REZISTENŢA
MATERIALELOR
Cuprins
Capitolul 1. PROBLEME ALE REZISTENTEI MATERIALELOR
1.1. Obiectul si problemele rezistentei materialelor
1.2. Terminologie
1.3. Clasificarea corpurilor în rezistenta materialelor
1.4. Ipoteze de baza ale rezistentei materialelor
1.5. Siguranta în functionare. Coeficienti de siguranta. Rezistente admisibile
1.5.1. Conditii de rezistenta
1.5.2. Conditii de rigiditate
1.5.3. Conditii de stabilitate
Capitolul 2. FORTE EXTERIOARE SI FORTE INTERIOARE
2.1. Forte exterioare. Clasificare
2.2. Reactiuni
2.3. Forte interioare
2.4. Functii de eforturi
2.5. Relatii diferentiale între sarcini si eforturi
2.6. Reguli practice pentru trasarea diagramelor de eforturi
2.7. Diagrame de eforturi
2.7.1. Bare drepte solicitate de forte axiale
2.7.2. Bara (grinda) dreapta solicitata la încovoiere
2.7.2.1. Bara în consola
2.7.2.2. Bara simplu rezemata
2.7.3. Diagrame de eforturi la arbori
2.7.4. Diagrame de eforturi la bare curbe
Capitolul 3. NOTIUNI GENERALE DE TEORIA ELASTICITATII
3.1. Introducere
3.2. Tensiuni
3.3. Tensiuni pe un element de volum
3.4. Starea plana de tensiune. Variatia tensiunilor în jurul unui punct
3.5. Cercul lui Mohr pentru starea plana de tensiune
3.6. Cazuri particulare ale starii plane de tensiune
3.6.1. Starea liniara de tensiune
3.6.2. Forfecarea pura
3.7. Analiza starii generale de tensiune
3.8. Cercul lui Mohr pentru starea spatiala de tensiune
3.9. Cazuri particulare ale starii spatiale de tensiune
3.9.1 Tensiuni în planuri bisectoare
3.9.2. Tensiuni octaedrice
3.9.3. Tensorul sferic si deviatorul
3.10. Variatia tensiunilor dintr-un corp. Ecuatiile de echilibru
3.11. Deformatii si deplasari
3.12. Analiza starii de deformatie
3.13. Cercul lui Mohr pentru starea plana de deformatie
3.14. Masurarea deformatiilor
3.15. Utilizarea cercului lui Mohr pentru analiza deformatiilor
3.16. Analiza starii spatiale de deformatie
3.17. Deplasari
3.18. Relatii între deplasari si deformatii
3.19. Ecuatiile de continuitate a deformatilor
Capitolul 4. COMPORTAREA MECANICA A ELEMENTELOR DE REZISTENTA
4.1. Aspectul fizic
4.2. Incercarea la tractiune
4.2.1. Epruveta
4.2.2. Masina de încercari mecanice si aparate de masura
4.2.3. Diagrama încercarii la tractiune
4.3. Caracteristicile elastice si mecanice ale materialelor
4.4. Diferite forme de curbe caracteristice
4.4.1. Curba caracteristica conventionala
4.4.2. Curba caracteristica a otelului la compresiune
4.4.3. Curba caracteristica a otelului la rasucire
4.4.4. Curbe caracteristice la materiale care nu asculta de legea lui Hooke
4.5. Expresii analitice pentru curba caracteristica idealizata
4.6. Legea generalizata a lui Hooke
4.7. Relatia dintre constantele elastice
4.8. Energia de conformatie
Capitolul 5. MARIMI GEOMETRICE ALE SECTIUNILOR
5.1. Notiuni generale
5.2. Aria sectiunii
5.3. Momente statice
5.4. Momente de inertie
5.4.1. Relatii de definitie
5.4.2. Variatia momentelor de inertie fata de axe paralele
5.4.3. Momentele de inertie fata de axele rotite
5.5. Aplicatii
5.5.1.Momentele de inertie centrale ale unui dreptunghi
5.5.2. Momentele de inertie centrale ale sectiunii circulare
5.5.3. Sectiunea inelara sau coroana circulara
5.5.4. Sectiunea compusa din doua dreptunghiuri având axa Oy axa de simetrie
5.5.5. Momentele de inertie principale pentru o sectiune compusa oarecare
5.6. Raze de inertie
5.7. Module de rezistenta
Capitolul 6. SOLICITARI AXIALE
6.1. Tensiuni si deformatii
6.2. Calculul de rezistenta la întindere - compresiune
6.3. Bare cu variatie de sectiune. Sectiune periculoasa
6.4. Calculul barelor verticale luând în considerare greutatea proprie
6.5. Presiune de contact
6.5.1. Suprafata plana în contact
6.5.2. Suprafete cilindrice în contact
6.5.3. Suprafete mici în contact
6.6. Sisteme de bara static nedeterminate
6.6.1. Notiuni generale
6.6.2. Bare având deformatiile împiedicate de legaturi
6.6.3. Bare cu eforturi initiale
6.6.4. Bare cu sectiuni neomogene
6.6.5. Eforturi datorita dilatarilor împiedicate
6.7. Solicitari axiale în domeniul plastic
Capitolul 7. FORFECAREA
7.1. Forfecarea în piesele de sectiune îngusta
7.2. Notiuni generale despre îmbinari
7.3. Îmbinari cu pene transversale
7.4. Imbinari prin nituri
7.5. Îmbinari prin sudura
Capitolul 8. RASUCIREA BARELOR DREPTE
8.1. Generalitati
8.2. Rasucirea barelor drepte de sectiune circulara
8.3. Calculul de rezistenta al barelor de sectiune circulara
8.4.Energia de deformatie la rasucirea barelor de sectiune circulara
8.5. Calculul arcurilor elicoidale cu pas mic
8.6. Rasucirea barelor de sectiune dreptunghiulara
8.7. Rasucirea profilelor cu pereti subtiri, deschise
8.8. Rasucirea barelor cu pereti subtiri închise
8.9. Generalizarea relatiilor de calcul la rasucire
8.10. Rasucirea barelor cu pereti subtiri cu sectiuni dublu conexe
8.11. Bare de sectiune circulara solicitate elasto - plastic
Capitolul 9. ÎNCOVOIEREA BARELOR DREPTE SI CURBE
9.1. Introducere
9.2. Tensiuni si deformatii în bare drepte solicitate la încovoiere pura
9.3. Calculul de rezistenta la încovoiere
9.4. Forme rationale de sectiuni pentru încovoiere
9.5.Tensiuni tangentiale în sectiunile transversale ale barelor (grinzilor) solicitate la încovoiere simpla
9.6. Variatia tensiunilor tangentiale la diferite sectiuni
9.7. Distributia tensiunilor tangentiale ?xz
9.8 Distributia tensiunilor ? la un profil cu o singura axa de simetrie. Centru de încovoiere
9.9. Lunecarea longitudinala si împiedicarea ei
9.10. Bare de egala rezistenta solicitate la încovoiere simpla
9.10.1. Bare de sectiune circulara
9.10.2. Bare de sectiune dreptunghiulara
9.11. Încovoiere oblica
9.12. Încovoiere strânba
9.13.Tensiuni în bare curbe plane
9.13.1. Tensiuni si deformatii
9.13.2. Pozitia axei neutre
9.14. Încovoierea barelor (grinilor) de sectiune neomogena
9.15. Calculul de rezistenta al barelor drepte la încovoiere în domeniul plastic
Capitolul 10. SOLICITARI COMPUSE
10.1. Notiuni introductive
10.2. Starea limita
10.3. Tensiunea echivalenta
10.4. Teoriile clasice de rezistenta
10.4.1. Teoria tensiunii normale maxime
10.4.2. Teoria alungirii specifice maxime
10.4.3. Teoria tensiunii,, tangentiale maxime
10.4.4. Teoria energiei totale de deformatie
10.4.5. Teoria energiei specifice de variatie a formei
10.5. Particularitati ale teoriilor de rezistenta
10.5.1. Starea plana de tensiune
10.5.2. Aplicarea teoriilor de rezistenta la bare
10.5.3. Aplicarea teoriilor de rezistenta la starea de forfecare pura
10.6. Criterii de alegere a teoriilor de rezistenta
10.7. Calculul de rezistenta al barelor supuse la solicitari compuse
10.7.1. Intindere sau compresiune excentrica
10.7.2. Calculul de rezistenta al arborilor de sectiune circulara si inelara solicitati la încovoiere si
rasucire
10.7.3. Calculul de rezistenta al barelor de sectiune oarecare supuse unor solicitari compuse
ANEXE
Anexa 1. Rezistente admisibile
Anexa 1a. Rezistente de calcul la stare limita
Anexa 2. Valorile constantelor E, G, ? si ?
Anexa 3. Coeficientii de siguranta
Anexa 4. Marimi geometrice ale sectiunilor
Anexa 5. Presiunea de contact
Anexa 6. Caracteristici geometrice la rasucire
Anexa 7. Otel I
Anexa 8. Otel cornier cu aripi egale
Anexa 9. Otel cornier cu aripi neegale
Anexa 10. Otel U
Anexa 11. Otel T si Z
BIBLIOGRAFIE
1. PROBLEMELE REZISTENŢEI MATERIALELOR
1.1. Obiectul şi problemele rezistenţei materialelor
Rezistenţa materialelor este o disciplină de cultură tehnică generală, situată între
ştiinţele fizico-matematice şi disciplinele de specialitate ale inginerului. Ea este o continuare
logică a mecanicii teoretice, o dezvoltare a acesteia prin introducerea în calcule a
caracteristicilor mecanice şi elastice ale materialelor .
Rezistenţa materialelor are ca obiect stabilirea metodelor şi procedeelor de calcul
ale eforturilor, tensiunilor şi deformaţiilor ce apar în diferite puncte ale elementelor de
rezistenţă, când asupra acestora acţionează forţe, precum şi stabilirea şi utilizarea
relaţiilor dintre eforturi şi dimensiunile secţiunii.
Rezolvarea problemelor în cadrul rezistenţei materialelor are în vedere următoarele
trei aspecte :
I. aspectul static, prin care se stabilesc, pe baza legilor mecanicii, relaţii între forţele
exterioare şi eforturi (forţe interioare) şi respectiv relaţii între eforturi şi tensiuni;
II. aspectul geometric, prin care se analizează deformaţiile corpului sub acţiunea
sarcinilor;
III. aspectul fizic, prin care se determină pe cale experimentală relaţiile de legătură
(legile) dintre forţe şi deformaţii, precum şi caracteristicile mecanico-elastice ale
materialului respectiv.
Rezistenţa materialelor rezolvă următoarele trei categorii de probleme:
a) probleme de verificare, prin care se determină dacă un element de rezistenţă cu
anumite dimensiuni îndeplineşte sau nu, sub acţiunea forţelor, condiţiile de
rezistenţă, rigiditate şi stabilitate;
b) probleme de calcul a sarcinii capabile, prin care, cunoscându-se materialul şi
caracteristicile sale mecanice şi elastice, dimensiunile şi modul de solicitare ale
elementului de rezistenţă, se determină valoarea sarcinilor pe care le poate suporta.
c) probleme de dimensionare, prin care se stabilesc dimensiunile optime ale pieselor
proiectate.
Fiecare din aceste probleme se rezolvă printr-un calcul de rezistenţă. La baza
calculului de rezistenţă stau două criterii:
I. de bună funcţionare, ceea ce presupune asigurarea la piesa proiectată a:
a) - rezistenţei;
b) - rigidităţii;
c) - stabilităţii.
II. de eficienţă, care urmăreşte ca piesa proiectată să reprezinte soluţia cea mai
economică posibilă în privinţa consumului de material şi de manoperă.
Din aceste două criterii se observă întrepătrunderea tehnicului (criteriul unu) cu
economicul (al doilea criteriu). Pentru ca un calcul de rezistenţă să poată fi considerat
corespunzător trebuie ca acesta să îndeplinească simultan cele două criterii.
Primul criteriu presupune:
a) Fiecare element de rezistenţă al unui ansamblu trebuie să reziste tuturor
solicitărilor ce apar în acesta pe toată durata de exploatare şi de aceea condiţia de
rezistenţă se impune prima. În acest scop în Rezistenţa materialelor se învaţă cum
să se aleagă materialul corespunzător, forma secţiunii cea mai avantajoasă şi
se stabilesc relaţii între secţiunea transversală şi solicitări, în aşa fel ca la
solicitările maxime, eforturile care apar în secţiunea respectivului element de
rezistenţă să fie inferioară celei ce produce ruperea.
b) Condiţia de rigiditate impune valori limită pe care să le atingă deformaţiile
elementelor de rezistenţă ale unui ansamblu în timpul solicitării maxime, în
exploatare. De aceea Rezistenţa materialelor stabileşte relaţii între secţiunea
transversală a corpului şi deformaţiile ce apar datorită acţiunii forţelor şi ele servesc
la calculul de rezistenţă (verificare, calculul capacităţii de încărcare şi
dimensionare). Capacitatea corpurilor de a avea deformaţii mici sub acţiunea
forţelor se numeşte rigiditate.
c) Condiţia de stabilitate impune menţinerea formei iniţiale de echilibru stabil al
elementului de rezistenţă, sub acţiunea forţelor. De multe ori în practică apar cazuri
când dimensiunile elementului de rezistenţă satisfac condiţiile de rezistenţă şi
rigiditate impuse pentru solicitarea maximă, însă la forţe inferioare îşi pierd
stabilitatea formei iniţiale de echilibru. Fenomenul se manifestă prin apariţia bruscă
a unei deformaţii foarte mari care poate duce, adesea, la ruperea respectivului
element de rezistenţă şi distrugerea întregii construcţii.
Exemplul clasic de pierderea stabilităţii formei de echilibru este cazul unei bare drepte
lungi şi subţiri (zvelte) comprimate. Pentru forţe mici bara îşi păstrează forma rectilinie.
Dacă se măreşte forţa, la o anumită valoare a acesteia, bara se încovoaie brusc, putând să se
rupă. Fenomenul este cunoscut sub numele de flambaj la compresiune sau pierderea
stabilităţii, iar forţa la care a avut loc fenomenul se numeşte forţă critică de flambaj.
1.2. Terminologie
Rezistenţa materialelor utilizează noţiuni specifice ale altor discipline cum ar fi
matematica, fizica, mecanica, tehnologia materialelor etc, dar şi simboluri şi noţiuni
proprii. În ţara noastră sunt o serie de standarde care definesc noţiunile rezistenţei
materialelor dintre care menţionăm:
STAS 1963-83
- Rezistenţa materialelor. Terminologie şi simboluri;
STAS
- Tensometrie. Terminologie;
8147-86
SR EN 1002-1: 1994 - Materiale metalice. Încercarea la tracţiune. Partea 1.
SR EN 1002-2 : 1994 - Materiale metalice. Încercarea la tracţiune. Partea 2.
Determinarea caracteristicilor elastice.
STAS 10108 / 0,1,3 -78 - Calculul elementelor din oţel.
S-au amintit doar câteva din standarde pentru a sublinia că terminologia,
simbolurile şi noţiunile utilizate în Rezistenţa materialelor sunt reglementate şi
utilizarea acestora este obligatorie. Terminologia specifică se va introduce progresiv,
pe parcursul cursului şi se va repeta, ceea ce va uşura asimilarea ei.
1.3. Clasificarea corpurilor în rezistenţa materialelor
Din totalitatea caracteristicilor elementelor de rezistenţă, în Rezistenţa
materialelor, se reţin numai acele caracteristici necesare calculului de rezistenţă
făcând abstracţie de celelalte. În acest scop corpurile se schematizează în modele
matematice ce au anumite caracteristici mecanice şi elastice. Ca urmare, corpurile
se vor încadra în următoarele cinci modele: fir, bară, membrană, placă şi bloc. Prin
aceste modele Rezistenţa materialelor schematizează, printr-o metodă de calcul,
numeroase organe de maşini şi elemente de construcţii şi deci, calculul de rezistenţă
are o largă generalizare.
În raport cu geometria lor, corpurile se împart în trei grupe:
a) Corpurile cu fibră medie, cele ce au una din dimensiuni, lungimea, mult
mai mare decât celelalte două, lăţimea şi grosimea. Ele se definesc prin:
- axa longitudinală - ce poate fi dreaptă, curbă, linie frântă, etc.
- secţiunea transversală - ce poate fi constantă sau variabilă în lungul axei
longitudinale.
Din această grupă fac parte:
- firele- care pot fi solicitate numai la întindere şi nu opun practic nici o
rezistenţă solicitărilor transversale sau de compresiune;
- barele - care rezistă atât la solicitări axiale cât şi transversale.
După destinaţie şi modul de solicitare barele poartă diferite denumiri
specifice: tiranţi - când sunt solicitate la întindere, stâlpi - când sunt
solicitate la compresiune, grinzi - când sunt solicitate la încovoiere,
arbori - când sunt solicitate, în special, la torsiune.
Prin fibră medie sau axă se înţelege locul geometric al centrelor de
greutate al secţiunilor plane normale, pe axa barei (sau a firului), iar prin
secţiune normală, secţiunea plană perpendiculară pe axă.
b) Corpurile cu suprafaţă mediană au una din dimensiuni - grosimea - relativ
mică în raport cu celelalte două - lăţimea şi lungimea -. Din această grupă fac
parte membranele şi plăcile.
- Membranele, ce au grosimea foarte mică, nu rezistă la sarcini
transversale sau de compresiune ci numai la sarcini de întindere.
- Plăcile, plane sau curbe, pot prelua şi sarcini transversale şi de
compresiune.
Exemple de plăci : capace şi pereţi de rezervoare, cupole, planşee, etc. iar
de membrane: pînza de cort, membrane amortizoare etc.
c) Blocuri sau corpuri masive , care au dimensiunile de acelaşi ordin de
mărime. Exemple : bilele şi rolele de rulment, blocurile de fundaţii, etc.
Calculele de rezistenţă diferă de la o grupă la alta, ele fiind cele mai simple la
fire şi la bare drepte, cresc în complexitate la barele curbe şi cadre, devenind deosebit
de complicate la plăci şi blocuri.
Rezistenţa materialelor prezintă modul de determinare a eforturilor, tensiunilor
şi deformaţiilor în cele mai simple şi des utilizate corpuri şi din acest motiv studiul
barei drepte, de secţiune constantă sau variabilă, formează baza şi este tratată în cea
mai mare parte din curs.
Modelul unei bare drepte (fig. 1.1,a) se schematizează ca în fig. 1.1,b. Astfel,
modelul barei conţine axa barei, de lungime L trasată cu linie groasă în figură şi
secţiunea transversală, dreptunghiulară în acest caz, de lăţime b şi înălţime h.
Sistemul de axe ataşat modelului, este un sistem triortogonal drept cu axa
Ox -axa barei şi sistemul yOz, axele centrale principale ale secţiunii.
În general toate aceste modele se pot numi elemente de rezistenţă. În cele ce
urmează, pentru noţiunea generală de element de rezistenţă se va folosi simbolul ER
pentru forma singular şi (ER) pentru forma plural.
Fig. 1.1
Un element de rezistenţă poate fi confecţionat din diferite materiale şi cu diferite
dimensiuni. Comportarea (ER) la acţiunea sarcinilor depinde atît de dimensiunile şi
forma secţiunii transversale, cât şi de anumite caracteristici mecanice şi elastice ale
materialului.
Rezolvarea problemelor de rezistenţă implică utilizarea atât a dimensiunilor
geometrice cât şi modul de încărcare, caracteristicile elastice şi mecanice ale
materialului fiecărui ER.
1.4. Ipoteze de bază ale rezistenţei materialelor
Pentru a putea stabili relaţiile de calcul simple, în Rezistenţa materialelor se
folosesc anumite ipoteze referitoare atât la structura materialelor cât şi la comportarea
lor sub acţiunea sarcinilor aplicate. Aceste ipoteze sunt uneori în concordanţă cu
realitatea, iar alteori ele reprezintă simplificări ale fenomenelor reale, care duc la
rezultate verificate experimental şi deci acceptabile pentru scopul rezistenţei
materialelor.
Ipotezele de mai jos sunt de bază şi în afară de acestea s-au făcut sau se vor mai
face şi alte ipoteze specifice în anumite capitole. Ca primă ipoteză expusă a fost
schematizarea corpurilor în fire, bare, membrane, plăci şi blocuri.
Ipotezele de bază ale rezistenţei materialelor sunt :
I. Ipoteza mediului continuu, prin care se admite că materialul ER se consideră
un mediu continuu ce ocupă întregul spaţiu delimitat de volumul său. Această
ipoteză corespunde satisfăcător materialelor amorfe dar nu corespunde realităţii la
cele cristaline. Ipoteza este necesară intrucât mărimile din rezistenţa materialelor,
cum sunt tensiunile, deplasările, deformaţiile, etc. pot fi scrise ca funcţii continue de
punct şi nu ca funcţii discrete specifice pentru fiecare cristal sau particulă, permiţând
folosirea calculului şi metodelor analizei matematice .
II. Ipoteza mediului omogen, prin care se admite că materialul ER are în toate
punctele din volumul său aceleaşi mărimi fizice . Nici această ipoteză nu concordă
în totalitate cu realitatea în special în cazul betonului, lemnului şi chiar al metalelor.
Astfel, la metale prin diverse tratamente termice sau mecanice se creează cruste dure
şi caracteristici mecanice diferite de ale miezului.
III. Ipoteza izotropiei. Materialele se consideră izotrope când au pe toate
direcţiile aceleaşi caracteristici elastice E, G şi ν. În caz contrar materialele se
consideră anizotrope. În rezistenţa materialelor, toate materialele se consideră
izotrope.
IV. Ipoteza elasticităţii perfecte. Dacă tensiunile nu depăşeşc anumite valori
limită, materialele utilizate de ingineri se consideră perfect elastice. Cea ce
înseamnă că deformaţiile produse de sarcini se anulează odată cu anularea sarcinilor.
V. Ipoteza proporţionalităţii între tensiuni şi deformaţii specifice. Pentru
solicitări în domeniul elastic se consideră că între tensiuni şi deformaţii specifice
există o relaţie liniară, adică este valabilă legea lui Hooke.
VI. Ipoteza deplasărilor mici. În afară de unele excepţii, în Rezistenţa materialelor
se consideră că deformaţiile ER sunt foarte mici în raport cu dimensiunile
acestuia. Ipoteza este foarte importantă întrucât ecuaţiile de echilibru static se pot
scrie raportând forţele la starea iniţială nedeformată a ER. Tot pe baza acestei
ipoteze, în calculele analitice, termenii ce conţin deformaţii specifice sau deplasări
la puteri superioare se pot neglija în raport cu termenii la puterea întâi (teoria de
ordinul întâi).
VII. Ipoteza proporţionalităţii dintre deformaţii specifice şi deplasări. În
domeniul elastic se consideră că între deformaţiile specifice şi deplasări există o
relaţie liniară. Ipoteza este o consecinţă a ipotezei deformaţiilor mici.
VIII. Ipoteza secţiunilor plane (Bernoulli). Secţiunile plane şi normale pe axa
barei rămân plane şi normale şi după deformarea produsă de sarcini. Această
ipoteză se verifică experimental pe conturul barelor şi se admite valabilă şi în
interiorul acestora.
Astfel în cazul barei din figura 1.2-a, supusă la întindere, secţiunea BC se deplasează
în B~C~ dar rămâne plană şi normală pe axa barei. La fel pentru bara din figura 1.2-b
supusă la încovoiere secţiunea AB se deplasează şi se roteşte în poziţia B~C~, dar
rămâne plană şi normală pe axa barei.
IX. Principiul lui Saint-Venant. Dacă se înlocuiesc forţele care acţionează pe o
porţiune mică a ER cu un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere
static cu primul, noua distribuţie a forţelor produce în locul de aplicare
diferenţe apreciabile faţă de prima dar rămâne fără efect, sau cu efect neglijabil,
la distanţe mari de locul de aplicare a forţelor.
X.
Principiul suprapunerii efectelor. Prin aplicarea unei sarcini asupra unui
ER până la limita prescrisă de proporţionalitate a materialului, eforturile,
tensiunile, deformaţiile şi deplasările ce se produc în ER depind exclusiv de
mărimea acelei sarcini şi nu sunt influenţate de efectele altor sarcini aplicate
anterior sau concomitent. Acest principiu este o consecinţă a legii lui Hooke
(deformaţiile sunt proporţionale cu sarcinile) şi a ipotezei deformaţiilor mici ce indică
teoria de ordinul întâi.
Fig. 1.2
1.5. Siguranţa în funcţionare. Coeficienţi de siguranţă.
Rezistenţe admisibile.
În rezolvarea problemelor de rezistenţa materialelor, (ER) dimensionate sau
verificate li se pot impune anumite condiţii, care să le asigure o bună funcţionare pe
toată durata de utilizare. Aceste condiţii sunt :
a) -condiţii de rezistenţă;
b) -condiţii de rigiditate;
c) -condiţii de stabilitate.
1.5.1. Condiţii de rezistenţă
Spunem că un ER este corespunzător, din punct de vedere al condiţiilor de
rezistenţă, atunci când tensiunile care se produc în acesta, datorită sarcinilor, nu
depăşesc anumite limite, stabilite convenţional, dar corelate cu caracteristicile
mecanice ale materialului din care este confecţionat ER.
Valoarea convenţională aleasă în calcul, pe baza practicii, pentru tensiunea
maximă care se poate produce într-o piesă, în condiţii date de material şi de
solicitare se numeşte rezistenţă admisibilă.
Ţinând seama de deformaţiile care se produc, până la rupere, materialele se
împart în două grupe :
-tenace, care se deformează mult înainte de rupere (ex : oţelurile de rezistenţă
mică şi mijlocie);
-fragile, care nu se deformează sau se deformează foarte puţin, fără producerea
fenomenului de gâtuire înainte de rupere (exemplu : fonta, sticla, otelul de
rezistenţă mare, etc.).
Rezistenţa admisibilă poate fi definită în comparaţie cu o stare limită,
periculoasă, care trebuie evitată .
La materialele tenace, care au limita de curgere σc, rezistenţa admisibilă se
defineşte prin relaţia :
σa =
σc
cc
(1.1a)
unde: cc este coeficientul de siguranţă faţă de limita de curgere.
Alegând în calcul un coeficient de siguranţă corect, se va evita atingerea limitei
de curgere, deci producerea de deformaţii mari, care pot scoate piesa din funcţiune.
La materialele fragile rezistenţa admisibilă se defineşte în funcţie de rezistenţa la
rupere :
σa =
σr
cr
(1.1b)
unde: cr este coeficientul de siguranţă faţă de rezistenţa la rupere.
Verificările efectuate pe diferite (ER) au arătat care ar trebui să fie valorile cele
mai potrivite pentru coeficienţii de siguranţă şi deci şi pentru rezistenţele admisibile.
Spre exemplu, dacă ne referim la oţel rezistenţa admisibilă trebuie să fie inferioară nu
numai limitei de curgere ci şi limitelor de elasticitate şi proporţionalitate.
La alegerea coeficientului de siguranţă trebuie să ţinem seamă de următorii
factori :
a) Natura materialului şi tehnologia de fabricaţie. Fiecare material are
anumite caracteristici mecanice care determină rezistenţa admisibilă.
Coeficientul de siguranţă este cu atât mai mare cu cât materialul este mai
neomogen. Astfel, pentru fontă coeficientul de siguranţă este mai mare decât
pentru oţel, la beton, lemn, coeficientul de siguranţă este mai mare decât la
metale. Structura neuniformă a materialului, existenţa crustelor de turnare,
forjare, laminare sunt factori tehnologici care au efect negativ asupra
rezistenţei admisibile şi deci vom lua în calcul un coeficient de siguranţă mai
mare.
b) Felul solicitării. Prin efectuarea de încercări mecanice (întindere,
compresiune, încovoiere, etc.) s-a constatat că materialele au caracteristici
mecanice diferite în funcţie de modul de solicitare. Unele materiale au totuşi
rezistenţe admisibile egale pentru diferite solicitări de exemplu, oţelul pentru
întindere, compresiune, încovoiere .
c) Modul de acţiune a sarcinilor în timp. La solicitări ale ER cu sarcini statice
coeficientul de siguranţă este mai mic decât la sarcini variabile în timp sau la
sarcini aplicate cu şoc. S-a constatat experimental că un material cu rezistenţa
de rupere σr , supus unor solicitări variabile în timp se rupe la valori σmax
inferioare lui σr. Acestui fenomen i s-a dat numele de oboseală a
materialului. Valoarea limită superioară a lui σmax la care materialul rezistă
la un număr foarte mare de cicluri (ex. 5 ⋅ 107..108 cicluri) fără a se rupe se
numeşte rezistenţă la oboseală.
d) Modul de evaluare a sarcinilor şi de realizare a ipotezelor de calcul. Cu
cât sarcinile sunt mai incert evaluate, cu cât ipotezele şi schemele de calcul au
un grad mai mare de aproximare, cu atât rezistenţele admisibile trebuie să fie
mai mici şi coeficienţii de siguranţă mai mari.
e) Durata de folosire a piesei. Pentru piese cu durată scurtă de funcţionare, se
pot lua coeficienţi de siguranţă mai mici, deci rezistenţe admisibile mai mari.
f) Temperatura. Temperaturile înalte sau scăzute influenţează negativ
rezistenţele admisibile. Pentru (ER) importante care vor lucra la temperaturi
ridicate sau joase, rezistenţa admisibilă se alege în funcţie de caracteristicile
mecanice la temperatura respectivă.
1.5.2. Condiţii de rigiditate
Funcţionarea unor piese este posibilă numai atunci când deformaţiile lor nu
depăşesc anumite limite. Ca exemplu: un arbore ce are deformaţii mari la încovoiere
provoacă o uzură prematură a lagărelor. Din această cauză în calculul de rezistenţă se
impun anumite limite pentru mărimea deformaţiilor şi se spune că ER trebuie să
răspundă unor anumite condiţii de rigiditate date.
1.5.3. Condiţii de stabilitate
La problemele de stabilitate elastică, deşi condiţiile de rezistenţă sunt
satisfăcute, la anumite valori ale sarcinilor, numite valori critice, piesele îşi pot
pierde echilibrul stabil, fapt ce duce la distrugerea lor. Aceste (ER) trebuie să
satisfacă condiţiile de stabilitate, adică sarcinile aplicate să fie inferioare celor
critice.
Se dau câteva valori orientative ale rezistenţelor admisibile în anexa 1. Din acest
tabel se observă că rezistenţele admisibile la încovoiere sunt de obicei cu 10-20%
superioare celor de tracţiune, pe când cele de la forfecare şi răsucire sunt 60-80% din
cele de tracţiune. O excepţie de la această regulă face fonta, ce are rezistenţe
admisibile la compresiune de 2...5 ori mai mari decât la tracţiune.
2. FORŢE EXTERIOARE ŞI FORŢE INTERIOARE
2.1. Forţe exterioare. Clasificare
Construcţiile inginereşti sunt realizate din unul sau mai multe (ER). În
Rezistenţa materialelor se analizează fiecare ER sau subansamblu numai în situaţia
de echilibru sub acţiunea forţelor exterioare, aşa că valoarea torsorului forţelor
exterioare, ce acţionează asupra unui ER sau subansamblu, este totdeauna egal cu
zero.
În cele câte urmează prin forţă se va înţelege noţiunea de forţă generalizată:
forţă sau moment.
În Rezistenţa materialelor noţiunea de forţă exterioară cuprinde atât forţele
aplicate pe suprafaţa ER cât si cele distribuite pe întreaga masă a materialului
cum sunt: greutatea, forţele de inerţie, forţele electromagnetice, datorită dilatării
împedicate, etc., precum şi forţele de legătură dintre (ER) numite reacţiuni.
Forţele exterioare se pot clasifica astfel:
a) după natura lor:
- sarcini sau forţe active;
- reacţiuni sau forţe de legătură.
b) după locul de aplicare:
- de suprafaţă sau de contur, ce se aplică în exteriorul ER;
- de volum sau masice, ce sunt distribuite în întregul volum al ER.
c) după mărimea suprafeţei pe care se aplică, forţele de suprafaţă pot fi:
- concentrate, ce se consideră aplicate într-un punct şi constituie o
schematizare a forţelor distribuite pe o suprafaţă foarte mică, în raport cu
suprafaţa (ER), (fig. 2.1,a);
- distribuite, ce se repartizează uniform sau cu intensitate variabilă pe
o suprafaţă sau în lungul unei linii (fig. 2.1,b).
Fig. 2.1.
Forţele concentrate se măsoară în N, kN, MN, etc. iar cele distribuite pe
suprafaţă se măsoară în N/m2 sau Pa, N/mm2 sau MPa, kN/m2, etc. iar cele distribuite
în lungul unei linii în N/m, kN/m, etc.
Sarcinile aplicate (ER) pot fi clasificate astfel:
a) După provenienţă:
-sarcini permanente, ce-şi păstrează intensitatea constantă (exemplu:
greutatea proprie a ER);
-sarcini utile formate din acelea ce rezultă din rolul funcţional al ER
(exemple: greutatea autovehiculelor pentru un pod, încărcătura pentru
mijloacele de transport, forţa de aşchiere pentru scule, etc.);
-sarcini accesorii ce apar în timpul funcţionării (exemple: forţe de
inerţie, forţe de frecare, dilatare împiedicată, etc.);
-sarcini accidentale, ce acţionează intermitent şi neregulat (exemple:
acţiunea vântului, greutatea zăpezii, etc.);
-sarcini extraordinare, ce acţionează întâmplător dar pot avea efect
catastrofal (exemple: incendiile, exploziile, inundaţiile, cutremurele de
pământ, etc.).
Sarcinile permanente, utile şi accesorii se numesc sarcini fundamentale.
b) După modul de acţiune în timp se pot clasifica în:
-sarcini statice, ce se aplică lent iar apoi îşi păstrează intensitatea
constantă (fig.2.2,a);
-sarcini dinamice, ce se aplică cu viteză variabilă relativ mare şi care pot
fi:
-sarcini aplicate brusc, ce produc şoc (fig.2.2,b);
-sarcini variabile în timp a căror intensitate variază periodic
după o anumită lege, (fig.2.2,c).
c) După poziţia sarcinii pe ER
-sarcină fixă, ce acţionează în acelaşi loc pe toată durata funcţionării
construcţiei (exemplu: greutatea proprie);
Fig. 2.2
-sarcină mobilă, a cărei poziţie este variabilă (exemplu: greutatea unui
vehicul pe un pod).
2.2. Reacţiuni
Reacţiunile sau forţele de legătură reprezintă acţiunea mecanică a legăturilor
ER cu alte (ER) şi iau naştere la acţiunea sarcinilor asupra ER respectiv.
Tabelul 2.1.
Legăturile, anulează unul sau mai multe grade de libertate ale ER,
restrângându-i posibilităţile de mişcare. Conform axiomei legăturilor, efectul
legăturii unui ER, supus acţiunii sarcinilor, poate fi întotdeauna înlocuit prin
reacţiuni (forţe de legătură), corespunzătoare, ce se determină din condiţiile de
echilibru. Când numărul ecuaţiilor de echilibru distincte este egal cu cel al
reacţiunilor ER constituie un sistem static determinat, iar când numărul ecuaţiilor
de echilibru este mai mic decât numărul reacţiunilor, sistemul este static
nedeterminat. Gradul de nedeterminare este dat de diferenţa dintre numărul
reacţiunilor şi numărul ecuaţilor de echilibru. Ridicarea nedeterminării, se realizează
în Rezistenţa materialelor , prin introducerea condiţiilor geometrice de deformare.
Felul legăturilor care pot apărea la capătul unei bare şi modul de inlocuire cu
reacţiuni sunt redate în tabelul 2.1.
Evaluarea sarcinilor şi determinarea reacţiunilor constituie una din problemele
importante ale rezistenţei materialelor.
Spre deosebire de mecanica teoretică, în Rezistenţa materialelor forţele sunt
vectori legaţi de punctul de aplicaţie. Schimbarea punctului de aplicaţie a forţei
nu schimbă starea de echilibru dar poate modifica starea de solicitare a ER.
2.3. Forţe interioare
Forţele interioare sau eforturile se produc în interiorul ER când acesta este
acţionat de forţe exterioare. Pentru determinarea eforturilor, Rezistenţa materialelor
utilizează metoda secţiunilor, a lui Cauchy. Această metodă este echivalentă cu
teorema echilibrului părţilor: dacă un ER este în echilibru sub acţiunea unui
sistem de forţe, atunci şi o parte oarecare din acest corp este, de asemenea în
echilibru sub acţiunea forţelor corespunzătoare acestei părţi.
Această metodă constă în:
- secţionarea imaginară a ER, în locul unde urmează să fie determinate forţele
interioare (eforturile) aferente;
- reprezentarea, pe porţiunile ER obţinute, a forţelor exterioare şi a celor
interioare aferente;
- scrierea ecuaţiilor de echilibru pentru sarcinile exterioare şi eforturi,
reprezentate pentru una din porţiunile ER secţionat.
Fig. 2.3
Se consideră o bară oarecare acţionată de un sistem de forţe F1, F2...Fn (figura
2.3-a), care se secţionează cu un plan imaginar Q, normal pe axa barei. Prin
secţionare se obţin două părţi: c şi d. Cele două părţi ale barei se echilibrează prin
forţele interioare distribuite p, ce se produc pe feţele de separaţie A (fig.2.3,b).
Forţele distribuite pe suprafaţa A a părţii d, se reduc în centrul de greutate O2 la o
forţă rezultantă R2 şi un moment rezultant M02. Acestea constituie totodată efectul
părţii c asupra părţii d. Deci, forţele p de pe faţa A a părţii d sunt echivalente cu
torsorul de reducere în 02 a forţelor ce acţionează asupra părţii c (fig.2.3c).
La fel, dacă se reprezintă partea c; acţiunea părţii d asupra părţii c este
echivalentă, în O1, cu rezultanta R1 şi momentul rezultant M01.
Acţiunea părţii c, asupra părţii d este egală şi de sens contrar cu acţiunea
părţii d asupra părţii c (conform principiului acţiunii şi reacţiunii) şi rezultă:
R1 = R 2 = R
şi
M 01 = M 02 = M 0 .
Elementele torsorului de reducere în centrul de greutate a secţiunii al
forţelor ce acţionează asupra părţii din stânga sunt egale şi de sens contrar cu
elementele torsorului de reducere, în acelaşi punct, al forţelor ce acţionează
asupra părţii din dreapta.
Elementele R1 , M01, şi respectiv R2, M02 ce asigură echilibrul fiecărei părţi se
numesc forţe interioare.
Acestea sunt, totodată, rezultantă şi respectiv momentul rezultant al forţelor
interioare elementare ce se produc între particulele celor două părţi la acţiunea
sarcinilor. Prin separarea, printr-un plan imaginar, a celor două părţi forţele interioare
au fost transpuse în categoria forţelor exterioare şi luate în considerare ca atare.
Proiectând elementele torsorului de reducere în O, pe axele de coordonate, se
obţin şase componente: trei forţe: N, Ty, Tz şi trei momente: Mt, My, Mz (fig.2.3,d).
Componentele N, Ty, Tz, Mt, My, Mz se numesc eforturi secţionale sau eforturi din
secţiune şi le vom numi EFORTURI. Fiecare efort are o denumire, îi corespunde o
deplasare (deformaţie) şi produce o solicitare simplă asupra barei.
Forţa normală sau forţa axială N (fig. 2.3,d), este egală cu suma algebrică,
luată cu semn schimbat, a proiecţiilor pe axa x, a tuturor forţelor situate în stânga (sau
la dreapta, luate cu acelaşi semn) secţiunii considerate:
N = − ∑ Fx = ∑ Fx .
1
(2.1)
2
unde 1 înseamnă că se iau forţele de pe partea stângă, iar 2, forţele de partea dreaptă.
Forţa normală se consideră pozitivă când produce solicitarea de întindere,
care lungeşte bara şi negativă când produce solicitarea de compresiune, care
scurtează bara.
Forţa tăietoare Ty, respectiv Tz, este egală cu suma proiecţiilor pe axele 0y şi
respectiv 0z, din planul secţiunii, luate cu semn schimbat, a tuturor forţelor situate la
stânga (sau la dreapta cu acelaşi semn) secţiunii considerate:
Ty = − ∑ Fy = ∑ Fy ;
1
2
Tz = − ∑ Fz = ∑ Fz .
1
(2.2)
2
Forţa tăietoare Ty este pozitivă dacă deplasează secţiunea în sens contrar
axei 0y, în planul x0y, iar Tz în sens contrar axei 0z. Forţele tăietoare produc
solicitarea de forfecare sau tăiere.
Momentul încovoietor Mz, respectiv My, este egal cu suma momentelor în
raport cu axa 0z, respectiv 0y, din planul secţiunii, a tuturor cuplurilor de forţe şi
momentelor
forţelor, situate la stânga (sau la dreapta luate cu minus) secţiunii
considerate:
M z = ∑ M z = − ∑ M z şi
1
2
My = ∑ My = −∑ My .
1
(2.3)
2
Momentele încovoietoare produc solicitarea de încovoiere. Deformaţia
produsă de momentul încovoietor este de rotire a secţiunii în jurul axei
respective: Mz, în jurul axei Oz şi respectiv My în jurul axei Oy. Momentul Mz se
consideră pozitiv, când comprimă fibra superioară şi întinde pe cea înferioară,
iar My este pozitiv când comprimă fibra din partea pozitivă a axei Oz şi întinde fibra
din partea negativă (fig. 2.4).
Momentul de răsucire Mt este egal cu suma algebrică a momentelor forţelor
şi a cuplurilor situate la stânga secţiunii (sau la dreapta luate cu semn minus) faţă de
axa Ox:
Mt = ∑ Mx = −∑ Mx .
1
(2.4)
2
Momentul de torsiune este pozitiv atunci când forţele sau cuplurile din
stânga secţiunii rotesc în sens orar, iar cele din dreapta în sens antiorar.
Prezenţa simultană în secţiunea barei a două sau mai multe eforturi
produc, în bară, o solicitare compusă.
În general, se determmină eforturile de pe faţa din dreapta secţiunii (O2yz din
fig.2.3,d) şi în acest caz se reduc forţele din partea stângă a secţiunii. Când este mai
simplu să se reducă forţele din partea dreaptă atunci se obţin eforturile de pe faţa din
stânga, care au însă sensuri opuse faţă de cele determinate în primul caz. Dacă s-au
dedus forţele de pe partea din stânga a secţiunii şi trebuie raportate la faţa din dreapta
atunci acestora li se schimbă semnul.
De reţinut că reprezentarea interacţiunii, prin forţe aplicate în O, este o
reprezentare convenţională simplă a fenomenului complex de interacţiune între cele
două părţi, (fig.2.3,b).
Observaţie: Se pot obţine, mai simplu, eforturile din secţiune procedând astfel:
a) se analizează în ce parte a secţiunii sunt mai puţine forţe şi se ia în
considerare numai forţele din acea parte (din stânga sau din dreapta);
b) se descompune fiecare forţă, din acea parte, după direcţiile axelor în secţiune;
c) se reduce fiecare componentă obţinută din forţe, în centrul de greutate al
secţiunii;
d) se însumează proiecţiile forţelor şi ale momentelor corespunzătoare pentru
fiecare axă în parte, ţinând seama de regula de semne, obţinându-se astfel:
- N = suma proiecţiilor forţelor pe axa Ox;
- Ty= suma proiecţiilor forţelor pe axa Oy;
- Tz= suma proiecţiilor forţelor pe axa Oz;
- My= suma proiecţiilor momentelor pe axa Oy;
- Mz= suma proiecţiilor momentelor pe axa Oz;
- Mt= suma proiecţiilor momentelor pe axa Ox.
Fig. 2.4
2.4. Funcţii de eforturi
Valorile eforturilor din secţiune (N, Ty, Tz, My, Mz, Mx) variază în lungul barei,
în funcţie de modul de încărcare şi de forma barei. Una din problemele principale, ale
calculului de rezistenţă, este cunoaşterea valorilor eforturilor din fiecare secţiune
transversală. Astfel, se exprimă variaţia fiecărui efort în funcţie de coordonatele
punctelor axei şi se obţine câte o funcţie de eforturi. Pentru o bară dreaptă, ce are
axa orientată, după Ox, funcţiile de efort se exprimă în dependenţă de abscisa x a
secţiunii: N = N(x); Ty = Ty(x);... Mz = Mz(x).
Variaţia eforturilor în lungul axei barei, sub acţiunea sarcinilor fixe, poate fi
urmărită
cel
mai
bine
pe
diagramele de eforturi. Acestea
sunt
reprezentări
grafice
ale
funcţiilor de eforturi în funcţie de
abscisa secţiunii “x” de pe axa
barei. Diagrama de efort se obţine
prin trasarea unei linii subţiri
care
să
unească
punctele
ce
satisfac ecuaţia funcţiei efortului
respectiv. Aceasta se reprezintă în
lungul unei linii de referinţă,
trasată cu linie groasă, paralelă şi
de lungime egală cu axa barei.
Astfel, pentru fiecare efort se
trasează câte o diagramă.
În
Fig. 2.5
practică
se
întâlnesc
frecvent bare drepte sau curbe
plane, ce sunt încărcate cu forţe conţinute în planul de simetrie longitudinal al barei.
În figura (2.5,a), s-a reprezentat o astfel de bară unde s-a notat cu xOy planul forţelor.
S-au determinat reacţiunile şi apoi eforturile din secţiunea aflată la abscisa “x” de
reazemul 1. În figura (2.5,b) s-a reprezentat bara respectivă pe care s-au figurat
reacţiunile şi respectiv eforturile interioare din secţiunea de abscisă “x”.
În acest caz particular se pot determina eforturile:
a) forţa axială, egală cu suma algebrică a proiecţiilor forţelor exterioare aplicate
în stânga (sau în dreapta) secţiunii considerate pe axa barei;
b) forţa tăietoare, T=Ty, egală cu suma algebrică a proiecţiilor pe axa Oy a
tuturor forţelor situate la stânga (sau la dreapta) secţiunii considerate;
Fig. 2.6
c) momentul încovoietor, M=Mz, egal cu suma algebrică a momentelor forţelor
în raport cu axa Oz, a tuturor forţelor şi momentelor situate în stânga (sau în
dreapta) secţiunii considerate.
În mod uzual, pentru trasarea diagramelor de eforturi pentru sarcini conţinute
într-un singur plan, se foloseşte schema plană din figura (2.5,d). Eforturile secţionale,
din stânga respectiv din dreapta secţiunii, se reprezintă ca în figura 2.5,d.
Regula de semne pentru starea plană, este dată în figura 2.6:
- forţa axială N, este pozitivă când lungeşte elementul de bară (fig.2.6,a) şi
negativă când scurtează elementul de bară.
- forţa tăietoare T, este pozitivă când are tendinţa să rotească în sens orar
elementul de bară (fig.2.6,b);
- momentul încovoietor M, se consideră pozitiv când roteşte cele două feţe
laterale, curbând fibrele, astfel ca fibrele superioare să se scurteze iar cele
inferioare să se lungească (fig.2.6,c).
2.5. Relaţii diferenţiale între sarcini şi eforuri
Trasarea diagramelor de eforturi poate fi mult uşurată dacă se cunosc atât
funcţiile de eforturi cât şi relaţiile diferenţiale între eforturi şi diferite sarcini.
Pentru a stabili relaţiile diferenţiale dintre sarcini şi eforturi se consideră un
element de bară curbă plană, asupra căruia acţionează un sistem de sarcini conţinute
în planul axei barei. Elementul de bară, de lungime infinit mică ds, are raza de
curbură r, iar unghiul format de cele două secţiuni este dα. Lungimea elementului
este ds = r ⋅ dα (fig.2.7,a).
Asupra elementului ds se consideră că acţionează sarcinile:
- q, uniform distribuită pe lungimea ds, a elementului;
- F şi Me, concentrate şi acţionând în secţiunea ce trece prin punctul 0.
Fig. 2.7
Aşa cum s-a arătat şi la observaţiile de la §2.3, aceste sarcini trebuie
descompuse după direcţiile axelor de coordonate şi se consideră că acţionează
asupra axei barei. În figura (2.7,b) s-a reprezentat modul de acţiune al sarcinilor. Tot
în figura (2.7,b) s-au reprezentat eforturile: N, T, M în secţiunea O şi
respectiv N + ∆N , T+∆T şi M+∆M în secţiunea A.
Conform metodei secţiunilor (a lui Cauchy) dacă elementul iniţial este în
echilibru atunci şi porţiunea din element de lungime ds, va trebui să fie în echilibru.
Se pot scrie în acest caz ecuaţiile:
∑ X = 0,
(N + ∆N) ⋅ cos dα − N − (T + ∆T) ⋅ sin dα + X + p X ⋅ ds = 0 ,
∑ Y = 0;
(T + ∆T) ⋅ cos dα − T + (N + ∆N) ⋅ sin dα + Y + pds = 0;
(2.5)
∑MO = 0;
ds
(M + ∆M) − M − (N + ∆N) ⋅ r ⋅ (1 − cosdα) − (T + ∆T) ⋅ r ⋅ sindα − p ⋅ ds ⋅ 2 − Me = 0.
Întrucât unghiul dα este foarte mic se aproximează:
sin dα ≅ dα şi cos dα = 1.
Dacă se neglijează produsele infiniţilor mici relaţiile (2.5) devin:
∆N − T ⋅ dα + X + p X ⋅ ds = 0;
∆T + N ⋅ dα + Y + p ⋅ ds = 0;
(2.6)
∆ M − T ⋅ r ⋅ dα − M e = 0 .
Aceste relaţii conţin termeni de mărime finită şi de mărime infinit mică. Dacă
se neglijează termenii infiniţi mici faţă de termenii finiţi se obţin ecuaţiile:
∆N = − X ,
∆T = − Y ,
∆M = M e
(2.7)
Neglijarea termenilor infinit mici se poate face (şi trebuie să se facă) numai în
dreptul sarcinilor concentrate. Din relaţiile (2.7) rezultă: în dreptul unei sarcini
concentrate cel puţin un efort are un salt egal cu valoarea componentei sarcinii
concentrate pe direcţia respectivă. Spre exemplu, în dreptul unei forţe concentrate
longitudinale X, în diagrama de forţe axiale va apare un salt egal cu valoarea
componentei X, în dreptul unei forţe concentrate transversale Y, în diagrama forţelor
tăietoare va trebui să existe un salt egal cu valoarea componentei Y, iar în dreptul
unui moment concentrat Me, în diagrama momentelor încovoietoare apare un salt
egal cu valoarea momentului Me.
Dacă, pe elementul ds, nu sunt aplicate sarcini concentrate (X=0, Y=0 şi
Me=0) atunci relaţiile (2.7) trebuie să conţină numai termenii cu infiniţi mici. În acest
caz şi variaţia eforturilor trebuie să fie infinit mică, aşa că se consideră:
∆N → dN ,
∆T → dT ,
∆M → dM .
Ţinând seama de aceste relaţii şi că ds=r⋅dα, din (2.6) se obţine:
dT
N
= − − p,
ds
r
dN T
= − pX ,
ds r
dM
= T.
ds
(2.8)
În cazul barelor drepte (r = ∞; rezultă ds = dx) şi în absenţa forţelor axiale
relaţiile (2.8) devin:
dM
= T,
dx
dT
= −p .
dx
(2.9)
Pe baza acestor relaţii rezultă:
- derivând expresia momentului încovoietor în raport cu variabila “x” se
obţine expresia forţei tăietoare;
- derivând expresia forţei tăietoare în raport cu variabila “x” se obţine
expresia sarcinii distribuite cu semnul minus.
Derivând încă o dată prima relaţie şi ţinând seama de a doua, se obţine:
d 2 M dT
=
= −p .
dx
dx 2
(2.10)
Observaţii:
a) Relaţiile (2.8), (2.9) şi (2.10) sunt relaţii diferenţiale ale funcţiilor de eforturi
N(x), T(x) şi M(x). Diagramele de eforturi reprezintă integralele acestor
expresii.
b) Relaţia (2.10) arată că ecuaţia forţei tăietoare se
poate obţine, fie din integrarea expresiei
sarcinii, fie din derivarea expresiei momentului
încovoietor.
c) Dacă sarcinile sunt conţinute în planul xOy
(fig.2.8) ecuaţiile de echilibru sunt:
Fig. 2.8
− TZ + p Z ⋅ dx + ( TZ + dTZ ) = 0,
M Y − TZ ⋅ dx + p Z ⋅ dx ⋅
dx
− ( M Y − dM Y ) = 0
2
astfel se obţine:
dM y
dx
dTz
= −p z ,
dx
= Tz ,
(2.11,a)
d 2 M Y Tz
=
= −p z .
dx 2
dx
(2.11,b)
2.6. Reguli practice pentru trasarea diagramelor de eforturi
Pentru cazul când forţele transversale sunt nule (Y= 0; p= 0), din relaţiile
(2.10) se obţine:
T = C1 ,
M i = C1 ⋅ x + C 2 .
(2.12)
Deci, când forţele transversale sunt nule,
forţa tăietoare este constantă iar momentul
încovoietor variază liniar (fig.2.9,a şi b). C1 şi C2
sunt constante de integrare şi reprezintă forţa
tăietoare, respectiv momentul încovoietor, la
limita din stânga sau din dreapta secţiunii
Fig. 2.9
considerate.
Dacă pe o porţiune de bară se aplică o forţă transversală uniform distribuită (p
= ct.) atunci din relaţiile (2.10) se obţine:
T = C1 − p 1 ⋅ x (variaţie liniară),
M = C 2 + C 3 ⋅ x − p ⋅ x 2 (variaţie parabolică).
(2.13)
Pentru acest caz, s-au reprezentat câteva moduri de variaţie a forţei tăietoare şi
momentului încovoietor, pentru o porţiune de bară (fig.2.10).
Relaţia a doua (2.10) arată că forţa tăietoare este egală cu panta la curba
momentelor încovoietoare.
Din figurile 2.9 şi 2.10 se observă că pe porţiunea unde:
T > 0 → M creste,
T < 0 → M scade,
T trece prin zero → M max sau M min ,
T=0
→
(2.14)
M = ct.
Dacă se ţine seama de relaţiile (2.7), în cazul acţiunii sarcinilor concentrate,
rezultă că unei variaţii bruşte a forţei tăietoare îi corespunde o schimbare bruscă a
pantei momentului încovoietor. Aşa că diagrama de momente are un punct de
schimbare a pantei tangentei (se frânge) în dreptul sarcinii transversale
concentrate.
Pe lângă regulile menţionate mai sus, pentru trasarea diagramelor de eforturi,
este necesar să se respecte următoarele etape:
a) se eliberează bara de legături, se reprezintă reacţiunile şi se determină valorea
acestora din ecuaţiile de echilibru ;
b) se alege un sens de parcurs al barei, adică o origine axei Ox şi sensul acesteia,
care poate fi de la stânga la dreapta sau de la dreapta la stânga, de sus în jos
sau de jos în sus etc.;
c) se stabilesc funcţiile de eforturi, adică expresiile N(x), T(x) şi M(x) pentru
fiecare tronson de bară;
d) pentru fiecare efort existent se trasează câte o linie de referinţă groasă,
paralelă cu axa barei şi de aceeaşi lungime cu aceasta;
e) forţele axiale, forţele tăietoare şi momentele de răsucire pozitive se reprezintă
la scară deasupra liniei de referinţă; momentele de încovoiere pozitive se
reprezintă sub linia de referinţă;
f) reprezentarea eforturilor în diagrame se face prin trasarea unor segmente de
dreaptă perpendiculare pe linia de referinţă, ce reprezintă la scară,
valoarea efortului respectiv.
Fig. 2.10
2.7. Diagrame de eforturi
Diagramele de eforturi sunt necesare pentru determinarea secţiunii periculoase
şi de aceea se trasează întotdeauna pentru toate barele solicitate. Pe diagrame se
observă imediat atât solicitările cât şi secţiunile cele mai solicitate (periculoase),
precum şi valorile extreme ale eforturilor.
2.7.1. Bare drepte solicitate de forţe axiale
În aceste cazuri forţele exterioare ce acţionează în lungul barei se reduc la
rezultante a căror suport este chiar axa barei.
Aplicaţia 2.1. Să se traseze diagrama
de eforturi pentru bara cu încărcarea din
figura 2.11.
Eforturile sunt:
N1s= 0; N1d= N2s= -5P; N2d= N3s= P;
Fig.2.11
N3d= N4s= 5P;
-P;
N4d= N5s= 3P; N5d= N6s=
N6d= 0.
Aplicaţia 2.2. Un stâlp vertical solicitat de sarcina
axială P=500 kN este format din două tronsoane şi se
sprijină pe un bloc de beton. Atât stâlpul, pe cele
două tronsoane cât şi fundaţia au secţiuni constante
şi lungimile din figura 2.12. Greutatea distribuită pe
lungimea 1-2 este de q1= 25 kN/m, pe porţiunea 2-3,
q2= 35 kN/m, iar a fundaţiei de q3= 90 kN/m. Să se
traseze daigramele de eforturi.
Fig. 2.12
Într-o secţiune oarecare, la abscisa x1, forţa axială este:
N(x1)= - P- q1⋅x 1,
Nx1= - 500 - 25⋅x1,
deci, variază liniar.
Valorile extreme sunt:
N1= - 500 kN, N2= - 500 - 25⋅3= - 575 kN.
Într-o secţiune oarecare pe tronsonul 2-3 forţa axială are expresia:
N(x2)= - P- q1⋅l1- q2⋅x2,
iar valorile extreme vor rezulta:
N2= - 500 - 25 ⋅3=- 575 kN,
N3= - 500 - 25 ⋅3 - 35 ⋅3 = - 680 kN
Într-o secţiune pe porţiunea fundaţiei forţa axială este dată de expresia:
N(x3) = - P - q1⋅l1- q2⋅l2- q3⋅x3,
iar valorile extreme sunt:
N3= - 500 - 25⋅3 - 35⋅3= - 680 kN,
N4= - 500 - 25⋅x3 - 35⋅x3 - 90⋅x2 = - 905 kN.
Diagrama de variaţie a eforturilor axiale este redată în dreapta barei.
2.7.2. Bară (grindă) dreaptă solicitată la încovoiere
Pentru început se vor considera barele drepte solicitate de forţe exterioare
verticale situate în unul din planele de simetrie longitudinale ale barei. În acest caz în
secţiunile transversale ale barei, la acţiunea sarcinilor se produc: forţe axiale, forţe
tăietoare şi momente de încovoiere.
2.7.2.1. Bara în consolă
La barele în consolă (încastrate la un capăt şi libere la celălalt) diagramele de
eforturi se pot trasa şi fără calculul prealabil al reacţiunilor. În acest caz se consideră
originea sistemului de referinţă în capătul liber, iar reacţiunile vor fi egale cu valorile
eforturilor din încastrare.
Aplicaţia 2.3. Bara încastrată la un capăt şi încărcată la celălalt cu o sarcină
concentrată (fig.2.13). În figura (2.13,a), bara are capătul liber în dreapta, iar în figura
a
b
Fig. 2.13
(2.13,b), capătul liber este în stânga.
Pentru bara din figura (2.13,a), funcţiile de eforturi sunt:
Tx = P = ct.
Mx = - P⋅x (variază liniar) şi are valorile M0= 0 şi M1= - P⋅l
Pentru bara din figura (2.13,b) eforturile sunt:
Tx = - P = ct.
Mx = - P⋅x,
M0 = 0 şi M1= - P⋅L.
Observaţie: Forţele tăietoare sunt egale în valoare absolută, dar diferă ca
semn.
Aplicaţia 2.4 Bara în consolă solicitată de o forţă transversală uniform
distribuită (fig.2.14).
În secţiunea x eforturile sunt:
Tx = - p⋅x (dreaptă),
2
Mx = - p⋅x⋅x/2 = - p⋅x /2 (parabolă),
iar valorile extreme rezultă:
T1= - p⋅L;
T0= 0;
M0= 0;
2
M1= - p⋅L /2.
Reacţiunile din încastrare sunt:
Fig. 2.15
Fig. 2.14
2
V1= p⋅L;
M1 = - p⋅L /2.
Aplicaţia 2.5. Bară în consolă solicitată de o forţă liniar distribuită (fig. 2.15).
Încărcarea este determinată de intensitatea maximă a sarcinii p0. Sarcina totală
pe bară este de P = p0⋅L/2, iar intensitatea sarcinii într-o secţiune oarecare, la distanţa
x de capăt, este:
x

p = p 0 ⋅ 1 −  .

L
Eforturile în secţiunea x sunt:
Tx = −( p 0 + p) ⋅
p ⋅x 
x
x
= − 0 ⋅ 2 − ,
2
2 
L
p0 ⋅ x2 
x 2x
x x
x
M x = −p0 ⋅ ⋅
− p⋅ ⋅ = −
⋅ 3 − .

