seu premio em dinhei10 enquanto as outras tres o deiiam falido. Qual e a probabifidade de que ele escolha a porta que dobre o premio? Sabemos que cinco de 100 DVD ~ em um inventi!tio tern defeitos. Qual e a probabifidade de que voce seleciooe aleatoriameme um item que nao tenha defeito? Classificando os tipos de probabilidade Nos exercicios 25 e 26, da-ssifique a afirma~ao como um exemplo de probabilidade dassica, empfrica ou subjetiva. Explique seu radoclnio. 25. De acordo com os registros <le uma empresa, a probabilidade de que uma maquina de lavat precise de reparos durante um pellodo de 6 anos e 0. 10. 26. A probabilidade de esco!het 6 numeros de I a 40 que sejam os seis numeros soneados na lotecia e de 1/3.838.380 • 0,00000026. Encontrando probabilidades Nos exerdcios de 27 a 30, considere <ma empresa que seleciona funcionarios aleatoriamente para um teste de uso de drogas. Aell1j)(esa usa um computador paraselecioMr aleatoriamente os numeros dos funcionarios. que vao de I a 6.296. Ed ,e 1naaa 1 116 • " "lflli<..~i(odl 27. Encontre a prnbabilidade de selecionar um numero menor que 1.000. Dia 1 ~tecionai Oia3 C-c 28. Enc:ontre a probabilidade de seleciollar um numero maior que 1.000. 29. Encontre a probabi&dade de Oia 2 • urn nOrnero divisl'vel por 1.000. 30. Enc:ontre a probabilidade de selecionar um numero que nao e divisivel por l.000. • sss SSR SRS • SRR r+-C ::: Experimento de probabilidades Nos exercicios de 31 a 34, um experime.1to de probabilidade con· siste em rolarum dado de seis !ados egicara roleta mostrada. Aroleta tem a mesma probabilidade de parar em cada quadrante {I, II, Ill e IV). Use um diagrama de ANore pala encontrar a probabilidade de cada evenlo. •t_.__J'I"' RRS I_. RRR on<le S =sol (sun) e R = chuva (rain) 37. Liste o espa~o amostral 38. Liste o(s) resultado(s) do evento ira chover nos 1res dias." 39. liste o(s) resultado(s) do e11ento "irA chover exatamente em um dia~ IV ID 3l. E11ento A: rolar um 5 ea roleta cair no quadrante Ill. 32. E11ento 8 : rolar um numero impa1 ea roleta parar no quadrante rv. 33. E111?nto C: rolar um numero men0< que 6 e a roleta parar no quadrame IV. 34. E111?nto O: nae rolar um riirneio menor que 6 e a roleta parar no quadrante I. 35. Sistema de seguranca 0 c6digo de acesso da porta de uma garagem consiste de tres dfgitos. Cada dfgito pode ser de oa 9 e cada digito pode ser repetido. (a) Encontrar o nilmero de c6digos de acesso possi11eis. (b) Quale a probabi idade de selecio.iar aleatoriameme o c6di· go correto? (c) Qual ea probabilidade de nao selecionar o c6digo de acesso correto? 36. Sistema de seguranca Um c6digo de acesso consiste de uma lctro >cg\J~ de quotso digito>. Q\<olqucr lciro podc $e< u..do, o primeiro digito nao pode ser oe ultimo digito deve ser par. (a) Encontre o numero de c6digos de acesso posslveis. (b) Qual ea probabi idade de selecionar aleatoriamente o c6di· go correto na primeira tentativa? (c) Qual ea probabifidade de nae selecionar o c6digo oorreto na primeira tentativa? Usando e interpretando conceitos Seco ou molhado? voe~ es!A planejando uma viagem de tres dias para Seattle, Wa· shington. em outubro. Use o diagrama de A1Vore a seguir para respon· det As questOes. 40. Liste o(s) resultado(s) do e11ento "ira chover pelo menos um dia." 41. Dias de sol e chuva Voce esl<l p!anejando uma viagem de qua· tro dias para Seattle, Washington, .em outullfo. (a) Faca um diagrama de al\'Ofe dos dias de sol e chuva para sua viagem. (b) Uste o espa~o amostral. (c) Uste o(s) resultado{s) para o e11ento 'Ira chOOJer exatamente emumda." 42. Fornecedores de pecas de maquinas Sua empresa compra ~s de tres fomecedores difererntes. Fa~ um <igrama de arvore que mostre os tres fomecede<es e seas pa~es que eles fome· cem tern defeitos Analise gratica Nos exercicios 43 e 44, use o diagrama para responder apergunta. 43. Qual ~a probabili<lade de que um eleitos na Pensilvania vote na elei~o governamental de 20067 (Fonre: Penfl$'fi•t>nlo Deportment olSrare.) Ccn:ade Ccrca de 4.092.652 4.090.224 0tar:am "" elei~"' governan1enu\I dos etcirorcs da Pf.!11sifv5.uia em2006 n·a Pcnsilv{lnia regiscrJdos nao vo1aran1 44. Qual a probabir!dade de que um eleitor escolhi<!o aleatoriamente nao tenha VOOldo em um can<fod.ato demoaata nas elei¢es de 2004? (ronte: FedercJI Ele<lion C""""""°") Cereo de 53254.474 votnran1 no panido Demoorata Ccrcadc 61.159.368 vo«ara1n en1 t.>utro partido Ed ,e 1naaa 1 (ap!tulo3 Usando a distribui~ao de frequ~ncia para encontrar probabilidades Jdade dos eleitores Frequencia (em milboes) 18 a 20 anos 5,$ 21a24 anos 8.5 25 a 34 anos 21,7 35 o <14 anos 27,7 45 a 64 anos 51,7 Acin1a de 65 anos 26,7 Usando um grafico de barras para encontrar probabilidades Nosexerclciosde49a52,useograficodebalrasaseguir,quemostra o maior nfvel educaciooal atirigido pelos funcion.lrios de uma empresa. Nivel educational 8 :;;c ·~ 2 -8 =~ 10 117 RW R w Encontre a probabilidade de que um eleitOf, escolhido aleatoria· mente, esteja 45. entre 21 e 24 anos. 46. entre 35 e 44 anos. 47. nJo esteja entre 18 e 20 anos. 48. nao esteja entre 25 e 34 anos. Plobabilidadt w R Nos exeidcios de 45 a 48, use a diStlibuii;Ao de hequencia, que mosira o numero de eleit0<es americanos (em milhees), de ac0<do c.om a idade (fon(c~ u.s. Burcav ol ~ti$.) • WR WW 54. Genetica H.l seis tipos basicos de co!ooi;Ao em cAes da raca Colie registrados: negro (SSmm}, tricolor (ssmm), negro trifatorial (Ssmm}, azul merle (~m}, negro merle (SSMm) e negro merle trilatorial (SsMm), 0 quodrodo de Punnet a seguir mostra as colora~Oes possf\'eiS do filhote de um Collie negro merle trifatorial com um Colie negro tnfatorial Q\Jal a probabifidade de que o tilhote tenha a mesma cor de um de seus pais? Pais Ssmm eSsMm SM Sm Sm ss.wn SSmm Sm SSMm SSmm sm SsMm Ss1nm sm SsMm Ssfnm sM sm Sm SsMm S"11m Sm SsMm Ssnlm sm sslNn ssmm sm ssMm ssmm I 33- - 21 -- - 18 - - e ·~ .,~ 10 7-- "' ' - q f 2- ~ ~ :;; Nivcl cducacional mai.o; :Llto Encontre a probabifidade de que o nive! educacional mais aho atingido fXl' um funcionario escolhido aleatO<lamente seja: 49. Ph.O. so. Associado. 51. Mestrado. 52. Bacharelado. 53. Genetica Quando duas bocas·de-leao (tipo de H0<) wr de rosa (Fr!N} sao cnnadas, ha quauo 1esul1ados igualmente posslveis para a composi<;iio ge~tica dos produtos: vermelho (RR), 1osa (Fr!N}, rosa (WR) e branco ~- Se duas bocas-de-leao rosas l0<em cruzadas, qua! a probabilidade de que o produto seja (a} rosa, (b) \<ermelho e (c) branco? I Usando um grafico de pizza para encontrar probabilidades Nos exercicios cle 55 a 58, use o gralico de pizza a seguir, que mostra o nume10 de trabalhadores: (em milhares) da industria nos Estados Unidos. (Fonre: us. B""® of Labor Src!J!1.a.) Trabalhadores (em milhares) da industria nos Estados Unidos Agricuhurn. silvicuhura. pc.sea c c.ac;a Scrviivos 113.409 2.206 .~---1--'"anufiuu m Mincra~ao c con s1 ru~fio 12.436 Ed ,e 1naaa 1 l>tal~tic"pficoda 118 • 55. Encontre a probabilidade de que o trabalhador escolhido aleato· riamente este;a empregado na indUstria de servi,os. 56. Encootre a probabilidade de que o traballlador escolhido aleato· riamente esteia empregado na indUstric de manufatura. 57. Encontre a prObat>lidade de que o uab.llhador escolhidO aleato· riamente nAo esteja empregado na indusuia de servi~. 58. Encontre a probabilidade de que o trabalhador escolhido aleato· riamente nao esteia emp<egado na area de agricultura, sillli<ul!lJra, pesca e ca<;a. ' l59. Um diagrama de ramo-e-folhas mosua o numero de touchdowns (gols) marcados pelos times de futebol americano da primeila divisAo. Se um rime !of selecionado aleatociamente, encontre a probabifidade de que o time tenha marcado (a) pelo menos 31 touchdowns, (b) entre 40 e 50 (lncl!Mre) rouchdowns e (c) mais do que 69 touchdowns. Chave: 1115 = 15 555788 2 011 11 223445566777888999 3 001I1 11 222222233344445555566777888999 4 000 11 2233344445555666677888889 5 00233445555799 6 011 13358 7 8 9 60. Pre~os individuais de a,ees uma ~individual eselecio11a· da aleatociamente de um portf6rio representado po< um grafico de caixa-e·bigodes. Encontre a probabilidade de que o preco da a~oseja (a) menorqueS 21, (b) entre S21 eS SO e(c) S30 ou mais. I:? 30 ?I *' "' .. Expandindo conceitos 63. Jogar um par de dados !ados e registra a soma. Voce joga um par de dados de seis (a) Liste todas as somas possiveis e dete<mine a probabilidade de jogar cada uma das somacs. (b) Use a ferramenta tecnol6gica para simular a jogada de um par de dados e registrar a soma 100 vezes. Fa<;a as marcas clas 100 somas e use esses •esullados para r.star a probabi· lidade de jogar cada soma. (c) Compare as probabifidades da pane (a) com as probabilidades da pane (b). EJcplique quaisquer similaridades ou diferen<;as. Chances Nos exe<clcios de 64 a 67, use a informai;ao a seguir. Nos jogos de azar, as possibilidades de ganhar 500 frequentemente escritas em chances em vez de probabilidades. As chances de ganhos sao representadas pela raz3o do nume<o de resultados positivos pelo nume<o de resultados negativo~ As chances de derrota 500 repre· sentadas pela razao do rn)mero de restdtados negativos pelo numero de resuftados positivos. Por exemplo, se o numero de sucessos (resultados positivos) e 2 e o numero de pe<das (resultados negativos) e3, as chances de ganhos e 2 : 3 (le·se ' 2 para 3") ou ~· (Note: a probabilidade de sucesso e ~.) 64. Uma industric de bebidas colocou pecas de jogo debaixo das tampiilhas de suas bebidas e afmna que uma em cada seis pecas do jogo epremiada. As regras oficiaisdo concurso afirmam que as chances de ganhar o premio sao l : 6. A afir~o 'uma em cada seis pecas ganhara o premio" e correta? Por que? 100 Reda~o Nos exerdcios 60 e 61, est1eva uma afirm~ que represeme o connplemento da probabifidade dada. Gt. A probabilid<lde de selecionar aleatoriamente um• J>P.SSO<I que beba cha e que tenha nivd universit~rio (assuma que voce te· nha que selecionar da popula,ao de todas as pessoas que be· bemcM). iii 62. A probabilidade de selecionar aleatoriamente um fumante ~ mAe tambem seja fumame (assuma que voce tenha que selecionar da popula~o de todos os fumantes). 65. As chances de um evento ocorrer sao de 4 : 5. Enconue (a) a probabifldade de que o evento ocorra e (b) a probabilidade de que o evento nAo ocorra. 66. Uma carta eescolhida ale.itoriamente de um baralho normal de 52 carta~ Encontre as chances de que esta carta seja de espadas. 67. Uma carta e selecionada aleatoriamente de um baralho normal de 52 canas. EnconiJe a probabilidade de que esta nao seja de espadas. At ividades Simu!ando o mercado de aciies Applet O applet Simulondo o mercado de o~cies pe<· mite que voce investigue a probabifid.Jde de que o mercado de a¢es suba em certo dia. Ografico no canto superior esquerdo do quadro a seguir mosua a probabilid.ide associada com cada resul· tado. l'leste caso, o me<cado tern 50% de chances de subir em ceno dia. Quando dicamos em SIMULATE, sao simulados resulta· dos para n dias. Os resultados das simula¢es sao mostrados no grafr<:o de frequencia. Se checarmos a o~o animada, a tela mos· vara cada resultado descendo para o grafico de frequencia confo« me a aflima~o e executada. Para perar a anin1a9Jo, desmarque Ed ,e 1naaa 1 (•pfllllo 3 • Probibifid•de 119 Simub1e I n• v' FAnlm3te Resc:t a OW!<> de anima(<lo. Os resuliados individuais ~o most<ados no campo de texto aextrema direita do applet O pooto ceouat mostra em vermelho as propor¢es aaimuladas de ••ezes que o mercado sobe. A linha verde no grafrco rellete a probabiridade real de o mercado subi<. Cooforme o e,.,erimento e conduzido mais e mais, a propor(<lo acumulada de-e conve<gir para o valor real. Explore Passo 1 ESPecifique um val0< para n Passo 2 Oique SIMUlATE quatro vezes Passo J Oique RESET ID Passo 4 Especifique outro valor para n Passo 5 dique SIMUlATE Condusiies Execute a simufa(<lo usando n ; I sem dicar em RESET. Quantos dias levaram ate que o mercado subisse por tr~ dias seg<idos? Quantos dias levaram ate que o mercado ca· lsse por tr~ dias seg<Jidos? 2. Exoone o applet para simular a ativirude do mercado de ac6es nos Ultimos 35 dias ilteis. Eocoot<e a probabilidade empirica de qoe omeraido suba no 36' dia. 1. Probabilidade condicional ea regrade multiplica,ao Probabilidadp condicional --4 [v•ntos dPpPnd•ntPs • ind•p•nd•ntps -> RPgra de multiplica(ao I Probabilidade condicional Nesta ~o, voce aprender~ como encontrar a probabilidade de dois eventos ocorrerem em sequenda. Antes que vore encontre essa probabifidade, entretanto, voce deve saber como encontrar probabilidades condicionais. efinicao Uma probabifidade condicional ea probabilidade de um evento ocorrer, dado que outro even· to j~ tenha ocorrido. A probabilidade concficional de o evento 8 ocorrer, dado que o evento A tenha ooorrido, eder.otada por P(B I A) e le-se "probabilidade de 8, dado A". 0 que voce deve aprender • Como eocontrar a prooobilidade de um evento dado que outro evento tenha ocorriOO. • Como distinguir eotre eventos dependeotes eindepeodentes. • Como usar a regra de rooltiplica(i!O para eocontrar a prooobilidade de do~ eventos ocorrerem em seq~ocia. • Como usar a regra da rooltipli<a(i!O para encontm probdbilidades condicionais. Ed ,e 1naaa 1 120 • fatatlslicaapli!4d• Exemplo m Encontrando probabilidades condicionais Gene 1. Ouas cart01s .silo selecjonadas em sequencia de um baralho normal. Encontre Gene a probabilidade de que a segunda carta seja uma dama, dado que a primeira carta stja um rei. (Assuma que o rei esta sem reposi,~o.} 2. A tabela aesquerda mostra os resultados de um estudo no qual os pesquisado· res cxaminaram o QI de uma crian~a ca presen~ de um gene especifico nela. Encontre a probabilidade de que a crian1;a tenha um QI alto, dado que a crian~a tenha o gene. IFt>Jttt: 11>y<111.,\-.g1e111 Sa(n<(.) nio Total presenh> present• Qlalto QI normal 33 19 II 52 39 Total 72 30 102 50 So/uplo 1. Em razao de a primeira carta serum rei e nao ser reposta, o baralho restante tem 51 cartas, 4 das quais sao damas. Entilo, Espa~o amostral Gene presente QI alfo 33 Qlnormal 39 Total 72 PCBIA> = 4 51 .. o,on. Entao, a probabilidade de que a segunda carta seja uma dama, dado que a pri· meira seja um rei, ede aproximadamente 0,078. 2. Ha 72 crian~s que t~m o gene. Entao, o espa~o amostral consiste dessas 72 crian.;as, conforme mostrado aesquerda. Dessas, 33 tern QI alto. Entao, 33 PCBIA) = 72 ">0,458. Entao, a probabilidade de que a criano;a tenha um QI alto, dado que ela tenha o gene, e de 0,458. Encontre a probabilidade de que a crian~a n.'io tenha o gene. vocf 2. Encontre a probabilidade de que a crian~a n.io tenha o gene, dado que a crian.;a tenha QI normal. a. Encontre o 111l111ero deres11ltados no evento e no espa~ amostral. I>. Dividn o mimero de resultados no evento pelo numero de resultados no espa~ amostral. Tente 1. R6pct::0Ji1 1111 p. AJl I Eventos dependentes e independentes Em alguns experimentos, um evento nao afeta a probabilidade de outro. Por exemplo, se voce jogar um dado e uma moeda, o resultado do jogo de dados nao afeta a probabilidade de a moeda cair em cara. Esses dois eventos s.io indcpendentes. A questao da independi!ncia de dois ou mais eventos e importante para pesquisadores em ~reas como marketing, medicina e psicologia. Voce pode usar probabilidades con· dicionais para detemunar se os eventos s.'io independentes. efinicao Dois evemos sao independentes se a ocorrencia de urn deles nao afeta a p<obabilidade de oc01rencia do outro evento. Oois eventos A e B s~o independentes se: P(,81 A) =P(B) ou se P(,A 18) =P(,A). Eventcs que nao sac independentes sac dependentes. Edifii,IJd§ d Piob,,.lliolodt 121 Retratando o mundo l ("Pf!Vlol Para dctem1inar se A e 8 s."1 indcpendcntcs, primcirocalcule P(B), a probabilidade do evento 6. Ent5o, calcule P(B I A), a probabilidade de 8, dado A. Se os valores forem iguais, os cventos s30 indcp<.'11dcntcs. Se P(8)" P(B I A), entao A e 8 sao dependentes. Exemplo I Z] Classificando eventos como dependentes ou independentes Droda se os eventos s30 dependentes ou independentes. 1. Selecionar um rci de um baralho (A) sem reposiy\o e enlao selecionar uma dama do baralho (8). 2. )<>gar uma moeda e tirar cara (A) e ent.lo jogar um dado de seis !ados e lirar um 6 (B) 3- Oirigir a mais de 85 mil has por hora (A) e, ent.lo, sofrer um acidente de cam> (8). SolHrtio 1. P(B I A) = -!J e P(8) - fi· A ocorr~ncfa de II muda a probabilidade da ocorrencia de 8, ent5o os cvcnlos s."1 dependentes. 2. P(B I A) = ke P<B 111) .. i. A ocor~ncia de II nao muda a probabilidade da ocor· os cvenfos s."1 indcpendcntes. 3. Se v~ dirigir a mais de 85 milhas por hor<1, ns chances de se envolver em um ~ncia de 8, enloo acidcnlc aumcntam ronsidcravelmenle, ent5o os eventos s5o dependenles. ente Decida se os eventos s5o independentes ou dependenles. "f Fumar um ma~o de cigarros por dia (A) e desenvolver cnfisema, uma doen· <a crOnica do pulm5o(8). Z. Exercilar·se frequentemente (A) c tcr uma pontua<50 media de 4,0 (6). 1. a. Oi'Cilfn sea ocor~ncia do primciro cvcnto Mela o scgundo evenlo. b. Diga se os eventos s5o i111te11e11de11/es 0111lep<'11de11/es. I Regra de multiplica,ao Para encontrar a probabilidade de dois eventos ocorrerem em sequ~cia, podemos usar a regrade multiplicay\o. • Truman Collins, um entusiasta da probabiIidade e eslil tistic<l. escrevru um programa que encontra a probabilidade de se cair em cada casa do tabuleiro do Banco lmobiliruio durantc o jogo. Collins explorou v~rios cenruia;, induindo os efeitos das cartas do jogo e vruias rnanaras de cairou sair da cadeia Collins desaibriu que o tempo de cadeia afeta as probabilidades. Prob a· Proba· bilid•· bilid•· de dada de dada em em Casodojogo pouco mu.Ho tempo lempo na ('.a· na ca· deia d~· v~ 0,03IO 0,0291 Oportunid~dc 0,0087 0,0082 Cadeia 0,0395 O,CJ9.t6 Est;1donrunmto 0,0288 livre 0,02:83 fs~to 0,0219 0,0206 B&BRR 0.0007 0,0289 Sistema de distribuiyio deagu• 0,0281 0,0265 egra de multiplica,ao para a probabilidade de Ae B A probabiidade de que dois eventos A e B ocorram em sequ~ P(A e 8) = P(A)- P(B I A). e: Se os evenlOS A e 8 fO<em independentes, entM> a regra pode ser simpfificada para P(A e 8) = P(A) • P(B}. Essa regra simplifocada pode ser estencfoda para qualquei MnelO de eventos independenies. Exemplo , 3 I Usando a regrade multiplicaflo para encontrar probabilidades 1 . Duas cartns s."1 selecionadas, sem reposi<ilo da primeirn carta, de um baralho nor· z. mal. Encontre n probabilidade de selecionar um rei e enlao uma dama. Uma mooda cjogada c um dado c lan~ado. Enrontre a probabilidade de se obler uma cara c ent3o jogar um 6. Dica de estudo Em palavras, para usar a regra de multiplic:a~ao: 1. Encontre a probabilidade de que o primeiro evento ocorra. 2. Enrontre a probabilidade de que o segundo cvento ocorra. dado que o pri· meiro tenhn ocorrido. 3. Multiplique essas duas probabilidades. Ed ,e 1naaa 1 Sol11flio 1. Como a primeira carla nao ereposta, os eventos S<io dependentes. P(K e Q) = P<KJ · P(QIKJ 4 4 = -·- 52 51 16 = 2.652 :::<0,006 Entao, a probabilidade de selecionar um rei e uma dama e de aproximadamenle 0,006. 2. Os evenlos S<'io independenles. P(H e 6) = PIH)· P(6) 1 1 =2'6 1 =- 12 :::<0,083 Enl~o, a probabilidade de lirar uma cara e um 6 e de aproximadamenle 0,083. 1. A probabilidade de que um salmao nade, com sucesso, atraves de uma barragem e de 0,85. Encontre a probabilidade de dois salmlles atravessa.rem a barragem com sucesso. 2. Duas carras S<'io selecionadas de um baralho padrao sem reposi\ao. Enconlre a probabilidade de que ambas as carlas sejam de copas. ente' w><f a. Decida se os eventos slio i111fepe11rle11tt'S 011 rlepe11rle11tes. b. Use a regrn de 111111/iplirofifo para encontrar a probabilidade. Exemplo [41_ 4_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ Usando a regrade mu!tip!ica~ao para encontrar probabilidades 1. Uma moeda ejogada e um dado e lan\ado. Enconlre a. probabilidade de se obter uma coroa e um 2. 2. A probabilidade de que uma certa cirurgia no joelho seja um sucesso e de 0,85. Enconlre a probabilidade de que Ires cirurgias sejam unn sucesso. 3. Enconlre a probabilidade de que nenhuma das Ires ciru:rgias seja um sucesso. 4. Encontre a probabilidade de que pelo menos uma das Ires cirurgias seja um sucesso. SOlufliO =!-Se 1. P(T) Jan\ada ou nao, a moeda vai da.r coroa, 1'(2) = pendenles. i- Os evenlos sao inde- P(T e 2) = P(T)- P(2) = !·t= ~ .,0,083 1 Enlao, a probabilidade de dar coroa e um dois ede aproximadamenle 0,083. Ed ,e 1naaa 1 (apliul-0 l 2. • Prot.ibilidad• 123 A probabilidade de que cada cirurgia seja um sucesso e de 0,85. A chance de um sucesso para uma cirurgia e independente das chances para asoutras cirurgias. P(~s sucessos) = (0,85)(0,85)(0,85) "° 0,614 Entiio, a probabilidade de que as tres cirurgias sejam um sucesso ede aproximada· mente 0,614. 3. Ja que a probabilidade de sucesso para uma cirurgia ede 0,85, a probabilidade de falha para uma cirurgia el -0,85 = 0,15. P(nenhum sucesso) = (0,15)(0,15)(0,15) ,,,,o,003 Entao, a probabilidadc de que nenhuma cirurgia seja um sucesso ~de aproximada· mente 0,003. 4 . A frase "ao menos um" significa um ou mais. 0 complemento doevento "ao menos um sucesso" eo evento "nenhum sucesso''. Usando a regrade complementos, P(ao menos 1 sucesso) = 1- P (nenhum sucesso) "'1 - 0,003 = 0,997. Ha aproximadamente 0,997 probabilidade de quc ao menos uma das tres cirur· gias seja u1n sucesso. lmportante ....1~~~~~~~~~~ No Exemplo 4, pede-se que A probabilidade de que uma cirurgia de joelho seja um sucesso aumentou voc6 para 0,9. Tente 4 1. Encontrc a probabilidade de que Ires cirurgias sejam um sucesso. 2. Encontre a probabilidade de que ao menos uma das Im cirurgias seja um sucesso. a. Determine se encontramos a probabilidade do evento ou seu complemento. b. Use a wgm tie 11111/tiplicn(ilo para encontrar a probabilidade. Se ne<:essario, use a wgm de co111ple111e11to. Exemplo m Usando a regrade multiplicacao para encontrar probabilidades Mais de 15.000 estudantes do ultimo anode faculdades de medicina dos Estados Unidos se candidataram a programas de residellcia em 2007. Desses, 93% foram com· binados com posi~6es de residentes, e destes, 74%conseguiram uma de suas duas pre· fer~ncias. Os estudantes de medicina dassificam eletronicamente os programas de re· sidencia em sua ordem de preferencia e programam diretores por todo o pais a fazer o mesmo. 0 termo "combinar" refere-se ao processo onde a lista de preferencias doestu· dante eo programa de lista de prefer~ncia dos diretoresse sobrep6em, resultando na co· loca~aodo estudante para uma posi~ao deresidente. (Fm11-= 'I"'""'"/ k-ldr•1.11111<11fog Progmm.) 1. Encontre a probabilidade de que um estudante do ultimo ano seja combinado com uma posi~ao de residencia e essa seja uma de suas primeiras escolhas. 2. Encontre a probabilidade de que um estudante selecionado aleatoriamente seja combinado com uma posi(ao de residencia e nao consiga uma de suas primeiras op\oes. vod! encontre a probabilida· de usando a frase "ao menos um". Note que foi mais facil encontrar a probabilidade de seu ronlplemento, nenhum" e entoo usar a regra de com· plemento. 11 Ed ,e 1naaa 1 Ill, • ls111k1lcaapli<•da 3. Seria incomum para um estudante selecionado aleatoriamente resultar em um estudante que tenha sido combinado com uma posii;lio de residencia e que esta seja uma de suas primeiras op¢es. Sol11fiiO Deixe A = (combinado com uma posi~ao de resiMncial e B = {obteve uma de suas duas primeiras escolh<ts}. Entilo, l'(A) =0, 93 e P(B I A) =0,74. 1. Os eventos silo dependcntes. Faculdadc de mcdicina Fa<:uldadc de ntcdicina Es1udm11cs que conseguin~m posi~Ocs de re:sidentcs P(A e 8) = l'(A) · /'(81 A) = (0,93) · (0,74) ~ 0,688 Entilo, a probabilidade de que um estudante selecionado a.leatoriamente tenha sido combinado com uma de suas duas primeirasescolhase deaproximadamente0,688. 2. Para encontrar essa probabilidade, use o complemento. P(B' I A) = 1 - P(B I A) = 1 - 0,74 = 0,26 Entao, a probabilidadede que um estudante selecionado aleatoriamente tenha sido combinado a uma posi~ao de residencia que nao seja unna de suas duas primeiras opi;oes t! de 0,26. 3. Nilo e incomum, pois a probabilidade de um estudante ser relacionado a uma posi~ao de residencia e que seja uma de suas primeiras duas escolhas ede aproximadamente 0,688. Em uma pesquisa realizada em um juri, 65% daspessoasS<io mulheres. ~as, voct uma de cada quatro trabalha na area da saude. 5 Tente Sele~ao do juri Pcsquisa de sci~ do juri 1. Encontre a prooabilidade de que uma pessoa seledonada aleatoriamente do jliri seja mu Ihere trabalhe na area da saude. 2. Encontre a prooabilidade de que uma pessoa selecionada aleatoriamente do juri seja mulher e niio trnbalhe na area de saude. Mulhcn:s a. Determine os ev1mlos A e 8. b. Use a regrn de 11111/lip/i(Jl{ifO para escrever a f6rmula e encontrar a probabilidade. Se necessc1rio, use a regrn rleco111plt1111111to. c. Cnlcule a probabilidade. Ill Exercicios Construindo habilidades basicas e conceitos 1. Qual a diferefl9J e.1ue evE!!ltos depeodentes ou independen1es? 2. Liste e>:emplos dos tipos de eventos a seguir: (a) Dois eventos que sao independentes (b) Dois eventos que S<io dependentes Verdadeiro ou falso? Nos exerdcios 3 e 4, determine se a afi~o e verdade;ra ou falsa. Se f0t falsa, reescreva a frase. 3. Se dois evetllOS MO sao independenles, P(Al8) = P(B). 4. Se os eventosA eB sao depende.1tes, ent.lo P(A e 8) = P(A) · P(8). Classificando eventos Nos e>:erdcios de 5 a 8, decida se os eventos ou independentes. Exjllique seu raciocfnio. sao dependentes 5. Seleciooat um rei de um baralho 11oonal, oom reposi~o. e entao selecionar uma darna do rna,o. 6. Devolver um filme alugado depois da data correta e receber urna multa por auaso. 7. Jogar um dado de seis !ados e e.1~0 jogdr um dado urna segul1da vez de modo que soma das duas jogadas seja sete. e 8. Uma bola numerada e<>tre l e 52 selecionada de urna uma. reposlo, e entao urna segunda bola eselecionada da urna. e Ed ,e 1naaa 1 C•pftulol Classificando eventos baseadosem estudos Nos exerckios de 9 a 12, identifique os dois evenros descritos no estudo. Os resultados indicam ..,e os eventos s.lo independentes ou depeildentes? Explique. 9. F"e$qui~dorcs dc.scobrir<im qvc J'C"QOS quc ~frem O':lfTl depres· s.lo tem cinco vezes mais ~nces deter um d"isturbio relacionado a respira~o durante o sono do que pessoas que nao solrem de depressao. (Foro.: Joumal of Cl:mail Pfy(hiorry) IO. Estresse faz com que o corpo p<oduza grandes quantidades de a6do, que pode irritar ulceras ja existentes. Mas, esttesse n~o causa ulceras estomacais. (F0J1re: Bayfor Cca.."'9' o/ MOO<me) 11. Esrudos descobriram que o aspaname, um a~nte anifocial, nao causa perda de mem6ria. ('1we: rood ar.d Drug Mmitusvo0oo.) 12. Oe acordo com pesquisadores. o d.ibetes e raro em sociedades nas quais obesidade erara. Em sociedades nasquaisa obesidade e comum nos ultimos 20 anos. 0 diabetes tambem e comum. (Fon:e: Amet>Con °"'1eles-i>n) Usando e interpretando conceitos 13. Gene BRCA Na popula~o em geral, uma mulher de cada oito ira desenvolvet cancet de mama. uma pesquisa mostrou que uma entre cada 600 mulheres carrega uma mutaylo do gene BRCA. Oito de cada 10 mulheres com essa muta~Ao deseMolvem cancer. (Fonre: Susan c i:omen llfeosrCatKf!I Foundo'10<J.) Cancer de mama e o gene BRCA Mulhcrcs quc dcsen,,olve1n cancer de n1ama (a) Encontre a p<obabilidade de que uma mulhet selecionada a!eatoriamente desenvolvera cancer de mama dado que ela tenha a muta~o no gene BRCA. (b) Enconue a p<obabilidade de que uma mulhet selecionada aleatoriamente carregara a mutacao do gene BRCA e desen· volveta cancer de mama. (c) Os eventos de carregar a muta~o e desenvdvet o cancer saG dependentes OU independentes? E>ql!ique. 14. Pid< up Em uma pesquisa, 510 adihos foram questiooados se dirigem pick ups e se dirigem um Fold. Os resuhados mostraram que um em cada seis adultos pesquisados dirige uma pick up e ues em cada dez adultos pesquisados dirigem um Ford. Dos adihos pesquisados dirigem um Ford, dois em cada nove dirigem uma pick up. "'° 0 que voce dirige? Adultos pesqui$ados Adultos Adultos quc que dirjgc1n dirige1n unt u.1na pick UJ> Ford • Prolibili4odt IZ5 (a) Enccntre a p<obabilidade <le que um adulto seledonado aleatoriamente dirija uma pick up dado que ele(a) dirige um Fo<d (b) Encontre a p<obabilidade de que um adulto selecionado aleatoriamente dirija um Fo<dl e uma pick up. (c) Os eventos de d1ngir um Rlrd e dingir uma pod< up sAo dependentes ou independentes? 15. Ferias de verao A tabela mos'tla os resultados de uma pesquisa na qua I 146 famnias foram questionadas se Jem um compotador e se vao rirar fe<ias de ve<ao este ano. nm oomputador Sl-m Nik> Total Sim 46 11 57 Nlo 55 34 89 Toi.I IOI 45 146 (a) Enconue a p<obabilidade de selecionar aleatoriamente uma famnia que nao v.I tirar ferias de vefao este ano. (b) Encontre a probabifidade de que uma famllia selecionada aleatoriamente tenha um c:ompotador. ( c) Encooue a probabilidade de que uma famOia selecionada aleatoriamente tire ferias de ~rw este ano, dado que tern Compl.ltador. (d) Enconue a probabilidade<le que uma famllia selecionada aleatoriamente tire ferias de verao este ano e tenha computador. (e) Os eventos de ter um computador e tirar ferias de ~rao eventos dependentes ou independentes? Expfique. 16. Gradua.aoem enfermagem Atabela mostrao numerodeesrudantes, homense mulheres,malrittJ!adosnocursodeenfemiagem da Uni~rsidade de Oklahoma em um semestre rete<lle. f(<daprado de U/Wf!IS.<yol 0-Heoklw: cenret Ollice ofA - s ond Rea>tds) Curso de Quiros enfermagem cursos Total Homens 95 Mulheres 700 1,015 1.727 1.110 1.427 Total 795 2.742 :;.537 (a) Encontre a p<obabilidade de que um estudante selecionado ofe<llo1iair~ue 5'::ja e)(vde:inte tJe efifeor1qge1 n. (b) Enconue a p<obabilidade de que um estudante selecionado aleatoriamente seia homem. (c) Encontre a p<obabilidade de que um estudante selecionado aleatoriamente seja es1udante de enfermagem, dado que o esrudante seia homem. (d) Encontre a p<obabitidade de que um estudante selecionado aleatoriamente seia estudante de edermagem e homem. (e) Os eventos de serum esrudante homem e ser estudante de enfennagem s.lo dependentes ou independentes? Exp6que. 17. Tecnologia de reprodu~ao assislida Um es1udo descobriu que 35% dos cidos da tecnologia de reprod~ assistida (ART) resultam em gravidez. Vlnte e oito por cento das gravidezes ART resultaram em nascimentos multip!os. l,foo<e. Nooonol Cente< for ChrOllfC Ofseose Preven<JIJtl Ofld HealJh Promotion.) Ed ,e 1naaa 1 IZ6 • £~a1111i<..Pli1«11 (a) 81contre a piobabilidade de que um cido ART selecionado aleatori.lmente cesulte em uma gravidez e produza um nas· cimen10 multiplo. (b) 81contre a piobabilidade de que um cido ART selecionado :Jlc3~ori.lmcnte rC"'...uhe em urro gravidcz c nSo ptoduza um nasrimento mul1iplo. (c) Seri.l incomum para um ciclo ART selecionado aleatoriamenle resultar em uma gravidez e produzlr um nascimento mul· liplo? Explique. Cravidez ciclos Gravidez ART t8. Rela,oes rac.iais Em uma pesquisa, 60% dos adultos nos Esta· clos Unidos acredilam que as rela'oes melhoraram dA!sde a morte de Martin Luther King Jr. Oesses 60%, 4 de 10 dizem que o fndice de progresso dos <fireilos civis emuito lento. /,(Otlle: Ma<4t 21. Pessoas canhotas Em uma amostra de 1.000 pessoa~ 120 ~o canhotas. Ouas pessoas ~ relacionadas ~o selecionadas aleatoriamenie sem reposi,ao. (a) Encontre a pwbabilidade de .que ambas sejam ca.1hotas. (b) Encontre • prol>ab<lidade de que ooohumo :;eja conhota. (c) Encon1re a probabilidade de que ao meoo; uma das duas pessoas seja canhota. 22. l.Ampadas Doze lampadas sAo testadas para verificar se duram pelo menos o tempo afirmado pelo fabricante. Tres lampadas fa· lham no teste. Duas L!mpadas sa'o selecio.'ladls aleatotiamente. sem ceposi,ao. (a) Eocontre a piobabilidade de que ambas as L!mpadas te· nham lalhado no tesle. (b) Encontre a probabilidade de que ambas as L!mpadas te· nham passado no tesle. (c) Encontre a probabilidade de: que ao menos uma lampada falhe no teste. 23. Reservas de emergencia A tabela mostra os resultados de uma pesquisa na qual 142 homens e 145 mulheces. trabalhacioles com idades entre 25 e 64 anos. foram questionados se tem ao menos um mes de renda guardado para emergencias. /n$0Me lor A1bli:: OpnJn) (a) Encontre a probabifidade de que um adutto selecionado ale· aloriamente ache que as rela'Oes raciais melhoraram desde a morte de Manin Luther King Jr. e ache que o indice de progresso dos direitOS civis emuilO lento. (b) Dado que um adutto selecionado aleatoriamente ache que as rela,oes raciais melhoraram desde a morte de Martin Lu· thet l(ing Jr., encontre a probabi1idade de que ele (a) ache que o indice de progresso dos direi1oscivis noo emu~o lento. (c) Seri.l incomum para um adul10 selecionado alea1oriamente achar que as refa¢es raciais melhoraram desde a morte de Martin Luther King Jr. e achar que o •1dke de progresso dos direitos civis emuito lento? El<plique. Rela~oes raciais Aduhos nos:.;..;E~-~'-­ Aduhos que acredi1.an1 que as rel~s rnciais mclhoramm Homens Muiheres Total Menos de um m ~ de renda 66 83 149 Um mes de renda ou mais 76 62 138 142 145 287 Tool (a) Encontre a probabilidade de que um 1rabalhador seleciona· do aleatotiamente tenha um m~s de renda ou mais guarda· da para emergencias. (b) Dado que um trabalhador selecionado ateatoriamente ~ ho· mem, encontre a probabtlidade de que o trabalhadoc tenha menos de um mes de cenda guardada. (c) Dado que um trabalhador selecionado alea1ori.lmente tenha um mes ou maisde renda guardada, encomre a probabittdade de que o trabalhador seja mulher. (d) Os eventos ~e< menos de um mes de renda guardada" e "ser homem" sao dependentes ou independentes? ExpflQUe. 24. Cuidados com a saude dos cachocros A tabela mostra os re· su!lados de uma pesquisa na qual 90 propriet.\rios foram questio· nados sotxe o quanto gastaram no ultimo ano com os cuidados com a saude de seus cachorros e se seus cachorros sAo de raca pura ou racas misturadas. Tipo de c.achorro 19. Computadores e acesso AInternet Um esiuclo descobriu que 62% das residencias nos Estados Unidos tern computador. Des· ses 62%, 88% tem acesso AInternet. Encon11e a probabilidade de que uma cesidencia americ.lna selecioMda alea1oriameme tenha computador e acesso Alnremet. (Follle. 11.5 Ce"'"' &x""") 20. Sobrevivencia ~ cirurgia Um medico da ao paciente uma chan· cede 60% de sobcevivencia a uma cinugia para coloca,ao de marca-pmo depois de um ataque cardiaco. Se o paciente so· brevive Acirurgia, ele tern 50% de chances de que o prOOlema cardlaco seja curado. Enconue a piobabilidade de que o padente sobleviva Acirurgia e o cora,ao seja curado. Cuidados com a saUde R~ Mistura pura de ra~ Menos que S 100 19 21 40 Mais do que s 100 35 15 so Total 54 36 90 Total (a) Eocontre a probabilidade de que S 100 ou mais tenham sido gastos com a satlde de um <achorro selecionado aleatoriamenie no ano passado. Ed1t11.11aaa c.,rtolol (b) Dildo que um p<oprief.!rio de cachorro selecionado aleatoria· mente tenha gasto menos que S 100, encontre a probabi· lidade de o cachorro ser de rai;ci misia. (c) Encontre a probab1&dade de um p<opoo.!rio seleciooado wtoriamente ~r S 100 ou mais com a saUde de seu cachooo e o G!o ser de rai;ci mista. (d) Os evt11tos •gasiar S 100 ou ma.s· e ·1er um cachorro de rai;ci mista• s.!o dependentes ou indeper ldentes? Exp&que. 2.5. Tipos sangulneos A p<ebabo&dade de que uma pessoa nos Es· !ados U>dos tentia ~ sangiMeo AB+ ede 3..._ c:tto pessoas Ilk> relaoonadas I.lo seleooNdas aleatonameote. Irr.:.:-.... -"' Bl""'"' (a) Enccnue a probabilidade de que as <>) aico pessoas temam ~po AB+. (b) Encoove a probabiidade de que nenl-.ma das aico tenha esse tipo sang\lneo. (c) Enccntle a probabilidade de que pelo menos uma das onc:o pessoas tenha o npo AB+. 26. Tipos sangulneos Ap<ebabol1dade de que uma pessoa nos Es· tados lJnidos tenha tipo sangllneo o+ ede 38..._ Tr!s pessoas n.io relacionadas 130 selecionadas aleatoriamente. (Tonr.c Amer>con A$SO(>OlO> ol /!lood lla>l;s.) {a) Encontre a prob.ibihdade de que as tr!s pessoas tenham tipoO+. (b) Encontre a p<Obabilidade de que nenhuma das tr!s tenha esse tipo sangurneo. {c) Encontre a probabilidade de que pelo menos uma das tr!s pessoas tenha 0 tipo o+. 27. 5uposi~ao Um teste de multjpla escolha tem ues questOes, cada uma com cinco respos!Als possfveis. Somente uma ecorreta. Vcx:e n.io tem ideia de nenhuma das respostas corretas e precisa acivinhar cada uma. {a) Encontre a probabilidade de responder a primeira perg\Jllta correlamente. (b) Encontre a probab1fidade de responder as duas primeitas petg\Jlltas corretamente (c) Encontre a probabiidade de responder as tt!s perguntas correlllmente. (d) Encontre a probaboid.Jde de nao responder a nenhuma per· gum.a corretamente. (e) Encontre a p<cbabedade de responder pelo meros uma petgll\ta correiamente 28. Deleilos de encad~ A ~ de encadema(Ao de uma ~ de impress.lo tem a ~ de 0,005 de p«>dwir um IMo com defe!IO. Essa maquina e usada para encadem¥ lr!s IMOS. {a) Eno:nte a probabidade de nerlun dos Mo! ser defettuosO. (b) Enconue a probabidade de ao meros um dos IMos ser defettuoso. (c) Er>alrll1e a probabidade de todos os IMos serem deleituosos. 29. Armazm Um centro de distribui(Jo recebe canegamemos de um produto de tr!s f6bncas dderentes nas quantidades a segu~: SO, 35 e 25. Um produto eselecionado aleatoriameme tr!s vezes. cada vez sem reposi(<lo. Encon1re a probabilidade de que os tt!s produtos venham da terceiia f6brica. 30. Anive~rios Tr!s pessoas 130 selecionadas aleatoriamente. Encontre a p<obabihdade de que (a) todas elas compartilhem a • l'!ob•lllld... 127 mesma data de anive~rio e (b) nenfuna compartilhe a data de a~rio. AsS<Jma 365 dias no ano. Expandindo conceitos °" d<.Oldo lOlll 0 '""" '".. d• Sdy<>. • jJ<Wot.lidode du ......., A. dado qoe o evento 8 tesiha oeo<rido, e: P(A)-P(BjA) P(Al8l- P(A)-P(BjA) +P(A')-P(BIA')° Nos ecerdcios de 31 a 34, use o teo<ema de Bayes pata encontrar P(A 18). 31. P(AJ=~.P(A'>=i.P(BIA>-~.e P(BIA'J-~ 32. P(A)=~.P(A')=~.P(Br>=~.e P(BIA')=~ 33. P(A)=0,25,P(A'}=0,75,P(B!A)= 0,3,e P(BjA'J • O,s 34. P(A)=0.62.P(A')=0,38,P(B!AJ=0,4~e P(BjA') =0,17 35. Confiabilidade do teste Um ceno virus inleaa uma em cada 200 pessoas. Um teste usado para deleaar o virus em uma pessoa & positNo 80% das vezes se a pessoa tern o virus e S'M> das vezes se a pessoa ~o tern o virus. (Este resultado de SCIO e chamado de lolso posirivo.) Deixe Ase< o evento ·a pessoa est~ i>fectada" e B ser o evento ·o teste de uma pessoa d6 positivo'. {a) UsandooteoremadeBayes,seotestedeumapessoa&posi· tivo, determine a p<obabilidade dessa pessoa estar infectada. (b) Usando o teorema de Bayes, se o 1este de uma pessoa d~ negativo, determine a probabilidade dessa pessoa nAo estar infectada. 36. Problem a dos aniversarios Voce esth em uma sala que tem 24 estudantes. Voce quer ellCXlOtrat a fl'obabilidade de que pe1o menos dois estudantes compattillwn a mesma data de anivers6rio. (a) Primeiro, encon~e a probabilidade de que cada estudante tenha uma data de an~rio diferente. 24 iatures ,------"...._ P(aniJe<Sarios 6ferentes) c~. 364 - ~ -~ .•. ~.~365 365 365 365 365 365 {b) Ap<obabirrdade de que pelo menos dois estudantes tenham a mesma data de aRversario e o complemento da probabilidade da patte (a). Quale essa probaboid.Jde? (c) lJsamos a ferramenta de te;nologia !>'ta gerar 24 nUme!os .ie.tonos _,, I e 365. (ado nUmerO i<:prcscnlo> ......, doL> de aniYersaio. ClOOvemo$ pelos menos duas pessoas que iein a mesma data de anr.iers.loo? 228 52 252 118 348 181 317 81 183 346 in 118 315 273 168 281 266 285 13 360 8 193 57 107 {d) Use uma ferramema tecnol6gica PMa simular o •problema dos anive~rios". Repita a si~ 10 vezes. Quant.is vezes voce obteve •pe1o menos duas pessoas" com a mcsma data de an~rio? Aregra da multiplica~ao e a probabilidade conditional Reescrevendo a f6rrnula para a1regra da multiplica(<lo, podemos Ed ,e 1naaa 1 128 • [11>1l1ti<"plicdd1 escreve< uma f6onula para encontcar probabmdades condicionais. A probabilidade condicional do €\'ento B ocoire<, dado que o evento A tenha oconido, e P(tl) Nos exerclcios 37 e 38, use as infoima¢es a segllir. A probabilidade de que um voo parta no hoiario e de 0,89. UI 0 que voce deve ilprender • Como determinar se dois e-•entos sao mutuamerte exclusivos. • Como usar a regra de adi\ao para eocootrar a probabaidade de dois ei-'ef1tos. - Dica de estudo Em probabilidade e estatlstica, a palavra 011 <! usualmente usada como um "ou exc)usivo". Por exemplo, M.~ mane.iras parao''eventoAou B" ocorrer. • Aprobabilidadede que um voo dlegue na hora cerui ede 0,87. A probabilidade de que um voo pana e chegue na hora e de0,83. 37. Encontre a probabilidade de que um voo tenha partido na hora e que chegue na hora. P(BIA) = P(4 e B) • • 38. Encontre a probabilidade de que um voo chegue oa ho<a, dado que ele partiu na ho<a. Aregra da adi~ao Eventos mutuamente exclusivos --+ Aregrade adirao -> Resumo de probabi!idade I Eventos mutuamenteexclusivos Na Se~ilo 3.2, aprendemos como encontrar a probabili<lade de dois eventos A e B ocorrerem em sequencia. Tais probabilidades s.'io denotadas por P(A e 8). Nesta se~Jo, aprenderemos como encontrar a probabilidade de que ao menos um de dois eventos ocorra. Probabilidades como essas sao denotadas por l'(A ou B) e dependem de os eventos sere1n nluluamente exclusivos. efinicao Dois eventos A e 8 sao mutuamente exclusivos se A e 8 nao puderem ocorrer ao mesmo tempo. Os diagramas de Venn mostram a rela~o entre eve;ntos que sao mutuamente exclusivos e eventos que nao o sao. (1) Aocorre e 8 nao ocorre. (:2) 8 ocorre e A nao ocorre. (3) Ae Bocorrem. A A e B sao mutuamente exclusi>.<OS 8 A e B nao sao mutuamente exdusi\'OS Exemplo ITT Eventos mutuamente exclusivos Decida se os eventos sao mutuamente exclusivos. Explique seu raciocinio. 1. EvcntoA: rolar um 3 em um dado. Evento 8: rolar um 4 em um dado. 2. Evento A: selecionar aleatoriamente um estudMte do sexo masculino. Evento 8: seledonar aleatorirunente um graduando em enfunnagem. Ed ,e 1naaa 1 (>pft•l•l • Proba~ili.i.de 129 3 . Evento A: selecionar aleatoriamente um doador de sangue com lipo 0. Evento 8: selecionar aleatoriamente um doador de sangue do sexo feminino. Soluflio 1~ 0 pri1neiro evento ten'I uni re.<>ultado, 3, n ~undo evento tan1be1n tenl um resuJta. do, 4. Esses resultados nao podem ocorrcr ao mesmo tempo, entao os evenlos siio mutuamenle exclusivos. 2. Como o estudante pode ser um homem estudante de enfem1agem, os eventos nao s.io mutuamente exdusivos. 3. Como o doador pode ser muIher com tipo sangu£neo do tipo 0, os eventos nao siio mutuan1ente exclusivos. Decida se os eventos s.'io mutuamente exdusivos. 1. Evento A: selecionar aleatoriamente um valete de um baralho de cartas. Evento 8: selecionar aleatoriamente uma carta de figura de um baralho de cartas. 2. Evento A: selecionar aleatoriamente um estudante de 20 anos. Evento 8: selecionar aleatoriamente um estudante de olhos azuis. 3. Evento A: selecionar aleatoriamente um veiculo Ford. Evento 8: selecionar aleatoriamente um vefculo Toyota. a. Decida se uma das frases a seguir everdadeira. • Os eventos A e 8 nao podem ocorrcr ao mesmo tempo. • Os eventos A e 8 nao t~m resultados em comum. • P(Ae8) = 0 b. Escrcva sua condus.'io. R~""IW(tit 1111 I'· ..US I Aregra de adi,ao reqra de adicao para a probabilidade de Aou 8 A probabilidade de que os eventos A ou 8 ocorram, P(A ou 8), e dada por: Dica de estudo -ili~~~~~~~~~- Subtraindo-se P(A e B), voce evita uma contagem dupla das probabilidades dos resultados que oconrem em ambos AeB. P{fl ou 8) = P{fl) + P(8) -P(A e 8). Se os eventos A e 8 forem mutuamente exdusivos, entao a regra pode ser simplificada para P(A ou 8) • P(fl) + P(B). Esta regra simplificada pode ser estendida para qualquef numero de event~ mutuamente exdusivos.. Em palavras, para encontrar a probabilidade de um even to ou o outro ocorrer, adicione as probabilidades de cada evento e subtraia a probabilidade de ambos ocorrerem. Exemplo m Usando aregrade adiiao para encontrar probabilidades t. Voce seleciona uma carta de um baralho. Encontre a probabilidade de esta carta ser um 4 ou um As. 2. Voce joga um dado. Encontre a probabilidade de rolar um mlmero menor que tres ou rolar u1n ntin1ero frnpar. 0 .'~ Para explorar mais este 16· pico, veja 3.3 Atividades nap. 136. Ed ,e 1naaa 1 Baralho com 52 cartas ~ \:9 @ • • 44 ou1ras cartas Sot11clio 1. Se a carta for um 4, nao pode serum As. Entao, os eventos slio mutuamente exdusivos conforme mostra o diagrama de Venn. A probabilidadede selecionar um 4 ou um Ase: 4 4 52 52 8 52 2 13 P(4ou As) = 1'(4) + P(As) = - +- = - = -;:::0,154 . 2. Os eventos nao siio mutuamente cxdusivos porque 1 e um resultado de ambos os eventos, como mostra o diagrama de Venn. Entao, a probabilidade de rolar um numero menor que 3 OU Um numero impar e: P(menos quc 3 ou impar) = P(menorque 3) + P(impar) - P(menorque 3 cimpar) 2 3 l 4 2 = - +- - - = - = -"'0 667. 6 6 6 6 3 ' jogar um dado impar 3 5 t. Um dado eJani;ado. Encontre a probabilidade de rolar um 6 ou um numero i1npar. 2. Uma Carta eselecionada de um baralho normal. Encontre a probabilidade de que seja uma carta de figura ou uma carta de copas. a. Decida se os eventos s.'io 11111t1111me11/e •xdusivos. b. Encontre P(A), P(B) e, se necessario, P(A e B). c. Use a regra dendicao para encontrar a probabilidade. R6111J:llt11111 p. A.18 Exemplo m [ncontrando probabilidades de eventos mutuamente exdusivos A dislribui<;i'io de frequ@ncia mostra o volume de vendas (em d6lares) e o numero de meses em que um representante de vendas atingiu cada nivel de vendas nos ultimos tres anos. Se esse padrao de vendas continuar, quaJ a probabilidade de que o representante venda entre $ 75.000 e $124.999 no pr6ximo m~? Volume de vendas (S) Meses Oa 24.999 25.000 a 49.999 3 5 50.000 a 74.999 6 75.000 a 99.999 100.000 a 124.999 125.000 a 149.999 150.000 a 174.999 175.000a 199.999 7 9 2 3 Sol11ftlO f>ara resolver o problema, defina os eventos A e 8 conforme segue. A = vendas mensais entre $ 75.000 e 99.999. 8 = vendas mensais entre $100.000e 124.999. Como os eventos A e 8 s.'io mutuamente exclusivos, a probabilidade de que o representante venda entre $ 75.000 e 124.999 no pr6ximo m~ e Ed ,e 1naaa 1 u pf!Ulo l • 13J Piobolilidode P(A OU B) = P(A)+ P(B) 7 9 36 36 =- +16 = 36 4 =9"' 0,444. Enoontre a probabilidade de o representante de vend as vender entre $ Oe$ 49.999. a. ltie11tifiq11e os eventos A e 8. b. Verifique se A e 8 s.'o 11111t11n111e111e exclusives. c. Encontre a probabilidnrle de cada evento. d. Use a rt-gm tin ndi{tfO para encontrar a probabilidade Exemplo m I IJsando a regra da adifao para encontrar probabilidades Um banoo de sangue cataloga os tipos de s.mgue, incluindo fator Rh positivo ou negativo, dado por doadores durante os ultimos cinco dias. 0 numero de doadores que doou cada ti po sangulneo emostrado na tabela a seguir. Um doador eselecionado aleatoriamente. 1. Enoontre a probabilidade de que o doador ten ha s.1ngue ti po 0 ou ti po A. 2. Encontre a probabilidade de que o doador tenha sangue ti po Bou que o Rh seja negativo. 1ipo sangufneo F.ior Rh Retratando o mundo Em uma pesquisa conduzida pela National Family Or.ganizatio11, miies recentes foram questionadas sobre o grau de dificuldade de ter seu primeiro filho comparodo COl'n o que esperavanl. (fti111t: Xnrr11mrl Fr.milyOrgnuiznil1n1 R""ntrrlr ft>r c:-:s.) Quao diffcil foi o parto? 0 A 8 AB rotal Positivo 156 139 37 12 344 Negativo 28 25 8 4 65 Tola! 184 164 45 16 4-09 ~lais dificil do L Menos dirttil <Jo qi.c c.spcmvM1 Sol11pio t. Como o doador nao pode ter ti po o e ti po A, esses eventos sao mutuamenle exclu· sivos. Entao, com base na regrade adi~3o, a probabilidade que o doador escolhido aleatoriamente tenha lipo 0 Ou tipo Ae: P(tipo 0 ou tipo A) = P(tipo 0) + P(tipo A) 184 164 = 409 +40') 348 =- 40') ::o0,851. ?. Em rau'io de o doador poder ter tipo Be o seu Rh ser negativo, esses eventos nao s.io muluamente exdusivos. Entilo, com base na regrade adi~ao, a probabilidade de que um doador escolhido aleatoriamente tenha s.1ngue ti po Bou que seu Rh seja negativoe: Se uocc." seltcitn1nr z1111n 111/fe rtceiite nlt'tltori11111e11te e pedir pnm co1111Nlmr n tiifiwldnrle 1fe se11 ptlrlo com o que dn l.'Spt7flV<I. qunl n 1•rol111bilitinrle tic dn diur r711e o pnrto fai tlio 011 mni; tiiffcil do que dn e;Jlt'l'nlNl? Ed ,e 1naaa 1 P(lipo Bou Rh-) = P(lipo B) + P(Rh-) - P(lipo Be Rh-) 45 65 8 =-409 +-409 - -409 102 - 409 .,0,249. 1. Encontre a probabilidade de que o doodor lcnha ti po sanguineo Bou AB. 2. Enconlre a probabilidadc de que o doador lenha tipo sangufneo 0 ou que seu Rh seja posilivo, a. Decida se os evenlos s.~o 11111t11a111e11/e e.rcln>ioos b. Use a regm de adi(do. R~ct:t11 1u1 p. I AJS Resumo de probabilidade Tipo de p,robabilidade e regras de probabilidade Emsimbolos Em pahvras I Probabilidade ddssica 0 numem do rcsultados no cspa"° amostral econhecid<> e cad a resultado ~ igualmente prov~vcl dcocom>r. l'robabilidade cmpfrica i.'lnlostral ~ cstimada a partir de A frequ~ncia de resultados no cspa"° n\"! de n.'Sultados no evcnto E P(E)= n• de resulta.dos no espao;o amostral P(E) = FrequCnda do cvento E = Frequlincia total cxp<."fimenta~o. Amplitude das regras de probabilidadc A probabilidade de um evento estar cntrc 0 e I, indusive. Os P(E)s I E\rcntos cnmplen1entnres 0 complemento do even to Eeo conjunto de todos os re;ultados em unl cspa~ anlostrJI quc n3o cstao indufdos em £, denotado por £'. P(E) = t -P(E) Rei;ra de multiplio.1¢0 A regra da multiplica~ao eu~ida para cncontr.1r a probabilidadc de dois cvcntos ocorrcrem enl scqui!ncia. Rcgra da adi\.lO A regra da adi~ao ousada para cncontrar a probabilidadc de que pelo mcnos um de dois eventos ira ocorrcr. Exemplo l_ " P(A e 8)= P(A)·P<BIAl P(A c 8) = P(A)· P(8) Evt11tos i11depmdmtcs />(A ou 8) = P(A) + 1'(8)- P(A c 8) P(A ou 8) = P(A) + 1'(8) £vc11tos 11111/11n111e11/e cxclu$iVOS OJ Combinando regras para encontrar probabi!idades Use o grMico a seguir para encontrar a probabilidade de um jogador selecionado aleatoriamente de uma sele~ao com jogadores amadores nao ter a posi~o de rt11111i11g back ou de wide receiver. Sol1tfdO Defina os eventos A e B. A: 0 jogador escolhido eum r111111i11g bnck. 8: 0 jogador esrolhido e um wide receiver. Ed ,e 1naaa 1 (apliul-0 l • Proi..bilidadt 133 Recrutas da NFL Uma lista por posi~o dos 255 jogadores esOOlhidos em uma set~lo para NFL de 2007 Quarterbacks 11 Offonslvo Running backs 25 tackles Guards O~centers Tight ends Wide 23 12 6 12 receivers \. _ \._ b ~ 34::@~~. Defensive ends 00© 0 25 =€) ~ ~ne~ck! Defensive backs 50 (Fome: NFL.com.) 0 0 0-- Klcl<ers Esses eventos sao mutuamente exdusivos, ent.io a probabilidade de que o sele· cionado seja um rm111i11g back ou um wide receiver e; P(A ou B) = P(A) + P<Bl = :S +~5 = iJ15 "'o, 231. Obtendo-se o oomplemento de P(A ou B), podemos detern1inar que a probabilidade de selecionarn1os um jogador que nao seja um m1111i11g back ou um wide receiwr e: 1- P'V'A ou 8)=1 - 22..= 255 1% 255 ">0, 769 . ente vad 5 Enoont.re a probabilidade de um jogador selecionado aleatoriamente nao ser um li11t"1ack ou um q11nrlcrback. a. Enoontre a probabilitfnde de o selecionado serum li11d111ck ou um q11nrlerback. b. Encontre o co111ple111e11/o do evento. Rl.'$'fl0$fll nn p. Ill A38 Exercicios Construindo habilidades basicas e conceitos 6. Se oseventosA eB s.lo mutuamente exclusivos, eniao. l'(A OU ff) 1. Se dois e11entos s.lo mutuamente exclusivos, po< que P(/l e 8) = O? 2. liste exemplos de: (a) dois eveotos que sejam mutuameote eocdusivos. (b) dais eventos que nao sejam mutuameme exclusivos. Verdadeiro ou falso? Nos eocercicios de 3 a 6. determine sea afirma\Ao everdadeira ou ialsa. Se for falsa, explique. 3. Se dois eventos sao ITTJtuameote exdusivos, eles ndo tern resul· tados em coffilJm. 4. Se dois evemos sAo independentes, ent~o eles tambem sAo mutuameme exclusivos. s. A piobabilidade de 0 evento A OU 0 ellenlO 8 OCOllel e: P(A ou 8) = P(A) + P(B) - PV\ OU 8). = l'(A) +P(lf). Analise grafica Nos eocerdcios 7 e 8, decida se os eventos mosuados no diagra· ma de Vein sAo mutuameme exclusivos. Explique. 7. Univcrsit~rios Estudantes de econo1nia Estudantcs de e.~1a1fstica Ed ,e 1naaa 1 BC. • fmtktlca aplkdd• furos ede 0,05, a probabirtdade de produzir uma caixa com um canto amassado e de 0,08 e a probabilidade de produzir uma caixa com um furo e com o canto amassado ede 0,004. (a) Os eventos "se!ecionar uma; caixa com furo· e "selecionar uma eaixa com<> canto amas.sado tamWm" s.3o mutuamente exdusivos? Expflq\le. (b) Se o inspetor de qualidade seleciooar uma caixa aleatoria· me.ite, encontre a p<obabilidade de que a caixa tenha um furo ou esteja amassada. 8. - - - - Cidad5os nortc-runericanos Rcgis1rn<los J:>.'lro votur no Texas Registrados J>fir.'I votor ern ~1ai nc Reconhecendo eventos mutuamente exclusivos Nos exercicios de 9 a 12, decida se os eventos sao mu1uamen· te exclusives. Explique ~ radocinio. 9. Evento A: se!eciooar alea1oriamente uma trabalhadora. Evento 8: seleciooar aleatoriamente um trabalhadot com nfvel universitArio. 16. Oefeitos em latas Uma emp<esa que fabrica latas de refrigerante descobre que a probabilidade de se produzir uma lata sem futos e de 0,96, a p<obabilidade de que a lata nao tenha um canto amassado e de 0.93 ea probabilidade de que a laUl nao 1enha nem furo nem amassados ede 0,893. (a) Os eventos ' selecionar lata sem furo" e ' seleciooar lata sem amassados" sao mutuamente exclusives? Explique. (b) Se o inspetor de qua Iida de seleciooar uma lata aleatoria· mente, encon1re a probabilid'ade de que esia ruo tenha um furo ou nao es1eja amassada. 10. Evento A: selecionar aleatoriamente um membro do congresso americano. Evemo 8: selecionar aleatoriamente um senador do sexo mascuino. 11. Evento A: seleciooar aleatoriamente uma pessoa e.itre 18 e 24 anos. Even;o 8: seleciorw aleatoriamente uma pessoa elltre 25 e 34 anos. 12. EventoA:seleciooar aleatoriamenteuma pessoa entre i 8e 24 anzy.;, Evento 8: seleciooar aleatoriamente uma pessoa que receba en· tre S 20.000 e $ 29.999. 17. Selecionado uma carta Uma carld selecionada aleatoriamen1e de um baralho normal. Encontre cada probabiidade. Usando e interpretando conceitos 18. Jogar um dado Voce la~ um dado. Encorwe cada probabilidade. e (a) Selecionar aleatoriamente unna cana de ouros oo um 7. (b) Selecionar alea1oriamente um naipe vermelho oo uma dama. (c) Seleciooar aleatoriamen1e um 3 oo uma cana de figura. (a) Rolar um 6 ou um numero nnaior que 4. 13. Auditoria Em um perfodo de 52 sem.lnas, uma empresa pagou hora extra por 18 semanas e contratou trabalho 1emporArio por 9 semanas. Durante 5 semanas, a emp<esa pagoo hora extra e contratou uabalho tempor~rio. (a) Os eventos "selecionar uma semana que contenha pa· gamen1os de hora extra" e "selecionar uma semana com contrata~o de tempor~rios" sao mutuamente exclusi· vos? Explique. (b) Se um auditor examinar aleatoriamente a folha de paga· men10 para somente uma semana, qual a p<obabilidade de que a folha de pagamento seja de uma semana contendo pagamento de horas extras e trabalho 1empo1~rio? 14. Pesquisa de jornal Uma faculdade tern 3.500 matrlculas. Des· sas. 860 sao para administra~o e 1.800 sao de mulheres. De administra~. 425 sao mulle<es. (a) Os even1os "seleciooar um es1udan1e do sexo feminino" e "selecionar uma matrlcula de administra~o· sao mutua· mente exdusivos? Explique. (b) Se um jornal da foculdade conduzir uma pesquisa e se· lecionar estudantes aleatoriamente, qual a probabilidade de que o estudante selecionado seja mulher ou estude administra~o? 15. Oefeitos em caixas Uma empresa que fabrica caixas de papelao descobre que a probab!lidade de p<oduzir uma caixa com (b) Rolar um numero menor que 5 ou impar. (c) Rolar um 3 ou um numero p;ir. 19. Oistribui~o de idades nos EUA A dismb~ porcentual esti· mada da popula~o dos Estados Unidos para 2015 mostrada no grafico de pizza. Encootre cada probabilidade. (fome·U.S. Cc"""' Bvreou) Distribui~iio de idades nos EUA e 65 anos ou 1nais f\1cnos de 5 ano5- 6.8% i.1110S • ,..~~-:s 13 (UlOS 14. 17 nnos 35044 anos >"~-18a24 nnos (a) Selecionar aleatoriamente alguem com menos de 5 anos. (b) Seleciooar aleatoriamente al~ que ruo 1enha 65 aoos oumais.. (c) Sefecionar aleatoriamente al~ que 1enha emre 18 e 34 anos. Ed ,e 1naaa 1 C•pltulo l 20. Ponte Tacoma Narrows A<istnl:ioii;Ao de porwnagem do 11Umero de ocupan1es de veiaJlos que atravessam a Ponte Tacoma Narr~ em Washing1on, mos1rada no gr~fico de pizza. Encontre cada probabilidade. (Fet<r.: Ill>~ Slore Qe/xlflment o/ TrOl)$/JOllOIJon.) ~ Jj(} 322 a 300 [z.so 135 302 ~ 100 Ocupantes nos carros e 1j(} z j(} ~ 171 131 ,g 100 Um n1ais 1.0% ProNl>ililodt Qua! o maior problema com o cinema? e ~i$OU • SSS% 79 Cinco":]F;:::=~~ ..... 1.4%Quatro 4.7% Tres 7.6% (a) Selecionar aleatoriamenie um carro com dois ocupantes. (b) Selecionar alea1oriamente um carro com dois ou mais ocupanies. (c) Selecionar aleatoriamente um carro com enue dois e cinco ocupanles, inclusive. 21. Educa~.\o O n(Jmero de resposlas para uma pesquisa emostrado no grAftCo de Pareto. A pesquisa pergunlou a 1.017 addlos nooe-americanos oomo eles se sentem a respeilo da qualidade da educa(Ao recebida pelos alunos desde o jardim de infAncia ate a 12• serie. Cada pessoa deu somente uma respos1a. Encontre cada probabilidade. 0<fopraoodo Go.'llp All.) Quao satisfeito voce esta com a qualidade da educa~ao? 437 326 23. Gradua.ao em enfermagem A tabela mostra o numero de homens e mulheres ma1riculados em enfennagem no Centro de Saude da Uni--ersidade de Oklahoma em um semesue receme. Um estudante selecionado alea1oriamente. Enconue a proba· bi!idade de cada evento. (Fomo: thlMilSJI)' of Oklahcmo Hec!rh Cem<r Office ofAdrniss.<;m and Re<:etd•) e Esludantes de £s1udantes de enfermagem outros cursos 9S 700 t.OlS 1.110 MulhE<es 1.n1 2.427 To1al 795 2.742 3.537 Homens To1al (a) O estudante ehomem ou estuda enfennagem. (b) 0 estudante etruhe< OU n!O estuda enferrragem. {c) 0 estudante n~ e mulher OU estudante de e<>ferrragem. (d) Os eventos • sei homem· e • ser es1udan1e de enferrragem• sao mUluamente exclusivos? Explique. 24. Pessoas canhotas Na amostrai de 1.000 pessoas (525 homens e 475 mulheres), 113 sao cani>Otas (63 homens e 50 aruhe<es). Os resultados da amostra sao mostrados na 1abela. Uma pessoa selecionada alea1oriamente. Encon1re a probabilidade de cada evemo. e Sexo (a) Selecionar alealoriamente uma pessoa da amosua que nilo esteia complelamentesatisfeila com aqlJ<llidade da educd{<lo. (b) Selecionar alealOliamente uma pessoa que esteja de algu· ma maneira insatisfeila ou comple1amente insatisfeila com a quafldade da ed~. 22. Filmes O numero de respostas para uma pesquisa e mosuado no g1Afico de Pare10. Apesquisa per81J1!ou a 1.005 adultos none-americanos qlJ<ll t!, para eles. o maior problema com o cinema. Cada pessoa deu uma resposta. Encontre cada probabilidade. (foolo: Aoodo:edPress.) (a) Sele<ionar alea1oriamente uma pessoa que ache (j\Je o maiof problema eque OS filmes nao 500 tao boos quarnoeram anies. (b) Selecionar alea1oriamen1e uma pessoa que nao ad1e que o maior proolema ea viol~ncia nos filmes ou o p<eco dos ingressos. Mio dominante Hom Pm Molhar T('ltAI Esqueraa 63 50 113 Direit.a 462 425 887 Total 525 475 1.000 (a) A pessoa ecanhota ou mulher. (b) A pessoa edestra Ou homem. (c) A pessoa I*> edestra OU ihomem. ( d) A pessoa e uma mulhe< des1ra. (e) Os eventos "ser desuo· e ·sei mulher" sao muruamente ex· clusivos? E;tplique. 25. Caridade A iabela mos1ra os •esul1ados de uma pesquisa com 2.850 pessoas e questionou se elas estavam envdvidas em qual· quer tipo de trabalho para caridade. Uma pessoa e selecionada Ed ,e 1naaa 1 136 • Cs1'\llli<uplicado aleatoriamente da amost<a. Encontre a probabilidade de cada evento. £xpandindo conceitos ====-===~------------ 27. Frequentemente Ocasionalmente Nunca Homens Total 221 207 456 Mui heres 430 795 741 1.472 1.378 Total 428 886 1.536 2.850 (a) A pessoa efrequente oo oca~onalmente envolvida com <A· ridade. (b) A pessoa emulher oo nao esta envolvida com caridade. (c) A pessoa e homem ou esia frequememente envolvida com caridade. (d) A pessoa emulher ou nao esta frequentemente envo!vida com caridade. (e) Os eventos "ser mulher e 'estar frequentemente em!OMda com caridade" sao mutuamente exdusivos? Explique. 26. Pesquisa sobre os olhos Arabela mostta o resultado de uma pesquisa com 3.203 pessoas que questionou se elas usam fen· tes de contato oo 6culos. Uma pessoa e selecionada aleatoria· mente da amos1ra. Encontre a probabilidade de cada evento. t.entes de Oculos Ambos contato N.enhum dosdois Regra da adi~ao para tres eventos A ceg<a de adi~o para a probabilidade de que os eventos Aoo B ou Cocorram, P(A oo Bou Q. e dada por: P(A OU 8 OU C) = P(.A) + P(B) + P(C) - P(A e 8) - P(A e C) P(.B e C) + P(.A e Be C). No diogromo de Venn, a seguir, P(A ou B ou C) e1epresenrodo pelas areas em dnza. Total Hom ens Muiheres 64 64 1 117 456 1.538 189 427 368 681 1.665 Total 253 1.268 545 1.137 3.203 (a) A pessoa usa lentes de comato ou 6aios. (b) A pessoa e homem ou usa lentes de contato e 6culos. (c) A pessoa e mulher oo "30 usa nem 6culos nem lentes de con tato. (d) A pessoa t! homem OU rec usa 6culos. (e) Os eventos "usar le<iles de contato" e ·usar ambos, 6culos e lentes de comato• sao mutuamente excfusivos? Explique. 1111 Reda~o Ha uma relatao entre independencia e exdusividade mutua? Para deciefu, encontre exemplos do que temos a segui<, se possivel (a) Desaever dois eventos que sejam dependentes e mutua· mente exdusivos. (b) Descrever dois eventos que sejam independentes e mutua· mente exdusivos. (c) DeSCtever dois eventos que sejam dependentes e nao se· jam mutuamente exclusives. (d) Desaever dois eventos que s;ejam independentes e que ~o sejam mu1\Jamente exclusivos. c Nos exetdcios 28 e 29, er\COlltte P(A ou Bou q para as p<oba· bilidades dadas. 28. P(A) = 0,40,P(B) = O,IOeP(C) = 0,50, P(A e B) = 0,05,P(A e C) = 0,25 eP(BeC) = 0,10 P(A e BeC) = 0,03. 29. P(A) =0,38, P(B) =0,26 e P(.C) =0, 14, P(A e 8) = 0,12,P(A e C) m 0,03 e P(.B e C) = 0.09 P(AeBeC) = 0,01. Ati vidades Simulando a probabilidade de rolar um 3ou um 4 Applet 0 applet Simulondo o probabi/ic!cde de rolor vm 3 w 4 pecmite que voce investigue a p<obabilidade de <olar um 3 ou um 4 com um dado nao tendencioso. O grafico no canto superior esque<do na figura a seguir mostra a proba· bilidade associada com cada cesultado da jogada de um dado. Quando dicamos ROLL, sao cealizadas n simulaciles do expe· rimento de rolar um dado. Os resultados das simula~s sao mosttados no grafico de frequencia. Se maccamos a o~3o de anima~o. o quadro mostta <Ada resultado enttando no g<.lfico de frequencia, conforme a simulac:io e executada. Pata parar a anima~o. desmarque a oll(Ao animac~o. Os resultados indivi· duais sao mostrados no <Ampo de texto, que esta adireita do applet 0 grafioo central moslra, em azul, a prop()(~O acumu· fada de vezes que o evento de colar um 3 ou um 4 OC()(re. A linha verde no grafico reflete a pcobabilidade real de colar um 3 ou um 4. Conforme realizamos o experimento mais e mais ~zes, a propor~o acumulada deve convergir para oval()( real. Ed ,e 1naaa 1 - (apltolo 3 • ProbaMlid..te 137 ~UllU -~L t I ~ : , ' .: ~ ,. ~ ) ll.I fo I!. ' ~ I i; AnflNIC' ""'' .... • 2. Faca a simula~o usando <ada valor den uma vei. Limpe os Explore Passo 1 Passo 2 Passo 3 Passo 4 Passo 5 res<Jltados ap6s cada tentatlva. Compare a p<opor~o acu· mulada de rolar um 3 ou um 4 para cada tentativa com a probabiidade te6rica de rolar um 3 ou um 4. Especifique um valor para n Oique ROLL quatro veies CTique RESET Especifique ouuo valor para n CTique ROLL 3. Supooha que \'()Ce queira modificar o applet de modo a en· contrar a p<obal>ilidade de rolar um numero menor que 4. Desaeva a ~o da linha verde. Condusaes 1. Qua! a probabilidade te6rica de rolar um 3 ou um 4? Estudo de caso Probabilidade e estrategias para encontrar vagas nos estacionamentos 0 Institute for Operations Research and the Management Scie<ices (INFORMS) e uma sociedade cientifica intemacional com mais de 12.000 membros. Ela se dedica aaplica~o de metodos cientificos para melhorar a tomada de decisaes, o gerenciamento e as opera~Oes. Os membros do instituto trabalham principalmente nas areas de neg6<ios, govemamemais e edu· tA:t;dQ. Repn:sentcn n ~·eos tao <JivetXJ'> quaoto lint •OS ~•eo$, pianos Je ~Ude.. optkoi;ao de l(!l'), fore.is armadas. mercado de ~Oes e telecornunica¢es. Um estudo publicado pe1a INFORMS foi result.ido de uma pesquisa conduzida pelo DI. C Richard cassady, da Univ~idade Estadual do Mississipi, e pelo Or. John Kobza, do lnstituto Politl!cnicoda Universidade de Virginia. 0 estudo sobre vagas de estacionamentos foi conduiido em um shopping center que possui 4 entrad.ls. 7 fileiras com 72 vagas cada e restri~Oes direcionais. Os pesquisadores compararam varias estrategias para verificar qua! delas economiiava mais tempo. As duas melhores estrategias ~ chamadas de Esco/ha uma fileira e Circute. Os resultados sao mostrados na tabela. Tempo OU di$t!OO. Escolha uma fileira Circu1e Tempo de uma entrada at~ uma voga 37,7 segundos 52.5 sei!"ndOS Tempo de uma enlfada at~ a P<l'la da loja 6 t ,3 segundos 10.1~ 257 passos 200 passos l.l!dia de ~cia a pt! at~ a loja Ed 1t 1naaa 1 138 • Escolha uma fileil"'.t Circule Entrc ~rn uma Enue n::i filc:ir::i mais pr6xisna. Pnre tilcira c escolha c1n qualqucr unl dos 20 espa~os o lugar V-JgO 1nai.s pr6xi1nos. Sc todos cstivcre1n 1nais pr6x_irno. ocupados. v;l p3r.1a pr6x in1 ~1 filcir.1. Porta da loja Exercicios I. No estudo sabre vagas de estacionamento, cada vaga tern igual probabilidade de estar vazia? Explique seu raciocinio. 2. De acordo com os resuhados do estudo, voce tern maior probabilidade de gastar menos tempo usando aestrategia Escolha tJna f~a ou aCircule? E~plique. 3. De acordo com os resultados do estudo, voce tern maior probabifidade de andar menos usando a estrategia Escolha uma fileira ou a Citrule? Explique. 4. Uma suposi~O<have neste estudo eque OS motoris1as podem vet quais vagas ~O vazias assim que entram em uma fileira. Por que isso eimportante? 5. Um estacionamento esl<i completamente cheio e um carro sai. Qua! a probabaidade de que este carro esteja na primeira fileira? Explique. 6. Uma pessoa es~ saindo de tJna lileira que est~ cheia. Qual a probabi idade de que essa pessoa esteja estacionada em uma das 20 vagas que est3o mais p«io<imas ~s lojas? 7. Desenhe o diagrama do estacionamento. Use cores coma c6digos para as vagas em tres categorias de 168 vagas cada: as vagas maisdesejadas, as vagas desejadas mode<adamen· tee as vagas meoo. desejadas. ES1ime a probabilidade de enconuar uma vaga na categoiia das mais desejadas. Exp!ique seu raclocioio. m Topicos adicionais sobre probabilidade e contagem Permuta(oes -r Combina(iies -r Aplica(oes dos prindpios de contagem I Permuta~i!es Na Se~ao 3.1, aprendemos que o principio fundamental da contagem ~ u.sado para encontrar o numero de maneiras nas quais dois ou mais eventos podem ocorrer Ed ,e 1naaa 1 C,,pfi•lol em scqu@ncia. Nesta se¢o, vamos estudar diverS<1s outras tecnicas para contar o nt1mero de maneiras nas qua.is um evento pode ocorrer. Uma importante aplica(ao do principio fundamental da contagem e detem1inar o numero de maneiras nas quais 11 objetos podem ser organi1~1dos em ordem ou em permuta~~o. efini{ao Uma permuta~ao e uma organiza~ ordenada de objetos. 0 ntimero de dfferentes permuta· ¢es den objetos distintos en! A express.'io 111 eIida como 11 fatorial e edefinida a seguir. 11! = II · (II - 1)- (11 - 2). (11 - 3) ... 3 · 2 · I. • P1oba~llidade 139 0 que voce deve aprender • C.Omo encootrar o numero de 1113neiras nas quais um grupo de objetos pode ser ordenaoo. • C.Omo encontrar o mimero de maneiras para ~narmos <iversos objetos de um grupo sem nos Jllt!ocuparmos com aordem. • (.omo usar os prindpios de contagem para encontrar JllObabilidades. Como caso especial, O! = 1. Aqui temos oulros di versos valores de 11! 1! = 1;2! = 2·1 = 2;3! = 3. 2·1 = 6;4! = 4- 3·2· 1 = 24. Dica de estudo Exemplo [0 _1_.,______________ Encontrando oniimero de permutaioes den objetos 0 objetivo de um Sudoku 9 x 9 e preencher o quadriculado de modo que cada fileira, cada coluna e cad a quadriculado 3 x 3 co11tenha os digitos de 1 a 9. (De qua11tas maneiras diferentes podemos preencher a primeira fileira de um quadriculado de Sudoku 9 x 9 (que esta em branco)? Sol11pio Note que ~ med.ida que n aumenta, n! tam~1n aumenta. Use um pouco de seu tempo, agora, para aprender como usar a tecla latorial em sua calculadora. Sudoku 0 niomero de permuta~0es e9! = 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 362.880. Ent~o, ha 362.880 maneiras diferentes nas quais a primeira fileira pode ser preenchida. Tente Os times da divisao central da liga nacional estiio listados voci maneiras diferentes as posir;Qes finais sao posslveis? adireita. Quantas 1 a. Determine q11n11t1>S times, 11, estiio na divisao central. b. Avalie 11! Rr!$pt>5t11 11n p. AJS Supo11ha que voc@queira escolher al guns objetos em um grupo e coloca-los em ordem. Tai ordena~oechamada de uma pem1uta~ao de 11 objetos retirados rde uma vez. ermuta{oes de n objetos retirados r de uma vez 0 ntimero de permuta¢es den objetos distintos retirados r de uma vez e: n! .P. = (n- r)!' onde r $ n. Exemplo m Encontrando ,P, Encontre o numero de maneiras nas quais podemos formar cOdigos de tres digitos em que nenhum dfgito erepetido. Divisao cen!ral da Liga Nacional Chicago Cubs Milwaukee Houston Asvos Pinsbug Pirates Cincir>ani Reds BfewetS St Louis Cardinals Ed ,e 1naaa 1 140 • fst41fuica apll"da Sol11flio Para formarmos um cOdigo de tres d(gitos sem dfgitos repetidos, precisamos selecionar 3 digitos de um grupo de 10, entiio 11 = 10 er= 3. 10! 101 .P. = ,.P, = (10- 3)!- 7! - 10·9 ·8·1·~ · $·~·~·i·t 1+$·~·$·i·t - 720. Entiio, h~ 720 maneiras possfveis nas quais o cOdigo de tres dfgitos nao tenha dfgitos repetidos. Tente voc6 Uma psic61oga mostra uma lista de oito atividades para um sujeito. De quanlas maneiras possiveis o sujeito pode escolher uma primeira, uma segunda e uma terceira atividade? a. Encontrar o quociente de 11! e (11 - r)! (Hstar os fatores e dividi-los) b. Escrever o resultado como uma senten~a. lmportante Note que o prindpio fundamental da oontagem pode ser usado no Exemplo 3 para obter o mesmo resultado. Podemos ver que M 43 escolhas .para o primeiro ltigar, 42 para o segundo e 41 para o terceiro. Podemos concluir que h~ 43 · 42 · 41 = 74.046 maneiras nas quais os carros podem terminar em primeiro, segundo ou terceiro lugar. Exemplo m Permuta,ijes den objetos retirados r de umavez Quarenta e tres carros come~am a corrida de Daytona 500 em 20Cfl. De quantas maneiras os carros podem terminar em primeiro, segundlo ou terceiro lugar? («1111<: ~'ASCAR.<,11rt.) So/uflio Precisamos selecionar Ires carros de corrida de um grupo de 43, entao 11 = 43 er :::- 3. Em raziio de a ordem ser importante, o nUn1ero de 1naneiras nas quais os carros podem tenninar em primeiro, segundo OU terceiro e: P = P. = 43! • , " ' (43 - 3)! 43 ' 40! 43 ·42·41 = 74.046. A comisslio de diretores de uma empresa tern 12 membros. Um membro e o Dica de estudo --~~~~~~~~~~ As letras AAAABBC podem ser reorganizadas em 7! maneiras, mas muitas dessas ruio silo distingufveis. 0 nomero de maneiras distingufveis <!: ___!!_= 7·6·5 =105. 4! ·'.2!·1! 2 presidcnte, outro e0 vice-presidente, outro e0 secretario eoutro e0 tesoureiro. De quantas maneiras essas posi¢es podem ser designadas? a. lde11tifiq11e o numero total de 11 objetos e o numero de,. objetos escolhidos em ordem. b. Aoolie , P,. RCi'llSll! 1u1 I'· r\3$ Voce pode querer ordenar um grupo de 11 objetos sendo que alguns deles siio os mesmos. Por cxemplo, considere o grupo de letras consistindo de 4 As, 2 Bs e 1 C. De quantas maneiras podemos ordenar tal grupo? Usando a f6rmula anterior, podemos concluir que M ,P, = 7! ordens possfveis. Entretanto, devido ao fato de alguns objetos serein os mesmos, nem todas essas permuta¢es siio disti11g11iwis. Quantas permuta¢es distingufveis sao possrveis? Aresposta pode ser encontrada usando a 16nnula a seguir. P.ermuta,oes distinguiveis 0 nume<o de permuta~oes distinguiveis de n objetos, onde n, sao de um tipo e n, sao de outro tipo e assim por diante e: n'• ,ooden,+n,+n,+···+n,= n. 1 1 1 •.1 nr·ny·nJ.-··n Ed ,e 1naaa 1 (•pflulo~ Exemplo • PIOb.lbilidodt 141 m Permuta,oes distingulveis Um e1npreiteiro planeja desenvo1ver um loteamento. 0 loteamento consiste e1n 6 casas terreas, 4sobrados e 2 cnsas com varios pianos. De quantas maneiras distinguf''eis as casas podem ser organizadas? Sol11fiiO Havera 12 casas no loteamento, 6 das quais S<io de um tipo (terreas), 4 de outro ti po (sobrados) e 2 de um terceiro ti po (cas.1s com varios pianos). Entiio, M: 12' 6!·4!·2! 12·11 ·10·9·8·7·61 6! ·4!·2! = 13.860 maneirasdistingui\•eis. - - -= fllterpretllfiiO Ha 13.860 maneiras distingufveis para organizarmos as casas no loteamento. T• Um empreiteiro quer plantar seis carvalhos, nove bordos e d.nco alamos na rua voce do loteamento. As arvores precisam ser plantadas em espac;os uniformemente separados. De quantas maneiras distinguiveis as Mvores podem ser plantadas? a. lde11tifiq11e o numero total de 11 objetos e o numero de cada ti po de objeto no grupo 11 11 112 eur Rr:;pc1.;tn "" ,,, :\.~$ I Combina(oes Voce quer comprar tres CDs de uma sele<;iio de cinco CDs. Ha 10 maneiras nas quais voe~ pode fazer sua sele<;ao. ABC, ABD, ABE, ACD,ACE, AD£, BCD, BCE, BDE, COE Em cada sele<;ao, a ordem niio importa (ABC eo mesmo conjunto que BAC). 0 numero de maneiras para selecionar r objetos de 11 objetos sem levar em considera<;ao a ordem eo numero de combina~oes de 11 objetos retirados r de uma vez. lmportante Dmbina(oes de nobjetos retirados rde uma vez Uma combina~ao e uma sel~o de r objetos de um grupo de n objetos sem levar em coma a ordem, e e denotada por .c,. O numero de combina<;3es de r objetos de um grupo de n objetose: C= n! • ' (n - r)!i! Podernos p.ensar em uma combina<;ao de 11 objetos escolhidos r de uma vez oonforme a permuta<;ao de 11 objetosdosquais osrselooonadossaoiguaiseos objetos 11 - ,. restantes (nao selecionados) sao iguais. Ed ,e 1naaa 1 142 • ls111k1ica apli<•d• Exemplo m Encontrando o n6mero de combina(iies Un1 departanH?nto de transportes es-tadual planeja descnvolver u1na nova sec;3o de uma rodovia interestadual e recebe 16 ofertas de concorrencia para o projeto. 0 Estado plantja contratar quatro das empresas na concorr~ncia. Quantas combina<;Oes diferentes de quatro empresas podemos seledonar das 16 empresas na concorrenda? Soluftio 0 Estado esta selecionando 4empresas de um grupo de 16, entao 11 = 16 er = 4. Ja que a ordem nao e importante, ha: c- c- 16! • • - .. ' - (16 - 4)! 4! 16! =-12! 4! 16· 15·14 ·13·12! 12!·4! = 1.820 combina<;Oes diferentes. lllterpretaftiO Ha l.820 diferentes combina<;Oes de quatro empresas que podem ser seleciona· das a partir de 16 empresas na concorrencia. Tente voct 5 0 gerente de um departamento de contabilidade quer formar um comite con· sultivo de tres pessoas dos 20 funcionarios do departamento. De quantas ma· neiras possfveis o gerente pode formar esse comite? a. lde11tifiq11e o mimero de objetos no grupo 11 e o numero de objetos para serem sele· cionadosr. b. Awlie ,C,. c. Escreva os resultados como senten~as. Rt"$fh~l11 ua p. A tabela a seguir resume os prind pios de contagem. Prin~ipio Principia fundamental da contagem Permuta~o Descri~3o F6nnula Sc um ev('nto pOde <>correr dc.111 maneiras e un1 seg,undoevento pode ocorrer de 11 n1aneiras, o 1'1Un1ero de maneiras nas quais dois cventos podi?m 111 • 11 ooorrcr cnl sequCncia I!"'· 11. 0 numero de difcrentcs organiza~OcS ordenadas de 11! 11 ol>jetos distintos. 0 numcro de pcm1uta¢cs de" objctos disti11tos rctirados rdc uma vcz, r s: 11. II P=__!!!__ (11 - rV. f 0 nUmero de pennu ta~·~ distingulveis de 11 11! objetos distinto.s ondc ,,, sSo de um tipo, ": sao de outro tipo e assinl por diante. Combin a~Oes 0 numero de oon1binai;<;es de robjetos selccionados de um grupo de,, objctos sen1levar en1 conta1a ordcm. c= • ' 11! (11 -r)! ll A.18 Edifii,IJd§d C1p1tuto 3 I Aplica~oes dos principios de contagem • P10ubllld1o1t 143 · - Retratando o mundo Exemplo I 6 Encontrando probabilidades Um romite consultivo de estudantes tern 17 membros, sendo que ires deles tern as ~uintes fun¢es: presidente do cocnite, secret.irio e u.Ybmnsttr. Cada membro tern a mesma possibilidade de estar em qualquer uma das posi¢es. Qua! a probabilidade de selecionarmos aleatorinmente os tres membros que t~m cada posi<;ao? Soturiio H~ um resultado fovor<ivel e h;S: 0 maior premio da loleria. S ~ milhOes. foi vencido na l..oteria Mega Million. Quando o pn'mio da Mega Million foi vencido. cinco m'.uncros foram escolhidos de l a 56 e um numero. a Mega Bol:\. foi escolhida entre 1 c 46. Os numeros vena.>dores sao mostrados a seguir 17! 17! 080 ., •., = - - - 17·16·15• 4. . (17 - 3)! 14! n maneiras nas quais as trl's posi~ pod em ser preerichidas. Entao, a probabilidade de selecionannos rorrell\mcnte os trl's membros que t~m cada posii;ao ~= Um romit@ ronsultivo de estudanles tern 20 membros. Dois membros servem _. como o p~idenle do romil~ co secrct;irio. Cada mcmbro tern a mesma pos6 sibilidade de tcr qualqucr umn dns posi~Ges. Qual a probabilidade de selecionarmos aleatoriamentc os dois membros que Wm cad a posi~ao? Tente a. Enrontre o 111i111ero de mm1eirns nas qunis as duas posi~ podem ser preenchidas. b. Enrontre a probnl1ilidnd<• de selecionarmos rorrelamente os dois membros. Re>~Jt~lir 1u1 p. AJS In Encontrando probabilidades Temos 11 tetras ronsislindo de um M, quatro Is. quatro Ss e dois Ps. Se as tetras rorem organizadas em ordcm aleat6ria. qual a probabilidade de que a ordem fonne a palavra Mississippi? Soturtio 1-ld um rc;ultodo fnvor.Svcl c ~: II! 1!-4!· 4!·2! = 34.650 22 29 39 42 20 1 Plselecionando trl's membros) • - -"' 0,0002. 4.080 Exemplo 16 ll lelra-c<>m 1, 4, 4 e 2 letras iguais. permuta~ distinguiveis das tetras dadas. Entao, a probabilidade de que a ordem fom1e a palavra Mississippi~: ~"""" 0,000029. 34.wv 'tente Temos 6 tetras ronsistindo de um L, dois Es, dois Tse um R. Se as letras forem wd ordenadas aleatoriamente, qual a prob.'lbilidadc de que a ordem fonne a p.17 lavra Letter? P(Mississipi) = a. Ermmtreo m1mero de rcsullados fovor~vcis co numero de permuta~ distingu!veis. b. Dividn o numero de resullados fovor~veis pelo numero de pemiuta~distingufveis. R~/H}..ttt '"' p. AlS + Mcgn llol" Sc too• rc1111pmr 11111bi111dr,1111111 n p11>bri!>ili1fndr 1lr qm• wrt' Wll\'11 11 loterin Alegn ,\ lillio11>? Ed ,e 1naaa 1 144 • l51.,l11lca apll<oda Exemplo [8J Encontrando probabi!idades Encontre a prob01biJidade de receber cinco cartas de ouros de um b;imlho nom,al de cartas. (No p<lquer, diz-se que Mum f111s/1 de ouros.) SolufiiO 0 numero posslvel de maneiras de escolhermos 5 cartas de ouros de 13 e .,c,. 0 numero de maos de cinoo ca.rt.is e.,c,. Entao, a probabilidade de recebcr 5 ouros e: P(j111sh deouros) = 1 287 ,,c, = · :;::0,0005. ,,c, 2.598.960 ente Encontre a probabilidade de receber cinco cartas de ouros de um baralho norvoct ma! que tambem inclui dois ooringas. Neste caso, o coringa e considerado uma 8 carta que pode ser usada para representar qualquer carta do mai;o. a. Enoontre o mlmero rle 111n11eir/1$ de escolhermos 5 de ouros do total de 15. b. E11co11tre o numero de maos de cinoo cartas possiveis. c. Divirln o resultado da parte (a) pelo resultado da parte (b). RdJit>slll 1t11 I'· A3S Exemplo [9J Encontrando probabi!idades Um fabricante de alin1entos analis.1 uma amostra de 400 graos de milho para a presen~a de uma toxina. Na amostrn, tres griios tem niveis perigosamente altos da toxina. Se quatro griios forem selecionados aleatoriamente da amostra, qua! a probabilidade de que exatamente um grao tellha um nfvel perigosamente alto da toxi1ia? Soluftio 0 n(1mero possivel de maneiras de escolhennos um g.rao t6xico de Ires graos t6· xi cos e3C,. 0 numero possfvel de maneiras deescolhermos 3 graos nao t6xicos a partir de 397 griios nao t6xicos e,,,c,. Entao, usando o princfpio fundamental de contagem, o ndmero de maneiras de escolhennos um grao t6xico e Ires niio t6xicos e: ,c,.,,,c, = 3. 10.349.790 = 31.049.370. 0 nt'i1llero de n1,1neir,lS possfveis de escolhern1os 4 grC'ios de 400 e ¥/JC~ = 1.050.739.900. Enrno, a probabilidade de selecionarmos exatamente um grao t6xico e: c. c P(l grao t6xico) = ' ' "' ' .,,c. 31.049.370 ,,,, , _ 0 0296 1.050.739.900 Um juri consiste de cinco homens e sete mulheres. Tres sao selecionados aleavoct toriamente para uma entrevista. Encontre a probabiilidade de que os tres sejam 9 homens. a. E11co11tre o produto do numero de maneiras para escolhermos tr~ homens de cinco e o numero de maneiras para escolhermos zero mulheres de sete. b. E11co11tre o ndmero de maneiras para escoUiermos 3 membros do juri de 12. c. Dividn o resultadoda parte (a) pelo resultado da parte (b). R(i1Ct-'f1111n p. 1U8 Ed ,e 1naaa 1 (apltulol Ill 22. lintos retirados r de uma vez, o que estamos contando> De um exemplo. 2. Quando calculamos o numero de combina¢es de r objetos telirados de um grupo de n objetos, o que estamos contando? De um eocemplo. Verdadeiro ou falso? Noseocercicios de 3 a 6, detennine seas frases sao verdadeiras ou falsas- Se f0<em falsas, reescreva·as de fonna que sejam verdadeiras- 23. 24. 25. 3. uma combin~ e uma 0<ganizai;Ao ordenada de objetos- o numero de diferentes organiu¢es 0tdenadas de n objetos distimos enl 26. Se voce dividir o n<lmeio de permuta~6es de 11 ~tos rerirados 3 de uma vez po1 3!, voce obtera um n<lmero de combina¢es de 11 objetos retirados 3 de uma vez. 6. 1Cs s 1C1 5. Nos exercicios de 7 a 14, f~ os calculos indicados: 7. /', 8. ,,P, 9• .,C4 10. t. ,c, 13. ,.c, .P, IOP4 12. 14. 27. 28. 12c" ,c, .,cl Nos exerckiosde 15 a 18, decida sea situai;Aoe~ permuta· Explique. 0 numero de maneiras que 15 pessoas podem ser afinhadas em fileira para os ing<essos de um concerto. 0 numero de manei:as que um oomite de quauo membtos pode ser escolhido de 10 pessoasO numero de maneira.s que 2 O!Pitaes podem sec escolhidos entre 28 jogad0<es de um time de lacrosse. o numero de senhas de quatro letras que podem ser criadas quando nenhuma let.ta pode ser tepetida. ~es. combina~6es ou nenhuma delas- 15. 16. 17. 18. 145 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. l!lsando e interpretando conceitos 19. Menu nas naves espaciais Cada astronauta de naves espa· ciais oonsome uma media de 3.000 calorias diarias. Uma refei· 36. ~ao normalmente consiste de um prato principal, um prato de vegetais e duas sobremesas diferentes. Os astronaut.ls podem escolhe1 entre 10 pratos principais, 8 pratos de vegetais e 13 sob<emesas. Quantas tefei<;aes diferentes sao possiveis? (Fon:•· NASA.) 20. Esquiar Oito pessoas competem em uma corrid.l downhi" de ~- Assumindo q\le nao ha empates, de quantas maneiras di· ferentes os esquiad0<es podem terminat a corrida? 21. C6digo de seguran~ De quantas maneiras as letras A. B, C, D, Ee F podem ser organizadas para um c6<figo de segurant;a de seis letras? Organiza~ao inicial A organizai;Ao inicial para um time de soft· bo" oonsiste de IO jogadores- Quantas 0tdens dfferentes de reba· 1. Quando calculamos o numero de permuta¢es den objetos dis· 11. Probabili~adt Exercicios Construindo habil idades basicas e conceitos 4. • 37. lldas sao posslveis usando a orgarnzai;Ao 1mc1al! Se~o de numeros de loteria Uma l0teria tern 52 niimeros. De quantas maneilas diferentes 6 <lesses oomeros podem set seleciooados? (Assuma que a ordem de se~o nao seja imPO<t.Jnte.) Processo de fabrica~o Ha quatro processos envolvidos na produi;Ao de c.erto p<odU1o. Esses. p<oc.es.sos podem ser realizados em qualquer ordem. 0 gerente.quer encontrar qua! O<dem oonsome menos tempo e menos dinheiro. Quant.ls ordens diferentes terao de ser testadas? Plantacao de arvores Um paisagista quer plantar quatro car\'a· lllos. o~os bordos e seis alamos na finha de um gramado. As arvotes devem set espa~s unifoonemente. De q\lantas maneitas arstingur.teis as .!NOtes podem :ser plantadas? Grupo experimental Para oor>duzi:mos um experimento, 4 su· jeitos sao selecionados aleatoriamente entre um grupo de 20. Quantos grupos diferentes de 4 sao posslveis? Letras De quantas maneiras dis1ingufveis as letras da pala1Ka sro· tistics podem ser esaitas? Sele~ao de juri De um grupo de 40 pessoas, um juri de 12 pessoas ~ selecionado. De quantas maneiras diferentes o juri de t 2 pessoas pode ser selecionado? Palavras desordenadas tlos exerdcios de 29 a 34, faca o que ~ pe<fido. (a) Encontre o numero de mane~as distingulveis nas quais as letras podem ser ordenadas. (b) Ha uma 0<dem que soleua um te1mo imponante (em in· ~) usado neste livro. Encontre o tenno. (c) Se as letras f0<ern 0tdenadas aleatoriamente, quaI a probabi· lidade de que a ordem forme uma palavra da pane (b)? palmesnevte. etre. ediman. unoppola1i. sidtbitoium. Corrida de cavalos Uma corrida de cavalos tern 12 oompetidotes. Assumindo que nao ha empates, qua! a probabilidade de que tres cavalos que tenham o mesmo propriet.!rio terminem em p<imeiro, segundo e 1ercei10 lugar? Coberturas de pizzas Uma pizzaria oferece nove tipos de coberturas. Nenlltml e usada mais de uma vez. Qual a p<obabili· dade de que as cobenuras na pizza sejam pepperoni cebolas e champignons? Jukebox Voe~ obse~·a as mWMis em uma jtJkebox e determina que gosta de 15 das 56 mUsicas. (a) Qual a probabilidade de~ voce goste das tres pt6ximas m(J. sicas tocadas? Aswma que uma rnisica nao possa se1 repetida. (b) Qual a p<obabilidade de que voe~ nao goste das tres pr6xi· mas mtisicas 1ocadas? Assuma que uma musica nAo possa ser repe6da. Ed ,e 1naaa 1 146 • [1mllli<4aplkado 38. Escrit6rios Os escrit6rios do presidente. do vice-p<esidente, do secret.lrio e do tesoureiro de uma sociedade ambiental serao pree<ldlidos de um grupo de 14 andidatos. Seis dos candidatos sAo membros de um gwpo de debates. (a) Qual a prchabilidade de que todos os escrit6rios ~ejam preenchidos pelos membros do grupo de debate? (b) Qual a probabilidade de que nenhum dos escrit6rios seja preenchido pelos membros do grupo de debate? 