CORSO DI LAUREA IN SCIENZE ECONOMICHE
Corso di MATEMATICA per l’ECONOMIA
Esercizi per la Teoria del Consumatore
1)
Loredana spende parte del suo reddito nell’acquisto di scatolette di cibo per gatti,
destinate alla sua gattina Susy. La sua funzione di utilità è: U = xy 4 , dove x indica la
quantità di scatolette di cibo per gatti e y rappresenta il consumo in tutti gli altri beni.
a) Sapendo che il reddito mensile di Loredana è pari a 300 Euro e che px = 0.4 Euro e py
= 1 Euro, scrivete il vincolo di bilancio di Loredana e rappresentatelo nel grafico
sottostante indicando chiaramente le intercette e la pendenza.
Y
300
X
750
Vincolo di bilancio: 0.4 x + y = 300
Intercette: (x = 0, y = 300) e (x = 750, y = 0)
Pendenza: -0.4
b) Ricavate l’espressione del saggio marginale di sostituzione a partire dalla funzione di
utilità di Loredana.
MRS yx
MU x ∂U / ∂x
y4
y
=
=
=
=
3
MU y ∂U / ∂y 4 xy
4x
c) Quante scatolette di cibo per gatti acquisterà Loredana e quale sarà il suo consumo di
altri beni?
1
⎧ y
⎧⎪ x * = 150
⎪ = 0.4
⇒⎨ *
⎨ 4x
⎪⎩0.4 x + y = 300 ⎪⎩ y = 240
d) Ricavate la funzione di domanda di x al variare di px (continuate ad assumere che py =
1 e I = 300).
⎧ y
60
⎪ = px
⇒x=
⎨ 4x
px
⎪⎩ p x x + y = 300
2)
Valentina è un’appassionata d’arte e consuma tutto il suo reddito in cinema (C) e teatro
(T). Valentina è sempre disposta a sostituire una serata a teatro con tre serate al cinema. Il
biglietto del teatro costa 30 euro, mentre quello del cinema 8 euro.
a) Indicate la funzione di utilità di Valentina e calcolate il saggio marginale di
sostituzione.
U (T , C ) = 3T + C
Oppure
1
U (T , C ) = T + C
3
In ambedue i casi il MRS è uguale:
∂U / ∂T
=3
MRS =
∂U / ∂C
b) Scrivete e rappresentate nel grafico sottostante il vincolo di bilancio di Valentina
sapendo che il reddito di cui dispone è di 480 Euro. Indicate chiaramente le intercette e
l’inclinazione.
30T + 8C = 480
30
C = 60 − T ; 60 intercetta verticale, 16 intercetta orizzontale, -3,75 pendenza
8
2
E*
C
60
16
T
c) Derivate analiticamente la quantità ottima consumata dei due beni e fornite una
rappresentazione dell’equilibrio nel grafico precedente.
Questo è un caso di soluzione d’angolo, in cui l’equilibrio è dato solo dal consumo di un
unico bene, la scelta di consumare C oppure T è data dal confronto tra MRS e rapporto
tra i prezzi. In questo esercizio:
MRS<Pt/Pc
3<30/8
Soluzione d’angolo sull’asse verticale: E*=(0,60)
d) L’assessorato alla cultura di Milano vuole promuovere la cultura, offrendo un buono di
120 Euro da spendere al cinema o al teatro. Come varia la scelta ottima di Valentina in
seguito all’introduzione del buono?
Valentina continuerà sempre a andare solo al cinema ma questa volta non 60 volte ma
600/8=75 volte.
3)
Teodora è un’accanita frequentatrice di Mc Donald’s e spende tutta la sua paghetta
settimanale in hamburger (H) e patatine fritte (F). Hamburger e patatine fritte sono per
3
Teodora dei beni perfettamente complementari. Teodora desidera consumare 3 confezioni
di patatine per ogni hamburger.
a) Scrivete e disegnate la sua funzione di utilità
U = min{3H , F }
Il prezzo delle patatine fritte è pF=2, mentre il prezzo degli hamburger è pH=1,5. La
paghetta settimanale di Teodora è di 45 €.
b) Scrivete il vincolo di bilancio di Teodora e lo si rappresenti nel grafico, indicando il
valore delle intercette e della pendenza.
