0.1
Il duopolio di Cournot
Appunti da lezione
Assumiamo che ciascuna impresa fronteggi una domanda di mercato lineare
del tipo p = a − Q = a − q1 − q2 e la sua funzione di costo totale sia Ci (qi ) = cqi
(0 < c < a), con i = 1, 2
Chiariamo che la derivata del costo totale rispetto a qi è il costo marginale
= CMa = c)
i (qi )
( ∂C∂q
i
Chiariamo che in monopolio, usando la stessa funzione di domanda p = a−Q,
troveremmo le seguenti variabili di equilibrio:
QM
=
pM
=
πM
=
SC M
=
WM
=
a−c
2
a+c
2
(a − c)2
4
(a − c)2
8
3 (a − c)2
8
mentre in concorrenza perfetta avremmo:
Qcp
pcp
πcp
SC cp
= a−c
= c
= 0
= W cp =
(a − c)2
2
Deriviamo l’equilibrio di Cournot.
Per l’impresa 1:
max π1 (q1 .q2 ) = RT1 (q1 .q2 )−C (q1 ) = (a − q1 − q2 ) q1 −cq1 = (a − q1 − q2 − c) q1
q1
∂π1 (q1 .q2 )
∂q1
=0⇒
a − q2 − 2q1 = c ⇒ q1∗ (q2 ) =
1
a − c − q2
2
che è la funzione di risposta ottima (best reply) dell’impresa 1.
Rappresentando sul piano (q1 , q2 ) la funzione di reazione q1∗ (q2 ) (una retta),
ritroviamo l’intercetta orizzontale ottenuta ponendo q2 = 0:
a−c
2
che implica che la 1 produce la quantità di monopolio se congettura che la 2
non produca nulla sul mercato. Ritroviamo l’intercetta verticale quando q1 = 0,
2
=0
che risolve la condizione a−c−q
2
q1 = q1M =
q2 = q2CP = a − c
che conferma che l’impresa 1 reagisce in maniera ottimale a q2 = a − c (la 2
produce la quantità concorrenziale, ossia la quantità più elevata che si produce
sul mercato) non producendo nulla.
La funzione di risposta ottima dell’impresa 2 scaturisce dalla seguente massimizzazione del profitto:
max π2 (q1 .q2 ) = RT2 (q1 .q2 )−C (q2 ) = (a − q1 − q2 ) q2 −cq2 = (a − q1 − q2 − c) q2
q2
∂π2 (q1 .q2 )
∂q2
=0⇒
a − q1 − 2q2 = c ⇒ q2∗ (q1 ) =
a − c − q1
2
che è la funzione di risposta ottima (best reply) dell’impresa 2.
In maniera analoga a quanto fatto per l’impresa 1, anche per la funzione
di reazione dell’impresa 2 q2∗ (q1 ) calcoliamo le intercette di tale retta sul piano
come intercetta verticale e q1 = q1CP = a − c
(q1 , q2 ), trovando q2 = q2M = a−c
2
come intercetta orizzontale.
La soluzione del sistema costituito dalle due funzioni di reazione:
a − c − q2
q1 =
2
a − c − q1
q2 =
2
ci restituisce la soluzione del modello (l’equilibrio di Cournot, ossia le coordinate del punto di intersezione delle due rette q1∗ (q2 ) e q2∗ (q1 ): q1CN =
CN
q2CN = a−c
= 2(a−c)
), il prezzo di equilib3 . La quantità di mercato (Q
3
CN
nella funzione di domanda inversa (pCN = a+2c
rio ottenuto ponendo Q
3 ),
CN 2
2
Q
)
(
il surplus dei consumatori SC CN =
= 2(a−c)
e i profitti individu2
9
2
(a−c)
a+2c
a−c
CN
=
ali (πi
=
, i = 1, 2) ci consentono di calcolare il
3 −c
3
9
benessere sociale come segue:
W CN = SC CN + ΠCN =
4
2 (a − c)2 2 (a − c)2
+
= (a − c)2
9
9
9
2
Nota che rispetto alle quantità individuali si ha quanto segue:
qicp → 0
CN
= 2(a−c)
q1CN = q2CN = a−c
3 ; Q
3
QM = a−c
2
Dunque:
qicp < qiCN < QM
Riguardo alla quantità di mercato:
Qcp = a − c
QCN = 2(a−c)
3
QM = a−c
2
QM < QCN < Qcp
Riguardo al prezzo di equilibrio:
pcp = c
pCN = a+2c
3
pM = a+c
2
pcp < pCN < pM
Riguardo ai profitti:
π cp
i =0
2
= πCN
= (a−c)
π CN
1
2
9
πM =
(a−c)2
4
CN
πcp
< πM
i < πi
Riguardo al surplus dei consumatori:
2
SC cp = (a−c)
2
2(a−c)2
9
(a−c)2
8
SC CN =
SC M =
SC M < SC CN < SC cp
Riguardo al benessere sociale:
2
W cp = (a−c)
2
W CN =
4(a−c)2
9
3
WM =
3(a−c)2
8
W M < W CN < W cp
Nota che se le due imprese avessero costi marginali differenti (c1 per l’impresa
1 e c2 per l’impresa 2), le due funzioni di reazione sarebbero:
q1
=
q2
=
a − c1 − q2
2
a − c2 − q1
2
che ci danno le seguenti soluzioni: q1CN =
a+c2 −2c1
3
e q2CN =
a+c1 −2c2
.
