Mustaqil ish
Mavzu: Chiziqli operatorlarning berilgan bazasida
ifodalash. Chiziqli operatorlarning turlari
Topshirdi
Qabul qildi:
Abduhalilov A.
Maniyozov O.
Reja:
Kirish:
I.Bob. Chiziqli operatorlar.
1.1 §.Chiziqli operator tushunchasi va ularning asosiy xossalari.
1.2 §. Chiziqli operatorning turli bazisdagi matrisalari orasidagi
bog’lanish
1.3 §. O’zaro teskari chiziqli operatorlar
II.Bob.Unitar va Evklid fazolarida chiziqli operatorlar.
2.1§. Unitar fazolarda chiziqli operatorlarva o’z-o’ziga qo’shma
operatorlar.
2.2§.Normal va musbat operatorlar
2.3§. Evklid fazosidagi chiziqli operatorlar
Xulosa
Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati.
Kirish.
Mustaqilikning dastlabki yillaridayoq,butun mamlakat miqiyosida ta’lim
tarbiya,ilm-fan,kasb-hunar o’rgatish tizimlarini tubdan isloh qilishga nihoyatda
kata zarurat sezila boshladi.Kadrlar tayorlash milliy dasturini ishlab chiqish bilan
bog’liq jarayon uzoq yillar davomida bu sohada talay muammolar yig’ilib
qolganini ko’rsatdi.
Kadrlar tayorlash milliy dasturini amalga oshirish jarayonida archa ta’lim
muassasalarini moddiy texnika bazasini mustahkamlash, ta’lim jarayonining
mazmuninitubdan takomillashtirish kabi kata ishlar qilinmoqda.
“Yoshlar yili”,”Qishloq taraqqiyoti va faravonligi yili”,”Barkamol avlod
yili”,”Kichik biznes va xususiy tadbirkorlik yili” kabi Davlat dasturlari “Kadrlar
tayorlash milliy dasturi”ning tadrijiy davomi desak xato bo’lmaydi.
O’tgan yillarda oliy ta’lim tizimi tubdan o’zgardi.Jumladan,ikki boshqichli
tizim- bakalavryat va magistraturaga o’tildi,talabalarni mamlakatning barcha
hududida bir kunda va bir vaqtda kirish test sinovlari orqali qabul qilishga to’liq
o’tildi.Oliy ta’lim tizimini moliyalashning yangi tizimi yo’lga qo’yildi.
O’tgan yillar davomida yurtimizda jahondagi nufuzli ko’plab universitetlar
bilan yaqin hamkorlik aloqalar o’rnatildi.Buning natijasida Toshkenda Buyuk
Biritanyaning Xalqaro Vetsministr universiteti ish boshladi.I.Gupik nomidagi
Rossiya neft va gaz davlat universiteti,Italyaning Turin politexnika
universiteti,Singapur menejmentni rivojlanatirish instituti,Plexmanov nomidagi
Rossiya iqtisodiyot akademiyasi,M. Lomonosov nomidagi Moskva davlat
universitetining Toshkent shahridagi filiallar tashkil etildi.
Hozirgi zamon matematikaning amaliy faoliyatiga chuqur kirib borishi, uni
fan-texnika va iqtisodda qo’llanilishi bilan xarakterlanadi.Boshqacha
aytganda,matematika amaliy masalalarni yechishdametologik asos bo’lib xizmat
qiladi.Shu bilan bir qatorda masalalar yechishda matematikadan tadqiqiy ko’nikma
va malakalarni Shakllantirmasdan turib, foydalanish mutloqo mumkin
emas.Tadqiqiy bilim, amaliy ko’nikma va malakalar matematikaning nazariy
qurilishi bilan uning amaliy muammolarini bog’laydi.Bu esa, hozirgi payitda
tadqiqiy ko’nikmaning umumta’lim va umummadaniy qiymatiga ega ekanligini
ko’rsatadi.
Kurs ishning dolzarbligi: Chiziqli algebra va funksional
analiz fanlarining asosiy tushunchalaridan biri bu chiziqli operator tushunchasidir.
Shu sababli ham chiziqli operatorlarlarni, ular aniqlangan chiziqli fazo va evklid
fazolarini hamda bu fazolarda berilgan operatorlarlarni muhim xossalari va
tatbiqlarini o`rganish juda muhim. Masalan, algebra fanidagi chiziqli operatorning
turli bazisdagi matrisalari orasidagi bog’lanishni, chiziqli almashtirishni,
matematik fizika tenglamalari fanida differensiallashni operator sifatida qarash
mumkin shuning uchun ham operator xossalarini o`rganish matematika fani
nuqtayi nazaridan juda dolzarb masaladir.
Kurs ishning maqsadi: Chiziqli algebra va funksional analiz fanlarining muhim
bo`limlaridan biri bo`lgan chiziqli operatorlarni xossalarini va ba`zi bir tatbiqlarini
o`rganishdan iborat.
Kurs ishning vazifasi:
1.Chiziqli operatorlar va o’zaro teskari chiziqli operatorlar haqida o’rganish.
2. Chiziqli operatorning turli bazisdagi matrisalari orasidagi bog’lanishni
o’rganish.
3. Unitar va Evklid fazolarida chiziqli operatorlar va o`z-o`ziga qo`shma
operatorlarlarni xossalari va tatbiqlarini o`rganish.
Kurs ishning ilmiyligi va ilmiy ahamiyati:Kurs ishi mavzusiga oid
barcha muhim bo`lgan adabiyotlarni to`plash va ular asosida chiziqli fazo,
evklid fazosi, chiziqli operator ta`rifi va xossalari hamda tatbiqlari bilan
