Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin. Matris Metotları. Prof.Dr. Engin ORAKDÖĞEN Doç.Dr. Ercan YÜKSEL Bahar Yarıyılı
advertisement
Prof.Dr. Engin ORAKDÖĞEN Doç.Dr. Ercan YÜKSEL 2015-2016 Bahar Yarıyılı Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları 1 HAREKET DENKLEMİ ZORLANMIŞ TİTREŞİMLER SERBEST TİTREŞİMLER BÖLÜM VIII 2 3 Yapı Dinamiğine Giriş Vedat Yerlici ve Hilmi Luş, Boğaziçi Üniversitesi Yayınevi, 2007. Bu bölümün hazırlanmasında aşağıdaki kaynaktan yararlanılmıştır. Atalet Kuvvetleri Sönüm Kuvvvetleri .. . [ S ][ d (t )] + [ P0 (t )] = [ q(t )] − [ M ] d (t ) − [c ] d (t ) [ S ][ d ] + [ P0 ] = [ q ] 4 Statik denge denklemine atalet kuvvetleri eklenerek hareket denklemi (Dinamik Denge Denklemi) elde edilir. Hareket Denklemi (Dinamik Denge Denklemi) Yerdeğiştirme Vektörü Hız Vektörü İvme Vektörü . .. d (t ) d (t ) 1 1 [ d (t )]1 ⋮ ⋮ ⋮ . .. .. . 2 d d [ d (t )] = [ d (t )]i , d (t ) = [ d (t )] = d (t ) , d (t ) = 2 [ d (t )] = d (t ) i i dt dt ⋮ ⋮ ⋮ [ d (t ) ] n . .. d (t ) d (t ) n n Yerdeğiştirme, hız, ivme, kütle, sönüm, rijitlik, eleman ve düğüm noktası yük matris ve vektörleri . .. [ d (t )] , d (t ) , d (t ) , [ M ] , [c ] , [ S ] , [ P0 (t )] , [ q(t )] 5 , Eleman Uç Kuvvetleri Vektörü [ P0 (t ) ]1 ⋮ [ P0 (t )] = [ P0 (t )]i ⋮ [ P (t )] 0 n (113) Düğüm Noktası Yükleri Vektörü [ q (t )]1 ⋮ [ q(t )] = [ q(t )]i ⋮ [ q (t )] n 6 D1 (t ) [ d (t )]i = D (114) ( t ) 2 i İki Boyutlu Elastisite Problemlerinde D1 (t ) [ d (t )]i = D2 (t ) D3 (t ) i Düzlem Çubuk Sistemler Q1 (t ) [ q(t )]i = Q (t ) 2 i Q1 (t ) [ q(t )]i = Q2 (t ) Q3 (t ) i 7 Plak Problemlerinde D1 (t ) [ d (t )]i = D2 (t ) D3 (t ) i (116) D1 (t ) [ d (t )]i = D2 (t ) D3 (t ) i Üç Boyutlu Elastisite Problemlerinde Q1 (t ) [ q(t )]i = Q2 (t ) Q3 (t ) i Q1 (t ) [ q(t )]i = Q2 (t ) Q3 (t ) i 8 Q1 (t ) [ q(t )] = Q2 (t ) Q3 (t ) Sistemin bazı yerdeğiştirmeleri bağımsız yerdeğiştirme bileşenleri olarak alınırsa, [q(t)] matrisinin elemanları bu yerdeğiştirme bileşenleri doğrultusundaki yüklerden oluşur. D1 (t ) D (t ) d ( t ) = [ ] 2 D3 (t ) 9 kütlesi elemanları üzerinde yayılı dx1 dx1 dxN dx1 kütlesi kat düzeylerinde yığılı dx1 10 M1=m(1)+m(2)+m(3)+m(4) kütlesi düğüm noktalarında yığılı (Çubuk boy kısalmaları yok sayılıyor) dx1 Sistemin Düğüm Noktaları Kütle Matrisi [M] ( m(1) + m (2) + m (3) + m(4) ) m (2) (5) (6) ( m + m ) 11 [ M ]2 ⋱ [ M ]i 0 ⋱ [ M ]n 12 Düğüm noktalarının yerdeğiştirmeleri doğrultusunda