O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIMI
VAZIRLIGI URGANCH DAVLAT UNIVERSITETI
FIZIKA MATEMATIKA FAKULTETI
INFORMATIKA VA AT KAFEDRASI
Bekchonov B.Yu
Mathcad dasturida ishlashda
(o’quv uslubiy qo’llanma)
Urganch - 2013
1
ANNOTATSIYA
Mazkur qo’llanma MathCad dasturida matematik masalalarni yechish va MathCad
dasturi buyruqlari bilan tanish, foydalanish uchun qulaylikga ega.
Ushbu qo’lanma quyidagilarni o’z ichiga oladi MathCadda oddiy funksiyalar bilan
ishlash, funksiyalarni o’rnatish, ikki o’lchovli funksiya va yuzalar grafiklari bilan ishlash,
tenglamalar va tenglamalar sistemasini echish, differensial tenglamalarni echish, vektorlar va
matrisalar bilan ishlash funksialari
Bo’limlarning xar biri tajriba ish sifatida ko’rib chiqilgan, ularga taalluqli topshiriqlar
berilgan va bu topshiriqlarni bajarish usullari ko’rsatib o’tilgan. Shu bilan birga mavzu
doirasida nazorat uchun savollar ham berilgan.
2
MathCAD интеграл муҳити интерфейси
Ишнинг мақсади: MathCAD муҳити асосий буйруқлари, менюсини ўрганиш ва сода ҳисоблашларни бажариш, ўлчов
бирликларини танлаш ва ўрнатиш.
Лаборатория ишини бажариш услуби:
1.
2.
3.
4.
5.
Дастурни очиш йўллари билан танишиш.
Асосий буйруқлар ва менюни ўрганиш. Уларни очиш ва ишчи вара\ига чиқариш йўллари.
Топшириқни бажариш.
қўйдагилардан ташкил топганхисоботни бажариш:
• лаборатория иши конспекти;
• бажарилган топшириқ натижаси билан.
Назорат саволларга жавоб бериш.
Назарий тушунтиришлар
Асосий меню структураси ва тартиби
MathCAD – бу турли математик масалалари ечиш учун мўлжалланган интеграл муҳитидир.
Системага киришнинг бир неча усуллари мавжуд:
Биринчи усул:




курсор кўрсаткичнинг Пуск га келтирган ҳолда сичқонча чап тугмасини босинг;
унда Программў бандини танласангиз иккинчи қалқиб чиқувчи меню пайдо бўлади;
унда MathSoft Apps бандини белгиласангиз учинчи қалқиб чиқувчи меню пайдо бўлади;
бу ерда MathCAD 2001 Professional бандини топинг ва сичқончанинг чап тугмасини босинг, шунда дастур ишга
тушади.
Иккинчи усул: ишчи столдаги
ерли\ини топинг
Учинчи усул: .mcd кенгайтмали файлни топинг ва сичқонча чап тугмасини икки марта босинг.
Система ишга туширилган MathCAD ишга тайер бўлади. Экраннинг асосий қисмини, бошида бўш бўлган, тахрирлаш
дарчаси банд қилади. Пастдаги ва ўнгдаги айлантириш йўлкаси иш вара\и бўйича горизонтал ва вертикал ҳаракатланишни амалга
ошириш учун хизмат қилади. Асосий меню шундай система бўлиб, у MathCADнинг барча восталарига мурожат қилиш имкони
беради. Маъносига кўра асосий меню – бу интеграл мухитнинг асосий бошқарув марказидир. қўшимча марказлар вазифасини
асбоблар панели ва алоҳида тугмалар бажариб, уларга тез-тез ишлатилиб турадиган командалар бирлаштирилгандир (1.2 расм).
Асбоблар панели
Асбоблар панелини экранга чиқариш
1.1 расм. Асбоблар
панели бандининг
очилиб чиқувчи менюси
Mathcad мухититда ишлашни осонлаштириш учун экранга асбоблар панелини чиқариш мумкин.
Уни чиқариш еки ўчириш асосий менюнинг Вид (View) бўлими ичидаги Панели инструментов банди
орқали амалга оширилади. Панели инструментов банди фаоллаштирилганда очилиб чиқувчи менюни (1.1расм) чиқаради.
У экранда пайдо бўлган қўйидаги асбоблар панелини бошқариш имконини беради (1.1-расм).
Стандартная (Standard), Форматирование (Formatting), Математика (Math), Калькулятор (Arithmetic),
Оценка (Evaluation), Диаграмма (Graph), Матрицў (Matrix), Вўчисления (Calculus), Символў (Greek),
Символьная (Symbolic), Программирование (Programming), Логический, Модификаторў (Modifier). Мос
очилиб чиқувчи бандни экранга чиқариш еки олиб ташлаш учун курсор кўрсаткичи тегишли бандга
келтирилиб сичқонча чап тугмаси бир марта босилади. Агар банд олдида белги бўлган бўлса, у ҳолда у
ўйқолади ва асосий менюдан мос асбоблар панели олиб ташланади. Меню банди байроқча каби ишлайди.
Курсор кўрсаткичи асбоблар панелининг белгилари ва тугмалари (пиктограммалар) устида
ҳаракатлантирилганда ҳар бир тугманинг мақсади ениб чиқади. Бандни меню орқали танланганга кўра
тугмалар орқали чақириш тезроқ амалга оширилади.
3
1
2
3
4
7
8
5
6
1 – панель асосий менюси;
2 – Стандартная асбоблар панели;
3 – Форматирование асбоблар панели;
4 – Математика асбоблар панели;
5 – линейка;
6 – иш вара\и;
7 - айланитириш йўлкаси;
8 – ҳолат сатри.
1.2. – расм. MathCAD системасининг асосий менюси
Стандартная асбоблар панели
Стандартная (Standard) асбоблар панелида (1.2 - расм) йигирмата тугма жойлашган:
тоза варақ кўринишли тугма – янги хужжат ҳосил қилиш диалог дарчасини очади;
очиқ папка кўринишли тугма – мавжуд хужжатни чақириш диалог дарчасини очади;
дискет кўринишли тугма – тузилган янги хужжатни хотирада сақлайди;
принтер кўринишли тугма – тузилган хужжатни босмага чиқариш диалог дарчасини очади;
варақ ва лупа кўринишли тугма – босмага чиқаришдан олдин хужжатни дастлабки кузатувни амалга оширади;
АВС ҳарфлари кўрсатилган тушма – орфографик хатони текширишни амалга оширади;
бажаради;
қайчи кўринишли тугма – белгиланган матн қисмини еки форомулани алмашлаш буферига олиб ташлаш фазифасини
бир неча нусхалар кўринишли тугма – белгиланган матн қисмини еки формулани алмашлаш буферига нусхасини
олишни амалга оҳиради;
бажаради;
портфель кўринишли тугма – белгиланган матн қисмини еки формулани алмашлаш буферидан қўйиш вазифасини
чапга бурилишли стрелка кўринишли тугма охирги буйруқни бекор қилиш вазифасини бажаради;
унгга бурилишли стрелка кўринишли тугма охирги бекор қилинган буйруқниқайта тиклаш вазифасини бажаради;
бажаради;
юқори чегара бўйича текислаш кўринишли тугма – белгиланган соҳани горизонтал чизиқ бўйича текислаш вазифасини
чап чегара бўйича текислаш кўринишли тугма – белгиланган соҳаларнинг энг ўнг ва энг чаплари орасида жойлашган,
вертикал чизиқ бўйича текислаш вазифасини бажаради;
Вставите функцию (Функцияни ўрнатиш) - функция белги кўринишли тугма – керакли функцияни ўрнатиш учун
диалог дарчасини чақириш вазифасини бажаради;
4
бажаради;
ўлчов кружка кўринишли тугма – керакли ўлчов бирлигини ўрнатиш учун диалог дарчасини чиқариш вазифасини
тўқлашган тенг белги кўрнишли тугма – курсордан пастда (ўнгда) жойлашган барча формулаларни (ифодаларни)
хисоблаш вазифасини бажаради;
занжир қисми кўринишли тугма – гипертекстли матнни ўрнатиш вазифасини бажаради;
камера кўрнишли тугма – компонентани ўрнатиш вазифасини бажаради;
уч нурли диаграмма кўрнишли тугма – MathConnex иловани очишни таъминлайди;
очиқ китоб кўрнишли тугма – ресурслар марказига мурожатни таъминлайди;
сўроқ белги кўринишли тугма – ердам бериш диалог дарчасини чиқаради.
Форматирование асбоблари панели
Форматирование асбоблар панели саккизта тугма ва учта майдонни ўз ичига олади (1.2.-расм). Керак бўлганда, ўнг
томондаги тугмани босган ҳолда, мавжуд стиллар рўйхатини очи шва зарурини сичқонча чап тугмасини босиш орқали танлаш мумкин.
Иккинчи майдонда ҳозирда қўлланилаетган шрифт номи кўрсатилади. Ўнг томондаги тугмани босган ҳолда мавжуд
шрифтлар руйхатини чиқариш ва кераклигини танлаш мумкин бўлади.
Учинчи майдонда ҳозирда қўлланилаетган шрифт ўлчами берилган. Ўнг томондаги тугмани босган ҳолда мавжуд шрифт
ўлчамлари рўйхатини чиқариш ва кераклигини танлаш мумкин бўлади.
В ҳарфли тугма белгиланган матн, формула, ифода қисмини ярим тўқланган ҳолга айлантиради;
I ҳарфли тугма белгиланган матн, формула, ифода қисмини курсив кўринишга айлантиради;
U ҳарфли тугма белгиланган матн, формула, ифода қисми тагига чизишни амалга оширади;
чапга сурилган кўринишли тугма матнни чап чегара бўйича текислайди;
марказ нисбатан текисланган кўринишли тугма матн сатрларини марказга нисбатан текислайди;
ўнгга сурилган кўринишли тугма матнни ўнг чегара бўйича текислайди;
маркерли рўйхат кўринишли тугма белгиланган матн қисмига маркер ўрнатишни амалга оширади;
номерланган рўйхат кўринишли тугма белгиланган матн бўлимларига номерлар қўйишни амалга оширади.
Математика асбоблар панели
Math (Математика) асбоблар панели тўққиз тугмадан иборат (1.3 - расм):
калькулятор кўринишли тугма Калькулятор (Arithmetic) асбоблар панелини чақиради;
х ҳарфи ва «қ» шарти кўринишли тугма Оценка (Evaluation) асбоблар панелини чақиради;
| график кўринишли тугма Диаграмма (Graph) асбоблар панелини чақаради;
матрица тайергарлиги кўринишли тугма Матрицў (Matrix) асбоблар панелини чақиради;
интеграл ва дифференциал белги кўринишли тугма Вўчисления (Calculus) асбоблар панелини чақиради;
грек алфавитининг αβ харф кўринишли тугма Символў (Greek) асбоблар панелини чақиради;
шлапа кўринишли тугма Символьная (Symbolic) асбоблар панелини чақиради;
блок-схема кўринишли тугма Программироавние (Programming) дастурлаш режимини чақиради;
шарт текширишни белги кўринишли тугма Логический (Logic) асбоблар панелини чақиради;
Ушбу менюнинг исталган банди босилганда асосий менюда мос меню очилади, қайта босилганда эса – у епилади.
5
1.3.-расм. MathCAD мухити асбоблар панели
Асосий тушунча ва таърифлар
Mathcadда исталган хужжат алоҳида блоклардан ташкил топади. Улар турли типли бўлиши мумкин: матнлар (изоҳлар),
формулалар, графиклар, жадваллар ва ҳоказо. Ҳар бир блок иш вара\ида тў\ри тўртбурчак формали аниқ сохани банд қилади.
Хужжатда блокларнинг жойлашувчи, матнлигидан ташқарии, принципиал аҳамият касб этади. Улар чапдан ўнгга ва
юқоридан пастга қараб бажарилади. Шунинг учун блоклар ўзаро бир-бирини қопламаслиги керак (қисман қопланиши эҳтимолдан
холи эмас). Блокларнинг Ушбу тартибда бажарилиши шуни кўрсатадики, мисол учун, функциянинг еки жадвалнинг графигини тузиш
бошида ўша функцияни ва аргумент чегаралари ўзгаришини бериши блокларини бажаришдан боҳланиб, сўнгра жадвал еки функция
графигини тузиш блоки Билан давом этади.
Блокларни конструклаштиришда системага бириктирилган уч – матн, формула ва график мухарирлари хизмат қилади.
Матн мухаррири – матнли изохларни ҳосил қилиш воситасидир. У формулали ва график кўринишдаги хужжатларни
тушунарлироқ холга келтиради. Матнларни тахрирлаш қўйидаги умумий қабул қилинган воситалар ердамида амалга оширилади:
курсорни бошқариш, символларни ўрнатиш ва алмаштириш режимларини ўрнатиш (Insert тугмаси), ўчириш (Del ва Backspace
тугмалари), белгилаш, алмашлаш буферига нусхалаш, алмашлаш буферидан чақириб ўрнатиш ва бошқа тугмалар.
Формула мухаррири – математик ифодаларни ҳосил қилиш воситасидир. Ушбу операцияни бажариш учун сичқонча
кўрсаткичини мухаррирлаш ойнасининг исталган жойига ўрнатиш ва сичқонча чап тугмасини босиш кифоя. Шунда кичик қизил
крестча кўринишдаги визир пайдо бўлади. Унинг жойлашувини ҳаракатлантириш тугмалари ердамида ўзгартириш мумкин. Визир
хисоблаш блокидаги формулалар тўпламининг бошланиш нуқтасини кўрсатади. Жойлашган ўрнига қараб у ўзининг формасини
ўзгартириши мумкин. Масалан, формулалар сохасида визир, маълумотларини киритиш йўналиши ва ўрнини кўрсатувчи, хаво ранг
бурчакка айланади. Тахрирлаш фақатгина жорий мухаррир ойнасига бир еки бир қатор объект шаблонлари киритилгандагини
бажарилиши мумкин. Акс холда, тахрирлаш операцияларини қисман амалга ошириш мумкин бўлмайди ва Edit (Правка) тахрирлаш
менюсида бундай операциялар белгиланмайди, яъни камайтирилган ерқинликли матн холида кўрсатилади.
Математик соха – бу математик ифода еки графикни жам қилувчи сохадир. У ишловчи хисобланади; бу унда амалга
оширилган ҳар қандай ўзгариш, ишчи хужжатнинг қўйида жойлашган, барча математик сохаларга таъсир кўрсатишини англатади.
Ишчи хужжатлардаги матн икки хил формада иштирок этиши мумкин: матнли абзац ва матнли соха кўринишларида. Мос
вариантни танлаш матн миқдорига ва унинг хохишимиздаги кўринишига бо\лиқ бўлади.
Матнли соха – бу матнларни жойлаштириш учун ммўлжалланган тў\ри тўртбурчакли сохадир. У ихтиерий катталикда
бўлиши ва ишчи хужжатнинг исталган ерига жойлашиши мумкин. Матнли сохалар, қоидага кўра, қисқа изохларни киритиш учун
қўлланилади. Бундай сохани ҳосил қилиш учун қўштирноқ символини киритиш кифоя. Ҳосил бўлган тў\ри тўртбурчакка матн
киритилади. Шу Билан бирга, киритиш учун керак бўлган шрифт (Font) ўрнатилади. Агар матн рус тилида териладиган бўлса, у холда
Times New Roman Cyr шрифтини ўрнатиш мумкин.
Тў\ри тўртбурчакнинг ўнг томони маркази, паст қисми маркази ва ўнг қўйи қисми бурчагида белги (қора квадратчалар) лар
мавжуд. Сичқонча кўрсаткичини манна шу белгиларга келтириб ва чап тугмасини босиб, матнли сохани катталаштириш еки
кичиклаштириш мумкин. Матнли блокда визир қизил вертикал чизиқча кўринишда бўлади ва у матнни киритиш ўрнини белгилайди.
Матнли сохани бошқа усул Билан хам ҳосил қилиш мумкин. Визирни (қизил крестчани) матинли киритиш урнига келтиринг. Харфли
тугмани босинг – тў\ри тўртбурчакда ҳарф пайдо бўлади, «визир» эса, ҳарифли қоплайдиган, ҳаво ранг бурчакка айланади. Пробел
6
тугмаси (Spacebar) босилганидан сўнг тў\ри тўртбурчак белгилар (метка) билан қуролланади, ҳаво ранг бурчак эса қизил вертикал
чизиқчага айланади. Бу эса биз матинли соха билан иш кураётганимизни билдиради. Юқорида қайд этилганидек, Mathcad курсори уч
турли курсорни қабул қилади «визир»ни «плюс» белгиси, матинни киритиш маркерини - вертикал қизил чизиқча, математик ифодани
киритиш маркерини - ҳаво ранг бурчак (клюшка). «Визир» формула ва матинлар сохаларидан ташқарида, яъни хужжатни бўш жойида
пайдо бўлади. Унинг жойини ўзгартириш учун, ишчи вара\ининг бўш жойига ўрнига «сичқонча» курсорни келтириб чап тугмани
босиш зарур. Шунингдек, қуйидаги стрелкалар тасвири келтирилган харакатлантириш тугмаларидан хам фойдаланиш мумкин: ↓, →,
↑, ←, Pg Up ва Pg Dn.
Янги ифода, матинли соха, графиклар «визир» жойлашган жойдан бошланади.
Курсор билан сичқонча кўрсаткични чалкаштирманг. Сичқонча кўурсаткичи курсорни керакли жойга жойлаштириш учун
хизмат қилади. Уч формадан қайси бирини ишга туширилиши, қайси объектга «сичқонча» кўрсаткичини тў\ирлаб чап тугмани
босишингизга бо\лиқдир. Тугмалар комбинациясини ишлатган холда, курсорни у еки бу томонга мақсадли ҳаракатлантириш мумкин.
Функция - бу аргументлари асосида маълум хисоблашлар амалга оширилувчи ва унинг миқдор қийматлари аниқланувчи
ифодадир.
Mathcatда функциялар истеъмолчи томонидан киритилган ва аниқланган бўлиши мумкин.
Функцияни аниқлаш учун қўйидаги ишлар амалга оширилиши зарур:
o ишчи хужжатга функция номини ва чап кичик қовусни киритиш;
o бир-бири билан вергул билан ажратилган аргумертлар рўйхатини киритиш ва уни унг кичик қовус билан тўгаллаш;
o икки нуқтани киритиш, натижада :қ ўзлаштириш белгиси ва унданг сунг киритиш майдончаси пайдо бўлади;
o киритиш майдончасига (ўнг томонига) ушбу функцияга мос ифодани териш.
Ифодада ишлатилган барча ўзгарувчилар, киритиш майдончада ёзилган, илгаридан аниқланган ёки аргументлар рўйхатига
киритилган бўлиши шарт. Акс холда, қийматлари берилмаган ўзгарувчилар дисплей экранида қизил ранг билан белгиланади.