39. Sele~o de funcionArios Quatro rep<esemantes de 11endas de uma empresa serao escolhidos para particip.Jr de um tceinamen· to. A empresa tem oito representantes, dois em ada uma das quatro regi0es. De quamas maneiras daerentes os quatro representantes podem ser selecionados se (a) nAo hou11er restritOes e (b) a ~o induir um representante de ada regiao? (c) Qual a probabiidade de que ""'tro representantes de llendas escolhi· dos para participar do programa de treinamento sejam somente de duas das quatro regiOes se forem escolhidos aleatoriamente? 40. Platas de carros Em um estado, cada numero de placa de wro consiste de duas letras seguidas po< um numero de quatro dlgi· tos. Quantos n0meros de placas de carros diSlintos podem ser formados se (a) nao hou11er restri¢es e (b) as letras 0 e I n.!o forem usadas? (c) Qual a probabilidade de selecionarmos ale.Jto· riamente uma placa que termine em um numero fmpar? 41. Senhas Uma senha consiste de duas letras seguidas de um nu· mero de cinco digitos. Quamas senhas s!o possiveis se (a) n.!o houver restri10es e (b) as letras e os digitos nao forem repetidos? (c) Qua! a prooobilidadede ad'ivinharmos a senha em uma tenta· 1iva se nao ~ restri10es? 42. C6digo de Area Um c6digo de ~rea consisle de digitos. Quantos c6digos s!o possiveis se (a) n.!o houver restri¢es e (b) o primeiro digito nAo puder ser 1 oo O? (c) Qual a probabilidade de selecionarmos um c6digo de ~rea aleat6rio que te<mine em um numero fmpar se o primeiro digito n.!o pude< ser I oo 01 43. Reparos Em quantas ordens tees computad0<es quebrados e duas impresSOfas quebtadas podem ser reparados se (a) n.!o houver restri¢es, (b) as impressoras devem ser reparadas pri· meiro e (c) os computadoces devem ser reparados primeiro? (d) Se a ordem d05 reparos n.!o ti11er restri¢es e a ordem dos re· par05 e feita aleatoriamente, qual a probabilidade de que uma imp<esSO<a seja reparada primeiro? 44. Unidades com defeitos Um carregamento delO fornos micro· -ondas con1em duas unidades defeituosas. De quanias maneiras diferentes um restaurante pode comprar tres des~ unidades e 1eceber (a) nenhuma unidade defeituosa. (b) uma unidade defeitu05a e (c) pelo me.'lOS duas unidades que n.!o sejam de· feituosas? (d) Qual a probabifidade do restaurante comprar pelo menos duas unidades deleit1J05as? ties Situa~ao financeira N05 exercicios de 45 a 48, use o gr.!fico de pizza, que mostra conno 05 ackJlt05110fte-amerian05 class~icam sua situa\Ao financeira. (FMre: ~·J lleseatch Center.) Classifique sua situa~ao linanceira Ouiro 1% Pobre 14% _....,,...,..~ Boa 41% Regular36% 45. Suponha que 4 pessoas sejam escolhidas aleatoriamente de um grupo de 1.200. Qual a probabilidade de que todas as 4 pessoas classiliquem sua situa~ financeira con10 excelente? (Assuma que as 1.200 pessoas sao representadas no grafico.) 46. Suponha que 10 pessoos sejarn escolhidas aleatoriamente de um grupo de 1.200. Qual a probabilidade de que todas as 10 classifiquem sua sit~o financeira c0<no pobre? (Assuma que as 1.200 pessoas sao representacilas no gr.!fico.) 47. Suponha que 80 pessoas sejam selecionadas aleatoriamente de um grupo de 500. Qua! a probabilidade de que nenhuma das 80 pessoas classifique sua situa1ao financeira como regula1? (Assu· ma que as 500 pessoas sao representadas no gr.!foco.) 48. Suponha que 55 pessoas sejam selecionadas aleatoriameme de um grupo de 500. Qua! a p<obabilidade de que nenhuma das 55 pessoas dassifique sua situatao financeira como boa? (Assuma que as 500 pessoas s!o representadas no grAfico.) 49. Probabilidade Em uma loteria estadual, ~ deve selecionar corretamente 5 numer05 (em qualquer ordem) de 40 para ga· nhar o p<~io. (a) De quantas maneiras os 5 n~meros podem ser escolhidos dos40? (b) Voce compra um billlete de loteria. Qua! a probabilidade de ganhar o pr~io m.\ximo? 50. Probabilidade Uma empresa que tern 200 funcionarios escolheu um comite de 15 para 1ep1esentar os problemas rela· cionad05 aaposentadoria dos funcionAri05. Quando o comite foi formado, nenhum dos 56 funcionArios minoritari05 foi se· lecionado. (a) Use a ferramenta tecnol6gic.a para enconuar o numero de maneiras que t5 funoon~rios podem ser escolhidos de 200. (b) Use a ferramenta tecnol6gic.a para enconuar o numero de maneiras que 15 funcion.!rios podem ser es<:olhidos entre t44 que nao s!o minorit.lri(l'S. (c) Se o comite foi escolhido aleatoriamente (sem tendencio· si&de), qua! a p<obabilidade de que ele nAo contenha 05 minorit.ln05? (d) Sua resposta na pane (c) inclica que a setetao do comite foi 1endenciosa? Explique. 51. cartas Voce recebe uma mao de cinco cattas de um baralho normal. Encootre a probabi6dade <le que sua rmo contenha: (•) quatro de "m nairie. (b) um full house, quecoosiste em um tres de um naipe e um dois de um naipe. (c) tres de um naipe (as ootras duas attas s!o dife1entes uma das outras). (d) dois pause um dos ootr05 tres naipes. 52. Armazem Um ormazem emprega 24 trabalhadores no primeiro tumo e 17 no segundo. Oito trabalhadores sao escolhidos aleatoriameme para serem entrevislados sob<e seu ambie.ite de uaba· lho. Enconue a probabilidade de escolher: (a) todos 05 trabalhadores do primeiro tumo. (b) todos do segundo turno. (c) seis do primeiro tumo. (d) quatro do segundo tumo. Ed ,e 1naaa 1 C•pflulo3 • P10babilidode 147 Loteria da NBA Nos exerdcios de 53 a 58, use a inform~ao a seguir. A National Basketball Association (NBA) usa uma loteria para No graffco de Pa1eto, o numero de combina~Oes designadas para cada um dos 14 times e mosuado. O time com maior numero de derrotas (o pior) tern as maiores chances de ganhar a loteria. En!Ao, o pi0< time recebe a maior frequencia de combina~oes de 4 determinar qual time ~ o primeiro sefecionado em sua sefe<:,ao anual oUmerO$, 250. 0 time com os melhores rt:Kuftados dos )4 limes qu& de jogadores. Os times quarmc:cdos para a loteria sao os 14 times que nao &sputaram os playoff. catooe bolas de ping-pcmg sao nume<adas de 1 a 14 e saocolocadasem uma c:cixa. Ac:cda um dos 14 times sao designadas diveisas combina~oes possiveis de 4 n(Jme<os que cor· respondem aos rnimeros nas bolas de ping·pcng. tais como 3, 8, 10 e 12. Quauo bolas sao S()(teadas para determinar a primeira escolha na sel$. A 0<dem na qual as bolas sao sorteadas nao eimportan· te. Todas as combina¢es de 4 numeros s.io designadas para os 14 limes avaves de computad0<, e><ceto por uma combina~o de quauo nume<os. Quando ~a c0<nbina~o de quatro numeros e sorteada, as bolassao colocadas de volta na cai10 e um novo soneio acontece. Pol exemplo, se o time Afoi designado acombina>iio de quauo n(lmeros 3, 8, 10 e 12 e as bolas mostradas a seguir forem soneadas, entao o lime A gaoha a primeira escolha. nae esi.wam nos playoff tern menos chances, com 5 combina~oes de 4 ntlmeros. Expandindo conceitos Frequencia das combina50es de 4 numeros designadas para a loteria de sele~ao da NBA .8 J()() r - - .~ 2SO _210 e 200 ~ ~> 8 .g 150 ..... ·i~ 100 ~ 156 - n063_,0 n-8•1 ., 119 38- ~ so ~,.!..!, J... .2. J.. ; , • • Y . '? , , , , ...,... ~ ~ ~ • ~ • ~ • ~ ~ ~ ~ ~ ! t.:.. R1111ki11g dos 14 tin1cs quc niio dispu1nr:un vl,1w1ff, 1>i0f 1i nle pri1neiro 10/ Dejl<)is que a plimeira escolha da sel~o e determinada, o processo continua a escolher os times que irao escolher a segunda e ter· c.eira ~ao. A ordem remanescente da sel~o e determinada pelo nume<o de derrotas de cada time. 53. De quantas maneiras 4 dos nume<os I a 14 podem ser setecionados se a ordem nao for importante? Quantos grupos de 4 numeros sac designados pa1a OS 14 times? 54. De quantas maneiras dfoentes quatro dos nlime<os podem ser seleci<inados sea ordem f0< imponante> 55. Para cada time, encontre a probabiliclade de que o time seja o vencedor da p1imeira ~o. 56. Owl a probabilidade de que o time com pior resultado ganhe a segunda sel~. dado que o time com o melh0< resultado, W classificado, ganhe a primeira s~? 57. Qual a probabilidade de que o time com o pior resultado ganhe a terceira se~o. dado que o melhor time, dassificado como 14• pior time, ganhe a primeira selecAo e que o time dassificado em 2' ganhe primeiro a segunda selec;OO? 58. Qual a plobabilidade de que nem o primeiro nem o segundo pi0< time ganhem a plimeira ~o? Usos e abusos - estatistica no mundo real Usos A probabilidade afeta decisiles qua.1do realizamos a previsao do tempo, quando sao de· terminadas estrat~ de marketing. quando mediai~iles sao selecionadas e mesmo quando jogadores silo selecionados para times profis.sionais.. Embora a intui(Ao seja frequeotemente usada para determinarmos as probabaidades. somos c:cpazes de avaliar a probabifidade de que um evento ocorra aplicando asreg1as de probabilidade clAssica e probabifidade empitica. PO< exemplo, supooha que voe! uabalhe para uma corretora de im6veis e deve estimar a probabifidade de que cena casa seja vendida por certo pr~ dentro dos pr6ximos 90 dias. Voce poderia usar sua imui~o. mas \'OC<! poderia avaliar melh0< a probabilidade olhando os regisiros de vendas para c:csas similares. Abu sos Um abuso comum da probabilidade e achar que as probabii dades tern ' mem6ria'. Por exemplo, se uma moeda e jogada oito vezes, a probabilidade de que ela ~A dar cara todas as oito vezes ede somente aproximadamente 0,004. Enuetanto, sea moeda jAtiver sido la~ sete vezes e saiu c:cra em c:cda uma das vezes, a probabilidade de que a moeda irAc:cir em cara na oitava vez e 0,5. cada jogada e independente de todas as outras jogadas. A moeda nao se ' lembra' que jA caiu em cara Sete vezes. Ed ,e 1naaa 1 148 • Cm1111i<HpUrada Etica Um diretor de recur;os humanos de uma empresa com 100 funcionarios quei mostrar que sua empresa <IA Ofl<l<lunidades iguais a rrulhe<es e minorias. Ha 40 mulheres empregadas e 20 funcionarios de minorias na emp<esa. Nove dessas mulheres sao de minorias. Adespeito desse lato, o diretor repol1a que 60% da empresa eou uma mulher ou uma minoria. Se um funcion.!rio for selecionado aleatoriameme, a p<obabilidade de que esse funcion.!rio seja uma mulher e 0,4 ea probabifidade de que esse ful1cioo.!rio seja pane de uma minoria e 0,2. lsso nao signilica, entretanto, que a p<obabilidade de que um fundonario selecionado aleatoriamen· te seja mulher OU pa rte de minoria e0,4 + 0,2 OU 0,6, pocque nove funcionarios pertencem a ambos os grupos Neste caso, seria eticamente ilcorreto omitir essa informayio de seu relatOrio. pois esses ind'rviduos setiam comados duas vezes. Exercicios 1. Assumindo que probobilidode tem •mem6rio" Uma ioteria de numeros· diaria tern um numero de tresdfgitos de 000 a 999. \bee ~a um bilhete a cada dia. Seu numero e389. a. Q\Jal a proll.lbilidade de ganhar na pr6xima tet~ ou quarta·feira? b. Voce ganha na ter~·feira. Qua! a probabilidade de ganhar na quarta-feira? c. Voce nao ganhou na ter~·feira. Qua! a probabilidade de g;inhar na quana·feira? 2. Micionondo probobilidodes incorretomente Uma cidade tern popul3¢o de 500 pes· soas. Suponha que a p<obabilidade de que uma pessoa escolhida aleatoriameme tenha uma pid<lJp e0,25 e a probabilidade de uma pessoa selecionada aleatoriame.ite ter um SUV e0,30. O que podemos dizer sabre a p<obabilidade de uma pessoa esoolhida alea· toriamente te< uma pickup ou um SW? Essa piobabilidade poxleria set 0,55? Poderia set 0,60? Eiplique. Resumo do capitulo 0 que voce aprendeu? Se~ao 3.1 • Como identincaro espa\o amostral de um experimento de probabilidade e identificar eventos simples. • Como usar o princfpio fundamental da contagem para encontrar o mimero de n1aneiras nas quais dois ou 1najs eventos pode1n ocorrer. • Como distinguir entre probabilidade d~ssica, empirica e subjetiva. • Como encontrar o oomplemento de um eventoe como encontrar outras probabilidades usando um diagrama de M<ore e o princfpio fundamental da contagem. Exemplos Exercicios de revisao 1 e2 1a4 3e4 5e6 5a8 7a 12 9a 11 13a 16 se,Cio 3.2 • Como encontrar probabilidades condicionais. • Como distinguir entre eventos dependentes e independentes. • Como usar a regrade multiplica\ilo para encontrar dois eventos ocorrendo em sequencia: P(A e 8) = P(A) · P(BIA) P(A e B) = P(A) · P(B). 17et8 2 3a5 19e20 21 e22 Ed ,e 1naaa 1 (•pltulo} • Pt0l~ilidade 149 Se~ao 3.3 • Como determina.r se dois eventos silo mutuamente exclusivos. • Como usar a regra de adi(~O para encontrar a probabilidade de dois eventos: P(A ou 8) = P(A) + P(B)- P(A e 8) 2a5 23e24 2Sa34 laS 35a38 6a9 39a42 1 P(A Ou 8) = P(A) + P(B). Se~ao 3.4 • Como encontrar o numero de maneiras que um grupo de objetos pode ser organizado em ordem e o m1mero de maneiras de escolher di versos objetos de um grupo sem levar em conta a ordem. lf ! (11 - r)!ri" • Como usar os principios de contagem para encontrar probabilidades. Exercicios de revisao Sec~o 3.1 Nos eirercicios de I a 4, identifique o espa~o amostral do experimento de probabilidade e determine o numero de resuhados no evento. Deseohe o diagrama de arvore se 10< apropriodo. 1. Experimento: jogar quauo moedas. Evento: ob1er tres caras. 2. Experimento: jogar dois dados de seis !ados. Evento: obter a soma de 4 ou 5. 3. Expetimento: escolher IJ1l mes do ano. Evemo: escolher um mes que comece com a letta J. 4. Experimento: acfivinhar o sexo de tres crian~ em uma famitl. Evento: a famOia tem dois meninos. Nos exerdcios 5 e 6, use o principio fundamenial da coniagem. s. Um es1udante deve escolher entre 7 aulas para ter as 8 da manha, 4 aulas para ter as 9 e 3 para 1er as 10 da man ha. De quantas maneiras o estudante pode montar seu M<~rio? 6. As placas de carros do estado da Virgfnia IMi tres tetras seguidas de quatro digi1os. Assumindo que qualquer letra ou dfgito pode ser usado, quantas placas diferemes ~ possi\<eis? Nos exercfcios de 7 a 12, classifique a frase como exemplo de probabilidade classica, empirica ou subjetiva. 7. Com base em coniagens anteriores, um inspet0< de qualidade diz que ha uma probabilidade de 0,05 de ~ uma ~ escolhida aleatoriamente seia defeituosa. a. A probabilidade de seleciooarmos alea1oriamen1e cinco cartas de um mesmo naipe (urn flush) de um baralho noonal ede aproximadamente 0,0005. 9. Ad1ance de as a~~es da CO<JlO<~O Acarrem ltje e de 75%. 1O. A probabllidade de uma pessoa dos Esiados Unidos ser canhota ede 11%. 11. A probabilidade de jog¥ dois clados de seis l<ldos e obter uma soma maie< que 9 e de 1/6. 12. A chance de selecionar aleatoltamente uma pessoa nos Estados Unidos que telli-.a enue 15 e 24 anos e de ap<oximadamente 14%. (Fcn:.: U.S. Censvs &Peou) Nos exercfcios 13 e 14, a iabela mosua a disuibui~o aproximada dos tamanhos das empresas em 2004. Use a tabela para determinar a probabilidade do even10. (Foore: us smaa Bv"""'M""""""""') NUmero de funcionarios Oa4 5a9 IOa 19 20 a99 IOOou mais Porcentagem de firmas 60,8% 17,7<ib I0,811b 8,9'11> I.~ 13. Q\Jal a probabifidade de que uma empresa selecionada aleatoria· mente tenha pelo menos 10 fun~rios? 14. Q\Jal a probabilidade de que uma empresa selecionada aleatoriamente tenha menos que 20 funcionarios? Ntlmeros de telefones Oo n.;mcroo de 1clelooe de umo rcgi.Jo de um E<t.:ido t~m oldi go de Area 570. Os p«>ximos sete digitos represeniam os oomeros de telefooe locais para a regi.lo. Um niime10 de telelone local n.lo pode com~r com Oou 1. Seu primo moo dentro do c6<frgo de area clado. 15. Q\Jal a probabilidade de gerar aleatoriamente o numero de t*fooe de seu primo? 16. Q\Jal a probabiridade de ~o g>erar aleatoriamente o numero de telefone de seu primo? Secao 3.2 Nos exerdcios 17 e 18, a lista mostra os resultados de um estudo sobre o uso de notas menos e mais na Universidade Estadual da carolina do Norte. Ela mostra as porcentagens de estudantes graduados e nao graduados que receberam notas com mais e menos (por exem· plo, C+, A- etc.). (rofl<f: •Votlh CcJo!ile Sm Uil:'...,,.iy.) Ed ,e 1naaa 1 150 • l>tathlica•plicad• 17. Encontre a probabilidade de que um estudante seja nao graduado, dado que o estudante recebeu uma nota mais. 18. Encontre a probabilidade de que um estudante seja graduado, dado que o esludante recebeu uma nota menos. Nos exerdcios 31 e 32, use o grMico de piua a seguir, que mostra a distribu~o de porceniagem do numero de estudames em escolas secundarias tradicionais dos Estados Unidos. (/ldaplodo de No· riooal ~"'fa< Educ<JOOn Sr.,,,r.a.) Nos exerdcios 1~ e 20, decida se os eventos sao dependentes ou independemes. 19. Jogar uma moeda quatro vezes, obtet quatro caras, jog~·la uma quinta vez e obtet uma cara. 20. Fazer um curso de educ.J,Oo para motoristas e passar no elt(lme. Nos exercicios 21 e 22, eocontre a p<obabilidade de sequ~ de eventos 2 t. Voce est~ lazendo compras e seu colega de quarto pede que voce 11aga pasta de dentes e enxaguante bucal. Entretanio, seu colega nao diz as marcas que deseja. A loja tern oito marcas de pasta de dentes e cinco de enxaguante bucal. Qua I a probabilidade de voce comprar a marca correta de ambos os produtos? 22. Sua gaveta de meias tern 18 pares de meias dobladas, com 8 pares de meias brancas. 6 pares de meias p<etas e 4 pares de meias azuis. Qual a probabifidade de, sem olhar, voce primeiro selecionar e remover um par preto e entaoselecionar um par azul e um par branoo? Estudantes de escolas secundarias 600 a 999 19.8% 22.5% Nos exercfcios de 27 a 30, determine a probabilidade. 27. Uma ca•a e selecionada aleatoriamente de um baralho. Encontre a probabifidade de que a carta esleja entre 4 e 8 {inclusive) ou seia de paus. 28. Uma ca•a e selecionada aleat0<iamente de um baralho. Encontre a probabilidade de que a carla seja vermelha ou dama. 29. Umdadode 121ados,numeradode 1a 12,ejogado.Encontrea probabilidade de que a jogada resuhe em um numero impar ou um numero men0< que 4. 30. Um dado de 8 lados, numerado de l a 8, e jogado. Encontre a probabilidade de que 0 resultado seja um n\imero Jlilr OU um nUmero maior que 6. 30.0% 1.000 ou rnais 27.7% Menos que 300 31. Encontre a p<obabilidade de selecionar aleatoriamen1e uma escol.a com 600 ou mais estudantes. 32. Encontre a p<obabilidade de selecionar alea1oriamente uma escola entre 300 e 999 esludantes, inclusive. Nos exetdcios 33 e 34, use o grafico de Pareto. que mOStra o resu!tado de uma pesquisa na qual 500 aduhos loram quesrionados per que nem sempre comem alime'1\()S sau~ Por que voce niio come alimentos saudaveis? 175 Secao 3.3 Nos exerdcios 23 e 24, decida se os eventos sao mutuamente exclusivos. 23. Evento A: selecione aleatoriamente uma bala de goma vermelha deumpote. Evento B: seleciooe a!eatoriamente uma bala de goma amarela do mesmo pote. 24. Evento A: selecione aleatoriameme uma pessoa que ame gatos. Evento 8: seledone aleatori.lmente uma pessoa que tenha um cachorro. 25. Uma amostra aleat6ria de 250 trabalhadotes adultos descobre que 37% acessam Alntetttel no trabalho, 44% acessam Alnterttel em casa e 21% acessam AInternet em casa e no trabalho. Qual a probabilidade de que a pessoa nesta amostra sele<ionada aleatoriamente acesse Atntemer em casa e no trabalho? 26. Uma amostra de conces~illias de carros descolxiu que 19% dos automr\veis vend'idos sao prata, 22% sao utili1Arios esponivos (SlN) e 26% s.lo utili1Arios espo•ivos prata. Qual a probabilidade de que um autom<ivel vendido sele<ionado aleatoriamente seja pra1a ou um SUV? 300 a 599 95 85 60 55 30 ..." if ..,. ""' -e8 • 8. ~ ~ 0 .JI [ t~ 0 • '2 :I!E e <..> ·~ j -8 g ~"' ;; ~ Q• 1i ...a e ~ 33. Encontre a p<obab~idade de selecionar aleatoriamente um adulto da amostra que sinia que alimen1os saudaveis 1enham gosto ruim ou sejam diffcci.s de encontrat. 34. Encontre a p<obab~idade de selecionar aleatoriamente um adulto da amostra que nao coma alimentos saudAveis porque nae tem tempo para cozinhar ou POf'que esteja confuso sobre nulfi,ao. Sedo3.4 Nos exercldos de 35 a 38, use combina\;lo ou permuia~. 35. Quinze ddistas particiJlilm de uma corrida. De quantas maneiras eles podem terminar em primeiro-, segundo ou terceiro lugar? 36. Cinco jog3dores de um lime de basquete devem escolher um jogadO< do lime acfvers.lrio para defender. De quamas maneiras possf\leis eles podem escolher setJ defeflSOI? 37. Um editor de uma revisia deve es:colher 4 contos para o numero deste mes, de 17 COnlOS. De quar.t.ls maneiras diferentes 0 editor pode escolhet os contos do mes? Ed ,e 1naaa 1 <.pftul• 3 38. Um empiegadot deve comratar duas pessoas de uma lista de 13 ca11didatos. De quantas maneiras o emp<egador pode escolher duas pessoas? Nos exercicios de 39 a 42. use os prillcipios de cootagem para encontrar a probebilidade. 39. No pOquer. um lull house consiste de tres airtas de um ripo e duas de outro. Enconue a piobabilidade de um lull house com tres reis e duas damas. 40. Um c6digo de segurani;a consiste de 3 letras seguidas de um df· gito. A primeira letra nao pode ser A, Bou C Qua! a probabilidade de adivinhar o c6digo em uma tentativa? 4 1. Um lote com 200 calculadoras tem ues defeituosas. Qual a prcr bab;lidade de que uma amostra de tres calouladoras tenha: • Pwba~llidade 151 (a) nenhuma com deleito. (b) todas defeituosas. (c) pelo menos uma com defeito. (d} pelo merios uma sem defeito. 42. Um lote com 350 bilhetes de rifa tern 4 bilhe1es ganhadores Voci! compra 4 bilhetes; qua! a probabilidade de que voce tenha: (a) nenhum bilhete vencedor. (b) todos venced«es. (c) pelo men05 um vencedol. (d) pelo men05 um que nao seja vencedor. Teste do capitulo Fai;a este teste como se voce estivesse fazendo uma prova em sala. Depois compare suas respostas com as respostas dadas no final do livro. t. A tabela mostra o numero (em milhares) de gradua,oes conferi· das nos Estados Unidos no ano de 2004 pos nfvel e sexo. (Fonte: Notional ""1r.r I" fdlJ(a/ioTi S!al!Sln) Sexo I Nfvel de gra<lua~o Homem Mui her Total Associ.ldo 260 405 665 Bacharel 595 804 1.399 Mestrado 230 329 S59 Doutorado 25 23 18 Total 1.110 1.561 2.671 (e) tern doutorado, dado que a pessoa e homem. (f) tern mestrado ou em~. (g) tern grau associado e ehomem. (h) e mu!her. dado que a pessoa tern bacharelado. 2. Oecida se os event05 sao mutuamente exclusivos. Entao, decida se os eventos sao independen1es ou dependentes Explique seu raciodnio. EventoA: um go!fista marcando a melhor rodada em um tomeio de quatro rodadas. Evento 8: perder um torneio de golfe. 3. Um ca"egamento de 150 televiso<es tern 3 unidades defeitucr sas. Determine de quantas maneiras a e1T4l'esa de vendas pode comprar tres dessas unidades e receber (a) nenhum item defeituoso, (b) todos os itens defeituosos e (c) pelos menos uma unidade sem defeito. 4. No Exercfcio 3, eocontre a p<o'babilidade de a emp<esa receber (a) nenhuma unidade defeituosa, (b) todas as unidades deleilu· Uma pessoa que obteve uma gradua~o em 2004 e seleciona· da a!eatoriamente. Encontre a probabifidade de que essa pessoa seja alguem que: osas e (c) pelo merios uma lridade sem defeito. 5. 0 c6digo de acesso para o sistema de segurani;a de um anmazem tern seis digitos. 0 primeiro nao pode Set 0 e 0 ultimo deve set par. Quantos c6digos diferentes est~o disponrveis? (a) tern bacharelado. e (b) tern bacharelado, dado que a pessoa m"her. (c) tern bacharelado, dado que a pessoa n~ e mulher. (d) tern gradua,ao associado ou bacharelado. 6. Os escrit6rios de presidente, vice-presidente, secretario e tesou· 1dso t:rn Uflld t:lllJ.lfo<s ~rao Vft:t::od~ p<>1 un1a :,t:te<,:ao w111 30 candidatos. Oe qua~s maneiras diferentes eles podem ser preenchidos? Ed ,e 1naaa 1 15Z • Csl!IJ>1i,.apli<•" www.musl.com Estatistica real - decisiies reais Vcnccdores da Powerball e premios Jogo Prfmio 5 braocase Gr.wle 1 '"'melha pr~;, 5 br.iocas $100.000 4 brancase Probabilidade aproximada 1/146.107.962 1/3.563.609 s 5-000 1/584.432 4 br.iocas s 100 1/ 14.254 3 br..-.:as, s 100 1/11.927 S7 1/291 S7 1/745 $4 1/127 $3 1/69 I vermelha I vermelha 3 btanc.is 2 br..-.:as, I \'Cfmelha 1 branca I \'Cfmelha Onde a Powerball ejogada? A Powabn// ~ jogada em 29 cstados dos Estadas Unidos, \\tashington D.C. e nas Uhas Virgcns amcricanas Voce trabalha para um empresa qtJe realiza a IO!eria Powerball, um jogo de lote<ia na qual cin· co bolas brancas ~o escolhidas de uma cai>a contendo 55 bolas e uma bola vermelha e escolhida de uma caixa COfltendo 42 bolas. Para ganhar o grande pti!mio, o jogador de•oe ter as cinco bolas brancas e a veonelha. Ouuos ganha<lo<es e seus premios sao mostrados na tabela. Trabalhando no departamento de rela¢es publicas, voce Iida com muitas dUvidas da midia e dos jogadores. Vote recebe o e-mail a seguir. Voce ~sta a p1obabilidade de oilier openas a bola vetmelha em 1/69. Sei, com base em mi· nhos au/as de estatlstico, qve a p1obobilidode de ganhor eo razdo do n<imero de resuhodos de sucesso pelo nlimero total de resulrodos. v~ podetia explir:or por que o p1obabilidade de obter somente a bola vermelho ede 1/69? Seu ttabalho e responde< a questAo, usando as t~icas de probabilidade aprendidas neste capitulo pata justificar sua resposta. Ao responder a questAo, assuma que s6 um bilhete foi com· prado. Exercicios 1. Como vocUorio? (a) Como voe~ investigaria a qu~ao sobre a probabilidade de se obte< somente uma bola vermelha? (b) Qoais metodos ~alis1icos ensinado5 neste capitulo voce llS<lria? 2. Respondendo aquestdo Escreva uma explicar;ao que responda a(jtleStaO sobre a probabilidade de se obter aperl3s uma bola vermelha. lndua em sua resposta quaisquer f6rmulas de probabilidade que justifi· quern sua explica(Ao. 3. Outro questdo Voce recebe outra quesl<io sobre como a ptobabilida<fe geral <le ganhar um premio na Po· werboU e determinada. Aprobabilidade geral de ganhar um ptemio na Powe1bo// ede 1/37. Escreva uma exprtcar;ao qtie respo.ida Aques1ao e inclua quaisquer f6noolas que justifiquem sua resposta. Tecnologia MINITAB L EXCEL L Tl-8:1/84 L I Simulacao: compondo uma variancia de Mozart com dados Wolfgang Mozart (1756-1791) comp<ls uma variedade de ~as musicais. Em seu )ogo de Dados Musical, ele escreveu um minueto Wiener com um numero quase infi· nito de varia~<ies. Cada minueto tem 16 barras. Nas oitavas.e 16' barras, o musico tern a escolha de duas express<'ies musicais. Em cada uma das outras 14 barras, o musico tem a escolha de 11expresOOes. Para criar um minueto, Moz,1rt sugeriu que o musico jogue dois dados de seis lados por 16 vczcs. Para as oitavas e 16• barras, escolha a op~ao 1 se o total dos dados Ed ,e 1naaa 1 (apltulo l • P10l<bililodt 153 for fmpar ea op~o2se for par. Para cada uma das oulras 14barras,sublraia1 do total dos dados. 0 minueto a seguir eo resultado da sequencia de numeros: 5 7 1 6 4 10 5 l 6 6 2 4 6 s s 2 4 3 F fr t r r p I/I I t 7 l~E h~ M!L -0 1()11 I IE 1 5/11 '}f ra J.! I 2/11 15 I iiJ c 8111 lj i : l'U ft r c ;;j r=ir r 8 tJ Q 12 E ·~ rm 4/11 16 Ip 212 l ' fxercicios 1. QuanJas e><Pfesl<les Mozan escrevaJ para aiar o minueto do Jogo de Dodos Musical? Explique. 2. QuanJas varia>Oes possiveis hA no minueto do .logo dos Dados Musical de Moran? bpique. 3. Use a teetlo!ogia pa1a seleciooar aleato1iamente um numero de 1 a I I. (a) Qual ea probabilidade te6rica de cada rome10 de 1 a 11 ocorrer? (b) Use esse procedimento iwa selecionar 100 nt1meros intei· ros entre I e 1l. Marque seus resultados e compare com as probabilidades da pane (a). 4. Qual a probabilidade de seleciona1 aleatoriamente as o~ 6, 7 ou 8 para a primeita barra? Epara todas as 14 barras' Encontre cada probabifidade usando (a} probabilidade te6rica e {b) os 1esultados do Exercicio 3(b}. 5. Use a tecnologia para selecionar aleatoriamente dois nume· ros de I, 2, 3, 4, 5 e 6. Encontre a soma e subtraia 1 para ob1er um total. (a) Qual a probabilidade te6rica de cada 1oral de 1 a 11? (b) Use esse procedimen10 para selecionar 100 tOlais entre 1e 11. Marque os resuhados e compare com as probabilidades em (a). 6. Qual a probabilidade de selecionar aleatoriamente as op>oes 6, 7 ou 8 para a primeira barra? Encontre cada probabilida· de usando (a) probabilidades te6ricas e (b) os resuliados do Exercicio S(b). Ed ,e 1naaa 1 4l Capitulo IL l. __ __ Distri bui,oes de probabilidades discretas Dia t Onde estamos Do capilulo 1 ao 3, v~ aprendeu como coletar e descrever dados e tambem como encontrar a probabilidade de um dado evento. Essas habilidades sao usadas em diferentes tipos de carreiras. Dados sobre as condi~Oe:s climaticas, por exemplo, s.~o usados para analis.1r e pre,•er o tempo por todo o mundo. Em um dia tfpico, 5.000 esta~Oes de tempo, de 800 a 1.100 esta~6es de bal6es meteorol6gicos, 2.000 navios, 600 aeronaves, varios s.1h!lites de 6rbita polar e satelites fixos e uma variedade de outros aparelhos coletores de dados trabalham juntos para fornecer dados para os meteorologistas us.1rem na previsao do tempo. Mesmo com todos esses dados, os meteorolog.istas nao conseguem prever o telll1po com exatidao. Em vez disso, eles detenninam proba· bilidades para certas condi~ de tempo. Por exemplo, um meteorologista pode determinar que haja 40% de chance de chuva (baseado na frequencia relativa de chuva sob condi· ¢es clim6ticas similares). Dia2 Dial 06 M -0 ~ /~·- • . /=0.216 0.4 • 0.6 I'( ·•>=0.144 't-0 I~ ......) . 0.144 P( ···~> = 0.()96 0 { P·robabilidade Dias de- chu'1"a d ' 0.4 6 0.6 0.4 • •~ol 0 2 P<e. . J ) =0.144 /~ II . . 6) . 0.()96 2 P(ll.6 . ) =0.()% 2 P(6 .6. 6/= 0.064 3 Usando a Rigrn da Adiftio <om as probabilidades no diagrama de <lrvore, vo~ podera determinar a probabilidade de ocorr~ncia de chuva em vMios dias. Entao, podera usar essa infom1a¢0 parn estabelecer as distribui~Ocs de probabilidade graficamente. Dislribui~io de probabilidade Dias de chuva Marca~ao Probabilidade 0 I 0,216 Para onde vamos I 3 0,432 No Capitulo 4, v~ aprendera como criar e usar dislribui~6es de probabilidade. Conhecer a fonna, o centro e a variabilidade de uma distribui~ao de probabilidade Iara com que voce tome decis<les em estatrsticas infe.renciais. Voce e um meteorologista que est<! trabalhando em uma previsao de tempo de tr~ dias. Levando em considera~o que a ocorrencia de chuva em um dia e independente da ocorrencia de chuva em outro dia, voce determinou que exi:sta 40% de probabilidade de chover em cad a um dos tr~s di as (e 60% de nao chover). Quale a probabilidade de haver chuva em 0, 1, 2ou 3 dos dias? Para responder ess.1 questao, voce pode criar uma distribui~ao de probabilidades para possfveis resultados. 2 3 0.288 3 I 0,064 Numero de dias. de chuva l'I.<) 0.45 0.40 1 ~~ '.B 015 f_ 0,20 -1--.-----, 0.IS 0.10 o.os 0 2 Oi;is cl¢ chuva I I Ed ,e 1naaa 1 ,,, Distribui~oes de probabilidades Variaveis aleatorias ---+ Distribui,oes de probabilidade discretas ---+ Media, variancia e desvio padrao - > Valor esperado I cOflliluas. 0 resultado de um experimento de probabilidade geralmente e uma contagem ou medida. Quando isso ocorre, o resultado ed1amado de variavel aleat6ria. efinitao Uma variavel aleat6ria x represema um valor numetico associado a cada resultado de um experimento de probabilidade. A palavra nlent6ria indica que x edeterminado pelo acaso. M~ dois tipos de variavcis alcat6rias: discrela e continua. efinitao Uma variavel aleat6ria e discreta se ela tem um n(Jmero finito ou comavel de possfveis resultados a serem listados. Uma variavel aleat6fia e continua se ela tern um numero incontavel de posslveis resultados, representados por um inteNalo na reta numerica. Voci! conduz um estudo do nt'imero de liga~0es que um vendedor faz em um iJnico dia. Os possiveis valores da variavel aleat6ria x saoO, 1, 2, 3, 4e assim por di ante. Porque o grupo de res1~tados possiveis {0, I, 2, 3, ... J pode ser listado, x euma variavel aleat6ria discreta. Voci! pode representar esse valor com um ponto na rein numerica. NU1nero de liga~Oes de vendas (di.st.rein) .-.-.- --+--+-~-+- 0I234567S910 x pode ter ape.ias nojmeros inteiros: 0, l, 2, 3, ... Uma forma diferente de conduzir o estudo seria mediro tempo diario (em horas) quc um vendedor passa fazendo liga~. 0 tempo gasto fazendo liga~ pode ser qualquer numero entre 0 e 24 (induindo fra¢es e decimais), porlanto x euma variavel aleat6ria continua. Voce pode represcntar esse valor com wn intervalo na reta numeric(\ n1as voe\? nao poderfi listar todas as variciveis possfveis. Horn.s: gastas em liga~Ocs de vendas (continua) ~-+~-t-~+-~t---;~-+~-+-~+---.~ 3 deve aprender • Como difereociar vari.lloeis alllit6rias OO:retas de vaMveis aleat6rias Variaveis aleatorias 0 0 que voce 6 9 I! IS IS 21 24 x pode ter qualquer vala< e.we Oe 24. Quando uma variavel aleat6ria e discreta, voe~ pode listar os valores possfveis que ela pode assumir. Porem, e impossivel listar todos os valores para uma variavel aleat6ria continua. • Como rmntar uma dis~ibui(ao de probabiliclades discreias e rep1eSEO!Ma graflCafllente. • Como determinar se uma dada dis1riboi\<lo e uma dillriboi1<10 de probabilidade. • Como encontrar a ml!dia, a v;;. ri.lncia eo desvio padrao de uma dislriboi\ao de p1obabilidade dis· crela. • Como encontrar o valor espeiado de uma distribui'3Q de probabil~ dadedweta. Ed ,e 1naaa 1 156 • [1141t11i<"plicad• Dica de estudo -·~~~~~~~~~~ Nas aplica~<'ies mais praticas, vatiaveis aleat6rias discretas r,epre.sentam dad0$ cont6vei~ '°°' e variaveis aleat6rias l1nuas representam dados mensurados. lmportante •Valores de variaveis oomo idade, altura e peso geralmente siio arredondados para o ano, o centfmetro e o peso mais pr6ximos. Porem, esses \•alores representam dados medidos, portanto sao variaveis aleat6rias contfnuas. Exemplo m Varl~veis discretas e vari~veis contlnuas Decida sea vari.Svcl aleat6ria .,. e discreta ou continuai. E:xplique seu racioclnio. 1. x representa um numero de tftulos na Dow Jones Industrial Average que teve um aumento no numero de suas a¢es em um dado dia. 2. x representa o volume de agua em um conteiner de 32 on~as. Sol11pio 1. 0 volume de titulos cujos numeros de a~ aumcntaram pode scr calculado. 10, t, 2, 3, ..., 30} Portanto, x e wna variavel a1eat6ria discreta. 2. 0 volume de agua no cont~iner pode scr qualquer volume cntre 0 e 32 onvis. Portanto, x e uma vari~vel aleat6ria continua. Decida sc a variavel alcat6ria x ediscreta ou continua. 1. x representa o tempo necessllrio para tenninar 1:.1n1a prova. 2. x represcnta o numero de musicas que uma banda tocou em um festival de rock. a. Decida sc x representa dados oontaveis ou mensuraveis. b. Condua o raciodnio e t•xplique suas decis6es. ~}1t-:l1! I UI p. A.JS ~ importante que voce oonsiga diferenciar entre variaveis aleat6rias discretas e contfnuas porque usamos tecnicas estatfsticas diferentes para analisar cada uma. 0 restante deste capitulo concentra·sc nas variaveis aleat6rias discretas e suas distribui~Oes de probabilidade. Voceestudara dislribui~ oontinuas mais tarde. I Distribui,iies de probabilidade discretas Para c:.'da valor de uma variavel aleat6ria discreta pode-sc detenninar uma probabilidade. Ao listar cada valor de uma variAvel aleat6ria com sua probabilidade oorrespondente, voce estara fonnando uma distribui~ao de probabilidade. Uma distribui~o de probabilidade discieta lista cada valor possivel que a vaMvel aleat6ria pode assumir, junto com sua probabilidade. Uma distribu~o de probabilidade deve preencher as seguintes condi¢es. Empolovros Emsimbolos I. Aprobabiidade de cada valOf da variavel aleat6ria discreta eentre 0 e I, indusive. os P(x) s 1 2. Asoma de todas as probabilidades e I. !:P(x}=I Como as probabilidades representam frequencias relativas, uma distribui~ao de probabilidades relativas pode scr represcntada graficamente com um histograma de frequencia relativa. Ed1t11.11aaa (apltulo 4 • Diluiblli<6rs4e 1110Mi1Wad" dl•nflas 157 Construindo uma distribulilo de probabllidade discreta Se11do x 11111a vnridvel nltal6ria discrtla com possiveis resultados x, x7 •••, x,. 1. F3"' uma distribui~ de frequencias p.1ra os possfveis resullados. 2. Enconlre a soma das frequencias. 3. Encontre a probabilidade de cada resultado posslvel dividindo sua frequma pe!a soma das frequmas. 4. Verifiquequecada probabilidadeesleja enlreOe I. indusive,equeasomaseja1. Exemplo 1 Z Construindo e repreuntando uma distribuiilo de probabilidade discreta por meio de um grafico Um psic61ogo industrial aplicou um teste de invenlario de personalidade para idenlificar caractenslicas passivo-agressivas em 150colaboradores. Os individuos recebiam uma ponlua(3o de I a 5, scndo I extremamenle passivo e 5 extremamenle agres· s.ivo. Uma pontua~3o 3 n~o indicava nenhuma das duas caracterfslicas. Os resullados estJo indicados h direila. Conslrua uma dislribui¥'io de probabilidade para a variavel aJeal6ria x. Dcpois, represcnle graficamcnle a distribui~io, usando um hislograma. Distribui~o de frequencia Frtqufncia, f'(x) Escort, % 24 2 33 Soillftio 3 42 Divida a freq u~ncia de cad a ponlua(:lo pclo numero lolal de individuos no estudo para e11conlrar a probabilidade para cad a valor da va ri~vel aleat6ria. 4 30 5 21 P(l) = I~ = 0,16 /1(2) "' 1 ~ = 0,22 3 /1(4) = :~ = 0,20 P(S) • I~ • 0,14 P(3) = I~ = 0,28 Ca.racterfsticas passivo·agressivas l'!.<I A distribui\Jo de prooobilidade discrela ~ apresenlada na labela a seguir. x P(X) J o.'16 I o,~ I o.~ I o.~ I 0~4 Note que 0 $ P(r)$1 e El'(x)= I OJO .., 0.2.S 1f ~ 0.20 ;s .l! O.IS 0 histograma esta indicado a direita. Como a espessura de cada barra e I, a =..e O.IC) area de cada bami ~ igual ll probabilidadc de um resultado particular. Alem disso, a O.flS probabilidade de um evento corresponde ll soma de areas dos resultados inclwdos no evento. Por exemplo, a prob.ibilidade de um cvento •ter uma pontuayb de 2 ou 3" e - .- - ~ 2 ig u•I ~ som• d"" ~.re•s do ~und• o tom>ir:1 b:>rr.11', (I )(0,22) + (I )(0,28) - , .s ! ~"'\; =0,22 + 0,28 = 0,50. Distribui?o de frequencia I nltrprtlaftio Ven.Us por dja,x N6mero de diu,/ Uma empresa rastreia o ntimero de vendas que os novos colaboradores fazem vocl todososdiasdurante um pcriodo de 100 dias deexperienoa. Osresultadosde l um novo colaborador est3o indicados ll direita. Fayi a distribui¢o de probabilidades e desenhe sua representa~3o gr.lfica. 0 16 I 19 2 15 3 21 a. E11co11trc a probabilidade de cada resultado. b. Orgn11ize as prooobilidades e111 uma distribui~1o de probabilidades. c. Rcprcsc11tc graficamente a distribui(,'IO de probabilidades usando um histograma. 4 9 s 10 6 8 7 2 I: possfvel verificar que a dislribui~ eaproximadamenle sim<!trica. T- Rr'pir.-ta 11n I'· A.3S •• Ed ,e 1naaa 1 158 • ['1atl1ti<"pt.c..io Distribui~es de probabilidade Exemplo m D'ias de c:huva Probabilidade P(x) 0 0,216 Verlficando distribui(oes de probabi!idade Vcri(ique sea distribuii;5o a esquerda (ver p. 154.) e ltma distribui~o de proba~ 0,432 bilidade. 2 0,288 So/ufaO 3 0,064 Caso a dislribui(ilO seja uma distribui(ilO de probabilidade, entao (1) cada probabilidade est~ entre 0 e 1, inclusive, e (2) a soma das probabilidades e igual al. 1. Cada probabilidade est~ entre Oe 1. ' Retratando o mundo 2. Ll'M = 0,216+ 0,432 + 0,288 + 0,064 = 1 Em um ano rerenle nos Esta- dos Unidos, aproximadamente 11 milh0es de acidentes de trfulsito foram infonnados a policia. Um histograma dos addentes de transito pam di· ferentes grupos etarios de 16 a 84 anos e mostrado a seguir. (fl11//r. ,\'at1t11:itl Stt,':t.v Cor1,xil.) Acidentes de transito por idade, nos EUA lllterprelafiio Como ambas as condi(Oes si\o preenchidas, a distribui(iiO euma distribui(iio de probabilidades. a. Verfique sea pmbabilidnde de cada resultado esta entre () e 1, inclusive. b. Verifique sea soma de todas as probabilidades e1. c. Co11c/1m o raciocinio. R~1~lt1 111'1 p. A38 P(.<) - 0 .10 -!! 0.25 Q ~ ~ ~ o.w O.IS 0.10 ~ f-fo- ons ' -f- - h-, Exemplo [it] Distribuiiijes de probabilidade Decida seas seguintes distribui~lies sao distribui~ de probabilidades. 1. x P(x) 5 6 7 8 0,28 0,21 0,43 0,15 2. P(x) ldade £.slime Cl 1wobnl1ilidnde de qtte 1t111n pr$>M t'$COlhid11 <1/Mtorin· uteutr possa int.10l'll't'T·:it' e111 11111 ~cide11te de lrl111sito t~l1111do 110 grupo eldrio dt• 16 a 3 · 111110$. ·' 2 3 4 I. J 2 4 -5 -I l 4 SolttfliO 1. Cada probabilidade esta entre 0 e 1, mas a soma das probabilidades e1,07, que e maior que 1. Porlanto, esta 11/fo e uma distribui~ilo de probabilidades. 2. Asoma das probabilidadese \gual a 1, mas P(3)e P(4) naoestaoentreOe 1. Portanto, esta 11no e uma diSlribui~iiO de probabilidades. As probabilidades nunca podem ser negativas ou maiores do que 1. Decida se as seguintes dislribui~ silo distribui~ de probabilidades. Explique seu raciodnio. 1. " P(x) 7 8 -16I s -41 16 5 6 8 I 2. x P(x) I 2 3 4 O,o9 0,36 0,49 O,&> a. Verfique sea probabilidnde de cada resultado est<\ entre () e 1. b. Verifiquese a soma de todas as probabilidadese 1. c. Conclua o raciocinio. Rdpcr!-1111111 p. A38 Ed ,e 1naaa 1 (apltulo 4 • Di~1ib•i<&es de prohdbilidades dl1C1eta1 I59 I Media, variancia e desvio padrao Voce pode medir o centro de uma distribuio;ao de probabilidades com sua med.ia e medir a variabilidade com sua variancia e desvio padrao. A media de uma vari~vel aleat6ria discreta e definida como segue. Media de uma varicivel aleatoria discreta A media de uma varijvel aleat6ria discreta edada por: (I = LX P(x). Cada valor de x e multiplicado por sua probabilidade correspondente e os produtos sao adicionados. A media de uma vari~vel aleat6ria representa a "media te6rica" de um experimento de probabilidade e, as vezes, 11ao e um resu.ltado possfvel. Seo experimento fosse feito mil hares de vezes, a media de todos os resultadosseria pr6xima amedia da variavel aleat6ria. Exemplo m Encontrando a media de uma distribui~lo de probabi!idade distribui(.lo de probabilidade para o teste de inventario de personalidade discutido no Exemplo 2 esta apresentada adireita. Encontre a pontuao;ao media. 0 que voce consegue concluir? A Sol11plo Use a tabela para organizar seu trabalho, como indicado a seguir. Na tabela, voce pode verifit:<lr que a media de pontuao;ao e aproximadamcnte 2,9. A pontua,ao de 3 representa um indivfduo que nao apresenta caracteristicas passivas nem agressivas. A media esta um pouco abaixo de 3. x l'(x) xl'(x) I 0,16 1(0,16) = 0,16 2 0,22 2(0,22) 3 0,28 3(0,28) = 0,84 4 0,20 4(0,20) 0,80 5 0,14 5(0,14) = 0,70 El'(x)= I Ex~r)=2,94 =0,44 = foterpretafiio Pode-se concluir que a media da C<lracteristica de personalidade nao enem extre· ma.mente passiva, nem extremamente agressiva, mas elevemente mais pr6xima a pas· sividade. Tente Encontre a media da distribui~ilo de probabilidade que voe@ fez no ·iente voe~ vod 2. 0 que voee consegue conctuir? a. E11co11lreoprod11todecadaresultadoaleat6rioesuasprobabilidadescorrespondentes. b. E11co11tre n so111n dos produtos. c. 0 que voe~ pode coocluir? x J'(x) 1 0,16 2 0,22 3 0.28 4 0,20 5 0,H Dica de estudo •• Pero!baque a media no Exemplo 5 e arredondada para uma casa decimal. Essa aproxim:i· ¢0 foi feita porque a media de uma distribui~ de probabilidade deve ser arredondada para uma casa decimal a mais do que a que foi usada por uma variavel aleat6ria x. Esta rcl81"a de nrrttlo11da111e11to tambem eusada para a varifuicia e p-ara o desvio padrao de uma distribui9°10 de probabilidade. Ed ,e 1naaa 1 160 • [uatl1ti<Hplica& Embora a media de uma distribui~llo de probabilidades da variavel aleal6ria descreva um resultado tipico, ela nao da infonna<;Oes sobre a maneira que os resul· tados varian1. Para estudar a variav1.o dos resultados, voce pode usar a vari:incia e o desvio padr~o de uma distribui~o de probabilidades da variavel aleat6ria. esvio padrao de uma variavel aleatiiria discreta -tl---------- Avariancia de uma variavel aleat6ri<l discreta e: Dica de estudo Uma f6nnula mais sucinta para calcular a varianci<1 de uma distriDui~o de probabi· lidade e: u' = 'f;lf - 1•)' £'(/<), 0 desvio padrao e: o2 =.g =J~l:-(<---,,) 'P(_x_), o' = lrx'P(xl]-1<'. Exemplo [61_ 6_,__ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ 0,16 2 0,22 3 0,28 4 0,20 5 0,14 [ncontrando a variiincia e o desvio padrao A distribui~o de probabilidade para o teste de inventario de personalidades discutido no Exemplo 2 edada aesquerda, Encontre a variilncia e o desvio padr~o da distribui~o de probabilidade. Soluftlo No Exemplo 5, voce viu que antes de arredondar o valor, a media da distribuio;<io e I' ~ 2,94. Use a labela para organizar seu trabalho como no exemplo a seguir: x P(x) X -Jl (x-µ.)' P(ic)(x- µ)' I 0,16 -J.94 3,764 0,602 2 0,22 --0,94 0.194 3 0,28 0,06 0.884 0,00I 4 0,20 1,06 1,124 0,225 5 0,14 2,06 4,244 0,594 'f; P(x) = I Ent~o, a variAncia I 0,001 'f;P(x)(\- - 11)1 = 1,616 e: 2 u = 1,616~ 1,6. Eo desvio padrao e: a= ,/;;;=Jr,616" 1,3. ]l!terpretafiiO A maioria dos valores de dados difere da med.ia nao mais que 1,3 pontos. a, Pam cada ualor de x, e11amlre o q11admdo do desvio da m~ia e multiplique pela pro· babilidade de x correspondente. b. E11ro11/re a soma dos produtos enconlrados na parte (a) para as variancias. c. Fnfn a miz q11adrada da varifincia para o desvio padrllo. d. lllterprele os resullados, R~ffHta un p. _,u9 Ed ,e 1naaa 1 (•pltulo4 • I Valor esperado Oiluibuic6" d• pr~bilidad" disireta1 161 lmportante A media de uma variavel aleat6ria representa o que voce esperaria acontecer em milhares de testes. Ele tambem e chamado de Vtlior espemdo. Na maioria das aplica¢cs, um valor esperado de zero ten1 un\a interpretai;cio prcl· efinkao 0 valor esperado de uma variavel aleat6ria disaeta eigual amedia da variavel aleat6ria. Valor esperado = E(x) = 11 = DrP(x). Embora as probabilidades nunca possam ser negativas, o valor esperado de uma ''ariavel aleat6ria pode ser negativo. Exemplo m Encontrando um valor esperado Em um sorteio, 1.500 bilhetes s.'lo vendidos a S 2 cad a, para premios de S 500, S250, $ lSO e S 75. Voci!compra um bilhete. Quale o valoresperadodoseu lucro? SolufiiO Para enoontrar o lucro para cada premio, subtraia o pre(() do bilhete do premio. Por exemplo, o seu lucro para o pri!mio de S 500 e: $500- $2 = $498 e o seu lucro pa.ra o premio de$ 250 e: $250- $2 = $248. Escreva a distribui{iiO de prob.1bilidade para os possiveis lucros (ou resultados). Lucro,x Probabilidade, PM S498 S248 $148 1 I 1 1.500 1.500 1.500 $73 - $2 1.496 --1.500 1.500 I Agora, usando a distribui~ao de probabilidadcs, voce pode encontrar o valor esperado. E(x)=[xP(x) 1 1 1 ~ 1 1.496 = $498· +$248·- +$ 148·+ $13· -+(-S2)·l.SOO l.500 l.500 1.500 1.500 = -$1 .35 InterprelafiiO Como o valor esperado e negativo, voci! pode esperar perder uma media de$ 1,35 por cada bithete que oomprar. Tente Em um sorteio, 2.000 bilhetcs s.io vendidos por S 5 cada, para premios de _ . $ 2.000, $1.000, S 500, S 250eS 100. Voce compra um bilhete. Qua! e valor cs- 7 a. b. c. d. perado do seu lucro? Encontre o lucro para cada prilmio. Escreva a distribuil;lfo tit probllbilidade para os possfveis lucros. Enoontrc o valor es11erntlo. illlcrprele os resultados. tica. Por exemplo, nos jogos de aza~ um valor csperado 0 implica que um jogo e justo (uma ocorri!ncia inoomum). Na aru\lise de lucros e perdas, um valor esperado de zero representa o ponto critico para evidenciar lucros. Ed ,e 1naaa 1 [~•tllli<upli<ad• 162 • (11 Exercicios Construindo habilidades b.isicas e conceitos 1. O que e uma vanavel aleat6ria? De um exemplo de uma varijvel alea16ria discreta e uma variavel aleat6ria continua. Jus1ifique sua resposta. 2. 0 que e uma disuibuii;.Jo de probabilidade discre1a? Quais sao as duas coodi~ees que detemiinam uma <f1S111'bui¢o de p<oba· bilid4de? 3. O valor esperado da an.Ilise de pet~ e ganhos feita por um contadot ezero. Explique o que isso signif!Ol. 4. Qual e a impoit3ncia da media de uma distribuii;.Jo de probabi· lidade? 15. x representa o volume de sang..e colhido para um exame de sangue. 16. x representa o numero de dias chuvosos no mes de julho em Orlando, Fl6nda. 17. x representa o nurnero de home theoteJS vendidos mensalmente em uma loja de eletrOnicos. 18. x representa a tensao com a qual as cordas de um violao aleato· namente escolhido foram estiadas. 19. xrepresema a quantidadede n~ (em polegadas) que a iu em Nome, AlaSc.l. no inverno passado. 20. x representa o numero total de tentativas que o indivf<luo precisa ter para cooseguir tirar 5 ao laixar um dado. Usando e interpretando conceitos Verdadeiro ou false? Nosexerckiosde 5a 8,detemiinesea afirma~aoeverdadeira ou falsa. Se 10< falsa, reescreva·a de fe<ma que seja verdadeira. 5. Na maie<ia das apli~s. as variaveis aleat6rias continuas representam dados cont~. enquanto vari.lveis aleat6nas discretas representam dados medidos. 6. Para uma vari.!vel aleat6ria x, a palavra oleot6rio indica que o valor de x e detemiinado ao acaso. 7. A med'ia de uma vari.!vel aleat6ria representa a "med'ia te6ricJ' de um experimento de prob<ibilidade e. ~s vezes. nae um resultado possivel. e 8. O valor esperado de uma vanavel aleat6ria discreta e igual ao desvio padroo da vaMvet aleat6ria. 21. Teste para colaboradores Uma empresa aplicou um teste psi· co16gico em tuncio<iarios futlJros. A variavel aleat6na x representa os posslveis result.ldos do teste. Use o histograma para encoouar a probabilidade que uma pessoa escolhida aleamriamente em uma amos1tagem de pesquisa teria para conseguir uma pontua· i;.Jo (a) maier que dois e (b) inferior a quauo. /\<) 0.4+--- " ~ 0..3 ;!! I 97.200 97"100 10. Tempo semanal que estudantes usam o computador. 11. 4 . s 0.25 0.1 ~+-o+-- l-•+o-+-t- 0 0.25 02 Analise grafica Nos exerdcios de 9 a 12. decida se o grafico 1ep1eseota uma vanJvel aleat6ria discreta ou uma variavel a!ea161ia continua. El<plique seu raciodnio. 9. logos de futebol de uma faaJldade dlsputados em asa. 96.800 OJ5 12 16 ~ 20 Q~ntidide anu~ de mi!hii dit\gidai por ivtom6veii nos: EUA. (Foo!e.· U.S. Fe<J.10/ l/,gl>MiyAtlm•niSlto'°".) 0 2 3 Nouis de test..:s 22. Doa,no de sangue Uma pesquisa emrevistou uma amos1ra de pessoas sob<e quantas vezes por ano elas doam sangue. A variavel ateat6ria x representa o n(Jmero de dcia,ees anuais. Use o histograma para enconuar a probabirrdade de que uma pessoa escolhida aleatoriamente na pesquisa doe sangue (a) mais que uma vez po< ano e (b) menos queues vezes por ano. J'(.x) 1:200 2.400 ' 2.6oo. 2.8oo 3.M:l ().30 - 0.2S - - - - - - 12. Numero anual de fatalidades no uansito dos EUA. cronre· Nar<;oo! HYP•Wff 1ia/5c So!r.<y Ar!m<o<tt111m) ~--t---i··~-+37.(XM) ,lS.(XX) 39.000 ol0.000 Oiferenciando variaveis aleat6rias discretas e continuas Nos exerdcios de 13 a 20, decida sea variavel aleat6ria x ediscreta ou continua. Explique seu raciocinio. 13. x represema o <Uneto de a6dentes com motes durante um ano na calif6rr)a. 14. x represenla o periodo necessario para chegar ao uabalho. -I OJiS I I ·r OJIJ 0.1 0.10 LL.,...L~_l_,_1_,_.t::::t:::;::i..._, 0 I 2 3 4 $ 6 N\11nero de oo~oes Oeterminando a probabilidade que falta Nos exeid<ios 23 e 24, determine o valor de probabilidade que falta da distriooii;.Jo de probabilidade. Ed ,e 1naaa 1 Capn.lo 4 23. Cria11¥1S dependentes Um soci61ogo pesquisou as familias em uma cidade pequena. A var$el aleat6<ia x rep<ese<>ta o nlimeio de cria~ na fomlia. x P(<) 0 I 0,<17 0,20 2 0,38 3 4 ? 0, 13 Oi>uib•i<6'S 4e probabmdadt> 411crt1as • 163 30. Gatos 0 nomero de gatos por casa, em uma cidade pequena. Gatos 0 I 2 3 4 5 cam 1.941 349 203 78 57 40 31. Comput;ldores 0 nUmero de comput\ldorC$ por CNS\), em vma cidade pequena. 24. Ctian(as dependentes O mesmo soci61ogo do Exerdcio 23 pesquisou as casas de uma cidade vizinha. A variavel aleat6ria x rep<ese<>ta 0 numeio de crian(as na farru1ia. Computadores 32. DVDs O nllmet0 de deleitos por lote de DVDs inspecionados. 0 I 2 3 4 5 6 0.05 ? 0,23 0,21 0,17 0,11 0.08 x P(x) ldentificando distribuit;Oes de probabilidade Nos exerdcios de 25 a 28, decida sea distribui<;ao e uma distri· b<Jii;ao de probabiliOOde. Caso nao seja, identifique a propriedade (ou propriedades) que nao sao pree."ldlidas. 25. Pneus Um m~nico verificou apress.Jo dos pneus de cada um dos carros nos quais ele trabalhou por uma semana. A van.Ivel aleat6ria x representa o nUmeio de pneus que estavam mu1chos. x P(x) 0 0,30 I 2 0,25 0,25 3 0,15 0 0,135 2 0,226 I 0,186 3 0,254 4 0, 103 5 0,64 P(x) 0 I 2 3 4 5 3 -I 10 I I I 20 25 50 I 100 4 6 0,032 28. Tacadas de golfe 0 diretor de um torneio de golfe registrou o numeio de tacadas necessarias para a<enar a bolinha de golfe no buraco nos quatro cidos do t0<neio. A variavel aleat6ria x representa o numero de tacadas necessarias para acettar a bOlinha de golfe no butaco. x P(x) Pi''• 0 I 2 0,007 0,292 0,394 3 0,245 2 lotes 95 113 87 Horas extras 0 I Funcionario 6 !2 4 5 0,058 0,004 construir a distribuii;aD de probabiidade, enconve (b) a media, (c) a variancia, e (d) o des1"o padr~o da distribui~~o de probabilidade e (e) interprete os resultados no5 contextos de vida real. 29. Cachorros 0 numero de cachorros po< casa, em urna cidade pequena. casas 1.491 2 29 5 425 5 13 8 3 4 5 6 57 42 30 16 padrao e (d) o valor esperado da disuibui~o de probabilidade, e (e) inteiprete os resultados. 35. Teste. Os alunos de uma sala fazem urn teste com oito perguntas. 0 numeiox de perguntas respondidas eo<reuimente pode Sel aprOJ<imado pela seguinte disuibuii;ao de probabilidade. 3 4 2 s 6 7 8 P(x) O,Q2 0,02 0,06 0,06 0,08 0,22 0,30 0,16 0,08 x 0 I 36. Chamadas para o 911 Um centro de ~os do 91 1(telefone para emeig!ncias nos Estados Unidos) registrou o numero de figa¢es recebidas por hora. 0 n(Jmeio de charnadas po< hora durante um dia pode se< aprol<imado pela seguinte distribu~o de probabllidade. x P(X) 0 I 2 3 4 5 6 7 0,01 0. 10 0,26 0,33 0,16 0,06 om 0,03 37. Furaooes O histograma moS11a a d~tribuD;~o de furac<les que atingiram o terri16rio dos EUA divididos poi categorias. sendo 1 o nivel mais fraco e 5 o mais forte. (rooro: N/J/Jonal Hurticone Cet11Ct.) Furacoes que atiagiram os EUA P(.f) 0 0.399 ·"'° +-r-..-......, o"""."2'6,..4 ---- 035 ~ 0.30 -~ 32 0.2$ z i o~o 0.15 0.10 0.066 ons 0 4 Encontrando o valor esperado i'los exercicios de 35 a 40, use a distribuii;ao de probabilidade ou o histograma para encontrar (a) a rrnedia, (b) a variAncia, (c) o desvio Construindo distribui~oes de probabilidade Nos exeicicios de 29 a 34, (a) use a distribuii;Oo de frequencia Cachorros 3 64 Alu nos 27. Controle de qualidade Um inspetor de qualidade verificou as impertei>6es em rolos de tecido por uma semana A variavel aleat6<ia x representa o numero de imperlei¢es enconuadas. x I 34. Atividades exttacurriculares. 0 numero de atividades extracurric.Aares deserwolvidas po< alumo relacionadas ~s esc00s. 0,05 aleat61ia x represenia 0 numero de Finhas telel6nicas em uso. P(x) 0 33. Hora extra O numero de horas extras feitas por um funcionario em utna sernana. 4 26. Linhas telefonicas Uma empresa gravou o numero de 6nhas telefOnicas em uso por uma h0<a dwante um dia Util. A vari.lvel x Defeitos 14 0.01 1 ~~-'---'-~'--,~=~- 2 3 4 Catcgori:,1 5 .. Ed ,e 1naaa 1 38. Ocupa\<10 dos carros 0 hisrograma mosua a dis1rib~o de pes· soas ocupancb carros que cruzam a Pome 1iJcolno fl'c(((;w, em Washington, todos os anos. f,A"'1plcdo do ~ S'<'> ~ o/T•- ) Ocupa~ao dos carros: ponte Tacoma Narrow I'(<) 0.6 ' o,sss - - i :~ ~ 0,298 0..1 f. o.z 0,047 o.016 0.1 I o,o14 .. LL,.__L,_[::J:::;:i~/,,.!Ot:l!.02_1_, 2 3 s " 6011 39. Tamanho das casas 0 histograma mostra a disuiW~o de ta· manhos das casas nos EUA em um ano recente. ~\daplado do un:rMSto:es CMSuS Bureau.) Tamanho das casas " 0.30 0.266 'g 0.25 .L1r - - i ";g 0:20 ,Z 0,I S £ 0.10 s 0,05 2 3 4 5 6ou O\ills 40. Ocup~o dos carros O histograma mostra a distnb~ de pessoas pelo nlimero de carros por casa. "4<foptado do r.dcJal Hig/>11f1fMrnliS1ffI•O") Pessoas que dividem um carro P(.t) Q.35 "~ logos de azar Nos exerdcios 45 e 46, encomre a rede de ganhos supoStos para o jogador em uma partida do jogo. Se· x for a rede de ganhos para o jogado< em um jogo de azar. ent.lo E(x) e. geralmen1e. negativo. Esse val0< <la a quantidade media, por jogo, que o jogador pode esperar perder. 45. Em uma roleta ameticana, a roda 1em os 38 numeros 00, 0, I, 2, ..., 34, 35 e 36 e 0,330 o;io 'g 0,25 computadores, (b) no mfnimo urn computador e (c) entre zero e dois ccmputadores, inclusive. 43. Valores incomuns Uma pessoa mora em uma casa ccm trl!s cachorros e diz que ter trl!s cachorros em casa e comum. USe as inforrna¢es do Exerdcio 29 para <lelerminar se essa pessoa esta correla. Explique seu raciocfnio. 44. Valores incomuns Uma pessoa mora em uma casa sern nenhum ccmtl<ltadof e diz que nao ter um computador em casa e comum. Use as infor~Oes do Exerddo 31 para determinar se essa pessoa est\ correta. Explique. marcados em espa~os igualmeme divicilidos. Se um jogador aposia S I em um ntimero e ganha, ele cootinua .:om o S I e recebe 35 d61ares adicionais. ~ ccntrario, o d61ar per<fido. 46. Uma organi~ de caridade est<! 'll!lldendo bilhetes de rifa por S 4 como pane de um programa para arrecadar fundos. 0 primelro premio e um barco avaliado em 3. tSO, e o segundo pr~mio e uma barraca de camping avaliada em S450. Os ootros 15 p<emios s.lo vale-presentes ~ S 25. o numero de bilhetes vendidos e 5.000. P(.t) " 42. Encontrando probabilidades Use a distri~ de probabifl· dades que voce fez no Exereicio 31 para demonstrar a p<obabiida· de de encontrar. alea1oriamente, uma casa que tenha (a) zero 0.25 . o:zo uma empresa e S 36.000. Ao final do ano, cada funcionario recebe um b6nus de S 1.000 e um aumento de 5% (baseado no sa~rio). Qua! o novo salario anual (incluindo o bOnus e o aumento) para os funcionarios7 48. A media aooal de sal.lrio dos funcionarios de uma empresa e S36.000 com umavari.!nciade 15.202.201.Ao finaldoano, cada fundonario recebe um b6.1us de S 2.000 e um aumento de 4% (baseado no salario). Qual e o desvio padrao dos novos saklrios? 47. A media anual de sa~rio dos funcionarios de 0,17 016 0.13 - !... 0,10 0,05 0 Transforma~oes lineares de uma variavel aleat6ria Nos exercicios 47 e 48, use as seguintes informa¢es. Para uma variavel aleat6ria x, uma nova vari.!vel aleat6ria y pode set criada ao adotar-se uma transforma~~o linear y ~ a + bx, onde c e b sao consiantes Se uma vari.!vel aleat6ria x tiver media 11, e desvio padrao ... entao a media, a varian<ia e o desvio padrao de y serao dados pelas seguintes f61mulas. 11, = a+ bu. 0,29 - ~ 0,15 Expandindo conceitos 2 3 4 NUn1cm de c.1rros por c.l.Scl 41. Encontrando probabilidades USe a diStribui~o de probabiri· dades que voce fez no Exereicio 29 para determinar a probabilida· de de enconuar. aleatoriameme, uma casa que tenha (a) menos que dois cachorros, (b) pelo menos um cachorro e (c) e11tre um e tr!s cachorros, indusive. e Variaveis aleat6rias dependentes e independentes Ouas variaveis aleat6rias x e y s.lo independentes se o valor de x Mo afetar o \'310< de y. Se as vari.!weis Mo forem independentes, elas s.lo dependentes. Uma nova variAvel aleat6ria pode set formada Ed ,e 1naaa 1 (apltulo 4 a.o se encontrar a soma oo diferenyi das variaveis aleat6ria~ Se uma vari~el aleat6riax tiller media,,,. e uma vaiWtef alea16ria y liver media l' y entao a media da soma e diferer»a das vari.lveis sera dada pe!as seguintes equa\Oes. l',+ 1 = I'(+ /t1 111.., = JI..,, - I',· Se as vari.lveis aleat6rias fa<em indepeodentes, entao a variancia e o desvio padri!O da soma oo <iferenyi das variaveis aleat6rias poderilo ser encontrados. Po~anto, se uma vai~vel aleat6ria x ti\<ei variancia u>, e uma variml aleat6ria y liver variancia 11>t entao as var~ndas da soma e da dfe<enyi das variaveis serao dadas pelas seguimes equa~~ N01e que a \'ilri.lncia da dife<en'3 sera a soma das varianda~ (fj ? _ ? + • ? a·i-y - a .r a ,- :S 12. A di::.uibuiylo do efinicao Um experimento binomial e um experimen10 de probabilidade que preencha os seguintes criterios: I . 0 experimenlo e repetido por um numero fixo de tentativas, onde cada tentaliva e independence das outras. 2. Ha apenas dois resultados possiveis de interesse para cada tentativa. Os resolta<los podem ser dassificados c.omo sucesso (5) oo fracasso (F). 3. Aptobabilidade de um sucesso P(,S) ea mesma para cada tentativa. 4. Avariavel aleat6tia x contabiliza o numero de tentativas com sucesso. otacao para experimentos binomiais x SAT pdld oluno") IJ'e.univt:f::.itdria) Distribui~oes binomiais muilos experimentos de probabilidade para os quais os resultados de cada tentativa podem ser reduzidos a dois resultados: sucesso ou fracasso. Quando um jogador de basquete faz um lance livre, por exemplo, ele pode fazer a cesta ou nAo. Experimentos de probabilidade como esses s.io chamados de experimentos binomiais. q = P(F) 2 z =a i+ CI Y pont~o do H~ p = P(S) 2 x-1 tern uma media de t.506 e um de:svio padr<lo de 304. Um aluno e uma aluna sao escolhidos aleatoriameme. Suponha que setJs resulta· dos sejam independent~ (Font<: ccU.ge 8()(}(d0r.lme.) 49. Qual e a soma media de suas pontua\Oes? Quale a diferen\a ml!dia de suas pon1ua,0es? so. Qual e o desvio padtAo das difeten\OS de seus resultados? I Experimentos binomiais Simbolo (I 165 l\'os eocercicios 49 e SO, a distribui<;ao da pontua<;ao do SAT para alunos pre1Jniversitarios tern media de 1.532 e um desvio padrao de Experimentos binomiais ~ f6rmula de probabilidade binomial ~ Encontrando probabilidades binomiais ~ Representando distribui~oes binomiais graficamente ~ Media, variancia e desvio padrao n Di111ibslt6'1 de p10bdbilidadt1 dl1utta1 Descri~oo 0 numero de vezes que uma 1en1a1iva e repetida Aprobabilidade de socesso em uma 1en1a1iva unica Aprobabilidade de fracasso em uma tentaliva unica (q ~ 1 - p) Avari.lvel afeat6ria representa a coniagem dos numeros de sucessos nas tentativas: x = 0, I, 2, 3, -·· n. 'lemos aqui um exemplo simples de experi mento binomial. De um baralho de cartas comum, voce pega uma carta, verifica se o naipe ede paus ou nao, e devolve a carta ao baralho. Voce repete o experimento cinco vezes, entiio 11 = 5. 0 resultado para cada tentativa pode ser dassificado em duas categorias: S = tirar uma carta de 0 que voce deve aprender • Como detenninar se um experimenlo de probabilidade e um experimenlo binomial. • Como encontrar probabilidades binorniais usando a f6rmula de probabilidade binomial • Como eoconlrar probabilidades binorniais usando tecnologia, IOI· mukls e urna iabefa de probabil;. dade binomi3L • Como represeotor urna distribui~ binomialgraficamente. • Como encomrar a media, a variancia e o desvio padrao de uma distribui(<lo de probabilidade b;. nomial. Ed ,e 1naaa 1 166 • es1..r1ticaopll<odo Resultado Tentativa Sou f? paus ou F= tirar uma carta cujo naipe nao seja paus. As probabilidades de sucesso e fracasso ~o: p= P(S) = .!. F 4 ••• •• + +: 3 @ . f) : ., •• •• •• ; ~ ..: II~ 0, 1,2,3,4e5. do1s re.~ulu1dos <.Jc ~\I CC~~O. • • • l!nt5o. x=)- 4 • s F I 3 q= P(F) = 4· A vari6vel aleat6ria x representa o numero de naipl?S de paus selecionados em t~ tentativas. Portanto, os valores possiveis de uma variavel aleat6ria ~o :. + 2 e Se x = 2, por exemplo, entao cxatamente duas das cinco cartas ~ode naipe de paus, e as outras t~ nao ~o. Um exemplo de experiinento com x = 2 eapresentado ~ esquerda. Note que x eu.ma variavel aJeat6ria discreta porque seus valores possiveis podem ser listados. Exemplo ITT @ Experimentos binomiais - ~ [ Retratando o mundo Uma pesquisa foila recentemente com donos de veiculos nos EUA perguntou se eles tolim diminuidosetts gastos por conta do aumento de p~ do combustive!. Os pesquisados r.esponderam que sim ou nao. (11mt1•: Unrri.. l11!rmttire.) Peq;unta da pesquisa: Voce diminuiu o uso de algum produto ou servic;o por conta do aumentodep~dagasolina? Sim 44% Decida se o experimento ebinomial ou nilo. Caso ele seja, especifique os valores de 11, p e q, e lisle todos os valores possfveis da variavel aleat6ria x. Caso ele nao seja, explique o porqu~. 1. Um dado procedimento cinlrgico tem 85%de chances d:e sucesso. Um medico rea· liza o procedimento em oilo pacienles. Avariavel aleal6ria rcpresenta o numero de cirurgias com sucesso. 2. Uma jarra conlem cinco bolinhas de gude vennelhas, nove azuis e seis verdes. V~ escolhe tr~ bolinhas aleatoriamenle, sem /rocns. A variavel aleat6ria represenla o n(unero de bolinhas vennelhas. Sol11pio 1. 0 experimenlo e binomial porque ele esta de acordo com as quatro condi~s de um experimenlo binomial. No experimenlo, cada cirurgia representa uma tentali· va. Ha oito cirurgias e cada uma eindependenle das ou tras. Ha apenas dois resultados possfveis para a cirurgia- ou ela eum sucessoou eum fracasso. Alem disso, a probabilidade de sucesso para cada cirurgia e de O,.SS. Finalmente, a variavel aleal6ria .r represenla o numero de cintrgias com sucesso. II = 8 N3o p = 0,85 56% q = 1-0,85 = 0,15 x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 Por q11e esse experi111e11to e bi· "ominl? ltic11tifiq11e n probnbilid11dc de sures.<o, p. lde11tifiq11c n prohnbilitlndt tit' fmcn:;so, q. 2. 0 experimento niio ebinomial porque ele niio esta de acordo com as qualro condi· ~Iles de um experimento binomial. No experimento, cada seleV'io debolinha de gude represenla uma tentativa e selecionar uma bolinha vermelha eum sucesso. Quando a primeira bolinha eselecionada, a probabilidade de sucesso e5/20. Porem, como a bolinha de gude nao e colocada de volla na jarra, a probabilidade de sucesso por tenlativassubsequcntes nao emaisS/20. Entao, as tentativas nao s.'io independcntes ea probabilidade de sucesso n~o ca mesma para cada uma das tentativas. Decida se o experimento a seguir ebinomial. Caso ele seja, especifique os va· lores de 11, p e qe listeos valores possiveis da variavel aleat6ria x. Casoele nao seja binomial, explique o porque. Ed ,e 1naaa 1 (•pltuk> 4 • Dl1uibui<6fl dt prokbili4•d1> 4iS<ret« 167 Voci! faz um teste de multipla escolha que tern 10 questOes. Cada quest<lo tem quatro respostas possiveis, mas somente uma e correta. Para completar o teste, voce escolhe uma resposta aleatoriamente para cada uma das questoes. A variavel aJeat6ria r'epresenta o numero de respostas corretas. a. ldentifique uma te11tati1111 do experimento e o que eum "sucesso." b. Decida se o experimento Sllltefttz as q11atro co11di¢t.'$ de um experimento binomial. c. Co11cl11a o rncioc(l1io e ide11tiftq11e 11, p, qcos valores possiveis para x. R~fP$'" 11n p. ..u9 I ~iirmula de probabilidade binomial Ha varias fomias de encont1ar a probabilidade de x sucessos em n tentativas de um eiq>erimento binomial. Uma fomia e usar um diagrama de aivore e a regra de multiplica<;Jo. Outra fo0T1a e usar a f6miula de probabilidade binomial. Em um experimento binomiat a probabilidade de exatamente x sucessos em n tentativas e: nl Pf;<)= C p'cf"' . p'cf"'. • • (n - x)!x! lmportante -111~~~~~~~~~~ Na f6rmula de probabilida- de binomial, "C' determina o nu mero de maneiras de d1egar a x sucessos em 11 tentativ.as, independeritemente da ordem. .c, n! (11- x)!x!' Exemplo m_ z_ _____________ Dica de estudo Encontrando probabi!idades binomiais Cirurgias de microfraturas no joelho t~m 75% de chance de sucesso em pacient~ com joelhos degenerativos. A cirurgia e reafizada em tres pacientes. Encontre a probabilidade de a cirurgia serum sucesso em exatamente dois pacientes. CF""" lllo:oi< Sol11fiiO Metodo 1: Desenhe urn diagrama de Mvore e use a regrade multiplica~ao. 1::i 2::i 3:i s{s-C: F-c: SSS sucessos 3 SSF 2 SFS 2 l .l.l - .2. 4 4 4 - 64 l.l.l =..l. FSS l.l.l-.2. 2 64 4 4 4 -64 FSF l.1.l - ..l. FFS 4·4·4=64 4 4 4 -64 I t 3 3 0 H~ tresrsultados que t~m exatamente dois sucessos e cada 64 li·i = ~ li·i = ~ SFF FFF bilidade de P1'0babilidadc 4 4 4 t-t·t =~ um tern uma proba. Portanto, a probabilidade de uma drurgia com sucesso em exatarnen- te dois pacientes ~ 3[~];:,,0,422. elido "11 fa. torial" e repr.esenta o produto <le todos os nurneros inteiros : IQO. NUn1ero de Rcsultado 11! de 11 a 1. Por exemplo, 5! =5 ·4. 3·2· 1 Ortlrdpth'llic n11d Sp.?rl51rt1'lfiriu"° C·ntt'r~) Cirurgia Cirurgia Cirurgia •lembwse que Ed ,e 1naaa 1 168 • !sl411!1kaapllcoda Metodo 2: Use a f6rmula de probabilidade binomial. Neste experimento binomial, os valores para 11, p, q ex sao 11 3, p=~, 4 x = 2. A probabilidade de exatamente duas cirurgias com sucesso e: = P(2 cintr<>ias com sucesso) . ., q=.!4 e r~J' [.!.]' 4 3!) (3-2 !2! 4 =3[1:11~1=3[!]= ~ ,.0, 422. Uma carta e escolhida em um baralho comum e rocolocada dentro dele. Esse experimento e repetido cinco vezes. Encontre a probabilidade de que sejam selecionadas tres c.lrtas de pa us. a. lde11tifiq11e uma tentativa, um sucesso e um fracas.-;o. b. lde11tifiq11e 11, p, q ex. c. Use af6r11111/n de prol1abilidnde bi110111inl. Ao listar os valores possfvcis de x com a probabilidade correspondente de cada um deles, voce pode construir uma distribui~ao de probabilidade binomial. Exemplo m Construindo uma distribuir3o binomial Em uma pesquisa, pediram que trabalhadores nos EVA indicassem a fonte de seus rendimentos durante a aposentadoria. Os resultados estao representados no grafico. Sete dos trabalhadores que participaram da pesquisa foram escolhidos aleatoriamente e responderam que esperam poder contar com o Seguro Social como fonte de seus rendimentos durante a aposentadoria. Crie uma distribui~ao de probabilidade binomial para o numero de trabalhadores que responderam sim. Principais fontes de renda para aposentadoria, segundo expectativas Ainda quo mais <la melade dos - e s °"""re que a 401(1<), IRA, Keogh, oo ootras oonias de rendimen1o para aposeniadoria se)"'1l a malor lontede ~ aprQXinaclamenio um em cada ~ ttabaiha<lores oontara com o seguro SOcial como a pmdpal bite de renc!a. .<4 -·-- Di ca de estudo Quando as probabilidades silo arredondadas para um mumero fixo <le casas decimais, a .soma das probabilidades deve ser um pouco direrente de1. Solupio No gr~fico, e possivel verificar que 25% dos americanos que estao trabalhando esperan1 contar com o segurosocial para sua renda durante a aposentadoria. Portanto, p 0,25 e q 0,75. Como 11 7, os valores possiveis de x s.'io 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7. = = = Ed ,e 1naaa 1 (•pftulo 4 • P(O) = 1C0 (0, 25)0(0, 75)' = 1(0, 25)' (0, 75)1 "" 0, 1335 1 1 4 P(l) = , C,(0,25) (0,75)' = 7(0,25) (0,75) ..,0,3115 2 2 Oiwibu116'1 dt probibilidod" diwet<S x P(x) 0 0,1335 P(2) = 7C2(0,25) (0, 75); = 21(0, 25) (0,75); "'0, 3115 P(3) = , C, (0,25)'(0,75)' = 35(0,25)'(0,75)' ..,0,1730 I 0,3115 2 U,3"U5 P(4) = , C,(0,25)'(0,75)3 = 35(0,25)'(0,75)3 .,0,0577 3 0,1730 P(S) = , C, (0,25);(0, 75)' = 21(0, 25)5(0, 75)2 "'0,0115 4 0,0577 P(6) = , C, (0, 25)6 (0,75)1 = 7(0,25)' (0,75)1 .,0, 0013 s 0,0115 P(7) = , C, (0,25)7 (0, 75)' = 1(0,25)' (0, 75)' ::o0,0001 6 0,0013 7 0,fXXJI Veja que, na labela a direila, todas as probabilidades estao entre 0 e 1, e que a S-Oma das probabilidades ~ 1,0001 ""I. 169 l:P(x) =1 Sete lrabalhadores que participaram da pesquisa sao escolhidos aleatoriamente c respondem se esperam que sua renda para aposentadoria dcpenda de uma pensao. Crie uma dislribui~ao binomial para o numero de aposentados que responderam sim. enta vod a. lrle11tifiq11e uma tenlativa, um sucesso e um fracasso. b. /rle11tifiq11e 11, p, q e valores possiveis para .r. c. Us.• nf6r11111/n rle probflbilirlnrle bi110111in/ para cad a valor de x. d. Use 11111n tabeln para mostrar que as propriedades de uma distribui~o de probabilidade foram alcan'3das. I Encontrando probabilidades binomiais Nos exemplos 2 e 3, voct' usou a f6rmula de probabilidade binomial para encontrar as probabilidades. Uma forma mais eficiente de encontrar as probabilidades binollliais ~ usar urna ca1culadora ou un1 con1putador. Por exen1plo, vore pode cncontrar probabilidades binomiais ao usar o MlNrfAB, o Excel ea Tl-83/84. Exemplo m Dica de estudo fncontrando uma probabilidade bi nominal usando tecno!o9ia --111~~~~~~~~~- Os resultados de uma pesquisa lei ta recentemente mostram que, ao assar alguma coisa, 59%das casas nos Estados Unidos usam uma grelha a gas. Se voce seledonar 100 c.'lsas alc..itorian1cntc~ qual ~ a probabilidadc de que cxatan1ente 65 rn~s usem uma grelha a gas? Use uma ferramenta tecnol6gica para encontrar a probabilidade. (Foute: Gnvnfofd 0Jtli11rfr:11 \\'tlll'r-S1~1if:t•us Pttl(forb Cmn~ur,v.) So/11pio 0 MINffAB, o Excel e a Tl-83/84 oferecem fun<;(jes que permitem que voe~ encontre probabilidades binomiais automaticamente. Tente usar essas tecnolog)as. Voe~ deve obter resultados pareddos com os que seguem: MINITAB l Probability Distribution Function Binomial with n = 100 and p = 0.590000 x P(X=x) 65.00 0.0391072 Tl-83/84 l binompdij100..59.65) .0391071795 Como encontrar uma proba· bilidade binomial usando uma Tl-83/84: l2ndlmsrn 0: bin,ompdf( Entre com os valores de 11, p e x s>eparados por vfrgulas. I ENTERI Ed ,e 1naaa 1 170 • [\141f1li<upli<ad• EXCEL l A 1 B c D BINDMDIST (65, 100.0.59. FAl.SE) 2 0.039107 Das telas, voce pode verificar que a probabilidades d.e que exalamente 65 casas usem uma grelha a gas epor volla de0,04. Os resultadosde uma pesquisa lei ta recenlementeindicam que71%daspessoas nos Estados Unidosoolocam mais de um recheio em seus cachorros quentes. 4 Se voe~ escolher 250 pessoas aleatoriamente, qua! e a probabilidade de que exatamente 178 delas coloquem mais do que um recheio? Use uma lerramenta tecnoTen1e vocil 16gica para encontrar a probabilidade. (ft'11tlt: ICR Sun't'.V ~n1<1'Grt111p far Htbrta• luttrnntfot,VJI.) a. lrlc11tifiq11c 11, pc x. b. Calwle a probabilidade binomial. c. Escreva o resultado em forma de senten9a. b inOMPdf (4, . 41 ,2 ) . 351093 66 Exemplo OJ Encontrando probabilidades binomiais usando formulas lliando a Tl-83/84, podemos eoconttar a p<obabilidade automaticamente. Dica de estudo -·~~~~~~~~~ 0 complemento de "x e ao ntenos 2" e "x e menos que 2". Ent~o. uma outra maneira de encontrar a probabiJidade da parte 3e: P(x <2);=1- P<x;o:2J ""1- 0,542 =0,458. b inoMcdf (4, . 41 , 1 ) .45799517 Uma pesquisa indica que 41% das mulheres nos Es.tados Unidos tem a leitura como atividade de lazer preferida. Voce escolhe, aleatoriamente, quatro mulheres norte-americanas e Ihes pergunta se elas t@m a leitura com<> atividade de lazer preferida. Enconl.re a probabilidade de que (1) exatamente duas delas respondam sim, (2) no m(nimo duas delas respondam sim e (3) menos que duas delas respondam sim. (fo111<; I.mi~ llnn;~ & A..'~i.ttc..:.) Sol1tftiO 1. Usando 11 = 4, p = 0,41, q = 0,59 ex= 2, a probabilidade de que exatamente duas mulheres respondam sim e: P(2)= ,C.,(0,41)1 (0,59) 2 =6(0, 41) 2(0,59)' ,.,0,351. 2. Para encontrar a probabilidade de que no minimo duas mulheres respondam sim, encontre a soma de P(2), P(3) e 1'(4). P(2)= , c,(o, 4l)'(0,59)' = 6(0.41)'(0, 59)' "'o,351094 P(3) = ,C3 (0,4l)'(0,59)1 = 4(0,41)3(0,59)1 ""0,162654 P(4)=, C,(0.41)'(0,59)0 =1(0,41)'(0,59)0 "'0,028258 Portanto, a probabilidade de que no m(nimo duas mulheres respondam sim e: P(x 2:;2)= P(2)+ P(3)+ P(4) ..o,3s1094+0,162654+0.028258 A fun~o densidade awmulada (CDf) calcula a prob.lbilidade de ·x ou meno~· sucessos. A CDF adiciona ~reas para valores de x dados e todos aqueles ~ sua esquerda. ~o,542 3. Para encontrar a probabilidade de que menos que duas mulheres respondam sim, encontre a soma de P(O) e P(l ). P(O) =, C0 (0,4l)"(0,59)' = 1(0, 41}°(0,59)' "'0,121174 P(l) = ,C,(0,41)1(0,59)' = 4(0,41)1(0,59)' "=0,336822 Ed ,e 1naaa 1 (•pitulo 4 • Oislli~ui(OfSff PIONbilid•d~ diWret41 171 Portanto, a probabilidade de que menos que duas mu Iheres respondam sim e: P(x <2)= P(O)+P(I) :::,0,121174 + 0,336822 = ,.Q,458. Uma pesquisa indica que 21 % dos homens nos Estados Unidos !em a pesca· ria como atividade de laz.er preforida. Voce esoolhe, aleatoriamente, qualro 5 homens norte-americanos e pergunta se eles tem a pescaria oomo atividade de lazer preferida. Encontre a probabilidade de que (1) exatamente dois deles res· pondam sim, (2) no minimo dois deles respondam sim e (3) menos quc dois deles r-esponda1n si1n. (Fo1ilr: U•ui-! llnrrrs & :\!iwiutr.s.) a. Determine os oolores nproprintfos pnrn x em cada situa~o. b. Enoontre a probnbilitfntfe bi110111inl para cada valor de x. Depois, enoonlre a soma, se necess.irio. c. Escrevn o resultado em lorma de senten~a. R~>c>S.111 11n p. Al9 Enoontrar as probabilidades binomiais com a f6rmula de probabilidade binomial pode serum processo cansativo. Para facilitar esse processo, voce pode us.1r uma tabe· la de probabilidade binomial. ATabela 2 no Apendice Blista a probabilidade binomial para valores selecionados de 11 e p. Exemplo m Encontrando uma probabi!idade binomial usando a tabela Por volta de 30% de traba.ll1adores adu.ltos gastam menos de 15 minutos para chegar ate scus locais de traba.lho. Voce esoolhe scis trabalhadores de forma aleat6ria. Qual e a probabilidade de que exatamente tres deles pnSSCJn menos de 15 minutos cada no c.1minho para o traoolho? Use a tabela para enoontrar a probabilidade. (ro111r. lJ.S. Cl'u~rJ~ Burrou.) Sol11fiio Uma por~o da Tabela 2 no Ap@ndice Best~ a seguir. Usando a distribui~3o para "=6 e p =0,3, voce pode encontrar a probabilidade de que x =3, oonforme destacado nas areas da tabela: p x I O,OS 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 O,JS O;fO 0,45 O,SO 0,SS 0,60 0 0,980 I 0,020 2 0,000 3 0 0,970 J 0,029 2 0,000 3 0,000 0,902 0,095 0,002 o,857 0,135 0,007 0,000 0,810 0, 180 0,010 0,729 0,243 0,027 0,001 0,723 0,255 0.023 0,614 0,325 0,057 0.003 0,640 0.320 0,040 0,512 0.384 0.096 0.008 0.563 0,490 0,375 0.420 0,063 0,090 0.422 0,343 0.422 0,441 0,141 0,189 0,016 0,027 0,303 0,250 0.495 Q,500 0,203 0,250 0,166 0,125 0,4-08 0.375 0,334 0.375 0,091 0,125 0.203 0,495 0,303 o,091 0,334 0,403 0,166 0.160 0,480 0,360 0,064 I 0.288 0,432 ' 0,216 6 0 0,941 I 0,057 2 0,001 3 0.000 4 0,000 5 o.ooo 6 0,000 0,735 0.531 0,232 0.354 0,031 o,098 0,002 0,015 0,000 0,001 o,ooo o.ooo 0,000 0,000 0.377 0.399 o.176 0,042 0.006 o,ooo 0,000 0.262 0.393 0,246 0.082 0,015 0,002 0.000 0.178 0,118 0.075 0,047 0,028 0,016 0.356 0,303 0.244 0.181 0,136 o,m 0.297 JlJl:!. o.m 0.311 o.278 o,234 0.132~,236 0,276 0,303 0.312 0,033 0,060 0,095 0.138 0.180 0,234 o,OOI 0.010 0.020 0,031 0.061 o,m 0.000 0,001 0,002 O.OOI 0.008 0,016 0,008 0.061 0,180 0,303 0,278 0,136 0,028 0,00l , o,037 0.138 0,276 0.311 0,187 0,047 "2 0,01 0,423 0,455 0,123 0,275 0,444 0.239 0,043 0,360 Q,480 0,160 0,216 0,432 0,288 0,064 · :~ Par.a explorar mais este t6pico, ver 4.2 Atividades nap. 177. Ed ,e 1naaa 1 Portanto, a probabilidade de que exatamente tr~ de seis trabalhadores passem menos de 15 minutos cada no caminho para seus locais de trabalho e0,185. en Quarenta e cinco por centode todas as pequenas empresas nos Estados Univocf dos ten1 un1 site na lnternet. Se v~ selecionar 10 pequcnas enlpresas de for· 6 ma aleat6ria, qual ea probabilidade de que exatamente quatro delas tenham um site na Internet? Use a tabela para encontrar a probabilidade. (Fo>111r. Hn«m·Pllt"!nnl Con1pnny.) a. b. c. d. lrle111ijiq11e uma tentativa, um sucesso e 11m fracasso. ldentifique 11, p ex. Lise a Tabela 2 no A~ndice B para encontrar a probabiUdade binomial. ES<"reva o resultado em forma de senten\a. I Representando distribui,iies binomiais 9raficamente Na Se<;ao 4.1, vocc aprendeu como representar graficamente distribui<;Oes de probabilidades discretas. Como uma distribui<;iio binomial e11ma distribui\ao de probabilidade discreta, voce pode us.1r o mesmo processo. Exemplo m Representando uma distribulfao binomial graficamente Cinq11enta e nove por cento das casas nos Estados Ulnidos assinam lV a cabo. pergunla a cad a uma delas se etas assinam ·rv a cabo. Construa uma distribui\<io de probabilidade para a vari~vel aleat6ria x. Depois, represente graficamcnte a distribui\<io. (fo11w; "'1gm1 RNmrli, Uc.) Voe~ seleciona seis casas aleatoriamente e Solupio Para construir a distribui<;iio binomial, encontre a probabilidade para cada valor de .t. Us.1ndo 11 ; 6, p = 0,59 e q; 0,41, voe~ vai obter o seguinte: .t P(x) 0 l 2 3 4 5 6 0,005 0,041 0,148 0,283 0,306 0,176 0,042 Voce pode representar uma distribui<;iio de probabilidade graficamente usando un1 histogranla, como a seguir. Assinaturas de TV a cabo l'(,f) OJ.I ,, ~ ~ :2 ] .2 l. 030 0.25 0.20 0.15 0.10 Ol)S 0 ' 3 C:ts.i1s • 5 • x Ed ,e 1naaa 1 (apllulo4 • foterpretnfiiO No histograma voce pode ver que seria incomum nenhuma ou somente uma das casas assinaren11V a cabo, por conta dns baixas probabilidades. cntc Sessenta e dois por cento das casas nos Estados Unidos tenl tUll con1putador. Voe~ seledona seis casas de forma alea16ria e !hes pergunta se etas tem um 7 computador. Construa uma distribui~o de probabilidades para a vari<lvel alent6ria x. Depois, represente grafica1nente a distribui~o. <Fcintt: U.S. o..1,,ut1it<J1t <ifCt.m11t:1·rc...) vod a. E11co11fre a probabilidade binomial para cada valor da vari<\vel aleat6ria x. b. Orga11ize os valores de x e suas probabilidades correspondentes em uma distribui· ~30 binomial. c. Use um histograma para representar n tfistrib11i(ilo bi110111inl grn{iro111e11te. R~tn 1t1111• .-U9 Veja no Exemplo 7 que o histograma est<\ indinado para a esquerda. 0 grafico de uma distribui~ao binomial comp> 0,5 einclinado para a esquerda, enquanto o grafico de uma distribui~3o comp< 0,5 eindinado para a direita. 0 grafico de uma distribui· -;;ao binomial comp = 0,5 e simetrico. Lembre·se de que, caso uma probabilidade seja de 0,05 ou menos, ela econside· rada incon1u1n. I Media, variancia e desvio padrao Embora voce possa usar as f6rmulas aprendidas na ~ao 4.l para media, vari· iincia e desvio padrao de uma distribuiy1o de probabilidade discreta, as propriedades de uma di.stribuii;!io binomial permitem que voce use (6rmulas muito mais simples. arametros populacionais de uma distribui,ao binomial Media: 11 = np Variancia: u' = llfXI Desvio padrao: u = Exemplo Jnpq m Encontrando e interpretando a media, a variancia e o desvio padrao Em Pittsburgh, PensilvAnia, cerca de 56% dos di as Sl'io nu bl ados. Enconlre a me· dia, a variancia e o desvio padrao para o numero de dias nublados durru1te o m~ de junho. lnterpretc os resultados e determine quaisquer valores incomuns. (r""'" :-;,,...,,,, 011rr111fr lMta CtJttrr.) Sol11fao No m~ de junho ha 30 dias. Usando 11 = 30, p = 0,56 e q= 0,44 \•Oct! poder~ encontrar a m~dia, a variancia e o desvio padr3o co11forme apresentado a scguir: 11=11p=30·0,56 =16,8 u' = 1111q= 30·0,56·0, 44 ~7,4 u = ,fzM= J30·0,56·0,44. ~2,7. OiWihmi<OPS de p1obaWlidadPS dl10Has IB Ed ,e 1naaa 1 171;, • [>t.il1ti<upli"do TuterprelafiiO Em media, M 16,8 dias nublados durante o mes de ju nho. 0 desvio padrao ede aproximadamente 2,7 dias. Valores que s.io mais do que dois desvios padrees da me· dia sao considerados incomuns. Dado 16,8 - 2(2,7) = 11,4, um mes de junho com 11 dias nublados seria incomum. Da mesma fonna, por tennos 16,8 + 2(2,7) = 22,2, um mes de junho com 23 dias nublados tambem seria considerado incomum. ente Em S.'lo Francisco, Calif6rnia, 44% dos dias em 1 ano apresentam tempo limpo. vocf Encontre a media, a variftncia e o desvio padrao para o numero de dias limpos duranteo mils de maio. lnterprete os resultados e determine quaisquer valores incomuns. tF011tt': N'11ro1:aJCl1m11t1< Olitn C111ti'r.) a. lde11tifiq11e um sucesso e os valores de 11, p e q. b. E11co11tre o prod11to de 11 e p para calcular a media. c. E11ro11/re o prod11to de 11, p e q para a variftncia. d. Encontre n rniz-quntfradn das varifincias para o desvio padrao. e. lllterprete os resultados. (fl Exercicios Construindo habi!idades basicas e conceitos c) Pl.<! • OA Analise grafica Nos exerdcios I e 2, relacione as probabilidades dadas com o um dos histog<amas representa distribui¢es bi· nomiais. Cada distribui<;.lo 1em o mesmo numero de lentativas n, mas probabifidades diletentes de suces~ p. 0.3 gr~fico COfletO. Cada 01 0.1 L..;..c;::L,-L,,..L,..L-, 0 I ? 3 J 1. p = 0,20,p =0,50,p =0,80. a) 2. p = 0.25, p = 0,50, p = 0,75. a) P{.<) OA 0.3 .,., 0.1 0.20 0.3S O.'<l 0.25 0 I ? 3 o.1s +-- o.1o r-- ·.-1 o.os 4 b) 012l4S OA+r-r--, 0.3 b) /'VI) o,ao +-- 0.3S 0.30 0.2.S +-- -1 0.1 U.....J...,..J...,..c:;::i.,._ .. 0 I ? J .a o.w o.1s +-- r-t 0.10 ons U,:.t.,.~Lrl~~~, 0 I 2 J. 4 S Ed ,e 1naaa 1 (apl!ulo 4 c) l'(x) 0.JS 0,,l(l O.:.?.S 0,20 0.20 0,1$ (),1$ 0.10 o.ro o.os o.os U.,.J..,.J..,JL.,..I=?-+-·· ·' :? .) 4 .S () I Analise grafica Nos exerdcios 3 e 4, relacione os valores dados den com os gra· ficos corretos. Cada listogiama represeflta pane de uma disuibui\;lo binomial Cada distribui~o tem a mesma probabiidade de sucesso p, mas numetos diferentes de tentativas n. O que acontece quando o valor den aumenta ea piobabilidade de sucesso continua a mesma> 3. n a 4,n • 8,n a 12. 0 , 3 ·;, 9 I? IS 3 6 9 I? IS c) l'(.t) 0.40 O.JS O..lO 0.?5 0.20 0,I S - 0.10 OJ>S l'(x) OAO 0.35 0 ' 6. ldentifique os vai()(es incomuns de x em cada histograrna do Exerdcio 4. O.IS 0.10 o.os ('(,<) 0.40 +-~~- 0.JS 0.30 (),25 O.?O 0.IS 1<;'.1,J..l,ll-l"'4-l+<-I-·• -' 0 2 .& 6 8 10 I:? c) ('(,<) 0.40 + - - - - - - 0.3S+ - - - - - o.JO+ - - - - - - o.?S 0.20+ - -.J 0.15 0.10 Cl.OS 4. n = S, n = 10, n = 15. }\<) 0.40+ - - 0..lS 0.30 02S 0.20 O.I S 0.10 o.os ldentificando e entendendo experimentos binomiais Nos exerdcios de 7 a 10, decicla se o experirnento ebinomial ou n.lo. Caso ele seja, identifique um sucesso, especifique valores para n, p e q e liste os possiveis val0<es cla variavel aleat6ria x. Caso ele nao seja binomial explique o po<que. 7. Cianose Cianose e a cond'~o de ter a pele azulada por oonta de uma insuficiencia na oxigena~o no sangue. Cerca de 80% dos bebes que nascem com a d~ conseguem se recuperar totafmente. Um hospital cuidando de cinco bebes que tem a doe~. Avar~el aleat6ria representa o numero de bebes que se 1ecupe1am totalmente. (Fon;e: ~~ loltltfd boo! Ereyciop<6a.) esta 0.10 o.os ·' S. ldentifique os va!()(es incomuns de x em cada histograma do Exercicio 2. 0.30 0.?5 0.20 a) 175 0.40 O.JS ().30 0,2.S b) Okuiboicoes de piol>abilidades dl1ne111 b) I'(.