Ed ,e 11naaa
,
PAGINA EM BRANCO
Ed ,e 11naaa
estatistica aplicada
4A edi9ao
Ed ,e 11naaa
,
PAGINA EM BRANCO
Ed ,e 1naaa
1
LARSON
FARBER
estatfstica aplicada
4~
edicao
Tradu~ao
Luciane Paulete Viana
Revisao Tecnica
Fernanda Cesar Bonafini
Mestre em educa<;ao motemdtica - UNESP Rio Claro
PEARSON
$At) Paulo
Brasil
Argentina Co!On1bia Costa Rica
Chile Esp.'\nh:i. Gutue1nata r..1Cxico Peru
Porto Rico Venezuela
Ed ,e 1naaa
1
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Titulo original: Ele111e11/ary slalisliSC$: picl11ri11g Ille world, fo11rlll edilio1t
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LarSon, Ron
Es.tntfstic-,1 ~plicadJ I Ron l.'lrson.. Betsy Farber; trJdtu;Jo l.uciane Ferreira
Pauleti Vianna. -- 4. ed. -- Sao Paulo: Pearson Prentice Hall 2010.
1
1'itulo original: Eleinentary statistics
1. Estatistica 1. Farbcr1 Sctsy. n.'fltu1o.
ISBN 978-85-7605-372-9
09-09661
Indices para cat.Slogo sistcmatico:
-i. EstaUstica
519.5
2009
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Ed ,e 1naaa
1
Sumario
PARTE I - ESTATISTICADESCRI T! VA
Capitulo 1 lntroducao aestatistica
Onde escamos ..................... . .. . ..... . ................ . . .. .... .. .. . .. . ...... 2
Pora onde vamos ..... . . . ..... . .. . .. .. . . .. . .. . . . . .. . . . ...... .. ...... . .. ..... .... .. .. 2
I.I Uma visao geral sobre estatistica ..... . . ..... ........ ......... . .. . .. . .. . .. . .. ... . 3
l.Z
Classifica~ao dos dados ............................................... ......... 8
Estudo de caso: dassificando os programas de TV nos Estados Unidos . .. . . . • .. • .. • . . . . . 14
1.3
Planejamento experimental .. . .. . .. . ... ... ... .... ......... . .... .. ... .. . .. . .. . . . 15
Usos e abusos - estatistica no mundo real. . .. . . . .. . . . ... . . . ... . . .. . .... . . . .. . ... . . 24
Resumo do capitulo . .. .. . .. . .. ... ............ . ..... ..... .. ........ .. . .. . .. ... 25
Exercicios de revisao .. .. . . . . . . . . . . . .. .. .. . .. .. . . ... . . ..... ... . .. . .. . . . . . . . .. . . . 26
Teste do capitulo . . ... .. . .... . . . . . . . .... . .... . . ................ . ..... . . . . .. . . . 27
Juntando tudo..... .. . ... . . ...... ... . .. . • . •.• . .. • •• . . • . •• . .. . . . . • . •••• .. . . . 27
Hist6ria da estatlstica - linha do tempo .... .. .. . ... . . . .. ..... ......... .. ...... 28
Tecnologia: usando a tecnologia na estatfstica . . . . ... ... .. .. ... . . ..... . .. . .. . ... 29
(apitulo 2
htatistirn descritiva
Onde estamos .. .. . . .... .. .. .. .. . ... .... ........ . . .. .. ....... ... . . . . ..... . .. . . . . .. 3 1
Pora onde vamos . ... ... ... . ... .. . .. . .. . ...... .. .. . . . . .. . . . . . . . .. .. . . . .. . .. . .. .. . . . 31
Z.I
Z.Z
Distribui~Oes de frequencia e seus graficos . .. . ... . . . ... . ...... .. .... .. ..... . .. . . . 32
Mais graficos e representa~Oes ............................... . .. . .. . .. . . .. ..... 44
ZJ Medidas de tendencia central . .. . .. . .. . . . . . . . . . . ... . ... . .. . ..... . .. . .... .. . . ... 55
Z.4 Medidas de varia~ao .. . .. . .. . .. . .. .... . .. .. . ... . . ..... . .. . .. .. . . . ..... .. . ..... 67
Esludo de caso: ganho dos atletas . .... . .. . . . . .. . .. . ..... . .. .. . . ..... . ..... . .. . . . 82
Z.5
Medidas de posic~o . .. .... .. . ..... . .. . . . .. . ............ . .... .... .. . .......... . 83
Usos e abusos - estalfstica do mundo real ..... ..... . ..... . ..... .. . . .. . ........ ... 94
Resumo de capitulo . .. . .. . .. . .. . .. . .... .. ..... .. . ..... . .. .. ... . . .. . .... . .. . . . . 95
Exercicios de revisao .. . .. . .. . ..... . .... . .. . . . . .. . ..... . .. . . ..... .. .. . .. . .. . . . . 96
Teste do capitulo . ...... ... . . .. .. . . .... . .. . .. . .. . .. . .. . .. .. ........ .. .. . .. . . . . 98
Juntando tudo . . . .......... . .. . .. . .... . • . . • .. •. . •. .•....... •.. • .. • .. • .. • ..... 98
Tecnologia: produ~ao mensal de leite ....... . .............. . .. . . .... . .. . ....... . 99
Usando a tecnologia para determinar estatisticas descritivas ..... .•.. • .. •. . • . . . .... 100
Ed ,e 1naaa
1
vi •
[1w ls1ic..pfiCdda
PARTE 1 - PROBABILIDADE EDISTRIBUl(UES DE PROBABILIDADE
Capitulo 3
Probabilidade
Onde estamas . . . . .. . ..... . . .. .. . .. . . . .. . .. . ..... . .. . . ..... . . ....... ... .... .. . . 104
Para onde vamos ... . .... . .................... . .. .. . . .. ... . .......... . ..... . ..... . 104
3.1
3.Z
3.3
3.4
Conceitos basicos de probabilidade e contagem . ... .... .... ... .... .. ... . .... ... ..... . 105
Probabilidade condicional ea regrade multiplica~ao .. . . • . ....•......•..•..•• . .. . 119
A regra da adi~ao . . . . . .. . ....... . . . ..... . . .. . .. . .. ... . .......... . ............ 128
Estudo de caso: probabilidade e estrategias para encontrar vagas no estacionamento . . .. . . 137
T6picos adicionais sobre probabilidade e contagem . ... . ...... . ........ . . . . . . ..... . 138
Usos e abusos - estatistic<1 no mundo real. . . . . .. . .. . .. ... . . . ...... . . ...... . .. .. . . 147
Resumo do capitulo ... . . ... ... . . ... . . . .... . . .. . .. . ... . . . .......... . . .. .. .. . . 148
Exercfcios de revisao . ......... . . . .... .. .. .... . . . . . . . .... . . . ... . .. . . . .. . . . .. .. 149
Teste do capitulo ... . . .. , ............. . .. . ..... . .... . . . . . ...... .. .. . . .. .. .... 151
Juntando tudo . . . . . . .. . . . . ... . . . .. .. . . . . . . . . . .... . ... . .. . .. . .. . ... .. . . • . . ... 152
Tecnologia: simula~ao - compondo uma variancia de Mozart com dados . .. . ..• . ... 152
(apitulo 4
Oistribui,oes deprobabilidades disuetas
Onde estomos . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . , . . .. . .. . ... ............ . ..... . . .. .. . . 154
Pora onde vomos . .. . .......... . ... . . .. .. •. . •.. .. . . .. .... . . . .. . •. . . •. ..... .. •. .. . . 154
4.1
4.Z
4.3
Distribui~oes de probabilidades . ... . . • . . • . ...... . ...... . .. . .. . . • . . • . . • .. • . .. .. 155
Distribui~oes binomiais...................... .. ... . .. .... . . .. . . • . .• . .•..•..... 165
Estudo de caso: distribui~o binomial de acidentes de avi3o ... . .. . .. • . • ..•..•..•..... 178
Mais distribui~oes de probabilidade discretas .. ... .. . . . .. . .. .. . . . ... . . .. . . .. .. . . .. . 179
Usos e abusos - estatistica no mundo real. .. . .. . . .. . .. . .... . ..... . ..... . .. . .. .. . . 185
Resumo do capitulo . . .. . . .. . . .. .. . .. . .. . . .. . .. . ....... . . . .. . . .. . .. . .. . . ..... 186
Exercicios de revis3o . . .... . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . .. .. . . .. .... . . . . .. . .. . .. .. . . 187
Teste do capitulo ...... ..... . ... . .. . .. . ..... . .. . . ...... . ...... ........ . .. .. . . 189
Juntando tudo ..... . .......................... . ......................... . .. . 189
Tecnologia: usando a distribui~o de Poisson como modelos de Q.ueuing . .. • . • . .. . . 190
Capitulo 5 Oistribui,oes de probabilidades normais
Onde estomos ..... . .... .. .... ...... . ..... . ........ . .............. . .............. 192
Pora onde vamos .... .. .... ............. .... ..... . .. . .. .......... .... . ........ . .. . 192
5.1
5.Z
5.3
5.4
5.5
lntrodu~ao a distribui~ao normal e distribui\:iio normal padrao.... ..•..•..•. . • ..... 193
Oistribui~6es normais: encontrando probabilidades . .. . .... .. .. . . . .. . •• . •. . •. .... 204
Distribui~6es normais: encontrando valores .. . . . .... . .... . . . ................ .. .. 210
Estudo de caso: pesos de belles nascidos nos Estados Unidos . . .. . •...•..•..•..•. .... 217
Distribui~6es de amostragem e o teorema do limite central . .. . .......... ..... .... 219
Aproxima~oes normais para distribui9oes binomiais .. . .... . . . . •...•. . •..•..•• .. . . 232
Usos e abusos - estatistic<1 no mundo real. .. . ... . .. . .. . . . . . ... .... . . . .. . .. . . . .. .. 241
Resumo do capitulo . . .. .. . ... . . . ..... .. . . .. . ........ . . . . . . ..... . ...... . . .. .. 242
Exercfcios de revisao .. . ....... . ......... . ............ . ... . . .. .. . ............. 243
Teste do capitulo . . . . ... , ..... . . . ..... . . . ... . ..... . ... ........ . . ...... . . . .. . .245
Ed ,e 1naaa
1
S•m!rio
vii
Juntando tudo • .. •... .. . .. . . .......... .. . .. .... . ..... . .. .. •.•. • .. • .. . . .. .. . .245
Tecnologia: distribui~o de idade nos Estados Unidos ......•.... • .. . .. •.. ••. . .. . .246
PART[ l - (STATlmcA INHHNCIAL
Capitulo6
lntervalos de confian(a
Ondeestamos .. . . .. . .. . .. .. ... . . .. . .. . .... .. ....... . ..... . ..... . .. . .. . .. .. . . .. . .250
Pora onde vamos .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . .... .. . . .................... . ..... . ....... 250
6.1 lntervalos de confian~a para a media (amostras grandes) ........... . .. • ..... .... .251
Estudo de caso: altura dos ombros dos ursos negros dos Apalaches .. • . .. . .•••. . . .. .. . .261
6.Z lntervalos de confian~ para a media (amostras pequenas)........•. . .. • .. . .. . .. . .262
6.3 lntervalos de confian~ para as propor~<les populacionais .• .. ...••.• ... • •• • •. . •. . •270
6.4 lntervalos de confian~ para variancia e desvio padrao ... . . . .. .. . . •. . .. • •. . . .. •. . . 278
Usos e abusos - estatfstica no mundo real. . .. ..... . ........... . .... . .. . .. . .. . .. . .283
Resumo do capitulo ........ . ............•. •. . • . . •..•. . ... . . . .. . ..... . .. . .. . .284
Exercicios de revisao .. . .. .. . .. . . . .. . . . . .. . . ..... . ..... . .. .. . . ..... . .. . .. . . ...285
Teste do capitulo . .... .. . .. . . .. . .. . .... .. ..... . ................ . ..... . .. . .. . .287
Juntando tudo .... . ... ............. .. .... .. ................. .. . ..... . ..... .. 288
Tecnologia: a Gallup Organization .. . . .. . .. . . .. .. . . ..... . .. . ..... . .. . .. . ..... . . 289
Usando a tecnologia para construir intervalos de confian~a ....... • . . ........ . ..... 290
Capitulo7 Testes de hip6tese com uma amostra
Onde estamos .. .. . . .. . . .. .. . . .. . .. . . .. . . •.. . . . .. . •. . ..... . .. . .. • .. . .. . .. . . .. .. . . 292
Poro onde vomos ................ . ... . .... . . . . ..... . ..... .. ............ . .. . ....... 292
7.1 lntrodu~ao aos testes de hip6tese .. . .... .. . . ..... . ..... . .. . .•... .... .. . . .. .. . .293
7.Z Testes de hip6teses para a media (amostras grandes) . . . ..... . ... .. . . .. .... . ..... 305
Estudo de caso: temperatura corporal humana - o que e normal?. ...... . ..... . . .. . .. .319
7.3 Testes de hip6tese para a media (amostras pequenas). . ..... . . .... . . ..... . . .. .. . .319
7.4 Teste de hip6tese para propor~oes .. . ..... . .... . .. ......... . .. . .. . .... .. ..... . .327
7.5 Teste de hip6tese para variancia e desvio padrao . ...... . . .. . ... . .. . .. . .. . .. . .. . .333
Usos e abusos - estatfstica no mundo real .. .. .. . .... .......... . . . .. . .. . .. . . . ... . .340
Resumo do capitulo ..... . ............. .. . . . .. . ....... . ..... . .. . .. . . .. .... . . .343
Exercicios de revisao . . .. .•.. • ..• . . • .. • .. • .. ... • .. ... . ..... . .•..... , . . • . . .... . 344
Teste do capftulo ..... . .. . .. . .. ....... .. . ... . . .. . .. . .. ... . .. .. . . . .. .. . .. ... . .346
Juntando tudo ... .. ..... .. .... .. ..... ... . .......... .. ...... ........ . . .. . . .. .347
Tecnologia: o caso das mulheres desaparecidas . .. • . ...•....... •. . • .. • .. • .. • .. . .347
Usando tecnologia para efetuar testes de hip6tese ......•.......... • .. • ..... • .. ..349
Capitulo8
Testes de hip6tese com duas amostras
Ondeestamos ......... . . ....... . ..... . .. .. .. .. ......................... .. .. . .. . .351
Poro onde vamos . . . .. . ....... . .. . .. .. . ....... . . ... . ................... . .. . .. . .. .. 351
8.1 Testando a diferen~a entre as medias (amostras grandes e independentes)•. .. . . •. . .352
Estudo de caso: dietas e perda de peso . .. ....... . .. . . ..... . .. .. . . .. .... .. . . .. .. . .361
8.Z Testando a diferen~ entre as medias (amostras pequenas e independentes) . ...•. . .362
Ed ,e 1naaa
1
viii •
f11a1~1ICtapliC1d•
8.3 Testando a diferen~a entre as medias (amostras dependentes) . . . . .• . .•..•..•. .. . .369
8.4
Testando a diferen~a entre as propor~oes . .... .................. ........... . . ... 377
Usos e abusos - estatlstico no mundo real. .. . . .. . . . ... . .. . . .. . .. . .. . .. . .. . . . . .. . .383
Resumo do capitulo . . . . . . .. . .. . .. . . .. . . ...... .. .. . .. . . .. . . .. . • ..• . . • .. • . .. . . 384
Exerdcios de revisao . .. .. . . . .. . .... .. . . . .. . . .. .... . .. .. . . .. . .. . .. . . .... .. .. .. 385
Teste do capitulo . . . . ... . . . .. . . . . .. . . . . . . . .. . .. . . .. .. . . .. .. . . . . . . .. . . . . .. .. . . 387
Juntando tudo ... ... . .. . .... .. .. . ...... .. .... . . . .. .. . .... .... . . .. . . .... . . .. .388
Tecnologia: cara ou coroa ... ... . . . ... . . .... .. .. . . . . . . .. .. . . . . .. .. . . . •. . • . . . . .389
Usando tecnologia para efetuar testes de hip6tese de du as amostras . . .... •. . .. .. . .390
PARU 4 - MAIS IHHREHCIAS ESTATiSTICAS
Capitulo9
Correlacao ereqressao
Ondeestomos ... . . . . . .. . .. .. . . . .... ... .. ... ... . . .. . ... . . . . .. . . . . . . . .. . . . . .. . .... 394
Poro onde vomos . .. . .. . .. . .. . .. . . .. . . . .. . . . . ... .. .... .. .. . ... ..... . .. .. .. ... . .. . .394
9.1 Correla~o... .. .. .. . .... . . ..... . .... . . . . .. . . ..... . .... .. ... . .. . .. . . . . . .. .. .. 395
9.2 Regressao linear.. . ..... . .... . . . .. . . .. .. . . .. . .. . .. . .. . . .. .. . . . . . . . . . . . . . . . .. .409
Estudo de caso: correla<;ao da medi<;ao dos corpos ... . .. ............ . .. .... .. .. . .. . 417
9.3 Medidas de regressao e intervalos de previsao . . . . .. .. . ... . . .. . . . . . . . ... . . . . . .... . 419
9.4 Regressao multipla .. . ..... .. ......... . . ........ . .. ... .. . ... . . . .. .. . . .. .. .. . .427
Usos e abusos - estatistico no mundo real. . .. . .. . .. . .. ..... .. . . . .. .. .. ....... . .. .431
Resumo do capitulo . ..... . ..... .. .... . ....... .. .. . .. ... .. .. ............. . .. .432
Exerdcios de revisao . . .......... ... .. .. . .. .. .... .. ........ .. ... . .. .... . ..... .433
Teste do capitulo . . . .. . . .• . •• . •. . . • . •• . .. . •. . .. . . .. . .. . .. . .. • . .• . •. . •. . • ... . .435
Juntando tudo . ................ . .. . .. . ..... . ..... . .. .. . ...... . .. ........ . .. .436
Tecnologia : U.S. Food and Drug Administration FDA . .. . . .. . . . . .. . . .. . •..•• . •. .. . .437
(apitulo 10 Testes qui-quadrado ea distribuicao F
Ondeestomos ..... . .. . ..... . ..... . .. . . . ........ . ..... . .. ..... .. .. .... .. .. . .. . .. .439
Poro onde vomos . .. . .. . ....... . . .. . ........ . .. .. . .. . . .. .. . .. . .. . .. . .. . .. .. .. . . .. .439
10.1
10.2
Testes de ajuste .. . ............. . .. . .. . .. . .. . .. . . . . .. . . . . . .. . . .. . .. . ..... .. . .440
lndependencia . .. . . . . .. . • .. •. . • . . • .. • .. • . .. . .. . .. . . . . .. . . .. • . •. . •. . •. . •. .. . .450
Estudo de caso: fatos sobre a seguranco no transito . . . . . .. . .. . .. . .. . . • . . •. . • . . •. .. . .460
10.3 Comparando duas variancias ...... . .. .. . .. . ... .. . ... .. . .... .. .. .. .. .... ... .. . .46 1
10.4 An~lise da variancia • . ..•.• . .•• . . .. • . .• . .• . •. . .• . . .. .• . . . . • .. . . •• . • • . •• . •. .. . .469
Usos e abusos - estatlstica no mundo real. . ... .... . . .. . .. ... .......... .... .. .... . 478
Resumo do capitulo .. .. . . . ... . . . .. .. . . .. . .. . .. . . .. .. . . .. .. . . . . . . . . . . . . .. .. . . 479
Exerdcios de revisao .. ........ .... .. . . . ..... . .. . .... . .. .... . ...... . .... ... .. .480
Teste do capitulo . .. . .. . .... .... .... . .. .. ..... . . .. . .. . ..... . ... . .. .... .. . . .. .482
Juntando tudo . . . .... . . . .. . . . . . . . .. . ... . .. . . . . ..... . . . .. . .. . . • .. •. . • .. . . .. .. 482
Tecnologia: salarios de professores ... . ... . ... . . . . . . . .. . . .. . . .. . •. . • ... . . . .. . . .483
Ed ,e 1naaa
1
lrm!1io
Capitulo
11
ix
Testes nao parametricos
Onde estamos ............... .. . . ..... . .. . .. . . . . .. . ..... . . . ........ . .. . .. . ..... . .485
Para onde vamos . .. . ..... . ... •..... . .... . •.. . . . .. . .. . ..... . .. .. . • .. . .. • .. . . .. .. . .485
11.l Teste dos sinais .. . . .. .. .... . ..... . . .. .... . .. . .. . ........... . ..... . .. . .. . .. . .486
11.2
Teste de Wilcoxon • .. . .. . .. . .. . . .. . . .. • .. . . .•..• . ...•....... • •• • .. • .. • .. . . .. .494
Estudo de caso: ganhos per diploma universiMrio .. . . .... . ..... . ... . .. . .. . .. .. . .. . . .502
11.3
11.4
11.5
Teste de Kruskal·Wallis .................................. . ... . .. . .. . .. . .. ..... 503
Correla~ao de postos..... . .. . .. . . .. .. . . .. ................... .. . . .. . .. . .. . .... 507
Testes de corridas ............. .. . ...... .. . ............ . ....... . .. . .. . ..... .. 512
Usos e abusos-estatfstica no mundo real. .. ...... . ..... . .. . .... . .. . .. . .. . ....... 519
Resumo do capitulo .. ...... . .... .. .. .. . ... ... . ..... ... ..... . .. . .. . .. . ..... .. 520
Exercicios de revisao .. . .. . .. . . . . . .. .. . . ... ... . . .... . . . .... .. . . .. .. . .. . . . . . .. .521
Teste do capitulo .. . .. . .. . .. . ........... . ... . . . . .. . .. . .... . .. . .. . . .. . . ... . . . .523
Juntando tudo .... . .... ...... . .. . .... . . ..... . .. ... . .... .. . . .. . .. . .. . . .. ..... 524
Tecnologia: renda nos Estados Unidos e pesquisa economica . . . . • . . • .. • .. • .... .. .525
Apendice A
A
Apresenta~o alternativa da distribui~ao normal padrao.... . •• .. .•. . • .. •. . • .. • ... .. A2
Apendice B
B Tabelas. . .. . .. . . . . . . . . .. . ..... . .. .. . . . . .. . ..... . ..... . . ... . . .. . .. . .. . . . . .. . . .A7
Apendice C
(
Representa~iies
de probabilidade normal e seus graticos. .. ... . .. • .. . .. • .. • .... .. .A30
Respostas dos exercicios Tente voce . . . .. .. • .. • .. • . . ... • . . ... . . • .. • .. • .. • . .. .. . .A32
Respostas dos exerdcios selecionados... .. . . . . . . .. . . ........ . . . .. . .. . .. . .. . .. . .A5 I
fndice de aplica~iies . .... . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . ........ . ....... . .. . .. . ..... ..626
fndice remissivo ... . ..... . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. ..... . .. ... . ..... . .. . .. ... . .632
Sobre os autores .... . ... . ..... . .. . . . . .. . . . .. . .. . .. . .. . .. .. . . . .... . .. . .. . .. . .638
Ed ,e 11naaa
,
PAGINA EM BRANCO
Ed ,e 1naaa
1
Prefacio
Bem-vindo ~ quarta edi~iio de Estntfsticn nplicndn. Somos gratos pela impressionante aceitai;.\o e pelo apoio ~s tr~
primeiras edic;Oes. ~ gratificante saber que nossa visiio ao combinar teoria, didatica e planejan1ento para exemplificar o uso
da estatrstica para retratar e descrever o mundo tern ajudado estudantes a aprender sobre a estatrstica e a tomar decisiles
fundamentadas.
I
(aracteristicas da quarta edi~ao
\\ll~ll\ A.berturadepartei Os assuntos deste livro sao agrupados em quatro partes: Estntfstica descritivn, Probnbilidnde e distrib11i{iles de
probnbilidnde, Estntfsticn i11fere11cinl e Mais i11fereucins eslntfstic.ns. Cada parte apresenta um agrupamento natural de assuntos
dentro de um cenario mais amplo da estatistica.
A.berturade<ap[tulos No inicio de cada capitulo, a sei;.10 011de estnmos mostra como o capitulo se encaixa em um cenario mais
amplo da estatistica, relacionando-0 aos t6picos estudados anteriormente. Em seguida, a se~ao Pnm 011de vnmos fornece uma
visao geral do capltulo, explorando conceitos no contexto do mundo real.
Orqanizai!odoscapitulos Cada caprtulo eorganizado por objetivos de aprendizagem, os quais sao apresentados na se«io 0 q11e
voe€ deve npre11der, apresentada em t6picos que us.1m linguagem cotidiana. Os mesmos objetivos s.io, entao, us.1dos como
subtltulos ao longo do capitulo.
Exemplospassoap.issoinlilulados Todo conceito no livro eclaramente ilustrado com um ou mais exemplos passo a passo. A maioria dos exemplos conta com um passo para sua interprela~ao, mostrando como a solu~ao pode ser interpretada dentro de
um contexto da vida reaJ. Este passo adicional promove o pensamento critico e habilidades de reda~ao. Cida um dos mais
de 210 exemplos ~nu merado e intitulado para mais ~cil referencia e consul ta.
Tentevoci Os exemplos s.io seguidos por exerdcios similares chamados Te11te voce, de modo <JUe se possa imediatrunente
praticaro que foi aprendido. As respostas dessesexercicioss.io fornecidas no final do livro.
Definiiiiel Conceitos importru1tes contam com defini~ fonnais sempre seguidas de instrui;oes que explicam, usando Jin·
guagem simples, como aplicar tal defini~o.
lnllruioes Em todo o livro, a apresenta~o de uma f6rmula estatfstica eseguida de um conjunto de instrui;oes passo a passo
scl>re sua aplic~o. Em alguns casos, as instru~ sao divididas em duas colunas: Em pnlnvms e Em sfmbolos.
Dicas deestudo Oicas de estudo presentes nas margens das paginas mostram como ler tabelas, usar tecnologia ou interpretar
resultados ou grMicos.
~etlatandoomundo Cada capitulo traz um 'mini estudo de caso' da vida real chamado Retrntmutoo 1111111do, que ilustra o conceito (ou conceitos) importante de cada se~ao. Cada Retmtm1rlo o 1111111rlo se encerra com uma questao e pode ser usado para
uma discussao mais geral em classe ou para um trabalho em grupo.
lxemplosde ternologia Muitas sei;oes trazem exemplos que mostrrun como a tecnologia pode ser usada para calcular f6rmulas,
f:azt>r testes ou mostrar dados. Tais exemplos sao ilustrados por telas do MlNffAB, do Excel e da Tl-83/ 84. 5ao fomecidas
tambem telas adicionais no fim de c.ipitulos selecionados.
lmportante Notas nas margens das paginas ajudmn a guiar importantes interpreta~Oes ou cstabelecem relac;Oes entre difeientes conceitos.
Exercicios Os grupos de exercicios desta quarta edi~o incluem mais de 2.100 exercicios, oferecendo pratica em realiza~ao de
calculose tomada de decis0es, e fornecendo explica~Oes e aplic.ic;Oes de resultados em situai;oes de vida real (aproximadamente 40%dos exerdcios s.io novos ou foram revis.'ldos). Os exerdcios sao divididos em trus ~<les:
Ed ,e 1naaa
1
Co11str11i11do /Jabilidades btisicas e co11ceilos: sao exerdcios de respostas curtas, verdadeiro ou falso ou elaborados
usando vocabul~rio cuidadosamente selecionado para facilitar seu entendimento.
Usa11do e illterpreta11do co11ceitos: sao problemas qtte envolvem habilidades ou palavras que variam do desenvolvimento de habilidades Wsicas a problemas mais desafiadores e interpretativos.
Expa11di11do co11ceitos: sAo exercfcios que vao alem do material apresentado na se~Ao- tendem a ser mais desafiadores e nao sao pre-requisitos para as sei;oes subsequentes.
\l.ll~ll'. Resumodocaprtu!o Cada capftulo e finalizado com um resumo que responde ~ pergunro 0 que voce apre11de11? Os objctivos de
estudo s.'io relacionados aos exemplos da se¢o, hem como aos exerdcios de revis.'lo.
!xerdcios de revisao Uma serie de exerc!cios de revis.'io segue cada resumo do capftulo, e a ordem dos exerclcios obedece ~
organiza<;ao do capflulo. As respostas para os exercfcios fmpares silo dadas no fim do livro.
Testedocapilulo looo capitulo termina com um teste e as respostas para todas as questiles do teste sao fornecidas no final do
livro.
\l.ll~ll'. Atividadesapplet Se¢es selecionadas contem atividades que levam a investiga~Oes interativas sobre os conceitos da lii;-ao,
com exercfcios que pedem aos estudantes que tomem decisiies. Os applets de acompanhamento estao disponfveis no site
do livro.
Utudo de caso Cada capftulo apresenta um estudo de caso que traz dados atuais em contexto da vida real e questoes que
ilustram os conceitos mais importantes do capftulo.
\l.ll~ll'. Usos eabusos -estatistica no mundo real Uma discussao sobre como as tt!<:nicas estatfsticas podcm ser usadas e sobre abusos co-
muns esta presente cm todos os capi\ulos. A discuss.10 agora inclui ~tica, quando apropriado. Os exercfcios ajudam os estudantes a aplicar seu conhecimento.
utatistica real - deci~ reais Esta ~ao encoraja os estudantes a pens.1rem criticamente e a tomarem decis0es embasadas em
dados reals. Os exercfcios guiam os estudantes desde a interpreta~ao ate a chegada ~ conclus0es.
Projeto tecnologi<o Cada capftulo tem um projeto tccno16gico usando MINITAB, Excel e Tl-83/84, que fomece ao estudante
uma vis.'io de como a te01ologia e us.1da para lidar com conjuntos de dados grandes ou situa~<'ies de vida real.
\l.ll~ll'. Revisaoacumulada Uma revisao acumulada, no fim dos capftulos 2, 5, 8 e 11, conclui cada uma das: quatro partes do livro. Os
exercfcios estilo dispostos em ordem aleat6ria e podem incorporar ideias multiplas. Algumas respostas selecionadas desses
exercicios s.;o dadas no final do livro.
\l.11~111. Respostasusandotecnologia As respostas dadas no final do livro est~o em tabelas. As respostas encontradas com o uso da te010·
logia tambem estiio incluidas quando ha discrepancias de,•ido a arredondamentos.
\l.ll~ll'. Reqmdearredoodamento As regras de arredondamento estiio nas dicas de estudo dos calculos.
\1.11~11'. Abrangiflciadocurso Em resposta as sugestc5es de instrutores de esrotfstica, o seguinte conteudo e novo ou revisado:
• No Capitulo l, sele~ao aleat6ria, fontes de tendenciosidade na amostragem e pesquisa, tratamentos, grupos de controle, unidades experinlf:!Jltais, atribuit;Oes aleat6rias, replicat;ao.. fontes de tendencios-idade e confusao foram adicio-
•
•
•
•
•
•
•
r41das. Uma cobertura adicional de planejamento experimental foi incorporada para cobrir diferentes tipos de experi·
mentos que podem scr us.1dos por pesquis.1dores.
No Capitulo 2, agrupamentos e lacunas foram adicionados a 2.3 Medidas da tendencia central.
No Capitulo 3, os t6picos Coram reorganizados para aprescntar os princfpios de contagem no infcio do capftulo. Diversos exemplos foram inchrfdos.
No Capitulo 6, propriedades dos pontos estimadores foram inseridos.
No Capitulo 7, o poder do teste e definido.
No Capftulo 8, as definic;Oes de amostras dependentes e independentes estao agora presen.tes no inicio do capilulo.
No Capitulo 10, a cobertura do teste de ajuste qui·quadrado foi aumentada para cobrir as d istribuii;Qes qui·quadrado.
Frequencias marginais e conjuntas para tabelas de contingencia tambem foram adicionadas.
No Apendice C, adicionamos groficos de probabilidade normal. Esta discussao foca em como avaliar a normalidade
em grupos de dados pequenos.
Ed ,e 1naaa
1
l'r•l!cio
xiii
I Mantendo a for'a didatica da terceira edi,ao
A.borda~mqrafica Como a maioria dos livros de introdui;ao a estatistica, coml!\amOS o capnulosobre estatistica descritiva com
uma pesquisa sobre as diversas maneiras de representar os dados graficamente. Uma difereni;a entre este livro e os muitos
outros eque continuamos a incorporar a representa~ao grafica dos dados durante toda a obra. Por exemplo, veja o uso de
gnlficos ramo-e·folhas para representar os dados nas paginas 317 e 319. Esta enfase nas representa~aes grMicas e benefica
para qualquer estudante, especialmente aqueles que usam estrategias de aprendizagem visuais.
A.bo1da~m ponderada
0 livro oonsegue alcan~ar um equilfbrio entre cakulo, tomada de decisfo e entendimento oonceitual.
Fornecemos muitos exemplos, exercfcios e exercfcios 'lente v~ que vao alem dos calculos.
Variedade deaplicacoei na vidareal Esoolhemos aplica~ na vida real que sao representativas para os estudantes dos cursos introdut6rios de estatistica. Queremos que a estatfstica seja viva e relevante para os estudantes d:e modo que eles entendam a
importiincia do raciocinio do estudo da estatistica. Queremos que as aplica~ sejam autenticas - mas tambem acessfveis.
Veja o fndice de aplica\()es na pagina 11.
Dadose linha1das fontei Os co1tjuntos de dados deste livro foram escolhidos por inten.'SSe, variedade e adequa~o para ilustrarem os conceitos. Amaioria dos mais de 240 conjuntos de dados oonMm dados atuais e suas fonles. Os conjuntos de dados
remanescentes contem dados simulados que ~o representativos de situa~ da vida real. Gonjuntos de dados contendo
20 ou mais entradas estao disponfveis no site de apoio do livro e os grupos de exercicios disponiveis eletronicamente s.io
indicados pelo icone {'~ .
Te<noloqia flexiwl Embora a maioria das f6rmulas no livro seja ilustrada com calculos 'manuais', assumimos que a maioria
dos es!udantes tenha acesso a alguma ferramenta tecnol6gica, como MINITAB, Excel, Tl-83 ou Tl-84. Devido ao foto de a
toecnologia variar muito, tomamos o texto acessfvel: ele pode ser usado em cursos com nao mais do que uma cakuladora
cientifica 011 em cursos que requerem uso frequente de ferramentas tecno16gicas so6sticada.s. Qualquer que seja seu uso
da temologia, temos certeza de que voce oonoorda que o objetivo deste curso nao seja o calculo, mas sim levar ~ compreens:lio de conceitos basicos e usos da estatistica.
Prr·requisitos Fizemos esfor~s para manter as manipul~ies alg~bricas em um minimo - frequentemente mostramos vers-Oes informais das f6m1ulas usando palavras no lugar de ou em adi(ao a variaveis.
lscolha das ~belas Nossa experiencia mostrou que os estudantes acham mais facil us.v uma tabela de fun~io cumulativa de
densidade (mF) do que us.'11' uma tabela '0-a-z'. 0 uso da tabela O)f para encontrar a area abaixo da curva normal~ o
topioo da ~ao 5.1 nas paginas 1%-200. Sabendo que alguns professores preferem usar a tabela 'O a z', fornecemos uma
apresenta(ao alternativa deste t6pico no Apendice A.
I Encontrando os padroes
PadrOei MM. AHATY~ Nffil Este livro respondc ~. necessidade de um livro que seja amigo do estudante e que enfatize o uso de
estatistica. Nossa experiencia indica que o trabalho como professor nao ~ criar eslatisticos, mas sim criar oonsumidores in·
f<>rmados dos relat6rios estatistioos. Por esta razllo, incluimos exercicios que requcrem que o estudante interprete rcsultados.
f()m~a explica~ escritas, enoontre padr<ies e tome decisOes.
Decisoes GAISE Fundada pela A111ericn11 Statisticnl Associatiou, o projeto Guias para Avalia(ao e h1stru(ao na Educa(ao
Estatfstica (GA ISE) desenvolveu seis recomenda(Oes para o ensino de estatfstica introdut6ria em cursos supcriores.
Saoelas:
• Enfatizar a alfabetiw~o estatfstica e dcsenvolver o pensamento estatistioo.
• Us.~r dados reais.
• Enfotizarentendi111ento ronceitual em vez de mero oonhecimento de pl'OCl.>dimentos.
• Estimular o aprendizado ativo em sala de aula.
• Us.ir a tccnologia para dcsenvolver o entendimento conceitual ea analise de dados.
• Usar avalia~Oes para melhorar e avaliar o aprendizado do aluno.
Os exemplos, os exercicios e as caracterfsticas deste livro atendem a todas essas recomenda~<les.
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1
xiv •
I
ls1a1r11i<aapli"d'
Site de apoio
Recursosparaeitudantei 0 site de apoio deste livro oferece aos estudantes:
•
• Dicas de como estudar estatfstica - um guia rapido apresenta dicas de como aperfei~oar o estudo
da estatfstica e facilitar seu entendimento.
Companion
• Principais f6rmulas- um csquema apresenta as principais f6rmulas de cad a capitulo.
Website
• Correlac;iio de applets - uma listagem resume os applets, os conceitos que abordam e sua descri\iio.
• Applets - applets para serem utili1.ados nas atividades intcrativas propostas ao longo do livro.
• Conjuntos de dados - conjuntos de dados contendo 20 ou mais entradas e nos quais se baseiam alguns exerdcios do
livro estAo disponfveis para consulta.
• Exerdcios adicionais- atividades propiciam priltica extra sobre o conteudo de cada capftulo do livro.
Recurso1 para professores· Os professores que adotam este Ii vro contain com:
• Manual de solu~es (em ingles) - resolu~iio dos exercicios contidos no livro, devidamente identificados por se~.
• Apresenta~ em PowerPoint - slides editaveis que acompanham o conteUdo de cada capitulo e que podem ser
utilizados durante as apresenta~Oe5 em sala de aula.
' f$St!S mnterinis sao de 11so excl11sivo do professor e eslffo protegidos por seulm. Pam 1,,, net'SS<> a cles, os professores que ndotnm o livro
de-<Nt111 eufrnr c111 coulnto co111 seu reprt."Set1lnule Penrscu on euuiar ,,,,, e-u1ail 1K'ra u11iversildriO'S@penrso11ed.co111.
Ed ,e 1naaa
1
Agr~decimentos
Devemos agradecer aos muitos revisores que nos ajudaram a fonnatar e refinar Estntfstic.a nplicndn, quarta edi~ao.
Rosalie Abraham, Florida Community CoUege at Jacksonville
Ahmed Adala, Metropolitan Community College
Polly Amstutz, University of Nebraska
Kearney David P. Benzel, Montgomery College
C.=I Curtis, Fresno City College
David DiMarco, Neumann College
Harold W. Ellingsen, Jr., SUNY-Potsdam
Michael Eurgubian, Santa Rosa Jr. College
Sandeep Holay. Southeast Community College, Lincoln Campus M. Kazemi, University ·of North Carolina
I
Revisores das edi~iies anteriores
Frieda Canter, California State University
David Kay. Moorpark College
Benny Lo, DeVry University, Fremont
Mike McCann, Ventura Community College
Julie Norton, California State University-Hayward
Lynn Onken, San Juan College
Agnes Tuska, California State University-Fresno
Jean Sells, Sacred Heart University
Sonja Hensler, St. Petersburg Jr. College
Nancy johnso1i Manatee Community College
Susan Kellicut, Seminole Community College
Jeffrey Linek, St. Petersburg Jr. College
Diane Long, College of DuPage
Elisabeth Schuster, Benedictine University
Carole Shapero, Oakton Community College
ling-Xiu Wang, Oakton Community College
Sandra L. Spain, Thomas Nelson Community College
Charles Ehler, Anne Arundel Community CoUege
Rita Kolb, Cantonsville Community Colles•
Neal Rogness, Grand Valley State University
Jane Keller, Metropolitan Community College
Vicki McMillian, Ocean County College
Vicki L. McMillian, Ocean County College
Lyn A. Noble, l'lorida Community College at Jacksonville-South C.1mpus
Eric Preibisius, Cuyamaca Community College
Melonie Rasmussen, Pierce College
John Seppala, Valdosta State University
Aileen Solomon, Trident Technical College
Deborah Swiderski, Macomb Community College
William J. Thistleton, SUNY-lnstituteofTechnology, Utica
Clark Vangilder, DeVry University
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1
Dex Whittinghall, Rowan University
Gary Egan, Monroe Community College
Hyune-Ju Kim, Syracuse University
Rowan Lindley, Il'estchester Community College
Lynn Meslinsky, Erie Community College
Cara DeLong, Fayetteville 'technical Community College
Mohammad Kazemi, University of North Carolina- Charlotte
Rhonda Magel, North Dakota State University
G. Andy Chang, Youngstown State University
Douglas Frank, Indiana University of Peru1sylva1\ia
Michelle Strager-McCarney, Penn State-Erie, The Behrend College
Okay Akman, College of Charleston
Ginger Dewe); York Technical College
Martin Jones, College of Charleston
Lindsay Packer, College of dwleston
Aileen Solomon, Trident ·1echnical College
Jill Fanter, Walters State Community College
John Bernard, University of1exas-Pan American
John J. Avioli, Christopher Newport University
Sandra L. Spain, Thomas Nelson Community College
Keith J. Craswcll, Western Washington University
Trunbem agradecemos cspecialmente ao pessoal da Pearson Education que trabalhou conosco no desenvolvimcnto
desta quarta edi~o de Estnlislicn nplirodn: Deirdre Lynch, Dawn Murrin, Lynn Savino Wendel, Linda Mihatov Behrens, Diane Peirano, Wayne Parkins, Joanne Wendelken, Maureen Eide, john Christiana e Thomas Benfatti. Tambem agradecemos o
pessoal de Larson Texts, Inc., que nos auxiliaram no desenvolvimento e na produc;lio do livro. Poessoalmente, agradccemos
a nossos dlnjuges, Deanna Gilbert Larson e Richard Farber, pelo an1or, pela paciencia e pelo apoio. Tambem agradecemos
especialmente a R. Scott O'Neil.
Trabalhamos muito para fozer de Eslnlfslicn npliroda um livro limpo, claro e agradavel, que possa ser usado para o
ensino ea aprendizagem da estatfstica. Apesar de todos os esfor<;os para assegurar a acuidade ea facilidade de uso, muitos
usuarios terao, sem duvidas, sugestiies de melhorias as quais sempre seriio bem-vindas.
Ron Larson, odx@psu.edu
Betsy Farber, farberb@bucks.edu
Ed1t11.11aa a
Parte
1
[statistica
descritiva
Capitulo I lntroducao aestatfstica
(apitulo Z [statfstica descritiva
t1,[11.11§§§
Capitulo
1
lntrodu(ao aestatfstica
Onde estamos
V~ ja deve estar familiarizado com muitas das pra·
ticas de estatislica, tais romo pesquisas, coleta de dados e
descri~ao de popul~. 0 que voct! pode nilo saber eque a
roleta de dadosestatlsticos precisose frequentemente dificil
e tern um alto cuslo. Considere, por exemplo, a enorme tarefa de se contar e descrever a popula¢<> inteira dos Estados
Unidos. Se v~ fosse o n!SpO<l53vel por tal censo, como o
faria? Como voct! poderia ter certeza de que seus resulta·
dos sao exatos? Essas e muitas outras preocupa¢es s.'lo de
respons.1bilidade do U11itfti State> Ct11s11s 811rrn11 (811ren11 de
Censo dos Estados Unidos}, que conduz o censo em todas
as d<!cadas.
Regi6es americ~nas com
crescimento mais r.lpido
R•giilo
Para onde vamos
No Capftulo 1, voe~ sera apresentado aos conceitos ba·
sicos e aos objetivos da eslatfstica. Por exemplo, a estatistica
foi us.1da para a constru<;ao dos graficos ao !ado, que mos·
tram o rapido crescimento de regi0es dos Estados Unidos
com 10.<XX> ou mais habitantes, de 20CO a 2005, e onde est3o
as regiOes com os 100 crescimentos mais rapidos. de 200) a
2005. Quando conduz o censo, o 811ren11 envia formu16rios
curios para toda a popula¢<> e pergunta sobre caracterlsti·
cas como g~nero, idade, ra\3 e propriedade de im6veis. Um
formulario maior, que cobre muitos t6picos adidonais, een·
viado a 17% da popula~ilo. Esses 17% formam uma amostra.
Neste curso, voce aprendera como dados coletados de uma
am0$lra 5fto
popula~~o.
u~dos
para in.fe rir caracterlsticas sobre unu•
localiza~io das 100 rcgioes
de crescimento mais r.lpido
Sul
64....
Ccntro-ocstc
18....
Ed ,e 1naaa
1
C.phulo I
Ill
•
l•troc!u<a0At1ldll~<i«
Uma visao geral sobre estatistica
Delini(ao de estatistica-* Conjuntos de dados --* Ramos da estatistica
I Definicao de estatistica
Conforme com~mos o curso, voce pode se perguntar: oq11e eestntfstica? Por q11e
e·u rleuo t'>t111inr i>statlsticn? Como o est11rlo rln t'>tnllstica pode me njurlnr profissio11n/111e11te?
Quase todos os dias somos expostos aestatistica. Por exemplo, considere os trechos a
s.eguir, retirados de jornais e publica~6es recentes.
• "As pessoas que comem tn.'s por~6es di arias de graos integrais t~m risco de sofrer problemas cardfacos reduzido em 37%." (Font.: 111w1.. c,.;,., C<>111~il.)
• "Setenta p<>r cento dos 1.500 danos a espinha dorsal em menores de idade resultam de acidentes de carro e 6S dos feridos nao estavam usando o cinto de
seguran~a."
(r,,,,,,, UPI.)
• "Espera-se que a produ~ao americana de carvao, que awnentou em 2.5% em
2006, sofra u1na redu~ao de 3,1%enl 2007." (fu111e: £nngy l1~for1r111tfo11 Arfmuii)lmlirin.)
As l~ afirma~6es que vocc acabou de ler s3o baseadas na coleta de dados.
efinicao
Dados consistern em inform~0es Que ~m de observa~. contageos. medi~ ou respostas.
As vezes, os dados saoapresentados graficamente.Se vocc alguma vez leu o l/SA
TODAY, cerlamente ja viu uma das caracteristicas mais populares do jornal, os
l/SA TODAY Sunpslwts. Cr<lficos que apresentam informa~ties de forma facil de ser
entendida.
0 uso de dados estatisticos remonta aos oonsos feitos na antiga BabilOnia, no Egito e, mais tarde, no lmperio Romano, quando os dados eram coletados sobre assuntos
relacionados ao Estado, tais como nascimentos e 6bitos. Na verdade, a palavra estntistica ederivada da palavra latinn sl11l11s1 que significa "estado". Entao, o que t1 estatistica?
efinicao
Estatfstica ea ci~ncia Que coleta, organiza. analisa e interpreta dados para a tomada de decis0es.
0 que voce
deve aprender
• Adefirilao de estatiSlica.
• Como distiiguir en~e uma popir
~e uma amos!ra. um parame-
tio eum dado estatistico.
• Como distinguir entre estatistka
descritiva eestaUstica inferencial.
3
Ed ,e 1naaa
1
lmportante
Um censo consiste de dados
de uma popula,ao inteira.
I
Conjuntos dedados
H~ dois tipos de conjuntos de dados usados em estatfstica. Esses conjuntos siio
chamados de populn(iio e nmostrn.
Mas, a n1enos que a popula-
~llo seja pequena, e normalmente impraticavel obter todos os dados da popula,ao.
Na maioria dos estudos, as
informa><'les devem ser obtidas de uma amostra.
Uma popula~ao eurna col~o de todos os resultados, respostas., medi~ ou contagens que
sao de interesse.
Uma arnostra eum subgrupo de urna popul~o.
Dados amostrais podem ser usados para formar conclus6es sobre popula<;Qes.
Os dados amostrais devem ser coletados usando o metodo apropriado, tal como a
seleo;Jo aleat6ria. Se os dados n~o forem coletados usando-se o metodo apropriado,
eles nao terao valor.
Exemplo [O
_I_,__ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __
ldentificando conjunto de dados
Em uma pesquisa recente, foi pcrguntado a 1.708 adultos americanos se eles con·
sideram o aquecimento global um problema queexige uma a,ao imediata do govemo.
Novecentos e trinta e n.ove deles responderam que sim. ldentifique a popula\liO ea
amostra. Descreva o conj unto de dados. (Adoptfflf•>•it: ''""' Rt«urrli C1n1n.)
Solufiio
A popula9<'1o consiste das respostas de todos os adultos nos Estados Unidos, ea
amostra consiste das respostas de 1.708 adultos nos Estados Unidos na pesquisa. A
amostra eum subgrupo das respostas de todos os adultos nos Estados Unidos. 0 conj unto de dados consiste de 939 sim e 769 n~o.
Respostas de todos os adultos
nos Estados Unidos (poputa~ao)
Respostas dos adultos
na pesquis.1 (amostra)
0 departa1l\ento de energia dos Estad0$ Un,idos t:ondu~ p<:Squisas se1r1anais eJn
aproximadamente 800 postos de gasolina para detenninar o pre'° mMio por
galao de gasolina comum. Em 12 de feven!iro de 2CXJ7, op~ mMio era$ 2,24
por galao. ldentifique a popula~ao ea amostra. 1r1..1r: E••·'li.v ,,,v,,,,,,,,,,, ·\dm
"""'m"""·>
• ldenti fique a populn(llo.
• ldentifique a nmoslra.
• Do que consiste o conj unto de dados?
Seo conjunto de dados~ uma popula,ao ou uma amostra nonnahnente depende
do contexto da vida real. No caso do Exemplo l, a popula(i>o era o conj unto de respostas de todos os adultos dos Estados Unidos. Dependendo da proposta da pesquiS<J, a
popula~o poderia ter sido o grupo de respostas de todos os adultos que moram na
Calif6rnia ou daqueles que tern telefones celulares ou que Jeem determinado joma.I.
Ed ,e 1naaa
1
Cipflulo 1
Oois importantes tennos usados neste livro s<lo parfimelro e estat(sfica.
•
l•trod,cao1<Sldlbli"
Dica de estudo
Os tennos prirhmetro e estatfs!ica silo f<lceis de lembrar
efini(ao
Um par~metfo ~a descri¢o num ~ri~ de uma aJracterfstica popvladonal.
se
Uma estatlstica ea descri~o numerica de uma carocterislica omostrol.
mOnico de se relacionar as
primeiras letras em popula¢o
pnrfimefro e as Ultimas tetras
em amos/ra e estatlstica.
Exemplo
m
voe~
usar o recurso mne-
Distinguindo entre parametro e estatistica
Oecida se o valor numerico descreve um parfunetro populacional ou uma estatfstica amostral. Explique seu raciociltio.
1 . Uma pesquisa recente de uma amostra de MBAs reportou que o saMrio m<!dio para
um MBA emais do que S 82.000. CF'""" 77.- 11~1/ Slr«I ''"""nl.)
2.
Os s.1l~rios iniciais para 667 MBAs i;raduados na Escola de Nei;6cios da Universidade de d1icago aumentaram 8,5% em compara~o ao ano anterior.
3. Em uma checagem aleat6ria de uma amostra de lojas varejistas, o FDA (Foorl m1rl
Drug Atf111i11istratio11) descobriu que 34%das lojas nilo estavam estocando peixes na
temperatura apropriada.
So/t1ftiO
l. Em raz.io de a media de$ 82.000 ser baseada em um subgrupo de uma popul~o.
ela euma estatlstica amostral.
2. Devido ao fato de o aumento porcentual de 8,5% ser baseado nos s.1l~rios iniciais
de todos os 667 graduandos, ele eum parametro populacional.
3. Devido ao fato de a porcentagem de 34% ser baseada em um subgrupo de uma
popul~ao,
ele euma estatfstica amostral.
Tente Em 2006, a liga dos times de beisebol gastou um total de$ 2.326.706.685 nos
voci salarios dos jogadores. Esse valor numerico descreve um parAmetro populacional ou un1a estatfstica an1ostral? (Fo11tt: USA TMtiy.)
a. Oecida se 0 valor numerico ede uma pop11/a1tlo OU umaamo:;/m.
b. Especifique se 0 valor numeriCO eUln parfimelro OU uma tS/alistica.
R.-..pr1...i11 Utf 1'·
I
Retratando o mundo
Quoo preciso e o censo americano? De acordo com uma
avalia<;ao p6s·censo condu·
zida pelo 811m111, o censo de
1990 contou de fonna equivocada a popula~ dos Estados
Unidos: aproximadmnente 4
milh0es de pessoas a menos
do que, de fato, havia no pals.
0 censo de 19'Xl foi o primeiro
desde 1940 a ser menos preci·
so do quc seu anterior. Note
que a contagem errada para o
ce1'lSO de 2000 foi de -1,3 milhOesdc pessoas. lssosigniflCll
que o censo de 2000 contou a
popula<;i!o dos EUA para mais
1,3- milhOes.
Contagem do censo dos
EUA para menos
A''
Neste curso, veremos como o uso da estatistica pode ajuda-lo a tomar decis6es
infonnadas que afetam sua vida. Considere o censo que o governo americano realiza
a cada d&:ada. Quando reali?.a o censo, o 811rt1111 tenta contatar todos quc moram nos
Estados Unidos. Esta e uma tarefa impossivel. ~ importante que o censo seja preciso,
pois os funcionarios publicos tomam muitas deci50es baseados na informa~~o do censo. Os dados colctados no censo de 2010 indicarilo como atribuir assentos no congresso
e como distribuir recursos publicos.
I
~
~~~~~~~~~
Ramos da estatistica
0 estudo de estatlstica tem duas ramificai;oes consideraveis: estatistka descritiva e estatistica inferencial.
-1 ·1-19.1()
-1 ••l
1%0
1980
llJ(J()
Ano
Q11ais slio algumns tins dijirultlnrles ao se coletm· tlndos de 11111a
po1111tarno?
5
Ed ,e 1naaa
1
6 •
ls1a1h1i" apli<a.14
efinicao
Estatlstica desCtitiva eo ramo da estatistica que eovolve a organiza,ao. o resumo ea representa~ dos dados.
Estatistica inferencial
e o ramo da estatistica que envolve o uso de uma amostra para chegar
a condusoes sabre uma popul~o. Uma fetramenta basica no estudo da estatistica inferencial
ea probabilidade.
Exemplo
m
[statistica descritiva e inferencial
Decida qual parte do estudo representa o ramo descritivo da estatfstica. Que
conclus<les podem ser tomadas do estudo usando estatistica inferencial?
l. Uma grande amostra de homens, com 48 anos de idade, foi estudada durante 18
anos. Para os que sao solteiros, 70% ainda estavam vivos aos 65 anos. Para os caSa·
dos, 90% estavain vlvos aos65 anos. (Fms1(':T11.tf0l1r11.t1'.tiffnn1i(v l:-:t.1tt"-)
Soltelros
Casados
2. Em uma amostra dos analistas de Wall Street, a porce.ntagem dos que previram
incorretamente os lucros de empresas de alta tecnologia em um ano rromte foi de
44%.(f(lllf(; 8&....,,r:bf1g _\'(";'17';.)
Solufdo
1. A estatistica descritiva envolve afirmar;Oes tais como "Para os que sao solteiros,
70'fii ainda estavam vivos aos 65 anos'' e "Para os casados, 90';t; ainda estavam
vivos aos 65 anos." Uma i nfer~ncia possivel tirada do estudo e que o fato de ser
casado esta associado a uma vida ma is longa.
2. A parte do estudo que representa o ramo descritivo da estatistica envolve afirma·
~6escomo "a porcentagem dosque previram incorretamenteos lucros deempresas
de alta tecnologia em um ano recente era de 44%.'' Uma inferencia possivel com
bMC no cstudo e quc o mercado de a<;Qeo e diffcil de scr previsto, ate mesmo paro
os profissionais.
Uma pesquisa conduzida entre 1.017 homens e mulheres pela Corpora~ao In·
temacional de l'esquisa de Opini~o descobriu qu~ 76% das mulheres e 60%
dos homens haviam passado por exames fisicos no ano anterior. ~'"''t" Mm'<
tt..1111.)
a. ldentifique o aspecto descritivo da pesquisa.
b. Quais infe~cias podem ser retiradas com base nessa ~uisa?
Durante esse curso, voce vera aplicar;Oes em ambas as ramificar;Qes. Um tema
principal desse curso ser~ como usar os dados estatisticos amostrais para fazer infe·
~ncias sobre parfunetros populacionais desconhecidos.
Ed ,e 1naaa
1
(opftol• I
Ill
•
lotrC>dll!!O ! !'totfstko
7
Exercicios
Construindo habi!idades basicas e conceitos
19.
e1elacionada a uma popula(<lo?
Por que a amosua e mais usada do que a popula¢o?
!dados dos adu.ltos nos EUA
que possuem computador
1. Como uma amostra
2.
3. Quale a diferen;a enue parametro e dados estatisticos?
4. Quais 5ao as duas maiores tamifiu!caes da estatistic.l?
ldadesdos
adultos nos EU;I\
quepossuem
Verdadeiro ou !also?
Nos e><etdcios de 5 a 10, detemiine sea afirma¢o everdadeira
oo falsa. Se for falsa, reescreva·a de forma que seja verdadeira.
5. Um dado estatlstico e uma medida que deweve as caraaerfsti·
cas de uma popula(Ao.
6. uma amostra e um subgrupo de uma popula¢o.
7. ~ impossfvel para o Bureau que rea&zo os censos nos EUA obter
todos os dados de censo sobte a pop1Jla(<lo dos Estados Unidos.
8. A estatfstic.l inferencial envolve o uso de uma popula(<lo para
chegar a cooclusaes sobre a amostta correspondente.
9. Uma popula9\(> ea col~o de alguns 1esultados. respostas. medi¢es ou comagens que 5ao de imeresse.
1O. Apalavra estatistica deriva do latim status, que significa •estado".
Classificando um conjunto de dados
Nos e><ercicios de 11 a 16, determine se o conjumo de dados e
uma popula~o ou uma amostra. Explique.
11. Aidade de cada memb<o do Congresso dos Estados Unidos.
12. A altura de cada quana pessoa que entra em um parque de di·
vers6es.
13. Uma pesquisa com 500 espectadores de um estadio com
42.000 espectadores.
14. Os sal.!rios anuais para cada advogado em um escrit6tio.
1S. Os flivejs de colesterol de 20 paciemes em um hospital corn I00
pacientes.
16. 0 numero de te!evisores em cada resi£1cia nos Estados Unidos.
Analise grafica
Nose><erclcios de 17 a 20, use o diagrama de Venn para identifi·
car a popula~~o ea amostra.
17.
Conjunto de eleitores no
condado de Warren
~
Conjuntodc
eleitores no condado
de Warren
que respondemm
uma pesquisa
telelonica.
computadores
Dell.
20.
Renda dos pro prietarios de
im6veis 1'0 Texas
Renda dos
proprietarios de
im6veis no Texas
com hipoteca.
Usando e interpretando conceitos
ldentificando popula~oes e amostras
Nos e><ercfcios de 21 a 28, idemtifique a popu~o ea amostra.
21. Uma pesquisa com 1.000 adtJltos nos Estados Ullidos descobriu que 12% pieferern tirar ferias nos meses de in,<emo. (Fonte:
Ro<mussen Reporu.J
22. Um estudo com 33.043 oian~s na Italia foi conduzido para
encontrar uma lig~o entre anormalidades no ritmo car&co e
a sindrome de mone subita inifantil. (f""': H.w £r>glond Joumd of
Meoloi;o.)
23. Uma pesquisa em 1.906 resid&cias nos Estados Unidos descobriu que 13% tern telev~ de alta definil<Jo.
24. uma pesquisa com 1.000 usuarios de oomputadot descobnu que
I No planejam comprar o sislema operacional Microsoh Wmdows
Vista•. (Foo!c: Rasmvs.<en RifKxts.)
25. Uma pesquisa corn 1.045 eleitores descobriu que 19% acham
que a economiit P. um ;is.c;.unto importante para ~r consi<lera<lo
ao votar para o congresso. (Foore: P•n<et(l(I s"'""' Resead1 AssooOle.s
"""nol:Cllal.)
26. Uma pesquisa corn 496 estudantes de uma facuklade descobriu
que 10% planejam viajar para fora do pais durame as ferias de
primavera.
27. Uma pesquisa com 546 mulheres descobriu que mais de 56%
~o o investiOO< prim.lrio em suas residencias. (Map:orlo de:~
18.
Alunos graduados na
Universid;ide Cald\vell
Alunos
graduado$ na
universidade
C.1ldwell
queestudam
estc1tlstica.
>r<>dl YA:rif•ttfe l01 k1',,.l)
28. Uma pesquisa corn 791 pessoas que estao saindo de ferias nos
Estados Unidos planejam gastar pelo menos US$ 2.000 nas pt<r
ximas ferias.
Distinguindo entre um par ametro e uma estatistica
Nos e><etcicios de 29 a 36, detE<mine se O valor r>.m~rico eum
parameuo ou uma estatisUca. Explique seu racioclnio.
Ed ,e 1naaa
1
29.
Am~
(a) ldentifique a amosua usada na pesquisa.
dos sa!Ari05 anuais para 35 dos 1.200 contadotes de
uma empresa e de $ 68.000.
30. Na pesquisa de uma amostra de estudantes de ensino medic,
43% disseram que as maes foram as responsAveis por lhes ensi·
nat corno lidar com o d nhetco. tfonre-: HrJtris PcB c.-&mc()lpcttJtcd.)
'°'
31. Sessenta e dois dos 97 passageirosa bordo da aero0<1ve Hinder·
burg sobreviveiam asua explosao.
(b) Qua! ea popula¢o da amowa?
40. Falla de sono Em um estudo recente, voluntJnos que dormiram 8 horas em uma noite eiam ues vezes mais capazes de
responder coueiamente as questoes de um teste de matemAtica
em rela>ao aqueles que niio tiveram horas de sono suficientes.
(FOf>te· CBS Nw~)
32. Em janeiro de 2007, 44% dos g<:Ne1TI<Jdores dos 50 estados none·
'i!mericanos e<am repubficanos.
(a) ldentifique a amosua usada no eSludo.
33. Na pesquisa de uma amosua de usu~rios de compuiador, 8%
disseram que seus compuiadores tinham mau funcionamento e
precisariam de rep<iros t&nicos.
(c) Que pane do estudo representa o ramo descri1ivo da esta·
tlstica?
34. Em um ano recente, a categoria de interesse para 12% de todas
as reviSlas foi espones. (Foo:e: oxtndr}t Comm"""'""")
35. Em uma pesquisa recente oom 1.503 adultos nos ES!ados Uni·
dos, 53% disseram que usam tanto uma linha fixa quanto o 1elefone celular. (fotw: Pe"' R('flM(dl Ctnrer.)
36. Num ano recerne, a nota media de matemAtka para todos os
graduandos no NJ era 21,1. (/~.:Act Ille)
37. Qua! pane da pesquisa descrita no Exe<cfcio 27 rep<esenta o
ramo descritivo da esiatistica? F3¥1 uma infeiencia oom base nos
resultados da pesquisa.
38. Qua! parte da pesquisa descrita no Exercfcio 28 represenla o
ramo descritivo da estatistica? FayJ uma inferencia oom base nos
resu!tados da pesquisa.
(b) Qua! era a popula,ao da amostra?
(d) Fa91 uma inleie.1cia com base nos resultados do estudo.
41. Morar na Florida Um estudo roostra que os cida~os mais velhos que vivem na Fl6rida t~m melhor mern6ria do que aqueles
que nao vivem na fl6rida.
(a) Fa91 uma infere<icia com base nos resultados do estudo.
(b) 0 que ha de errado com esse tipo de racioc>io?
42. Aumento no indice de obesidade Um estudo mOSlra qoe o
fndice de obesidade entre meninO<S com idades entre 2 e 19 anos
aumentou nos ultimas anos. (fo111c. <117.sllrigron R>SL)
(a) Fa91 uma infe.bicia com base nos resultados do estudo.
(b) 0 que ha de errado com esse tipo de raciodnio?
43.
Reda~o Esaeva um ensaio sobre a importAncid da estatfstica
para o que vem a seguir:
(a) Um estudo sobre a efic.lcia die uma nova dtoga.
Expandindo conceitos
(b) Uma analise de um processo de fabrica"1o.
39. ldentificando conjuntos de dados em anigos Encontre um
arligo de jomal ou revisia que desae\lil uma pesquisa.
lfl
(c) Chegar a conclusaes sob<e as opiniOes de eleitores usando
pesquisas.
(lassifica~ao dos dados
0quevoce
deve aprender
• Como distinguir eoue dados qualitativos equantitati'los.
• Como classificar dados em rela(30 aos 4 niveis de mensura(.lo:
nominal. ordinal, inteMlar ou
racional
Tipos de dados-+ Niveis de mensura1.lo
I
Tipos de dados
e
Quando l'i'alizamos um estudo, importante saber o tipo de dados envolvido.
A natu.reza dos dados com os quais estamos trabaJhando <ieterminar~ quaJ procedimento estatistico pode ser usado. Nesta ~ao. voce aprender~ a classificar dados por
tipo e rlivel de mensur~o. Os conjuntos de dados podem ser do tipo qunlitntivo e
qumrtitntivo.
Definicao
Dados qualitativos consistem de auibutos, r6tulos ou entradas ni!o numericas.
Dados quantitativos consistem de medidas numericas ou contagens.
Ed 1t 1naaa
1
{apltslo I
Exemplo
•
latrodocao l ~latllli<a
m
Classlficando dados por tipo
Os pre~s·base para diversos vefct1los s..io apresentados na tabela a seguir. Quais
dados &io qualilalivos e quais sao quanlilalivos? Explique seu raciodnio.
(fo1>1t:
H>1d
.\lofcvG>1npn1151-)
Modelo
Pre~o-base
Fusion 14 S
s 17.795
F·ISOXL
s 18.710
five Hundred SEL
$23.785
Escape x1:r Sport
s 24.575
2007 Explorer Sport
'lrac Limited
s 26.775
Fn.><-star SEL
$ 27.500
Cro,\•n Victoria LX
s 28.830
Expedilion x1;r
$3-'i.480
Sol11fiiO
A informa<;ao moslrada na labela pode ser separada em doisconjunlos de dados.
Um grupo conlem os nomes dos modelos de vefculos e o outro conlem os pre<;os·base
para os modelos. Os nomes sao entradas nao numfricas, porlanlo, s.10 dados qualitahivos. Os pre<;os sao entradas numericas, porlanlo, silo dados quanlitativos.
Tente
As popula<;Oes de diversas cidades norle-americanas sao apresenladas na ta-
vocf bela. Quais dados s.'io qualilativos e quais sllo quantitativos? ~r.111c 115 '""''"
1
811rm11.}
a. ldentifique os conleudos de c.1da conjunlos de dados.
b. Deddasecada conjuntodedadosconsisteem entradas numericas ou naonumeric.is.
c. Especifique os dados qualitativos e os quanlilalivos.
I
Hiveis de mensura(ao
Outra caracterislica de dados e o nivel de mensura<;ao. 0 nivel de mensura<;ao
delennina quais ~lculos eslalislicos s.io significanles. Os qualro niveis de medida, em
ordem do mais baixo para o mais alto, sao 11omi11nl, ordi11nl, i11ter1111/nr e mcio11nl.
efini(ao
Dados no nivel nominal de mensura~ao sao apenas qualitativos. Dados neste nivel podem ser
categorizados usandCHe nomes, r6tulos ou qualidades. NAo sao realizados ~lculos mate~ticos
neste nivel.
Dados no nfvel ordinal de mensura~o sac> qualitativos ou quantitativos. Dados neste nfvel
podem ser organizados em ordem ou posi~o. mas as difere~ entre as entradas de dados
niio sAo signifocantes.
Cidade
Popula~io
Ocveland, OH
D~tnoit Ml
Houston, TX
2.016.582
Las Vegas, NV
545.147
Portland, OR
533.427
Topeka, KS
121.946
452.208
886.671
9
Ed ,e 1naaa
1
J0 •
utatk\ica •Pli<1d•
Exemplo OJ
lmportante
Quando numecos est1io no
nfvel nominal de mensura·
~do, eles si1nplesnlente repre-
s.entam um r6tulo. Exemplos
de numeros usados como
rotulos induem 0 numero do
seguro social e os numeros
nos uniformes esportivos.
Por exemplo, nao faria sen·
lido somar os numeros dos
uniformes dos Ghkago Bears
(time de futebol americano).
(!assificando dados por nlve!
A seguir temos dois conjuntos de dados. Que conji.~nto de dados consiste e1n
dados no nfvel nominal? Que conj unto de dados consiste em dados no nivel ordinal?
Explique. (f()ntt; .\':rl~n .\kdm R.e~1clr.)
Os cinco programas de TV mais
assislidos (de 12/02/21J07a18/02f2007)
1. AmericJn Idol -
2. American Idol -quarta·foira
3. Grey's anatomy
4. House
S. CSI
:
-
~l'!'AE
(ABQ
WPXI (NBQ
KOKA (CBS)
Wl'GH (f-OX)
-
Retratando o mundo
No comew de 2007, a revista
Forbes escolheu as 25 melho·
res cidades a111eriau1as para se
conseguir u111 emprego. Para
fonnar as posit;Oes, a f-orbes
usou cinco pontos de dados:
indice de desemprego, cresci·
mento de vagas, awnento de
renda, renda domestica media
e custo de vida. Os dados de
m">Sciniento foran' entao n1e-.
didos nas 100 maiores areas
metropolitanas de 2003 a 2005.
{ft•riff; f1wM..)
Sol11fao
0 primeiro co1~unto de dados lista a posi<;llo de cinco programas de 'JV. Os da·
dos consistem das posi~iies 1, 2, 3, 4 e 5. Em razao de as posi~des poderem ser listadas
em ordem, esses dados eslao no nfvel ordinal. Note que a diforenr;a entre uma posi~ao
I e 5 nao tem significado matem~tico. 0 segundo grupo consiste das siglas de cada
afiliada de rede de Pittsburg. As siglas simplesmente nomeiam as afiliadas, entaoesses
dados estio no nivel nominal.
en
"t
1.
2.
a.
b.
Considere o conjunto de dados a seguir. Para cada grupo, decida se os dados
estao no nfvel nominal ou ordinal.
As posio;Oes finais para a Divisllo do Pacifico da NBA.
Uma col~ao de m1meros de telefone.
ltle11tifiq11e o que cada conj unto de dados representa.
Especifique o nflll'I tie mens11m{no e justifique sua resposea.
Rl'i'~'''
Cinco melhores cidades para
se obter emprego
Raleigh-Cory, NC
""I'· A.12
efini {~o
jack.<c>nvitle, FL
Ortando-Kissimmoc, FL
Washington·ArlingtonAlexandria, DC-VA·MD·IVV
Nl'Sta lista, qua/
ter~a-feira
Afiliadas das redes em
Pittsburg. PA
e o 11fvel tie
Dados no nivel de mensura~ao intervalar podem ser ordenados e voce pode calcular diferenc;as significativas entre as entradas de dados. No nivel intervalar, um regislro nulo simplesmente
representa uma posiy'io em uma escala; a entrada nao eum zero inerenie.
Dados no nivel de mensura~ao racional sao similares aos dados no nivel intervalar, com uma
propriedade adicionada: neste nivel, um registro nulo e um zero inerente. Uma ra~o de dois
vafores de dados pode ser f01111ada de modo que um valor de dado possa ser significativamente
expresso como o muftiplo de outro.
111e11s11rn{ifo?
Um w·o i11ere11te e um zero que significa "nada". Por exemplo, a quantia de dinheiro que vo& tern em sua poupan¥1 pode ser zero d61ares. Neste caso, o zero represenla nenhum dinhciro; eum zero inerente. Por outro lado, a temperatura de 0 •c nao
representa uma condic;lio no qual o aquecimento nao est~ presente. A temperatura de
0 ''C simplesmente representa uma posi<;llo na escala Celsius; nao ewn zero inerente.
Ed ,e 1naaa
1
(apitulo I
Para distinguir entre dados no nfvel intervalar e no nfvel racional, determine sea
expressao "du as vezes mais" tem algum sentido no contexto dos dados. Por exemplo,
S2 edu as vezes mais que $ J, en tao estes dados estlio no nfvel racional. Por outro !ado,
2 "C niio eduas vezes mais quente que 1 "C. entlioesses dados estao no nivel intervalar.
Exemplo
m
Classlficando dados por nlvel
Temos dois conjuntos de dados. Qua) conjunto de dadosesta no nfvel interva.lar?
Qual conjunto de dados esta no nrvel racional? Explique. (f<>mr. .1&1pr /.Mgu" li<M111/J.l
Sol11pio
Ambos os conjuntos de dados contem dados quantitativos. Considere as datas
das vit6rias dos Yankees na serie mundial. Faz sentido encontrar difereni;as entre dados espedficos. Por exemplo, o tempo entre a primeira ea ultima vit6ria dos Yankees e
2000 - 1923 =77 anos.
Mas niio faz sentido dizer que um ano e multiplo do outro. Entiio, esses dados
estao no nfvel intervalar. Usando o total de /10111e ru11s•, podemos encontrar diferen\as
e escrever razoes. Com base nos dados, podemos ver que o Detroit alingiu 31 lwmcrml$
a mais do que oSealtle, e que o Chicago atingiu duas vezes mais do que o Kansas City.
Enlao, esses dados est.10 no nfvel racional.
._v • 1. A temperatura corporal (em grnus Fahrenheit) de um allela duranle uma
sessiio de exercfcios.
Z. Os Indices cardfacos (em batidas por minuto) de um alleta durante uma sessao de
exercfcios.
a. ld1mtifiq11e o que cada conjunto de dados representa.
b. Especifique o 11(ve/ de 111ens11ra¢0 e juslifique sua resposta.
As tabelas a seguir resumem quais opera~ s.'io significativas em cada um dos
q uatro nfveis de mensura\lio. Quando identificar o nfvel de mensura<;ao do conjunto
de dados, use o nfvel mais alto que for adequado.
Oetenninar se
Cttegorizar os
dados
Ordenaros
dados
Submiros
v;llores dos
dados
Nonlinal
Sinl
Nao
Nao
Ordinal
lnt<!rvalar
Sim
Si1n
Nao
Sim
Sinl
Sim
Nao
Racional
Sim
Sinl
Sinl
Sim
Nive.I de
mensura~io
u.m valor de
dado emUJtiplo
de outro
Nao
N.\o
•
ln11odu<IO ! ~tatflli<•
Vi t6rias do New York Yankees
na sfrie mundial (anos)
1923, 1927, 1928, 1932, 1936, 1937,
1938, 1939, 1941, 1943, 19~7, 19~9,
1950, 1951, 1952. 1953, 1956, 1958,
1961, 1962. 1977, 1978, 19%, 1998,
1999, 2000.
Totais de /Jome mus• da Liga
Americana em 2006 (por time)
8.ill.i more
'164
Bosto n
192
Chicago
236
Ocvcland
196
Detroit
203
Kans.is City
124
losAngcles
159
lvlinncsota
143
Nova lorque
210
01\k~and
175
Seattle
in
Tampa Bay
190
Texas
183
Toro:nto
199
II
Ed ,e 1naaa
1
Resumo dos quatro nlveis de mensura~ao
Nivel nominal (dados qualitativos)
Exemplo de conjunto de dados
Tipos de J1uts.icn lomdn por 111110 tstn~bo dr rlidio
P<>r cxc1nplo. tuna nlilSica tocOOa
pclu r.ldio podc.rfo scr colocada
en1 uina das qu3tro catcsorias
Pop
Rock modcmo
Jw. contcn1porunco
Hin hoo
Ni vel ordinal (dados qualitativos ou
quantitativos)
C.11,culos significativos
C-0toqut e111 11111n catrgorin
IUO$tradas.
C/.,,ificardo de JiImes pe/o 1lssociorAo de Clo<>ijim¢o
Ci11.,11atogrrifico dos El/A
Coloque e11111111a categm·l" e
orde1'1e.
Po.r cxetnp.fo. un 13 elassifitac;OO
G Geneml 1l11dienct!s (Livre para todos os pUblicos)
PG h~n1 tun3 restri~lo 1naior 00
PG Plm:ntal Guido11cc Sttg;.'fsted (Sugere-5'? aoompanha1nc1110
quc uma classifica~;lo G.
dos pais)
PG· 13 Parents Strongly Cau1ic:>11e~I (1\ oon1panha1ncn10 dos pais
Cn1uito OCttSS.irio)
R Re,,,ictetl (Rcstrito)
NC-1 7 - 1Vo One Under J7Adntiltfd (Proibido par.i mcnorcs
de 17 anos)
Coloqut t•11111111a cotegorit1, ort.ktN!
Nivel intervaJ;ir (dados quantitativos) Tt•111pcrat11m 111fdia 111e11~l (cut gmus Fa/ire11l1eit) pnrn
Sacra111e11to, CA
Jan
46,3 Jul
Fcv
Mar
51,2
54.S
Abril 58.9
Maio 65.S
71.5
Jun
Ago
Set
Out
Nov
l)cz
... e1tc01ttre as difertt1ft1S eiure QS
75,4
74.8
71.7
64.4
53.3
45.8
\'(1/()11!.$,
Por ~xcmplo. 71.5-65.S • 6 'F.
EnUlo.junOO e6fl 1113.is quenlc
quc 1naio.
(f41J1fl': Nntii.mnJ Cli11m/1( Dnhl Ct111t•r.)
Nivel raciona.1 (dados quantitativos)
PnYipitn\ilO ltll~tUn 111e11sol (t.>111 polegadlf'S) para Sncra11ll'lllo, C1'\ Coloqtte e11111111n categorin, orde11e,
3,8 Jul 0.1
e11coulrt as difen._•11\0S e11lre os
Fcv 3.S Ago 0.1
valo~ ee11co11trc a raZtfc do$
Mar 2.8 Set 0.4
Vt1lc"".
Porexemplo, 1,0/0,5 ~ 2.
Abril 1.0 Out 0.9
Maio 0.5 NQv 2,2
Entao~ hj duas ve7.es nlais
Jun 0,2 (le1. 2,5
chuva c1n abril do que em
(fMtc: ,\ 'mrt11rol ("/1mar1c Dora C't>mcr. 1
maio.
Jan
Ill
Exercicios
Construindo habi!idades basicas e conceitos
I. Nomeie ccda nlvel de mensur~ para os dados que podem
ser qualitalivo5.
2. Nomeie ccda nivel de mensura<;ao para os dados que podem ser
quantitativos.
Verdadeiro ou falso?
Nos exercfcios de 3 a 6, determine sea afirma~ao everdadeira ou
falsa. Se f0< falsa, reesaeva·a de fomia que seja verdadeira.
3. Dados no nivel o«fmal sao someme quantitativos.
4. Para os dados no !Wei intervalar, voe~ ll<lo pode cclcular diferen·
~s significctivas.
5. Mais tipos de C<llculos poclem ses reafizados com dados no nivel
nominal do que oom dados no nive1 inteNalar.
6. Dados no nivel racional nao poclem ser ordenados.
Classificando dados por tipo
Nos exercicios de 7 a 12, determine se os dados s.lo qualitativos
au -iuantitativos.
7.
8.
9.
10.
Os numeros de telefones em uma lista telef6nicc.
As temperaturas diarias mais altas para o mes de julho.
As durai;Oes de musiccs em um MP3 player.
Os mimeros dos jogad0<es de umt time de futebol.
11. R"'f'O'taS em uma ~de O(lini)o
12. Me<fldas da press.lo arterial &ast61icc.
Us.indo e interpretando conceitos
Classificando dados por nivel
Nos exerdcios de 13 a 18, determine se os dados sao qualitativos
ou quantitativos e identifique o nfvel de mensur~. Explique.
13. Fulebol americano Os cinco maiores times na ultima pesquisa
S<Jbre times universitarios estao 6stados a seguir. (f'<We: /.MlxYJred
,
.......
I. A6rida 2. Ohio State 3. LSU 4. USC 5. Boise Stale
14. Polftica Os tres partidos politicos no 1100 Coogresso estao lis·
tados a seguir.
Republicano Democrata lndependente
Ed ,e 1naaa
1
C.pfi•l• I
15. Melhores vendedores A regioo representando o melhor ven·
Nordeste
Sudoeste
13
Perlil de genero no llll' Congresso
Nordesle
Sudoeste
l()CJ -
EAM ~ 300 -
16. Comprimento de peixes liStamos os comprimentos (em po-
~
legadas) para uma amostra de robalos pescados em aguas de
Maryland (/doprodor1': Nanoom Marine Hshf!tlfS-._ ,_Sia/JS·
(;($ Olld
ln11odO(!O !fsoa1fllica
21.
dedor de uma emp<esa nos ultimas seis anos.
Sudeste
Sudeste
•
z
200 + - - -
100 -i-- -.---.
l
I
'---""~-'--.I-~"--·~
Ea:lnOllllCS 0.;!SiM)
lloiulhe r
16 17,25 19 18,75 21 20,3 19,8 24 21,82
Homcnt
G~ncro
17. Lista de best-sellers Os cinco livros de fi~o de G<Jpa dura da
lista dos mais vendidos do New York Times de 21 de fevereiro de
2007 estao listados a seguir. (For.lo: The 11w1 II>* r,,,.,,J
1. Step on a Crack 2. Flum Lovin' 3. Natural Born Charmer
4. High Profile
5. H.innibal Rising
18. Pre~os dos ingressos 0 pr~o mMio dos ing1essos pa1a dez
conce<tos de rock em 2005 est.l listado a seguir. (Fome.· The 11.,,,
22.
lmpostos estaduais oeoletados por ano
\\Y<f""'5.)
S 134 $104 S55 $63 S76 S38 $35 $81 S47 S97
Analise grafica
Nos exercfcios de 19 a 22, identifique o nlvel de mensura~o dos
dados ~Slados no eixo horizontal dos grafteos.
19.
0 aquecimenlo global contribui
para El Nii\os mais severos?
200 I :1lxr.? 2003 :!rot 2005
Ano
(/001c: U.S. CerlM Bf/,_)
23. Os dados a seguir aparecem em uma ficha de admis~ em um
consult6rio medico. ldentifique <> nf,oel de menSUtatAo dos dados
(a} Tempe<atura
(b) Alergias
(c) Peso
(d) Nlvel de dor (escala de oa 10}
24. Os dados a seguir aparecem em uma ficha para emprego. ldenti·
fique o nlvel de mensura~o dos dados.
(a) Gradua~o maxima atingida
(b)
(c} Ano de g1adua~o universitAria
(d) Numero de anos perrnaneOdos no ultimo emprego
me
(Fame: Yoolelmsh kx
NaJional Res;vese"otoes Sc.iM<'e Fwndot"""
Ame<Kon A'.et..roh!/ :of SOO..y)
20.
Ml!dia de nevascas em
janeiro para 15 cidades
3
5
7
9
II
Ne\ 3.'>ca.oi (em p0iegada.<o)
1
(Fon:.: Nar<;nal Omaoc Cenior.)
G~ero
Expandindo conceitos
Reda~•o 0 que e um zero inetente? Desaeva tres exemplos
de cor4untos de dados que contenham um zero inetente e tres
exemplos que n<o contenham.
26. Reda~<o Desaeva dois exemplos de conjuntos de dados para
cada un dos quatro nfveis de mensura~o. Justifique sua res·
pasta.
25.
Ed ,e 1naaa
1
14 • C>iatktkaapll"da
Estudo de caso
Classificando os programas de TV nos Estados Uni dos
O grupo Nielsen Media Research dassiftca os prog1amas de 1V nos Estados Unidos M
mais de 50 anos. Ele utifi24 <five<sos proc;edimentos amosuais, mas. o principal ~ o rastreamento
dos padraes de audieicia de I 0.000 residencias. Essas c:on1~m rnais de 30.000 pessoas e sao
escolhidls de modo a foimar uma amostragem representativa da pop~o getal. N; residencias
represemam <fiversas 1001ridades, grupos ~tnicos e de renda. Os dados reunidos da amostra de
10.000 resid~ncias pela Nielsen sao usados para descrever infei~ncias sobre a popula,ao
de todas as residendas nos Estados Unidos.
Programas de TV vistos por todas as
residi!ncias nos Est.dos Unidos (111,4 milhOes)
Programas de TV
vistos pe:.la amostra
da Nielsen
(10.000 residencias)
Programas mais vistos no hor.irio nobre na semana de 12/02/2007 a 18/02/2007
Posi~io
Posi1ao
na
Nome do programa
semana
Canal
Diae
hor.lrio
Oassifie<1~ao
de audifncia
Share
Audienci-a
25
24
19.35-1.000
18.().15.000
17.809.000
16.469.000
15.323.000
14.093.000
13.060.000
11.167.000
11.099.000
10.909.000
anterior
American Idol - terca-feira
American Idol - auatta-fcira
FOX
FOX
I
l
2
3
2
3
Grey's anatomy
ABC
·1er, 20h
Quar, 21h
Qui.2th
4
4
Hou~
FOX
T~.2lh
5
6
7
8
9
JO
5
7
8
10
8
17
($1
CSI: ~·lianli
CBS
CBS
Oesnrrate House\vivc.'S
1\BC
Deal or No deaJ - ~unda- fcira
Two and a Half Men
Shark
NBC
CBS
CBS
Qui, 21h
'""' 22h
Dom, 2lh
Se•. 20h
...... 2Jh
Qui,22h
17,4
16,2
16,0
14,ll
13,S
12,7
11,7
10,0
10,0
9,8
23
22
20
21
18
15
14
16
Exercicios
Pontos de audiencia Cada ponto de dassifica~o representa 1.114.000 res~cias, ou
l<!O das residencias nos Est.idos Unidos. Um programa com classifica~o de 8,4 tetn
duas vezes mais o numero de resicMndas do que um progr:ama com 4,2? Explique seu
raciocinio.
2. Porcentagem amostral Qual porcentagem do numero total de resid~ncias americanas foi
uSdda na amostra da Nielsen?
3. Nfvel nominal de mensura~o Quais colunas na tabela 00<1tem dados no nfvel nominal?
4. Nivel ordinal de mensura~ao Quais colunas na tabela comOO\ dados no nfvel ordinal?
Descreva duas maneiras nas quais os dados podem set orderudos.
t.
Ed ,e 1naaa
1
(apftolo I
•
lnirodll(!O ! ""'k1ka
15
5. Nivel intervalar de mensura<;ao Q\Jais colunas na tabela contem dados no nivel interva·
tar? Como podemos ordenar esses dados? Qual ~a unidade de medi<;ao para a diferen,a
de duas entradas no conjunto de dados?
6.
Nivel racional de m ensura~o Quais trk cofunas cont~ dados no nivel racionaP.
7.
Share A coltm listada como ·share· fornece a porcen1<1gem de 1Vs em uso em certo
momento. A classifica<;ao da Nielsen e feita po< meio de audiencia ou share> E"lllique
seu raciocinio.
8.
lnferencias Quais decisOes (inferencias) podem ser tomadas com base na dassi~o
da Nielsen?
Ill
Planejamento experimental
Planejamento de um estudo estatistico --+ Coleta de dados --+ Planejamento
experimental - > Tecnicas de amostraqem
I Planejamento de um estudo estatistico
0 objetivo de todo estudo estatfstico ecoletar dados e entao usa·los para tomar
uma decis.io. Qualquer decisiio que seja tomada usando os resultados de um estudo
estatfstico sera tao boa quanto o processo utilizado para obteny'\o desses dados. Seo
processo liver lalhas, entao a decis.io resultante sera questionavel.
Embora voe~ possa nunca desenvolver um estudo estatistico, e provavel que
toenha que interprel<lr os resultados de um. E antes disso, deve-se determinar se os
resultados s.'\o validos. Em outras palavras, devemos estar familiarizados com a forma
de se planejar um estudo estatfstico.
lnstru(oes
Planejando um estudo estatistico
0 que voce
deve ilprender
• Como planejar um estudo estalistico.
• Coolo colelar dados fazendo um
estudo obsefV3Cio113l reafizando
um experimento, usando ~mula­
~ ou usando uma pesquisa.
• Como p~nejar um expErimento.
• Coolo a~r uma amostra usando
amosttagem aleatoria, amosttagem aleat6ria simples, amosttagem estratificada, amostragem
por agrupame11to e amostragem
sistematica. e como OOitificar
uma amostra tendencio.sa.
1. Jdentifiquea variavel (as variaveis) de interesse (foco)e a popula~aodo estudo.
2. Desenvolva um piano detalhado para a coleta de dados.Se usar uma amostra,
tenha certeza de que a amostra representa a popula~ao.
3. Colete os dados.
4. Descreva os dados usando tecnicas de estatfstica descritiva.
5. lnterprete os dados e tome as decis6es sobre a populaijlio usando estatistica
infen:ncial.
6. ldentifique quaisquer erros posslveis.
lmportante
I Coleta de dados
Ha varias maneiras de se coletar dados. Frcquentemente, o foco do estudo deter·
mina a melhor maneira de fazer a coleta. A seguir, temos um breve resumo de quatro
rn~todos de coleta de dados.
• Fafa um estudo observacioual Em um esh1do observaciounl, um pesquis.1dor
observa e mede as caracteristicas de interesse de parte de uma popula~ao, mas
nao muda as condi.,WS existentes. l'or exemplo, foi realizado um cstudo obser·
vacional no qual os pt.>Squisadores observaram e registraram o comportamento
oral com objetos nao alimentfcios de crian~s acima de 3 anos de idade. (r..11..:
P1vfiotri('. .\ fo})'tll11Ji>.)
A diferen~a entre llm estudo
observacional e um experi·
mento e que, em um estudo
observacional, o pesquisador
nao inlluencia as respostas,
enquanto que em um expe·
rimento, um pesquisador
deliberadamente aplica um
tra ramento antes de observar
as ·respostas.
Ed ,e 1naaa
1
16 •
u1ttllti<,.plicado
-
[~
A organiz.~'lo Gallup oonduz
muitas pesquisas sobre o presidente, o oongressoe aS&mtos
polftioos e nllo polmcos. Uma
pesquisa Gallup comumente
citada e o fndice de aprovas;i;o publica do presidente. Por
exemplo, os indices de aprova~'lo para o Presidente George
W. Busl\ de 2005 a 2007, slio
mostrados no grafioo a seguir.
(Os Indices siio da primeira
pesquisa conduzida em janeiro de cada ano.)
indice de aprova~ao
do presidente, 200!>-2007
~
>
70 60
n
50
ec..
.g
E
52
-• J
"" --
,.11..
-
""
"1' 20 -£
1'.,
c
JO
~
200;
2006 2001
Ano
Discula alg1111u1s 111n11eiras
tlll'$
qunis " Gnll11p poderin sefocio,,nr 11111n n111ostm teutieucio:il1
I"'"' co11d11zir a pesq11isn. Como
tr Gnl/11p poderin sdecimrnr 11111a
m11ostm q11e11ifo sefrr te111ie11ri<>sn?
• Realize 11111 experimeuto Ao realizar um experi111t11to, um trata111t11to e apli-
cado em uma parte da popula~ilo e as respostas silo observadas. Outra parte
da popula\<io pode ser usada como grupo de controle, no qual nenhum tratamento eaplicado. Em muitos casos, indivfduos (as vezes chamados de unidat.lt:.s exV'!'rinu:ntais) <lo gruJJO tie <..\J1 1lrole n..'C..'\.:of.Je111 phu.::t:bos, u111ln1h1111CtllO 11Jo
medicamentoso e que nao causa danos, foito para parecer o tratamento real. As
respostas do grupo de tratamento e do grupo de controle podem ser comparadas e estudadas. Por exemplo, loi realizado um experimento no qual diabeticos
tomaram extrato de canela diariamente enquanto o grupode controle nlio tomou
nada. D;?pois de 40 dias, os diabelicos que tomaram o extrato de canela reduziram seu risco de problem as cardfacos, enquanto o grupo de controle nao experimentou mudan~as. (fmrtr: Dm!r<t<> '""·)
• Use 11111a si11111laftio Uma simula~iio eo uso de um modelo matematico ou ffsico para reproduzir as condi~Oes de uma situa~o ou processo. A coleta de dados
frequentemente envolve o uso de computadores. As simula~Oes pennitem que
voce estude situa~ que s.io impraticaveis ou mesmo perigosas para serem
criadas na vida real, e frequentemente economizam tempo e dinheiro. Por exemplo, os fobricantes de autom6veis us.1m simula~Oes com bonecos para estudar os
efeitos das batidas em humanos. Durante a leitura deste livro, voce tera a oportunidade de usar npl'lets que simulam os processos eslatisticos em computador.
• Use 11111 leva11ta111t11to 011 pesquisa de mtrcado Um levantamento ou pesquisa
de mercado e uma investiga~1io de uma ou mais caracterfsticas de uma popula~l\o. Mais frequentemente, essas pesquisas s1io conduzidas com pessoas, por meio
de perguntas feitas a elas. Os tipos mais comuns de levantamento s.1o realizados
por meio de entrevistas, correio ou telefone. Ao plantjar esse tipo de pesquisa, e
importante escolher bem as perguntas para nao obter resultados tendenciosos.
!'or exemplo, uma pesquis.1 eoonduzida em uma amostra de medicos do sexo
feminino para determinar se o argumento principal para a escolha profissional
ea estabilidade financeira. Ao planejar uma pesquisa, seria aceitavel fazer uma
lista de razOese perguntar a cada indiv(duo na a1nostra para selecionar sua pri ~
1neira esco1ha.
Exemplo
m
Oe<idindo o metodo de co!eta de dados
Considere os estudos estatisticos a seguir. Qual metod.o de sele\<io de dados voce
usaria para coletar os dados para cada estudo? Explique seu raciodnio.
1. Um estudo do efeito da mudan<;a dos pad roes de voo no numero de acidentes com
aviOes.
2. Umestudo dos efeitosda ingest1iode farinha de aveia na redu~o de press1ioarterial.
3. Um estudo sobre como alunos da quarta sene resolvem um quebra·c:a~a.
4. Um estudo sobre os indices de aprova~ao presidencial com os residentes nos Estados Unidos.
Sol11pio
1. Por ser in1possfvel criar essa situa~5o, use si1nulac;3o.
2. Neste estudo, voce quer medir o efeito que um tratame11to (ingeshio de aveia) tem
nos pacientes. Entao, voce deve realizar um experimento.
3. Como voce quer observar e medir certas c:aractensticas de parte de uma popula\<iO, voe\! poderia fazer um estudo observacional.
4. Voce poderia us.1r uma pesquisa para perguntar "Voce aprova a mancira pela qua I
o presidente esta lidando com o cargo?".
Ed ,e 1naaa
1
(1pltulo I
ente
"1
•
lnuodu<ac> ! e11<1!11io
17
Considere os estudos estatisticos a seguir. Qual metodo de coleta de dados
voce usaria para Cada estudo?
t. Um estudo sobre os efeitos dosexercicios no alivio da depressao.
2. Un' estudo do sucesso de graduandos de urna grande un.iversidade pa1a enoontrar
um emprego durante o primeiro ano da gradua\iio.
a. ldentifique o faco do estudo.
b. ldentifique a pop111nr1W do estudo.
c. Escolha um m~torlo apropriado para a cnletn de dados.
I
Planejamento experimental
Para produzir resultados significativos e n~o tendenciosos, os experimentos de·
vem ser cuidadosamente planejados e executados. i;: importante saber quais passos
devem ser realizados para que os resultados sejam v~lidos. Tn'!s elementos-<:have de
um experimento bem planejado sao co11trole, nlentoriZll(t!O e replicn(/To.
Em ratiio do fato de que os resultados podem ser arruinados por uma variedade
de fatores, a capacidade de co11trolnr esses fatores de influencia e importante. Um desses fatores e11111n vnrilfvel co11fo1111di11g.
Uma variilvel confounding ocorre quando umpesquisador ~o pode dizer a diferen'3 entre os
efeitos de d~erentes fatores em uma variavel.
Por exemplo, para atrair mais consumidores, o dono de uma cafeteria faz um
experimento reformando a loja e usando cores vibrantes. Ao mesmo tempo, um shopping center da regiao realiza sua grande inaugurao;ao. Se os neg6cios aumentarem na
cafeteria, n.io podemos deterrninar se isso ocorreu por causa das novas cores ou por
causa do novo shopping perto da cafeteria. Os efeitos das cores e do shopping center
s.econfundem.
Outro fator que pode afetar os resulladosexperimentaise o efeito placebo. 0 efeito
placebo ocorre quando um sujeito reage favoravelmente a um placebo quando, de
foto, ele(a) nilo recebeu tratamento mcdicamentoso nenhum. Para ajudar a oontrolar
ou minimizar o efeito placebo, uma tecnica chamada cega pode ser usada.
D.efinicao
A tecnica cega e uma tecnica na qual o sujeito nao sabe se es~ recebendo tratamento ou
placebo. Em um experimento duplamente cego (double-blind), nem o sujeito nem opesquisador sabem se o sujeito estil recebendo tratamento ou placebo. 0 pesquisador einformado depois que todos os dados forem colerados. Este tipo de p!anejamenro experimental eo
preferido pelos pesquisadores.
Outrn tecnica que pode ser usada para obter resultados imparciaise a nlentoriZll(/To.
efinicao
Aleatoriza~3o e o processo de se designar sujeitos aleatoriamente para diferemes grupos de
uatamento.
lmportante
-111~~~~~~~~~-
o efeito Hawthorne ocorre
em um experimento quando
ossujeitos mudam o comportamento simplesmente porque sabem que est5o participando de um experimento.
Ed ,e 1naaa
1
Planejamento de
blocos aleat6rios
Em um planejamento completamente aleat6rio, os sujeitos Silo designados para
diforentes grupos de tratamento por meio da sele~ao aleat&ia. Em alguns experimentos. pode ser necessario usar blocos, que sao grupos de sujeitos com caracterrsticas similares. Um planeja.mento experimental comumente usado eo planejamento de blol':OS alet'll61'iOS. p()fa se U:)c;)f urn plcl1lejdJrtelllO de bJCK.-OS d_
1etll6tiO$, voce deve divid(t
sujeitos com caracterfsticas similares em blocos e, entao, designa-los aleatoriamente
para os grupos. Por exemplo, um pesquisador que esta testando os efeitos de uma
nova bebida para perda de peso pode, primeiramente, diviclirossujeitosem categorias
de idade, tais como 30 a 39 anos, 40a 49 anose acima de SO anos. Entao, dentro de cad a
grupo de idade, designar aleatoriamenteos sujeitos ou para o gm po de tratamento ou
para o gmpo de controle, conforme mostrado.
Outro tipo de planejamcnto experimental eo planejamento de pares combina·
dos, noqualossujeitoss.'locolocadosem pares de acordocom a similaridade. Um sujeito
no par e a!Mtoriamente selecionado para receber o tratamento e o outro sujeito recebe
um tratamentodiferente. Por exemplo, doissujeitos podem :ser colocados em pares por
causada idade, deurna 1ocalizac;ao geogrtificaou un1a caracterfstica ffsicae1n particular.
Outra parte importante do planejamento experimental eo tamanho da amostra.
Para aumentar a validade dos resul!ados experimentais, a repliro¢o enecessaria.
efinicao
Replicacao ea repeticao de um experimento usando um grande grupo de sujeitos.
!'or exemplo, suponha que um experimenlo seja plantjado para testar uma va·
cina contra gripe. No experimento, 10.000 pessoas recebem a vacina e outras 10.000
rccebem um placebo. Por conta do tamanho da amostra, a efic.icia da vacina seria
provavelmente observada. Mas, se os sujeitos no experimento nao forem selecionados
de modo que ambos os grupos sejam similares (de acordo com g~nero e idade}, os
rcsultados terao mcnor vaJor.
Exemplo
m
AnaliS<lndo um p!anejamento experimental
Uma empresa quer testar a efic.icia de uma nova goma de mascar para ajudar
as pessoas a pararcm de fumar. ldentifique um problema em potencial com o planejamento experimental dado e sugira uma maneira de melhora-lo.
1. Aempresa identifica de2 adul!os que sao fumantes h~ bastante tempo. Cinco deles
recebem a nova goma de mascar e os outros cinco recebem um placebo. Depois de
dois meses, eles &io avaliados e descobrc-se que os cinco sujeitos que esti\o usando
a nova goma pararam de fu1nar.
2. A empresa identifica mil adultos que sao fumantes ha bastante tempo. Eles s.'lo
divididos em blocos de acordo com o genero. As mulhcres reccbem a nova goma
e os homens recebem o placebo. Depois de dois meses, o grupo de mulheres tinha
um nllmero signific.1.nte de sujeitos que pararam de fumar.
Solufdo
1. 0 tamanho da amostra usado nao egrande o suficiente para validar os resultados.
0 experimento deve ser rcplic.1do para meU1orar a validade.
2. Os grupos nao sao similares. A nova goma de mascar pode ter mais efeito nas
mulheres do que nos homens ou vice-versa. Os sujeitos podem ser divididos em
blocos de acordo com genero, mas depois, dentro de cada bloco, eles precisam ser
alea!oriamenle designados para estar no grupo de !ratamenlo ou de controle.
Ed 1t 1naaa
1
(a~ltulo· I
•
lnuodu<IO l estotlllica
19
ente Usando as informa<;()es do Exemplo 2, suponha que a empresa identifique 240
vocf adultos fumantes. Eles sao designados aleatoriamente para estar no grupo de
tmtamento ou de controle. Cada sujeito tambem recebe um DVD sobreos perigos do cigarro. Depois de quatro meses, a maioria dos sujeitos no grupo de tratamento
parou de fumar.
a. ldentifique um problema em pote11cial com o plantjamento experimental.
b. Como o planejamento poderia ser 111el/1omtfo?
I Tecnicas de amostragem
lmportante
-
Um censo euma contagem ou medi<;iio de uma popula9'10 inteira. A reali7..a9'10
de um censo fornece informa<;(jes completas, mas ela e frequentemente cara e dificil
de realizar. Uma amostragem euma contagem ou medi~~o de pnrle de uma popula9'10
e e mais comumente usada nos estudos estatisticos. Para coletar dados imparciais, o
pesquisador deve ter certeza de que a amostra representa a popula<;ao. Tecnicas de
amostragem apropriadas devem ser utilizadas para assegurar que as inferencias sobre
a popula<;~o sao v~lidas. Lembre-se de que quando um estudo e realizado com dados
fol hos, os resultados S<'° question~veis. Mesmo com os melhores metodos de amostragem, um erro de amostragem pode acontecer. Um erro de amostragem ea diferen<;a
e11tre os resultados da amostra e da popula<;~o. Quando aprendemos sobre estalislica
inferencial, tambem aprendemos tecnicas para controlar esses erros de amostragem.
Uma arnostra aleat6ria eaquela na qual todos os membros de uma popula<;iio
t~m chances iguais de serem selecionados. Uma amostra aleat6ria simples e aquela
na qual toda amostra possfvel de mesmo tamanho tern a mesma d1ance de ser selecionada. Uma maneira de coletar uma amostra aleat6ria simples edesignar um n(tmero
diferente para cada membro da popula~iio e entao usar uma tabela numerica aleat6ria,
como a do Apendice B. As respostas, contagens ou medi<;()es provenientes de membros da popula~ao cujos numeros correspondem aqueles gerados com o uso da tabela
farao parte da amostra. Calculadoras e programas de computador tambem sao utilizados para gerar numerosaleat6rios (ver p. 29).
-··
Tabela 1 Niimeros ateat6rios
'.'~ Para explorar mrus este 16·
pico, ver Atividades 1.3 na p. 24.
926'.lO
78240
!9267
95'157
53497
23894
37708
m62
7!'145
78735
71549
44$43
26104
67318
00701
34986
59654
71966
27386
50004
05358
94001
29281
18544
31524
49587
76612
39789
13537
48086
59483
60680
06.148
7693$
90.179
51392
558$7
71015
092-09
79157
(lblte de Tooo'o I enconuodo no ApOO<ke B.)
Por exemplo, para usar uma amoslra aleat6ria simples na contagem do numero
de pessoas que moram nas residencias do Condado de West Ridge, voce poderia designar um mimero diferente para cada residencia, usar uma ferramenta tecnol6gica ou
uma tabela de mlmeros aleat6rios para gerar uma amostra de mimeros e entao contar
o mimero de pessoas que vivem em cada uma das residencias selecionadas.
Exemplo !JJ
t:Jsando uma amostra aleatoria simples
Ha 731 estudantes que se inscreveram no curso de estatfstica em sua faculdade. Voce
deseja formar uma amostra de 8 estudantes para responder as quest<ies de uma pesquisa. Selecione os estudantes que pertencerao aamostra aleat6ria simples.
Uma amostra rendenciosa e
aquela que niio e representativa da popula9iio da q11al e
extrafda Por exemplo, uma
amostra consistindo apenas
de estudantes universi~1rios
entre 18 e 22 anos n.~ seria representativa de toda a popula·
9'10entre18 e 22 anos do pa(s.
Ed ,e 1naaa
1
ZO •
Cl1111!1io apllcoda
Dica de estudo
Aqui estao as instru<:Oes para
usar um gerador de numeros
iu1teiros aleatOrios enl un1a
'rI- 83/84 para o Exemplo 3.
IMATHI
Escolha o menu PRB.
S:randl(
[I][J[ZJl}Jf]] , I s I l I
I HITER I
randlnt(l,731,8)
(537 33 249 728...
Soillfiio
Designe numeros de 1 a 731 para cada estudantedo curso. Na tabela de niimeros
aleat6rios, escolha um ponto de partida aleatoriamente e leia os digitosem grupos de 3
(porque 731 eum 11(1mero de 3 dfgitos). Por exemplo, se voci! com~ar na terceira fileira da tabela, no com~ da segunda coluna, voce agruparia os numeros como a seguir:
719166 2173816 5010041 053158 9140311 2912811
185144
lgnorando os numeros maiores do que 731, entao os primeiros oito numeros s.'io 719,
662, 650, 4, 53, 589, 403e129. Os estudantes que reccl>eram esses niimeros formarao a
amostra. Para encontrar a amostra usando a Tl-83/84, siga as instru~Cies ao !ado.
•
Uma empresa emprega 79 pessoas. Escolha uma amostra aleat6ria simples
vocf composta de cinco para pesquisar,
3
a. Na tabela, escolha aleatoriamente um po11to de partida.
b. Leia os dlgitos em grupos de dois.
c. Escreva os cinco numeros aleat6rios.
Quando voce escolhe os membros de uma amostra, voce tem que decidir se e
ter o mesmo membro da popula~o mais de uma vect. Se for aceit~vel, entao
o processo amostral e feito com reposi~ao, Se 11<'\o for aceitavel, o processo e dito ;em
reposi(.tio.
Existem muitas outras tdcnicas de amostragem comumente usadas. Cada uma
tern vantagens e desvantagens.
• Amostrn estrnllficndn Quando e importante que uma amostra tenha membros
de cada segmento da popula~ao, devemos usar uma amostra estratifiaida. Depen,
dendo do foco do estudo, membros de uma popula~iio sao divididos em dois ou
mais grupos, chamados de estratos, que compartilham uma caracteristica similar
como idadc, sexo, grupo etnico ou ate mesmo preferencia polftica. Uma amostra
eentiio selecionada aleatoriamente de cada um dos estratos. 0 uso de uma amostra estratifkada assegura que cada segmento da popula~ao sera representado. Por
exemplo, para colctar uma amostra estratificada do numero de pessoas que moram em Condado de West Ridge, voce poderia dividir as residencias em niveis
socioecon<lmicos e, entilo, selecionar alcatoriamente resiMncias de cada nfvel.
aceit~vel
Se voce oontinuar pressionan·
do ENTER, ira gerar mais
amostras aleat6rias de oito
mumeros inteiros.
(b»OO@o
oo©o@o©l
Grupo I:
Grupo2:
renda baixa
rend• nwdia
0(Q)oo@
Grupo 3:
rendo alr;i
Amos1ta estratificada
• Amostra por agmpa111e11to Quando a popula~iio esM em subgrupos que
ocorren1 naturaln1cntc, cada un1 tendo caracteristicas sintilares, un1n an1os·
tra por agrupamento pode ser a mais apropriada. Para selecionar uma amostra
por agrupamento, divida a popula~iio em grupos, chamados c/11s1eri:, c selecione todos os membros em um ou mais (mas niio em todos) c/11stcrs. Excmplos de clusters poderiam ser ~ diferentes do mesmo curso ou diferentes filiais de um banco. Por exemplo, para ooletar uma amostra por agrupamento do numcro de pcssoas quc moram nas residencias do Condado
de West Ridge, divida as resiMncias em grupos de acordo com os c6digos
postais, entiio, selecione todas as residencias em um ou mais, mas niio todos,
Ca,n1lo I •
c6digos poslais c conic o numcro de pessoas que vivem em cada residencia. Ao
se usar uma amostra agrupada, devemos ter cuidado para ter certeza de que
todos os grupos letn caractcrrsticas similarcs. Por exemplo, se um dos grupos
de c6digo postal lcm uma propo~ao maior de pessoas de alla renda. os dados
podem ntlo representar a popula(oo.
Zonas de c6digos postais oa
regiao de West Ridge
• Amostrn sisttmaticn Uma amostra sistemjtica e aquela na qua! e atribuido
um numero a cada membro da popula(llo. Os membros da popula(<'lo sao ordcnados de alguma maneira. um numcro inicial e sclccionado alcatoriamente
e, en1ao, membros da amostra s.'o selecionados cm inlervalos regulares a partir do numcro inicial. (Por cxcmplo, cada 3", 5<' otl 1()()> membro eselecionado.)
Por exemplo, para colctar uma amostra sistcmjtica do mimero de pessoas que
moram cm West Ridge, poderfamos designar um numero diferenle para cada
rcsiMncia, cscolher alcatoriamenle um numero inicial, selecionar cada J()()I residencia e contar o mlmero de pcssoos vivendo em cada uma. Uma vantagem da
amostra sistcmdtica e que ela e fdcil de ser usada. No caso de qualquer padrao
que aconlC(a regularmcntc nos dados. cntrelanto, csse ti po de amostragem deve
ser evilado.
O@O O@O o@o O@O O@O 0
Amostra sis1emA11a
Um tipo de amostra quc frequentcmente lcva a cstudos tendenciosos (portanto,
nl!o erecomendada) ea amostra de ronveniencia. Uma amostra de conveniencia consiste somente de membros disponfveis de uma populat;l!o.
Exemplo I I,
l<lentificando as tecnicas de amostra9em
Voce csta realizando um cstudo para detenninar a opinilio dos estudantes em
sua escola sobre a pesquisa de relulas-tronco. ldcntifique a toouca de amostragem que
voce usaria sc sclccionasse as amostras lisladas.
L Voce sclecion.1 uma dasse aleatoriamente e questiona cada aluno da dasse.
z_ Voe~ divide a popula(lio de cstudantes com rela~o ~ graduai;Ocs, scleciona aleatoriamente e qucstionar al guns de cada curso de graduat;ao.
3. Voe~ designa um namcro para cada aluno e gcra m1meros aleatorianwnte. Enrao,
voce qucstionn cada cstudanlc cujo numcro ~ selecionado alealoriamentc.
Soillfiio
t. Pelo fato de cada classc scrum subgrupo que ocorre naturalmente (um cluster) e
voce qucstiona cadn aluno na classc, csta e uma amostra por agrupamento.
2. Como os cstudantcs sao divididos em estratos (graduai;Ocs) e uma amostra eselecionada de cada gradua(<'lo, esla ~ uma amostrn cstratificada.
l•uodocao I ~111b1k•
ZI
lmportante
Para uma
amostr~1
pc;trnHfl-
cada, cada um dos cstratos
contt!m membros com certas
caracteristicas (por exemplo,
um grupo de idade em particular). Em contraste, osd11sltrs
consistem de um grupamen·
to geogr.llico, e cada clusltr
deve consistir de membros
com todas as caracterfsticas
(por exemplo, todas as lail<"5
etarias). Com amostras estratificadas. alguns dos membros
de cada grupo sao usados. Na
amostra por agrupamento,
todos os membra; de um ou
mais grupos s.'lo us.idos.
Ed ,e 1naaa
1
ZZ •
Cl111l11i<aaJlli<oda
3. Cada amostra de mesmo tamanho tem chances iguais de ser selecionada e cada
aluno tem chances iguais de ser selecionado, enrao esta uma amostra aleat6ria
simples.
e
voci
4
Voce quer deternlinar a opiniao dos estudantes de s ua escola sobre as <:elulas·
-tronco. ldenti(ique a Mcnica de amostragem que est~ sendo usada se voe@
selecionar as amostras listadas.
1. Voce seleciona estudantes que estao em sua au la de estatistica.
2. Voce design.1 um numero para cada estudante e, depois de escolher um numero
injcial, questiona cada 259 aluno.
a. Determine como a amostra e selecionntfn.
b. Jdentifique a tec11icn tfe nmostrngem correspondente.
~ms.lo 11a p.
Ill
AJ2
Exercicios
Construindo habi!idades basicas e conceitos
1.
Qua! a dife<en<;a enue um estudo observaciooal e um expe<i·
mento?
2. Qua! a difeieni;a entte um censo e uma amosttagem?
3. Descreva dois m~odos que voce pode usar P<1ra gerar numeros
alea16rios.
4. 0 que e a repli~o em um expeimento e por que ela e im·
ponante?
Verdadeiro ou falso?
Nos exe<ckios de 5 a 10, detennine sea affrma~o eve<dadeita
ou falsa. Se for falsa, reescreva·a de forma que seja veidadeifa.
5. Em um planejamento de blocos cornpletamente ale.it6rios, sujei·
tos com caraae~sticas similares sAo d'Mdidos em blocos e, ent~,
denuo de cada bloro, sao designados ale.itoriamente grupos de
tratamento.
Um experimento duplamente cego e usado P<''a aumentar o efei·
to placebo.
7. Usar amostras sistematicas garante que membros de cada grupo
dentro de uma popula'°o sejam amosuados.
8. Um C4n'° euma contag4m de p,itle de uma popula~o.
9. O me1odo para sele<;llo de uma amosua estratificada e ordei>ar
uma popula<;ao de alguma maneira e. ent.lo, selecionar membros
da populai;llo em inteNalos regulares.
10. Para selecionar uma amosva por agrupamento, d'Mde-se a po·
pula,.io em grupos e ent.lo seleciona·se todos os me<nbros em
pelo menos um (mas M<> todos) os grupos,
6.
Deddindo o metodo para coleta de dados
Nos exercicios de 11 a 14, decida qua! metodo de coleta de da·
do~ voce usatia ""'a coletar os dados para o estudo. Eicpl~.
11. Um esludo dos efeitos de batatas chips feitas com um substituto
da gordura no siSlema digest61io humano.
12. Um esl\ldo dos efeitos de um r6tulo de advertencia de um pro·
duto para determinar se os consumid0<es ainda vAo compra·lo.
13. Um estudo da velocidade na qual um virus se espalharia na ~re.1
metropolil<lna.
14. Um estudodas idadesde 535 membrosdocongresso americano.
US4ndo e interpretando conceitos
15. Droga antialergica Uma industria farmaceutica quer testar a
efic.!cia de uma nova dr0ga antial~rgica. Aempresa identifica 250
mulheres de 30 a 35 anos que sofrem de alergias diversas. Os Su·
jeitos s.Jo designados aleatoriamente em dois grupos. Um grupo
recebe a nova droga e outro recebe um placebo que patece com
a nova dloga. Depois de seis meses, os simomas dos sujei1os sao
estudados e oomP<1rados.
(a) identifique as unidades experimentais neste expe<imento.
(b) Quantos ttatamentos sao usados nes1e experimento?
(c) ldentifique um p!Oblema em potencial com o planejamemo
expe<imental usado e sugira uma maneira para melh«.l·lo.
(d) Como este experimento pode ser designado como ~­
mentecego?
16. Tenis A Nike desel1\/00eu um oovo ripo de tenis criado P<1ra
ajudar a postergar o prin~ da artrite no joelho. Oitenta pessoas
com sinais precoces de anrite lo.ram vcluntarias para o estudo.
Metade dos vclunt.!rios usou o novo tenis e a outta metade usou
1e.1is regulares, que tinham a mesma aparencia dos tenis do ex·
peiimento. Os individuos usaram os tenis todos os dios. Na con·
du~ do estudo, os si>tomas foram avaliados e uma ressonancia
magnetica foi re.ifiiada em seus joelhos. (Fr.nie: \'~Pc$<)
(a) identifique as unidades experimentais neste experimento.
(b) Quantos vatamentos sao usados neste experimento?
(c) identifique um Ploblema em potencial com o planejamento
expe<imental usado e sugira uma maneira P<1ra methora-lo.
(d) O experimento e desaito como um experimemo controlado
por placebo, estudo dupfamente cego. Eicplique o que isso
significa.
(e) Dos 80 voluntarios, suponha que 40 sejam homens e 40
sejam mulheres. Como os blocos poderiam ser usados no
planejamento do experimento?
Ed ,e 1naaa
1
ldentificando tecnicas de amostragem
Nos exerdcios de 17 a 26, identi~ue a ti!alica de amostragem
e diSCUla as f0<1tes de parcialidade em potencial (se hoUYet). Elcplique.
17. Usando discagem aleat6ria, os pesquisad<ites ligaram para 1.599
pessoas e peiguntaram que obstaculos (tais coma ter que 01idar
das crian(aS) nAo permitiram que contir<Jassem se exercitando.
(Fon1c: >or.!clrr"fh l'ot""'4 rno '"'Shope UpAmer.-ol)
18. EscoUlidas aleatoriameme, 500 pessoas da z0<1a rural e 500 pes-
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
soas da zona Ulbana com 65 anos ou mais foram questionadas
sobre sua saUde e experiencia com dtogas piescntas.
Ques1ionando estudantes ao safrem da biblioteca, um pesquisad0<
pergumou a 358 deles sobre seus h.lbitos com rela~ bebida.
Dep<lis de um furacao, uma area do desasrre foi dividida em 200
grades iguais. Trinta das grades sac selecionadas, e cada casa OQJ·
pada na grade e eotrevistada para ajudar a focar os esfor~os de
alivio para os residentes que ma is necessitam.
Escolhidos aleatoriamente, 1.210 pacientes amb.Jlatori<lis de hos·
pitais foram contatados e questionados sobre suas opiniOes a
respeito do tratamento que receberam.
Para assegurar a qualidade. cada 20• ~de motor eseleci0<1ada
de uma linha de montagem e testada para durabilidade.
Sementes de soja sAo plantadas em um c.impo de 48 acres. 0
campo e dividido em sut.lreas de um acre. Uma amostrade plan·
tas eretirada de c.ida subarea para estimar a coUleita.
At> questionar professores conforme salam da sala de professores, um pesquisador perguntou a 32 deles sabre seu estilo de
ensino e m~odos para dar as notas.
Uma lista de gereotes cornpilada e ordenada. ~ que um
numero inicial e escolhido aleatonamerue, c.ida none name e
selecionado ate que 1.000 gerentes sAo selecio<la<los. Eles sAo
questionados se usam midia digital.
liga¢es feitas para n0mecos selecionadosaleatoriamente, 1.012
entrevistados foram questionados se alugam ou se sAo propnet.lrios de suas residencias.
Priva~o do sono Um pesquisadof quer estudar os efenos da
falta de sono nas habaidades motoras. Dezoito pessoas foram volunt.llias para o experimento: Jake, Maria, Mike, Lucy, Ron. Adam,
Bridget, Carlos, Steve, Susan, Vanessa, Rici\, Dan, Kate, Pele, Judy,
Mary e Connie. Use um gerador de numero aleat6rio para esar
lher nave sujeitos para o grupo de ttaiamento. Os outros nove
iri!o para o grupo de co.wale. Liste os sujeitos em cada grupo.
Diga qual meiodo voce usou para gerar OS numeros aleat6rios.
Gera~ de numeros aleat6rios Voluntaries para um experi·
mcnto silo nume,.dos de 1 a 70. Eles serao designados alea·
toriamente para dais grupos de tratamento diferentes. Use um
geradot de rinneros aleat6rios diferente do usado no Exerdcio 27
para escolher 35 sujeitos para o grupo de tratamento. Os outros
35 irao para o grupo de controle. Liste os sujeitos, de ac0<do com
o numero, em Cdda grupo. Diga qual metodo voce usou para
gerar os n0meros a1eat6rios.
a
e
Escolhendo entre um censo e uma amostragem
Nos exercicios 29 e 30, determine se 'IOCe fana um censo ou
usaria amosttagem. Se esr..olhesse amostragem. decida qual tecnica
usaria. Exp6que.
29. o sal.lno medio de 50 funcionarios de uma emp1esa.
30. A cor de c.irro mais pop1Jiar entre 25.000 estudantes de uma
universidade.
Reconhecendo uma questao tendenciosa
lllos exerdcios de 31 a 34, determine sea qoost<lo da pesquisa e
teoden<iosa. Se a questao f0< tendellciosa, sugira uma melhor maneira
de fonnular a questao.
31. POI que beber SIJCO de frutas e bom para voce?
32. Per que os me1oristas que muclam de faixas varias vezes sao perigosos?
33. Quantas horas de sono
voce tern em media por noite?
34. Voce acha que a mk&a tem um efeito negativo nos h.lbitos alimentares de adolescentes do sexo feminine?
35. Reda\ao A classif~ dos programas de TV feita pela Nielsen
Media Research e descrita nap. 14. Discuta os esuatos usados
naamostra.
36. Reda\ao A classific.i'30 dos programas de TV feita pela Nielsen
Media Research e descrita nap. 14. Perque importante ter uma
e
amostra estratificada para essa dassifica<;ao?
Expandindo conceitos
e abertas: Os dais tipos de questOes em
uma pesquisa sAo as quest6es .abertas e as fechadas. uma questAo aberta permite qualquet tipo de resposta; uma quest<lo fechada permite somente uma resposta fixa. Uma quest!o aberta
e uma questao fechada com suas escolhas posslveis sAo dadas a
seguir. tiste uma vantagem e uma desvantagem de uma ques!Ao
aberta. Ent.lo, lisle uma
e uma desvantagem de uma
questao fechada.
Quesrrlo oberro Que medida pode ser tomada para fazer com
que esiudantes adquiram h.lbitos alime.1tares mais saud.lveis'
Questoo fethodo Como
faria OS estudantes adotarem habi·
tos afimentares mais saud.lveis?
I, Um cuso de nutri\<lo obrigat6rio.
2. Ofe<ecer somente cornidas saud.lveis na c.ifeteria e retirar as
comidasnilo saud.lveis.
3. Ofececer mais comidas sau<l.!veis na cafeteria e aumentac os
pr~ das cornidas nilo saud.lveis.
38. Quern escolheu essas pessoas? Algumas agendas de pesquisa pedem que pessoas liguem para um telefone e deem a
resposta para uma questao. (a) tiste uma vantagem e uma des37. Questaes fechadas
'"""'&em
voce
vantagem de uma pe$qUi$CJ '°"1duzida deita maneira. (b) Qua!
39.
40.
41.
42.
43.
tecnica de amosuagem eusada em tal pesquisa?
De um exemplo de um experimento no qual h.l um elemento
de confusAo.
Pot que e i"l'Qllante usar a tecnica cega em um experimento?
Em que o efeito placebo e o efei1o Hawthorne sAo similares? Em
que sAo diferentes?
Em que o planejamento de blocos aleat6rios em expe<imentos e
similar a uma amostra esvatificada?
Usando ti!cnicas de amostragem Sua escola pediu que voce
pesquisasse e0<n 150 estudantes quern usa a nova sala de gi·
nastic.i. Descreva seu procedime.110 para obter ..na amostra de
c.ida tipo: aleat6na, estratificada, por agrupamento, sistematic.i e
de conveniencia.
Ed ,e 1naaa
1
24 •
iii
lstatlstk,.plicada
Atividades
Passo l Especifique o numero de amostras.
Passo 4 Clique SAMPLE para gerar uma lista de valores
aleat6rios.
HUmeros a!eat6rjos
Applet o apj)let para mimeros aleat6rios efeito para que
voce ge1e numeros aleat6rios de uma amplnude de valores. Voce
pode especificar valoces inteiros para valor nW<imo, valor minimo
e numero de amostras nos campos ap<opriados. VO<! oAo deve
usar pontos decimais quando p<eencher os campos. Quando o
bolao SAMPLE (amo&ra) e dicado, o apj)let gera valores aleatOrios, que Silo mostrados como uma lista no campo de texto.
Ghegando a condusiiff
I.
Especifrque o valor minimo, m~~mo e OOme<os de amostra
como sendo 1, 20 e 8, respectivamente, conforme mostra·
do. Execute o applet Continue gerando listas ate que vore
ob«enha uma que mostre que a amostra aleat6ria eretirada
com subslitui¢o. Escreva a lista. Como voce sabe que a 6sta
uma amostra aleat6ria retirada com 500stitu~o?
e
Minimum vallte:
MaxinlUlll
Minimum va1u~;
v~1lu e:
Nu1nbcr of santplcs:
Maxiinun1 value:
20
Snmplcl
Nu1nbcr of S.'1 1npk-s: S
S.1mpl~
Explore
Passo 1 Especifique um valor mlnimo
Passo 2 Especifique um valor ma.imo.
2.
Use o applet para repetir o Exemp!o 3 nap. 19. Quais valores voce usou para o minimo, mAximo e ntimero de amos·
tras? Quais rnetodos voce p<elere> Exp!ique.
Usos e abusos - estatistica no mundo real
Usos
Experimento com resultados favor~eis Um experimento qve corne~ou em mar'° de
2003 estudou 321 mulheres com c.lncer de mama em est.!gio ava~do. Todas foram tral<ldas
previarneme corn ouuas drogas, mas o c.lncer parou de respondei as medica¢es. Entao, foi
dada a esse grupo de mulheres a oponunidade de experimenl<lr uma nova droga combinada
com uma droga de quimioterapia em panicular.
Os sujenos foram divid'Jdos em dois grupos, um que tomou a OOJa droga cornbinada corn a
quimioterapia e outro que tomou somente a droga da quimioterapia. Depois de ues anos. os resultados mosuaram que a nova droga em cornbina>OO com a droga da quimioterapia postergoo
a progressao do cancer. 0 resuliado foi !<lo significativo que o est\Jdo foi interrornpido e a nova
droga foi oferecida para todas as mulheres do estudo. O FDA (Food ood Drug Mministra!ion),
ent.lo, ap<OllOU a nova droga em corjumo com a droga da quimioterapia.
Abusos
Experimentos com resultados desfavor~eis De 1988 a 1991, 180 mil adolescemes
na Noruega foram usados para tesaar uma oo.-a vaciia corwa a baa~ mortal menir>gororoJs b.
irnp<ov~vel que haja
cornpliul¢es serias", enquanto informa¢es fornecidas pelo parlarnento noruegues afirrnou
que ·efenos colaterais serios n00 podern ser exclufdos". A vacina experimental teve alguns
resuliados desastrosos: mais de SOOe!eitos colaterais foram reponados, sendo alguns conside-
Uma cartiha descrevendo os possfveis efeitos da vacina afirmava: ·e
Ed ,e 1naaa
1
rados ~rios, e muitos dos sujeitos desenvolveram ~rias doencas neurol6gicas. Os resultados
mostraram que a vacina forneceu imunidade a someme 57% dos casos. Este resultado nao
foi o suficiente para que a vacina fosse adicionada ao pcograma de vacinas noroegu~ Oesde
e111ao, indeniza¢es foram pagas as vitimas das vacinas.
Etica
Os eoqierimemos nos ajudam a entendei mais o mundo que nos rodeia. M<ls. em alguns
casos, eles podem causar mais mal do que bem. Dos e.perimentos na Noruega, surgem algumas ~taes eticas. O experimento noruegu~ foianMtico se os interesses dos sujeitos foram
negligenciados? Qvandoo experimento deveria ter sido parado? 0 experimento deveria ter sido
cooduzido? Se os efeitos colaterais nAo foram repoflddos e foram escondidos dos sujeitos, nao
ha ques~o etica aqui, ele eSi<l simplesmeme errado.
Po< outro lado, o experimento do cAncer de mama nAo queria nega1 a nova droga para
um grupo de pacieltes com uma doem;a fatal. M<ls. novamente, questaes surgem. Po< qoanto
tempo um pesquisador deve manter um e><Perimento que mostra resultados melhores dos
que os esperados? Quando um pesquisadol pode conduir que uma droga e segura para os
sujeitos efl\'QMdos?
uercicios
Encontre um exemplo de um experimemo real que tenha
resultados desfavor~is. 0 que poderia ter sido feito para evitar o resultado do e.perimento?
2. Parondo um experimento Em sua opiniao, quais sao alguns dos problemas que podem
surgir seas temativas dlnicas de uma nova droga experimental ou vacina pararem muito
cedo e entao distribuldas a outros sujeitos ou pacieltes?
I. Resultados desfavoraveis
Resumo do capitulo
0 que voce aprendeu?
Se~ao I.I
• Como distinguir entre popula~o e amostra.
• Como distinguir entre um par~metro e um dado estaHstico.
• Como distinguir entre estatfstica descritiva e estatfstica inferencial.
Se~ao 1.2
• Como distinguir entre dados qualitativos e quantitativos.
• Como classificar os dados com rela\ao aos quatro niveis de mensura\Jo: nominal,
Exemplo
[xercicios
de revisao
1
1a4
2
5a8
3
9e10
1
11a14
15a 18
2e3
ordinal, intervalar e racional.
se,ao 1.3
• Como s.io coletados os dados: por meio de estudo observacional, fazendo um
experimento, usando uma simula~ao ou usando uma pesquisa.
• Como planejar um experimento.
• Como criar uma amostra usando amostragem aleat6ria, amostragem aleat6ria simples,
amostragem estratificada. runostragem por agntprunento e amostragem sistematica.
• Como identificar uma amostra tendenciosa.
19a22
2
23e24
3e4
25a30
3e4
31a34
Ed ,e 1naaa
1
Z6 •
lstatf\licaapll<ada
Exercicios de revisao
Secao I.I
Nos exerclcios de 1 a 4 , identifiq1Je a poputa,ao ea amostra.
1. Uma pesquisa com 1.000 adultos no<te-ameri<:anos descobriu
que 92% estao preocupados com a dependencia do 61eo estran·
geiro. (Fonte: 1~ UMITh)')
2. Trinta e oito enfermeiras que trabalham na area de S.lo Francis·
co foram perguntadas a respeito da administra~o de assist~ncia
medica.
3. Um estudo de 146 cMiles de credito descobriu que a taxa de
juros media para atrasos em pagamentos S 27,46. (l'onre: Con-
e
sumer""""'-)
4. Uma pesquisa com 1.205 medicos descobriu que cerca de 60%
consideram deixar apratica da medicina porque sao desencoraia·
dos pelo sistema de saUde dos Estados Unidos. (Fool!>: The Physioon
f.rec"""° JtXJmo1 ofMed~ol Ala/1"9f'l""'I.)
Nos exercicios de 5 a 8, determine se o valor numbico descreve
um parametro ou um dado estatistico.
5. A folha de pagamento da equipe do New York Mets em 2006 eta
S 101.084.963. (Foore: USA Todor}
6. Em uma pesquisa com 752 adultos nos Estados Unidos, 42%
acham que deveria haver uma lei proibindo pessoas de levarem
celulares em lugares publicos. (FcNe: U<ti>1:roty of1~)
7. Em um estudo recente com graduandos em matemalica em uma
unive<sidade, 10 estudantes deixaram a ffsica em segundo piano.
8. Noventa por cen10 de uma amostra de estvdant.es da nona serie
em Indiana que foram pesquisados disseram que fumam cigarros
diariamente. (Fom•: kl<flanq l.Ol.'..,.,I)<)
9. Que pane do esludo deseti10 no Exerclcio 3 representa o ramo
descritivo da estalistica? Fa(<l uma inferencia baseada nos resul·
tados do estudo.
10. Que pane do levantamento descrito no Exeicicio 4 representa o
ramo descritivo da estatistica? Fa(<l uma infei~cia baseada nos
resultados do levantamemo.
Secao l.Z
Nos exetcicios de 11 a 14, deletmine quais dados ~o qualitativos
e quais sao quantitalivos. Explique seu raciocinio.
11. O salarlo mensal dos luncionarios de uma empresa de contabi·
lidade.
I 2. Os numeros do seguro social dos f1J1Cion.!rios de uma empresa
de contalJjlidade.
13. As idades de uma amostra de 350 funcionarios de uma empresa
de software.
I4. Os c6digos postais de uma amostra de 350 dientes de uma loja
de anigos espo<tii.•os.
Nos exeicicios de 15 a 18, identifique os n!veis de mensura<;ao
dos COlljuiltos de dados. Expfique.
15. As temperaturas diarias (em graus Fahre.'Yleit) em Mol•we, Mzona, para uma semana de jt.dlo (fonl.:illllfJllOAi.r~N"-''""k):
93
91
86 94 103 104 103
16. As classes de tamanhos de autom6'1eis da EPA (Agenda de Pro·
t~o Ambiental) para uma amostJa de autom6veis estao llstadas
<J seguii:
suhcompaao
compacto
tamanho medio
grande
compacto
grande
I 7. Listamos os quatro depanamemos de uma empresa de eSlam·
pagem.
Administra,.io \lendas Produ(<'io FaMamento
18. A altura dos atletas (em polegadas) do Los Angeles Sparks em
2006 est.Jo fiSladas a seguir (Fon<e: ~\:>men's Bosklbol ils·
'°""""")
69 74 63
n
11 74 75 10 74 75 75 75 11
Seciio 1.3
Nos exeicicios de I 9 a 22, decida quaI metodo de coleia de
dados voce usaria para o estudo. Explique.
19. Um estvdo de doa¢es dos CEOs para a caridade em Syracuse,
Nwa YOO.
20. Um eSludo dos efeitos dos cangurus no ecossistema do parque
national de Everglades, na F16rida.
21. Um estudo dos efeitos de leniliiames na planta<;ao de soja.
22. Um estudo sobre a opiniao de estudantes univer~tariosa respeito
da polui~o ambiental
Nos exercicios 23 e 24, um experimento Seta reafizado para testar
os efeitos da lalta de sono na mem6ria. Duzentos estudantes f()(am
''Oiuntarios para o experimento. Os estudantes serao colocados em
um dos cinco grupos de tratamento, ;nduindo o grupo de controle.
23. Explique como voe~ poderia planejar um expe<imento de modoa
usar um planejamento de blocos .ileat6rios.
24. Explique como voe~ poderia planejar um experimento de modo a
usar um planejamento de blocos <ompletamente afeat6rio.
Nos exercicios de 25 a 30, identilique qua! t&nica de amostra·
gem foi usada no estudo. Expl'ique.
25. Ligandoparanumerosgeradosafeatoriamente,umestudopergun·
toua 1.00 I aduftos none-a mericarnos quais cond',.oos med'rcas po·
deriam Set prevenidas por sua dieta. (AdoprorkJdt: ~m"'°'llbi~.)
26. Um estudante pediu a 18 amigos para patticiparem em um ex·
peiimento psicol6gico.
27. Um estudo sobre a gravidez em Cebu, Filipinas. selecionou aleatoriamente 33 comunidades da area metropolitana de Cebu,
ent.lo for.am entre\'i~ad.¥.. todas as mulher~ S"avidas disponiveis
nessas comunidades. /,Maplodo de: Cebu tongrrudincl Heal1h Olld
NW<lion Srlll'<'f.)
28. Oficiais de policia param e checam o motorista de cada terceiro
veicUo para verificar 0 teor de alcool no sangue.
29. Vinte e cinco estudantes s<'lo selecionados afeatoriamente de
cada sene de uma escofa secunci!aria e pesquisados solxe seus
habitos de estudo.
30. Um jornalista ent1evista 154 pessoas q<.-e esperam por suas ba·
gagens no aeiopono e peigunta a elas o <l'JOO seguras se sentem
durante os voos.
Nos exerclcios de 3I a 34, identifique uma parciafidade ou um
erro que pode ocorret na pesquisa indicada ou estudo.
31. Estudo no Exerclcio 25.
32. Expeiimento no Exercicio 26.
33. Estudo no Exerclcio 27.
34. Amostragem no Exetcicio 28.
Ed ,e 1naaa
1
(apftul> I
•
lntrodl(IO ! " tatktica
Z7
Teste do capitulo
F~ este teste como se estivesse fazendo uma p<ova em sala.
Depois, compare sws resposias com as resposias dadas no final do lf.<o.
I . ldenlifique a popula<;ao e a amowa no es1\Jdo a segvir.
Um estudo de 372 pacientes com d'!Slurbios de ansiedade foi
conduzido paia descobrir a rela<;ao entre a in~o de cafe e
esses disrurbios.
2. Determine se 0 valor numerico e um paramello OU um dado
estatlstico.
(a} Em uma pesquisa com 798 USU<lrios de Internet, 19'!\> dis·
seram que tern 00<1exao sem fio em casa. (FOll/e: f'eoy tnremet
ot>d MietlCOO L<ie F1oJ«t)
(b) Em uma vota~ao, 84% dos funcionArios de uma empresa
votaram a fa\'Or de novas vending machines automaticas no
p<Mio.
(c} Uma pesquisa com cerca de 1.000americanos mowou que
somente 40% tern uma coot<I poopa~ de emergencia.
lfoole: Consum<'f federo<""1 or""""1ca)
3.
Determine se OS dados sao qualitativos OU quantitativos.
(a) Uma fista de n.Jrneios de caixas postais em um correio.
(b) As notas finals em um teste de quimica.
cada live! de mensura<;ao dos conjuntos de dados.
Eiqifique.
(a) Uma lsta dos numeros dos crachas de policiais em uma
4. fdell!ifique
juisdiylo.
(b) O numero de velas vendidas por um fab<icante em cada
trimestre do ano ftScal corrente.
(c} Os anos de nascimento dos corredores da maratona de
Boston.
5. Decida qua! metodo de coleta de dados voce usaria para reunir
dados para cada um dos eswdos. fJ<pfique seu raciodnio.
(a) Um estudo solxe os efeitos de uma dieta com baixa ingest.lo de vitamina Ce ferro nos adulcos.
(b) A idade de pessoas que moram ate 500 ml has de sua casa.
6. Um eswdo para testar os efeitos de uma nova droga na hiper·
tens3o anerial ~ sendo realiiado. 0 pesquisador idenlifica 320
pessoas com idades enue 35 e SO aros com hipenensao para
panicipar do experimemo. Os ·sujeitos sao d'rvididos em grupos
iguais de acordo com a idade. Deniro de cada grupo, eles sao
selecionados aleatoriamenle Jlilra o grupo de conuole ou para
o grupo de uatamenlo. Que tipo de p!anejamento foi utifizado
nesle experimento?
7. ldentifique que tecnica de amosuagem foi usada em cada estudo.
Eiqifique.
(a} Um jornalista vai a um local de acampamento para perguntar
as pessoas como se sentem em rela~ao apolui<;ao do a1.
(b) Para controle de qualidade, cada decima p~ de uma maquina e selecionada de uma linha de montagem e 1estada
pa1a acuidade.
(c) Um estudo sobre as atituodes relacionadas ao fumo econ·
duzido em uma faculdade. Os estudantes sao divididos por
dasse (calouros. alunos do segundo, terceiro e ultimoanos).
Entao, uma amosua aleatMa eselecionada de cada classe e
encrevistada.
8. Que tecnica de amosilagem usada no Exercicio 7 pode levar a
um estudo 1endencioso?
Juntando tudo
Estatistica real - decisiies reais
Como voce adquiriu
Voce trabalha em uma empresa de pesquisas. Sua emp<esa venceu uma co.-1corrMcia e
realiiara um estudo para uma publica<;ao de uma indUstria at!tea. Os ed'rt0<es da publica<;ao
gostariam de saber aopiniao de seus leitores sobre areas corno compra de passagens, servi,os.
seguran~, conforto, aescimento econOmico e p<Ole~o. Tambem querein sabet a opini~o de
adulcos que usam os seiw;os aereos para negOc1os e lazer.
Os ed'~ores forneceram seu banco de dados de leit0<es e 20 ques!Oes que gostariam que
fossem aplicadas (duas questOes amostrais de um estudo anterior sao fornecidas promamerr
te}. Voe~ sabe que o cus10 para contatar todos os leitores e muito alto. Assim, p<ecisa determinar uma maneira de contatar uma amostra represe.itativa da popula~o inteira de leicores
sua passagem?
Resposta
Porceotagem
35, l'lb
Oirct.amente da
oompd'ia ~rea
On·ine, uieto site da
empresa abea
20,9'1b
21,0'lb
On-line, IJlOI Oln<O
Exercicios
I. Como voceforio?
(a) Que tecnica de amostragem voe~ usaria para selecionar uma amostra para o estudo?
(b) A1ecnica que voe~ escolheu na quest~o anterior fornece uma amoscra represeniativa
de uma pcpula~o?
(c) Desaeva o metodo de coleta de dados.
(d) tdentifique posslveis falhas e parcialidades no estudo.
site (que n!o o da
oompanllia ~rea)
18,5%
OWo
4,5%
(Fonre: ReSO!:rce S)<l<m Group)
Ed ,e 1naaa
1
ZS •
ls1a1i5ticaaplicad•
Quantos asscx:iados, amigos ou
familiares viajaram juntos
em seu grupo?
Resposta
Porcen!agem
2. Classifica~do de dodos
(a) Que tipo de dados voce espe1aria coletar: qualitativos. quantitativos ou ambos?
Por que?
(b) Em quais niveis de mcnwro¢o vo:C adio quc os dados; estariom? Por quC?
1 (viaiou soonho)
48,l"l!>
2 ('iajoo «>m mais utna
29.l"l!>
(c) Os dados coletados para o estudo representam IJlla popula¢o oo uma amosua?
(d) As descri¢es numt!ricas dos dados seroo parametros ou dados estalisticos?
7, l'lb
3. Como eles fizeram
Quando o Resource Systems Croop realizou um estudo similar. utiizou uma pesquisa via
~
(Wajou com mas 3
pestoaS)
7,7'11>
5 ('t<Saiou com mais 4
pesooas)
3,0'lb
6 ou mais (viajou cam 5
ou mais pessoas)
3,sqQ
lmemel Foram enviados 1.000 convites para a panicipa\\'lo na pesquisa e o grupo recebeu 62 t pesquisas completas.
(a) Oescreva algunserros ~is na coleta de dados por meio de pesquisas via Internet
(b) Compare seu metodo de coleta de dados no Exerdcio t aeste metodo.
pessoa)
3 (viaiou «>m mas 2
pessoas)
(ICl>.'e: R<soorce s~ Gtoop.)
Hist6ria da estatistica - linha do tempo
contribuldor
comribui~
SOOiloXVll
Esludou os regisuos de 6bi1os em Londtes no incio de 1600. foi o primcoo a
rwlizar ol>servi¢es estalisticas «>m base em _.tidades ma5SA-as de dados
{C.r>'tulo 2); seu uabalho projeiou afundac;!o ii>ilr• • esta!lslica mr:dema.
Pascal e R?rmai irr:caiam oorr~ncias. sobre P<oblemas W~oos de
pcobabilidadc ((apitulo 3) - espe<iall11"'11e""'8es relacionados a aposlas e jogo.
John Graun1 (1620-1674)
Blaise Pm (1623-1662)
Pierre de r"'""I ( 1601 - 1665)
Pierre Laplace (1749-1827)
Carl Friedrich Gauss (tn7- 1855)
5ec1J1o XVIII
Lambert Quetele1 (I 79&-1874)
SOOJlo XIX
FrilllOs Galton (1822-1911)
v.llliam Gossel (187&-1937)
SOOrlo XX (;nlr;io)
O>a<lesSpearman (1863-1945)
Ronald Fisher (1890-1962)
Frank Vl\l:oxon (1892- 1965)
David Kendoll (1918- )
E!ludou probabilidade (Clpltulo 3) e ~ oeditada a ele a inser~ da
pcobabilidade em uma ~ matematica.
Es<udou regressao e ~odo dos m;.,irnos quadfados (Clpitulo 9) por meio
da astmoomia. Em sua hwa, a cistribui(ao normal e as veies. dlamada de
cislr;~ Gaussiana.
Usoo """tis1ica descritiva (Clpltulo 2) para aoalisar dados de crimes e
mor1,1idade e e!ludou too>icas de censo. Desct.-..eu distribu~ normal
{C.pltulo S) em oonex.!o cam ca:acleristicas humanas. como altura.
USOu reg<ess!o e ~ (Clpr1ulo 9) para eSl<rdar v~ ~em
tun.nos. l\ele eaediada • desa>be<tado Teorema do linile
(Capllulo 5).
°"'"'
"-' ~rson (1857- 1936)
John Turley (1915-2000)
'
Perlodo
S«uloXX
Esludou a~ natural usando 0011~ (Qpitulo 9). F0tmou opcimeiro
depanamento ~mico de eslatfslica e ajudou a desenvol..., • <Wlise "';.
-quadrado (Clpaulo 6).
fsludou o processo de pcooo,ao de <erveja e deserwotveu o ,.,,.., para CX>rrigi1
pcoblcmas rel.ldonados a 16manhos peqoonos <le amo!lras (Capr'lulo 6).
Ps«:Ologo bfi1anico que loi um dos P<;meiros a desemolver tes1es de ilteligerlcia
usaodo an!I~ de fa1ores (capltulo 10).
Esludou biologia e ~ n<llural. desenvol\<!u a m<J/A (Cl?<1ulo 10),
mosuou a impor!Ancia do planejamemo experimental (C.p(tulo I) e foi o
pffileiro a idenuficar as t;p01eses nula e alttmotiva ((apillio 7).
Sioqiimico que usoo es1alislica para e!lud.lr pa1<iogias de plantas. lnuodwiu
os testes de duas amo!lras (Glpi1'*> 8), o que le\w ao d~to de
estatisticas n~ para~ic,,,s.
TraballlOU em Pmcemon <llrai>te a II Guerra Murldial. Apresen!OU 100iic.lrs de
analise de dados eicploral<lrias 1ais como diagramas ramo"'"'1has (Glp(tu!o 2).
Tambem uabalhou nos Laboea100os Bel e emais corliecido por seu uabalho
com est.J•istica inlerendal (capllulos 6 a 11).
Trabalhou em Pmcemon e Clmbridge. ~ a aUloridade prin<ipal sobre
pcobabilidade aplicada e analise de dados (capitulos 2 e 3).
Ed ,e 1naaa
1
(apntl• t
Tecnologia
I
MINITAB \
Usando a tecnologia na estatistica
Com grandes conjuntos de dados, voce descobri~ que calculadoras e S()ftwares
de computador podem ajudar a realizar calculos e criar gnlficos. Dos muitos progra·
mas de estat(stica e calculadoras que estao disponrveis, escolhemos incorporar a calcuJadora grafica Tl-83/84, o MINITAB e o S()ftware Excel neste livro.
0 exemplo a seguir mostra oomo usar ess.is tres ferrilmentas tecnol6gicas para
gerar uma lista de numeros aleat6rios. Esta lista de nl'.tmeros aleat6rios pode ser usada
para selecionar membros da amostra ou realizar simula~<ies.
Exemplo
Gerando uma lista de mimeros aleatorios
Um departamento de oontrole de qualidade inspeciona uma amostra aleat6ria
de 15 dos 167 carros que silo montados em uma fl\brica de autom6veis. Como os carros
devcm ser cscolhidos?
So/11pio
Uma i11aneira de escolher uma amostra ~ prin1eiro numerar os carros de 1 a 167.
Entao, voce pode usar a tecnologia para fom1ar uma lista de numeros aleat6rios de 1 a
167. Cada uma das ferramentas tecno16gicas requer diferentes passos pal'il gerar a lis·
ta. Cada uma, entretanto, requer que voce identi fique o valor minimo oomo 1 e o valor
maxi mo oomo 167. Cheque o manual do usuario para instru~Oes espedficas.
MINITAB
•
1
...s.3
4
5
6
7
~
9
10
11
12
, 13
14
15
I
EXCEL
C1
TI-8J!84 \
randln~1.167.151
{1742152595
116125 64122 55
58 6082152105}
1~
74
160
18
70
so_
s2_
37
6
82
126
__ sa
104
137
103
64
135
- - 90
Lembre-se de que quando voce gera uma lista de numeros aleat6rios, voce deve
decidir see aceitavel ter nlimeros que se repetem. Se for aceitavel, entiio o processo de
amostragem edi to com rcposi,no. Se nao for, entao o processo edito sem reposir;no.
Com cada uma das tres ferramcntas tecnol6gicas mostradas no exemplo anterior, voce tem a capacidade de selecionar uma lista de modo que os mlmeros apa~am
em ordem. Asele~~o ajuda averse qualquer um dos numeros na lista se repete. Se isso
nao for aceit~vel voce devc especificar que a femunenta gere mais nl'.tmeros aleat6rios
do quc a quantidade de que voce precisa.
•
EXCEL
ln11•docl•!"t111ltica
29
Ed ,e 1naaa
1
30 •
r11a1l11ica apll<tda
Exercicios
1. 0 SEC (Secunlies and Exchange Comission) esl~ inves1igando
uma emp!esa de servi~os financeiros que tern 86 eo«elores. 0
SEC decide revisar os 1egisuos de uma amostra aleat6tia de 10
corre10<es. Descreva como essa inves1igaao pode se feita. Entao,
use a tecnologia para gerar uma lisla de 10 numeros alea16rios de
I a 86 e ordene a lista.
2. Um departamento de comrole de qualidade est~ teslando 25 d ·
meras de celulares de um carregamenlo de 300 telelones com
cameras. Desaeva como esse teste poderia ser feito. Emao, use
a 1ecnologia para gerar uma lista de 25 niimeros aleat6rios de I
a 300 e ordene a rJSta.
3. Considere a populaao de dez dlgitos: O, l, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.
Selecione tres amostras aleat6tias de cinco digitos de sua lista. Enconue a media de cada amosua. Compare seus resultados com
a media da pop<Jla~ inteira. Comente. (Oico: para enamtrar
a media, some as entradas de dados e divida o resultado pelo
numero de entradas.)
4. Considere a populaao de 4l rilmeros inteiros de o a 40. Qual
e a media desses n<Jmeros? Selecione tres amostras aleat6rias
de sete numeros dessa lista. Eocontre a media de cada amostra. Compare seus resultados com a media da populal<lo inteira.
Comeflte. (Dica: para encontrar a media, some as entradas de
dados e dMda o resultado pelo numero de entradas.)
5. Use numeros aleat61ios para simular a jogada de um dado de seis
lados 60 vezes. Quanras vezes voce obteve cada ntimeto de I a
6? Os resultados sao os que
esperava?
6. Voce jogoo 001 dado de seis lado<s 60 vezes e obteve a seguime
contagem:
20 uns
20 dois
l 5 tres
3 quatros
2 cincos
0 seis
Esse parece um resultado razoovel? Que inferencias podem ser
feitas desse 1esultado?
vore
7. Use n~meros aleat6rios para simular o la~mento de uma moeda
100 vezes. Onde 0 representa cara e I coroa. Quantas vezes
obteve cada numero? Os resultados sao os que voce esperava?
vore
8. Vocejogou uma moeda lOOvezeseobteve n carase 23 coroas.
Esse parece um resultado razoovel? Que inlerencias voce pode
razer do resultado?
9. Um analista politico gostaria de pe5quisar uma amostra de eleito·
res registrados de uma regi3<>. A regi!o tern 47 zonas eleitorais.
Como ete poderia usar numeros aleat6rios para obter uma amos·
ua agrupada?
t1,[11.11§§§
Capitulo
2
'
I -_ _ _
Estatlstica descritiva
fff(" 11m11lil'llt'tn111'
Onde estamos
dbtfl"'tl("4• deJr•'•J11f1""'
No Capftulo 1, vod> aprendeu que M muitas maneiras
para se colelar dados. Normalmente, os pesquisadores prccisam lrabalhar com dados amostrais a fim de an.ilisarem
popula¢es. mas ocasionalmente e possivel oolelnr lodos os
dados para certa popula~. Por exemplo, a seguir lemos a
representa(ao do mimero de to11clulow11s marcados por todos os 119 times de futebol americano da primeira divis.\o
da NCAA na lemporada de 2006.
ftK~~.••Rn•~~~~~~--~
~-~~~~-~-~K~~--~~~
47, 41, 39, 41, 45, 44, 45, 43, 42, 42, 48, 43, 40, 39, 44, 37, 40, 45,
G~--~K~~~~·~~.K•BaR
)
Oust
Frequlnri• f
15-24
16
25-34
34
35--H
30
-15-&1
23
~
13
65-74
2
T:>-M
0
85-94
I
~RRRRRRRK~.~~K R~.~R~
28, 29, 28, 29, 31, 27, 29, 28, 27, 30, 25, 23, 24, 26, 22, 25, 20, 21,
21, 22, 21, 24, 21, 17, 15, 18, 18, 15, 15
Para onde vamos
e
·g
No Cap«ulo 2, vod> aprendera maneiras de organizar
e descrever conjunlos de dados. 0 objetivo ~ lonw os da·
dos mrus ~s de serem entendidos d~cndo lend~n­
cias, ml!dias e varia¢es. Por exemplo, nos dados brulos
que mostram o mlmero de to11clid!r.;i11s de todos os limes da
primeira divisJo da NCAA nao e f~cil ver um padr.'lo ou
alguma caractcristica em especial. Aqui tcmos algumas manci rns nas quais voce pode organizar e descrever os dados.
"'J$° +-- c...._
,...___,
25 -1--
g. lO
!!
~
1
IS
10
5
{'~ ~~ ~., i'., ~., ~., ~., ....,
TcJ11t•l1dtn~°tJJ
M(!dia
15+15+ 15+ 17+18+ ···+63+<>5+68+89
119
4.624
=li9
"'38,9 to11c/ldow11s
Amplitude= 89-15
....__,,,,,
.\f,,.,111111 mflfiit
\~tllt<l'h'•"'did"' ooamr
= 74 to11clulow11s ..-- - /
Ed ,e 1naaa
1
0que voce
Ill Distribui~oes de frequencia e seus graficos
Oistribui(oes de frequencia -r Grcificos de distribui(oes de frequencia
deve aprender
CQrno construir Ul113 distnllu~ao
de frequencia ir(luindo limites
ponlos medias. frequencias relaliva~ frequencias acumuladas e
limites
• CQrno conSlfuir listogramas de
freqoencia, poligooos de frequencia, histogramas de frequencia
relativa e ogivas.
111
I
Distribui,oes de frequencia
Voci! aprendera que ha muitas maneiras para se organizar e descrever um conjunto de dados. Algumas caracterrsticas importantes que devem ser consideradas
quando organizamos e descrevcmos um conjunto de dados sao o ccntto, a variabi·
lidade (ou amplitude) e a forma. As medidas centrais e as formas das distribui<;Oes
ser5o abordadas na ~o 2.3.
Quando um dado tern muitas cntradas, podc ser dincil de ver padr0cs. Nesta
~o, voce aprendera como organizar conjuntos de dados agrupando os dados em
intervalos chamados de classes e fonnando uma distribui<;ao de frequ~ncia. Voce tambem aprendera como usar as distribui~Oes de frequencia para a construi;.'io de gr.ificos.
A distribui~~o de frequencia e uma tabela que mostra classes ou intervafos das entradas de
dados com uma contagem do numero de emradas em cada classe. A lrequencia f de uma
classe e o numero de entrada de dados em uma classe.
Exemplo de uma
frequencia
distribui~iio de
Oasse
Frequencia f
t-S
5
6-10
8
11-15
6
16-20
8
21-25
5
26-30
4
Na distribuii;.1o de frequencia mostrada aesquerda h~ seisclasses. As frequencias
para cada uma das seis classes siio 5, 8, 6, 8, 5 e 4. Cada dasse tem um limite inferior
de classe, que eo mcnor numero que pode pertencer aclasse, e um Ii mite superior de
classe, que eo maior numero que pode pertencer a classe. Na distribui<3o de frequen·
cia mostrada, oslimites inferioresda classe saoS, 10, 15, 20, 25e 30. A largura de classe
e a distancia entre os limites inferiores (ou superiores) de suas consecutivas classes.
Por exemplo, a largura da classe na dislribui<~o de frequencia mostrada e 6 - 1 = s.
A diferen(a entre as entradas de dados m<ix.imas e rninimas echamada de am·
plitude. Na tabela de frequ~ncia mostrada, suponha que a maior entrada de dado seja
29, ea mfnima seja l. A amplitude e, ent3o, 29 - 1 = 28. Voce aprendera mais sobre
amplitude na ~ao 2.4.
lnstru(iies
Construlndo uma distrlbui,ao de frequencla com base em um conjunto de dados
1. Dccida. o nUmcro de cl\lSGC!; pa.ro serc1n inclufdos no
Dica de estudo
Na distribuii;.'lo de frequen·
cia, e melhor que eada classe
renha a mesma largura. As
r.espostas usanlo o valor mJ·
nimo do dado para o limite
inferior da primeira classe.
As vezes, pode ser mais conveniente escolher um valor
que stja sensiveJmentc mais
baixo que o mJnimo. A distri·
bui<;ao de frequ@ncia produzida ira variar levemente.
distribui~5o
de frcqu~n
cia. 0 numero de classes deve estar entre 5 e 20; caso contrario, pode ser diffcil
detectar os padr<ies.
2. Encontre a largura da classe como a seguir. Oetennine a amplitude dos dados,
divida a amplitude pelo numero de classes e nrredo11de pnm o pr6xi1110 mimero
q11e sejn co11ue11ienle.
3. Encontre os Ii mites de dasse. Voce pode usar a entrada de dados minima como
o limite inferior da primeira classe. Para encontrar os limites inferiores restantes, adicione a largura da classe ao Ii mite inferior da classe precedente. Ent3o,
encontre o limite supe.rior da primeira classe. Lembre-se que as classes 11<'\o se
sobrcp6em. Encontre os limitessuperiores d.e classe restantes.
4. Fa~a uma marca de contagem para cada entrada de dados em ordem da classe
apropriada.
5. Conte as marcris para encontrar a frequencia total f para cada classe.
!opl1Ulo l
•
ls111b1ico oln<1itiva
33
Exemplo 1 I
Construindo uma distribui,10 de frequenda com base em um conjunto de dados
0 conjunto do dadoc ;1.mostr~is a Sl"guir lista o
nUm~ de minutos que SO usua-
rios de lnlemct gastam na rede duranle sua mais recenle sessao. Construa uma distribuic;OO de frequma para as sele dasses.
50 40 41 17 II 7 22 44 28 21 19 23 'Yi 51 54 42 86
41 78 56 72 56 17 7 69 ~ &l 56 29 33 46 31 39 20
18 29 34 59 73 77 36 39 ~ 62 54 67 39 31 53 44
SofuftiO
1. O numero de classes (7) edado no problema.
2. A enlrada de dados minima e7 ea enlrada de dados m~xi111.1 e86, enliio, a amplitude e 86 - 7 = 79. Oivida a amplilude pelo numero de dasses e arredonde para
encontrar a largura da dasse.
l.argum da classe -
79
7
"'11,29.
"
3. Aentrada mfnima de dados eum limile inferior convenicnte para a primeira classe. Para cncontrar os lhnites infcriores das scis classes restantes, adicione a largura
de dasse 12 ao limile inferior de cada dasse anlerior. 0 limite superior e18, que e
um a menos do que o limile inferior dn seglll1da classe. Os limites superiores das
outras classess.'lo 18 + 12 '" 30, 30 + 12 + 42, eassim pordiante. Os limites inforiores e superiores para lodas as sele classes S<'lo moslrados.
4. Fac;a as marcas de oonlagem para c.1da cnlrada de dados na classe apropriada. Por
excmplo, a enlrada de dado 51 est6 na clnsse 43-54, enliio fa~a uma marca de contagem nesta classe. Continue ale que v~ lenha feilo uma ma.rca para cada uma
das 50 enlradas de dados.
5. 0 mlmero de marcas de oonlagcm para uma classe ea frequ~ncia para esta dasse.
A distribui~3o de frequ~ncia emoslrada na tabela a seguir. A primeira classe,
7-18, lem seis marcas. EnlAo, a frequ~ncia para esla dasse e 6. Note que a soma das
f:requ~ncias e50, que ~ o numero de entradas no oonjunlo de dados amoslrais. A soma
e denotada por I:j. em que I:~ a leira grega maiuscula sigma.
r
Distribui~io de
\hnul<><~
c:•n·h~
frequencia p.ua uso
de lntemel (em minutos)
a.7-18
19-JO
31-'12
~
s.s-u
67-18
79-90
Muto
Frequlncia, f
tiff I
l!IHl!I
lllHlff Ill
tiff Ill
tiff
tiff I
II
6
u~
•Se
v~ obtiver um numcro
inteiro quando calcular a largura da classe de uma distribuic;OO de frequ@ncin, use o
proximo mimcro intciro oomo
a largura da classe. F<11.Cndo
isso, v~ prova que tern espa<;o suficiente em sun distribuic;OO de frequencia para
todos os valores dos dados.
mfnimo
Limite
timile
mJximo
7
18
19
31
JO
42
n
SI
55
66
67
18
19
90
Dico de e>tudo
•A letra grega 111.1i1iscula sig-
ma (L') eusada pela eslatistica para indicar uma somal6ria de valores.
10
13
8
5
6
2
[;( &
.....1
'-un>c'mdc
lmportante
'.'\ot~ qiw .t
-.omce d.a.,
(n."qU~nriJ':> ~ idCntiCI
_.,
.10 ntim1.'1'0 d;a .1nu~r.1.
50
lento Construa uma distribui~3o de frequencia usando o oonjunlo de dados do nu-
mero de to11c/11lmv11i lislado no infcio do caprtulo, nap. 31. Use oilo dasses.
Ed ,e 1naaa
1
a. Estabele~a o 111l111ero de clns...:es.
b. Encontre os valores m.fnimo e m<\ximo ea lnrg11rn dns c/11sses.
c. Encontre os li111ites dns classes.
d.
fn~a as n1nrcns de coutnse.111
para as entr;ldas de dados.
e. Eocreva a freq11e11cin f para cada classe.
R17S11P$l11 nn I'· .AJZ
Depois de construir uma distribui~ de frequencia padrao tal oomo a do Exemplo 1,
voce pode incluir diversas caracteristicas adicionais que ajudarao a fomecer um melhor
entendimento dos dados. Essas caracterfsticas (pontos m&tios, frequencia relativa e frequencia act1mulada) podem ser indufdas como colun<lS adicionais em sua tabela.
Definicao
0 ponto media de uma dasse e a soma dos limites inferiores e superiores da classe dividida
por dois. 0 ponto medio e, as vezes, chamado de morco do closse.
Pot
.d.
(fmileinferiordadasse)+(limiesuperiordadasse) .
nome IO=
2
A frequencia relativa de uma classe e a p0<~0 ou porcentagem de dados que esta em determinada dasse. Para encontrar a frequencia relativa de uma classe, divida a frequencia f pelo
tamanho n da amostra.