atalet kuvveti meydana getiren kütlelerden oluşmaktadır. Düğüm Noktalarının Kütle Matrisi [ M ]1 [M ] = 0 0 0 M i 0 0 [ M ]i = 0 M i 0 0 M1 [Mi ] = 0 0 M 2 Küçük kolon-kiriş birleşim bölgesi durumunda Im~0 İki Boyutlu Elastisite Problemlerinde 0 0 M i Im 0 [ M ]i = 0 M 0 0 Düzlem Çubuk Sistemler Im = M= 2 ∫∫ m dx dy ∫∫ mr dxdy r : kütle merkezine uzaklık m : birim alanın kütlesi 13 M2 0 0 0 0 M 3 M1 0 0 [ M i ] = 0 0 0 0 0 0 İnce Plak Problemlerinde M1 [ M i ] = 0 0 Üç Boyutlu Elastisite Problemlerinde 14 VIII.2 Zorlanmış Titreşim VIII.2.1. Genel Hal (Rastgele Dış Etki Hali) a) Sayısal İntegrasyon Yöntemleri b) Modların Süperpozisyonu Yöntemi VIII.2.2. Özel Hal (Harmonik Zor Hali) a) Genel Yol b) Yaklaşık Yol VIII.3. Serbest Titreşim a) Genel Yol b) Determinant kriteri yöntemi c) Vianello-Stodola yöntemi d) Rayleigh yöntemi 15 zaman aralığının yapı periyodunun 1/10 dan uzun olmaması önerilmektedir. Sayısal hesaplardan anlamlı sonuç alabilmek için, kullanılacak zaman aralığının, hem yapının doğal titreşim periyodundan yeterince küçük, hem de rijitlik ve sönüm fonksiyonları ile yüklerde olabilecek değişiklikleri yeterince doğru biçimde yansıtacak kadar kısa olması gerekir. Kullanılacak Kütle, rijitlik ve sönüm özellikleri bilinirse oluşacak dinamik hareket sayısal hesap yöntemleriyle belirlenebilir. Bu yöntemler çok küçük zaman ve durum dilimleri için geliştirilen temel bazı denklemleri ardışık dilimler için tekrarlayıp, istenen zaman aralığında aranan davranışı bulmaya dayanır. Bunun için her bir zaman diliminde incelenen yapının belirli rijitlik ve sönüm özelliklerine sahip olduğu, dış etkilerin de bilindiği varsayılır. Sayısal İntegrasyon Yöntemleri 16 Taylor açılımına göre aşağıdaki gibi hesaplanabilir. Taylor seri açılımına göre, türevleri göreceli olarak düzgün olan sürekli bir fonksiyonun bir noktadaki değeri, fonksiyonun kendisi ve türevlerinin başka bir noktadaki değerlerine bağlı olarak ifade edilebilir. Örneğin, zamana bağlı g(t) fonksiyonunun t2 anındaki değeri g(t2), t=t1 anandaki Sayısal hesap yöntemlerinin çoğu, her hesap adımında yerdeğiştirme ve hız için Taylor seri açılımının kullanılmasına dayanır. Yapıların dinamik hareketlerini belirleyebilmek için uygulamada genelde SAYISAL HESAP yöntemlerinden yararlanılır. Doğrusal olmayan sistemlerde dinamik hesap ancak bu yolla yapılabilir.Dinamik hesaplarda kullanılabilen birçok sayısal analiz yöntemi mevcuttur. Sayısal İntegrasyon Yöntemleri 17 ∆t 2 ∆t 3 g [ n + 1] = g [ n ] + gɺ [ n ] ∆t + gɺɺ [ n ] + ɺɺɺ g (t1 ) + ... 