<) 0.40 a) • :L. 0 3 6 9 ll IS 8. Vendas de uma loja de roupas Ao analisar grav~6es, uma loja descobre que 26% das pessoas que enuam em suas depen· dencias compram alguma coisa. Em urn periodo de uma hora, 18 pessoas entram na loja. Avariavel aleat6ria representa o mimero de pessoas que n.io compram rada. 9. Pesquisas politicas Uma pesquisa entrevista 1.000 aduftos. "O cone de impostos ajuda ou preju<fica a economia?'. Vinte e um po< cento dos eruevistados disseram que cones de impostos prejudicam a economia. Quinze adultos que participaram da pes· quisa s.!o selecionados aleatoriamente. A variavel aleat6<ia rep<esenta o numero de adultos que ad1am que os cones de impostos p1ejudicarn a economia. (fona.: Ras"""""~) 1o. Loteria Uma loteria estadual escolhe, de forma aleat6ria, 6 bolas numeradas de 1 a 40. Voe~ escolhe seis nume1os e compra um bilhete da loteria. Avariavel aleat6ria representa o numero de combina¢es possiveis no seu bilhete para acenar os numeros soneados na IOleria. Media, variancia e desvio padr~o Nos exerdcios de 11 a 14, enco.1ue a IOO<lia, a variancia e o desvio padrAo da distribui~o binomial com os ~lores dados den e p. Ed ,e 1naaa 1 176 • {s111flti<a 1plic..t1 11. n = 80,p =0.3. 12. n = 64, p = 0,85. 13. n = 124,p = 0,26. 14. n = 316,p = 0,72. Usando e interpretando conceitos Encontrando probabilidades binomiais Nos exercicios de 15 a 24, encontre as probabiftdades indicadas. Se for cooveniente, use ferramentas de tecnologia para encontra-la~ 15. Adivinhando respostas Voce es~ fazendo um teste de mul· tipki escolfla (j\Je tern cinco questoes. Cada qu~o tern qua· tro respostas posslveis, po<~ apenas uma delas e corr1<1a. Para completdr o teste, voce escolhe as respostas de forma alea16ria para cada uma das ques1i5es. Encootre a probabilidade de acenar (a) exatamente tres questOes, (b) no mini mo tres (j\JeStOes e (() menos que ties questoes. 16. Sucesso em cirurgias Uma t~ica cinlrgica eaplicada em sete pacientes. Voce soube que ha 7(1Jfo de chance de S<Jcesso. Encooue a probabilidade de que a cirurgia seja um sucesso para (a) exatamente dnco paderues, (b) no mlnimo cinco pacientes e (c) menos que cinco pacientes 17. Fas de beisebol Cinqul!llta e nove po1 ceruo dos homens se consideram fas de beisebol profissional. Denue etes, voce seleciona 10 homens de forma aleat6ria e pergunta a cada um se eles se consideram fas de beisebol profissional. Encontre a pro· babilidade de que o numero daqueles que se consideram fas de beisebol seja (a) exatdmenle oito, (b) no mlnimo oito e (c) inferior a oito. l{oole.· Co«vp FIJI!) 18. Biscoito preferido Dez por cento dos adultos dizem que os biscoitos de flocos de d\<eia sao seus preferidos. Voce seleciona 12 adul1os aleatoriamente e pe<gunta qual e o nome do biscoito preferido de coda um deles Enconue a probabilidade de que o nlrme<o dos que dizem preferir biscoi1os de flocos de aveia seja (a) e>atdmente quatro, (b) no minimo quatro e (c) inferior a quatro. (liln!C: >~ARfl'fli) 19. Motivo das ferias Vlnte e um po< cento das pessoas em ferias diiem que o principal motivo por elas estarem em ferias e a pos· sibilidade das atividades ao ar livre. Voce seleciona 10 pessoas em ferias de forma aleat6ria e pergunta a cada uma delas o motivo principal de elas estarem em f~s. Encontre a probabiliclade de que o rnime<o daque!es que escolhe.-n as atividades ao ar livre como principal motive para as fQrias seja (a) elQtamente tt@s, (b) maior que tres e (c) no maximo tr~ (Foore: Trovelln<MrtyAs- """""""' 20. Financiamento de lua de mel Setenta por cemo dos casais pagam por suas viagens de lua de meL Voce seleciona, aleatoriamente, 20 casais e pergU11ta se e!es mesmos pagaram pela lua de mel. Encontre a probabilidade de o numero de casais que dis· seram ter pago pela luademel ser (a) exatamenteum. (b) maior queum e (c) no maximo um. (Hinte:/lridesmogm.,..) 21. Castanha preferida Onquenta e cinco por cento dos aduhos dizem que preferem a cas1anha de caju. Voce seleciona, alea· toriamente, 12 adtitos e pergunta qual seria o tipo de castanfla que eles mais g0stam. Encontre a pcobabaidade do numero dos amantes das castanhas de caju ser (a) exatamente tres, (b) no m&limo quatro e (c) no maximo dois. (fonre.· H4tr• lrlr.Yaaive.) 22. Aposentadocia Catorze por cento dos trabalhad0<es a<:reditam que vao precisar de menos que $ 250.000 (j\Jando se aposentarem. \/oce escolhe 10 ttabalhadores, de forma aleat6ria, e os questiona sobre quanto dinheiro eles acham que vao precisar para aposentadoria. Encontre a probabilidade de Que o numero daqueles que acham que precisarao de menos que $ 250.000 seja (a) exatdmente dois, (b) masque seis e (c) no maximo cinoo. (liw•· Rel.rernenr CCi{'O(Orioti al Arnet"'") 23. Cartao de cr~ito Vinte e oito por cento dos alunos universitarios diiem usar canao de credilo por conta dos pianos de compensa,ao para universitarios. Voce, aleatoriamente. escolhe 1O universitarios e os questiona sobre o motivo de eles usarem cart!o de credito. Encontre a prroabilidade de que o oomero daqueles (j\Je citam o piano de cornpe1sa~o como motivo para o uso do cartao seja (a) exatdmente dois, (b) maior que dois e (c) entre dois e cinco, illdusive. {fofl!•: E>perience.com.) 24. Evolu"1o na caneira Vinte e quatro po1 ce1to dos executiv<J5 diiem ter tido a ~o na canera bloqueada por trabalfladores mais amigos da empresa. Voc~, aleatoriamente, seleciona 12 executivos e pergunla se eles tern essa sensa¢o em rela¢o a evoluc;ao de suas caneiras. Encontre a probabilidade de que o numero dos que se dizem lesados iµelos colegas mais antigos seja (a) exatamente quatro. (b) maior que quatro e (c) entre quatro e oito, illdusive. (FOil:<!: Kan/FtnyWc-maritltlcl) Construindo distribui,oes binomiais Nos exercicios de 25 a 28, (a) conslrua uma disttibui,ao binomial, (b} represente graficamente a distribui>Ao binomial usando um histograma. (c) descreva o formato do histograma, encontre (d) a med"ia. (e) a variancia, (I) o desvio padrao da distribui{Jo binomial e (g) interprete os resultados nos contextos de vida real. Quais valores da vari~vel aleat6ria x voce consideraria incomuns? Explique seu racioclnio. 25. Mulheres fas de beisebol Triola e Se1e por cento das mulheres se conside1am fas de beisebol prolissionaL Voce. aleatoriamente. seleciona seis mulheres e pergunta a cada uma se elas se consi· deram fas de beisebol profissional (Foore:CoA.pll>I!) 26. Sem lranstornos do so no Um em cada quatro aduftos diz nao 1er prolllemas para dormir anoite. Voce, aleatoriamente, seleciona cinco adultos e pe<gunta se eles nao sofrem de algum transtorno do SOtlO. cFMr._. Mo<"' """'"" lu AJfJlic Opn.""'J 27. Doadores de sangue Cinco por cento das pessoas nos Estados unidos aptas a doar sangue sao de tato doadoras. VOCI!. aleatoria· mente, escolhe quatro pessoas aptas a doar sangue e pergunta se elas s.io doadoras. (Mop!O<fo de Amet<onAsSOOor;on or8lllod /lQ!lts.) 28. Tipos sangulneos Trinta e oito por cento das pessoas nos Estados Unidos tem tipo sangufneo O+. Voce, aleatoriamente. seleciona cinco none-america.105 e pe1guntd se eles t~ tipo sanguineo o+. (Fer.re: Ameoolfl ~of Blood Banks.) 29. Raiva no ttAnsito O grafico mo:stra os resultados de uma pesquisa conduiida entre motoristas (j\Je disseram qua! e 0 habito mais irritante (j\Je outros motoris1as tern no transito. Voce. aleatoriamente, escolhe seis pessoa-s que foram pesquisadas e as questiona sobce o habito mais irritante que os outros motoris!as t~m no transito. Seja x o numero de pessoas que disseram que o habito mais irritdnte e falar ao telefooe. (FC'1re: Hageny 6'1SrXtJn(e.J Ed ,e 1naaa 1 (•prtulo 4 lrrita~6es no tr:insito D.:TReillS~"'\ks ~ r.\~"a OP Y".amico. °""11,.~di«1nque ~;.\c)(IS ~IOl!Nis Dl1trihul<~ .!tprobabilidod" discretos • 177 vida real Q\Jaisval0<es de x voe<! consideraria inc0<n<J11S? Expfique seu raciocfnio. 32. Reda~Ao Encontre a media e o desvio padr.lo da distribu~o binomial no Exerdcio 30 e interprete os resultados no contexto da virla 1e;il. Qu;iisval0tP~ dP r v«/J ronsidP.'l';ui;t inr('lf"nti.15') FXfllique seu raciocinio. w.~lo.'.6«~ Expandindo conceitos )l<ih.'lri.'4$.' llllf'C'S~ quc -co1.un·· Ml ;:;i~ da fnmk> -Co.:u.w"ellln:'oi;t¥> 13c• l\)',h.>mriodo~ I(> (a) Consll\Ja uma distribu~ binomial. (b) Encontre a probabilidade em que eicatame.11e duas pessoas escolham •talar ao teletone·. {c) Encontre a probabilidade em que no mfnimo cinco pessoas escolham "falar ao telefone•. 30. Donos de pequenas empresas 0 gri\fico mosua os resultados de uma pesquisa feita entre dooos de pequenas empresas que l0<am questionados quanto ~ habilidade na area dos neg6cios que eles gostariam de desenYOlve< ainda mais. Seja x o llUmero dos "1<! disseram que gestao financeira era a habilidade que eles desejavam desenYOlve< ainda mais. (Foll!o: ~ bi>r""-) Dooos de pequenas empresas querem mclhorar seus conhccirnentos em servi~ aos consumido~ Qu.1l lu.blli4.adc.~"'".l~ ~ ,wf ~utl:I dedd«l\'Olt.'ctainda Mab? R~ mals fttiqll\'.ll(d: Scn'IFpw~icb MMMl•• f\'cnd. SR Experimentos polinomiais Nos exerdcios 33 e 34, use as infom\a>Oes a seguir: Um experimento polinomial I! um experimento de probabilidade que obed~ ~s seguintes condic0es: I. o experimento erepetido um numero fixo de vezes n, sendo cada temativa independente de outras tentativas. 2. Cada tentativa lem k resultados mutuamente exdusivo5 E,. E, Ey ····E< 3. Cada resuhado tem um nUlllero foro de piobabilidades. En· tfo,P(E,) =P1,P(E,) =p.,. P(E,) =p,, ...,P(EJ =p,.Asoma das probabi!idades para todos os resultados e: p, +p, +p, + ... +P, =I. 4. x, e o ntlmerodevezesque E, vai ocorrer;x, eo numero de vezesque E, vai ocorrer;x, eo numerode vezesque E, vai ocorrer, e as~m por ci.lnte. 5. Avariavel aleat6ria disaeta x calcula o numero de vezes qLoe x,,x;-xv ...,x, ocorre em n tentarivas independentes,onde r 1 + x1 + x~ + ~· + x._ =- n. A probabilidade que x oe0<ra e: P(x) - n! I I I '• ' 1 I J 10 ,P1 p, PJ ... pl . Xl)(-}X!_. •. x,. '°'" 33. Genetica De acordo uma teoria de genelica, se plantas coloridas e ahas sao Cf\JZ4das com plantas sem cor e baixas, quatro lipos de plantas surgir~o: altas e coloridas, alias e sem cor, baixas e coloridas e baixas e sem c0<, com as probabiidades correspoo9 3 3 1 . dentes de , , e i6. Se 10 plantas forem escolh1das, 16 16 16 (a) Consll\Ja uma distribu~ binomial. (b) Enconue a probabiidade em que ex.itamente dois empresa· rios respondam "gestao financeira". (c) Encontre a probabilidade de que menos de quatro empresa· rios respoodam •gestao financeira". 3 1. Reda~ao Enconue a mMa e o desvio padr~o da distribuiylo bioonial no Exercicio 29 e interprete os resultados no contexto da ifi encooue a probabilldade de que cinco sejam ahas e coloridas, duas sejam alias e sem cot, duas sejam baixas e coloridas e uma seja baixa e sem cor. 34. Geneiica Ouua teoria proposta pela genetica nos da as probabi· i dades correspondentes para os quatio tipos de plantas descritas 5 4 I 6 . CO<nO , , i6 e . Se <Jez plantas forem escolh1das, en· 16 16 16 contre a probabi!idade de que cinco sejam ahas e coloridas, duas sejam altas e sem cor, duas sejam baixas e coloridas e uma seja baixa e sem cor. Atividades Distribuicao binomial A distJib~iJo binomial APPlEr permite que voce simule valores de uma distn~o hi>:imial. l«e pode espe<ificar os parametros para a disuibu~o binomial (n e p) e o numero de valores a serem simulados {N). Qua!ldo voce dica em SIMULATE, N valores de uma distribui~o binomial especffica ser~o organiZ4· dos~ direita. Afrequencia de cada resultado e exibida no grMico. Ed ,e 1naaa 1 178 • £>11tl!ti<a aplicada Condus0es ' 1. ' n:@:'"' v ~~ ' "'~ Sinw1:ltcj 2. 0 ' 0 ()111CQ<11f• Explore Passo 1 Passo2 Passo 3 Passo4 3. Especifique um valor para n. Especifique um valor para p. Especifique um valor para N. Clique em SIMULATE. Durante um anode ~o presidelldaL 70% dos eleitoces aptos a exercer sua fuO>Ao realmerne votaram. Simule seledooar n ~ 10 eleit0<es aptos N • 10 ve2es {para 10 das 00t11u11WO\les da c~iOo). lJse OS •esul!O<Jos da simu~O para estimar a probabilidade que 0 numero de eleitores que votaram nessa elei~o seja (a) exatamente 5, (b) no mfnimo 8 e (c) no .raicimo 7. Durante um ano que ~o haveria elei~o presidential, 20'\'o dos eleitores aptos a votar na mesma regiao que o Exerckio I, de lato votam. Simufe selecionar n = 10 elehores validos e N = 10 vezes (para 10 das comunidades na regiAo). Use os resultados da simula~o para estjmar a probabilidade de que o nlimero de eleitores que votaram nessa elei~o seja (a) exatamente 4, (b) no mfnimo 5 e (c) men0< que 4, Suponha que no Exerdcio I voce selecione n = 10 eleit0<es aptos a votarem N = 100 vezes. ESlime a probabilidade de que o nlimero de eleit0<es que votaram nessa elei~o seja de exatamente 5 pessoas. Compare este resultado com oresultado do Exerdcio I parte (a). Quais deles e mais pr6ximo ~ probabilidade encontrada usando a f6rmula de probabilidade binomial? Estudo de caso Distribui,ao binomial de acidentes de aviao I - 9 8 .!! AAir Transport Association ol America (ATA) e uma org3niza~o de supo<te para as princi· pais er11presas aereas dos EUA. Algumas das atividades da ATA induem promover a industria de transporte ae<eo e conduzir estudos industriais. A ATA tambem mantem estatfsticas sobre voos comerciais, inclusive aquelas que envc!vem acidentes. De 1977 ate 2006 para aeronaves com 10 ou mais lugares, tivemos 91 acidentes com aroes comerciais envolvendo empresas aeieas none-.imericanas. A d'ISlribui<Ao desses acidemes pode ser vista no histograma ~ direita. -- 7 - ~ ~ - "'i.i' 54 ~ 3 - -n 1n8 2 ·I 0 I 2 3 .. 5 6 " Nlimcro do acidcntc~ Ano Acidentes Ano A<identes 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 !9S6 1987 19S8 1989 199<) 1991 3 5 4 0 4 4 4 t 4 2 4 3 8 6 4 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 4 I 4 I 3 3 I 2 2 6 0 2 I 3 2 [xerclcios 1. Em 2006, havia por volta de 11 milMes de voos comerciais nos Estados Unidos. Se um lor escolhido de forma aleat6ria, qua! ea probabilidade de ele ter se envolvido er11 um acidente fatal? 2. Supooha que a probabilidade de um acidente fatal em um dado ano seja 0,0000004. Uma d'IStn'bui~ de p<obabilidade binomial para n ; 11.000.000 e p ; 0,0000004 com x ; oa 12 eapresentada: Ed ,e 1naaa 1 (•pltul< 4 • Oistribukilfl dt proMbili4ad1> 4iwet" 179 I\•) 0.25 t• ~ 0.20 ;g 0,15 :;; ~ 0.10 "" 0,05 0 I 2 3 ol S 6 7 8 9 10 11 12 £\1UmCTO de acid('nt<.is Qual ea probabiidade de e<is1ir (a) 4 acidentes fa1ais em um ano? (b) 10 acidentes fa1ais? (c) enue I e 5, indusive? 3. Construa uma distri~ binomial para n = 11.000.000 e p = 0,0000008 com x = Oa 12. Compare seus resul1ados com a@suibui(Ao do Exerdcio 2. 4. Seria uma distribuii;Ao bincmal um born modelo para detenninar a probab~idade de varios n(lmeros de acidemes fa1ais durame um ano? Explique e inclua a discussao dos quatro critetios para um eiqierimento bin<Jmial. 5. De acoido com a aNlise de USA lODAY, voos aereos sao I.lo seguros que uma pes· soa 1eria que '\/oat 1odos os dias pot mais de 64.000 anos antes de moner em algtim aciden1e: Como essa sent~ pode ser justificada' Ill Mais distribui~oes de probabilidade discretas 0que voce Adistribui(<io qeometrica --+ Adistribui(ao de Poisson --+ Resumo das distribui(oes de probabi!idade discretas I Adistribui,ao geometrica Nesta se<;ao, voce vai estudar outras duas distribui<;Qes de probabilidade di sere· t.1s- a distribuiqao geometrica ea distribui(ao de Poisson. Muitasa,0es na vidas.iorepetidas ate atingir-seo sucesso. Um candidatodeCPA, por exemplo, pode fazeroexamedeCPA v~rias vezesantesdeconseguirpaSS<1r, ou voe~ podedigitar um n6merode telefonecelularv<lrias vezesantes de conseguir fazer a liga\,ilo. Situa<;Qes como essas podem ser representadas por uma distribui(ao geometrica. efinicao Uma distribui~ao geometrica e uma distribui~o de probabltidade discreta de uma variavel aleat6ria x que satisfa'3 as seguintes cond~ees: I. Uma tentativa e repetida ate que o sucesso ocorra. 2. As 1en1ativas repetidas sao independentes uma das owas. 3. Aprobabilidade de sucesso p econstante para cada tentativa. Aprobabilidade de que o primeiro sucesso ocorra na tentativa mimero x e: P(x) • p(q)•·•, ondeq • 1- p. En1 outras palavras, quando o pri1neiro sucesso acontece na terceira tentative\ o resultado eFFS, ea probabilidade e P(3) = q·q·p ou P(3) = p·q'. deve aprender • Como encootrar prooobilidades usando distribui(ao geometriOl. • Como encootrar probabilidades usando a distribui(ao de Poiswn. - Dica de estudo l11stru,0es detalhadas para encontrar uma probabilidade geometrica na Tl-83/84: I 2nd IDIS!'R D: geometpdf( Entre com os ~alores de p ex separados por virgula. I ENTER I Ed ,e 1naaa 1 180 • llt'1lsticupllc<do Exemplo 9eoMetPdf<.23,4) .10500259 9eoMetPdf( .23,5) .0808519943 usando a TI-83/84, ~ pode enC011trar as p<ooobilidades usadas no Exemplo I automaticamente. m Encontrando probabi!idades ao usar a dlstrlbulc3o qeometrlca Por experi<?nci:i, voci sabe que .- probabiljd:ade de qu.e voce faro uma venda em qualquer lelefone dado e0,23. Enoontre a probabilidade de que sua primeira venda, em qualquer dia dado, ooorra na quarta ou quinta liga~lio. Sol11ftio rara encontrar a prob.1bilidade de que sua primeira venda acontC\<f na quarta ou quinta ligao;iio, enrontre primeiro a probabilidade de que a venda ocorra na quarta liga· \<'IO e a probabilidade de que ela ooorra na quinta liga~~o. Entlio, encontre a soma das probabilidades resultantes. Usando p = 0,23, q= O,n ex =4, voce tcm: P(4) = 0,23·(0,n)'"" 0,105003. Usando p = 0,23, q = 0,77 ex = 5, voe~ tem: P(S) = 0,23·(0,n)' ""0,080852. Entao, a probabilidade de que sua primeira venda ooorra na quarta ou quinta liga~~oe: P (venda na quarta ou quinta liga~ao) = P(4) + 1'(5) "" 0,105003 +0,080852 ,,,,0,186. Enoontre a probabilidade de que sua primeira venda ooorra antes da quarta liga~lio. a. Use n distrib1tifflO g<'Clllelrica para encontrar P(l), P(2) e P.(3). b. £11co11tre n soma de P(t), P(2) e 1'(3). c. £screvn o resultado em forma de senten~a. Embora um sucesso possa, teoricamente, nunca ocorrer, a distribui~ao geome· trica e uma distribui<;<'\o de prooobilidade discreta porque os valores de x podem ser listados -1, 2. 3, ... Perccl>a que conforme x se toma maior:, P(.r) se aproxima de zero. l'or exemplo: P(SO) = 0,23(0,n)" ~ 0,<XXXXl06306. I Adistribui,ao de Poisson Em um experimento binomial, voei? esta interessado em descobrir a probabilida· de de um ntlmero especifico de sucessos em um dado numero de tentativas.Suponha que, em vez disso, voce queira a probabilidade de que um numero espedfico de ocor· ~ncia acont~a dentro de uma dada unidade de tempo ou espa~. Por exemplo, para determinar a probabilidade de que um funciomlrio fique doente por 15 dias dentro de um ano, voce pode usar a distribui~ao de Poisson. efinicao Adistribui,ao de Poisson e uma distribuic;iio de probabilidade discreta de uma variavel aleatoria x que satisfayi as seguintes condi,aes: 1. 0 experimento consiste em calcularo numero devezes, x. que um evemoocorre em um dado inteNalo. 0 inteNalo pode ser de tempo, area ou volume. Capftu!o 4 • 181 Di\tribuk611 dt prowbfll4•d~ dl1<11111 2. Aprobabilidade de o evento acontecer ea mesma para cada inteivalo. 3. 0 ntlmero de oco<rencias em um inteivalo eindependente do numero de ocorrencias em owo inteivalo. A piobabilidade de exaias x OC01rencias em um inteivalo e: P<i<)= 11' e •. x! ondee e irn nUmelO irracional aproximadameote igual a 2,7 1828 e 1• ea media dos numeros de ~ncias por inte<valo de unidade. [xemplo I 2 Usando a distribuiclo de Poisson A media donumerodcacidentespormi!sem rerta inte~e tiis. Quale a probabilidade de que, em qualquer mi!s dado, quatro acidentesocorram nessa inte~? PoissonPdf(3, 4) . 1680313557 Soturao Usando .t = 4 e 11 .. 3, a probabilidadc que 4 acidentes aconleQIID em qualquer m(ls dado na intersc(~O ~: P(4)- 3'(2,71828t) 4! ..o.168. Qual e a probabilidade que mais de quatro acidentes ocorram em um dado mes na interso.~no? a. Lise ndistrib11i(tfo d" Poisson pnra encontrar P(O), P(l), P(2), P(3) e P(4). b. £11ro11tre n soma de P(O), P(l ), P(2), P(3) e P(4). c. S11btrnin a soma de 1. d. Escrtvn o resultado em forma de senteii(a. No Exemplo 2 voo'! usou uma f6rmula para determinar uma probabilidade de Poisson. \loo'! tam~m pode us.ir uma tabela para encontrar as prob<lbilidades de Poisson. ATabela 3 do A~ice Blist.I a probabilidade de Poisson para valores selecionados de .t t I'· Vo«' tam~m pode usar ferramcntas tecnol(jgicas, como MINITAB, Excel ea Tl-83/84, para encontrar as probabilidades de Poisson. Usando a TI·83/84. por exemplo, o Menu DISTR pode ser usado para encontrar probabilidades binomiais, geom&icas ou de Poisson. \loo'! pode verific:ir a solu(iio para o Exemplo 2 na margem. [xemplo L3 Usando um• tabela para encontrar probabilidades dt Poisson Uma cstimativa populacional mostra que existe uma media de 3,6 coelhos por acre morando em 11m campo. Use uma tabela para encontrar a probabilidade de que dois coclhos stjam encontrados cm qualqucr acre dado, dcntro do campo. Soluplo Uma pa rte da Tabela 3 do A~ndice 6 pode ser vista aqui. Usando a distribui~o para 11 = 3,6 ex ~ 2, v~ pode encontrar a probabilidade de Poisson conforme vlsto nns ~rcas dcstarndas da tabcln. Retratando o mundo A primeira pontc suspensa construida com succsso nos EUA, a Ponte Tacoma Nar· rows, ~ por cima do Ta· coma Narrows no estado de Washington. A ocupa(llo m~­ dia dos veiculos que passam pela ponteede 1,6. Aseguinte distribui(ao de probabilida· de rcpresenta a ocupa(llo de velculos durante um pcrio· do de 5 dias. r 11 ~1 ,, tr-1\j. ti t "fl . "-<l ' O.IO ~ :2 :& l .,,. .... OJO I 2 J .. 5 6• N~..,..,, de J>O'""" ~vcfcul~ Q11al ~ a pr'<tbnl1ilitln1fl' ''" 11111· 11111 1...rculo <elt•rio11ntln nlt'lltorin111e11te ft•ulur rloi:0 011 Hlt'UOSJ PC'tl/'il,,tt":\ Ed ,e 1naaa 1 182 • [U.tllli<..pl ''"'' µ x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 JO 31 32 3 0,0450 0,0408 0,0369 0,1397 0,1304 0,1217 0~165 0,2()87 o•.2oos 0,2237 0,2226 0,2209 0,1734 0,17$1 0,1823 0,1075 0,1140 0,1203 0,0555 0,0608 0,0662 0,0246 0,0278 0,0312 0,0095 0,0111 0,0129 0,0033 0,0040 0,0047 O,OOIO 0,0013 0,0016 3 0,0334 0,1135 0;1929 0,2186 0,1858 0,1264 0,0716 0,0348 0,0148 0,0056 0,0019 3 3 37 0,0302 0.6273 0,0247 0,1057 00084 0,0915 0,1850 0;1692 0,2158 0,2087 0,1888 0,1912 0,1931 0,1322 0,1377 0,1429 0,0771 0,0826 0,0881 0,0385 0,0425 0,0466 0,0169 0,11191 0,0215 0,0066 0,0076 0,0089 0,0023 !J,0028 0,0033 ~ . Entao, a probabilidade de que dois coelhos sejam enoontrados em um dado acre ~de0,1771. ente w><i 3 Duas mil trutas marronss.iocolocadas em um pequeno Iago. 0 Iago tem um volume de 20.000 metros ctlbicos. Use a tabela para enrontrar uma probabilidade de que tres das trutas sejam encontradas em um mesmo metro cubico do Iago. a. E11co11tre o 111i111ero 111Mio de tn1tas marrons por metro olbico. b. /rle11tifiq11e 1• ex. c. Use n 1abeln 3 do Ap~ndice B para encontrar a probabilidade de Poisson. d. Escrevn o rt?Sultado em forma de senten~a. I Resumo das distribui,oes de probabilidade discretas A tabela a seguir resume as distribui~iies de probabilidade discretas discutidas no capltulo. Dislribui5ao o·islribui5"o binomial Un1expcrin\ento binomial li unt expcrin1cnto de pmbabilidadc que piwncha os seguintes crit~rios: 1. 0 e>:p<.->rimtnto erepctido por un1 nUmero fixo de tentativas (n), ondc cada tcntati\la Cindcpcndente das outras. 2. Ha apenos dais resultados possivcis de interesse para cada tcntnti\la. Os resultados podcn\ ser classificados c<.>rno succsso (S) ou fracasso (F). 3. A probabilidadc de um sucesso P(S) ca mesma para cada tentativa. 4. A v.:ari.ivcl .1lc.tt6ri.:a x c<:>nt.:abiliua o ntln1cro de tentativ.1s con1 sucesso do total de tcntativas (11). Os pat.lmctros de uma distribuic;.'IO binomial silo 11 e p. Di,0tribui~o goom~lrica F6rmulas Resamo Uma distribui~o goom~llica ~ uma distribui~o de probabilidadc discrcta de uma vari~vel aleat6ria .r quc satisfa~a as seguinles condi¢<'.s: 1. Uma tcntativa ~ rcpetida at~ que o suresso ocorra. 2. As tc11tativas repelidas s~o inde-pendentes unlas das outras. 3. A probabilidadc de suce>-so pc constantc para cad• tcnlativa. 4. ;\ vari~vcl alcat6ria x repl"(."S('nta o nUmcro de tcntativas nas quais o primeiro sucesso ocorre. 0 parJmelro de uma dislribui¥lo goometrica ep. x = o nUmcro de sucessos cn1 " tentativas p = probabilidade de suet'SSO em un1a Unica tcntati.va q :i: probabilidadc de fracaSSC> cn1 uma Unica tcntati va q = 1-p Aprobabilidade de exatos x SUC\.'SS<lS em ,, tentativas e: P(.r)= P(x) = ,C,p' q'"' 11! (11- .r)!x! p"q"- .. . x = o nli.mero de tcntativas nas quais o primciro sucesso ocorre p = probabilidadc de sucosso em uma Uni ca tentati va q = probabilidade de fracas.'° em uma Unica tentati va q = l-p Aprobabilidade de quc o primeiro sucessoocon'a em uma tcntati\'a de nUmemxC: P(x) = p(q)•·•. Ed ,e 1naaa 1 (ap11Ulo4 Distribuillo de Poisson A distribui~5o de Poisson Cun1a distribui~ao de pl\)babilidadc discreta de uma \lariiivel aleat6ria x qu~ s.itis(a~a as seguintcs condi~: 1. 0 cxpcrimcnto ronsiste C'm calcu1ar o nU.n1cro de vezcs, x, quc unl •'v(>nto ('1('0~ ('1n um dMo intt"rv;:ilo. 0 interv<1lo pod1• ~r intcrvalo de tcn1po, a.rea ou volun1e. 2. t\ probabilidade de o evcnto acontecer ~a mesma para cada intervalo. 3. 0 nUm<'ro de ocorrCncias en1 un1 intcrvalo CindcpendMtc do • Di111ib• i<6esdeprababilida4'$4l1crttas 183 x = o nUn1ero de ocortCncias e1n unl dado intervalo /t =0 nUrnero medio de ocorrencias Cm uma dad a unidadc de tempo ou espat;0 A probabilidade de exatas x ororrendas cn1 un1 intcrvalo C: n(lmcro de ocom?ncias cn1 outm. _ 11.•c-• P(X) . x! 0 parilmctro para un1a distribui~ao de Poisson~ I'· (II Exercicios Construindo habilidades basicas e conceitos Nos exerdcios de 1 a 4, a <islliW(Ao geomr!trica se apftca. Use para encontrar a probabilidade a.~ probabilidades de sue~ dadas p indicoda. 1. Encontre P(2) quatldo p = 0,60. 2. Encontre P(l) quandop = 0,25. 3. Encontre P(6) qoando p = 0,09. 4. Enconue P(5) qua11do p = 0,38. Nos exerckios de 5 a 8, a disltibuii;.lo de Poisson se aplica. Use a mMoa 11 dada pa1a encoot<ar a probabilidade indicada. S. Encontre P(3) qU<Jndo ,, = 4. 6. Encontre P(5) quatldo 11 =6. 7. Encontre P(2) quando I' = 1,5. 8. Encontre P(4) quando ,, = 8,1. 9. Com suaspr6p<ias palavras, desaeva asdifereni;as emre oval0t de x em uma distribuii;.lo binomial e em uma distribuii;.lo geometnca. 1O. Com suas pr6p<ias palavra~ desaeva asMereni;as e<itre ovalor de x em uma dis1ribuii;.lo binomial e em uma dislribui\:30 de Poisson. Decidindo por uma distribui~o Nos exe<cl<ios de 11 a 16, deOda qua! distribuii;.lo de probabaida· de - binomiat geomeuica ou de Poisson - se aplica aquestao. Voce nao precisa responder apergunta. Em vez disso, justifique sua escolha. 11. Teste de piloto Dados: a probabilidade de que um aluno seja aprovado no teste escrito para uma liceni;a panlaJla1 de piloto e de 0,75. Petguf//o: qu.il ea probabilidade de um aluno repro,<ar no teste na primeita tentativa e passar na seguri&ll 12. Precipita1ao Dcdos: na cidade R<lpidy, Dakota do Sul, o numero mMo de dias com nivel 0,01 polegada oo mais de precipita· 1~ para o mes de maio, e 12. Pergunto: qual ea probabiidade de que a cidade Rapidy tenha 18 dias com nivel 0,01 polegada, oo mais de precipita(Ao, no pr6ximo mr!s de maio. (Fon~: NIJllOO(J/ Clrmooc O,;·o Cenw.) 13. Petroleiros Dados: o ntlmero m&!io de navios petroleiros que chegam a um po<to d'iariamente 8. 0 pono tern capacidade de ridar com 12 petroleiros por dia. Pergumo: qual ea probabiidade de que, em um dado dia, cheguern mais petroleiros do que o pono tern capacidade de receber? 14. Exerdcios Dodos: qwrenta por cento dos adultos nos Estados Unidos se exercitam pelo menos uinta minutos por semana. Em e uma pesquisa de 120 aduhos escolhidos aleatoriamente, as pes· soas responderam a pergunta: "Voce se exercita pelo menos 30 minutos por semana?" Petgunto: qual ea probabir.dade de exata· mente 50 pessoas tenham respondido sim' 15. Colas Dodos: de alunos entre 16 e 18 anos, com medias A e B e que planejam faze< faculdade depois de se formarem. 78% colaram para conseguir notas maioles. Dez alunos escolhidos de forma aleat6ria com m&!ias Ae B que planejam cursar uma facul· dade responderam apergunta: "Voe~ colou para conseguir notas mais ahas?" Petgunta: qua I ea probabilidade de que e10tamen1e dcis alunos tenham respondido nl!o? (foo:.:VAlo's v1hoAmongAme"""'/fJgh School srim.nr..) 16. Semcarnel Dadas:cercade 21%dosnotte·americanosdizem que n!o conseguiriam passar uma semana sem comer came. V<x£ escolhe, aleatoriamenle, 20 norte·americanos. Petgunto: qual ea probabilidade de que a primeira pema que responde~ que n/!o conseguiria ficar sem carne por uma semana seja a quin· ta pessoa escolhidal (lf>nr.: RMffi/Zo¢y.) Usando e interpretando conceitos Usando uma distribui1ao geometrica para encontrar probabilidades Nos eicerdcios de 17 a 20, encontre as probabi[idades incicadas usando a distribui\Ao geomr!trica. Se for ~iente, use tecnologia para encootrar as probabifidades. 17. Vendas por telefone Suponha que a probabilidade de que voe! fac;a uma veoda durante qualquer um dos telefonemas lei· tos e 0, 19. En<ooue • p<obobitidode de que YOCC (•) fo<;<i suo primeira venda durante a quima liga(Ao. (b) fai;a sua primeira venda durante a primeira, segunda ou te<ceira liga\oo e (c) nao 13'3 uma veri&l durante as tres primeiras liga¢es. 18. Lances livres 0 jogador de basquete Shaquille O'Neal faz lances ivres cerca de 52,6% do tempo. Encontre a probabWdade de que (a) a prineira cesta que O'Neal faz seja no segundo lance, (b) a primeira cesta seja convenida no primeiro ou segundo lance e (c) O'Neal oao fai;a duas cestas.. (ll:ti:<':N<ll>Olld~Ass«io""') 19. Produtordevidro Um produtordevidrodescobleque I erncada 500 nens de vidro estj t0<cido. Encontre a probabilidade de (a) o pri· meiro item de vidro IO<cido ser o ~mo item produzido, (b) o primero Item de vidro tO<cido sero primeiro. o segundo ou o te<ceiro ase< produzido e(c) nenhum do6 dez itens de vidro estar imperieito. 20. Ganhando um premio Uma Mb<ica de cereaiscoloca um jogo na caixa de seuscereais, Aprobabilidadede ganhar um pr~iono Ed ,e 1naaa 1 184 • Cm1111i<HpUrada jogo ede 1em 4. Encontre a probabilidade de que \IOce (a) ganhe o seu primeiro premio com sua quana COO'lpra, (b) ganhe o seu primeiro premio com a sua primeira, segunda OtJ terceiracompra e (c) n.lo ganhe um premio com as suas primeiras quatro COO'lpras. usando uma d istribui~o de Poisson para encontrar probabilidades Nos exercicios de 21 a 24, encomre as probabilidades indicadas usa ndo a distrioo~ de Poisson. Se achar oorweniente, use uma t.l· bela de prooobilidade de Poisson oo ferramentas tecnol6gicas para encontrar as probabilidades. 21. Falencias 0 n(Jmero medio de pedidos de lal~ por minuto nos EUA em um ano recente era de cerca de tres. Enoo<ltre a probabilidade de que (a) eirat.imente cinco neg6cios ~m fa· lencia a qualquer minuto, (b) no mfnimo cinco neg6cios ~am fa!~ em qualquer minuto dado e (c) mais de cinco neg6cios p~m falencia em qualquer dado minuto. (foll"· Olli~ ol li'.e U5. A""'"""°'"' Cout15.) 22. Erros tipograficos Um jomal descobre que a mecia de euos ti· pograficos para cada pagina e quatro. Encontre a probabilidade de que (a) eirat.lmente tres erros tipograficos sejam encontrados em uma (mica pagina, (b) no m.lximo tres erros sejam encontrados em uma pagina e (c) mais do que tres erros tipograficos sejam encomrados em uma pagina. 23. Maiores furaci!es t coosiderado um furac.lo grande aqueles cuja velocidade do vento atinja 11I milhas, ou mais, por hora. Dllrante 0 seculo xx. 0 numero medio de gra.'ldes furac0es a atingirem os EUA por ano foi de 0,6. Encootre a p<obabilidade de que em umdado ano, (a) eiratamente um grande furac.lo atinja o terr~6rio americano, (b) no m.lximo um fura<Ao atinja o tenit6rio americano e (c) mais de um grande furacao atinja o territ6rio americano. (fOflt~: fkl.ticnol H1.Rrlt::otll} C&J(er.) 24. Precipit~ao O numero medio de dias com fndice de 0,0 I po· legada OtJ mais de precipita¢es mensais em Lewistown, Idaho, e de cerca de 8,7. Encontre a probabilidade de que em um dado mes, (a) haja exatamente 9 dias com fndice de precipita(Ao maior OtJ igual a 0,01 polegada, (b) haja no maximo 9 diascom indice de precipita(Ao maior ou igual a 0,01 polegada e (c) haja mais do que 9 dias com fndice de precipita(Ao maior ou igual 0,0 l pdegadas. (IOll«: .va.'>Olial Cl"""''' Doro C.."<lter.) Expandindo conceitos 25. Aproximando a distribui¢o binomial Um fabricante de auto· m6veis descobre que 1 em cada 2.500 autom6veis produzklos tern um defeito de labrica¢o. (a) Use uma distri~o binomial para encontrar a prooobilidade de enconttar quatro carros com defeitos em uma amostra aleat6ria de 6.000 carros. (b) A disui· buii;Ao de Poisso.~ pode ser usada p.i ra aproximar a distribuii;Ao bi· nomial para grandes valores den e pequenos valoresde p. Repit.l (a) usando uma distribu~ilo de Poisson e compare os resultados. 26. Oistribui(Ao hipergeometrica Experimentos binomiais e><igem que uma amostragem seja feita com devolu¢es, pois cada 1enta· tiva deve ser independente das outras. A distribui~ao hipergeometrica tambem tern dois resultados: SIJCl!SSO e fracasso. Pol~ a amosua~ e feit.i sem devolu~Oes. Dada ooia J>OjJtJla(Ao de N itens tendo k sucessos e N - k fracassos, a probabilidade de selecionar uma amostta de t.ima11ho n que tenha x sucessos e n - k fracassos edada por: P(x) - ( ,C, )(•.,c•.,) ""c" Em um carregamento de 15 microchips, dois tern defeito e 13 n.lo apresentam deleitos. uma amostra de tres microchips eescolhida aleatoriamente. Encontre a probabilidade de (a) os tres microchips n.lo terem defeitos, (b) um microchip ter deleito e dois nao terem e (c) dois microchips apresentarem deleitos e um nao apresentar. Distribui~o geometrica: media e variancia Para os exerdcios 27 e 28, a mt!d'ia de uma distribui(Ao geome· tnca JI ; l/p ea Vatiancia t! 11>; q/p>. 27. loteria diaria uma loteria diaria escolhe tres bolas numeradas de O a 9. A probabilidade de se ganhar na loteria e de l /t .000. Seja x a quantidade de vezes que voce joga na loteria antes de ganhar pela primeira vez. (a) Encontre a media, a va· riancia e o desvio padr~o. tnterproete os resultados. (b) Quantas vezes voce espera ter que jogar na loteria antes de ganhar? Assumimos que custa S 1 para jogar e os vencedores recebem S500. VOce esperaria ganhar ou ;perder dinheiro ao jogar nessa loteria? Explique. 28. Erros nos sal~rios Uma empresa assume que 0,5% de seus pagamentos anuais foram calcutados incorret.imente. A empre· sa tern 200 funcio~rios e eiraminou os registros da folha de pagamento de um mes. (a) Enoontre a med'ia, a variancia e o desvio padr~o. lnterprete os resultados. (b) Quant.is folhas de pagamento voce esperaria ter que examinar antes de encontrar uma fo!ha com erro? e Distribui~ao de Poisson: variancia Nos exerclcios 29 e 30, use o lato de que a va~ncia de uma distribu~o de Poisson e u> ; µ, 29. Tiger Woods Em um ano recente, o numero medio de tacadas por ooraco do jogador de golfe Ttger Woods era de aproximadamente 3,8. (a) Encontre a varianoia e o desvio padt~o. lmerp<eie os resultados. (b) u quao provavel e que tiger jogue uma rodada de 18 buracos e fa(a maisde 72 ·tacadas? (f<lll,.,, PGAT<>x.<0m.) 30. Neve A mMia da quanridade de neve que cai em Bridgepo<t, Connecticut. em janeiro e de 7,6 polegadas. (a) Encontre a \>ari· ~ncia e o desvio padrao. Interpret<! os result.ldos. (b) Enco.1ue a probabilidade de que a i ncid~ncia de neve em Bridgeport no mes de janeiro e><ceda 12 polegadas. (FctJ'•:"'"'""'"' CAmat< Doro a.'"") Ed ,e 1naaa 1 (apltulo 4 Usos e abusos - estatistica no mundo real Usos Ha ocooencias inconrave<s de distribui¢es de probabilidade binomial nas areas de neg6cios. crencia, ei\gellharia e outras. Po< exemplo, supooha que voce trabalhe para uma agencia de marketing e precise cria< um anuncio de TV para a marca de creme dental A. 0 fabricante do creme diz que 400h dos consumido<es de pasta de dente preferem sua marca. Para verificar se o que ele d'12 faz sentido, sua agencia esra conduzindo uma pesquisa. Oe 100 consumidores de creme dental escolhidos aleatoriamente, \'OCe peicebe que somente 35 (ou 350.0) preferem a marca A HA a possibiidade de o que o fabricante disse ainda ser verdade? Ese a sua amostra aleat6ria de 100 pesquisou apenas 25 pessoos (ou 25%) que expressam p<eferencia pela marca A? Voce ainda teria uma boa jus!ificativa para continuar com a propaganda? Saiba que as caraaerfsticas das distribui'¢es de probabilidade binomiais lhe ajudarao a responder esse tipo de pergunta. Quando voce tiver concluldo este curso, voce sera capaz de tomar decist<!s educadas acerca da racionar.dade da dedarar;ao do fabricante. {ti ca Suponha que o fabricame da pasta de dentes tambem declare que quatro em cada cinco dentistas recomendam a marca Ade pasta de denies. Asua a~ncia quer mencionar esse dado na propaganda de Tv, mas ao determinar come a amosua do fabricante foi co!et.lda, voce descobre que os demistas foram pages para cecomendar a pasta de dente. lnduir essa declara"'o ao fazec 0 anuncio n.!O seria etico. Abu sos lntecpretando os resultados mais provaveis Um mal uso comum das distribui'¢es de probabilidade binomial e pensar que o resuhado "mais pcovavel" e o resuhado que vai acontecer na maioria das vezes. Por exemplo, imagine que voce escolhe, aleatoriameme, um comhe de quatro pessoas dentre lSTla grande popular;ao que tern 50% de mulheres e SC1'M> de homens. A composi¢o mais pcovavel do comhe eque ele tenha dois homens e duas mulheres. Embora este seja o cesu!tado mais pcovaveL a p<obabilidade de ele acontecer e de somente 0,375. HA uma chance de 0,5 que o comhe tenha um llomem e tres m<Jille<es ou homens e uma mu!her. Portanto, case nenhum desses resultados ocooa, voce nae deve dizer que a seler;ao foi incomum ou prec0<1ceituosa. ues Exercicios Nos exercfcios 1 e 2, suponha que a declara~ao do fabricante seja verdadeira - 4-0'JI, dos consu.midores de creme de11tal preferem a rnarca A. Use o gr~­ fico e ferramentas tecnol6gicas para responder ~s perguntas. ""' O.o9 •»• OD7 0.00 ~ ODS ~ ~ •»• o»; £ 0.02 ODI t,.;.,r<;QLMMJ'MM'LMM'LMM'M9?~., 2$ 27 2931 3.l ~S 37 3941-134.S47-19 SI 53 SS N1lnlct0 d0$ q1.1c prtfcrcm ~ 1n;1JC.- A I. lnterpretando o resuhado •mais provaveJ: Em uma amos11a aleat6ria de 100, qual eo resultado mais prCM!vel? Quao provAvel ele e? • Di>uib•Mes 4e probdbilidades di1cret11 ISS Ed ,e 1naaa 1 186 • t:s1..r11i<aapll<ada 2. /nterpretanda a resultada "mais prov6vel: Em uma amostra aleat6ria de 100, qual ea probab~idade de que entre 35 e 45 pe$$00$, inclusive, prefuam a marca A? Explique seu raciodnio. 3. Si1(l<l.1h;i 'lUP. P.m urm amoi;tra aleatf:lria M 100, voc~ u;i,nha M'lt'.(),11f<\cio 36 (')P-.C:f.Otl~ 'll~ preierem a mare.a A. Adeclara¥)o do fabricante se<ia confiave'I? Exp!ique. 4. $up<l<lha que em uma amostra aleat6ria de 100, voce tenha encontrado 25 pe$SOOS que p<eferem a marca A. Adeclara¢o do fabricante se<ia confi.lvef? Expfique. Resumo do capitulo 0 que voce aprendeu? E.xemplo (s) (xercicios de revisao 1 1a4 3a4 2,5e6 Sa 10 11a14 7 15e 16 1 17e18 2, 4 a.6 19a22 3, 7e8 23a26 1 27e28 2e3 29e30 Se~ao 4.1 • Como diferenciar variaveis aleat6rias discretas das contfnuas. • Como detenminar se uma distribui~ao e uma distribui~ao de probabilidade. • Como construir uma distribui\30 de probabilidade discreta e seu grafico, e encontrar a media, a variancia e o desvio padrao de uma distribui~o de probabilidade discreta: 11=ExP(x) a' =f.(x-µ) 2 P(x) a= fl =~r-E(-x--1•).,..'P-(x-). • Como encontrar o valor esperado de uma distribui~o de probabilidade discreta. Se~ao 4.Z • Como detenninar se um experimento de probabilidade eum experimento binomial. • Como encontrar probabilidades binomiais usando a f6rmula de probabilidade binomial, uma tabela de probabilidade binomial e tecnologia: P(x):.11(,.p•qr1-i 11! .Pxq1t-x. (11-x)!x! • Como construir uma distribui\ao binomial eseu gr<lfico, achar a media, a variiincia e o desvio padrao de uma distribui~o de probabilidade binomial: 11 = 11p ' q- = 11pq a=f.;pq. Se~ao 4.3 • Como encontrar probabilidades usando distribui\ao geometrica: p{x)= pq'-'. • Como encontrar probabilidades usando a distribui\ao de Poisson: Ed ,e 1naaa 1 C.pltulo 4 • Dl1uibuk0fl dt prolt.sbili4•d" dil<retas 187 Exercicios de revisao Secao 4.1 Nos exeicicios de 1 a 4, decida se a variavel aleatOria x e disuera ou continua. 1. x representa o numero de bombas sendo usadas em um posto de gasolina. 2. x representa o peso de um caminhao em uma esta<;<lo de pe· sagem. 3. x representa a quanlidade de combustfvel oolocado em um posto de gasor.na. 4. x representa o numero de pessoas que ativam um deteaOI de meial em um aeropono a cada hora. e Nos exercicios de 5 a 10, decida sea dstnbui~ uma distribui· ~ode probabilidade. Caso nao seja, identifique a propriedade que nao est3 de acordo com a d'IS1tibu;,do. 5. Quauo eo limite di~rio de robalos a serem tirados de um Iago. A variavel aleat6ria x representa o numero de peixes capturados emumdia. "1os exerdcios de 11 a 14: (a) use a tabela de disuibui>ao de frequCnOQs para W1Struir uma distribui<;<lo de proballilidade. (b) represente graficamente a cfistnbui~ de probabifidade usando um histograma. (c) enconue a media, a varlarlCia e o desvio padrao da distribui· <;<lo de probabi1idade. 11. 0 numero de ~ginas em uma se<;<lo de uma amostra de teirtos estatlsticos Paginas ~ 2 3 3 12 72 115 169 120 4 5 6 7 x 8 9 10 P(x) II 6. A vari~vel aleat¢ria x representa o numero de multas que um policial aplica por tumo. x IP(•> 2 I 0 0,09 0,23 4 3 0,29 0.16 0,21 5 Ta<adas logos 0 4 29 62 33 12 3 s I 2 7. Uma lo')<I de canees guarda registros sobre habitos de compras dos cfientes. A variavel aleat6ria x representa o numero de canees vendidos para um (mico diente em uma visita aloja. x I 2 3 5 4 6 7 8. A variavel aleat6ria x representa o n(rmero de aulas que um aluno universMrio frequenta em um dado semestre. x P(x) I 2 3 4 5 6 7 8 I -752 -101 12 25 27 20 1 5 2 -25 I 80 120 9. Em uma pesquisa, usu.lrios de Internet responderam quantos enderews de e-mail possuem. A var~el aleat6ria x representa o numero de ende!~s de e-mail. x P(X) Io. 0,26 2 3 0,31 0,43 P(x> 0 1 0,156 0,318 2 3 0,227 0,091 4 Tel!MsO.S 0 5 6 0,136 0,045 0,045 casas 3 I 38 2 83 3 s 52 18 5 6 I 4 I 14. Uma esla<;<lode lVvendeanuncios em blocos de 15, 30, 60, 90 e 120 segundos. A distribui<;<lo das vendas para um dia (24h) dada a seguir. e Dura~~o (em ""'Undos) A variavel aleat6ria x representa o numero diario de fU11cion.l!ios que avisam a empresa que estAo doeiues. x 3 I 13. uma pesquisa enuevistou 200 casas sobre quantas televisOes possuem. 0.68 0,14 0,08 0,05 0,02 o.oi o.oi P(x) 83 48 22 6 12. 0 numero de tacadas, por jogo, dadas por um jogad01 de beisebol durante uma temporada recente. I 0,02 I 15 30 60 90 120 NUmero 76 445 30 3 12 Ed ,e 1naaa 1 188 • !s14tfltkaapll"d' Nos e.erdcios 15 e 16, encontreovalor esperadopara a variavel aleat6ria. 15. Uma pessoa tem oito tipos de a(lles dlferentes. AvariAvel aleat6· ria x rep<esenta os tipos de a,Oes mostrando uma perda em um dia espedf.co. x 0 I 2 3 5 4 6 7 que admitiram usar a Internet para saber o que esta acontece.1do no mundo seja: (a) exatamente dois? (b) no mrnimo dois? (c) maier quedois? (ronre:~v-d1Cenw.) Nos exerdcios de 23 a 26: 8 (a} construo uma distribvi>6o binomial P(x} O,o2 0,11 0,18 0,32 0,15 0,09 0,05 0,05 O.Gl (b) reptesente grolkcmente o distribui>Oo binomial usondo um t6. Um bar local oferece um p<ato especial com asinhas de frango as ter<;:as·feiras. 0 dono do ba• compra as asas de frango em lotes de 300. AvariAvel aleat6ria x cepresenta o numero de lotes usados as teri;:as. x 1 P(x) g I 7. 3 histogromo. 23. 4 I I I 3 2 18 24. Secao 4.Z Nos exereicios 17 e 18, decida se o experimento e binomial. Caso nao seja, ident~ique a prepriedade a (j'Jal ele nao atende. Caso seja, lisle os valores de n, p e q e os val01es que x pode assumir. t7. Saquinhos de M&M's contem 24% M&Ms azois. Um M&M tira· do de cada um dos 12 saquinhos. A variavel aleat6ria representa o numero de M&M's azuis escolhidos. l{Cll:o: MOf!. u) t8. Uma moeda e la0"1da repetidamente ate que 15 caras sAo ob!i· das. A variavel afeat6ria x representa o numero de lani;:ameotos. e Nos exercicios de 19 a 22, encontre as piobabilidades indicadas. t9. Um em cada quatro adultos esta arualmente de dieta. Em uma amostra aleat6ria de oito pessoas, qua! ea p1obabilidade de que o numero de pessoas de dieta seja: (a) exatamente ues? (b) no mrnimo tres? w."""' (c) maior que tr~? (fonre.· ll!lrlrf,.:d-> 20. Uma em cada quatro pessoas nos Estados Unidos tern a¢es no mercado de capitais. Em uma amostra aleat6ria de 12 pessoas, qua! e a probabilidade de que o numero de pessoas que tenha ~seja: (a) exatameme duas? (b) no minimo duas? (c) mais do que duas? (f'otlr•: Pew Rri"'°"" cen""> 21. Quarenta e tres POI cento dos adultos dos Estados Unidos recebem menos de dnco &ga¢es telefOnicas por dia. Em uma amostra aleat6ria de sete adultos, qua! e a probabilidade de que o numero de pessoas que recebem menos de cinco liga,Oes diarias seja: (a) exatameme tres? (b) no minimo tres? (c) maiorquetr~? (fonre.·YMhlil~-) 22. Em um dia normal 3 l<!b das pessoas nos Estados Unidos que tern acesso aInternet se c.ooectam para saber das nolkias. Em uma amostra aleat6ria de cinco pessoas que tem acesso aInter· net naque!e pais, ~I e a prob.ibilidade de que o nUme<o dos 25. 26. (c) encor>Ye o media. o V(Jfi{Jndo e o desvio podroo d-0 dislri· bui>iio binomial. Sessenta e tres por cento dos adultos nos Estados Unidos alugam fitas de video ou DVDs pelo me.-.os uma vez ao mes. Considere uma amostra aleat6ria de cinco americanos que responderam se alugam ao menos um video POI mes. Sessenta e oito por cento das famOias dzem que seus filhos influendam o destinode suas ferias. Considere uma amostra aleat6· ria de seis familias que responderarn se seus filhos os influeociarn na h01a de escolher o destino das ferias da farnifia. (fonre: ll'B8R.) Recentemente, 40% dos caminhOes vendidos p01 uma emp<esa eram movidos a <fiesel. Considere uma amostra aleat6ria de qua· tro carrinhOes veiididos pela emp:esa. Em um dia normal, 15% clas pessoas nos Estados Unidos que tern acesso aInternet verificam a p<evi~o do tempo enquanto estao navegando. Consi<!ere uma amostra aleat6ria de cinco pes· soas naquele pals com acesso aInternet que responderam que verificam a previsAo do tempo quando estao 0.1-line. (f<>nre- /\•n Rl'se01dJ Om:et.) Secao 4.3 Nos e.ercfcios 27 e 28, encontre as probabiidades indicadas usando a distribui~o geometrica. Se for convenierne, use tecnologia para encontrar as p<obabilidades. 27. No perfodo de prom~o. uma emp<esa de relrigerantes coloca uma tampinha premiada a cada seis ganafas. Caso voce compre uma garrafa do refrigerante POI dia, encontre a probabiffdade de voce achar a sua prinWra tampinha premiada (a) no quano dia. (b) de.wo de quatro dias. (c) em algum momento depois de tr~ dias. 28. Em um ano recente, Barry Bonds acenou 73 home runs nos 153 jogos que participou. Assuma que sua p<odui;Ao de home runs 1e.1ha ficado no mesmo nlvel na temporada seguinte. Qua! a pro· babifidade de que ele tenha acertado seu primeiro home run: (a) no primeiro jogo da temp01ada. (b) no segundo jogo da temporada. (c) no primeiro ou segundo jogo da temporada. (d) dentro dos tr~ primeiros jogos da temporada. (Fonre: M•!C' l~&Jsebc,I) Nos e.ercicios 29 e 30, encontre as probabiidades indicadas usando a distribuii;Ao de Poisson. Se for convenieme, use uma tabela de probabilidade de Poisson ou ferramerus de tecnologia para encon· trar as probabilidades. Ed ,e 1naaa 1 (•pltulo 4 29. Ouranteumperiodode 36anos,05raiosmatatam 2.457 pessoas n05 Estad05 Unidos. Suponha que esse numero ainda seja ver· dadeiro e que se mantenha constante durante o ano. Enoontre a probabilidade de que amanlkl: (a) ning~m, no$ EVA. sej3 atingido e motto por um raio. (b) uma pessoa seja atingida e Ol<l{ta por raio. (c) mais de uma pessoa seja atingida e morta por um raio. (Rlt>le· NO!IOllOl VI~ SeMa>.) • Oistribui16!1dt proNbilid•d" dis<ret" 189 30. Estima-se que. no mundo inteiro, tuoorOes matem 10 pessoas a cada ano. Encontre a prooobiidade de que no mlnimo tres pessoas sejam mottas por um tubarao este ano: (a) supondo que estas estimativas sao verdadeiras. (b) supondo que a es~ma1iva seja, na verdade, cinco pessoas ao aoo. (c) supondo que a estima1iva seja, na verdade, 15 pessoas ao ano. (ll>n!t': !nwroq',,.,,al ~l Arrael FJ<..) Teste do capitulo F~ este testecomo sevoce estivessefazendo uma provaem sala. Oepoisoompa1e suas respostas com as respostasdadasno final do livro. e 1. OeOda se a variavel alea16ria, x, olSO'eta ou conlinua. E>plique seu raciocinio. (a) x representa o numero de tomad05 que a1ingiram o Kansas durante 0 mes de maio. (b) x representa a quantidade de 1esiduos (em pounds) p1odu· zidos n05 Estados Unidos 1odoo os <fias. 2. A tabela fista o numeio de in~ncias de furacOes que a1ingiram o 1errit6rio dos Estados Uridos (de 1901 a 2004), sendo eles de varias intensidades de acordo com a escala Saffir-Simpson. (Fon.'e: A~<KJnol Hllm<one Center.) ln1ensidade NGmero de ruracOes 70 41 2 3 49 4 13 5 (a) Construa a distribo~o de p<obebilidade dos dados. (b) Represeme graficamente a distribui~o binomial usando um histograma de p1obabilidades. (c) Encontre a media. a varlancia e o desvio padr<lo da disviboi9lo de probilbaidade e inte1prete 05 resultados. (d) Encontre a prooobilidade de que um furaoo escolhido aJe. at0<iamente para estudos .a<focionais tenha uma intensidade de no minimo quatro. 3. Uma tecnica cinlrgica e feita em quatro pacien1es. Oisseram que hi\ uma chance de 80% de sucesso para a cirurgia. (a) Conslrua uma disvibo~ binomial. (b) Represen1e graficamente a distribui~o binomial usando um histograma de p1obabtl idades. (c) Encontre a media, a vari.\00a e o desvio padrAo da distribui· c;llo de p1obabilidade e imerprete 05 resu!tados. (d) Encontre a p1obabilidade de a cirurgi.i 1er sucesso para eica· tamente dois pacientes. (e) Encontre a p<obabilidade de a cirurgia 1e1 sucesso para menos de dois paciemes. 4. Um jomal descoble que o nDmeio medio de err05 tipograficos por pagina ecinco. Encontre a pobabilidade de que: (a) e1<atamente cinco erros tipografic05 sejam encontrados em uma pagina. (b) menos que cinco err05 tipograficos sejam encontrados em uma pagina. (c) nenhum erro tipografK.O seja encontrado em uma pagina. Juntando tudo Resul!ados dos ciclos de RTA Estatistica real - decisiies reais 0 Centro de Controle e Preven~o de Ooen~s (CDC) recebeu uma solid· ta~o de lei para publicar um relat6rio sobre teoiologias de rep<oduc;llo assistida (RTA). O RTA indui 1odoo os 1ratamentos de fertilidade nos quais o 6vulo e o espe«na sao usados. Esses procedimen1os geralmente envolvem a retirada dos 6wlos de dentro dos warios da mulher, a combina~o deles com os espermas no laborat6rio e a recoloca~ dos 6vtAos dentro do CO<po da mulhei oo, ainda, a doa~ destes para ouua mulher. ~ esta ajudando a p<eparar o relat6rio CDC e seleciona, de f0<ma aleatQ. ria, 10 cidos de RTA para uma revisao especial. Nenhum dos cidos reslltou em uma gravidez dlnica. Seu gereme acha impossivel selecionar aleatO<iamente 10 Gravidci Gravidez ...---t--- co16picn -0.7% cHnica 33.7% A u~nc i a de g.mvidez 65.6% (F,111te: C!ntl!'r.-for Dikt!'S4'Co11ln1I 1111d Prt:~t·nl it.tn.) Ed ,e 1naaa 1 [~•tl1tic,.plicaJa 190 • cidos de RTA que nao res<Jlta1am em uma gravidez dlnica. Use a informa~o fomecida adiame e o seu conhecimemo sobre estatlstica para determinar se o seu gerente es!.! correto. Gravidez e nascidos vivos, por ciclos de RTA, entre muJheres de 40 anos ou mais JO CJ fndice de g.rnvidcz CJ (ndice dc n n~i dQS \'i\'0$ lS E a ~ 20 IS i ,. s fxercicios Como voce laria? (a) Como voce determinaria, se o ponto de vista do ge<e<lle est~ correto. que e im· possivel selecionar 10 cidos de RTA aleatoriamente que ni!o resultaram em nenhuma gravidez dinica? (b) Qual distribu~o de probabifidade ~ acha que methor descreve a sill.Ja¢o? Voce acha que a d~tribu~ dos numeios de gravidezes dinicas e discreta ou contt· nua? Por que? I. Respondendo ~ pergunta. Esaeva uma explica~o que responda aseguinte pergunta: •£ posslvel selecionar IO cidos de RTA aleatoriamente que nao resultaram em nenh\Jma gravidez dinica?' lnclua em sua explicai;Ao a distribvii;Ao de probabilidade ap<opriada e seus cakulos da probabilidade da ause<lda de ocorrencia de gravidez dinica em 10 cidos de RTA 3. Amostras suspeitas? Quais das seguintes amostras voce consideraria suspeita se alguem lhe dissesse que a amostra foi coletada de forma aleat6ri.l? Voce acreditari.l que as amostras foram escclhidas aleatori.lmente? Por (j\Je (nao)? (a) Selecionando aleatoriamente 10 ddos de RTA entre mulheres de 40 anos, das quais oito resultaram em gr3"dez clinica. (b) Selecionando ateat0<iameme 10 ciclos de RTA entre mulheres de 41 anos. dentre as quais nenhuma apresentou gravidez dlnica. 2. Tecnologia !MINITAB MINITAB I EXCEL \ Tl-83/ 84 \ I Usando a distribui~ao de Poisson como modelos de Queuing I Queuing significa esperar em fila para ser servido. Ha muitos ex-emjllos de queuing na vida co· tidiana: esperar em um ~foro, esperar na fila para passar no caixa de um supermercado. esperar um elevador. esperar um te!efonema e assim PO< diante. As distribvi~Oes de Poisson sao usadas para modelar e prever o nlimeto de pessoas (ligacOes. programas de tomjJIJtador, velculos) que chegaroo a fila. Nos exeicl<:ios a seguir, voce devera usar diSlribui¢es de Poisson para analisar os queues no c.iixa de um supermercado. 02 0 2 .& 6 8 10 •2 I ii 16 18 lO Number of arrivals oor minute Exercicios Nos ei<etcicios de I a 6, oonside<e um superme<cado que pode processar um total de quatro dientes em seu caixa por minuto. 1. Suponha que a media do numeto de dientes que chegam ao caixa por minuto seja 4. Ctie uma disuibuii;.lo de Poisson com 1• 4 para x Oa 20. Compare seus resu!tados com o histogra· ma no canto inferior direito da ~gina anteri0<. = = 2. MINITAB foi usado para gerar 20 numeros aleat6rios com <fistri· bui~Oes de Poisson para 1, = 4. O numero aleat6rio representa o nUme<o de chegadas ao caixa por minuto, em um periodo de 20 minutos. 3 3 3 5 3 6 3 3 5 4 5 6 6 2 7 2 3 4 6 lmrante cada um dos quatro prirneiros minutos, somente quatro clientes chegaram. Esses dientes foram alendidos, ent<io fl.lo havia ninguem esperando depois de quatro minutos. Ed ,e 1naaa 1 (apftulo 4 (a) Quames dlentes esuivam esperando depois de 5 minutes? Edepoisde 6 minU1es? 7 minutes? 8 minutes? (b) Crie uma tabel.l que mostre o nOmero de cfientes esperan· do ao final de 1ate 20 minutos. 3. Crie uma ri11a de 20 numeros aleat6ries com d~tribui{~ de P~· son para 1• = 4. Crie lllla tabela q.ie mostre o numero de dien1es esperando ao final de 1 ate 20 minutes. 4. Suponhaque amedia cceS{d para 5 chegadaspor minuto.Voceainda s6 pode atender a quatro pessoas por minute. Quantas pessoas voce acha que estarao esperando na fila depois de 20 minutes? 5. Simule o cenario do Exetdcio 4. Fa~ isso cciando uma fista de 20 numeres a1Mt6ries com dis1t1bui(Ae de Poisson para,, = 5. De- • Oistribul<6fl de proNbilidadt1 dlsmtos 191 pois, crie t.rna tabela que mostre o numeio de dientes esperando na fila depois de 20 minutes. 6. Suponha que a media do nullleto de chega<las por minute seja 5. Qual e a probabiidade de que 10 dientes cheguem durante 0 primeiro minuto7 7. Suponha que a mMia do numero de chegadas por minute seja 4. (a) Qual e a p<obabilidade de que tres, quatro OU cinco dientes cheguem durante o terceiro minU1o? (b) Qua! ea probabifidade de que ma is de quatro cieotes cheguem durante o primeiro minuto? (c) Qual e a prebabifidade de que ma is de quatro cieotes cheguem durante cada um dos quatre primeires minutes? Ed ,e 1naaa 1 Capitulo 151 ~ ___ Distribui,oes de probabilidades • norma1s ]. __ Comprimento da carapa\'3 de tartarugas de caixa orientais femeas Onde estamos Do capftulo I ao 4, voce aprendeu como coletar e descrever dados, encontrar a probabilidade de um evento e analisar distribui\6es de probabilidade discretas. Voce tambem aprendeu que, se uma amostra ~ usada para fazer inferendas sobre uma popula~ao, entiio e imprescindivel que a amostragem niio favore\a um grupo. Suponha, por exemplo, que voce quisesse determinar o fndice de masti· tes (infcc~ causadas por bacterias que podem alterar a produ\ao de leite) em um rebanho leiteiro. Como voce or· ganizaria o estudo? Quando o A11i111nl Hen/th Service realizou esse estudo, foi usada uma amostragem aleat6ria e entao, ela foi dassificada de acordo com ra\a, habita\iiO, higiene, saude, administrai;.~o do leite e m~quinas de leite. Uma das conclus0es a qua! eles chcgaram foi que os rebanhos que tinham vacas Vermelhas e Brancas como ra\a predominante tinl1an' u1n maior nU1nero de ocorrencias de 1nastites que rebanhos que tinham vac.'15 Holstein·Friesian corno ra•;a predominante. •& ~ IS ~ J: 3 70 90 II 0 t.10 IS() Con1primcn10 da car.'l1>~0'I (em n1ili'n~ros) Comprimenlo da carapa~a de tartarugas de caixa orienta.is machos 25 ~ 20 ~ IS E ~ ~ Para onde vamos No Capftulo 5, voci! vai aprender como reconhecer distribui\6es normais (curva em fonna de sino) ecomo usar suas propriedades em aplic.1~ de vida real. Suponha que voce tenha trabalhado no zool<lgico da Cirolina do Norte e estava coletando dados sobre caracteristicas fisicas de tar· tarugas de caixa orientais no zool<lgico. Para quais das se· 10 s so 100 l:!O 140 160 Compri1ncn1<> da carnp~3 (cn1 mil imc~) Comprimento do Comprimento do guintes caractarrstic.as v~ espararia tar urna distribui($50 sim~trica com curva em forma de sino: comprimento da carap.1\a (casca de cima), comprimento do plastriio (casca de baixo), largura da carapa\a, largura do plastrilo, peso ou comprimento total? Os quatro graficos ao lado, por exem· plo, mostram o comprimento da carapa\a e do plastrao de tartarugas de caixa orientais macho e f~mea. Perceba que a dislribui~o relativa ao comprimento da carapa\a da tarta· ruga macho tem fonna de sino, mas as outras tres distribui· i;oes sao inclinadas para a direita. 12 plastrio de tartarugas plas-trio de tartarugas de caixa orientais femeas d.e caixa orientais macho •8 20 ."" ". E IS E 16 •"" 12 " ff. c ff. u ~ I! 8 • 9 6 3 70 90 Ill) 130 IS() Con11)rin>e.1no clo 1>lastrSo (em n1ili1netros) 70 90 110 130 Con1pri11l(.nto do pl:is·1rt10 (en1 milfnic1ros) Ed ,e 1naaa 1 m (apftulo S • Disuil>uk~ dtprolabilidad~ no1..11 lntrodu~ao ii distribui~ao normal e distribui~ao normal padrao 0 que voce Propriedades de uma distribui(iio normal -+ Adistribui(iio normal padriio I 193 Propriedades de uma distribui,ao normal Na Se\<io 4.1, v~ diferenciou as variaveis aleat6rias contlnuas e discretas, e aprendeu que wna variavel aleat6ria continua tem um numero infinito de vaJores possiveis que podem ser representados por um intervalo na reta numerica, cuja distribui\<io de probabilidade e chamada de distribui~.io de probabilidade continua. Neste capitulo, voce vai estudar a distribuii;ao de probabilidade continua mais importante em estatfstica - a distribui~ao nonnal. Distribui~ normais podem ser usadas para modelar muitos grupos de mensurai;~o de dados na natureza, industria e neg6cios. A pressaosanguinea dos humanos, por exemplo, o tempo de vida de gn1pos televisivos e atemesmocustosdomesticoss.'iotodos, nonnalmente, variaveisaleat6riasdistribuidas. lnstru(oes deve aprender • C.omo imerpreiar grclficos de disuibu¢es de prob.Jbilidade Jllfmcll. • Como encontrar areos sob aClllVil normal padrao. - lmportante Para aprendercomo determinar se uma amoslra aleat6ria e tirada de uma distribuio;ao normal, veja o Apendice C Propriedades de uma distribui(ao normal Uma distribui~ao normal e uma distribui~o de probabili.dade contfnua para uma variavel aleat6ria x. 0 grafico de uma distribuii;ao normal e chamado de curva nom1al. Uma distribui~iio normal tem as seguintes propriedades: 1. A m&lia, a mediana e a moda siio iguais. 2. Uma curva nonnal tem forma de sino e esimetrica em tomo da m&lia. 3. A area total sob a curva normal e igual a um. 4. A medida que a curva normal se distancia cada vez mais da m&lia, ela se aproxima do eixo x, mas nunca o toca. 5. Entre µ - q e 1• + q (no cent(() da curva), o grafico se curva para baixo. 0 grafico se curva para cima a esquerda de 11-q ea direita deµ +q. Os pontos nos quaisa curva muda de crescente para descrescente sao chamados de ptmtos de inflexifo. lmportante -111~~~~~~~~~--. µ -1-u µ - 2<1 µ - a JJ Jt+<1 µ+ 2<1 p +'Ja Vo~ aprendeu que uma distribui~ilo de probabilidade discreta pode ser represenrada graficamente com um histograma. Para uma distribui~5o de probabilidade continua, voe@ pode usar a fun~ao densidade de probabilidade (fdpJ. Uma curva normal com m~dia 1• e desvio padrao q pode ser representada graficamente usando a fun~3o densidade de probabilidade norma.1. Uma funi;.'lo densidade de probabilidade tern duas con· di¢es. 1. A area total sob a cutva deve ser igual a 1. 2. A fun~ao nunca pode ser negativa. Ed ,e 1naaa 1 194 • [~d1Js.1Jca11plirad! 1 -(x-1•)'/2u' y=--e q.& Dica de estudo Aqui estao as instru~ para o grafico da distribui¢o nor· mal em uma Tl-83/ 84. I Y= II 2nd lD1STR 1<norrnalpdf( Entre x e os valores de I' e q separados por vfrgulas. lGRAPHl llltt11a1n'f?11(1111;irl 1ft1-l(futr rompftN1111t11tt' tft"':' dt'IJ~ ,_,riimrlrt.Ji. /IC" Jll'flfltl'f ~ i; IS ( ~~ 3,14 ,;Qit((llJSbJIJlt'. Uma distribui~ao nonnal pode ter qualquer m<!dia e qualqucr dcsvio padrao positivo. Esses dois par.lmetros I' e "dete.rminam completamente o formato da curva nom1al. A m<!dia da a localiza~o da linha de simetria e o dcsvio padrao descreve o quanto os dados sao cstendidos. Pontos<le in0ex5o Pontosdc ~, 0 I l 3 4 5 6 7 M<!dia: 11 =3,5 Desvio padrao: 11 s 1,5 -'-l"-<l-l'-1..l-l~-l-.< 0 6 7 M<!dia: 11 =3,5 Desvio padrao: q a 0,7 01 ? 34$67 Media: 11=1,5 Desvio padrao: 11• 0,7 Perceba que a curva A ea curva Bt~n' a n1esma m~dia, ca curva Be a curva C padrao. A area total sob cada curva e1. t~m o mesmo desvio Exemplo m Entendendo a media e o desvio padrao 1. Qual curva normal tcm uma mt!dia maior? 2. Qual curva nom1al tern um desvio padrao maior? SolttfliO 1. A linha de simetria da curva A ocorre em x = 15. A linha de simetria da curva 8 ocorre em x = 12. Portanto, a curva A tern uma media maior. e 2. A curva B mais estendida do que a curva A; portanto.. a curva B tem um desvio padrao maior. Considere as curvas normais a esquerda. Qual curva normal tem a mt!dia maior? Qua! curva normal tem o desvio padrao maior? Justifique suas res· postas. A R s a. Enoontre a localiz.1(50 da li11l111 tie si111elrin de cad a curva. 'li re oonclusOes sobre qual n1tklia ~a n1aior. b. Determine qua! curva normal e 111nis este11tfitfn. 'lire conclus6es sobre qual desvio padriio eo maior. I'· A4(1 ~~111 un t1,[11.11§§§ Exemplo m lnterpretando 9r~ficos de distribui,oes normais As oltur;is (em p4$) de ~rvores de c-~olho odultos slo norm.Jmente distribuf- das. A curva normal representada a seguir mostra essa distribui\<'k>. Qua! ~ a m(l(iia da altura de uma arvore de carvalho adulta? Estime o desvio padrilo dessa distribui· ~30 norma.1. I I I I I I I I I I I r1ot1 ,1ot2 , , . t) Soturao Como uma CUl'V3 nonnal ~ simttrira cm 1omo d.1 media. '"OIX podc C!limorquc f'" 90 pCs. I ' Y1BnorMal Pdf'(X , 90 ,3 . 5) ' Y2= Con10 os pontos de inncxilo ,_,,....:::::::,,,~ sUo un1 dcsvio padriio da n16dia. voe~ podc estirnar quc " " 3,S I I SS I I f • • I I 90 , y3= ,y~ = ,' Ys= y,= o.z • I I' I Altura (cm ~s) foltrprttariio As alturas de arvoresde carvalho normalmente 5"° distribuldas com uma media de ceroi de 90 ~ e um desvio padrao de aproximadarnente 3,5 ~ T- Os diAmetros (em ~)de arvores de carvalho adultas s3o normalmente dis· tribuidos; a curva normal a seguir representa essa distribui~ilo. Qua! ~ o di~l metro m(l(iio de uma arvore de carvalho adulta? Estime o desvio padrao dessa distribui~ilo normal. vod ?J u u " u " ~ OOmelro(<m pb) " u a. Encontre a li11lur de simetria e identifique a m(l(iia. b. Estime os po11tos de fojltxifo e identifique o desvio padrilo. u •J 100 Una ve.i que vocf delermna a mMa e o desvio pad~ .cc~ Pode usar uma Tl-83/84 1>4<a iepteseniar a C1J1Va nQf· mal no Exemplo 2 gra6camente. Ed ,e 1naaa 1 196 • es1..r1ticaopll<odo fmportante Cooio toda distribui$'!0 normal pode ser transfonnada em dis- I Adistribui,ao normal padrao Existe uma infinidade de distribui<;<ies normais, cada uma com s11a pr6pria me· dia e desvio padrao. A distribui\ilO nom1al com 11ma media de 0 e um desvio padrao ttibui<;ao normal padrao, vOO! de 1 C: diarnada de distrillui~ao nor1ual padrio. 1\ esl-ala horizonlal do grtifiro da dis- pode usar o z-esoore ea curva normal padrao para encon· trar areas (e tam~a proba· bilidade) sob qualquer curva normal. tribui\00 normal padrao correponde ao z·~'Score. Na $e(;ao 2.5, vocc aprendeu que um z-escore e uma medida de posi~o que indica o numero de desvios padrao de 11m valor a partir da media. Lernbre·se que voce pode transformar 11111 valor x em z·escore usando a f6rmula: Valor - Media Desvio padtiio z X - Jt z=--. Arredondc." para o ccnt~o;hno nlai!-1 pr6ximo. " DefiniEao A distribui~o normal padrao padrao de l. e uma distribu~o normal com 001a media de Oe um desvio Arca= I .....""'---1~~-1-~~>-~-+~~-I--"'"""!---~ ' .~ -3 -:? -I 0 ~ Oistribuit;ao normal padrao Oica de estudo ~ importante que voce saiba a diferen\a entre x e z. A va· navel aleat6ria x ~. as vezes, chamada de pontua\iiO bruta e representa valores em uma distribui\00 normal nao pa· drao, enquanto z representa valore.s na dishibuic;clo nor- mal padrao. Se cada valor de uma variavel aleat6ria x distribufda normahnente e transformado em um z-escore, o resultado sera a dislribuis<~o nonnal padrao. Q11ando essa transforma\ao acontece, a area que cai no intervalo sob a curva normal nao padrao ea mesmn que aquela sob a curva normal padrao dentro das fronteiras z correspondentes. Na $e(;iio 2.4, v~ aprendeu a usar a regra empirica para aproximar areas sob uma curva normal quando os valores da variavel aleat6ria x correspondiam a desvios padrao-3, -2, - 1, 0, 1, 2, 3 da media. Agora, voe~ vai apren<ler a calcular areascorrespondentes a outros valores de x. Depois de usar a f6rmula <lada para transfonnar um valor x em uma pontua\ao z, voe~ podera 11sar a Tabela Nonna! Padrao no Ap~ndice B. A tabela lista a area acumulada sob a curva normal padrao aesquerda de z para z-escores de - 3,49 a 3,49. Enquanto observa a tabela, note o seguinte: ropriedades da distribuicao normal padrao 1. Aarea acumulada epenode Opara z-escores pr6ximas a z =-3,49. 2. Aarea acumulada aumenta conforme as pontua~Oes z aumentam. 3. Aarea ac.umulada para z = 0 e0,5000. 4. Aarea acumulada epr6xima a I para z-escores pr6ximas a z = 3,49. Ed ,e 1naaa 1 C•pitulo 5 Exemplo • Di•trioviW~de t><•balilidode>•Ol"'i' 197 m Usando a tabe!a normal padrao 1. Encontre a aroa acu1nulada quc correspond<! a z-escoro d& 1, 15. 2. Enoontre a Mea acumulada que oorresponde a z-esoore de -0,24. Solufilo t. Enoontre a area quecorresponde aZ= 1,ISenoontrando 1,1 na coluna aesquerda e depois cruzando a fileira para a ooluna sob 0,05. 0 numero naquela fileira e coluna e0,8749. Entllo, a area lt esquerda de z = 1, 15 e0,$749. 0,0 0,1 0,2 000 001 002 0 03 005 006 0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5100 0,5199 0,5239 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5~3 0,5&32 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,fi<126 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 0)!159 0,8413 0,8643 0,8849 0,9032 0,9192 % 14 0,8186 0,8438 0,8665 0,8869 0,9049 0,9207 0,8212 0,8461 0,8686 0,8888 0,9066 0,9222 0)!238 0,8485 0)!708 0,8907 0,9082 0,2?.36_ 0,8264 0,8508 0,8729 0,8925 0,9099 0,9251 0,8289 0,8531 ©,874?> 0,8944 0,9115 0,9265 0 I.IS Area= 0.4052 0)!315 0)!554 0)!770 0,8962 0,9131 Q,9279 2. Enoontre aarea que oorresponde a z =-0,24 encontrando-0,2 na ooluna aesquerda e depois cruzando a fileira para a ooluna sob 0,04. 0 numero naquela fileira e oolun.1 e0,4052. Enrao, a area aesquerda de z =-0,24 e0,4052. % 3,4 3,3 3,2 009 008 007 0 06 0 5 0,0002 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0005 0,0005 0,00)5 0,0006 Q,0006 01» 0 3 0,0003 0,0003 0,0004 O,OOOI 0,0006 0,0006 Dica de estudo -111~~~~~~~~~- Aq ui voce enoontra lnslru· ¢es para detenninar a area 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 o,o 0,2776 0,3121 0,3483 0,3859 0,4247 0,4611 Voe~ tambem _ ,~ 0,2810 0,3156 0,3520 0,3897 0,4286 0,4681 0,2843 0,3192 0,3557 0,3936 0,4325 0,2877 0,3228 0,3594 0,3974 0,4364 o,4n1 0.4761_ 0,2912 0,2946 0,2981 0,3264 0,3300 0,3336 0,3632 0,3669 0,3707 0,4013 ©A05l} 0,4090 0,44-04. 0,4443 0,4483 0,4801 0,4840 Q..4880 pode usar um oomputador ou calculadora para encontrar a area acumulada que corresponde ao z-escore, conforme esta na margem adireita. a 1. Encontre a area sob a curva esquerda do Z·escore de-2,19. 2. Enoontre a area sob a curva a esquerda do z-escore de 2,17. Localize a pontua~'lo z dada e euamtre n lfrl!tl que oorresponde a ela na ·iabela Normal Padrao. Quando o z-esoore nao estiver na tabela, use a entrada mais pr6xima dele. Seo z-esrore dado estiver exatanlente entre dois z-escores, entao use a a.re.a entre as areas correspondentes. Voe~ pode usar as instru~Oes seguintes para enoontrar os varios tipos de areas sob a curva normal pad rao. que oorresponde a z = -0,24 em uma Tl-83/84. Para especificar um limi· te menor neste caso, use -10.000. I 211d Iorsrn 2; JrtormalcdJ( -10000, -.24 OJ I ENTER I norMalcdf(-10000 ' - • 24 . 405165175 Ed ,e 1naaa 1 198 • !s"1r11i<aapll"da lnstru~oes Encontrando areas sob a curva normal padrao 1. Esboce a curva normal padrao ea sombra da <lrea aproprlada sob a curva. 2. Encontre a area seguindo as dire¢es para cada um dos casos. a. Para encontrar a area aesq11erda de z, encontre a area que corresponde a z na Tabela Nonnal Padrao. 2. A :\rca pom a esquerdn dez= l.23c0.8907. / t .-"J 0 I. Use a 1abela para encontrar a ~rea para o z-i!store. b. Para encontrar a area a direita de z, use a Tabe.la Normal Padr~o para encon· trar a area que corresponde a z. Entiio, subtraia a area de 1. 1. Subtrnia para encontrar a &en~ direit• de z = 1.23: 2. A~""'~ esquerda de z= l,23<!0.8907. I -0.8907 =-0.1093. 0 1. Use a u1bela para I I.2l cncontror a fire.a para o z-cscore. c. Para encontrar a area e11tre duas pontua¢es z, e1\contre a area correspondente para cada z-escore na labela Normal Pad.mo. Entao, subtraia a area menor da area maior. 2. A :'ireo A esquc.rda de 4. Sub1raia para cncontrar z= 1,2H0.8907. a area da rcgiiio cntrc as ' duas z-escorcs: 0.8907 - 0.2266 = 0.6641. 3. A :\rca ~ e:;querdn de z =-o.1sco.22<i6. -0.1.S \ 0 1.23 I I. Use a tabcla para cncontrnr ;i llrca parn o :z-cscorc. Ed 1t 1naaa 1 Exemplo m norMal cdf ( -10000 ' - •9 9 ) .16 10870612 Encontrando a ~rea sob a curva normal padr3o E-ncontre a area sob a curva normal padriio a esquerda de 4 .,. -0,.99. So/11pio A area sob a curva normal padrao aesquerda de z = -0,99 eexibida a seguir: -0.99 lmportante 0 Com base na Tabela Normal l'adrao, esta area e igual a 0,1611. Tente Encontre a area sob a curva normal padriio a esquerda de z = 2,13. ...... a. Dt!Se11lte a curva normal padrao e sombreie a area sob a curva ea esquerda dez = 2,13. b. Use a 'fobela Normal Padrao para e11co11tmr rt lfrt"1 que corresponde a z = 2,13. 4 Rl"Slll>5lt1 lli'I I'· A40 Exemplo Usando uma TMl3/84, ~ pode en· contrar a area automaticamente. m Encontrando a area sob a curva normal padrao Como a distribui~o normal e uma distribui~ao de pro· babilidade continua, a area sob a curva normal padrao 1' esquerda de um z·escore nos da a probabilidade de que z seja menor que aque· le :z-escore. Por exemplo, no llxemplo 4, a fu'ea aesquerda de z = - 0,99 e 0,1611. Entao, P(z < -0,99) = 0,1611, que e lid<> como "a probabilidade de que z seja menor do que -0, 99eo,1611." Encontre a area sob a curva normal padrao adireita de z = 1,06. SoltiftiO A area sob a curva nom1al padrao adireita de z = 1,06 eexibida a seguir: Arca= I - 0.$554 ,\rea = 0.8554 0 1.1)6 Com base na Tabela Normal Padrao, a area a esquerda de z = 1,06 e0,8554. Como a. area total sob a curva e1, a a.rea adireita de z = 1,06 e: Area= 1-0,8554 = 0,1446. Encontre a area sob a curva normal padr~o adireita de z = -2,16. .....,._. a. Oesc11lte a curva nonnal padrao e sombreie a area sob a curva ea direita de z=-2,16. b. Use a Tabela Nom1al Padriio para e11co11tmr rt lfrert aesquerda de z = -2,16. c. S11btmirt a area de 1. norMa l cdf ( l. 06, 1 00 00 ) .1445723274 Use 10.000 para o fimhe superior• Ed ,e 1naaa 1 ZO 0 • es1..r1110 apli(oda - . I Exemplo Retratando o mundo De acordo com uma publica· <;;00, o nUn1cro de nasci1nen· tos durante u1n ano recente foi 4.112.052. o peso dos re- m Encontrando a ~rea sob a curva normal padr~o Encontre a area sob a curva nonnal padrio ent.ro i .,.. -1,.5e:i = 1,25. SolufiiO A area sob a curva normal padrao entre z = - 1,5 e z = 1,25 eexibida a seguir: cem-nascidos pode ser apro· ximado por uma distribui\<io norn1al, como n1ostra o grC"i.fi- co a seguir. {f.,,1t1•; ':\'mi.mill Ct'N/.:J fi,, lfroltlt St11lislit~.) Peso de recem-nascidos -IJ ' ~ ~ ~ ~ &i ~ ~ N ~ '°'I "" Peso (em sran1as) £11co11fre o z-escore q11e corres/1(111da no JJ<'S() de 2.000, 3.000 e- 4.000 gmmas. Alg11111 desst'S l>tbt!s eexcepcio11a/111mte pe$11do 011 leue? 0 1.2$ Com base na Tabela Nonna! Padrao, a area~ esquer<la de z = 1,25 e 0,8944 ea area~ esquerda de z = - J,5 e0,0668. Entiio, a area entre z = - l,5 e z = 1,25 e: Area= 0,8944 - 0,0668 a 0,8276. lllterprelafiio rortanto, 82,76% da area sob a curva esta entre z =-1,5 e z =1,25. Encontre a area sob a curva normal padrao entre z = -2,16 e z = - 1,35. norMalcdf<-1.5,l • 25) . 8275429323 a. Use a Tabela Normal Padrao para e11co11trar a area aesquerda de z = - 1,35. b. Use a Tabela Normal Padnio para e11co11trar a area~ esquerda de z = -2,16. c. Subtraia a ~rea menor da ~rea maior. AtJ usar tecnologia, seus resul1ados podem diferir um pouco daqueles encoottados ao usar a Tabela Normal PadrJo. Na ~ao 2.4 voce aprendcu, usando a regra cmpfrica, que valores quc estao a mais de dois desvios padrao da media sao considerados incomuns. Valores que ultrapassain tres desvios padrao da media sao considerados 11111ito incomuns. Entiio, se urn Z-CSCOre e maior que 2 OU mcnor quc -2, CIC eincomum. Se 0 Z-CSCOre for maior que 3 ou menor que-3, ele e11111ito incomum. lji Exercicios Construindo habilidades bcisicas e conceitos 1. Encootre tr!s exemplos reais de variavel continua. Quais voe! jul· ga serem noanalmente distribuldas? Pot qu!? 2. Qua! e a area tO!al sob 3 Cllf\la normal? 3. Desenhe duas curvas normais que tenham a mesma media, mas desvios padrilo dilerentes. Descreva o que e similar e o que e dileteote entre elas. 4. Desenhe duas cuivas nOt111ais que 1enham medias diferentes, mas os mesm05 desvios padrao. Descreva o que e similar e o que edUeren1e enue etas. 5. Quale a media da <f151ribui{Ao normal padr3o? Quale o desvio padrJo da distribui~o normal padrilo? 6. Descreva como voe~ pode transfOtlllar uma di$1ribui<;Ao normal n.lo padrilo em uma d'1$11lbui<;Ao normal padrilo. C.,ftllo S • Fl)r ~ ~ CO«elO cize< ll!la ~normal e ·a·~ noonal padrao? 7. Entendendo o conceito 0 0 (•) f\ mMo ~zero. Nos exerdcios 15 e 16, determine se o lislograma represen!4 dados oom uma distribu~ normal. Explique seu racioMo. 15. Tempo de c-spcra cm um consult6rio dcnlario (b} 0 valor x oonespondente ~zero. (c) o valor x cooespondente ~ o mesmo da ~ia. ·~ Analise grafica Nos e.edcios de 9 a 14, delermne se os gr.!fioos podem repie~ ..na YriYel a:rn uma cistOb ir;ac> normal fJqliqtJe seu laciocho. ~ O.• t 0.J--i-- ~ ~ 02 -- i 9. f 0.1 "" - -.. 201 Analise grafica <isln- 8. Entendendo o conceito 5e um Z-e5CQ<e ~ zero, qual das seglintes afirma¢es deYe ser oorre!4? Eicplique. DM1loi<lf<4t,..Wl\lid<dts-is .. 12 20 2a l6 Tc1npo ( cn1 n1inutos) 16. Perda de peso 10. 1 " 0.201 ~ O.IS ] 0.10 "'J: 5- OJ)$ 10 20 30 40 SO 60 70 flO Llbrn.s perdida.~ 11. Analise grAfica Nos exerdcios de 17 a 20, encontre a hea da regi.lo indic.ada sob a curva noonal padtao. 5e f0t c~te. use leoame11ias tecnd6g~ cas para enconirai a Area. 17. 12. 0 1.l 18. 13. -?.l!i 0 19. 14. -{\5 0 l.S Ed ,e 1naaa 1 ZO Z • (s141b1i<aa~llcoda 20. -0 Encontrando a area Nos exerdcios de 21 a 40, encomre a ~1ea indicada sob a cuiva normal padroo. Se for convenieme, use feuamemas tecnol6gicas para encontrara area. 21. A esquerda de z = 1,36. 22. A esquerda de z = 0,08. 23. A esquerda de z m t ,96. 24. A esquerda de z = 1,28. 25. Adileita de z = -0,65. 26. Ad~eitadez=-1,95. 21. A direita de z c 1,28. 28. A direita de z = 3,25. 29. A es<]uerda de z = -2,575. 30. Aes<]uerda de z = -3.16. 31. Adireitadez • l,615. 32. A direita de z = 2,51. 33. El\ttez=Oez= 1,54. 34. Entte z • oe z • 2,86. 35. El\trez •-l,53ez • O. 36. Entte z = -0,51 e z =0. 37. El\ttez=-l,96ez= 1,96. 38. El\tte z • - 2,33 e z • 2,33. 39. A esquerda de z • - 1,28 OU adireita de z - 1,28. 40. Aesquerdadez=-l,96ooadireitadez= 1,95. .:l 42. Altura dos homens Voce est.\ lazendo um estudo sob<e a al· tura de homens de 20 a 29 anos. Um estudo anterior mostrou que a altura e IXlfmalmente distribufda, com uma mecfia de 69,6 polegadas e um desvio padrao de 3,0 polegadas. Voce escolhe, aleatoriamente, uma amoStta de 30 homens e descobre as se· guintes alturas: (,<doplotfo do - o l Cenw /cl H<o.'th Srdl~bCS.) 72,1, 71,2, 67,9, 67,3, 69,5, 68,6, 68,8. 69.4, 73,5, 67, 1, 69,2, 75,7, 71, 1, 69,6, 70,7, 66,9, 71,4, 62,9, 69,2. 64,9, 68,2, 65,2, 69,7, 72,2, 67,5, 66,6, 66,5, 64,2, 65,4, 70,0 (a) Desenhe um histograma de frequencia para mosuar esses dados. Use sete dasses com valor medio de 63,85, 65.85, 67,85, 69,85, 7 t,85, 73,85 e 75,85. Seria razoavel dizer que as alturas sao normalmente disuibufdas' Por qu~? (b) Encontre a media e o desvio P<J<ir.Jo de sua amosua. (c) Compare a media e o desvio padr.Jo de sua amostra com os do estudo anterio1. Disana as difereni;as. Computando e interpretando os z-escores de distribui~oes normais Nos exerdcios de 43 a 46, foi dada uma distribu~o IXlfmal. a media da distribui,.io e o desvio padrao, quatro valores da distribui,.io e um grafico da distribu~o normal padroo. (a) Sem converter pa1a z escores, relacione cada valor com as leuas A, 8, c e D no grafico dado da distribu~o normal padrao. (b) Encontre o z·escore que correspon· de a cada valor everifique suas respos.tas da pane (a). (c) Determine se algum dos valores eincomum 43. Aneisde pist.Jo Sua ernp1esa labtica aneis de pi~ para carros. Os di.Jmettos internos dos aneis de pist.Jo sao normalmente disui· buido~ com uma media de 93,01 milfmettos e um desvio P<J<ir.Jo de 0,005 milimetro. Os di.lmetro5 internos de quatro dos aneis de pis!Ao selecionados alea1oriameme sao de 93,014 milimetros, 93,018 milimeuos. 93,004 maimetros e 92,994 ml imetros. Usando e interpretando conceitos ,,'~41. Afirm~o do fabricante Voce trabalha em uma publica,.io da Consumer Watchdog e est.\ testando a afirma,.io do anuncio de um fabricdnte de lampadas. 0 fabricante dedara que a vida irti1 de uma klmpada e normalmente distribuida, com uma media de 2.000 horos cum dcsvio podroo de 250 horo>. Voe¢ 1<:$!0 20 lampadas e encomra os seguintes numeros para vida Util das 1a~s: 2.210, 2.406, 2.267, 1.930, 2.005, 2.502, 1.106, 2.140, 1.949, 1.921, 2.217, 2.121, 2.004, 1.397, 1.659, 1.577, 2.840, i.728, i.209, 1.639 (a) Desenhe um histograma de frequ~cia para mostrar esses dados. Use cinco classes. Seria razoavel dizer que a vida irtil e normalmente distribulda? Por q~? (b) Encontre a meefta e o desvio P<J<irao de sua amosua. (c) Compare a mMia e o desvio padroo de sua amostra com os da dedaraylo do fabricante. Discuta as d'iferen~s. t A I II I t C D 44. Ovos de cambaxirra O periodo de incu\>atAo de Ol'OS de cam· baxirras e normalmente distribufdo com uma mMia de tempo de 336 hotas e tm desvio padrao de 3,5 horas. 0 tempo de incuba><'io de quatro Ol'OS sefecionados aleatoriamente ede 328 horas, 338 horas, 330 horas e 341 horas. Ed ,e 1naaa 1 45. Ponlua~o do SAT 0 SAT e um exame usado por faculdades e universidades p.ira avaliar os candida1os. As pontua<;Oes do exa· me sao normalmente distribuidas. Em um ano recente, a pontua· ~media do teste foi de 1.518 e o desvio padrao foi de 308. As pontua'6es dos testes de quatro alunos escolhidos aleat0<iamente sao 1.406, 1.848, 2. In e 1.186. (!llm•: Q:.ll'c!)OBoadOnflne.) SO. - 1.u o 51. t I A 0 46. -o.s Pontua~o do ACT 0 PCT e um exame usado por faculdades e universidades para avaliar cancf.'<latos. As pomua,Oes do exame sao normalmente distribuldas. Em um ano recenle, a pont~o mMia do teste foi de 21,0 e o desvio p.idrao foi de 4,8. l's pontu· a<;Oes dos testes de qualro aluoos es«ilhidos aleatoriamente sao 18, 32, 14 e 2S. ~ACT, Inc) 0 52. 0 o.s 2 Encontrando probabilidades t BI I A C I J) Analise grafica Nos e%efdcios de 47 a 52, encootre a probabilidade de z ocorrer na regiao indkada. Se f0t conveniente, use ferramentas de tecnologia para encontrar a probabilidade. 47. Nos exerckios de 53 a 62, encontre a probabilidade indicada usando a oisuibui~o normal p.idr~. Se for convenie.ite, use ferra· mentas de tecnologia para encontrar a probabilidade. 53. P<.z < 1.45). S4. P(.z <0,4S). SS. P(.z > -0,95). 56. P<.z >- 1,85). 57. l'(.-0,89<z<O). 58. P(-2,08 <z < 0). S9. f'<.- 1,65 <z< 1,65). 60. f'<.- 1,.54 <z< 1,54). 61. P(z <-2,58 ouz> 2,58). 62. P(.z <- l,S4 OU Z > 1,54). [ xpandindo conceitos 48. 63. Reda,ao Desenhe uma OJrva noonal com uma media de 60 e um desvio padtao de 12. Desaeva como voe! construiu a cuiva e discuta suas caracteristicas. 64. Reda,ao Desenhe uma CU1Va com uma media de 4SO e um desvio padrao de 50. Desueva como voce construiu a curva e discuta suas caractellsticas. 65. Distribui'ao uniforme Outra <fistribu~ continua ea distribui· uniforme. Um exemplo e f(x) = I para O$ x $ I. A m!dia dessa distribu~o para este exemplo e 0,5 e o desvio padrilo e de aj)<oximadamente 0,29. O grafico dessa distn~ para este exemplo e um quadrado com ahura e ki1gura iguais a I unidade. Em geral, a f~o densidade para uma distribu~o unifom1e no intervalo de x = 0 para x e b e <fada PO<: '"° 49. 0 1.6'5 llf}= -b l . -o Ed ,e 1naaa 1 ZOI, • b~tllll<aaplicoda (a) Venfique que a area sob a cuiva e I. Amedi.le: (b) Eocontre a J)<Obabilidade de x c,iir entre 0,25 e 0,5. o+b (c) Encontre a p1obabilidade de x c,iir entre 0,3 e 0,7. 2 66. ea vanancia e: Distribui~o uniforme. Considere Que a funC<lo densidade cni- forme J(x) • O, 1 para 10 S x S 20. A medi.l dessa distribuiC<lo e 15 e o desvio padrao ede apro><imadamente 2,89. (a) Desenhe um grafico da diSlrri~o e mosue como a area sob a cuiva e 1. (b) Encootre a p<obabilidade de x c,iir entre 12 e 15. (c) Encontre a p<obabilidade de x air entre 13 e 18. (b - o)' 12 m probabilidades Distribui~oes normais: encontrando 0 que voce Probabilidade e distribuicoes normais deve aprender • Como encontrar probabilidades para vari.lveis oormalmente d'tstribuidas usaodo uma iabela e usando 1ecnologia. 800 µ=O I Probabilidade e distribui,oes normais Se uma variavel aleal6ria .re nom1almenle distribuida, voce pode encontrar a probabilidade de x cair em um dado intervalo ao calcular a area sob a curva normal para um dado intervalo. Para encontrar a area sob quaJquer curva normal, voce pode, primeiro, converter os limites superiores e inferiores do intervalo para z-escores. De· pois, usar a di slribui~ao normal padriio para encontrar a area. Por exemplo, considere uma curva nom1al com 11=500et7 =100, como nograficosuperior aesquerda. 0 valor de x um desvio padrao acima da media e µ + "= 500 + 100 = 600. Agora, considere a curva normal padrao no segundo grMico a esquerda. 0 valor de z um desvio padrao acima da media e 11 + "= 0 + 1 =1. Como um z-escore de 1corresponde a um valor .r de 600, e areas n~o sao mudadas com uma transformac;.,o para uma curva normal padr3o, as areas sombreadas no grafico s.'\o iguais. Exemplo [O_ I_,__ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ [ncontrando probabilidades para distribuicoes normais Uma pesquisa indica que as pessoas usam seus com:puladores por uma mMia de 2,4 anos anles de troca·los por uma maquina nova. 0 desvio padrao e0,5 anos. Um dono de computador e selecionado de forma aleal6ria. Encontre a probabilidade de ...--;,-"""+=t~+-~-+-'"'t- ' que ele va usar o compulador por menos de 2 anos anles de troca-lo. A variavel x e - 3 - '2 - I 0 2 1 · normahnenle distribuida. Sol11pio 0 grafico mostra uma curva nom1al com 11 s 2.4 e" a 0,5 e uma area sombreada para x menor que 2. 0 z-escore que corresponde a 2 anos e: z- x- 11_ 2- 2.4 _ _ (1 0,5 - 0 80 I ~----"'l-~1-'--<--':>~--i--x 0 4 s Id;)(!c do e<>ml)\H~Ldor (c1~1 anos) 2 3 • ATabela Normal Padrao mostra que P(z <-0,8) a 0,2119. A probabilidade de que o computador stja subslitufdo em menos de 2 anos e0,2119. lltterpretafiio Portanto, 21,19% dos dof106 vao trocar o computador em menos de 2 anos. Ed ,e 1naaa 1 Tente Um Ford Focus de transmiss.'lo manual percorre uma m&lia de 24 milhas por voci gallio (mpg) na cidade, dirigindo com um desvio m&lio de 1,6 mpg. Um focus 1 e selecionado aleatoriamente. Qua! e a probabilidade que percorra mais do que 28 metros por galao?Suponha que a quilometragem da gasolina seja normalmente distribuida. (tldi1plmf11!f4• U.S. l:kpartmt11t rif ft,'t'S'i'·) norMalcdf(-10000, .2118553337 - • 8) a. Qmstrnn um grilfico. b. E11co11tre o z-escore que corresponde a 28 milhas por galao. c. E11co11tre n drro adireita do z-escore. d. Escrevn o resultado como uma sente~a. No Exemplo 1, voe~ pode usar uma TI· ·83/84 para enconuar a p<obabilidade uma vez que o limite superior seia con· vertido para um z-escore. Dica de estudo Exemplo •Outra forrna de escrever a m resposta para o Exemplo 1 e Encontrando probabilidades para distribui~oes normais l'(x < 2) = 0,2119. Uma pesquisa indica que para cada ida ao supermercado, uma pessoa gasta uma media de 45 minutos, com um desvio padrao de 12 minutos naquela loja. Esse tempo gasto na loja e normalmente distribuido e representado pela variavel x. Uma pessoa entra na loja. (a) Encontre a probabilidade, para cada intervalo de tempo listado a seguir, que essa pessoa fique na loja. (b) lnterprete sua resposta se 200 pessoas entrarem na loja. Quantos compradores voce esperaria que houvesse na loja para cada intervalo de tempo listado a seguir? 