Frequencia relativa
F~ncia da dasse
Tanarro da anostra
f
=-.
n
Afrequencia acumulada de uma classe ea soma da frequencia para aquela classe e todas as
anteriores. Afrequenda aasmulada da tlltima classe eigual ao tamanho n da amostra.
Depois de encontrar o primeiro ponto m&tio, voce pode encontrar os pontos
restantes adiciooando a largura da classe aos pontos anteriores. Por exemplo, se o primeiro ponto mMio e12,5 ea classe e12, entao os pontos rcstantes sao:
12,5 + 12 = 24,5
~
24,5 + 12 = 36,5
~
36,5 + 12 = 48,5
~
48.5 +12 = 60.5.
e assim por diante.
Voce podeeocrever a frequencia relativa como uina frac;lio, um decimal ou porcen·
tagem. A soma das frequencias relalivasde todas as classes deve ser igt1al a 1 ou 100%.
Exemplo
m
Encontrdndo pontos medios, frequencidsre!dtivds e frequencids dcumu!adas
Usando a distribuiy'lo de frequ~ncia oonstrufda no Exemplo I, encontre o ponto
m&tio, a lrequencia relativa e acumulada para cada classe. lde.1tifique quaisquer padriies.
Ed ,e 1naaa
1
So/11fiio
0 ponto m&lio, a frequencia relativa ea acumulada para as Ires primeiras dasses siio:
Class•
f
Pontomedio
Frequtncia
reJativa
Frequencia
acumu.lada
7-tS
6
7 +18 = 125
2
'
6
50 = 0,12
6
19-30
IO
19+ 30 = 24,5
2
.!Q=O2
6 + 10 = 16
3H2
13
31+ 42 36 - 2 - =- ,;)
13
= O 26
50 '
16+13 = 29
50
'
Os pontos m&lios rcstantes, as frequencias relativas e acumuladas s.'lo mostradas na distribui~ao de frequencia expandida que vem a seguir.
Distribui~ao de
\Unuto-.
<>1l·line ~
frequencia para o uso da Internet (em minutos)
Classe "'Freqaencia /
./
1\'Uml'ro d~
usu.'l.rio:;.
-
7-18
19-30
31-42
43-54
12,5
24,5
36,5
6
10
13
8
5
6
2
55-66
67-78
76-90
Ponto Frequencia Fxequ~ncia
medio Ttlativa ., acumulada
48,5
60,5
72,5
84,5
£/ = 50
0,12
Q,2
0,26
0,16
0,1
0, 12
0,().1
Pol'(,lode
lbU<lri""
6
16
29
J7
42
48
50
)) = I
II
ItiterpretafiiO
Ha divcrsos padroes no conjw1to de dados. Por exemplo, o tempo mais oomum gasto
pelos usuarios on-line foi de 31 a 42 minutos.
Tente Usando a distribui~ao de frequencia oonstru!da no Tente vore 1, encontre o
vocf ponto m&lio, a frequ~ncia relativa e acumulada para cada classe. Jdentifique
quaisquer padr<iesa. Use as formulas para enoontrar o1•.mto mtdio, aji·q111!11cia n'lntim eafn'.'1111!11cin ac1111111/arfa.
b. Orgm1ize os rcsultados em uma distribui~o de frequencia.
c. lde11tifiq11e os pad.roes que surgem dos dados-
I
Graficos de distribui,oes de frequencia
As vezes, e mais Meil identificar padroes de um conjunto de dados olhando o
graficoda distribui~~o de frequ~ncia. Um desses grafioos eo histograma de frequ~ncia.
efinitao
Um histograma de frequencia
e um diagrama de bairas que representa a distribui¢o de
frequ~nda de um coojunto de dados.
Um histograma tern as seguintes propriedades:
Ed ,e 1naaa
1
36 • b1atl!\i(aapll<od•
1. Aescala horizontal e quanlitativa e mede os valores dos dados.
2. A escala vertical mede as frequencias das classes.
3. As barras consecutivas devem estar encos1adas umas n.as outras.
Dica de estudo
Se as entradas de dados silo
n\lmeros intejros, subtraia 0,5
de cada limite inferior para
encontrar as fronteiras inferiores da classe. Para encontrar
as fronteiras superiores, adi·
cione 0,5 a cada limite superior. A fronteii:a superiot de
\llnla dasse sera igual a fron·
teira inferior da pr6xima classe mais alta.
aasse Fronteiras frequCncia
de classe
f
7- IS
6,5-IS,5
6
19-30
18,5-30,5
10
31-42
30,5-42,S
13
43-54
42,5-54,S
55-66
54,5-66,5
8
5
67-78
66,5-78,5
6
79-90
78,5-90,S
2
Em virtude de as barras consecutivas no histograma estarem cncostadas, elas
devcm cOmCf<lJ' e terminar nas fronteiras da classe ao i1w~s de em scus limites. As
frontciras das classes s.io numeros que sepamm as classes sem formar lacun.15 entre
clas. Voce pode marcar a escala horizontal tanto nos pontOoS m~dios quanto nas fron·
teiras das classes, conforme o Exemplo 3.
Exemplo DJ..;.
3_,__ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __
Construindo um histograma de frequencia
Fa~a um histograma de frequenda para a distribui~iio de frequencia no Exemplo
2. Descreva qualqucr padriio.
Solupfo
Primeiro, encontre as fronteiras da dassc. Adistancia entrc o limite superior da primei·
ra classe e o Ii mite inferior da segunda e 19- 8 = 1. Metade dessa distancia e 0,5. Entao,
as fronteiras inferior e superior da primeira classe sao as seguintes:
Fronteira inferior da primeira classe = 7 -0,5 = 6,5
Fronteira superior da primeira classe = 18 + 0,5 = 18,5
As fronteiras das classes remanescentes siio mostradas na tabela. Usandoos pon·
tos m<!<liosou as fronteiras das classes para a escala horizontal e escolhendo os va.lores
de frequencia possfveis para a escala vertical, voce pode construir o histograma.
Uso da Internet
(rotulado com pontos medios das classes)
~
lmportante
e
costume.iro, cm diagr;imas
de barras, deixar espa~ en·
tre as barras; ja em histogra·
mas, costuma-se ru'io deixar
esses espa~s.
fil•
·~
Cl
~2
"'~
]
"
13
Uso da lntemet
(rohtlado com fronteiras de classes)
13
12
ID
10
s
6
'2
8
6
8
5
6
5
2
12.S 2.1.S 36,5 48.S 60.S 72.S SIS
F.ixo qu1.:brttdo Tcsnpo on·Unt (minulOS)
6
2
6.S 1s,s 30,s .. u S-l.S 66.5 i8.S ro.s
Tcrnpoon·linc (lninutos)
111terpretapio
De qualquer histograma, podemos ver que mais da metade dos usuarios gasta entre 19
e 54 minutos na Internet durante sua sessiio mais recente.
Use a distribui~io de frequencia do Te11te uocl 1 par.a construir um histograma
de frequencia que represente o numero de touchdowm feitos por todos os times
da primeira divis.'!o do futebol americano. Descreva quaisquer padraes.
a.
b.
c.
d.
Encontre as fro11teiras das classes.
Escolha asescalns /1orizo11tnis e r.ierticnis apropriadas.
Use a distribui~ao de frequencia para encontrar a nlt11rn de cnda bnrrn.
Deocreoo qualquer padr~o para os dados.
Edifii,IJd§d
Outra maneira de representar graficamcntc a distribui~ao de frequ~ncia e usar
"m pollgono de frequ~ncia. Um poligono de frequencia eum gr~fico de linhas que
enfatiza as mudan"'s contrnuas nas frequ~ncias.
Exemplo
-
4
Consuuindo um poll9ono de frequencia
Far.i um polrgono de frequ~a para a dislribui~ de frequencia no Exemplo 2.
5-0lupio
Para construir um polrgono de frequblda. use as mesmas escalas horizontais e verticais que foram usadas no histograma nomeado oom os pontos mt!dios no Exemplo 3.
Entao, ~resente os pontos mt!dios ea frequ~ncia de cada dasse e oonecte os pontos
em ordem da esqucrda para a direita.J~ queogr~fioo deveoom~e terminar noeixo
horizontal, prolongue o lado esquerdo a uma largura de dasse antes do ponto mt!dio
da primeira classe e prolongue o lado direito a uma largura de classe depois do ponto
m(\dio da ullima classe.
Uso de lntemet
O'°'
t -t
+
Its U.5 :l6..S "8..S 60.S n.5 84,S 96.S
Tempo on~li nc (minutos)
Irrterprtlaftio
Podemos ver que a frequ@ncia de usudrios aumenta ate 36,5 minutos e depois decai.
Tenet Use a distribui~:.O de frequ~cia do Tentc voce l para oonstruir um polfgono
wd
4
---
Di ca de estudo
de frequ@ncia que represente o mimero de to11cl1dom11s marcados por todos os
times da primeira divis3o do futebol americano. Descreva quaisquer padroes.
'"· Escolha astsrolns liorizo11tnis t iwtknis apropriadas.
b. Dts.-11l1t os po11tos m«tios e as frequbldas de cada dasse.
~. Co11«tt os po11tos e estenda os lados o quanto for necess<lrio.
d. Dtsrrr..w quaisquer padl'M para os dados.
Um histogr~mi de frequencfa relitivi tern a mesma forma ea mesma escala horizontal do histograma de freq~ncia oorrespondente. Adi~ eque a esrala vertkal
mede as frequ~ncias rtlnlims e nao as frequ~ncias.
Exemplo l 5
Construindo um histo9rama de frequencia relativa
Fa"' um histograma de frequ~ncia relativa para a distribui(~o de frequ~ncia do
Exemplo2.
Um histograma e seu polfgono de frequ~ncia correspondente costumam ser fcitos
juntos. Se v~ ainda nao
construiu o histogroma. comece construindo um polfgono de frequencia escolhendo
as escalas verticais e horizontais apropriadas. A ~la
horizontal deve oonsistir dos
pontos mt!dios da classe e a
escala vertical deve consistir dos valores de frequ~ncia
apropriados.
Ed ,e 1naaa
1
38 •
lstat~ica'91lcad•
-
I
Retratando o mundo
0 Old Failhul, um gi!iser no
parque nacional de Yellowstone, entra em erup~ao regulam1ente. As amplitudes de
tempo de uma amostra das
eru~tles sao dadas no histograma de frcquencia relativa.
(fwltr;
Sol11flio
0 histograma de frequencia relativa e mostrado. Note que a forma do histograma ea
mesma forma do histograma de frequcncia construido no E~emplo 3. A (mica diforen·
\<' eque a escala vertical mede as frcqucncias relativas.
Uso de Internet
0.28
0.2•
0.20
Ytll~t~IOrtt' N11/1onnl Pnr4·.}
0,16
0,12 -1-,- - 1
Erup~iies
o.os
do Old Faithful
o,o.i
6,S
1$,S
30.S
42,S Sl.S 66,S '1$,S
90,S
Te1np<> on-line (minutos)
/11terpret11fiio
2J) 2.6 3.l l8 ""
[)u~ilo d:t CNp;ilo
(~m minutw:)
Ci11q11e11/fl por ce11to das ernpfO<>s d1ira111111mt>S do q11e q11m1·
tos 111in11tos?
Com base neste grMico, uma informa')iio que pode ser rapidamente encontrada eque
0,20 ou 20% dos usuanos de Internet gastam entre 18,5 e 30,5 minutos on-line, infoni1a·
.,au que nao eimediatamente 6bvia no histogram• de frcquencia.
Tiiite Use a distribui~ao de frcquencia do Te11te voce 1 par<i construir um histograma
Yocf de frequcncia relativa que represente o n(1mero de to11cl1rlow11s marcados por
5 todos os times da primeira divisao do futebol americano.
a. Use 1111res11111 esrola /Jorho11t11/ como a usada no histograrna de frequencia.
b. Reui>e a esm/11 verticnl para refletir as frequencias relativas.
c. Use as frequencias relativas para c11ro11tmr 11 alt11m rle cnda IH!rm.
R011(1Slt1 1u 1I'· All
Se VOCC quiser descrever 0 m'imero de entradas de dados que S<iO iguais a OU
menores que certo valor, voe@ pode facilmente faze-lo construindo um grafico de frequencia acumulada.
efinicao
Um gr.lfico de frequencia acumulada ou ogiva (pronunria-se o'jiva) e um grafico de linhas
que mostra as frequencias acumuladas de cada classe em sua fronteira da classe superior. As
fronteiras superiores s.io marcadas no eixo horizontal e as frequencias acumuladas slo marcadas
no eixo vertical.
lnstru~oes
Construindo uma ogiva (grafico de frequencia acumulada)
1. Construa uma distribui~ao de frequcncia que inclua as frequcncias acumula-
das conforme uma das colunas.
2. Especifique as e$C.111as horizontais e verticais. A escala horizontal consiste das
fronteiras da dasse superior ea escala vertical mede as ifrequ@ncias acumuladas.
3. Representeos pontos que descrevem as fronteiras das classessuperiorese suas
frequ@ncias acumuladas correspondentes.
Ed ,e 1naaa
1
C.pnlilo1
•
f1101ts1icadf1critiva
39
4. Conecte os pontos em ordem da esquerda para a direita.
5. 0 grMico deve come.;ar na fronteira inferior da primeira classe (a frequ@ncia
acumulada e zero) e deve tenninar na fronteira superior da ultima dasse (a
(requencia acun1ulada ~ iguaJ ao larnanho da a.nostril).
Exemplo
m
Maior
fronteiI>
Construindo uma ogiva
Oesenhe uma ogiva para a distribui~ao de frequencia do Exemplo 2. Estime
quantos usuarios gastam 60 minutos ou menos on-line durante sua ultima sessao.
Tambem use o gr~fico para estimar quando ocorre o maior aumento no uso.
Sol11pio
Usando a distribui~ao de ftequ@ncia acumulada, podemos construir a ogiva mostrada
a seguir. As fronteiras da classe superior, as frequencias e as frequencias acumuladas
s.io mostradas na tabela ao Iado. Note que o grafico come~a em 6,5, onde a frequencia
acumulada e0 e termina em 90,5, onde a frequencia acumulada e50.
Uso da Internet
6.S
18..S
30..S 4?.S S4.S 66.S
T\.>mpo on~linc (lninulo:<)
?8.S
90..5
fltterpretafiio
Com base na ogiva, podemos ver que por volta de 40 usuarios gastam 60 minutos
ou menos durante sua ultima sessiio. t evidente que o maior aumento no uso ocorre
entre 30,5 e 42,5 minutos, jaque o segmento de linha emais indinado entre essas duas
fronteiras de classe.
Outro tipo de ogiva utiliza porcentagem cornoo eixo vertical em vez da ftequen·
cia (ver Exempto 5 na Se~o 2.5)
r.r.=" Use a distribui~ao de frequencia do Te11te wee 1 para constrwr uma ogiva que
representc o ntlmero de to11cl11loums marcados por todos os times da primcira
divisao do futebol americano. Estime o numero de times que marcaram 44
to11cl1dow11s ou menos.
a. Especifique as escalt1$ lrorizo11tnis e verticnis.
b. Represe11teos pontos dados pelas fronteiras de classe superior e as (requencias acumuladas.
c. Co11strun o grafico.
d. £.;time o numero de times que marcou 441011cl1dow11s ou menos.
e. l11te.rprete o resultado no contexto dos dados.
R~14'W1111n p.
A33
f
Frequ@ncia
acumulada
18,5
6
6
30,5
10
16
42,5
13
29
54,5
8
37
66,5
5
42
78,5
6
48
90,5
2
50
declasse
Ed ,e 1naaa
1
Dica de estudo
•lnstru<;Oes detalhadassobre o
uso do MINITAB, do Excel e
da 1'1·83/84 podem ser vistas
no Guia de Tecnologia que
acompanha esse texto. Por
exemplo, aqui temos inslrn·
<,;Oes para se criar um histo;
grarna na Tl-83/84.
Exemplo
m
Usando a terno!ogia para construir histogramas
Use uma ca.lculadora ou um computador para construir um histograrna para a
distribuic;ilo de frequencia no Exemplo 2.
Sol11fdo
MINITAB, Excel ea 1'1·83/84 - c.1da um tem caracteristicas para fazer histogramas.
Tente usar essa tecnologia para desenhar os histogramas conforme mostrados.
ISTAT! I ENTER I
Digite os pontos
m~ios
MINITAB
I
.•
em
LI.
l
1: --
J.
Digite a frequ@ncia em L2.
EXCll
!l'.:] ISTATPLOT I
•'
Ligue o Plot 1.
Destaque o histograrna.
Xlist: L1
Freq: L2
Tl·8J
~
~
~
D .t;:..
-~
~
"'
I
IZOOMI [2]
I WINDOW I
Xscl = 12
I GRAPH I
Use uma calculadora ou um computador para construir um histograma de
frequencia que represente o numero de to11cl1rlow11s marcados por todos os times da primeira divisao do futebol americ.1no listados no infcio do c.1pftulo,
na p. 31. Use oito classes.
a. E11tre com os dados.
b. Co11strun um histograma.
IJI
Exe rcicios
Construindo habilidades basicas econceitos
7. Uma ogiva ~ um gr~fico que mostra a frequ@ncia re!ativa.
8. As fronceira-s de classes s!o usadas para assegurar que as bartas
l. Quais sao os beneflcios de representar conjuntos de dados usando as distribui~oes de frequoocia?
2. Quais S<lo os beneficios de representar conjuntos de dados usando os grafocos de distribuii;OO de frequ00cia?
3. Qual a dilere<><;a entre os limites de dasse e as fronteiras de dasse?
4. Qual a difer~ enue a fr•ncia relativa ea arumulada?
Verdadeiro ou fatso?
Nos exercicios de 5 a 8. determine se a frase e verdadeira ou
falsa. Se for falsa, reescreva·a de forma que seja verdadeira.
5. Em uma distn~o de frequ~ncia. a largura da dasse ea diS!An·
cia entre os limites supe<iores e inferiores de uma dasse.
6. 0 ponto mMio de uma dasse e a soma de seus limites superio·
res e inferio<es dividida por 2.
consecutivas de um histograma se encostem.
Nos exercicios de 9 a 12, use as emradas de dados minimas e
mAximas e o r(Jmero de classes para encontrar a laigura da dasse, os
6mites inferiores e superiores da dasse.
9. minimo = 7, mAximo = 58,6 classes.
10. mlnimo = 11, mAl<imo = 94,8 dasses.
11. mlnimo R 1s, rmllimo • 123,6 classes.
12. mfrimo = 24,maximo = 171,lOdasses.
Lendo uma distribui~ao de frequencia
Nos exe<dcios 13 e 14, use a distribui9Jo de frequencia dada
para encontrar:
Ed ,e 1naaa
1
(•pftulo2
(a) a larguta da dasse.
(b) os pontos m~ios da dasse.
(c) as fronteiras da dasse.
•
lst11T11i<• dt1uitlY4
41
18.
Altura d"' arvore
13.
Cleveland, OH - temperaturas altas (OF)
aasse
Frequ~ncia, f
20-30
19
31-41
43
42-52
68
53-63
69
64-74
74
75-85
68
86-96
24
UI :?3 28 .lJ 3S ~3 4S
Altura$ (cn1 polc-gad:u)
Analise grafica
Nos exerdcios 19 e 20, use a ogiva pa1a apioximar:
(a) o numero na amootra.
(b) a localiz~o do maior aumento na freq~ia.
19.
14.
Beagles machos
Tempo gasto para chegar ao trabalho (em minutos)
Classe
Frequ~ncia,
0-9
188
10-19
3n
20-29
264
30-39
205
4()..49
83
S0-59
76
6()..69
32
f
15. Use a dislribui<;ao de frequblcia do Elcercicio 13 para construir
uma distribuit;do de frequencia expandida, como mootrada no
Elcemplo 2.
16. use a distribui\:Ao de frequencia do Elcercicio 14 para consuuir
uma diwibui~~o de frequ~ncia expandida, como moouada no
Exemplo 2.
Analise grafica
Nos exercicios 17 e 18, use o histograma de frequencia para:
(a) de1e1minar o numero de classes.
(b) estimar a frequencia da classe com a menor frequ~icia.
(c) estimar a frequ~ da dasse com a maior frequ~cia.
(d) determinar a largura da classe.
17.
Salario do fw1cionario
JOO
~
2l0
Mulheres adultascom idades entre 20 e 29 anos
5860626' 666810n1•
Alturas (c-1n polcgndas)
21. use a ogiva do Exercicio 19 para aproximar:
(a) a frequ~ia acumulada para o peso de 24,5 libras.
(b) o peso para o qoal a frequencia acumulada e45.
22. Use a ogiva do Exercfcio 20 para aproximar:
(a) a frequencia acumulada para a altura de 70 polegadas.
e
(b) a altura para o quaI a frequencia acum\Aada 25.
., zoo
·~
l
20.
ISO
"- 100
j()
Sabirio (cm 1nilhatc$ de cl61arc..c;)
Analise grafica
Nosexeidcios 23e 24,useohistograma defreq~ia relativa para:
(a) identificar a dasse com maiol e menor frequencia relativa.
(b) apioximar a maior ea menor frequencia relativa.
(c) ap<oximar afrequencia relativa da segunda dasse.
Ed ,e 1naaa
1
4Z •
bt.,lstk,.plicada
23.
Pescada amarela do Atlantico
Construindo a distribui~ao de frequencia
Nos exercrcios 27 e 28, conStrua uma <islnllui¢o de trequenda
0.20
para o r.onjunto de <l.:tdns. usa.'l<fo o nlmero de das.ses indir.ado. Na
.~
ii 0.l6
'll
0.12
S..S '7,.S 9..S 11..S 13.S IS.S llS
Con1pri1nen10 (e1n J>Olegada.s)
24.
Tempo de resposta da emergcnda
-~
~
·"
~
·~
...~
Usando e interpretando conceitos
-""~
tabela, indua os pomos med"oos e as frequ~ndas acum.iladas. Qua!
dasse tern a maio< freq~da equal tern a menor?
i,'.~27. Numero de vezes que um jornal e lido
Numeto de classes: s
Conjunto de d.ldos: tempo (em minutos) gasto na leitura de um
jomal em um d'ia:
7 39 13 9 25 8 22 0 2 18 2 30 7
35 12 15 8 6 5 29 0 11 39 16 15
-:'.~28. Gasto com livros
Numeio de classes: 6
Conjunto de dados: quantia (em d61ares) gasta em livros por um
semestre:
91 472 279 249 530 376 188 341 266 199
142 273 189 130 489 266 248 101 375 486
190 398 188 269 43 30 127 354 84
'°"'
Construindo uma distribui~ao de frequencia e um
histograma de frequ@ncia
Nos exetdcios de 29 a 32, construa a disin"bui<Jo de frequ~
e o histograma de frequ~nda para o conjunto de dados usando o nuAnalise grafica
mero de classes indicado. Descreva quaisque1 padrOes.
Nos exetcicios 25 e 26, use o po!igono de frequenda para identi· ;:'.~29. vendas
near a dasse com mai0< e mel10f frequencia.
Numeto de classes: 6
25.
Conjunto de dados: ve.idas em julho (em d61ares) de todos os
Resultados dos testes SAT para 50 estudantes
representantes de ve.idas em uma empresa:
11.s 1s.s 19.s 20.S 21.s
Tempo (cm minut0$)
2.114 2.468 7.119 1.876 4.105 3.183 1.93 1 1.355
4.278 1.030 2.000 1.077 5.835 1.512 1.697 2.478
3.981 1.643 1.858 1.500 4.608 2.478
12
·G
c
9
"~
"-
6
•g
3
..
.
~~~~e~~~s~~iS
'.'.~30. Pung~ncia da pimenta
Numeto de dasses: 5
Conjunto de dados: pungeocias (em milhares na escala de Scovil·
le) de 24 pimentas do 1ipo rabosco:
35 51 44 42 37 38 36 39 44 43 40 40
32 39 4 1 36 42 39 40 46 37 35 41 39
26.
Tamanhos dos sapatos de SO mulheres
·~ IS
-~
"
J:
10
5
Tainanho
.::~ 31. Tempo de rea~.Jo
Numeio de classes: 8
Conjumos de dados: tempos de rea<;Ao (em milissegundos) de
uma amostra de 30 mulheres adultas a um estfmulo audi1ivo:
507 389 305 29 1 336 310 514 442 307 337
373 428 387 454 323 441 388 426 469 351
411 382 320 450 309 416 359 388 422 413
'.~32 Tempo para fraturar
Numeio de classes: 5
Coojunto de dados: pressilo necessaria (em l bras PO< polegada
quadrada) para determinar tempo para fratura em 25 amosttas de
argamassa:
i. \. 1ndica que o <Of'juoto de d..00. de$e .,...cicio est8 disponi-..1 no site de~ do ro10.
Ed ,e 1naaa
1
(4pltul-0 l
•
1>111k1.icad!l<1i1iv•
43
2.750 2.862 2.885 2.490 2.512 2.456 2.S54 2.532 2.885 ."~39, Compra de gasolina
Conjunto de dados: gasolina (em galiies) comprada P°' uma
2872 2.601 2.877 2721 2.692 2.888 2.755 2.853 2.517
amowa
de motoristas durante um abastecimento:
2.867 2.718 2.641 2.834 2.466 2.596 2.519
7 4 18 4 9 8 8 7 6 2
Construindo uma distribui~3o de frcquancia c
9 5 9 12 4 14 15 7 10 2
histograma de frequencia relativa
3 11 4 4 9 12 5 3
Nos exerdcios de 33 a 36, consl/Ua a distribui<;ao de frequ~·
cia e o hislograma de frequencia relativa para os conjuntos de dados ' l4o. Lig~oes em telelones celulares
usando 5 dasses. Qual classe tem a maior frequ~ncia relativa equal
Conjunto de dados: du!a<;ao (em minutos) de uma amostra de
tern a menor?
liga¢es em telefooes celufares:
;;'~33, Pontos no boliche
Conjuntodedados:pootosnobolicheemumaamostrademem·
bros da liga:
1 20 10 20 13 23 3 7
18 7 4 5 15 7 29 10
18 10 10 23 4 12 8 6
154 257 195 220 182 240 177 228 235
146 174 192 165 207 185 180 264 169
225 239 148 190 182 205 148 188
Constluindo uma distribui~ao de frequencia e um
poligono de frequencia
Nos exeidcios 41 e 42, construa uma distribui<;ao de frequ~·
:;~34. Saques em caixas eletronicos
cia e um poligooo de frequ~ncia para o conjunto de dados. Descreva
Conjunto de dados: uma amostra dos saques realizados em caixa qt1aisquer padriies.
eletrOnico (em d61ares):
;;'~41. Notas de exames
35 10 30 25 75 10 30 20 20 10 40
50 40 30 60 70 25 40 10 60 20 80
40 25 20 10 20 25 30 50 80 20
'"~35. Alturas de plantas
Conjunto de dados: alturas (em polegadds) de uma amostra de
~de tomate:
40 44 35 49 35 43 35 36 39
37 41 41 48 52 37 45 40 36
35 50 42 51 33 34 51 39
;:'~36. Anosdeservi~o
Coojunto de dados: anos de seflli~ de uma amostra de policiais
estadua~deNcwaYolk:
12 7 9 8 9 8 12 10 9
10 6 8 13 12 10 ll 7 14
12 9 8 10 9 11 13 8
Construindo uma distribui~ao de frequencia
acumulada e uma ogiva
Nos exerclcios de 37 a 40. construa uma distribuicao de heQOOicia
acumulada e uma ogiva para os coojuntos de dados usando 6 classes.
Entao, descreva a locafira<;.lo do mai0< aumento na hequ~ncia.
"'~>7. ldades para aposentadoria
Conjunto de dados: idades para apose1tadoria para uma amostra
dem~icos:
70 54 55 71 57 58 63 65
60 66 57 62 63 60 63 60
66 60 67 69 69 52 61 73
·.'~:>a. lngest~o de gordura saturada
Coojunto de dados: ingestoo diaria de g0<dura saturada (em gra·
mas) em uma amostra de pessoas:
38 32 34 39 40 54 32 17 29 33
57 40 25 36 33 24 42 16 31 33
Numero de classes: 5
Conjunto de dados: notas de exames para todos os estudantes
em uma classe de estatistica:
83 92 94 82 73 98 78 85 72 90
89 92 96 89 75 85 63 4.J 75 82
;:·~42. Filhos de presidentes norte·americanos
Numero de classes: 6
Conjuntos de dados: nume<o de filhos de presidentes none·americanos: (fonr.:fllesdtn«d>ltk"'.com.)
0 5 6 0 3 4 0 ·4 IO 15 0 6 2 3
0 4 5 4 8 7 3 5 3 2 6 3 3
2 2 6 1 2 3 2 2 4 4 4 6
2
Expandindo conceitos
;,'~43, 0 que vocHaria?
Voce trabalh.1 em um banco e deve decidir a quantia de dimei·
ro que sera colocada em um caixa eletrOOico a c4da dia. Voce nao
quer colocar dinheiro em excesso (por razao de seguranyi) ou pouco
o!Meiro (que pode causar p<oblema< com O< clieme<). As <i<Janlia<
retiradas d'iariamente (em centenas de d61ares) em um periodo de 30
dias sao mostradas abai:co.
72
98
74
84 61
76 97
73 86
76 104 76 86
82 84 67 70
81 85 78 82
92
St
80
80 88
82 89
91 83
(a) Consl/Ua um histograma de frequencia relativa para os da·
dos usando oito classes.
(b) Se voce colocar S9.000 no caixa e!eu<ioico a cada dia, qual a
poccentagem de dias em um m~ na qual voce deve esperar
ftcar sem dinheiro no caixa? Explique seu raciocinio.
(c) Sevoce deseja queocaiica fique sem dinheiroem 10%dos
dias, quanto dinheiro, em centenas de d61aies, voce deveria
colocar no caixa efetr<ioico .a cada dia? Elqlique seu raciocfnio.
Ed ,e 1naaa
1
..•
1,1,
• l>tatfltic,.plic><I•
" it44. 0 que voce faria?
(b) Se vocA decidir pot uma rota minima de 986, qual potcen-
uabalha no departimemo de admissao de uma faculdade
e deve recomendar as notas mfnimas nos testes SAT para que a faculdade aceite um esrudante. A seg1Jir, temos as notas dos testes SAT de
Voe~
tagem de candidatos cumprirao essa exigencia? Eicplique seu
raciocfnio.
(c) Se vocA quise< aceitar um maximo de 88% dos candidatos,
um;a amostra de 50 estudantes:
quaI deve ser a nota n1£~n'la7 f)pfique seu raciocWo.
1.325 1.072 982 996 872 849 785 706 669 1.049 i.'.~45. Reda~o
885 1.367 935 980 1.188 8691.0061.127 9791.034
Oqueacontecequandoonumerodedasses~aumentadopara
um histograma de fr~~ncia? Use o conjunto de dados a segtJir e
1.052 1.165 1.359 667 1.264 727 808 955 544 1.202
uma ferramenta tecool¢gica para oiar l'.islogramas de frequencia com
1.051 1.173 410 1.148 1.195 1.141 1.193 768 812 887
5,
10 e 20 classes. Qual grafico melhor representa os dados?
1.211 1.266 830 672 917 988 791 1.035 688 700
2 7 3 2 II 3 15 8 4 9 10 13 9
(a) Construa um histograma de frequencia relativa para os da·
7 11 IO I 2 12 5 6 4 2 9 15
dos usando 10 dasses.
Mais graficos e representa~oes
0 que voce
deve aprender
,. Como representar graf1C3111enle
e inlerpietar cor$mlos de dados
quantitalivos usando um diag<ama de ramo-e-folhas eumdiag<ama deponlos.
• Como representar grafKamente
e inlerpretar conjurtos de dados
qualilalivos usando graficos setonais ~o de pizza) e graficos
de Pareto.
,. Como represertar graficamente
einlerpretar conjuntos de dados
emparelhados usando grafKos
de dispersao e graficos da ~ie
temporal.
Representando em qraficos conjuntos de dados quantitativos ~
Representando em qraficos conjuntos de dados qualitativos - >
Representando em qraficos conjuntos de dados emparelltados
I
Representando em graficos conjuntos de dados quantitativos
Na Se~ao 2.1, voce aprendeu diversas maneiras lradicionais de se represenlar
graficamente dados quantitativos. Nesta se<;<)o, v~ aprendera uma nova maneira de
representar dados quantitativos, chamada diagrama de ramo-e-folhas. Os grMicos
ramo-e-folhas s.~o exemplos da analise explorat6ria de dados (EDA, em ingl~ exploratory data mtalysis), que foi desenvolvida por John Turkey em 1'177.
Em um diagrama de ramo·e-folhas, cada numero ~ separado em um ramo (por
exemplo, as entradas dos digitos na extremidade esquerda) e uma folha (por exemplo,
o digito mais ~ direita). V~ deve ter tantas folhas quanto entradas no conjunto de
dados original. Um diagrama de ramo-e-folhas ~similar a tun histograma, mas tern a
vantagem de que o gnlfico ainda cont~m os valores originais dos dados. Outra vantagem de um diagrama de ramo-e-folhas ~ que ele forne.:e uma maneira r~pida de se
dassi ficar dados.
Exemplo
m
Construindo um diagrama ramo-e-folhas
A seguir, temos os numeros de mensagens de textoenviadas no m~ passado por
um andar de um dormit6rio universitario.
usu~rios de telefonia celular em
155 159 144 129 105 145 126 116 130 114 122 112 112 142 126
118 118 108 122 121 109 140 126 119 113 117 118 109 109 119
139 139 122 78 133 126 123 145 121 134 124 119 132 133 124
129 112 126 148 147
Ed ,e 1naaa
1
(•pitulo 2
•
l1111f11i<a dtsoi<iv•
45
Solt1fliO
Em razao de as entradas de dados irem de um numero baixo (78) para um numero
alto (159), voe.? deve usar valores de ramo de7 a 15. Para construir o diagrama, lisle
esses ramos aesquerda de uma linha vertical. Para cada entrada de dados, lisle uma
folha a direita de seu ramo. Por exemplo, a entrada 155 tern um ramo de 15 e
uma folha de 5. 0 diagrama ramo·e-folhas sera dcsordenado. Para obter o diagrama
ramo-e-folhas, reescreva o diagrama com folhas em ordem crescente da esquerda
para a direita. J!: importante induir uma chave para o grafico para identificar os valores dos dados.
Numero de mensagens
de texto enviadas
7 8
Chave: 1515=155
8
9
10 58999
11 6422889378992
12 962621626314496
13 0993423
14 4520587
15 59
Diagram• ramo-e-folhas deso<denado
Numero de mensagens
de texto enviadas
7 s
Chave: 1515=155
8
9
10
11
12
13
14
15
58999
2223467888999
112223446666699
0233499
0245578
59
Diagrama ramo-e-folhas ordenado
I11ter1iretarao
Com o diagrama ramo-e-folhas ordenado, voe@ pode conduir que mais de 50')1, dos
usuMios de telefone celular enviaram entre 110 e 130 mensagens de texto.
Use um diagrama de ramo-e-folhas para organizar o numero de torrchdowrrs
·~ listado no inicio do capitulo nap. 31. 0 que podemos conduir?
Tente
a.
b.
c.
d.
Liste todos os ramos possiveis.
Lisle as fol has de end a entrada de dados adireita de seu ramo e inclua uma chave.
Reescreva o diagrama ramo-e-folhas de modo que as folhas estejam ordenadas.
Use o grafico para tirar suas conclusOt>s.
Exemplo
m
Construindo varia~oes do diagrama ramo-e-folhas
Organize os dados fornecidos no Exemplo 1 usando um diagrama de ramo-e-folhas que tenha duas fileiras para cada ramo. 0 que podemos conduir?
Soluflio
Construa um diagrama ramo-e-folhas conforme descrito no Exemplo I, mas agora lisle cnda ramo duas vezes. Use as folhas 0, 1, 2, 3 e 4 na primeira fileira do ramo e as
fol has 5, 6, 7, 8 e 9 na segunda fileira do ramo. A seguir, temos o grMko ramo-e-folhas
revisado.
lmportante
Voce pode 11sar os diagramas
de ramo-e-folhas para identificar valores de dados incomuns cnamados de \la.lores
discrepantes. No Exemplo 1,
ovalordedados78eum valor
discrepante. Vo~ aprendera
mais sobre isso na ~ 2.3.
Ed ,e 1naaa
1
46 •
u1aolsli<ddplicada
lmportante
Compare os exemplos 1 e 2.
Note que, ao usar duas fileiras por ramo, voe<! obtein
um quadro mais detalbado
dos dados.
Numero de mensagens
de texto enviadas
Chave: 1515=155
1
7 8
8
8
9
9
10
10 58999
II 42232
11 68897899
12 22123144
12 9666696
13 03423
13 99
14 420
14 5587
15
15 59
Oiagrama ramo~folhas desordenado
Numero de mensagens
de texto enviadas
7
Chave: 1515=155
7 8
8
8
9
9
10
10 58999
11 222.34
11 67888999
12 112.22344
12 6666699
13 023'34
13 99
14 024·
14 5578
15
15 59
Diagrama ramo-e·folhas ordeoado
lltterpretapio
Com base no diagrama, podemos concluir que a maioria dos usuarios de telefonia
celular enviou entre 105e135 mens.igens de texto.
Tente Usando duas fileiras para cada ramo, revise o diagrama ramo-e-folhas que
voc6 voce construiu no "lcnte voce 1.
a. Lisle cada ramo duns vezes.
b. Lisle todas as folhas 11sm1do nfileim do rm110 npropriadn.
R(:;olJ<J:.>111 Ufl p. A.34
Voce tambem pode usar um diagrama de pontos para representar dados quantitativos. Em um diagrama de pontos, cada entrada de dados e representada usando
um ponto ncima do eixo hori_zontn.I. Co1no no diagrrunn TQmo-e-folhas, um diagra1na
de pontos permite que se veja como os dados s<io distribuldos, detennina entradas de
dados especlficas e identifica valores discrepantes dos dados.
Exemplo [Tl,_____________
Construindoumdiagrama de pontos
Use um diagrama de pontos para organizar os dados das mensagel\S de texlo
dados no Exemplo I.
155 159 144 129 105 145
126 116 130 114 122 112
112 142 126 118 118 108
122 121 109 140 126 119
Ed ,e 1naaa
1
c.,r..102
113 117 118 109 109 119
139 139 122 78 133 126
123 145 121 134 124 119
132 133 124 129 112 126
148 147
SolltfliO
De modo que cada entrada de dados esteja inclufda no diagrama de pontos, o eixo
horizontal deve induir os m1meros entre 70e 160. Para representara entrada de dados,
represente um ponto acima da posi<;<io da entrada no eixo. Se uma entrada for repetida, represente um outro ponto acima do ponto anterior.
Nurnero de mensagens de texto enviadas
•••
•• •• ••
•
•• ••••
•• • •• ••• •••
• ••• • ••• ••
•
• •• ••• ••••
• •
- 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 °
10
15
80
SS
90
9S
100
10.5
110
ll S 120
l?S
150
l:lS
1.ao
1.as
ISO
ISS
USO
Interpretaftio
No diagrama de pontos, podemos ver que a maioria dos valores agrupa-se entre 105 e
148 e que o valor que ocorre na maioria das vezes e 126. Voce tambem pode ver que 78
e um valor de dados incomum.
Tente Use um diagrama de pontos para organizar o numero de to11d1dow11s no convoc:I junto de dados listado na abertura deste capftulo, na p. 31. 0 que podemos
concluir com o grafico?
a. Escolha uma escala apropriada para o eixo /1oriu111tal.
b. Represente cada cntrnda de dados por um diagrama de pontos.
c. Dcscre<Nl quaisquer padr6es.
A tecnologia pode ser usada para construir um diagrama ramo-e-folhas e um
diagrama de pontos. Por exemplo, a seguir temos um diagrama de pontos MINITAB
para os dados das mensagens de texto.
MINITAB
I
Numbe.r 0£ Text Messages Sent
...
I
.
"
..
,
.! ,_ .J!i!.1 !
.
"' "'
•. ... :....:..
!..O
uo
""
Representando em graficos conjuntos de dados qualitativos
Graficos de pizza (setoriais) fomecem uma maneira conveniente de se apresent.ar graficamente dados qualitativos como porcentagens de um inteiro. Um gralico de
pizza (setoria!J eum cfrculodividido em setores que representam c.1tegorias. A<\rea de
cada setor e proporcional ~ frequencia de cada categoria. Na maioria dos casos, voe~
interpretara um grafico de pizza ou ir<\ construi-lo usando tecnologia. 0 Excmplo 4
mostra como construir um grMico de pizza~ miio.
•
btotllli<od.,niliY4
47
Ed ,e 1naaa
1
48 •
utatlslica aplicada
Exemplo m_
,._____________
Ocupantes de veiculos
motorizados mortos em 2005
Construindo um 9rafico de pizza
0 1.uJn,ero de ocupantes de vei'culos molorizados mortos e1n acidentes em
Ti po de vefcalo
Mortos
Carros
18.440
2005 e mostrado na tabela ao lado. Use um grafico de pizza para organizar os dados. 0 que pode1nos conc1uir? (Fo11t(; ll. S. {}(pnrlml'nt o/T1nnipw.111111ion. i\1nfit>ual H1slm"'Y Troffir
Caminh<les
13.778
SAftt,11 Admi11i~t1t1t">11.)
Motnciclctas
4.553
SoluftiO
Outros
823
Comec:e encontrando a frequencia relativa, ou porcentagem, de cada categoria. Entao,
construa um grMico de pizza usando o anguJo central que corresponda a cada categoria. Para encontrar o Angulo central, multiplique 360" pela frequ~ncia relativa da
categoria. l'orexemplo, o l\ngulo centraJ para c.mos e360" (0,49)"' 176". Para constru.ir
um g.rafico de pizza no Excel, siga as instru¢es na margcm esquerda.
Dica de estudo
Aqui estllo as instru¢es para
a oonstnu;ao de um grafioo de
pizza usando Excel. Primeiramente, entre oom os tipos de
uefcuJos e suas frequencias
relativas correspondentes (em
porcentagens) em duas colunas separadas. Entllo, selecione
as duas colunas, clique em I 11serir Grnfico e selecione Pizza
como seu tipo de grafico.
Clique em Pr6xi1110 em Ferrn111e11tns de Grifjicos enquanto
monta seu grAfico de pizza.
Ocupantes de vefculos
motoi:izados mortos em 2005
,,..
"-""'·'
I
Frequ@:ncia
i:elativa
Angulo
Canos
18.440
0,49
176"
eaminh0es
13.778
0,37
133"
Motocidetas
4.553
0,12
43"
Out<os
823
0,02
7"
Ocupantes de veiculos motorizados
mortos em 2005
1llterprel1tfiiO
No gr~fico de pizza, podemos ver que a maioria das fatalidades cm acidentes com
veiculos motorizados ocorreu com ocupantes de carros.
0 ntlmerode ocupantes de vefculos motorizados mortos em acidentesem 1995
voc6 e mostrado na tabela seguinte. Use um grafico de pi= para organizar os da4 dos. Compare OS dados de 1995 com OS dados de 2005. m..,. , lt. 5. 0.·1•1,tmmt •>f
Tente
T1m1..pPrttJJh~1t, 1\nfii)ru1I Jli,i:Jr.m.v Tmff:< Safety AdminNtml~>Jt.)
Ocupantcs de vekulos motorizados mortos em 1995
lipo de veiculo
Mortos
Carros
22.423
CanlinhOes
10.216
~1otociclctas
2.227
Outros
425
a. Enoontrc a frequbtcia relatioo de cada categoria.
b. Use o n11g11lo w1tml para encontrar a pol\iiO que corresponde a cada categoria.
c. Compare os dados de 1995 com os de 2005.
Outra maneira de representar grafic.1mentc dados qua>litativos e usando um grafico de Pareto. Um gr.ifico de Pareto e um grafico de ban-as verticais no qual a altura de
cada barra representa a frequ~ncia ou a frequ~ncia relativa. As barras silo posicionadas
em ordem de altura decrescenle, com a barra mais alta posicionada ~ esquerda. ial posicionamento ajuda a enfatizar dados importantese efrequentemente usado nos neg6cios.
Ed ,e 1naaa
1
('!'flOIO2
Exemplo [5]
____________
Recenten1ente. a indUstria de varejo perdeu 41 miU10es coin redu~ao nos esto-
ques. A redu~~o de estoque e uma perda de estoque por meio de quebra, roubo de
carga, roubo em lojas e assim por diante. As causas da redu~ao de estoque sao erro
administrativo (7,8 milhees), roubos por funcionarios (15,6 milh6es), roubo em lojas
(14,7 milh6es) e fraudes nas vendas (2,9 milh6es). Se voe~ fosse um varejista, para qua)
causa de redu~:io de estoques voce olharia primeiro? (FClfllr: .Vatu•m1I Retm1 fnJnnl11,,rn11dCt'ntnfor R.l'tailurg Ed11rntic111. UmrtNt_v of f'h1ridn.)
~Ull\11<4 dfSUi!in
49
- -,
Retratando o mundo
'
Construindoum grafico de Pareto
•
-
- - --
-
--
-
----
-
--
Os cinco veiculos mais vendi·
dos nos Estados Unidos. em
janeiro de 2007, silo mostrados
no grjfico de Pareto a seguir.
Tres dos veiculos mais vendi·
dos foram carros. Os outros
dois foram caminhOes. (f'"""
Autn1ntnCvrsw1rltt•ri.l
SolufliO
Usando as frequencias para os eixos verticais, podemos construir o grafico de Pareto
como mostrado abaixo.
Os cinco velculos mais
vendidos em janeiro de 2007
Causas para redu~iio de estoques
!> 26
-
Roubopor
f11-nc-io1d !'i0$
F.rro
a hninistr.:.tivo
25
-
f·r.n• l.'$
1ias '-cnid3$
Vckulo
fnterpretafiio
Q1m11tos dos 5 vekulos 111ais
No grMico, e£acil ver que as causas da redw;ao de estoque que devem ser analisadas
primeiramente silo roubo por £uncionMios e roubo em Jojas.
mm ve11ditfo:; /Itta To.vota?
ente Acada ano, o Better Business Bureau (BBB) recebe reclama\(ies de clientes. Nos
";' anos mais recentes, o BBB recebeu as seguintes reclama\(ies:
7.792 reclama~6es sobre lojas de m6veis.
5.733 reclama~ sobre lojas de inform~tica e servi~os.
14.668 redama~0es sobre concessionarias de autom6veis.
9.728 reclama~ sobre meranicas de autom6veis.
4.649 reclama~<les sobre empresas de lavagem a seco.
Use um grMico de Pareto para organizar os dados. Que fonte ea maior causa de
r·eclama~Oes? (Fo11/r: &·Urr BtJ<-uit-..: 8nnn11.)
a. Encontre afrequtucia 011 afreq11e11cia relatioo para cada entrada de dados.
b. Posicio11e as IH!rmse111 orde111 decre>ce11te de acordo com a frequencia ou a froquencia
relativa.
c. /11terprete os resultados no contexto dos dados.
I
Representando em 9raflcos conjuntos de dados emparelhados
Se dois conjuntos de dados t~m o mesmo numero de entradas e cada entrada
do primeiro corresponde a uma entrada do segundo, eles silo chamados de conjunto
de dados emparelhados. Por exemplo, suponha que um conjunto de dados contenha
veurlitfos em jm1eiro de 2(J/Ji .fo·
Ed ,e 1naaa
1
1>11111110 a~ll"da
50 •
os custos de um item e um segundo conjunto de dados contem a quantidade de vendas para o item para cada custo. )a que cada custo corresponde a uma quantidade
de vendas, os conjuntos de dados siio emparelhados. Uma maneira de representar
conjuntos de dados emparelhados eusando um grifico de dispersiio, no qua! os pares
orde1unJos ~o reprtt:Sc11la<los co1110 po11los e111 u111 pla1lO l'<.>0rtfc11u<lo. U1n grtlfilU de
dispet5<'\o eusado para mostrar a rela~iio entre duas variaveis quantitativas.
Exemplo
m
lnterpretando umgraficode dispersio
0 estatlstico britanico Ronald Fisher (ver p. 28) apresentou um famoso conjunto
de dados chamado de conj unto de dados de Iris de Fisher. Esse conjunto de dados descreve varias caracteristicas fisicas tais como o comprimento de petalas ea sua largura
(em milfmetros), para tres especies de iris (flor). No grMico de dispers.io mostrado, os
comprime11tos de petalas formam o primeiro conjunto de dados e as larguras formam
o segundo conjunto de dados. Conforme o comprimento da petala aumenta, o que
tende a acontecer com a largura? (li•llr: M•<t: R. A. 1936.J
Conjunto de dados de Iris de Fisher
.• ..-·•••....- .•.
...--.. ..• ..·-·
•• • •-·
•
...-:.-·- .---'---
~ 25 + - - .§
E 20 ~
e
-• •...
. • •.• .....
-
~IS +---
]l
"
.g
'8.
10
e s
~
.:i
••
-·.·-·
·-·
10
Tempo de
emprtgo
(emanos)
SaUrio
(em d61ares)
5
32.000
4
32.500
8
40.000
4
27.350
2
25.000
10
43.000
7
41.650
6
39.225
9
45.100
3
28.000
10
Sol11ftiO
0 eixo horizontal representa o comprimento da petala e o vertical representa a largura
da petala. Cada ponto no grafico de dispersiio representa o comprimento das petalas
ea largura em uma flor.
111terpretnfiio
Com base no grafico de dispersiio, voce pode ver que, conforme o comprimento da
petala aumenta, a largura tamMm tende a aumentar.
ente 0 periodo de emprego e os sal~rios de 10 funcion~rios estao listados na tabela
vocf ao lado. Fa\a o gralico para os dados usando um gr~fico de dispersao. 0 que
6
podemos concluir?
a. Classifique os eixos /1oriu111tal e vertical.
b. Represe11te gmficnme11te os dados emparelhados.
c. Descreoo quaisquer tendencias.
Voce aprender~ mais sobre graficos de dispers.'io e como analisa·los no C1pitulo 9.
Um conj unto de dados constitufdo de entradas de dados tomados a intervalos regu·
lares durante um periodo de tempo echamado de serie temporal. l'or exemplo, a quanti·
dade de precipita~o medida a cada dia em um mes eum exemplo de uma serie temporal.
Voce pode usar um gr.i.6co de serie temporal para representa• uma serie desse ti po.
Ed ,e 1naaa
1
(apfielo 2
•
utatilll<a d!>nill"
SI
Exemplo [7]
____________
'l
Construindo um grafico de serie temporal
A tabcla lista o nU1nero de usu~rios de tele£onia celular (en\ milhOes) econ tam~­
dia de um usuario local por servi~ (em d61ares) para oanode 1995 ate oanode 2005.
Construa um grMiro de wrie temporal para o numero de usuarios de c:elulares. 0 que
VO~ pode concluir? (fll11lr~ ((Jf11ktr Trl1'fOll/nllH1it't1tii1#1 & llrtrnt4'1 .-l...ai,1/N111.)
1
A110
Usuirios (em milhOes)
Cont>. media (em d6Jares)
1995
33,S
51,00
1996
44,0
47,70
1.997
55,3
42,78
1998
69,2
39,43
1999
86,0
41,24
2000
109,5
45,27
2001
128,4
47,37
2002
140,8
48,40
2003
158,7
49,91
2004
182,J
50,64
2005
207,9
49,9S
Sol11fdo
Deixc o eixo horizontal representar os anos e o vertical representar o numero de usuarios (em milh0es). Ent3o, represente os dados emparelhados e ronecte-os rom seg·
mentos de linha.
Usu~rios
IQIO\
l lXlf>
l '>Ol
de tclefonia celular
I~
llXIO
~rttl
~I
>Ml
ml \
XWl.I
>M\
An<>
Iirterpretafiio
Os grafiros mostram que o numero de usuarios tem aumentado desdc 1995, com os
maiorcs aumentos tendo ocorrido recentemente.
Use a tabela do Exemplo 7 para constn1ir um grafico de serie temporal para a
media da conta de celular de um usuario local para os anos de 1995 a 2005. 0
que podemos concluir?
a. Oassifique os eixos l1orizo11/ais e verticais.
b. Represe11te gmftcnmente os dados emparelhadose co11ecte-os com segmentos de linha.
c. Descreua quaisquer padr0cs.
R1.-:=1w-it1t 1111 p. A35
Veja os passos MINITAB e
Tl-83/84 nas p. 100 e 101.
Ed ,e 1naaa
1
52 •
f>to1l11i<..pli<dda
ID
Exercicios
Construindo habilidades basicas e conceitos
de reprcsentl)r grl)fie.;imente os dildos
quanlitatiws e os dados quafrtatilios.
2. QuaI ea vanra~m de se usar um diagrama ramo-e-folhas em vez
de um hisrograma? Qual a desvanragem?
3. Em rermos de represen13\Ao de dados. como um diagrama de
ramo-e.folhas se assemelha a um d'iagrama de pontos?
4. Como um grafico de Pareto difere de um grMico de barras verli·
cais padrao?
12
13
13
Contextualizando os graficos
Nos eocercicios de 5 a 8, relaci011e o grafrco com a desai.ao da
amostra.
16
1. Cite .:ilgum;;is ~neir1Js
5.
6.
0
Chave: 12193 12,9
10. 12
9
3
67 7
14
1 1 1 13 4 4
14
699
15
000 1 24
15
67 88 89
16
67
11.
•
•
• •
Chave: 018 = 0.8
1
2
3
4
8
568
1345
09
00
6
7
8
9
78
Chave: 617 = 67
455888
1355889
00024
• • •
•
• • • • • • •
13
1-1
7.
~+H- 1111 11111111 1
20
25
30
8.
JS
40
•
I ll II I l+l+>-
1:30
13.S
Cinco maiores anunciantes dos esportes
e~
11 I 111111111 I 11 I I I I I I
215
125
Analise gratica
Nos exerciciosde 13 a 16, o que podemos conduir observando
o grafico?
••••
• • • • •• •
'210
120
13.
• •
205
19
Usando e interpretando conceitos
1111111111111111111111111111111111II •
IS
JS
• ••
• ••• •• ••• •• •• • ••
•••
. .. .• . -• . . . .
10
17
•
•
•
•
200
16
12.
21S
S
IS
~.!:!
220
-
:!! 200
~
.g
~
(a) Tempo (em minutos) que uma amostra de funcionarios leva
para chegar ao trabalho
(b) Media das notas de uma amoslra de estudanles com gradu·
2l0
r.
~,g
l~c
ll()
100
l()
~oemfiMrxas
(c) Velorid•rle m.lxima (em mi~ por ho"') do! <1ma •m0$tt•
de carros esponivos de alto desempenho
(d) ldade (em anos) de uma amosua de residentes em um asilo
Analise gratica
Nos eocercicios de 9 a 12, use um diagrama ramo-e-folhas ou um
diagrama de ponlos para i star as entradas de dados Qual e a mai<lma
enrrada de dados? Quale a mhlina?
9.
Chave: 217= 27
2
7
3
2
4
5
6
7
8
1334778
0 1 12333444456689
888
388
5
14.
Portfolio de a~oes
~~.llOO +---------:­
~
~ 20.()(X) + - - c
"'.2:
~
10.cm +---
2003 200< 2005 W06 2007
Ano
Ed ,e 1naaa
1
C.pftulo l
15.
Como outros ntotorislas nos irritam?
2%Cuktadosocsden1ais
1% Alta
v('locid,1dl'
3~ Jg1"M."lf"•t•n a
sinallz.l(lo
21 ~ 1Jsan1
CC'IU!.tto."':S
ly;\. \'('lotiditd.c
f>ldtlltica oltsuitiva
53
Anuncios Use um diagrama de pontos para represe<>tar os
dados. Os dados repiesentam o numero de anuncios vistos ou
oovidos em uma semana por IUllla amostra de 30 pessoas dos
Estados Unidos598 494 441 595 120 690 G64 40G 735 000
734 590 673 545 702 481 298 135 846 764
317 649 732 582 637 588 540 727 486 703
ha.ix-a demal:;,
13'1. N!lo
,11in;tl~n1
234l> And11m
rol.'ldos no
l ~ Outros
vtk ulodi'I frentt
16.
Uso do telefone celular na dire1iio
J)c:svios
•
Attic·
F«had!1$ Quast
rn~-4Q
<'.1u~ uina
b=itida
lncidc-nte
(Adoplodo de US'l l'<x/or)
Tempo de vida de moscas domesticas Use um diagrama de
pontos para representar os dado~ Os dados represe<>lam o tempo
de vida (em dias) de 40 moscas domesticas.
9 9 4 4 8 11 10 5 8 13 9 6 7 11
13 11 6 9 8 14 10 6 10 10 8 7 14 11
7 8 6 11 13 10 14 14 8 13 14 10
23. Na,oes Unidas Use um gr~ftco de pizza para representar os
dados. Os dados representam o numero de palses nas Na,<les
Unidas por continente. /fCl''e: U¥»red No"""')
America do Norte
23
Amt!<ica do Sul
12
Europa
43
Oceania
14
Africa
53
Asia
47
24. Or~amento da NASA Use um gr~fico de pizza para representar os dados. Os dados representam o orcamento da NASA
de 2007 (em milhoes de d<llares) aividido em tres categorias.
(Fonrc: N05o.)
Representando graficamente conjuntos de dados
Nos exerdcios de 17 a 32, organize os dados usando o tipo de
grafico illdic:ado. 0 que podemos concluir sobre os dados?
,:·~ 17. Notas de exames Use um diagrama ramo-e·folhas para repie·
sentar os dado~ Os dados representam as notas de uma turma
de biologia em um teste.
75 85 90 80 87 67 82 88 95 91 73 80
83 92 94 68 75 91 79 95 87 76 91 85
As pessoas mais ricas do mundo Use um diagrama ramo-e·folhas para representar os dados. Os dados representam as ida·
des das 25 pessoas mais ricas do mulldo. (FOO"': Fctbe<)
51 76 67 80 56 73 58 71 78 49 62 84 50
49 87 40 59 47 54 84 6 1 79 59 52 63
Es~ssura do gelo Use um diagrama ramo-e·folhas para represe<>tar os dados. Os dados representam a espessura (em centimetros) de gelo med'ido em 20 localidades diferentes em um
Iago congelado.
5,8 6,4 6,9 7,2 5, 1 4,9 4,3 5,8 7,0 6,8
8, I 7,5 7,2 6,9 5,8 7,2 8,0 7,0 6,9 5,9
Pre~os de m~s Use um <fklgrama ramo-e-folhas para represe.'ltar os dados. Os dados representam o prew (em centavos
po< libra) pago po< ma'3s a 28 fazendeiros.
19,2 19,6 16,4 17,1 19,0 17,4 17,3 20,1 19,0 17,5
17,6 18,6 18,4 17,7 19,5 18,4 18,9 17,5 19,3 20,8
19,3 18,6 18,6 18,3 17,1 18,1 16,8 17,9
Ci~ncia, aeron~utica e eJ<plora~o
10.651
6.108
l~ogeral
34
25. Bagagem nas linhas aereas Use um grMico de Pareto para
represenlar os dados. Os dados sao o resultado de um estudo
realizado muncialmente em 2005 com todas as companhias ~re­
as sobre as causas dos atrasos na entrega das bagagens. (Forno:
Capacidade de eJ<plora\:AQ
sooe!4 ldt!mallollGI cit Te'ffiJmmulNCa<ior.$ Ml°"'""'i"">)
Manejamemo errado na transfer~'lcia de bagagEllS
Erro de carga/descarga
Falha no carregamer\to no aero,pocto de origem
Restriylo de espaco ou peso
Manejamento errado na chegada
Outros
61%
4%
15%
5%
3%
12%
26. fndice de raios UV Use um grMico de Pareto para rep<ese<>·
tar os dados. Os dados repres.entam o indke de raios ultravioleta para cinco cidades na parte da tarde em uma clata recente.
(Fem: NotrtJr.tJI Oceooic and Armosphetic A<lmmYG6on.)
Atlanta, GA
Boise, ID
Concord, NH
Denver, CO
Miami, FL
9
7
8
7
10
27. Remunera~o por hora Use um gr~fico de dispe<sao para rep<esentar os dados da tabe0. Os dados representam o n(Jmero
de was trabalhadas ea remuneraylo (em d6klres) para uma
amostra de 12 trabalhadores. Oesaeva quaisquer tend~1cias.
Ed ,e 1naaa
1
54 •
b"t~tkaapli<ad•
Hora:s
Remunera~
33
37
12,16
9,98
34
10,79
40
11,71
11,80
11,51
13,65
35
33
40
33
28
45
37
28
31.
B"'""" oftobw Slawl(S.)
t994
1995
1996
1997
1998
1999
12,05
10,54
10.33
11,57
10,17
28. Salarios Use um graf'Ko de dispas3o para rep<esellar os dados
mostrados na tabela. Os dados represeniam o ntlmero de alunos por
p<ofessor e 0 salario meoodosp<ofessaes (em milares de d61ares)
para uma amosva de 10 escolas. Desoeva quaisquer tendffilcias.
NUmero de alunos
p<>r professor
Expandindo conceitos
17,1
28,7
17,5
47.5
18,9
31,8
17,1
28,1
20,0
40,3
18,6
33,8
14,4
49.S
16,5
37.5
13,3
42,5
18,4
31,9
Um grafico equivocado?
Nos exercicios 33 e 34,
(a) explique por que o grMico leva a condus0es erradas;
(b) redeseme o grafico de modo que ele MO !eve a cooclusao
erradas.
33.
Vendas para a Empresa A
30. Temperalura maxima di.!ria use um gr.!fico de serie ternpo<al
para representar os dados. Os dados representam a temperatura
maxima para uma cidade no penodo de 12 dias.
Tl"
77'
79"
81°
82°
82°
0,87
2000
0.96
1,16
2001
0,93
1,31
2002
1,18
1,17
1,56
2003
1,09
2004
1,20
0,92
1,35
2005
32. Pre~o da came moida Use um gralico de serie temporal para
representar os dados. Os dados •ep<esemam o pr~ da came
100% moida (em d61ares por fibra) para osanos indicados. (/Orl·
re u.s 8Ulf!OJ clLIJ/lcl Srl/llSlxs.)
1994
1,38
2000
1,63
1995
1,40
2001
1,71
1996
1,42
2002
1,69
1997
1,39
2003
2,23
2004
1998
1,39
2,14
1999
1,53
2005
2,30
Saijrio mMio
29. indice de raios W Use um gr.!lico de serie temporal para re·
presentar os dados. Os dados represenlam o indice de raio ulva·
violela em Memphis, TN, entre os dias 14 a 23 de junho duran1e
um ano recente. (Fan!e: >'Aleorhet s"""'"' In""no"""ol)
14 de junho
9
19 de junho
10
15dejunho
4
20dejunho
10
16dejunho
10
21dejunho
10
17dejunho
10
22dejunho
9
18 de junho
10
23 de junho
9
l de maio
2demaio
3demaio
4demaio
5demaio
6demaio
Pre~o dos ovos Use um gralico de serie temporal para repre·
sentar os dados. Os dados representam o pr~o dos ovos de
dasse A (em d61ares por duzia) para os anos indicados. (rt.>«.· u. ~
7 demaio
8demaio
9demaio
IOdemaio
II de maio
12 de maio
as•
87'
90'
88°
89"
82°
Tri1nestn:
34•
Vendas para a f;mpresa B
4° tri1nesrre
20%
- Ila • rinlCGltc
20%
3u rrin1C;Stn::
ZO 1ri1nesrre
15%
45%
111 trimestre
2' trimestre
3-• trimestre
4• trimestre
20%
ls<lb
45'!1>
20'M>
35. Salarios de um escrit6rio de advocacia Um diagrama ramo·e-folhas casado compara dais c.onjuntos de dados usar.do os
mesmos ramos para cada co.ijunto de dados. N.. folhas para o
primeiro conjunto est~o em um lado e as folhas jl<lra o segundo
corjunto estao do outro lado. 0 diagrama ramo-e-folhas casado
representa os salarios (em milhares de d61ares) de todos os ad·
vogados de dois pequenos escritooos de act.'OO!cia.
Ed ,e 1naaa
1
(•pftulol
Escrit6rio A
50
85 2 22
99700
I I
Escrit6rio 8
9
10
11
12
13
14
99 5 I 0
5 5 52 I
15
16
17
18
99 87 5
3
19
20
03
5 7
00 5
I 2 5
9
0
Chave: 511910 = S 195.000 para o escrit6rioA e S 190.000 para
o escrit6rio B
(a) Quais ~ os salarios mais altos e mais baixos no escrit6rio
A? E no escrit6rio B?
(b) Quamos advogados 114 em cada escrit6rio?
(c) Compare a disllibui(Ao dos salarios de cada escrit6rio. 0 que
podemos percebe<?
[s1a11lti<a olrlcritiva
55
36. Aulas de ioga 0 diag1ama ramo-e-folhas casado mosua a idade
de todos os alunos de duas turmis de loga.
Aula das 15h
0335
2259
I 3339
5556
499
•
Aula das 20h
z
8888899999
000234455699
8531 1 9
0 4 34 4
9753 I
98888420
5
6
77655533
7
5 4
8
6
Chave:Sj3fl = 35anosnaa<Aadas 15he31anosnaauladas20h
(a) Quais S<'lo as maiores e meoo<es klades dos alunos da aula
das !Sh? Edas 20h'
(b) Quamos participantes 114 em cada aula?
(c) Compare adistribuio;lio das i<lades em cada dasse. QIJe con·
clus0es podemos faier lmeados em svas obsefva¢es?
ID Medidas de tendencia central
Media, mediana e moda ~ Media ponderada e media de dados agrupados ~
rorma das distribui~oes
I Media, mediana e moda
Nas Se¢es 2.1 e 2.2, aprendemos sobre as representa~es gr~flcas dos dados
qua.ntitalivos. Nas S~Oes 2.3 e 2.4, aprendcremos sobre como suplemcnlar as repres.enta<;Oes grMicas com eslatrslicas num~ricas que descrevem o centro ea variabilidade
do conjunto de dados.
Uma medida da tendencia central e um valor que representa uma entrada Ifpica
ou central do conj unto de dados. As Ires medidas da tcndcncia central mais comumen·
le usadas s.io a media, a median.1 ea mod a.
0 que voce
deve aprender
• Como encontrar a media, a mediana ea moda de uma popuJa..
~.io ou de uma amostra.
• Como eocontrar a media poncJe.
rada de um conjunto de dados e
a media de uma distribui(ao de
frequfficia.
• Como descrever a forma da dis·
tribuii<lo simetrica. uniforme ou
aSlirnE!rica e como comparar a
media e a mediana de cada um
efinicao
desses aspeaos.
A media de um conjunto de dados ea soma das entradas de dados dividida pelo numero de
entradas. Para encontrar a media de um conjunto de dados, use uma das f6rmulas a seguir.
Media amostral: x=Ex
n
Aletra grega minuscula ,, (pronuncia-se mi) representa a media populacional ex Q~-se 'X' bar·
ra) representa a m~dia amosual. Note que N representa o numero de entradas em uma popu·
la¢o en representa o numero de emradas em uma omosrto. Lembre-se que a letra maitiscula
sigma (2-) indica a soma dos valores.
Media populacional: 11 =E x
N
Exemplo :Jl
Encontrando a media amostral
Os p~ (ern d6lares) para 111naamostra de voosde ida e vol ta partindo deChicago,
Illinois, para Cancun, Mexico, s.'\o listados a seguir. Qua! ea media dos p~ dos voos?
872 432 3'11 427 388 782 3'11
Ed ,e 1naaa
1
56 •
l11a1~tic"9licad•
Dica de estudo
Note que a media no Exemplo 1 tern uma casa decimal
a n1ajs do que o conjunto ori-
ginal de valores dos dados.
Essa regra de arredowtnmeuto
seni usada em todo o livro.
Outra importante regra de
arredo11rlame11to e que ela nao
deve ser (eita ate o resultado
final do cakulo.
Sol11flio
A soma dos pre<;os dos voos e:
E x = 872 +432 + 397 + 427 + 388 +782 + 3'17 = 3.695.
Para encontrarmos a media dos pre~s, dividin10$ 01 so1na dos p~ pelo nU1ne·
rode prer;os na amostra:
x= L:x = 3.695 "<527,9.
II
7
Entao, a media dos prer;os dos voos eaproximadameinte $ 527,90
34 27 50 45 41 37 24
57 40 38 62 44 39 40
a. E11co11tre a S<lma das entradas dos dados.
b. Divina n soma pelo mimero de entradas de dados.
c. /11terprete os resultados no contexto dos dados.
Re-.pct.:0111 1u1 I'· A.lS
efinic~o
A mediana de um conjunto de dados eum valor que est~ no meio dos dados quando o con·
junto de dados eordenado. A mediana mede o centro de um conjunto de dados ordenado
dividindo-se em duas panes iguais. Seo conjunto de dados tern um numeco impar de entradas,
a mediana ea entcada de dados do meio. Seo conjunto de dad06 tern um numero par de en·
tradas. a mediana e a media das duas entradas do meio.
Exemplo
m
Encontrando a mediana
£ncontre a mediana dos pre<os dados no Exemplo !.
Sol11fliO
Para encontrar a mediana dos prec;os. primciro ordene os dados.
388 3'17 397 427 432 782 872
Em raz.'io das sete entradas (um numero fmpar), a mediana est;I no meio, na
quarta cntrada de dados. Entao, a mediana dos prer;os dos voos e$ 427.
=
As idades para uma amostra de las de um concerto de rock s.'io listadas a se·
guir. Encontre a mediana das idades.
24 27 19 21 18 23 21 20 19 33 30 29 21
18 24 26 38 19 35 34 33 30 21 27 30
a. Orrleue os dados.
b. E11co11tre neutrntfn tlo 111eio.
c. luterprete os resultados no contexto dos dados.
Ed ,e 1naaa
1
(aplt•l•2
Exemplo
m
p~o de voo de S 432 1\i\o est
57
Dica de estudo
a ,,,.;s disponfvel. QuaI 6 a media-
na dos p~ restantes?
Solupio
Os pre~os restantes, em ordem. sao 31!8, 3'11, 397, 427, 782 e 872.
Por haver seis cntradas (mimcro par), a mcdiana ~ a m~ia das duas entradas
domeio.
M ct·
e 1ana
[>1a1i<li<a desoitiva
. -•Em um conjunto de dados,
fncontrando a mediana
No Exemplo 2, o
•
ha o mesmo numero de valon::s de dados iu.inla da n\e-
dinna bem como abaixo da
mediana. Por exemplo, no
Exoemplo 2, tr@s dos p~s
estiio abaixo de S427 e ires esrae> acirna de$ 427.
397 + 427 412
2
Entao, a mediana dos pre~s dos voos restantes eS 412.
Os p~os (em d6lares) para uma amostra de tocadores de MP3 s3o listados a
seguir. Encontre a mediana dos pr~s.
80 250 200 150 270 140 70 100 130 160
a. Ortle11e os dados.
b. E11co11tre a 111Mia das du as entradas do meio.
c. /11terprete os resultados no oontexto dos dados.
efinitCio
A moda de um conjunto de dados e uma entrada do conjunto de dados que ocorre com a
maier frequencia. Se nenhuma entrada e repetida, o conjunto de dados nlio tern moda. Se
duas entradas ocorrem com a mesma frequenda, cada entrada e uma moda e o oonjunto e
diamado de bimodal.
Exemplo [4J
Encontrando a moda
Encontre a moda dos p~s de voo do Exemplo 1.
Solupio
Ordenar os dados ajuda a encontrar a moda.
388 397 397 427 432 782 872
Com os dados ordenados, podemos ver que a entracla de 397 ooorre duas vezcs, enquanto
as outras entradas de dados ooomm somente wna Vf!'l.. Ent.'io, a moda dos p~ ~ S 397.
25, 5, 18, 12, 60, 44, 24, 22, 2, 7, 15, 39, 58, 53, 36, 42,
16, 20, 1, 5, 39, 51, 44, 23, 3, 13, 37, 56, 58, 13, 47, 23,
1, 17, 39, 13, 24, 0, 39, 10, 41, I, 48, 17, 18, 3, 72, 20, 3,
lmportante
.-••- - -
A moda e a unica medida de
tend@ncia central que pode
ser usada para dcscrever
dados no nfvel nominal de
medi<;ao. Mas quando trabalhamos com dados quantitativos, raramente ela e11tilizada.
Ed ,e 1naaa
1
58 •
lmt~ti<Hplicad•
9, o. 12, 33, 21, 40, 68, 25, 40, 59, 4, 67, 29, 13, 18, 19,
13, 16, 41, 19, 26, 68, 49, 5, 26, 49, 26, 45, 41, 19, 49.
a. Ortfe11e OS dados.
b. ldenti.fique a entrada ou entrad;u; que ocorrem com n1niorfrequi11c.in.
c. /111erprelc os n.'SUltados no contexto dos dados.
Rc-..,1ttSl1t un p. .AJ.S
Exemplo W
l'artido politico
Frequ~ncia /
Dcn1ocrntas
34
Ropublicanos
56
Outro
21
Nao n.~ponde:ran1
9
Encontrando a moda
Em um debate politico, pede-se que uma amostra dos membros da plateia no·
meie o partido polftico ao qual pertencem. Suas respostas s.'io mostradas na tabela.
Qual ~a moda da respostas?
Sol11pio
A resposta que ocorre com maior frequcncia ~ Partido Republicano. Ent~o, a moda e
Partido Republicano.
lltterprelnfiiO
Nessa amostra, havia mais republicanos do que pessoas de qualquer outra afilia~~o.
~
Em uma pesquisa, 240 americanos adultoss.'io questionados se os Estados Uni·
i=J dos terlio uma presidente algum dia. Dos entrev·istados, 171 responderam
5
"sin1", 45 responderan1"nao",e24 responderam 1'niiosei". Qual ~a moda das
respostas?
a. ldentifique a entrada que ocorre com a mniorfreq11€ncin.
b. /11lerprele os resultados no contexto dos dados.
En1bora a m~dia, a n1ediana ea n1oda descrevall\ cad a wna, deternlinada entra·
da tipica dos dados, ha vantagens e desvantagens no uso de cada uma delas. A m~dia
e uma mediqao confi~vel, pois leva em conta cada entrada dos dados, mas pode ser
muito afetada quando o conjunto de dados tern valores discrepantes.
efinicao
Um valor discrepante (outlier) e uma entrada de dados que est.! muito afastada das outras
entradas em um conjunto de dados.
Um conjunto de dados pode ter um ou mais valores discrepantes, causando lacunas em uma distribui\ao. As condus<'ies que siio tomadas de um conjunto de dados
que conMm valores discrepantes podem conter falhas.
Exemplo
ldades da tunna
20 20 20 20 20 20 21
21 21 21 22 22 22 23
23 23 23 24 24 65
m
Comparando a media, a mediana ea moda
Enoontre a medi<1. a medim1a ea moda da amostra das idades da turma ~ esquerda.
Qual medida da tendencia central melhor descreve wna enlrada tfpica desse conjunto
de dados? H~ valores discrepantes?
Ed1t11.11aaa
(apRolol
•
l~•llllli.d"nftlVd
59
SofoftiO
_ Ex
475
.r a - = -~23,Sanos
Mt!dia:
II
'
20
A National Associatio;-;;rl
Re.;illors (Associa(ilo N~ci;;:
nal de Corrctores de lm6veis
dos Estados Unidos) mant~m
um banco de dados das casas
avenda existentes. Uma lista
usa a 111trlu11111 dos p~ das
casas vendid<lS e outra usa a
111Min dos p~ das casas
vendidas. As vendas para o
pri.meiro trimestre de 2006
sao mostradas no gr.ifico de
I
21+22
~lcd1ann - - - -. 2l,5 dl\06
2
Mod a:
Aentrada quc orotre com maior frequmcia ~ 20 anos.
J11ttrptdafdO
A mt!dia leva todas as cntradas cm considera.;~ mas~ inlluenciada peto valor discrepante de 65. A mediana tambt!m leva cm considera¢o todas as enlradas e nao ~
afetada pelo valor discrepante. Nesse caso, a moda existe, mas nao parece representar
uma entrada tipica. Algumas VC2e5, a compa~ grafka pode ajudar a decidir qual
medida de tendencia central melhor representa o conjunto de dados. 0 histograma
mostra a distribuii;.lo dos dados ea locali~ da mt'dia. da mediana e da moda. Nesse caso, parece que ~a mediana que mclhor descrevc o ronjunto de dados.
barras.
(f Ir,
\1d
"' \
,if R.i .,,.,....l
ldade dos estudantes na turma
Venda de casas
nos EUA em 2006
6
s
~.
[3 ·
.!!
... 2
J$
.&()4550S5606S
ldadc
.....6
V:ilor d1,crcp;1111c _f
Remova a cntrnda de dados 65 do conjunto de dados anterior. Entao, refa~a o
exemplo. Como a ausencia do valor discrcpante muda cad a uma das medidas?
Tente
a. Enconlrc a mtdia, a 11lt'lfimra ea modn.
b. Compare ess.is medidas da tcndQncia central com as do Exemplo 6.
R6p1~t""
I
Noteq11< 110grrlfiron111Mindr I"''
fOS estd em tomo de S45.000,Ql.J
1tt1 p. AJ,;
Media ponderada e media de dados agrupados
As vezes, os dados cont~ entrad3S que ~ um maior efeito na media do queoutras.
Para enoontrar a ~ia de tais conjuntos de dada;. voce deve encontrar a ~a pondErada.
efinicao
Uma media ponderada ea mMa de IJll oonjinto de dados aJjas emradas 1~ pesos variados.
Uma mMa ponde<ada edada por.
- E(x·w)
x
LW
onde we o peso de cada entrada x.
Exemplo L 1
Encontrando a mfdla ponderada
VocQ est~ frequcntando uma aula na qual sua nota ~ determinada com base em
5 fontes: 50'~. da m~dia de seu cxnmc, 15%do scu cxamc bimestral, 20')1i de seu exame
l
amais do q11e a 111t-dimN1 do pn'\l).
Que fatom faum <0111 q11e n 111«dia dos pn'\US ><!pr mnior do q11f
'111ra?
)
Ed ,e 1naaa
1
60 •
utatktlca'91lcad•
final, 10%de seu trabalho no laborat6rio de informatica e 5'% de seus deveres de casa.
Suas notas s.~o: 86 (m&lia do exame), % (examc bimestral),, 82 (exame final). 98 (labo·
rat6rio) e 100 (dever de casa). Qual e a media pondcrada <le suas notas? Se a media
m<nima para um Ae<JO, v~obteve uma nota A?
Sol urtio
Comece organizando os dados e os pesos na tabela.
I
Nola, x
Peso, ro
XIV
Examc bimcstral
86
96
Exame final
82
l.aborat6rio
OcvC'r de ca.o;.a
98
100
0,50
0,15
0.20
0.10
0,03
43,0
14.4
16,4
9,8
5,0
li!v = I
E(x · w) = 88.6
Fonle
~lc?dia do cxanu?
_ DxwJ
x=--
L:w
88,6
=1
=88,6
A m&lia ponderada para o curso e 88,6. Portanto, voce nao obteve um A.
Tente Houve um erro no calculo da nota de seu exame final. Ao inves de 82, voce
v;e
a.
obteve 98. Quale sua nova media ponderada?
Multiplique cada nota por seu peso e e11co11tre n somn tie ;;e11s prolf11tos.
b. Encontre a soma dos pesos.
c. Enoonlre a 111Mia po111fernlfa.
d. lllterprete os resultados no oontexto dos dados.
Se os dados silo apresenlados em uma
aproxin1ar a m~dia oomo a seguir.
distribui~5o
de frequencia, voce pode
efinicao
Oica de estudo
Se adistribui~o de frequencia
representa a popula~ao, enrao
a media da distribui<;ao de frequencia eaproximada por
f,(xf)
N
A media de uma
distribui~ao de
_ [(x·f)
Note que n = ~I
x=--,
n
em que x e f sao os pontos medios e as frequencias de uma dasse, respectivamente.
lnstru(oes
11= - - .
ondeN=Ef
frequencia para uma amostra e apro~mada por:
Encontre a media da distribui~ao de frequencia
Em palavrns
1. Enoontre o ponto medio de cada dasse.
Em sfmbolos
1.
x = Oimit~ inferior)tOimitesuperior)
2. Enoontre a soma dos proclutos dos pon· 2. E(xJJ
tos medios e as frequencias.
3. Enoontre a soma das frequencias.
3. 11=Ef
4. Encontre a m&lia da distribui¥'0 de 4. .-' ( ; DxfJ
frequencia.
II
2
Ed ,e 1naaa
1
(ap!1olo l
Exemplo
•
[11a1h!i<4 des<ri1iva
61
m
Ponto
£ncontrando a media da distribuirao de frequencia
m~diodas
Use a d istribui{30 de (rcquCncia ?l dircikl para aproximar o nU_mcro
m~dio
de
Frequ@nda
dassesx
I
V<·/)
minutos que uma amostra de usu~rios de Internet gasta on-line durante sua mais recente sessao.
12_.5
6
75.0
24,5
lO
2~5,0
Sollifdo
3';,5
13
474,0
41!,5
8
388.0
6CJ,5
5
JOio
72,5
6
435,0
84,5
2
169.0
II : SI)
.r: = 2.089,0
x
'f.(.r·/) - 2.089 "'41,8
II
50
Entao, a media do tempo gasto on-line foi de aproximadamente 41,8 minutos.
Tente Use a distribui\50 de frequ@
ncia do numero medio de /011d11fow11s marcados por
¥OC6 todos os times da primeira divisilo de futebol americano (fente v~ 2, p. 35).
a. Encontre o poulo medio de cada classc.
b. Encontre a somn dos produtos de cada ponto medio e sua frequencia correspondente.
c. Encontre a somn tins freq11e11cins.
d. Encontre a medin rln dislrib11i(l'lo rlefreq111!11cin.
Rcspn.:t11 nn p. AJS
I
forma das distribui~oes
Um grMico revela diversas caracterfsticas de uma dislribuiyio de frequencia.
Uma delas ea fonna das distribuic;<X!s.
efini~ao
Uma distnbui~o de frequencia e simetrica quando a linha ver1ica1 pode ser desenhada do meio
do grafte0 da distnbuiciio e as metades resultantes sao aprox.imadamente imagens espelhadas.
Uma distribuiciio de frequencia e uniforme (oo retangular) quando todas as entradas, ou
dasses. na distribui~ tern frequencias iguais ou aproximadarnente iguais. Uma distribu~ao
uniforrne tambem esimetrica.
Uma distribuiciio de frequencias eassimetrica se a "cauda" do grafico se alonga mais em um
dos !ados. Uma distribuiciio e assimetrica a esquerda (negativamente assimetrica) sea cauda se estende aesquerda, e assimetrica adireita (positivamente assimetrica) se a cauda se
eS1ende adireita.
Quando a distribui,ao for simelrica e unimodal. a media, a mediana e a moda
s.'io iguais. Se a distribuiv1o for assimetrica aesquerda, a media e menos que a mediana e a mediana e igualmente menor que a moda. Se a distribuii;iio for assimetrica
a direita, a mi!dia emaior que a mediana e igualmente maior que a moda. Exemplos
dessas distribuic;<X!s comuns sao mostrados a seguir.
-l
Para explorar mais este t6pico. veja 2.3 Atividades 11<1 p. 67.
Ed ,e 1naaa
1
62 • lsmb\icaaplicada
lmportante
Flque atento que lul muitas
rormasdiferentesdedistribui-
Distribui~o simetrica
40 ,__
35
3()
Distribui~o assimetrica a esquerda
--
,__
40
35+-- - - - - -_.l
3()
~ao. En1 aJguns ..:asos, a for-
ma pode n~ ser classificada
como simetrita, unifonne ou
assimetrica. Uma distribui~o
pode ter varias lacunas causa·
das por valores discrepantes
ou po~ agrupamento nos da·
dos. Os agrupamentos pod em
ocorrer quando di versos tipos
de dados sao incluidos em
1.11m conjunto de dados.
20
15 •t-10 • t-5
2<•+-- - - - -n
-
t--
r
3
5
7
10
~
~
I
15
-,
9
1,1
1-r-..l&h;i
13
5
3
l5
5
~ le<li.i rt:t
~. I
•
Distribuitao assimetrica a direita
Oistribui~o uniforme
,__
,___
35
40
3()
?5
20
15
lO
5
40 +----·ri ------~
-
35
30
2s+-- -r"l
20
1s-r--.-1
IO
.
.5 . .
7
5
. . . ..
19
II
tM~dia
ri.lcdi:in.:i
13
1'3
IS
IS
A media sempre ira na di~ao em que a distribui~ao for assimetrica. Por exemplo,
quando a distribui~iio e assimetrica a esquerda. a media esta ll esquerda da mediana.
Ill Exercicios
Construindo habilidades basicas econceitos
Verdadeiro ou fatso?
Nos exercicios de 1a 6, determine sea frase everdadeira ou falsa.
Se for falsa. reesae-.oa-a de forma que seja vetdadeira.
1.
A media e a medida de te~cia central que mais pode ser
afetada po< um valor exttemo (val0< dscrepante).
Analise grafica
Nos exerdcios de 9 a 12, delermine se a forma aproximada
da distribui~o no histograma e slmetrica, unifonne, assimetrica a
esque<da, assimetrica a direita ou nenhuma das anteriores. Justifique
sua resposta.
9.
22
2Q
18
,,
16
2. Cada conjunto de dados deve let uma moda.
12
10
:;. Alguns conjuntos de dados quantitalivos nao tern mediana.
8
6
•z
4. A media ea unica medida de te~cia central que pode ser
usada para dados no nivel nominal de medit<io.
S. Quando cada dasse de dados tern a mesma frequencia, a distri·
bui~o e assimetrica a direita.
6. Quando a media emaior que a mediana, a distribui<Ao eassimetrica a esquerda.
7. Constrva um conjuntode dados no qua! a mediana nao represen·
ta um numeio tipico no conjunto de dados.
8. Construa um conjunto de dados no qual a mediana e a moda
sao as mesmas.
25.000 -15.000 6S,000 fSS..000
10.
IS
12 -1-- -
9
•·
85 95 105 11.S 1~5 1]5 14S ISS
Ed ,e 1naaa
1
C.pfilil•1
11.
18
IS
·-
- --
1---
-
- -,_ - -
12
9
6
J
I 'l ) 4
5 6 7 8 9 I() 11 IZ
12..
52.S
62.S
7?.S
82.3
Relacionando
Nos eicercicios de 13 a 16, relacione a distribuiylo com um dos
graficos dos exe<dcios de 9 a 12. Justifique sua decis<lo.
13. A dis1ribui¢0 de frequeocia de 180 rolos de um dodoolgono
(poligono de 12 lados).
14. A distribuiy!o de frequ~ncia dos sa~rios em uma empresa onde
alguns exec.u1ivos tern salarios muito maiores do que a maioria
dos funcionArios.
15. A dis1ribui<;<io de frequencia das notas 90 em um teste no qual
alguns poucos estudantes tiveram uma nota muito menor da
dos ouuos.
16. AdiSlll~o de frequ~ncia dos pesos para uma amostra de me·
ninos da s~ma serie.
Usando e interpretando conceitos
Encontrando e discutindo a media, a mediana ea moda
Nos exercfcios de 17 a 34, enconue a media. a mediana e a
moda dos dados, se pc>sWel. Se quaisquer dessas medidas nao pu·
derem ser encontradas ou n.lo representarem o centro dos dados,
eiqilique o porqire.
17. SVVs 0 numero maximo de lugares em uma amostra de 13
utiitalios eSjlOllivos.
6699655575558
18. Educa<;<io O Cl!SIO cla educa¢o po< aluno (em milhares de dO.
lares) em uma amosua de IOfaruldadesde ane.
30 35 19 22 22 20 23 21 35 25
19. Carros ~ortivos 0 tempo (em seg\J<l(los) para uma amostra
de sete carros esportivos P<Jra ir de Oa 60 milhas per hora.
3,7 4,0 4,8 4,8 4,8 4,8 5.1
20. Coleslerol Os n!veis de colesterol para uma amostra de 10 fun·
cionarias.
154 240 171 188 235 203 184 173 181 275
....
"'
'· it;21. NFL (Liga nacional de futebol americano) Os pcntos medios
po< jogo marcados por cacla time durante a tempcracla regular de
2006. (f·ome:NR.. )
•
[Sla.lhtica dtSnitiva
63
19,6 18,2
26,6 19,9
16,2 17,6
22,1 30,8
22,I 18,8 16,9 26,7 23,3 14,9
19,1 18,8 16,7 26,7 23,2 20,7
24,1 25,8 19,8 22,2 10,5 24,9
18.6 20,9 22.9 13,2 20,2 19.2
Falhas de energia A dura<;ao (em minutos) das falhas de e<iergia em uma resid~ncia nos ultirnos 10 anos.
18 26 45 75 125 80 33 40 44 49
89 80 96 125 12 61 31 63 103 28
23. Qualidade do ar As respostaS de uma amosua de 1.040 pessoas que foram pe<guntadas sea qualidade do ar em sua oomu11idade esta melhor ou pfor do que esrava 10 anos a1ras.
Melhor: 346 Pior: 450 lgual: 244.
24. uime As respostasde uma amosttade 1.019 pessoasquestionaclas sobre como se semem quando pensam em criminalidade.
Despreocupados: 34 Cautelosos: 6n
Tensos: 125 Com medo: 188
25. Velocidade m~xima A velocidade maxima (em milhas por
hora) para uma amosua de sere carros esportivos.
187,3 181.8 180.0 169.3 162,2 158,I 155,7
26. Preferencias de compras A resposta de uma amostra de 1.00I
pessoas que foram perguntadas se suas pr6"imas cornpras de
vefculos serao de carros nacionais ou impo11<1dos.
Nacional: 704 lmportado: 253 Nao sabem: 44
27. A>oes O pr~ recomenclad0> (em d61ares) P<Jra diversas a¢es
q.Je os an.ilistas preveem que irao produzir pelo me.1os 10% de
retornos anuais. (Font< Money.)
41 20 22 14 15 25 18 40 17 14
28. Disturbios alimentares 0 nl)mero de semanas que uma
amostra de 5 P<Jcientes corn disrurbios alimentares tratados com
psicoterapia psicodin.\mica leva P<Jra atingir o peso-alvo. (Fonte: 1be
Jcvmol ofC011St,i!J/I;/ onrl CJit>«>I PJ',<e~)
15,0 31,5 10.0 25,5
1,0
29. Disturbios alimentares 0 numero de semanas que uma
amostra de 14 pacientes com dist<rbiosaftmentares tratados com
psicoterapia psicodinamica e tecnicas de componame.1to cognitivo leva para atingir o peso-alvo. (f"""'' The i<Mt>OI cl Cor:QJ:"'J and
C/ir.ia;/ Psydlo/oY'f.)
2,5 20,0 11,0 10,5 17,5 16,5 13,0
15,5 26,5 2,5 27.0 28,5 1,5 5,0
30. Aeronaves O rilmefo de aeronaves que as linhas a~reas
em suas frotas. (fQfi!..: Aill."' '"''"""' ASSOO<ltm)
699 480 25 35 110 445
458 374 93 356 380
31. Pesos (em libras) dos caes em um canil
1 o2
Cllave: l!O = 10
2
3
4
I 47
78
155
5 07
6 5
7
8
9
10 6
t~m
Ed ,e 1naaa
1
61,
•
u1aolsli<ddplicada
32. Ponto medio das notas dos estudantes em uma aula
37.
Voce dorme o su.ficiente?
CMe: 0)8 = 0,8
0 8
1 568
2 1345
3 09
4 00
120
(; 100
·~ 80
'g
l
33.
Tempo (em minutos) que funcionarios
levam para chegar ao trabalho dirigindo
60
40
20
-
-
10
IS
20
2.S
30
:lS
.ao
.
38.
Altura dos jogadores
de dois times d~ futebol
34.
Velocidade maxima (em milhas por hora)
de carros esportivos de al!o desempenho
1
6
•
• •
••••
• •••••
•
.
~~,
l)orrnc o
de m.ai~ tJe ITl«l0$ 1Cll)po ~IC.
Respos:l:l
• !11111111111111111111111111111111111 ~
S
.
Pt\.-ci~
•
•
. .. .. -• . . . .
I·
:~ !"
g. 3 +-- ·-1
tt
:?
11 I 1111111111 11 I I I I I I •
2<JO
205
210
m
no
70 71 72 73 74 15 76 77
Alrura (e1n 1:aolegadM)
An~lise grafica
Nos exetdcios 35 e 36, as ie!fas A, B e C silo marcadas no eixo
ho1izontal. Descreva a fomia dos dados Em seguida, de;ermine a media, a mediana e a moda. JUSlifique.
39.
indice cardiaco
de uma amostra de adultos
35.
Dias em que os funcionarios ficam doentes
•
·g
16
·g
14
l'J
g-
12
~
·~ 10
&-
IS +---~-<
10
,u
-!
45
40 + - - 35
30
25
20
s
8
6
lv=;=L.,.~.1,-~~-r'-~
4
SS tiO (,5 70 7S 80 SS
2
fodice cardf:K"O (b:uim1c111os, por minu1os)
t 11• 16 18 20 22 24 26 2s
iot
AUC
oi-u$
40.
lndice de massa corporal (IMO
das pessoas em uma aula de gin3stica
36.
Recebimento dos funcion3rios por hora
16
l'J
•8
·~
14
12
·~
·g10+---~
~ 8
~6
"' • + - - - - - -rrll I
2+ - -n
10 12
1
6
s
!~
18
14
16
18 20 22! j26f28
1\ u c
RC(tbi1ncnto por hora
Nos exetcicios de 37 a 40, sem realizar ne<lhom C<llaJlo, determine quais medidas da tende:icia central melha< representam os graficos
a seguir. Exp!ique.
20
2?
24 26
IMC
28
30
Encontrando a media ponde<ada
Nos exetcicios de 41 a 46, encon!fe a m!!dia pondetada dos dados.
41. Nola final Fornecemos as notas e suas po<centagens na nota
final para um aluno de estallslka. Qual e a nota media do aluno?
Edifii,IJBa a
(apRolol
Pofceotagem oa
N<ll•
-
~deusa
5'M>
80
35""
PlqelOS
100
~
~
90
151111
Tts4eiNI
93
251111
ld6de
42. Sal.WS Os sal!nos ~ 1111CaS (per ~ acingw:la)
p.11a 25 Mcion.!rios em irna ~sac> cildos a segUt. Quale
a~ dos satancs rms P¥• esses funcicn¥ios?
8 com MBA: S45.500
17 tom bachorelado em Adrrnstt~: S 32.000
u . Saldo de <onta Para o mes de abti. irna coma NricAria tem
saldo de S 523 para 24 dias. S 2.415 para 2 dias e S 250 para 4
dias. Qual e a ~ de saldo para abri?
44. Saldo de conta Para o mes de nnalO, uma conca Nnc.lrii tern
saldo de S 759 para 15 dias. S 1.985 para 5 dias. $ 1.410 para
5 dias e S348 para 6 di.ls.Quale a m~ia de saldo para maio?
45. Nolas Um estudante recebe as seguinces nocas. tom Avalendo
4 pootos, 8 valendo 3 poncos. Cvalendo 2 pontos e Dvalendo 1
pooto. Quat h no1a ~ia?
8 em duas aulas de 3 a~nos Dem uma aula de 2 creditos
A em uma aula de 4 u~nos
C em uma aula de 3 crt!ditos
46. Nolas As no1as ~ias paraum curso de esca1!s1ica (por gradua~ao) sao dadas a seguir. Quais sao as nocas mMsas para o rurso?
9 g1aduandos em engenharia: 85
5 graduandos em matema1ica: 90
13 graduandos em administrac.lo: 81
lll•lllli« dt\nftlVd
65
49. ldades ldade dos me<adores de uma cidade.
no1a final
85
•
Frequ~n<ia
0-9
55
Hr.19
70
20-29
35
3()...39
56
4!H9
74
S0-59
42
6()...69
38
1()...19
17
10
80-89
so. Liga¢es telef6nicas
~ das ~ de ~ Ost.Inoa
(em mimr.os) feias pc:< uma pessoa em um dia.
Ou~
NUmero de cham6das
1-5
e;..10
11-15
l&-20
21-25
12
26
20
7
II
26-30
SHS
3&-40
7
41-45
1
4
4
ldentificando a forma da d'istribui~~o
fllos exercicios 51 a 54, C<J<lstrua uma diwibui~o de frequ~ia
e um histograma de frequencia dos <!ados usando o numero in6cado
Encontrando a media para dados agrupados
de dasses. Desueva a forma do histograma como sim~trico, uniforrne,
Nos ecerdcios de 47 a 50,aproxime a meda dos dados agrupados. assim~ negativo, assini!lrico positiYo ru nenhum dos anteriores.
47. Ahura de mulheres Aaltuta (em ~s) de 18 esluci¥ltes ·~51. Hospitaliza¢es
do se.xo fem111ino ~ante irna aula de educac.10 fisia
NU!nero de classes: 6
Corjunto de dados: o oomero de <ias em que 20 pacientes fica.
Altur-•
ram hospitaliz.ados:
(em poltgidas)
6 9 7 14 4
4
s 6 8 4 11
10 6 8 6 5
766311
8
~2.
69-71
camas de hospitais
l\'(mero de classes: 5
48. Altura de homens A •ra (em poleg.ldas) de 23 estudantes
do sexo masciMo dlrante irna
de edJCac.1o fisica.
aw
Altura
(em poltg6das)
Frequt<>Qa
63-65
3
('6-68
6
69· 7t
7
72-74
4
7'>-77
.I
I
~.o de dados: nUnelO de camas em uma amostra de 24
hospitais:
149 167 162 127 130 180 160 167
221 145 137 194 207 150 254 262
244 297 137 204 166 174 180 151
·~53. Altura de homens
Numero de dasses: 5
Conjunto de dados: alturas (aproocimadas ~ pi6xima polegada)
de 30 home.is:
67 76 69 68 72 68 65 63 75 69
66 72 67 66 69 73 64 62 71 73
68 12 11 65 69 66 74 n 68 69
Ed ,e 1naaa
1
..•
66 •
h1'tisti"apli<«la
" Jt54. Dado de 6 lados
Nume<o de dasses: 6
Conjunto de dados: o resultado da rolagem de um dado de seis
lados 30 vezes:
1461532546
124356321
562443
624
55. Conteudo de cafe Durante uma checagem de seguran,a. o
contelido de cafe (em oncas = 28,34 gramas) de cinco reci·
pientes de cate h1stantaneo foi regis1rado como 6.03; 5.59; 6,40;
6,00; 5,99 e 6,02.
(a) fn(O(ltre a media ea mediana do conteudo de cafe.
(b) 0 terceiro valor foi incorretamente medido e e, na verdade,
6,04. Encontre a media e a mediana do contetldo de cafe
novamente.
(c) Qual medida da tendencia central, a media ou a mecfrana, foi
mais afetada pelo erro na entrada do dado?
56. Exporta~oes dos EUA Os dados a seguir sao das exporra~ees
dos EUA (em bilhees de d61ares) para 19 paises em um ano
recente. (Fonse: us ~ol~.)
C.n~da
230,3
M~ico
134,2
Alemanha
41,3
Taiwan
23,0
Holanda
31,1
China
55,2
Australia
17,8
Malasia
12,6
Suica
14,4
Aribia Saudita
7/J
Jap!o
59,6
Reino Unido
45,4
~oreia do Sul
32.S
Cingapura
24.7
Fran~
24.2
Brasi
19,2
~gica
21,3
tt41ia
12,6
Taillridia
8,2
(a) Encontre a media ea mediana.
(b) Encontre a media ea mediana sem as exporta¢es para o
Canada.
(c) Qual med'ida de tend!ncia central, a med'ra ou a mediana,
foi moi> •fe14do pet. elimin•¢o do> dod0> do C.nadi?
Expandindo conceitos
57. Colle As distancias (em jardas) para nove buracos de um jogo
de golfe sao listadas.
336 393 408 522 147 504 In 375 360
(a) Encomre a rnMta ea mediana dos dados.
(b) Cooverta as <fostancias para pe~ Refaca a pane (a).
(c) Compare as medidas encootradas na pane (b) com os resul·
tados na parte (a). O que p<ldemos notar>
(d) Use os resuhados da pane (c) para explicar o conjunto de
dados fomecido se as dist.lncias sao me<idas em polegadas.
58. Analise de dados Um setlli~ de teste ao consumidor obteve
as seguintes milhas po< ga!~o em cinco testes de desempenho
com ues tipos de carros compaaos.
Tcste 1
Testc 2
Tate J
Tcstc 4
TC3te !i
Carro A
28
32
28
30
34
carro B
31
29
31
29
31
cano c
29
32
28
32
30
(a) 0 fabricante do carro Aquer anunciar que seu carro teve o
melhor desempenho no teste. Que medida da tendencia
central - media, mediana ou moda - deve<ia ser usada para
essa afirma~o? Expfique.
(b) O fabricante do carro B quer anunciar que seu carro teve o
melhor desempenho no teste. Que medida da tendencia
central - media, mediana ou moda - deve<ia ser usada para
essa afirma~o? Expfique.
(c) O fabricante do carro C quer all<Jlciar que seu carro teve o
melhor desempenho no teste. Que medida da te.~dencia
central - media, mediana ou moda - deveria ser usada para
essa afirma~o? Expfique.
59. Amplitude total media Outra medida da tendelicia cemral que
raramente usada, mas facil de ser calculada, a amplitude
total media. Ela pode ser encOnlrada pela f61mula.
e
e
(Entrada ~ma de dados)+ (Entrada minima de dados)
2
Qua! dos fabricantes p<esentes oo Exe<cicio S8 iria preferir usar a
amplitude total media estatistica em seus anin:ios? Explique.
'.:~60. Analise de dados Estudantes em uma aula de psicologia experimental realililram uma pesquisai sob<e a depressao como sinal
de estresse. Um tesle foi administrado com uma amostra de 30
esludant~ As notas sao fomecidas.
44 St II 90 76 36 64 37 43 72 53 62 36 74 St
72 37 28 38 61 47 63 36 41 22 37 51 46 85 13
(a) Encontre a media ea med'iana.
(b) Desenhe um grafico de ramo-e-lolhas para os dados usando
uma fileira PO< ramo. Localize a media ea me<fiana no grafico.
(c) Oescreva a forma da distribui~o.
61. Media ajustada Para encontrar 10% de uma media ajustada
de um conjunto de dados. ordene os dados, exdua o menor 10%
das entradas e o maior 10% das e<ltradas e encontre a media das
emradas restantes.
(a) Encootre 10% de uma mMia ajustada para os dados do
Exe<cicio 60.
(b) Compare as quatro medidas da tendt!ncia central, incluindo
a semiamplitude.
(c) Qual e o beneflcio de se usar a mMa ajuSlada versus a
media encomrada usando 1odas as entradas de dados?
Explique.
Ed ,e 1naaa
1
(apftulo 2 •
iii
[11111<\icades<rit~a
67
Atividades
Media versus mediana
e
Applet 0 applet da media versus mediono planejado
para permi1ir que voce invesligue interativameme a media e a
mediana como as mecidas do cen110 do conjunto de dados. Pon·
tos podem ser adicionados para representar clicando o mouse
acima do eixo horizontal. A mMa dos pontos e m05trada como
uma seta verde e a mediana e mostrada como uma seta ver·
melha. Se dois vaf0<es f0tem os mesmos, ent~o uma Urica seta
amarela emosttada. Valores numericos para a media ea me<ilna
~ mostrados acima do grAfico. Pontos do grAfiw podem ser
removidos dicando no ponto e, ent.io, arrasl.lndo o ponto P<Jra
a &xeira. Todos os pomos no grAfico podem ser removidos simpfesmente dicando-se denuo da lixeira. A amplitude dos valo<es
para o eixo pode ser espedficada colocando imites superiores e
inferiores e entao cicando em UPDATE.
2
4
Lower Limil: I
6
Explore
Passo 1 Especifique um limite inferior.
Passo 2 Especifique um limite S\4)eri«.
Passo 3 Adicione 15 po<'1tos no grAfrco.
Passo 4 Remova todos os pontos do grAfico.
thegando a condus06
I. Especifique o limite inferior como 1 e o superior como 50.
Adicione pelo menos dez pontos que estejam entre 20 e 40
de modo que a m~ e a mediana sejam as mesmas. Qua!
e a forma da <fisuibuir;ao? O que acontece primeiramente
a media e amediana quando voce acfrciona al&\fnS pontos
que sejam menores que 10? O que acootece com o tempo
coolo,me co.~tinuamos a adicionar ponlos que sejam menores que 10?
2. Especifique o limite inferior oomo Oe o superior como 0,75.
Coloque dez poolos ao grAfim Ent.lo, mude o ~mite supe·
rior para 25. Ad'Jcione ao grafico mais dez pontos que ~o
maiores que 20. A media pode ser qualquer um dos pontos
que foi representado? A medfana pode ser qualquer um dos
pomos representados? Explique.
8
Upper Unlit: 9
Ill Medidas de varia~ao
Amplitude -+ Desvio, vari/incia e desvio padrao-+ lnterpretando o desvio
padr/io -+ Desvio padrao para dados agrupados
I
Amplitude
Nesta ~30, voce aprender~ difercntes maneiras de medir a varia~3o do conjunto de dados. A medida mais simples ea amplitude do conj unto.
efinicao
• CDmo enrontrar a amplitude de
um conjunto de dados-
• Como encoooar a variancia e o
devio padrao da popula\.lo e da
amostla.
• Como usar a regra empfrica e o
A amplitude de um COl'ljunto de dados ea daeren~ entre as entradas maximas e minimas no
conjunto. Para enc011trar a amplitude. os dados devem ser quantitativos.
Amplitude = (Entrada m~~ma de dados) - (En11ada minima de dados)
Exemplo
0 que voce
deve aprender
m
fncontrando a amplitude de um conj unto de dados
Duas corpora<;Qcs contrataram 10 formandos cad a. 0 saf~rio iniciaf para cada
formando e moslrado a seguir. Encontre a amplitude dos salarios iniciais para a
EmpresaA.
teorema de Oiebychev parainter·
prelar o desl'io pactrao.
• Como aproximar o desvi'o padrao
para dados agrupados-
Ed ,e 1naaa
1
Sa.larios inidais para a Empresa A (milhares de d6Jares)
Salarios J 41 J 38 J 391 45 147 , 41
I 44 I 41 137 , 42
Salirios iniciais para a Empres:a B (milhares de d6lares)
lmportante
Soluftio
Ordenar os dados ajuda a encontrar os sal.lrios mfnimos e maxi mos.
Ambos os conjunto,de dados
no Exemplo 1 t@m a media
de 41,5, a mediana de 41 e a
moda de 41. E ainda, os dois
conjuntos diferem significantemente. Adiferen~ eque as
entradas no segundo conjun·
to t~m uma varia~o maior.
Seu objetivo nesta ~ e
aprender como medir a vari~o no conj unto de dados.
37 38 39 41 41 41 42 44 45 47
~linum'I _ )
Amplitude = (Salario maximo)- (Salario rninimo)
= 47 -37
= 10.
Entao, a amplitude dos salilrios iniciais para a Empresa A e10 ou S 10.000.
Encontre a amplitude dos salanos iniciais para a Empresa B.
~ a. ldentifique os salarios 111f11i111os e111dxi111os.
b. Enoontre a a111plit11de.
c. Comparesua respostacom a do Exemplo 1.
Tente
Ri~1os.1111u1 I'·
I
;\35
Desvio, variancia e desvio padrao
Como uma medida de varia~ao, a amplitude tern como vantagem ser facil de cal·
cular. Adesvantagem, entretanto, eque a amplitude usa somente duas entradas do con·
junto de dados. Duas medidas de varia~ao que usam todas as entradas do conjunto de
dados s.io a variiincia e o desvio padrao. Porem, antes de aprendennos essas medidas,
precis.1111os entender o que chamamos desvio padraoe entrada no conjunto de dados.
Desvios dos dez salarios
iniciais da Empresa A
Sala.rio,
Desvio
(milhares de
d6lares) x
(milhues de
d6lares) x - 11
41
-0.5
38
39
45
47
41
44
41
37
-3,5
-2.S
3.5
5,5
-0.S
2.5
-0,5
-4.5
42
0,5
C:\' e 4l5
1.1x-11) a O
efinicao
0 desvio de uma entrada x em uma popula<;ao ea diferen.;a er>tre a entrada e a media µ do
conjunto de dados.
Desvio de x = x - µ.
Exemplo W
[n(ontrando os desvios de um (Onjunto de dados
Encontre o desvio de cada salario inicial para a Empresa A dado no Exemplo 1.
SoluftiO
A media dos sal~rios iniciais e11 = 415/10 = 41,5. Para encontrar o quanlo um salario
desvia da media, subtraia 41,5 do salario. Por exemplo, o desvio de 41 (ou $ 41.000) e:
41 -41,5 = 0,5 (ou - $ 500).
.\.J
~µ
A tabela aesquerda lista os desvios de cada um dos dez s.1l~rios iniciais.
Ed ,e 1naaa
1
Tente Encontre o desvio de cada salario inicial para a Empresa Bdado no Exemplo I.
a. Encontre n merlin de cada conjunto de dados.
b. S11btrnin a m&lia de cada salario.
voc'6
No Exemplo 2, note que a soma dos desvios ezero. Em razao de isso ser verda·
deiro para qualquer conjunto de dados, n.io raz sentido encontrar a media dos desvios. Para superar esse problema, voe~ pode razer o quadrado de cada desvio. Quando
adicionamos os quadrados dos desvios, calculamos a quantidade chamada soma dos
quadrados, denotada para SS,. Em um conjunto de dados populacional, a media dos
quadrados dos desvios echamada de variancia populacional.
efini{ao
A variancia populacional do conjunto de dados populacional de N entradas e:
Variancia populacional = 111 = 'f.(x-1•>'
N
0 sfmbolo" e a letra minuscula grega sigma.
efini{ao
0 desvio padrao populacional de um C011junto de dados populacional de N entradas e a raiz
quadrada da variancia populaciona!.
Desvio padrao populacional =11'
=,P =
p:xx~ 1'f'
lnstru~oes
Encontrando a variancia populacional·eodesvio padrao
Em palavras
1. Encontre a m&lia do conj unto de dados populacional.
2. Encontre o desvio de cada entrada.
3. Fa\<! o quadrado de cada desvio.
4. Adicione para obter a soma dos quadrados.
S. Oivida por N para obter a variaslo populacional.
6. Encontre araizquadrada da variancia paraobter o desvio padrao populaciorial.
Em simbolos
L:x
1. µ = -
N
2. x-1•
3. (x - 11>2
4. SS, = E <x- 1•>'
"i:(x~11)
1
S.
112 _
6.
"= JL:(x~ µ)'
Ed ,e 1naaa
1
70 •
lstat15ticaaplicad•
Soma dos quadrados dos
salarios iniciais da Empresa A
Quadrados
;r
Desvio
x-µ
41
38
-0,5
-3,5
39
45
-2,5
47
41
5,5
0,2S
12,2.5
6,25
12,25
30.25
0,25
6,25
0,25
20,25
0,25
SS, = SS,5
SaUrio
3,5
-0,5
44
,C,:>
41
-0,5
Y7
-4,5
42
0,5
1:=0
Dica de estudo
Note que a variancia e o de$·
vio padrao do Exemplo 3 tern
uma casa decimal a mais do
que o co)'ljunto de dados ori·
ginal. Esta e a mesma r:egra
de arredondamento usada
para calcular a m~ia.
Dica de estudo
Encontre a varifulcia popul:i.cional e o desvio padr5o dos salarios iniciais para a
Empresa A dados no Exemplo 1.
So/11ftiO
A tabela ~ esquerda resume os passos usados para encontrar SS,.
SS,=88,5,
Simbolos nas formulas da
variancia e do desvio padriio
11'= ~~5 ..,S,9,
11= .JS,$5;,;3,0
Assim, a variancia populacional e de aproximadamente 8, 9 e o desvio padrao
populacional ede aproximadan1ente de 3,0 OU$ 3.000.
Tente
vocf
a.
b.
c.
d.
e.
Encontre o desvio padrilo populacional dos sal~rios iniciais para as empres.'s
dadas no Exemplo 1.
Encontre a 111i!rlin e cndn desvio pndrlio como voce fe-4 no Te11tevocf 2.
Fn{n o q11ndrndo de cada desvio e osndicio11e para obter a soma dos quadrados.
Divitfa por N para obter a variancia popuJacionaJ.
Encontre a rniz q11ndrndn da variancia.
illter11rete os resultados fornecendo o desvio padrao populacional em d61ares.
R~10Sl1t IUI I'·
Amostra
i!
A36
efinicao
Avariiincia amostral e o desvio padrao amostral de cada conjunto de dados amostral de n
entradas estao listados a seguir.
n- 1
Desvio padrao amostral = s = .[si = Jr:.<x - xY
n- 1
lnstru~oes
Encontrando a variancia amostral e odesvio padrao
Em palavras
1. Encontre a media do conjunto de dados amostral.
2.
3.
4.
5.
6.
Encontre o desvio de cada entrada.
Fai;a o quadrado de cada desvio.
Adicione. para obter a soma dos quadrados.
Divida por 11 - 1 para obter a varia~ao amostral.
Encontre a raiz quadrada da variAncia para obter o desvio padrao amostral.
Va.riinda
u'
Desvio
padrao
q
'
Media
JI
J
N6merode
entradas
N
II
x-p
x-X
1.
x=Ex
lXx -11>'
!:Ix -~>'
2.
x-x
Sc>ma dos
quadrados
N= lO,
Variancia da amostra = s' - Z::.( x- xj
Note que quando encontra·
mos a variancia pop11/ncio11n/,
dividimos por Nonumerode
enti'adas, mas por razi\es tee·
micas, quando encontramos a
variancia n111ostrnl divic(imos
porn-1, unl nUmeroan1enos
que o numero de entradas.
Desvio
m
Encontrando odesvio padr3o popu!acional
<x- µ>'
--~~~~~~~~~~
Popula~ao
Exemplo
Em sfmbolos
II
Ed ,e 1naaa
1
(•pftolo2
•
boa11ltlcade1ni1ivo
71
3. (x- x!'
4. SS,= E(x-x>'
Eix-xJ'
s.), = ~-11 - l
6. s =
E<x - xl'
11-l
Exemplo [4J
fncontre o desvio padrao amostral
Os salarios fomecidos no Exemplo 1 s."io para as filiais de Chicago das empresas
A e B. Cada empresa tem divers,15 outras filiais e voce planeja usar os salarios iniciais
das filiais de Chicago para estimaros salarios iniciais para popul~6es maiores. Encont-re o desvio padrlio amostml dos salfaos iniciais para a filial de Chicago da Empresa A.
SolufiiO
SS, =88,5
11=10
s' = ss,s ,,,9,s
9
Assim, a vari5ncia amostrnl ede aproximadamente 9,8 e odesvio padrao amost:ral e de aproximadamente 3,1OU$3.100.
a. Encontre a soma dos quadmdos como voce fez no Tcnte vod! 3.
b. Divida por 11 - 1 para a vari5ncia amostral.
c. Encontre a miz quatlratia da varifincia amostral.
m
Exemplo
Usando a tecnologia para encontrar o desvio padrao
Na tabela s.'lo mostradas amostras dos Indices de loca<;llo de escrit6rios (em d61ares por pes quadrados por ano) para o distrito de neg6cios de Miami. Use tuna calculadora ou computador para encontrar a media do Ind ice de loca~ao e o desvio padriio
antostral. (:t.da-pt1tdt> d.- C11~r1UT11 & l\'It/afield tn<.)
Sol11fiiO
0 MINITAB, Excel ea Tl-83/84 t~m caracterfsticas quc calculam automaticamente a
media e o desvio padrao do conjunto de dados. Tente usar essa tecnologia para encont:rar a media co dcsvio padrao dos Indices de loca<;ao. A partir dos displays, podcmos
vcr que x"' 33,73 es"' 5,09.
MINITAB
l
Desaiptive Statistics
Variable
Rental Rates
Variable
Rental Rates
N
24
SE Mean
1.04
,-,
I
/ Mean'
Median
TrMean
,33.73 /
35.38
Maximum
40.50
33.88
Q1
29.56
MJnimuIT;
23.75
I
®
09
Q3
37.44
t~ Veja os passos MINLTAB e
Tl-83/84 nas p. 100 e 101.
Ed ,e 1naaa
1
Dica de estudo
EXCEL
Tl-83/84
1-Var Stats
Aqui estao as instru~ para
calcular a media amostral e o
·::X ;:;33.72~i1-6667:>
~-,;;909,5-----
desvio padriio an1ostral em.
l)x' = 27899,5
uma Tl-83/84 para o Exemplo 5.
CSX Variilncia da amostra
lSTAr(
f-',-t----~~K~
u=
rtosis
Skeyvnes~
Escolha o menu I EDIT I
1: Edit
Entre as amostras dos fndices
de loca~llo em LI
extensao
Minimo
Maximo
Soma
Canta
lsrATI
Escolha o menu
2q,§lp172
-0.74282
_ _:(>2_0345
16,75
23,75
405
809.5
24
5.089373342:::>
ox - 4 .982216539
n = 24
1:::rmMia
<:::>: .ie...;o mao
5ao listadas amostras dos Indices de loca~ao de escrit6rios (em d6lares por pes
quadrados por ano) para o distrito de neg6cios de Seattle. Use a calculadora ou
oomputador para encontrar a media dos indices e o desvio padrao da amostra.
lCALCI
1: 1 - Var Stats
I ENTER I
l2ndl [ill
l
(:\d.ltptiuW df C1l.J1mn11 it i\"n~fi,•ld.111(.)
I ENTER I
Indices de loo~io de es<rit6rios,
35,00
33,50
37,00
23,75
26,50
31,25
36,50
4-0,00
32,00
39,25
37,50
34,75
37,75
27,00
37,00
24,50
37,25
36,75
35,75
26,00
29,00
4-0,50
33,00
38,00
I
40,00 43,00 46,00 40,50 35,75 39,75 32,75
36,75 35,75 38,75 38,75 36,75 38,75 39,00
29,00 35,00 42,75 32,75 40,75 35,25
a. Digite os dados.
b. Cnlc11/e a m~dia amostral e o desvio padrao amostral.
I
lnterpretando o desvio padrao
Na interpreta~Ao do desvio padrAo, lembre-se de que ele ~a medida de quanto
uma entrada tipica se desvia da m~dia. Quanto mais espalhadas estiverem as entradas,
nlaior serti o desvio padrao.
s
s
2
l :~g I •• 65
=•
f.i2
I
I
7
"
·~
6
·~
fl
I 2 J ~ S 6 7 3 9
Valorcs do$ d;idos
lmportante
Quando todos os valores de
da<los slio iguais, o desvio padrao~ O. Do controrio, o desvio
padrao tem.que ser positivo.
:ii
~
= •+-- -
~
<
5
<g ..
;·~ Para explorar mais esle 16pico, veja 2.4Atividades nap. 82.
8
7
Exemplo
l ~+-.-.-.dI
I 2 J 4 5 6 1 S 9
I 2 3 4 S 6 1 8 9
Valore$ dos dudos
Vatore..s ~ d:l(los
m
[stimando o desvio padrao
Sem calcular, estime o desvio padroo populacional de cada conjunto de dados.
1.
a
~
0 1 2.,.&S67
Valor<:s dos <IO"tdos
012l"S6 7
Valon.'S dos d.idos
0 , 0 , 0 , 0~
01?34S67
Valores dos dados
Ed ,e 1naaa
1
<•1t•l•2
•
£mtfsti<adt><ritiYol
73
So/11fdO
e
1. Cada uma das oito entradas t! 4. Entiio, cada desvio 0, o que implica" = O.
2. Cada uma das oito entradas tern desvio de :!: I. Entllo, o desvio padrllo populacional dcveria ser 1. Calculando, voce pode ver que" = 1
3. Cada uma das oito entradas tern desvio de ± 1 ou ±3. Entao, o desvio padrao po-
pulacional deveria scr 2. Calculando, voce pode vcr que q ""2,24.
ente
Escreva um conjunto de dados que tenha 10 entradas, uma media de 10 e
voci um desvio padrao populacional de aproximadamente 3. (Ha varias respostas
6
corretas.)
a. fatrl!'IJ(J um conj unto de dados que tenha 5 entradas que sejam Ires unidades menores que 10 e cinco entradas que sejam tres unidades maiores que 10.
b. Calwle o desvio padr<'io populacional para cl'K!car que q eaproximadamente 3.
Rt>Sp()::fn 1u1 I'- A3
Muitos conjuntos de dados da vida real t~m distribuio;Oes que siio aproximadamente simt!tricas e tern curva em forma de sino. Mais tarde neste livro, estudaremos
esse ti po de distribui~ao em detalhes. Agora, entretanto, a Ri-gra Empfrim aseguir pode
ajuda-lo aver como o desvio padrao pode ser valoroso como uma med id a de varia~ao.
Distribui~ao em forma de sino
- - - - - - 9<J.7%cQn1
3 dcs\•i0$ 1>.'ldrito
--
~·--- 95~~-om
2 ~vios padriio
'
1
:
- -
Retratando om~
68%co1n--.
I des\•io
'
pad mo
34%
'.i+.t
X+-21
X+ 3.J-
eqra empirica (ou reqra 68-95-99,7)
Para os dados com distribui~o (simetrica) com formato de curva, o desvio padrao tern as caracteristicas a seguir,
1. Em tomo de 68% dos dados est~ dentro de um desvio padrao em rela<;ao ~ media.
2. Em torno de 95% dos dados esta dentro de dois desvios padrao em relai;<lo am~dia.
3. Em tomo de 99,7% dos dados esta dentro de tres desvios padrao em rela9]o a media.
Exemplo
-
Uma pesquisa foi conduzida
pelo National Center for Health
Statistics (Centro Nacional de
F.statrsticas M&licas) para encontrar a altura m&iia dos homl!ns nos EUA. 0 histograma
m06lra a distribui~ das alturas para OS n4 homens CXaminados no conjunto con1 idades
enlre 20 e 29. Neste conjunto,
a m&lia era de 69,6 polegadas
e o desvio J"'drao era 3,0 polegadas. (fc1111r. ~'""1nl U111fr fi,,
llfll'lrlr Slali-""-)
Alturas dos homens nos EUA
com idades entre 20 e 29
m
tlsando a regra emplrica
Em uma pesquisa conduzida pelo National Center for Health Statistics (Centro Nacional de Estatisticas Medicas), uma amostra das alturas medias das mulheres nos EUA (idadesentre 20e 29) era de 64 polegadas, com desvio padrao amostral
de 2,71 polegadas. Estime a porcentagem de mu theres cujas alturas estllo entre 64 e
69,42 polegadas.
£111 tern1os gerais, qunis duns
nltmn> coutfor 95% !In mMin
rfo,;. ilnrfos?
Ed ,e 1naaa
1
74 •
!statll\ico apli<1da
Alturas das mulheres nos EUA
com idades entre 20 e 29
Solufiio
Adistribtti\ao das alturas das mulheres emostrada no grafico. Em raz.io de a distribui\ao ter formato de sino, voce pode usar a regra empirica. A altura media e 64, entao,
quando voe~ adicionar dois desvios padrao a altura media, voe~ obtem:
l' + 2s = 64 +2 (2,71) = 69,42.
)a que 62,42 e dois desvios padrao acima da altura media, a porcentagem das
al turns entre 64 polegadas e 69,42 polegadas 5<'\o 34% + 13,5% = 47,5%.
Iuterpretafiio
Entao, 47,5%das mulheres t~m entre 64 e 69,42 polegadas de altura.
5.S..81 58.SS 61.19
i:_,,
i-~
6-t
l-1
T
66,7l 69,41 12: 13
I
•••
t 1 21
ente Estime a porcentagem das alturas que esliio entre 61,29 e 64 polegadas.
a. Quantos desvios padrao estao 61,29 aesquerda de 64?
'-
ft11
1\J1urat (cm pokgad.1s)
lmportante
Gs valores dos dados que estao a mais de dois desvios padrao da media S<"io incomuns.
Os valores de dados que
estao a mais de tres desvios
padrao da media siio muito
incon1uns.
-;:6
b. Use a regra empirica pa.ra estimar a porcentagem dos dadosentrex-s ex.
c. /uferprete os resultados no contexto dos dados.
A regra empfrica se aplica somente as distribui~6es em forma de sino (simetricas). Mase se a dislribui\aO nao for em forma de sino ou ·se a fom1a da distribuii;iio
for desconhecida? 0 teor-ema a seguir fornece uma afirmay.io de desigualdade que se
aplica a todas as distribui¢es. Seu nomee em homenagem .ao estatfslico russo Pafnuli
Chebychev (1821-1894).
'lieorema de Chebychev
Apor~ de qualque< coojunto de dados que estej.lm dentro de k desvios padrao (k >l) da
media e, pelo menos:
l
l - k' '
l
3
2
4
• k = 2: em qualquer conjunto de dados, pelo menos I- - 2 = - ou 75% dos dados
estao dentro de 2 desvios padrao em ref~o a media.
8
• k = J: em qualquer conjunto de dados, pelo menos 1-~ = - ou 88,9% dos dados
estao dentro de 3 desvios padrao em ref~o a media. 3
9
Exemplo
m
Usando o teorema de Chebychev
As distribui~6es das idades para o Alasca ea F16rida sao mostradas no histograma. Oecida qual ~ qual. Aplique o leorema de Chebychev para os dados da F16rida
usando k = 2. 0 que podemos conduir?
120
~
_g
100
6
80
e
""·~
-;
I
,.....,,...,_
!' = 31.6
o= 19.)
~ 2500
11=39,2
:£ :?.000
o=24.8
e
~ l.SOO·
~
g
60
~ 1.000
.I()
1
If. 500
20
S
IS ZS 3S 45 55 6S 15 8.S
ldade (c1n ;ioos)
$
IS "
ll ~ ll 6S "
ldndc (c111 anos)
~
Solupio
0 histograma da direita mostra a distribui('Jo de idades na Fl6rida. Podemos afirmar
isso, pois a popula\<'lo emaior e mais velha. Movendo dois desvios padrao para a esquerda da media chega-se em 0, pois 11 - 2<7 - 39,2 - 2(24,8) = - 10.4. Mover dois desvios padrao para a direita da media nos coloca emµ + 2<7 = 39,2 + 2(24,8) = 88,8. Pelo
teorema de Chebychev podemos dizer quc pclo mcnos 753 da popula\ao da Fl6rida
esta entre Oe 88,8 anos de idade.
~
Aplique o teorema de Olebychev para os dados do Alasca usando k = 2.
~ a. Srrbtrnin dois desvios padrao a partir da media
b. Micio11f dois desvios padrik> h media.
c. Apliqtlf o teorema de Chebychev p;ir.i k- 2 e i11tttpmt os resultados.
~1".l• ll4 p. •430
I
Desvio padrao para dados agrupados
Na Se('ao 2.1 aprendemos quc conjuntos de dados grandes s.'\o melhores representados por uma distribui,ao de frequ@ncia. A f6rmula para o desvio padrao amos·
tral para uma distribui\~O de lrequ~ncia e:
Desvio padrao amostrnl = s=
No Exemplo 8, o teorema de
Chebychev fomece uma afirmao;ao de desigualdade em
que pelo menos 75% da popu la~ da Fl6rida tem idade
abaixo de 88,8. Essa e uma
afinn~ verdadeira, mas
~ ~ tao forte quanto poderia ser uma afinn~ feita
com base no histograma
Em geral, o trorema de Chebychev fonv.>ce a ~tagem
minima dos valoresdos dados
que estao dentro do numero
dado de desvios padrao da
m(!dia. Dependendo da dis·
tribui~. M provavelmente
uma maior porc:entngem de
dados na amplitude dada.
-·--
Dica de estudo
EC.r - x)' I,
11 -
lmportante
l
Lembre-se de que as (6rmulas para dados agrupados pe·
dem que voe~ multiplique as
frequencias.
onde 11 = £[eo mimero de entrndas no conjunto de dados.
Exemplo I 9
£ncontrando o desvio padr3o para dados agrupados
Voe@ coletou uma amostra aleat6ria do numero de crian('as por resid@ncia em
certa regiao. Os resultndos sao rnostrados na tabela h direita. Encontre a media amostral e o desvio padrao amostral para o conj unto de dados.
Numuo de crianr~s
em SO residf:ncias
I
I
3
2
Solitr-ao
I
I
Esses dados poderiam ser tratadoscomo 50 cntradas individuais e poderiamos usar as
f6rmulas para a media e o desvio p.ldr3o. Mas como temos muitos numeros repetidos,
entretanto, emais facil usannos a distribui~ de frequ~a
I
3
5
0
I
I
3
6
3
t
3
x
I
>/
x-i
Cx-X>'
Cx - iYf
0
10
19
7
7
2
0
19
14
21
- 1,8
3,24
0,64
0,1>1
1,44
32.40
12,16
0,28
10.00
9,68
10,24
I
2
3
4
5
6
4
i:: - so
1 =Ex[ = 91"' 1,8
II
5()
8
5
24
i:: - 91
-0,8
0.2
1,2
2,2
3,2
4.2
4,84
10,24
17,64
70,56
S = 145,40
_/
,\Jrd1r1tJJllL...,trl?I
2
4
0
I
2
0
0
3
6
6
0
I
0
I
I
0
3
I
I
0
0
6
0
I
I
I
2
I
I
2
2
2
4
Ed ,e 1naaa
1
76 •
&t'1llli<"pli<ilo
Dica de estudo
Aqui estao as instru~ para
o c.ilculo da mo!dia e do des·
vio padrao an1osb·al en1 un1a
'CT-83/84 para os dados agru·
t dos_ jo Exemplo 9.
Esoolhaomenu EDIT
1: Edit
Entre os valores de x em L1
Entre as &equencias fem L2
lSTATI
Esoolhaomenu CALC
1: 1- VarStats
Use a soma dos quadrados para encontrar o desvio padrilo amostral.
f.(x - x)'f = J145,4 ,,, 1, 7
11 - l
49
Ent~o, a media amostral e aproximadamente 1,8 crian"1S e o desvio padrao e
aproxin1adan1ente 1,7 crian~as.
s=
ente Altere para 4 trtls dos 6 expostos no oonjunto de dados. Como essa mudan"1
voci afeta a n1Cdia an1ostral e o desvio padriio an1ostral?
9
a. Escreva as tres primeiras colunas da distrib11i(Jio de freq11i11cia.
b. Enoontre a 111Mia a111ostral.
c. Complete as Ires lilti111as collmas da distribui"'° de frequencia.
d. Enoontre o desvio pndrllo a111ostral.
lENTERI
l?iliiJ
Ll, ~ L2
lENTERI
Quando a distribui~'lo de frequencia tem classes, podemos estimar a media
amostral e o desvio padrao usando pontos medios de coda classe.
Exemplo
Castos antes de viagens
OOJ
Usando pontos medios das classes
0 grafico circular aesquerda mostra os resultados de uma pesquisa na
qual 1.000 adultos foram questionados sobre o quanto ga.~tam na prepara~ao
para viagens pessoais no ano. Fa~a uma distribu i~ao de frequ@ncia para os
dados. Entao use a tabela para estimar o desvio padrilo amostral do conjunto
de dados. {.~doptadntk Tr1n'tl lmtu~try A'"'~1'11im1 ofAmtnro.)
Sol11ftiO
Comece usando a distribui~o de frequencia para organizar os dados.
Oasse
x
0-99
100-199
200-299
300-399
49,5
40()...J99
500+
149,5
249,5
349,5
449,5
599,5
I
.t/
380
18.810
34.385
230
210
52.395
17.475
50
26.970
60
70
41.965
i:; = 1.000 E = 192.000
x-X
(x-XJ'
tt- Xff
- 142,5
20.306,25
] .806,25
3.306,25
7.716.375,0
415.437,5
694.312,5
1.240.312,5
3-978.375,5
t 1.623.937,5
- 42.5
57,5
157,5
257,5
407,5
2~.806.25
66.306,25
166.056,25
E = 25.668.750,0
x='f,xf = t92.000 = 192
II
1.QOO
Use a soma dos quadrados para encontrar o desvio padrilo amostral.
s = 'f.(x- x)'f = J25.668.750 .,,,160, 3
11 - l
999
Entao, a media amostral eS 192 por ano e o desvio padrao amostral e aproxima·
damente $ 160,3 por mm.
Ed ,e 1naaa
1
(apltulo 2
Na distribui~ao de frequencia, 599,5 foi escolhido para representar a dasse de
S500 ou mais. Como a m&lia e o desvio padrao amostral mudariam se usassemos $ 650 para representar esta dasse?
a. Escreva as quatro primeiras colunas da dislrib11i(lio defreq11€11cin.
b. Encontre a merlin n111ostrnl.
c. Complete as Ires 11/timns colmtns da distribui~ao de frequ~ncia.
d. Encontre o desvio padrtio nmostrnl.
R~1~t11 ''" p. A36
Ill
Nos exercfcios I e 2 e<icontre a amplitude, a mecia, a vari3ncia e
o desvio padrJo do conjunto de dados populacional.
9
7
5
7
8 10 4 11 6
2. 15 24 17 19 20 18 20
16 21 23 17 18 22 14
Nos exercicios 3 e 4, encon~e a amplitude. a mMa, a vari.lncia e
o desvio padrJo do conjunto de dados amostral.
3. 17
8 13 18 15
9 10 11 6
4. 28 25 21 15 7 14
27 21 24 14 17 16
9
Raciodnio gr~fico
Nos exercicios 5 e 6, encon~e a amplitude do conj\llto de dados
represemados pelo grafico
5. 2
3
4
5
6
7
8
9
6.
fatatl>tica d01<1itiv•
71
Dica de estudo
Quando uma classe ~ aberta,
como na tlltima classe, devemos designar um unico valor
para representar o ponto medio. Para este exemplo, selecione 599,5.
Exercicios
Construlndo habl!idades bAsicas e conceltos
1. 12
•
39
002367
0 1 2338
0 1 19
1299
59
48
0256
Chave: 213 ; 23
Idade das noivas no primeiro casamento
8
...,._,..,.~.,...,....,~.,_..r,.....,,.
:?.& 2$ 26 27 28 ?9 30 JI 32 ,l.\ 34
Jdadc (cm anos)
7. Explique como ellCOfltramos a amplitude de um conjunto de da·
dos. Qua! a vantagem de usa1mos a amplitude como uma medi·
da de vatia.;30? Qual a desvantagem?
8. Explique como encontramos o desvio de uma entrada em um
cmjuf\lO de dados. Qua! ~a soma de IOOos os desvios em um conjunto de dados?
9. Por que o desvio padrao ~ usado com mais freq~ncia do que a
vari!ncia? (Dico: considere as unida<fes de variancia.)
10. Exp!ique a relaylo entre a varia~cia e o desvio padrao. Pode uma
dessas duas medidas ser negativa? ExpliQUe. Eoconue um conjun·
to de dados para oqual n ; 5,
7 es ; 0.
11. ldades no casamento As idades de 10 noivas em seu primeiro
casamento sJo fomecidas a seguir.
31,8 24,5 26,7 21.3 45,6 35,9 22.5 33,1 42,3 30,6
{a) Encontre a amplitude do conjunto de dados.
(b) Mude 45,6 para 65,6 e encont1e a amplitude desse novo
conjunto de dados.
(c) Compare sua resposta em (a) com a resposta em (b).
12. Encontce um conjunto de dados i'Ol"Jlacional que comenha seis
entradas, mMia de 5 e que tellha desvio padrAo de 2.
x;
Usando e interpretando conceitos
13. Raciocfnio grafico Ambos os conjuntos de dados a segtir tern
mMia de 165. Um tern desvio padrao de 16 e o outro de 24.
Qua! ~ qual? E>;plique seu racic>cinio.
(a) 12 8 9
Chave: 1218 = 128
13 55 8
14 1 2
15 006 7
16 459
17 1368
t6 069
t9 6
20 35 7
(b} 12
13 1
14 2 3 5
15 04568
16 1 I 2 3 3 3
17 1588
18 2 3 45
19 02
20
14. Racioclnio grafico Ambos os graficos representados a seguir
tern media de 50. Um tern desvio padrao de 2.4 e o outro tern
desvio pa<frJo de 5. Qual e qua!? EJ<plique.
Edifii,IJ§§d
78 •
b1<U11k"pll<M•
(a)
sl~
42 45 ... SI 5' $7 liO
\'>lo< dos dados
(b)
lO
"M<.L,1;1,J,l,J..Y.,,,,,,,........ ~~....~
.. 2
.as
411 ''
s.a
s1
(I()
Valor ~ d11ck».
15. Reda(Ao Descreva a d~er~ enue o cAlculo do desvio pad.10
populaciooal e do deS100 padr3o amOSlral.
16. Reda(Ao Dado um oonjunto de dados, como sabemos se cal·
culamos • ou s?
17. Oferlas salariais Vod est.I se candida1ando a um emprego em
duas empresas. AEmpresa Aoferece sal.!rios iniciais com 1• = S
31.000 e • = S 1.000. Aempresll 8 oferece salarios iniciais com
11 = $31.000 e • = S 5.000. Em qua! emp<esa voce mais prova·
velmente conseguiria uma ofena de S 33.000 ou mais?
18. Tacadas de golfe Um site da lniemet compara as tacadas
por rodada de dois jogadores de golfe profissiooais. Qual jogador de goffe mais consistente: jogador A com ,, = 71,5
iacadas e • = 2.3 tacadas ou jogadol B com ,, = 70, 1 iacadas e
a • 1,2 1acadas?
e
21 . Notas no teste SAT Listamos uma amostra das nocas no ieste
SAT para 8 estudantes do sexo masculino e 8 do selCI) feminino.
Home/ls: 1.059 1.328 1.175 1.i23 923 1.017 1.214 1.042
Mu/heres: 1.226 965 841 1.053 1.056 1.393 1.312 1.222
(•) Eni:on"" o omplitude, • vati6 ncio e ode>"° padlao de GOdo
corjtM\to de dados.
(b) lnterprete os <esubados no conte>to da Vida real
22. Salarios anuais Lislamos uma amoslra dos sal.!nos anua1S (em
nillares de dOlares) para p<ofessaes primanos de escofas po)bica e panialar.
Ftolesstxes de escolo p6bka:
38.6 38, I 38.7 36.S 34,8 35,9 39,9 36,2
A'olessOfes de escolo pot1iah:
21.S 18,4 20,3 17.6 19,7 18,3 19,4 20.8
(a) Encontte a ampilude, a ~ncia e o desvio paa.!o de cada
oorjtJnto de dados.
(b) lnterpre1e os resUiados no oomexio da vida real
Raciocinio grafico
Nos exerddos de 23 a 26, compare os ues conjuntos de dados.
23. (a) Semcalcular.determinequal conjuntodedadostemom.iior
desvio padr.!o amostral. Qual tem o menor desvio padrao
amosual? Elcp!ique.
(i)
4 $678910
V.-.kw~d.~
(ii)
Comparando dois conjuntos de dados
Nos ewdcios de 19 a 22. (()(lllale os dors ~de dados
e in:erprete os resullados.
19. Salarios anuais Lislamos uma amostra dos sat.!rios anuais (em
milares de dOla1es) 1>o11a os funoon.1rio5 nuiopais de Los Angeles e ~ Bead\
1.osAngeles: 20,2 26,1 20,9 32,1 35,9 23.0 28,2 31,6 18,3
Long Beoch:20,9 18,2 20.8 21,1 26,S 26,9 24,2 25,1 22.2
(a) Encontre a am!)l4ude, a vananoa e o ~ padr3o de cada
CJOnjllllO de dados.
(b) lnterprete os resultados no oontexlO de um cenano real
20. Salarios anuais '- seguir, liSlamos uma amosua dos sal&nos
anuais (em rnilhares de d61a<es) para os funcion6rios municipais
de Dallas e Houston.
Oollos: 34,9 25,7 17,3 16,8 26,8 24,7 29,4 32,7 25,S
HouSlOn: 25,6 23,2 26,7 27,7 25,4 26.4 18.3 26,1 31,1
(a) Encontre a amplitude, a variancia e o desvio padr3o de cada
conj\Jlto de dados.
(b) lnterprete os resuluidos no c.on1exio da vida real.
•
~:t
~~ "'t
J
J:
?+-
.....
(i)
•
6- t ~
s
-~ ~
·~ J
[
~
l + - - -1
.. 5673910
Valor do.s d~m
(b) Quais as semelhan~ entre os oonju111os de dados? E as
difeten(<!S?
24. (a) Semcalcular. determinequal conjuntodedadostemomaior
desvio padrao amostral. Qual tern o menor desvio padr3o
amosual? Clql!ique.
Ed ,e 1naaa
1
(apftulo2
(o)
0 9
I 58
2 33 7 7
3 25
(i)
•
•
• •
• • •
• • •
4
, I I
Chave: 41 1= 41
(ii)
I
I
•
•
• •
• • •
• • •
I
•s
I I
6 7
79
1 ~
s
••
• • • •
••••••
• • • • • • • •
I
I
I
I
I I
I •
2 3 .&S678
4
(iii)
Chave: 411 = 41
0
I 5
2 33337777
3 5
4
I
~
(i~
0 9
I 5
2 333777
3 5
(iii)
2
[11111<\iCd dts<ritiv•
•
1 2.l.&S67S
I
Cha•oe: 411 = 41
(b) Quais as semelhani;as enue os conjuntos de dados? E as
d"dereni;as?
25. (a) Semi;ak\llar.detetminequal conjuntodedados temomai0<
desvio Pi'd«lo amostral. Qual tern o menor desvio padrao
amostraP. Explique.
(i)
(b) Quais as semelhani;as en11e os coojootos de dados? E as
dffereni;as?
27. Reda~ao Oiscuta as similaridades e difereni;as entre a regra
empirii;a e o leO!ema de Chebychev.
28. Reda~ao o que devemos saber sob<e o conjumo de dados an·
tes de usarmos a regra emplrica?
29.
•
•
•
•
• •
• •
• •
• •
• • •
10
IZ
II
IJ
30.
14
(ii)
•
31.
•
• •
•
II
13
• • • • •
• • • • •
10
12
I.&
(iii)
•
•
•
• • •
• • •
• • •
• • •
10
II
12
• •
• •
••••••••
• • • • • • • •
13
32.
14
(b) Quais as semelhani;as enue os conjuntos de dados? E as
difereni;as?
26. (a) Sem i;akular. determine qual conjunto de dados tern o maior
desvio padrao amostral. Qual tern o me:10< desvio pad<ao amos·
tral? Explique.
33.
Usando a regra empfrica
f'los exerclcios de 29 a 34, use a regra empirii;a.
0 valor medio de tetras e cons.uu¢es por aoe de uma amostra
de fazendas $ 1.500, com desvio padrao de S 200. 0 conjunto
de dados tern disuibui~o em forma de sioo. Estime a porcenta·
gem de fazendas cujos valores das coostru~Oes e te«as por acre
estejam enve S 1.300 e S 1.700.
0 valor medio de tetras e conwu<;Oes por acre de uma amostra
de fazendas e S 2.400, com desvio padrao de S 450. Entre quais
dois valores estao 95% dos dados? (Assuma que o conjU11to de
dados tern distribtiic;3o em forma de sino.)
usandoas amosuas estatisticas do Exercido 29, la<;a as atividades
a seguir: (assuma que o nlllnero de lazendas na amostra e75.)
(a) Use a regra empfrica para estimar o mimero de lazendas
cujos valores das tetras e construr;Oes estejam entre S 1.300
e S 1. 700 por acre.
(b) Se amosuarmos 25 fazendas adicionais, quantas dessas fazendas 1/0C~ esperaria ter valores de tetras e consttu¢es
enue $ 1.300 e S 1.700 J>OC acre?
Usaodoas amosuas estatisiicas do Exercicio 30, fa<;a as atividades
a seguir: (assuma que o niJmero de fazendas na amostra e40.)
(a) Use a regra empfrica paia estim.lr o ntimero de lazendas
cujos valores das te«as e constru~oes estejam entre S 1.500
e S 3.300 PO< acre.
(b) Se amoslfarmos 20 fazendas ad"scionais, quantas dessas fa.
zendas 1/0C~ esperaria ter val0<es de terras e constru<;Oes
enue S 1.500 e $ 3.300 por aae?
usaodo as estatislicas amostrais do Exercieio 29 e a regra empiri·
ca, deiermine quais das fazendas a seguir, cujos valores das terras
e consw¢es pot acre sao fornecidos, sao vale<es disaepames
(mais do que dois desvios padr!o a partir da media).
s 1.1so. s 1.ns. s 1.000. s 1.475, s 2.000. s 1.850
e
Ed ,e 1naaa
1
34. Usando as estatfsticas amostrais do Exerdcio 30 ea reg1a empfri·
ca, determine quais das fazendas a seguir, cujos va!0<es das terras
e contru<;Oes por aae silo f0<necidos, silo valores discrepantes
(mais do que dois desvios padrao a partir da media).
s3.325, $ 2.450, s 3.200, s 1.490, s 1.675, s 2.950
35. Teorema de Chebychev O Old Fahhful e um famoso geiser no
Yello1.-scone National Polk. A partir de uma amostra com n = 32,
a dura¢o media das eru~Oes do Old Fahhf\JI de 3.32 minutos
e 0 desvio padrao de 1,09 minutos. Usando 0 teorema de
e
e
Chebychev, determine quantas eru~Oes (pelo menos) duraram
eme 1, 14 e 5,5 minutos. (IMre.· Yell>......,,. lla"""'71 Ai<k)
36. Teorema de Chebychev O tempo !Mdio das mulheres em
uma c0<rida de 400 metros rasos e 57,07 seguridos, con> desvio
padrao de 1,05. ApflQ\le o te0<ema de Chebychev para os dados
usando k = 2. ~1terprete os resuhados.
de dados. En!Ao, apro~me a meoia populacional e o desvio padrao populacional do conjunto de dados
167 180 192 173 145 151 174
175 178 160 195 124 244 146
162 146 177 163 149 188
de cafe\.ia em uma
amostra de por~Oes de cinco onqas (I oz = 28,34 g) de cafe e
mostrada no histograma. Fa<;a a dislribui¢o de frequencia para
os dados. En!Ao, use a tabela para estimar a mo!dia amosual e o
desvio padt.!o amosual do conjun.to de dados.
41. Quantidade de cafeina A quantidade
25
C.ilcolos usando conjunto de dados agrupados
Ii
Nos exercicios de 37 a 44, use f6rmulas para dados agrupados
para encontrar a media e o desvio padr<lo indicados.
37. Animais de estima~ao por residencia Os resultados de uma
amostra aleat6ria do numero de animais de estima,ac> em certa
regiao s<lo mostrados no histograma. ESlime a mMa amostral e
o desvio padrao amostral do conjooto de dados.
~ w+-- -1
·~
s
6
~
4
-.:
2
z
It
10
7
7
5
0
3
NtinlCro de ani.mats
36. Carros por residencia Os resu11"dos de uma amostra aleat6ria
do numero de carros por resid~ncia em ceru regiao sao mostra·
dos no hislOgrama. Estime a mMsa amostral e o desvio padrao
amostral do conjunto de dados.
.\lg
70.S
92.S
Cafcfn~
114,S 136.S 158.S
(em n1iligra1nas)
riamente e essas f0<am questionadas sobre o nUme<o de vezes
que foram ao supermercado na semana anteri0< ada pesquisa.
As respostas s<lo mostradas no histograma. Fa<;a a distriboi~o de
frequeocia para os dados. Entao, use a tabekl para estimar a m~­
dia amostral e o desvio padr<lo amostral do conjunto de dados.
14
~
G
12
·~
10
c
8
~
.,
"e
~
6
c
4
z
l
"
~
24
25
~ 20
·;;;
u
10
8
jl s
·=
z
0
- -9 5
2
4
l
0
~
NUmcro de id:is a-a supcnncrc;Ldo
ts
2 15
"2
2
42. ldas ao supermercado Foram selecionadas 30 pessoas aleato·
.~ I'?
.g
tO
.l
l
NUn1l.!ru de carms
•''f.o
43. Popula~o americana A distribui{.lo esiimada (em mi!Mes)
da popula~o dos EUA pot idade para o anode 2011 e mostrada
no grafrco. F~ a distnbu~o de frequencia paia os dados. Enlllo,
use a tabela para estimar a media amostral e o desvio padrao
amostral do conjunto de dados. Use 70 como ponto medio para
·Gs anos ou mais". (Folll•cU.~ Cens.us6Ut1'0v.)
',,Ji;39. Vrt6rias no futebol 0 nUmero de vh6rias para cada time da Na·
tional Football league (liga Nacional de Futebol) em 2006 es~
lislado a seguir. F~ a distribui¢o de freq00ncia (usando cinco
classes) para o co,.umo de dados. Entao, apro~me a media populacional e o desvio padrao populacio.ial do conjunto de dados.
45-64
unos
5-13
(fOOIJ): Naoooal Foor/Jo/I~.)
ano~
12 10 7 6 13 6 8 4 12 6 8 6
14 9 9 2 10 9 8 5 13 8 6 3
10 8 7 4 9 8 7 5
14-17
:tnos
;.'~40. Consumo de ~gua 0 nume10 de galoes de ~ua consumidos
diariamente em um pequeno vilarejo ~ fislado a seguir. Fasa a
distribui¢o de frequencia (usando cinco classes) para o conjunto
35-44
anos
18-24
nnos
Ed ,e 1naaa
1
(ap!t•lo2
44.
Popu la~ao do Japao No gralico de barras temos a popul~o
japonesa estimada para o anode 2014. Fa(il a distribui¢o de frequ~ncia para OS dados. Enti!O, use a tabela para estimar a media
amostral e o desvio padrao amostral do conjunto de dados. (Fon":
u.s CenM &A""' JnrflnctKitlol Dow Bose)
•
llta1bticadewiriva
81
{a) Use a f6<mula rapida para calcular o desvio padriio amostral
para osdados do Exerdcio 21.
(b) Compare seus resuhados com os ol>tidos no Exerdcio 21.
47. Dados para promo~iio Uma amostra dos salarios anuais (em
1nilha1es de dO&ares) dos (unc:ion3rK>s de urna ernixesa e listada
a seguir.
42 36 48 51 39 39 42 36 48 33 39 42 45
(a) Encontre a m!dia amostral e o desvio padriio amostral.
{b) cada foocionario na amostra recebe 5% de aumento. En·
centre a media amoscral e o desvio padrao amostral para o
conjunto de dados revisados.
5
IS 25 35
.is
55 65 15 SS 95
ldades (cm anos)
Expandindo conceitos
t.l 4S. Coeficiente de vari~o 0 coeficiente de varia~o OJ des·
Cleve o desvio padrao como uma porcentagem da media. Po<
nao tet unidades, podemos usar o coeficiente de varia.;ao para
comparar dados com unidades diferentes.
CV -
Oesvio:
(a) Enconue a mMa amosual e o desvio padrao amost1al.
(b) cada funcionario na amostra recebe $ 1.000 de aumento.
Encontre a media amostra! e o desvio padrao amostral para
o conjunto de dados revisados.
x 100%
A tabela seguinte mostra as alturas (em polegadas) e pesos (em
&bias) dos memb<os de um time de basquete. Encootre o coeficiente
de varia(!o para cada conjunto de dados. 0 que podemos conduir?
Alturas
l'esos
72
180
74
168
68
76
225
201
74
189
G9
192
72
79
197
162
70
174
69
171
n
185
75
210
46. F-Ormula rapida Voc! usava SS, = I:(x - x)' quando calculava
a variancia e o desvio padriio. Uma f6rmula ahemativa que, as
vezes. pode ser mais co1werjeme para c.ilculos a ~o e
SS
'
(c) Para calcular o salario mensal, divida cada saldtio original por
12. Encontre a media amoSllal e o desvio padriio amostral
para o conjunto de dados revisado.
{d) Oque podemJS oondur oorn os resU!adosde (a), (b) e (c)?
48. Dados de altera~ao Uma amostra dos saL!rios anuais (em
milhares de d61ares) dos funcionarios de uma empresa e listada
a seguir.
40 35 49 53 38 39 40 37 49 34 38 43 47
,.. , (Ex)'
n
• t...X - - -
Podemos e<l(Ontrar a variancia amostral dividindo-se a soma dos
quadtados porn - I e o desvio padrao amostral encontrando-se a raiz
quadtada da vari.lncia amosttal.
( c) cada funcionario na amostra tem uma redu~o de s 2.000
em seu saL!rio original. Enco.itre a media amostral e odes·
vio padrao amostral para o conjunto de dados revisado.
(d) 0 que podemos conduir oom os resultados de (a), (b) e (c)?
49. Desvio absoluto medio Uma outra medida de varia~ litil
para um conjunto de dados e o desvio absoluto medio MAD.
Ele e cakulado pela f6rmula:
E lx -x l
n
(a) Encontre os desvios absolutos medios do conj unto de dados
do Exercicio 21. Compare seus resultados com o desvio padtdc> amostral
{b) Encontre os desvios absolU1os medias do conj unto de dados
do Exerdcio 22. Compare seus resultados com o desvio pa·
drao amostral
SO. Teorema de Chebychev Peb menos 99% dos dados em qual·
quer conjunto de dados fica denuo de quantos desvios padr~o da
mMia? Expfque como voe~ ob1eve sua resposta.
51. lndice de simetria de Pearsont 0 estatistico ingl~ Ka~ Pearson
{1857-1936) apresentou a f6rmula para a simetria da distrib~o.
P - 3( X-medlrio)
s
ind<e de S'111!Vic de PeatSCn
A maioria clas distribui¢es tern fndice de simetria entre - 3 e 3.
Quando P> 0, OS dados sao sim~ricos. (alcule 0 coeficiente de simetria para cada distnbui¢o. Oescreva .a forma de cada uma.
(a) x = 17, s = 2,3, mediana = 19
(b)x = 32,s = 5,t, rnediana = 25
Ed ,e 1•naaa
82 •
lstatiltica'91lcad•
iii Atividades
Desvio padrao
Explore
Passo 1 EspecifKJue urn lin1Le inrerior.
Passo 2 Especifique um linVte superior.
Applet o applet do desvio podroo foi desenvolvido para
permitir que voe~ iovestigue interativamente o desvio padrao
como medida de dispersao para um conjunto de dados. Pontos
podem ser adicionados arepiesenta"1o gr.!fica dicondo o mouse
a<ima do eixo horizontal. A mMa dos pontos e mos11ada como
uma seta verde. Um valor n""1i!Jico para o desvio padrao ~ mos·
trado acima da representa¢o gralica. Os po<10s no grafico po<fem
ser rernovidos dicando-se no ponto e entao arrastando-o para a
lixeira. Todos os pontos no grAfico podern ser rem011idos simplesmeme dicando dentro da lixeira. A amplitude dos valO<es para o
eixo horizontal po<fe ser especificada colocando-se limites superiores e illfer.ores e entao clicando em UPDATE.
4
2
6
Org•niz•s•o
N6.merode
jogadores
MLB
824
MlS
32 1
NBA
444
NFL
NHL
NASCAR
1.877
l'GA
263
727
78
2.
8
Upper Umit: 9
Low·er U mit: I
t.
Passo 3 Adicione 15 pontos ao grafico.
Passo 4 Remova todos os pontos do gr.!fico.
Chegando a condus0es
Especift<lue o limite inferior como 10 e o superior como 20.
Represente 10 ponios que tern media de apro~madame11·
te 15 e desvio padrao de aproximadamente 3. Escreva as
estima1ivas dos valores dos pontos. Represente um ponto
com val0< de 15. O que acon1ece com a mMia e o desl.io
pad<ao? Represente um ponto com valor de 20. 0 que acoo·
tece com a mMia e o desvio p;adrao?
Especifique um limite inferior de 30 e superior como 40.
Como pcdemos representar oito pontos de modo que os
pontos te<lham o maior desvio padrao possivel? Use o applet para representar o conjunto de pontos e entao, use a
f6rmula para o desvio padrao para confirmar o valor fome·
cido pelo applet. Como po<femos repiesemar oito pontos
de modo que os pontos tenham o menor desvio padrao
poss~-efl Eicplique.
Vpd•te
I
Estudo de caso
Gan hos dos atletas
Os ganllos dos atletas profissionais em diferentes espones podem variar. um atleta pcde
receber um saklrio·base, ganhar b6nus ao assinar um novo contrato ou at~ mesmo ganllar
dinheiro terminando uma corrida em cena posi~ao ou um tomeio em certo lugar. Os dados
seguintes mostram os ganhos (some<1te para desempenho, sem endossos) da Major league
BasebaD(MLB), Major l eague Soccer (MLS), National Basketball Association (NBA), Natiooal
Football L..gue (NFL), National Hod<ey League (NHL), National Association for Stock Car Auto
R4cing (NASCAR) e Professional Coif Association (PGA) para um ano recente.
Numero de jogadores separados por ganhos
5500.001 Organlzasao 5 0 - 5-00.000 52.000.000
s
MLB
m
207
MLS
NBA
NFL
NHL
NASCAR
l'GA
316
31
760
85
'2J
115
5
166
7S8
448
13
11 7
s 2.000.00l - s 6.000.001 - s 10.000.001 +
s6,000.000 s J 0.000.000
189
0
147
274
177
33
29
73
0
58
70
17
5
2
56
0
42
15
0
0
0
Ed 1t 1naaa
1
(apnolo1 •
llwistico dosuitiva
83
Exercicios
1. l ucro Qual associai;ao teve o maior total de ganhos de jogadoces? Explique.
2. Ganhos medios Estime a rOOlia dos ganhos de um joga-00< de cada cxganizaylo. Use
S 16.!lOO.OUO oomo mediana para S 10.000.001 +.
3. lucro Qual organiza,.io teve os maiores ganhos por jogador? Expfoque
4. Desvio padrao Estime o desvio padrao para os ganhos de um jogad0< em cada organi·
ta~. Use S 16.500.000 como mecfiana para S 10.000.001+.
5. Desvio padrao Qual 0<ganiza<;ao teve o mai0< desW> padrao? Explique.
6. Distribui~ao em forma de sino Das sete organiza¢es, qua! es!A mais em forma de
sino? Explique.
Bl Medidas de posi~ao
Quartis -~ Percentis e outros fractis-+ Escore padr3o
I
Quartis
Nesta~' voce aprendera como usar os fractis para especificar a posi<;ao de uma
entrada de dados dentrodc um conjuntode dados. Fractis sa.o numeros quesepa.ram, ou
dividem, um conjunto de dados ordenado em partes iguais. Por exemplo, a mediana e
umfractil porque divide um conjunto de dados ordenados em duas partes iguais.
efini(ao
Os tres quartis, Q,, Q, e QJ, dividem aproximadamente um conjunto de dados ordenado
em quatro partes iguais. Aproximadamente 1/4 dos dados esta acima ou abaixo do primeiro
quartil Q,. Aproximadamente metade dos dados esta acima ou abaixo do segundo quartil Q,
(o segundo quarta eo mesmo que a mediana do conjunto de dados). Aproximadamente 3/4
dos dados estao acima ou abaixo do terceiro quartil Q,.
Exemplo ITT
Encontrando os quartis de um conjunto de dados
As notas dos testes de 15 funcionfoos matriculados em um curso de treinamento
de CPR sao listadas a seguir. Encontre o primeiro, o segundo e o terceiro quartis das
notas dos testes.
13
9 18 15 14 21
7 10 11 20
5 18 37 16 17
Solrrpio
Primeiro, ordcne o co.njunto de dados e encontre a mediana Q,. Depois de encontrar
Q~ divida o conjunto de dadose.m duas metades. 0 ptimeiroe o terceiroquartil sao as
medianas das metades inferior e superior do conjunto de dados.
,\frtm/(1n,¥tior
5791011 1314
1
Q,
15
i
Q,
16 1718 18 20 21 37
I
Q,
Iirterpretaf tio
Aproximadamente 1/4 dos fundon6rios obteve 10 ou menos; aproximadamente metade obteve 15 ou menos; e aproximadamente 3/4 ol>tiveram 18 ou menos.
0 que voce
deve aprender
• Como encontrar o plineiro, o segundo e o terceiro quarlil de um
coojunto de dados.
• Como encontrar a amplitude inter·
quai1il de um coojUllto de dados.
• Como represenlaf graficamente
um conjunto de dados usan00 um
gralko caif.a.e.bigodes.
• Como inteiprelaroutros friidis. tais
como perceritis.
• Como eocootrat e inteQ>retar o
escore pa<kao (z-escore).
Ed ,e 1naaa
1
84 •
1'11tlslica apli<ada
Encontre o primeiro, osegundoe o terceiro quartis para o numero de to11d1dow11s
marcados por toda primeira divis.io dos times de fu tebol americano usando os
dados listados no infcio do capitulo, na p. 31.
a. Orde11e os dados.
b. Enoontre a mediana QL
c. Enoontre o primeiro e o terceiro quartis Q, e Q,.
Exemplo
m
Usando a tecnologia para encontrar quartis
Os custos do ensino (em milhares de d61ares) em 25 faculdades estao listados
a seguir. Use a calculadora ou computador para encontrar o primeiro, o segundo e
o terceiro quartis.
23 25 30 23 20 22 21 15 25 24 30 25 30
20 23 29 20 19 22 23 29 23 28 22 28
Dica de estudo
•Existem diferentes formas de
se enoontrar os quartis de um
conjunto de dados. Desoon·
side.rondo a maneira
con10
vocil os enoontrou, os resuJtados silo pouoo mais que uma
entrada de dados. Por exemplo, no Ex~plo 2, o primeioo quartil deteominado pelo
Excel e22 em vez de 21,5.
Soillflio
0 MINITAB, o Excel ea TI-83/84 tem caracterfsticas que automaticamente calculam
quartis. Tente usar essa tecnologia para encontrar o primeciro, o segundo e o terceiro
quartis para os dados dos custos de ecnsino. Vocil pode ver nos grafioos que Q,= 21,5,
Q,= 23 e Q, = 28.
MINITAB
l
Descriptive Statistics
Variable
Tuition
N
25
Minimum
variable
Tuition
15.000
£XCEL
A 13
1
2
~
~
Mean
23.960
Q1
21.500
I
0
G
Quarti~[A1:A25,1)
~Q_
22
a 15
-
Quartile[A1:A25._!1J_
2~
-
Ouortile{A1 :A.::!5,3)
s' 25
28
".fo 24
-
-
11 ~
"12 25
~~
30
20
_1.§. _23
j§_ ..?9
17 20
fB 19 19 22
20 23
29
'22 23
_2 fl..
'1r
~
'21
'231
24 ..?2.