L
2 3
2 3
6
Se observă că forţa tăietoare variază după o parabolă de gradul 2, iar momentul
încovoietor după o parabolă de gradul 3. În cele două capete ale barei eforturile vor
avea valorile:
T0=0, M0=0, T1= - p0⋅L/2, M1= - p0⋅L/3,
iar reacţiunile vor fi:
L
V1 = p 0 ⋅ ,
2
p 0 ⋅ L2
M1 = −
.
3
Observaţii:
a) Forţa tăietoare într-o secţiune oarecare x este egală cu suprafaţa diagramei
forţelor distribuite pe lungimea Ox;
b) Momentul încovoietor într-o secţiune x este produsul între rezultanta forţelor
pe lungimea Ox şi distanţa de la secţiunea x, la rezultantă.
2.7.2.2. Bara (grinda) simplu rezemată
Bara simplu rezemată are la un capăt un reazem simplu iar la celălalt o
articulaţie. În articulaţie se vor considera două componente ale reacţiunii şi anume V
pe verticală şi H pe orizontală. În reazemul simplu apare o singură reacţiune şi anume
o forţă normală pe suprafaţa de rezemare.
Distanţa dintre cele două reazeme, este L şi se numeşte deschiderea barei
(grinzii).
Aplicaţia 2.6. Bara simplu rezemată
solicitată de o forţă concentrată Q ce
acţionează oblic (fig.2.16).
Se descompune forţa Q în componentele:
P = Q⋅cosα şi
H = Q⋅sinα.
Reacţiunile au valorile:
H2 = H = Q⋅sinα; V1= P⋅b/L şi V2 = P⋅
a/L.
Fig. 2.16
Într-o secţiune oarecare x, situată în stânga sarcinii Q eforturile sunt:
Nx= 0; Tx= V1= P⋅b/L; Mx= V1⋅x= P⋅b⋅x/L.
Forţa axială şi forţa tăietoare au valori constante,
N1d= 0; T1d= V1= P⋅b/L,
M1= 0; M3s= P⋅a⋅b/L.
Considerând originea în 2 (pornind din partea dreaptă) se obţin eforturile în
secţiunea x1:
Nx1= H2= Q⋅sinα; Tx1= - P⋅a/L,
Mx1= V2⋅x1= P⋅a⋅x1/L.
Eforturile în secţiunile 2 şi 3 sunt :
N2s= N3d= Nx1= Q⋅sinα;
T2s=T3d= V2= - P⋅a/L;
M2= 0; M3d= P⋅a⋅b/L.
Observaţii:
a) Forţa axială are valoare constantă şi diferită de zero între articulaţie şi punctul
de aplicaţie al forţei Q.
b) Forţa tăietoare are valoare constantă, egală cu valoarea reacţiunii V1 pe
porţiunea 1-3, are un salt egal cu valoarea componentei verticale P în
dreptul forţei Q, iar pe porţiunea 3-2 are valoare constantă şi egală şi de sens
opus reacţiunii V2.
c) Momentul încovoietor are variaţie liniară pe ambele porţiuni (unde forţele
tăietoare sunt constante) şi este maxim în dreptul forţei concentrate (unde
forţa tăietoare trece prin zero).
Dacă poziţia forţei este variabilă pe bară, se poate determina poziţia pentru care
se poate produce cel mai mare moment încovoietor, numit moment maxim-
maximorum. Aceasta se obţine înlocuind b = L - a, în ecuaţia momentului maxim,
derivând în raport cu a şi considerând derivata egală cu zero:
d
d 
L − a P
M max ) =
(
P ⋅ a ⋅
 = (L − 2 ⋅ a) = 0
da
da 
L  L
din care rezultă distanţa a pentru care se
obţine momentul cel mai mare. Aceasta se
produce când sarcina acţionează la mijlocul
barei: a = L/2 (fig.2.17).
În acest caz, din cauza simetriei,
reacţiunile sunt:
V1= V2= P/2.
Eforturile în secţiunea x (din stânga)
Fig. 2.17
sunt:
Tx= V1= P/2,
Mx= V1⋅x = P⋅x/2
şi în secţiunea x1 (din dreapta):
Tx1= - V1= - P/2,
Mx1= V2⋅x1= P⋅x1/2.
Momentul încovoietor maxim, în secţiunea din dreptul forţei este:
M max =
P⋅L
.
4
Aplicaţia 2.7. Să se determine poziţia a
două forţe concentrate P1 ≥ P2, mobile pe o bară
simplu
rezemată,
care
produc
momentul
maxim-maximorum (fig. 2.18).
Rezultanta celor două forţe este:
R = P1+P2,
Fig. 2.18
ce acţionează la distanţa “x” de mijlocul
deschiderii barei şi la distanţa “a” de forţa cea mai mare, P1.
Reacţiunea din reazemul 1 este:
L

R ⋅  − x
2

V1 =
.
L
Momentul maxim este în dreptul forţei P1, şi are expresia:
R
L

M max = V1 ⋅  + x − a = L2 − 2 ⋅ a ⋅ L − 4 ⋅ x 2 + 4 ⋅ a ⋅ x ⋅
.
2

4L
(
)
Momentul maxim-maximorum se obţine pentru valoarea lui x ce anulează
derivata expresiei momentului încovoietor maxim:
dM max
R
= (− 2 ⋅ x + a) ⋅
= 0,
4L
dx
adică pentru x = a/2.
Pentru x = a/2 rezultă momentul maxim-maximorum :
M max max = (P1 + P2
2
(
L − a)
)⋅
.
4L
(2.15)
Observaţie: Dacă pe o bară se mişcă un convoi de forţe concentrate P1, P2,
P3,..Pk,...Pn, (fig.2.19) în care Pk este forţa ce are valoarea cea mai mare din imediata
vecinătate a rezultantei, momentul maxim se va produce în dreptul acesteia. Notând
cu x distanţa de la mijlocul barei la rezultanta forţelor aflate pe bară şi cu “a” distanţa
dintre rezultantă şi forţa Pk, se poate calcula reacţiunea V1 şi apoi momentul maxim:
L

R ⋅  − x
2

V1 =
,
L
k −1
k −1
R  L a⋅L
L


M max = V1 ⋅  + x − a − ∑ Pi ⋅ c i = ⋅  −
− a ⋅ x − x 2  − ∑ Pi ⋅ c i .
2
 i =1
 i =1
L 4
2
În care s-a notat cu Pi sarcinile aflate la stânga forţei Pk , iar cu ci distanţa de la forţa
Pk la forţele Pi
Prin derivare şi anularea derivatei momentului maxim se obţine distanţa x = a/2
pentru care se produce Mmax-max :
M mam max =
k −1
R
⋅ ( L − a 2 ) − ∑ Pi ⋅ c i .
4
i =1
Aplicaţia 2.8. Bară simplu rezemată, solicitată de sarcini transversale uniform
distribuite (fig.2.20).
Încărcarea fiind simetrică reacţiunile sunt:
V1= V2= p1⋅L/2.
Eforturile într-o secţiune x sunt:
Tx= V1- p⋅x = p ⋅ (L/2 - x), (variază liniar);
Mx= V1⋅x - p⋅x⋅x/2 = p⋅x⋅(L - x)/2, (variază
parabolic).
Valorile în punctele de rezemare sunt:
T1= V1= p ⋅L/2, M1= 0,
Fig. 2.20
T2= V2= - p ⋅L/2, M2= 0.
La distanţa x0= L/2; T = 0 şi deci
Mmax= p ⋅L2/8.
Fig. 2.19
Observaţie:
Dacă se notează cu P = p ⋅L, sarcina de
pe bară, se observă că momentul maxim
(Mmax=
p⋅L2/8)
este
jumătate
din
momentul maxim produs de sarcina
concentrată P care ar acţiona la mijlocul
barei, când Mmax= P⋅L/4 (vezi fig.2.17).
Aplicaţia 2.9. Bară simplu rezemată
solicitată de o sarcină transversală ce
variază liniar (fig.2.21).
Reacţiunile au valorile:
1 p⋅L L p⋅L
,
⋅
⋅ =
6
L 2 3
1 p⋅L 2⋅L p⋅L
⋅
=
.
V2 = ⋅
3
3
L 2
V1 =
Fig. 2.21
Valoarea sarcinii în secţiunea x
este:
x
px = p ⋅ .
L
Eforturile în secţiunea x sunt:
1
L
x2
,
Tx = V1 − ⋅ x ⋅ p x = p ⋅ − p ⋅
2
6
2L
(parabolă de gradul 2),
x
1
⋅ x ⋅ px ⋅ =
2
3
p⋅L
p
x x
L2 − x 2
=
⋅x − ⋅x⋅ ⋅ = p⋅
⋅ x,
L 3
6
2
6L
M x = V1 ⋅ x −
Valorile eforturilor în reazeme sunt:
Tmax= T1= V1= p ⋅L/6,
Tmin= T2= - V2=- p ⋅L/3,
M1= 0,
M2= 0.
(parabolă de gradul 3).
Din condiţia:
Tx =
p ⋅ L p ⋅ x 20
−
= 0,
6
2L
rezultă abscisa secţiunii unde momentul încovoietor are valoarea maximă:
x0 =
L
= 0,5574 ⋅ L ,
3
iar
momentul
M max
maxim,
rezultă:
L2 − x 20
p ⋅ L2
= p⋅
⋅ x0 =
.
6
9 3
Aplicaţia
2.10.
Bară
simplu
rezemată
solicitată de un cuplu Me, (fig.2.22).
Reacţiunile din reazeme sunt:
V1 = V2 =
Me
.
L
Eforturile în secţiunea x respectiv x1 sunt:
Fig. 2.22
TX = TX = V1 =
1
M x = − V1 ⋅ x = − M e ⋅
M X = V2 ⋅ x1 = M e ⋅
1
x
,(variaţie liniară),
L
Me
,
L
(constantă),
x1
,(variaţie liniară).
L
Momentul încovoietor este zero în reazeme (x = 0 şi x1 = 0) şi are valorile
extreme la stânga şi respectiv la dreapta secţiunii 3 şi sunt:
M 3s = − V1 ⋅ a = −
a
⋅ Me ,
L
M 3d = V2 ⋅ b =
b
⋅ Me .
L
În dreptul cuplului, diagrama momentelor încovoietoare are un salt egal cu
valoarea cuplului Me: (de la −
a
b
⋅ M e la
⋅ Me ) .
L
L
Aplicaţia 2.11. Bară încastrată la un
capăt,
rezemată
la
celălalt
cu
articulaţie
intermediară, solicitată de o forţă concentrată
(fig. 2.23).
Articulaţia intermediară transmite numai
eforturi tangenţiale şi normale dar nu transmite
momente
încovoietoare.
Ţinând
seama
de
această situaţie, bara se poate separa, în dreptul
articulaţiei,
în
intermediare,
din
două
grinzi.
articulaţie,
Reacţiunile
sunt
tocmai
eforturile din secţiunea respectivă.
Fig. 2.23
V4 =
Valoarea reacţiunii V4 este:
P⋅b P
= ,
b+b 2
iar valoarea reacţiunii din articulaţia 2, care este tocmai forţa tăietoare din secţiune
este:
T2= P - V4= P/2
Porţiunea 1-2 este o bară în consolă acţionată la capătul liber de forţa T2. În
acest caz se obţin eforturile: T4 d = T3s = − V4 = −
M 4 = 0, M 3 = V4 ⋅ b =
P⋅b
, M2 = 0 ,
2
P
P
, T3d = T2 s = T1 = ,
2
2
M1 = −T ⋅ a = −
P⋅a
.
2
Observaţie: După ce bara se separă în două părţi, în dreptul articulaţiei
intermediare, problema trasării diagramelor de eforturi se reduce la cazuri cunoscute
ale barelor rezultate din separare.
2.7.3. Diagrame de eforturi la arbori
Arborii sunt bare încărcate cu forţe ale căror direcţii nu trec prin axa barei, sau
asupra lor acţionează cupluri de forţe situate în plane perpendiculare pe axa barei.
Forţele sau cuplurile de forţe se transmit la arbori prin roţi dinţate, roţi de curea,
pârghii, cuplaje, etc.
Valoarea momentului de răsucire se calculează fie în funcţie de distanţa de la
suportul forţei la axa arborelui (braţul forţei), fie în funcţie de puterea şi turaţia ce
trebuie transmisă.
Dacă un arbore transmite o putere P*, dată în kW, la o turaţie n, în rot/min,
atunci momentul de torsiune rezultă din relaţia:
P∗ = M t ⋅ ω = M t ⋅
π⋅n
,
30
astfel că:
P ∗ [ kW ]
30
.
M t [ kNm] =
⋅
π n[rot / min]
(2.16)
Dacă puterea se dă în W momentul de torsiune rezultă în Nm. Când puterea
este dată în CP (cai putere), pentru a obţine momentul de torsiune, se utilizează
relaţia:
P ∗ [ CP]
M t [ kNm] = 7,02 ⋅
.
n [ rot / min]
(2.17)
Momentul de torsiune se consideră pozitiv când vectorul moment de răsucire
din stânga are sensul axei Ox, sau când roteşte secţiunea din stânga faţă de cea din
capătul din dreapta în sensul burghiului drept.
Aplicaţia 2.12. Să se traseze diagramele de puteri şi de momente de torsiune
pentru un arbore drept ce primeşte o putere P*= 10 kW la o turaţie n = 125 rot/min
prin roata (3) şi o distribuie astfel:
- 25% la roata (1),
- 30% la roata (2),
- şi restul la roata (4).
Puterile pe cele trei intervale sunt:
P1∗−2 = −0,25 ⋅ P∗ = −2,5 kW ,
P2∗−3 = (−025
, +03
, ) ⋅ P∗ =−55
, kW,
P3∗−4 = (1−025
, −03
, ) ⋅ P∗ = 45
, kW,
Variaţia puterii este dată în diagrama P* din figura 2.24.
Valorile momentelor de torsiune pe cele trei intervale sunt:
Mt
1− 2
Mt
2−3
Mt
3− 4
=
30 P1−2 30 − 2,5
⋅
=
⋅
= −0,191 kNm,
π n
π 125
=
30 P2−3 30 − 5,5
⋅
=
⋅
= −0,42 kNm,
π n
π 125
=
30 P3−4 30 4,5
⋅
=
⋅
= −0,344 kNm.
π n
π 125
Diagrama de variaţie a momentelor de răsucire Mt, este reprezentată în fig. 2.24.
Observaţie: Preluarea puterii prin roata mediană şi transmiterea acesteia la
roţile dispuse de o parte şi de cealaltă a roţii motoare constituie una din cele mai
eficiente moduri de încărcare a arborelui. În acest mod puterea se distribuie în mod
aproape egal atât în stânga cât şi în dreapta roţii motoare. Dacă roata motoare se află
la unul din capetele arborelui, în vecinătatea
acesteia acţionează întreaga putere de 10
kW, respectiv întregul moment de răsucire,
Mt= 0,42 + 0,34 = 0,764 kNm. În acest caz
arborele trebuie dimensionat la un moment
de răsucire aproape dublu.
Fig. 2.24
Aplicaţia 2.13. Să se traseze
diagramele de eforturi pentru arborele
din fig. 2.25.
Reacţiunile figurate au valorile:
V1 =
a⋅P
= 0,2 ⋅ P,
5⋅ a
V2 =
4⋅a⋅P
= 0,8 ⋅ P,
5⋅ a
a⋅P
= 0,625 ⋅ P,
1,6 ⋅ a
4⋅a
H1 =
= 0,625 ⋅ P = 0,5 ⋅ P,
5⋅ a
a
H2 =
⋅ 0,625 ⋅ P = 0,125 ⋅ P.
5⋅ a
H6 =
Pentru a scrie funcţiile de eforturi
se aleg următoarele sisteme de axe:
1x1y1z1 pentru bara 1-2;
Fig. 2.25
3x2y2z2 pentru bara 3-5;
6x3y3z3 pentru bara 4-6.
Momentul de răsucire, ce acţionează pe intervalul 4-3, are valoarea: Mt= - a ⋅P.
Forţele tăietoare sunt constante şi egale cu valorile reacţiunilor (vezi fig.2.13 şi
fig.2.17). Momentele încovoietoare au o variaţie liniară şi sunt zero în punctele 1, 2, 5
şi 6.
În figura 2.25 s-au arătat sensurile de parcurs prin sistemele de axe alese şi s-au
trasat diagramele de eforturi.
2.7.4. Diagrame de eforturi la bare curbe
În Rezistenţa materialelor se analizează starea de eforturi în barele curbe
plane de curbură constantă. În aceste cazuri bara este un arc de cerc.
Ca şi la barele drepte, la cele curbe se alege un sens de parcurs care se
marchează printr-un unghior (arc de cerc ce are la un capăt un punct de pornire şi la
celălalt o săgeată).
Pentru trasarea diagramelor de eforturi se utilizează relaţiile (2.7) şi (2.8), iar
diagramele se haşurează cu linii normale pe bară. Valorile eforturilor se calculează
pentru anumite valori ale unghiului α.
Fig. 2.27
Aplicaţia 2.14. Să se traseze diagramele de eforturi pentru bara curbă din
figura 2.26.
Funcţiile de eforturi şi valorile acestora în punctele cele mai importante sunt:
α
0°
90°
180°
270°
N=-P⋅cosα
-P
0
P
0
T=P⋅sinα
0
P
0
-P
M=P⋅R⋅(1-cosα)
0
P⋅R
2⋅P⋅R
P⋅R
Aplicaţia 2.15. Să se traseze diagramele de eforturi
pentru bara curbă din figura 2.28, solicitată de o forţă
normală pe planul barei.
Funcţiile de eforturi sunt:
T = P = ct.,
Fig. 2.26
M = P⋅R⋅sinα
(variaţie sinusoidală),
Mt = P⋅R⋅(1-cosα) (variaţie cosinusoidală).
α
0°
M=-P⋅R⋅sin α
0
Mt=PR(1-cosα)
0
45°
−
90°
-P⋅R
2
P⋅R
2
(1 −
2
)⋅
2
P⋅R
135°
−
2
⋅P⋅R
2
(1 −
⋅P⋅R
2
)⋅
2
180°
225°
270°
0
2
⋅P⋅R
2
P⋅R
2
)
2
P⋅R
2P⋅R
⋅P⋅R
(1 −
⋅P⋅R
Valorile momentelor sunt redate în tabelul de mai jos iar modul de variaţie în
lungul axei barei este reprezentat în diagramele din figura 2.28.
Fig. 2.28
3. NOŢIUNI GENERALE DE TEORIA ELASTICITĂŢII
3.1. Introducere
Spre deosebire de Rezistenţa materialelor, Teoria elasticităţii are ca obiect
determinarea stării de tensiune şi deformaţie într-un corp cu caracteristici
elastice cunoscute dacă se cunosc fie forţele exterioare, fie forma deformată sub
acţiunea acestor forţe. Teoretic, se demonstrează că există soluţii pentru toate
cazurile, dar în practică s-au găsit soluţii, pe baza teoriei elasticităţii, numai pentru
unele cazuri particulare şi anume pentru corpuri de formă simplă, anumite bare
prismatice, anumite forme de plăci şi unele blocuri supuse numai la anumite
încărcări.
Rezistenţa materialelor utilizând, în plus faţă de Teoria elasticităţii, ipoteza lui
Bernoulli, rezolvă o serie mare de probleme puse de practica inginerească. Aceste
soluţii, obţinute pe baza unor relaţii simple, se apropie de realitate şi sunt acceptabile
pentru construcţiile inginereşti.
Rezistenţa materialelor utilizează, pe lângă legile şi relaţiile din mecanica
teoretică şi o serie de elemente din Teoria elasticităţii, printre care analiza stării de
tensiune şi deformaţie.
3.2. Tensiuni
Dacă un ER este supus acţiunii unor forţe exterioare în interiorul acestuia vor
apare forţe de atracţie sau de respingere suplimentare care au tendinţa de a păstra
forma sa iniţială. Dacă aceste forţe nu ar exista ER nu ar fi capabil să suporte
încărcările exterioare.
Să considerăm o bară, în echilibru, acţionată de un sistem de forţe exterioare
(F1, F2,..., Fn) (fig. 3.1,a).
Forţele exterioare au tendinţa de a modifica forma barei iar forţele interioare se
opun deformaţiei barei.
Să presupunem că am secţionat bara cu un plan Q normal pe axa barei (Ox). Pe
fiecare element de suprafaţă ∆Ax, de pe suprafaţa de separaţie, va acţiona câte o forţă
interioară ∆R. Toate forţele ∆R de pe întreaga suprafaţă de separaţie, menţin părţile I
şi II împreună cu planul Q. Forţa interioară ∆R poate fi descompusă în trei
componente paralele cu axele Ox, Oy şi Oz: respectiv ∆Nx, ∆Ty, ∆Tz.
Mărimea forţei interioare ∆R poate fi diferită pe suprafaţă şi să depindă de
poziţia ariei ∆A. Intensitatea forţei pe elementul de arie ∆A este egală cu raportul
Fig. 3.1
∆R
. Dacă reducem aria finită ∆A la o arie infinitezimală din jurul unui punct, se
ΛA
obţine o nouă mărime de intensitate numită tensiune. Astfel se obţine tensiunea
normală σx:
∆N x dN x
=
,
∆ A → 0 ∆A
dA
σ x = lim
(3.1,a)
şi corespunzător tensiunile tangenţiale:
τ xy = lim
∆A → 0
∆Ty
∆A
=
dTy
dA
∆Tz dTz
=
.
∆A → 0 ∆ A
dA
, τ xz = lim
(3.1,b)
Tensiunile normale sunt pozitive, dacă produc întindere şi negative, dacă
produc compresiune.
Tensiunile tangenţiale sunt produse de forţele conţinute în planul Q al secţiunii.
Acestea se consideră pozitive când rotesc elementul de volum în sens orar, şi
respectiv negative când rotesc antiorar.
Tensiunile se măsoară în unităţi de forţă pe unitate de arie Pa, MPa, GPa,
N/mm2, kN/mm2, etc.
Mărimile σ şi τ nu sunt vectori (deoarece ele se obţin din raportarea unor forţe
elementare la o suprafaţă elementară), ci sunt mărimi tensoriale şi ca atare, trebuie
avut grijă să li se aplice regulile de operare specifice tensorilor.
Tensiunile normale se notează cu un singur indice - cel al axei normale la
secţiune, iar tensiunile tangenţiale cu doi indici: primul indice arată axa
normală la secţiune iar al doilea, axa paralelă cu tensiunea.
3.3. Tensiuni pe un element de volum
Dacă decupăm din bară (fig.3.1) un element infinitezimal cu ajutorul unor
plane imaginare paralele cu planurile zOy, zOx, xOy, ce au distanţele între ele dx, dy,
dz, se obţine un paralelipiped elementar (fig.3.2,a).
Acesta se consideră că reprezintă un punct din ER. Pe faţa din stânga a
acestui element vor acţiona tensiunile σx, τxy şi τyz determinate cu relaţiile (3.1).
Forţele elementare de pe această faţă sunt:
dN x = σ x ⋅ dA = σ x ⋅ dy ⋅ dz,
dTy = τ xy ⋅ dA = τ xy ⋅ dy ⋅ dz,
dTz = τ xz ⋅ dA = τ xz ⋅ dy ⋅ dz.
Pentru analiza stării de tensiune adoptăm ipoteza: forţele elementare ce
acţionează pe cele două arii elementare, ale unui element infinit mic, paralele
între ele, sunt egale şi de sens contrar, adică dacă pe faţa din stânga elementului
există forţele elementare σx⋅dA, τxy⋅dA şi τxz⋅dA atunci şi pe faţa din dreapta
elementului, de aceeaşi arie dA, vor acţiona aceleaşi forţe elementare σx⋅dA, τxy⋅dA şi
τxz⋅dA de sens contrar. Atunci rezultă că pe feţele elementului infinitezimal de
volum vor acţiona tensiunile ca în figura (3.2,b).
Cele 9 componente: σx, σy, σz, τxy, τxy, τyx, τxz, τyz, τzy, caracterizează în
întregime starea de tensiune în jurul unui punct O. Acestea sunt mărimi tensoriale
(diferite de mărimile scalare şi vectoriale) şi se reprezintă prin tensorul tensiune.
Fig. 3.2
σx

Tσ =  τ xy
τ
 xz
τ yx
σy
τ yz
τ zx 

τ zy  .
σ z 
(3.2)
Tensorul tensiune este un tensor de ordinul doi, ce conţine, pe cele 6 feţe ale
elementului de volum, cele 9 componente menţionate mai sus. Pe fiecare faţă a
elementului de volum se află câte o componentă σ, paralelă cu axa normală la faţă şi
câte două componente τ, conţinute în planul secţiunii şi paralele cu cele două axe ale
secţiunii.
Elementul infinitezimal sub acţiunea forţelor elementare este în echilibru şi de
aceea forţele normale trebuie să fie două câte două coliniare egale în mărime şi de
sens contrar, iar sistemul de forţe tangenţiale trebuie să fie de asemenea în echilibru.
Astfel, forţele tangenţiale trebuie să fie egale, în mărime şi de sens opus, două câte
două iar momentul faţă de centrul elementului să fie nul:
2 ⋅ τ xy ⋅ dy ⋅ dz ⋅
dx
dy
− 2 ⋅ τ yx ⋅ dx ⋅ dz ⋅
= 0.
2
2
Prin simplificare cu dx⋅dy⋅dz va rezulta:
τ xy = τ yx .
Dacă punem condiţii similare şi pentru tensiunile de pe celelalte feţe paralele
între ele, din figura (3.2,b) se obţin relaţiile:
τ xy = τ yx , τ yz = τ zy , şi τ zx = τ xz .
(3.3)
Aceaste relaţii reprezintă dualitatea tensiunilor tangenţiale şi precizează că:
pe feţele perpendiculare ale unui element infinitezimal pot exista simultan
tensiunile tangenţiale τxy şi τyx. Acestea sunt conţinute în planuri ce corespund
feţelor elementului de volum şi produc două câte două cupluri egale în mărime
şi de sens opus. De aceea ele trebuie să fie simetrice faţă de muchia comună a
celor două feţe. Din relaţiile (3.3) rezultă că din cele 9 componente ale tensorului
(2.2) numai 6 sunt distincte şi deci tensorul tensiune este simetric faţă de
diagonala principală.
3.4. Starea plană de tensiune. Variaţia tensiunilor în jurul unui punct
În multe din problemele inginereşti se întâlneşte cazul particular al stării
generale de tensiune, când ER este încărcat cu forţe coplanare în echilibru, şi în acest
caz pe suprafaţa liberă de sarcini, nu există sarcini normale şi paralele cu acestea. De
Fig. 3.3
asemenea, ţinând seama de condiţia de echilibru, pe o faţă paralelă cu prima şi aflată
la distanţă infinit mică (dz), forţele vor fi nule. În acest caz toate forţele sunt
coplanare şi starea de tensiune corespunzătoare se numeşte stare plană de tensiune
(fig. 3.3,a) şi ea poate fi reprezentată simplificat ca în figura (3.3,b)
Considerăm elementul infinit mic din figura 3.4 în formă de prismă
triunghiulară, cu baza un triunghi dreptunghic, decupat din elementul de volum din
figura (3.3,b) şi acţionat de componentele σx,
σy , τxy= τyx. Pe faţa AC, înclinată cu unghiul α,
vor apare tensiunile necunoscute σα şi τα.
Faţa BC se consideră de arie dA, iar
grosimea elementului constantă. În acest caz,
aria feţei AC este dA⋅cosα, iar a feţei AB este
dA⋅sinα.
Fig. 3.4
Din ecuaţiile de proiecţii a forţelor elementare pe direcţiile σα şi τα, din
condiţiile de echilibru ale elementului se obţine:
σ α ⋅ dA − σ x ⋅ dA ⋅ cos 2 α − σ y ⋅ dA ⋅ sin 2 α −
− τ xy ⋅ dA ⋅ cos α ⋅ sin α − τ xy ⋅ dA ⋅ 2 sin α ⋅ cos α = 0
τ α ⋅ dA + σ x ⋅ dA ⋅ cos α ⋅ sin α − σ y ⋅ dA ⋅ sin α ⋅ cos α −
− τ xy ⋅ dA ⋅ cos 2 α + τ xy ⋅ dA ⋅ sin 2 α = 0
Simplificând cu dA şi ţinând seama că τxy = τyx rezultă:
σ α = σ x ⋅ cos 2 α + σ y ⋅ sin 2 α + τ xy ⋅ 2 ⋅ sin α ⋅ cos α ,
(
)
τ α = ( − σ x + σ y ) ⋅ sin α ⋅ cos α + τ xy ⋅ cos 2 α − sin 2 α .
Ţinând seama că:
sin 2 α =
1 − cos 2α
sin 2α
1 + cos 2α
, cos 2 α =
, sin α ⋅ cos α =
,
2
2
2
expresiile de mai sus devin:
σα =
σx + σy
τα = −
2
+
σx − σy
2
σx − σy
2
cos 2α + τ xy ⋅ sin 2α ,
⋅ sin 2α + τ xy ⋅ cos 2α .
(3.4,a)
(3.4,b)
Aceste relaţii permit determinarea tensiunilor pe o suprafaţă înclinată cu
unghiul α . Normala la această suprafaţă face cu axa Ox unghiul α. Unghiul α mai
poate fi definit şi ca unghiul cu care trebuie rotită axa Ox pentru a o suprapune peste
normala la suprafaţa înclinată dată.
Unghiul α este considerat pozitiv când roteşte în sens orar axa Ox către
normala la suprafaţa înclinată şi negativ când roteşte în sens antiorar .
Se observă din relaţiile (3.4) că tensiunile σα şi τα sunt funcţii circulare de
parametru 2α. Întrucât este necesar să se cunoască valorile maxime şi minime ale
tensiunilor se derivează expresiile (3.4,a) şi (3.4,b) în raport cu parametrul 2α.
Valorile extreme ale tensiunilor se obţin pentru valoarea parametrului α pentru care
derivata se anulează.
σx − σy
dσ α
=−
⋅ sin 2α 12 + τ xy ⋅ cos 2α 12 = 0
d( 2α )
2
Se observă că derivata lui σα este τα şi deci pe feţele pe care σα ia valori
extreme, tensiunile tangenţiale sunt nule.
Planurile pe care tensiunile tangenţiale sunt nule se numesc planuri principale
iar normalele la aceste planuri se numesc direcţii principale.
Tensiunile normale pe planurile principale se numesc tensiuni principale şi
deci tensiunile principale sunt tensiuni maxime sau minime, pe planurile în care τ= 0,
adică pentru:
tg 2α 1, 2 =
2τ xy
, sau α 1, 2 =
σx − σy
2τ xy
1
π
⋅ arctg
± .
2
σx − σy 2
(3.5)
În relaţiile de mai sus s-au pus doi indici deoarece funcţia tangentă are perioada
o
π şi deci pe un cerc întreg vor fi două soluţii 2α1 şi 2α2 diferite între ele prin 180 şi
o
deci direcţiile α1 diferă de α2 cu 90 , adică sunt perpendiculare între ele.
Pentru a obţine unghiul α1 se mai poate utiliza relaţia (vezi § 3.5):
α 1 = arctg
τ xy
σx − σ2
(3.5,a)
.
Direcţia α1 este a tensiunii maxime σ1 iar direcţia α2 a tensiunii minime σ2.
Dacă ţinem seama în formulele (3.5), de relaţiile trigonometrice, obţinem:
sin 2α 1, 2 =
tg 2α 1, 2
2
± 1 + tg 2α 1, 2
=
τ xy
 σx − σy
± 
2

2
,

 + τ 2xy

σx − σy
cos 2α 1, 2 =
1
2
± 1 + tg 2α 1, 2
=
2
 σx − σy
± 
2

2
.

 + τ 2xy

Înlocuind aceste expresii în expresia (3.4,a) se obţin expresiile celor două
tensiuni principale:
σ 1, 2 =
σx + σy
2
2
 σx − σy 
2
± 
 + τ xy .
2 

(3.6)
Tensiunea maximă, σ1 se obţine când luăm în faţa radicalului semnul plus, iar
cea minimă σ2, semnul minus.
Procedând la fel şi cu cea de a doua relaţie (3.4,b), prin derivare în raport cu
parametrul 2α şi egalând cu zero, se obţin valorile pentru care tensiunea τα devine
extremă:
σx − σy
dτ α
=−
⋅ cos 2α'12 − τ xy ⋅ sin 2α'12 = 0,
d(2α )
2
σy − σx
1
tg 2α'12 =
.
=−
2 ⋅ τ xy
tg 2α 1, 2
(3.7)
Din relaţia (3.7) rezultă că direcţiile 2α1,2 şi 2α~1,2 sunt perpendiculare, deci
rezultă că: tensiunile tangenţiale extreme se află pe feţele elementului ce diferă cu
45° faţă de feţele pe care avem tensiunile normale principale.
Dacă înlocuim parametrul 2α~1,2 în expresiile (3.4) se obţine:
σm =
σ 1 + σ 2 σ x + σ y σ α + σ α+90
=
=
= ct. ,
2
2
2
ο
(3.8)
2
τ 1, 2
 σ − σy 
σ − σ2
2
=± 1
=±  x
 + τ xy .
2
2 

(3.9)
Relaţia (3.8) ne arată că suma tensiunilor normale pe două feţe perpendiculare
este constantă.
Relaţia (3.9) exprimă egalitatea dintre semidiferenţa tensiunilor normale
principale cu tensiunea tangenţială maximă şi respectiv cu valoarea de sub radical din
relaţia (3.6) şi se poate scrie:
σ 1, 2 = σ m ± τ 1 .
(3.6,a)
Pe feţele înclinate la 45°, faţă de planele principale, apar tensiuni tangenţiale
extreme şi tensiunile medii normale, egale cu semisuma tensiunilor normale.
Starea plană de tensiune, din figura (3.5,a), este echivalentă cu starea de
Fig. 3.5
tensiune din figura (3.5,b), (tensiunile principale normale σ1, σ2) şi cu cea din figura
(3.5,c), (tensiunea medie σm şi tensiunile tangenţiale principale τ1 şi τ2). Aceasta
poate fi scrisă şi prin expresia tensorială:
 σx
Tσ = 
 τ yx
τ xy   σ 1
 =
σy   0
0  σm
 =
σ 2  τ1
τ2 
.
σm
3.5. Cercul lui Mohr pentru starea plană de tensiune
Variaţia tensiunilor în jurul unui punct poate fi analizată mai simplu, prin
utilizarea unei reprezentări grafice, ce rezultă din ecuaţiile (3.4):
σ + σy

σ − x

2

2
2

 σ − σy

 = x
 ,
⋅
cos
2
α
+
τ
sin
2
α
xy



2



2
 σx − σy

τ =  −
⋅ sin 2α + τ xy cos 2α  .
2


2
Adunând cele două ecuaţii şi eliminând parametrul 2α, obţinem:
2
2
 σ −σ 2

σx + σy 

x
y
2
2 

σ −
 +τ = 
 + τ xy .
 

2 
2 



(3.10)
Această expresie reprezintă ecuaţia unui cerc, numit cercul lui Mohr pentru
starea plană de tensiune şi are:
- sistemul de axe:
abscisă: Oσ;
ordonată: Oτ;
- coordonatele centrului C :
σc =
σx + σy
2
şi τ c = 0 ,
- raza:
2
 σ − σy 
σ − σ2
2
R=  x
,
 + τ xy = 1
2 
2

- parametru în coordonate polare:
2α .
Acesta ne arată că oricărui unghi α de la starea reală de tensiune îi corespunde
un unghi la centru (2α), pe cercul lui Mohr.
Construcţia acestui cerc se realizează astfel:
(
- se reprezintă la scară punctele A ( σ x , τ xy ) şi B σ y − τ xy
)
în sistemul de
axe de coordonate σOτ;
- se trasează segmentul AB care este diametrul cercului lui Mohr;
- intersecţia segmentului AB cu axa Oσ este centrul cercului lui Mohr,
C(σm, 0);
- se trasează centrul cu raza CA sau CB.
Determinarea tensiunilor principale şi a direcţiilor principale se face astfel:
- intersecţia cercului cu axa Oσ la dreapta, este punctul S1(σ1, 0), iar la
stânga S2(σ2, 0), deci σ1= OS1 şi σ2= OS2;
- raza CA este orizontala pe cerc şi unghiul de la orizontala pe cerc (CA)
la sensul pozitiv al axei Oσ este 2α1;
- simetricul punctului A faţă de axa Oσ este punctul A’ care unit cu S2 ne
dă direcţia principală (1);
- ordonatele punctelor T1 şi T2 reprezintă tensiunile tangenţiale maximă τ1
şi respectiv minimă τ2, egale în modul dar cu semn schimbat;
- direcţia (2) este o dreaptă perpendiculară pe direcţia (1), iar direcţiile (1´)
şi (2´) se află la ± 45o faţă de direcţia (1) sau (2).
Pe cercul lui Mohr se pot obţine şi tensiunile ce apar pe o suprafaţă înclinată cu
un unghi oarecare α. Unghiul α se obţine ca fiind unghiul de rotire al axei Ox
pentru a o suprapune peste normala la suprafaţa înclinată dată (fig.2.2,b).
Pentru a obţine aceste tensiuni vom lua un unghi la centru 2α de la orizontala
pe cerc (raza CA) în sensul de măsurare a ughiului α. Punctul de pe cerc M va avea
coordonatele σα şi respectiv τα. Simetricul punctului M faţă de centrul cercului va fi
N. Coordonatele punctului N ne vor da tensiunile pe suprafaţa înclinată cu unghiul
α±
π
, respectiv σα+90o şi τα+90o.
2
Fig. 3.6
Observaţie:
Relaţia (3.5,a) se obţine din figura 3.6 astfel:
tgα 1 =
τ xy
A 1A '
=
.
S2A1 σ x − σ 2
Aplicaţia: 3.1. Cunoscând starea de tensiune din figura (3.7,a) să se determine:
a) tensiunile principale,
b) direcţiile principale,
c) tensiunile pe faţa înclinată,
d) să se reprezinte mărimile determinate.
Rezolvare:
I Metoda analitică.
Se recunosc mărimile date, cu semnele lor şi anume:
σx= 60 MPa, tensiunea normală paralelă cu axa Ox;
σy= 20 MPa, tensiunea normală paralelă cu axa Oy;
τxy= 50 MPa, tensiunea tangenţială perpendiculară pe axa Ox şi paralelă cu
axa Oy;
o
α = - 70 , unghiul cu care trebuie să rotim sensul pozitiv al axei Ox pentru
al suprapune peste normala la suprafaţa înclinată dată (minus pentru că
are sens antiorar).
Cu relaţia (2.6) se determină tensiunile principale:
σ 1,2 =
σ x + σy
2
2
2
σx −σy
60 + 20
 60 − 20 
2
2
± 
± 
 + τ xy =
 + 50 =


2
2
2


= 40 ± 58,31 MPa,
σ 1 = 98,31 MPa; σ 2 = −18,31 MPa; σ m = 40 MPa; τ1,2 = ±58,31 MPa .
Din relaţia (3.5,a) se determină unghiul α1 care ne dă direcţia principală (1):
α 1 = arctg
τ xy
σx − σz
= arctg
50
= 32,56o .
60 + 18,31
Utilizând relaţiile (3.4) se determină tensiunile pe faţa înclinată:
σx + σy
σα =
σx − σy
⋅ cos 2α + τ xy sin 2α =
2
2
60 + 20 60 − 20
=
+
⋅ cos( −2 ⋅ 70o ) + 50 ⋅ sin( −2 ⋅ 70o ) = −7,46 MPa.
2
2
τα = −
+
σx − σy
⋅ sin 2α + τ xy ⋅ cos 2α =
2
60 − 20
=−
⋅ sin( −2 ⋅ 70o ) + 50 ⋅ cos( −2 ⋅ 70o ) = −25,45 MPa .
2
Tensiunile pe faţa înclinată cu α + 90 0 se obţin din relaţia (2.13):
σ α +90 = 2σ m − σ α = 20 ⋅ 40 + 7,46 = 87,46 MPa ;
o
şi respectiv din dualitatea tensiunilor tangenţiale :
τ α +90 = − τ α = 25,45 MPa .
o
La reprezentare se duce o dreaptă înclinată faţă de orizontală cu α1 rezultând
direcţia principală (1), pe care se reprezintă un element de volum. Pe acest element de
volum (fig.3.7,b) se reprezintă numai tensiunile normale principale σ1 şi σ2 (σ1
paralel cu direcţia (1) şi σ2 perpendicular pe direcţia (1)) ştiind că tensiunile
tangenţiale sunt nule.
Fig. 3.7
o
Faţă de direcţia principală (1) se duce o direcţie la ± 45 (în cazul nostru la
o
- 45 ) care va fi direcţia principală (1’) sau (2’). Reprezentând un element de volum şi
pe această direcţie (fig.3.7,c), vom reprezenta tensiunea normală medie pe toate
laturile precum şi tensiunile tangenţiale maxime şi respectiv minime. Sensul acestor
tensiuni tangenţiale se obţine din proiecţia forţelor elementare corespunzătoare unui
colţ al elementului de volum desenat, după direcţia principală (1). Dacă se
proiectează forţele corespunzătoare colţului de sus pe direcţia dusă la 45o se va
obţine sensul tensiunii tangenţiale de deasupra elementului, iar dacă se proiectează
forţele corespunzătoare colţului de jos se obţine sensul tensiunii tangenţiale de sub
elementul construit. Cunoscând sensul tensiunilor tangenţiale se află şi ce direcţie a
fost trasată. Deoarece τ1 este perpendicular pe direcţia dusă, aceasta este direcţia (1’).
Unghiul α 1, se măsoară de la orizontală la direcţia dusă (în cazul nostru
α 1, = α 1 − 45o = 32,65o − 45o = −12,35o ).
Dacă τ2 era perpendicular pe direcţia dusă aceasta ar fi fost direcţia (2’) şi
analog se obţinea atunci unghiul α ,2 .
Reprezentarea tensiunilor pe faţa înclinată se face pe un element de volum
construit pe dreapta în prelungirea acestei suprafeţe şi se va reprezenta (fig.3.7,d):
σ α , perpendicular pe suprafaţa înclinată dată,
σ α+90 , paralel cu suprafaţa înclinată dată,
o
τ α , paralel cu suprafaţa înclinată dată şi
τ α+90 conform dualităţii tensiunilor tangenţiale.
o
II Metoda grafică.
Se reprezintă într-un sistem de coordonate
σOτ , la scară, punctele
A(σ x , τ xy ) = A(60,50) şi B(σ y ,− τ xy ) = B(20,−50) . Se duce segmentul AB (fig. 3.8)
care este diametrul cercului lui Mohr, iar intersecţia acestuia cu axa orizontală este
centrul cercului C(σ m ,0) .
Se trasează cercul cu diametrul AB şi se notează punctele S1 (σ 1 , 0) şi
S 2 (σ 2 , 0) , intersecţia cercului cu axa Oσ la dreapta şi respectiv la stânga. Prin centrul
cercului se duce o paralelă la axa Oτ până intersectează cercul în T1 (σ m , τ 1 ) , spre
sensul pozitiv al lui Oτ şi T2 (σ m , τ 2 ) , spre sensul negativ al lui Oτ .
Se măsoară lungimile segmentelor (la scara utilizată) obţinându-se:
σ 1 = OS1 = 98 MPa;
σ 2 = OS2 = −18 MPa;
τ 1 = OT1 = 58 MPa;
τ 2 = OT2 = −58 MPa.
Obţinerea direcţiei principale (1): Raza CA este orizontalã pe cerc, iar
unghiul de la orizontala pe cerc la sensul pozitiv al axei Oσ este 2α 1 . Se duce
simetricul punctului A, corespunzător orizontalei de pe cerc, faţã de axa Oσ
Fig. 3.8
obţinându-se punctul A’. Unind S2 cu A’ se obţine direcţia reală (1), iar unghiul de la
axa orizontală la direcţia (1) este α 1 şi măsurat rezultă: α 1 = 32 o .
Reprezentarea tensiunilor principale după direcţia (1), (fig.3.8,b) şi după
direcţia (1’), (fig.3.8,c) se face analog ca la metoda analitică.
Tensiunile pe faţa înclinată. De la orizontala pe cerc se măsoară un unghi
2α = −2 ⋅ 70o (În acest caz în sens antiorar deoarece unghiul α este negativ,) şi se
obţine punctul M(σ α , τ α ) . Simetricul acestui punct faţă de centrul cercului va fi
punctul N( σ α + 9 o , τ α + 90 ) . Măsurând, la scara la care s-a lucrat, coordonatele acestor
o
o
puncte, se obţin tensiunile:
σ α = - 7 MPa;
τ α = - 25 MPa;
σ α+90 = 87 MPa;
τ α+90 = 25 MPa.
o
o
Reprezentarea tensiunilor pe faţa înclinată se face tot ca la metoda analitică
(fig.3.8,a).
Analiza completă şi exactă a stării plane de tensiune pe cerc presupune o
construcţie precisă, la scară, cu rigla şi compasul.
3.6. Cazuri particulare ale stării plane de tensiune
3.6.1. Starea liniară de tensiune (σx= σ > 0, τxy= σy- σ2= 0)
Datorită faptului că σ2= 0 va rezulta S2= 0 şi ca atare cercul trece prin origine.
Aceasta este mai simplu şi sugestiv de rezolvat grafic. Punctul S1= σ1 este abscisa
o
maximă. Tensiunile tangenţiale maxime, aflate la 45 au valorile τ 1 = − τ 2 =
σm =
σ
, (fig.3.9).
2
σ
,
2
Tensorial această situaţie se poate exprima astfel:
Fig. 3.10
Fig. 3.9
σ
0
σ

 2
Tσ = 
 =
 0 0  σ
2
σ

2 .
σ 
2 
−
3.6.2. Forfecarea pură (σx= σy= 0, τxy= τyx= τ > 0)
Utilizând şi în acest caz metoda grafică, întrucât σx= σy= 0 cercul lui Mohr are
centrul în origine C ≡ O iar tensiunile principale sunt (fig. 3.10):
σ 1 = −σ 2 = τ .
Tensorul tensiune va avea următoarea formă:
 0 − τ  σ
Tσ = 
 =
τ 0   0
0 
.
− σ
o
o
Direcţiile principale fac unghiurile α1= 45 şi α2= - 45 .
Forfecare pură este echivalentă cu starea de tensiune plană în care
tensiunile σ sunt egale şi de sens opus.
3.7. Analiza stării generale de tensiune
Valorile celor nouă componente ale tensorului tensiune (relaţia 3.2 sau/şi fig.
3.2,b) sunt funcţie de orientarea feţelor elementului infinitezimal considerat. Analiza
stării spaţiale de tensiune se va face considerând un plan înclinat, a cărui normală are
cosinuşii directori l, m, n. Cu acest plan se secţionează elementul din figura (3.2,b)
obţinându-se tetraiedrul OABC din figura 3.11.
Dacă faţa ABC are aria de mărime dA, atunci cele trei feţe ce sunt paralele cu
planurile axelor de coordonate, au ariile:
dAx= l⋅dA, dAy= m⋅dA,
dAz= n⋅dA.
Pe cele trei feţe din planele axelor de coordonate se dezvoltă tensiunile: σx, σy,
σz, τxy= τyz, τyz=τzy, τzx= τxz. Corespunzător acestor tensiuni în figura 3.11 s-au
reprezentat eforturile elementare. Pe faţa înclinată ABC vor acţiona componentele
dX, dY şi dZ ale efortului elementar dR , precum şi componentele px, py, pz ale
tensiunii p . Expresiile acestor componente sunt:
dX = ( l ⋅ σ x + m ⋅ τ yx + n ⋅ τ zx ) ⋅ dA ,
dY = ( l ⋅ τ xy + m ⋅ σ y + n ⋅ τ zy ) ⋅ dA ,
dZ = ( l ⋅ τ xz + m ⋅ τ yz + n ⋅ σ z ) ⋅ dA ,
(3.11)
px =
dX
,
dA
py =
dY
,
dA
pz =
dZ
.
dA
Modulul efortului elementar şi al
tensiunii va fii:
Fig. 3.11
dR = dX 2 + dY 2 + dZ 2 , p = p 2x + p 2y + p 2z .
(3.12)
La analiza stării spaţiale de tensiune interesează tensiunea normală şi cea
tangenţială de pe faţa înclinată dA, ce se obţin cu relaţiile (3.1). Pentru analiză
trebuiesc determinate componentele dN (după direcţia normalei) şi dT (conţinută în
planul secţiunii dA) ale efortului elementar dR .
Componenta dN va fi:
dN = l ⋅ dX + m ⋅ dY + n ⋅ dZ ,
iar ţinând seama de expresiile 3.11 rezultă:
[
]
dN = l 2 ⋅ σx + m2 ⋅ σy + n2 ⋅ σz + 2 ⋅ (l ⋅ m ⋅ τxy + m ⋅ n ⋅ τyz + n ⋅ l ⋅ τzx ) ⋅ dA.
(3.13)
Forţa elementară tangenţială va fi:
dT = dR 2 − dN 2 .
(3.14)
Înlocuind în relaţia de definiţie a tensiunilor (3.1) valorile eforturilor
elementare de mai sus (3.13) şi (3.14) rezultă relaţiile pentru tensiuni de pe faţa
înclinată:
σ=
dN
= l 2 ⋅ σ x + m 2 ⋅ σ y + n 2 ⋅ σ z + 2 l ⋅ m ⋅ τ xy + m ⋅ n ⋅ τ yz + n ⋅ l ⋅ τ zx
dA
(
dT
dR 2 − dN 2
τ=
=
= p2 − σ 2 .
dA
dA
)
(3.15)
Considerăm un vector v = O' M , ce are direcţia normalei la suprafaţa înclinată
dA, de modul v şi care va avea proiecţiile pe axele de coordonate:
x = l ⋅ v,
y = m ⋅v,
z = n⋅v,
iar cosinuşii directori ai vectorului v sunt:
l=
x
,
v
m=
y
,
v
n=
z
.
v
(3.16)
Dacă vom considera că modulul vectorului este invers proporţional cu rădăcina
pătrată a tensiunii normale:
k2
k
v=
, respectiv σ = ± 2 ,
(3.17)
v
σ
vârful vectorului v va descrie o suprafaţă ce rezultă din prima ecuaţie (3.15), ţinând
seama de (3.16) şi (3.17):
±
k 2 x2
y2
z2
y⋅z
z⋅ x
x⋅y

=
⋅
σ
+
⋅
σ
+
⋅ σ z + 2 2 ⋅ τ xy + 2 ⋅ τ yz + 2 ⋅ τ zx  ,
x
y
2
2
2
2
 v

v
v
v
v
v
v
care după simplificare rezultă:
x 2 ⋅ σ x + y 2 ⋅ σ y + z 2 ⋅ σ z + 2(x ⋅ y ⋅ τ xy + y ⋅ z ⋅ τ yz + z ⋅ x ⋅ τ zx ) = ± k 2 (3.18)
Ecuaţia (3.18) arată cum variază tensiunea normală σ şi poartă numele de
cuadrica tensiunilor normale (cuadrica lui Cauchy). Componentele tensorului
tensiune sunt coeficienţii cuadricei.
Raportând cuadrica la axele sale principale (1, 2, 3) dispar termenii ce conţin
produse de coordonate, respectiv ce conţin tensiunile tangenţiale. Rezultă că există
trei plane perpendiculare între ele pe care tensiunile tangenţiale sunt nule. Pe aceste
feţe acţionează numai tensiuni normale σ1 > σ2 > σ3, ce se numesc tensiuni
principale. Direcţiile acestora sunt chiar direcţiile axelor principale.
Determinarea tensiunilor şi a axelor principale se face din condiţia că pe faţa înclinată
dA (fig. 3.10), tensiunea tangenţială este nulă. Ca urmare, cele trei componente ale
efortului de pe suprafaţa dA sunt:
dX = l ⋅ σ ⋅ dA , dY = m ⋅ σ ⋅ dA , dZ = n ⋅ σ ⋅ dA .
Înlocuind aceste expresii în relaţia (3.11) se obţine sistemul de ecuaţii:
l ⋅ ( σ x − σ ) + m ⋅ τ yx + n ⋅ τ yz = 0
l ⋅ τ xy + m ⋅ ( σ y − σ ) + n ⋅ τ zy = 0
(3.19)
l ⋅ τ xz + m ⋅ τ yz + n ⋅ ( σ z − σ ) = 0
Pentru ca acest sistem să aibă soluţii diferite de soluţia banală (egală cu zero)
este necesar ca:
σx − σ
τ xy
τ xz
τ yx
τ zx
σy − σ
τ zy = 0.
τ yz
σz − σ
Dezvoltând determinantul se obţine ecuaţia:
σ 3 − I1 ⋅ σ 2 + I 2 ⋅ σ − I 3 = 0 ,
(3.20)
unde coeficienţii lui σ sunt invarianţi (deoarece oricare ar fi sistemul de axe
tensiunile principale sunt aceleaşi:
I1 = σ x . + σ y + σ z = σ 1 + σ 2 + σ 3 ,
I 2 = σ x ⋅ σ y + σ y ⋅ σ z + σ z ⋅ σ x − τ 2xy − τ 2yz − τ 2zx = σ 1 ⋅ σ 2 + σ 2 ⋅ σ 3 + σ 3 ⋅ σ 1 ,
σx
I 3 = τ xy
τ yx
σy
τ zx
σ1
τ zy . = 0
0
σ2
0
0
τ xz
τ yz
σz
0
σ3
0
(3.21)
Ecuaţia (3.20) are trei soluţii reale care sunt cele trei tensiuni principale:
σ1 > σ2 > σ3.
Ecuaţia cuadricei în raport cu axele principale este:
x 2 ⋅ σ 1 + y 2 ⋅ σ 2 + z2 ⋅ σ 3 = ± k 2 .
(3.22)
Direcţiile principale 1, 2, 3, ce definesc feţele pe care se dezvoltă tensiunile
principale, se obţin din sistemul de ecuaţii (3.19) înlocuind pe rând tensiunea σ cu
fiecare valoare a tensiunilor principale σ1, σ2, σ3, şi la care se adaugă condiţia:
l2 + m 2 + n2 = 1.
(3.23)
Cele trei direcţii principale sunt ortogonale şi deci:
n1 ⋅ n 2 = n 2 ⋅ n 3 = n 3 ⋅ n1 = 0 .
(3.24)
Eliminând parametrii l, m, n din ecuaţia (3.23) pentru direcţiile principale cu
valorile acestora din relaţiile:
px =
dX
dY
= l ⋅ σ1 , py =
= m ⋅ σ2,
dA
dA
pz =
dZ
= n ⋅ σ3,
dA
se obţine ecuaţia:
2
p 2x p y p 2z
+
+
= 1.
σ 12 σ 22 σ 23
(3.25)
Această ecuaţie reprezintă ecuaţia unui elipsoid numit elipsoidul tensiunilor
sau elipsoidul lui Lamé şi reprezintă locul geometric al vârfurilor vectorului
p = p x ⋅ i + p y ⋅ j + p z ⋅ k , cu originea în O’, când planul ABC se roteşte.
Dacă se face o secţiune prin elipsoidul tensiunilor cu un plan principal se
obţine o stare plană de tensiune şi respectiv elipsa tensiunilor care corespunde unei
tensiuni principale care este nulă (ex. σ3= 0). Dacă două din tensiunile principale sunt
nule (ex. σ2= σ3= 0) elipsoidul degenerează într-o dreaptă şi corespunde unei stări
liniare de tensiune.
3.8. Cercul lui Mohr pentru starea spaţială de tensiune
Tensiunile de pe o faţă înclinată (ABC, fig.3.11) se pot determina şi pe cale
grafică, cu ajutorul cercului lui Mohr dacă elementul de volum este orientat după
direcţiile principale (1), (2), (3), respectiv sunt cunoscute tensiunile principale
σ 1 , σ 2 , σ 3 , . Pe axa Oσ se construiesc la scară segmentele OS1 , OS 2 şi OS 3 (la
abscisele σ 1 , σ 2 , σ 3 ) şi se trasează semicercurile cu diametrele S1S 2 , S 2S 3 şi S 3S 1 .
Triunghiul curbiliniu haşurat reprezintă locul geometric al stărilor de tensiuni
σ α , τ α când planul înclinat se roteşte în jurul punctului considerat.
Considerând unghiurile α , β şi γ ca fiind unghiurile pe care le face normala
la suprafaţa înclinată cu σ 1 , σ 2 şi respectiv σ 3 vom proceda astfel:
- se trasează dreapta S 1 P1 ce face unghiul α de la verticala dusă în S1 ;
- se trasează dreapta S 3 P3 ce face unghiul γ de la verticala dusă în S 3 ;
Coordonatele punctului M, ce rezultă din intersecţia arcelor de cerc trasate cu
razele r1 = C1 P1 şi r3 = C 3 P3 reprezintă tensiunile din planul înclinat. Acelaşi punct
se obţine trasând dreapta S 2 P2 ce face unghiul β de la verticala dusă în S 2 şi trasând
arcul cu rază r2 = C 2 P2 .
3.9. Cazuri particulare ale stării spaţiale de tensiune
Se consideră că elementul de volum are feţele definite de cele trei direcţii
principale 1, 2, 3 şi deci pe acestea vor acţiona numai tensiunile principale σ1, σ2, σ3.
Fig. 3.12
3.9.1 Tensiuni în planuri bisectoare
Secţionând
elementul de volum pe rând cu cele trei plane bisectoare ale
diedrelor principale (fig. 3.13), pe fiecare faţă din elementul de volum va exista o
stare plană de tensiune deoarece a treia tensiune normală este conţinută în plan,
Întrucât planurile sunt la 45o faţă de planurile principale , pe acestea vor acţiona
tensiuni tangenţiale maxime şi tensiuni normale medii.
Tensinile din planurile bisectoare sunt:
- în planul bisector 1:
σ 1m =
σ2 + σ3
,
2
τ1 = ±
σ2 − σ3
;
2
- în planul bisector 2:
Fig. 3.13
(3.26,a)
σ 2m =
σ1 + σ 3
,
2
τ2 = ±
σ1 − σ 3
;
2
(3.26,b)
- în planul bisector 3:
σ 3m =
σ1 + σ 2
,
2
τ3 = ±
σ1 − σ 2
;
2
(3.26,c)
Deci, pe fiecare faţă a fiecărui plan bisector principal există o stare plană
de tensiune cu tensiuni tangenţiale maxime. Dintre cele trei plane bisectoare planul
bisector 2 conţine tensiunea tangenţială maximă a stării generale de tensiune.
τ max = τ 2 =
σ1 − σ 3
.
2
(3.27)
3.9.2. Tensiuni octaedrice
Un plan egal înclinat faţă de direcţiile tensiunilor principale, ceea ce înseamnă
l =m =n =1
3 reprezintă un plan octaedric (fig.3.14).Tensiunile pe un octaedru,
obţinut prin secţionarea elementului de volum cu opt asemenea plane, numite tensiuni
octaedrice sunt:
σ oct = σ m =
σ1 + σ 2 + σ 3
,
3
(3.28)
Fig. 3.14
1
2
2
2
σ 1 − σ 2 ) + (σ 2 − σ 3 ) + (σ 3 − σ 1 ) =
(
3
2 2
=
τ 1 + τ 22 + τ 23
3
τ oct =
(3.29)
Aplicaţia 3.2 Pentru starea spaţială de tensiuni din figura 3.15 să se determine:
a) tensiunile principale;
b) direcţiile principale;
c) tensiunile octoedrice.
I. Recunoaşterea mărimilor date:
Ţinând seama de valorile date, de semnele convenţionale atribuite avem:
σ x = 180 MPa;
τ xy = −60 MPa;
σ y = −80 MPa;
τ yz = 70 MPa;
σ z = 100 MPa;
τ zx = 50 MPa.
a) Cu relaţiile (3.21) se calculează invarianţii ecuaţiei (3.20):
I 1 = σ x + σ y + σ z = 180 − 80 + 100 = 200 MPa;
I 2 = σ x ⋅ σ y + σ y ⋅ σ z + σ z ⋅ σ x − τ 2xy − τ 2yz − τ 2zx =
= 180 ⋅ ( −80) + ( −80) ⋅ 100 + 100 ⋅ 80 − 602 − 702 − 502 = −1,54 ⋅ 104 MPa 2 ;
Fig. 3.15
σx
τ yx
τ zx
I 3 = τ xy
τ xz
σy
τ yz
τ zy = − 60 − 80 70 = −2,209 ⋅ 10 −6 MPa 3 .
σz
50
70 100
180
− 60
50
Ecuaţia (3.20) devine:
σ 3 − 200σ 2 − 1,54 ⋅ 10 4 σ + 2,902 ⋅ 10 6 = 0 ,
a cărei soluţii sunt:
σ 1 = 206,53 MPa > σ 2 = 115,32 MPa > σ 3 = −121,85 MPa .
Utilizând relaţiile (3.26) rezultă:
σ 1 − σ 3 206,53 + 121,85
=
= 164,2 MPa ;
2
2
σ − σ 2 206,53 − 115,53
τ2 = 1
=
= 45,61 MPa ;
2
2
σ − σ 3 115,53 + 121,85
τ3 = 2
=
= 118,6 MPa .
2
2
τ1 =
Verificarea acestor soluţii se face recalculând invarianţii ecuaţiei (3.21) luând
drept axe de referinţă axele principale:
I 1 = σ 1 + σ 2 + σ 3 = 206,53 + 115,32 − 121,85 = 200 MPa ;
I 2 = σ1 ⋅ σ 2 + σ 2 ⋅ σ 3 + σ 3 ⋅ σ1 =
= 206,53 ⋅ 115,32 − 115,32 ⋅ 121,85 − 121,85 ⋅ 206,53 = −1,54 ⋅ 104 MPa 2 ;
I 3 = σ 1 ⋅ σ 2 ⋅ σ 3 = 206,53 ⋅ 115,32 ⋅ ( −121,85) = −2,209 ⋅ 106 MPa 3 .
b) Direcţiile principale
Înlocuind σ = σ1 sistemul (2.18) devine:
 - 26,53 ⋅ l1 − 60 ⋅ m1 + 50 ⋅ n1 = 0;

- 60 ⋅ l1 + 286,53 ⋅ m1 + 70 ⋅ n1 = 0;
 50 ⋅ l + 70 ⋅ m − 106,53 ⋅ n = 0.
1
1
1

a cărui soluţii sunt: l1= 0,9249, m1= - 0,1055 şi n1= 0,3655 ceea ce definesc direcţia
tensiunii principale σ1.
Procedând analog pentru (σ = σ2) obţinem valorile l2= - 0,297, m2= 0,4017 şi
n2= 0,8663 care definesc direcţia σ2.
Dacă în sistemul (3.19) introducem σ = σ3 rezultă l3= - 0,6967 şi m3= - 0,9097
şi n3= 0,3405 care sunt cosinuşii directori ai direcţiei σ3
Verificarea soluţiilor obţinute se face din condiţia de ortogonalitate a direcţiilor
s1 , s2 şi s3. Pentru direcţiile (1) şi (2) rezultă:
l1 ⋅ l 2 + m1 ⋅ m2 + n1 ⋅ n 2 =
= −0,9249 ⋅ 0,297 − 0,1055 ⋅ 0,4017 + 0,3655 ⋅ 0,8663 = 0
Pentru direcţiile (1) şi (3):
l1 ⋅ l 3 + m1 ⋅ m 3 + n1 ⋅ n 3 =
= −0,9249 ⋅ 0,2373 + 0,1055 ⋅ 0,9097 + 0,3655 ⋅ 0,3405 = 0
Direcţiile principale sunt reprezentate în figura (3.13,b).
c) Tensiunile octaedrice
Cu relaţiile (3.28) şi (3.29) se obţin:
σ oct = σ m =
σ 1 + σ 2 + σ 3 206,53 + 115,3 − 121,85
=
= 66,66 MPa ,
3
3
1
(σ1 − σ2 )2 + (σ2 − σ3)2 + (σ3 − σ1)2 =
3
1
2
2
2
= (20653
, − 1153
, ) + (1153
, + 12185
, ) + (− 12185
, − 20653
, ) = 138,4 MPa.
3
τoct =
3.9.3. Tensorul sferic şi deviatorul
Când tensiunile principale sunt egale:
σ 1 = σ2 = σ3 = σm ≠ 0
(3.30)
tensorul tensiune se numeşte tensor sferic. Această stare de tensiune are ca efect
numai modificarea volumului fără modificarea formei (sfera se deformează tot în
sferă).
Când suma tensiunilor principale este nulă:
σm =
1
(σ 1 + σ 2 + σ 3 ) = 0 pentru σ 1 ≠ 0, σ 2 ≠ 0, σ 3 ≠ 0
3
(3.31)
tensorul tensiune se numeşte deviator. Efectul unei asemenea stări de tensiune este
schimbarea formei fără modificarea volumului (sfera se modifică în elipsoid fără
să-şi modifice volumul).
Ţinând seama de relaţiile (3.30) şi (3.31) orice caz general de tensiune se poate
descompune în două stări:
- una produsă de tensorul sferic
- cealaltă produsă de tensorul deviator.
Se poate astfel exprima starea generală de tensiune:
Tσ = TS + TD ,
(3.32)
sau explicit:
 σ1

 0
 0

0
σ2
0
0  σm
 
0 = 0
σ 3   0
0
σm
0
0   σ1 − σm
 
0  +
0


σm 
0
0
σ2 − σm
0


 (3.33)
σ 3 − σ m 
0
0
Această descompunere poate fi ilustrată prin stările de tensiune din figura 3.16
Fig. 3.16
3.10. Variaţia tensiunilor dintr-un corp. Ecuaţiile de echilibru
În analiza stării de tensiune de mai sus s-a făcut ipoteza că tensiunile de pe
feţele paralele ale elementului infinit mic sunt egale în mărime şi de sens contrar.
Această ipoteză este valabilă şi trebuie făcută când se analizează variaţia tensiunilor
în jurul unui punct. La analiza variaţiei tensiunilor într-un corp nu se mai acceptă
această ipoteză pentru că se ia în considerare schimbarea intensităţii tensiunilor
normale şi tangenţiale între două feţe paralele.
Pentru simplificarea demonstraţiei se consideră un element solicitat plan (fig.
3.17). Astfel tensiunea normală σx de pe faţa verticală A devine σ x +
faţa A ' unde
∂σ x
dx pe
∂x
∂σ x
dx este creşterea tensiunii σx pe distaţna dx în direcţia pozitivă a
∂x
axei Ox. În mod similar, τxy de pe faţa
A devine τ xy +
∂τ xy
∂x
dx pe faţa A ' .
Aceste modificări se produc şi pe direcţia axei Oy aşa cum este prezentat în figura
3.17. Ţinând seama şi de forţele masice X ⋅ dx ⋅ dy ⋅ dz şi Y ⋅ dx ⋅ dy ⋅ dz ce
acţionează în centrul de greutate al elementului considerat, vom avaea următoarele
ecuaţii de echilibru:
∂τ yx 

∂σ x 

σ x ⋅ dy ⋅ dz −  σ x +
dx dy ⋅ dz + τ yx ⋅ dx ⋅ dz −  τ yx +
dy ⋅ dz ⋅ dx −


∂y
∂x


− X ⋅ dx ⋅ dy ⋅ dz = 0,
Fig. 3.17
∂σ y 
∂τ xy 


σ y ⋅ dx ⋅ dz −  σ y +
dy dx ⋅ dz + τ xy ⋅ dy ⋅ dz −  τ xy +
dx ⋅ dy ⋅ dz −
∂y
∂x




− Y ⋅ dx ⋅ dy ⋅ dz = 0.
Reducând termenii asemenea şi simplificând cu dx⋅dy⋅dz se obţin ecuaţiile:
∂σ x ∂τ yx
+
+ X = 0,
∂x
∂y
∂τ xy ∂σ y
+
+ Y = 0.
∂x
∂y
(3.34)
Relaţiile (3.34) reprezintă variaţia tensiunilor într-un corp pentru starea
plană de tensiune ţinând seama şi de forţele masice.
Dacă forţele masice sunt neglijabile în raport cu celelalte sarcini şi nu se iau în
considerare, relaţiile de mai sus devin:
∂σ x ∂τ yx
+
= 0,
∂x
∂y
∂τ xy ∂σ y
+
= 0.
∂x
∂y
(3.35)
Se constată că variaţia tensiunilor normale trebuie să fie întodeauna
însoţită şi de variaţia tensiunilor tangenţiale şi invers.
Rezultatele obţinute mai sus sunt aplicabile în practică fie că se ia elementul
din figura 3.3 (dacă se analizează starea de tensiune în jurul unui punct) sau
elementul din figura 3.16 (când se analizează variaţia tensiunilor într-un corp).
Prin extrapolare, din ecuaţiile (3.34) se pot obţine relaţiile ce caracterizează variaţia
tensiunilor într-un corp, dacă se ţine seama şi de forţele masice:
∂σ x ∂τ yx ∂τ zx
+
+
+ X = 0,
∂x
∂y
∂z
∂τ xy ∂σ y ∂τ zy
+
+
+ Y = 0,
∂x
∂y
∂z
∂τ xz ∂τ yz ∂σ z
+
+
+ Z = 0.
∂z
∂y
∂z
Dacă se neglijează forţele masice ecuaţiile (3.36) devin:
(3.36)
∂σ x ∂τ yx ∂τ zx
+
+
= 0,
∂x
∂y
∂z
∂τ xy ∂σ y ∂τ zy
+
+
= 0,
∂x
∂y
∂z
∂τ xz ∂τ yz ∂σ z
+
+
= 0.
∂z
∂y
∂z
(3.37)
3.11. Deformaţii şi deplasări
Starea de tensiune s-a analizat ca efect al forţelor interioare şi în mod similar se
va analiza modificarea dimensiunilor.
Prin deformaţie se înţelege modificarea dimensiunii ER. Modificarea
lungimii se numeşte lungire, când ER este întins şi respectiv scurtare, când acesta
este comprimat. Lungirile şi respectiv scurtările se notează cu ∆l, ∆x, ∆y, ∆z, etc.
Prin deformaţie unghiulară se înţelege modificarea unghiurilor (drepte) şi se
notează cu ∆ϕ; ∆θ, etc.
Pentru a simplifica şi evidenţia mai clar studiul deformaţiilor, să considerăm un
element plan OABC decupat dintr-un ER solicitat plan. Starea plană de tensiune
poate fi considerată ca fiind suprapunerea a trei stări de tensiune: două stări de
tensiune normală (fig.3.18,b şi c) şi una de forfecare pură (fig.3.18,d). Fiecare din
aceste stări de tensiune produc, deformaţii caracteristice.
Starea de tensiune din figura (3.18,b) modifică lungimea elementului, astfel că
elementul cu dimensiunile iniţiale (linie întreruptă) se schimbă şi ia forma
elementului reprezentat cu linie groasă. Aceste schimbări sunt deformaţii liniare, ∆’x
şi ∆’y - unde ∆’x este o alungire, iar ∆’y o contracţie. Deformaţiile liniare se măsoară
în mm sau µm.
Similar se deformează elementul pentru starea de tensiune din figura (3.18,c),
cu lungirea ∆’’y şi contracţia ∆’’x.
Fig. 3.18
Deoarece deformaţiile liniare nu pot caracteriza bine deformaţiile unui ER,
pentru că depind de dimensiunile acestuia se utilizează noţiunile de deformaţii
specifice.
Se defineşte deformaţie specifică liniară pe o direcţie raportul dintre
alungirea (scurtarea) elementului şi lungimea iniţială a acestuia pe direcţia respectivă.
Pentru elementele din figura (3.18,b,c) se obţin următoarele alungiri specifice:
ε 'x =
∆' x
dx
şi ε ''y =
∆ '' y
,
dy
(3.38,a)
şi scurtări (contracţii) specifice:
ε 'y =
∆' y
∆ '' x
şi ε ''x =
dy
dx
(3.38,b)
Tensiunile tangenţiale deformează elementul ca în figura (3.18,c,). Sub
acţiunea tensiunilor tangenţiale elementul îşi modifică numai unghiul drept dar
lungimile laturilor rămân aceleaşi. Modificarea unghiului drept se notează cu γxy.
Deoarece unghiul γxy, este foarte mic, deformaţia specifică unghiulară, se
poate defini astfel:
γ xy ≈ tg γ xy
∆''' l
=
,
dx
(3.38)
şi se numeşte lunecare specifică.
Deformaţiile specifice liniare şi cele unghiulare sunt adimensionale. În
lucrările tehnice de specialitate lungirile specifice se dau în µm/m sau în %, iar
lunecările specifice pot fi exprimate în µm/m sau în radiani.
Deformaţiile specifice sunt tensori ca şi tensiunile.
Drumul parcurs de un punct al ER de la poziţia sa iniţială
corespunzătoare unui ER neîncărcat la poziţia finală, după solicitare se numeşte
deplasare. Deplasările sunt mărimi vectoriale.
Deplasarea, în mod uzual, poate rezulta din următoarele patru tipuri generale:
a) translaţia întregului ER;
b) rotaţia întregului ER;
c) schimbarea dimensiunilor ER;
d) modificarea unghiurilor ER.
Primele două deplasări sunt deplasări ale rigidului, iar ultimele două tipuri sunt
cauzate de deformaţia ER. Deplasările rigidului s-au studiat la cinematică. În
Rezistenţa materialelor se vor studia numai deplasările produse prin deformarea ER.
3.12. Analiza stării plane de deformaţie
Dacă suprapunem toate deformaţiile din figurile (3.18,b,c,d) produse de
tensiunile normale şi de tensiunile tangenţiale se obţine starea plană de deformaţie
(fig.3.18,e).
Elementul infinit mic din figura 3.19 poate fi considerat că reprezintă un
punct din ER. Laturile elementului se iau paralele cu axele alese. Deformaţiile
specifice εx, εy şi γxy asociate sistemului de axe Oxy sunt reprezentate în figura
(3.11,c).
Fig. 3.19
În multe probleme inginereşti se cere determinarea deformaţiilor într-un sistem
particular de axe de coordonate Osn rotit cu unghiul α faţă de sistemul iniţial.
În acest scop se consideră elementul OASB, a cărui diagonală OS face unghiul
α faţă de sistemul iniţial Oxy, (fig. 3.20,b). Diagonala OS este latura elementului din
figura (3.20,a). Starea plană de deformaţie conduce la deformaţiile liniare
ε x ⋅ dx, ε y ⋅ dy şi la deformaţia unghiulară
(1 + ε x ) ⋅ γ xy .
Din cauza acestor
deformaţii punctul S se va deplasa în S2 efectuând o rotaţie SS 1 = ∆dS n şi o translaţie
paralelă cu OS: S 1S 2 = ∆ds .
Deplasările punctului S rezulă din insumarea corespunzătoare a catetelor
Fig. 3.20
triunghiurilor
(1 + ε ) ⋅ γ
xy
xy
1, 2, 3
dreptunghice
ce
au
ipotenuzele
ε x ⋅ dx, ε y ⋅ dy ,
≈ γ xy şi au câte o catetă paralelă cu ds = OS . Astfel se obţine:
∆ds = S 1S 2 = AA 4 + BB 2 + A 3 A 2 =
= ε x ⋅ dx ⋅ cos α + ε y ⋅ dy ⋅ sin α + (1 + ε x ) ⋅ γ xy ⋅ dx ⋅ sin α ,
∆ds n = SS 1 = A 4 A 3 + B 2 B 1 = A 1 A 3 − A 1 A 4 + B 2 B 1 =
= (1 + ε x ) ⋅ γ xy ⋅ dx ⋅ cos α − ε x ⋅ dx ⋅ sin α + ε y ⋅ dy ⋅ cos α .
Prin împărţirea cu ds rezultă:
∆ds
dx
dy
dx
εx =
== ε x ⋅
⋅ cos α + ε y ⋅
⋅ sin α + (1 + ε x ) ⋅ γ xy ⋅
⋅ sin α ,
ds
ds
ds
ds
∆ds n
dx
dy
dx
Φ1 =
= −ε x ⋅
⋅ sin α + ε y ⋅
⋅ cos α + (1 + ε x ) ⋅ γ xy ⋅ dx ⋅ cos α .
ds
ds
ds
ds
Având in vedere figura 3.20 şi ţinând seama că:
dx
dy
= cos α ,
= sin α
ds
ds
şi că în paranteză εx este foarte mic în raport cu 1 şi se poate neglija, se obţine:
ε α = ε x ⋅ cos 2 α + ε y ⋅ sin 2 α + γ xy ⋅ sin α ⋅ cos α ,
Φ 1 = − ( ε x − ε y ) ⋅ sin α ⋅ cos α + γ xy ⋅ cos α .
(3.40)
Înlocuind în prima relaţie (3.40):
sin 2 α =
1 − cos 2α
1 + cos 2α
sin 2α
, cos 2 α =
, sin α cos α =
,
2
2
2
se obţine alungirea specifică liniară pe direcţia α:
εα =
εx − εy
2
+
εx − εy
2
cos 2α +
1
γ xy sin 2α
2
(3.41,a)
Unghiul Φ1 reprezintă rotirea laturii OS. Prin deformarea ER se roteşte şi latura
ON, perpendiculară pe OS. Din figura (3.21,a) se observă că unghiul drept NOS, se
micşorează prin deformare şi va deveni:
N 2 OS 2 = 90 o − Φ 1 + Φ 2 = 90 o − ( Φ 1 − Φ 2 )
Modificarea unghiului drept va fi:
γ xy = Φ 1 − Φ 2 .
Fig. 3.21
Această mărime numită lunecare specifică, se poate determina dacă se
cunoaşte şi unghiul Φ2.
Din figura (3.21,b) se determină:
dS n NN 1 DD 4 + D 3 D 2 − E 1E 2
=
=
=
dn
ON
ON
dx
dx
dy
= εx ⋅
⋅ cos α + (1 + ε x ) ⋅ γ xy ⋅
⋅ sin α − ε y ⋅
⋅ sin α .
dn
dn
dn
Φ2 =
Ţinând seama că:
dx
dy
= sin α ,
= cos α .
dn
dn
şi în paranteză neglijând pe ε x faţă de 1, se obţine:
Φ 2 = ( ε x − ε y ) ⋅ sin α ⋅ cos α + γ xy ⋅ sin 2 α
Prin urmare lunecarea specifică rezultă:
(
)
γ xy = Φ 1 − Φ 2 = −2( ε x − ε y ) ⋅ sin α ⋅ cos α + γ xy ⋅ cos 2 α − sin 2 α ,
şi ţinând seama de expresiile funcţiilor trigonometrice ale unghiului dublu:
γ xy = − ( ε x − ε y ) ⋅ sin 2α + γ xy ⋅ cos 2α .
(3.41,b)
Relaţiile (3.4) exprimă deformaţiile specifice în sistemul de axe Osn, rotit cu
unghiul α faţă de sistemul iniţial Oxy, în care se cunosc deformaţiile specifice: εx, εy
şi γxy. Aceste relaţii permit analiza stării plane de deformaţie.
Se observă că relaţia (3.41,a) are structură identică cu relaţia (3.4,a), iar
(3.41,b) cu (3.4,b). Dacă face înlocuirea:
σ ↔ ε şi τ ↔
1
γ xy ,
2
(3.42)
se pot deduce unele relaţii din celelalte. Acest fapt este normal dacă se are în vedere
că atât tensiunile cât şi deformaţiile specifice sunt mărimi tensoriale şi ca atare
respectă aceleaşi reguli.
Dacă se ia în considerare relaţia de similitudine (3.42) se poate scrie, fără
demonstraţie, relaţiile care dau direcţiile principale:
tg 2α 1, 2 =
α 1, 2 =
γ xy
εx − εy
, sau
γ xy
1
π
⋅ arctg
± .
εx − εy 2
2
(3.43)
Dacă se urmăreşte obţinerea unghiului α1 se utilizează relaţia :
α 1 = arctg
γ xy
2 ⋅ (ε x − ε 2 )
,
(3.44)
precum şi deformaţiile specifice principale:
ε 1, 2 =
εx + εy
2
±
1
⋅
2
(ε
2
− ε y ) + γ xy
.
2
x
(3.45)
Deformaţia specifică medie este:
εm =
εx + εy
2
=
ε 1 + ε z ε α + ε α + 90
=
= ct.
2
2
o
(3.46)
Lunecarea specifică maximă respectiv minimă:
γ 1, 2 = ± ( ε 1 − ε 2 ) = ±
(ε
x
− εy
)
2
2
+ γ xy
(3.47)
Direcţiile pe care se află lunecările specifice maxime:
tg 2α 1, 2 =
εx − ε2
1
=−
,
tg 2α 1, 2
γ xy
(3.48)
de unde rezultă:
α 1, 2 = α 1, 2 ±
π
.
4
(3.48,a)
3.13. Cercul lui Mohr pentru starea plană de deformaţie
Ţinând seama de relaţia de similitudine (3.42) rezultă că analiza stării plane de
deformaţie (variaţia deformaţiilor în jurul unui punct), poate fi analizată pe cale
grafică, utilizând cercul lui Mohr. Relaţia (3.10), ţinând seama de (3.42) devine:
ε + εy