1. Entre 24 e 54 minutos. 2. Mais que 39 minutos. Sol11plo l. (a) 0 grafico a direita mostra uma curva normal com 11 = 45 minutos e" = 12 minutos. Aarea para x entre 24 e 54 minutos esta sombreada. Os z-escores que correspondem a 24 minutos ea 54 minutos sao: z = I 24 45 =-1 75 J2 ' e Entao, a probabilidade de que um consumidor fique na loja por um periodo entre 24 e 54 minutos e: P(24<.r<54) = P( - 1,75<z<0,75) = P(z <0,75) - P(z < - 1,75) 10 20 JO 40 so (,() 70 so oo ro gl) 'f~.mpO (em minuto.s) = O,n34-0,0401 = 0,7333. biterpretnpio Entao, 73,33%dos consumidores estarao na loja entre 24 e 54 minutos. Se 200 pessoasentrarem na loja, vod! esperaria por 200(0,7333) = 146,66 (ou cerca de 147) consumidores para eslarem na loja entre 24 e 54 minutos. 2.. (a) 0 grafico a direita mostm uma curva normal com 11 =45 minutos e" =12 minutos. Aarea para .r maior que 39 minutos esta sombreada. 0 z-escore que corresponde a 39 minutos e: (b) 39 - 45 Z= -1-2- =-0,S. Entao, a probabilidade que uma pessoa lique na loja por mais de 39 minutos e: P(x> 39) = P(z>-0,5) = 1-P(z <-0,5) = 1-0,3085 =0,6915. 10 l() 30 ao 50 T..-:mpo (cin 1ninu(t») Ed ,e 1naaa 1 ZO6 • Cltaikti<aapli<ada - . I (b) Retratando o mundo No beisebol, uma m&lia de rebatidas e 0 numero de bati· das dividido pelo mlmero de at·bats (usado para calculos estatfstioos no beisebol). As mt!dias de rebatidas de mais de 750 jogadores da Liga de Bcisebol em um ano recente podem ser aproximadas pela dishibui~o nonnal, confonne mostra o grafico a seguir. A m(ldia de rebatidas e 0,269 e o des\•io padrilo e0,009. Liga de beisebol µ ;0269 luterpmtaftiO Se 200 pessoas entram na loja, entao voce esperaria 200 (0,6915); 138,3 (ou cerca de 138) pessoas que fiquem na loja por mais de 39 minutos. Quale a probctbilidade de que OWflSul'nidor no Exen)plo 2 rique no $upe1 fl)f:r- cadO entre 33 e 60 minutos? a. b. c. d. Co11strun um grMico. E11co11/rc oz· escore que oorresponde a 60 minutos e 33 minu!os. Erzco11tre n tfrtw ac111u11lndn para cada z-escore e subtrain a area n1enor da area maior. luterprete sua resposta se 150 pessoas entrarem na loja. Quantas pessoas vo~ espe- raria que ficassem na loja entre 33 e 60 minutos? R~JOSltl 1u1 I'· A40 Outra forma de encontrar probabilidades normais e usar uma calculadora ou compu!ador. Voce podeencontrar probabilidades normais usandoo MINITAB, o Excel ea Tl-83/84. Exemplo m Usando ternologiapara encontrar probabilidades normais 0.2.SO 0.?70 ·MCdi:'l de rcbatidt1$ Q11n11tos par ccuto d1» jogndnr<'S 1<'111 11111n 111Min dt• rt'Vntidns de O,ZiS 011 11111ior q11<' is:;,>? S.- luf 40 jogndort'S em 11111n t'SCnlnc;ifo, q111111do r.;ooct' t.>speraria ter u11u1 media de rebatidas de 0,2i5 cl/I super;or a i$~? Suponha que os nfveis de colesterol dos homens nos Es!ados Unidos sejam normahnente distribuldos, com uma m(ldia de 215 miligramas por decilitro e um desvio padrao de 25 miligramas por decili!ro. Voce seleciona aleatoriamente um homem dos Estados Unidos. Qua!~ a probabilidade de que o nfvel de colesterol dele seja menor que 175? Use uma ferrament.1 tecnol6gica para encontrara probabilidade. SolllftiO 0 MINITAB, o Excel ea Tl-83/84 tem recursos que lhe permitem encon!rar as probabilidades normais sem converter para z-escores. Para. cada um, voce deve especificar a media e o desvio padrao da popula~'lo, bem como o(s) valor(es) x que deter· 1nina o intervalo. MINITAB l Cumulative Distribution Funcion Normal with mean; 215.000 and standard deviation ; 25.0000 x P{X<•x) 175.0000 0.0548 EXCEL I II A B c 1 NORMDIST 175.215,25.TRU.EJ_ 2 f0.054799 Tl-8J/84 l normalcdf(O,175,215.25) .0 54 7992894 Ed ,e 1naaa 1 ('l>h•lo 5 • Oi111ibulc6tsd1 pr~bilidadts oormai1 A partir das telas, v~ pode ver a probabilidade que o nivel de colesterol do homem escolhido seja menor que 175 e de aproximadamente 0,0548 ou 5,48%. Tonie Um homem dos Estados Unidose escolhido aleatoriamente. Quale a probabi- vocf lidade de. que o nfvel de colesterol dele estej:l. entre 190 e 225. Use- uma ferra· 3 menta de tecnologia. a. Leia og11ia rle 11s11tirio da ferramenta de tecnologia que voel? estil usando. b. Coloque os dados flJll'Ol'riarlos para obter a probabilidade. c. £.<ereoo o resultado como uma senten~a. 0 Exemplo 3 mostra uma entre varias lonnas de cncontmr probabilidades normais usandoo MINITAB, o Excel ea Tl-83/84. Ill Exercicios Contruindo habilidades basicas e conceitos 8. Pontua~o em matematica no SAT Probabilidades computacionais Nos exerdcios de I a 6, supooha que a varijvel aleat6ria x seja noonalmeme distribulda com media ,, • 86 e desvio padrao a • 5. Encontre a probabaidade indicada. 1. P(x <80). 2. P(x < 100). 3. P(x>92). 4. 610 800 ron1u:w;lio (fontt.· 1.tllcqe 8 ;c,:(/ Di,. r C'.} P<!> 75). 5. P(70 <x <80). 9. 6. P(85<x<95). Mulheres norte-americanas com idade entre 20-34: colesterol total Analise grafica Nos eorercicios de 7 a 12, supooha que um membro seja selecionado aleatoriamente de uma popu!ai;Ao representada pelo grafico. Encontre a probabifidade de que um membro selecionado aleatoria· mente esteja na area sombreada do grafico. Suponha que a vari.lvel x seja noonalmente distribuida. 1•= 186 u= 35.8 • x 15 200 lJ9 300 Taxa 101al de. colcStcrol (c1n mSfdL) 7. Pontua~ao em 200<x<450 leitura crftica no SAT ,, =503 tr= 113 (/<drJplodo de Wof,ono/ Cl!ll!tl lot~ SIOOS"'-) 10. Mulheres norte-americanas com idade entte 55-64: colesterol total Jl = 219 200<.<<239 U= 41.6 ~~ . ""-~~1---1-~__;;:,.,. , ~, 95 200 1:39 l40 Tn.xn 1Q111J de colcstcrol (cn1 n1g/dL) 207 Ed ,e 1naaa 1 208 • (11a1l11iC4apli<aill 11. Toyola Camry: clisf.incia de f:renagem em utna superficie seca IL= 137 "= 4.76 ---=='----+--=--·· 141 ISi 12'2 l) is15.nda de frenagc1n (en1 pCs) (A' 'Dir lo C mrr Ri'f l 12. Toyola Camry: clisf.incia de frenagem em uma superficie molhada IL = 149 u= 5,1& ~...,:'--1---1---_:;:,-~ .t IJ3 140 149 16.s Dis1Soci3 de frcnat-ein (cm~) (l''rcpl 11) de L, lflSIJT' '/ .f?;_Vott~ ) Usando e interpretando conceitos Encontrando probabilidades Nos exercicios de 13 a 20, encontre as probabifidades indicadas. Se for con11enieme, use ferramentas 1ecnol6gicas para enconuar as probabilidades. 13. Altura de homens Uma pesquisa loi conduzida para medir a altura de homens norte-americanos. Na pesquisa, os homens foram agrupados por idade. De 20 a 29 anos. as alturas foram norrnalmente distribuidas, oom uma media de 69,6 polegadas e um desvio padr~o de 3,0 polegadas. Um homem que participou do estudo eselecionado aleatoriamente. r;.Japtodode N-.il Cenr& /or He<>'rh SIC'"'1X>.) (a) Encontre a p<obabilidade de a altura dele ser me-1or que 66 polegadas. (b) Encontre a probabilidade de a altura dele estar entre 66 e 72 polegadas. (c) Encontre a probahtlidtt<le de a altur.:i dP.IP. s.er m.aior <11re 72 polegadas. 14. Comprimento de peixes 0 comprimento das coivinas e no<· malmente disuibuido, com uma media de 10 polegadas e um desvio padr~ de 2 polegadas. Uma cofVim eoleatoriamente es· colhida. {Maf;lodo d~ NortJM/ Morint! f4/il!ries SeMce Frshetres Src:<St>CS and &Dn<imKs DMsion) (a) Encontre a probabilidade de o comprimento do peixe ser menor que 7 polegados. (b) Encontre a probabilidade de o comprimemo do peixe estar entre 7 e 15 polegadas. (c) E.1contre a probabilidade de o comprimento do peixe ser maior que 15 polegadas. IS. Pontua~o no ACT Em um ano recente,a pontua>Jode alunos do ensino medio nos exames ACT que tinham uma nota meda de 3,50 a 4,00 era nomialrnente ·distribufda, com uma media de 24,2 e um desvio padr~o de 4,3. Um aluno com uma nota media de 3,50 a 4,00 que lez o ACT durante esse tempo e selecionado aleatoriamente. (rcnre. ACT, II><.) (;i) f(l(.ontre a prnOObilid.lcfP. de a pontuar,~ tfo .:tluoo nn ACT ser me-10< que 17. (b) Encontre a probabilidade de • pontua,.lo do aluno no ACT estar entre 20 e 29. (c) Encontre a probabifldade de a pontll<}(:aO do aluno no ACT ser maior que 32. 16. Beagles O peso de beagles aduhos machos e llO(ma!mente distriburdo, com uma media de 25 libras e um desvio padtao de 3 libras. Um beagle escolhido aleatoriamente. e (a) Enconue a probabilidade de o peso do beagle ser menor Que 23 r.bras. (b) Encontre a probabllidade de o peso do beagle estar entre 23 e 25 i bras. (c) Encontre a probabilidade de o peso do beagle ser maior que 27 libras. 17. Uso do computador Uma pesquisa foi conduzida para medir o numero de horas que adultos nos Estados Unidos passam em freme ao computador todas as semanas. Na pesquisa, o numero de horas era normalmente disuibllJido. oom uma med'ia de 7 ho· ras e um desvio padr~o de 1 hora. um panicipante da pesquisa e escolhido aleatoriamente. (a) Encontre a probabilidade de-esse participante passar menos que 5 horas por semana em frente ao oomputado<. (b) Encontre a probabilidade de esse panicipante passar entre s.s e 9,5 horas por semana em frente ao computad0<. (c) Eocontre a probabilidade de esse paiticipante passar mais de tOhoras por semana em frente ao compu1ad0<. 18. Contas de consumo As contas de consume mensais em uma cidade ~o norrnalmenle distribuldos corn uma mMa de S 100 e um desvio padr~o de S t 2. uma conta de consumo eescolhida aleatoriamente (a) Encontre a probabilidade de a conta de consumo ser menor queS 70. (b) Encontre • probabilidade de a con ta de consumo esw entre S90eS 120. (c) Encontre a probabilidade de a conta de consumo se< maior queS 140. 19. Agenda do laborat6rio de computadores O tempo que um aluno usa o laborat6rio de computadores todas as semanas eno<· malmente distri>uldo, com uma media de 6,2 horas e um desvio padrao de 0,9 ho<a. Um aluno e selecionado aleatoriamente. (a) Eocontre a probabifidade de o aluno usar o lalxwat6rio por menos de 4 horas por semana. (b) Encontre a probabilidade de o aluno usar o laborat6rio entre 5 e 7 horas por semana. (c) Encontre a probabilidade de o aluno usar o laborat6rio por mais de 8 horas por semana. 20. Agenda de um gin~si o de esportes 0 tempo que um atleia usa uma storclimber (equipamento de gin~stica) enormafmente distriburdo, com uma media de 2() minutes e um desvio padr~o des minutos. Um atleta e selecionado aleatoriamente. Ed ,e 1naaa 1 C.pftul• S (a) Encontre a probabilidade de um ailetd usar a stairclimber por menos de 17 minutos. (b) Encontre a probabilidade de um adela usar a stairclimber entre 20 e 28 minutos. (c) Encontre a probabilidade de um atlela usar a srafrcllmber por mais de 30 minutos. Usando distribui~oes normais Nos exerddos de 21 a 30, cesponda as quest6es sobre as distri· bui¢es normais especificadas. 21. Pontua~o em leitura crltica no SAT Use a cf1Stribui9Jo noonal das pontua~oes de leitura critica no SAT do Exercicio 7 para as quais a media e 503 e o desvio padrJo e 113. (a) Quale a porcentagem das pont\Ja¢es verbais do SAT que sJo menores que 600' (b) Se 1.000 pontua~ verbais do SAT sao escolhidasaleat<r riamenre, por vcila de quanras voce espera serem maioces que 550? 22. Pontua~o em matemAtica no SAT Use a distllbui~o no®al das pont\Ja¢es em mateinAtica no SAT do Exerddo 8, aija mecff<l e 518 e o desvio padr~o e 115. (a) Q\Jal ea porcentagem das pontua¢es em mateinAtica no SAT que sJo menores que 500? (b) Se 1.500 pontua~oes em materratica no SAT sao seleciona· das aleatoriamente, por volta de quanras voce espera que sejam maioces que 600? 23. Colesterol Use a distnbu~o normal dos niveis totais de coles· terol em mulheres do Exerdcio 9, para os quais a media e 186 miligramas por decilitre e o desvio padr~o de 35,8 miligramas por decilitro. e (a) Q\Jal porcentagem de mulheres tern um nivel total de coles· terol meno< que 200 miigramas por decilitco de sanguel (b) Se 250 mulheres norte..imericanas. com idade entre 20 e 34, sJo selecionadas aleatoriamente; cerca de quantas voce espera que tenllam um nivel de colesterol total maior que 240 miligramas por deolitro de sangvel 24. Colesterol Use a distrib~o normal dos niveis totais de coles· terol em mulheres do Exerdcio tO. para os quais a media 219 miligramas por decili1ro e o desvio padrJo e de 41,6 miligramas por decilitre de sangue. e (a) Qual porcentagem de mulheres tern um nivel total de coles· terol mell(l( que 239 miligramas por decifitro de sanguel (b) Se 200 mulheres nocte-americanas, com idade entte 55 e 64 sJo selecionadas aleatoriamente, cerca de quantas voce espera que tenllam um nivel de colesterol tool maior que 200 miligramas por decilitre de sangue? 25. Comprimento de peixes Use a dlsttiboiy'lo notmal dos com· primentos de peixes do Exercicio 14 para as quais a media e 10 polegadas e o desW> padr~o e de 2 polegadas. (a) Q\Jal porcentagem de peixes sao maiores que ll polegadas? (b) Se 200 peixes sao selecionados aleatoriamerne, cerca de quantos voce espera que sejam meno1es que 8 polegadas? 26. Beagles Use a distribuii;Ao normal dos pesos de beagles do Exercicio 16 para os quais a mMia e 25 libras e o desvio padrAo e de 3 libras. • D1'uib•lcl>tl de proh<bilidadt1 "°'"'k Z09 (a) Q\Jal porcentagem de beagles tern um peso mai<Y "'e 30 fibrasl (b) Se so beagles sac sele0onados aleatoriamente, ce1ca de quantos voce espera que pesem menos que 22 libcas? 27. Uso de computador Use a distribuii;Ao normal do uso de com· putadC>"es do Exe1dcio 17. para o qual a media 7 hotas e o desvio padr~o e de l hota. e (a) Q\Jal porcenragem de ad"1os passa mais de 4 hotas por semana nos computadores em casa? (b) Se 35 adultos dos Estados Unidos sao selecionados alea· totiamente, cerca de qu.intos voce espera que respondam passar menos de 5 horas por semana em frente ao compu· tado< em casa? 28. Contas de consume Use a distribui~o normal das co.1tas de consume do Exerdcio 18 para a qual a medi.l e S 100 e o desvio padrJo edes 12. (a) Q\Jal ea pc<centagem de co.1tas de consumoque sJo maiores que S 125? (b) Se 300 contas de C011Sumo s.lo selecionadas alea1eriamente, cerca de quantas voce espera que sejam menores que S901 29. Vida util de baterias Avida util de uma bateria enotmalmente <istribulda, com uma mecfia de 2.000 horas e um desW> padr~o de 30 hotas. Q\Jal e a porcentagem de baterias que tern uma vida util mai<>" que 2.065 horas? Seria incomum se uma bateria tivesse uma expecrativa de vida maior que 2.065 hocas? f)ql!ique seu raciocrnio. 30. Amendoins Suponha que o cxinsumo anual de amendoins seja no®almente distribufdo. com uma media de 5,9 lbaspor pessoa e um desvio padrao de 1,8 libras por pessoa. Qual e a porcenta· gemdepessoasdecoosomem, anualmente,menosque3,1liblas de amendoim? Seria inc.omum se uma pessoa consumisse meros que 3, I Iibras de amendoim por aoo? Explique seu raciocinio. [xpandindo conceitos Tabelas de controle Conlrole Estatlstico de Processos (CEP} e o uso da estatlstica para monitocar e melhocar a qualidade de um processo, come p<odu· <;Ao de uma ~de motor. Em aP, informa¢es sobre o processo s.lo reunidas para determinar se um p<ocesso atende todas as oondi¢es nec.es&aria~ Uma ferrament.J U$3cb em CEP e a tabeb de controie. Q\Jando medidasindividuais de uma. vari.!velx s.lo normalmente distri· buidas, uma tabela de controle pode ser usada paca deteaar processes que possivelmente esrejam fora de controle conforme o que segue: ( I) Um ponto esrA situado a ma is de tres desvios padrao da media. (2) Ha nove pomos conseaitjvos que caem em lJll lado da media. (3) No mrnimo dois dos tres pomos consecutivos esrAo situados a mais de dois desvios padrao da media. Nos exercicios de 31 a 34, uma tabela de conttole eapresentada. Cada tabela tern linhas horizontais desenhadas na media 11, em 11 ± 2u, e 11 ± 3u. Determine se o processo apresentado est.! sob co.1uole ou f<>"a de controle. Explique. Ed ,e 1naaa 1 ZIO • 1>1a11s11ca,pli<ad• 31. Uma engrenagem foi desenvolvida para te< um diametro de 3 polegadas. 0 desvio padrao do p<ocesso ede 0,2 polegada. Engregagem S' .. l l 33. Uma maquina de <isuibui(<lo de ~a foi desenvolvida para enche< garrafos com um litro de liqmdo. 0 desvio padrao do proces· soede0,1 litro. Distribui~3o de liquido i:':"-:-:--:-:-~-:-:--:-:--:-:-:-:--:1: 3 +-.,--7'-0......:\:::,/---'"-''- e .. ~ E I 0 I 2 .l 4 S 6 1 S 9 10 I 2: 3 4 S 6 7 8 9 10 11 12: NUmoro de Qb$cn':l~Qcs l~li1nero de obset'\'3C;Oe:$ 32 Um prego foi desenvolvido para ter um comprimento de 4 pole· gadas, 0 desvio padrao do processo ede 0, 12 polegada. 34. Uma ~a de motorfoi desenvolv:ida para terum<L!metrode 55 mmmetros. O desvio padrao do p<ocesso ede 0,001 millme1ro. Pregos Pc~ I 55.0050 ~ SS.0025 'E ! ..i 0 1-------- ssJJOOOr~"< r..:>..•.J:>~ 5-1.9975 ._·_·_·_·_·_·_·_·_-_._-_·_·_·_ ' I 2 3 4 5 6 7 S 9 101112 l 0que voce deve aprender • Como EllCOOtrill um z-escore dada a~rea sob acurva normal. • (0010 translomiar um z-es<ore em um valol x. • C0010 enconttar o valor de um dado espedfico de uma <istribui(at> normal dada aprobabilidade. 4 6 $ 10 12 NUmcro de: obscrv;1~0cs: Nlln1cro de ol>$c:.rvaq<k:s lji do motor Distribui~oes normais: encontrando valores Encontrando z· escores -> Transformando um z- escore em um valor X-> Encontrando um dado de valor especlfico para uma dada probabilidade I Encontrando z-escores Na Se<;ao 5.2, foi dada uma variavel aleat6ria x norm:almente distribulda e voe~ encontrou a probabilidade que x pudesse estar em um dado intervalo ao calcular a ;i.re\l oob a curv.. norn1al para unl dado intcrvalo. Mas, e se lhe fosse dado uma probabilidade e voe~ quisesse encontrar o valor? Por exemplo, uma universidade pode querer s,aber qual ea pontua~o mais baixa que um aluno pode tirar cm uma prova seletiva e aillda l'Slar no topo 10'}1., ou uma pcsqui· sa medica pode querer saber os valores de corte para selecionar os 90% de pacientes intermediarios por idade. Nesta se~ao, v~ vai aprender romo enrontrar um valor, dada uma area sob uma curva nom1al (ou uma probabilidadc), como pode ser obser· vado noexemploaseguir. Exemplo ITT Encontrando um z·escore, dada uma area 1. Enrontre o z-escore que correspond a aarea acumulada de 0,3632. 2. Enrontre o z-escore que tenha 10,75% da area de distribui~o asua direita. Ed ,e 1naaa 1 (apn.lol • Dl111fbuiciWS dt9rowbilidadt1 normol1 211 Dica de estudo SoillfliO 1. Encontre o z-escore que corresponda a uma area de 0,3632 ao localizar 0,3632 na Tabela Normal Padrao. Os valores no inicio da lileira correspondente e no topo da coluna correspondente dao o z-escore. Para esta area, o valor da fileira e--0,3 e o valor da coluna eo,os. Entllo, o z-escore e--0,35. : 3,4 0,5 0,4 @) 0,2 009 008 001 006 0,0002 0,0003 0.0003 0,0003 0 05 0,0003 004 0 3 0,0003 0.0003 0,2776 0,3121 0,3483 0,3859 0,2912 0,3264 0,3632 G,4013 0,2946 0,3300 0,3669 0,4052 0,28!0 0,3156 0.3520 0,3897 0,2843 0,3192 0,3557 0,3936 0,2877 0,3228 0$94 0,3974 Aqui temos instrusQe5 para encontrar o z~re que correspo1,da a cirea. dada en) Ull)Cl 1'1-83/84. I 2nd IDISfR 3: invNorm( Entre com a area acumulada. I ENTER I 0,2981 0,3336 0,3707 0,4090 2.. Como a area a direita e0,1075, a area acumuladae 1- 0,1075 =0,8925. Encontre oz·escore que correspond a a uma area de 0,8925 ao localizar 0,8925 na Tabela Nonna] invNorM(.3632) - .3499183227 i.nvNorM(. 8925) 1. 239933478 Padrao. Para essa area, o valor da fileira e1,2 e o valor da coluna e0,04. Entao, o z-escore e1,24. % 0,0 1,0 @ 1,3 0 001 002 0 03 004 005 006 0,5000 0,504-0 0.5()80 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,8413 0.3643 0,3849 0,9032 0,8438 0,8665 0,8869 0,9049 0.8461 0.8686 0,8888 0,9066 0,8485 0,8708 0,8907 0,9082 0,85()8 0,8729 0,8925 0,9099 0,8531 0,8749 0,8944 0,9115 0,8554 0,8770 0,8%2 0,9131 Voce tambem pode usar um computador ou cakuladora para enconlrar os M areas acumuladas dadas, como vo~ pode verificar na dica de estudo ao !ado. Z-6eores que correspondam Tente 1. Encontre o z-escore que tenha 96,16% da area de distribui~o adireita. ~ 2. Encontre o z-escore para o qual 95% da area de distribui(ao esteja enlre -zez. a. Deter111hzt a area acumulada. b. Ltxnliz.e a area na Tabela Normal l'adrllo. c. E11co11tre 0 z....'ScOre que corresponda aarea. R~pt~tn 111111· n 1..2.a ..-1f0 Na Se(~O 2.5, v~ aprendeu que os percentis dividem um conj unto de dados em cen' partes iguais. Para encontrar um z-esooro que corrospo-nda a u.n' percentil_, voe~ pode usar a Tabela Normal Padrao. Lembre-se que um valor x representa o 83" ponto porcentual, entlio 83%dos valores dos dados estao abaixo de x e 17% dos valores dos dados estilo acima de x. Exemplo [2J Encontrando um z-escore dado um percentil Encontre o z-escore que conresponda a cada percenlil. 1.P, 2. P,. 3. P,. Sol11flio r. Arca= 0,1075 Para encontrar o z-escore que corresponda a P,. encontre o z-escore que corresponda a uma area de 0,05 (ver figura) ao localizar 0,05 na Tabela Normal Padrao. Dica de estudo •Na maioria dos cam, a area dada nao senl encontrada na tahel<1. entao use a entrada mais pr6xima a ela. Se a area dada estiver no meio de duas entradas, use o z-escore no mejo en(re os z-escores correspondentes. Por exemplo, na parte 1 do Exemplo 2, o z-escore entre -1,64 e -1,65 ~ -1,645. Ed ,e 1naaa 1 ZIZ • b101~1icaapli<0da - 1.645 As areas mais pr6ximas a 0,05 na tabela silo 0,0495 (z = -1,65) e 0,050.5 (z = -1,64). Como 0,05 esta na metade do caminho entre as du as are-as na ta bela, use o z-escore que esteja na metade entre-1,64 e -1,65. Entao, o z-escore que corresponde a uma area de 0,05 e-1,645. 2. Para encontrar o z-escore que corresponda a P,.. enoontre oz-escore que correspon· de a uma area de 0,5 (ver figura) ao localizar 0,5 na ·ia~la Normal Padrao. Aarea nlais pr6xi1na a 0,5 na tabela e 0,SCOO, entao o z-escore que corresponde a un1a area de 0,5 e 0,00. 3. Para encontrar o z-esoore que corresponda a P"" enoontre o z·es<:Ore que correspon· de a uma area de 0,9 (ver figura) ao localizar0,9 na Tab<?la Normal Padrao. Aarea ma is pr6xima a 0,9 na tabela e0,8997, entao o z-escore que corresponde a uma area de 0,9e1,2s. Cl Enoontre o z-escore que oorresponda a cada percentil. 1. P10 -"""----+--+__;~- , 0 1.23 2.P"' a. Escreva o percentil oomo uma area. Se necess.'\rio, desenhe um grafioo da area para visualizar o problema. b. Localize a area na Tabela Normal Padrao. Se a area nao esta na tabel<1. use a area mais pr6xima. (Veja a dica de estudo anterior) c. lde11tijiq11e o z-escore que corresponde a area. I Transformando um z-escore para um valor x Vcja quepara trans(ormar UOl vaJor X para u1n z-escore, voce podeusar a f6rinula: Z = X - Jt. • " Essa f6rmula da z em termos de x. Se voce resolver essa (6m1ula para x, voce chega uma nova f6rmula que d:I x em termos de z. x-1• Z= - fOrt11UfO paro Ztm lttJIJl.~tff .l. (J Zt1=X - µ t•+w =x x = 11 +Zt1. ,\fultipliqut ror!r1 I00..1dr "· .~dif'Wlt(' /l Jl:Ulf (tltfll Jndo. Tnlflu(Cli-l• . T ansforme um z-escore em um valor x Para transformar um z-escore padr~o em um dado de valor x em uma da<fa populac;Ao, use a f6rmula: X = Jl + Z<!. Exemplo m..3:.-..____________ [ncontrando um valor x que corresponda a um z-escore As velocidades de veiculos ao longo de uma autoestrada sao normalmente disfribuidas, oom uma media de 67 milhas por hora. e um desvio padrAo de 4 milhas por Ed ,e 1naaa 1 (opOulo S • hora. Enoontre as velocidades x que oorrespondam aos z-esoores de 1,%, -2,33 e O. lnterprete seus resultados. Sol11flio 0 valor x que c:orresponde a cada pontua~ao padrao ~ calculado usando a f6r· mula x= J• + zo. z = 1,%: z = -2,33: z a 0: x = 67 + 1,96(4) = 74,84 milhas por hora x = 67 + (-2,33)(4) = 57,68 milhns por hora x a 67 + 0(4) = 67 milhas por hora fttterpretafiiO Voce pode ver que 74,84 milhas por hora estl acima da m<!dia, 57,68 esta abaixo da m<!dia e 67 e i.gual amedia. Di111i&ti<OP1 de p1ob<~lidadP1 oormai1 . ZB . I Retratando o mundo De aoordo com a Associa¥~0 Medica A1nericana, a ~ia numerica das horas que todos os m<!dicos pass.1m cuidando dos pacientes por semana ede aproximadamente 52.8 horas. Essas horas podem ser aproximadas por uma distribui,ao nonnal. Suponha que o desvio padrao seja de 3 horas. Horas que os medicos passam cuidando dos pacientes ente As oontas de consumo mensais cm uma cidade s.io distribuidns normalmcntc, vod com uma media de 5 70 e um desvio padrao de$ 8. Enoontre os valores x que correspondam aos z-escores de --0,75, 4,29 e -1,82. 0 que voce pode ooncluir? a. lde11tifiq11e J• e" da distribui~3o normal n3o padr3o. b. Tra11sfor111e cada z-esoore para um valor x. c. /11terprete os resultados. Rl!'!>pcxtn 11n I'· A.fO ~~ .4--1-1-1-'-1-+-'.-~+.-• -14 ~6 ·l8 50 52 S4 56 5$ 60 62 Hor.\$ I focontrando um dado de valor especifico para uma dada probabilidade Voce tam~ pode usar a distribui~ao normal para enoontrar um dado de valor especifico (valor x) para uma dada probabilidade, como no Exemplo 4. E11tre q1inis tlois v11/ores o ceutro 90% dos dados est6 s;tua1lo? Exemplo [4J Encontrando um dado de valor especlfico Dica de estudo As pontua~Oes para um teste de servi~ civil slio norrnalmente distribuidas, com uma media de 75 e um desvio padrao de 6,5. Para ser adequado ao emprego de servi~ civil, voce deve ter pontua~~o dentro dos 5% primeiros. Quale a menor pontua~3o que voce pode conseguir e ainda assim ser adequado ao emprego? Sol11flio Examine as pontua~6es dos 5%primeiros que correspondem aregiaosombrcada a seguir: 5% Aqui estao as instru~ para encontrar um valor especffi. co de x para uma dada p.robabilidade em uma Tl-83/84. I2nd II DISrR I 3: ij1wNonn( Coloque os valores para a area sob a distribui~o normal, a media especifica e o desvio padrao especifico separados por vfrgulas. I ENTER I invNorM(.95,75,6 85. 69154857 1,64$ 0 - - - - - - 1 - - - + - - - -;c(p(lntwj\Jo.001:.cllnte) 15 . 5) ? Uma pontua~ao no exame nos 5% primeiros e qualquer pontuac;ao acima do 95• percentil. Para encontrar a pontua~o que representa o 95• percentil, voe~ deve antes encontrar o z·escore que corresponda ~area acumulada de 0,95. A partir da - Ed ,e 1naaa 1 ZIC. • ls111k1ica apli<•d• Tabela Normal Padriio, v~ pode veriRcar que as areas mais pr6ximasa 0,95 sao0,9495 (z = 1,64) e 0,9505(z =1,65). Como 0,95 esta na metade entre as duas areas na tabela, use o z-escore que esta na metade entre 1,64e1,65. lsto ~' z = 1,645. Usando a equar;ao x = I' + zq, voe~ tem: X= /t+ UT = 75 +1,645 (6,5) "'85,69. lllterpretapio A menor pontua~ao que emprego e 86. v~ pode conseguir c ainda assim ser adequado ao As ctistancias de frenagem de uma amostra de Hondas Accord s.io normalvod mente distribufdas. Em uma superffcieseca, a distdncia de frenagem mMia era 4 142 pes e o desvio padriio era 6,51 pes. Quale a maior distiincia de frenagem em uma superficie seca que um desses Honda Accord poderiam ter e ainda estarem no enle 1% do topo? (tlifAp11<dodi·C"11:-111nn-&pPrb.) a. Desetrlre um grafico. b. E11co11tre o z-escore que corresponda aarea dada. c. Enconlre x usando a equa~lio .\' = 11 + za. d. lllter11rele o resullado. Exemplo m [ncontrando um dado de valor especifico Em uma amostra escolhida aleatoriamente de l.169 d.e homens com idadc entre 35 e 44 anos, a media do nfvel de colesterol total era de 210 miligramas por decilitro com um desvio padrao de 38,6 miligramas por decilitro. Suponha que os niveis totais de colesterol sejam normalmente distribuidos. Encontre o nlve.I total de colesterol mais alto que um homem nesta faixa et<lria pode ter no 1% mais baixo. (Mapta.I• a,· \la11o,,,., Ct111t1 Jot Ht'flltl1 St"1;,1it$.) Solttftlo Nfveis totais de colesterol no 1% mais baixo correspondem a regiao sombreada aseguir. invNorM(.01,210, 38. 6) 120. 2029719 Niveis totais de colesterol em homens entre 35 e 44 anos 1% Usando uma Tl-83/84, voe~ pode €11· cor\Uar o nivel de coles1.erol mais alio automa1icamente. -2.3J 0 - - 1 - - - - < - - - - - - - x ( n h '.:l 101'1l ck ? 2 10 ~l~lCrol, crn mSl'clLJ Um nfvel de colesterol total no menor 1%e qualquer nfvel abaixo do primeiro perccnti l. Para cncontrar o nivel que representa o primeiro percentil, vooo antes deve achar o z-escore que corresponde ll area acumulada de 0,01. A partir da labela Normal Ed ,e 1naaa 1 !apOulo S • Di111iboi<OP1 de pro~•bil~•d11 oorm•i1 ZI 5 Padr~o, voce pode encontrar que a area mais pr6xima a 0,01 e0,0099. Entao, o 2-escore que corresponde a uma area de 0,01 e 2 =-2,33. Usando a equa~ao x =I' + w, voce tem: x = 1i+ zn = 210 +(- 2,33)(38,6) "'120,06. Interprelafiio 0 valor que separa o 1% mais baixo dos nfveis totais de colesterol de homens com idade entre 35 e 44 ruios dos 99% mais altos e de aproximadamente 120. ente 0 espao;o de tempo que um funcionario trabalhou em uma corpora\iio e nor· malmente distribufdo, com uma media de 11 ,2 anos e um desvio padrao de 2,1 voci 5 anos. Em um corte da empres.1, os 10% menores em termos de tempo de casa s.io cortados. Qual eo espao;o de tempo maximo que um funcionario pode ter traba· lhado e ainda assim ser cortado? a. Dese11he um grafico. b. E11co11tre o z-escore que corresponda ll area dada. c. E11co11tre x usando a equa(.io x = I'+ zq. cil. /11terprele o resultado. R~1~to "'' ,,, A4 I Ill Exercicios Construindo habilidades basicas e conceitos Nos exerclcios de I a24, use aTabela Nonnal Padr~o para encoo· ttar o z-escore que cooesponda ao percentil ou area acumulada dada. Se a area nao estiver na tabela, use o numero mais pr6>imo ~~ela area. Se aarea estiver na metade entte <bas entradas. use o z·escore que esteja entre os esc0<es correspondentes. Se convenienie, use uma ferramenta tecnol6gica para encootrar o z-escore. 1. 0,7580. 2. 0,2090. 18. 19. 20. 21 . 22. 23. 24. P.,. P,,. p'P P.,,,. p'# P,,. p... Analise grafica 4. 0,0918. Nos ecerdcios de 25 a 30, enconue o(s) z-escore(s) indicado{s) no grafico. Se for oonveniente, use lerramemas tecnol6gicas paia en· contrar o(s) z-escore(s). 5. 0,4354. 25. 3. 0,6331. 6. 0,0080. 7. 0,9916. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 0,7995. 0,05. 0,85. 0,94. 0,01. P,. 14. P.,. 15. p"' 16. P,.. 17. P,,.. 26. Ed ,e 1naaa 1 216 • hiatllti<"PliclA• polegadas com um desvio padf<lo de 2,71 polegadas. (.Adop!Odo <le 27. Nooonai Cenre1 let -'di Sto'®C<) Area= (a) Qual altura representa o 95' percentil? (b) Qua! altura represen1<1 o primeiro quanil? 0.7190 40. Altura dos homens Em uma pesquisa enue homens dos Es- :=l ' 0 28. tados Unidos (idade eiitre 20 e 29 anos), a altu<a media era de 69,6 polegadas com urn des>-io padrao de 3,0 polegadas. 0dot>1odo de Nall(,fl<JI Ceti<et lot Het;:h S<Ol<S<ia.) (a) Qual altura representa o 90' percentil? (b) Qual altura represenia o primeiroquanil? 41. Ma~as A utiliza>.Jo anual de ma(As (em ubras) per copito nos Estados Unidos pode set aproximada por uma distrib<Ji<;Ao normal corno pode ser visto no grafico. (Adoptodo de u.s. Al\."a • 0.0233 De- olAr;1ruwre.) :=? 0 ' 29. Area= Arca.: o.os (a) Qual util~a(Ao anual de rna~s per copito representa o 10' percentil? (b) Qual ur~iza(Ao anual de ~ per copito representa o 3• quani? Utiliza~ao anual de rna~as per capita nos EOA o.os µ= 17.t lb u=4lb :•? 0 ;•? 30. $ 9 13 11 21 :?S lt> x U1jlizaQao <cm libras:) :=? 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 0 := '! Nos exerclcios de 31 a 38, eiicontre o z·escore indicado. Encontre o z-eSCOfe que tenha 11,9% da area de d'istribui(Ao a esquerda. Encontre o z·escore q\Je tenha 78.5% da area de d'istribui(Ao a esquerda. Encontre o z-eSCOfe que tenha 1 t,9% da area de d'istribui(Ao a direi1<1. Encontre 0 Z·eSCOfe (j\Je tenha 78,5% da area de distribui(AO a direita. Enr..ontre 0 Z·escore para 0 qual aocrn da are.a de distribuic;Ao es· teja entre -z e z. Encontre o z.esco1e para o qual 99% da area de disuibui(Ao esteja entre -z e z. Encontre o z-esc0te para o qual 5% da area de d'!Stnl>ui(Ao esteja entre-z e z. Encontre o z-escore para o qual 12% da area de distribui(Ao esteja entre -z e z. Usando e interpretando conceitos Usando distribui~oes normais Nos e.erd<ios de 39 a 44, responda as quest~ sobre a &stri· bui~o normal especificada. 39. Altura das mulheres Em uma pesquisa entre mulheres dos Estados Uflidos (idade entre 20 e 29 anos), a altura media era 64,1 42. laranjas A uti1iza(Ao anual de laranjas (em libras) per capita nos Estados Unidos pode ser aproximada por uma distribui(Ao normal, como pode ser visto no gr.lfico. (Mop:JJdo de us O.pott· mental~) (a) Qual uti&za1ao anual de laranjas per copito represeiita o s• percentil? (b) QuaI utiliza(Ao anual de laranjas pe1 copito represellta o terceiro quarnl? Utili.ta~iio anual de laranjas per capita nos EUA µ= ll.4 lb a:31b 2 I S I II 1·1 U1iliz~!ro (en1 17 10 ·' lit>r..s) 43. Tempo de espera para transplante de cora(Ao O tempo de espera (em dias) por I.Ill transplante de cora(Ao em Ohio e Mi· chigan para pacientes corn 6po sangulneo A• pode ser aproxima· do por urna distribui~o normal, corno pode ser visto no grafico. (/daprorh de Otgan Procuromen1 at>d lillflsplmt N":v'°'*-) (a) Qual eomenortempode esiiera por um cora~o queainda assim colocaria urn pacieote dentro dos maiores 30% em tempo de espera? (b) QuaI eo maior tempo de espera por um coraylo que ainda colocaria um pacieme oosultimos 10%de 1empodeespe1a? Ed ,e 1naaa 1 (apfiulo S • (4 87 114 141 = 127 dia.~ <1 = 23 .5 dins 16$ 195 Dias 44. Sorvete 0 consumo anual de ~e (em liblas) per copiro nos Est.idos Unidos pode sec aproicimado poi uma disuibui(<'lo normal, como pode ser visro no gr.!fico. (.Adoptado tit> u.s Depart· mw ofA~,'ore,) (a) Qoal e o meoOI valor de consume de SO<Vete anual pet co· pita que ainda assim pode set eoqua<kado deotro dos 25% de maior consume? (b) Qoal eo maiOI valOI de consume de sorve1e anual pet copi· re que ainda assm pode ser enquadrado nos menores 15% de consumo? 217 m.!ximo que um saco de cenoura baby pode pesar sem piecisac ser reembalado? Tempo de espera por um cora~ao µ Di1trlluico.. dtprob~ilidadf> ' "'"''' Expandindo conceitos 47. Redigindo uma garantia Voce vende uma marca de pneus de autom6veis que tem uma expect.i1i\oa de vida que en01malmente distnbuida, com uma vida media de 30.000 milhas e um desvio pad<ao de 2.500 milhas. Voce quer dar uma garantia de troca de pneus gratisque nao durem muito. Como voce poderia honrar sua garamia sevoce eSIA dispos10 a1rocac 10% dos pneus que vende' 48. Notas de estalisticas Em tma grande se(.lo de uma sala de estatistica, os pontos para o e>ame final sao normalmente distri· buldos com uma media de 72 e um desvio padiao de 9. As notas ser<lo dadas de acordo com as seguintes regcas: • • • • • Consumo anual per en pita de sorvete nos EUA As 10% mais alias recebem A; Os pi6ximos 20% recebem B; Os 40% medianos recebem C; Os pr6xinos 20% cecebem O; EOS ultimas 10% cecebem F. Encontre a menor oota que deteminaria um A, um B, um C e umD. Notas de ex.ame final 40% 3 10 12 1-1 16 IS 20 22 Consumo (e1n librM) 45. Cai:xas de cereais Os pesos do c.onleUdo de uma caixa de cereais siio normalmeme d'istribuldos com um peso medic de 20 on,as e um desvio padrilo de 0,07 oixa. caixas nos 5% mais baixos n3o atendem ~s condi¢es minimas de peso e devem ser embaladas novamente. Qual eo peso mlnimo exigido para uma caixa de cereais? 46. Sacos de cenoura baby Os pesos de sacos de ceoouras baby siio normalmente distribuidas com uma media de 32 ~s eum desvio padrilo de 0,36 on,... Sacos nos 4,5% nlveis mais altos siio muito pesados e daoem sec embalados novameo1e. Qua! eo I> C Pontos fti1os 49. lD A nc:>ex~une final M~quina de vendas Uma maquina de venda autom.!lica dis· tribui cafe em um cope de 8 on,..s. A quantidade de cafe no copo e nonnalmente disuibuida com um desvio padrao de 0,03 on,... Voce pode deixar o cafe transbordar 1% das vezes. Qual quantidade voce deveria marcar como a quantidade media de cafe a ser distribuido? Estudo de caso Pesos de bebes nascidos nos [stados Uni dos 0 No6onol Centet for Heohh Statistics (NCHS) mantem regislros de muitos aspectos rela· cionados asaUde das pessoas, inclusive o peso de 1odos os bebes nascidos nos Estados Unidos. O peso que um ~ rem ao nasce< e relacionado ao seu periodo de gesta>Ao (periodo enue a conce~o e o nascimeoto). Para um dado perlodo de gesta>Ao, os pesos dos bebi!s ao nascerem podem ser apioximados por uma disUI~ normal. As medias e os desvios pa· drao dos pesos dos ~s no nascimento parav~rios pe<iodos de gesta¢o sao dados a seguir. Um dos v~rios objetivos do NCHS e reduzir a porcemagem de bebi!s nascidos com subpeso. Como voce pode •<ecificar no gr~fico a seguic, o pioblema de subpeso aumemou de 1990 para 2004. Ed ,e 1naaa 1 216 • [su1t1ti<"pllca<l1 16 J_~'~ P~ rc-n1a-tu_ro _;_n-1c_no _ s~ d~ c~ 3=7sc-1n _a_n_:~ ---, - ---------· 14 Baixo pes.o ao nascer = n1enos de 5..5 librns ..- -- • * I I 1....-4 porccntag.cm de nascimcntos prcn1aturos -· Porccntagem de baixo peso ::to nns«r - - 6 19SU 1992 191.M 19'X> 199$ 2'00'.? 2CXXI 2004 Ano Perfodo de gesta~ao Media.de peso no n.ascimento Desvio padrao l,88lb l,201b Menos que 28 semanas 28 a 31semanas 4,0Slb 1,Sslb 32 a 35 senlanas 5,71 lb 1,471b 36 scnu1nas 6,441b l,191b 37 a 39 scmanas 7,31 lb 1,09lb 40 semanas 7,691b 1,04 lb 41 scmanas 7,79 1b 1,0Slb 42 sen1anas ou mais 7,61 lb l,11 lb uercicios 1. As distribui'Oes dos pesos nos nascimentos para 11es periodos ges1acionais s.lo mostradas. Relacione as curvas com os periodos gestacionais. Explique reu raciocinio. (a) ~ S 6 1 8 9 10 II librn5 (b) (c) s 4 7 s Libras 9 10 1'1 Ed ,e 1naaa 1 (apfiulo S 2. • Dl111ibuicllf> dorobalilidad" ,.,,.11 219 po<centagem de be~ nascidos em cada periodo gesiaciooal tern subpeso (abaixo de 5,5 libras)? (a) Menes que 28 semanas.. ~al (b) De 32 a 35 •emana5. (c) De 37 a 39 semanas. (d) 42 senoonas ou mais.. 3. Descreva os pesos dos 10% de beMs mais pesados nascidos em cada perfodo ges1adonal. Explique seu raciocinio. (a) De 37 a 39 semanas. (b) 42 senoonas ou mais.. 4. Para cada perfodo gestaciona\ qua! e a probabilidade de que um bebe pese en1re 6 e 9 libras ao nascer? (a) De 32 a 35 semanas. (b) De 37 a 39 semanas. (c) 42 senoonas ou noois.. 5. Um peso mene< que 3,3 lib<as edassificado pelo NCHS como •peso muito baixo".Qua Iea probabilidade de que um bebe tenha um peso muito baixo para cada perfodo gestacional? (a) Menes que 28 semanas.. (b) De 32 a 35 semanas. (c) De 37 a 39 semanas. ID Distribui~oes de amostragem e o teorema do limite central Distribui~3o amostra! ~ 0 teorema do limite central ~ Probabilidade e o teorema do limite central I Distribuicao amostral Nas se¢es anteriores, voce estudou a rela~iio entre a media de uma popula~ao e os valores de uma variavel aleat6ria. Nesta se~o, voe<! vai estudar a rela~3o entre uma media da popula~ao e as medias das amostragens tiradas da popula~ao. efinicao uma distribui~ao amostral e a distnbui~o de probabilidade de unoo estatistica da amostra que eformada quando amostras de tamanho n sAo cepetidamente colhidas de uma popula¢o. Se a estatistica da amostra e a sua media, temos uma distribui~o amostcal de medias das amostcas. 0 que voce deve aprender • Como encootrar oJStribu~oes de amostrageos e l'erificar suas pro- priedades. • Como inteipretar o teorema do licnite central. • Como aplicar o teorema do limite central para eO(OOtrar a probabilidade de uma media da amostra. lmportante --~~~~~~~~~- Considere, por exemplo, o seguinte diagrama de Venn. 0 retangulo representa uma grande popular;So e cnda circulo representa uma amostm de tamanho 11. Como os valores da amostra podem variar, as medias an1ostrais tambem podem variar. A media da amostra 1 ex; a media da amostra 2 e .r, e assim por diante. Adistribui(ao de amostragem dns m&lias para amostras de tamanho 11 para essa popula~~o consiste de .t , .r, e .rye assim por di ante. Se as amostras s.'\o descritas com reposir;oes, um rn1mero infinite de amostras pode ser descrito por meio da popula~o. As medias das amostras poden1 variar de wna para ou· tra. e tambem podem variar de uma m&lia de popula(aO. llsse tipo de varia~ao deve ser esperado e echan1ado de erro amostral. Ed ,e 1naaa 1 ZZO • (s141~1kaa~li<oda Popul:J~iio contµ, a AnlOStrti Histograma de probabilidade da popula~ao de x I'(•) 2.11 AIUOS-lr.l 4. 74 Propriedades de distribui,iies amostrais das medias de amostras 1. Amedia das amostras 11, e igual a media da popula~ µ . µ~=JI. 2. odesvio padrao das medias u, e igwl ao desvio padrao da popula~o q dividida pela raiz quadrada de n. 11,= Jn' " I l 3 5 6 .& 1 Val~" ~a pOpUlati:U<> ~ f Probabilidade I. 1 0,0625 2 2 0,1250 3 3 0,JS75 ~ ~ 0,2500 5 3 0,1875 6 2 0,1250 7 1 0,0625 O desvio padrao de uma disuibui~o amostral de medias das amostras e chamado de erro padrao da media. Exemplo m Uma distribuitiio amostral de media das amostras Voce escreveos valores da popula~ao 11, 3, 5, 7) em pedai;os de papel eoscoloca em uma caixa. En13o, voce seleciona dois papeis alealoriamenle, com subslilui.;Qes. Lisle todas as amostras possiveis de lamanho 11 = 2 e calcule a media de cada. Essas mMias formam a distribuiV'!o amostral de media das amostras. Encontre a media, a varidncia e o desvio padrao da media das amostras. Compare seus resultados com a media I' = 4, varidncia a'= 5, e desvio padrAo u = J5"" 2,236 da popula~<lo. Solupio Lisle lodas as 16 amoslrasde tamanho 2da popula(ao ea media de cada amoslra. Amostra i.l Para explorar mais este 16pico, veja 5.4 Atividades nap. 232. - Dica de estudo Reveja a ~ilo 4.1 para encontrar a media e o desvio padriio de uma distribui,ao de probabilidade. M~dia da amostra, i Amostra Media da amostra,X 1,1 1 5,1 3 1,3 2 5,3 4 1,5 3 5,5 5 1,7 4 5,7 6 3,1 2 7,1 4 3,3 3 7,3 5 3,5 4 7,5 6 3,7 5 7,7 7 Depois de construir uma distribui~ao de probabilidade para a m~dia das amos· tras, voce pode representar a distribuic;.'\o amostral graficamente usando um histograma de probabilidade como pode ser vislo a seguir. Note qu.e o formato do histograma Ed ,e 1naaa 1 (>Jlftulo S e en1 forn1a de sino e si1n~trico, si1nilar a u1na curva normal. A m~ia, a variancia e o desvio padrao da m&lia das amostras siio: • 221 Dh11i61icoes de p1obabilidad1S oormall Histograma de probabilidade de d istribuj~ao amostral de~ ~ fJ, =4 (o,l =~ =2,5 e o1 =~ =.J2.5"<1,581. o.zs '* 020-f---=I "' ~ O,I S Esses resultados respondem aos crit~rios das propriedades das distribui<;Oes amostrais porque JII = Jt = 4 ~ o.ro "- OM I e Z ! 4 $ 6 7 MCdi:t d:. a.1n~1m Lisle todas as amostras possfveis de 11 = 3, com substitui(ao, a partir da popula<;ao 11, 3, 5, 71. Calcu]e a m~dia. a variancia e o desvio padrao de cada m&lia das amostras. Compare csses valores com os parametros da popula<;ao correspondentes. a. Forme todas as amostras possiveis de tamanh-0 3 e encontre a m&lia de cada. b. Fn(a uma distribui~Ao de probabilidade das medias das amostra.~ e e11co11tre am~· dia, a varii\ncia e o desvio padri\o. c. Co111pt1re a 1n~di~ a vari~ncia e o desvio padriio das m&iias das an1ostras con1 os da popula<;ao. I 0 teorema do limite central 0 teorema do limite central fundamenta o ramo inferencial da estat(stica. E.~se toeorema descreve a rela(ao entre a dislribui(llo amostral de m&lias das amostras e a popula~ao das quais as amostras siio tiradas. 0 teorema do Ii mite central~ 111na Cerra· menta importante que fornece a informa~ao que voe~ vai precisar ao usar estatfsticas amostrais para fazer inferencias sobre a m&lia de uma popul~3o. 1. Se amostras de tamanho n, onde n ~ 30, siio tiradas de qualquer popula<;ao com uma media 11 e um desvio padrao <t, entao a distribui(ao amostral de m&lias das amostras se aproxima da distribui(<\o normal. Quanto maior o tamanho da amostra, 1naior a aproxima~5o. 2. Se urn a popula«lo ~ normalmente distribuida, a distribui~o amostral de me· di as das amostras r! normalmente distribuida para q11alq11er amostra de tamanho 11. Em qualquer dos casos, a d.istribuir;ao amostral de m&lia das amostras tem uma mMia igual a media da popula~: 11; = JI. ~Jedia A distribui.r;ao amostral das medias das amostras tem uma variancia igual a 1/ n vezes a variancia da popula~ao e um desvio padri\o igual ao desvio padrao da popuJa(llo dividido pela raiz quadrada de 11. \'arHlncia Oesvio pad rao 0 desvio padrao da distribui~o amostral de medias das amostras o"!! tamMm ~ chamado de erro padrio da media. lmportante -1--- A distribuir;ao de medias das ainostras tem a mesma media que a popula<;.iio, mas o seu desvio padri\o e menor que o desvio padrao da popula(llo. lsso nos diz que a distribui<;lio de mMias das amostras tem o mesmo centre> que a popula~ao, mas nao e.tao estendido. Alem disso, a distribui~llo de medias das amostras torna· -se cada vez menosestendida (maior concentrar;ao na m~­ dia) conforme o tamariho da a1nostra 11 au1nenta. Ed ,e 1naaa 1 ZZ2 • '5t41llti<o aplitada 1. Distribui~ilo populacional qualquer: l'- M~di:i Distribu~ de medias das amostras. n ;:: 30 q, - " ...-...:..:: 7rf ' \ • ' - - [ Ocsvi<> padrlo Retratando o mundo Em um ano recente, havia mais de 5 milhoes de pills nos Esiados Unidos que recebiam pensllo. 0 histograma a seguir mostra adistribuit;ao das crianyis por pai com a cust6dia. 0 numero m&lio de criani;as era t,7 e o desvio padroo era de 0,9. (Ad;JpttN!o rf.t· ll.S. CnisL.. &unt11.) 2. Distribui~ilo populacional normal: u- -ocsvio padriio OiSlribui,ao de medias das amostras (qualquer n) Pens.lo OJ <> OA ~ :;;; OJ ~ ~ ...e o.z 0.1 (1 ~../ii . 1-, .. ' . I \ 1ocf ~- - ' \ Desvio padr:io .._ ..::__ _._-I_ _.__:::,.__ ,,.. , . 2 3 s 6 1 NUmcro de cri:.ln~as ~ l"t =11. - .... escollle! aitwtorin111e11te 35 prti> que n·r,•lirm pmsilo e per· gunln qunntns cr;au{nS sob 11 custMin tie/rs t'S/Do rece/le111fo pe11silo. Qunl n 111·obabilirliu!e « ti« que n 111Min tfn> n1111JS/rns sejn entre J,5 1• J,9 crim1{ns? M<Sdia Exemplo OJ lnterpretando oteorema de limite central As contas de telefone de resid@ncias de uma cidade t~m uma media de$ 64 e um desvio padrao de$ 9, como pode ser visto no gr~fico a seguir. Amostras aleat6rias de 36 contas de telefone s.'\o escolhidas desta popular;ao ea mMia de cada amostra e detenninada. Encontre a mMia e o erro padrao da m&lia da distribuir;ao amostral. Depois, desenh<? um grafico da distribui~ilo amoslral de medias das amostras. Ed ,e 1naaa 1 Distribui~ao para todas as contas de telefone .._,:===:::+---'"'1-'---+---1-----+-=:::::,,~ ,l' SS $? Con1;is de lelcfonc indh•ichrais (cn1 d61ares) So/11fliO A media da distribui<;<Jo ainostral e igual ~media da popula.,;;o e o erro padrao da media eigual ao desvio padrao da populac;iio dividido por $.. Entiio, e l'ttterpretafiio De acordo com o teorema do limite central, uma vez que o tamanho da amostra e maior que 30, a distribui<;<lo amostral pode ser representada pelo grafico de uma distribui~ao normal, com ,,= USS 64 e a= USS 1,50. Distribui~ao das medias das amostras com 11 = 36 -+----+---___,>---~~-+-~->----+---~ · 73 SS ~1~dia de 36 comas de 1clcfonc (c.1n d(>lat'C$) Suponha que amostras aleat6rias de tamanho 100 sejam tiradas da popula\<'jo do Exemplo 2. Encontre a media e o erro padrao da m~dia da distribui\<io amostral. Desenhe um grMico da distribui~Ao amostral e compare-o com a disbribui~ao de amostragem do Exemplo 2. a. Eucontre. /ti e<T,. b. lrlentifiq11eo tamanho da amostra.Se n ? 30, desenhe uma curva nonnal com media 1•, e desvio padrilo 11,. c:. Compnre os resultados com os resultados no llxemplo 2. Exemplo m lnterpretando oteorema do limite central As alturas de Mvores de carvalho adultas sllo normalmente distribufdas, com uma media de <JO ~ e desvio padr.'io de 3,5 ~. como podemos ver no grMico a seguir. Amostras aleat6rias de tamanho 4 s.io tiradas de uma popula<;ao ea media de Ed ,e 1naaa 1 cada amostra edeterminada. Encontre a media e o erro padrao da media da distribui~ao amostral. Depois, desenhe um grafico com a distribui~ao amostral de medias das an1ostras. Oistribui~ao das alturas da popula~io ~-----=~ ..........-i--~~ i w • ~ • ~ •• AhurJ (etn ¢ s) Soluftlo A media da distribui<;ilo amostral e igual a media da popula~ao e o erro padrao da media eigual ao desvio padrao da populai;Oo dividido por .Jn. Entao, /1; = Jt=90 pes lllterprelnfiio Com base no teorema de limite central, como a populai;ao enormalmente distribuida, a distribui¢o amostral de medias das amostras tambem enormalmente distribuida, como mostra o grafico a seguir. Distribui~ao de medias das amostras com 11 = 4 ~~-!-~~~....,,,"--~~--i.~~~~.~~~~'--~~ ; 80 $S ~JO 95100 M~dia d;i ahur'J (tin ¢s> Os diametros de uma arvore de carvalho adulta sao tnormalmente distribufdos, com uma mt!dia de 3,5 pes e um desvio padrllo de 0,2 pes, como mostra o grafico a seguir. Amostras aleat6rias de tamanho 16 sao recolhidas da popula(ao ea media de cada amostra e determinada. Encontre a media e o erro pad mo para a media da distribui~3o amostral. Depois, desenhe um grMico da distribui~ao amostral. Distribuj~ao dos diametros da popuh~io .., I ?.9 Oi:inw:tro (e1n 1>1!.f;) a. £11co11lre µ i e <1;: b. De.e111Ie uma curva normal com mt!dia l't e desvio padrao U; · r .'f Ed ,e 1naaa 1 (•pitulo 5 I • Di>triki<C" de plObt~lid•d" norll>lk 225 Probabilidade e o teorema do Iimite central Na Se~ao 5.2, v~ aprendeu como encontrar a probabilidade de que uma variavel aleat6ria x caia em 111n dado intervalo de valores da popula~ao. De uma maneiril porecidn, vocC podc encontrar a prob{lbilid.nde de quc \Ullo n1~ia do an1ostra .Y caia em um dado intervalo da distribui~o amostral de I. Para transformar x em um Z-<!SCOre, v~ pode usar a f6nnula: Valor-Media 'i - 11, z- Desvio padrao 11i x - 11 - 11 / $. · Exemplo [41_ 4_,.__ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ Distribui~ao das medias de amostras com 11 = 50 fncontrando probabilidades para distribui,oes de amostragem 0 grafico a direita mostra o perlodo que as pessoas passam dirigindo todos os di as. Voce seleciona aleatoriamente 50 motoristas com idade entre 15 e 19 anos. Qual e a probabilidade de que a m&lia de tempo que eles passam dirigindo todos os dias seja entre 24,7 e 25,5 minutos? Suponha que 1,5 minutos. "= Tempo atras do volante Media de 1cn1po gas10 por dia, dirigindo. por faixn ct<iria: 15·19 ~ ~+---F--+-!-+-f~t--+-~~-+--7 25 minutos 24.2 ~52 20-24 ~64 2S·S4 24.6\ 24,7 2S.O 25.4\ 25,5 1.i.s :io1C<Jia de h:n1po (em minu1os) z-escore Distribui~ao de medias das amostras com 11 = 50 ~58 SS·64 ~39 rt'•lt' U.$. Oc~ttnw••4( n .....,..,_.;.. Sol11pio 0 tarnanhn da :unrn:.trn P. rnaior quP 30~ Pnt<lo vfl<'t\ po<lP 11s,.1r o toorP1na do limitP central para concluir que a distribui~~o de m<!dias das amostras e aproximadamente normal com uma m<!dia e um desvio padrao de: 11~ = 1• = 25 minutos e 11; ~ = J4."'0,21213 minutos. "" ¥50 0 grafico dessa distribui~iio, a direita, tem uma area sombreada entre 24,7 e 25,5 minutos. Os z-escores que correspondem as m~dias das amostras de 24,7 e 25,5 minutos 5'io: z, 24,7 - 25"" - 0,3 ::;-J 41 e 1,5/./50 0,21213 ' z, 25,5 - 25"" 0,5 "'2,36. 1,5/ ./SO 0,21213 - 1,41 0 2.36 norMalcdf<24.7,2 5.5.25 •• 21213) .9121418524 No Exemplo 4, voce pode US<ll uma Tl-$3/84 para encootrar a probabilida· de automatic.imente, uma vez que o erro padr!o da m~dia seja calcUado. Ed ,e 1naaa 1 ZZ6 • (1tatbtical9lica.t. Entao, a probabilidade de que a media de tempo que 50 pessoas passam dirigindo por dia entre 24,7 e25,5 minutos e: P(24,7 <.i' < 25,5} = P{- 1,41 < z< 2,36} = P<z < 2.36J - P<z < - 1A1J = 0,9909 - 0,0793 = 0,9116. lllterpretafiio Na amostra de SO motoristas de idade entre 15e19 anos, 91,16% tera uma media entre 24,7 e 25,5 minutos dirigindo, como mostra o grafico anterior. lsso implica que, supondo que um valor de 11: 25 seja correto, somente 8.84% da amostra estara fora do intervalo dado. Dica de estudo •Antes de encontrar probabilidadespara intervalos damedia da amostra .\', use o teorema do limite central para determinar a mt!d,ia e o desvio padrao da distribui~o amostral de medias das amostras. Ou seja, calcule /'re u,. Distribui~iio das medias das amostras com 11 : 9 Voce seleciona 100 motoristasdo Exemplo 4 com idades entre 15 e 19 anosaleatoriamente. Quale a probabilidade de que a media de tempo que eles passam dirigindo todos os dias esteja entre 24,7 e 25,5 minutos? Use 11 : 25 e " : 1,5 minutos. a. Useo teorema do Ii mite central para e11ro11trnr µ, e 11, e tfeseulte a distribui~o amostral de medias das amostras. b. E11co11tre os z-escores que correspondam ax s 24,7 minlltOS ex : 25,5 minutos. c. E11co11tre a dl'tfl ac1111111/arla que corresponda a cada z..escore e calcule a probabilidade. R1~JttSt1r 1111 I'· A41 Exemplo W Encontrando probabilidades para distribuicoes amostrais Os gastos medios com quarto e refei~ao por anode faculdades de quatro anos sao de S 6.800. Voce seledona aleatoriamente 9 faculdades de quatro anos. Qual e a probabilidade de que a media de quarto e refoi\ao seja menor que $ 7.088? Suponha que os gastos com quarto e refei¢o sejam normalmente distribuidos, com um desvio padrao de $1.125. {Fcmtr: X1ttro1J8IC1'11/af1'f fJ.furaJimr StbliMif...) SolufiiO Como a popula\ilO e normalmente distribuida, voct! pode usMo teorema do li-l""::+--+-!-+-+--+-1.:::.,__:; mite central para conduir que a distrib1ti¢0 das medias dils runostras enormalmente S.600 6.200 6.800 7.400 8.000 M&J;a quano e refci~ilo (Cm cl6larcs) distribuida, com uma media de$ 6.803 e um desvio padrae> de $ 375. (J 1.125 ''• = µ e 6.803 e u, e .{,; e .J9 e 375. 0 grafico dessa distribui\aO est~ ~ esquerda. A area .ll esquerda de S 7.088 est~ sombrellda. 0 z·escore que corresponde a S 7.088 e: nor~a l cdf( - 10000 .7088.6803.375) . 7763727794 z 7.088- 6.803 - 285 - 0,76. 1.125/ .J9 375 Entao, a probabilidade de que a media dos gastos de quarto e refei\aoseja menor que $ 7.088 e: P('i' < 7.088) = P(z < 0, 76) = 0, 7764. No Exemplo S, voe~ pode usar uma TI·83/ 84 para enconuar a probabiida· de automaticamente. Interpretafiio Entao, 77,64% das amostras com 11 : 9 terao uma media menor que $ 7.088 e 22,36%dessas medias das amostras estarao situadas fora do intervalo. Ed ,e 1naaa 1 ('Jlfiulo 5 • Db11lbulc0fl dtp10habllidad" normai1 ZZ7 0 pr~ mt!dio de venda de uma casa de famOia padrao nos Estados Unidose S306.258. Voce seleciona 12 casas de famOia de forma aleat6ria. Quale a prol>a· bilidade de que a mt!dia do p~ de vendas seja maior que $ 280.000? Suponha que os p~ de vendas sejam nomialmente distribuldos oom um desvio padrao de S 44,00. (Fu111r: Fft'.trttl Ht•li""'$ finnllft &vrd.) a. Use o teorema do limite central para e11co11tmr µ, e o, e dl'$t11/1e a distribui.;;io de amostragem das m&!ias das amostras. b. E11co11lre os z-esoores que correspondam a .i ' = S 280.000. c. E11co11tren drrn ncr111111/ndn que corresponda a cada z-esooreecakule a probabilidade. Rt$J>1,..t111111 p. A.41 0 teorema do limite central tam~m pode ser usado para investigar eventos incomuns. Um evento inoonmm ocorre com uma probabilidade menor que 5%. Exemplo m Encontrando probabilidades para x ex Um auditor de ba.nco declara que as contas de cartOes de crt!dilo sao normalmente distribuidas, com uma m&!ia de S 2.870 e um desvio padrao de S ~t. Qual ea probabilidade de que um titular de cartiio de credito aleatoriamente sele· cionado tenha uma conta menor que S 2.500? 2. Voc~ seleciona 25 titulares de cart6es de crt!dito de forma aleat6ria. Quale a proba· bilidade de que a m&!ia da conta deles seja menor que $ 2.500? 3. Compare as probabilidades de (1) e (2) e interprete sua resposta nos tennos da declara<;ao do auditor. SolufiiO Dica de estudo 1. Neste caso, lhe pediram para encontrar a probabilidade associada com certo valor de uma vari~vcl x. 0 z-escore que corresponde ax- S 2.500 ~: .l'- J• Z= 11 = 2.500- 2.870 .. - 0,41. 900 fnt~o, a probabilidade de que o titular do ca.rtao tenha uma conta menor que $ 2.500 e P(x < 2.500) = p (z <-0,41) a 0,3409. 2 . Aqui, U1c pcdir.in1 para cncontrnr a probabilidadc asGOC:k1da conl uma O"l&lia da amostra .t. 0 z-escore que corresponde a 1=$2.500 e: X-µ .. X- J' z -- u, -- u/.{,', 2.500 - 2.870 900/-/25 - 370,,, _2 06. 180 , Portanto, a probabilidade de que a media das contas de cart~o de credito de 25 fitulares de banco seja menor que $ 2.500 e: I'( X< 2.500) = P(z < -2,06) e 0,0197. 3. lllterpretariio Embora haja uma chance de 34% de que um indivfduo tenha uma oonta menor que $ 2.500, h~ somente uma chance de 2% de que a media de uma amostra de 25 pes· .-111~--------- Para eocontrar probabilida· des para membros individu· ais. de uma popula<;ao oom uma vari~vel aleat6ria x nor· malmente distribuida, use a f6rmula: x-µ z= - - - u Para encontrar probabilidades para a media x de uma amostra de tamanho 11, use a f6rmula: x-P-t z= - - . 11, Ed ,e 1naaa 1 soas tenha uma conta menor que $ 2.500. Como ha somente uma chance de 2% que a media de uma amostra de 25 tenha uma conta menor que $ 2.500, este e um evento incomum. Entao, e possivel que a amostra seja incomum, OU e possivel que a dedara· ~~o do auditor de que a media e$ 2.870 esteja incorreta. Tente Um analista de prei;os dedara que os prei;os de receptores de um sistema so- vcd noro siio normalmente dis.tribufdos, com uma me.dia de $ 625 e um desvio 6 padrao de $ 150. (1) Qual e a probabilidade de um receptor aleatoriamente selecionado custar menos que S 700? (2) V~ seleciona 10 receptores aleatoriamente. Qua I ea probabilidade de que o custo medio deles seja menor que S 700? (3) Compare essas duas probabilidades. a. Ermmlre o z-escore que corresponda axe l'. b. Use a Tabela Normal Padrao para e11co111rar n probnbilidndr associada com cada z-escore. c. Compare ns probabilidades e i111erprete sua resposta. Ri!i-i>0$11l 1u1 I'· A41 IH Exercicios Construindo habi!idades bisicas e conceitos Nose>:eiciciosde I a4, uma popula~o 1em uma mMia ,, = 100 e um desvio padrao o • 15. Encontre a media e o desvio padrao de uma <fislnbui\Jo amoslral das medias das amostras com o tamanho da amoslra '" I. n =- 50. 2. n= 100. 3. n=250. 4. n• 1.000. Verdadeiro ou falso? Nos e>:eicicios de 5 a 8, detemiine sea sente~a everd<ldeira ou falsa. Reescieva as sentenQ!s ~lsas de forma que fiquem verdadeiras. 5. Confonne o tamanho de uma am05tra aumenta, a distribui~o das medias amostrais tambem aumenta. 6. Confonne o tamanho de uma amostra aumenta, o desvio padrao de uma distribuii;.lo das mMias das amostras tambem aumenta. 1. uma <fisuibl>(')o de amostragem e nonnal someme se a popula~o IOI OO'mal s. Se 0 tamanho de uma amoslra e no mfnimo 30, voce pode usar os z-escores para determinar a p<ob3bilidade de uma media de amos1ra esiar situada em um dado intervalo da disvib~o de amos1ragem. 1O. Quatro pessoas em um rodizio de carros pagaram as seguintes quantias por multas este semestre: S 120, S 140, S 180 es 220. Use um tamanho 2 como amostra. AnAlise grMica Nos e>:erdcios 11 e t 2, o grafico de uma distribui~o de popula¢o e representado com sua media~ desvio padrao. Supollha que uma amostra de tamanho 11 seja escolhida para cada popula~o. De· cida qua! dos gralicos dassificados (a)- (c) poderia melhor representar a distrill<Ji<;<lo amosttal de medias das amostras para cada g1afico. Eicplique seu racioclnio. 11. 0 1empo de espera (em segundos) em um semaforo de 1r~nsito durame o sinal vermelho ~ ""' 0.035 ·;:; 0.030 ~ 0.02.S ·~ 0.020 <r=ll.9 •g 0,0I S if 0.010 it: n.m~ . 10:?030.j()SQ Te1npo (en1 scgundQs) (a) Verificando propriedades de distribui,oes amostrais Nos exereidos 9 e 10, encontre a media e o desvio padrao da popula<;<lo. lisle tod.Js as amos1ras (com repo~~o) do tamanho dado a panir daquela popula~. Enconue a media e o desvio padr~o da distribui~o amosttal e compare-OS oom a media e o desvio padr~o da1POPul~ 9. Onolmero dos filmes que todas as quatro pessoas de uma famiia viram no mes passado e 4, 2, 8 e o. Use um tamanho 3 como am051ra. -10 (> 10 20 30 40 Tcn1po (cnl ~gundos) Ed ,e 1naaa 1 (apfiulo S (b) (c) P(i) ~ 0.0JS i 0.02$ O:t·= 11.9 ·a 0.030 µ,, = 16.5 :~ ~:~ g. .!: 1' 0.3 .g o.z ..,s l 0.1 '-+'-'-l--+20 JO 10 i- i 4() Tempo (cin stgundos) 12. A quantidade de neve anual (em pes) para um estado central de Nova Yoii<. /'(.f) r: (f• ~ 0.12 2,3 0.08 } 0,(M 0 z "' s 6 10 Oco~ncia de 1~\·e (er11 ~s) (a) ~ ~ 0.12 ·§ 0.08 I! .t; g. ().1)4 It 2 .. () ~ 10 (b) I ~ ·g •o ·~ 15 1.2 z. 0.9 :t 0.6 OJ! Oil -2 0 2 4 0.."0~ncia de 11c,·c (e1n ¢s) Encontrando probabilidades Nos exerdcios de 13 a 16, a media da populai;ao e desvio padrao ~o dados. Encontre a probabifidade pedida e detennine se a media da amosira dada seria considerada incomum. Se for conveniente, use ferramentas tecno16gicas para enconttar a probabilidade. 13. Para uma amostra den = 36, encontre a p<obabilidade de uma mW.a da amoS1ra ser meJ\O( que 12,2se11 • 12 eq •0,95. 14. Para uma amostta den= 100, e.1contre a probabilidade de uma media da amostta ser mai0< quie 12,2 se I' m 12 eq • 0,95. 15. Para uma amostra den = 75, <!nconue a probabilidade de uma mMia da amos11a ser mai0< quoe 22 1se 11 = 220 e u = 3,9. 16. Para uma amostra den = 36, <!OCOntre a p<obabilidade de uma mW.a da amostta ser menor que 12.750 ou mai0< que 12.753 se ,, = 12.750 e " .. l,7. Usando e interpretando conceitos e ·3 12 if 1~1) ·~ .~ ~ '-l-"1-11-1-'+- :r 10 20 JO -«) 50 Tcntpo (c1n scgundos) (c) I ,~ 0005 229 .a• 2n .1l 1.6 e •O 0.010 Oi1uibulc6es de pr~bilidadf! oormai1 • ' µ-=Sil ' .. 03 ?46810 Usando o teorema do limite central Nos exerclcios de 17 a 22, use o teorema do limite central para encontrar a media e o erro padrAo da mMa da distribuii;Ao amostral indicada. Depois. desenhe um grMioo das diSlribu~Oes amosirais. 17. Alturas das arvores As ahuras de aNOtes acer.!ceas ~nor­ malmeme distribuldas, com uma mMia de 87.5 pes e um desvio padt.lo de 6,25 ~. Amosttas aleat6rias de tamanho 12 sao retiradas de uma poJJ1Jla¢0 e a media de cada amostra e deter· minada. 18. Ovos de moscas 0 n-Omero de ovos que moscas domesticas paem durante seu tempo de vida e n0<malrr~te distribufdo, com uma mMia de 800 O\/OS e um desvio pad1.lo de 100 ovos Amos1/as aleat6rias de tamanho 15 ~o coletadas dessa popula¢0 e a mMia de cada amostra e de1enninada. 19. cameras digit<lis O pre<;o ml!dro de c.\meras dlgrtars em uma loja de eletrooicos e $ 224, com um desvio padrao de S8. Amostras alea16rias de tamanho 40 lXlo recolhidas dessa populai;Ao e a mMia de cada amostta edetenninada. 20. ldade dos funcionarios Aidade media de funcionarios de uma grande corpora¢o e 47,2 anos. com um des,,;o padr.lo de 3,6 anos Amostras alea16rias de iamanho 36 sao retiradas dessa popul~o ea media de cada amos1ra e determinada. 21 . Came vermelha consumida O consumo per capita de carne vermelha nos Estados Unidos em um ano receme era n0<mal· meme dismbuido, com uma mMia de 11 o libras e ll1'I desvio padt.lo de 38,5 libras. Amostras a!eat6rias de iamanho 20 sao tiradas dessa po~o ea media de cada amostra e detenninada. (/u!Gp1od4 de US. D<ponmenJ vi •lgool/:ute) Ed ,e 1naaa 1 Z30 • lstotllli<! ·~li<ad• 22. Reftigerantes 0 ronsumo pet capita de relrigerante<J nos Es· tados Unidos em um ano recente era n0fl11almente dis1ribuido, com uma media de 51.5 galoes e um desvio padrao de 17,1 ga!Oes. Amos11as aleat6rias de tamanho 25 sao tiradas dessa po· pula<;ao e a mi!dia de cada amostra de1erminada. Wci>rodo tfe e u.s. Def)Olrm"'r ofAtJ1"1111ute.) 23. Repita o Exerdcio 17 com amostras de tamanho 24 e 36. O que acontece com a mi!dia e com o desvio padrao da distribui(iio de medias das amostras conforme o 1amanho da amostra aument.Jl 24. Repit.J o Exerdcio 18 com amostrasde tamanho 30 e 45. 0 que acontece com a media e com o de<Jvio padrao da distribui<;ao de medias das amostras conforme o tamanho da amostra aumenta? Encontrando probabilidades Nos exerdcios de 25 a 36, encontre as p<obabilidades. Se for corweniente, use ferramentas de tecnologia para encomrar as p<oba· bilidades. 25. SaJario de encanadores A media da popuk)\ao de salarios anuais de encanad0<es e$ 46.700. Uma amowa aleat6ria de 42 eranadote<J eescolhida de<Jsa popula>Jo. QuaI ea p<obabilidade de que a media salarial d.l am05tra seja menos que $ 44.000? S...,onha que 11 = 5.600. (/<doplado de SG\\llyLom.) 26. Salario de enfermeiras A media da popula<;ao de sa!Arios anu· ais de enfermeiras registradas e $ 59.100. Uma amostra aleat6ria de 35 enfermeiras registtad.ls e escolhida dessa popula(iio. Qual ea probabiidade de que a media salarial da amostra seja menos que $ 55.0001 Suponha que a = S 1.700. (Adoprt>fo de Sa/my.corn) 27. Pre'o da gasolina: New England Durante certa sernana, o prew mi!diod.l gasolina na regiao de New England era$ 2,818 por gal3o. Uma amostra aleat6ria de 32 postos de gasolina e retirada da popula(iio. Qua! e a probabilidade de que o "'"'o medio da amostra esteja entre S 2,768 e S 2,918 durante aquela semana? Supooha que a as 0,045. l/lrk!pratlo<k cne1wWctroo'ion Adn•UUOM) 28. Pre'o da gasolina: Calif6mia Durante certa semana, o "'"'o medio da gasolina na calif6mia foi S3,305 por gal.lo. Uma amos· tra alea16ria de 38 postos de gasolina e retirada da popula(Ao. Qual e a probabilidade de que o pi"'o med'IO da amosua esteja entre $ 3,310 e $ 3,320 durante aquela sernana? S...,onha que a = $ 0,049. /Mop.ado tfe [f>(ffJt llllarmonon Mm1$llOl<n) 29. Alturas das mulheres Aaltura mi!<fia das mulhere<J nos Estados Unidos (com idades entre 20 e 29 anos) e de 64,1 polegadas. Uma amostra aleat6ria de 60 mulheres dentro dessa faixa etaria e selecionada. Qual e a probabifidade de que a ahura media dessa amostra seja maior que 66 polegadas? Suponha que a• 2,71 polegadas. (forl•: NalJOllQ/ Ceru<Y l0t lleMh StaosOCs.) 30. Alturas dos homens A altura media dos homens nos Estad05 Unidos (com idades enue 20 e 29 a005) e de 69,6 polegadas. Uma amostra aleat6ria de 60 homens de<Jsa lai.xa etAria eselecionada. Qua! e a P1obabilidade que a altura media dessa amostra seja maior que 70 polegadas? Suponha que a = 3,0 polegadas. (Fcnre~ No/XJMtCen(ef fa Heol!h S.:orrstks.) 31. Qua! e mais provave I? Suponha que as alturas dadas no Exerd· cio 29 sejam normalmente distribufdas. £ mais provavel que voce seleciooe aleatoriamente I mulher com altura menor que 70 po· legadas ou e mais provavel que voce sel«iooe uma amostra de 20 mulheres com uma ahura media menor que 70 polegadas? Explique. 32. QuaI e ma is provavel? Suponha que as alturas dadas no Exerd· cio 30 sejam normalmente distri~idas. £mais provavel que voce selecione aleatoriamente t homem com altura menor que 65 polegadas OU e mais p<ovavel que voce selecione uma amostra de 15 homens com uma altula media men0< que 65 polegadas? Explique. 33. Tome uma decisao Uma maquina usada para encher latas de um galao de tinta e regulada de fonna que a quantidade de tlnt.J distribufda tern uma media de 126 o.,cas e um desvio medio de 0,20 onca. Voce seleciona aleatoriamente 40 latas e mede, com cuidado, o seu conteUdo. A media da amostra de latas e 127,9 oncas. A maquina precisa ser reiniciada? El<p!ique. 34. Tome uma decisao Uma maquina usada para encher conteinere<J de meio galao de leite e regulada de forma que a quantidade de leite distribuida tenha uma media de 64 oncas e 001 desvio padrao de o, 11onca. Voce seleciooa aleatoriamente 40 cooteinere<J e mede, com cuidado, o seu conteUdo. A media da amos1ra de conteineres e 64,05 Of1¥1S A imaquina precisa ser reiniciada? Expfique. 35. Cortador de madeira Sua empre<Ja de madeira comp<ou uma maquina que cOfla a madeila automaticamente. 0 vendedor da maquina anuncia que ela corta madeiras de um comprimento medio de 8 pes (96 polegadas) .com um desvio padrao de 0,5 polegadas. Suponha que os comjllimentos sejam AO<malmeme distribuldos. Voce selecicna aleatoriamente 40 tabuas e descobre que o comprimento medio de 96,25 polegadas. e (a) Supo.,do que o an(Jllcio do vendedor esteja correto, qua! e a probabilidade de que a media de uma amostra seja 96,25 polegadas ou mais? (b) Usando sua re'lposta d.l parte (a), o que voce ad1a do anun· cio do vendedor? (c) Seria incomum ter uma tabw individual com um compri· mento de 96,25 polegadas? Por que? 36. Peso de caixinhas de sorvete Um fabricante anuncia que o peso medio de sua caimha de sorvete e de 10 oncas com um desvio padrao de 0,5 onca. Suponha que 05 pesos sejam normalmente distribuldos. Voce testa 25 c.iixas e descobre que seu pe'lO medio ede 10.21 oncas. (a) Supondo que o anuncio do fabricante esteja correto, qual e a probabilidade de Q\Je a rne.:lia de uma amostra seja 10,21 oncas ou mais? (b) Usando sua resposta da parte (a). o que voce adia do anun· cio do vendedor? (c) Seria incomum ter uma caixinha individual com um peso de 10.21 oncas? POI que? 37. Vida util de pneus um fabricante dedara que a vida util de seus pneus e de 50.000 milhas. ~ uabalha para uma a~ de prote(iio ao coosumidor e esta tesra.'ldo os f)lleus desse falxicante. Suponha que a vida util dos pneus seja nonnalmeme distribulda. Voce seleciona 100 pneus aleatoriamente e os te<Jta. A media da vida Util deles e 49.721 milhas. Suponha que a = 800 mil has. (a) Supoodo que a declara(iio do labricante esteja correta, qual ea probabilidade da media da amostra ser 49.721 milhas ou menos? (b) Usando sua re<3p0sta da pa rte (a), o que voe~ acha da dedara<;ao do fabricante? Ed ,e 1naaa 1 <.,nulo S • (c) Seria incomum tet um pneu in<ffl.idual com a vida Util de 49. n 1 mmias? P0< que? 38. Pastilhas de freio Um labfica111e de pastilhas de freio dedara que suas pastilhas vao durar 38.000 mnhas. Voce trabalha para uma agfnrja de prote<::io ao consumidor e estA testando as pas.tilhas desse labricante. Suponha que a vida util das pastilhas de freio seja no@almente distribuida. Voce seleciona 50 pastilllas de freio aleatoriamente. Nos testes. a media de vida das pastilhas e de 37.650 milhas. Suponha que 1.000 m~llas. (a) Supondo que a dedara~o do labricante esieja c0<reta, qual ea probabilidade da mMia da amostra ser 37.650 milhas cu menos? (b) usando sua resposta da pa~e (a), o que voce acha da deda· r~o do labricante? (c) Seria incomum ter uma unica pastilha de freiocom a vida iltil de 37.650 milhas? Perque? "= Expandindo conceitos 39. Pontua~o no SAT A media da pontua,ao de matematica no SAT e 518 com um desvio padrao de 115. Uma esc.ola, em parti· cular, dedara que seus al\Jllos c011seguem pontua>Oes incomuns em mateinatica. Uma amostra aleat6ria de 50 alunos dessa es. cola lei selecionada ea pontua¢o media em mate~tica no SAT lei 530. A escola foi cO<reta em sua dedara(k>? Explique. (l'M!e C'*'Je /loold Oritne) 40. M6quina de calibragem Uma rnaquina em uma fabrica e ca· nbrada para produzir um dardo com di.lmetro medic de 4 P<>' legadas e um desvio rnMIO de 0,5 polegada. Um enge"'1eiro pega uma amostra aleat6ria de 100 dardos e descobre que o diAmetro medic deles e de 4,2 polegadas. Quais sAo as possfveis consequencias do que ele descobriu? Fator de oorre~o finita Af6rmula para o erro padrao da media dada no teorema de limite central e baseada em uma hip6tese de que a popula¢o tern infinites membros. " u, = ,[;,. Este e o case sempre que uma amostragem e feita com repo· si~o (cada membro e colocado de volta depois de seleciona· do) porque o processo de amoslragem poderia set indefinida· mente continuado. A f6rmula tambem e vAlida se o tamanho da amos11a e pequeno quando comparado ao da popula,ao. Porem, quando a amostragem e feita sem reposi¢o e o tamanho da amostra n e maier que 5% da popula¢o finita de tamanho N[~>O,o5]. Mum numero finite de amostras possfveis. Um later de corre~o finita, ~ vN-:J· deve ser usado para ajustar o erro padrao. A6suibui¢o amostral de med'oas das amostras se<ao n0tmais, com uma meaia igual a rnMia da popul~o, e o erro padrao da media sera: Di111i6slcoos de p1obabilidad11 oormai1 Z3 I o,= JnJ%~~"1os e><etcicios 41 e 42, determine se o later de c0<re¢o finita diP.VP <:et 11'So'ldo CiKO seja. lKP-O em <:1?1.1$ r~lculo~ Q1J;'lndo Pncnnuar a probabilidade. 4t. Pre~o da gasolina Em uma .amostra de 800 pestos de gasoina, o p1~0 medic da gas<Jlina comum na bomba era S 2,876 po< galao e o desvio medic era S 0,009 per galao. uma amostta aleat6ria de tamanho 55 e extrafda da popula¢o. Quale a proba· bilidade de que o pr~o medic por ga13o seja menor que S2,871? (Atiofxado de u~ o.i10•111ie<>t of Er4'fgy) 42. Old Faithful Em uma amostra de 500 erufl¢es do geiser Old faithful no Parque Nacional Yellowstone. a dura¢o media das enJ~res eta 3,32 minutes e -0 desW> padr~o era 1,9 minute. uma amostra aleat6ria de tamanho 30 ecolhida desta popul~o. Qual e a probabifidade de que a duraC<lo media da eru~ao seja entre 2,5 minutes e 4 minutes? (Adop:adoee Yefos:ono No0011al !\\v<) Distribui~ao amostral de propor¢ es amostrais A media das amostras n.Jo e apenas estaUstica com uma distri· bu~ amostral Cada amostra estalistica, come a media das amos· ttas, o desvio padrao da amostra e a propo<~o da amostra, tern uma <flSUibu~ amostral. Para um tamanho aleat6tio de amosttagem n. a propor,ao de amostra e o numeto de indivfduos com as mesmas caraae<lslicas espedficas dividido pelo romero de amostra~ A distri· bui~ao amostral de propor~oes amostrais ea d'1Stribui"10 f0tmada quando p<OPO<¢es de amostras de tamanho n sac tiradas repetida· mente de uma popula¢o cuja probabaidade de um indivfduo com uma caracter1S!ica espedfica seja p. Nos e.etdcios de 43 a 45, supooha que ttes nasdmentos sejam aleatoriameme escolhido~ HJ dois resultados igualmente possfveis para cada nascimento, um menino (b) ou uma menina (g). 0 numeto de meninos pode ser 0, 1, 2 ou 3, <llfe corresp011de as propor¢es de amostra de 0. 1/3, 2/3 e I. 43. lisle as oito amostras posslveis ao selecionar aleatoriamente tres nascimentos. PO< exemplo, seja bbb representante de uma amostta de tres meninos. fa<;a uma tabela que mostre cada amostra, o numero de meninos em cada amostra ea piopor~ de meninos em cada amostra. 44. Use a tabela do Exerckio 43 para montar a distribui¢o amostral da propor¢o do nascimento dos tres menino~ 0 que voce COil· segue perceber sobre a dispersao do histograma se comparado adistribui~o de probabilidade llinomial para o numero de meninos em cada amostta? 45. Percebaquexs I representa um merinoexaO representa uma merana. Usando esses vale<es, eocontre a media da amostra para cada um deles. O que voce consegue perceber? 46. Monte uma distribui¢o amostral da propor~o de nascimento demeninos. 47. Transplantes de coraC<lo. Cerca de 75% de !odes cs pacientes que tern cora¢es feminines transplantados v~o sobrevivel po< no minima ttes anos. Noventa pacientes com ce<a<;Oes feminines uansplantados sAo escolhidos aleatoriamente. Qual ea probabiidade de que a propor~o de amostra para sobrevivencia per no minima ttes anos seja menor que 70%? Suponha que adistribui· ~o amosual da propor~o seja uma distribui~o normal. A media de propor~o da amoS!Ja igool apropor~o da populaC<lo p e e o desv'.o medic e igual a ~· (fonre, Ameti<(J(l H<oft As5ocio.'>M.) Ed ,e 1naaa 1 Z32 • ls14t!sticoapli<ada iii Atividades Distribuiciies amostrais f\:JplbdoJll {t•N c~ "'ilh moo,co} 0 Applet de dis1Tibui¢es amostrois pe1111ite ~ voce invesligue d'~tribui;iles de amosuagem ao 1etirar amosuas de uma popula<;.!o repetidameme. O grafico superior (a di1ei1a) mosua a distribui<;.!o de uma amosuagem. Varias ol'¢es s.io diSj)Ollfveis para a 6stri00i<;.!o de popula<;.!o (uniforme. cwva em forma de sino, assimetrica, binaria e pad1Ao). Quando dicamos em SAMPLE, N amosuas aleat6rias de tamanho n serao 1epetidameme setecionadas de uma popula~. A amosua estatillica especificada na pa«e inferior dos dois pianos sera atualizada de aoordo com cada amosua. Se Ne ajustado pa1a I en e meooi ou igual a 50, se1Ao eX1bidos, de forma animada, os pontos seledonados da popula· ~o caindo no segundo g1Afico e os vafores estatfsticos <esu'Tlidos couespondentes caindo no teiceiro e quarto graficos. Clique em RESET para inte11omper uma anima~o e limpai os 1esultados el<istentes Estatfsticas resumidas para cada grafico se1ao eJO'bidas no painel aesquerda do piano. Explore SIJ, 0\-v, .\kJA Chegando a condus06 Fa,a uma siml.ia<;.!o usando n = 30 e N = 10 para uma d'tstribui· <;.!o uniforme, com curva em forma de sino e assimetrica. Quale ""' il!nilom._,_..J """ 14.f.J.JS • Std. ~.. I S;an1pk ~ ~f(od... • .. """"" •.rr:::: •• t i ;:. v M<-;in .., S;impko\knN """ M«J1$td. f>tv ~•I ,. !Wlnpk M1r•li•• N ''"'' M tdlMI s.d. !kv. Especifique uma distribui<;.!o. Especifique um valor pa1a n. Especifique um valor para N. Especifique o que deve ser exibido abaixo de cada g1afico. Passo 5 Oique em SAMPLE para gerar as d'IS!ribuitaes de amostragem. Passo 1 Passo 2 Passo 3 Passo 4 1. """ ~!«II• ii• M;i. ;;-... .. a meaia da distriOO~o amostral de medias das amostras para cada distribui~o? Para cada distrib\Ji~o. o resultado foi o que VOCt! esperava? 2. Fa,a uma simula~o usando n = SO e N = JO para uma disuibui~o em forma de sino. Qua! e o desvio padrao da distribui~o amostral de medias das amosuas? De acordo com a f6unula, quaI deveria ser o desvio padr~o da distribui~o amostral de medias das amostras> 0 reS\Jtado foi o qve voce esperava? m Aproxima,oes normais para distribui,oes binomiais 0que voce Aproximando uma distribuicao binomial - t Correcao pela continuidade - > Aproximando probabilidades binomiais deve aprender • Como decidir quando uma distfi. bui(3o normal pode se aproximar da distribui¢o binorraal. • Como encontrar a oorr~o pela continuidade. • Como usar a distribli(ao normal para af)loximar as probabilidades bioomiais. I Aproximando uma distribui,ao binomial Na ~o 4.2 voc~ aprendeu como enconlrar probabilidades binomia.is. Por excmplo, se um proet?dimento cinlrgico tcm uma chance de 85% de suCl!SSO cum m~· diro faz o procedimento em 10 pacienles, e facil enrontrar a probabilidade de exatamenle duas cirurgias com sucesso. Mase se o m&!ico fizer a cirurgia em 150 pacienles e v~ quiser encontrar a pro· babilidade de ocorrencia de 111e11os de 100 cirurgias rom sucesso? Para fazer isso usando a t~ouca descrita na ~ao 4.2 vod! teria que usar a f6rmula binomial 100 vezes e encontrar a soma das probabilidades resultantes. Esse metodo n3o epr~tico, claro. Um metodo melhor eusar uma distribui~ao normal para aproximar a distribui~ao binomial. Ed ,e 1naaa 1 (•pitulo 5 • I Aproxima,ao da distribui,ao binomial pela normal Se np ;:: 5 e nq ;:: 5, ent~o uma variavel aleat6ria x e aproximada e nonnalmente distribulda, com media I' s np e desvio padrao 11=frW. Para ver por que esse resultado e v<llido, veja as seguintes distribui~Oes bino· miais para p = 0,25 e 11 =4,11 =10, 11 =25 e 11 = 50. Perceba que, ~ medida que 11 aumenta, o histograma aproxima-se de uma curva nonnal. rw pt<) <>AS • II """" <>JS :4 <>.JO Oo.25 II= 10 np =2.S nq=7.5 0.2$ 0,20 0.IS <>20 0.IS <>.10 0.10 o.os <>.OS 0 2 3 •• ~· - - 11=25 _ _ np=6.25 - - nq = 18.75 0 I 2 3 •s6 7 8 9 10 0.1:? II =50 0.10 = 125 nq=37.5 ~" 11/1 •.ost==-ri 0.<>6 0,04 +---n 0.()2 1;+;++9.,1,1,l.l,1,l,J.,I,l,l,l,l,l,l'""H-++..• 0 2 4 6g101l 14 1618l022l4. Exemplo m Aproximando adistribui,ao binomial Dois experimentos binom.iai.s slio listados. Decida se vOCi! pode usar a distribui· s;ao normal para aproximar x, 0 numero de pessoas que responderam sim. Se voce dccidir quc n5.o 6 po::;::;fvcl, cxpliquc o porqua. (r.t111"<: Opi11W11 r...-.,.vtr<l1C...,....,.mtic>n.) 1. Para 51% dos adultos nos Estados Unidos, a promessa de final de ano mais impor· tante foi a de se exercitar mais. Voce seleciona aleatoriamente 65 adultos nos Esta· dos Unidos cuja promessa foi a de se exercitar mais e lhes pergunta sea promessa foi cumprida. 2. Quinze por cento dos adultos nos Estados Unidos 11~0 fazem promessas de final de ano. Voce seleciona 15 adultos nos Estados Uni dos aleatoriamente e pergunta a cada um se eles fizeram promessas de final de ano. Solr1fliO Neste experimento binomial, 11 = 65, p = 0,51 e q = 0,49. Portanto, 11p = (65)(0,51) = 33,15 e 11q = (65)(0,49) = 31,85. 233 -·-- Dica de estudo Propriedades de um experi· mento binomial: • 11tentativasindependentes. • Dois resultados possiveis: sucesso ou falha. • Probabilidade de sucesso e p; probabilidade de falha e '1-p=q. • p e constante para cada lentativa . O.JO • up= I 1u1= 3 llistriloi<Oe>d<tHObibilidUtlftOIJIMi> Ed ,e 1naaa 1 Como 11p e 11q sao maiores que 5, voce pode usar a distribui~ao normal com /I: e 33,15 "=.p.;;q =J65. 0,51. 0,49,,,4,00. para aproximar a distribui~ao de x. 2. Nesteexperimento binomial, 11=15, p = 0,15 e q = 0,85. Portanto, llJI = (15)(0, 15) = 2,25 e 11q =(15)(0,85) =12,75. Como 11p < 5, voce nao consegue usar a distribui\<'io nonnal para aproximar a distri bui~ao de x. Tente Considere o seguinle expcrimenlo binomial. ~ida se voce pode usar a dis· voce tribui,ao normal para aproximar x, o numero de pessoas que respondeu sim. Se voce decidir que pode usar, encontre a m~dia e o desvio padrao. Se voce decidir que nao pode, explique o porque. (fo11tt: OP'""'" R1"<•irl1 Col'/Afml1ot1) 1 Nos ullimos 5anos, 80% dos adullos nos Estados Unidos fizeram e conseguiram manter uma ou mais promessasde final de ano. Voce seleciona alentoriamente 70 adultos nos EUA que fizeram promessas de final de ano nos ultimos 5 anos e Ihes pcrgunta se eles consegltirrun manter pelo menos uma promessa. a. lde11tifiq11en, p e q. b. E11co11tre os produtos 11p e 11q. c. Dedda se voce pode usar a distribui~ao normal para aproximar x. d. E11ro11tre a m~dia 1• e o desvio padrao "' se apropriado. I Corre~ao pela continuidade A distribui,3o binomial e discreta e pode ser representada por um histograma de prob.ibilidade. Para calcular probabilidades binomiais exatas, voce pode usar a f6r· mula binomial para cada valor de x e adicionar os resultados. Ceometricamente, isso corresponde a adicionar as ~reas das barras no histograma de probabilidade. Lembre· -se que cada ba.rra tem uma largura de uma unidade ex~ o ponto medio do intervalo. Quando voce usa uma distribui\<'io normal ro111f1111a jl'ara aproximar uma probabilidade binom.ial, voce precisa mover uma un.idade 0,5 para a esquerda e direita do centro para incluir todos os valores possfveis de x no intervalo. Quando voce fizer isso, voce estarA fazendo uma corre~ao pela continuidade. Probabilidade binomial exalA Aproxin1ac;3o normal \ 1'(<-0..5 <x < c + 0.5) Exemplo m Usando uma corre,3o pe!a continuidade Use uma corre(ao pela continuidade para converter cad a um dosseguintes inter· valos binomiais em um intervalo de distribuiif.jo normal. Ed ,e 1naaa 1 (4pitulo 5 • 1:.. A probabilidade de conseguir entre 270 e 310 sucessos, inclusive. ~ulkl<Oe> de p1ob41ilidade> normais Z3 5 Dica de estudo ?. A probabilidade de conseguir no mini mo 159 sucessos. Para usar a oo~o pela con- 3. A probabilidade de conseguir menos que 63 sucessos. tinuidade, simplesmente subb·aia 0,5 do rnenor va.lor e Sol11ftio adicione 0,5 para o maior. 1. Os valores do ponto medio discreto sao 270, 271, ..., 310. 0 intervalo corresponden- te adistribui~ao normal continua e: 269,5 < x < 310,5. Z. Os valoresdo ponto medio discretos~o lSS, 159, 160, ... 0 intervalo correspondente ll distribuii;lio nonnal continua e: x>157,5. 3. Os valores do ponto mt!dio discreto s.io ..., 60, 61, 62. 0 interva.lo correspondente ll distribui~ao n.onnal continua e: x >62,5. Use uma corre<;ao pela con~nuidade para converter cada um dos seguintes intervalos binomiais em intervalos de distribui~ao normal. 1. A probabilidade de conseguir 57 e 83 sucessos, inclusive. Em uma pesquisa entre adul· Z. A probabilidade de conseguir no maximo 54 sucessos. a. Lisle os iltllon:s do pouto mi/tiio para a probabilidade binomial. b. Use a com'(tio peln co11ti1111idade para escrever o intervalo de distribui¢o nonnal. R611f~t11 11n p. A4 J I Aproximando probabilidades binomiais tos: nos EUA, as pessoas responderam sea justii;a deveria permitir que medicos ajudassem pacientes que estao morrei~do e querem acabar com suas vidas. Os resullados da pesquisa podem ser vistos no seguinte grMicode setores: lnstru~oes US<Jndo a distribui~ao normal para aproximar probabilidades binomiais Enz palavras 1. Verifique sea distribui<;ao binomial seaplica. 2. Determine se voce pode usar a distribui· ~~o normal para aproximar x, a variavel binomial. 3. Encontre a media µ e o desvio pad.rao u para a distribui~ao. 4. Aplique a correi;ao pela continuidade apro- priada. Sombreie a area correspondente sob a curva nonnal. s. 6ncontre o(s) z-escore(s) correspondente(s). 6. Encontre a probabilidade. £1n sil11bolos Especifique 11, p e q upe:,:5? saoa f'il\'Of" da nlOne ass.islida 46% Nao siio a favor da n1ortc assistida 54% 11q e;;: 5? µ=up (/ = ,foPq Adicione ou subtraia 0,5 do ultimo ponto. x-1; z=-(/ Use a 'labela Normal Padrao. S11p;ml1J1 q11e c.<..<n p(squi:'ll sejn 11111n i11dirnf1in <'<'l'dadeim rln 11ropor(Ao rln pop11/n(Ao q11r ~ n fewr rln 111ortc nssistidn pnm 1mcie11/1o;; ler111i11nis. Se i>oce pc· gar 11111n n111ostrn de 50 nrl11/tos nl1'lltorin111c11te, q11nl ~ n probnhilidndc de q11c 1•11/r,• 21 <' 25, itrc/11sitlf, sejn111 a jnwr rln morte fl$Si::tidn? Ed ,e 1naaa 1 236 • b1at~tiCdaplica.t. Exemplo m Aproximando uma probabi!ldade binomial Cinquenta e um por cento dos ~duJtos nos E:stados Unidos cujas promessas de final de ano foram de ser exercitar mais alcani;aram seus objetivos. V~ seleciona aleatoriamente 65 adultos nos EUA que fizeram tais promessas e lhes pergunta se eles cumprirnm a promessa. Qual ea probabilidade de que mel'1QS de 40 deles respondam Si Ill? (fortlt: Opu1iou R.tvarrlt Ct1r)'\•rtJIW1t.) So/uftio 21 !A !7 JO JJ J6 l9 -1? 45 N Umcro de ~~ qm: rC$pot'llkrnnt sim Pelo Exemplo l, v~ sabe que pode usar uma distribui(~O nonnal comµ = 33,15 e " ~ 4,03 para aproximar a distribui~lio binomial. Lembr.e·se de aplicar a cor~ao pela continuidade para o valor de x. Na distribui<;iio binomial, os valores possiveis do centro "menores que 40" s.lo: ...37, 38, 39. Para usar a distribui~o norma~ adicione 0,5 a<> Ii mite 39 adireita para conseguir x • 39,5. 0 gnlfico aesquerda mostra uma curva normal com 11. = 33,15 e " ~ 4,03 e uma area sombreada de 39,5 a esquerda. 