tanishib, ular qo`llaniladigan sohani yanada chuqurroq o`rganishdan
iborat. Ushbu kurs ish ikkita bob va oltita paragrafdan iborat. Birinchi bob
birinchi paragrafda chiziqli operator tushunchasi va ularning asosiy
xossalari. Ikkinchi paragrafda esachiziqli operatorlarva ularning turli
bazisga nisbatan bog’lanishihaqidagi tushunchalar yoritilgan.Uchinchi
paragrfda o’zaro teskari chiziqli operatorlar ta’riflari keltirilgan. Ikkinchi
bob birinchi paragrafda Unitar fazolarda chiziqli operatorlar, o’z-o’ziga
qo’shma operatorlar va uning asosiy xossalari yoritilgan. Ikkinchi
paragrafda normal va musbat operatorlar haqida ma’lumot berilgan.
Uchinchi paragrafdaesa Evklid fazosidagi chiziqli operatorlar ta`rifi va
xossalari yoritilgan.
Chiziqli operator tushunchasi va ularning asosiy xossalari.
1-ta`rif. V va W lar mos ravishda n va m o`lchovli chiziqli fazolar bo`lsin. V ni W
ga o`tqazuvchi A operator deb, A:V W akslantirishga aytiladiki, u V ning har bir x
elementini W fazoning biror y elementiga o`tqazadi.(Chiziqli fazoning o’zini
o’ziga chiziqli akslantirishi chiziqli operator deb ataladi.)
2-ta`rif. VniW ga o`tqazuvchi A operator chiziqli operator deyiladiki, agarda V ning
ixtiyoriy ikkita x1 va x2 hamda λ kompleks son uchun quyidagi shartlar bajarilsa:
1 A( x1  x2 )  Ax1  Ax2 (operatorni additivligi)
2.
A( x)   Ax (operatorning
bir jinsligi)
Agar W fazo kompleks tekislikdan iborat bo`lsa, u holda Vni W ga o`tqazuvchi A
chiziqli operator chiziqli forma yoki chiziqli funksional deyiladi. Agar W fazo V
fazo bilan ustma-ust tushsa, u holda V ni Wga o`tqazuvchi chiziqli operator V
fazoni chiziqli almashtirishi deyiladi. A va B V ni W ga o`tqazuvchi ikkita chiziqli
operator bo`lsin. Bu operatorlarning A  B yig`indisi deb quyidagi tenglik bilan
aniqlangan operatorga aytamiz:
 A  B   Ax  Bx (1)
A operatorning λ skalyarga ko`paytmasi  A deb , quyidagi tenglik bilan aniqlangan
operatorga aytiladi:
  A x    Ax  (2)
O nol operator deb, V fazoning barcha elementlarini W fazoning nol elementiga
o`tqazuvchi operatorga aytiladi: Ox  0
A operatorga qarama-qarshi operator deb quyidagicha aniqlangan  A operatorga
aytiladi:  A   1 A
Tasdiq. Barcha V ni W ga o`tqazuvchi operatorlarning L(V,W ) to`plami yuqorida
aniqlangan operatorlarni qo`shish va songa ko`paytirish amallari hamda tanlangan
nol operator va qarama-qarshi operatorlarga nisbatan chiziqli fazo tashkil etadi.
L(V,W )
to`plamni o`rganamiz. Aynan yoki birlik I operator deb quyidagi operatorga
aytiladi: Ix  x (bu erda x -V fazoning ixtiyoriy elementi)
L(V,W )
fazoda operatorlarning ko`paytmasi tushunchasini kiritamiz.
L(V,W )
fazodagi A va B operatorlarning AB ko`paytmasi deb, quyidagi operatorga
 AB  x  A  Bx  (3)
aytiladi:
Umumiy holda AB  BA
L(V,W )
fazodagi chiziqli operatorlar quyidagi xossalarga ega:
1.   AB     A B
2.  A  B  C  AC  BC
(4)
3. A  B  C   AB  AC
4.  AB  C  A  BC 
4 xossadan L(V,W ) fazodagi chekli sondagi operatorlar uchun ko`paytmani
aniqlash mumkinligi kelib chiqadi va xususan A operetorning n darajasi quyidagi
formula orqali aniqlanadi: An  AA... A
Ravshanki,
Misollar.
An m  An Am munosabat o’rinli:
1) F maydonning tayin bir  elementi berilgan bo’lsin. Bu maydon ustidagi V
chiziqli fazoning x   x akslantirishi chiziqli operatoridir.
D2   va D3 fazolarda biror to’g’ri chiziq berilgan bo’lsin. Yo’naltirilgan
2)
kesmani bu to’g’ri chiziqqa ortogonal proeksiyalanishi chiziqli operatordir.
3) A  F nn matrisa berilgan bo’lsin. F n chiziqli fazo elementlarini n ta elementli bir
ustun ko’rinishda ifodalab, uning o’zini o’ziga ushbu x  Ax (A matrisani chapdan
x ustunga ko’paytirish) akslantirishi chiziqli operatordir.
4) R t  va R t  chiziqli fazolarda hosila olish amali –chiziqli operator.
n
t
5) C  a, b fazoda har bir x  t  uzluksiz funksiya uchun, f  t    x  u  du ( a  t  b ),
a
tenglik bilan aniqlanuvchi akslantirish chiziqli operator.
Chiziqli operatorning turli bazisdagi matrisalari orasidagi bog’lanish
Chiziqli V fazoda berilgan bazisdagi chiziqli operatorlarni matritsalari.
V fazodagi e1 , e2 ,.....en bazisni fiksirlaymiz, x V dagi ixtiyoriy element va
n
x   x k ek
(1)
k 1
Esa bu x elementi berilganbazisdagi yoyilmasi hamda A esa L(V,V) dagi chiziqli
operator bo’lsin u holda (1) dan
n
Ax   x k Aek
(2)
k 1
n
Aek   akj e j
(3)
j 1
n
n
n