 ε − x
2

2
2
 1 
1
 +  γ  = 
2
 2 
(ε x − ε y )
2
2
+
γ 2xy

 .
(3.49)
Cercul lui Mohr pentru starea de deformaţie (fig. 3.22) are:
- sistemul de axe: abscisa ε;
ordonata γ/2.
- coordonatele centrului C:
εm =
εx + εy
2
=
ε1 + ε2
,
2
γ=0
- raza OS1:
1
1
1
γ max = ( ε 1 − ε 2 ) =
2
2
2
(ε
2
− ε y ) + γ xy
,
2
x
- parametru în coordonate polare:
2α
- fiecărui punct de pe cercul lui Mohr îi corespunde, ca abscisă -deformaţia
specifică liniară (ε) şi ca ordonată -jumătate din lunecarea specifică (γ/2),
Fig. 3.22
-deformaţiilor specifice liniare extreme ε1 şi ε2 pentru care γ = 0, le corespund
punctele S1 şi S2 de pe axa Oε.
Aplicaţia 3.2 Pentru starea plană de deformaţie caracterizată prin
ε x = 500 µm / m ε y = 300 µm / m , γ xy = −600 µm / m , să se determine prin metoda
analitică şi grafică:
a) deformaţiile specifice principale;
b) direcţiile principale;
c) să se reprezinte aceste mărimi.
I Metoda analitică:
a) Utilizând relaţia (3.45) se obţine:
ε 1,2 =
=
εx + εy
2
2
1  εx − εy 
2
±

 + γ xy =
2  2 
500 − 300 1
±
2
2
(500 + 300)2 + 6002
= 100 ± 500 µm / m.
ε1 = 600 µm/m, ε2 = - 400 µm/m, ε m =
γ 1,2 = ±
(ε
εx + εy
2
= 100 µm / m ,
− ε y ) + γ xy = ±1000 µm / m.
2
x
b) Direcţia principală (1) cu relaţia (3.44):
α 1 = arctg
γ xy
2(ε x − ε 2 )
= −18,43o .
c) Reprezentarea se face ducând direcţia principală (1) faţă de orizontală şi se
ia un element pe această direcţie ale cărui laturi le modificăm cu ε1 latura paralelă cu
direcţia (1) şi cu ε2, latura perpendiculară pe direcţia (1), obţinându-se elementul
deformat după direcţia (1) (fig.3.22,a). Faţă de direcţia (1) se duce o direcţie la ±45°
(în figură, la + 45°) pe care se ia un element de volum la care-i modificăm laturile cu
εm. Ţinând seama că ε1 este efectul lui σ1 şi ε2 al lui σ2 se obţine sensul tensiunilor
tangenţiale τ (fig.3.22,a).
Se micşorează unghiul drept din colţul săgeţilor lui τ. Unghiul drept se
modifică cu valoarea γ1 sau γ2 (pe desen γ1 deoarece micşorează unghiul drept în sens
orar, fig.3.22,b). Direcţia dusă este direcţia (2ă) (τ1 este paralel cu această direcţie)
iar unghiul este α ,2 = 26,57° şi este măsurat de la orizontală la direcţia dusă.
Fig. 3.23
II Metoda grafică
γ
1 

În sistemul de axe εO , se reprezintă la scară punctele A  ε x ; γ xy  =

2 
2
1


A(500,300) şi B ε y ;− γ xy  = B(-300,-300), segmentul AB este diametrul cercului


2
lui Mohr, iar intersecţia acestuia cu axa Oε este centrul cercului C(εm , 0) (fig.3.23).
Intersecţia cercului cu axa Oε ne dă punctele S1(ε1, 0), la dreapta şi S2(ε2, 0) la stânga.
a) Deformaţiile specifice principale se obţin ca fiind măsura segmentelor:
ε 1 = OS1 = 600 µm / m;
ε 2 = OS 2 = −400 µm / m;
ε m = OC = 100 µm / m;
γ 1 = S 2 S1 = 1000 µm / m;
b) Direcţia principală (1): Raza CA este orizontala pe cerc. Unghiul de la CA
la sensul pozitiv al axei Oε este 2α 1 . Simetricul orizontalei de pe cerc faţă de axa Oε
(punctul A´) unit cu S2 ne dă direcţia principală (1). Unghiul de le axa Oε la direcţia
Fig. 3.24
(1) este α 1 , ( α 1 = −18,5o ).
c) Cunoscând direcţia principală (1), precum şi deformaţiile specifice
principale, reprezentarea acestora se face ca la metoda analitică (fig. 3.23,b şi c).
3.14. Măsurarea deformaţiilor
Tensiunile şi deformaţiile specifice sunt mărimi abstracte şi ca atare este
imposibil, din punct de vedere fizic, să fie măsurate. Se pot, însă, măsura deformaţii
finite.
Deformaţiile finite se pot măsura pentru lungimi finite de pe suprafaţa (ER).
Dacă deformaţia se măsoară pe o lungime relativ mică, se poate evalua o deformaţie
medie pe unitatea de lungime care poate fi luată ca o valoare aproximativă a
deformaţiei specifice într-un punct de măsură. Pe această bază lungirea specifică
poate fi aproximată cu raportul dintre lungirea (scurtarea) măsurată pe o mică
lungime la lungimea respectivă.
Deformaţiile unghiulare sunt mult mai dificil de măsurat; acestea au valori
foarte mici şi trebuie măsurate pe un element cât mai mic de pe suprafaţa ER.
Pentru măsurarea lungirilor specifice există mai multe metode (mecanice,
optice, electrice).
În problemele de Rezistenţa materialelor se cer determinarea deformaţiilor
specifice după direcţiile principale. La piesele simple şi supuse la solicitări simple se
cunosc direcţiile principale şi în astfel de cazuri se măsoară deformaţiile specifice
după aceste direcţii.
Sunt însă foarte multe cazuri în care nu se cunosc nici direcţiile principale şi
nici deformaţiile specifice principale. Pentru aceste cazuri se măsoară lungirile
(scurtările) după trei direcţii ceea ce conduce la eliminarea măsurării lunecării
specifice, γxy, care este mai dificil de măsurat.
La început s-au măsurat lungirile cu ajutorul extensometrelor mecanice, apoi sa utilizat amplificarea optică pentru a se uşura citirea cu ochiul liber a deformaţiilor
mici. În prezent se folosesc traductoare, care utilizează pentru măsurarea deformaţiei
variaţia rezistenţei, a inductanţei, a capacităţii, a efectului piezoelectric, etc.
Pentru măsurarea deformaţiei specifice pe trei direcţii într-un punct se
utilizează un grup de traductoare montate pe acelaşi suport. Cele mai larg răspândite
sunt cele la care unghiurile α’, β’ şi γ’ (fig. 3.24,a şi b) sunt multiplu de 15° şi ele pot
fi aranjate în rozete delta (fig. 3.24,b) cu α’=β’=γ’=60° sau rozete în evantai
(fig. 3.24,a) cu α’=β’=γ’=120°. De asemenea se utilizează şi rozeta în evantai cu
α'=β’=135° şi γ’=90°.
Analiza stării de deformaţie, pe baza deformaţiilor determinate cu ajutorul unei
rozete se poate face pe cale analitică sau grafică.
Pentru a rezolva pe cale analitică, cunoscând deformaţiile specifice după cele
trei direcţii, adică εa, εb şi εc, şi unghiurile α, β şi γ (fig. 3.26), din relaţia (3.25,a) se
pot scrie următoarele trei ecuaţii:
εa =
εb =
εc =
εx + εy
2
εx + εy
2
εx + εy
2
+
+
+
εx − εy
2
εx − εy
2
εx − εy
2
cos 2α +
1
γ xy sin 2α ,
2
cos 2β +
1
γ xy sin 2β ,
2
cos 2γ +
1
γ xy sin 2γ .
2
(3.50)
Rezolvând aceste ecuaţii se obţin valorile pentru εx, εy şi εxy şi cu aceste valori
se pot determina deformaţiile specifice principale, direcţiile principale cu ajutorul
relaţiilor (3.45) şi (3.44).
Se mai pot determina deformaţiile specifice medii şi lunecarea specifică maximă cu
relaţiile (3.46) şi (3.47), etc.
Fig. 3.26
3.15. Utilizarea cercului lui Mohr
pentru analiza deformaţiilor
Metoda analitică de scriere a celor trei ecuaţii pentru cele trei braţe ale rozetei,
rezolvarea sistemului şi apoi obţinerea deformaţiilor specifice principale este o cale
destul de laborioasă. Metoda grafică pentru rezolvarea stării plane de deformaţie este
mai operativă şi aceasta se exemplifică prin următoarea aplicaţie.
Fig. 3.25
Aplicaţia 3.3. Deformaţiile specifice ale unei plăci solicitate în planul ei sunt
cele din figura 3.27 (valorile sunt date în µm/m). Să se determine prin metoda
analitică şi grafică:
a) deformaţiile specifice principale;
b) direcţiile principale;
c) să se reprezinte elementele rotite şi
deformate
după direcţiile principale.
Fig. 3.27
I Metoda analitică
Se notează direcţiile de măsurare în sens orar de la orizontală până la εa, εb şi
εd cu respectiv α, β, şi γ (fig. 3.27,a).
Fig. 3.27
a) Înlocuind în sistemul de ecuaţii (3.50) se obţine sistemul:
300 =
150 =
εx + εy
2
εx + εy
− 200 =
2
εx + εy
2
+
+
+
εx − εy
2
εx − εy
2
εx − εy
2
care prin rezolvare conduce la:
⋅ cos 2 ⋅ 15o +
1
γ xy ⋅ sin 2 ⋅ 15o ;
2
⋅ cos 2 ⋅ 135o +
1
γ xy ⋅ sin 2 ⋅ 135o ;
2
1
⋅ cos 2 ⋅ 255o + γ xy ⋅ sin 2 ⋅ 255o ,
2
ε x = 372,0 µm / m; ε y = −205,3 µm / m;
γ xy = −133,3 µm / m.
Cu aceste valori înlocuite în relaţia (3.45) se obţin:
ε 1,2 =
372 − 205,4 1
±
2
2
(372 + 205,4) 2 + 133,32
= 83,35 ± 296,25 µm / m;
ε 1 = 379,6 µm / m;
de unde rezultă:
ε 2 = −212,9 µm / m; γ 1 = 592,5 µm / m;
ε m = 83,35 µm / m.
b) Direcţia principală (1) se obţine cu
relaţia (3.44,a´):
α 1 = arctg
− 133,3
= −6,5 o .
2 ⋅ ( 372 + 212,9)
Fig. 3.28
c) Procedând analog ca la problema 3.2 se obţin elementele rotite şi deformate
după direcţia (1) (fig.3.27,b) şi după direcţia (2’) (fig.3.27,c)
II Metoda grafică
Se rearanjează rozeta prin translaţia unui braţ astfel încât să avem valoarea
intermediară (150) între valoarea maximă (300) şi cea minimă (-200). Se va avea în
Fig. 3.29
vedere ca unghiul peste braţele unde sunt valorile extreme ale deformaţiilor specifice
de la rozeta rearanjată să fie mai mic de 180°. Mărimile corespunzătoare rozetei să fie
notate ε A , ε B , ε D , α , δ . Se notează întotdeauna cu ε B valoarea intermediară şi
unghiurile α şi δ de la ε B la braţele ε A respectiv ε D (fig.3.28). Se alege axa γ / 2
orientată în jos şi se iau trei axe paralele cu axa γ / 2 la abscisele ε A , ε B şi ε D (la
scară). De la direcţia ε B se măsoară unghiurile α şi δ în sensurile lor, obţinăndu-se
direcţiile ( α ) şi (δ) conform figurii 3.29.
La intersecţia direcţiei ( α ) cu direcţia ( ε A ) se obţine punctul A, iar la
intersecţia direcţiei (δ) cu ( ε D ) se obţine punctul D. Ducând mediatoarele
segmentelor B’A şi B’D, la intersecţia lor se obţine punctul C care este centrul
cercului lui Mohr. Se trasează cercul cu centrul în C şi cu razele CA, CB’ şi CD. Prin
C se duce axa orizontală care este axa Oε . La intersecţiile cercului cu axa Oε rezultă
punctele S1( ε 1 ,0) la dreapta şi S2( ε 2 ,0) la stânga. Simetricul punctului B´ de pe cerc
faţă de axa Oε este punctul B. Segmentele CA, CB şi CD sunt direcţiile lui ε A , ε B şi
ε D pe cerc faţă de axa Oε .
Observaţie: O primă verificare se face prin măsurarea unghiurilor la centru
BCA şi BCD care trebuie să fie 2α şi respectiv 2δ .
Se determină valorile deformaţiilor specifice principale ca fiind mărimea
segmentelor (măsurate la scara utilizată):
ε 1 = OS1 = 380 µm / m; ε 2 = OS 2 = −213 µm / m;
γ 1 = S1S 2 = 593 µm / m; ε m = OC = 83,5 µm / m.
1. Direcţia principală (1). De pe rozeta reorientată, se observă că pentru a
obţine orizontala trebuie să rotim braţul ( ε A ), în sens antiorar, cu 15o . Pentru a obţine
orizontala pe cerc vom roti direcţia lui ε A (care este raza CA) în sens antiorar cu
2 ⋅ 15 o , obţinând orizontala pe cerc. Unghiul de la orizontala pe cerc la sensul pozitiv
al axei Oε este 2α 1 . Unind simetricul orizontalei de pe cerc faţă de axa Oε (punctul
M´) cu S2 se obţine direcţia (1). Unghiul de la axa Oε la direcţia (1) este α 1 .
Reprezentarea se face analog ca la metoda analitică obţinând elementele
deformate după direcţia (1), figura (3.9,b) şi după direcţia (2’), figura (3.29,c).
Verificarea mărimilor deformaţiilor specifice principale se face astfel:
ε 1 ≥ max{ε A ; ε B ;ε D };
ε 2 ≤ min{ε A ; ε B ;ε D }.
Verificarea direcţiilor principale se face ducând direcţia (1) şi respectiv (2) pe
rozeta rearanjată (fig.3.28) şi trebuie să avem direcţia (1) mai aproape de valoarea
deformaţiei specifice maxime date (unghiul de 27o între direcţia (1) şi ε A este mai
mic decât unghiul de 33o dintre direcţia (1) şi ε B ), iar direcţia (2) mai aproape de
valoarea minimă dată ε D (unghiul de 3o).
3.16. Analiza stării spaţiale de deformaţie
Deformaţia specifică liniară după un versor v = l ⋅ i + m ⋅ j + n ⋅ k , se obţine din
(3.16) şi este:
ε v = l 2 ⋅ ε x + m 2 ⋅ ε y + n 2 ⋅ ε z + lm ⋅ γ xy + mn ⋅ γ yz + lm ⋅ γ zx
(3.51)
Deformaţiile specifice principale ε 1 , ε 2 şi ε 3 se obţin din ecuaţia:
ε 3 − I1 ⋅ ε 2 + I 2 ⋅ ε − I 3 = 0 ,
(3.52)
unde:
I1 = ε x + ε y + ε z ,
I2 = εx ⋅ εy + εy ⋅ εz + εz ⋅ εx −
εx
I3 =
1
γ xy
2
1
γ xz
2
1
γ yx
2
εy
1
γ yz
2
1
γ zx
2
1
γ zy
2
εz
.
(
)
1 2
γ xy + γ 2yz + γ 2zx ,
4
(3.53)
Direcţiile principale se determină în mod identic ca la variaţia tensiunilor. Se
precizează că deformaţiile specifice principale coincid cu direcţiile principale ale
tensiunilor.
Lunecările specifice principale se dezvoltă în planele bisectoare ale planelor de
deformaţie şi au valorile:
γ 2 = ε 1 − ε 3 = γ 13 ;
γ 1 = ε 2 − ε 3 = γ 23 ;
(3.54)
γ 3 = ε 1 − ε 2 = γ 12 .
Aplicaţia 3.4. Tensorul deformaţiilor specifice într-un punct al unui corp
solicitat în spaţiu are componentele:
1600 200 − 300
400 ,
Tσ = 200 800
− 300 400 − 1200
Să se determine :
a) deformaţiile specifice principale;
b) direcţiile principale.
Rezolvare:
Se calculează cu relaţiile (3.53) invarianţii:
I 1 = ε + ε y + ε z = 1600 + 800 − 1200 = 1200 µm / m;
x
I2 = ε x ⋅ ε y + ε y ⋅ ε z + ε z ⋅ ε x −
− 800 ⋅ 1200 − 1200 ⋅ 1600 −
1600
200
(
(
)
1 2
γ xy ⋅ γ 2yz ⋅ γ 2zx = 1600 ⋅ 800 −
2
)
1
2
2002 + 3002 + 4002 = −1,89 ⋅ 106 (µm / m) ;
2
− 300
400 = −1,864 ⋅ 109 ( µm / m) ,
I 3 = 200 800
− 300 400 − 1200
3
obţinându-se ecuaţia:
ε 3 − 1200 ⋅ ε 2 − 1,89 ⋅ 10 9 = 0.
Prin rezolvare se obţin:
ε 1 = 1662 µm / m; ε 2 = 852,7 µm / m;
ε 3 = 1315 µm / m.
Verificarea se face prin recalcularea invarianţilor, pentru ε1, ε2 şi ε3 :
I 1 = ε + ε 2 + ε 3 = 1662 + 852,7 − 1315 ≅ 1200 µm / m;
1
I 2 = ε 1 ⋅ ε 2 + ε 2 ⋅ ε 3 + ε 3 ⋅ ε 1 = −1,89 ⋅ 10 6 µm / m;
I 3 = ε 1 ⋅ ε 2 ⋅ ε 3 = −1,864 ⋅ 10 9 µm / m, .
Direcţiile principale se obţin prin introducerea pe rând a lui şi ε 1 , ε 2 şi
respectiv ε 3 în sistemul de ecuaţii (3.19), scrise pentru deformaţiile specifice, şi se
obţin:
− 62,4 ⋅ l 1 + 200 ⋅ m1 − 300 ⋅ n 1 = 0;
200 ⋅ l 1 − 862,4 ⋅ m1 + 400 ⋅ n 1 = 0;
− 300 ⋅ l 1 + 400 ⋅ m1 − 2862 ⋅ n 1 = 0,
din care rezultă soluţiile:
l 1 = 0,9515; m1 = 0,1866; n 1 = 0,0737.
Analog:
- pentru ε 2 :
l 2 = −0,172; m1 = 0,9618; n 1 = 0,2126;
- şi pentru ε 3 :
l 3 = 0,1136; m1 = −0,1948; n 1 = 0,9742.
Pentru verificarea acestor soluţii se foloseşte condiţia de ortogonalitate dintre
aceste direcţii. Pentru ε 1 şi ε 2 şi se obţine:
l1 ⋅ l 2 + m1 ⋅ m2 + n1 ⋅ n 2 = 0,9515 ⋅ 0,172 + 0,1866 ⋅ 0,9618 − 0,0737 ⋅ 0,2126 = 0.
Pentru ε 1 şi ε 3 :
l1 ⋅ l 3 + m1 ⋅ m3 + n1 ⋅ n 3 = 0,9515 ⋅ 0,1136 − 0,1866 ⋅ 0,1948 − 0,0737 ⋅ 0,9742 = 0.
Cele trei direcţii obţinute sunt perpendiculare între ele.
Lunecările specifice maxime sunt:
γ 1 = ε 1 − ε 3 = 1662 + 1315 = 2977 µm / m;
γ 2 = ε 2 − ε 3 = 852,7 + 1315 = 2167,7 µm / m;
γ 3 = ε 1 − ε 2 = 1662 − 852,7 = 809,3 µm / m.
3.17. Deplasări
Fie un paralipiped OABCDEMF, care face parte dintr-un ER, din care se
consideră segmentul OM. Dacă asupra ER acţionează un sistem de forţe exterioare
segmentul se deplasează într-o nouă poziţie O’M’ şi se deformează (fig.3.30).
Drumul parcurs de un punct al ER de la poziţia sa în ER neâncărcat la
poziţia finală, după solicitare, se numeşte deplasare.
Deplasarea, în mod uzual, poate rezulta din următoarele situaţii:
a) translaţia întregului ER,
b) rotaţia întregului ER,
c) schimbări de lungime în ER,
d) modificări de unghiuri în ER.
Primele două tipuri de deplasări sunt deplasări de corp rigid, în timp ce ultimile
două sunt cauzate de deformaţia ER. În cele ce urmează se vor studia numai
deplasările ce sunt produse de
deformarea ER.
Se consideră că punctul O se
deplasează în O’ prin deformare.
Vectorul
δ = OO'
se
numeşte
deplasare totală a punctului O.
Proiecţiile acestuia sunt: u pe axa
Ox, v pe axa Oy şi w pe axa Oz. În
acest caz vectorul deplasare totală
se exprimă prin:
Fig. 3.30
Fig. 3.31
δ = u ⋅ i + v ⋅ j + w ⋅ k , iar modulul său este δ = u 2 + v 2 + w 2
(3.51)
Dar segmentul de dreaptă OM se roteşte cu unghiul ϕ din poziţia iniţială în
poziţia O’M’, datorită deformării ER (fig. 3.31). Acest unghi se poate determina fie
din expresiile cosinusurilor directoare a noii direcţii, fie utilizând unghiurile lui Euler.
Ambele căi sunt laborioase şi se utilizează mai puţin.
Deplasările sunt funcţii de poziţia punctului. Astfel, deplasările unui punct M
ce se găseşte în vecinătatea punctului O (fig. 3.31) se deduc din deplasările u, v, w ale
punctului O. Pentru a evidenţia cele arătate şi a simplifica analiza se consideră un
element plan OABC. Acest element în urma solicitării se deformează în elementul
O’A’B’C’ cunform figurii 3.32.
Admiţând ipoteza micilor deformaţii, se poate considera că deplasările
punctelor vecine punctului O pot fi descrise de primii doi termeni ai seriei Taylor,
funcţie de componentele u şi v ale deplasării δ. În acest caz deplasările punctului A
sunt date de expresiile:
u A = AA' ' = u +
∂v
∂u
⋅ dx , v A = A' ' A' = v +
⋅ dx .
∂x
∂x
În mod similar pentru punctul B se obţine:
u B = B'' B' = u +
∂v
∂u
⋅ dy .
⋅ dy , v B = BB' ' = v +
∂y
∂y
Ţinând seama de relaţiile de mai sus, deplasările liniare ale punctelor O, A, B
sunt:
δ = u⋅i + v⋅ j,
∂u 
∂v 


δA = u +
dx ⋅ i +  v +
dx ⋅ j ,


∂x 
∂x 
(3.52)


∂u 
∂v 
dy ⋅ j .
dy ⋅ i +  v +
δB = u +


∂y 
∂y 
Simultan cu deplasarea liniară δ se produce deplasarea unghiulară ϕ . Din
figura 3.32 se observă că latura O’A’ este rotită faţă de poziţia iniţială OA cu unghiul
dΦ xy . Întrucât unghiurile sunt foarte mici se poate considera că tg(dΦ xy ) ≅ dΦ xy .
Deci, deplasările unghiulare sunt:
dΦ xy
∂u
∂v
dy
dx
∂v
∂u
∂y
∂
x
−
=
, dΦ yx −
=
.
∂y
dy
∂x
dx
(3.53)
Deplasările liniare ale punctelor O, A, B, C ale paralelipipedului din figura
3.31, se pot scrie ţinând seama de relaţiile (3.52) şi de faptul că, pentru acest caz,
trebuie să se ia în considerare şi deplasarea după axa Oz.
Deplasările unghiulare ale segmentului O’M’ (fig.3.30) se obţin din
compunerea deplasărilor similare din planurile yOx, date de relaţiile (3.32) şi din
deplasările similare din planurile yOx şi zOx.
3.18. Relaţii între deplasări şi deformaţii
Paralelipipedul elementar se deformează, laturile lui se lungesc şi se înclină
(fig.3.31) în funcţie de starea de tensiune din punctul considerat şi de poziţia
punctului în ER.
Deformarea paralelipipedului elementar este complet determinată dacă se
cunosc deplasările celor opt colţuri ale sale.
Alungirile specifice, după axele x,y şi z rezultă:
∆dx
=
dx
εx =
∆dy
=
dy
εy =
εz =
∆dz
=
dz
∂u 

dx − u
u +

∂x 
dx
∂v 

dy − v
v+


∂
dy
=
∂u
,
∂x
=
∂v
,
∂y
∂w 

dz − w
w+

∂z 
dz
=
∂w
.
∂z
(3.54)
În cazul stării plane (fig.3.32) lunecarea specifică este egală cu modificarea
unghiului drept, dintre axele x şi y, adică
γ xy = dΦ xy + dΦ xy =
∂v ∂u
+
.
∂x ∂y
În cazul general (fig.3.31) se produc trei lunecări specifice, câte una pentru
fiecare plan ortogonal. Similar cu relaţia de mai sus, se obţin relaţii identice ale
lunecărilor specifice în celelalte planuri ortogonale:
γ xy =
∂u ∂v
∂v ∂w
∂w ∂ u
+
+
+
, γ yz =
, γ zx =
.
∂y ∂x
∂z ∂y
∂x ∂z
(3.55)
Mărimile εx, εy, εz, γxy, γyz, γzx sunt mărimi tensoriale similare tensiunilor şi ca
atare se pot reprezenta sub aceeaşI formă.
Tensorul deformaţiilor specifice este:

 εx

1
Tε =  γ xy
2
1
 γ xz
2
1
γ yx
2
εy
1
γ yz
2
1

γ zx 
2
  ε 1
1
γ zy  =  0
2
 
 0
εz 

0
ε2
0
0

0
ε 3 
(3.56)
3.19. Ecuaţiile de continuitate a deformaţiilor
Derivând de două ori prima relaţie (3.54) în raport cu y, a doua în raport cu x,
prima relaţie (3.34) în raport cu x şi apoi cu y, rezultă trei expresii. Eliminându-se
deplasările între derivatele obţinute se obţine:
2
2
∂ 2 ε x ∂ ε y ∂ γ xy
+
=
∂ x∂ y
∂y 2
∂x 2
(3.57)
Procedând în mod similar cu celelalte relaţii rezultă:
2
2
∂ 2 ε x ∂ ε y ∂ γ xy
+
=
,
∂x∂y
∂y 2
∂x 2
∂ 2ε y
∂z 2
2
∂ 2 ε z ∂ γ yz
+
=
,
∂y∂z
∂y 2
(3.58)
∂ 2 ε z ∂ 2 ε x ∂ 2 γ zx
+
=
.
∂z∂x
∂x 2
∂z 2
Acestea sunt ecuaţiile de compatibilitate sau de continuitate a deformaţiilor,
care exprimă fizic menţinerea continuităţii corpului după deformaţie.
4. COMPORTAREA MECANICĂ A ELEMENTELOR DE
REZISTENŢĂ
4.1. Aspectul fizic
Analiza tensiunilor, respectiv a deformaţiilor s-a studiat separat, independent
una de alta şi fără a se ţine seama de caracteristicile fizico-mecanice ale materialului
din care este confecţionat ER. În realitate, însă, tensiunile şi deformaţiile depind una
de alta şi interdependenţa este în funcţie directă de proprietăţile fizico-mecanice ale
materialului ER.
În rezistenţa materialelor se analizează starea de tensiune şi respectiv starea de
deformaţie a corpurilor în echilibru. Echilibrul în rezistenţa materialelor, numit
echilibru static, diferă de echilibrul din mecanică care presupune acceleraţie nulă.
ER sub acţiunea forţelor, în echilibru, se deformează şi deci unele părţi ale sale se
vor mişca faţă de altele. Mişcarea va fi accelerată până ce se atinge o anumită
deformaţie. Procesul de deformaţie va lua sfârşit când forţele interne, cauzate de
deformaţie, ajung să fie suficient de mari pentru a echilibra acţiunea forţelor
exterioare. Când acest stadiu este atins ER va fi din nou în echilibru. Dacă forţele
interioare nu vor putea fi atât de mari încât să oprească deformaţiile, ER se va
rupe.
Încărcarea se numeşte statică dacă forţele sunt astfel aplicate încât
creşterea deformaţiilor este mică şi se poate presupune că efectul acceleraţiei
este neglijabil pe durata procesului de deformare.
Un asemenea proces se
numeşte proces cvasi-static. În cele ce urmează se va înţelege prin încărcare
statică, procesul cvasi-static produs de sarcini.
Aspectul fizic în rezistenţa materialelor reprezintă relaţiile de legătură
între tensiuni şi deformaţii. Aceste relaţii precum şi proprietăţiile fizico-mecanice
ale materialelor se stabilesc pe cale experimentală (prin încercări mecanice).
4.2. Încercarea la tracţiune
4.2.1. Epruveta
Legătura dintre tensiuni şi deformaţii se poate stabili, mai simplu şi
convenabil, pe un ER lung în care există o stare uniaxială de tensiune. Pentru aceasta
se consideră o epruvetă (fig.4.1) acţionată axial, la cele două capete, de forţele F (fig.
4.1,a). Starea uniaxială de tensiune se observă pe elementul de volum, decupat din
bară (fig. 4.1,c).
Ecuaţia de echilibru pentru partea din stânga a epruvetei (fig. 4.1,b) este;
F − ∫ σ ⋅ dA = 0.
A
Acceptând ipoteza că tensiunile normale sunt uniform distribuite pe
întreaga secţiune (σ = ct.) din ecuaţia de echilibru de mai sus se obţine F = σ ⋅A0 ,
din care rezultă;
σ=
F
.
A0
(4.1)
Fig. 4.1
Încercarea la tracţiune a metalelor se poate efectua pe o epruvetă cilindrică din
oţel ca cea din figura (4.1,a) , conform SR EN 10002-1; 1994. Aceasta are acelaşi
diametru pe lungimea calibrată Lc. Pe această lungime se marchează două repere la
distanţa L0 , numită lungimea între repere. Lungimea epruvetei se consideră ca
fiind lungimea între repere L0 .
Alungirea elementului dx este;
∆dx = ε ⋅ dx,
iar alungirea epruvetei (între cele două repere ) va fi ;
L0
L0
0
0
L = ∫ ∆dx = ∫ ε ⋅ dx.
Acceptând ipoteza că lungimea specifică este aceeaşi pe toată lungimea
calibrată (ε = ct.), din relaţia de mai sus se obţine ;
∆L = ε ⋅ L 0 ; ε =
∆L
.
L0
(4.2)
4.2.2. Maşina de încercări mecanice şi aparate de măsură
Capetele epruvetelor au diverse forme, alese corespunzător dispozitivelor de
fixare ale maşinii de încercat. Maşina de încercat este o presă specială ce asigură
creşterea lentă a forţei axiale F şi măsurarea precisă a valorii acesteia în condiţii de
viteză de încărcare prescrisă.
Alungirea epruvetei (intre repere) se măsoară, cu un aparat numit
extensometru, concomitent cu măsurarea forţei axiale. Extensometrul se fixează pe
epruvetă prin două perechi de cuţite de fixare: o pereche fixă şi cealaltă mobilă.
Acestea se prind pe epruvetă în dreptul reperelor (la distanţa L0).
4.2.3. Diagrama încercării la tracţiune
În timpul creşterii sarcinii se citesc, simultan, valorile intermitente ale sarcinii,
respectiv ale alungirii. Multe laboratoare dispun de instalaţii ce înregistrează
diagrama forţă - alungire. Diagrama încercării la tracţiune F = f(∆l), înregistrată de
către aparatură sau reprezentată pe baza măsurătorilor, pentru oţel moale, are forma
din figura (4.2,a). Pentru a obţine diagrama σ = f(ε), se utilizează relaţiile (4.1) şi
(4.2); se împarte sarcina F la aria iniţială A0 şi respectiv alungirea ∆L la lungimea
iniţială L0. Reprezentând grafic datele obţinute, în sistemul de axe; abscisăalungirile specifice ε şi ordonată - tensiunile σ, se obţine curba caracteristică a
materialului. Pentru oţel, aceasta arată ca în figura (4.2,b).
Pentru calculul de rezistenţă prezintă interes o parte din curba caracteristică şi
anume OPECC′A.
4.3. Caracteristicile elastice şi mecanice ale materialelor
Curba caracteristică are o serie de puncte deosebite, numite limite, ce definesc
următoarele mărimi caracteristice;
Fig. 4.2
a) Limita de proporţionalitate, marcată pe curbă de punctul P, este tensiunea
maximă până la care există liniaritate între tensiuni şi deformaţii ( σ p =
Fp
A0
).
Ecuaţia zonei de proporţionalitate (a porţiunii OP) este;
σ = E ⋅ ε,
(4.3)
şi se numeşte Legea lui Hooke. Aceasta arată că, până la limita de
proporţionalitate alungirile specifice sunt proporţionale cu tensiunile .
Caracteristica E se numeşte modul de elasticitate longitudinal (modulul lui
Young). Fiecare material are o valoare unică a acestei caracteristici, ce este o măsură
a rigidităţii materialului respectiv. Astfel oţelurile, indiferent de calitatea acestora,
au în medie; EOL ≅210 GPa, iar aluminiul EAL≅ 75 GPa.
Valorile modulelor de elasticitate şi ale caracteristicilor elastice pentru diferite
materiale sunt date, în tabele (vezi anexa 2).
Numai două materiale au curba caracteristică cu zonă de proporţionalitate,
oţelul şi lemnul. Acestea `ascultă de legea lui Hooke`. Celelalte materiale au
caracteristici curbilinii. Deoarece este util să se utilizeze legea lui Hooke şi la aceste
materiale, prin SR EN 10002-1,2; 1994, se definesc termeni specifici pentru modulul
de elasticitate.
Aici se vor defini numai;
b) Modulul de elasticitate convenţional liniar, care este raportul dintre
tensiune şi alungirea specifică corespunzătoare, la metalele care prezintă o porţiune
elastică liniară a curbei caracteristice de tracţiune;
E=
σ
.
ε
(4.4)
Pentru alte materiale este necesar să se consulte SR EN 10002-1,2; 1994.
c) Limita de elasticitate, marcată pe curba caracteristică prin punctul E
(fig.4.2,b), este valoarea tensiunii maxime, până la care materialul este perfect elastic;
σe =
FE
.
A0
(4.5)
Experienţele au arătat că nu există nici un material perfect elastic, adică după
descărcarea de forţă nu revine la lungimea iniţială. Toate materialele, chiar la o
solicitare relativ mică, prezintă, o deformaţie permanentă. Valoarea acestei
deformaţii depinde de mărimea sarcinii aplicate.
d) Limita de curgere (aparentă), marcată pe curba caracteristică prin punctul
C (fig.4.2,b) şi este valoarea tensiunii la care alungirea creşte cu toate că sarcina se
păstrează aproape constantă (fig.4.2,b);
σc =
Fc
.
A0
(4.6)
În SR EN 10002-1; 1994 limita de curgere se notează şi cu Rc.
După atingerea limitei de curgere epruveta continuă să se deformeze plastic,
fără creşterea tensiunii. Curba caracteristică are un traseu oscilant, între limita de
curgere superioară σcs şi limita de curgere inferioară σci. Valoarea medie a
oscilaţiilor se poate aproxima printr-o dreaptă, ce se numeşte palier de curgere CC′
(fig.4.2). Deformaţia plastică ce se produce pentru palierul de curgere (CC′) este, la
oţel moale, de 20...50 ori mai mare decât la cea elastică (abscisa punctului E).
Deformaţia plastică din perioada curgerii apare ca urmare a lunecării relative
între faliile formate şi înclinate la 45° faţă de axa epruvetei, fără slăbirea coeziunii
dintre falii.
Din această cauză, la atingerea limitei de curgere, apar linii fine înclinate, de
culoare mai închisă, la 45° faţă de axa epruvetei, numite linii Lüders - Cernov.
Liniile se înmulţesc formând benzi, care se lăţesc progresiv până ce cuprind toată
porţiunea calibrată a epruvetei. Liniile reprezintă urmele planelor de lunecare a
materialului, în care tensiunile tangenţiale sunt maxime (τmax = σc / 2).
După ce liniile Lüders au acoperit întreaga porţiune calibrată a epruvetei
tensiunea începe să crească împreună cu deformaţia. Pe curba caracteristică, această
porţiune este reprezentată de curba CA (fig.4.2) şi este numită zonă de întărire.
Dacă dintr-un punct de pe această zonă, în loc să se continue încărcarea, se
descarcă lent din punctul M, în cursul descărcării se obţine o relaţie liniară între σ şi ε
. Porţiunea MO′ este o dreaptă paralelă cu OP (fig.4.2,b). La reîncărcarea epruvetei se
parcurge dreapta O′M, astfel că materialul se comportă elastic până în punctul M.
Deci, punctul M reprezintă o nouă limită de elasticitate a materialului, superioară
celei determinate la început. Această operaţie, de mărire a limitelor σp = σE = σc = σ
M
se numeşte ecruisare.
e) Rezistenţa la rupere a materialului, marcată pe curba caracteristică prin
punctul A (fig.4.2,b) este valarea maximă a tensiunii şi se notează cu σr (Rm în SR
EN 10002-1; 1994)
σ r = σ max =
Fmax
,
A0
unde;
A0 =
π ⋅ d 02
este aria secţiunii iniţiale.
4
f) La epruvetele confecţionate din oţel moale (tenace) când sarcina se apropie
de valoarea Fmax, se produce gâtuirea epruvetei. În locul de gâtuire secţiunea scade
până când se produce ruperea bruscă, cu zgomot (fig.4.3). După apariţia gâtuirii,
sarcina F aplicată epruvetei scade, ceea ce
este reprezentat pe curba caracteristică prin
zona AB (fig.4.2).
Măsurând diametrul epruvetei la o
Fig. 4.3
încărcare oarecare de pe porţiunea AB (după
apariţia gâtuirii) şi calculând aria corespunzătoare se poate determina gâtuirea
specifică.
ψ=
A0 − A
.
A0
Pentru o epruvetă ruptă gâtuirea la rupere este;
(4.8,a)
Z=
A0 − Au
⋅ 100[%]
A0
(4.8,b)
unde;
π ⋅ d u2
Au =
4
este aria secţiunii de rupere.
g) Aşezând cele două bucăţi ale epruvetei rupte, cap la cap, se poate măsura
lungirea ultimă între repere, Lu şi se poate determina alungirea specifică la
rupere (conform SR EN 10002-1; 1994);
Ar = εr =
L u − L 0 ∆L u
=
.
L0
L0
(4.9)
h) Experimental s-a evidenţiat că o dată cu alungirea unei bare (epruvete) apare
o micşorare a secţiunii numită contracţie transversală. S-a constatat că pentru
domeniul liniar-elastic această contracţie este proporţională cu alungirea specifică. Ca
atare la o alungire specifică a epruvetei cu εx corespunde o contracţie transversală
proporţională cu alungirea εx;
ε tr = ε y = ε z = − ν ⋅ ε x ,
unde;
ν - este coeficientul de contracţie transversală sau coeficientul lui Poisson.
Coeficientul lui Poisson este o caracteristică elastică de material. Valoarea
acestuia este cuprinsă între 0,16 şi 0,42 şi este dată în tabele. Dacă deformaţia este
plastică, corpul nu-şi modifică volumul şi ν = 0,5.
Mărimile; limita de curgere (σc), rezistenţa la rupere (σr), alungirea la
rupere (εr), şi gâtuirea la rupere (Z) se numesc caracteristici mecanice ale
materialului. Constantele; modulul de elasticitate longitudinal (E), coeficientul de
contracţie transversală (ν), limita de proporţionalitate (σp), limita de elasticitate
(σe) se numesc caracteristici elastice ale materialului.
Cunoaşterea acestora are o importanţă deosebită pentru folosirea corectă a
materialelor în calculul de rezistenţă.
Pentru OL 37 caracteristicile mecanice şi elastice, după STAS 1500-75, sunt;
σ r = 370...450MPa
σ c = 210...240MPa
ε r = 25...26%
Z = 60...70%
E = 210GPa
ν = 0,24...0,28
σ e ≅ σ p = 200MPa
4.4. Diferite forme de curbe caracteristice
4.4.1. Curba caracteristică convenţională
Pe durata încercării la tracţiune a epruvetei, aria secţiunii transversale a
acesteia se micşorează datorită contracţiei transversale. Tensiunea reală, determinată
cu relaţia;
σ=
F
,
A
(4.11)
va da valori mai mari decât cele obţinute din relaţia (4.1), întrucât A < A0. Diagrama
dependenţei funcţionale obţinută pe baza relaţiei (4.11) se numeşte curba
caracteristică reală (linia întreruptă din figura 4.4). Diagrama trasată pe baza
ecuaţiei (4.1) se numeşte curbă caracterstică convenţională.
Datorită faptului că în relaţia (4.1), aria iniţială A0 este o constantă, curba
caracteristică convenţională are valori inferioare curbei reale. Întrucât diferenţele
între cele două curbe sunt extrem de mici până la limita de curgere, şi cum în
calculele de rezistenţă se foloseşte porţiunea
de curbă până la limita de curgere se preferă
curba caracteristică convenţională.
Fig. 4.4
4.4.2. Curba caracteristică a oţelului la compresiune
Pentru efectuarea încercării la compresiune a oţelului se utilizează epruvete
care au diametrul egal cu înălţimea conform STAS 1552-78;
d0 = h0 = 10...30 mm.
În urma încercării la compresiune a epruvetelor din oţel s-a constatat că se
obţin aceleaşi valori, ca şi la tracţiune, pentru mărimile σp, σe, σc şi E. La oţelurile de
rezistenţă mică nu se realizează ruperea: epruveta turtindu-se cu atât mai mult cu cât
creşte forţa (fig.4.5) şi încărcarea se consideră terminată când h = h0 / 2.
4.4.3. Curba caracteristică a oţelului la răsucire
Fig. 4.5
Fig. 4.6
Efectuând încercarea la răsucire a unei
epruvete din oţel şi trasând curba caracteristică (tensiunea tangenţială în funcţie de
lunecarea specifică) se obţine o curbă caracteristică ca în figura 4.6, similară celei de
la tracţiune. Pe această curbă se pot defini; limita de proporţionalitate τp, limita de
elasticitate τe, limita de curgere τc, rezistenţa la rupere τr şi lunecarea la rupere γr.
Partea rectilinie, OP a acestei curbe, are ecuaţia;
τ=G⋅γ
(4.12)
care poartă numele de legea lui Hooke pentru solicitarea de răsucire (a doua lege a
lui Hooke).
Caracteristica G, se numeşte modul de elasticitate transversal şi pentru oţel
are valoarea G = 81 GPa.
4.4.4. Curbe caracteristice la materiale care nu respectă legea lui
Hooke
Celor mai multe din materiale le corespund curbele caracteristice curbilinii fără
nici o porţiune rectilinie. Astfel, fonta, alama, cuprul, betonul, cauciucul au curbe
caracteristice ca în figura (4.7,a), iar altele cum ar fi fibrele textile ca în figura (4.7,b).
Fonta are curba caracteristică curbilinie atât pentru tracţiune cât şi pentru
compresiune . Se observă că fonta rezistă mai bine la compresiune decât la întindere
(fig.4.8).
Betonul, este materialul cel mai des utilizat de constructori la compresiune,
deoarece are rezistenţa la tracţiune foarte mică.
Fig. 4.7
Fig. 4.8
4.5. Expresii analitice pentru curba caracteristică idealizată
Numai o porţiune din curba caracteristică şi anume OP (fig.4.2,b), pentru oţel
şi lemn este descrisă de ecuaţia σ=E⋅ε. Astfel cea mai mare parte din curba
caracteristică a oţelului şi toate curbele caracteristice pentru celelalte materiale nu
sunt descrise prin ecuaţii liniare.
Întrucât în rezistenţa materialelor sunt necesare, pentru calcul, ecuaţii simple,
explicite ale dependenţei σ=f(ε), curba caracteristică a fost aproximată printr-o curbă
caracteristică idealizată numită diagramă schematizată.
Diagrama schematizată se obţine prin trasarea unei linii, frânte sau curbe, cât
mai apropiate de curba caracteristică reală, dar care să aibă o ecuaţie cât mai simplă.
Ca urmare se utilizează frecvent următoarele schematizări;
-prin linii drepte şi/sau,
-prin linii curbe continue.
La schematizarea prin linii drepte se admite că limita de proporţionalitate
coincide cu limita de curgere a materialului.
În figura 4.9 s-a reprezentat schematizarea prin linii drepte a materialelor
elasto-plastice ideale, sau diagrama schematizată tip Prandtl şi care corespunde
cel mai bine pentru oţelurile de rezistenţă mică şi mijlocie. Schematizarea s-a făcut
prin două drepte;
σ = E⋅ε
(4.13)
pentru domeniul elastic (ε ≤ εc) şi
σ = σc = ct.
(4.14)
pentru domeniul plastic (ε > εc).
În cazul materialelor care nu satisfac legea lui
Hooke, curba caracteristică poate fi asimilată cu o
curbă continuă (fig. 4.10) având relaţia;
Fig. 4.9
σn
,
ε=
EC
(4.15)
unde Ec şi n sunt constante ce se determină astfel ca funcţia adoptată să fie cât mai
apropiată de curba reală, stabilită experimental. Astfel, pentru coordonatele a două
puncte A(ε1, σ1) şi B(ε2, σ2), din ecuaţia (4.15) se
obţin valorile constantelor;
EC =
σ 1n σ n2
=
,
ε1 ε 2
ε2
ε1
n=
.
σ2
Ln
σ1
(4.16)
Ln
Fig. 4.10
(4.17)
Schematizări similare celor de mai sus se pot face şi pentru curbe caracteristice
corespunzătoare încercării la compresiune sau la torsiune .
4.6. Legea generalizată a lui Hooke
Legea lui Hooke, exprimată prin relaţiile (4.3) şi (4.12) a fost determinată pe
cale experimentală pentru o solicitare simplă, respectiv pentru o stare monoaxială de
tensiune. Aceasta va fi generalizată pentru starea spaţială de tensiune. Pentru aceasta
se consideră un element de volum paralelipipedic infinit mic, pe feţele căruia
acţionează, succesiv, tensiunile principale σ1, σ2
şi σ3 conform figurii 4.11.
a) când σ1 > 0 iar σ2 = σ3 = 0, tensiunea σ1
produce următoarele deformaţii; o alungire
specifică, ε '1 , pe direcţia lui σ1 şi două scurtări
specifice ε '2 şi ε '3 pe direcţiile 2 şi3.
Fig.4.11
Ţinând seama de (4.9) şi (4.10) deformaţiile specifice rezultă;
ε '1 =
1
⋅ σ 1;
E
ε '2 = ε '3 = − ν ⋅ ε 1 = −
ν
⋅ σ1;
E
b) când σ2 > 0 iar σ1 = σ3 = 0, tensiunea σ2 produce pe cele 3 direcţii
deformaţiile; o lungire specifică ε "2 pe direcţia lui σ2 şi două scurtări specifice ε "1 şi
ε "3 pe celelalte două direcţii, date de relaţiile;
ε ,,2 =
1
⋅ σ2:
E
ε 1,, = ε ,,3 = − ν ⋅ ε ,,2 = −
ν
⋅ σ2:
E
c) când σ3 > 0 iar σ1 = σ2 = 0, tensiunea σ3 produce pe cele 3 direcţii
deformaţiile; o lungire specifică ε "3 pe direcţia lui σ3 şi două scurtări specifice după
celelalte direcţii ε "1 şi ε "2 , date de relaţiile;
ε ,,,3 =
1
⋅σ2
E
ε 1,,, = ε ,,,2 = − ν ⋅ ε ,,,3 = −
ν
⋅ σ3 .
E
Dacă acţionează simultan cele trei tensiuni principale deformaţiile specifice
totale rezultă prin însumarea efectelor de mai sus (conform principiului suprapunerii
efectelor);
ε 1 = ε 1, + ε 1,, + ε 1,,, =
1
⋅ σ 1 − ν ⋅ (σ 2 + σ 3 ) ,
E
ε 2 = ε ,2 + ε ,,2 + ε ,,,2 =
1
⋅ σ 2 − ν ⋅ (σ 3 + σ 1 ) ,
E
ε 3 = ε ,3 + ε ,,3 + ε ,,,3 =
1
⋅ σ 3 − ν ⋅ (σ 1 + σ 2 ) .
E
[
]
[
]
[
(4.18)
]
Dacă axele Oxyz nu coincid cu direcţiile principale atunci tensiunile normale
de pe aceste direcţii produc lungirile specifice;
[
]
εx =
1
⋅ σ x − ν ⋅ (σ y + σ z ) ,
E
εy =
1
⋅ σ y − ν ⋅ (σ z + σ x ) ,
E
εz =
1
⋅ σ z − ν ⋅ (σ x + σ y ) .
E
[
]
[
]
(4.19,a)
iar tensiunile tangenţiale produc lunecările specifice;
γ xy =
τ xy
G
, γ yz =
τ yz
G
, γ zx =
τ zx
.
G
(4.19,b)
Relaţiile (4.18) şi (4.19) exprimă legea lui Hooke generalizată.
Elementul de volum infinit mic dV = dx ⋅ dy⋅ dz, din figura 4.11, prin solicitare
îşi modifcă volumul. Acesta devine;
dV + ∆ ⋅ dV = dx ⋅ (1 + ε x ) ⋅ dy ⋅ (1 + ε y ) ⋅ dz ⋅ (1 + ε z ).
Neglijând infiniţii de ordin superior expresia volumului modificat este;
dV + ∆dV = dx ⋅ dy ⋅ dz ⋅ (1 + ε x + ε y + ε z ) = dV ⋅ (1 + ε x + ε y + ε z ),
iar variaţia volumului rezultă;
∆dV = ( ε x + ε y + ε z ) ⋅ dV .
Raportul între variaţia de volum şi volumul iniţial, numită deformaţia
volumică specifică, este;
∆dV
= εx + εy + εz.
dV
εV =
(4.20)
Înlocuind deformaţiile specifice εx, εy şi εz cu expresiile (4.19) se obţine;
1− 2⋅ ν
⋅ ( σ x + σ y + σ z ).
E
εV =
(4.20,a)
Ţinând seama că tensiunea medie este;
σm =
σx + σy + σz
3
,
(4.21)
se obţine;
eV = 3 ⋅
σ
1− 2⋅ ν
⋅ σm = m .
K
E
(4.22)
Expresia (4.22) poartă denumirea de ecuaţia lui Poisson, iar constanta;
K=
E
3 ⋅ (1 − 2 ⋅ ν )
se numeşte modul de elasticitate cubică.
(4.23)
Relaţia (4.22) este similară legii lui Hooke şi poate fi scrisă sub forma;
σ m = K ⋅ εV.
(4.24)
În cazul particular al stării plane de tensiune (σz = τzx = τxz = τzy = τyz = 0),
legea lui Hooke generalizată devine;
1
⋅ ( σ x − ν ⋅ σ y ),
E
1
ε y = ⋅ ( σ y − ν ⋅ σ x ),
E
ν
ε z = − ⋅ ( σ x + σ y ),
E
τ
γ xy = xy .
G
εx =
(4.25)
În mod similar ecuaţiilor (4.25), din ecuaţiile (4.19) se poate deduce legea lui
Hooke pentru starea plană de deformaţie (εz = γzy = γyz = γzx = γxz = 0).
În practica inginerească se cere foarte des să se determine tensiunile funcţie de
deformaţiile măsurate pentru starea plană. În acest caz din sistemul (4.25), se obţine;
(
)
(
)
σx =
E
⋅ εx + ν ⋅ εy ,
1 − ν2
σy =
E
⋅ εy + ν ⋅ εx ,
1 − ν2
(4.26)
τ xy = G ⋅ γ xy .
4.7. Relaţia dintre caracteristicile elastice
O cale relativ simplă pentru a stabili relaţia dintre modulul de elasticitate
longitudinal E, cel transversal G şi coeficientul de contracţie transversală ν este
analizarea stării de tensiune, la forfecare pură. Acest caz, figura (4.12,a), poate fi
reprezentat prin punctele T1 şi T2 de pe cercul lui Mohr. Dar aceleaşi stări de
tensiune, reprezentate prin punctele T1 şi T2 de pe cerc (fig.4.12,c), le corespund
starea de tensiune din figura (4.12,b), reprezentate pe cercul lui Mohr prin punctele S1
şi S2.
Fig.4.12
Deci starea de forfecare pură este echivalentă cu starea plană, în care tensiunile
principale sunt egale în valoare cu tensiunea tangenţială şi au sensul opus (fig.4.12,b);
σ 1 = − σ 2 = τ max
(4.27)
Ţinând seama de aceasta în relaţiile (4.25) se obţine;
ε1 =
1
1+ ν
1
1+ ν
⋅ τ max , ε 2 = ⋅ ( σ 2 − ν ⋅ σ 1 ) = −
⋅ τ max .
⋅ (σ 1 − ν ⋅ σ 2 ) =
E
E
E
E
Întrucât lunecarea specifică maximă se obţine din relaţia (4.17) rezultă;
γ max = ε 1 − ε 2 = 2 ⋅
1+ ν
⋅ τ max
E
Ţinând seama că τmax = G ⋅ γmax, din relaţia de mai sus se obţine;
G=
E
.
2 ⋅ (1 + ν )
(4.28)
Formula (4.28) reprezintă relaţia dintre caracteristicile E, G şi ν. Pentru oţel, cu
EOL = 210 GPa şi ν = 0,3, rezultă; GOL= 81GPa.
4.8. Energia de deformaţie
Se consideră un element de volum dV = dx⋅dy⋅dz, asupra căruia se aplică,
progresiv, tensiunile σx, σy şi σz. Efortul elementar ce acţionează pe direcţia Ox este
dNx = σx⋅dy⋅dz. Acesta produce o deplasare elementară pe direcţia Ox; ∆dx = εx⋅dx.
Astfel, se produce un lucru mecanic elementar;
dL =
1
1
⋅ dN x ⋅ ∆dx = ⋅ σ x ⋅ ε x ⋅ dx ⋅ dy ⋅ dz = dU .
2
2
Se admite prin ipoteză că, pentru solicitările
în domeniul elastic, intreg lucru mecanic se
acumulează în volumul elementar sub formă de
energie potenţială de deformaţie dU. Factorul 1/2
este cauzat de aplicarea statică a efortului dNx,
adică acesta creşte lent de la valoarea zero la
Fig.4.13
valoarea σx⋅dy ⋅dz.
Dacă alungirea specifică εx este liniar
elastică, (tensiunea σx are valori în domeniul elastic) atunci energia de deformaţie
acumulată în elementul dV = dx ⋅dy ⋅dz este reprezentată prin aria haşurată din figura
(4.13,a) şi se exprimă sub forma;
dU =
1
⋅ σ x ⋅ ε x ⋅ dV .
2
Energia pe unitatea de volum (fig.4.13,b), denumită energie specifică de
deformaţie, rezultă;
U1 =
dU 1
= ⋅ σx ⋅ εx .
dV 2
Dacă ţinem seama şi de tensiunile normale aplicate pe celelalte două direcţii se
obţine;
U1 =
1
⋅ ( σ x ⋅ ε x + σ y ⋅ ε y + σ z ⋅ ε z ).
2
Tensiunile tangenţiale produc, similar cu cele normale, energie potenţială de
deformaţie, respectiv energie potenţială specifică. Astfel, pentru starea spaţială de
tensiune (fig.4.14) expresia generală a energiei specifice de deformaţie, rezultă;
U1 =
1
⋅ ( σ x ⋅ ε x + σ y ⋅ ε y + σ z ⋅ ε z + τ xy ⋅ γ xy + τ yz ⋅ γ yz + τ zx ⋅ γ zx ) . (4.29)
2
Înlocuind deformaţiile specifice prin expresiile (4.19) se obţine ecuaţia energiei
specifice de deformaţie în funcţie de tensiuni;
[
)]
1
⋅ σ 2x + σ 2y + σ 2z − 2ν ⋅ σ x ⋅ σ y + σ y ⋅ σ z + σ z ⋅ σ x +
2E
1
2
+
⋅ τ xy
+ τ 2yz + τ 2zx .
2G
U1 =
(
(
(4.30)
)
Dacă direcţiile x, y şi z coincid cu direcţiile principale 1, 2, şi 3 (τxy= τyz= τzx=
0), atunci expresia energiei specifice de deformaţie devine;
U1 =
[
]
1
⋅ σ 12 + σ 22 + σ 23 − 2ν ⋅ ( σ 1 ⋅ σ 2 + σ 2 ⋅ σ 3 + σ 3 ⋅ σ 1 ) .
2E
(4.31)
Din această relaţie se pot determina expresiile energiei specifice pentru cazuri
particulare;
a) pentru starea plană de tensiune;
U1 =
(
)
1
1
2
⋅ σ x2 + σ 2y − 2ν ⋅ σ x ⋅ σ y +
⋅ τ xy
,
2E
2G
(4.32)
b) pentru starea de întindere simplă;
U1 =
σ2
2E
;
(4.33)
c) pentru starea de forfecare pură;
U1 =
2
τ xy
2G
.
(4.34)
Energia de deformaţie acumulată în ER are
două efecte, o variaţie a volumului şi o variaţie a
Fig.4.14
formei. Dacă elementul de volum este solicitat, pe
toate feţele de aceeaşi tensiune normală, egală cu tensiunea normală medie;
σm =
(
)
(
)
1
1
⋅ σ1 + σ 2 + σ3 = ⋅ σx + σy + σ z ,
3
3
atunci, elementul dV nu îşi modifică forma ci numai volumul. Astfel, întreaga energie
se acumulează sub formă de energie specifică de variaţie a volumului. Ţinând
seama de relaţiile (4.20), (4.21) şi (4.22) rezultă;
U 1V =
1
1
1 − 2ν 2
⋅ εV ⋅ σm = ⋅ 3⋅
⋅ σm
2
2
E
3 1 − 2ν ( σ
= ⋅
⋅
2
1
+ σ2 + σ3
E
9
)
2
,
respectiv;
U 1v =
2
1− 2⋅ ν
⋅ (σ 1 + σ 2 + σ 3 ) .
6⋅E
(4.35)
Diferenţa dintre energia totală U1 şi energia de variaţie a volumului U1v
reprezintă energia specifică de variaţie a formei. Ţinând seama de expresiile(4.31)
şi (4.35) rezultă;
U 1f =
[
]
1+ ν
2
2
2
⋅ (σ 1 − σ 2 ) + (σ 2 − σ 3 ) + (σ 3 − σ 1 ) .
6⋅E
(4.36)
Analiza energiei (energia specifică de variaţie a volumului şi energia specifică
de variaţie a formei) este o consecinţă a descompunerii tensorului tensiunilor (fig.
4.15,a) în doi tensori (fig. 4.15, b, c). Primul tensor, numit tensorul sferic (fig.
4.15,b) produce numai o modificare a volumului, iar deviatorul (fig.4.15,c) produce
schimbarea formei fără să schimbe volumul.
Cele prezentate mai sus au forma analitică;
Tσ = Ts + Td ,
(4.37)
sau sub formă explicită;
 σ1

