Sistem Persamaan Linier PERTEMUAN 1 DAN 2 DIANA PURWANDARI, M.Si. UMTAS KETENTUAN PERKULIAHAN Menggunakan Kemeja (berkerah) dan Sepatu Jumlah Persentase Kehadiran minimal 80% Pemberian Surat Izin/Sakit Pengumpulan Tugas Kuis UTS dan UAS 2 Sistem Penilaian Kehadiran Tugas dan Kuis UTS UAS 20% 20% 25% 35% 3 Grade Nilai Nilai Akhir 85 – 100 80 – 84 75 – 79 70 – 74 65 – 69 60 – 64 55 –59 50 – 54 40 –49 0 – 54 Grade A AB+ B BC+ C CD E 4 Daftar Referensi Howard Anton and Chris Rorres. 2008. Elementary Linear Algebra. John Wiley & Sons. Leslie Hogben. 2007. Handbook of Linear Algebra. Chapman & Hall/CRC, USA. 5 Sistem Persamaan Linier Suatu sistem persamaan linier (atau himpunan persaman linier simultan) adalah satu set persamaan dari sejumlah unsur yang tak diketahui. Bentuk umum: a11 x1 a1n xn b1 a21 x1 a2 n xn b2 . . . . . . . . . . . am1x1 amn xn bm Sistem ini mengandung m persamaan dengan n unsur yang tak diketahui yaitu x1 ….xn. Bilangan a11 …..amn disebut koefisien dari sistem itu, yang biasanya merupakan bilangan-bilangan yang diketahui. Bilangan-bilangan b1 ….bm juga merupakan bilangan-bilangan yang diketahui, bisa bernilai tidak nol maupun bernilai nol Jika seluruh b bernilai nol maka sistem persamaan tersebut disebut sistem persamaan homogen 6 Sistem Persamaan Linier Dari sistem persamaan linier diharapkan adanya solusi yaitu satu set nilai dari x1 …xn yang memenuhi sistem persamaan tersebut. Jika sistem ini homogen, ia mengandung solusi trivial (solusi tak penting) yaitu x1 = 0, …., xn = 0. Pertanyaan-pertanyaan yang timbul tentang solusi dari sistem persamaan ini adalah: a). Benar adakah solusi dari sistem ini ? b). Bagaimanakah cara untuk memperoleh solusi? c). Kalau sistem ini mempunyai lebih dari satu solusi, bagaimanakah himpunan solusi tersebut? d). Dalam keadaan bagaimanakah sistem ini tepat mempunyai satu solusi? 7 Sistem Persamaan Linier Operasi Baris a11 x1 a1n xn b1 a21 x1 a2 n xn b2 . . . . . . . . . . . am1x1 amn xn bm Pada sistem ini kita dapat melakukan operasi-operasi yang disebut operasi baris sebagai berikut: a). Ruas kiri dan ruas kanan dari setiap persamaan dapat dikalikan dengan faktor bukan nol yang sama, tanpa mempengaruhi himpunan sistem persamaan tersebut. b). Ruas kiri dari setiap persamaan dapat dijumlahkan ke ruas kiri persamaan yang lain asal ruas kanannya juga dijumlahkan. Operasi ini tidak mengganggu keseluruhan sistem persamaan tersebut. c). Mempertukarkan tempat (urutan) persamaan tidaklah mengganggu himpunan sistem persamaan. 8 Penulisan Dalam Bentuk Matriks 9 Sistem Persamaan Linier Penulisan Persamaan Linier Dalam Bentuk Matriks Sistem persamaan linier dapat dituliskan dalam bentuk matriks dengan memanfaatkan pengertian perkalian matriks. Bentuk itu adalah a11 a12 a21 a22 am1 am 2 atau secara singkat dengan a11 a12 a21 a22 A am1 am 2 a1n x1 b1 a2 n x2 b2 amn xn bm Ax b a1n x1 b1 a2 n x b2 2 ; x ; b amn x n bm 10 Sistem Persamaan Linier Dari cara penulisan tersebut di atas, kita dapat membangun suatu matriks baru yang kita sebut matriks gandengan, yaitu dengan menggandengkan matriks A dengan b menjadi a11 a12 ~ a21 a22 A am1 am 2 b1 a2 n | b2 | amn | bm a1n | Matriks gandengan ini menyatakan sistem persamaan linier secara lengkap. Operasi-operasi baris pada sistem persamaan linier kita terjemahkan ke dalam matriks gandengan menjadi sebagai berikut a). Setiap elemen dari baris yang sama dapat dikalikan dengan faktor bukan nol yang sama. b). Satu baris boleh dijumlahkan ke baris yang lain. c). Tempat baris (urutan baris) dapat dipertukarkan. 