k 1
j 1
j 1
 k 1
n

Deb olsak, (2) ni quyidagicha yozamiz: Ax   x k  akj e j     akj x j e j

Shunday qilib, y  Ax va y   y1 , y 2 ,... y n  elementning koordinatalari bo’lsa u holda
n
y j   akj x j , j  1, 2,..., n
k 1
(4)
Ushbu A   akj  kvadrat matrisani qaraylik, bu u matritsa berilgan e1 , e2 ,.....en
bazisdagi А chziqli operatorning matritsasi deyiladi. Oldingi ko`rsatilgan usul
bilan birgalikda uni berilgan bazisdagi matritsaviy yozuvi ham ishlatiladi: y  Ax
Agar x   x1 , x 2 ,...x n  bo`lsa, u holda y   y1 , y 2 ,... y n  dagi y j , j  1, 2,..., n (4) formula
orqali A ning akj elementlari esa (3) formula orqali hisoblanadi.
Agar A operator nol operator bo`lsa, u holda bu operatorning A matritsasining
barcha elementlari ixtiyoriy bazisda nollardan iborat, ya`ni A matritsa nol matritsa
bo`ladi.
Agar A operator birlik operator bo`lsa, ya`ni A= I bo`lsa, u holda bu operatorning
ixtiyoriy bazisdagi matritsasi birlik matritsadan iborat bo`ladi, ya`ni A= E .
1-teorema. V chiziqli fazoda e1 , e2 ,.....en bazis berilgan va A   akj  n- tartbli
kvadrat matritsa bo`lsin, u holda A shunday yagona chiziqli operator mavjudki, bu
A matritsa berilgan bazisda ushbu operatorni matritsasi bo`ladi.
A va B matritsalar n tartibli kvadrat matritsalar bo`lsin. A va B V fazoda ularga
mos ek  bazisdagi operatorlar bo`lsin, u holda teoremaga ko`ra A   B matritsaga
A   B operator mos keladi. Bunda  -biror son.
2-teorema. A chiziqli operatorning
rangA
rangi matritsasi rangiga teng.
1-natija. A va B matritsalar ko’paytmasining rangi quyidagi munosabatlarni
bajaradi: rangAB  rangA, rangAB  rangB, rangAB  rangA  rangB  n.
2-natija. A operator uchun teskari A1 operator faqat va faqat A operator
matritsasining rangi n ga ( n= dimV ) teng bo’lgandagina mavjud bo’ladi. Bu holda
A matritsaga teskari A1 matritsa ham mavjud bo’ladi. Endi yangi bazisga o’tganda
chiziqli operator matritsasini almashtirishni qaraylik. V chiziqli fazo, A esaL(V,V )
dagi chiziqli operator e1 , e2 ,.....en va e1 , e2 ,...en V dagi 2 ta bazis hamda
ek   uki ei ,
k  1, 2,...., n
(5)
Esa ek  bazisdan ek  bazisga o’tish formulasi bo’lsin U   uki  deb olamiz,
rangU  n ga
 
teng A   akj  va A  a k matritsalar A operatorni ek  va ek 
j
bazislardagi matritsalari bo`lsin Bu matritsalar orasidagi munosabatni topamiz.
 
3-teorema. A operatorni ek  va ek  bazislardagi A   akj  va A  a k matritsalari
j
orasida A  U 1 AU (6) munosabat mavjud.
A  U 1 AU formulani ikkala tomonini o`ngdan U 1 va chapdan U ga ko`paytirib,
quyidagi tenglikni hosil qilamiz: A  UAU 1 (7)
A va B n- tartibli kvadrat matritsalar. A va B lar ei  bazisdagi ularni mos
operatorlari bo`lsin. U holda A   B matritsaga A   B chiziqli operator mos keladi.
Yuqoridagi teoremadan det A  det A kelib chiqadi. Shunday qilib, chiziqli
operatorning matritsasini determinanti bazisni tanlab olishga bog`liq emas. Shu
sababli А chiziqli operatorning determinanti det A tushunchasini kiritish mumkin,
det A  A A- operatorning ixtiyoriy bazisdagi matritsasi.
Fazoning ikkita
(1)
e1 , e2 ,.....en
f1 , f 2 ,...., f n (2)
 chiziqli operatorini olamiz. Bu  operatorining (1) va (2)
Bazisi va bitta
bazislardagi matrisalari
 a11 a12 ... a1n 
 b11 b12 ... b1n 




A   a21 a22 ... a2 n  va B   b21 b22 ... b2n  bo’lsin.
a

 b b ... b 
nn 
 n1 an 2 ... ann 
 n1 n 2
Bu matrisalarni aniqlovchi tengliklar qisqacha bunday yoziladi:
{
n

 ek   aik ei k  1, n
i 1
n


 f k   bik fi k  1, n
i 1

(3)
(2)bazisni (1) bazis orqali chiziqli ifodalaymiz:
{
f1  c11 e1  c21 e2  ....  cn1 en ,
f 2  c12 e1  c22 e2  ....  cn 2 en ,
(4)
............................................
f n  c1n e1  c2 n e2  ....  cnn en ,
 c11 c12 ... c1n 
4) sistemaning C   c21 c22 ... c2 n 
c

 n1 cn 2 ... cnn 
matrisasi xosmasdir.” Agar e1 , e2 ,.....en
vektorlar sistemasi fazoning bazisi va f1 , f2 ,...., fn lar shu fazoning ixtiyoriy
vektorlari bo’lsa, unda shunday yagona  operator mavjudki, u e1 , e2 ,.....en bazis
sistemasini f1 , f2 ,...., fn larga o’tkazadi” degan teoremaga binoan yagona chiziqli
operator mavjud bo’lib, u (1) bazis vektorlarni (4) vektorlarga akslantiradi:

 ei  fi i  1, n

(5)
(5) ning ikkala tomoniga  operatorni tatbiq etamiz.Natijada hosil bo’ladi.
Oxirgi tenglamalarning o’ng tomonidagi  fi  i  1, n  larni (3) bilan
almashtirsak,  ei   bik fi kelib chiqadi. Agar fi  i  1, n  larning o’rniga (4) ni
n
i 1
n
 ek   bik ei
qo’ysak, natijada quyidagiga ega bo’lamiz:
(6)
i 1
 ning C detriminantni 0 dan farqli bo’lgani sababli,  ga teskari  1 operator
mavjud bo’lib, uni (6) vektorga tatbiq etamiz:
n
n
n
n
n
i 1
i 1
i 1
i 1
i 1
 1 ek   1  bik ei   1bik ei   bik 1 ei   bik  ei   bik ei
n
 1 ek   bik ei
(  -birlik operator).
i 1
Bir tomondan  1 operatorning (1) bazisdagi matrisasi
C 1 AC
bo’lib (chunki
 1  C 1 ,   A va   C ) ikkinchi tomondan, (7) ga muvofiq, bu operatorning
(1) bazisdagi matrisasi B bo’lganligi sababli
B  C 1 AC
(8) bo’ladi.
Bunda C ni (2) bazisdagi (1) bazisga o’tish matrisi deyiladi.
Ta’rif. (8) tenglik bilan bog’langan A va B matrisalar o’xshash matrisalar
deyiladi.
Misol.Uch o’lchovli arifmetik V fazoning
e1  (1, 0, 0), e2  (0,1, 0), e3  (0, 0,1),
f1  (1,1,1), f 2  (1, 2,1), f 3  (2, 1,1),
Bazislarni va  (a1 , a2 , a3 )  (a1 , 2a2 ,3a3 ) operatorni olamiz. Bu operatorning birinchi
1 0 0
bazisdagi matrisasi A   0 2 0  bo’lib, ikkinchi bazisning birinchi basis orqali
 0 0 3


f1  e1  e2  e3 ,
chiziqli ifodasi quyidagidan iborat:
f 2  e1  2e2  e3 ,
f3  2e1  e2  e3 ,
1 1 2 
 3 1 5 
Demak, C  1 2 1 va C 1   2 1 3  lardan iborat bo’lgan uchun 
1 1 1 
 1 0 1 




 10 8 11 
operatorning ikkinchi bazisdagi matrisasi B  C AC   5 3 7  bo’ladi.
 2 2 1 


1
O’zaro teskari chiziqli operator
 maydon ustidagi Vn fazo va uning e1 , e2 ,.....en
 chiziqli operatorni va uning (1) bazisdagi
a11
(1) bazis berilgan bo’lsin.
 a11 a12 ... a1n 


A   a21 a22 ... a2 n 
a

 n1 an 2 ... ann 
a12 ... a1n
Matrisasini olamiz. Bu matrisaning A  a21 a22 ... a2 n
an1 an 2 ... ann
operatorning ham detriminanti deyiladi.
detriminanti A ga mos 
1-ta’rif. A detriminant noldan farqli bo’lganda  chiziqli operator xosmas
operator, A =0 bo’lsa  xos operator deb ataladi.
2-ta’rif.  chiziqli operator uchun shunday  chiziqli operator mavjud bo’lib,
    e (2) tenglik bajarilsa,  ni ga teskari operator deyiladi.
(2) tenglikdan quyidagini topamiz: x Vn vektor uchun   x   x  x . Endi
 
 x  y bo’lsa, u holda   x    x   y  x bo’ladi, ya’ni  operator y ni x ga
akslantirsa, teskari  operator, aksincha, x ni y ga akslantiradi.
Isboti. Zarurligi.  ga teskari  operator mavjud bo’lsa,    bajariladi. U
holda   A ,   B ,   E larga asosan,     A  B  E . Bunda A,B,E lar
kvadrat matrisalar bo’ladi. Matrisalar ko’paytmasining detriminanti bu matrisalar
determinantlarning ko’paytmasiga teng bo’lgani uchun A  B  E  1tenglikdan
1  0 , ya’ni  xosmas operator ekanligi kelib chiqadi.
Yetarliligi.  xosmas operator, ya’ni A  0 bo’lsa, A ga teskari
 A11

 A
A
A1   12
 A
A
 1n
 A

A21
....
A
A22
....
A
A2 n
....
A
An1 

A 
An 2 
 matrisa mavjud bo’ladi.
A 
Ann 
A 
Endi A1 matrisaga mos  chiziqli operatorni olsak,   A1 A  E ga muvofiq
   , ya’ni  ga teskari  operator mavjudligi ma’lum bo’ladi.
 ga teskari  operator    1 ko’rinishida belgilanadi.  operator o’z navbatida
 1 ga teskari chunki  1  A1 A  E moslik  1   ga olib boradi.
A ga teskari A1 matrisaning yagonaligidan  ga teskari  1 operator ham yagona
degan xulosaga kelamiz.
 va  1 lar o’zaro teskari chiziqli operatorlar deyiladi.
Natija. Xosmas chiziqli operatorlar to’plami operatorlar kompozitsiyasi
(ko’paytirish amali)ga nisbatan grupa tashkil qiladi.
Xosmas chiziqlioperatorlar to’plami hosil qilgan gruppa odatda GL(n) ning qism
gruppalari quyidagi turlarga bo’linadi:
1) Chekli qism gruppalar;
2) Diskret qism gruppalar (elementlari soni sanoqli bo’lgan qism gruppalar).
Bunday qism gruppaga tekislikning koordinata boshi atrofida k (k  Z )
burchaklarga burishdan hossil bo’lgan gruppa misol bo’ladi (bu yerda  burchak
 burchak bilan o’lchovdosh bo’lmagan burchakdir);
3) Uzluksiz qism gruppalar (elementlari soni sanoqli to’plam elementlari
sonidan ortiq bo’lgan qism gruppalar).Uch o’lchovli fazoning qo’zg’almas
o’q atrofida burushdan hosil qilingan qism gruppa uzluksiz qism gruppa
bo’ladi.
Misol. Uch o’lchovli arifmetik V3 fazoning e1  (1,0,0), e2  (0,1,0), e3  (0,0,1) 3
bazisi va  (a1 , a2 , a3 )  (a1  a2 , a2  a3 , a3  a1 ),  (a1 , a2 , a3 )  (0, a2 , a3 ) operatorlari
 e1  1, 0,1  1 e1  0  e2  1 e3 ,
berilgan.  xosmasoperator, chunki,  e2  1,1, 0   1 e1  1 e2  0  e3 ,
 e3   0,1,1  0  e1  1 e2  1 e3 ,
1 1 0
Demak, A  0 1 1  2, A  0
1 0 1
Shunday qilib,  ga teskari operator mavjud bo’lgani holda uning (3) bazisdagi
0 0 0
matrisasi B  0 1 0 bo’lib, bu xos matrisadir.
0 0 1
Unitar fazolarda chiziqli operatorlar va o’z-o’ziga qo’shma
operatorlar.
L- unitar fazo va  ,
g:L L
Ta’rif. Agar har qanday
chiziqli operatorlar bo’lsin.
x, e  L uchun (  x  , y)  ( x, g ( y))
g operator  ga qo’shma deb ataladi.
(1) tenglik bajarilsa,
Agar  operator uchun qo’shma operator mavjud bo’lsa, u yagona. Haqiqatan,
agar g va h operatorlar  ga qo’shma bo’lsa, u holda (1) bilan birga har qanday
x, y  L uchun (  x  , y)  ( x, h( y)) tenglik ham o’rinli. Bu tengliklardan har qanday
x, y  L
uchun ( x, g ( y))  h  y )  0 tenglikni olamiz.
1.  *    Darhaqiqat    x  , y   y,    x      y  , x    x,   y   .
*
2.          . Darahaqiqad,