 0
 0

0
σ2
0
0   σm
 
0 = 0
σ 3   0
0
σm
0
0   σ1 − σm
 
0  +
0


σm 
0
0
σ2 − σm
0


 (4.38)
σ 3 − σ m 
0
0
Fig. 4.15
Aplicaţia 4.1. Un element de rezistenţă din oţel (E = 210 GPa) solicitat după trei
direcţii perpendiculare, are alungirile specifice pe cele trei direcţii în raportul 5;4;3,
iar tensiunea maximă este de 110 MPa şi ν = 0,25 să se determine valorile tensiunilor
şi deformaţiile specifice pe cele trei direcţii.
Rezolvare; Tensiunilor σ1 = 110 MPa, σ2 şi σ3 le corespund alungirile specifice
5⋅k, 4⋅k şi 3⋅k, astfel că din (4.19) se obţine;
σ 1 − ν ⋅ (σ 2 + σ 3 ) = 5 ⋅ k ⋅ E,
(a)
σ 2 − ν ⋅ (σ 3 + σ 1 ) = 4 ⋅ k ⋅ E,
(b)
σ 3 − ν ⋅ (σ 1 + σ 2 ) = 3 ⋅ k ⋅ E.
(c)
Din (a) şi (c) rezultă;
σ 1 − σ 3 = 1,6 ⋅ k ⋅ E,
(d)
iar din (a) şi (b) ;
0,9375 ⋅ σ 1 − 0,3125 ⋅ σ 2 = 6 ⋅ k ⋅ E,
(e)
Din (d) şi (b), prin înlocuire se obţine;
σ 3 = 7,2 ⋅ k ⋅ E,
σ 1 = 8,8 ⋅ k ⋅ E,
σ 2 = 8 ⋅ k ⋅ E.
Raportul acestora este 11;10;9.
Din prima relaţie (f) se obţine;
k=
σ1
110
=
= 6,25 ⋅ 10−5 ,
5
8,8 ⋅ E 8,8 ⋅ 2 ⋅ 10
(f)
sau înlocuind în (f) se obţin tensiunile;
σ 1 = 8,8 × 6,25 × 2 = 110 MPa ,
σ 2 = 8 × 6,25 × 2 = 100 MPa ,
σ 3 = 7,2 × 6,25 × 2 = 90 MPa.
( verificare)
Alungirile specifice principale vor fi;
ε 1 = 5 ⋅ k = 5 × 6,25 ⋅ 10 −5 ⋅ 106 = 312 ,5 µm / m,
ε 2 = 4 ⋅ k = 4 × 6,25 ⋅ 10 −5 ⋅ 106 = 250 µm / m,
ε 3 = 3 ⋅ k = 3 × 6,25 ⋅ 10 −5 ⋅ 106 = 187 ,5 µm / m.
5. MĂRIMI GEOMETRICE ALE SECŢIUNILOR
5.1. Noţiuni generale
În calculul de rezistenţă se utilizează mărimi ce depind de forma şi mărimea
secţiunii transversale a barei. Acestea se numesc mărimi sau caracteristici
geometrice ale secţiunilor şi sunt: aria, momentele statice, momentele de inerţie,
modulele de rezistenţă şi razele de inerţie.
Pentru studiul acestor mărimi se secţionează imaginar bara cu un plan
normal pe axă (secţiune transversală) şi se utilizează un sistem de axe triortogonal
drept, cu axa Ox în lungul barei, cu originea în centrul de greutate al secţiunii şi
cu axele Oy şi Oz în planul secţiunii (fig.5.1). Întrucât originea sistemului este în
centrul de greutate a secţiunii axele Oy şi Oz se numesc axe centrale.
În anexa 4 se dau relaţiile de calcul pentru mărimile geometrice ale unor
secţiuni frecvent utilizate în calculele de rezistenţă.
5.2. Aria secţiunii
În jurul unui punct din planul secţiunii se poate lua un element de arie
dA = dy ⋅ dz . Dar, în cele ce urmează se vor folosi pentru elementul de arie şi alte
formule: dA=b⋅dy, respectiv dA=h⋅dz pentru dreptunghi, sau dA = 2π⋅r⋅dr pentru
cerc, etc. Aria secţiunii se va obţine din relaţia:
A = ∫ dA .
(5.1)
A
Ariile secţiunilor barelor (profilelor) standardizate sunt date în tabele din
anexe. Formula (5.1) se va utiliza pentru determinarea ariilor secţiunilor oarecare.
5.3. Momente statice
În rezistenţa materialelor se folosesc momente statice ale suprafeţelor faţă de
axele z şi y, definite de expresiile:
S Z = ∫ y ⋅ dA ,
Sy =
A1
∫ z ⋅ dA ,
(5.2)
A2
în care A1 şi A2 sunt părţi ale ariei A. Momentele statice, ale întregii secţiuni faţă de
axele y1 şi z1, paralele cu axele centrale y şi z, sunt:
S z = ∫ y1 ⋅ dA ,
S y 1 = ∫ z1 ⋅ dA ,
1
A
A
în care y1= y0+ y, z1= z0+ z (fig. 5.1,b).
Prin aplicarea teoremei momentului static (a lui Varignon),
∫y
A
1
⋅ dA = y 0 ⋅ ∫ dA ,
∫z
A
1
A
⋅ dA = z0 ⋅ ∫ dA ,
(5.3,a)
A
se obţin formulele ce definesc poziţia centrului de greutate faţă de sistemul de axe
O1y1z1, ales iniţial:
y0 =
∫y
1
⋅ dA
A
∫ dA
∑y ⋅A
=
∑A
i
i
,
z0 =
∫z
1
⋅ dA
A
i
A
∫ dA
=
∑z ⋅A
∑A
i
i
(5.3)
i
A
Faţă de axele centrale momentele statice ale întregii secţiuni sunt nule:
S Z = ∫ y ⋅ dA = 0,
A
S y = ∫ z ⋅ dA = 0 .
(5.4)
A
Datorită faptului că axele de simetrie sunt şi axe centrale, momentele statice
ale întregii secţiuni faţă de aceste axe sunt nule. Evident că, momentul static pentru
o parte din secţiune, faţă de axele de simetrie, nu este nul.
Momentele statice se măsoară în mm3, cm3, m3.
Fig. 5.1
5.4. Momente de inerţie
5.4.1. Relaţii de definiţie
Se definesc următoarele momente de inerţie geometrice:
a) axiale faţă de axa Oz, şi respectiv Oy (fig. 5.1,b):
I Z = ∫ y 2 ⋅ dA ,
I Y = ∫ z 2 ⋅ dA ,,
A
(5.5)
A
b) centrifugale (în planul Ozy ):
I zy =
∫ y ⋅ z ⋅ dA ,
(5.6)
A
c) polare (faţă de centrul de greutate O):
I o = I P = ∫ r 2 ⋅ dA . = I z + I y .
A
Întrucât r2 = y2 + z2, din (5.7) rezultă:
(
)
I P = ∫ y 2 + z 2 ⋅ dA = ∫ y 2 ⋅ dA + ∫ z 2 ⋅ dA = I z + I y
A
A
A
(5.7)
Fig. 5.2
Deci, momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie
axiale, în raport cu axele ortogonale ce trec prin polul considerat.
Întrucât elementul de arie este o mărime pozitivă, iar z2, y2 şi r2 sunt mărimi
pozitive, rezultă că momentele de inerţie axiale şi polare sunt mărimi strict
pozitive.
Momentul de inerţie centrifugal, ce este produsul dintre elementul de arie dA
şi două coordonate (y, z) şi ca atare poate fi pozitiv, negativ sau egal cu zero. Pentru
secţiunile ce au cel puţin o axă de simetrie (axa Oy în figura 5.2) există totdeauna, la
ordonata y, două elemente de arie aflate simetric faţă de axa de simetrie (Oy): unul
de abscisă pozitivă (+z) şi altul negativă (-z) astfel că, pentru toată aria secţiunii, se
obţine:
I zy = ∫ z ⋅ y ⋅ dA = 0 .
(5.8)
A
Deci, momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem de axe din care cel
puţin una este axa de simetrie este nul.
Momentele de inerţie se măsoară în mm4, cm4, m4.
5.4.2. Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele
Pentru secţiunea din figura (5.1,b) se consideră cunoscute momentele de
inerţie axiale Iz, Iy şi centrifugale Izy faţă de sistemul de axe central Ozy .
Elementul de arie dA, în sistemul de axe O1z1y1, paralele faţă de Ozy
(fig.5.1,b), are coordonatele:
y1= y0+ y,
z1= z0+ z.
În raport cu sistemul de axe O1 y1 z1 momentele de inerţie au expresiile:
I z1 = ∫ y 12 ⋅ dA = ∫ (y + y 0 ) ⋅ dA = ∫ y 2 ⋅ dA + y 02 ∫ dA + 2 ⋅ y 0⋅ ∫ y ⋅ dA ,
2
A
A
A
A
A
I y1 = ∫ z 12 ⋅ dA = ∫ (z + z 0 ) ⋅ dA = ∫ z 2 ⋅ dA + z 02 ∫ dA + 2 ⋅ z 0⋅ ∫ z ⋅ dA ,
2
A
Izy =
1 1
A
∫y
1
A
∫ y ⋅ z ⋅ dA + y
A
A
∫ ( y + y ) ⋅ (z + z )dA =
⋅ z1 ⋅ dA =
0
A
=
A
0
A
0
⋅ z0 ⋅ ∫ dA + y 0 ⋅ ∫ z ⋅ dA + z0 ⋅ ∫ y ⋅ dA.
A
A
A
Efectuând integralele şi ţinând seama de relaţiile (5.1), (5.4), (5.5) şi (5.6) se
obţine:
I z = I z + y 02 ⋅ A ,
1
I y = I y + z02 ⋅ A ,
(5.9)
1
I z y = I z + z0 ⋅ y 0 ⋅ A .
1
1
Deci, momentul de inerţie în raport cu o axă paralelă este egal cu suma
dintre momentul faţă de axa centrală paralelă şi produsul dintre aria suprafeţei
cu pătratul distanţei dintre axe.
Momentul de inerţie centrifugal faţă de axele paralele este egal cu suma
dintre momentul de inerţie faţă de axele centrale proprii şi produsul dintre arie
cu coordonatele centrului de greutate al ariei în noul sistem. Deci, valoarea şi
semnul momentului de inerţie centrifugal este hotărâtă de semnul produsului
coordonatelor centrului de greutate a secţiunii în noul sistem.
De
aceea,
la
determinarea momentelor de
inerţie centrifugale trebuie să
acordăm
atenţia
semnelor
centrelor
secţiunilor
cuvenită
coordonatelor
de
greutate
a
componente.
Pentru a ilustra acest fapt s-a
considerat secţiunea compusă
Fig. 5.3
din figura 5.3. Întrucât axele centrale ale celor două dreptunghiuri sunt axe de
simetrie, momentele de inerţie centrifugale faţă de axele proprii, ale fiecărui
dreptunghi, sunt nule. Faţă de sistemul de axe central, Ozy , se determină momentul
de inerţie prin însumarea prduselor zoi ⋅yoi ⋅Ai corespunzătoare. Ţinând seama de
semnele coordonatelor centrelor de greutate ale fiecărei figuri, în sistemul de axe
Ozy rezultă:
A 1 ( − y 01 , + z01 );
I y z < 0,
A 2 ( + y 02 , − z02 );
Iy z < 0
1 1
2 2
Deci, în acest caz, momentul centrifugal al secţiunii (descompusă în două
dreptunghiuri (fig.5.3), are semnul minus.
Momentele de inerţie ale unei secţiuni compuse din n secţiuni simple de
arii Ai (sau A descompusă în n secţiuni simple Ai), faţă de sistemul de axe Oyz (de
regulă sistem de axe centrale), se calculează cu relaţiile:
n
(
)
(
)
I z = ∑ I zi + A i ⋅ y 02i ,
i=1
n
I y = ∑ I yi + A i ⋅ z02i ,
i=1
n
(
(5.10)
)
I zy = ∑ I z y + A i ⋅ y 0 i ⋅ z0 i .
i=1
i
i
unde I z , I y , I z y sunt momentele de inerţie axiale, respectiv centrifugale ale
i
i
i i
fiecărei secţiuni de arie Ai faţă de axele centrale proprii (Oi1zi1yi1), paralele cu axele
Ozy iar zoi, yoi, sunt coordonatele centrelor de greutate Oi în sistemul de Ozy.
5.4.3. Momentele de inerţie faţă de axele rotite
Se consideră o secţiune oarecare şi sistemul de axe centrale ortogonale Ozy.
Se ia un al doilea sistem de axe centrale ortogonale Ouv, rotit cu unghiul α, în sens
orar, faţă de primul sistem (fig. 5.4).
Coordonatele unei arii elementare dA, în al doilea sistem Ouv funcţie de
coordonatele x, y şi unghiul α, sunt:
u = OD = OC + CD = OC + AE = y ⋅ cos α + z ⋅ sin α ,
v = DM = EM − ED = EM − AC = z ⋅ cos α − y ⋅ sin α .
Înlocuind coordonatele de mai sus în relaţiile de definiţie (5.5), (5.6) şi
dezvoltând se obţine:
Fig. 5.4
I v = ∫ u 2 ⋅ dA =
A
∫ ( y ⋅ cos α + z ⋅ sin α )
2
⋅ dA =
A
= cos α ⋅ ∫ y ⋅ dA + sin 2 α ⋅ ∫ z 2 ⋅ dA + 2 sin α ⋅ cos α ⋅ ∫ y ⋅ z ⋅ dA ,
2
2
A
A
A
I u = ∫ v 2 ⋅ dA = ∫ ( z ⋅ cos α − y ⋅ sin α ) ⋅ dA =
2
A
A
= cos 2 α ⋅ ∫ z 2 ⋅ dA + sin 2 α ⋅ ∫ y 2 ⋅ dA − 2 sin α ⋅ cos α ⋅ ∫ y ⋅ z ⋅ dA ,
A
A
A
I uv = ∫ u ⋅ v ⋅ dA = ∫ ( y ⋅ cos α + z ⋅ sin α ) ⋅ ( z ⋅ cos α − y ⋅ sin α ) ⋅ dA =
A
A


= − sin α ⋅ cos α ⋅  ∫ y 2 ⋅ dA − ∫ z 2 ⋅ dA + cos 2 α − sin 2 α ⋅ ∫ y ⋅ z ⋅ dA .
A

A
A
(
Înlocuind: cos 2 α =
)
1 + cos 2α
1 − cos 2α
, sin 2 α =
şi 2 sin α ⋅ cos α = sin 2α ,
2
2
din relaţiile de mai sus se deduce:
Iv =
Iu =
Iz + Iy
2
Iz + Iy
I uv = −
2
+
2
Iz − Iy
−
Iz − Iy
2
Iz − Iy
2
⋅ cos 2α + I zy ⋅ sin 2α ,
⋅ cos 2α − I zy ⋅ sin 2α ,
(5.11)
⋅ sin 2α + I zy ⋅ cos 2α
Comparând relaţiile 1 şi 3 din (5.11) cu relaţiile (3.4) se observă structura lor
identică. Dacă se face înlocuirea:
σ x ↔ Iz ,
σ y ↔ I y şi τ xy ↔ I zy
(5.12)
se poate deduce o relaţie din alta. Acest fapt este normal dacă se are în vedere că atât
tensiunile cât şi momentele de inerţie sunt mărimi tensoriale. Deci, sunt
guvernate de aceleaşi reguli şi sunt exprimate prin formule similare (vezi § 3.4).
Ţinând seama de relaţia de similitudine (5.12) şi de relaţiile (3.6), (3.5), (3.5,a)
demonstrate în § 3.4, se pot transcrie următoarele relaţii şi observaţii pentru
momentele de inerţie:
a) momentele de inerţie principale
I 1, 2 =
Iz + Iy
2
2
 I − Iy 
2
±  z
 + I zy ,
 2 
(5.13)
b) direcţiile axelor principale (faţă de care Izy = 0, I1 = Imax şi I2 = Imin):
α 1, 2 =
2I zy
1
arctg
Iz − Iy
2
(5.14,a)
sau, din figura 5.5:
α 1 = arctg
I zy
Iz − I2
.
(5.14,b)
Fig. 5.5
c) tensorul momentelor de inerţie:
 Iz
T1 = 
 I zy
I yz   I1
 =
Iy   0
0
;
I2 
d) momentul de inerţie polar:
I P = I z + I y = I1 + I 2 ;
e) metoda grafică, a cercului lui Mohr, se poate utiliza şi pentru determinarea
mărimilor: Iu, Iv, Iuv (de parametru 2α), I1, I2, α1 etc. dacă se procedează analog ca în
§ 3.5, respectiv cum este arătat în figura 5.5.
f) ţinând seama că momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem de axe ce
conţine o axă de simetrie este nul, rezultă că axa de simetrie este o axă principală
iar a doua axă principală este perpendiculară pe axa de simetrie în centrul de
greutate.
5.5 Aplicaţii
5.5.1 Momentele de inerţie centrale ale unui dreptunghi (fig.5.6)
Axele Ozy sunt axe centrale principale de inerţie (axe de simetrie). Se alege
elementul de arie dA = b⋅dy, la ordonata y. Înlocuind în prima relaţie (5.5) se obţine:
3
b  h 

I z = ∫ y ⋅ dA = ∫ y ⋅ b ⋅ dy = ⋅    −  −

3   2 
−h/ 2
A
h/ 2
2
2
h

2
3
 b ⋅ h3
.
=
12

Procedând în mod similar faţă de axa Oy se obţin formulele:
b ⋅ h3
Iz =
,
12
b ⋅ h3
,
Iy =
12
I zy = 0.
(5.17)
Momentul de inerţie centrifugal este nul deoarece axele z şi y sunt axe de
simetrie (vezi § 5.4.1).
5.5.2. Momentele de inerţie centrale ale secţiunii circulare (fig. 5.7)
Se alege sistemul de axe centrale principale cu originea în centrul cercului şi
elementul de arie dA =2π⋅ r⋅dr.
Aplicând relaţia (5.7), se obţine momentul de inerţie polar:
4
d/ 2
2π  d 
I p = I 0 = ∫ r ⋅ dA = 2π ⋅ ∫ r ⋅ dr =
⋅   deci,
4  2
A
0
2
IP =
π ⋅ d4
.
32
3
(5.18)
Fig. 5.7
Fig. 5.6
Întrucât axele z şi y sunt axe diametrale (ecuatoriale) ale cercului, există
egalitatea Iz= Iy şi din (5.18) se obţine:
I P πd4
,
Iz = Iy =
=
2
64
I zy = 0 .
(5.19)
5.5.3. Secţiunea inelară sau coroană circulară (fig. 5.8)
Considerând că această secţiune este compusă dintr-un cerc de diametru D, din
care se scade alt cerc de diametru d, momentul de inerţie polar se obţine:
D 4 d4 π ⋅ d4
IP =
−
=
32 32
32
  d 4
⋅ 1 −   
  D  
(5.20)
În mod similar pentru momentele de inerţie
axiale, se obţine:
π ⋅ D4
Iz = Iy =
64
Raportul k =
  d 4
⋅ 1 −   
  D  
(5.21)
d
este un factor constructiv al
D
secţiunii inelare, astfel că momentele de inerţie
Fig. 5.8
polare, respectiv axiale sunt funcţie numai de
diametrul exterior D şi se poate scrie:
π ⋅ D4
π ⋅ D4
4
Iz = Iy =
⋅ 1 − k şi Ip =
⋅ 1 − k4 .
64
32
(
)
(
)
(5.21,a)
5.5.4. Secţiunea compusă din două dreptunghiuri având axa Oy
axă de simetrie (fig.5.9)
a) Poziţia centrului de greutate în
sistemul de axe O1z1y1 rezultă:
zG = 0 ,
yG =
6 ⋅ 4 ⋅ 0 + 2 ⋅ 12 ⋅ 8
= 4 cm.
6 ⋅ 4 + 2 ⋅ 12
În figura 5.9 s-au trasat axele
principale Ozy
şi s-au cotat poziţiile
centrelor de greutate ale secţiunilor
simple.
Fig. 5.9
b) Momentele de inerţie faţă de axele centrale sunt:
Izy= 0 (există o axă de simetrie),
(
I y = I zi + A i ⋅ z
(
2
oi
)
63 ⋅ 4
2 3 ⋅ 12
2
=
+ 6⋅4⋅0 +
+ 2 ⋅ 12 ⋅ 0 = 80 cm4 ,
12
12
)
6 ⋅ 43
2 ⋅ 12 3
+ 24 ⋅ 4 2 +
+ 24 ⋅ 4 3 = 1088 cm4 .
12
12
I z = I yi + A i ⋅ y 2oi =
5.5.5. Momentele de inerţie principale pentru o secţiune compusă
oarecare
Se consideră secţiunea formată dintr-un dreptunghi şi un cornier cu aripi egale
(fig.5.10).
Fig. 5.10
a) din anexa 7, pentru cornierul L 120×120×10, se iau valorile: A2= 19,2 cm2,
I z = I z = 174 cm4 , Iu= 280 cm4, Iv= 72,9 cm4, e = 2,82 cm.
2
2
b) Întrucât axele z2, y2 nu sunt axe principale, faţă de aceste axe va exista un
moment de inerţie, centrifugal, ce se poate calcula cu a treia relaţie (5.11), în funcţie
de momentele de inerţie principale ale cornierului (Iu şi Iv) şi de unghiul α2=45°
(unghiul dintre axa z2 şi axa u2):
I z ,y = −
2
2
Iu − Iv
280 − 72,9
⋅ sin 2 ⋅ 45o = −
= −103,6 cm4 .
2
2
c) Centrul de greutate, în sistemul de axe O2 z2 y2 , are coordonatele:
y0 =
∑A ⋅ y
∑A
i
i
i
=
25 ⋅ 1,2 ⋅ ( − 2,82 − 0,6)
25 ⋅ 1,2 + 19,2
= −2,085 cm,
 25

25 ⋅ 1,2 ⋅  − 2,82
2

∑ A i ⋅ zi =
z0 =
= 5,902 cm .
25 ⋅ 1,2 + 19,2
∑Ai
În figura 5.8 s-au cotat poziţiile centrelor de greutate: O1 şi O2, faţă de sistemul
de axe central Ozy.
d) Momentele de inerţie faţă de axele centrale se obţin prin aplicarea
formulelor (5.10):
(
)
, 3
25⋅ 12
2
+ 25⋅ 12
, ⋅ ( 342
, − 2,085) + 174 + 19,2 ⋅ 2,0853 = 314,5 cm4
12
)
12
, ⋅ 253
2
, ⋅ ( 9,68 − 5902
, ) + 174 + 19,2 ⋅ 5902
, 3 = 2834 cm4
+ 25 ⋅ 12
12
I z = ∑ I zi + A i ⋅ yoi2 =
(
I y = ∑ I yi + A i ⋅ zoi2 =
(
)
I zy = ∑ I zi ,yi + A i ⋅ zoi ⋅ y oi = 0 + 25 ⋅ 1,2 ⋅ 3,778 ⋅ ( − 1,335) + ( − 103,6) = −254,9 cm 4
e) Momentele de inerţie principale rezultă prin înlocuirea valorilor
momentelor faţă de axele centrale în relaţiile (5.13):
I1 , I 2 =
Iz + Iy
2
2
 Iz − Iy 
2
± 
 + I zy =
 2 
2
314,5 + 2834
 314,5 − 2834 
2
=
± 
 + 254,9 = 1574 ± 1285


2
2
deci,
I1= 2859 cm4, I2= 289 cm4.
f) Direcţia axei principale 1, se obţine din a doua relaţie (5.14,b):
α 1 = arctg
I zy
Iz − I2
= arctg
− 254,9
= −84.29 o .
314,5 − 289
În figura 5.10 s-au trasat cele două axe principale 1 şi 2. Se observă că
extremităţile secţiunii au distanţele cele mai mari faţă de axa 1.
Observaţie: Pentru obţinerea momentelor de inerţie trebuie parcurse etapele
de mai jos:
a) se completează valorile necesare calculului: din tabele sau prin calcul;
b) se calculează poziţia centrului de greutate, se trasează axele centrale şi se
cotează poziţia centrelor de greutate ale figurilor componente faţă de axele
centrale;
c) se determină momentele de inerţie faţă de axele centrale (Ozy);
d) se calculează momentele de inerţie principale;
e) se determină poziţia axelor principale şi se trasează axele pe figură;
e) se verifică dacă valorile determinate respectiv axele trasate nu sunt greşite
(I1= Imax, I2=Imin etc.).
5.6. Raze de inerţie
Prin definiţie, mărimile geometrice
Iy
I
i z = z şi i y =
,
A
A
se numesc raze de inerţie (giraţie).
(5.22)
Relaţiile de definiţie (5.22) se pot aplica oricăror momente de inerţie axiale: Iz,
Iy, Iu, Iv, I1, I2 etc.
Momentul de inerţie faţă de axa rotită u, dacă Iz= I1 şi Iy= I2, ţinând seama de
prima relaţie (5.11), are expresia:
Iu =
I1 + I2 I1 − I2
+
⋅ cos2α = I1 cos2 α + I2 sin2 α ,
2
2
din care, înlocuind expresiile (5.22), se obţine:
i u2 = i 12 ⋅ cos 2 α + i 22⋅ sin 2 α
(5.23,a)
Alegând pe raza u un punct Q (fig.5.4) de coordonate:
y = OQ ⋅ cos α +
i1 ⋅ i 2
⋅ cos α ,
iu
z = OQ ⋅ sin α =
şi înlocuind în relaţia (5.23,a) se obţine ecuaţia unei elipse
i1 ⋅ i 2
⋅ sin α ,
iu
z2 y 2
+
= 1,
i 12 i 12
(5.23)
numită elipsă de inerţie. Semiaxele acesteia sunt razele de inerţie principale.
Pentru trasarea elipsei de inerţie, se marchează valorile calculate cu formulele
(5.22) ale mărimilor i1 şi i2 astfel: i1 pe axa 2 şi i2 pe axa 1; astfel că după trasare
elipsa are o formă alungită, ca şi a secţiunii.
Pentru secţiunea dreptunghiulară, prin aplicarea relaţiei (5.22) rezultă relaţii
pentru razele de inerţie:
iz =
iy =
Iz
b ⋅ h3
h
,
=
=
12b ⋅ h
A
12
(5.24)
Iy
b3 ⋅ h
b
.
=
=
12b ⋅ h
A
12
În cazul secţiunii circulare se obţine:
iz = iy =
Iz
=
A
4
π ⋅ d4
d
⋅
=
64 π ⋅ d 2 4
(5.25)
iar pentru secţiunea inelară rezultă:
iz = iy =
π D 4 − d4 4
⋅
⋅ =
64 D 2 − d 2 π
D 2 − d2 D
= ⋅ 1 − k2 .
4
4
(5.26)
Razele de giraţie se exprimă în unităţi de lungime (m, cm, mm).
5.7. Module de rezistenţă
La calculul modulelor de rezistenţă se consideră că axele Oz şi Oy sunt axe
centrale principale.
Mărimile geometrice:
Wz =
Iy
Iz
şi Wy =
,
y max
zmax
(5.27)
se numesc module de rezistenţă faţă de axa Oz, respectiv Oy. În relaţiile de mai sus
ymax, respectiv zmax este: distanţa celui mai îndepărtat punct al secţiunii faţă de axa
Oz, respectiv faţă de axa Oy.
Mărimea,
WP =
IP
,
R max
(5.28)
se numeşte modul de rezistenţă polar. Rmax este distanţa între centrul de greutate
(polul secţiunii) şi cel mai îndepărtat punct faţă de pol.
În cazul secţiunilor dreptunghiulare, modulele de rezistenţă axiale rezultă:
Wz =
Wy =
Iz
y max
Iy
zmax
b ⋅ h3 2 b ⋅ h2
=
⋅ =
,
12 h
6
(5.29)
b3 ⋅ h 2 b2 ⋅ h
=
⋅ =
.
12 b
6
Pentru secţiunea circulară, modulele de rezistenţă axiale sunt:
Wz = Wy =
Iz
y max
π ⋅ d4 2 π ⋅ d 3
=
⋅ =
,
64 d
32
(5.30)
iar modulul de rezistenţă polar va fi:
I P π ⋅ d4 2 π ⋅ d 3
WP =
=
⋅ =
.
R
32 d
16
(5.31)
În cazul secţiunii inelare (fig. 5.8) se obţin formulele:
π ⋅ D3
Wz = Wy =
32
π ⋅ D3
Wp =
16
4
  d
π ⋅ D3
⋅ 1 −    =
⋅ 1 − k4 ,
32
  D 
4
(
  d
π ⋅ D3
1 − k4 .
⋅ 1 −    =
16
  D 
(
)
)
(5.32)
Din analiza formulelor (5.32), în comparaţie cu (5.20) şi (5.21), trebuie
remarcat şi reţinut faptul că modulele de rezistenţă ale secţiunilor compuse nu se
pot obţine prin însumarea modulelor de rezistenţă ale figurilor componente, ci
numai prin aplicarea relaţiilor (5.27) şi (5.28).
6. SOLICITĂRI AXIALE
6.1. Tensiuni şi deformaţii
O bară este solicitată axial, dacă în secţiunile ei transversale se dezvoltă numai
forţe axiale N, care pot fi constante sau variabile. Valoarea forţei axiale, în dreptul
unei secţiuni, este egală cu suma proiecţiilor pe axa barei, a tuturor forţelor situate la
stânga sau la dreapta secţiunii considerate.
Pentru studiul eforturilor se recomandă să se reprezinte diagrama forţelor
axiale pentru determinarea secţiunii (sau secţiunilor) periculoase. Forţele axiale sunt
considerate pozitive când produc solicitarea de întindere şi negative când
produc solicitarea de compresiune a secţiunii transversale..
Forţa axială este rezultanta tuturor tensiunilor normale care se dezvoltă într-o
anumită secţiune transversală. Pentru a determina tensiunile, se consideră o bară
solicitată axial, de lungime L, confecţionată dintr-un material omogen şi izotrop şi
care are o secţiune transversală constantă, cu aria A.
Prin aplicarea unei forţe axiale N bara se lungeşte cu cantitatea ∆L. O secţiune
oarecare BC, situată la abscisa x se deplasează cu cantitatea ∆x. Conform ipotezei lui
Bernoulli “o secţiune plană şi normală pe axa barei înainte de deformaţie rămâne
plană si normală pe axa barei după deformaţie”, rezultă că toate punctele secţiunii BC
se deplasează axial cu aceeaşi valoare ∆x= ct. şi:
εx =
∆x
= ct.
x
Conform legii lui Hooke, alungirii specifice constante, îi corespund tensiuni
normale constante:
σ = E⋅ε.
Prin ipoteză am considrat materialul izotrop, deci modulul de elasticitate este
constant (E = ct.) şi ca urmare rezultă σ = ct.
Deci, tensiunile sunt repartizate uniform pe suprafaţa secţiunii
transversale (fig.6.1,b).
Din ecuaţia de echilibru scrisă pentru partea din stânga a barei (fig.6.1,b)
rezultă:
N = ∫ σ ⋅ dA = σ ⋅ ∫ dA = σ ⋅ A .
A
A
Din această ecuaţie se
obţine
valoarea
tensiunii
normale pentru solicitarea la
intindere sau compresiune:
σ=
N
.
A
(6.1)
Fig. 6.1
Starea de tensiune, în acest caz, este o stare uniaxială (fig. 6.1,c).
Întrucât se consideră că materialul satisface legea lui Hooke, deformaţia
specifică pentru solicitări axiale, are expresia:
ε=
σ
N
=
.
E E⋅ A
(6.2)
Valoarea alungirii, respectiv a scurtării totale a barei este:
∆L = ε ⋅ L =
N⋅L
.
E⋅ A
(6.3,a)
Dacă pe lungimea barei mărimile N, E, şi A sunt variabile, sau constante pe
anumite porţiuni ale barei, alungirea se calculează cu relaţia:
N⋅L
N
dx sau ∆L = ∑
.
E⋅ A
L E⋅ A
∆L = ∫
(6.3,b)
Alungirea (scurtarea) ∆L este cu atât mai mică cu cât produsul EA este mai
mare şi de aceea produsul EA se numeşte modul de rigiditate la întinderecompresiune.
Relaţiile deduse mai sus şi cele ce se vor deduce mai jos sunt valabile atât
pentru solicitarea la întindere cât şi pentru cea de compresiune.
Barele de lungime mare solicitate la compresiune trebuie verificate la
flambaj (vezi. § 15). Fenomenul de flambaj (numit şi pierderea stabilităţii elastice),
se produce înainte ca tensiunile produse de solicitarea la compresiune să atingă
valoarea σa. De aceea nu se pot calcula la compresiune decât barele scurte, a căror
lungime nu întrece de 15 ori dimensiunea cea mai mică a secţiunii transversale:
L ≤ 15 ⋅ dmin ,
(6.4)
iar pentru L ≥ 15 ⋅ dmin se va face calculul la flambaj (vezi § 15).
6.2. Calculul de rezistenţă la întindere - compresiune
Relaţiile deduse mai sus se utilizează pentru rezolvarea problemelor
Rezistenţei materialelor: verificare, capacitate de încărcare şi dimensionare.
Rezolvarea acestor probleme se face respectând atât în condiţia de rezistenţă (σmax≤ σ
a
) cât şi cea de rigiditate (εmax ≤ εa sau
∆Lmax ≤ ∆La). Rezistenţa admisibilă (σa)
respectiv deformaţa admisibilă (εa, ∆La) depind de factorii analizaţi în §1.5.
Rezistenţele admisibile pentru câteva materiale sunt date în anexa 1.
Ţinând seama de aceste considerente se deduc, pe probleme, formulele de
calcul.
a) Verificarea unei piese solicitată de un efort axial, constă în determinarea
tensiunii maxime respectiv a deformaţiei maxime şi compararea valorii obţinute cu
cea admisibilă. Valoarea rezultată trebuie să nu depăşească pe cea admisibilă adică:
- din condiţia de rezistenţă:
σ ef =
N max
≤ σa
A ef
(6.5)
- din condiţia de rigiditate:
ε max =
N
N⋅L
≤ ε a sau ∆L max =
≤ ∆L a .
E⋅ A
E⋅ A
(6.5,a)
În prima relaţie (6.5) prin Aef se înţelege valoarea ariei efective a secţiunii. În
figura 6.2 se dau ariile efective pentru câteva secţiuni.
Fig. 6.2
Inegalităţile din formulele (6.5) nu sunt total restrictive, în sensul că se pot
depăşi cu 3...5 % valorile limită (σa, εa, ∆La). Pentru a îndeplini condiţia de utilizare
eficientă a barei se recomandă ca valoarea efectivă a tensiunii sau a deformaţiei
să nu fie inferioare valorii de 80 % din valoarea admisibilă.
Dacă bara îndeplineşte simultan condiţiile:
0,8 ⋅ σ a ≤ σ max ≤ 1,05 ⋅ σ a
0,8 ⋅ ε a ≤ ε max ≤ 1,05 ⋅ ε a ,
(6.5,c)
0,8 ⋅ ∆L a ≤ ∆L max ≤ 1,05 ⋅ ∆L a .
vom spune “BARA REZISTĂ”.
Dacă o singură mărime calculată din relaţiile (6.5) depăşeşte cu 5% valoarea
admisă atunci “BARA NU REZISTĂ”.
În cazul în care toate mărimile calculate sunt inferioare valorii de 80% din cele
admisibile “BARA ESTE SUPRADIMENSIONATĂ”.
Atât în cazul în care bara nu rezistă cât şi în cazul în care este supradimensionată
se va calcula valoarea sarcinii capabile.
b) Capacitatea de încărcare se calculează atât pentru barele la care nu se
cunoaşte
valoarea încărcării cât şi pentru acelea ce au fost verificate şi n-au
corespuns sarcinii impuse, fie că erau subdimensionate sau/şi supradimensionate.
Cunoscând dimensiunile secţiunii transversale ale barei, materialul din care
este confecţionată (σa) şi condiţiile de deformare (εa, ∆La), forţa axială maximă se
determină cu una din formulele:
- din condiţia de rezistenţă:
N cap = A ef ⋅ σ a ,
(6.6,a)
- din condiţia de rigiditate:
N cap = E ⋅ A ef ⋅ ε a sau N cap =
E ⋅ A ef ⋅ ∆L a
.
L
(6.6,b)
Dacă se ţine seama de ambele condiţii (de rezistenţă şi de rigiditate) rezultă
două valori diferite pentru sarcina capabilă. Din acestea se ia în considerare
valoarea cea mai mică.
Din calcul rezultă valori fracţionale sau cu multe cifre. Dar, în practica
inginerească se folosesc valori normate (valori prevăzute în norme sau standarde),
ce au puţine cifre şi sunt, de regulă, întregi. Deci, inginerul trebuie totdeauna să
aleagă valoarea forţei, astfel ca bara să reziste, să fie utilizată eficient, iar
valoarea forţei să fie cea normată. Astfel:
0,8 ⋅ Pcap min ≤ P ≤ 1,05 ⋅ Pcap min .
(6.7)
c) Dimensionarea este problema cea mai dificilă, şi constă în determinarea
dimensiunilor secţiunii transversale ale barei astfel
încât aceasta să reziste
solicitărilor impuse.
Prima operaţie, pentru dimensionare, este aflarea efortului normal maxim.
Aceasta rezultă din diagrama forţei axiale. Apoi, se alege materialul pentru bară şi se
adoptă valoarea rezistenţei admisibile, respectiv a deformaţiei admisibile.
Aria necesară a secţiunii transversală se calculează cu relaţiile:
- din condiţia de rezistenţă:
A nec =
N max
,
σa
- din condiţia de rigiditate:
(6.8,a)
A nec =
sau A nec =
N max
E⋅ εa
L ⋅ N max
.
E ⋅ ∆L a
(6.8,b)
Ca
şi
la
capacitatea
de
încărcare şi aici pot rezulta două
valori diferite pentru arie. De
Fig. 6.3
această dată se ia în considerare
valoarea cea mai mare pentru a fi satisfăcute simultan cele două condiţii. De
asemenea şi aici dimensiunile transversale ale barelor sunt normate şi trebuie
totdeauna să se aleagă, valoarea standardizată. În acest scop se aleg forma şi
dimensiunile secţiunilor date în tabele cu profile standardizate (vezi fig. 6.2).
6.3. Bare cu variaţie de secţiune. Secţiune periculoasă
În numeroase cazuri, din motive constructive, aria secţiunii transversale variază
în lungul barei. Spre exemplu în figura (6.3,a) este prezentată o platbandă cu
secţiunea transversală dreptunghiulară de lăţime b şi grosime h slăbită în secţiunea
II-II de o gaură cu diametrul d şi solicitată de o forţă axială N. Tensiunile produse nu
au aceeaşi valoare în fiecare secţiune transversală. Tensiunile în secţiunea I-I, ce se
găseşte la depărtare de secţiunea slăbită, sunt mai mici decât în secţiunea II-II.
Secţiunea în care iau naştere cele mai mari tensiuni normale se numeşte
secţiune periculoasă. Calculele de rezistenţă, în acest caz, se fac pentru secţiunea
periculoasă. Pentru bara din figura 6.3 secţiunea periculoasă este secţiunea II-II, ce
are aria minimă. Valoarea medie a tensiunii în această secţiune se determină cu
relaţia:
σ0 =
N
N
,
=
A ef (b − d) ⋅ h
şi se numeşte tensiune nominală.
Prin măsurări tensometrice s-au determinat valorile reale ale tensiunilor în bara
cu secţiune variabilă. S-a stabilit că tensiunile nu se repartizează uniform pe suprafaţa
secţiunii transversale, ci au o variaţie parabolică ca în figura (6.3,b), cu valoarea
maximă la marginea găurii.
În Teoria elasticităţii se demonstrează că tensiunea în secţiunea periculoasă, la
ordonata y de axa Ox, este dată de relaţia:
σ=
N
b⋅h

d2
3d 4 
⋅ 1 +
+
,
8 y 2 32y 4 

iar tensiunea maximă, la marginea găurii, pentru y =
σ max = 3
d
este:
2
N
= 3⋅ σ0 ,
b⋅h
unde:
σ0 =
N
este tensiunea nominală din secţiunea neslăbită I-I.
b⋅h
Stări de solicitare asemănătoare se produc şi în dreptul altor variaţii de
secţiune. În figura (6.4,a,b) s-au redat alte două exemple de variaţie a secţiunii
transversale. În aceste cazuri tensiunea normală maximă apare la marginea secţiunii
transversale, în dreptul crestăturii (fig. 6.4,a) şi în dreptul racordării (fig. 6.4,b).
Găurile, racordările, crestăturile, etc. care produc o modificare bruscă a
secţiunii barei, influenţează distribuţia tensiunii normale, se numesc concentratori
de tensiune.
Pentru cazul general tensiunea normală maximă se determină cu relaţia:
σ max = α k ⋅ σ 0 = α k ⋅
unde:
N
A
(6.9)
αk > 1 este coeficientul teoretic de concentrare al tensiunilor sau coeficient de formă.
Mărimea coficienţilor de concentrare a
tensiunilor se ia din manualele inginereşti în
funcţie de dimensiunile secţiunii şi de mărimea şi
Fig. 6.4
configuraţia concentratorilor.
Concentratorii de tensiune sunt deosebit de
periculoşi pentru materialele fragile. Dacă materialul barei este tenace efectul
concentratorului este redus şi uneori chiar neglijabil.
În figura (6.5,a, b, c, d) sunt date câteva diagrame cu coeficienţi de concentrare
a tensiunilor normale pentru patru forme de concentratori.
Fig. 6.5
Aplicaţia 6.1. O bară de secţiune dreptunghiulară de (100x12) mm este
asamblată de un guseu prin trei nituri de diametru d=18 mm (fig.6.6). Bara este
solicitată la întindere de forţa P =150 kN. Se cere să se verifice bara în ipoteza că
forţa P se repartizează uniform pe cele 3 nituri, dacă σa= 150 MPa şi αk= 1.
Fig. 6.6
Rezolvare: Tensiunea maximă din secţiunea I a barei este:
σ max
I
N I 150 ⋅ 103
= 125MPa < σ a .
=
=
12 ⋅ 100
A ef
I
Tensiunea nominală din secţiunea II, rezultă:
σ max =
II
N II
150 ⋅ 103
= 152,4 MPa < 1,05 ⋅ σ a .
=
A ef
12 ⋅ 100 − 18 ⋅ 12
II
Întrucât, prin ipoteză, forţa P se repartizează uniform pe cele trei nituri rezultă
că o forţă P/3 a trecut de la bara la guseu, prin nitul din secţiunea II. În secţiunea III a
mai rămas 2/3 P, astfel că tensiunea normală în bară este:
σ max
III
2
⋅ 150 ⋅ 103
N III
3
=
=
= 130,2 MPa < σ a .
A ef
12 ⋅ 100 − 2 ⋅ 18 ⋅ 12
III
Deci, secţiunea periculoasă este secţiunea II-II, unde se verifică condiţia
impusă ca σef II < 1,05⋅σa, printr-o depăşire a tensiunii admisibile cu numai 1,6 %.
Aplicaţia 6.2.
Să se verifice bara din figura 6.7 solicitată la întindere de o
forţă P = 7,4 kN ştiind că σa= 150 MPa.
De pe curba:
D − d 20 − 10
=
= 1,
2r
10
dată în figura (6.5,a), pentru r/d = 0,5 se obţine:
Fig. 6.7
α k = 1,37.
Astfel, tensiunea normală maximă din
secţiunea I rezultă:
σ max
I
P
4 ⋅ 7,4 ⋅ 103
= αk ⋅
= 1,37 ⋅
= 129,1 MPa < σ a .
A ef
102
Din diagrama prezentată în figura (6.4,c), pentru d/D = 0,5 se obţine αk II= 1,95
astfel că:
σ max = α k ⋅
II
P
7,4 ⋅ 103
= 1,95 ⋅
= 153,3 MPa < 1,05 ⋅ σ a .
π ⋅ 202
A ef
− 20 ⋅ 11
4
Deci bara este corect dimensionată întrucât în ambele secţiuni se respectă
condiţia (6.5,c).
6.4. Calculul barelor verticale luând în considerare
şi greutatea proprie
În cazul barelor de lungimi mari, care sunt în
poziţie verticală, calculul la solicitări axiale, se face
luând-se în considerare şi greutatea proprie.
Să considerăm o bară verticală, prismatică de
lungime L şi cu rigiditate EA, confecţionată dintr-un
material omogen, cu greutatea specifică γ. Bara este
Fig. 6.8
încastrată la un capăt şi este solicitată la întindere de o
forţă P şi de greutatea proprie conform figurii 6.8.
Într-o secţiune oarecare situată la abscisa x de capătul liber al barei,valoarea
forţei axiale este:
N= P+ γ ⋅A⋅x
(6.10)
şi are variaţie liniară.
Valorile extreme ale forţei sunt:
N 0 = P,
N1 = P + γ ⋅ A ⋅ L.
Valoarea tensiunii normale într-o secţiune oarecare este:
σ=
N P
= + γ ⋅ x = σ0 + γ ⋅ x ,
A A
(6.11)
iar valoarea maximă a tensiunii este în dreptul secţiunii 1:
σ1 =
P
+ γ ⋅ L = σ0 + γ ⋅ L,
A
(6.12)
în care tensiunea minimă s-a notat cu σo= P/A.
Din relaţia (6.12) se obţine:
- pentru dimensionare:
A nec =
P
:
σa − γ ⋅ L
(6.13)
- pentru verificare:
σ max =
P
+ γ ⋅L:
A ef
(6.14)
- pentru calculul capacităţii de încărcare:
Pcap = A ef ⋅ ( σ a − γ ⋅ L ) .
Alungirea, respectiv scurtarea barei verticale lungi se obţine astfel:
∆dx = ε x ⋅ dx =
sau:
σ
1 P

⋅ dx = ⋅  + γ ⋅ x ⋅ dx ,

E
E A
(6.15)
L
∆L = ∫ ∆dx = ∫
L
0
0
1 P
1  P⋅L γ ⋅L 

⋅  + γ ⋅ x ⋅ dx = ⋅ 
+
=

2 
E A
E  A
2
G

P +  ⋅L

2
E⋅ A
(6.16)
în care G = γ⋅A⋅L, este greutatea barei.
Realizarea unor astfel de bare verticale
prismatice, (de secţiuni constante) şi lungimi
mari sunt soluţii neeconomicoase şi din
această cauză s-a ajuns la bara de egală
rezistenţă, care este o bară de secţiune
variabilă la care este îndeplinită condiţia σ
= σa pe toată lungimea barei (fig. 6.9,a).
Fig. 6.9
În scopul determinării modului de
variaţie al ariei, se izolează un element de
lungime dx (fig. 6.9,b), de greutate γ ⋅ A x ⋅ dx , pe secţiunile căruia se reprezintă
tensiunile normale σa (din condiţia ca bara să fie de egală rezistenţă).
Din ecuaţia de echilibru a acestui element se obţine:
γ ⋅ A x ⋅ dx − σ a⋅ ( A x + dA x ) + σ x ⋅ A x = 0 ,
sau
γ ⋅ A x ⋅ dx − dA x ⋅ σ a = 0 ,
care prin separarea variabilelor şi integrare conduce la expresia:
ln A x =
γ
⋅ x + C.
σa
Constanta C se determină prin utilizarea condiţiilor la limită şi anume, pentru
x= 0 rezultă C = lnA0. Expresia de mai sus devine:
ln A x =
γ
⋅ x + ln A 0 ,
σa
de unde se obţine relaţia ce exprimă modul de variaţie al ariei secţiunii transversale:
Ax = A0 ⋅ e
γ
⋅x
σa
(6.17)
Realizarea practică a unei astfel de bare este dificil de executat şi deci scumpă.
De aceea în practica inginerească se utilizează bare cu variaţii în trepte, eficient
calculate. În acest mod, cu toate că forţa axială creşte de la valoarea P la P+G,
tronsoanele se pot realiza astfel ca tensiunile efective să fie cuprinse în domeniul:
1,05 ⋅ σ a ≥ σ ef ≥ 0,8 ⋅ σ a .
Pentru exemplificare se consideră bara din figura 6.10, formată din trei
tronsoane cu lungimile L1, L2, L3. Dimensionarea barei, ţinând seama de condiţia de
rezistenţă, se face astfel:
Fig. 6.10
N0 = P ,
A 1nec =
P
.
σ a − γ 1 ⋅ L1
Se adoptă A1 şi apoi se calculează:
N 1 = P + G 1 = P + γ 1 ⋅ A 1 ⋅ L 1 , A 2nec =
N1
,
σa − γ 2 ⋅ L2
apoi se adoptă A2.
Generalizând, dimensionarea se face cu formula:
i−1
P + ∑ γ i ⋅ Ai ⋅ Li
A inec =
0
σ a − γ i ⋅ Li
i−1
=
P + ∑ Gi
0
σ a − γ i ⋅ Li
.
(6.18)
Dacă tronsoanele sunt realizate din materiale diferite în formula (6.18) se ia
valoarea tensiunii admisibile cea mai mică din valorile pentru cele două materiale în
contact (a se vedea § 6.5.1).
Efortul maxim la contactul dintre cele două tronsoane este:
i−1
i−1
0
0
Ni = P + ∑ γ i ⋅ A i ⋅ L i = P + ∑ Gi .
(6.19)
Alungirea respectiv scurtarea barei formate din tronsoane rezultă prin
însumarea alungirilor (scurtărilor) fiecărui tronson, Astfel, prin aplicarea succesivă a
formulei (6.16) se obţine:
i
∆L = ∑
1
Gi
2 ⋅L .
i
Ei ⋅ A i
N i−1 +
(6.20)
6.5. Presiunea de contact
În calculele de rezistenţă la compresiune este necesară determinarea modului
cum sunt transmise sarcinile aplicate, adică a modului de considerare a presiunii de
contact. Aceasta este considerată o tensiune normală pe suprafaţa de contact, ce se
dezvoltă pe suprafaţa de aplicare a sarcinilor. Dacă presiunea de contact atinge valori
prea mari, ce depăşesc limita admisibilă a unui material în contact, se produce
distrugerea prin strivire, a elementului respectiv. De aceea, când forţa se transmite
între doua (ER) din materiale diferite se va ţine seama în calcul, de rezistenţa
admisibilă cea mai mică la compresiune a materialelor în contact.
Relaţiile de calcul ale presiunii de contact diferă în funcţie de felul suprafeţei
de contact (plană, cilindrică, sferică, etc).
6.5.1. Suprafaţa plană de contact
Pentru suprafeţe plane de contact se admite o distribuţie uniformă a
presiunii de contact, egală cu tensiunea normală pe această suprafaţă. În acest caz
rezistenţa la strivire este:
p ef =
P
≤ p a = σ ac ,
A
(6.21)
în care σac este rezistenţa admisibilă la compresiune, cea mai mică, a materialelor în
contact.
Aplicaţia 6.3. Să se verifice stâlpul din
figura 6.11, ştiind că este confecţionat din
aluminiu cu paAL= 45 MPa. Acesta apasă pe o
placă de oţel cu paOL= 100 MPa care apoi se
sprijină pe un bloc de beton cu pabet=30 MPa şi
totul pe pământ. Presiunea admisibilă pentru
pământ este de papăm=2 MPa. Se cunoaşte: γAL =
3
3
3
27 kN/m , γOL= 78,5 kN/m şi γbeton= 22 kN/m .
Fig. 6.11
Rezolvare: forţa la contactul dintre stâlpul
de aluminiu şi placa de oţel rezultă:
N 2 = P + γ AL ⋅ VAL = 2000 + 27 ⋅
π ⋅ 0,252
⋅ 8 = 2011 kN ,
4
iar presiunea de contact este:
Ps2 =
N 2 4 ⋅ 2011 ⋅ 103
=
= 40,96 MPa < PaAL ,
A ef
2502
Forţa la contactul dintre oţel şi beton va fi:
N 3 = N 2 + γ OL ⋅ VOL = 2011 + 78,5 ⋅
π ⋅ 0,3252
⋅ 0,02 = 2011kN .
4
Observaţii: Greutatea plăcii de oţel este neglijabilă faţă de cea a stâlpului şi nu
se ia în considerare.
Presiunea de contact în 2 este:
N 3 4 ⋅ 2011 ⋅ 103
Ps3 =
=
= 24,24 MPa < PaBet .
3252 ⋅ π
A ef
Forţa axială dintre beton şi pământ se obţine:
N 4 = N 3 + γ bet ⋅ Vbet = 2011 + 50 ⋅ 1,2 2 ⋅ 1 = 2083 kN ,
iar presiunea de contact este:
Ps4 =
N 4 2083 ⋅ 103
=
= 1,419 MPa < PaPam .
12002
A ef
Deci, calculele de rezistenţă pentru acest stâlp sunt corecte, deoarece în toate
zonele de contact nu se depăşeşte presiunea admisibilă a materialului celui mai puţin
rezistent. Se mai observă că greutatea plăcii de oţel este neglijabilă faţă de sarcină,
greutatea stâlpului şi greutatea fundaţiei.
6.5.2. Suprafeţe cilindrice în contact
În cazul îmbinărilor cu nituri, bolţuri, buloane, etc. suprafeţele în contact dintre
(ER) au forme cilindrice.
În figura (6.12,a) se consideră o îmbinare cu un nit. Forţa P se transmite de la
ER 2 la 3 prin intermediul nitului 1 de diametru D şi lungime 2L.
Dacă se presupune că intensitatea forţei este aceeaşi pe toată grosimea L a
elementelor 2 respectiv 3 atunci pe fiecare suprafaţă elementară, dA = L ⋅
D
⋅ dα , se
2
va transmite o forţă elementară normală, (fig. 6.12):
dN = p ⋅ dA = p ⋅ L ⋅
D
⋅ dα ,
2
ce depinde de distribuţia presiunii de contact.
Distribuţia reală depinde de elementul de imbinare (nit sau şurub) modul de
asamblare (nedemontabilă sau demontabilă) şi se poate determina experimental.
Dacă se consideră distribuţia p = po⋅cosα, ce aproximează foarte bine pe cea
reală, atunci din ecuaţia de echivalenţă dintre forţă şi presiune se obţine:
π
2
0
π
2
0
π
2
0
L⋅ D
π


P = 2∫ dN ⋅ cos α = 2∫ ( p ⋅ dA) ⋅ cos α = 2∫  p0 ⋅ cos α ⋅
⋅ dα ⋅ cos α = ⋅ L ⋅ D ⋅ p0 ,


2
4
din care rezultă valoarea presiunii maxime în contact,
p0 =
P
4P
= 1,273 ⋅
.
D⋅L⋅π
D⋅L
(6.22)
În calculele inginereşti se consideră că forţa P se distribuie uniform pe
suprafaţa D⋅L (fig. 6.12,e, f), adică
Fig. 6.12
P = pa ⋅ D ⋅ L
sau
p max =
P
.
D⋅L
(6.23)
Presiunea de contact admisibilă, în cazul suprafeţelor cilindrice fixe, se ia:
pa= (1 ... 1,5) ⋅σac,
(6.24)
iar dacă cele două piese cilindrice trebuie să aibă o mişcare relativă una faţă de alta,
cum este fusul în lagăr, se ia:
pa= (0,5 ... 0,8) ⋅σac.
(6.23,a)
2
Astfel, pentru OL 37 cu σac= σa= 150 N/mm , presiunea admisibilă se poate lua
între valorile pa= 75 ... 225 MPa.
Aplicaţa 6.4. Să se verifice la strivire îmbinarea cu nituri de la aplicaţia 6.1
(fig. 6.6) dacă pa= 1,5 σa= 1,5 ⋅ 150 = 225 MPa.
Rezolvare: Forţa pe un nit, ţinând seama de ipoteza că forţa se distribuie
uniform pe fiecare nit (a se vedea § 7.4), este:
P1 =
P 150
=
= 50 kN.
3
3
Presiunea de contact este:
p ef =
P1
50 ⋅ 103
=
= 231,5 MPa.
D ⋅ L 18 ⋅ 12
Întrucât pef = 231,5 < 1,05 ⋅ pa = 236,3 MPa, ÎMBINAREA REZISTĂ.
6. 5. 3. Suprafeţe mici în contact
Asemenea suprafeţe există la contactul dintre bilele sferice, cilindrice, butoiaş,
etc. şi suprafeţele de aşezare ale acestora. În aceste cazuri, datorită suprafeţelor de
rezemare foarte mici, prin care se transmit forţele, se produc presiuni de contact
deosebit de mari. Sub acţiunea forţelor de contact mari cele două corpuri se
deformează local (se turtesc).
În cazul a două bile sferice, apăsate una către cealaltă cu forţa P, acestea se
deformează, obţinându-se o suprafaţă circulară de contact, cu diametrul 2a (fig.6.13).
Presiunea maximă de contact a fost stabilită de H. Hertz, luând în considerare
următoarele ipoteze:
- diametrul 2a, al suprafeţei de contact, este mic în comparaţie cu diametrele d1
şi d2 ale bilelor:
- materialele celor două corpuri au deformaţii liniar eleastice:
- presiunile de contact sunt normale pe suprafaţa de contact.
În acest caz presiunea maximă dezvoltată pe axa centrelor celor două
bile se calculează cu formula dedusă de H. Hertz (cu ajutorul teoriei
elasticităţii):
2
p max
2
 E ⋅ E   d + d2 
= 0,975 ⋅ 3 P ⋅  1 2  ⋅  1
 ,
 E1 + E 2   d1 ⋅ d 2 
(6.25)
iar dacă cele două corpuri sunt confecţionate din acelaşi material:
2
p max
 d + d2 
= 0,62 ⋅ 3 P ⋅ E ⋅  1
 .
 d1 ⋅ d 2 
2
(6.25,a)
În cazul general al unor corpuri ce au forme geometrice simple (sferă, cilindru,
con, trunchi de con, elipsoid, etc.) suprafaţa de contact dintre cele două corpuri are
formă de elipsă, de ecuaţie:
A ⋅ x 2 + B ⋅ y 2 = ct.,
(6.26)
iar presiunea maximă de contact se calculează cu formula:
p max = α ⋅ 3 P ⋅ A 2 ⋅ E 2
(6.27)
Coeficientul α din formula (6.27) depinde de
parametrii A şi B ai ecuaţiei elipsei (6.26) şi se dau în
tabelul (6.1).
Fig. 6.13
Tabelul 6.1.
A/B
α
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0,15 0,15
0,1
0,05 0,02 0,01 0,007
0,62 0,667 0,742 0,85 0,14 1,14 1,27 1,54 2,03 2,85
3,6
5,1
În anexa 5 de la sfârşitul cursului se dau valorile parametrilor A şi B ai ecuaţiei
(6.26) şi formule de calcul ale presiunii maxime de
contact pentru cele mai frecvente cazuri întâlnite în
practica inginerească.
Tabelul 6.2.
Fig. 6.14
Materialul
σr [MPa]
pa [MPa]
Fonta
900 - 1400
800 - 1300
Oţel carbon călit
480 - 800
850 - 1400
Oţel aliat călit
700 - 1800
1200 - 1600
Oţel de rulmenţi
-
3800
Experimental s-a constatat că presiunea maximă de contact poate depăşi cu
mult limita de curgere a materialului fără ca ER să se distrugă. Fenomenul se explică
prin faptul că în zona centrală de contact, unde se atinge pmax, materialul se află în
stare triaxială de compresiune uniformă (vezi § 3.7 ).
Valorile presiunii admisibile în cazul contactului pe suprafeţe foarte mici,
pentru fonte şi oţeluri se dau în tabelul 6.2.
Aplicaţia 6.5. Să se calculeze forţa capabilă care o poate prelua un rulment de
presiune cu 8 bile (fig. 6.14) cu diametru d1= 6 mm, ce are căile de rulare concave cu
raza R =
d2
= 8 mm . Se cunoaşte E = 210 GPa şi pa= 3,8 GPa.
2
Rezolvare: Utilizând formula din anexa 5 (nr. 2) pentru oţel de rulmenţi se
obţine:
2
3
Pcap
3
2
1
1
 p   d ⋅d 
 3,8   6 ⋅ 8 
= 24,06 kN
= n ⋅  max  ⋅  1 2  ⋅ 2 = 8 ⋅ 
 ⋅
 ⋅
 0,62   d 2 − d 1  E
 0,62   8 − 6  2102
Se adoptă: P = 24 kN.
6.6. Sisteme de bare static nedeterminate
6.6.1. Noţiuni generale
Până acum s-au analizat eforturile şi tensiunile dintr-o bară static determinată.
În practica inginerească sunt ansamble şi subansamble formate din sisteme de bare.
Aceste sisteme pot fi static determinate sau static nedeterminate.
La sistemele static determinate reacţiunile, respectiv eforturile din secţiune, se
pot determina din ecuaţiile de echilibru. În acest caz numărul ecuaţiilor statice este
egal cu numărul necunoscutelor.
Când numărul necunoscutelor (reacţiuni sau/şi eforturi) este mai mare decât
numărul ecuaţiilor de echilibru static, sistemul se numeşte static nedeterminat.
Diferenţa dintre numărul necunoscutelor şi numărul de ecuaţii statice, constituie
gradul de nedeterminare al sistemului. Pentru rezolvare în acest caz, se adaugă la
ecuaţiile statice un număr de ecuaţii de deformaţie egal cu gradul de
nedeterminare al sistemului. Aceste ecuaţii suplimentare se obţin din analiza
aspectului geometric şi de compatibilitate al sistemului de bare.
Sistemele static nedeterminate solicitate axial pot fi cauzate de:
- legături ce împiedică deformarea produsă de sarcini sau de modificarea
temperaturii barelor:
- eforturi (tehnologice sau de asamblare) ce se produc în sistemele de bare:
- utilizarea în construcţia unei bare a mai multor materiale cu caracteristici
fizico-mecanice diferite.
În toate aceste cazuri problemele static nedeterminate se pot rezolva
parcurgând următoarele trei aspecte:
a) aspectul static: scriind ecuaţiile de echilibru static se stabilesc necunoscutele
sistemului şi se află gradul de nedeterminare:
b) aspectul geometric - se scrie un număr de ecuaţii de deformaţii egal cu
gradul de nedeterminare:
c) aspectul fizic - se exprimă deformaţiile de la punctul b) în funcţie de
eforturile sau tensiunile din bară.
Astfel după parcurgerea celor trei aspecte, din aspectul static şi cel fizic se
obţin ecuaţiile necesare care prin rezolvare, dau soluţiile problemei static
nedeterminate în eforturi, în tensiuni sau în deformaţii.
6.6.2. Bare având deformaţiile împiedicate de legături
Aplicaţia 6.6. Bara încastrată (sau articulată), la cele două capete (fig.
6.15). Se consideră bara dreaptă, prismatică încastrată sau articulată la cele două
capete şi încărcată cu sarcina axială P într-un punct situat la distanţa a de reazemul 1
(respectiv la b de reazemul 2).
Rezolvare: Reacţiunile în cele două reazeme sunt H1 şi H2.
Aspectul static:
H1+ H2= P (sistem simplu static nedeterminat):
Aspectul geometric:
∆a + ∆b = 0 (deformaţia totală a barei trebuie să fie nulă):
Aspectul fizic:
H1 ⋅ a
H −P
+ 1
⋅ b = 0,
E1 ⋅ A 1 E 2 ⋅ A 2
din care se obţine:
H1 =
P
a E A
1+ ⋅ 2 ⋅ 2
b E1 A
şi apoi
H 2 = P − H1 .
Având valorile reacţiunilor se poate trasa
diagrama de variaţie a forţelor axiale şi apoi se
poate efectua calculul de rezistenţă.
Dacă E 1 ⋅ A 1 = E 2 ⋅ A 2 = E ⋅ A şi
L=a+
b, atunci:
Fig. 6.17
H1 =
b
⋅ P şi
L
H2 =
a
⋅ P.
L
Aplicaţia 6.7. Sistem de bare paralele.
Se consideră bara de mare rigiditate (1)(3) suspendată prin trei bare verticale,
prismatice de lungimi şi rigidităţi diferite.
Sarcina verticală P acţionează la distanţa c de
Fig. 6.15
punctul 3 (fig. 6.16).
Rezolvare:
a) Aspectul static (ecuaţiile de echilibru sunt):
N+ N2+ N3= P,
N1⋅ (a + b) + N2⋅ b = P⋅c.
b) Aspectul geometric, corespunzător stării de deformaţie al barelor este:
∆L 2 − ∆L1 ∆L 3 − ∆L 2
=
.
a
b
c) Aspectul fizic (adică exprimând alungirile funcţie de eforturi) se obţine:
N 1 ⋅ L1 b N 2 ⋅ L 2 a + b N 3 ⋅ L 3
+
= 0.
⋅ −
⋅
E1 ⋅ A 1 a E 2 ⋅ A 2
a
E3 ⋅ A3
Această ultimă ecuaţie împreună cu cele două ecuaţii de echilibru
constituie un sistem de trei ecuaţii din care se pot determina eforturile N1, N2
şi N3 din bare.
Aplicaţia 6.8. Sistem de bare articulate, simetrice.
Fie sistemul de bare prismatice, coplanare, articulate şi acţionate în A de forţa
P. Bara mediană are lungimea L şi rigiditatea E ⋅ A iar cele laterale L = L / cosα şi
respectiv E 1 ⋅ A 1 (fig. 6.17).
Rezolvare:
a) Aspectul static:
N1⋅ sin α - N2 ⋅sin α = 0,
N + (N1+ N3) ⋅ cos α = P.
b) Aspectul geometric: neglijând modificarea unghiului α după deformaţie
(conform ipotezei deformaţiilor mici) ∆α este foarte mic faţă de unghiul α. Între
deformaţiile ∆L şi ∆L1 există relaţia:
∆L1= ∆L⋅ cosα.
b) Aspectul fizic se scrie:
L
cos α = N ⋅ L ⋅ cos α .
E1 ⋅ A1
E⋅A
N1 ⋅
Din cele trei ecuaţii rezultă:
N=
P
,
2E1 ⋅ A1
3
1+
⋅ cos α
E⋅A
Fig. 6.16
P−N
N1 = N 2 =
.
2 ⋅ cos α
Dacă E⋅A = E1⋅A1 atunci se obţine:
P − N1
N=
şi
1 + 2 ⋅ cos 3 α
P ⋅ cos2 α
.
N1 = N 2 =
1 + cos3 α
Din formulele de mai sus
se observă că N > N1, astfel că
sarcina capabilă se determină, în
acest caz, numai funcţie de N:
3
Pcap= (1+2cos α) ⋅Ncap=
3
(1+2cos α) ⋅A ⋅σa.
Fig. 6.18
6.6.3. Bare cu eforturi iniţiale
Lungimile barelor din sistemele static nedeterminate se stabilesc pe
considerente geometrice. Dacă lungimile unor bare diferă de valorile nominale
conform toleranţelor de execuţie ale reperelor, atunci acestea se pot monta numai
după ce au fost lungite sau scurtate forţat. Prin aceasta se introduc eforturi
suplimentare în sistem, rezultate din montajul forţat. Un sistem de bare ce conţine
eforturi înainte de a fi acţionat de sarcinile pentru care a fost construit, se numeşte
sistem cu eforturi iniţiale. Valorile eforturilor iniţiale se pot determina adăugând la
ecuaţiile de echilibru, ecuaţii de deformaţie obţinute din studiul geometriei
sistemului.
În aplicaţiile analizate mai jos valorile impreciziilor de montaj, respectiv ale
deformaţiilor rezultate la montaj sunt mici, astfel că acestea sunt liniar elastice.
Aplicaţia 6.9. Sisteme de bare articulate concurente cu imperfecţiune la
montaj. La sistemul plan de bare articulate din figura 6.18 bara centrală este mai
scurtă cu lungimea a. În urma montajului forţat, în bara mediană se va produce o forţă
axială de întindere iar în cele laterale forţe axiale de compresiune.
Rezolvare:
a) Aspectul static:
N1⋅sin α = N2⋅sin α,
N= (N1+ N2) ⋅cos α.
Aspectul geometric:
∆L +
∆L 1
= a.
cos α
Aspectul fizic:
N⋅L
N1 ⋅ L
+
= a.
E ⋅ A E1 ⋅ A1 ⋅ cos2 α
Din cele trei ecuaţii în eforturi se obţine:
N=
a⋅E⋅ A
,
E⋅ A
L
L+
⋅
2E 1 ⋅ A 1 cos 3 α
N1 = N 2 =
N
.
2 cos α
6.6.4. Bare cu secţiuni neomogene
În construcţiile inginereşti se utilizează (ER) alcătuite din două sau mai multe
materiale, ce au caracteristici fizico-mecanice diferite. Elementele componente ale
barei formează un sistem ce se comportă ca un tot omogen. Exemple de asemenea
(ER) sunt: stâlpi din beton armat, cablurile bimetalice etc.
În figura 6.19 se dă o bară
prismatică alcătuită din trei materiale
diferite
(E1⋅A1,
E2⋅A2,
E3⋅A3)
solidarizate.
În acest caz:
a) aspectul static este:
N1+ N2+ N3 = P,
Fig. 6.19
b) aspectul geometric este:
ε 1= ε 2= ε 3.
c) aspectul fizic va fi:
N1
N2
N3
=
=
.
E1 ⋅ A 1 E 2 ⋅ A 2 E 3 ⋅ A 3
Prin rezolvarea ecuaţiilor în eforturi rezultă:
N1 =
P ⋅ E1 ⋅ A 1
,
E1 ⋅ A 1 + E 2 ⋅ A 2 + E 3 ⋅ A 3
N3 =
P ⋅ E3 ⋅ A 3
.
E1 ⋅ A 1 + E 2 ⋅ A 2 + E 3 ⋅ A 3
N2 =
P ⋅ E2 ⋅ A 2
,
E1 ⋅ A 1 + E 2 ⋅ A 2 + E 3 ⋅ A 3
Generalizând se obţine formula pentru eforturi:
Ni =
P ⋅ Ei ⋅ A i
∑E⋅ A
(6.28)
şi din aceasta rezultă tensiunea în materialul i al barei:
σi =
Ni
P ⋅ Ei
.=
.
Ai
A
E
⋅
∑
(6.29)
Dacă aspectul fizic se scrie sub forma:
σ1 σ2 σ3
=
=
,
E1 E 2 E 3
din aceasta se obţin relaţiile:
σ1 = σ 2 ⋅
E
E
E1
E
= σ3 ⋅ 1 , σ 2 = σ1 ⋅ 2 = σ 3 ⋅ 2 , ....
E2
E3
E1
E3
(6.30)
Deci, tensiunea ce se produce într-un material depinde de tensiunile din
celelalte materiale şi de modulele de elasticitate ale acestor materiale şi nu
depinde de aria secţiunilor.
Ca atare, pentru a rezulta construcţii eficiente este necesar să se îndeplinească
simultan condiţiile:
σ1ef= σ1a,
σ2ef= σ2a,
ce se poate realiza numai dacă:
σ3ef= σ3a, etc.
σ 1a σ 2 a σ 3a
=
=
.
E1
E2
E3
(6.31)
Această condiţie nu se poate îndeplini decât în mod excepţional.
Relaţia (6.31) se utilizează pentru determinarea tensiunilor admisibile ale
celorlalte materiale. Valorile tensiunilor admisibile de calcul se determină ţinând
cont că acestea pot fi egale sau inferioare valorii tensiunii admisibile date pentru
materialul respectiv.
Aplicaţia
6.10.
Să
se
determine sarcina capabilă pentru
un cablu format din 19 fire de oţel
(σa1= 200 MPa, El= 120 GPa) şi
90 fire de aluminiu (σa2= 30 MPa,
E2= 70 GPa). Firele au diametrul
de d = 3 mm.
Fig. 6.20
Rezolvare. Tensiunile admisibile de calcul sunt
σa2= 30 MPa,
σ 'a1 = σ a 2 ⋅
E1
210
= 30 ⋅
= 90 MPa.
E2
70
Se observă că pornind de la σa1= 200 MPa se obţine σ '2a = 30 MPa, deci
inacceptabil.
Acum se poate calcula sarcina capabilă cu relaţia:
P=
N 1' cap
+ N 2 cap =
σ 'a1
Se adoptă: P=30 kN.
32 π
⋅ A 1 + σ 2 a ⋅ A 2 = (90 ⋅ 19 + 30 ⋅ 90) ×
= 31170 N.
4
6.6.5. Eforturi datorită dilatărilor împiedicate
O bară dreaptă de lungime L, ce se poate dilata liber, prin încălzire uniformă se
lungeşte (fig. 6.20,a) cu
∆L=α⋅L ⋅∆t
(6.32)
în care α este coeficientul de dilatare liniară (vezi anexa 2), iar ∆t = t - t0 este
creşterea temperaturii. Alungirea specifică din bară este:
ε=
∆L
= α ⋅ ∆t
L
(6.33)
Când bara are articulaţii fixe sau este încastrată la ambele capete (fig. 6.20,b),
ce împiedică dilatarea, în bară se produce o forţă axială de compresiune. Această
forţă trebuie să scurteze bara cu lungirea produsă de creşterea temperaturii (fig. 6.20,c
şi d), adică cu:
∆L = α ⋅ ∆t ⋅ L =
N⋅L
,
E⋅ A
din care se obţine formula pentru forţa axială de compresiune:
N= α ⋅E ⋅A⋅∆t
(6.34)
Ca atare în bară va exista tensiunea:
σ=
N
= α ⋅ E ⋅ ∆t .
A
(6.35)
Când bara este formată din mai multe tronsoane prismate din materiale diferite
(L1, A1, E1, Α1, L2, A2, E2, Α2, ...), forţa axială din bară rezultă:
a) Din aspectul static:
N= N1= N2= N3= ...
(6.36)
b) Din aspectul geometric se obţine relaţia:
(∆L)T- (∆L)N= a
în care a este spaţiul destinat dilatării (fig. 6.21).
c) Aspectul fizic pentru acest caz este:
(6.37)
N⋅L
∑ α ⋅ L ⋅ ∆t − ∑ E ⋅ A = a .
(6.38)
Relaţiile (6.36) şi (6.37) sunt necesare şi suficiente pentru determinarea
eforturilor în barele cu dilatare împiedicată.
2
-6
Aplicaţia 6.11. Profilul I20 (A = 35,5 cm , E=210 GPa, α=12×10 ° C-1 ) s-a
montat ca în figura 6.21, la temperatura de 5° C
şi s-a lăsat un spaţiu de dilatare a = 2 mm. Să se
determine efortul şi tensiunea din bară la
temperatura de 45°C.
Fig. 6.21
Rezolvare: Spaţiul necesar dilatării libere este:
∆L=α⋅∆t ⋅L=12⋅10-6⋅40⋅7000 = 3,36 mm.
Întrucât ∆L = 3,36 mm > a = 2 mm, dilatarea este împiedicată. Deci sistemul
este static nedeterminat. Ecuaţiile din cele trei aspecte sunt:
a) N = H 1 = H 2 ,
b) ( ∆L) T − ( ∆L) N = a ,
c) α ⋅ L ⋅ ∆t −
N⋅L
= a..
E⋅A
din care rezultă:

H = N =  α ⋅ ∆t −

σ ef =
a
2 

−6
 ⋅ E ⋅ A =  12 ⋅ 10 ⋅ 40 −
 ⋅ 210 ⋅ 3350 = 136,7 kN ,

L
7000 
N 136,7 ⋅ 103
=
= 40,8 MPa < σ a = 150 MPa.
A
3350
Observaţie: Eforturile şi tensiunile ce iau naştere datorită dilatării impiedicate
sunt suplimentare şi se însumează cu cele produse de sarcinile utile.
6.7. Solicitări axiale în domeniul plastic
În practica inginerească se utilizează bare şi sisteme de bare solicitate în
domeniul plastic. Asemenea bare sunt construite din oţel de rezistenţă mică şi
mijlocie, ce au un palier de curgere mare, sau din alte aliaje ce au caracteristici
asemănătoare cu ale acestor oţeluri. La aceste materiale panta iniţială a curbei
caracteristice se poate schematiza ca în figura 6.22 (material ideal elasto-plastic).
Pentru acestea, când deformaţia este elastică (ε ≤ εc), au comportare liniar elastică:
σ = E ⋅ ε,
iar pentru deformaţii plastice (ε > εc) tensiunea este constantă şi egală cu limita de
curgere (σ = σc). Aşadar, când tensiunea
atinge limita de curgere în bară se produce
efortul maxim, limită:
NL= Nmax = A ⋅ σc,
(6.39)
iar bara se poate lungi nedefinit.
La un sistem static nedeterminat,
stadiul plastic de solicitare va apare în barele
cele mai solicitate, la care tensiunea a atins
Fig. 6.22
limita de curgere. Dacă sarcina creşte,
efortul în barele solicitate în stadiul plastic va rămâne constant şi egal cu
N L = A ⋅ σ c , iar deformaţiile acestora vor creşte o dată cu ale celorlalte bare
solicitate încă elastic. Sarcina mai poate creşte până ce tensiunile din toate barele
ating limita de curgere. Sarcina corespunzătoare acestei situaţii se numeşte sarcină
limită. Aceasta este valoarea maximă a sarcinii la care sistemul se distruge.
La sarcina limită tensiunile în toate barele sistemului static nedeterminat sunt
egale cu limita de curgere, iar eforturile cu efortul limită. Astfel că sistemul static
nedeterminat solicitat în stadiu plastic devine sistem static determinat.
În prezent, calculul de rezistenţă al construcţiilor metalice se efectuează la
sarcina limită, conform STAS 10108 /0,1,2-1978 “Calculul elementelor din oţel”.
Calculul de rezistenţă la sarcina limită (numit şi calculul de rezistenţă la starea
limită sau la capacitatea portantă limită) are la bază relaţiile de verificare respectiv de
capacitate de încărcare:
c=
PL
,
P
P=
PL
,
c
(6.40)
în care c este coeficientul de siguranţă.
Pentru barele static determinate solicitate axial nu există diferenţă între calculul
de rezistenţă prin metoda rezistenţei admisibile şi calculul la starea limită. De aceea
sistemele static determinate se calculează la rezistenţa admisibilă.
Metoda sarcinii limită prezintă avantaje importante le sistemele static
nedeterminate confecţionate din oţel de rezistenţă mică şi mijlocie. Dintre
numeroasele avantaje ale acestei metode enumerăm aici două:
- calculul de rezistenţă este mult mai simplu întrucât sistemul devine static
determinat: toate barele sunt încărcate la limita de curgere şi,
- se utilizează eficient întreaga capacitate de rezistenţă a sistemului.
Aplicaţia 6.12. Să se determine sarcina capabilă, calculată prin metoda stării
limită, la sistemul de bare plane concurente, simetrice din figura 6.23.
Rezolvare:
Aspectul static conţine ecuaţiile:
N1⋅ sin α = N2⋅ sin α,
N + (N1+ N2) ⋅ cos α = P,
la care se adaugă condiţiile:
N = A⋅σc şi N1= N3= A1⋅σc.
Astfel că, sarcina limită rezultă
PL= N+2N1⋅cosα = (A+2A1⋅cosα) ⋅σc.
Fig. 6.23
Pcp =
întrucât
Sarcina capabilă se obţine:
σ
PL
= (A + 2A 1 ⋅ cos α ) ⋅ c = (A + 2A 1 ⋅ cos α ) ⋅ σ a ,
c
c
σc
= σa .
c
Dacă barele au aceeaşi secţiune (A1= A), atunci:
Pcp= (1+2cosα)⋅A⋅σa.
Comparând valoarea obţinută în acest caz cu cea obţinută prin metoda
rezistenţei admisibile, de la aplicaţia 6.10 se obţine eficienţa:
η=
Pcp
Pcap
⋅
1 + 2 cos α
> 1.
1 + 2 cos3 α
Dacă se ia α = 60° rezultă:
η=
1 + 2 cos 60o
= 1,6.
1 + 2 cos3 60o
7. FORFECAREA
7.1 Forfecarea în piesele cu secţiunea îngustă
Acţiunea simultană a două forţe egale şi de sens contrar, perpendiculare pe axa
barei, asemenea lamelor unei foarfece (fig.7.1,a), solicită bara la forfecare sau tăiere.
Asemenea solicitări au loc în nituri, capse, ştifturi, suduri de colţ, precum si în
cazurile de tăiere, ştanţare etc.
Starea de tensiune generată de acţiunea forţelor ca în figura (7.1,a) este destul
de complicată, întrucât solicitarea de forfecare este însoţită de întindere,
compresiune şi încovoiere. Calculul exact, în acest caz, este destul de laborios şi nu
este analizat în cursul de Rezistenţa materialelor. De aceea, în practica inginerească,
pentru piesele de cu secţiune îngustă (h mic), când distanţa e, dintre liniile de acţiune
a celor două forţe, ce produc forfecarea, este mică, celălalte solicitări se neglijează. În
Fig. 7.1
acest caz asupra secţiunii se consideră că acţionează numai efectul forţei tăietoare
T = F , conţinută în planul secţiunii.
Sub acţiunea forţei tăietoare se produc tensiuni tangenţiale τ şi deformaţii
unghiulare γ (lunecări). În cazul pieselor de secţiune mică se admite ipoteza de
repartiţie uniformă a tensiunilor tangenţiale pe secţiunea transversală. În baza
acestei ipoteze, din ecuaţia de echilibru pentru forţa din stânga a barei (fig. 7.1,b şi c),
se deduce:
T = ∫ τ ⋅ dA = τ ⋅ ∫ dA = τ ⋅ A ,
A
din care rezultă relaţia:
A
τ=
T
,
A
(7.1)
ce se utilizează, în condiţia τ ≤ τa, în calculul de rezistenţă al secţiunilor înguste.
Când secţiunea nu mai poate fi considerată îngustă, tensiunea tangenţială nu
poate fi considerată constantă şi deci relaţia (7.1) nu poate fi utilizată. Cazul va fi
studiat ulterior la încovoierea simplă (vezi § 9.5).
Rezistenţa admisibilă la forfecare pentru nituri, ştifturi, pene, buloane, etc. se ia:
τa = (0,5....0,8) ⋅σa,
(7.2,a)
iar pentru sudurile de colţ:
τas = 0,65⋅σa..
(7.2,b)
În anexa 1 se dau valorile pentru rezistenţele admisibile la forfecare la
materialele cele mai utilizate.
În cazul ştanţării se consideră:
τr = 0,85 ⋅σr .
(7.2,c)
Aplicaţia 7.1. Să se calculeze forţa necesară pentru ştanţarea unei găuri
circulare, d = 45 mm, într-o piesă din tablă având grosimea t = 4 mm, din oţel cu σr =
450 MPa.
τ r = 0,85 ⋅ σ r max = 0,85 ⋅ 450 = 382,5 MPa ,
A = t ⋅ d ⋅ π = 4 ⋅ 45 ⋅ π = 565,5 mm2 ,
T = τ r ⋅ A = 582,5 ⋅ 565,5 = 2163 ⋅ 10 2 N .
Se adoptă: P=220 kN.
În cazul solicitării la forfecare deformaţiile şi deplasările produse de solicitare
nu prezintă interes practic. Dacă tensiunea maximă nu depăşeşte limita de
proporţionalitate şi deformaţiile sunt mici (γ ≅ tgγ), deplasarea a (fig. 7.1,b) rezultă:
a = e⋅ γ = e⋅
τ
T⋅e
=
,
G G⋅A
(7.3)
unde G este modulul de elasticitate transversal, iar produsul G⋅A este rigiditatea la
forfecare.
7.2. Noţiuni generale despre îmbinări
Îmbinarea este asamblarea demontabilă sau nedemontabilă ce asigură legătura
între două sau mai multe părţi ale unei construcţii inginereşti sau ale unei maşini.
Exemple de îmbinări demontabile sunt cele executate cu: pene, şuruburi, caneluri,
etc. şi nedemontabile executate prin: nituire, sudare, lipire, etc.
Elementele de rezistenţă ale îmbinărilor sunt solicitate la intindere,
compresiune, forfecare, etc. constituind astfel, un larg câmp de aplicaţie a
cunoştinţelor dobândite în calculul de rezistenţă.
În calculul de rezistenţă al îmbinărilor se examinează fiecare element de
rezistenţă, determinând: forţele exterioare ce acţionează asupra ER, eforturile,
solicitările, secţiunile de rupere pentru fiecare solicitare şi în final - secţiunea
periculoasă.
O îmbinare se consideră judicios realizată când toate elementele sale
prezintă acelaşi grad de siguranţă la rupere. Ţinând seama de acest principiu,
când se impune un ER al îmbinării, celelalte (ER) se dimensionează la
capacitatea de rezistenţă a ER dat iniţial.
Întrucât îmbinările au fost şi sunt frecvent utilizate în tehnica inginerească şi
deci există o experienţă inginerească - privitoare la condiţiile de rezistenţă,
economice şi tehnologice de realizare - majoritatea elementelor constructive ale
îmbinărilor sunt normalizate prin standarde şi norme interne. De aceste norme,
ce consacră anumite forme constructive şi reguli de execuţie, trebuie să se ţină seama
şi deci respectate. Necunoaşterea şi nerespectarea acestor norme poate duce, în cel
mai bun caz, la irosire de timp la calcularea unor parametrii ce sunt deja stabiliţi şi în
cel mai rău caz la forme constructive ce s-au dovedit necorespunzătoare.
7.3. Îmbinări cu pene transversale
Îmbinările cu pene transversale sunt îmbinări demontabile ce se utilizează
pentru a asambla două bare coaxiale. Pana transversală trece prin cele două bare (fig.
7.2).
Distrugerea îmbinării poate să se producă din următoarele cauze:
I - tensiunii normale din bara cu diametrul d:
4⋅ P
≤ σa ,
π ⋅ d2
σ '=
(7.4)
II - tensiunii normale din capătul barei, slăbită cu pană:
σ"=
4⋅P
≤ σa ,
π ⋅ d − 4d1 ⋅ b
2
1
(7.5)
III - tensiunii normale din manşonul slăbit:
σ '''=
4⋅P
≤ σa ,
π ⋅ D − d − 4 ⋅ ( D − d1 ) ⋅ b
(
2
2
1
)
(7.6)
IV - tensiunii tangenţiale ce se dezvoltă în secţiunile AB şi CD din pană:
τ '=
P
≤ τa ,
2⋅b⋅ h
(7.7)
V - tensiunii tangenţiale din secţiunile EF şi GH din capătul barei:
τ ''=
P
≤ τa
2 ⋅ d1 ⋅ h1
(7.8)
VI - tensiunii tangenţiale din secţiunile IJ şi KL din manşon:
τ '''=
P
≤ τa ,
2 ⋅ h 2 ⋅ ( D − d1 )
(7.9)
Fig. 7.2
VII - presiunii de contact (strivirii) între pană şi capătul barei din stânga:
p' =
P
≤ pa ,
b ⋅ d1
(7.10)
VIII - presiunii de contact dintre pană şi manşon:
p'' =
P
≤ pa .
b ⋅ (D − d1 )
(7.11)
Pe lângă aceste cauze mai trebuie reţinut că penele transversale sunt solicitate
la încovoiere şi mai pot fi solicitate şi la răsucire. De aceea se recomandă execuţia
penelor din oţeluri cu rezistenţa ridicată: OL 50, OL 60, OL70 sau OLC 45, etc.
Dacă îmbinarea este realizată astfel încât fiecare din valorile tensiunilor
enumerate mai sus să fie egale cu tensiunea admisibilă, îmbinarea a devenit de egală
rezistenţă pentru toate tipurile de solicitare. Ţinând seama de această condiţie, în
cursul de organe de maşini şi în norme se prevăd prescripţii referitoare la rapoartele
între dimensiunile elementelor.
Aplicaţia 7.2. Pentru îmbinarea din figura 7.2, realizată din oţel se cunosc:
d = 50 mm, b = 15 mm, σa = 140 MPa, τ~a = 110 MPa pentru pană, σ`a= 70 MPa
pentru tijă şi manşon şi pa= 280 MPa. Se cere să se determine celelalte dimensiuni în
condiţia de egală rezistenţă a tuturor elementelor îmbinării.
Rezolvare:
a) Sarcina capabilă din relaţia (7.4):
P = A ⋅ σa =
π ⋅ 502
⋅ 0,14 = 274,9 kN; se adpotă P = 275 kN.
4
b) Lăţimea penei din (7.7):
h=
275
P
=
= 83,33 mm,
'
2 ⋅ b ⋅ τ a 2 ⋅ 15 ⋅ 0,11
se adpotă h = 85 mm:
c) Diametrul capătului barei din (7.10):
d1 =
P
275
=
= 65,48 mm , se adpotă d1= 65 mm:
b ⋅ p a 15 ⋅ 0,28
d) Diametrul manşonului din (7.11)
D = d1 +
P
275
= 65 +
= 130,48 mm , se adpotă D = 130 mm.
b ⋅ pa
15 ⋅ 0,28
Verificare:
Deoarece s-a ales o dimensiune inferioară celei calculate se verifică
dimensiunea adoptată astfel încât să nu depăşească cu mai mult de 5% presiunea
admisibilă:
p max
275 ⋅ 103
P
=
=
= 282,1 MPa . < 1,05 ⋅ p a = 294 MPa.
b ⋅ ( D − d ) 15 ⋅ (130 − 65)
e) Lungimea capătului barei din (7.8):
h1 =
P
275
=
= 30,22 mm, se adpotă h1=30 mm.
"
2d 1 ⋅ τ a 2 ⋅ 65 ⋅ 0,07
Observaţie: Şi în acest caz dacă se verifică se constată că nu se depăşeşte τa cu
mai mult de 5% (τmax= 70,51 MPa).
f) Lungimea capătului de manşon din (7.9):
h2 =
P
275
=
= 30,22 mm , se adpotă h2=30 mm.
"
2 ⋅ ( D − d 1 ) ⋅ τ a 2 ⋅ (130 − 65) ⋅ 0,07
Aceeaşi observaţie de la e) este valabilă şi în acest caz ( τ "max = 70,51 MPa ).
g) Verificarea tensiunilor normale din capătul de bară cu relaţia (7.5):
σ ''ef =
4⋅P
4 ⋅ 275 ⋅ 103
=
= 117,4 MPa < σ a .
π ⋅ d 12 − 4 ⋅ d 1 ⋅ b 652 ⋅ π − 4 ⋅ 65 ⋅ 15
h) Verificarea tensiunilor normale din manşon cu (7.6):
σ'''ef =
4⋅ P
4 ⋅ 275 ⋅ 103
=
= 30,62 MPa < σ a
π ⋅ D2 − d12 − 4 ⋅ ( D − d1 ) ⋅ b π ⋅ 1302 − 652 − 4 ⋅ (130 − 65) ⋅ 15
(
)
(
)
7.4. Îmbinările cu nituri
Îmbinările cu nituri sunt îmbinări nedemontabile. Elementele geometrice ale
diferitelor forme de nituri şi îmbinări cu nituri pot fi luate din standardele: 796-68,
797-67, 801-67, 802-67, 3165-67, 187-73, etc. Prin acestea se normează: diametru
găurii de nit şi al nitului, pasul nitului, distanţa de marginea ER până la axa nitului
etc. La cursul de organe de maşini aceste elemente vor fi analizate detaliat.
Îmbinările cu nituri diferă după forma constructivă. În manualele de organe de
maşini se găsesc clasificări ale îmbinărilor nituite după:
- numărul secţiunilor de forfecare ale nitului (una sau mai multe):
- felul aşezării tablelor (prin suprapunere sau cu eclise):
- numărul rândurilor de nituri (unul sau mai multe):
- rolul funcţional (îmbinare de rezistenţă sau etanşeitate).
În figura 7.3. s-a desenat o îmbinare a două platbande, prin suprapunere cu un
nit ce are o singură secţiune de forfecare, iar în figura 7.4 o îmbinare cu două eclise,
cu două secţiuni de forfecare şi trei rânduri decalate de nituri.
Fig. 7.3
Fig. 7.4
Gaura pentru nit se execută cu diametrul mai mare decât cel al nitului. Nitul, de
obicei încălzit la cca. 800°C se introduce în gaură. Apoi, prin ciocănire îşi modifică
diametrul până ce umple gaura şi apoi se formează capul de închidere. Prin
contractarea, la răcire, cele două plăci sunt strânse una de alta rezultând şi o forţă de
frecare suficient de mare pentru a prelua întreaga sarcină. Dar în calculele de
rezistenţă nu se ţine seama de forţele de frecare: întrucât atât valoarea coeficientului
de frecare cât şi valoarea forţei de strângere a nitului nu pot fi riguros determinate.
În calculul de rezistenţă a îmbinării cu nituri, în cazul în care acestea sunt
dispuse simetric, sarcina P se consideră că se distribuie în mod egal la toate
niturile. În baza acestei ipoteze sunt patru moduri de cedare a îmbinării (fig. 7.3):
a) rupere la tracţiune a platbandei în secţiunea AB:
σ=
P
≤ σa ,
h ⋅ (b − d)
(7.12)
b) forfecarea nitului în secţiunea dintre platbande:
τ' =
4P
≤ τa ,
π ⋅ d2
(7.13)
c) forfecarea platbandei în secţiunile CD şi EF:
P
≤ τa ,
2⋅ h⋅ e
τ ''=
(7.14)
d) strivirea găurii sau a tijei nitului
p=
P
≤ pa .
d⋅ h
(7.15)
Din condiţia de realizare eficientă a îmbinării cu nituri (la aceeaşi sarcină
valorile tensiunilor maxime trebuie să fie egale cu rezistenţa admisibilă) sunt
prescrise, prin norme, valorile diametrelor găurilor de nit funcţie de grosimile
tablelor:
Tabelul 7.1
hmin =...5
6...9
7...11
10...14
13...19
20...
[mm]
d = 10,5
14
20
23
26
29
[mm]
De asemenea, se prevede: e = (1,5...2) ⋅d, e1= (2...2,5) ⋅d, t = (2,5...3) ⋅d.
Prezenţa găurilor pentru nituri produce slăbirea secţiunii tablei. Raportul dintre
secţiunea micşorată prin găuri şi secţiunea iniţială (întreagă), pe pas, se numeşte
coeficient de utilizare. Pentru nituirea cu un singur rând, sau pentru primul rând de
nituri în cazul nituirii mai multor rânduri de nituri, se obţine:
ϕ=
h ⋅ (b − d)
b⋅h
=
b−d
.
b
(7.16)
În cazul respectării valorilor prescrise pentru d, e, e1 şi t date mai sus,
coeficientul de utilizare este: ϕ=0,67...0,97.
Întrucât nituirea implică operaţii tehnologice care necesită o cantitate mare de
muncă şi un coeficient de utilizare redus a materialului, nituirea se utilizează foarte
rar, în special pentru acele locuri unde nu se poate folosi sudura.
Observaţie: Calculul de rezistenţă pentru îmbinările demontabile cu şuruburi
(buloane) se execută în mod similar ca şi cel pentru îmbinarea cu nituri.
Aplicaţia 7.3. Să se dimensioneze îmbinarea cu două eclise dintre două
2
platbenzi de oţel, de secţiune 200 ×12 mm şi să se calculeze coeficientul de utilizare.
Rezolvare:
Din anexa 1.a, pentru OL 37, se găseşte:
σa= 150 MPa, τa=120 MPa, pa= 250 MPa.
2
Se aleg dimensiunile ecliselor 200 × 8 mm , diametrul găurii de nit d = 20 mm,
precum şi e = 30 mm, e1= t = 40 mm.
Adopt distribuţia niturilor din figura 7.4. În acest caz sarcina capabilă este
P = σa⋅Anet= σa ⋅ h ⋅ (b - d) = 0,15 ⋅12 ⋅ (200-20) = 324 kN.
Adopt: P = 325 kN
Verificarea la întindere în secţiunile AA, A~A~ şi A`A`:
σ 'ef
325 ⋅ 103
P
=
=
= 150,5 MPa < 1,05 ⋅ σ a ,
A net 12 ⋅ (200 − 20)
σ ''ef =
σ '''ef
5 P
5 ⋅ 325 ⋅ 103
⋅
=
= 141 MPa < σ a ,
6 A ' net 6 ⋅ 12 ⋅ (200 − 2 ⋅ 20)
3 P
3 ⋅ 325 ⋅ 103
= ⋅
=
= 96,73 MPa < σ a .
6 A" net 6 ⋅ 12 ⋅ (200 − 3 × 20)
Verificarea niturilor la forfecare (două secţiuni):
P
4 ⋅ 325 ⋅ 103
6
= 86,2 MPa < τ a .
τ ef =
=
2A nit
2 ⋅ 6 ⋅ 202
Verificarea la presiunea de contact
P
325 ⋅ 103
p ef = 6 =
= 225,7 MPa < p a .
d ⋅ h 6 ⋅ 20 ⋅ 12
Deci, îmbinarea rezistă.
Coeficientul de utilizare a secţiunii se calculează pentru secţiunea periculoasă
(AA):
ϕ = 100 ⋅
200 − 20
b−d
= 100 ⋅
= 90 % .
b
200
7.5. Îmbinări prin sudură
Realizarea îmbinărilor prin sudură prezintă, faţă de cele nituite sau de
îmbinările cu şuruburi, avantaje economice constând în reducerea consumului de
material şi manoperă. Dar, îmbinările sudate realizate în condiţii tehnice
necorespunzătoare şi necontrolate riguros pot fi inferioare îmbinărilor nituite.
În figura 7.5 se prezintă o clasificare din
punct de vedere constructiv a principalelor
îmbinări sudate. Dintre acestea, îmbinările cap
la cap sunt solicitate, în general, la întindere
iar cele de colţ la forfecare.
Principalele elemente geometrice ale
îmbinărilor sudate sunt: lungimea sudurii Ls
şi grosimea sudurii a .
Lungimea sudurii de calcul se ia mai
mică decât lungimea reală cu dublul grosimii
sudurii:
Ls = L - 2a.
Grosimea sudurii
(7.17)
(de
calcul)
se
consideră,
- la sudurile cap la cap, egală cu grosimea
tablei:
a=h
(7.18)
iar la sudura în colţ, egală cu înălţimea
triunghiului
isoscel
din
secţiune
aproximează astfel:
a = 0,7 ⋅ hmin,
Fig. 7.5
(7.19)
şi
se
în care hmin este grosimea tablei celei mai subţiri ce se îmbină.
Rezistenţele admisibile ale sudurilor sunt date în tabelele din anexa 1.a. În
general se ia:
σas= (0,8...1) ⋅σa, τas = (0,5...0,65) ⋅τa.
(7.20)
Valorile mai mici se iau pentru îmbinările sudate utilizate în construcţia de
maşini, iar cele mai mari în construcţii metalice, respectiv la care se aplică un control
100% cu raze X sau γ.
Calculul de rezistenţă, la întindere şi forfecare, se face utilizând formulele:
- sudură cap la cap:
σs =
P
P
=
≤ σ as
As Ls ⋅ a
(7.21)
- sudură de colţ:
τs =
P
P
=
≤ τ as
As Ls ⋅ a
(7.22)
Aplicaţia 7.4. Să se dimensioneze îmbinarea prin sudură a cornierului de oţel
L 50×50×5 (A = 4,8 cm2, e = 1,4 cm) cu un guseu (fig. 7.6).
Fig. 7.6
2
Rezolvare: Se aleg dimensiunile guseului 6×80 mm , astfel ca să aibă aria
egală cu aria cornierului.
Sarcina capabilă este:
P = A⋅σa= 4,8 ⋅15 = 72 kN.
Forţele T1 şi T2 preluate de cele două cordoane de sudură rezultă:
T1= P ⋅ (1-3) / b = 72 ⋅ (50-14) / 50 =5 1,8 kN
T2= P ⋅ e / b = 72 ⋅ 14 / 15 = 20,2 kN
Grosimea sudurii va fi:
a = 0,7 ⋅ hmin= 0,7 ⋅ 5 = 3,5 mm.
Pentru τa = 100 MPa (v. anexa 1.a) lungimile celor două cordoane de sudură
rezultă:
T1
51800
= 2 ⋅ 3,5 +
= 155 mm
a ⋅ τa
3,5 ⋅ 100
T
20200
L 2 = 2a + 2 = 2 ⋅ 3,5 +
= 64,7 mm
a ⋅ τa
3,5 ⋅ 100
L1 = 2a +
Deci sudura va avea parametri:
a = 3,5 mm,
L1= 155 mm,
L2= 65 mm.
8. RĂSUCIREA BARELOR DREPTE
8.1. Generalităţi
O bară este solicitată la răsucire când efortul din orice secţiune transversală a
barei este un moment de torsiune (răsucire).
Momentul de răsucire dintr-o secţiune oarecare, este egal cu suma tuturor
momentelor forţelor situate la stânga sau la dreapta secţiunii considerate.
M t = ∑ (Pi ⋅ R i + M xi )
(8.1)
În care, Pi sunt forţele exterioare normale pe axa barei, Ri distanţele de la axă la
suporţii forţelor, şi Mxi sunt momentele exterioare orientate după direcţia axei Ox.
Dacă bara transmite o putere P*, în kW, la turaţia n, în rotaţii pe minut, atunci
valoarea momentului de torsiune este:
P ∗ [ kW ]
30
Mt =
⋅
.
π n[ rot / min]
(8.2)
Când valoarea momentului de torsiune variază în lungul barei, pentru calculul
de rezistenţă, se recomandă trasarea diagramelor de momente de torsiune şi
precizarea secţiunii (sau secţiunilor) periculoase.
În domeniul de activitate al inginerului mecanic se întâlnesc foarte frecvent
aplicaţii ale răsucirii barelor drepte ca de exemplu: arbori, osii motoare, şuruburi, etc.
8.2 Tensiuni şi deformaţii la răsucirea barelor drepte de secţiune
circulară şi inelară
Se considera o bară dreaptă de secţiune circulară şi constantă în lungul ei
realizată dintr-un material continuu, omogen, izotrop şi care satisface legea lui
Hooke. Pe suprafaţa barei se trasează cercuri şi generatoare, care formează o reţea de
dreptunghiuri curbilinii, dintre care se consideră dreptunghiul elementar ABCD.
Consideram secţiunea (1) situată la distanţa dx de sectiunea (2), (fig.8.1,a).
După aplicarea momentului de răsucire, bara se deformează după cum este
reprezentată în figura (8.1,b). Analizând deformaţia barei se constată că:
a) cercurile aflate în plane transversale rămân tot cercuri conţinute în aceleaşi
plane transversale, iar distanţa dintre acestea nu se modifică semnificativ (se
confirmă ipoteza lui Bernoulli, pentru punctele de pe suprafaţa exterioară şi se
extinde şi la punctele de la interiorul barei);
b) elementele dreptunghiulare de pe suprafaţa laterală se transformă în
paralelograme ale căror laturi îsi păstrează lungimea;
c) cele două generatoare (fibre) rămân paralele una faţă de alta, dar se modifică
în elici;
Fig. 8.1
Astfel că, orice element dreptunghiular de pe suprafaţa barei se deformează
prin lunecare pură într-un paralelogram (fig.8.1,c). Unghiul drept se modifică cu
lunecarea specifică maximă, definită de relaţia (3.38):
∆e de
=
.
∆x → 0 ∆ x
dx
γ 0 = lim
Arcul ∆e, este deplasarea prin lunecare a oricărui punct A sau B în Aă şi
respectiv în Bă. Astfel, cercul (1) se roteşte cu arcul ∆e = AAă= BBă, faţă de cercul
(2). Unghiul cu care se roteşte secţiunea (1) faţă de secţiunea (2), care se află la
distanţa dx de secţiunea (1), se numeşte deformaţie unghiulară sau rotire relativă
şi se notează cu dϕ (fig. 8.2). Se poate scrie:
∆e = AA' = BB' = R ⋅ dϕ = γ 0 ⋅ dx.
rezultă:
γ0 = R⋅
dϕ
= R ⋅ θ,
dx
în care mărimea :
θ=
dϕ
,
dx
(8.3)
se numeşte rotire specifică.
În mod similar, pentru arcul MM’, aflat la distanţa r faţă de axa barei, se
obţine:
MM'= r ⋅ dϕ = γ ⋅ dx ,
din care se deduce lunecarea specifică la raza r
γ = r⋅
dϕ
= r ⋅ θ.
dx
(8.4)
Întrucât materialul barei se consideră continuu, omogen, izotrop şi elastic,
rotirea elementară dϕ are aceeaşi valoare pentru toate punctele unei secţiuni. Deci dϕ,
Fig. 8.2
fiind constantă pe toată secţiunea transversală şi rotirea specifică θ rămâne constantă
pe toată lungimea cercului de rază R. Astfel din relaţia (8.4) rezultă că lunecarea
specifică variază liniar în funcţie de r. Are valoare nulă pe axa barei şi maximă (γ0=
R ⋅ θ) pe conturul exterior. Datorită deformaţiilor de lunecare în bară se produc
tensiuni tangenţiale, care se pot determina, pentru solicitări în domeniul liniar-elastic,
cu ajutorul legii lui Hooke:
τ = G⋅ γ = G⋅r⋅θ.
(8.5)
Considerăm un element de arie dA aflat la distanţa R = d/2 (deci pe conturul
exterior al barei, (fig 8.2,a) şi pe aceasta o tensiune tangenţială τ având o direcţie
oarecare. Aceasta are componentele τxs- tangentă la contur şi τsx radială. Conform
dualităţii tensiunilor tangenţiale unei tensiuni τxs îi va corespunde o tensiune τsx pe
suprafaţa exterioară a barei. Deoarece nu s-au luat în considerare forţe de frecare
axiale, pe suprafaţa exterioară a barei, care să producă tensiunea τsx, aceasta este nulă.
Deci, tensiunile tangenţiale conţinute în secţiunea transversală sunt
perpendiculare pe rază şi variază proporţional cu aceasta. Conform legii
dualităţii tensiunilor tangenţiale, perechea tensiunii τxs este tensiunea τsx şi este
conţinută în planul axial (fig.8.2,a), adică:
τ = τ xs = τ sx = θ ⋅ G ⋅ r.
(8.5, a)
Scriind ecuaţia de echivalenţă dintre efortul Mt şi tensiunile din planul secţiunii
transversale vom obţine:
M t = ∫ r ⋅ ( τ ⋅ dA )
A
si înlocuind pe τ din expresia (8.5) se obţine:
M t = θ ⋅ G ⋅ ∫ r 2 ⋅ dA = θ ⋅ G ⋅ Ip .
A
(8.6)
În relaţia de mai sus s-a ţinut seama că:
∫r
A
2
⋅ dA = Ip ,
este momentul de inerţie polar (vezi § 5.4)
Înlocuind mărimile θ ⋅ G din (8.6) cu expresia rezultată din (8.5) se obţine
formula tensiunii tangenţiale la răsucirea barelor de secţiune circulară:
τ=
Mt
⋅ r,
Ip
(8.7)
din care se poate constata că tensiunea tangenţială variază liniar în funcţie de rază.
Din relaţia (8.7), ce este reprezentată grafic în figura (8.2,a), rezultă că
tensiunile tangenţiale sunt maxime pe conturul exterior al barei:
τ max =
Mt
M
⋅R = t ,
Ip
Wp
(8.8)
în care Wp este modulul de rezistenţă polar şi este dat de relaţia (vezi § 5.7):
Wp =
Ip
R max
(8.9)
.
Formula pentru rotirea specifică rezultă din expresia (8.6) şi este:
θ=
Mt
.
G ⋅ Ip
(8.10)
Deci, rotirea specifică este direct proporţională cu momentul de răsucire şi
invers proporţională cu produsul G⋅IP şi care se numeşte rigiditatea la răsucire a
barelor de secţiune circulară şi inelară. Rotirea specifică se măsoară în rad/m, sau
grade/m. Deformaţia unghiulară a barei de lungime L sau rotirea relativă a barei,
notată cu ∆ϕ, ce reprezintă unghiul cu care se roteşte secţiunea finală faţă de cea
iniţială, se obţine din relaţia (8.3) şi (8.10), astfel:
∆ϕ = ∫ dϕ = ∫ θ ⋅ dx = ∫
L
L
L
M t ⋅ dx
.
G ⋅ Ip
(8.11)
Dacă bara este omogenă, de secţiune constantă şi efortul Mt este constant pe
toată lungimea L, prin integrarea relaţiei (8.11), se obţine:
∆ϕ =
Mt ⋅ L
G ⋅ Ip
(8.11,a)
iar dacă valorile mărimilor de sub integrala (8.11) sunt constante pe porţiuni din
lungimea barei, atunci relaţia (8.11) devine:
∆ϕ = ∑
M ti ⋅ l i
.
G ⋅ Ipi
(8.11, b)
Deşi relaţiile (8.7), (8.8), (8.10) şi (8.11) au fost deduse pentru secţiunea
circulară se pot demonstra la fel şi pentru secţiunea inelară.
În formulele (8.6)...(8.11), sunt menţionate mărimile Ip si Wp care au
expresiile:
Ip =
π ⋅ d4
,
32
Wp =
π ⋅ d3
,
16
(8.12, a)
pentru secţiunea circulară şi:
Ip =
π ⋅ D4
⋅ 1 − k4 ,
32
(
)
Wp =
pentru secţiunea inelară, unde k =
π ⋅ D3
⋅ 1 − k4
16
(
)
(8.12, b)
d
.
D
8.3. Calculul de rezistenţă la răsucire
al barelor de secţiune circulară
Calculul de rezistenţă la răsucire presupune rezolvarea problemelor de
verificare, sarcină capabilă şi de dimensionare. Acest calcul are la bază formula
tradiţională consacrată a condiţiei de rezistenţă:
τ max ≤ τ a ,
(8.13)
cât şi cea de rigiditate:
θ max ≤ θ a sau ∆ϕ max ≤ ∆ϕ ,
(8.14)
în care τmax se obţine din formula (8.8), θmax cu formula (8.10) şi ∆ϕ cu una din
formulele (8.11).
Valorile rezistenţei admisibile la răsucire τa, respectiv θa sau ∆ϕa se stabilesc
pentru fiecare ER în funcţie de material, condiţii de exploatare, rol funcţional, mod de
apreciere al forţelor, etc.
1. Problema de verificare se rezolvă folosind formulele:
τ max =
Mt
≤ τa
Wp
(8.15, a)
θ max =
Mt
Mt
≤ θ a sau ∆ϕ max =
≤ ∆ϕ .
G ⋅ Ip
G ⋅ Ip
(8.15, b)
În funcţie de rezultatele obţinute se vor da verdictele;
a) BARA REZISTĂ, dacă toate valorile calculate (τ, θ, sau ∆ϕ) sunt inferioare
celor admisibile şi cel puţin una este mai mare decât 0,8 din cea admisibilă;
b) BARA NU REZISTĂ, dacă cel puţin o valoare este mai mare cu mai mult
de 5% din cea admisibilă;
c) BARA ESTE SUPRADIMENSIONATĂ, dacă toate valorile determinate
sunt inferioare valorii de 0,8% din cea admisibilă.
În cazurile b, c se calculează sarcina capabilă.
2. Problemele de capacitate de încărcare se rezolvă cu relaţiile:
M t ,cap = Wp ⋅ τ a ,
M t ,cap = G ⋅ Ip ⋅ θ a sau M t ,cap =
(8.16, a)
G ⋅ Ip ⋅ ∆ϕ a
L
.
(8.16, b)
Dintre valorile obţinute se ia în considerare valoarea cea mai mică; aceasta se
va utiliza în continuare pentru adoptarea unei valori rotunjite, întregi care să satisfacă
condiţia:
0,8 ⋅ M t ,cap < M t < 1,05 ⋅ M t ,cap .
3. Rezolvarea problemelor de dimensionare, implică mai întâi determinarea
momentului Mtmax (din diagrama de momente), apoi se alege materialul şi se adoptă,
τa respectiv θa sau ∆ϕa şi pentru secţiunea circulară din relaţiile (8.8) şi (8.12,a) se
obţine formula :
d nec = 3
16 ⋅ M t max
,
π ⋅ τa
(8.17,a)
iar din formulele (8.10), (8.11), (8.12,a), pentru condiţia de rigiditate se obţin
formulele:
d nec = 4
32M t max
π ⋅ G ⋅ θa
sau d nec = 4
32M t ⋅ L
.
π ⋅ G ⋅ ∆ϕ a
(8.17, b)
Pentru barele de secţiune inelară se adoptă raportul k = D/d şi din relaţiile
(8.8), (8.10), (8.11), (8.12,b), se obţine:
D nec = 4
16M t max
,
π ⋅ τa ⋅ 1 − k4
(
(8.18, a)
)
si respectiv:
D nec = 4
32M t max
π ⋅ G ⋅ θa ⋅ 1 − k4
(
)
sau D nec = 4
32M t max ⋅ L
.
π ⋅ G ⋅ ∆ϕ a ⋅ 1 − k 4
(
)
(8.18, b)
Când se iau în considerare atât condiţia de rezistenţă cât şi cea de rigiditate,
rezultă două valori pentru diametrul ER. Se adoptă valoarea cea mai mare prin
rotunjire.
Aplicaţia 8.1. Să se dimensioneze un arbore din oţel (G = 8,1⋅103 MPa, τa= 80
MPa, θa= 1 grad/m) care transmite o putere de P*= 30 kW la o turaţie de n = 200
rot/min. Arborele se va calcula în cele două cazuri:
a). secţiune circulară
b). secţiune inelară k= D/d = 0,8.
Rezolvare:
Momentul de torsiune se determină ca fiind:
Mt =
30 P ∗ 30 ⋅ 30
= 1,432 kNm
⋅
=
π n π ⋅ 200
a). Secţiunea circulară:
d` = 3
16M t 3 16 ⋅ 1432 ⋅ 10 3
=
= 45,01 mm
π ⋅ τa
π ⋅ 80
,
d "nec
32M t
32 ⋅ 1432 ⋅ 10 3 10 3 ⋅ 180
3
=
=
⋅
= 56,67 mm
π ⋅ G ⋅ θa
π
π ⋅ 81 ⋅ 10 3
3
.
Fig. 8.3
Se adoptă d = 60 mm.
Observaţie: Nu se poate adopta o valoare mai mică (d=55 mm) decât cea
calculată pentru că la verificarea, în condiţia de rigiditate se obţine:
θ max
32 M t
32 ⋅ 1,432 ⋅ 106 180 ⋅ 103
o
⋅
= 1128
=
=
,
/ m > 1,05 ⋅ θ a .
4
3
4
π⋅G⋅D
π ⋅ 81 ⋅ 10 ⋅ 55
π
b). Secţiunea inelară:
16M t
16 ⋅ 1,432 ⋅ 106
D =3
=3
= 53,65 mm
π ⋅ τa ⋅ 1 − k4
π ⋅ 1 − 0,84 ⋅ 80
(
D =4
)
(
)
32Mt
32 ⋅ 1432
103 ⋅ 180
, ⋅ 106
=
⋅
= 64,66 mm
4
3⋅ π
π ⋅ G ⋅ θa ⋅ 1 − k 4
π ⋅ 1 − 0,84 ⋅ 81⋅ 103
(
)
(
)
Se adoptă: D = 65 mm, d = 52 mm.
Economia de material, prin utilizarea acestei secţiuni inelare este de:
(
)
602 − 652 − 52 2
A I − A II
⋅ 100 =
⋅ 100 = 57,75 %.
AI
602
Aplicaţia 8.2 Să se dimensioneze arborele din fgura 8.3 încastrat la capete şi
solicitat de un moment de torsiune M0=3 kNm. Tensiunea admisibiă este de
τ a = 110 MPa , iar d = 0,75D.
Rezolvare:
Aspectul static este:
M t1 + M t 2 = M t ,
iar aspectul geometric se scrie:
∆ϕ 1-2 + ∆ϕ 2 −3 + ∆ϕ 3-4 = 0
din care rezultă aspectul fizic:
M t 1 ⋅ 2a M t 1 ⋅ a ( M t 1 − M t ) ⋅ a
= 0.
+
+
G ⋅ I P1
G ⋅ I P2
G ⋅ I P2
Simplificând termenii asemenea şi înlocuind d = 0,75D, rezultă:
M t1 =
0,754 × 3000
=
= 361 Nm ,
2
⋅
1
+
0
75
,
(
)
+1+1
Mt
2
0,754
M t 2 = M t − M t1 = 3000 − 360,5 = 2639 Nm
Diametrele necesare pentru arbore sunt :
d necI-2
16M t1− 2 3 16 ⋅ 361 ⋅ 10 3
=3
=
= 25,57 mm ,
π ⋅ σa
π ⋅ 110
şi rezultă: D1−2 =
d 1−2
= 34,04 mm .
0,75
D nec 2-4 = 3
16M t 3− 4 3 16 ⋅ 2639 ⋅10 3
=
= 49,62 mm.
π ⋅σa
π ⋅110
Se adoptă valorile: D = 50 mm, d = 37,5 mm.
8.4. Energia de deformaţie la răsucirea barelor
de secţiune circulară şi inelară
Considerând un volum elementar din bară, datorită acţiunii tensiunilor
tangenţiale τ şi a lunecării specifice elementare γ, se produce lucrul mecanic
elementar specific (fig. 8.4): dL 1 = τ ⋅ dγ
Solicitarea fiind în domeniul liniar elastic τ = G⋅γ, astfel că dγ =
dτ
, iar lucrul
G
mecanic elementar va fi egal cu energia de deformaţie, conform ipotezei că în
domeniul elastic întreg lucrul mecanic efectuat prin încărcarea barei se acumulează în
volumul acesteia sub formă de energie de deformaţie:
dL 1 = dU 1 = τ ⋅ dγ =
τ
⋅ dτ .
G
Grafic acest lucru mecanic, respectiv energia de deformaţie elementară sunt
reprezentate prin trapezul haşurat din figura
8.4.
Energia
specifică
de
deformaţie
înmagazinată în elementul de volum unitar
când tensiunea creşte lent de la 0 la τ va avea
forma următoare:
τ
τ
0
0
U 1 = ∫ dU 1 = ∫ τ ⋅
dτ τ 2
=
G 2G
(8.19)
iar cea acumulată în volumul elementar este:
Fig. 8.4
τ2
dU = U 1 ⋅ dV =
⋅ dV .
2G
Pentru bara dreaptă de secţiune circulară:
Mt
π ⋅ d4
2
τ=
⋅ r , Ip = ∫ r ⋅ dA =
, dV = dA ⋅ dx,
A
Ip
32
aşa că energia de deformaţie acumulată în bara de secţiune circulară, de lungime L,
solicitată la răsucire va avea valoarea:
M 2t ⋅ dx 2
M 2t ⋅ dx
τ2
.
⋅ dV = ∫
r
⋅
dA
=
∫
V 2G
L 2G ⋅ I 2 ∫A
L 2G ⋅ I
p
p
U = ∫ dU = ∫
V
(8.20)
Dacă bara este omogenă, de secţiune circulară constantă şi solicitată pe toată
lungimea de acelaşi Mt, atunci energia de deformaţie acumulată va avea valoarea:
M 2t ⋅ L 16 ⋅ M 2t ⋅ L
.
U=
=
2G ⋅ Ip
G ⋅ d4
(8.21)
Dacă bara este de secţiune inelară cu factorul dimensional k =
d
, energia de
D
deformaţie va avea expresia:
16M 2t ⋅ L
U=
.
π ⋅ G ⋅ D4 ⋅ 1 − k 4
(
)
(8.21,a)
8.5. Calculul arcurilor elicoidale cu pas mic
Arcul elicoidal se confecţionează dintr-o sârmă de oţel avînd diametrul d care
se înfăşoară pe un cilindru sub forma unei spirale. Distanţa D/2 de la axa cilindrului
la axa sârmei înfăşurate, se numeşte rază de înfăşurare. Asupra arcului acţionează o
forţă P de-a lungul axei cilindrului. Dacă forţa se va reduce în centrul de greutate al
unei spire se va obţine o forţă P şi un moment M = P ⋅ R.
Descompunînd forţa P şi momentul M după axa spirei şi perpendicular pe
aceasta se obţin eforturile:
N = P ⋅ sinα ;
T = P ⋅ cosα ;
M t = P ⋅ R t ⋅ cosα ;
M i = P ⋅ R ⋅ sinα.
La arcurile elicoidale cu pas mic unghiul de înfăşurare al spirei are valori mci,
astfel că se poate face aproximarea:
sinα ≈ 0 ; cosα ≈ 1
În acest caz eforturile din orice secţiune a arcului sunt:
Mt = P ⋅ R = P ⋅
D
şi T = P .
2
(8.22)
Tensiunea
tangenţială
produsă de forţa tăietoare este
foarte mică în comparaţie cu
cea produsă de momentul de
torsiune, astfel că se va lua în
calcul
numai
efectul
momentului de torsiune. Va
rezulta :
τ max
Fig. 8.5
M
16P ⋅ D
8⋅ P ⋅ D
= t =
.
==
3
π ⋅ d3
Wp 2π ⋅ d
(8.23)
Relaţia (8.23) se utilizează în calculul de rezistenţă pentru:
verificare, capacitate de încărcare, dimensionare,
Din această relaţie se obţine diametrul spirei:
d nec = 3
8⋅P⋅ D
τa ⋅ π
(8.24)
Rezistenţa admisibilă a oţelurilor pentru arcuri (OLC55A, OLC65A, OLC75A,
OLC85A, 51SI17A, 60SI15A, 51CR11A), se ia: τa= 400..800 MPa.
Deformaţia arcului se defineşte ca fiind scurtarea sau lungirea acestuia sub
acţiunea unei solicitări (fig.8.5) şi se numeşte săgeată.
Relaţia de determinare a săgeţii se obţine considerând egalitatea dintre lucrul
mecanic al forţelor exterioare aplicate şi energia potenţială de deformaţie acumulată
în volumul arcului. Ţinând seama că L =
relaţia (8.20), în care se fac substituirile:
Mt =
P⋅D
;
2
L = π⋅D⋅n,
egalitatea L = U devine :
P⋅f
, iar energia de deformaţie este dată de
2
M 2t ⋅ dx
P⋅f
,
=∫
2
L 2G ⋅ I p
respectiv:
 P ⋅ D
16 ⋅ π ⋅ D ⋅ n ⋅ 

 2 
P⋅f
=
2
π ⋅ G ⋅ d4
2
,
din care rezulta formula pentru săgeată:
8 ⋅ P ⋅ D3 ⋅ n
f=
.
G ⋅ d4
(8.25)
Aplicaţia 8.3 Să se verifice arcurile suspensiei din figura 8.6, solicitate de o
forţă P = 3,2 kN, dacă elementele arcurilor sunt D1= 64 mm, d1= 8 mm, n1=10 spire,
D2= 80 mm, d2=10 mm, n2=8 spire.
Rezolvare:
a) Aspectul static:
P1 + P2= P,
b) Aspectul geometric:
f1 = f2,
c) Aspectul fizic:
8 ⋅ P1 ⋅ D13 ⋅ n1 8 ⋅ ( P − P1 ) ⋅ D 2 ⋅ n 2
,
=
G ⋅ d 14
G ⋅ d 42
3
din care rezultă:
P1 =
3200
P
=
= 1294 N,
3
104 64 3 10
d D1 n 1
1+ 4 ⋅ 3 ⋅
1+
⋅
⋅
8 80 8
d D 32 n 2
4
2
4
1
P2 = P − P1 = 3200 − 1294 = 1951 N .
Tensiunile tangenţiale în cele două spire rezultă:
τ 1 max =
8 ⋅ P1 ⋅ D1 8 ⋅ 1249 ⋅ 64
=
= 397,77 MPa < τ a ,
π ⋅ d 13
π ⋅ 83
Fig. 8.6
τ 2 max =
8 ⋅ P2 ⋅ D 2 8 ⋅ 1951 ⋅ 80
=
= 397,65 MPa < τ a .
π ⋅ d 13
π ⋅ 103
Deci, SUSPENSIA REZISTĂ.
Observaţie: Deoarece tensiunile maxime din arcuri sunt apropiate de valoarea
admisibilă se poate spune că această suspensie a fost proiectată economic.
8.6. Răsucirea barelor de secţiune dreptunghiulară
Teoria generală a răsucirii barelor de secţiune oarecare a fost elaborată de
Barré de Saint-Venant şi are la bază o demonstraţie complicată. Ipoteza secţiunilor
plane, verificată şi utilizată pentru secţiunile circulare şi inelare nu mai corespunde la
barele de secţiune oarecare. Acestea se deplanează prin răsucire.
Pe suprafaţa unei bare de secţiune dreptunghiulară, în stare nesolicitată
(fig.8.7,a), se trasează linii drepte echidistante, paralele şi perpendiculare pe axa
barei. Se obţine o reţea de dreptunghiuri.
După solicitarea la răsucire, bara se deformează ca în fig.8.7,b, la care se
Fig. 8.7
observă că:
a) dreptunghiurile din imediata vecinătate a muchiilor barei îşi păstrează forma,
deci în aceste puncte deformaţiile şi tensiunile sunt nule;
b) dreptunghiurile aflate în imediata vecinătate a mijlocului feţelor îşi schimbă
cel mai mult forma, devenind paralelograme. Deci, în apropierea mijlocului laturilor
lunecările vor fi maxime şi ca atare aici se vor produce tensiunile maxime.
Distribuţia tensiunilor tangenţiale, determinată de Saint-Venant, este prezentată
în figura 8.8.
Variaţia
liniară
pe
tensiunilor tangenţiale nu este
nici
o
direcţie.
În
colţurile
dreptunghiului şi în axa de simtrie Ox, tensiunile
tangenţiale sunt nule.
Pentru
secţiunile
dreptunghiulare
cu
raportul h/b mic se poate considera că tensiunile
tangenţiale de pe contur variază parabolic. Dacă
h/b este mare (profile subţiri) se poate considera
Fig. 8.8
că τ este constant pe latura mare şi variază liniar
pe grosime.
Relaţiile de calcul deduse de Barré de Saint-Venant, sunt:
- Pentru tensiunea tangenţială maximă ce se produce pe mijlocul laturii mari a
dreptunghiului:
τ max = τ 1 =
Mt
,
k1 ⋅ h ⋅ b2
(8.26)
- Pentru tensiunea tangenţială la mijlocul laturii mici este:
τ 2 = k 3 ⋅ τ max ,
(8.27)
- Pentru rotirea specifică, a barelor de secţiune dreptunghiulară:
θ=
Mt
k 2 ⋅ G ⋅ h ⋅ b3
(8.28)
În relaţia de mai sus s-a notat cu b latura mai mică a secţiunii dreptunghiulare
iar k1, k2, k3, depind de raportul h/b al laturilor.Valorile acestor coeficienţi sunt date
în tabelul (8.1) .
Tabelul 8.1
h/b
1
1,20
1,50
1,75
2,0
2,5
3,0
4,0
5,0
6,0
8,0
k1 0,208 0,219 0,231 0,239 0,246 0,258 0,267 0,282 0,291 0,299 0,307
k2 0,141 0,166 0,196 0,214 0,229 0,249 0,263 0,281 0,294 0,299 0,307
k3 1,000 0,93
0,86
0,82 0,795 0,766 0,753 0,754 0,744 0,743 0,742
Pentru valori mari ale raportului h/b (h/b ≥10) se poate lua: k1= k2= 1/3, iar
relaţiile (8.17) şi (8.19) devin:
τ max =
3M t
3M t
; θ=
.
2
h⋅b
G ⋅ h ⋅ b3
(8.29)
Dacă vom nota cu :
Wt = k 1 ⋅ h ⋅ b 2 ,
(8.30,a)
şi pe care o numim, caracteristica geometrică de rezistenţă la răsucirea barelor de
secţiune dreptunghiulară şi cu:
It = k 2 ⋅ h ⋅ b 3 ,
(8.30, b)
numită caracteristica geometrică de rigiditate la răsucirea barelor de secţiune
dreptunghiulară, relaţiile (8.26) şi (8.28) devin:
τ max =
Mt
,
Wt
(8.26, a)
θ max =
Mt
,
G ⋅ It
(8.28, a)
şi
ceea ce permite generalizarea calculului şi pentru alte forme de secţiuni.
Expresiile caracteristicilor geometrice de rezistenţă Wt şi de rigiditate It, pentru
alte forme de secţiuni, sunt date în Anexa nr.6.
Calculul rotirii relative ∆ϕ se va face cu relaţiile:
M t ⋅ dx
M ⋅L
sau ∆ϕ = ∑ ti i
G ⋅ I ti
L G ⋅ It
∆ϕ = ∫
Aplicaţia. 8.4. Bara de secţiune dreptunghiulară din figura 8.9 este
confecţionată din oţel (G = 81GPa). Să se determine tensiunea maximă şi rotirea
relativă totală dacă este solicitată de un moment de torsiune Mt = 20 kNm.
Rezolvare: Tensiunea maximă se produce
la mijlocul laturii mari a dreptunghiului şi este
egală cu:
τ max
Mt
10 ⋅ 106
= τ1 =
=
=
k 1 ⋅ h ⋅ b 2 0,231 ⋅ 150 ⋅ 1002
= 57,72 MPa;
iar tensiunea tangenţială la mijlocul laturii mici
este:
τ 2 = k 3 ⋅ τ 1 = 0,86 ⋅ 57,72 = 49,64 MPa.
Fig. 8.9
În relaţiile de mai sus s-au înlocuit k1=
0,231 şi k3= 0,86 pentru h/b = 1,5, (Anexa 6).
Rotirea relativă totală va fi
Mt ⋅ L
Mt ⋅ L
20 ⋅ 106 ⋅ 2000
= 1,680 ⋅ 10 −2 rad = 0,9624 o ,
=
∆ϕ =
=
3
3
3
G ⋅ It
G ⋅ k2 ⋅ h ⋅ b
0,196 ⋅ 81 ⋅ 10 ⋅ 150 ⋅ 100
unde, k2= 0,196 tot pentru h/b = 1,5, (Anexa 6).
Aplicaţia 8.5. Bara cu secţiune eliptică
având raportul semiaxelor b/a = 2 este
confecţionată din oţel cu G = 81 GPa, τa= 80
MPa şi θa= 2 o/m (fig.8.10) şi se cere:
a)
dimensionarea
barei
şi
variaţia
tensiunilor pe secţiune;
b) tensiunile efective în cazul unei bare
circulare de aceeaşi arie cu cea eliptică;
c) economia de material dacă se adoptă
bară de secţiune circulară.
Fig.8.10
Rezolvare:
a) Din anexa 6 se obţine:
π ⋅ b ⋅ a2
π ⋅ a 3 ⋅ b3
şi I t = 2
Wt =
,
2
a + b2
iar din relaţia de dimensionare va fi:
- din condiţia de rezistenţă:
Wt =
nec
Mt
,
τa
se obţine:
a nec = 4
Mt
24 ⋅ 106
=4
= 45,71 mm.
π ⋅ τa
π ⋅ 80
- din condiţia de rigiditate:
It =
nec
Mt
,
G ⋅ θa
sau
a nec
5⋅ Mt
5 ⋅ 24 ⋅ 106 ⋅ 180 ⋅ 103
4
=4
=
= 36,05 mm.
8 ⋅ π ⋅ G ⋅ θa
8 ⋅ π ⋅ 81 ⋅ 103 ⋅ 2 π
Se adoptă a = 46 mm şi b = 92 mm.
Vor rezulta următoarele tensiuni:
τ max
2 ⋅ Mt
24 ⋅ 106
=
=
= 78,49 MPa;
π ⋅ b ⋅ a 2 π ⋅ 92 ⋅ 462
τB =
2 ⋅ Mt
24 ⋅ 106
=
= 39,24 MPa ,
π ⋅ b 2 ⋅ a π ⋅ 92 2 ⋅ 46
iar reprezentarea este dată în figura 8.10.
b) Din egalitatea ariilor rezultă:
π ⋅ d2
= π ⋅ a ⋅ b;
4
d = 4 ⋅ a ⋅ b = 4 ⋅ 92 ⋅ 46 = 130,1 mm.
τ max =
M t 16 ⋅ 24 ⋅ 106
=
= 55,63 MPa.
Wp
π ⋅ 130,13
c) Dimensionarea barei de secţiune circulară:
- din condiţia de rezistenţă:
d nec = 3
16 ⋅ M t 3 16 ⋅ 24 ⋅ 106
=
= 115,2 mm.
π ⋅ τa
π ⋅ 80
- din condiţia de rigiditate:
d nec
32 ⋅ M t
32 ⋅ 24 ⋅ 106 ⋅ 180 ⋅ 103
4
=4
=
= 96,43 mm.
π ⋅ G ⋅ θa
π ⋅ 81 ⋅ 103 ⋅ 2 ⋅ π
Se adoptă d = 115 mm.
Economia de material în (%) va fi:
π ⋅ 1152
π ⋅ 92 ⋅ 46 −
A1 − A 2
4
n=
⋅ 100 =
⋅ 100 = 21,86 %.
π ⋅ 92 ⋅ 46
A1
deci rezultă o economie de 21,86 % în cazul utilizării secţiunii circulare în locul celei
eliptice.
Aplicaţia 8.6.
Să se determine forţa capabilă şi săgeata corespunzătoare
acesteia la un arc elicoidal confecţionat din sârmă pătrată de latură a = 8 mm, n = 8
spire şi D = 60 mm, dacă τa= 230 MPa şi G = 81 GPa.
Rezolvare:
Wt = k 1 ⋅ b ⋅ t 2 = 0,208 ⋅ 83 = 106,5 mm 3 ,
I t = k 2 ⋅ b ⋅ t 3 = 0,141 ⋅ 84 = 557,5 mm 4 .
Aplicând relaţiile (8.30) şi (8.21) obţinem:
Pcap =
τ a ⋅ Wt 230 ⋅ 106,5
=
= 816,5 N ; P = 800 N
30
R
Considerând egalitatea L = U (vezi § 8.4) în cazul secţiunii drepunghiulare se
obţine:
π ⋅ d 3 ⋅ n π ⋅ 0,8 ⋅ 603 ⋅ 8
f=
=
= 23,21 mm .
4G ⋅ I t
4 ⋅ 81 ⋅ 577,5
Fig. 8.11
8.7. Răsucirea barelor cu pereţi subţiri, deschise
Prin bare cu pereţi subţiri deschise se înţeleg profilele laminate sub formă L, T,
U, I, sau alte forme obţinute prin laminare sau prin îndoire şi/sau sudare din benzi de
tablă laminată. În această categorie intră profilele ce au elemente de grosime mică (h
≥ 10 ⋅b) şi nu închid goluri (secţiunea este simplu conexă) sau dacă închid un gol au
cel puţin o generatoare nesudată.
Se consideră bara din figura 8.11 solicitată la răsucire. Elementele ce compun
bara sunt cele două tălpi şi inima.
Problema se tratează descompunând bara în trei dreptunghiuri componente şi
din cele trei aspecte rezultă:
a) - Din aspectul static:
M t = M t1 + M t 2 + M t 3 = ∑ M t i ,
b) - Din aspectul geometric:
θ 1 = θ2 = θ3 = θ
c) - Din aspectul fizic:
Mt1
=
G ⋅ I t1
M t2
G ⋅ I t3
=
M t3
G ⋅ It
=
M t3 + M t2 + M t3
G ⋅ (I t1 + I t 2 + I t 3 )
=
Mt
G ⋅ I td
Din această relaţie rezultă caracteristica geometrică de rigiditate la
răsucirea barelor cu pereţi subţiri, profil deschis:
I t d = I t1 + I t 2 + I t 3 = ∑ I t i =
1
⋅ ∑ b i ⋅ t i3 .
3
(8.31)
În cazul profilelor subţiri laminate se ia:
(
It = It + It + It
d
1
2
3
)= ∑I
ti
=
α
b i ⋅ t i3 ,
∑
3
în care α = 1 la profilele cornier, α = 1,1....1,2 la profilele U iar α = 1,3 la profilele I.
Din relaţia aspectului fizic se obţine:
Mti = Mt
It
It
i
,
d
astfel că tensiunea maximă pe conturul elementului i rezultă:
τ i max
1
b i ⋅ t i3
Mti
Mt
M
=
=
⋅3
= t ⋅ ti .
Wt i 1
I td
I td
b i ⋅ t i2
3
Deci, tensiunea maximă este funcţie de grosimea ti a profilului. Rezultă că
tensiunea cea mai mare (dintre τi) va exista în elementul de grosimea cea mai mare
(tmax):
τ max =
Mt
Mt
⋅ t max =
.
It
Wt d
(8.32)
d
Mărimea
Wt d =
It
t max
=
α
3t max
∑b
i
⋅ t i3 ,
(8.33)
se numeşte caracteristică geometrică de rezistenţă la răsucire a profilului cu
pereţi subţiri, profil deschis şi este similară modulului de rezistenţă polar de la
secţiunea circulară.
Din aspectul fizic se poate scrie:
θ=
Mt
,
G ⋅ I td
(8.34)
şi respectiv:
M t ⋅ dx
M ⋅L
= ∑ ti i .
G ⋅ I td
L G ⋅ I td
∆ϕ = ∫
(8.35)
Aplicaţia 8.7. Să se calculeze momentul de răsucire
capabil
să-l
suporte
secţiunea
din
figura
8.12
şi
corespunzător acestuia, rotirea specifică (secţiunea se
compune din două profileU 20 fără să fie sudate între ele).
Se cunoaşte: τa=210 MPa.
Rezolvare :
Fig. 8.12
Caracteristicile geometrice ale secţiunii sunt:
[
]
1
1,15
b ⋅ ⋅ t 3i = 2 ⋅
⋅ 2 ⋅ 0,853 + (2 ⋅ 7,5 - 0,85) ⋅1,153 = 17,44 cm 4 ,
∑
3
3
I
17,44
Wt d = td =
= 15,166 cm 3 .
b max
1,15
I td =
Momentul de torsiune capabil rezultă:
M tcap = τ a ⋅ Wtd = 15,166 ⋅ 120 ⋅ 10 −3 = 1,8199 Nm .
Se adoptă: Mt = 1800 Nm.
Rotirea specifică corespunzătoare este:
Mt
1800 ⋅ 103
180
θ=
=
⋅
⋅ 103 = 7,3 0/ m .
3
4
G ⋅ I td 81 ⋅ 10 ⋅ 17,44 ⋅ 10
π
8.8 . Răsucirea barelor cu pereţi subţiri închise
Considerăm o bară tubulară cu pereţi subţiri, ce are secţiunea transversală de
formă oarecare, dar constantă în lungul barei (fig.8.13,a). Notăm cu Ω aria închisă de
fibra medie a profilului secţiunii, cu s lungimea fibrei medii şi cu t grosimea
peretelui. Sub acţiunea momentului de torsiune, în secţiune se produc tensiuni
tangenţiale paralele la linia medie a profilului. Se admite că la grosimi mici ale
peretelui aceste tensiuni sunt repartizate uniform pe toată grosimea peretelui.
Această ipoteză concordă cu atât mai bine cu realitatea cu cât grosimea peretelui este
mai mică.
Izolăm din bară un element de lungime dx (fig. 8.13,b). Din aceasta detaşăm o
fâşie longitudinală cuprinsă între generatoarele ⟨1⟩ şi
⟨2⟩. Pe feţele fâşiei apar
tensiuni tangenţiale care satisfac legea dualităţii tensiunilor tangenţiale (fig.
8.13,b). Din condiţia de echilibru a forţelor elementare se obţine:
τ1 ⋅ t 1 ⋅ dx = τ 2 ⋅ t 2 ⋅ dx ,
din care rezultă că în orice punct al secţiunii transversale produsul τ⋅t este constant:
τ1 ⋅ t 1 = τ 2 ⋅ t 2 = τ i ⋅ t i = ct.
(8.36)
Fig. 8.13
Acest produs se numeşte flux al tensiunilor tangenţiale. Deci valoarea
tensiunilor tangenţiale este maximă unde grosimea peretelui este minimă şi are
valoarea minimă unde grosimea peretelui este maximă.
Din relaţia de echilibru a elementului obţinem:
M t = ∫A r ⋅ τ ⋅ dA = ∫ τ ⋅ r ⋅ t ⋅ ds ,
S
unde s-a notat cu r braţul efortului tangenţial dT = τ ⋅ dA, de la acesta la centrul de
răsucire O şi dA = t ⋅ds.
Din figură se observă că dΩ =
r ⋅ ds
, adică aria triunghiului elementar
2
corespunzător lungimii de arc ds pe fibra medie. Cu această notaţie momentul de
răsucire rezultă :
M t = τ ⋅ t ⋅ ∫ r ⋅ ds = 2τ ⋅ t ⋅ Ω ,
S
iar expresia tensiunii tangenţiale este:
τ=
Mt
.
2⋅t ⋅Ω
(8.37,a)
Tensiunea maximă care se produce în dreptul grosimii celei mai mici, este:
τ max =
Mt
M
= t
2 ⋅ t min ⋅ Ω Wt[
(8.37)
în care,
Wtî=2⋅tmin⋅Ω,
este
(8.38)
caracteristica geometrică de rezistenţă la răsucire a barelor cu pereţi
subţiri profil închis.
Pentru determinarea rotirii specifice se scrie egalitatea dintre lucrul mecanic
exterior, produs prin aplicarea momentului de răsucire, pe un element de lungime
dx = 1 , cu energia de deformare potenţială acumulată în element .
Mt ⋅ θ
τ2
=∫
⋅dV .
2
2G
Înlocuind pe τ din relaţia (8.37,a) şi pe dV = 1 ⋅ t ⋅ ds, se obţine:
θ=
Mt
Mt
ds
=
,
∫
4G ⋅ Ω 2 t G ⋅ I t[
(8.39)
în care mărimea:
I ti =
4Ω 2 4Ω 2
=
ds
s
∫ t ∑t
(8.40)
este caracteristica geometrică de rigiditate la răsucire a barelor cu pereţi subţiri
profil închis.
Relaţiile (8.34) şi (8.35) sunt formulele lui R. Bredt.
Dacă grosimea peretelui este constantă în lungul fibrei medii atunci se obţine:
θ=
Mt ⋅s
.
4 ⋅ G ⋅ t ⋅ Ω2
(8.41)
Analog ca la celelalte structuri rotirea relativă se determină cu relaţia:
M t ⋅ dx
M ⋅L
= ∑ ti i .
G ⋅ I t[
L G ⋅ I t[
∆ϕ = ∫
(8.42)
Aplicaţie 8.8. Pentru bara din oţel (G = 81 GPa, şi τa=90 MPa) cu secţiunea
din figura 8.14 se cer:
a) caracteristicile geometrice la răsucire, profil deschis şi profil închis;
b) momentul de torsiune capabil;
c) rotirile specifice maxime corespunzătoare momentelor de torsiune calculate;
d) tensiunile tangenţiale şi diagramele de variaţie pe secţiune.
Rezolvare:
a) caracteristici geometrice:
- profil deschis:
Secţiunea dată se descompune în dreptunghiuri subţiri. La arce de cerc
lungimea dreptunghiului este egală cu desfăşurata pe fibra medie.
I td =
α
1
⋅ ∑ b i ⋅ t 3i = ⋅ (2 ⋅ 8 ⋅ 0,6 3 + π ⋅ 5,3 ⋅ 0,6 3 + 13 ⋅ 1,2 3 ) = 9,839 cm 4 ,
3
3
Wtd =
I td
9,839
=
= 8,2 cm 3 .
t max
1,2
- profil închis:
Se duce fibra medie şi se calculează aria
închisă de aceasta:
π ⋅ 5,3 2
Ω = 10,6 ⋅ 8,6 +
= 135,2 cm 2 ,
2
Wti = 2 ⋅ Ω ⋅ t min = 2 ⋅ 135,2 ⋅ 0,6 = 162,3cm 3 ,
I ti =
4 ⋅ Ω2
4 ⋅ 135,2 2
=
= 1122cm4 .
s 10,6 2 ⋅ 8,6 π ⋅ 5,3
∑ t 1,2 + 0,6 + 0,6
În ultima relaţie s înseamnă lungimea fibrei medii:
b) Momentele de torsiune capabile:
Fig. 8.14
M tcap,d = τ a ⋅ Wtd = 90 ⋅ 8,2 ⋅ 10 −3 = 0,738 kNm,
M tcap,i = τ a ⋅ Wti = 90 ⋅ 162,3 ⋅ 10 −3 = 14,61 kNm.
Se adoptă:
Mtd= 0,75 kNm;
Mti= 14,5 kNm.
c) Rotirile specifice maxime se determină cu relaţiile (8.34) şi (8.40) şi se
obţine:
θ max d
Mt
0,75 × 10 6
=
=
= 9,411 ⋅ 10 −5 rad / mm = 5,392 o / m,
3
4
G ⋅ I td 81 ⋅ 10 ⋅ 9,839 ⋅ 10
θ max i =
M ti
14,5 × 10 6
=
= 1,595 ⋅ 10 −5 rad / mm = 0,9141o / m.
3
4
G ⋅ I ti 81 ⋅ 10 ⋅ 1122 ⋅ 10
d) Se determină tensiunile tangenţiale cu relaţiile (8.32) şi respectiv (8.37):
- profil deschis:
τ td max
τ td i
M td 0,75 ⋅ 10 6
=
=
= 91,46 MPa ,
Wtd
8,2 ⋅ 10 3
M td
0,75 ⋅ 10 6
=
⋅ ti =
⋅ 6 = 45,73 MPa
I td
9,839 ⋅ 10 4
- profil închis:
τ ti
max
=
M ti 14,5 ⋅ 106
= 89,3 MPa,
=
Wti 162,3 ⋅ 103
M ti
14,5 ⋅ 106
τ ti =
=
= 44,67 MPa.
2 ⋅ Ω ⋅ t t 2 ⋅ 135,2 ⋅ 102 ⋅ 12
t
Observaţie: Comparând momentele de torsiune capabile se observă că la
acelaşi consum de material profilul închis rezistă de 19,8 ori (14,62/0,738) mai mult
decât profilul deschis, iar dacă se compară rotirile specifice se observă că bara
realizată din profil deschis este mult mai elastică, de 5,9 ori. Adoptarea uneia sau
alteia din soluţii se va face în funcţie de scopul urmărit şi anume:
- pentru structuri rigide se adoptă profilul închis;
- pentru structuri elastice se adoptă profilul deschis, care admite deformaţii
mari fără a se depăşi tensiunea tangenţială admisibilă.
8.9. Generalizarea relaţiilor de calcul la răsucire
Analizând forma identică a relaţiilor (8.8), (8.26,a), (8.32) şi (8.37) pentru
calculul tensiunilor tangenţiale maxime la răsucirea barelor drepte, a relaţiilor (8.10),
(8.28,a), (8.34) şi (8.39) pentru determinarea rotirilor specifice şi respectiv (8.11),
(8.30), (8.35) şi (8.42) se pot scrie relaţii unice şi anume:
τ max =
M t max
≤ τa ,
Wt
(8.43)
θ max =
M t max
≤ θa ,
G ⋅ It
(8.44)
M t ⋅ dx
M ⋅L
= ∑ ti i ≤ ∆ϕ a .
G ⋅ It
L G ⋅ It
∆ϕ = ∫
(8.45)
Dacă în aceste relaţii se înlocuiesc Wt şi It cu caracteristicile geometrice la
răsucire corespunzătoare fiecărei forme de secţiune şi anume:
- la secţiunea circulară:
π ⋅ d3
Wt → Wp =
,
16
π ⋅ d4
It → Ip =
.
32
- la secţiunea inelară cu factorul dimensional k = d/D:
π ⋅ D3
(1 − k 4 ),
Wt → Wp =
16
π ⋅ D4
(1 − k 4 ).
It → Ip =
32
- la secţiunea dreptunghiulară (h > b);
Wt → Wt = k 1 ⋅ h ⋅ b 2 ,
I t → It = k 2 ⋅ h ⋅ b3 ,
- la bare cu pereţi subţiri, profil deschis (b>>t):
Wt → Wtd =
I t → I td =
It
t max
,
α
b ⋅ t3 ,
∑
3
unde: α = 1 pentru toate secţiunile cu excepţia profilelor standardizate pentru
care avem, α = 1,1..1,2 pentru profilul U, α = 1,3 pentru profilul I.
- la barele cu perete subţire profil închis:
Wt → Wi[ = 2 ⋅ Ω ⋅ t min ,
4Ω 2 4Ω 2
I t → I t[ =
=
,
ds
s
∫ t ∑t
în care Ω este aria închisă de fibra medie iar s este lungimea fibrei medii.
8.10. Răsucirea barelor cu pereţi subţiri cu secţiuni dublu conexe
Modul de rezolvare a unor astfel de probleme va fi exemplificat prin aplicaţia
următoare.
Aplicaţia 8.9.
Pentru bara cu secţiunea din figura 8.15 să se determine
momentul de torsiune capabil şi corespunzător acestuia rotirea specifică (G = 81 GPa,
τa= 90 MPa).
Rezolvare: Izolăm un element longitudinal (fig.8.15,b),
din ecuaţia de
echilibru în lungul axei Ox:
τ1 ⋅ t 1 = τ 2 ⋅ t 2 + τ 3 ⋅ t 3 . ,
(a)
şi din ecuaţia de echivalenţă rezultă:
M t = ∫ ( τ ⋅ t ) ⋅ r ⋅ ds = 2 ⋅ ( τ1 ⋅ t 1 ⋅ Ω1 + τ 2 ⋅ t 2 ⋅ Ω 2 ) .
S
(b)
a)
b)
Fig. 8.15
Aspectul geometric se poate scrie ţinând seama că secţiunea transversală este
indeformabilă în planul ei:
θ = θ1 = θ 2 = θ 3 .
(c)
Scriind condiţiile de rigiditate pe cele două contururi obţinem:
(ABCD)
τ 1 ⋅ t 1 + τ 3 ⋅ t 3 = 2 ⋅ G ⋅ θ ⋅ Ω1 ,
(CDEF)
τ2 ⋅ t 2 − τ 3 ⋅ t 3 = 2 ⋅ G ⋅ θ ⋅ Ω2 .
(d)
Rezolvând sistemul de ecuaţii (a şi d) se obţine:
τ 2 = 1111
,
⋅ τ1;
τ 3 = 0,09263 ⋅ τ 1 .
care înlocuite în relaţia b):
M t = 2 ⋅ ( τ1 ⋅ t 1 ⋅ Ω1 + τ 2 ⋅ t 2 ⋅ Ω 2 ) = τ1 ⋅ (2 ⋅ t 1 ⋅ Ω1 + 2,222 ⋅ t 2 ⋅ Ω 2 ).
De pe desen se obţine:
20 + 10
⋅ 16 = 240 cm2 ,
2
80 + 20
⋅ 12 = 168 cm2 .
Ω2 =
2
Ω1 =
şi cu aceste valori şi pentru τ1=τa momentul de torsiune va fi:
(
)
M t = 90 ⋅ 2 ⋅ 10 ⋅ 240 ⋅ 102 + 2,222 ⋅ 8 ⋅ 168 ⋅ 10 2 ⋅ 10 −6 = 70,08 kNm.
Se adoptă: Mt = 70 kNm.
Rotirea specifică:
θ=
=
M t ⋅ (t 1 + 0,09263 ⋅ t 2 )
τ1 ⋅ t 1 + τ 3 ⋅ t 3 τ1 ⋅ (t 1 + 0,09263 ⋅ t 2 )
=
=
=
2 ⋅ G ⋅ Ω1
2 ⋅ G ⋅ Ω1
2 ⋅ G ⋅ Ω1 ⋅ (2 ⋅ t 1 ⋅ Ω1 + 2,222 ⋅ t 2 ⋅ Ω2 )
70 ⋅ 106 ⋅ (10 + 0,09263 ⋅ 8)
(
2 ⋅ 81 ⋅ 103 ⋅ 240 ⋅ 102 ⋅ 2 ⋅ 10 ⋅ 240 ⋅ 102 + 2,222 ⋅ 0,8 ⋅ 168 ⋅ 102
= 3,793 ⋅ 10 −7 rad / mm = 2,1 ⋅ 10 −2
o
m
)
=
.
8.11. Bare de secţiune circulară solicitate elasto –plastic
Considerăm o bară de secţiune circulară cu diametrul d solicitată la răsucire de
momentul Mt. Dacă solicitarea este elastică tensiunile tangenţiale variază liniar, de la
valoarea maximă pe contur până la zero pe axa barei (fig.8.16,a). Distribuţia
tensiunilor nu se modifică până la Mt = MtLe= τc ⋅ Wp (fig. 8.16,a) unde s-a notat cu
MtLe - momentul maxim până
la care secţiunea este solicitată în întregime în
domeniul elastic.
Când momentul de răsucire creşte peste valoarea MtLe atunci numai o
parte din secţiune se va deforma elastic (cea cuprinsă în distanţa r ≤ a) iar coroana va
avea deformări elasto-plastice.
Fig. 8.16
Dacă bara este realizată din oţel de rezistenţă mică şi mijlocie ce are palier de
curgere lung, atunci curba caracteristică (τ = f(γ)), se poate schematiza printr-o
diagramă de tip Prandtl pentru material ideal elasto-plastic (fig.8.17). Pentru aceste
materiale curba caracteristică are o porţiune liniară ( τ = G ⋅ γ , pentru γ ≤ γc) şi un
palier de curgere (τ = τc pentru γ > γc). În acest caz, când Mt > MtLe, tensiunile
tangenţiale se distribuie în secţiune aşa cum sunt arătate în figura (8.16,c,d).
Pentru a stabili limita dintre zona solicitată elastic şi cea solicitată în domeniul
plastic, fiecărei secţiuni i s-a ataşat o curbă caracteristică schematizată pentru
materialul ideal elasto-plastic (conform ipotezei făcute). Punctul de pe fiecare
caracteristică reprezintă starea de solicitare-deformare. Lunecarea specifică γc,
corespunzătoare începutului palierului de curgere va preciza mărimea “a” a razei
maxime a zonei solicitate elastic.
Lunecarea specifică are o distribuţie liniară de la zero pe axa barei la γmax pe
conturul exterior. Tensiunea tangenţială nu poate depăşi limita de curgere τc, fiind
constantă pe zonele solicitate plastic (τ = τc) şi variază liniar de la 0 la τc pe zonele
solicitate în domeniul elastic (zero pe axa barei).
Ecuaţia echivalentă dintre momentul de răsucire şi tensiunile din secţiune,
considerând dA = 2π ⋅ r ⋅ dr,
M t = ∫ r ⋅ (τ ⋅ dA) =
a
d/2
π ⋅ d3
r
= ∫0 r ⋅ ⋅τ c ⋅ (2π ⋅ r ⋅ dr) + ∫a r ⋅ τ c ⋅(2π ⋅ r ⋅ dr) =
a
12
(8.46)
 2a 3 
⋅ 1 − 3  ⋅ τ c
d 

