第一章 三角函數
1－ 1
三角函數的圖形
基礎題：
1.
y＝1＋2 sin〔3 ( x＋4 )〕＝1＋2 sin ( 3x＋12 )
2π
∴ 週期
3
2.
如圖，交點有 11 個
故選(B)
26
26
7
)＝tan ( 3π－
)＝tan
＜0，
11
11
11
17
17
5
tan (－
)＝tan ( 2π－
)＝tan
11
11
11
13
2
28
6
tan
＝tan
，tan
＝tan
＜0
11
11
11
11
2
3
5
∵ 0＜tan
＜tan
＜tan
∴ 選(B)
11
11
11
3.
tan (－
4.
sin1  sin57.3°，sin2  sin114.6°＝sin65.4°
sin3  sin171.9°＝sin8.1°
⇒sin8.1°＜sin57.3°＜sin65.4°
5.
設內切圓的半徑為 x
△OMP 中， MP ＝ OM sin30° ⇒ x＝( 6－x )．
1
⇒ x＝2
2
∵ MP ⊥ OP ， MQ ⊥ OQ ，∠POQ＝60° ∴∠PMQ＝120°＝
所求周界長為 OP ＋ OQ ＋劣弧 PQ＝2 ( 4cos30° )＋2×
所求面積為△OPM＋△OQM－扇形 MPQ
1
1
2π
＝2〔 ×( 4cos30° )×2〕－ ．22．
2
2
3
4π
＝4 3 －
3
- 1 -
2π
3
2π
4π
＝4 3 ＋
3
3

＜2＜π ∴0＜sin2＜1
2
5
9＝2π＋( 9－2π)且
＜9＜3π
2

⇒
＜9－2π＜π ∴ tan ( 9－2π)＜0
2
⇒ 點 P ( sin 2，tan 9 ) 在第四象限
6.
∵
7.
0≤
8.
x
≤π
2
x
1
∵sin ≥
2
2
∴
π x
5π π
5π
≤ ≤
⇒ ≤x ≤
2
6
3
6
3
左移1
水平伸縮
y＝sin x ⎯⎯⎯⎯
→ y＝sin〔3 ( x＋1 )〕
→ y＝sin 3x ⎯⎯⎯
1
為 倍
3
鉛直伸縮
為2倍
⎯⎯⎯⎯
→ y＝2 sin〔3 ( x＋1 )〕
得 y＝2 sin ( 3x＋3 )＋0
∴ a＝2，b＝3，c＝3，d＝0
9.
(1) y＝sin x 的圖形向上平移 1 單位，
即得 y＝1＋sin x 的圖形：
(2) 由附圖知
A ( 4π)＝R1＋R2＋R3＋R4＝2R1＋2R2
＝2 ( R1＋R2 )＝2A (2π)
故 k＝2
10. 設正方形 ABCD 的邊長為 x 公分
∵∠DOA＝45° ∴ OA ＝ AD ＝ AB ＝ BC ＝x
△OBC 中， OC 2＝ OB 2＋ BC 2⇒52＝( 2x )2＋x2 ⇒ x＝ 5
陰影部分的面積＝( 扇形面積 )－( 正方形 ABCD 面積 )
＝
1 2 π
25
×5 × －( 5 )2＝
π－5 ( 平方公分 )
2
4
8
- 2 -
11. ∴l＝－2，
kx
0
x
0
y
0
2π 4π
5
＝
⇒k＝
k
5
2
π
2
π
2k
l
π
π
k
0
3π
2
3π
2k
－l
2π
2π
k
0
12. 依題意作圖如附，
所求高度＝ BC ＝ OA ＋ OB ．sin (
＝ OA ＋40 sin
3

．2π－ )
5
2
7

＝40＋40 cos ＝72.36≒72
10
5
1 2 π
3 2 16
×4 × －
×4 ＝ π－4 3
4
2
3
3
D
π
4π
(2) Y 之周長為 CD ＋2 CE ＝4＋2×4× ＝4＋
3
6
13. (1) X＝2 扇形 ABE－正△ABE＝2×
x
的交點個數，如附圖：
π
π
x －π
顯然，y＝sin2x 與 y＝ 在
＜x＜ 之間恰有三個交點
2
2
π
－π
π
x
故方程式 sin2x＝ 在
＜x＜ 之間恰有三實根
2
2
π
C
E
14. 所求為二曲線 y＝sin2x 與 y＝
A
15. O1O2 ＝6
A•
如附圖，∠O2O1M＝60， O1 M ＝2 ∴ MN ＝3 3
4π 8π
4π 4π
弧 PAM ＝2．
＝
，弧 NBQ ＝1．
＝
3
3
3
3
12π
所求＝ PQ ＋ MN ＋ PAM ＋ NBQ ＝6 3 ＋
＝4π＋6 3
3
180
 57.3(○)
16. (A) 1 弧度＝
π
(B) PQ ＝2 × 1＝2 ( 公分 )(○)
(C) PQ ＝ 22＋22－2．2．2 cos1 ＝ 8－8cos1  3.7 ( 公分 )(○)
1
(D) 扇形 POQ 的面積為 × 22 × 1＝2 (×)
2
1
(E) △POQ 面積＜ × 2 × 2 × sin 60＝ 3 (×)
2
- 3 -
60°
4
B
•B
進階題：
17. 如附圖， OQ ＝20， OA ＝ OB ＝18
x＝0 時，a sin c＋d＝ BQ ＝2 ……………①
x＝15 時，a sin ( 15b＋c )＋d＝ BQ ＝2…②
2π
∵ b＞0 ∴ 由①②：15b＝2π b＝
15
15
x＝ 時，a sin (π＋c )＋d＝ AQ ＝38  －a sin c＋d＝38…③
2
由①③：d＝20，a sin c＝－18……………………………………④
15
π
x＝ 時，a sin ( ＋c )＋d＝20  a cos c＝0………………⑤
4
2
∵ a＞0  由④⑤得 cos c＝0，sin c＜0 又 0＜c＜2π
3π
∴ c＝
，a＝18
2
18. 如附圖所示
∵ OE ＝ OF ＝2，且 EF ＝2
∴∠EOF＝
π
3
∴b＝扇形 EOF－△EOF
1
π 1
π 2π
＝ ．2．2． － ．2．2．sin ＝
－ 3
2
2
3
3
3
∵ OC ＝ OD ＝2， CD ＝2 3
2π
∴ ∠COD＝
3
a＋b＝扇形 COD－△COD
1
2π 1
2π 4
＝ ．2．2．
－ ．2．2．sin
＝ π－ 3
2
3
2
3
3
4π
2π
2π
故 a＝( a＋b )－b＝(
－ 3 )－(
－ 3 )＝
3
3
3
19. 以很小正 x 代入，y＜0 圖形只可能為(B)、(E)
以很小負 x 代入，y＞0 圖形只可為(B)
20. ∵ 2 弧度為第二象限角 ∴ 4 sin 2＞0，－4 cos 2＞0
作圖如右：
可知 OP ＝r＝ (4sin 2) 2＋(－4cos 2) 2 ＝4
由廣義角三角函數的定義可得
x 4sin 2



cos

＝
＝
＝
sin
2
＝
cos(
－
2)
＝
cos(2
－
)


 

r
4
2
2
又 0＜θ＜ ，0＜2－ ＜

2
2
2
sin ＝－4cos 2 ＝－cos 2＝－sin (  －2)＝sin (2－ )


4
2
2

故θ＝2－
2
- 4 -
21.
r
＝sinθ ⇒r＝R sinθ－r sinθ
R－ r
R sinθ
∴r＝
1＋sinθ
1 2
r θ＝16⇒r2θ＝32
2
r ＝2 64 ＝16
扇形的周界長＝2r＋rθ≥ 2 2r．θ
22. 扇形的圓心角θ弧度，半徑 r⇒面積＝
式中等號成立時 2r＝rθ，得θ＝2⇒r＝4
素養題：
23. (1) 振幅: 3.6-2.4=1.2，A=1.2，
(3，3.6) (6，1.2)，週期=(6-3)  2=6=
f ( x) = 1.2sin (

3
2

b= ，
b
3
x + c) + d


3.6 = 1.2sin ( 3  3 + c) + d

1.2 = 1.2sin (   6 + c) + d

3
3.6 = −1.2sin (c) + d

1.2 = 1.2sin (c) + d
3
 d = 2.4,sin (c) = −1， c =  ，
2

3
f ( x) = 1.2sin ( x +  ) + 2.4 。
3
2

3
(2) f (8) = 1.2sin (  8 +  ) + 2.4 = 3 ，
3
2
f (9) = 3.6, f (10) = 3, f (11) = 1.8 ，
故從 11 月份開始投入廣告預算。
24. 將圖標示如右，從 O1 做 O2 D 的交點 E 點，
2
2
其中 BC ＝ AD ＝ O1E ＝ O1O2 − O2 E ＝ 122 − 62 ＝6 3 ，
由三邊長可知△O1O2E 為 30°、60°、90°的三角形
得∠O1O2E＝60°
4
16
優弧 AB ＝4× π＝ π
3
3
4
8
優弧 CD ＝2× π＝ π
3
3
16
8
故皮帶長＝6 3 ＋6 3 ＋ π＋ π＝12 3 ＋8π公尺
3
3
- 5 -
25. 問題一： 中心一開始在 2 公尺處，最高點在 2.4 公尺，
1
振幅為 R = 2.4 − 2 = 0.4
2
 R = 0.8 公尺
 大齒輪的最低點距離地面 2 − 0.8 = 1.2 公尺。
問題二：根據函數圖形，正弦函數的周期為 2 分鐘，可得大齒輪每 2 分鐘會轉一圈，故
小齒輪每 1 分鐘會轉一圈。
問題三：由問題一知 R = 0.8  r = 0.4
1
一開始 中心一樣在 2 公尺處，振幅為 r = 0.2 ，週期為 1，
2
可得函數 f ( x) = 0.2sin 2 t + 2 ，
振幅為原本函數的一半，週期也為一半，
故選(B)。
- 6 -
三角的和角與差角公式
1－ 2
基礎題：
1.
直角△ABC 中， BC ＝6 sin 40°，∠BCD＝∠A＝40°。
直角△BCD 中， CD ＝ BC cos 40°＝6 sin 40° cos 40°＝3 sin 80°。
故選(D)。
A
D
C
2.
B
OP ＝2，∠POA＝θ⇒∠POB＝60°－θ
∴ PC ＝2 sinθ， OC ＝2 cosθ，
PD ＝2 sin ( 60°－θ)＝ 3 cosθ－sinθ，
OD ＝2 cos ( 60°－θ)＝cosθ＋ 3 sinθ
( PC ＋ PD )：( OC ＋ OD )
＝( 3 cosθ＋sinθ)：( 3 cosθ＋ 3 sinθ)
＝1： 3
3.
(A) 原式＝cos ( 78°＋42° )＝cos120°＜0
1
1
1
(B) 原式＝ cos ( 2×37° )＝ cos74°＝ sin16°
2
2
2
(C) 原式＝tan ( 2×67.5° )＝tan135°＜0
1
(D) 原式＝ sin84°
2
1
1
(E) 原式＝ cos86°＝ sin4°
2
2
 sin84°＞sin16°＞sin4°＞0
4.
∵270°＜θ＜360°且 cosθ＝
1
3
∴tanθ＝－ 8 ＝－2 2
tan2θ＝
－4 2
4 2
1tan 
＝
＝
2
1－8
7
1－tan 
- 7 -
5.
∵ 4sinθ＋3cosθ＝0 ∴ 4．
sin 
3
＋3＝0，tanθ＝－
cos 
4

