Sistem Persamaan Linier
PERTEMUAN 1 DAN 2
DIANA PURWANDARI, M.Si.
UMTAS
KETENTUAN PERKULIAHAN






Menggunakan Kemeja (berkerah) dan
Sepatu
Jumlah Persentase Kehadiran minimal
80%
Pemberian Surat Izin/Sakit
Pengumpulan Tugas
Kuis
UTS dan UAS
2
Sistem Penilaian




Kehadiran
Tugas dan Kuis
UTS
UAS
20%
20%
25%
35%
3
Grade Nilai
Nilai Akhir
85 – 100
80 – 84
75 – 79
70 – 74
65 – 69
60 – 64
55 –59
50 – 54
40 –49
0 – 54
Grade
A
AB+
B
BC+
C
CD
E
4
Daftar Referensi


Howard Anton and Chris Rorres. 2008.
Elementary Linear Algebra. John Wiley
& Sons.
Leslie Hogben. 2007. Handbook of Linear
Algebra. Chapman & Hall/CRC, USA.
5
Sistem Persamaan Linier
Suatu sistem persamaan linier (atau himpunan persaman linier
simultan) adalah satu set persamaan dari sejumlah unsur yang
tak diketahui.
Bentuk umum:
a11 x1    a1n xn  b1
a21 x1    a2 n xn  b2
. . . . . . . . . . .
am1x1    amn xn  bm
Sistem ini mengandung m persamaan dengan n unsur yang tak
diketahui yaitu x1 ….xn.
Bilangan a11 …..amn disebut koefisien dari sistem itu, yang biasanya
merupakan bilangan-bilangan yang diketahui.
Bilangan-bilangan b1 ….bm juga merupakan bilangan-bilangan yang
diketahui, bisa bernilai tidak nol maupun bernilai nol
Jika seluruh b bernilai nol maka sistem persamaan tersebut disebut
sistem persamaan homogen
6
Sistem Persamaan Linier
Dari sistem persamaan linier diharapkan adanya solusi yaitu satu set
nilai dari x1 …xn yang memenuhi sistem persamaan tersebut.
Jika sistem ini homogen, ia mengandung solusi trivial (solusi tak
penting) yaitu x1 = 0, …., xn = 0.
Pertanyaan-pertanyaan yang timbul tentang solusi dari sistem
persamaan ini adalah:
a). Benar adakah solusi dari sistem ini ?
b). Bagaimanakah cara untuk memperoleh solusi?
c). Kalau sistem ini mempunyai lebih dari satu solusi,
bagaimanakah himpunan solusi tersebut?
d). Dalam keadaan bagaimanakah sistem ini tepat mempunyai
satu solusi?
7
Sistem Persamaan Linier
Operasi Baris
a11 x1    a1n xn  b1
a21 x1    a2 n xn  b2
. . . . . . . . . . .
am1x1    amn xn  bm
Pada sistem ini kita dapat melakukan operasi-operasi yang disebut
operasi baris sebagai berikut:
a). Ruas kiri dan ruas kanan dari setiap persamaan dapat dikalikan
dengan faktor bukan nol yang sama, tanpa mempengaruhi himpunan
sistem persamaan tersebut.
b). Ruas kiri dari setiap persamaan dapat dijumlahkan ke ruas kiri
persamaan yang lain asal ruas kanannya juga dijumlahkan. Operasi ini
tidak mengganggu keseluruhan sistem persamaan tersebut.
c). Mempertukarkan tempat (urutan) persamaan tidaklah mengganggu
himpunan sistem persamaan.
8
Penulisan Dalam Bentuk Matriks
9
Sistem Persamaan Linier
Penulisan Persamaan Linier Dalam Bentuk Matriks
Sistem persamaan linier dapat dituliskan dalam bentuk matriks dengan
memanfaatkan pengertian perkalian matriks. Bentuk itu adalah
 a11 a12

 a21 a22



am1 am 2
atau secara singkat
dengan
 a11 a12

a21 a22
A



am1 am 2
a1n   x1   b1 
   
 a2 n   x2   b2 




 
  
   
 amn   xn  bm 

Ax  b
a1n 
 x1 
 b1 

 
 
 a2 n 
x
b2
2
; x   ; b   
 
 
 

 
 
 amn 
x
 n
bm 

10
Sistem Persamaan Linier
Dari cara penulisan tersebut di atas, kita dapat membangun suatu
matriks baru yang kita sebut matriks gandengan, yaitu dengan
menggandengkan matriks A dengan b menjadi
 a11 a12