unde:
 d
- τ = τc pe zona solicitată în domeniul plastic r ∈ a, 
 2
- τ=
r
⋅ τ c pentru zona solicitată în domeniul elastic r ∈[0, a] .
a
Momentul de răsucire are două limite:
π ⋅ d3
M te =
⋅ τ c = Wp ⋅ τ c ,
16
(8.47)
pentru a = d/2 (vezi relaţia 8.15) şi momentul de torsiune limită:
M tL =
π ⋅ d3
⋅ τc = τc ⋅ Sp .
12
(8.48)
când întreaga secţiune este solicitată în domeniul plastic (fig. 8.16,a) şi unde s-a notat
cu:
Sp =
π ⋅ d3
,
12
(8.49)
caracteristica geometrică de rezisteţă la răsucire în domeniul plastic a barelor de
secţiune circulară.
Raportul dintre momentul de torsiune limită în domeniul elastic (Mte) şi
momentul limită (MtL) al barelor de secţiune circulară este:
τc ⋅ Sp
M tL
π ⋅ d 3 16
=
=
⋅
= 1,333 .
M te τ c ⋅ Wp
12 π ⋅ d 3
Deci, bara de secţiune circulară are rezerve de rezistenţă de 33,3 % ce se pun în
evidenţă prin calculul la rezistenţa la starea limită.
Aplicaţia 8.10. Să se dimensioneze o bară de secţiune circulară încastrată la
ambele capete (fig. 8.18) solicitată de un moment Mt = 31,4 kNm, prin metoda stării
limită, cunoscând τc=180 MPa şi coeficientul de siguranţă impus co= 3.
Rezolvare: Dacă Mt aplicat, creşte
atunci deformaţiile plastice apar mai întâi
în zona mai scurtă a barei. Bara mai poate
suporta o creştere de moment de răsucire
Fig. 8.18
până când ambele regiuni devin solicitate
plastic.
În această stare, din condiţia de echilibru la starea limită va avea:
M t1 = M t 2 =
1
πd 3
M tl = τ c
;
2
12
Dar:
M tL
τ c πd 3
,
Mt =
= 2⋅ ⋅
c
c 12
din care rezultă:
d nec = 3
6M tc ⋅ c 3 6 ⋅ 31,4 ⋅ 106 ⋅ 3
=
= 99,98 mm .
π ⋅ τc
π ⋅ 180
Se adoptă: d = 100 mm.
Aplicaţia 8.8. O bară de secţiune inelară
(fig. 8.19) este solicitată la torsiune de un moment
M = 9 KNm . Limita de curgere a materialului
τ c = 180MPa , d= 0,8 D şi se admite un coeficient
de siguranţă c= 2,5. Să se dimensioneze bara.
Rezolvare. Din relaţia de echivalenţă rezultă:
Fig. 8.19
M tl = ∫
D/ 2
d /2
D
2
d r
2
r ⋅ ( τ ⋅ dA ) = ∫
 D3 d 3 
⋅ τ c ⋅ (2 π ⋅ r ⋅ dA ) = 2 π ⋅ τ c ⋅ 
− =
 24 24 
π ⋅ D3
= τc ⋅
⋅ 1 - k3 ,
12
(
)
unde k = d/D.
Ştiind că
M tcp =
M tl τ c π ⋅ D 3
τ
= ⋅
⋅ 1 − k 3 = c ⋅ Sp ,
12
c
c
c
(
)
în care s-a notat:
Sp =
π ⋅ D3
⋅ 1 − k3 ,
12
(
)
(8.50)
caracteristica geometrică la răsucire în domeniul plastic al barelor de secţiune
inelară, se obţine:
D nec = 3
12 M t ⋅ c
(
π ⋅ τc ⋅ 1 − k 3
)
=3
12 ⋅ 9 ⋅ 106 ⋅ 2,5
(
π ⋅ 180 ⋅ 1 − 0,83
Se adoptă: D=100 mm şi d= 80 mm.
)
= 93,17 mm .
9. ÎNCOVOIEREA BARELOR DREPTE ŞI CURBE
9.1. Introducere
O bară este solicitată la încovoiere, când în secţiunile acesteia există numai
momente încovoietoare. În majoritatea cazurilor, solicitarea la încovoiere este
produsă de forţe transversale (care acţionează pe axa barei). În aceste cazuri în
secţiunile transversale se produc atât momente încovoietoare cât şi forţe tăietoare, iar
solicitarea se numeşte încovoiere simplă.
În cadrul acestui capitol se admite că fiecare forţă trece prin centrul de
greutate al secţiunii transverale şi nu produce o solicitare suplimentară de torsiune.
Momentul încovoietor solicită bara astfel încât întinde fibrele dintr-o parte şi le
comprimă pe cele de pe partea opusă, producând în secţiune tensiuni normale. Forţa
tăietoare solicită bara la forfecare, producând în secţiune tensiuni tangenţiale.
În funcţie de natura eforturilor interioare ce apar în bară, solicitarea poate fi:
- încovoiere pură, când în secţiunea transversală a barei există numai
momente încovoietoare:
- încovoiere simplă, când în secţiunea transversală a barei există atât
momente încovoietoare cât şi forţe tăietoare.
După poziţia în spaţiu a forţelor transversale, solicitarea la încovoiere poate
fi:
- încovoiere plană, când toate forţele sunt într-un singur plan central
principal de inerţie:
- încovoiere oblică, când toate forţele aplicate aparţin unui singur plan
central longitudinal, diferit de planele principale centrale de inerţie:
- încovoiere strâmbă, când forţele aplicate sunt dispuse în două sau mai
multe plane centrale.
Solicitarea de încovoiere simplă este cea mai întâlnită în aplicaţiile inginereşti.
9.2. Tensiuni şi deformaţii în bare drepte solicitate
la încovoiere pură plană
Se consideră o bară dreaptă a cărei secţiune transversală este simetrică în raport cu
planul vertical x0y, solicitată la încovoiere pură, de un moment de încovoiere dirijat
după axa 0z (fig.9.1,a).
Bara este confecţionată din material continuu omogen şi izotrop, având
caracteristica liniar-elastică (deformaţiile sunt elastice şi proporţionale cu tensiunile).
Prin deformare, după aplicarea momentului încovoietor, ipoteza secţiunilor plane
verificată experimental pentru punctele de pe contur se extinde la toate punctele din
secţiune (secţiunile plane şi normale pe axa barei înainte de deformare, vor fi plane şi
normale
pe
axa
barei
şi
după
deformare). De asemenea se admite că
toate sarcinile aplicate sunt conţinute
intr-un plan principal central de inerţie
(planul x0y).
Din
bara
considerată
se
detaşează un element de lungime dx
(fig.9.1b).
momentului
Înainte
de
aplicarea
încovoietor,
fibrele
elementului AD, BC, MN, sunt drepte
şi paralele cu axa barei 0x. Secţiunile
de la capetele elementului (AB, CD),
sunt plane şi perpendiculare pe axa
barei.
După
solicitare
(se
aplică
momentul încovoietor M), bara se va
deforma (fig.9.1.c), astfel încât fibrele
elementului devin curbe , iar secţiunile
Fig. 9.1
AB şi CD se vor roti una faţă de cealaltă cu unghiul dϕ. În urma deformării numai
unele fibre îşi vor păstra lungimea iniţială. Aceste fibre poartă denumirea de fibre
neutre şi formează o suprafaţă neutră . Suprafaţa se consideră plană şi se numeşte
plan neutru. Când M › 0, fibrele superioare ale planului se scurtează, iar cele
inferioare planului se lungesc. Linia de intersecţie a planului neutru cu un plan
longitudinal vartical (x0y), ce conţine axa barei , poartă numele de fibră neutră, axa
neutră, sau fibra medie.
O fibră oarecare, MN, situată la ordonata y de planul neutru, are înainte de
deformare lungimea dx = MN = OP = r ⋅dϕ.
Din această relaţie se defineşte rotirea secţiunii:
ω=
dϕ 1
= .
dx r
După deformarea barei, fibra MN = dx, va avea lungimea :
dx + ∆dx = MăNă = (r+y) ⋅ dϕ, iar alungirea va fi: ∆dx = y ⋅ dϕ.
Lungirea specifică rezultă :
ε=
∆ ⋅ ds M ' N ' − MN (r + y ) ⋅ dϕ − r ⋅ dϕ y
=
=
= .
ds
MN
r ⋅ dϕ
r
(9.1)
Tensiunea normală σ, care ia naştere în secţiune, la ordonata y, (în dreptul
fibrei MN), conform legii lui Hooke, va fi:
σ = ε⋅E= E⋅
y
.
r
(9.2)
Pentru a obţine relaţia dintre momentul încovoietor şi tensiunile produse pe
suprafaţa secţiunii transversale se scriu ecuaţiile de echivalenţă. În acest caz
particular, când toate forţele elementare σ⋅dA sunt paralele între ele şi normale pe
suprafaţa secţiunii transversale, aceste ecuaţii sunt :
∫ σ ⋅ dA = 0, ∫ σ ⋅ z ⋅ dA = 0,
(A)
(A)
∫ σ ⋅ y ⋅ dA = M .
(A)
Dacă se ţine seama de expresia (9.2) acestea devin :
(9.3)
∫ y ⋅ dA = 0, ∫ y ⋅ z ⋅ dA = 0,
(A)
(A)
E
⋅ ∫ y 2 ⋅ dA = M .
r (A)
(9.4)
Din relaţiile obţinute se constată următoarele :
- întrucât:
∫ y ⋅ dA = 0 ,
(A)
axa neutră trece prin centrul de greutate al secţiunii transversale, deoarece numai
faţă de o axă centrală momentul static al unei suprafeţe este egal cu zero. Deci,
originea sistemului de referinţă coincide cu centrul de greutate al secţiunii
transversale:
Din:
∫ y ⋅ z ⋅ dA = 0 ,
(A)
rezultă că axele Oy şi Oz trebuie să fie axe principale de inerţie ale secţiunii
transversale:
De la § 5.4:
∫y
2
⋅ dA = I z ,
(A)
este momentul de inerţie axial faţă de axa neutră Oz, a întregii secţiuni
transversale.
Axele secţiunii (Oy şi Oz) trecând prin centrul de greutate şi Oy fiind axă de
simetrie, sunt axe centrale principale de inerţie. Dacă se intersectează suprafaţa neutră
cu un plan normal se obţine axa de încovoiere a secţiunii (axa Oz) .
Ţinând seama de cele deduse mai sus, rotirea secţiunii este definită de relaţia :
ω=
1
M
=
.
r E ⋅ Iz
(9.5)
1
Deci, rotirea secţiunii este egală cu curbura ( ) şi este direct proporţională cu
r
momentul încovoietor şi invers proporţională cu rigiditatea la încovoiere (E ⋅ Iz).
Dacă în relaţia (9.5) se ţine seama de relaţia (9.2), expresia tensiunii normale
devine :
σ=
M
⋅y.
Iz
(9.6)
Aceasta este formula lui L. M. H. Navier şi arată că valoarea tensiunii
normale la încovoiere este o funcţie liniară faţă de ordonata punctului, raportată
la axa neutră. Relaţia lui Navier exprimă o distribuţie liniară a tensiunilor: zero în
axa neutră şi valori maxime şi minime în fibrele extreme (fig. 9.1,c). Tensiunea
maximă din secţiune este :
σ max =
M
M
⋅ y max =
.
Iz
Wz
(9.7)
În formula (9.7) s-a introdus mărimea geometrică (vezi § 5.7):
Wz =
Iz
,
y max
(9.8)
care se numeşte modul de rezistenţă axial.
Deşi relaţia lui Navier a fost dedusă şi corespunde solicitării la încovoiere pură,
se utilizează şi la calculul tensiunilor normale la barele solicitate la încovoiere simplă.
Dacă axa de încovoiere nu este axă de simetrie, atunci se determină atât
tensiunea maximă de întindere cât şi cea maximă de compresiune,
σ1 =
M
Wz1
şi
σ2 =
−M
Wz 2
În relaţiile de mai sus Wz1
(9.9,a)
şi Wz2 sunt
modulele de rezistenţă definite de relaţiile (9.9,b),
(fig.9.2).
Fig. 9.2
Wz 1 =
Iz
y1
şi
Wz 2 =
Iz
y2
(9.9,b)
9.3. Calculul de rezistenţă la
încovoiere
Relaţiile deduse mai sus se utilizează
pentru rezolvarea problemelor de rezistenţa
Fig. 9.3
materialelor:
de
verificare,
de
calculul
capacităţii de încărcare şi de dimensionare. Rezolvarea acestor probleme se face
respectând condiţia de rezistenţă
σmax ≤ σa. Relaţiile pentru calculul de rezistenţă la încovoiere se deduc din relaţia
(9.8) şi sunt :
- de verificare :
σ max =
M i max
Wz
≤ σa ,
(9.10)
- de calculul capacităţii de încărcare :
M i cap = Wzef ⋅ σ a ,
(9.11)
- de dimensionare :
Wz nec =
M i max
σa
.
(9.12)
Relaţiile (9.10), (9.11) şi (9.12) se aplică pentru secţiunea cea mai solicitată
(secţiunea periculoasă). În cazul barelor (grinzilor) de secţiune constantă, aceasta
corespunde cu secţiunea în care momentul încovoietor este maxim în valoare
absolută. La barele (grinzile) cu variaţie de secţiune în trepte, se determină pe baza
diagramei de momente încovoietoare, pentru fiecare segment, câte o secţiune
periculoasă pentru care se face apoi calculul de rezistenţă.
În secţiunea transversală a barei pot exista concentratori de tensiune, care
modifică distribuţia liniară a tensiunilor după cum este prezentat în figura 9.3.
În aceste cazuri relaţia (9.8) dă numai valoarea tensiunii `nominale`σn, iar
valoarea tensiunii maxime este funcţie şi de un coeficient de concentrare a tensiunilor
αk şi se calculează cu relaţia:
σ max = α k ⋅ σ n = α k ⋅
Mi
⋅ y max .
Iz
(9.13)
Valorile coeficienţilor de concentrare a tensiunilor sunt date în manualele
inginereşti. Valorile acestor coeficienţi sunt cu atât mai mari cu cât discontinuităţile
geometrice sunt mai pronunţate. De efectul concentrării tensiunilor trebuie ţinut
seama cu precădere în cazul materialelor fragile.
9.4. Forme raţionale de secţiuni pentru încovoiere
O bară (grindă) rezistă cu atât mai bine, la solicitarea de încovoiere cu cât
modulul de rezistenţă axial Wz este mai mare. Valoarea modulului de rezistenţă axial
depinde nu numai de mărimea secţiunii ci şi de forma ei. Forma secţiunii este cu atât
mai raţională cu cât modulul de rezistenţă are o valoare mai mare pentru un consum
de material cât mai mic.
Altfel spus, o secţiune este cu atât mai raţională cu cât raportul dintre modulul
de rezistenţă axial şi aria secţiunii este mai mare. În tab. 9.1 se dau valori ale acestui
raport pentru câteva forme uzuale de secţiuni.
Din acest tabel rezultă că secţiunile profilelor laminate I şi U, utilizate foarte
mult la construcţiile metalice, sunt mult mai raţionale decât secţiunile circulare şi
dreptunghiulare. În cazul acestor profile secţiunea este raţional utilizată întrucât
majoritatea materialului se află acolo unde tensiunile au valori mari (fig. 9.4) .
Aceste profile trebuiesc solicitate de momente încovoietoare ce au direcţia
axei principale, adică au M = Mz şi Iz = I1 (fig. 9.4). În caz contrar (când momentul
acţionează după axa 0y), întrucât momentul de inerţie Iy = I2 = (1/20..1/30) ⋅ Iz,
capacitatea de rezistentă la încovoiere a profilului este minimă.
Secţiunile circulare şi pătrate au module de rezistentă axiale mai mici, deoarece
se află mult material dispus în apropierea axei neutre, unde tensiunile normale sunt
mici. Secţiunea circulară prezintă avantajul de a rezista la fel de bine în raport cu
orice axă centrală şi de aceea este
utilizată în special la arbori de
maşini. În acest caz fortele îsi menţin
poziţia în spaţiu, în schimb se roteşte
arborele, care trebuie să reziste la fel în
Fig. 9.4
orice poziţie.
În cazul materialelor care rezistă
mai bine la compresiune decât la întindere (ex. fonta) sunt mai raţionale acele secţiuni
care nu prezintă simetrie faţă de axa de încovoiere (exemplu secţiunea T, secţiunea
trapezoidală fig. 9.5).
Bara confecţionată din materiale fragile
Fig. 9.5
trebuie astfel asezată încât tensiunile cele mai
mari trebuie să fie la compresiune şi nu la tracţiune. În acest caz trebuie îndeplinite
atât condiţiile de rezistentă la tracţiune cât şi cele la compresiune.
σ1 =
Mi
⋅ y 1 ≤ σ at ;
Iz
σ2 =
Mi
⋅ y 2 ≤ σ ac .
IZ
(9.14)
Făcând raportul acestor două relaţii se obţin dimensiunile optime ale secţiunii:
y 1 σ at
.
=
y 2 σ ac
(9.15)
Aplicaţia 9.1 Pentru bara din figura 9.6, care poate fi realizată în 3 variante
constructive, toate de aceeasi greutate, se cere să se determine sarcina capabilă ce o
poate suporta fiecare variantă, dacă tensiunea admisibilă este σa = 150 MPa şi
a = 40 mm.
Pentru cele trei cazuri ariile secţiunilor sunt egale, iar modulele de rezistentă
axiale au valorile:
Wz1 =
a3
,
6
Wz1 =
a3
,
3
3
3
4  a  5a  3a (2a )  77 3
Wz 3 = ⋅  ⋅   − ⋅
⋅a .
=
5a 12  2  4 12  120
Fig. 9.6
Din condiţia de rezistenţă:
M i max
p ⋅ L2
=
= Wz ⋅ σ a ,
8
rezultă valoarea forţei pentru cele trei variante constructive:
p1cap
8 ⋅ a3
8 ⋅ 403 ⋅ 150
=
⋅ σa =
= 12,8 N / mm = 12,8 kN / m ,
6L2
6 ⋅ 10002
p 2 cap
8a 3
8 ⋅ 403 ⋅ 150
= 2 ⋅ σa =
= 25,6 N / mm = 25,6 kN / m ,
3L
3 ⋅ 10002
p 3cap
8 ⋅ 77 ⋅ a 3
8 ⋅ 77 ⋅ 403 ⋅ 150
⋅ σa =
=
= 49,28 N / mm = 49,28 kN / m .
120 ⋅ L2
120 ⋅ 10002
Secţiunea corespunzătoare variantei a treia rezistă cel mai bine la solicitarea de
încovoiere, varianta este de 3,85 ori mai rezistentă decât varianta întâi. Deci alegând
judicios forma secţiunii se pot obţine reduceri importante de material.
Aplicaţia
9.2 Să se dimensioneze o bară din fontă cu σat = 30 MPa şi
σac = 90 MPa, de lungime l = 1300 mm şi având secţiunea în formă de T, cu t =
b
,
9
solicitată de o fortă P=24 kN, (fig.9.7).
Rezolvare: În punctele 1 şi respectiv 2 ale secţiunii tensiunea maximă va
trebui să fie cel mult egală cu tensiunea admisibilă de întindere şi respectiv cea de
compresiune.
σ1 =
Mi
⋅ y1
Iz
≤ σ at ,
σ2 =
Mi
⋅ y 2 ≤ σ ac .
Iz
Ordonatele y1 şi y2 măsurate de la axa neutră (axa care trece prin centrul de
greutate) rezultă din expresiile:
t
h

b ⋅ t ⋅ ⋅ +h ⋅ t ⋅  t + 
2
2  b ⋅ t + 2h ⋅ t + h 2 b 2 + 2b ⋅ h + 9h 2

y1 =
=
=
,
(b + h ) ⋅ t
a ⋅ (b + h )
18 ⋅ (b + h )
h⋅t⋅
y2 =
h

⋅ +b ⋅ t ⋅  h +
2

(b + h ) ⋅ t
t

2
=
h 2 + 2b ⋅ h + bt b 2 + 18 ⋅ b ⋅ h + 9 ⋅ h 2
=
a ⋅ (b + h )
18 ⋅ (b + h )
.
Din relaţia 9.15 se obţine:
σ 1 σ at y1
=
=
σ 2 σ ac y 2
sau
Fig. 9.7
b 2 + 2b ⋅ h + 9h 2 1
= .
b 2 + 18b ⋅ h + 9h 2 3
Din această relaţie rezultă:
b2 - 6 bh + 9h2 = 0, cu soluţia
compatibilă cu problema: b = 3h.
Cu
această
soluţie
Fig. 9.8
dimensiunile secţiunii, exprimate în funcţie de grosimea t, sunt următoarele:
b = 9t:
y1 = t:
h = 3t:
y2 = 3t.
Momentul de inerţie al secţiunii este:
t ⋅ (3t ) 3
9t ) ⋅ t 3
(
 3t 
t
Iz =
+ t ⋅ (3t ) ⋅   +
+ t ⋅ (9 t ) ⋅   =12t 4
12
12
2
2
2
2
iar modulele de rezistentă axiale sunt:
I z 12 ⋅ t 4
Wz1 = =
= 12 ⋅ t 3
y1
t
I z 12 ⋅ t 4
Wz2 =
=
= 4 ⋅ t3
y2
3t
Din condiţia de rezistentă la încovoiere Mimax = Wz ⋅σa, se obţine grosimea:
M max
12 ⋅ 10 3 ⋅ 1300
3
t nec =3
= 44,25mm
=
12 ⋅ σ at
12 ⋅ 30
Se adoptă: t = 45 mm: b = 405 mm: h = 135 mm.
Aplicaţia 9.3 Să se verifice bara din figura 9.8, confecţionată din fontă, cu
rezistenţa
admisibilă la tracţiune σat = 75 MPa şi rezistenţa admisibilă la
compresiune σac = 140 MPa. Poziţia axei neutre faţă de baza inferioară este:
y1 = y g =
300 ⋅ 5 + 200 ⋅ 20
= 11 mm ,
300 + 200
iar:
y2 = 30 - 11 = 19 mm.
Momentul de inerţie axial rezultă:
34 − 2 4
Iz =
+ 9 ⋅ (1,5 − 1,1) 2 − 4 ⋅ (1,9 − 1) 2 =3,617cm 4 ,
12
iar modulele de rezistenţă axială sunt:
Wz1 =
I z 3,617
=
= 3,288 cm 4 ,
11
,
y1
Wz 2 =
I z 3,617
=
= 1,904 cm4 .
1,9
y2
Prin calculul de verificare (comparare a tensiunilor extreme din punctele (1) şi
(2) cu ale tensiunilor admisibile), se obţine:
σ1max
1 ⋅ 8002
M max p ⋅ l 2
=
=
=
= 24,33 MPa < σ at ,
8Wz1 8 ⋅ 3,288 ⋅ 103
Wz1
M max p ⋅ l 2
1 ⋅ 800 2
=42,02 MPa < σ ac .
σ 2 max =
=
=
Wz 2 8Wz 2 8 ⋅ 1,904 ⋅ 10 3
Deci bara rezistă.
9.5. Tensiuni tangenţiale în secţiunile (grinzilor)
solicitate la încovoiere simplă
In secţiunea transversală a unei bare (grindă), solicitată la încovoiere simplă
acţionează eforturile: moment încovoietor şi forţă tăietoare. Bara simplu rezemată,
încărcată cu forţa transversală P, (fig. 9.9,a), este solicitată la încovoiere simplă. Din
această bară se izolează un element de lungime dx (fig.9.9,b). În
secţiunile
transversale iau naştere eforturile T, M şi respectiv T şi M+dM.
Se admite că secţiunea barei este simetrică faţă de axa Oy (fig. 9.9c) şi
constantă pe toată lungimea L. Bara este confecţionată dintr-un material omogen şi
izotrop care satisface legea lui Hooke. Forţa tăietoare este dirijată în lungul axei Oy.
Momentele încovoietoare M şi M + dM vor produce în cele două secţiuni
tensiunile normale σ, respectiv σ + dσ, distribuţia acestora pe secţiune este dată de
relaţia lui Navier:
σ=
M + dM i
Mi
⋅ y, respectiv σ + dσ = i
⋅y,
Iz
Iz
şi este prezentată în figura (9.9,d).
(9.16)
Fig. 9.9
Forţa tăietoare T produce tensiuni tangenţiale. Repartizarea acestora în
secţiune nu se cunoaşte încă. Tensiunea tangenţială, în dreptul punctelor de pe
contur trebuie să fie tangentă la contur. Dacă într-un punct de pe contur tensiunea
tangenţială τ ar avea o direcţie oarecare (fig. 9.9c), atunci acesta s-ar descompune în
două componente: una τxt tangentă la contur şi alta τxr normală la contur.
Componentei τxr ar trebui să-i corespundă, conform principiului dualităţii tensiunilor
tangenţiale, o tensiune τrx situată pe suprafaţa exterioară a barei şi orientată în lungul
barei. Întrucât bara este solicitată la încovoiere simplă şi nu se aplică barei astfel de
forţe de frecare, longitudinale, rezultă că cele două componente τrx şi τxr (de pe
suprafaţa exterioară şi din secţiunea transversală) sunt nule. Rezultă că tensiunea
tangenţială τ este egală cu componenta τxt (τ = τnt), ceea ce înseamnă că în punctele
din vecinătatea conturului există numai tensiuni tangenţiale tangente la contur.
Considerăm o linie BC paralelă cu axa de încovoiere Oz (situată la ordonata y
de aceasta). Notăm cu A1 aria secţiunii transversale de sub linia BC. Lungimea
segmentului BC se notează cu b. În punctele B şi C tensiunile tangenţiale τ sunt
tangente la contur şi pot fi descompuse într-o componentă τxy perpendiculară pe axa
de încovoiere Oz şi o componentă τxz paralelă cu axa de încovoiere. Conform ipotezei
lui D.I. Juravski se admite că valorile componentei τxy sunt egale în dreptul
tuturor punctelor de pe linia BC.
Se consideră un plan paralel cu axa barei, care conţine segmentul BC = b.
Acest plan (BCC’B’) intersectează elementul dx după o suprafaţă dreptunghiulară cu
dimensiunile b şi dx. Pe partea de sub planul considerat ( sub ordonata y ) acţionează
atât tensiunile tangenţiale τxy cauzate de acţiunea forţei tăietoare T, cât şi tensiunile
normale σ şi σ+dσ cauzate de acţiunea momentului încovoietor M în stânga şi
M+dM în dreapta.
Ecuaţia de proiecţii a eforturilor de pe elementul de sub planul BCC’B’ pe axa
Ox, este:
∫ (σ + dσ ) ⋅ dA − ∫ σ ⋅ dA − τ xy ⋅ b ⋅ dx = 0
A1
A1
şi ţinând seama de relaţiile (9.16), ecuaţia devine:
M i + dM i
M
⋅ y ⋅ dA − ∫ i ⋅ y ⋅ dA + τ xy ⋅ b ⋅ dx = 0 ,
Iz
A1
A1 I z
∫
valoarea tensiunii tangenţiale este:
τ xy =
dM i
1
⋅
⋅ ∫ y ⋅ dA .
b ⋅ I z dx A1
Ţinând seama că
dM
= T este forţa tăietoare din secţiune şi
dx
∫ y ⋅ dA = S
z
este
A1
momentul static al suprafeţei A1, ( de sub linia BC) faţă de axa Oz, se obţine:
τ = τ xy = τ yx =
T ⋅ Sz
,
b ⋅ Iz
relaţie cunoscută sub numele de formula lui Juravski.
(9.17)
Din formula lui Juravski rezultă că, valoarea tensiunii tangenţiale dintr-o
anumită secţiune transversală depinde de valoarea raportului Sz/b, ceea ce înseamnă
că τxy este o funcţie de ordonata y. Pe marginea inferioară şi superioară a secţiunii
aceste tensiuni sunt nule pentru că A1 = 0.
9.6. Variaţia tensiunilor tangenţiale la diferite secţiuni
a) Secţiunea dreptunghiulară.
În acest caz lăţimea b este constantă pe înălţimea secţiunii. Mărimile din
formula lui Juravski au valorile:
b ⋅ h3
Iz =
;
12
e=
h
A 1 = ( − y ) ⋅ b;
2
1 h
⋅ ( + y );
2 2
2
4y
b h2
b ⋅ h2
2
Sz = A1 ⋅ e = ⋅ ( − y ) =
⋅ (1 − 2 ) .
2 4
8
h
(9.18)
Înlocuind aceste mărimi în relaţia (9.17), se obţine:
τ=
T⋅ S
=
b ⋅ Iz
T⋅
b ⋅ h2
y2
⋅ (1 − 4 2 )
2
2
8
h = 3 ⋅ T ⋅ (1 − 4 y ) = 3 ⋅ T ⋅ (1 − 4 y )
b ⋅ h3
h2
2 b⋅h
h2 2 A
b⋅
12
(9.19)
unde s-a notat cu A = b ⋅h aria secţiunii
transversale.
Relaţia
tangenţiale
(9.19)
variază
arată
parabolic
că
pe
tensiunile
înălţimea
secţiunii. Tensiunea tangenţială maximă rezultă în
Fig. 9.10
τ max =
3T
.
2A
dreptul axei neutre, pentru y = 0 şi are valoarea:
(9.20)
Deci, valoarea maximă a tensiunii tangenţiale, în cazul forfecării barelor de
secţiune dreptunghiulară, este cu 50% mai mare decât valoarea obţinută prin calcul
convenţional la forfecare. (vezi § 7).
b) Secţiune circulară.
Se consideră o secţiune circulară de diametru d (fig 9.11). Pentru calculul
momentului static, se consideră un element de arie dA , de lăţime b şi înălţimea dy,
aflat la ordonata y.
Lăţimea BC a secţiunii A1 este:
d
b = 2 ⋅ sin α = d ⋅ sin α ,
2
iar ordonata
y=
d
⋅ cosα ,
2
astfel că
d
dy = − ⋅ sinα ⋅ dα .
2
Aria elementară rezultă:
d2
dA = b ⋅ dy = − ⋅ sin 2 α ⋅ dα .
2
Momentul static al secţunii A1, de sub
ordonata y va fi :
Fig. 9.11
Sz =
∫ y ⋅ dA =
A1
α
d
d2
d3
2
⋅
cos
α
⋅
(
−
⋅
sin
α
)
⋅
d
α
=
⋅ si
∫2
2
12
−α
Ţinând seama că:
π ⋅ d2
π ⋅ d4
4 ⋅ y2
2
2
A=
; Iz =
; sin α = 1 − cos α = 1 − 2 ,
4
64
d
rezultă valoarea tensiunii tangenţiale:
d3
T ⋅ ⋅ sin3 α
16 sin2 α 4 T
4y 2
3
τ=
=
= ⋅ ⋅ (1 − 2 ) .
3d 2
3 A
d4
d
d ⋅ sin α ⋅
64
(9.21)
Valoarea tensiunii tangenţiale maxime se obţine ca şi pentru secţiunea
dreptunghiulară pentru y = 0 şi are valoarea:
τ=
4 T
⋅ .
3 A
(9.22)
Relaţia (9.21) ne arată că tensiunile tangenţiale variază tot parabolic ca în cazul
secţiunii dreptunghiulare.
9.7. Distribuţia tensiunilor tangenţiale τxz
Aşa cum s-a văzut la punctul 9.5 tensiunea τ poate avea două componente: τxy
şi τxz. Variaţia tensiunilor tangenţiale τxy s-a analizat, iar pentru câteva secţiuni uzuale
s-a stabilit şi distribuţia acestora în cadrul § 9.6.
Pentru studiul componentei τxz se i-a elemntul de bară de lungime dx, cu
secţiunea din figura (9.12,a), ce este izolat într-o bară solicitată la încovoiere simplă.
Prin secţiunea longitudinală 1-1 figura (9.12,a), se separă elemetul 11’2’2 de lungime
dx, figura (9.12,b), din talpa inferioară, solicitată la încovoiere simplă: T şi M fiind
pozitive.
Pe faţa 1-2, de dimensiuni t şi z, rezultanta tensiunilor normale σ =
fi:
X = ∫ σ ⋅ dA =
M
M
⋅ ∫ y ⋅ dA =
⋅ S ′z ,
Iz
Iz
M
⋅ y va
Iz
( 9.23 )
unde S’z, reprezintă momentul static al ariei haşurate, ( fig. 9.12a) faţă de axa de
încovoiere şi are expresia :
Fig. 9.12
S ′z = t ⋅ z ⋅
hm t ⋅ hm
=
⋅ z.
2
2
(9.24)
Pe faţa 1’2’, conform celor precizate la demonstrarea relaţiei lui Juravski, se
obţine :
X + dX =
M + dM
M
dM
⋅ y ⋅ dA =
⋅ S ′z +
⋅ S ′z .
I
I
I
A1
z
z
z
∫
( 9.25)
Pe faţa 1221 acţionează tensiunile tangenţiale τxz considerate constante la
aceeaşi coordonată z, pe grosimea t. Conform dualităţii tensiunilor tangenţiale pe faţa
111’1’ vor acţiona tensiunile tangenţiale τzx, constante pe întreaga suprafaţă t⋅dx
(fig.9.12,b). Din ecuaţia de echilibru a acestui element faţă de axa Ox rezultă:
X + τzx ⋅ t ⋅ dx - (X + dx) = 0,
şi ţinând seama de relaţiile (9.23) şi (9.25) se obţine relaţia lui Juravski pentru
tensiunile τxz:
τ xz = τ zx =
T ⋅ S ′z
t ⋅ Iz
(9.26)
Dacă în relaţia (9.26) se introduce expresia momentului static al unei porţiuni
din talpă de lăţime z, dată de relaţia (9.24), rezultă expresia:
τ xz = τ zx =
T ⋅ hm
⋅ z,
2I z
(9.27)
valabil pentru z ∈ [0,b] , care arată că tensiunile τxz variază liniar. Sensul acestor
tensiuni este cel indicat în figura (9.12,a), unde semnul (+) s-a adoptat pentru τxz
orientat în sensul axei 0z. Pentru stabilirea semnelor trebuie reţinută regula că sensul
lui τxz şi τxy este cel al curgerii unui fluid printr-o conductă. Cum sensul lui τxz pe
inimă coincide cu sensul lui Tz, sensurile tensiunilor τxz converg către inimă pe una
din talpi (cea inferioară) şi diverg pe cealaltă (cea superioară).
Valoarea cea mai mare,
τ
max
xz
Tz ⋅ h1 ⋅ b
=
2I z
(9.28)
se obţine la marginea inimii (pe linia 33 în figura 9.12,a).
Remarcă. Pe grosimea inimii nu pot să apară tensiuni τxz, deoarece pe
elementul dx având una din feţe formată dintr-o secţiune longitudinală pe toată
înălţimea profilului, rezultanta eforturilor normale Y este nulă şi deci nu există
tensiuni de lunecare τzx.
9.8. Distribuţia tensiunilor τ la un profil cu o singura axa de simetrie.
Centrul de încovoiere-torsiune
Pentru exemplificare se prezintă profilul din figura (9.13,a). În mod similar ca
la profilul I, distribuţia tensiunilor τxy se considera numai pe inima şi are aliura din
figura (9.13,b). Valorile determinate cu relaţia (9.17) sunt:
T ⋅ S Bz T ⋅ S Bz
=
,
bt ⋅ Iz B ⋅ Iz
(9.29)
T ⋅ S Bz T ⋅ S Bz
=
=
,
bi ⋅ Iz
g ⋅ Iz
(9.30)
Ct
τ Bt
xy = τ xy =
τ
Bi
xy
=τ
Ci
xy
G
τ max
xy = τ xy =
T ⋅ S Gz T ⋅ S Gz
=
.
bt ⋅ Iz
g ⋅ Iz
(9.31)
Tensiunile τxz apar numai pe tălpi, până la contactul acestora cu inima
profilului şi au variaţii liniare.Valoarea maximă a acestora determinată cu relaţia
(9.26) şi va fi:
τ
max
xz
T ⋅ S 'z
=
.
t ⋅ Iz
(9.32)
Sensurile tensiunilor τxy şi τxz sunt arătate în figura (9.13,a). Rezultanta forţelor
elementare date de tensiunile tangenţiale τxyse aplică pe linia mediană a inimii
profilului, iar rezultantele forţelor elementare date de tensiunile tangenţiale τxzse
reduc la două forţe H, egale şi de sens contrar, ce formează un cuplu, aplicate pe
liniile mediane ale tălpilor (fig.9.13,c).
Cele trei forţe se află în acelaşi plan şi au o rezultantă RT, al cărui punct de
aplicaţie I, se află pe axa de simetrie Oz. Distanţa dintre I şi rezultanta tensiunilor
tangenţiale τxy, pe linia mediană a inimii, care determină poziţia centrului de
încovoiere sau a centrului de încovoiere-răsucire I. Se notează cu “a” distanţa de
la centrul de încovoiere-răsucire I şi marginea profilului (figura 9.13) şi se determină
din ecuaţia de momente faţă de I. Scriind momentele forţelor RT şi H faţă de centrul
de încovoiere-răsucire I, care trebuie sa fie nule :
Fig. 9.13
g

T ⋅ a +  = H ⋅ hm ,
2

(9.33)
obţinem distanţa pînă la centrul de încovoiere I:
a=
H
g
⋅ hm − .
T
2
(9.34)
Folosind relaţia (9.26) şi introducând valoarea rezultantei H:
H=
τ max
xz
⋅ b ⋅ t,
2
se obţine poziţia centrului de încovoiere-răsucire :
(9.35)
τ max
⋅ t⋅b g
− .
a = xz
2⋅ T
2
(9.36)
Punctul I din planul secţiunii transversale în care se aplică rezultanta forţelor
elementare tangenţiale T din secţiune este denumit centrul de încovoiere-răsucire
sau centrul de încovoiere.
Se observă că atunci când forţele exterioare F trec prin centrul de greutate al
secţiunii, Rt nu are acelaşi suport cu T şi deci secţiunea este solicitată suplimentar şi
la răsucire, de momentul dat de RT faţă de centrul de greutate G.
Pentru ca secţiunea să fie solicitată numai la încovoiere, trebuie ca forţele
exterioare F să se găsească intr-un plan longitudinal care să conţină şi punctul I
(centrul de încovoiere-răsucire). În acest caz RT şi T sunt echilibrate deoarece au
acelasi suport şi sunt egale. Denumirea de centru de încovoiere-răsucire urmăreşte să
sugereze fie numai prezenţa încovoierii, fie absenţa răsucirii.
Un profil cornier cu aripi egale (fig.9.14,a) pentru a fi solicitat numai la
încovoiere, după axa Oz, trebuie ca forţele să fie paralele cu Oy şi să treacă prin
centrul de încovoiere-răsucire I care se afla la intersecţia liniilor mediane ale tălpilor
(tensiunile tangenţiale τ sunt paralele cu conturul şi se reduc la două forţe care sunt
Fig.9.14
concurente în I).
La profilul din figura (9.14,b), având axa de simetrie Oz, pentru a nu fi supus şi
la torsiune datorită eforturilor τ produse de T, trebuie ca planul forţelor sa conţină
centrul de incovoiere-răsucire I. Deoarece tensiunile τxz ce se dezvoltă pe inima
profilului se pot neglija, forţele tăietoare preluate de elementele 1 şi 2 satisfac relaţia:
T1 + T2 = T.
Pentru a determina valorile acestora se foloseşte condiţia:
1 1
= ,
r1 r2
care ţine seama de relaţia (9.5) şi care conduce la:
T1 I z1
=
.
T2 I z 2
Din cele două relaţii se stabilesc valorile T1 şi T2 precum şi punctul de aplicaţie
al rezultantei lor care este centrul de încovoiere-răsucire I a carei poziţie este dată de
relaţia:
a=
I z2
⋅ hm ⋅
Iz
(9.37)
Aplicaţia 9.4 Să se traseze diagramele de variaţie a tensiunilor tangenţiale
pentru secţiunea din figura 9.15.
Mărimile geometrice ale secţiunii necesare sunt :
11 ⋅ 16 3 − 10 ⋅ 12 3
Iz =
= 2315 cm 3 ,
12
S Az = S Dz = 0 ,
S Bz = S Cz = 11 ⋅ 2 ⋅ 7 = 154 cm 3 ,
S Gz = S Bz + 6 ⋅ 1 ⋅ 3 = 172 cm3 .
Momentele statice ale tălpilor libere vor fi (cu indice s pentru talpa din stânga:
cu indice d pentru talpa din dreapta):
Fig. 9.15
S'zs = 4 ⋅ 2 ⋅ 7 = 56 cm3 ,
S 'zd = 6 ⋅ 2 ⋅ 7 = 64 cm3 .
Pentru solicitarea de răsucire, deoarece forţa T nu trece prin centrul de
încovoiere-răsucire I, folosind relaţiile pentru caracteristicile geometrice de la profile
cu pereţi subţiri deschise se obţine:
(
)
1
1
I dt = ⋅ ∑ b ⋅ t 3 = ⋅ 2 ⋅ 11 ⋅ 2 3 + 12 ⋅ 13 = 62,67 cm4 ,
3
3
W =
d
t
I dt
t max
=
62,67
31,33 cm3 ,
2
I dt 62,67
W = =
= 62,67 cm3 .
1
ti
di
t
Utilizând relaţia (9.17) se determină tensiunile tangenţiale τxy :
τ Axy = τ Dxy = 0 ,
τ
Bt
xy
=τ
Ct
xy
T ⋅ S Bz 125 ⋅ 103 ⋅ 154 ⋅ 103
= 7,559 MPa ,
=
=
bt ⋅ Iz
110 ⋅ 2315 ⋅ 104
Ci
τ Bi
xy = τ xy =
τ
G
xy
T ⋅ S Bz 125 ⋅ 103 ⋅ 154 ⋅ 103
=
= 8315
, MPa ,
10 ⋅ 2315 ⋅ 104
bi ⋅ I z
T ⋅ S Gz 125 ⋅ 103 ⋅ 172 ⋅ 10 3
=
=
= 92,87 MPa.
bi ⋅ I z
10 ⋅ 2315 ⋅ 104
Reprezentarea acestor tensiuni este dată în fig. 9.15,b.
Tensiunile tangenţiale τxz se determină cu relaţia (9.26) şi vor fi :
s
τ max
=
xz
d
τ max
xz
T ⋅ S 'zs 125 ⋅ 103 ⋅ 56 ⋅ 103
=
= 15,12 MPa ,
t ⋅ Iz
20 ⋅ 2315 ⋅ 104
T ⋅ S 'z ,d 125 ⋅ 103 ⋅ 84 ⋅ 103
=
=
= 22,68 MPa.
t ⋅ Iz
20 ⋅ 2315 ⋅ 104
Variaţia acestei tensiuni precum şi semnele lor convenţionale sunt prezentate în
figura (9.15,a).
Aceste tensiuni tangenţiale se reduc în tălpile libere la forţele Hs şi Hd care au
valorile:
Hs =
1 max s
1
⋅ τ xz ⋅ A t ,s = ⋅ 15,12 ⋅ 20 ⋅ 40 ⋅ 103 = 6,048 kN ,
2
2
Hd =
1 max d
1
⋅ τ xz ⋅ A t ,s = ⋅ 22,68 ⋅ 20 ⋅ 60 ⋅ 103 = 13,61 kN.
2
2
Din ecuaţia de momente faţă de centrul de încovoiere-răsucire I rezultă poziţia
acesteia:
g

T ⋅  a +  = (H d − H s ) ⋅ h m ,

2
a=
Hd − Hs
g 13,61 − 6,048
⋅ hm − =
⋅ 140 − 5 = 3,47 mm.
2
125
T
Momentul de torsiune ce solicită secţiunea, din cauza forţei tăietoare T care nu
acţionează în centrul de încovoiere-răsucire I, va fi:
b