2t
3
1
＝t 
＝－  3t2－8t－3＝0  ( t－3 ) ( 3t＋1 )＝0  t＝3 或－
2
1－t
4
3
2



∵ 45°＜ ＜90° ∴ t＝tan ＞0 ∴ tan ＝3，選(E)
2
2
2
設 tan
6.
cos 2x＋4 sin2 x－cos x－2＝0
⇒2 cos2 x－1＋4 ( 1－cos2 x )－cos x－2＝0
⇒－2 cos2 x－cos x＋1＝0
⇒2 cos2 x＋cos x－1＝0
⇒( 2 cos x－1 ) ( cos x＋1 )＝0
1
⇒cos x＝ 或 cos x＝－1
2
⇒x＝±60°或－180°
7.
1
3
＋ ＝1
4
4
又－180°  x＋y  180°⇒x＋y＝90°
1
3
1
sin ( x－y )＝sinx cosy－cos x sin y＝ － ＝－
4
4
2
又–180°  x－y  180°⇒x－y＝－30°或－150°
sin ( x＋y )＝sin x cos y＋cos x sin y＝
 x＋y＝90
 x＝30
 x＋y＝90
 x＝－30
⇒
； 
⇒

 x－y＝－30  y＝60
 x－y＝－150  y＝120(不合)








8.
(sin 2 ＋cos 2 )＋2sin cos － (sin 2 ＋cos2 )－2sin cos
2
2
2
2
2
2
2
2




＝| sin ＋cos |－| sin －cos |
2
2
2
2







＝( sin ＋cos )－( sin －cos ) ( ∵45° 90°⇒sin ＞cos ＞0 )
2
2
2
2
2
2
2
2



＝2 cos ，0  cos 
∴0  2 cos  2
2
2 2
2
9.
A、B 為相鄰兩個小八角星的中心，
C 為它們的共同頂點，O 為大八角星的中心（如圖）。
則 AC ＝a， AO ＝b，
1
且∠AOC＝ ×45°＝22.5°，
2
1 − cos 45
a
所以 ＝sin∠AOC＝sin 22.5°＝
＝
b
2
- 8 -
1−
2
2 ＝ 2− 2
2
2
10. ∵ 0°＜α＜90°，0°＜β＜90°
3 3
14
5 3 3 3
45－143
1
11 13
 cos (α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝
×
－ × ＝
＝−
14
14
196
2
14 14
1
又 0°＜α＋β＜180°，cos (α＋β)＝－
∴ α＋β＝120°
2
故選(C)
∴ cosα＝
11. ∵cos C＝－
1－sin 2 ＝
5
13
5 3
， cosβ＝
14
1－sin 2  ＝
∴∠C＞90°，故 A、B 均為銳角
3
4
∴sin B＝ ，cos B＝
5
5
5
12
∵cos C＝－
∴sin C＝
13
13
∵sin A＝sin〔180°－( B＋C )〕＝sin ( B＋C )
＝sin B cos C＋cos B sin C
3 －5 4 12
33
＝ ．
＋ ． ＝
5
13
5 13 65
b
a
由正弦定理
＝
sin B sin A
sin A
33 5
⇒ a＝
．b＝13． ． ＝11
sin B
65 3
1
1
12
∴△ABC 面積＝ a．b sin C＝ ．13．11． ＝66
2
2
13
∵tan B＝
3
4
12. tan3θ＝tan ( 2θ＋θ)
2 tan 
＋tan 
2
tan 2＋tan 
1
－
tan

＝
＝
1－tan 2  tan  1－ 2 tan  ．tan 
1－tan 2 
2 tan ＋( tan －tan 3  ) 3tan －tan 3 
＝
＝
1－3tan 2 
( 1－tan 2  )－2 tan 2  )
π
)，週期 2π
4
π
(B) 3 sin x＋cos x＝2 sin ( x＋ )，週期 2π
6
π
(C) sin 2x＋cos 2x＝ 2 sin ( 2x＋ )，週期π
4
π
(D) | sin x＋cos x |＝ 2 | sin ( x＋ ) |，平移得 2 | sin x |，週期π
4
x
x
x π
x
(E) | sin －cos
|＝ 2 | sin ( － ) |，平移得 2 | sin
|，週期 2π
2
2
2
2
4
13. (A) sin x－cos x＝ 2 sin ( x－
- 9 -
14. (A) sin 13°＋cos 13°＝ 2 sin ( 45°＋13° )＞ 2 sin 57°
○
(B) sin 33°＋cos 33°＝ 2 sin 78°＝ 2 sin 102°＝sin 57°＋cos 57°
(C) sin 77°－cos 77°＝sin ( 45°＋32° )－cos ( 45°＋32° )＝ 2 sin 32°
×
×
(D) sin 68°＋sin 22°＝cos 22°＋sin 22°＝ 2 sin ( 45°＋22° )＝ 2 sin 67°＜ 2
×
故選(A)
15. 3 AP ＋4 BP ＝30 cosθ＋40 sinθ
P
4
3
10 cosθ
＝50 ( sinθ＋ cosθ)
10 sinθ
5
5
θ
A
B
＝50 sin (θ＋α)，
4
3
π
其中 cosα＝ ，sinα＝ 。當θ＋α＝ 時，3 AP ＋4 BP ＝50 為最大值。
5
5
2
2
2
2
π
sin ( x＋ ) ⇒－
≤ f (x) ≤
2
2
2
4
2
2
5π
π 3π
3π
(B) x＝
時，x＋ ＝
，即 f (x)＝
sin
＝－
最小
2
2
4
2
2
4
2
2
π
(C) f (3)＝
sin ( 3＋ ) 
sin217°＜0
2
2
4
1
1
1
(D) f (0)＝ ( sin0＋cos0 )＝ ⇒ 過點 ( 0 ,
)
2
2
2
π
(E) y＝sinx 的圖形對稱於直線 x＝
2
π π
π
⇒ y＝f (x)的圖形對稱於直線 x＋ ＝ ，即 x＝
4
2
4
16. (A) f (x)＝
17. f (x)＝3 sin x－4 cos x＝5 (
3
4
sin x－ cos x )
5
5
3
4
取 cosθ＝ ，sinθ＝ ，
5
5
f (x)＝5 ( sin xcosθ－cos x sinθ)＝5 sin ( x－θ)
(A) y＝f (x)的圖形係由 y＝sin x 沿 y 軸伸縮 5 倍得 y＝5 sin x，再沿 x 軸向右平移θ單位
而得
(B) f (－x )≠f (x)
4
(C) f (x)＝0⇒3 sin x－4 cos x＝0⇒tan x＝
3
(D) ∵－5  f (x)  5 ∴ f (x)＝6 沒有實數解
(E) y＝f (x)的圖形與直線 y＝－x 有交點(α,？) ⇒α＋f (α)＝0
sin ＋cos ＝a
18. 
，a2＝1＋2 sinαcosα，a2＝1＋4a⇒a2－4a－1＝0
sin  cos ＝2a
1
⇒a＝2－ 5 (∵| a | 
)
4
- 10 -
π
) ⇒－ 2  t  2
4
1
5
t2＝1＋2 sin x cos x⇒f (x)＝( t2－1 )－t＝( t－ )2－
2
4
1
1
5
(C)(D) t＝ ，即 sin x＋cos x＝ 時，f (x)有最小值－
2
2
4
(E) t＝－ 2 時，f (x)有最大值 1＋ 2
19. t＝sin x＋cos x＝ 2 sin ( x＋
3
1＋cos 2 x
sin 2x－
2
2
3
1
＝ ( sin 2x－cos 2x )＋
2
2
1
1
1
3 2
＝
(
sin 2x－
cos 2x )＋
2
2
2
2
π
1
3 2
＝
sin ( 2x－ )＋
2
2
4
1＋3 2
1－3 2
∴最大值：
； 最小值：
2
2
20. 原式：y＝1－cos 2x＋
進階題：
21.
－sin15 sin1＋cos14
cos15 sin1＋sin14
－sin15 sin1＋cos(15－1)
＝
cos15 sin1＋sin(15－1)
－sin15 sin1＋( cos15 cos1＋sin15 sin1)
＝
cos15 sin1＋(sin15 cos1－cos15 sin1)
cos15cos1 cos15
＝
＝
sin15 cos1
sin15
2sin15 cos15
sin 30
＝
＝
2
2sin 15
1－cos30
1
1
＝ 2 ＝
＝2＋ 3
2－ 3
3
1－
2
22. sin (θ＋24° )＝cos〔90°－(θ＋24°)〕＝cos ( 66°－θ)
sin (θ＋66°)＝cos ( 66°－θ)
⇒sinθcos 66°＋cosθsin 66°＝cos 66° cosθ＋sin 66° sinθ
⇒cos 66° ( sinθ－cosθ)＝sin 66° ( sinθ－cosθ)
⇒sinθ＝cosθ（∵cos 66°≠sin 66°）
⇒tanθ＝1
- 11 -
π
－x )＋3
3
π
π
＝cos x－( cos cos x＋sin sin x )＋3
3
3
3
1
＝cos x－( cos x＋
sin x )＋3
2
2
3
1
＝ cos x－
sin x＋3
2
2
π
π
π
＝cos cos x－sin sin x＋3＝cos ( x＋ )＋3
3
3
3
π
π 4
因 0  x π，故  x＋  π，
3
3 3
π π
1
7
所以當 x＋ ＝ ，即 x＝0 時，f (x)有最大值 ＋3＝
2
2
3
3
π
2
當 x＋ ＝π，即 x＝ π時，f (x)有最小值－1＋3＝2
3
3
23. f (x)＝cos x－cos (
π
π
π
)＝sinx ( cosx cos －sinx sin )
6
6
6
1
3
3
1
＝
sinx cosx－ sin2x＝
sin2x－
( 1－cos2x )
2
4
2
4
3
1
1
＝
sin2x＋ cos2x－
4
4
4
1
π
1
＝ sin( 2x＋ )－
2
6
4
1 1 1
最大值為 － ＝
2 4 4
24. sinx cos ( x＋
25. 設 BC ＝x，可知 tanα＝
3
1
，tanβ＝
x
x
 tan (α－β)
＝
tan －tan 
1＋tan  tan 
3 1
－
x
x ＝ 2
＝
3 1
3
1＋ 
x＋
x
x x
≤
2
2 x
3
x
＝
1
3
＝
3
3
3
3
故 x＝ 時，tan (α－β) 的最大值為
3
x
- 12 -
26. 設 B，F 在 x 軸上的投影點分別為 B'，F'，且∠BAB'＝θ，作圖如附：
可得 AB' ＝2， BB ' ＝1， AB ＝ 5
2
1
 cosθ＝
，sinθ＝
5
5
又∠FAB＝120°，所以可知∠FAF'＝60°－θ

1
3
2+ 3
sin  =
 cos(60 −  ) = cos +
2
2
2 5
由差角公式可得 
 sin(60 −  ) = 3 cos − 1 sin  = 2 3 − 1

2
2
2 5

2+ 3
 AF ' = AF cos(60 −  ) =
2

2
3
−1
 FF ' = AF sin(60 −  ) =

2

4− 3
 a =
2+ 3
2 3 −1
2
 F ( 3－
,
) 
2
2
 b = 2 3 −1

2
4− 3
2 3 −1 7
故 2a＋b＝2×
＋
＝
2
2
2
27. 可知 A＋B＋C＝π C＝π－( A＋B )＝π－3B
∵ 0＜C＜π ∴ 0＜π－3B＜π


 0＜B＜  cos ＜cos B＜cos 0
3
3
1
1
1

＜cos B＜1  ＜
＜1
2
2
2 cos B
b
sin B
sin B
sin B
1
1
b
由正弦定理可得 ＝
＝
＝
＝
故 ＜ ＜1
a sin A sin 2 B
2sin B cos B 2 cos B
2
a
28. (１ ) 由上圖可得 CH ＝90－86＝4，故 tanα＝
4
1
＝ ； DH ＝86，
20 5
86
43
＝ 。
20 10
(２) 由上圖可得∠COD＝α＋β，
故 tanβ＝
1 43
45
+
tan  + tan 
225
故 tan (α＋β) ＝
＝ 5 10 ＝ 10 ＝
。
7
1 43
1 − tan  tan 
7
1− 
50
5 10
- 13 -
29. (１) 相同時間內，兩個滑輪所轉的弧長要相等，
故可得 S＝1×θ1＝2×θ2 θ1＝2θ2。
(２) 如附圖，
可推得 P ( 2 cosθ, 2 sinθ)，Q ( cos 2θ＋4 , sin 2θ)。
(３) PQ ＝ (2cos − cos 2 − 4)2 + (2sin  − sin 2 ) 2
1
2
1
2
＝ 〔2cos (−  ) − cos (−  ) − 4〕2 −〔2sin (−  ) − sin (−  )〕2
3
3
3
3
1
3
＝ (1 + − 4)2 + ( − 3 + )2 ＝ 7 。
2
2
a2
2
40
＝  a＝
6 ( 公尺 )。
2
3
3
40
(２) ∠HGC＝180°－∠HGF－∠BGF＝180°－90°－( 90°－θ)＝θ，
40 6
在△BGF 中， BG ＝ FG sinθ＝a sinθ＝
sinθ，
3
40 6
在△HGC 中， CG ＝ HG cosθ＝a cosθ＝
cosθ。
3
40 6
(３) 建築用地邊長 CB ＝ BG ＋ GC ＝
( sinθ＋cosθ)＝40，
3
6
化簡可得 sinθ＋cosθ＝
，
2
1
1