  x    x  , y     x  , y     x  , y    x,   y     x,  y     x,   y     y 




3. Har qanday   C uchun ( )    . Darhaqiqat
   x  , y      x  , y     x,  y    x,   y  


4.        . Darhaqiqad   x  , y     x  ,    y    ( x,    y )

5. Agar  chiziqli operatorning teskarisi mavjud bo’lsa, u holda   operatorning
ham teskarisi mavjud va (  )1  ( 1 ) , darhaqiqat ( 1 )        1   e  e ,

chunki  e  x  , y    x, e  y     x, y  . Shunga o’xshash ( 1 )        1   e  e .

Teorema. Chekli o’lchamli unitar fazoda har qanday chiziqli f operator uchun
f qo’shmasi mavjud.
*
Agar A   aik  va B   ik  lar f va f * operatorlarning ortonormal bazisdagi
matrisalari bo’lsa, u holda ik   ki bo’ladi.
Isbot. A-chiziqli f operatorning e1 , e2 ,..., en ortonormal bazisidagi matrisasi
bo’lsin:
k
f  ek    aik ei
i 1
Bu bazisda B  A matrisaga ega bo’lgan chiziqli operatorni g orqali
belgilatmiz:
n
n
i 1
i 1
g  ek    ik ei    ki ei
Bichiziqli   x, y    f  x  , y  va  x, y    x, g  y   formulalarni olamiz. Har bir
k  1, n va l  1, n uchun
n
  ek , ei    f  ek  , ei     ik  ei , ei   ik
i 1
n
  ek , ei    ek , g (ei )    ik  ek , ei   ik
i 1
Tengliklardan  ( x, y )   ( x, y ) , ya’ni barcha
x, y  L
uchun
 f  x  , y    x, g  y 
tenglikni olamiz. Demak, g  f  .
Evklid fazosidagi o`z-o`ziga qo`shma chiziqli operatorlar.
1-ta`rif. L(V,V ) dagi A* operator A chiziqli operatorga qo`shma deyiladi, agarda
V dagi ixtiyoriy x va y lar uchun  Ax, y    x, Ay  (1) munosabat bajarilsa. Ko`rish
qiyin emaski, А chiziqli operatorga qo`shma operator ham chiziqli operator
bo`ladi.
1- teorema. Har qanday А chiziqli operator yagona qo`shma operatorga ega.
Qo`shma operatorlar quyidagi xossalarga ega:
1. I   I
2.  A  B   A  B

3.   A    A

4.
A 
 
A
5.  AB   B A

2-ta’rif. L(V,V ) dagi A chiziqli operator o`z- o`ziga qo`shma operator
deyiladi, agarda A*= A bo`lsa.
Teorema. A -V evklid fazosidagi chiziqli operator bo`lsin, u holda A  AR  iAi
ifodalanish o`rinli, bunda AR va Ai lar o`z-o`ziga qo`shma bo`lgan operatorlar,
ular mos ravishda A operatorning haqiqiy va mavhum qismi deyiladi. A va B
operatorlar kommutasiyalanadigan operatorlar deyiladi, agarda AB= BA
bo`lsa.
Teorema. A va B o`z-o`ziga qo`shma bo`lgan operatorlarning AB ko`paytmasi
o`z-o`ziga qo`shma operator bo`lishi uchun A va B operatorlar
kommutasiyalanadigan bo`lishi zarur va etarli.
Teorema. Agar А o`z-o`ziga qo`shma operator bo`lsa, u holda ixtiyoriy x V
uchun (Ax, x)- skalyar ko`paytma haqiqiy son bo`ladi.
Teorema. O`z-o`ziga qo`shma operatorning xos qiymatlari haqiqiy sonlar
bo`ladi.
Teorema. Agar А-operator o`z-o`ziga qo`shma operator bo`lsa, u holda har xil
xos qiymatlariga mos xos vektorlari o`zari ortogonal bo`ladi.
Teorema.Chekli o’lchamli unitar L fazoda chiziqli f peratorning o’z-o’ziga
qo’shma bo’lishi uchun uning normal va barcha xos sonlari haqiqiy bo’lishi
zarur va yetarli.
Isboti. Chiziqli f operator o’z-o’ziga qo’shma bo’lsin. U holda
ff   f  f  f 2 , ya’ni normal. Normalligi sababli L da uning xos vektorlaridan
iborat ortonormal bazisi bor. Bu bazisda
f
va f  operatorlarning matrisalari
 1
0
0
 1




2
2





A
,A 



...
...