3
Mentre nel modello simmetrico (imprese identiche), il punto di Cournot giace
sulla bisettrice (ha infatti coordinate identiche pari alla quantità di Cournot
qi = a−c
3 ), in presenza di imprese con costi differenti, il punto di equilibrio
giacerà nel semipiano ’a sinistra’ rispetto alla bisettrice se c1 > c2 e ’a destra’
rispetto alla bisettrice se c1 < c2 .
0.2
Modello di Cournot a n imprese (simmetriche)
Su un mercato competono alla Cournot n imprese dotate di tecnologie identiche.
c (con i = 1, 2, ..., n).
Si assuma l’esitenza di costi marginali costanti CMi = ci = S
n
La funzione di domanda di mercato sia p = a−Q, dove Q = i=1 qi . Si individui
l’equilibrio di Cournot e si calcoli il benessere sociale associato allo stesso.
0.3
Soluzione
La funzione di reazione della i-esima impresa scaturisce dallaS
massimizzazione
cqi = (a − ni=1 qi ) qi − cqi .
della generica funzione di profitto πi = p (Q) qi − S
n
i
Dalla condizione del primo ordine ∂π
j=i qj − c = 0 si ottiene la
∂qi = a − 2qi −
funzione di reazione:
S
a − j=i qj − c
qi∗ =
2
S
Applicando la condizione di simmetria qi = qj tale per cui
j=i qj =
(n − 1) qi
otteniamo:
a − (n − 1) qi − c
a−c
⇒ qi∗ =
2
1+n
La quantità complessivamente prodotta in equilibrio sul mercato è Q∗ =
S
a + nc
n (a − c)
, mentre il prezzo di mercato è p∗ = a − ni=1 qi =
. I profitti
1
+
n
1+n
sono:
qi =
4
π∗i
∗
= (p
− c) qi∗
=
2
a−c
a + nc
(a − c)
−c
=
2
1+n
1+n
(1 + n)
(Q∗ )2
n2 (a − c)2
(a − p∗ ) Q∗
=
=
.
2
2
2 (1 + n)2
n (a − c)2
I profitti complessivi sono: Π = nπ∗i =
, cosicchè il benessere
(1 + n)2
sociale in equilibrio è:
Il surplus dei consumatori è: SC =
W ∗ (n) = SC + Π =
n2 (a − c)2
2
2 (1 + n)
+
n (a − c)2
(1 + n)
2
=
n (2 + n) (a − c)2
2 (1 + n)2
Nota che:
- con n = 1:
a−c
= a−c
qi = 1+n
2 , ossia la quantità di monopolio
a + nc
= a+c
p=
2 , ossia il prezzo di monopolio
1+n
(a − c)2
(a − c)2
, ossia i profitti di monopolio
=
πi = Π =
4
(1 + n)2
n2 (a − c)2
(a − c)2
SC =
, ossia il CS in monopolio
=
8
2 (1 + n)2
2
3 (a − c)2
W = n(2+n)(a−c)
, ossia il CS in monopolio
=
2
2(1+n)
8
- con n = 2:
a−c
qi = 1+n
= a−c
3 , ossia la quantità di Cournot a due imprese
a + nc
= a+2c
p=
3 , ossia il prezzo di Cournot a due imprese
1+n
(a − c)2
(a − c)2
, ossia i profitti individuali di Cournot a due
=
πi =
9
(1 + n)2
imprese
n (a − c)2
2 (a − c)2
, ossia i profitti complessivi di Cournot a due
Π=
=
9
(1 + n)2
imprese
n2 (a − c)2
2 (a − c)2
SC =
, ossia il surplus dei consumatori nel Cournot
2 =
9
2 (1 + n)
a due imprese
2
4 (a − c)2
W = n(2+n)(a−c)
, ossia il benessere sociale nel Cournot a due
=
2
2(1+n)
9
imprese
Quando il numero di imprese diventa molto grande (n → +∞):
5
a−c
1+n
=0
- limn→+∞
=a−c
a + nc
- limn→+∞
=c
# 1+n $
(a − c)2
=0
- limn→+∞
(1 + n)2
#
$
n (a − c)2
- limn→+∞
=0
(1 + n)2
#
$
2
n2 (a − c)2
- limn→+∞
= (a−c)
2
2
2 (1 + n)
2
n(2+n)(a−c)2
= (a−c)
- limn→+∞
2
2(1+n)2
che coincide con il first best (ottimo paretiano), ossia con il benessere sociale
di un mercato concorrenziale. Nota che π i = 0, Π = 0 e W = CS (tipico di un
mercato concorrenziale).
Sono questi i risultati del cosiddetto ’Teorema della convergenza’.
- limn→+∞
n(a−c)
1+n
6