其中 sinθ＋cosθ＝ 2 (
sinθ＋
cosθ)＝ 2 sin ( ＋θ)，
4
2
2
30. (１) 建蔽率＝
6

＋θ)＝
2
4



5
3

2
 sin ( ＋θ)＝
 ＋θ＝ 或
 θ＝ 或
。
4
4
12 12
2
3
3
即 2 sin (
- 14 -
第二章 指數與對數函數
指數函數
2－1
基礎題：
1.
1
3
 
2x
= 49 
3x + 7  9 x−1 =
2.
(3 )
−1
2x
( )
= 49  3x
( )
1 7
+  32
7 9
x
2
1
= 49  ( 3x ) = 1  3x = ，
7
49
2
=
a + b  2n = 17

n
依題意可得 a + b  4 = 77

n
a + b  8 = 377
1 7 1
1 1 10
+   = +
=
7 9 7
7 63 63

23 n − 2 2 n
22 n − 2n
=
5
=5
 n
22 n − 2n
2 −1
3.
−2

(
(
)
)
b 4n − 2n = 60
8n − 4 n

 n
兩式相除得 4n − 2n = 5
n
b
8
−
4
=
300


2n = 5 ，代入 b = 3 ﹐代入 a = 2
(1) 由圖知 f (1) = c × a = 3…(i)；f (2) = c × a2 = 4.5…(ii)，
f (2) c  a 2 4.5
3
=
=
 a = 1.5 =
f
(1)
c

a
3
2
兩式相除，
，
3
3
c = 3 c = 2
f ( x) = 2  ( ) x
2 。
代入(i)得 2
，故成長函數為
3
243
f (5) = 2  ( )5 =
2
16 （平方公分）
(2)
。
3
3
f ( x1 ) = 2  ( ) x1 = 8
f ( x2 ) = 2  ( ) x2 = 27
2
2
(3) 設
；
，所求為 x2 − x1。
3
2  ( ) x2
f ( x2 )
2 = 27
=
3
27
3
f ( x1 ) 2  ( 3 ) x1
8
 ( ) x2 − x1 =
= ( )3
2
2
8
2
考慮兩式相除，
⇒ x2 − x1 = 3（週）。
3
3
3
f (t1 ) = 2  ( )t1 = 3
f ( t 2 ) = 2  ( ) t2 = 4
f (t3 ) = 2  ( )t3 = 6
2
2
2
(4) 依題意
；
；
，
3
3
3
f (t1 )  f (t2 ) = 22  ( )t1 +t2 = 12  2  ( )t1 +t2 = 6 = f (t3 ) = 2  ( ) t3
2
2
2 ⇒ t1 + t2 = t3，故得證
則考慮
4.
將不等式化成 ( 0.3) > ( 0.3)
解得− 1 < x < 6。
5.
因為 2 x + 1 恆大於 0 ，所以原式⇒ ( 3x − 3−1 )( 5x − 50 )( 7 x − 72 )  0 ，
x2 − x
4 x +6
2
，因為底數 0.3  1 ，所以 x − x  4 x + 6 ，
所以所求為 x  −1 或 0  x  2
- 15 -
6.
(
)
a = 2.69 ( 2.6 − 1) = 2.69 1.6 ﹐ b = 2.6 2.6 − 2.6 = 2.6  4.16 ﹐
9
2
9
 2.62 − 1 
9
c = 2.69 
 = 2.6  2.88 ﹐所以 b  c  a
 2 
7.
作圖可得知 0≦k＜1
8.
y = ax2 + bx = x(ax + b)，故 y = ax2 + bx 與 x 軸的交點為(0,0)， (− ,0) ，
b
a
b
a
b
a
b
a
由於指數函數 y = ( ) x ，其中  0  −  0 ，
b
a
b
a
b
a
當  1 時， y = ( ) x 為嚴格遞增函數，且 −  −1 ，
當0
9.
b
b
b
 1 時， y = ( ) x 為嚴格遞減函數，且 0  −  −1 ，綜合上述，故選(A)(C)
a
a
a
0
由曲線圖得知，當 x = 0 時， y = 16 ⇒ 16 = k  a = k ，
1
即 k = 16 （ 萬 個 ／ 毫 升 ）， 當 x = 1 時 ， y = 8 ⇒ 8 = 16  a1 ， 所 以 a = ，
2
x
x
1
1
1
依 題 意 寫 下 不 等 式 160000     1000 ⇒   
⇒ 2 x  160 ，
2
 2  160
所以 x 取 8 ，即從用藥到治癒至少需要 8 個月。
10. 令 f (x)＝x．3x－318﹐f (15)＝15．315－318＝315(15－27)＜0﹐
f (16)＝16．316－318＝316(16－9)＞0﹐∴在(15 , 16)之間至少有一實根﹐∴k＝15
11. 設 α、β 為方程式 3 × 9x − 2k × 3x − k + 6 = 0 的相異兩實根，令 t = 3x，
則 3α、3β 為 3t2 − 2kt + ( − k + 6) = 0 的兩根，且 3α、3β 為相異正實數。
3 + 3 =
2k
−k + 6
3  3 =
0
0
3
3
；兩根積
⇒ k > 0；k < 6。
故兩根和
又判別式 D = ( − 2k)2 − 4 × 3 × ( − k + 6) > 0 ⇒ k2 + 3k − 18 > 0
⇒ k > 3 或 k < − 6。綜合上述條件可得 3 < k < 6。
12.
f ( x ) = −3  ( 2 x ) + 4  ( 2 x ) ， −1  x  0 ， 令 t = 2 x ， 則
2
1
 t 1，
2
2
1
2
4
原 函 數 可 改 寫 成 g ( t ) = −3t + 4t = −3  t −  + ，（  t  1 ）
2
 3 3
2
2 4
如 圖 ， 當 t = 時 ， g (t ) 有 最 大 值 g   = ，
 3 3
3
當 t = 1 時 ， g ( t ) 有 最 小 值 g (1) = 1 。
2
2x + 2 y
 2 x  2 y = 2 x + y  2x + 2 y  2 24 = 8
2
當等號成立時﹐ 2 x = 2 y  x = y = 2 ﹐故 2x + 2 y = 22 + 22 = 8 為最小值﹒
13. 由算幾不等式知
- 16 -
2 x + 2− x
 2 x  2− x
x
−x
t
=
2
+
2
t

2
14. 令
，則
，（由算幾不等式， 2
）
2
 5  28
原函數可改寫成
= 3t − 10t − 1 = 3  t −  − ，（ t  2 ）
3
 3
x
−x
當 t = 2 時 ， g ( t ) 有 最 小 值 −9 ， 此 時 2 = 2 = 1 ， 故 x = 0 。
g ( t ) = 3( t 2 − 2 ) − 10t + 5
2
15. 單利的本利和為 300  (1 + 3%  3) = 327 萬元。
300  (1 + 3% ) = 327.8181
3
複利的本利和為
萬元。故少繳 3278181 − 3270000 = 8181 元。
4
1
1
1
=

=
⇒ 1 + k × 1 = 50 ⇒ k = 49。
200 50 1 + k  7 − a0 50
1
1
25 1
1
1
I (3) =
= 
=  1 + 49  7 −3a = 8  7−3a = = 7 −1  a = 。
− a3
200 8 1 + 49  7
8
7
3
1
1 ，傳染高峰
(2) 由 (1)知 I (t ) =
− t
1 + 49  7 3
1
1
1
1
1
 I (t ) = 
=  49  7− 3t = 1  7 − 3t = 1 = 7 −2
1
− t
2
2
49
1 + 49  7 3
1
 − t = −2  t = 6 ， 因 此 ， 第 6 個 月 時 ， 是 此 傳 染 病 的 傳 染 高 峰 。
3
16. (1) I (0) =
進階題：
17. 2 x + y = 3  y = 3 − 2 x 代入
可得 K = 9 x + 33−2 x = 9 x +
27
27
（ 9x , x  0 ）
x
9
9
27
9 x  9 x  27  9 x + 27  6 3 ﹐故 K 有最小值 6 3
2
9x
9x
9x +
由算幾不等式﹕
當 x 愈大﹐ 9 值也愈大﹐而 3 趨近於 0 ﹐ K = 9 + 3 也愈大﹐故 K 無最大值
x
18.
y
圖一
x
圖二
y
y=10
y
圖三
y y=10 x
x
y
y=x
y=x
(0,1)
2
(0,1)
O
x
O
(0,1)
x
O
x
10x＝x 由圖形一之相交狀況即可知無解﹒ 10x＝－x 由圖三可知有實數解﹒
 y＝10 x
10 ＝x  
2
 y＝x
x
2
由圖一可知 10x＞x；由圖二可知當 x＞0﹐10x＞x2﹒
19. 觀察可知， AB 、 BC 、 CD 、 DE 、 EF 的 x 變化量均相同，故僅需比其 y 變化量即可，
又 y = f ( x) = 1 + 3x 為嚴格遞增函數，且底數>1 的指數函數在 x 往右等速增加時，y 增加
愈快，故 EF 的 y 變化量最大，故 EF 長度最長。
- 17 -
2(f ( x) + 1)
a2 x + 2
2x
20. f (x)= a − 2 ⇒ f (x) × a2x − 2f (x) = a2x + 2 ⇒ 整理得 a2x = f ( x) − 1 。
2(f ( ) + 1) 2(10 + 1) 22
2(f (  ) + 1) 2(5 + 1)
。 (2)a 2β =
(1)a 2α =
=
=
=
= 3，
f ( ) − 1
f ( ) − 1
10 − 1
9
5 −1
22
+2
2
2
28 7
a a + 2 3
所 以 f (α + β )= 2 2 
= 22
=
= 。
a a −2
− 2 16 4
3
- 18 -
對數與對數律
2－2
基礎題：
1
1.
∵a＝log3 2
1
b
∴3a＝2
2
b
∵b＝log7 3
2
－
b
1
 3 ＝7  3 ＝7 ＝49  3 ＝49 ＝
49
2.
3.
4.
2
－1
故3
2
a－ ＋1
b
a
2
－
b
＝3 × 3 ×31＝2×
1
6
×3＝
49
49
由定義知底數 5－a＞0 且 5－a≠1  a＜5 且 a≠4 …①
且真數 x2＋4x＋a＞0 恆成立  D＝16－4a＜0  a＞4……②， 由①、②得 4＜a＜5
log2 x＝1
 A＋3B＝2
 A＝1
 x＝2