~  a21 a22
A



am1 am 2
b1 

 a2 n | b2 
  | 

 amn | bm 

a1n
|
Matriks gandengan ini menyatakan sistem persamaan linier secara
lengkap. Operasi-operasi baris pada sistem persamaan linier kita
terjemahkan ke dalam matriks gandengan menjadi sebagai berikut
a). Setiap elemen dari baris yang sama dapat dikalikan dengan
faktor bukan nol yang sama.
b). Satu baris boleh dijumlahkan ke baris yang lain.
c). Tempat baris (urutan baris) dapat dipertukarkan.
11
Sistem Persamaan Linier
Setiap operasi baris akan menghasilkan matriks gandengan baru.
Matriks gandengan baru ini disebut sebagai setara baris dengan matriks
gandengan yang lama.
Operasi baris dapat kita lakukan lagi pada matriks gandengan baru dan
menghasilkan matriks gandengan yang lebih baru lagi dan yang terakhir
inipun setara baris dengan matriks gandengan yang lama.
Dengan singkat kita katakan bahwa operasi baris menghasilkan
matriks gandengan yang setara baris dengan matriks gandengan
asalnya.
Hal ini berarti bahwa matriks gandengan baru menyatakan sistem
persamaan linier yang sama dengan matriks gandengan asalnya.
12
Contoh Persamaan Linear
Persamaan-persamaan:
x + 3y = 7
x1 + 2x2 – 3x3 + x4 = 8
x1 + x2 +…+ xn = 1
13
Contoh Bukan
Persamaan Linear
14
CONTOH
Contoh : Untuk 2 variabel
x + 5 = y or
ax + by = e
2x – 2y = 3
cx + dx = f
Dimana tidak semua a, b, c, dan d sama 0,
Grafik dari setiap persamaan pada sistem
adalah garis lurus.
15
Contoh :
0
1
2
1
7
1
7
5
7
3
5
2
X1
X2
X3
X4
1
=
2
3
16
Grafik Dari Sistem Linier
Dalam bentuk geometris, karena grafik
dalam bentuk garis lurus, dapat
diperlihatkan dalam 3 kemungkinan,
seperti gambar berikut :
y
y
y
x
x
x
(a)
(b)
(c)
17
Grafik Dari Sistem Linier
• Untuk kasus (a) dua garis berimpit. Dikatakan
bahwa persamaan dalam sistem bergantung
(dependent).
• Untuk kasus (b) garis paralel dan tidak
berpotongan. Dikatakan bahwa persamaan
dalam sistem tidak konsisten (inconsistent).
• Untuk kasus (c) garis berpotongan hanya pada
satu titik. Dikatakan bahwa sistem persamaan
konsisten (consistent).
18
y
l1 dan l2
x
Mempunyai tak hingga penyelesaian
Garis l1 dan l2
berimpit, dimana
ada tak berhingga
titik potong maka
terdapat banyak
penyelesaian
untuk sistem
tersebut.
19
y
x
l1
Garis l1 dan l2
sejajar, dimana tidak
ada perpotongan
maka tidak ada
penyelesaian
terhadap sistem
tersebut.
l2
Tidak mempunyai penyelesaian
20
y
l2
x
Garis l1 dan l2
berpotongan hanya
di satu titik, maka
sistem tersebut
tepat mempunyai
satu penyelesaian.
l1
Mempunyai satu penyelesaian
21
Persamaan Ketergantungan
Linier dan Ketidakkonsistenan
Bila kedua persamaan mempunyai kemiringan (slope) yang
sama, maka gambarnya akan terdapat dua kemungkinan
yaitu:
1. Kedua garis adalah sejajar dan tidak mempunyai titik
potong, sehingga tidak ada penyelesaian. Kedua
persamaan ini disebut sebagai sistem persamaan linier
yang tidak konsisten
2. Kedua garis akan berhimpit, sehingga penyelesainnya
dalam jumlah yang tidak terbatas. Kedua persamaan ini
disebut sebagai sistem persamaan linier yang
tergantung secara linier
22
Contoh
2x + 3y =7
4x + 6y =12
Persamaan di atas keduanya tidak
konsisten karena kedua persamaan ini
mempunyai slope yang sama tetapi
intercept berbeda
23
Contoh
5x + 2y = 10
20x + 8y = 40
Kedua persamaan di atas adalah tergantung
secara linier, karena kedua persamaan ini
mempunyai slope dan intercept yang sama
sehingga kalau digambarkan akan berhimpit
satu sama lain
24
METODE SUBSTITUSI
• Langkah 1
Pilihlah salah satu persamaan (jika ada pilih
yang sederhana), kemudian nyatakan x
sebagai fungsi y atau y sebagai fungsi x
• Langkah 2
Subtitusikan x atau y pada langkah 1 ke
persamaan yang lain
25