25 28
- --
-
irMean
SlOev
2 4.087
Q3
2 8.000
Maximum
Tl-83/84 [
23
25
23
~~ ,_20
~ 22
.J 2 1
SE Mean
0.788
Median
23.000
1 -VarS<ats
t n = 25
minX = 15
Q,= 21 .5
Med = 23
Q,= 28
maxX = 3 0
3.942
30.000
Ed ,e 1naaa
1
(apllo1o 1 •
I11terpretafiio
Aproximadamente 1/4 dessas foculdades cobra$ 21.500 ou menos, 1/3 cobra$ 23.000
ou menos e 3/4 cobram S28.000 ou menos.
Tente
vod
Os custos do ensino (en1 milha1es de dVlatl.>s) e.rn 25 universidades estiio lis~
tados a seguir. Use a calculadora ou computador para encontrar o primeiro, o
segundo e o terceiro quartis.
20 26 28 25 31 14 23 15 12 26 29 24 31
19 31 17 15 17 20 31 32 16 21 22 28
a. E11tre os dados.
b. Calc11/e o primeiro, o segundo e o terceiro quartis.
c. 0 que podemos conduir?
Depois de encontrar os quartis dos conjuntos de dados, vod! pode encontrar a
amplitude interquartil.
Definitao
A amplitude interquartil (IQR) de um oon~nto de dados e a difere<iyl emre o tetceiro e o
primeiro quanil.
Amplitude interquartil (JQR) = Q, - Q,
Exemplo
m
Encontrando aamplitude interquartil
Enoonlre a amplitude interquartil da~ 15 notas de testes do Exemplo 1. 0 que
podemos ooncluir com o resultado?
Sol11fiio
Pelo Exemplo 1, sabemosque Q, = lOe Q3 = 18. Entao, a amplitude interquartile:
IQR=Q, -Q, = 18-10=8.
fltterpretafiio
As notas do teste na por~o da metade do oonjunto de dados variam no maximo 8
em pontos.
Tente Enoontre a amplitude interquartil para o n(unero de touc/ulowus marcados por
wci todos os times da primeira divis.io de futebol americano listados na p. 31 do
3
inlcio do capftulo.
a. Encontre o primeiro e o terceiro quart is Q, e Q,
b. Subtrnin Q, de Q,
c. lnterprete o resultado no oontexto dos dados.
0 JQR e uma medida de varia~ao que fomece uma ideia de quanto 50% dos
dados varia. Tambem pode ser usado para identificar valores discrepantes. Qualquer
valor de dado que seja maior que 1,5 JQRs a esquerda de Q, ou a direita de Q, e um
valor discrepante. Por exemplo, o IQR no Exemplo 1e18-10 = 8. Entao, 1,5 IQRS a di·
reita de Q3 eQ3 + 1,5(8) = 18+ 12 = 30. Em razaode 37> 30, '57 eum valor discrepante.
Clla1l1ti<• d1><riliv•
SS
Ed ,e 1naaa
1
i
-
-
Retratando o mundo
Dos primeiros 43 presidentes
n.orte--an1ericanos, ·rhcodore
Roosevelt era o mais jovem
no momento da posse, com
42 anos. Ronald Reagan era o
mais velho, tomou posse aos
69 1111os. 0 grAfico caixa·e·bigodes resume a idade dos
primeiros 43 presidentes norte·:americanos no momenta da
posse. (r,.,..,,;.fri,•""'·S<J'<)
Outra importante aplica~o dos quartis ~ represe11tar conjuntos de dados usando
o grafico caixa-e-bigodes. Um gr.lfico caixa·e·bigodes ~ uma ferramenta de analise de
dados explorat6ria que enfatiza as caracterlslicas mais importantes de um conjunto de
dados. Para representar graficamente um grafico caixa-e-bigodes, voe<! deve saber os
valores a seguir.
1. A entrada ntin.inia
2. 0 primeiro quartil Q,
3. A mediana Q,
4. 0 terceiro quartil Q,
5. A entrada maxima
Esses cinco numeros sao chamados de Regra dos cinco itens de um conjunto de
dados.
lnstru(oes
Desenhando um grafico caixa·e·bigodes
1. Encontre a regra dos cinco itens do conjunto de dados.
ldade dos presidcntes
norte--a1nericanos na posse
5t
55 58
. 'EE1
42
.
69
• 1111111111111111111111111111111~
4()
(lO
70
so
2. Construa uma escala horizontal que transpasse a amplitude dos dados.
3. Represente os cinco numeros sobre a escala horizontal.
4. D.!senhe uma caixa acima da escala horizontal a partir de Q, para Q, e desenhe
uma linha vertical na caixa em Q;
s. Desenhe os bigodes a partir da caixa para as entradas minimas e maximas.
Caixa
Bigo<lc
Aproxi111ntfn111e11te q1urutns itfn·
dt'S de.• prt$ide11les uortc.'-n111e·
r icn11os silo represe11tnrlns ,,.,10
l>igorlc h rlireitn?
Veja os passos para MINI·
TABeTJ-83/84nasp. IOOelOI.
/
Bigo<lc
Ent~da /~'---~I~'2 --~I\ /
1nf1\ima
Exemplo
\
Q1
Median~.Q
Entrada
~ m~xinla
m
Desenhando um grafi(o caixa-e-bigodes
lmportante
-·~~~~~~~~~~
Voce pode usar um grafico
caixa-e-bigodes para determinar a forma da distribtii·
s;.io. Note que o gnlfico caixa·
·e·bigodes no Exemplo 4
representa uma distribui~ao
assim~trica adireita.
Desenhe um grafico caixa-e-bigodes que represente as 15 notas de testes dadas
no Exemplo I. 0 que podemos conduir com o grafico?
Solupio
A regra dos Cinco itens ~ dada a seguir. Usnndo·a, pode-se construir o grafico caixa·e·
-bigodes mostrado.
Mitt = 5 Q, = 10 Q, = 15 Q, = 18 Mtix = 37.
Notas dos testes na aula de CPR
5
to
15
18
37
I I I I I I I I I t I I : I I t I I t l I I I I I I I I I I t I l
5 6 1 S
910 11 1 21 3 1 .a1 S 1 6 17 1 $19 20 ? 1 22?32J 2S2627 2 S 29 303 1 ~? 3.l.l4 ~36 J7
lrrterprelnfiiO
Voce pode tirar diver><'lS conclustles com o grafico. Uma delas ~ que aproxima·
damente metade das notas est~ entre 10 e 18. Olhando para o comprimento do bigode direito, podemos concluir tambem que a nota 37 ~um possfvel valor discrepante.
Ed ,e 1naaa
1
Capflulo2
•
[1111lu.icades<1itiv<
87
Desenhe um grafico caixa-e-bigodes que represente o numero de to11c/1dow11s
marcados pelos times da primeira divisao de futebol americano listados na
p. 31 do inlcio do capitulo.
Encontre a regra dos ci11co ite11s do conj unto de dados.
b. Construa uma escala /lorizo11tal e repme11te os cinco numeros acima.
c. Desenhe a caixa, a li11/ia vcrtiral e os bigodt'S.
d. Apresente conclus<ies.
a.
Rr-:-1"1:'tfl 1rit p. A36
I
Percentis e outros fractis
Alem de usar quartis para especificar uma medida de posi~ao, podemos tambem
UJSar os percentis e os decis. Esses fractis comuns sao resumidos a seguir.
Fractil
Simboloo
Resumo
Quartis
Divide um conjunto de dados cm 4 partt'S iguais
Q, QyQ,
Dccis
Divide um c:onjunto de dados cm 10 partes iguais
D,, D, Dy···· D,
Perccntis
Divide um c:onjunto de dados cm
too partes iguais
lmportante
Note que o 2&' percentil e o
mesmo que Q,; 0 50' e0 mesmo que Q, ou mediana, e o 75'
percentil 1fo mesmo que Q,.
P,.P,P, ... ,P,.
Os percentis sao gerahnente usados nas areas relacionadas h saUde e educ.~o
para indicar como um indivfduo se compara a outros em um conjunto. Eles tambem
podem ser usados para identificar valores excepcionalmente altos ou baixos. Por exemplo, as notas de um teste e as medidas de crescimento de crian~as silo normalmente
express."lS em percentis. Notas ou medidas no 95' percentil ou acima silo excepcionalmente altas, enquanto aquelas no 5' percentil ou abaixo sao excepcionahnente baixas.
Exemplo
m
lnterpretando percentis
Dica de estudo
-111~~~~~~~~~~
A ogiva representa a distribui~ao de frequ~ncia acumul.ada para as nota.s em um
toeste SAT de alunos preouniversitirios. Qual nota representa o 12' percentil? Como
devemos interpretar esse resultado? (fon1r: Co/I'S' l!rurd On-liu,.)
Not.ls do teste SAT
100
"'"
'JO -
90
$0
70
00 70
.E 60
.."" "°'°
...~ '°3040
0
~
Not.ls do teste SAT
40
30
10
1()
10
10
600 900 1.200 1.500 1.800 2.100 2..100
Nola.<1
(,(IC)
900 1.200 1.500 l.SOO 2.100 2.400
Solupio
Com base na ogiva, podemos ver que o 72• percentil corresponde a uma nota no tes!e
de 1.700.
(; importante entender o que
sig;nifica percentil. Por exemplo, se o peso de uma crian~a
de 6 meses de idade est~ no
7&> percentil, a crian~ pesa
mais do quo 78% de todas
as crianyis de mesma idade.
1590 n5o significa que a crian~a pese 78% de algum peso
ideal .
Ed ,e 1naaa
1
88 •
Cst•llltic..~ic~a
To11chdow11s marcados por todos
os times da primeira divisiio
do futebol americano
TuterprelafiiO
lsso signilica quc 72% dos estudantes teve uma nota de 1.700 ou menos.
0 niimero de to11cl11tow11s marcados por todos os times da primeira divis.'lo do
1-00
vocl
...
5
., .
i ;:
~" '°
fulcbol a11u.:ric<uto esh~ rupn.--sentc:ido no grtifil"O de fm1ue11Ci<1 ucu111ulad<1 i\ es·
querda. Em qual percentil esta um time que marcou 40 to11chdow11s?
a. Us.? o grtlfico para encontrar o percentil que corresponde aos to11cltdow11s dados.
b. l11lt'Yprete os resultados no oontexto dos dados.
Rri110:>l11 1u1 p. 1\36
·olO
"'10"'
~.,
·'J' . .;-" ~'"; ~., ~"'> '\,,..,~., ~.,
Tqi~htkJvms m.1K.,do$
I Escore padrao
Quando sabemos a media e o desvio padrao de um ronjunto de dados, podemos
medir a posi¢o do valor de um dado no conj unto de dados com um escore padrao ou
z-escore.
efinicao
Oescore padrao ou z-escore representa o numero de desvios padrao que umvalor dadox esM
a partir da media µ. Para eoconuaro z·escore para certo valor, use a f6nnula a seguir:
vb - media
z - des\io padrao -
x - 11
-0-.
Um z-escore pode ser negativo, positivo ou zero. Se z for negativo, o valor x
correspondenle esta abaixo da media. Se z for positivo, o valor x oorrespondente esta
acima da media. Ese z = 0, o valor x correspondente eigual :a media. Um z-escore pode
ser usado para identificar valores incomuns do conj unto de dados que seja aproxima·
damenle em forma de sino.
Exemplo nJ
Encontrando z-escores
A velocidade media de vefculos em uma reta de uma rodovia ede 56 milhas por
hora (mhp), com desvio padrao de 4 milhas por hora. Voe~ mede a velocidade de trlls
c-arros que estao passando pela reta da rodovia como 62 1nilhas por horns, 47 milhas
por hora e 56 milhas por hora. Enoontre o z-escore que corresponde a cada velocidade.
0 que podemos concluir?
Solrrftio
0 z-escore que corresponde a cad a velocidade e cal cu Iado a seguir.
x=- 4i mlrp
z=62- 56 = l,5
4
47- 56
- =-2,25
4
z= -
x-= S6111!1p
50- 56
z=- -= 0
4
Tuterpretaftlo
A partir dos z-escores, podemos ooncluir que a veloddade de 62 mhp esta 1,5
desvio padrao acima da media; a velocidade 47 mhp esta 2,25 desvios padrllo abaixo
da media ea velocidade 56 mhp e igual a media. Se a distribui')iio das velocidades e
aproximadamente em forma de sino, o carro que viaja a 47 nihp esti! excepcionalmente
devagar, pois sua velocidade corresponde a um z-escore de -2,25.
Ed ,e 1naaa
1
C•pftulo 2
•
lmrl!lieid"'ritiv•
As contas de servi~os publicos de uma cidade t@m media de$ 70 e desvio padrao de S 8. Encontre os z-escores que correspondem as contas de$ 60, $ 71 e S
92. 0 que podemos concluir?
a. ldeutijique 11 ea da distribui~ao normal nao padrao.
b. Trnusfon11e cada valor para um z-escore.
c. luterprete os resultados.
Quando a distribui~ao eaproximadamente em forma de sino, sabemos, pela regra empfrica, que aproximadamente 95% dos dados esta dentro de 2 desvios padrao
da media. Entao. quandoesses valores de distribui¢o s.'lo transformados em z-escores,
aproximadamente 95%dos z-escores deveriam estar entre-2 e 2. Um z-escore fora <les- •
s.a amplitude ocorrera aproximadamente 5%do tempo e sera considerado incomum.
Entao, de acordo com a regra empfrica, um z-<?Seore menor do que -3 ou maior que 3
sera 11111ito incomum, com ta! score ocorrendo 0,3% do tempo.
No Exemplo 6, usamosz-<?Seorcs para comparar valoresde dados dentro do mesmo conjunto. Podemos usar tambem os z~ore para comparar valores de dados de
conjuntos diferentes.
Exemplo
m
Comparando z-escores de conjuntos de dados diferentes
Em 2007, o ator Forest Whitaker ganhou o Oscar de melhor ator, aos 45 anos de
idade, por sua atua~ao no filme 0 Ultimo Rei rill £sc6dn. A atriz Helen Mirren ganhou o
premio de melhor atriz aos 61 anos por seu papel em A Rniulln. A idade media para todos os vencedores do premio de melhor ator e43,7, com desvio padrilo de 8,8. A idade
media para as vencedoras do premio de melhor atriz e36, com desvio padrao de 11,5.
Encontre o z~ore que corresponde a idade de cada ator ou atriz. Entao, compare os
r-esultados.
Solu~tio
0 z-escore que corresponde a idade de cad a ator ou atriz ecakulado a seguir.
x - 11
Forest Whitaker z=-a
45- 43,7
8,8
~o,1s.
Helen Mirren
x- µ
z= - a
61- 36
=-11,5-
~2.. 17.
A idade de Forest Whitaker esta 0,15 desvios padrao acima da media. e a de
Helen Mirren esta 2,17 desvios padrao acima da m~dia.
J11tcrprelnftiO
0 z-escore correspondente ~ idade de Helen Mirren e ma is de dois desvios padrao da
media, entao e considerado incomum. Comparado a outras vencedoras do premio de
melhor atriz, ela e relativamente mais velha. enquanto a idade de Forest Whitaker ~
pouco acima da media dos ganhadores do premio de mclhor ator.
Escores n1uito inco1nuns
faores
incomu~
/ Escores
comun~ •
89
Ed ,e 1naaa
1
90 •
btatkticaapllcad•
Em 2007, Alan Arkin ganhou o pr~mio de melhor ator coadjuvante aos 72 anos
por seu papel no filme Peq11e11n Miss S1111s/1i11e. Jennifer Hudson ganhou o Oscar
de melhor atriz coadjuvante aos 25 anos por seu papel em Drenmgir/s. A m&lia
de idade para ganhadores do Oscar de melhor ator coadjuvante e de 50,1 anos, com
desvio padrao de 13,9. A idade media para as ganhadoras d o premio de melhor atriz
coadjuvante ede 39,7, com desvio padrao de 14. Encontre o z-escore que corresponde
a idade de cada ator ou atriz. Ent5o, compare os resultados.
a. lde11tifiq11e 11e u da distribuiQ'io normal n~o padrao.
b. Trn11sfor111e cada valor para um z-cscore.
c. luterprete os resultados.
Ill
Exercicios
(c) o primeiro quanil.
(d) o segundo quanil.
(e) o terceiJo quartil.
(Q a amplitude interquartil.
Construindo habi!idades basicas e conceitos
Nos exercidos 1 e 2, (a) encontre os tres quartis e (b) desenhe
um grafico de caixa-e-bigodes.
·"~ 1. 4 7 7 5 2 9 7 6 8 5 8 4 t 5 2 8 7 6 6 9
:.
2 2 7 1 3 I 2 8 9 9 2 5 4
7 3 7 5 4 7 2 3 5 9 5 6
3 9 3 4 9 8 8 2 3 9 5
3. Os gols marcados poi jogo por um time de futebol rep<esetllilm
o primeiro quartil para todos os times da liga. 0 que podemos
concluir sobre os gols marcados pelo time por iogo?
4. Um vendedO< de uma empiesa vendeu $ 6.903.435 em equipa·
mento de hordwote ano passado, nilmero que rep<esenta o oita·
vo dec:il do desempenho de vendas da emp1esa. 0 que podemos
concluir sobre o desempenho do vended0<?
5. Anota de um estudante em um eirame atuarial eo 78• percentil
0 que podemos conduir sobre a nota do estudante no eirame?
6. Um orientador diz aos pais de uma crianca que o QI de seu filho
esta no 93' percentil para o CO<ljunto das criany)s de mesma
idade. 0 que podemos C0<1duir sobce o QI da crianca?
Verdadeiro ou !also?
Nos exercicios de 7 a 10, delermine seas afirma¢es sao verdadei·
11.
10
17
20
12.
100 130
205
270
320
•I I I 11tI111It11It111 11 11
I00
ISO
200
250
300
13.
900
1.250 1.500
WO
1.100
1.950 2.100
1.$00
L300
'2.100
14.
f
•
so
25
f t
6570
1S 30 35 .ao 4.5 50 SS fill 6S 70
85
7.~
80 115
15.
- 0.5 0.1 0.7
-1.9
Usando e interpretando conceitos
I I I l I I I I If
-2
Analise grafica
Nos exercidos de 11 a 16, use o grafico de caixa-e-bigodes para
identificar:
(a) a entrada minima.
(b) a entrada maxima.
15
10 II 12 13 14 IS 16 17 18 19 20 ZI
ras oo falsas. Se forem falsas. reesaeva-as de forma que seja verdedeim.
7. 0 segundoquartil ea mediana de <Ill conjunto de dadosordenado.
8. Os cinco itens que precisamos para fazer o gr.!fico de caixa-e·bigodes S<'lo o minimo, o maximo, O,. O, ea medi.l.
9. 0 50" perce.1til eequivalente a Q,
IO. £ imposslvel tee z·escore de O.
13
-1
0
2.1
It I I I
I
It ~
l
16.
-1.3
_,
-o¥flf:o.4
If I I I I I I I I I I I I
I
0
2.1
I
2
1 ~
Ed ,e 1naaa
1
lnterpretando graficos
Nos exercicios de 17 a 20, use o grofico de cai>f<l-<!·bigodes para
determinar se a forma da distrib\ri<;ao 1ep1esemada e sim~ica, assi·
metrica a esquerda, assimetrica adireiui ou nenhuma das ahernativas
s
•3
Ju~tTfique wa fe",,PO~ta.
17.
IS
16
t 17
T
--{}---
13
19
t 20
R
21
t 22
23
2•
S
Usando a tecnologia para encontrar quartis e fazer
graticos
Nos exerclcios de 23 a 26, use uma calc.uladora ou um c.ompu·
uido< para (a) enconvar o primeiro, o segundo e o terceim quanis do
conjunto de dados e (b) desenhar graficos cai>fd-<!·bigodes que rep1esen14m o conjunto de dados
'.'~23. Assistindo televiSlio O nlimeto de horas que uma amos1ta de
28 pessoas assiste t~o diariameote.
2 4 I 5 7 2 5 4 4 2 3 6 4 3
5 2 0 3 5 9 4 5 2 I 3 6 7 2
·~24. Dias de ferias o numero de d'ias de ferias usados por uma
amostra de 20 funcionarios em um ano 1ecente.
3 9 2 I 7 5 3 2 2 6
4 0 10 0 3 5 7 8 6 5
l25. Distancias de aeronaves As distancias (em milhas) de um ae1opo«o de uma amoslra de 22 viage.is de ida e voha.
2,8 2,0 3,0 3,0 3,2 5.9 3.S 3.6
1,8 5,5 3,7 5,2 3,8 3,9 6,0 2,5
4,0 4, I 4,6 5,0 5,5 6,0
:·~.26. Ganhos por hora Os ganhos pOf hora (em d61ares) de uma
amostra de 25 fabticantes de eqtipamentos para IOdovias
01!:::::::::==========~200
0
18.
01!:::::::::::::::::========:=1100
0
19.
1~ro1m1~001~14~13•1~1m1~00
01!:::::::::::::::::======::::::::=1120
0
20.
700
0
0
21. Analise grafica As letrasA, Bee Sliomarcadas nohistograma. Relacione-as com Q,. Q, (a mediana) e Q,. JUS1ifique suas respostas.
5
•
3
15
16
'l
ij
18
1
)?
A
C
19
21
12
22. Analise grafica As tetras R, s e T sao marcadas no histograma.
Refadone-as com P.,, P,,, e P"' Justifique suas respostas.
14,20 19,05 15,35 15,20 19,45 15,95 16,50 16,30 15,25
15,05 19. 10 15,20 16,22 17,75 18,40 15,25
27. Assistindo televisao Refira-5e aos coojunto de &dos fomeci·
dos no El<erclcio 23 e o grafico caix.>-e-bigodes que voce desenhou pa1a representar os dados.
(a) Ap<oximadamente 75% das pessoas nao assistem mais do
que quantas horas de tefe.Jisao por dia?
(b) Qllal a porcentagem de pessoas que assistem mais do que
4 horas de televiSlio por aoa?
( c) Se scledooormos urno pessoo o!catoricrnente o portir do
amOSlfa, qual ea probabilidade dest4 pessoa assislir menos
do que 2 hQ<as de televisao po< dia? ES(Jeva sua resposta
em porcentagem.
28. Ganhos de um fabricante R-efva-se ao conjunto de dados no
Exerdcio 26 e ao gr~fko que voe~ desenhou para rep1esentar o
conjunto de dados
(a) AJlloximadamente 75% dos fabricantes obliveram menos
de quanto por ano?
(b) Qual a porcentagem de fabricantes que ob!Neram mais de
S 15,80 por hora?
(c) Se selecionarmos aleatoriamente um dos fabricantes da
amost•a. qua! ea probabilidade de Q\Je 0 fab<icante tenha
obtido mais de$ 15.80 po.i hora? Escreva sua respos!4 como
porcentagem.
Ed ,e 1naaa
1
9Z •
lsmh\iraaplkada
Analise grafica
Nos eocercicios 29 e 30, os pontos medios A, Be C s3o ma1cados
no histograma. Relaciooe aos z-escores indialdos. Qual z-escoies, se
algum, seria coosidetado incomum?
29.
(b)
Avidautitdeu~pneusselecionadosaleatoriamentee30.500
m~has, 37.250 milhas e 35.000 milhas. Usando a regra emplrica, eocooue o percentil que corresponde a cada vida util.
36. Vida de moscas de frutas Avida de moscas de frutas tem uma
distribvi<;Jo em fotfl"la de sino, com m~dia de 33 dias e desvio
z=O
z = 2,14
Z=-1,43
Notas em reste de estatfstica
vida eincomum
14
212
(b) As vidas de tr~ moscas selecionadas aleatoriamente sAo 29
dias, 41 dias e 25 di•s. Usar>do a regra empirica, encomre o
percentil que corresponde a «Xia perlodo de vida.
E10+----==I
~
padrAo de 4 dias.
(a) A vida de tres moscas sek!cionadas aleatoriameme sao 34
dias, 30 dias e 42 cfias. Enoontre o z-escore que corresponde
a cada vida e determine se qualquer um desses periodos de
8
z •+----1
4
48 SJ SS 6J
~
7J 7S
'
I
~otG.~
(~ntre
80)
t
;\
C
II
30. Z= 0,77
Z • 1.54
z = -1,54
lnterpretando percentis
Noseocerciciosde 37 a42, useadistrib~ode frequ~ acumulada para responder as perguntas. Adisvibuir;iio de frequenoa OOJmulada
rep<esenta as alruras dos homens nos Estado6 Unidos no co.1jun10 de
20 a 29 anos de idade. As alturas tem distribui(<lo em forma de sino
(veja Reuatando o mundo, p. 73) com media de 68,9 polegadas e
desvio padrao de 3,0 polegadas. (fonr•
CM'C< for 1-'h Sia"""-)
""''""'°'
Notas em teste de biologia
16
100
14
e 12
90
S!:l0+ - - -
,5
z
Adultos do sexo masculino com idades entre 20 e 29
llO
'IO
&
~ 00
6
~
.!'. so
4
2
17
20
13
24
29
8
C
'j N0<os (dc111re',3-0) 'j
A
Comparando as notas em testes
Para as notas no teste de estatis6ca do Exercicio 29, a mMia e
63 e o desvio padrao e 7,0, e para as notas do teste de biologia do
E>ercicio 30, a media e 23 e o desvio padrao e 3,9. Nos eocercicios
31 a 34, voce 1ecebe as notas de um aluno que fez ambas as provas.
(a) Translorme cada nota de teste em um z-escore.
(b) Determine em qual testeo estudante teve uma melhor nota.
31. Um estudante tira 73 no teste de estatistica e 26 no de biologia.
32. Um estudante tira 60 no teste de estatistica e 20 no de biologia.
33. Um estudante tira 78 no teste de estatistica e 29 no de biologia
34. Um estudante tira 63 no teste de est.Jtistica e 23 no de biologia.
35. Vida util de pneus Cerlil marca de pneus automotivos tern
media de vida util de 35.000 milhas e desvio padrao de 2.250
mihas (assuma que a vida util dos pneus tem disuibui(Ao em
forma de sino).
40
30
20
10
'
I I I I I I I •
62 6-1 ti6 68 70 72 74 76 73
Altura (Cm pOICf!ld:'lS)
37. Qual altura representa o 40' perc.entir? Como .ore interpretaria
isso?
38. Qual o percentil e a altura de 76 polegadas? Como voce interpretaria isso?
39. Tr~ adultos do seoco masculino no wnjunto de 20 a 29 anos s3o
se&eeionC?d0$ aleatoriamente. Suas altvras $30 74 polegadas. 62
polegadas e 80 polegadas. Use z·escoies para determinar quais
alturas, se alguma, sao incomuns.
40. Tees adultos do sexo masculioo no conjunto de 20 a 29 anos s3o
selecionados aleat0<iamen1e. Aaltura deles sao 70 polegadas, 66
polegadas e 68 polegadas. Use z-escoies para determinar quais
alturas. se alguma, s3o incomuns.
41. Encontre o z-escore para um homem no oonj!Jlto 20 a 29 anos
cuja altura seja 71, I polegadas. Qual e esse percentil?
42. Encontre o z-escore para homens no conjunto de 20 a 29 anos
cuja altura seja 66,3 polegadas. Qual e esse percen1m
(a) A vida Util de tres poeus selecionados aleatori.Jmente e
34.000 milhas, 37.000 milhas e 31.000 milhas. Eoconue o Expandindo conceitos
z-escore que corresponde a cada vida util. De acoidowm os
z-escores, a vida util de qualquer um desses poeus poderia .•:~43. ldades dos executivos As idades de uma amostra de 100 executivos estao listadas a seguir.
sec considerada incomom?
Ed ,e 1naaa
1
(dJ>fto'lo1
31
60
50
47
62
51
54
52
51
67
61
36
44
47
41
53
61
63
48
74
47
54
49
33
49
59
51
53
60 42
so
48 42 42 36
56 51 54 42 27 43 43
49
42
61
62
47
59
56
63
51
35
57
59
28
65
32
63
54 36
48 56
38 48
32 47
36
82
64
40
45 40 52
43 63 52
54 39 54
68 44 40
57 42 48
41 54 49
41 60 55
39 54 49
51 45 46
37 49 57
48.
•
Cmtiltira d"rritivo
93
Oura~o das mtiskas Gralicos caixa-e-bigodes lado a lado
podem ser usados para comparac dois ou mais oonjumos de da·
dos. Cada grafico caixa-e-bigodes desenhado no mesmo numerode frnlla para comparar os C011jun1os de dados mais facifmente.
Fomecemos a dura,ao d<IS musicas (em segundos) de dois CDs
dfferemes.
e
CD2
'200
?24
21s
iss
390
Ultrapassado ou no topo?
N(imoro de 100cxccutivos1op
nos grupos de idaoo a S<1gulr:
(a) Oescreva a fomia de cada dis1ribui9'10. Qual CD tern menos
varia'°o na dura~ das miusicas?
(b} Qua! d'istn~ e mais propensa a tel outliers? Explique o
seo racioclnio.
13
2
,
24.S 34,5 44.5 54.S 64.$ 74.5 64.5
ldade
(a) Ordene os dados e encomre o primeico, o segundo e o ter·
ceiro quartis.
(b) Desenhe um gcafico caixa-e·bigodes que represente o conjulto de dados.
(c) lnteq>rete os resutrados no comexto dos dados.
(d) Com base nessa amostra, em qual idade voce esperaria ser
um executivo? Explique seu caciocinio.
(e) Qwis conjumos de idades. se algum, pode ser con~derado
inc.oir.im? EJ<plique.
Midquartil uma outra medida de positAo e cllamada de
midquartiL Vore pode encontrar o midquartil de um conjunto de da·
dos usando a f6ml\Jla a seguir.
Midquartil = Q, +Q, .
2
Nos execclcios 44 a 47, encomre o midquana do conjunto de
dados fomecido.
44. 5 7 1 2 3 10 8 7 5 3
45. 2S 36 47 33 34 40 39 24 32 22 38 41
46. 12,3 9,7 8,0 15,4 16,1 11,8 12,7 13,4
12,2 8,1 7,9 10,3 11,2
47. 21.4 20,8 19,7 15,2 31.9 18,7 15,6 16.7
19,8 13.4 22,9 28,7 19,8 17,2 30,1
(c) Qua! CD voce acha que tern o desvio padrao de 16,3?f:xpli·
que seu raciodnio.
49. Compras com cartao de credito As suas compras mensais
com cartao de credito (arredondadas para o d61ar mais pr6ximo)
nos ultimos dois anos e as de seu amigo estao lisiadas a segvir.
Voce: 60 95 102 110 130 130 162 200 215 120 124 28
58 40 102 105 141 160 130 210 145 90 46 76
Sell amigo: 100 125 132 9085 75 140 160 180 190 160 105
145150 15182 78 115170 158140 130 165 125
Use uma calculadola ou um compviador para desenhar um grafico caixa-e-bigodes !ado a lado qve repteseme os conjuntos de dados.
Entao, desc1eva as f0<mas da distribui'"°.
Encontrando percentis
Vock. pode encomrar o percentil que corresponde a um valor de
dados especifico vsando a f6rmula a seguir, emao arredondando o
resultado para o pr6>imo numero inteito.
Percenij de x = numero dos valores de dados menores que x ·lOO.
numero total de valores de dados
Nos e.erdcios SO e 51, use a informa'°o do Exemplo 7 e o fato
de que howe 80 atores e atrizes pcemiados com o Oscar de melhoc
ator/atriz.
50. Cinquenta e um vencedore-s do Oscar eram mais jovens que F'oresl Whitaker quando ganharam o pr~mio de melho< ator. Encoo·
tie o percemil que corresponde ~ idade de Forest Whitaker.
51. Someme quatro vencedoras do Oscar de me!I'°' atriz eram mais
velhas qve Helen Mirren quando ganharam o premio. Encontre o
percenril que corresponde aidade de Helen Mirren.
Ed ,e 1naaa
1
Usos e abusos - estatistica no mundo real
Usos
A estatfs1ic.l desoitiva nos ajuda a ver tendi!ncias ou padrees a panir de um conjumo de
dados bruto. Uma boa d~ de um coojooto de dados co.isiste em (I) uma medida do
cemrodosdados.(2) uma medida davariabllidade (oudispers.'lo)<losdados e(3)a forma (ou
distribui{<lo) dos dados. Q\Jando lemos 1el.!16rios, notfcias ou anilncios preparados por outras
pessoas. 1a1ameme recebemos dados brutos usadoo em um estudo. Em vez <fisso, vemos graficos. medidas da tendencia central emediclas de variabifidade. Para sermos leitores perspkazes,
precisamos emender os termos e temivls da estalfstica descri1iva.
Abu sos
Saber como as estatlsticas sao calculadas pode ajuda·lo a ar>alisar estatlsticas ques1ionaveis. Por exemplo, suponha que 'oo! esteja entrevis1Mdo para a posi{<lo de vendas ea empresa
reporta que a comiss~ media anual recebida por cinco pessoas de sua equipe de vendas e
S60.000. Esta euma afirma<;<lo equivocada se for baseada em quatro comissc3es de$ 25.000
e uma de S200.000. A mediana descreveria maiscooetamente a comiss.lo anual. mas a empresa usou a media, pois e uma quantia maior.
Os gralioos estatlsticos tambem podem ser equivocados. Compare os dois graf1COs de serie
temporal abaixo que mostram os pr~ das a¢es no final do ano da Kellogg Comparl'f. Os dados silo os mesmos para cada um 0 primei10 grafico, entretamo, tern um eixo vertical retirado,
o que faz com que pareyi que o pr~ das ~oes subiu muito de 1999 a 2006. No segundo
grafoco, a escala no eixo venical comeyi no zero. Esse grafico mostra cooeramente que os pr~
das a¢es aumemaram modestamente d..-ame esse periodo. (fol/le: Ke.log</ Q:mpony)
Pre~o das a~oes da Kellogg
Pre~o das a~oes da Kellogg
n~ ss+------------ '"~
">O+ - - - - - - - - - - - -
'.g
~(JC)
~
~
~ ~
~ ~ +------------
50
E4_s -
E50
l:
~:
l
lS '---+-li--+--+--f-+--+--1-1999 2000 2001 X>Ol 2003 2004 200S 3Xl6
Ano
f 'o
'-+--+-1-+--+-l-+--+-•
191)9 2CKX> 2001 2002200.l'?ffi.&200S1CNl6
AnQ
Etica
Mark Tw.iin ajudou a popularizar o ditado "H.l u~ tipos de mentiras: mentiras. mentiras
deslavadas e estalisticas'. Resumindo, ate mesmo a estatistica mais precisa pode ser usada para
apoiar estu<los ou afirma~Oes que sao inoo<retos. Pessoas inescrupulosas podem usar estatlsticas equivocadas para "provar' seus pootos de vista. Ser informado de como a estotis1ic.l foi
calculada e questionar os dados euma das mane•as de evitar ser enganado.
(xercicios
I. Em um jornal ou revista, enconue um exemplo de um grafico que pode levar a condusc3es
inoonetas.
2. Oescteva a situa'3o na qual uma estatistica poderia ser usada para se tomar uma condusao errada.
Ed ,e 1naaa
1
(aplllllo1
•
m1tl11icode>ni1iva
95
Resumo do capitulo
0 que voce aprendeu?
[xemplo
[xercicios
de revisao
1e2
1
3a7
2a6
1a3
7e8
6e7
9e 10
4e5
11 e12
la6
13e 14
7e8
15a 18
Se,ao Z.I
• Como construir uma distribui~o de frequencia incluindo Ii mites, pontos medias,
frequi!ncias relativas, frequi!ncias acumuladas e fronteiras.
• Como construir histogramas de frequ@ncia, polfgonos de frequ@ncia, histogramas
de frequencia relativa e ogivas.
se,ao z.z
• Como representar graficamente conjuntos de dados usando ferramentas de analise
de dados explorat6ria dos diagramas de ramo·e·folhas e diagramas de pontos.
• Como representar graficamcntc c interprctar dados emparclhados usando graficos
de dispersao e serie temporal.
• Como representar graficamente conjuntos de dados qualitativos usando graficos de
pi22a c grMicos de Pareto.
Se,ao Z.3
• Como encontrar a media, a mediana ea mod a de uma popula~ilo e de uma amostra:
Ex _ Ex
Jl = -,x = - .
N
II
• Como encontrar a media ponderada de um conjunto de dados ea media da
distribui~ilodefrequ@ncia: x Lg·wl, ,r _ 2:(.r·/).
iU
U
• Como descrever a forma da distribui<;llo como simetrica, uniforme ou assimetrica e
como comparar a n1ed.ia ea mediana para cada uma.
19a24
Se,ao Z.4
• Como e1\contrar a ampIitudc dos dados.
• Como encontrar a vari§ncia e o desvio padrao de uma popula~ao e de uma amostra:
1
25e26
2a5
27a30
6a8
31 a34
9e t 0
35e36
la3
4
5
6e7
37a39e41
- Jt:<xN- 11>' , S_- r:<x- 1x)' .
,,_
Il -
Como usar a Regra Empiric.1 e o teorema de Chebychcv para interprerar o desvio
padrao.
• Como aproximar o desvio padrilo amostral para os dados agrupados:
a
S=
r:<x- x)2/
11 - J
Se,ao Z.5
•
•
•
•
Como encontrar as amplitudes dos quartis e interquartis de um conj unto de dados.
Como desenhar um grafico caixa-e·bigodes.
Como interpretar outros fractis, tais como percentis.
Como encontrar c interprctar o escore padrao (z-escore) z = (x - µ).
"
40e42
43e44
45a48
Ed ,e 1naaa
1
96 •
u1otl1ti<"Pli<od•
Exercicios de revisao
~Se~c=a=o=Z·~'---------------- .:~ 10. O Iodice de desemprego nos EUA em um periodo de 12 anos e
fomecido a seguir. Use os dados p;a<a construir um grafic.o da ~rie
Nos exe<ooos 1 e 2, use o coo~ul'llo de dados a segu;r. 0 con·
junto de dados representa a renda (em milhares de d61ares) de 20
fun<ionarios de um pequeno neg6cio.
30 28 26 39 34 33 20 39 28 33
26 39 32 28 31 39 33 31 33 32
1. Fa12 a frequ~ de dislribu;,Ao do conjunto de dados usando
cinco classes. lnclua os pontos medios das classes, limites, frontei·
ras, frequencias. freqOOicias relativas e frequencias acumuladas.
2. Fa12 o histograma de frequencia relativa usando a distriboi,ao de
freq~cia e as frequencias acumuladas,
<~
Nos exercicios 3 e 4 use o conjunto de dados a segui1. Os dados
representam os vdumes lfquidos atuais (em 0"\2S) em latinhas de
24 0013S.
11,95 11,91 11,86 11,94 12,00 11,93 12,00 11,94
12,10 11,95 11,99 11,94 11,89 12,01 11,99 11,94
11,92 11,98 11,88 11,94 11,98 11,92 11,95 11,93
·'.ii,
3. F0\2 o histograma de frequencia usando sete classes
4. Fa12 o histog1ama de frequencia relativa do co.ijunto de dados
usando sete classes.
t~
Nos exerdcios 5 e 6, use o conjunto de dados a seguir. Os dados
representam o numero de salas reservadas durante uma noite de ne·
g6cios em uma am05tra de hott\i~
153 104 118 166 89 104 100 79
93 96 116 94 140 84 81 96
108 111 87 126 101 111 122 108
126 93 108 87 103 95 129 93
s.
Fa12 a di~ de frequencia com seis classes e desenhe um
polfgocio de frequencia.
6. Fa12 uma ogiva do atjunto de dados usando seis dasses.
Secao Z.Z
; '.~
Nos exerdcios 7 e 8, use os dados a seguir. Os dados represen·
tam as medias das altas temperaturas di3rias (em graus Fahrenheit)
durante o mes de janeiro em Chicago, IRinois. (Fcttie: No/JO/lo/Oreonie afld
Arm<>spt>enc Ad11ill6UC/JOll.)
33
23
28
24
31
34
35
13
25
44
21
18
22
43
24
28
38
47
20
17
51
37
19
25
32 23
29 25
23 27
31
7. Fa12 um d'r4grama ramo-e-folhas para o c.onjunto de dados. Use
uma linha po1 ramo.
8. Fa12 um diagrama de ponlos do c.onjunto de dados.
9. A seguir, temos as alturas (em pes) e o numero de andares de
nove ed'riicios notaveis em Miami. Use 05 dad05 para construir um
grafico de dispersao. ~e tipo de padrao emostrado no grafico
de dispersao? (Fanre Empor• lluidings.l
Altura (em pes) 764 625 520 510 484 492 450 430 410
Numero de andares 55 47 51 28 34 39 33 31 40
temporal (Fome: us /Jtiteau ol l.alicr S'Clllst.a.)
Ano
199 5 1996 1997 1998 1999 2000
indice de desemprego 5.6 5.4
4.9
4,5
4,2
4,0
Ano
2001 2002 2003 2004 2005 2006
lndice de desemprego 4,7 5.8
6,0
5,5 5,1 4,6
Nos exerdcoos
· 11 e 12, use os dados a seguir,
· que r..,..esen
..,.
1am
os ••te io es re'"'"os 0 •-..:..0 K~"el Cl b ( - m·1•·res) em
~ ma r •·- n ~·""~ ""' u "" '''°
2006. ((1)Jl(e: AmeooM KeMel CkJb.)
I
Ra14
Nlimero registrado
{em milh;uesl
t.abrador Rclrie\'Cf
124
Yori<sl>re Tetrier
48
Pas!OI alemlo
44
Colden Retriever
43
Beas!•
39
Oasdlshund
36
Boll!!r
35
11. Fa12 um grafico de Pateto do conjunto de dados.
12. Fa12 um gralicode piua do conjunto de dados.
Secao Z.3
13. Encontre a meaia, a mediana ea moda dos conjuntos de dados
3 5 12 16 7 9 13 7 8 11
14. Encootre a media, a mediana ea moda dos conjuntos de dados.
42 36 39 42 44 45 42 42 36 38
15. Estime a media da distribu~ao de frequeocia feita no Exerclcio 1.
16. A distribti¢o de frequencia a seguir mostra o nume10 de assinaturas de revista por 1esidMcia para uma amostra de 60 resi·
dMcias. Encont1e o n6meio medio de assinaturas por reside<lcia.
Numero de revistas
O
1 2
3 4 5 6
F1equencia
13 9 19 8 5 2 4
11. Fornecem05 seis n0tas de lesteS- AS cU.:o primeiras notas sao
15% da nota final e a Ultima nota e 25<ib da nota final. Encontre
a media ponderada das notas.
78 72 86 91 87 80
18. l'ornecem05 quatro nOtas de testes- As tres primeiias notas sao
20<ib da nO!a final e a ultima nota 4Cl'lb da nota final. Encontre
a media pondeiada das notas.
96 85 91 86
19. Descteva a forma da distribuiylo no histog1ama feito pot voce no
El<erdcio 3. Adistribuiylo e simetrica, unifonne ou assimeuica?
20. Descteva a forma da disuibuiylo no histograma feito por voce no
El<erdcio 4. A distribui¢o e simetrice, un~orme ou assimeuica?
e
N05 exerclci05 21 e 22, determine sea forma aproximada da diseassimeuica adireita, assimeoo Aesquerda
ou simetrica.
tribui~ no histograma
Ed ,e 1naaa
1
(apltulo2
21.
'
,
32. A taxa
•
6
I() I .&
18 :?? 26 lO l4
22.
12
10+ - -
8
6+ - -
•
2+ - 2
•
10 1.a 1s
n
~
ro
u
23. Para o histograma do Exerdcio 21, qwl
med'iana?
emaior: a rnedia ou a
24. Para o histograma do Exercicio 22, qwl
med'iana1
emaior. a m&lia ou a
25. 0 coojunto de dados representa o prew mi!<f'IO de uma entrada
de cinema (em d61ares) para uma amostra de l2 cidadesameri·
canas. Encontre a amplitude dos dados.
7,82 7,38 6,42 6,76 6,34 7,44 6,15 5,46 7,92 6,58 8,26 7,17
26. 0 coojmto de dados representa o prew mi!<f'IO de uma entrada
de cinema (em d61ares) para uma amostra de 12 cidades japonesas. Encontre a amplitude dos dados
19,10
16,66
18,56
19,59
4 2 9 12 15 3 6 8
da 1V via
sat~ie
1 4 14 12
3 3
(S\lprema Cone de Juslica americana) em 19 de mar,o de 2007
estA listada a seguir. Encomre a media populacional e o desvio
padr~ dos dados. l,fon:t:
of~ Vto'.M Sra"'-)
Supt""""""
71
m
E
~
M
~
de un)c) cimostra e
resid~llcias
era de S 49,50 por ~com desvio packAo de $ 2,75 por ~
Es1ime a porcentagem das taxas de televisao via sa1~fite enue
S 46,75 e $ 52,25. (Assuma que o coojunto de dados tern distri·
bu~o em forma de sino.)
33. Amedia de vendas por dieme para 40 clientes de um posto de
gasolina e$ 36,00, com desvio pad1~0 de S 8,00. Com base no
teorema de Chebychev, quantos clientes gastam entre S 20,00
es 52,00?
34. O tempo medio dos voos das2-0 primeitas naves espaciaisera de
aptoximadamente 7 dias e o ~ pad1~0 eta aproximadamente
2 dias. Qim base no 1eorema de Chebychev, quantos dos voos
dUfou 3 e 11 d'ras? (Foore: NAS>I.)
35. Em uma amostra aleat6ria de residencias, o '1Umero de aparelhos
de televisao e listado. Enconue a media amostral e o desvio pad1~0 dos dados.
o
l
8
2
13
3
10
4
5
5
3
36. Em uma amostra aleat6ria de aviiles, rrstamos o nU11le<o de deleitos enconuados em suas fuselagens. Encontre a mMia amostral
e o desvio padr~o dos dados.
Numero de defeilos
Numero de aviiles
o
4
1
5
2
2
3
9
4
l
5
3
6
mao 2.5
de estalistica.
28. A idade de coda membro da Supreme Court of the United Slates
H
97
1'1os exercicios de 37 a 40, use o conjunto de dados a seguir.
Os dados represeniam a altura (em polegadas) de alunos do curso
17,68 17,19
15,89 16,49
27. A milhagem (em milllares) para uma !rota de verculos de uma
ernp<esa de aluguef de carros estA lis1ada a seg1Jir. Encomre a
mMia populacional e o desvio padrao dos dados.
~
~dia
Numero de televisores
Numero de residencias
Secao 2.4
19,73 16,48
16,63 15,99
[s111klica des<ritiva
31. A taxa media da lV via sa1o!l'tte de uma amostra e 1esid~ncias
era de$ 49,00 por ~s com desvio padrao de S 2,50 por m~
Entre qwis dois valores estAo 99,7% dos dados? (Assuma uma
disuibu~ em forma de ~no.)
12
I0+ - 8
:?
•
56
29. Os p<= (em d61ares para um ano escolar) dos dormitOrios para
uma amostra de univeJSidades com quatro anos de dura~o es·
tao liSlados a seguir. Enconlre a mi!<fia amostral e o desvio padrao
amowar dos dados.
2.445 2.940 2.399 1.960 2.421 2.940 2.657 2.153
2.430 2278 1.947 2.383 2.710 2.761 2.377
30. listamos uma amostra dos salarios (em d61ares) de professores
do en~no medio. Encontre a ~dia amostral e o desvio padrao
dos dados.
49.632 54.619 58.298 48.250 51.842 50.875 53.219 49.924
52 54 55 56 56 56 58 !>9 60 61
61 63 65 67 68 68 70 71 72
37. Enconue a ahura que conesponde ao primeiro quartil.
38. Encontre a ahl>'a corresponden1e ao tercei10 quartil.
39. Encontre a amplitude inle<quartil
40. Fa~a um g1afico de caixaffigodes dos dados.
41 . Enconlre a amplitude inte<quartil dos dados do Exercicio 14.
42. Os pesos (em fibras) dos jogadores da defesa de um time de
futebol colegial sao fornecidos. Fa_. o gralico caixa·e-bigodes
dos dados.
173 145 205 192 197 227 156 240 172 185
208 185 190 167 212 228 190 184 195
43. Uma nota 68 em um teste de um aluno representa o 77' percentil
das noos. Qua! porcentagem de alunos obteve mais do que 68?
44. Em 2007 havia 768 eSla¢es de radio ·antigas" nos EUA. Se uma
esta~ descobre que 84 esta¢es tern maior audiencia que ela.
em qual percentil essa e~ se aprol<ima do ronling diario de
auciencia? (fume.· Rodi>lic<lrar:«"rt)
Ed ,e 1naaa
1
98 •
[11'thti<4'plic«la
Nos exerclcios de 45 a 48, use a informa~ a seguir. Os pesos de
19 jogadores de futebol oolegiais tem <istrib<Ji>Ao em fOtm<l de sino,
com mMia de 186 libras e desvio padf<lo de 18 libras. Use z-esccxes
para determiriar se os pesos a seguir dos jogad0<es de futebol selecio·
nados aleatotiamente sao incomuns.
45. 213 libras.
46. 141 fibras.
47. 178 fibras.
40. 249 libro>.
Teste do capitulo
Fayi este Leste como se ~ es1ivesse fazendo uma pto.<a em sala.
Oepois. compare suas respostas com as 1espostas dadas no final do ~ro.
"'.~ I. 0 ooojwno de dados eo numerode minutes em que uma amos·
trade 25 pessoas se exercita a cada semaria.
108 139 120 123 120 132 123 131 131
157 150 124 11 1 101 135 119 116 117
127 128 139 119 118 114 127
4. Lisiamos os sak!rios semanais (em delares} para
de enfermeitos.
uma amostra
774 446 1.0!9 795 908 667 444 %0
(a) Enoootre a meaia, a mediana ea moda dos salaries Qual
descreve melh0< um salario 1ipico?
(b) Encontre aamplitude, a variancia e desvio padrao do conjunto de dados. lnterpiete os 1esul1ados no contexto da "<la real.
(a) Fa,a a disttibu~o de frequencia do conjunto de dados
5. A m<!dia dos pr~os de 1esidblcias novas de uma amosua de
casas e $ 155.000 com desvio padrao de S 15.000. O conjunto
usando cinco classes. lndua fimites de dasse, pontos me·
de dados tem <flSltibui,ao em f0<nria de sine. Entre quais dos dois
dios, frequencias. frooteiras, frequencias 1ela1ivas e frequen·
pr~ estAo 95% das casas?
cias acumuladas.
6. Refira-se ~s estatfsticas amostrais do Exercicio 5 e use z-escores
(b} Represente os dados usando um hislograma de frequ~
para determiriar qual, se algum, dos prews a seguir ~ incomum.
e um pollgono de freqOOicia nos mesmos eixos.
(c) Repiesente os dados usando um hislograma de frequ~ncia
(a} S 200.000
relativa.
(b) 55.000
(d) Descte-.'<l a f0<ma da distrib.Jk;lo ca<no simetrica, unifa<me
(c) S 175.000
ou assimetrica.
(d) 122.000
(e) Rep1esente os dados usando um gtafico caixa-e·bigodes.
<~ 7. Onlime.o de vit6'ias para cada time da liga de beisebol em 2006
(f) Represente os dados util~ando uma ogiva.
esta listado a seguir.
MG/!lf teo9,,. BO!<boil)
2. Use as f6'mulas da distrilxii¢o de freque<lcia para aproximar
97 87 86 70 61 96 95 90 78 62
a mi!<lia amostral e o desvio padrao do coojunto de dados no
Exerclcio I.
93 89 80 78 97 85 79 78 71 83
82 80 75 67 66 88 88 76 76 76
3. As ve<idas de ptodutos esponivos (em bilhOes de d61ares) nos
EUA podem ser dassifw:adas em quatro areas: vestuArio ( 11,7).
(a) Encontre os quanis do conjunto de dado~
calcados ( 15,7}, equipamentos (24,0} e transpo11e reaeaciorial
(b) Encontre a amprrtude interquanil.
(38,5). Represente os dados usando (a} um grafico de pizza e
(c) Fa~ um grafico caixa-e-bigodes.
(b) grafico de Pate to (Fonre: NolxNral ~iog Goods As"""'""')
s
s
lfM'"
IPrP(OS
•m dr\la,..,,: das ap61ict!S
de seguro automotive pages
por 10 motoristas selecionados
aleatoriamente em 4 cidades
'UdadeA Cidade.8 Cidade c CidadeO:
2.345
2.465
2.514
2.030
1.450
2. 152
1.984
1.600
2.545
1.545
2.715
1.570
1.640
2.716
2.145
1.850
1.983
1.987
1.600
1.450
1.745
2.302
2.200
1.430
1.590
2.542
2.005
1.545
1.875
1.945
1.792
1.800
1.920
1.380
1.645
2.575
2.655
2.400
1.368
2.016
Juntando tudo
(statistica real - decisiies reais
Voce eum jornar!Sla 1esponsavel pela col\Jna de consume de um jomal Voe! tem recebido diversas cartas e e·mails de leit0<es que es!Jo preocupados com o custo de suas ap61ices
de seguro automolivo. Um dos leit0tes escreveo o seguinte:
"Eu ocho que, em mMio, um mot01ista em nosso ddode pogo mais em sua ap6/ice de
seguro do que os mororisros de oottos ddodes como a nossa neste Esrado.'
Seu edit0< pede que voce investigue os custos das ap61ices de seguros e escreva um anigo
sobre isso. Voce ja reoniu os dados mosllados ~ esquerda (sua cid.ade ea cidade A}. Os dados
repiese<itam as ap6!ices de seguros automolivos pages anualmente (em d6Jares) po< uma
amostra a!eat6ria de motorisias em sua cidade e em tres outras ·cidades de tamanho similar
em seo estado. (Os pr~os das ap61ices da amostra incluem cobertu1a compreensiva, colis.lo,
danos fisicos, danos a piopriedade e motoristas nao cobenos.)
Ed ,e 1naaa
1
(opltulo 2
•
[1111bli" d11<rl1iv1
99
[xercicios
1. Como voce forio isso?
(a) Como voce investigaria a afirma~o sobre o pr~ das ap61ices de seguro?
(b) Quais medidas estalfsticas deste cap~ulo ~ usaria?
2. Representando os dodos
(a) Que tipo de grAfico voce usaria para representar os dados? Por q~?
(b) Consuua o grafico da pane (a).
(c) Com base no que vore fez na parte (b), parece que a meefoa das ap61ices de seguro
de sua cidade, cidade A, emaior do que qualquer ooua cidade? Explique.
Menores apolices de seg1119~
aulomolivo
M!CU.~O!l.\Of
-'~. S 869
-------------"'"'"·VA -131!1t9 $ 954
' ' " Cl•i'1>. \YI -
3. Medindo os dados
(a) Quais me.Mas estatisticas discutidas neste capitulo voce usaria para analisar os dados
sabre as ap61ices de seguro?
(b) Calcule as medidas da parte (a).
(c) Compare as medidas da parte (b) com o graf1CO que voce fez no Exerdcio 2. As medidas apoiam sua condus.'lo no Exercicio 2? Expique.
-------------S 966
-------------$
Raleigh!. ~c
Bisma<ck. NO
-
- ..
989
4. Discutindo os dodos
(a) 0 que voce diria aos lei1ores? A media das ap6foces de seguco em sua cidade e mais
aha do que nas oouas?
(b) Quais cazaes voce poderia dar a seus leilores sabre o porq~ de os pc~s variarem
de cidade para cidade?
Tecnologia
MINITAB
I
A Dairy Farmers of America (Associa95o de Produtores de Laticinios da America) e uma associa~ao que foniece ajuda a produtores de laticinios. Parte dessa ajuda e
reunir e distribuir estatfsticas sobre a produ\<]o de leite.
Produ~ao mensal
de leite
0 conjunto de dados a ~uir foi fomecido por um produtor de leite. Ele lista a
de leite (em libras) para 50 vacas leiteiras Holstein.
11n1t1114 0.1iry,
(f,.,,,,
produ~ao mcnsal
Oym¥r, NY.)
2.825
1.258
1.AA4
2.2('(1
2.711
2.cm
2.982
2.3S9
2.882
1.874
2.733
2.045
2.046
1.647
l.'179
2.069
1.677
2.364
2.051
1.319
2.484
1.619
2.669
2.202
2.923
4.285
2.5'17
3.109
3.223
2.281
2.862
3.512
2.004
2.383
l.230
3.353
2.444
1.6S8
1.732
1.665
1.449
1.773
2.2('(1
2.230
1.294
2.029
2.284
2.159
1.147
2.936
www.dfamilk.com
i
I::
!
uoo
; •.,oo
8
I
Vaeas leltelras, 1996-2005
~··
.
1ot1QO do 10 anoi
t .QOO
,.,,.
9611'798910001~030i'OJ
((()ll!e; Nor10>1olAt]tl..VotU!al S!or•OC> St>M<e.)
(Fcnre: Na!JOOa/ AgrKui"'1ol Sro11sto 5'Yv<"e.)
De 1996 a 2005, o numero de vacas leireiras nos Eslados Unidos decresceu ea jllodu~oan11<1I de
leite aumentou.
EXCEL
Tl-83/84
I
Ed ,e 1naaa
1
JOO •
ls1athlic..plicada
Exercicios
Nos exerdcios de 1 a 4, use um computador ou a1lculad0<a. Se
pos.sfvel, imprima seus resultados.
1. C.ncontre e mtdia omosar~ dos &dos.
2. Encontre o clesvio padcao amostral dos dados
3. Fa~ a distribu~o de frequencia paca os dad05. Use uma classe
com largura 500.
4. Fa~ um hislograma para os dados. A distriooic;OO parece ter f0<·
ma desino?
s. Qual p0<centagem da distribui~o estA dentrodeumdesvio padtao
em rela~o Am&lia? Dentro de dois desvios padrao em rela~ A
media? Como esses resuhados conc0<dam com a regra empfrica?
Nos exercfcios de 6 a 8, use a distribu~o de frequencia encon·
trada oo Exercicio 3.
6. use a distnbui~ao de fiequencia para estimar a media amostral
dos dados Compate seus 1esultados com o Exerdcio I.
7. Use a dislribuil.io de frequ~ncia para encontrar o desvio padrao
amostral para osdados. Compare seus result.!doscom Exerdcio 2.
8. Reda~o use os 1esultados dos exercicios 6 e 7 para escrever uma afirme(.lo geral sobte a media e desvio padrao para 05
dados grupados. As f6rm<Jlas para os dados grupados fomecem
result<Jdos que sao tao corretos quanto as f<lfmulas das entradas
individuais?
Usando a tecnologia para determinar estatisticas descritivas
Aqui estao algumas impress6es MINffAB e Tl-83/84 para tr@s exemplos deste capitulo.
(ver Exemplo 7, p. 51)
MINITAB
Qhart...
..,
!:listogram ...
!;!o-xploL ..
220
>CO
c 180
~atrix. P1o<-
Qr.aftsman Plot...
g
160
'E
140
g
Con;our Pio<..
120
"'
,,tl=>
~
.8
·c
01sµlay Ocscnpt1ve Statistics
~~i:! Des0J>tive_S~tistics=1
(J)
100
BO
BO
40
20
1-Sample ;?; .. .
1-Sample t. ..
51-Sample t. ..
eaired t ...
0
Year
MINITAB
1995
1997
acoi
1999
Estatistica desailiva
2 V2riances .. .
Variable
Qorrelation .. .
S&~lies
~~ance.. .
Variable
S.."1-
N
10
Minimum
3711CXl
EIOL..
]me Series Plot...
Qhart...
l:!istogram •.
20J5
Mean
SE Mean
TrMean
StOev
41 .500
0.992
41.375
3 .136
Q1
38.750
Median
4 1 (lO(l
Q3
44250
Maximum
(Ver Exemplo 4, p. 86.)
(2reph
2C03
(Ver Exemplo 4, p. 71)
l
1 ptoportion ...
2 PrQportions ...
t!l,ormality Te<:t...
I
MINITAB I
35
Matrix.·PloL
*
I
Qr.aftsman Plot...
Co 11..tou r Aot. ..
•
I
4 7oon
Ed ,e 1naaa
1
(apltulo 2
(Ver Exemplo 7, p. 51.)
Tl-8 3/84
(Ver Exemplo 4, p. 71.)
l
Tl-83/84
EDIT
•
btatllll<•dfllritivo
(Ver Exemplo 4, p. 86.)
l
Tl-83/84 [
llll!il TESTS
11 Ploe1 ...0tt
II 1.Var Stat s
11 P1ot1 ...ott
LL1
2: Plot2 ...0ff
2: 2-Var Stat s
LL1
2 : Plot2 ...Dff
l2
LL1
0
L2
0
L2
0
3: Med-Med
4 : LinReg{ax+b)
5: Q uadReg
6 : CubicReg
7 J QuartReg
3 : Plot3 ...0ff
LL1
Tl-83/84 [
11!11 Plot2 Plot3
Ill Off
Type:
L
R
>0·.
oc:!l-<
•
Tl-8 3/84
I
1-Var Stat s L 1
El
l2
LL1
0
l2
0
l2
O
3: Plot3.,.Qff
!.::.:.:. L1
•
4 1 PlotsOlf
Tl-83/ 84 [
ml Plot2
•
c1hb
Plol3
•
Off
Type
IL.
!.::.:.:.
1.:6_ c1hb
"°'" g
IL.
Xli st: L 1
Xlist: L 1
Ylis ~ L 2
Mark:
IOI
Freq: 1
+ .
Tl-83/84
I
fJl!'AI MEMORY
4 1 ZOecimal
5: ZSq uare
6 : ZStandard
7: ZTrig
8 : Zlnteger
ZoomSta
0 : ZoomFit
•
Iii
Tl-83 / 84
I
•
Tl-8 3/84 1
1-Var Stat s
x= 41 .5
Ex= 415
Ex 2 = 17311
Sx= 3.13581462
ux= 2.974894956
t n~ 10
•
Tl-83/84 1
MEMORY
41 ZOecimal
•
5: ZSq uare
6: :zstandard
7: ZTrig
8 : Zlnteger
ZoomStat
CJ: ZoomFit
l!I
Tl-8 3/84
I
•
Ed ,e 1naaa
1
102 •
lstatklicaaplicad•
Revisao acumulada - capitulos I e Z
Nos exercicios 1e 2, identifique a tecnica de amostragem usada e
diSCllla afonte de teodenciosidade em po1encial (se houver). E1"1ique.
1. Para assegurar qualidade, cada quadrag~ma escova de dentes
eretirada de uma linha de produ¢o e teslada para se ter ceJteia
que as cerdas nao se soliam da escwa.
2. Usando discagem aleat(lriij, pesquisadores perguntaram a opiniao
de 1.200 adt.itos americanos sobre aquecimento global.
3. Emumanorecente,asfahasnaoavisadasemempresaseorganiza~eesame<icanasatingiramum fndicede 2,5%, omaiordesde 1999.
Descobriu-se que as faltas ocorriam por causa da mentalidade de
concess.lo de direitos (11%), assuntos familiares (24%), doencas
(35%), necessidades pessoais (18%) e esuesse (12%). Use um
grafico de Pareto pa1a organiw os dados. (Fame Hams.
""''""""'·>
Nos exerdcios 4 e 5, detefffiine se o valor oomerico e um para·
metro ou um dado estatistico. Expfique seu raciocinio.
4. 0 salario medio anual para 43 funcionarios de uma empresa e
$42.500.
5. Em uma pesquisa recente com 1.000 adullos dos Estados Unidos, 28% disseram ser etico os rep6rteres publicarem noticias
baseadas em fontes anOnimas. (Foru•. Rosmvssen Repcro.)
6. 0 salario medio anual de uma amostra de engenheiros eletricos
eS83.500, corn desvio padrao de $ 1.500. 0 conjunto de dados
tern distribui~o em fofffi3to de sino.
(a) Use a regra empfrica para estimar o rilmeto de engenheiros
eletricos cujos salarios anuais estao entre $ 80.500 e $ 86.500.
(b) Se 40 engenheiros eletricos adicionais fossem amostrados,
quantos apioximadamente voce espe1aria que tivessem sa!Arios anuais entre S 80.500 e S86.500?
Nos exeteicios 7 e 8, identifique a popula91o e a amOStra.
7. Uma pesquisa com 1.948 aduhos americanos descobriu que
52% aaediiam que fontes ahemalivas de energia s.lo a melhor
fomla para os Estados Unidos reduzirem a confia~ no petr6feo
esuangeiro. (For.·• /J/oombe•g Po>!)
8. Um estudo com 232.606 pessoas foi conduzido para desco·
brir uma liga~o entre a ingestao de vitaminas antioxidantes e
uma ex~ativa devida mais longa. (Fon1e:Joumolofrhl:Amoncon
Med.cal Assoc"11""1.)
Nos exerdcios 9 e 10, decida qua! metodo voce usaria para coleiar dados para os estudos. Explique.
9. Um estudo sobre os anos de~ de 100 memb<os do senado.
10. Um estudo sobre os efeitos da excfusao das ferias do calendario
escolar.
Nos exercfcios 11 e 12, determine se os dados s.lo qualitalivos ou
quaintilalivos e identifique o nlvel de mensura~o docooµito de dados.
11. listamos o rn'.rmero de jogos iniciados po< cada arremessador (no
beisebol) com pelo menos um inicio para os Houstan Astros em
2006. (Fotw: Ma,at L"1!JU'! Bos.obcl)
2 8 19 19 9 11 32 35 24
3
12. As regiiies tipir.mente usadas p;1ra a c.llwlo do pr~ ml!dio das
casas estao listadas:
nordeste cemro-oeste sul oeste
13. Os numeros de tomados po< ES1ado em um ano recente estao !is·
iados. Enconue o primeiro, segundo e terceiro quarlis do conjunto
de da-Oos e faca um diagrama caixa·e-bigodes que represente o
conjunto de dados. (Forue: Noe..,,,,1 CJrmqx
°"" ""'"'·>
81
2
4
1
6
5
0
8 69
21 14
71 105
23 53
30
34
46 136
39 10
4 27
0
17
40
I
0
23
11
56
2
0
0
54
0
7
14
0 24
4
0 63
6
14. 530 fomecidas cinco notas de testes. As quatro primeiras llOlaS
eq<ivalem a 15% da nola final ea ultima ~ 40% da noia final.
Encontre a mt!dia ponderada das notas.
19
23 105
85
92
4
84 89 91
15. O tamanho das caudas (em pes) dos crocodilos americanos
estJo listados:
6,5 3,4 4,2
7, 1 5,4 6,8
7,5 3,9 4,6
(a) Encontre a media, a mediana ea moda do tamanho das
caudas. Qua! desaeve melhor o tamanho da cauda de um
tipko crocodilo americanol Eicpfique seu raciodnio.
(b) Encontre a amplitude, a variancia e o desvio padrao do
conjunto de dados. lnterprete os resuhados no contexto da
vida real
16. Um estudo mostra que o mimer<> de manes po< doern;as do co·
ra91o em mulheres decresceu a cada ano nos ultimos cinco anos.
(a) Fa,. uma infetencia baseadao nos resultados do estudo.
(b) 0 que h.\ de errado com esse tipo de raciocinio?
Nos exerdciosde 17 a 19, use o conjuntode dados a seguiI, que
represenia os pontos marcados por cadla jogadc< do Detroit Red Wings
em uma temporada recente do NHL (..,,,,., Not,,nallladey~.}
11 15 8 87 32 1 8 16 59
0 0 9 62 12 80 15 2 11
15 0 45 59 81 58 19 34 85
17. Faca a dis1ribui910 de frequ~ncia usando oito classes. tndua a
dasse de pontos medios, limites, fronteiras, frequ~ncias. frequencias relativas e frequ~ncias acumuladas.
16. Oescteva a fofffid da distribu~o.
19. Fa'8 um histograma de frequenci<l relativa usando a distribui<;ao
de frequencia do Exetcfcio 17. Entao, determine qual classe tern a
maior frequencia relativa equal tern a meno<.
Edit i'.'ldd d
Parte
2
1
Probabilidade e
distribui{Oes de
probabilidade
(apitulo 3 Probabilidade
(apitulo 4 Distribui,oes de probabilidades discretas
(apitulo 5 Distribui,oes de probabilidades normals
Ed ,e 1naaa
1
Capitulo I
3l
~
]- - - -
Probabilidade
Onde estamos
Nos capftulos 1 e 2, voce aprendeu a coletar e descrever dados. Estando os dados coletados e descritos, voce
pode usar o resultado para escrever resu1nos, formar suas
conclusOes e tomar decislies. Por exemplo, no programa de
televisao americano Deni or 110 rltwl, os participantes jogam e
negociam para atingir um valor de ate S 1.000.000,00. Coletando e analisando osdados, voce pode determinar as chances de ganhar $ 1.000.000,00.
Cada jogo consiste de 26 malas lacradas contendo
quantias em d61ares variando de $ 0,1 a $ 1.000.000,00. Se.m
saber a quantia de cada mala, os participantes escolhcm
uma mala cada um, que continua selada ate o final do jogo.
A cada rodada, um numero pre-determinado de malas e
aberto revelando a quantia em cada uma delas. No final
de cada rodada, o #banqueiro1' oferece ao participante llllla
quantia em dinheiro baseada nas quantias das malas que
nao foram abertas, em troc:i da mala do participante. 0 partici pante pode aceitar a oferta do banqueiro e assim o jogo
termina ou pode continuar a pr6xima rodada. Seo participa1~te niio a.ceitar nenhuma oferta e todas as malas forem
abertas, entao o participante recebe o valor que esta na mala
escolhida no infcio do jogo.
pante contenha S 1.000.000,00 se a mala com essa quantia
ainda nao foi aberta.
Rodada
I
2
3
4
5
6
7
8
9
Total de malas
abertas
0
6
11
15 18 20 21 22 2J 24
Probabilidade
I
I
-151
-11I sI
26 20
I
6
-I
5
1
I
I
•I
3
2
Voce tamb~m pode encontrar a probabilidade de
um participante escolher a mala que contenha ao menos
$100.000,00 (sete malas t~m ao menos $100.000,00).
Probabilidade de ao menos $ 100.000,00 em uma mala
=
7
26
.. o.269.
Entiio, voce pode encontrar a probabilidade de um
participante escolher uma mala que contenha menos de
$100.000,00 subtraindo-se a probabilidade de escolher a
mala que contenha ao menos $ 100.000,00 de 1.
ProbabiJidade de menos de S100.000,00 em uma mala
= 1 - Probabilidade de ao menos S 100.000,00 na mala
Para onde vamos
No Capftulo 3, v~ aprendera como determinar a
probabilidade de que um evento ocorra. Por exemplo,
a prolJi1l>ilh.ladt!' de quc u µri111eira 111ah1 c.:st'Olhic.lu JX'IU par·
ticipante contenha $ 1.000.000,00 e 1/26, pois M 26 malas
no inicio do jogo e somente 1 mala contem S 1.000.000,00.
A tabela mostra a probabilidade de que a mala do partici-
7 19
= l - 26 = 26 ..o,731.
Entiio, a probabilidade de que um participante escolha
uma ma la que contenha ao menos S 100.000,00 ede 0,269, ou
26,9%. Aprobabilidade de que um participante escolha uma
mala que contenha menos que $ 100.000,00 e de aproximadamente 0,731 ou 73,1%.
t1,e1 1•11aaa
(opltulol
Ill
P1.Wili4adt 105
Conceitos basicos de probabilidade e contagem
0 que voce
deve aprender
[xperimentos de probabilidade --+ 0 principio fundamental da contaqem --+
Tipos dr prob•bilidade
> Cvrntos complrmrntarr>
>
AplicatOes das probabilidades
I
•
Experimentos de probabilidade
Quando meteorologistas dizem que Muma chance de 90% de chuva ou m<!dicos dizem que ha 35% de chance de sucesso em uma cirurgia, eles estiio afirmando
as possibilidades, ou probabilirlarles, de que um evcnto espccllico ocorra. Decis6es do
t ipo "v~ deveria estar jogando golfe" ou •vo~ deveria proceder com a cirurgia" silo
frequentemente baseadas nessas probabilidades. No caprtulo anterior, voce aprendeu
sobre o pa~I do ramo descritivo da estatistica. Em raz~ de a probabilidade ser a base
da estatistica inferencial, e necessario aprender sobre probabilidade antes de seguirmos para esse segundo ramo- a estatistica inferencial.
• Com> idenclfa o espa(O alll05tral de um expetimento de probaMidade e romo 1derlificar Mlltos simples.
• Como usar o prindpio fundamental da contagem para eoointrar o
ml~o de maneiras em que dois
ou mai$ eventos podem ocorrer.
• Como dtstingllir eotre probabilidade cklssica, probabilidade emplnca e pr~ sOOie«Na.
• Com> encoooat a probabidade
do~deumeveM
Um experimento de probabilidade euma ~. ou tentativa, pela qua! resUtados espeo'ficos
( contagens. meef¢es ou respostaS) silo obcidos. 0 resultado de uma unica tentaliva em um
experimento de probabilidade e um resultado. 0 grupo de todos os resuhados ~is de
um experimento de probabilidade eo espa~o amostral. Um evento eum subgrupo do espa~
amostral. Ele pode consistir de um ou mais resultados.
Exemplo
,TJ
Um experimento de probabilidadc consiste do lan\.)mento de uma moeda e entJo a rolagem de um dado de seis !ados. Determine o numero de resultados e identifique o esp.~ amostral.
Sol11fdo
Ha dois resultados possfveis quando lan~amos a moeda: uma cara (H) ou uma
coroa (r). Para cad a um desses, ha seis resultados possivcis quando jogamos o dado: 1,
Uma maneira de listar resultados para a~ que ocorrem em sequencia
diagrama de arvore.
2, 3, 4, 5 ou 6.
Oiagrama de arvore para o experimento com a moeda e o dado
l
I
2
.
3
I
I
4
I
5
I
2
6
I I I I I I
HI H2 HJ H4 H5 H6
Tl
I
3
I
I
4
I
s
I
6
I I I I I
T2 T3
~~~~-
Aqui temos um cxemplo simples do uso do termo experi·
111e1rto de probnbilidnrlt, tsprl\'O
nmostrn/, wmto e m111tndo.
Experimento de prob.'lbilidade:
l..an~amento de um dado
de seis lados.
Espa~ amostral:
11. 2. 3, 4, 5, 61
Evento:
Rolar um numero par,
12. 4, 6)
T
H
I
l'O'e e o pmdpio fundamet1al
de corugem para encontrar mai$
probabilidades.
Dica de estudo
ldentiflcando o espato amostral de um experimento de probabilidade
(; US.'f um
• Com> UScV um diapna de ar·
T4 TS T6
No diagrama de olrvore, o cspa~ amostral tem 12 resultados.
(Hl, H2. H3, H4, HS, H6, Tl, 1'7.. T3, 1'4, T5, T6J
Para cada e~rimento de prooobilidadc, delcrrninc o numero de resultados e
idcntifique o cspa~ amostral.
Resultado:
Rolar um 2 {21
Ed ,e 1naaa
1
106 •
[uatl1ti<Hplica&
Pesquisa
Deveria haver lin1ite no
nUmero de vezes que
um senador eteito?
e
Marque uma
das respostas:
Oconcordo
D Oiscordo
0Naosei
1. Um experimento de probabilidade oonsiste em gravar as respostas para a pesquisa
h esquerda e o genero da pESSO<l que esta respondendo.
2. Um experimento de probabilidade consiste em grava:r as respostas para a pesquisa a esquerda e o partido polftico (democrata, republicano ou outro) de quem
responde.
a. lniciar com um diagrama de ~rvore formando um ramo para cada resposta possivcl para a pesquisa.
b. No final de cad a ramo de respostasda pesquisa, desenhar um novo ramo para cada
resultado possfvel.
c. Encontrar o 111l111ero de n..-sullatfos e1n um espa~o amostral.
d. Listar o esJlll\O a111oslml.
R~.ptl::'ltJ un p.
A.l7
No restante deste capitulo, aprenderemos oomo calcu.lar a probabilidade ou possibilidade de um even to. Eventos&'lo frequentemente represenlados por letras maiusculas,
tais como A, Be C. Um evento que consista de um unico resultado echamado de even to
simples. No Exemplo I, o evento de "jogar caras e rolar um 3" e um evento simples e
pode ser representado como A= IH3J. Em contraste, o evento de "jogar caras e rolar um
rn1mero p.'U"' nao esimples, pois consiste de tres resultados possiveis B= (HZ 1-14, H6J.
Exemplo
m_
z~------------
!dentificando eventos simples
Determine o numero de resultados em cada evento. Eot~o, decida se cada eve11to
e simples ou nao. Explique seu raciocinio.
1. Para oontrole de qualidade, voce seledona aleatotiamente uma pe~a de maquina
de um lote que foi fabricado naquele dia. 0 evento A e selecionar uma pe<;a de
maquina com um defeito especifico.
2. Voce Inn.,.. um dado de seis lados. 0 evento 8 e rolnr pelo menos um 4.
Solupio
1. 0 evento A tem somente um resultado: escoU1er uma pe<a da maquina com um
defeito especifioo. Entao, o evento esimples.
2. 0 evento Btem tr~ resultados: rolar um 4, 5 ou 6. Devido ao fato de o evento ter
mais de um resultado, ele nilo esimples.
1. EventoC: a idade do estudanteesta entre 18e 23, inclusive.
2. Evento D: a idade do estudante e 20.
a. Determinar o numero de resultados em um evento.
b. Afirmarseoeventoe simp/esou nao.
Rt':li~t1t 1111 p.
I
A.li
0 principio fundamental da contagem
Em alguns casos, um evento pode ocorrer de diversas maneiras diferentes, o que
foz com que nao seja P'jtico escrever toclos os resultados. Quando isso ocorre, voce
Ed ,e 1naaa
1
C.pnulo~
pode confiar n<> princlpio fundamental da contagem. Ele pode ser usado para encontrar o numero de maneiras em que dois ou mais eventos podem ocorrer em sequencia.
incipio fundamental da contaqem
Se um evento pode ocorrer de m maneiras e um segundo evento pode ocorrer den maneiras,
o numero de maneiras que os dois event<>s podem ocorrer em sequencia em . n. Essa regra
pode ser expandida para qualquer numero de eventos oco<rendo em sequencia.
Em palavrasl o nUn\cro de n1anciras nas quais un1 evcnto pode ocorrer eni se-
e encontrado multiplicando-se o numero de maneiras nas quais um cvento
pode ocorre.r pelo numero de maneiras nas qua is o outro evento pode ocorrer.
qu~ncia
m
Exemplo
llsando o prindpio fundamental da contagem
Voe~ esta comprando um carro novo. Os fabricantes possiveis,
tan1anho dos car-
ros e as cores estao listados.
Fabricante: Ford, GM, Honda
'l'amanho: compacto, medio
Cor:
branco (W), vermelho (R), preto (B), verde (G)
De quantas maneiras diferentes voei! pode seledonar um fabricante, um tamanho e uma cor? Use um diagrama de arvore para checar seu resultado.
SoluftiO
Ha tres escolhas de fabricantes, dois tamanhos e quatro cores. Usando o principio fundamental da contagem, podemos conduir que o numero de maneiras para
selecionarmos um fabricante, um tamanho e uma core 3 · 2 · 4 = 24 maneiras.
Usando o diagrama de arvore, podemos ver por que ha 24 op~Oes.
Diagrama de arvore para sele~a o de carros
Ford
I
I
conlpacto
I
I
I
I
GM
I
n1~d i o
I
I
WRBGWRBG
.....
Tente
- °'·•
I
I
compacto
I
I
i
I
Honda
I
n1~dio
I
I
WRBGWRBG
I
I
compacto
I
I
I
I
I
01Cdio
I
I
WRBGWRBG
Suas escolhas agora induem um Toyot<1. um carro grande ou um carro bronze
OU cinza. De quantas maneiras diferentes voce pode selecionar um fabricante,
um tamanho e uma cor?
a. Encontre o 111il11ero de 111n11eirns que cada even to pode ocorrer.
b. Use o pri11cipiufr111da111e111al da cq111age111.
c. Use um diagmma de lfroore para checar seu resultado.
•
P1oba~ilidade
107
Ed ,e 1naaa
1
108 •
utotlstlcupllc<&
Exemplo [i.J
Usando oprinclpio fundamental da contagem
0 c6digo do :tc<H>so para o s-isto1na do scguran~a de urn carro consisto <.>tn quatro
digitos. Cada dfgito pode ser de Oa 9.
C6digo de acesso
DODD
12
dlgito
22
digito
3•
digito
digito
Quantos c6digos de acesso sao possiveis se:
1. Cada dfgito pode ser usado somente uma vez e nao pode ser repetido?
2. Cada dfgito pode ser repetido?
3. Cada dfgito pode ser repetido, mas o primeiro dfgito n!io pode ser 0 ou I?
SolllfliO
1. )a que cada dfgito poder ser usado somente uma vez, ha 10 escolhas para o primeiro dfgito, 9 restantes para o segundo digito, 8 restantes para o terceiro dfgito
e 7 escolhas para o quarto dlgito. Usando o princlpio Fundamental da conlagem,
podemos concluir que ha 10 · 9 · 8 · 7 = 5.040 possfveis c6digos de acesso.
2. Em virtude de cada dfgito poder ser repetido, ha 10 escolhas para cada um dos 4
dfgitos. Entiio, ha 10 · 10 · 10 · 10 = 10'
= 10.000possfveis c6digos de acesso.
3. Em razao de o primeiro dfgito nao poder serOou I, ha .8 escolhas para o primeiro
dfgito. Entilo, ha 10 escolhas para cada um dos tres dfgitos restantes. Entao ha
8 · 10 · 10 -10 = 8.000 possrveis c6digos de acesso.
Tente
Quantas placas de autom6vel voci! pode fonnar, se cada placa consiste de:
voc6
4
1. Seis (de 26) tetras alfabeticas, cada letra podendo ser repetida?
2. Seis (de 26) letras alfobeticas, cada letra niio podendo ser repetida?
3. Seis (de 26) letras alfabeticas, cada tetra podendo ser repetid<1, mas a primeira nao
pode ser A, B, C ou D?
a. lde11tifiq11e cada evento e o 111l111ero de 111m1eims como cada evento pode ocorrer.
b. Use o pri11cfpio f1111dn111e11tnl da a111tage111.
I
Tipos de probabilidade
0 metodo que voce ira utilizar para calcular uma probabilidade depende do tipo
de probabilidade. H~ tres tipos de probabilidade: probabilidade classica, probabilidade empfrica e probabilidade subjetiva. A probabilidade de que o evento E ocorrer;I e
cscrita como l'(E) e le-se "probabilidade de um evento £"_
Ed ,e 1naaa
1
(apflvlol
efinicao
•
Ptobabilidide
109
Dica de estudo
Probabilidade classica (ou te6rica) eusada quando cada resultado em um~ amostral e
igualmente possivel de ocorrer. Aprobabiridade cijssica para um evento Ee dada por:
Probabilidades podem ser escritas como fra<;<)es, decimais
ou pon:entagens. No Exenl·
Ntimero de resultados no evento E
P(f) = - - - - - - - - - - Ntimero total de resultados no espa<;o amostral
Exemplo
plo 5, as probabilidades ~o
escritas como frai;Qes e decimais, arredondados quando
necessario para t~ posi<;<)es.
Essa n•gra de nrredo11dn111e11to
sen! usada em todo o livro.
m
Encontrando probabilidades classicas
Voe~ joga um
dado de seis lados. Encontrc a probabilidade de cada evento.
1. Evento A: la~ar um 3
2. Evento 8: lan~ar um 7
3. Evento C: lan~ar um numero menor que 5
Sol11fiiO
Quando um dado de seis lados e lan~ado, um espa~o amostral consiste de seis rcsultados: 11, 2, 3, 4, 5, 61.
1. Ha um resultado no evento A= 131. Entao,
I
P(rolar um 3) = '6"'0,167.
2. Em razao de 7 nao estar no
Enhlo,
espa~o
amostral, nao ha resultados no evento 8.
P(rolar um 7) = Q= o.
6
3. Ha quatro resultados noeventoC = fl, 2, 3, 4J. Entao,
P(rolar um numero menorque 5)
Baralho padrao de cartas de jogo
=±=
3.;:::0,667.
6 3
Voe~ seleciona uma carta de um
baralho norma.1. Encontre a probabilidade de
cada evento.
1. Evento D: selecionar um sete de ouros
2. Evento E: selecionar um ouros
3. Evento F: selecionar u1n ouros, uma copas, uma espadas ou um paus
a. ldentificar o 111i111ero total de n'Sultndos no espa<;o amostra.I.
b. Encontrar o 111l111ero de resu//ndos no evento.
c. Usar a f6r11111ln tin prolmbilidnde cltfssim.
RespiJ.'lt1 "" p. A37
Quando um experimento e repetido muitas vezes, s~o formados padroes rcgulares. Esses padroes permitem encontrar a probabilidade empiric.'1. a qual pode ser
usada mesmo se cada resultado de um evento nao liver a mesma chance de ocorrcr.
Co1>as
Ouros
A¥
K¥
A+
K+
A
• A
•
K•
K•
Q•
Q•
Q•
Q•
J.
10•
J•
10+
10•
9¥
9+
s•
s•
9•
10•
9•
6+
1S•6 •• 61s•••
5.
5•
5 ...
3.
3•
2•
2•
7¥
6•
5¥
4¥
3¥
2•
7.
4.
2.
Espad<IS
J.
P~us
l•
4• 4•
3•
Ed ,e 1naaa
1
-
I
Retratando o mundo
Pareceque n3o importa oquao
estranho um evento possa pa·
r«er, alguem quer saber a probabilidade oom a qual ele ir~
ocorrer. A tabela a seguir lista
a probabilidade de que alguns
eventos intrigantes ooorram.
efinicao
Probabilidade empirica (ou estatistica) e baseada em obseiva~¢es obtidas de experimentos
de probabilidade. A probabilidade empirica de um evento £ea frequ~ncia relativa do evemo £.
P(£) = Frequencia do evemo E
Ftequencia total
(
=-
n
(Adliptl!dtl .tr lift: Ti1t• O:'flts. >
-
.....,,.--
.....
Ouais sao as~
~
Even to
Ser auditado
pt~olRS
Probabilidade
0,6%
Exemplo
m
Encontrando probabi!idades empiricas
Uma empresa est~ oonduzindo uma pesquisa on·l.ine com individuos seleciona·
dos aleatoriamente para determinar sc o congestionamento no transito eum problema
em sua oomunidade. Ate agora, 320 pessoas responderam a pesquisa. A distribui~o
de lrequencia mostra os resultados. Qual e a probabilidade de que a pr6xima pessoa
que responda a essa pesquisa diga que 0 oongestionamento e um problema serio em
sua co1nunidade?
.Escrever um
l>est·&tller da
lista do Nt'lo
York Tiuzes
Canharum
Oscar
·rersua
identidade
Resposta
0,0045
0,000087
~ um j>roblcma serio.
123
~ un\ probJcma nlodcrado.
ll5
Nao oum i>roblcma.
82
0,5%
'ff= 320
roubada
VcrumOVNI
0,000000.1
Qua/ des~ ewutos tem maior
chnuce de ()(,Orrer? En 111e11or?
NUmero de vezes,/
Sol11pio
0 evento e a resposta "E um problema serio''. A freq uencia desse evento e 123.
Em raz~o de o total das frequ@nciasser 320, a probabilidade empiric.1 de que a pr6xima
pessoa diga que o congestionamcnto eum problema serio em sua comunidade e:
P{problema serio) = ~~
= 0, 384.
;,·~
Para explorar mais este 16·
pico, veja 3.1 Atividades nap. 118.
Uma empresa de seguro determina que de cada 100 reclama~Oes. 4 sao frau·
dulentas. Qual ea probabilidade de que a proxima reclama~ao recebida pela
empresa seja fraudulenta?
a. /rfe11tifiq11e o evento. focontre a freq11e11cia do evento.
b. E11co11tre afrequf.ucin total para o e.<JN:ri111e11to.
c. Enoontre afi·•"llleucia relntioo do evento.
Rt":io11tt;t11 nn p. ;U7
Conforme aumentamos o ni1mero de vezes que um experimento de proba·
bil idade e repetido, a probabilidadc ernpirica (frequcncia relativa) de um evento
aproxima-se de sua probabilidade te6rica. lsso e conheddo como lei dos grandes
numeros.
Ed 1t 1naaa
1
· i dos grandes numeros
Probabilidade de
Confonne um experimento e repetido v.!rias vezes, a probabilidade empfrica de um evento se
aproxima da su.i probabilidade te6rica (reaQ.
Como exemplo dessa lei., suponha que voce queira determinar a probabilidade
de Jan~r un1a cara con1 un1a inoeda nao adulterada. Se vocC lanc;ar a moeda 10 vezes e
obter somente 3 caras, voce obtem a probabilidade empirica de 1~. Devido ao foto de
ter lan~ado a moeda apenas poucas vezes, sua probabilidade empirica nao erepresen·
tativa da probabilidade te6rica, que e Se, entretanto, voce lan\<lr a moeda milhares
de vezes, ent~o a lei dos grandes numeros lhe diz que a probabilidade empirica sen\
bem pr6xima aprobabilidade te6rica ou real.
0 diagrama de dispers.'io aesquerda mostra os resultados da simula~ao do lanc;;amento de uma moeda 150 ve?.es. Note que, conforme o numero de lan~amento aumenta, a probabilidade de lan~ar uma cara se toma cada vez ma.is pr6xima da proba·
biLidade te6rica de 0,5.
!.
Exemplo
Voce pesquisou uma amostra de 1.000 func.iom\rios de uma empresa e registrou a
idade de cada um. Os resultadossao mostrados aesquerda na distribuii;<io de frequen·
cia. Se voe~ selecionar aleatoriamente outro funciom\rio, qua! ea probabilidade de que
o fonciom\rio tenha entre 25 e 34 anos?
Solupio
0 evento eselecionar um funcion~rio que tenha entre 25 e 34 anos. Em sua pes·
quisa, a frequencia deste evento e 366. Como total das frequencias e 1.000, a probabilidade de selecionar um funcionMio entre as idades de 25 e 34 anos e:
366
J'(idades de 25 ate 34 anos)=
= 0,366.
1.000
ente
Encontre a probabilidade de que um funcionfuio escolhido aleatoriamente tenha entre 15 e 24 anos.
a. Encontre a freqm!trcin do evento.
b. Encontre o total de freq11e11cins.
c. Encontre afreq111!11cin relntiva do evento.
Rf:5pp;;tn '"' 11· A37
0 terceiro tipo de probabilidade ea probabilidade subjetiva. As probabilidades
s.ubjelivas resultam da intui~ao, de suposio;Oes fundamentadas e estimativas. Por exem·
plo, dada a saude de um paciente ea extensilo dos ferimentos, um medico pode sentir
que o paciente tem 90% de chance de recupera~.l.o. Ou um analista de neg6cios pode
prever que a d1ance dos funcion~rios de certa empresa entrarem em greve e de 0,25.
Exemplo
~
cara
~~1·
0.8 •
~ (),1
Mt _
S o.s - \{"t/!'-11111!1'!1.twa""""'u
F!"
."llb"-'!'"1!1
. __
.._
..~ ~~
0.2
0.1
30
(,()
90
120
150
NUmcro de l;u~~unentos
m
Usando a distribui,ao de frequencia para encontrar probabilidades
voc6
lan~ar uma
00
Classificando tipos de probabilidade
Classifique cada afirma~ao como um exemplo de probabilidade cl~ssica, empi·
rica ou subjetiva.
liilade dos
funcioni.rios
Freqaencia,f
15a 24
54
25a34
366
J5a44
45a54
233
180
55a64
125
Acima de 65 anos
42
21 = 1.000
Ed ,e 1naaa
1
11 Z •
[$1'1llli<.,pllcada
1. A probabilidade de que voe~ se casanl aos 30 anos ede 0,5.
2. A probabilidade de que um e)eitor escolhido aleatoriamente ir~ votar em um repu·
blicanoede0,45.
3. A probabilidade de ganhar na loteria de bilhete de 1.CXX> com um bilhete ede 1 •
1.000
So/uplo
1. Essa probabilidade e mais baseada em uma suposi~ao fundamentada. ~um exem-
plo de probabilidade subjetiva.
2. Essa afirma~ao e mais prov~vel de ter sido baseada em uma pesquisa de uma
amostra de eleitores, entao eum exemplo de probabilidade empfrica.
3. Porque voci! sabe o mlmerode resultados e cada um eigualmente provavel, e um
exemplo de probabilidade dassica.
Tente
vocf
8
Baseado em contagens anteriores, a probabilidade de que um salm~o passe
com sucesso atraves de uma barragem no rio Columbia ede 0,85. Essa afirma·
~o eum exemplo de probabilidade classica, empfrica ou subjetiva? (foritc Army
Cc,rp:o rif EJ1gi1k't'1:..)
a. ldentifique o evmto.
b. Decida sea probabilidade edeter111i11ndn sabendo-se todos os resultados possiveis,
se a probabilidade c t'Slimndn a partir de resultados de um experimento ou se a
probabilidade e uma s11posi(t!Ofi111dn111e11tndn.
c. Escreva uma c1111c/11slfo.
R~"t'IJt'!>la un I'·
Ali
Uma probabilidade nao pode ser negativa ou maior que 1. Ent3o, a probabilida·
de de um evento Ee sempre entre 0 e 1, inclusive, conforme a regra a seguir.
egra da amplitude das probabilidades
A probabmdade de um evento Eesta entre o e I. Ou seja, o ~ P(t:) ~ I.
Se a probabilidade de um evento for 1, o evento ecerto de ocorrer. Se a probabi·
lidade de um evento e0, o evento eimpossivel. Uma probabilidade de 0.5 indica que
o evento tem uma chance equilibrada de ocorrer.
0 grafico a seguir mostra a amplitude possfvel de probabilidades e seus signi·
ficados.
Provi.'iV<:I
lmpro\'~vcl
0
Ccn:ii
0,5
Um evento que ocorra com probabilidade de 0,5 ou menos e tipicamenle considerado incomum. Eventos incomuns s.io altamente improvaveis de ocorrer. Mais
adiante neste livro, voce inl identificar eventos incomuns quando estudar estatistica
inferencial.
I
{ventos complementares
Asoma das probabilidades de todos os resultados em um espa{O amostral e1 ou
100%. Um resultado importante desse fato e que, se s.1bemos a probabilidade de um
even to£, podemos encontrar a probabilidade de um ro111ple111e11lo do eve11to E.
Ed ,e 1naaa
1
u pf!Ulo l
•
113
Piobolilidode
efinicao
O complemento do evento Eeo grupo de todos os resultados em um esp3'Q amostral que
nAo esia induido no evento E. O complemento do evemo E edenotado por E' e elido como
•E linha~
E'
E
6
5
Por exemplo, se voce jogar um dado e deixar Eser o evento "o numero que seja
ao menos 5", enti1o o complemento de E. eo evento "numero que seja menor que 5".
Em simbolos, E = IS, 61 e E' =11, 2, 3, 41.
Usando a definic;iio do complemento de um evento e o futo de a soma das pro·
babilidades de todos os resultados ser 1, podemos detenninar as f6rmulas a seguir:
P(E) + P(E.') = 1
P(E) = 1 - P(E')
P(E') = 1 - 1'(£)
0 diagrama de Venn ilustra a relac;iio entre o espa~ amostral, um evento Ee seu
complemento E'.
Exemplo [91..:.
9. . . . 1 - - - - - - - - - - - Encontrando a probabilidade de complemento de um evento
Use a distribui~ao de frequ~ncia no Exemplo 7 para encontrar a probabilidade de
escolher aleatoriamente um funcion~rio que nao tenha entre 25 e 34 anos.
Sol11fiio
Com base no Exemplo 7, sabemos que
366
P(idade cntre 25 e 34 anos) =
1.000
= 0,366.
Entiio, a probabilidade de que ltm funcio11<irio nao tenha entre 25 e 34 anos ~ de
366
P(idade que nao tenha entre 25 e 34 anos) = 11.000
634
=-1.000
= 0,634.
Use a distribui~ao de frequ~ncia no Exemplo 7 para encontrar a probabilidade
de se C$COlher aleatoriamente um funcion~rio que nao tenha entre 45 e 54 anos.
a. £11co11tre a probabilidade de se escolher aleatoriamente um funcionario que tenha
e ntre 45 e 54 anos.
b. S11btrnia a prob.1bilidade resultante de 1.
c. Apresente a probabilidade como frac;ao e decimal.
I Aplicaciies das probabilidades
Exemplo [iOJ
tlsando um diagrama de arvore
Um experimento de probabilidade consiste em lan~ar uma moeda e girar a ro·
!eta mostrada a seguir. A roleta tem a mesma probabilidade de parar em cada um dos
numeros. Use um diagrama de arvore para encontrar a probabilidade de cada evento.
2
3
4
A Mea do retangulo represe.nta
a probabilidade total do espa~o
amostral (1 = 100%). A area do
drcu lo representa a probabilida·
de d<> evento E. e a area fora do
drculo representa a probabilida·
de do complemento do evento E.
Ed ,e 1naaa
1
114 •
CitatMie>aplkad.
1. Evento A: lanr;ar uma coroa e girar um numero fmpar.
2. Evento 8: lani;ar uma cara ou girar um numero maior que 3.
Soluftio
Com base nodiagrama de ~rvore b esquerda, vocil pode ver que h~ 16 resultados.
1. Ha quatro resultados noevento A = I'll, T3, TS, T71. En tao,
.±.=.!.4 = 0,25.
P(lan<;ar uma coroa e girar um numero impar) =
16
Diagrama de arvore para o
experimento da moeda e roleta
2. Ha 13 resultados no evento B = IHI, H2, H3, H4, HS, H6, H7, HS, T4, TS, T6, '17,
TSI. Entilo,
1-Hl
P(lan~1r uma cara ou girar um numero maior que 3) = 13 ,,,0,813 .
2-H2
3-H3
4-H4
H
16
!::
Encontrea probabilidade de larn;ar uma coroa e girar um numero menorque6.
6-H6
10
a. Determine o 111l111ero totnl de resultados.
7 - li7
b. Encontre o numero de resultados no eve11to.
8-HS
c. Encontre a probabilidnde do eve11to.
5-H5
I-Tl
R~io::ta 111111.
Al7
2-n
3-T3
T
4 - T4
s-Ts
G-T6
1-n
s-Ts
Exemplo 0
_..110
.._....__ _ _ _ _ _ _ _ _ __
Usando o principio fundamental da contaqem
Seu numero de identificar;~o na faculdade consiste de 8 digitos. Cada dfgito pode
ser 0 ate 9 e cada digito pode ser repetido. Quale a probabilldade de obter seu m\mero
de identifica~o quando geramos aleatoriamente oito digitos?
SoluftiO
Uma vez que cada dlgito pode ser repetido, M 10 escolhas para cada um dos 8
digitos. Entao, usando o prindpio fundamental da contagem, ha 10 · 10 · JO· 10 · 10 ·
10 · 10 · 10 = 10' = 100.000.000 possfveis mlmeros de identificai;no.
Mas somente um desses numeros corresponde ao seu numero de identifica\ao.
Entao, a probabitidade de gerar aleatoriamenle 8 dfgitos e obter seu m1mero de identifica~iio
e1/100.000.000.
Seu numero de identifica~ao consiste de 9 digitos. Os dois primeiros dfgitos de
vocf cada numero serao os dois tiltimos digitos do seu anode gradua~o. Os outros
11 dfgitos podem ser de 0 a 9 e cada dlgito pode ser repetido. Qual e a probabilidade de voci! obter seu numero de idenlifica(aO quando geramos aleatoriamente os
outros sete dfgitos?
Tente
a. Encontre o 111l111ero totnl de posslveis numeros de idenlifica~ao. Assuma que voce
ira se graduar em 2012.
b. Encontre a protmbilidnde de gerar aleatoriamentc seu ntimero de identifica~o.
Re:o11(t<lf1 IUI P· iUi
Ed ,e 1naaa
1
(opflolo3
Ill
Piobabili.S.de
115
Exercicios
Construindo habilidades basicas e conceitos
I. Oe1e1mine quais dos nume<os a segui1n.lo poderiam 1ep<esen1ar
a probabilidade de um evento. fJcplique seu 1aciocinio.
(a) O
(b) 0,001
(c) - I
(d) 50%
(e) 745/1.262
(f) 45/31
2. Exprique p0< que a frase a seguir es1a incomeia:
A probabilidade de chuvas amanh.l 150%.
e
3. Quando usamos o principio fundamental da contagem, o que
estamos contando?
4. Use suas pr6prias palavras para desaever a lei dos grandes nu·
meros. De um exemplo.
tdentifique um espa~o amostral
Nos exerdcios de 5 a 8, idenlifique o espa~o amosuat do ex·
perimento de probabilidade e determine o numero de cesultados no
espaeo amostral Faca um <fragrama de atvO<e se for apl'Opriado.
5. Supondo a inicial do nome do meio de um es1udante.
6.
•
n!o pode se< zero e o ultimo dlgito deve ser Cmpar. Quantos
c6digos diferentes est<'lo disponiveis?
16. Teste de verdadeiro OU !also Assumindo que nao M pergun·
tas deixadas sem resposia, de quantas maneiras um teste de ver·
dadeiro ou falso pode ser respondido?
Verdadeiro ou falso
Nos exercfcios de 17 a 20, detemiine sea afinna~o e verdadeira
ou falsa. Se for falsa, reesaeva-a de 'forma que seja verdadeira.
17. Se voce rolar um dado de seis lados seis vezes. voce ira tirar um
numero pqr pelo menos uma vez.
18. Voce tira cara ou coroa com uma moeda nao adulterada nove
vezes e da coroa a cada vez. A probabilidade de que de cara na
decima vez emaioc do que 0,5.
19. Uma probabilidade de 0,25 in&ca um evento incomum.
20. Se um evemo esi<l quase ceno para acontecer, seu complemento
sera um evento incomum.
Probabilidades celacionadas
Nos exe1dcios de 21 a 24, relacione o evento com sua probal»-
lidade.
l.Q~ndo tres moedas.
7. Oeterminando o tipo sanguineo de uma pessoa (A. B, AB. 0) e o
falor Rh (positivo ou negative).
21.
8. Jogando um par de dados de seis lados.
22.
Reconhecendo eventos simples
Nos exe<cidos de 9 a 12. determine o numero de resultados de
cada evento. EntJo. decida se o evento e um evento simples ou nao.
Exp!ique seu raciocillio.
9. Um oomputad-0< e usado para selecionar aleatoriamente um numero entre I e 2.000. O evento A e selecionar 359.
Io. Um computador e usado para selecionar aleatoriamenie um
numero entre I e 2.000. 0 evento 8 selecionar um OOmerO
menor que 200.
11. Voce seleciona aleatoriamenle uma carta de um baralho normal.
0 evenlo A e selecionar um cei.
12 Voce seleciona uma carta de um baralho normal. 0 evento 8 e
selecionar um quauo de copas.
13. Vagas de emprego Uma empresa de seguros es1a conua1ando para duas posi~ees: atu.lrio e perito em seguros. De quamas
maneiras essas v.Jgas podem ser preenchidas se M 9 pessoas
se candidatando para a vaga de a!Wrio e 15 pessoas para a vaga
de perito?
14. Menu Um menu tern tres o~ees de salada, seis pratos prin·
cipais e quatro sobremesas. Quantas relei¢es est.lo disponiveis se voce selecionar uma salada, um prato principal e uma
sobremesa?
Is. Sistema de seguranca O c6digo de acesso para o sistema de
seguranca de um cano collSiste de 4 d[gitos. o primeiro digito
e
23.
24.
(a) 0,95
(b) 0,05
(c) 0,25
(d) 0
Voce joga uma moeda e seleciona alea1oriameite um niJme<o
de Oa 9. Qual a probabilidade de obte< coroa e selecio.1ar um 3?
Um gerador de nume<oS aleat6rios e usado para selecionar um
numero de I a 100. Qual e a probabilidade de selecionar
um numero 153?
Um participante de um programa de TV deve selecionar aleatoiiamente uma porta. Uma porta dobra seu premio em dinhei10
enquanto as outras tres o deiiam falido. Qual e a probabifidade
de que ele escolha a porta que dobre o premio?
Sabemos que cinco de 100 DVD ~ em um inventi!tio tern
defeitos. Qual e a probabifidade de que voce seleciooe aleatoriameme um item que nao tenha defeito?
Classificando os tipos de probabilidade
Nos exercicios 25 e 26, da-ssifique a afirma~ao como um
exemplo de probabilidade dassica, empfrica ou subjetiva. Explique
seu radoclnio.
25. De acordo com os registros <le uma empresa, a probabilidade
de que uma maquina de lavat precise de reparos durante um
pellodo de 6 anos e 0. 10.
26. A probabilidade de esco!het 6 numeros de I a 40 que sejam os seis numeros soneados na lotecia e de 1/3.838.380 •
0,00000026.
Encontrando probabilidades
Nos exerdcios de 27 a 30, considere <ma empresa que seleciona
funcionarios aleatoriamente para um teste de uso de drogas. Aell1j)(esa usa um computador paraselecioMr aleatoriamente os numeros dos
funcionarios. que vao de I a 6.296.
Ed ,e 1naaa
1
116 •
" "lflli<..~i(odl
27. Encontre a prnbabilidade de selecionar um numero menor que
1.000.
Dia 1
~tecionai
Oia3
C-c
28. Enc:ontre a probabilidade de seleciollar um numero maior que
1.000.
29. Encontre a probabi&dade de
Oia 2
•
urn nOrnero divisl'vel por
1.000.
30. Enc:ontre a probabilidade de selecionar um numero que nao e
divisivel por l.000.
•
sss
SSR
SRS
• SRR
r+-C :::
Experimento de probabilidades
Nos exercicios de 31 a 34, um experime.1to de probabilidade con·
siste em rolarum dado de seis !ados egicara roleta mostrada. Aroleta tem
a mesma probabilidade de parar em cada quadrante {I, II, Ill e IV). Use
um diagrama de ANore pala encontrar a probabilidade de cada evenlo.
•t_.__J'I"'
RRS
I_.
RRR
on<le S =sol (sun) e R = chuva (rain)
37. Liste o espa~o amostral
38. Liste o(s) resultado(s) do evento ira chover nos 1res dias."
39. liste o(s) resultado(s) do e11ento "irA chover exatamente em um
dia~
IV
ID
3l. E11ento A: rolar um 5 ea roleta cair no quadrante Ill.
32. E11ento 8 : rolar um numero impa1 ea roleta parar no quadrante rv.
33. E111?nto C: rolar um numero men0< que 6 e a roleta parar no
quadrame IV.
34. E111?nto O: nae rolar um riirneio menor que 6 e a roleta parar no
quadrante I.
35. Sistema de seguranca 0 c6digo de acesso da porta de uma
garagem consiste de tres dfgitos. Cada dfgito pode ser de oa 9 e
cada digito pode ser repetido.
(a) Encontrar o nilmero de c6digos de acesso possi11eis.
(b) Quale a probabi idade de selecio.iar aleatoriameme o c6di·
go correto?
(c) Qual ea probabilidade de nao selecionar o c6digo de acesso
correto?
36. Sistema de seguranca Um c6digo de acesso consiste de uma
lctro
>cg\J~
de quotso digito>. Q\<olqucr lciro podc $e< u..do, o
primeiro digito nao pode ser oe ultimo digito deve ser par.
(a) Encontre o numero de c6digos de acesso posslveis.
(b) Qual ea probabi idade de selecionar aleatoriamente o c6di·
go correto na primeira tentativa?
(c) Qual ea probabifidade de nae selecionar o c6digo oorreto na
primeira tentativa?
Usando e interpretando conceitos
Seco ou molhado?
voe~ es!A planejando uma viagem de tres dias para Seattle, Wa·
shington. em outubro. Use o diagrama de A1Vore a seguir para respon·
det As questOes.
40. Liste o(s) resultado(s) do e11ento "ira chover pelo menos um dia."
41. Dias de sol e chuva Voce esl<l p!anejando uma viagem de qua·
tro dias para Seattle, Washington, .em outullfo.
(a) Faca um diagrama de al\'Ofe dos dias de sol e chuva para
sua viagem.
(b) Uste o espa~o amostral.
(c) Uste o(s) resultado{s) para o e11ento 'Ira chOOJer exatamente
emumda."
42. Fornecedores de pecas de maquinas Sua empresa compra
~s de tres fomecedores difererntes. Fa~ um <igrama de arvore
que mostre os tres fomecede<es e seas pa~es que eles fome·
cem tern defeitos
Analise gratica
Nos exercicios 43 e 44, use o diagrama para responder apergunta.
43. Qual ~a probabili<lade de que um eleitos na Pensilvania vote na
elei~o governamental de 20067 (Fonre: Penfl$'fi•t>nlo Deportment
olSrare.)
Ccn:ade
Ccrca de
4.092.652
4.090.224
0tar:am "" elei~"'
governan1enu\I
dos etcirorcs
da Pf.!11sifv5.uia
em2006
n·a Pcnsilv{lnia
regiscrJdos
nao vo1aran1
44. Qual a probabir!dade de que um eleitor escolhi<!o aleatoriamente
nao tenha VOOldo em um can<fod.ato demoaata nas elei¢es de
2004? (ronte: FedercJI Ele<lion C""""""°")
Cereo de
53254.474
votnran1 no
panido
Demoorata
Ccrcadc
61.159.368
vo«ara1n en1
t.>utro partido
Ed ,e 1naaa
1
(ap!tulo3
Usando a distribui~ao de frequ~ncia para encontrar
probabilidades
Jdade dos eleitores
Frequencia (em milboes)
18 a 20 anos
5,$
21a24 anos
8.5
25 a 34 anos
21,7
35 o <14 anos
27,7
45 a 64 anos
51,7
Acin1a de 65 anos
26,7
Usando um grafico de barras para encontrar
probabilidades
Nosexerclciosde49a52,useograficodebalrasaseguir,quemostra
o maior nfvel educaciooal atirigido pelos funcion.lrios de uma empresa.
Nivel educational
8
:;;c
·~
2
-8
=~
10
117
RW
R
w
Encontre a probabilidade de que um eleitOf, escolhido aleatoria·
mente, esteja
45. entre 21 e 24 anos.
46. entre 35 e 44 anos.
47. nJo esteja entre 18 e 20 anos.
48. nao esteja entre 25 e 34 anos.
Plobabilidadt
w
R
Nos exeidcios de 45 a 48, use a diStlibuii;Ao de hequencia, que
mosira o numero de eleit0<es americanos (em milhees), de ac0<do
c.om a idade (fon(c~ u.s. Burcav ol ~ti$.)
•
WR
WW
54. Genetica H.l seis tipos basicos de co!ooi;Ao em cAes da raca
Colie registrados: negro (SSmm}, tricolor (ssmm), negro trifatorial
(Ssmm}, azul merle (~m}, negro merle (SSMm) e negro merle
trilatorial (SsMm), 0 quodrodo de Punnet a seguir mostra as colora~Oes possf\'eiS do filhote de um Collie negro merle trifatorial
com um Colie negro tnfatorial Q\Jal a probabifidade de que o
tilhote tenha a mesma cor de um de seus pais?
Pais
Ssmm eSsMm
SM
Sm
Sm
ss.wn
SSmm
Sm
SSMm
SSmm
sm
SsMm
Ss1nm
sm
SsMm
Ssfnm
sM
sm
Sm
SsMm
S"11m
Sm
SsMm
Ssnlm
sm
sslNn
ssmm
sm
ssMm
ssmm
I
33- -
21
--
-
18 - -
e ·~
.,~ 10
7--
"' '
-
q
f
2-
~
~
:;;
Nivcl cducacional mai.o; :Llto
Encontre a probabifidade de que o nive! educacional mais aho
atingido fXl' um funcionario escolhido aleatO<lamente seja:
49. Ph.O.
so. Associado.
51. Mestrado.
52. Bacharelado.
53. Genetica Quando duas bocas·de-leao (tipo de H0<) wr de rosa
(Fr!N} sao cnnadas, ha quauo 1esul1ados igualmente posslveis
para a composi<;iio ge~tica dos produtos: vermelho (RR), 1osa
(Fr!N}, rosa (WR) e branco ~- Se duas bocas-de-leao rosas
l0<em cruzadas, qua! a probabilidade de que o produto seja (a}
rosa, (b) \<ermelho e (c) branco?
I
Usando um grafico de pizza para encontrar
probabilidades
Nos exercicios cle 55 a 58, use o gralico de pizza a seguir, que
mostra o nume10 de trabalhadores: (em milhares) da industria nos
Estados Unidos. (Fonre: us. B""® of Labor Src!J!1.a.)
Trabalhadores (em milhares) da
industria nos Estados Unidos
Agricuhurn.
silvicuhura.
pc.sea c c.ac;a
Scrviivos
113.409
2.206
.~---1--'"anufiuu m
Mincra~ao c
con s1 ru~fio
12.436
Ed ,e 1naaa
1
l>tal~tic"pficoda
118 •
55. Encontre a probabilidade de que o trabalhador escolhido aleato·
riamente este;a empregado na indUstria de servi,os.
56. Encootre a probabilidade de que o traballlador escolhido aleato·
riamente esteia empregado na indUstric de manufatura.
57. Encontre a prObat>lidade de que o uab.llhador escolhidO aleato·
riamente nAo esteja empregado na indusuia de servi~.
58. Encontre a probabilidade de que o trabalhador escolhido aleato·
riamente nao esteia emp<egado na area de agricultura, sillli<ul!lJra,
pesca e ca<;a.
' l59. Um diagrama de ramo-e-folhas mosua o numero de touchdowns
(gols) marcados pelos times de futebol americano da primeila
divisAo. Se um rime !of selecionado aleatociamente, encontre a
probabifidade de que o time tenha marcado (a) pelo menos 31
touchdowns, (b) entre 40 e 50 (lncl!Mre) rouchdowns e (c) mais
do que 69 touchdowns.
Chave: 1115 = 15
555788
2 011 11 223445566777888999
3 001I1 11 222222233344445555566777888999
4 000 11 2233344445555666677888889
5 00233445555799
6 011 13358
7
8 9
60. Pre~os individuais de a,ees uma ~individual eselecio11a·
da aleatociamente de um portf6rio representado po< um grafico
de caixa-e·bigodes. Encontre a probabilidade de que o preco da
a~oseja (a) menorqueS 21, (b) entre S21 eS SO e(c) S30
ou mais.
I:?
30
?I
*'
"'
..
Expandindo conceitos
63. Jogar um par de dados
!ados e registra a soma.
Voce joga um par de dados de seis
(a) Liste todas as somas possiveis e dete<mine a probabilidade
de jogar cada uma das somacs.
(b) Use a ferramenta tecnol6gica para simular a jogada de um
par de dados e registrar a soma 100 vezes. Fa<;a as marcas
clas 100 somas e use esses •esullados para r.star a probabi·
lidade de jogar cada soma.
(c) Compare as probabifidades da pane (a) com as probabilidades da pane (b). EJcplique quaisquer similaridades ou
diferen<;as.
Chances
Nos exe<clcios de 64 a 67, use a informai;ao a seguir. Nos jogos de azar, as possibilidades de ganhar 500 frequentemente escritas
em chances em vez de probabilidades. As chances de ganhos sao
representadas pela raz3o do nume<o de resultados positivos pelo
nume<o de resultados negativo~ As chances de derrota 500 repre·
sentadas pela razao do rn)mero de restdtados negativos pelo numero
de resuftados positivos. Por exemplo, se o numero de sucessos (resultados positivos) e 2 e o numero de pe<das (resultados negativos)
e3, as chances de ganhos e 2 : 3 (le·se ' 2 para 3") ou ~· (Note: a
probabilidade de sucesso e ~.)
64. Uma industric de bebidas colocou pecas de jogo debaixo das
tampiilhas de suas bebidas e afmna que uma em cada seis pecas
do jogo epremiada. As regras oficiaisdo concurso afirmam que as
chances de ganhar o premio sao l : 6. A afir~o 'uma em cada
seis pecas ganhara o premio" e correta? Por que?
100
Reda~o
Nos exerdcios 60 e 61, est1eva uma afirm~ que represeme o
connplemento da probabifidade dada.
Gt. A probabilid<lde de selecionar aleatoriamente um• J>P.SSO<I que
beba cha e que tenha nivd universit~rio (assuma que voce te·
nha que selecionar da popula,ao de todas as pessoas que be·
bemcM).
iii
62. A probabilidade de selecionar aleatoriamente um fumante ~
mAe tambem seja fumame (assuma que voce tenha que selecionar da popula~o de todos os fumantes).
65. As chances de um evento ocorrer sao de 4 : 5. Enconue (a) a
probabifldade de que o evento ocorra e (b) a probabilidade de
que o evento nAo ocorra.
66. Uma carta eescolhida ale.itoriamente de um baralho normal de
52 carta~ Encontre as chances de que esta carta seja de espadas.
67. Uma carta e selecionada aleatoriamente de um baralho normal
de 52 canas. EnconiJe a probabilidade de que esta nao seja de
espadas.
At ividades
Simu!ando o mercado de aciies
Applet O applet Simulondo o mercado de o~cies pe<·
mite que voce investigue a probabifid.Jde de que o mercado de
a¢es suba em certo dia. Ografico no canto superior esquerdo do
quadro a seguir mosua a probabilid.ide associada com cada resul·
tado. l'leste caso, o me<cado tern 50% de chances de subir em
ceno dia. Quando dicamos em SIMULATE, sao simulados resulta·
dos para n dias. Os resultados das simula¢es sao mostrados no
grafr<:o de frequencia. Se checarmos a o~o animada, a tela mos·
vara cada resultado descendo para o grafico de frequencia confo«
me a aflima~o e executada. Para perar a anin1a9Jo, desmarque
Ed ,e 1naaa
1
(•pfllllo 3
•
Probibifid•de
119
Simub1e
I
n•
v'
FAnlm3te
Resc:t
a OW!<> de anima(<lo. Os resuliados individuais ~o most<ados
no campo de texto aextrema direita do applet O pooto ceouat
mostra em vermelho as propor¢es aaimuladas de ••ezes que o
mercado sobe. A linha verde no grafrco rellete a probabiridade real
de o mercado subi<. Cooforme o e,.,erimento e conduzido mais
e mais, a propor(<lo acumulada de-e conve<gir para o valor real.
Explore
Passo 1 ESPecifique um val0< para n
Passo 2 Oique SIMUlATE quatro vezes
Passo J Oique RESET
ID
Passo 4 Especifique outro valor para n
Passo 5 dique SIMUlATE
Condusiies
Execute a simufa(<lo usando n ; I sem dicar em RESET.
Quantos dias levaram ate que o mercado subisse por tr~
dias seg<idos? Quantos dias levaram ate que o mercado ca·
lsse por tr~ dias seg<Jidos?
2. Exoone o applet para simular a ativirude do mercado de
ac6es nos Ultimos 35 dias ilteis. Eocoot<e a probabilidade
empirica de qoe omeraido suba no 36' dia.
1.
Probabilidade condicional ea regrade
multiplica,ao
Probabilidadp condicional
--4
[v•ntos dPpPnd•ntPs • ind•p•nd•ntps -> RPgra
de multiplica(ao
I Probabilidade condicional
Nesta ~o, voce aprender~ como encontrar a probabilidade de dois eventos
ocorrerem em sequenda. Antes que vore encontre essa probabifidade, entretanto, voce
deve saber como encontrar probabilidades condicionais.
efinicao
Uma probabifidade condicional ea probabilidade de um evento ocorrer, dado que outro even·
to j~ tenha ocorrido. A probabilidade concficional de o evento 8 ocorrer, dado que o evento A
tenha ooorrido, eder.otada por P(B I A) e le-se "probabilidade de 8, dado A".
0 que voce
deve aprender
• Como eocontrar a prooobilidade
de um evento dado que outro
evento tenha ocorriOO.
• Como distinguir eotre eventos dependeotes eindepeodentes.
• Como usar a regra de rooltiplica(i!O para eocontrar a prooobilidade de do~ eventos ocorrerem em
seq~ocia.
• Como usar a regra da rooltipli<a(i!O para encontm probdbilidades
condicionais.
Ed ,e 1naaa
1
120 •
fatatlslicaapli!4d•
Exemplo
m
Encontrando probabilidades condicionais
Gene
1. Ouas cart01s .silo selecjonadas em sequencia de um baralho normal. Encontre
Gene
a probabilidade de que a segunda carta seja uma dama, dado que a primeira
carta stja um rei. (Assuma que o rei esta sem reposi,~o.}
2. A tabela aesquerda mostra os resultados de um estudo no qual os pesquisado·
res cxaminaram o QI de uma crian~a ca presen~ de um gene especifico nela.
Encontre a probabilidade de que a crian1;a tenha um QI alto, dado que a crian~a
tenha o gene. IFt>Jttt: 11>y<111.,\-.g1e111 Sa(n<(.)
nio
Total
presenh> present•
Qlalto
QI normal
33
19
II
52
39
Total
72
30
102
50
So/uplo
1. Em razao de a primeira carta serum rei e nao ser reposta, o baralho restante tem 51
cartas, 4 das quais sao damas. Entilo,
Espa~o amostral
Gene
presente
QI alfo
33
Qlnormal
39
Total
72
PCBIA> =
4
51
.. o,on.
Entao, a probabilidade de que a segunda carta seja uma dama, dado que a pri·
meira seja um rei, ede aproximadamente 0,078.
2. Ha 72 crian~s que t~m o gene. Entao, o espa~o amostral consiste dessas 72 crian.;as, conforme mostrado aesquerda. Dessas, 33 tern QI alto. Entao,
33
PCBIA) = 72 ">0,458.
Entao, a probabilidade de que a criano;a tenha um QI alto, dado que ela tenha o
gene, e de 0,458.
Encontre a probabilidade de que a crian~a n.'io tenha o gene.
vocf 2. Encontre a probabilidade de que a crian~a n.io tenha o gene, dado que a
crian.;a tenha QI normal.
a. Encontre o 111l111ero deres11ltados no evento e no espa~ amostral.
I>. Dividn o mimero de resultados no evento pelo numero de resultados no espa~
amostral.
Tente 1.
R6pct::0Ji1 1111 p. AJl
I
Eventos dependentes e independentes
Em alguns experimentos, um evento nao afeta a probabilidade de outro. Por
exemplo, se voce jogar um dado e uma moeda, o resultado do jogo de dados nao afeta
a probabilidade de a moeda cair em cara. Esses dois eventos s.io indcpendentes. A
questao da independi!ncia de dois ou mais eventos e importante para pesquisadores
em ~reas como marketing, medicina e psicologia. Voce pode usar probabilidades con·
dicionais para detemunar se os eventos s.'io independentes.
efinicao
Dois evemos sao independentes se a ocorrencia de urn deles nao afeta a p<obabilidade de
oc01rencia do outro evento. Oois eventos A e B s~o independentes se:
P(,81 A) =P(B) ou se P(,A 18) =P(,A).
Eventcs que nao sac independentes sac dependentes.
Edifii,IJd§ d
Piob,,.lliolodt
121
Retratando o mundo
l
("Pf!Vlol
Para dctem1inar se A e 8 s."1 indcpendcntcs, primcirocalcule P(B), a probabilidade
do evento 6. Ent5o, calcule P(B I A), a probabilidade de 8, dado A. Se os valores forem
iguais, os cventos s30 indcp<.'11dcntcs. Se P(8)" P(B I A), entao A e 8 sao dependentes.
Exemplo I Z]
Classificando eventos como dependentes ou independentes
Droda se os eventos s30 dependentes ou independentes.
1. Selecionar um rci de um baralho (A) sem reposiy\o e enlao selecionar uma dama
do baralho (8).
2. )<>gar uma moeda e tirar cara (A) e ent.lo jogar um dado de seis !ados e lirar um 6 (B)
3- Oirigir a mais de 85 mil has por hora (A) e, ent.lo, sofrer um acidente de cam> (8).
SolHrtio
1. P(B I A) =
-!J e P(8) - fi· A ocorr~ncfa de II muda a probabilidade da ocorrencia
de 8, ent5o os cvcnlos s."1 dependentes.
2. P(B I A) =
ke P<B 111) .. i. A ocor~ncia de II nao muda a probabilidade da ocor·
os cvenfos s."1 indcpendcntes.
3. Se v~ dirigir a mais de 85 milhas por hor<1, ns chances de se envolver em um
~ncia de 8, enloo
acidcnlc aumcntam ronsidcravelmenle, ent5o os eventos s5o dependenles.
ente Decida se os eventos s5o independentes ou dependenles.
"f
Fumar um ma~o de cigarros por dia (A) e desenvolver cnfisema, uma doen·
<a crOnica do pulm5o(8).
Z. Exercilar·se frequentemente (A) c tcr uma pontua<50 media de 4,0 (6).
1.
a. Oi'Cilfn sea ocor~ncia do primciro cvcnto Mela o scgundo evenlo.
b. Diga se os eventos s5o i111te11e11de11/es 0111lep<'11de11/es.
I Regra de multiplica,ao
Para encontrar a probabilidade de dois eventos ocorrerem em sequ~cia, podemos usar a regrade multiplicay\o.
•
Truman Collins, um entusiasta
da probabiIidade e eslil tistic<l.
escrevru um programa que
encontra a probabilidade de se
cair em cada casa do tabuleiro
do Banco lmobiliruio durantc
o jogo. Collins explorou v~rios
cenruia;, induindo os efeitos
das cartas do jogo e vruias
rnanaras de cairou sair da cadeia Collins desaibriu que o
tempo de cadeia afeta as probabilidades.
Prob a· Proba·
bilid•· bilid•·
de dada de dada
em
em
Casodojogo
pouco mu.Ho
tempo lempo
na ('.a· na ca·
deia
d~·
v~
0,03IO 0,0291
Oportunid~dc
0,0087
0,0082
Cadeia
0,0395
O,CJ9.t6
Est;1donrunmto
0,0288
livre
0,02:83
fs~to
0,0219
0,0206
B&BRR
0.0007
0,0289
Sistema de
distribuiyio
deagu•
0,0281
0,0265
egra de multiplica,ao para a probabilidade de Ae B
A probabiidade de que dois eventos A e B ocorram em sequ~
P(A e 8) = P(A)- P(B I A).
e:
Se os evenlOS A e 8 fO<em independentes, entM> a regra pode ser simpfificada para P(A e 8) =
P(A) • P(B}. Essa regra simplifocada pode ser estencfoda para qualquei MnelO de eventos independenies.
Exemplo , 3 I
Usando a regrade multiplicaflo para encontrar probabilidades
1 . Duas cartns s."1 selecionadas, sem reposi<ilo da primeirn carta, de um baralho nor·
z.
mal. Encontre n probabilidade de selecionar um rei e enlao uma dama.
Uma mooda cjogada c um dado c lan~ado. Enrontre a probabilidade de se obler
uma cara c ent3o jogar um 6.
Dica de estudo
Em palavras, para usar a regra de multiplic:a~ao:
1. Encontre a probabilidade
de que o primeiro evento
ocorra.
2. Enrontre a probabilidade
de que o segundo cvento
ocorra. dado que o pri·
meiro tenhn ocorrido.
3. Multiplique essas duas
probabilidades.
Ed ,e 1naaa
1
Sol11flio
1. Como a primeira carla nao ereposta, os eventos S<io dependentes.
P(K e Q) = P<KJ · P(QIKJ
4 4
= -·-
52 51
16
= 2.652
:::<0,006
Entao, a probabilidade de selecionar um rei e uma dama e de aproximadamenle 0,006.
2. Os evenlos S<'io independenles.
P(H e 6) = PIH)· P(6)
1 1
=2'6
1
=-
12
:::<0,083
Enl~o, a
probabilidade de lirar uma cara e um 6 e de aproximadamenle 0,083.
1. A probabilidade de que um salmao nade, com sucesso, atraves de uma
barragem e de 0,85. Encontre a probabilidade de dois salmlles atravessa.rem a
barragem com sucesso.
2. Duas carras S<'io selecionadas de um baralho padrao sem reposi\ao. Enconlre a probabilidade de que ambas as carlas sejam de copas.
ente'
w><f
a. Decida se os eventos slio i111fepe11rle11tt'S 011 rlepe11rle11tes.
b. Use a regrn de 111111/iplirofifo para encontrar a probabilidade.
Exemplo [41_
4_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __
Usando a regrade mu!tip!ica~ao para encontrar probabilidades
1. Uma moeda ejogada e um dado e lan\ado. Enconlre a. probabilidade de se obter
uma coroa e um 2.
2. A probabilidade de que uma certa cirurgia no joelho seja um sucesso e de 0,85.
Enconlre a probabilidade de que Ires cirurgias sejam unn sucesso.
3. Enconlre a probabilidade de que nenhuma das Ires ciru:rgias seja um sucesso.
4. Encontre a probabilidade de que pelo menos uma das Ires cirurgias seja um sucesso.
SOlufliO
=!-Se
1. P(T)
Jan\ada ou nao, a moeda vai da.r coroa, 1'(2) =
pendenles.
i- Os evenlos sao inde-
P(T e 2) = P(T)- P(2) = !·t= ~ .,0,083
1
Enlao, a probabilidade de dar coroa e um dois ede aproximadamenle 0,083.
Ed ,e 1naaa
1
(apliul-0 l
2.
•
Prot.ibilidad•
123
A probabilidade de que cada cirurgia seja um sucesso e de 0,85. A chance de um
sucesso para uma cirurgia e independente das chances para asoutras cirurgias.
P(~s sucessos) = (0,85)(0,85)(0,85)
"° 0,614
Entiio, a probabilidade de que as tres cirurgias sejam um sucesso ede aproximada·
mente 0,614.
3. Ja que a probabilidade de sucesso para uma cirurgia ede 0,85, a probabilidade de
falha para uma cirurgia el -0,85 = 0,15.
P(nenhum sucesso) = (0,15)(0,15)(0,15)
,,,,o,003
Entao, a probabilidadc de que nenhuma cirurgia seja um sucesso ~de aproximada·
mente 0,003.
4 . A frase "ao menos um" significa um ou mais. 0 complemento doevento "ao menos
um sucesso" eo evento "nenhum sucesso''. Usando a regrade complementos,
P(ao menos 1 sucesso) = 1- P (nenhum sucesso)
"'1 - 0,003
= 0,997.
Ha aproximadamente 0,997 probabilidade de quc ao menos uma das tres cirur·
gias seja u1n sucesso.
lmportante
....1~~~~~~~~~~
No Exemplo 4, pede-se que
A probabilidade de que uma cirurgia de joelho seja um sucesso aumentou
voc6 para 0,9.
Tente
4
1. Encontrc a probabilidade de que Ires cirurgias sejam um sucesso.
2. Encontre a probabilidade de que ao menos uma das Im cirurgias seja um sucesso.
a. Determine se encontramos a probabilidade do evento ou seu complemento.
b. Use a wgm tie 11111/tiplicn(ilo para encontrar a probabilidade. Se ne<:essario, use a
wgm de co111ple111e11to.
Exemplo
m
Usando a regrade multiplicacao para encontrar probabilidades
Mais de 15.000 estudantes do ultimo anode faculdades de medicina dos Estados
Unidos se candidataram a programas de residellcia em 2007. Desses, 93% foram com·
binados com posi~6es de residentes, e destes, 74%conseguiram uma de suas duas pre·
fer~ncias. Os estudantes de medicina dassificam eletronicamente os programas de re·
sidencia em sua ordem de preferencia e programam diretores por todo o pais a fazer o
mesmo. 0 termo "combinar" refere-se ao processo onde a lista de preferencias doestu·
dante eo programa de lista de prefer~ncia dos diretoresse sobrep6em, resultando na co·
loca~aodo estudante para uma posi~ao deresidente. (Fm11-= 'I"'""'"/ k-ldr•1.11111<11fog Progmm.)
1. Encontre a probabilidade de que um estudante do ultimo ano seja combinado com
uma posi~ao de residencia e essa seja uma de suas primeiras escolhas.
2. Encontre a probabilidade de que um estudante selecionado aleatoriamente seja
combinado com uma posi(ao de residencia e nao consiga uma de suas primeiras
op\oes.
vod! encontre a probabilida·
de usando a frase "ao menos
um". Note que foi mais facil
encontrar a probabilidade de
seu ronlplemento, nenhum"
e entoo usar a regra de com·
plemento.
11
Ed ,e 1naaa
1
Ill, •
ls111k1lcaapli<•da
3. Seria incomum para um estudante selecionado aleatoriamente resultar em um estudante que tenha sido combinado com uma posii;lio de residencia e que esta seja
uma de suas primeiras op¢es.
Sol11fiiO
Deixe A = (combinado com uma posi~ao de resiMncial e B = {obteve uma de
suas duas primeiras escolh<ts}. Entilo, l'(A) =0, 93 e P(B I A) =0,74.
1. Os eventos silo dependcntes.
Faculdadc de mcdicina
Fa<:uldadc de ntcdicina
Es1udm11cs que
conseguin~m posi~Ocs
de re:sidentcs
P(A e 8) = l'(A) · /'(81 A) = (0,93) · (0,74) ~ 0,688
Entilo, a probabilidade de que um estudante selecionado a.leatoriamente tenha sido
combinado com uma de suas duas primeirasescolhase deaproximadamente0,688.
2. Para encontrar essa probabilidade, use o complemento.
P(B' I A) = 1 - P(B I A) = 1 - 0,74 = 0,26
Entao, a probabilidadede que um estudante selecionado aleatoriamente tenha sido
combinado a uma posi~ao de residencia que nao seja unna de suas duas primeiras
opi;oes t! de 0,26.
3. Nilo e incomum, pois a probabilidade de um estudante ser relacionado a uma posi~ao de residencia e que seja uma de suas primeiras duas escolhas ede aproximadamente 0,688.
Em uma pesquisa realizada em um juri, 65% daspessoasS<io mulheres. ~as,
voct uma de cada quatro trabalha na area da saude.
5
Tente
Sele~ao do juri
Pcsquisa de sci~ do juri
1. Encontre a prooabilidade de que uma pessoa seledonada aleatoriamente do jliri
seja mu Ihere trabalhe na area da saude.
2. Encontre a prooabilidade de que uma pessoa selecionada aleatoriamente do juri
seja mulher e niio trnbalhe na area de saude.
Mulhcn:s
a. Determine os ev1mlos A e 8.
b. Use a regrn de 11111/lip/i(Jl{ifO para escrever a f6rmula e encontrar a probabilidade. Se
necessc1rio, use a regrn rleco111plt1111111to.
c. Cnlcule a probabilidade.
Ill
Exercicios
Construindo habilidades basicas e conceitos
1. Qual a diferefl9J e.1ue evE!!ltos depeodentes ou independen1es?
2. Liste e>:emplos dos tipos de eventos a seguir:
(a) Dois eventos que sao independentes
(b) Dois eventos que S<io dependentes
Verdadeiro ou falso?
Nos exerdcios 3 e 4, determine se a afi~o e verdade;ra ou
falsa. Se f0t falsa, reescreva a frase.
3. Se dois evetllOS MO sao independenles, P(Al8) = P(B).
4. Se os eventosA eB sao depende.1tes, ent.lo P(A e 8) = P(A) · P(8).
Classificando eventos
Nos e>:erdcios de 5 a 8, decida se os eventos
ou independentes. Exjllique seu raciocfnio.
sao dependentes
5. Seleciooat um rei de um baralho 11oonal, oom reposi~o. e entao
selecionar uma darna do rna,o.
6. Devolver um filme alugado depois da data correta e receber urna
multa por auaso.
7. Jogar um dado de seis !ados e e.1~0 jogdr um dado urna segul1da
vez de modo que soma das duas jogadas seja sete.
e
8. Uma bola numerada e<>tre l e 52 selecionada de urna uma.
reposlo, e entao urna segunda bola eselecionada da urna.
e
Ed ,e 1naaa
1
C•pftulol
Classificando eventos baseadosem estudos
Nos exerckios de 9 a 12, identifique os dois evenros descritos no
estudo. Os resultados indicam ..,e os eventos s.lo independentes ou
depeildentes? Explique.
9.
F"e$qui~dorcs dc.scobrir<im qvc J'C"QOS quc ~frem O':lfTl depres·
s.lo tem cinco vezes mais ~nces deter um d"isturbio relacionado
a respira~o durante o sono do que pessoas que nao solrem de
depressao. (Foro.: Joumal of Cl:mail Pfy(hiorry)
IO. Estresse faz com que o corpo p<oduza grandes quantidades de
a6do, que pode irritar ulceras ja existentes. Mas, esttesse n~o
causa ulceras estomacais. (F0J1re: Bayfor Cca.."'9' o/ MOO<me)
11. Esrudos descobriram que o aspaname, um a~nte anifocial, nao
causa perda de mem6ria. ('1we: rood ar.d Drug Mmitusvo0oo.)
12. Oe acordo com pesquisadores. o d.ibetes e raro em sociedades
nas quais obesidade erara. Em sociedades nasquaisa obesidade
e comum nos ultimos 20 anos. 0 diabetes tambem e comum.
(Fon:e: Amet>Con °"'1eles-i>n)
Usando e interpretando conceitos
13. Gene BRCA Na popula~o em geral, uma mulher de cada oito
ira desenvolvet cancet de mama. uma pesquisa mostrou que
uma entre cada 600 mulheres carrega uma mutaylo do gene
BRCA. Oito de cada 10 mulheres com essa muta~Ao deseMolvem cancer. (Fonre: Susan c i:omen llfeosrCatKf!I Foundo'10<J.)
Cancer de mama e o gene BRCA
Mulhcrcs quc
dcsen,,olve1n
cancer de
n1ama
(a) Encontre a p<obabilidade de que uma mulhet selecionada
a!eatoriamente desenvolvera cancer de mama dado que ela
tenha a muta~o no gene BRCA.
(b) Enconue a p<obabilidade de que uma mulhet selecionada
aleatoriamente carregara a mutacao do gene BRCA e desen·
volveta cancer de mama.
(c) Os eventos de carregar a muta~o e desenvdvet o cancer
saG dependentes OU independentes? E>ql!ique.
14. Pid< up Em uma pesquisa, 510 adihos foram questiooados se
dirigem pick ups e se dirigem um Fold. Os resuhados mostraram
que um em cada seis adultos pesquisados dirige uma pick up
e ues em cada dez adultos pesquisados dirigem um Ford. Dos
adihos pesquisados
dirigem um Ford, dois em cada nove
dirigem uma pick up.
"'°
0 que voce dirige?
Adultos pesqui$ados
Adultos
Adultos quc
que
dirjgc1n
dirige1n unt
u.1na
pick UJ>
Ford
•
Prolibili4odt
IZ5
(a) Enccntre a p<obabilidade <le que um adulto seledonado aleatoriamente dirija uma pick up dado que ele(a) dirige um Fo<d
(b) Encontre a p<obabilidade de que um adulto selecionado aleatoriamente dirija um Fo<dl e uma pick up.
(c) Os eventos de d1ngir um Rlrd e dingir uma pod< up sAo dependentes ou independentes?
15. Ferias de verao A tabela mos'tla os resultados de uma pesquisa
na qua I 146 famnias foram questionadas se Jem um compotador
e se vao rirar fe<ias de ve<ao este ano.
nm
oomputador
Sl-m
Nik>
Total
Sim
46
11
57
Nlo
55
34
89
Toi.I
IOI
45
146
(a) Enconue a p<obabilidade de selecionar aleatoriamente uma
famnia que nao v.I tirar ferias de vefao este ano.
(b) Encontre a probabifidade de que uma famllia selecionada
aleatoriamente tenha um c:ompotador.
( c) Encooue a probabilidade de que uma famOia selecionada
aleatoriamente tire ferias de ~rw este ano, dado que tern
Compl.ltador.
(d) Enconue a probabilidade<le que uma famllia selecionada aleatoriamente tire ferias de verao este ano e tenha computador.
(e) Os eventos de ter um computador e tirar ferias de ~rao
eventos dependentes ou independentes? Expfique.
16. Gradua.aoem enfermagem Atabela mostrao numerodeesrudantes, homense mulheres,malrittJ!adosnocursodeenfemiagem
da Uni~rsidade de Oklahoma em um semestre rete<lle. f(<daprado
de U/Wf!IS.<yol 0-Heoklw: cenret Ollice ofA - s ond Rea>tds)
Curso de
Quiros
enfermagem
cursos
Total
Homens
95
Mulheres
700
1,015
1.727
1.110
1.427
Total
795
2.742
:;.537
(a) Encontre a p<obabilidade de que um estudante selecionado
ofe<llo1iair~ue 5'::ja e)(vde:inte tJe efifeor1qge1
n.
(b) Enconue a p<obabilidade de que um estudante selecionado
aleatoriamente seia homem.
(c) Encontre a p<obabilidade de que um estudante selecionado
aleatoriamente seja es1udante de enfermagem, dado que o
esrudante seia homem.
(d) Encontre a p<obabitidade de que um estudante selecionado
aleatoriamente seia estudante de edermagem e homem.
(e) Os eventos de serum esrudante homem e ser estudante de
enfennagem s.lo dependentes ou independentes? Exp6que.
17. Tecnologia de reprodu~ao assislida Um es1udo descobriu que
35% dos cidos da tecnologia de reprod~ assistida (ART) resultam em gravidez. Vlnte e oito por cento das gravidezes ART
resultaram em nascimentos multip!os. l,foo<e. Nooonol Cente< for
ChrOllfC Ofseose Preven<JIJtl Ofld HealJh Promotion.)
Ed ,e 1naaa
1
IZ6 •
£~a1111i<..Pli1«11
(a) 81contre a piobabilidade de que um cido ART selecionado
aleatori.lmente cesulte em uma gravidez e produza um nas·
cimen10 multiplo.
(b) 81contre a piobabilidade de que um cido ART selecionado
:Jlc3~ori.lmcnte rC"'...uhe em urro gravidcz c nSo ptoduza um
nasrimento mul1iplo.
(c) Seri.l incomum para um ciclo ART selecionado aleatoriamenle resultar em uma gravidez e produzlr um nascimento mul·
liplo? Explique.
Cravidez
ciclos
Gravidez
ART
t8. Rela,oes rac.iais Em uma pesquisa, 60% dos adultos nos Esta·
clos Unidos acredilam que as rela'oes melhoraram dA!sde a morte
de Martin Luther King Jr. Oesses 60%, 4 de 10 dizem que o
fndice de progresso dos <fireilos civis emuito lento. /,(Otlle: Ma<4t
21. Pessoas canhotas Em uma amostra de 1.000 pessoa~ 120
~o canhotas. Ouas pessoas ~ relacionadas ~o selecionadas
aleatoriamenie sem reposi,ao.
(a) Encontre a pwbabilidade de .que ambas sejam ca.1hotas.
(b) Encontre • prol>ab<lidade de que ooohumo :;eja conhota.
(c) Encon1re a probabilidade de que ao meoo; uma das duas
pessoas seja canhota.
22. l.Ampadas Doze lampadas sAo testadas para verificar se duram
pelo menos o tempo afirmado pelo fabricante. Tres lampadas fa·
lham no teste. Duas L!mpadas sa'o selecio.'ladls aleatotiamente.
sem ceposi,ao.
(a) Eocontre a piobabilidade de que ambas as L!mpadas te·
nham lalhado no tesle.
(b) Encontre a probabilidade de que ambas as L!mpadas te·
nham passado no tesle.
(c) Encontre a probabilidade de: que ao menos uma lampada
falhe no teste.
23. Reservas de emergencia A tabela mostra os resultados de uma
pesquisa na qual 142 homens e 145 mulheces. trabalhacioles
com idades entre 25 e 64 anos. foram questionados se tem ao
menos um mes de renda guardado para emergencias.
/n$0Me lor A1bli:: OpnJn)
(a) Encontre a probabifidade de que um adutto selecionado ale·
aloriamente ache que as rela'Oes raciais melhoraram desde
a morte de Manin Luther King Jr. e ache que o indice de
progresso dos direitOS civis emuilO lento.
(b) Dado que um adutto selecionado aleatoriamente ache que
as rela,oes raciais melhoraram desde a morte de Martin Lu·
thet l(ing Jr., encontre a probabi1idade de que ele (a) ache
que o indice de progresso dos direi1oscivis noo emu~o lento.
(c) Seri.l incomum para um adul10 selecionado alea1oriamente
achar que as refa¢es raciais melhoraram desde a morte de
Martin Luther King Jr. e achar que o •1dke de progresso dos
direitos civis emuito lento? El<plique.
Rela~oes
raciais
Aduhos nos:.;..;E~-~'-­
Aduhos que
acredi1.an1 que as
rel~s
rnciais
mclhoramm
Homens
Muiheres
Total
Menos de um m ~ de renda
66
83
149
Um mes de renda ou mais
76
62
138
142
145
287
Tool
(a) Encontre a probabilidade de que um 1rabalhador seleciona·
do aleatotiamente tenha um m~s de renda ou mais guarda·
da para emergencias.
(b) Dado que um trabalhador selecionado ateatoriamente ~ ho·
mem, encontre a probabtlidade de que o trabalhadoc tenha
menos de um mes de cenda guardada.
(c) Dado que um trabalhador selecionado alea1ori.lmente tenha
um mes ou maisde renda guardada, encomre a probabittdade de que o trabalhador seja mulher.
(d) Os eventos ~e< menos de um mes de renda guardada" e "ser
homem" sao dependentes ou independentes? ExpflQUe.
24. Cuidados com a saude dos cachocros A tabela mostra os re·
su!lados de uma pesquisa na qual 90 propriet.\rios foram questio·
nados sotxe o quanto gastaram no ultimo ano com os cuidados
com a saude de seus cachorros e se seus cachorros sAo de raca
pura ou racas misturadas.
Tipo de c.achorro
19. Computadores e acesso AInternet Um esiuclo descobriu que
62% das residencias nos Estados Unidos tern computador. Des·
ses 62%, 88% tem acesso AInternet. Encon11e a probabilidade
de que uma cesidencia americ.lna selecioMda alea1oriameme
tenha computador e acesso Alnremet. (Follle. 11.5 Ce"'"' &x""")
20. Sobrevivencia ~ cirurgia Um medico da ao paciente uma chan·
cede 60% de sobcevivencia a uma cinugia para coloca,ao de
marca-pmo depois de um ataque cardiaco. Se o paciente so·
brevive Acirurgia, ele tern 50% de chances de que o prOOlema
cardlaco seja curado. Enconue a piobabilidade de que o padente
sobleviva Acirurgia e o cora,ao seja curado.
Cuidados
com a saUde
R~
Mistura
pura
de ra~
Menos que S 100
19
21
40
Mais do que s 100
35
15
so
Total
54
36
90
Total
(a) Eocontre a probabilidade de que S 100 ou mais tenham sido
gastos com a satlde de um <achorro selecionado aleatoriamenie no ano passado.
Ed1t11.11aaa
c.,rtolol
(b) Dildo que um p<oprief.!rio de cachorro selecionado aleatoria·
mente tenha gasto menos que S 100, encontre a probabi·
lidade de o cachorro ser de rai;ci misia.
(c) Encontre a probab1&dade de um p<opoo.!rio seleciooado
wtoriamente ~r S 100 ou mais com a saUde de seu
cachooo e o G!o ser de rai;ci mista.
(d) Os evt11tos •gasiar S 100 ou ma.s· e ·1er um cachorro de
rai;ci mista• s.!o dependentes ou indeper ldentes? Exp&que.
2.5. Tipos sangulneos A p<ebabo&dade de que uma pessoa nos Es·
!ados U>dos tentia ~ sangiMeo AB+ ede 3..._ c:tto pessoas
Ilk> relaoonadas I.lo seleooNdas aleatonameote. Irr.:.:-....
-"'
Bl""'"'
(a) Enccnue a probabilidade de que as
<>)
aico
pessoas temam
~po AB+.
(b) Encoove a probabiidade de que nenl-.ma das aico tenha
esse tipo sang\lneo.
(c) Enccntle a probabilidade de que pelo menos uma das onc:o
pessoas tenha o npo AB+.
26. Tipos sangulneos Ap<ebabol1dade de que uma pessoa nos Es·
tados lJnidos tenha tipo sangllneo o+ ede 38..._ Tr!s pessoas
n.io relacionadas 130 selecionadas aleatoriamente. (Tonr.c Amer>con
A$SO(>OlO> ol /!lood lla>l;s.)
{a) Encontre a prob.ibihdade de que as tr!s pessoas tenham
tipoO+.
(b) Encontre a p<Obabilidade de que nenhuma das tr!s tenha
esse tipo sangurneo.
{c) Encontre a probabilidade de que pelo menos uma das tr!s
pessoas tenha 0 tipo o+.
27. 5uposi~ao Um teste de multjpla escolha tem ues questOes,
cada uma com cinco respos!Als possfveis. Somente uma ecorreta.
Vcx:e n.io tem ideia de nenhuma das respostas corretas e precisa
acivinhar cada uma.
{a) Encontre a probabilidade de responder a primeira perg\Jllta
correlamente.
(b) Encontre a probab1fidade de responder as duas primeitas
petg\Jlltas corretamente
(c) Encontre a probabiidade de responder as tt!s perguntas correlllmente.
(d) Encontre a probaboid.Jde de nao responder a nenhuma per·
gum.a corretamente.
(e) Encontre a p<cbabedade de responder pelo meros uma
petgll\ta correiamente
28. Deleilos de encad~ A ~ de encadema(Ao de
uma ~ de impress.lo tem a ~ de 0,005
de p«>dwir um IMo com defe!IO. Essa maquina e usada para
encadem¥ lr!s IMOS.
{a) Eno:nte a probabidade de nerlun dos Mo! ser defettuosO.
(b) Enconue a probabidade de ao meros um dos IMos ser
defettuoso.
(c) Er>alrll1e a probabidade de todos os IMos serem deleituosos.
29. Armazm Um centro de distribui(Jo recebe canegamemos de
um produto de tr!s f6bncas dderentes nas quantidades a segu~:
SO, 35 e 25. Um produto eselecionado aleatoriameme tr!s vezes. cada vez sem reposi(<lo. Encon1re a probabilidade de que os
tt!s produtos venham da terceiia f6brica.
30. Anive~rios Tr!s pessoas 130 selecionadas aleatoriamente.
Encontre a p<obabihdade de que (a) todas elas compartilhem a
•
l'!ob•lllld...
127
mesma data de anive~rio e (b) nenfuna compartilhe a data de
a~rio. AsS<Jma 365 dias no ano.
Expandindo conceitos
°"
d<.Oldo lOlll 0 '""" '".. d•
Sdy<>. • jJ<Wot.lidode du .......,
A. dado qoe o evento 8 tesiha oeo<rido, e:
P(A)-P(BjA)
P(Al8l- P(A)-P(BjA) +P(A')-P(BIA')°
Nos ecerdcios de 31 a 34, use o teo<ema de Bayes pata encontrar P(A 18).
31. P(AJ=~.P(A'>=i.P(BIA>-~.e P(BIA'J-~
32.
P(A)=~.P(A')=~.P(Br>=~.e P(BIA')=~
33. P(A)=0,25,P(A'}=0,75,P(B!A)= 0,3,e P(BjA'J • O,s
34. P(A)=0.62.P(A')=0,38,P(B!AJ=0,4~e P(BjA') =0,17
35. Confiabilidade do teste Um ceno virus inleaa uma em cada
200 pessoas. Um teste usado para deleaar o virus em uma pessoa & positNo 80% das vezes se a pessoa tern o virus e S'M>
das vezes se a pessoa ~o tern o virus. (Este resultado de SCIO e
chamado de lolso posirivo.) Deixe Ase< o evento ·a pessoa est~
i>fectada" e B ser o evento ·o teste de uma pessoa d6 positivo'.
{a) UsandooteoremadeBayes,seotestedeumapessoa&posi·
tivo, determine a p<obabilidade dessa pessoa estar infectada.
(b) Usando o teorema de Bayes, se o 1este de uma pessoa d~
negativo, determine a probabilidade dessa pessoa nAo estar
infectada.
36. Problem a dos aniversarios Voce esth em uma sala que tem 24
estudantes. Voce quer ellCXlOtrat a fl'obabilidade de que pe1o menos dois estudantes compattillwn a mesma data de anivers6rio.
(a) Primeiro, encon~e a probabilidade de que cada estudante
tenha uma data de an~rio diferente.
24 iatures
,------"...._
P(aniJe<Sarios 6ferentes) c~. 364 - ~ -~ .•. ~.~365 365 365 365 365 365
{b) Ap<obabirrdade de que pelo menos dois estudantes tenham
a mesma data de aRversario e o complemento da probabilidade da patte (a). Quale essa probaboid.Jde?
(c) lJsamos a ferramenta de te;nologia !>'ta gerar 24 nUme!os
.ie.tonos _,, I e 365. (ado nUmerO i<:prcscnlo> ......, doL>
de aniYersaio. ClOOvemo$ pelos menos duas pessoas que
iein a mesma data de anr.iers.loo?
228
52
252
118
348 181 317 81 183
346 in 118 315 273
168 281 266 285 13
360
8 193 57 107
{d) Use uma ferramema tecnol6gica PMa simular o •problema
dos anive~rios". Repita a si~ 10 vezes. Quant.is vezes voce obteve •pe1o menos duas pessoas" com a mcsma
data de an~rio?
Aregra da multiplica~ao e a probabilidade conditional
Reescrevendo a f6rrnula para a1regra da multiplica(<lo, podemos
Ed ,e 1naaa
1
128 •
[11>1l1ti<"plicdd1
escreve< uma f6onula para encontcar probabmdades condicionais. A
probabilidade condicional do €\'ento B ocoire<, dado que o evento A
tenha oconido, e
P(tl)
Nos exerclcios 37 e 38, use as infoima¢es a segllir.
A probabilidade de que um voo parta no hoiario e de 0,89.
UI
0 que voce
deve ilprender
• Como determinar se dois e-•entos
sao mutuamerte exclusivos.
• Como usar a regra de adi\ao para
eocootrar a probabaidade de dois
ei-'ef1tos.
-
Dica de estudo
Em probabilidade e estatlstica, a palavra 011 <! usualmente
usada como um "ou exc)usivo". Por exemplo, M.~ mane.iras parao''eventoAou B"
ocorrer.
•
Aprobabilidadede que um voo dlegue na hora cerui ede 0,87.
A probabilidade de que um voo pana e chegue na hora e
de0,83.
37. Encontre a probabilidade de que um voo tenha partido na hora e
que chegue na hora.
P(BIA) = P(4 e B)
•
•
38. Encontre a probabilidade de que um voo chegue oa ho<a, dado
que ele partiu na ho<a.
Aregra da adi~ao
Eventos mutuamente exclusivos --+ Aregrade adirao ->
Resumo de probabi!idade
I Eventos mutuamenteexclusivos
Na Se~ilo 3.2, aprendemos como encontrar a probabili<lade de dois eventos A e B
ocorrerem em sequencia. Tais probabilidades s.'io denotadas por P(A e 8). Nesta se~Jo,
aprenderemos como encontrar a probabilidade de que ao menos um de dois eventos
ocorra. Probabilidades como essas sao denotadas por l'(A ou B) e dependem de os
eventos sere1n nluluamente exclusivos.
efinicao
Dois eventos A e 8 sao mutuamente exclusivos se A e 8 nao puderem ocorrer ao mesmo
tempo.
Os diagramas de Venn mostram a rela~o entre eve;ntos que sao mutuamente
exclusivos e eventos que nao o sao.
(1) Aocorre e 8 nao ocorre.
(:2) 8 ocorre e A nao ocorre.
(3) Ae Bocorrem.
A
A e B sao mutuamente exclusi>.<OS
8
A e B nao sao mutuamente exdusi\'OS
Exemplo ITT
Eventos mutuamente exclusivos
Decida se os eventos sao mutuamente exclusivos. Explique seu raciocinio.
1. EvcntoA: rolar um 3 em um dado.
Evento 8: rolar um 4 em um dado.
2. Evento A: selecionar aleatoriamente um estudMte do sexo masculino.
Evento 8: seledonar aleatorirunente um graduando em enfunnagem.
Ed ,e 1naaa
1
(>pft•l•l
•
Proba~ili.i.de
129
3 . Evento A: selecionar aleatoriamente um doador de sangue com lipo 0.
Evento 8: selecionar aleatoriamente um doador de sangue do sexo feminino.
Soluflio
1~
0 pri1neiro evento ten'I uni re.<>ultado, 3, n ~undo evento tan1be1n tenl um resuJta.
do, 4. Esses resultados nao podem ocorrcr ao mesmo tempo, entao os evenlos siio
mutuamenle exclusivos.
2. Como o estudante pode ser um homem estudante de enfem1agem, os eventos nao
s.io mutuamente exdusivos.
3. Como o doador pode ser muIher com tipo sangu£neo do tipo 0, os eventos nao siio
mutuan1ente exclusivos.
Decida se os eventos s.'io mutuamente exdusivos.
1. Evento A: selecionar aleatoriamente um valete de um baralho de cartas.
Evento 8: selecionar aleatoriamente uma carta de figura de um baralho
de cartas.
2. Evento A: selecionar aleatoriamente um estudante de 20 anos.
Evento 8: selecionar aleatoriamente um estudante de olhos azuis.
3. Evento A: selecionar aleatoriamente um veiculo Ford.
Evento 8: selecionar aleatoriamente um vefculo Toyota.
a. Decida se uma das frases a seguir everdadeira.
• Os eventos A e 8 nao podem ocorrcr ao mesmo tempo.
• Os eventos A e 8 nao t~m resultados em comum.
• P(Ae8) = 0
b. Escrcva sua condus.'io.
R~""IW(tit 1111 I'· ..US
I Aregra de adi,ao
reqra de adicao para a probabilidade de Aou 8
A probabilidade de que os eventos A ou 8 ocorram, P(A ou 8), e dada por:
Dica de estudo
-ili~~~~~~~~~-
Subtraindo-se P(A e B), voce
evita uma contagem dupla
das probabilidades dos resultados que oconrem em ambos
AeB.
P{fl ou 8) = P{fl) + P(8) -P(A e 8).
Se os eventos A e 8 forem mutuamente exdusivos, entao a regra pode ser simplificada para
P(A ou 8) • P(fl) + P(B). Esta regra simplificada pode ser estendida para qualquef numero de
event~ mutuamente exdusivos..
Em palavras, para encontrar a probabilidade de um even to ou o outro ocorrer,
adicione as probabilidades de cada evento e subtraia a probabilidade de ambos
ocorrerem.
Exemplo
m
Usando aregrade adiiao para encontrar probabilidades
t. Voce seleciona uma carta de um baralho. Encontre a probabilidade de esta carta ser
um 4 ou um As.
2. Voce joga um dado. Encontre a probabilidade de rolar um mlmero menor que tres
ou rolar u1n ntin1ero frnpar.
0
.'~ Para explorar mais este 16·
pico, veja 3.3 Atividades nap. 136.
Ed ,e 1naaa
1
Baralho com 52 cartas
~
\:9 @
•
•
44 ou1ras cartas
Sot11clio
1.
Se a carta for um 4, nao pode serum As. Entao, os eventos slio mutuamente exdusivos conforme mostra o diagrama de Venn. A probabilidadede selecionar um 4 ou
um Ase:
4 4
52 52
8
52
2
13
P(4ou As) = 1'(4) + P(As) = - +- = - = -;:::0,154 .
2. Os eventos nao siio mutuamente cxdusivos porque 1 e um resultado de ambos
os eventos, como mostra o diagrama de Venn. Entao, a probabilidade de rolar um
numero menor que 3 OU Um numero impar e:
P(menos quc 3 ou impar) = P(menorque 3) + P(impar) - P(menorque 3 cimpar)
2 3
l
4
2
= - +- - - = - = -"'0 667.
6 6 6 6 3 '
jogar um dado
impar
3
5
t. Um dado eJani;ado. Encontre a probabilidade de rolar um 6 ou um numero
i1npar.
2. Uma Carta eselecionada de um baralho normal. Encontre a probabilidade
de que seja uma carta de figura ou uma carta de copas.
a. Decida se os eventos s.'io 11111t1111me11/e •xdusivos.
b. Encontre P(A), P(B) e, se necessario, P(A e B).
c. Use a regra dendicao para encontrar a probabilidade.
R6111J:llt11111 p. A.18
Exemplo
m
[ncontrando probabilidades de eventos mutuamente exdusivos
A dislribui<;i'io de frequ@ncia mostra o volume de vendas (em d6lares) e o numero de meses em que um representante de vendas atingiu cada nivel de vendas nos
ultimos tres anos. Se esse padrao de vendas continuar, quaJ a probabilidade de que o
representante venda entre $ 75.000 e $124.999 no pr6ximo m~?
Volume de vendas (S)
Meses
Oa 24.999
25.000 a 49.999
3
5
50.000 a 74.999
6
75.000 a 99.999
100.000 a 124.999
125.000 a 149.999
150.000 a 174.999
175.000a 199.999
7
9
2
3
Sol11ftlO
f>ara resolver o problema, defina os eventos A e 8 conforme segue.
A = vendas mensais entre $ 75.000 e 99.999.
8 = vendas mensais entre $100.000e 124.999.
Como os eventos A e 8 s.'io mutuamente exclusivos, a probabilidade de que o
representante venda entre $ 75.000 e 124.999 no pr6ximo m~ e
Ed ,e 1naaa
1
u pf!Ulo l
•
13J
Piobolilidode
P(A OU B) = P(A)+ P(B)
7
9
36
36
=- +16
= 36
4
=9"'
0,444.
Enoontre a probabilidade de o representante de vend as vender entre $ Oe$ 49.999.
a. ltie11tifiq11e os eventos A e 8.
b. Verifique se A e 8 s.'o 11111t11n111e111e exclusives.
c. Encontre a probabilidnrle de cada evento.
d. Use a rt-gm tin ndi{tfO para encontrar a probabilidade
Exemplo
m
I
IJsando a regra da adifao para encontrar probabilidades
Um banoo de sangue cataloga os tipos de s.mgue, incluindo fator Rh positivo ou
negativo, dado por doadores durante os ultimos cinco dias. 0 numero de doadores
que doou cada ti po sangulneo emostrado na tabela a seguir. Um doador eselecionado
aleatoriamente.
1. Enoontre a probabilidade de que o doador ten ha s.1ngue ti po 0 ou ti po A.
2. Encontre a probabilidade de que o doador tenha sangue ti po Bou que o Rh seja
negativo.
1ipo sangufneo
F.ior Rh
Retratando o mundo
Em uma pesquisa conduzida pela National Family
Or.ganizatio11, miies recentes
foram questionadas sobre o
grau de dificuldade de ter
seu primeiro filho comparodo
COl'n o que esperavanl. (fti111t:
Xnrr11mrl Fr.milyOrgnuiznil1n1 R""ntrrlr ft>r c:-:s.)
Quao diffcil foi o parto?
0
A
8
AB
rotal
Positivo
156
139
37
12
344
Negativo
28
25
8
4
65
Tola!
184
164
45
16
4-09
~lais dificil
do
L Menos dirttil <Jo
qi.c c.spcmvM1
Sol11pio
t. Como o doador nao pode ter ti po o e ti po A, esses eventos sao mutuamenle exclu·
sivos. Entao, com base na regrade adi~3o, a probabilidade que o doador escolhido
aleatoriamente tenha lipo 0 Ou tipo Ae:
P(tipo 0 ou tipo A) = P(tipo 0) + P(tipo A)
184
164
= 409 +40')
348
=-
40')
::o0,851.