0

n

n 
0
Ko’rinishga ega. Ushbu f  f  munosabatni A  A ya’ni k  k ,  k  1, n  tenglik
kelib chiqadi. Demak k lar haqiqiy. Aksincha,
f
ning normalligi va barcha k
larning haqiqiyligidan A  A va demak f  f  kelib chiqadi.
Teorema. Unitar L fazoda har qanday chiziqli f operator g  ih ko’rinishda
ifodalanishi mumkin, bu yerda g, h o’-o’ziga qo’shma opeatorlar.
Isbot. Ushbu g 
1
f  f 

2
, h
1
f  f   belgilashlar

2i
kiritib,
f  g  ih ,
g   g , h  h munosabatlarni olamiz.
Chiziqli f operatorning o’z-o’ziga qo’shmaligi bichiziqli   x, y    f  x  , y 
formaning ermitligiga teng kuchli: agar f  f  bo’lsa, u holda

 



  y, x    f  y  , x    y, f  x    f  x  , y    x, y  , aksincha,   x, y     y, x  dan
 f  x  , y    f  y  , x    x, f  y  ya’ni
Agar chiziqli
f
f   f kelib chiqadi.
operator uchun e1 ,...., en - uning xos vektorlaridan iborat
k , agari  k ,

0, agari  k. 
basis bo’lsa, u holda   ei , ek    f  ei  , ek    i ei , ek   i ik  
Shunday qilib, bu bazis   x, y  uchun kanonik. Ikkinchi tomondan chekli
o’lchamli unitar L fazosidagi har qanday bichiziqli   x, y  forma  f  x  , y 
ko’rinishida ifodalanishi mumkin, bu yerda chiziqli f operatorning matrisasi
  x, y  formaning matrisasiga transportirlangan. Bu mulohozalar bilan quyidagi
tasdiq isbotlandi.
Teorema. Chekli o’lchamli unitar L fazoda har qanday ermit bichiziqli forma
uchun ortonormal kanonik basis mavjud.
Natija. Agar chekli o’lchamli kompleks L fazoda ikkita ermit   x, y  va
  x, y  formalar berilgan va ularning biri musbat bo’lsa, u holda ular L da
umumiy kanonik bazisga ega.
Isbot. Aniqlik uchun   x, y  musbat bo’lsin. Bu holda L da   x, y     x, y 
tenglik yordamida skalyar ko’paytma kiritamiz. Yuqoridagi teoremaga ko’ra L da
  x, y  uchun ortonormal kanonik basis mavjud. Bu basis   x, y  uchun ham
1, agari  j, 

0, agari  j.
kanonik, chunki   ei , e j    ei , e j   
Normal va musbat operatorlar
Chiziqli  : L  L operator uchun      bo’lsa, u normal deb ataladi. Bu holda
 va   operatorlar L da umumiy xos e vektorga ega. Mos xos sonlar o’zaro
kompleks qo’shma sonlar. Haqiqatan ,   e   e ,    e   e bo’lsa, u holda
  e, e   (  e, e)     e  , e    e,   e     e, e     e, e  bundan    .
Teorema. Chekli o’lchamli unitar L fazoda chiziqli f operator uchun xos
bektorlardan iborat ortonormal basis mavjud bo’lishi uchun uning normal
bo’lishi zarur va yetarli.
Isbot. Chiziqli
f
operator uchun e1 ,....en - uning xos vektorlaridan iborat
ortonormal bazis va 1 ,....n - ularga mos xos sonlar bo’lsin. Bu bazisda
0
 1


2


A


...


n 
0
 1


esa ushbu A  

0

matrisaga, f 
2
f
ushbu
0


 matrisaga ega.
...

n 
Dioganal A va A matrisalar o’rin almashish xossasiga ega bo’lgani sababli
f  f   f  f ya’ni f normal.
Teskari tasidiqni n=dimL bo’yicha induksiya ishlatib isbotlaymiz. Agar n=1
bo’lsa, tasdiqning to’g’riligi ravshan. Endi n>1 , en - chiziqli f va f 
operatorlarning L dagi umumiy xos vektori, en  1 va L1  x  L /  x, en   0
bo’lsin. U holda dim L1  n  1 bo’lib, L1 fazo f va f  ga nisbatan invariant bu
  x    x, en  ni chiziqli forma deb qaraymiz. Haqiqatan , agar  x, en   0 bo’lsa, u
 f  x  , e    x, f  e     x, e      x, e   0 va
 f  x  , e    x , f  e     x,  e     x, e   0 . Induksiya faraziga muvofiq

holda
n
n
n

n
1
n
n
n n
n
n
n
n
L1 da f
operatorning xos vektorlaridan tuzilgan ortonormal bazisdir.
Musbat operatorlar
Agar chekli o’lchamli unitar L fazodagi chiziqli f operator uchun f  g  g 
tenglikni qanoatlantiruvchi maxsusmas chiziqli g operator mavjud bo’lsa, f
musbat deb ataladi. Ravshanki,
f
ham maxsusmas va har qanday x  0 uchun
 f  x  , x    gg  x  , x    g  x  , g  x    0 .



Teorema . Chekli o’lchamli unitar L fazoda berilgan chiziqli f operatorning
musbat bo’lishi uchun uning normal va barcha xos sonlarning musbat bo’lishi
zarur va yetarli.
Isboti. Chiziqli
f
operator musbat bo’lsin: f  g  g  . U holda
f    gg    g   g   gg   f , ya’ni f o’z-o’ziga qo’shma, va demak, normal. Agar
f  e   e bo’lsa, u holda
 f  e , e   e, e    e, e . Bundan

 f e , e  0 .
 e, e 
Aksincha f normal va barcha xos sonlari musbat bo’lsin. U holda biror
ortonormal bazisda uning matrisasi quyidagi ko’rinishga ega:
0
 1


2

  B  B  B 2
A


...


n 
0
 1

B

 0
0 

.

n 
....
Shunday qilib f  g  g   g 2 bu yerda g- matrisasi B bo’lgan chiziqli
operator.
Evklid fazosidagi chiziqli operatorlar
Evklid fazosida chiziqli operatorlar nazaryasi unitar fazodagi kabi quriladi. Bu
nazaryalar orasidagi asosiy farq shuki, Evklid fazosida ba’zi bir chiziqli operatorlar
xos vekorga ega bo’lmasligi mumkin.
Evklid V fazosida chiziqli
x, y  V
f
va g operatorlar berilgan bo’lsin. Har qanday
uchun  f  x  , y    x, g  y   tenglikni qanoatlantiruvchi g operator
f
ga
qo’shma deb ataladi. Huddi unitar fazolardagi kabi, agar qo’shma operator mavjud
bo’lsa, uning yagonaligi isbotlanadi. Chiziqli
f
operatorga qo’shma bo’lgan
operatorni f  orqali belgilaymiz. Qo’shma operatorning evklid fazolardagi quyida
keltiriladigan xossalari xuddi unitary fazolardagi kabi isbotlanadi:
1. f   f
2.  f  g   f   g 