令 log2 x＝A，logy 2＝B ∴ 
2
1 
1 
 y＝8
B＋ 3 A＝1
B＝3
log y 2＝3
(Ｂ) ○
(Ａ) ╳ ：log7（－3）無意義
(Ｄ) ╳ ：log63＋log64＝log6（3×4）
5.
1
∴7b＝3  （7b）b ＝ 3 b
(Ｃ) ╳ ：log813＝
(Ｅ) ○：log
7 ＝log（
6
1
4
6 ）2
（ 7 ）2＝log67
log8 a＝10  a＝810，log8 b＝12  b＝812
3
3
∴log4（a＋b）＝log4 （810＋812）＝log4〔（4 2 ）10＋（4 2 ）12〕＝log4 （415＋418）
＝log4 〔415（1＋43）〕＝log4 415＋log4 65＝15＋log4 65
∵log4 65＝3.……且很接近 3
∴log4 （a＋b）最接近的整數為 15＋3＝18
log6 − log3 y − log3 log 2 y − log3
=
=
。 得 y = log3 + 3log 2 = log3 + log8 = log 24
⇒
3
9
6−3
12 − 3
6.
斜率相等:
7.
原 式 = log102 x + log(2 + 10− x )2 − log( + 10 x + 102 x )
1
4
= log
8.
(102 x )(4 + 4  10− x + 10−2 x )
4  102 x + 4  10 x + 1
= log
= log 4 = 2log 2
1
1
+ 10 x + 102 x
(4  102 x + 4  10 x + 1)
4
4
因 dB ( x) = 10  log
x
x −3
x
x
， 當 分 貝 值 為 −3dB 時  −3 = 10  log  log =  log = −0.3 ，
x0
x0
x0 10
x0
根據對數定義可知
−1
x
1
1
= 10−0.3  10− log 2 = 10log 2 = 2−1 =  x  x0 ，
x0
2
2
表示此訊號的強度約為參考訊號強度的
1
倍，亦即減少一半
2
- 19 -
9.
log 6 21 =
log3 21 log3 3 + log3 7 1 + b a + ab
=
=
=
log3 6 log3 3 + log3 2 1 + 1
a +1
a
10. 令 t=logx，原方程式可化為 t2−2t−6=0， log、log為 t2−2t−6=0 的兩根，所以
log
log −8
log+log=2，(log)(log)=−6， log+log=
+
= 。
log
log 3
11. 因 nA．nB＝1010  log（nA）＋log（nB）＝10，即 PA＋PB＝10
(A) ╳ ：由 lognA≧0，lognB≧0，即 PA≧0，PB≧0 ∴0≦PA≦10
(B) ○：PA＝5 時，PB＝10－5＝5  log（nA）＝log（nB） nA＝nB
(C) ╳ ：設上週一 A 菌有 x 個，上週五 A 菌有 y 個
則 logx＝4，logy＝8  log
y
y
＝logy－logx＝4  ＝104  y＝10000x
x
x
∴上週五 A 菌的個數是上週一 A 菌個數的 10000 倍，並非 2 倍
(D) ╳ ：設昨天 A 菌有 x 個，今天 A 菌有 y 個
則 logy－logx＝1  y＝10x
∴今天個數是昨天個數的 10 倍，並非多 10 個
(E) ○：nB＝50000 時，PB＝log50000＝log（5×104）  4.699（由 log105  0.699）
∴PA＝10－PB  5.301
12. 所 求 =
log(log 3 4)
log(log 2 9)
log(log 3 4) log(log 2 9)
+ 3
=
+ 3
log 4
log64
log 4
3log 4
 log9 log 4 
log 

log ( log2 9 ) log ( log3 4 )
log ( log 2 9  log 3 4 )
=
+
log 2 log3 

=
=
log 4
log 4
log 4
log 4
 2log3 2log 2 
log 

log 2
log3  log 4

=
=
=1
log 4
log 4
13. 設 6 等星亮度為 I6，11 等星的亮度為 I11 ， 由題意知
6 等星  6＝－
I
5
log 6
I0
2
11 等星  11＝－
①－②得 log

 log
I6
 2
12
＝6× －  ＝－
……………①
I0
5
 5
I 11
I
 2
22
5
 log 11 ＝11× －  ＝－
log
…………②
I0
I0
2
5
 5
I 11
I
I6
12
－log
＝log 6 ＝－
－
I0
I11
5
I0
I6
＝102＝100
I11
 22 
－  ＝2
 5
故 6 等星亮度是 11 等星的 100 倍
- 20 -

log32
14. 設墨西哥地震與汶川地震釋出的能量分別為 E1，E2，可得 
log
 32
②－①得 log32
E1
＝7.6
a
E2
＝8
a
①
②
E
E
E2
E
－log32 1 ＝0.4  log32 2 ＝0.4  2 ＝320.4＝（25）0.4＝22＝4
E1
E1
a
a
故汶川地震釋出的能量 E 是墨西哥地震釋出能量的 4 倍
15. (1) 原式  log6（x3＋2x2－5x）＝log66  x3＋2x2－5x－6＝0
根據一次因式檢驗法可得（x－2）（x＋3）（x＋1）＝0
其中只有 x＝2 會使原式有意義，所以 x＝2
(2) 令 y＝log2x ∵0＜x＜1 ∴y＜log21＝0，則 logx4＝2logx2＝
 y2＋y－2＝0  y＝1，－2（1 不合），即 log2x＝－2  x＝
2
2
，因此 －y＝1
y
y
1
4
進階題：
log36
，
log3
log11 log13 log16 log16 4log 2
log9 11 log11 13  log13 16 =


=
=
log 9 log11 log13 log 9 2log 3
16. 因 為 log3 (9 + 27) = log 3 36 =
1
log5
log 5 2
1 log5 1
log 7 5 =
=
= 
= log 7 5 ，
log7
log7
2 log7 2
36
log
1
log
5
log
36
log
4
log
36
−
log
4
7
所以，原式 =
4 −5
−
− ( 72 ) 2
=
− 7log7 5 =
log 3 log 3
log 3
log 3
2log 2 log 22 log 4
=
=
=
，
log 3
log 3 log 3
=
2  log3
log 9
−5 =
− 5 = 2 − 5 = −3 。
log 3
log3
17. 解 x logx＝106x（兩邊都取 log）  （logx）2＝log106＋logx  （logx）2－logx－6＝0
1
 （logx－3）
（logx＋2）＝0  logx＝3 或－2  x＝1000 或
100
1
3
3
3
18. (A) ╳ ：由 a
3
＝ 3 知 a＝（ 3 ） ，因此 a ＝（ 3 ） ＝（ 3 ） ＝3
(B) ╳ ：由 a
3
＝ 3 知 loga 3 ＝ 3 ，因此 log
1
3
3
3
a＝
3
(C) ○：a＝（ 3 ） ＞（ 3 ）＝1
≠3
1
1
＝
≠ 3
3
loga 3
1
0
3
2
1
1
(D) ╳ ：a＝（ 3 ） 3 ＞（ 3 ）2 ＝3 4
- 21 -
20
＝20×0＝0（分貝）
20
(2)設聲音分貝（dB）為 d、d＋10，所產生的聲壓（μPa）分別為 P1 、P2
19. (1)將 P＝20 代入得 D＝20 log
 d＝20 log
P1
……………①
20


②－①得 10＝20×  log

 d＋10＝20 log
P2
………②
20
P
P2
P
－log 1   log P2 －log P1 ＝ 1  log 2 ＝ 1
P1
20
20 
20
20
2
2
1
P2
＝ 10 2 ＝ 10 （倍），故若聲音分貝每增加 10，則聲壓會變成原來的 10 倍
P1
20. (A) ○：將（0，0）代入，20＝1＝50 滿足方程式
(B) ○：將（log5，log2）代入，2log5＝5log2 滿足方程式
（∵取 log 後，log2log5＝log5×log2＝log2×log5＝log5log2）
(C)(D) ○：由 2x＝5y 得 log2x＝log5y  x log2＝y log5  y＝
一斜率 log52 且過（0，0）之直線
∵log52＞0
log 2
x＝（log52）x 為
log 5
∴xy＝（log52）x2≧0
(E) ╳ ：若 x，y 皆為正整數，則 2x 為偶數，5y 為奇數，兩者不相等
- 22 -
對數函數
2－3
基礎題：
1. 三點代入求之
2.
已知 ( a, b ) 為 y = log x 圖形上一點﹐則 b = log a
(1) y = log x 的圖形必過點 (1, 0 )
(2)∵ log10a = log10 + log a = 1 + log a = 1 + b ﹐∴ (10a,1 + b ) 也在 y = log x 的圖形上
(3) log 2a = log 2 + log a = log 2 + b ﹐當 b  log 2 時﹐ log 2 + b  2b ﹐
故 ( 2a, 2b ) 不一定在 y = log x 的圖形上
(4)∵ log
1
1

= − log a = −b  1 − b ﹐∴  ,1 − b  不在 y = log x 的圖形上
a
a

(
)
(5)∵ log a2 = 2log a = 2b ﹐∴ a 2 , 2b 也在 y = log x 的圖形上﹒
3.
y＝2＋x－x2＝－(x2－x－2)＝－(x－2)(x＋1)＝－(log310－2)(log310＋1)
10
＝－(log310－log39)(log310＋log33)＝－(log3 )(log330)＜0, ∴P(＋ , －)位於第四象限
9
4.
如 圖 。 y = log a x =
log x
log x
log x
， y = logb x =
， y = log c x =
，
log a
log b
log c
log x
， 當 y = 1 時 ， 分 別 與 四 個 圖 形 交 於 ( a , 1) 、
log d
(b , 1) 、 ( c , 1) 、 ( d , 1) ， 由 圖 形 可 知 ， 四 個 交 點 由 左 到 右 分
別 為 (d , 1) 、 (c , 1) 、 ( a , 1) 、 (b , 1) ， 故 可 得 d  c  a  b
y = log d x =
5.
(1)
(3)
(2)
如圖，有 2 交點
如圖，有 1 交點
(4)
如圖，有 0 交點
6.
由於每 2 年增加 1 倍，故經過 2 年數目變成 2 倍，
- 23 -
如圖，有 1 交點
經過 4 年數目變成 4 倍，經過 6 年數目變成 8 倍，
故 f (t ) 為指數函數，令 f (t ) = a  bt ，由於 f (0) = 1000 ，故 a = 1000 。
(I)若 t 以年為單位，因為 f ( 2) = 2000 ⇒ 2000 = 1000  b2 ⇒ b = 2 ⇒ f ( t ) = 1000 
(
)
⇒ log f ( t ) = log 1000  ( 2 ) = log1000 + log ( 2 ) = 3 +
t
t
( 2)
t
log 2
t
2
(II)若 t 以月為單位，則 f ( 24) = 2000 ⇒ 2000 = 1000  b24 ⇒ b = 24 2
故 f ( t ) = 1000 
7.
( 2)
24
t
(
)
⇒ log f ( t ) = log 1000  ( 24 2 ) = log1000 + log ( 24 2 ) = 3 +
t
t
log 2
t
24
(1) 若 f (3)=6，則 a3=6  log a 6 =3，故 g(36)= log a 36 = 2 log a 6 =23=6
f (238) a 238
f (38) a 38
= 219 = a 238−219 = a 19 ，
=
= a 38−19 = a 19 ，故
f (219) a
f (19) a 19
(2)
(3) g(238)−g(219)= log a 238 − log a 219 = log a
g(38)−g(19) = log a 38 − log a 19 = log a
f (238) f (38)
=
f (219) f (19)
238
219
38
= log a 2
19
故 g(238)−g(219)g(38)−g(19)
(4) 因 a>1，故 g(x)= loga x 是遞增函數，
故直線 PQ 由左向右上升直線 PQ 之斜率為正
1
5
(5) y=5x，y=ax 的圖形關於直線 y=x 的對稱圖形為 y= x，y= log a x
1
5
因 y=5x 與 y=ax 的圖形有兩個交點，故 y= x 與 y= log a x 的圖形有兩個交點
8.
∵ ab 是 11 位數，∴ log ab 的首數為 10  10  log ab  11 —
a
a
a
∵ 的整數部分是 2 位數，∴ log 的首數為 1  1  log  2 —
b
b
b
a
 +  ∴ 11  log ab + log  13 ∴ 11  log a2  13 ∴ 5.5  log a  6.5
b
 log a 的首數為 5 或 6，即 a 為 6 位數或 7 位數
9.
(1) A =
B=
log P5 − log P2 1
P 1
P (1 + r )5 1
= log 5 = log 0
= log(1 + r )3 = log(1 + r )
2
3
3
P2 3
P0 (1 + r )
3
log P8 − log P6 1
P 1
P (1 + r )8 1
= log 8 = log 0
= log(1 + r ) 2 = log(1 + r ) ∴ A = B ，得證
2
2
P6 2
P0 (1 + r )6 2
16
16
(2)∵每隔 16 天總感染人數會增加為 10 倍 ∴ 10 P0 = P0 (1 + r ) ∴ (1 + r ) = 10
1