0 z-escore que corresponde ax= 39,5 e: 39,5-33,15 z = '~65=.o= , s=1=.o=.4~9 ~1.58. Usando a Tabela Nonnal Padr~o. P(z < 1,58) = 0,9429. ltzterpretnpio A probabilidade de que menos de 40 pessoas respondam sim e de aproximada· mente 0,9429, ou aproximadamente 94%. - Nos ultimos 5 anos, 80', t dos adultos nos Estados Unidos fizeram e conscgui· voc6 ram manter uma ou mais promessas de final de ano. Voct? seleciona aleatoria- mente 70 adultos nos EUA que fizeram promessas de final de ano nos ultimosS anos e Ihes pergunta se elcs conseguiram manter pelo menoo uma promessa (verTente vod} 1). (Fonlt: 01n11ioJ1 ~11 Ct11pc1mf1m1.} a. Determine se voci! pode usar a distribui~ao normal para aproximar a variavel binomial (ver parte (c) do Tente voci! 1). b. E11ro11lre a media 1<e o desvio padrao" para a distribui..;ao (ver parte (d) do Tente VU<.t< 1). c. Apliq11e a corre<;ao pela continuidade apropriada e desenhe um graftco. d. Encontre o z-esrore correspondente. e. l/,;e a Tabela Nonnal Padrao para encontrar a area aesquerda de z e calcule a pro· babilidade. Rc-,1~11111" I'· 1\41 Exemplo m Aproxlmando uma probabl!ldade binomial Trinta e oito por cento das pessoas nos EUA admitem bisbilhotar nos annarios de banheiro de outras pessoas. Voe~ seleciona aleatoriamente 200 pessoas nos EUA e Edifii,IJBaa ('!>fl•I• S • lhes pergunta se cles bisbilhotam no arm~rio do banheiro de outras pessoas. Qual ~a probabilidade de que pelo menos 70 digam sim? ((,,,,,, 11;.1 TOP. ll.1 SolufiiO Como 11p - 200 · 0.38 - 76 e 111·200 · 0,62 • 124, a variavcl binomiol .< e aproxi- madamente distribufda normalmcnte com: 11 = 11p = 76 e Oi1t1i~ul<On 4t pro..bllidaoln 001mah 237 -·-- Dica de estudo Em uma distribui~ discn.'ta. M uma diferen~ entre P(,x 2: c) e P(A > c:). ls.so ~ "erJaJci10 por· que a probabilidaoo de que x seja exatamente c nilO 11 - JW0 ·0,38·0,62""6,86. Usando a ~.\o pela continuidade, vod pode n!esCl'l!Ver a probabilidade discreta P(r 2: 70) como uma prob.1bilidade continua P(.r 2:69,5). 0 grafico mostra urna curva normal com 11•76e11 • 6,86, e uma .S.rea sombreada h direita de 69,5. 0 z-escore que com?SpOOde a 69,5 ~: ~ zero. Em uma distribui~ continua enttetanto. nilO M difcrefl\.l entre P(x 2: c) e P(x > c) po<que a probabilidade de que x seja e-aiamente c ~ zero. z _ <69,s-761,,, _0 95. 6,86 • Entao, a probabilidade de que no minimo 70 respondam sim e: P(x 2: 69,5) ~ P(z 2: ~.95) • l - P(z s; ~.95) ~ 1- " 0,1711 • 0.8289. No Exemplo 4, qual I! a probabilidade de que no m~ximo 85 pessoas respondam sim? a. Deter111i11e se voe~ pode usar a distribui(30 normal para aproximar a vari~vel binomial (ver Exemplo 4). b. E11co11tre a m~d ia 11 c odcsvio padr3o 11 para a distribui~ao (ver Exemplo 4). c. Aplique uma corre(30 pela continuidade para reescrever P(x s; 85) e desenhe um grMico. d. E11co11lre o z-escore correspondente. e. Use aTabcla Normal i>adr3o para cncontrar a ~re;i ~ esquerda de z e calcular a prooobilidade. Rf-;/'C$1t, Imp. J-141 Exemplo I 5 Aproximando um• probabilidadt binomial Uma pesqu1sa informa que 86\.. dos usuanos de Internet usam o Internet Explocomo browser. Vod seleciona al~toriamente WO usullrios de Internet e lhes pergunta se eles usam Internet Explorer como browser. Qual ~a probabilidade de que exatamcnte 176 pessoas rcspondam sim? ff, · o..s ,,, .1 ~Windows· Solu~ao Como 11p • 200 · 0,86 - 1ne11q • WO· 0,14 • 28. a vari~vel binomial x ~ aproximada e normalmentc distribufda com i1=11p=ln 60~ 107, .....~4J(ltjJ(() 1'-"lim.-ro dC' ~S...'4»' qw ~ndrnim wm e 11 = .f.M = J200 .o,86·0.14 .. 4,91. Usando a cor~~o pela continuidade, vod pode reescrever a probabilidade discreta P(x • 176) como a probabilidadc continua P(175,S < x < 176,S). 0 grafico a seguir mostra uma curva normal com 11• 172e11• 4,91 e uma ~rea sombreada entre 175,5 e 176,5. Ed ,e 1naaa 1 1$8 16? 166 170 174 11ll 182 1$6 NUmero de pes.~u que rosponder::inl sirn Os z-escores que oorrespondem a 175,5e176,5 s.'io: z I binOMPdf(200, . 86 , 176) . 0611688936 ~200·0,86·0,14 e • .., 176,5-172 ~200·0,86·0,14 Portanto, a probabilidade de que exatamente 176 usuarios de Internet digam que usam o Intemet Explorer e: P(175,5 < x < 176,5)= P(0,71<z<0,92) = P(z <0, 92) - P(z <0,71) = 0,8212- 0,7611 =0,0601. e A arx~o no Exemi:lo 5 ape- nas um pouco mE!lOI que a poss;. bilidade e><lta enconvada usando o bincn¢f (oomanclo na lJ.84/85). 175,5-172 lllterpretnfiio A probabilidade de que exatamente 176 dos usuarios de Internet digam us.1r o Internet Explorer como browser ede aproximadmnente 0,0601, ou cerca de 6%. No Exemplo 5, qual ea probabilidade de que exatarnenle 170 respondam sim? b. c. d. e. ljl a. Deter,,tine se voa! pode usar u.ma distribui\tlO normal para aproximar a variavel binomial (ver ExemploS). E11co11tre a media 11 eo desvio padrao o para a distribuiy\o (ver Exemplo 5). Apliq11e uma oorre~ao pela continuidade para reescrever P(x = 170) e dt?senhar um grafico. £11co11tre os z-escores correspondentes. Use a Tabela Nonna) Padr3o para encontrar a area ~ esquerda de cada z-escore e calcule a probabilidade. Exercicios Construindo habilidades basicas econceitos Nos exeicicios de l a 4, o tamanho da amosua n, a p1obabilidade de sucesso pea p<obabilidade de fracasso q ~o dadas para um expe· rimen10 binomial. Decida se voe~ pOde usar a d'isui!lui¢o noonal para aproximar a va~ alea16ria x. 1. n = 24,p= 0,85,q=0, 15. 2. n• 15,pD0,70,q•0,30. 3. n• 18,p•0,90,q•0,10. 4. n = 20, p = 0,65, q = 0,35. Aproximando uma distribui~ao binomial Nos exerdcios de 5 a 8, um expeiimento binomial edado. Decida se voce pode usar a distribui\.lo normal para apro.xirnar a distribui\.lo binomial. Se voce pude<, e<>contre a mi!dia e o desvio padr~o. Se MO for po~vel, explique o porque. s. Contratos de casa Uma pesquisa entre adultos none-ameriC<J· nos descobriu que 85% leem toclas as panes, ou pelo menos o sufi<iente, para emender um corntrato de compra ou veilda de asa antes de assinarem. Voce pergwta a 10 adultos esco!hidos aleatoriamente se eles fa2em o mesmo. (roore: lm\'.owmn) 6. OOil~ de orgAos uma pesquisa entre adultos no11e-ameri· des<iolxiu que 63'lb das pes~ gos1ariam de 1er seus 6rgaos tranSjllanlados em pessoas que precisassem deles caso eles morressem em um acidente. Vod seleciona aleatoriamente 20 aduhos e pergunia se eles tambbn t~ esse desejo. '< 18. c.!llOS 'A 7. """ C~ncer de prostala Em um ano recente. a Aml!frcon Con· cer Socieiy dec:laroo que o lncfoce de sobre.i~a por tin· co anos de todos os homens diagnosticados com cAnce< de pr6Slaia foi de~ ~ seleciona aleatoriamente 10 homens que foram ~dos com cAncer de prOslaia e calcula seu fndice de sobl~ncia por onco anos. 1 1 8. 0 ,16 0.1 2 Semanas de trabalho Uma pesquisa enue uabalhadotts nos ESlados Unidos desoobriu que 8,Sllb deles uabdiam menos que 40 horas por semaN. lit>c:~ seleoon. ale.l!Qriamente 30 uabalha· dares nos EUA e lhes perguiia se eles trabalham menos que 40 floras por semana. Nos exerdcios de 9 a 12, relacione a probabdidade bin<lmial com ao sent~ coneta. Probabilid.lde Sooteni;a (a) P(M menos que 65 sucessos) 9. P(x ~ 65) 10. P(x $ 65) (b) P(h.! no maximo 65 sucessos) 11. P(x<65) (c) P (h.! mais que 65 sucessos) 12. P(x>65) (d) P(ha no mlnimo 65 sucessos) fllos exerckios de 13 a 16, use a coir~o de continuidade e rela· cione a senteni;a de probabirldade binomial Asentel\I<) de distribu~o normal correspondente. Prob;!bilidade binon'ial Probab~odade normal 13. P(x> 109) (a) P(x> 109,5) 14. P(.x ~ 109) (b) P(x< 108,5) 15. P(x $ 109) (c) P(t s 109,5) 16. P(.x < 109) (d) P(x ~ 108,5) Usando e inttreretando conceitos Analise grafica fllos -dcios 17 e 18, esaeva a probabidade bcnomlal ea probabiclade normal pata a~ sombleada do grMice. Enc:onlle o valor de cada probabidade e ~e os resi.ftados. 17. O.c>S OD> 0 ? .f 6 10 $ I? Aproximando probabilidades binomiais l'.'Os exerdciosde 19a 24, decicla sevod pode usar a~ normal para aprO>imat as probablidades binomiaos. Se for pos5IYel, use a 6stribu9:> noanal para ~ as probaboldades lll<iadas e monte os graficos. Se nao for posslvel eicpique o por~ e use a <isln~ binomial p.ira encontrar as probabidades n:ticadas. 19. Tipo sanguineo o· Sete por ce1110 das pessoas nos Ell'l t~m tipo sanglilleo o-. ~ seleciona 30 pessoas nos Estados Unidos aleatoriamente e lhes pe<gunta se o 1ipo sangulneo deles e o·. <Fer....:,,,,...,~..- " " ' ot e oo s. ,» (a) Encontre a f)'obabilidade de que e<atamente 10 pessoas digam ter tipo sangurneo o·. (b) Encontre a p<obabi1idade de que no minimo 10 pessoas di· gam ter tipo sanguineo o·. (c) Encontre a probabilidade de que menos de 10 pe5soas di· g.im tertipo sanguineo 0 . (d) Uma campanha de doa(Ao de sangue gostaria de conseguir pelo menos cinco doadores com tipo sangufneo o·.HA I 00 doadores. Qual ea probabilidade de que nAo haja doares de tipo sangulneo o· suficientes? 20. Tipo sanguineo A· Trinta e quatro por ce<llO das pessoas nos ELIA tern 1ipo sanguineo A'. Vock selecion! 32 pessoas nos Esia· dos Unidos aleatoriamente e lhes perguma se o tipo sangulneo delas eA-. '"""' """'""' .,, · , ~ · 1t l (a) Encontre a probabilidade de que e<aiameme 12 pessoas digam rer lipo sang\ineo A•. (b) Encootre a probabiidade de que no mnmo 12 pessoas di· gam ter lipo sanguiieo A·. (c) Encomre a probabidade de que menos de 12 pessoas do9"" te< tipo "'~A•. (d) Uma camparha de~ de sangue gostana de conseguir pe1o menos 60 doadores o:im npo sangui>eo A'. H.l 150 doadores. Quale a probabiidade de que nAo haja doares de 1ipo sangU.100 A • sufrcientes? 21. Transporte publico por ce<llo dos uabalhadores dos Estados Unidos usaom transporte pUblico para chegar ao uabalho. \it>ce saeoona 250 trabalhadores aleatoriamente e Iles ~ se eles iam~ fazem isso. f'' ' u.s. s, J (a) Encontre a probabiidade de que e<aiamente 16 trabalhado- cn::o ,, =: 0.ll) 16 ,, •0.4 c 0.16 , res digam sim. (b) Encontre a probabilidade de que no minimo 9 crabalhadores aigam sim. 0.12 OM · 0J)4 . ,0 2 6 ~ 8 I ,...t 10 12 " 16 (c) Encontre a probabilidade de que menos de 16 trabalhadores digam sim. Ed ,e 1naaa 1 240 • l>totl11i<"Pli<ada (d) Uma autoridade do uansito oferece t.lJ<as de desconto pata empresas que tern no minitno 30 funcionarios que usam transpo<te p(Jblico para chegar ao ttabalho. H.l 500 funcior>arios em uma empresa. Q\Jal a probabilidade de que a empresa nio consiga o desconto7 e 22. Gradua¢es na fa<uldade Trinta e dois per cento dos ttaba· lhad0<es nos Estados Unidos s3o formados na f<K\Jldade. Vore seleciooa SO trabalhadores de forma aleat6ria e lhes pergunta se eles s.!o formados na faculdade. (fotli.: u.s. &lccu oftJJbol Sor&«.) (d) uma grande empresa esta preocupada com o excesso de trabalho dos funcioMrios q..e trabalham mais de 70 horas semanais. A empresa se!eciona, aleatoriamente, SO funcio· narios. Qual ea probabilidade de que n.lo haja nenhum fun· cionArio trabalhando mais qt.te 70 horas por semana? 25. Casa maior Uma pesquisa entre propriet.lrios de casas nos Es· tados Unidos descobri<J que 24'lb deles sentem que suas casas s.!o muito pequenas para a familia. Voce seleciona, aleatoriamen· te. 25 propriet.lrios de casas e lhes pergunt.l se eles sentem que suas casas sao muito pequenas p;ara suas famifias. (a) Encontre a probabifidade de que eicatamente 12 pessoas temam se formado na faculdade. (a) Verifique que a distn~o normal pode ser usada para aproximar a distribui¢o binomial (b) Encontre a probabilidade de que no mlnimo 14 pessoas tenham se formado na faculdade. (b) Encontre a probabilidade de que mais de oito proprietaries digam que suas casas sao muito pequenas para sua famma. (c) Encontre a p<obabilidade de que mell05 de 18 pessoas tenham se formado na faculdade. (c) E incomum que 8 entre 25 proprie~rios digam que suas casas sao mvito pequenas? Por q~? 26. Oirigindo para o trabalho Uma pesquisa entre trabafhadores nos Estados Unidos descobriu que 8o<lb usam o pr6prio velculo para chegar ao trabalho. Voce seleciona, aleatoriamenie, 40 uaba· lhadores e lhes pergunt.l se eles usam vefculo pr6prio para chegar ao local de trabalho. (d) Um comite est.I procurandopor 30 pessoas que tenham se formado na faculdade para seiem voluntarias em uma feira de profissOes. 0 comite seleciooa, aleatoriamente. 150 Ila· balhadores. Qual ea probabilidade de que nao haja pessoas formadas na faouldade suficientes para a feira? 23. Biscoito preferido Cinquema e dois per cento dos adultos di· zem que os biscoitos com peda•os de chocolate s3o seus preferidos. Voce escofhe 40 adultos de forma aleat6'ia e lhes pe<gunta se os biscoitos com peda~ de chocolate s.!o seus preferidos. (ForlC~-· Yleotel.E'f.) (a) Encontre a probabilidade de que no maximo 23 pessoas digam que os biscoitos com peda~ de chocolate s.!o seus preferidos. (b) Encontre a probabilidade de que no mfnitno 18 pessoas di· gam que os biscoitos com ~os de chocolate s.!o seus preferidos. (c) Encontre a probabilidade de que mais de 20 pessoas digam que os biscoitos com peda'os de chocolate s3o seus prefe· rides. (d) Uma comunidade que promove a venda de biscoitos para arrecadar fundos preparou 350 biscoitos com peda,os de chocolate. 0 evento atrai 650 consumidores e cada um compra seu biscoito preferido. Qua! e a probabilidade de que nao haja bir...coitos com peda~os de chocolate wfidentes para todos? 24. Semanas longas de trabalho uma pesqtjsa entre trabalha· dores nos Estados Unidos descobriu que 2,9',t, de!es trabalham mais de 70 horas por semana. Voce seleciona a""1toriamente 10 trabalhadores nos EUA e !hes pergunta se eles irabalham mais de 70 horas por semana. (a) Verifique sea distribui¢o normal pode ser usada para apro· J<imar a distribui¢o bioomial. (b) Encontre a probabilidade de que no maxima 26 trabalha· dores digam que usam seu pr6prio velculo para chegar ao trabalho. (c) Eincomum que 26 de 40 trabalhadcxes digam que usam seu pr6plio velculo para chegar ao trabalho? Expandindo conceitos Ficando saudavel Nos exerdcios de 27 e 28. use as informa,Oes a seguir. O grafico mostra o resultado de uma pesquisa entre adultos nos Estados Unidos com idade entre 33 e 51 anos que responderam se praticam algum es.pone. Setenta por cento dos adultos disseram que praticam pelo menos um espone regulannente, e e!es informaram seus esportes preferidos. Nat~o 16% (empaie) Cidismo. Gcllle,__ _ _ _ _ _-r' (a) Encontre a probabitidade de que no maximo 3 pessoas di· gam trabalhar mais de 70 horas por semana. (b) Encontre a p<obabilidade de que no mfnimo 1 pessoa diga trabalhar mais de 70 horas por semana. (c) Encontre a p<obabilida<le de que mais de 2 pessoas digam ttabalhar mais de 70 horas por semana. ii' 6% Ed ,e 1naaa 1 (•pllUloS • 27. Voce seleciona ale.itoriamente 250 pessoas nos Estad05 Unidos com idade entre 33 e 51 anos e Illes pergunta se elas praticam pelo menos um espone regu!armente. Voe! descobre que 60% dizem que nao. 0 quao apurado eo resultado? Voce acha que a amosua e boa? ElCJllique seu racioclnio. 28. Voce seleciona, aleatoriamente, 300 pessoas nos Estados Unidos com idade entre 33 e 51 anos e I~ pergunta se elas praticam de pelo menos um espone regularmente. Dos 200 que respondem que sirn, 9% dizem que par1icipam de caminhadas na natu· reia. O qwo apurado e o resultado? Voe! ad>a que a am05tra e boa? Explique seu raciocinio. Testando uma droga Usos normais As dis11i~0es normais podem ser usadas para descrever mui- tas das sit~aes de vida re.ii e sao amplamente usadas nos campos das ci~s. neg6cios e psi<ologia. Essas sAo as distribui¢es de probabiridade mais impo<tantes da estatistica e podem ser usadas para apro~mar outras distribtJi~s, como as distribui~aes discretas binomiais. As aplica~ mais incrlveis das distribui~aes nonnais est!o no teorema do limite central. Esse teorema afirma que ni!o importa que tipo de distribui~o uma pop<Jla~ possa ter; cootanto que o tamanho da am05tra seja pelo menos 30, a distribui~o das mt!d'ras amostrais sera aproximadamente normal. Se a popul~o em si for n0<mal, en!Ao a distribtJi~o de mMias amostrais sera normat nao imponando quao pequena seja a amostta. Adistribui~o normal e essencial para a teoria de amostragem. a qua! forma a base da inferencia estatistica, que voe! c~ra estudar no pr~mo capitulo. Abusos Eventos incomuns Suponha que uma popula~o seja nonnalmente distribufda com media de 100 e desvio padrao de 15. Nao seria incomum para um valor individual retirado dessa popula¢o ser t 15 OU mais. De fato, isso ocorrera quase t6% dasvezes. Serio, entretanto, bem incomum retirar am05tras aleat6rias de val0<es 100 a partir da popula~o e obter uma am05tra com uma media 115 ou mais. Devido ao fato de a popula~o ser normalmente distribuida, a mt\cfra da distribui~o da amostra se<.! I 00 e o desvio padrao 1,5. Uma media de 115 fica a IO desvios padrao acima da mecia. Esse seria um evento extremamente illcomuni. Quando um eventot.lo incomum as~m ocorre, e uma boaideia questionar ovalor originalda media afirmado. Embo<a as cfistribui>aes nonnaissejam comuns em muitas popula¢es. as pessoas tentam fazer estatisticas ndo normais se ericaixarem na distribui~o noimal. Essas estatisticas usadas para d'istribui¢es normais sAo frequentemente n3o ap<opriadas quando a distribtJi~o eobvia.mente nao nocmal {xercicios Eincomum? Uma pop<Jl~o e normalmente distribtJfda com uma mt\cfia de 100 e deS1M> padrao de 15. Detennine se o evemo a seguir eincomum. Exp!ique seu raciodnio. (a) A mMia da amosua de 3 e 115 ou mais. (b) A media da amoSlla de 20 e 105 ou mais. 2. Encontrando o erro A idade media dos estudantes em uma escola de ensino mMJO e 16,5 com desvio padrao de 0,7. Voce usa a Tabela Nonnal Padrao para ajudar a determinar que a probabilidade de selecionar um estudante aleatoriamente e encontrar a idade de!e{a) como sendo mais de 17,5 e de apro~madameme 8%. Quale o eno neste problema? I. 3. ~ um exemplo de uma distribui~o que pode ser nao normal. Z4I Nos exerdcios 29 e30, use as inl0<ma~0es a seguir. Um fabrican· te declara que uma droga arra uma doenl'l rara na pele em 75% das vezes. A dedara~o eVErificada ao •estar a droga em 100 pacientes. Se no ml'.l limo 70 pacientes forem curados. a declata9fjo sera ace®. 29. Encontre a p<0babilidade de que a dedara~o seja recusada SU· pondo que ela seja \<erdadeira. 30. Enconue a probabilidade de que a dedar~o seja aceita supon· do que a verdadeira probabilidade de que a droga cure a doenl'l na pele seja de 65%. Usos e abusos - estatistica no mundo real Distribui~oes Okui~•i<O"d' Pf•b•bilidod11 oornNil Ed ,e 1naaa 1 z42 • C!1<tf1ti<..pll<od• Resumo do capitulo 0 que voce aprendeu? Exemplo(s) berddos de revisao s~,Cio 5.1 • • Como interpretar graficos de distribuii;iio de probabilidade normal. Como encontrar e interprelar z·escores: 1e2 le2 3 3e4 4a6 5a16 la3 17 a 24 le2 25 a JO 3 31e32 4e5 33 a 36 1 37 e38 2e3 39 e40 4a6 41e46 x - 11 z= - - . q • Como encontrar a.reas sob a curva norn1al padrao. S<e,ao 5.Z • Como enconlrar probabilidades para variaveis normnlmenle dislribuidas. s~,ao 5.3 • • Como encontrar um z-escore dada a Area sob a curva normal. Con10 transfonnar um z. escore em un1 valor x: :c = v.+ z<f. um valor de dado especffico da • Como enconlrar normal dada a probabilidade. distribui~iio s~,ao • • 5.4 Como enconlrar distribui~Oes de amostragem e verificar suas propriedades. Como interpretar o teorema do Ii mile central q ,,, = '" (/.i = --.r,;· aplicar o leorema do limile central para encontrar a • Como probabilidade de uma m<!dia amostral. s~,Cio • 5.5 Como decidir quando a dislribui~iio normal pode aproxin1ar a distribuii;ao bino1nial 11 = n·p. • • 47 e 48 a = J11pq. Como encontrar a correv'o pela conti11uidade. Como usar a disltibui~ao normal para aproximar as probabilidades binomiais. 2 3a5 49 e 52 53 e 54 Ed ,e 1naaa 1 Exercicios de revisao Secao 5.1 Nos exercici05 I e 2, use o grafioo para escimar µ e a. 1. s 10 1$ 20 2S 2. P(z < 1,28). P<.z>-0,74). P(-2,15<z<l,55). P(0,42<z<3,15). l'(z < -2,50 OU Z > 2,50). P(z<Oouz> 1,68). N-OS exerdcios 23 e 24, encontre as probabifidades indicadas. 23. Um estudo descobriu que a ~ia da ~ncia de migra"1o da tanaruga verde era de 2.200 quilOOieuos e desvio padrao de 625 quil6me1ros. Assumindo que as dist.lncias sac normalmenie dis· tribufdas, encontre a probabilidade de que uma tanaruga verde selecionada aleatoriamente migre: (a) a dist\ncia de menos que 1.900 quil6me11os. (b) a distancia encre 2.000 e 2.500 quilllmetros. (c) uma distancia maior que 2.450 quilOme1ros. 17. 18. 19. 20. 21. 22. (/<klp!odo de {)('lffl[) KinldeJsley Y·>r"'1 fn~.) -20 - 15 -10 -s 0 5 10 ." 15 Nos exercicios 3 e 4, use as inf0<ma,0es a seguir e os escores padt~ para investigar obseiva¢es sobre a popola~ noonal. Um lote de 2.500 resiswes enoonalmente distribufdo, com resist~cia media de 1,5 ohms e desvio pad1ao de 0,08 ohms. Quatro resistores sao selecionados aleatoriame<11e e testados. As resistencias sao med'Kfas como 1,32, 1,54, l,66e l,78ohms. 3. A quantos desvios padrao da media est.lo essas observa,Oes? 24. O menor mamffero do mundo eo morcego nariz de porco, com mMia de peso de 1,5 gramas e desvio pad~ de 0,25 grama~ Assumindo que os pesos seja m normalmente distribuidos, en· centre a probabiidade de sefecionar aleatoriamente um morcego cujo peso seja: (a) emre 1,0 e 2,0 gra~ (b) entre 1,6 e 2,2 g1amas. (c) maisdoque 2,2 g•a~ /Moprodo de Ootlmg Kmldetsky V.Suol En<)(k>p;OO) Secao 5.3 7. A esquerda de z • -0,27. Nos exerdcios de 25 a 30, use a Tabela Normal Padrao e enco.,. tre o z·escore que corresponda ~area acumulada dada ou percentil. Se a area nJo estiver na tabela, use a entrada mais !)16xima da a1ea. Se f0< conveniente, use a tecnologia pa1a encontra1o1-escore. 25. 0,4721. 26. 0,1. 27. 0,8708. 28. P,. 8 . ;\ e-..querda de z - 1,72. 29. P.,. 4. Essas obse1Va¢es sao inoomuns? Nos exercicios de 5 a I 6, use a tabela normal padtao para enc0<1· 11ara area indicada sob a aicva nonnal padrao. Se for co.,veniente, use a1cecnologia para encontrar a area. 5. Aesquerda de z = 0,33. 6. Aesquerda de z = 2.55. 9. 10. 11. 12. A cfireita de z = 1,68. Adireitadez=0,12. Entrez •-1,64eam&ia. Entrez=-1,55ezsl,04. 13. Encrez=0,05 ez= 1,71. 14. Encrez 5-l,96ez • l,96. 15. Aesquerdadez • -1,5eadireitadez• 1,5. 16. A esquerda de z = 0,64 ea direita de z = 2, 16. 30. P,.. Nos exetdcios de 31 a 36. use a informatao a seguir. Em uma supenicie seca, a dis1'lncia de frenagem (em metros) de um Ford Expedilion pode ser aproximada pekl distribui'3o normal. como mos· trada no gr~fioo. (l'otiJCc Na<<Jflal HH;hwtt; ~atr~ ScklyAtltr"""1fC'JMJ Distanda de frenagem de um Ford Expedition µ= 52 in u=2.5 n1 Secao 5.Z Nos exerdcios de 17 a 22, enoontre as P<obabilidades incficadas. Se for conveniente, use a teaiologia. .JS -&7 49 .SI 53 SS 31 59 Ois•lnci11 de rreoagc::m (cm 1nc1ros) Ed ,e 1naaa 1 z41, • uto1l11ic..pllcdda 31. Encontre a d~ancia de frenagem de um Fo<d Expeditioo que cooesponda az = -2,4. 32. Encootre a d~ancia de frenagem de um Fe<d Expeditioo que cocrespondaaz• 1,2. 33. Qwl distancia de frcrogcm de um F<>rd Expcd"ltion rcpre"'~tll o 95> percentil? 34. Qual distancia de freoagem de um Ford Expedition representa o tercei10 quanil? 35. Qual a menm distancia de frenagem de um Ford Expeditioo que pode estar nas 10% maie<es distancias de frenagem? 36. Qual a maior distancia de frenagem de um Ford Expedi1ion que pode estar nas menoces 5% distancias de frenagem? Seclo 5.4 Nos exeidcios 37 e 38, use a populac;<lo dada para encoouar a media e o desvio padrao da populac;<lo e a m&lia e o desvio padrao da distnbu~o amostral Compare os valores. 37. Uma empresa tem s executivos. O numero de minutos de horas extras de trabalho poi semana 1eportados para cada um ~ de 90, 300, 120. 160 e 210. Retire os nomes de tres executivos dessa populac;<lo. ce<n reposic;<lo. 38. Ha 4 residentes dividindo uma casa. 0 numeio de vezes que cada um lava seu carro a cada mes~ 1, 2, Oe 3. Re1ire dois no· mes desta popula~o. com reposi~o. Nos exefdcios 39 e 40, use o tee<ema do fimite central paca encontrar a media e o eiro padcao da m&lia da dist~o amostral illdicada. Enlllo, faca o graf1CO da distribui(Ao amostral. 39. O consumo de frutas processadas nos Esrados Unidos em um ano recente era nocmalmente distribuldo, com m&lia de 144,3 libras e desvio padrao de 51,6 libras. Amostras aleat6rias de ta· manho 35 s.lo retiradas dessa populac;<lo. l,Adoprodo d• U.S. ikpar· !OO'leltt ol Agtt:u.'lure.) 40. Oconsumo de vegetais processados nos Estados Unidos em um ano recente era nonnalmente distribuldo, ce<n mi!<fia de 218,2 libras e des.iio padrlio de 68, l lib<as. Amostras aleat6rias de ta· manho 40 s.lo retiradas dessa poptJla,00. (!v.!Qplado de us. Depot· """"' 'of AgtiaJl:"'e) Nos exercicios de 41 a 46, encontre as p1obabilidades para as distribui¢es amostrais. 41. Refi1a-se ao Exercicio 23. Uma amostra de 12 tartarugas verdes e S<lecio...do •lc•toriomcnte. Enconttc • p!Qbol>lidodc de qvc a mMa da amostra da distancia migrada seja (a) menos que I.900 quilOmeuos, (b) entre 2.000 e 2.500 quil6melros e (c) maior do que 2.450 quilOmetros. Compare sua resposta com a do Exetdcio 23. 42. Refira-se ao Exetckio 24. Uma amostra de 7 moccegos nariz de porco ~ selecionada aleatoriamente. Encontre a p1obabilidade de que a media amosual seja (a) entre 1,0 e 2,0 gramas, (b) entre 1,6 e 2,2 gramas e (c) mais do que 2,2 gramas. Ce<npare sua resposta com a do Exerdcio 24. 43. A media do salario anual para choleres e de S 29.200. Uma amostra aleat6ria de tamanho 45 eselecionada dessa popu~. Qual a probabilidade de que a m&lia dos saMri05 anuais seja (a) menos do que S 29.000 e (b) mais do que 31.0001 Assuma q = S 1.500 (li:~<c: S<lo\>y.com.) 44. 0 valor medio de terras e constru¢es por acre para fazendas e de $ 1.300. Uma amostra aleatoria de tamanho 36 e retirada. Qua! a probabilidade de que a val0< medio de rerras e constnJ.. ~6es por acre seja (a) menos que $ 1.400 e (b) mais do que S 1.150? Assuma q = $250. 45. A media de pr~s de casas em uma cidade e de$ 1,5 milhao com desvio padrao de S 500.000. Os pr~os das casas sao n0<malmente distribuldos. Vore seleciona aleatoriame.ite 15 casas na cidade. Qual a p1oWbilidade cle que a mMia de pr~ seja menor que S I, 125 milhao? 46. Oaluguel medio em uma cidade e des 500 por m~ com desvio padrao de S30. Os alugueis s.lo nocmalmente distribuidos. Vore seleciona ateatoriamente 15 apamamentos nessa cidade. Qual a probabilidade de que o pr~o medio seja mais que s 525? Se<ao 5.5 N05 exetdcios 47 e 48, um experime.110 binomial edado. Decida se voce pode usar a distribui(Ao norm.al para aproximar a distribui~o binomial. Se puder. encontre a meda e o desvio padrao. Se nao, explique o porqoe. 47. Em um ano recente. a American Cancer Society disse que o indice de sobreviv~cia de 5 anos para novos casos cle cancet de rim no estagio I e de 95%. Voce seleciooa aleatoriamente 12 homens que eram nOllOS casos de cancer de rim e~gio I este ano e calcula seus Indices de sobteviWncia de cinco anos. (FooU>· Ameficon Cor.c1Jt SooCry.) 48. Uma pesquisa indica que 59% dos homens compraram pe<fume no ano passado. Vore seleciona aleatO<iamente 15 homens e pergunta a eles se comp1aram perfume no ano passado. (Foor•· USA IOI.MY.) Nos exetdcios de 49 a 52, esaeva a probabilidade binomial como uma probabifidade nocmel usando a ee<r~ pela continuidade. 49. SO. SI. 52. Probabilidade binomial P(x ~ 25). P(x ~ 36). P(x=45). P(x =SO). Probabilidade ne<mal P(x >7). P(x < ?). P(?<x<?). P(1 < x < ?). Nos exetddos 53 e 54, decida se ..ice pode usar a distribui,00 normal para aproximar a dis!ribu~o binomial Se puder, ap<oxime as probabilidades indicadas e faca seus grMir:os. Se nao podet, e>jlique o poiqu<l e use a <frstriW>ao binomial para encoouar as p1obabilidades indkadas. S3. Selenta por cento das criafl9'5 com idades de 12 a 17 anos man· t~ pelo meoos pane de suas ecooomias em poupancas. Vore seleciona aleatoriamente 45 criancas e pergunta se elas fazem isso. Eocontre a p1obabilidade de que no oomo 20 criancas digam sim. (Fcmc.· .tirl'lr.o"""'I COl1lm<A11COIOIS lleseotdl la Meml Lynch.) 54. Trinta e tres por cento dos adultos dassificaram as escolas publicas como excelentes ou boas para preparar estudantes para faculdade. Voce seleciona aleatoriamente 12 adultos e pe<gunta a eles se tam~m acham isso EnconYe a probobilidade de que mais de cinco adultos <figam (IC.'"" MINISl ""'"""'/Of Pvbk s«n. °""'""'·> Ed ,e 1naaa 1 (apftulo S • Di1trlb>l1oes dt pJObabilldodese01"'11 Z45 Teste do capitulo F~ este tes1e como se voce estivesse fazendo uma provaem sala. Depoi~ compare suasrespostascomas respostasdadas no final do livro. 1. Encontre ca<f.J probab11idade normal padr.lo. (a} P(z >- 2.10). (b} P(z <3.22). (c} P(-2,33<z<2.:B). (d) P(z < - 1,75 OU Z >- 0.75). 2. Encontre cada probabiidade normal para os parametros dados. (a) 11 = 5,5, o s0,08, P(5,36<x< 5,64}. (b) 11=-8.2,11= 7,84, P(-5,00<x< O}. (c) 11= 18,5,o=9,25,P(x<Ooux>37). Nos exerdc:ios de 3 a Io. use a informa~ a seguir. Em um ano recente, alunos da 8' ~ie de uma escola publica de Minnesota que estavam lazendo um tes1e de matematica tiveram nota media de 290 c:om desvio padrao de 37. As notas possfveis podem variar de Oa 500. Assuma que as notas sAo noonalmeo1e distribuidas. (Foor.: Na!/OflGICMter for !dtKOIJCf.:11 Srat~) 3. Encontre a probabifidade de que um estudante tenha no1a maio< que 320. 4. Encontre a p<obabilidade de q1Je um es1udan1e tenha ooa entre 250 e 300. 5. Qual porcentagem de estudantes tern uma nota maior que 250? 6. Se 2.000 estudantes sAo selecionados alea1oriamente, quantos voce esperaria ter nota menor que 280? 7. QIJal a menor nota que ainda oolocaria um es1udante nas 5% de noias mais altas? 8. Q\Jal a nota mais al ta que ainda colocaria um estudante nos 25% de no1as mais baixas? e retirada de uma poputa,.lo. Qual a probabilidade de que a nota ~ do 1es1e seja maior do que 300? tO. I.lice 1em maior possibiidade de selecionar aleatoriamente um esru· dante com nota maior que 300 oudesele00nar uma amosua de 15 esiudantes com media de noti de 1este mai:i< do que 300? &plique 9. Uma amostra aleat6ria de 60 estudantes Nos exerdcios 11 e 12, use a informa~ a seguir. Em uma pesquisa com adultos, 75% apoiam o LOSO de pesquisa de DNA por cien· listas para encontrar novas maneiras para pre\'enir ou tratar doe~ \lxe seleciona aleatoriamente 24 adultos e perg1Jnta a eles se concor· dam. (Foore: Heins /nrerocr.-.e) 11. Oecida se voce pode usar a <istriblii¢o normal para aproximar a distriboi~o binomial. Se puder. enconlre a media e o desvio padr.lo. Se Mo, explique o porque. 12. Encontre a p<obabilidade de que no maximo 15 pessoas digam que apoiam a pesquisa com DNA para encon1rar f\C\'as maooitas p<Jra prevenir ou iratar ~s. Juntando tudo Estatistica real - decisoes reais I.Ile~ trabaDla para uma emp<esa de doces c:omo analista de processos esialiSlicos. Seu ira· balho eanalisar processos e ter cetteza de que esses estao sob controle estallstico. Em um dos processos, uma maquina deve despejar 11.4 ooc;as de balas de menta em um saco. (Assuma que o processo possa ser aprOJ<irnado pela distnllu~o normal) Aamplitude aceitavel de pesos para as balas de menta entre 11,25 e 11,55 ooc;as. indusi\Je. Em razao de um erro na valvula de libera~o. a configura¢o da rn6quina de fibera~ ' muda· de 11.4 onc;as. Para checar sea maquina esta colocando os pesos CO<retos nos sacos, voce seleciooa alea1oriamente tres amostras de cinco sacos de balas e encontra o peso m<!dio (ecn onr;as) de cada uma. Um colega de traba1ho pergu111ou porque vore retirou tres amosuas de tamanho 5 individualmente em vez de escolher alea10!iamen1e e medir 15 sacos de balas ind'Mdualmente para checar a configura~o da maquina. (Noto: ambas as amostras sAo selecio· nadas sem repo~~~o.} e Exercicios 1. Amostrogens individuois Voce seleciona um sacode balas de menta e mede seu peso. Assuma que a maquina mude e esteja enchendo sacos com um peso mediode 11,56 011c;as e um desvio padrao de 0,05 onc;a. (a) Qual a probabilidade de que voc~ selecione um sac:o de balas que ndo es1eja f0ta da amplitude aceitavel? Em outras palavta~ voe~ MO deteaa que a maquina 1eMa mudado? (Veja a figura.} (b) voce seleciona aleatoriamen1e 15 sacos de balas de menta. Qual a probabiftdade de que voe~ seleciooe pelo menos um saco que n<lo es1eja fora da ampilude aceitJ\'el? Distfibu i('itl 00.J:in:il tk "'"' indi\·idlNi ~ ~-4-~-4-i'>"""-+'>,--x liJ 11.4 II.$ . 114 1~fc.'rri~) Ed ,e1naaa 1 Z46 • lstath1i1..plicoda 2. Dtt;tribui,no d:1n~i:td.i nmostr:i n=S Amosttagens de grupos de 5 Voce seleciona cinco sac.osdebalasde menta e encontra seu peso medio. Assuma quea ma· quina IOOde e esteja enchendo sac.os com peso medio de 11,56 Oll>OS e desvio padrao de 0.05. (a) Qual a pfobabifidade de que \'OC~ seleciooe uma amostr.a de cinco 3il<:OS de balas de mema que 1enham uma media que nao esteja fora da amplitude aceMvel? (Veja a figura.) (b) Voce seleciona aleatoriamente tres amostras de cinco sacos de balas. Qual a probabj. lidade de que 1/000 selecione pelo menos uma amostra de cinco sacos de balas que 1enha uma media que ndo esteja fora da amplirude aceitavel? {c) O que e maisseflS!vel a mudani;a - uma medida iocflllidual ou a mc!dia? 3. Escrevendo umo expfica~ao Escreva umpatagrafo para seu colega de trabalho explic.indo ixir que 1/000 retirou 3 amos· tras de tamanho 5 e encontrou a media de cada amostra em vez de escolher aleatoriamente e medir I 5 sacos cle balas individualmente para checar as conf!gura~~ da maquina. :,,.r; •• • Tecnologia MINITAB I f.XCU Tl-83/84 Distribui~ao de idade nos Estados Uni dos Um dos trabalhos do U.S. Ce11s11s Brm:m1 emanter registros das distribui~0es de idade no pais. A distribui~ao de idade de 2005 emostrada a. seguir. Disl ribui~iio de ~ 7q, ~ 6q ~ 5~ - ~ - idade nos Esla dos Un.idos -- ~ - j 4~ t ) <'f '"' ,... . . . -- ... - 111--t.. 27 1 Zr7DVDDGD•u~nnn~~n" Cl:wes de id;;idcs (enl :i.noo) ftonteiras de dasses Pontos m~ios de dasse Frequ~ncia 0·4 59 10-14 1519 20-24 25·29 30·34 3539 40-44 45.49 50-54 55.59 6{)-64 6569 70·74 7579 80-84 8589 90-94 95·99 2 7 12 17 22 27 32 37 42 47 52 57 62 67 72 77 82 87 92 97 6.S'lb 6.6% retativa 7.0'<b 7. l'lb 7.1% 6.8'lb 6.6'«> 7.1% 1.7<ib 7.fl'lo 6.7'!0 5,9'!1> 4,4'11> 3.4'11> 2.9'!1> 2.5% 1,9'!1> I,l'lb O.S'lb O, l'lb Ed ,e 1naaa 1 (•pfiulo S • Dillribol<onde probobilW•dn ,.,,,.ii 247 Exercicios usamos a ferramenla tecnol6gica para selecionar amostras com n = 40 a partir da distnbu~o de idade dos Estados Unidos. As medias de 36 amostras esldo a seguir. "'~ II' 28,14. 31.56, 36,86. 32,37, 36,12, 39,53, 36.19, 39,02. 35,62. 36.30, 34.36. 32.96. 36,41 , 30.24, 34.19, 44,72, 36,64, 42,67, 36,90. 34,71, 34,13. 38,25, 38,04, 34,07, 39,74, 40.91, 42,63, 35,29, 35,91, 34,36, 36,51, 36,47, 32,68, 37,33, 31.27, 35,80 1. Entre com a dis1tibui<;ao de idades dos Estados Unidos na ferramenta tl!Cl1ol6gica. Use a ferra111e<1ta para encon1tar a idade mMia nos Estados Unidos. 2. Entre com o conjunto de medias amostrais na ferramenta tecnol6gica. Encontre a media do conjunto de medias amosuais. Como ela se compara com a idade m~ia nos Estados Revisao acumulada Nos exerclcios 2 e 3, use a distribui<;ao de probabclidade para encontrar. (a) media; (b) vari~ncia; (c) desvio padr~o; (d) valor esperado da d"istribui¢o de probabilidade; (e) interpre1e os resultados. 2. A tabela mostra acisuibuii;ao dos tama~das residblcias de famllias nos Estados Unidos em um ano recente.(fotv.o:us Qr>•usB<t'<IJ.) 2 3 4 s 6 7 0.421 0,233 0.202 0,093 0.033 0.017 3. A tabela mostra a distribui<;ao de fa!tas por jogo para um jogador em um ano recente numa temporada da NBA. (Fonre: NBAcom.) x Pl/<) 4. 5. Use a ferramenta tecrol6gica p;ara encontrar o desvio padr~ das idades das pessoas nos Estados Unidos 6. use a ferrarne11a tecool6gica para encontrar o desvio padr3o do conjun10 de 36 medias amostrais. Como ela se compara com o desvio padr•o das idades? Ela concorda com o resul1ado previsto pelo teorema do limite central? 5. 1. Uma pesquisa com empregados nos Estados Unidos descobriu que 56% n.\o usam todo o periodo de ferias. Voce sekciona aleatoriamen1e 30 empregados e pergunta a eles se usam todo o perfodo de ferias. (Fon!•: Rosn11JSSen Repo1~) (a) Verifique que a distribui~ao normal pode ser usada para aproximar a distribtrii;ao binomial. (b) Encontre a probabilidade de que pelo meoos 14 empregados digam que nao usam 1odo o perfodo de ferias. (c) £incomum que 14 de 30empregados digam que nao usam 1odo o perlodo de ft!rias? Por que? P(x} 4. Fa~a o histograma de frequencia rela1iva para as 36 mMas amostrais. Use 9 classes. O his1og1ama tern apro~madamente forma de sioo e e simetrico? lsso concorda com o resultado previs10 pelo teorema do limite central? capitulos 3 a 5 Capitu!os 3-5 x Unidos? Concorda com o resultado previsto pelo teorema do limite central? 3. As idades das pessoos nos Estados Unidos ~o normalmente distribuidas? Explique. 0 I 2 3 4 s 6 0,012 0.049 0,159 0.256 0,244 0,195 o.oa5 Use a distribui<;ao de probabilidade do Exerclcio 3 para encontrar a probabilidade de selecionar alea1oriamente um jogo no qua! o jogador teve (a) menos que quatro fahas, (b) pelo menos tres fahas e (c) entre 2 e 4 faltas, inclusive. De um grupo com 16 candida1os, 9 homer'IS e 7 mulheres. os escri16rios de presidente, vice-presideme, secreiario e tescureiro ser3o preenchidos. (a) De quantas maneiras diferentes os escrit61ios podem set preenchidos? (b} Qua! a probabifidade de que todos os quatro escrit6rios sejam preenchidos po< mulheres? Nos exerdcios de 6 a 11, use aTabela N0<mal Padroo para encon· trar a ~rea sob a curva normal padl3o. 6. 7. 6. 9. Aesqueida de z = 1,54. Aesqueida de z = -3,08. Adireita de z m -0,84. Entrez=OezQ3,09. 10. Entre z = -1.22 e z = -0,26. 11. Aesqueida de z = 0,12 ou Adireita de z = 1,72. 12. Seten1a e oito por cen10 dos graduados de faculdades dizem que passaram 2 anos ou menos em Seti primeilo emprego de tempo integral ap6s a gradua¢o. Voce seleciona aleatofiamente 10 graduados e pergunta quanto tempo cada um ficou em seu primeiro emprego de tempo i111egral ap6s a graduai;.lo. Encontre a probab~idade de que o numero dos que dizem que passaram menos de 2 a1\0S seja: (a} exatamente 6. (b) pelo menos 6. (c) menos de 6. (F1We: ~1..,:<e.<M•) 13. Um vendedot de ~s de autom6veis descobre que I de cada 200 ~s vendidas tem defeito. Use a distribuii;ao geomeuica para encon1tar a probabilidade de que (a) a primeira ~ defeituosa seja a decima vendida, (b) a primeita ~ defeituosa seja a primeira, segunda ou terceira vencida e (c) nenhuma das dez primeiras p~s vendidas seja defeiruosas. 14. Atabela mos1raosresultadosde uma pesquisa naqual3.186. t00 professores da rede publica e 438.800 prolessores da rede privada foram questionados sobre sua experi~cia no ensino em tempo integral. (/idoprodot!• vs. Na/JonOIC"1W lot EdvcaiiCJilS sr.mocs) t1ifi'.'1ddd Rede pllblica Rede p<ivada Taul 388.500 106.600 495.100 1,04&000 144900 1.192.900 10 a 20 6"0S OJJ.3SO 90.300 931.000 20 anos ou m.ais 918.100 89.000 1.007.100 3.188.100 438.800 3.626.900 Menos do '1\1• 3 anos 3a9anos Total (a) ~a ptobabidade de que um pdessor de esco1a p<> vada ~ alea1onamente lenha erure 10 e 20 anos de ecpeu~ncia. tema (b) Dado que um pro!essor sele6oc\ido alta1aiamente enve 3 e 9 anos de ~ enanre a probabilidade de que ele ~eia na rede plibia. (c) Os e.entos ·ser pdessor de rede plibb• e 'ter 20 anos de ecperiblcia ou imis· sac> deperldentes ou indcpendentes? t>p!ique. (d) Encontre a probabilidade de que um professor selecionado aleatoriamente esteia na rede p(Jblica ou tenha menos de 3 anos de ecperi~ncia. (e) Encontre a probabrlidade de que um professor selecionado aleat0ri<lmente tenha de 3 a 9 anos de ecper~ncia ou seja da rede privada. 15. A press&<> inicial para pneus de bicicletas, quando enchidos pela primeira vez. enormalmente disttibulda, oom m~ia de 70 libras porpolegada quadrada (psi) e desvio padr.!o de 1,2 psi. (a) Amo5tras alea16.'ias de tama"'1o 40 s3o retiradas dessa popula~o e a ~.a de cad.I amosua e detenninada. Use o teo<ema do fimite central para enconttar a ~.a e o erro padrao da rneoia da distribui~ amostral Ent3o. fa~ um gr.!fico da disuilui9\o amosttal das mMas amosttais. (b) Uma amostra alea16ria de 15 p<1eu5 erenrada dessa populac;ao. Qual a pubobiliddde de que • nlMd do p...ao du> pneus da amostra, x, seja me'10S do que 69 psi? 16. o let1l>O de vida ti1il <I.I bateria de um cai:ro e nonnalmente ~ IJbido, com rned'ia de 44 meses e desvio pact.lo de 5 meses. (a) lkna bat~ eselecionada aleatoriamente Encoooe a probabilidaC-e de que a vida UCil <I.I batena seia menos de 36 meses. (b) uma balt!ria e selecionada aleaulriame111e Encoocie a probabiidade de que a vida id da bateria esleja enue 42 e 60 meses. (c) Qual a menor ecpec1ativa de vida Util que uma batena de carro pode ter e ainda esiat nos S'lb mais ahos de ecpeaa11va de vida? 11. um lloris1atem 12 ~<iferinesde fb-es dos~osa"anros florais podem serfeitos. (a) Se um arTOnjo central for fe~o usando 4 tipos d~erentes de Rores, quantos a"anjos cemrais podem ser feitos? (b) Qua! a probabilidade de que os arrarjos cenvais de 4 flores sejam de rosas. ge-beras. hon~asias e copos de leite? 18. Quarenta e lITTI po< cento dos adultos dizem que com\)fam o presente no per1odo de uma semana do e11ento. ~ seleciona aleatoriamente 20 adultos e pergunta a eles com quanta antecedencia comp<am p<esentes. use a f6.'mula binomial para encontrar a probabilidade de que o numero dos que dizem comp<ar denuo de uma semana do evento seja (a) ex.itamente 8, (b) pelo menos 6 e (c) no m~ximo 13. (fOt>lt: Ham>"'' '""•...) Edifii,IJd§ d _ 1 _ _P_art----; e 3 [statistica inferencia I (apitulo 6 lntervalos de confian(a (apitulo 7 Testes de hipotese com uma amostra (apitulo 8 Testes de hipotese com duas amostras Ed ,e 1naaa 1 Capitulo 16 l ~ ]- - - - lntervalos de confian~a Para obter a certifica~ao CAFE, o fabricante de autom6veis realiza seu pr6prio teste de dados de economia de combustive! ou o EPA (Ll11iled Slates £iwiro11111e11tnl Protectio11 Agency) obt~m um vefculo e o testa. 0 EPA testa a m~dia de economia de combustive! de aproximadamente 30')1, das linhas de veiculos existentes. Em um ano recente, o EPA testou uma amostra de 18 carros da linha de carros de passeios de um fabricante de autom6veis. 0 ind ice da mi!dia de economia de combustive! foi de 31, I mil has por gal~o. Onde estamos Nos capftulos de I a 5, vod' estudou estatfstica descritiva (como colctar e descrever dados) e probabilidade (como encontrar probabilidades e analisar distribui~ de probabilidade discretas e continuas). Os fabricantes de autom6veis usam estatlstica descritiva para analisar os dados coletados durantes testes de vekulos conduzidos em seus laborat6rios. Para onde vamos Neste capitulo, come<;aremos nossos estudosde estatlstica inferencial - a segu.nda maior ramificai;iio da cstatistica. Por exemplo, com a mi!dia da amostra da linha de carros de passeio do fabricante de autom6veis, o EPA pode estimar o indice mi!dio de economia de comb1tstivel como sendo 31,1 milhas por galao para todn a linha de carros de passeios. Como essa estimativa consiste de um unico numero representado por um ponto em uma linha de m1meros, ele ~ chamado de estimativa pontual. 0 problema de uma estimativa pontual ~ que ela raramente se iguala ao par5metro exato (m~dia, desvio padriio ou propori;iio) de uma populai;iio. Aqui aprenderemos como fazer estimativas mais significativas especificando um intervalo de valores em uma linha de numeros juntamente com a afinna\ao de quao confiante voe~ esta de que seu intervalo contem o parametro populacional. Supon.ha que o EPA queira estar 99% confillnte de sua esti1nativn para o rndice 1n&lio de eronon'lia de combustive! para toda linha de carros de passeio do fabricante. Aqu.i esta uma vis5o mais geral de como constru.ir uma estimativa de intervalo. Encc>ntre a Encontre os pontos amos:rrn ale-ar6ria 1nargcm de erro ~=31.1 E=3.0 Esg_ucrdo: 31.1 - 3.0 = 28.1 D1rc11a: 31,1+3.0 = 34,1 Encontrc a nl6:1in da finais do intcrvalo Encootrc :1csti1nativa de intcrvalo 28.1 <JI< 34.I ) I.. ( 28.1 " ~( \ 34.1 31.1 !• 29 JO 3.0 31 :t\ 3? ~ -"' 3S ~· 3.0 Entao, o EPApode estar 90%confiante de que o Ind ice medio de eoonomia de combustivel para toda linha de autom6veis de passeio do fabricante esta entre 28,1 e 34,1 milhas por galao. Ed ,e 1naaa 1 m (amostras lntervalos de grandes) (a~tulo6 • lotflYalo1dt<onf"'1ca Z51 confian~a para a media 0que voce deve aprender Estimando os parametros populacionais--+ lntervalos de confian~a para a media populacional --+ Tamanho da amostra I Estimando os parametros populacionais Neste caprtulo, vod! aprendera uma importante te01ica de infe~ncia estatistica - usar amostras estatfsticas para estimar o valor de um pariimetro populacional desconhecido. Nesta ~iio, voce aprendera como usar amostras estatisticas para fazer a estimativa do patilmetro populacional /t quando o tamanho da amostra for pelo menos 30 ou quando a popula~aoe normalmente distribufda e odesvio qe conhecido. Para fazer t<il inforencia, comece cnoontrando o ponto de uma estimativa pontual. • Como encootrar uma estimativa pontual e uma margemde erro. • Como const111ir einterpretar inter· vales de conli<1111a para a meoo populacional • Como dEtermillar o tamanho m~ nimoda amos1ra necess.lria quando na estimativa de 11.• efinicao Uma estimativa pontual eumvalor unico estimado para um parametro populacional. Aestima· tiva pontual menos tendenciosa de uma media populacional ,, ea media amostral ii. A validade de um metodo de estimativa aumcnta se uma amostra estatfstica nao for tendenciooa e liver baixa variabilidade. Uma estatistica nllo etendenciosa se nao supe~ima ou subestimn o parfunetro populacional. No Capftulo5, aprendemos que a media de todas as n1~ias amostrais possfveis de n1csmos ttin1anhos se iguala ~ nu1dia po· pulacional. Como resultado, :i' e um estimador nao tendencioso de 11. Quando o erro padr~o, u/.{,;, de uma media amostral (or reduzindo aumentando-se 11, ele se torna 111enos vari<ivcl. Exemplo m Encontrando uma estimativa pontual Pesquisadores de mercado us.1111 o mlmero de frases por anuncio como medida de legibilidade de an(mcios de revistas. Aseguir, representamos uma amostra aleat6ria do numero de frases e.nconlrado em SO aniincios. Encontre a estimaliva pontuaJ da nl~dia populacional /J. Cfw1tc•: /(lf1nr11f ~fAlfi\tft.t•il"i: R1tqt1rcJr.) 9 20 18 16 9 9 11 13 22 16 5 18 6 6 5 12 25 17 23 7 10 9 10 10 5 11 18 18 9 9 17 13 11 7 14 6 11 12 11 6 12 14 11 9 18 12 12 17 II 20 So/rtpfo A media amostral dos dados e: _ l:x 620 x=- =- Ir 50 Dados da amostra = 12,4. Entiio, a estimativa pontual para 0 oomprimento da media de todos OS anuncios de revista e 12,4 frases. Outra amostra aleat6ria do numero de frases enoontrado em 30 anuncios de revistas e listada ~ direita. Use essa amostra para encontrar outra estinlativa pontual para 11. Numero de frases 16 9 14 1l 17 12 99 18 13 12 5 9 17 6 ti 17 20 6 14 7 l1 18 12 5 It 18 6 4 13 12 Ed ,e 1naaa 1 252 • Uldlbti<a aplitada a. E11co11fre a media amostral. b. Estime o oomprimento da media de frases da populaylo. No Exemplo l, a probabilidade de que a media populacional seja exatamente 12,4 e praticamente zero. Entao, em vez de estimar I' oomo sendo exatamente 12,4 usando uma estimativa pontual, voce pode estimar que 11 esla em um i11tervnlo. lsso se chamafazer 11111a estimntiva i11tervalnr. efinkao Uma estimativa intervalar e um inteivalo, ou amplilUde de valores, usado para estimar um parametro populacional. Embora pl)SSamOS assumir que a estimativa pontual do Exemplo 1 nii() seja igual populai;.'io, provavelmente esta muito pr6xima a ela. Para formar uma estimativa intervalar, use a estimativa pontual oomo centro do intervalo e depois adicione e subtraia a margem de erro. Por exemplo, sea margem de erro for 2,1, entao uma estimativa intervalar seria dada por 12,4 ± 2,1ou10,3 < 1• < 14,5. A estimativa pontual ea estimativa intervalar estao a seguir: ~ media real da Estimativa intervalar EstinHuiva po1nual .'i= 12.4 Extrcn10 csqucr<lo 10.'.l, I 9 i'o ( I II I ll ' I 13 Extrcano direito / 14_'5 i 14 ) 15 16 .• Antes de enoontrar a margem de erro para uma estimativa intervalar, devemos primeiro determinnr quao confiante voce estara de que sua estin1ativa intervaJar con· tenha a media populacional I'· efi nicao 0 nfvel de confian~a c e a probabilidade de que o intervalo estimado contenha o parametro population al. V~ sabe, pelo teorema do limite central, que quand-0 11 ~ 30, a distribui<;ao de amostragem das medias amostrais e uma distribui<;ao normal. 0 nivel de confiano;a c e a ~rea sob a curva normal padrao entre os valores critico-s, -z, e z, Podemos ver no grafico que c ea porcentagem da Mea sob a curva normal oentre -z, e z,. A area remanescente e1 - c, enlao a area em cada cauda e ~(I - c). Por exemplo, sec = 90%, entao 5%da area esta aesquerda de-z, = 1,645 e 5%esta adireita de z, = 1,645. Ed ,e 1naaa 1 - I Sec = 90% c = 0,90 Area na regi~o central (em cin7.a) l -c = 0, 10 Area nas regiOcs c.xtn."'fl1as (en1 branco) Dica de estudo Neste curso, usaremos nor- rnaltnente nfveis de \."QnJian- Area en1 cada cauda -z, = -1,645 ~ de 90%, 95% e 99%. Os z-escores correspondentes a esses nlveis·de confian~a est~o aseguir: Nfvel de confian~a z, 1,645 90% 1,96 95% Valor cnliro scparando a cauda t'S<}ucrda Valor critiro scparJndo a c-auda direita A dileren~a entre a estimativa pontual e o valor real do parnmelro e chamada de erro de amostragem. Quando 1• e estimado, o erro de amostragem ea diferen~a de x - I'· Na maioria dos casos, e claro, I' e desconhetido e x varia de amostra para amostra. Entretanto, voce pode calcular o valor maximo para o erro se soubcr o nivel de confian~a ea distribui¢o de amostragem. lmportante efini(iio Os valores cn'ticos sao valores que separam amostras esta· lls!icas que s.io provaveis das amostras eslatlsticas que sao improv6veis ou incomuns. Dado o nivel de confiam;a c, a margem de erro (as vezes chamada tambem de erro mi\ximo da estimativa ou tolerancia de erro) Eea maior dist<lncia possivel entre o ponto de estimativa e o valor do parametro que est<\ estimando. Ee z cq i 0 =z,Tn Para usar essa tecnica, assumimos que o desvio padrao da amostra e conhecido. Esse caso e raro, mas quando n <: 30, o desvio padrao da amostra s pode ser usado no lugar de o. Exemplo m Encontrando a marqem de erro Use os dados do Exemplo 1 e um nfvel de confian~a de 95% para encontrar a margem de erro para a media do numero de frases em todos OS anuncios de revistas. Assuma que o desvio padrao da amostra seja de aproximadamente 5,0. Sol11plo 0 z-escore que corresponde ao nfvel de confian~a de 95% e1,%. lsso implica que 95% da area sob a curva normal padrao esta dentro de 1,% desvios padrao da media. (Voce pode aproximar a dislribui\iio das medias amostrais com uma curva normal por meio do teorema do Ii mite central, pois /1 = 50 <: 30.) Voce 0<~0 sabe o desvio padrao o, mas porque ;:: 30, voce pode usar s no lugar de o. 2,575 99% I Retratando o mundo Muitos investidores escolhem fundos mutuos oomo uma 1naneira de investir enl a<;Qes. A media do fndire anual de retomo para fundos mutuos em um ano recente foi estima· da reti.rando-se uma a•nostra aleat6ria de 44 fundos mutu· os. A media do indice anual de retomo para a amostra foi de t4,73%, com desvio padrao de 7,23/o. (ft>1J1i:-: A"1rl.tlt('Q(tlr.1Jt<.) I Us.:1ndo os valores z, = 1,%, u~s~S.Oe11 = 50. E= z,...,.. " "" s,o ,,.,1,96 · ~ 1, 4 3 9 1$ 21 2i 33 i1\dicc de rcton'\O (%) ../50 0,025 0.Q25 -z.c.. = -l.96 z=O z, = 1.96 Parn 11111 i11te1wlo rle co1rfia11ra de :95%, qua/ scria a margem de porn a 111Min pnp11/ncio11al ""° do fudice. tie retorrro? Ed ,e 1naaa 1 254 • C>"tlsti<aapllc.da Dica de estudo Lembre-se de que voce pode ralcular o desvio padriio s da TuterprelnfiiO Voce esM 95%, confiante de que a margem deerro para a media populacional ~de aproximada1nente 1,4 frases. arnostra usando a (6rmula: s- E(.t-x)' 11- l "2 ' ou a f6rmula de atalho: s te voc6 Ex'- (Ex)' /11 11- l Bntretanto, a maneira mais conveniente para enoontrar o desvio padrao da amostra ~ usar a funi;llo 1-Vnr Stnts em 11ma calculadora gnlfica. Use os dados fornecidos no l"ente voce 1 e urn nivel de confiaru;a de 95% para enoontrar a margem de erro para o numero m~io de frases em um anundo de revista. a. lrle11tifiq11e z., 11 es. E11co11/re £ usando z., ""' s e 11. b. c. Eslnbele{n a margem de erro. I lntervalos de confian'a para a media populacional Usando uma estimativa pontual ea margem de erro, voce pode construir uma cstimativa intervalar de um par~metro populacional tal como µ.Essa estimativa intervalar echamada de intervalo de oonfian~a. Dica de estudo --~~~~~~~~~ Quando voct! calcula um intervalo de oonfian<;a ,para uma m~dia populacional, a regra geral de arredondamento ~ arredondar para o mesmo mumero de casas decimais da m~ia da amostra. Lembre-sedequeoarredondamento efeito no ultimo passo. Um intervalo de confian<;a c para a media populadonal 1• e: x-E < 1• <x + E. A probabilidade de que o intervalo de confian~a contenha 11 e c. lnstru~oes Encontrando um interva!o de confianca para a media populaclonal (n ;::: 30 ou ere conhecido como uma popu!acao normalmente distribuida) Em palavras Em sfmbolos _ Ex 1. Encontre a estatistica amostral 11 ex. x= - 2. Especifique a, se for oonhecido. Casooon- s trario, encontre o desvio padrao amostral s e use-<> oomo uma estimativa para a. 3, E.ncontrc 0 volor critico Z< <)UC OOrt'C$- ponda ao nfvel de confian\a dado. 4. Enoontre a margem de erro E. 5. 11 E(x- x)' 11- l Use aTabela Normal Padrao ou tecnologia. E-z - q - ' ..r,, Extremo esquerdo: 1' - E Encontre os extremos esquerdo e direito e forme o intervalo de oonfian¥1. Extremo direito: x+ E lntervalo:x - E < I'< x+ E Exemplo CD ·"~ Ver os passos MINITAB na p.290. Construindo um intervalo de confiania Construa um intervalo de confian\a de 95% para a media do numero de frases em lodos os an(u1dos de revista. Ed ,e 1naaa 1 Capfi•I• i;. So/11fiio Nos exemplos I e 2, voee descobriu que x= 12,4 e £ = 1,4. 0 intervalo de confian~a l>st~ a seguir: LJ:trtt1f'<J dirnht x-E = 12,4-1,4 = 11,0 c;< 10 x+ E = J2,4 + 1,4 = 13,8. ,, < 13,8 ~ 11.0 1?4 13.8 ( II ! -· 12 ll ) I~ lmportante de 95% para a media do m1mero de frases em todos os amincios das revistas. Compare seu resullado com o inte.rvalo encontrado no Exemplo 3. a. E11co11tre xe £. b. £11co11tre os extremos esquerdo e direito do intervalo de confian"'. c. E.<tabe/Cfa o intervalo de confian"1de95%e compare com o Exemplo 3. Re-;1)f)St11 ,,,, p. A42 Exemplo [}]_ 4______________ Construindo um intervalo de confianta usando a tecnologia Use a tecnologia para construir um intervalo de confian\a de 99% para o numero todos os anuncios de revistas, usando a amostra do Exemplo 1. m~dio de frases em So/11pio Para usar a ferramenta tecnol6gica para resolver o problema, coloque os dados elem· bre·sede que o desvio padrao da amostra ~ s:::: 5,0. Entao, use o comando de intervalo de confian~a para cakular o intervalo de confian~a (I-Sample Z para o MINITAB). 0 monitor deve se parecer com o mostrado a seguir. Para construir um intervalo de con· f:ian~a usando uma Tl-83/84, siga as instruc;oes da margem. l Z Confidence Intervals The assumed sigma = 5 Variable 12,4 ± 1,4, ~1~~~~~~~~~~ fian~a C1 Outras maneiras de represen· tar um intervalo de confian~a s.io(X- t, x + t) ex :I: t. l'or exemplo, no Exemplo 3, voe~ poderia escrever o intervalo de oonfian"' como (11,0, 13,8) IS Tente Use os dados fomecidos no lente v~ 1 para construir um intervalo de con- MINITAB ZS 5 Dica de estudo OU Com 95%de confian~a, voe~ pode dizer que a media populacional do numero de frases estll entre 11,0 e 13,S. 3 lateiv•l•1 drnaRonco ·' Juterprelafiio vod • N 50 Mean 12.4 StOev SE Mean 99.0% Cixc 5.010 0.709 (10.579, 14.221 ) Ent5o, um intervalode confian~a de 99<Y,, para 11 e (10,6, 14,2). J11terpretafiio Com 99%de confian~a, voce pode dizer que a media populacional do numero de fra· ses estaentre 10,6 e 14,2. Tente Use os dados da amostra do Exemplo 1 ea (erramenta tecnol6gica para cons.oce truir intervalos de coniian~ de 75%, 85%e99% para o mimero medio de frases 4 em todos os anuncios de revistas. Como a largura dos intervalos de confian~a mud a conforme o nfvel de confian~a aumenta? A amplitude de um intervalo de confian\11 e 2E. Examine a f6nnula para £ para ver porque uma amostra maior tende a lhe fomecer um intervalo de confian"' mais estreito para o mesmo nlvel de confian\<). Dica de estudo ~1~~~~~~~~~~ Usando uma Tl-83/84, voee po.de entrar com os dados ori.ginais e1n uma lista para construir o intervalo de con· fian~ ou entrar as estatisti· cas descritivas. lsrArl Esc:olha o menu TESrS 7:Zlnterval ... Se.~ecione a o~ de entrada de dados se voce entroll com os dados originais. Selecione a entrada Stats se voe@ entrou com as estatfsticas deso-itivas. Em cada caso. coloque os valores apropriados, entao sel«ione Cnlc11/nte. Seus re· sultados podem diferir !eve· mente dependendo do metodo usado. Para o Exemplo 4, os valores originais de dados foram colocados. Zint.erva l <10.579, 14.221> x=1 2.4 Sx=S. 010 193691 n=50 Ed ,e 1naaa 1 a. E11tre os dados. b. Lise o comando apropriado para construir cada inlervalo de confiai\~a. c. Compnre as larguras dos intervalos de confiano;a para c = 0.75, 0,85 e 0,99. RNpn:>ln 1111 p. A42 No Exemplo 4 e no Tenle vo~ 4, os mesmos dados amostrais foram usados para construir intervalos de confian~a com nfveis de confiano;a di.ferentes. Note que, conforme o nivel de confiano;a aumenta, a largura do intervalo de confian(a tamtx!m aumen· t-a. Em outras palavras, quando os mesmos dados de arnostra Scio usados, q11n11to tuaior o 11fve/ de ro11fin11(n, 111nis lnrgo eo i11teroolo. Se a popula~ for normalmente distribufda e o desvio padrao populacional u for conheddo, v~ pode usar a distribui<;iio de amostragem normal para qualquer tamanho de amostra, como mostrado no Exemplo5. Exemplo 'l Veja os passos Tl-83/84 na p.290. m Conslluindo um intervalo de confiania, a conhecido 0 diretor de admissao de uma faculdade deseja estimar a idade media de todos os estudantes matriculados. Em uma amostra aleat6ria de 20 estudantes, a idade media encontrada e22,9 anos. Baseado em estudos anteriores, o desvio padrao conhecido e1,5 anose a popula~ao enormalmente distribufda. Construa um intervalo de confian\a de 90% para a media de idade da popula~o. SolufliO Usando /1 = 20, x= 22,9, u = 1,5 e :i:, = 1,645, a margem de erro no intervalo de con· fian<;a de 90% e: E= z, ';- =1,645· ~ ..o.6. "" v20 0 inlervalo deconfian\a de 90% pode ser escrito comox ± £ = 22,9 ± 0,6 ou como a seguir: x- E= 22,9-0,6 = 22,3 c 22.; < JI x+ E = 22,9 + 0,6 = 23,5 <23,5~ E.stin1i\tiva pontual x= 22.9 22.'.l, 2?.S 23J) ,235 235 lltterpretnflio Com 90')1, de confian\a, v~ pode dizer que a m~dia de todas as idades de todos os estudantes est~ entre 22,3 e 23,5 anos. Construa um intervalo de confian~a de 90')1, da mt!dia de idade da popula\ao wet para os estudantes de faculdade do Exemplo 5 se o tamanho da amostra for 5 aumentado para 30 estudantes. Compare suas respostas com o Exemplo 5. Tente a. lde11tiftq11e 11, x, "e z, e e11co11tre E.. b. E11co11tre os extremos esquerdo e direito do iiuervalo de confiano;a. c. Especijiq11e o intervalo de 001man<;.1de90% e compare sua resposta com o Exemplo 5. R('!f~ln ua 11. A-11 Ed ,e 1naaa 1 (apltulo6 • lntmalo1dtconfia~a 257 Oepois de construir um intervalo de confian\a, eimportante que v~ interprete os resultados corretamente. Considere o intervalo de confian~ de 90% construfdo no Exemplo 5. Oevidoao fatode 1• ja existir, ele esta no intervalo ou 11<~0 esta. N/fo e correto dizer "Ha uma probabilidade de 90% de que a media real esteja no intervalo (22,3, 23,5)". ;\ m~_neirn correta de interpret.-.r set• interv~lo de confinn~<" f! "Se tnn n(iniero grande de amostras for coletado e o intervalo de confian\a for criado para cada amosITa, aproximadamente 90% desses intervalos conterao 11". I Tamanho da amostra Para a mcsma amostra estatistica, conforme o nivel de confian~a aument.1, o in· lervalo de confian\a fica mais largo. Conforme o intervalo de confiany1 fica ma.is largo, a precisao da cstin1ativa decres<:e. Uma maneira de aumentar a preciSc1o de un1a estimativa sem decreS<:er o nfvel de confian~a eaumentar o tamanho da amostra. Mas, qua! tamanho de amostra necess.-\rio para garantir certo nfvel de confian\a para uma margem de erro dada? ciJ!contre o tamanho minimo de amostra para estimar µ, Dado o nlvel de confiant;a c e uma margem de erro E, o tamanho mfnimo da amostra n necessario para estimar a media populacional ,, e: Seq for desconhecido, voce pode eslima·lo usando s, dado que voce tenha uma amostra preli· minar com pelo menos 30 membros. 11 Os seg111e11tos l10rizo11lnis represe11tn111 os iutervnlos de co11fin11(11 tie 90% prim tlifi>reutes n1110Slrt1$ tie 111es1110 tm11n11lw. No fi1U1f tins amtns, 9 tie cntln W tie tnis i11lt'l1Jfllos coulerffo µ. lmportante •Usando a f6rmula para a mamem de erro E, voce pode derivar 11 como mostrado a seguir: Exemplo [61_ 6_,..__ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ Determinando umtamanho minimo de amostra Voe<! quer estimar o m1mero medio de frases em anuncios de revista. Quantos anUncios de revista devem ser incluidos na an1ostra se voce qut.~ estnr 95~, confiante de que a media amostral esteja dentro de uma frase da media populacional? Soluriio Usando c = 0,95, z, = 1,96, 11'" s '"5,0 (do Exemplo 2) e E= t, voce pode encontrar o tamanho mfnimo de amostra 11: Quando necesscirio, arredonde para obter um nU1nero inteiro. Entlio, voce deve induir pelo menos '11 anuncios de revista em sua amostr11. Iuterpretnriio Voce j~ tem 50, entao v~ precisa de mais 47. Note que '11eonumero111f11i1110 de anuncios de revista para serem inclufdos na amostra. Voce pode incluir, caso queira. Quantos anuncios de revista devem ser inclufdos na amostra se voce quiser estar 95%confiante de que a media amostral esM dentro de duas frases da mMia 6 populacional? Compare sua resposla com o Exemplo 6. a. ldeutijique z, Ee s. b. Lise z<. Ee u;:::: s para encontrar o tan1anho mlnin10 de an1ostra JJ. c. Espt'Cijique quantos anuncios de revista devem ser incluidos na amostra e compare sua resposta com o Exemplo 6. Tente vod lmportante Quando necessario, arredonde para obter um ntlmero inteiro quando determinar um tamanho minimo de amostra. Ed ,e 1naaa 1 Z58 • iiji (lt41f\1i<uplicadi Exercicios Constroindo habilidades basicas e conceltos QUdncJo otillldl1Kb UllkS 111(.-d'so poj)Ulacioildl, l~HIO:> Cl p1ol>dbili· dade de estar mais corretos se usarmos ll'na estimativa pontual ou intervalar? El<plique seu raciocinio. 2. Qua! estatfstica e um estimador menos tendencioso para 11? (a)s (b)i (c)ameefiana (d)amoda 3. Dada a mesma estatfstica amostrat que nivel de confianCil produ· iiria o intervalo de confianCil mais largo? El<plique (a) 90'l'o (b) 95% (c) 98% (d) 99% 4. Quale o efeito na largura do intemlo de confianr;a quando au· mentamos o tamanho da amostra? Explique. (a) a largura aumenta (b) a largura diminui (c) nao h~ efeito I. Nos exercfdosde 5 a 8. encontre o valor criticoz" necess.lrio para formar um intervalo de coofia~ no nivel de confia~ dado. 5. C= 0,80. 6. c=0,85. 7. c = 0,75. 8. c = 0,97. Analise grafica Nos exercidos de 9 a 14, use os val0<es no ntime<o de linha para encontrar o erro de amostragem. 9. J =3,8 /I =4,27 -+-+--o--+--1-......- , _ , , J ..a lk .l,3 4J) 4.2 ..i..t 4.6 10. /I = 8,76 -+-0!--+--+--1-.+-!-,_,, 8.6 s..s 9.0 9.2 9.4 9.6 9.S 11. X-= 26.43 J' :. 24,67 --+-f<~ .T ?5 24 26 27 12. :i' =46,56 11=48.12 ,, 13. x=0.1 JI= 1,3 OD 14. O.> ID u .t '° :i'=86.4 /I= 80.9 I I I I t• I I -i-• w $~ 84 "6 .t 113 Nos exerdcios de 15 a 18. encontre a margem de e<ro para o valor de c, n es dados: 15. C= 0,90 n = 36 s = 2.S 16. c = 0,95 S = 3,0 17. C: 0,80 S = 1,3 n = 75 18. c = 0,975 S= 4,6 n = 100 Relacione sua Nos exerdcios de 19 a 22, telacione o nivel de coofianr;a c com na linha de numeros, dado ii = 57,2, s a 7, I e representa~o n = SO. 19. c = 0,88. 20. c = 0.90. 21. c = 0,95. 22. ' = 0,98. (a) 54.9 54 I S5 Sii (b) 552 ~ (c) I Sii 55.6 ( I. I (d) " '' Sii 55.5 ,. (; 55 I )• " Sii " 1) 59 :IS x 60 58.8 ) 59 "'! 60 58.9 57.2 :IS 59 ·' .. ) f• " (,0 59.2 57.2 " )-+--x 59 :IS 57.2 1( " " 59.5 57.2 ( "° Nos exerdcios de 23 a 26, construa o intervalo de confia"Cil indi· cado para a media populaciooal 11. Se for conveniente, use a tecnologia para co.istruit o intervalo de confianr;a. 23. c =0,90 ' = 15,2 s = 2,0 24. c=0,95 x= 31,39 s =0,8 25. c = 0,95 i • 4,27 n m 42 s = 0.3 26. C= 0.99 ii = 13,5 s = 1,5 n = 100 Nos exerdcios de 27 a 30, use o intervalo de confianta dado para encontrar a margem de erro ea mMa amostral. 27. (0,264, 0,494). 28. (3, 144, 3,176). 29. ( 1,71, 2,05). 30. (21,61, 30,15). Nos exerdcios de 31 a 34, eocontre o tamanho minimoda amos· tra n necessArio para estimar 11 para os val0<es dados de c. s e f. 3 1. C=0,90 S=6.8 E= I 32. c = 0,95 s = 2,5 E' = I 33. C• 0,80 S • 4,1 E• 2 34. C: 0,98 E= 2 S= 10,I Usando e interpretando conceitos Encontrando a margem de eno Nos exerdcios 35 e 36, use o inte<valo de confia~ dado para encontrar amargem de erro estimada. Eniao, encontre a meoia amostral 35. Mudas Um bi61ogo repotta um intervalo de coofianr;a de (2, I, 3,5) quando estlmou a altura media (em ce11Ume1ros) de uma amostra de muda~ 36. Pre~o dos livros Um gereme de loja repor1a um intervalo de confianr;a de ( 44,07, 80,97) quando eslimou o pr~ meoio (em d61ares) de uma amowa de livros. (1p!1ulo 6 Construindo intervalos de confian~a • lnt!l'lllo> d1<0nli1<1<1 2S9 Construindo intervalos de <0nfian~ Nos exerdcios de 37 a 40, ~ sabe a mt!dia amostral e o desvio P<1dra<> da amosua. Use !SSa inl~o p.ira cons1ruif os in1e1Valos de confia~ de 90'M> e 95'lb p.ira a mMt populacional. Qual oner· f\'os exerdcios 51 e 52, use a infor~o dada p.ira C011$lruir os inlervalos de confian>a de 90Clb e 99'!b para a media popWciooal Qual in1ervalo emais largo? Se for oonvenieme. use a tecnologia p.ira vek> ~ mats kwgo? Se for corrvcn1ente. use • 1eadog.ao pore construir co~wir ~ inteeva~ de confiJ.~ i11emlos de confia~. 37. Churrasqueira a gis Uma amosua alealclria de 32 dur.squeiras a i&S rem mt!dia de p<e(O de S 630,90 e desvio p.idiao de 51. Tempo de leitura de jornal Ume6torquerestirnar a mMt do 1empo (em mmr.os) que 1odos os ad!Atos passam lendoo JOCNL Para detemWiar essa eslimativa, o e<foor re.ita 1.m1 amowa alea· rma de 15 pessoas e oblem o resullaoo a seg<.w. 38. Pre(O de a¢es De 1.m1 "'10Slra de 35 cias em ""ano recente, o pre(O de fe<hamen10 das ~Oes da Hasbro tern mt!dia de 11. 9, 8, 10, 10, 9. 7. 11, 11, 7. 6. 9, 10, 8, 10. Baseado em estudos artteriores, o edtor assune" como 1.5 rri- s 56,70. S 23.20 e desvio p.idQo de S 4,34. 39. Bebidas a base de suco Uma amowa aleatdna de 31 doses de 000 00(.aS de bebidas abase de dderenttS sucos tern ~ de 99.3 G1lonas e desvio p.Jdt:lo de 41,5 Glk>Ns. .. · 11 ' I 40. Ill Concentra~ de doreto de s6dio Em 36 amostras selecionadas aleatoriamente de igw do mar, a m~ia da concentra~o de dore10 de s6<fio era de 23 an>/m' e o desvio p.idr~o era de 6,7 cm"/ml. Go4, •• ... D>rl 1 1. 7 ~ 'f' '}Ci+""'-> Custos de reparos: mAquinas de lavar Voce 1rabalha p.ira uma de defesa do consumidor e (JJer enconlfar a ~ de cus10 de reparos de m'quira de lavar. Uicno parte de seu eSl\Jdo, voce seleciona alea1oriamenre 40 cuslos de reparos e descoli<e que a media e S 120. o desvio p.idr:lo da amosua e S 17,50. Cons1rua um intervalo de confiani;a de 95% para a mMia do cus10 de reparos da popu~o. (Nkplodo df co''"'"'" Rep<Xt<) 42. Custos de reparos: refrigeradores Em uma amostra alea16ria de 60 refrigeradores. a m~ia de cuslos de reparos ede S 150 e o desvio p.idroo ede S 15,50. Consuu.i um iniervalo de con· fia~ de 99% para a media de cus1os de reparos da popula<;ao. ruos e que a poprfal;ao dos 1empos enoonalmenle disutulda. 52. Uso do computador Una emp<esa de comptiadores quer estimar o ra'.mero medio de horas ~nas que lodos os adiAos usam o compuiador em casa. Em uma ilmO!lla aleatclria de 21 adl.11os. a mo!d'ia de lempo <1tJe um computador e usado em casa era de 1,7 horas. Baseado em estudos an1eaores. a emjltesa ass.roe " como 0,6 ho1a1 e que a popul~o dos 1empos e normalmeole disvibulda. .'lar """A> • b .,, & ""*"'* '* lfy .JI E<Mcocn.) 41. ag~ (Mopfalo fi' L )()SUIT ef ~ "''-) Repi1a o Exerdoo 41, mudando o tamanho da amostra para n = 80. Que in1ervalo de conf~ emais largo7 Exphque. 44. Repl1a o Exerdoo 42, mudando o tamanho da amostra p.ira n = 40. Que in1ervalo de oonfian(I e mais largo? Exphque. 4 5. Tempo de nala~ Uma amostra alealclria de 48 nadadores de 200 meuos tem "" tempo ~'° de 3, 12 minutos e desvio p.Jdt:lo de 0,09 minulos. Consuua "" r>tervalo de conlia~ de 9~ para 0 tempo mMo da popo rla(.ao 4 6. H<lleis Uma amosua aleal6na de 61 quanos de hotel com 1.m1 Oelermine o tamanho mi<1imo da amos1ra neces~rio se voce quiser esl.!r 95% confian1e de que a ~ia amostral esteja uma unid.lde da media populacional dada " = 4,8. Assuma que a popul~o enormalmeme distribu!da. 54. Determine o tamanho mfnimo de amostra se voce quise< es1ar 99% confiame de que a media amostral es~ den1ro de du.is uni· dades da media populacional <I.ado o = 1,4. Assuma a popula~ como sendo normalmenre dis1ribukfa. 53. 55. Conte~do de cofesterol em queijo Uma etnJl'esa de processamento de queijos quer estimar a media do comelldo de coles- lerol de todas as por¢es de uma oni;a de que1jo. A estimaliva deve estar dentro de 0,5 miligramas da media populacionll. (a) Determine o tamanho mirimo de amostra neces~rio p.ira conswir um inlervalo de confiani;a de 95<!b para a mt!da populacional Assl.ma o desvio populacional de 2,8 migramas. (b) Repita a p.JJte (a) usando um in1ervalodeconfia~ de 99'lb. 4 3. Unic:o como cm ~ no Anzono, tcm mb:tio de cust0 de S 107,05 e desvio padrao de S 28,10. Consuua um i1lervalo de conlianc;a de 99'lb para o custo mMo da popo1iac;ao 47. Repira o Exetdcio 45, usando o desvio p.Jdtao des = o.06 miru- tos. QJaJ rwvalo de confianc;a emaos largo? Explique. 48. Repila o Exe<doo 46, usando o desvio p.Jdt:lo des a S 32,50. QJaJ intervalo de confia~ e mais largo? Expliqtie. 49. Se todas as owas quaruidades conunuarem as mesmas. como a muda~ indicada afe1a a largura do 1n1ervalo de confia~? (a) Alrnente o nivel de confia~. (b) AOOlellte o 1amanho da amostra. (c) AOOlellte o desvio p.Jdtoo. 50. Oescreva como voce formaria um inlervalo de confianc;a para est1mar a idade media populacional p.ira os es1udames de S<ta escola. (c) Qual <Wei de ~ requer "" tamanho de amostra . >< ....... maior • ...,....~ ~ 56. ldade dos estudantes unive~~rios tn 6re1or de admissOes quer estinar aidade ~ de loOOs os esiudantes matnculados na oorldade A estinatr... deve estar denuo de 1 ano da mecia popt rlacional Assl.rna que a popu~ de idades enorm.ilmence <istribuida. (a) Determine o tama.1ho mirimo de amosua neass.ltlO para construif um intervalo de conliani;a de 9<l'lb para a media populacional. Assuma o desvio p.idQo da ~ como 1,2 anos. (b) Repila a p.irte (a) usando um inrervalo de confia~ de 99' (c) Ottal niv<!I de corifi.lnc;a 1equer um maior tamanho de amos· tta7Expliqtre. 57. Volume de latas de linlas Um fabricante de tin1as usa uma ~quina para ~ galOes de tinta (veja a figttra a seguir). Tolerancia de erro = 0,25 on1as Ed ,e 1naaa 1 Tinta para Exteriores (a) 0 fab<icante quer es(imar o volume medio de tinta que a maquina es1A colocando nas latas dentro de 0,25 oni;as. Determ•1e o tamanho mfnimo de amoSlfa necessario para construir um intervalo de confiani;a de 90% para a meefia poptAacional. Assuma que 0 desvio padrao populaciooal e de 0,85 oni;as. (b) Repita a parte (a) usando uma toler~ia de e<ro de 0,15 oni;as. Qual t~ancia de erro requer maior 1<manho de amostra? Explique. 58. MAquina de distribui<;ao de agua Uma industria de bebidas usa uma mAquina para encher garrafas de um litro de ~gua (veja a figura). Assuma que a popula<;ao de volumes e normalmente distribuida. Tolerancia de erro = 1 ml. de confian<;a de 90% para a media da popula~o. Assuma que o desvio padrao da popula~o seja de 0, 15 mil. (b) Repitaaparte(a) usandouma tolerancia deerrode0,02125 mi. Que tolerancia de erro requer um lamanho maior de amostra? El'l>lique. 61. Bolas de futebol Um fabricante de bolas de futebol quer esM>ar a circunferencia media de bolas de futebol clewode 0, 1 polegada. (a) Determine o tamanho mfnimo de amoSlra necess.lrio para construir um •1tervalo de co.1fiani;a de 99% para a media da popula<;ao. Assuma que o desvio padrao populacional seja de 0.25 polegada. (b) Repita a parte (a) usando um desvio padraode 0,3 polegadas. Que desvio padr~o requer um maiortamanho de amostra? Explique. 62. Minibolas de futebol Um fabti<:ante de bolas de futebol quer estimar a circunferenc.ia media de minibolas de futebol dentto de 0, 15 polegada. (a) Determine o tamanho mfnimo de amowa necess.lrio para construit um ouervalo de co.1Jiani;a de 99% para a media da popula~o. Assuma que o desvio padoo populacional seja de 0,20 polegadas. (b) Repna a parte (a) usaodo um des.io padrao de 0,10 polegadas. Que desvio padr.Jo requer um mai0< tamanho de amostra? Explique. 63. Se todas as outras quantidades se mantiverem as mesrnas. como a mudani;a indicada aleta a necessidade de tamanho minimo de amostra? (a) Aumente o nfvel de confianya. (b) Aumente a tolerancia de erro. (c) Aumente o desvio padrao. (a) Aempresa quer estimarovolume mediodeAgua que a mA· 64. Quando estimamos a media populacionaL po< que M<l consuuir quina coloca nas garrafas dentro de 1 mililnro. Determine o um intervalo de cooia1)\2 de 99% todas as vezes? tamanho minimode amoS!ra necess.lrio para construir um in· Usando a tecnologia tervalodeco.'iliall\2de95'!0paraamediadapopula\AQ.Assu· Nos e.ercicios de 65a68,~1em os dados da amostra. use maodesviopadraodapopulat;.locomosendode3milaitros. uma ferramenta tecnol6gica para consuuir um intervalo de confiani;a (b) Repita a parte (a) usando uma tolerancia de erro de 2 mi iUde 95% para a media da popula<;ao. l111terpre1e sua resposta. Uos. Qu~ tolerancia de erro requer maior tamanho de amos· ,,:~65. Tarifac;.lo Uma affiQSlra alea16ria dosp<~ das tarilas a&eas (em tra? Expl1que. d<l!ares) para a passagem de ida de Atlanta, GA. ate ~tsburg, PA 59. Cone de folhas de plastico Uma mAquina cona plastico em lol/daPttldo de Ne.w,oeel) lhas que tern 50 pi!s de comprimento (600 polegadas). Assuma 21 4 4 Chave: 21 I 4 = 214 que a populat;ao dos comprimentos en0<malmente distribufda. 22 3 3 4 4 4 6 6 8 (a) Aempresaque1estimarocomprimentomedioqueamaquina 23 6 6 6 9 9 9 9 9 esta conando dentro de 0, 125 polegada. Determine o tama· 24 5 5 9 9 9 nhomininodeamostra necessarioparaconsuuiruminteiva· 25 3 3 4 4 4 6 6 6 lo de confia~ de 95'!0 para a media pclp\Jlacional. Assuma l.'.~66. Tarifat;.lo Uma amostra aleat6ria dos p~os das tarifas aeieas o des1"o padtao da populat;.lo como sendo 0,25 pofegada. (em d61ares) para a passagem de ida de Chicago, IL. ate Minneapolis, MN. (Adaprodo de h'"~'ieel.) (b) Repita a parte (a) usando uma toler~ncia de erro de 0,0625 8 I I I I (have: 81 1 = 81 polegada. Que tolerancia de erro requer o maior tamanho de 8 66699999 amosua? Explique. 9 44444 60. Pulverizador de tinta Uma empresa usa um pulveriz.idc< de 9 8899 tinta automatiz.ido para apl'K.ar tinta em m6veis de metal. A em· 1 0 33 34 4 presa configura o pulverizad0< para aplicar um-mil (1/1.000 de 1 0 9999 polegada) de espessura. II 5555 (a) A empresa quer estimar a media da espessura que o pulveII 9 9 rizador apl'ica dentro de 0,0425 mil. Determine o lamanho 12 4 mfnimo de amosua necessario para consuuir um inteivalo Ed ,e 1naaa 1 C.pltulo6 :,·~67. Precipita~o anual Uma amostra aleat6ria de precipita<;ao a111J· al (em polegadas) em Atch0<age, Alaska. ("""'" Akl<lo Chmote R.. seotch Cenrer.} 13,24 16.13 16.10 1 0.~0 12,2~ 19,lb 13,42 14,54 15,51 17,68 14,97 15,51 16,89 13,12 11,65 12,52 18,79 16,68 :l s8. 16.23 12,06 14,75 14,93 18,30 19,53 19,27 19, 17 17,31 14,37 19,81 C<1111Y.) 19,76 22, 15 17,13 15,23 17, 10 24.25 10,44 13,43 19,06 13,67 22,06 17,62 lnt11valos~econfia11• 261 o ~N E=z,....,.. - -n . vn N-1 69. Determine o fator de corre<;ao de popula<;do finita para cad.; um dos dados que v..:m d seguic. 15,0~ Precipita~o anual Uma amostra aleat6ria de precipita<;ao anu· al (em polegadas) em Nome, Alasl<a. (fMre: Alisla ~ Resoatth 18,3 1 19,87 20,14 24,38 9,93 14,97 15,46 16,27 • 14,93 9,08 20,66 12,29 20,80 14,30 7,39 20,09 19,25 14,92 13,05 14,17 17,49 Expandindo conceitos Fator de corre~o de popula~ao finita Nos exercicios 69 e 70, use a informa<;ao a segu~. Nesta ~o. voe~ estudou a formacao de inteivalos de confianc;:a para estimar a m&1ia populacional quando a popula<;ao e grande oo infinita. Qua<ldo a popula<;ao for finita, a f6rmula que determina o erro padr~o da media o, precisa se1 ajustadd. Se N for o tamanho da popula¢o en for o tamanho da amosua (onde n ?: 0,05 N). o erro padrao da media e: •i=i~%~~· A expressao J(N- n)/ (N-1) e chamada ddalor de corr~ao de pop~c!o fiJ>fto. A margem de erro e: (a) N = 1.000 en = 500. (b) N = 1.000 en = 100. (c) N = 1.000en = 75. (d) N = 1.000en = SO. ( e) O que acontece ao fator de corr~ao de popiia~ fini1a conforme o tamanho da amosua diminui, mas o tamanho da popula<;ao N continua o mesmo? 70. Determine o fator de con~~o de popula¢o finita para cad.; um dos dados que vem a seguiJ: (a) N = IOOen = SO. (b) N = 400 en = 50. (c) N = 700en = SO. (d) N=l.OOOen=SO. (e) O que acontece ao fator de corr~~o de poptja~ fini1a conforme o tamanho da popula<;do N aumenta, mas o tamanho da amosua n coo1inua o mesmol 71 . Tamanhos de amostras A equa<;ao para dete1minas o tamamo da amostra -[''•]' n- - E pode ser obtida resolvendo~e a equa<;do para margem de erro pa1a n. Mostre que isso ever~o e justifique cada passo. Estudo de caso Altura dos om bros dos ursos negros dos Apalaches O Appalachian Sear Rescue (ABR) e uma organi~ sem fins lucrativos loca6zad.; perto do Pa1que Nacional de Great Smoky Mountains. Os programas da ABR incluem a reabilita<;do de ursos negros 6ffaos e machucados bem como a pesquisa e educa<;ao sobre eles. A ASR lornece o ambiente mais natural posslvel para a reabillta<;ao dos ursos negros antes de coloca· ·los de volta anatureza. Recentemente, Katie Seulage realizou um estudo para aprender mais sobre a popula<;ao desses ursos do parque. Ela e sua equipe de pesquisadores descobriram 68 ursos negros no parque e tiraram medidas como tamanlio das patas. peso e alturas dos ombros. Os graficos ramo-e·folhas a seguir mostram a a ~ura dos ombros (em centlmetros) de 40 machos e 28 f~meas do estudo. Ed ,e 1naaa 1 262 • lstatbticaaplicad• Altura dos ombros (em cm) de ursos machos 4 5 6 7 8 9 10 11 9 Chave: 4 19 : 49 7 89 1 1 22222333445566788 123445679 003679 2 4 Altura dos ombros (em cm) de ursos femeas 5 O Cilave: 510 c 50 6 78 7 1 2333334455555569 8 1 223345 9 3 [xercicios 1. Use a amostra para eric.ontrartrna estjmativa pontual para a mMa da allllta dos ombros de: 2. 3. 4. 5. (a) urros machos (b) ursos femeas Encontre o desvio padrao da amostra da altura dos ombros para: (a) urros machos (b) ursos femeas Use a amostra para construir um inteivalo de confian.;a de 95% para a media da altura dos ombros de: (a) urros machos (b) ursos femeas Use a amost1a para oonstruir um inteivalo de confian.;a de 95% para a mi!<fia da altura dos ombros de todos os ursos no estudo. Como seus resu1tados diferem daqueles do Exerdcio 3? Explique. Um pesquisador quer estjmar a media das alturas dos ombros para arnbos os ursos ma· cho e remea denuo de 0,5 cenijmetros. Detemiine o tamanho mlnimo de amostra ne· ces~rio pa1a const1uir um inteivalo de confian.;a de 99% par.a a media da popu!acao das alturas dos ombros de: (a) urros machos. Assuma o desvio padrao da amosua de 12.4 centimeuos. (b) ursos femeas. Assuma o desvio padrao da amostra de 7,B centimetros. m {amostras lntervalos de confian~a para a media pequenas) 0que voce Adistribuicao t --+ lntervalos de confianca ea distribuitiio t deve aprender • Como inteipreiar a distlibui~ c e usar a t.ibela da <fostribui(ao t • Como construir inteivalos de confia!l{a quando n < 30, a popu!a(ao enormalmente distnlluida e u edesconhecido. I Adistribui,ao t Em muitas situa~<ies de vida real, o desvio padrao da popula~ao edesoonhecido. Alem disso, por causa das diversas limila~6es como tempo e custo, frequentemente niio e pr<itioo coletar amostras de tamanho 30 ou mais. Entao, como podemos construir um intervalo de confian~a para uma media de uma popula9ao dadas tais circunstiin· cias? Se a variavcl aleat6ria for normalmente distribuida (ou aproximadamentc nor· malmente distribuida), voce pode usar a distribui(ao /. efinicao Se a distribui<;ao de uma variavel aleat6ria x for ap1oximadamente noonal, entao t = x-11 s Tn segue uma distribui~ao t. Ed ,e 1naaa 1 (apttulo 6 Valores cnticos de t sao denotados port<' Dive~s propriedades da distribui~o test.lo a seguir. 1. Adistribui~ t tern forma de sino e e simetrica sobrea media. 2. A distribui~ t e uma famflia de cuNas, cada uma determinada por um parametro chamado de grau de liberdade. Os graus de liberdade sao o numero de escolhas livres deixadas depois que uma amostra estatistica tal como xe calrulada. Quando usamos a distribui~o t para estimar amedia da popula~. os g1aus de liberdade s3o iguais ao tamanho da amostra menos um. gJ. c n - 1. • lntmalos drnnfr..ca I 263 - . Referenda historica William S. Gosset (1876-1937) Grou< de lberdode 3. Aarea total sob a cuNa t e 1ou 100%. 4. Amedia, a mediana e a moda da distnbui~o t sao iguais a zero. 5. Conforme os graus de liberdade aumentam, a distribui~ t aproxima a disuibu~ nor· mal. Depois de 30 g.I, a distribu~o t est.! muito pro.ima acflSI~ normal padr~o z. As caud:LS na distribui<t-.ao t siio ··1nais grossns" do quc :1.<1uclas na distribui~ao nonnal padrfio. ~' ATabela 5 do Apendice B lista os valorcs criticos de I para os intervalos de con· Desenvolveu a distribui(<io I enquanto lrab;ilhava na in· du:stria de cervtjas Guinll<!SS, em Dublin, na lrlanda. Gos· set publicou suas descobertas usando o pseud<inimo de Stu· dent. A distribui~ao t as vezes ~ d1<'\Jllada de distribuio;.~o t de Student. {Veja na p. 28 outros nomes que foram importantes para a hist()ria da estatistica.) fian~a e os graus de Jiberdade selecionados. Exemplo [0_ 1~-----------fncontrando os valores criticos de t Encontre o valor critico t, para uma amostra e 15. confian~a de 95% quando o tamanho da Sol11pio Em razao de 11 = 15, os graus de liberdade sao: g.I. = 11-1 = 15-1-14. Uma por~ao da Tabela 5 e mostrada. Usando g.I. = 14 e c = 0,95, voe~ pode en· contrar o valor crltico 1,, como mostrado pelas ~reas destacadas na tabela. g.I. l 2 3 12 13 14 15 16 28 29 00 Nivel de confianca c Uma cauda_,o. Ouas caudas,a. I 0 <;/) 0,25 1,000 0,816 0,765 0.80 010 0,20 3,078 1,886 1,638 0.90 0,05 0,10 6,314 2,920 2,353 0,695 0,694 0,692 0,691 0,690 1,356 1,350 1,345 1,341 1,337 l,782 1,771 1,761 1,753 1,746 1t . 2,120 2,583 0,683 0,683 0,674 1,313 1,311 1,701 1,699 1,645 2,048 2,()45 l,%0 2,467 2,462 2,326 o.so - 1.282 0.95 0.98 0,01 0.025 0,05 0.02 12,706 31,821 4,303 6,965 3,182 4,541 2_,179 2,681 2,650 2,624 2,602 ~ I Dica de estudo Diferentemente da tabela z, os valores criticos para um intervalo de confian~a espe· dfico podem ser encontrados na coluna nomeada por c na linha do g.I. apropriado. (0 sfmbolo er ser~ explicado no Capitulo 7.) Ed ,e 1naaa 1 264 • lliatiltic..plicada Pela tabela, voe~ pode ver que I,= 2,145. 0 grMloo mostra a dislribui~ao t para 14 graus de liberdade, c = 0,95 e t,= 2,145. lmportante Para 30 ou mais graus de lit;erdade, os valores criticos para a distribu.i<;ao t estao pr6ximos ao valor crftiro rorrespondente para a distribui~o normal. Al~m disso, os valores na ultima roluna da tabelamarcada oo g.I. correspondem exatamente aos valores da distribui~ao normal. - le = - 2.145 le = 2.145 l11terpretnpio Entao, 95%da area sob a curva da distribui~ao t com 14 graus de liberdade esta entre I = :I: 2,145. ente ~ Encontre o valor crftico I, para uma confian\<I de 90% quando o tamanho de amostra ~ 22. a. lde11tijiq11e os graus de liberdade. b. lde11tiftq11e o nivel de confian~a c. c. Use a Tabela 5 do A~ndice B para enrontrar I~ 1 lntervalos de confian'a ea distribui,ao t Construir tun intervalo de confian~a usando a distribui~iio 11! similar a ronstruir um intervalo de ronfian~a usando a distribui~ao normal - ambos usam uma estimativa pontuat .t e uma margem deerro £. lnstru,oes Construindo um interva!o de confianra para a media: distribuirao t Em pnlavrns Em simbolos 1. ldentifique a amostra estatistica 11, xes. E<x-x>' x=Ex;s= ,, 2. ldentifique os graus de liberdade, o n(vel g.l. = n-1 11- J de confian~a c e valores critiros 1,. s 3. Encontre a margem de erro E. E= t, J;; 4. EncOQtre os extremos esquerdo e direito Extremo esquerdo: x- E Extre11110 direito: x+ E lntervalo: x- E < µ, < x+ E e forme os intervalos de confian\<I. ,, Ed ,e 1naaa 1 (•t>llUIO6 Exemplo m Voce selecion" a.leatorian1ente 16 cafeterias e rnede a temperatura do cafe ven- dido em cada uma delas. A m~ia de temperatura da amostra e 162,0"F com desvio padrAo da amostra de 10,0"F. Encontre um intervalo de conlian~a de 95% para a te1nperatura 1nMia. Assun1a que as ten1peraturassOO aproximadan1ente normahnente distribuldas. Solrtpio Em razao de o tamanho da amostra ser menor que 30, u e desconhecido e as temperaturas sao aproximadamente nonnalmente distribuldas, voce pode usar a distribui<;ao t. Usando 11 = 16, x= 162,0, s = 10,0, c= 0,95eg.I. = 15, voce pode usar a Tabela 5 para e ncontrar que 1, = 2,131. A margem de erro no intervalo de confian~a de 95% e: s JO E=t, ,- = 2,131 · t:'!'"'S.3. vl6 0 intervalo de confian~a est~ a seguir. £xt,t11.\/.t r-:.quc•rdo C.ttrtrJttl dimto .t - E = 162-5,3<:6,7 x+ E = 162 + 5,3 = 167,3 156,7 < /1 < 167,3 ...