11 Sistem Persamaan Linier Setiap operasi baris akan menghasilkan matriks gandengan baru. Matriks gandengan baru ini disebut sebagai setara baris dengan matriks gandengan yang lama. Operasi baris dapat kita lakukan lagi pada matriks gandengan baru dan menghasilkan matriks gandengan yang lebih baru lagi dan yang terakhir inipun setara baris dengan matriks gandengan yang lama. Dengan singkat kita katakan bahwa operasi baris menghasilkan matriks gandengan yang setara baris dengan matriks gandengan asalnya. Hal ini berarti bahwa matriks gandengan baru menyatakan sistem persamaan linier yang sama dengan matriks gandengan asalnya. 12 Contoh Persamaan Linear Persamaan-persamaan: x + 3y = 7 x1 + 2x2 – 3x3 + x4 = 8 x1 + x2 +…+ xn = 1 13 Contoh Bukan Persamaan Linear 14 CONTOH Contoh : Untuk 2 variabel x + 5 = y or ax + by = e 2x – 2y = 3 cx + dx = f Dimana tidak semua a, b, c, dan d sama 0, Grafik dari setiap persamaan pada sistem adalah garis lurus. 15 Contoh : 0 1 2 1 7 1 7 5 7 3 5 2 X1 X2 X3 X4 1 = 2 3 16 Grafik Dari Sistem Linier Dalam bentuk geometris, karena grafik dalam bentuk garis lurus, dapat diperlihatkan dalam 3 kemungkinan, seperti gambar berikut : y y y x x x (a) (b) (c) 17 Grafik Dari Sistem Linier • Untuk kasus (a) dua garis berimpit. Dikatakan bahwa persamaan dalam sistem bergantung (dependent). • Untuk kasus (b) garis paralel dan tidak berpotongan. Dikatakan bahwa persamaan dalam sistem tidak konsisten (inconsistent). • Untuk kasus (c) garis berpotongan hanya pada satu titik. Dikatakan bahwa sistem persamaan konsisten (consistent). 18 y l1 dan l2 x Mempunyai tak hingga penyelesaian Garis l1 dan l2 berimpit, dimana ada tak berhingga titik potong maka terdapat banyak penyelesaian untuk sistem tersebut. 19 y x l1 Garis l1 dan l2 sejajar, dimana tidak ada perpotongan maka tidak ada penyelesaian terhadap sistem tersebut. l2 Tidak mempunyai penyelesaian 20 y l2 x Garis l1 dan l2 berpotongan hanya di satu titik, maka sistem tersebut tepat mempunyai satu penyelesaian. l1 Mempunyai satu penyelesaian 21 Persamaan Ketergantungan Linier dan Ketidakkonsistenan Bila kedua persamaan mempunyai kemiringan (slope) yang sama, maka gambarnya akan terdapat dua kemungkinan yaitu: 1. Kedua garis adalah sejajar dan tidak mempunyai titik potong, sehingga tidak ada penyelesaian. Kedua persamaan ini disebut sebagai sistem persamaan linier yang tidak konsisten 2. Kedua garis akan berhimpit, sehingga penyelesainnya dalam jumlah yang tidak terbatas. Kedua persamaan ini disebut sebagai sistem persamaan linier yang tergantung secara linier 22 Contoh 2x + 3y =7 4x + 6y =12 Persamaan di atas keduanya tidak konsisten karena kedua persamaan ini mempunyai slope yang sama tetapi intercept berbeda 23 Contoh 5x + 2y = 10 20x + 8y = 40 Kedua persamaan di atas adalah tergantung secara linier, karena kedua persamaan ini mempunyai slope dan intercept yang sama sehingga kalau digambarkan akan berhimpit satu sama lain 24 METODE SUBSTITUSI • Langkah 1 Pilihlah salah satu persamaan (jika ada pilih yang sederhana), kemudian nyatakan x sebagai fungsi y atau y sebagai fungsi x • Langkah 2 Subtitusikan x atau y pada langkah 1 ke persamaan yang lain 25 Menyelesaikan Persamaan Linier Dengan Metoda Subtitusi Contoh: (untuk 2 variabel) 2x + 3y = 1 3x – y = 7 Menyelesaikan persamaan kedua y = 3x – 7. Mensubtitusikan ekspresi y pada persamaan pertama menghasilkan 2x + 3(3x – 7) = 1 2x + 9x – 21 = 1 11x – 21 = 1 11x = 22 x=2 26 Menyelesaikan Persamaan Linier Dengan Metoda Subtitusi Mensubtitusikan x = 2 kepada salah satu persamaan awalnya untuk mendapatkan nilai y. 2x + 3y = 1 3x - y = 7 2(2) + 3y = 1 3(2) - y = 7 3y = 1 – 4 6-y=7 y = - 3/3 -y=7-6 y=-1 y=-1 Jadi, Himpunan penyelesaiannya adalah {( 2, -1)}. 