(3)
1
P20 P8 P5
  = (1 + r )3 (1 + r ) 2 (1 + r )3 = (1 + r )8 = [(1 + r )16 ]2 = 10 2 = 10
P17 P6 P2
1
log P20 − log P17 1
P
1
1
= log 20 = log(1 + r )3 = log(1 + r ) = log1016 =
3
3
P17 3
16
- 24 -
2
1−
2
 0 且底數 10  1 ，∴ 10 2  100 = 1 ，即 a  1
2
10. (1)：∵ 1 −
1−
(2)： log a = log10
2
2
= 1−
2
1.414
 1−
= 0.293 ，
2
2
1
2
1
1
log 3 = log 3 = log 3   0.4771 = 0.23855 ∵底數  1 且 log a  log 3 ，∴ a  3
2
2
(3)： b
3
= (a 2 )
(4)： b = a
(5)： (ab)
f ( x) =
11.
D(5 ,
2
2
= a 6 , a2 = a 4 ，由(1)知 a  1  a
3
1−
= (10
2
2
2 −1
6
 a 4 ，∴ b
3
 a2
 100.414 ，∵底數 10  1 ，∴ 100.4  100.414 = b  100.5
)
2
= 10
= (a  a 2 )
2
= (a1+ 2 )
2
=a
2 +2
1−
= (10
2
2
)
2 +2
= 101 = 10
log x
log x
log x
log 2
log5
log 2
g ( x) =
=
A(2 ,
) B (5 ,
) C (2 ,
)
2
log a ，
log a
2log a ，
log a ，
log a ，
2log a ，
log5
) m1 = mAB
2log a ，
m2 = mCD
log5 log 2
−
log a log a log5 − log 2
=
=
5−2
3log a ，
log5
log 2
−
3log a
1
2log a 2log a log5 − log 2 m2 log5 − log 2
=

=
=
=
6log a
log5 − log 2 2
5− 2
6log a ， m1
log x log x
=
0
1 − log3
， log x  0 = log1 ， 即 x  1 。 故 0  x  1 。
12. 真 數 >0： 即 x  0 ， 且 3
log
3




log  log 1 x  log  log 1 x 
 3   −1 ，
又因為利用換底公式可得不等式  3  =
1
− log 2
log
2
log x log x


=
2
1 − log3
即 log  log 1 x   log 2 ，所以 log 1 x  2 。再利用換底公式可得
，
log
3
 3 
3
1
1
1
即 log x  −2log3 = log3−2 = log ，所以 x  。最後，綜合以上可得  x  1 。
9
9
9
log 1 x =
13. 因 為 真 數 必 須 為 正 ， 即 x − 2  0 且 8 − x  0 ， 所 以 2  x  8 。 再 利 用 對 數 的 性 質 化 簡
2
2
得 log ( x − 2 )  log (8 − x ) ， 可 推 得 ( x − 2 )  8 − x ， 即 x 2 − 3x − 4  0 ， 解 得 x  4 或
x  −1 。 最 後 ， 綜 合 以 上 可 得 4 < x  8 。
- 25 -
t
33
14. 設 t 小時﹐則
t
2
 10
t
t
t
t
log 3  1 + log 2
3
2
33  10  2 2 ，

1
1
t ( log 3 − log 2)  1
3
2

2
 t(0.00853)  1  t  117.…， 得 t = 118
5
( )n − 1
5
5
1.3980
 96  ( )n  25﹐取 log( )n  log25  n 
15. 即求 4
≒14.4，故 n = 15
1
4
4
0.0970
4
n
n
9
9
16. （1＋12.5 ％）＞2    ＞2  log   ＞log2  n（2 log3－3 log2）＞log2，
8
8
將數值代入  0.0512n＞0.301  n＞5.8  n≧6
n
n
1
99
1
 99 
17. 損失 1 ％  資金變成原有的 99 ％， 
＜log
 ＜  n log
2
100
2
 100 
 n（2 log3＋log11－2）＜log1－log2  －0.0044n＜－0.301  n＞
65 − 25  1 
2 1
=   = 
85 − 25  2 
3  2
kt
18.
20 k
 20k = log 1
2
0.301
 68.4  n≧69
0.0044
2
…﹐
3
1
35 − 25  1 
1 1
=    =    t  k = log 1 …
85 − 25  2 
6  2
2 6
2
log
20
3 = −0.1761 ﹐  t ≒88﹒

=
1
t
−0.7781
log
6
kt
kt
0.3010
0.4771
0.8451
19. log 2  0.3010  2  10
， log3  0.4771  3  10
， log 7  0.8451  7  10
，
246  (100.3010 ) = 1013.846 = 100.846 1013
46
且
又因為 6 = 2  3  (10
0.3010
329  (100.4771 ) = 1013.8359 = 100.8359 1013
29
，
)  (100.4771 ) = 100.7781 ， 7  100.8451 ， 8 = 23  (100.3010 )3 = 100.9030 ，
且 y = 10 為嚴格遞增函數，所以， 10
x
0.8451
 100.846  100.9030  7  100.846  8 ，即 100.846 = 7.
100.7781  100.8359  100.8451  6  100.8359  7 ，即 100.8359 = 6.
故
246 + 329 = ( 7.
，
1013 ) + ( 6.
1013 ) = 1.
1014
，
46
29
，即 2 + 3 為 15 位數。
- 26 -
，
100（－
1 2－k．3）％＝70 ％
20. 
1 2－k．T）％＝99 ％
100（－
①
②
由①  2－3k＝
1－ log 3
3
 －3k log2＝（log3）－1  k＝
………………………③
10
3 log 2
由②  2－kT＝
2
1
 －k．T log2＝－2  T＝
…………………………④
k log 2
100
③代入④  T＝
6
6
2

 11.47（小時）
＝
1－log 3
0.5229
1
－
log
3
．log 2
3 log 2
21. (1)因為底數 − a  −1 ﹐所以 ( − a )  ( − a ) ﹒
7
9
(2)因為底數 0  b  1 ﹐指數 −9  −7 ﹐所以 b−9  b−7 ﹒
1
1
1 1
(3)因為底數 10  1 ﹐真數  ﹐所以 log10  log10 ﹒
a
b
a b
(4) log a 1 = logb 1 = 0 ﹒
1
1
1
(5)錯！反例: a = 2 , b = 時，滿足 a  1  b  0 ，但 log a b = log 2 = −2 < logb a = log 1 2 = −
4
4
2
4
22. (1)因為 log910＝10log32＝10  2log3＝10log9＝20  0.4771＝9.5420﹐且 log109＝9﹐
所以 log109＜log910﹐推得 109＜910﹒
(2)因為 log1210＝10log(22  3)＝10(2log2＋log3)＝10(2  0.3010＋0.4771)＝10.7910﹐且
log1012＝12﹐所以 log1012＞log1210﹐推得 1012＞1210﹒
(3)由(2)知﹕log1210＝10.7910﹐所以 1011＞1210﹐又 1210＞1110﹐故 1011＞1110﹒
(4)因為 y＝10x 與 y＝x10 兩圖形交點的 x 坐標就是方程式 10x＝x10 的實根﹐
由圖知﹕方程式 10x＝x10 有一負根﹒
進階題：
23. (1)(2)： 因 1.253  10845＜71000＜1.254  10845﹐
取對數得 log(1.253  10845)＜log(71000)＜log(1.254  10845)（因底數 10 比 1 大）﹐
即 845＋log1.253＜1000log7＜845＋log1.254﹐因此﹐令 1000log7＝845＋α ﹐0＜α ＜1﹐

得 log7＝0.845＋
＝0.845…﹐所以 0.845＜log7＜0.846﹒
1000


(3)因 log7100＝100log7＝100(0.845＋
)＝84.5＋ ＝84.5…﹐
10
1000
84
且 log(5  10 )＝84＋log5≒84＋0.6990＝84.6990﹐所以 7100＜5  1084﹒


(4)因 log710＝10log7＝10(0.845＋
)＝8.45＋
＝8.45…﹐
100
1000
且 log(2  108)＝8＋log2≒8＋0.3010＝8.3010﹐所以 710＞2  108
- 27 -
24. (1)錯誤﹐取 x = 0.01  0.012  0.01  0.01 ﹐故不正確
(2)當 0  x  1 ﹐ x − x 2 = x (1 − x )  0 ﹐故 x  x2
1


x − x = x 1 − x 2   0 ﹐故 x  x ﹐得 x2  x  x  log10 ( x 2 )  log10 x  log10 x 恆成立


1
2
2
2
1
1
1
1
1
(3)錯誤﹐取 x =  log 2 = −1 ﹐ log10   = −2log10 2 = −0.602  log10    log 2 ﹐錯
2
2
2
2
2
(4)因為 10  4  10  log x 10  log x 4  log x 10  log
即 log10 ( x
2
)  log
10
x  log 4 x  log10 x
，
x  log10 x
2
25. 設需要 n 個月可還清： 100．
0.006（1＋0.006）n
＝1  0.6（1.006）n＝（1.006）n－1
（1＋0.006）n－1
 0.4（1.006）n＝1  （1.006）n＝
5
 n log1.006＝log5－log2
2
 0.0026n＝1－2 log2＝0.398  n＝
0.389
 153(月), 12×13＝156＞153, 13 年可還清
0.0026
26. 設目前排放量為 k，每年比前一年減少 x %，則 k ( 1－x % )5＝ 3 k
4
5 log ( 1－x % )＝log 3 ＝log 3－2 log 2≒－0.1249
4
log ( 1－x % )≒－0.02498＝－1＋0.97502 ≒－1＋log 9.44＝log 0.944
1－x %≒0.944，x %≒0.056， x＝5.6
27. 已知 α 為 log2x + x − 6 = 0 的根⇒ y = log2x，y = 6 − x 交點為 A(α , 6 − α)，
β 為 2x + x − 6 = 0 的根⇒ y = 2x，y = 6 − x 交點為 B(β , 6 − β )
 +  12 −  − 
,
) ，又 y = log2x 與 y = 2x 對稱於 y = x，
⇒ A、B 中點 M (
2
且 M 在 y = x 上
2
+
2
=
12 −  − 
，得 α + β = 6。
2
28. 依題意畫圖。
因為直線 x = 2 與 x = 10 平行，所以四邊形 PQSR 為梯形，
計算 PQ = log2 2 − log 2  1 − 0.3010 = 0.6990  0.7 ，
RS = log 2 10 − log10 =
log10
1
−1 
− 1  2.3
log 2
0.3010
因此梯形 PQSR 面積為
，
( PQ + RS )(10 − 2) (0.7 + 2.3)  8

= 12
2
2
- 28 -
第三章 平面向量
3－ 1
平面向量的運算
基礎題：
1. 【解答】( a＋3 ) AB ＋( 2a－b ) BC ＋( a＋b＋2 ) ( BA － BC )＝ 0
 ( a＋3－a－b－2 ) AB ＋ ( 2a－b－a－b－2 ) BC ＝ 0
 b＝1，a＝4
2.
【解答】∵ | a |＝5，| b |＝25
且若 a ＋t b 平分 a 、 b 時，必 | a |＝| t b |，t＞0  5＝25t ∴ t＝
3.
1
5
【解答】 c ＝t a ＋ b ＝( 3t－7 , t－9 )，
| c |2＝( 3t－7 )2＋( t－9 )2＝10 ( t－3 )2＋40，則當 t＝3 時，
| c | 有最小值 2 10
－ 3
1
,
) ＝2 ( cos (－60° ) , sin (－60° ) )，
2
2
3
1
則 b ＝( cos (－60°±60° ) , sin (－60°±60° ) )＝( 1 , 0 ) 或 (－
,－
)
2
2
4.
【解答】 a ＝( 1 ,－ 3 )＝2 (
5.
【解答】∵ 周長＝| AB |＋| AC |＋| BC |
∴ 6 5 ＝ 5 ＋ 5x 2 ＋ (－x－2 ) 2＋(2 x－1) 2
 5 5 － 5 x＝ 5
6.
x 2＋1  5－x＝ x 2＋1 ，10x＝24∴ x＝
12
5
【解答】設天璇坐標 A(9,8)，天樞坐標 B(7,11)，北極星坐標 C(x, y)
∵ BC ＝5 AB
 (x－7, y－11)＝5 (7－9,11－8)＝(－10,15)
 x－7＝－10
 