3.   f    f     R 

4.  f  g   f   g 

5. Agar
f 
f
 1
ning teskarisi mavjud bo’lsa, f  ning ham teskarisi mavjud va
  f 1  .

Teorema. Chekli o’lchamli Evklid V fazosida har qanday chiziqli
uchun qo’shma f  operator mavjud. Agar
f
f
operator
operatorning biror ortonormal
bazisdagi matrisasi A bo’lsa, u holda f  operatorning shu bazisdagi
matrisasi AT .
Isboti. Chiziqli
f
operatorning e1 ,....en ortonormal bazisdagi matrisasi
A   aik  bo’lsin. Bu bazisda matrisasi AT bo’lgan operatorni g orqali
belgilaymiz. U holda f  ek    aik ei , g  ek    aki ei ,  k  1, n, n  dim V  .
n
n
i 1
i 1
Bichiziqli   x, y    f  x  , y  va  x, y    x, g  y   formalarni olib, ularning
berilgan bazisdagi matrisalarni hisoblaymiz:
n
n
i 1
i 1
  ek , ei    f  ek  , ei    aik  ei , ei   aik ,   ek , ei    ek , g  ei     aik  ek , ei   aik .
Demak,bu formalar berilgan bazisda bir xil AT matrisaga ega. Bunday har
qanday
x, y  V
uchun
 f  x  , y    x, g  y  ,ya’ni g  f

tenglikni olamiz.
Agar Evklid V fazosidagi chiziqli f operator uchun f   f ya’ni har qanday
x, y  V uchun  f  x  , y    x, f  y   bo’lsa, u o’z-o’ziga qo’shma yoki simmetrik
deb ataladi.
Chekli o’lchamli yevklid fazosida f operatorning simmetrikligiga teng
kuchli. Haqiqatan, agar f operatorning e1 ,....en ortonormal bazisdagi
T
matrisasi A   aik  bo’lsa, u holda bichiziqli  f  x  , y  formaning matrisasi A ,
bichiziqli  x, f  y   formaning matrisasi esa A. Bu bichiziqli formalar o’zaro
teng bo’lgani sababli AT  A , ya’ni A - simmetrik.
Aksincha, agar biror ortonormal bazisda bichiziqli  f  x  , y  va  x, f  y  
formalar bir xil matrisaga ega.
Teorema. Chekli o’lchamli evklid fazosida chiziqli f operatorning xos
vektorlardan iborat ortonormal bazisining mavjud bo’lishi uchun uning
simmetrik bo’lishi zarur va kifoya.
Isbot. Agar chiziqli f operatorning xos vektorlaridan iborat ortonormal
basis mavjud bo’lsa, u holda bu bazisda f ning matrisasi diagonal, demak,
simmetrik. Yuqoridagi izohga ko’ra f ham simmetrik.
Teskari tasdiqni evklid V fazoning o’lchami bo’yicha induksiya yordamida
isbotlaymiz. Agar n=1 bo’lsa, tasdiqning to’g’rligi ravshan. Endi n>1 va tasdiq
o’lchami tengsizlikni qanoatlantiruvchi fazolar uchun to’g’ri deb faraz qilamiz.
V- haqiqiy fazo bo’lgan, shunday baravar nolga teng bo’lmagan x, y  V
vektorlar va  ,   R sonlar mavjudki, f  x    x   y, f  y    x   y . Bundan
  x   y, y    x,  x   y  bundan   x, x    y, y   0 bu yerda  x, x    y, y   0
bo’lgani uchun   0 . Demak f  x    x, f  y    y . Bu x, y vektorlarning
noldan farqlisini olib, uni o’z uzunligiga bo’lamiz. Hosil bo’lgan vektorni e1
orqali belgilaymiz.
Chiziqli V fazoda e1 ga orthogonal bo’lgan bo’lgan vektorlardan iborat qism
fazoni V1 orqali belgilaymiz, dimV1  n  1 . V1 fazo f ga nisbatan invariant.
Haqiqatan, agar x V1 bo’lsa, u holda  x, e1   0 . Bundan
 f  x  , e    x, f  e    x, e     x, e   0 ya’ni f  x  V .
1
1
1
1
1
Induksiyaning faraziga muvofiq V1 da f ning xos vektorlaridan tuzilgan
e2 ,....en ortonormal basis mavjud. Bu tizimga e1 ni qo’shsak, V da f ning xos
vektorlaridan iborat e1 , e2 ,....en ortonormal bazisni hosil qilamiz.
1-natija. Simmetrik operatorning xarakteristik ko’phadi faqat haqiqiy
ildizlarga ega.
Isboti. Simmetrik f operatorning A matrisasi uning xos vektorlaridan
0
 1


iborat ortonormal bazisda A  
....
 , i  R, i  1, n
0
2 



bazisga ega. Demak,
det  A   E    1    ....  n    .
2-natija. Chekli o’lchamli evklid fazosida har qanday simmetrik bichiziqli
forma uchun ortonormal kanonik bazis mavjud.
Isboti. Chekli o’lchamli evklid V fazosida simmetrik bichiziqli   x, y  forma
berilgan va A unung biror ortonormal bazisdagi matrisasi bo’lsin. U holda Asimmetrik va bu matrisa aniqlagan f operator ham simmetrik bo’lib,
 f  x  , y    x, f  y     x, y  2-teoremaga asosan
f
operator uchun uning xos
vektorlaridan iborat ortonormal bazis mavjud bo’lib, bu bazis   x, y  uchun
kanonik, chunki har bir i  k uchun   ei , ek    f  ei  , ek    ei , ek   i  ei , ek   0 .
Teorema. Chekli o’lchamli haqiqiy V fazoda simmetrik bichiziqli   x, y  va
  x, y  formalar berilgan va   x, x  kvadratik forma musbat bo’lsin. U holda V
da   x, y     x, y  tenglik bilan skalyar ko’paytma kiritib, V ni evklid fazosiga
aylantiramiz. 2-natija bo’yicha   x, y  forma uchun olinga ortonormal kanonik
bazis   x, y     x, y  forma uchun ham kanonik chunki bu bazis ortonormal.
Agar Evklid V fazosidagi chiziqli f operatorning teskarisi mavjud va
f 1  f  bo’lsa, u ortoganal deb ataladi.
Bu ta’rifdan ortogonal operatorning skalyar ko’paytmasi o’zgartirmasligi va
demak, vektorlarning uzunligi hamda ular orasidagi burchakni saqlashi kelib
chiqadi:
 f  x  , f  y     x, f f  y     x , y  .

