ELFI M405 - Gestion des risques financiers
Jean-Yves Gnabo
Séance 1a - Rappels de statistique et d’économétrie, introduction aux
séries chronologiques
23 Février, 2018
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Objectif de la séance
Séance du jour vise à:
Fournir un rappel complet des notions de statistiques et d’économétrie
de base ainsi qu’une introduction aux séries chronologiques
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References
Les principales références sont les suivantes.
Lectures non obligatoires :
Brooks, C. (2008),
Introductory Econometrics for Finance
Cambridge Univ. Press, 2nd ed.
Verbeek, M. (2013),
A Guide to Modern Econometrics
Wiley, 3rd ed.
Zivot, E. (2011),
Introduction to Computational Finance and Financial
Econometrics
Course Notes, University of Washington.
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Pour aller plus loin :
Davidson and MacKinnon (2003),
Econometric Theory and Methods
Oxford Univ. Press.
Pour aller plus loin :
Tsay, R.S. (2013),
An introduction to analysis of financial data with R
Wiley.
Jondeau, E., S.-H. Poon and M. Rockinger (2007)
Financial Modeling under Non-Gaussian Distributions
Springer Finance Series, Springer-Verlag.
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Une définition
Les économistes sont principalement intéressés par l’analyse des
relations entre des quantités différentes, par ex. la consommation et
le revenu, les salaires individuels et le niveau de scolarité, etc.
Econométrie, littéralement “mesure de l’économie” vise à quantifier
les relations à partir de données et de méthode statistiques
Finance empirique peut se voir comme l’ interaction/intersection
de la théorie financière, l’observation des données et les
méthodes statistiques.
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Quelques définitions utiles : Échantillon vs. Population
Les méthodes économétriques visent à extraire des informations des
données observées afin de dériver des estimations des paramètres du
modèle sous-jacent
Ces paramètres inconnus pilotent le vraie relation entre les variables
au niveau de la population
En général, nous n’avons pas accès à l’information sur la population,
mais sur un échantillon tiré de cette population, c’est-à-dire les
données observées
Nous considérons cet échantillon comme une réalisation de tous les
échantillons potentiels de même taille qui auraient pu être tirés de la
population
La validité de notre analyse statistique dépend de la représentativité
de cet échantillon observé spécifique
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Statistiques descriptives vs. Statistiques inférentielles
Statistiques descriptives
Statistiques inférentielles
Méthode pour organiser,
résumer et présenter des
données de manière
informative
Méthode utilisée pour
déterminer les caractéristiques
de la population à partir d’un
échantillon
Exemple : Descriptif ou inférentiel
1
En 2010, 21% des vins de Bordeaux vendus dans le monde étaient à
destination de la Chine.
2
Jobat a interrogé plus de 400 employeurs sur le salaire brut qu’ils octroyaient
aux jeunes diplômés. Sur base de ces informations, il ressort qu’un étudiant
type possedant un diplôme de bachelor et débutant dans une fonction
financière ou comptable aura tendance à percevoir un salaire brut de moins
de 1.750 euros; alors qu’un diplômé de master, aura presque 70 % de chance
de gagner un salaire de plus de 2.000 euros.
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Quelques définitions utiles: Unité statistique
Unités statistiques
Les données dont nous disposons sont des mesures faites sur des individus
(ou unités statistiques) issus d’une population. On s’intéresse à une ou
plusieurs particularités des individus appelées variables ou caractères.
L’ensemble des individus constitue l’échantillon étudié.
On s’intéresse d’abord à la description d’un échantillon (on analysera la
statistique inférentielle par après)
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Quelques définitions utiles : nature des données
Les données peuvent être
1
Univartiées (une variable par individu)
2
Multivariées (plus d’une variable par individu)
On distingue deux types de variables univariées
1
Discrètes : si l’ensemble des valeurs possibles est fini
2
Continues : si l’ensemble des valeurs possibles est infini
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Illustration: Population vs. Echantillon dans le cadre de la
relation entre x et y
Figure: Et si nous pouvions observer la population?- Source: Terracol (2012)
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Figure: Qu’obtient-on avec un premier échantillon sélectionné?- Source: Terracol (2012)
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Figure: Qu’obtient-on avec un deuxième échantillon ?- Source: Terracol (2012)
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Figure: Qu’obtient-on avec un troisième échantillon ? - Source: Terracol (2012)
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Figure: Qu’obtient-on si l’opération est répétée 1000 fois? - Source: Terracol (2012)
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Figure: Quel genre d’information sur β pouvons-nous déduire à partir d’un échantillon
unique?- Source: Terracol (2012)
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Methode d’analyse empirique
Figure: Les étapes de la formulation du modèle économétrique, Source: Brooks (2008)
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Règles d’or de l’analyse empirique
[Hendry (1980)] Hendry, nous dit que “les trois règles d’or en économétrie
sont test, test et test ”
Hendry, D.F. (1980),
Econometrics - alchemy or science?
Economica, 47, 387-406.
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Exemples de questions empiriques à traiter
Tester si les marchés financiers sont faiblement efficients
Tester si le CAPM/MEDAF ou APT représente des modèles
supérieurs pour la prévision des rendements des actifs risqués
Expliquer les déterminants des notations de crédit obligataires
utilisées par les agences de notation
Modélisation des relations à long terme entre les prix d’actif et les
fondamentaux
Tester différentes règles de trading techniques pour déterminer
laquelle est profitable
Prévoir le risque d?un actif ou d?un portefeuille et notamment les
risques extrêmes sur un horizon donné
etc.
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Types de données et modélisation pertinente
1
Données de séries chronologiques permettent de:
Tester les relations entre le présent et le passé
p. ex. Comment la croissance du PIB dépend-elle de ses valeurs
passées? Qu’arrive-t-il au taux d’intérêt à long terme si l’autorité
monétaire ajuste le taux à court terme?
Obtenir des prévisions pour les valeurs futures et l’incertitude /
volatilité correspondante
2
Données en coupes transversales permet de:
Tester les relations entre différentes variables mesurées à un moment
donné pour différentes unités / individus
p. ex. Quel est le lien entre l’épargne des ménages et le revenu des
ménages dans les différentes régions belges observée en 2013?
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3
Panel en combinant les dimensions temporelles et individuelles
permet de:
Tester les relations entre différentes variables pour différentes unités /
individus sur des périodes données (au moins deux périodes)
par exemple : Quel est le lien entre l’épargne des ménages et le revenu
des ménages dans les différentes régions belges au cours de la période
1980-2013?
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Que faisons-nous dans ce cours?
Dans ce cours, nous nous concentrerons sur les séries
chronologiques et méthodologies pertinentes associées, ceci couvre
en général:
estimation des relations entre une série et son passé et prédiction les
valeurs futures en se basant sur le Boı̂te-Jenkins AR (I) MA “toolbox
”;
estimation des relations à court terme entre différentes séries au fil du
temps; sous forme individuel ou de système VAR
analyse des notions de non-stationnarité, cointegration et modélisation
à long terme.
analyse de la volatilité dans le temps de la série en utilisant les
modèles (G) ARCH et d’analyse des mesures paramétriques et
non paramétriques de Value-at-Risk (VaR)
Nous devons d’abord rappeler:
ce que sont les séries d’intérêt pour les problèmes financiers et
comment elles sont calculées;
2 les bases de statistiques ainsi que la modélisation de régression linéaire;
enfin,Gnabo
les bases du test d’hypothèse.
Cours donné3paret
Jean-Yves
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1
1. Modélisation des actifs financiers
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Prix vs. rendements? Un premier survol
Figure: Source: Jondeau (2011)
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Prix vs. rendements? Predictions
Figure: Source: Jondeau (2011)
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Prix vs. rendements? Quelques éléments
Il y a au moins deux raisons pour se concentrer sur les rendements plutôt
que sur les prix:
Les investisseurs sont surtout intéressés par les rendements pour leurs
décisions d’investissement
Comme suggéré par les deux graphiques précédents, les rendements
ont des propriétés statistiques plus attrayantes que les prix
Stationnarité:
Intuition: Si un processus {Xt }+∞
−∞ est stationnaire en covariance, cela
implique que sa moyenne, la variance et la covariance ne dépendent pas
du temps
Au contraire, un processus non-stationnaire en covariance, c’est-à-dire
un processus stationnaire au sens faible, viole au moins l’une de ces
conditions
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Rendement simple sur une période
Pt le prix à la fin du mois t sur un actif qui ne rapporte pas de
dividendes
Pt−1 le prix à la fin du mois t − 1
t−1
Rt = PtP−P
est le rendement simple net à une période de date t − 1
t−1
à date t
t
est la rendement simple brute à une période à partir de
1 + Rt = PPt−1
la date t − 1 à ce jour t
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Exemple: Investissement d’un mois dans l’actif MSFT
Vous achetez des actions à la fin du mois t − 1 à Pt−1 = 85 USD et
vendez ces actions à la fin du mois prochain pour 90 USD. En supposant
que MSFT ne verse pas de dividende entre les mois t − 1 et t, les
rendements nets et bruts simples d’un mois sont:
90
Rt = 90−85
85 = 85 − 1 = 1, 0588 − 1 = 0, 0588
1 + Rt = 1.0588
L’investissement d’un mois dans MSFT donne un rendement de 5,88% par
mois.