Vincolo di Bilancio:
pFF+pHH=I
2F+1,5H=45
Dove
F=22,5-0,75H
H=30-1,33F
Quindi il vincolo di bilancio, sarà disegnato con un’ intercetta verticale pari a 22,5,
un’intercetta orizzontale pari a 30 e pendenza verticale paria 0,75 e pendenza orizzontale
pari a 1,33.
4
c) Si determini la quantità di hamburger e patatine fritte domandata da Teodora in
equilibrio.
Mettiamo a sistema il vincolo di bilancio con la condizione di proporzionalità:
⎧2 F + 1,5H = 45
⎨
⎩ F = 3H
Sostituiamo F=3H nella prima:
2(3H)+1,5H=45
H*=6
Sostituiamo H*=6 in F=3H e troviamo F*=18
Quindi il paniere ottimo è uguale a:
⎧H * = 6
⎨
⎩ F * = 18
Osservate l’equilibrio trovato nel grafico sopra.
d) Supponete che il prezzo degli hamburger si raddoppi. Qual è il consumo ottimale di
hamburger e patatine coi nuovi prezzi?
Il nuovo vincolo di bilancio è pari a:
2F+3H=45
5
Il punto di equilibrio è dato:
⎧2 F + 3H = 45
⎨
⎩ F = 3H
Quindi, il consumo di entrambi i beni si è ridotto:
⎧H * = 5
⎨
⎩ F * = 15
Osservate il nuovo vincolo di bilancio e l’equilibrio trovato nel grafico sopra.
e) I genitori di Teodora decidono di aumentarle la paghetta affinché lei possa consumare
le stesse quantità che consumava precedentemente all’aumento del prezzo delle patatine
(equilibrio del punto c). Di quanto ammonta l’aumento della paghetta settimanale?
Il paniere iniziale contiene H=6 e F=18, per mantenere le stesse quantità ai nuovi prezzi,
dobbiamo riscriver il vincolo di bilancio, mettendo la paghetta come incognita:
3*6+2*18=I
I*=54
Quindi l’aumento della paghetta sarà pari a (54-45)€=9 €
4)
Federico spende tutto il suo reddito settimanale per acquistare CDs (C) ed andare in
discoteca (D). Il suo reddito settimanale è pari a I=80 Euro, il prezzo del bene C è pC=24
ed il prezzo del bene D è pD=8. La funzione di utilità di Federico è data da:
U(C,D) = C3D2
a) Scrivete e rappresentate graficamente l’equazione del vincolo di bilancio di Federico,
indicando chiaramente il valore delle intercette e della pendenza.
24C+8D=80
D=10-3C Î intercetta verticale=10 e pendenza=-3.
C=3,3-0,33D Î intercetta orizzontale=3,3
6
b) Calcolate il Saggio Marginale di Sostituzione (esplicitando i passaggi algebrici!).
MU C ∂U / ∂C 3C 2 D 2 3D
=
=
=
MU D ∂U / ∂D 2C 3 D 2C
c) Trovate analiticamente la quantità consumata in equilibrio di entrambi i beni
(paniere ottimale). Mostrate l’equilibrio nel grafico precedente indicandolo con la
lettera E.
MRS =
⎧ 3D 24
⎧⎪ D * = 4
=
⎪
⇒⎨ *
⎨ 2C 8
⎪⎩24C + 8D = 80 ⎪⎩C = 2
d) Dato un generico livello di reddito I, derivate la funzione della “Curva di Engel” per il
bene C, nel caso in cui pC=24 e pD=8. Il bene C è un bene normale o inferiore?
Rappresentate graficamente la curva di Engel nel grafico sottostante. Indicate
chiaramente quali sono le variabili sugli assi.
Risolvendo il sistema precedente, lasciando implicito il livello di reddito I, si ottiene la
curva di Engel:
⎧ 3D 24
=
⎪
⇒ I = 40C
8
⎨ 2C
⎪⎩24C + 8D = I
C è un bene normale. Infatti, all’aumentare del reddito, il suo consumo aumenta.
7
e) Scrivete la funzione di domanda di C in funzione al reddito ed al prezzo e calcolate
l’elasticità della domanda di C rispetto al prezzo.
⎧ 3D p C
=
48
⎪
⇒C =
⎨ 2C p D
pc
⎪Cp + Dp = 80
D
⎩ C
Elasticità:
∂C pc
48 p
ε cPc = −
= 2 c =1
∂pc C
pc 48
pc
f) Nel caso in cui il prezzo dei CD aumenti, secondo voi come varia la spesa totale di
dischi, l’elasticità e gli effetti di reddito e di sostituzione in che direzione agiscono?