 ( x , y )＝(－3, 26)
 y－11＝15
7.
【解答】(1) AF ＝
1
BE ＝ BA ＋ BC ＝－ a ＋ b 。
2
(2) DF ＋ AE ＝ CA ＋ AE ＝ CE ＝ BE － BC ＝2 ( BA ＋ BC )－ BC ＝－2 a ＋ b 。
8.
【解答】 p ＝( 3 sin α＋cosβ, 3 cos α＋sinβ )，
| p |＝ (3sin ＋cos  ) 2＋(3cos ＋sin  ) 2 ＝ 10＋6sin (＋ ) ，
- 29 -
2≤| p |≤4
9.
【解答】∵ A，P，X 共線∴ 設 AP ＝k AX ∴ k AX ＝3 AB ＋2 AC ，
3
2
AX ＝ AB ＋ AC
k
k
3
2
3
2
又 X，B，C 共線 ∴ ＋ ＝1，k＝5∴ m＝ ，n＝
k
k
5
5
10. 【解答】
BD
DC
＝
ABD面積
ABK 面積 3
＝
＝
ACD面積 ACK 面積 4
∴ AD ＝
4
3
AB ＋ AC
7
7
11. 【解答】設 AM ＝t AP
1
1
1
1
1
∵ AP ＝ AB ＋ AC  AM ＝ AB ＋ AC
2
5
2
5
t
t
t
t
t
 AM ＝ AB ＋ AC ，由共線定理得 ＋ ＝1
2
5
2 5
10
10
10 4 5
40 25
 t＝ ∴ AM ＝
(
,
) ＝(
,
)
AP ＝
7
7
7
3 6
21 21
12. 【解答】 AQ ＝ PQ － PA ＝( 1 , 5 )－( 4 , 3 )＝(－3 , 2 )  AC ＝
3
9
, 3)
AQ ＝(－
2
2
1
( AB ＋ AC )
2
9
7
 AB ＝2 AP － AC ＝(－8 ,－6 )－(－
, 3 )＝(－
,－9 )，
2
2
故 BC ＝ AC － AB ＝(－1 , 12 )
又 P 為 BC 邊之中點 AP ＝
13. 【解答】 AP ＝x AB ＋y．2 AD
∵ B，P，D 三點共線 ∴ x＋2y＝1 AP ＝x．3 AE ＋y． AC
∵ C，P，E 三點共線 ∴ 3x＋y＝1
1
2
1
2
解得 x＝ ，y＝
∴ ( x , y )＝(
,
)
5
5
5
5
1
1
y
OC ， OB ＝ OD ∴ OE ＝x OA ＋ OD
4
5
5
y
∵ A，D，E 共線 ∴ x＋ ＝1……………①
5
x
x
又 OE ＝ OC ＋y OB 且 C，E，B 共線∴ ＋y＝1…………………………………②
4
4
16
15
由①，②得 ( x , y )＝(
,
)
19
19
14. 【解答】∵ OA ＝
- 30 -
1
2
CD － CB
3
3
1 1
2 1
1
1
＝ ( OD )－ (
AB )＝ OD － AB
3 2
3
2
6
3
1
1
1
1
1
1
＝ ( OA ＋ OB )－ ( OB － OA )＝ OA － OB ∴ ( x , y )＝(
, － )
6
3
2
6
2
6
15. 【解答】 MN ＝ CN － CM ＝
y
16. 【解答】 OP ＝ AO ＝(3, 5)  P(3, 5)，
C ( x,y)
BP ＝(3－6, 5－0)＝(－3, 5)
Q
OQ ＝ OP ＋ PQ ＝ OP ＋2 BP
＝( 3 , 5 )＋2(－3 , 5)＝(－3 , 15) Q (－3, 15)
P
OO ＝ OP ＋ PQ ＋ QO ＝ AO ＋2 BP ＋3 CQ
O
＝( 3 , 5 )＋2 (−3 , 5)＋3 (－3－x , 15−y )＝(－12－3x , 60－3y )
 －12－3x＝0，60－3y＝0 故 x＝－4，y＝20
B ( 6,0)
x
A ( －3,－5)
17. 【解答】 BD : DC = AB : AC = 6 : 4 = 3 : 2 ，
A
令△ABD 面積 = 3t △ACD 面積 = 2t ，
6
△ABE 面積＝9△ABC 面積＝ 9  ( 3t + 2t ) = 45t
3t 2t
D
B
 △BDE 面積＝42t，如附圖，
4
C
42t
故 AD : DE = △ABD：△BDE (面積比) = 3t : 42t = 1:14 ，
AE = 15 AD = 15  (
2
3
AB + AC ) = 6 AB + 9 AC ∴ ( r , s ) = ( 6 , 9 )
5
5
18. 【解答】∠BAD＝45°，∠CAD＝15°，在△ABD 中，令 AD ＝x
E
∴
BD
x
＝
sin 75 sin 45
2
sin 45
2
 BD ＝
．x＝
．x＝( 3 －1 ) x
sin 75
6＋ 2
4
CD
x
sin15
在△ACD 中，
＝
 CD ＝
．x＝
sin 45
sin 45 sin15
∴ BD ： CD ＝( 3 －1 ) x：
由分點公式得AD＝
3－1
x＝2：1
2
1
2
1
2
AB ＋ AC ，故 s＝ ，t＝ 。
3
3
3
3
- 31 -
6－ 2
3－1
4
．x＝
x
2
2
2
進階題：
19. 【解答】 GH ＝ CH － CG
＝
1
1
1
1
1
1
1
CE － CB － CD ＝ ( CE － CB )－ CD ＝ BE － CD
2
2
2
2
2
2
2
＝
1
1
1
1
( AE － AB )－ CD ＝ ( AE － AB － CD )＝ ( b － a － c )
2
2
2
2
20. 【解答】設延長 AG 交 BC 於 M 點
1
1
3
1 5
1 3＋t
AG ＝ ( AP )＋ (
∵ AM ＝ AB ＋ AC 
AQ )
2
2
2
2 3
2
3
5
3＋t
 AG ＝ AP ＋
AQ
9
9
5 3＋t
∵ G、P、Q 共線∴ ＋
＝1 ∴ t＝1
9
9
21. 【解答】(１) BD ： DC ＝ AB ： AC ＝4：6＝2：3，
3
2
3
2
AB＋
AC ＝ AB＋ AC， 故數對 (α,β)＝(
5
2+3
2+3
5
2
2
(２) BD ＝ BC ＝ ×5＝2，
5
5
故 AI ： ID ＝ AB ： BD ＝4：2＝2：1，
2
2 3
2
2
4
所以 AI ＝ AD＝ ( AB＋ AC ) ＝ AB＋ AC，數對 ( x , y )＝(
3
3 5
5
5
15
分點公式 AD＝
22. 【解答】∵ G 為△DEF 的重心
∴ AG ＝
＝
1
1 1
3
1
1
( AD ＋ AE ＋ AF )＝ ( AB ＋ AB ＋ AC ＋ AC )
3
3 2
4
4
3
1 5
7
5
7
5
7
AC )＝
AC ∴ ( x , y )＝(
(
)
AB ＋
AB ＋
,
3 4
12
12
12
36
36
- 32 -
3
2
,
)。
5
5
2
4
,
)。
5
15
23. 【解答】作圖如附：
其中 FH ⊥ BD ， IG ⊥ AC ， BL ＝ DE ， CK ＝ AE
所以 AE ＋ BE ＋ CE ＋ DE ＝( AE ＋ CE )＋( BE ＋ DE )
＝ KE ＋ LE ＝ KE ＋ JK ＝ JE ＝2 OE ＝(－6 , 2 )
24. 【解答】過 P 分別作 AC 、 AB 的平行線，交 AB 、 AC 於 D，E，則 AP ＝ AD ＋ AE
PD ＝8， PE ＝4， DB ＝4， EC ＝2， AB ＝2 AD ， AC ＝
∴ AP ＝ AD ＋ AE ＝
1
4
1
4
AB ＋ AC  α＝ ，β＝
2
5
2
5
25. 【解答】(1) AP ＝x AB ＋y AC ＝x AB ＋
∵P、B、E 共線
5
AE
4
∴x＋
7y
AE ，
3
7y
＝1……①
3
3x
3x
AD ＋y AC ，∵P、D、C 共線 ∴ ＋y＝1……②
2
2
8
1
由①②得 x＝ ，y＝ 。
15
5
4
1
(2) AP ＝ AD ＋ AC  DP ： PC ＝1：4，
5
5
1
1 2
2
△ADP 面積＝ △ADC 面積＝ ． △ADC 面積＝ △ABC 面積。
5
5 3
15
RQ
1
3
3
BR
(3) AQ ＝ AB ＋t AC ＝ AR ＋t AC ，∴ RQ ＝t AC ，
＜
＜＝ ，得 0＜t＜ 。
4
4
4
AC
BA
又 AP ＝
- 33 -
3－ 2
平面向量的內積
基礎題：
1. 【解答】取 AB 的中點 M，則 DM ⊥ AB ，
故AB．AD＝| AB | | AD | cos∠DAM＝| AB | ( | AD | cos∠DAM )
1
1
＝| AB | | AM |＝ | AB |2＝ ×42＝8。
2
2
2.
【解答】 AB ‧ BC ＝－( BA ‧ BC )＝－| BA | | BC | cos B
| BA |2 + | BC |2 − | AC |2
1
＝－
＝－ ( 25＋36－49 )＝－6。
2
2
3.
【解答】 a ‧ b ＝4×3×cos 60°＝6。
(1) | 3 a ＋ b |2＝9 | a |2＋6 a ‧ b ＋| b |2
＝144＋36＋9＝189，∴| 3 a ＋ b |＝ 189 ＝3 21 。
(2) 0＝( k a ＋ b )‧( a － b )＝k | a |2＋( 1－k ) a ‧ b －| b |2
3
＝16k＋6 ( 1－k )－9＝10k－3， ∴k＝ 。
10
4.
【解答】(1) | OA ＋ OB |＝|－ OC |＝4
平方得 | OA |2＋2 OA ‧ OB ＋| OB |2＝16， 4＋2 OA ‧ OB ＋9＝16
3
 OA ‧ OB ＝ 。
2
(2) OA ＋2 OB － OC ＝ OA ＋2 OB ＋( OA ＋ OB )＝2 OA ＋3 OB ，
| OA ＋2 OB － OC |2＝4 | OA |2＋12 OA ‧ OB ＋9 | OB |2
＝16＋18＋81＝115，∴| OA ＋2 OB － OC |＝ 115 。
5.
【解答】 a ． b ＝－1， a ．(－ a － c )＝－1， | a |2＝4，| a |＝2，
同理 | b |＝ 3 ，| c |＝ 5
∴ | a －2 b －3 c |2 ＝|－3 b －4 c |2＝9 × 3＋24 (－2 )＋16 × 5＝59
∴ | a －2 b －3 c |＝ 59
6.
【解答】 AC ． BD ＝( AB ＋ BC )．( AD － AB )
＝( AB ＋ BC )．( BC － AB )＝| BC |2－| AB |2
＝16－25＝－9
- 34 -
7.
【解答】在 L：3x－y＋2＝0 上取兩點 A (－1 , －1 )及 B ( 0 , 2 )，則 AB ＝( 1 , 3 )
u 在 L 上之正射影＝ u 在 AB 上之正射影＝(
u  AB
) AB ＝
| AB |2
8.
30
．( 1 , 3 )＝( 3 , 9 )
10
【解答】| AC |＝ AC ． AD ＝| AC | | AD | cos 60°
∵ | AC |≠0∴ | AD | cos 60°＝1  | AD |＝2
| AC |＝4，| AB |＝| DC |＝2 3
AC ． AB ＝| AC | | AB | cos 30° ＝4．2 3 ．
9.
【解答】 AB ． AP ＝3．| AP |＝12
AC ． AP ＝4．| AP |＝4．4＝16
3
＝12。
2
∴ | AP |＝4
| AB |2 ＋| AC |2 － | BC |2
52＋42－62
5
10. 【解答】(1) AB ． AC ＝
＝
＝
2
2
2
2
1
2
1
(2) 因 BP ： PC ＝1：2 故 AP ＝ AB ＋ AC ， 所以 x＝ ，y＝
3
3
3
3
2
1
4
4
1
(3) | AP |2＝| AB ＋ AC |2 ＝ | AB |2＋ AB ． AC ＋ | AC |2
3
3
9
9
9
126
4
4 5
1
126
＝ ×52＋ × ＋ ×42＝
故 | AP |＝
＝
9
9 2
9
9
9
11. 【解答】 AB ‧ AD ＝ AB ‧( AB ＋ BC ＋ CD )＝| AB |2＋ AB ‧ BC ＋ AB ‧ CD
＝(2 2 )2＋2 2 ×4×cos 105°＋2 2 ×6×cos 45°
＝8－2 2 ×( 6 － 2 )＋12＝24－4 3 。
12. 【解答】 (
a
c
) c ＝(
2
b
c
) c  a
c＝b
c ，
2
| c |
| c |
 ( 4 , k )．( 2 , 3 )＝( 1 , 4 )．( 2 , 3 )  8＋3k＝2＋12  k＝2
13. 【解答】(1) v 為 a 在 b 上的正射影
∴ v =(
a b
| b |2
(2) n = a − v
) b =(
( 3 , 4 )( 2 ,1)
( 22 + 12 ) 2
) ( 2 ,1) =
10
( 2 ,1) = ( 4 , 2 )
5
∴ n = ( 3 , 4 ) − ( 4 , 2 ) = ( − 1, 2 )
- 35 -
14. 【解答】(1) 設 P 對 QR 之正射影為 S
∵ QP ＝( 10 , 5 )， QR ＝( 3 , 4 )
QP 在 QR 上的正射影為 QS ＝(
QP  QR
) QR ＝
| QR |2
(2) 設 S ( x , y )， QS ＝( x＋2 , y－4 )＝( 6 , 8 )
50
QR ＝2 ( 3 , 4 )＝( 6 , 8 )
25
∴ x＝4，y＝12
15. 【解答】平方得 | u |2＝4| v |2＝|2 u ＋3 v |2
 4| v |2＝( 2 u ＋3 v )．(2 u ＋3 v )＝4| u |2＋12 u ． v ＋9| v |2
21
＝16| u |2＋12 × 2| v |×| v |cosθ＋9| v |2  cosθ＝－
＝－
24
16. 【解答】2 a ＋3 b ＋4 c
＝2 ( a ＋ b ＋ c )＋( b ＋2 c )＝ b ＋2 c
∵ a ＋ b ＋ c ＝ 0
∴ b ＋ c ＝－ a
| b ＋ c |2＝|－ a |2
 9＋2 b ． c ＋25＝4 b ． c ＝－15
| b ＋2 c |2＝| b |2＋4 b ． c ＋4 | c |2 ＝9＋4×(－15 )＋100＝49
∴ | b ＋2 c |＝7
17. 【解答】直線的方向向量為( 2 , 3 )
∴ ( 2 , 3 )．( 0 , 1 )＝ 13 ．1．cosθ
 cosθ＝
3
13
進階題：
18. 【解答】(A)作圖(一)得知。
(B)作圖(二)對角線等長  矩形。
(C) | a ． b |＝| a | | b | cosθ 1 ≤ | a | | b |。
(E)作圖(三)由三角形邊長：兩邊和與第三邊比較。
故選(A)(B)(C)(D)(E)。
圖(一)
圖(二)
圖(三)
- 36 -
∴ sinθ＝
2
13
19. 【解答】(A)(B) AB ． BC ＝| AB | | BC | cos 60°＝
1
| AB |2。
2
1
BC ． CD ＝| BC | | CD | cos 60°＝ | AB |2。
2
1
AB ． AF ＝| AB | | AF | cos 120°＝ | AB |2。
2
(C) AB ． AD ＝| AB | | AD | cos 60°＝| AB |2。
(D) AB ． AC － AB ． AD ＝ AB ． DC ＞0。
(E)∠EAB＝90°。故選(A)(C)(D)(E)
20. 【解答】(A) AB ． AC ＝6 × 6 × cos60°＝18
(B) ∵ AM ⊥ CM
∴ AM ． CM ＝0
(C) AB ． BC ＝6 × 6 × cos120°＝－18
(D) ∵ AM ⊥ BM
∴ AM ． BM ＝0
(E) AB ． CM ＝6 × 3 × cos60°＝9
21. 【解答】∵ OP 與 OQ 均與 L 夾角 30°
∴ OP 與 OQ 夾角可為 60° ( P1 與 P2 或 P3 與 P4 ) ,
120° ( P1 與 P3 或 P2 與 P4 ) ,
180° ( P1 與 P4 或 P2 與 P3 )
1
則 OP ． OQ ＝2×2×cos 60°＝2×2× ＝2
2
1
或 2×2×cos 120°＝2×2×(－ )＝－2
2
或 2×2×cos 180°＝2×2×(－1 )＝－4，故選(D)(E)。
22. 【解答】(A) ○：2 OA ＋3 OB ＋4 OC ＝ 0  | 2 OA ＋3 OB |＝|－4 OC |＝4。