?. Em rau'io de o doador poder ter tipo Be o seu Rh ser negativo, esses eventos nao
s.io muluamente exdusivos. Entilo, com base na regrade adi~ao, a probabilidade
de que um doador escolhido aleatoriamente tenha s.1ngue ti po Bou que seu Rh seja
negativoe:
Se uocc." seltcitn1nr z1111n 111/fe rtceiite nlt'tltori11111e11te e pedir pnm
co1111Nlmr n tiifiwldnrle 1fe se11
ptlrlo com o que dn l.'Spt7flV<I.
qunl n 1•rol111bilitinrle tic dn diur
r711e o pnrto fai tlio 011 mni; tiiffcil
do que dn e;Jlt'l'nlNl?
Ed ,e 1naaa
1
P(lipo Bou Rh-) = P(lipo B) + P(Rh-) - P(lipo Be Rh-)
45
65
8
=-409 +-409 - -409
102
- 409
.,0,249.
1. Encontre a probabilidade de que o doodor lcnha ti po sanguineo Bou AB.
2. Enconlre a probabilidadc de que o doador lenha tipo sangufneo 0 ou que
seu Rh seja posilivo,
a. Decida se os evenlos s.~o 11111t11a111e11/e e.rcln>ioos
b. Use a regm de adi(do.
R~ct:t11 1u1 p.
I
AJS
Resumo de probabilidade
Tipo de p,robabilidade e regras de
probabilidade
Emsimbolos
Em pahvras
I
Probabilidade ddssica
0 numem do rcsultados no cspa"°
amostral econhecid<> e cad a resultado
~ igualmente prov~vcl dcocom>r.
l'robabilidade cmpfrica
i.'lnlostral ~ cstimada a partir de
A frequ~ncia de resultados no cspa"°
n\"! de n.'Sultados no evcnto E
P(E)=
n• de resulta.dos no espao;o amostral
P(E) =
FrequCnda do cvento E =
Frequlincia total
cxp<."fimenta~o.
Amplitude das regras de
probabilidadc
A probabilidade de um evento estar
cntrc 0 e I, indusive.
Os P(E)s I
E\rcntos cnmplen1entnres
0 complemento do even to Eeo
conjunto de todos os re;ultados em
unl cspa~ anlostrJI quc n3o cstao
indufdos em £, denotado por £'.
P(E) = t -P(E)
Rei;ra de multiplio.1¢0
A regra da multiplica~ao eu~ida para
cncontr.1r a probabilidadc de dois
cvcntos ocorrcrem enl scqui!ncia.
Rcgra da adi\.lO
A regra da adi~ao ousada para
cncontrar a probabilidadc de que pelo
mcnos um de dois eventos ira ocorrcr.
Exemplo
l_
"
P(A e 8)= P(A)·P<BIAl
P(A c 8) = P(A)· P(8) Evt11tos i11depmdmtcs
/>(A ou 8) = P(A) + 1'(8)- P(A c 8)
P(A ou 8) = P(A) + 1'(8) £vc11tos 11111/11n111e11/e
cxclu$iVOS
OJ
Combinando regras para encontrar probabi!idades
Use o grMico a seguir para encontrar a probabilidade de um jogador selecionado
aleatoriamente de uma sele~ao com jogadores amadores nao ter a posi~o de rt11111i11g
back ou de wide receiver.
Sol1tfdO
Defina os eventos A e B.
A: 0 jogador escolhido eum r111111i11g bnck.
8: 0 jogador esrolhido e um wide receiver.
Ed ,e 1naaa
1
(apliul-0 l
•
Proi..bilidadt
133
Recrutas da NFL
Uma lista por posi~o dos 255 jogadores esOOlhidos em
uma set~lo para NFL de 2007
Quarterbacks
11
Offonslvo
Running backs
25
tackles Guards O~centers Tight ends
Wide 23
12
6
12
receivers \.
_ \._
b ~
34::@~~.
Defensive ends
00©
0
25 =€)
~ ~ne~ck!
Defensive
backs 50
(Fome: NFL.com.)
0
0
0-- Klcl<ers
Esses eventos sao mutuamente exdusivos, ent.io a probabilidade de que o sele·
cionado seja um rm111i11g back ou um wide receiver e;
P(A ou B) = P(A) + P<Bl =
:S +~5 = iJ15 "'o, 231.
Obtendo-se o oomplemento de P(A ou B), podemos detern1inar que a probabilidade de selecionarn1os um jogador que nao seja um m1111i11g back ou um wide receiwr e:
1- P'V'A ou 8)=1 - 22..=
255 1%
255 ">0, 769 .
ente
vad
5
Enoont.re a probabilidade de um jogador selecionado aleatoriamente nao ser
um li11t"1ack ou um q11nrlcrback.
a. Enoontre a probabilitfnde de o selecionado serum li11d111ck ou um q11nrlerback.
b. Encontre o co111ple111e11/o do evento.
Rl.'$'fl0$fll nn p.
Ill
A38
Exercicios
Construindo habilidades basicas e conceitos
6. Se oseventosA eB s.lo mutuamente exclusivos, eniao.
l'(A OU ff)
1. Se dois e11entos s.lo mutuamente exclusivos, po< que P(/l e 8) = O?
2. liste exemplos de:
(a) dois eveotos que sejam mutuameote eocdusivos.
(b) dais eventos que nao sejam mutuameme exclusivos.
Verdadeiro ou falso?
Nos eocercicios de 3 a 6. determine sea afirma\Ao everdadeira ou
ialsa. Se for falsa, explique.
3. Se dois eventos sao ITTJtuameote exdusivos, eles ndo tern resul·
tados em coffilJm.
4. Se dois evemos sAo independentes, ent~o eles tambem sAo mutuameme exclusivos.
s. A piobabilidade de 0 evento A OU 0 ellenlO 8 OCOllel e:
P(A ou 8) = P(A) + P(B) - PV\ OU 8).
= l'(A) +P(lf).
Analise grafica
Nos eocerdcios 7 e 8, decida se os eventos mosuados no diagra·
ma de Vein sAo mutuameme exclusivos. Explique.
7.
Univcrsit~rios
Estudantes
de
econo1nia
Estudantcs
de
e.~1a1fstica
Ed ,e 1naaa
1
BC. •
fmtktlca aplkdd•
furos ede 0,05, a probabirtdade de produzir uma caixa com um
canto amassado e de 0,08 e a probabilidade de produzir uma
caixa com um furo e com o canto amassado ede 0,004.
(a) Os eventos "se!ecionar uma; caixa com furo· e "selecionar
uma eaixa com<> canto amas.sado tamWm" s.3o mutuamente exdusivos? Expflq\le.
(b) Se o inspetor de qualidade seleciooar uma caixa aleatoria·
me.ite, encontre a p<obabilidade de que a caixa tenha um
furo ou esteja amassada.
8.
- - - - Cidad5os nortc-runericanos
Rcgis1rn<los
J:>.'lro votur
no Texas
Registrados
J>fir.'I votor
ern ~1ai nc
Reconhecendo eventos mutuamente exclusivos
Nos exercicios de 9 a 12, decida se os eventos sao mu1uamen·
te exclusives. Explique ~ radocinio.
9. Evento A: se!eciooar alea1oriamente uma trabalhadora.
Evento 8: seleciooar aleatoriamente um trabalhadot com nfvel
universitArio.
16. Oefeitos em latas Uma emp<esa que fabrica latas de refrigerante
descobre que a probabilidade de se produzir uma lata sem futos
e de 0,96, a p<obabilidade de que a lata nao tenha um canto
amassado e de 0.93 ea probabilidade de que a laUl nao 1enha
nem furo nem amassados ede 0,893.
(a) Os eventos ' selecionar lata sem furo" e ' seleciooar lata sem
amassados" sao mutuamente exclusives? Explique.
(b) Se o inspetor de qua Iida de seleciooar uma lata aleatoria·
mente, encon1re a probabilid'ade de que esia ruo tenha um
furo ou nao es1eja amassada.
10. Evento A: selecionar aleatoriamente um membro do congresso
americano.
Evemo 8: selecionar aleatoriamente um senador do sexo mascuino.
11. Evento A: seleciooar aleatoriamente uma pessoa e.itre 18 e 24
anos.
Even;o 8: seleciorw aleatoriamente uma pessoa elltre 25 e 34 anos.
12. EventoA:seleciooar aleatoriamenteuma pessoa entre i 8e 24 anzy.;,
Evento 8: seleciooar aleatoriamente uma pessoa que receba en·
tre S 20.000 e $ 29.999.
17. Selecionado uma carta Uma carld selecionada aleatoriamen1e
de um baralho normal. Encontre cada probabiidade.
Usando e interpretando conceitos
18. Jogar um dado Voce la~ um dado. Encorwe cada probabilidade.
e
(a) Selecionar aleatoriamente unna cana de ouros oo um 7.
(b) Selecionar alea1oriamente um naipe vermelho oo uma dama.
(c) Seleciooar aleatoriamen1e um 3 oo uma cana de figura.
(a) Rolar um 6 ou um numero nnaior que 4.
13. Auditoria Em um perfodo de 52 sem.lnas, uma empresa pagou
hora extra por 18 semanas e contratou trabalho 1emporArio por
9 semanas. Durante 5 semanas, a emp<esa pagoo hora extra e
contratou uabalho tempor~rio.
(a) Os eventos "selecionar uma semana que contenha pa·
gamen1os de hora extra" e "selecionar uma semana com
contrata~o de tempor~rios" sao mutuamente exclusi·
vos? Explique.
(b) Se um auditor examinar aleatoriamente a folha de paga·
men10 para somente uma semana, qual a p<obabilidade de
que a folha de pagamento seja de uma semana contendo
pagamento de horas extras e trabalho 1empo1~rio?
14. Pesquisa de jornal Uma faculdade tern 3.500 matrlculas. Des·
sas. 860 sao para administra~o e 1.800 sao de mulheres. De
administra~. 425 sao mulle<es.
(a) Os even1os "seleciooar um es1udan1e do sexo feminino"
e "selecionar uma matrlcula de administra~o· sao mutua·
mente exdusivos? Explique.
(b) Se um jornal da foculdade conduzir uma pesquisa e se·
lecionar estudantes aleatoriamente, qual a probabilidade
de que o estudante selecionado seja mulher ou estude
administra~o?
15. Oefeitos em caixas Uma empresa que fabrica caixas de papelao descobre que a probab!lidade de p<oduzir uma caixa com
(b) Rolar um numero menor que 5 ou impar.
(c) Rolar um 3 ou um numero p;ir.
19.
Oistribui~o de idades nos EUA A dismb~ porcentual esti·
mada da popula~o dos Estados Unidos para 2015 mostrada
no grafico de pizza. Encootre cada probabilidade. (fome·U.S. Cc"""'
Bvreou)
Distribui~iio de idades nos EUA
e
65 anos ou 1nais
f\1cnos de 5 ano5-
6.8%
i.1110S
•
,..~~-:s
13
(UlOS
14. 17
nnos
35044
anos
>"~-18a24
nnos
(a) Selecionar aleatoriamente alguem com menos de 5 anos.
(b) Seleciooar aleatoriamente al~ que ruo 1enha 65 aoos
oumais..
(c) Sefecionar aleatoriamente al~ que 1enha emre 18 e 34
anos.
Ed ,e 1naaa
1
C•pltulo l
20. Ponte Tacoma Narrows A<istnl:ioii;Ao de porwnagem do 11Umero
de ocupan1es de veiaJlos que atravessam a Ponte Tacoma Narr~
em Washing1on, mos1rada no gr~fico de pizza. Encontre cada
probabilidade. (Fet<r.: Ill>~ Slore Qe/xlflment o/ TrOl)$/JOllOIJon.)
~ Jj(}
322
a 300
[z.so
135
302
~ 100
Ocupantes nos carros
e
1j(}
z
j(}
~
171
131
,g 100
Um
n1ais
1.0%
ProNl>ililodt
Qua! o maior problema com o cinema?
e
~i$OU
•
SSS%
79
Cinco":]F;:::=~~
.....
1.4%Quatro
4.7%
Tres
7.6%
(a) Selecionar aleatoriamenie um carro com dois ocupantes.
(b) Selecionar alea1oriamente um carro com dois ou mais ocupanies.
(c) Selecionar aleatoriamente um carro com enue dois e cinco
ocupanles, inclusive.
21. Educa~.\o O n(Jmero de resposlas para uma pesquisa emostrado
no grAftCo de Pareto. A pesquisa pergunlou a 1.017 addlos nooe-americanos oomo eles se sentem a respeilo da qualidade da
educa(Ao recebida pelos alunos desde o jardim de infAncia ate
a 12• serie. Cada pessoa deu somente uma respos1a. Encontre
cada probabilidade. 0<fopraoodo Go.'llp All.)
Quao satisfeito voce esta com a
qualidade da educa~ao?
437
326
23. Gradua.ao em enfermagem A tabela mostra o numero de homens e mulheres ma1riculados em enfennagem no Centro de
Saude da Uni--ersidade de Oklahoma em um semesue receme.
Um estudante selecionado alea1oriamente. Enconue a proba·
bi!idade de cada evento. (Fomo: thlMilSJI)' of Oklahcmo Hec!rh Cem<r
Office ofAdrniss.<;m and Re<:etd•)
e
Esludantes de
£s1udantes de
enfermagem
outros cursos
9S
700
t.OlS
1.110
MulhE<es
1.n1
2.427
To1al
795
2.742
3.537
Homens
To1al
(a) O estudante ehomem ou estuda enfennagem.
(b) 0 estudante etruhe< OU n!O estuda enferrragem.
{c) 0 estudante n~ e mulher OU estudante de e<>ferrragem.
(d) Os eventos • sei homem· e • ser es1udan1e de enferrragem•
sao mUluamente exclusivos? Explique.
24. Pessoas canhotas Na amostrai de 1.000 pessoas (525 homens
e 475 mulheres), 113 sao cani>Otas (63 homens e 50 aruhe<es).
Os resultados da amostra sao mostrados na 1abela. Uma pessoa
selecionada alea1oriamente. Encon1re a probabilidade de cada
evemo.
e
Sexo
(a) Selecionar alealoriamente uma pessoa da amosua que nilo
esteia complelamentesatisfeila com aqlJ<llidade da educd{<lo.
(b) Selecionar alealOliamente uma pessoa que esteja de algu·
ma maneira insatisfeila ou comple1amente insatisfeila com a
quafldade da ed~.
22. Filmes O numero de respostas para uma pesquisa e mosuado
no g1Afico de Pare10. Apesquisa per81J1!ou a 1.005 adultos none-americanos qlJ<ll t!, para eles. o maior problema com o cinema.
Cada pessoa deu uma resposta. Encontre cada probabilidade.
(foolo: Aoodo:edPress.)
(a) Sele<ionar alea1oriamente uma pessoa que ache (j\Je o maiof
problema eque OS filmes nao 500 tao boos quarnoeram anies.
(b) Selecionar alea1oriamen1e uma pessoa que nao ad1e que
o maior proolema ea viol~ncia nos filmes ou o p<eco dos
ingressos.
Mio
dominante
Hom Pm
Molhar
T('ltAI
Esqueraa
63
50
113
Direit.a
462
425
887
Total
525
475
1.000
(a) A pessoa ecanhota ou mulher.
(b) A pessoa edestra Ou homem.
(c) A pessoa I*> edestra OU ihomem.
( d) A pessoa e uma mulhe< des1ra.
(e) Os eventos "ser desuo· e ·sei mulher" sao muruamente ex·
clusivos? E;tplique.
25. Caridade A iabela mos1ra os •esul1ados de uma pesquisa com
2.850 pessoas e questionou se elas estavam envdvidas em qual·
quer tipo de trabalho para caridade. Uma pessoa e selecionada
Ed ,e 1naaa
1
136 •
Cs1'\llli<uplicado
aleatoriamente da amost<a. Encontre a probabilidade de cada
evento.
£xpandindo conceitos
====-===~------------
27.
Frequentemente Ocasionalmente Nunca
Homens
Total
221
207
456
Mui heres
430
795
741
1.472
1.378
Total
428
886
1.536
2.850
(a) A pessoa efrequente oo oca~onalmente envolvida com <A·
ridade.
(b) A pessoa emulher oo nao esta envolvida com caridade.
(c) A pessoa e homem ou esia frequememente envolvida com
caridade.
(d) A pessoa emulher ou nao esta frequentemente envo!vida
com caridade.
(e) Os eventos "ser mulher e 'estar frequentemente em!OMda
com caridade" sao mutuamente exdusivos? Explique.
26. Pesquisa sobre os olhos Arabela mostta o resultado de uma
pesquisa com 3.203 pessoas que questionou se elas usam fen·
tes de contato oo 6culos. Uma pessoa e selecionada aleatoria·
mente da amos1ra. Encontre a probabilidade de cada evento.
t.entes de
Oculos
Ambos
contato
N.enhum
dosdois
Regra da adi~ao para tres eventos
A ceg<a de adi~o para a probabilidade de que os eventos Aoo B
ou Cocorram, P(A oo Bou Q. e dada por:
P(A OU 8 OU C) = P(.A) + P(B) + P(C) - P(A e 8) - P(A e C) P(.B e C) + P(.A e Be C).
No diogromo de Venn, a seguir, P(A ou B ou C) e1epresenrodo
pelas areas em dnza.
Total
Hom ens
Muiheres
64
64 1
117
456
1.538
189
427
368
681
1.665
Total
253
1.268
545
1.137
3.203
(a) A pessoa usa lentes de comato ou 6aios.
(b) A pessoa e homem ou usa lentes de contato e 6culos.
(c) A pessoa e mulher oo "30 usa nem 6culos nem lentes de
con tato.
(d) A pessoa t! homem OU rec usa 6culos.
(e) Os eventos "usar le<iles de contato" e ·usar ambos, 6culos e
lentes de comato• sao mutuamente excfusivos? Explique.
1111
Reda~o Ha uma relatao entre independencia e exdusividade
mutua? Para deciefu, encontre exemplos do que temos a segui<,
se possivel
(a) Desaever dois eventos que sejam dependentes e mutua·
mente exdusivos.
(b) Descrever dois eventos que sejam independentes e mutua·
mente exdusivos.
(c) DeSCtever dois eventos que sejam dependentes e nao se·
jam mutuamente exclusives.
(d) Desaever dois eventos que s;ejam independentes e que ~o
sejam mu1\Jamente exclusivos.
c
Nos exetdcios 28 e 29, er\COlltte P(A ou Bou q para as p<oba·
bilidades dadas.
28. P(A) = 0,40,P(B) = O,IOeP(C) = 0,50,
P(A e B) = 0,05,P(A e C) = 0,25 eP(BeC) = 0,10
P(A e BeC) = 0,03.
29. P(A) =0,38, P(B) =0,26 e P(.C) =0, 14,
P(A e 8) = 0,12,P(A e C) m 0,03 e P(.B e C) = 0.09
P(AeBeC) = 0,01.
Ati vidades
Simulando a probabilidade de rolar um 3ou um 4
Applet 0 applet Simulondo o probabi/ic!cde de rolor
vm 3 w 4 pecmite que voce investigue a p<obabilidade de
<olar um 3 ou um 4 com um dado nao tendencioso. O grafico
no canto superior esque<do na figura a seguir mostra a proba·
bilidade associada com cada cesultado da jogada de um dado.
Quando dicamos ROLL, sao cealizadas n simulaciles do expe·
rimento de rolar um dado. Os resultados das simula~s sao
mosttados no grafico de frequencia. Se maccamos a o~3o de
anima~o. o quadro mostta <Ada resultado enttando no g<.lfico
de frequencia, conforme a simulac:io e executada. Pata parar a
anima~o. desmarque a oll(Ao animac~o. Os resultados indivi·
duais sao mostrados no <Ampo de texto, que esta adireita do
applet 0 grafioo central moslra, em azul, a prop()(~O acumu·
fada de vezes que o evento de colar um 3 ou um 4 OC()(re. A
linha verde no grafico reflete a pcobabilidade real de colar um
3 ou um 4. Conforme realizamos o experimento mais e mais
~zes, a propor~o acumulada deve convergir para oval()( real.
Ed ,e 1naaa
1
-
(apltolo 3 •
ProbaMlid..te
137
~UllU
-~L
t
I
~
:
,
'
.:
~
,.
~
)
ll.I
fo
I!.
'
~
I
i; AnflNIC'
""''
....
•
2. Faca a simula~o usando <ada valor den uma vei. Limpe os
Explore
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Passo 4
Passo 5
res<Jltados ap6s cada tentatlva. Compare a p<opor~o acu·
mulada de rolar um 3 ou um 4 para cada tentativa com a
probabiidade te6rica de rolar um 3 ou um 4.
Especifique um valor para n
Oique ROLL quatro veies
CTique RESET
Especifique ouuo valor para n
CTique ROLL
3.
Supooha que \'()Ce queira modificar o applet de modo a en·
contrar a p<obal>ilidade de rolar um numero menor que 4.
Desaeva a ~o da linha verde.
Condusaes
1. Qua! a probabilidade te6rica de rolar um 3 ou um 4?
Estudo de caso
Probabilidade e estrategias para encontrar vagas nos
estacionamentos
0 Institute for Operations Research and the Management Scie<ices (INFORMS) e uma
sociedade cientifica intemacional com mais de 12.000 membros. Ela se dedica aaplica~o de
metodos cientificos para melhorar a tomada de decisaes, o gerenciamento e as opera~Oes. Os
membros do instituto trabalham principalmente nas areas de neg6<ios, govemamemais e edu·
tA:t;dQ. Repn:sentcn n ~·eos tao <JivetXJ'> quaoto lint •OS ~•eo$, pianos Je ~Ude.. optkoi;ao de l(!l'),
fore.is armadas. mercado de ~Oes e telecornunica¢es.
Um estudo publicado pe1a INFORMS foi result.ido de uma pesquisa conduzida pelo DI.
C Richard cassady, da Univ~idade Estadual do Mississipi, e pelo Or. John Kobza, do lnstituto
Politl!cnicoda Universidade de Virginia. 0 estudo sobre vagas de estacionamentos foi conduiido
em um shopping center que possui 4 entrad.ls. 7 fileiras com 72 vagas cada e restri~Oes direcionais. Os pesquisadores compararam varias estrategias para verificar qua! delas economiiava
mais tempo. As duas melhores estrategias ~ chamadas de Esco/ha uma fileira e Circute. Os
resultados sao mostrados na tabela.
Tempo OU di$t!OO.
Escolha uma fileira
Circu1e
Tempo de uma entrada at~ uma voga
37,7 segundos
52.5 sei!"ndOS
Tempo de uma enlfada at~ a P<l'la da loja
6 t ,3 segundos
10.1~
257 passos
200 passos
l.l!dia de ~cia a pt! at~ a loja
Ed 1t 1naaa
1
138
•
Escolha uma fileil"'.t Circule
Entrc ~rn uma
Enue n::i filc:ir::i mais pr6xisna. Pnre
tilcira c escolha
c1n qualqucr unl dos 20 espa~os
o lugar V-JgO
1nai.s pr6xi1nos. Sc todos cstivcre1n
1nais pr6x_irno.
ocupados. v;l p3r.1a pr6x in1 ~1 filcir.1.
Porta da loja
Exercicios
I. No estudo sabre vagas de estacionamento, cada vaga tern igual probabilidade de estar
vazia? Explique seu raciocinio.
2. De acordo com os resuhados do estudo, voce tern maior probabilidade de gastar menos
tempo usando aestrategia Escolha tJna f~a ou aCircule? E~plique.
3. De acordo com os resultados do estudo, voce tern maior probabifidade de andar menos
usando a estrategia Escolha uma fileira ou a Citrule? Explique.
4. Uma suposi~O<have neste estudo eque OS motoris1as podem vet quais vagas ~O vazias
assim que entram em uma fileira. Por que isso eimportante?
5. Um estacionamento esl<i completamente cheio e um carro sai. Qua! a probabaidade de que
este carro esteja na primeira fileira? Explique.
6. Uma pessoa es~ saindo de tJna lileira que est~ cheia. Qual a probabi idade de que essa
pessoa esteja estacionada em uma das 20 vagas que est3o mais p«io<imas ~s lojas?
7. Desenhe o diagrama do estacionamento. Use cores coma c6digos para as vagas em tres
categorias de 168 vagas cada: as vagas maisdesejadas, as vagas desejadas mode<adamen·
tee as vagas meoo. desejadas. ES1ime a probabilidade de enconuar uma vaga na categoiia
das mais desejadas. Exp!ique seu raclocioio.
m Topicos adicionais sobre probabilidade e
contagem
Permuta(oes -r Combina(iies -r Aplica(oes dos prindpios de contagem
I
Permuta~i!es
Na Se~ao 3.1, aprendemos que o principio fundamental da contagem ~ u.sado
para encontrar o numero de maneiras nas quais dois ou mais eventos podem ocorrer
Ed ,e 1naaa
1
C,,pfi•lol
em scqu@ncia. Nesta se¢o, vamos estudar diverS<1s outras tecnicas para contar o nt1mero de maneiras nas qua.is um evento pode ocorrer. Uma importante aplica(ao do
principio fundamental da contagem e detem1inar o numero de maneiras nas quais 11
objetos podem ser organi1~1dos em ordem ou em permuta~~o.
efini{ao
Uma permuta~ao e uma organiza~ ordenada de objetos. 0 ntimero de dfferentes permuta·
¢es den objetos distintos en!
A express.'io 111 eIida como 11 fatorial e edefinida a seguir.
11! =
II ·
(II - 1)- (11 - 2). (11 - 3) ... 3 · 2 · I.
•
P1oba~llidade
139
0 que voce
deve aprender
• C.Omo encootrar o numero de
1113neiras nas quais um grupo de
objetos pode ser ordenaoo.
• C.Omo encontrar o mimero de maneiras para ~narmos <iversos
objetos de um grupo sem nos Jllt!ocuparmos com aordem.
• (.omo usar os prindpios de contagem para encontrar JllObabilidades.
Como caso especial, O! = 1. Aqui temos oulros di versos valores de 11!
1! = 1;2! = 2·1 = 2;3! = 3. 2·1 = 6;4! = 4- 3·2· 1 = 24.
Dica de estudo
Exemplo [0
_1_.,______________
Encontrando oniimero de permutaioes den objetos
0 objetivo de um Sudoku 9 x 9 e preencher o quadriculado de modo que cada
fileira, cada coluna e cad a quadriculado 3 x 3 co11tenha os digitos de 1 a 9. (De qua11tas
maneiras diferentes podemos preencher a primeira fileira de um quadriculado de Sudoku 9 x 9 (que esta em branco)?
Sol11pio
Note que ~ med.ida que n aumenta, n!
tam~1n
aumenta.
Use um pouco de seu tempo,
agora, para aprender como
usar a tecla latorial em sua
calculadora.
Sudoku
0 niomero de permuta~0es e9! = 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 362.880. Ent~o, ha
362.880 maneiras diferentes nas quais a primeira fileira pode ser preenchida.
Tente Os times da divisao central da liga nacional estiio listados
voci maneiras diferentes as posir;Qes finais sao posslveis?
adireita. Quantas
1
a. Determine q11n11t1>S times, 11, estiio na divisao central.
b. Avalie 11!
Rr!$pt>5t11 11n p.
AJS
Supo11ha que voc@queira escolher al guns objetos em um grupo e coloca-los em ordem. Tai ordena~oechamada de uma pem1uta~ao de 11 objetos retirados rde uma vez.
ermuta{oes de n objetos retirados r de uma vez
0 ntimero de permuta¢es den objetos distintos retirados r de uma vez e:
n!
.P. = (n- r)!' onde r $ n.
Exemplo
m
Encontrando ,P,
Encontre o numero de maneiras nas quais podemos formar cOdigos de tres digitos em que nenhum dfgito erepetido.
Divisao cen!ral da Liga Nacional
Chicago Cubs
Milwaukee
Houston Asvos
Pinsbug Pirates
Cincir>ani Reds
BfewetS
St Louis
Cardinals
Ed ,e 1naaa
1
140 •
fst41fuica apll"da
Sol11flio
Para formarmos um cOdigo de tres d(gitos sem dfgitos repetidos, precisamos
selecionar 3 digitos de um grupo de 10, entiio 11 = 10 er= 3.
10!
101
.P. = ,.P, = (10- 3)!- 7! -
10·9 ·8·1·~ · $·~·~·i·t
1+$·~·$·i·t
- 720.
Entiio, h~ 720 maneiras possfveis nas quais o cOdigo de tres dfgitos nao tenha
dfgitos repetidos.
Tente
voc6
Uma psic61oga mostra uma lista de oito atividades para um sujeito. De quanlas maneiras possiveis o sujeito pode escolher uma primeira, uma segunda e
uma terceira atividade?
a. Encontrar o quociente de 11! e (11 - r)! (Hstar os fatores e dividi-los)
b. Escrever o resultado como uma senten~a.
lmportante
Note que o prindpio fundamental da oontagem pode
ser usado no Exemplo 3 para
obter o mesmo resultado. Podemos ver que M 43 escolhas
.para o primeiro ltigar, 42 para
o segundo e 41 para o terceiro. Podemos concluir que h~
43 · 42 · 41 = 74.046 maneiras
nas quais os carros podem
terminar em primeiro, segundo ou terceiro lugar.
Exemplo
m
Permuta,ijes den objetos retirados r de umavez
Quarenta e tres carros come~am a corrida de Daytona 500 em 20Cfl. De quantas
maneiras os carros podem terminar em primeiro, segundlo ou terceiro lugar? («1111<:
~'ASCAR.<,11rt.)
So/uflio
Precisamos selecionar Ires carros de corrida de um grupo de 43, entao 11 = 43 er
:::- 3. Em raziio de a ordem ser importante, o nUn1ero de 1naneiras nas quais os carros
podem tenninar em primeiro, segundo OU terceiro e:
P = P. = 43!
• , " ' (43 - 3)!
43
'
40!
43 ·42·41 = 74.046.
A comisslio de diretores de uma empresa tern 12 membros. Um membro e o
Dica de estudo
--~~~~~~~~~~
As letras AAAABBC podem
ser reorganizadas em 7! maneiras, mas muitas dessas ruio
silo distingufveis. 0 nomero
de maneiras distingufveis <!:
___!!_= 7·6·5 =105.
4! ·'.2!·1!
2
presidcnte, outro e0 vice-presidente, outro e0 secretario eoutro e0 tesoureiro.
De quantas maneiras essas posi¢es podem ser designadas?
a. lde11tifiq11e o numero total de 11 objetos e o numero de,. objetos escolhidos em ordem.
b. Aoolie , P,.
RCi'llSll! 1u1 I'· r\3$
Voce pode querer ordenar um grupo de 11 objetos sendo que alguns deles siio os
mesmos. Por cxemplo, considere o grupo de letras consistindo de 4 As, 2 Bs e 1 C. De
quantas maneiras podemos ordenar tal grupo? Usando a f6rmula anterior, podemos
concluir que M ,P, = 7! ordens possfveis. Entretanto, devido ao fato de alguns objetos
serein os mesmos, nem todas essas permuta¢es siio disti11g11iwis. Quantas permuta¢es
distingufveis sao possrveis? Aresposta pode ser encontrada usando a 16nnula a seguir.
P.ermuta,oes distinguiveis
0 nume<o de permuta~oes distinguiveis de n objetos, onde n, sao de um tipo e n, sao de
outro tipo e assim por diante e:
n'•
,ooden,+n,+n,+···+n,= n.
1 1 1 •.1
nr·ny·nJ.-··n
Ed ,e 1naaa
1
(•pflulo~
Exemplo
•
PIOb.lbilidodt
141
m
Permuta,oes distingulveis
Um e1npreiteiro planeja desenvo1ver um loteamento. 0 loteamento consiste e1n
6 casas terreas, 4sobrados e 2 cnsas com varios pianos. De quantas maneiras distinguf''eis as casas podem ser organizadas?
Sol11fiiO
Havera 12 casas no loteamento, 6 das quais S<io de um tipo (terreas), 4 de outro
ti po (sobrados) e 2 de um terceiro ti po (cas.1s com varios pianos). Entiio, M:
12'
6!·4!·2!
12·11 ·10·9·8·7·61
6! ·4!·2!
= 13.860 maneirasdistingui\•eis.
- - -=
fllterpretllfiiO
Ha 13.860 maneiras distingufveis para organizarmos as casas no loteamento.
T•
Um empreiteiro quer plantar seis carvalhos, nove bordos e d.nco alamos na rua
voce do loteamento. As arvores precisam ser plantadas em espac;os uniformemente
separados. De quantas maneiras distinguiveis as Mvores podem ser plantadas?
a. lde11tifiq11e o numero total de 11 objetos e o numero de cada ti po de objeto no grupo
11 11 112
eur
Rr:;pc1.;tn "" ,,, :\.~$
I
Combina(oes
Voce quer comprar tres CDs de uma sele<;iio de cinco CDs. Ha 10 maneiras nas
quais voe~ pode fazer sua sele<;ao.
ABC, ABD, ABE,
ACD,ACE,
AD£,
BCD, BCE,
BDE,
COE
Em cada sele<;ao, a ordem niio importa (ABC eo mesmo conjunto que BAC). 0
numero de maneiras para selecionar r objetos de 11 objetos sem levar em considera<;ao
a ordem eo numero de combina~oes de 11 objetos retirados r de uma vez.
lmportante
Dmbina(oes de nobjetos retirados rde uma vez
Uma combina~ao e uma sel~o de r objetos de um grupo de n objetos sem levar em coma
a ordem, e e denotada por .c,. O numero de combina<;3es de r objetos de um grupo de n
objetose:
C=
n!
• ' (n - r)!i!
Podernos p.ensar em uma combina<;ao de 11 objetos escolhidos
r de uma vez oonforme a permuta<;ao de 11 objetosdosquais
osrselooonadossaoiguaiseos
objetos 11 - ,. restantes (nao selecionados) sao iguais.
Ed ,e 1naaa
1
142 •
ls111k1ica apli<•d•
Exemplo
m
Encontrando o n6mero de combina(iies
Un1 departanH?nto de transportes es-tadual planeja descnvolver u1na nova sec;3o
de uma rodovia interestadual e recebe 16 ofertas de concorrencia para o projeto. 0
Estado plantja contratar quatro das empresas na concorr~ncia. Quantas combina<;Oes
diferentes de quatro empresas podemos seledonar das 16 empresas na concorrenda?
Soluftio
0 Estado esta selecionando 4empresas de um grupo de 16, entao 11 = 16 er = 4.
Ja que a ordem nao e importante, ha:
c- c-
16!
• • - .. ' - (16 - 4)! 4!
16!
=-12! 4!
16· 15·14 ·13·12!
12!·4!
= 1.820 combina<;Oes diferentes.
lllterpretaftiO
Ha l.820 diferentes combina<;Oes de quatro empresas que podem ser seleciona·
das a partir de 16 empresas na concorrencia.
Tente
voct
5
0 gerente de um departamento de contabilidade quer formar um comite con·
sultivo de tres pessoas dos 20 funcionarios do departamento. De quantas ma·
neiras possfveis o gerente pode formar esse comite?
a. lde11tifiq11e o mimero de objetos no grupo 11 e o numero de objetos para serem sele·
cionadosr.
b. Awlie ,C,.
c. Escreva os resultados como senten~as.
Rt"$fh~l11 ua p.
A tabela a seguir resume os prind pios de contagem.
Prin~ipio
Principia
fundamental
da contagem
Permuta~o
Descri~3o
F6nnula
Sc um ev('nto pOde <>correr dc.111 maneiras e un1
seg,undoevento pode ocorrer de 11 n1aneiras, o
1'1Un1ero de maneiras nas quais dois cventos podi?m
111 • 11
ooorrcr cnl sequCncia I!"'· 11.
0 numero de difcrentcs organiza~OcS ordenadas de
11!
11 ol>jetos distintos.
0 numcro de pcm1uta¢cs de" objctos disti11tos
rctirados rdc uma vcz, r s: 11.
II
P=__!!!__
(11 - rV.
f
0 nUmero de pennu ta~·~ distingulveis de 11
11!
objetos distinto.s ondc ,,, sSo de um tipo, ": sao de
outro tipo e assinl por diante.
Combin a~Oes
0 numero de oon1binai;<;es de robjetos selccionados
de um grupo de,, objctos sen1levar en1 conta1a
ordcm.
c=
• '
11!
(11 -r)! ll
A.18
Edifii,IJd§d
C1p1tuto 3
I
Aplica~oes dos principios de contagem
•
P10ubllld1o1t
143
· -
Retratando o mundo
Exemplo I 6
Encontrando probabilidades
Um romite consultivo de estudantes tern 17 membros, sendo que ires deles tern
as ~uintes fun¢es: presidente do cocnite, secret.irio e u.Ybmnsttr. Cada membro tern
a mesma possibilidade de estar em qualquer uma das posi¢es. Qua! a probabilidade
de selecionarmos aleatorinmente os tres membros que t~m cada posi<;ao?
Soturiio
H~ um resultado fovor<ivel e h;S:
0 maior premio da loleria.
S ~ milhOes. foi vencido na
l..oteria Mega Million. Quando
o pn'mio da Mega Million foi
vencido. cinco m'.uncros foram
escolhidos de l a 56 e um numero. a Mega Bol:\. foi escolhida entre 1 c 46. Os numeros
vena.>dores sao mostrados a
seguir
17!
17!
080
., •., =
- - - 17·16·15• 4. .
(17 - 3)! 14!
n
maneiras nas quais as trl's posi~ pod em ser preerichidas. Entao, a probabilidade de
selecionannos rorrell\mcnte os trl's membros que t~m cada posii;ao ~=
Um romit@ ronsultivo de estudanles tern 20 membros. Dois membros servem
_. como o p~idenle do romil~ co secrct;irio. Cada mcmbro tern a mesma pos6 sibilidade de tcr qualqucr umn dns posi~Ges. Qual a probabilidade de selecionarmos aleatoriamentc os dois membros que Wm cad a posi~ao?
Tente
a. Enrontre o 111i111ero de mm1eirns nas qunis as duas posi~ podem ser preenchidas.
b. Enrontre a probnl1ilidnd<• de selecionarmos rorrelamente os dois membros.
Re>~Jt~lir 1u1 p.
AJS
In
Encontrando probabilidades
Temos 11 tetras ronsislindo de um M, quatro Is. quatro Ss e dois Ps. Se as tetras
rorem organizadas em ordcm aleat6ria. qual a probabilidade de que a ordem fonne a
palavra Mississippi?
Soturtio
1-ld um rc;ultodo fnvor.Svcl c ~:
II!
1!-4!· 4!·2!
= 34.650
22
29
39 42 20
1
Plselecionando trl's membros) • - -"' 0,0002.
4.080
Exemplo
16
ll lelra-c<>m 1, 4, 4 e 2 letras iguais.
permuta~ distinguiveis das tetras dadas. Entao, a probabilidade de que a ordem
fom1e a palavra Mississippi~:
~"""" 0,000029.
34.wv
'tente Temos 6 tetras ronsistindo de um L, dois Es, dois Tse um R. Se as letras forem
wd ordenadas aleatoriamente, qual a prob.'lbilidadc de que a ordem fonne a p.17 lavra Letter?
P(Mississipi) =
a. Ermmtreo m1mero de rcsullados fovor~vcis co numero de permuta~ distingu!veis.
b. Dividn o numero de resullados fovor~veis pelo numero de pemiuta~distingufveis.
R~/H}..ttt '"' p. AlS
+
Mcgn
llol"
Sc too• rc1111pmr 11111bi111dr,1111111
n p11>bri!>ili1fndr 1lr qm• wrt' Wll\'11
11 loterin Alegn ,\ lillio11>?
Ed ,e 1naaa
1
144 •
l51.,l11lca apll<oda
Exemplo [8J
Encontrando probabi!idades
Encontre a prob01biJidade de receber cinco cartas de ouros de um b;imlho nom,al
de cartas. (No p<lquer, diz-se que Mum f111s/1 de ouros.)
SolufiiO
0 numero posslvel de maneiras de escolhermos 5 cartas de ouros de 13 e .,c,. 0
numero de maos de cinoo ca.rt.is e.,c,. Entao, a probabilidade de recebcr 5 ouros e:
P(j111sh deouros) =
1 287
,,c, = · :;::0,0005.
,,c,
2.598.960
ente Encontre a probabilidade de receber cinco cartas de ouros de um baralho norvoct ma! que tambem inclui dois ooringas. Neste caso, o coringa e considerado uma
8 carta que pode ser usada para representar qualquer carta do mai;o.
a. Enoontre o mlmero rle 111n11eir/1$ de escolhermos 5 de ouros do total de 15.
b. E11co11tre o numero de maos de cinoo cartas possiveis.
c. Divirln o resultado da parte (a) pelo resultado da parte (b).
RdJit>slll 1t11 I'·
A3S
Exemplo [9J
Encontrando probabi!idades
Um fabricante de alin1entos analis.1 uma amostra de 400 graos de milho para
a presen~a de uma toxina. Na amostrn, tres griios tem niveis perigosamente altos da
toxina. Se quatro griios forem selecionados aleatoriamente da amostra, qua! a probabilidade de que exatamente um grao tellha um nfvel perigosamente alto da toxi1ia?
Soluftio
0 n(1mero possivel de maneiras de escolhennos um g.rao t6xico de Ires graos t6·
xi cos e3C,. 0 numero possfvel de maneiras deescolhermos 3 graos nao t6xicos a partir
de 397 griios nao t6xicos e,,,c,. Entao, usando o princfpio fundamental de contagem,
o ndmero de maneiras de escolhennos um grao t6xico e Ires niio t6xicos e:
,c,.,,,c, = 3. 10.349.790 = 31.049.370.
0 nt'i1llero de n1,1neir,lS possfveis de escolhern1os 4 grC'ios de 400
e ¥/JC~ =
1.050.739.900. Enrno, a probabilidade de selecionarmos exatamente um grao t6xico e:
c. c
P(l grao t6xico) = ' ' "' '
.,,c.
31.049.370 ,,,, ,
_
0 0296
1.050.739.900
Um juri consiste de cinco homens e sete mulheres. Tres sao selecionados aleavoct toriamente para uma entrevista. Encontre a probabiilidade de que os tres sejam
9
homens.
a. E11co11tre o produto do numero de maneiras para escolhermos tr~ homens de cinco
e o numero de maneiras para escolhermos zero mulheres de sete.
b. E11co11tre o ndmero de maneiras para escoUiermos 3 membros do juri de 12.
c. Dividn o resultadoda parte (a) pelo resultado da parte (b).
R(i1Ct-'f1111n p. 1U8
Ed ,e 1naaa
1
(apltulol
Ill
22.
lintos retirados r de uma vez, o que estamos contando> De um
exemplo.
2. Quando calculamos o numero de combina¢es de r objetos telirados de um grupo de n objetos, o que estamos contando? De
um eocemplo.
Verdadeiro ou falso?
Noseocercicios de 3 a 6, detennine seas frases sao verdadeiras ou
falsas- Se f0<em falsas, reescreva·as de fonna que sejam verdadeiras-
23.
24.
25.
3. uma combin~ e uma 0<ganizai;Ao ordenada de objetos-
o numero de diferentes organiu¢es 0tdenadas de n objetos
distimos enl
26.
Se voce dividir o n<lmeio de permuta~6es de 11 ~tos rerirados
3 de uma vez po1 3!, voce obtera um n<lmero de combina¢es
de 11 objetos retirados 3 de uma vez.
6. 1Cs s 1C1
5.
Nos exercicios de 7 a 14, f~ os calculos indicados:
7. /',
8.
,,P,
9• .,C4
10.
t.
,c,
13.
,.c,
.P,
IOP4
12.
14.
27.
28.
12c"
,c,
.,cl
Nos exerckiosde 15 a 18, decida sea situai;Aoe~ permuta·
Explique.
0 numero de maneiras que 15 pessoas podem ser afinhadas em
fileira para os ing<essos de um concerto.
0 numero de manei:as que um oomite de quauo membtos pode
ser escolhido de 10 pessoasO numero de maneira.s que 2 O!Pitaes podem sec escolhidos
entre 28 jogad0<es de um time de lacrosse.
o numero de senhas de quatro letras que podem ser criadas
quando nenhuma let.ta pode ser tepetida.
~es. combina~6es ou nenhuma delas-
15.
16.
17.
18.
145
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
l!lsando e interpretando conceitos
19. Menu nas naves espaciais Cada astronauta de naves espa·
ciais oonsome uma media de 3.000 calorias diarias. Uma refei·
36.
~ao normalmente consiste de um prato principal,
um prato de
vegetais e duas sobremesas diferentes. Os astronaut.ls podem
escolhe1 entre 10 pratos principais, 8 pratos de vegetais e 13
sob<emesas. Quantas tefei<;aes diferentes sao possiveis? (Fon:•·
NASA.)
20. Esquiar Oito pessoas competem em uma corrid.l downhi" de
~- Assumindo q\le nao ha empates, de quantas maneiras di·
ferentes os esquiad0<es podem terminat a corrida?
21. C6digo de seguran~ De quantas maneiras as letras A. B, C, D,
Ee F podem ser organizadas para um c6<figo de segurant;a de
seis letras?
Organiza~ao
inicial A organizai;Ao inicial para um time de soft·
bo" oonsiste de IO jogadores- Quantas 0tdens dfferentes de reba·
1. Quando calculamos o numero de permuta¢es den objetos dis·
11.
Probabili~adt
Exercicios
Construindo habil idades basicas e conceitos
4.
•
37.
lldas sao posslveis usando a orgarnzai;Ao 1mc1al!
Se~o de numeros de loteria Uma l0teria tern 52 niimeros. De
quantas maneilas diferentes 6 <lesses oomeros podem set seleciooados? (Assuma que a ordem de se~o nao seja imPO<t.Jnte.)
Processo de fabrica~o Ha quatro processos envolvidos na produi;Ao de c.erto p<odU1o. Esses. p<oc.es.sos podem ser realizados
em qualquer ordem. 0 gerente.quer encontrar qua! O<dem oonsome menos tempo e menos dinheiro. Quant.ls ordens diferentes
terao de ser testadas?
Plantacao de arvores Um paisagista quer plantar quatro car\'a·
lllos. o~os bordos e seis alamos na finha de um gramado. As arvotes devem set espa~s unifoonemente. De q\lantas maneitas
arstingur.teis as .!NOtes podem :ser plantadas?
Grupo experimental Para oor>duzi:mos um experimento, 4 su·
jeitos sao selecionados aleatoriamente entre um grupo de 20.
Quantos grupos diferentes de 4 sao posslveis?
Letras De quantas maneiras dis1ingufveis as letras da pala1Ka sro·
tistics podem ser esaitas?
Sele~ao de juri De um grupo de 40 pessoas, um juri de 12
pessoas ~ selecionado. De quantas maneiras diferentes o juri de
t 2 pessoas pode ser selecionado?
Palavras desordenadas
tlos exerdcios de 29 a 34, faca o que ~ pe<fido.
(a) Encontre o numero de mane~as distingulveis nas quais as
letras podem ser ordenadas.
(b) Ha uma 0<dem que soleua um te1mo imponante (em in·
~) usado neste livro. Encontre o tenno.
(c) Se as letras f0<ern 0tdenadas aleatoriamente, quaI a probabi·
lidade de que a ordem forme uma palavra da pane (b)?
palmesnevte.
etre.
ediman.
unoppola1i.
sidtbitoium.
Corrida de cavalos Uma corrida de cavalos tern 12 oompetidotes. Assumindo que nao ha empates, qua! a probabilidade de
que tres cavalos que tenham o mesmo propriet.!rio terminem em
p<imeiro, segundo e 1ercei10 lugar?
Coberturas de pizzas Uma pizzaria oferece nove tipos de coberturas. Nenlltml e usada mais de uma vez. Qual a p<obabili·
dade de que as cobenuras na pizza sejam pepperoni cebolas e
champignons?
Jukebox Voe~ obse~·a as mWMis em uma jtJkebox e determina
que gosta de 15 das 56 mUsicas.
(a) Qual a probabilidade de~ voce goste das tres pt6ximas m(J.
sicas tocadas? Aswma que uma rnisica nao possa se1 repetida.
(b) Qual a p<obabilidade de que voe~ nao goste das tres pr6xi·
mas mtisicas 1ocadas? Assuma que uma musica nAo possa
ser repe6da.
Ed ,e 1naaa
1
146 •
[1mllli<4aplkado
38. Escrit6rios Os escrit6rios do presidente. do vice-p<esidente, do
secret.lrio e do tesoureiro de uma sociedade ambiental serao
pree<ldlidos de um grupo de 14 andidatos. Seis dos candidatos
sAo membros de um gwpo de debates.
(a) Qual a prchabilidade de que todos os escrit6rios ~ejam preenchidos pelos membros do grupo de debate?
(b) Qual a probabilidade de que nenhum dos escrit6rios seja
preenchido pelos membros do grupo de debate?
39. Sele~o de funcionArios Quatro rep<esemantes de 11endas de
uma empresa serao escolhidos para particip.Jr de um tceinamen·
to. A empresa tem oito representantes, dois em ada uma das
quatro regi0es. De quamas maneiras daerentes os quatro representantes podem ser selecionados se (a) nAo hou11er restritOes
e (b) a ~o induir um representante de ada regiao? (c) Qual
a probabiidade de que ""'tro representantes de llendas escolhi·
dos para participar do programa de treinamento sejam somente
de duas das quatro regiOes se forem escolhidos aleatoriamente?
40. Platas de carros Em um estado, cada numero de placa de wro
consiste de duas letras seguidas po< um numero de quatro dlgi·
tos. Quantos n0meros de placas de carros diSlintos podem ser
formados se (a) nao hou11er restri¢es e (b) as letras 0 e I n.!o
forem usadas? (c) Qual a probabilidade de selecionarmos ale.Jto·
riamente uma placa que termine em um numero fmpar?
41. Senhas Uma senha consiste de duas letras seguidas de um nu·
mero de cinco digitos. Quamas senhas s!o possiveis se (a) n.!o
houver restri10es e (b) as letras e os digitos nao forem repetidos?
(c) Qua! a prooobilidadede ad'ivinharmos a senha em uma tenta·
1iva se nao ~ restri10es?
42. C6digo de Area Um c6digo de ~rea consisle de
digitos.
Quantos c6digos s!o possiveis se (a) n.!o houver restri¢es e (b)
o primeiro digito nAo puder ser 1 oo O? (c) Qual a probabilidade
de selecionarmos um c6digo de ~rea aleat6rio que te<mine em
um numero fmpar se o primeiro digito n.!o pude< ser I oo 01
43. Reparos Em quantas ordens tees computad0<es quebrados e
duas impresSOfas quebtadas podem ser reparados se (a) n.!o
houver restri¢es, (b) as impressoras devem ser reparadas pri·
meiro e (c) os computadoces devem ser reparados primeiro? (d)
Se a ordem d05 reparos n.!o ti11er restri¢es e a ordem dos re·
par05 e feita aleatoriamente, qual a probabilidade de que uma
imp<esSO<a seja reparada primeiro?
44. Unidades com defeitos Um carregamento delO fornos micro·
-ondas con1em duas unidades defeituosas. De quanias maneiras
diferentes um restaurante pode comprar tres des~ unidades
e 1eceber (a) nenhuma unidade defeituosa. (b) uma unidade
defeitu05a e (c) pelo me.'lOS duas unidades que n.!o sejam de·
feituosas? (d) Qual a probabifidade do restaurante comprar pelo
menos duas unidades deleit1J05as?
ties
Situa~ao financeira
N05 exercicios de 45 a 48, use o gr.!fico de pizza, que mostra
conno 05 ackJlt05110fte-amerian05 class~icam sua situa\Ao financeira.
(FMre: ~·J lleseatch Center.)
Classifique sua situa~ao linanceira
Ouiro 1%
Pobre 14% _....,,...,..~
Boa 41%
Regular36%
45. Suponha que 4 pessoas sejam escolhidas aleatoriamente de um
grupo de 1.200. Qual a probabilidade de que todas as 4 pessoas
classiliquem sua situa~ financeira con10 excelente? (Assuma
que as 1.200 pessoas sao representadas no grafico.)
46. Suponha que 10 pessoos sejarn escolhidas aleatoriamente de
um grupo de 1.200. Qual a probabilidade de que todas as 10
classifiquem sua sit~o financeira c0<no pobre? (Assuma que
as 1.200 pessoas sao representacilas no gr.!fico.)
47. Suponha que 80 pessoas sejam selecionadas aleatoriamente de
um grupo de 500. Qua! a probabilidade de que nenhuma das 80
pessoas classifique sua situa1ao financeira como regula1? (Assu·
ma que as 500 pessoas sao representadas no gr.!foco.)
48. Suponha que 55 pessoas sejam selecionadas aleatoriameme de
um grupo de 500. Qua! a p<obabilidade de que nenhuma das 55
pessoas dassifique sua situatao financeira como boa? (Assuma
que as 500 pessoas s!o representadas no grAfico.)
49. Probabilidade Em uma loteria estadual, ~ deve selecionar
corretamente 5 numer05 (em qualquer ordem) de 40 para ga·
nhar o p<~io.
(a) De quantas maneiras os 5 n~meros podem ser escolhidos
dos40?
(b) Voce compra um billlete de loteria. Qua! a probabilidade de
ganhar o pr~io m.\ximo?
50. Probabilidade Uma empresa que tern 200 funcionarios escolheu um comite de 15 para 1ep1esentar os problemas rela·
cionad05 aaposentadoria dos funcionAri05. Quando o comite
foi formado, nenhum dos 56 funcionArios minoritari05 foi se·
lecionado.
(a) Use a ferramenta tecnol6gic.a para enconuar o numero de
maneiras que t5 funoon~rios podem ser escolhidos de 200.
(b) Use a ferramenta tecnol6gic.a para enconuar o numero de
maneiras que 15 funcion.!rios podem ser es<:olhidos entre
t44 que nao s!o minorit.lri(l'S.
(c) Se o comite foi escolhido aleatoriamente (sem tendencio·
si&de), qua! a p<obabilidade de que ele nAo contenha 05
minorit.ln05?
(d) Sua resposta na pane (c) inclica que a setetao do comite foi
1endenciosa? Explique.
51. cartas Voce recebe uma mao de cinco cattas de um baralho
normal. Encootre a probabi6dade <le que sua rmo contenha:
(•) quatro de "m nairie.
(b) um full house, quecoosiste em um tres de um naipe e um
dois de um naipe.
(c) tres de um naipe (as ootras duas attas s!o dife1entes uma
das outras).
(d) dois pause um dos ootr05 tres naipes.
52. Armazem Um ormazem emprega 24 trabalhadores no primeiro
tumo e 17 no segundo. Oito trabalhadores sao escolhidos aleatoriameme para serem entrevislados sob<e seu ambie.ite de uaba·
lho. Enconue a probabilidade de escolher:
(a) todos 05 trabalhadores do primeiro tumo.
(b) todos do segundo turno.
(c) seis do primeiro tumo.
(d) quatro do segundo tumo.
Ed ,e 1naaa
1
C•pflulo3 •
P10babilidode
147
Loteria da NBA Nos exerdcios de 53 a 58, use a inform~ao a
seguir. A National Basketball Association (NBA) usa uma loteria para
No graffco de Pa1eto, o numero de combina~Oes designadas
para cada um dos 14 times e mosuado. O time com maior numero
de derrotas (o pior) tern as maiores chances de ganhar a loteria.
En!Ao, o pi0< time recebe a maior frequencia de combina~oes de 4
determinar qual time ~ o primeiro sefecionado em sua sefe<:,ao anual
oUmerO$, 250. 0 time com os melhores rt:Kuftados dos )4 limes qu&
de jogadores. Os times quarmc:cdos para a loteria sao os 14 times que
nao &sputaram os playoff. catooe bolas de ping-pcmg sao nume<adas
de 1 a 14 e saocolocadasem uma c:cixa. Ac:cda um dos 14 times sao
designadas diveisas combina~oes possiveis de 4 n(Jme<os que cor·
respondem aos rnimeros nas bolas de ping·pcng. tais como 3, 8, 10
e 12. Quauo bolas sao S()(teadas para determinar a primeira escolha
na sel$. A 0<dem na qual as bolas sao sorteadas nao eimportan·
te. Todas as combina¢es de 4 numeros s.io designadas para os 14
limes avaves de computad0<, e><ceto por uma combina~o de quauo
nume<os. Quando ~a c0<nbina~o de quatro numeros e sorteada, as
bolassao colocadas de volta na cai10 e um novo soneio acontece. Pol
exemplo, se o time Afoi designado acombina>iio de quauo n(lmeros
3, 8, 10 e 12 e as bolas mostradas a seguir forem soneadas, entao o
lime A gaoha a primeira escolha.
nae esi.wam nos playoff tern menos chances, com 5 combina~oes
de 4 ntlmeros.
Expandindo conceitos
Frequencia das combina50es de 4 numeros designadas
para a loteria de sele~ao da NBA
.8 J()() r - -
.~ 2SO _210
e 200 ~ ~>
8
.g
150 .....
·i~ 100 ~
156
-
n063_,0 n-8•1
.,
119
38-
~ so ~,.!..!, J... .2. J.. ;
,
•
• Y
. '? , , , , ...,...
~ ~ ~ •
~ •
~ •
~ ~ ~ ~ ~ !
t.:..
R1111ki11g dos 14 tin1cs quc niio dispu1nr:un
vl,1w1ff, 1>i0f 1i nle pri1neiro
10/
Dejl<)is que a plimeira escolha da sel~o e determinada, o processo continua a escolher os times que irao escolher a segunda e ter·
c.eira ~ao. A ordem remanescente da sel~o e determinada pelo
nume<o de derrotas de cada time.
53. De quantas maneiras 4 dos nume<os I a 14 podem ser setecionados se a ordem nao for importante? Quantos grupos de 4
numeros sac designados pa1a OS 14 times?
54. De quantas maneiras dfoentes quatro dos nlime<os podem ser
seleci<inados sea ordem f0< imponante>
55. Para cada time, encontre a probabiliclade de que o time seja o
vencedor da p1imeira ~o.
56. Owl a probabilidade de que o time com pior resultado ganhe a
segunda sel~. dado que o time com o melh0< resultado, W
classificado, ganhe a primeira s~?
57. Qual a probabilidade de que o time com o pior resultado ganhe a
terceira se~o. dado que o melhor time, dassificado como 14•
pior time, ganhe a primeira selecAo e que o time dassificado em
2' ganhe primeiro a segunda selec;OO?
58. Qual a plobabilidade de que nem o primeiro nem o segundo pi0<
time ganhem a plimeira ~o?
Usos e abusos - estatistica no mundo real
Usos
A probabilidade afeta decisiles qua.1do realizamos a previsao do tempo, quando sao de·
terminadas estrat~ de marketing. quando mediai~iles sao selecionadas e mesmo quando
jogadores silo selecionados para times profis.sionais.. Embora a intui(Ao seja frequeotemente
usada para determinarmos as probabaidades. somos c:cpazes de avaliar a probabifidade de
que um evento ocorra aplicando asreg1as de probabilidade clAssica e probabifidade empitica.
PO< exemplo, supooha que voe! uabalhe para uma corretora de im6veis e deve estimar a
probabifidade de que cena casa seja vendida por certo pr~ dentro dos pr6ximos 90 dias. Voce
poderia usar sua imui~o. mas \'OC<! poderia avaliar melh0< a probabilidade olhando os regisiros
de vendas para c:csas similares.
Abu sos
Um abuso comum da probabilidade e achar que as probabii dades tern ' mem6ria'. Por
exemplo, se uma moeda e jogada oito vezes, a probabilidade de que ela ~A dar cara todas as
oito vezes ede somente aproximadamente 0,004. Enuetanto, sea moeda jAtiver sido la~
sete vezes e saiu c:cra em c:cda uma das vezes, a probabilidade de que a moeda irAc:cir em cara
na oitava vez e 0,5. cada jogada e independente de todas as outras jogadas. A moeda nao se
' lembra' que jA caiu em cara Sete vezes.
Ed ,e 1naaa
1
148 •
Cm1111i<HpUrada
Etica
Um diretor de recur;os humanos de uma empresa com 100 funcionarios quei mostrar
que sua empresa <IA Ofl<l<lunidades iguais a rrulhe<es e minorias. Ha 40 mulheres empregadas
e 20 funcionarios de minorias na emp<esa. Nove dessas mulheres sao de minorias. Adespeito
desse lato, o diretor repol1a que 60% da empresa eou uma mulher ou uma minoria. Se um
funcion.!rio for selecionado aleatoriameme, a p<obabilidade de que esse funcion.!rio seja uma
mulher e 0,4 ea probabifidade de que esse ful1cioo.!rio seja pane de uma minoria e 0,2. lsso
nao signilica, entretanto, que a p<obabilidade de que um fundonario selecionado aleatoriamen·
te seja mulher OU pa rte de minoria e0,4 + 0,2 OU 0,6, pocque nove funcionarios pertencem a
ambos os grupos Neste caso, seria eticamente ilcorreto omitir essa informayio de seu relatOrio. pois esses ind'rviduos setiam comados duas vezes.
Exercicios
1. Assumindo que probobilidode tem •mem6rio" Uma ioteria de numeros· diaria tern
um numero de tresdfgitos de 000 a 999. \bee ~a um bilhete a cada dia. Seu numero
e389.
a. Q\Jal a proll.lbilidade de ganhar na pr6xima tet~ ou quarta·feira?
b. Voce ganha na ter~·feira. Qua! a probabilidade de ganhar na quarta-feira?
c. Voce nao ganhou na ter~·feira. Qua! a probabilidade de g;inhar na quana·feira?
2. Micionondo probobilidodes incorretomente Uma cidade tern popul3¢o de 500 pes·
soas. Suponha que a p<obabilidade de que uma pessoa escolhida aleatoriameme tenha
uma pid<lJp e0,25 e a probabilidade de uma pessoa selecionada aleatoriame.ite ter um
SUV e0,30. O que podemos dizer sabre a p<obabilidade de uma pessoa esoolhida alea·
toriamente te< uma pickup ou um SW? Essa piobabilidade poxleria set 0,55? Poderia set
0,60? Eiplique.
Resumo do capitulo
0 que voce aprendeu?
Se~ao 3.1
• Como identincaro espa\o amostral de um experimento de probabilidade e
identificar eventos simples.
• Como usar o princfpio fundamental da contagem para encontrar o mimero de
n1aneiras nas quais dois ou 1najs eventos pode1n ocorrer.
• Como distinguir entre probabilidade d~ssica, empirica e subjetiva.
• Como encontrar o oomplemento de um eventoe como encontrar outras probabilidades
usando um diagrama de M<ore e o princfpio fundamental da contagem.
Exemplos
Exercicios
de revisao
1 e2
1a4
3e4
5e6
5a8
7a 12
9a 11
13a 16
se,Cio 3.2
•
Como encontrar probabilidades condicionais.
•
Como distinguir entre eventos dependentes e independentes.
•
Como usar a regrade multiplica\ilo para encontrar dois eventos ocorrendo em
sequencia:
P(A e 8) = P(A) · P(BIA)
P(A e B) = P(A) · P(B).
17et8
2
3a5
19e20
21 e22
Ed ,e 1naaa
1
(•pltulo}
•
Pt0l~ilidade
149
Se~ao 3.3
•
Como determina.r se dois eventos silo mutuamente exclusivos.
•
Como usar a regra de adi(~O para encontrar a probabilidade de dois eventos:
P(A ou 8) = P(A) + P(B)- P(A e 8)
2a5
23e24
2Sa34
laS
35a38
6a9
39a42
1
P(A Ou 8) = P(A) + P(B).
Se~ao 3.4
•
Como encontrar o numero de maneiras que um grupo de objetos pode ser
organizado em ordem e o m1mero de maneiras de escolher di versos objetos de um
grupo sem levar em conta a ordem.
lf !
(11 - r)!ri"
•
Como usar os principios de contagem para encontrar probabilidades.
Exercicios de revisao
Sec~o 3.1
Nos eirercicios de I a 4, identifique o espa~o amostral do experimento de probabilidade e determine o numero de resuhados no
evento. Deseohe o diagrama de arvore se 10< apropriodo.
1. Experimento: jogar quauo moedas.
Evento: ob1er tres caras.
2. Experimento: jogar dois dados de seis !ados.
Evento: obter a soma de 4 ou 5.
3. Expetimento: escolher IJ1l mes do ano.
Evemo: escolher um mes que comece com a letta J.
4. Experimento: acfivinhar o sexo de tres crian~ em uma famitl.
Evento: a famOia tem dois meninos.
Nos exerdcios 5 e 6, use o principio fundamenial da coniagem.
s. Um es1udante deve escolher entre 7 aulas para ter as 8 da manha, 4 aulas para ter as 9 e 3 para 1er as 10 da man ha. De quantas maneiras o estudante pode montar seu M<~rio?
6. As placas de carros do estado da Virgfnia IMi tres tetras seguidas
de quatro digi1os. Assumindo que qualquer letra ou dfgito pode
ser usado, quantas placas diferemes ~ possi\<eis?
Nos exercfcios de 7 a 12, classifique a frase como exemplo de
probabilidade classica, empirica ou subjetiva.
7. Com base em coniagens anteriores, um inspet0< de qualidade diz
que ha uma probabilidade de 0,05 de ~ uma ~ escolhida
aleatoriamente seia defeituosa.
a.
A probabilidade de seleciooarmos alea1oriamen1e cinco cartas de
um mesmo naipe (urn flush) de um baralho noonal ede aproximadamente 0,0005.
9. Ad1ance de as a~~es da CO<JlO<~O Acarrem ltje e de 75%.
1O. A probabllidade de uma pessoa dos Esiados Unidos ser canhota
ede 11%.
11. A probabilidade de jog¥ dois clados de seis l<ldos e obter uma
soma maie< que 9 e de 1/6.
12. A chance de selecionar aleatoltamente uma pessoa nos Estados
Unidos que telli-.a enue 15 e 24 anos e de ap<oximadamente
14%. (Fcn:.: U.S. Censvs &Peou)
Nos exercfcios 13 e 14, a iabela mosua a disuibui~o aproximada
dos tamanhos das empresas em 2004. Use a tabela para determinar a
probabilidade do even10. (Foore: us smaa Bv"""'M""""""""')
NUmero de funcionarios Oa4
5a9 IOa 19 20 a99 IOOou mais
Porcentagem de firmas 60,8% 17,7<ib I0,811b 8,9'11>
I.~
13. Q\Jal a probabifidade de que uma empresa selecionada aleatoria·
mente tenha pelo menos 10 fun~rios?
14. Q\Jal a probabilidade de que uma empresa selecionada aleatoriamente tenha menos que 20 funcionarios?
Ntlmeros de telefones
Oo n.;mcroo de 1clelooe de umo rcgi.Jo de um E<t.:ido t~m oldi
go de Area 570. Os p«>ximos sete digitos represeniam os oomeros de
telefooe locais para a regi.lo. Um niime10 de telelone local n.lo pode
com~r com Oou 1. Seu primo moo dentro do c6<frgo de area clado.
15. Q\Jal a probabilidade de gerar aleatoriamente o numero de t*fooe de seu primo?
16. Q\Jal a probabiridade de ~o g>erar aleatoriamente o numero de
telefone de seu primo?
Secao 3.2
Nos exerdcios 17 e 18, a lista mostra os resultados de um estudo
sobre o uso de notas menos e mais na Universidade Estadual da carolina do Norte. Ela mostra as porcentagens de estudantes graduados
e nao graduados que receberam notas com mais e menos (por exem·
plo, C+, A- etc.). (rofl<f: •Votlh CcJo!ile Sm Uil:'...,,.iy.)
Ed ,e 1naaa
1
150 •
l>tathlica•plicad•
17. Encontre a probabilidade de que um estudante seja nao graduado, dado que o estudante recebeu uma nota mais.
18. Encontre a probabilidade de que um estudante seja graduado,
dado que o esludante recebeu uma nota menos.
Nos exerdcios 31 e 32, use o grMico de piua a seguir, que
mostra a distribu~o de porceniagem do numero de estudames em
escolas secundarias tradicionais dos Estados Unidos. (/ldaplodo de No·
riooal ~"'fa< Educ<JOOn Sr.,,,r.a.)
Nos exerdcios 1~ e 20, decida se os eventos sao dependentes
ou independemes.
19. Jogar uma moeda quatro vezes, obtet quatro caras, jog~·la uma
quinta vez e obtet uma cara.
20. Fazer um curso de educ.J,Oo para motoristas e passar no elt(lme.
Nos exercicios 21 e 22, eocontre a p<obabilidade de sequ~
de eventos
2 t. Voce est~ lazendo compras e seu colega de quarto pede que
voce 11aga pasta de dentes e enxaguante bucal. Entretanio,
seu colega nao diz as marcas que deseja. A loja tern oito
marcas de pasta de dentes e cinco de enxaguante bucal. Qua I
a probabilidade de voce comprar a marca correta de ambos
os produtos?
22. Sua gaveta de meias tern 18 pares de meias dobladas, com 8
pares de meias brancas. 6 pares de meias p<etas e 4 pares de
meias azuis. Qual a probabifidade de, sem olhar, voce primeiro
selecionar e remover um par preto e entaoselecionar um par azul
e um par branoo?
Estudantes de escolas secundarias
600 a 999
19.8% 22.5%
Nos exercfcios de 27 a 30, determine a probabilidade.
27. Uma ca•a e selecionada aleatoriamente de um baralho. Encontre
a probabifidade de que a carta esleja entre 4 e 8 {inclusive) ou
seia de paus.
28. Uma ca•a e selecionada aleat0<iamente de um baralho. Encontre
a probabilidade de que a carla seja vermelha ou dama.
29. Umdadode 121ados,numeradode 1a 12,ejogado.Encontrea
probabilidade de que a jogada resuhe em um numero impar ou
um numero men0< que 4.
30. Um dado de 8 lados, numerado de l a 8, e jogado. Encontre a
probabilidade de que 0 resultado seja um n\imero Jlilr OU um
nUmero maior que 6.
30.0%
1.000 ou rnais
27.7%
Menos que 300
31. Encontre a p<obabilidade de selecionar aleatoriamen1e uma escol.a
com 600 ou mais estudantes.
32. Encontre a p<obabilidade de selecionar alea1oriamente uma escola
entre 300 e 999 esludantes, inclusive.
Nos exetdcios 33 e 34, use o grafico de Pareto. que mOStra o
resu!tado de uma pesquisa na qual 500 aduhos loram quesrionados
per que nem sempre comem alime'1\()S sau~
Por que voce niio come alimentos saudaveis?
175
Secao 3.3
Nos exerdcios 23 e 24, decida se os eventos sao mutuamente
exclusivos.
23. Evento A: selecione aleatoriamente uma bala de goma vermelha
deumpote.
Evento B: seleciooe a!eatoriamente uma bala de goma amarela
do mesmo pote.
24. Evento A: selecione aleatoriameme uma pessoa que ame gatos.
Evento 8: seledone aleatori.lmente uma pessoa que tenha um
cachorro.
25. Uma amostra aleat6ria de 250 trabalhadotes adultos descobre
que 37% acessam Alntetttel no trabalho, 44% acessam Alnterttel em casa e 21% acessam AInternet em casa e no trabalho.
Qual a probabilidade de que a pessoa nesta amostra sele<ionada
aleatoriamente acesse Atntemer em casa e no trabalho?
26. Uma amostra de conces~illias de carros descolxiu que 19%
dos automr\veis vend'idos sao prata, 22% sao utili1Arios esponivos
(SlN) e 26% s.lo utili1Arios espo•ivos prata. Qual a probabilidade
de que um autom<ivel vendido sele<ionado aleatoriamente seja
pra1a ou um SUV?
300 a 599
95
85
60
55
30
..." if ..,.
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8. ~
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;; ~
Q•
1i
...a
e
~
33. Encontre a p<obab~idade de selecionar aleatoriamente um adulto
da amostra que sinia que alimen1os saudaveis 1enham gosto ruim
ou sejam diffcci.s de encontrat.
34. Encontre a p<obab~idade de selecionar aleatoriamente um adulto
da amostra que nao coma alimentos saudAveis porque nae tem
tempo para cozinhar ou POf'que esteja confuso sobre nulfi,ao.
Sedo3.4
Nos exercldos de 35 a 38, use combina\;lo ou permuia~.
35. Quinze ddistas particiJlilm de uma corrida. De quantas maneiras
eles podem terminar em primeiro-, segundo ou terceiro lugar?
36. Cinco jog3dores de um lime de basquete devem escolher um
jogadO< do lime acfvers.lrio para defender. De quamas maneiras
possf\leis eles podem escolher setJ defeflSOI?
37. Um editor de uma revisia deve es:colher 4 contos para o numero
deste mes, de 17 COnlOS. De quar.t.ls maneiras diferentes 0 editor
pode escolhet os contos do mes?
Ed ,e 1naaa
1
<.pftul• 3
38. Um empiegadot deve comratar duas pessoas de uma lista de 13
ca11didatos. De quantas maneiras o emp<egador pode escolher
duas pessoas?
Nos exercicios de 39 a 42. use os prillcipios de cootagem para
encontrar a probebilidade.
39. No pOquer. um lull house consiste de tres airtas de um ripo e
duas de outro. Enconue a piobabilidade de um lull house com
tres reis e duas damas.
40. Um c6digo de segurani;a consiste de 3 letras seguidas de um df·
gito. A primeira letra nao pode ser A, Bou C Qua! a probabilidade
de adivinhar o c6digo em uma tentativa?
4 1. Um lote com 200 calculadoras tem ues defeituosas. Qual a prcr
bab;lidade de que uma amostra de tres calouladoras tenha:
•
Pwba~llidade
151
(a) nenhuma com deleito.
(b) todas defeituosas.
(c) pelo menos uma com defeito.
(d} pelo merios uma sem defeito.
42. Um lote com 350 bilhetes de rifa tern 4 bilhe1es ganhadores
Voci! compra 4 bilhetes; qua! a probabilidade de que voce tenha:
(a) nenhum bilhete vencedor.
(b) todos venced«es.
(c) pelo men05 um vencedol.
(d) pelo men05 um que nao seja vencedor.
Teste do capitulo
Fai;a este teste como se
voce estivesse fazendo uma prova em
sala. Depois compare suas respostas com as respostas dadas no final
do livro.
t. A tabela mostra o numero (em milhares) de gradua,oes conferi·
das nos Estados Unidos no ano de 2004 pos nfvel e sexo. (Fonte:
Notional ""1r.r I" fdlJ(a/ioTi S!al!Sln)
Sexo
I
Nfvel de
gra<lua~o
Homem
Mui her
Total
Associ.ldo
260
405
665
Bacharel
595
804
1.399
Mestrado
230
329
S59
Doutorado
25
23
18
Total
1.110
1.561
2.671
(e) tern doutorado, dado que a pessoa e homem.
(f) tern mestrado ou em~.
(g) tern grau associado e ehomem.
(h) e mu!her. dado que a pessoa tern bacharelado.
2. Oecida se os event05 sao mutuamente exclusivos. Entao, decida
se os eventos sao independen1es ou dependentes Explique seu
raciodnio.
EventoA: um go!fista marcando a melhor rodada em um tomeio
de quatro rodadas.
Evento 8: perder um torneio de golfe.
3. Um ca"egamento de 150 televiso<es tern 3 unidades defeitucr
sas. Determine de quantas maneiras a e1T4l'esa de vendas pode
comprar tres dessas unidades e receber (a) nenhum item defeituoso, (b) todos os itens defeituosos e (c) pelos menos uma
unidade sem defeito.
4. No Exercfcio 3, eocontre
a p<o'babilidade de a emp<esa receber
(a) nenhuma unidade defeituosa, (b) todas as unidades deleilu·
Uma pessoa que obteve uma gradua~o em 2004 e seleciona·
da a!eatoriamente. Encontre a probabifidade de que essa pessoa seja
alguem que:
osas e (c) pelo merios uma lridade sem defeito.
5. 0 c6digo de acesso para o sistema de segurani;a de um anmazem
tern seis digitos. 0 primeiro nao pode Set 0 e 0 ultimo deve set
par. Quantos c6digos diferentes est~o disponrveis?
(a) tern bacharelado.
e
(b) tern bacharelado, dado que a pessoa m"her.
(c) tern bacharelado, dado que a pessoa n~ e mulher.
(d) tern gradua,ao associado ou bacharelado.
6. Os escrit6rios de presidente, vice-presidente, secretario e tesou·
1dso t:rn Uflld t:lllJ.lfo<s ~rao Vft:t::od~ p<>1 un1a :,t:te<,:ao w111
30 candidatos. Oe qua~s maneiras diferentes eles podem ser
preenchidos?
Ed ,e 1naaa
1
15Z •
Csl!IJ>1i,.apli<•"
www.musl.com
Estatistica real - decisiies reais
Vcnccdores da
Powerball e premios
Jogo
Prfmio
5 braocase
Gr.wle
1 '"'melha pr~;,
5 br.iocas $100.000
4 brancase
Probabilidade
aproximada
1/146.107.962
1/3.563.609
s 5-000
1/584.432
4 br.iocas
s 100
1/ 14.254
3 br..-.:as,
s 100
1/11.927
S7
1/291
S7
1/745
$4
1/127
$3
1/69
I
vermelha
I vermelha
3 btanc.is
2 br..-.:as,
I
\'Cfmelha
1 branca
I
\'Cfmelha
Onde a Powerball ejogada?
A Powabn// ~ jogada em
29 cstados dos Estadas Unidos,
\\tashington D.C. e nas Uhas Virgcns
amcricanas
Voce trabalha para um empresa qtJe realiza a IO!eria Powerball, um jogo de lote<ia na qual cin·
co bolas brancas ~o escolhidas de uma cai>a contendo 55 bolas e uma bola vermelha e escolhida
de uma caixa COfltendo 42 bolas. Para ganhar o grande pti!mio, o jogador de•oe ter as cinco bolas
brancas e a veonelha. Ouuos ganha<lo<es e seus premios sao mostrados na tabela.
Trabalhando no departamento de rela¢es publicas, voce Iida com muitas dUvidas da midia e
dos jogadores. Vote recebe o e-mail a seguir.
Voce ~sta a p1obabilidade de oilier openas a bola vetmelha em 1/69. Sei, com base em mi·
nhos au/as de estatlstico, qve a p1obobilidode de ganhor eo razdo do n<imero de resuhodos
de sucesso pelo nlimero total de resulrodos. v~ podetia explir:or por que o p1obabilidade
de obter somente a bola vermelho ede 1/69?
Seu ttabalho e responde< a questAo, usando as t~icas de probabilidade aprendidas neste
capitulo pata justificar sua resposta. Ao responder a questAo, assuma que s6 um bilhete foi com·
prado.
Exercicios
1. Como vocUorio?
(a) Como voe~ investigaria a qu~ao sobre a probabilidade de se obte< somente uma bola
vermelha?
(b) Qoais metodos ~alis1icos ensinado5 neste capitulo voce llS<lria?
2. Respondendo aquestdo
Escreva uma explicar;ao que responda a(jtleStaO sobre a probabilidade de se obter aperl3s
uma bola vermelha. lndua em sua resposta quaisquer f6rmulas de probabilidade que justifi·
quern sua explica(Ao.
3. Outro questdo
Voce recebe outra quesl<io sobre como a ptobabilida<fe geral <le ganhar um premio na Po·
werboU e determinada. Aprobabilidade geral de ganhar um ptemio na Powe1bo// ede 1/37.
Escreva uma exprtcar;ao qtie respo.ida Aques1ao e inclua quaisquer f6noolas que justifiquem
sua resposta.
Tecnologia
MINITAB
L
EXCEL
L
Tl-8:1/84
L
I Simulacao: compondo uma variancia de Mozart com dados
Wolfgang Mozart (1756-1791) comp<ls uma variedade de ~as musicais. Em seu
)ogo de Dados Musical, ele escreveu um minueto Wiener com um numero quase infi·
nito de varia~<ies. Cada minueto tem 16 barras. Nas oitavas.e 16' barras, o musico tern
a escolha de duas express<'ies musicais. Em cada uma das outras 14 barras, o musico
tem a escolha de 11expresOOes.
Para criar um minueto, Moz,1rt sugeriu que o musico jogue dois dados de seis
lados por 16 vczcs. Para as oitavas e 16• barras, escolha a op~ao 1 se o total dos dados
Ed ,e 1naaa
1
(apltulo l
•
P10l<bililodt
153
for fmpar ea op~o2se for par. Para cada uma das oulras 14barras,sublraia1 do total
dos dados. 0 minueto a seguir eo resultado da sequencia de numeros:
5
7
1
6
4
10
5
l
6
6
2
4
6
s
s
2
4
3
F
fr
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7
l~E h~ M!L
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1()11 I
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12
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4/11
16
Ip
212
l
'
fxercicios
1. QuanJas e><Pfesl<les Mozan escrevaJ para aiar o minueto do
Jogo de Dodos Musical? Explique.
2. QuanJas varia>Oes possiveis hA no minueto do .logo dos Dados
Musical de Moran? bpique.
3. Use a teetlo!ogia pa1a seleciooar aleato1iamente um numero de
1 a I I.
(a) Qual ea probabilidade te6rica de cada rome10 de 1 a 11
ocorrer?
(b) Use esse procedimento iwa selecionar 100 nt1meros intei·
ros entre I e 1l. Marque seus resultados e compare com as
probabilidades da pane (a).
4. Qual a probabilidade de seleciona1 aleatoriamente as o~ 6,
7 ou 8 para a primeita barra? Epara todas as 14 barras' Encontre
cada probabifidade usando (a} probabilidade te6rica e {b) os 1esultados do Exercicio 3(b}.
5. Use a tecnologia para selecionar aleatoriamente dois nume·
ros de I, 2, 3, 4, 5 e 6. Encontre a soma e subtraia 1 para
ob1er um total.
(a) Qual a probabilidade te6rica de cada 1oral de 1 a 11?
(b) Use esse procedimen10 para selecionar 100 tOlais entre 1e
11. Marque os resuhados e compare com as probabilidades
em (a).
6. Qual a probabilidade de selecionar aleatoriamente as op>oes
6, 7 ou 8 para a primeira barra? Encontre cada probabilida·
de usando (a) probabilidades te6ricas e (b) os resuliados do
Exercicio S(b).
Ed ,e 1naaa
1
4l
Capitulo IL
l. __ __
Distri bui,oes de
probabilidades discretas
Dia t
Onde estamos
Do capilulo 1 ao 3, v~ aprendeu como coletar e descrever dados e tambem como encontrar a probabilidade de
um dado evento. Essas habilidades sao usadas em diferentes tipos de carreiras. Dados sobre as condi~Oe:s climaticas,
por exemplo, s.~o usados para analis.1r e pre,•er o tempo por
todo o mundo. Em um dia tfpico, 5.000 esta~Oes de tempo,
de 800 a 1.100 esta~6es de bal6es meteorol6gicos, 2.000 navios, 600 aeronaves, varios s.1h!lites de 6rbita polar e satelites fixos e uma variedade de outros aparelhos coletores de
dados trabalham juntos para fornecer dados para os meteorologistas us.1rem na previsao do tempo. Mesmo com todos
esses dados, os meteorolog.istas nao conseguem prever o
telll1po com exatidao. Em vez disso, eles detenninam proba·
bilidades para certas condi~ de tempo. Por exemplo, um
meteorologista pode determinar que haja 40% de chance de
chuva (baseado na frequencia relativa de chuva sob condi·
¢es clim6ticas similares).
Dia2
Dial
06
M
-0
~
/~·- • . /=0.216
0.4
•
0.6
I'(
·•>=0.144
't-0
I~
......) . 0.144
P(
···~> = 0.()96
0
{
P·robabilidade Dias de- chu'1"a
d '
0.4
6
0.6
0.4
•
•~ol
0
2
P<e.
. J ) =0.144
/~ II .
. 6) . 0.()96
2
P(ll.6 . ) =0.()%
2
P(6 .6. 6/= 0.064
3
Usando a Rigrn da Adiftio <om as probabilidades no
diagrama de <lrvore, vo~ podera determinar a probabilidade de ocorr~ncia de chuva em vMios dias. Entao, podera
usar essa infom1a¢0 parn estabelecer as distribui~Ocs de
probabilidade graficamente.
Dislribui~io de probabilidade
Dias de chuva
Marca~ao
Probabilidade
0
I
0,216
Para onde vamos
I
3
0,432
No Capitulo 4, v~ aprendera como criar e usar dislribui~6es de probabilidade. Conhecer a fonna, o centro e
a variabilidade de uma distribui~ao de probabilidade Iara
com que voce tome decis<les em estatrsticas infe.renciais.
Voce e um meteorologista que est<! trabalhando em uma
previsao de tempo de tr~ dias. Levando em considera~o
que a ocorrencia de chuva em um dia e independente da
ocorrencia de chuva em outro dia, voce determinou que
exi:sta 40% de probabilidade de chover em cad a um dos tr~s
di as (e 60% de nao chover). Quale a probabilidade de haver
chuva em 0, 1, 2ou 3 dos dias? Para responder ess.1 questao,
voce pode criar uma distribui~ao de probabilidades para
possfveis resultados.
2
3
0.288
3
I
0,064
Numero de dias. de chuva
l'I.<)
0.45
0.40
1 ~~
'.B 015
f_
0,20 -1--.-----,
0.IS
0.10
o.os
0
2
Oi;is cl¢ chuva
I
I
Ed ,e 1naaa
1
,,,
Distribui~oes de probabilidades
Variaveis aleatorias ---+ Distribui,oes de probabilidade discretas ---+ Media,
variancia e desvio padrao - > Valor esperado
I
cOflliluas.
0 resultado de um experimento de probabilidade geralmente e uma contagem
ou medida. Quando isso ocorre, o resultado ed1amado de variavel aleat6ria.
efinitao
Uma variavel aleat6ria x represema um valor numetico associado a cada resultado de um
experimento de probabilidade.
A palavra nlent6ria indica que x edeterminado pelo acaso. M~ dois tipos de variavcis alcat6rias: discrela e continua.
efinitao
Uma variavel aleat6ria e discreta se ela tem um n(Jmero finito ou comavel de possfveis resultados a serem listados.
Uma variavel aleat6fia e continua se ela tern um numero incontavel de posslveis resultados,
representados por um inteNalo na reta numerica.
Voci! conduz um estudo do nt'imero de liga~0es que um vendedor faz em um
iJnico dia. Os possiveis valores da variavel aleat6ria x saoO, 1, 2, 3, 4e assim por di ante.
Porque o grupo de res1~tados possiveis
{0, I, 2, 3, ... J
pode ser listado, x euma variavel aleat6ria discreta. Voci! pode representar esse valor
com um ponto na rein numerica.
NU1nero de liga~Oes de vendas (di.st.rein)
.-.-.-
--+--+-~-+-
0I234567S910
x pode ter ape.ias nojmeros inteiros: 0, l, 2, 3, ...
Uma forma diferente de conduzir o estudo seria mediro tempo diario (em horas)
quc um vendedor passa fazendo liga~. 0 tempo gasto fazendo liga~ pode ser
qualquer numero entre 0 e 24 (induindo fra¢es e decimais), porlanto x euma variavel
aleat6ria continua. Voce pode represcntar esse valor com wn intervalo na reta numeric(\ n1as voe\? nao poderfi listar todas as variciveis possfveis.
Horn.s: gastas em
liga~Ocs de
vendas (continua)
~-+~-t-~+-~t---;~-+~-+-~+---.~
3
deve aprender
• Como difereociar vari.lloeis alllit6rias OO:retas de vaMveis aleat6rias
Variaveis aleatorias
0
0 que voce
6
9
I!
IS
IS
21
24
x pode ter qualquer vala< e.we Oe 24.
Quando uma variavel aleat6ria e discreta, voe~ pode listar os valores possfveis
que ela pode assumir. Porem, e impossivel listar todos os valores para uma variavel
aleat6ria continua.
• Como rmntar uma dis~ibui(ao de
probabiliclades discreias e rep1eSEO!Ma graflCafllente.
• Como determinar se uma dada
dis1riboi\<lo e uma dillriboi1<10 de
probabilidade.
• Como encontrar a ml!dia, a v;;.
ri.lncia eo desvio padrao de uma
dislriboi\ao de p1obabilidade dis·
crela.
• Como encontrar o valor espeiado
de uma distribui'3Q de probabil~
dadedweta.
Ed ,e 1naaa
1
156 • [1141t11i<"plicad•
Dica de estudo
-·~~~~~~~~~~
Nas aplica~<'ies mais praticas,
vatiaveis aleat6rias discretas
r,epre.sentam dad0$ cont6vei~
'°°'
e variaveis aleat6rias
l1nuas representam dados
mensurados.
lmportante
•Valores de variaveis oomo
idade, altura e peso geralmente siio arredondados para
o ano, o centfmetro e o peso
mais pr6ximos. Porem, esses
\•alores representam dados
medidos, portanto sao variaveis aleat6rias contfnuas.
Exemplo
m
Varl~veis discretas e vari~veis contlnuas
Decida sea vari.Svcl aleat6ria .,. e discreta ou continuai. E:xplique seu racioclnio.
1. x representa um numero de tftulos na Dow Jones Industrial Average que teve um
aumento no numero de suas a¢es em um dado dia.
2. x representa o volume de agua em um conteiner de 32 on~as.
Sol11pio
1. 0 volume de titulos cujos numeros de a~ aumcntaram pode scr calculado.
10, t, 2, 3, ..., 30}
Portanto, x e wna variavel a1eat6ria discreta.
2. 0 volume de agua no cont~iner pode scr qualquer volume cntre 0 e 32 onvis. Portanto, x e uma vari~vel aleat6ria continua.
Decida sc a variavel alcat6ria x ediscreta ou continua.
1. x representa o tempo necessllrio para tenninar 1:.1n1a prova.
2. x represcnta o numero de musicas que uma banda tocou em um festival de rock.
a. Decida sc x representa dados oontaveis ou mensuraveis.
b. Condua o raciodnio e t•xplique suas decis6es.
~}1t-:l1! I UI p.
A.JS
~ importante que voce oonsiga diferenciar entre variaveis aleat6rias discretas e
contfnuas porque usamos tecnicas estatfsticas diferentes para analisar cada uma. 0
restante deste capitulo concentra·sc nas variaveis aleat6rias discretas e suas distribui~Oes de probabilidade. Voceestudara dislribui~ oontinuas mais tarde.
I Distribui,iies de probabilidade discretas
Para c:.'da valor de uma variavel aleat6ria discreta pode-sc detenninar uma probabilidade. Ao listar cada valor de uma variAvel aleat6ria com sua probabilidade oorrespondente, voce estara fonnando uma distribui~ao de probabilidade.
Uma distribui~o de probabilidade discieta lista cada valor possivel que a vaMvel aleat6ria
pode assumir, junto com sua probabilidade. Uma distribu~o de probabilidade deve preencher
as seguintes condi¢es.
Empolovros
Emsimbolos
I. Aprobabiidade de cada valOf da variavel
aleat6ria discreta eentre 0 e I, indusive.
os P(x) s 1
2. Asoma de todas as probabilidades e I.
!:P(x}=I
Como as probabilidades representam frequencias relativas, uma distribui~ao de
probabilidades relativas pode scr represcntada graficamente com um histograma de
frequencia relativa.
Ed1t11.11aaa
(apltulo 4
•
Diluiblli<6rs4e 1110Mi1Wad" dl•nflas
157
Construindo uma distribulilo de probabllidade discreta
Se11do x 11111a vnridvel nltal6ria discrtla com possiveis resultados x, x7
•••,
x,.
1. F3"' uma distribui~ de frequencias p.1ra os possfveis resullados.
2. Enconlre a soma das frequencias.
3. Encontre a probabilidade de cada resultado posslvel dividindo sua frequma
pe!a soma das frequmas.
4. Verifiquequecada probabilidadeesleja enlreOe I. indusive,equeasomaseja1.
Exemplo
1
Z
Construindo e repreuntando uma distribuiilo de probabilidade discreta por meio de
um grafico
Um psic61ogo industrial aplicou um teste de invenlario de personalidade para
idenlificar caractenslicas passivo-agressivas em 150colaboradores. Os individuos recebiam uma ponlua(3o de I a 5, scndo I extremamenle passivo e 5 extremamenle agres·
s.ivo. Uma pontua~3o 3 n~o indicava nenhuma das duas caracterfslicas. Os resullados
estJo indicados h direila. Conslrua uma dislribui¥'io de probabilidade para a variavel
aJeal6ria x. Dcpois, represcnle graficamcnle a distribui~io, usando um hislograma.
Distribui~o de frequencia
Frtqufncia, f'(x)
Escort, %
24
2
33
Soillftio
3
42
Divida a freq u~ncia de cad a ponlua(:lo pclo numero lolal de individuos no estudo para e11conlrar a probabilidade para cad a valor da va ri~vel aleat6ria.
4
30
5
21
P(l) =
I~ = 0,16
/1(2) "'
1 ~ = 0,22
3
/1(4) =
:~ = 0,20
P(S) •
I~ • 0,14
P(3) =
I~ = 0,28
Ca.racterfsticas
passivo·agressivas
l'!.<I
A distribui\Jo de prooobilidade discrela ~ apresenlada na labela a seguir.
x
P(X)
J
o.'16
I o,~ I o.~ I o.~ I 0~4
Note que 0 $ P(r)$1
e El'(x)= I
OJO
.., 0.2.S
1f
~ 0.20
;s
.l! O.IS
0 histograma esta indicado a direita. Como a espessura de cada barra e I, a =..e O.IC)
area de cada bami ~ igual ll probabilidadc de um resultado particular. Alem disso, a O.flS
probabilidade de um evento corresponde ll soma de areas dos resultados inclwdos no
evento. Por exemplo, a prob.ibilidade de um cvento •ter uma pontuayb de 2 ou 3" e
-
.-
-
~
2
ig u•I ~ som• d"" ~.re•s do ~und• o tom>ir:1 b:>rr.11',
(I )(0,22) + (I )(0,28)
-
, .s
!
~"'\;
=0,22 + 0,28 = 0,50.
Distribui?o de frequencia
I nltrprtlaftio
Ven.Us
por dja,x
N6mero de diu,/
Uma empresa rastreia o ntimero de vendas que os novos colaboradores fazem
vocl todososdiasdurante um pcriodo de 100 dias deexperienoa. Osresultadosde
l
um novo colaborador est3o indicados ll direita. Fayi a distribui¢o de probabilidades e desenhe sua representa~3o gr.lfica.
0
16
I
19
2
15
3
21
a. E11co11trc a probabilidade de cada resultado.
b. Orgn11ize as prooobilidades e111 uma distribui~1o de probabilidades.
c. Rcprcsc11tc graficamente a distribui(,'IO de probabilidades usando um histograma.
4
9
s
10
6
8
7
2
I: possfvel verificar que a dislribui~ eaproximadamenle sim<!trica.
T-
Rr'pir.-ta 11n I'· A.3S
••
Ed ,e 1naaa
1
158 •
['1atl1ti<"pt.c..io
Distribui~es de probabilidade
Exemplo
m
D'ias de
c:huva
Probabilidade P(x)
0
0,216
Verlficando distribui(oes de probabi!idade
Vcri(ique sea distribuii;5o a esquerda (ver p. 154.) e ltma distribui~o de proba~
0,432
bilidade.
2
0,288
So/ufaO
3
0,064
Caso a dislribui(ilO seja uma distribui(ilO de probabilidade, entao (1) cada probabilidade est~ entre 0 e 1, inclusive, e (2) a soma das probabilidades e igual al.
1. Cada probabilidade est~ entre Oe 1.
'
Retratando o mundo
2. Ll'M = 0,216+ 0,432 + 0,288 + 0,064 = 1
Em um ano rerenle nos Esta-
dos Unidos, aproximadamente 11 milh0es de acidentes de
trfulsito foram infonnados a
policia. Um histograma dos
addentes de transito pam di·
ferentes grupos etarios de 16
a 84 anos e mostrado a seguir.
(fl11//r. ,\'at1t11:itl Stt,':t.v Cor1,xil.)
Acidentes de transito por
idade, nos EUA
lllterprelafiio
Como ambas as condi(Oes si\o preenchidas, a distribui(iiO euma distribui(iio de
probabilidades.
a. Verfique sea pmbabilidnde de cada resultado esta entre () e 1, inclusive.
b. Verifique sea soma de todas as probabilidades e1.
c. Co11c/1m o raciocinio.
R~1~lt1 111'1 p.
A38
P(.<)
-
0 .10
-!!
0.25
Q
~
~
~
o.w
O.IS
0.10
~
f-fo-
ons '
-f-
-
h-,
Exemplo [it]
Distribuiiijes de probabilidade
Decida seas seguintes distribui~lies sao distribui~ de probabilidades.
1.
x
P(x)
5
6
7
8
0,28
0,21
0,43
0,15
2.
P(x)
ldade
£.slime Cl 1wobnl1ilidnde de qtte
1t111n pr$>M t'$COlhid11 <1/Mtorin·
uteutr possa int.10l'll't'T·:it' e111 11111
~cide11te
de lrl111sito t~l1111do 110
grupo eldrio dt• 16 a 3 · 111110$.
·'
2
3
4
I.
J
2
4
-5
-I
l
4
SolttfliO
1. Cada probabilidade esta entre 0 e 1, mas a soma das probabilidades e1,07, que e
maior que 1. Porlanto, esta 11/fo e uma distribui~ilo de probabilidades.
2. Asoma das probabilidadese \gual a 1, mas P(3)e P(4) naoestaoentreOe 1. Portanto, esta 11no e uma diSlribui~iiO de probabilidades. As probabilidades nunca podem
ser negativas ou maiores do que 1.
Decida se as seguintes dislribui~ silo distribui~ de probabilidades. Explique seu raciodnio.
1.
"
P(x)
7
8
-16I s -41
16
5
6
8
I
2.
x
P(x)
I
2
3
4
O,o9
0,36
0,49
O,&>
a. Verfique sea probabilidnde de cada resultado est<\ entre () e 1.
b. Verifiquese a soma de todas as probabilidadese 1.
c. Conclua o raciocinio.
Rdpcr!-1111111 p.
A38
Ed ,e 1naaa
1
(apltulo 4
•
Di~1ib•i<&es de prohdbilidades dl1C1eta1
I59
I Media, variancia e desvio padrao
Voce pode medir o centro de uma distribuio;ao de probabilidades com sua med.ia
e medir a variabilidade com sua variancia e desvio padrao. A media de uma vari~vel
aleat6ria discreta e definida como segue.
Media de uma varicivel aleatoria discreta
A media de uma varijvel aleat6ria discreta edada por:
(I =
LX P(x).
Cada valor de x e multiplicado por sua probabilidade correspondente e os produtos sao
adicionados.
A media de uma vari~vel aleat6ria representa a "media te6rica" de um experimento de probabilidade e, as vezes, 11ao e um resu.ltado possfvel. Seo experimento
fosse feito mil hares de vezes, a media de todos os resultadosseria pr6xima amedia da
variavel aleat6ria.
Exemplo
m
Encontrando a media de uma distribui~lo de probabi!idade
distribui(.lo de probabilidade para o teste de inventario de personalidade discutido no Exemplo 2 esta apresentada adireita. Encontre a pontuao;ao media. 0 que
voce consegue concluir?
A
Sol11plo
Use a tabela para organizar seu trabalho, como indicado a seguir. Na tabela, voce
pode verifit:<lr que a media de pontuao;ao e aproximadamcnte 2,9. A pontua,ao de 3
representa um indivfduo que nao apresenta caracteristicas passivas nem agressivas. A
media esta um pouco abaixo de 3.
x
l'(x)
xl'(x)
I
0,16
1(0,16) = 0,16
2
0,22
2(0,22)
3
0,28
3(0,28) = 0,84
4
0,20
4(0,20) 0,80
5
0,14
5(0,14) = 0,70
El'(x)= I
Ex~r)=2,94
=0,44
=
foterpretafiio
Pode-se concluir que a media da C<lracteristica de personalidade nao enem extre·
ma.mente passiva, nem extremamente agressiva, mas elevemente mais pr6xima a pas·
sividade.
Tente Encontre a media da distribui~ilo de probabilidade que voe@ fez no ·iente voe~
vod 2. 0 que voee consegue conctuir?
a. E11co11lreoprod11todecadaresultadoaleat6rioesuasprobabilidadescorrespondentes.
b. E11co11tre n so111n dos produtos.
c. 0 que voe~ pode coocluir?
x
J'(x)
1
0,16
2
0,22
3
0.28
4
0,20
5
0,H
Dica de estudo
••
Pero!baque a media no Exemplo 5 e arredondada para uma
casa decimal. Essa aproxim:i·
¢0 foi feita porque a media de
uma distribui~ de probabilidade deve ser arredondada
para uma casa decimal a mais
do que a que foi usada por
uma variavel aleat6ria x. Esta
rcl81"a de nrrttlo11da111e11to tambem eusada para a varifuicia
e p-ara o desvio padrao de uma
distribui9°10 de probabilidade.
Ed ,e 1naaa
1
160 •
[uatl1ti<Hplica&
Embora a media de uma distribui~llo de probabilidades da variavel aleal6ria
descreva um resultado tipico, ela nao da infonna<;Oes sobre a maneira que os resul·
tados varian1. Para estudar a variav1.o dos resultados, voce pode usar a vari:incia e o
desvio padr~o de uma distribui~o de probabilidades da variavel aleat6ria.
esvio padrao de uma variavel aleatiiria discreta
-tl---------- Avariancia de uma variavel aleat6ri<l discreta e:
Dica de estudo
Uma f6nnula mais sucinta
para calcular a varianci<1 de
uma distriDui~o de probabi·
lidade e:
u' = 'f;lf - 1•)' £'(/<),
0 desvio padrao e:
o2 =.g =J~l:-(<---,,) 'P(_x_),
o' = lrx'P(xl]-1<'.
Exemplo [61_
6_,__ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __
0,16
2
0,22
3
0,28
4
0,20
5
0,14
[ncontrando a variiincia e o desvio padrao
A distribui~o de probabilidade para o teste de inventario de personalidades
discutido no Exemplo 2 edada aesquerda, Encontre a variilncia e o desvio padr~o da
distribui~o de probabilidade.
Soluftlo
No Exemplo 5, voce viu que antes de arredondar o valor, a media da distribuio;<io
e I' ~ 2,94. Use a labela para organizar seu trabalho como no exemplo a seguir:
x
P(x)
X -Jl
(x-µ.)'
P(ic)(x- µ)'
I
0,16
-J.94
3,764
0,602
2
0,22
--0,94
0.194
3
0,28
0,06
0.884
0,00I
4
0,20
1,06
1,124
0,225
5
0,14
2,06
4,244
0,594
'f; P(x) = I
Ent~o, a variAncia
I
0,001
'f;P(x)(\- -
11)1 = 1,616
e:
2
u = 1,616~ 1,6.
Eo desvio padrao e:
a= ,/;;;=Jr,616" 1,3.
]l!terpretafiiO
A maioria dos valores de dados difere da med.ia nao mais que 1,3 pontos.
a, Pam cada ualor de x, e11amlre o q11admdo do desvio da m~ia e multiplique pela pro·
babilidade de x correspondente.
b. E11ro11/re a soma dos produtos enconlrados na parte (a) para as variancias.
c. Fnfn a miz q11adrada da varifincia para o desvio padrllo.
d. lllterprele os resullados,
R~ffHta un
p. _,u9
Ed ,e 1naaa
1
(•pltulo4
•
I Valor esperado
Oiluibuic6" d• pr~bilidad" disireta1
161
lmportante
A media de uma variavel aleat6ria representa o que voce esperaria acontecer em
milhares de testes. Ele tambem e chamado de Vtlior espemdo.
Na maioria das aplica¢cs,
um valor esperado de zero
ten1 un\a interpretai;cio prcl·
efinkao
0 valor esperado de uma variavel aleat6ria disaeta eigual amedia da variavel aleat6ria.
Valor esperado = E(x) = 11 = DrP(x).
Embora as probabilidades nunca possam ser negativas, o valor esperado de uma
''ariavel aleat6ria pode ser negativo.
Exemplo
m
Encontrando um valor esperado
Em um sorteio, 1.500 bilhetes s.'lo vendidos a S 2 cad a, para premios de S 500,
S250, $ lSO e S 75. Voci!compra um bilhete. Quale o valoresperadodoseu lucro?
SolufiiO
Para enoontrar o lucro para cada premio, subtraia o pre(() do bilhete do premio.
Por exemplo, o seu lucro para o pri!mio de S 500 e:
$500- $2 = $498
e o seu lucro pa.ra o premio de$ 250 e:
$250- $2 = $248.
Escreva a distribui{iiO de prob.1bilidade para os possiveis lucros (ou resultados).
Lucro,x
Probabilidade,
PM
S498
S248
$148
1
I
1
1.500
1.500
1.500
$73
- $2
1.496
--1.500 1.500
I
Agora, usando a distribui~ao de probabilidadcs, voce pode encontrar o valor
esperado.
E(x)=[xP(x)
1
1
1
~
1
1.496
= $498· +$248·- +$ 148·+ $13· -+(-S2)·l.SOO
l.500
l.500
1.500
1.500
= -$1 .35
InterprelafiiO
Como o valor esperado e negativo, voci! pode esperar perder uma media de$ 1,35
por cada bithete que oomprar.
Tente Em um sorteio, 2.000 bilhetcs s.io vendidos por S 5 cada, para premios de
_ . $ 2.000, $1.000, S 500, S 250eS 100. Voce compra um bilhete. Qua! e valor cs-
7
a.
b.
c.
d.
perado do seu lucro?
Encontre o lucro para cada prilmio.
Escreva a distribuil;lfo tit probllbilidade para os possfveis lucros.
Enoontrc o valor es11erntlo.
illlcrprele os resultados.
tica. Por exemplo, nos jogos
de aza~ um valor csperado 0
implica que um jogo e justo
(uma ocorri!ncia inoomum).
Na aru\lise de lucros e perdas, um valor esperado de
zero representa o ponto critico para evidenciar lucros.
Ed ,e 1naaa
1
[~•tllli<upli<ad•
162 •
(11
Exercicios
Construindo habilidades b.isicas e conceitos
1. O que e uma vanavel aleat6ria? De um exemplo de uma varijvel
alea16ria discreta e uma variavel aleat6ria continua. Jus1ifique sua
resposta.
2. 0 que e uma disuibuii;.Jo de probabilidade discre1a? Quais sao
as duas coodi~ees que detemiinam uma <f1S111'bui¢o de p<oba·
bilid4de?
3. O valor esperado da an.Ilise de pet~ e ganhos feita por um
contadot ezero. Explique o que isso signif!Ol.
4. Qual e a impoit3ncia da media de uma distribuii;.Jo de probabi·
lidade?
15. x representa o volume de sang..e colhido para um exame de
sangue.
16. x representa o numero de dias chuvosos no mes de julho em
Orlando, Fl6nda.
17. x representa o nurnero de home theoteJS vendidos mensalmente
em uma loja de eletrOnicos.
18. x representa a tensao com a qual as cordas de um violao aleato·
namente escolhido foram estiadas.
19. xrepresema a quantidadede n~ (em polegadas) que a iu em
Nome, AlaSc.l. no inverno passado.
20. x representa o numero total de tentativas que o indivf<luo precisa
ter para cooseguir tirar 5 ao laixar um dado.
Usando e interpretando conceitos
Verdadeiro ou false?
Nosexerckiosde 5a 8,detemiinesea afirma~aoeverdadeira ou
falsa. Se 10< falsa, reescreva·a de fe<ma que seja verdadeira.
5. Na maie<ia das apli~s. as variaveis aleat6rias continuas representam dados cont~. enquanto vari.lveis aleat6nas discretas
representam dados medidos.
6. Para uma vari.!vel aleat6ria x, a palavra oleot6rio indica que o valor
de x e detemiinado ao acaso.
7. A med'ia de uma vari.!vel aleat6ria representa a "med'ia te6ricJ' de
um experimento de prob<ibilidade e. ~s vezes. nae um resultado
possivel.
e
8. O valor esperado de uma vanavel aleat6ria discreta e igual ao
desvio padroo da vaMvet aleat6ria.
21. Teste para colaboradores Uma empresa aplicou um teste psi·
co16gico em tuncio<iarios futlJros. A variavel aleat6na x representa
os posslveis result.ldos do teste. Use o histograma para encoouar
a probabilidade que uma pessoa escolhida aleamriamente em
uma amos1tagem de pesquisa teria para conseguir uma pontua·
i;.Jo (a) maier que dois e (b) inferior a quauo.
/\<)
0.4+---
"
~
0..3
;!!
I
97.200
97"100
10. Tempo semanal que estudantes usam o computador.
11.
4
.
s
0.25
0.1
~+-o+-- l-•+o-+-t-
0
0.25
02
Analise grafica
Nos exerdcios de 9 a 12. decida se o grafico 1ep1eseota uma
vanJvel aleat6ria discreta ou uma variavel a!ea161ia continua. El<plique
seu raciodnio.
9. logos de futebol de uma faaJldade dlsputados em asa.
96.800
OJ5
12
16
~
20
Q~ntidide anu~
de mi!hii dit\gidai por ivtom6veii nos: EUA.
(Foo!e.· U.S. Fe<J.10/ l/,gl>MiyAtlm•niSlto'°".)
0
2
3
Nouis de test..:s
22. Doa,no de sangue Uma pesquisa emrevistou uma amos1ra
de pessoas sob<e quantas vezes por ano elas doam sangue. A
variavel ateat6ria x representa o n(Jmero de dcia,ees anuais. Use
o histograma para enconuar a probabirrdade de que uma pessoa
escolhida aleatoriamente na pesquisa doe sangue (a) mais que
uma vez po< ano e (b) menos queues vezes por ano.
J'(.x)
1:200 2.400 ' 2.6oo. 2.8oo 3.M:l
().30 - 0.2S - - - - - -
12. Numero anual de fatalidades no uansito dos EUA. cronre· Nar<;oo!
HYP•Wff 1ia/5c So!r.<y Ar!m<o<tt111m)
~--t---i··~-+37.(XM) ,lS.(XX) 39.000 ol0.000
Oiferenciando variaveis aleat6rias discretas e continuas
Nos exerdcios de 13 a 20, decida sea variavel aleat6ria x ediscreta
ou continua. Explique seu raciocinio.
13. x represema o <Uneto de a6dentes com motes durante um ano
na calif6rr)a.
14. x represenla o periodo necessario para chegar ao uabalho.
-I
OJiS
I I ·r
OJIJ
0.1
0.10
LL.,...L~_l_,_1_,_.t::::t:::;::i..._,
0
I
2
3
4
$
6
N\11nero de oo~oes
Oeterminando a probabilidade que falta
Nos exeid<ios 23 e 24, determine o valor de probabilidade que
falta da distriooii;.Jo de probabilidade.
Ed ,e 1naaa
1
Capn.lo 4
23. Cria11¥1S dependentes Um soci61ogo pesquisou as familias em
uma cidade pequena. A var$el aleat6<ia x rep<ese<>ta o nlimeio
de cria~ na fomlia.
x
P(<)
0
I
0,<17
0,20
2
0,38
3
4
?
0, 13
Oi>uib•i<6'S 4e probabmdadt> 411crt1as
•
163
30. Gatos 0 nomero de gatos por casa, em uma cidade pequena.
Gatos
0
I
2
3
4
5
cam
1.941
349
203
78
57
40
31. Comput;ldores 0 nUmero de comput\ldorC$ por CNS\), em vma
cidade pequena.
24. Ctian(as dependentes O mesmo soci61ogo do Exerdcio 23
pesquisou as casas de uma cidade vizinha. A variavel aleat6ria x
rep<ese<>ta 0 numeio de crian(as na farru1ia.
Computadores
32. DVDs O nllmet0 de deleitos por lote de DVDs inspecionados.
0
I
2
3
4
5
6
0.05
?
0,23
0,21
0,17
0,11
0.08
x
P(x)
ldentificando distribuit;Oes de probabilidade
Nos exerdcios de 25 a 28, decida sea distribui<;ao e uma distri·
b<Jii;ao de probabiliOOde. Caso nao seja, identifique a propriedade (ou
propriedades) que nao sao pree."ldlidas.
25. Pneus Um m~nico verificou apress.Jo dos pneus de cada um
dos carros nos quais ele trabalhou por uma semana. A van.Ivel
aleat6ria x representa o nUmeio de pneus que estavam mu1chos.
x
P(x)
0
0,30
I
2
0,25
0,25
3
0,15
0
0,135
2
0,226
I
0,186
3
0,254
4
0, 103
5
0,64
P(x)
0
I
2
3
4
5
3
-I
10
I
I
I
20
25
50
I
100
4
6
0,032
28. Tacadas de golfe 0 diretor de um torneio de golfe registrou o
numeio de tacadas necessarias para a<enar a bolinha de golfe no
buraco nos quatro cidos do t0<neio. A variavel aleat6ria x representa o numero de tacadas necessarias para acettar a bOlinha de
golfe no butaco.
x
P(x)
Pi''•
0
I
2
0,007
0,292
0,394
3
0,245
2
lotes
95
113
87
Horas extras
0
I
Funcionario
6
!2
4
5
0,058
0,004
construir a distribuii;aD de probabiidade, enconve (b) a media,
(c) a variancia, e (d) o des1"o padr~o da distribui~~o de probabilidade
e (e) interprete os resultados no5 contextos de vida real.
29. Cachorros 0 numero de cachorros po< casa, em urna cidade
pequena.
casas
1.491
2
29
5
425
5
13
8
3
4
5
6
57
42
30
16
padrao e (d) o valor esperado da disuibui~o de probabilidade, e (e)
inteiprete os resultados.
35. Teste. Os alunos de uma sala fazem urn teste com oito perguntas. 0 numeiox de perguntas respondidas eo<reuimente pode Sel
aprOJ<imado pela seguinte disuibuii;ao de probabilidade.
3
4
2
s 6 7
8
P(x) O,Q2 0,02 0,06 0,06 0,08 0,22 0,30 0,16 0,08
x
0
I
36. Chamadas para o 911 Um centro de ~os do 91 1(telefone
para emeig!ncias nos Estados Unidos) registrou o numero de
figa¢es recebidas por hora. 0 n(Jmeio de charnadas po< hora
durante um dia pode se< aprol<imado pela seguinte distribu~o
de probabllidade.
x
P(X)
0
I
2
3
4
5
6
7
0,01
0. 10
0,26
0,33
0,16
0,06
om
0,03
37. Furaooes O histograma moS11a a d~tribuD;~o de furac<les que
atingiram o terri16rio dos EUA divididos poi categorias. sendo 1 o
nivel mais fraco e 5 o mais forte. (rooro: N/J/Jonal Hurticone Cet11Ct.)
Furacoes que atiagiram os EUA
P(.f)
0
0.399
·"'° +-r-..-......,
o"""."2'6,..4 ----
035
~
0.30
-~
32 0.2$
z
i
o~o
0.15
0.10
0.066
ons
0
4
Encontrando o valor esperado
i'los exercicios de 35 a 40, use a distribuii;ao de probabilidade ou
o histograma para encontrar (a) a rrnedia, (b) a variAncia, (c) o desvio
Construindo distribui~oes de probabilidade
Nos exeicicios de 29 a 34, (a) use a distribuii;Oo de frequencia
Cachorros
3
64
Alu nos
27. Controle de qualidade Um inspetor de qualidade verificou as
impertei>6es em rolos de tecido por uma semana A variavel aleat6<ia x representa o numero de imperlei¢es enconuadas.
x
I
34. Atividades exttacurriculares. 0 numero de atividades extracurric.Aares deserwolvidas po< alumo relacionadas ~s esc00s.
0,05
aleat61ia x represenia 0 numero de Finhas telel6nicas em uso.
P(x)
0
33. Hora extra O numero de horas extras feitas por um funcionario
em utna sernana.
4
26. Linhas telefonicas Uma empresa gravou o numero de 6nhas
telefOnicas em uso por uma h0<a dwante um dia Util. A vari.lvel
x
Defeitos
14
0.01 1
~~-'---'-~'--,~=~-
2
3
4
Catcgori:,1
5
..
Ed ,e 1naaa
1
38. Ocupa\<10 dos carros 0 hisrograma mosua a dis1rib~o de pes·
soas ocupancb carros que cruzam a Pome 1iJcolno fl'c(((;w, em
Washington, todos os anos. f,A"'1plcdo do ~ S'<'> ~
o/T•- )
Ocupa~ao dos carros:
ponte Tacoma Narrow
I'(<)
0.6
'
o,sss - -
i :~
~
0,298
0..1
f. o.z
0,047
o.016
0.1
I
o,o14
..
LL,.__L,_[::J:::;:i~/,,.!Ot:l!.02_1_,
2
3
s
"
6011
39. Tamanho das casas 0 histograma mostra a disuiW~o de ta·
manhos das casas nos EUA em um ano recente. ~\daplado do
un:rMSto:es CMSuS Bureau.)
Tamanho das casas
" 0.30 0.266
'g 0.25 .L1r - - i
";g 0:20
,Z 0,I S
£ 0.10
s
0,05
2
3
4
5
6ou
O\ills
40. Ocup~o dos carros O histograma mostra a distnb~ de
pessoas pelo nlimero de carros por casa. "4<foptado do r.dcJal
Hig/>11f1fMrnliS1ffI•O")
Pessoas que dividem um carro
P(.t)
Q.35
"~
logos de azar
Nos exerdcios 45 e 46, encomre a rede de ganhos supoStos para
o jogador em uma partida do jogo. Se· x for a rede de ganhos para o
jogado< em um jogo de azar. ent.lo E(x) e. geralmen1e. negativo. Esse
val0< <la a quantidade media, por jogo, que o jogador pode esperar
perder.
45. Em uma roleta ameticana, a roda 1em os 38 numeros
00, 0, I, 2, ..., 34, 35 e 36
e
0,330
o;io
'g 0,25
computadores, (b) no mfnimo urn computador e (c) entre zero e
dois ccmputadores, inclusive.
43. Valores incomuns Uma pessoa mora em uma casa ccm trl!s
cachorros e diz que ter trl!s cachorros em casa e comum. USe as
inforrna¢es do Exerdcio 29 para <lelerminar se essa pessoa esta
correla. Explique seu raciocfnio.
44. Valores incomuns Uma pessoa mora em uma casa sern nenhum ccmtl<ltadof e diz que nao ter um computador em casa e
comum. Use as infor~Oes do Exerddo 31 para determinar se
essa pessoa est\ correta. Explique.
marcados em espa~os igualmeme divicilidos. Se um jogador aposia S I
em um ntimero e ganha, ele cootinua .:om o S I e recebe 35 d61ares
adicionais. ~ ccntrario, o d61ar per<fido.
46. Uma organi~ de caridade est<! 'll!lldendo bilhetes de rifa por
S 4 como pane de um programa para arrecadar fundos. 0 primelro premio e um barco avaliado em 3. tSO, e o segundo
pr~mio e uma barraca de camping avaliada em S450. Os ootros
15 p<emios s.lo vale-presentes ~ S 25. o numero de bilhetes
vendidos e 5.000.
P(.t)
"
42. Encontrando probabilidades Use a distri~ de probabifl·
dades que voce fez no Exereicio 31 para demonstrar a p<obabiida·
de de encontrar. alea1oriamente, uma casa que tenha (a) zero
0.25 .
o:zo
uma empresa e
S 36.000. Ao final do ano, cada funcionario recebe um b6nus
de S 1.000 e um aumento de 5% (baseado no sa~rio). Qua!
o novo salario anual (incluindo o bOnus e o aumento) para os
funcionarios7
48. A media aooal de sal.lrio dos funcionarios de uma empresa e
S36.000 com umavari.!nciade 15.202.201.Ao finaldoano, cada
fundonario recebe um b6.1us de S 2.000 e um aumento de 4%
(baseado no salario). Qual e o desvio padrao dos novos saklrios?
47. A media anual de sa~rio dos funcionarios de
0,17
016
0.13 -
!... 0,10
0,05
0
Transforma~oes lineares de uma variavel aleat6ria
Nos exercicios 47 e 48, use as seguintes informa¢es.
Para uma variavel aleat6ria x, uma nova vari.!vel aleat6ria y pode
set criada ao adotar-se uma transforma~~o linear y ~ a + bx, onde c
e b sao consiantes Se uma vari.!vel aleat6ria x tiver media 11, e desvio
padrao ... entao a media, a varian<ia e o desvio padrao de y serao
dados pelas seguintes f61mulas.
11, = a+ bu.
0,29 -
~ 0,15
Expandindo conceitos
2
3
4
NUn1cm de c.1rros por c.l.Scl
41. Encontrando probabilidades USe a diStribui~o de probabiri·
dades que voce fez no Exereicio 29 para determinar a probabilida·
de de enconuar. aleatoriameme, uma casa que tenha (a) menos
que dois cachorros, (b) pelo menos um cachorro e (c) e11tre um
e tr!s cachorros, indusive.
e
Variaveis aleat6rias dependentes e independentes
Ouas variaveis aleat6rias x e y s.lo independentes se o valor de
x Mo afetar o \'310< de y. Se as vari.!weis Mo forem independentes,
elas s.lo dependentes. Uma nova variAvel aleat6ria pode set formada
Ed ,e 1naaa
1
(apltulo 4
a.o se encontrar a soma oo diferenyi das variaveis aleat6ria~ Se uma
vari~el aleat6riax tiller media,,,. e uma vaiWtef alea16ria y liver media
l' y entao a media da soma e diferer»a das vari.lveis sera dada pe!as
seguintes equa\Oes.
l',+ 1 = I'(+ /t1
111.., = JI..,, - I',·
Se as vari.lveis aleat6rias fa<em indepeodentes, entao a variancia
e o desvio padri!O da soma oo <iferenyi das variaveis aleat6rias poderilo ser encontrados. Po~anto, se uma vai~vel aleat6ria x ti\<ei variancia
u>, e uma variml aleat6ria y liver variancia 11>t entao as var~ndas da
soma e da dfe<enyi das variaveis serao dadas pelas seguimes equa~~ N01e que a \'ilri.lncia da dife<en'3 sera a soma das varianda~
(fj
?
_
? +
•
?
a·i-y - a .r a ,-
:S 12. A di::.uibuiylo do
efinicao
Um experimento binomial e um experimen10 de probabilidade que preencha os seguintes
criterios:
I . 0 experimenlo e repetido por um numero fixo de tentativas, onde cada tentaliva e
independence das outras.
2. Ha apenas dois resultados possiveis de interesse para cada tentativa. Os resolta<los
podem ser dassificados c.omo sucesso (5) oo fracasso (F).
3. Aptobabilidade de um sucesso P(,S) ea mesma para cada tentativa.
4. Avariavel aleat6tia x contabiliza o numero de tentativas com sucesso.
otacao para experimentos binomiais
x
SAT pdld oluno") IJ'e.univt:f::.itdria)
Distribui~oes binomiais
muilos experimentos de probabilidade para os quais os resultados de cada
tentativa podem ser reduzidos a dois resultados: sucesso ou fracasso. Quando um jogador de basquete faz um lance livre, por exemplo, ele pode fazer a cesta ou nAo.
Experimentos de probabilidade como esses s.io chamados de experimentos binomiais.
q = P(F)
2
z
=a i+ CI Y
pont~o do
H~
p = P(S)
2
x-1
tern uma media de t.506 e um de:svio padr<lo de 304. Um aluno e
uma aluna sao escolhidos aleatoriameme. Suponha que setJs resulta·
dos sejam independent~ (Font<: ccU.ge 8()(}(d0r.lme.)
49. Qual e a soma media de suas pontua\Oes? Quale a diferen\a
ml!dia de suas pon1ua,0es?
so. Qual e o desvio padtAo das difeten\OS de seus resultados?
I Experimentos binomiais
Simbolo
(I
165
l\'os eocercicios 49 e SO, a distribui<;ao da pontua<;ao do SAT para
alunos pre1Jniversitarios tern media de 1.532 e um desvio padrao de
Experimentos binomiais ~ f6rmula de probabilidade binomial ~
Encontrando probabilidades binomiais ~ Representando distribui~oes
binomiais graficamente ~ Media, variancia e desvio padrao
n
Di111ibslt6'1 de p10bdbilidadt1 dl1utta1
Descri~oo
0 numero de vezes que uma 1en1a1iva e repetida
Aprobabilidade de socesso em uma 1en1a1iva unica
Aprobabilidade de fracasso em uma tentaliva unica (q ~ 1 - p)
Avari.lvel afeat6ria representa a coniagem dos numeros de sucessos nas
tentativas: x = 0, I, 2, 3, -·· n.
'lemos aqui um exemplo simples de experi mento binomial. De um baralho de
cartas comum, voce pega uma carta, verifica se o naipe ede paus ou nao, e devolve
a carta ao baralho. Voce repete o experimento cinco vezes, entiio 11 = 5. 0 resultado
para cada tentativa pode ser dassificado em duas categorias: S = tirar uma carta de
0 que voce
deve aprender
• Como detenninar se um experimenlo de probabilidade e um
experimenlo binomial.
• Como encontrar probabilidades
binorniais usando a f6rmula de
probabilidade binomial
• Como eoconlrar probabilidades
binorniais usando tecnologia, IOI·
mukls e urna iabefa de probabil;.
dade binomi3L
• Como represeotor urna distribui~ binomialgraficamente.
• Como encomrar a media, a variancia e o desvio padrao de uma
distribui(<lo de probabilidade b;.
nomial.
Ed ,e 1naaa
1
166 • es1..r1ticaopll<odo
Resultado
Tentativa
Sou f?
paus ou F= tirar uma carta cujo naipe nao seja paus. As probabilidades de sucesso
e fracasso ~o:
p= P(S) = .!.
F
4
•••
••
+ +:
3
@
.
f)
: .,
••
•• •• ;
~
..:
II~
0, 1,2,3,4e5.
do1s re.~ulu1dos
<.Jc ~\I CC~~O.
• • • l!nt5o. x=)-
4
•
s
F
I
3
q= P(F) = 4·
A vari6vel aleat6ria x representa o numero de naipl?S de paus selecionados em
t~ tentativas. Portanto, os valores possiveis de uma variavel aleat6ria ~o
:. +
2
e
Se x = 2, por exemplo, entao cxatamente duas das cinco cartas ~ode naipe de
paus, e as outras t~ nao ~o. Um exemplo de experiinento com x = 2 eapresentado ~
esquerda. Note que x eu.ma variavel aJeat6ria discreta porque seus valores possiveis
podem ser listados.
Exemplo ITT
@
Experimentos binomiais
-
~
[
Retratando o mundo
Uma pesquisa foila recentemente com donos de veiculos
nos EUA perguntou se eles
tolim diminuidosetts gastos por
conta do aumento de p~ do
combustive!. Os pesquisados
r.esponderam que sim ou nao.
(11mt1•: Unrri.. l11!rmttire.)
Peq;unta da pesquisa: Voce
diminuiu o uso de algum produto ou servic;o por conta do
aumentodep~dagasolina?
Sim
44%
Decida se o experimento ebinomial ou nilo. Caso ele seja, especifique os valores
de 11, p e q, e lisle todos os valores possfveis da variavel aleat6ria x. Caso ele nao seja,
explique o porqu~.
1. Um dado procedimento cinlrgico tem 85%de chances d:e sucesso. Um medico rea·
liza o procedimento em oilo pacienles. Avariavel aleal6ria rcpresenta o numero de
cirurgias com sucesso.
2. Uma jarra conlem cinco bolinhas de gude vennelhas, nove azuis e seis verdes. V~
escolhe tr~ bolinhas aleatoriamenle, sem /rocns. A variavel aleat6ria represenla o
n(unero de bolinhas vennelhas.
Sol11pio
1. 0 experimenlo e binomial porque ele esta de acordo com as quatro condi~s de
um experimenlo binomial. No experimenlo, cada cirurgia representa uma tentali·
va. Ha oito cirurgias e cada uma eindependenle das ou tras. Ha apenas dois resultados possfveis para a cirurgia- ou ela eum sucessoou eum fracasso. Alem disso,
a probabilidade de sucesso para cada cirurgia e de O,.SS. Finalmente, a variavel
aleal6ria .r represenla o numero de cintrgias com sucesso.
II = 8
N3o
p = 0,85
56%
q = 1-0,85 = 0,15
x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
Por q11e esse experi111e11to e bi·
"ominl? ltic11tifiq11e n probnbilid11dc de sures.<o, p. lde11tifiq11c n
prohnbilitlndt tit' fmcn:;so, q.
2. 0 experimento niio ebinomial porque ele niio esta de acordo com as qualro condi·
~Iles de um experimento binomial. No experimento, cada seleV'io debolinha de gude
represenla uma tentativa e selecionar uma bolinha vermelha eum sucesso. Quando
a primeira bolinha eselecionada, a probabilidade de sucesso e5/20. Porem, como a
bolinha de gude nao e colocada de volla na jarra, a probabilidade de sucesso por
tenlativassubsequcntes nao emaisS/20. Entao, as tentativas nao s.'io independcntes
ea probabilidade de sucesso n~o ca mesma para cada uma das tentativas.
Decida se o experimento a seguir ebinomial. Caso ele seja, especifique os va·
lores de 11, p e qe listeos valores possiveis da variavel aleat6ria x. Casoele nao
seja binomial, explique o porque.
Ed ,e 1naaa
1
(•pltuk> 4
•
Dl1uibui<6fl dt prokbili4•d1> 4iS<ret«
167
Voci! faz um teste de multipla escolha que tern 10 questOes. Cada quest<lo tem
quatro respostas possiveis, mas somente uma e correta. Para completar o teste, voce
escolhe uma resposta aleatoriamente para cada uma das questoes. A variavel aJeat6ria
r'epresenta o numero de respostas corretas.
a. ldentifique uma te11tati1111 do experimento e o que eum "sucesso."
b. Decida se o experimento Sllltefttz as q11atro co11di¢t.'$ de um experimento binomial.
c. Co11cl11a o rncioc(l1io e ide11tiftq11e 11, p, qcos valores possiveis para x.
R~fP$'" 11n p. ..u9
I
~iirmula de probabilidade binomial
Ha varias fomias de encont1ar a probabilidade de x sucessos em n tentativas de um eiq>erimento
binomial. Uma fomia e usar um diagrama de aivore e a regra de multiplica<;Jo. Outra fo0T1a e
usar a f6miula de probabilidade binomial.
Em um experimento binomiat a probabilidade de exatamente x sucessos em n tentativas e:
nl
Pf;<)= C p'cf"' . p'cf"'.
• •
(n - x)!x!
lmportante
-111~~~~~~~~~~
Na f6rmula de probabilida-
de binomial, "C' determina o
nu mero de maneiras de d1egar a x sucessos em 11 tentativ.as, independeritemente da
ordem.
.c,
n!
(11- x)!x!'
Exemplo m_
z_ _____________
Dica de estudo
Encontrando probabi!idades binomiais
Cirurgias de microfraturas no joelho t~m 75% de chance de sucesso em pacient~ com joelhos degenerativos. A cirurgia e reafizada em tres pacientes. Encontre a
probabilidade de a cirurgia serum sucesso em exatamente dois pacientes. CF""" lllo:oi<
Sol11fiiO
Metodo 1: Desenhe urn diagrama de Mvore e use a regrade multiplica~ao.
1::i
2::i
3:i
s{s-C:
F-c:
SSS
sucessos
3
SSF
2
SFS
2
l .l.l - .2.
4 4 4 - 64
l.l.l =..l.
FSS
l.l.l-.2.
2
64
4 4 4 -64
FSF
l.1.l - ..l.
FFS
4·4·4=64
4 4 4 -64
I t 3 3
0
H~ tresrsultados que t~m exatamente dois sucessos e cada
64
li·i = ~
li·i = ~
SFF
FFF
bilidade de
P1'0babilidadc
4 4 4
t-t·t =~
um tern uma proba. Portanto, a probabilidade de uma drurgia com sucesso em exatarnen-
te dois pacientes
~ 3[~];:,,0,422.
elido "11 fa.
torial" e repr.esenta o produto
<le todos os nurneros inteiros
: IQO.
NUn1ero de
Rcsultado
11!
de 11 a 1. Por exemplo,
5! =5 ·4. 3·2· 1
Ortlrdpth'llic n11d Sp.?rl51rt1'lfiriu"° C·ntt'r~)
Cirurgia Cirurgia Cirurgia
•lembwse que
Ed ,e 1naaa
1
168 •
!sl411!1kaapllcoda
Metodo 2: Use a f6rmula de probabilidade binomial.
Neste experimento binomial, os valores para 11, p, q ex sao 11 3, p=~,
4
x = 2. A probabilidade de exatamente duas cirurgias com sucesso e:
=
P(2 cintr<>ias com sucesso)
. .,
q=.!4 e
r~J' [.!.]'
4
3!)
(3-2
!2! 4
=3[1:11~1=3[!]= ~ ,.0, 422.
Uma carta e escolhida em um baralho comum e rocolocada dentro dele. Esse
experimento e repetido cinco vezes. Encontre a probabilidade de que sejam
selecionadas tres c.lrtas de pa us.
a. lde11tifiq11e uma tentativa, um sucesso e um fracas.-;o.
b. lde11tifiq11e 11, p, q ex.
c. Use af6r11111/n de prol1abilidnde bi110111inl.
Ao listar os valores possfvcis de x com a probabilidade correspondente de cada
um deles, voce pode construir uma distribui~ao de probabilidade binomial.
Exemplo
m
Construindo uma distribuir3o binomial
Em uma pesquisa, pediram que trabalhadores nos EVA indicassem a fonte de
seus rendimentos durante a aposentadoria. Os resultados estao representados no grafico. Sete dos trabalhadores que participaram da pesquisa foram escolhidos aleatoriamente e responderam que esperam poder contar com o Seguro Social como fonte de
seus rendimentos durante a aposentadoria. Crie uma distribui~ao de probabilidade
binomial para o numero de trabalhadores que responderam sim.
Principais fontes de renda para
aposentadoria, segundo expectativas
Ainda quo mais <la melade dos - e s °"""re que a 401(1<), IRA,
Keogh, oo ootras oonias de rendimen1o para aposeniadoria se)"'1l a malor
lontede ~ aprQXinaclamenio um em cada ~ ttabaiha<lores oontara com o seguro SOcial como a pmdpal bite de renc!a.
.<4
-·--
Di ca de estudo
Quando as probabilidades
silo arredondadas para um
mumero fixo <le casas decimais, a .soma das probabilidades deve ser um pouco
direrente de1.
Solupio
No gr~fico, e possivel verificar que 25% dos americanos que estao trabalhando
esperan1 contar com o segurosocial para sua renda durante a aposentadoria. Portanto,
p 0,25 e q 0,75. Como 11 7, os valores possiveis de x s.'io 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7.
=
=
=
Ed ,e 1naaa
1
(•pftulo 4
•
P(O) = 1C0 (0, 25)0(0, 75)' = 1(0, 25)' (0, 75)1 "" 0, 1335
1
1
4
P(l) = , C,(0,25) (0,75)' = 7(0,25) (0,75) ..,0,3115
2
2
Oiwibu116'1 dt probibilidod" diwet<S
x
P(x)
0
0,1335
P(2) = 7C2(0,25) (0, 75); = 21(0, 25) (0,75); "'0, 3115
P(3) = , C, (0,25)'(0,75)' = 35(0,25)'(0,75)' ..,0,1730
I
0,3115
2
U,3"U5
P(4) = , C,(0,25)'(0,75)3 = 35(0,25)'(0,75)3 .,0,0577
3
0,1730
P(S) = , C, (0,25);(0, 75)' = 21(0, 25)5(0, 75)2 "'0,0115
4
0,0577
P(6) = , C, (0, 25)6 (0,75)1 = 7(0,25)' (0,75)1 .,0, 0013
s
0,0115
P(7) = , C, (0,25)7 (0, 75)' = 1(0,25)' (0, 75)' ::o0,0001
6
0,0013
7
0,fXXJI
Veja que, na labela a direila, todas as probabilidades estao entre 0 e 1, e que a
S-Oma das probabilidades ~ 1,0001 ""I.
169
l:P(x) =1
Sete lrabalhadores que participaram da pesquisa sao escolhidos aleatoriamente c respondem se esperam que sua renda para aposentadoria dcpenda de uma
pensao. Crie uma dislribui~ao binomial para o numero de aposentados que
responderam sim.
enta
vod
a. lrle11tifiq11e uma tenlativa, um sucesso e um fracasso.
b. /rle11tifiq11e 11, p, q e valores possiveis para .r.
c. Us.• nf6r11111/n rle probflbilirlnrle bi110111in/ para cad a valor de x.
d. Use 11111n tabeln para mostrar que as propriedades de uma distribui~o de probabilidade foram alcan'3das.
I
Encontrando probabilidades binomiais
Nos exemplos 2 e 3, voct' usou a f6rmula de probabilidade binomial para encontrar as probabilidades. Uma forma mais eficiente de encontrar as probabilidades binollliais ~ usar urna ca1culadora ou un1 con1putador. Por exen1plo, vore pode cncontrar
probabilidades binomiais ao usar o MlNrfAB, o Excel ea Tl-83/84.
Exemplo
m
Dica de estudo
fncontrando uma probabilidade bi nominal usando tecno!o9ia
--111~~~~~~~~~-
Os resultados de uma pesquisa lei ta recentemente mostram que, ao assar alguma
coisa, 59%das casas nos Estados Unidos usam uma grelha a gas. Se voce seledonar 100
c.'lsas alc..itorian1cntc~
qual
~
a
probabilidadc de que cxatan1ente 65 rn~s usem uma
grelha a gas? Use uma ferramenta tecnol6gica para encontrar a probabilidade. (Foute:
Gnvnfofd 0Jtli11rfr:11 \\'tlll'r-S1~1if:t•us Pttl(forb Cmn~ur,v.)
So/11pio
0 MINffAB, o Excel e a Tl-83/84 oferecem fun<;(jes que permitem que voe~ encontre probabilidades binomiais automaticamente. Tente usar essas tecnolog)as. Voe~
deve obter resultados pareddos com os que seguem:
MINITAB
l
Probability Distribution Function
Binomial with n = 100 and p = 0.590000
x
P(X=x)
65.00 0.0391072
Tl-83/84
l
binompdij100..59.65)
.0391071795
Como encontrar uma proba·
bilidade binomial usando
uma Tl-83/84:
l2ndlmsrn
0: bin,ompdf(
Entre com os valores de 11, p e
x s>eparados por vfrgulas.
I ENTERI
Ed ,e 1naaa
1
170 •
[\141f1li<upli<ad•
EXCEL
l
A
1
B
c
D
BINDMDIST (65, 100.0.59. FAl.SE)
2
0.039107
Das telas, voce pode verificar que a probabilidades d.e que exalamente 65 casas
usem uma grelha a gas epor volla de0,04.
Os resultadosde uma pesquisa lei ta recenlementeindicam que71%daspessoas nos Estados Unidosoolocam mais de um recheio em seus cachorros quentes.
4 Se voe~ escolher 250 pessoas aleatoriamente, qua! e a probabilidade de que
exatamente 178 delas coloquem mais do que um recheio? Use uma lerramenta tecnoTen1e
vocil
16gica para encontrar a probabilidade. (ft'11tlt: ICR Sun't'.V ~n1<1'Grt111p far Htbrta• luttrnntfot,VJI.)
a. lrlc11tifiq11c 11, pc x.
b. Calwle a probabilidade binomial.
c. Escreva o resultado em forma de senten9a.
b inOMPdf (4, . 41 ,2
)
. 351093 66
Exemplo OJ
Encontrando probabilidades binomiais usando formulas
lliando a Tl-83/84, podemos eoconttar
a p<obabilidade automaticamente.
Dica de estudo
-·~~~~~~~~~
0 complemento de "x e ao
ntenos 2" e "x e menos que
2". Ent~o. uma outra maneira
de encontrar a probabiJidade
da parte 3e:
P(x <2);=1- P<x;o:2J
""1- 0,542
=0,458.
b inoMcdf (4, . 41 , 1
)
.45799517
Uma pesquisa indica que 41% das mulheres nos Es.tados Unidos tem a leitura como atividade de lazer preferida. Voce escolhe, aleatoriamente, quatro mulheres
norte-americanas e Ihes pergunta se elas t@m a leitura com<> atividade de lazer preferida. Enconl.re a probabilidade de que (1) exatamente duas delas respondam sim, (2) no
m(nimo duas delas respondam sim e (3) menos que duas delas respondam sim. (fo111<;
I.mi~ llnn;~ & A..'~i.ttc..:.)
Sol1tftiO
1. Usando 11 = 4, p = 0,41, q = 0,59 ex= 2, a probabilidade de que exatamente duas
mulheres respondam sim e:
P(2)= ,C.,(0,41)1 (0,59) 2 =6(0, 41) 2(0,59)' ,.,0,351.
2. Para encontrar a probabilidade de que no minimo duas mulheres respondam sim,
encontre a soma de P(2), P(3) e 1'(4).
P(2)= , c,(o, 4l)'(0,59)' = 6(0.41)'(0, 59)' "'o,351094
P(3) = ,C3 (0,4l)'(0,59)1 = 4(0,41)3(0,59)1 ""0,162654
P(4)=, C,(0.41)'(0,59)0 =1(0,41)'(0,59)0 "'0,028258
Portanto, a probabilidade de que no m(nimo duas mulheres respondam sim e:
P(x 2:;2)= P(2)+ P(3)+ P(4)
..o,3s1094+0,162654+0.028258
A fun~o densidade awmulada (CDf)
calcula a prob.lbilidade de ·x ou meno~· sucessos. A CDF adiciona ~reas
para valores de x dados e todos aqueles
~
sua esquerda.
~o,542
3. Para encontrar a probabilidade de que menos que duas mulheres respondam sim,
encontre a soma de P(O) e P(l ).
P(O) =, C0 (0,4l)"(0,59)' = 1(0, 41}°(0,59)' "'0,121174
P(l) = ,C,(0,41)1(0,59)' = 4(0,41)1(0,59)' "=0,336822
Ed ,e 1naaa
1
(•pitulo 4
•
Oislli~ui(OfSff PIONbilid•d~ diWret41
171
Portanto, a probabilidade de que menos que duas mu Iheres respondam sim e:
P(x <2)= P(O)+P(I)
:::,0,121174 + 0,336822
=
,.Q,458.
Uma pesquisa indica que 21 % dos homens nos Estados Unidos !em a pesca·
ria como atividade de laz.er preforida. Voce esoolhe, aleatoriamente, qualro
5
homens norte-americanos e pergunta se eles tem a pescaria oomo atividade
de lazer preferida. Encontre a probabilidade de que (1) exatamente dois deles res·
pondam sim, (2) no minimo dois deles respondam sim e (3) menos quc dois deles
r-esponda1n si1n. (Fo1ilr: U•ui-! llnrrrs & :\!iwiutr.s.)
a. Determine os oolores nproprintfos pnrn x em cada situa~o.
b. Enoontre a probnbilitfntfe bi110111inl para cada valor de x. Depois, enoonlre a soma, se
necess.irio.
c. Escrevn o resultado em lorma de senten~a.
R~>c>S.111 11n p. Al9
Enoontrar as probabilidades binomiais com a f6rmula de probabilidade binomial
pode serum processo cansativo. Para facilitar esse processo, voce pode us.1r uma tabe·
la de probabilidade binomial. ATabela 2 no Apendice Blista a probabilidade binomial
para valores selecionados de 11 e p.
Exemplo
m
Encontrando uma probabi!idade binomial usando a tabela
Por volta de 30% de traba.ll1adores adu.ltos gastam menos de 15 minutos para
chegar ate scus locais de traba.lho. Voce esoolhe scis trabalhadores de forma aleat6ria.
Qual e a probabilidade de que exatamente tres deles pnSSCJn menos de 15 minutos
cada no c.1minho para o traoolho? Use a tabela para enoontrar a probabilidade. (ro111r.
lJ.S. Cl'u~rJ~ Burrou.)
Sol11fiio
Uma por~o da Tabela 2 no Ap@ndice Best~ a seguir. Usando a distribui~3o para
"=6 e p =0,3, voce pode encontrar a probabilidade de que x =3, oonforme destacado
nas areas da tabela:
p
x
I
O,OS
0,10 0,15
0,20 0,25 0,30 O,JS O;fO 0,45 O,SO
0,SS
0,60
0 0,980
I 0,020
2 0,000
3 0 0,970
J 0,029
2 0,000
3 0,000
0,902
0,095
0,002
o,857
0,135
0,007
0,000
0,810
0, 180
0,010
0,729
0,243
0,027
0,001
0,723
0,255
0.023
0,614
0,325
0,057
0.003
0,640
0.320
0,040
0,512
0.384
0.096
0.008
0.563 0,490
0,375 0.420
0,063 0,090
0.422 0,343
0.422 0,441
0,141 0,189
0,016 0,027
0,303 0,250
0.495 Q,500
0,203 0,250
0,166 0,125
0,4-08 0.375
0,334 0.375
0,091 0,125
0.203
0,495
0,303
o,091
0,334
0,403
0,166
0.160
0,480
0,360
0,064 I
0.288
0,432 '
0,216
6 0 0,941
I 0,057
2 0,001
3 0.000
4 0,000
5 o.ooo
6 0,000
0,735 0.531
0,232 0.354
0,031 o,098
0,002 0,015
0,000 0,001
o,ooo o.ooo
0,000 0,000
0.377
0.399
o.176
0,042
0.006
o,ooo
0,000
0.262
0.393
0,246
0.082
0,015
0,002
0.000
0.178 0,118 0.075 0,047 0,028 0,016
0.356 0,303 0.244 0.181 0,136 o,m
0.297 JlJl:!. o.m 0.311 o.278 o,234
0.132~,236 0,276 0,303 0.312
0,033 0,060 0,095 0.138 0.180 0,234
o,OOI 0.010 0.020 0,031 0.061 o,m
0.000 0,001 0,002 O.OOI 0.008 0,016
0,008
0.061
0,180
0,303
0,278
0,136
0,028
0,00l ,
o,037
0.138
0,276
0.311
0,187
0,047
"2
0,01
0,423
0,455
0,123
0,275
0,444
0.239
0,043
0,360
Q,480
0,160
0,216
0,432
0,288
0,064
· :~ Par.a explorar mais este t6pico,
ver 4.2 Atividades nap. 177.
Ed ,e 1naaa
1
Portanto, a probabilidade de que exatamente tr~ de seis trabalhadores passem
menos de 15 minutos cada no caminho para seus locais de trabalho e0,185.
en Quarenta e cinco por centode todas as pequenas empresas nos Estados Univocf dos ten1 un1 site na lnternet. Se v~ selecionar 10 pequcnas enlpresas de for·
6 ma aleat6ria, qual ea probabilidade de que exatamente quatro delas tenham
um site na Internet? Use a tabela para encontrar a probabilidade. (Fo>111r. Hn«m·Pllt"!nnl
Con1pnny.)
a.
b.
c.
d.
lrle111ijiq11e uma tentativa, um sucesso e 11m fracasso.
ldentifique 11, p ex.
Lise a Tabela 2 no A~ndice B para encontrar a probabiUdade binomial.
ES<"reva o resultado em forma de senten\a.
I
Representando distribui,iies binomiais 9raficamente
Na Se<;ao 4.1, vocc aprendeu como representar graficamente distribui<;Oes de
probabilidades discretas. Como uma distribui<;iio binomial e11ma distribui\ao de probabilidade discreta, voce pode us.1r o mesmo processo.
Exemplo
m
Representando uma distribulfao binomial graficamente
Cinq11enta e nove por cento das casas nos Estados Ulnidos assinam lV a cabo.
pergunla a cad a uma delas se etas assinam
·rv a cabo. Construa uma distribui\<io de probabilidade para a vari~vel aleat6ria x.
Depois, represente graficamcnte a distribui\<io. (fo11w; "'1gm1 RNmrli, Uc.)
Voe~ seleciona seis casas aleatoriamente e
Solupio
Para construir a distribui<;iio binomial, encontre a probabilidade para cada valor
de .t. Us.1ndo 11 ; 6, p = 0,59 e q; 0,41, voe~ vai obter o seguinte:
.t
P(x)
0
l
2
3
4
5
6
0,005
0,041
0,148
0,283
0,306
0,176
0,042
Voce pode representar uma distribui<;iio de probabilidade graficamente usando
un1 histogranla, como a seguir.
Assinaturas de TV a cabo
l'(,f)
OJ.I
,,
~
~
:2
]
.2
l.
030
0.25
0.20
0.15
0.10
Ol)S
0
'
3
C:ts.i1s
•
5
•
x
Ed ,e 1naaa
1
(apllulo4
•
foterpretnfiiO
No histograma voce pode ver que seria incomum nenhuma ou somente uma das
casas assinaren11V a cabo, por conta dns baixas probabilidades.
cntc Sessenta e dois por cento das casas nos Estados Unidos tenl tUll con1putador.
Voe~ seledona seis casas de forma alea16ria e !hes pergunta se etas tem um
7 computador. Construa uma distribui~o de probabilidades para a vari<lvel alent6ria x. Depois, represente grafica1nente a distribui~o. <Fcintt: U.S. o..1,,ut1it<J1t <ifCt.m11t:1·rc...)
vod
a. E11co11fre a probabilidade binomial para cada valor da vari<\vel aleat6ria x.
b. Orga11ize os valores de x e suas probabilidades correspondentes em uma distribui·
~30 binomial.
c. Use um histograma para representar n tfistrib11i(ilo bi110111inl grn{iro111e11te.
R~tn 1t1111• .-U9
Veja no Exemplo 7 que o histograma est<\ indinado para a esquerda. 0 grafico de
uma distribui~ao binomial comp> 0,5 einclinado para a esquerda, enquanto o grafico
de uma distribui~3o comp< 0,5 eindinado para a direita. 0 grafico de uma distribui·
-;;ao binomial comp = 0,5 e simetrico.
Lembre·se de que, caso uma probabilidade seja de 0,05 ou menos, ela econside·
rada incon1u1n.
I
Media, variancia e desvio padrao
Embora voce possa usar as f6rmulas aprendidas na ~ao 4.l para media, vari·
iincia e desvio padrao de uma distribuiy1o de probabilidade discreta, as propriedades
de uma di.stribuii;!io binomial permitem que voce use (6rmulas muito mais simples.
arametros populacionais de uma distribui,ao binomial
Media: 11 = np
Variancia:
u' = llfXI
Desvio padrao: u =
Exemplo
Jnpq
m
Encontrando e interpretando a media, a variancia e o desvio padrao
Em Pittsburgh, PensilvAnia, cerca de 56% dos di as Sl'io nu bl ados. Enconlre a me·
dia, a variancia e o desvio padrao para o numero de dias nublados durru1te o m~ de
junho. lnterpretc os resultados e determine quaisquer valores incomuns. (r""'" :-;,,...,,,,
011rr111fr lMta CtJttrr.)
Sol11fao
No m~ de junho ha 30 dias. Usando 11 = 30, p = 0,56 e q= 0,44
\•Oct! poder~ encontrar a m~dia, a variancia e o desvio padr3o co11forme apresentado
a scguir:
11=11p=30·0,56
=16,8
u' = 1111q= 30·0,56·0, 44
~7,4
u = ,fzM= J30·0,56·0,44.
~2,7.
OiWihmi<OPS de p1obaWlidadPS dl10Has
IB
Ed ,e 1naaa
1
171;, •
[>t.il1ti<upli"do
TuterprelafiiO
Em media, M 16,8 dias nublados durante o mes de ju nho. 0 desvio padrao ede
aproximadamente 2,7 dias. Valores que s.io mais do que dois desvios padrees da me·
dia sao considerados incomuns. Dado 16,8 - 2(2,7) = 11,4, um mes de junho com 11
dias nublados seria incomum. Da mesma fonna, por tennos 16,8 + 2(2,7) = 22,2, um
mes de junho com 23 dias nublados tambem seria considerado incomum.
ente
Em S.'lo Francisco, Calif6rnia, 44% dos dias em 1 ano apresentam tempo limpo.
vocf Encontre a media, a variftncia e o desvio padrao para o numero de dias limpos
duranteo mils de maio. lnterprete os resultados e determine quaisquer valores
incomuns. tF011tt': N'11ro1:aJCl1m11t1< Olitn C111ti'r.)
a. lde11tifiq11e um sucesso e os valores de 11, p e q.
b. E11co11tre o prod11to de 11 e p para calcular a media.
c. E11ro11/re o prod11to de 11, p e q para a variftncia.
d. Encontre n rniz-quntfradn das varifincias para o desvio padrao.
e. lllterprete os resultados.
(fl
Exercicios
Construindo habi!idades basicas e conceitos
c)
Pl.<!
•
OA
Analise grafica
Nos exerdcios I e 2, relacione as probabilidades dadas com o
um dos histog<amas representa distribui¢es bi·
nomiais. Cada distribui<;.lo 1em o mesmo numero de lentativas n, mas
probabifidades diletentes de suces~ p.
0.3
gr~fico COfletO. Cada
01
0.1
L..;..c;::L,-L,,..L,..L-,
0 I ? 3 J
1. p = 0,20,p =0,50,p =0,80.
a)
2. p = 0.25, p = 0,50, p = 0,75.
a)
P{.<)
OA
0.3
.,.,
0.1
0.20
0.3S
O.'<l
0.25
0
I
?
3
o.1s +-- o.1o r-- ·.-1
o.os
4
b)
012l4S
OA+r-r--,
0.3
b)
/'VI)
o,ao +-- 0.3S
0.30
0.2.S +-- -1
0.1
U.....J...,..J...,..c:;::i.,._ ..
0 I ? J .a
o.w
o.1s +-- r-t
0.10
ons
U,:.t.,.~Lrl~~~,
0 I 2 J. 4 S
Ed ,e 1naaa
1
(apl!ulo 4
c)
l'(x)
0.JS
0,,l(l
O.:.?.S
0,20
0.20
0,1$
(),1$
0.10
o.ro
o.os
o.os
U.,.J..,.J..,JL.,..I=?-+-·· ·'
:? .) 4 .S
() I
Analise grafica
Nos exerdcios 3 e 4, relacione os valores dados den com os gra·
ficos corretos. Cada listogiama represeflta pane de uma disuibui\;lo
binomial Cada distribui~o tem a mesma probabiidade de sucesso
p, mas numetos diferentes de tentativas n. O que acontece quando o
valor den aumenta ea piobabilidade de sucesso continua a mesma>
3. n a 4,n • 8,n a 12.
0
,
3
·;,
9
I? IS
3
6
9
I? IS
c)
l'(.t)
0.40
O.JS
O..lO
0.?5
0.20
0,I S -
0.10
OJ>S
l'(x)
OAO
0.35
0
'
6. ldentifique os vai()(es incomuns de x em cada histograrna do
Exerdcio 4.
O.IS
0.10
o.os
('(,<)
0.40 +-~~-
0.JS
0.30
(),25
O.?O
0.IS
1<;'.1,J..l,ll-l"'4-l+<-I-·• -'
0 2 .& 6 8 10 I:?
c)
('(,<)
0.40 + - - - - - -
0.3S+ - - - - - o.JO+ - - - - - -
o.?S
0.20+ - -.J
0.15
0.10
Cl.OS
4. n = S, n = 10, n = 15.
}\<)
0.40+ - - 0..lS
0.30
02S
0.20
O.I S
0.10
o.os
ldentificando e entendendo experimentos binomiais
Nos exerdcios de 7 a 10, decicla se o experirnento ebinomial ou
n.lo. Caso ele seja, identifique um sucesso, especifique valores para n,
p e q e liste os possiveis val0<es cla variavel aleat6ria x. Caso ele nao
seja binomial explique o po<que.
7. Cianose Cianose e a cond'~o de ter a pele azulada por oonta
de uma insuficiencia na oxigena~o no sangue. Cerca de 80%
dos bebes que nascem com a d~ conseguem se recuperar
totafmente. Um hospital
cuidando de cinco bebes que tem a
doe~. Avar~el aleat6ria representa o numero de bebes que se
1ecupe1am totalmente. (Fon;e: ~~ loltltfd boo! Ereyciop<6a.)
esta
0.10
o.os
·'
S. ldentifique os va!()(es incomuns de x em cada histograma do
Exercicio 2.
0.30
0.?5
0.20
a)
175
0.40
O.JS
().30
0,2.S
b)
Okuiboicoes de piol>abilidades dl1ne111
b)
I'(.<)
0.40
a)
•
:L.
0
3
6
9
ll IS
8. Vendas de uma loja de roupas Ao analisar grav~6es, uma
loja descobre que 26% das pessoas que enuam em suas depen·
dencias compram alguma coisa. Em urn periodo de uma hora, 18
pessoas entram na loja. Avariavel aleat6ria representa o mimero
de pessoas que n.io compram rada.
9. Pesquisas politicas Uma pesquisa entrevista 1.000 aduftos.
"O cone de impostos ajuda ou preju<fica a economia?'. Vinte e
um po< cento dos eruevistados disseram que cones de impostos
prejudicam a economia. Quinze adultos que participaram da pes·
quisa s.!o selecionados aleatoriamente. A variavel aleat6<ia rep<esenta o numero de adultos que ad1am que os cones de impostos
p1ejudicarn a economia. (fona.: Ras"""""~)
1o. Loteria Uma loteria estadual escolhe, de forma aleat6ria, 6 bolas numeradas de 1 a 40. Voe~ escolhe seis nume1os e compra
um bilhete da loteria. Avariavel aleat6ria representa o numero de
combina¢es possiveis no seu bilhete para acenar os numeros
soneados na IOleria.
Media, variancia e desvio padr~o
Nos exerdcios de 11 a 14, enco.1ue a IOO<lia, a variancia e o
desvio padrAo da distribui~o binomial com os ~lores dados den e p.
Ed ,e 1naaa
1
176 •
{s111flti<a 1plic..t1
11. n = 80,p =0.3.
12. n = 64, p = 0,85.
13. n = 124,p = 0,26.
14. n = 316,p = 0,72.
Usando e interpretando conceitos
Encontrando probabilidades binomiais
Nos exercicios de 15 a 24, encontre as probabiftdades indicadas.
Se for cooveniente, use ferramentas de tecnologia para encontra-la~
15. Adivinhando respostas Voce es~ fazendo um teste de mul·
tipki escolfla (j\Je tern cinco questoes. Cada qu~o tern qua·
tro respostas posslveis, po<~ apenas uma delas e corr1<1a. Para
completdr o teste, voce escolhe as respostas de forma alea16ria
para cada uma das ques1i5es. Encootre a probabilidade de acenar
(a) exatamente tres questOes, (b) no mini mo tres (j\JeStOes e (()
menos que ties questoes.
16. Sucesso em cirurgias Uma t~ica cinlrgica eaplicada em sete
pacientes. Voce soube que ha 7(1Jfo de chance de S<Jcesso. Encooue a probabilidade de que a cirurgia seja um sucesso para (a)
exatamente dnco paderues, (b) no mlnimo cinco pacientes e (c)
menos que cinco pacientes
17. Fas de beisebol Cinqul!llta e nove po1 ceruo dos homens se
consideram fas de beisebol profissional. Denue etes, voce seleciona 10 homens de forma aleat6ria e pergunta a cada um se
eles se consideram fas de beisebol profissional. Encontre a pro·
babilidade de que o numero daqueles que se consideram fas
de beisebol seja (a) exatdmenle oito, (b) no mlnimo oito e (c)
inferior a oito. l{oole.· Co«vp FIJI!)
18. Biscoito preferido Dez por cento dos adultos dizem que os
biscoitos de flocos de d\<eia sao seus preferidos. Voce seleciona
12 adul1os aleatoriamente e pe<gunta qual e o nome do biscoito
preferido de coda um deles Enconue a probabilidade de que o
nlrme<o dos que dizem preferir biscoi1os de flocos de aveia seja (a)
e>atdmente quatro, (b) no minimo quatro e (c) inferior a quatro.
(liln!C: >~ARfl'fli)
19. Motivo das ferias Vlnte e um po< cento das pessoas em ferias
diiem que o principal motivo por elas estarem em ferias e a pos·
sibilidade das atividades ao ar livre. Voce seleciona 10 pessoas em
ferias de forma aleat6ria e pergunta a cada uma delas o motivo
principal de elas estarem em f~s. Encontre a probabiliclade de
que o rnime<o daque!es que escolhe.-n as atividades ao ar livre
como principal motive para as fQrias seja (a) elQtamente tt@s,
(b) maior que tres e (c) no maximo tr~ (Foore: Trovelln<MrtyAs-
"""""""'
20. Financiamento de lua de mel Setenta por cemo dos casais
pagam por suas viagens de lua de meL Voce seleciona, aleatoriamente, 20 casais e pergU11ta se e!es mesmos pagaram pela lua
de mel. Encontre a probabilidade de o numero de casais que dis·
seram ter pago pela luademel ser (a) exatamenteum. (b) maior
queum e (c) no maximo um. (Hinte:/lridesmogm.,..)
21. Castanha preferida Onquenta e cinco por cento dos aduhos
dizem que preferem a cas1anha de caju. Voce seleciona, alea·
toriamente, 12 adtitos e pergunta qual seria o tipo de castanfla
que eles mais g0stam. Encontre a pcobabaidade do numero dos
amantes das castanhas de caju ser (a) exatamente tres, (b) no
m&limo quatro e (c) no maximo dois. (fonre.· H4tr• lrlr.Yaaive.)
22. Aposentadocia Catorze por cento dos trabalhad0<es a<:reditam
que vao precisar de menos que $ 250.000 (j\Jando se aposentarem. \/oce escolhe 10 ttabalhadores, de forma aleat6ria, e os
questiona sobre quanto dinheiro eles acham que vao precisar
para aposentadoria. Encontre a probabilidade de Que o numero
daqueles que acham que precisarao de menos que $ 250.000
seja (a) exatdmente dois, (b) masque seis e (c) no maximo
cinoo. (liw•· Rel.rernenr CCi{'O(Orioti al Arnet"'")
23. Cartao de cr~ito Vinte e oito por cento dos alunos universitarios diiem usar canao de credilo por conta dos pianos de
compensa,ao para universitarios. Voce, aleatoriamente. escolhe
1O universitarios e os questiona sobre o motivo de eles usarem
cart!o de credito. Encontre a prroabilidade de que o oomero daqueles (j\Je citam o piano de cornpe1sa~o como motivo para o
uso do cartao seja (a) exatdmente dois, (b) maior que dois e (c)
entre dois e cinco, illdusive. {fofl!•: E>perience.com.)