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Rendement simple sur plusieurs périodes
Detenir l’actif sur k périodes de t − k à t donne les rendements k
-simples:
1 + Rt [k] =
Pt
Pt−k
=
Pt
Pt−1
Pt−k+1
Pt
=
×
× ··· ×
⇔
Pt−k
Pt−1 Pt−2
Pt−k
k−1
Y
(1 + Rt−j )
j=0
ù Rt [k] est le rendement k -simple de la date t − k à la date t
En général, les rendements sont exprimés implicitement sur une base
annuelle. Si l’actif est détenu sur k ans, le rendement annualisé
(moyen) est donné par:
RtA [k] =
h k−1
i1
Y
k
(1 + Rt−j ) − 1
j=0
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Multiple-period simple return (ctnd)
Dans certains cas, on utilise l’approximation suivante :
k−1
1X
Rt−j
RtA [k] ≈
k
j=0
Notez que cette approximation risque cependant d’être trompeuse
dans de nombreuses applications
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Simples ou log rendements?
Figure: Source: Jondeau (2011)
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Equivalence
Les rendements composites continus sont strictement équivalents aux
log-rendements, par construction
Les rendements simples peuvent être approximés par les
log-rendements à partir: ln(1 + u) ∼ u quand u ∼ 0, ce qui conduit à:
Rt ≡
Pt − Pt−1
Pt−1
Rt
Pt − Pt−1
' ln 1 +
Pt−1
Pt
' ln
Pt−1
Rt ∼0
Rt ∼0
' rt
Rt
Rt ∼0
Attention! Cette approximation est fausse dans le cas de valeurs
élevées pour les rendemments (crises)
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Paiement de dividendes
Les actifs financiers sont sujets au paiement de dividendes, le
rendement doit alors être ré-écrit tel que :
Rt
=
Pt + D t
−1=
Pt−1
Pt − Pt−1
+
Pt
| {z }
capital gain return
rt
= ln Pt + Dt − ln Pt−1
Dt
Pt−1
| {z }
et
gross dividend yield
où Dt représente le paiement du dividende d’un actif entre les dates
t − 1 et t, et Pt le prix de l’actif à la fin de la période d t (dividende
non inclus)
La plupart des indices de référence prennent en compte le paiement
de dividendes (exception: indice allemand, DAX index).
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Calcul des rendements en excès
Rendement en excès représente simplement la différence entre le
rendement de l’actif considéré et celui de l’actif sans risque, en
pratique les bonds du Trésor US (e.g. US T-Bill) ou bien celui des
obligations allemandes
Nous avons:
Zi,t = Ri,t − RF ,t and zi,t = ri,t − rF ,t
avec RF ,t and rF ,t le rendement simple ou bien les log-rendements de
l’actif sans risque
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2. Rappels de statistiques et
modélisation de la régression
linéaire
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Notations
Lettres latines avec e· dénotent les variables aléatoires par ex. Re ou re
Les lettres latines dénotent les valeurs réalisées des variables
aléatoires, par ex. R ou r
Les lettres grecques dénotent des paramètres, par ex. θ, µ ou σ
Les lettres grecques avec b· dénotent les estimateurs de paramètres ou
parfois des valeurs réalisées, par ex. µ
b est l’estimateur pour µ
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Variable aléatoire
Figure:
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Variable aléatoire
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Figure:
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Variable aléatoire
Figure:
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Variable aléatoire
Figure:
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Variable aléatoire
Figure:
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Gaussian distribution
Distribution gaussienne est la distribution la plus importante en
statistique et sciences appliquées
Hypothèse: Si les marchés sont efficients les rendements attendus
devraient être distribués normalement et les rendements réalisés
devraient être distribués également normalement autour des valeurs
attendues
Intuition: Une distribution de probabilités avec une forme en “cloche
” peut provenir des expériences de Bernoulli répétées un grand
nombre de fois
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L’intuition derrière les rendements gaussiens
Figure: Arbre binomial pour les prix - Source: Hull (2011)
où:
le prix peut augmenter de 5 % ou diminuer de 2,5 % à chaque noeud
probabilités de “up ” et “down ” sont les mêmes à chaque noeud
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Exemple : Loi de Bernoulli
C’est la variable de comptage la plus simple. X variable aléatoire à valeurs
dans {0; 1} telle que
p = P(X = 1);
1 − p = P(X = 0) :
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Exemple : Loi binomiale
Soient X1 ; ...; Xn des variables aléatoires i.i.d. (identiquement et
indépendamment distribuées) de Bernoulli B(p).
On pose S = X 1 + ... + Xn.
S suit une loiPbinomiale B(n; p) définie par
n!
p x (1 − p)n − s
P(S = s) = nk=0 (n−s)!s!
pour s = 0; 1; ...; n
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Figure: Distribution Binomiale - Source: IREM Marseille (2013)
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Figure: Distribution normale simulée - Source: Bodie, Kane and Marcus (2011)
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The Central Limit Theorem (CLT)
Soit X1 , . . . , XT une variable aléatoire i.i.d. avec E [Xt ] = µ et
Var(Xt ) = σ 2 . Alors:
X −µ
SE (X )
X
X −µ
√ ∼ N (0, 1) as T → ∞ ⇔
σ/ T
σ2
∼ N (µ, ) pour un grand groupe T
T
=
On dit que X est asymptotiquement normalement distribuée avec une
moyenne µ et une variance SE(X )2
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Paramètres d’interêt
Moyenne
La valeur espérée d’un résultat aléatoire est donnée par:
E [e
x] = x =
n
X
pi xi
i=1
Variance and StD
Le variance mesure dans quelle proportion le résultat réalisé est
susceptible de différer du résultat attendu:
n
X
Var [e
x ] = σx2 = E (e
x − x)2 =
pi (xi − x)2
i=1
Une autre mesure est donnée par son écart-type:
p
StD [e
x ] = σx = Var [e
x]
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Skewness
Le skewness correspond au 3ème moment standardisé:
E (e
x − x)3
Skewness [e
x ] = γ3 =
σx3
Il fournit une mesure de l’asymétrie dans la distribution xe.