 

(B) ×：| 2 OA ＋3 OB |2＝42  4 | OA |2＋12 OA ． OB ＋9 | OB |2＝16 OA ． OB ＝

1
1
 cos∠AOB＝ 。
4
4
2
2
| 2 OA ＋4 OC | ＝|－3 OB |  4 | OA |2＋16 OA ． OC ＋16 | OC |2＝9
11
11
 OA ． OC ＝－
 cos∠AOC＝－
。
16
16
| 3 OB ＋4 OC |2＝|－2 OA |2  9 | OB |2＋24 OB ． OC ＋16 | OC |2＝4
7
7
 OB ． OC ＝－
 cos∠BOC＝－ 。 應該是∠AOB 最小。
8
8
3
1
3
3
(D) ×： AB 2＝12＋12－2×1×1×cos∠AOB＝1＋1－2× ＝  AB ＝
＜ 。
4
2
2
2
(C) ×： OA ． OB ＝





15
1
 sin∠AOB＝
，
4
4
135
3 15
11
cos∠AOC＝－
 sin∠AOC＝
＝
，
16
16
16
3 15
可得 3 sin∠AOB＝4 sin∠AOC＝
。 故選(A)(E)
4
(E) ○：cos∠AOB＝
- 37 -
1
4
23. 【解答】 AH ⊥ BC ⇒ AH ．( AC － AB )＝0 ⇒ AH ． AC ＝ AH ． AB
BH ⊥ AC ⇒ ( AH － AB )． AC ＝0 ⇒ AH ． AC ＝ AB ． AC
2
2
2
AB ＋AC －BC
＝12
AB ． AC ＝
2
設 AH ＝x AB ＋y AC ∵ AH ． AB ＝ AH ． AC ＝ AB ． AC
1
2
∴ 36x＋12y＝12x＋16y＝12 ⇒ x＝ ，y＝
9
3
1
2
1
2
7
2
AH ＝ AB ＋ AC ＝ AB ＋ ( AB ＋ BC )＝ AB ＋ BC
9
3
9
3
9
3
| AB |2＋| AC |2－| BC |2 22 + 42 − (2 2)2
24. 【解答】(１) AB．AC＝
＝
＝6。
2
2
1
2
(２) AB ．AO＝ | AB |2＝2，
1
2
AC ．AO＝ | AC |2＝8。
(３) 由AO＝x AB ＋yAC ，
 AB．AO＝x | AB |2＋yAB．AC
得  AC．AO＝xAB．AC＋y | AC |2 