24. Evolu"1o na caneira Vinte e quatro po1 ce1to dos executiv<J5
diiem ter tido a ~o na canera bloqueada por trabalfladores mais amigos da empresa. Voc~, aleatoriamente, seleciona 12
executivos e pergunla se eles tern essa sensa¢o em rela¢o a
evoluc;ao de suas caneiras. Encontre a probabilidade de que o numero dos que se dizem lesados iµelos colegas mais antigos seja
(a) exatamente quatro. (b) maior que quatro e (c) entre quatro e
oito, illdusive. (FOil:<!: Kan/FtnyWc-maritltlcl)
Construindo distribui,oes binomiais
Nos exercicios de 25 a 28, (a) conslrua uma disttibui,ao binomial, (b} represente graficamente a distribui>Ao binomial usando
um histograma. (c) descreva o formato do histograma, encontre
(d) a med"ia. (e) a variancia, (I) o desvio padrao da distribui{Jo
binomial e (g) interprete os resultados nos contextos de vida real.
Quais valores da vari~vel aleat6ria x voce consideraria incomuns?
Explique seu racioclnio.
25. Mulheres fas de beisebol Triola e Se1e por cento das mulheres
se conside1am fas de beisebol prolissionaL Voce. aleatoriamente.
seleciona seis mulheres e pergunta a cada uma se elas se consi·
deram fas de beisebol profissional (Foore:CoA.pll>I!)
26. Sem lranstornos do so no Um em cada quatro aduftos diz nao
1er prolllemas para dormir anoite. Voce, aleatoriamente, seleciona
cinco adultos e pe<gunta se eles nao sofrem de algum transtorno
do SOtlO. cFMr._. Mo<"' """'"" lu AJfJlic Opn.""'J
27. Doadores de sangue Cinco por cento das pessoas nos Estados
unidos aptas a doar sangue sao de tato doadoras. VOCI!. aleatoria·
mente, escolhe quatro pessoas aptas a doar sangue e pergunta se
elas s.io doadoras. (Mop!O<fo de Amet<onAsSOOor;on or8lllod /lQ!lts.)
28. Tipos sangulneos Trinta e oito por cento das pessoas nos Estados Unidos tem tipo sangufneo O+. Voce, aleatoriamente. seleciona cinco none-america.105 e pe1guntd se eles t~ tipo sanguineo o+. (Fer.re: Ameoolfl ~of Blood Banks.)
29. Raiva no ttAnsito O grafico mo:stra os resultados de uma pesquisa conduiida entre motoristas (j\Je disseram qua! e 0 habito
mais irritante (j\Je outros motoris1as tern no transito. Voce. aleatoriamente, escolhe seis pessoa-s que foram pesquisadas e as
questiona sobce o habito mais irritante que os outros motoris!as
t~m no transito. Seja x o numero de pessoas que disseram que
o habito mais irritdnte e falar ao telefooe. (FC'1re: Hageny 6'1SrXtJn(e.J
Ed ,e 1naaa
1
(•prtulo 4
lrrita~6es
no tr:insito
D.:TReillS~"'\ks
~ r.\~"a OP Y".amico.
°""11,.~di«1nque
~;.\c)(IS
~IOl!Nis
Dl1trihul<~ .!tprobabilidod" discretos
•
177
vida real Q\Jaisval0<es de x voe<! consideraria inc0<n<J11S? Expfique
seu raciocfnio.
32. Reda~Ao Encontre a media e o desvio padr.lo da distribu~o
binomial no Exerdcio 30 e interprete os resultados no contexto da
virla 1e;il. Qu;iisval0tP~ dP r v«/J ronsidP.'l';ui;t inr('lf"nti.15') FXfllique
seu raciocinio.
w.~lo.'.6«~
Expandindo conceitos
)l<ih.'lri.'4$.' llllf'C'S~ quc
-co1.un·· Ml ;:;i~ da fnmk>
-Co.:u.w"ellln:'oi;t¥> 13c•
l\)',h.>mriodo~
I(>
(a) Consll\Ja uma distribu~ binomial.
(b) Encontre a probabilidade em que eicatame.11e duas pessoas
escolham •talar ao teletone·.
{c) Encontre a probabilidade em que no mfnimo cinco pessoas
escolham "falar ao telefone•.
30. Donos de pequenas empresas 0 gri\fico mosua os resultados
de uma pesquisa feita entre dooos de pequenas empresas que
l0<am questionados quanto ~ habilidade na area dos neg6cios
que eles gostariam de desenYOlve< ainda mais. Seja x o llUmero
dos "1<! disseram que gestao financeira era a habilidade que eles
desejavam desenYOlve< ainda mais. (Foll!o: ~ bi>r""-)
Dooos de pequenas empresas
querem mclhorar seus conhccirnentos
em servi~ aos consumido~
Qu.1l lu.blli4.adc.~"'".l~ ~ ,wf ~utl:I
dedd«l\'Olt.'ctainda Mab? R~ mals fttiqll\'.ll(d:
Scn'IFpw~icb
MMMl•• f\'cnd. SR
Experimentos polinomiais
Nos exerdcios 33 e 34, use as infom\a>Oes a seguir:
Um experimento polinomial I! um experimento de probabilidade que obed~ ~s seguintes condic0es:
I. o experimento erepetido um numero fixo de vezes n, sendo
cada temativa independente de outras tentativas.
2. Cada tentativa lem k resultados mutuamente exdusivo5 E,.
E, Ey ····E<
3.
Cada resuhado tem um nUlllero foro de piobabilidades. En·
tfo,P(E,) =P1,P(E,) =p.,. P(E,) =p,, ...,P(EJ =p,.Asoma
das probabi!idades para todos os resultados e:
p, +p, +p, + ... +P, =I.
4. x, e o ntlmerodevezesque E, vai ocorrer;x, eo numero de
vezesque E, vai ocorrer;x, eo numerode vezesque E, vai
ocorrer, e as~m por ci.lnte.
5. Avariavel aleat6ria disaeta x calcula o numero de vezes qLoe
x,,x;-xv ...,x, ocorre em n tentarivas independentes,onde
r 1 + x1 + x~ + ~· + x._ =- n.
A probabilidade que x oe0<ra e:
P(x) -
n!
I I I
'• ' 1 I J
10
,P1 p, PJ ... pl .
Xl)(-}X!_. •. x,.
'°'"
33. Genetica De acordo
uma teoria de genelica, se plantas coloridas e ahas sao Cf\JZ4das com plantas sem cor e baixas, quatro
lipos de plantas surgir~o: altas e coloridas, alias e sem cor, baixas
e coloridas e baixas e sem c0<, com as probabiidades correspoo9 3 3
1
.
dentes de , ,
e i6. Se 10 plantas forem escolh1das,
16 16 16
(a) Consll\Ja uma distribu~ binomial.
(b) Enconue a probabiidade em que ex.itamente dois empresa·
rios respondam "gestao financeira".
(c) Encontre a probabilidade de que menos de quatro empresa·
rios respoodam •gestao financeira".
3 1. Reda~ao Enconue a mMa e o desvio padr~o da distribuiylo
bioonial no Exercicio 29 e interprete os resultados no contexto da
ifi
encooue a probabilldade de que cinco sejam ahas e coloridas,
duas sejam alias e sem cot, duas sejam baixas e coloridas e uma
seja baixa e sem cor.
34. Geneiica Ouua teoria proposta pela genetica nos da as probabi·
i dades correspondentes para os quatio tipos de plantas descritas
5 4 I
6
.
CO<nO , , i6 e . Se <Jez plantas forem escolh1das, en·
16 16
16
contre a probabi!idade de que cinco sejam ahas e coloridas, duas
sejam altas e sem cor, duas sejam baixas e coloridas e uma seja
baixa e sem cor.
Atividades
Distribuicao binomial
A distJib~iJo binomial APPlEr permite que voce simule
valores de uma distn~o hi>:imial. l«e pode espe<ificar os
parametros para a disuibu~o binomial (n e p) e o numero de
valores a serem simulados {N). Qua!ldo voce dica em SIMULATE,
N valores de uma distribui~o binomial especffica ser~o organiZ4·
dos~ direita. Afrequencia de cada resultado e exibida no grMico.
Ed ,e 1naaa
1
178
•
£>11tl!ti<a aplicada
Condus0es
'
1.
'
n:@:'"' v
~~
'
"'~
Sinw1:ltcj
2.
0
'
0
()111CQ<11f•
Explore
Passo 1
Passo2
Passo 3
Passo4
3.
Especifique um valor para n.
Especifique um valor para p.
Especifique um valor para N.
Clique em SIMULATE.
Durante um anode ~o presidelldaL 70% dos eleitoces
aptos a exercer sua fuO>Ao realmerne votaram. Simule seledooar n ~ 10 eleit0<es aptos N • 10 ve2es {para 10 das
00t11u11WO\les da c~iOo). lJse OS •esul!O<Jos da simu~O
para estimar a probabilidade que 0 numero de eleitores que
votaram nessa elei~o seja (a) exatamente 5, (b) no mfnimo
8 e (c) no .raicimo 7.
Durante um ano que ~o haveria elei~o presidential, 20'\'o
dos eleitores aptos a votar na mesma regiao que o Exerckio
I, de lato votam. Simufe selecionar n = 10 elehores validos
e N = 10 vezes (para 10 das comunidades na regiAo). Use
os resultados da simula~o para estjmar a probabilidade de
que o nlimero de eleitores que votaram nessa elei~o seja
(a) exatamente 4, (b) no mfnimo 5 e (c) men0< que 4,
Suponha que no Exerdcio I voce selecione n = 10 eleit0<es
aptos a votarem N = 100 vezes. ESlime a probabilidade de
que o nlimero de eleit0<es que votaram nessa elei~o seja
de exatamente 5 pessoas. Compare este resultado com oresultado do Exerdcio I parte (a). Quais deles e mais pr6ximo
~ probabilidade encontrada usando a f6rmula de probabilidade binomial?
Estudo de caso
Distribui,ao binomial de acidentes de aviao
I
-
9 8
.!!
AAir Transport Association ol America (ATA) e uma org3niza~o de supo<te para as princi·
pais er11presas aereas dos EUA. Algumas das atividades da ATA induem promover a industria de
transporte ae<eo e conduzir estudos industriais.
A ATA tambem mantem estatfsticas sobre voos comerciais, inclusive aquelas que envc!vem acidentes. De 1977 ate 2006 para aeronaves com 10 ou mais lugares, tivemos 91 acidentes com aroes comerciais envolvendo empresas aeieas none-.imericanas. A d'ISlribui<Ao
desses acidemes pode ser vista no histograma ~ direita.
--
7 -
~ ~ -
"'i.i' 54 ~ 3
-
-n 1n8
2 ·I
0
I
2 3 .. 5 6
"
Nlimcro do acidcntc~
Ano
Acidentes
Ano
A<identes
1977
1978
1979
1980
1981
1982
1983
1984
1985
!9S6
1987
19S8
1989
199<)
1991
3
5
4
0
4
4
4
t
4
2
4
3
8
6
4
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
4
I
4
I
3
3
I
2
2
6
0
2
I
3
2
[xerclcios
1. Em 2006, havia por volta de 11 milMes de voos comerciais nos Estados Unidos. Se
um lor escolhido de forma aleat6ria, qua! ea probabilidade de ele ter se envolvido er11 um
acidente fatal?
2. Supooha que a probabilidade de um acidente fatal em um dado ano seja 0,0000004. Uma
d'IStn'bui~ de p<obabilidade binomial para n ; 11.000.000 e p ; 0,0000004 com x ;
oa 12 eapresentada:
Ed ,e 1naaa
1
(•pltul< 4
•
Oistribukilfl dt proMbili4ad1> 4iwet"
179
I\•)
0.25
t•
~
0.20
;g 0,15
:;;
~ 0.10
"" 0,05
0 I 2 3 ol S 6 7 8 9 10 11 12
£\1UmCTO de acid('nt<.is
Qual ea probabiidade de e<is1ir (a) 4 acidentes fa1ais em um ano? (b) 10 acidentes
fa1ais? (c) enue I e 5, indusive?
3. Construa uma distri~ binomial para n = 11.000.000 e p = 0,0000008 com x =
Oa 12. Compare seus resul1ados com a@suibui(Ao do Exerdcio 2.
4. Seria uma distribuii;Ao bincmal um born modelo para detenninar a probab~idade de
varios n(lmeros de acidemes fa1ais durame um ano? Explique e inclua a discussao dos
quatro critetios para um eiqierimento bin<Jmial.
5. De acoido com a aNlise de USA lODAY, voos aereos sao I.lo seguros que uma pes·
soa 1eria que '\/oat 1odos os dias pot mais de 64.000 anos antes de moner em algtim
aciden1e: Como essa sent~ pode ser justificada'
Ill
Mais distribui~oes de probabilidade discretas
0que voce
Adistribui(<io qeometrica --+ Adistribui(ao de Poisson --+ Resumo das
distribui(oes de probabi!idade discretas
I Adistribui,ao geometrica
Nesta se<;ao, voce vai estudar outras duas distribui<;Qes de probabilidade di sere·
t.1s- a distribuiqao geometrica ea distribui(ao de Poisson.
Muitasa,0es na vidas.iorepetidas ate atingir-seo sucesso. Um candidatodeCPA,
por exemplo, pode fazeroexamedeCPA v~rias vezesantesdeconseguirpaSS<1r, ou voe~
podedigitar um n6merode telefonecelularv<lrias vezesantes de conseguir fazer a liga\,ilo. Situa<;Qes como essas podem ser representadas por uma distribui(ao geometrica.
efinicao
Uma distribui~ao geometrica e uma distribui~o de probabltidade discreta de uma variavel
aleat6ria x que satisfa'3 as seguintes cond~ees:
I. Uma tentativa e repetida ate que o sucesso ocorra.
2. As 1en1ativas repetidas sao independentes uma das owas.
3. Aprobabilidade de sucesso p econstante para cada tentativa.
Aprobabilidade de que o primeiro sucesso ocorra na tentativa mimero x e:
P(x) • p(q)•·•,
ondeq • 1- p.
En1 outras palavras, quando o pri1neiro sucesso acontece na terceira tentative\ o
resultado eFFS, ea probabilidade e P(3) = q·q·p ou P(3) = p·q'.
deve aprender
• Como encootrar prooobilidades
usando distribui(ao geometriOl.
• Como encootrar probabilidades
usando a distribui(ao de Poiswn.
-
Dica de estudo
l11stru,0es detalhadas para
encontrar uma probabilidade
geometrica na Tl-83/84:
I 2nd IDIS!'R
D: geometpdf(
Entre com os ~alores de
p ex separados por virgula.
I ENTER I
Ed ,e 1naaa
1
180 •
llt'1lsticupllc<do
Exemplo
9eoMetPdf<.23,4)
.10500259
9eoMetPdf( .23,5)
.0808519943
usando a TI-83/84, ~ pode enC011trar as p<ooobilidades usadas no Exemplo I automaticamente.
m
Encontrando probabi!idades ao usar a dlstrlbulc3o qeometrlca
Por experi<?nci:i, voci sabe que .- probabiljd:ade de qu.e voce faro uma venda em
qualquer lelefone dado e0,23. Enoontre a probabilidade de que sua primeira venda,
em qualquer dia dado, ooorra na quarta ou quinta liga~lio.
Sol11ftio
rara encontrar a prob.1bilidade de que sua primeira venda acontC\<f na quarta ou
quinta ligao;iio, enrontre primeiro a probabilidade de que a venda ocorra na quarta liga·
\<'IO e a probabilidade de que ela ooorra na quinta liga~~o. Entlio, encontre a soma das
probabilidades resultantes. Usando p = 0,23, q= O,n ex =4, voce tcm:
P(4) = 0,23·(0,n)'"" 0,105003.
Usando p = 0,23, q = 0,77 ex = 5, voe~ tem:
P(S) = 0,23·(0,n)' ""0,080852.
Entao, a probabilidade de que sua primeira venda ooorra na quarta ou quinta
liga~~oe:
P (venda na quarta ou quinta liga~ao) = P(4) + 1'(5)
"" 0,105003 +0,080852
,,,,0,186.
Enoontre a probabilidade de que sua primeira venda ooorra antes da quarta
liga~lio.
a. Use n distrib1tifflO g<'Clllelrica para encontrar P(l), P(2) e P.(3).
b. £11co11tre n soma de P(t), P(2) e 1'(3).
c. £screvn o resultado em forma de senten~a.
Embora um sucesso possa, teoricamente, nunca ocorrer, a distribui~ao geome·
trica e uma distribui<;<'\o de prooobilidade discreta porque os valores de x podem ser
listados -1, 2. 3, ... Perccl>a que conforme x se toma maior:, P(.r) se aproxima de zero.
l'or exemplo:
P(SO) = 0,23(0,n)"
~ 0,<XXXXl06306.
I
Adistribui,ao de Poisson
Em um experimento binomial, voei? esta interessado em descobrir a probabilida·
de de um ntlmero especifico de sucessos em um dado numero de tentativas.Suponha
que, em vez disso, voce queira a probabilidade de que um numero espedfico de ocor·
~ncia acont~a dentro de uma dada unidade de tempo ou espa~. Por exemplo, para
determinar a probabilidade de que um funciomlrio fique doente por 15 dias dentro de
um ano, voce pode usar a distribui~ao de Poisson.
efinicao
Adistribui,ao de Poisson e uma distribuic;iio de probabilidade discreta de uma variavel aleatoria
x que satisfayi as seguintes condi,aes:
1. 0 experimento consiste em calcularo numero devezes, x. que um evemoocorre em
um dado inteNalo. 0 inteNalo pode ser de tempo, area ou volume.
Capftu!o 4
•
181
Di\tribuk611 dt prowbfll4•d~ dl1<11111
2. Aprobabilidade de o evento acontecer ea mesma para cada inteivalo.
3. 0 ntlmero de oco<rencias em um inteivalo eindependente do numero de ocorrencias
em owo inteivalo.
A piobabilidade de exaias x OC01rencias em um inteivalo e:
P<i<)= 11' e •.
x!
ondee e irn nUmelO irracional aproximadameote igual a 2,7 1828 e 1• ea media dos numeros
de ~ncias por inte<valo de unidade.
[xemplo I 2
Usando a distribuiclo de Poisson
A media donumerodcacidentespormi!sem rerta inte~e tiis. Quale a probabilidade de que, em qualquer mi!s dado, quatro acidentesocorram nessa inte~?
PoissonPdf(3, 4)
. 1680313557
Soturao
Usando .t = 4 e 11 .. 3, a probabilidadc que 4 acidentes aconleQIID em qualquer
m(ls dado na intersc(~O ~:
P(4)- 3'(2,71828t)
4!
..o.168.
Qual e a probabilidade que mais de quatro acidentes ocorram em um dado
mes na interso.~no?
a. Lise ndistrib11i(tfo d" Poisson pnra encontrar P(O), P(l), P(2), P(3) e P(4).
b. £11ro11tre n soma de P(O), P(l ), P(2), P(3) e P(4).
c. S11btrnin a soma de 1.
d. Escrtvn o resultado em forma de senteii(a.
No Exemplo 2 voo'! usou uma f6rmula para determinar uma probabilidade de
Poisson. \loo'! tam~m pode us.ir uma tabela para encontrar as prob<lbilidades de Poisson. ATabela 3 do A~ice Blist.I a probabilidade de Poisson para valores selecionados de .t t I'· Vo«' tam~m pode usar ferramcntas tecnol(jgicas, como MINITAB, Excel ea Tl-83/84, para encontrar as probabilidades de Poisson. Usando a TI·83/84. por
exemplo, o Menu DISTR pode ser usado para encontrar probabilidades binomiais, geom&icas ou de Poisson. \loo'! pode verific:ir a solu(iio para o Exemplo 2 na margem.
[xemplo L3
Usando um• tabela para encontrar probabilidades dt Poisson
Uma cstimativa populacional mostra que existe uma media de 3,6 coelhos por
acre morando em 11m campo. Use uma tabela para encontrar a probabilidade de que
dois coclhos stjam encontrados cm qualqucr acre dado, dcntro do campo.
Soluplo
Uma pa rte da Tabela 3 do A~ndice 6 pode ser vista aqui. Usando a distribui~o
para 11 = 3,6 ex ~ 2, v~ pode encontrar a probabilidade de Poisson conforme vlsto
nns ~rcas dcstarndas da tabcln.
Retratando o mundo
A primeira pontc suspensa
construida com succsso nos
EUA, a Ponte Tacoma Nar·
rows, ~ por cima do Ta·
coma Narrows no estado de
Washington. A ocupa(llo m~­
dia dos veiculos que passam
pela ponteede 1,6. Aseguinte
distribui(ao de probabilida·
de rcpresenta a ocupa(llo de
velculos durante um pcrio·
do de 5 dias. r 11 ~1
,, tr-1\j. ti
t "fl
.
"-<l
'
O.IO
~
:2
:&
l
.,,.
....
OJO
I 2 J .. 5 6•
N~..,..,, de
J>O'"""
~vcfcul~
Q11al ~ a pr'<tbnl1ilitln1fl' ''" 11111·
11111 1...rculo <elt•rio11ntln nlt'lltorin111e11te ft•ulur rloi:0
011 Hlt'UOSJ
PC'tl/'il,,tt":\
Ed ,e 1naaa
1
182
•
[U.tllli<..pl ''"''
µ
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
JO
31
32
3
0,0450 0,0408 0,0369
0,1397 0,1304 0,1217
0~165 0,2()87 o•.2oos
0,2237 0,2226 0,2209
0,1734 0,17$1 0,1823
0,1075 0,1140 0,1203
0,0555 0,0608 0,0662
0,0246 0,0278 0,0312
0,0095 0,0111 0,0129
0,0033 0,0040 0,0047
O,OOIO 0,0013 0,0016
3
0,0334
0,1135
0;1929
0,2186
0,1858
0,1264
0,0716
0,0348
0,0148
0,0056
0,0019
3
3
37
0,0302 0.6273 0,0247
0,1057 00084 0,0915
0,1850
0;1692
0,2158
0,2087
0,1888 0,1912 0,1931
0,1322 0,1377 0,1429
0,0771 0,0826 0,0881
0,0385 0,0425 0,0466
0,0169 0,11191 0,0215
0,0066 0,0076 0,0089
0,0023 !J,0028 0,0033
~
.
Entao, a probabilidade de que dois coelhos sejam enoontrados em um dado acre
~de0,1771.
ente
w><i
3
Duas mil trutas marronss.iocolocadas em um pequeno Iago. 0 Iago tem um volume de 20.000 metros ctlbicos. Use a tabela para enrontrar uma probabilidade
de que tres das trutas sejam encontradas em um mesmo metro cubico do Iago.
a. E11co11tre o 111i111ero 111Mio de tn1tas marrons por metro olbico.
b. /rle11tifiq11e 1• ex.
c. Use n 1abeln 3 do Ap~ndice B para encontrar a probabilidade de Poisson.
d. Escrevn o rt?Sultado em forma de senten~a.
I Resumo das distribui,oes de probabilidade discretas
A tabela a seguir resume as distribui~iies de probabilidade discretas discutidas
no capltulo.
Dislribui5ao
o·islribui5"o
binomial
Un1expcrin\ento binomial li unt expcrin1cnto de pmbabilidadc
que piwncha os seguintes crit~rios:
1. 0 e>:p<.->rimtnto erepctido por un1 nUmero fixo de tentativas
(n), ondc cada tcntati\la Cindcpcndente das outras.
2. Ha apenos dais resultados possivcis de interesse para cada
tcntnti\la. Os resultados podcn\ ser classificados c<.>rno succsso
(S) ou fracasso (F).
3. A probabilidadc de um sucesso P(S) ca mesma para cada
tentativa.
4. A v.:ari.ivcl .1lc.tt6ri.:a x c<:>nt.:abiliua o ntln1cro de tentativ.1s con1
sucesso do total de tcntativas (11).
Os pat.lmctros de uma distribuic;.'IO binomial silo 11 e p.
Di,0tribui~o
goom~lrica
F6rmulas
Resamo
Uma distribui~o goom~llica ~ uma distribui~o de probabilidadc
discrcta de uma vari~vel aleat6ria .r quc satisfa~a as seguinles
condi¢<'.s:
1. Uma tcntativa ~ rcpetida at~ que o suresso ocorra.
2. As tc11tativas repelidas s~o inde-pendentes unlas das outras.
3. A probabilidadc de suce>-so pc constantc para cad• tcnlativa.
4. ;\ vari~vcl alcat6ria x repl"(."S('nta o nUmcro de tcntativas nas
quais o primeiro sucesso ocorre.
0 parJmelro de uma dislribui¥lo goometrica ep.
x = o nUmcro de sucessos cn1 "
tentativas
p = probabilidade de suet'SSO em un1a
Unica tcntati.va
q :i: probabilidadc de fracaSSC> cn1 uma
Unica tcntati va
q = 1-p
Aprobabilidade de exatos x SUC\.'SS<lS
em ,, tentativas e:
P(.r)=
P(x) =
,C,p' q'"'
11!
(11- .r)!x!
p"q"- .. .
x = o nli.mero de tcntativas nas quais o
primciro sucesso ocorre
p = probabilidadc de sucosso em uma
Uni ca tentati va
q = probabilidade de fracas.'° em uma
Unica tentati va
q = l-p
Aprobabilidade de quc o primeiro
sucessoocon'a em uma tcntati\'a de
nUmemxC:
P(x) = p(q)•·•.
Ed ,e 1naaa
1
(ap11Ulo4
Distribuillo de
Poisson
A distribui~5o de Poisson Cun1a distribui~ao de pl\)babilidadc
discreta de uma \lariiivel aleat6ria x qu~ s.itis(a~a as seguintcs
condi~:
1. 0 cxpcrimcnto ronsiste C'm calcu1ar o nU.n1cro de vezcs, x, quc
unl •'v(>nto ('1('0~ ('1n um dMo intt"rv;:ilo. 0 interv<1lo pod1• ~r
intcrvalo de tcn1po, a.rea ou volun1e.
2. t\ probabilidade de o evcnto acontecer ~a mesma para cada
intervalo.
3. 0 nUm<'ro de ocorrCncias en1 un1 intcrvalo CindcpendMtc do
•
Di111ib• i<6esdeprababilida4'$4l1crttas
183
x = o nUn1ero de ocortCncias e1n unl
dado intervalo
/t =0 nUrnero medio de ocorrencias Cm
uma dad a unidadc de tempo ou espat;0
A probabilidade de exatas x ororrendas
cn1 un1 intcrvalo C:
n(lmcro de ocom?ncias cn1 outm.
_ 11.•c-•
P(X) .
x!
0 parilmctro para un1a distribui~ao de Poisson~ I'·
(II
Exercicios
Construindo habilidades basicas e conceitos
Nos exerdcios de 1 a 4, a <islliW(Ao geomr!trica se apftca. Use
para encontrar a probabilidade
a.~ probabilidades de sue~ dadas p
indicoda.
1. Encontre P(2) quatldo p = 0,60.
2. Encontre P(l) quandop = 0,25.
3. Encontre P(6) qoando p = 0,09.
4. Enconue P(5) qua11do p = 0,38.
Nos exerckios de 5 a 8, a disltibuii;.lo de Poisson se aplica. Use a
mMoa 11 dada pa1a encoot<ar a probabilidade indicada.
S. Encontre P(3) qU<Jndo ,, = 4.
6. Encontre P(5) quatldo 11 =6.
7. Encontre P(2) quando I' = 1,5.
8. Encontre P(4) quando ,, = 8,1.
9. Com suaspr6p<ias palavras, desaeva asdifereni;as emre oval0t de
x em uma distribuii;.lo binomial e em uma distribuii;.lo geometnca.
1O. Com suas pr6p<ias palavra~ desaeva asMereni;as e<itre ovalor de
x em uma dis1ribuii;.lo binomial e em uma dislribui\:30 de Poisson.
Decidindo por uma distribui~o
Nos exe<cl<ios de 11 a 16, deOda qua! distribuii;.lo de probabaida·
de - binomiat geomeuica ou de Poisson - se aplica aquestao. Voce
nao precisa responder apergunta. Em vez disso, justifique sua escolha.
11. Teste de piloto Dados: a probabilidade de que um aluno seja
aprovado no teste escrito para uma liceni;a panlaJla1 de piloto e
de 0,75. Petguf//o: qu.il ea probabilidade de um aluno repro,<ar
no teste na primeita tentativa e passar na seguri&ll
12. Precipita1ao Dcdos: na cidade R<lpidy, Dakota do Sul, o numero mMo de dias com nivel 0,01 polegada oo mais de precipita·
1~ para o mes de maio, e 12. Pergunto: qual ea probabiidade
de que a cidade Rapidy tenha 18 dias com nivel 0,01 polegada,
oo mais de precipita(Ao, no pr6ximo mr!s de maio. (Fon~: NIJllOO(J/
Clrmooc O,;·o Cenw.)
13. Petroleiros Dados: o ntlmero m&!io de navios petroleiros que
chegam a um po<to d'iariamente 8. 0 pono tern capacidade de
ridar com 12 petroleiros por dia. Pergumo: qual ea probabiidade
de que, em um dado dia, cheguern mais petroleiros do que o
pono tern capacidade de receber?
14. Exerdcios Dodos: qwrenta por cento dos adultos nos Estados
Unidos se exercitam pelo menos uinta minutos por semana. Em
e
uma pesquisa de 120 aduhos escolhidos aleatoriamente, as pes·
soas responderam a pergunta: "Voce se exercita pelo menos 30
minutos por semana?" Petgunto: qual ea probabir.dade de exata·
mente 50 pessoas tenham respondido sim'
15. Colas Dodos: de alunos entre 16 e 18 anos, com medias A e
B e que planejam faze< faculdade depois de se formarem. 78%
colaram para conseguir notas maioles. Dez alunos escolhidos de
forma aleat6ria com m&!ias Ae B que planejam cursar uma facul·
dade responderam apergunta: "Voe~ colou para conseguir notas
mais ahas?" Petgunta: qua I ea probabilidade de que e10tamen1e
dcis alunos tenham respondido nl!o? (foo:.:VAlo's v1hoAmongAme"""'/fJgh School srim.nr..)
16. Semcarnel Dadas:cercade 21%dosnotte·americanosdizem
que n!o conseguiriam passar uma semana sem comer came.
V<x£ escolhe, aleatoriamenle, 20 norte·americanos. Petgunto:
qual ea probabilidade de que a primeira pema que responde~
que n/!o conseguiria ficar sem carne por uma semana seja a quin·
ta pessoa escolhidal (lf>nr.: RMffi/Zo¢y.)
Usando e interpretando conceitos
Usando uma distribui1ao geometrica para encontrar
probabilidades
Nos eicerdcios de 17 a 20, encontre as probabi[idades incicadas
usando a distribui\Ao geomr!trica. Se for ~iente, use tecnologia
para encootrar as probabifidades.
17. Vendas por telefone Suponha que a probabilidade de que
voe! fac;a uma veoda durante qualquer um dos telefonemas lei·
tos e 0, 19. En<ooue • p<obobitidode de que YOCC (•) fo<;<i suo
primeira venda durante a quima liga(Ao. (b) fai;a sua primeira
venda durante a primeira, segunda ou te<ceira liga\oo e (c) nao
13'3 uma veri&l durante as tres primeiras liga¢es.
18. Lances livres 0 jogador de basquete Shaquille O'Neal faz lances
ivres cerca de 52,6% do tempo. Encontre a probabWdade de que
(a) a prineira cesta que O'Neal faz seja no segundo lance, (b)
a primeira cesta seja convenida no primeiro ou segundo lance e
(c) O'Neal oao fai;a duas cestas.. (ll:ti:<':N<ll>Olld~Ass«io""')
19. Produtordevidro Um produtordevidrodescobleque I erncada
500 nens de vidro estj t0<cido. Encontre a probabilidade de (a) o pri·
meiro item de vidro IO<cido ser o ~mo item produzido, (b) o
primero Item de vidro tO<cido sero primeiro. o segundo ou o te<ceiro
ase< produzido e(c) nenhum do6 dez itens de vidro estar imperieito.
20. Ganhando um premio Uma Mb<ica de cereaiscoloca um jogo
na caixa de seuscereais, Aprobabilidadede ganhar um pr~iono
Ed ,e 1naaa
1
184 •
Cm1111i<HpUrada
jogo ede 1em 4. Encontre a probabilidade de que \IOce (a) ganhe
o seu primeiro premio com sua quana COO'lpra, (b) ganhe o seu
primeiro premio com a sua primeira, segunda OtJ terceiracompra e
(c) n.lo ganhe um premio com as suas primeiras quatro COO'lpras.
usando uma d istribui~o de Poisson para encontrar
probabilidades
Nos exercicios de 21 a 24, encomre as probabilidades indicadas
usa ndo a distrioo~ de Poisson. Se achar oorweniente, use uma t.l·
bela de prooobilidade de Poisson oo ferramentas tecnol6gicas para
encontrar as probabilidades.
21. Falencias 0 n(Jmero medio de pedidos de lal~ por minuto
nos EUA em um ano recente era de cerca de tres. Enoo<ltre a
probabilidade de que (a) eirat.imente cinco neg6cios ~m fa·
lencia a qualquer minuto, (b) no mfnimo cinco neg6cios ~am
fa!~ em qualquer minuto dado e (c) mais de cinco neg6cios
p~m falencia em qualquer dado minuto. (foll"·
Olli~ ol li'.e U5.
A""'"""°'"'
Cout15.)
22. Erros tipograficos Um jomal descobre que a mecia de euos ti·
pograficos para cada pagina e quatro. Encontre a probabilidade de
que (a) eirat.lmente tres erros tipograficos sejam encontrados em
uma (mica pagina, (b) no m.lximo tres erros sejam encontrados
em uma pagina e (c) mais do que tres erros tipograficos sejam
encomrados em uma pagina.
23. Maiores furaci!es t coosiderado um furac.lo grande aqueles
cuja velocidade do vento atinja 11I milhas, ou mais, por hora.
Dllrante 0 seculo xx. 0 numero medio de gra.'ldes furac0es a
atingirem os EUA por ano foi de 0,6. Encootre a p<obabilidade de
que em umdado ano, (a) eiratamente um grande furac.lo atinja o
terr~6rio americano, (b) no m.lximo um fura<Ao atinja o tenit6rio
americano e (c) mais de um grande furacao atinja o territ6rio
americano. (fOflt~: fkl.ticnol H1.Rrlt::otll} C&J(er.)
24. Precipit~ao O numero medio de dias com fndice de 0,0 I po·
legada OtJ mais de precipita¢es mensais em Lewistown, Idaho,
e de cerca de 8,7. Encontre a probabilidade de que em um dado
mes, (a) haja exatamente 9 dias com fndice de precipita(Ao
maior OtJ igual a 0,01 polegada, (b) haja no maximo 9 diascom
indice de precipita(Ao maior ou igual a 0,01 polegada e (c) haja
mais do que 9 dias com fndice de precipita(Ao maior ou igual
0,0 l pdegadas. (IOll«: .va.'>Olial Cl"""''' Doro C.."<lter.)
Expandindo conceitos
25. Aproximando a distribui¢o binomial Um fabricante de auto·
m6veis descobre que 1 em cada 2.500 autom6veis produzklos
tern um defeito de labrica¢o. (a) Use uma distri~o binomial
para encontrar a prooobilidade de enconttar quatro carros com
defeitos em uma amostra aleat6ria de 6.000 carros. (b) A disui·
buii;Ao de Poisso.~ pode ser usada p.i ra aproximar a distribuii;Ao bi·
nomial para grandes valores den e pequenos valoresde p. Repit.l
(a) usando uma distribu~ilo de Poisson e compare os resultados.
26. Oistribui(Ao hipergeometrica Experimentos binomiais e><igem
que uma amostragem seja feita com devolu¢es, pois cada 1enta·
tiva deve ser independente das outras. A distribui~ao hipergeometrica tambem tern dois resultados: SIJCl!SSO e fracasso. Pol~
a amosua~ e feit.i sem devolu~Oes. Dada ooia J>OjJtJla(Ao de
N itens tendo k sucessos e N - k fracassos, a probabilidade de
selecionar uma amostta de t.ima11ho n que tenha x sucessos e
n - k fracassos edada por:
P(x) - ( ,C, )(•.,c•.,)
""c"
Em um carregamento de 15 microchips, dois tern defeito e 13
n.lo apresentam deleitos. uma amostra de tres microchips eescolhida
aleatoriamente. Encontre a probabilidade de (a) os tres microchips n.lo
terem defeitos, (b) um microchip ter deleito e dois nao terem e (c)
dois microchips apresentarem deleitos e um nao apresentar.
Distribui~o
geometrica: media e variancia
Para os exerdcios 27 e 28, a mt!d'ia de uma distribui(Ao geome·
tnca JI ; l/p ea Vatiancia t! 11>; q/p>.
27. loteria diaria uma loteria diaria escolhe tres bolas numeradas de O a 9. A probabilidade de se ganhar na loteria e de
l /t .000. Seja x a quantidade de vezes que voce joga na loteria
antes de ganhar pela primeira vez. (a) Encontre a media, a va·
riancia e o desvio padr~o. tnterproete os resultados. (b) Quantas
vezes voce espera ter que jogar na loteria antes de ganhar?
Assumimos que custa S 1 para jogar e os vencedores recebem
S500. VOce esperaria ganhar ou ;perder dinheiro ao jogar nessa
loteria? Explique.
28. Erros nos sal~rios Uma empresa assume que 0,5% de seus
pagamentos anuais foram calcutados incorret.imente. A empre·
sa tern 200 funcio~rios e eiraminou os registros da folha de
pagamento de um mes. (a) Enoontre a med'ia, a variancia e o
desvio padr~o. lnterprete os resultados. (b) Quant.is folhas de
pagamento voce esperaria ter que examinar antes de encontrar
uma fo!ha com erro?
e
Distribui~ao
de Poisson: variancia
Nos exerclcios 29 e 30, use o lato de que a va~ncia de uma
distribu~o de Poisson e u> ; µ,
29. Tiger Woods Em um ano recente, o numero medio de tacadas
por ooraco do jogador de golfe Ttger Woods era de aproximadamente 3,8. (a) Encontre a varianoia e o desvio padt~o. lmerp<eie
os resultados. (b) u quao provavel e que tiger jogue uma rodada
de 18 buracos e fa(a maisde 72 ·tacadas? (f<lll,.,, PGAT<>x.<0m.)
30. Neve A mMia da quanridade de neve que cai em Bridgepo<t,
Connecticut. em janeiro e de 7,6 polegadas. (a) Encontre a \>ari·
~ncia e o desvio padrao. Interpret<! os result.ldos. (b) Enco.1ue a
probabilidade de que a i ncid~ncia de neve em Bridgeport no mes
de janeiro e><ceda 12 polegadas. (FctJ'•:"'"'""'"' CAmat< Doro a.'"")
Ed ,e 1naaa
1
(apltulo 4
Usos e abusos - estatistica no mundo real
Usos
Ha ocooencias inconrave<s de distribui¢es de probabilidade binomial nas areas de neg6cios. crencia, ei\gellharia e outras.
Po< exemplo, supooha que voce trabalhe para uma agencia de marketing e precise cria<
um anuncio de TV para a marca de creme dental A. 0 fabricante do creme diz que 400h
dos consumido<es de pasta de dente preferem sua marca. Para verificar se o que ele d'12 faz
sentido, sua agencia esra conduzindo uma pesquisa. Oe 100 consumidores de creme dental
escolhidos aleatoriamente, \'OCe peicebe que somente 35 (ou 350.0) preferem a marca A HA
a possibiidade de o que o fabricante disse ainda ser verdade? Ese a sua amostra aleat6ria de
100 pesquisou apenas 25 pessoos (ou 25%) que expressam p<eferencia pela marca A? Voce
ainda teria uma boa jus!ificativa para continuar com a propaganda?
Saiba que as caraaerfsticas das distribui'¢es de probabilidade binomiais lhe ajudarao a
responder esse tipo de pergunta. Quando voce tiver concluldo este curso, voce sera capaz de
tomar decist<!s educadas acerca da racionar.dade da dedarar;ao do fabricante.
{ti ca
Suponha que o fabricame da pasta de dentes tambem declare que quatro em cada cinco
dentistas recomendam a marca Ade pasta de denies. Asua a~ncia quer mencionar esse dado
na propaganda de Tv, mas ao determinar come a amosua do fabricante foi co!et.lda, voce descobre que os demistas foram pages para cecomendar a pasta de dente. lnduir essa declara"'o
ao fazec 0 anuncio n.!O seria etico.
Abu sos
lntecpretando os resultados mais provaveis Um mal uso comum das distribui'¢es de
probabilidade binomial e pensar que o resuhado "mais pcovavel" e o resuhado que vai acontecer na maioria das vezes. Por exemplo, imagine que voce escolhe, aleatoriameme, um comhe
de quatro pessoas dentre lSTla grande popular;ao que tern 50% de mulheres e SC1'M> de homens. A composi¢o mais pcovavel do comhe eque ele tenha dois homens e duas mulheres.
Embora este seja o cesu!tado mais pcovaveL a p<obabilidade de ele acontecer e de somente
0,375. HA uma chance de 0,5 que o comhe tenha um llomem e tres m<Jille<es ou
homens
e uma mu!her. Portanto, case nenhum desses resultados ocooa, voce nae deve dizer que a
seler;ao foi incomum ou prec0<1ceituosa.
ues
Exercicios
Nos exercfcios 1 e 2, suponha que a declara~ao do fabricante seja verdadeira - 4-0'JI, dos consu.midores de creme de11tal preferem a rnarca A. Use o gr~­
fico e ferramentas tecnol6gicas para responder ~s perguntas.
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O.o9
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ODI
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2$ 27 2931 3.l ~S 37 3941-134.S47-19 SI 53 SS
N1lnlct0 d0$ q1.1c prtfcrcm ~ 1n;1JC.- A
I.
lnterpretando o resuhado •mais provaveJ: Em uma amos11a aleat6ria de 100, qual eo
resultado mais prCM!vel? Quao provAvel ele e?
•
Di>uib•Mes 4e probdbilidades di1cret11
ISS
Ed ,e 1naaa
1
186 •
t:s1..r11i<aapll<ada
2. /nterpretanda a resultada "mais prov6vel: Em uma amostra aleat6ria de 100, qual ea
probab~idade de que entre 35 e 45 pe$$00$, inclusive, prefuam a marca A? Explique seu
raciodnio.
3. Si1(l<l.1h;i 'lUP. P.m urm amoi;tra aleatf:lria M 100, voc~ u;i,nha M'lt'.(),11f<\cio 36 (')P-.C:f.Otl~ 'll~
preierem a mare.a A. Adeclara¥)o do fabricante se<ia confiave'I? Exp!ique.
4. $up<l<lha que em uma amostra aleat6ria de 100, voce tenha encontrado 25 pe$SOOS que
p<eferem a marca A. Adeclara¢o do fabricante se<ia confi.lvef? Expfique.
Resumo do capitulo
0 que voce aprendeu?
E.xemplo (s)
(xercicios
de revisao
1
1a4
3a4
2,5e6
Sa 10
11a14
7
15e 16
1
17e18
2, 4 a.6
19a22
3, 7e8
23a26
1
27e28
2e3
29e30
Se~ao 4.1
• Como diferenciar variaveis aleat6rias discretas das contfnuas.
• Como detenminar se uma distribui~ao e uma distribui~ao de probabilidade.
• Como construir uma distribui\30 de probabilidade discreta e seu grafico,
e encontrar a media, a variancia e o desvio padrao de uma distribui~o de
probabilidade discreta:
11=ExP(x)
a' =f.(x-µ) 2 P(x)
a=
fl =~r-E(-x--1•).,..'P-(x-).
• Como encontrar o valor esperado de uma distribui~o de probabilidade
discreta.
Se~ao 4.Z
• Como detenninar se um experimento de probabilidade eum experimento
binomial.
• Como encontrar probabilidades binomiais usando a f6rmula de
probabilidade binomial, uma tabela de probabilidade binomial e tecnologia:
P(x):.11(,.p•qr1-i
11!
.Pxq1t-x.
(11-x)!x!
• Como construir uma distribui\ao binomial eseu gr<lfico, achar a media, a
variiincia e o desvio padrao de uma distribui~o de probabilidade binomial:
11 = 11p
'
q- = 11pq
a=f.;pq.
Se~ao 4.3
• Como encontrar probabilidades usando distribui\ao geometrica:
p{x)= pq'-'.
• Como encontrar probabilidades usando a distribui\ao de Poisson:
Ed ,e 1naaa
1
C.pltulo 4
•
Dl1uibuk0fl dt prolt.sbili4•d" dil<retas
187
Exercicios de revisao
Secao 4.1
Nos exeicicios de 1 a 4, decida se a variavel aleatOria x e disuera
ou continua.
1. x representa o numero de bombas sendo usadas em um posto
de gasolina.
2. x representa o peso de um caminhao em uma esta<;<lo de pe·
sagem.
3. x representa a quanlidade de combustfvel oolocado em um posto
de gasor.na.
4. x representa o numero de pessoas que ativam um deteaOI de
meial em um aeropono a cada hora.
e
Nos exercicios de 5 a 10, decida sea dstnbui~ uma distribui·
~ode probabilidade. Caso nao seja, identifique a propriedade que nao
est3 de acordo com a d'IS1tibu;,do.
5. Quauo eo limite di~rio de robalos a serem tirados de um Iago.
A variavel aleat6ria x representa o numero de peixes capturados
emumdia.
"1os exerdcios de 11 a 14:
(a) use a tabela de disuibui>ao de frequCnOQs para W1Struir
uma distribui<;<lo de proballilidade.
(b) represente graficamente a cfistnbui~ de probabifidade
usando um histograma.
(c) enconue a media, a varlarlCia e o desvio padrao da distribui·
<;<lo de probabi1idade.
11. 0 numero de ~ginas em uma se<;<lo de uma amostra de teirtos
estatlsticos
Paginas
~
2
3
3
12
72
115
169
120
4
5
6
7
x
8
9
10
P(x)
II
6. A vari~vel aleat¢ria
x representa o numero de multas que um
policial aplica por tumo.
x
IP(•>
2
I
0
0,09 0,23
4
3
0,29
0.16 0,21
5
Ta<adas
logos
0
4
29
62
33
12
3
s
I
2
7. Uma lo')<I de canees guarda registros sobre habitos de compras
dos cfientes. A variavel aleat6ria x representa o numero de canees
vendidos para um (mico diente em uma visita aloja.
x
I
2
3
5
4
6
7
8. A variavel aleat6ria x representa o n(rmero de aulas que um aluno
universMrio frequenta em um dado semestre.
x
P(x)
I
2
3
4
5
6
7
8
I
-752
-101
12
25
27
20
1
5
2
-25
I
80
120
9. Em uma pesquisa, usu.lrios de Internet responderam quantos
enderews de e-mail possuem. A var~el aleat6ria x representa o
numero de ende!~s de e-mail.
x
P(X)
Io.
0,26
2
3
0,31
0,43
P(x>
0
1
0,156 0,318
2
3
0,227 0,091
4
Tel!MsO.S
0
5
6
0,136 0,045 0,045
casas
3
I
38
2
83
3
s
52
18
5
6
I
4
I
14. Uma esla<;<lode lVvendeanuncios em blocos de 15, 30, 60, 90
e 120 segundos. A distribui<;<lo das vendas para um dia (24h)
dada a seguir.
e
Dura~~o (em ""'Undos)
A variavel aleat6ria x representa o numero diario de fU11cion.l!ios
que avisam a empresa que estAo doeiues.
x
3
I
13. uma pesquisa enuevistou 200 casas sobre quantas televisOes
possuem.
0.68 0,14 0,08 0,05 0,02 o.oi o.oi
P(x)
83
48
22
6
12. 0 numero de tacadas, por jogo, dadas por um jogad01 de beisebol durante uma temporada recente.
I
0,02
I
15
30
60
90
120
NUmero
76
445
30
3
12
Ed ,e 1naaa
1
188 •
!s14tfltkaapll"d'
Nos e.erdcios 15 e 16, encontreovalor esperadopara a variavel
aleat6ria.
15. Uma pessoa tem oito tipos de a(lles dlferentes. AvariAvel aleat6·
ria x rep<esenta os tipos de a,Oes mostrando uma perda em um
dia espedf.co.
x
0
I
2
3
5
4
6
7
que admitiram usar a Internet para saber o que esta acontece.1do
no mundo seja:
(a) exatamente dois?
(b) no mrnimo dois?
(c) maier quedois? (ronre:~v-d1Cenw.)
Nos exerdcios de 23 a 26:
8
(a} construo uma distribvi>6o binomial
P(x} O,o2 0,11 0,18 0,32 0,15 0,09 0,05 0,05 O.Gl
(b) reptesente grolkcmente o distribui>Oo binomial usondo um
t6. Um bar local oferece um p<ato especial com asinhas de frango
as ter<;:as·feiras. 0 dono do ba• compra as asas de frango em
lotes de 300. AvariAvel aleat6ria x cepresenta o numero de lotes
usados as teri;:as.
x
1
P(x)
g
I
7.
3
histogromo.
23.
4
I
I
I
3
2
18
24.
Secao 4.Z
Nos exereicios 17 e 18, decida se o experimento e binomial. Caso
nao seja, ident~ique a prepriedade a (j'Jal ele nao atende. Caso seja,
lisle os valores de n, p e q e os val01es que x pode assumir.
t7. Saquinhos de M&M's contem 24% M&Ms azois. Um M&M tira·
do de cada um dos 12 saquinhos. A variavel aleat6ria representa
o numero de M&M's azuis escolhidos. l{Cll:o: MOf!. u)
t8. Uma moeda e la0"1da repetidamente ate que 15 caras sAo ob!i·
das. A variavel afeat6ria x representa o numero de lani;:ameotos.
e
Nos exercicios de 19 a 22, encontre as piobabilidades indicadas.
t9. Um em cada quatro adultos esta arualmente de dieta. Em uma
amostra aleat6ria de oito pessoas, qua! ea p1obabilidade de que
o numero de pessoas de dieta seja:
(a) exatamente ues?
(b) no mrnimo tres?
w."""'
(c) maior que tr~? (fonre.·
ll!lrlrf,.:d->
20. Uma em cada quatro pessoas nos Estados Unidos tern a¢es no
mercado de capitais. Em uma amostra aleat6ria de 12 pessoas,
qua! e a probabilidade de que o numero de pessoas que tenha
~seja:
(a) exatameme duas?
(b) no minimo duas?
(c) mais do que duas? (f'otlr•: Pew Rri"'°"" cen"">
21. Quarenta e tres POI cento dos adultos dos Estados Unidos recebem menos de dnco &ga¢es telefOnicas por dia. Em uma
amostra aleat6ria de sete adultos, qua! e a probabilidade de que
o numero de pessoas que recebem menos de cinco liga,Oes
diarias seja:
(a) exatameme tres?
(b) no minimo tres?
(c) maiorquetr~? (fonre.·YMhlil~-)
22. Em um dia normal 3 l<!b das pessoas nos Estados Unidos que
tern acesso aInternet se c.ooectam para saber das nolkias. Em
uma amostra aleat6ria de cinco pessoas que tem acesso aInter·
net naque!e pais, ~I e a prob.ibilidade de que o nUme<o dos
25.
26.
(c) encor>Ye o media. o V(Jfi{Jndo e o desvio podroo d-0 dislri·
bui>iio binomial.
Sessenta e tres por cento dos adultos nos Estados Unidos alugam
fitas de video ou DVDs pelo me.-.os uma vez ao mes. Considere
uma amostra aleat6ria de cinco americanos que responderam se
alugam ao menos um video POI mes.
Sessenta e oito por cento das famOias dzem que seus filhos influendam o destinode suas ferias. Considere uma amostra aleat6·
ria de seis familias que responderarn se seus filhos os influeociarn
na h01a de escolher o destino das ferias da farnifia. (fonre: ll'B8R.)
Recentemente, 40% dos caminhOes vendidos p01 uma emp<esa
eram movidos a <fiesel. Considere uma amostra aleat6ria de qua·
tro carrinhOes veiididos pela emp:esa.
Em um dia normal, 15% clas pessoas nos Estados Unidos que
tern acesso aInternet verificam a p<evi~o do tempo enquanto
estao navegando. Consi<!ere uma amostra aleat6ria de cinco pes·
soas naquele pals com acesso aInternet que responderam que
verificam a previsAo do tempo quando estao 0.1-line. (f<>nre- /\•n
Rl'se01dJ Om:et.)
Secao 4.3
Nos e.ercfcios 27 e 28, encontre as probabiidades indicadas
usando a distribui~o geometrica. Se for convenierne, use tecnologia
para encontrar as p<obabilidades.
27. No perfodo de prom~o. uma emp<esa de relrigerantes coloca
uma tampinha premiada a cada seis ganafas. Caso voce compre
uma garrafa do refrigerante POI dia, encontre a probabiffdade de
voce achar a sua prinWra tampinha premiada
(a) no quano dia.
(b) de.wo de quatro dias.
(c) em algum momento depois de tr~ dias.
28. Em um ano recente, Barry Bonds acenou 73 home runs nos 153
jogos que participou. Assuma que sua p<odui;Ao de home runs
1e.1ha ficado no mesmo nlvel na temporada seguinte. Qua! a pro·
babifidade de que ele tenha acertado seu primeiro home run:
(a) no primeiro jogo da temp01ada.
(b) no segundo jogo da temporada.
(c) no primeiro ou segundo jogo da temporada.
(d) dentro dos
tr~
primeiros jogos da temporada. (Fonre: M•!C'
l~&Jsebc,I)
Nos e.ercicios 29 e 30, encontre as probabiidades indicadas
usando a distribuii;Ao de Poisson. Se for convenieme, use uma tabela
de probabilidade de Poisson ou ferramerus de tecnologia para encon·
trar as probabilidades.
Ed ,e 1naaa
1
(•pltulo 4
29. Ouranteumperiodode 36anos,05raiosmatatam 2.457 pessoas
n05 Estad05 Unidos. Suponha que esse numero ainda seja ver·
dadeiro e que se mantenha constante durante o ano. Enoontre a
probabilidade de que amanlkl:
(a) ning~m, no$ EVA. sej3 atingido e motto por um raio.
(b) uma pessoa seja atingida e Ol<l{ta por raio.
(c) mais de uma pessoa seja atingida e morta por um raio.
(Rlt>le· NO!IOllOl VI~ SeMa>.)
•
Oistribui16!1dt proNbilid•d" dis<ret"
189
30. Estima-se que. no mundo inteiro, tuoorOes matem 10 pessoas a
cada ano. Encontre a prooobiidade de que no mlnimo tres pessoas sejam mottas por um tubarao este ano:
(a) supondo que estas estimativas sao verdadeiras.
(b) supondo que a es~ma1iva seja, na verdade, cinco pessoas ao
aoo.
(c) supondo que a estima1iva seja, na verdade, 15 pessoas
ao ano. (ll>n!t': !nwroq',,.,,al ~l Arrael FJ<..)
Teste do capitulo
F~ este testecomo sevoce estivessefazendo uma provaem sala.
Oepoisoompa1e suas respostas com as respostasdadasno final do livro.
e
1. OeOda se a variavel alea16ria, x, olSO'eta ou conlinua. E>plique
seu raciocinio.
(a) x representa o numero de tomad05 que a1ingiram o Kansas
durante 0 mes de maio.
(b) x representa a quantidade de 1esiduos (em pounds) p1odu·
zidos n05 Estados Unidos 1odoo os <fias.
2. A tabela fista o numeio de in~ncias de furacOes que a1ingiram
o 1errit6rio dos Estados Uridos (de 1901 a 2004), sendo eles de
varias intensidades de acordo com a escala Saffir-Simpson.
(Fon.'e: A~<KJnol Hllm<one Center.)
ln1ensidade
NGmero de ruracOes
70
41
2
3
49
4
13
5
(a) Construa a distribo~o de p<obebilidade dos dados.
(b) Represeme graficamente a distribui~o binomial usando um
histograma de p1obabilidades.
(c) Encontre a media. a varlancia e o desvio padr<lo da disviboi9lo
de probilbaidade e inte1prete 05 resultados.
(d) Encontre a prooobilidade de que um furaoo escolhido aJe.
at0<iamente para estudos .a<focionais tenha uma intensidade
de no minimo quatro.
3. Uma tecnica cinlrgica e feita em quatro pacien1es. Oisseram que
hi\ uma chance de 80% de sucesso para a cirurgia.
(a) Conslrua uma disvibo~ binomial.
(b) Represen1e graficamente a distribui~o binomial usando um
histograma de p1obabtl idades.
(c) Encontre a media, a vari.\00a e o desvio padrAo da distribui·
c;llo de p1obabilidade e imerprete 05 resu!tados.
(d) Encontre a p1obabilidade de a cirurgi.i 1er sucesso para eica·
tamente dois pacientes.
(e) Encontre a p<obabilidade de a cirurgia 1e1 sucesso para menos de dois paciemes.
4. Um jomal descoble que o nDmeio medio de err05 tipograficos
por pagina ecinco. Encontre a pobabilidade de que:
(a) e1<atamente cinco erros tipografic05 sejam encontrados em
uma pagina.
(b) menos que cinco err05 tipograficos sejam encontrados em
uma pagina.
(c) nenhum erro tipografK.O seja encontrado em uma pagina.
Juntando tudo
Resul!ados dos ciclos de RTA
Estatistica real - decisiies reais
0 Centro de Controle e Preven~o de Ooen~s (CDC) recebeu uma solid·
ta~o de lei para publicar um relat6rio sobre teoiologias de rep<oduc;llo assistida
(RTA). O RTA indui 1odoo os 1ratamentos de fertilidade nos quais o 6vulo e o
espe«na sao usados. Esses procedimen1os geralmente envolvem a retirada dos
6wlos de dentro dos warios da mulher, a combina~o deles com os espermas
no laborat6rio e a recoloca~ dos 6vtAos dentro do CO<po da mulhei oo, ainda, a
doa~ destes para ouua mulher.
~ esta ajudando a p<eparar o relat6rio CDC e seleciona, de f0<ma aleatQ.
ria, 10 cidos de RTA para uma revisao especial. Nenhum dos cidos reslltou em
uma gravidez dlnica. Seu gereme acha impossivel selecionar aleatO<iamente 10
Gravidci
Gravidez
...---t--- co16picn -0.7%
cHnica
33.7%
A u~nc i a
de g.mvidez
65.6%
(F,111te: C!ntl!'r.-for Dikt!'S4'Co11ln1I 1111d Prt:~t·nl it.tn.)
Ed ,e 1naaa
1
[~•tl1tic,.plicaJa
190 •
cidos de RTA que nao res<Jlta1am em uma gravidez dlnica. Use a informa~o fomecida
adiame e o seu conhecimemo sobre estatlstica para determinar se o seu gerente es!.!
correto.
Gravidez e nascidos vivos, por
ciclos de RTA, entre muJheres
de 40 anos ou mais
JO
CJ fndice de g.rnvidcz
CJ (ndice dc n n~i dQS \'i\'0$
lS
E
a
~
20
IS
i ,.
s
fxercicios
Como voce laria?
(a) Como voce determinaria, se o ponto de vista do ge<e<lle est~ correto. que e im·
possivel selecionar 10 cidos de RTA aleatoriamente que ni!o resultaram em nenhuma
gravidez dinica?
(b) Qual distribu~o de probabifidade ~ acha que methor descreve a sill.Ja¢o?
Voce acha que a d~tribu~ dos numeios de gravidezes dinicas e discreta ou contt·
nua? Por que?
I.
Respondendo ~ pergunta.
Esaeva uma explica~o que responda aseguinte pergunta: •£ posslvel selecionar
IO cidos de RTA aleatoriamente que nao resultaram em nenh\Jma gravidez dinica?' lnclua em
sua explicai;Ao a distribvii;Ao de probabilidade ap<opriada e seus cakulos da probabilidade da
ause<lda de ocorrencia de gravidez dinica em 10 cidos de RTA
3. Amostras suspeitas?
Quais das seguintes amostras voce consideraria suspeita se alguem lhe dissesse que a
amostra foi coletada de forma aleat6ri.l?
Voce acreditari.l que as amostras foram escclhidas aleatori.lmente? Por (j\Je (nao)?
(a) Selecionando aleatoriamente 10 ddos de RTA entre mulheres de 40 anos, das quais
oito resultaram em gr3"dez clinica.
(b) Selecionando ateat0<iameme 10 ciclos de RTA entre mulheres de 41 anos. dentre as
quais nenhuma apresentou gravidez dlnica.
2.
Tecnologia
!MINITAB
MINITAB
I
EXCEL \
Tl-83/ 84 \
I Usando a distribui~ao de Poisson como modelos de Queuing
I
Queuing significa esperar em fila para ser servido. Ha muitos ex-emjllos de queuing na vida co·
tidiana: esperar em um ~foro, esperar na fila para passar no caixa de um supermercado. esperar
um elevador. esperar um te!efonema e assim PO< diante.
As distribvi~Oes de Poisson sao usadas para modelar e prever o nlimeto de pessoas (ligacOes.
programas de tomjJIJtador, velculos) que chegaroo a fila. Nos exeicl<:ios a seguir, voce devera usar
diSlribui¢es de Poisson para analisar os queues no c.iixa de um supermercado.
02
0 2
.&
6 8 10 •2 I ii 16 18 lO
Number of arrivals oor minute
Exercicios
Nos ei<etcicios de I a 6, oonside<e um superme<cado que pode
processar um total de quatro dientes em seu caixa por minuto.
1. Suponha que a media do numeto de dientes que chegam ao
caixa por minuto seja 4. Ctie uma disuibuii;.lo de Poisson com
1• 4 para x Oa 20. Compare seus resu!tados com o histogra·
ma no canto inferior direito da ~gina anteri0<.
=
=
2. MINITAB foi usado para gerar 20 numeros aleat6rios com <fistri·
bui~Oes de Poisson para 1, = 4. O numero aleat6rio representa
o nUme<o de chegadas ao caixa por minuto, em um periodo de
20 minutos.
3
3
3
5
3
6
3
3
5
4
5
6
6
2
7
2
3
4
6
lmrante cada um dos quatro prirneiros minutos, somente quatro
clientes chegaram. Esses dientes foram alendidos, ent<io fl.lo havia
ninguem esperando depois de quatro minutos.
Ed ,e 1naaa
1
(apftulo 4
(a) Quames dlentes esuivam esperando depois de 5 minutes?
Edepoisde 6 minU1es? 7 minutes? 8 minutes?
(b) Crie uma tabel.l que mostre o nOmero de cfientes esperan·
do ao final de 1ate 20 minutos.
3. Crie uma ri11a de 20 numeros aleat6ries com d~tribui{~ de P~·
son para 1• = 4. Crie lllla tabela q.ie mostre o numero de dien1es
esperando ao final de 1 ate 20 minutes.
4. Suponhaque amedia cceS{d para 5 chegadaspor minuto.Voceainda s6 pode atender a quatro pessoas por minute. Quantas pessoas voce acha que estarao esperando na fila depois de 20 minutes?
5. Simule o cenario do Exetdcio 4. Fa~ isso cciando uma fista de 20
numeres a1Mt6ries com dis1t1bui(Ae de Poisson para,, = 5. De-
•
Oistribul<6fl de proNbilidadt1 dlsmtos
191
pois, crie t.rna tabela que mostre o numeio de dientes esperando
na fila depois de 20 minutes.
6. Suponha que a media do nullleto de chega<las por minute seja
5. Qual e a probabiidade de que 10 dientes cheguem durante 0
primeiro minuto7
7. Suponha que a mMia do numero de chegadas por minute seja 4.
(a) Qual e a p<obabilidade de que tres, quatro OU cinco dientes
cheguem durante o terceiro minU1o?
(b) Qua! ea probabifidade de que ma is de quatro cieotes cheguem durante o primeiro minuto?
(c) Qual e a prebabifidade de que ma is de quatro cieotes cheguem durante cada um dos quatre primeires minutes?
Ed ,e 1naaa
1
Capitulo
151
~
___ Distribui,oes de probabilidades
•
norma1s
]. __
Comprimento da carapa\'3 de
tartarugas de caixa orientais femeas
Onde estamos
Do capftulo I ao 4, voce aprendeu como coletar e
descrever dados, encontrar a probabilidade de um evento
e analisar distribui\6es de probabilidade discretas. Voce
tambem aprendeu que, se uma amostra ~ usada para fazer
inferendas sobre uma popula~ao, entiio e imprescindivel
que a amostragem niio favore\a um grupo. Suponha, por
exemplo, que voce quisesse determinar o fndice de masti·
tes (infcc~ causadas por bacterias que podem alterar a
produ\ao de leite) em um rebanho leiteiro. Como voce or·
ganizaria o estudo? Quando o A11i111nl Hen/th Service realizou
esse estudo, foi usada uma amostragem aleat6ria e entao,
ela foi dassificada de acordo com ra\a, habita\iiO, higiene,
saude, administrai;.~o do leite e m~quinas de leite. Uma das
conclus0es a qua! eles chcgaram foi que os rebanhos que
tinham vacas Vermelhas e Brancas como ra\a predominante
tinl1an' u1n maior nU1nero de ocorrencias de 1nastites que
rebanhos que tinham vac.'15 Holstein·Friesian corno ra•;a
predominante.
•&
~ IS
~
J:
3
70
90
II 0
t.10
IS()
Con1primcn10 da car.'l1>~0'I
(em n1ili'n~ros)
Comprimenlo da carapa~a de
tartarugas de caixa orienta.is machos
25
~
20
~
IS
E
~
~
Para onde vamos
No Capftulo 5, voci! vai aprender como reconhecer
distribui\6es normais (curva em fonna de sino) ecomo usar
suas propriedades em aplic.1~ de vida real. Suponha que
voce tenha trabalhado no zool<lgico da Cirolina do Norte e
estava coletando dados sobre caracteristicas fisicas de tar·
tarugas de caixa orientais no zool<lgico. Para quais das se·
10
s
so
100 l:!O 140 160
Compri1ncn1<> da carnp~3
(cn1 mil imc~)
Comprimento do
Comprimento do
guintes caractarrstic.as v~ espararia tar urna distribui($50
sim~trica
com curva em forma de sino: comprimento da
carap.1\a (casca de cima), comprimento do plastriio (casca
de baixo), largura da carapa\a, largura do plastrilo, peso ou
comprimento total? Os quatro graficos ao lado, por exem·
plo, mostram o comprimento da carapa\a e do plastrao de
tartarugas de caixa orientais macho e f~mea. Perceba que a
dislribui~o relativa ao comprimento da carapa\a da tarta·
ruga macho tem fonna de sino, mas as outras tres distribui·
i;oes sao inclinadas para a direita.
12
plastrio de tartarugas
plas-trio de tartarugas
de caixa orientais femeas
d.e caixa orientais macho
•8
20
."" ".
E IS
E 16
•"" 12
"
ff.
c
ff.
u
~
I!
8
•
9
6
3
70
90
Ill)
130
IS()
Con11)rin>e.1no clo 1>lastrSo
(em n1ili1netros)
70
90
110 130
Con1pri11l(.nto do pl:is·1rt10
(en1 milfnic1ros)
Ed ,e 1naaa
1
m
(apftulo S
•
Disuil>uk~ dtprolabilidad~ no1..11
lntrodu~ao ii distribui~ao normal e
distribui~ao normal padrao
0 que voce
Propriedades de uma distribui(iio normal -+ Adistribui(iio normal padriio
I
193
Propriedades de uma distribui,ao normal
Na Se\<io 4.1, v~ diferenciou as variaveis aleat6rias contlnuas e discretas, e
aprendeu que wna variavel aleat6ria continua tem um numero infinito de vaJores
possiveis que podem ser representados por um intervalo na reta numerica, cuja distribui\<io de probabilidade e chamada de distribui~.io de probabilidade continua. Neste
capitulo, voce vai estudar a distribuii;ao de probabilidade continua mais importante
em estatfstica - a distribui~ao nonnal. Distribui~ normais podem ser usadas para
modelar muitos grupos de mensurai;~o de dados na natureza, industria e neg6cios. A
pressaosanguinea dos humanos, por exemplo, o tempo de vida de gn1pos televisivos e
atemesmocustosdomesticoss.'iotodos, nonnalmente, variaveisaleat6riasdistribuidas.
lnstru(oes
deve aprender
• C.omo imerpreiar grclficos de disuibu¢es de prob.Jbilidade Jllfmcll.
• Como encontrar areos sob aClllVil
normal padrao.
-
lmportante
Para aprendercomo determinar se uma amoslra aleat6ria
e tirada de uma distribuio;ao
normal, veja o Apendice C
Propriedades de uma distribui(ao normal
Uma distribui~ao normal e uma distribui~o de probabili.dade contfnua
para uma variavel aleat6ria x. 0 grafico de uma distribuii;ao normal e chamado
de curva nom1al. Uma distribui~iio normal tem as seguintes propriedades:
1. A m&lia, a mediana e a moda siio iguais.
2. Uma curva nonnal tem forma de sino e esimetrica em tomo da m&lia.
3. A area total sob a curva normal e igual a um.
4. A medida que a curva normal se distancia cada vez mais da m&lia, ela se aproxima do eixo x, mas nunca o toca.
5. Entre µ - q e 1• + q (no cent(() da curva), o grafico se curva para baixo. 0 grafico
se curva para cima a esquerda de 11-q ea direita deµ +q. Os pontos nos quaisa
curva muda de crescente para descrescente sao chamados de ptmtos de inflexifo.
lmportante
-111~~~~~~~~~--.
µ -1-u µ - 2<1 µ - a
JJ
Jt+<1 µ+ 2<1 p +'Ja
Vo~ aprendeu que uma distribui~ilo de probabilidade discreta pode ser represenrada graficamente com um histograma. Para uma distribui~5o de probabilidade
continua, voe@ pode usar a fun~ao densidade de probabilidade (fdpJ. Uma curva
normal com m~dia 1• e desvio padrao q pode ser representada graficamente usando a
fun~3o densidade de probabilidade norma.1.
Uma funi;.'lo densidade de
probabilidade tern duas con·
di¢es.
1. A area total sob a cutva
deve ser igual a 1.
2. A fun~ao nunca pode ser
negativa.
Ed ,e 1naaa
1
194
•
[~d1Js.1Jca11plirad!
1
-(x-1•)'/2u'
y=--e
q.&
Dica de estudo
Aqui estao as instru~ para
o grafico da distribui¢o nor·
mal em uma Tl-83/ 84.
I Y= II 2nd lD1STR
1<norrnalpdf(
Entre x e os valores de I' e q
separados por vfrgulas.
lGRAPHl
llltt11a1n'f?11(1111;irl 1ft1-l(futr rompftN1111t11tt' tft"':' dt'IJ~ ,_,riimrlrt.Ji.
/IC" Jll'flfltl'f ~ i; IS ( ~~ 3,14 ,;Qit((llJSbJIJlt'.
Uma distribui~ao nonnal pode ter qualquer m<!dia e qualqucr dcsvio padrao
positivo. Esses dois par.lmetros I' e "dete.rminam completamente o formato da curva
nom1al. A m<!dia da a localiza~o da linha de simetria e o dcsvio padrao descreve o
quanto os dados sao cstendidos.
Pontos<le
in0ex5o
Pontosdc
~,
0
I l
3 4 5 6 7
M<!dia: 11 =3,5
Desvio padrao: 11 s 1,5
-'-l"-<l-l'-1..l-l~-l-.<
0
6
7
M<!dia: 11 =3,5
Desvio padrao: q a 0,7
01
? 34$67
Media: 11=1,5
Desvio padrao: 11• 0,7
Perceba que a curva A ea curva Bt~n' a n1esma m~dia, ca curva Be a curva C
padrao. A area total sob cada curva e1.
t~m o mesmo desvio
Exemplo
m
Entendendo a media e o desvio padrao
1. Qual curva normal tcm uma mt!dia maior?
2. Qual curva nom1al tern um desvio padrao maior?
SolttfliO
1. A linha de simetria da curva A ocorre em x = 15. A linha de simetria da curva 8
ocorre em x = 12. Portanto, a curva A tern uma media maior.
e
2. A curva B mais estendida do que a curva A; portanto.. a curva B tem um desvio
padrao maior.
Considere as curvas normais a esquerda. Qual curva normal tem a mt!dia
maior? Qua! curva normal tem o desvio padrao maior? Justifique suas res·
postas.
A
R
s
a. Enoontre a localiz.1(50 da li11l111 tie si111elrin de cad a curva. 'li re oonclusOes sobre qual
n1tklia ~a n1aior.
b. Determine qua! curva normal e 111nis este11tfitfn. 'lire conclus6es sobre qual desvio
padriio eo maior.
I'· A4(1
~~111 un
t1,[11.11§§§
Exemplo
m
lnterpretando 9r~ficos de distribui,oes normais
As oltur;is (em p4$) de ~rvores de c-~olho odultos slo norm.Jmente distribuf-
das. A curva normal representada a seguir mostra essa distribui\<'k>. Qua! ~ a m(l(iia
da altura de uma arvore de carvalho adulta? Estime o desvio padrilo dessa distribui·
~30 norma.1.
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
r1ot1 ,1ot2 , , . t)
Soturao
Como uma CUl'V3 nonnal ~
simttrira cm 1omo d.1 media. '"OIX
podc C!limorquc
f'" 90 pCs.
I
' Y1BnorMal Pdf'(X ,
90 ,3 . 5)
' Y2=
Con10 os pontos de inncxilo
,_,,....:::::::,,,~
sUo un1 dcsvio padriio da
n16dia. voe~ podc estirnar quc
" " 3,S
I
I
SS
I
I
f
•
•
I I
90
, y3=
,y~ =
,' Ys=
y,=
o.z
•
I I' I
Altura (cm ~s)
foltrprttariio
As alturas de arvoresde carvalho normalmente 5"° distribuldas com uma media
de ceroi de 90 ~ e um desvio padrao de aproximadarnente 3,5 ~
T-
Os diAmetros (em ~)de arvores de carvalho adultas s3o normalmente dis·
tribuidos; a curva normal a seguir representa essa distribui~ilo. Qua! ~ o di~l
metro m(l(iio de uma arvore de carvalho adulta? Estime o desvio padrao dessa
distribui~ilo normal.
vod
?J
u
u
"
u " ~
OOmelro(<m pb)
"
u
a. Encontre a li11lur de simetria e identifique a m(l(iia.
b. Estime os po11tos de fojltxifo e identifique o desvio padrilo.
u
•J
100
Una ve.i que vocf delermna a mMa
e o desvio pad~ .cc~ Pode usar uma
Tl-83/84 1>4<a iepteseniar a C1J1Va nQf·
mal no Exemplo 2 gra6camente.
Ed ,e 1naaa
1
196 • es1..r1ticaopll<odo
fmportante
Cooio toda distribui$'!0 normal
pode ser transfonnada em dis-
I Adistribui,ao normal padrao
Existe uma infinidade de distribui<;<ies normais, cada uma com s11a pr6pria me·
dia e desvio padrao. A distribui\ilO nom1al com 11ma media de 0 e um desvio padrao
ttibui<;ao normal padrao, vOO!
de 1 C: diarnada de distrillui~ao nor1ual padrio. 1\ esl-ala horizonlal do grtifiro da dis-
pode usar o z-esoore ea curva
normal padrao para encon·
trar areas (e tam~a proba·
bilidade) sob qualquer curva
normal.
tribui\00 normal padrao correponde ao z·~'Score. Na $e(;ao 2.5, vocc aprendeu que
um z-escore e uma medida de posi~o que indica o numero de desvios padrao de 11m
valor a partir da media. Lernbre·se que voce pode transformar 11111 valor x em z·escore
usando a f6rmula:
Valor - Media
Desvio padtiio
z
X - Jt
z=--.
Arredondc." para o ccnt~o;hno nlai!-1 pr6ximo.
"
DefiniEao
A distribui~o normal padrao
padrao de l.
e uma distribu~o normal com 001a media de Oe um desvio
Arca= I
.....""'---1~~-1-~~>-~-+~~-I--"'"""!---~ '
.~
-3
-:?
-I
0
~
Oistribuit;ao normal padrao
Oica de estudo
~ importante que voce saiba
a diferen\a entre x e z. A va·
navel aleat6ria x ~. as vezes,
chamada de pontua\iiO bruta
e representa valores em uma
distribui\00 normal nao pa·
drao, enquanto z representa
valore.s na dishibuic;clo nor-
mal padrao.
Se cada valor de uma variavel aleat6ria x distribufda normahnente e transformado em um z-escore, o resultado sera a dislribuis<~o nonnal padrao. Q11ando essa
transforma\ao acontece, a area que cai no intervalo sob a curva normal nao padrao ea
mesmn que aquela sob a curva normal padrao dentro das fronteiras z correspondentes.
Na $e(;iio 2.4, v~ aprendeu a usar a regra empirica para aproximar areas sob
uma curva normal quando os valores da variavel aleat6ria x correspondiam a desvios
padrao-3, -2, - 1, 0, 1, 2, 3 da media. Agora, voe~ vai apren<ler a calcular areascorrespondentes a outros valores de x. Depois de usar a f6rmula <lada para transfonnar um
valor x em uma pontua\ao z, voe~ podera 11sar a Tabela Nonna! Padrao no Ap~ndice
B. A tabela lista a area acumulada sob a curva normal padrao aesquerda de z para z-escores de - 3,49 a 3,49. Enquanto observa a tabela, note o seguinte:
ropriedades da distribuicao normal padrao
1. Aarea acumulada epenode Opara z-escores pr6ximas a z =-3,49.
2. Aarea acumulada aumenta conforme as pontua~Oes z aumentam.
3. Aarea ac.umulada para z = 0 e0,5000.
4. Aarea acumulada epr6xima a I para z-escores pr6ximas a z = 3,49.
Ed ,e 1naaa
1
C•pitulo 5
Exemplo
•
Di•trioviW~de t><•balilidode>•Ol"'i'
197
m
Usando a tabe!a normal padrao
1. Encontre a aroa acu1nulada quc correspond<! a z-escoro d& 1, 15.
2. Enoontre a Mea acumulada que oorresponde a z-esoore de -0,24.
Solufilo
t. Enoontre a area quecorresponde aZ= 1,ISenoontrando 1,1 na coluna aesquerda e
depois cruzando a fileira para a ooluna sob 0,05. 0 numero naquela fileira e coluna
e0,8749. Entllo, a area lt esquerda de z = 1, 15 e0,$749.
0,0
0,1
0,2
000
001
002
0 03
005
006
0
0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5100 0,5199 0,5239
0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636
0,5~3 0,5&32 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,fi<126
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
0)!159
0,8413
0,8643
0,8849
0,9032
0,9192
%
14
0,8186
0,8438
0,8665
0,8869
0,9049
0,9207
0,8212
0,8461
0,8686
0,8888
0,9066
0,9222
0)!238
0,8485
0)!708
0,8907
0,9082
0,2?.36_
0,8264
0,8508
0,8729
0,8925
0,9099
0,9251
0,8289
0,8531
©,874?>
0,8944
0,9115
0,9265
0
I.IS
Area=
0.4052
0)!315
0)!554
0)!770
0,8962
0,9131
Q,9279
2. Enoontre aarea que oorresponde a z =-0,24 encontrando-0,2 na ooluna aesquerda
e depois cruzando a fileira para a ooluna sob 0,04. 0 numero naquela fileira e oolun.1 e0,4052. Enrao, a area aesquerda de z =-0,24 e0,4052.
%
3,4
3,3
3,2
009
008
007
0 06
0 5
0,0002 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003
0,0003 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004
0,0005 0,0005 0,00)5 0,0006 Q,0006
01»
0 3
0,0003 0,0003
0,0004 O,OOOI
0,0006 0,0006
Dica de estudo
-111~~~~~~~~~-
Aq ui
voce
enoontra lnslru·
¢es para detenninar a area
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
o,o
0,2776
0,3121
0,3483
0,3859
0,4247
0,4611
Voe~ tambem
_
,~
0,2810
0,3156
0,3520
0,3897
0,4286
0,4681
0,2843
0,3192
0,3557
0,3936
0,4325
0,2877
0,3228
0,3594
0,3974
0,4364
o,4n1 0.4761_
0,2912 0,2946 0,2981
0,3264 0,3300 0,3336
0,3632 0,3669 0,3707
0,4013 ©A05l} 0,4090
0,44-04. 0,4443 0,4483
0,4801 0,4840 Q..4880
pode usar um oomputador ou calculadora para encontrar a area
acumulada que corresponde ao z-escore, conforme esta na margem adireita.
a
1. Encontre a area sob a curva esquerda do Z·escore de-2,19.
2. Enoontre a area sob a curva a esquerda do z-escore de 2,17.
Localize a pontua~'lo z dada e euamtre n lfrl!tl que oorresponde a ela na ·iabela
Normal Padrao.
Quando o z-esoore nao estiver na tabela, use a entrada mais pr6xima dele. Seo
z-esrore dado estiver exatanlente entre dois z-escores, entao use a a.re.a entre as areas
correspondentes.
Voe~ pode usar as instru~Oes seguintes para enoontrar os varios tipos de areas
sob a curva normal pad rao.
que oorresponde a z = -0,24
em uma Tl-83/84.
Para especificar um limi·
te menor neste caso, use
-10.000.
I 211d Iorsrn
2; JrtormalcdJ(
-10000, -.24
OJ
I ENTER I
norMalcdf(-10000
' - • 24
. 405165175
Ed ,e 1naaa
1
198 • !s"1r11i<aapll"da
lnstru~oes
Encontrando areas sob a curva normal padrao
1. Esboce a curva normal
padrao ea sombra da <lrea aproprlada sob a curva.
2. Encontre a area seguindo as dire¢es para cada um dos casos.
a. Para encontrar a area aesq11erda de z, encontre a area que corresponde a z
na Tabela Nonnal Padrao.
2. A :\rca pom a esquerdn
dez= l.23c0.8907.
/ t .-"J
0
I. Use a 1abela para
encontrar a ~rea para o z-i!store.
b. Para encontrar a area a direita de z, use a Tabe.la Normal Padr~o para encon·
trar a area que corresponde a z. Entiio, subtraia a area de 1.
1. Subtrnia para encontrar a
&en~ direit• de z = 1.23:
2. A~""'~ esquerda
de z= l,23<!0.8907.
I -0.8907 =-0.1093.
0
1. Use a u1bela para
I I.2l
cncontror a fire.a para o z-cscore.
c. Para encontrar a area e11tre duas pontua¢es z, e1\contre a area correspondente para cada z-escore na labela Normal Pad.mo. Entao, subtraia a area
menor da area maior.
2. A :'ireo A esquc.rda de
4. Sub1raia para cncontrar
z= 1,2H0.8907.
a area da rcgiiio cntrc as
'
duas z-escorcs:
0.8907 - 0.2266 = 0.6641.
3. A :\rca ~ e:;querdn de
z =-o.1sco.22<i6.
-0.1.S
\
0
1.23
I
I. Use a tabcla para cncontrnr
;i llrca parn o :z-cscorc.
Ed 1t 1naaa
1
Exemplo
m
norMal cdf ( -10000
' - •9 9 )
.16 10870612
Encontrando a ~rea sob a curva normal padr3o
E-ncontre a area sob a curva normal padriio a esquerda de 4
.,. -0,.99.
So/11pio
A area sob a curva normal padrao aesquerda de z = -0,99 eexibida a seguir:
-0.99
lmportante
0
Com base na Tabela Normal l'adrao, esta area e igual a 0,1611.
Tente Encontre a area sob a curva normal padriio a esquerda de z = 2,13.
......
a. Dt!Se11lte a curva normal padrao e sombreie a area sob a curva ea esquerda
dez = 2,13.
b. Use a 'fobela Normal Padrao para e11co11tmr rt lfrt"1 que corresponde a z = 2,13.
4
Rl"Slll>5lt1 lli'I I'· A40
Exemplo
Usando uma TMl3/84, ~ pode en·
contrar a area automaticamente.
m
Encontrando a area sob a curva normal padrao
Como a distribui~o normal
e uma distribui~ao de pro·
babilidade continua, a area
sob a curva normal padrao
1' esquerda de um z·escore
nos da a probabilidade de
que z seja menor que aque·
le :z-escore. Por exemplo, no
llxemplo 4, a fu'ea aesquerda
de z = - 0,99 e 0,1611. Entao,
P(z < -0,99) = 0,1611, que e
lid<> como "a probabilidade
de que z seja menor do que
-0, 99eo,1611."
Encontre a area sob a curva normal padrao adireita de z = 1,06.
SoltiftiO
A area sob a curva nom1al padrao adireita de z = 1,06 eexibida a seguir:
Arca= I - 0.$554
,\rea = 0.8554
0
1.1)6
Com base na Tabela Normal Padrao, a area a esquerda de z = 1,06 e0,8554. Como
a. area total sob a curva e1, a a.rea adireita de z = 1,06 e:
Area= 1-0,8554
= 0,1446.
Encontre a area sob a curva normal padr~o adireita de z = -2,16.
.....,._. a. Oesc11lte a curva nonnal padrao e sombreie a area sob a curva ea direita de
z=-2,16.
b. Use a Tabela Nom1al Padriio para e11co11tmr rt lfrert aesquerda de z = -2,16.
c. S11btmirt a area de 1.
norMa l cdf ( l. 06, 1
00 00 )
.1445723274
Use 10.000 para o fimhe superior•
Ed ,e 1naaa
1
ZO 0 •
es1..r1110 apli(oda
-
.
I
Exemplo
Retratando o mundo
De acordo com uma publica·
<;;00, o nUn1cro de nasci1nen·
tos durante u1n ano recente
foi 4.112.052. o peso dos re-
m
Encontrando a ~rea sob a curva normal padr~o
Encontre a area sob a curva nonnal padrio ent.ro i
.,.. -1,.5e:i
= 1,25.
SolufiiO
A area sob a curva normal padrao entre z = - 1,5 e z = 1,25 eexibida a seguir:
cem-nascidos pode ser apro·
ximado por uma distribui\<io
norn1al, como n1ostra o grC"i.fi-
co a seguir. {f.,,1t1•; ':\'mi.mill Ct'N/.:J
fi,, lfroltlt St11lislit~.)
Peso de recem-nascidos
-IJ
'
~ ~ ~ ~ &i ~
~
N
~
'°'I
""
Peso (em sran1as)
£11co11fre o z-escore q11e corres/1(111da no JJ<'S() de 2.000, 3.000
e- 4.000 gmmas. Alg11111 desst'S
l>tbt!s eexcepcio11a/111mte pe$11do
011 leue?
0
1.2$
Com base na Tabela Nonna! Padrao, a area~ esquer<la de z = 1,25 e 0,8944 ea
area~ esquerda de z = - J,5 e0,0668. Entiio, a area entre z = - l,5 e z = 1,25 e:
Area= 0,8944 - 0,0668
a 0,8276.
lllterprelafiio
rortanto, 82,76% da area sob a curva esta entre z =-1,5 e z =1,25.
Encontre a area sob a curva normal padrao entre z = -2,16 e z = - 1,35.
norMalcdf<-1.5,l
• 25)
. 8275429323
a. Use a Tabela Normal Padrao para e11co11trar a area aesquerda de z = - 1,35.
b. Use a Tabela Normal Padnio para e11co11trar a area~ esquerda de z = -2,16.
c. Subtraia a ~rea menor da ~rea maior.
AtJ usar tecnologia, seus resul1ados podem diferir um pouco daqueles encoottados ao usar a Tabela Normal PadrJo.
Na ~ao 2.4 voce aprendcu, usando a regra cmpfrica, que valores quc estao a
mais de dois desvios padrao da media sao considerados incomuns. Valores que ultrapassain tres desvios padrao da media sao considerados 11111ito incomuns. Entiio, se urn
Z-CSCOre e maior que 2 OU mcnor quc -2, CIC eincomum. Se 0 Z-CSCOre for maior que 3
ou menor que-3, ele e11111ito incomum.
lji
Exercicios
Construindo habilidades bcisicas e conceitos
1. Encootre tr!s exemplos reais de variavel continua. Quais voe! jul·
ga serem noanalmente distribuldas? Pot qu!?
2. Qua! e a area tO!al sob 3 Cllf\la normal?
3. Desenhe duas curvas normais que tenham a mesma media, mas
desvios padrilo dilerentes. Descreva o que e similar e o que e
dileteote entre elas.
4. Desenhe duas cuivas nOt111ais que 1enham medias diferentes,
mas os mesm05 desvios padrao. Descreva o que e similar e o
que edUeren1e enue etas.
5. Quale a media da <f151ribui{Ao normal padr3o? Quale o desvio
padrJo da distribui~o normal padrilo?
6. Descreva como voe~ pode transfOtlllar uma di$1ribui<;Ao normal
n.lo padrilo em uma d'1$11lbui<;Ao normal padrilo.
C.,ftllo S •
Fl)r ~ ~ CO«elO cize< ll!la
~normal e ·a·~ noonal padrao?
7. Entendendo o conceito
0
0
(•) f\ mMo ~zero.
Nos exerdcios 15 e 16, determine se o lislograma represen!4
dados oom uma distribu~ normal. Explique seu racioMo.
15.
Tempo de c-spcra cm
um consult6rio dcnlario
(b} 0 valor x oonespondente ~zero.
(c) o valor x cooespondente ~ o mesmo da ~ia.
·~
Analise grafica
Nos e.edcios de 9 a 14, delermne se os gr.!fioos podem repie~ ..na YriYel a:rn uma cistOb ir;ac> normal fJqliqtJe seu laciocho.
~
O.• t
0.J--i--
~
~ 02 --
i
9.
f
0.1
""
- -..
201
Analise grafica
<isln-
8. Entendendo o conceito 5e um Z-e5CQ<e ~ zero, qual das seglintes afirma¢es deYe ser oorre!4? Eicplique.
DM1loi<lf<4t,..Wl\lid<dts-is
..
12 20 2a l6
Tc1npo ( cn1 n1inutos)
16.
Perda de peso
10.
1
"
0.201
~ O.IS
]
0.10
"'J:
5- OJ)$
10 20 30 40 SO 60 70 flO
Llbrn.s perdida.~
11.
Analise grAfica
Nos exerdcios de 17 a 20, encontre a hea da regi.lo indic.ada sob
a curva noonal padtao. 5e f0t c~te. use leoame11ias tecnd6g~
cas para enconirai a Area.
17.
12.
0
1.l
18.
13.
-?.l!i
0
19.
14.
-{\5
0
l.S
Ed ,e 1naaa
1
ZO Z •
(s141b1i<aa~llcoda
20.
-0
Encontrando a area
Nos exerdcios de 21 a 40, encomre a ~1ea indicada sob a cuiva
normal padroo. Se for convenieme, use feuamemas tecnol6gicas para
encontrara area.
21. A esquerda de z = 1,36.
22. A esquerda de z = 0,08.
23. A esquerda de z m t ,96.
24. A esquerda de z = 1,28.
25. Adileita de z = -0,65.
26. Ad~eitadez=-1,95.
21. A direita de z c 1,28.
28. A direita de z = 3,25.
29. A es<]uerda de z = -2,575.
30. Aes<]uerda de z = -3.16.
31. Adireitadez • l,615.
32. A direita de z = 2,51.
33. El\ttez=Oez= 1,54.
34. Entte z • oe z • 2,86.
35. El\trez •-l,53ez • O.
36. Entte z = -0,51 e z =0.
37. El\ttez=-l,96ez= 1,96.
38. El\tte z • - 2,33 e z • 2,33.
39. A esquerda de z • - 1,28 OU adireita de z - 1,28.
40. Aesquerdadez=-l,96ooadireitadez= 1,95.
.:l 42. Altura dos homens Voce est.\ lazendo um estudo sob<e a al·
tura de homens de 20 a 29 anos. Um estudo anterior mostrou
que a altura e IXlfmalmente distribufda, com uma mecfia de 69,6
polegadas e um desvio padrao de 3,0 polegadas. Voce escolhe,
aleatoriamente, uma amoStta de 30 homens e descobre as se·
guintes alturas: (,<doplotfo do - o l Cenw /cl H<o.'th Srdl~bCS.)
72,1, 71,2, 67,9, 67,3, 69,5, 68,6, 68,8. 69.4, 73,5, 67, 1,
69,2, 75,7, 71, 1, 69,6, 70,7, 66,9, 71,4, 62,9, 69,2. 64,9,
68,2, 65,2, 69,7, 72,2, 67,5, 66,6, 66,5, 64,2, 65,4, 70,0
(a) Desenhe um histograma de frequencia para mosuar esses
dados. Use sete dasses com valor medio de 63,85, 65.85,
67,85, 69,85, 7 t,85, 73,85 e 75,85. Seria razoavel dizer que
as alturas sao normalmente disuibufdas' Por qu~?
(b) Encontre a media e o desvio P<J<ir.Jo de sua amosua.
(c) Compare a media e o desvio padr.Jo de sua amostra com os
do estudo anterio1. Disana as difereni;as.
Computando e interpretando os z-escores de
distribui~oes normais
Nos exerdcios de 43 a 46, foi dada uma distribu~o IXlfmal. a
media da distribui,.io e o desvio padrao, quatro valores da distribui,.io
e um grafico da distribu~o normal padroo. (a) Sem converter pa1a z
escores, relacione cada valor com as leuas A, 8, c e D no grafico dado
da distribu~o normal padrao. (b) Encontre o z·escore que correspon·
de a cada valor everifique suas respos.tas da pane (a). (c) Determine
se algum dos valores eincomum
43. Aneisde pist.Jo Sua ernp1esa labtica aneis de pi~ para carros.
Os di.Jmettos internos dos aneis de pist.Jo sao normalmente disui·
buido~ com uma media de 93,01 milfmettos e um desvio P<J<ir.Jo
de 0,005 milimetro. Os di.lmetro5 internos de quatro dos aneis
de pis!Ao selecionados alea1oriameme sao de 93,014 milimetros, 93,018 milimeuos. 93,004 maimetros e 92,994 ml imetros.
Usando e interpretando conceitos
,,'~41. Afirm~o do fabricante Voce trabalha em uma publica,.io da
Consumer Watchdog e est.\ testando a afirma,.io do anuncio de
um fabricdnte de lampadas. 0 fabricante dedara que a vida irti1
de uma klmpada e normalmente distribuida, com uma media
de 2.000 horos cum dcsvio podroo de 250 horo>. Voe¢ 1<:$!0
20 lampadas e encomra os seguintes numeros para vida Util das
1a~s:
2.210, 2.406, 2.267, 1.930, 2.005, 2.502, 1.106, 2.140,
1.949, 1.921, 2.217, 2.121, 2.004, 1.397, 1.659, 1.577,
2.840, i.728, i.209, 1.639
(a) Desenhe um histograma de frequ~cia para mostrar esses
dados. Use cinco classes. Seria razoavel dizer que a vida irtil
e normalmente distribulda? Por q~?
(b) Encontre a meefta e o desvio P<J<irao de sua amosua.
(c) Compare a mMia e o desvio padroo de sua amostra com os
da dedaraylo do fabricante. Discuta as d'iferen~s.
t
A
I
II
I t
C D
44. Ovos de cambaxirra O periodo de incu\>atAo de Ol'OS de cam·
baxirras e normalmente distribufdo com uma mMia de tempo
de 336 hotas e tm desvio padrao de 3,5 horas. 0 tempo de
incuba><'io de quatro Ol'OS sefecionados aleatoriamente ede 328
horas, 338 horas, 330 horas e 341 horas.
Ed ,e 1naaa
1
45.
Ponlua~o do SAT 0 SAT e um exame usado por faculdades e
universidades p.ira avaliar os candida1os. As pontua<;Oes do exa·
me sao normalmente distribuidas. Em um ano recente, a pontua·
~media do teste foi de 1.518 e o desvio padrao foi de 308. As
pontua'6es dos testes de quatro alunos escolhidos aleat0<iamente sao 1.406, 1.848, 2. In e 1.186. (!llm•: Q:.ll'c!)OBoadOnflne.)
SO.
- 1.u
o
51.
t I
A 0
46.
-o.s
Pontua~o
do ACT 0 PCT e um exame usado por faculdades
e universidades para avaliar cancf.'<latos. As pomua,Oes do exame
sao normalmente distribuldas. Em um ano recenle, a pont~o
mMia do teste foi de 21,0 e o desvio p.idrao foi de 4,8. l's pontu·
a<;Oes dos testes de qualro aluoos es«ilhidos aleatoriamente sao
18, 32, 14 e 2S. ~ACT, Inc)
0
52.
0
o.s
2
Encontrando probabilidades
t BI
I
A
C
I
J)
Analise grafica
Nos e%efdcios de 47 a 52, encootre a probabilidade de z ocorrer
na regiao indkada. Se f0t conveniente, use ferramentas de tecnologia
para encontrar a probabilidade.
47.
Nos exerckios de 53 a 62, encontre a probabilidade indicada
usando a oisuibui~o normal p.idr~. Se for convenie.ite, use ferra·
mentas de tecnologia para encontrar a probabilidade.
53. P<.z < 1.45).
S4. P(.z <0,4S).
SS. P(.z > -0,95).
56. P<.z >- 1,85).
57. l'(.-0,89<z<O).
58. P(-2,08 <z < 0).
S9. f'<.- 1,65 <z< 1,65).
60. f'<.- 1,.54 <z< 1,54).
61. P(z <-2,58 ouz> 2,58).
62. P(.z <- l,S4 OU Z > 1,54).
[ xpandindo conceitos
48.
63. Reda,ao Desenhe uma OJrva noonal com uma media de 60 e
um desvio padtao de 12. Desaeva como voe! construiu a cuiva
e discuta suas caracteristicas.
64. Reda,ao Desenhe uma CU1Va com uma media de 4SO e um
desvio padrao de 50. Desueva como voce construiu a curva e
discuta suas caractellsticas.
65. Distribui'ao uniforme Outra <fistribu~ continua ea distribui·
uniforme. Um exemplo e f(x) = I para O$ x $ I. A m!dia
dessa distribu~o para este exemplo e 0,5 e o desvio padrilo e
de aj)<oximadamente 0,29. O grafico dessa distn~ para este
exemplo e um quadrado com ahura e ki1gura iguais a I unidade.
Em geral, a f~o densidade para uma distribu~o unifom1e no
intervalo de x = 0 para x e b e <fada PO<:
'"°
49.
0
1.6'5
llf}= -b l .
-o
Ed ,e 1naaa
1
ZOI, •
b~tllll<aaplicoda
(a) Venfique que a area sob a cuiva e I.
Amedi.le:
(b) Eocontre a J)<Obabilidade de x c,iir entre 0,25 e 0,5.
o+b
(c) Encontre a p1obabilidade de x c,iir entre 0,3 e 0,7.
2
66.
ea vanancia e:
Distribui~o uniforme.
Considere Que a funC<lo densidade cni-
forme J(x) • O, 1 para 10 S x S 20. A medi.l dessa distribuiC<lo e
15 e o desvio padrao ede apro><imadamente 2,89.
(a) Desenhe um grafico da diSlrri~o e mosue como a area
sob a cuiva e 1.
(b) Encootre a p<obabilidade de x c,iir entre 12 e 15.
(c) Encontre a p<obabilidade de x air entre 13 e 18.
(b - o)'
12
m probabilidades
Distribui~oes normais: encontrando
0 que voce
Probabilidade e distribuicoes normais
deve aprender
• Como encontrar probabilidades
para vari.lveis oormalmente d'tstribuidas usaodo uma iabela e
usando 1ecnologia.
800
µ=O
I Probabilidade e distribui,oes normais
Se uma variavel aleal6ria .re nom1almenle distribuida, voce pode encontrar a
probabilidade de x cair em um dado intervalo ao calcular a area sob a curva normal
para um dado intervalo. Para encontrar a area sob quaJquer curva normal, voce pode,
primeiro, converter os limites superiores e inferiores do intervalo para z-escores. De·
pois, usar a di slribui~ao normal padriio para encontrar a area. Por exemplo, considere
uma curva nom1al com 11=500et7 =100, como nograficosuperior aesquerda. 0 valor
de x um desvio padrao acima da media e µ + "= 500 + 100 = 600. Agora, considere a
curva normal padrao no segundo grMico a esquerda. 0 valor de z um desvio padrao
acima da media e 11 + "= 0 + 1 =1. Como um z-escore de 1corresponde a um valor .r de
600, e areas n~o sao mudadas com uma transformac;.,o para uma curva normal padr3o,
as areas sombreadas no grafico s.'\o iguais.
Exemplo [O_
I_,__ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __
[ncontrando probabilidades para distribuicoes normais
Uma pesquisa indica que as pessoas usam seus com:puladores por uma mMia
de 2,4 anos anles de troca·los por uma maquina nova. 0 desvio padrao e0,5 anos. Um
dono de computador e selecionado de forma aleal6ria. Encontre a probabilidade de
...--;,-"""+=t~+-~-+-'"'t- ' que ele va usar o compulador por menos de 2 anos anles de troca-lo. A variavel x e
- 3 - '2 - I
0
2
1
·
normahnenle distribuida.
Sol11pio
0 grafico mostra uma curva nom1al com 11 s 2.4 e" a 0,5 e uma area sombreada
para x menor que 2. 0 z-escore que corresponde a 2 anos e:
z- x- 11_ 2- 2.4 _ _
(1
0,5 - 0 80
I
~----"'l-~1-'--<--':>~--i--x
0
4
s
Id;)(!c do e<>ml)\H~Ldor (c1~1 anos)
2
3
•
ATabela Normal Padrao mostra que P(z <-0,8) a 0,2119. A probabilidade de que
o computador stja subslitufdo em menos de 2 anos e0,2119.
lltterpretafiio
Portanto, 21,19% dos dof106 vao trocar o computador em menos de 2 anos.
Ed ,e 1naaa
1
Tente Um Ford Focus de transmiss.'lo manual percorre uma m&lia de 24 milhas por
voci gallio (mpg) na cidade, dirigindo com um desvio m&lio de 1,6 mpg. Um focus
1 e selecionado aleatoriamente. Qua! e a probabilidade que percorra mais do
que 28 metros por galao?Suponha que a quilometragem da gasolina seja normalmente
distribuida. (tldi1plmf11!f4• U.S. l:kpartmt11t rif ft,'t'S'i'·)
norMalcdf(-10000,
.2118553337
- • 8)
a. Qmstrnn um grilfico.
b. E11co11tre o z-escore que corresponde a 28 milhas por galao.
c. E11co11tre n drro adireita do z-escore.
d. Escrevn o resultado como uma sente~a.
No Exemplo 1, voe~ pode usar uma TI·
·83/84 para enconuar a p<obabilidade
uma vez que o limite superior seia con·
vertido para um z-escore.
Dica de estudo
Exemplo
•Outra forrna de escrever a
m
resposta para o Exemplo 1 e
Encontrando probabilidades para distribui~oes normais
l'(x < 2) = 0,2119.
Uma pesquisa indica que para cada ida ao supermercado, uma pessoa gasta uma
media de 45 minutos, com um desvio padrao de 12 minutos naquela loja. Esse tempo
gasto na loja e normalmente distribuido e representado pela variavel x. Uma pessoa
entra na loja. (a) Encontre a probabilidade, para cada intervalo de tempo listado a seguir, que essa pessoa fique na loja. (b) lnterprete sua resposta se 200 pessoas entrarem
na loja. Quantos compradores voce esperaria que houvesse na loja para cada intervalo
de tempo listado a seguir?
1. Entre 24 e 54 minutos.
2. Mais que 39 minutos.
Sol11plo
l. (a) 0 grafico a direita mostra uma curva normal com 11 = 45 minutos e" = 12
minutos. Aarea para x entre 24 e 54 minutos esta sombreada. Os z-escores que
correspondem a 24 minutos ea 54 minutos sao:
z =
I
24 45
=-1 75
J2
'
e
Entao, a probabilidade de que um consumidor fique na loja por um periodo
entre 24 e 54 minutos e:
P(24<.r<54) = P( - 1,75<z<0,75)
= P(z <0,75) - P(z < - 1,75)
10
20
JO
40
so (,()
70
so
oo ro
gl)
'f~.mpO (em minuto.s)
= O,n34-0,0401 = 0,7333.
biterpretnpio
Entao, 73,33%dos consumidores estarao na loja entre 24 e 54 minutos. Se 200
pessoasentrarem na loja, vod! esperaria por 200(0,7333) = 146,66 (ou cerca de
147) consumidores para eslarem na loja entre 24 e 54 minutos.
2.. (a) 0 grafico a direita mostm uma curva normal com 11 =45 minutos e" =12
minutos. Aarea para .r maior que 39 minutos esta sombreada. 0 z-escore que
corresponde a 39 minutos e:
(b)
39 - 45
Z= -1-2- =-0,S.
Entao, a probabilidade que uma pessoa lique na loja por mais de 39 minutos e:
P(x> 39) = P(z>-0,5) = 1-P(z <-0,5) = 1-0,3085 =0,6915.
10
l()
30
ao
50
T..-:mpo (cin 1ninu(t»)
Ed ,e 1naaa
1
ZO6 •
Cltaikti<aapli<ada
-
.
I
(b)
Retratando o mundo
No beisebol, uma m&lia de
rebatidas e 0 numero de bati·
das dividido pelo mlmero de
at·bats (usado para calculos
estatfstioos no beisebol). As
mt!dias de rebatidas de mais
de 750 jogadores da Liga de
Bcisebol em um ano recente
podem ser aproximadas pela
dishibui~o nonnal, confonne
mostra o grafico a seguir. A
m(ldia de rebatidas e 0,269 e o
des\•io padrilo e0,009.
Liga de beisebol
µ ;0269
luterpmtaftiO
Se 200 pessoas entram na loja, entao voce esperaria 200 (0,6915); 138,3 (ou
cerca de 138) pessoas que fiquem na loja por mais de 39 minutos.
Quale a probctbilidade de que OWflSul'nidor no Exen)plo 2 rique no $upe1 fl)f:r-
cadO entre 33 e 60 minutos?
a.
b.
c.
d.
Co11strun um grMico.
E11co11/rc oz· escore que oorresponde a 60 minutos e 33 minu!os.
Erzco11tre n tfrtw ac111u11lndn para cada z-escore e subtrain a area n1enor da area maior.
luterprete sua resposta se 150 pessoas entrarem na loja. Quantas pessoas vo~ espe-
raria que ficassem na loja entre 33 e 60 minutos?
R~JOSltl 1u1 I'·
A40
Outra forma de encontrar probabilidades normais e usar uma calculadora ou
compu!ador. Voce podeencontrar probabilidades normais usandoo MINITAB, o Excel
ea Tl-83/84.
Exemplo
m
Usando ternologiapara encontrar probabilidades normais
0.2.SO
0.?70
·MCdi:'l de rcbatidt1$
Q11n11tos par ccuto d1» jogndnr<'S
1<'111 11111n 111Min dt• rt'Vntidns de
O,ZiS 011 11111ior q11<' is:;,>? S.- luf
40 jogndort'S em 11111n t'SCnlnc;ifo,
q111111do r.;ooct' t.>speraria ter u11u1
media de rebatidas de 0,2i5 cl/I
super;or a i$~?
Suponha que os nfveis de colesterol dos homens nos Es!ados Unidos sejam normahnente distribuldos, com uma m(ldia de 215 miligramas por decilitro e um desvio
padrao de 25 miligramas por decili!ro. Voce seleciona aleatoriamente um homem dos
Estados Unidos. Qua!~ a probabilidade de que o nfvel de colesterol dele seja menor
que 175? Use uma ferrament.1 tecnol6gica para encontrara probabilidade.
SolllftiO
0 MINITAB, o Excel ea Tl-83/84 tem recursos que lhe permitem encon!rar as
probabilidades normais sem converter para z-escores. Para. cada um, voce deve especificar a media e o desvio padrao da popula~'lo, bem como o(s) valor(es) x que deter·
1nina o intervalo.
MINITAB
l
Cumulative Distribution Funcion
Normal with mean; 215.000 and standard deviation ; 25.0000
x
P{X<•x)
175.0000 0.0548
EXCEL
I
II
A
B
c
1 NORMDIST 175.215,25.TRU.EJ_
2
f0.054799
Tl-8J/84
l
normalcdf(O,175,215.25)
.0 54 7992894
Ed ,e 1naaa
1
('l>h•lo 5
•
Oi111ibulc6tsd1 pr~bilidadts oormai1
A partir das telas, v~ pode ver a probabilidade que o nivel de colesterol do
homem escolhido seja menor que 175 e de aproximadamente 0,0548 ou 5,48%.
Tonie
Um homem dos Estados Unidose escolhido aleatoriamente. Quale a probabi-
vocf lidade de. que o nfvel de colesterol dele estej:l. entre 190 e 225. Use- uma ferra·
3
menta de tecnologia.
a. Leia og11ia rle 11s11tirio da ferramenta de tecnologia que voel? estil usando.
b. Coloque os dados flJll'Ol'riarlos para obter a probabilidade.
c. £.<ereoo o resultado como uma senten~a.
0 Exemplo 3 mostra uma entre varias lonnas de cncontmr probabilidades normais usandoo MINITAB, o Excel ea Tl-83/84.
Ill Exercicios
Contruindo habilidades basicas e conceitos
8.
Pontua~o em matematica no SAT
Probabilidades computacionais
Nos exerdcios de I a 6, supooha que a varijvel aleat6ria x seja
noonalmeme distribulda com media ,, • 86 e desvio padrao a • 5.
Encontre a probabaidade indicada.
1. P(x <80).
2. P(x < 100).
3. P(x>92).
4.
610 800
ron1u:w;lio
(fontt.· 1.tllcqe 8 ;c,:(/ Di,. r C'.}
P<!> 75).
5. P(70 <x <80).
9.
6. P(85<x<95).
Mulheres norte-americanas com idade
entre 20-34: colesterol total
Analise grafica
Nos eorercicios de 7 a 12, supooha que um membro seja selecionado aleatoriamente de uma popu!ai;Ao representada pelo grafico.
Encontre a probabifidade de que um membro selecionado aleatoria·
mente esteja na area sombreada do grafico. Suponha que a vari.lvel x
seja noonalmente distribuida.
1•= 186
u= 35.8
•
x
15
200 lJ9
300
Taxa 101al de. colcStcrol (c1n mSfdL)
7.
Pontua~ao em
200<x<450
leitura crftica no SAT
,, =503
tr=
113
(/<drJplodo de Wof,ono/ Cl!ll!tl lot~ SIOOS"'-)
10.
Mulheres norte-americanas com idade
entte 55-64: colesterol total
Jl = 219
200<.<<239
U=
41.6
~~
. ""-~~1---1-~__;;:,.,.
, ~,
95
200 1:39
l40
Tn.xn 1Q111J de colcstcrol (cn1 n1g/dL)
207
Ed ,e 1naaa
1
208 •
(11a1l11iC4apli<aill
11.
Toyola Camry: clisf.incia de
f:renagem em utna superficie seca
IL= 137
"= 4.76
---=='----+--=--··
141
ISi
12'2
l) is15.nda de frenagc1n (en1 pCs)
(A' 'Dir lo
C
mrr Ri'f
l
12.
Toyola Camry: clisf.incia de
frenagem em uma superficie molhada
IL = 149
u= 5,1&
~...,:'--1---1---_:;:,-~ .t
IJ3
140
149
16.s
Dis1Soci3 de frcnat-ein (cm~)
(l''rcpl 11) de
L, lflSIJT' '/ .f?;_Vott~
)
Usando e interpretando conceitos
Encontrando probabilidades
Nos exercicios de 13 a 20, encontre as probabifidades indicadas.
Se for con11enieme, use ferramentas 1ecnol6gicas para enconuar as
probabilidades.
13. Altura de homens Uma pesquisa loi conduzida para medir a
altura de homens norte-americanos. Na pesquisa, os homens
foram agrupados por idade. De 20 a 29 anos. as alturas foram
norrnalmente distribuidas, oom uma media de 69,6 polegadas e
um desvio padr~o de 3,0 polegadas. Um homem que participou
do estudo eselecionado aleatoriamente. r;.Japtodode N-.il Cenr& /or He<>'rh SIC'"'1X>.)
(a) Encontre a p<obabilidade de a altura dele ser me-1or que 66
polegadas.
(b) Encontre a probabilidade de a altura dele estar entre 66 e 72
polegadas.
(c) Encontre a probahtlidtt<le de a altur.:i dP.IP. s.er m.aior <11re 72
polegadas.
14. Comprimento de peixes 0 comprimento das coivinas e no<·
malmente disuibuido, com uma media de 10 polegadas e um
desvio padr~ de 2 polegadas. Uma cofVim eoleatoriamente es·
colhida. {Maf;lodo d~ NortJM/ Morint! f4/il!ries SeMce Frshetres Src:<St>CS
and &Dn<imKs DMsion)
(a) Encontre a probabilidade de o comprimento do peixe ser
menor que 7 polegados.
(b) Encontre a probabilidade de o comprimemo do peixe estar
entre 7 e 15 polegadas.
(c) E.1contre a probabilidade de o comprimento do peixe ser
maior que 15 polegadas.
IS. Pontua~o no ACT Em um ano recente,a pontua>Jode alunos
do ensino medio nos exames ACT que tinham uma nota meda
de 3,50 a 4,00 era nomialrnente ·distribufda, com uma media de
24,2 e um desvio padr~o de 4,3. Um aluno com uma nota media
de 3,50 a 4,00 que lez o ACT durante esse tempo e selecionado
aleatoriamente. (rcnre. ACT, II><.)
(;i) f(l(.ontre a prnOObilid.lcfP. de a pontuar,~ tfo .:tluoo nn ACT
ser me-10< que 17.
(b) Encontre a probabilidade de • pontua,.lo do aluno no ACT
estar entre 20 e 29.
(c) Encontre a probabifldade de a pontll<}(:aO do aluno no ACT
ser maior que 32.
16. Beagles O peso de beagles aduhos machos e llO(ma!mente
distriburdo, com uma media de 25 libras e um desvio padtao de
3 libras. Um beagle escolhido aleatoriamente.
e
(a) Enconue a probabilidade de o peso do beagle ser menor
Que 23 r.bras.
(b) Encontre a probabllidade de o peso do beagle estar entre 23
e 25 i bras.
(c) Encontre a probabilidade de o peso do beagle ser maior que
27 libras.
17. Uso do computador Uma pesquisa foi conduzida para medir
o numero de horas que adultos nos Estados Unidos passam em
freme ao computador todas as semanas. Na pesquisa, o numero
de horas era normalmente disuibllJido. oom uma med'ia de 7 ho·
ras e um desvio padr~o de 1 hora. um panicipante da pesquisa e
escolhido aleatoriamente.
(a) Encontre a probabilidade de-esse participante passar menos
que 5 horas por semana em frente ao oomputado<.
(b) Encontre a probabilidade de esse panicipante passar entre
s.s e 9,5 horas por semana em frente ao computad0<.
(c) Eocontre a probabilidade de esse paiticipante passar mais
de tOhoras por semana em frente ao compu1ad0<.
18. Contas de consumo As contas de consume mensais em uma
cidade ~o norrnalmenle distribuldos corn uma mMa de S 100 e
um desvio padr~o de S t 2. uma conta de consumo eescolhida
aleatoriamente
(a) Encontre a probabilidade de a conta de consumo ser menor
queS 70.
(b) Encontre • probabilidade de a con ta de consumo esw entre
S90eS 120.
(c) Encontre a probabilidade de a conta de consumo se< maior
queS 140.
19. Agenda do laborat6rio de computadores O tempo que um
aluno usa o laborat6rio de computadores todas as semanas eno<·
malmente distri>uldo, com uma media de 6,2 horas e um desvio
padrao de 0,9 ho<a. Um aluno e selecionado aleatoriamente.
(a) Eocontre a probabifidade de o aluno usar o lalxwat6rio por
menos de 4 horas por semana.
(b) Encontre a probabilidade de o aluno usar o laborat6rio entre
5 e 7 horas por semana.
(c) Encontre a probabilidade de o aluno usar o laborat6rio por
mais de 8 horas por semana.
20. Agenda de um gin~si o de esportes 0 tempo que um atleia
usa uma storclimber (equipamento de gin~stica) enormafmente
distriburdo, com uma media de 2() minutes e um desvio padr~o
des minutos. Um atleta e selecionado aleatoriamente.
Ed ,e 1naaa
1
C.pftul• S
(a) Encontre a probabilidade de um ailetd usar a stairclimber
por menos de 17 minutos.
(b) Encontre a probabilidade de um adela usar a stairclimber
entre 20 e 28 minutos.
(c) Encontre a probabilidade de um atlela usar a srafrcllmber
por mais de 30 minutos.
Usando distribui~oes normais
Nos exerddos de 21 a 30, cesponda as quest6es sobre as distri·
bui¢es normais especificadas.
21. Pontua~o em leitura crltica no SAT Use a cf1Stribui9Jo noonal
das pontua~oes de leitura critica no SAT do Exercicio 7 para as
quais a media e 503 e o desvio padrJo e 113.
(a) Quale a porcentagem das pont\Ja¢es verbais do SAT que
sJo menores que 600'
(b) Se 1.000 pontua~ verbais do SAT sao escolhidasaleat<r
riamenre, por vcila de quanras voce espera serem maioces
que 550?
22. Pontua~o em matemAtica no SAT Use a distllbui~o no®al
das pont\Ja¢es em mateinAtica no SAT do Exerddo 8, aija mecff<l e 518 e o desvio padr~o e 115.
(a) Q\Jal ea porcentagem das pontua¢es em mateinAtica no
SAT que sJo menores que 500?
(b) Se 1.500 pontua~oes em materratica no SAT sao seleciona·
das aleatoriamente, por volta de quanras voce espera que
sejam maioces que 600?
23. Colesterol Use a distnbu~o normal dos niveis totais de coles·
terol em mulheres do Exerdcio 9, para os quais a media e 186
miligramas por decilitre e o desvio padr~o de 35,8 miligramas
por decilitro.
e
(a) Q\Jal porcentagem de mulheres tern um nivel total de coles·
terol meno< que 200 miigramas por decilitco de sanguel
(b) Se 250 mulheres norte..imericanas. com idade entre 20 e
34, sJo selecionadas aleatoriamente; cerca de quantas voce
espera que tenllam um nivel de colesterol total maior que
240 miligramas por deolitro de sangvel
24. Colesterol Use a distrib~o normal dos niveis totais de coles·
terol em mulheres do Exerdcio tO. para os quais a media 219
miligramas por decili1ro e o desvio padrJo e de 41,6 miligramas
por decilitre de sangue.
e
(a) Qual porcentagem de mulheres tern um nivel total de coles·
terol mell(l( que 239 miligramas por decifitro de sanguel
(b) Se 200 mulheres nocte-americanas, com idade entte 55 e
64 sJo selecionadas aleatoriamente, cerca de quantas voce
espera que tenllam um nivel de colesterol tool maior que
200 miligramas por decilitre de sangue?
25. Comprimento de peixes Use a dlsttiboiy'lo notmal dos com·
primentos de peixes do Exercicio 14 para as quais a media e 10
polegadas e o desW> padr~o e de 2 polegadas.
(a) Q\Jal porcentagem de peixes sao maiores que ll polegadas?
(b) Se 200 peixes sao selecionados aleatoriamerne, cerca de
quantos voce espera que sejam meno1es que 8 polegadas?
26. Beagles Use a distribuii;Ao normal dos pesos de beagles do
Exercicio 16 para os quais a mMia e 25 libras e o desvio padrAo
e de 3 libras.
•
D1'uib•lcl>tl de proh<bilidadt1 "°'"'k
Z09
(a) Q\Jal porcentagem de beagles tern um peso mai<Y "'e 30
fibrasl
(b) Se so beagles sac sele0onados aleatoriamente, ce1ca de
quantos voce espera que pesem menos que 22 libcas?
27. Uso de computador Use a distribuii;Ao normal do uso de com·
putadC>"es do Exe1dcio 17. para o qual a media 7 hotas e o
desvio padr~o e de l hota.
e
(a) Q\Jal porcenragem de ad"1os passa mais de 4 hotas por
semana nos computadores em casa?
(b) Se 35 adultos dos Estados Unidos sao selecionados alea·
totiamente, cerca de qu.intos voce espera que respondam
passar menos de 5 horas por semana em frente ao compu·
tado< em casa?
28. Contas de consume Use a distribui~o normal das co.1tas de
consume do Exerdcio 18 para a qual a medi.l e S 100 e o desvio
padrJo edes 12.
(a) Q\Jal ea pc<centagem de co.1tas de consumoque sJo maiores que S 125?
(b) Se 300 contas de C011Sumo s.lo selecionadas alea1eriamente,
cerca de quantas voce espera que sejam menores que S901
29. Vida util de baterias Avida util de uma bateria enotmalmente
<istribulda, com uma mecfia de 2.000 horas e um desW> padr~o
de 30 hotas. Q\Jal e a porcentagem de baterias que tern uma
vida util mai<>" que 2.065 horas? Seria incomum se uma bateria
tivesse uma expecrativa de vida maior que 2.065 hocas? f)ql!ique
seu raciocrnio.
30. Amendoins Suponha que o cxinsumo anual de amendoins seja
no®almente distribufdo. com uma media de 5,9 lbaspor pessoa
e um desvio padrao de 1,8 libras por pessoa. Qual e a porcenta·
gemdepessoasdecoosomem, anualmente,menosque3,1liblas
de amendoim? Seria inc.omum se uma pessoa consumisse meros que 3, I Iibras de amendoim por aoo? Explique seu raciocinio.
[xpandindo conceitos
Tabelas de controle
Conlrole Estatlstico de Processos (CEP} e o uso da estatlstica
para monitocar e melhocar a qualidade de um processo, come p<odu·
<;Ao de uma ~de motor. Em aP, informa¢es sobre o processo s.lo
reunidas para determinar se um p<ocesso atende todas as oondi¢es
nec.es&aria~
Uma ferrament.J
U$3cb
em CEP e a tabeb de controie.
Q\Jando medidasindividuais de uma. vari.!velx s.lo normalmente distri·
buidas, uma tabela de controle pode ser usada paca deteaar processes
que possivelmente esrejam fora de controle conforme o que segue:
( I) Um ponto esrA situado a ma is de tres desvios padrao da
media.
(2) Ha nove pomos conseaitjvos que caem em
lJll
lado da
media.
(3) No mrnimo dois dos tres pomos consecutivos esrAo situados
a mais de dois desvios padrao da media.
Nos exercicios de 31 a 34, uma tabela de conttole eapresentada.
Cada tabela tern linhas horizontais desenhadas na media 11, em 11 ± 2u,
e 11 ± 3u. Determine se o processo apresentado est.! sob co.1uole ou
f<>"a de controle. Explique.
Ed ,e 1naaa
1
ZIO •
1>1a11s11ca,pli<ad•
31. Uma engrenagem foi desenvolvida para te< um diametro de 3
polegadas. 0 desvio padrao do p<ocesso ede 0,2 polegada.
Engregagem
S' ..
l
l
33. Uma maquina de <isuibui(<lo de ~a foi desenvolvida para enche< garrafos com um litro de liqmdo. 0 desvio padrao do proces·
soede0,1 litro.
Distribui~3o de
liquido
i:':"-:-:--:-:-~-:-:--:-:--:-:-:-:--:1:
3 +-.,--7'-0......:\:::,/---'"-''-
e
..
~
E I
0
I 2 .l 4 S 6 1 S 9 10
I 2: 3 4 S 6 7 8 9 10 11 12:
NUmoro de Qb$cn':l~Qcs
l~li1nero de obset'\'3C;Oe:$
32 Um prego foi desenvolvido para ter um comprimento de 4 pole·
gadas, 0 desvio padrao do processo ede 0, 12 polegada.
34. Uma ~a de motorfoi desenvolv:ida para terum<L!metrode 55
mmmetros. O desvio padrao do p<ocesso ede 0,001 millme1ro.
Pregos
Pc~
I
55.0050
~ SS.0025
'E
!
..i
0
1--------
ssJJOOOr~"< r..:>..•.J:>~
5-1.9975 ._·_·_·_·_·_·_·_·_-_._-_·_·_·_
'
I 2 3 4 5 6 7 S 9 101112
l
0que voce
deve aprender
• Como EllCOOtrill um z-escore dada
a~rea sob acurva normal.
• (0010 translomiar um z-es<ore
em um valol x.
• C0010 enconttar o valor de um
dado espedfico de uma <istribui(at> normal dada aprobabilidade.
4
6
$
10 12
NUmcro de: obscrv;1~0cs:
Nlln1cro de ol>$c:.rvaq<k:s
lji
do motor
Distribui~oes normais: encontrando valores
Encontrando z· escores -> Transformando um z- escore em um valor X->
Encontrando um dado de valor especlfico para uma dada probabilidade
I Encontrando z-escores
Na Se<;ao 5.2, foi dada uma variavel aleat6ria x norm:almente distribulda e voe~
encontrou a probabilidade que x pudesse estar em um dado intervalo ao calcular a
;i.re\l oob a curv.. norn1al para unl dado intcrvalo.
Mas, e se lhe fosse dado uma probabilidade e voe~ quisesse encontrar o valor?
Por exemplo, uma universidade pode querer s,aber qual ea pontua~o mais baixa que
um aluno pode tirar cm uma prova seletiva e aillda l'Slar no topo 10'}1., ou uma pcsqui·
sa medica pode querer saber os valores de corte para selecionar os 90% de pacientes
intermediarios por idade. Nesta se~ao, v~ vai aprender romo enrontrar um valor,
dada uma area sob uma curva nom1al (ou uma probabilidadc), como pode ser obser·
vado noexemploaseguir.
Exemplo ITT
Encontrando um z·escore, dada uma area
1. Enrontre o z-escore que correspond a aarea acumulada de 0,3632.
2. Enrontre o z-escore que tenha 10,75% da area de distribui~o asua direita.
Ed ,e 1naaa
1
(apn.lol
•
Dl111fbuiciWS dt9rowbilidadt1 normol1
211
Dica de estudo
SoillfliO
1. Encontre o z-escore que corresponda a uma area de 0,3632 ao localizar 0,3632 na
Tabela Normal Padrao. Os valores no inicio da lileira correspondente e no topo da
coluna correspondente dao o z-escore. Para esta area, o valor da fileira e--0,3 e o
valor da coluna eo,os. Entllo, o z-escore e--0,35.
:
3,4
0,5
0,4
@)
0,2
009
008
001
006
0,0002 0,0003 0.0003 0,0003
0 05
0,0003
004
0 3
0,0003 0.0003
0,2776
0,3121
0,3483
0,3859
0,2912
0,3264
0,3632
G,4013
0,2946
0,3300
0,3669
0,4052
0,28!0
0,3156
0.3520
0,3897
0,2843
0,3192
0,3557
0,3936
0,2877
0,3228
0$94
0,3974
Aqui temos instrusQe5 para encontrar o z~re que correspo1,da
a cirea. dada en) Ull)Cl
1'1-83/84.
I 2nd IDISfR
3: invNorm(
Entre com a area acumulada.
I ENTER I
0,2981
0,3336
0,3707
0,4090
2.. Como a area a direita e0,1075, a area acumuladae 1- 0,1075 =0,8925. Encontre oz·escore que correspond a a uma area de 0,8925 ao localizar 0,8925 na Tabela Nonna]
invNorM(.3632)
- .3499183227
i.nvNorM(. 8925)
1. 239933478
Padrao. Para essa area, o valor da fileira e1,2 e o valor da coluna e0,04. Entao, o
z-escore e1,24.
%
0,0
1,0
@
1,3
0
001
002
0 03
004
005
006
0,5000 0,504-0 0.5()80 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239
0,8413
0.3643
0,3849
0,9032
0,8438
0,8665
0,8869
0,9049
0.8461
0.8686
0,8888
0,9066
0,8485
0,8708
0,8907
0,9082
0,85()8
0,8729
0,8925
0,9099
0,8531
0,8749
0,8944
0,9115
0,8554
0,8770
0,8%2
0,9131
Voce tambem pode usar um computador ou cakuladora para enconlrar os
M areas acumuladas dadas, como vo~ pode verificar na
dica de estudo ao !ado.
Z-6eores que correspondam
Tente 1. Encontre o z-escore que tenha 96,16% da area de distribui~o adireita.
~ 2. Encontre o z-escore para o qual 95% da area de distribui(ao esteja enlre
-zez.
a. Deter111hzt a area acumulada.
b. Ltxnliz.e a area na Tabela Normal l'adrllo.
c. E11co11tre 0 z....'ScOre que corresponda aarea.
R~pt~tn 111111·
n
1..2.a
..-1f0
Na Se(~O 2.5, v~ aprendeu que os percentis dividem um conj unto de dados em
cen' partes iguais. Para encontrar um z-esooro que corrospo-nda a u.n' percentil_, voe~
pode usar a Tabela Normal Padrao. Lembre-se que um valor x representa o 83" ponto
porcentual, entlio 83%dos valores dos dados estao abaixo de x e 17% dos valores dos
dados estilo acima de x.
Exemplo [2J
Encontrando um z-escore dado um percentil
Encontre o z-escore que conresponda a cada percenlil.
1.P,
2. P,.
3. P,.
Sol11flio
r.
Arca=
0,1075
Para encontrar o z-escore que corresponda a P,. encontre o z-escore que corresponda a uma area de 0,05 (ver figura) ao localizar 0,05 na Tabela Normal Padrao.
Dica de estudo
•Na maioria dos cam, a area
dada nao senl encontrada na
tahel<1. entao use a entrada
mais pr6xima a ela. Se a area
dada estiver no meio de duas
entradas, use o z-escore no
mejo en(re os z-escores correspondentes. Por exemplo,
na parte 1 do Exemplo 2, o
z-escore entre -1,64 e -1,65 ~
-1,645.
Ed ,e 1naaa
1
ZIZ •
b101~1icaapli<0da
- 1.645
As areas mais pr6ximas a 0,05 na tabela silo 0,0495 (z = -1,65) e 0,050.5 (z = -1,64).
Como 0,05 esta na metade do caminho entre as du as are-as na ta bela, use o z-escore
que esteja na metade entre-1,64 e -1,65. Entao, o z-escore que corresponde a uma
area de 0,05 e-1,645.
2. Para encontrar o z-escore que corresponda a P,.. enoontre oz-escore que correspon·
de a uma area de 0,5 (ver figura) ao localizar 0,5 na ·ia~la Normal Padrao. Aarea
nlais pr6xi1na a 0,5 na tabela e 0,SCOO, entao o z-escore que corresponde a un1a area
de 0,5 e 0,00.
3. Para encontrar o z-esoore que corresponda a P"" enoontre o z·es<:Ore que correspon·
de a uma area de 0,9 (ver figura) ao localizar0,9 na Tab<?la Normal Padrao. Aarea
ma is pr6xima a 0,9 na tabela e0,8997, entao o z-escore que corresponde a uma area
de 0,9e1,2s.
Cl
Enoontre o z-escore que oorresponda a cada percentil.
1. P10
-"""----+--+__;~- ,
0
1.23
2.P"'
a. Escreva o percentil oomo uma area. Se necess.'\rio, desenhe um grafioo da area para
visualizar o problema.
b. Localize a area na Tabela Normal Padrao. Se a area nao esta na tabel<1. use a area
mais pr6xima. (Veja a dica de estudo anterior)
c. lde11tijiq11e o z-escore que corresponde a area.
I Transformando um z-escore para um valor x
Vcja quepara trans(ormar UOl vaJor X para u1n z-escore, voce podeusar a f6rinula:
Z = X - Jt. •
"
Essa f6rmula da z em termos de x. Se voce resolver essa (6m1ula para x, voce
chega uma nova f6rmula que d:I x em termos de z.
x-1•
Z= -
fOrt11UfO paro Ztm lttJIJl.~tff .l.
(J
Zt1=X - µ
t•+w =x
x = 11 +Zt1.
,\fultipliqut ror!r1 I00..1dr "·
.~dif'Wlt(' /l Jl:Ulf (tltfll Jndo.
Tnlflu(Cli-l• .
T ansforme um z-escore em um valor x
Para transformar um z-escore padr~o em um dado de valor x em uma da<fa populac;Ao, use a
f6rmula:
X = Jl + Z<!.
Exemplo m..3:.-..____________
[ncontrando um valor x que corresponda a um z-escore
As velocidades de veiculos ao longo de uma autoestrada sao normalmente disfribuidas, oom uma media de 67 milhas por hora. e um desvio padrAo de 4 milhas por
Ed ,e 1naaa
1
(opOulo S
•
hora. Enoontre as velocidades x que oorrespondam aos z-esoores de 1,%, -2,33 e O.
lnterprete seus resultados.
Sol11flio
0 valor x que c:orresponde a cada pontua~ao padrao ~ calculado usando a f6r·
mula x= J• + zo.
z = 1,%:
z = -2,33:
z a 0:
x = 67 + 1,96(4) = 74,84 milhas por hora
x = 67 + (-2,33)(4) = 57,68 milhns por hora
x a 67 + 0(4) = 67 milhas por hora
fttterpretafiiO
Voce pode ver que 74,84 milhas por hora estl acima da m<!dia, 57,68 esta abaixo
da m<!dia e 67 e i.gual amedia.
Di111i&ti<OP1 de p1ob<~lidadP1 oormai1
.
ZB
.
I
Retratando o mundo
De aoordo com a Associa¥~0
Medica A1nericana, a ~ia
numerica das horas que todos
os m<!dicos pass.1m cuidando
dos pacientes por semana ede
aproximadamente 52.8 horas.
Essas horas podem ser aproximadas por uma distribui,ao
nonnal. Suponha que o desvio
padrao seja de 3 horas.
Horas que os medicos
passam cuidando dos
pacientes
ente As oontas de consumo mensais cm uma cidade s.io distribuidns normalmcntc,
vod com uma media de 5 70 e um desvio padrao de$ 8. Enoontre os valores x que
correspondam aos z-escores de --0,75, 4,29 e -1,82. 0 que voce pode ooncluir?
a. lde11tifiq11e J• e" da distribui~3o normal n3o padr3o.
b. Tra11sfor111e cada z-esoore para um valor x.
c. /11terprete os resultados.
Rl!'!>pcxtn 11n I'· A.fO
~~
.4--1-1-1-'-1-+-'.-~+.-•
-14 ~6 ·l8 50 52 S4 56 5$ 60 62
Hor.\$
I
focontrando um dado de valor especifico para uma dada probabilidade
Voce tam~ pode usar a distribui~ao normal para enoontrar um dado de valor
especifico (valor x) para uma dada probabilidade, como no Exemplo 4.
E11tre q1inis tlois v11/ores o
ceutro 90% dos dados est6
s;tua1lo?
Exemplo [4J
Encontrando um dado de valor especlfico
Dica de estudo
As pontua~Oes para um teste de servi~ civil slio norrnalmente distribuidas, com
uma media de 75 e um desvio padrao de 6,5. Para ser adequado ao emprego de servi~
civil, voce deve ter pontua~~o dentro dos 5% primeiros. Quale a menor pontua~3o que
voce pode conseguir e ainda assim ser adequado ao emprego?
Sol11flio
Examine as pontua~6es dos 5%primeiros que correspondem aregiaosombrcada
a seguir:
5%
Aqui estao as instru~ para
encontrar um valor especffi.
co de x para uma dada p.robabilidade em uma Tl-83/84.
I2nd II DISrR I
3: ij1wNonn(
Coloque os valores para a
area sob a distribui~o normal, a media especifica e o
desvio padrao especifico separados por vfrgulas.
I ENTER I
invNorM(.95,75,6
85. 69154857
1,64$
0
- - - - - - 1 - - - + - - - -;c(p(lntwj\Jo.001:.cllnte)
15
. 5)
?
Uma pontua~ao no exame nos 5% primeiros e qualquer pontuac;ao acima do
95• percentil. Para encontrar a pontua~o que representa o 95• percentil, voe~ deve
antes encontrar o z·escore que corresponda ~area acumulada de 0,95. A partir da
-
Ed ,e 1naaa
1
ZIC. •
ls111k1ica apli<•d•
Tabela Normal Padriio, v~ pode veriRcar que as areas mais pr6ximasa 0,95 sao0,9495
(z = 1,64) e 0,9505(z =1,65). Como 0,95 esta na metade entre as duas areas na tabela,
use o z-escore que esta na metade entre 1,64e1,65. lsto ~' z = 1,645. Usando a equar;ao
x = I' + zq, voe~ tem:
X= /t+ UT
= 75 +1,645 (6,5)
"'85,69.
lllterpretapio
A menor pontua~ao que
emprego e 86.
v~
pode conseguir c ainda assim ser adequado ao
As ctistancias de frenagem de uma amostra de Hondas Accord s.io normalvod mente distribufdas. Em uma superffcieseca, a distdncia de frenagem mMia era
4 142 pes e o desvio padriio era 6,51 pes. Quale a maior distiincia de frenagem
em uma superficie seca que um desses Honda Accord poderiam ter e ainda estarem no
enle
1% do topo? (tlifAp11<dodi·C"11:-111nn-&pPrb.)
a. Desetrlre um grafico.
b. E11co11tre o z-escore que corresponda aarea dada.
c. Enconlre x usando a equa~lio .\' = 11 + za.
d. lllter11rele o resullado.
Exemplo
m
[ncontrando um dado de valor especifico
Em uma amostra escolhida aleatoriamente de l.169 d.e homens com idadc entre
35 e 44 anos, a media do nfvel de colesterol total era de 210 miligramas por decilitro
com um desvio padrao de 38,6 miligramas por decilitro. Suponha que os niveis totais
de colesterol sejam normalmente distribuidos. Encontre o nlve.I total de colesterol mais
alto que um homem nesta faixa et<lria pode ter no 1% mais baixo. (Mapta.I• a,· \la11o,,,.,
Ct111t1 Jot Ht'flltl1 St"1;,1it$.)
Solttftlo
Nfveis totais de colesterol no 1% mais baixo correspondem a regiao sombreada
aseguir.
invNorM(.01,210,
38. 6)
120. 2029719
Niveis totais de colesterol em homens entre 35 e 44 anos
1%
Usando uma Tl-83/84, voe~ pode €11·
cor\Uar o nivel de coles1.erol mais alio
automa1icamente.
-2.3J
0
- - 1 - - - - < - - - - - - - x ( n h '.:l 101'1l ck
?
2 10
~l~lCrol, crn mSl'clLJ
Um nfvel de colesterol total no menor 1%e qualquer nfvel abaixo do primeiro
perccnti l. Para cncontrar o nivel que representa o primeiro percentil, vooo antes deve
achar o z-escore que corresponde ll area acumulada de 0,01. A partir da labela Normal
Ed ,e 1naaa
1
!apOulo S •
Di111iboi<OP1 de pro~•bil~•d11 oorm•i1
ZI 5
Padr~o, voce pode encontrar que a area mais pr6xima a 0,01 e0,0099. Entao, o 2-escore
que corresponde a uma area de 0,01 e 2 =-2,33. Usando a equa~ao x =I' + w, voce tem:
x = 1i+ zn
= 210 +(- 2,33)(38,6)
"'120,06.
Interprelafiio
0 valor que separa o 1% mais baixo dos nfveis totais de colesterol de homens
com idade entre 35 e 44 ruios dos 99% mais altos e de aproximadamente 120.
ente 0 espao;o de tempo que um funcionario trabalhou em uma corpora\iio e nor·
malmente distribufdo, com uma media de 11 ,2 anos e um desvio padrao de 2,1
voci
5 anos. Em um corte da empres.1, os 10% menores em termos de tempo de casa
s.io cortados. Qual eo espao;o de tempo maximo que um funcionario pode ter traba·
lhado e ainda assim ser cortado?
a. Dese11he um grafico.
b. E11co11tre o z-escore que corresponda ll area dada.
c. E11co11tre x usando a equa(.io x = I'+ zq.
cil. /11terprele o resultado.
R~1~to "'' ,,, A4 I
Ill Exercicios
Construindo habilidades basicas e conceitos
Nos exerclcios de I a24, use aTabela Nonnal Padr~o para encoo·
ttar o z-escore que cooesponda ao percentil ou area acumulada dada.
Se a area nao estiver na tabela, use o numero mais pr6>imo ~~ela
area. Se aarea estiver na metade entte <bas entradas. use o z·escore
que esteja entre os esc0<es correspondentes. Se convenienie, use uma
ferramenta tecnol6gica para encootrar o z-escore.
1. 0,7580.
2. 0,2090.
18.
19.
20.
21 .
22.
23.
24.
P.,.
P,,.
p'P
P.,,,.
p'#
P,,.
p...
Analise grafica
4. 0,0918.
Nos ecerdcios de 25 a 30, enconue o(s) z-escore(s) indicado{s)
no grafico. Se for oonveniente, use lerramemas tecnol6gicas paia en·
contrar o(s) z-escore(s).
5. 0,4354.
25.
3. 0,6331.
6. 0,0080.
7. 0,9916.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
0,7995.
0,05.
0,85.
0,94.
0,01.
P,.
14. P.,.
15. p"'
16. P,..
17. P,,..
26.
Ed ,e 1naaa
1
216 •
hiatllti<"PliclA•
polegadas com um desvio padf<lo de 2,71 polegadas. (.Adop!Odo <le
27.
Nooonai Cenre1 let -'di Sto'®C<)
Area=
(a) Qual altura representa o 95' percentil?
(b) Qua! altura represen1<1 o primeiro quanil?
0.7190
40. Altura dos homens Em uma pesquisa enue homens dos Es-
:=l
'
0
28.
tados Unidos (idade eiitre 20 e 29 anos), a altu<a media era de
69,6 polegadas com urn des>-io padrao de 3,0 polegadas. 0dot>1odo de Nall(,fl<JI Ceti<et lot Het;:h S<Ol<S<ia.)
(a) Qual altura representa o 90' percentil?
(b) Qual altura represenia o primeiroquanil?
41. Ma~as A utiliza>.Jo anual de ma(As (em ubras) per copito nos
Estados Unidos pode set aproximada por uma distrib<Ji<;Ao normal corno pode ser visto no grafico. (Adoptodo de u.s.
Al\."a •
0.0233
De-
olAr;1ruwre.)
:=?
0
'
29.
Area=
Arca.:
o.os
(a) Qual util~a(Ao anual de rna~s per copito representa o 10'
percentil?
(b) Qual ur~iza(Ao anual de ~ per copito representa o 3•
quani?
Utiliza~ao anual de rna~as
per capita nos EOA
o.os
µ= 17.t lb
u=4lb
:•?
0
;•?
30.
$
9
13
11
21
:?S
lt>
x
U1jlizaQao <cm libras:)
:=?
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
0
:= '!
Nos exerclcios de 31 a 38, eiicontre o z·escore indicado.
Encontre o z-eSCOfe que tenha 11,9% da area de d'istribui(Ao a
esquerda.
Encontre o z·escore q\Je tenha 78.5% da area de d'istribui(Ao a
esquerda.
Encontre o z-eSCOfe que tenha 1 t,9% da area de d'istribui(Ao a
direi1<1.
Encontre 0 Z·eSCOfe (j\Je tenha 78,5% da area de distribui(AO a
direita.
Enr..ontre 0 Z·escore para 0 qual aocrn da are.a de distribuic;Ao es·
teja entre -z e z.
Encontre o z.esco1e para o qual 99% da area de disuibui(Ao esteja entre -z e z.
Encontre o z-esc0te para o qual 5% da area de d'!Stnl>ui(Ao esteja
entre-z e z.
Encontre o z-escore para o qual 12% da area de distribui(Ao esteja entre -z e z.
Usando e interpretando conceitos
Usando distribui~oes normais
Nos e.erd<ios de 39 a 44, responda as quest~ sobre a &stri·
bui~o normal especificada.
39. Altura das mulheres Em uma pesquisa entre mulheres dos Estados Uflidos (idade entre 20 e 29 anos), a altura media era 64,1
42. laranjas A uti1iza(Ao anual de laranjas (em libras) per capita
nos Estados Unidos pode ser aproximada por uma distribui(Ao
normal, como pode ser visto no gr.lfico. (Mop:JJdo de us O.pott·
mental~)
(a) Qual uti&za1ao anual de laranjas per copito represeiita o s•
percentil?
(b) QuaI utiliza(Ao anual de laranjas pe1 copito represellta o terceiro quarnl?
Utili.ta~iio anual
de laranjas per capita nos EUA
µ= ll.4 lb
a:31b
2
I
S
I
II
1·1
U1iliz~!ro (en1
17
10
·'
lit>r..s)
43. Tempo de espera para transplante de cora(Ao O tempo de
espera (em dias) por I.Ill transplante de cora(Ao em Ohio e Mi·
chigan para pacientes corn 6po sangulneo A• pode ser aproxima·
do por urna distribui~o normal, corno pode ser visto no grafico.
(/daprorh de Otgan Procuromen1 at>d lillflsplmt N":v'°'*-)
(a) Qual eomenortempode esiiera por um cora~o queainda
assim colocaria urn pacieote dentro dos maiores 30% em
tempo de espera?
(b) QuaI eo maior tempo de espera por um coraylo que ainda
colocaria um pacieme oosultimos 10%de 1empodeespe1a?
Ed ,e 1naaa
1
(apfiulo S •
(4
87
114
141
= 127 dia.~
<1
= 23 .5 dins
16$
195
Dias
44. Sorvete 0 consumo anual de ~e (em liblas) per copiro
nos Est.idos Unidos pode sec aproicimado poi uma disuibui(<'lo
normal, como pode ser visro no gr.!fico. (.Adoptado tit> u.s Depart·
mw ofA~,'ore,)
(a) Qoal e o meoOI valor de consume de SO<Vete anual pet co·
pita que ainda assim pode set eoqua<kado deotro dos 25%
de maior consume?
(b) Qoal eo maiOI valOI de consume de sorve1e anual pet copi·
re que ainda assm pode ser enquadrado nos menores 15%
de consumo?
217
m.!ximo que um saco de cenoura baby pode pesar sem piecisac
ser reembalado?
Tempo de espera por um cora~ao
µ
Di1trlluico.. dtprob~ilidadf> ' "'"'''
Expandindo conceitos
47. Redigindo uma garantia Voce vende uma marca de pneus de
autom6veis que tem uma expect.i1i\oa de vida que en01malmente
distnbuida, com uma vida media de 30.000 milhas e um desvio
pad<ao de 2.500 milhas. Voce quer dar uma garantia de troca de
pneus gratisque nao durem muito. Como voce poderia honrar sua
garamia sevoce eSIA dispos10 a1rocac 10% dos pneus que vende'
48. Notas de estalisticas Em tma grande se(.lo de uma sala de
estatistica, os pontos para o e>ame final sao normalmente distri·
buldos com uma media de 72 e um desvio padiao de 9. As notas
ser<lo dadas de acordo com as seguintes regcas:
•
•
•
•
•
Consumo anual per en pita de sorvete nos EUA
As 10% mais alias recebem A;
Os pi6ximos 20% recebem B;
Os 40% medianos recebem C;
Os pr6xinos 20% cecebem O;
EOS ultimas 10% cecebem F.
Encontre a menor oota que deteminaria um A, um B, um C e
umD.
Notas de ex.ame final
40%
3 10 12 1-1 16 IS 20 22
Consumo (e1n librM)
45. Cai:xas de cereais Os pesos do c.onleUdo de uma caixa de cereais siio normalmeme d'istribuldos com um peso medic de 20
on,as e um desvio padrilo de 0,07 oixa. caixas nos 5% mais
baixos n3o atendem ~s condi¢es minimas de peso e devem ser
embaladas novamente. Qual eo peso mlnimo exigido para uma
caixa de cereais?
46. Sacos de cenoura baby Os pesos de sacos de ceoouras baby
siio normalmente distribuidas com uma media de 32 ~s eum
desvio padrilo de 0,36 on,... Sacos nos 4,5% nlveis mais altos
siio muito pesados e daoem sec embalados novameo1e. Qua! eo
I>
C
Pontos fti1os
49.
lD
A
nc:>ex~une
final
M~quina de vendas Uma maquina de venda autom.!lica dis·
tribui cafe em um cope de 8 on,..s. A quantidade de cafe no
copo e nonnalmente disuibuida com um desvio padrao de 0,03
on,... Voce pode deixar o cafe transbordar 1% das vezes. Qual
quantidade voce deveria marcar como a quantidade media de
cafe a ser distribuido?
Estudo de caso
Pesos de bebes nascidos nos [stados Uni dos
0 No6onol Centet for Heohh Statistics (NCHS) mantem regislros de muitos aspectos rela·
cionados asaUde das pessoas, inclusive o peso de 1odos os bebes nascidos nos Estados Unidos.
O peso que um ~ rem ao nasce< e relacionado ao seu periodo de gesta>Ao (periodo
enue a conce~o e o nascimeoto). Para um dado perlodo de gesta>Ao, os pesos dos bebi!s
ao nascerem podem ser apioximados por uma disUI~ normal. As medias e os desvios pa·
drao dos pesos dos ~s no nascimento parav~rios pe<iodos de gesta¢o sao dados a seguir.
Um dos v~rios objetivos do NCHS e reduzir a porcemagem de bebi!s nascidos com
subpeso. Como voce pode •<ecificar no gr~fico a seguic, o pioblema de subpeso aumemou de
1990 para 2004.
Ed ,e 1naaa
1
216
•
[su1t1ti<"pllca<l1
16
J_~'~
P~
rc-n1a-tu_ro
_;_n-1c_no
_
s~
d~
c~
3=7sc-1n
_a_n_:~
---,
- ---------·
14
Baixo pes.o ao nascer = n1enos de 5..5 librns
..-
--
• *
I
I
1....-4
porccntag.cm de nascimcntos prcn1aturos
-·
Porccntagem de baixo peso ::to nns«r - -
6
19SU
1992
191.M
19'X>
199$
2'00'.?
2CXXI
2004
Ano
Perfodo de gesta~ao
Media.de peso no
n.ascimento
Desvio padrao
l,88lb
l,201b
Menos que 28 semanas
28 a 31semanas
4,0Slb
1,Sslb
32 a 35 senlanas
5,71 lb
1,471b
36 scnu1nas
6,441b
l,191b
37 a 39 scmanas
7,31 lb
1,09lb
40 semanas
7,691b
1,04 lb
41 scmanas
7,79 1b
1,0Slb
42 sen1anas ou mais
7,61 lb
l,11 lb
uercicios
1. As distribui'Oes dos pesos nos nascimentos para 11es periodos ges1acionais s.lo mostradas.
Relacione as curvas com os periodos gestacionais. Explique reu raciocinio.
(a)
~
S
6
1
8
9
10
II
librn5
(b)
(c)
s
4
7
s
Libras
9
10
1'1
Ed ,e 1naaa
1
(apfiulo S
2.
•
Dl111ibuicllf> dorobalilidad" ,.,,.11
219
po<centagem de be~ nascidos em cada periodo gesiaciooal tern subpeso (abaixo
de 5,5 libras)?
(a) Menes que 28 semanas..
~al
(b) De 32 a 35 •emana5.
(c) De 37 a 39 semanas.
(d) 42 senoonas ou mais..
3. Descreva os pesos dos 10% de beMs mais pesados nascidos em cada perfodo ges1adonal. Explique seu raciocinio.
(a) De 37 a 39 semanas.
(b) 42 senoonas ou mais..
4. Para cada perfodo gestaciona\ qua! e a probabilidade de que um bebe pese en1re 6 e 9
libras ao nascer?
(a) De 32 a 35 semanas.
(b) De 37 a 39 semanas.
(c) 42 senoonas ou noois..
5. Um peso mene< que 3,3 lib<as edassificado pelo NCHS como •peso muito baixo".Qua Iea
probabilidade de que um bebe tenha um peso muito baixo para cada perfodo gestacional?
(a) Menes que 28 semanas..
(b) De 32 a 35 semanas.
(c) De 37 a 39 semanas.
ID
Distribui~oes de amostragem e o teorema do
limite central
Distribui~3o amostra! ~
0 teorema do limite central ~ Probabilidade e o
teorema do limite central
I
Distribuicao amostral
Nas se¢es anteriores, voce estudou a rela~iio entre a media de uma popula~ao e
os valores de uma variavel aleat6ria. Nesta se~o, voe<! vai estudar a rela~3o entre uma
media da popula~ao e as medias das amostragens tiradas da popula~ao.
efinicao
uma distribui~ao amostral e a distnbui~o de probabilidade de unoo estatistica da amostra
que eformada quando amostras de tamanho n sAo cepetidamente colhidas de uma popula¢o.
Se a estatistica da amostra e a sua media, temos uma distribui~o amostcal de medias das
amostcas.
0 que voce
deve aprender
• Como encootrar oJStribu~oes de
amostrageos e l'erificar suas pro-
priedades.
• Como inteipretar o teorema do
licnite central.
• Como aplicar o teorema do limite
central para eO(OOtrar a probabilidade de uma media da amostra.
lmportante
--~~~~~~~~~-
Considere, por exemplo, o seguinte diagrama de Venn. 0 retangulo representa
uma grande popular;So e cnda circulo representa uma amostm de tamanho 11. Como os
valores da amostra podem variar, as medias an1ostrais tambem podem variar. A media da amostra 1 ex; a media da amostra 2 e .r, e assim por diante. Adistribui(ao de
amostragem dns m&lias para amostras de tamanho 11 para essa popula~~o consiste de
.t , .r, e .rye assim por di ante. Se as amostras s.'\o descritas com reposir;oes, um rn1mero
infinite de amostras pode ser descrito por meio da popula~o.
As medias das amostras poden1 variar de wna para ou·
tra. e tambem podem variar
de uma m&lia de popula(aO.
llsse tipo de varia~ao deve
ser esperado e echan1ado de
erro amostral.
Ed ,e 1naaa
1
ZZO •
(s141~1kaa~li<oda
Popul:J~iio contµ, a
AnlOStrti
Histograma de probabilidade
da popula~ao de x
I'(•)
2.11
AIUOS-lr.l 4. 74
Propriedades de distribui,iies amostrais das medias de amostras
1. Amedia das amostras 11, e igual a media da popula~ µ .
µ~=JI.
2.
odesvio padrao das medias u, e igwl ao desvio padrao da popula~o q dividida pela
raiz quadrada de n.
11,= Jn'
"
I l
3
5 6
.&
1
Val~" ~a pOpUlati:U<>
~
f
Probabilidade
I.
1
0,0625
2
2
0,1250
3
3
0,JS75
~
~
0,2500
5
3
0,1875
6
2
0,1250
7
1
0,0625
O desvio padrao de uma disuibui~o amostral de medias das amostras e chamado de erro
padrao da media.
Exemplo
m
Uma distribuitiio amostral de media das amostras
Voce escreveos valores da popula~ao 11, 3, 5, 7) em pedai;os de papel eoscoloca
em uma caixa. En13o, voce seleciona dois papeis alealoriamenle, com subslilui.;Qes.
Lisle todas as amostras possiveis de lamanho 11 = 2 e calcule a media de cada. Essas
mMias formam a distribuiV'!o amostral de media das amostras. Encontre a media, a
varidncia e o desvio padrao da media das amostras. Compare seus resultados com a
media I' = 4, varidncia a'= 5, e desvio padrAo u = J5"" 2,236 da popula~<lo.
Solupio
Lisle lodas as 16 amoslrasde tamanho 2da popula(ao ea media de cada amoslra.
Amostra
i.l
Para explorar mais este 16pico, veja 5.4 Atividades nap. 232.
-
Dica de estudo
Reveja a ~ilo 4.1 para encontrar a media e o desvio
padriio de uma distribui,ao
de probabilidade.
M~dia da amostra, i
Amostra
Media da amostra,X
1,1
1
5,1
3
1,3
2
5,3
4
1,5
3
5,5
5
1,7
4
5,7
6
3,1
2
7,1
4
3,3
3
7,3
5
3,5
4
7,5
6
3,7
5
7,7
7
Depois de construir uma distribui~ao de probabilidade para a m~dia das amos·
tras, voce pode representar a distribuic;.'\o amostral graficamente usando um histograma de probabilidade como pode ser vislo a seguir. Note qu.e o formato do histograma
Ed ,e 1naaa
1
(>Jlftulo S
e en1 forn1a de sino e si1n~trico, si1nilar a u1na curva normal. A m~ia, a variancia e o
desvio padrao da m&lia das amostras siio:
•
221
Dh11i61icoes de p1obabilidad1S oormall
Histograma de probabilidade de
d istribuj~ao amostral de~
~
fJ, =4
(o,l =~ =2,5
e
o1 =~ =.J2.5"<1,581.
o.zs
'* 020-f---=I
"'
~ O,I S
Esses resultados respondem aos
crit~rios
das propriedades das distribui<;Oes
amostrais porque
JII = Jt = 4
~
o.ro
"- OM
I
e
Z !
4
$
6
7
MCdi:t d:. a.1n~1m
Lisle todas as amostras possfveis de 11 = 3, com substitui(ao, a partir da popula<;ao 11, 3, 5, 71. Calcu]e a m~dia. a variancia e o desvio padrao de cada
m&lia das amostras. Compare csses valores com os parametros da popula<;ao
correspondentes.
a. Forme todas as amostras possiveis de tamanh-0 3 e encontre a m&lia de cada.
b. Fn(a uma distribui~Ao de probabilidade das medias das amostra.~ e e11co11tre am~·
dia, a varii\ncia e o desvio padri\o.
c. Co111pt1re a 1n~di~ a vari~ncia e o desvio padriio das m&iias das an1ostras con1 os da
popula<;ao.
I
0 teorema do limite central
0 teorema do limite central fundamenta o ramo inferencial da estat(stica. E.~se
toeorema descreve a rela(ao entre a dislribui(llo amostral de m&lias das amostras e a
popula~ao das quais as amostras siio tiradas. 0 teorema do Ii mite central~ 111na Cerra·
menta importante que fornece a informa~ao que voe~ vai precisar ao usar estatfsticas
amostrais para fazer inferencias sobre a m&lia de uma popul~3o.
1. Se amostras de tamanho n, onde n ~ 30, siio tiradas de qualquer popula<;ao
com uma media 11 e um desvio padrao <t, entao a distribui(ao amostral de
m&lias das amostras se aproxima da distribui(<\o normal. Quanto maior o
tamanho da amostra, 1naior a aproxima~5o.
2. Se urn a popula«lo ~ normalmente distribuida, a distribui~o amostral de me·
di as das amostras r! normalmente distribuida para q11alq11er amostra de tamanho 11.
Em qualquer dos casos, a d.istribuir;ao amostral de m&lia das amostras tem uma
mMia igual a media da popula~:
11; = JI.
~Jedia
A distribui.r;ao amostral das medias das amostras tem uma variancia igual a 1/ n
vezes a variancia da popula~ao e um desvio padri\o igual ao desvio padrao da popuJa(llo dividido pela raiz quadrada de 11.
\'arHlncia
Oesvio pad rao
0 desvio padrao da distribui~o amostral de medias das amostras o"!! tamMm ~
chamado de erro padrio da media.
lmportante
-1---
A distribuir;ao de medias das
ainostras tem a mesma media que a popula<;.iio, mas o
seu desvio padri\o e menor
que o desvio padrao da popula(llo. lsso nos diz que a
distribui<;lio de mMias das
amostras tem o mesmo centre> que a popula~ao, mas nao
e.tao estendido.
Alem disso, a distribui~llo de
medias das amostras torna·
-se cada vez menosestendida
(maior concentrar;ao na m~­
dia) conforme o tamariho da
a1nostra 11 au1nenta.
Ed ,e 1naaa
1
ZZ2 •
'5t41llti<o aplitada
1.
Distribui~ilo populacional qualquer:
l'- M~di:i
Distribu~ de medias das amostras.
n ;:: 30
q, - "
...-...:..::
7rf
'
\
•
'
-
-
[
Ocsvi<>
padrlo
Retratando o mundo
Em um ano recente, havia
mais de 5 milhoes de pills nos
Esiados Unidos que recebiam
pensllo. 0 histograma a seguir
mostra adistribuit;ao das crianyis por pai com a cust6dia. 0
numero m&lio de criani;as era
t,7 e o desvio padroo era de
0,9. (Ad;JpttN!o rf.t· ll.S. CnisL.. &unt11.)
2. Distribui~ilo populacional normal:
u- -ocsvio
padriio
OiSlribui,ao de medias das amostras
(qualquer n)
Pens.lo
OJ
<> OA
~
:;;; OJ
~
~
...e o.z
0.1
(1
~../ii
. 1-,
.. ' .
I
\ 1ocf
~-
-
'
\ Desvio
padr:io
.._ ..::__ _._-I_ _.__:::,.__ ,,.. ,
.
2 3
s 6 1
NUmcro de cri:.ln~as
~
l"t =11. -
....
escollle! aitwtorin111e11te 35
prti> que n·r,•lirm pmsilo e per·
gunln qunntns cr;au{nS sob 11
custMin tie/rs t'S/Do rece/le111fo
pe11silo. Qunl n 111·obabilirliu!e
«
ti« que n 111Min tfn> n1111JS/rns sejn
entre J,5 1• J,9 crim1{ns?
M<Sdia
Exemplo OJ
lnterpretando oteorema de limite central
As contas de telefone de resid@ncias de uma cidade t~m uma media de$ 64 e
um desvio padrao de$ 9, como pode ser visto no gr~fico a seguir. Amostras aleat6rias
de 36 contas de telefone s.'\o escolhidas desta popular;ao ea mMia de cada amostra e
detenninada. Encontre a mMia e o erro padrao da m&lia da distribuir;ao amostral.
Depois, desenh<? um grafico da distribui~ilo amoslral de medias das amostras.
Ed ,e 1naaa
1
Distribui~ao para
todas as contas de telefone
.._,:===:::+---'"'1-'---+---1-----+-=:::::,,~ ,l'
SS
$?
Con1;is de lelcfonc indh•ichrais (cn1 d61ares)
So/11fliO
A media da distribui<;<Jo ainostral e igual ~media da popula.,;;o e o erro padrao
da media eigual ao desvio padrao da populac;iio dividido por $.. Entiio,
e
l'ttterpretafiio
De acordo com o teorema do limite central, uma vez que o tamanho da amostra
e maior que 30, a distribui<;<lo amostral pode ser representada pelo grafico de uma
distribui~ao normal, com ,,= USS 64 e a= USS 1,50.
Distribui~ao
das medias das amostras com 11 = 36
-+----+---___,>---~~-+-~->----+---~ ·
73
SS
~1~dia de 36 comas
de 1clcfonc (c.1n d(>lat'C$)
Suponha que amostras aleat6rias de tamanho 100 sejam tiradas da popula\<'jo
do Exemplo 2. Encontre a media e o erro padrao da m~dia da distribui\<io
amostral. Desenhe um grMico da distribui~Ao amostral e compare-o com a disbribui~ao de amostragem do Exemplo 2.
a. Eucontre. /ti e<T,.
b. lrlentifiq11eo tamanho da amostra.Se n ? 30, desenhe uma curva nonnal com media
1•, e desvio padrilo 11,.
c:. Compnre os resultados com os resultados no llxemplo 2.
Exemplo
m
lnterpretando oteorema do limite central
As alturas de Mvores de carvalho adultas sllo normalmente distribufdas, com
uma media de <JO ~ e desvio padr.'io de 3,5 ~. como podemos ver no grMico a
seguir. Amostras aleat6rias de tamanho 4 s.io tiradas de uma popula<;ao ea media de
Ed ,e 1naaa
1
cada amostra edeterminada. Encontre a media e o erro padrao da media da distribui~ao amostral. Depois, desenhe um grafico com a distribui~ao amostral de medias das
an1ostras.