In questo caso abbiamo preferenze Cobb-Douglas e l’aumento del prezzo dei CD
comporta una riduzione della domanda dei CD ma la spesa totale sarà inalterata.
L’elasticità sarà sempre uguale ad 1 e gli effetti di reddito e di sostituzione, dato che il
bene è un bene normale agiscono nella stessa direzione.
5)
Daniela consuma libri (X) e schede telefoniche (Y). Il prezzo unitario dei libri è pari a 8
euro, mentre quello delle schede telefoniche è pari a 10 euro. Inoltre le preferenze di
8
Daniela per questi due beni possono essere rappresentate dalla seguente funzione di
utilità:
U(X,Y)=X0,4Y0,6
a) Qual è il saggio marginale di sostituzione fra le quantità di libri e schede telefoniche?
MU x 0,4 * X 0, 4−1Y 0,6 2 Y
=
=
L'MRS è pari a MRS yx =
MU y 0,6 * Y 0.6−1 X 0, 4 3 X
b) Scrivete e rappresentate graficamente il vincolo di bilancio di Daniela, sapendo che il
reddito di cui dispone è di 800 euro mensili. Indicate chiaramente le intercette e
l’inclinazione del vincolo di bilancio.
Y
100
E
48
-4/5
40
80
X
Il vincolo di bilancio è dato da 8X+10Y=800. Le intercette verticale e orizzontale sono
rispettivamente 80 e 100. La pendenza è -4/5.
c) Quale sarà il paniere ottimo scelto da Daniela? Rappresentatelo nel grafico precedente.
Mettendo a sistema la condizione di tangenza e il vincolo di bilancio abbiamo:
⎧2 Y 4
=
⎪
⎨3 X 5
⎪⎩8 X + 10Y = 800
⎧⎪ X * = 40
⎨ *
⎪⎩Y = 48
d) Dopo un anno l’inflazione ha portato il prezzo unitario dei libri da 8 a 12 ed il prezzo
delle schede telefoniche da 10 a 15. Di quanto deve aumentare il reddito mensile di
Daniela perché in equilibrio possa ora ottenere lo stesso livello di utilità dell’anno
precedente?
9
Non occorre fare calcoli. Sia il prezzo dei libri che il prezzo delle schede telefoniche è
aumentato del 50%. Di conseguenza, la pendenza del vincolo di bilancio non si è
modificata, ma il vincolo di bilancio si è spostato parallelamente verso il basso. Perché
ottenga la stessa utilità dell'anno precedente, e poichè i prezzi relativi non sono cambiati,
Daniela dovrà ricevere un reddito aggiuntivo che le consenta di tornare esattamente nel
vecchio equilibrio. Perciò, anche il reddito dovrà aumentare del 50%, ed essere pari a
1200 Euro.
6)
Giovanna consuma cioccolata (X) e fiori (Y). Il prezzo della cioccolata è pari 4 euro al
Kg e quello dei fiori 7 euro al mazzo. Inoltre le preferenze di Giovanna per questi due
beni possono essere rappresentate dalla seguente funzione di utilità:
U(X,Y)=X0,3Y0,7
a) Quale è il saggio marginale di sostituzione fra le quantità di cioccolata e fiori?
MRSY,X=MUX/MUY=3/7 (Y/X)
b) Scrivete e rappresentate graficamente il vincolo di bilancio sapendo che il reddito di
cui dispone Giovanna è di 280 euro settimanali, indicando chiaramente le intercette e
l’inclinazione.
Y
F
A
28
U
21
PxX+PYY=I
E=280/4=70;
E
X
4X+7Y=280
F=280/7=40
Pendenza α= -4/7
10
c) Quale sarà il paniere ottimo scelto da Giovanna? Derivate analiticamente la quantità
ottima consumata dei due beni e fornitene una rappresentazione nel grafico
precedente.
3/7 * Y/X = 4/7
X = 21
4X + 7Y = 280
Y = 28
A(21; 28)
d) Giovanna riceve prima delle vacanze estive un aumento di stipendio, il suo nuovo
reddito sarà pari a 320 euro. Come varierà la quantità di cioccolata e fiori che
Giovanna vorrà acquistare? Calcolate il nuovo equilibrio e rappresentatelo
graficamente.