Бирор–бир ўзгарувчиларга бо\лиқ бўлган ифода хисобланиши учун уларнинг қийматларини белгиланган бўлиши керак.
Бунинг учун қўйидагиларни бажариш лозим:
o ўзгарувчи номи киритилиши;
o икки нуқтани киритиш, натижада :қ ўзлаштириш белгиси ва ундан сўнг киритиш майдончаси пайдо бўлади;
o киритиш майдончаси сон ёки ифодани киритинг. Mathcad мос миқдорни хисоблайди ва ўзгарувчига унинг номи берилади.
Илгаридан аниқланган математик ўзгармаслар
Номи
Тугмалар
Маъноси
∞
π
Ctrl+Shift+z
Ctrl+Shift+π
Системали чексизлик (10
π сони (3.14...)
е
i
j
%
Е
1i
1j
%
Натурал логорифм асоси
Мавхум бир
Мавхум бир
Процент (0.01)
307
)
Исталган бошқа ўзгармаслар каби ишчи хужжатда :қ аниқланиш символи ёрдамида ўзгармасларни қайта аниқлаш мумкин.
Содда арифметик хисоблашлар
Арифметик хисоблашлар калькулятор асбоблар панели ёрдамида амалга оширилади. Хисоблашга доир мисол 1.4-расимда
кўрсатилган.
7
1.4 - расм. содда арифметик хисоблашлар.
Улчов бирликларини танлаш ва урнатиш
Вставить модуль (Unit…) бўлими ёрдамида еки асбоблар панелидаги ўлчов кружка тасвири туширилган
тугмани босиш орқали Вставить модуль диалог дарчаси ўлчов бирикмаларини танлаш ва ўрнатиш учун чиқарилади.
Диалог дарчаси Размерность ўлчов қийматлари рўйхати ва унга кирувчи Модуль ўлчов бирликларидан ташкил топади.
Дарчада қайси бирлик системаси ишлатилаётганлиги ҳақида кўрсатма хам берилган. Индалмаган холатда SI системаси
ишлатилади. Диалог дарчасида учта тугма бор:
o ok – таланган ўлчув бирлигини ўрнатади ва дарчани ёпади;
o Insert ёки Вставить (ўрнатиш)- дарчасини сақлаган холда танланган ўлчов бирлигини ўрнатади;
o Cancel ёки Отмена (бекор қилиш) – ўрнатилган ўлчов миқдор операциясини бекор қилади.
Ўлчов миқдорлари билан ишлашда Mathcad керакли ўзгаришларни амалга оширади ва ўзгарувчиларнинг сон
миқдорларини уларнинг ўлчов бирликлари билан чиқаради.
1.5-расм. Вставить модуль диолог дарчаси.
1.6–расм. Вставить модуль функциясини ишлатилишга мисол
Айрим улчамлар кийматлариги мисоллар
Ўлчам
Dimensionless
Angular
Area
Сapacitance
Conductance
Current
Energy
Force
+иймат
барча ўлчамлар алфавит тартибида
бурчак ўлчамлари
юза бирлиги
электрик си\им
электр ўтказувчанлик
ток кучи
энергия бирлиги
куч бирлиги
8
частота бирлиги
индуктивлик
узунлик бирлиги
ёру\лик кучи
магнит индукцияси
масса бирлиги
электр потенциал ва кучланиш
босим бирлиги
электр қаршилик
моддалар сони
температура бирлиги
вақт бирлиги
тезлик бирлиги
ҳажм бирлиги
Freguency
Inductance
Length
Luminosity
Magnetic flux density
Mass
Potential
Pressure
Resistance
Substance
Temperature
Time
Velocity
Volume
√ Топшириқ
1.
MathCADни очинг.
2.
Математика асбоблар панели тугмалар ердамида
панельни очинг, сунгра епинг.
3.
Матинли изохлар киритинг.
4.
+уйидаги ифодалар хисобини чикаринг:
(48 + 67 3 )
1) I
=
ε
R+r
, при εқ110 В, Rқ20 Ом, rқ2 Ом
2)sin (45) + cos(30)/ctg(60)
3) s = v0 t +
5
cos(0.5)
23 10
at 2
, v 0 қ4 км/ч, tқ0,1 ч, aқ10-6 км/ч2
2
5. Хосил килган хужжатларингизни Мои
документў папкасида Хисоб. mcd номи билан
сақланг.
6. MathCADни ёпинг.
(sin(111) + cos(98)) 2 ⋅ log(4,3) + (12 − 89 )
e 2 x +3
5. Вставка модуля функцияси ердамида хисобни
бажаринг:
Текшириш учун саволлар:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
MathCAD дастурни қайси усуллар билан ишга тушуриш мумкин?
Асосий асбоблар панелини санаб утинг
Ҳар бир панел нима учун хизмат қилади?
Матн ва формула мухаррирлари вазифасини тушунтиринг.
Рус тилида матн киритишда қайси шрифт қўлланилади?
Матн сохаси ўлчамини қандай алмаштириш мумкин.
MathCADда қандай функциялар бўлиши мумкин? Нима билан улар фарқ қиладилар?
Илгаридан аниқланган математик ўзгармасларни санаб ўтинг.
Ўлчов бирликларини қандай қилиб ўрнатиш мумкин?
II лабаратория иши
Киритилган операторлар ёрдамида хисоблаш.
Функцияларни ўрнатиш.
Ишнинг мақсади: MathCAD мухитида киритилган операторлардан фойдаланишни ўрганиш.
Лаборатория ишини бажариш услуби:
6.
7.
8.
9.
Ишнинг назарий қисми билан танишиш: асосий киритилган оператор ва функцияларни ўрганиш
Топшириқни қуйидаги келтирилган услуб бўйича бажаринг
+уйидаги таркибда хисобот тайерлансин:
• лаборатория иши конспекти;
• бажарилган топшириқ натижаси билан.
Назорат саволларга жавоб беринг.
Назарий тушунтиришлар
MathCAD нинг асосий операторлари.
9
MathCAD ўз таркибига бир қатор турли операторларни киритади: арифметик, мантииқий, математик тахлил,
массивлар билан ишловчи ва истеьмолчилар томонидан яратиладиган. Улар мазмуни Билан қисқача танишиб чиқамиз.
Арифметик операторлар
Кейинги қаторга ўтиш
шарти билан қўшиш
Тугмалар
Белгиланиши
Ctrl+Enter
X...
+Y
+ўшиш
+
X+Y
Комплекс сон
«
Х
Бўлиш
/
X/Y
Даражага ошириш
^
Xn
Факториал
!
N!
Абсолют қиймат
|
|X|
Кўпайтириш
Инкор
N-чи даражали илдиз
*
CTRL+\
X×Y
-X
Чекли қатор кўпайтмаси
CTRL+SHIFT+3
Дискрет аргумент бўйича чексиз
қатор бўйича кўпайтмаси
#
n
X
n
∏X
i =m
∏X
i
$
∑X
\
z
Айириш
-
X-Y
Чекли қатор йи\индиси
CTRL+SHIFT+4
Дискрет аргумент бўйича чексиз
қатор йи\индиси
Квадрат илдиз
n
∑X
i =m
Мантиқий ператорлар
Тугмалар
Белгиланиши
Катта
Кичик
>
X>Y
<
X<Y
Катта ёки тенг
Ctrl+0
X≥Y
Кичик ёки тенг
Тенг эмас
Тенг
Ctrl+9
Ctrl+3
Ctrl+қ
X≤Y
X≠Y
XқY
Математик тахлил
операторлари
Функциянинг берилган
нуқтадаги чегараси
Тугмалар
Белгиланиши
Ctrl+L
lim f ( x)
x→a
Функциянинг берилган
Ctrl+Shift+B
нуқтадаги чапдаги чегараси
Функциянинг берилган нуқтадан Ctrl+Shift+A
ўндаги чегараси
Дифференциал
?
lim f ( x)
x →a −1
lim f ( x)
x →a +1
d/dt f(t)
10
Аниқ интеграл
&
b
∫ f (t )dt
a
Ноаниқ интеграл
Ctrl+I
∫
n-чи тартибли хосила
Ctrl+Shift+?
dn/ dtn f(t)
Вектор ва матрицаларга
мўлжаланган операторлар
+ўшув
Тугмалар
Белгиланиши
+
U+V
Векторли кўпайтма
Ctrl+8
UxV
Аниқловчи
|
|U|
Скаляр кўпайтма
*
U▪V
Матрица мурожаати
^-1
M-1
Инкор
Матрицани даражага ошириш
Модуль
-
-V
^
|
Mn
|M|
Кўпайтириш
+уйи индекс (vector)
*
[
M×N
Vn
+уйи индекс (matrix)
Айирув
[
-
Mn
M-N
Элементлар йи\индиси
Юқори индекс
Транспонирлаш
Ctrl+4
Ctrl+6
Ctrl+1
ΣV
<n>
A
T
M
Векторлаш оператори
Ctrl+ -
F(M)
f (t ) dt
MathCADда маьлумотларни бир обьектдан бошқасига тў\ридан-тў\ри узатиш муаммоси самарали хал қилинган,
масалан, бир математик ифодадан бошқасига, ундан жадвалларга, жадваллардан графикларга ва хоказо. Шунинг учун,
берилган маьлумотнинг исталган формуласи ёки топшири\идаги ўзгариш шу захоти барча ўзаро бо\ланган обьектлар
занжири бўйича масалани қайта ишланишига олиб келади.
MathCAD нинг киритилган функциялари. Киритилган функциялар категориялари.
MathCAD да киритилган функцияларнинг барча тури, (уларни ишлатилишини осонлаштириш мақсадида,
аниқланган ҳолат учун классларга бўлинган. Улардан исталган бирини асосий менюнинг Вставка (Insert) бўлимининг
Функция (Function) банди орқали чақириладиган Вставить функцию (Insert Function) диалог дарчасини жойлаштириш
орқали амалга оширилади. Функцияни киритиш шаблонини хосил қилиш учун исми бўйига сичқонча тугмасини босинг.
(2.1. расм)
2.1.- расм. Вставка функции диалог ойнаси
Бошланишида чап диалог дарчасининг Вставить функцию рўйхатидаги Категория функции (Function
Category) функция категориясини, сўнгра эса-ўнг рўйхатдаги Имя функции (Function name) унинг исми сичқонча
тугмасини босиш орқали белгиланади. Диалог дарчасининг пастки қисмидаги матнли майдонда функциянинг берилиши
ва уларга изохлар ҳақида маълумот берилади. Бизнинг мисолда, В ни А орқали ҳосил қилинган массивни қайтарувчи
stack(А,В) функцияси белгиланган. А ва В массивлар бир хил сонли устунларга эга бўлиши шарт.
11
Ишчи вара\ига функция шаблонини киритиш учун сичқонча кўрсаткичини Вставка (Insert) га келтириб чап
тугмани босиш керак. Ишчи вара\ининг визир турган ерида тўлдирилиши шарт бўлган шаблон пайдо бўлади. Кўп
холларда функциянинг бажарилиши учун бошлан\ич маълумотларни тайёрлаш керак бўлади. Stack(A,B) функциясини
бажариш учун,бизнинг мисолда, А ва В массивларни аниқлаш талаб қилинади.
MathCAD да қўйидаги функциялар аниқланган:
.All (все)-барча функциялар алфавит тартибда жойлаштирилган;
.Bessel (Бессель)-Бессель функциялари;
.Complex Numbers-комплекс сонлар;
.Differential Equation Solving-диференциал тенгламаларни ечиш функциялари;
.File Access- файлларга мурожаат функциялари;
.Fourler Transform-Фурье ўзгартириш функциялари;
.Hyperbolik-гиперболик функциялар;
.Image processing-тасвирларни қайта ишлаш функциялари;
.Interpolation and Prediktion-интерполяция ва олдиндан айтиш функциялари;
.Log and Exponental-логарифмик ва экспоненциал функциялар;
.Numbers Theory/Combinatorics-сонлар назарияси ва комбинаторика функциялари;
.Piecewise Continions-зина ва шартлар функциялари;
.Probability Density-эхтимоллар зичлиги функциялари;
.Probability Distribition-эхтимоллар тақсимоти функциялари;
.Random Numbers-тасодифий сонлар функциялари;
.Regression and Smotning-регрессия ва текислаш функциялари;
.Sorting –сортировка (саралаш) функциялари;
.Special-махсус функциялар;
.Statistics –статитикс функциялар;
.Trigonometric-тригонаметрик функциялар;
.Truncation and Round-Off-яхлитлаш ва сон қисми билан ишлаш функциялари;
.Vector and Matrix-вектор ва матрицалар Билан ишлаш функциялари.
Гиперболик функциялар
acosh(z)-тескари гиперболик косинус.
acoth(z)-тескари гиперболик котангенс.
acsch(z)-тескари гиперболик косеканс.
asech(z)-тескари гиперболик секанс.
asinh(z)-тескари гиперболик синус.
atanh(z)-тескари гиперболик тангенс.
Функция ишлаши натижаси бўлиб z комплекс сонининг ҳақиқий қисми хисобланади.
sinh(z)-гиперболик синус: sinh(x) қ (ex - e-x)/2.
cosh(z)-гиперболик косинус: cosh(x) қ (ex +e-x)/2.
tanh(z)-гиперболик тангенс: tanh(x) қ (ex-e-x)/(ex+e-x).
sech(z)-гиперболик секанс: sech(x) қ l / cosh(x).
csch(z)-гиперболик косеканс: csch(x) қ l / sinh(x).
coth(z)-гиперболик котангенс: coth(x) қ 1 / tanh(x).
Аргумент x скаляр бўлиши керак.
Логарифмик ва экспоненциал функциялар
exp (z)- z даражага кўтарилган e сони.
log (z[b])-b асосли z нинг логарифми; агар b туширилган бўлса, асоси 10 бўлади.
ln(z)- e асосли z нинг логарифли (z нинг натурал логарифми).
Z аргумент скаляр ва ўлчамсиз сон қийматига эга бўлиши керак. log ва ln функциялари учун Z аргумент нолдан
фарқли бўлиши керак.
Z аргументнинг комплекс қийматлари учун логарифмик функциалар қийматларини асосий бў\индан чақирилади:
ln(z)қln(
Ζ )+ i arg(z).
Тригонаметрик функциалар
sin (z)-синус.
cos (z)-косинус.
tan (z)-тангенс.
sec (z)- секанс.
csc (z)-косеканс.
соt (z)-котангенс.
Манна шу функциялар учун Z аргумент (ҳақиқий, комплекс ёки мавхум) радианларда аниқланган сон бўлиши
керак. Комплекс сонлар учун sin(z),cos(z),tan(z) қуйидаги формулалар билан аниқланади:
sin(z)қ(eiz-e-iz)/2i;
сos(z)қ(eiz+e-iz)/2;
tan(z)қ(eiz-e-iz)/((eiz+e-iz)i).
12
asin(z)- тескари тригонаметрик синус.
acos(z)- тескари тригонаметрик косинус.
asec(z)- тескари тригонаметрик секанс.
acsc(z)- тескари тригонаметрик косеканс.
acot(z)- тескари тригонаметрик котангенс.
atan(z)- тескари тригонаметрик тангенс.
asin(z),atan(z),asec(z),acot(z)-z ҳақиқий сон бўлганда, бурчакларни радианларда π ва π/2 оралиқда қайтаради.
acos(z)-z ҳақиқий сон бўлганда, бурчакларни радианларда 0 ва π оралиқда қайтарилади.
Комплекс сонлар функциялари
arg(z)- бурчакларни радианларда х ҳақиқий ўқдан то z комплекс сонигача аниқлайди.
csgn(z)-агар z қ 0 бўлса, 0ни, агар Re(z)>0 ёки (Re(z)қ0 ва Im(z)>0) бўлса, 1ни ва акс холда -1 ни қайтаради.
Im(z)- z комплекс сонининг мавхум қисмини ажратади.
Re(z)- z комплекс сонининг ҳақиқий қисмини ажратади.
signum(z)-агар z қ 0 бўлса,1 ни ва акс холда z /
z ни қайтаради.
Яхлитлаш ва соннинг қисми бўйича ишлаш функциялари.
ceil(x) - x га тенг ёки катта энг кичик бутунни қайтаради. х сони ҳақиқий бўлиши керак:
ceil (15.7) қ 16
ceil(-3.9) қ -3
floor(x)- x га тенг ёки кичик энг катта бутунни қайтаради .х сони ҳақиқий бўлиши керак:
floor(15.7) қ 15
floor(-3.9) қ -4
round (x,n)- x ҳақиқий сонини ўнлик нуқтасидан ўнг томонга n белгигача яхлитлайди.
Агар n туширилиб қолдирилган бўлса, х биринчи бутун сонгача яхлитланади. Агар n<0 бўлса, ўнлик нуқтасидан чап
томонга n, белгигача яхлитланади.
round(15.71346,3)қ15.713
round(15.71346)қ16
round(1315.71346,-2)қ1.3*103
trunk(x)-x ҳақиқий сонининг, каср қисмини йўқотган холда, бутун қисми қайтарилади:
trunk (15.7)қ 15
trunk(-3.9)қ -3
2.2. расм. Баъзи операторларни ишлатган холда хисоблашларни бажаришга доир мисол
13
√ Топшириқ
+ўйидаги хисоблашларни бажаринг:
•
Хосилани аниқлаш
•
Интеграл аниқлансин
•
Кўпайтма ва йи\инди аниқлансин
y = sin x + tg 2 x учун y' ни
z = e 2 x+3 + cos x учун z(4) ни
•
3
∫
Интеграл аниқлансин
x 2 + 2 x − 3dx
2
2 xdx
∫ x 2 + 35 − 3
•
Чегаралар аниқлансин
Хисоблаш натижалари яхлитлансин.
Назорат саволлари:
1.
2.
3.
+андай қилиб киритилган операторни ўрнатиш мумкин?
Функцияларнинг асосий категорияларни санаб ўтинг.
Функцияни қандай қилиб ўрнатиш мумкин?
III лабаратория иши
Икки ўлчамли ва юзали графикларни хосил қилиш
Ишнинг мақсади: MathCAD муҳитида текисликдаги графиклар ва фазовий диаграммаларни
тузишни ўрганиш.
Лаборатория ишини бажариш услуби:
10. Ишнинг назарий қисми иши билан танишув: Диаграмма асбоблар панели асосий буйруқларни ўрганиш.
11. Ўз варианти номерингизга мос топшириқни танлаш.
12. +ўйдагилардан ташкил топган хисоботни бажариш:
• лаборатория иши конспекти;
• бажарилган топшириқ натижаси билан.
13. Назорат саволларга жавоб бериш.
Назарий тушунтиришлар
Графика типини танлаш
Функцияни ўрнатишни икки усулда амалга ошириш мумкин.
1 усул. Математика асбоблар панелида
графика асбоблар панели тугмасини босинг
ишчи варо\ида пайдо бўлувчи диаграмма панели очилади.
14
ва
2 усул. Асосий менюнинг Вставка бўлими ичида график банд пайдо бўлувчи (3.1 расм) менюни чақиришни амалга
оширади. Графикларни тузатишдаги пайдо бўлувчи меню турли типли
графикларни тузатишнинг бир қатор бўлим ларини ўз ичига олади.
• Х-У координата ёки Shift+@ тугмалар комбинациясини босиш
декартова графикини тузишни амалга оширади;
• Полярнўе координатў (Х-У Plot) ёки Сtrl+7 тугмалар комбинациясини
босиш поляр графикани тузишни амалга оширади;
• Мастер 3D координат …(3d Plot Wizard…) - графикларни қўриш
диалог дарчасини чақиради;
• Внешние координатў (suzface plot) ёки Сtrl+2 тугмалар комбинациясини
босиш контурли графикларни тузишни амалга оширади;
• 3D разбросаннўе координатў (3Dscarter Plot) нуқтали графикларни
тузишни амалга оширади;
• 3D координатў (3D bar plot) - стержинли графикларни тузишни амалга
3.1 расм. График тузишдагипайдо бўлувчи
оширади;
меню
• Контурнўе поля вектора (Vector Feeld Plot) – векторлар майдони
куринишдаги графикларни тузишни амалга оширади;
Икки ўлчамли графикларни тузиш
Х-У plot (двумернўй график) бўлимини танлаш ёки Shift +@ тугмалар комбинациясини босиш дакарт координат
системасида икки ўлчамли шаблони хосил қилади.
MathCAD системасидаги графиклар хужжатларни тахрирлаш дарчасида турли қийматларга эга бўлиши ва
ҳаракатланиши мумкин. MathCADнинг Декарт ва поляр координат системаларида кўпроқ тарқалган графиклар
функцияларнинг илгаридан берилмаганлиги ва бо\ланмаган ўзгарувчилар рангларини ҳосил қилишни содда ва жуда
қулай усулларини хисобга олади. Икки ўлчамли исталган f(х) функцияни тузиш учун уларнинг шаблонини чиқариш
лозим. Мисол учун, ишчи вароо\ига поляр графика шаблонини чиқариш учун Сtrl+7 тугмалар комбинациясини босиш
керак. Шундан сўнг, ордината ўки ёнида жойлашган меткада функция номини, абсцисса ўки ёнида жойлашган меткада
функция аргументини (бо\лиқ бўлмаган ўзгарувчи х ни) кўрсатинг (3.2 расм):
3.2 расм. Икки ўлчамли графикни тузиш.
Бир нечта бо\ланишлар бита графикда тузиш мумкин. Бунинг учун мос функцияларни вертикал ўқ(ордината ўқи)
ёнидаги меткага киритинг, фунциялар номини ажратинг, вергуллар орқали амалга оширилади. Графиклар турли типли ва
ранглар орқали тузилади.
MathCADда гарфиклар векторлар ва матрицалар орқали тузилади. Ҳар бир матрица элементига алохида нуқта мос
келади. Икки ўлчамли графикдаги ҳар бир нуқта ўзининг х ва уқf(х) координаталари билан характерланади, бу ерда хнуқта абсциссаси, у-нинг ординатаси. Нуқталар бир-бири билан турли чизиқлар орқали (пунктир, тўлиқ ва хоказо)
бирлаштарилади. Графикнинг бошлан\ич (тугунли) нуқталари тўқ рангли нуқталар, квадратчалар, доирачалар ва
хоказолар орқали кўрсатилиши мумкин.
Меткаларга ҳаракатланиш учун курсорни ҳаракатлантириш тугмалардан фойдаланиш ёки сичқонча ёрдамида
бирданига меткани танлаш мумкин, яъни сичқонча кўрсаткичини керакли меткага келтириб, чап тугмани босиш кифоя.
15
3.3 расм. Formatting currently selected X-Y Plot диалог
дарчаси
•
•
•
•
•
•
•
Четки меткалар абсцисса ва ординаталирининг чегаравий
қийматларини кўрсатиш учун хизмат қилади, яъни улар графикнинг
масштабларини белгилайди. Агар бу меткалар тўлдирилмаса,
координата ўқлари масштаблари автоматик равишда ўрнатилади.
Олдиндан автоматик масштаблаш сўнгра эса масштабни кераклигига
ўзгартириш тавсия қилинади.
Автоматик хисоблаш режимида графикни тузиш учун курсорни
график объекти ташқарисига келтириш лозим. +ўлда ҳисоблашларни
бажариш режимида ишлаш учун F9 тугмаси босилади. Берилганларни
график параметирлари орқали ўзгартириш лозим. Бунинг учун,
графикни танлаш ва уни сичқонча курсорни доирачага ўрнатиб, чап
тугмачани икки марта босиш керак. Анна шунда Formatting
currently selected x-y Plot (танланган х-у графигининг жорий
форматлаш) икик ўлчамли гарфиги параметирларини ўзгартириш
диалог дарча пайдо бўлади. (3.3 расм)
Formatting currently selected x-y Plot диалог дарчасини бошқа
йўл билан ҳам чиқариш мумкин. График дарчасида сичқонча ўнг
тугмасини босинг. Кониекстга бо\лиқ меню пайдо бўлади, унда
Format… (форматлаш) банди чертилади. Formatting current selected xy Plot диалог дарчаси график режимини танлайдиган байро\чалар
тўпламидан ташкил топади:
• Log scale (логарифмик шкала) – ўқ бўйича логарифмик шкалани
ўрнатиш;
Grid lines (чизиқлар сектаси) – ўқ бўйича ёрдамчи чизиқларни ўрнатиш;
Numbered (номерланган)- ўқни номерлаш;
Autoscale (автомаштаб)- ўқни автомаштаблаш;
Show markers маркерлашни кўрсатиш - ўқ бўйича меткаларни кўрсатиш режимини ўрнатиш;
Avto grid (автосетка)- ўқ бўйича автосеткани ўрнатиш;
Number of grids (сетка ўлчами)- ўқ бўйича сетка ўлчамини ўрнатиш;
Equal scales (тенг масштаб)- ўқ бўйича тенг масштабларни ўрнатиш;
Formatting currently selected X-Y Plot диалог дарчаси, шунингдек бир қатор график ўқлари тасвири сиртини
танлаш ўзгартиргичларни ўз ичига олади:
• Boxed (обрамлаштириш)- графикни рамкада ўқларсиз чиқариш;
• Crossed (ўқлар билан)- графикни рамкасиз ва ўқлар билан чиқаради;
• None (хеч нарса)- графикни рамкасиз ва ўқларсиз чиқаради.
Графикни хужжат ишчи майдони бўйича ҳаракатлантириш мумкин. Бунинг учун, сичқонча чап тугмасини босиш
орқали, графикни белгилаб олиш керак. Натижада, графикни тўлиқ қоплаган рамка хосил бўлади. Шундан сўнг, сичқонча
кўрсаткичини рамкага тў\риланг, қачон бармоқча тасвири кафт пайдо бўлса, сичқонча чап тугмасини босинг ва уни
ушлаб турган холда сичқонча билан графикни хам ҳаракатлантиринг.
Шунингдек, сичқонча кўрсаткичини график яқинига келтириб ва чап тугмани босган холда диагонал бўйича
график томон сичқончани ҳаракатлантириш мумкин. Курсор, пунктир чизиқларидан иборат тў\ри тўрт бурчак холидаги
белгиланиш сохани кўрсата бошлайди. +ачонки ана шу соха графикни тўла қопласа ва у пунктир холидаги тў\ри тўрт
бурчак билан эгаллансагина сичқонча тугмасини қўйиб юбориш керак. График белгиланади, фақат пунктир рамка билан.
Сўнгра график курсорни, график сохани белгиловчи, рамкага келтиради. Шунда курсор тасвири ўзгаради ва у кичкина
қизил крестча ўрнига бармоқ тасвири кафтга айланади. Энди сичқонча чап тугмасини босиб туриб харакатлантирсак, у
холда график шаблони тўлалигича ойна бўйича ҳаракатланади. Уни керакли жойга ўрнатиб, сичқонча тугмасини қўйиб
юборинг. График янги жойда пайдо бўлади.
Расм ўлчамларини ўзгартириш учун график курсорини рамкадаги махсус меткага аниқлик билан келтирилиши
керак. Бу меткалар кичкина қора тўрт бурчаклар кўринишида бўлади. Ушбу холда курсор тасвири, қайси йўналишда
график ўлчамини ўзгартиришни кўрсатувчи, икки томонлама стрелкага алмаштирилади. Сичқонча чап тугмасини босиш
орқали мос томонини ёки расим шаблони бурчагини эгаллаш ва тугмани қўйиб юбормаган холда шаблон рамкасини
чўзиш ёки сиқиш мумкин. Тугмача қўйиб юборилгач, расим янги ўлчамларга алмашади. График ўлчамларини вертикал,
горизонтал ва диагонал йўналишларда ўзгартирилиши мумкин.
Графикни исталган белгилаш кўринишида F3 тугмани босиш графикни маълумотларни алмаштириш буферига
юборади. Курсорни янги жойга суриб ва F4 тугмани босиб графикни ўша жойга ўрнатиш мумкин.
График номини ва езуви Х ва У ўқларига киритиш қуйидагиларни амалга ошириши керак:
• график сохасида сичқонча чап тугмасини икки марта босинг. Formatting currently selected x-y plot икки ўлчамли
график параметирларини ўзгартириш диалог дарчаси пайдо бўлади;
• Labels бандини танланг ва Title (сарлавха) бўлимидаги матн майдонига номини киритинг;
• сарлавха график устига еки тагига жойлаштириш учун Title бўлимидаги Above (устига) еки Below (тагига)
ўзгартиргичлари доирачаларни чертинг;
• Title бўлимидаги Show title (сарлавхани кўрсатиш) байроқчасини чертинг;
16
езувларни киритиш ва мос матн майдонларига уларни тушириш учун Axis habels (ўқлар бўйича езувлар)
бўлишидаги Х-Axis ва У-Axis байроқчаларини чертинг;
• OK тугмасини чертинг;
Ёзувларни рус тилида амалга ошириш учун мос шрифт тугмаларини ишлатиш лозим. Матнни киритиш жараенида
шрифтни ўзгартириш мумкин эмас.
•
Текислик графигини тузиш
Surface (текислик графиги) бўлими еки Ctrl+2 тугмалари комбинацияси босиш учун ўлчамли графикни тузиш
шаблонини хосил қилади (3.4 расм). Z(X,Y) текислиги графигини тузишдан олдин уларни дастлаб М матрицанинг Z
ординатаси кўринишида тасвирлаш лозим.
3.4 расм. Текислик графигини тузиш.
Шаблоннинг чап паст бурчагида М матрицани киритиш меткаси жойлашган. Уч ўлчовли текисликларни
тасвирлаш кўплаб факторларга бо\лиқ: тузиш масштаби, ўққа нисбатан фигурани буриш бурчаги, кўринмас чизиқларни
олиб ташлаш алгоритмини ишлатиш ёки уни рад этиш,
фукционал бўяшни ишлатиш ва хоказо.
График, фақатгина фигура баландликлари
координаталаридан ташкил топган матрицалар асосида
тузилганлиги сабабли, амалда X ва Y ўқлари бўйича
хақиқий масштаблари ноаниқ бўлади ва расмда улар
қўйилмайди. Шу билан бирга, фигуранинг табий
кўринишига эга бўлиши ва фазода керакли ўрини
эгаллаши учун X ва Y векторларнинг хосил
қилинишини кузатиб туриш лозим. Булар керакли
кўринишдаги уч ўлчамли фазода тезда график хосил
қилишни бир мунча қийинлаштиради.
Бошлан\ич график параметирлари ўзгартириш
мумкин. Бунинг учун графикни белгилаш ва уни
сичқонча курсори сохасига ўрнатиб, чап тугмани икки
марта босинг. Формат 3-D Координат диалог дарчаси
пайдо бўлади (3.5. расм). Plot I Display as график
панелида ўзгартиргич Surface позициясига ўрнатилади.
3-D Plot Format диалог даочаси саккизта аниқлагичлар
ва график тузиш режимларини танлаш учун кўплаб
байроқчалардан ташкил топади. Хозир 3.5. расмда
кўрсатилган General (Умумий) номли биргина
аниқлангични кўриб чиқиш билан чегараланамиз. View
3.5. расм. Формат 3-D Координат диалог дарчаси
17
(Посмотреть) бўлимидаги (0, 35, -10) биринчи сонлар комплекти фазодаги график қайси бурчак остида кўрнишини
билдиради.
Axes Style (стиль осей) бўлимида бир қатор ўзгартиргичлар ва график тасвирлари ўлчамлари стилини танлаш
байроқчалари жойлашади:
• Perimeter (Периметр) - график ўлчамларини периметри бўйича чиқаради.
• Coner (Угол) - график ўлчамларини ўқлари бўйича чиқаради.
• None (Ничего) - графикни ўлчамларсиз параметирлари ва ўқлари бўйича чиқаради.
• Equal Scales (Равнўй масштаб) - графикни ўқлар буйича тенг масштабларда ўрнатилади.
• Frames (рамки) - бандида графикни обрамланиши аниқланади.
• Show Border (показать границў) - графикни чегараларини кўрсатади.
• Show Box (показать обрамление) - графикни параллелопипед кўринишда кўрсатади.
График номини киритиш учун қуйидагилар бажарилиши керак:
• график сохасида сичқонча чап тугмасини икки марта босиш. Формат 3-D координат 3 ўлчамли график
параметрларини ўзгартириш диалог дарчаси пайдо бўлади;
• Title (заголовок) кўринишини танланг ва Graph Title (заголовок графика) банди матн майдонига график номини
киритинг;
• Graph Title бандининг Above (над), blow (ниже) еки Hide (скрўть) ўзгартиргичлари байроқчаларини график
устига, тагига ёки уни беркитишда сарлавхаларни жойлаштириш учун чертинг;
• Ok тугмасини чертинг.
Plod I Display As (График 1. Показать как) ўзгартиргичлар панелида 3 ўлчамли графикнинг бирор формасини танлаш
мумкин:
 Surface Plot (график поверхности)
 Data Points (точнўй график)
 Bar Plot (столбчатўй график)
 Contour Plot (контурнўй график – тенг босқичдаги чизиқлар)
 Vector Field Plot (график векторного поля)
 Patch Plot (график из отдельнўх элементов)
3.6. расмда фазовий график тасвирланишининг бир неча турлари берилган.
3.6. расм. Фазовий график тасвирланишнинг бир неча турлари.
√ Топшириқ
+уйидаги созлагичларни қўллаган холда график ва диаграмаларни тузинг.
вариант №
1
Икки ўлчамли графикни тузиш
Фазовий графикни тузиш
y = x + 2 x + 6,
x ∈ [0;8]
M ( x, y ) = cos 2 x + sin 5 y
2
y = x2 + 6x − 7 ,
x ∈ [2;12]
N ( x, y ) = x 3 + y 2
3
y = x3 + x 2 + 7 x + 6 ,
3
D( x, y ) = tgx + cos 2 x
x ∈ [1;20]
18
4
y = sin( 25 x − 5),
x ∈ [0;1]
5
y = 27 xsin( 25 x −1) ,
x ∈ [0;2]
6
y = 72 − 5 x 2 ,
x ∈ [1;16]
25
x ∈ [1;3]
z = 2 + 7 x + 6,
x
33 7
f = 3+ ,
x ∈ [1,5;2,5]
x
2x
7
8
e x + e2 y
2
F ( x, y ) = cos 2 x + sin 2 y
L ( x, y ) =
T ( x , y ) = sin x + cos y
R ( x, y ) =
3
9
y = (7 x + 6) 2 ,
10
y = 65 − x 2 + 8 x,
x ∈ [0;30]
1
d = 35a + + 7 a 2 , a ∈ [0;20]
a
k = 86 ln(7 x + 2),
x ∈ [0;25]
11
12
13
ω = 3 7k + 8k 2 ,
14
k = 3α − 8α 2 − 9,
15
z = t3 + 4 − t2 ,
x2 y 2
+
6
8
3
 x  y 
U ( x, y ) =   +  
 9   12 
W ( x, y ) = 7 sin 3 x + 10 cos3 y
V ( x, y ) = tgx + y sin y
x ∈ [0;70]
E ( x, y ) = 3 x 2 + y 2
A( x, y ) = x 2 y 2
C ( x, y) = 3 x 4 + y 4
k ∈ [0;5]
α ∈ [0;8]
A( x, y ) = 5 x 2 + 6 y 3
J ( x, y ) = 25 x 2 + 40 y + 7
t ∈ [1;2]
Назорат саволлари:
1.
2.
3.
4.
5.
Графикни қандай усулар билан тузиш мумкин?
Икки ўлчамли график тузиш принципини тушунтиринг?
Икки ўлчамли графикни форматлаштириш қандай амалга оширилади?
Фазовий график тузиш принципини тушунтиринг?
Фазовий графикни форматлаштириш қандай амалга оширилади?