2! 3! ∆t 2 ∆t 3 g [ n − 1] = g [ n ] − gɺ [ n ] ∆t + gɺɺ [ n ] − ɺɺɺ g (t1 ) + ... 2! 3! kullanıldığında, fonksiyonun t anındaki değeri g[n] ile gösterilirse kadarsa t=n∆t olur. Zamanı belirlemek üzere sadece adım sayısı Herhangi bir t zamanına n. adımda gelindiyse ve her adım ∆t zaman aralığı (t2 − t1 ) 2 (t2 − t1 )3 g (t2 ) = g (t1 ) + gɺ (t1 )(t2 − t1 ) + gɺɺ(t1 ) + ɺɺɺ g (t1 ) + ... 2! 3! Taylor Seri Açılımı 18 g (t ) (n)∆t (n − 1)∆t (n + 1)∆t ∆t ∆t ∆t 2 g [ n + 1] = g [ n ] + gɺ [ n ] ∆t + gɺɺ [ n ] 2! (t ) denklemiyle hesaplanır. Taylor açılımında yüksek mertebeden terimler ihmal edilirse 19 Merkezi Farklar Yöntemi Sabit İvme Yöntemi Ortalama İvme Yöntemi Doğrusal İvme Yöntemi Newmark Yöntemleri Herhangi bir adımdaki türev ifadelerini Taylor seri açılımı yardımıyla yaklaşık olarak hesaplamaya dayanır. Yerdeğiştirmenin t+∆t ve t-∆t anlarındaki değerleri t anında Taylor seri açılımı ile ifade ediilirse Merkezi Farklar Yöntemi 1. 2. 3. 4. 5. Sayısal İntegrasyon Yöntemlerinden Başlıcaları; 20 x [ n + 1] − x [ n − 1] = 2 xɺ [ n ] ∆t Bu iki açılımın farkından x [ n + 1] + x [ n − 1] = 2 x [ n ] + ɺɺ x [ n ] ∆t 2 Bu iki açılımın toplamından ∆t 2 x [ n − 1] = x [ n ] − xɺ [ n ] ∆t + ɺɺ x [ n] 2! ∆t 2 x [ n + 1] = x [ n ] + xɺ [ n ] ∆t + ɺɺ x [ n] 2! 21 2∆t ɺɺ x [ n] = ∆t 2 x [ n + 1] − 2 x [ n ] + x [ n − 1] x [ n + 1] − 2 x [ n ] + x [ n − 1] x [ n + 1] − x [ n − 1] m + c + kx [ n ] = F [n] 2 ∆t 2∆t mxɺɺ[ n] + cxɺ [ n] + kx [ n] = F [n] Bu yöntemle, sönümlü tek serbestlik dereceli sistemin hesabı kolaylıkla yapılabilir. xɺ [ n ] = x [ n + 1] − x [ n − 1] ∆t yeterince küçük seçildiğinde t anındaki hız ve ivme 22 m c B2 = B3 − 2 2∆t ∆t 2m B1 = B3 2 − k ∆t B3 = c m ∆t 2 + 2∆t 1 x [ n + 1] = B1 x [ n ] + B2 x [ n − 1] + B3 F [ n ] π ≈ 0.318T olmalıdır. ∆t < T 23 Yöntemden anlamlı sonuçlar elde edilmesi için Eğer n. adım ve önceki adımlarda kütlenin yerdeğiştirmesi hesaplanmış ise bu denklemdeki tek bilinmeyen x[n+1] dir. Benzer terimler ortak parantezde toplanacak olursa ifadenin alacağı biçim 100 a 200 200 a 4φ 8 φ 6/140 4φ 8 φ 6/140 200 200 Sayısal/Analog (D/A) Dönüşümü Analog/Sayısal (A/D) Dönüşümü 100 1333 933 933 1533 mm 200 Yerdeğiştirme Kontrolü Servo Kontrol Ünitesinin Komutlanması Yük Ölçerden Kuvvet Okuması 100 Deney numunesi Hedef Yerdeğiştirmenin Hesabı Dinamik Denge Denkleminin Çözümü Yatay Rijitlik Matrisinin