Y
F1
32
B
U1
24
3/7 * Y/X = 4/7
4X + 7Y = 320
F1=320/7=45,71 ;
X = 24
E1
B(24; 32)
Y = 32
E1=320/4=80
11
X
Perfetti sostituti
7)
Considerate la seguente funzione di preferenze della signora Violante:
U=X+Y
Dove X sono scarpe mocassini ed Y sono scarpe col tacco.
a) Di che tipo di preferenze si tratta?
In questo caso i mocassini e le scarpe col tacco sono perfetti sostituti.
b) Calcolate il saggio marginale di sostituzione.
MRS yx =
MU x 1
= =1
MU y 1
c) Se il prezzo dei mocassini è uguale a px=10 e quello delle scarpe col tacco è py=20.
Scrivete il vincolo di bilancio nel caso in cui il reddito della signora è pari a 100.
Il vincolo di bilancio sarà pari a:
100=10X+20Y
Y=5-0,5X Î intercetta verticale=5 e pendenza=0,5.
X=10-2Y Î intercetta orizzontale=10
12
d) Trovate la quantità di equilibrio di mocassini e scarpe col tacco.
Nel caso di perfetti sostituti, la signora Violante acquisterà solo uno dei due beni, tranne
nel caso in cui il MRS è il rapporto tra i prezzi è identico, allora in quel caso, l’equilibrio
è dato una qualsiasi combinazione dei due beni.
Px
(le curve di indifferenza sono più inclinate rispetto al vincolo di bilancio)
Py
Î solo il bene X è consumato
Px
(le curve di indifferenza sono meno inclinate rispetto al vincolo di bilancio)
Se MRS<
Py
Î solo il bene Y è consumato
Se MRS>
In questo caso,
10
Px
MRS=1>
= 0,5 =
Î la signora Violante acquisterà solo mocassini X*=10, Y*=0
20
Py
Perfetti Complementi
8)
Alice adora mangiare 1 etto di fragole (F) con 1 pallina di gelato alla vaniglia (G). Nel
periodo di preparazione all’esame di microeconomia, Alice spende tutta la sua paghetta
di 40€ in fragole e gelato. Il prezzo di un etto di fragole (pF) è pari a 2€, il prezzo di una
pallina di gelato (pG) è pari a 0,5€.
13
a) Che tipo di relazione esiste tra le fragole ed il gelato? Come rappresentereste
analiticamente e graficamente le sue preferenze?
In questo caso le fragole ed il gelato sono perfetti complementi. La funzione di utilità è
rappresentata da:
U = min{F , G}
b) Calcolate il saggio marginale di sostituzione.
Nel caso di beni perfetti complementi, il saggio marginale di sostituzione non è definito
nei punti rilevanti, mentre è uguale a 0 lungo la parte orizzontale della curva
d’indifferenza ed è infinito nella parte verticale della curva di indifferenza.
c) Scrivete il vincolo di bilancio e rappresentatelo in corrispondenza delle preferenze.
Vincolo di Bilancio:
I=pFF+pGG
40=2F+0,5G
Da questo possiamo scrivere:
G=80-4F
L’intercetta verticale del vincolo di bilancio è 80 e la sua pendenza è -4
Per trovare l’intercetta orizzontale, poniamo:
F=20-0,25G
Quindi l’intercetta orizzontale è 20
14
e) Disegnate la quantità consumata di ogni bene.
La quantità ottima è data:
⎧G = F
⎨
⎩40 = 2 F + 0,5G
F * = 16
G* = 16
Quindi Alice mangerà 16 etti di fragole con 16 palline di gelato!
15
9) Teresa ha un reddito di 120 Euro alla settimana ed è una accanita lettrice di romanzi.
Le sue preferenze relative al “consumo” di romanzi (x) e di tutti gli altri beni (y) sono
descritte dalla seguente funzione di utilità: U(x,y) = xy.
a) Sapendo che il prezzo di un romanzo è pari a 2 Euro (px = 2) e che il prezzo di tutti
gli altri beni è pari ad 1 (py = 1), si scriva il vincolo di bilancio di Teresa e lo si
rappresenti graficamente indicando il valore delle intercette e dell’inclinazione.
Vincolo di bilancio: 2x + y = 120
Intercette: (0,120) e (60,0)
Inclinazione: -2
y
120
60
30
60
x
b) Calcolate il saggio marginale di sostituzione e commentatene il significato
economico.
y
MRS yx =
x
c) Ricavate il paniere di equilibrio di Teresa e rappresentatelo graficamente.