27 METODE ELEMINASI • Nilai x dicari dengan cara mengeliminasi peubah y sedangkan nilai y di cari dengan cara mengeliminasi peubah x 28 Menyelesaikan Persamaan Linier Dengan Metoda Eliminasi Contoh : Carilah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut : 2x + 3y = 13 3x + 4y = 19 Untuk mencari nilai x kita mengeliminasi peubah y 2x + 3y = 13 3x + 4y = 19 X 4 X 3 8x + 12y = 52 9x + 12y = 57 –x=–5 x=5 2x + 3y = 13 3x + 4y = 19 X 3 X2 6x + 9y = 39 6x + 8y = 38 y =1 Jadi, Himpunan penyelesaiannya adalah {( 5,1)} 29 Sistem Persamaan Linier Teorema : Sistem Persamaan Linier dalam suatu bentuk tertentu (finite) dari operasi baris elementer dapat dijadikan sebagai bentuk echelon (kecuali semua baris yang dibawah mempunyai koefisien yang nilainya nol) Sistem Persamaan Linier ada pada bentuk echelon (echelon form) bila urutannya membentuk matrik atas. 30 Sistem Persamaan Linier Bentuk Echelon. Suatu matriks dikatakan berada dalam bentuk eselon, jika : setiap baris dalam matriks, mempunyai leading entry pada elemen ke(i,j) dimana i = j. Leading Entry. Elemen pertama yang bukan nol dalam suatu vektor dinamakan leading entry. Suatu vektor dengan semua elemen sama dengan nol, dikatakan tidak mempunyai leading 31 entry. Contoh Bentuk Eselon -1 1 2 2 0 2 7 12 0 0 -5 -10 Dalam bentuk matrik eselon -1 1 2 2 1 0 7 12 0 0 -5 -10 0 1 2 2 1 0 7 12 0 0 -5 -10 Bukan matrik eselon 32 Contoh Leading entri -1 1 2 2 0 2 7 12 0 0 0 0 Baris pertama mempunyai leading entri = -1. Baris kedua mempunyai leading entri = 2 Baris ketiga tidak memunyai leading entri 33 Sistem Persamaan Linier Operasi Baris Elementer: (untuk n persamaan dan m variabel) Ada 3 (tiga) macam operasi elementer : – Menukar dua persamaan – Mengalikan persamaan dengan suatu konstanta bukan nol (non-zero). – Penambahan suatu persamaan yang telah dikalikan dengan suatu konstanta ke persamaan yang lain. Jika ketiga operasi tersebut diterapkan pada sistem linear, maka akan didapatkan sistem baru tapi sistem baru ini tidak mengalami perubahan solusi dari sistem yang lama. 34 Contoh: Operasi Baris Elementer - X1 + X2 + 2 X3 =2 3 X1 – X2 + X3 =6 - X1 + 3X2 + 4 X3 =4 -1 A= 1 2 2 3 -1 1 6 -1 4 4 3 Jika OBE dilakukan dengan mengganti baris-2 dengan : baris-2 + 3 * baris-1, maka matrix akan disederhanakan menjadi : -1 1 2 2 -1 1 2 2 0 2 7 12 0 2 7 12 -1 3 4 4 0 2 2 2 Baris-3 – baris-1 35 Contoh: Operasi Baris Elementer -1 1 2 2 0 2 7 12 0 2 2 2 -1 1 2 2 0 2 7 12 0 0 -5 -10 baris-3 – baris-2 -1 1 0 2 7 12 0 0 -5 -10 -1 * X1 + 1(-1) + 2(2) = 2 2 * X2 + 7(2) = 12 X3 = 2 2 2 X1 = 1 X2 = -1 36 1. LATIHAN Selesaikan persamaan: 2x + 3y = 6 x+ y=2 Dengan menggunakan metode a. Metode Substitusi b. Metode Eliminasi 37 2. Ali, Bani, dan Cinta berbelanja di suatu toko. Ali membeli dua flashdisk, satu rol kabel dan satu adaptor dengan membayar Rp470.000,00. Bani membeli satu flashdisk, dua rol kabel dan satu adaptor dengan membayar Rp430.000,00. Cinta membeli tiga flashdisk, dua kabel dan satu adaptor dengan membayar Rp710.000,00. Berapakah harga untuk satu flashdisk, satu kabel, dan satu adaptor?