Lorsque γ3 = 0, la distribution est dite symétrique par rapport à la
valeur moyenne E [e
x ] comme une distribution normale
Lorsque γ3 6= 0 alors:
Si γ3 > 0, la distribution est dite right skewed, c’est-à-dire que la
queue droite est plus longue et la masse de la distribution est
concentrée sur la gauche
Si γ3 < 0, la distribution est dite left skewed, c’est à dire que la queue
gauche est plus longue et la masse de la distribution est concentrée sur
le droite
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Figure: Source: Bodie, Kane and Marcus (2011)
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Kurtosis
Le kurtosis correspond au 4ème moment standardisé:
E (e
x − x)4
Kurtosis [e
x ] = γ4 =
σx4
Il fournit une mesure d’épaisseur des queues de distribution de xe
Quand γ4 = 3, la distribution est dite mesokurtik, comme la
distribution normale
Quand γ4 6= 3 nous distinguons
γ4 > 3, la distribution est dite leptokurtik, c’est-à-dire qu’elle présente
un pic aigu autour de la moyenne et des queues de distribution épaisses
γ4 < 3, la distribution est dite platykurtic, c’est-à-dire qu’elle présente
un pic plus large autour de la moyenne et des queues de distribution
minces
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Figure: Source: Bodie, Kane and Marcus (2011)
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Illustration
Exemple
Supposons que les variables aléatoires xe et ye sont les rendements de S &
P 500 et de MassAir respectivement, et que :
Etat
Probabilité
Rendement de S&P 500 (%)
Rendement de MassAir (%)
1
0.20
-5
-10
2
0.60
10
10
3
0.20
20
40
Valeur attendue
E [e
x ] = (0.20)(−0.05) + (0.60)(0.10) + (0.20)(0.20) = 0.09
E [e
y ] = 0.12
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Variance
σx2 = (0.20)(−0.05 − 0.09)2 + (0.60)(0.10 − 0.09)2 +
(0.20)(0.20 − 0.09)2 = 0.0064
σy2 = 0.0256
Mesure de volatilité ou StD
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1
σx
= (0.0064) 2 = 0.08
σy
= 0.16
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Covariance vs. correlation
Covariance
Le covariance mesure combien deux résultats aléatoires “varient ”
ensemble
Cov [e
x , ye] = σxy
y − y )]
= E [(e
x − x)(e
n
X
=
pi · (xi − x)(yi − y )
i=1
Correlation
La corrélation correspond à la mesure standardisée de la covariance:
Corr [e
x , ye] = ρxy =
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σxy
σx σy
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ρxy doit se situer entre −1 et 1
Les deux variables aléatoires sont :
Parfaitement corrélées positivement si ρxy = 1
Parfaitement corrélées négativement si ρxy = −1
non corrélées si ρxy = 0
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Illustration
Exemple (ctnd)
Pour les rendements sur S & P 500 et MassAir, nous rappelons que:
Etat
Probabilité
Rendement de S&P 500 (%)
Rendement de MassAir (%)
1
0.20
-5
-10
2
0.60
10
10
3
0.20
20
40
où x = 0.09, σx = 0.08, y = 0.12, et σy = 0.16
Covariance et correlation
On obtient:
σxy
et ρxy
=
(0.20)(−0.05−0.09)(−0.10−0.12)+(0.60)(0.10−0.09)(0.10−0.12)+(0.20)(0.20−0.09)(0.40−0.12)
=
0.0122
=
0.0122
= 0.953125
0.08 · 0.16
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Figure: Source: auteur
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Figure: Source: auteur
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Figure: Source: auteur
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Figure: Source: auteur
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Figure: Source: auteur
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Figure: Source: auteur
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Figure: Source: auteur
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Figure: Source: auteur
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Figure: Source: auteur
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Règles de calcul
Soit a et b deux constantes, nous obtenons:
E [ae
x ] = aE [e
x]
E [ae
x + be
y ] = aE [e
x ] + bE [e
y]
E [e
x ye] = E [e
x ] · E [e
y ] + Cov [e
x , ye]
Var [ae
x ] = a2 Var [e
x]
Var [ae
x + be
y ] = a2 Var [e
x ] + b 2 Var [e
y ] + 2abCov [e
x , ye]
Cov [e
x + ye, ze] = Cov [e
x , ze] + Cov [e
y , ze]
Cov [ae
x , be
y ] = abCov [e
x , ye]
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Le principe des regresssions linéaires
Le modèle de regression linéaire et la méthode d’estimation des
Moindres carrés ordinaires (MCO) constituent la pierre angulaire des
méthodes linéaires d’analyse empirique
La régression concerne la description et l’évaluation d’une relation
linéaire entre une variable donnée y , i.e. la variable
dépendante/expliquée, et une variable x ou plusieurs variables xk avec
k ∈ {1, . . . , K } , i.e. les variables indépendantes/explicatives
La regression diffère de la correlation où y et xk sont traitées de
manière complètement symétrique
Dans une regression, y est supposée aléatoire, i.e. elle possède une
distribution de probabilité, les observations représentant des
réalisations spécifiques de cette distribution, alors que xk est supposée
déterministe, ces valeurs restant les mêmes d’un échantillon à l’autre.
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Pour des raisons de simplicité, débutons avec k = 1, i.e. lorsque l’on
s’intéresse à la relation relation entre y et x
On suppose que la veritable relation que l’on cherche à identifier entre
y et x est linéaire et telle que :
y = f (x|β) = β0 + β1 x
Cette relation est paramètrée via un vecteur de paramètres
β = (β0 , β1 )0 que l’on souhaite identifier en utilisant la méthode
d’estimation adaptée comme par exemple:
“Plug-in” estimators
Maximum de vraisemblance
Moindres carrés, etc.
Notez que cette relation peut être d’interêt lorsque l’on s’intéresse à :
Estimer le coût des fonds propres à partir du beta du CAPM ;
Mesurer la relation de long terme entre prix des actifs et les dividendes;
Quantifier la propension marginale à consommer;
Prédire le risque d’un actif, etc.
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Intuition sur l’utilisation des regressions en finance
Considérons le problème du choix d’investissement.
Figure: Source: Terracol (2012)
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Exemple du choix d’investissement et de l’estimation du
“Beta”
Rappel (!)
Vue d’ensemble
Etapes du choix d’investissement
1. Calcul du taux plancher (coût du capital)
2. Calcul du taux de rentabilité (du projet)
3. Comparaison des deux (règle de décision)
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Exemple du choix d’investissement et de l’estimation du
“Beta”
Représentation simplifiée
Etapes du choix d’investissement
Taux Plancher
1. Calcul du taux plancher
=
Taux sans Risque
+
Prime de Risque
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On s’intéresse dans cet exemple à la première
étape du choix d’investissement (voir
Damodaran pour plus de détail). Le calcul du
taux plancher est primordiale pour la prise de
décision. Elle nécessite une bonne évaluation
des risques financiers encourus par l’investisseur
et le créancier. Le taux plancher correspond au
coût d’investissement, cad aux rendements
attendus par les investisseurs et les créanciers
en contrepartie du risque. Par conséquent, le
taux plancher sera d’autant plus important
qu’un projet est risqué.
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Exemple du choix d’investissement et de l’estimation du
“Beta”
Arguments requis pour l’utilisation
du MEDAF
rf
Taux sans risque
E (rM ) − rf
La prime de risque attendue
Objectif de la section
Le calcul du coût des fonds propres à partir de la
formule donnée par le MEDAF nécessite d’obtenir
des mesures précises pour les différents arguments de
la formule. Nous allons dans cet exemple examiner
les mesures les plus adéquates ainsi que les problèmes
que l’on peut rencontrer en pratique lors de la mise
en oeuvre de ce calcul.
Objectif financier
E (ri ) = rf + βi ∗ (E (rM ) − rf )
βi
La bêta du titre analysé
Cours donné par Jean-Yves Gnabo
73/148
Quel taux sans risque prendre en pratique?
Le taux utilisé est généralement celui qui rémunère un actif pour lequel il n’y a ni risque de défaillance ni risque de participation.
Les obligations d’Etat réunissent souvent - mais pas toujous - ces critères.
Quel horizon?
Quelle obligation d’Etat
Le taux sans risque est le taux d’une obligation d’Etat zéro
coupon dont la maturité est alignée sur l’horizon des
cash-flows - du projet d’investissement - analysés. D’un point
de vue théorique ceci signifie qu’il faudrait utiliser différents
taux sans risque en fonction de l’horizon des cash-flows
(obligation zéro coupon d’un an pour les cash-flows d’un an,
obligation zéro coupon de deux ans pour les cash-flows de deux
ans etc.). En pratique, il n’est souvent pas utile de prendre le
taux sans risque à différents horizons. On utilisera les taux de
long terme pour les projets de long terme et ceux de court
terme pour les projets de court terme.
Le taux sans risque qui doit être utilisé dans
l’analyse doit être celui d’une obligation émis dans la
même monnaie que les cash-flows du projet. En
d’autre terme, si le projet doit générer des cash-flows
en dollar le taux sans risque sera en dollar. Si les
cash-flows sont en euro, le taux sans risque doit être
en euro. En pratique, le taux sans risque sera obtenu
en prenant des obligations d’Etat, en cohérence avec
la devise des cash-flows. Pour des cash-flows en
dollar ceci implique de prendre des bonds du Trésor
américains. En Mai 2009, par exemple, le bond du
Trésor à 10 ans était de 3.5%.
Cours donné par Jean-Yves Gnabo
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Quelle prime de risque choisir en pratique?
L’aversion pour le risque et la
prime de risque
S’il s’agit de l’ensemble du marché, la prime de risque doit être
une moyenne pondérée de la prime demandée par chaque
investisseur.
1
Les poids sont déterminés en fonction de la richesse des
acteurs sur le marché. Ainsi, l’aversion pour le risque de
Warren Buffet comptera plus dans le calcul de la prime
de risque d’équilibre que la votre ou la mienne (!).