Oistribui~ao das alturas
da popula~io
~-----=~
..........-i--~~
i
w
•
~
•
~
••
AhurJ (etn ¢ s)
Soluftlo
A media da distribui<;ilo amostral e igual a media da popula~ao e o erro padrao
da media eigual ao desvio padrao da populai;Oo dividido por .Jn. Entao,
/1; = Jt=90
pes
lllterprelnfiio
Com base no teorema de limite central, como a populai;ao enormalmente distribuida, a distribui¢o amostral de medias das amostras tambem enormalmente distribuida, como mostra o grafico a seguir.
Distribui~ao
de medias das amostras com 11 = 4
~~-!-~~~....,,,"--~~--i.~~~~.~~~~'--~~ ;
80
$S
~JO
95100
M~dia d;i
ahur'J (tin ¢s>
Os diametros de uma arvore de carvalho adulta sao tnormalmente distribufdos,
com uma mt!dia de 3,5 pes e um desvio padrllo de 0,2 pes, como mostra o grafico a seguir. Amostras aleat6rias de tamanho 16 sao recolhidas da popula(ao
ea media de cada amostra e determinada. Encontre a media e o erro pad mo para a
media da distribui~3o amostral. Depois, desenhe um grMico da distribui~ao amostral.
Distribuj~ao dos
diametros da popuh~io
..,
I
?.9
Oi:inw:tro (e1n 1>1!.f;)
a. £11co11lre µ i e <1;:
b. De.e111Ie uma curva normal com mt!dia l't e desvio padrao U; ·
r .'f
Ed ,e 1naaa
1
(•pitulo 5
I
•
Di>triki<C" de plObt~lid•d" norll>lk
225
Probabilidade e o teorema do Iimite central
Na Se~ao 5.2, v~ aprendeu como encontrar a probabilidade de que uma variavel aleat6ria x caia em 111n dado intervalo de valores da popula~ao. De uma maneiril porecidn, vocC podc encontrar a prob{lbilid.nde de quc \Ullo
n1~ia
do an1ostra .Y
caia em um dado intervalo da distribui~o amostral de I. Para transformar x em um
Z-<!SCOre, v~ pode usar a f6nnula:
Valor-Media 'i - 11,
z- Desvio padrao
11i
x - 11
- 11 /
$. ·
Exemplo [41_
4_,.__ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __
Distribui~ao das medias de
amostras com 11 = 50
fncontrando probabilidades para distribui,oes de amostragem
0 grafico a direita mostra o perlodo que as pessoas passam dirigindo todos os
di as. Voce seleciona aleatoriamente 50 motoristas com idade entre 15 e 19 anos. Qual e
a probabilidade de que a m&lia de tempo que eles passam dirigindo todos os dias seja
entre 24,7 e 25,5 minutos? Suponha que
1,5 minutos.
"=
Tempo atras do volante
Media de 1cn1po gas10 por dia, dirigindo. por faixn ct<iria:
15·19
~
~+---F--+-!-+-f~t--+-~~-+--7
25 minutos
24.2
~52
20-24
~64
2S·S4
24.6\
24,7
2S.O
25.4\
25,5
1.i.s
:io1C<Jia de h:n1po (em minu1os)
z-escore Distribui~ao de medias
das amostras com 11 = 50
~58
SS·64
~39
rt'•lt' U.$.
Oc~ttnw••4(
n
.....,..,_.;..
Sol11pio
0 tarnanhn da :unrn:.trn P. rnaior quP 30~ Pnt<lo vfl<'t\ po<lP 11s,.1r o toorP1na do limitP
central para concluir que a distribui~~o de m<!dias das amostras e aproximadamente
normal com uma m<!dia e um desvio padrao de:
11~ = 1• = 25 minutos
e
11;
~ = J4."'0,21213 minutos.
"" ¥50
0 grafico dessa distribui~iio, a direita, tem uma area sombreada entre 24,7 e 25,5
minutos. Os z-escores que correspondem as m~dias das amostras de 24,7 e 25,5 minutos 5'io:
z, 24,7 - 25"" - 0,3 ::;-J 41 e
1,5/./50 0,21213
'
z, 25,5 - 25"" 0,5 "'2,36.
1,5/ ./SO
0,21213
- 1,41
0
2.36
norMalcdf<24.7,2
5.5.25 •• 21213)
.9121418524
No Exemplo 4, voce pode US<ll uma
Tl-$3/84 para encootrar a probabilida·
de automatic.imente, uma vez que o
erro padr!o da m~dia seja calcUado.
Ed ,e 1naaa
1
ZZ6 •
(1tatbtical9lica.t.
Entao, a probabilidade de que a media de tempo que 50 pessoas passam dirigindo por dia entre 24,7 e25,5 minutos e:
P(24,7 <.i' < 25,5} = P{- 1,41 < z< 2,36}
= P<z < 2.36J - P<z < - 1A1J
= 0,9909 - 0,0793 = 0,9116.
lllterpretafiio
Na amostra de SO motoristas de idade entre 15e19 anos, 91,16% tera uma media
entre 24,7 e 25,5 minutos dirigindo, como mostra o grafico anterior. lsso implica que,
supondo que um valor de 11: 25 seja correto, somente 8.84% da amostra estara fora do
intervalo dado.
Dica de estudo
•Antes de encontrar probabilidadespara intervalos damedia da amostra .\', use o teorema do limite central para determinar a mt!d,ia e o desvio
padrao da distribui~o amostral de medias das amostras. Ou seja, calcule /'re u,.
Distribui~iio das medias das
amostras com 11 : 9
Voce seleciona 100 motoristasdo Exemplo 4 com idades entre 15 e 19 anosaleatoriamente. Quale a probabilidade de que a media de tempo que eles passam
dirigindo todos os dias esteja entre 24,7 e 25,5 minutos? Use 11 : 25 e " : 1,5
minutos.
a. Useo teorema do Ii mite central para e11ro11trnr µ, e 11, e tfeseulte a distribui~o amostral de medias das amostras.
b. E11co11tre os z-escores que correspondam ax s 24,7 minlltOS ex : 25,5 minutos.
c. E11co11tre a dl'tfl ac1111111/arla que corresponda a cada z..escore e calcule a probabilidade.
R1~JttSt1r 1111 I'· A41
Exemplo W
Encontrando probabilidades para distribuicoes amostrais
Os gastos medios com quarto e refei~ao por anode faculdades de quatro anos
sao de S 6.800. Voce seledona aleatoriamente 9 faculdades de quatro anos. Qual e a
probabilidade de que a media de quarto e refoi\ao seja menor que $ 7.088? Suponha
que os gastos com quarto e refei¢o sejam normalmente distribuidos, com um desvio
padrao de $1.125. {Fcmtr: X1ttro1J8IC1'11/af1'f fJ.furaJimr StbliMif...)
SolufiiO
Como a popula\ilO e normalmente distribuida, voct! pode usMo teorema do li-l""::+--+-!-+-+--+-1.:::.,__:; mite central para conduir que a distrib1ti¢0 das medias dils runostras enormalmente
S.600
6.200
6.800
7.400
8.000
M&J;a quano e refci~ilo (Cm cl6larcs)
distribuida, com uma media de$ 6.803 e um desvio padrae> de $ 375.
(J
1.125
''• = µ e 6.803
e
u, e .{,; e
.J9
e 375.
0 grafico dessa distribui\aO est~ ~ esquerda. A area .ll esquerda de S 7.088 est~
sombrellda. 0 z·escore que corresponde a S 7.088 e:
nor~a l cdf( - 10000
.7088.6803.375)
. 7763727794
z 7.088- 6.803 - 285 - 0,76.
1.125/ .J9
375
Entao, a probabilidade de que a media dos gastos de quarto e refei\aoseja menor
que $ 7.088 e:
P('i' < 7.088) = P(z < 0, 76) = 0, 7764.
No Exemplo S, voe~ pode usar uma
TI·83/ 84 para enconuar a probabiida·
de automaticamente.
Interpretafiio
Entao, 77,64% das amostras com 11 : 9 terao uma media menor que $ 7.088 e
22,36%dessas medias das amostras estarao situadas fora do intervalo.
Ed ,e 1naaa
1
('Jlfiulo 5
•
Db11lbulc0fl dtp10habllidad" normai1
ZZ7
0 pr~ mt!dio de venda de uma casa de famOia padrao nos Estados Unidose
S306.258. Voce seleciona 12 casas de famOia de forma aleat6ria. Quale a prol>a·
bilidade de que a mt!dia do p~ de vendas seja maior que $ 280.000? Suponha
que os p~ de vendas sejam nomialmente distribuldos oom um desvio padrao de
S 44,00. (Fu111r: Fft'.trttl Ht•li""'$ finnllft &vrd.)
a. Use o teorema do limite central para e11co11tmr µ, e o, e dl'$t11/1e a distribui.;;io de
amostragem das m&!ias das amostras.
b. E11co11lre os z-esoores que correspondam a .i ' = S 280.000.
c. E11co11tren drrn ncr111111/ndn que corresponda a cada z-esooreecakule a probabilidade.
Rt$J>1,..t111111 p.
A.41
0 teorema do limite central tam~m pode ser usado para investigar eventos incomuns. Um evento inoonmm ocorre com uma probabilidade menor que 5%.
Exemplo
m
Encontrando probabilidades para x ex
Um auditor de ba.nco declara que as contas de cartOes de crt!dilo sao normalmente distribuidas, com uma m&!ia de S 2.870 e um desvio padrao de S ~t. Qual ea probabilidade de que um titular de cartiio de credito aleatoriamente sele·
cionado tenha uma conta menor que S 2.500?
2. Voc~ seleciona 25 titulares de cart6es de crt!dito de forma aleat6ria. Quale a proba·
bilidade de que a m&!ia da conta deles seja menor que $ 2.500?
3. Compare as probabilidades de (1) e (2) e interprete sua resposta nos tennos da
declara<;ao do auditor.
SolufiiO
Dica de estudo
1. Neste caso, lhe pediram para encontrar a probabilidade associada com certo valor
de uma vari~vcl x. 0 z-escore que corresponde ax- S 2.500 ~:
.l'- J•
Z= 11
= 2.500- 2.870 .. - 0,41.
900
fnt~o,
a probabilidade de que o titular do ca.rtao tenha uma conta menor que
$ 2.500 e P(x < 2.500) = p (z <-0,41) a 0,3409.
2 . Aqui, U1c pcdir.in1 para cncontrnr a probabilidadc asGOC:k1da conl uma O"l&lia da
amostra .t. 0 z-escore que corresponde a 1=$2.500 e:
X-µ .. X- J'
z -- u, -- u/.{,',
2.500 - 2.870
900/-/25
- 370,,, _2 06.
180
,
Portanto, a probabilidade de que a media das contas de cart~o de credito de 25
fitulares de banco seja menor que $ 2.500 e:
I'( X< 2.500) = P(z < -2,06) e 0,0197.
3. lllterpretariio
Embora haja uma chance de 34% de que um indivfduo tenha uma oonta menor
que $ 2.500, h~ somente uma chance de 2% de que a media de uma amostra de 25 pes·
.-111~---------
Para eocontrar probabilida·
des para membros individu·
ais. de uma popula<;ao oom
uma vari~vel aleat6ria x nor·
malmente distribuida, use a
f6rmula:
x-µ
z= - - -
u
Para encontrar probabilidades para a media x de uma
amostra de tamanho 11, use a
f6rmula:
x-P-t
z= - - .
11,
Ed ,e 1naaa
1
soas tenha uma conta menor que $ 2.500. Como ha somente uma chance de 2% que a
media de uma amostra de 25 tenha uma conta menor que $ 2.500, este e um evento
incomum. Entao, e possivel que a amostra seja incomum, OU e possivel que a dedara·
~~o do auditor de que a media e$ 2.870 esteja incorreta.
Tente
Um analista de prei;os dedara que os prei;os de receptores de um sistema so-
vcd noro siio normalmente dis.tribufdos, com uma me.dia de $ 625 e um desvio
6 padrao de $ 150. (1) Qual e a probabilidade de um receptor aleatoriamente
selecionado custar menos que S 700? (2) V~ seleciona 10 receptores aleatoriamente.
Qua I ea probabilidade de que o custo medio deles seja menor que S 700? (3) Compare
essas duas probabilidades.
a. Ermmlre o z-escore que corresponda axe l'.
b. Use a Tabela Normal Padrao para e11co111rar n probnbilidndr associada com cada
z-escore.
c. Compare ns probabilidades e i111erprete sua resposta.
Ri!i-i>0$11l 1u1 I'· A41
IH
Exercicios
Construindo habi!idades bisicas e conceitos
Nose>:eiciciosde I a4, uma popula~o 1em uma mMia ,, = 100
e um desvio padrao o • 15. Encontre a media e o desvio padrao de
uma <fislnbui\Jo amoslral das medias das amostras com o tamanho
da amoslra '"
I. n =- 50.
2. n= 100.
3. n=250.
4.
n•
1.000.
Verdadeiro ou falso?
Nos e>:eicicios de 5 a 8, detemiine sea sente~a everd<ldeira ou
falsa. Reescieva as sentenQ!s ~lsas de forma que fiquem verdadeiras.
5. Confonne o tamanho de uma am05tra aumenta, a distribui~o
das medias amostrais tambem aumenta.
6. Confonne o tamanho de uma amostra aumenta, o desvio padrao
de uma distribuii;.lo das mMias das amostras tambem aumenta.
1. uma <fisuibl>(')o de amostragem e nonnal someme se a popula~o IOI OO'mal
s. Se 0 tamanho de uma amoslra e no mfnimo 30, voce pode usar
os z-escores para determinar a p<ob3bilidade de uma media de
amos1ra esiar situada em um dado intervalo da disvib~o de
amos1ragem.
1O. Quatro pessoas em um rodizio de carros pagaram as seguintes
quantias por multas este semestre: S 120, S 140, S 180 es 220.
Use um tamanho 2 como amostra.
AnAlise grMica
Nos e>:erdcios 11 e t 2, o grafico de uma distribui~o de popula¢o e representado com sua media~ desvio padrao. Supollha que
uma amostra de tamanho 11 seja escolhida para cada popula~o. De·
cida qua! dos gralicos dassificados (a)- (c) poderia melhor representar a distrill<Ji<;<lo amosttal de medias das amostras para cada g1afico.
Eicplique seu racioclnio.
11. 0 1empo de espera (em segundos) em um semaforo de 1r~nsito
durame o sinal vermelho
~
""'
0.035
·;:; 0.030
~ 0.02.S
·~ 0.020
<r=ll.9
•g 0,0I S
if 0.010
it: n.m~
.
10:?030.j()SQ
Te1npo (en1 scgundQs)
(a)
Verificando propriedades de distribui,oes amostrais
Nos exereidos 9 e 10, encontre a media e o desvio padrao da
popula<;<lo. lisle tod.Js as amos1ras (com repo~~o) do tamanho dado
a panir daquela popula~. Enconue a media e o desvio padr~o da
distribui~o amosttal e compare-OS oom a media e o desvio padr~o
da1POPul~
9. Onolmero dos filmes que todas as quatro pessoas de uma famiia
viram no mes passado e 4, 2, 8 e o. Use um tamanho 3 como
am051ra.
-10 (> 10 20 30 40
Tcn1po (cnl ~gundos)
Ed ,e 1naaa
1
(apfiulo S
(b)
(c)
P(i)
~
0.0JS
i
0.02$
O:t·= 11.9
·a 0.030
µ,, = 16.5
:~ ~:~
g.
.!:
1'
0.3
.g o.z
..,s
l
0.1
'-+'-'-l--+20 JO
10
i- i
4()
Tempo (cin stgundos)
12. A quantidade de neve anual (em pes) para um estado central
de Nova Yoii<.
/'(.f)
r:
(f•
~ 0.12
2,3
0.08
}
0,(M
0
z "'
s
6
10
Oco~ncia de 1~\·e (er11 ~s)
(a)
~
~
0.12
·§
0.08
I!
.t;
g. ().1)4
It
2
..
()
~
10
(b)
I
~
·g
•o
·~
15
1.2
z. 0.9
:t 0.6
OJ!
Oil
-2 0 2 4
0.."0~ncia de
11c,·c (e1n ¢s)
Encontrando probabilidades
Nos exerdcios de 13 a 16, a media da populai;ao e desvio padrao
~o dados. Encontre a probabifidade pedida e detennine se a media
da amosira dada seria considerada incomum. Se for conveniente, use
ferramentas tecno16gicas para enconttar a probabilidade.
13. Para uma amostra den = 36, encontre a p<obabilidade de uma
mW.a da amoS1ra ser meJ\O( que 12,2se11 • 12 eq •0,95.
14. Para uma amostta den= 100, e.1contre a probabilidade de uma
media da amostta ser mai0< quie 12,2 se I' m 12 eq • 0,95.
15. Para uma amostra den = 75, <!nconue a probabilidade de uma
mMia da amos11a ser mai0< quoe 22 1se 11 = 220 e u = 3,9.
16. Para uma amostra den = 36, <!OCOntre a p<obabilidade de uma
mW.a da amostta ser menor que 12.750 ou mai0< que 12.753
se ,, = 12.750 e " .. l,7.
Usando e interpretando conceitos
e
·3
12
if
1~1)
·~
.~
~
'-l-"1-11-1-'+- :r
10 20 JO -«) 50
Tcntpo (c1n scgundos)
(c)
I
,~
0005
229
.a• 2n
.1l 1.6
e
•O
0.010
Oi1uibulc6es de pr~bilidadf! oormai1
•
' µ-=Sil
'
..
03
?46810
Usando o teorema do limite central
Nos exerclcios de 17 a 22, use o teorema do limite central para
encontrar a media e o erro padrAo da mMa da distribuii;Ao amostral
indicada. Depois. desenhe um grMioo das diSlribu~Oes amosirais.
17. Alturas das arvores As ahuras de aNOtes acer.!ceas ~nor­
malmeme distribuldas, com uma mMia de 87.5 pes e um desvio
padt.lo de 6,25 ~. Amosttas aleat6rias de tamanho 12 sao retiradas de uma poJJ1Jla¢0 e a media de cada amostra e deter·
minada.
18. Ovos de moscas 0 n-Omero de ovos que moscas domesticas
paem durante seu tempo de vida e n0<malrr~te distribufdo,
com uma mMia de 800 O\/OS e um desvio pad1.lo de 100 ovos
Amos1/as aleat6rias de tamanho 15 ~o coletadas dessa popula¢0 e a mMia de cada amostra e de1enninada.
19. cameras digit<lis O pre<;o ml!dro de c.\meras dlgrtars em uma
loja de eletrooicos e $ 224, com um desvio padrao de S8. Amostras alea16rias de tamanho 40 lXlo recolhidas dessa populai;Ao e
a mMia de cada amostta edetenninada.
20. ldade dos funcionarios Aidade media de funcionarios de uma
grande corpora¢o e 47,2 anos. com um des,,;o padr.lo de 3,6
anos Amostras alea16rias de iamanho 36 sao retiradas dessa popul~o ea media de cada amos1ra e determinada.
21 . Came vermelha consumida O consumo per capita de carne
vermelha nos Estados Unidos em um ano receme era n0<mal·
meme dismbuido, com uma mMia de 11 o libras e ll1'I desvio
padt.lo de 38,5 libras. Amostras a!eat6rias de iamanho 20 sao
tiradas dessa po~o ea media de cada amostra e detenninada. (/u!Gp1od4 de US. D<ponmenJ vi •lgool/:ute)
Ed ,e 1naaa
1
Z30 •
lstotllli<! ·~li<ad•
22. Reftigerantes 0 ronsumo pet capita de relrigerante<J nos Es·
tados Unidos em um ano recente era n0fl11almente dis1ribuido,
com uma media de 51.5 galoes e um desvio padrao de 17,1
ga!Oes. Amos11as aleat6rias de tamanho 25 sao tiradas dessa po·
pula<;ao e a mi!dia de cada amostra de1erminada. Wci>rodo tfe
e
u.s. Def)Olrm"'r ofAtJ1"1111ute.)
23. Repita o Exerdcio 17 com amostras de tamanho 24 e 36. O que
acontece com a mi!dia e com o desvio padrao da distribui(iio de
medias das amostras conforme o 1amanho da amostra aument.Jl
24. Repit.J o Exerdcio 18 com amostrasde tamanho 30 e 45. 0 que
acontece com a media e com o de<Jvio padrao da distribui<;ao de
medias das amostras conforme o tamanho da amostra aumenta?
Encontrando probabilidades
Nos exerdcios de 25 a 36, encontre as p<obabilidades. Se for
corweniente, use ferramentas de tecnologia para encomrar as p<oba·
bilidades.
25. SaJario de encanadores A media da popuk)\ao de salarios
anuais de encanad0<es e$ 46.700. Uma amowa aleat6ria de 42
eranadote<J eescolhida de<Jsa popula>Jo. QuaI ea p<obabilidade
de que a media salarial d.l am05tra seja menos que $ 44.000?
S...,onha que 11 = 5.600. (/<doplado de SG\\llyLom.)
26. Salario de enfermeiras A media da popula<;ao de sa!Arios anu·
ais de enfermeiras registradas e $ 59.100. Uma amostra aleat6ria
de 35 enfermeiras registtad.ls e escolhida dessa popula(iio. Qual
ea probabiidade de que a media salarial da amostra seja menos
que $ 55.0001 Suponha que a = S 1.700. (Adoprt>fo de Sa/my.corn)
27. Pre'o da gasolina: New England Durante certa sernana, o
prew mi!diod.l gasolina na regiao de New England era$ 2,818
por gal3o. Uma amostra aleat6ria de 32 postos de gasolina e
retirada da popula(iio. Qua! e a probabilidade de que o "'"'o
medio da amostra esteja entre S 2,768 e S 2,918 durante aquela
semana? Supooha que a as 0,045. l/lrk!pratlo<k cne1wWctroo'ion
Adn•UUOM)
28. Pre'o da gasolina: Calif6mia Durante certa semana, o "'"'o
medio da gasolina na calif6mia foi S3,305 por gal.lo. Uma amos·
tra alea16ria de 38 postos de gasolina e retirada da popula(Ao.
Qual e a probabilidade de que o pi"'o med'IO da amosua esteja
entre $ 3,310 e $ 3,320 durante aquela sernana? S...,onha que
a = $ 0,049. /Mop.ado tfe [f>(ffJt llllarmonon Mm1$llOl<n)
29. Alturas das mulheres Aaltura mi!<fia das mulhere<J nos Estados
Unidos (com idades entre 20 e 29 anos) e de 64,1 polegadas.
Uma amostra aleat6ria de 60 mulheres dentro dessa faixa etaria e
selecionada. Qual e a probabifidade de que a ahura media dessa
amostra seja maior que 66 polegadas? Suponha que a• 2,71
polegadas. (forl•: NalJOllQ/ Ceru<Y l0t lleMh StaosOCs.)
30. Alturas dos homens A altura media dos homens nos Estad05
Unidos (com idades enue 20 e 29 a005) e de 69,6 polegadas.
Uma amostra aleat6ria de 60 homens de<Jsa lai.xa etAria eselecionada. Qua! e a P1obabilidade que a altura media dessa amostra
seja maior que 70 polegadas? Suponha que a = 3,0 polegadas.
(Fcnre~ No/XJMtCen(ef fa Heol!h S.:orrstks.)
31. Qua! e mais provave I? Suponha que as alturas dadas no Exerd·
cio 29 sejam normalmente distribufdas. £ mais provavel que voce
seleciooe aleatoriamente I mulher com altura menor que 70 po·
legadas ou e mais provavel que voce sel«iooe uma amostra de
20 mulheres com uma ahura media menor que 70 polegadas?
Explique.
32. QuaI e ma is provavel? Suponha que as alturas dadas no Exerd·
cio 30 sejam normalmente distri~idas. £mais provavel que voce
selecione aleatoriamente t homem com altura menor que 65
polegadas OU e mais p<ovavel que voce selecione uma amostra
de 15 homens com uma altula media men0< que 65 polegadas?
Explique.
33. Tome uma decisao Uma maquina usada para encher latas de
um galao de tinta e regulada de fonna que a quantidade de tlnt.J
distribufda tern uma media de 126 o.,cas e um desvio medio de
0,20 onca. Voce seleciona aleatoriamente 40 latas e mede, com
cuidado, o seu conteUdo. A media da amostra de latas e 127,9
oncas. A maquina precisa ser reiniciada? El<p!ique.
34. Tome uma decisao Uma maquina usada para encher conteinere<J de meio galao de leite e regulada de forma que a quantidade
de leite distribuida tenha uma media de 64 oncas e 001 desvio
padrao de o, 11onca. Voce seleciooa aleatoriamente 40 cooteinere<J e mede, com cuidado, o seu conteUdo. A media da amos1ra
de conteineres e 64,05 Of1¥1S A imaquina precisa ser reiniciada?
Expfique.
35. Cortador de madeira Sua empre<Ja de madeira comp<ou uma
maquina que cOfla a madeila automaticamente. 0 vendedor da
maquina anuncia que ela corta madeiras de um comprimento
medio de 8 pes (96 polegadas) .com um desvio padrao de 0,5
polegadas. Suponha que os comjllimentos sejam AO<malmeme
distribuldos. Voce selecicna aleatoriamente 40 tabuas e descobre
que o comprimento medio de 96,25 polegadas.
e
(a) Supo.,do que o an(Jllcio do vendedor esteja correto, qua! e
a probabilidade de que a media de uma amostra seja 96,25
polegadas ou mais?
(b) Usando sua re'lposta d.l parte (a), o que voce ad1a do anun·
cio do vendedor?
(c) Seria incomum ter uma tabw individual com um compri·
mento de 96,25 polegadas? Por que?
36. Peso de caixinhas de sorvete Um fabricante anuncia que o
peso medio de sua caimha de sorvete e de 10 oncas com um
desvio padrao de 0,5 onca. Suponha que 05 pesos sejam normalmente distribuldos. Voce testa 25 c.iixas e descobre que seu pe'lO
medio ede 10.21 oncas.
(a) Supondo que o anuncio do fabricante esteja correto, qual e
a probabilidade de Q\Je a rne.:lia de uma amostra seja 10,21
oncas ou mais?
(b) Usando sua resposta da parte (a). o que voce adia do anun·
cio do vendedor?
(c) Seria incomum ter uma caixinha individual com um peso de
10.21 oncas? POI que?
37. Vida util de pneus um fabricante dedara que a vida util de seus
pneus e de 50.000 milhas. ~ uabalha para uma a~ de
prote(iio ao coosumidor e esta tesra.'ldo os f)lleus desse falxicante.
Suponha que a vida util dos pneus seja nonnalmeme distribulda.
Voce seleciona 100 pneus aleatoriamente e os te<Jta. A media da
vida Util deles e 49.721 milhas. Suponha que a = 800 mil has.
(a) Supoodo que a declara(iio do labricante esteja correta, qual
ea probabilidade da media da amostra ser 49.721 milhas
ou menos?
(b) Usando sua re<3p0sta da pa rte (a), o que voe~ acha da dedara<;ao do fabricante?
Ed ,e 1naaa
1
<.,nulo S •
(c) Seria incomum tet um pneu in<ffl.idual com a vida Util de
49. n 1 mmias? P0< que?
38. Pastilhas de freio Um labfica111e de pastilhas de freio dedara
que suas pastilhas vao durar 38.000 mnhas. Voce trabalha para
uma agfnrja de prote<::io ao consumidor e estA testando as pas.tilhas desse labricante. Suponha que a vida util das pastilhas de
freio seja no@almente distribuida. Voce seleciona 50 pastilllas de
freio aleatoriamente. Nos testes. a media de vida das pastilhas e
de 37.650 milhas. Suponha que
1.000 m~llas.
(a) Supondo que a dedara~o do labricante esieja c0<reta, qual
ea probabilidade da mMia da amostra ser 37.650 milhas cu
menos?
(b) usando sua resposta da pa~e (a), o que voce acha da deda·
r~o do labricante?
(c) Seria incomum ter uma unica pastilha de freiocom a vida iltil
de 37.650 milhas? Perque?
"=
Expandindo conceitos
39.
Pontua~o
no SAT A media da pontua,ao de matematica no
SAT e 518 com um desvio padrao de 115. Uma esc.ola, em parti·
cular, dedara que seus al\Jllos c011seguem pontua>Oes incomuns
em mateinatica. Uma amostra aleat6ria de 50 alunos dessa es.
cola lei selecionada ea pontua¢o media em mate~tica no SAT
lei 530. A escola foi cO<reta em sua dedara(k>? Explique. (l'M!e
C'*'Je /loold Oritne)
40. M6quina de calibragem Uma rnaquina em uma fabrica e ca·
nbrada para produzir um dardo com di.lmetro medic de 4 P<>'
legadas e um desvio rnMIO de 0,5 polegada. Um enge"'1eiro
pega uma amostra aleat6ria de 100 dardos e descobre que o
diAmetro medic deles e de 4,2 polegadas. Quais sAo as possfveis
consequencias do que ele descobriu?
Fator de oorre~o finita
Af6rmula para o erro padrao da media dada no teorema de limite
central e baseada em uma hip6tese de que a popula¢o tern
infinites membros.
"
u, = ,[;,.
Este e o case sempre que uma amostragem e feita com repo·
si~o (cada membro e colocado de volta depois de seleciona·
do) porque o processo de amoslragem poderia set indefinida·
mente continuado. A f6rmula tambem e vAlida se o tamanho da
amos11a e pequeno quando comparado ao da popula,ao. Porem, quando a amostragem e feita sem reposi¢o e o tamanho
da amostra n e maier que 5% da popula¢o finita de tamanho
N[~>O,o5].
Mum numero finite de amostras possfveis. Um later de corre~o finita,
~
vN-:J·
deve ser usado para ajustar o erro padrao. A6suibui¢o amostral
de med'oas das amostras se<ao n0tmais, com uma meaia igual a
rnMia da popul~o, e o erro padrao da media sera:
Di111i6slcoos de p1obabilidad11 oormai1
Z3 I
o,= JnJ%~~"1os e><etcicios 41 e 42, determine se o later de c0<re¢o finita
diP.VP <:et 11'So'ldo CiKO seja. lKP-O em <:1?1.1$ r~lculo~ Q1J;'lndo Pncnnuar
a probabilidade.
4t. Pre~o da gasolina Em uma .amostra de 800 pestos de gasoina, o p1~0 medic da gas<Jlina comum na bomba era S 2,876
po< galao e o desvio medic era S 0,009 per galao. uma amostta
aleat6ria de tamanho 55 e extrafda da popula¢o. Quale a proba·
bilidade de que o pr~o medic por ga13o seja menor que S2,871?
(Atiofxado de u~ o.i10•111ie<>t of Er4'fgy)
42. Old Faithful Em uma amostra de 500 erufl¢es do geiser Old
faithful no Parque Nacional Yellowstone. a dura¢o media das
enJ~res eta 3,32 minutes e -0 desW> padr~o era 1,9 minute.
uma amostra aleat6ria de tamanho 30 ecolhida desta popul~o.
Qual e a probabifidade de que a duraC<lo media da eru~ao seja
entre 2,5 minutes e 4 minutes? (Adop:adoee Yefos:ono No0011al !\\v<)
Distribui~ao amostral de propor¢ es amostrais
A media das amostras n.Jo e apenas estaUstica com uma distri·
bu~ amostral Cada amostra estalistica, come a media das amos·
ttas, o desvio padrao da amostra e a propo<~o da amostra, tern uma
<flSUibu~ amostral. Para um tamanho aleat6tio de amosttagem n. a
propor,ao de amostra e o numeto de indivfduos com as mesmas
caraae<lslicas espedficas dividido pelo romero de amostra~ A distri·
bui~ao amostral de propor~oes amostrais ea d'1Stribui"10 f0tmada
quando p<OPO<¢es de amostras de tamanho n sac tiradas repetida·
mente de uma popula¢o cuja probabaidade de um indivfduo com
uma caracter1S!ica espedfica seja p.
Nos e.etdcios de 43 a 45, supooha que ttes nasdmentos sejam
aleatoriameme escolhido~ HJ dois resultados igualmente possfveis
para cada nascimento, um menino (b) ou uma menina (g). 0 numeto
de meninos pode ser 0, 1, 2 ou 3, <llfe corresp011de as propor¢es de
amostra de 0. 1/3, 2/3 e I.
43. lisle as oito amostras posslveis ao selecionar aleatoriamente tres
nascimentos. PO< exemplo, seja bbb representante de uma amostta de tres meninos. fa<;a uma tabela que mostre cada amostra, o
numero de meninos em cada amostra ea piopor~ de meninos
em cada amostra.
44. Use a tabela do Exerckio 43 para montar a distribui¢o amostral
da propor¢o do nascimento dos tres menino~ 0 que voce COil·
segue perceber sobre a dispersao do histograma se comparado
adistribui~o de probabilidade llinomial para o numero de meninos em cada amostta?
45. Percebaquexs I representa um merinoexaO representa uma
merana. Usando esses vale<es, eocontre a media da amostra para
cada um deles. O que voce consegue perceber?
46. Monte uma distribui¢o amostral da propor~o de nascimento
demeninos.
47. Transplantes de coraC<lo. Cerca de 75% de !odes cs pacientes
que tern cora¢es feminines transplantados v~o sobrevivel po<
no minima ttes anos. Noventa pacientes com ce<a<;Oes feminines
uansplantados sAo escolhidos aleatoriamente. Qual ea probabiidade de que a propor~o de amostra para sobrevivencia per no
minima ttes anos seja menor que 70%? Suponha que adistribui·
~o amosual da propor~o seja uma distribui~o normal. A media
de propor~o da amoS!Ja igool apropor~o da populaC<lo p e
e
o desv'.o medic e igual a ~· (fonre, Ameti<(J(l H<oft As5ocio.'>M.)
Ed ,e 1naaa
1
Z32 •
ls14t!sticoapli<ada
iii
Atividades
Distribuiciies amostrais
f\:JplbdoJll {t•N c~ "'ilh moo,co}
0 Applet de dis1Tibui¢es amostrois pe1111ite ~ voce invesligue d'~tribui;iles de amosuagem ao 1etirar amosuas de uma
popula<;.!o repetidameme. O grafico superior (a di1ei1a) mosua a
distribui<;.!o de uma amosuagem. Varias ol'¢es s.io diSj)Ollfveis
para a 6stri00i<;.!o de popula<;.!o (uniforme. cwva em forma de
sino, assimetrica, binaria e pad1Ao). Quando dicamos em SAMPLE,
N amosuas aleat6rias de tamanho n serao 1epetidameme setecionadas de uma popula~. A amosua estatillica especificada na
pa«e inferior dos dois pianos sera atualizada de aoordo com cada
amosua. Se Ne ajustado pa1a I en e meooi ou igual a 50, se1Ao
eX1bidos, de forma animada, os pontos seledonados da popula·
~o caindo no segundo g1Afico e os vafores estatfsticos <esu'Tlidos
couespondentes caindo no teiceiro e quarto graficos. Clique em
RESET para inte11omper uma anima~o e limpai os 1esultados
el<istentes Estatfsticas resumidas para cada grafico se1ao eJO'bidas
no painel aesquerda do piano.
Explore
SIJ, 0\-v,
.\kJA
Chegando a condus06
Fa,a uma siml.ia<;.!o usando n = 30 e N = 10 para uma d'tstribui·
<;.!o uniforme, com curva em forma de sino e assimetrica. Quale
""'
il!nilom._,_..J
"""
14.f.J.JS
•
Std. ~..
I
S;an1pk ~
~f(od...
•
..
"""""
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•• t i ;:.
v
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"""
M«J1$td. f>tv
~•I
,.
!Wlnpk M1r•li••
N
''"''
M tdlMI
s.d. !kv.
Especifique uma distribui<;.!o.
Especifique um valor pa1a n.
Especifique um valor para N.
Especifique o que deve ser exibido abaixo de
cada g1afico.
Passo 5 Oique em SAMPLE para gerar as d'IS!ribuitaes de
amostragem.
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Passo 4
1.
"""
~!«II•
ii•
M;i. ;;-...
..
a meaia da distriOO~o amostral de medias das amostras para
cada distribui~o? Para cada distrib\Ji~o. o resultado foi o que
VOCt! esperava?
2. Fa,a uma simula~o usando n = SO e N = JO para uma disuibui~o em forma de sino. Qua! e o desvio padrao da distribui~o
amostral de medias das amosuas? De acordo com a f6unula, quaI
deveria ser o desvio padr~o da distribui~o amostral de medias
das amostras> 0 reS\Jtado foi o qve voce esperava?
m Aproxima,oes normais para distribui,oes
binomiais
0que voce
Aproximando uma distribuicao binomial - t Correcao pela continuidade - >
Aproximando probabilidades binomiais
deve aprender
• Como decidir quando uma distfi.
bui(3o normal pode se aproximar
da distribui¢o binorraal.
• Como encontrar a oorr~o pela
continuidade.
• Como usar a distribli(ao normal
para af)loximar as probabilidades
bioomiais.
I
Aproximando uma distribui,ao binomial
Na ~o 4.2 voc~ aprendeu como enconlrar probabilidades binomia.is. Por
excmplo, se um proet?dimento cinlrgico tcm uma chance de 85% de suCl!SSO cum m~·
diro faz o procedimento em 10 pacienles, e facil enrontrar a probabilidade de exatamenle duas cirurgias com sucesso.
Mase se o m&!ico fizer a cirurgia em 150 pacienles e v~ quiser encontrar a pro·
babilidade de ocorrencia de 111e11os de 100 cirurgias rom sucesso? Para fazer isso usando a t~ouca descrita na ~ao 4.2 vod! teria que usar a f6rmula binomial 100 vezes e
encontrar a soma das probabilidades resultantes. Esse metodo n3o epr~tico, claro. Um
metodo melhor eusar uma distribui~ao normal para aproximar a distribui~ao binomial.
Ed ,e 1naaa
1
(•pitulo 5
•
I Aproxima,ao da distribui,ao binomial pela normal
Se np ;:: 5 e nq ;:: 5, ent~o uma variavel aleat6ria x e aproximada e nonnalmente distribulda,
com media
I' s np
e desvio padrao
11=frW.
Para ver por que esse resultado e v<llido, veja as seguintes distribui~Oes bino·
miais para p = 0,25 e 11 =4,11 =10, 11 =25 e 11 = 50. Perceba que, ~ medida que 11 aumenta,
o histograma aproxima-se de uma curva nonnal.
rw
pt<)
<>AS •
II
""""
<>JS
:4
<>.JO
Oo.25
II=
10
np =2.S
nq=7.5
0.2$
0,20
0.IS
<>20
0.IS
<>.10
0.10
o.os
<>.OS
0
2
3
••
~·
- - 11=25
_ _ np=6.25
- - nq = 18.75
0
I
2 3
•s6
7
8 9
10
0.1:?
II =50
0.10
= 125
nq=37.5
~"
11/1
•.ost==-ri
0.<>6
0,04 +---n
0.()2
1;+;++9.,1,1,l.l,1,l,J.,I,l,l,l,l,l,l'""H-++..•
0 2 4 6g101l 14 1618l022l4.
Exemplo
m
Aproximando adistribui,ao binomial
Dois experimentos binom.iai.s slio listados. Decida se vOCi! pode usar a distribui·
s;ao normal para aproximar x, 0 numero de pessoas que responderam sim. Se voce
dccidir quc n5.o 6 po::;::;fvcl, cxpliquc o porqua. (r.t111"<: Opi11W11 r...-.,.vtr<l1C...,....,.mtic>n.)
1. Para 51% dos adultos nos Estados Unidos, a promessa de final de ano mais impor·
tante foi a de se exercitar mais. Voce seleciona aleatoriamente 65 adultos nos Esta·
dos Unidos cuja promessa foi a de se exercitar mais e lhes pergunta sea promessa
foi cumprida.
2. Quinze por cento dos adultos nos Estados Unidos 11~0 fazem promessas de final
de ano. Voce seleciona 15 adultos nos Estados Uni dos aleatoriamente e pergunta a
cada um se eles fizeram promessas de final de ano.
Solr1fliO
Neste experimento binomial, 11 = 65, p = 0,51 e q = 0,49. Portanto,
11p = (65)(0,51) = 33,15
e
11q = (65)(0,49) = 31,85.
233
-·--
Dica de estudo
Propriedades de um experi·
mento binomial:
• 11tentativasindependentes.
• Dois resultados possiveis:
sucesso ou falha.
• Probabilidade de sucesso e
p; probabilidade de falha e
'1-p=q.
• p e constante para cada
lentativa .
O.JO •
up= I
1u1= 3
llistriloi<Oe>d<tHObibilidUtlftOIJIMi>
Ed ,e 1naaa
1
Como 11p e 11q sao maiores que 5, voce pode usar a distribui~ao normal com
/I:
e
33,15
"=.p.;;q =J65. 0,51. 0,49,,,4,00.
para aproximar a distribui~ao de x.
2. Nesteexperimento binomial, 11=15, p = 0,15 e q = 0,85. Portanto,
llJI = (15)(0, 15) = 2,25
e
11q =(15)(0,85) =12,75.
Como 11p < 5, voce nao consegue usar a distribui\<'io nonnal para aproximar a
distri bui~ao de x.
Tente
Considere o seguinle expcrimenlo binomial. ~ida se voce pode usar a dis·
voce tribui,ao normal para aproximar x, o numero de pessoas que respondeu sim.
Se voce decidir que pode usar, encontre a m~dia e o desvio padrao. Se voce
decidir que nao pode, explique o porque. (fo11tt: OP'""'" R1"<•irl1 Col'/Afml1ot1)
1
Nos ullimos 5anos, 80% dos adullos nos Estados Unidos fizeram e conseguiram
manter uma ou mais promessasde final de ano. Voce seleciona alentoriamente 70 adultos nos EUA que fizeram promessas de final de ano nos ultimos 5 anos e Ihes pcrgunta
se eles consegltirrun manter pelo menos uma promessa.
a. lde11tifiq11en, p e q.
b. E11co11tre os produtos 11p e 11q.
c. Dedda se voce pode usar a distribui~ao normal para aproximar x.
d. E11ro11tre a m~dia 1• e o desvio padrao "' se apropriado.
I
Corre~ao pela continuidade
A distribui,3o binomial e discreta e pode ser representada por um histograma
de prob.ibilidade. Para calcular probabilidades binomiais exatas, voce pode usar a f6r·
mula binomial para cada valor de x e adicionar os resultados. Ceometricamente, isso
corresponde a adicionar as ~reas das barras no histograma de probabilidade. Lembre·
-se que cada ba.rra tem uma largura de uma unidade ex~ o ponto medio do intervalo.
Quando voce usa uma distribui\<'io normal ro111f1111a jl'ara aproximar uma probabilidade binom.ial, voce precisa mover uma un.idade 0,5 para a esquerda e direita do
centro para incluir todos os valores possfveis de x no intervalo. Quando voce fizer isso,
voce estarA fazendo uma corre~ao pela continuidade.
Probabilidade binomial exalA
Aproxin1ac;3o normal
\
1'(<-0..5 <x < c + 0.5)
Exemplo
m
Usando uma corre,3o pe!a continuidade
Use uma corre(ao pela continuidade para converter cad a um dosseguintes inter·
valos binomiais em um intervalo de distribuiif.jo normal.
Ed ,e 1naaa
1
(4pitulo 5
•
1:.. A probabilidade de conseguir entre 270 e 310 sucessos, inclusive.
~ulkl<Oe> de p1ob41ilidade> normais
Z3 5
Dica de estudo
?. A probabilidade de conseguir no mini mo 159 sucessos.
Para usar a oo~o pela con-
3. A probabilidade de conseguir menos que 63 sucessos.
tinuidade, simplesmente subb·aia 0,5 do rnenor va.lor e
Sol11ftio
adicione 0,5 para o maior.
1. Os valores do ponto medio discreto sao 270, 271, ..., 310. 0 intervalo corresponden-
te adistribui~ao normal continua e:
269,5 < x < 310,5.
Z. Os valoresdo ponto medio discretos~o lSS, 159, 160, ... 0 intervalo correspondente
ll distribuii;lio nonnal continua e:
x>157,5.
3. Os valores do ponto mt!dio discreto s.io ..., 60, 61, 62. 0 interva.lo correspondente ll
distribui~ao n.onnal continua e:
x >62,5.
Use uma corre<;ao pela con~nuidade para converter cada um dos seguintes
intervalos binomiais em intervalos de distribui~ao normal.
1. A probabilidade de conseguir 57 e 83 sucessos, inclusive.
Em uma pesquisa entre adul·
Z. A probabilidade de conseguir no maximo 54 sucessos.
a. Lisle os iltllon:s do pouto mi/tiio para a probabilidade binomial.
b. Use a com'(tio peln co11ti1111idade para escrever o intervalo de distribui¢o nonnal.
R611f~t11 11n p.
A4 J
I Aproximando probabilidades binomiais
tos: nos EUA, as pessoas responderam sea justii;a deveria
permitir que medicos ajudassem pacientes que estao morrei~do e querem acabar com
suas vidas. Os resullados da
pesquisa podem ser vistos no
seguinte grMicode setores:
lnstru~oes
US<Jndo a distribui~ao normal para aproximar probabilidades binomiais
Enz palavras
1. Verifique sea distribui<;ao binomial seaplica.
2. Determine se voce pode usar a distribui·
~~o
normal para aproximar x, a variavel
binomial.
3.
Encontre a media µ e o desvio pad.rao u
para a distribui~ao.
4. Aplique a correi;ao pela continuidade apro-
priada. Sombreie a area correspondente sob
a curva nonnal.
s.
6ncontre o(s) z-escore(s) correspondente(s).
6. Encontre a probabilidade.
£1n sil11bolos
Especifique 11, p e q
upe:,:5?
saoa f'il\'Of"
da nlOne
ass.islida
46%
Nao siio
a favor
da n1ortc
assistida
54%
11q e;;: 5?
µ=up
(/ = ,foPq
Adicione ou subtraia 0,5 do
ultimo ponto.
x-1;
z=-(/
Use a 'labela Normal Padrao.
S11p;ml1J1 q11e c.<..<n p(squi:'ll sejn
11111n i11dirnf1in <'<'l'dadeim rln
11ropor(Ao rln pop11/n(Ao q11r ~
n fewr rln 111ortc nssistidn pnm
1mcie11/1o;; ler111i11nis. Se i>oce pc·
gar 11111n n111ostrn de 50 nrl11/tos
nl1'lltorin111c11te, q11nl ~ n probnhilidndc de q11c 1•11/r,• 21 <' 25, itrc/11sitlf, sejn111 a jnwr rln morte
fl$Si::tidn?
Ed ,e 1naaa
1
236 •
b1at~tiCdaplica.t.
Exemplo
m
Aproximando uma probabi!ldade binomial
Cinquenta e um por cento dos
~duJtos
nos E:stados Unidos cujas promessas de
final de ano foram de ser exercitar mais alcani;aram seus objetivos. V~ seleciona aleatoriamente 65 adultos nos EUA que fizeram tais promessas e lhes pergunta se eles
cumprirnm a promessa. Qual ea probabilidade de que mel'1QS de 40 deles respondam
Si Ill? (fortlt: Opu1iou R.tvarrlt Ct1r)'\•rtJIW1t.)
So/uftio
21 !A !7 JO JJ J6 l9 -1? 45
N Umcro de ~~ qm: rC$pot'llkrnnt sim
Pelo Exemplo l, v~ sabe que pode usar uma distribui(~O nonnal comµ = 33,15
e " ~ 4,03 para aproximar a distribui~lio binomial. Lembr.e·se de aplicar a cor~ao
pela continuidade para o valor de x. Na distribui<;iio binomial, os valores possiveis do
centro "menores que 40" s.lo:
...37, 38, 39.
Para usar a distribui~o norma~ adicione 0,5 a<> Ii mite 39 adireita para conseguir
x • 39,5. 0 gnlfico aesquerda mostra uma curva normal com 11. = 33,15 e " ~ 4,03 e uma
area sombreada de 39,5 a esquerda. 0 z-escore que corresponde ax= 39,5 e:
39,5-33,15
z = '~65=.o=
, s=1=.o=.4~9
~1.58.
Usando a Tabela Nonnal Padr~o.
P(z < 1,58) = 0,9429.
ltzterpretnpio
A probabilidade de que menos de 40 pessoas respondam sim e de aproximada·
mente 0,9429, ou aproximadamente 94%.
-
Nos ultimos 5 anos, 80', t dos adultos nos Estados Unidos fizeram e conscgui·
voc6 ram manter uma ou mais promessas de final de ano. Voct? seleciona aleatoria-
mente 70 adultos nos EUA que fizeram promessas de final de ano nos ultimosS
anos e Ihes pergunta se elcs conseguiram manter pelo menoo uma promessa (verTente
vod} 1). (Fonlt: 01n11ioJ1 ~11 Ct11pc1mf1m1.}
a. Determine se voci! pode usar a distribui~ao normal para aproximar a variavel binomial (ver parte (c) do Tente voci! 1).
b. E11ro11lre a media 1<e o desvio padrao" para a distribui..;ao (ver parte (d) do Tente
VU<.t< 1).
c. Apliq11e a corre<;ao pela continuidade apropriada e desenhe um graftco.
d. Encontre o z-esrore correspondente.
e. l/,;e a Tabela Nonnal Padrao para encontrar a area aesquerda de z e calcule a pro·
babilidade.
Rc-,1~11111" I'· 1\41
Exemplo
m
Aproxlmando uma probabl!ldade binomial
Trinta e oito por cento das pessoas nos EUA admitem bisbilhotar nos annarios
de banheiro de outras pessoas. Voe~ seleciona aleatoriamente 200 pessoas nos EUA e
Edifii,IJBaa
('!>fl•I• S •
lhes pergunta se cles bisbilhotam no arm~rio do banheiro de outras pessoas. Qual ~a
probabilidade de que pelo menos 70 digam sim? ((,,,,,, 11;.1 TOP. ll.1
SolufiiO
Como 11p - 200 · 0.38 - 76 e 111·200 · 0,62 • 124, a variavcl binomiol .< e aproxi-
madamente distribufda normalmcnte com:
11 = 11p = 76 e
Oi1t1i~ul<On 4t pro..bllidaoln 001mah
237
-·--
Dica de estudo
Em uma distribui~ discn.'ta. M
uma diferen~ entre P(,x 2: c) e
P(A > c:). ls.so ~ "erJaJci10 por·
que a probabilidaoo de que x
seja exatamente c nilO
11 - JW0 ·0,38·0,62""6,86.
Usando a ~.\o pela continuidade, vod pode n!esCl'l!Ver a probabilidade discreta P(r 2: 70) como uma prob.1bilidade continua P(.r 2:69,5). 0 grafico mostra urna
curva normal com 11•76e11 • 6,86, e uma .S.rea sombreada h direita de 69,5. 0 z-escore
que com?SpOOde a 69,5 ~:
~
zero.
Em uma distribui~ continua
enttetanto. nilO M difcrefl\.l entre P(x 2: c) e P(x > c) po<que a
probabilidade de que x seja e-aiamente c ~ zero.
z _ <69,s-761,,, _0 95.
6,86
•
Entao, a probabilidade de que no minimo 70 respondam sim e:
P(x 2: 69,5) ~ P(z 2: ~.95) • l - P(z s; ~.95)
~ 1-
"
0,1711 • 0.8289.
No Exemplo 4, qual I! a probabilidade de que no m~ximo 85 pessoas respondam sim?
a. Deter111i11e se voe~ pode usar a distribui(30 normal para aproximar a vari~vel binomial (ver Exemplo 4).
b. E11co11tre a m~d ia 11 c odcsvio padr3o 11 para a distribui~ao (ver Exemplo 4).
c. Aplique uma corre(30 pela continuidade para reescrever P(x s; 85) e desenhe um
grMico.
d. E11co11lre o z-escore correspondente.
e. Use aTabcla Normal i>adr3o para cncontrar a ~re;i ~ esquerda de z e calcular a prooobilidade.
Rf-;/'C$1t, Imp. J-141
Exemplo I 5
Aproximando um• probabilidadt binomial
Uma pesqu1sa informa que 86\.. dos usuanos de Internet usam o Internet Explocomo browser. Vod seleciona al~toriamente WO usullrios de Internet
e lhes pergunta se eles usam Internet Explorer como browser. Qual ~a probabilidade
de que exatamcnte 176 pessoas rcspondam sim? ff, · o..s ,,, .1
~Windows·
Solu~ao
Como 11p • 200 · 0,86 - 1ne11q • WO· 0,14 • 28. a vari~vel binomial x ~ aproximada e normalmentc distribufda com
i1=11p=ln
60~
107, .....~4J(ltjJ(()
1'-"lim.-ro dC' ~S...'4»' qw ~ndrnim wm
e 11 = .f.M = J200 .o,86·0.14 .. 4,91.
Usando a cor~~o pela continuidade, vod pode reescrever a probabilidade
discreta P(x • 176) como a probabilidadc continua P(175,S < x < 176,S). 0 grafico a
seguir mostra uma curva normal com 11• 172e11• 4,91 e uma ~rea sombreada entre
175,5 e 176,5.
Ed ,e 1naaa
1
1$8 16? 166 170 174 11ll 182 1$6
NUmero de pes.~u que rosponder::inl sirn
Os z-escores que oorrespondem a 175,5e176,5 s.'io:
z
I
binOMPdf(200, . 86
, 176)
. 0611688936
~200·0,86·0,14
e •
..,
176,5-172
~200·0,86·0,14
Portanto, a probabilidade de que exatamente 176 usuarios de Internet digam que
usam o Intemet Explorer e:
P(175,5 < x < 176,5)= P(0,71<z<0,92)
= P(z <0, 92) - P(z <0,71)
= 0,8212- 0,7611
=0,0601.
e
A arx~o no Exemi:lo 5 ape-
nas um pouco mE!lOI que a poss;.
bilidade e><lta enconvada usando o
bincn¢f (oomanclo na lJ.84/85).
175,5-172
lllterpretnfiio
A probabilidade de que exatamente 176 dos usuarios de Internet digam us.1r o
Internet Explorer como browser ede aproximadmnente 0,0601, ou cerca de 6%.
No Exemplo 5, qual ea probabilidade de que exatarnenle 170 respondam sim?
b.
c.
d.
e.
ljl
a. Deter,,tine se voa! pode usar u.ma distribui\tlO normal para aproximar a
variavel binomial (ver ExemploS).
E11co11tre a media 11 eo desvio padrao o para a distribuiy\o (ver Exemplo 5).
Apliq11e uma oorre~ao pela continuidade para reescrever P(x = 170) e dt?senhar um
grafico.
£11co11tre os z-escores correspondentes.
Use a Tabela Nonna) Padr3o para encontrar a area ~ esquerda de cada z-escore e
calcule a probabilidade.
Exercicios
Construindo habilidades basicas econceitos
Nos exeicicios de l a 4, o tamanho da amosua n, a p1obabilidade
de sucesso pea p<obabilidade de fracasso q ~o dadas para um expe·
rimen10 binomial. Decida se voe~ pOde usar a d'isui!lui¢o noonal para
aproximar a va~ alea16ria x.
1.
n = 24,p= 0,85,q=0, 15.
2.
n• 15,pD0,70,q•0,30.
3. n• 18,p•0,90,q•0,10.
4.
n = 20, p = 0,65, q = 0,35.
Aproximando uma distribui~ao binomial
Nos exerdcios de 5 a 8, um expeiimento binomial edado. Decida
se voce pode usar a distribui\.lo normal para apro.xirnar a distribui\.lo
binomial. Se voce pude<, e<>contre a mi!dia e o desvio padr~o. Se MO
for po~vel, explique o porque.
s. Contratos de casa Uma pesquisa entre adultos none-ameriC<J·
nos descobriu que 85% leem toclas as panes, ou pelo menos o
sufi<iente, para emender um corntrato de compra ou veilda de
asa antes de assinarem. Voce pergwta a 10 adultos esco!hidos
aleatoriamente se eles fa2em o mesmo. (roore: lm\'.owmn)
6. OOil~ de orgAos uma pesquisa entre adultos no11e-ameri·
des<iolxiu que 63'lb das pes~ gos1ariam de 1er seus
6rgaos tranSjllanlados em pessoas que precisassem deles caso
eles morressem em um acidente. Vod seleciona aleatoriamente
20 aduhos e pergunia se eles tambbn t~ esse desejo.
'<
18.
c.!llOS
'A
7.
"""
C~ncer de
prostala Em um ano recente. a Aml!frcon Con·
cer Socieiy dec:laroo que o lncfoce de sobre.i~a por tin·
co anos de todos os homens diagnosticados com cAnce< de
pr6Slaia foi de~ ~ seleciona aleatoriamente 10 homens que foram ~dos com cAncer de prOslaia e
calcula seu fndice de sobl~ncia por onco anos. 1
1
8.
0 ,16
0.1 2
Semanas de trabalho Uma pesquisa enue uabalhadotts nos
ESlados Unidos desoobriu que 8,Sllb deles uabdiam menos que
40 horas por semaN. lit>c:~ seleoon. ale.l!Qriamente 30 uabalha·
dares nos EUA e lhes perguiia se eles trabalham menos que 40
floras por semana.
Nos exerdcios de 9 a 12, relacione a probabdidade bin<lmial com
ao sent~ coneta.
Probabilid.lde
Sooteni;a
(a) P(M menos que 65 sucessos)
9. P(x ~ 65)
10. P(x $ 65)
(b) P(h.! no maximo 65 sucessos)
11. P(x<65)
(c) P (h.! mais que 65 sucessos)
12. P(x>65)
(d) P(ha no mlnimo 65 sucessos)
fllos exerckios de 13 a 16, use a coir~o de continuidade e rela·
cione a senteni;a de probabirldade binomial Asentel\I<) de distribu~o
normal correspondente.
Prob;!bilidade binon'ial
Probab~odade normal
13. P(x> 109)
(a) P(x> 109,5)
14. P(.x ~ 109)
(b) P(x< 108,5)
15. P(x $ 109)
(c) P(t s 109,5)
16. P(.x < 109)
(d) P(x ~ 108,5)
Usando e inttreretando conceitos
Analise grafica
fllos -dcios 17 e 18, esaeva a probabidade bcnomlal ea probabiclade normal pata a~ sombleada do grMice. Enc:onlle o valor
de cada probabidade e ~e os resi.ftados.
17.
O.c>S
OD>
0
?
.f
6
10
$
I?
Aproximando probabilidades binomiais
l'.'Os exerdciosde 19a 24, decicla sevod pode usar a~
normal para aprO>imat as probablidades binomiaos. Se for pos5IYel,
use a 6stribu9:> noanal para ~ as probaboldades lll<iadas
e monte os graficos. Se nao for posslvel eicpique o por~ e use a
<isln~ binomial p.ira encontrar as probabidades n:ticadas.
19. Tipo sanguineo o· Sete por ce1110 das pessoas nos Ell'l t~m
tipo sanglilleo o-. ~ seleciona 30 pessoas nos Estados Unidos aleatoriamente e lhes pe<gunta se o 1ipo sangulneo deles e
o·. <Fer....:,,,,...,~..- " " ' ot e oo s. ,»
(a) Encontre a f)'obabilidade de que e<atamente 10 pessoas
digam ter tipo sangurneo o·.
(b) Encontre a p<obabi1idade de que no minimo 10 pessoas di·
gam ter tipo sanguineo o·.
(c) Encontre a probabilidade de que menos de 10 pe5soas di·
g.im tertipo sanguineo 0 .
(d) Uma campanha de doa(Ao de sangue gostaria de conseguir
pelo menos cinco doadores com tipo sangufneo o·.HA I 00
doadores. Qual ea probabilidade de que nAo haja doares de
tipo sangulneo o· suficientes?
20. Tipo sanguineo A· Trinta e quatro por ce<llO das pessoas nos
ELIA tern 1ipo sanguineo A'. Vock selecion! 32 pessoas nos Esia·
dos Unidos aleatoriamente e lhes perguma se o tipo sangulneo
delas eA-. '"""' """'""' .,, · , ~ · 1t l
(a) Encontre a probabilidade de que e<aiameme 12 pessoas
digam rer lipo sang\ineo A•.
(b) Encootre a probabiidade de que no mnmo 12 pessoas di·
gam ter lipo sanguiieo A·.
(c) Encomre a probabidade de que menos de 12 pessoas do9"" te< tipo "'~A•.
(d) Uma camparha de~ de sangue gostana de conseguir
pe1o menos 60 doadores o:im npo sangui>eo A'. H.l 150
doadores. Quale a probabiidade de que nAo haja doares de
1ipo sangU.100 A • sufrcientes?
21. Transporte publico
por ce<llo dos uabalhadores dos Estados Unidos usaom transporte pUblico para chegar ao uabalho.
\it>ce saeoona 250 trabalhadores aleatoriamente e Iles ~
se eles iam~ fazem isso. f'' ' u.s.
s, J
(a) Encontre a probabiidade de que e<aiamente 16 trabalhado-
cn::o
,, =:
0.ll)
16
,, •0.4
c
0.16
,
res digam sim.
(b) Encontre a probabilidade de que no minimo 9 crabalhadores
aigam sim.
0.12
OM ·
0J)4 .
,0
2
6
~
8
I
,...t
10 12 "
16
(c) Encontre a probabilidade de que menos de 16 trabalhadores
digam sim.
Ed ,e 1naaa
1
240 •
l>totl11i<"Pli<ada
(d) Uma autoridade do uansito oferece t.lJ<as de desconto pata
empresas que tern no minitno 30 funcionarios que usam
transpo<te p(Jblico para chegar ao ttabalho. H.l 500 funcior>arios em uma empresa. Q\Jal a probabilidade de que a
empresa nio consiga o desconto7
e
22. Gradua¢es na fa<uldade Trinta e dois per cento dos ttaba·
lhad0<es nos Estados Unidos s3o formados na f<K\Jldade. Vore
seleciooa SO trabalhadores de forma aleat6ria e lhes pergunta se
eles s.!o formados na faculdade. (fotli.: u.s. &lccu oftJJbol Sor&«.)
(d) uma grande empresa esta preocupada com o excesso de
trabalho dos funcioMrios q..e trabalham mais de 70 horas
semanais. A empresa se!eciona, aleatoriamente, SO funcio·
narios. Qual ea probabilidade de que n.lo haja nenhum fun·
cionArio trabalhando mais qt.te 70 horas por semana?
25. Casa maior Uma pesquisa entre propriet.lrios de casas nos Es·
tados Unidos descobri<J que 24'lb deles sentem que suas casas
s.!o muito pequenas para a familia. Voce seleciona, aleatoriamen·
te. 25 propriet.lrios de casas e lhes pergunt.l se eles sentem que
suas casas sao muito pequenas p;ara suas famifias.
(a) Encontre a probabifidade de que eicatamente 12 pessoas
temam se formado na faculdade.
(a) Verifique que a distn~o normal pode ser usada para
aproximar a distribui¢o binomial
(b) Encontre a probabilidade de que no mlnimo 14 pessoas tenham se formado na faculdade.
(b) Encontre a probabilidade de que mais de oito proprietaries
digam que suas casas sao muito pequenas para sua famma.
(c) Encontre a p<obabilidade de que mell05 de 18 pessoas tenham se formado na faculdade.
(c) E incomum que 8 entre 25 proprie~rios digam que suas
casas sao mvito pequenas? Por q~?
26. Oirigindo para o trabalho Uma pesquisa entre trabafhadores
nos Estados Unidos descobriu que 8o<lb usam o pr6prio velculo
para chegar ao trabalho. Voce seleciona, aleatoriamenie, 40 uaba·
lhadores e lhes pergunt.l se eles usam vefculo pr6prio para chegar
ao local de trabalho.
(d) Um comite est.I procurandopor 30 pessoas que tenham se
formado na faculdade para seiem voluntarias em uma feira
de profissOes. 0 comite seleciooa, aleatoriamente. 150 Ila·
balhadores. Qual ea probabilidade de que nao haja pessoas
formadas na faouldade suficientes para a feira?
23. Biscoito preferido Cinquema e dois per cento dos adultos di·
zem que os biscoitos com peda•os de chocolate s3o seus preferidos. Voce escofhe 40 adultos de forma aleat6'ia e lhes pe<gunta
se os biscoitos com peda~ de chocolate s.!o seus preferidos.
(ForlC~-·
Yleotel.E'f.)
(a) Encontre a probabilidade de que no maximo 23 pessoas
digam que os biscoitos com peda~ de chocolate s.!o seus
preferidos.
(b) Encontre a probabilidade de que no mfnitno 18 pessoas di·
gam que os biscoitos com ~os de chocolate s.!o seus
preferidos.
(c) Encontre a probabilidade de que mais de 20 pessoas digam
que os biscoitos com peda'os de chocolate s3o seus prefe·
rides.
(d) Uma comunidade que promove a venda de biscoitos para
arrecadar fundos preparou 350 biscoitos com peda,os de
chocolate. 0 evento atrai 650 consumidores e cada um
compra seu biscoito preferido. Qua! e a probabilidade de
que nao haja bir...coitos com peda~os de chocolate wfidentes para todos?
24. Semanas longas de trabalho uma pesqtjsa entre trabalha·
dores nos Estados Unidos descobriu que 2,9',t, de!es trabalham
mais de 70 horas por semana. Voce seleciona a""1toriamente 10
trabalhadores nos EUA e !hes pergunta se eles irabalham mais de
70 horas por semana.
(a) Verifique sea distribui¢o normal pode ser usada para apro·
J<imar a distribui¢o bioomial.
(b) Encontre a probabilidade de que no maxima 26 trabalha·
dores digam que usam seu pr6prio velculo para chegar ao
trabalho.
(c)
Eincomum que 26 de 40 trabalhadcxes digam que usam
seu pr6plio velculo para chegar ao trabalho?
Expandindo conceitos
Ficando saudavel
Nos exerdcios de 27 e 28. use as informa,Oes a seguir. O grafico
mostra o resultado de uma pesquisa entre adultos nos Estados Unidos
com idade entre 33 e 51 anos que responderam se praticam algum
es.pone. Setenta por cento dos adultos disseram que praticam pelo
menos um espone regulannente, e e!es informaram seus esportes
preferidos.
Nat~o
16%
(empaie) Cidismo. Gcllle,__ _ _ _ _ _-r'
(a) Encontre a probabitidade de que no maximo 3 pessoas di·
gam trabalhar mais de 70 horas por semana.
(b) Encontre a p<obabilidade de que no mfnimo 1 pessoa diga
trabalhar mais de 70 horas por semana.
(c) Encontre a p<obabilida<le de que mais de 2 pessoas digam
ttabalhar mais de 70 horas por semana.
ii'
6%
Ed ,e 1naaa
1
(•pllUloS •
27. Voce seleciona ale.itoriamente 250 pessoas nos Estad05 Unidos
com idade entre 33 e 51 anos e Illes pergunta se elas praticam
pelo menos um espone regu!armente. Voe! descobre que 60%
dizem que nao. 0 quao apurado eo resultado? Voce acha que a
amosua e boa? ElCJllique seu racioclnio.
28. Voce seleciona, aleatoriamente, 300 pessoas nos Estados Unidos
com idade entre 33 e 51 anos e I~ pergunta se elas praticam
de pelo menos um espone regularmente. Dos 200 que respondem que sirn, 9% dizem que par1icipam de caminhadas na natu·
reia. O qwo apurado e o resultado? Voe! ad>a que a am05tra e
boa? Explique seu raciocinio.
Testando uma droga
Usos
normais As dis11i~0es normais podem ser usadas para descrever mui-
tas das sit~aes de vida re.ii e sao amplamente usadas nos campos das ci~s. neg6cios e
psi<ologia. Essas sAo as distribui¢es de probabiridade mais impo<tantes da estatistica e podem
ser usadas para apro~mar outras distribtJi~s, como as distribui~aes discretas binomiais.
As aplica~ mais incrlveis das distribui~aes nonnais est!o no teorema do limite central.
Esse teorema afirma que ni!o importa que tipo de distribui~o uma pop<Jla~ possa ter; cootanto que o tamanho da am05tra seja pelo menos 30, a distribui~o das mt!d'ras amostrais sera
aproximadamente normal. Se a popul~o em si for n0<mal, en!Ao a distribtJi~o de mMias
amostrais sera normat nao imponando quao pequena seja a amostta.
Adistribui~o normal e essencial para a teoria de amostragem. a qua! forma a base da
inferencia estatistica, que voe! c~ra estudar no pr~mo capitulo.
Abusos
Eventos incomuns Suponha que uma popula~o seja nonnalmente distribufda com media de 100 e desvio padrao de 15. Nao seria incomum para um valor individual retirado dessa
popula¢o ser t 15 OU mais. De fato, isso ocorrera quase t6% dasvezes. Serio, entretanto, bem
incomum retirar am05tras aleat6rias de val0<es 100 a partir da popula~o e obter uma am05tra
com uma media 115 ou mais. Devido ao fato de a popula~o ser normalmente distribuida, a
mt\cfra da distribui~o da amostra se<.! I 00 e o desvio padrao 1,5. Uma media de 115 fica a IO
desvios padrao acima da mecia. Esse seria um evento extremamente illcomuni. Quando um
eventot.lo incomum as~m ocorre, e uma boaideia questionar ovalor originalda media afirmado.
Embo<a as cfistribui>aes nonnaissejam comuns em muitas popula¢es. as pessoas tentam
fazer estatisticas ndo normais se ericaixarem na distribui~o noimal. Essas estatisticas usadas
para d'istribui¢es normais sAo frequentemente n3o ap<opriadas quando a distribtJi~o eobvia.mente nao nocmal
{xercicios
Eincomum? Uma pop<Jl~o e normalmente distribtJfda com uma mt\cfia de 100 e
deS1M> padrao de 15. Detennine se o evemo a seguir eincomum. Exp!ique seu raciodnio.
(a) A mMia da amosua de 3 e 115 ou mais.
(b) A media da amoSlla de 20 e 105 ou mais.
2. Encontrando o erro A idade media dos estudantes em uma escola de ensino mMJO
e 16,5 com desvio padrao de 0,7. Voce usa a Tabela Nonnal Padrao para ajudar a determinar que a probabilidade de selecionar um estudante aleatoriamente e encontrar a
idade de!e{a) como sendo mais de 17,5 e de apro~madameme 8%. Quale o eno neste
problema?
I.
3.
~ um exemplo de uma distribui~o que pode ser nao normal.
Z4I
Nos exerdcios 29 e30, use as inl0<ma~0es a seguir. Um fabrican·
te declara que uma droga arra uma doenl'l rara na pele em 75% das
vezes. A dedara~o eVErificada ao •estar a droga em 100 pacientes.
Se no ml'.l limo 70 pacientes forem curados. a declata9fjo sera ace®.
29. Encontre a p<0babilidade de que a dedara~o seja recusada SU·
pondo que ela seja \<erdadeira.
30. Enconue a probabilidade de que a dedar~o seja aceita supon·
do que a verdadeira probabilidade de que a droga cure a doenl'l
na pele seja de 65%.
Usos e abusos - estatistica no mundo real
Distribui~oes
Okui~•i<O"d' Pf•b•bilidod11 oornNil
Ed ,e 1naaa
1
z42 • C!1<tf1ti<..pll<od•
Resumo do capitulo
0 que voce aprendeu?
Exemplo(s)
berddos
de revisao
s~,Cio 5.1
•
•
Como interpretar graficos de distribuii;iio de probabilidade
normal.
Como encontrar e interprelar z·escores:
1e2
le2
3
3e4
4a6
5a16
la3
17 a 24
le2
25 a JO
3
31e32
4e5
33 a 36
1
37 e38
2e3
39 e40
4a6
41e46
x - 11
z= - - .
q
• Como encontrar a.reas sob a curva norn1al padrao.
S<e,ao 5.Z
•
Como enconlrar probabilidades para variaveis
normnlmenle dislribuidas.
s~,ao 5.3
•
•
Como encontrar um z-escore dada a Area sob a curva
normal.
Con10 transfonnar um z. escore em un1 valor x:
:c = v.+ z<f.
um valor de dado especffico da
• Como enconlrar
normal dada a probabilidade.
distribui~iio
s~,ao
•
•
5.4
Como enconlrar distribui~Oes de amostragem e verificar
suas propriedades.
Como interpretar o teorema do Ii mile central
q
,,, = '"
(/.i
= --.r,;·
aplicar o leorema do limile central para encontrar a
• Como
probabilidade de uma m<!dia amostral.
s~,Cio
•
5.5
Como decidir quando a dislribui~iio normal pode
aproxin1ar a distribuii;ao bino1nial
11 = n·p.
•
•
47 e 48
a = J11pq.
Como encontrar a correv'o pela conti11uidade.
Como usar a disltibui~ao normal para aproximar as
probabilidades binomiais.
2
3a5
49 e 52
53 e 54
Ed ,e 1naaa
1
Exercicios de revisao
Secao 5.1
Nos exercici05 I e 2, use o grafioo para escimar µ e a.
1.
s
10
1$
20
2S
2.
P(z < 1,28).
P<.z>-0,74).
P(-2,15<z<l,55).
P(0,42<z<3,15).
l'(z < -2,50 OU Z > 2,50).
P(z<Oouz> 1,68).
N-OS exerdcios 23 e 24, encontre as probabifidades indicadas.
23. Um estudo descobriu que a ~ia da ~ncia de migra"1o da
tanaruga verde era de 2.200 quilOOieuos e desvio padrao de 625
quil6me1ros. Assumindo que as dist.lncias sac normalmenie dis·
tribufdas, encontre a probabilidade de que uma tanaruga verde
selecionada aleatoriamente migre:
(a) a dist\ncia de menos que 1.900 quil6me11os.
(b) a distancia encre 2.000 e 2.500 quilllmetros.
(c) uma distancia maior que 2.450 quilOme1ros.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
(/<klp!odo de {)('lffl[) KinldeJsley Y·>r"'1 fn~.)
-20 - 15 -10
-s
0
5
10
."
15
Nos exercicios 3 e 4, use as inf0<ma,0es a seguir e os escores
padt~ para investigar obseiva¢es sobre a popola~ noonal. Um lote
de 2.500 resiswes enoonalmente distribufdo, com resist~cia media
de 1,5 ohms e desvio pad1ao de 0,08 ohms. Quatro resistores sao
selecionados aleatoriame<11e e testados. As resistencias sao med'Kfas
como 1,32, 1,54, l,66e l,78ohms.
3. A quantos desvios padrao da media est.lo essas observa,Oes?
24. O menor mamffero do mundo eo morcego nariz de porco, com
mMia de peso de 1,5 gramas e desvio pad~ de 0,25 grama~
Assumindo que os pesos seja m normalmente distribuidos, en·
centre a probabiidade de sefecionar aleatoriamente um morcego
cujo peso seja:
(a) emre 1,0 e 2,0 gra~
(b) entre 1,6 e 2,2 g1amas.
(c) maisdoque 2,2 g•a~
/Moprodo de Ootlmg Kmldetsky V.Suol En<)(k>p;OO)
Secao 5.3
7. A esquerda de z • -0,27.
Nos exerdcios de 25 a 30, use a Tabela Normal Padrao e enco.,.
tre o z·escore que corresponda ~area acumulada dada ou percentil. Se
a area nJo estiver na tabela, use a entrada mais !)16xima da a1ea. Se f0<
conveniente, use a tecnologia pa1a encontra1o1-escore.
25. 0,4721.
26. 0,1.
27. 0,8708.
28. P,.
8 . ;\ e-..querda de z - 1,72.
29. P.,.
4. Essas obse1Va¢es sao inoomuns?
Nos exercicios de 5 a I 6, use a tabela normal padtao para enc0<1·
11ara area indicada sob a aicva nonnal padrao. Se for co.,veniente, use
a1cecnologia para encontrar a area.
5. Aesquerda de z = 0,33.
6. Aesquerda de z = 2.55.
9.
10.
11.
12.
A cfireita de z = 1,68.
Adireitadez=0,12.
Entrez •-1,64eam&ia.
Entrez=-1,55ezsl,04.
13. Encrez=0,05 ez= 1,71.
14. Encrez 5-l,96ez • l,96.
15. Aesquerdadez • -1,5eadireitadez• 1,5.
16. A esquerda de z = 0,64 ea direita de z = 2, 16.
30. P,..
Nos exetdcios de 31 a 36. use a informatao a seguir. Em uma
supenicie seca, a dis1'lncia de frenagem (em metros) de um Ford
Expedilion pode ser aproximada pekl distribui'3o normal. como mos·
trada no gr~fioo. (l'otiJCc Na<<Jflal HH;hwtt; ~atr~ ScklyAtltr"""1fC'JMJ
Distanda de frenagem de um Ford Expedition
µ= 52 in
u=2.5 n1
Secao 5.Z
Nos exerdcios de 17 a 22, enoontre as P<obabilidades incficadas.
Se for conveniente, use a teaiologia.
.JS -&7 49 .SI 53 SS 31 59
Ois•lnci11 de rreoagc::m (cm 1nc1ros)
Ed ,e 1naaa
1
z41,
•
uto1l11ic..pllcdda
31. Encontre a d~ancia de frenagem de um Fo<d Expeditioo que
cooesponda az = -2,4.
32. Encootre a d~ancia de frenagem de um Fe<d Expeditioo que
cocrespondaaz• 1,2.
33. Qwl distancia de frcrogcm de um F<>rd Expcd"ltion rcpre"'~tll o
95> percentil?
34. Qual distancia de freoagem de um Ford Expedition representa o
tercei10 quanil?
35. Qual a menm distancia de frenagem de um Ford Expeditioo que
pode estar nas 10% maie<es distancias de frenagem?
36. Qual a maior distancia de frenagem de um Ford Expedi1ion que
pode estar nas menoces 5% distancias de frenagem?
Seclo 5.4
Nos exeidcios 37 e 38, use a populac;<lo dada para encoouar a
media e o desvio padrao da populac;<lo e a m&lia e o desvio padrao
da distnbu~o amostral Compare os valores.
37. Uma empresa tem s executivos. O numero de minutos de horas
extras de trabalho poi semana 1eportados para cada um ~ de 90,
300, 120. 160 e 210. Retire os nomes de tres executivos dessa
populac;<lo. ce<n reposic;<lo.
38. Ha 4 residentes dividindo uma casa. 0 numeio de vezes que
cada um lava seu carro a cada mes~ 1, 2, Oe 3. Re1ire dois no·
mes desta popula~o. com reposi~o.
Nos exefdcios 39 e 40, use o tee<ema do fimite central paca
encontrar a media e o eiro padcao da m&lia da dist~o amostral
illdicada. Enlllo, faca o graf1CO da distribui(Ao amostral.
39. O consumo de frutas processadas nos Esrados Unidos em um
ano recente era nocmalmente distribuldo, com m&lia de 144,3
libras e desvio padrao de 51,6 libras. Amostras aleat6rias de ta·
manho 35 s.lo retiradas dessa populac;<lo. l,Adoprodo d• U.S. ikpar·
!OO'leltt ol Agtt:u.'lure.)
40. Oconsumo de vegetais processados nos Estados Unidos em um
ano recente era nonnalmente distribuldo, ce<n mi!<fia de 218,2
libras e des.iio padrlio de 68, l lib<as. Amostras aleat6rias de ta·
manho 40 s.lo retiradas dessa poptJla,00. (!v.!Qplado de us. Depot·
""""'
'of AgtiaJl:"'e)
Nos exercicios de 41 a 46, encontre as p1obabilidades para as
distribui¢es amostrais.
41. Refi1a-se ao Exercicio 23. Uma amostra de 12 tartarugas verdes
e S<lecio...do •lc•toriomcnte. Enconttc •
p!Qbol>lidodc de qvc
a mMa da amostra da distancia migrada seja (a) menos que
I.900 quilOmeuos, (b) entre 2.000 e 2.500 quil6melros e (c)
maior do que 2.450 quilOmetros. Compare sua resposta com a
do Exetdcio 23.
42. Refira-se ao Exetckio 24. Uma amostra de 7 moccegos nariz de
porco ~ selecionada aleatoriamente. Encontre a p1obabilidade de
que a media amosual seja (a) entre 1,0 e 2,0 gramas, (b) entre
1,6 e 2,2 gramas e (c) mais do que 2,2 gramas. Ce<npare sua
resposta com a do Exerdcio 24.
43. A media do salario anual para choleres e de S 29.200. Uma
amostra aleat6ria de tamanho 45 eselecionada dessa popu~.
Qual a probabilidade de que a m&lia dos saMri05 anuais seja (a)
menos do que S 29.000 e (b) mais do que 31.0001 Assuma q =
S 1.500 (li:~<c: S<lo\>y.com.)
44. 0 valor medio de terras e constru¢es por acre para fazendas e
de $ 1.300. Uma amostra aleatoria de tamanho 36 e retirada.
Qua! a probabilidade de que a val0< medio de rerras e constnJ..
~6es por acre seja (a) menos que $ 1.400 e (b) mais do que
S 1.150? Assuma q = $250.
45. A media de pr~s de casas em uma cidade e de$ 1,5 milhao
com desvio padrao de S 500.000. Os pr~os das casas sao n0<malmente distribuldos. Vore seleciona aleatoriame.ite 15 casas
na cidade. Qual a p1oWbilidade cle que a mMia de pr~ seja
menor que S I, 125 milhao?
46. Oaluguel medio em uma cidade e des 500 por m~ com desvio
padrao de S30. Os alugueis s.lo nocmalmente distribuidos. Vore
seleciona ateatoriamente 15 apamamentos nessa cidade. Qual a
probabilidade de que o pr~o medio seja mais que s 525?
Se<ao 5.5
N05 exetdcios 47 e 48, um experime.110 binomial edado. Decida
se voce pode usar a distribui(Ao norm.al para aproximar a distribui~o
binomial. Se puder. encontre a meda e o desvio padrao. Se nao, explique o porqoe.
47. Em um ano recente. a American Cancer Society disse que o indice de sobreviv~cia de 5 anos para novos casos cle cancet de
rim no estagio I e de 95%. Voce seleciooa aleatoriamente 12
homens que eram nOllOS casos de cancer de rim e~gio I este
ano e calcula seus Indices de sobteviWncia de cinco anos. (FooU>·
Ameficon Cor.c1Jt SooCry.)
48. Uma pesquisa indica que 59% dos homens compraram pe<fume no ano passado. Vore seleciona aleatO<iamente 15 homens
e pergunta a eles se comp1aram perfume no ano passado. (Foor•·
USA IOI.MY.)
Nos exetdcios de 49 a 52, esaeva a probabilidade binomial
como uma probabifidade nocmel usando a ee<r~ pela continuidade.
49.
SO.
SI.
52.
Probabilidade binomial
P(x ~ 25).
P(x ~ 36).
P(x=45).
P(x =SO).
Probabilidade ne<mal
P(x >7).
P(x < ?).
P(?<x<?).
P(1 < x < ?).
Nos exetddos 53 e 54, decida se ..ice pode usar a distribui,00 normal para aproximar a dis!ribu~o binomial Se puder, ap<oxime as probabilidades indicadas e faca seus grMir:os. Se nao podet, e>jlique o poiqu<l
e use a <frstriW>ao binomial para encoouar as p1obabilidades indkadas.
S3. Selenta por cento das criafl9'5 com idades de 12 a 17 anos man·
t~ pelo meoos pane de suas ecooomias em poupancas. Vore
seleciona aleatoriamente 45 criancas e pergunta se elas fazem
isso. Eocontre a p1obabilidade de que no oomo 20 criancas digam sim. (Fcmc.· .tirl'lr.o"""'I COl1lm<A11COIOIS lleseotdl la Meml Lynch.)
54. Trinta e tres por cento dos adultos dassificaram as escolas publicas como excelentes ou boas para preparar estudantes para faculdade. Voce seleciona aleatoriamente 12 adultos e pe<gunta a eles
se tam~m acham isso EnconYe a probobilidade de que mais
de cinco adultos <figam
(IC.'"" MINISl ""'"""'/Of Pvbk
s«n.
°""'""'·>
Ed ,e 1naaa
1
(apftulo S
•
Di1trlb>l1oes dt pJObabilldodese01"'11
Z45
Teste do capitulo
F~ este tes1e como se voce estivesse fazendo uma provaem sala.
Depoi~ compare suasrespostascomas respostasdadas no final do livro.
1. Encontre ca<f.J probab11idade normal padr.lo.
(a} P(z >- 2.10).
(b} P(z <3.22).
(c} P(-2,33<z<2.:B).
(d) P(z < - 1,75 OU Z >- 0.75).
2. Encontre cada probabiidade normal para os parametros dados.
(a) 11 = 5,5, o s0,08, P(5,36<x< 5,64}.
(b) 11=-8.2,11= 7,84, P(-5,00<x< O}.
(c) 11= 18,5,o=9,25,P(x<Ooux>37).
Nos exerdc:ios de 3 a Io. use a informa~ a seguir. Em um ano
recente, alunos da 8' ~ie de uma escola publica de Minnesota que
estavam lazendo um tes1e de matematica tiveram nota media de 290
c:om desvio padrao de 37. As notas possfveis podem variar de Oa 500.
Assuma que as notas sAo noonalmeo1e distribuidas. (Foor.: Na!/OflGICMter for !dtKOIJCf.:11 Srat~)
3. Encontre a probabifidade de que um estudante tenha no1a maio<
que 320.
4. Encontre a p<obabilidade de q1Je um es1udan1e tenha ooa entre
250 e 300.
5. Qual porcentagem de estudantes tern uma nota maior que 250?
6. Se 2.000 estudantes sAo selecionados alea1oriamente, quantos
voce esperaria ter nota menor que 280?
7. QIJal a menor nota que ainda oolocaria um es1udante nas 5% de
noias mais altas?
8. Q\Jal a nota mais al ta que ainda colocaria um estudante nos 25%
de no1as mais baixas?
e
retirada de uma poputa,.lo. Qual a probabilidade de que a nota ~ do 1es1e seja
maior do que 300?
tO. I.lice 1em maior possibiidade de selecionar aleatoriamente um esru·
dante com nota maior que 300 oudesele00nar uma amosua de 15
esiudantes com media de noti de 1este mai:i< do que 300? &plique
9. Uma amostra aleat6ria de 60 estudantes
Nos exerdcios 11 e 12, use a informa~ a seguir. Em uma pesquisa com adultos, 75% apoiam o LOSO de pesquisa de DNA por cien·
listas para encontrar novas maneiras para pre\'enir ou tratar doe~
\lxe seleciona aleatoriamente 24 adultos e perg1Jnta a eles se concor·
dam. (Foore: Heins /nrerocr.-.e)
11. Oecida se voce pode usar a <istriblii¢o normal para aproximar
a distriboi~o binomial. Se puder. enconlre a media e o desvio
padr.lo. Se Mo, explique o porque.
12. Encontre a p<obabilidade de que no maximo 15 pessoas digam
que apoiam a pesquisa com DNA para encon1rar f\C\'as maooitas
p<Jra prevenir ou iratar ~s.
Juntando tudo
Estatistica real - decisoes reais
I.Ile~ trabaDla para uma emp<esa de doces c:omo analista de processos esialiSlicos. Seu ira·
balho eanalisar processos e ter cetteza de que esses estao sob controle estallstico. Em um dos
processos, uma maquina deve despejar 11.4 ooc;as de balas de menta em um saco. (Assuma
que o processo possa ser aprOJ<irnado pela distnllu~o normal) Aamplitude aceitavel de pesos
para as balas de menta entre 11,25 e 11,55 ooc;as. indusi\Je.
Em razao de um erro na valvula de libera~o. a configura¢o da rn6quina de fibera~
' muda· de 11.4 onc;as. Para checar sea maquina esta colocando os pesos CO<retos nos sacos,
voce seleciooa alea1oriamente tres amostras de cinco sacos de balas e encontra o peso m<!dio
(ecn onr;as) de cada uma. Um colega de traba1ho pergu111ou porque vore retirou tres amosuas
de tamanho 5 individualmente em vez de escolher alea10!iamen1e e medir 15 sacos de balas
ind'Mdualmente para checar a configura~o da maquina. (Noto: ambas as amostras sAo selecio·
nadas sem repo~~~o.}
e
Exercicios
1. Amostrogens individuois
Voce seleciona um sacode balas de menta e mede seu peso. Assuma que a maquina mude
e esteja enchendo sacos com um peso mediode 11,56 011c;as e um desvio padrao de 0,05 onc;a.
(a) Qual a probabilidade de que voc~ selecione um sac:o de balas que ndo es1eja f0ta
da amplitude aceitavel? Em outras palavta~ voe~ MO deteaa que a maquina 1eMa
mudado? (Veja a figura.}
(b) voce seleciona aleatoriamen1e 15 sacos de balas de menta. Qual a probabiftdade de
que voe~ seleciooe pelo menos um saco que n<lo es1eja fora da ampilude aceitJ\'el?
Distfibu i('itl
00.J:in:il tk
"'"'
indi\·idlNi ~
~-4-~-4-i'>"""-+'>,--x
liJ 11.4 II.$ . 114
1~fc.'rri~)
Ed ,e1naaa
1
Z46 •
lstath1i1..plicoda
2.
Dtt;tribui,no
d:1n~i:td.i
nmostr:i
n=S
Amosttagens de grupos de 5
Voce seleciona cinco sac.osdebalasde menta e encontra seu peso medio. Assuma quea ma·
quina IOOde e esteja enchendo sac.os com peso medio de 11,56 Oll>OS e desvio padrao de 0.05.
(a) Qual a pfobabifidade de que \'OC~ seleciooe uma amostr.a de cinco 3il<:OS de balas de
mema que 1enham uma media que nao esteja fora da amplitude aceMvel? (Veja a
figura.)
(b) Voce seleciona aleatoriamente tres amostras de cinco sacos de balas. Qual a probabj.
lidade de que 1/000 selecione pelo menos uma amostra de cinco sacos de balas que
1enha uma media que ndo esteja fora da amplirude aceitavel?
{c) O que e maisseflS!vel a mudani;a - uma medida iocflllidual ou a mc!dia?
3. Escrevendo umo expfica~ao
Escreva umpatagrafo para seu colega de trabalho explic.indo ixir que 1/000 retirou 3 amos·
tras de tamanho 5 e encontrou a media de cada amostra em vez de escolher aleatoriamente e
medir I 5 sacos cle balas individualmente para checar as conf!gura~~ da maquina.
:,,.r;
••
•
Tecnologia
MINITAB
I
f.XCU
Tl-83/84
Distribui~ao de idade nos Estados Uni dos
Um dos trabalhos do U.S. Ce11s11s Brm:m1 emanter registros das distribui~0es de
idade no pais. A distribui~ao de idade de 2005 emostrada a. seguir.
Disl ribui~iio de
~
7q,
~
6q
~
5~
-
~
-
idade nos Esla dos Un.idos
--
~
-
j 4~
t
) <'f
'"'
,...
.
. .
--
...
-
111--t..
27 1 Zr7DVDDGD•u~nnn~~n"
Cl:wes de id;;idcs
(enl :i.noo)
ftonteiras de
dasses
Pontos m~ios
de dasse
Frequ~ncia
0·4
59
10-14
1519
20-24
25·29
30·34
3539
40-44
45.49
50-54
55.59
6{)-64
6569
70·74
7579
80-84
8589
90-94
95·99
2
7
12
17
22
27
32
37
42
47
52
57
62
67
72
77
82
87
92
97
6.S'lb
6.6%
retativa
7.0'<b
7. l'lb
7.1%
6.8'lb
6.6'«>
7.1%
1.7<ib
7.fl'lo
6.7'!0
5,9'!1>
4,4'11>
3.4'11>
2.9'!1>
2.5%
1,9'!1>
I,l'lb
O.S'lb
O, l'lb
Ed ,e 1naaa
1
(•pfiulo S •
Dillribol<onde probobilW•dn
,.,,,.ii
247
Exercicios
usamos a ferramenla tecnol6gica para selecionar amostras com
n = 40 a partir da distnbu~o de idade dos Estados Unidos. As medias
de 36 amostras esldo a seguir.
"'~
II'
28,14. 31.56, 36,86. 32,37, 36,12, 39,53, 36.19, 39,02. 35,62.
36.30, 34.36. 32.96. 36,41 , 30.24, 34.19, 44,72, 36,64, 42,67,
36,90. 34,71, 34,13. 38,25, 38,04, 34,07, 39,74, 40.91, 42,63,
35,29, 35,91, 34,36, 36,51, 36,47, 32,68, 37,33, 31.27, 35,80
1. Entre com a dis1tibui<;ao de idades dos Estados Unidos na ferramenta tl!Cl1ol6gica. Use a ferra111e<1ta para encon1tar a idade
mMia nos Estados Unidos.
2. Entre com o conjunto de medias amostrais na ferramenta
tecnol6gica. Encontre a media do conjunto de medias amosuais. Como ela se compara com a idade m~ia nos Estados
Revisao acumulada
Nos exerclcios 2 e 3, use a distribui<;ao de probabclidade para
encontrar.
(a) media;
(b) vari~ncia;
(c) desvio padr~o;
(d) valor esperado da d"istribui¢o de probabilidade;
(e) interpre1e os resultados.
2. A tabela mostra acisuibuii;ao dos tama~das residblcias de famllias nos Estados Unidos em um ano recente.(fotv.o:us Qr>•usB<t'<IJ.)
2
3
4
s
6
7
0.421
0,233
0.202
0,093
0.033
0.017
3. A tabela mostra a distribui<;ao de fa!tas por jogo para um jogador
em um ano recente numa temporada da NBA. (Fonre: NBAcom.)
x
Pl/<)
4.
5. Use a ferramenta tecrol6gica p;ara encontrar o desvio padr~ das
idades das pessoas nos Estados Unidos
6. use a ferrarne11a tecool6gica para encontrar o desvio padr3o do
conjun10 de 36 medias amostrais. Como ela se compara com o
desvio padr•o das idades? Ela concorda com o resul1ado previsto
pelo teorema do limite central?
5.
1. Uma pesquisa com empregados nos Estados Unidos descobriu
que 56% n.\o usam todo o periodo de ferias. Voce sekciona
aleatoriamen1e 30 empregados e pergunta a eles se usam todo o
perfodo de ferias. (Fon!•: Rosn11JSSen Repo1~)
(a) Verifique que a distribui~ao normal pode ser usada para
aproximar a distribtrii;ao binomial.
(b) Encontre a probabilidade de que pelo meoos 14 empregados digam que nao usam 1odo o perfodo de ferias.
(c) £incomum que 14 de 30empregados digam que nao usam
1odo o perlodo de ft!rias? Por que?
P(x}
4. Fa~a o histograma de frequencia rela1iva para as 36 mMas amostrais. Use 9 classes. O his1og1ama tern apro~madamente forma
de sioo e e simetrico? lsso concorda com o resultado previs10
pelo teorema do limite central?
capitulos 3 a 5
Capitu!os 3-5
x
Unidos? Concorda com o resultado previsto pelo teorema do
limite central?
3. As idades das pessoos nos Estados Unidos ~o normalmente distribuidas? Explique.
0
I
2
3
4
s
6
0,012
0.049
0,159
0.256
0,244
0,195
o.oa5
Use a distribui<;ao de probabilidade do Exerclcio 3 para encontrar
a probabilidade de selecionar alea1oriamente um jogo no qua! o
jogador teve (a) menos que quatro fahas, (b) pelo menos tres
fahas e (c) entre 2 e 4 faltas, inclusive.
De um grupo com 16 candida1os, 9 homer'IS e 7 mulheres. os
escri16rios de presidente, vice-presideme, secreiario e tescureiro
ser3o preenchidos. (a) De quantas maneiras diferentes os escrit61ios podem set preenchidos? (b} Qua! a probabifidade de que
todos os quatro escrit6rios sejam preenchidos po< mulheres?
Nos exerdcios de 6 a 11, use aTabela N0<mal Padroo para encon·
trar a ~rea sob a curva normal padl3o.
6.
7.
6.
9.
Aesqueida de z = 1,54.
Aesqueida de z = -3,08.
Adireita de z m -0,84.
Entrez=OezQ3,09.
10. Entre z = -1.22 e z = -0,26.
11. Aesqueida de z = 0,12 ou Adireita de z = 1,72.
12. Seten1a e oito por cen10 dos graduados de faculdades dizem
que passaram 2 anos ou menos em Seti primeilo emprego de
tempo integral ap6s a gradua¢o. Voce seleciona aleatofiamente
10 graduados e pergunta quanto tempo cada um ficou em seu
primeiro emprego de tempo i111egral ap6s a graduai;.lo. Encontre
a probab~idade de que o numero dos que dizem que passaram
menos de 2 a1\0S seja:
(a} exatamente 6.
(b) pelo menos 6.
(c) menos de 6. (F1We: ~1..,:<e.<M•)
13. Um vendedot de ~s de autom6veis descobre que I de cada
200 ~s vendidas tem defeito. Use a distribuii;ao geomeuica
para encon1tar a probabilidade de que (a) a primeira ~ defeituosa seja a decima vendida, (b) a primeita ~ defeituosa seja
a primeira, segunda ou terceira vencida e (c) nenhuma das dez
primeiras p~s vendidas seja defeiruosas.
14. Atabela mos1raosresultadosde uma pesquisa naqual3.186. t00
professores da rede publica e 438.800 prolessores da rede privada foram questionados sobre sua experi~cia no ensino em
tempo integral. (/idoprodot!• vs. Na/JonOIC"1W lot EdvcaiiCJilS sr.mocs)
t1ifi'.'1ddd
Rede pllblica Rede p<ivada
Taul
388.500
106.600
495.100
1,04&000
144900
1.192.900
10 a 20 6"0S
OJJ.3SO
90.300
931.000
20 anos ou m.ais
918.100
89.000
1.007.100
3.188.100
438.800
3.626.900
Menos do '1\1• 3 anos
3a9anos
Total
(a)
~a ptobabidade de que um pdessor de esco1a p<>
vada ~ alea1onamente lenha erure 10 e 20 anos
de ecpeu~ncia.
tema
(b) Dado que um pro!essor sele6oc\ido alta1aiamente
enve 3 e 9 anos de ~ enanre a probabilidade
de que ele ~eia na rede plibia.
(c) Os e.entos ·ser pdessor de rede plibb• e 'ter 20 anos de
ecperiblcia ou imis· sac> deperldentes ou indcpendentes?
t>p!ique.
(d) Encontre a probabilidade de que um professor selecionado
aleatoriamente esteia na rede p(Jblica ou tenha menos de 3
anos de ecperi~ncia.
(e) Encontre a probabrlidade de que um professor selecionado
aleat0ri<lmente tenha de 3 a 9 anos de ecper~ncia ou seja
da rede privada.
15. A press&<> inicial para pneus de bicicletas, quando enchidos pela
primeira vez. enormalmente disttibulda, oom m~ia de 70 libras
porpolegada quadrada (psi) e desvio padr.!o de 1,2 psi.
(a) Amo5tras alea16.'ias de tama"'1o 40 s3o retiradas dessa popula~o e a ~.a de cad.I amosua e detenninada. Use o
teo<ema do fimite central para enconttar a ~.a e o erro
padrao da rneoia da distribui~ amostral Ent3o. fa~ um
gr.!fico da disuilui9\o amosttal das mMas amosttais.
(b) Uma amostra alea16ria de 15 p<1eu5 erenrada dessa populac;ao. Qual a pubobiliddde de que • nlMd do p...ao du>
pneus da amostra, x, seja me'10S do que 69 psi?
16. o let1l>O de vida ti1il <I.I bateria de um cai:ro e nonnalmente ~
IJbido, com rned'ia de 44 meses e desvio pact.lo de 5 meses.
(a) lkna bat~ eselecionada aleatoriamente Encoooe a probabilidaC-e de que a vida UCil <I.I batena seia menos de 36
meses.
(b) uma balt!ria e selecionada aleaulriame111e Encoocie a probabiidade de que a vida id da bateria esleja enue 42 e 60
meses.
(c) Qual a menor ecpec1ativa de vida Util que uma batena de
carro pode ter e ainda esiat nos S'lb mais ahos de ecpeaa11va de vida?
11. um lloris1atem 12 ~<iferinesde fb-es dos~osa"anros
florais podem serfeitos. (a) Se um arTOnjo central for fe~o usando
4 tipos d~erentes de Rores, quantos a"anjos cemrais podem ser
feitos? (b) Qua! a probabilidade de que os arrarjos cenvais de 4
flores sejam de rosas. ge-beras. hon~asias e copos de leite?
18. Quarenta e lITTI po< cento dos adultos dizem que com\)fam o
presente no per1odo de uma semana do e11ento. ~ seleciona
aleatoriamente 20 adultos e pergunta a eles com quanta antecedencia comp<am p<esentes. use a f6.'mula binomial para encontrar a probabilidade de que o numero dos que dizem comp<ar
denuo de uma semana do evento seja (a) ex.itamente 8, (b) pelo
menos 6 e (c) no m~ximo 13. (fOt>lt: Ham>"'' '""•...)
Edifii,IJd§ d
_
1
_ _P_art----;
e
3
[statistica
inferencia I
(apitulo 6 lntervalos de confian(a
(apitulo 7 Testes de hipotese com uma amostra
(apitulo 8 Testes de hipotese com duas amostras
Ed ,e 1naaa
1
Capitulo
16 l
~
]- - - -
lntervalos de confian~a
Para obter a certifica~ao CAFE, o fabricante de autom6veis realiza seu pr6prio teste de dados de economia de
combustive! ou o EPA (Ll11iled Slates £iwiro11111e11tnl Protectio11
Agency) obt~m um vefculo e o testa. 0 EPA testa a m~dia
de economia de combustive! de aproximadamente 30')1, das
linhas de veiculos existentes. Em um ano recente, o EPA testou uma amostra de 18 carros da linha de carros de passeios
de um fabricante de autom6veis. 0 ind ice da mi!dia de economia de combustive! foi de 31, I mil has por gal~o.
Onde estamos
Nos capftulos de I a 5, vod' estudou estatfstica descritiva (como colctar e descrever dados) e probabilidade
(como encontrar probabilidades e analisar distribui~ de
probabilidade discretas e continuas). Os fabricantes de autom6veis usam estatlstica descritiva para analisar os dados
coletados durantes testes de vekulos conduzidos em seus
laborat6rios.
Para onde vamos
Neste capitulo, come<;aremos nossos estudosde estatlstica inferencial - a segu.nda maior ramificai;iio da cstatistica.
Por exemplo, com a mi!dia da amostra da linha de carros de
passeio do fabricante de autom6veis, o EPA pode estimar o
indice mi!dio de economia de comb1tstivel como sendo 31,1
milhas por galao para todn a linha de carros de passeios. Como
essa estimativa consiste de um unico numero representado
por um ponto em uma linha de m1meros, ele ~ chamado de
estimativa pontual. 0 problema de uma estimativa pontual ~
que ela raramente se iguala ao par5metro exato (m~dia, desvio padriio ou propori;iio) de uma populai;iio.
Aqui aprenderemos como fazer estimativas mais significativas especificando um intervalo de valores em uma
linha de numeros juntamente com a afinna\ao de quao confiante voe~ esta de que seu intervalo contem o parametro
populacional. Supon.ha que o EPA queira estar 99% confillnte de sua esti1nativn para o rndice 1n&lio de eronon'lia
de combustive! para toda linha de carros de passeio do fabricante. Aqu.i esta uma vis5o mais geral de como constru.ir
uma estimativa de intervalo.
Encc>ntre a
Encontre os pontos
amos:rrn ale-ar6ria
1nargcm de erro
~=31.1
E=3.0
Esg_ucrdo: 31.1 - 3.0 = 28.1
D1rc11a: 31,1+3.0 = 34,1
Encontrc a nl6:1in da
finais do intcrvalo
Encootrc :1csti1nativa de intcrvalo
28.1 <JI< 34.I
)
I..
(
28.1
"
~(
\
34.1
31.1
!•
29
JO
3.0
31
:t\
3?
~
-"'
3S
~·
3.0
Entao, o EPApode estar 90%confiante de que o Ind ice medio de eoonomia de combustivel para toda linha de autom6veis de passeio do fabricante esta entre 28,1 e 34,1 milhas por galao.
Ed ,e 1naaa
1
m (amostras
lntervalos de
grandes)
(a~tulo6
•
lotflYalo1dt<onf"'1ca
Z51
confian~a para a media
0que voce
deve aprender
Estimando os parametros populacionais--+ lntervalos de confian~a para a media
populacional --+ Tamanho da amostra
I
Estimando os parametros populacionais
Neste caprtulo, vod! aprendera uma importante te01ica de infe~ncia estatistica -
usar amostras estatfsticas para estimar o valor de um pariimetro populacional desconhecido. Nesta ~iio, voce aprendera como usar amostras estatisticas para fazer a estimativa do patilmetro populacional /t quando o tamanho da amostra for pelo menos 30
ou quando a popula~aoe normalmente distribufda e odesvio qe conhecido. Para fazer
t<il inforencia, comece cnoontrando o ponto de uma estimativa pontual.
• Como encootrar uma estimativa
pontual e uma margemde erro.
• Como const111ir einterpretar inter·
vales de conli<1111a para a meoo
populacional
• Como dEtermillar o tamanho m~
nimoda amos1ra necess.lria quando na estimativa de 11.•
efinicao
Uma estimativa pontual eumvalor unico estimado para um parametro populacional. Aestima·
tiva pontual menos tendenciosa de uma media populacional ,, ea media amostral ii.
A validade de um metodo de estimativa aumcnta se uma amostra estatfstica nao
for tendenciooa e liver baixa variabilidade. Uma estatistica nllo etendenciosa se nao supe~ima ou subestimn o parfunetro populacional. No Capftulo5, aprendemos que a media
de todas as n1~ias amostrais possfveis de n1csmos ttin1anhos se iguala ~ nu1dia po·
pulacional. Como resultado, :i' e um estimador nao tendencioso de 11. Quando o erro
padr~o, u/.{,;, de uma media amostral (or reduzindo aumentando-se 11, ele se torna
111enos vari<ivcl.
Exemplo
m
Encontrando uma estimativa pontual
Pesquisadores de mercado us.1111 o mlmero de frases por anuncio como medida
de legibilidade de an(mcios de revistas. Aseguir, representamos uma amostra aleat6ria do numero de frases e.nconlrado em SO aniincios. Encontre a estimaliva pontuaJ da
nl~dia populacional /J. Cfw1tc•: /(lf1nr11f ~fAlfi\tft.t•il"i: R1tqt1rcJr.)
9 20 18 16 9 9 11 13 22 16 5 18 6 6 5 12 25
17 23 7 10 9 10 10 5 11 18 18 9 9 17 13 11 7
14 6 11 12 11 6 12 14 11 9 18 12 12 17 II 20
So/rtpfo
A media amostral dos dados e:
_ l:x 620
x=-
=-
Ir
50
Dados da amostra
= 12,4.
Entiio, a estimativa pontual para 0 oomprimento da media de todos OS anuncios
de revista e 12,4 frases.
Outra amostra aleat6ria do numero de frases enoontrado em 30 anuncios de
revistas e listada ~ direita. Use essa amostra para encontrar outra estinlativa
pontual para 11.
Numero de frases
16
9
14
1l
17
12
99
18
13
12
5
9
17
6
ti
17
20
6
14
7
l1
18
12
5
It
18
6
4
13
12
Ed ,e 1naaa
1
252 •
Uldlbti<a aplitada
a. E11co11fre a media amostral.
b. Estime o oomprimento da media de frases da populaylo.
No Exemplo l, a probabilidade de que a media populacional seja exatamente
12,4 e praticamente zero. Entao, em vez de estimar I' oomo sendo exatamente 12,4
usando uma estimativa pontual, voce pode estimar que 11 esla em um i11tervnlo. lsso se
chamafazer 11111a estimntiva i11tervalnr.
efinkao
Uma estimativa intervalar e um inteivalo, ou amplilUde de valores, usado para estimar um
parametro populacional.
Embora pl)SSamOS assumir que a estimativa pontual do Exemplo 1 nii() seja igual
populai;.'io, provavelmente esta muito pr6xima a ela. Para formar uma
estimativa intervalar, use a estimativa pontual oomo centro do intervalo e depois adicione e subtraia a margem de erro. Por exemplo, sea margem de erro for 2,1, entao
uma estimativa intervalar seria dada por 12,4 ± 2,1ou10,3 < 1• < 14,5. A estimativa
pontual ea estimativa intervalar estao a seguir:
~ media real da
Estimativa intervalar
EstinHuiva
po1nual
.'i= 12.4
Extrcn10
csqucr<lo
10.'.l,
I
9
i'o (
I
II
I
ll
'
I
13
Extrcano
direito
/ 14_'5
i
14
)
15
16
.•
Antes de enoontrar a margem de erro para uma estimativa intervalar, devemos
primeiro determinnr quao confiante voce estara de que sua estin1ativa intervaJar con·
tenha a media populacional I'·
efi nicao
0 nfvel de confian~a c e a probabilidade de que o intervalo estimado contenha o parametro
population al.
V~ sabe,
pelo teorema do limite central, que quand-0 11 ~ 30, a distribui<;ao de
amostragem das medias amostrais e uma distribui<;ao normal. 0 nivel de confiano;a c
e a ~rea sob a curva normal padrao entre os valores critico-s, -z, e z, Podemos ver no
grafico que c ea porcentagem da Mea sob a curva normal oentre -z, e z,. A area remanescente e1 - c, enlao a area em cada cauda e ~(I - c). Por exemplo, sec = 90%, entao
5%da area esta aesquerda de-z, = 1,645 e 5%esta adireita de z, = 1,645.
Ed ,e 1naaa
1
-
I
Sec = 90%
c = 0,90
Area na regi~o central (em cin7.a)
l -c = 0, 10
Area nas regiOcs c.xtn."'fl1as (en1 branco)
Dica de estudo
Neste curso, usaremos nor-
rnaltnente nfveis de \."QnJian-
Area en1 cada cauda
-z, = -1,645
~ de 90%, 95% e 99%. Os
z-escores correspondentes a
esses nlveis·de confian~a est~o aseguir:
Nfvel de confian~a z,
1,645
90%
1,96
95%
Valor cnliro scparando a cauda t'S<}ucrda
Valor critiro scparJndo a c-auda direita
A dileren~a entre a estimativa pontual e o valor real do parnmelro e chamada
de erro de amostragem. Quando 1• e estimado, o erro de amostragem ea diferen~a
de x - I'· Na maioria dos casos, e claro, I' e desconhetido e x varia de amostra para
amostra. Entretanto, voce pode calcular o valor maximo para o erro se soubcr o nivel
de confian~a ea distribui¢o de amostragem.
lmportante
efini(iio
Os valores cn'ticos sao valores
que separam amostras esta·
lls!icas que s.io provaveis das
amostras eslatlsticas que sao
improv6veis ou incomuns.
Dado o nivel de confiam;a c, a margem de erro (as vezes chamada tambem de erro mi\ximo
da estimativa ou tolerancia de erro) Eea maior dist<lncia possivel entre o ponto de estimativa e
o valor do parametro que est<\ estimando.
Ee
z cq i
0
=z,Tn
Para usar essa tecnica, assumimos que o desvio padrao da amostra e conhecido. Esse caso e
raro, mas quando n <: 30, o desvio padrao da amostra s pode ser usado no lugar de o.
Exemplo
m
Encontrando a marqem de erro
Use os dados do Exemplo 1 e um nfvel de confian~a de 95% para encontrar a
margem de erro para a media do numero de frases em todos OS anuncios de revistas.
Assuma que o desvio padrao da amostra seja de aproximadamente 5,0.
Sol11plo
0 z-escore que corresponde ao nfvel de confian~a de 95% e1,%. lsso implica que 95%
da area sob a curva normal padrao esta dentro de 1,% desvios padrao da media. (Voce
pode aproximar a dislribui\iio das medias amostrais com uma curva normal por meio
do teorema do Ii mite central, pois /1 = 50 <: 30.) Voce 0<~0 sabe o desvio padrao o, mas
porque ;:: 30, voce pode usar s no lugar de o.
2,575
99%
I
Retratando o mundo
Muitos investidores escolhem
fundos mutuos oomo uma
1naneira de investir enl a<;Qes.
A media do fndire anual de
retomo para fundos mutuos
em um ano recente foi estima·
da reti.rando-se uma a•nostra
aleat6ria de 44 fundos mutu·
os. A media do indice anual
de retomo para a amostra foi
de t4,73%, com desvio padrao
de 7,23/o. (ft>1J1i:-: A"1rl.tlt('Q(tlr.1Jt<.)
I
Us.:1ndo os valores z, = 1,%,
u~s~S.Oe11 = 50.
E=
z,...,..
"
"" s,o
,,.,1,96 ·
~ 1, 4
3
9
1$ 21 2i 33
i1\dicc de rcton'\O (%)
../50
0,025
0.Q25
-z.c.. = -l.96
z=O
z, = 1.96
Parn
11111
i11te1wlo rle co1rfia11ra
de :95%, qua/ scria a margem de
porn a 111Min pnp11/ncio11al
""°
do fudice. tie retorrro?
Ed ,e 1naaa
1
254 •
C>"tlsti<aapllc.da
Dica de estudo
Lembre-se de que voce pode
ralcular o desvio padriio s da
TuterprelnfiiO
Voce esM 95%, confiante de que a margem deerro para a media populacional ~de aproximada1nente 1,4 frases.
arnostra usando a (6rmula:
s-
E(.t-x)'
11- l
"2
'
ou a f6rmula de atalho:
s
te
voc6
Ex'- (Ex)' /11
11- l
Bntretanto, a maneira mais
conveniente para enoontrar
o desvio padrao da amostra ~
usar a funi;llo 1-Vnr Stnts em
11ma calculadora gnlfica.
Use os dados fornecidos no l"ente voce 1 e urn nivel de confiaru;a de 95% para
enoontrar a margem de erro para o numero m~io de frases em um anundo
de revista.
a. lrle11tifiq11e z., 11 es.
E11co11/re £ usando z., ""' s e 11.
b.
c. Eslnbele{n a margem de erro.
I
lntervalos de confian'a para a media populacional
Usando uma estimativa pontual ea margem de erro, voce pode construir uma
cstimativa intervalar de um par~metro populacional tal como µ.Essa estimativa intervalar echamada de intervalo de oonfian~a.
Dica de estudo
--~~~~~~~~~
Quando voct! calcula um intervalo de oonfian<;a ,para uma
m~dia populacional, a regra
geral de arredondamento ~
arredondar para o mesmo
mumero de casas decimais da
m~ia da amostra.
Lembre-sedequeoarredondamento efeito no ultimo passo.
Um intervalo de confian<;a c para a media populadonal 1• e:
x-E < 1• <x + E.
A probabilidade de que o intervalo de confian~a contenha 11 e c.
lnstru~oes
Encontrando um interva!o de confianca para a media populaclonal
(n ;::: 30 ou ere conhecido como uma popu!acao normalmente distribuida)
Em palavras
Em sfmbolos
_ Ex
1. Encontre a estatistica amostral 11 ex.
x= -
2. Especifique a, se for oonhecido. Casooon-
s
trario, encontre o desvio padrao amostral
s e use-<> oomo uma estimativa para a.
3, E.ncontrc
0
volor critico
Z< <)UC OOrt'C$-
ponda ao nfvel de confian\a dado.
4. Enoontre a margem de erro E.
5.
11
E(x- x)'
11- l
Use aTabela Normal Padrao ou tecnologia.
E-z -
q
- ' ..r,,
Extremo esquerdo: 1' - E
Encontre os extremos esquerdo e direito e forme o intervalo de oonfian¥1.
Extremo direito: x+ E
lntervalo:x - E < I'< x+ E
Exemplo CD
·"~
Ver os passos MINITAB na
p.290.
Construindo um intervalo de confiania
Construa um intervalo de confian\a de 95% para a media do numero de frases
em lodos os an(u1dos de revista.
Ed ,e 1naaa
1
Capfi•I• i;.
So/11fiio
Nos exemplos I e 2, voee descobriu que x= 12,4 e £ = 1,4. 0 intervalo de confian~a
l>st~ a seguir:
LJ:trtt1f'<J dirnht
x-E = 12,4-1,4 = 11,0
c;<
10
x+ E = J2,4 + 1,4 = 13,8.
,,
< 13,8 ~
11.0
1?4
13.8
(
II
! -·
12
ll
)
I~
lmportante
de 95% para a media do m1mero de frases em todos os amincios das
revistas. Compare seu resullado com o inte.rvalo encontrado no Exemplo 3.
a. E11co11tre xe £.
b. £11co11tre os extremos esquerdo e direito do intervalo de confian"'.
c. E.<tabe/Cfa o intervalo de confian"1de95%e compare com o Exemplo 3.
Re-;1)f)St11 ,,,, p. A42
Exemplo [}]_
4______________
Construindo um intervalo de confianta usando a tecnologia
Use a tecnologia para construir um intervalo de confian\a de 99% para o numero
todos os anuncios de revistas, usando a amostra do Exemplo 1.
m~dio de frases em
So/11pio
Para usar a ferramenta tecnol6gica para resolver o problema, coloque os dados elem·
bre·sede que o desvio padrao da amostra ~ s:::: 5,0. Entao, use o comando de intervalo
de confian~a para cakular o intervalo de confian~a (I-Sample Z para o MINITAB). 0
monitor deve se parecer com o mostrado a seguir. Para construir um intervalo de con·
f:ian~a usando uma Tl-83/84, siga as instruc;oes da margem.
l
Z Confidence Intervals
The assumed sigma = 5
Variable
12,4 ± 1,4,
~1~~~~~~~~~~
fian~a
C1
Outras maneiras de represen·
tar um intervalo de confian~a
s.io(X- t, x + t) ex :I: t. l'or
exemplo, no Exemplo 3, voe~
poderia escrever o intervalo
de oonfian"' como (11,0, 13,8)
IS
Tente Use os dados fomecidos no lente v~ 1 para construir um intervalo de con-
MINITAB
ZS 5
Dica de estudo
OU
Com 95%de confian~a, voe~ pode dizer que a media populacional do numero de frases estll entre 11,0 e 13,S.
3
lateiv•l•1 drnaRonco
·'
Juterprelafiio
vod
•
N
50
Mean
12.4
StOev
SE Mean
99.0% Cixc
5.010
0.709
(10.579, 14.221 )
Ent5o, um intervalode confian~a de 99<Y,, para 11 e (10,6, 14,2).
J11terpretafiio
Com 99%de confian~a, voce pode dizer que a media populacional do numero de fra·
ses estaentre 10,6 e 14,2.
Tente Use os dados da amostra do Exemplo 1 ea (erramenta tecnol6gica para cons.oce truir intervalos de coniian~ de 75%, 85%e99% para o mimero medio de frases
4 em todos os anuncios de revistas. Como a largura dos intervalos de confian~a
mud a conforme o nfvel de confian~a aumenta?
A amplitude de um intervalo
de confian\11 e 2E. Examine a
f6nnula para £ para ver porque uma amostra maior tende
a lhe fomecer um intervalo de
confian"' mais estreito para
o mesmo nlvel de confian\<).
Dica de estudo
~1~~~~~~~~~~
Usando uma Tl-83/84, voee
po.de entrar com os dados
ori.ginais e1n uma lista para
construir o intervalo de con·
fian~ ou entrar as estatisti·
cas descritivas.
lsrArl
Esc:olha o menu TESrS
7:Zlnterval ...
Se.~ecione a o~ de entrada
de dados se voce entroll com
os dados originais. Selecione
a entrada Stats se voe@ entrou
com as estatfsticas deso-itivas. Em cada caso. coloque
os valores apropriados, entao
sel«ione Cnlc11/nte. Seus re·
sultados podem diferir !eve·
mente dependendo do metodo usado. Para o Exemplo 4,
os valores originais de dados
foram colocados.
Zint.erva l
<10.579, 14.221>
x=1 2.4
Sx=S. 010 193691
n=50
Ed ,e 1naaa
1
a. E11tre os dados.
b. Lise o comando apropriado para construir cada inlervalo de confiai\~a.
c. Compnre as larguras dos intervalos de confiano;a para c = 0.75, 0,85 e 0,99.
RNpn:>ln 1111 p. A42
No Exemplo 4 e no Tenle vo~ 4, os mesmos dados amostrais foram usados para
construir intervalos de confian~a com nfveis de confiano;a di.ferentes. Note que, conforme o nivel de confiano;a aumenta, a largura do intervalo de confian(a tamtx!m aumen·
t-a. Em outras palavras, quando os mesmos dados de arnostra Scio usados, q11n11to tuaior
o 11fve/ de ro11fin11(n, 111nis lnrgo eo i11teroolo.
Se a popula~ for normalmente distribufda e o desvio padrao populacional u
for conheddo, v~ pode usar a distribui<;iio de amostragem normal para qualquer
tamanho de amostra, como mostrado no Exemplo5.
Exemplo
'l
Veja os passos Tl-83/84 na
p.290.
m
Conslluindo um intervalo de confiania, a conhecido
0 diretor de admissao de uma faculdade deseja estimar a idade media de todos
os estudantes matriculados. Em uma amostra aleat6ria de 20 estudantes, a idade media encontrada e22,9 anos. Baseado em estudos anteriores, o desvio padrao conhecido
e1,5 anose a popula~ao enormalmente distribufda. Construa um intervalo de confian\a de 90% para a media de idade da popula~o.
SolufliO
Usando /1 = 20, x= 22,9, u = 1,5 e :i:, = 1,645, a margem de erro no intervalo de con·
fian<;a de 90% e:
E= z, ';- =1,645· ~ ..o.6.
""
v20
0 inlervalo deconfian\a de 90% pode ser escrito comox ± £ = 22,9 ± 0,6 ou como
a seguir:
x- E= 22,9-0,6 = 22,3
c 22.; < JI
x+ E = 22,9 + 0,6 = 23,5
<23,5~
E.stin1i\tiva pontual
x= 22.9
22.'.l,
2?.S
23J)
,235
235
lltterpretnflio
Com 90')1, de confian\a, v~ pode dizer que a m~dia de todas as idades de todos os
estudantes est~ entre 22,3 e 23,5 anos.
Construa um intervalo de confian~a de 90')1, da mt!dia de idade da popula\ao
wet para os estudantes de faculdade do Exemplo 5 se o tamanho da amostra for
5 aumentado para 30 estudantes. Compare suas respostas com o Exemplo 5.
Tente
a. lde11tiftq11e 11, x, "e z, e e11co11tre E..
b. E11co11tre os extremos esquerdo e direito do iiuervalo de confiano;a.
c. Especijiq11e o intervalo de 001man<;.1de90% e compare sua resposta com o Exemplo 5.
R('!f~ln ua 11.
A-11
Ed ,e 1naaa
1
(apltulo6
•
lntmalo1dtconfia~a
257
Oepois de construir um intervalo de confian\a, eimportante que v~ interprete
os resultados corretamente. Considere o intervalo de confian~ de 90% construfdo no
Exemplo 5. Oevidoao fatode 1• ja existir, ele esta no intervalo ou 11<~0 esta. N/fo e correto dizer "Ha uma probabilidade de 90% de que a media real esteja no intervalo (22,3,
23,5)". ;\ m~_neirn correta de interpret.-.r set• interv~lo de confinn~<" f! "Se tnn n(iniero
grande de amostras for coletado e o intervalo de confian\a for criado para cada amosITa, aproximadamente 90% desses intervalos conterao 11".
I
Tamanho da amostra
Para a mcsma amostra estatistica, conforme o nivel de confian~a aument.1, o in·
lervalo de confian\a fica mais largo. Conforme o intervalo de confiany1 fica ma.is largo, a precisao da cstin1ativa decres<:e. Uma maneira de aumentar a preciSc1o de un1a
estimativa sem decreS<:er o nfvel de confian~a eaumentar o tamanho da amostra. Mas,
qua! tamanho de amostra necess.-\rio para garantir certo nfvel de confian\a para uma
margem de erro dada?
ciJ!contre o tamanho minimo de amostra para estimar µ,
Dado o nlvel de confiant;a c e uma margem de erro E, o tamanho mfnimo da amostra n necessario para estimar a media populacional ,, e:
Seq for desconhecido, voce pode eslima·lo usando s, dado que voce tenha uma amostra preli·
minar com pelo menos 30 membros.
11
Os seg111e11tos l10rizo11lnis represe11tn111 os iutervnlos de co11fin11(11 tie
90% prim tlifi>reutes n1110Slrt1$ tie 111es1110 tm11n11lw. No fi1U1f tins amtns, 9 tie
cntln W tie tnis i11lt'l1Jfllos coulerffo µ.
lmportante
•Usando a f6rmula para a
mamem de erro E, voce pode
derivar 11 como mostrado a
seguir:
Exemplo [61_
6_,..__ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __
Determinando umtamanho minimo de amostra
Voe<! quer estimar o m1mero medio de frases em anuncios de revista. Quantos
anUncios de revista devem ser incluidos na an1ostra se voce qut.~ estnr 95~, confiante
de que a media amostral esteja dentro de uma frase da media populacional?
Soluriio
Usando c = 0,95, z, = 1,96, 11'" s '"5,0 (do Exemplo 2) e E= t, voce pode encontrar o
tamanho mfnimo de amostra 11:
Quando necesscirio, arredonde para obter um nU1nero inteiro. Entlio, voce deve
induir pelo menos '11 anuncios de revista em sua amostr11.
Iuterpretnriio
Voce j~ tem 50, entao v~ precisa de mais 47. Note que '11eonumero111f11i1110 de anuncios de revista para serem inclufdos na amostra. Voce pode incluir, caso queira.
Quantos anuncios de revista devem ser inclufdos na amostra se voce quiser estar 95%confiante de que a media amostral esM dentro de duas frases da mMia
6 populacional? Compare sua resposla com o Exemplo 6.
a. ldeutijique z, Ee s.
b. Lise z<. Ee u;:::: s para encontrar o tan1anho mlnin10 de an1ostra JJ.
c. Espt'Cijique quantos anuncios de revista devem ser incluidos na amostra e compare
sua resposta com o Exemplo 6.
Tente
vod
lmportante
Quando necessario, arredonde para obter um ntlmero inteiro quando determinar um
tamanho minimo de amostra.
Ed ,e 1naaa
1
Z58 •
iiji
(lt41f\1i<uplicadi
Exercicios
Constroindo habilidades basicas e conceltos
QUdncJo otillldl1Kb UllkS 111(.-d'so poj)Ulacioildl, l~HIO:> Cl p1ol>dbili·
dade de estar mais corretos se usarmos ll'na estimativa pontual
ou intervalar? El<plique seu raciocinio.
2. Qua! estatfstica e um estimador menos tendencioso para 11?
(a)s
(b)i
(c)ameefiana (d)amoda
3. Dada a mesma estatfstica amostrat que nivel de confianCil produ·
iiria o intervalo de confianCil mais largo? El<plique
(a) 90'l'o
(b) 95%
(c) 98%
(d) 99%
4. Quale o efeito na largura do intemlo de confianr;a quando au·
mentamos o tamanho da amostra? Explique.
(a) a largura aumenta (b) a largura diminui (c) nao h~ efeito
I.
Nos exercfdosde 5 a 8. encontre o valor criticoz" necess.lrio para
formar um intervalo de coofia~ no nivel de confia~ dado.
5. C= 0,80.
6. c=0,85.
7. c = 0,75.
8. c = 0,97.
Analise grafica
Nos exercidos de 9 a 14, use os val0<es no ntime<o de linha para
encontrar o erro de amostragem.
9.
J
=3,8
/I
=4,27
-+-+--o--+--1-......- , _ , ,
J ..a lk .l,3 4J) 4.2 ..i..t 4.6
10.
/I
= 8,76
-+-0!--+--+--1-.+-!-,_,,
8.6 s..s 9.0 9.2 9.4 9.6 9.S
11.
X-= 26.43
J' :. 24,67
--+-f<~ .T
?5
24
26
27
12.
:i' =46,56 11=48.12
,,
13.
x=0.1 JI= 1,3
OD
14.
O.>
ID
u
.t
'°
:i'=86.4
/I= 80.9
I I I I t• I I
-i-•
w
$~
84
"6
.t
113
Nos exerdcios de 15 a 18. encontre a margem de e<ro para o
valor de c, n es dados:
15. C= 0,90
n = 36
s = 2.S
16. c = 0,95
S = 3,0
17. C: 0,80
S = 1,3
n = 75
18. c = 0,975
S= 4,6
n = 100
Relacione
sua
Nos exerdcios de 19 a 22, telacione o nivel de coofianr;a c com
na linha de numeros, dado ii = 57,2, s a 7, I e
representa~o
n = SO.
19. c = 0,88.
20. c = 0.90.
21. c = 0,95.
22. ' = 0,98.
(a)
54.9
54
I
S5
Sii
(b)
552
~
(c)
I
Sii
55.6
( I.
I
(d)
" ''
Sii
55.5
,.
(;
55
I
)•
"
Sii
"
1)
59
:IS
x
60
58.8
)
59
"'!
60
58.9
57.2
:IS
59
·'
..
)
f•
"
(,0
59.2
57.2
"
)-+--x
59
:IS
57.2
1(
" "
59.5
57.2
(
"°
Nos exerdcios de 23 a 26, construa o intervalo de confia"Cil indi·
cado para a media populaciooal 11. Se for conveniente, use a tecnologia
para co.istruit o intervalo de confianr;a.
23. c =0,90
' = 15,2
s = 2,0
24. c=0,95
x= 31,39 s =0,8
25. c = 0,95
i • 4,27
n m 42
s = 0.3
26. C= 0.99
ii = 13,5
s = 1,5
n = 100
Nos exerdcios de 27 a 30, use o intervalo de confianta dado para
encontrar a margem de erro ea mMa amostral.
27. (0,264, 0,494).
28. (3, 144, 3,176).
29. ( 1,71, 2,05).
30. (21,61, 30,15).
Nos exerdcios de 31 a 34, eocontre o tamanho minimoda amos·
tra n necessArio para estimar 11 para os val0<es dados de c. s e f.
3 1. C=0,90
S=6.8
E= I
32. c = 0,95
s = 2,5
E' = I
33. C• 0,80
S • 4,1
E• 2
34. C: 0,98
E= 2
S= 10,I
Usando e interpretando conceitos
Encontrando a margem de eno
Nos exerdcios 35 e 36, use o inte<valo de confia~ dado para encontrar amargem de erro estimada. Eniao, encontre a meoia amostral
35. Mudas Um bi61ogo repotta um intervalo de coofianr;a de (2, I,
3,5) quando estlmou a altura media (em ce11Ume1ros) de uma
amostra de muda~
36. Pre~o dos livros Um gereme de loja repor1a um intervalo de
confianr;a de ( 44,07, 80,97) quando eslimou o pr~ meoio (em
d61ares) de uma amowa de livros.
(1p!1ulo 6
Construindo intervalos de confian~a
•
lnt!l'lllo> d1<0nli1<1<1
2S9
Construindo intervalos de <0nfian~
Nos exerdcios de 37 a 40, ~ sabe a mt!dia amostral e o desvio
P<1dra<> da amosua. Use !SSa inl~o p.ira cons1ruif os in1e1Valos
de confia~ de 90'M> e 95'lb p.ira a mMt populacional. Qual oner·
f\'os exerdcios 51 e 52, use a infor~o dada p.ira C011$lruir os
inlervalos de confian>a de 90Clb e 99'!b para a media popWciooal
Qual in1ervalo emais largo? Se for oonvenieme. use a tecnologia p.ira
vek> ~ mats kwgo? Se for corrvcn1ente. use • 1eadog.ao pore construir
co~wir ~ inteeva~ de confiJ.~
i11emlos de confia~.
37. Churrasqueira a gis Uma amosua alealclria de 32 dur.squeiras a i&S rem mt!dia de p<e(O de S 630,90 e desvio p.idiao de
51. Tempo de leitura de jornal Ume6torquerestirnar a mMt do
1empo (em mmr.os) que 1odos os ad!Atos passam lendoo JOCNL
Para detemWiar essa eslimativa, o e<foor re.ita 1.m1 amowa alea·
rma de 15 pessoas e oblem o resullaoo a seg<.w.
38. Pre(O de a¢es De 1.m1 "'10Slra de 35 cias em ""ano recente, o pre(O de fe<hamen10 das ~Oes da Hasbro tern mt!dia de
11. 9, 8, 10, 10, 9. 7. 11, 11, 7. 6. 9, 10, 8, 10.
Baseado em estudos artteriores, o edtor assune" como 1.5 rri-
s 56,70.
S 23.20 e desvio p.idQo de S 4,34.
39. Bebidas a base de suco Uma amowa aleatdna de 31 doses
de 000 00(.aS de bebidas abase de dderenttS sucos tern ~
de 99.3 G1lonas e desvio p.Jdt:lo de 41,5 Glk>Ns. .. ·
11
' I
40.
Ill
Concentra~ de doreto de s6dio Em 36 amostras selecionadas aleatoriamente de igw do mar, a m~ia da concentra~o
de dore10 de s6<fio era de 23 an>/m' e o desvio p.idr~o era de
6,7 cm"/ml. Go4,
••
...
D>rl 1 1.
7 ~
'f' '}Ci+""'->
Custos de reparos: mAquinas de lavar Voce 1rabalha p.ira uma
de defesa do consumidor e (JJer enconlfar a ~ de
cus10 de reparos de m'quira de lavar. Uicno parte de seu eSl\Jdo,
voce seleciona alea1oriamenre 40 cuslos de reparos e descoli<e
que a media e S 120. o desvio p.idr:lo da amosua e S 17,50.
Cons1rua um intervalo de confiani;a de 95% para a mMia do
cus10 de reparos da popu~o. (Nkplodo df co''"'"'" Rep<Xt<)
42. Custos de reparos: refrigeradores Em uma amostra alea16ria
de 60 refrigeradores. a m~ia de cuslos de reparos ede S 150
e o desvio p.idroo ede S 15,50. Consuu.i um iniervalo de con·
fia~ de 99% para a media de cus1os de reparos da popula<;ao.
ruos e que a poprfal;ao dos 1empos enoonalmenle disutulda.
52. Uso do computador Una emp<esa de comptiadores quer
estimar o ra'.mero medio de horas ~nas que lodos os adiAos
usam o compuiador em casa. Em uma ilmO!lla aleatclria de 21
adl.11os. a mo!d'ia de lempo <1tJe um computador e usado em
casa era de 1,7 horas. Baseado em estudos an1eaores. a emjltesa ass.roe " como 0,6 ho1a1 e que a popul~o dos 1empos e
normalmeole disvibulda.
.'lar """A>
• b .,, &
""*"'* '*
lfy .JI E<Mcocn.)
41.
ag~
(Mopfalo fi'
L )()SUIT ef ~ "''-)
Repi1a o Exerdoo 41, mudando o tamanho da amostra para
n = 80. Que in1ervalo de conf~ emais largo7 Exphque.
44. Repl1a o Exerdoo 42, mudando o tamanho da amostra p.ira
n = 40. Que in1ervalo de oonfian(I e mais largo? Exphque.
4 5. Tempo de nala~ Uma amostra alealclria de 48 nadadores
de 200 meuos tem "" tempo ~'° de 3, 12 minutos e desvio
p.Jdt:lo de 0,09 minulos. Consuua "" r>tervalo de conlia~ de
9~ para 0 tempo mMo da popo rla(.ao
4 6. H<lleis Uma amosua aleal6na de 61 quanos de hotel com 1.m1
Oelermine o tamanho mi<1imo da amos1ra neces~rio se voce
quiser esl.!r 95% confian1e de que a ~ia amostral esteja uma
unid.lde da media populacional dada " = 4,8. Assuma que a
popul~o enormalmeme distribu!da.
54. Determine o tamanho mfnimo de amostra se voce quise< es1ar
99% confiame de que a media amostral es~ den1ro de du.is uni·
dades da media populacional <I.ado o = 1,4. Assuma a popula~
como sendo normalmenre dis1ribukfa.
53.
55. Conte~do de cofesterol em queijo Uma etnJl'esa de processamento de queijos quer estimar a media do comelldo de coles-
lerol de todas as por¢es de uma oni;a de que1jo. A estimaliva
deve estar dentro de 0,5 miligramas da media populacionll.
(a) Determine o tamanho mirimo de amostra neces~rio p.ira
conswir um inlervalo de confiani;a de 95<!b para a mt!da populacional Assl.ma o desvio populacional de 2,8 migramas.
(b) Repita a p.JJte (a) usando um in1ervalodeconfia~ de 99'lb.
4 3.
Unic:o como cm ~ no Anzono, tcm mb:tio de cust0 de
S 107,05 e desvio padrao de S 28,10. Consuua um i1lervalo de
conlianc;a de 99'lb para o custo mMo da popo1iac;ao
47. Repira o Exetdcio 45, usando o desvio p.Jdtao des = o.06 miru-
tos. QJaJ rwvalo de confianc;a emaos largo? Explique.
48. Repila o Exe<doo 46, usando o desvio p.Jdt:lo des a S 32,50.
QJaJ intervalo de confia~ e mais largo? Expliqtie.
49. Se todas as owas quaruidades conunuarem as mesmas. como a
muda~ indicada afe1a a largura do 1n1ervalo de confia~?
(a) Alrnente o nivel de confia~.
(b) AOOlellte o 1amanho da amostra.
(c) AOOlellte o desvio p.Jdtoo.
50. Oescreva como voce formaria um inlervalo de confianc;a para
est1mar a idade media populacional p.ira os es1udames de S<ta
escola.
(c) Qual <Wei de ~ requer "" tamanho de amostra
. ><
.......
maior
• ...,....~
~
56.
ldade dos estudantes unive~~rios tn 6re1or de admissOes
quer estinar aidade ~ de loOOs os esiudantes matnculados
na oorldade A estinatr... deve estar denuo de 1 ano da mecia
popt rlacional Assl.rna que a popu~ de idades enorm.ilmence
<istribuida.
(a) Determine o tama.1ho mirimo de amosua neass.ltlO para
construif um intervalo de conliani;a de 9<l'lb para a media
populacional. Assuma o desvio p.idQo da ~ como
1,2 anos.
(b) Repila a p.irte (a) usando um inrervalo de confia~ de 99'
(c) Ottal niv<!I de corifi.lnc;a 1equer um maior tamanho de amos·
tta7Expliqtre.
57. Volume de latas de linlas Um fabricante de tin1as usa uma
~quina para ~ galOes de tinta (veja a figttra a seguir).
Tolerancia de erro = 0,25 on1as
Ed ,e 1naaa
1
Tinta para
Exteriores
(a) 0 fab<icante quer es(imar o volume medio de tinta que a
maquina es1A colocando nas latas dentro de 0,25 oni;as.
Determ•1e o tamanho mfnimo de amoSlfa necessario para
construir um intervalo de confiani;a de 90% para a meefia
poptAacional. Assuma que 0 desvio padrao populaciooal e
de 0,85 oni;as.
(b) Repita a parte (a) usando uma toler~ia de e<ro de 0,15
oni;as. Qual t~ancia de erro requer maior 1<manho de
amostra? Explique.
58. MAquina de distribui<;ao de agua Uma industria de bebidas
usa uma mAquina para encher garrafas de um litro de ~gua (veja
a figura). Assuma que a popula<;ao de volumes e normalmente
distribuida.
Tolerancia de erro = 1 ml.
de confian<;a de 90% para a media da popula~o. Assuma
que o desvio padrao da popula~o seja de 0, 15 mil.
(b) Repitaaparte(a) usandouma tolerancia deerrode0,02125
mi. Que tolerancia de erro requer um lamanho maior de
amostra? El'l>lique.
61. Bolas de futebol Um fabricante de bolas de futebol quer esM>ar
a circunferencia media de bolas de futebol clewode 0, 1 polegada.
(a) Determine o tamanho mfnimo de amoSlra necess.lrio para
construir um •1tervalo de co.1fiani;a de 99% para a media da
popula<;ao. Assuma que o desvio padrao populacional seja
de 0.25 polegada.
(b) Repita a parte (a) usando um desvio padraode 0,3 polegadas. Que desvio padr~o requer um maiortamanho de amostra? Explique.
62. Minibolas de futebol Um fabti<:ante de bolas de futebol quer
estimar a circunferenc.ia media de minibolas de futebol dentto de
0, 15 polegada.
(a) Determine o tamanho mfnimo de amowa necess.lrio para
construit um ouervalo de co.1Jiani;a de 99% para a media da
popula~o. Assuma que o desvio padoo populacional seja
de 0,20 polegadas.
(b) Repna a parte (a) usaodo um des.io padrao de 0,10 polegadas. Que desvio padr.Jo requer um mai0< tamanho de
amostra? Explique.
63. Se todas as outras quantidades se mantiverem as mesrnas. como
a mudani;a indicada aleta a necessidade de tamanho minimo de
amostra?
(a) Aumente o nfvel de confianya.
(b) Aumente a tolerancia de erro.
(c) Aumente o desvio padrao.
(a) Aempresa quer estimarovolume mediodeAgua que a mA· 64. Quando estimamos a media populacionaL po< que M<l consuuir
quina coloca nas garrafas dentro de 1 mililnro. Determine o
um intervalo de cooia1)\2 de 99% todas as vezes?
tamanho minimode amoS!ra necess.lrio para construir um in·
Usando a tecnologia
tervalodeco.'iliall\2de95'!0paraamediadapopula\AQ.Assu·
Nos e.ercicios de 65a68,~1em os dados da amostra. use
maodesviopadraodapopulat;.locomosendode3milaitros. uma ferramenta tecnol6gica para consuuir um intervalo de confiani;a
(b) Repita a parte (a) usando uma tolerancia de erro de 2 mi iUde 95% para a media da popula<;ao. l111terpre1e sua resposta.
Uos. Qu~ tolerancia de erro requer maior tamanho de amos· ,,:~65. Tarifac;.lo Uma affiQSlra alea16ria dosp<~ das tarilas a&eas (em
tra? Expl1que.
d<l!ares) para a passagem de ida de Atlanta, GA. ate ~tsburg, PA
59. Cone de folhas de plastico Uma mAquina cona plastico em lol/daPttldo de Ne.w,oeel)
lhas que tern 50 pi!s de comprimento (600 polegadas). Assuma
21 4 4
Chave: 21 I 4 = 214
que a populat;ao dos comprimentos en0<malmente distribufda.
22 3 3 4 4 4 6 6 8
(a) Aempresaque1estimarocomprimentomedioqueamaquina
23 6 6 6 9 9 9 9 9
esta conando dentro de 0, 125 polegada. Determine o tama·
24 5 5 9 9 9
nhomininodeamostra necessarioparaconsuuiruminteiva·
25 3 3 4 4 4 6 6 6
lo de confia~ de 95'!0 para a media pclp\Jlacional. Assuma l.'.~66. Tarifat;.lo Uma amostra aleat6ria dos p~os das tarifas aeieas
o des1"o padtao da populat;.lo como sendo 0,25 pofegada.
(em d61ares) para a passagem de ida de Chicago, IL. ate Minneapolis,
MN. (Adaprodo de h'"~'ieel.)
(b) Repita a parte (a) usando uma toler~ncia de erro de 0,0625
8
I I I I
(have: 81 1 = 81
polegada. Que tolerancia de erro requer o maior tamanho de
8
66699999
amosua? Explique.
9 44444
60. Pulverizador de tinta Uma empresa usa um pulveriz.idc< de
9 8899
tinta automatiz.ido para apl'K.ar tinta em m6veis de metal. A em·
1
0
33 34 4
presa configura o pulverizad0< para aplicar um-mil (1/1.000 de
1
0
9999
polegada) de espessura.
II 5555
(a) A empresa quer estimar a media da espessura que o pulveII 9 9
rizador apl'ica dentro de 0,0425 mil. Determine o lamanho
12 4
mfnimo de amosua necessario para consuuir um inteivalo
Ed ,e 1naaa
1
C.pltulo6
:,·~67. Precipita~o anual Uma amostra aleat6ria de precipita<;ao a111J·
al (em polegadas) em Atch0<age, Alaska. ("""'" Akl<lo Chmote R..
seotch Cenrer.}
13,24 16.13 16.10
1 0.~0 12,2~ 19,lb
13,42 14,54 15,51
17,68 14,97 15,51
16,89 13,12 11,65
12,52 18,79 16,68
:l s8.
16.23
12,06
14,75
14,93
18,30
19,53
19,27
19, 17
17,31
14,37
19,81
C<1111Y.)
19,76
22, 15
17,13
15,23
17, 10
24.25
10,44
13,43
19,06
13,67
22,06
17,62
lnt11valos~econfia11•
261
o ~N
E=z,....,..
- -n .
vn N-1
69. Determine o fator de corre<;ao de popula<;do finita para cad.; um
dos dados que v..:m d seguic.
15,0~
Precipita~o anual Uma amostra aleat6ria de precipita<;ao anu·
al (em polegadas) em Nome, Alasl<a. (fMre: Alisla ~ Resoatth
18,3 1 19,87
20,14 24,38
9,93 14,97
15,46 16,27
•
14,93 9,08 20,66 12,29
20,80 14,30 7,39 20,09
19,25 14,92 13,05 14,17
17,49
Expandindo conceitos
Fator de corre~o de popula~ao finita
Nos exercicios 69 e 70, use a informa<;ao a segu~.
Nesta ~o. voe~ estudou a formacao de inteivalos de confianc;:a para estimar a m&1ia populacional quando a popula<;ao e grande
oo infinita. Qua<ldo a popula<;ao for finita, a f6rmula que determina o
erro padr~o da media o, precisa se1 ajustadd. Se N for o tamanho da
popula¢o en for o tamanho da amosua (onde n ?: 0,05 N). o erro
padrao da media
e:
•i=i~%~~·
A expressao J(N- n)/ (N-1) e chamada ddalor de corr~ao
de pop~c!o fiJ>fto. A margem de erro e:
(a) N = 1.000 en = 500.
(b) N = 1.000 en = 100.
(c) N = 1.000en = 75.
(d) N = 1.000en = SO.
( e) O que acontece ao fator de corr~ao de popiia~ fini1a
conforme o tamanho da amosua diminui, mas o tamanho
da popula<;ao N continua o mesmo?
70. Determine o fator de con~~o de popula¢o finita para cad.; um
dos dados que vem a seguiJ:
(a) N = IOOen = SO.
(b) N = 400 en = 50.
(c) N = 700en = SO.
(d) N=l.OOOen=SO.
(e) O que acontece ao fator de corr~~o de poptja~ fini1a
conforme o tamanho da popula<;do N aumenta, mas o tamanho da amosua n coo1inua o mesmol
71 . Tamanhos de amostras A equa<;ao para dete1minas o tamamo
da amostra
-[''•]'
n- -
E
pode ser obtida resolvendo~e a equa<;do para margem de erro
pa1a n. Mostre que isso ever~o e justifique cada passo.
Estudo de caso
Altura dos om bros dos ursos negros dos Apalaches
O Appalachian Sear Rescue (ABR) e uma organi~ sem fins lucrativos loca6zad.; perto
do Pa1que Nacional de Great Smoky Mountains. Os programas da ABR incluem a reabilita<;do
de ursos negros 6ffaos e machucados bem como a pesquisa e educa<;ao sobre eles. A ASR
lornece o ambiente mais natural posslvel para a reabillta<;ao dos ursos negros antes de coloca·
·los de volta anatureza.
Recentemente, Katie Seulage realizou um estudo para aprender mais sobre a popula<;ao
desses ursos do parque. Ela e sua equipe de pesquisadores descobriram 68 ursos negros no
parque e tiraram medidas como tamanlio das patas. peso e alturas dos ombros. Os graficos
ramo-e·folhas a seguir mostram a a ~ura dos ombros (em centlmetros) de 40 machos e 28
f~meas do estudo.
Ed ,e 1naaa
1
262 • lstatbticaaplicad•
Altura dos ombros (em cm)
de ursos machos
4
5
6
7
8
9
10
11
9
Chave: 4 19 : 49
7
89
1 1 22222333445566788
123445679
003679
2
4
Altura dos ombros (em cm)
de ursos femeas
5 O
Cilave: 510 c 50
6 78
7 1 2333334455555569
8 1 223345
9 3
[xercicios
1. Use a amostra para eric.ontrartrna estjmativa pontual para a mMa da allllta dos ombros de:
2.
3.
4.
5.
(a) urros machos
(b) ursos femeas
Encontre o desvio padrao da amostra da altura dos ombros para:
(a) urros machos
(b) ursos femeas
Use a amostra para construir um inteivalo de confian.;a de 95% para a media da altura
dos ombros de:
(a) urros machos
(b) ursos femeas
Use a amost1a para oonstruir um inteivalo de confian.;a de 95% para a mi!<fia da altura
dos ombros de todos os ursos no estudo. Como seus resu1tados diferem daqueles do
Exerdcio 3? Explique.
Um pesquisador quer estjmar a media das alturas dos ombros para arnbos os ursos ma·
cho e remea denuo de 0,5 cenijmetros. Detemiine o tamanho mlnimo de amostra ne·
ces~rio pa1a const1uir um inteivalo de confian.;a de 99% par.a a media da popu!acao das
alturas dos ombros de:
(a) urros machos. Assuma o desvio padrao da amosua de 12.4 centimeuos.
(b) ursos femeas. Assuma o desvio padrao da amostra de 7,B centimetros.
m {amostras
lntervalos de confian~a para a media
pequenas)
0que voce
Adistribuicao t --+ lntervalos de confianca ea distribuitiio t
deve aprender
• Como inteipreiar a distlibui~ c
e usar a t.ibela da <fostribui(ao t
• Como construir inteivalos de confia!l{a quando n < 30, a popu!a(ao enormalmente distnlluida e
u edesconhecido.
I
Adistribui,ao t
Em muitas situa~<ies de vida real, o desvio padrao da popula~ao edesoonhecido.
Alem disso, por causa das diversas limila~6es como tempo e custo, frequentemente
niio e pr<itioo coletar amostras de tamanho 30 ou mais. Entao, como podemos construir
um intervalo de confian~a para uma media de uma popula9ao dadas tais circunstiin·
cias? Se a variavcl aleat6ria for normalmente distribuida (ou aproximadamentc nor·
malmente distribuida), voce pode usar a distribui(ao /.
efinicao
Se a distribui<;ao de uma variavel aleat6ria x for ap1oximadamente noonal, entao
t = x-11
s
Tn
segue uma distribui~ao t.
Ed ,e 1naaa
1
(apttulo 6
Valores cnticos de t sao denotados port<' Dive~s propriedades da distribui~o test.lo a seguir.
1. Adistribui~ t tern forma de sino e e simetrica sobrea media.
2. A distribui~ t e uma famflia de cuNas, cada uma determinada por um parametro
chamado de grau de liberdade. Os graus de liberdade sao o numero de escolhas
livres deixadas depois que uma amostra estatistica tal como xe calrulada. Quando
usamos a distribui~o t para estimar amedia da popula~. os g1aus de liberdade s3o
iguais ao tamanho da amostra menos um.
gJ. c
n - 1.
•
lntmalos drnnfr..ca
I
263
-
.
Referenda historica
William S. Gosset
(1876-1937)
Grou< de lberdode
3. Aarea total sob a cuNa t e 1ou 100%.
4. Amedia, a mediana e a moda da distnbui~o t sao iguais a zero.
5. Conforme os graus de liberdade aumentam, a distribui~ t aproxima a disuibu~ nor·
mal. Depois de 30 g.I, a distribu~o t est.! muito pro.ima acflSI~ normal padr~o z.
As caud:LS na distribui<t-.ao t siio
··1nais grossns" do quc :1.<1uclas
na distribui~ao nonnal padrfio.
~'
ATabela 5 do Apendice B lista os valorcs criticos de I para os intervalos de con·
Desenvolveu a distribui(<io I
enquanto lrab;ilhava na in·
du:stria de cervtjas Guinll<!SS,
em Dublin, na lrlanda. Gos·
set publicou suas descobertas
usando o pseud<inimo de Stu·
dent. A distribui~ao t as vezes
~ d1<'\Jllada de distribuio;.~o t de
Student. {Veja na p. 28 outros
nomes que foram importantes
para a hist()ria da estatistica.)
fian~a e os graus de Jiberdade selecionados.
Exemplo [0_
1~-----------fncontrando os valores criticos de t
Encontre o valor critico t, para uma
amostra e 15.
confian~a de 95%
quando o tamanho da
Sol11pio
Em razao de 11 = 15, os graus de liberdade sao:
g.I. = 11-1 = 15-1-14.
Uma por~ao da Tabela 5 e mostrada. Usando g.I. = 14 e c = 0,95, voe~ pode en·
contrar o valor crltico 1,, como mostrado pelas ~reas destacadas na tabela.
g.I.
l
2
3
12
13
14
15
16
28
29
00
Nivel de
confianca c
Uma cauda_,o.
Ouas caudas,a.
I
0 <;/)
0,25
1,000
0,816
0,765
0.80
010
0,20
3,078
1,886
1,638
0.90
0,05
0,10
6,314
2,920
2,353
0,695
0,694
0,692
0,691
0,690
1,356
1,350
1,345
1,341
1,337
l,782
1,771
1,761
1,753
1,746
1t
.
2,120
2,583
0,683
0,683
0,674
1,313
1,311
1,701
1,699
1,645
2,048
2,()45
l,%0
2,467
2,462
2,326
o.so
-
1.282
0.95
0.98
0,01
0.025
0,05
0.02
12,706 31,821
4,303 6,965
3,182 4,541
2_,179
2,681
2,650
2,624
2,602
~
I
Dica de estudo
Diferentemente da tabela z,
os valores criticos para um
intervalo de confian~a espe·
dfico podem ser encontrados
na coluna nomeada por c na
linha do g.I. apropriado. (0
sfmbolo er ser~ explicado no
Capitulo 7.)
Ed ,e 1naaa
1
264 •
lliatiltic..plicada
Pela tabela, voe~ pode ver que I,= 2,145. 0 grMloo mostra a dislribui~ao t para
14 graus de liberdade, c = 0,95 e t,= 2,145.
lmportante
Para 30 ou mais graus de lit;erdade, os valores criticos
para a distribu.i<;ao t estao
pr6ximos ao valor crftiro rorrespondente para a distribui~o normal. Al~m disso, os
valores na ultima roluna da
tabelamarcada oo g.I. correspondem exatamente aos valores da distribui~ao normal.
- le =
- 2.145
le =
2.145
l11terpretnpio
Entao, 95%da area sob a curva da distribui~ao t com 14 graus de liberdade esta entre
I = :I: 2,145.
ente
~
Encontre o valor crftico I, para uma confian\<I de 90% quando o tamanho de
amostra ~ 22.
a. lde11tijiq11e os graus de liberdade.
b. lde11tiftq11e o nivel de confian~a c.
c. Use a Tabela 5 do A~ndice B para enrontrar I~
1 lntervalos de confian'a ea distribui,ao t
Construir tun intervalo de confian~a usando a distribui~iio 11! similar a ronstruir
um intervalo de ronfian~a usando a distribui~ao normal - ambos usam uma estimativa pontuat .t e uma margem deerro £.
lnstru,oes
Construindo um interva!o de confianra para a media: distribuirao t
Em pnlavrns
Em simbolos
1. ldentifique a amostra estatistica 11, xes.
E<x-x>'
x=Ex;s=
,,
2. ldentifique os graus de liberdade, o n(vel
g.l. = n-1
11- J
de confian~a c e valores critiros 1,.
s
3. Encontre a margem de erro E.
E= t, J;;
4. EncOQtre os extremos esquerdo e direito
Extremo esquerdo: x- E
Extre11110 direito: x+ E
lntervalo: x- E < µ, < x+ E
e forme os intervalos de confian\<I.
,,
Ed ,e 1naaa
1
(•t>llUIO6
Exemplo
m
Voce selecion" a.leatorian1ente 16 cafeterias e rnede a temperatura do cafe ven-
dido em cada uma delas. A m~ia de temperatura da amostra e 162,0"F com desvio padrAo da amostra de 10,0"F. Encontre um intervalo de conlian~a de 95% para a
te1nperatura 1nMia. Assun1a que as ten1peraturassOO aproximadan1ente normahnente
distribuldas.
Solrtpio
Em razao de o tamanho da amostra ser menor que 30, u e desconhecido e as temperaturas sao aproximadamente nonnalmente distribuldas, voce pode usar a distribui<;ao
t. Usando 11 = 16, x= 162,0, s = 10,0, c= 0,95eg.I. = 15, voce pode usar a Tabela 5 para
e ncontrar que 1, = 2,131. A margem de erro no intervalo de confian~a de 95% e:
s
JO
E=t, ,- = 2,131 · t:'!'"'S.3.
vl6
0 intervalo de confian~a est~ a seguir.
£xt,t11.\/.t r-:.quc•rdo
C.ttrtrJttl dimto
.t - E = 162-5,3<:6,7
x+ E = 162 + 5,3 = 167,3
156,7 < /1 < 167,3 ...____.;----
x- e= 156.7
\
156
IS8
lnlf!VO~I drconfi•ll(•
265
Dica de estudo
Construindoum intervalo de confian'a
VII
•
100
162
I
16-1
166
usando a distribuli;do I
e si-
milar a construir um intervalo de confian~ usando a
distribui<;ao normal.
lsrATI
Escolha o menu TESfS
8: Tlnterval...
Selecione a oWK> de entrada
de /)nfa se Voce entrar com OS
dados originais. Selecione a
op~o deentrada Stats se voce
entrar com estat!sticas descriti1ras. Em cada caso, entre os
valores apropriados, ent~o,
sel<?Cione Calc11/ate. Pa(a o
Exemplo 2, as estat!sticas descritivas foram colocadas.
Tinterval
<156.67.167. 33)
x=162
Sx=10
n=l6
x+ £= 167J
x= 162.0
Para uma TI-83/84, construir
um intervalo de confian~a
168
futerpreta~tio
Com 95% de confian~a, podemos dizer que a media da temperatura do cafe vendido
esta entre 156,7 "Fe 167,3 °F.
~-
fncontre os intervalos de confian¥1de 90% e 99% para a m~ia da temperatura.
i,'~ Ver passos MJNrrAB nap. 290
¥oc6 a. E11co11tre t, e E para cada nivel de conlian¥1.
b. Use xe E para encontrar os extremos esquerdo e direito.
c. E.stabelt{a os intervalos de confian~ de 90'};, e 99% para a media da temperatura.
R1-'!-'"fO!<ln "" p. A·12
Exemplo [31_
3_,_______________
Construindo um intervalo de confian~a
~·~ Para explorar mais este 16pico, ver 6.2 Atividades nap. 269.
Voce seleciona aleatoriamente 20 institui~ que realiwm financiamento para
compra da casa pr6pria e determina o atual indice de juros do linandamento em cada. A
media da a.mostra dos juros ede6,22%, com desvio padr3ode 0,42%. Encontre o intervalo de confian~ de 99% para a m~ia populacion.11 do Iodice de juros do (inandamento.
Assuma que os fndices de juros S<'io aproximadamente normalmente distribuidos.
.'~ VerpassosTl-83/84 nap. 291.
Solrlfao
Por causa do tamanho da amostra ser menor que 30, u se.r desconhecido e os indices de
juros serem aproximadamente normalmente distribuidos. voce pode usar a distribui<;lio I.
Usando II = 20, :1' = 6,22. s = 0,42, c= 0,99eg.I. = 19, vocepodeusaraTabelaSparaencontrar que I,= 2.861. Amargem de erro no intervalo de confian<;a de 99% e:
Ed ,e 1naaa
1
s
E= t, 7
""
0 42
= 2,861 · •
J20
~0,21.
0 intervalo d.e confian\a vem a seguir.
Cxfrt1m•dtriril11
.1· -
E= 6,22 -0,27 = 5,95
x+ E = 6,22 + o;o = 6,49
5,95 < /1 < 6,49
x+Eo6.49
I
:
Retratando o mundo
--
--
Du as bolas de futebol americano, uma dieia dear e outra de
Mlio, foram chutadas em um
dia sem vento na Universidade Estadual de Ohio. As bolas
de futebol foram altemadas
em cada chute. Depois de 10
chutes, cada bola foi chutada mais 20 vczes. As dist:lncias (em jardas) s.-l<> listadas.
(f'c,,1/4-: 11:t c,oJ111wbt1-. Oi"s-.;1rl1.)
Iuterpretapio
Com 99% de confian~a, podemos dizer que a media populacional do ind ice de juros do
financiamento esta enlre 5,95%e 6,49';1,.
ente
';c6
Encontre os intervalos de confia111;a de 90% e 95% para media populacional de
indice de juros. Compare as larguras dos intervalos.
a. E11ro11tre t, e E para cada nfvel de confian\<).
b. Lise xe E para encontrar os exlremos esquerdo e direilo.
c. Estnbele(n os intervalos de confiant;a de 90%e 95% para a mMia populacional dos
indices de juros e compare suas larguras.
R1""1><~l111u1 p.
t\42
Cheias dear
9
2
2
002 22
555566
0 fluxograma descreve quando usamos a dislribui~ao normal para construir um
intervalo de confiall\<I para a media da popula~ao e quando usamos a dislribuio;<io t.
2 77788888999
3
3
ne~30?
Cheias de helio
Nao
I
12
I
I
4
2 2
2
34666
2 78 889 999
3
3
3
Use a distribui9ao nonnal com
11 12
34 Chavc:l 19 = 19
00001122
345
9 Chave:l l l = ll
Sim
•..;n
Se er for desconhecido, uses.
A popula9ao c nonnalmente
di-itribuida ou aproximadamente
E=z _!!__
NiQ
Voce nao pode usar a distribui980
Sim
Use-a dislribui980 nonnal com
E e. z-9-.
distribulda?
nonnal ou a distribui9ao t.
Sim
Jlss11111n q11e ns distt111dn; siTo
lfOr'1rnl111e11te distribulrl11$ para
cnrln win. Apliq11t 11111 j111xogrnmn /J t'Slfllerdn de cnrln bola. E11ro11tre 11111 i11lermlo de a111fia11fn
o econbecido?
de 95% pnrn n disltl11cin merlin
q11ea11in win percomm. Os i11terilfl/Qs de ro11fim1ft1 se oobr1•110e111?
0 quees/e r.~11/tndo rliz n 1}()(~?
Use a distribui93o t com
E = tc ...L.
Nao
..;n
en - I graus de liberdade.
•.Jn
Ed ,e 1naaa
1
(1pflulo6
•
lnterv.l°'deconfi•ll<•
267
Exemplo [4J
Escolhendo a distribui,~o normal ou a distribui,~o t
Vociseleciona alea.toriamente 25 c.asas construidas recentemente. A media a 1nos·
t:ral do custo da constru(ao e$181 .000 e o desvio padrao da popula~iio ede$ 28.000.
Assumindo que os custos com a constru~~o &'o normahnente distribufdos, v~ deve
usar a distribui~o nonnal, a distribui<;3o I ou nenhuma delas para construir utn in..
tervalo de confian~a de 95% para a media populacional dos custos de constru~?
Explique seu raciodnio.
Sol11ftio
Em razao de a popula~'io ser normalmente distribuida e o desvio padnio ser conhecido, voce deve u&1r a distribui~ao normal.