⎧y
⎪ =2
⎨x
⎪⎩2 x + y = 120
x = 30 y = 60
d) Supponete ora che i tempi di arrivo dei nuovi romanzi nella libreria da cui si serve
Teresa siano tali che per Teresa è impossibile acquistare più di 40 nuovi romanzi a
settimana. Come si modifica il vincolo di bilancio? Rappresentatelo graficamente.
16
y
120
40
x
e) Quali effetti produce il razionamento sull’utilità di Teresa?
Nessuno, rimanendo la scelta invariata. Infatti quando panieri contenenti più di 40
romanzi erano disponibili non erano comunque stati scelti. Il razionamento non è per
Teresa “stringente”. Il paniere a questi preferito è ancora disponibile e continuerà ad
essere scelto.
10) Valerio è uno studente di dottorato. Il venerdì sera spende tutto il suo reddito tra
bicchieri di birra e di vino. Valerio è sempre disposto a sostituire un bicchiere di birra (B)
con due bicchieri di vino (V). Il prezzo di un bicchiere di birra è pari a 5 euro, mentre
quello di un bicchiere di vino è pari a 4 euro.
a) Che relazione sussiste fra i due beni nelle preferenze di Valerio? Scrivete la funzione
di utilità.
beni perfetti sostituti
17
U=2B+V
b) Scrivete e rappresentate nel grafico sottostante il vincolo di bilancio di Valerio
sapendo che il reddito di cui dispone è di 40 Euro alla settimana. Indicate chiaramente le
intercette e l’inclinazione.
5B+4V=40,
inclinazione: -5/4
V
10
8
B
c) Derivate analiticamente la quantità ottima consumata dei due beni e fornite una
rappresentazione dell’equilibrio nel grafico precedente.
5B+4V=40
5/4<2 (=sms)
B*=40/5=8, V*=0
d) Valerio ha fatto colpo sulla barista e ottiene uno sconto del 50% su tutte le
consumazioni. Che effetto avrà questo sconto sulla scelta ottima di Valerio?
Valerio continuerà a consumare solo birra, tuttavia ne aumenterà la quantità consumata:
18
B*=16
11)
Il signore Bonaparte predilige fare colazione bevendo una tazza di cappuccino (C) e
mangiando 2 croissant (B). Il reddito settimanale disponibile per la colazione è pari a
21€, il prezzo di una tazza di cappuccino (pC) è pari a 1,5€ ed il prezzo di un croissant
(pB) è pari a 1€.
a) Di che tipo di preferenze si tratta? Scrivete la formula analitica e datene una
rappresentazione grafica.
Si tratta di bene che sono perfetti complementi, le preferenze sono descritte
analiticamente:
U = min{B,2C}
b) Quante volte alla settima il signor Bonaparte può fare colazione bevendo cappuccino e
mangiando croissant?
L’equilibrio è dato:
⎧ B = 2C
⎨
⎩ B + 1,5C = 21
C*=6; B*=12
Il signore Bonaparte potrà mangiare croissant e bere cappuccino 6 giorni la settimana.
19
c)Se volesse fare colazione tutti i giorni della settimana mangiando croissant e bevendo
cappuccino, quale dovrebbe esser il suo reddito?
In questo caso il suo equilibrio sarebbe:
C*=7; B*=14
Sostituendo questi valori nel vincolo di bilancio, mantenendo come incognita il reddito,
abbiamo:
I=14+1,5*7=24,5
Quindi il suo reddito settimanale destinato alla colazione dovrebbe essere pari a 24,5€.
d) Oppure mantenendo sempre un reddito pari a 21€, quale dovrebbe esser il prezzo di
una tazza di cappuccino (se pB=1)? Quale potrebbe esser il prezzo dei croissant (se
pC=1,5)?
In questo caso poniamo come incognita prima il prezzo di una tazza di cappuccino e poi
il prezzo dei croissant:
Caso a):
21=14+pC7 Î pc=1, quindi il prezzo del cappuccino dovrebbe esser pari ad 1 affinché
con lo stesso reddito e lo stesso prezzo dei croissant sia possibile fare colazione 7 giorni
su 7.
Caso b):
21=pB14+1,5*7 Î pB=0,75 quindi il prezzo dei croissant dovrebbe esser pari ad 0,75
affinché con lo stesso reddito e lo stesso prezzo del cappuccino sia possibile fare
colazione 7 giorni su 7.
20