2
Les investisseurs devenant de plus en plus averse au
risque, on s’attend à ce que la prime augmente au fil du
temps.
Définition
La prime de risque est la rémunération que
l’investisseur demande pour investir dans un produit
de risque moyen, en supplément du taux sans risque.
1
La prime doit être supérieure à zéro
2
Elle augmente avec le degré d’aversion pour
le risque
3
Elle augmente avec le niveau moyen de
risque du marché
Rappel théorique
2
E(rM ) − r = 0.02ĀσM
Cours donné par Jean-Yves Gnabo
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Quelle est la bonne valeur du bêta?
Arguments requis pour l’utilisation
du MEDAF
rf
Taux sans risque
E (rM ) − rf
Approche par la régression
Le calcul du coût des fonds propres à partir de la
formule donnée par le MEDAF nécessite d’obtenir des
mesures précises pour les différents arguments de la
formule. Nous allons maintenant nous intéresser aux
mesures les plus adéquates pour mesurer la sensibilité
du risque du portefeuille à l’inclusion du titre, le bêta.
La principale approche consiste à estimer le bêta en
régressant le rendement du titre i (Ri ) sur le
rendement de marché (Rm ).
La prime de risque attendue
Modèle théorique pour la
regression
βi
Ri = a + b ∗ Rm
Le bêta du titre analysé
où a et b sont respectivement la constante et la
pente de la régression. La pente mesure le beta
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Interprétation de la régression
le alpha de Jensen
La constante de la régression offre une mesure
simple des performances durant la période de la
régression. En effet, Rj = Rf + b(Rm − Rf )
= Rf (1 − b) + bRm
Rj = a + bRm
(Test) Quelle est l’interprétation de:
1
a > Rf (1 − b) ....
2
a = Rf (1 − b)
3
a < Rf (1 − b)
Cours donné par Jean-Yves Gnabo
Risque systématique versus
spécifique
Le R 2 de la régression donne une
estimation de la proportion du risque
systématique et du risque spécifique
(1 − R 2 )
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Comment procède-t-on en pratique?
Exemple: choix des paramètres
pour le titre Disney
1
Période de 5 ans
2
Intervalles mensuels
3
Indice de marché: l’indice S& P 500
4
Choisir un indice de marché, et estimer son rendement
en incluant les dividendes éventuels.
Cours donné par Jean-Yves Gnabo
Procédure d’estimation
1
Choisir une période d’estimation: entre 2 et
5 ans. (Test) Quels sont les avantages et les
inconvénients?
2
Choisir la fréquence des données journalière, hebdomadaire, mensuelle. Une
fréquence trop grande, risque d’accroitre la
volatilité des résultats. D’un autre coté, elle
permet de travailler avec un plus grand
nombre d’observations.
3
Estimer les rendements en incluant les
dividendes si possible: Rendements = (Prix
de fin - Prix de début + Dividendes sur la
période)/ Prix de début de période
4
Choisir un indice de marché, et estimer son
rendement en incluant les dividendes
éventuels.
78/148
Comment procède-t-on en pratique?
Régression linéaire
Cours donné par Jean-Yves Gnabo
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Comment procède-t-on en pratique?
Exemple: choix des paramètres
pour le titre Disney
1
La constante doit être comparée à la moyenne
mensuelle du taux sans risque sur l’échantillon: la
moyenne des bonds du Trésor us sur la période est de
3.27%, le taux sans risque mensuel est donc de =
0.272% (=3.27%/12), taux sans risque * (1-beta)=
0.272% *(1-0.95)=0.01%
2
Alpha de Jensen = 0.47% - 0.01%=0.46%
3
(Test) Quelle conclusion peut-on tirer de ce calcul? Les
manageurs font-ils correctement leur travail?
4
(Test) Que peut-on dire du bêta estimé et du ”vrai”
bêta?
5
(Test) Que peut-on dire sur le risque systématique et le
risque spécifique?
Cours donné par Jean-Yves Gnabo
Procédure d’estimation
L’utilisation des rendements mensuels de 2004 à
2008, du titre Disney et du S& P500 permet
d’obtenir les résultats suivants:
ReturnsDisney = 0.47% + 0.95 Returns S &P 500
(R squared= 41%) (ecart-type de b =0.16)
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Peut-on faire confiance à l’estimation du bêta par l’approche des
régressions linéaires?
Cours donné par Jean-Yves Gnabo
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(Test) Quel investissement choisir?
Comment utiliser l’information sur le R 2
Vous êtes un investisseur diversifié qui hésite entre deux titres: Disney et Amgen. Les deux
possèdent le même bêta, 0.95, mais l’un, Disney, présente un R 2 de 41% alors que celui de
Amgen n’est que du 20.5%. Quel titre allez-vous choisir?
1
Amgen, car son R 2 est plus faible
2
Disney, car son R 2 est plus important
3
Vous êtes indifférent
Votre réponse serait-elle différente si vous étiez un investisseur non diversifié?
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Bêta et service d’information sur les marchés financiers
Estimation du Bêta proposée par Bloomberg
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Comment utiliser cette information pour la prise de décision (INVESTISSEUR/MANAGEUR)?
Rendements attendus pour le titre Disney en mai 2009
Arguments pour le calcul: (i) Bêta de Disney= 0.95, (ii) taux sans risque = 3.50% (Bond du Trésor américain en 2009), (iii)
prime de risque = 6% (basé sur la prime implicite début 2009)
RENDEMENT ATTENDU = Taux sans risque + Bêta * (Prime de risque) = 3.50% + 0.95 (6.00%) = 9.2%
Choix de l’INVESTISSEUR
Choix du MANAGEUR
En tant qu’investisseur dans la société Disney, quelle
information le rendement de 9.2% vous donne-t-il?
Les manageurs de Disney ont besoin
d’offrir un rendement d’au moins 9.2%
à leur investisseur pour les satisfaire.
C’est le taux plancher pour un projet.
1
C’est le rendement qui peut être attendu s’il
l’on investi dans la société Disney durant une
longue période, à la condition que l’action
soit correctement ”valorisée” (priced) et que
le MEDAF soit le bon modèle de risque.
2
C’est le rendement que j’ai besoin d’obtenir
pour être incité à investir dans l’action
Disney
3
les deux
1
En d’autres termes, le coût des fonds
propres de Disney est de 9.2%.
2
(Test) Que peut-il se passer si le taux n’est
pas atteint?
Imaginez maintenant que vous êtes un investisseur
actif. Vos recherches montrent que l’action peut
vous rapporter 12.5% durant les 5 prochaine années.
Etes-vous susceptibles de (a) vendre l’action, (b)
acheter l’action?
Cours donné par Jean-Yves Gnabo
84/148
Cours donné par Jean-Yves Gnabo
85/148
Peut-on évaluer la valeur du Bêta à partir de l’activité économique de la
firme?
Cours donné par Jean-Yves Gnabo
85/148
Quels sont les déterminants du bêta?
Composantes du bêta
La valeur du bêta est affecté par plusieurs facteurs (3 facteurs) que l’on peut isoler afin d’obtenir une mesure plus précise de
celui-ci. Le calcul du bêta fondamental est basé sur ce principe.
Déterminant 1:
Type de produit
La valeur du bêta dépend de la
sensibilité de son activité et
principalement des revenus de
la firme à la conjoncture
économique
(Test) Lesquelles des
firmes ayant une
activité pro-cyclique ou
contra-cyclique auront
selon vous le bêta le
plus important?
Cours donné par Jean-Yves Gnabo
Déterminant 2:
Effet du levier
opérationnel
Déterminant 3:
Levier financier
Le levier opérationnel fait
référence à la proportion des
coûts fixes de l’entreprise par
rapport aux coûts totaux.
Lorsqu’une firme emprunte, elle
accroit ses coûts fixes
(payement d’intérêts et
amortissement du principal) et
ainsi rend ses profits plus
volatiles
(Test) Quel peut-être selon
(Test) Quel peut-être selon
vous l’impact du levier
vous l’impact du levier financier
opérationnel sur la valeur du
sur la valeur du bêta?
bêta?
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Retour aux MCO, premières Intuitions
Considérons tout d’abord 100 dates sur lesquelles nous observons des
réalisations de y et x. Nous cherchons à expliquer y avec x.