Ten111 Voce scleciona aleatoriamente 18 atletas adultos do sexo masculino e mede a
vocf frequencia cardlaca em repouso de cada um. A media amostral da frequencia
4
cardiaca c 64 batimentos por minuto com desvio padrao da amostra de 2,5
batimcntos por minuto. Assumindo que as frcqul!ncias cardiacas siio oormalmente
d istribufdas, devemos usar a distribui~ao nonnal, a distribui~o t ou nenhuma delas
para construir um intervalo de co11fian~a de 90% para a media da frequencia cardiaca?
Expliquc seu raciocfnio.
Use um Auxograma para detem1inar qual distribui~iio deve ser usada para cons·
h'uir o intervalo de confian~1 de 90% para media da frequencia cardiaal.
R~l...,.lfl 111111·
lfj
A4Z
fxercicios
Construindo habilidades b~sicas e conceitos
Usando e interpretando conceitos
Nos exerckios de l a 4, erl00111re o valor r:rltico 1, para o nivel de
c:onfianc;a dado c e o tamanho da amostra n.
Construindo intervalos de <onfian~a
Nos exe1dcios 13 e 14, voce tern a mMia amostral e o desvio
padrao da amostra. Assuma que avari~vel e normalmente distribuida
e use uma distribui~o t para co:1s1ruir um imervalo de confian~
de 95% para a media populadonal 11. Qual a margem de erro de 11?
Se for conveniente, use a tecnologia para construir o in1e~..1o de
confiano;a.
13. Custos de reparos: micro-onda.s Em uma amosba alea100a de 5
fornos de micro-ondas, a m~ia de custos de reparos era de
S 75,00 e desvio padr~o era S 12,50. (/ldaplodo rit>C"""1m111 Repr:tts)
14. Cuslos de reparos: computadores Em uma amostra alea·
t6ria de 7 computa<lores, a media de custos de 1eparos era de
s loo,oo e desvio padrao de $ 412,50. !/ldop!OO\> rJt> '"""""" ll<j>o<ls)
15. l/oce realizou uma pesquisa soble os custos de reparo de fomos
micro-ondas e descobriu que o desvio padr~ e o = $ 15. Repi·
ta o Exerdcio 13 usando a distribui~o noonal com os c,!kulos
apropriados para o de5vio padrJo que e co.1hecido. Compare os
resultados.
16. Voce realizov uma pesquisa sobre os custos de reparo de com·
putadores e descobriu que o desvio padrao e o = S 50. Repi·
tao Exercicio 14 usando a distribui~o noonal com os c,!kulos
apropriados para 0 de5vio padrJO que e coohecido. Compare OS
resultados.
1. C= 0,90,n = 10.
2. C • 0,95,n • 12.
3. c = 0,99,n = 16.
4.
c=
0,98,n = 20.
Nos exerdcios de 5 a 8, encontre a margem de CHO para os
valores dados c, sen.
5. C=0,95,s=5,n= 16.
6.
c = 0,99,s = 3,n =
6.
7. c=0,90,s=2.4,n= 12.
8. c = 0,98,s = 4,7,n = 9.
Nos exerclcios de 9 a 12, conslrua o inteivalo de co.ilia~ in·
di<ado para a media popufacional µ usanclo (a) uma disltibui\<10 t.
fb) ~ voce liver usado incorretamente uma alSltib~ normal, qual
inteivalo deveria w mais largo?
9. c= 0,90,x = 12,5, s = 2.0,n = 6.
10. c=0,95,l'= 13,4,s=0,85,n=8.
11. c = 0,98,x = 4,3, s = 0,34, n = 14.
12. c=0,99,l'=24,7,s = 4,6,n= 10.
Ed ,e 1naaa
1
Construindo intervalos de confian~a
Nos exercicios 17 e 18, voc~ tem a media amostral e o desvio
padrAo amOSCtal. Assuma que a vaMvel nonnalmeme distribufda e
use'a distribui¢o normal ou a d~tribui¢o t para constniir um inteNalo
e
<le confianQ) de 90% para a media poP1Jbcional I'· Se for conveniente.
use a tecnologia para consttllit um inteNalo de confiar)\'.a.
17. Lixo gerado (a) Em uma am05tra aleat6ria de 10 adultos norte·america005, a media de lixo gerado por pessoa por dia era de
4,54 libras eodesvio padraoera de 1,21 libras. (b) Repitaa pane
(a) assunindo que as mesmas esiatisticas ~m de lJna amostra
de iamanho 500. Compare os resuliados. (!oclop!od> de us. Elm,..,.
me-nt FrorMKJn AgMcy.)
18. Lixo reciclado (a) Em uma am05tra aleat6ria de 12 aduhos
none-america005, a media de lixo reciclado po< pessoa por di.l
era de 1,46 libraseo&!slliopadrao era de0,28 libras. (b) Repita
a pane (a) assumindo que as mesmas estatfsticas vem de uma
amostra de tamanho 600. Compare os resuhados. fMcprodo de
U.S. Eiritonmen: Ptol«OCO 119'ney.)
21. Notas SAT As noias do teste SAT para 12 altJllos do ultimo ano
do ensino mWoo sao selecionadas aleatoriamente.
1.704 1.940 1.518 2.005 1.432 1.872
1.998 1.658 1.825 1.670 2210 1.380
22. GPA A media de pootos das notas (GPA) para 15 estudantes
unive<sit.!rios selecionados aleatoriamente.
2,3 3,3 2,6 1,8 0,2 3,1
2,3 2,0 3, I 3,4
4,0 0,7
1,3 2,6 2.,6
Escolhendo a distribui~o
Nos exerdcios de 23 a 28, use a diwibuii;.;o normal ou a dism·
bui¢o r para constt1Jir um inteivalo de confia'l\'.d de 95% para a media
populacional Justifique sua decisA<>. Se nenhuma das distribui~Oes pu·
der ser usada, explique o porque. Se for conveniente, use a tecnologia
para constt1Jir o intervalo de confia~.
23. Raios Em uma amostra aleat6ria de 70 raios, o comprimento
medio era de 1,25 polegadas e o desvio padr3o era de 0,05
Construindo intervalos de confian~a
polegadas.
Nos exerdcios 19 a 22, um conjunto de dados fornecido. Para 24. Pre~o das torradeiras Voce retira aleatoriamente uma amosva
cad a conjunto de dados, (a) encootte a media amostral, (b) eocootre
de 12 tO<radeiras do modelo duas fatias de p.lo e descobre que a
o desllio padrao da am05tra e (c) construa um intervalo de confian~
media do preco era de S57,79 e o desllio padrao era de S 19,05.
de 99% para a medi.l populaciooal 11. Assuma que a pop.Aa<;ao de
Aswma que os p<ecos sAo normalmente distribufdos.
cada conjunto de dados seja normalmente distribufda. Se f0< conve· '·:~25. Carros esportivos: milhas por galao Voe~ fat uma pesquisa
niente, use uma ferramenta tecnol6gica.
aleat6ria de 25 cairos esporlivos e regisua as milhas po< gal.lo
19. Biologia As rendas mensais para 10 pessoas se!ecionadas alepara cada. Os dados est.lo fisiados a seguir. Assuma que as milhas
atoriamente, cada uma com gradua~ em biologia. fMoprodo de
por galao sao norrnalmente distribuldas.
U.S.tbeouo/(o/xtS:""""'-)
15 27 24 24 20 21 24 14 21
4.625,68 4.289,n 4.461,22 4.519,46 4.714,27
25 21 13 21 25 22 21 25 24
4.408,73 4.391,45 4.318,54 4.576.12 4.296.41
22 24 24 22 21 24 24
e
Bacharelado em biologia
I
J +--.--.----.
'.'.~26. Notas ACT Em um ano recente. o desvio padr~o das noias do
tesle ACT para todos os estudantes era de 4,8. As no!as ACT para
20 esludantes se!ecionados aleat<Oliamente sAo lisiados a seguir.
Assuma que as noias de teste sAo normalmente distribuidas. (,..,,_
re: ACllnc:)
.tJ30 J.420 4.SIO .&.600 4.690
kenda nu~n :s;1J (c1n d61ares)
Bacharelado em economia
I
S.OlS S.27S SS2S S...77S400S6.27S
Renda nlens:ll (cm d6l:lre.<i:)
20. Economia As rendas mensais para 14 pessoas selecionadas
aleatoriamenie, cada uma com bacharelado em economia. (/ldap1odo de uS. BIJfeou ol Lcbot $0)!/Sl.<S)
5.418,76 5.278,63 5.912,05 6.118,35 5.647.86 5.7 14.38 5.365,19
5.524,91 5.761,57 4.924,16 5.494,66 5.619,74 6.205,64 5.801,23
26 22 23 12 19 25 23 21 25 10
17 26 23 24 20 14 21 23 20 22
27. Tempo de espera nos hospitais Em uma amostra aleat6ria de
19 pacientes no depanamemo de emer~cia de um hospital o
iempo medio de esjlera (em minutos) antes de serem atendidos
pelo medico era de 23 minutos e o desllio padrao era de 11 mi·
nuto~ Assuma que os tempos de espera nao sao normalmente
distribufdos.
28. Custos de barracas de camping para uma pessoa Em uma
amOSCta aleat6ria de 18 barracas de comping para uma unica pes·
soa, o preco medio era de$ 144, 19 e o desvio padrao era de
$ 61,32. Assuma os pt~ como sendo oormalmenie distribt>dos.
Expandindo conceitos
29. Fabrica~ de bolas de tenis Uma empresa fabOca bolas de t~
nis- Quando suas bolas de t~ sAo dert1Jbadas em uma supetficie
de conaeto de uma altura de 100 polegadas, a empresa quer que
a altura m~dia que as bolas saltem para cima seja de 55,5 polegadas. Essa media ~ mantida tesiando periO<ficamente amostras
aleat6rias de 25 bolas de te.iis. Seo valol test.! enue -1.,, e10. , a
Ed ,e 1naaa
1
(•pftulo 6
emp<esa estara satisfeita pois es1a fabricando bolas de t~nis aceil<lveis. Uma amostra aleat6ria de 25 bolas e seleciooada e testada. A
media de altura que as bolas saltam ede 56,0 polegadas e desvio
padrao de 0,25 polegadas. Assuma que as alturas que as bolas sal·
tam sao aproximadamente no~te d'ISllibuidas. A empresa
e'"3 fabricando bolas aceitaveis? Eicplique seu raciocfnio.
30. Fabrica~o de lampadas Uma empresa fabrica l.lmpadas. A
empiesa quer que as !Ampadas tenham mMia de vida U!il de
lifj
•
lnwvalos4econfiaac•
269
1.000 horas. Essa med'ia e mamida testando periodicamente
amostras aleat&ias de 16 lampadas. Seo valor 1 estiver entre
er..,,, a empiesa estara satisfeita pois esta fabricando IAmpadas aceitaveis. Uma amostra de 16 lampadas selecionadas
aleatoriamente e testada. A \Oda util media e de 1.ot5 h0<as e
o desvio padrao de 25 horas. Ass\lna que as vidas oteis sao
aproximadamente normalmente distribuldas. A empresa est.l fa·
bricando IAmpadas aceil<lveis? Expique seu raciocinio.
-t..,.
Atividades
lnterva!o de confian~a para a media (o impacto de niio
saber o desvio padr~o)
Applet O applet inletvo/cs de conlion~ pota umo mAfa
(o impoao de nao sober 0 desvio podtiio) permite que voce in·
vestigue visualmente inteNalos de confian(<l pa1a a media populacionaL Voe~ pode especificar o tamanho da amostra fl, a f0<ma
da diW\buiylo (normal ou assimeuica A<i'eiia), a media real da
popu~ (media) e o desvio padrao populacional real (desvio
padrao). Quando voce dica em SIMULATE, 100 amoStias separadas de ldmanho n ser.lo selecionadas de uma popula~o com
esses parameuos populacionais. Para cada uma das 100 amostras. um inteivalo de confian(<l Z de 950.0 (sendo desvio padrao
conhecido) e o intervalo de oonfian(<l de 95% T (desvio padrao
desconhecido) sao mostrados no grafico a seguir. 0 inteivalo de
conli.ill(<l de 95% Z e mos1rado em verde e o inteMlo de con·
fiani;a de 950.0 Te mos1rado em azul. Se um intwalo nao oontem
a media real, ele e mostrado em vennelho. Simula(6es adicionais
podem ser realizadas dicando-se em SIMULATE multiplas vezes.
O numero acumulado de ve?es que cada tipo de imervalo contem
a media real tambem e moSllado, Pressione CLEAR p.Jra limpar os
resultados e>istentes e corrte¥lr uma nova simula(3o.
1
15' I C:I 9S~ TCI
[)id tifl4 oot1t:11n mean
Pn)p. *12i1K.-d
Clc>r
I
Explore
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Passo 4
Passo S
L
Especifique um va'°"r para n.
Especifique uma diwibuio;ao.
Especifique um valor para a meoo.
Especifi(j\Je um valocr para o desvio padrao.
Clique em SIMULATE para geiar os intervalos de
confiani;a.
Chegando a condus0es
Configure n ; 30, media ; 25, desvio padrao ; 5, e a
distribuio;ao normal. Realize <> simulao;3o de modo que pelos
menos 1.000 intervalos de confianr;a sejam gerados. Compare a prop!)(~ dos intervalos de confian(<l de 95% Z e
os intwalos de confianr;a de 95% T que contem a meoo
populacional lsso e o que voce esperaria? Expfique.
2. Em uma amostra aleat6ria de 24 estudantes de ensino
medio, o numero medio de horas de sono por noite durante a semana escolar era de 7,26 hotas e desvio padr~o
de 1,19 horas. Aswma que os tempos de sono sao normalmente distribuidos Fa<;a a si mula~o para n ; 10 de
modo que pe!o menos 500 intervalos de confia~ sejam
gerados. Qual ptopor~o dos inteNalos de confian(<l de
95%Z e os imervalosdeconfian(<l de 95% Tquecontem
a media populacionall Oevemos usa1 um inteNalo de con·
fiall(C T ou Z para a media do numero de hoos de sono?
Explique.
Ed ,e 1naaa
1
m lntervalos de confian~a para as propor~oes
populacionais
0 que voce
deve aprender
• (()fllO encootrar uma estimativa
pontual para a propor¢o populacional.
• Como construir um inteivalo
de confian(ll para a propor\~O
populacional.
• (()fllO de«erminar o tamamo
minimo da aroostra quando estimamos apropor¢o populacional.
Estimativa pontual para proportiio populacional p -> lntervalos de confian(a
para propor(iies populacionais p-->- Aumentando o numero de amostras para
aumentar a precisao
I Estimativa pontual para a propor,ao populacional p
Lembre·se da ~lio 4.2 que a probabilidade de sua?SSO em uma unica tentativa
de um experimento binomial ep. Essa probabilidade e um.a propor{aO populacional.
Nesta seylo, vo~ aprendern como estimar uma propor~lio populacional p usando um
intervalo de confian~a. Como no caso dos intervalos de confian~a para/<, voe~ ir~ come~ar com uma estimativa ponlual.
Defini,ao
A estimativa pontual para p, a propor~o populacional de sucessos, e dada pela propor~o de
sucessos em uma amostra e edenotada por
• x
p = -,
n
onde x eo numero de sucessos em uma amostra e n e o numero na amostra. O ponto de
estimativa para a propor~o de falhas eq= I -p. Os simbolos pe qsAo lidos come 'p chapeu'
e 'q chapeu".
Exemplo
m
Encontrando uma estimativa pontua! para p
lmportante
Nas duas primeiras ~
estimativas foram feitas para
dados quantitativos. Nesta se~'lo, as propor~ de amostra
sao usadas para fa,zer estima·
mvas para dados qualitativos.
Em uma pesquisa com 1.219 adultos norte-americanos, 354 disseram que seu
esporte Favorito para assistir e futebol americano. Encontre uma esfonativa pontual
para a propor\iio populacional de adultos norte-americanos que dizem que seu espor·
te favorito ~ futebol. (M•1"""'"' Tl•· ;1o,,;, p,~1.)
Solufiio
Usando 11 = 1.219 ex= 354,
,. x
p= 11
354
=- 1219
;:::0,290402
;:,29,0%.
Em uma pesquisa com 1.()()5 adultos norte-americanos, 181 disseram que
Abraham Lincoln foi o melhor presidente. Encontre um ponto de estimativa
para a propor(iio populacional de adultos que dizem que Lincoln foi o melhor
presidente. !M<•pM• .i.-11,,c.111111 r.~/.)
a. ldt11tijique x e 11.
b. Use x e 11 para encontrar p.
C•pltuk>6
I
lntervalos de confianca para proporcoes populacionais p
Construir um intervalo de confian~a para uma propor<;ao populacional p esimilar a ronstruir um intervalo de oonAani;a para uma mMia populacional. V~ com~a
com um ponto cstimodo c c.,Jculo a mnrgcm de crro.
efinicao
Um intervalo de conftan~ c pata a p~ populacional p e:
p- f <P<i>+E,
onde
E- z,~.
A
271
Retratando o mundo
'
Uma pesquis;i realizada com
1.002 adultos norte-americanos perguntou sobre o meio
ambiente. Dos pcsquis;idos,
551 disseram que em 10
anos ou mais acreditam que
o meio ambiente estaro pior
do que hoje. t
P ,.
~rtx
probabilidade de que o intervalo de confia~ contenha p ec.
lntm•lo!4uon!l<oc•
•
l
551
451 nAo
acham que acham que
Na ~iio 5.5, v~ aprendeu que uma dislribui~5o binomial pode scr aproximada pela distribui~ao normal sc 11p ~ 5 e 11q ~ 5. Quando 11~~ 5 e 11ij ~ 5, a distribui<;ao
de amostragem p.1ra p eaproximadamente normal com uma mo!dia de
omeio
omcio
ambiente
estar"
ambiente
estar<i
pior
pi or
I'; = p
e um erro padnlo de
11·
"
=
E11<:011tre o i11tem1/o tie ro11jim1(11 tie 90% flll'" a proporctro tie
11t111//os 1105 Estatf11s llrritlos qrre
ncl1a11J que o 111eio n111bit>11tt1 c-s:·
lnrtf pfor.
Iii.
~*";;lnstru iies
Construindo um intervalo de conflanfa para a midia: distribuiflo t
Em palavras
Em sfmbolos
l . ldentifique as estatisticas da amostra 11 ex
2. Encontre a estimativa pontual fl
- .r
p=
11
Dica de estudo
Aqui esliio as instrui;Oes para
oonstruir um intervalo de con·
fian\<l para a propor~ populacional em uma 1183/84.
ISTATI
3. Verifique que a distribui~iio de amostragem
Escolha o menu de TESTS
de fl pode scr aproximada pela distribui\'ilo
nonnal.
4- Encontre o valor aftlco '. que rorm.ponde
ao nivel de oonfia~ c dado.
A: l - PropZlnt.
Entre os valores para x e 11, e
Use a tabela
nlvel deoonfia~ac(C-t.evel).
normal padrilo.
Entao selecione Ca/cu/nit.
5. Encontre a margem de erro E.
E=z,f!
6. Encontre os extremos esquerdo e direito e
fonne o intervalo de confianc;a.
Extremo esquerdo:
p-E
Extremo direito:
p+E
lntervalo:
p- E<p <p+E
Ed ,e 1naaa
1
Z72 • ut•t~11"•11cad•
Exemplo OJ
' ·~
Os passos MINITAB e Tl·
-83/ 84 silo mostrados nas p. 290
Construindo umintervalo de confian~a para p
e291.
Con.strua um intervalo de 95% de confian,., para a
propor~...i.o
de adultos nos
Estados Unidos que diz ter o futebol como esporte prcferid-0 para assistir.
SoluftiO
Pelo Exemplo 1, p""0,290402. Entllo,
q= I -0,290402 = 0,709598.
Usando 11 = t.219, voei! pode verificar que a distribui\30 doe amostragem para f> pode
scr aproximada por uma distribui\<'iO normal
11p "" 1.219 ' 0,290402 "' 354 > 5
e
lljl"" 1.219 . 0,709598"' 865 > 5.
Usandoz, = 1,%, a margem deerroe:
£=z
wq,,,,1,96 (0,290402)(0,709598) ,,,,0,025.
'V;
Dica de estudo
Pe!'CWa que no Exemplo 2 o
inle•valo de confiani;a para a
propo(\<io p e arredondado
ate a terceira casa decimal.
Essa i:egr.a de arredondamen·
to sera usada por todo o livro.
1.219
0 intervalo de 95% de confiani;a se da confonne o seguinte.
p+ E = 0,29 + 0,025 = 0,315
fl - £ = 0,29 - 0,025~265
0,265 <p < 0,315 ..- - - - - - -
p -£=0.265
'
Estinlativa pontu:tl
f>=0.29
p+ £=/ 0.315
--+-lf-+----+--+--;----+--1-t-~ .l'
0.26
0.27
0.28
Ol'>
OJ O
0.31
0.J."2
Iuterprelnftio
Com a confian\a de 95%, epossivel afinnar que a proporvio de adultos que dizem ter
o futebol como esporte preforido seja entrc 26,5% e 31,5%.
Use os dados do ·iente voei! 1 para construir um intervalo de 90% de confiani;a
vod para uma proporr;iio de adultos que diz que Abraham Lincoln foi o melhor
presidente.
:rente
a. E11co111re ji eq.
b. \lerifiq11e sea distribui\aO amostral de ji pode ser aproximada pela distribui·
\liO normal.
c. E11co11tre z, e £.
d. Lise ji e E para encontrar os extremos esquerdo e direito.
e. Especifiq11e o intervalo de confian\a de 90% para a proporr;iio de adultos que dizem
que Abraham Lincoln foi o melhor presidente.
RA-~1~tt1 1u1
p. A ·12
0 nivel de confian~a de 95%usado no Exemplo 2 etipico de pesquisa de opiniao.
0 rcsultado, entrctanto, geralmente naoe classificado como um intervalo de confian\a.
Pelo oontrario, o resultado do Exemplo 2 seria dassificado c:omo "29%com uma mar·
gem de erro de :1:2,5%".
Ed ,e 1naaa
1
(ap!tulo 6
Exemplo
•
IRtmalos dt <onfiaDCa
273
m
Construindo um intervalo de confian,a para p
0 grafico a seguir foi leito con' base eo1 un1a pesquis.'l ent~ 9CO 1'\0rte-antericanos
adultos. Construa um intervalo de 99% de confian<a para a populac;iio de adultos que
ach am que os adolescentes s1io os motoristas mais perigosos. (Mnp1r.t..1f<Th<C<iff11J>Orsm1i:At1"'1.)
Quern sao os motoristas mais perigosos?
Solt1ftlo
A partir do grafico, p= 0,63. Entao,
q=l-0,63
= 0,37.
Usando esses valores e os valores de 11 =
lmportante
~e
z, = 2,575, a margem de erro e:
e=z(v-;
[pq
=--=.,-= Use a Tab•I• 4 no ApC.1dice 6 para estimar
"'2 575 (0,63)(0,37)
que z, est~ entre 2,57 c 2,58.
,
900
,,,,0,041.
0 intervalo de confian<a de 99% eo seguinte:
Extr(n:u6q.lffrd()
E:tlrnJttJ tltrrttt'
p-E = 0,63-0,041 <':_589
p+ E= 0,63+0,041 = 0,671
0,589 < p < 0,671 ~
I11terpretnftlo
Com confian\<) de 99',lb, voce pode alim1ar que a propor~iio de adultos que ad1am que
os adolescentes s.'io os motoristas mais perigosos est<I entre 58,9%e 67,l %.
Use as informa~Oes da pesquisa do Exemplo 3 para construir um inlervalo de
confian"' de 99% para a propor~ilo de adultos que consideram que as pessoas
3 com mais de 75 anos s~o os motoristas mais perigosos.
a. ldmlijiq11e 11 ep.
b. Us.! ppara encontrar ij.
c. \leriftq11e sea distribui~3o de amostragem de p~ aproximadamente normal.
cl!. lde11tiftq11e o valor fundamental z, que corresponde ao dado nfvcl de confian\'.<1.
e. £11co11tre OS extremOS a esquerda ea direila do intervalo de confiani;a.
f. Espt'Cijiq11e o inlervalo de confian"' 99')1, para a propor~iio de adultos que conside·
ram que as pessoas acima dos 75 anos sao os motoristas mais perigosos.
Tente
vod
R~pO:Stir "" p. A42
I
Aumentando o numero de amostras para aumentar a precislio
Uma forma de amnentar a precis.io do intervalo de confian\'.<1 sem diminuir o
nivel de confian"' eaumentar o mimero da amostra.
No Exemplo 3 perceba que
"P ~ 5 e 11q ~ 5. Entiio, a dis·
lribui~1io de amostragem de p
eapro)Cimadamente normal.
Ed ,e 1naaa
1
Z74 •
fatatlslica apli!4d•
ci!contrando o tamanho minimo da amostra para estimarp
lmportante
•A razao para usar 0,5 como
valore; parnp eqquando nao
ha estimativa preliminar dis·
ponivel e que esses valores
r:endem um valor maximo
para o produto fk1 =p(l - p).
Em outras palavras, se voce
nao estimar os valores de pe
q-, voce deve pagar a penali·
dade de usar uma amostra de
~amanho maior.
Dado o intervalo de confiani;a c ea margem de erro E. o tamanho mfnimo da amostra n neces~rio para estimar p e:
.·[Z,]'
n=pq-.
E
Essa f6rmula assume que voe~ tenha uma estimativa preliminar p-arap eq. Se niio, use{> = 0,5
eq =0,5.
Exemplo
m
Determinando um tamanho minimo para a amostra
Voce esta analisando uma campanha politica c qucr estimar, com 95% de con·
a propor~ao dos eleitores registrados que irao votar no seu candidato. Sua estimativa deve ter uma margem de erro de 3% da popula¢o real. Encontre o numero
mfnimo da amostra necess.iria se (1) niio ha nenhuma estimativa previa e (2) uma
estimativa previa p= 0,31. Compare seus resultados.
fian~a,
SolufdO
1. Como vod! n3o tem uma estimativa pn!via para p, use f> = 0,5 e ~ = 0,5. Usando
z, = 1,96 e E= 0,03, voce pode solucionar para 11:
11=Pii(~]' =(0,5)(0,5)[~:r..., 1.061,11.
Em raz~o de 11 ser decimal, arredonde para o pr6ximo m)mero inteiro, 1.068.
2. Voce tern uma estimativa de ;1 =0,31. Entao ~ =0,69. Usando z, =1,96 e E = 0,03,
vod! pode solucionar para 11:
Como 11 e um decimal, arredonde para o numero inteiro mais pr6ximo de 914.
Triterpretnriio
Sem nenhuma estimativa pn!via, o tamanho minimo da amostra deve ser t .068 eleitore;. Cu1n
tuna \.~li1ncttiv<S pr~via Ue p= 0,31, o lcuncuthu da <llino::;tra <leve :rer 1101ninh110
914 eleitores.
Ent~,
voce precisatia de um tamanho de amostra maior se nao h~ ne·
nhun1a estimativa prCvia.
eme Voce quer estimar, com conlian~ de 90% e com 2% da popula~ao, a propor·
...d ~'io de homens com idade entre 20 e 34 anos que tem pressao alta. Encontre o
4 numero mfnimo necessario se (1) nao ha nenhuma estimativa pr~via e (2) uma
pesquisa anterior descobriu que 6,4%dos homens nessa foixa etaria tem presslio alta.
(f.mitt; .\lt1tiorudC1•111trfat lltttllll St11ti~lif5-.)
a. lde11tifiq11e p, q, z, e E. Sep for desconhecido, use 0,5.
b. Use p, q, z,, e E para encontrar o mimero mini mo da amostra 11.
c. Deler111i11e quantos homens devem ser inclufdos na amo:stra.
Ed ,e 1naaa
1
(apltulo6
W
•
lntnval<>s dtconfia~•
27 5
Exercicios
(onstruindo habilidades basicas e conceitos
Verdadeiro ou !also?
Nos exerdcios l e 2, determine se a seoteni;a e verdadeira ou
falsa. Se for falsa, ree5aeva·a de forma 'l"e se torne verdadeira.
l. Para eSlimar o valor de p, a propo<><io populacional de sucessos,
use o ponto estimado x.
2. O ponto estimado para a proporylo de fracassos e l -p.
Encontrando p eq
Nos exetdcios de 3 a 12, seja pa propory!o populacional para a
condiy!o dada. Encontre as estimativas de pento para p e q.
3. Reciclagem Em uma pesquisa entre l.002 norte-ameticanos
ac:lJhos, 752 dedaram fazer reQdagem. (AddpradocleAOC M!'.'ISA>I/.)
4. Caridade Em uma pesquisa entre 2.939 norte-ame<icanos
aooltos, 2.439 dedaram ter contribuido com caridade nos uhimos
12 meses. (Map<rxio de Hcuir/nrerorr.,,,,)
5. Obeso ou acima do peso Um estudo entre 4.43 I no<te-ameri·
canosadultosdescobriu que 2.938 eramobesosou estavamacima
do peso. (/.dop!ado de N!JOOl>al n«>llh end llu>"'"" &oft1lll<>ll"'1 Su1wy.)
6. Comendo carne D<!ntre os 458 norte-americanos adultos
entrevislados, 224 comem came diariamente. ftldal;tado de Ct~
eor..ld OoMe.)
7. Pianos para o Future Dentre as 848 criani;as pesquisadas. 144
planejam en1rar para um grupo volunlilrio no future. (/llkp<ado de
_ , Ceogtophtc Kids.)
8. Ferias Em uma pesquisa entre l.003 norte-americanos adultos,
I 10 declaram que iriama Europa nas ferias se nao fosse o custo
necess6rio. IAO't!><ado de The GollJp Poll)
9. Parar de fumar Em uma pesquisa feita entre 284 fumantes.
204 deles declararam que querem parar de fumar. l,Adoptodo de
Amert<IJO tung""""°"""·)
l O. Feliz oo ltabalho Em uma pesquisa feita entre 1.003 adtilos nooe·americaoos. 662 dedararam 'l"e seriam lefties case passassem o
resto da carreira em seu emp<ego atual. l,4/klp'lldode~ II>!)
11. Auditoria de impostos Em uma pesquisa feita entre l.000
aoohos none-ameticaoos. 230 disseram que estavam, de alguma
foona, preocupados com a possibilidades de sofretem uma auditoria em seus imPOStos. !Mottor/o de~ Rwotts.)
12 Viagem cansativa Em uma pesquisa entre 3.224 adultos norte-americanos. 1.5 I 5 <fissetam que voar e a forma mais cansativa
de viajar.
r1""'*'°1y)
"'*'"""'°de
Usando e interpretando conceitos
13. Pesquisa eleitoral Uma pesquisa eleitoral anuncioo que um
ca.ididato teve uma aceitay!o de 48% com uma margem de erro
de 3%. Construa um intervalo de confiani;a para a proper~ de
ac:lihos que aprovam o candidaio.
14. Correio Uma pesquisa mostroo que 51 % dos aduhos preleretn recebet propagandas pelo c0<reio. A margem de eno f e de
5,2%. Construa um intervalo de confiani;a para a propo<¢o de
aoohos que preferem receber propagandas pelo correio. (Foore
Ccl>~ & Te""""""""<otio11s ASsooonor> for M01le/Jllg)
Construindo um intervalo de confian~a
NO$ exer~ de 15 a 20, COC'lStrva intetva1o~ <fe confia~ de
95% e 99% para a propo<ylo populaciooal p usando as es«itlSlica.s de
amostras indicadas. Qua!~ o maier inteivalo? Se f()( conveniente, use
ferramemas de tecnologia para coosuuir o inte<valo.
15. Use as es«itisticas no Exerdcio 3.
16. Use as estatisticas no Exerdcio 4.
I 7. Use as es«itisticas no Exerdcio 5.
18. Use as es«itisticas no Exerdcio 6.
19. Use as estatisticas no Exercicio 7.
20. Use as estaUSlicas no Exercicio 8.
21 . Pianos de viagem Voe~ ~um agente de viagens que quer es.limar, com 95% de confiani;a, a propor~o de pessoas em ferias
que planejam viajar para f()(a dos Estados Unidos nos pr6ximos
12 meses. Sua estimativa deve te1 uma margem de erro de 3%
da propor¢o real.
(a) Nao ha estimativas pre.ias. Encontre o tamanho mfllimo da
amostra necessaria.
(b) Encontre o tamanho mLiimo da amostra necess.!ria usando
um estudo antetior que mostrou que 26% dos pesquisados
declararam que planejavam viajar para f0<a dos Estados Uni·
dos nos pr6ximos 12 meses. (Fr;nre: \'kllt!n >lt<ldM<k.)
(c) Compare os resultadosda:s panes (a) e (b).
22. Uso de servitos on-line Voe~ e um ageme de viagens e quet
estimar. com 98% de confiani;a, a propor~o de pessoas em
Mrias que usam um ser.r¢ on-r.ne ou a Internet para fazer reservas de viagem. Sua estima1iva deve tet uma margem de erro
de4%.
(a) Nao ha estimativas previas. Encontre o tamanho m•1imo da
amosua necessaria.
(b) Encontre o tamanho mi<limo da amostra necess.!ria usando
um estudo antetior que mostroo que 30% dos pesquisados
disseram que usavam um servi,o on-line ou a Internet para
fazer reservas de viagem. (Foore· kc.<l lndwry ASS«l<ltm of
AmellCD)
(c) Compare os resuhados da:s panes (a) e (b).
23. Conserto de cameras de video Voe~ que< estimar. com
96% de confiani;a, a proper,~ de cAme<as de video que precisam de conserto ou que tern problemas ao completarem
cinco anos de uso. Sua eS1irnativa deve 1er uma margem de
erro de 2,5%.
(a) Nao ha estimativas pre.ias. Encontre o tamanho m"iimo da
amosua necess.!ria.
(b) Encontre o tamanho mi<limo da amosua necess.!ria usando
um estudo anterior que mostrou que 25% das cAmeras precisaram de conseno ou tivefam problemas ao completarem
cinco anos de uso. (fon:e:COll5'Jme1,qepoos.)
(c) Compare os resultados da:s panes (a) e (b).
Edifii,IJd§d
Z7 6 •
ht•tf\tlcupllcM•
24. Conserto de computadores Voce quer es6mar, com 97% de
ccrlian.;a e com margem de e«0 3,5%, a propo<~o de computadores que precisam de conse<to ou thn problemas ao comple-
Os humanos estao contribulndo
para o aqueclmento global?
tarem u~ anos de uso.
{>) NJo ~ es11m.Ow.. ~.. En<C<1tre o t¥n•nho mlnimo da
amostra necess.!ria.
(b) Enco<we o tamaMc> mfnimo da amowa necess.!ria usa.ido
um estudo .interior que mosuou que l!l'lb dos~
res precisoram de ~ ou we<am problemas ao rom-
pletarem u~ anos de uso.
(c) Compile os resUtados das pattes {a) e (b).
Construindo intervalos de confian~
Nos exercloos 25 e 26, use as onlonna¢es a ~- A tabe1a
mostta os resultados de uma pescµsa em que 400 ~os do leste,
400 adultos do sul, 400 adlAtos do centlo<>esle e 400 ~os do
oeste responderam se conside<am o caigeslionamemo um problema
shio em sua comunidade.
.t
o . '
M
Congestlonamento rulm?
Miios qua dlzem que o congootlon..-o
6 um~blema 86rl0
Leste
Sul
25. Leste e sul
Cons1rua 001 incervalo de confian.;a de 99% para:
(a) a propor~o de adultos do lesle que dizem que o coogestionamemo eum prolllema serio.
27. Aquecimento global COl'!SU1.la um
{c) A proporylo de adlJltos do Exercicio 27 (a) ea propo<~ de
adultos do Exercicio 27 (c).
(b) a ~de acUIOs do leste que dizem que o ~
oonamento
problema serio. £ posst.1!1 que essas duas
propor¢es seiam iguais7 Explique seu raciodnoo.
menos.. {f'Crt~ Dtch..
71>
HO(l/S P.>11)
de
(a) A propor~o de adultos do Exercicio 27 (a) ea propor~ de
adultos do Exercicio 27 (b).
(b} Apropor~o de adultos do Exerdcio 27 (b) ea propor~ de
adultos do Eicercicio 27 (c).
Expandindo concei to5
Construindo intervalos de confian~
Nos eicerdcios 27 e 28. use as onfonm¢es a seguir. 0 gra§co
mostra os resultados de uma pesquosa na qual 2.563 adultos dos
Estados Unidos, 1.125 adultos da Franta e 1.086 adultos da Ale·
manha responderam se acreditavam que as al<vidades humanas
est!lo contribuindo para o aumento da temperatura global. (' ·•·
oonfia~
(a) a propo<~ de adultos dos ES!ddos Unidos que du que as
alividades humanas ~o coouibuindo para o aumento da
temperatura global
(b) a p<opor~ de adultos da Fran.;a que diz que as alMdades
humanas estao conltibuJldo para o aumento da temperatu·
ra global.
(c) a propor~o de adultos da Alemanha que diz que as ativida·
des humanas est.lo contribuindo para o aumento da tempe·
ratura global
28. Aquecimento global Determine see possivel que as seguintes
propor>Oe5 sejam iguais. Eicp6que seu raciocfnio.
(b) a propor~ de adukos do sul que dizem que o coogestionamemo e"" problema serio. £ possi.d que essas duas
propo<¢es sejam oguais? Explique seu raciodnio.
26. Centro-oeste e oeste conwua um inteivalo de confianc;4 de
99'lbpara:
{a) a propory!O de acUlos do ~e que dtzem que o
~oamento e um problema shio.
e""
in:ervalo de
9~para:
Pesquisas de jomal
Nos exercicios 29 e 30. traduza o trecho do jomal em um inlefVa·
lo de confian\a para p. Apracine o valor do nNd de ~ c.
29. Em uma Pe5CPsa enue 8.451 adtJ~ oortNmel1canOS. 3 l .4'1b
cissetam que esiavam tomando vQarniia Ecomo um suplemento. A margem de erro da pesquisa de 1% para mais ou para
e
,l.
fSl
30. Em uma pesquisa enue 1.001 adultos norte-americanos. 2-,qi,
disseram que lumaram um cigarro na semana anteri«. A margem
de erro da pesqtjsa e de 3._, para mais ou para menos.
•.• "" ·? °'9'r>'.m!>Cn)
31. Pot que verifocar? Po< que e necess.!rio veiificar sen(> ?: 5 e
~ ?: 5?
32. Tamanho da amostra A eq~o para determinar o 1arnanho
da amostra n =txi(u/E/' pode se< oblido ao resolver a equa~
para a margem de eno E = z, ~(f>q')/n para n. Mostre que 1sso e
verdade e justifique cada passo.
Ed ,e 1naaa
1
(apft11lo6
33. Valor maximo para pq Complete as tabelas para valores diferentes de(> e q = I -(>.A partir da tabela, qua! valor de(> parece
dar 0 valor maxima do produto(>q?
!>
O= 1- p
PO
o.o
1,0
0,00
0,1
0.9
0,09
0.2
0.8
p
•
lntervalos4e<oofiaoc•
q=1-p
277
M
0.45
0,46
0,47
0,48
0,49
0,50
0,3
0.51
0,4
0.52
0,5
0,53
0,6
0,54
0,7
0,55
0,8
0,9
1,0
Atividades
Explore
lnterva!osde confiaMa para uma proportao
Applet Os intervolos de confian>a pora uma propor>iio
applet permitem que voce •ivestigue visualmente OS intervalos
de confianc;a para i.rna proper~. Voce pode especificar o tama·
nho da amostra n ea propon;ao real p. Quando voce clica SIMU·
LATE, 100 amostras separadas de tamanho n ser~o selecionadas
de uma populai;.!o com uma p<opori;.lo de sucessos iguais a p.
Para cada uma das 100 amostras. um intervalo de confianc;a de
95% (em verde) e um intervalode confianca de 99% (em anrl)
500 mostrados no grafico a seguir. Cada um desses inteivalos e
c.ilculado usando a ap<oxim~o normal padtoo. Se um intervalo
~ contem a propoii;.lo real,
mos~ada em vennelho. NOie
que um intervalo de confianca de 990.0 esempre mais largo que
o intervalo de 95%. Simula¢es adicionais podem ser realizadas
clic.indo SIMULATE varias vezes. O numero acumulado de vezes
que c.ida tipo de intervalo contem a propori;.lo real tambl!m e
mostrado. Pressione CLEAR para limpar r~ existentes e
comecar uma nova simula<;ao.
Passo 1 Especifique um valor para n.
Passo 2 Especifique um valor parap.
Passo 5 Oique SIMULATE paragerar intervalosde oonlia~
thegando a condusaes
I.
em
e
'"~
p:'.O}J
Sin1u.la1e. I
•; ~·
Conell.incd p
l)id POI (Qri!:lln p
Prop. CO!Mlliotd
CJc3r
I
t I
99'.f- CJ
Fa><' a simula<;ao para p = 0,6 en = 10, 20, 40 e 100. Lim·
pe os resultados depois de c.ida tentaliva. Qual propor<;ao
de intervalos de oonfianl<' para que c.ida nivel de confianl<'
contenha a propon;ao populacional? 0 que aoontece com a
propor<;ao dos intervalos de confian,., que cont a propoc·
<;lo populacional para cada nfvel de oonfianc;a conforme o
tamanho da amostra aumenta?
2.
Fal<'a simulai;.!o parap = 0,4en = 100 de modoquepelo
menos 1.000 intervalos de confianc;a sejam gerados. Com·
pare a propon;.lo de intervalos de COlV!QIX<t que conti!m a
propor<;ao populacional para cada nlvel de c.o.ifia~a. lsso e
o que voce esperaria? Explique.
Ed ,e 1naaa
1
278 •
ht..f\tiC4•PllC«i•
m desvio
lntervalos de confian~a para variancia e
padrao
0 quevoc~
Adistribui(iio qui-quadrado-+ lntervalos de confian(a para " 1 e"
deve aprender
• Como usar a tabela da distribu•
\ao qu>quadrado.
• Como usar adistnbui(ao quj.quadrado para constru~ um intervalo
de confian\a para vari.lncia e desvio padrao.
I
Adistribuicao qui-quadrado
Na produ~ao, e ne<:esS~rio controlar o quanto um processo varia. Po.r exemplo,
o fabricante de uma pe~a de autom6vel deve produzir milllares de ~s a serem usadas em um processo de fabrica~ao. Eimportante que as p~as variem muito pouco ou
nada. Como voce pode medir, e consequentemente controlar, a varia~o nas pe~as?
Voce pode com~ com uma estimativa pontual.
Definicao
A estimativa pontual para "'es' ea estimativa pontual para u
es; s' ea melhor estimativa
nao tendenciosa para"'·
Dica de estudo
- • ------------A letra grega X e pronunciada "kl", que rima com a letra
gfega m<lis familiar"·
Voce pode usar uma rlislrilmi{ffQ q11i-q11arlmrlq para construir um intervalo de con·
fian~ para a variancia e desvio padrao.
Definicao
Se a vari.lvel aleat6ria x tem diwibui~ nonnal, entao a distribuiyao de:
2
2 (n-l)s
x=
2
•
0
fonna uma distribui~o qui-quadrado para amostras de qualquer tamanho n > 1. Quatro propriedades da distribui~ qui-quadrado estao a seguir.
1. Todos valores qui-quadradox> sao maiores ou iguais a zero.
2. A distribui~o qui·quadrado e uma familia de cuivas. cada uma detenninada pelos
graus de liberdade. Para fonnar um intervalo de conlian~ paca o>, use a distribui~
x> com graus de liberdade iguais a um a menos do que o tamanho da amostra.
g.I. = n - I 81""5 de libe<d<l<le
3. Aarea abaiJCo da cuiva da distribu~o qui-QIJ<ldrado e igual a um.
4. As distlibui~oes qui-quadcado sao assimetricas positivas..
g.I. = 2
I
...
"', g.l.=IS
' ~....: - .. .... ~.~·-= 3?
u...;-:>.;~~.....;.:~-::::..~.;...-, ,
so
Distribui5oes qui·quadrado
10
20
30
40
H;I dois valores importantes para cada nivel de confian~. 0 valor xi. representa
valor critico da cauda dircita e X'L rcpresenta valor critico da cauda csquerda. ATabela 6
no Ap<!ndice Blista valores de X' para varios graus de liberdade e <lreas. Cada area na
tabela representa a regi~o sob a curva do qui-quadrado a rlireilfl do valor cn1ico.
Ed ,e 1naaa
1
(1pflulo6
Exemplo
m
•
lnterv1I01de<onfi•ll(•
279
Dica de estudo
Para os valores criticos com
nfvel de confian~a c, os valo-
fncontrando valores criticos para X1
Encont:re os valores criticos x2R e x2Le um inte.rvalo de confutn"' de 90%1 quando
res a seguir sao os que voe.!
o tamanho da amostra for 20.
v@ na 'fabela 6 no Ap@ndice B.
SolriftiO
Como o tamanho da amostra e 20, ha:
g.I. = n- 1= 20- 1= 19graus deliberdade.
1-c
-r
As areas adireita de x'• ex\ s.'io:
v ______
6re
. d e x;, = -1-c- = 1-0.90 - 0, 0:.•
, a,ad'1re1ta
2
e
i;.-:::::~x'
xi
2
· d exL' =T
l+c =-l +0.-9o= 095
(a rea ad·1re1ta
, .
2
Parle da 'fabela 6 eexibida. Usando g.I. = 19 e as ~reas 0,95 e 0,05, voce pode encontrar
os valores criticos, como exibido pelas areas destacadas na tabela.
Area adireita de t
i
1-(1
•
'2 c)= I ;c
()
Graus de
liberdadc
I
0995
0,99
2
3
o,on
0,010
15
16
17
18
19
20
4,601
5,142
5,697
6,265
6,844
7,434
0,020
0.115
0975
0,001
0,()51
0,216
095
0,004
0,103
0,352
0,90
0,016
0,211
0,584
010
2,706
4,605
6,251
005
3,841
5,991
7,815
5,229
5,812
6,408
7,015
7,633
8,260
6,262 7,261 8,547
6,908 7,91,2 9,312
7,564 Mn 10,085
8,231 ~ 10,865
8,907 10,U7 11, 651
_¥91 I , 1 ) 12,443
22,307
23,542
24,769
24,996
26,296
27,587
25,989~
27,lQ4 "30,144
28,412
' )
x'L
Area adireita de tl
O resultado e que voce pode
concluir que a ~rea entr.e os
valores criticos da esquerda e
direita ec.
x'k
c
Por meio da tabela, vOci! pode ver que x~ = 30,144 e x; = 10,117.
InterpretnfiiO
1-c
-2-
Entao, 90% da area sob a curva esta situada entre 10,117 e 30,144.
a. lde11tifiq11e os graus de liberdade e o nfvel de confia11t;a.
b. E11co11tre a i\rea adireita de x~ e xl..
c. Use a Tabela 6 do Apendice Bpara encontrar x~ e de xl:
R~-,·JJO$tt1 t1n p. A.fl
I
lntervalos de confian~a para ale a
Voce pode us.1r os val ores criticos x'• e xl para construir intervalos de con!ians-a
para a varilincia e desvio padrao de uma popula~ao. Como ede se esperar o melhor
ponto estimado para a vari~ncia s'e a melhor estimativa pontual para o desvio padraoes.
Ed ,e 1naaa
1
Z80 • (11a1k1icaaplkah
-
[
Retratando o mundo
A baleia cinza tern a maior distanda de migra(iio anual de
todos os mamfferos. As baleias
deixam Baja, Calif6mia e o
oeste do M~ico na primavera,
migrando para mares de Bering e Chuki ix~ra os meses de
veriio. Seguindo tuna runos-tra de 51 baleias por um ano,
fomeceu a m<!dia da disliinda
de migra~ilo de 11.004 milhas
com desvio padrao de 860 milhas. (l\dtipwdo di· ~QJj1111al ,\lm11n.•
f'Nltr'1.'S S<'lt'i<i".)
efinicao
Um inteNalo de confianyi c para vari3nda e desvio padrao populacional e:
lnte1Valo de confianyi pa1a q>:
(n-t)s'
'
x.
,
«r<
(n-J)s'
) .
.\'.~
lnle1Valo de confianyi para O''.
(n- l)s'
- -,- <a<
XR
(n- l)s'
2
Xt
•
A probabilidade de que o inteNalo de confianyi con1enha ql ou O'
ec.
lnstru~oes
Construindo um interva!o de confianca para variancia e desvio padr3o
Em pnlnvrns
Em si111bolos
1. Verifique que a popula~o tern distribui~iio
normal.
Oceano Pacifico
<S;'>
ESTADOS
UNI DOS
Channel Islands
Co11strut1 u111 interi.N11o tft• con·
ftn11(n pnrn o rlesvio pnrlrtio pnrn
1rs disM11cins de 111ig111(tfo dns
bnle;ns <inzns. 1\ssru11a que as
dislfl11cins rlr migm{tlo 1€111 rlistrib11i(llo 11ormnl.
2. ldenlifique a estalislica da amostra 11 e os
graus de liberdade.
g.L= 11-1
3. Encontre a estimativa pontual s2•
,
E(r-x)'
11-1
s ==--'-
4. Encontre os valores crfticos x•~ e X\ que
correspondem ao nivel de confian~ c.
Use a Tabela 6 no A~ndice B
Extrerno esquerdo FJ<tremodi reito
5. Encontre os extrem05 esquerdo e direito e
forme intervalos de confian~a para a variAncia da popuJa~ao.
6.
Encontre o intervalo de confian~a para o
desvio padrao retirando a raiz quadrada
para cada extremo.
2
(11 - l)s <O'' < (11- l)s'
x!
(11 - l)s'
x.'
x!
<u<
(11 - l)s'
x.l
Exemplo [D
Construindo um interva!o de confianca
Voce seleciona aleatoriamente 30amostras de um antialergico e as pesa.0 desvio padriio da amostra e1,20 miligramas. Supondo que os pesos siio nonnalmenle distribufdos,
construa intervalos de confianvi de 99% para a variAnda e o desvio padr~o da popula¢o.
So/11fdo
As ~reas ll direita de x.', e x', sao:
. .
,
1-c
<\rea ad1re1la de ,'(, = - 2- =
~rea ll esquerda de
,i
,, ,
1- 0,99
2 - 0,005
l+c 1+ 0,99
_
- =
- 0, 99~2
2
=-
Ed ,e 1naaa
1
C•pl1Ulo 6
•
lnmva~4econliaoc•
281
x;,
Usando os valores /1 = 30, g.I. = 29, c = 0,99, os valores criticos e os valores de e x7
s.lio x'. = 52,336 ex', = 13,121.
Usando os valores criticos es= 1,20, o intervalo de confiani;a para a' e o seguinte:
(11-l}s' (30- 1)(1,20)'
~-,~-
x,
..
~2.336
/
~o.so
('1- l)s'
x,
2
(30-1)(1.20)'
~3. 1s
13.121 ~
' - 0,80 < "'< 3,18 - - - - - -
0 intervalo de confian(a "e:
(30- 1)(1.20)'
52,336
(30- 1XJ.20)'
13, 121
. r~~--'-'~-'-<q<.1~~--"'----'--
0,89 < "< 1,78.
Jnterpretnriio
Com 99% de confian~a, podemos dizer que a variancia populacional esM entre 0,80 e
3, 18. 0 desvio padrao da popula\ao est~ entre 0,89e1,78 miligramas.
Tente Encontre os intervalos de confian(a de 90% e 95% para a variancia e o desvio
woci padrfio da popula~o de pesos dos remedios.
a. E11C0'1lre OS valores crflicos x'. e xi para cada intervalo de confian\a.
b. Use 11, s, x'. e r, para encontrar os extremos aesquerda ea direita para cada intervalo de confian~a para a variancia.
c. Eucoutre as raizes quadradas dos extrc1nos para cada intervalo de con(ian\.1.
d. Espt'Cifiq11e os intervalos de confian~a tie 90% e 95% para a variancia e o desvio padrilo da popula\ilo.
Dica de estudo
•Quando um intervalo de confian~
para uma vari:incia ou
desvio pad.riio populacional
e cakulado, a regra geral de
arredondamento e arredondar pa"' o mesmo numero de
casas decimais dadas para a
variancia da amostra e odesvio padtiio.
Iii Exercicios
Construindo habilidades basicas e conceitos
Nos exercicios de l a 6, encontre os valores aiticos x',ex', para
o dado nivel de confiant;a c e tamanho da amostra n.
I. c = 0,90,n = lO.
7. Vitaminas Para analisar a va~o das pUulas de suplernento
vi1aminico, voce seleciona aleat~mente 14 p(lulas e as peSil. Os
resultados (em milig1am<)S) s.lo apresentados. Use um nivel de
90% de confiani;a.
500,000 499,995 500,010 499.997 500,015
499,988 500,000 499,996 500,020 500,002
499,998 499,996 500,003 500,000
2. C • 0,99,n • 13.
3. C= 0.95,n = 22.
c = 0,98,n = 26.
8. Xarope para tosse Vod!. seleciona. aleatoriamente, e mede o con-
5. C= 0,99,n = 30.
leUdo de 15 frascos de 101ope p.ar.i tosse. Os rescitados (em on(as
fl\Jidas) ~ apresentados a seguir. Use um nlvel de 900h coofiafl('.a.
4.
6. C= 0,80,n = 29.
4,211 4,246 4,269 4,24 l 4,260
4,293 4, 189 4,248 4,22GI 4,239
4,253 4,209 4,300 4,256 4,290
t:lsando e interpretando conceitos
Construindo intervalos de confian~a
Nos exeidcios de 7 a 20, supollha que cada amostra tenha sido
re1irada de uma popula<;ao no<malmerne d"ISlribuida e construa os intervalos de confia~ indicados para (a) a variancia da popula<;ao e
(b) o desvio padrao da popula\<10 o.
o•
9. Baterias de carros 0 numero de hO<as da capacidade de reseNa de 18 OOterias de automoveis escolhidos aleatoriameote e
apresentado a seguir. Use um nivel de 99% de confian(.il. 0daprodode W>wmot R<pons,)
Ed ,e 1naaa
1
1,70
1,86
1,55
1,60 1,94 1,58 1,74 1,60
1,72 1,38 1,46 1,64 1,49
1,70 1,75 0,88 1,n 2,07
14. Frequenda de pulso As frequencias de ptilso de uma amos·
tra alea16ria de 16 ad<Alos s.lo ap<esentadas no grafico ramo-e·
·folhas. Use um nivel de 950.0 de ·Confiani;a.
6
6
7
7
8
8
I
•
" 8
·~ ~
•• s
""~·,'I -09 I .I 1..3 IS 1.7 1.9 2.1
C~JX)cidade de restn't'I
Io.
Parafusos Voce seledona aleatoriamente e mede o compri·
mento de 17 parafusos. Os resultados (em polegadas) s.lo apre·
sentados. Use um nrvel de 95% de confiani;a.
1,286 1,138 1,240 1,132 1,381
1,300 1,167 1,240 1,401 1,241
1,217 1,360 1,302 1,331 1,383
2
589
0 144
66799
00
7
Chave: 61 2 = 62
15. Qualidade da agua Como parte de uma pesquisa sobre a qua·
lidade da agua, voce 1es1a a dureza da agua em varios Huxos
d'agua. Os resuh.idos soo apresentados na figura use um nivel
de 95% de confiani;a.
1,137
1,171
I
s
n= 19
.g "
<g
3
~
-
s ; 15 griios/galiics
,,. ,
I
I.IS 1.10 l.2S 1.30 J_1S
1.~0
Con1prin1oCtllO do parafui.o
11. Maquina para cortar grama Um fabricanle de mAquinas para
cartar grama est.I lentando delerminar o desvio padrao da vida
de um de seus modelos de mAquinas. Para faze·lo, ele selei:iona
alea1oriamen1e 12 mAquinas que foram vendidas anos auas e
descobre que o desvio padlao da amostra e 3,25 anos. Use um
nivel de 99<\b de confiani;a. (t.dap:o<h de coo,.,.,.., llepom.)
12. Sistemas de home theater Uma revista Jl(lbfica uma reporta·
gem sobre os p<e<;os de sistemas de home theaters. 0 artigo
afinna que 14 sistemas alea1oriamenle escolhidos tiveram urn
desvio padrao de S 123. Use um nlvel de 95% de confiaroi;a.
16. Custos de websiles Como paAe de uma pesquisa, voce per·
gunta a uma amostra de empre:s.lrios o quanto eles estariam
dispostos a pagar por um web~te para suas empcesas. Os re·
sultados s.lo apresentados na figura. Use um nivel de 90% de
confian<;a.
Quanto voce pagara
por seu site?
(/viap:odo ti< ConslH1let R<p<Jtrs.)
13. Hoteis Como pane de seu plar.ejamento de ferias, voce contata
to hote;s escolhidos de forma aleat6ria denuo da sua area de
des1>10 e anota o pre<;o dos quartos de cada um. Os resultados
sao apresentados no gralico ramo-e.folhas. Use um nlvel de 90%
de c.o.1fiani;a.
6
7
8
9
10
11
12
13
14
03
3
0
28
38
2
(have: 81 3 = 83
17. Renda mensal PS rendas mens.ais de 14 indMduos selecionados aleatoriamente que se formaram recentemente c0010 bachareis em economia 1em um desvio padrao de S 342. Use um nivel
de 95% de confiani;a. !MoPrmfo de u.s. &Jtect1 ol wb« S/"'50<>.)
18. Precipita~ao anual A media de precipita~o anual (em polega·
das) de uma amostra aleat6cia de 30 anos em Anchorage, Alaska,
tern um desvio padrao de 2,46 polegadas. Use um nivel de 99%
de confiani;a. (f<wo 1./asla C/imoro R"5e<Jlcl> C<11w.)
19. Tempo de espera 0 tempo de espera (em minutos) de uma
amostra aleat6ria de 22 pessoas em um banco tern 11n desvio
padrao de 3,6 minulos. use um nfvel de 98% de confia!\{<l.
20. Motocicfetas Os pce~os de uma amostra aleat6<ia de 20 mo·
tocicletas novas lem um desvio padrao de $ 3.900. Use um nlvel
de 90% de confiani;a.
Ed ,e 1naaa
1
Expandindo conceitos
21. Peso de pnulas de vitaminas vore esta analilan<Jo a amostra
de p{lulas de suplementos vitamlnicos do Exe<dcio 7. O desvio
padrAo da populaolo de pesos das p(lulas deve set menot que
0,015 miligramas. 0 intervalo de confian<;a que voce construiu
para s sugere que a variac;Ao nos pesos das pMis esteja denuo
de um ruvel aceitaver? Explique seu raciodnio.
22. Conteudo dos frascos de xarope para tosse Voce esta ana·
lisando a amostra de frascos de xarope do Exercicio 8. O desvio
padr~n da populacao de contelKios dos frasc:o~ deve ser me·
nor que 0,025 o~s fluidas. 0 intervalo de confianca que voce
construiu para u suge<e que a varia~o noconteudo dos frascos
esteja dentro de um nivel aceitavel? Explique seu raciocinio.
Usos e abusos - estatistica no mundo real
Usos
Agora, voce sabe que informa¢es completas me os parameuos populacionais nao
estao frequentemente disponfveis. As te<:n~ deste capftufo podem ser usadas para faier
eslimativas de intwalos desses parametros de modo que voce possa tomar decisiles funda·
mentadas.
Do que voce aprendeu neste c.ipitulo, voce sabe que as estimativas pontuais(estatfstic.is
amostrais) dos parametros populacionais sao oormalmente pr6ximas, mas raramente sao
iguais ao valor real do paramevo que estao estimando. l emb<ar disso pode ajudar a tomar
boas decis<Jes em sua carreira e no dia a dia. Por exemplo, suponha que o resultado de uma
pesquisa diga a voce que 52% de uma popula(llo pla·
_ Elcilores rcg.is-tn1dos
neja votar a faV<l< do ioneamento de uma parte de uma
cidade em area residencial e comercial. Voce sabe que
isso e somente uma estimativa pontual da real propotVotos
/~
(llo que votarA a faVO< do zoneamenio. Se o intervalo
Elcitorcs ')
::uuais
.J na anl0$1r.l
de estimativa for 0,49 < p < 0,55, entao voce sabe
que isso significa que epossivel que o item nao receba
"-._____/
a maioria dos votos.
Abusos
Amostros niio representotivos Ha muitas maneiras nas quais pesqiisas podem resuhar em previsiles incorretas. Quando voce vil os resultados de uma pesquisa, lembre-se de
questionar o tamanho da amostra, a tecnic.i de amostragem ea questao usada. Po< exemplo,
suponha que voce queira saber a propo<~o de pessoas que votar~o a favor do zo.1earnento.
A panir do <fiagrama apresentado, voce pode ver que mesmo se sua amostra for grande o
suficiente, ela pode nao consistir dos eleitores reais.
Usar uma amosua menor pode ser a unica maneira de fazer uma esrimativa, mas esteja
atento ao fato de que uma mudanca em um valor de dado pode mudar completamente os
resultados. Geralmente, quanto maior o tamanho da am0stra, mais acertado ser~ o resultado.
Quest<io de pesquiso tendern:ioso Nas pesquisas. tambem e impo<tante analisar as
palavras usadas nas questOes. Po< exemplo, a questAo sob<e o zoneamento pode ser apresemada como: "Sabendo que o zooeamento ira resuhar em mais neg6dos contnbuindo para
impostos escolares. voce apoiaria o zoneamentol"
{xercicios
1. Amosuos ndo tepresentotivos Encontre um exemplo de uma pesquisa que foi mos-
trada em um jornal ou revista. Desaeva diferentes maneiras de que a amostra poderia
nao set repcesentativa da popul~.
2. Questiio de pesquiso tendencioso Encontre um exemplo de uma pesquisa que esteja
em um jomal ou revisla. Desaeva diferentes maneifas de que as questlles dessa pesquisa possam ser tendenciosas.
Ed ,e 1naaa
1
284 •
l11a1n1ica•plk•d•
Resumo do capitulo
0 que voce aprendeu?
•
Como encontrar unla estin1ativa pontual ea margem de erro:
Exemplos
Exercicios
de revisao
1e2
1 e2
3a5
3e4
6
5a8
u
E=z,..,...
VII
• Como construir e interpretar intervalos de confiarn;a para a media populacional:
x- E<11 <x +E.
• Como determinar o tamanho mfnimo necess<l.rio da amostra quando estimamos '"
11=[':]'.
Sf,dO 6.Z
• Como interpretar a distribui~lio t e usar a tabela da distribui¥iO:
9a 12
_ (x-1t)
1
- (s/ $.)'
• Como construir intervalos de confian<a quando 11 < 30, a populai;iio enonnalmente
distribuida e tT edesconhecido:
s
2a4
13a22
x-E<11<x+E, E= I, r·
""
s~,ao 6.3
• Como encontrar uma estimativa pontual para a propor<;ao populacionaJ:
23a30
• x
p=-.
II
• Como construir um intervalo de confian<a para propor\llo populacional:
p- E<p<p+E, E=zc
2e3
31 a38
4
39e40
v-;/M.
• Con10 detern1inar o tan1anho nllnin10 de aJnostra necessaria quando estima1nos
um• propor~ilo pop11IMiOn•t:
11=flij[~ J"
s~,Cio 6.4
• Como interpretar a distribui~ilo qui-quadrado e usar a tabela da distribui<;ao quiquadrado:
41a44
,, (11-l)s'
x
u
t
.
• Como usar a distribui\ilo qui-quadrado para construir um intervalo de confianyi
para va.rifincia e desvio p'1drao:
(11- l)s' 2 (11- l)s' (11-l)s'
(11- l)s'
• <u < ' ' 1 ' <u<.
x•
x,
x.
• x,' .
2
45a48
Ed ,e 1naaa
1
(op!lulo6
•
latnv1~1dtcon1i'1l<•
285
Exercicios de revisao
s.
Sec!o 6.1
Nos e.e<ckios I e 2, encontre (a) a estimativa pontual da m<!clia
da popula~o e (b) a margem de erro para um intervalo de 90% de
confian~.
' ·~ 1. Hor~rio de despertar de 40 pessoas que <:0m~m aoabalhar ~
Sh (em minutos passados das Sh).
135 145
95 140 135
95 110
so
90 165 110 125
80 125 130 110
25
75
60 125 11 5 135
95
90 140
65 100
100 160 135
40
75
50 130
45 135 115
use os resultados do Exercicio I. Determile o tamanho mfni·
mo da pesquisa nec~rio para se obter um nfvel de 95% de
confia~ em que a mMia da .amostra de horarios de despenar
esteja dentro de uma margem de e<ro de IO minutos da m<!clia
verdadeira.
use os resultados do Exerdcio I. Appra, suponha que voce queira
um nivel de 99% de confian~ com um erro nWriino de 2 minu·
1os. Q\Janlas pessoas ~ precisaria pesquisar?
7. use OS resultados do Exerclcio 2. Delermine 0 tamanho mlnimo
da pesquisa necessaria para ter 95% de confia~ em que a media da amostra da distancia ate o trabalho esteja dentro de uma
margem de erro de 2 milhas da m<!clia verdadeira.
6.
8. Use os resultados do Exerdcio 2. Agora suponha que voe~ queira
um nfvel de 98% de confia~ com um erro ~ximo de 0,5 mi·
Rias. Quanias pessoas voe~ precisaria pesquisar?
85
75 130
I
Secao 6.Z
14
~
IZ
,fi
10
g
·;:;
Nos exerclcios de 9 a 12, encontre o valor cr~ico t, para o dado
nlvel de confian.;a c e um tamanho da amostra n.
= 6
er
l!
..... 4
9.
10.
2
x
35 SS 1S 9.S llS 13.S I.SS
Hor.lrios de dcspcr1llr
(enl 1ninutos dcpois das Sh)
::'~ 2. Oist.lncia at~ o trabalho de 32 pessoas (em milhas).
12 9
7
2
8
21 10 13 3 7
6 13
13 6
6 14 4
2 9
7
3 27
~
6
....
4
c = 0,98, s =0,9, n =12, i =6,8.
*= 25,2.
i'los exe<dcios de 17 a 20, constroa o intervalo de confon~ para
2 12 16 18
11 usando as estatlsticas do exercfcio. Se for corweniente, use ferrame11·
tas de tecnologia para construir o int<!tllalo de confia~.
17. Exercicio 13.
18. Exercfcio 14.
19. Exercicio 15.
20. Exercido 16.
2
"'
10
16
22
2$
Oist:!ncia :116 o trnbalho (cn1 milhas)
Nos e.xercicios 3 e 4, coostrua o intervalo de confia~a illdkado
para a m<!clia da populai;Ao 1.. Se for conveoiente, use ferramentas de
tecnologia para constroir o intervalo de confiam;a.
3. c = 0,95,x
14. c=0,95,s= l,1,n=25,x =.S,5.
10 3
·g
"' IOg
l!
Nos exerckios de 13 a 16, e11eontre a margem de erro para 11 •
13. c = 0,90,s = 25.6,n = 16. i = 72,1.
16. c=0,99,s = 16,5,n = 20,
2 30 7
I?
O'
12. C= 0,99,n = 30.
15.
I
...
11.
c = 0,95,n = 8.
c = 0,90,n = 22.
c = 0,98,n = 15.
=10.3, s =0,277. n =100.
4. c = 0,90,x = 0.0925. s = 0.0013, n = 45.
Nos e.etcicios de 5 a 8, determine o tamanho mfnimo da amos·
tta para estimar µ.
21. Em uma amostra de 15 CO players que estavam no conserto, o
arsto m<!clio do conseno era de S80 e o desvio padrao era de
S 14. Consuua um intervalo de 90% de conlian.;a para µ. Suponha
que o custo para o conserto seja normalmente distribuido. (Adoprodode Ccnwmer ll<J;otts.)
22. Repila o Exerdcio 21 usando um intervalo de 99% de coofl(ln.;a.
Secao 6.3
Nos exercidos de 23 a 30, seja p a propo19]0 da populaylo que
responcle sim, uSI! as inf0<ma~Oes d;adas para encoouar pe(/.
23. Em uma pesquisa com 2.000 adultos none-americanos, 560
disseram que acreditam que seus mMrcos dizem a verdade.
(Adop!Cdode l\»v Resear<h Ceme<.)
Ed ,e 1naaa
1
Sim
560
Nao
1.440
24. Em uma pesquisa com 500 adultos nooe-americanos, 425 disseram que confiariam no que seus m~icos disseram. (Adcplooo
de The Harm Poll.)
Si1n
594
29. Em<Jllapesquisacom 4.813adukosnotte-americanos, 2.021 dis·
seram ter Internet com acesso de alta velocidade em casa. (Adoprodo de P,,.,1 lnJemet ond American Lie ProJ<ct)
Nao
75
Sim
2.02 1
Sim
425
25. Em uma pesquisa com 2.010 adultos norte-americanos, 442 dis·
seram que nos ultimos 3 anos uma oiganiza~ os notificou de
terem perdido, te<em sido roubados ou de terem jogadofora indevidamente suas informa¢es pessoais. r;.tfaplJJdo a., The Homs Poll.)
Sim
442
Ni!o
2.792
30. Em uma pesquisa com 2.365 adultos norte·americanos. 1.230
disseram se preocupar mais em perder suas dedu'Oes ao preenche< suas taxas. (µop!orfo de USA TOllAY.)
Siin
1.230
N~o
1.135
Niio
1.568
26. Em uma pesquisa com 800 adultos norte-americanos, 90 fazem
pagam~omlnimo deseu cartaodecr~i1o. (A<loplcrlodeeomb<.O.
go """""'" C1e<111 IJ>dex)
Sim
90
Nao
710
27. Em uma pesqoisa com 644 adolescentes noite·americanos, 116
dizem que os llde<es de neg6cios ~o ~tico~ (Fonre: USA ~)
Niio
528
28. Em uma pesqUisa com 1JXJ7 norte-americanos adultos. 594 di·
zem que aprovam ossindkatos (/ltlopro<lo de TheG<>l.IJpO<ga>'1•""'-)
Nos exeidcios de 31 a 38. construa o intervalo de ronfia°'" indicado para a propot~o pop1Jlacional p. Se for conve<iiente, use ferra·
mentas de tecnologia para constl\Jil o intervalo de confia~.
31 . Use a amostra no Exe<dcio 23 com c = 0,95.
32. use a amostra no Exeidcio 24 com c = 0,99.
33. Use a amostra no Exe<d<io 25 com c = 0,90.
34. Use a amostra no Exe<ckio 26 com c = 0,98.
35. Use a amostra no Exe<dcio 27 com c s 0,99.
36. Use a amostra no Exetdcio 28 com c = 0,90.
37. Use a amostra no Exefdcio 29 com c = 0,95.
38. Use a amostra no Exe<d<io 30 com c = 0,98.
39. Voe! quer estimar, com 95% de confian(a e margem de erro
de 5% da popu~ verdadei1a, a propoi~ de aduitos norte·ame<icanos que adlam que deveriam poupar mais dinheiro.
(a) Nao~ estimalivas p1m~ Encomre o iamanho minimo da
amostra necessaria.
(b) Encomre o tamanho minimo da amostra necessaria, usando
um estudo previo que descobriu que 63% dos adultos no<·
te-americanos acham que deveriam estar poupando mais
dinheiro. (foll!e: Pow Rt$e<ll<h '""'")
(c) Compare os resultados das partes (a) e (b).
40. Repita o Exerdcio 39 pane (b), usando um nivel de 99'!b de
conlia°'" e uma margem de etto de 2,5%. Como esse tamanho
de amostra se compara ~ sua resposta no Exercfcio 39 pane (b)?
Ed ,e 1naaa
1
(•pfrnlo6
•
lnterv•l.,deconfi•ll(•
287
Secao 6.4
Nos exerddos de 41 a 44, encontre os val01es af1icos .~ e ,\ {
para o dado nM!I de confian~ c e ramanho de amostra n.
41. C= 0,95,n = 13.
46.
42. c = 0.98,n = 25.
- ·~A7.
43. c= 0,90,n = 8.
44. c = 0,99, n = 10.
Nos exercicios de 45 a 48. construa os inteivalos de confi~
indicados para•' e o. SupQnha QUe as amostras sejam retiradas, cada
uma, de uma popula.ao normalmente distribuida.
45. Uma amostra aleat6ria do conte<ldo liquido (em on>as fluidas) de
16 latas de bebidas edada. Use um nlvel de 95% de confian~.
14,816
14,965
14,863
14,824
14,814
14,884
14,916
14.860
15,021
14,m
14,856
14,919
Repita o Exerdcio 45 usando um nf•-el de 9~ de confian>a.
Uma amostra aleat6ria do s6dio (em maigramas) comido em 24
caixas de cereais edada Use um nfvel de 90% de confianca.
290,8 292,5
288,0
291.9
290,3
291,4 290,0 290,3 289,9 289,3
291,2 290,6 289,8
292,9
288,7
291.4 289,7
14,998
14,838
14,874
14,980
289,7
29 1,1
290,9 289.9
290,6
290,0
291,3
48. Repita o Exerdcio 47 usando um nivel de 95% de confian~.
Teste do capitulo
l
Faca este teste como se voe~ estivesse fozendo uma pt<l'ia em
s.ila. Depois, compare suas respostas com as resposias dadas no
finaf do livro.
confian\a para uma mMa da popu~o e inteq>rete os resultados. Suponha que a JlOPula(Ao do conjunto de dados
seja normalmente distribuida.
1. Os dados a segtir representam o custo de reparos (em d61ares)
pata uma amostra aleat6ria de 30 m~quinas de Javar I~. I/It/Op·
tado do COMWrl<I /lepons.)
(d) RepiUl a pane (c). supondo que o = 2,63 jardas. Compare
os resultados.
41,82 52,81 57,80 68,16 73.48 78,88 88, 13 88,79
90.07 90,35 91,68 91,72 93.01 95,21 95,34 96,50
100,05 101,32 103,59 104,19 l()!;,62 111,32 11 7,14 118,42
118,n 119,01 120,10 140,s2 141,84 147,06
(a) Encootre uma estimativa pontual da media da popula.ao.
(b) Encootre a margem de e1!0 para um nivel de95% de coofiaO\il.
(c) Constt\Ja um imeivalode 95% de confianca para a media da
popula~o e interprete os resultados.
2. \lxe quer es!imar a m~ia dos custos com reparos de rmqtJinas
dt:
lav<11
k14Jt,.c:>. A otintativd devt: ltf
t1&d1~11
de: t:lfO dt: S 10
em rela(Ao a mMia da popola.ao. Determine o tamanho exigido
da amostra para COM!t\Jir um inteivalo de 99% de confianca para
uma media da popula.ao. Suponha que o desvio padrao da popula{.\o seja $ 22,50. fMap<ado ~ CtJns,;1ne1 llEpol:<)
3. O conjunto de dados a seguir representa a media de jardas pOI
L1terce~ para uma amostra aleat6ria de recebedores no futebol amelicano de uma temporada recente. (For.;,: Nooorcl Foolball
tecgw.)
11, I 14,4 12,8 12,0 15,2 13,9 11 ,7 13,2 11,6 13,7
(a) Encontre a mMia da amostra.
(b) Encontre o desvio padrao da amostra.
(c) Use a distribui.ao I para constt\Jir um inteivalo de 90% de
4. Em uma amostra aleat6ria de sete engenheiros aeroespaciais,
a ren<la mMia mensal foi de S 6.824 e o desvio padrao foi de
S 340. Suponha que as rendas mensais sejam normalmente
disl.ribufdas e use uma distribui>Jo t para construir um inteiva·
lo de 95% de confianca para a mMa da popul~o de renda
mensal de engenheiros aeroespaciais. (Moprodo do us Bvtecu oJ
to<'<>' Sromr.._)
5. Em uma pesquisa com 1.037 adultos dos EsUldos Unidos com
idades emre 65 ou mais, 643 s;e preocupavam em contrair gripe.
(Foore: HOM11d Sthcci l<x Plibllc Hoa.'th.)
(a) Encontre uma estimativa iiJOntual para a propor~o popula·
cional p daqueles que se p<eocupavam em contrair gripe.
(b) Construa um inteivafo de 90% de conlianca para a propor·
\(io popufadonal.
(c) Encontre o wmanho mfnimo da amostra nece~rio para
esiimar a propon;!o populacional no nfvel de 99% de coo·
fianca para assegurar que a esiimativa esteja de ac01do com
a margem de erro de 4% da propo1¢0 poP<Jlacional.
6. ConS<Jhe o conjunto de dados no Exercfcio I. Suponha que a
popufa¥lo do custo do reparo de ~quinas de lavar looca seja
normalmente distribufda
(a) ConstJW um intwalo de 95'!0 de conf14n,a para a varklncia
da popula(Ao.
(b) Constt\Ja um inteivalo de 95% de confianca para o desvio
pad~ da popula~o.
Ed ,e 1naaa
1
288 •
liutllti<"Pll<..ta
Juntando tudo
E:statistica real - decisoes reais
Como pane dosesfor~os da U.S. Environmental Protection Agency (EPA) pioteger a ·saude
humana e salvaguardar o ambiente naturar, o EPA conduz o Urban Air Taxies Monitoring Pro·
gram (UATMP) - ptograma de monitoramento de t6xicos nos ares u.tanos. 0 ptograma reuniu
milhares de amostras dear e as analisou para concenuai;ao de mais de 50 componentes organicos diferentes, tais como formaldeidos (usados para preservar va;cinas, armazenar es~cimes
biol6gicos e na produylo de adesivos permanentes e como isolante). Os formaldefdos tambem
sao encontrados na fumac;a de queimadas nas florestas, no escapamento de autom6veis e na
fvmaca do tabaco. Os resultados do UATMP sao usados para obter percepi;.lo sobre os efeitos
da poluii;.lo do ar e dete1111inar se os esfor'°5 para limpeza do ar est3o funcionando.
POI exemplo, usando amostras dear de uma grande cidade, o EPA pode analisar e estimar
a concenuai;ao mMoa de formaldeldos no ar usando intervalos de confianca de 95%. Eles
podem comparar o intervalo com os resultados de anos anteriores para verse~ te~cias e
se houve mudancas significativas na quantia de formaldefdos no a1.
Voce ttabalha para EPA e foi pedido para inteff)letar os resu1tados mostrados no g<afico
a seguiI, que mostta a estimativa pontual para a m~ia de concenuai;ao populacional e o in·
tervalo de confianca de 95% para 11 para formaldefdos num periodo de 3 anos. Os dados sao
baseados nas amostras dear de uma cidade.
Forn1aldefdos
'U'
,E
~
0>
~&
'3 -
g ts
, -_
u 1!.
"
-
~~
!:E
~ &.
2
E
~
I I
I
Ano I
Ano2
Ano .l
Ano
E:xercicios
I.
lnterpretondo os resultodos
Considere o grafico da m~ia dos niveis de concenua~~o de formaldefdo. Para os anos a
seguir, decida se houve mudanc;a na mMa dos nlveis de concenu~o de formalde'.00.
Explique seu raciocinio.
(•) do Ano 1 para o Ano 2.
(b) do Ano 2 para o Ano 3.
(c) do Ano 1 para o Allo 3.
2. 0 que podemosconcluirl
Usando os resultados do Exercicio 1, o que podemos conduir sobre os esfor~os para
reduzir a concentrai;.lo de formaldeidos no ar?
3. Como voce acho que eles fizerom?
Como YOce acha que a EPA construiu o intervalo de confianc;a de 95% para a m~ia popu·
ladonal de concentra\<lo dos compostos organicos no ar? O que 1emos a seguir respo.ide
Aquestao (voe~ mo f)lecisa faze1 neM.Jm calculo).
(a) Que distrfbuii;ao de amosuagem voe~ acha que foi usada? Por qu~?
(b) Voce ad\a que eles usaram o des..;o padrao da amos1ra ao calcular a mQtgem de
eno? POI que? Se nao, eles pode1iam le< usado?
Ed ,e 1naaa
1
(apltul• 6
Tecnolo ia
I
MINITAB
•
ln1malcs4e<onfiaaca
Tl-8J/84
EXCEL
AGallup Organization(www.galluppoll.com)
Pesquisa dos mais admirados
Desde 1948, a Gallup Organization conduz a "pesquisa dos mais admirados". A
metodoJogia para a pesquisa de 2006 esta descrita abaixo.
Pergunta da pesquisa
wee
Que ho111e111'
01rvi11011 le11 a respeito, q11e estcjn vivo hojc em din, em qunlq11t'r pnrtc
do 1111111do, vo<:<' 111nis nd111irn? Q11e111 serin sun seg1111dn esrollrn?
"Esses resultados s~o baseados em entrevistas por telefone com uma amostra de
1.010 adultos selecionados aleatoriamenle, com idades acima de 18 anos, conduzida
de 11 a 14 de dezembro de 2006. Para os resultados baseados nessa amostra, podemos
dizer com 95%de confian~a que o erro maxi mo atribuivel ~ amostragem e outros efei·
tQs aleat6rios e± 3 pontos porcentuais. Alem do erro de amostragem, a montagem da
questao e dificuldades praticas ao conduzir as pesquisas podem introduzir erro ou
tendenciosidade nos resultados das pesquisas de opini~o publica."
Exercicios
I. Em 2006, o homem mais mendonado foi George W. Bush em
13%. Use a tecnofogia para encomrar um iniervalo de confia~
de 95% para a proporc;;Jo que teria escolhido George w. Bush.
2. O imeivalo de coolia~ obtido no Exercicio I coOCO<da com a
afirma(Jo da Gallup de que a propor,ao e 13% mais ou menos
3%? Explique.
3. Em 2006, a mulher mais ~cionada foi Hill3ry Ointon. A segunda foi Oprah Winfrey, que foi nomeada por 9% das pessoas na
amostra. Use a ferra~ta tecno!Ogica para encontrar o intervalo
de oonfia"ld de 95% para a proporc;;Jo da pepula(Jo que esar
lhe<am a Optah Winfrey.
4. use a ferramenta tecnol6gica para simular a pesquisa da pessoa
mais adrrirada. Assuma que a propor(Jo populacional real que
mais admira Oprah Winfrey e 12%. F~ a ~mula(Jo diversas
vezes usando n = 1.010.
(a) QIJal foi o menor valor obtido perf>?
(b) Qllal foi o maior valor obtido pori>?
5. ~ possivel que a propor~o real de popula~o que mais admira
Op!ah Winfrey seja de 12% ou mais? E>p!ique seu raciodnio.
MINITAB
l
Generate 200 rows of data
Store in column(s)I:
C1
Number of trials: 1010
Probabifity of success;
289
.12
Ed ,e 1naaa
1
Usando a tecnologia para construir intervalos de confian~a
Aqui estao algumas telas do MINITAB e Tl-83/84 para. exemplifica<;<lo neste capftulo. Pnrtl duplicur os resulti:ldos do ~·llNffAB, vote prcciso dos dnd0$0riginnis. Pru-n
a Tl-83/84, voce pode simplesmentc inserir as estatisticas descritivas. As respostas po·
dem serum pouco diferentes por conta do arredondamento.
(Vtja Exemplo 3, p. 254.)
Qisplay Descriptive Statistics ...
§tore Descriptive Statistics .
4
E'"·ll!IM
1-Semple t ...
!'1-Sample t ...
Paired t. ..
9 20 18 16 9 9 11 13 22 16 5 18 6 6 5 12 25
17 23 7 10 9 10 10 5 11 18 18 9 9 17 13 11 7
14 6 11 12 1l 6 12 14 11 9 18 12 12 17 11 20
MINITAB
t
Z Confidence Int ervals
1 Pcoport.ion...
2 Prgportions .. .
The assumed sigma • 5
Variable
Cl
N
Mean
&l
12.4
StOev SE M ean
5.010
0 .707
95.0%CI
(11.014.13.786)
(Veja Exemplo 2, p. 265)
Qfsplay Descriptive Stat.istics...
~e Descrip tive Sta_Ei~cs .. ,_
1-Sample ;:';.. .
1p12;;;;11w
159" 173" 162" 151° 173" 162" 148" 172°
167" 170" 151" 153' 172" 143'' 166" 170"
M!NITAB [
a-sample t .. .
Paired t. ..
T Confidence Intervals
1 Pcoportion .. .
2 Prgportions .. .
Variate
C3
N
Mean
16 162.00
StOev SE Mean
10.0 0
95.0% 0
2.50 (156.67.167.331
{Veja Exemplo 2, p. 272.)
Qisplay Descriptive Statistics..
~e Descriptive Statistics ...
1-$ample ~.. .
1-Sample t .. .
a-sample t ...
Paired t ...
'i Prap:wt1on
2 Prgport.ions ...
.!
MINITAB
l
Test and Confidence Interval for One Proportion
Test of p • 029 vs p not • 0.29
Sample
X
N
Samplep
95.0%CI
1
354 1219 0.290402 (0.264919.0.315885)
Z-Value
0 .03
P-Value
0.975
Ed ,e 1naaa
1
C.pliulo 6
(Ver Exemplo 5, p. 256)
(Ver Exemplo 3, p. 265)
Tl-83/84 [
Tl-83/ 84
e
EOIT Cl\LC
E:OfT CJ\l.C
1:
2:
3:
4:
2t T-Test...
3: 2-SampZTest...
4: 2 - SampTTest...
5: 1-PropZTest...
6: 2-PropZTest...
7: Zlntervel...
Tlnterval...
al
Zlnterval
lnpt:Oate
EOIT C/\lC
Tlnterval
lnpt:Oate
i: 6:22
Bm
s: 1.5
x: 22.9
$)(;
C-Level: .9
C-Level: .99
calculate
calculate
Tl-83/84 [
Zlntervel
{22.348, 23.452)
X• 22.s
n= 20
•
Tl-83/ 84 [
Tlnterv.al
{5.9513. 6A887)
i•
6 .22
Sx= .42
n• 20
Tl-83/84 [
•
1-PropZlnt
x;
354
n: 12 19
.42
n: 20
11#,.iM
0: :2-SampTlnt.•
1111 1-PropZlnt...
Im
n: 20
l
5 t 1-PropZTest...
•
Tl-83/ 84 [
291
6 : '2-PropZTest..
7: Z lnterval...
8 : ilntervel..
9: :2- SampZlnt...
Ill
•
Tl-83/ 84 [
lnter<alosdeconfia111•
(Ver Exemplo 2, p. 272)
Tl-83/84 [
Z-Test...
T-Test...
2-SampZTest..
2-SampTTest...
5: 1-PropZTest...
6: 2-PropZTest...
Zlnterval..
•
C-Level: .9 5
catculate
•
Tl-83/ 84 [
1-PropZlnt
(.26492..31589)
p= .2904019688
n= 12 19
•
Ed ,e 1naaa
1
Capitulo I
j l ___ Testes de hipotese
~
]. __
com uma amostra
Onde estamos
Para onde vamos
No Caprtulo 6, voe~ oom~ou a estudar estatlstic.1
inferencial. Naquele c.1pitulo, voce aprendeu a formar um
intervalo de oonfiani;a estimado para um parametro popula·
cio.nal, ta! oomo a propor<;ao de pessoas nos Estados Unidos
que oonoordam com certa alirmai;.io. Por exemplo, em uma
pesquisa por todos os Estados Unidos, realizada por Harris
lntc>mctive em nome do BusinessSofware Alliance (BSA), fo.
ram entrevistados estudantes americanos com idades entre
8 e 18 anos e perguntado a eles sobre suas atitudes em rela(aO a lei de direitos autorais e oomportamento na Internet.
Aqui estao alguns dos resultados.
Neste c.1pitulo, voce oontinuru-a estudando estatlstica
inferencial. Mas, agora, em vez de fazer estimativas sobre
um parametro populacional, voce aprendera oomo testar
uma afirma~ao sobre um para.metro.
Por exemplo, suponha que voe~ trabalhe para a Harris
Interactive e deva testar a afinna<;ao de que a propor~o de
alunos norte-americanos entre 8e18 anos que fazem rlow11lanrl
de musica da Internet sem pagar ~ p = 0,25. Para testar a afir·
1na~OO, v()ci} retira unla amost.ra aleat6ria de 11 = 1.644 estudantes e descobre que 526 desses fazem rlow11load de m6sica
na Internet sem pagar. Sua estatislica amostral e fi "'0,320.
Sua estatistic.1 amostral difore o suficiente da afirma~ao (p = 0,25) para decidir que a afinna<;ao e falsa? A resposta esta na distribuii;.io de amostragem das propori;Oes
amostrais retiradas de uma popula~o na qual p = 0,25. 0
grMioo a seguir mostra que sua estatlstica amostral est;I aci·
ma de 6 erros padrao do valor da afinna~ao. Se a afinnao;lio
for verdadeira, a probabilidade de que a estatfslica amostral
esteja a 6 erros padrao ou mais do valor afirmado e mui·
to pequena. Alguma coisa esta errada! Se sua amostra for
verdadeiramente aleat6ria, entao voci! pode concluir que a
propor<;<io real da popula<;ao de estudantes nao e0,25. Em
outras palavras, voci! testou a afirmao;ao original (hip6tese)
e decidiu rejeita-la.
N6mero
Pergunta da pesquisa
NUmero
pesquisado
VO<i! iii fezd0<1mlond de musica
na Internet sen1 pagar por isso?
1.644
526
VO<i! nao fez dow11/ond de
mUsicas sen\ pagJr pois n~o
quer problemas cont as Iris?
1.644
690
Fazer dmo11lood de mUsica sem
pai;ar esempre errado?
1.644
986
VO« jA fez d0<u11/ond de software
de lntern<'t scrn pag:ar?
1.644
230
de quem
respondeu sim
Distribui~ao amostral
Estatistica anu>..(Ottal
,;.0320
-+-;--+--+-;_,.:;.-+-+-+-+-1-_,,,_;--+-~
·\-+-~•
m
=
~1
~
~
g
Ul
~I
~
~-+~+--+~+--t~+---t~+---t~-+----~-+~t---+~+--~ '
-7
-6
-s
-4
-.l
-z _,
0
2
3
4
s
6/ 7
Valor t pa.dronizado
z ;6.S5
Ed ,e 1naaa
1
Ill
lntrodu~ao aos testes de hipotese
Teste de hip6tese ---+ Estabelecendo uma hip6tese - >Tipos de erros e nivel de
significancia - > Testesestatisticose valores P - > Tomando einterpretando
uma decisao ---+ Estrategias para testes de hip6tese
I
Teste de hip6tese
No restante deste livro, voceestudara uma importante tecnica em estatistica in·
ferencial chamada de teste de hip6tese. Um teste de hip6tese e um processo que usa
estatfsticas amostrais para testar a afim1aqao sobre o valor de um parametro populacional. Pesquisas em campos tais como medicina, psicologia e neg6cios confiam nos
testes de hip6tese para a tomada de decisiies fundamentadassobre novos medicamen·
tos, tratamentos e estrategias de mercado.
Por exemplo, suponha que um fabricante de autom6veis anuncie que seu novo
carro hibrido fem mi!dia de milhagem de 50 milhas por galilo. Como poderiamos most:rar que esse anuncio efatso?
Obviamente, voce nilo pode testar todos os vefculos, mas voce ainda pode tomar
uma decis.'io razoavel sobre a media da milhagem retirando-se uma amostra aleat6ria
da populav'lo de vefculos e medindo a milhagem de cada um. Se a mi!dia da amostra
diferir o suficiente da mMia do anuncio, voce pode decidir que o anuncio esta errado.
Por exemplo, para testar que a mi!dia de milhagem de todos os vefculos hfbridos
desse tipoe 11 = 50milhas porgalilo, voce poderetirar uma amostra aJeat6ria de 11 =30
veiculos e medir a milhagem de cada.Suponha que voce ol>tenha uma mi!dia amostral
de x =47 mil has por galao com desvio padriio amostral des =5,5 milhas por galiio.
l:sso indka que a anuncio do fabricante e falso?
Para decidir, voce faz algo incomum -voct assume q11e o m11i'1cio estlf correto! Ou
seja, voct! assume que 1• = 50. E11tao, voce examina a distribui¢o de amostragem das
medias amostrais (com 11 =30) retirada de uma popula<;ilo na qual 1• =50 e a =5,5.
Pelo teorema do limite central, voce s.1l>e que ess.1 distribui¢o de amostragem e normal com media de 50 e desvio padrao de
5,5
0 que voce
deve aprender
• Uma introclu\<lo pralica ao teste
de h1p6tese.
• Como estabelecer uma hij)Otese
nula e uma hip6tese altemati\'il.
• Como identi1kar os erros tipo Ie
tipo II e inteipretar o nf\<el de significAncia.
• Como saber se devemos usar o
teste estaUstico uni ou bicaudal e
encontrar um valor P.
• Como tomar e intetpretar deciscles b<iseadas em resultados de
um teste eslatistico.
•Como escr- uma afir~o
para um teste de hip61eses.
1
130"' .
No gra.fico a seguir, note que sua mMia amostral de x = 47 milhas por galiio
e muito improvavel - esta a aproximadamente 3 erros padrilo da media afirmada.
Usa11do as Mcnicas que voce estudou 110 Capftulo 5, voe@ pode determi11ar que se
o anuncio for verdadeiro, a probabilidade de se obter uma media amostral de 47 ou
menos <!de aproximadamente 0,0013. Este <!um evento lncomum. Sua supost<;ao de
que o anuncio da empresa esta correto o levou para um resullado improvavel. E11tao,
OU voce teve uma amostra muito incomllm OU 0 amlncio e provavelme11te falso. A
conclusao 16gica e que o ant'incio e provavelmente falso.
Distribui~io de amostragem
de
x
MCdia ainos1ral
:i' =47
~~.-\~1-l-_.,__,___µ,...,____._,
52
S3
~
..-i---·
· ~-1--+~t--+---t~-1----1-~
-4
...l\ -'l
-1
Voilor padronir,ado z
z= -3i0
0
2
l
..
lmportante
-iii-~~~~~~~~~
Conforme voce estuda este
capi\ulo, 11<'\o lique confuso
sobre os conceitos de certeza
e i mporta11cia. Por exemplo,
mesmo se voce tiver muita
<rerteza de que a media de
miihagem de certo tipo de vefculo hibrid.o 11~0 e 50 milhas
por galfto, a real mi!dia de milhagem pode estar muito pr6xima a esse valor ea diferen<;a
pode n<lo ser importante.
Ed ,e 1naaa
1
294 • lliatiltic..plicada
I [stabelecendo uma hipotese
Uma afirma~ao sobre um parftmetro populadonal e chamada de ltip6tese
estatlstica. Para testar um parametro populacional, vo~ deve afirmar cuidadosan1ente um par de hip6tescs - u1nn que reprcsente a
of~nnru;iio
c outrn, seu coin ·
plemento. Quando uma dessas hip6teses for falsa, a outra deve ser verdadeira.
Qualquer uma das hip6teses - a lliplitese 1111/n ou a II ip6tese nltemnliVll - pode
representar a afirma~ao original.
lmportante
--~~~~~~~~~~
0 termo 'hip6tese nula' foi inttroduzido por Ronald Fisher
(veja p. 28). Se a afirma9io na
lhip6tese nula nao for verdadeira, entao, a hip6tese altertnativa deve ser verdadeira.
I
Retratando o mundo
'
Uma amostra de 25 pacientes
sele<ionados aleatoriamente
rom est~gio inicial de press.io
alta passou por um ajuste quiropratico para ajud~·los a baixar a pressao arterial. Depois
de oito senmnas, a n1~ia da
qucda na press.io arterial sist61ica dos p.1cientes foi de 14
imilfmetros de memlrio. Entao, afirma-se que a m&lia da
qucda na presS<io arterial sist6Uica de todos os padentes que
passara.rn por esse ajuste quiropr~tioo especial ede 14 mili11netros de mem'irio. ~1lMpl11<f1•lft
'i'li,• )4-.:1rtJ11I U111wu1 f./yp.'f'~,·~.,,,,.)
(Mermic1'! ns l1ip6t~ 1111/n e nl·
lenmtim 1wrn '~"" nfirmm;tio.
efinicao
1. Uma hip6tese nula H0 e uma hip6tese estatfstica que coatem uma aficma~ de
igualdade, tal como '.f, = ou ?:.
2. A hip6tese alternativa H, e o complemento da hip6tese nula. ~ uma afirma~o que
deve sec verdadeira se H0 for falsa e contem uma afirm~o de desigualdade estrita,
tal como >. "' ou <.
H0 e lido como "H subzero' ou 11ip6tese nula' e H, e lido como 'H S\Jb·a· ou hip6tese
alternativa.
Para escrever as hip6teses nula e altemativa, traduza a afirma9io feita sobre o
parfin1etro populaciona1 de uma afir1na~o verbal para u_rna afirnla~ao maten1~tira.
Ent~o, escreva seu complemento. Por exemplo, se o valor da afirma~ao fork e o parametro populacional for 11, entiioalguns pares possiveisde hip6teses nuJa ealternativa s.io:
{H :1.1?: k
H:i.• ~ k
{H,:1•
>k
0
{H :1•=k
0
0
H, :1, < k
H, :1• "' k
Sero considerarmos qua! dos tres pares de hip6teses voce poder~ usar, sempre
assuma que I' = k e examine a distribui9io amostral com base em sua suposiqao. Den·
tro dessa distribui~ao amostral, voe@ vai determinar sea estatlstica amostral e ou nao
incomum.
A tabela a seguir mostra a rela~l!o entre possiveis afirma~Cies verbais sobre o
parilmetro I' e as hip6teses nula ou alternativa correspondentes. Afirma~ similares
podem ser feitas para testar outros par5melros populacionais como p, "ou ""
Formula1lo verbal H,
Amldia I
...11u1;or ou ig11nl n k.
...pelo 111e11os k.
... 11110111e11os que k.
... 111~110$ 011
igunl n k.
•.. r:o111tfxi1110J.:.
... utJo ntnis do que k.
... ig11al a k.
... k.
••.exntn11le111c k.
formulasao matemitica
r'11:;,,.
Formul a~io verbal H,
A111l dia i
~k
·µ > k
...11rc11or qtw J.:.
...abnixodek.
...urr1tos que k.
...111nior que. k.
IH. :µ $ k
1-1.:11 > k
•.•nci111a dt k.
I
...nifo ig1ud n #:.
H. :1i= k
Hn:1,=k
...urois do quc k.
...diferc11I< de k.
•••1tffO k.
Exemplo [O
Estabelecendo as hipoteses nula e a!ternativa
Escreva a afirmac;iio oomo uma senten~a matem~tica. Afirme as hip6teses nula e
altemativa e idenlifique qual representa a afirma~ao.
Ed ,e 1naaa
1
1. Uma un.iversidade publica que a propor<;iio de seus estudantes que se graduaram
em 4 anos e de 82%.
2. Um fobricante de tomeiras anuncia que o fndice m&lio de nuxo de ~gua de certo
tipo de torneira emenor que 2,5 gal6es por minuto.
3. Uma industria de cereais anuncia que o peso medio dos conteudos de suas caixas
de 20 on"'s de cereal e mais do que 20 on9as.
Soiufdo
t. A afirma\ao "a propor\ao ... e 82%" pode ser escrita como I' = 0,82. Seu complemento ep ,. 0,82. Em razao de p = 0,82 rooter a afirma<;ao de igualdade, ela se torna
a hip6tese nula. Neste caso, a hip6tese nula representa a afirma\3o.
H.y p = 0,82 (Aji111u1\'.i.•)
H,: p,. 0,82
2. Aafirma<;iio "a media ... e menor que2,5 gal6es por minuto" pode ser escrita como
JI < 2,5. Seu complemento eJI ;::: 2,5. Devido ao foto de JI ;:: 2,5 conter a afirm~o
de igualdade, ela se torna a hip6tese nula. Neste caso, a hip6tese alternat·iva repre-
senta a afirma\30.
H.: I' ;:: 2,5 gal6es por minuto
H,: JL < 2,5 gal6es por minuto
.....
(Ajirmn~"")
3. Aafirma¥'1o "a media ... emais do que 20on\,as" pode serescrita como 11 > 20. Seu
complemento e11 $ 20. Em razao de 1• $ 20 conter a afirma\ao de igualdade, ela se
torna a hip6tese nula. Neste caso, a hip6tese altemativa represent·a a afirma\iio.
H.: µ $ 20 on\aS
H,: I'> 20on\<IS
I
0.80
·~l
'i__
p
OM
0.86
11,,
µ
"'
2l 2.3 1.4 2.S 2/) 2.7 2.8 2.9
II
- +-+-+--+-....--+-+-+-f-1'
(Aji111U1('!1>)
Tente Escreva a afirma<;ao como uma senter)\a matematica. Afirme as hip6teses nula
e alternativa e identifique qual representa a afirnla\ao.
17
I~
19 M 21 ll U U
Em cada um <fesses graficos, note que
cada ponto na linha dos ntlmeros ~
t . Um analista de consumo reporta que a vida util media de certo tipo de bateria
automot.iva nao e de 74 meses.
2. Um fabricantc de televisores publica que a variancia da vida util de certo tipo de
televisor e menor ou igual a 3,5.
3. Uma esta\iio de r<ldio publica que sua propor\llo de audiencia de ouvintes locais e
maior que 39%.
a. lde11tiftq11e a afirma9llo verbal e escreva a senten93 matemMica.
b. Escreva o complemento da afinna\<iO.
c. lde11tiftq11e as hip6teses nula e alternativa e deler111i11e qual representa a afirma\iio.
Ri~·1wsta 1111 p. A.f1
I
f/0
II
16
"1'
"·
Tipos de erros e nivel de significancia
Nao importa qual das hip6teses represente a afinna<;iio, vo~ com~1 o teste de
hip6tcse assumindo que a condi(ao de igualdade na hip6tese nula cverdadeira. Entao,
quando realizar um teste de hip6tese, voce toma uma dessas duas decis6es:
1. rejeita a hip6tese nula ou,
2. falha ao rejeitar a hip6tese nula.
Pelo fato de sua decisao ser baseadaem uma amostra ao inves deser baseada na
popula,ao inteira, hd sempre a possibilidade de vocc tomar a decisiio errada.
em H0 ou H, mas nao
amba:s.
~
ponto em
Ed ,e 1naaa
1
296 •
(ll411Sli<..plicdd4
f>or exemplo, suponha que voce afirme que certa me>eda seja tendenciosa. Para
testar sua afirma,ao, voce joga a moeda 100 vezes e oblem 49 caras e 51 coroas. Voce
provavelmente concordaria que n~o ha evidencia para apoiar sua afirma~. Mesmo
assim, e possivel que a moeda seja tendenciosa e voce tenha um resultado incomum.
Mas, e se voce joga a moeda 100 vezes e obtem 21 caras e 79 coroas? Seria uma
ocorrencia rara obter somente 21 caras de 100 jogadas com ·uma moeda imparcial. Entao, voce tern provavelmente evidi!ncias suficientes para apoiar sua afirmay'\O de que
a moeda e tendenciosa. Entretanto, voce nao pode ter 1()()%, decerteza. Epossivel que
a moeda seja imparcial e que voce tenha obtido um resultado incomum.
Sep representa a propo~5o de caras, a afirma9ao "a 1111oeda e tendenciosa" pode
ser escrita como a afirmai;ao matematica p "' 0,5. Se complemento "a moeda eimpar·
cial" eescrita como p = 0,5. Enrao, nossas hip6teses nula e alternativa sao:
H<f p = 0,5
H,: 11"' 0,5 (.4Pm•1!00)
Lembre-se, a unica mancira deter certeza absoluta se H. everdadeira OU folsa
rejeitar H0 ou falhar em
rejeitar H0 -ser baseada em uma amostra, voce deve aceitar que sua decisao pode
estar errada. Voce pode rejeitar a hip6tese nula quando ela e, na verdade, verdadeira.
Ou, vocc pode fol har em rejeitar a hip6tcse nula quando cla e, na verdadc, folsa.
e testa.r a popula,ao inteira. Pelo futo de sua decisiio -
Definicao
Um erro tipo I ocorre se a hip6tese nula for cejeitada quando everdadeira.
Um erro tipo II ocone se a hip6tese nula nao f0< rejeitada quando efalsa.
A tabela a seguir mostra os quatro resultados posslveis de um teste de hip6tese.
A verdade de JI,
N3o rejeite H,
RejeiteH,
Verdade sobre o
acusado
Veredito
Inocente
Culpado
Nao culpado Justi~ Erro ti po II
Culpado Em1 tipo I justii;a
110 ~ verdadeira
H, e falsa
DeciS<1o corrcta
Erro tipo I
DecisAo oorrcta
Erro tipo II
0 teste de hip6tese, as vezes, ecomparado ao sistema legal usado nos Estados
Unidos. Sob esse sislema, os passos a seguir s.'io utilizados:
1. Uma acusa,ao por esc1·ito eescrita cuidadosamente.
2. 0 acusado e assumido como inocente (HJ ate que se prove o contrario. 0
onus da prova fica com a acusa~iio. Se a evidencia niio for forte o suficiente, niio ha
condena~iio. Um veredito "niio culpado" niio prova que o acusado einocente.
3. Aevidencia precis.1 ser oonclusiva alem da duvida cabivel. 0 Sistema assume
que M mais danos ao se condcnar um inocente (crro tipo ll) do que niio condenando
um culpado (erro tipo II).
Exemplo
m
ldentificando erros tipos I e II
0 limite USDA para contamina~ao por salmonela por frango e de 20%. Um inspetor de carnes reporta que o frango produzido por uma empresa excede o limite
USDA. Voe~ reali1.a um teste de hip6teses para determinar sea afim1a~ilo do inspetor
de carne everdadeira. Quando ira ocorrer um erro ti po I ou. ti po 11?Quale mais serio?
(frnllt': U11ilrfl St11/ts DqvrrJm.-nl <!fAg1ic11ttu1r.)
Ed ,e 1naaa
1
(aplttlo/
a
ltStfSdthlpclteit<OllUlllUlllOllf4
297
So/11fliO
Oeixe p representar a proporvio de frangos contaminados. Aafirma~o do inspe·
t<>r de cames e"mais do que 20% esta contaminado". Voce pode escrever as hip61eses
nula e allernativa como vem a seguir.
H0: p $ 0,2
H,: p > 0,2
A propor\ao emenor que ou igual a 20%.
A propOf\ilO e maior que 20%.
(Ajimm~M
0 frani;o ('St~ dentro
dos Ii mites USDA
0 lrango excede
os limites USDA.
If p>ll'
.,.,__+-~.~+-~--1--+---<0--++- p
0.16
0.18
0.20
0.22
Um erro lipo I ocorrera sea propo~o real de frango contaminado for menor ou
igual a 0,2, mas voe~ decidir rejeilar H.. Um erro tipo II ocorrera sea real propor~~o de
frango contaminado for maior que 0,2, mas vooo nilo rejeita H.. Com um erro tipo I,
vooo pode criar um panico sobre saude e causar danos lls vendas de produtores de
frango que, na verdade, estao denim dos limites USDA. Com um erro tipo II, voe~
pode eslar permitindo que frangos que excedam o Ii mile de contamina\ao stjam ven·
didos ao consumidor. Um erro ti po II pode resultar em doen,as ou mesmo mortes.
enle
Uma empres,1 especializada na fabricav'lo de paraquedas afirma que o indice
.oa de fuJl1a de scu principal paraquedas nao e mais do que 1%. Voce realiza um
lesle de hip6tese para determinar sea afirma,ao da empresa e falsa. Quando
ocorren\ um erro ti po I ou lipo 11? Quale mais serio?
a. Afirme a hip6tese nula e alternaliva.
b. Escrevn os possfveis erros lipo I e II.
c. Deter111i11e qua.I erro ema is serio.
Voce rejeitara a hip6tese nula quando a eslatfslica amostral da distribui~io de
amostragem e incomum. V<>OO ja identificou eventos incomuns como aqueles que
aconlecem com probabiJidade de 0,05 ou menos. Quando usamos testes eslalisticos,
um evento incomum as vczes requer ler uma probabilidade de 0,10 ou menos, 0,05 ou
menos ou 0,00 ou menos. Pelo folo de haver uma varia~o de an1ostra para amostra.
S<?mpre haa possibilidadede que voce rejeite a hip6tese nula quando ela e, na verdade,
verdadeira. Em outras palavrm;, embora a hip6tese nu la seja verdadcira, sua estatistica
amostral esta deterrninada a serum evento incomum na distribui~ao de amostragem.
Voe@ pode diminuir a probabilidade de fazer isso diminuindo o 11ivel tie sig11ifidt11cin.
Definitao
Em um teste de hip6tese, o nivel de significancia esua probabiridade maxima permissivel para
cometer um erro tipo I. Ele edenotado por '" a letra grega mintisatla alfa.
A probabilidade de um erro tipo II eden01ada por {J, a letra grega minUs<:ula beta.
Configurando-se o nfvel de significancia em um valor pequeno, voee esta dizendo
que quer que a probabilidade de rejeitar uma hip6tese nula verdadeira seja pequena.
Os tres nfveis de significanda comumente usados s.io o =0,10, o = 0,05 e o = 0,01.
lmportante
~1~~~~~~~~~-
Quando v<>OO decresce a (a
probabilidade maxima permi:ssivel de se cometer o erro
tipo I), vo00 provavelmente
awnel\hlr~ {J. 0 valor 1 - fJ e
chamado de poder de tesle.
Ele representa a probabilidade de rejeitar a hip6tese nula
quando a hip6tese altemativa
for verdadeira. 0 valor do
poder e diffcil (e lls vezes impo:ssfvel) de se encontrar na
maioria dos casos.
Ed ,e 1naaa
1
I Testes estatisticos e valores P
Depois de afirmar as hip6teses nula e alternativa e especificar o nivel de signifidlncia, o pr6ximo passo no teste de hip6tese eol>ter uma amostra aleat6ria de uma
popult1<;50 e calcular as estatisticas amostrais como n"lli'dia e desvio padrilo. A estatistirn
que ecomparada com o parfunetro na hip6tese nu la i! chama<la de estatistica do teste. 0
tipo de teste usado ea distribui~ao de amostragem siio baseados na estatistica do teste.
Neste capilulo, voce aprendera sobre varios testes estatisticos com uma amostra.
A tabela a seguir mostra as rela~ees entre os parfimetros populacionais e suas estatisticas de teste correspondentes e as estatisticas de teste padronizadas.
Parimelro populacional
Estalistica de teste
Estatistica de teste padroniuda
1•
x
: (S..~ilo 7.2. II 2;30.
p
j)
z (S..'f<IO 7.4)
I
(Soc;ao 7.3. II <30)
s'
x'
"'
Uma ma.neira de se decidir se rejeitamos a hip6tese mula edeterminar sea procs..~ 7.S)
babilidade de se obter uma estatistica de teste padronizada (ou uma que seja mais
extrema) emenor que o nivel de significiincia.
efinicao
Se a hip6tese nula fcx verdadeira, um valor P (ou valor de probabilidade) de um teste de hip6tese ea probabilidade de se obter uma estatistica amostral com valores tao extremos ou mais
extremes do que aquela determinada a partir <;fos dados da amostra.
0 valor Pde um testede hip6tesedependeda natureza do teste. Ha Ires tipos de
teste de hip6tese- teste unicaudal esquerdo, unicaudal direito e bicaudal. 0 tipo de
teste depende da localiza~iio da regiao da distribui~ao de amostragem que favore~ a
rejei~ao de H0 • Essa regiao eindicada pela hip6tese alternat;va.
efini{aO
1. Se a hip<)tese altemativa H, contem o simbolo de menos que (<), o teste de hip6tese
sera um teste unicaudal a esquerda.
Teste unicaudal aesquerda
H0:11~k . . - - - - - - - - - .
I'~ 3 tirca ~ CSC:Jll¢rd:.
H.: ll < k
da cst:ulstica do tcs1c.
-l
-.?
-1
fi.,10t('l;m,\I ~ ~,"'
l. Se a hip6tese altemativa H, contem o simbolo maior q...e igualdade (>), o teste de
hip6tese eum teste unicaudal adireita.
Teste unicaudal adireita
P ~a :irta !k dircita
da es1atistic:a do 1es1e.
-3
-2
_,
0
I
2
h.'l;UlliUlta <II) l<'>IC
Ed ,e 1naaa
1
(.ipfialo /
:J. Se hip6tese altemaliva H, oontem o simbolo de noo igualdade (,,), o teste de hip6tese
eum teste bicaudal. Em um teste bicaudal. cada cauda tern uma area de ..!. p.
2
Teste bicaudal
P ~ duM \'¢.t.C~ 01
P C: Jua~ \'"t:ZQ "
{trea adireita do
area ii csquerda do
\ialor negativo da
valor positivo da
estati's:1ic::i do tcstc.
C$1atistica do 1cs1c.
- .1
-2
-1
Ti'$l~t"<.1.ad~1ioo
"
a
Jtst., MhipOlf>t{Oll UlllUdl\011"
299
Dica de estudo
•0 terceiro tipo de teste e chamadode teste bicaudal porque
a evidenda que poderia. apoiar
a hip6tese altemativa poderia
estar em qualquer cauda da
distribui~ao de amostragem.
3
Quanto menor o valor P do teste, mais eviMncia ha para se rejeitar a hip6tese
nula. Um valor P muito pequeno indica um evento incomum. Len1bre-se, entretanto,
que mesmo um valor P muito baixo niioconstitui prova de que a hip6tese nulae folsa,
somente que esta e provavelmente falsa.
Exemplo
m
ldentificando a natureza de um teste de hip6tese
Para c.1da afirma~ao, estabele~a em palavras e sfmbolos H0 e H" Entao, determi·
ne se o teste de hip6tese e unicaudal a esquerda, adireita ou bicaudal. Descreva uma
distribuiy'lo de amostragem normal e sombreie a area para o valor P.
1. Uma universidade publica que a propon;llo de seus estudantes que se graduaram
em 4anos ede 82%.
2.. Um fobricante de tomeiras anuncia que o fndice mMio de fluxo de agua de certo
tipo de torneira e menor que 2,5 galiies por minuto (gpm).
3. Uma industria de cereais anuncia que o peso mMio dos conteudos de suas caixas
de 20 on~s de cereal e mais do que 20 on~as.
So/11pio
Em simbolos
Em palavras
1. H.,: p= 0,82
A propor~o de estudantes que se graduaram em 4 anos e82%.
N,,:p = 0,82
A propor~ao de estudantes que se graduaram em 4 anos nao
!nrco
do
valol' P
e82%.
Pelo foto de 1/0 contcr o sfmbolo "'• o teste e de hip6tese bicaudol. 0 i;rofico da
distribui\ao de •mostragem normal a esquerda mostra a area sombreada para o
valor P.
2.. N,: 11 ~ 2,5 gpm A media do fndice de Ouxo de certo tipo de tomeira e maior ou
igual a 2,5 gpm.
H,,: 11 < 2,5 gpm A media do fndice de Ouxo de certo tipo de tomeira e menor
que2,5gpm.
Devido ao fato de H0 conter o sfmbolo <, o teste t! de hip6tese unicaudal a esquerda. 0 grMico da distribui~ao de amostragem normal aesquerda mostra a area
sombreada para o valor I'.
3. H,: 11 :5 20 oz
A media do peso dos contetldos das caixas de cereal t! menor
ou igual a 20 on~is.
H,,: 11 > 20 oz
A media do peso dos contetldos das caixas de cereal e maior
que 20 on\as.
u
{ire.a do
v:.11or />
0
'
Ed ,e1naaa
1
30 0 •
ei..11111<aoplic•d•
Pelo foto de H0 conter o simbolo >, o teste ede hip6teses unicaudal adireita. 0
grMico da distribuii;iio de amoslragem normal aesquerda mostra a jrea sombreada para o valor P.
ente Para cada aflnna\clo, determine se o teste de hip6tc..-s.e ~ unicaudal:. t.'S<)Uerda, a
vocf
3
direita ou bicaudal. Descreva uma distribuii;iio de amostragem normal e som·
breie a ~a para o valor P.
1. Um analista de consumo reporta que a vida util media de certo tipo de bateria
2.
a.
b.
c.
automotiva n.'io e 74 meses.
Uma esta~o de r~dio publica que sua propori;iio de audiencia de ouvintes locais e
maior que 39%.
Escret'll H0 e H,.
Determine se 0 teste e uni caudal aesquerda, adireita OU bicaudal.
Descreva uma di stribui~5o de amostragem normal e sombreiea <lrea para o valor P.
Rt51u~1a un p.
I
A43
Tomando e interpretando uma decisao
Para concluirmos o teste de hip6tese, voe~ deve tomar uma decisao e interpre!A-la. H<I somente dois resultados possiveis para um teste de hip6tese: (1) rejeitar a hip6tese nula c (2) falhar em rejeitar a hip6tese nula.
lmportante
•Neste capilulo, vore aprendera que h.'1 dois tipos basi·
cos de regra de decis~o para
decidir rejeitar ou falhar ao
rejeitar H0. A regrade decisilo
de;scrita ncsta pagina e~­
da em valoll!S /?. 0 segw1do
tiipo basico de regra de decis.iio e baseado em regiiles de
1'zjei~. Quando a estatfstica
de teste padronizada est~ na
regiao de rejeii;iio, a probabilidade obsecvada (valor P) de
um erro tipo I ~ m.enQS que
a. Vore aprendera mais sobre
as regi6es de rejei~ao na pr6xima ~~o.
egra de decisao baseada em um valor P
Para usar um valor P para chegar a uma condus.lo em um teste de hip6tese, compare o valor
Pcom o.
1. Se P ~ a, entao rejeite H.
2. Se P > <>, entao lalhe em rejeitar H.
Falhar em rejeitar a hip6tese nula nao significa que voe@ tenha areitado a hip6tese nu la como verdadeira. lsso simplcsmente significa que n3o ha evidencia suficiente
para rejeitar a hip6tese nula. Se voee quiser apoiar a afirm.a~o, afirme de modo que
se tome a hip6tese alternativa. Se v~ nao quiser apoiar a afirma~ao, afirme de modo
que se tome a hip6tcsc nula. A tabcla a seguir ajudara v~ a interpretar sua decis3o.
Alinna~ao
Afinna1.i o eH,
A6rma1ioe H,.
Ha evid~nda sufidente para
Ha cvidencia suficicnte para
Decislo
Rejeitar H0
I
rejeitar a afim1a~o.
apoiar a afirma~iio.
Falhar ao rejeitar
Nao h~ cvidC1\Cia suficiente
NAo h'~ evidencia suJicientc
H,
par.1 rej<.•itar J nfinna~ao.
para apoiar a afinnae;OO.
Exemplo
m
lnterpretando uma decisao
Vore reali1~1 um teste de hip6tese para cada uma das afirma~Oes. Como voe~
deve interpretar sua decisAo se rejeitar H0? E se voce falhar em rejeilar H0?
Ed ,e 1naaa
1
L H0 (.~firn"'(ol<•): uma universidade alega que a propor(ilo de seus estudanles que se
graduaram em 4 anos ede 82%.
2. H, (..tfiniul(&>}: a Co11s11111er Reports afirma que a m&tia das distancias de frenagem
(em superffcie seca) para um Honda Civic e menos que 136 pes.
Sol11fiiO
1. A afinna(ao erepresenlada por H., enloo se rejeitar H., voc4' deve concluir que "ha
evidencia suficiente para indicar que a afim1a.;iio da universidade e falsa". Se voce
falha em rcjeitar H0, en tao voce deve concluir que "nao h6 evidcncia suficiente para
indicar que a afirma(ao da universidade ((ndice de gradua(ao em 4 anos de 82%) e
falsa".
2. Aafirma~ao representada por 11,. en~Jo a hip6tese nu la e"a m&tia de distancia de
frenagem... e maior ou igual a 136 pes". Se voci! rejeitar H., entao voci! deve con·
cluir que "M evid~ncia suficienle para apoiar a afirma~ da Co11s11111er Report de
que a dislancia de frenagem para um Honda Civic e menos que 136 pes''. Se voce
falha em rejeitar H0 , entao voce deve concluir que "nao h6 evidencia suficiente
para apoiar a afirma(iio da Co11s11111er Report de que a distancia de frenagem para
um Honda Civic emenos que 136 pes".
Tente Voce realiza um leste de hip6teses para a afirma(ao a seguir. Como voci! deve
¥Od
4
interprctar sua decisao se voce rejeitar H/ Se voce falha em rejeitar H,?
H, Vlfi""'~11<1): uma esta~ao de r6dio publica que sua propor~o de audiencia de
ouvintes locais emaior que 39';i>.
a. lnterprele sua decis.~o se voce rejeitar a hip6tese nula.
b. lnterprete sua decis.~o se voci! falhar em rejeitar a hip6tese nula.
As instn•(Oes gerais para o teste de hip6tese estao resumidas a seguir.
lnstru~iles para
o teste de hip6tese
1. Expresse a afirma<;ao verbal e matematicamente. ldentifique a hip6tese nula e a
alternativa.
H0 : ? H,: ?
2. Especifique o nivel de slgnifoc.lncia.
a= ?
3. Determine a distnbui<;ao amostral padrooizada e faQi o grafico.
Essa dis1ribui,.iio anlOStral
~
basead{1 na suposi<;-.10 de
que H0 ~ verdndeira,
~---'
0
4. Calcule a estatistica do teste e seu vale< padronizado. Adicione ao grafoc:o.
~
E...i:uhti(-;1 do tt.s.tc
Ed ,e 1naaa
1
30 Z •
(s"1t11ka a~llcoda
5. EncontJe o valor P.
6. Use a seguinte regra de decisao:
0 valor p C menor OU igual
ao nrvcl de signilicuncia?
N5o
>
F_a_11_1c_e•_n_ro_·j_e_ita_·r_H_o_·
. _ I_ _
-~
Sim
Rcjcitc H0
7. Escreva a afirmat;llo para interpretar sua deci~ no contexto da afirm~o original.
Nas instruo;Oes dadas, os grafioos mostram 1un teste unic<iudal adireita. Entretanto, as mesmas instrw;oes basicas tambem sc aplicam para testes unicaudais ll esquerda e testes bicaudais.
I
Estrategias para testes de hipotese
Em um tribunal, a estrategia usada pelo advogado clepende de ele estar represcntando a defes,1 ou a acusa~llo. De maneira similar, a estrategia que voce usara no
testc de hi p6tese dcve depender de voee estar tentando apoiar ou rejeitar a afirmar;iio.
Lembre-sc de que voe~ nilo pode usar um teste de hip6tese sc voce quiscr apoiar sua
afirma~~o sc ela for a hip6tese nula. Entao, como pesquisador, se voce quiser uma condusaoque apoie sua afirmai;ao, monte sua afim1ar;iio de modoque ela seja a hip6tese alternativa. Se voce quiser rejeitar a afim1ai;ao, fonne-a de modo que sc~1 a hip6tese nula.
Exemplo
m
Escrevendo a hip6tese
Uma equipe de pesquisa medica esta investigando os beneficios de um novo tratamento cin'irgico. Uma das afinnat;Oes e que a media do tempo de recuperai;ao para
os pacientes ap6s o novo tratamento e menos do que 96 horas. Como voe~ escreveria
as hip6teses nu la e alternativa se (1) voeil eparte da equipe e quer apoiar a afirmai;ao?
(2) voce ede uma equipe adversa.ria e quer rejeitar a afirmar;iio?
So/UfRO
1. Par:. respontier h quest~o. primeiro pen.sP no rot1texto cl:. :ifil'nl:i(;\o. F.m 1";i1:io cie
v<><e querer apoiar a afirma~iio, expresse a afim1aljiio da hip6tese alternativa de
modo que a media do tempo de rerupera~iio para os pacientes S<!ja menos que %
horas. Entao, H,:11 < % horas. Seu complemento, 11 ~ % horas scra a hip6tese nula.
H0:µ ~ 96
H,: /I < %
(A~nrl<l(>I>)
2. Primeiro pense sobre o contexlo da afirmai;iio. Como pesquisador de uma outra
equipe, voce niio quer que o tempo de recupera~ao seja menos do que 96 horas.
Devido ao fato de voee querer rejeitar essa afirma~ao, fat;a a afim1ar;iio como a
hip6tese nula. Entiio, H0: 1• $ 96 horas. Seu complemento, 11 > 96 horas ser~ a hip6tese alternativa.
H,; 11 $ % (.-\firmniM
H,:11 >%
Ed ,e 1naaa
1
(apllulo1 •
1.
lf11" dt blp6tt>t<011 umaamom•
303
Voe~ representa uma industria qufmica que est~ sendo processada por da-
nos na pintura de autom6veis causados pela tinta. Voce quer apoiar a afirma~ao que a m&!ia dos custos de reparos por autom6vel emenos que $ 650.
Como voce escreveria as hip6teses nula e altemativa?
2. Voe~ faz parte de uma equipe de pesquisa que est~ investigando a temperatura
media de adultos humanos (ver p. 319). A afirma~ao comumenle aceila e quc a
lemperatura media ede aproximadamente 98,6 °F. Voe~ quer mostrar que essa afirma~~o e folsa. Como voce escreveria as hip6teses nu la e alternativa?
a . Dctcr111i11e se voce quer apoiar ou rejeitar a afirma¢o.
b. Escreva as hip6teses nula e alternativa.
R1.~11)$lll t1R p. A-13
Ill
Exercicios
Construindo habilidades basicas e conceitos
18.
1. Quais sAo os dois tipos de hip6teses usados no teste de hip6tese?
Como elas s.!o relaciooadas?
2. Oescreva os dois tipos de erro possiveis em uma deOs.!o de tesle
de hip6tese?
Verdadeiro ou falso?
Nos exercicios de 3 a 8, <leiermine sea afirma.ao eve<dadeira ou
fa!sa. Se for falsa, reesaeva como uma lrase verdadeira.
3. No teste de hip6tese. voce assume a hip6tese ahernativa como
verdadeira.
H,; JI >
2.
(d)
ldentificando testes
Nos exercicios de 19 a 22, determine se o teste de l'ip6tese com
as hip6teses nula e ahemativa dadas eunicaudal aesquerda, adireita
OU bicaudal.
19. H.y J' $ 8,0.
H0 : J• > 8,0.
20. H0 : q 2: 5,2.
H0 :q < 5,2.
21.
H.,: a'= 142.
H0 : a2 x. 142.
4. Uma hip6tese estatistica euma afir~o sobre aamostra.
5. Se voce decidi< rejeitar a hip6tese nula, voce pode apoia< a hip6tese alternativa.
22. H0: P = 0,25.
H0 : p .,0,25.
6. O nivel de significAncia e a probabilidade maxima que permite
que wx:ll 1ejeite a hip6tese nula quando ela e verdadeira.
Usando e interpretando conceitos
7. Um valor P grande em um teste ira favorecer uma
hip6tese nula.
r~o
Afirmando uma hip6tese
da
8. Se voce quiser apoiar a afirma~o. esaeva·a como sua hip6·
1ese nula.
Afirmando hip6teses
Nos exercicios de 9 a I 4, use os dados para represemar a afirma.ao. Escreva sua ahernativa e detelll1ine qua! ea H0 equal H,
Nos exe<dciosde 23 a 28, ~a afirma¢o matematicameme.
Esaeva as hip6teses nula eahernativa. ldentiftque qual a afirma¢o.
23. Lampadas Um fabricante de l.lmpadas afirma que a vida util
meoia de certo tipo de lampada emais do que 750 horas.
e
24. Etros de embarque (..onforme a afll1Tla(.iio do departamento
e
10. J' < 128.
12. o1 ;:: 1,2.
14. p = 0,2 1.
9. JI $ 645.
11.a.,5.
13. p < 0,45.
25.
26.
Analise gratica
Nos exercfcios de 15 a 18, relacione a hip6tese ahemativa com
seu grafico. En!Ao, afirme a hip6tese nula e fa-;a o grafico.
15.
H;
I'> 3.
(a)
I'
2
16.
H;
JI<
3.
3
4
(b)
µ
2
17. Hd· 1r;ie 3.
27.
3
28.
4
(c)
µ
2
3
4
de embarque de uma emp<esa. o numero de enos de embarque
po< milhao de embarques tern desvio padrao de rnenos de 3.
Pre,o base para um ATV O desvio padrao do pre«> base de
ceno tipo de velculo para qualq,uer tipo de teneoo n3o mais do
que $320.
Estudantes univer.;itaiios Urna organiza¢o de pesquisas 1epo<1a que 28'!b dos <esidentes em Ann Harbor, Michigan. s.!o
estudantes universitanos. (/v.kJp:odo do U.S. Census &.reo~)
Cintos de seguran~ Os resullados de urn estudo 1ecente
mOSttam que a fllOj)Ot''ao de JlES'OOS nos Esrados Unidos que
usam cintos de segura~ quando esiao em um carro ou caminMo ede 81%. (fOf>!e·Norh!dCellrer/or Sl<Jl"""<»dAno~)
Tempo de secagem Uma empiesa afirrna que sua marca de
tinta tern tempo medio de secagem de menos de 45 minutos.
e
Ed ,e 1naaa
1
301, •
~t•lilli<..pli<td•
ldentificando erros
Nos exercicios de 29 a 34, eseteva as senteo<;as deseteveodo os
erros tipo I e II para o teste de hip6tese da afirma~o in<ficada.
29. Compradores que retomam Uma loja de m6veis afirma que
pclo menos G0% de seus oovos dicntes ir3o retomof b k>jo par~
comprar mais m6veis.
30. Alfabetiza~o um estudo afirma que a p<opor~ de adunos nos
Estados Unidos que sao ana~abetos em ingl~ e de 5%. (For.ill:
No!<m!CcO!cr fot &Monon 510'..SXS.)
31. Xadrez Um dube de xadrez local afirma que o tempo de oora·
~ode uma pa"ida tern desvio padrao de mais que 12 minutos.
32. Gene da diabetes De aoordo com um esrudo recente. 50% de
todos os norte-ameJicanoscarrega uma vaiiao;aodogene queaumen·
taoriscodediabetes. ~deA.,.,,.,,,,_Q/OnCMmion.)
33. Computadores De acordo com uma pesquisa receme, 88%
dos estudantes universitarios t~ computador. (foote: ll<m> Po.Y.)
34. Televisao via satelite De acordo com uma pesquisa recente,
30<ro das residencias none-ame<icanas tern televisao via satelite.
(Fonre:JD. """'" aodAs"""'1ei.)
ldentificando testes
Nos exe<cicios de 35 a 40, determine se o teste de hip6tese para
<.ada afirma~O eunic<ludal aesque<da, adireita OU bi<.audal.
35. Alarmes de seguran~a Pelo menos 14% de todos os propriet.lrios de residendas tern um alarme de seguran<;a.
36. Rel6gios Um fabricante de rel6gios de pendulo afinna que o
tempo medio de perdas de seus rel6gios nao e mais de 0,02
segu.~dos por dia.
37. cancer de pulmao Um relat6rio de governo afirma que a propor~o de casos de cancer de PJlmao causados por cigarro ede
87'*> (FonJe.· LU11gCancer.0tg.)
38. Pneus A vida ub1 media de certo pneu nao e mais do que
80.000 milhas. (Mop:odo de c~->
39. Iodice de retorno Um anafist.J de finan<;as afirma que o lndice
de retomo de um titulo no"e-americano de 15 anos tern desvio
padrao de 5,3%.
40. Son hos Um institute de pesquisas af"ma que a dura~o med'ia
da maioria dos sonhos emai0< do que 10 minutes. 1,Adapwlo de
lhe l11<Cf<r /nslillite.)
lnterpretando uma decisao
Nos exerOOol de 41
~
4G, considcce a~ ofirmac;a.o. Se o te$te
de hip6tese for rearaado, como voce deve interpretar a decisao de
(a) rejeitar a hip6tese nula?
(b) falhar e<n rejeitar a hip6tese nula?
41. Relll!la~o de filmes Uma indUstria de filmes fotograficos afirma que a media do numero de filmes revelados para uma c.ime·
ra de uso unico de 24 foios emais do que 22.
42. Pesos de carregamentos Um trabalhador do goveroo afirma
que o desvio padrao da media do peso de todos os carrega·
meotos do U.S. Postal Service (se<vi~o postal norte·americano)
ede 0,40 libras.
44. Milhagem de gasolina Um fabricante automotive afirma que o
desvio padrao para a milhagem de gasolioa de seus modelos
de 3,9 milhas por galao.
45. Pre~os dos SUV (util~ario esportivo) Um fabricante automotivo •firma qtoe a mMia tin I'll'(<> <le SIJVs fl"'1t1PM!' ~ mP.<105 do
que S 26.860. (Moprodo de c""""''" Rf!PO'IS.)
46. calorias lkn fabricante de bebida para atletas af.ma que o con·
caido cal6rico medio de suas bebidas ede 72 calorias por por~o.
47. Escrevendo a hip6tese: medici·na Sua equipe de pesquisas
medicas est.! investigando o custo medio de um suprimento para
30 dias de ceno medicamento para o COi~. Uma indlistria
farmaceuti<.a acha que o custo medio emenos do que S 60. voce
que< apoiar essa afirma~o. Como~ esaeveria as hip6teses
nula e ahe<nativa?
48. Escrevendo a hip6tese: empresa de taxis Uma empresa de
taxis afinna que o te<npo medio de viagem eotre dois destines
ede oproximadamente 21 minutos. \IQCe trab.Jlha para uma e<n·
presa de ¢nibus e quer rejeitar essa afinna~. Como voce escreveria as hip6teses nula e alternativa?
49. Escrevendo a hip6tese: fabri<.ante de refrigeradores Um fabricante de refrigeradores afirma que a media do tempo de vida
U!il dos relrigeradores de seu concorrente emenos de 15 anos.
Voce deve realizar um teste de l>p6teses para testar essa alil·
ma~o. Como voe<! eseteveria as hi):Oteses nula e ahemativa se:
(a) voce representa o fabricante e que< apoiar a afirma~o?
(b) ~ representa o concorrente e quer rejeitar a afirm~?
50. Escrevendo a hip6tese: prOVl!dor de Internet Um provedor
de Internet te.lta obter anunciantes e afirma que o te<npo medio
que um consumid0< passa on.fine por dia e mais que 28 minutos.
\IQCe deve testar essa afirmai;Ao. Como voce esaeveria as hip6teses nula e alte1nativa se:
(a) voce represema o provedor de lntetnel e quer apolar a afit-
e
ma~o?
(b)
Expandindo conceitos
51. Entendendo o conceito Por que a diminui~oda probabilidade
de um erro ~ I au'Tle.1ta a probilbilidade de um erro tipo If?
52. Entendendo o conceito Por que nao usar um nf\11!1 de sigoifi·
tancia de a = O?
Analise grafica
Nos exercfcios de 53 a 56, voe~ tem a hip6tese rda e tres intervalos de confiam;a que representam tres amostragens. Decida
se cada intervalo de confian~a indica que voe~ <!eve rejeitar H0 •
Explique seu ra<iocinio.
53.
- ;1--1---1-----+---<-+-.... ,,
67 68 69 70 71 72 73
(a)
67
43. Ganhos por hora 0 U.S. Depar1mem of Labour (depa~mento
do trabalho "°"e-americano) afirma que a propor~o de trabalha·
dores horistas que ganham mais do que S 11,55 por h0<a e maior
do que 75%. fMol>'odo de u.s. 81Jtoou al kJbot sro.'IS."'5.)
~ representa um concorrente e quer rejeitar a afirma~o?
(b)
67 <
s•
< 71
68
69
10
71
72
73
67 < 1• < 69
~~-+--<•~+--+-!---+--•
Ed ,e 1naaa
1
(apltulol
(c)
69,5 < ,, <72,5
-1-•
67
54.
68
H0 : 11
51
52
69
70
71
72
53
55 56
(c)
51
52
53 54
S5
56 57
•
o.n o,2s
H0:p ~ 0,73
56 .
51,5 <1« 54,5
(b)
0, 175 <P< 0,205
0.11 0,18 o,•9 0.20 0,21
57
53,5 <i« 56,5
(a)
305
0,17 0,18 0,19 0,20 0,21 0,22 0,23
,.
54
ltms~eli~test<011Umaa11>0slf•
0,19 <P < 0,23
(b)
73
$54
•
0,70 0,71 0,72 0,73 0,74 0.75 0,76
0,73 < p < 0,75
(a)
•t
51
52
53
54
55
56
54,5 < /I <55,5
(c)
(b)
~
SI
H0:p
55.
S2
53
54
SS
56
0;10 0.71 0.72 0.73 0,74 0,75 0.76
57
57
••
$ 0,20
0,715 <p < 0,725
0,70 0,11 0,72 0,73 0,74 0,75 0,76
(c)
0,695 < p < 0,745
p
0,17 0, 18 0,19 0,20 0.210,220.23
(a)
0,70 0,71 0,72 0,73 0,74 0,75 0,76
0,2 1<p<0,23
f>
0.11 o.•8 0.19 0.20 0.21 o.n o.23
ID
Testes de hipoteses para a media
(amostras grandes)
Usando va!ores P para tomada de decisiies ---+ Usando o valor P para um
teste z---+ Re9iiies de rejei~ao e valores criticos ---+ Usando re9iiies de
rejei~ao para um teste z
I
Usando valores Ppara tomada de decisoes
No Capilulo 5, voce aprendeu que quando o tamanho da amostra for pelo
111enos 30, a distribui~~o de amostragem para x (a media amostral) e normal. Na
S~o 7.1, voce aprendeu que uma maneira de obter uma conclus.io em um teste
de hip6teses e us.11' um valor P para a estatistica do teste, tal como x. Lembre-se de
que quando voce assume a hip6tese nula como verdadeira, um valor P (ou valor de
probabilidade) de um teste de hip6teses ea probabilidade de se obter uma estatisti·
ca amostral com um valor tao extremo ou mais extremo que aquele determinado a
partir dos dados da amostra. A regra de decis~o para um teste de hip6teses baseado
e1n un1 valor Pesta a seguir.
eqra de decisiio baseada em um valor P
Para usar um va!Of P para tomar uma decis.lo em um teste de hip6teses, compare o valor P
como.
l. Se P $ u. entao rejeite HO'
2. Se P > u, ent~o falhe em rejeitar H•.
0 que voce
deve aprender
• Como eocootrar valores Pe usa.
-los paratestara mediaµ.
• Como usar valores P para um
testez.
• Como enconuar valOles aiticos e
regioes de r~ em uma distribu~o normal
• Como usar as regiOes de rejei\bo
para um teste z.
Ed 1t 1naaa
1
306 •
Cltatktica•pli<ad•
Exemplo
lmportante
Quanta menor o valor de P,
mais evid~ncia ha a favor da
r,ejei~ao
de /-10• 0 valor de P
fomece a voe@ o menor nivel
de signifitancia para o qua! a
estatistica da amostro permite que voe@ rejeite a hip6tese
nula. No Exemplo 1, voe@ rejeitaria H0 em qualquer nivel
designifidmcia maior ou igual
a0,0237.
m
lnterpretando um valor P
0 valor p para 0 teste de hip6tese e p
(1) o. = 0,05 e (2) o = O,OJ?
signifi~ncia
e
= 0,0237. Qua! sua decisoo se 0
nfvel de
SolufaO
1. Pelo fato de 0,0237 < 0,05, voe~ deve rejeitar a hip6tese :nula.
2. Pelo fato de 0,0237 > 0,01, voe~ deve falhar em rejeitar a hip6tese nula.
0 valor P para o teste de hip6teses eP = 0,0347. Qu<il sua decislio se o nfvel de
signifirancia for(!) o = 0,01 e (2) o = 0,05.
-
;6
a. Co111pare o valor P con1 o nivel de significSncia.
b. Tome sua decisao.
R~':'"pVSltr ltll I'· l'\4.l
c::::!l!contrando o valor Ppara o teste de hipotese
Depois de determinar a estatislica do tesie padronizada do teste de hip6tese e a area correspondente da estatistica do teste, realize um dos passes a seguir para encontrar o valor P.
a. Para o teste unicaudal aesquerda, P = (area na cauda esquerda).
b. Para o teste unicaudal adireita, P = (area na cauda direita).
c. Para o teste bicaudal, P = (area na cauda da estatistica do teste).
Exemplo OJ
Teste unicaudal aesquerda
2
J
Encontrando o valor Ppara o teste unicaudal aesquerda
Encontre o valor P para o teste de hip6tese unicaudal ~ csquerda com estatfstica
de teste z = -2.23. Decida se rejeita H0 se o navel de signific.ilncia for o = 0,01.
SolrifilO
0 grMico mostra a curva normal padr~o com area sombreada ~ esquerda de
z = -2,23. Para o tcste unicaudal a esquerda,
P = (area na cauda esquerda)
Da Tabela 4 no A~ndice B, a area que corresponde a z = -2,23 e0,0129, que ea
area na cauda ll esquerda. Ent~o, o valor P para o teste de hi p6tese unicaudal ll esquerda com uma estatfstica de teste z= -2.23 e P= 0,0129.
lltterpretafliO
Como o valor P = 0,0129 e maior que 0,01, voce deve folhar em rejeitar H0.
-;a
Tente
Encontre o valor P para o teste de hip6tese unicaudal ll csquerda com estatisti ca de testez = - 1,62. Decidase rejeira H0 seo navel de signifi~ncia fora- =0,05.
a. llse a Tabela 4 no Apcndice Bpara localizar a area que corresponde a z = -1,62.
b. Cnlcufe o valor P para o teste unicaudal aesquerda, a area da cauda aesquerda.
c. Co111pnre o valor P com o e decida se rejeita H..
R~O!'Jtr un p.
; \43
Ed ,e 1naaa
1
C.pltulo7
•
lew1dehip6tf1ecom""'•mosua
307
Exemplo [}]_
3.........._____________
Encontrando o valor Ppara um teste bicaudal
Teste bicaudal
Encont-rc o valor P porno tcatc bicaudol com CGt:.tf5tica do tcatc de z - 2,14. Dc-
cida se rejeita H0 se o nfvel de signific§ncia for"= 0,05.
A .1.rca;) dircita de
z =2,14 C0.0 162.cn15o
Solupio
0 grafico mostra a curva normal padrao com areas sombreadas aesquerda de z =
-2,14 ea direita de z = 2,14. Para o teste bicaudal,
" : 2(0.(Jl62) :0,0324.
P = 2 (area na cauda da estatrstica do teste).
Oa Tabela 4, a area corrcspondente a z = 2,14 e0,9838. A area na cauda direita e
-3
-Z
-1
1 -0,9338 = 0,0162. Entao, o valor P para o tesle de hip6teses bicaudal com estatfstica
t= 2.14
de teste z = 2,14 t! P = 2 (0,0162) = 0,0324.
I11terprelafiiO
Como o valor P = 0,0324 emenor que 0,05, voce deve rejeitar H0•
Tente Encontre o valor P para o teste de hip6tese bic.1udal com estatistica do teste z =
vod 2.31. Dedda se rejeita H0 se o navel de significancia for o = O.ol.
3
a. Use a Tabela 4 noApendice B para localil'.ar a area que corrcsponde a z = 2.31.
b. Calcule o valor P para o teste bicaudal, duas vezes a area na cauda da estatistica do teste
c. Compare o valor P com ere tlt'Citln se rtjeita H0•
I
R~p1~t111111 p.
A<IJ
Usando o valor Ppara um teste z
0 teste z para a media eusado nas popula~ nas quais a distribui~ao de amos-
tragem das medias amostrais e normal. Para usar o teste z, voce precisa encontrar o
valor padronizado para a estatistica do tester.
z
o
(Me<fo amostrnl)- (mCdia hipotetica)
Erropadrao
ste zpara a mediaµ
0 teste z para a media 1• eum teste estatistico para uma media populacional. 0 teste z pode
ser usado qualldo a popula¢o enormal e" econhecido. ou para qualquer popula~o quando
o tamanho da amostra n for pelo menos 30. Aestatistica do teste ea media amostral x ea
estatistica do teste padronizado ez.
X- 11
z -- ,,;:[,,
(I
Lembre-se de que 7 = erro padrao = ,,,.
v11
Quando n ;,: 30, voce pode usar o desvio padrao da amostra s no lugar de "-
Dica de estudo
•Com todos os testes de hip6-
tes:es, e util esboyir a distribuio;iio de amostragem. Seu
~ deve conter a estatfstica de teste padro~izad11-
Ed ,e 1naaa
1
30 8 •
(>1a1ktica09licada
lmportante
lnstru(oes
Quando o tamanho da '<ltn<»
tra for pelo menos 30, sabemos
Us.indo valores Ppara um teste zpara mediaµ
o seguinte sobre a dis.trjbui~ao
1. Declare a
Afirme H0 e H,.
2. Especifique o nfvel de signifi-
ldentifique o-.
de amostragem das medias
amostrais:
(1) A fom1a e11ormal.
(2) A media ea media hipotetica.
(3) O erro padrao e st.J,;,
onde s pode ser usado no
lugardea.
Em palavras
Em simbolos
affrma~oo verbal e
matematkamente. Jdentifique
as hip6teses nula e alternativa.
dincia.
3. Determine a estatfstica do teste
padronizado.
z=
x-r1• OU se II 2'. 30, U5e<1 "'S
<1""
4. Encontre a area que corresponde a z.
Use a Tabela 4 no Apendire B.
5. Encontre o valor P:
a. Para um teste unicaudal aesquerda, P = (ilrea na cauda esquerda)
b. Pam um teste uni caudal adireita. P = (area na cauda direita)
c. Para um teste bicaudal, P = (<\® na cauda da estalistica do teste)
Rejeitar H0 se o valor Pfor menor ou
6. lome uma decisao para rejei·
tar ou falhar em rejeitar a hip6igual a o. Caso contrario, falhe em
tese nula.
rejeitar 1-/0•
7. lnterprete a decisao no x oontexto da afirma~ original.
Exemplo
m
Teste de hipoteses usando valor P
Em um anuncio, uma pizzaria afirma que a media de seu tempo de entrega e
menor quc 30 minutos. Uma sele~ao aleat6ria de 36 tempos de entrega tern media
amostral de 28,5 minutos e desvio padr~o de 3,5 minutos. Hil eviMncia suficiente para
apoiar a afrrma~3o em o = 0,01? Use um valor P.
Sol11f tiO
A afirma~o I! "a med.ia de tempo de entrega I! menor.que 30 minutos". Entao, as
hip6teses nula e altemativa s.'\o:
H.,: 11 2'. 30 minutos e 1-1,: 11 < 30 minutos. (A.f/11,,"¢<>)
0 nlvel de confian~a eo = 0,01. Aestatrstica do teste padronizado e:
_
_
_
-- q.J,;
,
X-1t
Pd1Jfittt• 1lt Jt ~ JO. ll'l' otf".tl'.:
28,5 - 30
3,5/ ./36
;::, - 2,57.
Na Tabela 4 do Apendice B, a ~rea correspondente a z = -2,57 ~ 0,0051. Como
esse teste e um teste unicaudal ~ esquerda, o valor Pe igual a area~ esquerda de z =
-2,57. Ent3o, P= 0,0051. Pelo fato do valor Pser meoos que .a = 0,01, voe~ deve rejeitar
a hip6tese nula.
Ed ,e 1naaa
1
C.pftukl 1 •
Tems de hip6t11ecom.,.,mosoa
309
Teste unicaudal aesquerda
-3
t=
\-2 - I
2
0
3
-2.57
I 11terpretafiio
No nfvel de significancia 1%, voo? tern evidencia suficiente para conduir que a
media do tempo de entrega emenor que 30 minutos.
Tente Proprietarios de casas afinnam que a velocidade mMia de vefculos que pasvod sam por sua rua e maior que o limite de velocidade de 35 milhas por hora.
4
Uma amostra aleat6ria de 100 autom6veis tern media de velocidade de 36
milhas por hora e desvio padrao de 4 milhas por hora. Ha evid@ncia suficiente para
apoiar a afinnao;llo em o·= 0,05. Use um valor P.
a. lde11tiftq11e a afirma9iio. Entao, e,;tab<'lcfn as hip6teses nula e alternativa.
b. ldeutiftque o nfvel de significancia.
c. E11co11tre a estatistica do teste p.idronizado z.
d. E11co11tre o valor I'.
e. Decidn se rejeita a hip6tese nula.
f . llltcrprete a decisao no contexto da afinnar;lio original.
Exemplo
m
Teste de hipoteses us.indo va!ores P
Voce acha que a informa9ao do investimento medio de franquia mostrada no
grMico e incorreta, entao voe~ seleciona aleatoriamente 30 franquias e determina o
investimento necessario para cada. A media arnostral de investimento eS 135.000 com
desvio padrao de$ 30.000. Ha evidencia suficiente para apoiar sua afinna9ao em 11 =
0,03. Use um valor P.
lnvestimento de franquias
'
ln\'\!Stin1cnto mCdio C
41%
~k~ q11e
S I00.000
$ 100.000
011 m:ii.s
s 143.260
NlOSQ,bd
n;'lo n=$pondc1o1
,.l
Veja passos MINITAB na
p.349.
Ed ,e 1naaa
1
310 •
l>tatll\ica aplicad•
Sol11flio
A afirmac;OO e "a media e diferente de S 143.260". Entao, as hip6teses nula e
alternativa S<,o:
H,,: 11 = S143.260
e H,: J•"' S 143.260. (,\firm·~·">
0 nivel de significii.ncia ea = 0,05. Aestatistica do teste padronizada e:
x-1•
Com1> t1.0!: JO. u"t' u u~ti·:.
-;:r;;
z-
135.000-143.260
30.()00/130
Teste bicaudal
~ -1,51.
Na ·iabela 4 do Apendice B, a area correspondente a z = - 1,51 e0,0655. Como se
trata de um teste bicaudal, ovalor Pe igual a duas vezesa ~r.ea ~ esquerdadez = -1,51.
A :irea :. esqucrda <le
'= -1.5 1 e0.0655.entao
P= 2(0,0655) = 0.13 10
Ent~o.
o,
p = 2(0,0655) = 1310.
Pelo fato do valor Pser maior que o, voce deve falhar em rejeitar a hip6tese nula.
0
l
fltterpretapio
N~o h~ eviMncia suficiente no nivel de significancia de 5% para conduir que a
media de investimento de franquia ediferente des 143.260.
Tente
Um de seus distribuidores reporta uma media de 150 vendas por dia para o
voci direitode distribui~o. Voce suspeita que essa media naoseja rorretn, entao vod!
5 seleciona aleatoriamente 35 dias e determina o numero de vendas a cada dia. A
media amostral e143 vendas diariascom desvio padraode 15 vendas. Em a= 0,01, ha
evidencia suficiente para duvidar da media reportada pelo distribuidor? Use o valor P.
Dica de estudo
•Usando a TI-83/84, vod! pode
tanto entrar oom os dados originais em uma lista para en·
contrar o valor Pquanto entrar
com as estat!sticas descritivas.
ISIATI
Escolha o menu de TESTS
1: Z.Test. ..
Selecione a o~ao de entrnda
de dados (Data) sevod! entrou
com os dados originais. Selec:ione a op¢o de entrnda Stats
se vod! entrou com estatisticas descriti vas. Em cada caso,
entre oom os valores apropriados ind uindoo tipode teste de
hip6tese correspondente indicado pela hip6tese aJtemaliva.
Entlio, selecione Calculate.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
lde11tifiq11e a afirma~iio. Entao, <'Slabele{a as hip6teses nula e alternativa.
lde11tifiq111: o nivel de signilkancia.
Etico11tre a estatistica do teste padronizado z.
Etmmtre o valor P.
Decida se rejeita a hip6tese nula.
/11terprete a decisiio no rontexto da afinna~iio original.
Rt5post111u111. A4J
Exemplo
m
Usando a ferramenta de tecnoloqia para encontrar ovalor P
Qual tela da Tl-83/84 abaixo represenla a decis.'° que voe~ deve tomar us.1ndo
um nfvel de significancia de a = 0,05?
Z-Test
l nPt : Data i:!!l!IE
µo: 6 . 2
o-: . 47
x: 6 . 07
n: 53
µ:FJml ( µo )µ o
CaTCulat e Draw
Z-Test
"'*6.2
z=-2 .013647416
P=. 0440464253
x=6.07
n=53
Solt1fliO
0 valor P para esse teste e dado por 0,0440464253. Como Pe menor que 0,05,
vod! deve rejeitar a hip6tese nula.
Ed ,e 1naaa
1
<•invlo1 •
l"l!I olt hlp01"' '""
'"'"m
°'"' 311
Para o teste de hip6tese da Tl-83/84 mostrado no Exemplo 6, tome uma decisao no nfvel de signiftcancia de o = 0,01.
a. Co111Pflre o valor P com o nfvel de signifirancia.
b. Tome• deci.;io.
I
Regiiies de rejei,ao e val ores criticos
Outro metodo para decidir se rejeita a hip6tese nula edeterminar sea estatrstica
do teste padronizada esta dentro de uma amplitude de valores chamada de rcgiao de
rejei~~o da distribui~3o de amostragem.
efini,ao
lmportante
Uma regiao de rejei~o (ou regiao critica) da distribui~o arnostral e a arnplrtude de valores
para a qual a hip6tese nuta nao eprovavel. Se uma estatistica de teste est.! nessa regiao, a hipO.
tese nula e rejeitada. Urn valor critico z0 separa a regiao de rejei~o da regiao de nao reje~o.
Se a estatistica de teste esta
na regiao de rejei¢o, isso setia considerado um evento
incomum.
lnstru(:oes
Encontrando os valores criticos em uma distribui,ao normal
1. Especifique o nfvel de signifirancia o.
2. Decida se o teste e unicaudal lt esquerda, a direita Ou bicaudal.
3. Encontre o(s) valor(es) critico(s) z0. Seo teste de hip6tese for:
(a) auutnl h esq11erda, encontrc o z-ESCOre que correspond a aarea de a.
(b) ca11dnl h direitn, encontre o z-escore que corresponda aarea de 1- a.
(c)
bica11dnl, encontre o z-escore que correspond a a
~a e 1 -~o .
4. Fa\a a distribui~ao nonnal padrilo. D<!senhe uma linha vertical em cada valor
critico e sombreie a rcgiiio de rejei~o.
Exemplo
m
Encontrando um valor critico para um teste unicaudal aesquerda
Encontre o valor crftico ea regiiio de rejci~o para um teste unicaudal aesquerda
com o' = 0,01.
Sol11fiio
0 grafico adireita mostra a curva normal padrao com a area sombreada de 0,01 na
cauda esquerda. Na Tabela 4 do Ap@ndice B, o z-escore que corresponde a uma area de
0,01 e-2,33. EntM, o valor critico ez0 = -2,33. A regioo de rejei<;lio esta h esquerda desse
valor cn1ico.
Tente
vod
'1
a.
b.
c.
d.
Encontre o valor critico ea regiao de rejei<;lio para o teste unicaudal h esquerda
com o = 0,10.
O..'SC11he o graftco da curva normal padriio com uma ;lrea de o na cauda esquerda.
Use a Tabela 4 para localizar a area que esteja mais pr6xima a o.
E11co11tre o z-escore que corresponda a essa area.
lde11tifiq11e a area de rejei<;lio.
R~pi}$.t11
un p. A4J
Nlvel de signilid ncia de 1%
:L.
- 3 / -2
'o = -2J3
-1
0
I
'2
3
Ed ,e 1naaa
1
Se voe~ n3o puder encontrar a area exata na Tabela 4, use a area que seja mais
pr6xima. Por exemplo, no Exemplo 7 a area mais pr6xima de 0,01 e0,0099. Quando a
area eexata1nente o n1eio entre duas areas na tabel~ use o z~escore do meio entre os
z-escores correspondentes.
Exemplo
Nlvel de signific~ncia de 5%
00
Encontrando va!ores criticos para o teste bicauda!
Encontre o valor critico ea regiao de rejei~iio do teste bicaudal com n = 0,05.
I - a =0.95
\
~Gl = 0.025
-I
-3 -2\ -I
0
_,0 =-1.96
I
/ 2
l
z0 = 1.96
Sol1tfliO
0 grafico aesquerda mostra a curva normal padrao com as areas sombreadas de
in = 0,225 em cada cauda. A area aesquerda de -z0 e ~n = 0,025 ea area aesquerda
de z, e I -
ia
= 0,9'75. Na Tabela 4, os z-escores que correspondem as areas 0,025 e
0,975 s.io-1,96 e 1,96, respectivamenle. Entao, os valores crlticos siio - z0= -1,96 e z, =
1,96. As regioos de rejei~ao est3o aesquerda de -z, ea direita de z,.
-·
Dica de estudo
Encontre o valor crf!ico ea regi3o de rejei<;<'!o do teste bicaudal com n = 0,08.
Note no Exemplo 8 que os val ores crilicos silo opostos. lsso
sempre verdadeiro para os
testes z bicaudais.
A tabela lista os valoros criticos
para os niveis de significfulcia
mais comumente usados.
-8
a. Dese111Ie o gr~fico da curva nor1nal padrao coin uma ~rea de -10' en1 cada
ca~~
2
ti;
Alfa
Cauda
%
0,10 Esquerda -1,28
1,28
Direita
Bi caudal :t'J,645
0,05
Esquerda - 1,1)45
Direita
I
1,645
Bicaudal tl,96
0,01 Esqucrda -~
DireiUi
2,33
Bicaudal ±2,575
b. Lise a Tabela4 para localizar a jrea mais pr6xima a
c. E11co11tre o z-escore que corresponda a es5<1S jreas.
d. lde11tifiq11e as areas de rejei~o.
I
i" -i"·
e1
Usando regioes de rejei,ao para um teste z
Para concluir um teste de hip6tese us.1ndo
uma decisiio ea interpreta, como a seguir.
regi~o(O<ls)
de rejei~3<>, voce toma
eqra de decisao baseada na reqiao de rejeicao
Para usar a regiao de cejei~o para conduzir um 1este de hip6tese, calcule a estatfstica do teste
padrooizado z. Se a estatistica do teste padronizado:
1. estiver na regiao de rejei~ao, entao rejeite H..
2. nao esll\ler na reg1ao de 1e1e1\.io, ent.io falhe em re1e1tar H0•
Teste unicaudal aesquerda Teste uniraudal a direita
Falhc em rcjeitar H0.
Falhe cm rcjei1ar H0 .
Teste bicaudal
Falhe cn1 rcjcilar H 0 .
Rcjcitc H0.
0
Rcjcitc H0 .
"
Falhar em rejeitar a hip6tese nula nao significa que vod! aceitou a hip6tese nula
como verdadeira. Simplesmente significa que n3<> ha evidencia suficiente para rejeitar
a hip6tese nula.
Ed ,e 1naaa
1
(apftukl 1
•
3B
ft.1tts de hlp!111ecomema amo1Ua
lnstru~oes
Usando regioes de rejei,ao para um teste z para media µ
E111 palavras
Em sf111bolos
1. Declare a afirmac;OO verbal e matematicamente. ldentifique as hip6teses nula e altemativa.
2. Especifique o nfvel de significancia.
3. Fa\<! a distribui~ao de amostragem.
4. Determine o valor crftico.
s. Determine a regioo de rejei~Ao.
.6. Encontre a estatfstica do teste padronizada.
7. Tome uma decis.'io para rejeitar ou
falhar em rejeitar a hip61ese nula.
AfinneH0 eH,.
ldentifique a.
Use a Tabela 4 no A~ndice B.
'i- 1•
2 = ~, ouse 11 ~30 use <J~S.
u/v11
Rejeitar H0 se z estiver na regiao de
rejei~llo. Caso contrario, falhe em
rejeitar H0•
m
Testando µ,com uma amostra grande
Funcionarios de uma grande firma de contabilidade afirmam que a media dos
salilrios dos contadores emenor quc a de seu concorrente, que eS 45.000. Uma amostra
aleat6ria de 30 dos contadores da firma tem media de salario de$ 43.500 com desvio
padrao de S 5.200. Como = 0,05, teste a a6rma~o dos funcionarios.
Soluplo
A afinna~o e: "a media dos sal<lrios e menor que $ 45.000". Entao, a hip6tese
nula ea alternativa podem ser escritas como:
Em razaodeo testeser unicaudal ~ esquerda eonivel de significanciaser o = 0,05,
o valor crrtico e z0 = - 1,645 ea regiao de rejeiy'io e z < -1,645. A estatfstica do teste
padronizad• ~:
X- 1i
2= - -
,,.r,,
Drt;it/011'1230, 11'-i'a .. .. •
agenda de prot~~o ambiental, publica rcfot6rios da mi·
lhagem de gasolina para todas
as marcas de modelos de vefcul'.os de passeio. Em um ano
recente, o carro compacto com
tra:nsmlss.10 automatica que
teve a melhor milhagem foi o
Honda Civic hlbrido. Ele obteve uma mt!dia de milhagem
de 49 milhas por galao (na
cid!ade) e 51 milhas por galao
(na estrada). Suponha que a
Honda acredite que o Honda
Civic hibrido exceda as 51 milhas por galilo na estrada. Para
apoiar sua afinna~o, ela testa
34 carros na estrada e obtem
uma media amostral de 52,1
milhas por galao, oom desvio
padrao de 2,3 milhas por galao.
(fo..td/\1.)
H,; ,, ;:: S 45.000 e H,: 11 < $ 45.000 CA/iTriU1(4'>)
43.500- 45.000
5200/./3fJ
::::- 1,58.
Retratando o mundo
A cada ano, a Environmen·
taJ Protection Agency (EPA),
8. lnterprete a decislio no cootexto da
afim1a~o original.
Exemplo
I
5.100.
.4-"UnAI, µ = 45.000
0 gr<lfico mostra a localizay'IO da rcgiao de rtjei\50 e da estatistica de teste pa·
dronizado z. Em virtude de z nao estar na regiao de rejei~oo, voce falha em rejeitar a
hip6tese nula.
Jnterpretnrtlo
Nao ha evidi!ncia suficiente no nfvel de significancia de 5%para apoiar a afinna·
<;ii<> dos funcionarios de que a media do salario emenor que $ 45.000.
A evid€11cia t ~11ficie11f( pnm
apaiar a afir111m;1il.1 tie que as
milltas 1w1· ga/11<1 110 t'stmtfn do
Hourln Ciuicexcetlnm nqucla I'S·
timnrln /l<'lo EPA? llse mu tl'Stt•
z 00111 n =0,01.
Veja pas.sos Tl-83/84 na p. 350.
Nf·vel de significiincia de 5%
Ll
I) ;;;;
0.0S
-2/
..1
0
:Cl-= - l.64S :~- 1 ..'i8
I
2:
!
Ed ,e 1naaa
1
31 C. •
£s111k1ica apli<od•
·ienha certeza de que voe~ entendeu a decis.'lo tomada neste exemplo. Embora
sua amostra te1\ha uma m~ia de S 43.500, voce nao pode (no nfvel de significancia de
5%) apoiar a afirma~ao dos funcionarios de que a mMia d05 salMos dos contadores e
menor que $ 45.000. Adiferen~a entre sua estatistica de teste ea media hipotetica ocorre provavelmente por causa de erro de amostragem.