Menyelesaikan Persamaan Linier
Dengan Metoda Subtitusi
Contoh: (untuk 2 variabel)
2x + 3y = 1
3x – y = 7
Menyelesaikan persamaan kedua y = 3x – 7.
Mensubtitusikan ekspresi y pada persamaan
pertama menghasilkan 2x + 3(3x – 7) = 1
2x + 9x – 21 = 1
11x – 21 = 1
11x = 22
x=2
26
Menyelesaikan Persamaan Linier
Dengan Metoda Subtitusi
Mensubtitusikan x = 2 kepada salah satu
persamaan awalnya untuk mendapatkan nilai y.
2x + 3y = 1
3x - y = 7
2(2) + 3y = 1
3(2) - y = 7
3y = 1 – 4
6-y=7
y = - 3/3
-y=7-6
y=-1
y=-1
Jadi, Himpunan penyelesaiannya adalah {( 2, -1)}.
27
METODE ELEMINASI
• Nilai x dicari dengan cara mengeliminasi
peubah y sedangkan nilai y di cari dengan
cara mengeliminasi peubah x
28
Menyelesaikan Persamaan Linier
Dengan Metoda Eliminasi
Contoh : Carilah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut :
2x + 3y = 13
3x + 4y = 19
Untuk mencari nilai x kita mengeliminasi peubah y
2x + 3y = 13
3x + 4y = 19
X 4
X 3
8x + 12y = 52
9x + 12y = 57
–x=–5
x=5
2x + 3y = 13
3x + 4y = 19
X 3
X2
6x + 9y = 39
6x + 8y = 38
y =1
Jadi, Himpunan penyelesaiannya adalah {( 5,1)}
29
Sistem Persamaan Linier
Teorema : Sistem Persamaan Linier dalam
suatu bentuk tertentu (finite) dari operasi
baris elementer dapat dijadikan sebagai
bentuk echelon (kecuali semua baris
yang dibawah mempunyai koefisien yang
nilainya nol)
Sistem Persamaan Linier ada pada bentuk
echelon (echelon form) bila urutannya
membentuk matrik atas.
30
Sistem Persamaan Linier
Bentuk Echelon.
Suatu matriks dikatakan berada dalam bentuk
eselon, jika : setiap baris dalam matriks,
mempunyai leading entry pada elemen ke(i,j)
dimana i = j.
Leading Entry.
Elemen pertama yang bukan nol dalam suatu
vektor dinamakan leading entry.
Suatu vektor dengan semua elemen sama
dengan nol, dikatakan tidak mempunyai leading
31
entry.
Contoh Bentuk Eselon
-1
1
2
2
0
2
7
12
0
0
-5
-10
Dalam bentuk matrik eselon
-1
1
2
2
1
0
7
12
0
0
-5
-10
0
1
2
2
1
0
7
12
0
0
-5
-10
Bukan matrik eselon
32
Contoh Leading entri
-1
1
2
2
0
2
7
12
0
0
0
0
Baris pertama mempunyai
leading entri = -1.
Baris kedua mempunyai
leading entri = 2
Baris ketiga tidak
memunyai leading entri
33
Sistem Persamaan Linier
Operasi Baris Elementer: (untuk n persamaan dan m
variabel)
Ada 3 (tiga) macam operasi elementer :
– Menukar dua persamaan
– Mengalikan persamaan dengan suatu konstanta
bukan nol (non-zero).
– Penambahan suatu persamaan yang telah dikalikan
dengan suatu konstanta ke persamaan yang lain.
Jika ketiga operasi tersebut diterapkan pada
sistem linear, maka akan didapatkan sistem baru
tapi sistem baru ini tidak mengalami perubahan
solusi dari sistem yang lama.
34
Contoh: Operasi Baris Elementer
- X1 + X2 + 2 X3
=2
3 X1 – X2 + X3
=6
- X1 + 3X2 + 4 X3
=4
-1
A=
1
2
2
3 -1
1
6
-1
4
4
3
Jika OBE dilakukan dengan mengganti baris-2 dengan :
baris-2 + 3 * baris-1, maka matrix akan disederhanakan menjadi :
-1
1
2
2
-1
1
2
2
0
2
7
12
0
2
7
12
-1
3
4
4
0
2
2
2
Baris-3 – baris-1
35
Contoh: Operasi Baris Elementer
-1
1
2
2
0
2
7
12
0
2
2
2
-1
1
2
2
0
2
7
12
0
0
-5
-10
baris-3 – baris-2
-1
1
0
2
7
12
0
0
-5
-10
-1 * X1 + 1(-1) + 2(2) = 2
2 * X2 + 7(2) = 12
X3 = 2
2
2
X1 = 1
X2 = -1
36
1.
LATIHAN
Selesaikan persamaan:
2x + 3y = 6
x+ y=2
Dengan menggunakan metode
a. Metode Substitusi
b. Metode Eliminasi
37
2. Ali, Bani, dan Cinta berbelanja di suatu toko. Ali
membeli dua flashdisk, satu rol kabel dan satu
adaptor dengan membayar Rp470.000,00. Bani
membeli satu flashdisk, dua rol kabel dan satu
adaptor dengan membayar Rp430.000,00. Cinta
membeli tiga flashdisk, dua kabel dan satu adaptor
dengan membayar Rp710.000,00. Berapakah harga
untuk satu flashdisk, satu kabel, dan satu adaptor?