 64xx ++ 166 yy==28   32xx ++ 83yy == 14 ， x＝－ 74 ，y＝ 75 ，
25. 【解答】 AO ‧ AB ＝| AB | | AO | cos∠OAB ＝| AB | (
1
1
| AB | )＝ ×62＝18，
2
2
AH ‧ AC ＝| AH | | AC | cos∠HAC ＝| AC | ( | AB | cos∠BAC )
1
1
＝ ( | AB |2＋| AC |2－| BC |2 ) ＝ ( 36＋49－25 )＝30，
2
2
∴所求＝18＋30＝48。
26. 【解答】 AP ＝x AB ＋y AC
∵0 ≤ x ≤ 1，－2 ≤ y ≤ 1
∴點 P 所表示之區域為平行四邊形 CC'D'D 區域，
面積＝( 1－0 )×( 1－(－2 ))×(平行□ ABCD 區域)
＝3 | AB |2 | AC |2 −( AB  AC ) 2 ＝3×8＝24。
27. 【解答】因平衡 a ＋ b ＋ c ＝ 0  a ＝－ b － c
| a |2＝|－ b － c |2＋| b |2＋2 b ． c ＋| c |2 ＝100＋2×10×6×cos 120°＋36
1
＝136＋120×(－ )＝76
| a |＝ 76 ，故小美施 76 單位能力
2
- 38 -
28. 【解答】令 A ( 27 , 8 )，B ( 2 , 3 )，C ( 0 , 0 ) 則 AB ＝(－25 ,－5 )， BC ＝(－2 ,－3 )
 cosθ＝
AB  BC
| AB | | BC |
＝
1
65
＝
θ＝45°。
2
5 26  13
故航線修正應該向左轉 45°
29. 【解答】(１)＜解法一＞
1
| OA 2 |＝| OA1 ＋ A1 A2 |＝ | OA1 |2 +2 OA1  A1 A2 + | A1 A2 |2 ＝ 12 + 2 1 2  + 22 ＝ 7 。
2
＜解法二＞設 O ( 0 , 0 )，則 OA1 ＝( 1 , 0 )，
A1 A2 ＝( 2 cos 60° , 2 sin 60° )＝( 1 ,
3 )，
故 OA2 ＝ OA1 ＋ A1 A2 ＝( 2 , 3 )  | OA 2 |＝ 4 + 3 ＝ 7 (公尺)。
(２) 每次前進都逆時針旋轉 60 度，
所以旋轉 3 次，共轉 180 度，如附圖。
即第 4 次前進時，前進的方向是面向西方，故 N＝4。
(３) 設 O ( 0 , 0 )， OA1 ＝( 1 , 0 )，
A1 A2 ＝( 2cos 60° , 2sin 60° )＝( 1 ,
3 )，
A2 A3 ＝( 3cos 120° , 3sin 120° )＝(－
3
3
,
2
2
3 )，
A3 A4 ＝( 4cos 180° , 4sin 180° )＝(－4 , 0 )，
5
5
A4 A5 ＝( 5 cos 240° , 5 sin 240° )＝(－ , －
2
2
3 )，
則 OA5 ＝ OA1 ＋ A1 A2 ＋ A2 A3 ＋ A3 A4 ＋ A4 A5
3
3
3 )＋(－4 , 0 )＋(－ 5 , － 5
＝( 1 , 3 )＋(－
,
2
2
2
2
故 OA5 ＝ ( −7 )2 + 02 ＝7 (公尺)。
- 39 -
3 ) ＝(－7 , 0 )。
30. 【解答】(１) 最大值是順流時，速度為 8＋8＝16 ( km／hr )；
最小值為逆流時，速度為 8－8＝0 ( km／hr )。
(２) 假設小舟前進方向為 AB ，溪流為 BC ，則依三角形法可知，
小舟實際上前進的向量為 AC ，且因為 | AB |＝| BC |＝8。
△ABC 為正三角形，則 AC 方向為北偏東 30 度。
因為河寬為 100 公尺，
故偏離了 100×
200 3
2
＝
。
3
3
(３) 不行。若要到達碼頭 B，依照三角形法可知，
泛舟的方式須如 AD ，∠ABD＝120°  | AD |＞| BD |。
此時長度超過原來的長度。
- 40 -
3－ 3
平面向量的應用
基礎題：
1. 【解答】
2017 1
2017 2018
＝
＝1911，
106 1
106 107
×(－1)
2019 672
3 672
＝
＝108，
108 36
0 36
×(－3)
所求＝1911＋108＝2019。
2. 【解答】(A)兩列對調，其值變號。
1 1 a b
7
1
(B)提公因數，所求＝ × ×
＝－ 。(C)
ad－bc。
5 5 c d
5
25
1
a b＋ a
a
5
(D)
＝
c
1
c d＋ c
5
1
a a＋ b
a
5
(E)
＝
1
c c＋ d
c
5
3. 【解答】(1)
b
＝－35。
d
1
b
1
5
＝ ×(－35 )＝－7。
1
5
d
5
3a－2b 5b
3a－2b b
＝5
3c－2d 5d
3c－2d d
× 2
＝5
(2)
3a b
a b
＝5×3
＝5×3×7＝105
c d
3c d
2a
2b
2a 2b
2a 2b
a b
a
＝
＋
＝4
＋6
2c＋3e 2d＋3 f
c d
2c 2 d
3e 3 f
e
b
f
4. 【解答】 AB ＝(－2 , －8 )， AC ＝( k－8 , k－2 )
∴ 18＝
1 －2 －8
|
|  36＝|－2k＋4＋8k－64 |  k＝16 或 4
2 k－8 k－2
5. 【解答】如附圖，故選(A)(B)(C)(D)(E)。
- 41 -
答案：＝28－18＝10
6. 【解答】 AB ＝(－2 , 2 )， AC ＝( 2 , k )，
(A) 若△ABC 之面積＝4 時，則
1 −2 2
1
1
|
|＝ | －2k－4 |＝ | 2k＋4 |＝| k＋2 |，
2 2 k
2
2
即 | k＋2 |＝4 ⇒ k＋2＝±4，故 k＝2 或－6。
(B) 若 k＝2，則△ABC 之面積＝
1 −2 2
|
|＝4。
2 2 2
(C) 若 k＝－8，則△ABC 之面積＝
1 −2 2
1
|
|＝ | 16－4 |＝6。
2 2 −8
2
−2 2
＝4－4＝0，故 A , B , C 三點共線。
2 −2
(D) 若 k＝－2，則
(E) 若 k＝2 時，則 AB ． AC ＝(－2 , 2 )．( 2 , 2 )＝－4＋4＝0，
故 AB ⊥ AC ，所以△ABC 為直角三角形。故選(B)(C)(D)(E)。
7. 【解答】(1) 所求三角形面積為
1
1 2 2
1
| a |2 | b |2 −( a  b ) 2 =
4  5 − ( − 16 ) 2 =
144 = 6 。
2
2
2
(2) 所求平行四邊形面積為
| a |2 | b |2 −( a  b ) 2
8. 【解答】|
a ＋2 b
|
×2＝|
= 42  52 − ( − 16 ) 2 = 144 = 12
a ＋2 b
3 a －4 b
＝5|
2 b
|＝10×|
a
b
|＝5|
5 a
a ＋2 b
|
×( －1 )
a
|＝10×5＝50
a
9. 【解答】設 u = ( a , b ) ， v = ( c , d )
 以 u 和 v 所張開的平行四邊形面積為 |
a b
|，
c d
3 u + v = ( 3a + c , 3b + d ) ， u + 2 v = ( a + 2c , b + 2d )  |
∵
3a + c 3b + d
a + 2c b + 2d
 |5
=
3a + c 3b + d
|= 20
a + 2c b + 2d
− 5c − 5d
− 5c − 5d
− 5c − 5d
a b
=
+
=5
a + 2c b + 2d
a
b
2c
2d
c d
a b
a b
20
|= 20  |
|=
=4
c d
c d
5
- 42 -
10. 【解答】( a2＋b2 ) ( d2＋ (－2c )2 )≥ ( ad－2bc )2
 2×9 ≥ ( ad－2bc )2  －3 2 ≤ ad－2bc ≤ 3 2
11. 【解答】∵ | a | = 32 + 42 = 5
(1) a  b 有最大值為 | a | | b | = 5 10 = 50 ，
此時 b 與 a 夾角 0° ( 同向 )
 b = 2 a = 2 ( 3, 4 ) = ( 6,8)。
(2) a  b 有最小值為 − | a | | b | = − ( 5 10 ) = − 50 ， 此時 b 與 a 夾角 180° ( 反向 )
 b = − 2 a = − 2 ( 3 , 4 ) = ( − 6 , −8 ) 。
12. 【解答】〔( x ) 2＋( y ) 2〕〔(
等號成立於
1 2
2 2
1 4
1 4
) ＋(
) 〕 (1＋2) 2  3( ＋ )  9  ＋  3
x y
x y
x
y
y
x
x y
＝
 ＝  令 x＝t，y＝2t，
1
2
1 2
x
y
1 4
代入 x＋y＝3，得 3t＝3  t＝1  x＝1，y＝2， ( x , y )＝( 1 , 2 ) 時， ＋ 有最小值 3
x y
13. 【解答】設 x = ( a , b ) ， y = ( c , d ) ， | x || y |=| x  y |
 x 與 y 平行或 x 與 y 中有一個是 0 。
1 2
1 2
1 2
(A) ×：  。(B) ×：  。(C) ○： =  x 與 y 平行。
3 4
3 5
3 6
1
(D) ○： ( 0 , 1 ) = ( 0 , 2 )  x 與 y 平行。(E) ○： x = ( 0 , 0 ) 為 0 。故選(C)(D)(E)。
2
14. 【解答】如附圖所示，  為斜線區域，
1 2
又 u 與 v 所張的平行四邊形面積＝|
|＝| 4－6 |＝2，
3 4
1
1
21
21
因此  的面積＝( 2－ )〔 －(－3 )〕×2＝ ×2＝ 。
2
2
4
2
v
1
y＝ 2
u
y＝－3
15. 【解答】設 C ( 12 , y )，又△ABC 面積為平行四邊形 ABCD 的面積之一半
AB ＝( 6 , 1 )， AC ＝( 10 , y－1 )
6
1
1
1
∴ △ABC＝ |
|＝ ×38  | 6y－6－10 |＝38
2 10 y − 1
2
 | 6y－16 |＝38  6y－16＝38 或－38
−22
 y＝9 或
( 不合 ) ∴ C ( 12 , 9 )
6
設 D ( a , b )∵ AD ＝ BC
 ( a－2 , b－1 )＝( 12－8 , 9－2 ) ( a , b )＝( 6 , 8 )
即點 D 的坐標為 ( 6 , 8 )
- 43 -
1
x＝ 2 x＝2
進階題：
16. 【解答】設 P ( x , y )  AB ＝(－4 , 2 )， AP ＝( x－4 , y )，
1 −4 2
△PAB 面積＝ |
|＝| x＋2y－4 |，
2 x−4 y
∵［( x＋1 )2＋y2］( 12＋22 ) ≥［1‧( x＋1 )＋2y］2
 ( x＋2y＋1 )2 ≤ 20  －2 5 ≤ x＋2y＋1 ≤ 2 5
－5－2 5 ≤ x＋2y－4 ≤ －5＋2 5  5－2 5 ≤ | x＋2y－4 | ≤ 5＋2 5 ，
答案：所求最大值為 5＋2 5 。
17. 【解答】 ∵ OA ＋ OB ＋ OC ＝ 0 ∴ O 為△ABC 重心 △ABC 面積＝3×△OAB 面積
② OA ＋ OB ＋ OC ＝ 0
 | OA ＋ OB |2＝| － OC |2
 | OA |2＋2 OA ． OB ＋| OB |2＝| OC |2
 1＋2 OA ． OB ＋3＝2  OA ． OB ＝－1
③ △OAB 面積
＝
1
2
| OA |2 | OB |2 －( OA  OB ) 2 ＝
答案：故△ABC 面積＝3×
1
2
2
12  3 －(－1)2 ＝
2
2
2
3 2
＝
2
2
18. 【解答】作簡圖如附圖，凸四邊形的面積
40＝( △OPC )＋( 梯形 PQBC )＋( 梯形 QRAB )－( △ORA )
＝
1
2 x＋6
2＋2 x
1
．2．6＋
( x－2 )＋
( 4－x )－ ．4．2＝4x ∴ x＝10
2
2
2
2
＜另法＞
OA ＝( 4 , 2 )， OC ＝( 2 , 6 )， AB ＝( x－4 , 2x－2 )， AC ＝(－2 , 4 )
凸四邊形的面積
40＝( △OAC )＋( △ ABC ) ＝
1 4 2
1 x－4 2 x－2
|
|＋ |
|＝10＋2| 2x－5 |
4
2 2 6
2 －2
 2x－5＝±15  x＝10 或 x＝－5 (不合)
- 44 -
19. 【解答】設 A ( a , 0 ) , B ( 0 , b )，其中 a＞0，b＞0，
PA ． PB ＝( a－2 ,－1 )．(－2 , b－1 )＝0  2a＋b＝5，
2 2
4 2
2
4
2
4
＋
＝ ＋ ，由柯西不等式知〔(
) ＋(
) 〕〔( 2a )2＋( b )2〕≥ ( 2＋2 )2
a
b
a
b
OA OB
2
4
2
4
2
4
16
1
2
( ＋
) ( 2a＋b )  16，即 ＋

，等號成立時 a ＝ b ，即 ＝ ，
a
b
a
b
5
a
b
2a
b
2
4
16
5
5
所以
＋
的最小值是 ，此時 a＝ ，b＝ 。
5
4
2
OA OB
20. 【解答】方法一：由柯西不等式 ( 向量形式 )
可知 | a ‧ b | ≤ | a | | b |
a  b
≤
| a || b |
| b |
方法二：可得
a  b
＝
( 5) 2 ＝ 34
＝| a |＝ 32＋－
| b |
3x－15 y
x 2＋9 y 2
| b |
又由柯西不等式可知［x2＋( 3y )2］［32＋(－5 )2］≥ ( 3x－15y )2
3x－15 y
 x 2＋9 y 2 × 34 ≥ 3x－15y
≤ 34
x 2＋9 y 2
21. 【解答】題目坐標化，依題意作圖。其中點集合 A 所圍的面積即為平行四邊形 OAFB，
點集合 B 所圍的面積即為正方形 OCGD，所求之 A∩B 的面積為套色區塊 ( △OCP )。
2 4
L：x＋y＝2，M：y＝2x，可解出交點 P (
,
)，故△OCP 面積為
3 3
1 1
1
1 2 1
×| 2 4 |＝ × ＝ 。
2
2 3 3
3 3
22. 【解答】 a 在 b 方向上的正射影為 (
a  b
| b |2

a  b
| b |2
＝
) b ＝
7
b
27
7
7
7
∴ a ‧ b ＝ ×32＝
27
27
3
故平行四邊形面積＝
4 2
7
| a |2 | b |2－( a  b ) 2 ＝ 12  32－( )2 ＝
3
3
- 45 -
23. 【解答】(１) 設長＝x，寬＝y，周長＝2x＋2y。 依題意可得 x2＋y2＝102，
由柯西不等式可知
( x2＋y2 ) ( 22＋22 )  ( 2x＋2y )2，800  ( 2x＋2y )2，
－20 2  2x＋2y  20 2 。
故周長最大值為 20 2 。
(２) 設長＝x，寬＝y，周長＝4x＋2y。
依題意可得 x2＋y2＝102，
由柯西不等式可知
( x2＋y2 ) ( 42＋22 )  ( 4x＋2y )2，2000  ( 4x＋2y )2，
x
y
－20 5  4x＋2y  20 5 ，且等號成立 ＝ ，
4
2
令 x＝4k，y＝2k 代入 4x＋2y＝20 5 ，得 k＝ 5 。
故當長＝4 5 ，寬＝2 5 時，周長有最大值 20 5
24. 【解答】步道總長＝4x＋6y，由柯西不等式可知
( x2＋y2 ) ( 42＋62 ) ≥ ( 4x＋6y )2，1002×52 ≥ ( 4x＋6y )2，
4x＋6y  200 13 ≈ 721.2。答案：故 721.2×10＝7212 萬元
- 46 -