Figure: Source: Terracol (2012)
Cours donné par Jean-Yves Gnabo
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Pour obtenir la droite qui “s’adapte” le mieux aux données, nous
écrivons le modèle suivant:
yt = β0 + β1 xt + εt
β0 correspond à la constante du modèle
β1 au coefficient associé à la variable x
εt correspond au terme d’erreur, i.e. le terme aléatoire qui capture :
les facteurs explicatifs de y qui ne sont pas compris dans le modèle;
erreur de mesure;
tous les facteurs qui font que la relation entre y et x n’est pas
parfaitement expliquée par une droite.
Cours donné par Jean-Yves Gnabo
88/148
Nous souhaitons estimer β0 et β1 en utilisant toute l’information à notre
disposition, par le biais de βb0 et βb1 , de telle sorte à obtenir une droite de
regression ybt = βb0 + βb1 xt avec “de bonnes propriétés”
Figure: Source: Terracol (2012)
Cours donné par Jean-Yves Gnabo
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La différence entre la prediction linéaire ybt et la valeur observée yt est
appelée résidu: et ≡ yt − ybt
Figure: Source: Terracol (2012)
Cours donné par Jean-Yves Gnabo
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Nota Bene
Attention aux différences entre:
εt le terme d’erreur (résidu) du modèle, qui correspond à la différence
entre l’observation yt et la “vraie” droite de regression basée sur la
population
et ≡ εbt , le résidu (résidu estimé), i.e. la difference entre l’observation
yt et ybt , la valeur prédite de yt donnée par l’estimation du modèle sur
les données accessibles {(x1 ; y1 ), (x2 ; y2 ), . . . , (x100 ; y100 )}
Cours donné par Jean-Yves Gnabo
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Critères formels des MCO
Le critère retenu pour determiner βb0 et βb1 consiste en la
minimisation de la Somme des Carrés des Résidus (SSR) tel que:
βb0 , βb1 ≡ argmin
β0 ,β1
= argmin
β0 ,β1
TX
=100
et2
t=1
TX
=100
(yt − β0 − β1 xt )2
t=1
C’est pourquoi βb = (βb0 , βb1 )0 est appelé l’estimateur des Moindres
carrés ordinaires (MCO) de β = (β0 , β1 )0
Notez que le fait de prendre le carré permet de s’assurer que les
erreurs positives et négatives ne s’annulent pas lors de la sommation.
Cours donné par Jean-Yves Gnabo
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Hypothèses de Gauss-Markov additionelles
A.1 E [εt ] = 0, i.e. les erreurs sont d’espérance nulle, qui veut
dire qu’en moyenne, la droite de regression doit être correcte
A.2 Var [εt ] = σε2 , ∀t, i.e. toutes les erreurs possèdent la même
variance ce qui correspond à la presence d’homoskedasticité
A.3 Cov [εt1 , εt2 ] = 0, ∀t1 , t2 , i.e. les erreurs ne sont pas
corrélées, ce qui exclut toute forme d’autocorrelation
A.4 Cov [εt , xt ] = 0, i.e. il n’y a pas de relation entre le terme
d’erreur et les variations de x , c’est ce que l’on appelle aussi
la condition d’ exogeneité, ceci veut également dire que xt et
εt sont independents
Sous ces hypothèses, il peut être montré que l’estimateur des MCO
possède de “bonnes ” propriétés, i.e. il est le Best Linear Unbiased
Estimator (BLUE) d’après le théorème de Gauss-Markov.
Cours donné par Jean-Yves Gnabo
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Hypothèses supplémentaires en petit échantillon
Une cinquième hypothèse est requise lorsque l’on souhaite réaliser de
l’inférence sur les paramètres de la population, i.e. les vrais β0 et β1 ,
à partir des paramètres sur l’échantillon disponible, βb0 et βb1 :
A.5 εt ∼ i.i.dN (0, σε2 )
Lorsque T est grand, le Théorème central limite (CLT) s’applique et
l’hypothèse de normalité n’est plus requise pour réaliser l’inférence
(test d’hypothèse).
Cours donné par Jean-Yves Gnabo
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Illustration: Estimation du modèle de Sharpe (Single Index
model)
Le SI index model développé par Sharpe (1962) est donné par
l’équation suivante:
ri,t
= αi + βi rM,t + εi,t , i = 1, . . . , N; t = 1, . . . , T
εi,t
2
∼ i.i.d N (0, σε,i
)
rM,t
2
∼ i.i.d N (µM , σM
)
Cov [εi,s , εj,t ] = 0 ∀i 6= j, ∀s, t
Cov [RM,s , εi,t ] = 0 ∀s, t
where:
µi = E [ri,t ] = αi + βi µM
Cov [ri,t , rM,t ]
σiM
= 2
βi =
Var [rM,t ]
σM
2
Les principaux paramètres à estimer sont: αi , βi and σε,i
Cours donné par Jean-Yves Gnabo
95/148
Une première approche: “Plug-in principle” estimators
D’après le “plug-in principle”, nous estimons les paramètres du modèle à
partir de statistiques sur l’échantillon tel que:
σ
biM
α
bi = ri − βbi r M and βbi =
2
σ
bM
où:
ri
rM
=
=
T
1 X
ri,t
T
1
T
t=1
T
X
rM,t
t=1
T
σ
biM
2
σ
bM
Cours donné par Jean-Yves Gnabo
=
=
1 X
ri,t − r i rM,t − r M
T −1
1
T −1
t=1
T X
ri,t − r i
2
t=1
96/148
Une alternative: estimateur des Moindres carrés ordinaires
(MCO)
SI model suppose une relation linéaire entre ri,t et rM,t avec une
constante αi et un coefficient de pente βi
Nous pouvons estimer αi et βi en cherchant la “droite la plus adaptée
” au nuage de points
Problème. Comment determiner la “droite la plus adaptée”?
Solution des moindres carrés. Nous minimisons la somme des carrés
des résidus (SSR)
Cours donné par Jean-Yves Gnabo
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0.0
−0.2
returns
0.2
Monthly cc returns on S&P 500 and Microsoft
−0.4
S&P 500
MSFT
1999
2000
2001
2002
2003
Index
Figure: Log-rendements - MSFT, SP500
Cours donné par Jean-Yves Gnabo
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Monthly cc returns on S&P 500 and Microsoft
●
●
●
●
0.2
●
●
●
●
0.0
●
●
●
●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
● ●
−0.2
cc return on MSFT
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
−0.4
●
●
−0.10
−0.05
0.00
0.05
0.10
cc return on S&P 500
Figure: Estimation des moindres carrés du modèle SI - MSFT, SP500
Cours donné par Jean-Yves Gnabo
99/148
Algorithme des moindres carrés
Quelques notations:
α
bi
βbi
rbi,t
ei,t
= croyance initiale pour αi
= croyance initiale pour βi
= α
bi + βbi rM,t = valeur prédite
= ri,t − rbi,t
= ri,t − α
bi + βbi rM,t = residu
Nous déterminons la meilleure droite d’ajustement en minimisant la
Somme des Carrés des Résidus (SSR) comme suit:
SSR(b
αi , βbi ) =
T
X
2
ei,t
t=1
=
T X
ri,t − α
bi − βbi rM,t
2
t=1
Cours donné par Jean-Yves Gnabo
100/148
En d’autres termes, les estimateurs des moindres carrés (ordinaires)
(OLS) sont la solution de:
min SSR(b
αi , βbi ) =
α
bi ,βbi
T X
ri,t
−α
bi − βbi rM,t
2
t=1
Notez. SSR(b
αi , βbi ) est une fonction quadratique α
bi ; βbi assurant l’existence d’une
solution analytique du programme de minimisation.
Les conditions du premier ordre du programme sont données par :
0=
∂SSR(b
αi ,βbi )
∂α
bi
= −2
T X
ri,t − α
bi − βbi rM,t
{z
}
t=1 |
(1)
ei,t
0=
∂SSR(b
αi ,βbi )
∂ βbi
= −2
T
X
rM,t ri,t − α
bi − βbi rM,t
|
{z
}
t=1
(2)
ei,t
Nous obtenons deux equations pour deux paramètres inconnus, il
existe donc une solution unique du programme.