VI лабаратория иши
Ифодани ўзгартириш
Ишнинг мақсади: MathCAD муҳитида ифодаларни ўзгартириш усулини ўрганиш.
Лаборатория ишини бажариш услуби:
14. Ишнинг назарий қисми билан танишиш.
15. Символьная асбоблар панели асосий буйруқларини ўрганиш.
16. +ўйдагилардан ташкил топган хисоботни бажариш:
• лаборатория иши конспекти;
• бажарилган топшириқ натижаси билан.
17. Назорат саволларга жавоб бериш.
Назарий тушунтиришлар
Символьная (Symbolic) асбоблар панели
Symbolik (Символў) асбоблар панели қўйидаги йигирма тўрт тугмаларни
сўз-символли операторлар ) ўз ичига олади (4.1-расм):
йўналтирилган ўнга стрелка тасвирли тугма, оддий символли
ўзгартиришни амалга ошириш шаблонини чақиради. Бу шаблонни кўпинча
19
(калитли
символли
чиқаришнинг содда оператори деб хам номланади. Шаблони чақиришни Ctrl+.(нуқта) тугмалар комбинациясини босиш
орқали хам бажариш мумкин;
ўнга йўналтирилган ва стрелка олдида метка тасвирли тугма ифодаларни киритиш шаблонини чақиради. Уни
кўпинча символли чиқаришнинг кенгайтирилган оператори деб ҳам номланади. Ифодаларни киритишни Ctrl + Shift + .
(нуқта) тугмалар комбинациясини босиш орқали ҳам бажариш мумкин;
Modifiers калит сўзли тугма модификацияланган буйруқли пайдо бўлувчи менюни чақиради;
float калит сўзли тугма сузиб юрувчи нуқта форматли сонларни чиқариш шаблонини чақиради;
complex калит сўзли тугма комплекс формадаги сони чиқариш шаблонини чақиради;
assume калит сўзли тугма ўзгарувчиларга ноаниқ қийматни
ўзлаштириш, агар уларга бунгача сон қийматлари ва ўзгарувчилар қийматлари
чегаралари берилган бўлса ҳам, шаблонини чақиради;
4.1 расм. Символьная
асбоблар панели
solve калит сўзли тугма белгиланган ўзгарувчига нисбатан тенгламани
шаблонини чақиради;
ечиш
simplify калит сўзли тугма ифодани соддалаштириш шаблонини чақиради;
substitute калит сўзли тугма ифодани ўрнига қўйиш шаблонини чақиради;
factor калит сўзли тугма ифодани сода касрларга ажратиш шаблонини чақиради;
expand калит сўзли тугма ифодани даражалар бўйича ажратиш шаблонини чақиради;
coeffs калит сўзли тугма полином коэффициентларини аниқлаш шаблонини чақиради;
collect калит сўзли тугма фрагментлар бўйича йи\иш шаблонини чақиради;
series калит сўзли тугма ифодани берилган аниқликда Тейлор қаторига ёйиш шаблонини чақиради;
parfrac калит сўзли тугма ифодани элементар касрларга ажратиш шаблонини чақиради;
fourier калит сўзли тугма Фурье ўзгартиришни тў\ридан-тў\ри бажариш шаблонини чақиради;
laplace калит сўзли тугма Лаплас ўзгартиришни тў\ридан-тў\ри бажариш шаблонини чақиради;
ztrans калит сўзли тугма z-ўзгартиришни тў\ридан-тў\ри бажариш шаблонини чақиради;
invfourier калит сўзли тугма тескари Лаплас ўзгартиришини бажариш шаблонини чақиради;
invlaplace калит сўзли тугма тескари Лаплас ўзгартиришини бажариш шаблонини чақиради ;
invztrans калит сўзли тугма тескари z-ўзгартиришини бажариш шаблонини чақиради;
Мт → ҳарфлари комбинацияси тасвирли тугма матрицани транспонирлашни бажариш шаблонини чақиради;
М-1 → ҳарфлари комбинацияси тасвирли тугма матрицани инвертлашни бажариш шаблонини чақиради;
M → кўриниш тасвирли тугма матрица аниқланувчисини хисоблашни бажариш шаблонини чақиради;
Операторларни (калитли сўзларни) кичик ҳарфларда териш лозим (фақат modifier нинг биринчи харфи бош
ҳарфда). MathCAD нинг янги версияси директивалари барча турдаги эркин ўзгартиришларни ўз ичига олади.
4.3 расмда символли операторлар ёрдамида математик ифодаларни ўзгартириш натижалари келтирилган
(complex, solve, substitute, expand, coeffs, series, collect, laplace (тў\ридан-тў\ри Лаплас ўзгартириш) invlaplace (тескари
Лаплас ўзгартириш), fourier (Фурье ўзгартириш), invfourier (тескари Фурье ўзгартириш), ztrans (z-ўзгартириши),
invztrans (тескари z-ўзгартириш) калитли сўзлар).
Modifier асбоблар панели
Modifier (модификатор) асбоблар панели қуйидаги (4.2 расм) тўртта тугмадан иборат:
калит сўзли тугма берилган қийматни модификациялаш учун калитли
визир ўрнига жойлаштиради;
сўзни
калит сўзли тугма ўзгарувчига ҳақиқий қиймат ўзлаштиради. Мисол
aқreal кўринишли езув а - ўзгарувчи ҳақиқий сон эканлигини билдиради;
учун,
калит сўзли тугма ҳақиқий сон сохасини аниқлайди.
Мисол учун , cқreal range (a,b) кўринишли езув с ўзгарувчиси қиймати а ва в
ўзгарувчилари қийматлари орасида эканлигини билдиради;
20
4.2 расм. Modifier
асбоблари панели
калит сўзли тугма тригонаметрик функциялари аниқлайди.
4.3 расм. Айрим символли операторлар қўллаш натижалари
√ Топшириқ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
6 2 − 8 2 сони комплекс формада чиқаринг.
bқd+r, cқd/r, aқr-d ларда ах2 +bx +c2 ифодани қўллашни бажаринг.
sin 3x+cos 2x ифодани даражалар бўйича ейинг.
+ўйидаги d(x2+7)+a (x4+2x3)+x2+5 ифодани х ўзгарувчига нисбатан фрагменти бўйича йи\инг.
cos3 z функцияни Тейлор қаторига ейинг.
cos x3 га Лаплас ўзгартиришини бажаринг.
7.
S3
га тескари Лаплас ўзгартиришини бажаринг.
( S + a 2 ) ⋅ ( S + a)
1+х га Фурье ўзгартиришини бажаринг.
w
9.
га тескари Фурье ўзгартиришини бажаринг.
( w − 1) 2
10. n4+5 га z-ўзгартиришини бажаринг.
8.
11.
Z 6 + 3 Z 5 + 20 Z 4
( Z − 7) 6
га тескари z-ўзгартиришини бажаринг.
Назорат саволлари:
1.
2.
3.
Символьная асбоблар панели ёрдамида қандай ўзгартиришлар бажариш мумкин?
Ўзгартиришни бажариш жараенини изохланг.
Бир ифодага бир нечта ўзгартиришларни ишлатиш мумкинми?
21
V лабаратория иши
Тенгламаларни ечиш
Ишнинг мақсади: MathCAD мухитида алгебраик ва трасцедент тенгламаларни ечишни ўрганиш.
Лаборатория ишини бажариш услуби:
18. Ишнинг назарий қисми билан танишиш: асосий буйруқ ва функцияларни ўрганиш
19. +уйидаги таркибда хисобот тайерлансин:
• лаборатория иши конспекти;
• бажарилган топшириқ натижаси билан.
20. Назорат саволларга жавоб беринг.
Назарий тушунтиришлар
Квадрат тенглама ва полиномлар илдизларини аниқлаш
MathCAD асосий менюсидаги Символная математика бўлими орқали очиладиган Переменнўе банди
активлаштирилганда пайдо бўлувчи меню очилади. У ўзгарувчилар билан у еки бу операцияларни бажариш учун хизмат
қилади.
Пайдо бўлувчи менюнинг Решить бўлими ёрдамида белгиланган ўзгарувчига нисбатан тенглама (тенгсизликлар)
ечилади, яъни ўзгарувчиларнинг шундай қийматларини излаш олиб бориладики, бунда бошлан\ич ифода нольга тенг
бўлсин. Бу бўлим белгиланган х ўзгарувчига, F(х)қ0 бўлганда, символли қийматни қайтаради. Бу алгебраик
тенгламаларни ечишда жуда қулай, масалан, квадратик ва кубик, еки полином илдизларини хисоблашда 5.1 расм квадрат
тенгламаларини ечиш ва тўртинчи даражали полином комплекс илдизларни аниқлашга мисоллар келтирилган.
5.1 раcм. Пайдо бўлувчи менюнинг Решить банли ишлатилиши натижалари
Алгебраик ва системали тенгламаларни ечиш фунциялари
find(x,y,...) - тенгламарни ечиш блокида аниқланган тенглама ва тенгсизликлар шартларини қониқтирувчи х, y…
лар қийматларини қайтаради. Тенгламалар сони номаълумлар х,у … сонига тенг бўлиши керак. Тенгламаларни ечиш
блоки бир номаълумни излаётган вақтида излаш функциясини скалярни қайтаради. +олган холатларда эса у, биринчи
элементи кидирилаетган х, иккинчиси у ва х.к.з бўлган векторни қайтаради. Бу функцияни ишлатишдан олдин хар бир
ноъмалумларнинг бошлан\ич яқинлашуви берилиши шарт. Агар системанинг бир нечта ечими бўлса, топилган берилган
бошлан\ич орқали аниқланади.
Maximize(f, var1, var2, ...) - f функциянинг максимал қийматини таъминловчи var1, var2, ... қийматларини
қайтаради. Ушбу функцияни ишлатишдан олдин хар бир ноъмалум учун бошлан\ич яқинлашувни ва, агар
чегараланишлар берилган бўлса, у холда Given калитли сўзини бериш лозим.
22
Minerr(x, y, ...) - тенгламалар системасини ечимига жуда яқин бўлган х, у … қийматларини қайтаради, бу ерда
тенгламалар системасида қидирилаётган х,у… скаляр ўзгарувчилар қийматидир. Агар бита номаълум қидирилаетган
бўлса, Minerr функцияси скалярни қайтаради. қолган холларда, биринчи элементни қидирилаетган ноъмалум х, иккинчи
у ва ҳоказо қийматлари учун векторни қайтаради. Ушбу функцияни ишлатишдан олдин ҳар бир ноъмалум учун
бошлан\ич яқинлашувчи ва Given калитли сўзни бериш лозим. Агар сисетма бир нечта ечимга эга бўлса, у холда
изланаетгани берилган бошлан\ич яқинлашув орқали аниқланади.
Minimize(f, var1,var2, ...) - f функциянинг минимал қийматини таъминловчи var1, var2... қийматларини қайтарали.
Ушбу функциянинг ишлатилишидан олдин ҳар бир ноъмалум учун бошлан\ич яқинлашувини ва, агар чегаранишлар
берилган бўлса, у хода Given калитли сўзни бериш лозим.
Polyroots(V) - полином илдизини топади ва коэфецентларни Vда жойлашган, ҳамда барча илдизларидан ташкил
топган векторни қайтаради. Дастлабки полином коэфецентларини вектор кўринишида берилиши шарт. (5.2 расм).
5.2 расм. Бир номаълумли тенглама илдизларини график усулида ва polyroots функцияси ердамида аннақлаш
root(f(x),x) - бир номаълумли тенглама илдизларини аниқлаш f(x) функцияси нольга тенг бўлган х қийматини
қайтаради root функцияси ишлатилиши дастлаб бошлан\ич яқинлашувни берилишини талаб қилади. Агар
кўрилаетган функция бир нечта илдизлардан иборат бўлса, у холда топилган бошлан\ич яқинлашувига бо\лиқ
бўлади. Агар у f(x) функция локал экстремумига яқин бўлса, у холда root илдизни топилмаслиги ёки у бошлан\ич
яқинлашувидан узоқда бўлиши мумкин. Бир номаълумли ҳар қандай тенглама қуйидаги куринишда бўлади:
f(x)қg(x). Уни шундай ўзгартириш мумкинки, натижада тенгламанинг ўнг қисми нольга тенг бўлади: f(x)-g(x)қ0.
5.3 расм бир номаълумли чизиқсиз тенгламанинг график усулида ва киритилган root(f(x),x) функция ердамида
берилади.
23
5.3 расм. Бир номаълумли чизиқсиз тенглама илдизини график усулила
ва root(f(x),x) функцияси ердамида аннақланади.
√ Топшириқ
1
2
3
Пайдо бўлувчи Решить менюси ва
polyroots функцияси ёрдамида
теннгламани ечинг
x3 + 3x + 1 қ 0
3
5x – 3x2 + 6x – 2 қ 0
x4 – 2x + 4 қ 0
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
x3 – 0.2x2 + 0.3x –1. 2 қ 0
2x3 + 1.3x2 - 12x + 3 қ 0
x3 – 0.1x2 + 0.3x – 0.6 қ 0
x4 + 12x3 + 10x – 8 қ 0
6x3 – 3x2 +12x – 6 қ 0
x4 – 3x2 + 6x – 2 қ 0
x3 + 6x2 - 7x қ 0
x4 + 2x2 + 18 қ 0
3
9x – 8x2 + 3x + 12 қ 0
x4 – 3x2 + 5 қ 0
26x2 – 15x + 6 қ 0
7x3 – 16x2 - 5x + 4 қ 0
Вариант
№
root функцияси ёрдамида чизиқсиз
тенгламани ечинг
x3 қ sin x
1-sin x қ x
x + 1 қ 1/x
2x + lg x қ - 0.5
2 sin (x- 0.6) қ 1.5 – x
5x – 8 ln x қ 8
x2 қ ln (x+1)
x + lg (1 + x ) қ 1.5
3x – ex қ 0
x2 қ sin x
sin ( 0.5 + x ) қ 2x – 0.5
lg ( 2 + x ) + 2x қ 3
x + cos x қ 1
ln x + ( x+1)3 қ 0
sin x2 қ 2 cos 3x
Назорат саволлари:
1.
2.
3.
Тенгламани ечишда кайси шарт бажарилади?
Квадрат тенглама ва полиномларини ечиш жараёнини баен қилинг.
Чизиқсиз алгебраик тенгламаларни ечиш жараёнини баен қилинг.
24
IV лабаратория иши
Тенгламалар системаларини ечиш
Ишнинг мақсади: MathCAD мухитида чизиқли ва чизиқсиз тенгламалар системаларини ечишни
ўрганиш.
Лаборатория ишини бажариш услуби:
21. Ишнинг назарий қисми билан танишиш: асосий буйруқ ва функцияларни ўрганиш
22. Символьная асбоблар панели асосий буйруқларини ўрганиш.
23. +уйидаги таркибда хисобот тайерлансин:
• лаборатория иши конспекти;
• бажарилган топшириқ натижаси билан.
24. Назорат саволларга жавоб беринг.
Назарий тушунтиришлар
Тенгламалар системаларини ечиш функциялари
R:қM-1 × V кўринишли матрицали тенглама ёрдамида чизиқли тенгламалар системасини ечишни кўрамиз.
Бунинг учун бошланишида чизиқли тенгламалар системасининг М-коэффициентлар матрицаси ва озод хадлар вектор
устуни -V ни, сўнгра чизиқли тенгламалар системасининг ўнг қисмидаги коэффициентлар устунини хосил қилинади. 6.1
расмда R:қМ-1×V матрицали тенглами ёрдамида чизиқли тенгламалар системасини ечилиши келтирилган.
6.1 расм. R:қM-1хV матрицали тенглама ердамида чизиқли тенгламалар системаси ечими
Энди Giver-Find (Берилган-топиш керак) киритилган функциялар блоки ердамида чизиқли тенгламалар
системасини ечишни кўрамиз. Бу блокни ишлатишдан олдин, оптимал ечимдан узоқ бўлса ҳам, ечимнинг бошлан\ич
яқинлашувини берамиз. Сўнгра Given функцияси ёрдамида ечилиши лозим бўлган чизиқли тенгламалар системасини
киритиш ва якунловчи босқичда Ушбу системани ечиш учун Find функциясидан фойдаланамиз. 6.2 расмда Given-Find
киритилган функциялар блоки ёрдамида чизиқли тенгламалар системасини ечиш берилган.
25
6.2 расм.Given-Find киритилган функциялар блоки ердамида
чизиқли тенгламалар системасини ечиш.
6.3 расм. Given-Find киритилган функциялар блоки ердамида чизиқсиз тенгламалар системасини ечиш
Энди Given-Find киритилган функциялар блоки ёрдамида чизиқсиз тенгламалар системасини ечишни кўрамиз.Бу
блокни ишлатишдан олдин, оптимал ечимдан узоқ бўлса ҳам, ечимнинг бошлан\ич яқинлашувини берамиз. Сўнгра Given
функцияси ёрдамида ечилиши лозим бўлган чизиқсиз тенгламалар системасини киритиш ва якунловчи босқичда ушбу
системани ечиш учун Find функциясидан фойдаланамиз. 6.3 расмда Given-Find киритилган функциялар блоки ёрдамида
чизиқсиз тенгламалар системасини ечиш берилган.
26
√ Топшириқ
+уйидаги чизиқли тенгламалар системасини икки усулда ва чизиқсиз тенгламалар системаларни ечинг.
вариант
№
Вариант чизиқли тегламалар
системаси
Чизиқсиз тенгламалар
системаси
1
 12x1 − 10x 2 + 5x 3 − 4x 4 = 3
− 3x + 11x − 16x + 8x = −5