0 CEO" de uma empresa afirma que a m~ia de um dia de trabalho dos oon- 6 tadores da finna e menos do que 8,5 horas. Uma amostra aleat6ria de 35 dos
9 oontadores da empresa tern uma m~ia de 8,2 horas com desvio padrao de 0,5
horas. Em Q = 0,01, teste a afirma~3o do CEO.
ente
a.
b.
c.
d.
e.
lrlc11tifiq11e a afirma(aO e esta!lele(n H0e H,.
ldc11tifiq11c o nivel de significancia Q.
E11co11tre o valor critioo z• e identifique a regiao de rejei"1o.
E11co11/re a estatfstica de teste padronizado z.
Fn(a um grafico. Dt'Cida se rejeita a hip6tese nula.
f. /11terprete a decisilo no oontexto da afirma~~o original.
Exemplo [!OJ
Testando µ. com amostras grandes
0 departamento de agricultura dos Estados Unidos reporta que o custo medio
para se criar um filho ate a idade de 2 anos na zona rural e de $10.460. Voce acredita
que esse valor est<i incorreto, entao voce seleciona un1a aa1ostra aleat6ria de 900
crian~as (com idade de 2 anos) e desoobre que a media dos custos e $ 10.345 com
desvio padrao de $ 1.540. Com a = 0,05, M evidcncia su ficie11te para conduir que
a 1n~dia do custo ~ diferente de S 10.460? CA0011Md11 dt ~J.S. lkJlfrtmt11t •if Agrit11ftllfr c,,,,,, for
':'V11tri1;.111 p.,tiry t Pnm:c>tili;1.)
2-Test.
11410460
z=-2. 24025974
P=. 025073983
x=10345
n=900
Solupio
Voce quer apoiar a afirma~o de que "a m~ia de custos e diferente de S 10.460".
Entiio, as hip6teses nula e altemativa s.1o:
H0: 11 = $10.460
e
H,: JI = $10.460. (~~rmll(rl<>)
Usando a 11·83/84, voc~ pode encoo·
trar a estatfstica do tesie padroo~ada
automaticamente.
Ern razao dt.> o l!!Slt! ser bi caudal ~ o n{vel de significtinlia ser a = 0,05, os vaJores
criticos sao -; = -1,96 e z0 = 1,%. As regi0es de rejei~ao s5o z < -1,96 e z > 1,%. A
estatfstica do teste padronizado e:
X - 11
z- -
- a$.
10.345- 10.460
i.s40/J900
~-2, 24.
[111 r.tzdcl dt" ~ 30, 11-k Jt'i.le::
fn1 m:lli1d' u 2'30, u~ 1,..:Jt:
1h ...uma II"' S J0..160
Chi!'/ &1'f11lh'lf' Ojft<tr - Sigla ~n1 inglC$ para dirc1<>r gcral ou din~or-t)(«ulivo; ¢ us.1do par:. dC$ign.1r a
pessoa con1 n1ais ,1lla l'\':Sp<>nsal;>ilid,1dc \'fl\ uma en1prt'$o1.
Ed ,e 1naaa
1
C.pllulo 1 •
0 grafioo mostra a localiza~Aoda regiao de rejei~Aoe da estatlstica de teste padronizada z. Em virtude de z estar na regii'io de rejei~ao, voci! deve rejeitar a hip6tese nu la.
feste1 de hip!tfle<omam"m°'"'
315
Nfvel de significancia de 5%
I-a =0.95
InterpretllfiiO
Voce tern evidencia suficiente para c:onc:Juir que a mtklia do cu.sto de i:;e criar uma
crian~a desde o nascimento ate os 2 anos em
uma area rural e significantemente diferente de $10.460 no nfvel de significAncia de 5%.
Usando a informa~llo e os resultados do Exemplo 10, determine se M evidencia suficiente para apoiar a afinna~o de que a media do custo de se criar uma
criany1 desde o nascimento ate os 2 anos em uma area rural e diferente de
$10.460. Use o = 0,01.
a.
b.
c.
d.
ldc11tiftq11c o nfvel de significAncia a.
E11co11trc o valor crftico z,, e identifique a regiao de rejeit;iio.
Fnrn um grMico. Decidn se rejeita a hip6tese nu la.
/11terprete a decisiio no contexto da afirmai;iio original.
RtsfW$tn 11n p. A4.l
Ill Exercicios
(onstruindo habi!idades basicas e conceitos
Nos exe1ooos de I a 6, enccnue o valor P para o teste de hip6tese indicado rom a estalislica de teste padrooizada z dada. Decida se
deve rejeitar H0 para o nivel de signific.!ncia (\.
1. Teste unicaudal aesque<da, z = -1,20 a= O, IO.
2. Teste unicaudal aesque<da, z = -1,69, o = 0,05.
3. Teste unicaudal adireita, z = 2,34, o = 0,01.
4. Teste unicaudal adireita, t = 1,23, a = 0,10.
5. Teste bicaudal, z=- 1,56, a =0,05.
6. Teste bicaudal, z = 2,30, o = 0,01.
Analise grc!fica
Nos exercicios de 7 a 12 relacione cada valoi P coin o grafico
que mostre sua area. Os graficos sao nomeados de (a) a (f):
(a)
(b)
- 3 -2
_,
0
1/ 2
z; 1.90
J
- 3 /-2 _ ,
_,
0
I
2
3
(d)
0
2
-3 - 2 - 1 \ 0
z:
I
-0.51
2
3
-3
-2
_,
0
I / 2
t =
1.82
3
7. p = 0,0089.
9.
11.
13.
14.
6. p = 0,0132.
p = 0,3050.
10. P = 0,0686.
P = 0,0233.
12. P = 0,0287.
DadoH,:11 = 1 00.H,:11~ IOOeP = 0,0461 :
(a) voce 1ejei14 ou falha ao rejeitar H0 no nivel de significancia
0.01?
(b) voce rejeita ou falha ao 1ejeitar H0 no n~I de signific.!ncia
0,051
Dado H,: ,, ?: 8,5, H,: JI < 8,5 e p = 0,0691 :
(a) voce rejeita ou falha ao 1ejeitar H0 no n~I de signific.!ncia
0,011
(b) voce 1ejei14 ou falha ao rejeitar H0 no n~I de signific.!ncia
0,051
t : - 1.99
(c)
:: ~ -2.37
-3 - 2
(I)
(e)
J
-3 - 2 - I
(J
I
l \
3
z = 2.22
Encontrando valores crfticos
Nos exerdcios de 15 a 20, encontre os valores criticos p.Jra o
tipo indicado de 1este e nfvel de signilic3ncia n.
15. Teste unicaudal a direita, o = 0,05.
16. Teste unicaudal adireita, o = 0,08.
17. Teste unicaudal a esquerda, n = 0,03.
16. Teste unicaudal a esquerda, a= 0,09.
19. Teste bicaudal, (\ = 0,02.
20. Teste bicaudal, o = 0, 10.
Ed ,e 1naaa
1
Analise grafica
Nos exerciciosde 21 a 24,
(a) afirme se o grafico mosira um leste unicaudal a esquerda, a
direiia oo bicaudol.
(b) afirme " = 0,01, 0,05 ou 0, 10.
21.
22.
Nos exercicios de 29 a 32, teste a afirmayjo sobre a me·
dia populacional Jt no nlvel de signific3ncia usando as estatisticas
amost1ais dadas.
=
=
x
x
29. Afirma,ao: JI 40, o 0,05, estatistica amosiral: = 39,2,
s = 3,23,n = 75.
30. Afirmayjo: J• > I.030, o = 0,05, estatistica amostral: = 1.035,
S a 23,n : 50.
31. Afirmai;OO: J• "' 6.000, a = 0,0 I, es1atistica amostral: = 5.800,
x
Alirmayjo: JI ~ 22.500, o = 0,01, es!a1istica amostral: x = 23.250,
S = 350, n = 35.
32.
s = 1.200, n = 45.
- .l'
-2 - I
0
I
Z\ 3
:o =2J3
23.
Us.indo einterpretando conceitos
24.
Testando afirma,oes usando valores P
Nos exercicios de 33 a 38:
(a) esaeva a afirmayjo malemat'icamente e identilique H0 e H,.
..; -2/ .. 1
(>
(b) encontre a estatistica de teste padronizada z e sua area cor·
respoodente. Se for convenieme, use a teroologia.
j
I
• - 1.645
- :0
(c) eooontre .alores P. Se for convenieme, use a lealologia.
Analise gratica
Nos exe<cicios de 25 a 28, alirme se cada eslatistica de teste
padronizada z permite que voce rejeite a hip6tese nula. Explique seu
raciocinfo.
25. (a) z = 1,631.
(b) z = 1,723.
(c) Z= -1 ,464.
(d) z = -1 ,655.
-3 -z \-1 o
I
I'
..j
I
/?
J
26. (a) Z= 1,98.
(b) z = - 1,89.
(c) Z = 1,65.
(d) z = - 1,99.
- 1\ - 1
0
- to = -1.96 z0 =
.1
1,96
27. (a) z =-1,301.
(b) l = 1,203.
(c) z = 1,280.
(d) z = 1,286.
(c)
(d)
34. Sistema de chuveiros de incendio Um fabricante de ch1N<?i1os
para pr01~0 contra incendios afirma que a media de tempe<atura de ativa<Jo e de pelo meoos 135 °F. Para 1estar a afirma'3o,
voce seleciona uma amostra de 32 sistemas e descobre que a
media de tempe<atura de ativayjo e 133 °F com desvio padrao
de 3.3 °F. No nivel de signific3ncia o = 0, I0, voe! tern evidencia
suficiente para apoiar a afumayjo do fabricante?
35. Bebedores de cha Uma sociedade de bebedores de ch! esuma que a media de consumo de cha por urna pessoa nos Esiados UM05 e mais do que 8 ga!Oes pcx ano. Em uma amostta
aleat6ria de 100 pessoas. voce d~e que a media de consu·
mo de <hl ~ de 7,9 gJIO.o por ono, com deovio podr.lo de 2,67
galOes. Em o = O.Q7, m pode ajl()iar a afirma~o da sociedade?
(~de U.S. De-'ll ofAgt/Cli>'Nro.)
_, _,
(b)
(e) imerprete a decis3o no conteicto da afirmayjo original.
33. Testes de matematica Em lllioois, uma amostra alea16na de
85 alunos da oi1ava serie tem nota media de 282 com desvio
padrao de 35 em um 1este naci011al de ma1em.l1ica. 0 resultado
do tesle infcxma o adminislradcx de uma escola esiadual que a
nola mMa no teSle para OS alunos da oitava ~e do eSlado e
mais do que 275. Em a = 0,04, M e'lid<!ncia o suficienle para
apoiar a afirma¢o do administrador? r;.doprQdodeh'oocno/Cent« /or
Educalxin Sia'""-«)
- <o=- 1.645 <o=l.645
28. (a)
(d) decida se reieita ou falha em rejeitar a hiP61ese nula.
-·
0
I\ ?
3
z0 = 1.285
\.2 - 1
0
I
z = 2,557.
z = -2,755.
z = 2,585.
z = - 2.475.
-z.-3
= -2.575
zI> '
to= 2.575
36. Consumo de atum Um nuuic:ionista afirma que a media de
consumo de alum por pessoa nos Es!ados Unidos ede 3, I libras
pcx dia. Uma amosira alea16ria de 60 pessoas nos Es!ados Uidos mosira que a media de co.'lSumo de a1um por uma pessoa e
de 2,9 tibras por ano com desvio padr~o de 0,94 libras. Em <> =
0,08, voce pode rejeitar a afirma{Ao do nuuicionista? {Adaplodo""
US Deponmenr olAgttulwre.)
( ilt 37. Parando de fumar 0 numero de anos que levou para uma
amostra aleat6ria de 32 ex.fumantes pararem de fumar perma·
nentemente es1~0 listados. Em o = 0,05, ~ evidOOcia suficiente
para rejeitat a afirmai;OO de que a media do 1empo que levou para
OS fumantes pararem de fumar permanentememe e 15 anos?
(ldrJ;;wdo de Th• Galo;> Otgoovaoon.)
Ed ,e 1naaa
1
(apflOlo)
15,7 13,2 22,6 13,0 10,7 18,l 14,7 7,0 17,3 7,5 21,8
12,3 19,8 13,8 16,0 15,5 13,1 20,7 15,5 9,8 11,9 16,9
7,0 19,3 13,2 14,6 20,9 15,4 13.3 11,6 10,9 21,6
•
ltst"dthlp6t1>t<OllU1IU.~Oltfd
317
24 36 44 35 44 34 29 40 39 43 41 32
33 29 29 43 25 39 25 42 29 22 22 25
14 15 14 29 25 27 22 24 18 17
·l38. Salarios
Um politico do Alabama afirma que a media dos sala· :·~A4. Lampadas fluore5eentes Um fabricante de lampadas fluorescentes garante que a vida tltil nnMia de certo tipo de lampada
de pelo menos 10.000 horas. Voce quer testar essa garantia. Para
faier isso, voe! regisua a vida Util de uma amosva aleat6ria de 32
l.lmpadas fluorescentes. Os resultados (em holas) s.lo mostrados
apoiar a afirmaylo do politico? ~<I'*> do AmeY.,,,., Cor••: lllloo\'el.)
a seguil. Em o • 0,09, voce temi evidMcia suficiente para rejei1ar a
rios anuais para gerentes de engenharia no Alabama e mais do
que a media nacional, S 100.800. Os sal.lrios anuais (em d6klres)
para uma amostra aleat6ria de 34 gerentes de engenharia no Ala·
bama estoo listados. ~." ~ 0,03, M evidencia o suficiente para
92,860
96,216
99,963
101,519
89,714
93,613
94,975
98,234
101,415
94,161
93,198
92,144
88,714
86,719
89,714
97,178
95,117
91,716
82,917 98,117
79,821 94,556
90,648 96,159
98,736100,317
97.482 99,632
96,031
e
afi~odofabricante?
102,415
97,612
99, 176
94,932
100,589
8,800
10,016
10.420
6,2n
9,155 13,001 10,250 10,002 11,143
8,015 6,11011,00S.11,555 9,254
8,302 8,15110,98010,18610,003
8,632 7,265 I0,584· 9,397 11,987
8,234 10,402
6,99112,006
8.81411,445
7,55610,380
{'~AS. Perda de peso Um programa de perda de peso afirma que os
participantes do programa tem media de perda de peso de pelo
Testando as afirma~oes
menos 10 libras ap6s 1 mes. l«e trabalha para uma associa,.io
Nos exerdcios de 39 a 46, (a) esoeva uma afirma<;ao matemati·
medica e deve testar essa afirmaylo. Uma amosua aleat6ria de
ca e identifique H0 e H,. (b) encooue os valores criticos e identifoque
30 panicipantes do programa e suas petdas de peso (em libras)
a.s regi005 de rejei(Ao, (c) eocontre a estatistica do teste padronizado.
depois de um mess.lo listadas diagrama ramo-e-folhas a seguir.
(<l) decida se rejeita ou falha ao rejeitar a hip6tese nukl e (e) interprete
Em o = 0,03, voee tern evid!ncia para rejeitar a afirmaylo do
p<ograma?
a; decisao no contexto da afirma<;ao original.
"°
39. Conteudo de cafeina nas bebidas a base de cola Uma emp<esa fabticante de bebidas a base de cola afirma que a mt!dia do
conte6do de cafeina por ganafa de 12 ootaS e de 40 mi igramas.
Voce quer testar essa af•maylo. Durante os testes, voce desc:OO<e
que uma amosua aleat6ria de 30 garrafas de 12 ~s de bebi·
da a base de cola tern media de conteUdo de cafefna de 39,2
miligramas com desvio padr~o de 7,5 miligramas. Emo= 0,01,
voe! pode rejeitar a afirma<;ao da empresa? (Moi:'100 de Ame""°"
Perda de peso (em libras) ap6s um mes
/Je<fycges """""""'·)
G7
7
019
2 2 79
03568
2566
125 7 8
078
8
11
12
13
Chave: 517 = 5.7
14
15
..,
.
.
. !l;46.
4 1. Um~adas Umfabocantedelampadasgarantequeamt!diade
vida util de certo bJl? de IAmpada e de pelo ~nos 7;>0 ~ras.
Uma amostra aleat6n_a de 36 !Ampadas tern media de vida 01JI de
745 ~ras '?m des~IO padrAo d~ 60 horas. Em 0 =
voce
tern ev'.deroos sufi~1entes para reienar a .•firmaylo do fabricante?
42. Conteudo de s6d10 em ce1ea1s Voce trabalha para uma or·
ganizoy!o nacional de saude e de\oe monitorar a quantidade de
s6dio em certa marca de cereal. Voce descobre que uma amostra
aleat60a de 52 por~ de cereais tern media de quantidade de
s6dio de 232 miligramas com desvio padrao de 10 mi igramas.
Em a ; 0,04, voce pode co.'lduir que a media da quantidade de
s6<lio por porylo de cereal e maior que 230 miligramas?
:·~43. Nlveis de di6xido de nilrogenio Um cientista estima que a
mt!dia do nivel de di6xido de nkrogenio em Calgary e maior que
32 partes por bi!Mo. Voce quer testar essa estimativa. Para isso,
voee determina os niveis de di6xido de nitrogerio para 34 dias selecionados aleatoriamente. Os resultados (em panes por bil~o)
est.lo listados a seguir. Emo = 0,06, voce pode apolar a estimati·
va do dentista? (!ldop:ado cl» Clean Alt SHot<gi'. Afan<:e.)
om.
77
6
8
9
10
40. Conteudo de cafefna no cafe uma cafeteria afirma que as
bebidas recem-p<eparadas tern media de conteUdo de cafeina
de 140 miligramas por 8 ~s. Voce quer testar a afirma(Ao.
Voce descoble que uma amostra aleat6ria de 42 por,<les de 8
on,as tem uma media de conteUdos de caleina de 146 ma;.
gramas e desvio padr3o de 22 mifigramas. Em o = 0,05, voce
tern evidencia sufic'iente para rejeitar a afirmaylo da cafeteria>
(!idopr()!f() de Ame<~an Be;etogoS Awxiolion.)
5
O
•
•
S1mu1a,ao de incendio uma empresa de engenharia afirma que a media de tempo que leva para um funciooorio
evacuar o predio durante uma simula(Ao de incendio e menor que 60 segundos. Voct quer testar essa afirma~o. Uma
amostra aleat6ria de 50 funcionarios e seus tempos de saida
do p<edio (em segun<los) estao listados no diagrama ramo·
·e·folhas a seguir. Em a = O,C>l, voce pode apoiar a afirmaylo
da empresa?
Tempos de salda do predio (em segundos)
0
79
1
199
26799
2
3
4
5
1167799
113334667
2345788899
(have: 017=7
Ed ,e 1naaa
1
316
•
[11>\!1li<"PI icdd1
1334667
469
46
6
7
8
9
10 2
•
cobre que uma amosua alea16ria de 36 residencias nos Efildos
Unidos 1em media anual de 22.2-00 milhas de VMT com desvio
padrao de 775 milhas. Voce conduz um experimento estatfstico
onde H,; 11 $ 22.000 e Hp 22.000. Em a = 0.05. explique
por que voce MO Pode rejeitar H,, ltdoptodo cle U.S. ffffetol '*!Jit"Uf
ildr"'16tl01tOn)
49. Usando valores Merentes de a en No &ercfcio 47, voce acre·
dita que H0 "30 valida. 0 que permrte que voce rejerte H0 ?
(a) Use os mesmos valores, mas aumente a de 0,01 para 0,02.
(b) Use os mesmos valores, mas aumente ode 0,01 para 0,05.
(c) Use os mesmos valores, mas au!TM!nte n de 30 para 50.
(d) Use os mesmos valores, mas aumenten de 30 para 100.
SO. Usando valores diferentes de a e n No &erci:io 48, voce actedita que H0 nao e valida. 0 que pemlrte que voce rejeite H0?
(a) Use os mesmos valores, mas aumente a de 0,05 para 0,06.
(b) Use os mesmos valotes, mas aumente" de 0,05 para 0,07.
(c) Use os mesmos valores. mas aumente n de 36 para 40.
(d) Use os mesmos valores, mas aumente n de 36 para 80.
51. Reda~o Explique a diferen\3 entre um teste z classico para 11
e o teste z para 11 usando um valor P.
e
[xpandindo conceitos
47. Uso de energia eletrica Voce acredi1a que a media anual de
uso de quilowatts por hoca dos clientes residenciais nos Esla·
dos Unidos emenor que 11.500. Voce realiza alguma pesquisa
e descob<e que uma amostca aleat6ria de 30 consumidores
residenciaiS tem media de USO de 11.400 quilowatlS pQr hara
com desvio padrao de 320 quilowaus. Voce conduziu um experimento estatfsiico onde H0: I' <: 11.500 e H,:< 11.500. Em
a = 0,01 , explique por que voce nao pode rejei1ar H.. 0<Jopui·
do de E<flson E!etrK lnst1M~.)
48. Milhas por viagem de veiculos ~ accedita que a meoia
anual de mihas de viagem de um veiculo (VMl) por residencia e
maior que 22.000 m~has. Voce rea&za algumas pesquisas e des·
ilj
Atividades
Teste de hipotese para media
Applet O applet 1eS1e de hip&ese para a media permite
que voce investigue visualmente 0 teste de hip6teses para uma
media. Voce pode especificar o tamanho da amOSlfa n, a forma
da distribui~o (Nom131 ou Right), a p<opor~o Pofllkcional real
(Mean), o desvio padrao pQpukldonal real (Sid. Dev.), o valor
nulo para a media (Null mean) ea altema1iva para o teste (Al·
temolNe). Quando voce dica em SIMULATE, serao selecionadas
100 amostras separadas de 1amanho n de uma popu~o com
esses parAme1ros populacionais. Para cada uma das 100 amos·
11as. um teste de hip6tese baseado na estatistica Z e realizado e
os resuhados de cada teste sao mostrados nos grAficos ~ direita.
A estatlstica do teste para cada um e mosuada no grafico superior
e o valor
mosuado no grAflCo inferior. As linhas preta e <inza
representam os limites para rejei~o da hip61ese nukl com nfveis
de teste de 0,05 e 0,01, respeaivamente. Simula¢es adicioo.Jis
podem ser feitas dicando·se em SIMULATE multiplas vezes. O
ntimero acumulado de vezes que cada 1es1e rejeita a h;p6tese
nula tambem e mOSlfado. Pressione CLEAR (UMPAR) para §mpar
os resu!tados e.islentes e comece uma nova simulaQ!o.
·-r 1
··lloo =--1
Me-Ji»: ·SO
Std. De\·.: 10
NuJJ meail: SO
Allcrno.th-c.: '°J
<= = = =
v'
Sin\ula.c
Rcj«t null
f-ail I() reject DUii
Pi:up. rejcdcd
Pe
Explore
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Passo 4
Passo 5
Passo 6
Passo 1
Especifique um valor para n.
Especifique a distrib~o.
Especifique um valor para a media.
Especifique um valor para o desvio padrao.
Especifique um valor para a media nula.
Especifique a hip61ese al1ernativa.
Clique em SIM lJlATE para gerai o teste de h;p61eses.
I
C lear
th~ando a
I
condusiles
1. Configure n = 30, media = 40, Std. Dev. = 5, media nula = 40,
hip61ese altetnativa de •nao igual a· e dis1ribui¢0 "n0<mal". Fa(a
a simula<;ao de modoque pelomenos 1.000 testes de hip6tese
sejam realizados. Compare a propQr~ao de rejei~Oes de hip6·
Iese nula para OS nfveis 0,05 e 0,01 . lsso eO que voce esperaria?
2. SupQnha que a hip6tese nukl seja rejeiitada no nivel 0,01. Ela
sera 1ejeitada no nfvel 0,05? Supooha que a hip61ese nukl seja
rejeitada no nrvel 0,05. Ela sera cejeitada no nfvel 0,01? Explique
3. Coofrgure 1l = 50, media = 25, Srd. Dev. = 3, media nula = 27.
hip61ese alterna1iva de •<" e distJibui~o "nomlal". Fa(a a sinlu·
~ode modo que pelo menos 1.000 testes de hip6tese sejam
realizados. Compare a propor~o de rejei~Oes de hip6tese nula
para os nfveis 0,05 e o.oi. lsso eo que voce esperana? Explique.
Ed ,e 1naaa
1
CapnaloI
leslts dt hlp611<tc0lll
'""'"'°'"'
319
Tetnperatura dos homens
(em graus Fahrenheit)
Estudo de caso
Temperatura corporal humana: o que enormal?
Em um anigo no JoUJnO/ of Sratistics Educolion (volume 4, ano 2), Allen Shoemaker desCJ<Ne um estudo que foi repoftado no Journal of the America.1 Mecical Association (JAMA)'. ~
geralmente aceito que a.redia da temperalura de um aduho humano seja de 98,6 °F. No artigo,
Shoemaker usa dados do anigo da JAMA para testar essa hip6tese. Aqui esta um resumo do teste.
Afirma~ao: A temperatura de a<Mtos
•
e98,6 °F.
..
3
96
79
011 1234444
556667888899
00000011222233 44 44
55666666778889
000 123 4
5
'Tl
'Tl
98
98
99
99
100
100
H,; 1• = 98,6 'F (A'irmoril:>) H,:1•"' 98,6 'f
Tamanho da amostra:n = 130.
Populat3o: Temperatura de adtitos humanos {Fahrenheit).
Oistribuiyio: Aproximadamente normal
Estatistica do teste: x = 98,25, s = 0,73.
Chov.:9613=96,3
Temperatura das mulheres
(cm graus Fahrenheit)
Exercicios
1. Complete o teste de hiP6tese para todos os adultos (homens e mulheres) realiuindo os
passos a seguir. Use o nivel de signifdnci.! de o = 0,05.
(a) Fa~ um grafico da distribuiyio de amos11agem.
(b) Determine os \\lki<es u iticos e os adi.cione ao grafico.
(c) Determine as 1egi0es de rejeiyio e os sombreie no g1afico.
(d) Enco.1ue a estatfstica de teste padronizado. Adicione ao grafico.
(e) Tome a de<:isao de rejeitar ou lalhar em rejeitar a hip6tese nula.
(f) lnteq><ele a decisao no contexto da afirmayio original.
96 4
96 79
'Tl 224
'Tl 677888999
98 00000122 222233344444
98 5666677777788888889
99 00 1 t2234
99 9
100 0
100 8
Ch."o: 9614: 96,4
2. Se voe~ diminuir o nlvel de signilic.lncia para o = O,Ql, sua decisao muda? Explique seu
radodnio.
3. Teste a hip6tese de que a media da temperatura dos homens e 98,6 ' F. O que podemos
conduir no nlvel de signilic.lncia de o = 0,01?
4. Teste a hiP6tese de que a media da tempetatura das mulhetes ede 98,6 'F. o que podemos coriduir no nlvel de significancia de o = 0,01?
5. Use uma amosua de 130 temperaturas pa1a format um intervalo de confia~ de 99%
para a media da temperatura dos aduhos humanos.
6. Atemperatura corporal 'normal" convenciooal foi esiabelecida pot earl Wunderlich mais de
I 00 anos atr.ls. 0 que, no p<ocedimento de amostragem de 'A\r>derlicfl, voe~ auedita que
possa t~ levado a uma conclusao erronea?
(),!dos doalig;i JAVA for.am cde.a:bstte homens e mJheres ~.es. <:am idadesentre J S~ ..0 at'KIS, no~
c.r..t lot ~<it'< O..<!opme<1 ("""° par• ~d•meri<>dt - ) do Uor.-eni&de dt Mt')W'd.
8'1""°"-
m
Testes de hipotese para a media
(amostras pequenas)
Va!ores <riticos em uma distribui(~o t-7 Teste tpara a media /t (n < 30 e <T
desconhecido) - 7 Usando valores Pcom um teste t
I
0 que voce
deve aprender
• Como encontrar v.Jlores criticos
em uma distribui¢l t.
• Como USM o teste t para lestar a
m~ia 11.
Va lores criticos emuma distribui~ao t
Na ~o 7.2, voce aprcndeu a realizar um teste de hip61ese pam uma m~dia
populacional quando o tamanho da amostra for pelo merms 30. Na vida real, frequen-
• Como usar a tecnologia para err
cootrar v.Jlores P e usMos com
om teste t para testar a m~ia µ.
Ed ,e 1naaa
1
Teste unicaudal aesquerda
_L\__.
'•
temente n3o e pratico coletar amostras de tamanho 30 ou mais. Entretanto, sea popula(ao liver uma distribui~lio normal, ou aproximadamente normal, voce ainda pode
testar a media populacional I'· Para isso, vocll pode usar a distribui<;ao de amostragem
t com 11 - t graus de liberdade.
lnstru(oes
0
Encontrando va!ores criticos em uma distribui~ao t
Teste unicaudal adireita
1. Jdenti fique o nlvel de confian~a a.
~.
0
'•
2. ldentifique os graus de liberdade g..I. =
11-1.
3. Encontre os valores criticos usando a Tabela 5 no A~n<lice Bna fileira com 11 -1
graus de liberdade. Seo teste de hip6teses for:
a. 1mica11rlnl aesq11erdn, use a coluna "Unicaudal of' com sinal negativo.
b. 1111ica11dnl adireiln, use a coluna "Unicaudal er" com sinal positivo.
c. bicawfnl, use a coluna "Bicaudal" com sinal positivo.e negativo.
Teste bicaudal
Exemplo
m
Encontrando valores criticos para t
Encontre o valor critico 10 para um teste unicaudal ~ esqucrda dadoo: = 0,05 e 11 = 21
Soillpio
Os graus de liberdade sao:
g.l. = n-1 = 21-1 = 20.
Para encontrar o valor crftico, use a labela 5 no Apendice B com g.I. = 20 e 0,05
na coluna "uni caudal, o". Co1no o teste eunicaudal aesquerda, o valor crftico e negativo. Entlio,
"= o.os
-3
- 2 \- 1
2
0
1. = -1,725.
3
r0 =-l.72S
e
Encontre o valor crftico 10 para um teste unicaudal h esquerda dado o = 0,01
voci e 11 =14.
1
a. E11conlre o valor t na Tabela Sdo Apendice B. Use g.I. = 14 e o· = 0,01 na coluna
"Unicaudal, o.''.
b. Use sinal negativo.
Exemplo
m
Encontrando valores crlticos para t
Encontreovalor critico 1. para um teste unicaudal adireita dadOCl' = 0,01eti = 17.
Solttftio
Os graus de liberdade siio:
-4 -3 -2 -I
0
I
2/ 3
~
r0 =2.S83
g.l.= 11 - J
=17 - 1
= 16.
Ed ,e 1naaa
1
(apltolo 1 •
rew1 de hip6t11ecomomaam°'t"
321
Para encontrar o valor crflico, use a Tabela 5 no Ap~ndice Bcom g.I. = 16 e 0,01
na coluna "Unicaudal. a-". Pelo fato de o tesle ser unicaudal a direita, o valor crflico
e posilivo. Entao:
'· = 2,58.l
a. Euco11treo valor Ina TabclaSdoA~ndice B. Use g.I. = 8ea=0,05 nacoluna "Unicaudal, o".
b. Use sinal positivo.
R~rr.-1111111 I'·
Exemplo
A43
m
.....lmportante
,~~~~~~~~~~
Encontrando valores criticos para t
Enconlre o valor crftico t0 para um lesle bicaudal dado o = 0,05 e 11 = 26.
Sol11pio
Para aprender como determinar se a amostra aleat6ria e
retirada de uma distribui~o
norma~ veja o Apendire C
Os graus de liberdade sao:
g.I.= 11-1
= 26-1
= 25.
Para encontrar o valor critico, use a Tabela 5 com g.I. = 25 e Cl = 0,05 na coluna
"Bicaudal, ""·Como o teste ebicaudal., um valor crilico epositivo e outro e negativo.
Ent3o:
-10 = -2,060 e 10 = 2,060.
Encontre o valor crilico 10 para um teste bicaudal dado a = 0,01 e 11 = 16.
a. £11co11tre o valor t na Tabela 5 usando g.I. = 15 e a = 0,01 na coluna "Bi-
caudal, o".
b. Use sinal positivo e negativo.
I
Teste tpara uma mediaµ (n < 30 e u desconhecido)
Para testar uma
afirma~~o
sobre a mt!dia
I'
usando uma amostra pequena
(.11 < 30) de uma distribui"1o nom1al ou aproximadamente normal quando" for des-
conhecido, voctl pode usar uma distribui~ao de amostragem I.
(MMia amostral) - (Mt!dia hipotetica)
Erro padrao
este t para uma media µ,
O teste t para uma mMia eum teste estatistico para uma m<!dia populacional. O teste t pode
ser usado quando a popul~o for normal ou aproximadamente normal, o for desconhecido e
n < 30. Aestatlstica do teste ~ iC ea estatistica do teste padronizado e t.
2\3 •
r0 = 2.060
Ed ,e 1naaa
1
3Z2 •
&141t11i<..p11,.da
-
I
X - 11
! - ---;-/"'
s/ .Jn
Retratando o mundo
Com base em um teste I, foi
t()n1ada un1a decisao en1 rela~ao
Os graus de liberdade go gJ. = n - I.
a ertviar cargas de ca-
minhao de li.xo contaminado
com cadmio para um aterro
s.anitario ou para um aterro
s.anit~rio de lixo t6xico. Os
caminhOes foram amostra·
dos de modo a detenninar
se o nfvel de cadmio excede a quantia permitida de 1
miligrama por litro para o
aterro sanitario. No estudo, a
hip6tese nula era/< $ 1.<f<Nrtr:
Plf(ifir S.1t1tl1tt"f"!>I _\1Jtu,1ral Lllhi:M11f,1ry.)
H•
verdadciro
H0 falso
Falheem
rejeitar H0
RcjeiteH,
o,-screm OS erros tipo I e II Jl<>S•
slveis dessn sit11nr11o.
lnstrui:oes
Us.indo teste tpara uma mediaµ (amostras pequenas)
Ettt palavras
1. Expresse a afirma~3o matematica e
verbalmente. ldentifique a hip6tese
Ettt sftttbolos
Afirme H, e H.-
nuJa e alternativa.
2. Especifique o nivel de signilicancia.
3. ldenti fique os graus de liberdade e
ldentifique o.
g.I. = 11-1
fa~a a distribui<;ao de amostragem.
4. Determine quaisquer valores criticos.
5.
Use a Tali>ela 5 no Ap~ndice B.
Determine quaisquer regie5es de rejei~o.
6. Encontre a estatfstica do teste padro·
nizado.
I- x-1<
7. Tome uma decis.'io de rejeitar ou fa.
Se t estiver na regiao de rejei~ao,
rejeite H0. C1so contrario, falhe em
rejeitar H..
lhar em rejeitar a hip6tese nula.
- s/.{,;
8. lnterprete a decisiio no contexto da
afinna<;ao original.
Lembre-se de que quando voce toma uma decis.'\o, a possibilidade de erro tipo J
ou tipo II existe.
Se voce preferir usar valores P, veja a p. 324 para aprender como usar valores P
para o teste Ida m&lia 11 (amostras pequenas).
Veja passos MINITAB na p. 349.
Exemplo
m
Testando µcom uma amostra pequena
Um revendedor de carros usados diz que op~ mMio de um Honda Pilot LX
2005 ede pelo menos $ 23.900. Voe~ suspeita que essa afirni.1\iio eincorreta e descobre
que uma amostra aleat6ria de 14 vefculos similares tern mE'dia de pre<;o de$ 23.(XX) e
desvio padrao de $1.113. H~ evid~nciassuficientes para rejeitar a afirmai;5o do reven·
dedor em o = 0,05? Assuma que a popula<;iio e normalmente distribuida. <M•1••rl<> d•
Milo; Bl11< llM'.)
So/ufilO
Aafirmai;ao e: "a media de pre<;o e de pelo menos $ 23.900". Entao, as hip6teses
nula e alternativa sao:
Ho= J< ~ 23.900 1.4,<irn"1¢<•1
e
H,: 1< < $ 23.900.
Ed ,e 1naaa
1
Otesteeunicaudalllcsquerda,onfveldesignifiellndaeo = 0,()5eosg.I. =14-1 = 13
graus de liberdade. Entao, o valor critico e10 = -1,771. A regiao de rejei~ao et < -1,771.
A estatlstica de teste padronizada e:
I ;;:;.
x-11
JJ;i
Como t1 <. 30. USf.' I~<'~
5
23.000 - 23.900
= 1.113 / Ji4
"-""'""" '' = 23.0()()
~ -3,026.
0 grafico mostra a localiza\ao da regiao de rtjei\aO ea estatistica de teste padronizado /. Porque t es ta na regiao de rejei\ao, voe.? deve dccidir rejeitar a hip6tese nu la.
fllterpretafiio
Ha evid~ncia suficiente no nfvel de significancia de 5% para rejeitar a afim1a¢0
de que a media de Pre\O do Honda Pilot LX 2005 ede pelo menos $ 23.900.
Um corretor de seguros diz que a media do custo do seguro do Honda Pilot
voc6 LX 2005 ede pelo menos $ 1.350. Uma amostra aleat6ria de 9 cotas de seguro
4 similares tem media de custo de S 1.290 e desvio padrao de$ 70. Ha eviMncia
&uficiente para rejeitar a afinna\ao do corretor em a= 0,01? Assuma que a popula¢o
e normalmente distribuida.
Te
<l"= 0.05
-.l\ -2 \ -1
1
0 I
:0:-3.026 10 = - l.771
a. lde11tifiq11e a afirma\iiO c expressc H,, e H,.
b. lde11tifiq11e o nivel de significancia o e os graus de liberdade g.I.
c. E11co11tre o valor critico 10 e identifique a regiao de rejei¢o.
d. Use o teste t para enoontrar a estatistica de teste padronizada /.
e. Fa91 o grMico. Decida se rejeita ou fallu1 em rejeitar a hip6tese nu la.
f. tnterprete a deci~o no oontexto da afinna,~o original.
Exemplo
m
Veja passos TI·83/84 na p. 350.
Testando µ comamostra pequena
Uma industria afinna que a media do nfvel do pH na agua do rio mais pr6ximo
e de 6,8. V~ seleciona 19 amostras de ~gua e mede os niveis de pH de cada uma. A
media amostral e o desvio padrao sao de 6,7 e 0,24, respectivamente. Ha eviMncia
&uficiente para rejeitar a afirma~llo da induslria em Ct = 0,05? Assuma que a popula~o
e normalmente distribuida.
Solttftio
A afirma¢o e: "a media do nfvel de pH e6,8". Entao, a hip6tese nula ea alternativa ~o:
H0: I'= 6,8 (,\fimM(li")
e
H,: I' x 6,$,
0 testee bicaudal, o n!vel de signific.~ncia eo = 0,05e Mg.I. = 19- l = 18 graus
de liberdade. Entao, os valorescnlicos&,o-10 = -2,101e/0 = 2,101. AsregiOes de rejeic;;aosao I < -2,101 e I> 2,101. Aestatistica de teste padronizada e:
.'f - 11.
/ - --
- sf ..f;,
Porqu(• 11 < 30. tt;t• l('<;tc l.
Ed ,e 1naaa
1
6,7-6,8
0,24 I ./19
:::: - 1,816.
Navel de signi6cancia de 5%
lllterprel11fiio
Nao h~ evidencia suficiente no nivel de signi fici\ncia de 5% para rejeitar a afirma·
c;ao de que a m&lia do nivel de pH ede 6,8.
!o=0.025
- .1 - 3
-10 =
0 gr~fico mostra a localiw\<lo da regiao de rejcii;ao e a t'Statfstica de teste pa·
dronizada I. Porque t nao esta na regiao de rejei<;ao, voce deve decidir niio rejeitar a
hip6tese nula.
\- 1
0
I
-2.101 , .,.-1,816
10
= 2.101
ente A empresa tambem afirma que a media de oondutividade do rio e de 1.890
voci miligramas por litro. A condutividade de uma amoslra de ~gua e uma medid a
5
do total de s61idos dissolvidos na amostra. Voce selcciona aleatoriamente 19
amostras de agua e mede a condutividade por litro de cada. A mt!dia da amostra e o
desvio padrao sao de 1.500 miligramas por litro e 700 miligramas por litro, respectivamente. Ha evidencia suficiente para rejeitar a afirma<;ao da industria em o = 0,01?
Assuma que a popula<;ao e normalmente distribuida.
a. lde11tiftq11e a afirn1a~ao e expresse H0 e H,.
b. lde11tijiq11e o nfvel de significancia o e os graus de liberdade g.J.
c. £11co11tre valores crftioos ±10 e identifique as regiOes de rejei<;ao.
d. Use o teste t para encontrar a estatfstica de teste padroniZJda t.
e. Fa~a o grafico. Decida se rejeita ou falha em rejeitar a hip6tese nula.
f. f11terprete a dccisao no contexto da afirmar;iio original.
R~"l-/'P.'1111111 p. A4.J
I
Usando valores Pcom um teste t
Suponha que voce queira enoontrar um valor P, dado t = 1,98, 15 graus de Ii·
berdade e um teste unicaudal a direita. Usando a 'Jabela 5 no A~ndice B, vod! pode
detenninar que Pesta entre o = 0,025 e o = 0,05, mas mio pode delerminar exatamente
um valor para P. Nesses casos, voce pode usar a tccnologia para fazer um teste de hip6tese e enoontrar o valor exato de P.
Exemplo [6J
Usando valores Pcom um teste t
A American Automobile Association alirma que a m&lia de custo de uma refei\30 di~ria para uma famflia de 4 pessoas que viaja de ferias para a Fl6rida e de
$ 118. Uma amostra aleat6ria de 11 faml1ias tem m&lia diaria de custo de refei\ao de
S 128 com desvio padrao de$ 20. H~ evid~ncia suficiente p:ara rejeitar a afirma~io em
a· =c 0,10? Assuma que a popula<;!io e normalmente distribuida. (ftmti·; Amrri1'm1 A1ttP,.,aiilJJlr
,-l<'«Ul'lio11,)
Sol11pio
A exibi(ao da Tl-83(84 na pr6xima p~gina mostra como configurar o teste de
hip6tese. Os outros dois a esquerda mostram os resultados possiveis, dependendo se
voce dicar em "Calculate OU "Draw".
Ed ,e 1naaa
1
(apftulo7
Tl-83/84
l
Tl-83/84
l
T·Test
T·Test
lnpt;Data-
,, "' 118
1:=1.658312395
l'o' 118
x; 128
p = .12824!58922
S.:20
x=128
Sx=20
n:11
< 1'"0 > l'o
l';-
lrstesdt~ip6ttsrn11ulllda1101t1a
3Z5
Tl-83/84
n=11
calculate Draw
t-1 .6583
p•.1 282
-·
Dica de estudo
A pru-lir das exibi~, podemos ver que P"' 0,1282. Em raziio de P > 0,10, voce
deve falhar em rejeitar a hip6tese nula. Em outrns palavras, nao lk1 evid@ncia suficient.e para rejeitar a afinna~~o no nlvel de signific~ncia de 10%.
AAmerican Automobile Association afinna que a media de custo de hospedagem noturna para uma famflia de 4 pessoas que viaja de Mrias para a Fl6rida e
6 de pelo menos $ 185. Uma amostra aleat6ria de 6 famflias tem media de custo
de hospedagem por noite de S 172 com desvio padrao de $15. Ha eviMncia suficiente
para rejeitar a afinna~3o em a= 0,05? Assuma que a popula~3<> e normalmente d.istriente
vocfJ
buidi>. (ftM1tt: A.11wri<11n A11r1,1rnlbilt ASN~lft~tt.)
a. llse uma Tl-83/84 para encontrar o valor P.
b. Co111p11rc P com o nfvel de signi fic~ncia a.
c. Tome uma decisao.
d. /11terprete a decisao no contexto da afinna~3o original.
UI
•
Notequeodisplay da 1'1-83/84
aesquerdanoExemplo6tamWm mostra a estatistica do
teste padronizado t"' 1,6583.
Se voe@ estiver usando a Tl-83/~ e tem os dados originais de uma amostra, lembre-se de que voe@ pode colocalos na lista e usar a op<;llo de
Entrada de Dados ao invi!s
da opr.io de entrada de Stats.
Para usar o MLNJT~B para
realizar um teste t de uma
amostra vo~ deve ter os dados origina(s.
Exercicios
Construindo habi!idades bAsicas e conceitos
1. Ei<plique como encontrar vale<es criticos para uma distribui¢o de
amowagem1.
2. Explique como usar um tes1e t para 1es1a1 uma mMia hipo1e1ica
11 dada uma amosua pequena (n < 30). Qua! su~o sobre a
popula(<lo enecess.!ria?
Nos eocerciciosde 3 a 14, encontre o(s) val0<(es) critico(s) para os
et e o tamanho da amostra n indic:ado.
3. Teste unicaudal adireita, o = 0,05, n = 23.
4. Teste unicaudal adirei1a, o = 0,01, n = t l.
An~lise gr~fica
Nos exercfcios de 15 a 18, determine sea estatistica padr~o de
teste I indica que voce deve rejeitar a hip6tese nu!a. Eicplique.
15. (a) r = 2,091.
(b) I= 0.
(c) r = -1,08.
(d) t = -2,096.
_,. -3 /
tmtes t, niveis de signifi~ncia
5.
6.
7.
8.
Teste unicaudal aesquerda, a =0,025, n = 19.
Teste unicaudal aesquerda, a= 0,05,n = 14.
Teste bicaudal, o = O,Ot, n = 27.
Teste bicaudal, o = 0,05, n = 10.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
Teste unicaudal adireita, o = 0,10, n c 20.
Teste unicaudal adireita, o = 0,05, n = 8.
Teste unicaudal aesquerda, a= 0,01, n = 28.
Teste unicaudal aesquerda, a = 0,005, n = 12.
Teste bicaudal, n = 0,02, n = 5.
Teste bicaudal. o = 0, 10, n = 22.
_,
o
t
2
3
"
'·=-2.086
16. (a) r = 1,308.
(b) t = -1,389.
(c) t = 1,650.
( d) t = -0,998.
-4 -J -zj- 1 0 I \2 3 4
-10 =-1-172 10 = 1.372
r = -2,502.
(b) t =2,203.
(c) t = 2,680.
(d) t = - 2.703.
11. (a)
t11t11naaa
aleat6ria de 12 adul1os nos Esl.ldos Unidos e 1.46 libras e odes·
vio padr~o e0,28 lb/as. Com n = 0,05, voe! pode dar supone
a essa afimia"1o? (116;:..00 de u.s. £•.,,.. ...,.,,. ;, •
"> ·»
18. (a) I • 1,705.
(b) I = -1,755.
(c) I = - 1,585.
(d) I = 1,745.
- • -l - : \- 1 0
-10 •-1.725
. . .!.'"""--1
I/2 J 4
10 = 1.725
Nos eirerdoos de 19 a 22, use um leste r pa1a lest.lf a alirma~
sob<e a mMa da ~JI no dado nlvel de sirf'dncia " usaodo
a amo!lra esialisbca dada. Para cada a~ suporba que a pop.>la(ao seja nonnalmenle tisuWda.
19. ~: µ .. 15;o . 0.01
Amostta esialisliu; i • 13,9, s • 3,23, n 6.
20. Afi~: JI > 25; 0 : 0,05
Amostta esia1isllc4:i = 26,2, s " 2,32. n • 17.
21. Afi~: JI 2: 8.000; 0 • 0,01
Amostra es!alisbca:i • 7.700, s • 450, n • 25.
22. Mrmacao: JI .. 52.200; o = o.o5
Amostra esiatislia: li = 53.220, s 1.200. n 4.
=
=
Usando e interpretando conceitos
26. P1odu~.lo de rixo Como pane do seu lrabalho com um 81\Jpo
de conscierria ambiental, voce quer leSfar a a!Wma(llo de que a
media de lixo produzido pcx adultos nos Eslados Unidos maoor
que 4 it.as pcx da. Com uma amostra ale.lt6tia de 10 aduhos
nos fst!dos ilidos, voce descobre que a ~ de ixo pocltlr
do pcx pessoa ao dia ede 4,54 libr.ls com um des\'IO padc.lo de
1.21 ibfas. Com o = 0,05, voce pode dal SIJllOfle a essa afwma·
e
~? lA-· ~.ad.:> de
..:. Er
..,._...,.A '
-:y)
27. Pagamento anual Uma afrma~ do de ~
de emp<egabiidade diz que a media de pagameo;o nlll pa1a
um homem uabalhador de periodo integral maio< de 25 anos e
$el11 diploma oo ensino mMo des 25.000. o pagamenio anual
de uma amostra aleetaia de 10 uabaf\aclofes e lislado. Com
o = 0,05. teSle a afirmacao de que a mi!dia salanal seia s25.000.
e
'"
~""i:>t\t
11.s.
..t&Jtl
t lt.bX -,, ·•
~
26.185 23.814 22.374 25.189 26.318
20. 767 30.782 29.541 24.597 28.955
28. Pagamento anual Uma afirm~ do servi~ de iiforma¢es
de empregabi!idade diz que a media de pagamemo anual para
uma m.Ahei trabalhado<a de periodo imegral mai0< de 25 anos e
sem diploma no ensino m<!dio ede$ 19.100. O pagamen10 anu·
al de uma amosua aleat6cia de 12 trabalhadoras lisiado. Com
o = 0,05, leste a afirma"1o de que a media salarial seja Z19.100.
e
Testando afirma~Oes
Nos exercicios de 23 a 28:
~ado dt
(a) escreva a afirma~o ma1ematiamen1e e iden1ifique H0 e H..
18.165 16.012 18.794 18.803 19.864 19.1n
17.328 21.445 20.354 19.143 18.316 19.237
(b) encontre o(s) v.ilor(es) Clitico(s) eidentifique a(s) regi3o(Oes)
de rejei"1o.
Testar afirma~c'ies usando valores P
(c) e<icontre o tes1e padr3o esiatistico. Se COOvt!nienle, use
lecnologia.
(d) decida se deve rejeilar ou fafhar em rejei1<1r a hip6tese nula.
(e) in1erpreteadecis.loemcadaumdoscootextosdeafimia"10
original.
. . Para cada afi~. suponha que a~ seja nomiarnente
distnWda.
23. Custo de reparo de mictlH>ndas lkn resiaurador de micro-oodas diz que a media do CUSIO para consef10 de miCR>ondas
com problemas t de S 100. \lxe uaballa para esse restaurador
e ""' teslal essa ~ Voc! descob<e que uma amostr•
ai...1'lM do ~ lonv>< m"""""'1o< ,...., '""' mMo do """' ,..,..
oonsenodeS75e um des\'IOpacr.lodeS 12,50.Como= 0,01,
voce tern evidbloas J>ir.l dar supone aa~ do res111uradol?
24. Custo de repa10 de computadores lkn res1a1.<adol de computadoles acredita que a media do CUSlo para conser10 de
comp.Mdores com piolllemas rnaiOI que 95. Para 1estar a
afi~. voe! deteimina os OJSIOS do conseno de 7 compuiadores escolhodos alea1onamen1e e descob<e que a m<!d'ia dos
custos e S 100 pcx compwdor, com um desvio padrO!o de S
42,50. Com o • O,Ot, voce tern evid~s para dar supone !
afirrna"1o do restaurador? (.'· ¥""
r
• o ,.,.
25. Reciclagem Um ambien1aliS1a es1ima que a media de li1CO reci·
dado po< aduhos nos ESlados Unidos seja maio< que I fibra po<
pessoa ao dia. Voce quer 1estar essa afama~. Voe! descobre
que a ml!dia de lixo reciclado por pessoa ao dia pa<a uma amosua
e
s
U5. Buteau of lDbol 5!01>srn)
Nos exe<cfcios de 29 a 34, (a) eso-eva a af1m1a"10 matemabcamenle e identifique H e H,. (b) use tecnologi.l para "''°'.'trar o valor
0
P. (c) decida e<itre rejeiiar ou ~a hip6tese nula e (d) llltetprele a
decis.lo no comexto da afirma"1o original Suponha que a poplAa~
seja normalmente <fisuiboida.
·~29. CoM<Jmo de relrigerante Pata o seu esiudo sobre habotos
ai merwares enue adolescemes homens, voce sefeciona alea:oriamente 20 adolescentes e pe<glllta a cada um deles quamas
pcx¢es de 12 OC>(aS de ~nte ele bebe todos OS dias. Os
resd!ados 500 i:stados a segu;.. Com 0 = o,05, ha~ suf;.
ciente paia dal 5'4'0'te aafi~ de que adolesantes homens
llebern menosque trts pcxi;cies de 1i OC>(aSde retngeiame ICdos
osdias? , -!Qd ~·..- !» s. ,,
~
2, I 2,3 2,4 1,2 0,8 2, I 2,0 2.2 2.5 2, 1
1,6 2,1 1,8 2.2 2.0 2,8 3,2 0,5 1,4 1,2
l30.
Maleriais escolares Uma empresa que pioduz ma1eriars escolaces diz que os piof~es ga~lilm uma mMia de mars que
S550 de sai dinheiro em materiais escolares em um ano. Uma
amostra aleat6cia da quantidade (em d61ares) que 24 piolesso<es
gaswam em materiais escolares em um ano recente lisiada
a seguir. Com o = 0,05, ha evid~ ~nte paia dar supone
~afirma"1odaempresa? (Acl:Jlt "'odt-Na. "'ds
•s..+,..y di •
,,.,,..,,, Amoo.'"'-)
e
715 623 582 721 602 621 462 320 532 566 686 532
603 420 684 713 531 888 482 361 560 910 546 860
Edifii,IJBa a
upftukl,
31. Tamanho da sala Voce recebe uma revista de uma grande uni·
versidade. Arevista 1ndica que a mMa do 1amanho das salas para
c:urws int~rais e menor que 32 alunos. Voce quer 1es1ar essa
afirm~ Voce selecoona 18 salas aleato<iamente e detenn1na o
1.1manho de cada \JIN. Os res<Jltados sao islados a seguir. Com
a ; 0,01, voce pode dar suporte ~ afirma~ do reita<?
'L ..
ef
35 28 29 33 32 40 26 25 29
28 30 36 33 29 27 30 28 25
32. Hora-aula do corpo doceme de uma fac:uldade 0 reoot de
\JIN ~ esllma que o niimero mMo de a.Aas dadas
por profemres de cm curso incegial ooc»s as semaNS ~ 11 IJ.
Como metnbro do ainselho estuclanW. voce qoJe< 1estar essa afir·
~ Uma amos1ra aiealclna do nUme<O de hOtilS em sala para
0110 ~es do an> negral em <.ma semana eiSlada a seguir.
Com 0 - 0,01, voce pode d¥ S<Jpolle ~ ~do reitor?
IA'
)
11,8 8,6 12,6 7,9 6,4 10,4 13.6 9,1
33. Comendo fora Uma associa>Jo de resiaurantes <iz que as fami·
lias ooroons nos ES1ados Unidos ga~m uma medra de S2.634 por
ano em comida fora de~.~ e um repclner de uma publica\<lo
nacional sobreoonsumo e quer 1es1.1r essa afi~o. Voce seleciona aleatoriamente 12 famnias none.ame~nas e descobre quamo
c.ida uma gaS1ou com comida fora de casa por ario. \lx.e pode
rejeitar a afwma>Jo da assoc~ de res1auran1es com o ; 0,02?
!,Moptodo di! US &P"'1J ol L<lb.• Sr•W ')
3.013 1.724 1.949 3.516 2.475 2.767
2.231 4.512 2.926 3.148 2.188 2.978
34. Custos de alojamenlos Uma associai;!o de vial!'ns diz que o
c:usto d't.!rio de alojamentos para uma famttia nos Estados Unidos
ede S 152. Voce vabalN para uma j)\lbltea~ de 1urismo e ~
testar essa afirmai;!o. Voce seleciona alea1oriamen1e 10 lamttias
oote-amei:icanas e descobre quan10 cada uma gasta com aloja·
mento em uma viagem de apenas uma noiie. Com o s 0,02,
voce pode rejenar aafi~o da associa(Jo de viagens? CM.,.·
11 ~
Al
~
)
164 137 142 155 119 104
l(t
74 204 148 181
•
fl\ltl ,, hip6't1tc0m .......u.
327
Expandindo conceitos
35.
Bala~o
de c.irtiles de aedito Para 1es1.1r aafi~ de que
a media do ba"'°9) de c.inoes de crMto enlre as faml11as que
1em '"" balallt'O male:. que s 2.328. voce pesqllSil e enoonua
que uma amosua a!eatll<ia de 6 litulates de can?>es ~ tJtna me-
<ia de S 2.528 do balantO de cart.lo de credl!O, oom um desvio
~ de S 325. \bee coOO.Jz um experimento estatlstJco onde
H0: µ S S 2.328 e H,: µ > S 2.328. Como = OIJl, e>qllique por
que YOCe n!o pode rejeildr H., ~ que a ~ seia
normaknente disri>uida. "
voce
36. Usando valores dnerentes para <t e n No Exetdoo 35,
aaedita queH0 n!o ev~ ()Jal das seguinces op¢es le pemt<te
rejeitar H,? (a) use os mesmos vafores. mas aumen;e ode 0,01
para 0,05. (b) use os mesmos valores. mas aumente o de OIJl
para0,10. (c) useos mesmosvalores, masaunenien de 6para
12. (d) use os mesmos valore:s. mas aootellle n de 6 para 24.
Oecidindo sobre uma distribu~ao
Nos exercicios 37 e 38, decida se voe! deve usar <.ma distn·
buii;!o de amosuagem normal ou uma distrib~o de amostragem
t para fazer o teste de hip6tese. Justifique Depois, use a distri~o
para testar a afirma~o. Escreva um par~rafo c:uno sotxe os resultados
do teste e o que voce pode conduir sobre a afir~o.
37. Quilometragem de combustive! Uma empresa de canos diz
que a media de quiklmetragem de oombus1ivd para o seu se<0 de
lu>IO eno milimo 23 milhas por gal.lo (mpg). Voce acrediia que a
afirma(!O esteja iicorreia e descolxe que uma amosua alea16ria
de 5 c.irros tem uma media de 22 mpg e um desvio padrao de
4 mpg. Suponha que a quilomeuagem de combt1Strvel de todos
os sedas de luxo da empresa s;eja normalmente distnbulda. Com
o = 0,05, teste aalirmaylo da ennp<esa. ~d-·' """ "l!-wtl
38. MeS1rado Uma puill~o sobre educa~ decfara que o p<emedia por um ano de estudo em uma escola de mesuado
para um aluno de periodo integral de uma inslitui(Ao pUbl'ica seja
meno< que $ 23.000. Uma annosua aleat6ria de SO escolas de
mesuado tem uma media de pre(O de S 21.856 e <.m desW>
pact.Jo de S 3.163 pot ano. Como = O,Ol, teS1e a alitma~oda
p.All'icai;Ao. ~ « ~. ~ ( "•vk f
,.
'°
Teste de hipotese para propor~oes
0 que voce
Teste de hipotese para propor(oes
I Teste de hipotese para propor~iles
Nas ~ 7.2 e 7.3, v~ aprendeu como fazcr um teste de hip61ese para uma
ml!dia popul<lcionat Nesta ~lio. v~ vai aprender como testar uma propor~ populacional p,
Testes de hip6tcsc para propor¢es ororrem quando um politico quer saber a
propo~oo de seus constituinles que estlio a favor de certo projeto de lei ou quando um
engenheiro de qualidade tcsta a propor~3o de ~as com problemas.
Se 11p ~ 5 e 11q ~ 5 para uma distribui~!IO binomial, ent~o umadistribui~~orunos­
tral para p~normal com:
11~= 1• e 111c J11q/11 .
deve aprender
• Como usar o leste z para lestar
uma p<opor\JO popu1aoorlal p.
Ed ,e 1naaa
1
este z para uma proporcao p
0 teste z para uma propor~o e um teste estatistico para uma propor~o populacional p. 0
teste z pode $E< usado quando uma distribui~o binomial edada como np ;::: 5 enq ;::: 5. Oteste
estatlW.o e a propor(ao de amostra p e o teste padrao esiatiW.o e z.
i>-1•; 7 p- p
1 = _"_;_
= Jpq
====
/ =n
lnstrui:oes
Usando um teste zpara uma proporf'1o p
Verifique que 11p ~ 5 e 11q ;::: 5.
E111 paltn r'1S
Em sfmbolos
1
lmportante
•Um teste de hip6tese para
uma prop<>r~~o p tambem
p<l!le ser feito usando valores
P. Use as instru~ na p. 308
para uso de valores P para
um teste z para uma media
'" mas no passo 3, encontre o
teste padrao estatrstico usando a (6rmula:
Z= p- p
Jpq/11
Gs outros passos do teste sao
osmesm<lS.
:·~ Veja passos Tl-83/ 84 nap. 350.
Determine a afirma~o verbal e matematicamente. Identifique a hip6tese nula ea
altemativa.
2. Especifique o nivel de signi(icancia.
I.
Determine H0 e H,.
tdcntifiquc o.
3. Esboce a distribui~o de amostragem.
4. Determine quaisquer valores criticos.
Use a Tabela 4 no A~ndice B.
5. Determine quaisquer regi6es de rejei~iio.
p-p
6. Encontre o teste padriio estatfstico.
z-
7. Decida entre rejeitar ou niio a hip6tese
Se z esta na regiiio de rejei~iio,
rejei te H0• Caso contnlrio, n3o
rejeite H0 .
- Jpq/11
nula.
8. Interprete a decisao no contexto da afirma~o original.
Exemplo
ITT
Teste de hipotese para uma proporc~o
Um centro de pesquisas declara que menos de 20% dos usuarios de lntemet nos
Estados Unidos t~m rede sem fio em suas caS<ls. Em uma amostra aleat6ria de 100
adultos, 15% dizem que t@m rede sem fio em casa. Com o = 0,01, ha evid@ncias suficientes para apoiar a declara~lio do pesquisador? (,~ttnpt11dcld1· p~, Rf.;.autlr Ct11t,·r.)
SOluftiO
Os produtos 11p =100(0,20) = 20e11q =1 00(0,80) =80s5o maiores que 5. Entao,
vocc pode usar um teste z. A arirmas:-10 e "menos que 20% tem uma rede sem fio em
casa". Entao, a hip6tese nula ea altemativa s.~o:
H0 : p 2: 0,2
e
H,: p < 02.
(A/imrll(M}
Como o teste e unicaudal aesquerda e o nivel de significancia eo- = 0,01, o valor
crltico ez. = -2,33 ea regiao de rejei~ilo ez < -2,33. Aestatfstica padrao do teste:
--
Dica de estudo
z- p- p
- Jpqf 11
0,15- 0,2
Lembre-se de que quando voce
decide nlo rejei1ar H,. um erro
de tipo II e poccl,el. Por oxomplo. no faemplo l a hip61tse
nula. p;?: 0.2. pode ser falsa.
- Jco.2xo.s)1100
: -1.25.
0 grafico mostra a localiza(ilo da regiilo de rejci~ao e o teste padrao estatlslico z.
Como z n.'lo euma rcgiilo de rejci~ilo. vod n3o deve rejcitar a hip61ese nula.
Illttrprrtapio
No nivel de signifidncia de I\,., n.'lo M evidencia o 00stante para apoiar a afirma<;l'lo que menos que 2(Y,, dos usuarios de Internet nos Estados Unidos tern rede sem
fio em cas.1.
Um centro de i-Juisa dedara que menos de 30% de usuarios de celulares
- ' cujos aparelhos rem acesso ~ Internet, usam esse servi<;"O quandoestao em casa.
1 Em uma amostra alealdria de 86 adultos. 20% dizem ter usado seus aparelhos
para acessar ~ lntcmct em casa. Com a • 0,05, h~ evidencia suficiente para apoiar a
declara\ao do cenlro de pesqui5'1.? (. \tf. p:, 1•1k Pr.• Rr.trrrrl1 C<nttr.)
T-
/-2 \ 0
-.a - '1
:0
I
a. Verifiq11e que 11p ;?: 5 e 11q ;?: 5.
b. lrle11tifiq11e a afirma~no c determine H• e N,.
c. lrle11tifiq11e o valor de significnncia o.
d. E11co11tre o valor critico z• e identilique a regiAo de rejei~ao.
e. Use o testc z parn cncontrar a eslallslica de testc padronizado z.
f. Decirla se deve rcjcitar a hip6tcse nu la. Use um grMico se necessdrio.
g. /11terprete a decisl!o no conlcxlo da afirm~o original.
Para us.1r um valor P para fozer o lesle de hip6tese no Exemplo 1, use a Tabela
4 para enconlrar a ~rea correspondenle a z e -1,25. A rut-a e0,1056. Como esle e um
teste unicaudal ~ esquerd<1, o valor Pe igua.1~ arM ~ esquerda de z = -1,25. Enlao,
P = 0,1056. Como o valor Pe maior que o .. 0,01, vod nao deve rejeitar a hip6tese
nula. Note que esle eo mesmo resultado obtido no Exemplo 1.
=-2.33
;
(10- II'< .kJ
nu/ of,,..
e
H,: p ,. 0,45.
If I
.fU(;li. .. ...
"'°"'
?\lo~ COM
f("~ de\~
liYfOI! -
a ....
JOdQs.
lO d~'
\ ~-.--- '
A Zogby Internacional dedara que 45\; das pessoos nos Estados Unidos silo a
favor de tomar a venda do cigarro ilegal dentro dos pr6ximos 10 anos. Voce decide
leslaressa afirma\<lOe entrevista uma amostra de 200 pessoas, dentre as quais, 493 sao
a favor da lei. Com o = 0,05, M evid~ncia o bastante para apoiar a afirma<;ao?
Soluriio
Os produtos 11p = 200 (0,45) = 90 e 11q = 200(0,55) = 110 sAo maiores que 5. Entao,
voce pode usar um lesle z. A afirma(3o ~: "45% das pessoas nos Estados Unidos sao
a favor de tornar a venda do cigarro ilegal denlro d05 pr6ximos 10 anos". Portanlo, a
hip6tese nula ea alternativa s.'o:
.a
Um CSludo recenle dcclarou quc.
em um pericdo de 30 dins, 53.7%
das cria~as de 3 anos de idade
nos Es~1dos Unidos foram mcdieadas com remedios de vcnda
livi:e. como o 1ylenol. Para lcslllr
essa afim1a~ao. vocc c:o11d11ziu
um11 pesquisa por 1elcfonc com
300 pais de crian~ de Ires anos
escolhidos alea1oriamen1c. Na
pcsquisa. ,.oce dcscobriu que 166
cri~ foram mcdicadas eom
rem&lios de 'enda livre nos 30
dias que precediam a pcsquisa.
ttm6dioJ. df' \'("O(b
r;~·rc e.t-
Teste de hipoteses para uma proporflo
.l
Retratando o mundo
~iedicadof
Exemplo I 2
?
I
=-1.?5
166
CtN110
13'
0.05. lkit"\'i,/1.~l1<.'iuuh.:1.>·
1a1Jfe parcl rc.11.·11cv u ufinnt1f,1t>.'
Veja passos MINITAB na p. 349.
Ed ,e 1naaa
1
330 •
ls1<1Ts1io oplic..to
Como o teste e bicaudaJ e o nfvel de signific5ncia eo = 0,05, os valores criticos
s.'io-z. = -1,96 e z. = 1,96. As regi<ies de rtjei~o sao z < -l,96 e z > I,96. Aestatfstica
de teste padronizado ~:
(1 - p
z- -
Cunlo 11p ~ Se Ill] 2: 5, \'OClo podto usar o ~le.:..
- Jpq/11
0,49 - 0,45
~(0, 45)(0, 55)/ 200
Zo = 1.96
-4 -3
: ,. 1.14
•'
Su ponh~ qut• p = 0.45.
::::t1, 14.
0 gnlfico mostra a localiza~o da area de rejei~~o e o teste padr~o estatistico z.
Como z nao est<I na area de rcjei<;ao, voce nao deve rejeilar a hip6tese nu la.
ltlterpretapio
No nivel de signific:.\ncia de 5%, niio ha evidencia o baslante para rejeitar a afir·
ma~iio que 45% das pessoas nos Estados Unidos silo a favor .de tomar a venda de cigarros ilegal dentro dos pr6ximos 10 anos.
Uma pesquisa da Roper (Centro de Pesquis.1 de Opiniao P(oblica) dedara que
5%dos adultos norte-americanos tiim sonhos vividos com OVN IS. Vore decide
2 testar essa afirma~io e entrevista uma amostra alea t6ria de 250 adultos norte·americanos sobre essa quest~o. Dos pesquis.1dos, 8%responderam que sim. Com" =
0,01, ha evid@ncia suficiente para rejeitar a afirma<;ao?
Tente
voci
11erifique que up 2: 5 e 11q 2: 5.
lde11tifiq11e a afirma~iio e determine H0 e H,.
lde11tifiq11e o valor de signi ficancia er.
£11co11tre os valores crfticos -z0 e z0 e identilique a regiao de rejei~ao.
Use o teste z para encontrar a estatfstica de teste padroruzado z.
f. Oecida se deve rejeitar a hip6tese nula. Use um gr<lfico se necessario.
g. /11le'1'prete a decisao no contexto da afirmac;iio original.
a.
b.
c.
d.
e.
Exemplo
m
Teste de hipoteses para uma propor(ao
0 ce1,tro de pesquisas Pe\v afinna que n'ais de 55% dos adultos norte-america.
nos assistem seus noticidrios locais regularmente. Voce decide testar eSS<1 afirmac;5o
e entrevista uma amostra de 425 adultos nos Estados Uni dos sobre esse assunto. Dos
425 entrevistados, 255 responderam que assistem seus notici~rios locais regularmente. Com " = 0,05, M evidencia o suficiente para apoiar es.sa afirma.,ao do centro de
pesquisas rew?
SofufiiO
Os produtos up =425(0,55) "' 234 e 11q = 425(0,45) "' 191 sao maiores que 5.
Entao, vore pode usar um teste z. A afirma~o e "mais de 55% dos adultos norte·
-americanos assistem seus noticidrios locais". Entao, a hip6tese nu la ea altemativa sao:
e
Como o teste e unic:.1udal b direita e o nivel de signincfu1cia eer = 0,05, o valor
critico e z. = 1,645 ea regiao de rejei~ao ez > 1,645. Aestatfstica de teste padronizada e:
Ed ,e 1naaa
1
(apflUk> 1
z-
f~t!I de hip6t11t (Om•ma amo1t1a
•
331
}~;,,
_(t / 11)- p
- Jpq/11
(255/ 425)- 0,55
- J co,5sJco,4s)/425
"' 2,07.
A»uma I' ~ O,SS.
0 grafico mostra a localizac;<io da regiao de rejei~ao e o teste padrao estatlstico z.
Como z esta na regiao de rejei~o, voe~ deve rejeitar a hip6tese nula.
IuterprelaftiO
No nivel de significancia de 5%, M evidencia o bastante para dar suporte ~ afir·
mai;.'io de que mais que 55% dos adultos norte-americanos assistem seus noticiarios
locais regularmente.
- 4 ..J -l -1
0
I
I
: 0 = 1.645
2\ 3
4
:. ,. 2.07
3 essa afirma~iio e entrevist.i uma amostra aleat6ria de 75 adultos sobre esse
topico. Dos 75 adultos, 27 rt>sponderam que assistem o canal de previs.'io do tempo.
Como·= 0,01, M evidencia o bastante para apoiar tal afirma~ao?
1-ProPZTest,
PrOP ) . 55
z=2. 071938535
p=. 0191355209
~= . 6
n=425
a. Veriftq11e que up '.2: 5 e 11q '.2: 5.
b. lde11tiftq11e a afirma~ao e determine H,,e H,
c. lde11tiftq11e o valor de significancia a-.
Usando uma TI-83/84, voe~ pode eo·
contrar o teste padrao estatistico automaticamente.
0 centro de pesquisas Pew afirma que mais de 30% dos adultos norte-ameriYod canos assistem regularmente o canal de previsiio do tempo. Voe~ decide testar
Te~
d. £11co11tre o valor critico de z. e identifique a regiao de rejei~ao.
e. Use o teste z para encontrar a estatlstica de teste padronizado z.
f . Decida se deve rejeitar a hip6tese nula. Use um grafico se necessario.
g. /11terprete a decisiio no contexto da alirm~ao original.
UI
-.'~ r>ara explomr mais este t6pico, veja 7.4 Atividades na
p.332.
Exercici os
Construindo habilidades basicas e conceitos
1. f;qllique como testar uma proporylo populacionat p.
2. Expfique como dedcir quando uma distribu~ normal pode ser
usada para ap<oximai uma dislriw,Ao binomial.
Nos exerdcios de 3 a 8, decida se e possivel usar a distribu~o
de amostragem normal, significincia o dado, usando as amosttas es1ali$ticas dadas.
3. Afirmaylo:p " 0,25; a = 0,05. Amostras estatistkasp = 0,239,
n = 105.
4. Afirma1<10: p ~ 0,30; o = 0,05. Amostras estatfsticas p = 0,35,
n = 500.
5. Afirmaylo: p < 0,12; o
n = 20.
~
0,01. Amostras estatfsticas pa 0, 10,
6. Aflll11a(<lo: p > 0,125;" = 0,01. Amostras estatisticasp= 0,2325,
n = 45.
7. Afirma~Ao: p ~ 0.48; o = 0, tO. Amostras estatisticas p = 0.40,
n = 70.
8. Alirmaylo: p = 0.80: o = 0.10. Amostras estalisticas p = 0.875.
n = 16.
Usandoe interpretando conceitos
Testando afirma~oes
Nos exeicicios de 9 a 14. (a) escreva a afirmaylo matematica·
me.ite e identifique H0 e H,, (b} enconlle o(s) valor(es} critico(s) e
identifique a(s} regiao(Oes) de r~, (c} encontre a estatistica de
teste padronizado, (d} decida se deve ou ~ rejeitar a hip6tese nula,
e (e) interpre1e a decisao no context<> da afi~o original. Se convenieole, use tecnologia para encontrar o teste padrao estatistico.
9. Fumantes Um pesquisador ~dico diz que no minimo 20% dos
adultos norte-americanos
h.wnantes. Em uma amos11a a!eat6ria
de 200 adcltos no~Nmericanos, 18.5% dizem que s!o fumantes.
sao
Ed ,e 1naaa
1
332 •
[\14tlltl<a apli<ada
Com o ~ o.oi. ha evidencia o suficiente para reje«ar a afi~o
do pesquism? ~"' u.~ Na>onolConte< fa Hedrh Sia~)
10. Voce toma cafe da manha? Um centro de pesquisas estima
que n.!o mais que 40% dos adultos none-americanos tomam
caf~ da manh~ todo$ os di.as. Em urn.a amostta .aleat6tia de 250
adultos norte-americanos, 41,6% di<em que tomam C<Jfe todos
os dios. Com o = 0,01 . ha evidencia o suficiente para rejeitar a
afirmai;.lo do pesqu;sador? 1;1dcpla00 deHmtistni"'"'we.)
11. Consumidores conscientes sobre o meio ambiente Voce
trabalha em uma agenda de conseNa>.Jo do meio ambiente
que recentemente afirmou que n.!o mais que 30% dos consu·
midores norte-americanos pararam de comprar certos produ·
tos porque a empresa respon~vel pelo produto polui o meio
ambiente. Voce seleciona aleatoriamente t .05-0 consumidores
norte·americanos e descobie que 32% pararam de comprar
certos produtos
conta das preocupa>6es em rela<;ao apo·
lu~o. Con1 o = O,Q3, voce pode apoiar a afirma>Ao da agen·
cia? (Adopwdo de Yl•lhlon ~ll<fd.>>de.)
12. Comida geneticamente modificada Um ambientalista afirma
que mais de 60% dos consumidores britanicos est.Jo preocu·
pados sobre a modificai;.lo genetiC<J na produi;.lo de alimentos
e querem evitar comida geneticamente modificada. Voce quer
tesw essa afirmai;.lo. Voce descobre que. em uma amostra ale·
at6ria de 100 consumidores britAnicos, 65% dizem estar preo·
cupados sobre o uso de modifica,Ao genetica na produi;.lo de
alimentos e querem evitar comida gellelicamente modificada.
Como = 0, 10, voce pode apoiar a afirmai;.lo do ambient.ilisld?
"°'
fµoprodod• Con,umf'ls ~)
13. Encontrando um agente imobiliario No seu trabalho para
uma imobir.aria, voce descobre que, em uma amostta de 1.762
compradores de casas. 722 conheceram seu agente imobiliario
atraves de um amigo. Com o = 0,02, voce pode rejeit.ir a afir·
mai;.lo de que 44'l'o dos compradores conheceram seu agente
imobiliario atraves de um amigo? (/ldop!odo de US.I IOOfoY.)
14. Voce gosta de voar? Um pesquisa<lor dedara que 24% dos
adultos nos Estados Unidos tern medo de voar. Voce que< testar
essa afirma.;ao. Voce descobre que, em uma amostra alea16ria
de 1.075 adultos nos Estados Unidos, 292 tern medo de voar.
Com o = 0,05, voce pode rejeitar essa afirmai;.lo? ('"'"""Matis•
/nsr>1ure fol Pubic Opin"oo)
Amostra gratis
Nosexerdcios 15 e 16,useograficoquemostta oqt.<eosadultos
~iv..am sobre a efw:iencia de amostras grAtis.
i(i
Amostras gratis
funcionam
o QUiO efiei&n1e os adultos dizem
que as- amostras 9r8!is·s8o
Malt Pf_OPOl1tot.
compl'1rom o prodUlo
52%
Nio ltrlam 1u o - - - , l
3%
Le&•&. maa nio
6 necosW lo
25%
Malt proponsot a
Sombr•rcm do produto
20o/o
15. As amostras gratis funcionam? Voce entrevist.i uma amostra
aleat6ria de 50 adultos. Os resultados da pesquisa mostram que
48% deles disseram que s<'lo mais propensos a comprarem um
produto quando ha amostras gra~ Com o = 0,05, voce pode
rejeitar a afirmai;.lo de que no mfnimo 52% dos adtitos s<'lo mais
propensos a comprarem um produto quando ha amosiras gratis?
16. As amoslrasgratis deveriam ser usadas? Use was condus6es
do Exercicio 15 para escrever um lj)ilragrafo sobre o uso de amostras gratis. Voce acha que uma empresa deveria usar amostras
gratis para fazer as pessoas comprarem um produ10? Explique.
Expandindo conceitos
F6rmula alternativa
Nos exerdcios 17 e 18, use as informa¢es a seguir. Qoando voce
sabe o numero de sucessos x, o tamanho dd amos1ra n e a probabi&·
ddde p, pode ser mais Meil usar a f6rmu!a:
x - np
l =
jnpq
para encontrar o teste padr.Jo est.itlstico quando usar um leste z para
uma propor¢o p.
17. Refa>a o Exerdcio 13 usando a formul.l altemativa e compare os
resultados.
16. A f6rmula ahemativa ederivada da f61mula:
p- p (x/n)- p
z- -'--"="='- Jpq/n Jpq/n ·
Use essa f6rmul.l para obter a f6rmula allemativa. Justifique cada
pas:so.
Atividades
Teste de hip6tese para uma propor(~o
Applet O applet de teste de hip0tese poro umo ptopor~oo
investigue viwalmente OS testes de hip6tese
para uma p<opor~o. Voce pode especificar o tamanho da amost•a. n, a propor~ ve<dadeira (TNe p). o valor nulo para a propor~o (Nuff p). ea alternativa para o 1es1e (Al1emotive). Qoando
voce dica em SIMULATE, 100 amostras separadas de tamanho
n serao selecionadas de uma populai;.lo com uma propor>.Jo de
socessos igual a True p. Para cada uma das 100 amostras, um
perm~e que vote
teste de hip6teses baseado no z estatistico efeito e os resultados
de cada teste s<'lo mosuados nos pianos Adireita. O leste estatlslico para cada teste emostrado no piano superior e o valor Pe
exibido no piano superior. As linhas pretas e cinzas representam
os atalhos para rejeit.ir a hip6tese oola com os testes nivel 0,05
e 0,01, respectivame.1te. Simula>oes adicionais podem ser fe«as
ao dicar em SIMUlATI: rOO!tiplas vezes. 0 mimero cumulativo de
vezes que C<Jda 1es1e rejeit.i a hip61.ese nula t.imb~m e exibido.
Pressione a.EAR para fimpar os resultados exis1e11tes e ~'
uma nova simul~.
Ed ,e 1naaa
1
(apltulol
•
lrs1es~e•ill61!lf<011unlda""'ua
333
Chegando a condusiiff
Explore
Passo t Especifique um valor para '"
Passo l Especifique um valor para a p!OtXll,ao verdadeira.
Passo 3 Especifique um valor para a propo1~011\Jla.
Pa"o 4 E-s-pecifique uma hip6tese altemativa.
Passo 5 Oique em SIMUlATE para gerar os testes de hip6teses.
Tn~::~
NoUp:~
Aflcrn~h~:1"'
•===v
Sin11,1late
I
=
=
=
1. Configtue n 25, p verdadeiro 0,35, p nulo 0,35, ea hip61ese ahemativa para ·nao iguar. Fa'3 a simula,ao para que
no minimo LOOO testes de hip6teses sejam feitos. Compare a
P'Ofl"'(~O rle rejei(Oe< rle hip6teses nu!As r»ra o nivel o.os e "
nivel 0,01. Eo que voe! esperava? E>pique
=
=
=
2. Configure n 50, p verdadeiro 0,6,p nulo 0,4, ea hip6tese
altemativa para·<'. Qual ~a hip61ese nula? Fa'3 a simula~o para
que no mfnimo 1.000 testes de hipOteses sejam feitos. Comp;ue
a propo1'"° de ilip6teses nulas para o nivel 0,05 e para o nivel
0,01. Fa'3 o teste de lip6tese para cada nivel. Use os resultados
dos testes de hip6teses para explk4r os resultados da simul3'<10.
Cumul:a:th't tt'$Uh~:
O.t>S levd (>.01 l;.w.:1
Reject null
Fail to reject nun
Prop. rcj«tc:d
Cle.vi
Ill
0 que voce
Teste de hipotese para variancia e desvio padrao
' Valores criticos para um teste X 1 ~ 0 teste qui -quadrado
deve aprender
• Comoencontrar osvalorescrrucos
para um teste ,'(':
• Como usar o teste >.~ para testar
umavanancia ou um desviopadoo.
I Valores criticos para um teste X1
Na vida real, sempre~ importante pnoduzir resultados previsiveis consistentes.
Por exemplo, considere uma empresa que pnoduz bolas de golfe. 0 produtor deve produzir milhlles de bolas de golfe, cada uma tendo o mesmo tamanho e o mesmo peso.
H~ uma tolerAncia de varia~3o muito pequena. Se a popula~~o for normal, v~ pode
testar a vari~ncia e o desvio padrao do processo usando a distribui~iio qui-quadrado
com 11-1 grausde liberdade.
Valor
-•
2
cnttco.\
0
lnstru~oes
Encontrando valores criticos para o teste X1
1. Especifique o nfvel de significancia a-.
2. Determine os graus de liberdade g.I. = n- l.
3. Os valores crRicos para a distribui~~o X' sao encontrados na Tabela 6 do Apendice B. Para encontrar os valores criticos para um:
a. teste unicaudal adireita, use o valor que corresponde a g.I. e o.
b. teste unicaudal aesquerda, use 0 valor que corresponde a g.I. e 1 - 0c. teste bi caudal, use os valores que correspondem a g.I. e ~" e g.I. e 1 -~o.
a
1- o
\ 'alor
criticoX~
Valor
crftico,\'i,
Valor
-. ,
cnt1co.,\R
Ed ,e 1naaa
1
334 •
C!"tllti<"pllcoda
Exemplo
m
Encontrando valores criticos para X1
Encontre o valor crltiro X2 p~ra um teste bicaudal quando u = 26 e a
=
0, 10.
SolufliO
Os graus de liberdade siio:
g.I. = 11- l = 26-1 = 25.
a= 0.10
0 grafico a esquerda mostra uma distribui~ao X' com 25 graus de liberdade e
uma area sombreada de n = 0,10 do lado direito. Na Tabela 6 do Apendice Bcom g.I. =
25 e "' = 0,10, o valor critico e:
x~
L-+-~+-+-+-+-++~~x'
5
I<> IS 20 2$ 30/Js .lO JS
= 34,382.
Encontre o valor X' critico para um teste unicaudal. a direita quando 11 = 18 e
n= 0,01.
Encontre o valor usando a 'Jhllela 6 do Apendice B com g.I. = 11 - l ea area a .
x~ = 34.382
Ri:-:::11<.~1111u1 p. J\4.J
Exemplo
m
[ncontrando valores criticos para x1
Encontre 0 valor crltico X' para um teste unicaudal a esquerda quando II = 11 e
a·= 0,01.
Sol11fliO
Os graus de liberdade s.'io g.I. = 11 - l = 11 - 1 = 10. 0 grMico aesquerda mostra
uma distribui~ao X' com 10 graus de liberdade e uma area sombreada de a = 0,01 do
lado esquerdo. Aarea adireita do valor crftico e:
1 -a= l - 0,01 = 0,99.
Na T;ibela 6 do Apendice B com g.1. = 10 e a area 1 - n = 0,99, o valor critico e
X~= 2,558.
Encontre 0 valor critico X' para um teste unicaudal aesquerda quando II = 30
ea= 0,05.
Encontreo valor usando a Tabela 6 doApendice Bcom g.I. = 11- l e a areal - o.
R~N~llJ IUI I'·
Exemplo
AJ..J
m
Encontrando valores criticos para x1
Encontre os valores crlticos :f- para um teste bicaudal quando 11 = 13 e o = 0,01.
Sol1tftiO
Os graus de liberdade siio g.I. = 11 - 1 = 13 - 1 = 12. 0 grafico aesquerda mostra
uma distribui~ao X' com 12 graus de liberdade e uma area sombreada de ! a= 0,005
2
V.f-+--1---1--+-+=~~" de cad a lado. As areas a direita dos valores cn1icos s.'\o:
2S / 30
.
JS W
t o= 0,005
x~ = 28.299
e
Ed ,e 1naaa
1
(apltu~ 7 •
1-.!.o = 0, 995.
2
Na Tabela 6 doApendice Bcom g.I. = 12eas areas0,005e0,995, os valorescn1icos
sao x; = 3,074 ex;= 28,299.
Encontre OS valorescrfticos X2 para um teste bicaudal quando" = 19 e ()- = 0,05.
a. E11co11tre o primeiro valor crltico x;, usando a Tabela 6 com g.I. = n - 1 ea
1
area - et.
b. £11co111reosegtndovalorcrfticoX,' usandoaTabela6comg.I. = n-1 ea area 1 -~ et.
R~11()S.tt111n p.
A44_
Note que, como as distribui<;Qes qui-quadrado nao sao simetricas (como distribui<;Qes I ou non11ais), em um teste bicaudal os dois valores criticos nao silo oposlos.
Cada valor critico deve ser cakulado separadamente.
I 0 teste qui-quadrado
Para testar uma variAncia u2 ou um desvio padrao " de uma popula~ao que e
normalmente distribufda, vo~ pode usar o teste :t•. 0 teste :t• para uma variAncia ou
desvio padrao nao etao s6lido quantoos testes para a media da popula~o 11 ou a propor~o da popula~ao p. Entao, eessencial que, ao fazer um teste X' para uma variancia
ou desvio padriio, a popula~io seja normalmente distribuida. Os resultados podem ser
equivocados caso a popula~~o nlloseja normal .
este x1 para uma variancia ul ou desvio padrao u
O teste X' pa1a wThl variancia ou desllio padrao e um teste estatistico para uma variancia
populadonal ou desllio pad«lo. O teste X' pode se< usado quando a popul~ e normal. O
teste estatistico es' e 0 teste padrao estatistico:
x' - (n - 1)s'
-
u'
segue uma distribuiy3o qui-quadrado com g1aus de liberdade g.I. = n - 1.
lnstrui;oes
Usando otfltt X para uma Viri&ncia ou df!vio padr3o
E111 palavras
l. Deten:nine a afIJ'l11~ ved>al e matematicamente. ldentifique a hip6tese nulae altemativa
2. Especifique o nivel de signific:-Ancia.
3. Determine os graus de liberdade e esboce a
distribui~o de amostragem.
4. Determine quaisquer valores crlticos.
5. Determine quaisquer regi0es de rtjei~ao.
6. Encontre a estatfstica de teste padronizado.
7. Oecida entre rejeitar ou nlio ahip6tese nula.
8. lnterprete a decis.'io no contexto da afirma~o original.
Em sfm/111/os
Detennine H0 e H..
ldentifique Cl.
g.l. = 11 - l
Use Tabela 6 no Apendicc B.
x'
(11- l)s'
"'
Se X2 es1a na regiao de rejei~ao.
rejeite H0• Caso contrario, nao
rejeite H•.
lrste>de .,p6ltst<Oll•llld•11101t1a
33S
Ed ,e 1naaa
1
Exemplo [ii]
-
:
Retratando o mundo
Usando um teste de hipotese para a vari3ncia popu!acional
Um cemro oomunitario afinna
que o nivel de cloro em
$1.Ul
Um a empresa de processamento de latici'nios declara que a vari5.ncia da quantida·
pi.s·
cina tem um desvio padrao de
0.46 panes por milhao (ppm).
Uma amostra dos niveis de d oro
da piscina. em 25 vezes aleatorias
de de gordura no leite integral processado por ela ede nao mais que0,25. Vocil suspeita
que essa afirma~ao esteja errada e descobre que uma amostra aleat6ria de 41 cont~ine­
res de leite tem uma variancia de 0,27. Com a= 0,05, ha evidencia suficiente para rejeitar a dedara~ao da empresa? Suponha que a popula~ao seja normalmente distribulda.
durame um mes, produz um des-
Soluftio
''iOp<ldrao de 0,61ppm. <,idnpl<.to
A afirmao;.'lo e "a varifincia ~de nao ma.is que 0,25". E'ortanto, a hip6tese nula e
a alternativa s3o:
11<.lmmmn Pool S"P/,/;:)
f
H0 : o' :S 0,25 1,1finWl(<!ol
e
H,: ,p > 0,25.
0 teste eunicaudal ~ direita, o nivel de significancia eo = 0,05, e Mg.I. = 41 -1 =
40 graus de liberdade. Entao, o valor critico e:
,\'~ = 55,758.
A regiao de rejei\iiO eX' > 55,758. 0 teste padrao estatfstico e:
x'
1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0
Nfvel de c loro (ppm)
(11 - l )s'
a'
(41 - 1)(0,27)
0, 25
l~on1 n =
0,05. Jui c1·idf11cla o
suficiente ptu·a r·1tjei1ur a <ifir-
Suprmlta qut
"1 =O,lS.
= 43,2.
nuu,:cio?
0 grafico mostra a localiza\i!O da regiao de rejei~ao ea estatfstica de teste padronizado x'. Como :..~ niloestao na ~rea de rejei~i\o, v~ nao deve rejeitar a hip6tese nu la.
illterpretariio
No nivel de significancia de 5%, nao M evidencia o bastante para rejeitar a afirma~ da empresa de que a variancia da quantidade de gordura no leite integral nao e
maior que 0,25.
L-..+--<1:.-.;.--i.-.j...14::::,,,,.-... Y.:
10
20
30
40/ 5'I
\oo
10
xi= •t3.2 x~ = 55.758
·-
Di ca de estudo
Embora v~ esteja testando
um desvio pad~ no Exemplo 5, a estatfstica X' exige
variftncias. Nao se esqu~a
d e fazer os quadrados dos
desvios padrlio dados par.a
calcular essas varia~.
•
ente Uma empresa de garrafas afirma que a varii\ncia da quantidade de bebidas em
uma garrafa de 12 on~s nao e maior que 0,40. Uma amostra aleat6ria de 31
4 garrafas tem uma varii\ncia de 0,75. Como = 0,01, ha evidilncia para rejeitar a
afirmai;5o da empresa? Suponha que a popula~ao seja normalmente distribuida.
voc6
a.
b.
c.
d.
e.
f.
lde11tifiq11e a afi.rmao;.io e determine H0 e H,.
lde11tifiq11e o nivel de significancia o e os graus de liberdade g.1.
E11co11tre o valor critico e ide11tifiq11e a regiao de rejeii;5o.
Use o teste :..~ para encontrar a estatistica de teste padronizado X'.
Decida entre rejeitar a hip6tese nula ou nao. Use um gra.fico se necessario.
luterprete a decisao em um contexto da afinna~ao origin.al.
Exemplo
m
Usando umteste de hipotese para o desvio padr3o
Um restaurante afirma que o desvio padrao no tempo deservir emenor que 2,9
minutos. Uma amostra aleat6ria de 23 tempos de servi<;o tem um desvio padrao de
Ed ,e 1naaa
1
(•pnulol
•
337
leste1de hii>6<""om11m..mos11a
2,1 minutos. Com o = 0,10, ha evidencia o bastante para dar suporte a afinna\ao do
restaurante? Suponha que a popula(ao seja normalmente distribuida.
50111,ao
1\ afirmac;aoe "o d~vio padr5o
e menor que 2.9 nlinuto~". Portanto, a hipOtese
nula ea alternativa s.'io:
H0 : u ~ 2,9 minutos
H,: u < 2,9 minutos. (Ajirm.~1)
e
0 teste eunicaudal aesquerda, o nfvel de significancia eo = 0, 10, e ha:
g.l.= 23-1
= 22,
graus de liberdade. Ent3o, o valor critico e:
X~= 14,042.
A regiao de rejei\iiO e~" < 14,042. Aestatfstica de teste padronizado e:
(11 - l)s'
x2 = -'--~­
u'
=
(23- 1)(2, J)'
2.9'
Supo1lh.l qu(' 1t =-2.9.
,.11,536.
0 grafico mostra a localiza\ao da regiao de rejei(ao ea estatfstica de teste padronizada X'. Como X' esta na area de rejei9ao, voe~ deve rejeitar a hip6tese nula.
fo terpreta,ao
No nivel de significancia de lO'Y,,, ha evidencia o bastante para dar suporte a
afirma(iio de que o desvio padrao para o tempo de servi(o emenor que 2,9 minutos. a =O.JO
Terrie
Um chefe de policia afirma que o desvio padrao para o tempo de resposta aos
voc:f atendimentos e menor que 3,7 minutos. Uma amostra aleat6ria de 9 respostas
5
tern um desvio padrao de 3,0 minutos. Com o = 0,05, M evidencia o bastante
para apoiar a afirma~o do d1efe de polfcia? Suponha que a popula(ao scja normalmente distribufda.
a.
b.
c.
d.
e.
lde11tijiq11e a afirma\ao e determine H0 e H,.
lde11tiftq11e o nivel de significancia a e os graus de liberdade g.I.
E11co11tre o valor critico e itk11tiftq11e a regiao de rejeii;ao.
Use o teste X' para encontrar a estatistica de teste padronizada X'.
Decida entre rejeitar a hip6tese nuln ou nao. Use um grMico se necess.1rio.
f. /ulerJ>rete a decis.'io em um contexto da afim1a~o original.
Exemplo
m
Usando um teste de hip6tese para a variancia populacional
Um fabricante de artigos esportivos afirma que a variancia da fon;a em uma
certa linha de pesca e de 15,9. Uma amostra aleat6ria de 15 cilindros de linha tem
uma variancia de 21,8. Com o = 0,05, h~ evidencia suficiente para rtjeitar a afirma\<lo
do fabricante? Suponha que a popula(ao seja normalmente distribuida.
L-+<c.;...-!t-1--1--1---t-~x?
S
10 \ \
W
! S JO
x2 "' 11.536 x~ = 14 .042
Jj
40
Ed ,e 1naaa
1
Sol11flio
A afinna<;ao e"a variancia e15,9". Portanto, a hip6tese nula ea alternativa sao:
H,;o' = 15,9 minutos (Afi"ull{O.>)
e
0 teste bicaudat, o nivel de signific5ncia
H,: o'"' 15,9.
ea= 0,05, e M:
g.l.= 15- 1
= 14,
graus de liberdade. Entao, os valorescriticoss.'lo Xf = 5,629 e Xf = 26,119.
As regi6es de rejei<;ao s.io X' < 5,629 e X' > 26,119. A estatfstica de teste padronizadoe:
2 (11 - l)s'
x -
q·'
(15 - 1)(21,8)
15,9
"'19,195.
!a= 0,025
0 grafico mostra a localiza<;ao das regiees de rejei<;<lo e o teste padrao estatistico
X2• Como x~ nao esM na <lrea de rtjei<;5o, voce nao deve rtjeitar a hip6tese nu la.
/11terpretapio
No nivel de significancia de 591,, nao ha evidencia oSllficiente para rejeitar a afir, s\ 10 ,is / zo zs) in ·
Xi,= 5,629 x·"' 19.195 Xii :26, 119 ma<;ao quea variancia na for<;a da linha de pesca e 15,9.
'--~--1---1-->1--++.-!:,.,,... r.'
Um fabricante de pneus afirma que a varifulcia dos diametros em certo modelo
de pneu ede8,6. Uma amoslra aleat6ria de 10 pneus tem uma variancia de4,3.
Como = 0,01, ha evidencia o suficiente para rejeitar a afinna<;ao do fobricante?
Suponha que a popula<;ao seja normalmente distribufda.
a. ldentijiq11e a afi.rma<;ao e determine H0 e H,.
b. lde11tijiq11e o nivel de signifitancia <t e os graus de liberdade g.I.
c. E11co11/re os valores criticos e ide11tijiq11e a regiao de rejeit;llo.
d. tlse o teste ,\~para encontrar a estatistica de teste padronizado ,\~.
e. Decidn entre rejeitar a hip6tese nula ou nao. l/se urn grafico sc nccess.'\rio.
f. /11terprele a decisao em um contexto da afinna<;ao original.
Rc">pl.t:illl IW I'· ;\44
Ill
Exercicios
Construindo habilidades basicas e conceitos
• 0, 10, n • 10.
Teste unic.Judal aesquerda. o = o.oi, n = 7.
6. Teste unicaudal aesquerda," = 0,05, n = 24.
7. Teste bicaudat a = 0, 10, n = 16.
8. Teste bicaudal, a = 0,0 I, n = 29.
4.
1. Explique COOlO encontrar os valores criticos cm uma dislribuii;.;o
de amostragem \~.
2. Explique como testar uma vari.\ncia populacional ou um desvio
padrao de popula~o.
Nos exercicios de 3 a 8, encontre os valores critkos para o tesle
illdi:c.ado para uma vari.lncia populacional, tamanho da amostta n e
nivel de signific.lncid o.
a
Teste unialudal adireita, "
3. Teste unic.audat direita, " = 0,05, n = 27.
s.
AnAlise grAfica
Nos exetdcios de 9 a 12, determine se a estatistica de teste padroniuido X' permite que ~ rejeite a hip6tese nula.
Ed ,e 1naaa
1
C•pltuki 1 •
9. (a) y> = 2,091.
(b) .ylG O,
(c) ~,, = 1,086.
(d) \'1 = 6,34 71.
1.,1., dehip6t.,e<omuma •mosoa
339
(e) interprete a decisao no contexto da afirmaylo original Para cada
afir~o. suponha que a popolaylo seja normalmente alstribuida.
1
15. Vida de equipamentos Uma grande empresa de equipamen·
tos estima que a vari.incia na vida de seus equipamentos seja
3. Voce trabalha para um grvpo de defesa do consum1doc e !he
pedido para testac essa afirmaylo. Voce descobre que uma
amostra aleat6ria das vidas de 27 dos equipamentos da empcesa
tern uma variancia de 2,8. Com a = 0,05, voe~ tem evid~ncia
suficiente para rejeitar a afirmaylo do fabricante? <MoP:m de Con·
e
svmtf Repons.)
10. (a)
x> = o,n1.
(b) \" = 9,486.
(c) 1" = 0,701.
(d) X'= 9,508.
2
4
x~ =0.111
.t '= 22.302.
(b) l" = 23,309.
(c) .\" = 8,457.
(d) \" = a,5n.
11. (a)
'
L..'1-.J+--1-__,H-i--'l">-X'
S /10
x~ = s.547
12. (a)
(b)
(c)
(d)
IS 20\2s JO
x~ = 22.301
Y'= 10,005.
\'1 = 10,075.
16. Quilometcagem de combustive! de vefculos hibcidos Um fa·
bricante automotivo acredita que a vaciancia da quilometragem
de combustive! para seus vek.,los l\ibridos seja 6. ~ trabalha
para uma agencia de conseiv~o de energia e quec tesl.ar essa
afirmaylo. Voce descobre que uma amostra aleat6cia <las mihas
por galao de 28 veiculos hibridos tem uma vari~ncia de 4,25.
Com a = 0,05, voe~ tem evidencia suficiente para rejeitar a afirmaylo do fabricame? //ld"f"ado de rreen l+,tnd.)
17. Testes de avalia<;ao de Ciencias Em um teste de avaliaylo de
Ciencios, as pontua¢es de uma amostra aleat6cia de 22 alunos
de oitava se~ tern um desvio padrao de 33,4 pontos. Esse
resultado faz um fiscal de prova afirmar que o desvio padrao
para alunos de oitava sbie no eXdme e menos que 36 pontos
Como a O,tO, voce tern evidencia suliciente para apoiar a afir·
ma¢o do fiscal? (Map!ado de NartOOOI "'"'"' tor Ed<J<~ Sro1.n)
18. Testes de avafiai;ao de Hist6ria Americana O administradOf
de uma escda estadual diz que o desvio padrao de notas de tes·
tes dos alunos de oitava serie que fizeram um tesle de avaliaylo
de Hist6cia Americana e menor que 30 pontos. Voce trabalha para
o administradoc e lhe e pedidci para testar essa afirma,.io. Voce
sele<iona aleatonameme 18 pcovas e descobce que os tes1.es tern
um desvio padrao de 33,6 porntos. Com o = 0,01, M evidencia
suficiente para apoiar a afirma~~o do administradoc' (/ldl1p1m de
Nabct;al CE<J"1 la ftka'oool Srari5i<:s.)
X' = 10,585.
X' = 10,745.
'L+--+.-++.,_:.,,,.,_~x'
3
6
9 \12
IS 13
x02 = 10.645
Nos exeidcios de 13 e 14, use um teste X' para testar a afirma·
ylo ~bre avariancia pcltl<Jfacional a' ou desvio padrao a em um dado
nivel de significancia n usando a amostra estatfstica dada. Suponha
que a poP1Jkl¢o seja no<malmente <fistribuida.
13. Afirmaylo: 11' = 0,52, o = 0,05. Amostra estaNstica: s> = 0,508,
n = 18.
14. Afirmaylo:" < 40a = 0,01.Amostraestatfstica:s = 40,8,n = 12.
Llsando e interpretando conceitos
Testando afirma~oes
Nos exerdcios de 15 a 24, (a) escreva a afirma~ao matematica·
mente e identifique H0 e H, , (b) encontre os valO<es et~icos e identi·
fique as regioes de rejeiylo, (c) use o teste X' para encontrar o teste
padfao estatfstico, (d) decida entre cejeitar ou mo a hip6tese nula, e
19. Tempo de especa em um hospital 0 representante de um hospital afirma <PJe o desvio padrao do tempo de espera que os pa·
cientes passam no depanamento de emergencia do hospital nao
maicx que 0,5 minutos. Uma amostra aleat6cia de 25 tempos de
especa tern um desvio padrao de 0,7 minutos. Com a= 0,10,
voce pode rejeitac a afirmaylo do repcesentante do hospitaP.
20. Perfodo de estadia Um medico diz que o desvio padrao do
peclodo de estadia de pacientes envolvidos em batidas de carco
nas quais o velculo atingiu uma arvoce e de 6, 14 dias. Uma amosua aleatOcla de 20 perfodos de estadia de pacientes envolvidos
nesse lipo de acidente tern um desvio padrao de 6,5 <fias. Com
a= 0,05, voce pode rejeitar a afirmaylo do medico? 1.Adopladotle
e
Not"""11 H9 - 7to{(IC Sofe!'f-r~)
21. Taxa total Um ageme de seguros diz que o desvio padr~o do
total de taxas hospitallires para pacientes envolvidos em batidas
de carco nas quais o vekulo tenha atingido uma barricada de
constru<;ao e de menos que S 3.500. Uma amostra aleat6tia de
28 taXdS hospitalares totaispara pacientes envolvidos nesse 14><>
de batida tern um desvio padrao de S 4.100. Com a= 0,10,
voce pode apoiar a afi~o do agente? fMap<ado de Nor"""11
11</h>vgy uolfi< Safel)'Acfrmr...Yot.m)
22. Taxas de quarto de hotel Uma ag~ de viagens estima que
o desvio pad1iio das taxas de seivi(O de quano de hoteis em
Ed ,e 1naaa
1
340 •
Ciutilti<"pli<od•
uma cidade nao ultrapassa $ 30. voce 11abalha para um grupo
de delesa do consumidor e p<ecisa testar essa afirma~. VO<:.e
descobre que uma amostra aleat6ria de 21 hot<lis tern um desvio
padr~o de S 35,25, Com a= 0,01, ha evidencia wficiente para
voce rejeitar a afirma~o da agenda?
23. Salarios 0 saLlrio anual de 16 at~rios escQ!hidos aleatoria·
mente est.! fisiado a seguir. Com a = 0,05, voce pcde conduir
que o desvio padrao dos saLlrios anuais e maior que S 20.000?
(/odap1odo de Am<ti<o~ Ccrtl!I 1.tfoNeL)
68.146 57.529
71.286 60.516
62.852 76.852
108.761 68.433 64.600 99.548
84.014 t 19.920 120.975 91.345
88.522 95.794
24. Salarios t.m seM(o de infoona~o de empregos diz que o desllio
pad1ao dos saLlrios anuais para gerernes de rela¢es p<lblicas ede
no mllimo S 14.500. Os salarios anuais para 18 gerentes de rela·
¢es p<Jbicds esoolhidos aleatoriamente s.!o l>siados. Com" = o, 10,
voce pode rejeitar essa afi~? (Mop1o00 de Amotico's Cc""" Jn.
/olle<)
62.514
74.595
59.813
75.721
75.362
80.567
54.649 76.764
87.399 87.742
76.310 105.438
94.224
90.140
59.581
85.077
74.416
56.805
£xpandindoconceitos
Valores P
Voce pcde calcular o valor P para um teste X' usal1do tecnologia.
Oepcis de calaolar o val01 do te<te
voce pode usar a funr,~o de
densidade acumulada (COF) para calailar a area sob a curva. A partir
do Exemplo 4 na p. 336, X' • 43,2. Us.mdo uma Tl-83/84 (escolha 7
do menu DISTR), coloque o val01 0 para o limite inferi0<, 43,2 para o
limite superiol, e 40 para os graus de liberdade oomo a seguir.
l".
Tl-8J/84
l
~.. cdt (0 , 43.2, 40)
.6637768667
o valor Pe apro>imadamente l - 0,6638 = 0,3362. Como P >
a = 0,05, a condus.lo edeix.lr de rejeitar H0•
Nos exercfcios de 25 a 28, use o maodo do valor Ppara lazer o
teste de hip6tese para o exetdcio indicado.
25. Exercicio 21.
26. Exerdcio 22.
27. Exerclcio 23.
28. Exerdcio 24.
Usos e abusos - estatistica no mundo real
Usos
e
Testando hip6teses Testar hip6teses importante em d'derentes Areas porque o teste
d.l um procedimento cientifico para estimar a vafidade de uma afirma~ sobre uma popula·
c;Ao. Alguns dos ccnceitos em teste de hip61ese 500 intuitivos, mas cottos, nao. Pot exemplo,
o American Joumol of Clinical Nuuition wgere que comer chocolate ao leite pode ajudar a
prevenir aiaques do corac;Ao. uma amostra aleat6ria de YC>luntarios saudaveis comeu 3,5 rtbras
de chocolate ao leite todos os dias por um perlodo de 15 dias. Depois d0$ 15 dias, a mMia de
pres~o sist6fica do sangue dos voluntarios tinha 6,4 mi~metros a menos. Um teste de hip6teses pcderia mostrar se essa queda na pressao sist61ica do sangue e sigiiificante co apenas por
causa de um erro de amostragem.
lnferencias cuidadosas devem ser feitas em re!ac;Ao aos resultados. Em outra pane c1o eSl\I'
do, foi descobeno que o chocolate branco noo teve os mesm0$ resultados EntAo, a inferencia
de benelicios na saude noo pcde ser esiendida a todos os tipos de chooolate. VO<:.e tambem nAo
poderia inferir que deve comer grandes quantidacles de chocolate porque os resultados pcdem
pesar sobre riscos coohecidos, como ganho de peso, acne e refluxo de .lcido.
Abu sos
e
Nao usar uma amostra afeat6ria Toda a teoria do teste de hip6tese baseada no fato
de a amostra ser aleatotiameme selecionada. Se a amostra n.lo ealeat6ria, en~o voce nao pode
us.l·la para inferi< nada sobre um parametro populacional
Tenl4tiva de provar uma hip6tese nula Se ovalor Ppara o teste de hip6tese 101 maior que
o nivel de signific.lncia. voce nao provou que a hip6tese nula seja ve<dadeira - somente que nae
ha evi~ia wficiente para rejeita.Ja. Por exemplo, com um valor f> maior que o nivel de signifi·
c.lncia. um pesquisador ll<lo pcde<ia provar que nao ha beneffcio em comer chocolate ao leite someme que nAo h~ evidencia wficiente para dar suporte a afi~o de que haja um beneficio.
Erros de tipo I ou de tipo II Lembre-se de que um e«o de tipo I e rejeit.Jr a hip6tese
nula, que everdadeira e o erro de tipo II efalhar em rejeit.Jr uma hip6tese nula, que efaIsa. Voce
pode diminuir a probabffidade de um erro tipo I ao diminuir o nivel de signifiolncia. Geralmente,
Ed ,e 1naaa
1
(apftulol •
lest.,dehip6ttsecomum"'1101u• 341
se voce diminui a probab~idade de arontecer um erro de tipo I, voce aumenta a p<ebabilidade
de acontecer um erro de tipo II. Voci!. pode diminuir as chances de cometer os dois erros ao
aumentar o iamanho das amosuas.
Exercicios
Nos exerdcios de I a 4, suponha que voe~ trabalhe em um depanamento de pesqtisa de
mercado. \-bee precisa escrever um rela16ric sobre a afitma<;ao de que 57% dos rompradores
de carros rQ.'OS C<l<lSiderariam a idei<i de comprar um carro hlbrido.
25. N3o usar uma amostra aleat6ria Como voe~ poderia escolher uma amostra aleat6'ia
para testar essa hip6tese?
26. Tentativa de provar uma hip6tese nula Qua! ea hip6tese nula nessa situa¥io? Descre·
va come seu relat6rio poderia ser incorreto na tentativa de provar a hip6tese nula.
27. Erro do tipo I Descreva como seu relat6rio pode apresentar um erro do tipo L
28. Erro do tipo II Descreva como seu relat6tio pode apresentar um erro do tipo IL
Voe<! consideraria a ideia de
comprar um carro hfbrido?
Niio
Sil'n
51%
Um resumo do teste de hipotese
No teste de hip6tese, talvez mais que qualquer area de estatistica, pode ser dificil
a floresta para todas as arvores. Para ajudd·lo a ver a floresta - a ideia geral - ,
este capftulo apresenta um resumo do que voe~ estudou.
ver
Escrevendo as hipoteses
• Voctl tem um parametro populacional 11, p, o' ou u.
• Reese:reva a afirma~o e seu comple1nento usando ~' 6 = e >,<,:;st.
'--v--J '--v--J
• ldentifique a afirma~do. Ela eH0 ou H}
110
H,
Especificando um nivel de significancia
• Especifique o, a probabilidade maxima de aceitar ou rejeitar um H0 valido (um
erro de tipo I).
Especificando um tamanho de amostra
• Especifique o tamanho da sua amostra 11.
Escolhendo o teste
• Qualquer po pula~ao.
• Popula~~o normalmente distribufda.
• Media: H0 descreve uma media populacional hipotetica I"
• Use um teste z para qualquer popula(AO se 11 ~ 30.
• Use um teste z sea popula¢o for normal e" for conhecido para qualquer 11.
• Use um teste t sea popula~o for nonnal e 11 < 30, mas IJ for desconhecido.
• Proporsao: H0 descreve uma propor~llo populacional hipotetica p.
• Use um lesle z para qualquer popula~o se 11p ~ 5 e 11q ~ 5.
• Variancia ou desvio padr3o: H0 descreve uma variancia populacional hipolelic.1
ql OU U01 desvio padrao '1.
• Use um leste x' sc a popula~ao for normal.
lmportante
-111~~~~~~~~~~
Tamanhos de amostras grandes geralmente aumentarn
o custo e o
esfo~
de testar
uma hip¢tese, mas elas tendem a tornar a deci~o mais
cot'fiavel.
Ed ,e 1naaa
1
342 •
C!1<tf1ti<..pll<od•
fazendo uma distribui,ao de amostragem
• Use H0 para decidir se o teste euni caudal~ esquerda, unicaudal ~ direita ou
bicaudal.
Encontrando a estatistica padrao do teste
• Retire uma amostra aleat6ria de tamanho 11 da populn<;ao.
• Compute a estatfstica do teste x, fl ou s'.
• Encontrc a estatfstica de teste padronizada z, I OU x'.
Tomando uma decisao
•
•
•
•
op,ao 1. Dccisiio tomada a partir da rcgiiio de rejcii;ao:
Use a para encontrar os valores criticos z.,. 10 ou e a(s) regiiio(6es) de rejeii;iio.
Regra de decisiio
Rejeite H0 sea estatistica de teste padronizada est.1 na regiiio de rejeii;Ao.
Niio rejeite H0 se a estatrstic.1 de teste padronizada n.~o esta na regiiio de rejei<;ao.
Op,ao 2. Decisilo tomada a pa11ir do valor P:
Use a estatfstica de teste padronizada ou uma furramenta de tecnologia para
encontrar o valor P.
Regra de decisiio:
x!
Rejeite H0 se P ~ '"
Nao rejeite H0 se P > '"
Teste z para uma media hipotetica µ (Se,ao 7.Z)
Dica de estudo
•Caso o seu teste padriio eshatfstico seja z ou t, lembrc-se que esses valores medem
desvios padriio a partir da
media. Valores que estejam
fora de +/- 3 indicam que H
e muito impcovavel. Valores0
que estejam fora de +/- 5
indicam que H0 e quase impossivel.
Teste estatistico: x
Teste padriio estatistico: z
i\l..WiAdanm"5l,,n -;- r A rMiltliipi)fitico
Valor critico: z0 (Use a Tabela 4.)
x- µ
Se 11 ~ 30, s pode ser usado no lugar de"·
z=;J:f,;·
A distribuii;iio de amostragem das medias
Doi!iO f(fdrA) ~
4 - T111,lfJ11fl'(I da
de amostra euma distribui<;Jo normal.
populnrff111a(
Unicaudal aesquerda
Bicaudal
Unicaudal adireita
Teste zpara uma propor,ao phipotetica (Se,ao 7.4)
Teste estatistico: p
Teste padriio estatistico: z
Propor(tit) rtn ~ .,- Propi:ir~t
Valor critico: z• (Use a Tabela 4.)
i111r<t"t11.1
,.,
A distribui\ao de amostragem das pro, _ pp hi1,,.,rftkt1
por~ de amostra ~ uma distribui<;lio
-- ~pq/11'
normal.
'1 =l - p _.A. 4 - Tamn11Jm 1fa
4flrkl)tnt
Ed ,e 1naaa
1
Teste zpara uma media hipotetica µ, (Se,ao 7.3)
Teste estatistico: x
Teste padr.io estatistico: t
~·tMia da JR\05.tra, f
~fedu1 tupot~hCJ
Valor critico: 10 (Use a Tabela 5.)
I - x - 11
A distribui~ao de amostragem das mMias
- -;j"J;
amostrais e aproximada por uma distrif>c.<vio
1x1drlo
__J
l - .TJn1.:inho
bui~ I com g.I. = n -1.
d,\ .ln.os.tra
Unicaudal aesquerda
~
~.,
d11 ,\nl<"-lr.i
Unicaudal a direita
Bicaudal
!~a
Lu
• I
0
-·. 0 '•
'• 0
'•
Teste xi para uma variancia hipotetica crou desvio padrao u (Se,ao 7.5)
Teste estatistico ,,~
Valor critico: XJ (Use a Tabela 6.)
A distribui<;iio de amostragem e aproximada
por uma distribui(iiO de qui·quadrado com
g.I. = 11 - 1.
Unicaudal aesquerda
Bicaudal
• I
Teste padriio estatistico: X'
·r.1manho
t
da runostr.t Y
I'
.
\'.ui.incla
hipo!t:ti.l"J
\'ari.\ncta
da .uuostra
(11-l)s'
(}'
~
Unicaudal adireita
Resumo do capitulo
0 que voce aprendeu?
Exemp!o(s)
Exercicios
de revisao
Se,ao 7.1
•
•
•
•
Como de1erminar uma hipotese nula e uma hlpOtese alternativa.
Como identificar os erros de ti po 1e ti po n.
Como l'SCOlher entre o uso dos testes estatisticos unicaudal ou bicaudal.
Como interpretar uma decisao feita com base nos resultados de um teste
estatfstico.
2
3
4
1a6
7a10
7a10
7a10
Se,ao 7.Z
• Como encontrar os valores criticos para um teste z.
• Como usar regiiles de rejei~fa para um teste z.
• Como encontrar valores I' e usa.los para testar uma media I"
7e8
9el0
I a6
11a14
15a 18, 21 e22
19a22
Ed ,e 1naaa
1
Se~ao 7.3
• Como encontrar valores crfticos em uma distribui~ao f.
• Como usar o teste I para testar uma mi!dia 11.
• Como usar tecnolo&ia pnra encontrar valores Pe usa·los com um teste f para
la3
4e5
6
23a26
3Se36
1a3
37a46
la3
47a50
4a6
5la56
27a 34
testar un1a n-u.~dia I'·
Se~ao 7.4
• Como usar o teste z para testar uma propori;iio populacional p.
Se~ao 7.5
• Como encontrar os valores crfticos para um teste .\".
a Como usar o teste All para testar utna variancia ou lUn desvio padrao.
Exercicios de revisao
Secao7.1
Setao7.2
Nos exercicios de 1 a 6. use a afirmai;Ao dada para dete011inar
uma hip6tese nu la e uma hip6tese alternativa. ldentifique qual hip6te·
se repiesenta a afirmai;Ao.
z incf1cado e rlvel de signifancia o.
1. Afirmai;Ao: 1• $ 1.479.
3. Afirmai;Ao: p
<0,205.
5. Afirmai;Ao: u > 6,2.
Nos exercicios de II a 14, encontre os valores criticos para o teste
11. Teste unicaudal a esquerda, o = 0,02.
2. Afi011ai;Ao: 11 = 95.
12. Teste bicaudal," = 0,005.
4. Afi011ai;Ao: 11"' 150.020.
13. Teste unicaudal adireita," =0,025.
6, Afi011ai;Ao: p
<: 0,78.
Nos exerdcios de 7 a 10, fa"1 o seguime:
(a} Determine a hip6tese nula ea alternaliva.
(b) Determine quando um erro do tipo I ou II ocorre para um
teste de hip6tese da afirmai;Ao.
(c) Determ•1e se o teste de hip6tese eunicaudal a esquerda, a
direita ou bicaudal. E>pfique.
(d) Como voce deve interpretar uma deci500 que rejeita a tip6tese nula?
(e) Como voce deve imerpretar uma decisAo que n3o rejeita a
hip6tese nula?
7. Um centro de pesquisas aaedira que a propo1~ de alunos de
faculdade que ocasio.ial OU frequenlemente chegam atrasados as
aulase de 63%. (Moptodorle/itfe<EW.olm-lr<.'AleatUOAJ
8. Um fabricante de pneus garanle que a durab<lidade de ce.io lipo
de pneu ede no mlnimo 30.000 milhas.
14. Teste bicaudal, o = 0,08.
Nos exerdciosde 15 a 18, use um teslezpara testa< a afirma~o
soble a media da populai;Ao 1• no nlvel de signifk.lncia a usando as
amostras estatisticas dadas- Se conveniente, use tecnologia.
t 5.
Afirma~ao:
1• '.> 45. o = 0,05. Amoslra estatlstica:
s = 6,7,n = 42.
16.
Afirma~ao: ,, ~
O, o
~ 0,05. Amostra
estatlstica:
x= 47,2,
x = -0,69,
s = 2,62,n = 60.
17.
Afirm~:11
< 5,500, o = 0,01. Amoslra estatistica: x = 5,497,
s = 0,011,n = 36.
t8. Afirma>OO: 11=7.450,o=0,05. Amoslra eslatisuca: x = 7,512,
s = 243,n = 57.
Nos exercfcios 19 e 20, use um valor P para testar a afirma~o
solxe a media da poptJla(Ao 1• usando as amos1ras estatisticas dadas. Determine sua d~o para os nlveis de significAncia o = 0, 10,
o = 0,05, e o = 0,01 . Se convenieme, use tec:ndogia.
9. Um produtor de sopa diz que o de9lio padr~o de s6dio conlido
em uma pori;Ao de ce<ta sopa e no rreximo 50 mifigramas. ~
1odo de ""1sumer ll<potts.)
19. Afirma'3<>: 1r $ 0,05. Amoslra eslatislica:; = 0,057, s = 0,018,
n = 32.
20. Afirrnai;Ao: 11 "' 230. Amoslra es1atistica: x • 216,5, s • 17,3,
n a 48.
lO. Um produtor de barras de cereais energetic<Js afirma que a media
do numero de gramas de carboidratos em uma barra e menor
que 25.
Nos exerdcios 21 e 22. teste a afirmai;Ao sobre a mMia da popu·
la\<)o 1• usando as regi6es de rejei~o ou um valo< P. Se conveniente,
use tecnologia.
Ed ,e 1naaa
1
(apltulol
•
l11te<dtil~te<t<,.. umaa•01U•
345
2 1. Uma a~ de turismo em !I/ova YOik afirma que a media diaria
!llos exetdcios 35 e 36, use um I es1atls1ico e seu valor P para
do custo das refei\oes e acomoda<;ao para uma faml!ia de qua· tesiar a afirmaylO sOOle a mMa d'a popul~o JI uSMdo os dados
110 pessoas viajando no estado de $ 326. ~ trabalha em
fomecidos. Suponha que a popula<;ao seja normalmente diwibulda.
um servico de proiecao oo consumid0< e quer 1esw essa afinna· Se convenienle use 1ecnologia.
ylO. Em uma amostra aleat6ria de 50 famOias de quatro pessoas ·"'·
'. .
.
.
.
viajando em Nova York, a media di.lria do custo das refei¢es '· ~35. Uma publ«:a1<10 edu~nal afinna que os gastos med1os por
e ~ e s 318 com um desvio padrao de $ 25. Com
aluno nos ensinos fundamental e secund.lno sao de. no mlnimo,
a = 0.05 ha evidencia o suficie.1te para rejeitar a afirma(Ao da
S 10.200. Voe~ quei testar essa afirma~ao e selecrona 16 ~reas
a~a? {Maµododef.me00111~As<Ociorion.)
escolares aleatoliame.me e descobr~ os gastos ml!cfios por aluno.
u .,..., · d ·
Ha 1 6
l!cf.13 ~ · d
Os resultados estl!o lrsrados a seguff. Como = 0,01, vore pode
22. ma a6" .cia .e IU'Jsmo no va • rma que a m .
na 0
rejei1ar a afirma~ao da publica~!o? {Arloptado de NorilJnol Cente< for
. )
custo das refe1~oes e acomoda<;ao para uma famll1a de quauo
ftiv<c
50
pessoas viajando no esiado ede$ 650. ~ trabalha em um ser·
""" ' """vico de prote(;<lo ao consurnidor e quenestar essa afirma<;ao. Em
9.242 10.857 10.377 8.935 9.545 9.974,
uma amosua aleat6ria de 45 familias de quatro pessoas viajando
9.847 10.641 9.364 10.157 9.784 9.962
Haval, a ml!cfia dklria do rusto das reiei~Oes e acomoda(Ao e
10.065 9.851 9.763 9.969
S 657 com um desvio pad13o de S40. Como = 0,05, ha~cia o suf1dente pa1a 1ejei1ar a afirma<;ao da agencia? (Ad!rf;1odo de 36 · Uma grande univeisldade diz que a ml!cfia de holas/aulas sema·
nais de pcof~es imegrais e superior a 9 holas. Uma amostra
Alnf!ll(OO Autoo'lOblle Association.)
aleat6ria do numeto de horas/aulas para 11 professores integrais
para uma semana e listado. Com a = 0,05, 1es1e a afirma~Ao
Se~ao 7.3
da unive1dade. (!.dop:odo de Not-I Cen.'et fCI E<Aicc""" sia:isrn)
Nos exetdcios de 23 a 26, encontre os '~lores crlticos para o teste
10,7 9,8 11,6 9,7 7,6 11,3
r, nfvel de ~nific3ncia o e tamanho da amowa n indicados.
14,l 8,1 11,5 8,5 6,9
23. Tesie bicaudal, "= 0,05, n = 20.
Se~ao 7.4
24. Teste unicaudal adirei1a, o s 0,01, n e 8.
25. Teste unicaudal aesquetda, n = 0,10, n = 15.
Nos exerdcios de 37 a 44, dedda se e possivel aplicar a dis26. Teste bicaudal, a• 0,05, n • 12.
tribui(Ao de amosuagem para aprooima1 a 01S1Jibui(Ao binomial. Se
e
Nos exerdcios de 27 a 32, use um teste t para lestar a afirmai;ao
sobre a media da populai;ao JI no dado nivel de sigrificancia o usando
a,~ amostras esiatisticas dadas. Para cada afi1ma<;ao. suponha que a popula<;ao seja normalmente distribuida. Se comoenieme, use 1ecnologia.
21. Afffma<;ao: ,, x 95.<> =0,05.Amostra esratistica:x = 94, I ,s = 1,53,
n= 12.
28. Afstma(Ao: µ > 12.700, o • 0,05. Amosllaesratistica: x• 12.804,
s 248,n 21.
29. Alinna<;ao: ,, ~ o, a= 0, 10. Amostra esratislica: = -0,45, s = 1,38,
n = 16.
30. Af~o: ,, = 4,20,o = o.oi. Amosua estalistica:x= 4,41, s= 0,26.
n=9.
31. Afirmai;ao: 11 :-::; 48, o = 0,01. AmoSlla estatlstica: = 52. s = 2,5,
n =7.
32. Ali~o:J1 < 850,<> = 0,025.Amostra esra~stica:x= 875,s = 25,
n= 14.
=
=
x
x
N<>S eJcefcicios 33 e 34, use um teste t para invesligar a aft ma<;!o.
Pa1a cada afinna<;ao, suponha que cada populayio seja normalmente
distribuida. Se convenieme. use 1ecnologia.
33. Uma revista de gi~stica anuncia que o custo medio mensal de
entrar para um dube e de S 25. Voce trabalha em urn grupo de
defesa do c011SUmido1e pcecisa testar essa afirma<;ao. \~ descoble que uma amosua alea16ria de 18 dubes tern um custo medio
mensal de$ 26,25 e um desvio padr!o de S3,23. Com a= O, 10,
ha ~cia suiicieme para rejeiUl1 a afirmai;ao do anuncio?
34. Um reswurame afirma que seus hamb(ugueres n!o t~m mais
que 10 gramas de gordura. Voce trabalha em uma agenda de
saude nu1ricional e pcecisa testar essa af~ma<;!o. Voe~ descoll<e
que uma amostra aleat6ria de 9 hambVrgueres tern uma ml!cfia
de 13,5 g1amas de gordura e um desvio padr3o de 5,8 gramas.
Com a = 0,01, voce pode 1ejeiiar a afirma<;ao do restaurante?
f01 possivel, use o 1este z para 1esiar a afirma<;ao sobre a p1opo1i;ao
populacional p no dado nfvel de signific.incia o usando as amoS11as
estaUsticas dadas. Se convenieme, use tecnologia.
37. Afirma¢o: p = 0, 15, o = 0,05. Amostra estatlstica: p= 0,09,
n =40.
38. Afirmai;ao: p < 0,70, a = 0,()1. Amostra estatfstica: p = 0,50.
n =68.
39. Afi1mai;ao: p < 0,08, o = 0,()5. Amostra esta1istica: p = 0,03,
n = 45.
40. Afirma¢o: p = 0,50, a = 0, IO. Am<>Stra es1atis1ica: p= 0,71,
n = 129.
41 . Afirmai;ao: p ~ 0,04, a = 0, l 0. Amostra esta1rs1ica: p = 0,03,
n = 30.
42. Afirmai;ao: p " 0.34, u = 0,01. Amos1ra esta1istica: p = 0,29,
n e. 60.
43. Afirma<;ao: p "'0,20, o = 0,01. Amostra estatistica:p= 0,23,
n = 56.
44. Afirmai;ao: p $ 0,80, a = 0, 1O. Amostra es1at1s1ica: p = 0,85,
n = 43.
Nos exeiclcios 45 e 46, tes1e & afirmai;ao soble a propor(Ao po·
pulacional p. Se coovenieme, use 1ea1ologia.
45. Uma a~cia de pesqoisas de -0pini3o alirma que mais de 40%
dos adlAt<>S compram os pcesentes na mesma semana do evento. Em uma pesquisa a!eat6ria de 2.730 pessoas nos Es1ados
Unidos, 1.130 disselam que compcam o p<esente na mesma
semana do evemo. Teste a afirma(AO da agencia com nfvel " =
0, 10. 0 que voe~ coosegue conduir? '4~ de-~ lrnetocwe.)
46. o 'Western blo( e um exame de sangue para testar a presen~
do virus HIV. As vezes. o 1ested! alguns resultados falsos positivos
para HIY. Um pesquisador ml!cfico afirma que a iaxa de falsos po-
Ed ,e 1naaa
1
346 •
lliat~tica aplicada
sitivos ede 2%. Um estudo recenie de 300 doadores de sang1Je
escolhidos ale.itoriarnente que n3o tern HIV recebe<am 3 falsos
positivos como resultado. Teste a afinnatao do pesquisador de
que no nfvel n = 0,05, ha uma taxa de 2% de falsos positivos.
(Map1adode Cel:u'" fol Dtsoo>eCon11al oro
Pr"''"""")
Secao 7.5
Nos exerdcios de 47 a 50, encontre os valores critkos pa1a os
testes"' para uma variancia [Xlll<JJacional, tamanho da amostra n e
nlvel de signific.lncia o.
47.
48.
49.
50.
Teste unicaudal adoeita, n = 20, o = 0,05.
Teste bicaudal. n = 14, o = 0,01 .
Teste unicaudal adireita, n = 25, n = 0, 10.
Tes1e unicaudal a~uerda, n = 6, n = 0,05.
Nos exerdcios de 51 a 54, use o teste ~· para testir a afinnatao
que a varia.'>Cia populadonal u' ou desvio padrao u no dado nlvEI de
signific.lncia o e usando a amostra estatistica dada. Suponha que a
populaylo seja normalmente distribufda.
51. Afirmaylo:u> > 2;n = 0, 10.Amostraestatlsiica:s> = 2,95,n = 18.
52. Afirma~ao: u' $ 60; a = 0,025. Amostra estatistica: s> = 72,7,
n = 15.
53. Afumaylo: u = 1,25; o = 0,05. Amosira esldtlstica: s = 1,03,
n = 6.
54. Afirmatao: a" 0,035: o = 0,01. Amostra es1atfstica: s = 0,026,
n = 16.
Nos exerclcios 55 e 56, tes1e a afinnatao sobre a variancia populacional e o desvio padrao. Para cada afinna¢o, suponha que a
populac.io seja normalmente distribufd<l.
55. Um fabricante de parafusos faz um tipo de parafuso para ser usa·
do em cont~netes. 0 fabricante precisa let cetteza de que todos
os parafusos ~o parecidos etn espessura, entAo ele p<ograma
uma tolerancia maxima para a variancia da espessura do parafuso
de 0,0 I. Uma amostra aleatO<ia dlas espessuras de 28 parafusos
tern uma variancia de 0,064. Teste a afirmatao do fabricante de
que a var~ncia no nW<imo 0,0 I com um nivel o = 0,005. 0
que voce pode conduit?
e
56. Um engarrafador precisa let ce"eza de que SM d"!Slribuidores
de lfquido esiao p<ogramados ap<op-iadamente. Um desvio pa·
drao de lfquido engarrafado nao pode ser maior que 0,0025 itro.
Uma amostra aleat6ria de 14 garrafas tern um desvio padrAo de
0,0031 litros. Teste a afinnaylo do engarrafador de que o desvio
padrao nao e maior que 0,0025 litros com um nlvel a = O,QI. O
que voce pode concluir?
Teste do capitulo
Fa~ este teste como se voe~ estivesse fazendo uma prova em
sala. Oepois comp;ire suas respostas com as respostas dadas no final
do livro. Se conveniente, use tecnologia.
Para es1e teste, fa~ o seguinte:
(a) Escreva a afirmaylO matematicamente e identifique H0 e H, .
(b) Determine se o teste de hip6tese t! unicaudal oo bicaudal
e se voce deve usar um teste z. um teste t ou um teste x'.
Explique seu raciodnio.
(c) Se necessario, etlcontre o(s) valor(es) crftico(s) e identifique
a(s) regiao(0es) de rejeiylo.
(d) Encontre o teste estitistico apropriado. Se necessario, en·
contre o valor P.
(e) Decida se deve rejeitar ou nao a hip6tese nula. Oe1X>is, intet·
prete a decis.lo no contexto da afirma~ao original
1. Uma associaylo de cultivadores de frutas citricas acredild que a
media de UlifizaylO de frutas cftricas frescas pelas pessoas nos Es·
tados Unidos seja de, no mfnimo, 22 libras por ano. Uma amostra
aleat6ria de 103 pessoas nos Estados Unidos utiliza uma mMia
de 21,6 fibras de frutas chricas frescas ao ano, com um desvio
padrao de 7 libras. Com o = O,Q2, voce pode rejeitar a afinnaylo
da associa~? l,Motxbdo d< u.s. o.,,.,rmenr otA91/CIJ/Wte.)
2. Um fabricante de automcM!is estitna que a quilometragem de
combuslivel de um de seus velculos utii!Arios t! de, no mfnimo,
20 milhas por gaklo. Uma amostra aleat6ria de 8 desses veiailos
teve uma media de 18 milhas por gaklo e um desvio padiao de
5 milhas por galao. Com o = 0,05, voct! pode rejeitar aafinnaylo
do fabricante? Suponha que a populaylo seja normalmente distri·
buida. (/ldO!JIGdotJ. CoruumH l/epcfl>.)
3. Um fabricame de fornos de micro-oodas anuncia que no maxi·
mo 10% de seus micro-0ndas precisam de conseno durante os
5 primeiros anos de uso. Em urna amostra aleat6ria de 57 mi·
cro·ondas que tern 5 anos de uso, 13% precisaram de conserto.
Com o = 0,04, voce pode rejeitar a afirma¢o do fabricante de
que no nW<imo IOClb de seus micrO-Olldas precisam de cons~o
durante os 5 primeiros anos de uso? ~dop!Odode
~)
c""'"""'
4. 0 administrador de uma escola estadual diz que o desvio padrao
das piores pontua¢es dos testes. de leitura no SAT t! 113. Uma
amostra ale.it6ria de 14 pontua~Oes crfticas tetn um desvio pa·
drao de 108. Como = O,QI, teste a afirma~o do administrador.
0 que voce pode concluir? Suponha que a populaylo seja no<·
malmente distribuida. (4doprodo de coa.g. BIXXd Odille)
5. Um seivic;o de informa~Oes sobre vagas de etnprego declara que
a mMia salarial anual paia trabalhado<es homens com idade entre 25 e 34, que trabalham pe1iodo integral e tffil nlvel superior,
e de$ 48.718. Em uma amostra ale.it6ria de 12 trabalhadores
que atendem as condi¢es apresentadas, a media salarial anual
edes 47.164 e o desvio padrao edes 6.500. Voce pode rejeitar
a afinnaylo do ~? Use um valor P e o = 0,05. Suponha
que a populaylo seja normalmente distribuida. t,Adaptodo de u.s
CCll$AJS
°"'""')
6. Uma agenda de turismo no Kansas afinna que a media diaria do
custo das refei¢es e acomoda,ao para uma famllia de quatro
pessoas viajando no Estado t! de S 201 . Voce trabalha em um ser·
vic;o de prOleylo ao consumidor e quer testar essa afinnaylo. Em
uma amostra aleatO<ia de 35 famnias de quatro pessoas viajando
no Kansas, a media diaria do cusro das refei(Oes e acornodatao
t! S 216 com um desvio p;idr~ de $ 30. Voce tern evidencia
suficiente para rejetar a afirma~o da agencia? Use um vaio( Pe
o = 0,05. 1,AdoptadodeAmf!lkon~~)
Ed ,e 1naaa
1
(apitulo I
•
Tem1de hip6tfle com
""'"most"
347
Juntando tudo
[statistica real - decisiies reais
Voce trab.llha llO depanamento de rela¢es publicas de uma administra<;ao do segu10 so·
cial. Num esf0<~ para planejar melhores campanhas publicitarias, o departamento decide faze<
uma ~ para descoblir as opiniOes das pessoas nos Estados Unidos soble o sislema de
seguro social. uma das quest6es usadas, os resultados de cada resposta e a idade da pessoa
que respondeu est.Jo ristados na tabela.
Seu departamento accedita que menos de 40% das pessoas nos Estados Unidos espe<a
que o ~o social seja capaz de pagar todos os beneflcios a que elas tern dreito de ac0<do
com a lei vigente. Seu departamento acredita 1ambem que a idade mMia das pessoas nos
Estados Unidos que iriam dizer sim para essa pergunta e60 anos ou mais. Como analista de
pesquisa do departamento, voce deve trab.llhar com os dados e determinar se essas afirma¢es
podem se< apoiadas ou rejeitadas.
www.socialseruity.gov
Quarido se aposemar, voe~ espera
que o segu-o social seja capaz de
pagar todos os beneflcios aos quais
'IOCe tern dueito p0< lei ou nao?
Idade
83
37
[xercicios
dU
1. Como vocelaria?
(a) Que tecnica de amostragem 'IOCe usaria para selecionar a amostra para o estudo? Por
que? Que tecnica de amostragem 'IOCe usaria se quisesse selecionar amostras para 4
grupos de idades: 18-34, 35-44, 45-54 e 55 ou mais?
(b) Que tecnica da parte (a) fornece a~ uma amoslra representativa da populat;.io?
(c) ldentifique posslveis falhas ou !endenciosidades no seu estudo.
2. Testando a propor¢o
Teste a afirma<;ao de que menos de 40% das pessoas nos Estados Unidos espe<am que o
~o social seja capaz de pagar todos os benellcios a que tern direito por lei. Use o = O, 10.
Escreva um paragrafo que interprete a decisao do teste. A decisao apoia a afirma¢o de seu
depanamento?
3. Testando a media
Teste a afirma9lo de que a media da idade das pessoas nos Estados Unidos que dizem sim
paia a pergunta da pesquisa mostr<lda na tabei<J de 60 anos ou mais. Use o a 0, 10 e assuma
que a popula,ao enoonalmeme distribulda. Escreva um parag1afo que interpiete a decisao do
teste. Ha evi&!ncia suficieme para rejeitar a aff~o de seu departamemo?
e
4. Suas conclusoes
Com base em suas analises das respostas para est.l qoestao da pesquisa. o que 'IOCe diria
para seu departamento?
27
27
Sim
"
Sim
Nao
Nio
Nao
Sim
N5n
Nao
Nao
Sim
Sim
Sim
"'A
79
Sim
69
Sin1
66
35
Nao
Sim
Nao
Sim
46
25
30
72
«
47
47
50
76
51
47
29
,.
11
""n
Sim
40
Nao
61
Sin1
Sim
71
18
I
I
0 caso das mulheres desaparecidas
53% • 29% • 9% • 0%
De 1966 a 1968, o Or. Benjamin Spock e outros tentaram conspirar e vioi<Jr o Selective SeMce
Act, encorajando aresist~ncia aguerra do Vietna. Em uma Wiede Ires selet6es. nenhuma mulher foi
selecionada para estar llO juri durante o julgamento do Or. Spock. Em 1969, Hans Zeise! escreveu um
Nao
44
64
MINITAB
MM
Sim
59
30
'fecnologia
Resposta
Sim
Nio
EXCEL
Nao
Nao
Noo
Tl-83,/84 )
Ed ,e 1naaa
1
348 •
btat~tica oplkod•
anigo no The University of Chicago Low Review usando estatfstica e tes1e de hip61eses para argumentar que a seleylo de juri foi tendenciosa contra o Of. Benjamjn Spock. Dr. Spod foi um famoso
pediatra e autor de livros ~e cria¢o de filhos. Mi!Mes de ~es leram seus livros e seguiram seus
conselhos- Zeise! argumentou que, mantendo as mulheres fora do juri, a cone prejudicou o veredito.
0 processo de sei~o do jVri para o j\llgamento do Or. Spock e mostrado a seguir.
Est~gio 1 - 0 secr~rio da Cone Distrital Federal selecionou 350 pessoas "aleatoriamente• do
diretorio da <idade de Boston. 0 diret6rio continha divetsas ce'ltenas de nomes. 53% dos quais eram
mulheres. Enuetanto, apenas 102 das 350 pessoos eram mulheres.
Est~gio 2 - 0 iUzdo julgamento, juiz Ford, selecionou 100 pessoas "aleatoriamente' das 350
pessoas. Esse grupo foi chamado de convocados e continha apenas 9 mulheres.
Est~gio 3 - O secret~rio da cone designou numeios para os membros convocados e, um a um.
foram interrogados pelos advogados de acusa"1o e delesa ate que 12 membros do juri fossem selecionados. Nesse est~gio, somente uma jurada mulher foi interrogada e·ela foi eliminada pela acusai;Ao
sob sua cota de contesta(!!o decis6ria para a qual ele nao deu um motivo.
Exercicios
I. O display MINfTAB a seguir mostra um teste de hip6tese para a afirma~o de que a propor(i!o
de mulheres no diretorio da cidade ede p = 0,53. No teste, n = 350 e ~ = 0,2914. Vore deve
rejeitar a afinna(Ao? Qua! o n~..i de signific.lncia? Ei<plique.
2. No Ei<erdcio I, voce rejeita a afirrna(!!o de que p = 0,53, mas a afirma"1o everdadeira. Que
1ipo de erro eesse?
3. Se~ rejeitar uma afinna(!!o verdadeira com um nlvel de signifKAncia que evirtualmeme zero,
o que podemos inferir sobre a aleatoriedade do piocesso de arnc>stragem?
4. Descreva um teste de hip6tese para a sele<;ao •ateatoria" dos convocados do j\Jiz Ford. Use a
afirma~:
(a)
(b)
(c)
(d)
ESCteva as hip6teses nula e alternativa.
Use a tecnologia para fazer o teste.
Tome uma decis.io.
lnterprete a decis.lo no contexto da afirma"1o original. Asel~ do juiz Ford dos 100 convocados pode ter sido aleat6ria?
MINITAB
l
Test and Confidence Interval for One Proportion
Test of p = D.53 vs p. not= 0.53
Sample
1
x
N
Sample p
102
350
0.291429
99.0% Cl Z-Value
(0.228862. 0.353995) - 8.94
P-Vatue
0.000
Ed ,e 1naaa
1
(•pftulo I
•
l1>1"d' lrip6tnt<oinom"""""
349
Usando tecnologia para efetuar testes de hip6tese
Aqui estoo algumas imagens de MINffAB e da Tl·83/84 para alguns exemplos
n~tP
rnpitulo. Para cfuplir;ir o.<> re.c::ult;idos do MINl'l'AR, vt'K"P.
p~risa
dn.c:: dados ori-
ginais. Para a Tl-83~, voce pode simplesmente adicionar as estatfsticas descritivas.
(Veja Exemplo 5, p. 309)
Dados para investimentos para 30 franquias
$70.700
$69.400
$90.600
$85.500
$97.100
$100.800
$ 114.700
s 119.600
s 136.700
s 151.700
s 167.400
$ '123.600
$127.200
$ 132.000
$138.500
$140.900
$143.900
$ 157.200
$159.800
s 131.200
s 143.300
s 163.000
$168.800
$ 168.800
$159.100
$170.200
$134.400
$ 151.100
$ 169.300
MINITAB
$163.500
Qisplay Descriptive Statistics .. .
St.ore Descriptive Statistics .. .
l
Z-Test of t he Mean
1-Saniµle
Test of mu = 143260 vs mu not = 143260
The assumed sigma = 30000
1-Sample t. ..
&.Sample t. ..
Paired t ...
Variable
N
Mean
St.Dev
SE Mean
z
p
C1
30
135000
30000
5477
-1.51
0.13
Z
1 Proportion ...
2 Prgportions.•.
(Veja Exemplo 4, p. 322)
Dados para pre~s de 14 Honda Pilot LXs
$ 21.200
s21.500
$ 21.700
$22.000
$22.500
s22.700
$22.900
$ 23.200
$23.500
$23.700
$24.000
$24.100
$ 24.300
$ 24.700
MINITAB
Qisplay Descriptive Statistics...
St.ore Descriptive Statistics .. .
l
1.Sameye z; ...
Z-Test of the Mean
Test of mu = 23900 vs mu < 23900
Variable
N
Mean
C1
14
23000
l@fll!f
St.Dev
1113
SE Mean
297
z
-3.03
p
0.005
(Veja Exemplo 2, p. 329)
MINITAB
Test and Confidence Interval for One Proportion
Test of p = 0.45 vs p not = 0.45
X
N
Sample p
1
98
200
0.490000
95.0 % CI
(0.420719. 0.559281)
1 Peoportion .. .
2 PrQportions.. .
Qisplay Descriptive Statistics .. .
Store Desc~tive Statistics ...
l
Sample
a.sample t .. .
Paired t ...
Z-Value P-Value
1.14
0.256
1-Sample z;...
1-8ample t. ..
g.sample t ...
Paired t ...
2 P111portions ...
Ed ,e 1naaa
1
350
•
ls14tbti<• •~llcodo
(Veja Exemplo 9, p. 313)
Tl-83/ 84
EOITCALC
II Z·Test..
(Ver Exemplo 5, p. 323)
l
Tl~3/84
llllB
EOITCALC
Z·Test
lnptOats
µ 0 : 45000
s:
5200
x: 43500
n: 30
l
Z·Test
µ<45000
z= -1.579968916
p= .0570569964
43500
n-=-30
•
z=·1.58
p=.0571
EOITCALC
1:
2:
3:
4:
l
-
T·Test
lnptOats
µ 0 : 6 .8
6 .7
Sx: .24
n: 19
µ:
µD >JJo
Cslculate Draw
•
Tl~3/84
l
T·Test
IJ " 6 .8
t= - 1.816207893
p= .0860316039
x= 6 .7
Sx= .24
n= 19
Tl~3/84
t=-1.8162
p=.086
Z·Test..
T-Test..
2.S.mpZTest.•
2.S.mpTTest ..
1··PropZTest ..
Iii
•
Tl-83/ 84
•
l
1·PropZTest
Po: .2
x; 15
n: 100
prop '"Po Csk:ulate Draw
•
Tl-83/ 84
>Po
l
1·PropZTest
prop< .2
z= -1.25
p• .105649839
•
~= .15
n= 100
•
I
l
•1:1.m•
6: 2.PropZTest..
7 ! ZlntervaL.•
llm <
•
I
Tl~3/84
x:
x=
Tl~3/84
11111
3 : 2-SampZTest..•
4 : 2-SampTTest..
5: 1.PropZTest ..
6: 2·PropZTest ..
7 i Zlnterval. •.
1'¢11 o >IJo
CaJculate Draw
Tl-83/ 84
Tl-83/ 84
l!I
5 : 1-PropZTest..
6 : 2.PropZTest..
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l
l
1: Z·Test..
T·Test ..
2 : T-Test.
3 : 2-SampZTest..
4 : 2.SSmpTTest.,
Tl~3/84
(Veja Exemplo 1, p. 328)
•
Tl·83/ 84 \
z~1 .25
p=.1056
Ed ,e 1naaa
1
Capitulo
l8
-':-I __
Testes de hip6tese com
du~s ~mostr~s
Onde estamos
No Capltulo 6, voce foi apresentado ll estatfstica in·
(oerencial e aprendcu como formar intervalos de confian~a
para estimar um parAmctro. Depois, no Capftulo 7, voct'
aprendeu como testar uma afirma~fo sobre um parAmetro
populacional, basoeando a sua decis.'io na estatistica arnostral
e suas distribuii;Oes.
A Nnlio11nl Yo11tll Tobllca> Survey (NYTS) ~ um estudo
conduzido pelo Ce11tm for OiS<'tlse Control mirl l're-ve11tio11
(Centro para Preveni;ao e Controle de Doen~as) para fornecer informa~6es sobre o uso de produtos derivados de
t.abaco por estudantes. Como partc de um estudo reccntc,
uma amostra aleat6ria de 6.869 estudantes do ensino m~dio
do sexo masculino foi pesquisada. As propor~<ies a soeguir
f()r:un_encontradas.
Estudantes do ensino medio do sexo masrolino (11 = 6.869)
Caracteristica
Fumam cigarros
(ao mcnos um nos
ultimos30 dias)
Frequencia
Proporsio
1.484
0,216
1.264
0,184
680
0.099
l'umam charutos
(ao menos um nos
ultimos 30 dias)
'Usam tabaro
mastigavcl (ao
l'llenos un\a vez nos
ultimos 30 dias)
Para onde vamos
Neste capftulo, voce continuara soeu estudo sobre es1.atistica infcrencial e teste de hip6teses. Agora. no cntanto,
ao inv~ de testar uma hip6tese sobre uma unica popula·
~ao. voci! aprendera como testar uma hip6tese que com para
duas popula~lles.
Por exemplo, no estudo da NYTS, uma amostra alea·
t6ria de 6.869 cstudantes do cnsino m~dio do soexo feminino
tambem foi pesquisada. Aqui estdo as conclusiles para esse
segundo grupo.
Estudantes do ensino medio do sexo feminino (11 = 6.869)
Caracteristica
Fumam cigarros (ao
nH~nos un1
nos Ultimos
Frequencia
Propor~iio
1.497
0,218
522
0,076
82
0.012
30 dias)
foumam charutos (ao
n'cnos un\ nos Ultin'os
30dias)
Usan1 tabaco
n1astig3vel (ao n1cnos
uma VC't nos Ultin1os
30dias)
Com base neslas duas amostras, voci! pode concluir
quc existe uma propor~o significativamente maior de cstu·
dantes quc fumam cigarros, charutos ou usam tabaco masti·
gavel enlre cstudantes do soexo masculino do que entre eslu·
dantes do scxo feminino? Ou as diferen,.,s nas propor~<ies
podenl ser ao acaso?
Neste caprtulo, voe~ aprendera que pode responder a
essas perguntas testando a hipelese de que as duas propor·
~oes sao tguais. rara a propor~ao dos estudantes que us.1m
tabaco mastigavel, por exemplo, o valor I' para a hip6tese de
que p, = p, e de cerca de 0,0000. Entlio, equase impossfvel
que dois grupos que us.11n tabaco mastigavel tenham experimentado a mesma propor~~o.
Ed ,e 1naaa
1
352 •
lit•tktico •pli<oda
DI
0 que voce
Amostras dependentes e independentes -+ Uma descri~ao geral do teste de hipotese
de duas amostras -+ Teste z de duas amostras para a diferen~a entre as medias
deve aprender
• Como de<idir se duas amostras
sao independentes ou dependentes.
introd~ ao teste de h~
p6tese de duas amostras para a
• Uma
<fife<en(a entre dois
parame~os
populacionais.
• C0010 realizar um teste z de duas
amostras para a dife1erw;a en~e
duas medias 1~ eIt., usando amos~ giandes e inde~tes.
Amostr.is independentes
•
•
• ••
•
•
•
• •
•
An1os1ra 2
An1osrra I
Amostras dependenles
.-
. ~· -- --~
·-
Arnostra I
---- . .
.....
-- --·
An1ostra 2
Testando a diferen~a entre as medias
(amostras grandes e independentes)
I
Amostras dependentes e independentes
No Capftulo 7, voceestudou metodos para testar uma afirma,aosobre o valor de
um paramctro populacioMI. Neste capftulo, voce aprenden\ como testar uma afirma·
~o comparando parametros de duas popula¢es. Quando voe\\ compara as medias de
duas popula¢esdiferentes, o metodo usado tanto para amostrar como para dimensionar a amostra dctermioar6 o ti po de teste que voce utilizar~.
efinicao
Duas amosuas sao independentes se a amostra selecionada de uma das popula¢es nao e
relacionada aamostra selecionada da segunda popula,ao. Duas amostras sao dependentes se
cada membro de uma amostra corresponde a um membro da outra amostra. Amostras dependentes tambem sao chamadas de amostras emparelhadas ou amostras relacionadas.
Exemplo
m
Amostras dependentes e independentes
Classifique cad a par de amostras como independente ou dependente e justifique
sua resposta.
1. Amostra I: Ritmo cardfaco em descanso de 35 indivfduos antes de tomar cafe.
Amostra 2: Ritmo cardiaco em descanso dos mesmos individuos depois de beber
duas xrcaras de cafe.
2. Amostra 1: Nola de teste para 35 estudantes de Estatistica.
Amostra 2: Nola de teste para 42 estudantes de Biologia que nao estudam Estatistica.
Solrrftio
1. As amostras sao dependentes. )a que o ritmo cardfaco em descanso dos mesmos
individuos Cnnalh::ndo, as '1n1oztros s..1.o rc-lacionnda:;. 1\s a1nootr'a$ podcm z.cr c1nparc-
lhadas em relao;.'lo a cada individuo.
2. As amostras sao independentes. Nao epossivel formar uma relao;.'io entre os membros das amostras; os tarnanhos das amostras sao diferentes e os dados representam
notas de teste para diferentes indivfduos.
Oassifique cada par de amostras como independente ou dependente.
1. Amostra 1: Altura de 27 mulheres adultas.
Amostra 2: Altura de 27 homens adultos.
2. Amostra 1: Nota de teste bimestral de 14 estudantes de Quimica.
Amostra 2: Nota de prova final dos mesmos 14 estudantes de Qufmica.
Determine seas amostras sao independentes ou dependentes.
Ed ,e 1naaa
1
('lftulo 8
I
Uma descri!liO geral do teste de hipotese de duas amostras
Nesta se~ao, voce aprenderc\ romo testar un1a afirma~ao comparando as intMias
de duas populai;oes diferentes usando amostras independentes.
ror exemplo, suponha que voce esteja desenvolvendo um piano de marketing
para um provedordeservi~ode lnternetequeira detcrminarseM uma diferen~aentrea
quantidade de tempo que estudantes universitarios do sexo masculino e feminino pass.am conectadoscada dia.A unica maneira com aqua Ivoce podeconcluircom certeza que
ha uma difercn~a ~ fazendo um ccnsode todos os estudantes univcrsitarios, calculando
a media diaria de vezes que estudantes do sexo masculino e do sexo feminino passam
cone<tados e encontrando a diferen~. Com certeza, n~e> ~ pr<ltico fazer esse censo. No
entanto, voce ainda podc dcterminar com al gum grau de ccrteza sc tal difercn~a existe.
Ve>c~ pode come.;ar assuminde> que nae> ha diferen~ na media das duas populai;oes. lsto ~. µ 1-11, = 0. Ent~o, retirando-se uma amostra aleat6ria de cada popula~iio, e usando o resultado da estatistica de teste de duas amostras x, - x, voce pode
desempenhar um teste de hip6tese de dua~ amostras. Suponha que vo~ obtenha os
S<>guintes resultados:
Popu l a~lio de cstudantes
univcrsit6rios do
_..---.._
scxo 1nasculino
Popula~ao de es1udan1es
univcrsit;.\rios do
_,.---.._
scxo fc1ninino
Amosrra
X1:: 35 n1in
X,, = 31n1in
12 inin
"2 = 125
s;=
s1 = I I 1ni11
= 100
"1
An10Stra
-x,
0 grafico a seguir mostra a distribui\<io amostral de x,
para muitas ame>stras
sirnilares retiradas de cada popula~e>, sob a suposi~ao de que 1•, -11, = 0. Pelo grafico,
voce pode ver que ebem improv~vel obter medias amostrais que difiram por 4 rninutos sea difercn~a real e0. A difercn~a de medias ame>strais seria mais de 2,5 erros padrees da diferen~a hipotetica de O! Entae>, voce pode conduir que existe uma diferen~a
significativa na quantidade de tempo que estudantes universitarios do sexo masculino
e de> sexo feminino passam conectados por dia.
Oistribui~iio amostral
Estalfstica do tesre:= X1 - X2 = 35 - 3 1• 4
I - X:
_.,_<;:,'-!f!-4----11-;..I-1-1--+l-'10-+-:i- 4 - .l - :? _ , ()
l
3 " s
Oifcr~n~a n:lS mtdias ::unos1rois (cm 11\inu1os)
-s
~-1----1---1--+--1---1--,, -f"'
..3
-2
-I
0
I
Z
1
Estatistica do tcstc pa<lroni1.3do
:
3
f irnportante lembrarquequando vocedesempenha urn testede hip6tesede duas
amostras usande> amostras independentes, voceesta testando uma afirm~ao a respeito
da diforen~ de parametros em duns popula~Oes, nao Q valor dos pr6prios parametros.
efinitao
Para um teste de hip6tese de duas arnoslras mm amQStras independentes,
1. Ahip6tese nu/a H0 e urna hip6tese estatlstica que ge<almente diz que nao ha dife·
r~ entre os par3mettOS de duas popu13'oes. A hip6tese nula sempre ce>nt~ e>
sfmbolo $, = ou 2:.
•
leitr> dt hip61t1tcom 6'0Hm111u•s
353
lmportante
Amostras dependentes freq1tentemente envolvem duplas id~nticas, antes e depois
de resultados para a mesma
pESS03 e>u objete>, ou resultados de combinai;oes individuais para caracterfsticas
especificas.
lmportante
Os membros nas duas ainostras niio sae> relacionados ou
agrupados, entao as amostras sao independentes.
Ed ,e 1naaa
1
354 • r...1r11icaapl1c..ia
e uma hip6tese estatlstica que everdadeira quando H0 e
falso. Ahip6tese alternativa cootem o simbolo >. ,, ou <.
2. Ahip6tese oltemotiva H,
Dica de estudo
Voce tambem pode escrever
as hip6teses nula e alternatiVd con10 a seguir.
H. :µ 1 -µ., =0
{ H, :µ 1 -µ,"'0
H. :µ 1 - µ 2 :$0
{ H, :µ 1 -µ.,> 0
Para escrever uma hip6tese nula e uma hip6tese alternativa para um teste de
hip6tese de duas amostras con1 amostras independentes, traduza a afirma~iio (eita
sobre o parametro populacional de uma afirma~ilo verbal para uma equa~ilo matematica. Por exemplo, sea afinna~.io e sobre dois parametros populacionais 11, el',, entao
alguns pares de hip6teses nutas e alternativas siio:
H, :µ, ?. µ,
e {
.
H, :µ, <µ.,
H, :µ 1 - µ, ?. 0
{ H, :µ 1 -µ 1 <0
lndependentemente de cada hip6tese que voce usar, voce sempre presumira que
nao existe difere1wa entre a mo!dia populacional, ou 11.1 = 11,-
I
Teste z de duas amostras para a diferen~a entre medias
No restante desta ~l'io, voce aprendera como desem penhar um teste para a dientre duas mo!dias populacionais µ 1 e 11,. "li'es oondi~Oes &io necessarias para
desempenhar tal teste.
1. As amostras dcvem ser selecionadas aleatoriamcnte.
2. As amostras devem ser independentes.
3. Cada tamanho de amostra deve ser pelo menos 30-ou, se nao, cada popula~ao
deve ter uma distribui<;iio nonnal com um desvio padrao conhecido.
Se esses requisitos silo alcan91dos, ent~o a distribui~ao amostral para x, - x,
(a diferenra media das amostras) euma distribui~ao normal com media e erro padrao
como a seguir.
feren~a
Distribui~ao
amostral
Empalavras
para x.-x2
Emsimbolos
A nl&lia da diferen\a da n1&fia amostral e
a difercn~.a prcsu.n1ida cntre as duas n16dias
populacionais. Quando nenhuma difcren~ ~
presumida, a mMia e0.
= l'X
1-
/'-i:
= Jt, - µ 2
A variiinci• de distribui1"30 amostral ~a soma
das vari~ncias das distribui~ies amostrais
indi\!iduais para x,- X2• O erro padraoea
r.1iz quadrada da son1a das variancias.
J~ que a distribui<;iio amostral para x, - x, e uma distribui(ao normal, voci! pode
usar o teste z para testar a diferen•;a entre duas mMias populacionais 11, e 11,. Note que
a esta!lstica de teste padronizado tern a forma de:
z=
(Difere1wa observada) - (Diferen~a hipotetica)
.
Erro padrao
lste z de duas amostras para a diferen{a entre medias
Um teste z de duas amostras pode ser uS3do para testar a diferenyl entre duas medias populacionais 1•, e 112 quando uma grande amostra (ao menos 30) eselecionada aleatoriamente
Ed ,e 1naaa
1
(•pft1lo8
de cada popul~o e as amostras sao independentes. Aestatfstica de teste ex,- x2 e teste
estatistico normal e:
QuandoasamostrassJo grandes, voce pode usar s, es, no lugardea, ea,. Seasamoslfas nao
sao grandes, voce ainda pode usar um teste z de duas amostras, contanto que as popul3'6es
sejam distribuidas nonnalmente e os desvios padr6es populacionais sejam conhecidos.
Se a hip6tese nula diz 11-, = ,,, , 11, :5 I', ou 111 ?: 11,, entao presume·se que ''•= It,
ea expresS<io ,,, - ,,, eigual a 0 no teste anterior.
•
le!tr1lt hip6te<ecomd1141amo111«
·
355
Retratando o mundo
Existem cerca 23.600 Cuneio·
narios lederais civis traba·
lhando em Michigan e cerca
de 25.100 em Massachusetts.
Em uma pesquisa, 200 fun·
cionRrios federais e1n cada
estado foram perguntados
sobre seus salaries. Os resul·
tados s.' o mostrados a seguir.
IMa11rol.<• dt llliitrd Sint" Offer< o1f
Prr!{lrtnd 1\la111~1;r11t.)
lnstru(oes
{
30
US<Jndo um teste zde duas amostras para a diferen'a entre medias (amostras
qrandes e independentes)
Em palavras
rejeitar a hip6tese nula.
8. lnterprete a decis.io no conte.xto da afirma~o original.
Se zesta naarea derejei~, rejeite H~
Do conh:<lrio, falhe em rejeilar H.·
Um teste de hip6tese para a diferen~a entre medias tambem pode ser efetuado
"sando valores P. Use as mesmas instru<;lles adma, pulando as etapas 4 e 5. Dep