____.;---- x- e= 156.7 \ 156 IS8 lnlf!VO~I drconfi•ll(• 265 Dica de estudo Construindoum intervalo de confian'a VII • 100 162 I 16-1 166 usando a distribuli;do I e si- milar a construir um intervalo de confian~ usando a distribui<;ao normal. lsrATI Escolha o menu TESfS 8: Tlnterval... Selecione a oWK> de entrada de /)nfa se Voce entrar com OS dados originais. Selecione a op~o deentrada Stats se voce entrar com estat!sticas descriti1ras. Em cada caso, entre os valores apropriados, ent~o, sel<?Cione Calc11/ate. Pa(a o Exemplo 2, as estat!sticas descritivas foram colocadas. Tinterval <156.67.167. 33) x=162 Sx=10 n=l6 x+ £= 167J x= 162.0 Para uma TI-83/84, construir um intervalo de confian~a 168 futerpreta~tio Com 95% de confian~a, podemos dizer que a media da temperatura do cafe vendido esta entre 156,7 "Fe 167,3 °F. ~- fncontre os intervalos de confian¥1de 90% e 99% para a m~ia da temperatura. i,'~ Ver passos MJNrrAB nap. 290 ¥oc6 a. E11co11tre t, e E para cada nivel de conlian¥1. b. Use xe E para encontrar os extremos esquerdo e direito. c. E.stabelt{a os intervalos de confian~ de 90'};, e 99% para a media da temperatura. R1-'!-'"fO!<ln "" p. A·12 Exemplo [31_ 3_,_______________ Construindo um intervalo de confian~a ~·~ Para explorar mais este 16pico, ver 6.2 Atividades nap. 269. Voce seleciona aleatoriamente 20 institui~ que realiwm financiamento para compra da casa pr6pria e determina o atual indice de juros do linandamento em cada. A media da a.mostra dos juros ede6,22%, com desvio padr3ode 0,42%. Encontre o intervalo de confian~ de 99% para a m~ia populacion.11 do Iodice de juros do (inandamento. Assuma que os fndices de juros S<'io aproximadamente normalmente distribuidos. .'~ VerpassosTl-83/84 nap. 291. Solrlfao Por causa do tamanho da amostra ser menor que 30, u se.r desconhecido e os indices de juros serem aproximadamente normalmente distribuidos. voce pode usar a distribui<;lio I. Usando II = 20, :1' = 6,22. s = 0,42, c= 0,99eg.I. = 19, vocepodeusaraTabelaSparaencontrar que I,= 2.861. Amargem de erro no intervalo de confian<;a de 99% e: Ed ,e 1naaa 1 s E= t, 7 "" 0 42 = 2,861 · • J20 ~0,21. 0 intervalo d.e confian\a vem a seguir. Cxfrt1m•dtriril11 .1· - E= 6,22 -0,27 = 5,95 x+ E = 6,22 + o;o = 6,49 5,95 < /1 < 6,49 x+Eo6.49 I : Retratando o mundo -- -- Du as bolas de futebol americano, uma dieia dear e outra de Mlio, foram chutadas em um dia sem vento na Universidade Estadual de Ohio. As bolas de futebol foram altemadas em cada chute. Depois de 10 chutes, cada bola foi chutada mais 20 vczes. As dist:lncias (em jardas) s.-l<> listadas. (f'c,,1/4-: 11:t c,oJ111wbt1-. Oi"s-.;1rl1.) Iuterpretapio Com 99% de confian~a, podemos dizer que a media populacional do ind ice de juros do financiamento esta enlre 5,95%e 6,49';1,. ente ';c6 Encontre os intervalos de confia111;a de 90% e 95% para media populacional de indice de juros. Compare as larguras dos intervalos. a. E11ro11tre t, e E para cada nfvel de confian\<). b. Lise xe E para encontrar os exlremos esquerdo e direilo. c. Estnbele(n os intervalos de confiant;a de 90%e 95% para a mMia populacional dos indices de juros e compare suas larguras. R1""1><~l111u1 p. t\42 Cheias dear 9 2 2 002 22 555566 0 fluxograma descreve quando usamos a dislribui~ao normal para construir um intervalo de confiall\<I para a media da popula~ao e quando usamos a dislribuio;<io t. 2 77788888999 3 3 ne~30? Cheias de helio Nao I 12 I I 4 2 2 2 34666 2 78 889 999 3 3 3 Use a distribui9ao nonnal com 11 12 34 Chavc:l 19 = 19 00001122 345 9 Chave:l l l = ll Sim •..;n Se er for desconhecido, uses. A popula9ao c nonnalmente di-itribuida ou aproximadamente E=z _!!__ NiQ Voce nao pode usar a distribui980 Sim Use-a dislribui980 nonnal com E e. z-9-. distribulda? nonnal ou a distribui9ao t. Sim Jlss11111n q11e ns distt111dn; siTo lfOr'1rnl111e11te distribulrl11$ para cnrln win. Apliq11t 11111 j111xogrnmn /J t'Slfllerdn de cnrln bola. E11ro11tre 11111 i11lermlo de a111fia11fn o econbecido? de 95% pnrn n disltl11cin merlin q11ea11in win percomm. Os i11terilfl/Qs de ro11fim1ft1 se oobr1•110e111? 0 quees/e r.~11/tndo rliz n 1}()(~? Use a distribui93o t com E = tc ...L. Nao ..;n en - I graus de liberdade. •.Jn Ed ,e 1naaa 1 (1pflulo6 • lnterv.l°'deconfi•ll<• 267 Exemplo [4J Escolhendo a distribui,~o normal ou a distribui,~o t Vociseleciona alea.toriamente 25 c.asas construidas recentemente. A media a 1nos· t:ral do custo da constru(ao e$181 .000 e o desvio padrao da popula~iio ede$ 28.000. Assumindo que os custos com a constru~~o &'o normahnente distribufdos, v~ deve usar a distribui~o nonnal, a distribui<;3o I ou nenhuma delas para construir utn in.. tervalo de confian~a de 95% para a media populacional dos custos de constru~? Explique seu raciodnio. Sol11ftio Em razao de a popula~'io ser normalmente distribuida e o desvio padnio ser conhecido, voce deve u&1r a distribui~ao normal. Ten111 Voce scleciona aleatoriamente 18 atletas adultos do sexo masculino e mede a vocf frequencia cardlaca em repouso de cada um. A media amostral da frequencia 4 cardiaca c 64 batimentos por minuto com desvio padrao da amostra de 2,5 batimcntos por minuto. Assumindo que as frcqul!ncias cardiacas siio oormalmente d istribufdas, devemos usar a distribui~ao nonnal, a distribui~o t ou nenhuma delas para construir um intervalo de co11fian~a de 90% para a media da frequencia cardiaca? Expliquc seu raciocfnio. Use um Auxograma para detem1inar qual distribui~iio deve ser usada para cons· h'uir o intervalo de confian~1 de 90% para media da frequencia cardiaal. R~l...,.lfl 111111· lfj A4Z fxercicios Construindo habilidades b~sicas e conceitos Usando e interpretando conceitos Nos exerckios de l a 4, erl00111re o valor r:rltico 1, para o nivel de c:onfianc;a dado c e o tamanho da amostra n. Construindo intervalos de <onfian~a Nos exe1dcios 13 e 14, voce tern a mMia amostral e o desvio padrao da amostra. Assuma que avari~vel e normalmente distribuida e use uma distribui~o t para co:1s1ruir um imervalo de confian~ de 95% para a media populadonal 11. Qual a margem de erro de 11? Se for conveniente, use a tecnologia para construir o in1e~..1o de confiano;a. 13. Custos de reparos: micro-onda.s Em uma amosba alea100a de 5 fornos de micro-ondas, a m~ia de custos de reparos era de S 75,00 e desvio padr~o era S 12,50. (/ldaplodo rit>C"""1m111 Repr:tts) 14. Cuslos de reparos: computadores Em uma amostra alea· t6ria de 7 computa<lores, a media de custos de 1eparos era de s loo,oo e desvio padrao de $ 412,50. !/ldop!OO\> rJt> '"""""" ll<j>o<ls) 15. l/oce realizou uma pesquisa soble os custos de reparo de fomos micro-ondas e descobriu que o desvio padr~ e o = $ 15. Repi· ta o Exerdcio 13 usando a distribui~o noonal com os c,!kulos apropriados para o de5vio padrJo que e co.1hecido. Compare os resultados. 16. Voce realizov uma pesquisa sobre os custos de reparo de com· putadores e descobriu que o desvio padrao e o = S 50. Repi· tao Exercicio 14 usando a distribui~o noonal com os c,!kulos apropriados para 0 de5vio padrJO que e coohecido. Compare OS resultados. 1. C= 0,90,n = 10. 2. C • 0,95,n • 12. 3. c = 0,99,n = 16. 4. c= 0,98,n = 20. Nos exerdcios de 5 a 8, encontre a margem de CHO para os valores dados c, sen. 5. C=0,95,s=5,n= 16. 6. c = 0,99,s = 3,n = 6. 7. c=0,90,s=2.4,n= 12. 8. c = 0,98,s = 4,7,n = 9. Nos exerclcios de 9 a 12, conslrua o inteivalo de co.ilia~ in· di<ado para a media popufacional µ usanclo (a) uma disltibui\<10 t. fb) ~ voce liver usado incorretamente uma alSltib~ normal, qual inteivalo deveria w mais largo? 9. c= 0,90,x = 12,5, s = 2.0,n = 6. 10. c=0,95,l'= 13,4,s=0,85,n=8. 11. c = 0,98,x = 4,3, s = 0,34, n = 14. 12. c=0,99,l'=24,7,s = 4,6,n= 10. Ed ,e 1naaa 1 Construindo intervalos de confian~a Nos exercicios 17 e 18, voc~ tem a media amostral e o desvio padrAo amOSCtal. Assuma que a vaMvel nonnalmeme distribufda e use'a distribui¢o normal ou a d~tribui¢o t para constniir um inteNalo e <le confianQ) de 90% para a media poP1Jbcional I'· Se for conveniente. use a tecnologia para consttllit um inteNalo de confiar)\'.a. 17. Lixo gerado (a) Em uma am05tra aleat6ria de 10 adultos norte·america005, a media de lixo gerado por pessoa por dia era de 4,54 libras eodesvio padraoera de 1,21 libras. (b) Repitaa pane (a) assunindo que as mesmas esiatisticas ~m de lJna amostra de iamanho 500. Compare os resuliados. (!oclop!od> de us. Elm,..,. me-nt FrorMKJn AgMcy.) 18. Lixo reciclado (a) Em uma am05tra aleat6ria de 12 aduhos none-america005, a media de lixo reciclado po< pessoa por di.l era de 1,46 libraseo&!slliopadrao era de0,28 libras. (b) Repita a pane (a) assumindo que as mesmas estatfsticas vem de uma amostra de tamanho 600. Compare os resuhados. fMcprodo de U.S. Eiritonmen: Ptol«OCO 119'ney.) 21. Notas SAT As noias do teste SAT para 12 altJllos do ultimo ano do ensino mWoo sao selecionadas aleatoriamente. 1.704 1.940 1.518 2.005 1.432 1.872 1.998 1.658 1.825 1.670 2210 1.380 22. GPA A media de pootos das notas (GPA) para 15 estudantes unive<sit.!rios selecionados aleatoriamente. 2,3 3,3 2,6 1,8 0,2 3,1 2,3 2,0 3, I 3,4 4,0 0,7 1,3 2,6 2.,6 Escolhendo a distribui~o Nos exerdcios de 23 a 28, use a diwibuii;.;o normal ou a dism· bui¢o r para constt1Jir um inteivalo de confia'l\'.d de 95% para a media populacional Justifique sua decisA<>. Se nenhuma das distribui~Oes pu· der ser usada, explique o porque. Se for conveniente, use a tecnologia para constt1Jir o intervalo de confia~. 23. Raios Em uma amostra aleat6ria de 70 raios, o comprimento medio era de 1,25 polegadas e o desvio padr3o era de 0,05 Construindo intervalos de confian~a polegadas. Nos exerdcios 19 a 22, um conjunto de dados fornecido. Para 24. Pre~o das torradeiras Voce retira aleatoriamente uma amosva cad a conjunto de dados, (a) encootte a media amostral, (b) eocootre de 12 tO<radeiras do modelo duas fatias de p.lo e descobre que a o desllio padrao da am05tra e (c) construa um intervalo de confian~ media do preco era de S57,79 e o desllio padrao era de S 19,05. de 99% para a medi.l populaciooal 11. Assuma que a pop.Aa<;ao de Aswma que os p<ecos sAo normalmente distribufdos. cada conjunto de dados seja normalmente distribufda. Se f0< conve· '·:~25. Carros esportivos: milhas por galao Voe~ fat uma pesquisa niente, use uma ferramenta tecnol6gica. aleat6ria de 25 cairos esporlivos e regisua as milhas po< gal.lo 19. Biologia As rendas mensais para 10 pessoas se!ecionadas alepara cada. Os dados est.lo fisiados a seguir. Assuma que as milhas atoriamente, cada uma com gradua~ em biologia. fMoprodo de por galao sao norrnalmente distribuldas. U.S.tbeouo/(o/xtS:""""'-) 15 27 24 24 20 21 24 14 21 4.625,68 4.289,n 4.461,22 4.519,46 4.714,27 25 21 13 21 25 22 21 25 24 4.408,73 4.391,45 4.318,54 4.576.12 4.296.41 22 24 24 22 21 24 24 e Bacharelado em biologia I J +--.--.----. '.'.~26. Notas ACT Em um ano recente. o desvio padr~o das noias do tesle ACT para todos os estudantes era de 4,8. As no!as ACT para 20 esludantes se!ecionados aleat<Oliamente sAo lisiados a seguir. Assuma que as noias de teste sAo normalmente distribuidas. (,..,,_ re: ACllnc:) .tJ30 J.420 4.SIO .&.600 4.690 kenda nu~n :s;1J (c1n d61ares) Bacharelado em economia I S.OlS S.27S SS2S S...77S400S6.27S Renda nlens:ll (cm d6l:lre.<i:) 20. Economia As rendas mensais para 14 pessoas selecionadas aleatoriamenie, cada uma com bacharelado em economia. (/ldap1odo de uS. BIJfeou ol Lcbot $0)!/Sl.<S) 5.418,76 5.278,63 5.912,05 6.118,35 5.647.86 5.7 14.38 5.365,19 5.524,91 5.761,57 4.924,16 5.494,66 5.619,74 6.205,64 5.801,23 26 22 23 12 19 25 23 21 25 10 17 26 23 24 20 14 21 23 20 22 27. Tempo de espera nos hospitais Em uma amostra aleat6ria de 19 pacientes no depanamemo de emer~cia de um hospital o iempo medio de esjlera (em minutos) antes de serem atendidos pelo medico era de 23 minutos e o desllio padrao era de 11 mi· nuto~ Assuma que os tempos de espera nao sao normalmente distribufdos. 28. Custos de barracas de camping para uma pessoa Em uma amOSCta aleat6ria de 18 barracas de comping para uma unica pes· soa, o preco medio era de$ 144, 19 e o desvio padrao era de $ 61,32. Assuma os pt~ como sendo oormalmenie distribt>dos. Expandindo conceitos 29. Fabrica~ de bolas de tenis Uma empresa fabOca bolas de t~ nis- Quando suas bolas de t~ sAo dert1Jbadas em uma supetficie de conaeto de uma altura de 100 polegadas, a empresa quer que a altura m~dia que as bolas saltem para cima seja de 55,5 polegadas. Essa media ~ mantida tesiando periO<ficamente amostras aleat6rias de 25 bolas de te.iis. Seo valol test.! enue -1.,, e10. , a Ed ,e 1naaa 1 (•pftulo 6 emp<esa estara satisfeita pois es1a fabricando bolas de t~nis aceil<lveis. Uma amostra aleat6ria de 25 bolas e seleciooada e testada. A media de altura que as bolas saltam ede 56,0 polegadas e desvio padrao de 0,25 polegadas. Assuma que as alturas que as bolas sal· tam sao aproximadamente no~te d'ISllibuidas. A empresa e'"3 fabricando bolas aceitaveis? Eicplique seu raciocfnio. 30. Fabrica~o de lampadas Uma empresa fabrica l.lmpadas. A empiesa quer que as !Ampadas tenham mMia de vida U!il de lifj • lnwvalos4econfiaac• 269 1.000 horas. Essa med'ia e mamida testando periodicamente amostras aleat&ias de 16 lampadas. Seo valor 1 estiver entre er..,,, a empiesa estara satisfeita pois esta fabricando IAmpadas aceitaveis. Uma amostra de 16 lampadas selecionadas aleatoriamente e testada. A \Oda util media e de 1.ot5 h0<as e o desvio padrao de 25 horas. Ass\lna que as vidas oteis sao aproximadamente normalmente distribuldas. A empresa est.l fa· bricando IAmpadas aceil<lveis? Expique seu raciocinio. -t..,. Atividades lnterva!o de confian~a para a media (o impacto de niio saber o desvio padr~o) Applet O applet inletvo/cs de conlion~ pota umo mAfa (o impoao de nao sober 0 desvio podtiio) permite que voce in· vestigue visualmente inteNalos de confian(<l pa1a a media populacionaL Voe~ pode especificar o tamanho da amostra fl, a f0<ma da diW\buiylo (normal ou assimeuica A<i'eiia), a media real da popu~ (media) e o desvio padrao populacional real (desvio padrao). Quando voce dica em SIMULATE, 100 amoStias separadas de ldmanho n ser.lo selecionadas de uma popula~o com esses parameuos populacionais. Para cada uma das 100 amostras. um inteivalo de confian(<l Z de 950.0 (sendo desvio padrao conhecido) e o intervalo de oonfian(<l de 95% T (desvio padrao desconhecido) sao mostrados no grafico a seguir. 0 inteivalo de conli.ill(<l de 95% Z e mos1rado em verde e o inteMlo de con· fiani;a de 950.0 Te mos1rado em azul. Se um intwalo nao oontem a media real, ele e mostrado em vennelho. Simula(6es adicionais podem ser realizadas dicando-se em SIMULATE multiplas vezes. O numero acumulado de ve?es que cada tipo de imervalo contem a media real tambem e moSllado, Pressione CLEAR p.Jra limpar os resultados e>istentes e corrte¥lr uma nova simula(3o. 1 15' I C:I 9S~ TCI [)id tifl4 oot1t:11n mean Pn)p. *12i1K.-d Clc>r I Explore Passo 1 Passo 2 Passo 3 Passo 4 Passo S L Especifique um va'°"r para n. Especifique uma diwibuio;ao. Especifique um valor para a meoo. Especifi(j\Je um valocr para o desvio padrao. Clique em SIMULATE para geiar os intervalos de confiani;a. Chegando a condus0es Configure n ; 30, media ; 25, desvio padrao ; 5, e a distribuio;ao normal. Realize <> simulao;3o de modo que pelos menos 1.000 intervalos de confianr;a sejam gerados. Compare a prop!)(~ dos intervalos de confian(<l de 95% Z e os intwalos de confianr;a de 95% T que contem a meoo populacional lsso e o que voce esperaria? Expfique. 2. Em uma amostra aleat6ria de 24 estudantes de ensino medio, o numero medio de horas de sono por noite durante a semana escolar era de 7,26 hotas e desvio padr~o de 1,19 horas. Aswma que os tempos de sono sao normalmente distribuidos Fa<;a a si mula~o para n ; 10 de modo que pe!o menos 500 intervalos de confia~ sejam gerados. Qual ptopor~o dos inteNalos de confian(<l de 95%Z e os imervalosdeconfian(<l de 95% Tquecontem a media populacionall Oevemos usa1 um inteNalo de con· fiall(C T ou Z para a media do numero de hoos de sono? Explique. Ed ,e 1naaa 1 m lntervalos de confian~a para as propor~oes populacionais 0 que voce deve aprender • (()fllO encootrar uma estimativa pontual para a propor¢o populacional. • Como construir um inteivalo de confian(ll para a propor\~O populacional. • (()fllO de«erminar o tamamo minimo da aroostra quando estimamos apropor¢o populacional. Estimativa pontual para proportiio populacional p -> lntervalos de confian(a para propor(iies populacionais p-->- Aumentando o numero de amostras para aumentar a precisao I Estimativa pontual para a propor,ao populacional p Lembre·se da ~lio 4.2 que a probabilidade de sua?SSO em uma unica tentativa de um experimento binomial ep. Essa probabilidade e um.a propor{aO populacional. Nesta seylo, vo~ aprendern como estimar uma propor~lio populacional p usando um intervalo de confian~a. Como no caso dos intervalos de confian~a para/<, voe~ ir~ come~ar com uma estimativa ponlual. Defini,ao A estimativa pontual para p, a propor~o populacional de sucessos, e dada pela propor~o de sucessos em uma amostra e edenotada por • x p = -, n onde x eo numero de sucessos em uma amostra e n e o numero na amostra. O ponto de estimativa para a propor~o de falhas eq= I -p. Os simbolos pe qsAo lidos come 'p chapeu' e 'q chapeu". Exemplo m Encontrando uma estimativa pontua! para p lmportante Nas duas primeiras ~ estimativas foram feitas para dados quantitativos. Nesta se~'lo, as propor~ de amostra sao usadas para fa,zer estima· mvas para dados qualitativos. Em uma pesquisa com 1.219 adultos norte-americanos, 354 disseram que seu esporte Favorito para assistir e futebol americano. Encontre uma esfonativa pontual para a propor\iio populacional de adultos norte-americanos que dizem que seu espor· te favorito ~ futebol. (M•1"""'"' Tl•· ;1o,,;, p,~1.) Solufiio Usando 11 = 1.219 ex= 354, ,. x p= 11 354 =- 1219 ;:::0,290402 ;:,29,0%. Em uma pesquisa com 1.()()5 adultos norte-americanos, 181 disseram que Abraham Lincoln foi o melhor presidente. Encontre um ponto de estimativa para a propor(iio populacional de adultos que dizem que Lincoln foi o melhor presidente. !M<•pM• .i.-11,,c.111111 r.~/.) a. ldt11tijique x e 11. b. Use x e 11 para encontrar p. C•pltuk>6 I lntervalos de confianca para proporcoes populacionais p Construir um intervalo de confian~a para uma propor<;ao populacional p esimilar a ronstruir um intervalo de oonAani;a para uma mMia populacional. V~ com~a com um ponto cstimodo c c.,Jculo a mnrgcm de crro. efinicao Um intervalo de conftan~ c pata a p~ populacional p e: p- f <P<i>+E, onde E- z,~. A 271 Retratando o mundo ' Uma pesquis;i realizada com 1.002 adultos norte-americanos perguntou sobre o meio ambiente. Dos pcsquis;idos, 551 disseram que em 10 anos ou mais acreditam que o meio ambiente estaro pior do que hoje. t P ,. ~rtx probabilidade de que o intervalo de confia~ contenha p ec. lntm•lo!4uon!l<oc• • l 551 451 nAo acham que acham que Na ~iio 5.5, v~ aprendeu que uma dislribui~5o binomial pode scr aproximada pela distribui~ao normal sc 11p ~ 5 e 11q ~ 5. Quando 11~~ 5 e 11ij ~ 5, a distribui<;ao de amostragem p.1ra p eaproximadamente normal com uma mo!dia de omeio omcio ambiente estar" ambiente estar<i pior pi or I'; = p e um erro padnlo de 11· " = E11<:011tre o i11tem1/o tie ro11jim1(11 tie 90% flll'" a proporctro tie 11t111//os 1105 Estatf11s llrritlos qrre ncl1a11J que o 111eio n111bit>11tt1 c-s:· lnrtf pfor. Iii. ~*";;lnstru iies Construindo um intervalo de conflanfa para a midia: distribuiflo t Em palavras Em sfmbolos l . ldentifique as estatisticas da amostra 11 ex 2. Encontre a estimativa pontual fl - .r p= 11 Dica de estudo Aqui esliio as instrui;Oes para oonstruir um intervalo de con· fian\<l para a propor~ populacional em uma 1183/84. ISTATI 3. Verifique que a distribui~iio de amostragem Escolha o menu de TESTS de fl pode scr aproximada pela distribui\'ilo nonnal. 4- Encontre o valor aftlco '. que rorm.ponde ao nivel de oonfia~ c dado. A: l - PropZlnt. Entre os valores para x e 11, e Use a tabela nlvel deoonfia~ac(C-t.evel). normal padrilo. Entao selecione Ca/cu/nit. 5. Encontre a margem de erro E. E=z,f! 6. Encontre os extremos esquerdo e direito e fonne o intervalo de confianc;a. Extremo esquerdo: p-E Extremo direito: p+E lntervalo: p- E<p <p+E Ed ,e 1naaa 1 Z72 • ut•t~11"•11cad• Exemplo OJ ' ·~ Os passos MINITAB e Tl· -83/ 84 silo mostrados nas p. 290 Construindo umintervalo de confian~a para p e291. Con.strua um intervalo de 95% de confian,., para a propor~...i.o de adultos nos Estados Unidos que diz ter o futebol como esporte prcferid-0 para assistir. SoluftiO Pelo Exemplo 1, p""0,290402. Entllo, q= I -0,290402 = 0,709598. Usando 11 = t.219, voei! pode verificar que a distribui\30 doe amostragem para f> pode scr aproximada por uma distribui\<'iO normal 11p "" 1.219 ' 0,290402 "' 354 > 5 e lljl"" 1.219 . 0,709598"' 865 > 5. Usandoz, = 1,%, a margem deerroe: £=z wq,,,,1,96 (0,290402)(0,709598) ,,,,0,025. 'V; Dica de estudo Pe!'CWa que no Exemplo 2 o inle•valo de confiani;a para a propo(\<io p e arredondado ate a terceira casa decimal. Essa i:egr.a de arredondamen· to sera usada por todo o livro. 1.219 0 intervalo de 95% de confiani;a se da confonne o seguinte. p+ E = 0,29 + 0,025 = 0,315 fl - £ = 0,29 - 0,025~265 0,265 <p < 0,315 ..- - - - - - - p -£=0.265 ' Estinlativa pontu:tl f>=0.29 p+ £=/ 0.315 --+-lf-+----+--+--;----+--1-t-~ .l' 0.26 0.27 0.28 Ol'> OJ O 0.31 0.J."2 Iuterprelnftio Com a confian\a de 95%, epossivel afinnar que a proporvio de adultos que dizem ter o futebol como esporte preforido seja entrc 26,5% e 31,5%. Use os dados do ·iente voei! 1 para construir um intervalo de 90% de confiani;a vod para uma proporr;iio de adultos que diz que Abraham Lincoln foi o melhor presidente. :rente a. E11co111re ji eq. b. \lerifiq11e sea distribui\aO amostral de ji pode ser aproximada pela distribui· \liO normal. c. E11co11tre z, e £. d. Lise ji e E para encontrar os extremos esquerdo e direito. e. Especifiq11e o intervalo de confian\a de 90% para a proporr;iio de adultos que dizem que Abraham Lincoln foi o melhor presidente. RA-~1~tt1 1u1 p. A ·12 0 nivel de confian~a de 95%usado no Exemplo 2 etipico de pesquisa de opiniao. 0 rcsultado, entrctanto, geralmente naoe classificado como um intervalo de confian\a. Pelo oontrario, o resultado do Exemplo 2 seria dassificado c:omo "29%com uma mar· gem de erro de :1:2,5%". Ed ,e 1naaa 1 (ap!tulo 6 Exemplo • IRtmalos dt <onfiaDCa 273 m Construindo um intervalo de confian,a para p 0 grafico a seguir foi leito con' base eo1 un1a pesquis.'l ent~ 9CO 1'\0rte-antericanos adultos. Construa um intervalo de 99% de confian<a para a populac;iio de adultos que ach am que os adolescentes s1io os motoristas mais perigosos. (Mnp1r.t..1f<Th<C<iff11J>Orsm1i:At1"'1.) Quern sao os motoristas mais perigosos? Solt1ftlo A partir do grafico, p= 0,63. Entao, q=l-0,63 = 0,37. Usando esses valores e os valores de 11 = lmportante ~e z, = 2,575, a margem de erro e: e=z(v-; [pq =--=.,-= Use a Tab•I• 4 no ApC.1dice 6 para estimar "'2 575 (0,63)(0,37) que z, est~ entre 2,57 c 2,58. , 900 ,,,,0,041. 0 intervalo de confian<a de 99% eo seguinte: Extr(n:u6q.lffrd() E:tlrnJttJ tltrrttt' p-E = 0,63-0,041 <':_589 p+ E= 0,63+0,041 = 0,671 0,589 < p < 0,671 ~ I11terpretnftlo Com confian\<) de 99',lb, voce pode alim1ar que a propor~iio de adultos que ad1am que os adolescentes s.'io os motoristas mais perigosos est<I entre 58,9%e 67,l %. Use as informa~Oes da pesquisa do Exemplo 3 para construir um inlervalo de confian"' de 99% para a propor~ilo de adultos que consideram que as pessoas 3 com mais de 75 anos s~o os motoristas mais perigosos. a. ldmlijiq11e 11 ep. b. Us.! ppara encontrar ij. c. \leriftq11e sea distribui~3o de amostragem de p~ aproximadamente normal. cl!. lde11tiftq11e o valor fundamental z, que corresponde ao dado nfvcl de confian\'.<1. e. £11co11tre OS extremOS a esquerda ea direila do intervalo de confiani;a. f. Espt'Cijiq11e o inlervalo de confian"' 99')1, para a propor~iio de adultos que conside· ram que as pessoas acima dos 75 anos sao os motoristas mais perigosos. Tente vod R~pO:Stir "" p. A42 I Aumentando o numero de amostras para aumentar a precislio Uma forma de amnentar a precis.io do intervalo de confian\'.<1 sem diminuir o nivel de confian"' eaumentar o mimero da amostra. No Exemplo 3 perceba que "P ~ 5 e 11q ~ 5. Entiio, a dis· lribui~1io de amostragem de p eapro)Cimadamente normal. Ed ,e 1naaa 1 Z74 • fatatlslica apli!4d• ci!contrando o tamanho minimo da amostra para estimarp lmportante •A razao para usar 0,5 como valore; parnp eqquando nao ha estimativa preliminar dis· ponivel e que esses valores r:endem um valor maximo para o produto fk1 =p(l - p). Em outras palavras, se voce nao estimar os valores de pe q-, voce deve pagar a penali· dade de usar uma amostra de ~amanho maior. Dado o intervalo de confiani;a c ea margem de erro E. o tamanho mfnimo da amostra n neces~rio para estimar p e: .·[Z,]' n=pq-. E Essa f6rmula assume que voe~ tenha uma estimativa preliminar p-arap eq. Se niio, use{> = 0,5 eq =0,5. Exemplo m Determinando um tamanho minimo para a amostra Voce esta analisando uma campanha politica c qucr estimar, com 95% de con· a propor~ao dos eleitores registrados que irao votar no seu candidato. Sua estimativa deve ter uma margem de erro de 3% da popula¢o real. Encontre o numero mfnimo da amostra necess.iria se (1) niio ha nenhuma estimativa previa e (2) uma estimativa previa p= 0,31. Compare seus resultados. fian~a, SolufdO 1. Como vod! n3o tem uma estimativa pn!via para p, use f> = 0,5 e ~ = 0,5. Usando z, = 1,96 e E= 0,03, voce pode solucionar para 11: 11=Pii(~]' =(0,5)(0,5)[~:r..., 1.061,11. Em raz~o de 11 ser decimal, arredonde para o pr6ximo m)mero inteiro, 1.068. 2. Voce tern uma estimativa de ;1 =0,31. Entao ~ =0,69. Usando z, =1,96 e E = 0,03, vod! pode solucionar para 11: Como 11 e um decimal, arredonde para o numero inteiro mais pr6ximo de 914. Triterpretnriio Sem nenhuma estimativa pn!via, o tamanho minimo da amostra deve ser t .068 eleitore;. Cu1n tuna \.~li1ncttiv<S pr~via Ue p= 0,31, o lcuncuthu da <llino::;tra <leve :rer 1101ninh110 914 eleitores. Ent~, voce precisatia de um tamanho de amostra maior se nao h~ ne· nhun1a estimativa prCvia. eme Voce quer estimar, com conlian~ de 90% e com 2% da popula~ao, a propor· ...d ~'io de homens com idade entre 20 e 34 anos que tem pressao alta. Encontre o 4 numero mfnimo necessario se (1) nao ha nenhuma estimativa pr~via e (2) uma pesquisa anterior descobriu que 6,4%dos homens nessa foixa etaria tem presslio alta. (f.mitt; .\lt1tiorudC1•111trfat lltttllll St11ti~lif5-.) a. lde11tifiq11e p, q, z, e E. Sep for desconhecido, use 0,5. b. Use p, q, z,, e E para encontrar o mimero mini mo da amostra 11. c. Deler111i11e quantos homens devem ser inclufdos na amo:stra. Ed ,e 1naaa 1 (apltulo6 W • lntnval<>s dtconfia~• 27 5 Exercicios (onstruindo habilidades basicas e conceitos Verdadeiro ou !also? Nos exerdcios l e 2, determine se a seoteni;a e verdadeira ou falsa. Se for falsa, ree5aeva·a de forma 'l"e se torne verdadeira. l. Para eSlimar o valor de p, a propo<><io populacional de sucessos, use o ponto estimado x. 2. O ponto estimado para a proporylo de fracassos e l -p. Encontrando p eq Nos exetdcios de 3 a 12, seja pa propory!o populacional para a condiy!o dada. Encontre as estimativas de pento para p e q. 3. Reciclagem Em uma pesquisa entre l.002 norte-ameticanos ac:lJhos, 752 dedaram fazer reQdagem. (AddpradocleAOC M!'.'ISA>I/.) 4. Caridade Em uma pesquisa entre 2.939 norte-ame<icanos aooltos, 2.439 dedaram ter contribuido com caridade nos uhimos 12 meses. (Map<rxio de Hcuir/nrerorr.,,,,) 5. Obeso ou acima do peso Um estudo entre 4.43 I no<te-ameri· canosadultosdescobriu que 2.938 eramobesosou estavamacima do peso. (/.dop!ado de N!JOOl>al n«>llh end llu>"'"" &oft1lll<>ll"'1 Su1wy.) 6. Comendo carne D<!ntre os 458 norte-americanos adultos entrevislados, 224 comem came diariamente. ftldal;tado de Ct~ eor..ld OoMe.) 7. Pianos para o Future Dentre as 848 criani;as pesquisadas. 144 planejam en1rar para um grupo volunlilrio no future. (/llkp<ado de _ , Ceogtophtc Kids.) 8. Ferias Em uma pesquisa entre l.003 norte-americanos adultos, I 10 declaram que iriama Europa nas ferias se nao fosse o custo necess6rio. IAO't!><ado de The GollJp Poll) 9. Parar de fumar Em uma pesquisa feita entre 284 fumantes. 204 deles declararam que querem parar de fumar. l,Adoptodo de Amert<IJO tung""""°"""·) l O. Feliz oo ltabalho Em uma pesquisa feita entre 1.003 adtilos nooe·americaoos. 662 dedararam 'l"e seriam lefties case passassem o resto da carreira em seu emp<ego atual. l,4/klp'lldode~ II>!) 11. Auditoria de impostos Em uma pesquisa feita entre l.000 aoohos none-ameticaoos. 230 disseram que estavam, de alguma foona, preocupados com a possibilidades de sofretem uma auditoria em seus imPOStos. !Mottor/o de~ Rwotts.) 12 Viagem cansativa Em uma pesquisa entre 3.224 adultos norte-americanos. 1.5 I 5 <fissetam que voar e a forma mais cansativa de viajar. r1""'*'°1y) "'*'"""'°de Usando e interpretando conceitos 13. Pesquisa eleitoral Uma pesquisa eleitoral anuncioo que um ca.ididato teve uma aceitay!o de 48% com uma margem de erro de 3%. Construa um intervalo de confiani;a para a proper~ de ac:lihos que aprovam o candidaio. 14. Correio Uma pesquisa mostroo que 51 % dos aduhos preleretn recebet propagandas pelo c0<reio. A margem de eno f e de 5,2%. Construa um intervalo de confiani;a para a propo<¢o de aoohos que preferem receber propagandas pelo correio. (Foore Ccl>~ & Te""""""""<otio11s ASsooonor> for M01le/Jllg) Construindo um intervalo de confian~a NO$ exer~ de 15 a 20, COC'lStrva intetva1o~ <fe confia~ de 95% e 99% para a propo<ylo populaciooal p usando as es«itlSlica.s de amostras indicadas. Qua!~ o maier inteivalo? Se f()( conveniente, use ferramemas de tecnologia para coosuuir o inte<valo. 15. Use as es«itisticas no Exerdcio 3. 16. Use as estatisticas no Exerdcio 4. I 7. Use as es«itisticas no Exerdcio 5. 18. Use as es«itisticas no Exerdcio 6. 19. Use as estatisticas no Exercicio 7. 20. Use as estaUSlicas no Exercicio 8. 21 . Pianos de viagem Voe~ ~um agente de viagens que quer es.limar, com 95% de confiani;a, a propor~o de pessoas em ferias que planejam viajar para f()(a dos Estados Unidos nos pr6ximos 12 meses. Sua estimativa deve te1 uma margem de erro de 3% da propor¢o real. (a) Nao ha estimativas pre.ias. Encontre o tamanho mfllimo da amostra necessaria. (b) Encontre o tamanho mLiimo da amostra necess.!ria usando um estudo antetior que mostrou que 26% dos pesquisados declararam que planejavam viajar para f0<a dos Estados Uni· dos nos pr6ximos 12 meses. (Fr;nre: \'kllt!n >lt<ldM<k.) (c) Compare os resultadosda:s panes (a) e (b). 22. Uso de servitos on-line Voe~ e um ageme de viagens e quet estimar. com 98% de confiani;a, a propor~o de pessoas em Mrias que usam um ser.r¢ on-r.ne ou a Internet para fazer reservas de viagem. Sua estima1iva deve tet uma margem de erro de4%. (a) Nao ha estimativas previas. Encontre o tamanho m•1imo da amosua necessaria. (b) Encontre o tamanho mi<limo da amostra necess.!ria usando um estudo antetior que mostroo que 30% dos pesquisados disseram que usavam um servi,o on-line ou a Internet para fazer reservas de viagem. (Foore· kc.<l lndwry ASS«l<ltm of AmellCD) (c) Compare os resuhados da:s panes (a) e (b). 23. Conserto de cameras de video Voe~ que< estimar. com 96% de confiani;a, a proper,~ de cAme<as de video que precisam de conserto ou que tern problemas ao completarem cinco anos de uso. Sua eS1irnativa deve 1er uma margem de erro de 2,5%. (a) Nao ha estimativas pre.ias. Encontre o tamanho m"iimo da amosua necess.!ria. (b) Encontre o tamanho mi<limo da amosua necess.!ria usando um estudo anterior que mostrou que 25% das cAmeras precisaram de conseno ou tivefam problemas ao completarem cinco anos de uso. (fon:e:COll5'Jme1,qepoos.) (c) Compare os resultados da:s panes (a) e (b). Edifii,IJd§d Z7 6 • ht•tf\tlcupllcM• 24. Conserto de computadores Voce quer es6mar, com 97% de ccrlian.;a e com margem de e«0 3,5%, a propo<~o de computadores que precisam de conse<to ou thn problemas ao comple- Os humanos estao contribulndo para o aqueclmento global? tarem u~ anos de uso. {>) NJo ~ es11m.Ow.. ~.. En<C<1tre o t¥n•nho mlnimo da amostra necess.!ria. (b) Enco<we o tamaMc> mfnimo da amowa necess.!ria usa.ido um estudo .interior que mosuou que l!l'lb dos~ res precisoram de ~ ou we<am problemas ao rom- pletarem u~ anos de uso. (c) Compile os resUtados das pattes {a) e (b). Construindo intervalos de confian~ Nos exercloos 25 e 26, use as onlonna¢es a ~- A tabe1a mostta os resultados de uma pescµsa em que 400 ~os do leste, 400 adultos do sul, 400 adlAtos do centlo<>esle e 400 ~os do oeste responderam se conside<am o caigeslionamemo um problema shio em sua comunidade. .t o . ' M Congestlonamento rulm? Miios qua dlzem que o congootlon..-o 6 um~blema 86rl0 Leste Sul 25. Leste e sul Cons1rua 001 incervalo de confian.;a de 99% para: (a) a propor~o de adultos do lesle que dizem que o coogestionamemo eum prolllema serio. 27. Aquecimento global COl'!SU1.la um {c) A proporylo de adlJltos do Exercicio 27 (a) ea propo<~ de adultos do Exercicio 27 (c). (b) a ~de acUIOs do leste que dizem que o ~ oonamento problema serio. £ posst.1!1 que essas duas propor¢es seiam iguais7 Explique seu raciodnoo. menos.. {f'Crt~ Dtch.. 71> HO(l/S P.>11) de (a) A propor~o de adultos do Exercicio 27 (a) ea propor~ de adultos do Exercicio 27 (b). (b} Apropor~o de adultos do Exerdcio 27 (b) ea propor~ de adultos do Eicercicio 27 (c). Expandindo concei to5 Construindo intervalos de confian~ Nos eicerdcios 27 e 28. use as onfonm¢es a seguir. 0 gra§co mostra os resultados de uma pesquosa na qual 2.563 adultos dos Estados Unidos, 1.125 adultos da Franta e 1.086 adultos da Ale· manha responderam se acreditavam que as al<vidades humanas est!lo contribuindo para o aumento da temperatura global. (' ·•· oonfia~ (a) a propo<~ de adultos dos ES!ddos Unidos que du que as alividades humanas ~o coouibuindo para o aumento da temperatura global (b) a p<opor~ de adultos da Fran.;a que diz que as alMdades humanas estao conltibuJldo para o aumento da temperatu· ra global. (c) a propor~o de adultos da Alemanha que diz que as ativida· des humanas est.lo contribuindo para o aumento da tempe· ratura global 28. Aquecimento global Determine see possivel que as seguintes propor>Oe5 sejam iguais. Eicp6que seu raciocfnio. (b) a propor~ de adukos do sul que dizem que o coogestionamemo e"" problema serio. £ possi.d que essas duas propo<¢es sejam oguais? Explique seu raciodnio. 26. Centro-oeste e oeste conwua um inteivalo de confianc;4 de 99'lbpara: {a) a propory!O de acUlos do ~e que dtzem que o ~oamento e um problema shio. e"" in:ervalo de 9~para: Pesquisas de jomal Nos exercicios 29 e 30. traduza o trecho do jomal em um inlefVa· lo de confian\a para p. Apracine o valor do nNd de ~ c. 29. Em uma Pe5CPsa enue 8.451 adtJ~ oortNmel1canOS. 3 l .4'1b cissetam que esiavam tomando vQarniia Ecomo um suplemento. A margem de erro da pesquisa de 1% para mais ou para e ,l. fSl 30. Em uma pesquisa enue 1.001 adultos norte-americanos. 2-,qi, disseram que lumaram um cigarro na semana anteri«. A margem de erro da pesqtjsa e de 3._, para mais ou para menos. •.• "" ·? °'9'r>'.m!>Cn) 31. Pot que verifocar? Po< que e necess.!rio veiificar sen(> ?: 5 e ~ ?: 5? 32. Tamanho da amostra A eq~o para determinar o 1arnanho da amostra n =txi(u/E/' pode se< oblido ao resolver a equa~ para a margem de eno E = z, ~(f>q')/n para n. Mostre que 1sso e verdade e justifique cada passo. Ed ,e 1naaa 1 (apft11lo6 33. Valor maximo para pq Complete as tabelas para valores diferentes de(> e q = I -(>.A partir da tabela, qua! valor de(> parece dar 0 valor maxima do produto(>q? !> O= 1- p PO o.o 1,0 0,00 0,1 0.9 0,09 0.2 0.8 p • lntervalos4e<oofiaoc• q=1-p 277 M 0.45 0,46 0,47 0,48 0,49 0,50 0,3 0.51 0,4 0.52 0,5 0,53 0,6 0,54 0,7 0,55 0,8 0,9 1,0 Atividades Explore lnterva!osde confiaMa para uma proportao Applet Os intervolos de confian>a pora uma propor>iio applet permitem que voce •ivestigue visualmente OS intervalos de confianc;a para i.rna proper~. Voce pode especificar o tama· nho da amostra n ea propon;ao real p. Quando voce clica SIMU· LATE, 100 amostras separadas de tamanho n ser~o selecionadas de uma populai;.!o com uma p<opori;.lo de sucessos iguais a p. Para cada uma das 100 amostras. um intervalo de confianc;a de 95% (em verde) e um intervalode confianca de 99% (em anrl) 500 mostrados no grafico a seguir. Cada um desses inteivalos e c.ilculado usando a ap<oxim~o normal padtoo. Se um intervalo ~ contem a propoii;.lo real, mos~ada em vennelho. NOie que um intervalo de confianca de 990.0 esempre mais largo que o intervalo de 95%. Simula¢es adicionais podem ser realizadas clic.indo SIMULATE varias vezes. O numero acumulado de vezes que c.ida tipo de intervalo contem a propori;.lo real tambl!m e mostrado. Pressione CLEAR para limpar r~ existentes e comecar uma nova simula<;ao. Passo 1 Especifique um valor para n. Passo 2 Especifique um valor parap. Passo 5 Oique SIMULATE paragerar intervalosde oonlia~ thegando a condusaes I. em e '"~ p:'.O}J Sin1u.la1e. I •; ~· Conell.incd p l)id POI (Qri!:lln p Prop. CO!Mlliotd CJc3r I t I 99'.f- CJ Fa><' a simula<;ao para p = 0,6 en = 10, 20, 40 e 100. Lim· pe os resultados depois de c.ida tentaliva. Qual propor<;ao de intervalos de oonfianl<' para que c.ida nivel de confianl<' contenha a propon;ao populacional? 0 que aoontece com a propor<;ao dos intervalos de confian,., que cont a propoc· <;lo populacional para cada nfvel de oonfianc;a conforme o tamanho da amostra aumenta? 2. Fal<'a simulai;.!o parap = 0,4en = 100 de modoquepelo menos 1.000 intervalos de confianc;a sejam gerados. Com· pare a propon;.lo de intervalos de COlV!QIX<t que conti!m a propor<;ao populacional para cada nlvel de c.o.ifia~a. lsso e o que voce esperaria? Explique. Ed ,e 1naaa 1 278 • ht..f\tiC4•PllC«i• m desvio lntervalos de confian~a para variancia e padrao 0 quevoc~ Adistribui(iio qui-quadrado-+ lntervalos de confian(a para " 1 e" deve aprender • Como usar a tabela da distribu• \ao qu>quadrado. • Como usar adistnbui(ao quj.quadrado para constru~ um intervalo de confian\a para vari.lncia e desvio padrao. I Adistribuicao qui-quadrado Na produ~ao, e ne<:esS~rio controlar o quanto um processo varia. Po.r exemplo, o fabricante de uma pe~a de autom6vel deve produzir milllares de ~s a serem usadas em um processo de fabrica~ao. Eimportante que as p~as variem muito pouco ou nada. Como voce pode medir, e consequentemente controlar, a varia~o nas pe~as? Voce pode com~ com uma estimativa pontual. Definicao A estimativa pontual para "'es' ea estimativa pontual para u es; s' ea melhor estimativa nao tendenciosa para"'· Dica de estudo - • ------------A letra grega X e pronunciada "kl", que rima com a letra gfega m<lis familiar"· Voce pode usar uma rlislrilmi{ffQ q11i-q11arlmrlq para construir um intervalo de con· fian~ para a variancia e desvio padrao. Definicao Se a vari.lvel aleat6ria x tem diwibui~ nonnal, entao a distribuiyao de: 2 2 (n-l)s x= 2 • 0 fonna uma distribui~o qui-quadrado para amostras de qualquer tamanho n > 1. Quatro propriedades da distribui~ qui-quadrado estao a seguir. 1. Todos valores qui-quadradox> sao maiores ou iguais a zero. 2. A distribui~o qui·quadrado e uma familia de cuivas. cada uma detenninada pelos graus de liberdade. Para fonnar um intervalo de conlian~ paca o>, use a distribui~ x> com graus de liberdade iguais a um a menos do que o tamanho da amostra. g.I. = n - I 81""5 de libe<d<l<le 3. Aarea abaiJCo da cuiva da distribu~o qui-QIJ<ldrado e igual a um. 4. As distlibui~oes qui-quadcado sao assimetricas positivas.. g.I. = 2 I ... "', g.l.=IS ' ~....: - .. .... ~.~·-= 3? u...;-:>.;~~.....;.:~-::::..~.;...-, , so Distribui5oes qui·quadrado 10 20 30 40 H;I dois valores importantes para cada nivel de confian~. 0 valor xi. representa valor critico da cauda dircita e X'L rcpresenta valor critico da cauda csquerda. ATabela 6 no Ap<!ndice Blista valores de X' para varios graus de liberdade e <lreas. Cada area na tabela representa a regi~o sob a curva do qui-quadrado a rlireilfl do valor cn1ico. Ed ,e 1naaa 1 (1pflulo6 Exemplo m • lnterv1I01de<onfi•ll(• 279 Dica de estudo Para os valores criticos com nfvel de confian~a c, os valo- fncontrando valores criticos para X1 Encont:re os valores criticos x2R e x2Le um inte.rvalo de confutn"' de 90%1 quando res a seguir sao os que voe.! o tamanho da amostra for 20. v@ na 'fabela 6 no Ap@ndice B. SolriftiO Como o tamanho da amostra e 20, ha: g.I. = n- 1= 20- 1= 19graus deliberdade. 1-c -r As areas adireita de x'• ex\ s.'io: v ______ 6re . d e x;, = -1-c- = 1-0.90 - 0, 0:.• , a,ad'1re1ta 2 e i;.-:::::~x' xi 2 · d exL' =T l+c =-l +0.-9o= 095 (a rea ad·1re1ta , . 2 Parle da 'fabela 6 eexibida. Usando g.I. = 19 e as ~reas 0,95 e 0,05, voce pode encontrar os valores criticos, como exibido pelas areas destacadas na tabela. Area adireita de t i 1-(1 • '2 c)= I ;c () Graus de liberdadc I 0995 0,99 2 3 o,on 0,010 15 16 17 18 19 20 4,601 5,142 5,697 6,265 6,844 7,434 0,020 0.115 0975 0,001 0,()51 0,216 095 0,004 0,103 0,352 0,90 0,016 0,211 0,584 010 2,706 4,605 6,251 005 3,841 5,991 7,815 5,229 5,812 6,408 7,015 7,633 8,260 6,262 7,261 8,547 6,908 7,91,2 9,312 7,564 Mn 10,085 8,231 ~ 10,865 8,907 10,U7 11, 651 _¥91 I , 1 ) 12,443 22,307 23,542 24,769 24,996 26,296 27,587 25,989~ 27,lQ4 "30,144 28,412 ' ) x'L Area adireita de tl O resultado e que voce pode concluir que a ~rea entr.e os valores criticos da esquerda e direita ec. x'k c Por meio da tabela, vOci! pode ver que x~ = 30,144 e x; = 10,117. InterpretnfiiO 1-c -2- Entao, 90% da area sob a curva esta situada entre 10,117 e 30,144. a. lde11tifiq11e os graus de liberdade e o nfvel de confia11t;a. b. E11co11tre a i\rea adireita de x~ e xl.. c. Use a Tabela 6 do Apendice Bpara encontrar x~ e de xl: R~-,·JJO$tt1 t1n p. A.fl I lntervalos de confian~a para ale a Voce pode us.1r os val ores criticos x'• e xl para construir intervalos de con!ians-a para a varilincia e desvio padrao de uma popula~ao. Como ede se esperar o melhor ponto estimado para a vari~ncia s'e a melhor estimativa pontual para o desvio padraoes. Ed ,e 1naaa 1 Z80 • (11a1k1icaaplkah - [ Retratando o mundo A baleia cinza tern a maior distanda de migra(iio anual de todos os mamfferos. As baleias deixam Baja, Calif6mia e o oeste do M~ico na primavera, migrando para mares de Bering e Chuki ix~ra os meses de veriio. Seguindo tuna runos-tra de 51 baleias por um ano, fomeceu a m<!dia da disliinda de migra~ilo de 11.004 milhas com desvio padrao de 860 milhas. (l\dtipwdo di· ~QJj1111al ,\lm11n.• f'Nltr'1.'S S<'lt'i<i".) efinicao Um inteNalo de confianyi c para vari3nda e desvio padrao populacional e: lnte1Valo de confianyi pa1a q>: (n-t)s' ' x. , «r< (n-J)s' ) . .\'.~ lnle1Valo de confianyi para O''. (n- l)s' - -,- <a< XR (n- l)s' 2 Xt • A probabilidade de que o inteNalo de confianyi con1enha ql ou O' ec. lnstru~oes Construindo um interva!o de confianca para variancia e desvio padr3o Em pnlnvrns Em si111bolos 1. Verifique que a popula~o tern distribui~iio normal. Oceano Pacifico <S;'> ESTADOS UNI DOS Channel Islands Co11strut1 u111 interi.N11o tft• con· ftn11(n pnrn o rlesvio pnrlrtio pnrn 1rs disM11cins de 111ig111(tfo dns bnle;ns <inzns. 1\ssru11a que as dislfl11cins rlr migm{tlo 1€111 rlistrib11i(llo 11ormnl. 2. ldenlifique a estalislica da amostra 11 e os graus de liberdade. g.L= 11-1 3. Encontre a estimativa pontual s2• , E(r-x)' 11-1 s ==--'- 4. Encontre os valores crfticos x•~ e X\ que correspondem ao nivel de confian~ c. Use a Tabela 6 no A~ndice B Extrerno esquerdo FJ<tremodi reito 5. Encontre os extrem05 esquerdo e direito e forme intervalos de confian~a para a variAncia da popuJa~ao. 6. Encontre o intervalo de confian~a para o desvio padrao retirando a raiz quadrada para cada extremo. 2 (11 - l)s <O'' < (11- l)s' x! (11 - l)s' x.' x! <u< (11 - l)s' x.l Exemplo [D Construindo um interva!o de confianca Voce seleciona aleatoriamente 30amostras de um antialergico e as pesa.0 desvio padriio da amostra e1,20 miligramas. Supondo que os pesos siio nonnalmenle distribufdos, construa intervalos de confianvi de 99% para a variAnda e o desvio padr~o da popula¢o. So/11fdo As ~reas ll direita de x.', e x', sao: . . , 1-c <\rea ad1re1la de ,'(, = - 2- = ~rea ll esquerda de ,i ,, , 1- 0,99 2 - 0,005 l+c 1+ 0,99 _ - = - 0, 99~2 2 =- Ed ,e 1naaa 1 C•pl1Ulo 6 • lnmva~4econliaoc• 281 x;, Usando os valores /1 = 30, g.I. = 29, c = 0,99, os valores criticos e os valores de e x7 s.lio x'. = 52,336 ex', = 13,121. Usando os valores criticos es= 1,20, o intervalo de confiani;a para a' e o seguinte: (11-l}s' (30- 1)(1,20)' ~-,~- x, .. ~2.336 / ~o.so ('1- l)s' x, 2 (30-1)(1.20)' ~3. 1s 13.121 ~ ' - 0,80 < "'< 3,18 - - - - - - 0 intervalo de confian(a "e: (30- 1)(1.20)' 52,336 (30- 1XJ.20)' 13, 121 . r~~--'-'~-'-<q<.1~~--"'----'-- 0,89 < "< 1,78. Jnterpretnriio Com 99% de confian~a, podemos dizer que a variancia populacional esM entre 0,80 e 3, 18. 0 desvio padrao da popula\ao est~ entre 0,89e1,78 miligramas. Tente Encontre os intervalos de confian(a de 90% e 95% para a variancia e o desvio woci padrfio da popula~o de pesos dos remedios. a. E11C0'1lre OS valores crflicos x'. e xi para cada intervalo de confian\a. b. Use 11, s, x'. e r, para encontrar os extremos aesquerda ea direita para cada intervalo de confian~a para a variancia. c. Eucoutre as raizes quadradas dos extrc1nos para cada intervalo de con(ian\.1. d. Espt'Cifiq11e os intervalos de confian~a tie 90% e 95% para a variancia e o desvio padrilo da popula\ilo. Dica de estudo •Quando um intervalo de confian~ para uma vari:incia ou desvio pad.riio populacional e cakulado, a regra geral de arredondamento e arredondar pa"' o mesmo numero de casas decimais dadas para a variancia da amostra e odesvio padtiio. Iii Exercicios Construindo habilidades basicas e conceitos Nos exercicios de l a 6, encontre os valores aiticos x',ex', para o dado nivel de confiant;a c e tamanho da amostra n. I. c = 0,90,n = lO. 7. Vitaminas Para analisar a va~o das pUulas de suplernento vi1aminico, voce seleciona aleat~mente 14 p(lulas e as peSil. Os resultados (em milig1am<)S) s.lo apresentados. Use um nivel de 90% de confiani;a. 500,000 499,995 500,010 499.997 500,015 499,988 500,000 499,996 500,020 500,002 499,998 499,996 500,003 500,000 2. C • 0,99,n • 13. 3. C= 0.95,n = 22. c = 0,98,n = 26. 8. Xarope para tosse Vod!. seleciona. aleatoriamente, e mede o con- 5. C= 0,99,n = 30. leUdo de 15 frascos de 101ope p.ar.i tosse. Os rescitados (em on(as fl\Jidas) ~ apresentados a seguir. Use um nlvel de 900h coofiafl('.a. 4. 6. C= 0,80,n = 29. 4,211 4,246 4,269 4,24 l 4,260 4,293 4, 189 4,248 4,22GI 4,239 4,253 4,209 4,300 4,256 4,290 t:lsando e interpretando conceitos Construindo intervalos de confian~a Nos exeidcios de 7 a 20, supollha que cada amostra tenha sido re1irada de uma popula<;ao no<malmerne d"ISlribuida e construa os intervalos de confia~ indicados para (a) a variancia da popula<;ao e (b) o desvio padrao da popula\<10 o. o• 9. Baterias de carros 0 numero de hO<as da capacidade de reseNa de 18 OOterias de automoveis escolhidos aleatoriameote e apresentado a seguir. Use um nivel de 99% de confian(.il. 0daprodode W>wmot R<pons,) Ed ,e 1naaa 1 1,70 1,86 1,55 1,60 1,94 1,58 1,74 1,60 1,72 1,38 1,46 1,64 1,49 1,70 1,75 0,88 1,n 2,07 14. Frequenda de pulso As frequencias de ptilso de uma amos· tra alea16ria de 16 ad<Alos s.lo ap<esentadas no grafico ramo-e· ·folhas. Use um nivel de 950.0 de ·Confiani;a. 6 6 7 7 8 8 I • " 8 ·~ ~ •• s ""~·,'I -09 I .I 1..3 IS 1.7 1.9 2.1 C~JX)cidade de restn't'I Io. Parafusos Voce seledona aleatoriamente e mede o compri· mento de 17 parafusos. Os resultados (em polegadas) s.lo apre· sentados. Use um nrvel de 95% de confiani;a. 1,286 1,138 1,240 1,132 1,381 1,300 1,167 1,240 1,401 1,241 1,217 1,360 1,302 1,331 1,383 2 589 0 144 66799 00 7 Chave: 61 2 = 62 15. Qualidade da agua Como parte de uma pesquisa sobre a qua· lidade da agua, voce 1es1a a dureza da agua em varios Huxos d'agua. Os resuh.idos soo apresentados na figura use um nivel de 95% de confiani;a. 1,137 1,171 I s n= 19 .g " <g 3 ~ - s ; 15 griios/galiics ,,. , I I.IS 1.10 l.2S 1.30 J_1S 1.~0 Con1prin1oCtllO do parafui.o 11. Maquina para cortar grama Um fabricanle de mAquinas para cartar grama est.I lentando delerminar o desvio padrao da vida de um de seus modelos de mAquinas. Para faze·lo, ele selei:iona alea1oriamen1e 12 mAquinas que foram vendidas anos auas e descobre que o desvio padlao da amostra e 3,25 anos. Use um nivel de 99<\b de confiani;a. (t.dap:o<h de coo,.,.,.., llepom.) 12. Sistemas de home theater Uma revista Jl(lbfica uma reporta· gem sobre os p<e<;os de sistemas de home theaters. 0 artigo afinna que 14 sistemas alea1oriamenle escolhidos tiveram urn desvio padrao de S 123. Use um nlvel de 95% de confiaroi;a. 16. Custos de websiles Como paAe de uma pesquisa, voce per· gunta a uma amostra de empre:s.lrios o quanto eles estariam dispostos a pagar por um web~te para suas empcesas. Os re· sultados s.lo apresentados na figura. Use um nivel de 90% de confian<;a. Quanto voce pagara por seu site? (/viap:odo ti< ConslH1let R<p<Jtrs.) 13. Hoteis Como pane de seu plar.ejamento de ferias, voce contata to hote;s escolhidos de forma aleat6ria denuo da sua area de des1>10 e anota o pre<;o dos quartos de cada um. Os resultados sao apresentados no gralico ramo-e.folhas. Use um nlvel de 90% de c.o.1fiani;a. 6 7 8 9 10 11 12 13 14 03 3 0 28 38 2 (have: 81 3 = 83 17. Renda mensal PS rendas mens.ais de 14 indMduos selecionados aleatoriamente que se formaram recentemente c0010 bachareis em economia 1em um desvio padrao de S 342. Use um nivel de 95% de confiani;a. !MoPrmfo de u.s. &Jtect1 ol wb« S/"'50<>.) 18. Precipita~ao anual A media de precipita~o anual (em polega· das) de uma amostra aleat6cia de 30 anos em Anchorage, Alaska, tern um desvio padrao de 2,46 polegadas. Use um nivel de 99% de confiani;a. (f<wo 1./asla C/imoro R"5e<Jlcl> C<11w.) 19. Tempo de espera 0 tempo de espera (em minutos) de uma amostra aleat6ria de 22 pessoas em um banco tern 11n desvio padrao de 3,6 minulos. use um nfvel de 98% de confia!\{<l. 20. Motocicfetas Os pce~os de uma amostra aleat6<ia de 20 mo· tocicletas novas lem um desvio padrao de $ 3.900. Use um nlvel de 90% de confiani;a. Ed ,e 1naaa 1 Expandindo conceitos 21. Peso de pnulas de vitaminas vore esta analilan<Jo a amostra de p{lulas de suplementos vitamlnicos do Exe<dcio 7. O desvio padrAo da populaolo de pesos das p(lulas deve set menot que 0,015 miligramas. 0 intervalo de confian<;a que voce construiu para s sugere que a variac;Ao nos pesos das pMis esteja denuo de um ruvel aceitaver? Explique seu raciodnio. 22. Conteudo dos frascos de xarope para tosse Voce esta ana· lisando a amostra de frascos de xarope do Exercicio 8. O desvio padr~n da populacao de contelKios dos frasc:o~ deve ser me· nor que 0,025 o~s fluidas. 0 intervalo de confianca que voce construiu para u suge<e que a varia~o noconteudo dos frascos esteja dentro de um nivel aceitavel? Explique seu raciocinio. Usos e abusos - estatistica no mundo real Usos Agora, voce sabe que informa¢es completas me os parameuos populacionais nao estao frequentemente disponfveis. As te<:n~ deste capftufo podem ser usadas para faier eslimativas de intwalos desses parametros de modo que voce possa tomar decisiles funda· mentadas. Do que voce aprendeu neste c.ipitulo, voce sabe que as estimativas pontuais(estatfstic.is amostrais) dos parametros populacionais sao oormalmente pr6ximas, mas raramente sao iguais ao valor real do paramevo que estao estimando. l emb<ar disso pode ajudar a tomar boas decis<Jes em sua carreira e no dia a dia. Por exemplo, suponha que o resultado de uma pesquisa diga a voce que 52% de uma popula(llo pla· _ Elcilores rcg.is-tn1dos neja votar a faV<l< do ioneamento de uma parte de uma cidade em area residencial e comercial. Voce sabe que isso e somente uma estimativa pontual da real propotVotos /~ (llo que votarA a faVO< do zoneamenio. Se o intervalo Elcitorcs ') ::uuais .J na anl0$1r.l de estimativa for 0,49 < p < 0,55, entao voce sabe que isso significa que epossivel que o item nao receba "-._____/ a maioria dos votos. Abusos Amostros niio representotivos Ha muitas maneiras nas quais pesqiisas podem resuhar em previsiles incorretas. Quando voce vil os resultados de uma pesquisa, lembre-se de questionar o tamanho da amostra, a tecnic.i de amostragem ea questao usada. Po< exemplo, suponha que voce queira saber a propo<~o de pessoas que votar~o a favor do zo.1earnento. A panir do <fiagrama apresentado, voce pode ver que mesmo se sua amostra for grande o suficiente, ela pode nao consistir dos eleitores reais. Usar uma amosua menor pode ser a unica maneira de fazer uma esrimativa, mas esteja atento ao fato de que uma mudanca em um valor de dado pode mudar completamente os resultados. Geralmente, quanto maior o tamanho da am0stra, mais acertado ser~ o resultado. Quest<io de pesquiso tendern:ioso Nas pesquisas. tambem e impo<tante analisar as palavras usadas nas questOes. Po< exemplo, a questAo sob<e o zoneamento pode ser apresemada como: "Sabendo que o zooeamento ira resuhar em mais neg6dos contnbuindo para impostos escolares. voce apoiaria o zoneamentol" {xercicios 1. Amosuos ndo tepresentotivos Encontre um exemplo de uma pesquisa que foi mos- trada em um jornal ou revista. Desaeva diferentes maneiras de que a amostra poderia nao set repcesentativa da popul~. 2. Questiio de pesquiso tendencioso Encontre um exemplo de uma pesquisa que esteja em um jomal ou revisla. Desaeva diferentes maneifas de que as questlles dessa pesquisa possam ser tendenciosas. Ed ,e 1naaa 1 284 • l11a1n1ica•plk•d• Resumo do capitulo 0 que voce aprendeu? • Como encontrar unla estin1ativa pontual ea margem de erro: Exemplos Exercicios de revisao 1e2 1 e2 3a5 3e4 6 5a8 u E=z,..,... VII • Como construir e interpretar intervalos de confiarn;a para a media populacional: x- E<11 <x +E. • Como determinar o tamanho mfnimo necess<l.rio da amostra quando estimamos '" 11=[':]'. Sf,dO 6.Z • Como interpretar a distribui~lio t e usar a tabela da distribui¥iO: 9a 12 _ (x-1t) 1 - (s/ $.)' • Como construir intervalos de confian<a quando 11 < 30, a populai;iio enonnalmente distribuida e tT edesconhecido: s 2a4 13a22 x-E<11<x+E, E= I, r· "" s~,ao 6.3 • Como encontrar uma estimativa pontual para a propor<;ao populacionaJ: 23a30 • x p=-. II • Como construir um intervalo de confian<a para propor\llo populacional: p- E<p<p+E, E=zc 2e3 31 a38 4 39e40 v-;/M. • Con10 detern1inar o tan1anho nllnin10 de aJnostra necessaria quando estima1nos um• propor~ilo pop11IMiOn•t: 11=flij[~ J" s~,Cio 6.4 • Como interpretar a distribui~ilo qui-quadrado e usar a tabela da distribui<;ao quiquadrado: 41a44 ,, (11-l)s' x u t . • Como usar a distribui\ilo qui-quadrado para construir um intervalo de confianyi para va.rifincia e desvio p'1drao: (11- l)s' 2 (11- l)s' (11-l)s' (11- l)s' • <u < ' ' 1 ' <u<. x• x, x. • x,' . 2 45a48 Ed ,e 1naaa 1 (op!lulo6 • latnv1~1dtcon1i'1l<• 285 Exercicios de revisao s. Sec!o 6.1 Nos e.e<ckios I e 2, encontre (a) a estimativa pontual da m<!clia da popula~o e (b) a margem de erro para um intervalo de 90% de confian~. ' ·~ 1. Hor~rio de despertar de 40 pessoas que <:0m~m aoabalhar ~ Sh (em minutos passados das Sh). 135 145 95 140 135 95 110 so 90 165 110 125 80 125 130 110 25 75 60 125 11 5 135 95 90 140 65 100 100 160 135 40 75 50 130 45 135 115 use os resultados do Exercicio I. Determile o tamanho mfni· mo da pesquisa nec~rio para se obter um nfvel de 95% de confia~ em que a mMia da .amostra de horarios de despenar esteja dentro de uma margem de e<ro de IO minutos da m<!clia verdadeira. use os resultados do Exerdcio I. Appra, suponha que voce queira um nivel de 99% de confian~ com um erro nWriino de 2 minu· 1os. Q\Janlas pessoas ~ precisaria pesquisar? 7. use OS resultados do Exerclcio 2. Delermine 0 tamanho mlnimo da pesquisa necessaria para ter 95% de confia~ em que a media da amostra da distancia ate o trabalho esteja dentro de uma margem de erro de 2 milhas da m<!clia verdadeira. 6. 8. Use os resultados do Exerdcio 2. Agora suponha que voe~ queira um nfvel de 98% de confia~ com um erro ~ximo de 0,5 mi· Rias. Quanias pessoas voe~ precisaria pesquisar? 85 75 130 I Secao 6.Z 14 ~ IZ ,fi 10 g ·;:; Nos exerclcios de 9 a 12, encontre o valor cr~ico t, para o dado nlvel de confian.;a c e um tamanho da amostra n. = 6 er l! ..... 4 9. 10. 2 x 35 SS 1S 9.S llS 13.S I.SS Hor.lrios de dcspcr1llr (enl 1ninutos dcpois das Sh) ::'~ 2. Oist.lncia at~ o trabalho de 32 pessoas (em milhas). 12 9 7 2 8 21 10 13 3 7 6 13 13 6 6 14 4 2 9 7 3 27 ~ 6 .... 4 c = 0,98, s =0,9, n =12, i =6,8. *= 25,2. i'los exe<dcios de 17 a 20, constroa o intervalo de confon~ para 2 12 16 18 11 usando as estatlsticas do exercfcio. Se for corweniente, use ferrame11· tas de tecnologia para construir o int<!tllalo de confia~. 17. Exercicio 13. 18. Exercfcio 14. 19. Exercicio 15. 20. Exercido 16. 2 "' 10 16 22 2$ Oist:!ncia :116 o trnbalho (cn1 milhas) Nos e.xercicios 3 e 4, coostrua o intervalo de confia~a illdkado para a m<!clia da populai;Ao 1.. Se for conveoiente, use ferramentas de tecnologia para constroir o intervalo de confiam;a. 3. c = 0,95,x 14. c=0,95,s= l,1,n=25,x =.S,5. 10 3 ·g "' IOg l! Nos exerckios de 13 a 16, e11eontre a margem de erro para 11 • 13. c = 0,90,s = 25.6,n = 16. i = 72,1. 16. c=0,99,s = 16,5,n = 20, 2 30 7 I? O' 12. C= 0,99,n = 30. 15. I ... 11. c = 0,95,n = 8. c = 0,90,n = 22. c = 0,98,n = 15. =10.3, s =0,277. n =100. 4. c = 0,90,x = 0.0925. s = 0.0013, n = 45. Nos e.etcicios de 5 a 8, determine o tamanho mfnimo da amos· tta para estimar µ. 21. Em uma amostra de 15 CO players que estavam no conserto, o arsto m<!clio do conseno era de S80 e o desvio padrao era de S 14. Consuua um intervalo de 90% de conlian.;a para µ. Suponha que o custo para o conserto seja normalmente distribuido. (Adoprodode Ccnwmer ll<J;otts.) 22. Repila o Exerdcio 21 usando um intervalo de 99% de coofl(ln.;a. Secao 6.3 Nos exercidos de 23 a 30, seja p a propo19]0 da populaylo que responcle sim, uSI! as inf0<ma~Oes d;adas para encoouar pe(/. 23. Em uma pesquisa com 2.000 adultos none-americanos, 560 disseram que acreditam que seus mMrcos dizem a verdade. (Adop!Cdode l\»v Resear<h Ceme<.) Ed ,e 1naaa 1 Sim 560 Nao 1.440 24. Em uma pesquisa com 500 adultos nooe-americanos, 425 disseram que confiariam no que seus m~icos disseram. (Adcplooo de The Harm Poll.) Si1n 594 29. Em<Jllapesquisacom 4.813adukosnotte-americanos, 2.021 dis· seram ter Internet com acesso de alta velocidade em casa. (Adoprodo de P,,.,1 lnJemet ond American Lie ProJ<ct) Nao 75 Sim 2.02 1 Sim 425 25. Em uma pesquisa com 2.010 adultos norte-americanos, 442 dis· seram que nos ultimos 3 anos uma oiganiza~ os notificou de terem perdido, te<em sido roubados ou de terem jogadofora indevidamente suas informa¢es pessoais. r;.tfaplJJdo a., The Homs Poll.) Sim 442 Ni!o 2.792 30. Em uma pesquisa com 2.365 adultos norte·americanos. 1.230 disseram se preocupar mais em perder suas dedu'Oes ao preenche< suas taxas. (µop!orfo de USA TOllAY.) Siin 1.230 N~o 1.135 Niio 1.568 26. Em uma pesquisa com 800 adultos norte-americanos, 90 fazem pagam~omlnimo deseu cartaodecr~i1o. (A<loplcrlodeeomb<.O. go """""'" C1e<111 IJ>dex) Sim 90 Nao 710 27. Em uma pesqoisa com 644 adolescentes noite·americanos, 116 dizem que os llde<es de neg6cios ~o ~tico~ (Fonre: USA ~) Niio 528 28. Em uma pesqUisa com 1JXJ7 norte-americanos adultos. 594 di· zem que aprovam ossindkatos (/ltlopro<lo de TheG<>l.IJpO<ga>'1•""'-) Nos exeidcios de 31 a 38. construa o intervalo de ronfia°'" indicado para a propot~o pop1Jlacional p. Se for conve<iiente, use ferra· mentas de tecnologia para constl\Jil o intervalo de confia~. 31 . Use a amostra no Exe<dcio 23 com c = 0,95. 32. use a amostra no Exeidcio 24 com c = 0,99. 33. Use a amostra no Exe<d<io 25 com c = 0,90. 34. Use a amostra no Exe<ckio 26 com c = 0,98. 35. Use a amostra no Exe<dcio 27 com c s 0,99. 36. Use a amostra no Exetdcio 28 com c = 0,90. 37. Use a amostra no Exefdcio 29 com c = 0,95. 38. Use a amostra no Exe<d<io 30 com c = 0,98. 39. Voe! quer estimar, com 95% de confian(a e margem de erro de 5% da popu~ verdadei1a, a propoi~ de aduitos norte·ame<icanos que adlam que deveriam poupar mais dinheiro. (a) Nao~ estimalivas p1m~ Encomre o iamanho minimo da amostra necessaria. (b) Encomre o tamanho minimo da amostra necessaria, usando um estudo previo que descobriu que 63% dos adultos no<· te-americanos acham que deveriam estar poupando mais dinheiro. (foll!e: Pow Rt$e<ll<h '""'") (c) Compare os resultados das partes (a) e (b). 40. Repita o Exerdcio 39 pane (b), usando um nivel de 99'!b de conlia°'" e uma margem de etto de 2,5%. Como esse tamanho de amostra se compara ~ sua resposta no Exercfcio 39 pane (b)? Ed ,e 1naaa 1 (•pfrnlo6 • lnterv•l.,deconfi•ll(• 287 Secao 6.4 Nos exerddos de 41 a 44, encontre os val01es af1icos .~ e ,\ { para o dado nM!I de confian~ c e ramanho de amostra n. 41. C= 0,95,n = 13. 46. 42. c = 0.98,n = 25. - ·~A7. 43. c= 0,90,n = 8. 44. c = 0,99, n = 10. Nos exercicios de 45 a 48. construa os inteivalos de confi~ indicados para•' e o. SupQnha QUe as amostras sejam retiradas, cada uma, de uma popula.ao normalmente distribuida. 45. Uma amostra aleat6ria do conte<ldo liquido (em on>as fluidas) de 16 latas de bebidas edada. Use um nlvel de 95% de confian~. 14,816 14,965 14,863 14,824 14,814 14,884 14,916 14.860 15,021 14,m 14,856 14,919 Repita o Exerdcio 45 usando um nf•-el de 9~ de confian>a. Uma amostra aleat6ria do s6dio (em maigramas) comido em 24 caixas de cereais edada Use um nfvel de 90% de confianca. 290,8 292,5 288,0 291.9 290,3 291,4 290,0 290,3 289,9 289,3 291,2 290,6 289,8 292,9 288,7 291.4 289,7 14,998 14,838 14,874 14,980 289,7 29 1,1 290,9 289.9 290,6 290,0 291,3 48. Repita o Exerdcio 47 usando um nivel de 95% de confian~. Teste do capitulo l Faca este teste como se voe~ estivesse fozendo uma pt<l'ia em s.ila. Depois, compare suas respostas com as resposias dadas no finaf do livro. confian\a para uma mMa da popu~o e inteq>rete os resultados. Suponha que a JlOPula(Ao do conjunto de dados seja normalmente distribuida. 1. Os dados a segtir representam o custo de reparos (em d61ares) pata uma amostra aleat6ria de 30 m~quinas de Javar I~. I/It/Op· tado do COMWrl<I /lepons.) (d) RepiUl a pane (c). supondo que o = 2,63 jardas. Compare os resultados. 41,82 52,81 57,80 68,16 73.48 78,88 88, 13 88,79 90.07 90,35 91,68 91,72 93.01 95,21 95,34 96,50 100,05 101,32 103,59 104,19 l()!;,62 111,32 11 7,14 118,42 118,n 119,01 120,10 140,s2 141,84 147,06 (a) Encootre uma estimativa pontual da media da popula.ao. (b) Encootre a margem de e1!0 para um nivel de95% de coofiaO\il. (c) Constt\Ja um imeivalode 95% de confianca para a media da popula~o e interprete os resultados. 2. \lxe quer es!imar a m~ia dos custos com reparos de rmqtJinas dt: lav<11 k14Jt,.c:>. A otintativd devt: ltf t1&d1~11 de: t:lfO dt: S 10 em rela(Ao a mMia da popola.ao. Determine o tamanho exigido da amostra para COM!t\Jir um inteivalo de 99% de confianca para uma media da popula.ao. Suponha que o desvio padrao da popula{.\o seja $ 22,50. fMap<ado ~ CtJns,;1ne1 llEpol:<) 3. O conjunto de dados a seguir representa a media de jardas pOI L1terce~ para uma amostra aleat6ria de recebedores no futebol amelicano de uma temporada recente. (For.;,: Nooorcl Foolball tecgw.) 11, I 14,4 12,8 12,0 15,2 13,9 11 ,7 13,2 11,6 13,7 (a) Encontre a mMia da amostra. (b) Encontre o desvio padrao da amostra. (c) Use a distribui.ao I para constt\Jir um inteivalo de 90% de 4. Em uma amostra aleat6ria de sete engenheiros aeroespaciais, a ren<la mMia mensal foi de S 6.824 e o desvio padrao foi de S 340. Suponha que as rendas mensais sejam normalmente disl.ribufdas e use uma distribui>Jo t para construir um inteiva· lo de 95% de confianca para a mMa da popul~o de renda mensal de engenheiros aeroespaciais. (Moprodo do us Bvtecu oJ to<'<>' Sromr.._) 5. Em uma pesquisa com 1.037 adultos dos EsUldos Unidos com idades emre 65 ou mais, 643 s;e preocupavam em contrair gripe. (Foore: HOM11d Sthcci l<x Plibllc Hoa.'th.) (a) Encontre uma estimativa iiJOntual para a propor~o popula· cional p daqueles que se p<eocupavam em contrair gripe. (b) Construa um inteivafo de 90% de conlianca para a propor· \(io popufadonal. (c) Encontre o wmanho mfnimo da amostra nece~rio para esiimar a propon;!o populacional no nfvel de 99% de coo· fianca para assegurar que a esiimativa esteja de ac01do com a margem de erro de 4% da propo1¢0 poP<Jlacional. 6. ConS<Jhe o conjunto de dados no Exercfcio I. Suponha que a popufa¥lo do custo do reparo de ~quinas de lavar looca seja normalmente distribufda (a) ConstJW um intwalo de 95'!0 de conf14n,a para a varklncia da popula(Ao. (b) Constt\Ja um inteivalo de 95% de confianca para o desvio pad~ da popula~o. Ed ,e 1naaa 1 288 • liutllti<"Pll<..ta Juntando tudo E:statistica real - decisoes reais Como pane dosesfor~os da U.S. Environmental Protection Agency (EPA) pioteger a ·saude humana e salvaguardar o ambiente naturar, o EPA conduz o Urban Air Taxies Monitoring Pro· gram (UATMP) - ptograma de monitoramento de t6xicos nos ares u.tanos. 0 ptograma reuniu milhares de amostras dear e as analisou para concenuai;ao de mais de 50 componentes organicos diferentes, tais como formaldeidos (usados para preservar va;cinas, armazenar es~cimes biol6gicos e na produylo de adesivos permanentes e como isolante). Os formaldefdos tambem sao encontrados na fumac;a de queimadas nas florestas, no escapamento de autom6veis e na fvmaca do tabaco. Os resultados do UATMP sao usados para obter percepi;.lo sobre os efeitos da poluii;.lo do ar e dete1111inar se os esfor'°5 para limpeza do ar est3o funcionando. POI exemplo, usando amostras dear de uma grande cidade, o EPA pode analisar e estimar a concenuai;ao mMoa de formaldeldos no ar usando intervalos de confianca de 95%. Eles podem comparar o intervalo com os resultados de anos anteriores para verse~ te~cias e se houve mudancas significativas na quantia de formaldefdos no a1. Voce ttabalha para EPA e foi pedido para inteff)letar os resu1tados mostrados no g<afico a seguiI, que mostta a estimativa pontual para a m~ia de concenuai;ao populacional e o in· tervalo de confianca de 95% para 11 para formaldefdos num periodo de 3 anos. Os dados sao baseados nas amostras dear de uma cidade. Forn1aldefdos 'U' ,E ~ 0> ~& '3 - g ts , -_ u 1!. " - ~~ !:E ~ &. 2 E ~ I I I Ano I Ano2 Ano .l Ano E:xercicios I. lnterpretondo os resultodos Considere o grafico da m~ia dos niveis de concenua~~o de formaldefdo. Para os anos a seguir, decida se houve mudanc;a na mMa dos nlveis de concenu~o de formalde'.00. Explique seu raciocinio. (•) do Ano 1 para o Ano 2. (b) do Ano 2 para o Ano 3. (c) do Ano 1 para o Allo 3. 2. 0 que podemosconcluirl Usando os resultados do Exercicio 1, o que podemos conduir sobre os esfor~os para reduzir a concentrai;.lo de formaldeidos no ar? 3. Como voce acho que eles fizerom? Como YOce acha que a EPA construiu o intervalo de confianc;a de 95% para a m~ia popu· ladonal de concentra\<lo dos compostos organicos no ar? O que 1emos a seguir respo.ide Aquestao (voe~ mo f)lecisa faze1 neM.Jm calculo). (a) Que distrfbuii;ao de amosuagem voe~ acha que foi usada? Por qu~? (b) Voce ad\a que eles usaram o des..;o padrao da amos1ra ao calcular a mQtgem de eno? POI que? Se nao, eles pode1iam le< usado? Ed ,e 1naaa 1 (apltul• 6 Tecnolo ia I MINITAB • ln1malcs4e<onfiaaca Tl-8J/84 EXCEL AGallup Organization(www.galluppoll.com) Pesquisa dos mais admirados Desde 1948, a Gallup Organization conduz a "pesquisa dos mais admirados". A metodoJogia para a pesquisa de 2006 esta descrita abaixo. Pergunta da pesquisa wee Que ho111e111' 01rvi11011 le11 a respeito, q11e estcjn vivo hojc em din, em qunlq11t'r pnrtc do 1111111do, vo<:<' 111nis nd111irn? Q11e111 serin sun seg1111dn esrollrn? "Esses resultados s~o baseados em entrevistas por telefone com uma amostra de 1.010 adultos selecionados aleatoriamenle, com idades acima de 18 anos, conduzida de 11 a 14 de dezembro de 2006. Para os resultados baseados nessa amostra, podemos dizer com 95%de confian~a que o erro maxi mo atribuivel ~ amostragem e outros efei· tQs aleat6rios e± 3 pontos porcentuais. Alem do erro de amostragem, a montagem da questao e dificuldades praticas ao conduzir as pesquisas podem introduzir erro ou tendenciosidade nos resultados das pesquisas de opini~o publica." Exercicios I. Em 2006, o homem mais mendonado foi George W. Bush em 13%. Use a tecnofogia para encomrar um iniervalo de confia~ de 95% para a proporc;;Jo que teria escolhido George w. Bush. 2. O imeivalo de coolia~ obtido no Exercicio I coOCO<da com a afirma(Jo da Gallup de que a propor,ao e 13% mais ou menos 3%? Explique. 3. Em 2006, a mulher mais ~cionada foi Hill3ry Ointon. A segunda foi Oprah Winfrey, que foi nomeada por 9% das pessoas na amostra. Use a ferra~ta tecno!Ogica para encontrar o intervalo de oonfia"ld de 95% para a proporc;;Jo da pepula(Jo que esar lhe<am a Optah Winfrey. 4. use a ferramenta tecnol6gica para simular a pesquisa da pessoa mais adrrirada. Assuma que a propor(Jo populacional real que mais admira Oprah Winfrey e 12%. F~ a ~mula(Jo diversas vezes usando n = 1.010. (a) QIJal foi o menor valor obtido perf>? (b) Qllal foi o maior valor obtido pori>? 5. ~ possivel que a propor~o real de popula~o que mais admira Op!ah Winfrey seja de 12% ou mais? E>p!ique seu raciodnio. MINITAB l Generate 200 rows of data Store in column(s)I: C1 Number of trials: 1010 Probabifity of success; 289 .12 Ed ,e 1naaa 1 Usando a tecnologia para construir intervalos de confian~a Aqui estao algumas telas do MINITAB e Tl-83/84 para. exemplifica<;<lo neste capftulo. Pnrtl duplicur os resulti:ldos do ~·llNffAB, vote prcciso dos dnd0$0riginnis. Pru-n a Tl-83/84, voce pode simplesmentc inserir as estatisticas descritivas. As respostas po· dem serum pouco diferentes por conta do arredondamento. (Vtja Exemplo 3, p. 254.) Qisplay Descriptive Statistics ... §tore Descriptive Statistics . 4 E'"·ll!IM 1-Semple t ... !'1-Sample t ... Paired t. .. 9 20 18 16 9 9 11 13 22 16 5 18 6 6 5 12 25 17 23 7 10 9 10 10 5 11 18 18 9 9 17 13 11 7 14 6 11 12 1l 6 12 14 11 9 18 12 12 17 11 20 MINITAB t Z Confidence Int ervals 1 Pcoport.ion... 2 Prgportions .. . The assumed sigma • 5 Variable Cl N Mean &l 12.4 StOev SE M ean 5.010 0 .707 95.0%CI (11.014.13.786) (Veja Exemplo 2, p. 265) Qfsplay Descriptive Stat.istics... ~e Descrip tive Sta_Ei~cs .. ,_ 1-Sample ;:';.. . 1p12;;;;11w 159" 173" 162" 151° 173" 162" 148" 172° 167" 170" 151" 153' 172" 143'' 166" 170" M!NITAB [ a-sample t .. . Paired t. .. T Confidence Intervals 1 Pcoportion .. . 2 Prgportions .. . Variate C3 N Mean 16 162.00 StOev SE Mean 10.0 0 95.0% 0 2.50 (156.67.167.331 {Veja Exemplo 2, p. 272.) Qisplay Descriptive Statistics.. ~e Descriptive Statistics ... 1-$ample ~.. . 1-Sample t .. . a-sample t ... Paired t ... 'i Prap:wt1on 2 Prgport.ions ... .! MINITAB l Test and Confidence Interval for One Proportion Test of p • 029 vs p not • 0.29 Sample X N Samplep 95.0%CI 1 354 1219 0.290402 (0.264919.0.315885) Z-Value 0 .03 P-Value 0.975 Ed ,e 1naaa 1 C.pliulo 6 (Ver Exemplo 5, p. 256) (Ver Exemplo 3, p. 265) Tl-83/84 [ Tl-83/ 84 e EOIT Cl\LC E:OfT CJ\l.C 1: 2: 3: 4: 2t T-Test... 3: 2-SampZTest... 4: 2 - SampTTest... 5: 1-PropZTest... 6: 2-PropZTest... 7: Zlntervel... Tlnterval... al Zlnterval lnpt:Oate EOIT C/\lC Tlnterval lnpt:Oate i: 6:22 Bm s: 1.5 x: 22.9 $)(; C-Level: .9 C-Level: .99 calculate calculate Tl-83/84 [ Zlntervel {22.348, 23.452) X• 22.s n= 20 • Tl-83/ 84 [ Tlnterv.al {5.9513. 6A887) i• 6 .22 Sx= .42 n• 20 Tl-83/84 [ • 1-PropZlnt x; 354 n: 12 19 .42 n: 20 11#,.iM 0: :2-SampTlnt.• 1111 1-PropZlnt... Im n: 20 l 5 t 1-PropZTest... • Tl-83/ 84 [ 291 6 : '2-PropZTest.. 7: Z lnterval... 8 : ilntervel.. 9: :2- SampZlnt... Ill • Tl-83/ 84 [ lnter<alosdeconfia111• (Ver Exemplo 2, p. 272) Tl-83/84 [ Z-Test... T-Test... 2-SampZTest.. 2-SampTTest... 5: 1-PropZTest... 6: 2-PropZTest... Zlnterval.. • C-Level: .9 5 catculate • Tl-83/ 84 [ 1-PropZlnt (.26492..31589) p= .2904019688 n= 12 19 • Ed ,e 1naaa 1 Capitulo I j l ___ Testes de hipotese ~ ]. __ com uma amostra Onde estamos Para onde vamos No Caprtulo 6, voe~ oom~ou a estudar estatlstic.1 inferencial. Naquele c.1pitulo, voce aprendeu a formar um intervalo de oonfiani;a estimado para um parametro popula· cio.nal, ta! oomo a propor<;ao de pessoas nos Estados Unidos que oonoordam com certa alirmai;.io. Por exemplo, em uma pesquisa por todos os Estados Unidos, realizada por Harris lntc>mctive em nome do BusinessSofware Alliance (BSA), fo. ram entrevistados estudantes americanos com idades entre 8 e 18 anos e perguntado a eles sobre suas atitudes em rela(aO a lei de direitos autorais e oomportamento na Internet. Aqui estao alguns dos resultados. Neste c.1pitulo, voce oontinuru-a estudando estatlstica inferencial. Mas, agora, em vez de fazer estimativas sobre um parametro populacional, voce aprendera oomo testar uma afirma~ao sobre um para.metro. Por exemplo, suponha que voe~ trabalhe para a Harris Interactive e deva testar a afinna<;ao de que a propor~o de alunos norte-americanos entre 8e18 anos que fazem rlow11lanrl de musica da Internet sem pagar ~ p = 0,25. Para testar a afir· 1na~OO, v()ci} retira unla amost.ra aleat6ria de 11 = 1.644 estudantes e descobre que 526 desses fazem rlow11load de m6sica na Internet sem pagar. Sua estatislica amostral e fi "'0,320. Sua estatistic.1 amostral difore o suficiente da afirma~ao (p = 0,25) para decidir que a afinna<;ao e falsa? A resposta esta na distribuii;.io de amostragem das propori;Oes amostrais retiradas de uma popula~o na qual p = 0,25. 0 grMioo a seguir mostra que sua estatlstica amostral est;I aci· ma de 6 erros padrao do valor da afinna~ao. Se a afinnao;lio for verdadeira, a probabilidade de que a estatfslica amostral esteja a 6 erros padrao ou mais do valor afirmado e mui· to pequena. Alguma coisa esta errada! Se sua amostra for verdadeiramente aleat6ria, entao voci! pode concluir que a propor<;<io real da popula<;ao de estudantes nao e0,25. Em outras palavras, voci! testou a afirmao;ao original (hip6tese) e decidiu rejeita-la. N6mero Pergunta da pesquisa NUmero pesquisado VO<i! iii fezd0<1mlond de musica na Internet sen1 pagar por isso? 1.644 526 VO<i! nao fez dow11/ond de mUsicas sen\ pagJr pois n~o quer problemas cont as Iris? 1.644 690 Fazer dmo11lood de mUsica sem pai;ar esempre errado? 1.644 986 VO« jA fez d0<u11/ond de software de lntern<'t scrn pag:ar? 1.644 230 de quem respondeu sim Distribui~ao amostral Estatistica anu>..(Ottal ,;.0320 -+-;--+--+-;_,.:;.-+-+-+-+-1-_,,,_;--+-~ ·\-+-~• m = ~1 ~ ~ g Ul ~I ~ ~-+~+--+~+--t~+---t~+---t~-+----~-+~t---+~+--~ ' -7 -6 -s -4 -.l -z _, 0 2 3 4 s 6/ 7 Valor t pa.dronizado z ;6.S5 Ed ,e 1naaa 1 Ill lntrodu~ao aos testes de hipotese Teste de hip6tese ---+ Estabelecendo uma hip6tese - >Tipos de erros e nivel de significancia - > Testesestatisticose valores P - > Tomando einterpretando uma decisao ---+ Estrategias para testes de hip6tese I Teste de hip6tese No restante deste livro, voceestudara uma importante tecnica em estatistica in· ferencial chamada de teste de hip6tese. Um teste de hip6tese e um processo que usa estatfsticas amostrais para testar a afim1aqao sobre o valor de um parametro populacional. Pesquisas em campos tais como medicina, psicologia e neg6cios confiam nos testes de hip6tese para a tomada de decisiies fundamentadassobre novos medicamen· tos, tratamentos e estrategias de mercado. Por exemplo, suponha que um fabricante de autom6veis anuncie que seu novo carro hibrido fem mi!dia de milhagem de 50 milhas por galilo. Como poderiamos most:rar que esse anuncio efatso? Obviamente, voce nilo pode testar todos os vefculos, mas voce ainda pode tomar uma decis.'io razoavel sobre a media da milhagem retirando-se uma amostra aleat6ria da populav'lo de vefculos e medindo a milhagem de cada um. Se a mi!dia da amostra diferir o suficiente da mMia do anuncio, voce pode decidir que o anuncio esta errado. Por exemplo, para testar que a mi!dia de milhagem de todos os vefculos hfbridos desse tipoe 11 = 50milhas porgalilo, voce poderetirar uma amostra aJeat6ria de 11 =30 veiculos e medir a milhagem de cada.Suponha que voce ol>tenha uma mi!dia amostral de x =47 mil has por galao com desvio padriio amostral des =5,5 milhas por galiio. l:sso indka que a anuncio do fabricante e falso? Para decidir, voce faz algo incomum -voct assume q11e o m11i'1cio estlf correto! Ou seja, voct! assume que 1• = 50. E11tao, voce examina a distribui¢o de amostragem das medias amostrais (com 11 =30) retirada de uma popula<;ilo na qual 1• =50 e a =5,5. Pelo teorema do limite central, voce s.1l>e que ess.1 distribui¢o de amostragem e normal com media de 50 e desvio padrao de 5,5 0 que voce deve aprender • Uma introclu\<lo pralica ao teste de h1p6tese. • Como estabelecer uma hij)Otese nula e uma hip6tese altemati\'il. • Como identi1kar os erros tipo Ie tipo II e inteipretar o nf\<el de significAncia. • Como saber se devemos usar o teste estaUstico uni ou bicaudal e encontrar um valor P. • Como tomar e intetpretar deciscles b<iseadas em resultados de um teste eslatistico. •Como escr- uma afir~o para um teste de hip61eses. 1 130"' . No gra.fico a seguir, note que sua mMia amostral de x = 47 milhas por galiio e muito improvavel - esta a aproximadamente 3 erros padrilo da media afirmada. Usa11do as Mcnicas que voce estudou 110 Capftulo 5, voe@ pode determi11ar que se o anuncio for verdadeiro, a probabilidade de se obter uma media amostral de 47 ou menos <!de aproximadamente 0,0013. Este <!um evento lncomum. Sua supost<;ao de que o anuncio da empresa esta correto o levou para um resullado improvavel. E11tao, OU voce teve uma amostra muito incomllm OU 0 amlncio e provavelme11te falso. A conclusao 16gica e que o ant'incio e provavelmente falso. Distribui~io de amostragem de x MCdia ainos1ral :i' =47 ~~.-\~1-l-_.,__,___µ,...,____._, 52 S3 ~ ..-i---· · ~-1--+~t--+---t~-1----1-~ -4 ...l\ -'l -1 Voilor padronir,ado z z= -3i0 0 2 l .. lmportante -iii-~~~~~~~~~ Conforme voce estuda este capi\ulo, 11<'\o lique confuso sobre os conceitos de certeza e i mporta11cia. Por exemplo, mesmo se voce tiver muita <rerteza de que a media de miihagem de certo tipo de vefculo hibrid.o 11~0 e 50 milhas por galfto, a real mi!dia de milhagem pode estar muito pr6xima a esse valor ea diferen<;a pode n<lo ser importante. Ed ,e 1naaa 1 294 • lliatiltic..plicada I [stabelecendo uma hipotese Uma afirma~ao sobre um parftmetro populadonal e chamada de ltip6tese estatlstica. Para testar um parametro populacional, vo~ deve afirmar cuidadosan1ente um par de hip6tescs - u1nn que reprcsente a of~nnru;iio c outrn, seu coin · plemento. Quando uma dessas hip6teses for falsa, a outra deve ser verdadeira. Qualquer uma das hip6teses - a lliplitese 1111/n ou a II ip6tese nltemnliVll - pode representar a afirma~ao original. lmportante --~~~~~~~~~~ 0 termo 'hip6tese nula' foi inttroduzido por Ronald Fisher (veja p. 28). Se a afirma9io na lhip6tese nula nao for verdadeira, entao, a hip6tese altertnativa deve ser verdadeira. I Retratando o mundo ' Uma amostra de 25 pacientes sele<ionados aleatoriamente rom est~gio inicial de press.io alta passou por um ajuste quiropratico para ajud~·los a baixar a pressao arterial. Depois de oito senmnas, a n1~ia da qucda na press.io arterial sist61ica dos p.1cientes foi de 14 imilfmetros de memlrio. Entao, afirma-se que a m&lia da qucda na presS<io arterial sist6Uica de todos os padentes que passara.rn por esse ajuste quiropr~tioo especial ede 14 mili11netros de mem'irio. ~1lMpl11<f1•lft 'i'li,• )4-.:1rtJ11I U111wu1 f./yp.'f'~,·~.,,,,.) (Mermic1'! ns l1ip6t~ 1111/n e nl· lenmtim 1wrn '~"" nfirmm;tio. efinicao 1. Uma hip6tese nula H0 e uma hip6tese estatfstica que coatem uma aficma~ de igualdade, tal como '.f, = ou ?:. 2. A hip6tese alternativa H, e o complemento da hip6tese nula. ~ uma afirma~o que deve sec verdadeira se H0 for falsa e contem uma afirm~o de desigualdade estrita, tal como >. "' ou <. H0 e lido como "H subzero' ou 11ip6tese nula' e H, e lido como 'H S\Jb·a· ou hip6tese alternativa. Para escrever as hip6teses nula e altemativa, traduza a afirma9io feita sobre o parfin1etro populaciona1 de uma afir1na~o verbal para u_rna afirnla~ao maten1~tira. Ent~o, escreva seu complemento. Por exemplo, se o valor da afirma~ao fork e o parametro populacional for 11, entiioalguns pares possiveisde hip6teses nuJa ealternativa s.io: {H :1.1?: k H:i.• ~ k {H,:1• >k 0 {H :1•=k 0 0 H, :1, < k H, :1• "' k Sero considerarmos qua! dos tres pares de hip6teses voce poder~ usar, sempre assuma que I' = k e examine a distribui9io amostral com base em sua suposiqao. Den· tro dessa distribui~ao amostral, voe@ vai determinar sea estatlstica amostral e ou nao incomum. A tabela a seguir mostra a rela~l!o entre possiveis afirma~Cies verbais sobre o parilmetro I' e as hip6teses nula ou alternativa correspondentes. Afirma~ similares podem ser feitas para testar outros par5melros populacionais como p, "ou "" Formula1lo verbal H, Amldia I ...11u1;or ou ig11nl n k. ...pelo 111e11os k. ... 11110111e11os que k. ... 111~110$ 011 igunl n k. •.. r:o111tfxi1110J.:. ... utJo ntnis do que k. ... ig11al a k. ... k. ••.exntn11le111c k. formulasao matemitica r'11:;,,. Formul a~io verbal H, A111l dia i ~k ·µ > k ...11rc11or qtw J.:. ...abnixodek. ...urr1tos que k. ...111nior que. k. IH. :µ $ k 1-1.:11 > k •.•nci111a dt k. I ...nifo ig1ud n #:. H. :1i= k Hn:1,=k ...urois do quc k. ...diferc11I< de k. •••1tffO k. Exemplo [O Estabelecendo as hipoteses nula e a!ternativa Escreva a afirmac;iio oomo uma senten~a matem~tica. Afirme as hip6teses nula e altemativa e idenlifique qual representa a afirma~ao. Ed ,e 1naaa 1 1. Uma un.iversidade publica que a propor<;iio de seus estudantes que se graduaram em 4 anos e de 82%. 2. Um fobricante de tomeiras anuncia que o fndice m&lio de nuxo de ~gua de certo tipo de torneira emenor que 2,5 gal6es por minuto. 3. Uma industria de cereais anuncia que o peso medio dos conteudos de suas caixas de 20 on"'s de cereal e mais do que 20 on9as. Soiufdo t. A afirma\ao "a propor\ao ... e 82%" pode ser escrita como I' = 0,82. Seu complemento ep ,. 0,82. Em razao de p = 0,82 rooter a afirma<;ao de igualdade, ela se torna a hip6tese nula. Neste caso, a hip6tese nula representa a afirma\3o. H.y p = 0,82 (Aji111u1\'.i.•) H,: p,. 0,82 2. Aafirma<;iio "a media ... e menor que2,5 gal6es por minuto" pode ser escrita como JI < 2,5. Seu complemento eJI ;::: 2,5. Devido ao foto de JI ;:: 2,5 conter a afirm~o de igualdade, ela se torna a hip6tese nula. Neste caso, a hip6tese alternat·iva repre- senta a afirma\30. H.: I' ;:: 2,5 gal6es por minuto H,: JL < 2,5 gal6es por minuto ..... (Ajirmn~"") 3. Aafirma¥'1o "a media ... emais do que 20on\,as" pode serescrita como 11 > 20. Seu complemento e11 $ 20. Em razao de 1• $ 20 conter a afirma\ao de igualdade, ela se torna a hip6tese nula. Neste caso, a hip6tese altemativa represent·a a afirma\iio. H.: µ $ 20 on\aS H,: I'> 20on\<IS I 0.80 ·~l 'i__ p OM 0.86 11,, µ "' 2l 2.3 1.4 2.S 2/) 2.7 2.8 2.9 II - +-+-+--+-....--+-+-+-f-1' (Aji111U1('!1>) Tente Escreva a afirma<;ao como uma senter)\a matematica. Afirme as hip6teses nula e alternativa e identifique qual representa a afirnla\ao. 17 I~ 19 M 21 ll U U Em cada um <fesses graficos, note que cada ponto na linha dos ntlmeros ~ t . Um analista de consumo reporta que a vida util media de certo tipo de bateria automot.iva nao e de 74 meses. 2. Um fabricantc de televisores publica que a variancia da vida util de certo tipo de televisor e menor ou igual a 3,5. 3. Uma esta\iio de r<ldio publica que sua propor\llo de audiencia de ouvintes locais e maior que 39%. a. lde11tiftq11e a afirma9llo verbal e escreva a senten93 matemMica. b. Escreva o complemento da afinna\<iO. c. lde11tiftq11e as hip6teses nula e alternativa e deler111i11e qual representa a afirma\iio. Ri~·1wsta 1111 p. A.f1 I f/0 II 16 "1' "· Tipos de erros e nivel de significancia Nao importa qual das hip6teses represente a afinna<;iio, vo~ com~1 o teste de hip6tcse assumindo que a condi(ao de igualdade na hip6tese nula cverdadeira. Entao, quando realizar um teste de hip6tese, voce toma uma dessas duas decis6es: 1. rejeita a hip6tese nula ou, 2. falha ao rejeitar a hip6tese nula. Pelo fato de sua decisao ser baseadaem uma amostra ao inves deser baseada na popula,ao inteira, hd sempre a possibilidade de vocc tomar a decisiio errada. em H0 ou H, mas nao amba:s. ~ ponto em Ed ,e 1naaa 1 296 • (ll411Sli<..plicdd4 f>or exemplo, suponha que voce afirme que certa me>eda seja tendenciosa. Para testar sua afirma,ao, voce joga a moeda 100 vezes e oblem 49 caras e 51 coroas. Voce provavelmente concordaria que n~o ha evidencia para apoiar sua afirma~. Mesmo assim, e possivel que a moeda seja tendenciosa e voce tenha um resultado incomum. Mas, e se voce joga a moeda 100 vezes e obtem 21 caras e 79 coroas? Seria uma ocorrencia rara obter somente 21 caras de 100 jogadas com ·uma moeda imparcial. Entao, voce tern provavelmente evidi!ncias suficientes para apoiar sua afirmay'\O de que a moeda e tendenciosa. Entretanto, voce nao pode ter 1()()%, decerteza. Epossivel que a moeda seja imparcial e que voce tenha obtido um resultado incomum. Sep representa a propo~5o de caras, a afirma9ao "a 1111oeda e tendenciosa" pode ser escrita como a afirmai;ao matematica p "' 0,5. Se complemento "a moeda eimpar· cial" eescrita como p = 0,5. Enrao, nossas hip6teses nula e alternativa sao: H<f p = 0,5 H,: 11"' 0,5 (.4Pm•1!00) Lembre-se, a unica mancira deter certeza absoluta se H. everdadeira OU folsa rejeitar H0 ou falhar em rejeitar H0 -ser baseada em uma amostra, voce deve aceitar que sua decisao pode estar errada. Voce pode rejeitar a hip6tese nula quando ela e, na verdade, verdadeira. Ou, vocc pode fol har em rejeitar a hip6tcse nula quando cla e, na verdadc, folsa. e testa.r a popula,ao inteira. Pelo futo de sua decisiio - Definicao Um erro tipo I ocorre se a hip6tese nula for cejeitada quando everdadeira. Um erro tipo II ocone se a hip6tese nula nao f0< rejeitada quando efalsa. A tabela a seguir mostra os quatro resultados posslveis de um teste de hip6tese. A verdade de JI, N3o rejeite H, RejeiteH, Verdade sobre o acusado Veredito Inocente Culpado Nao culpado Justi~ Erro ti po II Culpado Em1 tipo I justii;a 110 ~ verdadeira H, e falsa DeciS<1o corrcta Erro tipo I DecisAo oorrcta Erro tipo II 0 teste de hip6tese, as vezes, ecomparado ao sistema legal usado nos Estados Unidos. Sob esse sislema, os passos a seguir s.'io utilizados: 1. Uma acusa,ao por esc1·ito eescrita cuidadosamente. 