M t = T ⋅  a +  = ( H d − H s ) ⋅ h m = 125 ⋅ (3,47 + 5) ⋅ 103 = 1,059 kNm,

2
iar tensiunile tangenţiale produse de acest moment sunt:
τ
max
t
τ it =
Mi
1,09 ⋅ 103
= d =
= 33,78 MPa ,
Wt
31,33 ⋅ 103
Mt
1,09 ⋅ 103
=
= 16,89 MPa .
Wtd 62,67 ⋅ 103
Diagramele acestor tensiuni sunt redate în figura (9.15,c).
9.9. Lunecarea longitudinală şi împiedicarea ei
Se consideră două bare identice suprapuse care au secţiunea transversală
dreptunghiulară (fig 9.16,a). Ansamblul format din cele două bare simplu rezemate la
Fig. 9.16
capete se încarcă cu o forţă transversală P. După cum barele sunt imbinate sau nu
(prin pene, nituri, şuruburi, etc) pot să apară doua stări distincte de tensiune:
a) Barele nu sunt imbinate, astfel că ele se deformează independent una faţă
de cealaltă. Dacă forţa de frecare, dintre cele două bare, este mică şi se poate neglija,
atunci cele două suprafeţe în contact alunecă una faţă de cealaltă. Fenomenul se
numeşte lunecare longitudinală şi este cauzat de alungirea, prin încovoiere, a
fibrelor de jos ale barei superioare 1 şi scurtarea fibrelor de sus ale barei inferioare 2.
Considerând că cele două bare se deformează identic, momentul încovoietor capabil
al sistemelor de bare neîmbinate este:
M cap
b ⋅ h2
= 2 ⋅ σ a ⋅ Wz =
.
3
b) Barele sunt îmbinate, astfel că ele lucrează ca o singură bară compusă
solicitată la încovoiere. În acest caz îmbinările împiedică lunecarea longitudinală (fig
.9.16,c). Bara compusă rigidizată este mai rezistentă decât ansamblul celor două bare
nerigidizate şi în acest caz momentul încovoietor capabil este:
b ⋅ (2h )
2b ⋅ h 2
.
= σ a ⋅ Wz = σ a ⋅
= σa
6
3
2
M cap
Rezultă că, prin utilizarea barelor suprapuse, ce au lunecarea longitudinală
impiedicată, se obţin bare mai rezistente. În tehnică se utilizează frecvent bare
compuse (cu inima plină, realizate prin sudură,
nituire,
etc.).
În
funcţie
de
mărimea
momentului încovoietor, pentru construcţiile
metalice se adoptă, de obicei, următoarele
soluţii:
- se utilizează profile laminate pentru
momente încovoietoare relativ mici
Fig. 9.17
(I sau [ ] ) :
- se utilizează bare compuse din platbenzi şi profile laminate pentru valori
intermediare ale momentului încovoietor (fig.9.17,a):
- se utilizează grinzi cu zăbrele pentru momente încovoietoare foarte mari
(fig.9.17,b).
Calculul barelor cu secţiuni transversale compuse presupune rezolvarea a două
probleme de rezistenţă:
a) Dimensionarea secţiunii barei numai la încovoiere pură, astfel ca bara
compusă să reziste la momentul încovoietor maxim (de obicei se adoptă forma şi
dimensiunile secţiunii transversale şi apoi se verifică).
b) Dimensionarea îmbinării dintre elementele compuse, astfel încât să se
asigure rezistenţa îmbinărilor la lunecare longitudinală. Pentru a face calculul de
rezistenţă al elementelor de îmbinare se consideră bara compusă din două elemente
identice (fig.9.16). Lunecarea relativă a celor două elemente suprapuse, în planul AB,
este datorată tensiunilor tangenţiale, ce apar în acest plan. Forţa produsă de tensiunile
tangenţiale τyx, pe o distanţă elementară dx, numită forţa de lunecare elementară
este:
dN L = τ yx ⋅ b ⋅ dx ,
unde:
τyx rezultă din relaţia lui Juravski (9.17), iar b este lăţimea barei în planul de
lunecare. Înlocuind valoarea lui τyx se obţine:
dN L =
T ⋅ Sz
T ⋅ Sz
⋅ b ⋅ dx =
⋅ dx.
b ⋅ Iz
Iz
Pe o lungime L de bară, forţa de lunecare este:
T⋅Sz
⋅ dx.
Iz
L
N L = ∫ dN L = ∫
L
(9.38)
Dacă bara are secţiunea constantă:
NL =
Sz
S
⋅ ∫ T ⋅ dx = z ⋅ Ω T ,
Iz L
Iz
unde:
Ω = ∫ T ⋅ dx , este suprafaţa diagramei forţei tăietoare de pe lungimea L.
L
Pentru orice secţiune compusă din mai multe elemente se pune totdeauna
problema lunecării longitudinale şi a împiedicării ei. La barele din lemn împiedicarea
lunecării longitudinale se poate realiza prin pene transversale (fig.9.16,c) sau prin
încleiere. La barele metalice se pot realiza secţiuni compuse împiedicând lunecarea
Fig. 9.18
longitudinală prin nituire, sudură sau prin şuruburi (fig. 9.18).
Calculul de rezistenţă al îmbinărilor, se face din condiţia ca rezistenţa
elementelor de îmbinare să fie mai mare sau cel mult egală cu forţa de lunecare
longitudinală R [ ≥ N L , astfel:
a) Pentru îmbinări cu pene transversale (fig.9.16,c):
τ a ⋅ b ⋅ c ≥ N Le ,
(9.39)
unde s-a notat cu:
- τa tensiunea admisibilă pentru materialul penelor:
- c lăţimea penelor utilizate la îmbinarea barelor:
- b lăţimea barei în secţiunea de lunecare:
- NLe forţa de lunecare longitudinală corespunzatoare distanţei e dintre două
pene.
Din relaţia de sus se calculează pasul e, la care se vor monta penele (dacă au
fost alese în prealabil dimensiunile acestora, sau lăţimea penelor dacă s-a ales pasul e,
în prealabil, cu ajutorul relaţiei:
τa ⋅ b ⋅ e ≥
Sz
⋅ ∫ T ⋅ dx .
Iz e
(9.40)
b) Pentru cazul îmbinărilor cu şuruburi sau nituri (fig.9.17,a) relaţia (9.37)
devine:
n ⋅ τa ⋅ i ⋅
π ⋅ d2 Sz
≥
⋅ ∫ T ⋅ dx ,
4
Iz L
(9.41)
relaţie din care se obţine diametrul d (diametrul interior al şuruburilor sau diametrul
niturilor dacă s-a ales pasul) sau se obţine pasul la care se vor monta şuruburile,
respectiv niturile dacă se alege în prealabil diametrul (n, este numărul de nituri din
secţiunea considerată, iar i este numărul de planuri de forfecare pentru nituri sau
şuruburi).
c) Pentru îmbinari sudate, relaţia de calcul este:
τa ⋅ i ⋅ a ⋅ L ≥
Sz
⋅ ∫ T ⋅ dx ,
Iz L
(9.42)
unde:
- a este grosimea sudurii:
- τas este tensiunea admisibilă pentru cordonul de sudură:
- i numarul de cordoane de sudură din secţiunea considerată.
Grosimea cordonului de sudură va fi:
a≥
Sz
∫ T ⋅ dx .
2τ as ⋅ I z ⋅ L L
(9.43)
Pentru cazul în care grosimea cordonului de sudură rezultă mult mai mic decât
grosimea sudurii standardizate (care este în funcţie de grosimea minimă a
platbandelor de sudat) se adoptă sudura pe porţiuni (fig.9.18.c) şi relaţia (9.37)
devine:
2τ as ⋅ a ⋅ L s ≥
Sz
⋅ ∫ T ⋅ dx .
Iz e
În această relaţie se înlocuieşte a cu grosimea sudurii standardizate şi se obţine
lungimea sudurii necesare Lsnec. Pasul e la care se execută: la lungimea sudurii
calculată Lsnec , se adaugă de două ori grosimea sudurii, deoarece începutul şi sfârşitul
sudurii nu au aceleaşi caracteristici mecanice ca cele teoretice luate în calcul.
L s = L s,nec + 2a .
(9.45)
Aplicaţia 9.15. Să se determine sarcina maximă care poate să o suporte bara
din fig.9.19, ţinând seama numai de solicitarea de încovoiere dacă σa= 150 MPa şi să
se dimensioneze sudura dacă τas=100 MPa.
Momentul de inerţie axial este:
Iz =
40 ⋅ 84 3 37,5 ⋅ 803
−
= 375680 cm4 iar modulul de rezistenţă axial:
12
12
Wz =
Iz
375680
=
= 8945 cm3 ,
y max
42
Momentul static al unei tălpi care poate luneca va fi:
S z = 40 ⋅ 2 ⋅ 41 = 3280 cm 3 .
Sarcina capabilă este:
qcap
.
8Wz ⋅ σ a 8 ⋅ 8945 ⋅ 103 ⋅ 150
N
=
=
= 1717
2
2
L
mm
2500
Se adoptă: q=1700 kN/m.
Pentru calculul îmbinării sudate se
aplică relaţia (9.37) şi se obţine:
Fig. 9.19
a≥
L
2
Sz
Sz
L
⋅ ∫ TL ⋅ dx = 2 ⋅
⋅∫q ⋅ −
2I z ⋅ π ⋅ τ as ⋅ L L
2I z ⋅ τ as 0  2
3280 ⋅ 103 ⋅ 1700 ⋅ 2500
= 6,32 mm;
=
275680 ⋅ 104 ⋅ 100 ⋅ 8
Deoarece grosimea cusăturii a, reieşită din calcul este mult mai mică decât cea
corespunzatoare din STAS (a=10 mm) se adoptă a =10 mm şi pasul e = 1250 mm şi
se face calculul pentru sudura pe porţiuni (relaţia 9.30):
2τ as ⋅ a ⋅ L s ≥
Sz
⋅ T ⋅ dx ,
I z ∫e
2 τ as ⋅ a ⋅ L s ≥
Sz 1
L L
⋅ ⋅q ⋅ ⋅ ,
Iz 2
2 2
iar lungimea sudurii va fi:
L snec
Sz
3280 ⋅ 103 ⋅ 1700 ⋅ 25002
L2
≥
⋅q⋅
=
= 579,8mm.
2 ⋅ τ as ⋅ I z
8 16 ⋅ 100 ⋅ 10 ⋅ 375680 ⋅ 1049
Se adoptă sudura pe porţiuni cu pasul e = 1250 mm şi lungimea cusăturii
Ls= Lsnec + 2a = 600 mm (fig.9.19).
Aplicaţia 9.6 Să se traseze diagramele de variaţie a tensiunilor în secţiunea
periculoasă pentru bara din figura 9.20 şi să se dimensioneze sudura ştiind că
τas= 80 MPa.
Marimile geometrice ale secţiunii sunt:
Iz =
6 ⋅ 9,63 5,4 ⋅ 83
−
= 212cm 4 ,
12
12
Fig. 9.20
Wz =
Iz
212
=
= 44,17cm3 ,
y max 4,8
S z1 = 0 ,
S z 2 = S z 3 = 6 ⋅ 0,8 ⋅ 4,4 = 2112
, cm3 ,
S zG = S z 3 + 4 ⋅ 0,6 ⋅ 2 = 25,92 cm3 ,
S 'z = 2,7 ⋅ 0,8 ⋅ 4,4 = 9,504 cm 3 .
Tensiunile pentru secţiunea din încastrare sunt:
σ max =
σ2 =
M i ,max
Wz
M i ,max
Iz
24 ⋅ 103 ⋅ 250
=
= 135,8 MPa ,
44,17 ⋅ 103
⋅ y2 =
24 ⋅ 103 ⋅ 250
⋅ 40 = 113,2 MPa ,
212 ⋅ 104
τ xy1 = 0 ;
τ 2 xy
T ⋅ S z 2 24 ⋅ 103 ⋅ 2112
, ⋅ 103
=
=
= 3,985 MPa;
60 ⋅ 212 ⋅ 104
b2 ⋅ I z
τ 3xy
T ⋅ S z 3 24 ⋅ 103 ⋅ 2112
, ⋅ 103
=
=
= 39,85 MPa ,
b3 ⋅ I z
6 ⋅ 212 ⋅ 104
τ Gxy
T ⋅ S zG 24 ⋅ 103 ⋅ 25,92 ⋅ 103
=
=
= 48,91 MPa ,
b ⋅ Iz
6 ⋅ 212 ⋅ 104
τ xy max =
T ⋅ S ,z 24 ⋅ 103 ⋅ 9,504 ⋅ 103
=
= 13,45 MPa .
b ⋅ Iz
8 ⋅ 212 ⋅ 104
iar variaţia lor este redată în figura (9.20,b).
Dimensionarea sudurii se face cu relaţia (9.37) şi se obtine:
Sz
T ⋅ Sz
24 ⋅ 103 ⋅ 103 ⋅ 2112
,
a≥
⋅ ∫ T ⋅ dx =
=
= 1,494 mm .
4
2 ⋅ I z ⋅ τ as ⋅ L l
2 ⋅ I z ⋅ τ as
2 ⋅ 212 ⋅ 10 ⋅ 80
Deoarece grosimea sudurii este mult mai mică decât cea standardizată
( a = 6 mm ), se dimensionează sudura pe porţiuni alegând pasul e = L/2 = 125 mm, cu
relaţia (9.30):
2 ⋅ τ as ⋅ a ⋅ L s ≥
sau
S z2
⋅ T ⋅ dx
I z ∫e
L snec
Sz ⋅ ΩT
2,12 ⋅ 103 ⋅ 24 ⋅ 103 ⋅ 125
≥
= 3113
, mm
=
2 ⋅ τ as ⋅ a ⋅ I z
2 ⋅ 6 ⋅ 80 ⋅ 212 ⋅ 104
e
Se adoptă Ls =Lsnec+ 2a = 43 mm.
Deci, pentru bara dată se fac două cusături la capete de Ls = 43 mm.
9.10 Bare de egală rezistenţă solicitate la încovoiere simplă
În general barele se dimensionează la încovoiere pe baza momentului
încovoietor maxim, utilizându-se bare prismatice (de secţiune constantă pe toată
lungimea barei). Folosirea barelor prismatice (de secţiune constantă pe toată lungimea
barei), se recomandă pentru încărcări complicate, cu multe sarcini pentru care rezultă
o diagramă de momente cu mai multe valori extreme ce nu diferă mult între ele.
Dimensionarea raţională a barelor solicitate la încovoiere se face astfel ca
tensiunea maximă din orice secţiune a barei să fie egală cu rezisţenţa admisibilă.
Astfel de bare poartă denumirea de bare de egală rezistenţă la încovoiere. Mai jos
se analizează două exemple de asemenea bare.
9.10.1. Bare cu secţiunea circulară
Se consideră o bară simplu rezemată solicitată de o forţă concentrată
P
(fig.9.21,a). Momentul încovoietor variază liniar având valoarea maximă în dreptul
forţei concentrate (fig.9.21,b), iar într-o secţiune oarecare este dat de relaţia:
M=
P⋅b
⋅ x.
L
Din condiţia de egală rezistenţă la încovoiere:
σ max =
M
= σa ,
Wz
rezultă:
Wznec =
Mi
,
σa
sau ţinând seama de secţiunea circulară şi de
expresia momentului:
d=3
32 ⋅ P ⋅ b ⋅ x
,
π ⋅ σa ⋅ L
(9.46)
ceea ce ne dă legea de variaţie a diametrului
în lungul barei, care este o variaţie după o
curbă de gradul trei (fig.9.21.c) şi care are
diametrul maxim:
d max = 3
Fig. 9.21
32 ⋅ P ⋅ a ⋅ b
.
π ⋅ σa ⋅ L
(9.47)
În practică nu pot fi realizate astfel de
bare (arbori) în condiţii de eficienţă şi ca
atare se adoptă soluţia barei cu mai multe tronsoane, de diametre diferite (fig.9.21,d).
Pentru calculul diametrelor minime necesare la capetele barei (care din legea
de variaţie ar fi zero), se dimensionează la forfecare:
A nec =
4 T
⋅ ,
3 τa
de unde rezultă:
d1nec =
16 ⋅ P ⋅ b
,
3π ⋅ τ a ⋅ L
(9.48,a)
şi d 2nec =
16 ⋅ P ⋅ a
.
3π ⋅ τ a ⋅ L
(9.48,b)
Pentru alte moduri de încărcare, legea de variaţie a diametrului barei este dată
de relaţia:
π ⋅ d3 M i
=
,
σa
32
sau:
d= 3
32 ⋅ M i
.
π ⋅ σa
(9.49)
9.10.2. Bare de secţiune dreptunghiulară
Barele de secţiune dreptunghiulară de egală rezistenţă la încovoiere se execută
menţinând constantă una din dimensiunile secţiunii:
Se consideră o bară în consolă încărcată cu o sarcină P (fig.9.22,a). Momentul
încovoietor într-o secţiune oarecare la abscisa x este:
rezistenţă
al
M = - P ⋅ x. Modulul de
secţiunii
dreptunghiulare
este:
b ⋅ h2
Wz =
.
6
Punând condiţia de egală rezistenţă pentru
orice secţiune x:
σ max =
se obţine:
Fig. 9.22
Mi
= σa ,
Wz
b ⋅ h2 Mi
=
.
6
σa
Dacă se menţine constantă lăţimea b, atunci înălţimea h, a secţiunii rezultă
din relaţia:
P⋅x
.
b ⋅ σa
h=
(9.50)
Deci, în acest caz bara trebuie sa aibă înălţimea după o variaţie parabolică
(fig.9.22.b).
Dacă se menţine constantă înălţimea h, rezultă:
b=
6⋅P⋅x
,
h2 ⋅ σ a
(9.51)
iar bara trebuie să aibă lăţimea variabilă liniar (formă triunghiulară, fig.9.22,c). În
practică, o astfel de bară se realizează din fâşii de lăţime b0 care se pun una peste alta,
rezultând bara cunoscută sub numele de arcul în foi.
Lăţimea bo se calculează din condiţia de rezistenţă la forfecare a capătului
barei:
A nec =
3 T
3 T
⋅
sau b 0 = ⋅
.
2 τa ⋅ h
2 τa
9.11. Încovoierea oblică
Solicitarea produsă de forţe care se află într-un plan longitudinal central, dar
nu principal de inerţie, se numeşte încovoiere oblică (fig.9.23).
Se consideră o secţiune transversală oarecare
dintr-o bară (grindă) solicitată la încovoiere oblică şi se
raportează la axele ei principale de inertie 0y şi 0z
(fig.9.24). Momentul încovoietor poate fi reprezentat
printr-un vector înclinat cu unghiul α faţă de una din
Fig. 9.23
axele principale de inerţie a secţiunii transversale.
În cazul încovoierii oblice este recomandabil să se traseze o singură diagramă
de momente încovoietoare, cea corespunzătoare forţelor aplicate. Momentul
încovoietor calculat formează acelaşi unghi α cu o axa principală ca şi planul forţelor
cu cealaltă axă principală centrală de inerţie.
Relaţia lui Navier nu poate fi aplicată direct deoarece momentul încovoietor
este dirijat după o direcţie oarecare şi nu se realizează cea de a doua ecuaţie de
echivalenţă (9.3). Ca urmare este necesară descompunerea momentului încovoietor în
componente orientate în lungul axelor principale centrale de inerţie.
M z = M ⋅ cos α şi M y = M ⋅ sin α .
Relaţia lui Navier este aplicabilă faţă de aceste componente şi în dreptul unui
punct oarecare M, de coordonate y şi z, de pe suprafaţa transversală a secţiunii,
fiecare componentă a momentului încovoietor produce câte o tensiune normală: σ1 şi
σ2. Pentru momentul încovoietor admis în primul cadran al secţiunii transversale
tensiunile sunt de semne contrare şi anume:
σ, =
M
Mz
⋅ y , σ ,, = − y ⋅ z .
Iz
Iy
În figura 9.24 se arată
modul de distribuţie al acestor
tensiuni şi se observă că în două
cadrane tensiunile σ’ şi σ’’ au
acelaşi semn, iar în celelalte două
au semne contrare. Tensiunea
totală din dreptul unui punct
oarecare
M
se
obţine
prin
însumarea algebrică a tensiunilor:
Fig. 9.24
σ = σ' + σ" =
My
Mz
⋅y−
⋅z
Iz
Iy
.
(9.52)
În funcţie de semnul coordonatelor punctului M, componentele tensiunilor σ’ şi
σ’’ vor rezulta pozitive sau negative. Punctul cel mai solicitat se află în cadranul în
care cele două componente au acelaşi semn. Prin anularea expresiei de sus se obţine
ecuaţia axei neutre:
My
Mz
⋅y−
⋅ z= 0.
Iy
Iz
(9.53)
Se observă că axa neutră este o dreaptă centrală înclinată faţă de axa 0z cu un
unghi β dat de relaţia:
tg β =
y M y Iz Iz
=
⋅ = ⋅ tg α .
z M z Iy Iy
(9.54)
Axa neutră este o dreaptă ce este înclinată cu unghiul β faţă de axa 0z şi de
obicei nu coincide cu suportul vectorului moment. În caz particular, când Iz=Iy, atunci
rezultă β = α şi deci axa neutră coincide cu suportul vectorului moment.
Aplicaţia 9.7 Să se determine sarcina capabilă să o suporte o bară simplu
rezemată, confecţionată dintr-un profil I 20 (fig.9.25) dacă rezistenţa admisibilă a
materialului este σa=150 MPa.
Rezolvare:
Profilul este solicitat la încovoiere oblică de un moment
încovoietor maxim
M max =
p ⋅ L2
, ce
8
se descompune în lungul axelor centrale
principale de inerţie ale secţiunii în:
p ⋅ L2
M z = M i ⋅ cos α =
⋅ cos 20o
8
M y = M i ⋅ sin α =
Fig. 9.25
p ⋅ L2
⋅ sin 20o .
8
şi
Profilul rezistă dacă este indeplinită condiţia:
σ max =
Mz My
+
≤ σa .
Wz Wy
Înlocuind valorile momentelor cu expresiile de mai sus se obţine:
p cap =
=
8 ⋅ σ a ⋅ Wz ⋅ Wy
L2 ⋅ (Wz ⋅ cos 20 o + Wz ⋅ sin 20 o )
=
8 ⋅ 15 ⋅ 214 ⋅ 26 ⋅ 10 6
= 10,94 kN / m,
2500 2 ⋅ (26 ⋅ cos 20 o + 214 ⋅ sin 20 o ) ⋅ 10 3
unde s-a înlocuit: Wz = 214 cm 3 şi Wy = 26 cm 3 din anexa nr. 9.
Se adoptă p cap = 11 kN / m .
Deoarece s-a ales o valoare mai mare decât cea calculată se face calculul de
verificare:
σ max ≤ 1,05 ⋅ σ a ,
σ max =
M z M y p ⋅ L2 ⋅ cos 20o p ⋅ L2 ⋅ sin 20o
+
=
+
=
Wz Wy
8 ⋅ Wz
8 ⋅ Wy
11 ⋅ 25002  cos 20o
sin 20o 
=
⋅
+
 = 150,9 < 1,05 ⋅ σ a .
8
 214 ⋅ 103 26 ⋅ 103 
deci valoarea adoptată este bună, bara rezistă.
9.12. Încovoierea strâmbă
Solicitarea de încovoiere produsă de forţe aplicate în plane longitudinale
diferite se numeşte încovoiere strâmbă. În acest caz se determină momentele
încovoietoare Mz şi My, după descompunerea forţelor aplicate, în componente situate
în cele două plane principale de inerţie ale barei (grinzii).
Pentru secţiunea (sau secţiunile periculoase) se face calculul de rezistenţă
asemănător cu cel de la încovoierea oblică.
Aplicaţia 9.8 Să se dimensioneze bara din figura 9.26 ştiind că σa = 150 MPa.
Rezolvare: Se descompun forţele după direcţiile axelor 0y şi 0z şi se trasează
diagramele de momente în cele două plane principale centrale de inerţie Mz şi My. Se
observă că momentul încovoietor maxim este în încastrare, respectiv:
M i max = M 2iz + M 2iy = 2,419 2 + 3,452 = 4,213 kNm .
Din condiţia de rezistenţă:
σ max =
Mz My 3⋅ Mz 3⋅ My
+
=
+
≤ σa
Wz Wy
a3
2a 3
pentru că:
Wz =
2a 3
3
şi Wy =
a3
3
iar:
a=3
3M z + 6M y
2
=3
(3 ⋅ 2,419 + 6 ⋅ 3,45) ⋅ 106
2 ⋅ 150
Se adoptă: a = 45 mm.
Fig .9.26
= 45,34 mm .
9.13.Tensiuni în bare curbe plane
În cadrul acestui paragraf se vor studia deformaţiile şi tensiunile în bare curbe
plane de mare curbură. În acest caz axa barei este conţinută într-un plan şi raza de
curbură este mică. Se vor avea în vedere numai barele curbe plane, de curbură
constantă (circulare) cu secţiunea simetrică faţă de planul forţelor. Sarcinile ce
acţionează asupra barei sunt conţinute în planul de simetrie al secţiunii transversale a
barei.
9.13.1 Tensiuni şi deformaţii
În bara curbă plană, acţionată
de sarcini conţinute în planul barei,
se produc eforturile N, T şi M (fig.
9.27,a).
Momentul
încovoietor
produce cele mai importante efecte
(tensiuni şi deformaţii), apoi forţa
normală. Tensiunile produse de
forţa tăietoare se pot calcula cu
formula lui Jurawski: τ xy =
şi
au
distribuţia
T ⋅ Sz
,
b ⋅ Iz
studiată
la
încovoierea simplă. În cele mai
multe cazuri tensiunile tangenţiale
maxime sunt mici în comparaţie cu
cele normale şi
Fig. 9.27
ca atare se
neglijează.
Forţa
axială
produce
în
secţiunea barei tensiuni ce se consideră uniform repartizate şi se determină cu
formula: σ =
N
, cunoscută de la solicitări axiale.
A
Momentul încovoietor produce în secţiunea barei tensiuni normale. În cazul
barelor de mică curbură, variaţia acestora nu diferă de cea dată de formula lui Navier
(de la barele drepte). Totuşi, când raza de curbură este mai mare de 5 ori faţă de
înălţimea secţiunii transversale, diferenţa dintre tensiunile calculate cu formula lui
Navier şi cele calculate cu formula dedusă mai jos este mică. De aceea, când R > 5 ⋅ h
se admite că tensiunile normale au distribuţia dată de formula lui Navier, σ =
Mi
⋅ y.
Iz
Dacă bara este de mare curbură (R < 5⋅h) este necesar să se stabilească o
nouă relaţie pentru tensiunile normale. În acest scop se consideră elementul de bară
din figura (9.27,b). Pe acesta se definesc elementele geometrice specifice.
Sub acţiunea momentului încovoietor se admite valabilă ipoteza lui Bernoulli
(a secţiunilor plane) şi deci secţiunea plană 1’2’ se roteşte cu unghiul ∆dϕ în nouă
poziţie, rămanând tot plană.
Din toate fibrele din planul axei barei numai fibra 00’ îsi păstrează lungimea iniţială,
ds = r ⋅ dϕ; fibrele inferioare se alungesc, iar cele superioare se scurtează. Această
fibră (00’) se numeste axa neutră. O fibră AA’, aflată la ordonata y în raport cu axa
neutră se va alungi cu:
A' A' ' = ∆ds = y ⋅ ∆dϕ .
Alungirea specifică a fibrei este:
ε=
y
A' A' '
∆ dϕ
=
⋅
(r − y ) dϕ
AA'
Tensiunea normală, în dreptul fibrei A’A’’, conform legii lui Hooke va fi:
σ=ε⋅E=
y
∆ dϕ
⋅
⋅ E.
(r − y ) dϕ
(9.55)
Întrucât mărimile dϕ , ∆dϕ şi E sunt constante (pentru secţiunea transversală
şi pentru material), din relaţia (9.55) rezultă că tensiunile normale variază hiperbolic
pe înălţimea secţiunii.
În condiţia când în secţiunea transversală acţionează numai momentul
înconvoietor (încovoiere pură), ecuaţiile de echivalenţă pentru secţiunea din 0 şi
respectiv 0’ sunt:
∫ σ ⋅ dA = 0
şi
A
∫ y ⋅ (σ ⋅ dA ) = M .
(9.55,a)
A
Înlocuind pe σ din relaţia (9.55) în prima ecuaţie se obţine:
E ⋅ ∆ϕ y ⋅ dA
⋅∫
= 0,
dϕ A r − y
respectiv:
y ⋅ dA
∫ (r − y ) = 0 ,
(9.56)
A
relaţie ce precizează poziţia axei neutre.
Înlocuind pe σ în a doua relaţie (9.55,a) rezultă:
E ⋅ ∆ ⋅ dϕ y 2 ⋅ dA E ⋅ ∆dϕ y 2 − r ⋅ y + r ⋅ y
⋅∫
=
⋅∫
⋅ dA =
M=
dϕ
dϕ
r−y
A (r − y )
A
=

y ⋅ dA
E ⋅ ∆ dϕ 
⋅  r ⋅ ∫
− ∫ y ⋅ dA .
dϕ
 A (r − y ) A

Prima integrală, din paranteză este nulă conform relaţiei (9.56) iar a doua este
momentul static al întregii secţiuni faţă de axa neutră (axă normală în 0 pe 0y). Deci:
∫ y ⋅ dA = e ⋅ A = S z ,
A
în care e = - y, este excentricitatea axei neutre 00’ faţă de axa barei GG’.
Drept urmare:
M=
E ⋅ ∆ dϕ
M
E ⋅ ∆ dϕ
=
⋅ A ⋅ e sau
.
dϕ
A⋅e
dϕ
Ţinând seama de aceasta în relaţia (9.55) se obţine ecuaţia tensiunilor normale
pentru barele de mare curbură solicitate la încovoiere pură:
σ=
y
M
⋅
,
A⋅e r − y
(9.57)
care este ecuaţia unei hiperbole.
Tensiunile maxime din fibrele extreme (1 -pe fibra interioară şi 2 -pe fibra
exterioară) rezultă prin particularizarea relaţiei (9.57): y = y1, r - y = r - y1= R1 şi
respectiv y = - y2 şi r - y = r + y2 = R2 astfel că:
σ1 =
M y1
⋅
,
A ⋅ e R1
σ2 = −
M y2
⋅
.
A ⋅ e R2
(9.58,a)
Dacă în secţiunea barei acţionează atât momentul încovoietor cât şi forţa
normală variaţia tensiunilor normale pe secţiune rezultă din suprapunerea efectelor
date de relaţiile (6.1) şi (9.57), adică:
σ=
y
N
M
+
⋅
,
A A⋅e r − y
(9.58)
iar tensiunile extreme, din fibra interioară şi exterioară, sunt date de relaţiile:
σ1 =
N
M y1
+
⋅
,
A A ⋅ e R1
N
M y2
σ2 = −
⋅
.
A A ⋅ e R2
(9.59)
9.13.2. Poziţia axei neutre
La barele curbe fibra neutră nu coincide cu axa barei, ci totdeauna este către
interiorul acesteia, la distanţa e de axa barei. Fibra neutră este definită prin raza r,
sau prin excentricitatea e. Între raza de curbură a barei R, raza fibrei neutre r şi
excentricitatea e, există relaţia:
r = R - e sau e = R - r.
(9.60)
Folosind schimbarea de variabilă v = r - y, respectiv y = r - v şi înlocuind în
relaţia (9.56) se obţine:
y ⋅ dA
r−v
dA
=∫
⋅ dA = r ⋅ ∫
− ∫ dA = 0 .
v
A r − y
A v
A
∫
Din aceasta rezultă ecuaţia axei neutre:
r=
A
.
dA
∫
A v
(9.61)
Pentru calculul razei r se ia un element de arie dA = b ⋅ dy paralel cu axa 0z.
Aria ce variază se exprimă funcţie de mărimea v. Astfel pentru secţiunile din figura
9.28 se obţin formulele:
Fig.9.28
- pentru secţiunea dreptunghiulară:
r=
h
,
R2
ln
R1
(9.62)
- pentru secţiunea circulară:
2R + 4R 2 − d 2
,
r=
4
(9.63)
- pentru secţiunea trapez isoscel:
r=
h
⋅
2
B−h
.
R2
(B ⋅ R 2 − b ⋅ R 1 ) ⋅ ln − (B − b ) ⋅ h
R1
(9.64)
- pentru secţiunea dublu T:
r=
n
b1 ⋅ h1 + b 2 ⋅ h 2 + b 3 ⋅ h 3
bi ⋅ hi
=∑
.
R3
R i +1
R2
R 4 i =1
b i ⋅ ln
+ b 2 ⋅ ln
+ b 3 ⋅ ln
b 1 ⋅ ln
Ri
R1
R2
R3
(9.65)
Se poate obţine o formulă aproximativă pentru determinarea poziţiei axei
neutre dacă se face o nouă schimbare de variabilă v = R - yc, integrala de la numitor
devine:
dA
dA
=∫
A v
A R − yG
∫


1  1
= ⋅∫
yG
R A
1 −

R


 ⋅ dA ,



în care yG este ordonata unui punct al secţiunii faţă de axa centrală ce trece prin
punctul G.
Dezvoltând în serie expresia de sub integrală vom obţine:
2
3
y
1
y 
y 
= 1 + G +  G  +  G  + ...
y
R  R 
 R 
1− G
R
Dacă se iau primii termeni ai seriei, integrala devine:
1
⋅∫
R A
y G y G2 
1
A I
1 

≅ ⋅ ∫ 1 +
+ 2  ⋅ dA = + zc3 .
y
R R
R A
R R 
1+ G
R
Termenul al doilea reprezintă momentul static al secţiunii faţă de axa centrală
şi este nul. Înlocuind în formula lui r, rezultă:
r≅
A
A I zc
+
R R3
=
A ⋅ R3
.
A ⋅ R 2 + I zc
Excentricitatea axei neutre se obţine:
R ⋅ I zc
A ⋅ R3
e=R−r=R−
.
=
A ⋅ R 2 + I zc A ⋅ R 2 + I zc
Întrucât valoarea momentului de inerţie axial faţă de axa centrală Izc, este
neglijabil faţă de valoarea A⋅R2, expresia excentricităţii va fi:
I
e ≅ zc .
(9.66)
A⋅R
Aplicaţia 9.9 Să se traseze diagramele de variaţie a tensiunilor pentru
secţiunea periculoasă a barei curbe din figura 9.29, dacă: h1=150 mm: h2=200 mm:
Fig. 9.29
h3=150 mm: b1=300mm: b2=100 mm: b3=200 mm.
Rezolvare: Din figură se obţin R1 = 100 mm: R2 = 250 mm: R3 = 450 mm:
R4=600 mm.
Ordonata centrului de greutate este:
∑ y i ⋅ A i = − 20 ⋅ 10 ⋅ 17,5 ⋅ −20 ⋅ 15 ⋅ 35 = −14,74 cm ,
30 ⋅ 15 + 20 ⋅ 10 + 20 ⋅ 15
∑ Ai
yG =
iar mărimile geometrice ale secţiunii sunt:
A = 30 ⋅ 15 + 20 ⋅ 10 + 20 ⋅ 15 = 950 cm2 ,
n
r=
∑b
i
⋅ hi
1
n
∑b
i
⋅ ln
i
R i +1
Ri
=
950
= 24,28 cm ,
25
45
60
30 ⋅ ln + 10 ⋅ ln + 20 ⋅ ln
10
25
45
R = R 1 + y G + 7,5 = 32,24 cm ,
y1 = r − R 1 = 24,28 − 10 = 14,28 cm ,
y 2 = R 4 − r = 60 − 24,28 = 35,72 cm .
Tensiunile în punctele extreme ale secţiunii periculoase sunt:
N
M y1 800 ⋅ 103 800 ⋅ 103 ⋅ 103 142,8
+
⋅
=
+
⋅
=
A A ⋅ e R 1 950 ⋅ 102 950 ⋅ 102 ⋅ 79,6 100
= 8,42 + 1511
, = 159,5 MPa ,
σ1 =
N
M y 2 800 ⋅ 103 800 ⋅ 103 ⋅ 103 357,2
⋅
=
−
+
⋅
=
A A ⋅ e R 2 950 ⋅ 102 950 ⋅ 102 ⋅ 79,6 600
= 8,42 − 52,98 = −54,56 MPa.
σ2 =
iar variaţia acestora este dată în figura 9.29, trasate prin suprapunere de efecte.
Aplicaţia 9.10 Să se determine forţa capabilă să o suporte bara curbă din
figura 9.30 pentru R=300 mm şi σa=150 MPa.
Rezolvare: Mărimile geometrice ale secţiunii
sunt:
A = 8 ⋅ 6 − 4 ⋅ 2 = 40 cm2 ,
8 ⋅ 63 4 ⋅ 2 3
Iz =
−
= 141,33 cm4 ,
12
12
e=
Fig. 9.30
Iz
141,33
=
= 0,12 cm ,
A ⋅ R 40 ⋅ 30
r = R − e = 30 − 0,12 = 29,88 cm ,
R 1 = R − 3 = 27 cm ,
R 2 = R + 3 = 33 cm ,
y1 = r − R 1 = 29,88 − 27 = 2,88 cm , y 2 = R 2 − r = 33 − 29,88 = 3,12 cm .
Din relaţia:
σa ≥
N M i y1 P 2 P ⋅ R y1
⋅
+
⋅
= +
,
A A ⋅ e R1 A A ⋅ e R1
se obţine sarcina capabilă :
Pcap =
σa
σ ⋅ A ⋅ e ⋅ R1
= a
=
2R ⋅ y 1
1
e ⋅ R 1 + 2R ⋅ y 1
+
A A ⋅ e ⋅ R1
Se aoptă: Pcap= 11 kN.
150 ⋅ 40 ⋅ 10 2 ⋅ 1,2 ⋅ 270
=
= 1,104 ⋅ 10 4 N.
1,2 ⋅ 270 + 2 ⋅ 300 ⋅ 28,8
9.14. Încovoierea barelor (grinzilor) de secţiune neomogenă
Se consideră o bară dreaptă cu secţiune transversală constantă, neomogenă
formată din mai multe straturi din materiale
diferite (spre exempulu o bară din lemn întărită
cu o platbandă din oţel figura 9.31). Bara este
solicitată la încovoiere pură şi pentru a deduce
relaţiile de calcul se admit următoarele ipoteze:
- elementele barei sunt rigidizate înte ele şi
Fig. 9.31
lucrează ca un tot unitar la încovoiere,
- materialele barei satisfac legea lui Hooke, sarcinile aplicate se află întru-un
singur plan, care este totodată şi plan de simetrie al barei,
- prin încovoiere se realizează ipoteza lui Bernoulli cu privire la secţiunile
transversale plane.
Din bară se izolează un element oarecare de lungime dx (fig.9.32,a) şi se
ataşează un sistem de referinţă triortogonal drept, considerând cazul a două materiale,
fară a elimina astfel generalizarea problemei. Prin deformarea elementului sub
Fig. 9.32
acţiunea momentului încovoietor M, cele două secţiuni marginale se rotesc
(fig.9.32,c). Se notează cu r, distanţa de la centrul de curbură la axa neutră, a cărei
poziţie urmează să fie determinată.
Se consideră câte o fibră oarecare în fiecare material la ordonatele y1 şi
respectiv y2, de axa neutră. Prin solicitarea la încovoiere aceste fibre se alungesc.
Considerând secţiunile transversale plane şi după deformare, conform ipotezei lui
Bernoulli se obţine:
ε 1 ⋅ dx ε 2 ⋅ dx dx
y
=
=
, sau ε 1 = 1
y1
y2
r
r
şi ε 2 =
y2
.
r
Pe baza legii lui Hooke, alungirilor specifice ε, le corespund tensiunile
normale σ:
σ 1 = E1 ⋅ ε 1 = E1 ⋅
y1
y
şi σ 2 = E 2 ⋅ ε 2 = E 2 2 .
r
r
(9.67)
Rezultă că, tensiunile normale pe fiecare zonă a secţiunii transversale
sunt proportionale cu distanţa de la axa neutră, factorul de proporţionalitate fiind
funcţie de modulul de elasticitate longitudinal al materialului. În figura (9.32,d) sunt
prezentate diagramele de variaţie a tensiunilor. Dacă modulul de elasticitate
longitudinal, este mare şi tensiunile sunt mari şi invers.
În figură s-a considerat E1 > E2.
Scriind ecuaţiile de echivalenţă se obţine:
∫ σ ⋅ dA = 0; ∫ σ ⋅ z ⋅ dA = 0; ∫ σ ⋅ y ⋅ dA = M .
A
A
(9.68)
A
Aceste integrale se aplică pe cele două zone ale secţiunii transversale.
Din prima integrală se obtine:
∫ σ 1 ⋅ dA + ∫ σ 2 ⋅ dA = 0, sau
A1
A2
E 1 ⋅ ∫ y 1 ⋅ dA + E 2 ⋅ ∫ y 2 ⋅ dA = 0 ,
A1
A2
sau: E1 ⋅ S 1 + E 2 ⋅ S 2 = 0.
În cazul general al mai multor materiale se poate scrie:
n
∑ Ei ⋅ Si
=0
(9.69)
i =1
unde s-a notat cu S i = ∫ y i ⋅ dA momentul static, al unei suprafeţe oarecare, faţă de
Ai
axa neutră. Relaţia (9.69) determină poziţia axei neutre. Dacă se notează cu e1, e2,..en,
distanţele de la o dreaptă arbitrară de referinţă la centrele de greutate ale suprafeţelor
de arie A1, A2, ..An, atunci din (9.69) rezultă:
n
n
∑ E i ⋅ A i ⋅ (e i − e) = 0,
sau e =
i =1
∑ Ei ⋅ A i ⋅ ei
i =1
n
∑ Ei ⋅ Ai
.
(9.70)
i =1
Ecuaţia a doua (9.68) este satisfăcută deoarece s-a facut ipoteza că axa Oy este
axa de simetrie a secţiunii transversale.
Din relaţia a treia (9.68) se obţine:
E1
E
E ⋅ I + E2 ⋅ I 2
2
2
⋅ ∫ y 1 ⋅dA + 2 ⋅ ∫ y 2 ⋅ dA = 1 1
,
r A1
r A2
r
M=
sau pentru cazul general:
1
=
r
M
n
∑ Ei ⋅ I i
(9.71)
.
i =1
unde: Ii este momentul de inerţie al unei suprafeţe oarecare i, faţă de axa neutră.
n
∑ Ei ⋅ I i ,
Numitorul
constituie rigiditatea la încovoiere a barelor de secţiune
i =1
neomogenă.
Prin înlocuirea în relaţiile (9.67) se obţin expresiile tensiunilor:
σ1 =
E1 ⋅ M ⋅ y 1
n
∑ Ei ⋅ I i
şi
σ2 =
E2 ⋅ M ⋅ y 2
n
∑ Ei ⋅ Ii
.
(9.72)
i =1
i =1
Dacă se consideră drept module de rezistenţă ale secţiunii neomogene
rapoartele:
n
n
W1 =
∑ Ei ⋅ I i
i =1
E 1 ⋅ y 1 max
şi
W2 =
∑ Ei ⋅ I i
i =1
E 2 ⋅ y 2 max
(9.73)
atunci tensiunile maxime se pot calcula cu relaţia lui Navier:
σ1 =
M
W1
şi
σ2 =
M
, etc.
W2
(9.74)
Pentru aplicarea acestor relaţii trebuie determinată în prealabil poziţia axei
neutre cu relaţia (9.70).
Aplicaţia 9.11 Să se determine sarcina capabilă să o suporte bara din figura
9.33 şi pentru aceasta să se traseze diagrama de variaţie a tensiunilor pe secţiunea
periculoasă. Bara este confecţionată din lemn cu σ aL = 20 MPa , E L = 12 GPa întărită
cu o platbandă de oţel cu σ aOL = 150 MPa şi E OL = 210 GPa .
Fig. 9.33
Poziţia axei neutre va fi:
∑E ⋅A ⋅ y
e=
∑E ⋅A
i
i
i
i
i
12 ⋅ 103 ⋅ 50 ⋅ 80 ⋅ 40 + 2,1 ⋅ 105 ⋅ 50 ⋅ 10 ⋅ 85
=
= 70,88 mm .
12 ⋅ 103 ⋅ 50 ⋅ 80 + 2,1 ⋅ 105 ⋅ 50 ⋅ 10
Rigiditatea barei la încovoiere este:
3

3  50 ⋅ 80
E
⋅
I
=
12
⋅
10
⋅
+ 50 ⋅ 80 ⋅ 30,88 2  +

∑ i i
 12

 50 ⋅ 10 3
2
+ 2,1 ⋅ 105 ⋅ 
+ 50 ⋅ 10 ⋅ (85 − 70,88)  = 9,317 ⋅ 1010 Nmm 2 .
 12

Din relaţia 9.73 rezultă:
p capL =
( ∑ E i ⋅ I i ) ⋅ σ aL
PcapOL =
E L ⋅ L ⋅ y1
9,317 ⋅ 1010 ⋅ 20
=
= 2191 N .
12 ⋅ 103 ⋅ 1000 ⋅ 70,88
( ∑ E i ⋅ I i ) ⋅ σ aOL
E OL ⋅ L ⋅ y 3
9,317 ⋅ 1010 ⋅ 150
=
= 3481 N .
2,1 ⋅ 105 ⋅ 1000 ⋅ (90 − 70,88)
Se adoptă Pcap = 2 kN , iar tensiunile pentru secţiunea periculoasă vor fi:
σ 1L
E L ⋅ M i max ⋅ y1 12 ⋅ 103 ⋅ 2 ⋅ 103 ⋅ 1000 ⋅ 70,88
=
=
= 18,26 MPa ,
9,317 ⋅ 1010
∑ Ei ⋅ Ii
σ2L
E L ⋅ M i max ⋅ y 2 12 ⋅ 103 ⋅ 2 ⋅ 103 ⋅ 1000 ⋅ (80 − 70,88)
=
=
= 2,349 MPa ,
9,317 ⋅ 1010
∑ Ei ⋅ Ii
σ 2 OL
5
3
E OL ⋅ M i max ⋅ y 2 2,1 ⋅ 10 ⋅ 2 ⋅ 10 ⋅ 1000 ⋅ (80 − 70,88)
= 4111
=
, MPa ,
=
9,317 ⋅ 1010
∑ Ei ⋅ Ii
σ 3OL
5
3
E OL ⋅ M i max ⋅ y 2 2,1 ⋅ 10 ⋅ 2 ⋅ 10 ⋅ 1000 ⋅ (90 − 70,88)
=
=
= 86,19 MPa
9,317 ⋅ 1010
∑ Ei ⋅ Ii
Variaţia tensiunilor pentru secţiunea periculoasă au fost reprezentate în
figura 9.33.
9.15. Calculul de rezistenţă al barelor drepte la încovoiere
în domeniul plastic
La toate problemele studiate până acum, la acest capitol, s-a admis că
materialele (ER) au deformaţii elastice şi satisfac legea lui Hooke. Deci, tensiunile
maxime au valori mai mici decât tensiunea corespunzatoare limitei de elasticitate a
materialului.
În practică se întâlnesc probleme la care nu poate fi admisă legea lui Hooke, fie
din cauza depăşirii limitei de proporţionalitate a materialului, prin solicitarea
produsă, fie din cauza că materialul nu are o caracteristică liniar-elastică. Din
prima categorie fac parte procesele tehnologice care dau deformaţii permanente iar, în
a doua categorie se încadrează materialele a căror curbă caracteristică nu are nici o
porţiune rectilinie.
La solicitările în domeniul plastic, nemai fiind valabilă legea lui Hooke, nu
poate fi aplicat principiul suprapunerii efectelor şi ipoteza deformaţiilor mici.
Pentru calculul la încovoiere, în domeniul plastic al barelor drepte se consideră
o porţiune de bară dreaptă solicitată la încovoiere pură. Secţiunea transversală are cel
puţin o axă de simetrie (axa Oy) ce este conţinută în planul forţelor (fig. 9.34).
Materialul barei admite o curbă caracteristică, identică cu cea de la tracţiune.
Fig.9.34
Momentul încovoietor care solicită bara Mi : σa ⋅Wz , are o valoare suficent de
mare pentru a produce şi deformaţii plastice. Datorită faptului că secţiunea este
simetrică faţă de axa Oy, axa neutră a secţiunii este perpendiculară pe planul forţelor
şi poziţia ei trebuie determinată.
Axa neutră împarte secţiunea în două zone, una intinsă (A1) şi alta comprimată
(A2). Ca şi la încovoierea liniar - elastică, se verifică ipoteza lui Bernoulli: secţiunile
plane şi normale pe axa barei înainte de deformare rămân plane şi normale pe axa
barei şi după aplicarea sarcinilor. Deci, se poate exprima alungirea specifică, a unei
fibre oarecare, situată la ordonata y, în funcţie de raza de curbură r, astfel:
ε=
y
.
r
(9.75)
Tensiunea normală, produsă de momentul încovoietor, este funcţie de alungirea
specifică şi se poate exprima astfel:
σ = f (ε ) =
1
⋅ f (y ) .
r
(9.76)
Relaţia (9.76) ne arată că tensiunile normale la încovoiere sunt repartizate pe
înălţimea secţiunii, după o lege asemănătoare cu cea exprimată de curba
caracteristică a materialului.
- Din ecuaţia de echivalenţă a proiecţiilor eforturilor elementare σ⋅dA pe axa
longitudinală a barei,
∫A σ ⋅ dA = 0,
(9.77)
se obţine poziţia axei neutre.
Fig. 9.36
- Din ecuaţia de echivalenţă a momentelor forţelor elementare faţă de axa
neutră Oz, se obţine relaţia dintre tensiunile normale σ şi momentul încovoietor Mi:
M i = ∫ σ ⋅ y ⋅ dA .
(9.78)
A
Rezolvarea ecuaţiilor (9.77) şi (9.78) presupune cunoaşterea curbei
caracteristice a materialului şi forma secţiunii transversale.
Se admite că materialul este ideal elasto-plastic, adică are o curbă caracteristică
schematizată prin două linii drepte (fig.9.35), porţiunea OC, are modulul de
elasticitate E = tgα şi CC’, modulul de plasticitate
EP = 0. În acest caz stările de tensiune care se
produc
succesiv
cu
creşterea
momentului
încovoietor sunt redate în fig.9.36.
Pentru
o
valoare
mică
a
momentului
încovoietor, tensiunile se distribuie liniar pe
Fig. 9.35
înălţimea secţiunii şi pot fi determinate cu relaţia lui
Navier. În acest caz axa neutră trece prin centrul de greutate al secţiunii (fig.9.36,a).
La o valoare mai mare a lui Mi, tensiunea maximă atinge valoarea de curgere
σc (fig.9.36,b) şi în acest caz valoarea momentului încovoietor este:
M c = σ c ⋅ Wz
(9.79)
La creşterea în continuare a momentului încovoietor apare o stare de solicitare
elasto-plastică. În acest caz relaţia lui Navier nu mai este aplicabilă. Axa neutră nu
mai trece prin centrul de greutate decât în cazul în care axa Oz este axă de simetrie
(fig.9.32,c,d). Pe măsura creşterii momentului încovoietor creşte zona plastică
(fig.9.36,c,d) şi zona elastică se micşorează. La limită, momentul încovoietor limită
ML, produce deformaţii plastice în toată secţiunea (fig.9.36,e).
Pentru o stare elasto-plastică (MC : Mi : ML) tensiunile se pot exprima astfel
(pentru fig.9.36,d):
σ=
y
⋅ σc ,
yc
σ = σ c,
-pentru zona elastică ,
(9.80,a)
-pentru zona plastică.
(9.80,b)
Ţinând seama, în ecuaţia de echivalenţă (9.77), de relaţiile (9.80) se obţine :
−y
y
− ∫− y c σ c ⋅ dA + ∫− yc
2
c
y
y
⋅ σ c ⋅ dA + ∫y 1 σ c ⋅ dA = 0 .
c
yc
Simplificând cu σc, rezultă:
−yc
− ∫y
2
dA +
1 yc
y
⋅ ∫− y y ⋅ dA + ∫y 1 dA = 0.
c
c
yc
Dacă notăm cu A1P şi A2P - ariile suprafeţelor marginale solicitate plastic, iar
cu Se - momentul static al zonei centrale, solicitată elastic, faţă de axa neutră se
obţine:
S e + y c ⋅ (A 1p + A 2p ) = 0
(9.81)
Pentru cazul particular al secţiunii solicitate plastic în totalitate, la starea
limită:
A1P = A2P,
(9.82)
adică axa neutră împarte o secţiune solicitată plastic în părţi egale.
Înlocuind expresiile (9.80) în ecuaţia (9.78) se obţine :
−yc
y1
y
⋅ σ c ⋅ y ⋅ dA + ∫y σ c ⋅ y ⋅ dA ,
c y
c
c
yc
M i = − ∫− y σc ⋅ y ⋅ dA + ∫− y
2
sau:
M i = σ c ⋅ (We + S p ),
(9.83)
unde s-a notat cu:
We =
1 yc 2
⋅ ∫ y ⋅ dA :
y c −yc
(9.84)
-modulul de rezistenţă al zonei elastice calculat faţă de axa neutră:
−y
y
S P = − ∫− y c y ⋅ dA + ∫y 1 y 1 ⋅ dA :
2
c
(9.85)
-suma momentelor statice calculate în valoare absolută faţă de axa neutră, a
zonelor solicitate plastic.
Pentru cazul particular al secţiunii solicitate numai plastic (We= 0) se obţine
expresia momentului încovoietor limită (ML).
ML = σ c ⋅ SP .
(9.86)
Pentru această valoare a momentului încovoietor întreaga secţiune este
solicitată plastic. Pe toată secţiunea există σ = σc, aşa că tensiunile nu mai pot creşte.
Deci nici momentul încovoietor nu poate creşte şi se numeşte moment limită. În
acest caz alungirea specifică poate creşte nedefinit (fig.9.35), o dată cu aceasta creşte
nedefinit şi rotirea secţiunii faţă de poziţia iniţială. De aceea în secţiunea unde se
ajunge ca M = ML se produce o articulaţie plastică.
Diferenţa dintre articulaţia plastică şi articulaţia mecanică este că cea
plastică apare pentru o solicitare M = ML, iar la articulaţia mecanică M =0.
Aplicaţia 9.12 Să se determine forţa capabilă a barei din figura 9.37. prin
metoda stării limită şi prin metoda rezistenţelor admisibile, dacă σc = 240 MPa şi
coeficientul de siguranţă impus este de c0 = 1,6.
Rezolvare:
a) Metoda stării limită:
Poziţia axei neutre este dată de relaţia:
A1p = A2p,
şi pentru dimensiunile secţiunii din figură se poate scrie:
30 ⋅ 5 + y c⋅ ⋅ 4 = 20 ⋅ 5 + (20 − y c ) ⋅ 4 ,
din care rezultă:
yc =
20 ⋅ 5 + 20 ⋅ 4 − 30 ⋅ 5
= 3,75 cm .
8
Momentul static al secţiunii este:
(2 − 3,75) + 20 ⋅ 5 ⋅  5 + 20 − 3,75 =
3,752
5

S p = A ⋅ e = 30 ⋅ 5 ⋅  + 3,75 + 4 ⋅
+ 4⋅


2

2

2
2
2
= 3369 cm.3
Fig. 9.37
Din condiţia M max =
ML
, scrisă astfel :
c
L2 σ c ⋅ S p
q⋅
=
,
c
8
se obţine sarcina capabilă la starea limită:
8 ⋅ σ c ⋅ Sp
q cp =
c ⋅ L2
8 ⋅ 240 ⋅ 3369 ⋅ 103
N
= 449,2
=
.
2
mm
1,6 ⋅ 3000
Se adoptă: qcp = 450 kN/m.
b) Metoda rezistenţelor admisibile:
yG =
20 ⋅ 5 ⋅ 2,5 ⋅ +20 ⋅ 4 ⋅ 15 + 30 ⋅ 5 ⋅ 27,5
= 16,89 cm ,
20 ⋅ 5 + 20 ⋅ 4 + 30 ⋅ 5
30 ⋅ 53 + 20 ⋅ 53 + 4 ⋅ 203
2
Iz =
+ 20 ⋅ 5 ⋅ (16,89 − 2,5) +
12
+20 ⋅ 4 ⋅ (16,89 − 15) + 30 ⋅ 5 ⋅ (27,5 − 16,89) = 41066 cm4 ,
2
2
iar sarcina capabilă se obţine din condiţia:
M cap
q ⋅ L2 σ a ⋅ I z
=
≤
,
8
y max
σ max =
q cap =
M i max
Iz
⋅ y max
8⋅σa ⋅ Iz
L2 ⋅ y max
=
p ⋅ L2
450 ⋅ 30002
=
⋅ y max =
⋅ 168,9 = 208,2 MPa < σ c .
8I z
8 ⋅ 41066 ⋅ 104
8 ⋅ 240 ⋅ 41066 ⋅10 4
= 324,2 N / mm
1,6 ⋅ 3000 2 ⋅168,9
Se adoptă: qcap = 325 kN/m.
Observaţie:
Dacă se face raportul între qcp şi qcap se obţine:
q cp
q cap
⋅ 100 =
450
⋅ 100 = 138,5 % ,
325
deci se obţine o creştere a sarcinii capabile cu 38,5 % prin metoda stării limită faţă de
metoda rezistenţelor admisibile
Aplicaţia 9.13 Pentru bara din figura 9.38, se cere să se determine zona
solicitată plastic în secţiunea periculoasă pentru: σc = 250 MPa şi L = 2m.
M i = σ c ⋅ (We + S p ) .
Admitem ca ipoteză, că zona de delimitare între porţiunile de secţiune solicitate
plastic şi cea elastică, se află pe porţiunea inimii, la ± yc de axa Oz şi în acest caz
mărimile geometrice sunt:
2 + yc 

S p = 2 ⋅ 2 ⋅ 4 ⋅ 5 + ( 2 − y c ) ⋅
⋅ 1 = 2 ⋅ 42 − y 2c = 84 − y 2c ,
2


(
)
1 ⋅ (2 y c )
2 y c2
,
We =
=
6
3
2
 2y2
 σ
Mi = σc ⋅ 
+ 84 − y 2c  = c ⋅ 252 − y c2 ,
3
 3