Cours donné par Jean-Yves Gnabo
101/148
Interpretation de l’équation ”normale ”
Les equations précédentes sont appelées “équations normales” et
peuvent être interprétées comme suit:
Eq. (1):
T
X
ei,t = 0, impliquant que la somme des résidus soit zéro
t=1
Eq. (2):
T
X
ei,t rM,t = 0, impliquant l’orthogonalité entre le vecteur
t=1
des résidus e ≡ εb et celui de la variable explicative rM , i.e. e ⊥ rM
Ces résultats impliquent que la variable explicative rM,t et la valeur
prédite de ri,t , i.e. rbi,t sont non corrélées avec les termes du résidu ei,t
Cours donné par Jean-Yves Gnabo
102/148
Solution par le calcul
Les solutions de α
bi et βbi donnent finalement:
α
bi
βbi
Cours donné par Jean-Yves Gnabo
= r i − βbi r M
σ
biM
=
2
σ
bM
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Preuve
A partir de Eq. (1), nous avons:
T
X
ri,t
− Tα
bi − βbi
t=1
T
X
rM,t = 0 ⇔
t=1
Tri − Tα
bi − βbi T r M = 0 ⇔ α
bi = r i − βbi r M
A partir de Eq. (2), l’expression plugging pour α
bi donne:
T
X
rM,t (ri,t − r i + βbi r M − βbi rM,t ) = 0 ⇔
t=1
T
X
rM,t ri,t − T r i r M
+ βbi T r 2M − βbi
T
X
2
rM,t
= 0⇔
t=1
t=1
Amenant à :
T
X
rM,t ri,t − T r M r i
t=1
Cours donné par Jean-Yves Gnabo
= βbi
T
X
!
2
rM,t
−
T r 2M
t=1
104/148
Preuve(ctnd)
La resolution du programme de minimisation conduit à :
σ
biM
βbi = 2
σ
bM
Q.E.D.
Cours donné par Jean-Yves Gnabo
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Estimateur pour σε2i
Nous utilisons le principe “plug-in ” tel que:
ei,t
σ
bε2i
σ
bεi
= ri,t − α
bi − βbi rM,t
T
T
2
1 X
1 X 2
=
ei,t
ei,t − e i
=
|{z}
T −2
T −2
t=1
t=1
0
q
=
σ
bε2i = SER
= ecart type de la regression
Nota Bene.
σ
bεi est la taille habituelle du résidu = Ecart type de la regression (SER)
Diviser par T − 2 pour obtenir un estimateur non biaisé de σε2i
T − 2 = degrés de liberté = taille de l’échantillon - nombre de
paramètre à estimer (αi et βi dans ce cas)
Cours donné par Jean-Yves Gnabo
106/148
Estimateur pour σα2bi et σβbi
Nous pouvons montrer que:
L’ecart type estimé α
bi , noté σ
bαbi , est donné par:
T
X
2
rM,t
t=1
σ
bαbi = σ
bεi ·
T
T
X
2
rM,t
− T 2 r 2M
t=1
L’ecart type estimé pour βbi , noté σ
bβbi , est donné par:
σ
bβbi = σ
bεi ·
1
T
X
2
rM,t
− T r 2M
t=1
Preuve. La preuve formelle de ces résultats peut être trouvée dans
Brooks (2008), pp. 83-85
Cours donné par Jean-Yves Gnabo
107/148
Qualité du modèle
La qualité du modèle require de distinguer la part de la variance
totale du modèle expliquée de la variance résiduelle : :
σi2 = Var [ri,t ] = Var [αi + βi rM,t + εt ]
σi2
|{z}
Variance totale
=
2
βi2 σM
| {z }
Variance expliquée
+
σε2
|{z}
Variance résiduelle
La fraction de la variance totale expliquée par le modèle est donnée
par le coefficient du R2 comme suit:
R2 =
Cours donné par Jean-Yves Gnabo
β 2σ2
Variance expliquée
= 2 2i M 2
Variance totale
βi σM + σε
108/148
Quelle est la part du risque d’un actif expliquée par le
risque de marché ?
Rappelez vous que :
2
βi2 σM
= % de la variabilité de ri expliquée par rM
σi2
= % du risque total provient du marché
2
σε,i
= 1 − 2 = 1-% du risque total n’est pas dû au risque de marché
σi
Ri2 =
Cours donné par Jean-Yves Gnabo
109/148
Le modèle de Fama-French exprimé sous forme de matrice
Si nous considérons le modèle de Fama-French de rendement en excès,
celui si peut s’écrire comme suit :
yi,t = αi + βi1 ERMt + βi2 SMBt + βi3 HMLt + εi,t
ou de manière équivalente: yi,t = βi0 xt + εi,t with
0
qui peut être exprimé sous forme de
xt = 1 ERMt SMBt HMLt
matrices comme suit :
yi
(T ×1)





yi1
yi2
..
.

=
βi + εi
X
(T ×K +1) (K +1×1)
(T ×1)
⇔

SMB1
SMB2
..
.
HML1
HML2
..
.
SMBT
HMLT




 = 


yiT
(T ×1)
Cours donné par Jean-Yves Gnabo
1
1
..
.
ERM1
ERM2
..
.
1 ERMT
(T ×4)

  ε
i1
αi

 εi2

  βi1  
+ .

 βi2   ..
βi3
εiT
(4×1)





(T ×1)
110/148
Dérivation de l’estimateur des MCO: cas general
Utilisant les notations matricielles, nous écrivons ei le vecteur des
résidus correspondant à l’estimateur βbi de βi , le vecteur ou les
paramètres du modèle de Frama French s’écrit alors:
0
= yi − Xβbi
ei = ei1 ei2 . . . eiT
(T ×1)
Le SSR,
T
X
eit2 , est défini par:
t=1
SSR =
T
X
eit2 = e0i ei
t=1
Finalement, l’ estimateur des MCO de βi peut s’exprimer comme
suit:
−1 0
βbi = X0 X
X yi
Cours donné par Jean-Yves Gnabo
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Preuve
Le résultat des MCO provient du programme de minimisation suivant:
min SSR(βbi ) = e0i ei
bi
β
Cela vient de:
βbi
= argmin (yi − Xβi )0 (yi − Xβi )
βi
= argmin yi0 yi − 2βi0 X0 yi + βi0 X0 Xβi
βi
La condition du premier ordre est donnée par:
∂e0i ei
= −2X0 yi + 2X0 Xβi = 0
∂βi
Si βi est une solution qui doit résoudre l’équation normale comme
suit:
−1 0
X0 Xβi = X0 yi , menant à : βbi = X0 X
X yi Q.E.D.
Cours donné par Jean-Yves Gnabo
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h i
Au sujet du calcul de E βbi et de Var(βbi )
Comme évoqué, il peut être montré que l’estimateur des MCO de βi
est non biaisé, i.e. que :
h i
E βbi = βi
La variance de βbi peut s’écrire :
h i
−1
Var βbi = σεi X0 X
Cours donné par Jean-Yves Gnabo
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Preuve
Si l’on part de la définition de l’estimateur des MCO pour βi , nous
obtenons:
−1 0
−1 0
X (Xβi + εi )
X yi = X0 X
βbi = X0 X
−1
−1
X 0 X βi + X 0 X
= X0 X
X 0 εi
|
{z
}
IK+1
= βi + X 0 X
−1
X 0 εi
Il suit que:
βbi − βi = X0 X
−1
X 0 εi
Nous pouvons maintenant deriver l’expression pour la valeur espérée
de βbi comme suit:
h i
h
−1 0 i
E βbi
= E βi + X 0 X
X εi
−1 0
= βi + X 0 X
X E [εi ]
Cours donné par Jean-Yves Gnabo
= βi
Q.E.D.
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Preuve (ctnd)
Passons au calcul de la variance de βbi , nous obtenons:
h i0 h i h i
b
b
b
b
βi − E βbi
= E βi − E βi
Var βi
0 = E βbi − βi βbi − βi
h
−1 0 0
−1 i
= E X0 X
X εi εi X X 0 X
−1 0
−1
= X0 X
X E εi ε0i
X X0 X
| {z }
Var[εi ]=σεi IK+1
0
= σεi X X
−1
Q.E.D.
Nota Bene. X doit être de plein rang tel que (X0 X)−1 est inversible
Cours donné par Jean-Yves Gnabo
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Au sujet du R 2
Il existe de nombreux problèmes associés à notre mesure précédente
ESS
SSR
de qualité de modèle R 2 =
=1−
TSS
TSS
R 2 ne diminue jamais si des regresseurs auxiliaires sont ajoutés
puisque la somme des carrés des résidus au mieux restera stable ou
bien diminuera suite à l’addition de variables explicatives - Pourquoi?