1
2
3
4

x
x
x
x
8
−
23
−
7
+
14
2
3
4 =9
 1
 x1 − 12x 2 − x 3 + 9x 4 = 22
 4x12 − 11x 2 − 2x 3 − x 4 = 22

2
2
 15x1 + x 2 + 23x 3 = 32

2
 9x1 + 8x 2 + 12x 3 x 4 = 78
6x + 2x − x 2 + 16x = 100
2
3
4
 1
2
 10x1 − 12x 2 + 5x 3 − 4x 4 = 3
3x + 14x − 16x + 18x = −4
 1
2
3
4

x
x
x
x
8
−
26
−
7
+
14
2
3
4 =9
 1
 6x1 + 13x 2 − x 3 + 9x 4 = 20
 x12 − 11x 2 − 2x 3 x 4 = 20

2
2
 5x1 + x 2 + 23x 3 = 42

3
 9x1 + 8x 2 x 3 + 14x 4 = 88
2
6x − 2x − x + 19x = 10
2
3
4
 1
3
17x1 − 10x 2 + 5x 3 − 4x 4 = −13
 − 3x + 11x − 14x + 8x = 8

1
2
3
4

 18x1 − 3x 2 − 7x 3 + 14x 4 = 10
 − 2x1 − 12x 2 − 8x 3 + 9x 4 = 11
x1 + 13x 22 − 2x 3 − 15x 4 = 48

2
2
 5x1 + x 2 + 23x 3 = 33

3
 19x1 − 7x 2 x 3 + 14x 4 = 90
 8x x − x 2 + 19x = 78
1 2
3
4

4
 8x1 + 4x 2 − 3x 3 − 2x 4 = 11
− 3x + 11x − 16x + 8x = −9

1
2
3
4

x
x
x
x
8
−
−
7
+
14
1
2
3
4 =9

 x1 − 12x 2 + 8x 3 + 9x 4 = 21
− 3x12 − 11x 2 − 2x 3 x 4 = 23

2
2
 − 15x1 + x 2 + 453 = 65

3
 9x1 + 8x 2 x 3 + 14x 4 = 26
 6x − 2x x + 19x = 111
2 3
4
 1
5
 12x1 − 10x 2 + 5x 3 − 4x 4 = 3
− 3x + 11x − 16x + 8x = −5

1
2
3
4

 8x1 − 23x 2 − 7x 3 + 14x 4 = 9
 x1 − 12x 2 − x 3 + 9x 4 = 22
16x12 − 17x 2 + 25x 3 − x 4 = 43

5x1 + x 2 x 3 + 23x 4 = 4


2
 9x1 + 8x 2 − x 3 + 14x 4 = 28

6x1 − 18x 3 + 19x 4 = 7

6
 3x1 − 10x 2 + 5x 3 − 4x 4 = 3
− 3x + 11x − 2x + 8x = −5

1
2
3
4

x
x
x
x
8
−
2
−
17
+
14
1
2
3
4 =9

 − x1 − 12x 2 − x 3 + 7 x 4 = 8
 − 14x 2 + 12x 3 + 2x 4 = 51
 15x x + 23x + x = 82

1 2
3
4

3
x
x
x
x
−
3
+
7
+
14
1
2
3
4 = 37

2
6x1 − 2x 2 − x 3 + 19x 4 = 11
7
 12x1 − 10x 2 + 5x 3 − 4x 4 = 3
− 3x + 11x − 16x + 8x = −5