Xususan, ortoganal operator ortonormal tizimni ortonormal tizimga
akslantiradi. Chekli o’lchamli fazolarda tekari tasdiq ham o’rinli: agar biror
chiziqli f operator biror ortonormal bazisni ortonormal bazisga akslantirsa, u
ortogonaldir.
Haqiqatan, V evklid fazosida e1 , e2 ,....en - ortonormal bazis va
1, agari  k 
 f  e  , f  e     e , e   o, agari  k 
i
k
i
n
n
i 1
k 1
k


bo’lsin. U holda V dagi har qanday
x   i ei , y   k ek vektorlar uchun
 f  x  , f  y       f  e  ,  f  e       ( f  e  , f  e )       x, y  .
n
 i 1
n
i
i
k 1
n
k
k

i , k 1
n
i k
i
k
k 1
i k
Bundan  x, f  f  y     x, y  . Bu yerda x  f  f  y   y deb olsak,  x, x   0 . Demak
x=0, ya’ni f  f  y   y har qanday y  V uchun, ya’ni f   f 1 .
Agar kvadrat A matrisa maxsusmas va A1  AT bo’lsa, u ortoganal deb ataladi.
Masalan, agar A   a11  birinchi tartibli ortoganal matrisa bo’lsa, u holda
a111  a11 ,
a
a 
ya’ni a11  1 . Ikkinchi tartibli A   11 12  ortoganal matrisa uchun
 a21 a22 
2
2
2
2
a112  a122  a112  a21
 a21
 a22
 a122  a22
1
a11a21  a12 a22  a11a12  a21a22  0
tengliklar kelib chiqadi. AAT  AT A  E
tenglikdan det A  1 ekanligi kelib chiqadi. Ushbu detA=1 tenglikni
qanoatlantiruvchi har qanday A matrisa uchun shunday   R mavjudki,
a11  cos  , a12   sin  , a21  sin  , a22  cos  , ya’ni
 cos   sin  
A

 sin  cos  
1
0  cos   sin  

cos  
Ko’rinishga ega. Agar detA=-1 bo’lsa, u ushbu A  

 0 1 sin 
ko’rinishga ega.
Agar ortoganal f operatorning ortonormal bazisidagi matrisasi A bo’lsa, u
holda f 1  f * tenglikdan A1  AT tenglik, ya’ni A ning ortoganalligi kelib
chiqadi. Aksincha, chiziqli f operatorning A matrisasi biror ortonormal bazisda
ortoganal, ya’ni A1  AT bo’lsa, u holda f 1  f * . Demak, f ham ortoganal.
Evklid fazosidagi chiziqli f operator uchun f  gg  tenglikni
qanoatlantiruvchi teskarisi mavjud bo’lgan g operator mavjud bo’lsa, f
operator musbat deb ataladi. Chekli o’lchamli fazoda chiziqli f operatorning
musbatligiga teng kuchli. Xuddi unitar fazodagi kabi chekli o’lchamli Evklid
fazosidagi har qanday maxsusmas chiziqli operator musbat va ortoganal
operatorning ko’paytmasi shaklida ifodalanishi ko’rsatiladi.
X u l o s a.
Ushbu referativ xarakterga ega bo`lib, chiziqli operatorlar nazariyasidagi asosiy
tushunchalar va teoremalar; chiziqli operatorlar ta`rifi va ularning asosiy xosalari,
ularning matritsali yozuvi, chiziqli operatorning turli bazisdagi matrisalari
orasidagi bog’lanish, o’zaro teskari chiziqli operatorlar, unitar fazolarda chiziqli
operatorlar,normal va musbat operatorlar evklid fazosidagi chiziqli operatorlar;
evklid fazosida o`z-o`ziga qo`shma bo`lgan chiziqli operatorlar xossalari kabi
mavzular o`rganilgan. Shunday qilib, ushbu kurs ishni tayyorlash davomida
quyidagi muhim xulosalarga kelindi.
1.Chiziqli operator algebra va sonlar nazaryasi va funksiyonal analiz fanlarining
muhim bo`limlaridan biri.
2. Har bir chiziqli operatorga biror matritsa mos keladi va aksincha har bir matritsa
uchun birorta chiziqli operator topish mumkin
3.Har bir chiziqli operatorga biror teskari matritsa topish mumkin, agar     e
shart bajarilsa.
4. Chiziqli operatorning har xil xos qiymatlariga mos xos vektorlari o`zaro
ortogonal bo`ladi.
5.Unitar fazolarda chiziqli operatorlar va o’z-o’ziga qo’shma operatorlar mavjud
ekanligi va ularning mavjudlik sharlari bilan tanishib chiqdim.
Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati.
1. I.A.Karimov. Yuksak ma’naviyat- yengilmas kuch. Toshkent. Ma’naviyat
2008y 174-b.
2. I.M.Vinogradov. Основы теории чисел.
3. J.Hojiev, A.S.Faynleyb. Algebravasonlarnazaryasikursi.Toshkent“O’zbekiston”-2001.
4. R.Nazarov, B.T.Toshpo’latov, A.D.Do’smbetov.Algebravasonlarnazaryasi
(1-qism). Toshkent.”O’qituvchi” 1993.
5. .Л.Б.Шнеперман.Курс алгебры и теории чисел в задачах и
упражнениях. I и II часть. Минск.»Выш.шк.» 1987 г.272с.