R 2 prend souvent la valeur 0.9 ou plus pour les regressions des séries
temporelles
Une solution? Le R 2 ajusté
Cours donné par Jean-Yves Gnabo
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Au sujet du R 2 ajusté (ctnd)
Le R 2 ajusté est donné par :
2
R =1−
T −1
SSR/(T − K − 1)
=1−
1 − R2
TSS/(T − 1)
T −K −1
Si nous ajoutons un regresseur supplémentaire, K le R 2 doit
2
augmenter plus que la pénalité associée pour que le R augmente lui
aussi :
Il existe également des difficultés avec ce critère :
Il s’agit d’une règle “ad-hoc”
2
Il n’existe pas de distribution de R 2 ou de R permettant de faire
l’inférence
Cours donné par Jean-Yves Gnabo
117/148
Quelles sont les propriétés statistiques de ces estimateurs?
Est-ce que les estimateurs fournissent une “bonne ” approximation
des vraies valeurs des paramètres, i.e. s’ils sont :
(non)biaisés?
précis ?
consistents?
Quelle distribution de probabilité suivent-ils? Peut-on dériver un
intervalle de confiance des estimateurs?
En terme de test d’hypothèse, comment peut-on vérifier à partir des
données réelles la validité, des hypothèses/prédictions du modèle ?
Cours donné par Jean-Yves Gnabo
118/148
Un peu de théorie statistique: Estimateurs et leurs
propriétés
Si l’on noteθ le paramètre devant être estimé et θb un estimateur de θ
à partir de l’échantillon, les points importants sont les suivants:
θb est une variable aléatoire - sa valeur dépend des valeurs réalisées sur
un échantillon aléatoire
f θb est la fonction de densité (pdf) de θb - elle depend de la pdf de
variables aléatoire sur une échantillon aléatoire.
Les propriétés de θb peuvent être dérivées soit de manière analytique
en utilisant la théorie des probabilité, où soit en utilisant les
simulations Monte Carlo
Cours donné par Jean-Yves Gnabo
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Propriété des éstimateurs en échantillon fini
1
Biais
h
i
h i
b θ) = E θb − θ = E θb − θ
bias(θ,
h i
b θ) = 0 ⇔ E θb = θ
θb est non biaisé si biais(θ,
2
Précision
b =
SE(θ)
Ecart type de θb
s r
h i
h i2 =
Var θb = E θb − E θb
= σθb
Cours donné par Jean-Yves Gnabo
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Absence de bais est une propriété désirable d’un estimateur car ceci
implique que la valeur de l’estimateur est correcte “en moyenne”, i.e.
sur plusieurs réalisations
hypothétiques
de la variables aléatoire
o n
o
n
(1)
(1)
(2)
(2)
ri,1 , . . . , ri,T , ri,1 , . . . , ri,T ,. . .
. . . mais être correct “en moyenne” ne veut pas dire que la valeur
estimée est proche de la vraie valeur sur votre échantillon!
La valeur SE θb nous dira quelle est la proximité entre la valeur de
l’estimateur θb de θ et la valeur recherchée en moyenne
Pour l’illustrer, considérons θb1 et θb2 du paramètre θ
Lah vraie
i valeur θ est 0 h i
E θb1 = 0 alors que E θb2 > 0
h i
h i
Var θb1 >> Var θb2
Cours donné par Jean-Yves Gnabo
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La limite du biais comme critère de choix
Figure: Distributions de différents estimateurs pour θ = 0 - Source: Zivot (2012)
Cours donné par Jean-Yves Gnabo
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Les propriétés asymptotique des estimateurs
Un estimateur θb est qualifié de consistant pour θ, s’il converge en
probabilité vers θ, soit, si pour tout ε > 0 nous avons:
h
i
lim P |θb − θ| > ε = 0
T →∞
Intuitivement, si nous augmentons le nombre d’observations alors θb
finira par être égal à θ
Ainsi un estimateur θb sera consistant si:
b θ)=0 as T → ∞
biais(θ,
b θ)=0 as T → ∞
SE(θ,
Cours donné par Jean-Yves Gnabo
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Propriété de Gauss-Markov des estimateurs MCO en detail
Si nous assumons que le modèle SI est à la source des données
observées, i.e. que le modèle SI est le modèle générateur de données
2 sont
(DGP) des données observées, les estimateurs α
bi , βbi et σ
bε,i
caractérisés par les propriétés suivantes :
2
sont non biaisées
α
bi , βbi and σ
bε,i
2
sont consistants
α
bi , βbi and σ
bε,i
Grace au théorème de Gauss-Markov , il est démontré que ces
estimateurs sont Best Linear Unbiased Estimators (BLUE)
Preuve. Pour une demonstration formelle du résultat fondamental voir
[GME] ou Hayashi (2000), Section 1.3 ou bien Greene (2003), Section
4.4
Dans l’ensemble, ce résultat suggère qu’il n’est pas possible de faire
mieux que ce qui est donné par l’estimateur β des MCO dans le cas
linéaire.
Cours donné par Jean-Yves Gnabo
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Comment peut-on réaliser l’inférence statistique ?
En petit échantillon, i.e. lorsque T < 60, on doit s’appuyer sur une
hypothèse supplémentaire de normalité des termes d’erreur (A.5) pour
dériver les distributions des statistiques de test :
−1 εi ∼ N 0, σε2i IT ⇒ βbi ∼ N βi , σεi X0 X
Lorsque T est assez grand, le théorème central limite nous dit que :
θbi
c θbi )2 ), for θ ∈ {αi , βi }
∼ N (θi , SE(
Ainsi l’intervalle de confiance à 95% sera:
h
i
c θbi )
θbi ± 2 · SE(
Il est ainsi possible de dériver l’inférence pour les paramètres estimés
et de tester différentes hypothèses.
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125/148
3. Tests d’hypothèse
Cours donné par Jean-Yves Gnabo
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Rappel sur les tests d’hypothèse
1
2
Specification des tests:
H0 : hypothèse nulle vs. H1 : hypothèse alternative
Spécification du niveau de signification du test:
niveau = P [Rejet H0 |H0 est vrai]
= P [Erreur de type I]
3
4
Construction de la statistique de test, T , à partir des données
observées
Utilise la statistique de test T pour évaluer la vraisemblance de H0 :
|T | est grand ⇒ preuves contreH0
|T | est petit ⇒ preuves en faveur de H0
Habituellement, la region de rejet de T est déterminée par la valeur
critique cv tel que :
|T | > cv ⇒ rejet H0
Cours donné par Jean-Yves Gnabo
|T | ≤ cv ⇒ ne rejette pas H0
127/148
Intuition graphique: Zone de rejet pour un test de
significativité
Figure: Zone de rejet et de non rejet pour un test bilateral - Source: Brooks (2008)
Cours donné par Jean-Yves Gnabo
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Intuition graphique: Zone de rejet pour un test de
significativité (ctnd)
Figure: Zone de rejet et de non rejet pour un test unilateral (upper tail) - Source:
Brooks (2008)
Cours donné par Jean-Yves Gnabo
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Intuition graphique: Zone de rejet pour un test de
significativité (ctnd)
Figure: Zone de rejet et de non rejet pour un test unilateral (lower tail) - Source:
Brooks (2008)
Cours donné par Jean-Yves Gnabo
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Intuition graphique:: P-value
Figure: Identification de la P-value - Source: Terracol (2012)
Cours donné par Jean-Yves Gnabo
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Intuition graphique:P-value (ctnd)
Figure: Identification de la P-value - Source: Terracol (2012)
Cours donné par Jean-Yves Gnabo
132/148
Intuition graphique:P-value (ctnd)
Figure: Identification de la P-value - Source: Terracol (2012)
Cours donné par Jean-Yves Gnabo
133/148
Prise de décision et test d’hypothèse
Les situations auxquelles des décideurs peuvent être confrontés
peuvent être résumées comme suit:
Realité
Décision
H0 est vraie
H0 est fausse
Rejet H0
Erreur de type I Absence d’erreur
Pas d’erreur
Erreur de type II
Ne rejette pas H0
Deux caractéristiques importantes:
1
2
Niveau du test. Le but est de toute evidence d’obtenir un niveau de
significativité faible, i.e. une faible P [Erreur de type I], tel que 5% ou
1%
Puissance du test. Elle est définie comme 1 − P [Erreur de type II].