2. 0 acusado e assumido como inocente (HJ ate que se prove o contrario. 0 onus da prova fica com a acusa~iio. Se a evidencia niio for forte o suficiente, niio ha condena~iio. Um veredito "niio culpado" niio prova que o acusado einocente. 3. Aevidencia precis.1 ser oonclusiva alem da duvida cabivel. 0 Sistema assume que M mais danos ao se condcnar um inocente (crro tipo ll) do que niio condenando um culpado (erro tipo II). Exemplo m ldentificando erros tipos I e II 0 limite USDA para contamina~ao por salmonela por frango e de 20%. Um inspetor de carnes reporta que o frango produzido por uma empresa excede o limite USDA. Voe~ reali1.a um teste de hip6teses para determinar sea afim1a~ilo do inspetor de carne everdadeira. Quando ira ocorrer um erro ti po I ou. ti po 11?Quale mais serio? (frnllt': U11ilrfl St11/ts DqvrrJm.-nl <!fAg1ic11ttu1r.) Ed ,e 1naaa 1 (aplttlo/ a ltStfSdthlpclteit<OllUlllUlllOllf4 297 So/11fliO Oeixe p representar a proporvio de frangos contaminados. Aafirma~o do inspe· t<>r de cames e"mais do que 20% esta contaminado". Voce pode escrever as hip61eses nula e allernativa como vem a seguir. H0: p $ 0,2 H,: p > 0,2 A propor\ao emenor que ou igual a 20%. A propOf\ilO e maior que 20%. (Ajimm~M 0 frani;o ('St~ dentro dos Ii mites USDA 0 lrango excede os limites USDA. If p>ll' .,.,__+-~.~+-~--1--+---<0--++- p 0.16 0.18 0.20 0.22 Um erro lipo I ocorrera sea propo~o real de frango contaminado for menor ou igual a 0,2, mas voe~ decidir rejeilar H.. Um erro tipo II ocorrera sea real propor~~o de frango contaminado for maior que 0,2, mas vooo nilo rejeita H.. Com um erro tipo I, vooo pode criar um panico sobre saude e causar danos lls vendas de produtores de frango que, na verdade, estao denim dos limites USDA. Com um erro tipo II, voe~ pode eslar permitindo que frangos que excedam o Ii mile de contamina\ao stjam ven· didos ao consumidor. Um erro ti po II pode resultar em doen,as ou mesmo mortes. enle Uma empres,1 especializada na fabricav'lo de paraquedas afirma que o indice .oa de fuJl1a de scu principal paraquedas nao e mais do que 1%. Voce realiza um lesle de hip6tese para determinar sea afirma,ao da empresa e falsa. Quando ocorren\ um erro ti po I ou lipo 11? Quale mais serio? a. Afirme a hip6tese nula e alternaliva. b. Escrevn os possfveis erros lipo I e II. c. Deter111i11e qua.I erro ema is serio. Voce rejeitara a hip6tese nula quando a eslatfslica amostral da distribui~io de amostragem e incomum. V<>OO ja identificou eventos incomuns como aqueles que aconlecem com probabiJidade de 0,05 ou menos. Quando usamos testes eslalisticos, um evento incomum as vczes requer ler uma probabilidade de 0,10 ou menos, 0,05 ou menos ou 0,00 ou menos. Pelo folo de haver uma varia~o de an1ostra para amostra. S<?mpre haa possibilidadede que voce rejeite a hip6tese nula quando ela e, na verdade, verdadeira. Em outras palavrm;, embora a hip6tese nu la seja verdadcira, sua estatistica amostral esta deterrninada a serum evento incomum na distribui~ao de amostragem. Voe@ pode diminuir a probabilidade de fazer isso diminuindo o 11ivel tie sig11ifidt11cin. Definitao Em um teste de hip6tese, o nivel de significancia esua probabiridade maxima permissivel para cometer um erro tipo I. Ele edenotado por '" a letra grega mintisatla alfa. A probabilidade de um erro tipo II eden01ada por {J, a letra grega minUs<:ula beta. Configurando-se o nfvel de significancia em um valor pequeno, voee esta dizendo que quer que a probabilidade de rejeitar uma hip6tese nula verdadeira seja pequena. Os tres nfveis de significanda comumente usados s.io o =0,10, o = 0,05 e o = 0,01. lmportante ~1~~~~~~~~~- Quando v<>OO decresce a (a probabilidade maxima permi:ssivel de se cometer o erro tipo I), vo00 provavelmente awnel\hlr~ {J. 0 valor 1 - fJ e chamado de poder de tesle. Ele representa a probabilidade de rejeitar a hip6tese nula quando a hip6tese altemativa for verdadeira. 0 valor do poder e diffcil (e lls vezes impo:ssfvel) de se encontrar na maioria dos casos. Ed ,e 1naaa 1 I Testes estatisticos e valores P Depois de afirmar as hip6teses nula e alternativa e especificar o nivel de signifidlncia, o pr6ximo passo no teste de hip6tese eol>ter uma amostra aleat6ria de uma popult1<;50 e calcular as estatisticas amostrais como n"lli'dia e desvio padrilo. A estatistirn que ecomparada com o parfunetro na hip6tese nu la i! chama<la de estatistica do teste. 0 tipo de teste usado ea distribui~ao de amostragem siio baseados na estatistica do teste. Neste capilulo, voce aprendera sobre varios testes estatisticos com uma amostra. A tabela a seguir mostra as rela~ees entre os parfimetros populacionais e suas estatisticas de teste correspondentes e as estatisticas de teste padronizadas. Parimelro populacional Estalistica de teste Estatistica de teste padroniuda 1• x : (S..~ilo 7.2. II 2;30. p j) z (S..'f<IO 7.4) I (Soc;ao 7.3. II <30) s' x' "' Uma ma.neira de se decidir se rejeitamos a hip6tese mula edeterminar sea procs..~ 7.S) babilidade de se obter uma estatistica de teste padronizada (ou uma que seja mais extrema) emenor que o nivel de significiincia. efinicao Se a hip6tese nula fcx verdadeira, um valor P (ou valor de probabilidade) de um teste de hip6tese ea probabilidade de se obter uma estatistica amostral com valores tao extremos ou mais extremes do que aquela determinada a partir <;fos dados da amostra. 0 valor Pde um testede hip6tesedependeda natureza do teste. Ha Ires tipos de teste de hip6tese- teste unicaudal esquerdo, unicaudal direito e bicaudal. 0 tipo de teste depende da localiza~iio da regiao da distribui~ao de amostragem que favore~ a rejei~ao de H0 • Essa regiao eindicada pela hip6tese alternat;va. efini{aO 1. Se a hip<)tese altemativa H, contem o simbolo de menos que (<), o teste de hip6tese sera um teste unicaudal a esquerda. Teste unicaudal aesquerda H0:11~k . . - - - - - - - - - . I'~ 3 tirca ~ CSC:Jll¢rd:. H.: ll < k da cst:ulstica do tcs1c. -l -.? -1 fi.,10t('l;m,\I ~ ~,"' l. Se a hip6tese altemativa H, contem o simbolo maior q...e igualdade (>), o teste de hip6tese eum teste unicaudal adireita. Teste unicaudal adireita P ~a :irta !k dircita da es1atistic:a do 1es1e. -3 -2 _, 0 I 2 h.'l;UlliUlta <II) l<'>IC Ed ,e 1naaa 1 (.ipfialo / :J. Se hip6tese altemaliva H, oontem o simbolo de noo igualdade (,,), o teste de hip6tese eum teste bicaudal. Em um teste bicaudal. cada cauda tern uma area de ..!. p. 2 Teste bicaudal P ~ duM \'¢.t.C~ 01 P C: Jua~ \'"t:ZQ " {trea adireita do area ii csquerda do \ialor negativo da valor positivo da estati's:1ic::i do tcstc. C$1atistica do 1cs1c. - .1 -2 -1 Ti'$l~t"<.1.ad~1ioo " a Jtst., MhipOlf>t{Oll UlllUdl\011" 299 Dica de estudo •0 terceiro tipo de teste e chamadode teste bicaudal porque a evidenda que poderia. apoiar a hip6tese altemativa poderia estar em qualquer cauda da distribui~ao de amostragem. 3 Quanto menor o valor P do teste, mais eviMncia ha para se rejeitar a hip6tese nula. Um valor P muito pequeno indica um evento incomum. Len1bre-se, entretanto, que mesmo um valor P muito baixo niioconstitui prova de que a hip6tese nulae folsa, somente que esta e provavelmente falsa. Exemplo m ldentificando a natureza de um teste de hip6tese Para c.1da afirma~ao, estabele~a em palavras e sfmbolos H0 e H" Entao, determi· ne se o teste de hip6tese e unicaudal a esquerda, adireita ou bicaudal. Descreva uma distribuiy'lo de amostragem normal e sombreie a area para o valor P. 1. Uma universidade publica que a propon;llo de seus estudantes que se graduaram em 4anos ede 82%. 2.. Um fobricante de tomeiras anuncia que o fndice mMio de fluxo de agua de certo tipo de torneira e menor que 2,5 galiies por minuto (gpm). 3. Uma industria de cereais anuncia que o peso mMio dos conteudos de suas caixas de 20 on~s de cereal e mais do que 20 on~as. So/11pio Em simbolos Em palavras 1. H.,: p= 0,82 A propor~o de estudantes que se graduaram em 4 anos e82%. N,,:p = 0,82 A propor~ao de estudantes que se graduaram em 4 anos nao !nrco do valol' P e82%. Pelo foto de 1/0 contcr o sfmbolo "'• o teste e de hip6tese bicaudol. 0 i;rofico da distribui\ao de •mostragem normal a esquerda mostra a area sombreada para o valor P. 2.. N,: 11 ~ 2,5 gpm A media do fndice de Ouxo de certo tipo de tomeira e maior ou igual a 2,5 gpm. H,,: 11 < 2,5 gpm A media do fndice de Ouxo de certo tipo de tomeira e menor que2,5gpm. Devido ao fato de H0 conter o sfmbolo <, o teste t! de hip6tese unicaudal a esquerda. 0 grMico da distribui~ao de amostragem normal aesquerda mostra a area sombreada para o valor I'. 3. H,: 11 :5 20 oz A media do peso dos contetldos das caixas de cereal t! menor ou igual a 20 on~is. H,,: 11 > 20 oz A media do peso dos contetldos das caixas de cereal e maior que 20 on\as. u {ire.a do v:.11or /> 0 ' Ed ,e1naaa 1 30 0 • ei..11111<aoplic•d• Pelo foto de H0 conter o simbolo >, o teste ede hip6teses unicaudal adireita. 0 grMico da distribuii;iio de amoslragem normal aesquerda mostra a jrea sombreada para o valor P. ente Para cada aflnna\clo, determine se o teste de hip6tc..-s.e ~ unicaudal:. t.'S<)Uerda, a vocf 3 direita ou bicaudal. Descreva uma distribuii;iio de amostragem normal e som· breie a ~a para o valor P. 1. Um analista de consumo reporta que a vida util media de certo tipo de bateria 2. a. b. c. automotiva n.'io e 74 meses. Uma esta~o de r~dio publica que sua propori;iio de audiencia de ouvintes locais e maior que 39%. Escret'll H0 e H,. Determine se 0 teste e uni caudal aesquerda, adireita OU bicaudal. Descreva uma di stribui~5o de amostragem normal e sombreiea <lrea para o valor P. Rt51u~1a un p. I A43 Tomando e interpretando uma decisao Para concluirmos o teste de hip6tese, voe~ deve tomar uma decisao e interpre!A-la. H<I somente dois resultados possiveis para um teste de hip6tese: (1) rejeitar a hip6tese nula c (2) falhar em rejeitar a hip6tese nula. lmportante •Neste capilulo, vore aprendera que h.'1 dois tipos basi· cos de regra de decis~o para decidir rejeitar ou falhar ao rejeitar H0. A regrade decisilo de;scrita ncsta pagina e~­ da em valoll!S /?. 0 segw1do tiipo basico de regra de decis.iio e baseado em regiiles de 1'zjei~. Quando a estatfstica de teste padronizada est~ na regiao de rejeii;iio, a probabilidade obsecvada (valor P) de um erro tipo I ~ m.enQS que a. Vore aprendera mais sobre as regi6es de rejei~ao na pr6xima ~~o. egra de decisao baseada em um valor P Para usar um valor P para chegar a uma condus.lo em um teste de hip6tese, compare o valor Pcom o. 1. Se P ~ a, entao rejeite H. 2. Se P > <>, entao lalhe em rejeitar H. Falhar em rejeitar a hip6tese nula nao significa que voe@ tenha areitado a hip6tese nu la como verdadeira. lsso simplcsmente significa que n3o ha evidencia suficiente para rejeitar a hip6tese nula. Se voee quiser apoiar a afirm.a~o, afirme de modo que se tome a hip6tese alternativa. Se v~ nao quiser apoiar a afirma~ao, afirme de modo que se tome a hip6tcsc nula. A tabcla a seguir ajudara v~ a interpretar sua decis3o. Alinna~ao Afinna1.i o eH, A6rma1ioe H,. Ha evid~nda sufidente para Ha cvidencia suficicnte para Decislo Rejeitar H0 I rejeitar a afim1a~o. apoiar a afirma~iio. Falhar ao rejeitar Nao h~ cvidC1\Cia suficiente NAo h'~ evidencia suJicientc H, par.1 rej<.•itar J nfinna~ao. para apoiar a afinnae;OO. Exemplo m lnterpretando uma decisao Vore reali1~1 um teste de hip6tese para cada uma das afirma~Oes. Como voe~ deve interpretar sua decisAo se rejeitar H0? E se voce falhar em rejeilar H0? Ed ,e 1naaa 1 L H0 (.~firn"'(ol<•): uma universidade alega que a propor(ilo de seus estudanles que se graduaram em 4 anos ede 82%. 2. H, (..tfiniul(&>}: a Co11s11111er Reports afirma que a m&tia das distancias de frenagem (em superffcie seca) para um Honda Civic e menos que 136 pes. Sol11fiiO 1. A afinna(ao erepresenlada por H., enloo se rejeitar H., voc4' deve concluir que "ha evidencia suficiente para indicar que a afim1a.;iio da universidade e falsa". Se voce falha em rcjeitar H0, en tao voce deve concluir que "nao h6 evidcncia suficiente para indicar que a afirma(ao da universidade ((ndice de gradua(ao em 4 anos de 82%) e falsa". 2. Aafirma~ao representada por 11,. en~Jo a hip6tese nu la e"a m&tia de distancia de frenagem... e maior ou igual a 136 pes". Se voci! rejeitar H., entao voci! deve con· cluir que "M evid~ncia suficienle para apoiar a afirma~ da Co11s11111er Report de que a dislancia de frenagem para um Honda Civic e menos que 136 pes''. Se voce falha em rejeitar H0 , entao voce deve concluir que "nao h6 evidencia suficiente para apoiar a afirma(iio da Co11s11111er Report de que a distancia de frenagem para um Honda Civic emenos que 136 pes". Tente Voce realiza um leste de hip6teses para a afirma(ao a seguir. Como voci! deve ¥Od 4 interprctar sua decisao se voce rejeitar H/ Se voce falha em rejeitar H,? H, Vlfi""'~11<1): uma esta~ao de r6dio publica que sua propor~o de audiencia de ouvintes locais emaior que 39';i>. a. lnterprele sua decis.~o se voce rejeitar a hip6tese nula. b. lnterprete sua decis.~o se voci! falhar em rejeitar a hip6tese nula. As instn•(Oes gerais para o teste de hip6tese estao resumidas a seguir. lnstru~iles para o teste de hip6tese 1. Expresse a afirma<;ao verbal e matematicamente. ldentifique a hip6tese nula e a alternativa. H0 : ? H,: ? 2. Especifique o nivel de slgnifoc.lncia. a= ? 3. Determine a distnbui<;ao amostral padrooizada e faQi o grafico. Essa dis1ribui,.iio anlOStral ~ basead{1 na suposi<;-.10 de que H0 ~ verdndeira, ~---' 0 4. Calcule a estatistica do teste e seu vale< padronizado. Adicione ao grafoc:o. ~ E...i:uhti(-;1 do tt.s.tc Ed ,e 1naaa 1 30 Z • (s"1t11ka a~llcoda 5. EncontJe o valor P. 6. Use a seguinte regra de decisao: 0 valor p C menor OU igual ao nrvcl de signilicuncia? N5o > F_a_11_1c_e•_n_ro_·j_e_ita_·r_H_o_· . _ I_ _ -~ Sim Rcjcitc H0 7. Escreva a afirmat;llo para interpretar sua deci~ no contexto da afirm~o original. Nas instruo;Oes dadas, os grafioos mostram 1un teste unic<iudal adireita. Entretanto, as mesmas instrw;oes basicas tambem sc aplicam para testes unicaudais ll esquerda e testes bicaudais. I Estrategias para testes de hipotese Em um tribunal, a estrategia usada pelo advogado clepende de ele estar represcntando a defes,1 ou a acusa~llo. De maneira similar, a estrategia que voce usara no testc de hi p6tese dcve depender de voee estar tentando apoiar ou rejeitar a afirmar;iio. Lembre-sc de que voe~ nilo pode usar um teste de hip6tese sc voce quiscr apoiar sua afirma~~o sc ela for a hip6tese nula. Entao, como pesquisador, se voce quiser uma condusaoque apoie sua afirmai;ao, monte sua afim1ar;iio de modoque ela seja a hip6tese alternativa. Se voce quiser rejeitar a afim1ai;ao, fonne-a de modo que sc~1 a hip6tese nula. Exemplo m Escrevendo a hip6tese Uma equipe de pesquisa medica esta investigando os beneficios de um novo tratamento cin'irgico. Uma das afinnat;Oes e que a media do tempo de recuperai;ao para os pacientes ap6s o novo tratamento e menos do que 96 horas. Como voe~ escreveria as hip6teses nu la e alternativa se (1) voeil eparte da equipe e quer apoiar a afirmai;ao? (2) voce ede uma equipe adversa.ria e quer rejeitar a afirmar;iio? So/UfRO 1. Par:. respontier h quest~o. primeiro pen.sP no rot1texto cl:. :ifil'nl:i(;\o. F.m 1";i1:io cie v<><e querer apoiar a afirma~iio, expresse a afim1aljiio da hip6tese alternativa de modo que a media do tempo de rerupera~iio para os pacientes S<!ja menos que % horas. Entao, H,:11 < % horas. Seu complemento, 11 ~ % horas scra a hip6tese nula. H0:µ ~ 96 H,: /I < % (A~nrl<l(>I>) 2. Primeiro pense sobre o contexlo da afirmai;iio. Como pesquisador de uma outra equipe, voce niio quer que o tempo de recupera~ao seja menos do que 96 horas. Devido ao fato de voee querer rejeitar essa afirma~ao, fat;a a afim1ar;iio como a hip6tese nula. Entiio, H0: 1• $ 96 horas. Seu complemento, 11 > 96 horas ser~ a hip6tese alternativa. H,; 11 $ % (.-\firmniM H,:11 >% Ed ,e 1naaa 1 (apllulo1 • 1. lf11" dt blp6tt>t<011 umaamom• 303 Voe~ representa uma industria qufmica que est~ sendo processada por da- nos na pintura de autom6veis causados pela tinta. Voce quer apoiar a afirma~ao que a m&!ia dos custos de reparos por autom6vel emenos que $ 650. Como voce escreveria as hip6teses nula e altemativa? 2. Voe~ faz parte de uma equipe de pesquisa que est~ investigando a temperatura media de adultos humanos (ver p. 319). A afirma~ao comumenle aceila e quc a lemperatura media ede aproximadamente 98,6 °F. Voe~ quer mostrar que essa afirma~~o e folsa. Como voce escreveria as hip6teses nu la e alternativa? a . Dctcr111i11e se voce quer apoiar ou rejeitar a afirma¢o. b. Escreva as hip6teses nula e alternativa. R1.~11)$lll t1R p. A-13 Ill Exercicios Construindo habilidades basicas e conceitos 18. 1. Quais sAo os dois tipos de hip6teses usados no teste de hip6tese? Como elas s.!o relaciooadas? 2. Oescreva os dois tipos de erro possiveis em uma deOs.!o de tesle de hip6tese? Verdadeiro ou falso? Nos exercicios de 3 a 8, <leiermine sea afirma.ao eve<dadeira ou fa!sa. Se for falsa, reesaeva como uma lrase verdadeira. 3. No teste de hip6tese. voce assume a hip6tese ahernativa como verdadeira. H,; JI > 2. (d) ldentificando testes Nos exercicios de 19 a 22, determine se o teste de l'ip6tese com as hip6teses nula e ahemativa dadas eunicaudal aesquerda, adireita OU bicaudal. 19. H.y J' $ 8,0. H0 : J• > 8,0. 20. H0 : q 2: 5,2. H0 :q < 5,2. 21. H.,: a'= 142. H0 : a2 x. 142. 4. Uma hip6tese estatistica euma afir~o sobre aamostra. 5. Se voce decidi< rejeitar a hip6tese nula, voce pode apoia< a hip6tese alternativa. 22. H0: P = 0,25. H0 : p .,0,25. 6. O nivel de significAncia e a probabilidade maxima que permite que wx:ll 1ejeite a hip6tese nula quando ela e verdadeira. Usando e interpretando conceitos 7. Um valor P grande em um teste ira favorecer uma hip6tese nula. r~o Afirmando uma hip6tese da 8. Se voce quiser apoiar a afirma~o. esaeva·a como sua hip6· 1ese nula. Afirmando hip6teses Nos exercicios de 9 a I 4, use os dados para represemar a afirma.ao. Escreva sua ahernativa e detelll1ine qua! ea H0 equal H, Nos exe<dciosde 23 a 28, ~a afirma¢o matematicameme. Esaeva as hip6teses nula eahernativa. ldentiftque qual a afirma¢o. 23. Lampadas Um fabricante de l.lmpadas afirma que a vida util meoia de certo tipo de lampada emais do que 750 horas. e 24. Etros de embarque (..onforme a afll1Tla(.iio do departamento e 10. J' < 128. 12. o1 ;:: 1,2. 14. p = 0,2 1. 9. JI $ 645. 11.a.,5. 13. p < 0,45. 25. 26. Analise gratica Nos exercfcios de 15 a 18, relacione a hip6tese ahemativa com seu grafico. En!Ao, afirme a hip6tese nula e fa-;a o grafico. 15. H; I'> 3. (a) I' 2 16. H; JI< 3. 3 4 (b) µ 2 17. Hd· 1r;ie 3. 27. 3 28. 4 (c) µ 2 3 4 de embarque de uma emp<esa. o numero de enos de embarque po< milhao de embarques tern desvio padrao de rnenos de 3. Pre,o base para um ATV O desvio padrao do pre«> base de ceno tipo de velculo para qualq,uer tipo de teneoo n3o mais do que $320. Estudantes univer.;itaiios Urna organiza¢o de pesquisas 1epo<1a que 28'!b dos <esidentes em Ann Harbor, Michigan. s.!o estudantes universitanos. (/v.kJp:odo do U.S. Census &.reo~) Cintos de seguran~ Os resullados de urn estudo 1ecente mOSttam que a fllOj)Ot''ao de JlES'OOS nos Esrados Unidos que usam cintos de segura~ quando esiao em um carro ou caminMo ede 81%. (fOf>!e·Norh!dCellrer/or Sl<Jl"""<»dAno~) Tempo de secagem Uma empiesa afirrna que sua marca de tinta tern tempo medio de secagem de menos de 45 minutos. e Ed ,e 1naaa 1 301, • ~t•lilli<..pli<td• ldentificando erros Nos exercicios de 29 a 34, eseteva as senteo<;as deseteveodo os erros tipo I e II para o teste de hip6tese da afirma~o in<ficada. 29. Compradores que retomam Uma loja de m6veis afirma que pclo menos G0% de seus oovos dicntes ir3o retomof b k>jo par~ comprar mais m6veis. 30. Alfabetiza~o um estudo afirma que a p<opor~ de adunos nos Estados Unidos que sao ana~abetos em ingl~ e de 5%. (For.ill: No!<m!CcO!cr fot &Monon 510'..SXS.) 31. Xadrez Um dube de xadrez local afirma que o tempo de oora· ~ode uma pa"ida tern desvio padrao de mais que 12 minutos. 32. Gene da diabetes De aoordo com um esrudo recente. 50% de todos os norte-ameJicanoscarrega uma vaiiao;aodogene queaumen· taoriscodediabetes. ~deA.,.,,.,,,,_Q/OnCMmion.) 33. Computadores De acordo com uma pesquisa receme, 88% dos estudantes universitarios t~ computador. (foote: ll<m> Po.Y.) 34. Televisao via satelite De acordo com uma pesquisa recente, 30<ro das residencias none-ame<icanas tern televisao via satelite. (Fonre:JD. """'" aodAs"""'1ei.) ldentificando testes Nos exe<cicios de 35 a 40, determine se o teste de hip6tese para <.ada afirma~O eunic<ludal aesque<da, adireita OU bi<.audal. 35. Alarmes de seguran~a Pelo menos 14% de todos os propriet.lrios de residendas tern um alarme de seguran<;a. 36. Rel6gios Um fabricante de rel6gios de pendulo afinna que o tempo medio de perdas de seus rel6gios nao e mais de 0,02 segu.~dos por dia. 37. cancer de pulmao Um relat6rio de governo afirma que a propor~o de casos de cancer de PJlmao causados por cigarro ede 87'*> (FonJe.· LU11gCancer.0tg.) 38. Pneus A vida ub1 media de certo pneu nao e mais do que 80.000 milhas. (Mop:odo de c~-> 39. Iodice de retorno Um anafist.J de finan<;as afirma que o lndice de retomo de um titulo no"e-americano de 15 anos tern desvio padrao de 5,3%. 40. Son hos Um institute de pesquisas af"ma que a dura~o med'ia da maioria dos sonhos emai0< do que 10 minutes. 1,Adapwlo de lhe l11<Cf<r /nslillite.) lnterpretando uma decisao Nos exerOOol de 41 ~ 4G, considcce a~ ofirmac;a.o. Se o te$te de hip6tese for rearaado, como voce deve interpretar a decisao de (a) rejeitar a hip6tese nula? (b) falhar e<n rejeitar a hip6tese nula? 41. Relll!la~o de filmes Uma indUstria de filmes fotograficos afirma que a media do numero de filmes revelados para uma c.ime· ra de uso unico de 24 foios emais do que 22. 42. Pesos de carregamentos Um trabalhador do goveroo afirma que o desvio padrao da media do peso de todos os carrega· meotos do U.S. Postal Service (se<vi~o postal norte·americano) ede 0,40 libras. 44. Milhagem de gasolina Um fabricante automotive afirma que o desvio padrao para a milhagem de gasolioa de seus modelos de 3,9 milhas por galao. 45. Pre~os dos SUV (util~ario esportivo) Um fabricante automotivo •firma qtoe a mMia tin I'll'(<> <le SIJVs fl"'1t1PM!' ~ mP.<105 do que S 26.860. (Moprodo de c""""''" Rf!PO'IS.) 46. calorias lkn fabricante de bebida para atletas af.ma que o con· caido cal6rico medio de suas bebidas ede 72 calorias por por~o. 47. Escrevendo a hip6tese: medici·na Sua equipe de pesquisas medicas est.! investigando o custo medio de um suprimento para 30 dias de ceno medicamento para o COi~. Uma indlistria farmaceuti<.a acha que o custo medio emenos do que S 60. voce que< apoiar essa afirma~o. Como~ esaeveria as hip6teses nula e ahe<nativa? 48. Escrevendo a hip6tese: empresa de taxis Uma empresa de taxis afinna que o te<npo medio de viagem eotre dois destines ede oproximadamente 21 minutos. \IQCe trab.Jlha para uma e<n· presa de ¢nibus e quer rejeitar essa afinna~. Como voce escreveria as hip6teses nula e alternativa? 49. Escrevendo a hip6tese: fabri<.ante de refrigeradores Um fabricante de refrigeradores afirma que a media do tempo de vida U!il dos relrigeradores de seu concorrente emenos de 15 anos. Voce deve realizar um teste de l>p6teses para testar essa alil· ma~o. Como voe<! eseteveria as hi):Oteses nula e ahemativa se: (a) voce representa o fabricante e que< apoiar a afirma~o? (b) ~ representa o concorrente e quer rejeitar a afirm~? 50. Escrevendo a hip6tese: prOVl!dor de Internet Um provedor de Internet te.lta obter anunciantes e afirma que o te<npo medio que um consumid0< passa on.fine por dia e mais que 28 minutos. \IQCe deve testar essa afirmai;Ao. Como voce esaeveria as hip6teses nula e alte1nativa se: (a) voce represema o provedor de lntetnel e quer apolar a afit- e ma~o? (b) Expandindo conceitos 51. Entendendo o conceito Por que a diminui~oda probabilidade de um erro ~ I au'Tle.1ta a probilbilidade de um erro tipo If? 52. Entendendo o conceito Por que nao usar um nf\11!1 de sigoifi· tancia de a = O? Analise grafica Nos exercfcios de 53 a 56, voe~ tem a hip6tese rda e tres intervalos de confiam;a que representam tres amostragens. Decida se cada intervalo de confian~a indica que voe~ <!eve rejeitar H0 • Explique seu ra<iocinio. 53. - ;1--1---1-----+---<-+-.... ,, 67 68 69 70 71 72 73 (a) 67 43. Ganhos por hora 0 U.S. Depar1mem of Labour (depa~mento do trabalho "°"e-americano) afirma que a propor~o de trabalha· dores horistas que ganham mais do que S 11,55 por h0<a e maior do que 75%. fMol>'odo de u.s. 81Jtoou al kJbot sro.'IS."'5.) ~ representa um concorrente e quer rejeitar a afirma~o? (b) 67 < s• < 71 68 69 10 71 72 73 67 < 1• < 69 ~~-+--<•~+--+-!---+--• Ed ,e 1naaa 1 (apltulol (c) 69,5 < ,, <72,5 -1-• 67 54. 68 H0 : 11 51 52 69 70 71 72 53 55 56 (c) 51 52 53 54 S5 56 57 • o.n o,2s H0:p ~ 0,73 56 . 51,5 <1« 54,5 (b) 0, 175 <P< 0,205 0.11 0,18 o,•9 0.20 0,21 57 53,5 <i« 56,5 (a) 305 0,17 0,18 0,19 0,20 0,21 0,22 0,23 ,. 54 ltms~eli~test<011Umaa11>0slf• 0,19 <P < 0,23 (b) 73 $54 • 0,70 0,71 0,72 0,73 0,74 0.75 0,76 0,73 < p < 0,75 (a) •t 51 52 53 54 55 56 54,5 < /I <55,5 (c) (b) ~ SI H0:p 55. S2 53 54 SS 56 0;10 0.71 0.72 0.73 0,74 0,75 0.76 57 57 •• $ 0,20 0,715 <p < 0,725 0,70 0,11 0,72 0,73 0,74 0,75 0,76 (c) 0,695 < p < 0,745 p 0,17 0, 18 0,19 0,20 0.210,220.23 (a) 0,70 0,71 0,72 0,73 0,74 0,75 0,76 0,2 1<p<0,23 f> 0.11 o.•8 0.19 0.20 0.21 o.n o.23 ID Testes de hipoteses para a media (amostras grandes) Usando va!ores P para tomada de decisiies ---+ Usando o valor P para um teste z---+ Re9iiies de rejei~ao e valores criticos ---+ Usando re9iiies de rejei~ao para um teste z I Usando valores Ppara tomada de decisoes No Capilulo 5, voce aprendeu que quando o tamanho da amostra for pelo 111enos 30, a distribui~~o de amostragem para x (a media amostral) e normal. Na S~o 7.1, voce aprendeu que uma maneira de obter uma conclus.io em um teste de hip6teses e us.11' um valor P para a estatistica do teste, tal como x. Lembre-se de que quando voce assume a hip6tese nula como verdadeira, um valor P (ou valor de probabilidade) de um teste de hip6teses ea probabilidade de se obter uma estatisti· ca amostral com um valor tao extremo ou mais extremo que aquele determinado a partir dos dados da amostra. A regra de decis~o para um teste de hip6teses baseado e1n un1 valor Pesta a seguir. eqra de decisiio baseada em um valor P Para usar um va!Of P para tomar uma decis.lo em um teste de hip6teses, compare o valor P como. l. Se P $ u. entao rejeite HO' 2. Se P > u, ent~o falhe em rejeitar H•. 0 que voce deve aprender • Como eocootrar valores Pe usa. -los paratestara mediaµ. • Como usar valores P para um testez. • Como enconuar valOles aiticos e regioes de r~ em uma distribu~o normal • Como usar as regiOes de rejei\bo para um teste z. Ed 1t 1naaa 1 306 • Cltatktica•pli<ad• Exemplo lmportante Quanta menor o valor de P, mais evid~ncia ha a favor da r,ejei~ao de /-10• 0 valor de P fomece a voe@ o menor nivel de signifitancia para o qua! a estatistica da amostro permite que voe@ rejeite a hip6tese nula. No Exemplo 1, voe@ rejeitaria H0 em qualquer nivel designifidmcia maior ou igual a0,0237. m lnterpretando um valor P 0 valor p para 0 teste de hip6tese e p (1) o. = 0,05 e (2) o = O,OJ? signifi~ncia e = 0,0237. Qua! sua decisoo se 0 nfvel de SolufaO 1. Pelo fato de 0,0237 < 0,05, voe~ deve rejeitar a hip6tese :nula. 2. Pelo fato de 0,0237 > 0,01, voe~ deve falhar em rejeitar a hip6tese nula. 0 valor P para o teste de hip6teses eP = 0,0347. Qu<il sua decislio se o nfvel de signifirancia for(!) o = 0,01 e (2) o = 0,05. - ;6 a. Co111pare o valor P con1 o nivel de significSncia. b. Tome sua decisao. R~':'"pVSltr ltll I'· l'\4.l c::::!l!contrando o valor Ppara o teste de hipotese Depois de determinar a estatislica do tesie padronizada do teste de hip6tese e a area correspondente da estatistica do teste, realize um dos passes a seguir para encontrar o valor P. a. Para o teste unicaudal aesquerda, P = (area na cauda esquerda). b. Para o teste unicaudal adireita, P = (area na cauda direita). c. Para o teste bicaudal, P = (area na cauda da estatistica do teste). Exemplo OJ Teste unicaudal aesquerda 2 J Encontrando o valor Ppara o teste unicaudal aesquerda Encontre o valor P para o teste de hip6tese unicaudal ~ csquerda com estatfstica de teste z = -2.23. Decida se rejeita H0 se o navel de signific.ilncia for o = 0,01. SolrifilO 0 grMico mostra a curva normal padr~o com area sombreada ~ esquerda de z = -2,23. Para o tcste unicaudal a esquerda, P = (area na cauda esquerda) Da Tabela 4 no A~ndice B, a area que corresponde a z = -2,23 e0,0129, que ea area na cauda ll esquerda. Ent~o, o valor P para o teste de hi p6tese unicaudal ll esquerda com uma estatfstica de teste z= -2.23 e P= 0,0129. lltterpretafliO Como o valor P = 0,0129 e maior que 0,01, voce deve folhar em rejeitar H0. -;a Tente Encontre o valor P para o teste de hip6tese unicaudal ll csquerda com estatisti ca de testez = - 1,62. Decidase rejeira H0 seo navel de signifi~ncia fora- =0,05. a. llse a Tabela 4 no Apcndice Bpara localizar a area que corresponde a z = -1,62. b. Cnlcufe o valor P para o teste unicaudal aesquerda, a area da cauda aesquerda. c. Co111pnre o valor P com o e decida se rejeita H.. R~O!'Jtr un p. ; \43 Ed ,e 1naaa 1 C.pltulo7 • lew1dehip6tf1ecom""'•mosua 307 Exemplo [}]_ 3.........._____________ Encontrando o valor Ppara um teste bicaudal Teste bicaudal Encont-rc o valor P porno tcatc bicaudol com CGt:.tf5tica do tcatc de z - 2,14. Dc- cida se rejeita H0 se o nfvel de signific§ncia for"= 0,05. A .1.rca;) dircita de z =2,14 C0.0 162.cn15o Solupio 0 grafico mostra a curva normal padrao com areas sombreadas aesquerda de z = -2,14 ea direita de z = 2,14. Para o teste bicaudal, " : 2(0.(Jl62) :0,0324. P = 2 (area na cauda da estatrstica do teste). Oa Tabela 4, a area corrcspondente a z = 2,14 e0,9838. A area na cauda direita e -3 -Z -1 1 -0,9338 = 0,0162. Entao, o valor P para o tesle de hip6teses bicaudal com estatfstica t= 2.14 de teste z = 2,14 t! P = 2 (0,0162) = 0,0324. I11terprelafiiO Como o valor P = 0,0324 emenor que 0,05, voce deve rejeitar H0• Tente Encontre o valor P para o teste de hip6tese bic.1udal com estatistica do teste z = vod 2.31. Dedda se rejeita H0 se o navel de significancia for o = O.ol. 3 a. Use a Tabela 4 noApendice B para localil'.ar a area que corrcsponde a z = 2.31. b. Calcule o valor P para o teste bicaudal, duas vezes a area na cauda da estatistica do teste c. Compare o valor P com ere tlt'Citln se rtjeita H0• I R~p1~t111111 p. A<IJ Usando o valor Ppara um teste z 0 teste z para a media eusado nas popula~ nas quais a distribui~ao de amos- tragem das medias amostrais e normal. Para usar o teste z, voce precisa encontrar o valor padronizado para a estatistica do tester. z o (Me<fo amostrnl)- (mCdia hipotetica) Erropadrao ste zpara a mediaµ 0 teste z para a media 1• eum teste estatistico para uma media populacional. 0 teste z pode ser usado qualldo a popula¢o enormal e" econhecido. ou para qualquer popula~o quando o tamanho da amostra n for pelo menos 30. Aestatistica do teste ea media amostral x ea estatistica do teste padronizado ez. X- 11 z -- ,,;:[,, (I Lembre-se de que 7 = erro padrao = ,,,. v11 Quando n ;,: 30, voce pode usar o desvio padrao da amostra s no lugar de "- Dica de estudo •Com todos os testes de hip6- tes:es, e util esboyir a distribuio;iio de amostragem. Seu ~ deve conter a estatfstica de teste padro~izad11- Ed ,e 1naaa 1 30 8 • (>1a1ktica09licada lmportante lnstru(oes Quando o tamanho da '<ltn<» tra for pelo menos 30, sabemos Us.indo valores Ppara um teste zpara mediaµ o seguinte sobre a dis.trjbui~ao 1. Declare a Afirme H0 e H,. 2. Especifique o nfvel de signifi- ldentifique o-. de amostragem das medias amostrais: (1) A fom1a e11ormal. (2) A media ea media hipotetica. (3) O erro padrao e st.J,;, onde s pode ser usado no lugardea. Em palavras Em simbolos affrma~oo verbal e matematkamente. Jdentifique as hip6teses nula e alternativa. dincia. 3. Determine a estatfstica do teste padronizado. z= x-r1• OU se II 2'. 30, U5e<1 "'S <1"" 4. Encontre a area que corresponde a z. Use a Tabela 4 no Apendire B. 5. Encontre o valor P: a. Para um teste unicaudal aesquerda, P = (ilrea na cauda esquerda) b. Pam um teste uni caudal adireita. P = (area na cauda direita) c. Para um teste bicaudal, P = (<\® na cauda da estalistica do teste) Rejeitar H0 se o valor Pfor menor ou 6. lome uma decisao para rejei· tar ou falhar em rejeitar a hip6igual a o. Caso contrario, falhe em tese nula. rejeitar 1-/0• 7. lnterprete a decisao no x oontexto da afirma~ original. Exemplo m Teste de hipoteses usando valor P Em um anuncio, uma pizzaria afirma que a media de seu tempo de entrega e menor quc 30 minutos. Uma sele~ao aleat6ria de 36 tempos de entrega tern media amostral de 28,5 minutos e desvio padr~o de 3,5 minutos. Hil eviMncia suficiente para apoiar a afrrma~3o em o = 0,01? Use um valor P. Sol11f tiO A afirma~o I! "a med.ia de tempo de entrega I! menor.que 30 minutos". Entao, as hip6teses nula e altemativa s.'\o: H.,: 11 2'. 30 minutos e 1-1,: 11 < 30 minutos. (A.f/11,,"¢<>) 0 nlvel de confian~a eo = 0,01. Aestatrstica do teste padronizado e: _ _ _ -- q.J,; , X-1t Pd1Jfittt• 1lt Jt ~ JO. ll'l' otf".tl'.: 28,5 - 30 3,5/ ./36 ;::, - 2,57. Na Tabela 4 do Apendice B, a ~rea correspondente a z = -2,57 ~ 0,0051. Como esse teste e um teste unicaudal ~ esquerda, o valor Pe igual a area~ esquerda de z = -2,57. Ent3o, P= 0,0051. Pelo fato do valor Pser meoos que .a = 0,01, voe~ deve rejeitar a hip6tese nula. Ed ,e 1naaa 1 C.pftukl 1 • Tems de hip6t11ecom.,.,mosoa 309 Teste unicaudal aesquerda -3 t= \-2 - I 2 0 3 -2.57 I 11terpretafiio No nfvel de significancia 1%, voo? tern evidencia suficiente para conduir que a media do tempo de entrega emenor que 30 minutos. Tente Proprietarios de casas afinnam que a velocidade mMia de vefculos que pasvod sam por sua rua e maior que o limite de velocidade de 35 milhas por hora. 4 Uma amostra aleat6ria de 100 autom6veis tern media de velocidade de 36 milhas por hora e desvio padrao de 4 milhas por hora. Ha evid@ncia suficiente para apoiar a afinnao;llo em o·= 0,05. Use um valor P. a. lde11tiftq11e a afirma9iio. Entao, e,;tab<'lcfn as hip6teses nula e alternativa. b. ldeutiftque o nfvel de significancia. c. E11co11tre a estatistica do teste p.idronizado z. d. E11co11tre o valor I'. e. Decidn se rejeita a hip6tese nula. f . llltcrprete a decisao no contexto da afinnar;lio original. Exemplo m Teste de hipoteses us.indo va!ores P Voce acha que a informa9ao do investimento medio de franquia mostrada no grMico e incorreta, entao voe~ seleciona aleatoriamente 30 franquias e determina o investimento necessario para cada. A media arnostral de investimento eS 135.000 com desvio padrao de$ 30.000. Ha evidencia suficiente para apoiar sua afinna9ao em 11 = 0,03. Use um valor P. lnvestimento de franquias ' ln\'\!Stin1cnto mCdio C 41% ~k~ q11e S I00.000 $ 100.000 011 m:ii.s s 143.260 NlOSQ,bd n;'lo n=$pondc1o1 ,.l Veja passos MINITAB na p.349. Ed ,e 1naaa 1 310 • l>tatll\ica aplicad• Sol11flio A afirmac;OO e "a media e diferente de S 143.260". Entao, as hip6teses nula e alternativa S<,o: H,,: 11 = S143.260 e H,: J•"' S 143.260. (,\firm·~·"> 0 nivel de significii.ncia ea = 0,05. Aestatistica do teste padronizada e: x-1• Com1> t1.0!: JO. u"t' u u~ti·:. -;:r;; z- 135.000-143.260 30.()00/130 Teste bicaudal ~ -1,51. Na ·iabela 4 do Apendice B, a area correspondente a z = - 1,51 e0,0655. Como se trata de um teste bicaudal, ovalor Pe igual a duas vezesa ~r.ea ~ esquerdadez = -1,51. A :irea :. esqucrda <le '= -1.5 1 e0.0655.entao P= 2(0,0655) = 0.13 10 Ent~o. o, p = 2(0,0655) = 1310. Pelo fato do valor Pser maior que o, voce deve falhar em rejeitar a hip6tese nula. 0 l fltterpretapio N~o h~ eviMncia suficiente no nivel de significancia de 5% para conduir que a media de investimento de franquia ediferente des 143.260. Tente Um de seus distribuidores reporta uma media de 150 vendas por dia para o voci direitode distribui~o. Voce suspeita que essa media naoseja rorretn, entao vod! 5 seleciona aleatoriamente 35 dias e determina o numero de vendas a cada dia. A media amostral e143 vendas diariascom desvio padraode 15 vendas. Em a= 0,01, ha evidencia suficiente para duvidar da media reportada pelo distribuidor? Use o valor P. Dica de estudo •Usando a TI-83/84, vod! pode tanto entrar oom os dados originais em uma lista para en· contrar o valor Pquanto entrar com as estat!sticas descritivas. ISIATI Escolha o menu de TESTS 1: Z.Test. .. Selecione a o~ao de entrnda de dados (Data) sevod! entrou com os dados originais. Selec:ione a op¢o de entrnda Stats se vod! entrou com estatisticas descriti vas. Em cada caso, entre oom os valores apropriados ind uindoo tipode teste de hip6tese correspondente indicado pela hip6tese aJtemaliva. Entlio, selecione Calculate. a. b. c. d. e. f. lde11tifiq11e a afirma~iio. Entao, <'Slabele{a as hip6teses nula e alternativa. lde11tifiq111: o nivel de signilkancia. Etico11tre a estatistica do teste padronizado z. Etmmtre o valor P. Decida se rejeita a hip6tese nula. /11terprete a decisiio no rontexto da afinna~iio original. Rt5post111u111. A4J Exemplo m Usando a ferramenta de tecnoloqia para encontrar ovalor P Qual tela da Tl-83/84 abaixo represenla a decis.'° que voe~ deve tomar us.1ndo um nfvel de significancia de a = 0,05? Z-Test l nPt : Data i:!!l!IE µo: 6 . 2 o-: . 47 x: 6 . 07 n: 53 µ:FJml ( µo )µ o CaTCulat e Draw Z-Test "'*6.2 z=-2 .013647416 P=. 0440464253 x=6.07 n=53 Solt1fliO 0 valor P para esse teste e dado por 0,0440464253. Como Pe menor que 0,05, vod! deve rejeitar a hip6tese nula. Ed ,e 1naaa 1 <•invlo1 • l"l!I olt hlp01"' '"" '"'"m °'"' 311 Para o teste de hip6tese da Tl-83/84 mostrado no Exemplo 6, tome uma decisao no nfvel de signiftcancia de o = 0,01. a. Co111Pflre o valor P com o nfvel de signifirancia. b. Tome• deci.;io. I Regiiies de rejei,ao e val ores criticos Outro metodo para decidir se rejeita a hip6tese nula edeterminar sea estatrstica do teste padronizada esta dentro de uma amplitude de valores chamada de rcgiao de rejei~~o da distribui~3o de amostragem. efini,ao lmportante Uma regiao de rejei~o (ou regiao critica) da distribui~o arnostral e a arnplrtude de valores para a qual a hip6tese nuta nao eprovavel. Se uma estatistica de teste est.! nessa regiao, a hipO. tese nula e rejeitada. Urn valor critico z0 separa a regiao de rejei~o da regiao de nao reje~o. Se a estatistica de teste esta na regiao de rejei¢o, isso setia considerado um evento incomum. lnstru(:oes Encontrando os valores criticos em uma distribui,ao normal 1. Especifique o nfvel de signifirancia o. 2. Decida se o teste e unicaudal lt esquerda, a direita Ou bicaudal. 3. Encontre o(s) valor(es) critico(s) z0. Seo teste de hip6tese for: (a) auutnl h esq11erda, encontrc o z-ESCOre que correspond a aarea de a. (b) ca11dnl h direitn, encontre o z-escore que corresponda aarea de 1- a. (c) bica11dnl, encontre o z-escore que correspond a a ~a e 1 -~o . 4. Fa\a a distribui~ao nonnal padrilo. D<!senhe uma linha vertical em cada valor critico e sombreie a rcgiiio de rejei~o. Exemplo m Encontrando um valor critico para um teste unicaudal aesquerda Encontre o valor crftico ea regiiio de rejci~o para um teste unicaudal aesquerda com o' = 0,01. Sol11fiio 0 grafico adireita mostra a curva normal padrao com a area sombreada de 0,01 na cauda esquerda. Na Tabela 4 do Ap@ndice B, o z-escore que corresponde a uma area de 0,01 e-2,33. EntM, o valor critico ez0 = -2,33. A regioo de rejei<;lio esta h esquerda desse valor cn1ico. Tente vod '1 a. b. c. d. Encontre o valor critico ea regiao de rejei<;lio para o teste unicaudal h esquerda com o = 0,10. O..'SC11he o graftco da curva normal padriio com uma ;lrea de o na cauda esquerda. Use a Tabela 4 para localizar a area que esteja mais pr6xima a o. E11co11tre o z-escore que corresponda a essa area. lde11tifiq11e a area de rejei<;lio. R~pi}$.t11 un p. A4J Nlvel de signilid ncia de 1% :L. - 3 / -2 'o = -2J3 -1 0 I '2 3 Ed ,e 1naaa 1 Se voe~ n3o puder encontrar a area exata na Tabela 4, use a area que seja mais pr6xima. Por exemplo, no Exemplo 7 a area mais pr6xima de 0,01 e0,0099. Quando a area eexata1nente o n1eio entre duas areas na tabel~ use o z~escore do meio entre os z-escores correspondentes. Exemplo Nlvel de signific~ncia de 5% 00 Encontrando va!ores criticos para o teste bicauda! Encontre o valor critico ea regiao de rejei~iio do teste bicaudal com n = 0,05. I - a =0.95 \ ~Gl = 0.025 -I -3 -2\ -I 0 _,0 =-1.96 I / 2 l z0 = 1.96 Sol1tfliO 0 grafico aesquerda mostra a curva normal padrao com as areas sombreadas de in = 0,225 em cada cauda. A area aesquerda de -z0 e ~n = 0,025 ea area aesquerda de z, e I - ia = 0,9'75. Na Tabela 4, os z-escores que correspondem as areas 0,025 e 0,975 s.io-1,96 e 1,96, respectivamenle. Entao, os valores crlticos siio - z0= -1,96 e z, = 1,96. As regioos de rejei~ao est3o aesquerda de -z, ea direita de z,. -· Dica de estudo Encontre o valor crf!ico ea regi3o de rejei<;<'!o do teste bicaudal com n = 0,08. Note no Exemplo 8 que os val ores crilicos silo opostos. lsso sempre verdadeiro para os testes z bicaudais. A tabela lista os valoros criticos para os niveis de significfulcia mais comumente usados. -8 a. Dese111Ie o gr~fico da curva nor1nal padrao coin uma ~rea de -10' en1 cada ca~~ 2 ti; Alfa Cauda % 0,10 Esquerda -1,28 1,28 Direita Bi caudal :t'J,645 0,05 Esquerda - 1,1)45 Direita I 1,645 Bicaudal tl,96 0,01 Esqucrda -~ DireiUi 2,33 Bicaudal ±2,575 b. Lise a Tabela4 para localizar a jrea mais pr6xima a c. E11co11tre o z-escore que corresponda a es5<1S jreas. d. lde11tifiq11e as areas de rejei~o. I i" -i"· e1 Usando regioes de rejei,ao para um teste z Para concluir um teste de hip6tese us.1ndo uma decisiio ea interpreta, como a seguir. regi~o(O<ls) de rejei~3<>, voce toma eqra de decisao baseada na reqiao de rejeicao Para usar a regiao de cejei~o para conduzir um 1este de hip6tese, calcule a estatfstica do teste padrooizado z. Se a estatistica do teste padronizado: 1. estiver na regiao de rejei~ao, entao rejeite H.. 2. nao esll\ler na reg1ao de 1e1e1\.io, ent.io falhe em re1e1tar H0• Teste unicaudal aesquerda Teste uniraudal a direita Falhc em rcjeitar H0. Falhe cm rcjei1ar H0 . Teste bicaudal Falhe cn1 rcjcilar H 0 . Rcjcitc H0. 0 Rcjcitc H0 . " Falhar em rejeitar a hip6tese nula nao significa que vod! aceitou a hip6tese nula como verdadeira. Simplesmente significa que n3<> ha evidencia suficiente para rejeitar a hip6tese nula. Ed ,e 1naaa 1 (apftukl 1 • 3B ft.1tts de hlp!111ecomema amo1Ua lnstru~oes Usando regioes de rejei,ao para um teste z para media µ E111 palavras Em sf111bolos 1. Declare a afirmac;OO verbal e matematicamente. ldentifique as hip6teses nula e altemativa. 2. Especifique o nfvel de significancia. 3. Fa\<! a distribui~ao de amostragem. 4. Determine o valor crftico. s. Determine a regioo de rejei~Ao. .6. Encontre a estatfstica do teste padronizada. 7. Tome uma decis.'io para rejeitar ou falhar em rejeitar a hip61ese nula. AfinneH0 eH,. ldentifique a. Use a Tabela 4 no A~ndice B. 'i- 1• 2 = ~, ouse 11 ~30 use <J~S. u/v11 Rejeitar H0 se z estiver na regiao de rejei~llo. Caso contrario, falhe em rejeitar H0• m Testando µ,com uma amostra grande Funcionarios de uma grande firma de contabilidade afirmam que a media dos salilrios dos contadores emenor quc a de seu concorrente, que eS 45.000. Uma amostra aleat6ria de 30 dos contadores da firma tem media de salario de$ 43.500 com desvio padrao de S 5.200. Como = 0,05, teste a a6rma~o dos funcionarios. Soluplo A afinna~o e: "a media dos sal<lrios e menor que $ 45.000". Entao, a hip6tese nula ea alternativa podem ser escritas como: Em razaodeo testeser unicaudal ~ esquerda eonivel de significanciaser o = 0,05, o valor crrtico e z0 = - 1,645 ea regiao de rejeiy'io e z < -1,645. A estatfstica do teste padronizad• ~: X- 1i 2= - - ,,.r,, Drt;it/011'1230, 11'-i'a .. .. • agenda de prot~~o ambiental, publica rcfot6rios da mi· lhagem de gasolina para todas as marcas de modelos de vefcul'.os de passeio. Em um ano recente, o carro compacto com tra:nsmlss.10 automatica que teve a melhor milhagem foi o Honda Civic hlbrido. Ele obteve uma mt!dia de milhagem de 49 milhas por galao (na cid!ade) e 51 milhas por galao (na estrada). Suponha que a Honda acredite que o Honda Civic hibrido exceda as 51 milhas por galilo na estrada. Para apoiar sua afinna~o, ela testa 34 carros na estrada e obtem uma media amostral de 52,1 milhas por galao, oom desvio padrao de 2,3 milhas por galao. (fo..td/\1.) H,; ,, ;:: S 45.000 e H,: 11 < $ 45.000 CA/iTriU1(4'>) 43.500- 45.000 5200/./3fJ ::::- 1,58. Retratando o mundo A cada ano, a Environmen· taJ Protection Agency (EPA), 8. lnterprete a decislio no cootexto da afim1a~o original. Exemplo I 5.100. .4-"UnAI, µ = 45.000 0 gr<lfico mostra a localizay'IO da rcgiao de rtjei\50 e da estatistica de teste pa· dronizado z. Em virtude de z nao estar na regiao de rejei~oo, voce falha em rejeitar a hip6tese nula. Jnterpretnrtlo Nao ha evidi!ncia suficiente no nfvel de significancia de 5%para apoiar a afinna· <;ii<> dos funcionarios de que a media do salario emenor que $ 45.000. A evid€11cia t ~11ficie11f( pnm apaiar a afir111m;1il.1 tie que as milltas 1w1· ga/11<1 110 t'stmtfn do Hourln Ciuicexcetlnm nqucla I'S· timnrln /l<'lo EPA? llse mu tl'Stt• z 00111 n =0,01. Veja pas.sos Tl-83/84 na p. 350. Nf·vel de significiincia de 5% Ll I) ;;;; 0.0S -2/ ..1 0 :Cl-= - l.64S :~- 1 ..'i8 I 2: ! Ed ,e 1naaa 1 31 C. • £s111k1ica apli<od• ·ienha certeza de que voe~ entendeu a decis.'lo tomada neste exemplo. Embora sua amostra te1\ha uma m~ia de S 43.500, voce nao pode (no nfvel de significancia de 5%) apoiar a afirma~ao dos funcionarios de que a mMia d05 salMos dos contadores e menor que $ 45.000. Adiferen~a entre sua estatistica de teste ea media hipotetica ocorre provavelmente por causa de erro de amostragem. 0 CEO" de uma empresa afirma que a m~ia de um dia de trabalho dos oon- 6 tadores da finna e menos do que 8,5 horas. Uma amostra aleat6ria de 35 dos 9 oontadores da empresa tern uma m~ia de 8,2 horas com desvio padrao de 0,5 horas. Em Q = 0,01, teste a afirma~3o do CEO. ente a. b. c. d. e. lrlc11tifiq11e a afirma(aO e esta!lele(n H0e H,. ldc11tifiq11c o nivel de significancia Q. E11co11tre o valor critioo z• e identifique a regiao de rejei"1o. E11co11/re a estatfstica de teste padronizado z. Fn(a um grafico. Dt'Cida se rejeita a hip6tese nula. f. /11terprete a decisilo no oontexto da afirma~~o original. Exemplo [!OJ Testando µ. com amostras grandes 0 departamento de agricultura dos Estados Unidos reporta que o custo medio para se criar um filho ate a idade de 2 anos na zona rural e de $10.460. Voce acredita que esse valor est<i incorreto, entao voce seleciona un1a aa1ostra aleat6ria de 900 crian~as (com idade de 2 anos) e desoobre que a media dos custos e $ 10.345 com desvio padrao de $ 1.540. Com a = 0,05, M evidcncia su ficie11te para conduir que a 1n~dia do custo ~ diferente de S 10.460? CA0011Md11 dt ~J.S. lkJlfrtmt11t •if Agrit11ftllfr c,,,,,, for ':'V11tri1;.111 p.,tiry t Pnm:c>tili;1.) 2-Test. 11410460 z=-2. 24025974 P=. 025073983 x=10345 n=900 Solupio Voce quer apoiar a afirma~o de que "a m~ia de custos e diferente de S 10.460". Entiio, as hip6teses nula e altemativa s.1o: H0: 11 = $10.460 e H,: JI = $10.460. (~~rmll(rl<>) Usando a 11·83/84, voc~ pode encoo· trar a estatfstica do tesie padroo~ada automaticamente. Ern razao dt.> o l!!Slt! ser bi caudal ~ o n{vel de significtinlia ser a = 0,05, os vaJores criticos sao -; = -1,96 e z0 = 1,%. As regi0es de rejei~ao s5o z < -1,96 e z > 1,%. A estatfstica do teste padronizado e: X - 11 z- - - a$. 10.345- 10.460 i.s40/J900 ~-2, 24. [111 r.tzdcl dt" ~ 30, 11-k Jt'i.le:: fn1 m:lli1d' u 2'30, u~ 1,..:Jt: 1h ...uma II"' S J0..160 Chi!'/ &1'f11lh'lf' Ojft<tr - Sigla ~n1 inglC$ para dirc1<>r gcral ou din~or-t)(«ulivo; ¢ us.1do par:. dC$ign.1r a pessoa con1 n1ais ,1lla l'\':Sp<>nsal;>ilid,1dc \'fl\ uma en1prt'$o1. Ed ,e 1naaa 1 C.pllulo 1 • 0 grafioo mostra a localiza~Aoda regiao de rejei~Aoe da estatlstica de teste padronizada z. Em virtude de z estar na regii'io de rejei~ao, voci! deve rejeitar a hip6tese nu la. feste1 de hip!tfle<omam"m°'"' 315 Nfvel de significancia de 5% I-a =0.95 InterpretllfiiO Voce tern evidencia suficiente para c:onc:Juir que a mtklia do cu.sto de i:;e criar uma crian~a desde o nascimento ate os 2 anos em uma area rural e significantemente diferente de $10.460 no nfvel de significAncia de 5%. Usando a informa~llo e os resultados do Exemplo 10, determine se M evidencia suficiente para apoiar a afinna~o de que a media do custo de se criar uma criany1 desde o nascimento ate os 2 anos em uma area rural e diferente de $10.460. Use o = 0,01. a. b. c. d. ldc11tiftq11c o nfvel de significAncia a. E11co11trc o valor crftico z,, e identifique a regiao de rejeit;iio. Fnrn um grMico. Decidn se rejeita a hip6tese nu la. /11terprete a decisiio no contexto da afirmai;iio original. RtsfW$tn 11n p. A4.l Ill Exercicios (onstruindo habi!idades basicas e conceitos Nos exe1ooos de I a 6, enccnue o valor P para o teste de hip6tese indicado rom a estalislica de teste padrooizada z dada. Decida se deve rejeitar H0 para o nivel de signific.!ncia (\. 1. Teste unicaudal aesque<da, z = -1,20 a= O, IO. 2. Teste unicaudal aesque<da, z = -1,69, o = 0,05. 3. Teste unicaudal adireita, z = 2,34, o = 0,01. 4. Teste unicaudal adireita, t = 1,23, a = 0,10. 5. Teste bicaudal, z=- 1,56, a =0,05. 6. Teste bicaudal, z = 2,30, o = 0,01. Analise grc!fica Nos exercicios de 7 a 12 relacione cada valoi P coin o grafico que mostre sua area. Os graficos sao nomeados de (a) a (f): (a) (b) - 3 -2 _, 0 1/ 2 z; 1.90 J - 3 /-2 _ , _, 0 I 2 3 (d) 0 2 -3 - 2 - 1 \ 0 z: I -0.51 2 3 -3 -2 _, 0 I / 2 t = 1.82 3 7. p = 0,0089. 9. 11. 13. 14. 6. p = 0,0132. p = 0,3050. 10. P = 0,0686. P = 0,0233. 12. P = 0,0287. DadoH,:11 = 1 00.H,:11~ IOOeP = 0,0461 : (a) voce 1ejei14 ou falha ao rejeitar H0 no nivel de significancia 0.01? (b) voce rejeita ou falha ao 1ejeitar H0 no n~I de signific.!ncia 0,051 Dado H,: ,, ?: 8,5, H,: JI < 8,5 e p = 0,0691 : (a) voce rejeita ou falha ao 1ejeitar H0 no n~I de signific.!ncia 0,011 (b) voce 1ejei14 ou falha ao rejeitar H0 no n~I de signific.!ncia 0,051 t : - 1.99 (c) :: ~ -2.37 -3 - 2 (I) (e) J -3 - 2 - I (J I l \ 3 z = 2.22 Encontrando valores crfticos Nos exerdcios de 15 a 20, encontre os valores criticos p.Jra o tipo indicado de 1este e nfvel de signilic3ncia n. 15. Teste unicaudal a direita, o = 0,05. 16. Teste unicaudal adireita, o = 0,08. 17. Teste unicaudal a esquerda, n = 0,03. 16. Teste unicaudal a esquerda, a= 0,09. 19. Teste bicaudal, (\ = 0,02. 20. Teste bicaudal, o = 0, 10. Ed ,e 1naaa 1 Analise grafica Nos exerciciosde 21 a 24, (a) afirme se o grafico mosira um leste unicaudal a esquerda, a direiia oo bicaudol. (b) afirme " = 0,01, 0,05 ou 0, 10. 21. 22. Nos exercicios de 29 a 32, teste a afirmayjo sobre a me· dia populacional Jt no nlvel de signific3ncia usando as estatisticas amost1ais dadas. = = x x 29. Afirma,ao: JI 40, o 0,05, estatistica amosiral: = 39,2, s = 3,23,n = 75. 30. Afirmayjo: J• > I.030, o = 0,05, estatistica amostral: = 1.035, S a 23,n : 50. 31. Afirmai;OO: J• "' 6.000, a = 0,0 I, es1atistica amostral: = 5.800, x Alirmayjo: JI ~ 22.500, o = 0,01, es!a1istica amostral: x = 23.250, S = 350, n = 35. 32. s = 1.200, n = 45. - .l' -2 - I 0 I Z\ 3 :o =2J3 23. Us.indo einterpretando conceitos 24. Testando afirma,oes usando valores P Nos exercicios de 33 a 38: (a) esaeva a afirmayjo malemat'icamente e identilique H0 e H,. ..; -2/ .. 1 (> (b) encontre a estatistica de teste padronizada z e sua area cor· respoodente. Se for convenieme, use a teroologia. j I • - 1.645 - :0 (c) eooontre .alores P. Se for convenieme, use a lealologia. Analise gratica Nos exe<cicios de 25 a 28, alirme se cada eslatistica de teste padronizada z permite que voce rejeite a hip6tese nula. Explique seu raciocinfo. 25. (a) z = 1,631. (b) z = 1,723. (c) Z= -1 ,464. (d) z = -1 ,655. -3 -z \-1 o I I' ..j I /? J 26. (a) Z= 1,98. (b) z = - 1,89. (c) Z = 1,65. (d) z = - 1,99. - 1\ - 1 0 - to = -1.96 z0 = .1 1,96 27. (a) z =-1,301. (b) l = 1,203. (c) z = 1,280. (d) z = 1,286. (c) (d) 34. Sistema de chuveiros de incendio Um fabricante de ch1N<?i1os para pr01~0 contra incendios afirma que a media de tempe<atura de ativa<Jo e de pelo meoos 135 °F. Para 1estar a afirma'3o, voce seleciona uma amostra de 32 sistemas e descobre que a media de tempe<atura de ativayjo e 133 °F com desvio padrao de 3.3 °F. No nivel de signific3ncia o = 0, I0, voe! tern evidencia suficiente para apoiar a afumayjo do fabricante? 35. Bebedores de cha Uma sociedade de bebedores de ch! esuma que a media de consumo de cha por urna pessoa nos Esiados UM05 e mais do que 8 ga!Oes pcx ano. Em uma amostta aleat6ria de 100 pessoas. voce d~e que a media de consu· mo de <hl ~ de 7,9 gJIO.o por ono, com deovio podr.lo de 2,67 galOes. Em o = O.Q7, m pode ajl()iar a afirma~o da sociedade? (~de U.S. De-'ll ofAgt/Cli>'Nro.) _, _, (b) (e) imerprete a decis3o no conteicto da afirmayjo original. 33. Testes de matematica Em lllioois, uma amostra alea16na de 85 alunos da oi1ava serie tem nota media de 282 com desvio padrao de 35 em um 1este naci011al de ma1em.l1ica. 0 resultado do tesle infcxma o adminislradcx de uma escola esiadual que a nola mMa no teSle para OS alunos da oitava ~e do eSlado e mais do que 275. Em a = 0,04, M e'lid<!ncia o suficienle para apoiar a afirma¢o do administrador? r;.doprQdodeh'oocno/Cent« /or Educalxin Sia'""-«) - <o=- 1.645 <o=l.645 28. (a) (d) decida se reieita ou falha em rejeitar a hiP61ese nula. -· 0 I\ ? 3 z0 = 1.285 \.2 - 1 0 I z = 2,557. z = -2,755. z = 2,585. z = - 2.475. -z.-3 = -2.575 zI> ' to= 2.575 36. Consumo de atum Um nuuic:ionista afirma que a media de consumo de alum por pessoa nos Es!ados Unidos ede 3, I libras pcx dia. Uma amosira alea16ria de 60 pessoas nos Es!ados Uidos mosira que a media de co.'lSumo de a1um por uma pessoa e de 2,9 tibras por ano com desvio padr~o de 0,94 libras. Em <> = 0,08, voce pode rejeitar a afirma{Ao do nuuicionista? {Adaplodo"" US Deponmenr olAgttulwre.) ( ilt 37. Parando de fumar 0 numero de anos que levou para uma amostra aleat6ria de 32 ex.fumantes pararem de fumar perma· nentemente es1~0 listados. Em o = 0,05, ~ evidOOcia suficiente para rejeitat a afirmai;OO de que a media do 1empo que levou para OS fumantes pararem de fumar permanentememe e 15 anos? (ldrJ;;wdo de Th• Galo;> Otgoovaoon.) Ed ,e 1naaa 1 (apflOlo) 15,7 13,2 22,6 13,0 10,7 18,l 14,7 7,0 17,3 7,5 21,8 12,3 19,8 13,8 16,0 15,5 13,1 20,7 15,5 9,8 11,9 16,9 7,0 19,3 13,2 14,6 20,9 15,4 13.3 11,6 10,9 21,6 • ltst"dthlp6t1>t<OllU1IU.~Oltfd 317 24 36 44 35 44 34 29 40 39 43 41 32 33 29 29 43 25 39 25 42 29 22 22 25 14 15 14 29 25 27 22 24 18 17 ·l38. Salarios Um politico do Alabama afirma que a media dos sala· :·~A4. Lampadas fluore5eentes Um fabricante de lampadas fluorescentes garante que a vida tltil nnMia de certo tipo de lampada de pelo menos 10.000 horas. Voce quer testar essa garantia. Para faier isso, voe! regisua a vida Util de uma amosva aleat6ria de 32 l.lmpadas fluorescentes. Os resultados (em holas) s.lo mostrados apoiar a afirmaylo do politico? ~<I'*> do AmeY.,,,., Cor••: lllloo\'el.) a seguil. Em o • 0,09, voce temi evidMcia suficiente para rejei1ar a rios anuais para gerentes de engenharia no Alabama e mais do que a media nacional, S 100.800. Os sal.lrios anuais (em d6klres) para uma amostra aleat6ria de 34 gerentes de engenharia no Ala· bama estoo listados. ~." ~ 0,03, M evidencia o suficiente para 92,860 96,216 99,963 101,519 89,714 93,613 94,975 98,234 101,415 94,161 93,198 92,144 88,714 86,719 89,714 97,178 95,117 91,716 82,917 98,117 79,821 94,556 90,648 96,159 98,736100,317 97.482 99,632 96,031 e afi~odofabricante? 102,415 97,612 99, 176 94,932 100,589 8,800 10,016 10.420 6,2n 9,155 13,001 10,250 10,002 11,143 8,015 6,11011,00S.11,555 9,254 8,302 8,15110,98010,18610,003 8,632 7,265 I0,584· 9,397 11,987 8,234 10,402 6,99112,006 8.81411,445 7,55610,380 {'~AS. Perda de peso Um programa de perda de peso afirma que os participantes do programa tem media de perda de peso de pelo Testando as afirma~oes menos 10 libras ap6s 1 mes. l«e trabalha para uma associa,.io Nos exerdcios de 39 a 46, (a) esoeva uma afirma<;ao matemati· medica e deve testar essa afirmaylo. Uma amosua aleat6ria de ca e identifique H0 e H,. (b) encooue os valores criticos e identifoque 30 panicipantes do programa e suas petdas de peso (em libras) a.s regi005 de rejei(Ao, (c) eocontre a estatistica do teste padronizado. depois de um mess.lo listadas diagrama ramo-e-folhas a seguir. (<l) decida se rejeita ou falha ao rejeitar a hip6tese nukl e (e) interprete Em o = 0,03, voee tern evid!ncia para rejeitar a afirmaylo do p<ograma? a; decisao no contexto da afirma<;ao original. "° 39. Conteudo de cafeina nas bebidas a base de cola Uma emp<esa fabticante de bebidas a base de cola afirma que a mt!dia do conte6do de cafeina por ganafa de 12 ootaS e de 40 mi igramas. Voce quer testar essa af•maylo. Durante os testes, voce desc:OO<e que uma amosua aleat6ria de 30 garrafas de 12 ~s de bebi· da a base de cola tern media de conteUdo de cafefna de 39,2 miligramas com desvio padr~o de 7,5 miligramas. Emo= 0,01, voe! pode rejeitar a afirma<;ao da empresa? (Moi:'100 de Ame""°" Perda de peso (em libras) ap6s um mes /Je<fycges """""""'·) G7 7 019 2 2 79 03568 2566 125 7 8 078 8 11 12 13 Chave: 517 = 5.7 14 15 .., . . . !l;46. 4 1. Um~adas Umfabocantedelampadasgarantequeamt!diade vida util de certo bJl? de IAmpada e de pelo ~nos 7;>0 ~ras. Uma amostra aleat6n_a de 36 !Ampadas tern media de vida 01JI de 745 ~ras '?m des~IO padrAo d~ 60 horas. Em 0 = voce tern ev'.deroos sufi~1entes para reienar a .•firmaylo do fabricante? 42. Conteudo de s6d10 em ce1ea1s Voce trabalha para uma or· ganizoy!o nacional de saude e de\oe monitorar a quantidade de s6dio em certa marca de cereal. Voce descobre que uma amostra aleat60a de 52 por~ de cereais tern media de quantidade de s6dio de 232 miligramas com desvio padrao de 10 mi igramas. Em a ; 0,04, voce pode co.'lduir que a media da quantidade de s6<lio por porylo de cereal e maior que 230 miligramas? :·~43. Nlveis de di6xido de nilrogenio Um cientista estima que a mt!dia do nivel de di6xido de nkrogenio em Calgary e maior que 32 partes por bi!Mo. Voce quer testar essa estimativa. Para isso, voee determina os niveis de di6xido de nitrogerio para 34 dias selecionados aleatoriamente. Os resultados (em panes por bil~o) est.lo listados a seguir. Emo = 0,06, voce pode apolar a estimati· va do dentista? (!ldop:ado cl» Clean Alt SHot<gi'. Afan<:e.) om. 77 6 8 9 10 40. Conteudo de cafefna no cafe uma cafeteria afirma que as bebidas recem-p<eparadas tern media de conteUdo de cafeina de 140 miligramas por 8 ~s. Voce quer testar a afirma(Ao. Voce descoble que uma amostra aleat6ria de 42 por,<les de 8 on,as tem uma media de conteUdos de caleina de 146 ma;. gramas e desvio padr3o de 22 mifigramas. Em o = 0,05, voce tern evidencia sufic'iente para rejeitar a afirmaylo da cafeteria> (!idopr()!f() de Ame<~an Be;etogoS Awxiolion.) 5 O • • S1mu1a,ao de incendio uma empresa de engenharia afirma que a media de tempo que leva para um funciooorio evacuar o predio durante uma simula(Ao de incendio e menor que 60 segundos. Voct quer testar essa afirma~o. Uma amostra aleat6ria de 50 funcionarios e seus tempos de saida do p<edio (em segun<los) estao listados no diagrama ramo· ·e·folhas a seguir. Em a = O,C>l, voce pode apoiar a afirmaylo da empresa? Tempos de salda do predio (em segundos) 0 79 1 199 26799 2 3 4 5 1167799 113334667 2345788899 (have: 017=7 Ed ,e 1naaa 1 316 • [11>\!1li<"PI icdd1 1334667 469 46 6 7 8 9 10 2 • cobre que uma amosua alea16ria de 36 residencias nos Efildos Unidos 1em media anual de 22.2-00 milhas de VMT com desvio padrao de 775 milhas. Voce conduz um experimento estatfstico onde H,; 11 $ 22.000 e Hp 22.000. Em a = 0.05. explique por que voce MO Pode rejeitar H,, ltdoptodo cle U.S. ffffetol '*!Jit"Uf ildr"'16tl01tOn) 49. Usando valores Merentes de a en No &ercfcio 47, voce acre· dita que H0 "30 valida. 0 que permrte que voce rejerte H0 ? (a) Use os mesmos valores, mas aumente a de 0,01 para 0,02. (b) Use os mesmos valores, mas aumente ode 0,01 para 0,05. (c) Use os mesmos valores, mas au!TM!nte n de 30 para 50. (d) Use os mesmos valores, mas aumenten de 30 para 100. SO. Usando valores diferentes de a e n No &erci:io 48, voce actedita que H0 nao e valida. 0 que pemlrte que voce rejeite H0? (a) Use os mesmos valores, mas aumente a de 0,05 para 0,06. (b) Use os mesmos valotes, mas aumente" de 0,05 para 0,07. (c) Use os mesmos valores. mas aumente n de 36 para 40. (d) Use os mesmos valores, mas aumente n de 36 para 80. 51. Reda~o Explique a diferen\3 entre um teste z classico para 11 e o teste z para 11 usando um valor P. e [xpandindo conceitos 47. Uso de energia eletrica Voce acredi1a que a media anual de uso de quilowatts por hoca dos clientes residenciais nos Esla· dos Unidos emenor que 11.500. Voce realiza alguma pesquisa e descob<e que uma amostca aleat6ria de 30 consumidores residenciaiS tem media de USO de 11.400 quilowatlS pQr hara com desvio padrao de 320 quilowaus. Voce conduziu um experimento estatfsiico onde H0: I' <: 11.500 e H,:< 11.500. Em a = 0,01 , explique por que voce nao pode rejei1ar H.. 0<Jopui· do de E<flson E!etrK lnst1M~.) 48. Milhas por viagem de veiculos ~ accedita que a meoia anual de mihas de viagem de um veiculo (VMl) por residencia e maior que 22.000 m~has. Voce rea&za algumas pesquisas e des· ilj Atividades Teste de hipotese para media Applet O applet 1eS1e de hip&ese para a media permite que voce investigue visualmente 0 teste de hip6teses para uma media. Voce pode especificar o tamanho da amOSlfa n, a forma da distribui~o (Nom131 ou Right), a p<opor~o Pofllkcional real (Mean), o desvio padrao pQpukldonal real (Sid. Dev.), o valor nulo para a media (Null mean) ea altema1iva para o teste (Al· temolNe). Quando voce dica em SIMULATE, serao selecionadas 100 amostras separadas de 1amanho n de uma popu~o com esses parAme1ros populacionais. Para cada uma das 100 amos· 11as. um teste de hip6tese baseado na estatistica Z e realizado e os resuhados de cada teste sao mostrados nos grAficos ~ direita. A estatlstica do teste para cada um e mosuada no grafico superior e o valor mosuado no grAflCo inferior. As linhas preta e <inza representam os limites para rejei~o da hip61ese nukl com nfveis de teste de 0,05 e 0,01, respeaivamente. Simula¢es adicioo.Jis podem ser feitas dicando·se em SIMULATE multiplas vezes. O ntimero acumulado de vezes que cada 1es1e rejeita a h;p6tese nula tambem e mOSlfado. Pressione CLEAR (UMPAR) para §mpar os resu!tados e.islentes e comece uma nova simulaQ!o. ·-r 1 ··lloo =--1 Me-Ji»: ·SO Std. De\·.: 10 NuJJ meail: SO Allcrno.th-c.: '°J <= = = = v' Sin\ula.c Rcj«t null f-ail I() reject DUii Pi:up. rejcdcd Pe Explore Passo 1 Passo 2 Passo 3 Passo 4 Passo 5 Passo 6 Passo 1 Especifique um valor para n. Especifique a distrib~o. Especifique um valor para a media. Especifique um valor para o desvio padrao. Especifique um valor para a media nula. Especifique a hip61ese al1ernativa. Clique em SIM lJlATE para gerai o teste de h;p61eses. I C lear th~ando a I condusiles 1. Configure n = 30, media = 40, Std. Dev. = 5, media nula = 40, hip61ese altetnativa de •nao igual a· e dis1ribui¢0 "n0<mal". Fa(a a simula<;ao de modoque pelomenos 1.000 testes de hip6tese sejam realizados. Compare a propQr~ao de rejei~Oes de hip6· Iese nula para OS nfveis 0,05 e 0,01 . lsso eO que voce esperaria? 2. SupQnha que a hip6tese nukl seja rejeiitada no nivel 0,01. Ela sera 1ejeitada no nfvel 0,05? Supooha que a hip61ese nukl seja rejeitada no nrvel 0,05. Ela sera cejeitada no nfvel 0,01? Explique 3. Coofrgure 1l = 50, media = 25, Srd. Dev. = 3, media nula = 27. hip61ese alterna1iva de •<" e distJibui~o "nomlal". Fa(a a sinlu· ~ode modo que pelo menos 1.000 testes de hip6tese sejam realizados. Compare a propor~o de rejei~Oes de hip6tese nula para os nfveis 0,05 e o.oi. lsso eo que voce esperana? Explique. Ed ,e 1naaa 1 CapnaloI leslts dt hlp611<tc0lll '""'"'°'"' 319 Tetnperatura dos homens (em graus Fahrenheit) Estudo de caso Temperatura corporal humana: o que enormal? Em um anigo no JoUJnO/ of Sratistics Educolion (volume 4, ano 2), Allen Shoemaker desCJ<Ne um estudo que foi repoftado no Journal of the America.1 Mecical Association (JAMA)'. ~ geralmente aceito que a.redia da temperalura de um aduho humano seja de 98,6 °F. No artigo, Shoemaker usa dados do anigo da JAMA para testar essa hip6tese. Aqui esta um resumo do teste. Afirma~ao: A temperatura de a<Mtos • e98,6 °F. .. 3 96 79 011 1234444 556667888899 00000011222233 44 44 55666666778889 000 123 4 5 'Tl 'Tl 98 98 99 99 100 100 H,; 1• = 98,6 'F (A'irmoril:>) H,:1•"' 98,6 'f Tamanho da amostra:n = 130. Populat3o: Temperatura de adtitos humanos {Fahrenheit). Oistribuiyio: Aproximadamente normal Estatistica do teste: x = 98,25, s = 0,73. Chov.:9613=96,3 Temperatura das mulheres (cm graus Fahrenheit) Exercicios 1. Complete o teste de hiP6tese para todos os adultos (homens e mulheres) realiuindo os passos a seguir. Use o nivel de signifdnci.! de o = 0,05. (a) Fa~ um grafico da distribuiyio de amos11agem. (b) Determine os \\lki<es u iticos e os adi.cione ao grafico. (c) Determine as 1egi0es de rejeiyio e os sombreie no g1afico. (d) Enco.1ue a estatfstica de teste padronizado. Adicione ao grafico. (e) Tome a de<:isao de rejeitar ou lalhar em rejeitar a hip6tese nula. (f) lnteq><ele a decisao no contexto da afirmayio original. 96 4 96 79 'Tl 224 'Tl 677888999 98 00000122 222233344444 98 5666677777788888889 99 00 1 t2234 99 9 100 0 100 8 Ch."o: 9614: 96,4 2. Se voe~ diminuir o nlvel de signilic.lncia para o = O,Ql, sua decisao muda? Explique seu radodnio. 3. Teste a hip6tese de que a media da temperatura dos homens e 98,6 ' F. O que podemos conduir no nlvel de signilic.lncia de o = 0,01? 4. Teste a hiP6tese de que a media da tempetatura das mulhetes ede 98,6 'F. o que podemos coriduir no nlvel de significancia de o = 0,01? 5. Use uma amosua de 130 temperaturas pa1a format um intervalo de confia~ de 99% para a media da temperatura dos aduhos humanos. 6. Atemperatura corporal 'normal" convenciooal foi esiabelecida pot earl Wunderlich mais de I 00 anos atr.ls. 0 que, no p<ocedimento de amostragem de 'A\r>derlicfl, voe~ auedita que possa t~ levado a uma conclusao erronea? (),!dos doalig;i JAVA for.am cde.a:bstte homens e mJheres ~.es. <:am idadesentre J S~ ..0 at'KIS, no~ c.r..t lot ~<it'< O..<!opme<1 ("""° par• ~d•meri<>dt - ) do Uor.-eni&de dt Mt')W'd. 8'1""°"- m Testes de hipotese para a media (amostras pequenas) Va!ores <riticos em uma distribui(~o t-7 Teste tpara a media /t (n < 30 e <T desconhecido) - 7 Usando valores Pcom um teste t I 0 que voce deve aprender • Como encontrar v.Jlores criticos em uma distribui¢l t. • Como USM o teste t para lestar a m~ia 11. Va lores criticos emuma distribui~ao t Na ~o 7.2, voce aprcndeu a realizar um teste de hip61ese pam uma m~dia populacional quando o tamanho da amostra for pelo merms 30. Na vida real, frequen- • Como usar a tecnologia para err cootrar v.Jlores P e usMos com om teste t para testar a m~ia µ. Ed ,e 1naaa 1 Teste unicaudal aesquerda _L\__. '• temente n3o e pratico coletar amostras de tamanho 30 ou mais. Entretanto, sea popula(ao liver uma distribui~lio normal, ou aproximadamente normal, voce ainda pode testar a media populacional I'· Para isso, vocll pode usar a distribui<;ao de amostragem t com 11 - t graus de liberdade. lnstru(oes 0 Encontrando va!ores criticos em uma distribui~ao t Teste unicaudal adireita 1. Jdenti fique o nlvel de confian~a a. ~. 0 '• 2. ldentifique os graus de liberdade g..I. = 11-1. 3. Encontre os valores criticos usando a Tabela 5 no A~n<lice Bna fileira com 11 -1 graus de liberdade. Seo teste de hip6teses for: a. 1mica11rlnl aesq11erdn, use a coluna "Unicaudal of' com sinal negativo. b. 1111ica11dnl adireiln, use a coluna "Unicaudal er" com sinal positivo. c. bicawfnl, use a coluna "Bicaudal" com sinal positivo.e negativo. Teste bicaudal Exemplo m Encontrando valores criticos para t Encontre o valor critico 10 para um teste unicaudal ~ esqucrda dadoo: = 0,05 e 11 = 21 Soillpio Os graus de liberdade sao: g.l. = n-1 = 21-1 = 20. Para encontrar o valor crftico, use a labela 5 no Apendice B com g.I. = 20 e 0,05 na coluna "uni caudal, o". Co1no o teste eunicaudal aesquerda, o valor crftico e negativo. Entlio, "= o.os -3 - 2 \- 1 2 0 1. = -1,725. 3 r0 =-l.72S e Encontre o valor crftico 10 para um teste unicaudal h esquerda dado o = 0,01 voci e 11 =14. 1 a. E11conlre o valor t na Tabela Sdo Apendice B. Use g.I. = 14 e o· = 0,01 na coluna "Unicaudal, o.''. b. Use sinal negativo. Exemplo m Encontrando valores crlticos para t Encontreovalor critico 1. para um teste unicaudal adireita dadOCl' = 0,01eti = 17. Solttftio Os graus de liberdade siio: -4 -3 -2 -I 0 I 2/ 3 ~ r0 =2.S83 g.l.= 11 - J =17 - 1 = 16. Ed ,e 1naaa 1 (apltolo 1 • rew1 de hip6t11ecomomaam°'t" 321 Para encontrar o valor crflico, use a Tabela 5 no Ap~ndice Bcom g.I. = 16 e 0,01 na coluna "Unicaudal. a-". Pelo fato de o tesle ser unicaudal a direita, o valor crflico e posilivo. Entao: '· = 2,58.l a. Euco11treo valor Ina TabclaSdoA~ndice B. Use g.I. = 8ea=0,05 nacoluna "Unicaudal, o". b. Use sinal positivo. R~rr.-1111111 I'· Exemplo A43 m .....lmportante ,~~~~~~~~~~ Encontrando valores criticos para t Enconlre o valor crftico t0 para um lesle bicaudal dado o = 0,05 e 11 = 26. Sol11pio Para aprender como determinar se a amostra aleat6ria e retirada de uma distribui~o norma~ veja o Apendire C Os graus de liberdade sao: g.I.= 11-1 = 26-1 = 25. Para encontrar o valor critico, use a Tabela 5 com g.I. = 25 e Cl = 0,05 na coluna "Bicaudal, ""·Como o teste ebicaudal., um valor crilico epositivo e outro e negativo. Ent3o: -10 = -2,060 e 10 = 2,060. Encontre o valor crilico 10 para um teste bicaudal dado a = 0,01 e 11 = 16. a. £11co11tre o valor t na Tabela 5 usando g.I. = 15 e a = 0,01 na coluna "Bi- caudal, o". b. Use sinal positivo e negativo. I Teste tpara uma mediaµ (n < 30 e u desconhecido) Para testar uma afirma~~o sobre a mt!dia I' usando uma amostra pequena (.11 < 30) de uma distribui"1o nom1al ou aproximadamente normal quando" for des- conhecido, voctl pode usar uma distribui~ao de amostragem I. (MMia amostral) - (Mt!dia hipotetica) Erro padrao este t para uma media µ, O teste t para uma mMia eum teste estatistico para uma m<!dia populacional. O teste t pode ser usado quando a popul~o for normal ou aproximadamente normal, o for desconhecido e n < 30. Aestatlstica do teste ~ iC ea estatistica do teste padronizado e t. 2\3 • r0 = 2.060 Ed ,e 1naaa 1 3Z2 • &141t11i<..p11,.da - I X - 11 ! - ---;-/"' s/ .Jn Retratando o mundo Com base em um teste I, foi t()n1ada un1a decisao en1 rela~ao Os graus de liberdade go gJ. = n - I. a ertviar cargas de ca- minhao de li.xo contaminado com cadmio para um aterro s.anitario ou para um aterro s.anit~rio de lixo t6xico. Os caminhOes foram amostra· dos de modo a detenninar se o nfvel de cadmio excede a quantia permitida de 1 miligrama por litro para o aterro sanitario. No estudo, a hip6tese nula era/< $ 1.<f<Nrtr: Plf(ifir S.1t1tl1tt"f"!>I _\1Jtu,1ral Lllhi:M11f,1ry.) H• verdadciro H0 falso Falheem rejeitar H0 RcjeiteH, o,-screm OS erros tipo I e II Jl<>S• slveis dessn sit11nr11o. lnstrui:oes Us.indo teste tpara uma mediaµ (amostras pequenas) Ettt palavras 1. Expresse a afirma~3o matematica e verbalmente. ldentifique a hip6tese Ettt sftttbolos Afirme H, e H.- nuJa e alternativa. 2. Especifique o nivel de signilicancia. 3. ldenti fique os graus de liberdade e ldentifique o. g.I. = 11-1 fa~a a distribui<;ao de amostragem. 4. Determine quaisquer valores criticos. 5. Use a Tali>ela 5 no Ap~ndice B. Determine quaisquer regie5es de rejei~o. 6. Encontre a estatfstica do teste padro· nizado. I- x-1< 7. Tome uma decis.'io de rejeitar ou fa. Se t estiver na regiao de rejei~ao, rejeite H0. C1so contrario, falhe em rejeitar H.. lhar em rejeitar a hip6tese nula. - s/.{,; 8. lnterprete a decisiio no contexto da afinna<;ao original. Lembre-se de que quando voce toma uma decis.'\o, a possibilidade de erro tipo J ou tipo II existe. Se voce preferir usar valores P, veja a p. 324 para aprender como usar valores P para o teste Ida m&lia 11 (amostras pequenas). Veja passos MINITAB na p. 349. Exemplo m Testando µcom uma amostra pequena Um revendedor de carros usados diz que op~ mMio de um Honda Pilot LX 2005 ede pelo menos $ 23.900. Voe~ suspeita que essa afirni.1\iio eincorreta e descobre que uma amostra aleat6ria de 14 vefculos similares tern mE'dia de pre<;o de$ 23.(XX) e desvio padrao de $1.113. H~ evid~nciassuficientes para rejeitar a afirmai;5o do reven· dedor em o = 0,05? Assuma que a popula<;iio e normalmente distribuida. <M•1••rl<> d• Milo; Bl11< llM'.) So/ufilO Aafirmai;ao e: "a media de pre<;o e de pelo menos $ 23.900". Entao, as hip6teses nula e alternativa sao: Ho= J< ~ 23.900 1.4,<irn"1¢<•1 e H,: 1< < $ 23.900. Ed ,e 1naaa 1 Otesteeunicaudalllcsquerda,onfveldesignifiellndaeo = 0,()5eosg.I. =14-1 = 13 graus de liberdade. Entao, o valor critico e10 = -1,771. A regiao de rejei~ao et < -1,771. A estatlstica de teste padronizada e: I ;;:;. x-11 JJ;i Como t1 <. 30. USf.' I~<'~ 5 23.000 - 23.900 = 1.113 / Ji4 "-""'""" '' = 23.0()() ~ -3,026. 0 grafico mostra a localiza\ao da regiao de rtjei\aO ea estatistica de teste padronizado /. Porque t es ta na regiao de rejei\ao, voe.? deve dccidir rejeitar a hip6tese nu la. fllterpretafiio Ha evid~ncia suficiente no nfvel de significancia de 5% para rejeitar a afim1a¢0 de que a media de Pre\O do Honda Pilot LX 2005 ede pelo menos $ 23.900. Um corretor de seguros diz que a media do custo do seguro do Honda Pilot voc6 LX 2005 ede pelo menos $ 1.350. Uma amostra aleat6ria de 9 cotas de seguro 4 similares tem media de custo de S 1.290 e desvio padrao de$ 70. Ha eviMncia &uficiente para rejeitar a afinna\ao do corretor em a= 0,01? Assuma que a popula¢o e normalmente distribuida. Te <l"= 0.05 -.l\ -2 \ -1 1 0 I :0:-3.026 10 = - l.771 a. lde11tifiq11e a afirma\iiO c expressc H,, e H,. b. lde11tifiq11e o nivel de significancia o e os graus de liberdade g.I. c. E11co11tre o valor critico 10 e identifique a regiao de rejei¢o. d. Use o teste t para enoontrar a estatistica de teste padronizada /. e. Fa91 o grMico. Decida se rejeita ou fallu1 em rejeitar a hip6tese nu la. f. tnterprete a deci~o no oontexto da afinna,~o original. Exemplo m Veja passos TI·83/84 na p. 350. Testando µ comamostra pequena Uma industria afinna que a media do nfvel do pH na agua do rio mais pr6ximo e de 6,8. V~ seleciona 19 amostras de ~gua e mede os niveis de pH de cada uma. A media amostral e o desvio padrao sao de 6,7 e 0,24, respectivamente. Ha eviMncia &uficiente para rejeitar a afirma~llo da induslria em Ct = 0,05? Assuma que a popula~o e normalmente distribuida. Solttftio A afirma¢o e: "a media do nfvel de pH e6,8". Entao, a hip6tese nula ea alternativa ~o: H0: I'= 6,8 (,\fimM(li") e H,: I' x 6,$, 0 testee bicaudal, o n!vel de signific.~ncia eo = 0,05e Mg.I. = 19- l = 18 graus de liberdade. Entao, os valorescnlicos&,o-10 = -2,101e/0 = 2,101. AsregiOes de rejeic;;aosao I < -2,101 e I> 2,101. Aestatistica de teste padronizada e: .'f - 11. / - -- - sf ..f;, Porqu(• 11 < 30. tt;t• l('<;tc l. Ed ,e 1naaa 1 6,7-6,8 0,24 I ./19 :::: - 1,816. Navel de signi6cancia de 5% lllterprel11fiio Nao h~ evidencia suficiente no nivel de signi fici\ncia de 5% para rejeitar a afirma· c;ao de que a m&lia do nivel de pH ede 6,8. !o=0.025 - .1 - 3 -10 = 0 gr~fico mostra a localiw\<lo da regiao de rejcii;ao e a t'Statfstica de teste pa· dronizada I. Porque t nao esta na regiao de rejei<;ao, voce deve decidir niio rejeitar a hip6tese nula. \- 1 0 I -2.101 , .,.-1,816 10 = 2.101 ente A empresa tambem afirma que a media de oondutividade do rio e de 1.890 voci miligramas por litro. A condutividade de uma amoslra de ~gua e uma medid a 5 do total de s61idos dissolvidos na amostra. Voce selcciona aleatoriamente 19 amostras de agua e mede a condutividade por litro de cada. A mt!dia da amostra e o desvio padrao sao de 1.500 miligramas por litro e 700 miligramas por litro, respectivamente. Ha evidencia suficiente para rejeitar a afirma<;ao da industria em o = 0,01? Assuma que a popula<;ao e normalmente distribuida. a. lde11tiftq11e a afirn1a~ao e expresse H0 e H,. b. lde11tijiq11e o nfvel de significancia o e os graus de liberdade g.J. c. £11co11tre valores crftioos ±10 e identifique as regiOes de rejei<;ao. d. Use o teste t para encontrar a estatfstica de teste padroniZJda t. e. Fa~a o grafico. Decida se rejeita ou falha em rejeitar a hip6tese nula. f. f11terprete a dccisao no contexto da afirmar;iio original. R~"l-/'P.'1111111 p. A4.J I Usando valores Pcom um teste t Suponha que voce queira enoontrar um valor P, dado t = 1,98, 15 graus de Ii· berdade e um teste unicaudal a direita. Usando a 'Jabela 5 no A~ndice B, vod! pode detenninar que Pesta entre o = 0,025 e o = 0,05, mas mio pode delerminar exatamente um valor para P. Nesses casos, voce pode usar a tccnologia para fazer um teste de hip6tese e enoontrar o valor exato de P. Exemplo [6J Usando valores Pcom um teste t A American Automobile Association alirma que a m&lia de custo de uma refei\30 di~ria para uma famflia de 4 pessoas que viaja de ferias para a Fl6rida e de $ 118. Uma amostra aleat6ria de 11 faml1ias tem m&lia diaria de custo de refei\ao de S 128 com desvio padrao de$ 20. H~ evid~ncia suficiente p:ara rejeitar a afirma~io em a· =c 0,10? Assuma que a popula<;!io e normalmente distribuida. (ftmti·; Amrri1'm1 A1ttP,.,aiilJJlr ,-l<'«Ul'lio11,) Sol11pio A exibi(ao da Tl-83(84 na pr6xima p~gina mostra como configurar o teste de hip6tese. Os outros dois a esquerda mostram os resultados possiveis, dependendo se voce dicar em "Calculate OU "Draw". Ed ,e 1naaa 1 (apftulo7 Tl-83/84 l Tl-83/84 l T·Test T·Test lnpt;Data- ,, "' 118 1:=1.658312395 l'o' 118 x; 128 p = .12824!58922 S.:20 x=128 Sx=20 n:11 < 1'"0 > l'o l';- lrstesdt~ip6ttsrn11ulllda1101t1a 3Z5 Tl-83/84 n=11 calculate Draw t-1 .6583 p•.1 282 -· Dica de estudo A pru-lir das exibi~, podemos ver que P"' 0,1282. Em raziio de P > 0,10, voce deve falhar em rejeitar a hip6tese nula. Em outrns palavras, nao lk1 evid@ncia suficient.e para rejeitar a afinna~~o no nlvel de signific~ncia de 10%. AAmerican Automobile Association afinna que a media de custo de hospedagem noturna para uma famflia de 4 pessoas que viaja de Mrias para a Fl6rida e 6 de pelo menos $ 185. Uma amostra aleat6ria de 6 famflias tem media de custo de hospedagem por noite de S 172 com desvio padrao de $15. Ha eviMncia suficiente para rejeitar a afinna~3o em a= 0,05? Assuma que a popula~3<> e normalmente d.istriente vocfJ buidi>. (ftM1tt: A.11wri<11n A11r1,1rnlbilt ASN~lft~tt.) a. llse uma Tl-83/84 para encontrar o valor P. b. Co111p11rc P com o nfvel de signi fic~ncia a. c. Tome uma decisao. d. /11terprete a decisao no contexto da afinna~3o original. UI • Notequeodisplay da 1'1-83/84 aesquerdanoExemplo6tamWm mostra a estatistica do teste padronizado t"' 1,6583. Se voe@ estiver usando a Tl-83/~ e tem os dados originais de uma amostra, lembre-se de que voe@ pode colocalos na lista e usar a op<;llo de Entrada de Dados ao invi!s da opr.io de entrada de Stats. Para usar o MLNJT~B para realizar um teste t de uma amostra vo~ deve ter os dados origina(s. Exercicios Construindo habi!idades bAsicas e conceitos 1. Ei<plique como encontrar vale<es criticos para uma distribui¢o de amowagem1. 2. Explique como usar um tes1e t para 1es1a1 uma mMia hipo1e1ica 11 dada uma amosua pequena (n < 30). Qua! su~o sobre a popula(<lo enecess.!ria? Nos eocerciciosde 3 a 14, encontre o(s) val0<(es) critico(s) para os et e o tamanho da amostra n indic:ado. 3. Teste unicaudal adireita, o = 0,05, n = 23. 4. Teste unicaudal adirei1a, o = 0,01, n = t l. An~lise gr~fica Nos exercfcios de 15 a 18, determine sea estatistica padr~o de teste I indica que voce deve rejeitar a hip6tese nu!a. Eicplique. 15. (a) r = 2,091. (b) I= 0. (c) r = -1,08. (d) t = -2,096. _,. -3 / tmtes t, niveis de signifi~ncia 5. 6. 7. 8. Teste unicaudal aesquerda, a =0,025, n = 19. Teste unicaudal aesquerda, a= 0,05,n = 14. Teste bicaudal, o = O,Ot, n = 27. Teste bicaudal, o = 0,05, n = 10. 9. 10. 11. 12. 13. 14. Teste unicaudal adireita, o = 0,10, n c 20. Teste unicaudal adireita, o = 0,05, n = 8. Teste unicaudal aesquerda, a= 0,01, n = 28. Teste unicaudal aesquerda, a = 0,005, n = 12. Teste bicaudal, n = 0,02, n = 5. Teste bicaudal. o = 0, 10, n = 22. _, o t 2 3 " '·=-2.086 16. (a) r = 1,308. (b) t = -1,389. (c) t = 1,650. ( d) t = -0,998. -4 -J -zj- 1 0 I \2 3 4 -10 =-1-172 10 = 1.372 r = -2,502. (b) t =2,203. (c) t = 2,680. (d) t = - 2.703. 11. (a) t11t11naaa aleat6ria de 12 adul1os nos Esl.ldos Unidos e 1.46 libras e odes· vio padr~o e0,28 lb/as. Com n = 0,05, voe! pode dar supone a essa afimia"1o? (116;:..00 de u.s. £•.,,.. ...,.,,. ;, • "> ·» 18. (a) I • 1,705. (b) I = -1,755. (c) I = - 1,585. (d) I = 1,745. - • -l - : \- 1 0 -10 •-1.725 . . .!.'"""--1 I/2 J 4 10 = 1.725 Nos eirerdoos de 19 a 22, use um leste r pa1a lest.lf a alirma~ sob<e a mMa da ~JI no dado nlvel de sirf'dncia " usaodo a amo!lra esialisbca dada. Para cada a~ suporba que a pop.>la(ao seja nonnalmenle tisuWda. 19. ~: µ .. 15;o . 0.01 Amostta esialisliu; i • 13,9, s • 3,23, n 6. 20. Afi~: JI > 25; 0 : 0,05 Amostta esia1isllc4:i = 26,2, s " 2,32. n • 17. 21. Afi~: JI 2: 8.000; 0 • 0,01 Amostra es!alisbca:i • 7.700, s • 450, n • 25. 22. Mrmacao: JI .. 52.200; o = o.o5 Amostra esiatislia: li = 53.220, s 1.200. n 4. = = Usando e interpretando conceitos 26. P1odu~.lo de rixo Como pane do seu lrabalho com um 81\Jpo de conscierria ambiental, voce quer leSfar a a!Wma(llo de que a media de lixo produzido pcx adultos nos Eslados Unidos maoor que 4 it.as pcx da. Com uma amostra ale.lt6tia de 10 aduhos nos fst!dos ilidos, voce descobre que a ~ de ixo pocltlr do pcx pessoa ao dia ede 4,54 libr.ls com um des\'IO padc.lo de 1.21 ibfas. Com o = 0,05, voce pode dal SIJllOfle a essa afwma· e ~? lA-· ~.ad.:> de ..:. Er ..,._...,.A ' -:y) 27. Pagamento anual Uma afrma~ do de ~ de emp<egabiidade diz que a media de pagameo;o nlll pa1a um homem uabalhador de periodo integral maio< de 25 anos e $el11 diploma oo ensino mMo des 25.000. o pagamenio anual de uma amostra aleetaia de 10 uabaf\aclofes e lislado. Com o = 0,05. teSle a afirmacao de que a mi!dia salanal seia s25.000. e '" ~""i:>t\t 11.s. ..t&Jtl t lt.bX -,, ·• ~ 26.185 23.814 22.374 25.189 26.318 20. 767 30.782 29.541 24.597 28.955 28. Pagamento anual Uma afirm~ do servi~ de iiforma¢es de empregabi!idade diz que a media de pagamemo anual para uma m.Ahei trabalhado<a de periodo imegral mai0< de 25 anos e sem diploma no ensino m<!dio ede$ 19.100. O pagamen10 anu· al de uma amosua aleat6cia de 12 trabalhadoras lisiado. Com o = 0,05, leste a afirma"1o de que a media salarial seja Z19.100. e Testando afirma~Oes Nos exercicios de 23 a 28: ~ado dt (a) escreva a afirma~o ma1ematiamen1e e iden1ifique H0 e H.. 18.165 16.012 18.794 18.803 19.864 19.1n 17.328 21.445 20.354 19.143 18.316 19.237 (b) encontre o(s) v.ilor(es) Clitico(s) eidentifique a(s) regi3o(Oes) de rejei"1o. Testar afirma~c'ies usando valores P (c) e<icontre o tes1e padr3o esiatistico. Se COOvt!nienle, use lecnologia. (d) decida se deve rejeilar ou fafhar em rejei1<1r a hip6tese nula. (e) in1erpreteadecis.loemcadaumdoscootextosdeafimia"10 original. . . Para cada afi~. suponha que a~ seja nomiarnente distnWda. 23. Custo de reparo de mictlH>ndas lkn resiaurador de micro-oodas diz que a media do CUSIO para consef10 de miCR>ondas com problemas t de S 100. \lxe uaballa para esse restaurador e ""' teslal essa ~ Voc! descob<e que uma amostr• ai...1'lM do ~ lonv>< m"""""'1o< ,...., '""' mMo do """' ,..,.. oonsenodeS75e um des\'IOpacr.lodeS 12,50.Como= 0,01, voce tern evidbloas J>ir.l dar supone aa~ do res111uradol? 24. Custo de repa10 de computadores lkn res1a1.<adol de computadoles acredita que a media do CUSlo para conser10 de comp.Mdores com piolllemas rnaiOI que 95. Para 1estar a afi~. voe! deteimina os OJSIOS do conseno de 7 compuiadores escolhodos alea1onamen1e e descob<e que a m<!d'ia dos custos e S 100 pcx compwdor, com um desvio padrO!o de S 42,50. Com o • O,Ot, voce tern evid~s para dar supone ! afirrna"1o do restaurador? (.'· ¥"" r • o ,.,. 25. Reciclagem Um ambien1aliS1a es1ima que a media de li1CO reci· dado po< aduhos nos ESlados Unidos seja maio< que I fibra po< pessoa ao dia. Voce quer 1estar essa afama~. Voe! descobre que a ml!dia de lixo reciclado por pessoa ao dia pa<a uma amosua e s U5. Buteau of lDbol 5!01>srn) Nos exe<cfcios de 29 a 34, (a) eso-eva a af1m1a"10 matemabcamenle e identifique H e H,. (b) use tecnologi.l para "''°'.'trar o valor 0 P. (c) decida e<itre rejeiiar ou ~a hip6tese nula e (d) llltetprele a decis.lo no comexto da afirma"1o original Suponha que a poplAa~ seja normalmente <fisuiboida. ·~29. CoM<Jmo de relrigerante Pata o seu esiudo sobre habotos ai merwares enue adolescemes homens, voce sefeciona alea:oriamente 20 adolescentes e pe<glllta a cada um deles quamas pcx¢es de 12 OC>(aS de ~nte ele bebe todos OS dias. Os resd!ados 500 i:stados a segu;.. Com 0 = o,05, ha~ suf;. ciente paia dal 5'4'0'te aafi~ de que adolesantes homens llebern menosque trts pcxi;cies de 1i OC>(aSde retngeiame ICdos osdias? , -!Qd ~·..