(
)
Fig. 9.38
252 − y c =
3M i
,
c
y c = ± 252 −
3M i
3 ⋅ 40 ⋅ 10 3 ⋅ 200
= 252 −
= ±3,464 cm ,
4 ⋅ 250 ⋅ 102
σc
yc =± 34,64 cm.
Observaţie:
Deoarece yc< 40 mm ipoteza adoptată este corectă.
Pentru determinarea abscisei xp, de la care începe zona plastică, se pune
condiţia:
Mx= σc⋅Wz, unde:
1  4 ⋅ 12 3 3 ⋅ 83 
3
Wz = ⋅ 
−
 = 74,67cm ,
6  12
12 
Mx =
P ⋅ xp
2
,
de unde rezultă:
2 ⋅ σ c ⋅ Wz 2 ⋅ 240 ⋅ 74,67 ⋅ 103
xp =
=
= 896 mm .
P
40 ⋅ 103
Secţiunea solicitată plastic este reprezentată în figura 9.39.
Fig. 9.39
10. SOLICITĂRI COMPUSE
10.1. Noţiuni introductive
Până acum s-au studiat solicitările simple ale (ER). În practica inginerească
sunt frecvente cazurile când sunt prezente simultan două sau mai multe solicitări
simple. Prezenţa simultană în secţiunea unui element de rezistenţă a două sau
mai multor eforturi produce o solicitare compusă.
În cazul solicitărilor compuse fiecare efort va produce în secţiune câte o
tensiune, respectiv deformaţie, mărimi ce se pot calcula cu formulele învaţate la
solicitările simple. Se pune însă problema însumării acestor tensiuni respectiv
deformaţii şi stabilirii pentru aceste cazuri, a stării limită.
În decursul timpului, rezistenţa materialelor s-a străduit să dea un răspuns la
această întrebare care să poată fi confirmată de practică. Acest răspuns nu este univoc
şi aceasta se va vedea în continuare.
10.2. Starea limită
La punctul 1.14, s-a arătat că ipotezele rezistenţei materialelor sunt aproximări
necesare pentru a putea cuprinde fenomenul fizic complex în relaţii matematice
simple.
De multe ori se depăşeşte limita de proporţionalitate, uneori de elasticitate şi
chiar, în anumite cazuri, cea de curgere producându-se deformaţii permanente
(neelastice respectiv nereversibile). Se ajunge astfel în situaţia când se spune despre
ER că nu rezistă. Faptul că nu rezistă nu implică nicidecum că ER se rupe ci
depăşirea unei stări limită.
Se spune că un ER a atins starea limită când acesta nu mai îndeplineşte
condiţiile tehnice impuse de exploatarea normală, adică funcţionarea acestuia
devine imposibilă.
Stările limită se pot clasifica în două grupe:
I - stări limită de epuizare totală a capacităţii portante, care se poate
caracteriza prin:
a) ruperea ER;
b) atingerea limitei de curgere pe întreaga secţiune a ER şi
c) apariţia fenomenului de instabilitate elastică (flambaj).
II - stări limită de cedare funcţională, care se caracterizează prin:
a) apariţia unor deformaţii elastice sau neelastice mai mari decât cele
permise;
b) apariţia unor vibraţii inadmisibile.
Buna funcţionare a ER este compromisă de existenţa oricăreia din stările
limită de mai sus. Ruperea se produce, în general la materialele fragile şi este cea mai
gravă. La materialele ductile se produc mai întâi, deformaţii plastice mari, ce se pot
observa şi se pot lua măsuri de evitarea lor.
La fel de periculoasă este şi instabilitatea elastică a (ER). şi a doua stare limita
este inaccesibilă deoarece face imposibilă funcţionarea.
10.3. Tensiunea echivalentă
Verdictul dat de ingineri că un ER nu rezistă, înseamnă că s-a depăşit o
anumită stare limită. În cele ce urmează prin stare limită se va considera atingerea
unei caracteristici mecanice sau elastice a materialului până la care se consideră
îndeplinite ipotezele de bază ale rezistenţei materialelor, respectiv sunt aplicabile
relaţiile din teoria elasticităţii. Prin aceasta se restrânge noţiunea de stare limită la
domeniul liniar - elastic.
Pentru a se determina starea limită se consideră cinci criterii:
I. - tensiunea normală maximă;
II. - alungirea specifică maximă;
III. - tensiunea tangenţială maximă;
IV. - energia specifică totală de deformaţie maximă;
V. - energia specifică de schimbarea formei maximă.
Aceste cinci criterii s-au impus din două motive:
a) Prin încercări la întindere - compresiune se pot determina valorile
caracteristicilor mecanice corespunzătoare stării limită ce nu trebuie depăşite;
b) Între tensiunea limită determinată la întindere sau compresiune (ce nu
trebuie depăşită) şi cele cinci criterii, prin care se determină starea limită, se
pot stabili relaţii simple.
Dacă considerăm limita de proportionalitate drept stare limită, celelalte criterii
de stare limită se pot scrie funcţie de σ p :
σ max ≤ σ p ; ε p =
σp
E
; τp =
σp
2
; U 1p =
σ p2
2E
; U 1fp =
1+ ν 2
⋅ σp .
3E
(10.1)
Starea spaţială de tensiune dintr-un punct al ER poate fi echivalată, prin
ipoteză, cu o stare monoaxială de tensiune. Echivalarea se face utilizând un criteriu
din cele cinci. Acest lucru poate fi sintetizat prin figura de mai jos:
Dacă se cunoaste starea limită la solicitarea de întindere sau compresiune se
pot enunţa cele cinci teorii de rezistenţă clasice prin care se stabilesc condiţiile în care
se atinge starea limită într-un punct al unui element de rezistenţă solicitat spaţial.
Verificarea stării limită se face determinând, pentru o stare de tensiune critică dintrun punct, pe baza ipotezei de rezistenţă admisă, a unei tensiuni convenţionale, numită
tensiune echivalentă, care trebuie să satisfacă relaţia:
σ ech ≤ σ L .
(10.2)
Fig. 10.1
Inegalitatea aceasta poate fi scrisă la limită şi sub forma de egalitate:
σ ech =
σL
,
c
(10.3)
unde, c > 1 este coeficientul de siguranţă corespunzător.
Întrucât tensiunea echivalentă este funcţie de starea de tensiune dinr-un punct
al ER, iar starea limită depinde prin coeficientul de siguranţă de starea reală de
tensiune (σ1, σ2, σ3) rezultă că starea limită se poate exprima printr-o functie:
S(σ1, σ2, σ3) = 0
(10.4)
ce reprezintă o suprafaţă în sistemul de axe (σ1, σ2, σ3). Astfel, starea de tensiune
dintr-un punct al ER se poate reprezenta printr-un punct în sistemul (Oσ1, σ2, σ3).
Coordonatele punctului sunt, în acest caz tensiunile σ1, σ2 şi σ3 adică tensiunile
principale din punctul respectiv al ER.
Dacă punctul P(σ1, σ2, σ3) se află în interiorul suprafeţei (10.4), respectiv
starea de tensiune este inferioară stării limită, se spune ca ER “rezistă”, iar dacă este
situat în exteriorul suprafeţei (10.4) este o stare de tensiune periculoasă (nu
rezistă).
10.4. Teoriile clasice de rezistenţă
În funcţie de cei cinci parametri aleşi pentru atingerea stării limită avem cinci
teorii (ipoteze) de rezistenţă.
10.4.1 Teoria tensiunii normale maxime
Formulată iniţial de Galileo Galilei şi reformulată de Rankine.
Se atinge starea limită într-un punct al unui ER atunci când tensiunea
normală maximă din acel punct ajunge să fie egală cu tensiunea normală limită
de la starea de întindere sau compresiune simplă a materialului ER respectiv.
Această teorie se poate exprima şi prin relaţiile:
Fig. 10.2
− σ Lc ≤ σ 1 ≤ σ Lt ,
− σ Lc ≤ σ 2 ≤ σ Lt ,
(10.5)
− σ Lc ≤ σ 3 ≤ σ Lt ,
care se pot reprezenta printr-un cub pentru starea spaţială (fig.10.2,a) sau un pătrat
pentru starea plană de tensiune (fig.10.2,b).
Dacă σ Lt ≠ σ Lc , originea sistemului ale axe nu se află în centrul cubului
(respectiv al pătratului).
Această teorie nu corespunde complet realităţii deoarece pentru starea de
compresiune tridimensională ( σ 1 = σ 2 = σ 3 = − σ L ), pentru care corpul nu poate fi
distrus, trebuie să rezulte σ Lc = ∞ .
De asemenea, în cazul forfecării, pentru care tensiunea limită este τ L = σ L / 2 ,
ce corespunde punctului K, din interiorul pătratului şi nu punctului B, care este limita
conform acestei teorii.
Datorită acestor neconcordanţe, teoria tensiunilor normale maxime poate fi
folosită, cu precauţie, numai pentru stări de tensiune la care ruperea se face prin
smulgere (este o teorie de smulgere).
Pentru starea de tensiune cea mai defavorabilă dintr-un punct al ER, tensiunea
echivalentă, conform teoriei tensiunii normale maxime, este:
{
σ ech = max σ 1 ; σ 2 ; σ 3
}≤σ
L
.
(10.6)
10.4.2. Teoria alungirii specifice maxime
Această teorie a fost emisă de Barré de Saint-Venant. Conform acestei teorii
se consideră că distrugerea elementului de rezistenţa este cauzată de lungirile
specifice maxime. Într-un punct al unui ER se atinge starea limită când alungirea
specifică maximă εmax, din acel punct, ajunge să fie egală cu valoarea alungirii
specifice limită de la întindere sau compresiune simplă.
ε max ≤ ε L =
σL
,
E
sau exprimând prin tensiuni:
− σ LC ≤ σ 1 − ν ⋅ ( σ 2 + σ 3 ) ≤ σ Lt ,
− σ LC ≤ σ 2 − ν ⋅ ( σ 3 + σ 1 ) ≤ σ Lt ,
Fig. 10.3
(10.7)
− σ LC ≤ σ 3 − ν ⋅ ( σ 1 + σ 2 ) ≤ σ Lt .
Relaţiile (10.7) exprimă suprafaţa limită care este în acest caz, un paralelipiped
înclinat (fig.10.3,a). Pentru starea plană de tensiune se obţine rombul din figura
(10.3,b), ce rezultă din secţionarea paralelipipedului cu planul σ3= 0.
Unghiul α, cu care sunt înclinate laturile rombului, de la teoria a II-a faţă de
pătratul ce reprezintă prima teorie este dat de relaţia:
α= arctg(ν)
Această teorie are aproape aceleaşi deficienţe ca şi prima. De aceea se poate
aplica, cu bune rezultate la materiale casante, ca o ipoteză de smulgere.
Tensiunea echivalentă, în acest caz pentru starea spaţială se exprimă prin
relaţia:
 σ 1 − ν ⋅ ( σ 2 + σ 3 ) 
σ ech = max 
 ≤ σL
 σ 3 − ν ⋅ ( σ 1 + σ 2 ) 
(10.8)
10.4.3. Teoria tensiunii tangenţiale maxime
A fost formulată de Coulomb şi conform aceste teorii starea limită apare prin
lunecări în planul în care acţionează tensiunea tangenţială maximă. Sub forma actuală
a fost reformulată de Tresca. Conform acestei teorii starea limită într-un punct al
unui ER se atinge atunci când tensiunea tangenţială maximă ajunge sa fie egală
cu valoarea tensiunii tangenţiale (
L)
compresiune simplă.
Aceasta teorie se poate exprima prin:
τ max ≤
σL
,
2
condiţie ce este îndeplinită de:
− τL ≤ τ1 ≤ τL ;
− τL ≤ τ2 ≤ τL ;
de la solicitarea de întindere sau
− τ3 ≤ τ3 ≤ τL .
Ţinând seama că τ 1 = ±
σ − σ2
σ − σ3
σ2 − σ3
;τ2 = ± 1
şi τ 3 = ± 1
2
2
2
se
obţine:
− σ L ≤ σ1 − σ 2 ≤ σL ;
− σL ≤ σ 1 − σ3 ≤ σL ;
(10.9)
− σL ≤ σ 2 − σ3 ≤ σL .
Relaţiile (10.9) reprezintă, pentru semnul egal între tensiuni, o prismă
hexagonală regulată deschisă la capete. Axa prismei este trisectoarea σ 1 = σ 2 = σ 3
Suprafaţa rezultă deschisă la ambele capete deoarece atât pentru compresiune
triaxială σ 1 = σ 2 = σ 3 = − σ L cât şi pentru întindere triaxială σ 1 = σ 2 = σ 3 = σ L ,
tensiunile tangenţiale sunt nule (fig.10.4.a) şi nu se produc lunecări.
Conform acestei ipoteze, în aceste cazuri, nu se atinge starea limită şi ER nu
este distrus. Concluzia este adevarată numai pentru compresiune uniformă triaxială,
Fig. 10.4
dar nu corespunde cu realitatea pentru întinderea uniformă triaxială.
Starea plană, ce este o secţiune cu planul σ 3 = 0 (fig. 10.4) este reprezentată
printr-un hexagon neregulat AEFCGH (fig.10.4,b) şi corespunde, pentru σ 1 ⋅ σ 2 > 0
cu teoria I şi diferă de aceasta pentru σ 1 ⋅ σ 2 < 0 . În cazul forfecării pure, când
σ 1 = − σ 2 = τ max , este reprezentată de punctul K de coordonate
σL
σ
şi − L .
2
2
Această teorie a fost verificată experimental şi s-a constatat că ea corespunde
cu realitatea cu excepţia stării de tensiune apropiată de întindere triaxială, când
datorită faptului ca tensiunile tangenţiale sunt mici, nu se produc lunecări.
Nici teoria a - III-a nu este perfectă pentru că:
a) nu ţine seama de influenţa tensiunii normale în planul de lunecare;
b) nu ţine seama de rezistenţa diferită a materialelor la întindere şi
compresiune;
c) neglijează efectul tensiunii intermediare (în calcul se iau numai două
tensiuni principale).
Condiţia de rezistenţă pentru această teorie, se exprimă prin relaţia:
σ
ech
{
}
= max ( σ 1 − σ 2 ); ( σ 1 − σ 3 ); ( σ 2 − σ 3 ) ≤ σ L .
Dacă se ţine seama că σ 1 > σ 2 > σ 3 , condiţia de rezistenţă devine:
σ ech = σ 1 − σ 3 ≤ σ L ,
(10.10)
şi deci este independentă de valoarea tensiunii normale intermediare σ2.
10.4.4. Teoria energiei totale de deformaţie
Aceasta teorie a fost formulată de Haigh şi se enunţă astfel: într-un punct al
unui ER se atinge starea limită atunci când energia de deformaţie specifică
ajunge sa fie egală cu valoarea energiei de deformaţie specifică corespunzatoare
solicitării de întindere sau compresiune simplă, adică:
U 1 ≤ U 1L .
Exprimând aceste energii de deformaţie, în functie de tensiuni, se obţine
inegalitatea:
σ2
1
⋅ ( σ 12 + σ 22 + σ 23 − 2 ⋅ ν ⋅ ( σ 1 ⋅ σ 2 + σ 2 ⋅ σ 3 + σ 3 ⋅ σ 1 ) ≤ L ,
2Ε
2Ε
sau simplificând prin (2E) rezultă:
σ 12 + σ 22 + σ 23 − 2 ⋅ ν ⋅ ( σ 1 ⋅ σ 2 + σ 2 ⋅ σ 3 + σ 3 ⋅ σ 1 ) ≤ σ L2
,
(10.11)
relaţie ce exprimă un elipsoid.
Pentru starea plană de tensiune se
reprezintă printr-o elipsă ce trece prin punctele
EFGH (fig.10.5). Această teorie de rezistenţă
Fig. 10.5
este de smulgere. Este utilizată numai pentru stări de tensiune apropiate de starea
triaxială de întindere: (
σ1 + σ 2 + σ 3
> 0 ).
3
Tensiunea echivalentă, în acest caz, se exprimă cu relaţia:
σ ech = σ 12 + σ 22 + σ 23 − 2 ⋅ ν ⋅ ( σ 1 ⋅ σ 2 + σ 2 ⋅ σ 3 + σ 3 ⋅ σ 1 ) ≤ σ L .
(10.12)
10.4.5. Teoria energiei specifice de variaţie a formei
A fost formulată de catre Huber - Hencky - Mises şi ia în considerare numai
energia specifică de variaţie a formei.
Conform acestei teorii, într-un punct al unui ER se atinge starea limită
când energia de deformaţie specifică de schimbare a formei, din acel punct,
ajunge sa fie egală cu energia specifică de schimbare a formei corespunzătoare
stării limită de la solicitarea de întindere sau compresiune simplă.
U 1f ≤ U 1fL ,
sau, exprimând în funcţie de tensiuni se obţine:
1+ ν
1+ ν 2
⋅ σL ,
⋅ (σ 1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 3 − σ 1 ) 2 ≤
6Ε
3Ε
iar după simplificări se obţine:
[
]
Fig. 10.6
σ 12 + σ 22 + σ 23 − σ 1 ⋅ σ 2 − σ 2 ⋅ σ 3 − σ 3 ⋅ σ 1 ≤ σ L2 .
(10.13)
Relaţia (10.15) reprezintă un cilindru deschis la ambele capete, având ca axă
bisectoarea σ 1 = σ 2 = σ 3 (fig.10.6,a)
Secţiunea normală la axa cilindrului este un cerc, iar secţiunea făcută cu planul
σ3=0, corespunzătoare stării plane de tensiune, este o elipsă circumscrisă hexagonului
neregulat de la teoria a III-a, fig. 10.6b.
Tensiunea echivalentă în acest caz se exprimă cu formula:
σ ech = σ 21 + σ 22 + σ 23 − σ 1 ⋅ σ 2 − σ 2 ⋅ σ 3 − σ 3 ⋅ σ 1 ) ≤ σ L .
(10.14)
Această teorie este apropiată de realitate cu excepţia stării triaxiale uniforme de
întindere. Este superioară teoriei a III-a deoarece ţine seama şi de tensiunea
intermediară.
10.5. Particularizări ale teoriilor de rezistenţă
10.5.1. Starea plană de tensiune
Înlocuind în relaţiile de mai sus σ3 = 0 rezultă starea plană de tensiune
caracterizată numai prin tensiunile principale σ 1 şi σ 2 .
Relaţiile pentru tensiunile echivalente devin:
Fig. 10.7
{
= max { σ
}
I ) σ ech = max σ 1 ; σ 2 ≤ σ L ;
II) σ ech
1
− ν ⋅ σ 2 ; σ 2 − ν ⋅ σ1 } ≤ σL ;
III) σ ech = σ 1 − σ 2 ≤ σ L ;
IV ) σ ech = σ 12 + σ 22 − 2ν ⋅ σ 1 ⋅ σ 2 ≤ σ L ;
V ) σ ech = σ 12 + σ 22 − σ 1 ⋅ σ 2 ≤ σ L .
În figura 10.7 s-au reprezentat prin aceste relaţii :
- pătratul ABCD - conform teoriei I;
- rombul LMNP - conform teoriei a - II-a;
(10.15)
- hexagonul neregulat AEFCGHA - conform teoriei a - III -a;
- elipsa ERFSGTHUE - conform teoriei a - IV -a;
- elipsa EVFCGWHAE - conform teoriei a -V-a.
Din această figură se observă că în punctele de pe axe, adică la întindere sau
compresiune simplă toate ipotezele de rezistenţă coincid. Suprafaţa haşurată
interioară reprezintă stările plane σ 1 , σ 2 care nu depăşesc starea limită după toate
ipotezele, iar suprafaţa haşurată exterioară reprezintă stările de tensiune care, după
toate ipotezele, conduc la depăşirea stării limită. Suprafaţa nehaşurată reprezintă zona
în dispută între diferitele teorii de rezistenţă.
10.5.2. Aplicarea teoriilor de rezistenţă la bare
În cazul particular al barelor, în secţiunile cărora pot exista numai tensiuni
2
2
normale σ = σ x şi tangenţiale τ = τ xy
+ τ xz
, tensiunile principale se obţin cu
relaţia:
σ 1, 2 =
σ 1
±
σ2 + 4 ⋅ τ2 ,
2 2
care înlocuite în relaţiile (10.17), pentru ν= 0,3 dau formulele:
I ) σ ech = 0,5 ⋅ ( σ + σ 2 + 4 ⋅ τ 2 ) ≤ σ L :
II) σech = (
1− ν
1+ ν
⋅σ+
⋅ σ 2 + 4 ⋅ τ 2 = 0,35 ⋅ σ + 0,65 ⋅ σ 2 + 4 ⋅ τ 2 ≤ σ L ;
2
2
III) σ ech = σ 2 + 4 ⋅ τ 2 ≤ σ L ;
IV ) σ ech = σ 2 + 2(1 + ν ) ⋅ τ 2 = σ 2 + 2,6 ⋅ τ 2 ≤ σ L ;
V ) σ ech = σ 2 + 3 ⋅ τ 2 ≤ σ L .
(10.16)
10.5.3. Aplicarea teoriilor de rezistenţă la starea de forfecare pură
Pentru starea de forfecare pură, când σ 1 = − σ 2 = τ înlocuind în relaţiile
(10.17) şi luând ν= 0,3 acestea devin:
I.
II.
σ ech = τ ≤ τ L , deci τ L = σ L ;
σ ech = (1 + ν ) ⋅ τ L , deci τ L =
σL
= 0,7692 ⋅ σ L ;
1+ ν
III.
σ ech = 2 ⋅ τ ≤ σ L , deci τ L = 0,5 ⋅ σ L ;
IV.
σ ech = τ ⋅ 2(1 + ν ) ≤ σ L , deci τ L =
V.
σ ech = 3 ⋅ σ L , deci τ L =
σL
= 0,62 ⋅ σ L ;
2(1 + ν )
σL
= 0,5774 ⋅ σ L .
3
(10.17)
Admiţând că legea lui Hooke poate fi extinsă până la limita de curgere, se
poate exprima limita de curgere la torsiune în funcţie de limita de curgere la tracţiune
sau compresiune, conform teoriilor de rezistenţa, astfel:
I) τ c = σ c ,
II) τ c = 0,7692 ⋅ σ c ,
III) τ c = 0,5 ⋅ σ c ,
IV) τ c = 0,62 ⋅ σ c ,
V)
σ c = 0,5774 ⋅ σ c .
(10.18)
10.6 Criterii de alegere a teoriilor de rezistenţă
În general pentru materialele tenace se folosesc teoriile de rupere prin lunecare,
adică teoria V sau III, iar pentru materialele casante se utilizează teoriile de rupere
prin smulgere, respectiv teoria II sau teoria I. Ordinea indicată a teoriilor este de
preferat.
Experimental s-a constat că modul de rupere depinde în mare măsură de starea
de tensiune la care este supus ER. Din aceste considerente se recomandă alegerea
teoriei de rezistenţă în funcţie de semnul tensiunii medii:
σm =
σ1 + σ 2 + σ 3
şi anume:
3
a) pentru σ m < 0 , se alege o teorie de rupere prin lunecare, adică teoria V sau
teoria III;
b) pentru σ m > 0 , se alege o teorie de rupere prin smulgere, adică teoria II sau
teoria I.
De asemenea, pentru alegerea teoriilor de rezistenţă se poate utiliza criteriul
lui Davidenko - Fridmann. Conform acestui criteriu se defineşte starea mecanică
de solicitare prin raportul:
m=
σ ech (III )
σ1 − σ 3
=
,
σ ech (II ) 2 ⋅ [σ 1 − ν ⋅ (σ 2 + σ 3 )]
(10.19)
raport ce reprezintă panta unei drepte ce trece prin origine într-un sistem de axe Oστ.
Diagrama din figura 10.8, se obţine pentru orice material pentru care s-a determinat
experimental σL şi τL.
Dreptele de pantă m prezentate în
figură, pentru diferite valori ale stării
mecanice de solicitare, sunt:
- dreapta - 1, cu panta m=0, ce se
obţine
Fig. 10.8
pentru
σ 1 = σ2 = σ3 > 0,
reprezintă întindere uniformă după
trei axe;
- dreapta - 2, cu panta 0 : m : 0,5 o solicitare dată de σ 1 > σ 2 > σ 3 > 0
(întindere după 3 direcţii);
- dreapta - 3, cu panta m = 0,5 o solicitare de întindere simplă
σ 1 > 0,σ 2 = σ3 = 0;
- dreapta - 4, cu panta m = 0,7692 o solicitare de forfecare pură: σ 2 = 0;
σ 3 = 0;
- dreapta - 5, cu panta m = 1,67, o solicitare de compresiune simplă,
σ 1 = σ 2 = 0, σ 3 < 0 .
Pentru a alege teoria de rezistenţă ce trebuie utilizată, după acest criteriu, se
calculează panta dreptei cu relaţia (10.19) şi se trasează dreapta respectivă pe
fig.10.11, apoi se procedează astfel:
a) dacă dreapta trasată taie întâi verticala σ= σL, înseamnă că ruperea se va
produce prin smulgere, se impune să se aleagă o teorie de smulgere (teoria II sau I);
b) dacă dreapta trasată taie întâi orizontala τ = τL, atunci ruperea se va produce
prin lunecare şi se impune să se aleaga o teorie de rupere prin lunecare (t. V sau III).
10.7 Calculul de rezistenţă al barelor supuse la solicitări compuse
Prin solicitare compusă se înţelege acţiunea simultană asupra barei a două sau
mai multe eforturi, cazuri ce se întâlnesc frecvent în aplicaţiile inginereşti. Dar
fiecare efort produce câte o tensiune, unele tensiuni normale, altele tangenţiale.
Datorită acestui fapt, solicitările compuse se pot studia având în vedere tensiunile ce
le produc.
După tipul de tensiune produsă, eforturile ce produc solicitarea compusă se
grupează în urmatoarele trei grupe:
a) N şi M (My şi Mz) ce produc tensiuni normale;
b) T (Ty şi Tz) şi Mt ce produc tensiuni tangenţiale;
c) N şi T sau N şi Mt, M şi Mt, M şi Mt, N, M, Mt, ce produc atât tensiuni
normale cât şi tangenţiale.
În cazurile a şi b când tensiunile au aceeaşi direcţie acestea se însumeaza
algebric, iar când au direcţii diferite se însumează geometric.
În cazul c, cele două tipuri de tensiuni σ
şi τ nu se însumează algebric şi nici geometric
ci numai folosind una din teoriile de rezistenţă
(cea corespunzatoare).
După forma secţiunii grupa c de solicitare
compusă se subdivizează, pentru analiză în
două subgrupe:
Fig. 10.9
- bare de secţiune circulară sau inelară şi
- bare de secţiune oarecare.
10.7.1. Întindere sau compresiune excentrică
Solicitarea de întindere sau compresiune excentrică se produce în barele
încărcate cu o forţă paralelă cu axa bazei (cazul a).
Considerăm o bară, încarcată în punctul A, de coordonate y o şi z0 cu forţa P,
paralelă cu axa barei (fig.10.9). Reducând forţa P în centrul de greutate al secţiunii se
obţin eforturile:
- forţa axială,
N = P,
-momentul încovoietor, având componentele:
M z = P ⋅ y 0 şi M y = − P ⋅ z0 ,
unde, y0 şi z0 sunt coordonatele punctului de aplicare al forţei P.
Aceste eforturi produc, într-un punct oarecare, de coordonate y şi z a secţiunii,
tensiunile:
σt =
M
M
N
, σ 'i = z ⋅ y şi σ ''i = − y ⋅ z .
Iz
A
Iy
Aceste tensiuni având aceeaşi direcţie, paralelă cu axa barei se vor însuma
algebric:
σ = σ t + σ ' + σ '' =
My
N Mz
+
⋅y−
⋅ z.
Iy
A
Iz
Înlocuind valorile eforturilor, tensiunea totală este:
σ=
A ⋅ y0
A ⋅ z0
N P ⋅ y 0 ⋅ y P ⋅ z0 ⋅ z N
+
+
= ⋅ (1 +
⋅y+
⋅ z) .
A
Iz
Iy
A
Iz
Iy
|inând seama că i z =
Iz
şi i y =
A
Iy
A
, reprezintă razele de inerţie, tensiunea
într-un punct al secţiunii se obţine din relaţia:
σ=
y⋅y
z⋅ z
N
⋅ (1 + 2 0 + 2 0 ) .
A
iz
iy
(10.20)
Axa neutră ce corespunde punctelor pentru care σ = 0 , se obţine prin anularea
parantezei, adică din ecuaţia:
1+
y ⋅ y 0 z ⋅ z0
+ 2 = 0,
i z2
iy
(10.21)
ce reprezintă ecuaţia unei drepte având tăieturile pe axele Oy şi Oz:
yM = −
i 2z
i2
, zM = 0 , y N = 0 , zN = − z .
y0
z0
(10.22)
Din relaţiile (10.24) rezultă că tăieturile axei neutre pe axele de inerţie
principale au semne contrare coordonatelor punctului de aplicaţie al forţei. Înseamna
că axa neutră va trece prin cadranul opus cadranului în care se află punctul de
aplicaţie al forţei.
Aplicaţia 10.1 Să se determine sarcina capabilă să o suporte stâlpul din figura
10.10 confecţionat dintr-un profil I30, din OL 37 cu σ a =150 MPa. Să se traseze
diagrama de variaţie a tensiunilor pe secţiune.
Rezolvare: Mărimile geometrice pentru profilul I30 (vezi anexa 9) sunt
A = 69,1cm2, iz = 11,9 cm, iy = 2,56 cm, şi b = 125 mm.
Coordonatele punctului de aplicare a forţei, faţă de sistemul de axe ales
sunt y0 = - 140 mm şi z0 = - 60mm. Punctul cel mai solicitat (tensiune maximă în
valoare absolută), este punctul 1 (cel mai depărtat punct din cadranul forţei), de
coordonate y1 = −150 mm şi z1 = -62,5 mm.
Din relaţia (10.22) scrisă pentru punctul 1 se obţine:
Pcap
σa ⋅ A
150 ⋅ 69,1 ⋅ 102 ⋅ 103
=
=
= 126,3 kN
150 ⋅ 40 62,5 ⋅ 60
y 1 ⋅ y 0 z1 ⋅ z 0
1+
+
1+ 2 + 2
119 2
25,6
iz
iy
Adopt: Pcap =125 kN.
Intersecţia axei neutre cu axele de
coordonate sunt :
i 2z
119 2
yM = − = −
= 94,4 mm ,
y0
− 150
zM = 0 ;
zN = −
i 2y
z0
=−
25,62
= 10,9 mm ,
− 60
yN = 0.
Tensiunile
Fig. 10.10
extreme
pentru
punctele 1 şi 2 rezultă:
y1 ⋅ y0 z1 ⋅ z0 − 125⋅103
150 ⋅140 62,5⋅ 60
N
σ1 = ⋅ (1+ 2 + 2 ) =
⋅ (1 +
+
) = −148,4 MPa ,
2
691
, ⋅10
1192
256
, 2
A
iz
iy
y 2 ⋅ y0 z2 ⋅ z0
N
150 ⋅ 140 62,5⋅ 60
− 125⋅ 103
σ2 = ⋅ (1 + 2 + 2 ) =
⋅ (1 −
−
) = 112,2 MPa .
2
A
iz
iy
69,1⋅ 10
1192
25,62
Poziţia axei neutre şi variaţia tensiunilor este dată în fig. 10.10.
10.7.2. Calculul de rezistenţă al arborilor de secţiune circulară şi
inelară solicitaţi la încovoiere şi răsucire
Dintre ER solicitate compus în care se produc atât tensiuni normale cât şi
tangenţiale o frecvenţă deosebit de mare în aplicaţiile inginereşti o au arborii, osiile
motoare, şuruburile, etc.
Arborii sunt organe de maşini care transmit prin intermediul roţilor dinţate, a
roţilor de curea sau a cuplajelor, momente de torsiune şi sunt solicitaţi la încovoiere
simplă. Calculul de rezistenţă al arborilor se face ţinând seama numai de momentele
de încovoiere şi de torsiune, neglijând efectul forţei tăietoare. Datorită acestor
momente tensiunile normale şi tangenţiale maxime ce se produc în secţiunile
transversale periculoase se determină în relaţiile:
σ max =
Mi
Wz
şi
τ max =
Mt
.
Wp
Având în vedere că la o secţiune circulară sau inelară, Wz = 2Wp , tensiunile
maxime, exprimate numai în funcţie de modulul de rezistenţă axial, sunt:
σ max =
Mi
Wz
şi
τ max =
Mt
.
2Wz
Deoarece, atât la încovoiere cât şi la torsiune aceste tensiuni sunt maxime în
cele mai depărtate puncte faţă de axa neutră (Oz în fig. 10.11), pentru aceste puncte
se calculează tensiunea echivalentă. Utilizând teoria III de rezistenţă (III, 10.16) se
obţine:
σ ech = σ + 4 ⋅ τ =
2
2
M 2t
M2
+4
=
Wz2
( 2Wz ) 2
.
Fig. 10.11.
notat cu:
În care, în cazul teoriei III, s-a
M2 +
W
M ech = M i2 + M 2t ,
mărime ce se numeşte moment încovoietor echivalent.
Momentul echivalent este un moment de încovoiere convenţional, calculat cu
ajutorul unei teorii de rezistenţă prin care se echivalează o solicitare compusă de
încovoiere şi torsiune, numai pentru arborii de secţiune circulară sau inelară, cu o
solicitare de încovoiere.
Procedând în mod analog cu toate relaţiile (10.16) rezultă urmatoarele expresii
pentru momentul încovoietor echivalent:
I)
M ech == 0,5 ⋅ ( M i + M i2 + M 2t ) ,
II)
M ech = 0, 35 ⋅ M i + 0,65 ⋅ M i + M 2t ,
III) M ech = M i2 + M 2t ,
IV) M ech = M i2 + 0,65 ⋅ M 2t ,
V)
M ech = M i2 + 0,75 ⋅ M 2t .
(10.23)
Utilizând relaţiile (10.23) se obţine valoarea momentului încovoietor
echivalent. Acesta se utilizează în calculul de rezistenţă ca şi cum arborele ar fi
solicitat numai la încovoiere de către un moment având valoarea lui Mech,
Astfel, calculul de rezistenţă la arbori de secţiune circulară şi inelară
solicitaţi de Mi şi Mt va fi analog cu cel prezentat la încovoiere şi anume:
a) problemele de verificare:
σ ech =
M ech
≤ σa ,
Wz
(10.24)
b) problemele de capacitate de încărcare:
M echcap = σ a ⋅ Wz ,
(10.25)
c) problemele de dimensionare:
d nec = 3
32M ech
π ⋅ σa
sau D nec = 3
32M ech
.
(1 − k 4 ) ⋅ π ⋅ σ a
(10.26)
În cazul arborilor, tensiunea admisibilă se ia mai mică şi anume σa = σa
III,
deoarece s-a neglijat efectul forţei taietoare şi faptul că arborele este solicitat şi la
oboseală.
Aplicaţia 10.2 Să se dimensioneze arborele din figura (10.12,a), confecţionat
din OL 50 cu σa = 80 MPa ştiind că are secţiune inelară cu d = 0,8 D.
Rezolvare: Forţele P şi Q de la periferia celor două roţi se reduc în centrele
roţilor respective, rezultând schema de încărcare din figura (10.12,b), prin care
arborele este solicitat de forţele P şi Q la încovoiere (se neglijează solicitarea de
forfecare) şi de momentele M t , M t 3 = P ⋅ R1 şi M t 4 = Q ⋅ R 2 la torsiune.
Din ecuaţia de echilibru M tx = 0 se determină sarcina Q:
Q=
P ⋅ R 1 − M t 20 ⋅ 0,2 − 2,4
=
= 4 kN .
0,4
R2
Momentele de torsiune sunt:
M t1−3 = − M t = −2,4 kNm ,
M t 3−4 = − M t + P ⋅ R 1 = −2,4 + 20 ⋅ 0,2 = 1,6 kNm ,
M t 4 −2 = 0 ,
iar
diagrama
momentelor
de
torsiune
este
reprezentată în figura (10.12,c).
Reacţiunile din lagăre sunt:
V1 =
20 ⋅ 1 + 4 ⋅ 0,4
= 18 kN şi
1,2
V2 =
20 ⋅ 0,2 + 4 ⋅ 0,8
= 6 kN ,
1,2
iar momentele de încovoiere:
Fig. 10.12
M 3 = V1 ⋅ 0,2 = 18 ⋅ 0,2 = 3,6 kNm
şi
M 4 = V2 ⋅ 0,4 = 6 ⋅ 0,4 = 2,4 kNm .
Diagrama momentelor de încovoiere este reprezentată în figura (10.12,d).
Secţiunea periculoasă, unde se face calculul de rezistenţă este secţiunea (3)
unde Mi şi Mt au valori maxime (în valoare absolută) şi pentru această secţiune
momentul echivalent este:
M ech V = M 2i + 0,75 ⋅ M 2t = 3,62 + 0,75 ⋅ 2,4 2 = 4,157 kNm .
Diametrul necesar determinat de relaţia 10.26, pentru secţiune inelară este:
D nec
32 M ech
32 ⋅ 4,157 ÷ 106
=3
=3
= 96,42 mm .
π ⋅ σ a ⋅ (1 − k 4 )
π ⋅ 80 ⋅ (1 − 0,84 )
Se adoptă: D = 95 mm şi d = 76 mm.
Deoarece s-a adoptat o valoare inferioară celei calculate se va face obligatoriu
verificarea pentru a se vedea dacă nu s-a depăşit cu mai mult de 5% ⋅ σa.
σ max
32 ⋅ M ech
32 ⋅ 4,157 ⋅ 10 6
=
=
= 83,65 MPa < 1,05 ⋅ σ a = 84 MPa .
π ⋅ D 3efc ⋅ 1 − k 4
π ⋅ 953 ⋅ 1 − 0,84
(
)
(
)
10.7.3. Calculul de rezistenţă al barelor de secţiune oarecare supuse
unor solicitări compuse
Eforturile ce produc tensiuni normale într-o secţiune a barei sunt forţa axiala şi
momentul încovoietor. Tensiunile normale au direcţia axei astfel că se pot însuma
algebric în orice punct al secţiunii. Valorile acestor tensiuni într-un punct oarecare al
secţiunii pot fi calculate cu una din relaţiile:
σ=
My
My
M
M
N M
N
, σ = z ⋅ y, σ = z ⋅ y −
⋅ z, σ = + z ⋅ y −
⋅ z. (10.27)
A
Iz
A
It
Iy
Iz
Iy
Tensiunile normale maxime, ce se produc în secţiunea periculoasă şi în
punctele cele mai îndepărtate de axa neutră se calculează cu una din relaţiile:
σ max =
M
M
N max
M
M
N M
, σ max = max , σ max = z + y , σ max = + z + y . (10.28)
Wz
Wz Wy
A Wz Wy
A
Tensiunea tangenţială produsă de momentul de răsucire se calculează cu una
din relaţiile:
M
Mt
Mt
, τt =
, τ t = t ⋅ t,
2
I td
k ⋅h⋅b
2⋅ Ω ⋅ t
τt =
(10.29)
în funcţie de forma secţiunii barei, dreptunghiulară, profil subţire închis sau deschis,
sau:
τt =
Mt
,
Wt
de la generalizarea relaţiilor de calcul la răsucire (vezi § 8.9).
În toate aceste cazuri trebuie avut în vedere că aceste tensiuni sunt maxime pe
conturul exterior al secţiunii şi au direcţia tangentă la contur.
Forţa tăietoare produce tensiuni tangenţiale ce se calculează cu formulele lui
Juravski:
τ xy =
T ⋅ Sz
T ⋅ S 'z
.
şi τ xz =
t ⋅ Iz
b ⋅ Iz
(10.30)
Tensiunile tangenţiale dintr-un punct oarecare al secţiunii dacă au direcţii
diferite se vor însuma geometric cu relaţia:
τ = τ 2t + τ f2 + 2 ⋅ τ t ⋅ τ f ⋅ cos α ,
(10.31)
unde α este unghiul format de cele două tensiuni.
Întrucât tensiunile tangenţiale maxime τxy şi τt sunt pe conturul exterior, unde
iau valori maxime şi sunt tangente la contur, pentru toate punctele de pe contur
unghiul α
poate fi 0o sau 180o. Astfel că pe conturul secţiunii
tensiunile
tangenţiale se însumează algebric. În general însumarea se face în punctele
secţiunii în care cele două tensiuni sunt maxime şi au acelaşi sens (α = 0o):
τ max = τ tmax + τ xy =
M t T ⋅ S0
+
Wt b ⋅ I z
(10.32)
Pentru barele lungi, tensiunile tangenţiale produse de forţa tăietoare au valori
mici, în comparaţie cu τt şi ca atare nu se va lua în considerare efectul forţei taietoare
ci numai cel al momentului de răsucire, astfel că:
τ max ≅ τ tmax =
Mt
.
Wt
(10.33)
Ordinea operaţiilor în calculul de rezistenţă al barelor de secţiune
oarecare este urmatoarea:
a) Se trasează diagramele de eforturi, se evidenţiază secţiunile periculoase (unde
eforturile sunt maxime) şi se notează valorile eforturilor din fiecare secţiune
periculoasă. În cazul calculului de capacitate de încărcare este bine ca în loc de valori
să se scrie expresiile literare ale eforturilor.
b) Se efectuează calculul de rezistenţă cerut de problema respectivă şi anume:
- calculul de verificare al barei: constă în calcularea şi trasarea diagramei de
variaţie a tensiunilor pentru fiecare efort din secţiunea periculoasă. Pentru punctele
secţiunii cu tensiuni maxime se calculează tensiunile echivalente ce se compară cu
tensiunea admisibilă;
- sarcina capabilă: În acest caz trebuie ca eforturile şi tensiunile sa fie exprimate în
funcţie de sarcina P, necunoscută, apoi din condiţia σ max ≤ σ a se determină sarcina
capabilă P. Acest calcul este posibil numai dacă expresiile eforturilor pot fi exprimate
în funcţie de un singur parametru şi anume forţa P.
Dimensionarea barei solicitate compus este de fapt o predimensionare unde
se consideră:
σ ap = ( 0,5...0,9 ) ⋅ σ a ,
(10.34)
şi se calculează dimensiunile secţiunii ţinând seama numai de efortul preponderent.
Se adoptă dimensiunile şi apoi se face verificarea luând în considerare tensiunile
produse de toate solicitările din secţiunea periculoasă.
Aplicaţia 10.3 Să se verifice bara din figura 10.13 ştiind că este confecţionată
din OL 70 cu σa=180 MPa.
Rezolvare: Diagramele de eforturi sunt reprezentate sub bară şi se observă că
secţiunea periculoasă este secţiunea din încastrare (secţiunea B.)
Mărimile geometrice necesare sunt:
I z = (I zoi
6 ⋅ 9,6 3 − 5,4 ⋅ 8 3
+ y ⋅ Ai ) =
= 212 cm 4 ,
12
2
0i
S1 = S4 = 0 ,
, cm3 ,
S2 = S3 = 6 ⋅ 0,8 ⋅ 4,4 = 2112
SG = S2 + 4 ⋅ 0,6 ⋅ 2 = 25,92 cm3 ,
S'z = 2,7 ⋅ 0,8 ⋅ 4,4 = 9,504 cm 3 ,
It =
1
1
b t 3 = (2 ⋅ 6 ⋅ 0,83 + 8 ⋅ 0,63 ) = 2,624 cm 4 ,
∑
3
3
Wtd =
It
t max
=
2,624
= 3,28 cm 3 ,
0,8
Fig. 10.13
Wtdi =
I t 2,624
=
= 4,373 cm3 .
ti
0,6
Tensiunile corespunzatoare solicitărilor din secţiunea periculoasă sunt:
- la încovoiere:
M i ⋅ y i − 6 ⋅ 106 ⋅ ( −48)
σ1 = −σ 4 =
=
= 135,9 MPa ,
212 ⋅ 104
Iz
σ 2 = −σ 3 =
M i ⋅ y 3 − 6 ⋅ 106 ⋅ ( −40)
=
= 113,2 MPa ,
212 ⋅ 104
It
- la forfecare:
τ xy1 = τ xy 4 = 0
τ xy 2 t = τ xy 3t =
T ⋅ S2
24 ⋅ 103 ⋅ 2112
, ⋅ 103
=
= 3,985 MPa ,
60 ⋅ 212 ⋅ 104
b2t ⋅ I z
τ xy 2 i = τ xy 3i =
T ⋅ S2 24 x103 x2112
, x103
=
= 39,85MPa ,
b2iI z
6x212 x104
T ⋅ SG 24 ⋅ 103 ⋅ 25,92 ⋅ 103
τG =
=
= 48,91 MPa ,
bG ⋅ I z
6 ⋅ 212 ⋅ 104
τ xz max =
T ⋅ S'z 24 ⋅ 103 ⋅ 9,504 ⋅ 103
=
= 13,45 MPa ,
t ⋅ Iz
8 ⋅ 212 ⋅ 104
- la rasucire:
τ t max =
τ ti =
M t 0,144 ⋅ 106
=
= 43,9 MPa ,
Wtd
3,28 ⋅ 103
M t 0,144 ⋅ 106
=
= 32,93 MPa .
Wtdi 4,373 ⋅ 103
Diagramele de variaţie a tensiunilor, pe secţiunea periculoasă sunt reprezentate
în figura 10.14.
Fig. 10.14
Calculând tensiunile echivalente cu una din teoriile de rezistenţă (teoria a V-a)
şi comparând cu rezistenţa admisibilă se obţin:
σ ech = σ ech = σ 12 + 3 ⋅ τ12 = 135,9 2 + 3 ⋅ 43,9 2 = 155,7 MPa < σ a ,
1
4
σ ech = σ ech = σ 22 + 3 ⋅ τ 22 t = 113,2 2 + 3 ⋅ (43,9 + 13,45 + 3,985) 2 = 150,8 MPa < σ a
2t
3t
σ ech = σ ech = σ 22 + 3 ⋅ τ 22i = 113,2 2 + 3 ⋅ (39,85 + 32,93) 2 = 169,4 MPa < σ a
2i
3i
σ echG = 3 ⋅ τ G = 3 ⋅ (48,91 + 32,93) = 141,8 MPa < σ a
Bara rezistă.
Aplicaţia 10.4 Să se determine momentele capabile să le suporte secţiunea
periculoasă a barei din figura 10.15, dacă M t = 2 ⋅ M i şi σa = 150 MPa.
Rezolvare: Mărimile geometrice necesare sunt:
Wz =
Iz
20 ⋅ 153 − 19,4 ⋅ 14,4 3
=
= 106,4 cm 3 ,
12 ⋅ 7,5
y max
Wt = 2 ⋅ Ω ⋅ t min = 2 ⋅ 19,7 ⋅ 14,7 ⋅ 0,3 = 173,8 cm3 .
Fig. 10.15
Deoarece cele mai solicitate puncte ale secţiunii sunt cele de pe liniile 1 şi 2
(vezi diagramele tensiunilor) sarcinile capabile se vor determina cu ajutorul unei
teorii de rezistenţă (teoria III în acest caz) scrisă pentru acestea:
σ ech1
M
= σ + 4 ⋅ τ =  i
 Wz
2
1
2
1
2
M

 + 4 ⋅  t

 Wt
2

1
16
 = M i ⋅
+ 2
2
Wz
Wt

din care se obţine,
M i , cap =
σ a ⋅ Wz ⋅ Wt
W + 16 ⋅ W
2
t
2
z
=
150 ⋅ 106,4 ⋅ 173,8
10 ⋅ 173,82 + 16 ⋅ 106,4 2
3
Se adoptă: Mi cap = 6 kNm şi Mt cap= 12 kNm.
= 6,033 kNm .
Anexa 1
Tabelul 1
Rezistenţe admisibile
Pentru unele materiale folosite în construcţia de maşini
Rezistenţe admisibile
la tracţiune
MPa
Caracteristici mecanice
Materialul
Grupa
Simbol
STAS
σr
MPa
1
2
3
OL 37
5oo/1-80
σc
MPa
An
%
Celelalte rezistenţe
admisibile
Compr.
]ncov.
Răsucire
Forfec.
simrtică
σ ac
σ at
I
II
III
statică
pulsantă
alternant
σ ai
σ at
τ at
σ at
τ af
σ at
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
370-450
210-240
25-27
120-150
110-130
70-100
1,0
1,1-1,2
0,6-0,65
0,8
420-500
230-260
22
130-160
110-140
80-110
1,0
1,1-1,2
0,6-0,65
0,8
Oţel
OL 44
carbon
OL 52
500-620
270-290
19
150-180
125-160
90-120
1,0
1,1-1,2
0,6-0,65
0,8
OL 60
min.700
340-360
10
210-250
160-200
110-150
1,0
1,1-1,2
0,6-0,65
0,8
420
250
19
130-170
110-170
80-110
1,0
1,1-1,2
0,6-0,65
0,8
OlC 10
x
OLC25
xx
500
310
22
140-170
120-150
85-115
1,0
1,1-1,2
0,6-0,65
0,8
OLC45
xx
660
400
17
200-260
170-220
120-160
1,0
1,1-1,2
0,6-0,65
0,8
Oţel
18MC10
880
735
10
300-380-
230-320
150-220
1,0
1,1-1,2
0,6-0,65
0,8
aliat
33MoC11
880
690
12
300-380
230-280
180-230
1,0
1,1-1,2
0,6-0,65
0,8
1130
930
10
380-460
280-380
190-260
1,0
1,1-1,2
0,6-0,65
0,8
Oţel
corbon
de calit.
13CN35
880-80
791-80
Anexa 1 (continuare)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
turnat
OT 40-2
600-74
400
200
24
100-130
80-110
50-75
1,1
1,1
0,6-0,65
0,8
în piese
OT 50-2
500
280
18
130-180
100-130
70-95
1,1
1,1
0,6-0,65
0,8
230 ∗
-
-
60-80
50-70
30-45
2,5
-
1.2
-
∗
-
-
90-110
70-90
45-60
2,5
-
1,2
-
320
5
150-200
100-140
75-100
2,5
-
1,0-1,3 ∗∗
-
∗∗
-
Oţel
Fonte
grafit
Fc200
lamelar
568-82
Fc300
330
Fonte
grafit
Fgn45-5
lmodul.
Fgn60-2
Aliaje
Bz12T
nefer.de
turnare
6071-75
450
600
400
2
200-260
130-170
90-120
2,5
-
197-80
200
-
6
40-60
30-50-30-
20-30
1,0
1,0
0,7
-
AmT67
199/1-80
180
-
20
40-60
50
20-35
1,0
1,0
0,7
-
ATMg3Si
201-77
130
-
3
40-75
30-55
20-35
1,0
1,1-1,2
0,7
-
Observaţie:
x
călire şi revenire joasă;
xx
îmbunătăţit;
∗
∗∗
pentru probe cu diametrul de 20 mm.Piese cu crustă de turnare;
1,1 la solicitare I ; 1,2 la solicitare I I ; 1,3 la solicitare I la solicitare I III .
1,0-1,3
Anexa 1
Tabelul 2
Rezistenţe de calcul la starea limită
în MPa = N/mm 2 (Stas 10108 - 78)
I. Laminate din oţel
Limita de curgere minimă
Rc sauRo,2
Marca oţelului
t ≤16 mm
16 ≤ t ≤ 40 mm
210
230
240
260
280
265
350
355
355
420
460
200
220
230
250
270
255
340
345
335
410
450
OL 34
OLT 35
OL 37, RCA 37
OLT 45
OL 44
OCS 44
OL 52
RCA 52, RCS 52
OCS 52
OCS 55
OCS 58
γm
1,10
1,10
1,10
1,10
1,12
1,12
1,15
1,15
1,15
1,20
1,20
Rezistenţa de calcul
ptr.întindere, compresiune
şi încovoiere
t ≤16 mm
16 ≤ t ≤ 40 mm
190
210
220
240
260
260
315
315
315
360
390
180
200
210
230
250
250
300
300
300
340
370
Valoarea limitei de curgere, respectiv a rezistenţei de calcul (pentru grosimi t>40) se
obţin din relaţiile:
Rc = Rcm − 2 ⋅ s;
în care:
R=
Rc
γm,
Rcm este media aritmetică a limitei de curgere;
s abaterea medie pătratică standard şi
γ m coeficientul din tabelul de mai sus.
II. Piese din oţel carbon şi de calitate turnate
sau forjate sau din fontă turnată
Solicitarea
întindere din
încovoiere
Compresiune din
incov. sau din
forţă axială
Forfecare
Presiune locală
Presiune
diametrală
Simbol
Coef.
γm
OT40
OT50
OLC35
R
1,0
150
210
210
Faţă de
Ri
Fc150
Fc200
Ri = 1
45
60
R
160
180
Rf
0,6
90
130
130
0,36
35
45
R
4,0
600
840
840
3,5
550
650
Rd
0,04
6
8
8
-
-
-
III. Profile şi table laminate
Solicitarea
Simbol
Coef.
OLT
OL37
OLT
γm
35
RCA37
45
OL44
OL52O
OCS44
CS52
OCS55
OCS58
RCA52
RCB52
]ntindere, compr.,
încovoiere
R
1,0
200
200
230
250
300
340
370
Forfecare
Rf
0,6
120
120
140
150
180
210
220
R1
0,4
800
840
920
1000
1200
1360
1500
Rd
0,04
8
8,4
9,2
10
12
13,6
15
Presiune locală de
contact
Presiune pe plan
diametral
Rezistenţe de calcul pentru profile şi table cu grosimi t ≤16 mm
]ntindere, compr.,
încovoiere
R
1,0
210
220
240
260
315
360
390
Forfecare
Rf
0,6
125
130
145
155
190
215
235
Rezistenţe de calcul pentru cordoane de sudură
]ntindere, suduri
controlate ∗
Ris
1,0
200
210
230
250
300
340
370
Ris
0,8
160
170
180
200
240
280
300
s
c
]ntindere, suduri
necontrolate ∗
Compresiune
Forfecare
∗
Forfecare
∗∗
∗
R
Rf
1,0
200
210
230
250
300
340
370
0,6
120
130
140
150
180
210
220
Rf
0,7
140
150
160
170
210
240
260
Rezistenţe de calcul pentru cordoane de sudurăla profile laminate cu grosimi t ≤16 mm
]ntindere, suduri
controlate ∗
Ris
1,0
210
220
240
260
315
360
390
Ris
0,8
170
175
190
210
250
2900
310
s
c
1,0
210
220
240
260
315
360
390
0,6
125
130
145
155
190
215
235
]ntindere, suduri
necontrolate ∗
Compresiune
Forfecare
∗
R
Rf
∗
Observaţie:
∗
∗∗
Sudură cap la cap;
Sudură de colţ.
Anexa 2
Valorile caracteristicilor E, G, ν şi α
Material
Oţel carbon
Oţel aliat
Oţel turnat nerecopt
Oţel inoxidabil
Fontă cenuşie şi albă
Fontă perlitică maleabilă
Aluminiu
Duraluminiu (Al-Cu-Mg)
Aliaje de AL cu siliiciu
Aliaje de AL cu magnez.
Cupru laminat la rece
Alamă
Bronz
Plumb
Lemn de brad în lungul
fibrelor
Lemn de ştejar în lungul
fibrelor
Lemn perpendicular pe fibre
Beton cu σ r = 10 − 30 MPa
Beton armat comprimat
Beton armat încovoiat
Zidărie de cărămidă
Piatră de calcar, granit
Sticlă
Celuloid
Răşini epoxidice
Bachelit
Polistiren
Pertinax
Polietilenă
Textolit fibre
Cauciuc
Observaţie
∗
α ⋅ 10 −6
E
G
GPa
GPa
ν
200 - 215
190 - 220
175- 185
190 - 200
75 - 160 ∗
160 - 185 ∗
69 - 70
69 - 75
≈ 76
43 - 45
110 - 130
90 - 130
90 - 120
14 - 17
78 - 85
81 - 83
80 - 85
66 - 75
32 - 52 ∗
68 - 80 ∗
≈ 26
27 28
≈ 30
16 - 18
≈ 49
35 49
≈ 43
≈7
0,26 - 0,29
0,25 - 0,3
0,25 - 0,32
0,2 - 0,27
0,32 0,33
0,32 - 0,33
≈ 0,27
≈0,35
0,31 - 0,34
0.32 - 0,42
0,31 - 0,35
0,4 0,45
11 - 13
11 - 13
11 - 12
15 - 18
10 - 12
10 - 13
23 - 24
23 - 24
≈ 18
23 - 26
16 - 17
18 - 20
14 - 18
≈ 29
9 - 13
4,5 - 6 5
-
2-6
12 - 14
4,5 - 6,5
-
2-5
4 - 11
15 - 27
18 - 43
11 - 30
2,5 - 3
42 - 49
45 - 100
1,4 - 2,7
2,5 - 4
2-6
3-5
≈ 2,5
1 - 2,5
6 - 10
-0,2 - 0,6
4,5 - 6,5
21 - 23
0,6 - 0,8
0,7 - 2
≈3
2,2
0,00120,0014
0,16 - 0,18
0,18 - 0,3
0,18 - 0,3
0,24 - 0,27
0,35 - 0,45
0,35 - 0,38
≈ 0,5
9 - 12
10 - 12
10 - 14
2-8
6-7
30 - 60
130
270
-
La fontă E şi G scad cu solicitarea.
° C −1
Coeficienţi de siguranţă
Anexa 3
la solicitarea monoaxială şi temperatură normală
Solicitarea
Modul
Cedarea materialului prin:
Felul
]ntindere
Deformare tenace
Rupere tenace
Rupere fragilă
Compresiune
Deformare tenace
Flambaj
Rupere tenace
Rupere fragilă
Cicluri
simetrice
Oboseală
Flambaj
Cicluri
pulsante la
(ntindere
Deformare tenace
Oboseală tenace
Rupere fragilă
Oboseală fragilă
Statică
Variabilă
periodică
Deformare tenace
Cicluri
Oboseală tenace
pulsante la
Rupere fragilă
compresiune
Oboseală fragilă
Flambaj
Observaţie:
∗
σ c sauσ 0,2
σr
σr
σ c sauσ 0,2
σ c sauσ 0,2
σr
σr
σ −1t
σf
σ c sauσ 0,2
σ ot
σr
σ ot
σ c sauσ 0,2
σ ot
σr
σ ot
σf
Coeficientul de siguranţă faţă de:
Deformare
Rupere
Oboseală
Flambaj
1,2 - 2
-
2-3
2-4
-
-
1,2 - 2-
2-4
-
-
3-5
3-5
-
-
-
2-3
-
3-5
1,2 - 2
-
2-4
-
-.
2-3
2-3
-
1,2 - 2
-
-
-
-
-
-
3-5
-
2-4
-
-
-
-
2-3
3-5
-
-
-
După Wellinger - Dietmann, Festigkeitsberechnung, Alfred KrönermVerlag;
∗∗
Faţă de sarcina critică de flambaj elastic
∗
∗∗
ANEXA 4
SECŢIUNEA
Axele principale: 1 şi 2
Axele centrale: z şi y
ARIA
1
2
A
MĂRIMI GEOMETRICE
MOMENTE DE INERŢIE
DISTANŢE MAXIME
PRINCIPALE
până la punctele extreme
faţă de axele iniţiale alese
de la axele principale
3
MODULE DE REZISTENŢĂ
Iy
I
Wz = z , Wy =
y max
z max
RAZE DE INERŢIE
i1 = I 1 / A , i 2 = I 2 / A
4
5
1. Dreptunghi înclinat
z1 =
2
2
2
2
h ⋅ cos α + b ⋅ sin α

 h2 + b2 h2 − b2
I z = A
+
cos 2α i z = h + b + h − b cos 2α
2
24

 24
24
24
A= b⋅h
 h2 + b2 h2 − b2

h2 + b2 h2 − b2
I y = A
+
sin 2α i z =
+
cos 2α
24
24
24
 24

h ⋅ sin α + b ⋅ cos α
y1 =
2
α ≠ 0o
Pentru:
I z ≠ I1 , I y ≠ I 2
2. Dreptunghi cu gol simetric
z max =
A=h⋅(B-b)
y max
B
2
h
=
2
2
I y = I1 =
2
B −b
h
12
I y = I 21 =
B− b 3
h
12
W1 =
B3 − b 3
h
6B
W1 =
B3 − b 3
h
6B
i1 =
i2 =
B 2 + Bb + b 2
12
h
12
1
3. Pătrat cu gol simetric
2
3
4
z1 = y 1 =
A= H2-h2
u1 = v1 =
Anexa 4 (continuare)
5
H
2
H⋅ 2
2
H 4 − h4
Wz = Wy =
6H
H 2 − h2
Iz = Iy = Iu = Iv =
12
Wu = Wv =
4. Secţiuni compuse simetrice
A=
=(B⋅H-b⋅h)
z3 =
B2 ⋅ H − b 2 ⋅ h
2( B ⋅ H − b ⋅ h)
5. Secţiuni compuse simetrice
H
2
A=
B
y1 =
=B⋅H+b⋅h
2
2
b ⋅ h + B⋅ H( B + 2b)
z3 =
2( B⋅ H + b ⋅ h)
z1 =
6H 2
iz = iy = iy = iv =
=
H
y1 =
2
B
z1 =
2
H 4 − h4
B ⋅ H 3 − b ⋅ h3
12
3
B ⋅ H − b3 ⋅ h
= I2 =
12
I z = I1 =
I y1
Wz =
B 3 (H − h ) + (B − b ) h
12
B

I y 3 = I 2 = I y1 + B ⋅ H ⋅  z 3 − 

2
Iz
b

b h3  z

3
B⋅H + b⋅h
= I1 =
12
I y1 = I 2 =
I y2 = I 2 =
I y3 = I 2
Wy3
2
iz =
2
Wz =
B 3 (H − h ) + (B + b )3 h
12
(B + b )3 H − b 3 (H −
B ⋅ H 3 − b3 ⋅ h
12( B ⋅ H − b ⋅ h)
BH 3 + bh 3
6H
3
12
2
B3 ⋅ H − b 3 ⋅ h
6B
I y3
=
z3
B 3 ( H − h) + ( B + b ) h
Wy1 =
6( B + b)
h)
Wy2 =
B3h + b 3h
=
+
12
B


+ BH  z 3 −
− b


2
B ⋅ H 3 − b ⋅ h3
6H
Wy1 = Wy2 =
3
Iy2 = I2 =
H 2 + h2
12
b

+ bh z 3 − 

2
2
Wy3 =
( B + b)H − b( H − h)
6( B + b)
I y3
z3
1
6. Secţiune dublu T
2
3
y1 = y
A=
2
=(Bt1+bt2+ = Bt 1 + bt 2 (2 H − t 2 ) +
2( Bt 1 + bt 2 +
+gt)
+ gh(2 t 1 + h)
+ gh)
4
Iy =
Iz =
+
B3 t 1 + b 3 t 2 + g 3 h
12
By 13 − ( B − g)( y 1 − t 1 )
3
by 32 − ( b − g)( y 2 − t 2 )
+
iy =
3
3
y 2 = H − y1
7. Secţiune Z
3
B H 3 − bh 3
12
H
2B − g
3
si
 cos α +
g
h
+ 2 B 3t Bt
H
2
Iy =
+
(B − g )2
12
2
h
2B − g
Bt
cI zy = − ( B − g )( H − t )
 − sin α +
2
H
2
A=
e2 =
=(BH-bh)
2
H
g
 I 1 , I 2 = I z + I y ±  I z − I y  + I 2zy
e =  sin α + cos α
2
2 


H
2
'
2
α1 =
B2 H − b2 h
z1 =
2( BH − bh)
2 I zy
1
arctg
2
Iz − Iy
Iz
A
W1 =
I1
,
e1
W2 =
I2
e2
i1 =
I1
,
A
i2 =
I2
A
iz =
BH 3 − bh 3
12( BH − bh)
3
Iz =
3
H z − h ( z 2 − g ) + tz
BH2 − bh2
Iy =
y1 =
3
A=
2( BH − bh)
BH
=(BH-bh) z = B − z , y = H − y I z y = 4 ( B − 2 z 1 )( H − 2 y 1 ) −
2
1
2
1
e2 = z1 cosα − ( y2 − t) sin α
12( Bt 1 + bt 2 + gh)
B y 32 − b ( y 2 − t ) + g y 13
3
2
e1 = y1 cosα + z2 sin α
B3 t 1 + b 3 t 2 + g 3 h
iz =
Iz =
e1 =
8. Cornier
Anexa 4 (continuare)
5
3
B t1 + b3t 2 + g3h
Wy =
6B
Iz
Iz
,
Wz1 =
Wz 2 =
y2
y1
3
bh
( b − 2 z 1 )( h − 2 y 2 )
4
2 I zy
1
α 1 = arctg
Iz − Iy
2
−
3
1
W1 =
W2 =
I1
e1 max
I2
e 2 max
1
2
3
Anexa 4 (continuare)
5
4
9. Triunghi
y1 =
A=
bh
2
2
h
3
bh 2
24
bh 2
Wz 2 =
12
h
Iz =
18
Wz1 =
1
y2 = h
3
Iz =
bh 3
36
10. Romb
z1
A=
bh
2
bh 3
Iz = I2 =
48
b
2
I y = I1 =
h
y1 =
2
11. Trapez
y1 =
B− b
A=
h
2
y2 =
2B + b h
⋅
B+ b 3
Iz =
b3h
48
B 2 + 4 Bb + b 2 h 3
⋅
36
B+ b
Pentru trapez isoscel
2b + B
Iy =
h 3
( B + B2 b + Bb 2 + b 3 )
48
bh 2
,
Wz =
24
h
iz =
Wz1 =
iz =
48
Iz
,
y1
h
6( B + b)
,
b2 h
Wy =
24
iy =
Wz2 =
b
48
Iz
y2
⋅ 2( B2 + 4Bb + b2 )
1
12. Coroana circulară (k = d/D)
2
3
πD2
A=
(1− k2)
1
z1 = y1 =
Inel subţire
t=
A = π( D − t ) t
t=
4
I z = I y = I1 = I 2 =
D
2
=
D−d
2
Iz = Iy =
D− d
2
13. Sector inelar
2 sin ϕ R − r
⋅
3ϕ R 2 − r 2
z 1 = z 0 − r ⋅ cos ϕ
3
A = ( R 2 − r 2 )ϕ
Sector de
inel subţire
A = 2 tR m ϕ
πD 4
(1 − k 4 )
64
z0 =
3
R4 − r4
( 2ϕ − sin 2ϕ)
8
32 sin 2 ϕ 
R4 − r4 
 2ϕ − sin 2ϕ −
−
Iy =
9ϕ 
8

Iz =
4 R 2 r 2 t sin 2 ϕ
9( R + r )ϕ
z2 = R − z0
−
sin ϕ
z0 = R m
ϕ
tR 3m
I2 =
2
tR 3m
Iy =
2
y 1 = R m sin ϕ
πt
(D − d) 3
64
( 2ϕ − sin 2ϕ)


4
 2ϕ + sin 2ϕ − sin 2 ϕ
ϕ


Anexa 4 (continuare)
5
πD 3
(1 − k 4 )
32
Wz = Wy =
i2 = iy =
D2 + d 2
4
Wz = Wy = πt
i2 = iy =
W=
iy =
4D
D+t
2 2
R 4 − r 4 2ϕ − sin 2ϕ
⋅
8R
sin ϕ
Wy1 =
iz =
(D − t)3
Iy
z1
(R
Wy 2 =
,
2
− r2 )
Iy
z2
2ϕ − sin 2ϕ
8ϕ
Iy
A
14. Segment de cerc
A=
2ϕ − sin 2ϕ
=R
2
z 1 = R sin ϕ
4 R sin 3 ϕ
yo =
3 2ϕ − sin 2ϕ
y1 = R − y o
y 2 = y o − R cos ϕ
AR 4
I y = I1 =
4
I z = I2 =
Iy
I
Iz
 4 sin 3 ϕ cos ϕ 
, Wz 2 = z
1 −
 Wy = , Wz1 =
y2
y1
z1
 3 2ϕ − sin 2ϕ 
4 sin 3 ϕ cos ϕ
AR 2
(1 +
−
4
2ϕ − sin 2ϕ
32 sin 2 ϕ
)
−
9 2ϕ − sin 2ϕ
iy =
R
4 sin 2 ϕ cos ϕ
1−
2
3 2ϕ − sin 2ϕ
iz =
Iz
A
1
15. Semicoroană circulară
2
3
4
2 D −d
3π D 2 − d 2
D
y 2 = − y1
2
D
z1 =
2
3
y1 =
A=
D2 − d 2
π
8
Anexa 4 (continuare)
5
3
D4 − d 4
128
D4 − d 4
Iz = I2 =
128
I y = I1 =
−
π
πD 3
(1 − k 4 )
64
I
I
Wz1 = z ,
Wz 2 = z
y1
y2
Wy =
64 

π −  −

9π 
D2d 2 D − d
18π D + d
iy =
D2 + d 2
,
4
iz =
16. Coroană eliptică
y1=b
A = π( ab − a1b
I y = I1 =
π 3
(a b − a 13 b1 )
4
Wy =
π 3
(a b − a 13 b1 )
4a
Iz = I2 =
π
(ab 3 − ab13 )
4
Wz =
π
(ab 3 − ab13 )
4b
z1=a
17. Hexagon regulat
A = 1,5R 2 3
R
y1 =
3
2
z1 = R
5 3
R
8
5 3 3
Wy =
R
16
Wz =
I z = I y = I1 = I 2 =
5 3 4
R
16
iz = iy = R
5
24
Iz
A
PRESIUNEA MAXIMĂ DE CONTACT
Schema corpurilor în contact
1
ANEXA 5
A
2
B
3
Pmax
4
d1 + d 2
d 1d 2
d1 + d 2
d 1d 2
 d + d2 

0,62 ⋅ PE  1
 d 1d 2 
2
d1 − d 2
d 1d 2
d1 + d 2
d 1d 2
 d − d1 

0,62 ⋅ PE  2
 d 1d 2 
2
1
d
1
d
1
d1
1
1
+
d1 d 2
1.
3
2
2.
3
2
3.
0,62 ⋅ 3
PE 2
d2
4.
PE 2
α⋅
d 12
3
5.
1
1
−
d1 d 2
1
d1
 d − d1 

α ⋅ 3 PE  2
 d 1d 2 
Anexa 5
1
2
3
1
1
−
d1 d 2
1
1
+
d1 d 2
1
1
−
d2 d4
1
1
+
d4 d3
1
d2
1
d1
-
1
1
+
d4 d3
2
2
(continuare)
4
6.
 d 2 − d1 

α ⋅ PE 
 d 1d 2 
2
 d4 − d2 

α ⋅ 3 PE 
 d 2d 4 
2
2
3
7.
2
8.
α⋅3
PE 2
d 22
9.
0,59 ⋅
PE d 1 + d 2
L d 1d 2
10.
-
1
d
0,59 ⋅
P⋅E
d⋅L
ELEMENTE GEOMETRICE LA RĂSUCIRE
Forma secţiunii
transversale
ANEXA 6
Caractersticile geometrice
de rezistenţă
de rigiditate
Wt [cm3]
It [cm4]
2
3
1
1. Coroană circulară
πD 3
Wt =
16
  d  4
 1 −   
  D 
πD 4
It =
32
Locul
unde
este τmax
4
  d  4
 1 −   
  D 
pe conturul
exterior
2. Segment de cerc
D 3  2H 
Wt =


22,9  D 
pentru 2 <
2 ,82
 2H 
I t = 4,74 D 

 D
3, 35
4
A
D
<8
H
3. Cerc fără segment
Wt =
4. Cerc scobit
D 3 2,6H − D
⋅
8 0,3H + 0,7 D
Wt = αR 3
0 0,05 0,1
r/R
0,2
It =
0,4
A
D 4  2,6H 
− 1


16  D
I t = βR 4
0,6 0,8 1,0
1,5
α
1,57 0,89 0,82 0,81 0,76 0,66 0,52 0,38 0,14
β
1,57 1,56 1,56 1,46 1,22 0,92 0,63 0,38 0,07
A
5. Dreptunghi b<h
A
Wt = k 1 b h
It = k2b h
2
h/b
1
1,25
1,5
1,75
2,0
2,5
3
3
4
5
6
τ B = k 3τ A
8
10
∞
k1
0,208 0,221 0,231 0,239 0,246 0,258 0,267 0,282 0,292 0,299 0,307 0,313 0,333
k2
0,141 0,172 0,196 0,214 0,229 0,249 0,263 0,281 0,292 0,299 0,307 0,313 0,333
k3
1,0
0,292 0,859 0,820 0,795 0,766 0,752 0,745 0,743 0,742 0,742 0,742 0,742
1
6. Triunghi echilateral
2
Anexa 6 (continuare)
4
3
b3
h3
=
20 12,99
3 4
h3
It =
b =
80
25,98
A
Wt = 0,189 h 3
I t = 0,115h 4
A
Wt = 0,185h 3
I t = 0,108h 4
A
πa 3 b 3
πn 3 b 4
=
a 3 + b3 n2 + 1
A
Wt =
7. Hexagon regulat
8. Octogon regulat
9. Elipsă
10. Coroană eliptică
πab 2 πnb 2
Wt =
=
2
2
a
unde: n = ≥ 1
b
4
Wt = (1 − c ) nb 3
unde: c =
a 1 b1
=
,
a
b
a
n = ≥1
b
11. Profil subţire deschis
Wt
∑b h
=
3
i
i
3b max
hi > bi
12. Arc de grosime t
constantă
13. Profil subţire închis
It =
n3b4
I t = π(1 − c ) 4
n +1
4
1
It =
3
st 2
3
s = lungimea arcului
Wt =
Wt = 2Ωt min
Ω = aria închisă
de fibra medie s
∑b h
It =
3
i
i
st 3
3
4Ω 2
4Ω 2
=
ds
si
t
ti
s = este lungimea
fibrei medii
It =
∫
∑
A
la mijlocul
dreptunghiui
cu bmax
la mijlocul
laturii
în dreptul lui
tmin
OŢEL I (STAS 565-80)
Anexa 7



I = Moment de inerţie


W = Modul de rezistenţă
 raportate la axa de în cov oiere respectivă

I

i=
= Raza de inerţie
A

S z = Moment static al semi sec ţiunii 
Sibol
I
h
b
Dimensiuni
[mm]
t
g=R
r
Aria
secţiunii
[cm2]
8
80
42
5,77
3,9
2,3
10
100
50
6,64
4,5
2,7
12
120
58
7,52
5,1
3,1
14
140
66
8,40
5,7
3,4
16
160
74
9,28
6,3
3,8
1
180
82
10,16
6,9
4,1
20
200
90
11,04
7,5
4,5
*
22
220
98
11,92
8,1
4,9
24
240
106
12,80
8,7
5,2
*
26
260
113
13,77
9,4
5,6
28*
280
119
14,85
10,1
6,1
30
300
125
15,82
10,8
6,5
*
32
320
131
16,92
11,5
6,9
36*
360
143
19,05
13,0
7,8
40
400
155
21,10
14,4
8,6
*
Aceste profile nu mai sunt prevăzute în STAS 565 - 80
7,58
10,6
14,2
18,3
22,8
27,9
33,5
39,6
46,1
53,4
61,1
69,1
77,8
97,1
118
Mărimi geometrice inerţiale
Iz
[cm4]
778
171
328
573
935
1450
2140
3060
4250
5740
7590
9800
12510
19610
29210
z-z
Wz
[cm3]
19,5
34,2
54,7
81,9
117
161
214
278
354
442
542
653
782
1090
1460
iz
[cm]
3,20
4,01
4,81
5,61
6,40
7,20
8,00
8,80
9,59
10,4
11,1
11,9
12,7
14,2
15,7
Iy
[cm4]
6,29
12,2
21,5
36,2
54,7
81,3
117
162
221
288
364
451
555
818
1160
y-y
Wy
[cm3]
3,00
4,88
7,41
10,71
14,8
19,8
26,0
33,1
41,7
51,0
61,2
72,2
84,7
114
149
Sz
Simbol
I
iy
[cm]
0,91
1,07
1,23
1,40
1,55
1,71
1,87
2,02
2,20
2,32
2,45
2,56
2,67
2,90
3,13
[cm3]
11,4
19,9
31,8
47,7
68,0
93,4
125
162
206
257
316
381
457
638
857
8
10
12
14
16
18
20
22*
24
26*
28*
30
32*
36*
40
Anexa 8
OŢEL CORNIER CU ARIPI EGALE (STAS 424-80)

I = Moment de inerţie 

W = Modul de rezistenţă  raportate la axa de în cov oiere respectivă

I
i=
= Raza deinerţie 
A

Dimensiunile Aria Masa
r
r1
secţiunii secţiuni liniară
i
a*a*g, [mm] [cm2] [kg/m] [mm] [mm]
Distanţa axelor
[cm]
Mărimile statice pentru axele de încovoiere
x - x şi y - y
u-u
v-v
iu
Ix= Iy Wx= Wy ix= iy
Iu
Iv
[cm4] [cm3]
[cm] [cm4] [cm] [cm4]
20*20*4
1,45
1,14
3,5
2,0 0,64 1,41 0,90 0,71 0,14
0,36
0,58
0,77 0,73 0,21
30*30*4
2,27
1,78
5
2,5 0,88 2,12 1,24 1,05
1,8
0,85
0,89
2,85 1,12 0,75
40*40*4
3,08
2,42
6
3
1,12 2,83 1,58 1,40 4,47
1,55
1,2
7,09 1,52 1,85
40*40*5
3,79
2,97
6
3
1,16 2,83 1,64 1,42 5,43
1,91
1,20
8,60 1,51 2,26
50*50*5
4,80
3,77
7
3,5 1,40 3,54 1,98 1,76 11,0
3,05
1,51
17,4 1,90 4,54
50*50*6
5,09
4,47
7
3,55 1,45 3,54 2,04 1,77 12,8
3,61
1,50
20,4 1,89 5,33
60*90*6
6,91
5,42
8
4
1,69 4,24 2,39 2,11 22,8
5,29
1,82
36,2 2,29 9,43
60*60*8
9,63
7,04
8
4
1,77 4,24 2,50 2,14 29,2
6,89
1,80
46,2 2,26 12,1
70*70*7
9,40
7,38
9
4,5 1,97 4,95 2,79 2,47 42,4
8,41
2,12
67,1 2,67 17,5
80*80*8
12,30 9,63
10
5
2,26 5,66 3,19 2,82 72,2
12,6
2,43
115 3,06 29,8
100*100*10 19,2
15,0
12
6
2,82 7,07 3,99 3,54 177
24,6
3,04
280 3,83 72,9
120*120*10 23,2
18,2
13
6,5 3,31 8,49 4,69 4,23 313
36,0
3,67
497 4,63 129
140*140*14 37,6
29,4
15
7,5 3,98 9,90 5,61 5,07 689
68,8
4,30 1094 5,42 284
150*150*16 45,7
35,9
16
8
4,29 10,6 6,07 5,34 949
88,7
4,56 1510 5,74 391
160*160*14 43,3
34,0
17
8,5 4,47 11,3 6,30 5,77 1046
90,8
4,92 1662 6,20 431
160*160*16 49,1
38,5
17
8,5 4,55 11,3 6,42 5,79 1175
103
4,89 1866 6,17 485
OBSERVAŢIE - Masa este calculată pentru dimensiunile nominale pe baza densităţii de 7,85 kg/dm3.
e
u1
v1
v2
Wv
[cm3]
0,23
0,61
1,17
1,37
2,59
2,61
3,95
4,86
6,27
9,36
18,3
27,5
50,5
64,4
68,1
75,3
iv
[cm]
0,38
0,58
0,78
0,77
0,97
0,97
1,17
1,16
1,36
1,55
1,95
2,36
2,74
2,93
3,16
3,14
OŢEL CORNIER CU ARIPI NEEGALE (STAS 425-80)

I = Moment de inerţie 

W = Modul de rezistenţă  raportate la axa de în cov oiere respectivă

I
= Raza de inerţie
i=
A

Dimensiunile Aria Masa
Unghiul
de
înclinar
e
ex
ey
v3
v2
u1
u2
u3 a axelor Ix
4
[mm]
[cm2] [kg/m] [mm] [mm]
tg(ϕ) [cm
]
80*65*8 11,0 8,66 9
4 2,47 1,73 5,59 4,65 2,79 2,91 2,05 0,615 68,1
100*75*9 15,1 11,8 10
5 3,15 1,91 6,91 5,45 3,22 3,63 2,22 0,549 148
secţiunii secţi- liniară
a*b*g
uni
OBSERVAŢIE
r
r1
Distanţa axelor
[cm]
Mărimile statice pentru axele de încovoiere
x-x
y-y
u-u
v-v
Wx ix
Iy Wy iy
Iu
iu
[cm3 [cm] [cm4 [cm3 [cm] [cm4 [cm]
]
]
]
]
12,3 2,49 40,1 8,41 1,91 88,0 2,82
21,5 3,13 71,0 12,7 2,17 181 3,47
Iv
[cm4
]
20,3
37,8
iv
[cm]
1,35
1,59
-Momentul de inerţie (I), modulul de rezistenţă (W), raza de giraţie (i) sunt raportate la axele de încovoiere respective.
- Masa este calculată pentru dimensiunile nominale pe baza densităţii de 7,85 kg/dm3.
OŢEL U (STAS 564-80)
Anexa 10



I = Moment de inerţie


W = Modul de rezistenţă
 raportate la axa de în cov oiere respectivă

I

= Raza de inerţie
i=
A

S z = Moment static al semi sec ţiunii 
Sibol
h
I
*
5
6,5
8
10
12
14
16
18
20
22*
24
26*
30
*
Dimensiuni
[mm]
50
65
80
100
120
140
160
180
200
220
240
260
300
b
38
42
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
100
t
5
5,5
6
6
7
7
7,5
8
8,5
9
9,5
10
10
g=R
7
7,28
7,76
8,26
8,72
9,72
10,20
10,68
11,16
12,14
12,62
13,60
15,60
r
35
4
4
4,5
4,5
5
5,5
5,5
6
6,5
6,5
7
8
Aria
secţiuni
i
[cm2]
7,12
9,03
11,0
13,5
17,0
20,4
24,0
28,0
32,2
37,4
42,3
48,3
58,8
Mărimi geometrice inerţiale
Iz
[cm4]
26,4
57,5
1,06
205
364
605
925
1350
1910
2690
3600
4820
8030
Aceste profile nu mai sunt prevăzute în STAS 564 - 80
z-z
Wz
[cm3]
10,6
17,7
26,5
41,2
60,7
86,4
116
150
191
245
300
371
535
iz
[cm]
1,92
2,52
3,1
3,91
4,62
5,45
6,21
6,95
7,70
8,45
9,22
9,99
11,7
Iy
[cm4]
9,12
14,1
19,4
29,3
43,2
62,7
85,3
114
148
197
248
317
495
y-y
Wy
[cm3]
3,75
5,07
6,36
8,49
11,1
14,8
18,3
22,4
27,0
33,6
39,6
47,7
67,8
Sz
ey
Simbol
I
iy
[cm]
1,13
1,25
1,33
1,47
1,59
1,75
1,89
2,02
214
230
2,42
2,56
2,90
[cm3]
6,43
10,6
15,9
24,5
36,3
51,4
68,8
89,6
114
146
179
221
316
[cm]
1,37
1,42
1,45
1,55
1,60
1,75
1,84
1,92
2,01
2,14
2,23
2,36
2,70
5
6,5
8
10
12
14
16
18
20
22*
24
26*
30
ANEXA 11
OŢEL -T- şi OŢEL -Z-
I = Moment de inerţne
W = Modul de rezistenţe


 raportate la axa de
 în cov oiere respectivă
I
i=
= Rază de inerţne

A

Sz = Moment static al semi sec ţiunii 
Oţel T
Denumire
a
T
2*
2,1/2*
3
4
5
Dimensiuni [mm]
a=h
20
25
30
40
50
g=t=r
3
35
4
5
6
r1
1,5
2
2
2,5
3
Secţiunea Greutatea
r2
1
1
1
1
1,5
A
[cm2]
G
[N/m]
1,12
1,65
2,26
3,77
5,66
0,88
1,29
1,77
2,96
4,44
(STAS 566-80)
e
Mărimi geometrice inerţiale
Denumirea
[cm]
z-z
Iz [cm ] Wz [cm3] iz [cm] Iy [cm4]
y-y
Wy
[cm3]
iy [cm]
0,58
0,73
0,85
1,12
1,39
0,38
0,87
1,72
5,28
12,10
0,20
0,34
0,58
1,29
2,42
0,42
0,51
0,62
0,83
1,03
4
0,27
0,49
0,80
1,84
3,36
0,58
0,73
0,87
1,18
1,46
0,20
0,43
0,87
2,58
6,06
T
2*
2,1/2*
3
4
5
* Aceste profile nu mai sunt prevăzute în STAS (566 - 80)
Oţel Z
Denumire
a
Z
8
10
Dimensiuni [mm]
h
80
100
a
65
75
g=t
6,0
6,5
r
6,0
6,5
r
3,0
3,25
Secţiunea Greutate
Mărimi geometrice inerţiale
a
A
G
z-z
y-y
[cm2]
[N/m] Iz [cm4] Wz [cm3] iz [cm] Iy [cm4]
Wy
[cm3]
12,0
15,5
Greutatea teoretică este calculată cu greutatea specifică de 78,5 N/dm3.
9,42
12,20
123,9 30,98
251,4 50,29
3,21
4,02
94,0 15,17
158,0 22,02
Denumire
a
Z
iy [cm]
2,80
3,19
8
10
BIBLIOGRAFIE
1. Atanasiu, C., Canta,T., şa., Încercarea metalelor Ed. Tehnică, Bucureşti, 1982.
2. Avril, J., Encyclopedie Vishay d`Analyse des Contraintes, Vishay-Micromesurements, Paris, 1974.
3. Babeu, T., Rezistenţa materialelor, Institutul Politehnic Traian Vuia Timişoara,
1980.
4. Bausic, V., ş.a., Rezistenţa materialelor, vol.II, Inst. Politehnic Iaşi, 1978.
5. Bia, C.,ş.a. Rezistenţa materialelor şi teoria elasticităţii, Ed. Didact. şi Ped.
Bucureşti, 1983.
6. Blumenfeld, M., Calculul barelor cu calculatoare numerice, Ed. Tehnică,
Bucureşti 1975.
7. Boleanţu, L.ş.a.,Aplicaţii ale solidului deformabil în construcţia de maşini, Ed.
Facla, Timişoara, 1978.
8. Buga, M., Iliescu, N., Atanasiu C., Tudose I., Probleme alese din rezistenţa
materialelor , Tipografia Universităţii Politehnica Bucureşti, 1995.
9. Buzdugan, Gh. Rezistenţa materialelor, Ed. Academiei, Bucureşti, 1986.
10. Buzdugan, Gh., ş.a. Rezistenţa materialelor. Culegere de probleme, Ed.
Academiei, Bucureşti, 1991.
11. Cioclov, D., Mecanica ruperii materialelor, Ed. Academiei, Bucureşti, 1977.
12. Courbon, J., Resistance des materaux, vol. I şi II, Dunod, Paris,1965.
13. Curtu I. Sperchez F., Rezistenţa materialelor, vol. I, II Tipografia Universitãţii
Braşov, 1988.
14. Curtu, I. ş. a. , Mecanica lemnului şi materialelor pe bază de lemn, Ed.
Tehnică, Bucureşti, 1984.
15. Deutsch, I., Rezistenţa materialelor, Ed. Didact. şi Ped. Bucureşti, 1984.
16. Deutsch, I.,ş.a. Probleme de rezistenţa materialelor, Ed. Didact. şi Ped.
Bucureşti, 1979.
17. Felicia Doina Ciomocoş, Teodor Ciomocoş , Teoria elasticităţii în probleme şi
aplicaţii, Editura Facla, 1984.
18. Feodoseev,V.I., Izbranie zadaci i c vaprosî po soprotivleniu materialov,
Izdatelstovo Nauka, Moskva,1973.
19. Feodoseev,V.I., Résistance des matériaux, Edition Mir, Moskva, 1975.
20. Filonenko Borodici, Curs de rezistenţa materialelor, vol I şi II, Ed. Tehnică,
Bucureşti, 1951, 1952.
21. Goia, I., Rezistenţa materialelor, vol., I II, Tipografia Universitãţii Braşov,
1981.
22. Hűtte, Manualul inginerului -Fundamente , Editura Tehnică, Bucureşti 1997.
23. Hărdău M., Aplicarea metodei elementului finit la calculul de rezistenţă în
construcţia de maşini, Universitatea Tehnică Cluj-Napoca, 1992.
24. Ille, V. ş.a., Rezistenţa materialelor, Inst. Politehnic, Cluj- Napoca, 1980.
25. Massonnet, Ch., Résistance des matériaux, vol. I şi II, Dunod, Paris, 1968.
26. Mazilu, P. ş. a. Probleme de rezistenţa materialelor, vol. I şi II, Ed. Tehnică.
Bucureşti, 1969, 1975.
27. Mazilu, P., Rezistenţa materialelor, Inst. de Construcţii, Bucureşti, 1974.
28. Mocanu, D,R., Rezistenţa materialelor, Ed. Tehnică, Bucureşti, 1980.
29. Mocanu, D.R. ş.a., Analiza experimentală a tensiunilor, vol. I şi II, Ed.
Tehnică, Bucureşti, 1976, 1977.
30. Modiga, M., Rezistenţa materialelor, I.I.S. Galaţi, 1986.
31. Munteanu M., Radu N., Popa A., Rezistenţa materialelor, vol. I,II Tipografia
Universitãţii Braşov, 1989.
32. Petre, A. ş. a., Bare cu pereţi subţiri, Ed. Tehnică, Bucureşti, 1960.
33. Petre, A. Calculul structurilor de aviaţie, Ed. Tehnică, Bucureşti, 1984.
34. Ponomariov, S.D. ş.a., Calculul de rezistenţă în construcţia de maşini, vol. I, II
şi III, Ed. Tehnică, Bucureşti, 1960, 1963, 1964.
35. Posea, N., Rezistenţa materialelor, Ed. Did. şi Ped., Bucureşti, 1979.
36. Posea, N., Rezistenţa materialelor. Probleme, Ed.Şt, şi Enciclopedică,
Bucureşti, 1986.
37. Păstrav, I., Rezistenţa materialelor, Inst. Politehnic, Cluj- Napoca, 1979.
38. Radu, N. Gh., Munteanu, M, Biţ. C, Rezistenţa materialelor şi elemente de
teoria elasticităţii Vol. I 1995, Vol. II 1996, vol.III 1998, Ed. Macarie
Târgovişte.
39. Sofonea, G., Fraţilă, M., Rezistenţa materialelor, U. ”L. Blaga” Sibiu, 1998,
ISBN 973-9280-97-8
40. Sofonea, G., Fraţilă, M. Vasiloaica, C-tin. Culegere de probleme de Rezistenţa
materialelor, U. ”L. Blaga” Sibiu, 1995.
41. Sofonea G. şa. Îndrumar de lucrări de laborator, U. ”L. Blaga” Sibiu, 2001.
42. Solomon L., Elasticitate liniarã, Editura Academiei Bucureşti, 1969.
43. Teodorescu, P.P., Teoria elasticităţii şi introducere în mecanica solidului
deformabil, Ed. Dacia, Cluj-Napoca,1976.
44. Timoshenko,S.P., Résistance des matériaux, Vol. I şi II, 1986.
45. Tudose, I., Atanasiu, C., Iliescu, N. Rezistenţa materialelor, Ed. Didact. şi Ped.,
Bucureşti, 1981.
46. Voinea, R. ş.a. Mecanica solidului cu aplicaţii în inginerie Ed. Academiei
1989.