1
2
3
4

 8x1 − 23x 2 − 7x 3 + 14x 4 = 9
 x1 − 12x 2 − x 3 + 9x 4 = 22
8
 x1 − 12x 2 + 5x 3 − 4x 4 = 4
3x + 14x − 16x + 8x = −1
 1
2
3
4

x
x
x
x
−
8
−
4
−
7
+
6
1
2
3
4 =6

 x1 − 12x 2 − x 3 + 9x 4 = 2
 13x12 + 14x 2 x 3 − 4x 4 = 7

2
 − 12x1 + x 2 + 24x 3 = 34

3
 19x1 − 28x 2 + x 3 = 67
26x − x + x 2 − 19x = 84
1
2
3
4

12x1 − 24x 2 + 3x 3 − x 24 = 26

2
 13x1 − 32x 2 + 23x 4 = 45

3
 9x1 − 14x 2 x 3 + 79x 4 = 87
 6x − 2x x + 19x = 63
1
2 3
4

9
 16x1 − 10x 2 + 15x 3 − 4x 4 = 2
− 3x + 11x − 16x + 8x = −4

1
2
3
4
`

 7 x1 − 5x 2 − 7 x 3 + 14x 4 = −9
 − x1 + 18x 2 − x 3 + −3x 4 = −5
 − x12 + x 2 − x 32 + x 4 = 1

2
2
 35x1 + x 2 + 23x 3 = 99

3
19x1 + 8x 2 − x 3 + 14x 4 = 14
 x − 27x − x 2 + 17 x = 34
2
3
4
 1
10
 7x1 + 11x 2 − 5x 3 + 9x 4 = 11
 x + 13x − 8x + 9x = −4
 1
2
3
4

x
x
x
x4 = 9
8
−
15
−
7
+
7
1
2
3

− x1 − 15x 2 − 14x 3 + 9x 4 = 30
 4x12 − 13x 2 − 2x 3 x 4 = 49

2
2
45x1 − x 2 + 21x 3 + x 4 = 23

 11x1 + 8x 2 − x 3 x 4 = 100
 21x + 12x − 19x 2 = 144
1
2
4

27
1.
2.
11
 12x1 − 10x 2 + 5x 3 − 4x 4 = 3
− 3x + 11x − 16x + 8x = −5

1
2
3
4

x
x
x
x
8
−
23
−
7
+
14
2
3
4 =9
 1
 x1 − 12x 2 − x 3 + 9x 4 = 22
 13x12 − 11x 2 − 2x 3 = 23

2
 25x1 + x 2 x 4 + 3x 3 = 44

3
 49x1 + 8x 2 x 3 + 4x 4 = 85
67 x − 2x − x 2 + 21x = 71
1
2
3
4

12
14x1 − 10x 2 − 8x 3 − 12x 4 = 7
11x + 12x − 13x + 8x = 4
 1
2
3
4

−
4
x
−
6
x
+
5
x
+
9
x
1
2
3
4 = −8

 − 2x1 − 13x 2 + 6x 3 + x 4 = 17
13
 7x1 − 6x 2 + 3x 3 − 12x 4 = 10
 13x + 10x − 14x + 8x = 9

1
2
3
4

18
x
−
2
x
+
7
x
+
4
x
=
−13
2
3
4
 1
 15x1 − 2x 2 − 3x 3 + 8x 4 = 9
 2x1 − 11x 32 − 2x 3 − 8x 4 = 72

2
2
 83x1 + x 2 + 23x 3 = 44

3
2
38x1 + 7 x 2 − x 3 + 14x 4 = 54
 16x x − 4x 2 + 19x = 104
1 2
3
4

23x12 − 11x 2 − 2x 3 x 4 = 122

2
2
 − x1 + x 2 + 2x 3 = 43

3
 9x1 − 8x 2 x 3 + 4x 4 = 76
 x − 2x − x 2 + 19x = 98
2
3
4
 1
14
 21x1 − 10x 2 + 5x 3 − 4x 4 = 13
− 3x + 11x − 6x + 8x = −3

1
2
3
4

x
x
x
x
28
−
21
+
8
+
14
1
2
3
4 =9

 5x1 − 12x 2 − x 3 + 9x 4 = 27
 x12 − 11x 2 − 2x 3 x 4 = 20

5x1 + x 2 + x 3 x 4 = 41


3
9x1 + 8x 2 − 8x 3 + 14x 4 = 27
7 x + 7 x − 4x 2 + 19x = 13
2
3
4
 1
Матрицали тенглама ёрдамида чизиқли тенгламалар системасини ечишни тушунтиринг.
Given-Find блоки ёрдамида тенгламалар системаси қандай ечилади?
VII лабаратория иши
Дифференциал тенгламаларини ечиш
Ишнинг мақсади: MathCAD мухитида биринчи тартибли дифференциал
тенгламаларни ечишни ўрганиш
Лаборатория ишини бажариш услуби:
25. Ишнинг назарий қисми билан танишиш: асосий буйруқларни ўрганиш
26. +уйидаги таркибда хисобот тайерлансин:
• лаборатория иши конспекти;
• бажарилган топшириқ натижаси билан.
27. Назорат саволларга жавоб беринг.
Назарий тушунтиришлар
Оддий дифференциал тенгламаларни ечиш функцияси
r даражали оддий дифференциал тенглама деб f(x,y’(x),y’(x),…,y(x))қ0 кўринишдаги тенгламага айтилади, у
мустақил х ўзгарувчини, қидирилаетган уқу(х) фунуцияни ва унинг у’(х),…уr(х) хосилаларини бир бирига бо\лайди.
Оддий дифференциал тенгламалар системаси деб, мустақил х ўзгарувчини қидирилаетган уқу(х), уқу(х),…
функция ва уларни хосиласини бир-бирига бо\ловчи, f i (x; у 1 (х), у 2 (х), ..., у’ 1 (х), у' 2 (х), ...) қ 0, (i қ 1, 2,...), кўринишдаги
тенгламалар системасига айтилади.
rkfixed(у,х1,х2,n,F)-чегараланган интеграллаш қадамлик, тўртинчи даражали оддий дифференциал тенгламалар
системасини Рунге-Кутт усулида ечимли натижалари жадвалини чиқаради. Бу функция бешта аргументдан иборат:
У - қидирилаётган функция бошлан\ич қийматлари вектори;
Х1 - мустақил ўзгарувчининг бошлан\ич қиймати;
Х2 - мустақил ўзгарувчининг охирги қиймати;
n- интеграллаш қадамининг чегараланган сони;
f- символ кўринишли векторда ёзилган тенгламалар системасининг ўнг қисми.
rkfixed(у,х1,х2,n,F) функция натижалар ечими жадвалини c(m+1) устунлар ва n қаторлар шаклида чиқаради.
Жадвалнинг нолинчи устинли – бу мустақил ўзгарувчи х нинг жорий қийматидир. Улар х1, x2, n орқали аниқланади.
Ечимнинг кейинги устунлари х аргументининг мос жорий қийматлари учун қидирилаетган у(х), у(х) ,… ларнинг
ордината қийматларини аниқлайди.
28
7.1. расмда rkfixed(у,х1,х2,n,F) функция ёрдамида биринчи даражали оддий дифференциал тенгламаларини
ечиш операцияси кўрсатилган. Бу тенглама яққол Коши кўринишидаги оддий дифференциал тенгламалар системаси
кўринишида берилган.
Ечиш жараенига таергарликнинг биринчи қадами – тенгламалар системаси ўнг қисмининг символ кўринишдаги F
вектор шаклида езилган холда ташкил қилиш.
Иккинчи қадамда қуйидагилар аниқланади.
• изланаетган у функция бошлан\ич қийматлари вектори;
• мустақил ўзгарувчининг бошлан\ич ва охирги қиймати изланаетган жараенинг давом этиш вақти t1 ва t2;
• интегралаш қадамининг белгиланган қиймати n.
Учинчи қадамда ечим натижасини кўрсатишнинг икки усули мавжуд: график ва жадвалик кўринишдаги 7.2 расмда
rkfixed(у,х1,х2,n,F) функцияси ёрдамида система ечими натижаларини кўрсатишнинг график усули берилган.
7.1. расм rkfixed функцияси ёрдамида дифференциал тенгламаларини ечишга таергарлик
29
7.2 расм. Дифференциал тенглама ечими натижаларини график
ва жадвал кўринишида тасвирлаш.
rkfixed(у,х1,х2,n,F) функцияси ёрдамида оддий дифференциал тенгламаларнинг ечими натижаси MathCAD да
жадвал, аниқ холда тузилган матрица, кўринишда келтирилган. Бунда жадвалнинг (матрицанинг) биринчи устуни
мустақил ўзгарувчининг ҳар бир интегралаш қадамидаги қийматларин ўз ичига олади. Иккинчи устун -берилган
мустақил ўзгарувчининг ҳар бир интеграллаш қадамидаги қийматларида биринчи қидирилаётган функциянинг
қийматларини, учинчи устун- иккинчи қидирилаётган функция қийматларини ва хоказо. Агар дифференциал
тенгламалар системаси ечими натижаларини, мисол учун, Z матрицага берсак, у ҳолда мустақил ўзгарувчининг ҳар бир
интеграллаш қадамидаги қийматлари, Z j,1 матрицанинг устунида ёзилади, бу ерда j индекси кўрилаётган қийматлар
сонини белгилайди ва у олдиндан маълум бўлиши керак.
Берилган мустақил ўзгарувчининг ҳар бир интеграллаш қадамидаги қийматлари учун биринчи қидирилаётган
функция қийматлари Z j,2 матрицанинг иккинчи устунига ёзилади. Иккинчи қидирилаётган функция қийматлари Z j,3
матрицанинг учинчи устунига ёзилади ва хоказо. Мустақил ўзгарувчи ва унга мос қидирилаётган функция қийматларини
билган холда 7.2 расмда кўрсатилганидек, уларни график кўринишида тасвирлаш мумкин бўлади.
Асосий менюдаги Insert (Вставка) бўлими ичига кириб Graph (График) бандини чертинг. Ҳосил бўлган менюда
Х-У Plot (График X-Y) бандини чертинг. Визир ўрнатиш жойида декарт графикини тузиш шаблони пайдо бўлади. Ана
шу операцияни тезроқ бажариш мумкин, бунинг учун @ тугмасини босиш кифоя. Абцисса ўқи остидаги меткага
мустақил ўзгарувчи қиймати бўлиши Z j,i векторни киритинг. Ордината ўқи чап томонидаги меткага (Z j,1 , Z j,2 …)
қидарилаётган функция қиймати векторни киритинг.
7.2 расм rkfixed(у,х1,х2,n,F) функцияси ёрдамида дифференциал тенгламалар системаси ечими натижалари
жадвал кўринишида берилган.
Илова: дифференциал тенгламани ечишда Z ўзгарувчи қандай ҳарф билан ёзилиши ахамият касб этади. Мисол
учун, агар сиз ўзгарувчини бош ҳарфда ёзсангиз, у холда хамма жойда уни бош ҳарфда ишлатиш зарур.
30
√ Топшириқ
Дифференциал тенгламани ечинг.
вариант №
1
2
Тенглама
y ′ = x + cos
y ′ = x + sin
3
y ′ = x + cos
4
y ′ = x + sin
y
Бошлан\ич шартлар
x ∈ [1.2; 2.2] n қ 10 y 0 (1.2) қ 1.4
0.7
y
x ∈ [0.5; 1.5]
n қ 10 y 0 (0.5) қ 0.6
0.3
y
x ∈ [0.1; 1.1]
n қ 10 y 0 (0.1) қ 0.8
1.5
y
x ∈ [0.2; 1.2]
n қ 10 y 0 (0.2) қ 1.1
x ∈ [0.5; 1.5]
n қ 10 y 0 (0.5) қ 1.8
x ∈ [0.6; 1.6]
n қ 10 y 0 (0.6) қ 1.2
x ∈ [1.1; 2.1]
n қ 10 y 0 (1.1) қ 1.5
x ∈ [0.8; 1.8]
n қ 10 y 0 (0.8) қ 1.3
x ∈ [1.4; 2.4]
n қ 10 y 0 (1.4) қ 2.5
x ∈ [1.4; 2.4]
n қ 10 y 0 (1.4) қ 2.4
x ∈ [1.7; 2.7]
n қ 10 y 0 (1.7) қ 5.3
x ∈ [0.5; 1.5]
n қ 10 y 0 (0.5) қ 0.6
1.3
y
y ′ = x + cos
1.25
y
y ′ = x + sin
11
y
y ′ = x + cos
3
y
y ′ = x + sin
2
y
y ′ = x + cos
e
y
y ′ = x + sin
2.8
y
y ′ = x + cos
π
y
y ′ = x + sin
7
5
6
7
8
9
10
11
12
Назорат саволлар:
1.
2.
3.
4.
r тартибли дифференциал тенглама деб нимага айтилади?
rkfixed функциянинг ташкил этувчилари нимани англатади?
Дифференциал тенглама натижаларини қайси кўринишларда чақириш мумкин?
Жадвалнинг ҳар бир устунларида қандай қийматлар кўрсатилган?
VIII лабаратория иши
Векторлар ва матрицалар билан ишлаш
функциялари
Ишнинг мақсади: MathCAD мухитида векторлар ва матрицалар билан ишлаш функцияларини ўрганиш
Лаборатория ишини бажариш услуби:
28. Ишнинг назарий қисми билан танишиш: векторлар ва матрицалар билан ишлаш асосий функциялари билан
танишиш
29. +уйидаги таркибда хисобот тайерлансин:
• лаборатория иши конспекти;
• бажарилган топшириқ натижаси билан.
30. Назорат саволларга жавоб беринг.
Назарий тушунтиришлар
Асосий функциялар
31
augment(A,B) - В матрицани А матрицанинг ўнг томонига жойлаштириш натижасида ҳосил бўлган матрица. А
матрица ва В матрица бир хил сонли қаторлардан иборат бўлиши керак.
cols(M) – М матрицанинг устунлари сони.
eigenvals(M) – М квадрат матрица учун вектор ҳусусий қийматларини аниқлайди.
eigenvec(M,Z) – М квадрат матрица Z хусусий қиймати билан бо\ланган номерланган хусусий вектор.
identify (n) – n×n ўлчамли бирлик квадрат матрицани ҳосил қилади.
last(V) - охирги элемент индекси
length(V) – вектор узунлиги
matrix(m,n,f) -(i,j) элемент f(i,j) ни хосил қилувчи матрица, бунда iқ0.1…,m ва jқ0.1,…,k.
max(A) -A матрицанинг қиймати бўйича максимал элементи, агар А-комплекс бўлса,у ҳолда max (Re(A)) + i × max
(Im((A))ни қайтаради.
min(A)-A матрицанинг қиймати бўйича минимал элементи, агар А-комплекс бўлса ,у ҳолда min (Re(A))+ i × min
(Im(A))ни қайтаради.
rank(M) - M матрица ранги.
rows(M) - M матрица қаторлари сони.
rref (А) - A матрицанинг зинали кўриниши.
stack(M1,M2) - устунлари сони бир хил бўлган M1 ва M2 матрицаларни M2 ни M1 остига жойлаштирган ҳолда
бирлаштиради.
submatrix (M,ri,rj,ci,cj) - М матрицадан ri-дан mo rj-гача қатор номерли ва ci-дан mo cj-гача устун номерли
қисм матрицани ажратади. Индалмаган холда қатор ва устун номерлари нолдан бошланади.
tr(M) - M квадрат матрица изи (диагонал элементлари йи\индиси).
Матрицалар ва векторлар устида операциялар амалга оширишга мисол
Матрицалар устида операцияларни бажариш учун (8.1 расм) олдин уларни ҳосил қилиш керак. Шу мақсадда
қўйидагиларни амалга ошириш зарур:
• визирни (қизил крестикни) ишчи вара\ининг керакли жойига “сичқонча” ёки харакатлантириш тугмалари
ёрдамида ўрнатиш керак;
• матрица номини киритиш ва Shift + : (икки нуқта) тугмалар комбинациясидан фойдаланиш керак. Ўзлаштириш
белгиси пайдо бўлади ва киритиш маркази ўнгга меткани ҳаракатланади. Ана шу натижани бошқа усул билан
ҳосил қилиш мумкин. Бошланишда ўзлаштириш операторини киритинг, бунинг учун икки нуқта ва тенглик
белгисини :қ Калькулятор (Evaluation) асбоблар панелидан чертинг. Бунда меткаси билан шаблон пайдо
бўлади. Чап метка ўрнига матрица номини киритинг, сўнгра киритиш маркерини иккинчи метка ўрнига
келтиринг;
• Math (Математика) асбоблар панелидаги матрица тасвирли тугмани чертинг. Матрица (Matrix) панели пайдо
бўлади;
• Matrix асбоблар панелидаги Matrix or Vector (матрица ёки вектор ) тасвирли тугмани чертинг. Insert matrix
(Вставать матрицу) диалог дарчаси пайдо бўлади. Ана шу дарчадаги Rows (строки) майдонида матрицадаги
қаторлар сонини, Columns (Cтолбцў) майдонида эса устунлар сонини теринг, сўнгра OK тугмасини чертинг.
Визир ўрнида матрица элементларини киритиш учун меткали шаблон пайдо бўлади. Меткалар ўрнига керакли
сон қийматларини киритинг.
Векторлар ва матрицалар билан ишлаш учун махсус функцияларни қўллашда қуйидагиларни амалга ошириш зарур:
• асосий менюдаги вставка бўлими ичидаги функция бандини чертинг ёки Сtrl+E тугмалар комбинациясини
босинг. Иккала ҳолатда ҳам Insert Function (Вставка функции) диалог дарчаси пайдо бўлади;
• диалог дарчаси чап қисмидаги Function Сategory рўйхатдан хисоб бўйича охирги категория Vector and Matrix
(вектор и матрица)ни топинг ва “сичқонча” тугмасини чертинг. Function Name (Имя функции) диалог
дарчасининг ўнг қисмида векторлар ва матрицалар билан ишлашга мўлжалланган функцияларнинг каттагина
рўйхати пайдо бўлади;
• диалог дарчаси ўнг қисмидаги Function Name рўйхатдан керак функцияни танланг, мисол учун, матрицани ўнг
томонига кенгайтиришга мўлжаланган auqment (a,b)ни. Пастдаги матнли майдонда қўйидаги хабар пайдо
бўлади: Returns a matrix formed by placing array В to the right of array A. A and В must have the same number
of rows (b матрицани А матрицанинг ўнг томонига жойлаштириш орқали ҳосил бўлган матрицани қайтаради. А
ва В бир хил сонли қаторлардан иборат бўлиши керак);
• OK тугмасини чертинг. Визирни ўрнатиш жойида ана шу функция шаблони пайдо бўлади;
• меткалар ўрнига илгаридан аниқланган, матрица номини қўйинг (8.2 расм).
Хар бир элементи мос А ва В матрица элементлари кўпайтмасига тенг бўлган матрицани хосил қилиш учун
кўпайтмани ташкил қилинг ва векторлаштириш операторини ўрнатиш учун Ctrl + -, тугмалар комбинациясини босинг.
32
8.1 расм. MathCAD системасида матрицалар устида операциялар
8.2 расм. MathCAD системасида матрицалар ва векторлар устида операциялар
33
√ Топшириқ
8.1 ва 8.2 расмларда кўрсатилганидек, матрицалар ва векторлар устида операциялар бажаринг.
вариант №
1
2
3
4
5
1