- !» s. ,, ~ 2, I 2,3 2,4 1,2 0,8 2, I 2,0 2.2 2.5 2, 1 1,6 2,1 1,8 2.2 2.0 2,8 3,2 0,5 1,4 1,2 l30. Maleriais escolares Uma empresa que pioduz ma1eriars escolaces diz que os piof~es ga~lilm uma mMia de mars que S550 de sai dinheiro em materiais escolares em um ano. Uma amostra aleat6cia da quantidade (em d61ares) que 24 piolesso<es gaswam em materiais escolares em um ano recente lisiada a seguir. Com o = 0,05, ha evid~ ~nte paia dar supone ~afirma"1odaempresa? (Acl:Jlt "'odt-Na. "'ds •s..+,..y di • ,,.,,..,,, Amoo.'"'-) e 715 623 582 721 602 621 462 320 532 566 686 532 603 420 684 713 531 888 482 361 560 910 546 860 Edifii,IJBa a upftukl, 31. Tamanho da sala Voce recebe uma revista de uma grande uni· versidade. Arevista 1ndica que a mMa do 1amanho das salas para c:urws int~rais e menor que 32 alunos. Voce quer 1es1ar essa afirm~ Voce selecoona 18 salas aleato<iamente e detenn1na o 1.1manho de cada \JIN. Os res<Jltados sao islados a seguir. Com a ; 0,01, voce pode dar suporte ~ afirma~ do reita<? 'L .. ef 35 28 29 33 32 40 26 25 29 28 30 36 33 29 27 30 28 25 32. Hora-aula do corpo doceme de uma fac:uldade 0 reoot de \JIN ~ esllma que o niimero mMo de a.Aas dadas por profemres de cm curso incegial ooc»s as semaNS ~ 11 IJ. Como metnbro do ainselho estuclanW. voce qoJe< 1estar essa afir· ~ Uma amos1ra aiealclna do nUme<O de hOtilS em sala para 0110 ~es do an> negral em <.ma semana eiSlada a seguir. Com 0 - 0,01, voce pode d¥ S<Jpolle ~ ~do reitor? IA' ) 11,8 8,6 12,6 7,9 6,4 10,4 13.6 9,1 33. Comendo fora Uma associa>Jo de resiaurantes <iz que as fami· lias ooroons nos ES1ados Unidos ga~m uma medra de S2.634 por ano em comida fora de~.~ e um repclner de uma publica\<lo nacional sobreoonsumo e quer 1es1.1r essa afi~o. Voce seleciona aleatoriamente 12 famnias none.ame~nas e descobre quamo c.ida uma gaS1ou com comida fora de casa por ario. \lx.e pode rejeitar a afwma>Jo da assoc~ de res1auran1es com o ; 0,02? !,Moptodo di! US &P"'1J ol L<lb.• Sr•W ') 3.013 1.724 1.949 3.516 2.475 2.767 2.231 4.512 2.926 3.148 2.188 2.978 34. Custos de alojamenlos Uma associai;!o de vial!'ns diz que o c:usto d't.!rio de alojamentos para uma famttia nos Estados Unidos ede S 152. Voce vabalN para uma j)\lbltea~ de 1urismo e ~ testar essa afirmai;!o. Voce seleciona alea1oriamen1e 10 lamttias oote-amei:icanas e descobre quan10 cada uma gasta com aloja· mento em uma viagem de apenas uma noiie. Com o s 0,02, voce pode rejenar aafi~o da associa(Jo de viagens? CM.,.· 11 ~ Al ~ ) 164 137 142 155 119 104 l(t 74 204 148 181 • fl\ltl ,, hip6't1tc0m .......u. 327 Expandindo conceitos 35. Bala~o de c.irtiles de aedito Para 1es1.1r aafi~ de que a media do ba"'°9) de c.inoes de crMto enlre as faml11as que 1em '"" balallt'O male:. que s 2.328. voce pesqllSil e enoonua que uma amosua a!eatll<ia de 6 litulates de can?>es ~ tJtna me- <ia de S 2.528 do balantO de cart.lo de credl!O, oom um desvio ~ de S 325. \bee coOO.Jz um experimento estatlstJco onde H0: µ S S 2.328 e H,: µ > S 2.328. Como = OIJl, e>qllique por que YOCe n!o pode rejeildr H., ~ que a ~ seia normaknente disri>uida. " voce 36. Usando valores dnerentes para <t e n No Exetdoo 35, aaedita queH0 n!o ev~ ()Jal das seguinces op¢es le pemt<te rejeitar H,? (a) use os mesmos vafores. mas aumen;e ode 0,01 para 0,05. (b) use os mesmos valores. mas aumente o de OIJl para0,10. (c) useos mesmosvalores, masaunenien de 6para 12. (d) use os mesmos valore:s. mas aootellle n de 6 para 24. Oecidindo sobre uma distribu~ao Nos exercicios 37 e 38, decida se voe! deve usar <.ma distn· buii;!o de amosuagem normal ou uma distrib~o de amostragem t para fazer o teste de hip6tese. Justifique Depois, use a distri~o para testar a afirma~o. Escreva um par~rafo c:uno sotxe os resultados do teste e o que voce pode conduir sobre a afir~o. 37. Quilometragem de combustive! Uma empresa de canos diz que a media de quiklmetragem de oombus1ivd para o seu se<0 de lu>IO eno milimo 23 milhas por gal.lo (mpg). Voce acrediia que a afirma(!O esteja iicorreia e descolxe que uma amosua alea16ria de 5 c.irros tem uma media de 22 mpg e um desvio padrao de 4 mpg. Suponha que a quilomeuagem de combt1Strvel de todos os sedas de luxo da empresa s;eja normalmente distnbulda. Com o = 0,05, teste aalirmaylo da ennp<esa. ~d-·' """ "l!-wtl 38. MeS1rado Uma puill~o sobre educa~ decfara que o p<emedia por um ano de estudo em uma escola de mesuado para um aluno de periodo integral de uma inslitui(Ao pUbl'ica seja meno< que $ 23.000. Uma annosua aleat6ria de SO escolas de mesuado tem uma media de pre(O de S 21.856 e <.m desW> pact.Jo de S 3.163 pot ano. Como = O,Ol, teS1e a alitma~oda p.All'icai;Ao. ~ « ~. ~ ( "•vk f ,. '° Teste de hipotese para propor~oes 0 que voce Teste de hipotese para propor(oes I Teste de hipotese para propor~iles Nas ~ 7.2 e 7.3, v~ aprendeu como fazcr um teste de hip61ese para uma ml!dia popul<lcionat Nesta ~lio. v~ vai aprender como testar uma propor~ populacional p, Testes de hip6tcsc para propor¢es ororrem quando um politico quer saber a propo~oo de seus constituinles que estlio a favor de certo projeto de lei ou quando um engenheiro de qualidade tcsta a propor~3o de ~as com problemas. Se 11p ~ 5 e 11q ~ 5 para uma distribui~!IO binomial, ent~o umadistribui~~orunos­ tral para p~normal com: 11~= 1• e 111c J11q/11 . deve aprender • Como usar o leste z para lestar uma p<opor\JO popu1aoorlal p. Ed ,e 1naaa 1 este z para uma proporcao p 0 teste z para uma propor~o e um teste estatistico para uma propor~o populacional p. 0 teste z pode $E< usado quando uma distribui~o binomial edada como np ;::: 5 enq ;::: 5. Oteste estatlW.o e a propor(ao de amostra p e o teste padrao esiatiW.o e z. i>-1•; 7 p- p 1 = _"_;_ = Jpq ==== / =n lnstrui:oes Usando um teste zpara uma proporf'1o p Verifique que 11p ~ 5 e 11q ;::: 5. E111 paltn r'1S Em sfmbolos 1 lmportante •Um teste de hip6tese para uma prop<>r~~o p tambem p<l!le ser feito usando valores P. Use as instru~ na p. 308 para uso de valores P para um teste z para uma media '" mas no passo 3, encontre o teste padrao estatrstico usando a (6rmula: Z= p- p Jpq/11 Gs outros passos do teste sao osmesm<lS. :·~ Veja passos Tl-83/ 84 nap. 350. Determine a afirma~o verbal e matematicamente. Identifique a hip6tese nula ea altemativa. 2. Especifique o nivel de signi(icancia. I. Determine H0 e H,. tdcntifiquc o. 3. Esboce a distribui~o de amostragem. 4. Determine quaisquer valores criticos. Use a Tabela 4 no A~ndice B. 5. Determine quaisquer regi6es de rejei~iio. p-p 6. Encontre o teste padriio estatfstico. z- 7. Decida entre rejeitar ou niio a hip6tese Se z esta na regiiio de rejei~iio, rejei te H0• Caso contnlrio, n3o rejeite H0 . - Jpq/11 nula. 8. Interprete a decisao no contexto da afirma~o original. Exemplo ITT Teste de hipotese para uma proporc~o Um centro de pesquisas declara que menos de 20% dos usuarios de lntemet nos Estados Unidos t~m rede sem fio em suas caS<ls. Em uma amostra aleat6ria de 100 adultos, 15% dizem que t@m rede sem fio em casa. Com o = 0,01, ha evid@ncias suficientes para apoiar a declara~lio do pesquisador? (,~ttnpt11dcld1· p~, Rf.;.autlr Ct11t,·r.) SOluftiO Os produtos 11p =100(0,20) = 20e11q =1 00(0,80) =80s5o maiores que 5. Entao, vocc pode usar um teste z. A arirmas:-10 e "menos que 20% tem uma rede sem fio em casa". Entao, a hip6tese nula ea altemativa s.~o: H0 : p 2: 0,2 e H,: p < 02. (A/imrll(M} Como o teste e unicaudal aesquerda e o nivel de significancia eo- = 0,01, o valor crltico ez. = -2,33 ea regiao de rejei~ilo ez < -2,33. Aestatfstica padrao do teste: -- Dica de estudo z- p- p - Jpqf 11 0,15- 0,2 Lembre-se de que quando voce decide nlo rejei1ar H,. um erro de tipo II e poccl,el. Por oxomplo. no faemplo l a hip61tse nula. p;?: 0.2. pode ser falsa. - Jco.2xo.s)1100 : -1.25. 0 grafico mostra a localiza(ilo da regiilo de rejci~ao e o teste padrao estatlslico z. Como z n.'lo euma rcgiilo de rejci~ilo. vod n3o deve rejcitar a hip61ese nula. Illttrprrtapio No nivel de signifidncia de I\,., n.'lo M evidencia o 00stante para apoiar a afirma<;l'lo que menos que 2(Y,, dos usuarios de Internet nos Estados Unidos tern rede sem fio em cas.1. Um centro de i-Juisa dedara que menos de 30% de usuarios de celulares - ' cujos aparelhos rem acesso ~ Internet, usam esse servi<;"O quandoestao em casa. 1 Em uma amostra alealdria de 86 adultos. 20% dizem ter usado seus aparelhos para acessar ~ lntcmct em casa. Com a • 0,05, h~ evidencia suficiente para apoiar a declara\ao do cenlro de pesqui5'1.? (. \tf. p:, 1•1k Pr.• Rr.trrrrl1 C<nttr.) T- /-2 \ 0 -.a - '1 :0 I a. Verifiq11e que 11p ;?: 5 e 11q ;?: 5. b. lrle11tifiq11e a afirma~no c determine H• e N,. c. lrle11tifiq11e o valor de significnncia o. d. E11co11tre o valor critico z• e identilique a regiAo de rejei~ao. e. Use o testc z parn cncontrar a eslallslica de testc padronizado z. f. Decirla se deve rcjcitar a hip6tcse nu la. Use um grMico se necessdrio. g. /11terprete a decisl!o no conlcxlo da afirm~o original. Para us.1r um valor P para fozer o lesle de hip6tese no Exemplo 1, use a Tabela 4 para enconlrar a ~rea correspondenle a z e -1,25. A rut-a e0,1056. Como esle e um teste unicaudal ~ esquerd<1, o valor Pe igua.1~ arM ~ esquerda de z = -1,25. Enlao, P = 0,1056. Como o valor Pe maior que o .. 0,01, vod nao deve rejeitar a hip6tese nula. Note que esle eo mesmo resultado obtido no Exemplo 1. =-2.33 ; (10- II'< .kJ nu/ of,,.. e H,: p ,. 0,45. If I .fU(;li. .. ... "'°"' ?\lo~ COM f("~ de\~ liYfOI! - a .... JOdQs. lO d~' \ ~-.--- ' A Zogby Internacional dedara que 45\; das pessoos nos Estados Unidos silo a favor de tomar a venda do cigarro ilegal dentro dos pr6ximos 10 anos. Voce decide leslaressa afirma\<lOe entrevista uma amostra de 200 pessoas, dentre as quais, 493 sao a favor da lei. Com o = 0,05, M evid~ncia o bastante para apoiar a afirma<;ao? Soluriio Os produtos 11p = 200 (0,45) = 90 e 11q = 200(0,55) = 110 sAo maiores que 5. Entao, voce pode usar um lesle z. A afirma(3o ~: "45% das pessoas nos Estados Unidos sao a favor de tornar a venda do cigarro ilegal denlro d05 pr6ximos 10 anos". Portanlo, a hip6tese nula ea alternativa s.'o: .a Um CSludo recenle dcclarou quc. em um pericdo de 30 dins, 53.7% das cria~as de 3 anos de idade nos Es~1dos Unidos foram mcdieadas com remedios de vcnda livi:e. como o 1ylenol. Para lcslllr essa afim1a~ao. vocc c:o11d11ziu um11 pesquisa por 1elcfonc com 300 pais de crian~ de Ires anos escolhidos alea1oriamen1c. Na pcsquisa. ,.oce dcscobriu que 166 cri~ foram mcdicadas eom rem&lios de 'enda livre nos 30 dias que precediam a pcsquisa. ttm6dioJ. df' \'("O(b r;~·rc e.t- Teste de hipoteses para uma proporflo .l Retratando o mundo ~iedicadof Exemplo I 2 ? I =-1.?5 166 CtN110 13' 0.05. lkit"\'i,/1.~l1<.'iuuh.:1.>· 1a1Jfe parcl rc.11.·11cv u ufinnt1f,1t>.' Veja passos MINITAB na p. 349. Ed ,e 1naaa 1 330 • ls1<1Ts1io oplic..to Como o teste e bicaudaJ e o nfvel de signific5ncia eo = 0,05, os valores criticos s.'io-z. = -1,96 e z. = 1,96. As regi<ies de rtjei~o sao z < -l,96 e z > I,96. Aestatfstica de teste padronizado ~: (1 - p z- - Cunlo 11p ~ Se Ill] 2: 5, \'OClo podto usar o ~le.:.. - Jpq/11 0,49 - 0,45 ~(0, 45)(0, 55)/ 200 Zo = 1.96 -4 -3 : ,. 1.14 •' Su ponh~ qut• p = 0.45. ::::t1, 14. 0 gnlfico mostra a localiza~o da area de rejei~~o e o teste padr~o estatistico z. Como z nao est<I na area de rcjei<;ao, voce nao deve rejeilar a hip6tese nu la. ltlterpretapio No nivel de signific:.\ncia de 5%, niio ha evidencia o baslante para rejeitar a afir· ma~iio que 45% das pessoas nos Estados Unidos silo a favor .de tomar a venda de cigarros ilegal dentro dos pr6ximos 10 anos. Uma pesquisa da Roper (Centro de Pesquis.1 de Opiniao P(oblica) dedara que 5%dos adultos norte-americanos tiim sonhos vividos com OVN IS. Vore decide 2 testar essa afirma~io e entrevista uma amostra alea t6ria de 250 adultos norte·americanos sobre essa quest~o. Dos pesquis.1dos, 8%responderam que sim. Com" = 0,01, ha evid@ncia suficiente para rejeitar a afirma<;ao? Tente voci 11erifique que up 2: 5 e 11q 2: 5. lde11tifiq11e a afirma~iio e determine H0 e H,. lde11tifiq11e o valor de signi ficancia er. £11co11tre os valores crfticos -z0 e z0 e identilique a regiao de rejei~ao. Use o teste z para encontrar a estatfstica de teste padroruzado z. f. Oecida se deve rejeitar a hip6tese nula. Use um gr<lfico se necessario. g. /11le'1'prete a decisao no contexto da afirmac;iio original. a. b. c. d. e. Exemplo m Teste de hipoteses para uma propor(ao 0 ce1,tro de pesquisas Pe\v afinna que n'ais de 55% dos adultos norte-america. nos assistem seus noticidrios locais regularmente. Voce decide testar eSS<1 afirmac;5o e entrevista uma amostra de 425 adultos nos Estados Uni dos sobre esse assunto. Dos 425 entrevistados, 255 responderam que assistem seus notici~rios locais regularmente. Com " = 0,05, M evidencia o suficiente para apoiar es.sa afirma.,ao do centro de pesquisas rew? SofufiiO Os produtos up =425(0,55) "' 234 e 11q = 425(0,45) "' 191 sao maiores que 5. Entao, vore pode usar um teste z. A afirma~o e "mais de 55% dos adultos norte· -americanos assistem seus noticidrios locais". Entao, a hip6tese nu la ea altemativa sao: e Como o teste e unic:.1udal b direita e o nivel de signincfu1cia eer = 0,05, o valor critico e z. = 1,645 ea regiao de rejei~ao ez > 1,645. Aestatfstica de teste padronizada e: Ed ,e 1naaa 1 (apflUk> 1 z- f~t!I de hip6t11t (Om•ma amo1t1a • 331 }~;,, _(t / 11)- p - Jpq/11 (255/ 425)- 0,55 - J co,5sJco,4s)/425 "' 2,07. A»uma I' ~ O,SS. 0 grafico mostra a localizac;<io da regiao de rejei~ao e o teste padrao estatlstico z. Como z esta na regiao de rejei~o, voe~ deve rejeitar a hip6tese nula. IuterprelaftiO No nivel de significancia de 5%, M evidencia o bastante para dar suporte ~ afir· mai;.'io de que mais que 55% dos adultos norte-americanos assistem seus noticiarios locais regularmente. - 4 ..J -l -1 0 I I : 0 = 1.645 2\ 3 4 :. ,. 2.07 3 essa afirma~iio e entrevist.i uma amostra aleat6ria de 75 adultos sobre esse topico. Dos 75 adultos, 27 rt>sponderam que assistem o canal de previs.'io do tempo. Como·= 0,01, M evidencia o bastante para apoiar tal afirma~ao? 1-ProPZTest, PrOP ) . 55 z=2. 071938535 p=. 0191355209 ~= . 6 n=425 a. Veriftq11e que up '.2: 5 e 11q '.2: 5. b. lde11tiftq11e a afirma~ao e determine H,,e H, c. lde11tiftq11e o valor de significancia a-. Usando uma TI-83/84, voe~ pode eo· contrar o teste padrao estatistico automaticamente. 0 centro de pesquisas Pew afirma que mais de 30% dos adultos norte-ameriYod canos assistem regularmente o canal de previsiio do tempo. Voe~ decide testar Te~ d. £11co11tre o valor critico de z. e identifique a regiao de rejei~ao. e. Use o teste z para encontrar a estatlstica de teste padronizado z. f . Decida se deve rejeitar a hip6tese nula. Use um grafico se necessario. g. /11terprete a decisiio no contexto da alirm~ao original. UI -.'~ r>ara explomr mais este t6pico, veja 7.4 Atividades na p.332. Exercici os Construindo habilidades basicas e conceitos 1. f;qllique como testar uma proporylo populacionat p. 2. Expfique como dedcir quando uma distribu~ normal pode ser usada para ap<oximai uma dislriw,Ao binomial. Nos exerdcios de 3 a 8, decida se e possivel usar a distribu~o de amostragem normal, significincia o dado, usando as amosttas es1ali$ticas dadas. 3. Afirmaylo:p " 0,25; a = 0,05. Amostras estatistkasp = 0,239, n = 105. 4. Afirma1<10: p ~ 0,30; o = 0,05. Amostras estatfsticas p = 0,35, n = 500. 5. Afirmaylo: p < 0,12; o n = 20. ~ 0,01. Amostras estatfsticas pa 0, 10, 6. Aflll11a(<lo: p > 0,125;" = 0,01. Amostras estatisticasp= 0,2325, n = 45. 7. Afirma~Ao: p ~ 0.48; o = 0, tO. Amostras estatisticas p = 0.40, n = 70. 8. Alirmaylo: p = 0.80: o = 0.10. Amostras estalisticas p = 0.875. n = 16. Usandoe interpretando conceitos Testando afirma~oes Nos exeicicios de 9 a 14. (a) escreva a afirmaylo matematica· me.ite e identifique H0 e H,, (b} enconlle o(s) valor(es} critico(s) e identifique a(s} regiao(Oes) de r~, (c} encontre a estatistica de teste padronizado, (d} decida se deve ou ~ rejeitar a hip6tese nula, e (e) interpre1e a decisao no context<> da afi~o original. Se convenieole, use tecnologia para encontrar o teste padrao estatistico. 9. Fumantes Um pesquisador ~dico diz que no minimo 20% dos adultos norte-americanos h.wnantes. Em uma amos11a a!eat6ria de 200 adcltos no~Nmericanos, 18.5% dizem que s!o fumantes. sao Ed ,e 1naaa 1 332 • [\14tlltl<a apli<ada Com o ~ o.oi. ha evidencia o suficiente para reje«ar a afi~o do pesquism? ~"' u.~ Na>onolConte< fa Hedrh Sia~) 10. Voce toma cafe da manha? Um centro de pesquisas estima que n.!o mais que 40% dos adultos none-americanos tomam caf~ da manh~ todo$ os di.as. Em urn.a amostta .aleat6tia de 250 adultos norte-americanos, 41,6% di<em que tomam C<Jfe todos os dios. Com o = 0,01 . ha evidencia o suficiente para rejeitar a afirmai;.lo do pesqu;sador? 1;1dcpla00 deHmtistni"'"'we.) 11. Consumidores conscientes sobre o meio ambiente Voce trabalha em uma agenda de conseNa>.Jo do meio ambiente que recentemente afirmou que n.!o mais que 30% dos consu· midores norte-americanos pararam de comprar certos produ· tos porque a empresa respon~vel pelo produto polui o meio ambiente. Voce seleciona aleatoriamente t .05-0 consumidores norte·americanos e descobie que 32% pararam de comprar certos produtos conta das preocupa>6es em rela<;ao apo· lu~o. Con1 o = O,Q3, voce pode apoiar a afirma>Ao da agen· cia? (Adopwdo de Yl•lhlon ~ll<fd.>>de.) 12. Comida geneticamente modificada Um ambientalista afirma que mais de 60% dos consumidores britanicos est.Jo preocu· pados sobre a modificai;.lo genetiC<J na produi;.lo de alimentos e querem evitar comida geneticamente modificada. Voce quer tesw essa afirmai;.lo. Voce descobre que. em uma amostra ale· at6ria de 100 consumidores britAnicos, 65% dizem estar preo· cupados sobre o uso de modifica,Ao genetica na produi;.lo de alimentos e querem evitar comida gellelicamente modificada. Como = 0, 10, voce pode apoiar a afirmai;.lo do ambient.ilisld? "°' fµoprodod• Con,umf'ls ~) 13. Encontrando um agente imobiliario No seu trabalho para uma imobir.aria, voce descobre que, em uma amostta de 1.762 compradores de casas. 722 conheceram seu agente imobiliario atraves de um amigo. Com o = 0,02, voce pode rejeit.ir a afir· mai;.lo de que 44'l'o dos compradores conheceram seu agente imobiliario atraves de um amigo? (/ldop!odo de US.I IOOfoY.) 14. Voce gosta de voar? Um pesquisa<lor dedara que 24% dos adultos nos Estados Unidos tern medo de voar. Voce que< testar essa afirma.;ao. Voce descobre que, em uma amostra alea16ria de 1.075 adultos nos Estados Unidos, 292 tern medo de voar. Com o = 0,05, voce pode rejeitar essa afirmai;.lo? ('"'"""Matis• /nsr>1ure fol Pubic Opin"oo) Amostra gratis Nosexerdcios 15 e 16,useograficoquemostta oqt.<eosadultos ~iv..am sobre a efw:iencia de amostras grAtis. i(i Amostras gratis funcionam o QUiO efiei&n1e os adultos dizem que as- amostras 9r8!is·s8o Malt Pf_OPOl1tot. compl'1rom o prodUlo 52% Nio ltrlam 1u o - - - , l 3% Le&•&. maa nio 6 necosW lo 25% Malt proponsot a Sombr•rcm do produto 20o/o 15. As amostras gratis funcionam? Voce entrevist.i uma amostra aleat6ria de 50 adultos. Os resultados da pesquisa mostram que 48% deles disseram que s<'lo mais propensos a comprarem um produto quando ha amostras gra~ Com o = 0,05, voce pode rejeitar a afirmai;.lo de que no mfnimo 52% dos adtitos s<'lo mais propensos a comprarem um produto quando ha amosiras gratis? 16. As amoslrasgratis deveriam ser usadas? Use was condus6es do Exercicio 15 para escrever um lj)ilragrafo sobre o uso de amostras gratis. Voce acha que uma empresa deveria usar amostras gratis para fazer as pessoas comprarem um produ10? Explique. Expandindo conceitos F6rmula alternativa Nos exerdcios 17 e 18, use as informa¢es a seguir. Qoando voce sabe o numero de sucessos x, o tamanho dd amos1ra n e a probabi&· ddde p, pode ser mais Meil usar a f6rmu!a: x - np l = jnpq para encontrar o teste padr.Jo est.itlstico quando usar um leste z para uma propor¢o p. 17. Refa>a o Exerdcio 13 usando a formul.l altemativa e compare os resultados. 16. A f6rmula ahemativa ederivada da f61mula: p- p (x/n)- p z- -'--"="='- Jpq/n Jpq/n · Use essa f6rmul.l para obter a f6rmula allemativa. Justifique cada pas:so. Atividades Teste de hip6tese para uma propor(~o Applet O applet de teste de hip0tese poro umo ptopor~oo investigue viwalmente OS testes de hip6tese para uma p<opor~o. Voce pode especificar o tamanho da amost•a. n, a propor~ ve<dadeira (TNe p). o valor nulo para a propor~o (Nuff p). ea alternativa para o 1es1e (Al1emotive). Qoando voce dica em SIMULATE, 100 amostras separadas de tamanho n serao selecionadas de uma populai;.lo com uma propor>.Jo de socessos igual a True p. Para cada uma das 100 amostras, um perm~e que vote teste de hip6teses baseado no z estatistico efeito e os resultados de cada teste s<'lo mosuados nos pianos Adireita. O leste estatlslico para cada teste emostrado no piano superior e o valor Pe exibido no piano superior. As linhas pretas e cinzas representam os atalhos para rejeit.ir a hip6tese oola com os testes nivel 0,05 e 0,01, respectivame.1te. Simula>oes adicionais podem ser fe«as ao dicar em SIMUlATI: rOO!tiplas vezes. 0 mimero cumulativo de vezes que C<Jda 1es1e rejeit.i a hip61.ese nula t.imb~m e exibido. Pressione a.EAR para fimpar os resultados exis1e11tes e ~' uma nova simul~. Ed ,e 1naaa 1 (apltulol • lrs1es~e•ill61!lf<011unlda""'ua 333 Chegando a condusiiff Explore Passo t Especifique um valor para '" Passo l Especifique um valor para a p!OtXll,ao verdadeira. Passo 3 Especifique um valor para a propo1~011\Jla. Pa"o 4 E-s-pecifique uma hip6tese altemativa. Passo 5 Oique em SIMUlATE para gerar os testes de hip6teses. Tn~::~ NoUp:~ Aflcrn~h~:1"' •===v Sin11,1late I = = = 1. Configtue n 25, p verdadeiro 0,35, p nulo 0,35, ea hip61ese ahemativa para ·nao iguar. Fa'3 a simula,ao para que no minimo LOOO testes de hip6teses sejam feitos. Compare a P'Ofl"'(~O rle rejei(Oe< rle hip6teses nu!As r»ra o nivel o.os e " nivel 0,01. Eo que voe! esperava? E>pique = = = 2. Configure n 50, p verdadeiro 0,6,p nulo 0,4, ea hip6tese altemativa para·<'. Qual ~a hip61ese nula? Fa'3 a simula~o para que no mfnimo 1.000 testes de hipOteses sejam feitos. Comp;ue a propo1'"° de ilip6teses nulas para o nivel 0,05 e para o nivel 0,01. Fa'3 o teste de lip6tese para cada nivel. Use os resultados dos testes de hip6teses para explk4r os resultados da simul3'<10. Cumul:a:th't tt'$Uh~: O.t>S levd (>.01 l;.w.:1 Reject null Fail to reject nun Prop. rcj«tc:d Cle.vi Ill 0 que voce Teste de hipotese para variancia e desvio padrao ' Valores criticos para um teste X 1 ~ 0 teste qui -quadrado deve aprender • Comoencontrar osvalorescrrucos para um teste ,'(': • Como usar o teste >.~ para testar umavanancia ou um desviopadoo. I Valores criticos para um teste X1 Na vida real, sempre~ importante pnoduzir resultados previsiveis consistentes. Por exemplo, considere uma empresa que pnoduz bolas de golfe. 0 produtor deve produzir milhlles de bolas de golfe, cada uma tendo o mesmo tamanho e o mesmo peso. H~ uma tolerAncia de varia~3o muito pequena. Se a popula~~o for normal, v~ pode testar a vari~ncia e o desvio padrao do processo usando a distribui~iio qui-quadrado com 11-1 grausde liberdade. Valor -• 2 cnttco.\ 0 lnstru~oes Encontrando valores criticos para o teste X1 1. Especifique o nfvel de significancia a-. 2. Determine os graus de liberdade g.I. = n- l. 3. Os valores crRicos para a distribui~~o X' sao encontrados na Tabela 6 do Apendice B. Para encontrar os valores criticos para um: a. teste unicaudal adireita, use o valor que corresponde a g.I. e o. b. teste unicaudal aesquerda, use 0 valor que corresponde a g.I. e 1 - 0c. teste bi caudal, use os valores que correspondem a g.I. e ~" e g.I. e 1 -~o. a 1- o \ 'alor criticoX~ Valor crftico,\'i, Valor -. , cnt1co.,\R Ed ,e 1naaa 1 334 • C!"tllti<"pllcoda Exemplo m Encontrando valores criticos para X1 Encontre o valor crltiro X2 p~ra um teste bicaudal quando u = 26 e a = 0, 10. SolufliO Os graus de liberdade siio: g.I. = 11- l = 26-1 = 25. a= 0.10 0 grafico a esquerda mostra uma distribui~ao X' com 25 graus de liberdade e uma area sombreada de n = 0,10 do lado direito. Na Tabela 6 do Apendice Bcom g.I. = 25 e "' = 0,10, o valor critico e: x~ L-+-~+-+-+-+-++~~x' 5 I<> IS 20 2$ 30/Js .lO JS = 34,382. Encontre o valor X' critico para um teste unicaudal. a direita quando 11 = 18 e n= 0,01. Encontre o valor usando a 'Jhllela 6 do Apendice B com g.I. = 11 - l ea area a . x~ = 34.382 Ri:-:::11<.~1111u1 p. J\4.J Exemplo m [ncontrando valores criticos para x1 Encontre 0 valor crltico X' para um teste unicaudal a esquerda quando II = 11 e a·= 0,01. Sol11fliO Os graus de liberdade s.'io g.I. = 11 - l = 11 - 1 = 10. 0 grMico aesquerda mostra uma distribui~ao X' com 10 graus de liberdade e uma area sombreada de a = 0,01 do lado esquerdo. Aarea adireita do valor crftico e: 1 -a= l - 0,01 = 0,99. Na T;ibela 6 do Apendice B com g.1. = 10 e a area 1 - n = 0,99, o valor critico e X~= 2,558. Encontre 0 valor critico X' para um teste unicaudal aesquerda quando II = 30 ea= 0,05. Encontreo valor usando a Tabela 6 doApendice Bcom g.I. = 11- l e a areal - o. R~N~llJ IUI I'· Exemplo AJ..J m Encontrando valores criticos para x1 Encontre os valores crlticos :f- para um teste bicaudal quando 11 = 13 e o = 0,01. Sol1tftiO Os graus de liberdade siio g.I. = 11 - 1 = 13 - 1 = 12. 0 grafico aesquerda mostra uma distribui~ao X' com 12 graus de liberdade e uma area sombreada de ! a= 0,005 2 V.f-+--1---1--+-+=~~" de cad a lado. As areas a direita dos valores cn1icos s.'\o: 2S / 30 . JS W t o= 0,005 x~ = 28.299 e Ed ,e 1naaa 1 (apltu~ 7 • 1-.!.o = 0, 995. 2 Na Tabela 6 doApendice Bcom g.I. = 12eas areas0,005e0,995, os valorescn1icos sao x; = 3,074 ex;= 28,299. Encontre OS valorescrfticos X2 para um teste bicaudal quando" = 19 e ()- = 0,05. a. E11co11tre o primeiro valor crltico x;, usando a Tabela 6 com g.I. = n - 1 ea 1 area - et. b. £11co111reosegtndovalorcrfticoX,' usandoaTabela6comg.I. = n-1 ea area 1 -~ et. R~11()S.tt111n p. A44_ Note que, como as distribui<;Qes qui-quadrado nao sao simetricas (como distribui<;Qes I ou non11ais), em um teste bicaudal os dois valores criticos nao silo oposlos. Cada valor critico deve ser cakulado separadamente. I 0 teste qui-quadrado Para testar uma variAncia u2 ou um desvio padrao " de uma popula~ao que e normalmente distribufda, vo~ pode usar o teste :t•. 0 teste :t• para uma variAncia ou desvio padrao nao etao s6lido quantoos testes para a media da popula~o 11 ou a propor~o da popula~ao p. Entao, eessencial que, ao fazer um teste X' para uma variancia ou desvio padriio, a popula~io seja normalmente distribuida. Os resultados podem ser equivocados caso a popula~~o nlloseja normal . este x1 para uma variancia ul ou desvio padrao u O teste X' pa1a wThl variancia ou desllio padrao e um teste estatistico para uma variancia populadonal ou desllio pad«lo. O teste X' pode se< usado quando a popul~ e normal. O teste estatistico es' e 0 teste padrao estatistico: x' - (n - 1)s' - u' segue uma distribuiy3o qui-quadrado com g1aus de liberdade g.I. = n - 1. lnstrui;oes Usando otfltt X para uma Viri&ncia ou df!vio padr3o E111 palavras l. Deten:nine a afIJ'l11~ ved>al e matematicamente. ldentifique a hip6tese nulae altemativa 2. Especifique o nivel de signific:-Ancia. 3. Determine os graus de liberdade e esboce a distribui~o de amostragem. 4. Determine quaisquer valores crlticos. 5. Determine quaisquer regi0es de rtjei~ao. 6. Encontre a estatfstica de teste padronizado. 7. Oecida entre rejeitar ou nlio ahip6tese nula. 8. lnterprete a decis.'io no contexto da afirma~o original. Em sfm/111/os Detennine H0 e H.. ldentifique Cl. g.l. = 11 - l Use Tabela 6 no Apendicc B. x' (11- l)s' "' Se X2 es1a na regiao de rejei~ao. rejeite H0• Caso contrario, nao rejeite H•. lrste>de .,p6ltst<Oll•llld•11101t1a 33S Ed ,e 1naaa 1 Exemplo [ii] - : Retratando o mundo Usando um teste de hipotese para a vari3ncia popu!acional Um cemro oomunitario afinna que o nivel de cloro em $1.Ul Um a empresa de processamento de latici'nios declara que a vari5.ncia da quantida· pi.s· cina tem um desvio padrao de 0.46 panes por milhao (ppm). Uma amostra dos niveis de d oro da piscina. em 25 vezes aleatorias de de gordura no leite integral processado por ela ede nao mais que0,25. Vocil suspeita que essa afirma~ao esteja errada e descobre que uma amostra aleat6ria de 41 cont~ine­ res de leite tem uma variancia de 0,27. Com a= 0,05, ha evidencia suficiente para rejeitar a dedara~ao da empresa? Suponha que a popula~ao seja normalmente distribulda. durame um mes, produz um des- Soluftio ''iOp<ldrao de 0,61ppm. <,idnpl<.to A afirmao;.'lo e "a varifincia ~de nao ma.is que 0,25". E'ortanto, a hip6tese nula e a alternativa s3o: 11<.lmmmn Pool S"P/,/;:) f H0 : o' :S 0,25 1,1finWl(<!ol e H,: ,p > 0,25. 0 teste eunicaudal ~ direita, o nivel de significancia eo = 0,05, e Mg.I. = 41 -1 = 40 graus de liberdade. Entao, o valor critico e: ,\'~ = 55,758. A regiao de rejei\iiO eX' > 55,758. 0 teste padrao estatfstico e: x' 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0 Nfvel de c loro (ppm) (11 - l )s' a' (41 - 1)(0,27) 0, 25 l~on1 n = 0,05. Jui c1·idf11cla o suficiente ptu·a r·1tjei1ur a <ifir- Suprmlta qut "1 =O,lS. = 43,2. nuu,:cio? 0 grafico mostra a localiza\i!O da regiao de rejei~ao ea estatfstica de teste padronizado x'. Como :..~ niloestao na ~rea de rejei~i\o, v~ nao deve rejeitar a hip6tese nu la. illterpretariio No nivel de significancia de 5%, nao M evidencia o bastante para rejeitar a afirma~ da empresa de que a variancia da quantidade de gordura no leite integral nao e maior que 0,25. L-..+--<1:.-.;.--i.-.j...14::::,,,,.-... Y.: 10 20 30 40/ 5'I \oo 10 xi= •t3.2 x~ = 55.758 ·- Di ca de estudo Embora v~ esteja testando um desvio pad~ no Exemplo 5, a estatfstica X' exige variftncias. Nao se esqu~a d e fazer os quadrados dos desvios padrlio dados par.a calcular essas varia~. • ente Uma empresa de garrafas afirma que a varii\ncia da quantidade de bebidas em uma garrafa de 12 on~s nao e maior que 0,40. Uma amostra aleat6ria de 31 4 garrafas tem uma varii\ncia de 0,75. Como = 0,01, ha evidilncia para rejeitar a afirmai;5o da empresa? Suponha que a popula~ao seja normalmente distribuida. voc6 a. b. c. d. e. f. lde11tifiq11e a afi.rmao;.io e determine H0 e H,. lde11tifiq11e o nivel de significancia o e os graus de liberdade g.1. E11co11tre o valor critico e ide11tifiq11e a regiao de rejeii;5o. Use o teste :..~ para encontrar a estatistica de teste padronizado X'. Decida entre rejeitar a hip6tese nula ou nao. Use um gra.fico se necessario. luterprete a decisao em um contexto da afinna~ao origin.al. Exemplo m Usando umteste de hipotese para o desvio padr3o Um restaurante afirma que o desvio padrao no tempo deservir emenor que 2,9 minutos. Uma amostra aleat6ria de 23 tempos de servi<;o tem um desvio padrao de Ed ,e 1naaa 1 (•pnulol • 337 leste1de hii>6<""om11m..mos11a 2,1 minutos. Com o = 0,10, ha evidencia o bastante para dar suporte a afinna\ao do restaurante? Suponha que a popula(ao seja normalmente distribuida. 50111,ao 1\ afirmac;aoe "o d~vio padr5o e menor que 2.9 nlinuto~". Portanto, a hipOtese nula ea alternativa s.'io: H0 : u ~ 2,9 minutos H,: u < 2,9 minutos. (Ajirm.~1) e 0 teste eunicaudal aesquerda, o nfvel de significancia eo = 0, 10, e ha: g.l.= 23-1 = 22, graus de liberdade. Ent3o, o valor critico e: X~= 14,042. A regiao de rejei\iiO e~" < 14,042. Aestatfstica de teste padronizado e: (11 - l)s' x2 = -'--~­ u' = (23- 1)(2, J)' 2.9' Supo1lh.l qu(' 1t =-2.9. ,.11,536. 0 grafico mostra a localiza\ao da regiao de rejei(ao ea estatfstica de teste padronizada X'. Como X' esta na area de rejei9ao, voe~ deve rejeitar a hip6tese nula. fo terpreta,ao No nivel de significancia de lO'Y,,, ha evidencia o bastante para dar suporte a afirma(iio de que o desvio padrao para o tempo de servi(o emenor que 2,9 minutos. a =O.JO Terrie Um chefe de policia afirma que o desvio padrao para o tempo de resposta aos voc:f atendimentos e menor que 3,7 minutos. Uma amostra aleat6ria de 9 respostas 5 tern um desvio padrao de 3,0 minutos. Com o = 0,05, M evidencia o bastante para apoiar a afirma~o do d1efe de polfcia? Suponha que a popula(ao scja normalmente distribufda. a. b. c. d. e. lde11tijiq11e a afirma\ao e determine H0 e H,. lde11tiftq11e o nivel de significancia a e os graus de liberdade g.I. E11co11tre o valor critico e itk11tiftq11e a regiao de rejeii;ao. Use o teste X' para encontrar a estatistica de teste padronizada X'. Decida entre rejeitar a hip6tese nuln ou nao. Use um grMico se necess.1rio. f. /ulerJ>rete a decis.'io em um contexto da afim1a~o original. Exemplo m Usando um teste de hip6tese para a variancia populacional Um fabricante de artigos esportivos afirma que a variancia da fon;a em uma certa linha de pesca e de 15,9. Uma amostra aleat6ria de 15 cilindros de linha tem uma variancia de 21,8. Com o = 0,05, h~ evidencia suficiente para rtjeitar a afirma\<lo do fabricante? Suponha que a popula(ao seja normalmente distribuida. L-+<c.;...-!t-1--1--1---t-~x? S 10 \ \ W ! S JO x2 "' 11.536 x~ = 14 .042 Jj 40 Ed ,e 1naaa 1 Sol11flio A afinna<;ao e"a variancia e15,9". Portanto, a hip6tese nula ea alternativa sao: H,;o' = 15,9 minutos (Afi"ull{O.>) e 0 teste bicaudat, o nivel de signific5ncia H,: o'"' 15,9. ea= 0,05, e M: g.l.= 15- 1 = 14, graus de liberdade. Entao, os valorescriticoss.'lo Xf = 5,629 e Xf = 26,119. As regi6es de rejei<;ao s.io X' < 5,629 e X' > 26,119. A estatfstica de teste padronizadoe: 2 (11 - l)s' x - q·' (15 - 1)(21,8) 15,9 "'19,195. !a= 0,025 0 grafico mostra a localiza<;ao das regiees de rejei<;<lo e o teste padrao estatistico X2• Como x~ nao esM na <lrea de rtjei<;5o, voce nao deve rtjeitar a hip6tese nu la. /11terpretapio No nivel de significancia de 591,, nao ha evidencia oSllficiente para rejeitar a afir, s\ 10 ,is / zo zs) in · Xi,= 5,629 x·"' 19.195 Xii :26, 119 ma<;ao quea variancia na for<;a da linha de pesca e 15,9. '--~--1---1-->1--++.-!:,.,,... r.' Um fabricante de pneus afirma que a varifulcia dos diametros em certo modelo de pneu ede8,6. Uma amoslra aleat6ria de 10 pneus tem uma variancia de4,3. Como = 0,01, ha evidencia o suficiente para rejeitar a afinna<;ao do fobricante? Suponha que a popula<;ao seja normalmente distribufda. a. ldentijiq11e a afi.rma<;ao e determine H0 e H,. b. lde11tijiq11e o nivel de signifitancia <t e os graus de liberdade g.I. c. E11co11/re os valores criticos e ide11tijiq11e a regiao de rejeit;llo. d. tlse o teste ,\~para encontrar a estatistica de teste padronizado ,\~. e. Decidn entre rejeitar a hip6tese nula ou nao. l/se urn grafico sc nccess.'\rio. f. /11terprele a decisao em um contexto da afinna<;ao original. Rc">pl.t:illl IW I'· ;\44 Ill Exercicios Construindo habilidades basicas e conceitos • 0, 10, n • 10. Teste unic.Judal aesquerda. o = o.oi, n = 7. 6. Teste unicaudal aesquerda," = 0,05, n = 24. 7. Teste bicaudat a = 0, 10, n = 16. 8. Teste bicaudal, a = 0,0 I, n = 29. 4. 1. Explique COOlO encontrar os valores criticos cm uma dislribuii;.;o de amostragem \~. 2. Explique como testar uma vari.\ncia populacional ou um desvio padrao de popula~o. Nos exercicios de 3 a 8, encontre os valores critkos para o tesle illdi:c.ado para uma vari.lncia populacional, tamanho da amostta n e nivel de signific.lncid o. a Teste unialudal adireita, " 3. Teste unic.audat direita, " = 0,05, n = 27. s. AnAlise grAfica Nos exetdcios de 9 a 12, determine se a estatistica de teste padroniuido X' permite que ~ rejeite a hip6tese nula. Ed ,e 1naaa 1 C•pltuki 1 • 9. (a) y> = 2,091. (b) .ylG O, (c) ~,, = 1,086. (d) \'1 = 6,34 71. 1.,1., dehip6t.,e<omuma •mosoa 339 (e) interprete a decisao no contexto da afirmaylo original Para cada afir~o. suponha que a popolaylo seja normalmente alstribuida. 1 15. Vida de equipamentos Uma grande empresa de equipamen· tos estima que a vari.incia na vida de seus equipamentos seja 3. Voce trabalha para um grvpo de defesa do consum1doc e !he pedido para testac essa afirmaylo. Voce descobre que uma amostra aleat6ria das vidas de 27 dos equipamentos da empcesa tern uma variancia de 2,8. Com a = 0,05, voe~ tem evid~ncia suficiente para rejeitar a afirmaylo do fabricante? <MoP:m de Con· e svmtf Repons.) 10. (a) x> = o,n1. (b) \" = 9,486. (c) 1" = 0,701. (d) X'= 9,508. 2 4 x~ =0.111 .t '= 22.302. (b) l" = 23,309. (c) .\" = 8,457. (d) \" = a,5n. 11. (a) ' L..'1-.J+--1-__,H-i--'l">-X' S /10 x~ = s.547 12. (a) (b) (c) (d) IS 20\2s JO x~ = 22.301 Y'= 10,005. \'1 = 10,075. 16. Quilometcagem de combustive! de vefculos hibcidos Um fa· bricante automotivo acredita que a vaciancia da quilometragem de combustive! para seus vek.,los l\ibridos seja 6. ~ trabalha para uma agencia de conseiv~o de energia e quec tesl.ar essa afirmaylo. Voce descobre que uma amostra aleat6cia <las mihas por galao de 28 veiculos hibridos tem uma vari~ncia de 4,25. Com a = 0,05, voe~ tem evidencia suficiente para rejeitar a afirmaylo do fabricame? //ld"f"ado de rreen l+,tnd.) 17. Testes de avalia<;ao de Ciencias Em um teste de avaliaylo de Ciencios, as pontua¢es de uma amostra aleat6cia de 22 alunos de oitava se~ tern um desvio padrao de 33,4 pontos. Esse resultado faz um fiscal de prova afirmar que o desvio padrao para alunos de oitava sbie no eXdme e menos que 36 pontos Como a O,tO, voce tern evidencia suliciente para apoiar a afir· ma¢o do fiscal? (Map!ado de NartOOOI "'"'"' tor Ed<J<~ Sro1.n) 18. Testes de avafiai;ao de Hist6ria Americana O administradOf de uma escda estadual diz que o desvio padrao de notas de tes· tes dos alunos de oitava serie que fizeram um tesle de avaliaylo de Hist6cia Americana e menor que 30 pontos. Voce trabalha para o administradoc e lhe e pedidci para testar essa afirma,.io. Voce sele<iona aleatonameme 18 pcovas e descobce que os tes1.es tern um desvio padrao de 33,6 porntos. Com o = 0,01, M evidencia suficiente para apoiar a afirma~~o do administradoc' (/ldl1p1m de Nabct;al CE<J"1 la ftka'oool Srari5i<:s.) X' = 10,585. X' = 10,745. 'L+--+.-++.,_:.,,,.,_~x' 3 6 9 \12 IS 13 x02 = 10.645 Nos exeidcios de 13 e 14, use um teste X' para testar a afirma· ylo ~bre avariancia pcltl<Jfacional a' ou desvio padrao a em um dado nivel de significancia n usando a amostra estatfstica dada. Suponha que a poP1Jkl¢o seja no<malmente <fistribuida. 13. Afirmaylo: 11' = 0,52, o = 0,05. Amostra estaNstica: s> = 0,508, n = 18. 14. Afirmaylo:" < 40a = 0,01.Amostraestatfstica:s = 40,8,n = 12. Llsando e interpretando conceitos Testando afirma~oes Nos exerdcios de 15 a 24, (a) escreva a afirma~ao matematica· mente e identifique H0 e H, , (b) encontre os valO<es et~icos e identi· fique as regioes de rejeiylo, (c) use o teste X' para encontrar o teste padfao estatfstico, (d) decida entre cejeitar ou mo a hip6tese nula, e 19. Tempo de especa em um hospital 0 representante de um hospital afirma <PJe o desvio padrao do tempo de espera que os pa· cientes passam no depanamento de emergencia do hospital nao maicx que 0,5 minutos. Uma amostra aleat6cia de 25 tempos de especa tern um desvio padrao de 0,7 minutos. Com a= 0,10, voce pode rejeitac a afirmaylo do repcesentante do hospitaP. 20. Perfodo de estadia Um medico diz que o desvio padrao do peclodo de estadia de pacientes envolvidos em batidas de carco nas quais o velculo atingiu uma arvoce e de 6, 14 dias. Uma amosua aleatOcla de 20 perfodos de estadia de pacientes envolvidos nesse lipo de acidente tern um desvio padrao de 6,5 <fias. Com a= 0,05, voce pode rejeitar a afirmaylo do medico? 1.Adopladotle e Not"""11 H9 - 7to{(IC Sofe!'f-r~) 21. Taxa total Um ageme de seguros diz que o desvio padr~o do total de taxas hospitallires para pacientes envolvidos em batidas de carco nas quais o vekulo tenha atingido uma barricada de constru<;ao e de menos que S 3.500. Uma amostra aleat6tia de 28 taXdS hospitalares totaispara pacientes envolvidos nesse 14><> de batida tern um desvio padrao de S 4.100. Com a= 0,10, voce pode apoiar a afi~o do agente? fMap<ado de Nor"""11 11</h>vgy uolfi< Safel)'Acfrmr...Yot.m) 22. Taxas de quarto de hotel Uma ag~ de viagens estima que o desvio pad1iio das taxas de seivi(O de quano de hoteis em Ed ,e 1naaa 1 340 • Ciutilti<"pli<od• uma cidade nao ultrapassa $ 30. voce 11abalha para um grupo de delesa do consumidor e p<ecisa testar essa afirma~. VO<:.e descobre que uma amostra aleat6ria de 21 hot<lis tern um desvio padr~o de S 35,25, Com a= 0,01, ha evidencia wficiente para voce rejeitar a afirma~o da agenda? 23. Salarios 0 saLlrio anual de 16 at~rios escQ!hidos aleatoria· mente est.! fisiado a seguir. Com a = 0,05, voce pcde conduir que o desvio padrao dos saLlrios anuais e maior que S 20.000? (/odap1odo de Am<ti<o~ Ccrtl!I 1.tfoNeL) 68.146 57.529 71.286 60.516 62.852 76.852 108.761 68.433 64.600 99.548 84.014 t 19.920 120.975 91.345 88.522 95.794 24. Salarios t.m seM(o de infoona~o de empregos diz que o desllio pad1ao dos saLlrios anuais para gerernes de rela¢es p<lblicas ede no mllimo S 14.500. Os salarios anuais para 18 gerentes de rela· ¢es p<Jbicds esoolhidos aleatoriamente s.!o l>siados. Com" = o, 10, voce pode rejeitar essa afi~? (Mop1o00 de Amotico's Cc""" Jn. /olle<) 62.514 74.595 59.813 75.721 75.362 80.567 54.649 76.764 87.399 87.742 76.310 105.438 94.224 90.140 59.581 85.077 74.416 56.805 £xpandindoconceitos Valores P Voce pcde calcular o valor P para um teste X' usal1do tecnologia. Oepcis de calaolar o val01 do te<te voce pode usar a funr,~o de densidade acumulada (COF) para calailar a area sob a curva. A partir do Exemplo 4 na p. 336, X' • 43,2. Us.mdo uma Tl-83/84 (escolha 7 do menu DISTR), coloque o val01 0 para o limite inferi0<, 43,2 para o limite superiol, e 40 para os graus de liberdade oomo a seguir. l". Tl-8J/84 l ~.. cdt (0 , 43.2, 40) .6637768667 o valor Pe apro>imadamente l - 0,6638 = 0,3362. Como P > a = 0,05, a condus.lo edeix.lr de rejeitar H0• Nos exercfcios de 25 a 28, use o maodo do valor Ppara lazer o teste de hip6tese para o exetdcio indicado. 25. Exercicio 21. 26. Exerdcio 22. 27. Exerclcio 23. 28. Exerdcio 24. Usos e abusos - estatistica no mundo real Usos e Testando hip6teses Testar hip6teses importante em d'derentes Areas porque o teste d.l um procedimento cientifico para estimar a vafidade de uma afirma~ sobre uma popula· c;Ao. Alguns dos ccnceitos em teste de hip61ese 500 intuitivos, mas cottos, nao. Pot exemplo, o American Joumol of Clinical Nuuition wgere que comer chocolate ao leite pode ajudar a prevenir aiaques do corac;Ao. uma amostra aleat6ria de YC>luntarios saudaveis comeu 3,5 rtbras de chocolate ao leite todos os dias por um perlodo de 15 dias. Depois d0$ 15 dias, a mMia de pres~o sist6fica do sangue dos voluntarios tinha 6,4 mi~metros a menos. Um teste de hip6teses pcderia mostrar se essa queda na pressao sist61ica do sangue e sigiiificante co apenas por causa de um erro de amostragem. lnferencias cuidadosas devem ser feitas em re!ac;Ao aos resultados. Em outra pane c1o eSl\I' do, foi descobeno que o chocolate branco noo teve os mesm0$ resultados EntAo, a inferencia de benelicios na saude noo pcde ser esiendida a todos os tipos de chooolate. VO<:.e tambem nAo poderia inferir que deve comer grandes quantidacles de chocolate porque os resultados pcdem pesar sobre riscos coohecidos, como ganho de peso, acne e refluxo de .lcido. Abu sos e Nao usar uma amostra afeat6ria Toda a teoria do teste de hip6tese baseada no fato de a amostra ser aleatotiameme selecionada. Se a amostra n.lo ealeat6ria, en~o voce nao pode us.l·la para inferi< nada sobre um parametro populacional Tenl4tiva de provar uma hip6tese nula Se ovalor Ppara o teste de hip6tese 101 maior que o nivel de signific.lncia. voce nao provou que a hip6tese nula seja ve<dadeira - somente que nae ha evi~ia wficiente para rejeita.Ja. Por exemplo, com um valor f> maior que o nivel de signifi· c.lncia. um pesquisador ll<lo pcde<ia provar que nao ha beneffcio em comer chocolate ao leite someme que nAo h~ evidencia wficiente para dar suporte a afi~o de que haja um beneficio. Erros de tipo I ou de tipo II Lembre-se de que um e«o de tipo I e rejeit.Jr a hip6tese nula, que everdadeira e o erro de tipo II efalhar em rejeit.Jr uma hip6tese nula, que efaIsa. Voce pode diminuir a probabffidade de um erro tipo I ao diminuir o nivel de signifiolncia. Geralmente, Ed ,e 1naaa 1 (apftulol • lest.,dehip6ttsecomum"'1101u• 341 se voce diminui a probab~idade de arontecer um erro de tipo I, voce aumenta a p<ebabilidade de acontecer um erro de tipo II. Voci!. pode diminuir as chances de cometer os dois erros ao aumentar o iamanho das amosuas. Exercicios Nos exerdcios de I a 4, suponha que voe~ trabalhe em um depanamento de pesqtisa de mercado. \-bee precisa escrever um rela16ric sobre a afitma<;ao de que 57% dos rompradores de carros rQ.'OS C<l<lSiderariam a idei<i de comprar um carro hlbrido. 25. N3o usar uma amostra aleat6ria Como voe~ poderia escolher uma amostra aleat6'ia para testar essa hip6tese? 26. Tentativa de provar uma hip6tese nula Qua! ea hip6tese nula nessa situa¥io? Descre· va come seu relat6rio poderia ser incorreto na tentativa de provar a hip6tese nula. 27. Erro do tipo I Descreva como seu relat6rio pode apresentar um erro do tipo L 28. Erro do tipo II Descreva como seu relat6tio pode apresentar um erro do tipo IL Voe<! consideraria a ideia de comprar um carro hfbrido? Niio Sil'n 51% Um resumo do teste de hipotese No teste de hip6tese, talvez mais que qualquer area de estatistica, pode ser dificil a floresta para todas as arvores. Para ajudd·lo a ver a floresta - a ideia geral - , este capftulo apresenta um resumo do que voe~ estudou. ver Escrevendo as hipoteses • Voctl tem um parametro populacional 11, p, o' ou u. • Reese:reva a afirma~o e seu comple1nento usando ~' 6 = e >,<,:;st. '--v--J '--v--J • ldentifique a afirma~do. Ela eH0 ou H} 110 H, Especificando um nivel de significancia • Especifique o, a probabilidade maxima de aceitar ou rejeitar um H0 valido (um erro de tipo I). Especificando um tamanho de amostra • Especifique o tamanho da sua amostra 11. Escolhendo o teste • Qualquer po pula~ao. • Popula~~o normalmente distribufda. • Media: H0 descreve uma media populacional hipotetica I" • Use um teste z para qualquer popula(AO se 11 ~ 30. • Use um teste z sea popula¢o for normal e" for conhecido para qualquer 11. • Use um teste t sea popula~o for nonnal e 11 < 30, mas IJ for desconhecido. • Proporsao: H0 descreve uma propor~llo populacional hipotetica p. • Use um lesle z para qualquer popula~o se 11p ~ 5 e 11q ~ 5. • Variancia ou desvio padr3o: H0 descreve uma variancia populacional hipolelic.1 ql OU U01 desvio padrao '1. • Use um leste x' sc a popula~ao for normal. lmportante -111~~~~~~~~~~ Tamanhos de amostras grandes geralmente aumentarn o custo e o esfo~ de testar uma hip¢tese, mas elas tendem a tornar a deci~o mais cot'fiavel. Ed ,e 1naaa 1 342 • C!1<tf1ti<..pll<od• fazendo uma distribui,ao de amostragem • Use H0 para decidir se o teste euni caudal~ esquerda, unicaudal ~ direita ou bicaudal. Encontrando a estatistica padrao do teste • Retire uma amostra aleat6ria de tamanho 11 da populn<;ao. • Compute a estatfstica do teste x, fl ou s'. • Encontrc a estatfstica de teste padronizada z, I OU x'. Tomando uma decisao • • • • op,ao 1. Dccisiio tomada a partir da rcgiiio de rejcii;ao: Use a para encontrar os valores criticos z.,. 10 ou e a(s) regiiio(6es) de rejeii;iio. Regra de decisiio Rejeite H0 sea estatistica de teste padronizada est.1 na regiiio de rejeii;Ao. Niio rejeite H0 se a estatrstic.1 de teste padronizada n.~o esta na regiiio de rejei<;ao. Op,ao 2. Decisilo tomada a pa11ir do valor P: Use a estatfstica de teste padronizada ou uma furramenta de tecnologia para encontrar o valor P. Regra de decisiio: x! Rejeite H0 se P ~ '" Nao rejeite H0 se P > '" Teste z para uma media hipotetica µ (Se,ao 7.Z) Dica de estudo •Caso o seu teste padriio eshatfstico seja z ou t, lembrc-se que esses valores medem desvios padriio a partir da media. Valores que estejam fora de +/- 3 indicam que H e muito impcovavel. Valores0 que estejam fora de +/- 5 indicam que H0 e quase impossivel. Teste estatistico: x Teste padriio estatistico: z i\l..WiAdanm"5l,,n -;- r A rMiltliipi)fitico Valor critico: z0 (Use a Tabela 4.) x- µ Se 11 ~ 30, s pode ser usado no lugar de"· z=;J:f,;· A distribuii;iio de amostragem das medias Doi!iO f(fdrA) ~ 4 - T111,lfJ11fl'(I da de amostra euma distribui<;Jo normal. populnrff111a( Unicaudal aesquerda Bicaudal Unicaudal adireita Teste zpara uma propor,ao phipotetica (Se,ao 7.4) Teste estatistico: p Teste padriio estatistico: z Propor(tit) rtn ~ .,- Propi:ir~t Valor critico: z• (Use a Tabela 4.) i111r<t"t11.1 ,., A distribui\ao de amostragem das pro, _ pp hi1,,.,rftkt1 por~ de amostra ~ uma distribui<;lio -- ~pq/11' normal. '1 =l - p _.A. 4 - Tamn11Jm 1fa 4flrkl)tnt Ed ,e 1naaa 1 Teste zpara uma media hipotetica µ, (Se,ao 7.3) Teste estatistico: x Teste padr.io estatistico: t ~·tMia da JR\05.tra, f ~fedu1 tupot~hCJ Valor critico: 10 (Use a Tabela 5.) I - x - 11 A distribui~ao de amostragem das mMias - -;j"J; amostrais e aproximada por uma distrif>c.<vio 1x1drlo __J l - .TJn1.:inho bui~ I com g.I. = n -1. d,\ .ln.os.tra Unicaudal aesquerda ~ ~., d11 ,\nl<"-lr.i Unicaudal a direita Bicaudal !~a Lu • I 0 -·. 0 '• '• 0 '• Teste xi para uma variancia hipotetica crou desvio padrao u (Se,ao 7.5) Teste estatistico ,,~ Valor critico: XJ (Use a Tabela 6.) A distribui<;iio de amostragem e aproximada por uma distribui(iiO de qui·quadrado com g.I. = 11 - 1. Unicaudal aesquerda Bicaudal • I Teste padriio estatistico: X' ·r.1manho t da runostr.t Y I' . \'.ui.incla hipo!t:ti.l"J \'ari.\ncta da .uuostra (11-l)s' (}' ~ Unicaudal adireita Resumo do capitulo 0 que voce aprendeu? Exemp!o(s) Exercicios de revisao Se,ao 7.1 • • • • Como de1erminar uma hipotese nula e uma hlpOtese alternativa. Como identificar os erros de ti po 1e ti po n. Como l'SCOlher entre o uso dos testes estatisticos unicaudal ou bicaudal. Como interpretar uma decisao feita com base nos resultados de um teste estatfstico. 2 3 4 1a6 7a10 7a10 7a10 Se,ao 7.Z • Como encontrar os valores criticos para um teste z. • Como usar regiiles de rejei~fa para um teste z. • Como encontrar valores I' e usa.los para testar uma media I" 7e8 9el0 I a6 11a14 15a 18, 21 e22 19a22 Ed ,e 1naaa 1 Se~ao 7.3 • Como encontrar valores crfticos em uma distribui~ao f. • Como usar o teste I para testar uma mi!dia 11. • Como usar tecnolo&ia pnra encontrar valores Pe usa·los com um teste f para la3 4e5 6 23a26 3Se36 1a3 37a46 la3 47a50 4a6 5la56 27a 34 testar un1a n-u.~dia I'· Se~ao 7.4 • Como usar o teste z para testar uma propori;iio populacional p. Se~ao 7.5 • Como encontrar os valores crfticos para um teste .\". a Como usar o teste All para testar utna variancia ou lUn desvio padrao. Exercicios de revisao Secao7.1 Setao7.2 Nos exercicios de 1 a 6. use a afirmai;Ao dada para dete011inar uma hip6tese nu la e uma hip6tese alternativa. ldentifique qual hip6te· se repiesenta a afirmai;Ao. z incf1cado e rlvel de signifancia o. 1. Afirmai;Ao: 1• $ 1.479. 3. Afirmai;Ao: p <0,205. 5. Afirmai;Ao: u > 6,2. Nos exercicios de II a 14, encontre os valores criticos para o teste 11. Teste unicaudal a esquerda, o = 0,02. 2. Afi011ai;Ao: 11 = 95. 12. Teste bicaudal," = 0,005. 4. Afi011ai;Ao: 11"' 150.020. 13. Teste unicaudal adireita," =0,025. 6, Afi011ai;Ao: p <: 0,78. Nos exerdcios de 7 a 10, fa"1 o seguime: (a} Determine a hip6tese nula ea alternaliva. (b) Determine quando um erro do tipo I ou II ocorre para um teste de hip6tese da afirmai;Ao. (c) Determ•1e se o teste de hip6tese eunicaudal a esquerda, a direita ou bicaudal. E>pfique. (d) Como voce deve interpretar uma deci500 que rejeita a tip6tese nula? (e) Como voce deve imerpretar uma decisAo que n3o rejeita a hip6tese nula? 7. Um centro de pesquisas aaedira que a propo1~ de alunos de faculdade que ocasio.ial OU frequenlemente chegam atrasados as aulase de 63%. (Moptodorle/itfe<EW.olm-lr<.'AleatUOAJ 8. Um fabricante de pneus garanle que a durab<lidade de ce.io lipo de pneu ede no mlnimo 30.000 milhas. 14. Teste bicaudal, o = 0,08. Nos exerdciosde 15 a 18, use um teslezpara testa< a afirma~o soble a media da populai;Ao 1• no nlvel de signifk.lncia a usando as amostras estatisticas dadas- Se conveniente, use tecnologia. t 5. Afirma~ao: 1• '.> 45. o = 0,05. Amoslra estatlstica: s = 6,7,n = 42. 16. Afirma~ao: ,, ~ O, o ~ 0,05. Amostra estatlstica: x= 47,2, x = -0,69, s = 2,62,n = 60. 17. Afirm~:11 < 5,500, o = 0,01. Amoslra estatistica: x = 5,497, s = 0,011,n = 36. t8. Afirma>OO: 11=7.450,o=0,05. Amoslra eslatisuca: x = 7,512, s = 243,n = 57. Nos exercfcios 19 e 20, use um valor P para testar a afirma~o solxe a media da poptJla(Ao 1• usando as amos1ras estatisticas dadas. Determine sua d~o para os nlveis de significAncia o = 0, 10, o = 0,05, e o = 0,01 . Se convenieme, use tec:ndogia. 9. Um produtor de sopa diz que o de9lio padr~o de s6dio conlido em uma pori;Ao de ce<ta sopa e no rreximo 50 mifigramas. ~ 1odo de ""1sumer ll<potts.) 19. Afirma'3<>: 1r $ 0,05. Amoslra eslatislica:; = 0,057, s = 0,018, n = 32. 20. Afirrnai;Ao: 11 "' 230. Amoslra es1atistica: x • 216,5, s • 17,3, n a 48. lO. Um produtor de barras de cereais energetic<Js afirma que a media do numero de gramas de carboidratos em uma barra e menor que 25. Nos exerdcios 21 e 22. teste a afirmai;Ao sobre a mMia da popu· la\<)o 1• usando as regi6es de rejei~o ou um valo< P. Se conveniente, use tecnologia. Ed ,e 1naaa 1 (apltulol • l11te<dtil~te<t<,.. umaa•01U• 345 2 1. Uma a~ de turismo em !I/ova YOik afirma que a media diaria !llos exetdcios 35 e 36, use um I es1atls1ico e seu valor P para do custo das refei\oes e acomoda<;ao para uma faml!ia de qua· tesiar a afirmaylO sOOle a mMa d'a popul~o JI uSMdo os dados 110 pessoas viajando no estado de $ 326. ~ trabalha em fomecidos. Suponha que a popula<;ao seja normalmente diwibulda. um servico de proiecao oo consumid0< e quer 1esw essa afinna· Se convenienle use 1ecnologia. ylO. Em uma amostra aleat6ria de 50 famOias de quatro pessoas ·"'· '. . . . . viajando em Nova York, a media di.lria do custo das refei¢es '· ~35. Uma publ«:a1<10 edu~nal afinna que os gastos med1os por e ~ e s 318 com um desvio padrao de $ 25. Com aluno nos ensinos fundamental e secund.lno sao de. no mlnimo, a = 0.05 ha evidencia o suficie.1te para rejeitar a afirma(Ao da S 10.200. Voe~ quei testar essa afirma~ao e selecrona 16 ~reas a~a? {Maµododef.me00111~As<Ociorion.) escolares aleatoliame.me e descobr~ os gastos ml!cfios por aluno. u .,..., · d · Ha 1 6 l!cf.13 ~ · d Os resultados estl!o lrsrados a seguff. Como = 0,01, vore pode 22. ma a6" .cia .e IU'Jsmo no va • rma que a m . na 0 rejei1ar a afirma~ao da publica~!o? {Arloptado de NorilJnol Cente< for . ) custo das refe1~oes e acomoda<;ao para uma famll1a de quauo ftiv<c 50 pessoas viajando no esiado ede$ 650. ~ trabalha em um ser· """ ' """vico de prote(;<lo ao consurnidor e quenestar essa afirma<;ao. Em 9.242 10.857 10.377 8.935 9.545 9.974, uma amosua aleat6ria de 45 familias de quatro pessoas viajando 9.847 10.641 9.364 10.157 9.784 9.962 Haval, a ml!cfia dklria do rusto das reiei~Oes e acomoda(Ao e 10.065 9.851 9.763 9.969 S 657 com um desvio pad13o de S40. Como = 0,05, ha~cia o suf1dente pa1a 1ejei1ar a afirma<;ao da agencia? (Ad!rf;1odo de 36 · Uma grande univeisldade diz que a ml!cfia de holas/aulas sema· nais de pcof~es imegrais e superior a 9 holas. Uma amostra Alnf!ll(OO Autoo'lOblle Association.) aleat6ria do numeto de horas/aulas para 11 professores integrais para uma semana e listado. Com a = 0,05, 1es1e a afirma~Ao Se~ao 7.3 da unive1dade. (!.dop:odo de Not-I Cen.'et fCI E<Aicc""" sia:isrn) Nos exetdcios de 23 a 26, encontre os '~lores crlticos para o teste 10,7 9,8 11,6 9,7 7,6 11,3 r, nfvel de ~nific3ncia o e tamanho da amowa n indicados. 14,l 8,1 11,5 8,5 6,9 23. Tesie bicaudal, "= 0,05, n = 20. Se~ao 7.4 24. Teste unicaudal adirei1a, o s 0,01, n e 8. 25. Teste unicaudal aesquetda, n = 0,10, n = 15. Nos exerdcios de 37 a 44, dedda se e possivel aplicar a dis26. Teste bicaudal, a• 0,05, n • 12. tribui(Ao de amosuagem para aprooima1 a 01S1Jibui(Ao binomial. Se e Nos exerdcios de 27 a 32, use um teste t para lestar a afirmai;ao sobre a media da populai;ao JI no dado nivel de sigrificancia o usando a,~ amostras esiatisticas dadas. Para cada afi1ma<;ao. suponha que a popula<;ao seja normalmente distribuida. Se comoenieme, use 1ecnologia. 21. Afffma<;ao: ,, x 95.<> =0,05.Amostra esratistica:x = 94, I ,s = 1,53, n= 12. 28. Afstma(Ao: µ > 12.700, o • 0,05. Amosllaesratistica: x• 12.804, s 248,n 21. 29. Alinna<;ao: ,, ~ o, a= 0, 10. Amostra esratislica: = -0,45, s = 1,38, n = 16. 30. Af~o: ,, = 4,20,o = o.oi. Amosua estalistica:x= 4,41, s= 0,26. n=9. 31. Afirmai;ao: 11 :-::; 48, o = 0,01. AmoSlla estatlstica: = 52. s = 2,5, n =7. 32. Ali~o:J1 < 850,<> = 0,025.Amostra esra~stica:x= 875,s = 25, n= 14. = = x x N<>S eJcefcicios 33 e 34, use um teste t para invesligar a aft ma<;!o. Pa1a cada afinna<;ao, suponha que cada populayio seja normalmente distribuida. Se convenieme. use 1ecnologia. 33. Uma revista de gi~stica anuncia que o custo medio mensal de entrar para um dube e de S 25. Voce trabalha em urn grupo de defesa do c011SUmido1e pcecisa testar essa afirma<;ao. \~ descoble que uma amosua alea16ria de 18 dubes tern um custo medio mensal de$ 26,25 e um desvio padr!o de S3,23. Com a= O, 10, ha ~cia suiicieme para rejeiUl1 a afirmai;ao do anuncio? 34. Um reswurame afirma que seus hamb(ugueres n!o t~m mais que 10 gramas de gordura. Voce trabalha em uma agenda de saude nu1ricional e pcecisa testar essa af~ma<;!o. Voe~ descoll<e que uma amostra aleat6ria de 9 hambVrgueres tern uma ml!cfia de 13,5 g1amas de gordura e um desvio padr3o de 5,8 gramas. Com a = 0,01, voce pode 1ejeiiar a afirma<;ao do restaurante? f01 possivel, use o 1este z para 1esiar a afirma<;ao sobre a p1opo1i;ao populacional p no dado nfvel de signific.incia o usando as amoS11as estaUsticas dadas. Se convenieme, use tecnologia. 37. Afirma¢o: p = 0, 15, o = 0,05. Amostra estatlstica: p= 0,09, n =40. 38. Afirmai;ao: p < 0,70, a = 0,()1. Amostra estatfstica: p = 0,50. n =68. 39. Afi1mai;ao: p < 0,08, o = 0,()5. Amostra esta1istica: p = 0,03, n = 45. 40. Afirma¢o: p = 0,50, a = 0, IO. Am<>Stra es1atis1ica: p= 0,71, n = 129. 41 . Afirmai;ao: p ~ 0,04, a = 0, l 0. Amostra esta1rs1ica: p = 0,03, n = 30. 42. Afirmai;ao: p " 0.34, u = 0,01. Amos1ra esta1istica: p = 0,29, n e. 60. 43. Afirma<;ao: p "'0,20, o = 0,01. Amostra estatistica:p= 0,23, n = 56. 44. Afirmai;ao: p $ 0,80, a = 0, 1O. Amostra es1at1s1ica: p = 0,85, n = 43. Nos exeiclcios 45 e 46, tes1e & afirmai;ao soble a propor(Ao po· pulacional p. Se coovenieme, use 1ea1ologia. 45. Uma a~cia de pesqoisas de -0pini3o alirma que mais de 40% dos adlAt<>S compram os pcesentes na mesma semana do evento. Em uma pesquisa a!eat6ria de 2.730 pessoas nos Es1ados Unidos, 1.130 disselam que compcam o p<esente na mesma semana do evemo. Teste a afirma(AO da agencia com nfvel " = 0, 10. 0 que voe~ coosegue conduir? '4~ de-~ lrnetocwe.) 46. o 'Western blo( e um exame de sangue para testar a presen~ do virus HIV. As vezes. o 1ested! alguns resultados falsos positivos para HIY. Um pesquisador ml!cfico afirma que a iaxa de falsos po- Ed ,e 1naaa 1 346 • lliat~tica aplicada sitivos ede 2%. Um estudo recenie de 300 doadores de sang1Je escolhidos ale.itoriarnente que n3o tern HIV recebe<am 3 falsos positivos como resultado. Teste a afinnatao do pesquisador de que no nfvel n = 0,05, ha uma taxa de 2% de falsos positivos. (Map1adode Cel:u'" fol Dtsoo>eCon11al oro Pr"''"""") Secao 7.5 Nos exerdcios de 47 a 50, encontre os valores critkos pa1a os testes"' para uma variancia [Xlll<JJacional, tamanho da amostra n e nlvel de signific.lncia o. 47. 48. 49. 50. Teste unicaudal adoeita, n = 20, o = 0,05. Teste bicaudal. n = 14, o = 0,01 . Teste unicaudal adireita, n = 25, n = 0, 10. Tes1e unicaudal a~uerda, n = 6, n = 0,05. Nos exerdcios de 51 a 54, use o teste ~· para testir a afinnatao que a varia.'>Cia populadonal u' ou desvio padrao u no dado nlvEI de signific.lncia o e usando a amostra estatistica dada. Suponha que a populaylo seja normalmente distribufda. 51. Afirmaylo:u> > 2;n = 0, 10.Amostraestatlsiica:s> = 2,95,n = 18. 52. Afirma~ao: u' $ 60; a = 0,025. Amostra estatistica: s> = 72,7, n = 15. 53. Afumaylo: u = 1,25; o = 0,05. Amosira esldtlstica: s = 1,03, n = 6. 54. Afirmatao: a" 0,035: o = 0,01. Amostra es1atfstica: s = 0,026, n = 16. Nos exerclcios 55 e 56, tes1e a afinnatao sobre a variancia populacional e o desvio padrao. Para cada afinna¢o, suponha que a populac.io seja normalmente distribufd<l. 55. Um fabricante de parafusos faz um tipo de parafuso para ser usa· do em cont~netes. 0 fabricante precisa let cetteza de que todos os parafusos ~o parecidos etn espessura, entAo ele p<ograma uma tolerancia maxima para a variancia da espessura do parafuso de 0,0 I. Uma amostra aleatO<ia dlas espessuras de 28 parafusos tern uma variancia de 0,064. Teste a afirmatao do fabricante de que a var~ncia no nW<imo 0,0 I com um nivel o = 0,005. 0 que voce pode conduit? e 56. Um engarrafador precisa let ce"eza de que SM d"!Slribuidores de lfquido esiao p<ogramados ap<op-iadamente. Um desvio pa· drao de lfquido engarrafado nao pode ser maior que 0,0025 itro. Uma amostra aleat6ria de 14 garrafas tern um desvio padrAo de 0,0031 litros. Teste a afinnaylo do engarrafador de que o desvio padrao nao e maior que 0,0025 litros com um nlvel a = O,QI. O que voce pode concluir? Teste do capitulo Fa~ este teste como se voe~ estivesse fazendo uma prova em sala. Oepois comp;ire suas respostas com as respostas dadas no final do livro. Se conveniente, use tecnologia. Para es1e teste, fa~ o seguinte: (a) Escreva a afirmaylO matematicamente e identifique H0 e H, . (b) Determine se o teste de hip6tese t! unicaudal oo bicaudal e se voce deve usar um teste z. um teste t ou um teste x'. Explique seu raciodnio. (c) Se necessario, etlcontre o(s) valor(es) crftico(s) e identifique a(s) regiao(0es) de rejeiylo. (d) Encontre o teste estitistico apropriado. Se necessario, en· contre o valor P. (e) Decida se deve rejeitar ou nao a hip6tese nula. Oe1X>is, intet· prete a decis.lo no contexto da afirma~ao original 1. Uma associaylo de cultivadores de frutas citricas acredild que a media de UlifizaylO de frutas cftricas frescas pelas pessoas nos Es· tados Unidos seja de, no mfnimo, 22 libras por ano. Uma amostra aleat6ria de 103 pessoas nos Estados Unidos utiliza uma mMia de 21,6 fibras de frutas chricas frescas ao ano, com um desvio padrao de 7 libras. Com o = O,Q2, voce pode rejeitar a afinnaylo da associa~? l,Motxbdo d< u.s. o.,,.,rmenr otA91/CIJ/Wte.) 2. Um fabricante de automcM!is estitna que a quilometragem de combuslivel de um de seus velculos utii!Arios t! de, no mfnimo, 20 milhas por gaklo. Uma amostra aleat6ria de 8 desses veiailos teve uma media de 18 milhas por gaklo e um desvio padiao de 5 milhas por galao. Com o = 0,05, voct! pode rejeitar aafinnaylo do fabricante? Suponha que a populaylo seja normalmente distri· buida. (/ldO!JIGdotJ. CoruumH l/epcfl>.) 3. Um fabricame de fornos de micro-oodas anuncia que no maxi· mo 10% de seus micro-0ndas precisam de conseno durante os 5 primeiros anos de uso. Em urna amostra aleat6ria de 57 mi· cro·ondas que tern 5 anos de uso, 13% precisaram de conserto. Com o = 0,04, voce pode rejeitar a afirma¢o do fabricante de que no nW<imo IOClb de seus micrO-Olldas precisam de cons~o durante os 5 primeiros anos de uso? ~dop!Odode ~) c""'"""' 4. 0 administrador de uma escola estadual diz que o desvio padrao das piores pontua¢es dos testes. de leitura no SAT t! 113. Uma amostra ale.it6ria de 14 pontua~Oes crfticas tetn um desvio pa· drao de 108. Como = O,QI, teste a afirma~o do administrador. 0 que voce pode concluir? Suponha que a populaylo seja no<· malmente distribuida. (4doprodo de coa.g. BIXXd Odille) 5. Um seivic;o de informa~Oes sobre vagas de etnprego declara que a mMia salarial anual paia trabalhado<es homens com idade entre 25 e 34, que trabalham pe1iodo integral e tffil nlvel superior, e de$ 48.718. Em uma amostra ale.it6ria de 12 trabalhadores que atendem as condi¢es apresentadas, a media salarial anual edes 47.164 e o desvio padrao edes 6.500. Voce pode rejeitar a afinnaylo do ~? Use um valor P e o = 0,05. Suponha que a populaylo seja normalmente distribuida. t,Adaptodo de u.s CCll$AJS °"'""') 6. Uma agenda de turismo no Kansas afinna que a media diaria do custo das refei¢es e acomoda,ao para uma famllia de quatro pessoas viajando no Estado t! de S 201 . Voce trabalha em um ser· vic;o de prOleylo ao consumidor e quer testar essa afinnaylo. Em uma amostra aleatO<ia de 35 famnias de quatro pessoas viajando no Kansas, a media diaria do cusro das refei(Oes e acornodatao t! S 216 com um desvio p;idr~ de $ 30. Voce tern evidencia suficiente para rejetar a afirma~o da agencia? Use um vaio( Pe o = 0,05. 1,AdoptadodeAmf!lkon~~) Ed ,e 1naaa 1 (apitulo I • Tem1de hip6tfle com ""'"most" 347 Juntando tudo [statistica real - decisiies reais Voce trab.llha llO depanamento de rela¢es publicas de uma administra<;ao do segu10 so· cial. Num esf0<~ para planejar melhores campanhas publicitarias, o departamento decide faze< uma ~ para descoblir as opiniOes das pessoas nos Estados Unidos soble o sislema de seguro social. uma das quest6es usadas, os resultados de cada resposta e a idade da pessoa que respondeu est.Jo ristados na tabela. Seu departamento accedita que menos de 40% das pessoas nos Estados Unidos espe<a que o ~o social seja capaz de pagar todos os beneflcios a que elas tern dreito de ac0<do com a lei vigente. Seu departamento acredita 1ambem que a idade mMia das pessoas nos Estados Unidos que iriam dizer sim para essa pergunta e60 anos ou mais. Como analista de pesquisa do departamento, voce deve trab.llhar com os dados e determinar se essas afirma¢es podem se< apoiadas ou rejeitadas. www.socialseruity.gov Quarido se aposemar, voe~ espera que o segu-o social seja capaz de pagar todos os beneflcios aos quais 'IOCe tern dueito p0< lei ou nao? Idade 83 37 [xercicios dU 1. Como vocelaria? (a) Que tecnica de amostragem 'IOCe usaria para selecionar a amostra para o estudo? Por que? Que tecnica de amostragem 'IOCe usaria se quisesse selecionar amostras para 4 grupos de idades: 18-34, 35-44, 45-54 e 55 ou mais? (b) Que tecnica da parte (a) fornece a~ uma amoslra representativa da populat;.io? (c) ldentifique posslveis falhas ou !endenciosidades no seu estudo. 2. Testando a propor¢o Teste a afirma<;ao de que menos de 40% das pessoas nos Estados Unidos espe<am que o ~o social seja capaz de pagar todos os benellcios a que tern direito por lei. Use o = O, 10. Escreva um paragrafo que interprete a decisao do teste. A decisao apoia a afirma¢o de seu depanamento? 3. Testando a media Teste a afirma9lo de que a media da idade das pessoas nos Estados Unidos que dizem sim paia a pergunta da pesquisa mostr<lda na tabei<J de 60 anos ou mais. Use o a 0, 10 e assuma que a popula,ao enoonalmeme distribulda. Escreva um parag1afo que interpiete a decisao do teste. Ha evi&!ncia suficieme para rejeitar a aff~o de seu departamemo? e 4. Suas conclusoes Com base em suas analises das respostas para est.l qoestao da pesquisa. o que 'IOCe diria para seu departamento? 27 27 Sim " Sim Nao Nio Nao Sim N5n Nao Nao Sim Sim Sim "'A 79 Sim 69 Sin1 66 35 Nao Sim Nao Sim 46 25 30 72 « 47 47 50 76 51 47 29 ,. 11 ""n Sim 40 Nao 61 Sin1 Sim 71 18 I I 0 caso das mulheres desaparecidas 53% • 29% • 9% • 0% De 1966 a 1968, o Or. Benjamin Spock e outros tentaram conspirar e vioi<Jr o Selective SeMce Act, encorajando aresist~ncia aguerra do Vietna. Em uma Wiede Ires selet6es. nenhuma mulher foi selecionada para estar llO juri durante o julgamento do Or. Spock. Em 1969, Hans Zeise! escreveu um Nao 44 64 MINITAB MM Sim 59 30 'fecnologia Resposta Sim Nio EXCEL Nao Nao Noo Tl-83,/84 ) Ed ,e 1naaa 1 348 • btat~tica oplkod• anigo no The University of Chicago Low Review usando estatfstica e tes1e de hip61eses para argumentar que a seleylo de juri foi tendenciosa contra o Of. Benjamjn Spock. Dr. Spod foi um famoso pediatra e autor de livros ~e cria¢o de filhos. Mi!Mes de ~es leram seus livros e seguiram seus conselhos- Zeise! argumentou que, mantendo as mulheres fora do juri, a cone prejudicou o veredito. 0 processo de sei~o do jVri para o j\llgamento do Or. Spock e mostrado a seguir. Est~gio 1 - 0 secr~rio da Cone Distrital Federal selecionou 350 pessoas "aleatoriamente• do diretorio da <idade de Boston. 0 diret6rio continha divetsas ce'ltenas de nomes. 53% dos quais eram mulheres. Enuetanto, apenas 102 das 350 pessoos eram mulheres. Est~gio 2 - 0 iUzdo julgamento, juiz Ford, selecionou 100 pessoas "aleatoriamente' das 350 pessoas. Esse grupo foi chamado de convocados e continha apenas 9 mulheres. Est~gio 3 - O secret~rio da cone designou numeios para os membros convocados e, um a um. foram interrogados pelos advogados de acusa"1o e delesa ate que 12 membros do juri fossem selecionados. Nesse est~gio, somente uma jurada mulher foi interrogada e·ela foi eliminada pela acusai;Ao sob sua cota de contesta(!!o decis6ria para a qual ele nao deu um motivo. Exercicios I. O display MINfTAB a seguir mostra um teste de hip6tese para a afirma~o de que a propor(i!o de mulheres no diretorio da cidade ede p = 0,53. No teste, n = 350 e ~ = 0,2914. Vore deve rejeitar a afinna(Ao? Qua! o n~..i de signific.lncia? Ei<plique. 2. No Ei<erdcio I, voce rejeita a afirrna(!!o de que p = 0,53, mas a afirma"1o everdadeira. Que 1ipo de erro eesse? 3. Se~ rejeitar uma afinna(!!o verdadeira com um nlvel de signifKAncia que evirtualmeme zero, o que podemos inferir sobre a aleatoriedade do piocesso de arnc>stragem? 4. Descreva um teste de hip6tese para a sele<;ao •ateatoria" dos convocados do j\Jiz Ford. Use a afirma~: (a) (b) (c) (d) ESCteva as hip6teses nula e alternativa. Use a tecnologia para fazer o teste. Tome uma decis.io. lnterprete a decis.lo no contexto da afirma"1o original. Asel~ do juiz Ford dos 100 convocados pode ter sido aleat6ria? MINITAB l Test and Confidence Interval for One Proportion Test of p = D.53 vs p. not= 0.53 Sample 1 x N Sample p 102 350 0.291429 99.0% Cl Z-Value (0.228862. 0.353995) - 8.94 P-Vatue 0.000 Ed ,e 1naaa 1 (•pftulo I • l1>1"d' lrip6tnt<oinom""""" 349 Usando tecnologia para efetuar testes de hip6tese Aqui estoo algumas imagens de MINffAB e da Tl·83/84 para alguns exemplos n~tP rnpitulo. Para cfuplir;ir o.<> re.c::ult;idos do MINl'l'AR, vt'K"P. p~risa dn.c:: dados ori- ginais. Para a Tl-83~, voce pode simplesmente adicionar as estatfsticas descritivas. (Veja Exemplo 5, p. 309) Dados para investimentos para 30 franquias $70.700 $69.400 $90.600 $85.500 $97.100 $100.800 $ 114.700 s 119.600 s 136.700 s 151.700 s 167.400 $ '123.600 $127.200 $ 132.000 $138.500 $140.900 $143.900 $ 157.200 $159.800 s 131.200 s 143.300 s 163.000 $168.800 $ 168.800 $159.100 $170.200 $134.400 $ 151.100 $ 169.300 MINITAB $163.500 Qisplay Descriptive Statistics .. . St.ore Descriptive Statistics .. . l Z-Test of t he Mean 1-Saniµle Test of mu = 143260 vs mu not = 143260 The assumed sigma = 30000 1-Sample t. .. &.Sample t. .. Paired t ... Variable N Mean St.Dev SE Mean z p C1 30 135000 30000 5477 -1.51 0.13 Z 1 Proportion ... 2 Prgportions.•. (Veja Exemplo 4, p. 322) Dados para pre~s de 14 Honda Pilot LXs $ 21.200 s21.500 $ 21.700 $22.000 $22.500 s22.700 $22.900 $ 23.200 $23.500 $23.700 $24.000 $24.100 $ 24.300 $ 24.700 MINITAB Qisplay Descriptive Statistics... St.ore Descriptive Statistics .. . l 1.Sameye z; ... Z-Test of the Mean Test of mu = 23900 vs mu < 23900 Variable N Mean C1 14 23000 l@fll!f St.Dev 1113 SE Mean 297 z -3.03 p 0.005 (Veja Exemplo 2, p. 329) MINITAB Test and Confidence Interval for One Proportion Test of p = 0.45 vs p not = 0.45 X N Sample p 1 98 200 0.490000 95.0 % CI (0.420719. 0.559281) 1 Peoportion .. . 2 PrQportions.. . Qisplay Descriptive Statistics .. . Store Desc~tive Statistics ... l Sample a.sample t .. . Paired t ... Z-Value P-Value 1.14 0.256 1-Sample z;... 1-8ample t. .. g.sample t ... Paired t ... 2 P111portions ... Ed ,e 1naaa 1 350 • ls14tbti<• •~llcodo (Veja Exemplo 9, p. 313) Tl-83/ 84 EOITCALC II Z·Test.. (Ver Exemplo 5, p. 323) l Tl~3/84 llllB EOITCALC Z·Test lnptOats µ 0 : 45000 s: 5200 x: 43500 n: 30 l Z·Test µ<45000 z= -1.579968916 p= .0570569964 43500 n-=-30 • z=·1.58 p=.0571 EOITCALC 1: 2: 3: 4: l - T·Test lnptOats µ 0 : 6 .8 6 .7 Sx: .24 n: 19 µ: µD >JJo Cslculate Draw • Tl~3/84 l T·Test IJ " 6 .8 t= - 1.816207893 p= .0860316039 x= 6 .7 Sx= .24 n= 19 Tl~3/84 t=-1.8162 p=.086 Z·Test.. T-Test.. 2.S.mpZTest.• 2.S.mpTTest .. 1··PropZTest .. Iii • Tl-83/ 84 • l 1·PropZTest Po: .2 x; 15 n: 100 prop '"Po Csk:ulate Draw • Tl-83/ 84 >Po l 1·PropZTest prop< .2 z= -1.25 p• .105649839 • ~= .15 n= 100 • I l •1:1.m• 6: 2.PropZTest.. 7 ! ZlntervaL.• llm < • I Tl~3/84 x: x= Tl~3/84 11111 3 : 2-SampZTest..• 4 : 2-SampTTest.. 5: 1.PropZTest .. 6: 2·PropZTest .. 7 i Zlnterval. •. 1'¢11 o >IJo CaJculate Draw Tl-83/ 84 Tl-83/ 84 l!I 5 : 1-PropZTest.. 6 : 2.PropZTest.. 7 j Zlnterval... l l 1: Z·Test.. T·Test .. 2 : T-Test. 3 : 2-SampZTest.. 4 : 2.SSmpTTest., Tl~3/84 (Veja Exemplo 1, p. 328) • Tl·83/ 84 \ z~1 .25 p=.1056 Ed ,e 1naaa 1 Capitulo l8 -':-I __ Testes de hip6tese com du~s ~mostr~s Onde estamos No Capltulo 6, voce foi apresentado ll estatfstica in· (oerencial e aprendcu como formar intervalos de confian~a para estimar um parAmctro. Depois, no Capftulo 7, voct' aprendeu como testar uma afirma~fo sobre um parAmetro populacional, basoeando a sua decis.'io na estatistica arnostral e suas distribuii;Oes. A Nnlio11nl Yo11tll Tobllca> Survey (NYTS) ~ um estudo conduzido pelo Ce11tm for OiS<'tlse Control mirl l're-ve11tio11 (Centro para Preveni;ao e Controle de Doen~as) para fornecer informa~6es sobre o uso de produtos derivados de t.abaco por estudantes. Como partc de um estudo reccntc, uma amostra aleat6ria de 6.869 estudantes do ensino m~dio do sexo masculino foi pesquisada. As propor~<ies a soeguir f()r:un_encontradas. Estudantes do ensino medio do sexo masrolino (11 = 6.869) Caracteristica Fumam cigarros (ao mcnos um nos ultimos30 dias) Frequencia Proporsio 1.484 0,216 1.264 0,184 680 0.099 l'umam charutos (ao menos um nos ultimos 30 dias) 'Usam tabaro mastigavcl (ao l'llenos un\a vez nos ultimos 30 dias) Para onde vamos Neste capftulo, voce continuara soeu estudo sobre es1.atistica infcrencial e teste de hip6teses. Agora. no cntanto, ao inv~ de testar uma hip6tese sobre uma unica popula· ~ao. voci! aprendera como testar uma hip6tese que com para duas popula~lles. Por exemplo, no estudo da NYTS, uma amostra alea· t6ria de 6.869 cstudantes do cnsino m~dio do soexo feminino tambem foi pesquisada. Aqui estdo as conclusiles para esse segundo grupo. Estudantes do ensino medio do sexo feminino (11 = 6.869) Caracteristica Fumam cigarros (ao nH~nos un1 nos Ultimos Frequencia Propor~iio 1.497 0,218 522 0,076 82 0.012 30 dias) foumam charutos (ao n'cnos un\ nos Ultin'os 30dias) Usan1 tabaco n1astig3vel (ao n1cnos uma VC't nos Ultin1os 30dias) Com base neslas duas amostras, voci! pode concluir quc existe uma propor~o significativamente maior de cstu· dantes quc fumam cigarros, charutos ou usam tabaco masti· gavel enlre cstudantes do soexo masculino do que entre eslu· dantes do scxo feminino? Ou as diferen,.,s nas propor~<ies podenl ser ao acaso? Neste caprtulo, voe~ aprendera que pode responder a essas perguntas testando a hipelese de que as duas propor· ~oes sao tguais. rara a propor~ao dos estudantes que us.1m tabaco mastigavel, por exemplo, o valor I' para a hip6tese de que p, = p, e de cerca de 0,0000. Entlio, equase impossfvel que dois grupos que us.11n tabaco mastigavel tenham experimentado a mesma propor~~o. Ed ,e 1naaa 1 352 • lit•tktico •pli<oda DI 0 que voce Amostras dependentes e independentes -+ Uma descri~ao geral do teste de hipotese de duas amostras -+ Teste z de duas amostras para a diferen~a entre as medias deve aprender • Como de<idir se duas amostras sao independentes ou dependentes. introd~ ao teste de h~ p6tese de duas amostras para a • Uma <fife<en(a entre dois parame~os populacionais. • C0010 realizar um teste z de duas amostras para a dife1erw;a en~e duas medias 1~ eIt., usando amos~ giandes e inde~tes. Amostr.is independentes • • • •• • • • • • • An1os1ra 2 An1osrra I Amostras dependenles .- . ~· -- --~ ·- Arnostra I ---- . . ..... -- --· An1ostra 2 Testando a diferen~a entre as medias (amostras grandes e independentes) I Amostras dependentes e independentes No Capftulo 7, voceestudou metodos para testar uma afirma,aosobre o valor de um paramctro populacioMI. Neste capftulo, voce aprenden\ como testar uma afirma· ~o comparando parametros de duas popula¢es. Quando voe\\ compara as medias de duas popula¢esdiferentes, o metodo usado tanto para amostrar como para dimensionar a amostra dctermioar6 o ti po de teste que voce utilizar~. efinicao Duas amosuas sao independentes se a amostra selecionada de uma das popula¢es nao e relacionada aamostra selecionada da segunda popula,ao. Duas amostras sao dependentes se cada membro de uma amostra corresponde a um membro da outra amostra. Amostras dependentes tambem sao chamadas de amostras emparelhadas ou amostras relacionadas. Exemplo m Amostras dependentes e independentes Classifique cad a par de amostras como independente ou dependente e justifique sua resposta. 1. Amostra I: Ritmo cardfaco em descanso de 35 indivfduos antes de tomar cafe. Amostra 2: Ritmo cardiaco em descanso dos mesmos individuos depois de beber duas xrcaras de cafe. 2. Amostra 1: Nola de teste para 35 estudantes de Estatistica. Amostra 2: Nola de teste para 42 estudantes de Biologia que nao estudam Estatistica. Solrrftio 1. As amostras sao dependentes. )a que o ritmo cardfaco em descanso dos mesmos individuos Cnnalh::ndo, as '1n1oztros s..1.o rc-lacionnda:;. 1\s a1nootr'a$ podcm z.cr c1nparc- lhadas em relao;.'lo a cada individuo. 2. As amostras sao independentes. Nao epossivel formar uma relao;.'io entre os membros das amostras; os tarnanhos das amostras sao diferentes e os dados representam notas de teste para diferentes indivfduos. Oassifique cada par de amostras como independente ou dependente. 1. Amostra 1: Altura de 27 mulheres adultas. Amostra 2: Altura de 27 homens adultos. 2. Amostra 1: Nota de teste bimestral de 14 estudantes de Quimica. Amostra 2: Nota de prova final dos mesmos 14 estudantes de Qufmica. Determine seas amostras sao independentes ou dependentes. Ed ,e 1naaa 1 ('lftulo 8 I Uma descri!liO geral do teste de hipotese de duas amostras Nesta se~ao, voce aprenderc\ romo testar un1a afirma~ao comparando as intMias de duas populai;oes diferentes usando amostras independentes. ror exemplo, suponha que voce esteja desenvolvendo um piano de marketing para um provedordeservi~ode lnternetequeira detcrminarseM uma diferen~aentrea quantidade de tempo que estudantes universitarios do sexo masculino e feminino pass.am conectadoscada dia.A unica maneira com aqua Ivoce podeconcluircom certeza que ha uma difercn~a ~ fazendo um ccnsode todos os estudantes univcrsitarios, calculando a media diaria de vezes que estudantes do sexo masculino e do sexo feminino passam cone<tados e encontrando a diferen~. Com certeza, n~e> ~ pr<ltico fazer esse censo. No entanto, voce ainda podc dcterminar com al gum grau de ccrteza sc tal difercn~a existe. Ve>c~ pode come.;ar assuminde> que nae> ha diferen~ na media das duas populai;oes. lsto ~. µ 1-11, = 0. Ent~o, retirando-se uma amostra aleat6ria de cada popula~iio, e usando o resultado da estatistica de teste de duas amostras x, - x, voce pode desempenhar um teste de hip6tese de dua~ amostras. Suponha que vo~ obtenha os S<>guintes resultados: Popu l a~lio de cstudantes univcrsit6rios do _..---.._ scxo 1nasculino Popula~ao de es1udan1es univcrsit;.\rios do _,.---.._ scxo fc1ninino Amosrra X1:: 35 n1in X,, = 31n1in 12 inin "2 = 125 s;= s1 = I I 1ni11 = 100 "1 An10Stra -x, 0 grafico a seguir mostra a distribui\<io amostral de x, para muitas ame>stras sirnilares retiradas de cada popula~e>, sob a suposi~ao de que 1•, -11, = 0. Pelo grafico, voce pode ver que ebem improv~vel obter medias amostrais que difiram por 4 rninutos sea difercn~a real e0. A difercn~a de medias ame>strais seria mais de 2,5 erros padrees da diferen~a hipotetica de O! Entae>, voce pode conduir que existe uma diferen~a significativa na quantidade de tempo que estudantes universitarios do sexo masculino e de> sexo feminino passam conectados por dia. Oistribui~iio amostral Estalfstica do tesre:= X1 - X2 = 35 - 3 1• 4 I - X: _.,_<;:,'-!f!-4----11-;..I-1-1--+l-'10-+-:i- 4 - .l - :? _ , () l 3 " s Oifcr~n~a n:lS mtdias ::unos1rois (cm 11\inu1os) -s ~-1----1---1--+--1---1--,, -f"' ..3 -2 -I 0 I Z 1 Estatistica do tcstc pa<lroni1.3do : 3 f irnportante lembrarquequando vocedesempenha urn testede hip6tesede duas amostras usande> amostras independentes, voceesta testando uma afirm~ao a respeito da diforen~ de parametros em duns popula~Oes, nao Q valor dos pr6prios parametros. efinitao Para um teste de hip6tese de duas arnoslras mm amQStras independentes, 1. Ahip6tese nu/a H0 e urna hip6tese estatlstica que ge<almente diz que nao ha dife· r~ entre os par3mettOS de duas popu13'oes. A hip6tese nula sempre ce>nt~ e> sfmbolo $, = ou 2:. • leitr> dt hip61t1tcom 6'0Hm111u•s 353 lmportante Amostras dependentes freq1tentemente envolvem duplas id~nticas, antes e depois de resultados para a mesma pESS03 e>u objete>, ou resultados de combinai;oes individuais para caracterfsticas especificas. lmportante Os membros nas duas ainostras niio sae> relacionados ou agrupados, entao as amostras sao independentes. Ed ,e 1naaa 1 354 • r...1r11icaapl1c..ia e uma hip6tese estatlstica que everdadeira quando H0 e falso. Ahip6tese alternativa cootem o simbolo >. ,, ou <. 2. Ahip6tese oltemotiva H, Dica de estudo Voce tambem pode escrever as hip6teses nula e alternatiVd con10 a seguir. H. :µ 1 -µ., =0 { H, :µ 1 -µ,"'0 H. :µ 1 - µ 2 :$0 { H, :µ 1 -µ.,> 0 Para escrever uma hip6tese nula e uma hip6tese alternativa para um teste de hip6tese de duas amostras con1 amostras independentes, traduza a afirma~iio (eita sobre o parametro populacional de uma afirma~ilo verbal para uma equa~ilo matematica. Por exemplo, sea afinna~.io e sobre dois parametros populacionais 11, el',, entao alguns pares de hip6teses nutas e alternativas siio: H, :µ, ?. µ, e { . H, :µ, <µ., H, :µ 1 - µ, ?. 0 { H, :µ 1 -µ 1 <0 lndependentemente de cada hip6tese que voce usar, voce sempre presumira que nao existe difere1wa entre a mo!dia populacional, ou 11.1 = 11,- I Teste z de duas amostras para a diferen~a entre medias No restante desta ~l'io, voce aprendera como desem penhar um teste para a dientre duas mo!dias populacionais µ 1 e 11,. "li'es oondi~Oes &io necessarias para desempenhar tal teste. 1. As amostras dcvem ser selecionadas aleatoriamcnte. 2. As amostras devem ser independentes. 3. Cada tamanho de amostra deve ser pelo menos 30-ou, se nao, cada popula~ao deve ter uma distribui<;iio nonnal com um desvio padrao conhecido. Se esses requisitos silo alcan91dos, ent~o a distribui~ao amostral para x, - x, (a diferenra media das amostras) euma distribui~ao normal com media e erro padrao como a seguir. feren~a Distribui~ao amostral Empalavras para x.-x2 Emsimbolos A nl&lia da diferen\a da n1&fia amostral e a difercn~.a prcsu.n1ida cntre as duas n16dias populacionais. Quando nenhuma difcren~ ~ presumida, a mMia e0. = l'X 1- /'-i: = Jt, - µ 2 A variiinci• de distribui1"30 amostral ~a soma das vari~ncias das distribui~ies amostrais indi\!iduais para x,- X2• O erro padraoea r.1iz quadrada da son1a das variancias. J~ que a distribui<;iio amostral para x, - x, e uma distribui(ao normal, voci! pode usar o teste z para testar a diferen•;a entre duas mMias populacionais 11, e 11,. Note que a esta!lstica de teste padronizado tern a forma de: z= (Difere1wa observada) - (Diferen~a hipotetica) . Erro padrao lste z de duas amostras para a diferen{a entre medias Um teste z de duas amostras pode ser uS3do para testar a diferenyl entre duas medias populacionais 1•, e 112 quando uma grande amostra (ao menos 30) eselecionada aleatoriamente Ed ,e 1naaa 1 (•pft1lo8 de cada popul~o e as amostras sao independentes. Aestatfstica de teste ex,- x2 e teste estatistico normal e: QuandoasamostrassJo grandes, voce pode usar s, es, no lugardea, ea,. Seasamoslfas nao sao grandes, voce ainda pode usar um teste z de duas amostras, contanto que as popul3'6es sejam distribuidas nonnalmente e os desvios padr6es populacionais sejam conhecidos. Se a hip6tese nula diz 11-, = ,,, , 11, :5 I', ou 111 ?: 11,, entao presume·se que ''•= It, ea expresS<io ,,, - ,,, eigual a 0 no teste anterior. • le!tr1lt hip6te<ecomd1141amo111« · 355 Retratando o mundo Existem cerca 23.600 Cuneio· narios lederais civis traba· lhando em Michigan e cerca de 25.100 em Massachusetts. Em uma pesquisa, 200 fun· cionRrios federais e1n cada estado foram perguntados sobre seus salaries. Os resul· tados s.' o mostrados a seguir. IMa11rol.<• dt llliitrd Sint" Offer< o1f Prr!{lrtnd 1\la111~1;r11t.) lnstru(oes { 30 US<Jndo um teste zde duas amostras para a diferen'a entre medias (amostras qrandes e independentes) Em palavras rejeitar a hip6tese nula. 8. lnterprete a decis.io no conte.xto da afirma~o original. Se zesta naarea derejei~, rejeite H~ Do conh:<lrio, falhe em rejeilar H.· Um teste de hip6tese para a diferen~a entre medias tambem pode ser efetuado "sando valores P. Use as mesmas instru<;lles adma, pulando as etapas 4 e 5. Dep