Kurulması Kullanılan ivme kaydı Sistem yatay rijitlik matrisinin deneysel olarak belirlendiği Benzeşik Dinamik Deney (Pseudo dynamic test) uygulaması Örnek 200 1400 800 400 200 100 b b 24 c2=2.0 b2=0.1 h1'=0.2 a1'>10.0 ITME ÇEKME b1'>15.0 mm d1'=0.2 f1'=0.2 a1=2.5 c1'=3.0 h4=0.1 e1'=2.0 Örnek (devam) Yerdeğiştirme, Kuvvet Değişimleri c1=0.7 f1=0.1 e1=0.1 a1>3.5 d1=1.8 b1>3.5 25 Bir sonraki adımdaki yerdeğiştirme ve hızı hesaplamak için, o adımdaki ivmeyi bilmek gerekir. Yöntemin kullanılması için döngüsel bir yaklaşım gerekir. ɺɺ x(n) + ɺɺ x(n + 1) ɺɺ x(t ) = 2 Ortalama İvme Yöntemi n ve n+1 adımlar arasında ivme değeri sabit kabul edilir. Bu yöntemde her bir adım başındaki kütle ivmesinin ∆t zaman dilimi boyunca sabit kaldığı varsayılır. İlerleyen adımlarda sonuçlar gerçekten uzaklaşabilir. Hassas bir yöntem değildir. Sabit İvme Yöntemi 26 bir yaklaşım kullanılır. Adım başında bilinmeyen ɺɺx(n+1) doğrusal değiştiği varsayılır. n ve n+1 adımlar arasında ivmenin, Doğrusal İvme Yöntemi ɺɺ x(n + 1) değerleri arasında değerini tahmin etmek için döngüsel ɺɺ x ( n) 27 Harmonik Yükleme Durumu .... 28 .... 29 dinamik dış etki hali için genel yollardan biri uygulanarak çözüm elde edilir. . Başlangıç koşulları verildiğinde [ d (0) ] , d (0) verilirse rastgele Genel Yol .. . [ S ][ d (t )] + [ M ] d (t ) + [c ] d (t ) = 0 Hareket denkleminde çubuk ve düğüm noktası yük matrisleri yerine 0 konulduğunda Serbest Titreşim Analizi (Dış Etkisiz Sistemin Titreşimi) 30 [d] Özel modun şekli (özel vektör) ω özel açısal frekans (özel değer) [ S ][ d ] − ω [ M ][ d ] = 0 [ S ] − ω 2 [ M ] [ d ] = 0 2 Homogen denklemi elde edilir. Bu denklemin sıfırdan farklı köklerinin olabilmesi için, yani titreşim oluşması için, katsayılar matrisinin 31 determinantı sıfıra eşit olmalıdır. [ S ][ d ] sin ωt − ω 2 [ M ][ d ] sin ωt + 0 = 0 [ d (t ) ] = [ d ] sin ω t [ Sd ][ d (t )] + [ M ] dɺɺ(t ) = 0 Serbest titreşimi ait hareket denkleminde [c]=0 alınırsa (sönümsüz titreşim), Determinant Kriteri Yöntemi Karakteristik denklem [d ] i D1i D 2i . = . . Dni 32 i. Mod şekli Özel Değerlerin Bulunması Karakteristik denklem çözülerek (küçük sistemlerde) veya determinantfrekans ilişkisi çizilerek (büyük sistemlerde) çözüme ulaşılır. ∆ = det( [ S ] − ω 2 [ M ] ) Denkleminde örneğin D1i seçilir. Bu durumda, artık homojen olmayan (n1) bilinmeyenli (n) denklemden biri çıkarılarak elde edilen (n-1) denklemin çözümü ile diğerleri (D2i, ....,Dni) bulunur. [ S ] − ω 2 [ M ] [ d ] = 0 ωi özel açısal frekansına karşı gelen yerdeğiştirme vektörüne i. titreşim moduna ait özel vektör (mod şekli) adı verilir. Özel vektörün hesabı için, ωi özel açısal frekans değerinin yerine konulduğu Özel Vektörlerin Bulunması 33 D11 D 21 . = . . Dn1 Özel Vektörler Mod Biçimleri [ d ]2 D12 D 22 . = . . . .