9
B=
8

3

1

9
B=
6

2

12

7
B=
9

3

1

9
B=
8

2

8

9
B=
8

3

3
5
2
4
9
7
1
8
2
5
4
4
9
7
11
8
5
2
5
6
8
1
7
9
3
8
3
4
7
12
1
5
3
2
3
5
2
4
6
8
6
1

10
B=
8

3

7
1

9
B=
7

3

14

9
B=
8

3

3
12
5
4
9
2
7
8
1

9
B=
8

3

3
12
9
8
6
4
7
9
3

9
B=
7

3

3
2
8
1
12
5

7
B=
7

3

3
2
9
1
4
6
7
2
8
9
10
11
12
2
9
1
5
5
7
9
3
2
2
11
2
4
7
5
4
9
4
7
2


6
1
C=
2
5




6
1
8
2


2
1
C=

2
7




1
1
8
9


6
1
C=

2
4




8
1
7
3


4
1
C=

5
2


1
6 

7
7


6
1
C=

2
2




1
1
4
6
3
5
4
6
3
5
2
6
4
5
1
6
3
5
3
2
1
5
4
3
2
5
4
3
9
6
5
6
3
5
4
3
4
3
7
8


6
1
C
=
2
6


7
6 

7
2


6
1
C=

5
2


4
10 

6
5
8
6
4
3
4
3
4
5
7
6
5
3
4
3
4
5
10
5
7
1


12 
2
C=

5
5




5
1
7
8


7
1
C
=
2
5


11
6 

7
2


6
3
C=

2
5


11
6 

7
2


8
1
C=

5
2




6
1
8
3
4
3
4
3
4
3
4
6
5
3
34
 4
 
b қ 2 d =  3
 2
 
 5
 
b қ 3 d =  4
1
 
8
 
b қ 4 d = 7
 
1
9
 
b қ 3 d = 7
 2
 
 3
 
b қ 2 d =  3
 4
 
8

9
6

9 
 4
 
b қ 4 d =  3
 
 3
8

9
8

6 
2
5
6
5
11
3
4
4
8

9
8

9 
7

9
7

8 
4

9
8

7 
7

9
7

2 
8

4
3

4 
6

9
7

8 
 4
 
b қ 3 d =  3
 2
 
 2
 
b қ 3 d =  2
 3
 
8

 4
 
5
9
b
қ
2
d
=
 3

13
8
 2

 
5
9 
6
8

1
 
5
9
b қ 4 d =  3

4
3
 2

 
6
6 
6
6

 2
 
5
5
b қ 3 d =  3

7
4
 2

 
5
9 
7
12
13
14
15
6

9
B=
8

3

3
2
5
4
9
7
1
8
3

9
B=
8

3

3
2
8
1
5
4
7
19
8

9
B=
8

3

1

8
B=
8

3

3
2
5
4
9
1
7
7
3
4
2
4
9
11
9
8
12 
8


6
1
C=

5
2




8
1
7
2


6
3
C=

5
2




6
1
15 
2


6
1
C=

5
2


1
3 

7
2


6
1
C=

2
5




6
7
4
6
3
5
4
12
11
5
4
6
3
5
4
17
3
9
4
14
6
5
4
1
6
5
2
6
3
4
3
8
6
5
4

 4
 
9
b қ 2 d =  2

7
 2

 
9 
8

 2
 
9
b қ 3 d =  2

8
 2

 
9 
8

 4
 
9
b қ 3 d =  3

8
 2

 
6 
8

 2
 
9
b қ 2 d =  3

7
 2

 
9 
Назорат саволлари:
1.
2.
3.
4.
Матрицалар ва векторлар билан ишлайдиган асосий функцияларни санаб ўтинг.
Матрицалар билан ишлаш учун қайси асбоблар панелини чақириш лозим?
Махсус функцияларни чақириш учун нима қилиш керак?
Топшириқни бажариш жараёнини тушунтириб беринг.
IX лабаратория иши
Чизиқли дастурлаш. Симплекс усули.
Ишнинг мақсади: MathCAD мухитида чизиқли дастурлашнинг чизиқли тенгсизликлар
системаларини ечиш усулини ўрганиш.
Лаборатория ишини бажариш услуби:
Ишнинг назарий қисми билан танишиш
Масалани киритишнинг асосий буйруқларни ўрганиш
Ўз вариантингизга мос номерли топшириқни танланг ва уни қуйида берилган услуб асосида бажаринг
+уйидаги таркибда хисобот тайерлансин:
• лаборатория иши конспекти;
• бажарилган топшириқ, натижаси билан.
35. Назорат саволларга жавоб беринг.
31.
32.
33.
34.
Назарий тушунтиришлар
Турли таркибли ресурсларни оптимал тақсимлш
Масаланинг қўйилиши
Ишлаб чиқариш жараенида доимо белгиланган ресурслар (хомашё, яримфабрикант, ускуна, молия, ишчи кучи ва
бошқалар) мавжудлигидаги маҳсулотни ёки ишлаб чиқариш турли таркибли ресурсларни оптимал тақсимлаш муамолари
масалалари вужудга келади.
Масаланинг қўйилишига мисол. n турли маҳсулотларни И 1 ,И 2 , … И n ишлаб чиқариш учун m турли ресурслар:
ишчи, моддий, молиявий ва бошқалар керак. Ҳар бир j-нчи маҳсулотни ишлаб чиқариш учун кераклича алохида i-нчи
ресурс миқдори маълум. Уни С ij ҳаражат нормаси деб номлайлик. Ташкилотнинг ушбу вақтдаги хар бир турдаги
ресурсларнинг мавжуд миқдори а i аниқ деб хисоблайлик. Ташкилотнинг j-нчи маҳсулотни ишлаб чиқаришдан оладиган
фойдаси П j маълум. Ташкилотни максимал фойда олиши учун, қайси турдаги ва қайси миқдорда махсулот ишлаб
чиқариши лозим эканлиги аниқланиши талаб қилинсин. Керакли бошлан\ич ахборотлар жадвалда келтирилган.
35
Керак бўлган а j
ресурслар
Ишчи
Моддий
Молиявий
П j фойда
Ишлаб чиқарилган маҳсулотлар
И2
И3
5
2
3
3
6
4
50
30
И1
3
4
5
40
И4
7
5
8
20
Мавжуд a i
ресурслар
15
9
30
Асосий хусусиятлар, ўзаро алоқалар ва миқдорий қонуниятларни аниқлаш
Ташкилот ишлаб чиқараётган j-нчи турли маҳсулот миқдорини х j билан белгилаймиз. Ҳар бир х-нчи турли
маҳсулотни ишлаб чиқариш учун зарур бўлган i-нчи турли ресурс миқдорини, ҳаражат нормаси С ij ни ва ҳар бир i-нчи
ресурс миқдорини (жадвалга қаранг) билган ҳолда қуйидаги тенгсизликлар системасини ёзиш мумкин:
Зх 1 +5х 2 +2х 3 +7x 4 ≤ 15
4х 1 +3х 2 +3х 3 +5x 4 ≤ 9
5х 1 +6х 2 +4х 3 +8x 4 ≤ 30
Fmaxқ 40х 1 +50х 2 +30х 3 +20x 4
Ҳосил қилинган системани тенгламалар системаси кўринишида ифодалаш мумкин, бунинг учун хар бир
тенгсизликка, уни ишлаб чиқариш учун хар бир қолган ресурс туридан фойдаланиладиган, фиктив махсулотлар
(қўшимча ўзгарувчилар) x 5 ,x 6 ,x 7 ларни киритамиз.
Бунда тенгламалар системаси қуйидаги кўринишни олади:
Зх 1 +5х 2 +2х 3 +7x 4 +x 5 қ 15
4х 1 +3х 2 +3х 3 +5x 4 +x 6 қ 9
5х 1 +6х 2 +4х 3 +8x 4 +x 7 қ 30
Бу ўзгартиришлар ҳисоблаш жараёнини соддалаштириш мақсадида керак. Фиктив маҳсулотлар томонидан
олинадиган фойдалар нолга тенг деб олинади.
Математик моделни тузиш. У холда оптималлаштириш критериясини қуйидагича ифодалаш мумкин:
Yқc 1 x 1 + …c j x j + …+ c 7 x 7 қ
7
∑ c jx j
j =1
Чегаравий шартлар қуйидагича ёзилади:
x j ≥ 0 (j қ 1,2, …,7)
Чегаравий шартлар, мақсад функцияси ва чегаранишлар системаси йи\индиси бизни ечаётган масаламиз
математик моделини хосил қилади.
36
Чизиқли тенгсизликни симплекс усули билан ечиш
9.1 расм.
Олдин ишчи варо\ига тушунтириш матнини киритамиз. Бунинг учун курсорни (қизил крестикли визирни) матн
киритиладиган жойга келтирамиз. Курсор жойлашган жойда иккиталик қовус тугмасини (матинни буйру\ига киритамиз)
босамиз. Матн соҳаси киритилаётган матиннинг узунлигига қараб автоматик холда катталашиб боради. Ушбу ҳаракатни
тугатгандан сўнг (матнни киритиб бўлгач) курсорни матн соҳаси рамкаси ташқарисига ўтказамиз.
Сўнгра оптималаштириш критериясини киритамиз- мақсад функциясини киритамиз – мақсад функциясини.
Бунинг учун курсорни математик ифодани киритиш жойига келтирамиз, шундан сўнг, мос тугмаларни ишлатиб, биринчи
навбатда – оптималлаштириш критерияси номини аргументлари билан қовуслар ичида ажратилган ҳолда, киритишни
бошлаймиз. Сўнгра ўзлаштириш белгисини :қ (икки нуқта ва «тенглик» белгиси) киритиш учун Shift + : комбинациясини
босамиз. Ўнг метка ўрнига оптималаштириш кретерияси ифодани жойлаштирамиз. Мос холда бошлан\ич яқинлашувлар
киритилади.
Масалани ечиш учун Given … Maximize функциялар блокини ишлатамиз. Бунинг учун қуйидагиларни бажариш
лозим:
• изоҳни, агар керак бўлса, киритинг, бу иккиталик қовус тугмасини босиш орқали бошланади;
• Given калит сўзини киритинг;
• чегаранишлар системасини тўқ тенглик белгисини Ctrl + қ тугмалар комбинациясини босиш, ишлатиш орқали
киритинг;
• чегаравий миқдорларни киритинг (9.1 расм);
• Insert Matrix (Вставить матрицу) диолог дарчаси ва Ctrl + М комбинациясини ишлатган ҳолда қидирилаетган
параметрлар вектор-устунини киритинг (9.1 расм). Диалог дарчаси қаторлар сони (устун вектори элементлари)- 7 га,
устунлар (Columns) сони эса -1 га тенг бўлиши керак;
• Shift + : комбинациясини босган ҳолда, ўзгартириш белгисини киритинг;
• Insert Function (Вставить функцию) диалог дарчаси ва Сtrl+E тугмалар комбинациясини ишлатган ҳолда,
қидирилаётган параметирлари билан Minimize фунуциясини киритинг;
• қидирилаетган параметирлар вектор устуни ва тенглик белгисини киритинг.
37
9.1 расмда MathCAD ёрдамида турли таркибли ресурсларни тақсимлашни оптималаштириш жараени
кўрсатилган.
Турли таркибли ресурслрани тақсимлаш (X1 Х2 ХЗ...)да векторда жамланган. Олинган ечимдан кўриниб
турибдики X1қ0, Х2қ3, Х4қ0, Х5 қ 3.553×10-15, Х6қ0, Х7қ12. Бу шуни кўрсатадики, ташкилот Х3 ва Х4 маҳсулотларни
ишлаб чиқариш керак эмас. Унга фақат иккинчи махсулотни 3 миқдор бирлигида ишлаб чиқариш лозим. Х2 ўзгарувчи
сони ишлаб чиқаришга режалаштираётган махсулотларни билдиради. Ресурсларни оптимал тақсимлаш Y максимал
фойда олиш имконини беради, унинг қиймати 150 бирликни ташкил қилади.
√ Топшириқ
1.
4х 1 + 3х 2 +5х 3 – 10x 4 ≤ 7
2х 1 – 5х 2 + 2х 3 + 15x 4 ≤ 12
- 5х 1 + 6х 2 – 3х 3 + 4x 4 ≤ 32
2.
-2х 1 +2х 2 – 6х 3 – 9x 4 ≥ 1
4х 1 – 6х 2 – 4х 3 + 9x 4 ≥ 23
9х 1 – 8х 2 + 2х 3 + 6x 4 ≥ 8
3.
Fmax қ 20х 1 +10х 2 – 40х 3 + 15x 4
12х 1 – 5х 2 + 9х 3 + 13x 4 ≤ 7
2х 1 – 5х 2 + 2х 3 + 15x 4 ≤ 12
- 5х 1 + 6х 2 – 3х 3 + 4x 4 ≤ 32
4.
Fmin қ 15х 1 – 13х 2 + 54х 3
18х 1 +5х 2 – 16х 3 – 19x 4
- 8х 1 + 16х 2 – 2х 3 + 8x 4
4х 1 + 7х 2 + 12х 3 + 26x 4
5.
Fmax қ 25х 1 – 11x 2 – 20х 3 +19x 4
11х 1 + 13х 2 – 9х 3 – 11x 4 ≤ 18
- 4х 1 + 14х 2 – 8х 3 +12x 4 ≤ 7
16х 1 – 13х 2 – 6х 3 + 9x 4 ≤ 17
6.
Fmin қ 14х 1 + 9х 2 – 9х 3 + 12x 4
3х 1 + 11х 2 + 7х 3 + 17x 4 ≥ 14
3х 1 – 16х 2 – 5х 3 + 15x 4 ≥ 4
- 7х 1 – 12х 2 + 7х 3 – 8x 4 ≥ 1
8.
Fmin қ 15х 1 - 13х 2 + 54х 3 +11x 4
– 7х 1 + 6х 2 – 11х 3 + 10x 4 ≥ 18
6х 1 – 6х 2 – 10х 3 + 8x 4 ≥ 10
7х 1 + 10х 2 – 12х 3 + 14x 4 ≥ 9
7.
9.
Fmaxқ 22х 1 – 14х 2 + 36х 3 – 13x 4
11х 1 – 3х 2 – 11х 3 + 13x 4 ≤ 10
- 3х 1 + 12х 2 – 5х 3 - 13x 4 ≤ 9
- 11х 1 – 2х 2 – 13х 3 + 6x 4 ≤ 16
Fmax қ 3х 1 – 8х 2 – 19х 3 + 15x 4
25х 1 + 14х 2 – 5х 3 – 10x 4 ≤ 7
- 5х 1 – 7х 2 + 6х 3 + 11x 4 ≤ 17
- 8х 1 + 9х 2 – 14х 3 + 3x 4 ≤ 8
Fmin қ 7х 1 + 9х 2 – 19х 3 + 19x 4
10. -12х 1 – 8х 2 – 18х 3 – x 4 ≥ 2
16х 1 – 12х 2 + 7х 3 + 13x 4 ≥ 14
11х 1 – 9х 2 + 12х 3 – 19x 4 ≥ 10
Fmax қ х 1 + 9х 2 + 12х 3 – 6x 4
11. 17х 1 – 13х 2 + 4х 3 – 16x 4 ≤ 33
22х 1 – 15х 2 + 8х 3 + 13x 4 ≤ 26
12х 1 + 3х 2 – 8х 3 + 12x 4 ≤ 28
Fmin қ 5х 1 + 18х 2 – 8х 3 + 12x 4
12. 15х 1 +7х 2 – 16х 3 + 11 x 4 ≥ 12
- 4х 1 – х 2 – 11х 3 + 19x 4 ≥ 32
х 1 – 8х 2 + 12х 3 – 8x 4 ≥ 19
Fmax қ 34х 1 + 17х 2 – 14х 3 + 19x 4
13. 8х 1 +3х 2 – 5х 3 – 13x 4 ≤ 17
- 19х 1 – 7х 2 + х 3 + 11x 4 ≤ 18
4х 1 + 10х 2 – 13х 3 + 24x 4 ≤ 17
Fmin қ 25х 1 – 22х 2 + 45х 3 – 13x 4
14. -2х 1 +2х 2 – 6х 3 – 9x 4 ≥ 19
4х 1 – 6х 2 – 4х 3 + 9x 4 ≥ 34
9х 1 – 8х 2 + 2х 3 + 6x 4 ≥ 5
Fmax қ 21х 1 – 14х 2 – 20х 3 + 14x 4
Fmin қ 9х 1 – 18х 2 + х 3 + 25x 4
Назорат саволлари:
1.
2.
3.
4.
5.
+ 11x 4
≥ 13
≥2
≥ 30
Чизиқли дастурлаш усуллари нима мақсадда ишлатилади?
Масаланинг қўйилишига мисоллар келтиринг?
Масаланинг математик модели деганда нима кўз остига олинади?
Масалани ечилишида ишлатиладиган функцияларни санаб ўтинг.
Масала ечими кетма-кетлигини тушунтиринг.
X лабаратория иши
Транспорт масаласини ечиш
Ишнинг мақсади: MathCAD мухитида транспорт масаласини ечиш усулини ўрганиш
Лаборатория ишини бажариш услуби:
38
Транспорт масаласини ечиш услубиёти билан танишиш
Масалани киритишнинг асосий буйруқлари билан танишиш
Ўз вариантингизга мос номерли топшириқни танланг ва уни қуйида берилган услуб асосида бажаринг
+уйидаги таркибда хисобот тайерлансин:
• лаборатория иши конспекти;
• бажарилган топшириқ, натижаси билан.
40. Назорат саволларга жавоб беринг.
36.
37.
38.
39.
Назарий тушунтиришлар
Масала ечимига мисол
+уйидаги мисол ёрдамида транспорт масаласи ечими жараёнини кўрамиз:
Bj
B1
B2
B3
ai
Ai
A1
70
38
24
14
A2
58
18
56
20
A3
19
10
100
26
bj
30
22
8
Ишчи варо\ига тушунтириш матнини киритинг. Бунинг учун бошланишида матнни киритиш жойига курсорни
келтиринг (қизил крестик визирини). Иккиталик қовус (матнни киритиш учун буйруқ) тугмасини босинг. Иккала
вазиятда ҳам, жойини ва киритишни бошлашни кўрсатувчи, шаблон пайдо бўлади, шундан сўнггина анна шу операцияни
бажаришга киришиш мумкин.
Сўнгра оптималтириш критериясини киритамиз-мақсад функциясини. Бунинг учун курсорни (қизил крестикли
визирни) математик ифодани киритиш жойига келтирамиз. Сўнгра, мос тугмаларни ишлатиб, биринчи навбатдаоптималлаштириш критерияси номини аргументлари Билан қовуслар ичида вергуллар билан ажратган ҳолда, киритишни
бошлаймиз:
Y(X11,X12,X13,X21,X22,X23,X31,X32,X33).
Сўнгра ўзлаштириш белгисини :қ (икки нуқта ва «тенглик» белгиси) киритиш учун Shift+: (икки нуқта)
комбинациясини босамиз. Ўнг метка ўрнига оптималлаштириш критерияси ифодасини жойлаштирамиз. Мос ҳолда
бошлан\ич яқунлашувлар киритилади.
Масалани ечиш учун Given…Maximize функциялар блокини ишлатамиз. Бунинг учун қуйидагиларни бажариш
лозим:
• изоҳни, агар керак бўлса, киритинг, бу иккиталик қовус тугмасини босиш орқали бошланади;
• Given калит сўзини киритинг;
• чегаранишлар системасини тўқ тенглик белгисини, Ctrl+қ тугмалар комбинациясини босиш, ишлатиш орқали
киритинг;
• чегаравий миқдорларни киритинг (10.1 расм);
• Insert Matrix (Вставить матрицу) диалог дарчаси ва Ctrl+M комбинациясини ишлатган ҳолда қидирилаётган
параметрлар вектор-устунини киритинг. Пайдо бўлган Вставка матрицў диалог дарчасидаги қаторлар майдонида
қаторлар сони (устун-вектор элементлари) 9 дан, устунлар майдонида эса 1 дан ошмаслиги керак.
39
10.1 расм. Бир таркибли ресурсларни оптимал тақсимлаш
10.2 расм. Бир таркибли ресурсларни оптимал тақсимлашни давоми
•
•
Shift+: (икки нуқта) тугмалар комбинациясини босган ҳолда, ўзлаштириш белгисини киритинг;
Insert Function (Вставить функцию) диалог дарчасини ва Ctrl+E тугмалар комбинациясини ишлатган ҳолда,
қидирилаётган параметрлари билант Minimize функциясини киритинг;
40
•
қидирилаётган параметрлар вектор-устунини ва “тенглик” белгисини киритинг.
10.1 расмда MathCAD ёрдамида бир таркибли ресурсларни оптимал тақсимлаш жараёнини бошланиши
келтирилган. Бу система ёрдамида аниқ транспорт масаласининг математик ҳолда берилишидир. Бунда оптималтириш
критерияси, бошлан\ич яқинлашувлар ва чегаравий шартлар берилган. Биринчи икки бандларни берилишида
ўзлаштириш белгиси :қ (икки нуқта ва тенг) ишлатилган. У, агар у олдиндан ишчи вара\ига чиқарилган бўлса,
Калькулятор (Evaluation) панелининг биринчи қаторидаги иккинчи тугмани сичқончани чертиш орқали киритилади.
Ўзлаштириш белгисини Shift+:(икки нуқта) тугмалар комбинациясини биргаликда босиш орқали ҳам киритиш мумкин.
MathCADда чегаранишлар системасини берилишига ҳам диққат беришимизга тў\ри келади. Уни ёзилишида,
Логический асбоблар панелидаги биринчи устуннинг иккинчи тугмасини чертиш орқали чақириладиган, тўқ “тенглик”
белгиси ишлатилади.
10.2 расмда MathCAD ёрдамида бир таркибли ресурсларни тақсимлашни оптималлаштириш жараёни кўрсатилган.
Тўқ “тенглик” белгисини, уни булевали тенглик деб ҳам номланади, Ctrl+қ(тенг) тугмалар комбинациясини босиш
орқали ҳам чиқариш мумкин.
Бир таркибли ресурсларни оптимал тақсимлаш (X11 Х12 Х13...) векторида қайд этилади. Олинган натижадан
кўриниб турибдики, X11қ 4, Х12қ2, Х13қ 8, Х21қ0, Х22қ20, Х23қ0, Х31қ26, Х32қ0, ХЗЗқ0. Бу шуни кўрсатадики,1рақамли манба биринчи даврда 4 бирлик, иккинчи ва учинчи даврларда 8 бирликка молиялаштирилиши керак.
2-манба: 1-чи даврда 0 бирлик, иккинчида 20 ва учинчида 0 бирлик, 3-чи манба: биринчи даврда 26 бирлик,
иккинчи ва учинчиларда молиялаштирилмайди. X ўзгарувчининг биринчи сони манбани, иккинчиси эса-молиялаштириш
даврини аниқлайди. Манбалардаги пул мабла\ларини бундай тақсимланиши минимал умумий сарфини 4 таъминлайди, у
1.402*103 бирликни ташкил этади.
Кўрилаётган масалаларда жўнатувчилар ресурслари ҳажми истеъмолчилар ресурслари ҳажмига тенг. Аммо, айрим
ҳолатларда бу тенглик бажарилмаслиги мумкин.
Агар барча жўнатувчилар ресурслари ҳажми барча истеьмолчилар ресурслари ҳажмидан ката бўлса, фиктив
истеьмолчи b n+1 киритилади, унинг истеьмол ҳажми қуйидагига тенг бўлади.
m
n
i =1
j =1
bn +1 = ∑ ai − ∑ b j
Бирлик ресурсни жўнатиш пунктидан истеьмол фиктив пунктига жўнатиш ҳаражати, албатта бир-бирига тенг
бўлиши керак, ва уларни 0 га тенг қилиб олинади:
C1, n +1 = C 2, n +1 = ... = Cm , n +1 = 0. .
Агар истеьмолчилар ресурсларни ҳажми жўнатувчилар ресурсларни ҳажмидан катта бўлса, у ҳолда фиктив
жўнатувчи a m+1 киритилади, унинг жўнатиш ҳажми қуйидагига тенг бўлади:
n
m
j =1
i =1
a m+1 = ∑ bj − ∑ aj
Бирлик ресурсни фиктив жўнатиш пунктидан ҳар бир истеьмолчи пунктига жўнатиш ҳаражати, албатта бирбирига тенг бўлиши керак, ва уларни 0 га тенг қилиб олинади:
Cm +1,1 = Cm +1, 2 = ... = Cm +1, n = 0.
қайта ҳосил қилинган жадвалларда ҳисоблаш балансланган транспорт масаласи каби бажарилади.
Зарурат бўлганда, мақсад функциясини максималлаштиришни аниқлаш учун Maximize функцияси Вставка
функции жадвалидан танланади.
√ Топшириқ
1.
2.
70
90
20
50
40
50
30
9
6
7
8
8
4
10
7
4
Fmin
3.
20
20
50
20
40
3
5
2
4
4
1
4
5
6
Fmax
4.
4
2
14
8
12
8
80
5
8
4
4
5
3
4
2
5
50
30
100
41
50
50
1
3
6
2
8
7
5
4
3
Fmin
5.
Fmax
6.
6
3
12
21
18
12
15
10
16
8
8
4
10
8
10
6
Fmin
7.
10
30
10
17
18
3
1
1
2
4
5
1
4
3
Fmax
8.
17
50
20
30
33
50
20
6
1
4
2
2
3
5
4
6
Fmin
9.
10
40
70
60
40
5
8
4
4
2
5
6
5
3
Fmax
10.
8
10
16
22
24
16
30
10
16
8
8
4
10
8
10
6
Fmin
11.
40
60
20
60
30
4
8
6
6
11
7
3
10
15
Fmax
12.
4
2
14
8
12
8
7
15
24
12
12
15
9
12
6
15
Fmin
13.
10
10
10
13
10
2
3
5
6
6
4
9
10
6
Fmax
14.
8
4
16
28
24
18
70
15
24
12
12
6
15
11
15
9
Fmin
15.
70
20
100
60
60
3
2
3
1
4
3
10
5
4
Fmax
16.
15
20
40
20
30
35
16
10
18
4
9
5
8
6
4
10
Fmin
3
21
12
8
25
12
15
9
13
6
18
Fmax
Назорат саволлари:
6.
7.
8.
9.
10.
Транспорт масаласи модели нима мақсада ишлатилади.
Масалалар қўйилишига мисоллар келтиринг.
Фиктив жўнатувчи ва фиктив истеьмолчи орқасида нима тушунилади?
Масалани ечилишида ишлатиладиган функцияларни санаб ўтинг.
Масала ечими кетма-кетлигини тушунтириб беринг
42
12
14
12