L’objectif est alors de construire un test ayant un niveau de puissance
important
Probleme: Ces objectifs sont contradictoires puisque que lorsque le
niveau → 0, alors la puissance → 0!
Cours donné par Jean-Yves Gnabo
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Test d’hypothèse du modèle SI
Les hypthèses du modèle qui peuvent être testées sont ;
Test de significativité basique:
H0 : βi = 0 vs. H1 : βi 6= 0
Test de valeur spécifique:
H0 : βi = βi0 vs. H1 : βi 6= βi0
Test de paramètre constant:
H0 : βi est constant sur l’ensemble de l’échantillon vs.
H1 : βi change sur des sous-parties de l’échantillon
Cours donné par Jean-Yves Gnabo
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Tests de significativité
Lorsque l’on test des valeurs spécifiques, nous testons: H0 : βi = βi0 vs.
H1 : βi 6= βi0
1
La statistique de test est donnée par:
tβi =β 0 =
i
βbi − βi0
c βbi )
SE(
L’ intuition est la suivante:
Si tβi =βi0 ≈ 0 alors βbi ≈ βi0 , et H0 : βi = βi0 ne doit pas être rejectée
c βbi ) supérieur à
Si |tβi =βi0 | > 2, disons, alors βbi est plus de 2 fois l’SE(
βi0 . Il est par consequent vraiment improbable que βbi ≈ βi0 , et
H0 : βi = βi0 doit être rejetée
Cours donné par Jean-Yves Gnabo
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Distribution de la t-stat sous H0
Sous l’hypothèse du modèle SI, et H0 : βi = βi0 , nous avons:
tβi =β 0 =
i
βbi − βi0
∼ t
c βbi ) H0 T −2
SE(
où: tT −2 a distribution de Student avec T − 2 degres de liberté (d.f.)
Cours donné par Jean-Yves Gnabo
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Figure: Distribution de Student’ t pour divers d.f. - Source: Zivot (2012)
Cours donné par Jean-Yves Gnabo
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tT −1 représente une courbe en cloche et est symétrique autour de
zero, à l’instar de la distribution gaussienne mais elle possède des
queues de distribution plus épaisses
d.f. correspond à la taille de l’échantillon - nombre de paramètres
estimés. Dans le modèle SI, nous estimons deux paramètres, i.e. β0
et β1 , ainsi d.f. = T − 2
Pour T ≥ 60, tT −2 ' N (0, 1). Alors, pour T ≥ 60, nous obtenons:
tβi =β 0 =
i
Cours donné par Jean-Yves Gnabo
βbi − βi0
' N (0, 1)
c βbi ) H0
SE(
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2
Nous fixons le niveau de significativité et déterminons la valeur
critique:
P [Erreur de type I] = 5%
Le test possède deux alternatives la valeur critique, cv est déterminée
selon:
t
t
T −2
T −2
P [|tT −2 | > cv ] = 0.05 ⇔ cv = −q0.025
= q0.975
t
T −2
où q0.975
=97.5%-quantile d’une distribution de Student avec T − 2
d.f.
Preuve.
P [|tT −2 | > cv ] = 0.05 ⇔
P [tT −2 > cv ] + P [tT −2 < −cv ] = 0.05 ⇔
2P [tT −2 > cv ] = 0.05 ⇔ 1 − P [tT −2 ≤ cv ] = 0.025
{z
}
|
FtT −2 (cv )
which leads to:
t
T −2
FtT −2 (cv ) = 1 − 0.025 ⇔ cv = Ft−1
(0.975) ≡ q0.975
T −2
Cours donné par Jean-Yves Gnabo
Q.E.D.
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3
La règle de décision est alors données par:
t
T −2
Rejet H0 : βi = βi0 en faveur de H1 : βi 6= βi0 if |tβi =β 0 | > q0.975
i
4
Finalement, nous définissons la P-value d’un test bilateral:
Il s’agit du niveau de significativité auquel le test est rejeté dans notre
cas:
h
i
h
i
h
i
P |tT −2 | > tβi =βi0
= P tT −2 < −tβi =βi0 + P tT −2 > tβi =βi0
h
i
= 2 · P tT −2 > |tβi =βi0 |
h
i
= 2 · 1 − P tT −2 ≤ |tβi =βi0 |
La règle de decision basée sur la P-value est alors donnée par:
Rejet H0 : βi = βi0 au seuil de 5%si P-value < 5%
Notez que pour T ≥ 60, nous avons:
h
P − value = 2 · P z > |tβi =βi0 | , z ∼ N (0, 1)
Cours donné par Jean-Yves Gnabo
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Test d’hypothèses multiples
Nous utilisons le t-test pour tester une hypothèse, i.e. hypothèse
impliquant un seul paramètre. Maintenant, que se passe-t-il si nous
souhaitons tester plus d’un paramètre en même temps?
Nous devons effectuer un F -test qui demande de procéder à deux
regressions:
1
2
Une regression non contrainte, qui est celle pour laquelle le coefficient
est déterminé librement par les données, comme par le passé.
Une regression contrainte, qui est celle pour laquelle les coefficients
sont contraints, i.e. nous imposons des valeurs aux paramètres βk s
Cours donné par Jean-Yves Gnabo
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Test d’hypothèse du modèle de Fama-French
Par exemple, il est possible de tester si tous les paramètres du modèle
de Fama-French sont nuls à l’exception de la constante
Les deux regressions à effectuer sont alors :
1
Le modèle non restreint:
yi,t = αi + βi1 ERMt + βi2 SMBt + βi3 HMLt + εui,t
2
Le modèle restreint:
yi,t
s.t.
= αi + βi1 ERMt + βi2 SMBt + βi3 HMLt + εci,t
βi1 = βi2 = βi3 = 0
ce qui nous conduit à :
yi,t = αi + εci,t
En d’autres termes, nous testons ici si le modèle de Fama-French
apporte de l’information pour la comprehension des rendements
financiers
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143/148
Formellement, supposons le modèle économétrique suivant :
y = Xβ + ε
Nous pouvons représenter le problème sous forme de test des
hypothèses suivantes:
H0 : Rβ = q
H1 : Rβ 6= q
at the α-level
L’idée est que si H0 tient, alors Hβb − q = m devrait être petit
Nous pouvons montrer que :
−1 0 R
m ∼H0 N 0, σε2 R X0 X
et que:
V = m0 Var [m]−1 m ∼H0 χ2(p)
où V correspond à la mesure de distance de Mahalanobis qui possède
de bonnes propriétés statistiques et p le nombre de restrictions
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F-stat pour les hypothèses jointes
Identification de la statistique de test. Finalement, nous pouvons
montrer que la F -stat est donnée par:
1
Soit:
F =
2
0 −1 −1
Rβb − q
σε2 R (X0 X) R0
Rβb − q
p
∼ F(p,T −K −1)
Ou de manière équivalente par :
F =
SSRr − SSRu T − K − 1
·
∼ F(p,T −K −1)
SSRu
p
avec: SSRr et SSRu la SSR du modèle contraint et non contraint resp.
Règle de décision. La distribution de Fisher, F , ne possède que des
valeurs positives et n’est pas symétrique. Par consequent nous ne
rejetons l’hypothèse nulle uniquement si F > cv1−α ou si la P-value
associée est inférieure à α%
Cours donné par Jean-Yves Gnabo
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Figure: Distribution de Fisher F - Source: Terracol (2012)
Cours donné par Jean-Yves Gnabo
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Rappel de calcul matriciel
Soit A , B et
(a×b) (a×c)
des matrices, nous obtenons:
C
(c×b)
(A + BC)0 = A0 + C0 B0
Soit
a
(k×1)
and
b
(k×1)
des vecteurs et D une matrice symétrique, nous
(k×k)
obtenons :
∂b0 a
∂a0 b
=
=a
∂b
∂b
and
∂a0 Da
= 2Da
∂a
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Rappel de calcul matriciel (ctnd)
Matrice semi définie positive C est caractérisée par : ∀x 6= 0,
x0 Cx ≥ 0
Matrice positive C est caractérisée par: ∀x 6= 0, x0 Cx > 0
A0 A matrice est symétrique et semi définie positive
La matrice A−1 est l’inverse de A si et seulement si : AA0 = A0 A = I
si A est de plein rang, AA0 est définie positive, son determinant est
strictement positif A0 A est inversible et son inverse (A0 A)−1 est
également défini positif.
Cours donné par Jean-Yves Gnabo
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