[ d ]n . . Dn 2 ω2 D1n D 2n . = . . Dnn ωn Özel vektör yerdeğiştirmeleri kendi mutlak değerleri ile değil, aralarındaki oranlar ile tanımlanır. Özel Vektörlerin sayısı sistemin dinamik serbestlik sayisi kadardır. Bu da bağımsız atalet kuvvetlerinin sayısına eşittir. [ d ]1 ω1 Özel değerler .... 34 Örnek .... 35 .... 36 −1 −1 [ M ][ d ] 1 d 2 [ ] w [S ] = [F ] −1 Elde edilir. ile çarpıldığında; [ S ][ d ] = w2 [ S ] [S ] [ F ][ M ][ d ] = [S ] −1 bağıntısının iki tarafı da [ S ][ d ] = w2 [ M ] [ d ] Özel değer ve özel vektörlerin belirlenmesi için uygulanan bir ardışık yaklaşık yöntemidir. Vianello-Stodola Yöntemi 37 (n) = [d ] ( n −1) ≅ k [d ] k oranı sabit olduğunda yani ardışık iki adımda elde edilen [d] vektörlerinin terimleri arasında sabit bir oran olduğunda ardışık yaklaşıma son verilir. [ F ][ M ][ d ] ( n −1) [ F ][ M ][ d ] = [d ] ( 3) ( 2) = [d ] ( 2) (1) Özel vektörü için birinci seçim (yerdeğiştirmelerin oranları seçilebilir.) [ F ][ M ][ d ] [d ] (1) 1. Modun Belirlenmesi 38 ( n) ω T= k= →ω ω 2π 2 1 İkinci Mod için seçilen özel vektör şeklinde hesaplanır. Bu moda 1. mod adı verilir. Pratikte en çok ihtiyaç duyulan moddur. Ardışık yaklaşımın ikinci moda yakınsamasını sağlamak için, her adımda, seçilen vektörden birinci modun katkısını çıkarmak gerekir. Buna süpürme işlemi denir. [d ] ( 2) İkinci Modun Belirlenmesi Özel değer de Bu durumda; Özel vektör [ d ] 39 İle soldan çarpıldığında T [ d ]1 [ M ] d 2 α1 = T [ d ]1 [ M ][ d ]1 =0 d 2 yeni 2 = d − α1 [ d ]1 [ d ]i [ M ][ d ] j = 0 T i≠ j Her adımda bu şekilde seçilen vektör kullanılır. Modların diklik özelliğinden =0 T T T T [ d ]1 [ M ] d 2 = α1 [ d ]1 [ M ][ d ]1 + α 2 [ d ]1 [ M ][ d ]2 + α 3 [ d ]1 [ M ][ d ]3 + ... T [d ] 1 [M ] T d = α1 [ d ] + α 2 [ d ] + α 3 [ d ] + ..... 1 2 3 2 40 n T T [ d ]n−1 [ M ] d n α n −1 = T [ d ]n−1 [ M ][ d ]n−1 = d − α1 [ d ]1 − α 2 [ d ]2 − ...α n −1 [ d ]n −1 [ d ]1 [ M ] d 2 α1 = T d [ ]1 [ M ][ d ]1 d n yeni Diğer modlar için 41 Örnek (Dosyadan) .... 42 Rayleigh Oranı .... 43 .... 44 Örnek (Dosyadan) .... 45 Özel Modların Özellikleri .... 46 .... 47 .... 48