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TOPOGRAFÍA Álvaro Torres Nieto Eduardo Villate ..Bonilla .. . . . ,'' ' :. Torres Nieto, Alvaro Topografía / Alvaro Torres Nieto; Eduardo Vtllate Bonilla. - 4a. Ed.- Bogotá: Escuela Colombiana de Ingeniería, 2000. ,460 p.:il.ISBN 958-8060-12-5 1. FOTOGRAMETRÍA 2. LEVANTAMIENTO DE PLANOS 3. :MEDICIÓN DE ALTITUDES 4. :MEDICIÓN DE SUPERFICIES 5. NIVELACIÓN 6. TAQUIMETRÍA 7. TEODOLlTOS 8. TOPOGRAFÍA 9. TOPOGRAFÍA - INSTRUMENTOS 10. TOPOGRAFÍA DE VÍAS CDD 526.98 Topografía Primera edición: 1961 (Álvaro Torres Nieto) Segunda edición: 1964 (Álvaro Torres Nieto y Eduardo Villate Bonilla) Tercera edición: 1983 (Álvaro Torres Nieto y Eduardo Villate Bonilla) Cuarta edición: 2000 (Álvaro Torres Nieto y Eduardo Villate Bonilla) Primera reimpresión: marzo de 2008 Segunda reimpresión: septiembre de 2009 Tercera reimpresión: agosto de 2011 © Álvaro Torres Nieto, 1999 Eduardo Villate Bonilla, 1999 © Escuela Colombiana de Ingeniería Autopista Norte Ak 45 Nº 205-59 Fax: 6762655 • Bogotá www.escuelaing.edu.co Editorial Escuela Colombiana de Ingeniería Telefax: 668 3600.Ext. ~97 • editor@escuelaing.edu.co Dirección Editorial Cristina Salazar Perdomo cristina.salazar@escuelaiog.edu.co Coordinación Editorial Jorge C::añas. S_epúlveda jorge.canas@escuelaing.edu.co Diseño de portada Luisa Feman.da; Manrique ' Impresión 'Nuevas Ediciories S.A. ISBN 958-8060-12-5 Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin aut~rización escrita de la Escuela Colombiana de Ingeniería. Impreso en Colombia - Printed in Colombia CONTENIDO CAPÍTULO 1: INTRODUCCIÓN. NOCIONES GENERALES La topografia Diferencia entre topografia y geodesia División básica de la topografia Planimetría Altimetría Unidades empleadas en topografia Planimetría CAPÍTULO 2: MEDICIONES CON CINTA Elementos necesarios en las mediciones Cintas Piquetes Jalones Escuadra de agrimensor Plomada Nivel de mano (Locke o Abney) Medición de distancias entre dos puntos fijos En un terreno plano Cuando el terreno es inclinado o irregular Mediciones inclinadas Fórmula aproximada para calcular la distancia horizontal conocida la distancia inclinada. Corrección por pendiente Errores Error residual Error probable Errores que se pueden cometer en las mediciones con cinta Cinta no estándar Alineamiento imperfecto Falta de horizontalidad en la cinta 17 17 18 19 19 19 19 20 23 23 23 24 25 26 26 26 26 26 28 28 28 30 33 33 35 35 35 35 4 TOPOGRAFÍA Cinta no recta Otros errores accidentales Variación en la longitud de la cinta debido a la temperatura Variaciones de tensión Formación de una catenaria (debida al peso propio de la cinta) Precisión de las mediciones con cinta Correcciones a las mediciones con cinta Corrección por temperatura Corrección por tensión Corrección por catenaria Tensión normal Equivocaciones que se pueden presentar al cadenear Medición de ángulos con la cinta Trazado de una perpendicular a una recta por medio de la cinta Método de 3, 4, 5 (Figura 2.7) Método de la cuerda bisecada Trazado de una perpendicular por un punto sobre la recta Medición de distancias cuando se presenta un obstáculo Problemas relativos a mediciones con cinta CAPÍTULO 3: LEVANTAMIENTO DE UN LOTE POR CINTA ÚNICAMENTE 4: 49 50 ÁNGULOS Y DIRECCIONES Generalidades Meridiano verdadero y meridiano magnético Declinación e inclinación magnéticas Rumbo Azimut Ángulo de deflexión CAPÍTULO 5: LA BRÚJULA y sus 47 48 Fórmulas para cálculo de áreas Fórmula de los trapecios Fórmula de Simpson CAPÍTULO 36 36 36 36 36 37 37 37 38 38 38 39 39 40 40 42 42 43 45 APLICACIONES Descripción Atracción local Levantamiento de un lote con brújula y cinta Explicación de la Figura 5.1A Otro ejemplo Fuentes de error en levantamientos con brújula Problemas Solución 53 53 54 55 55 56 57 59 59 60 61 62 63 65 65 68 CONTENIDO 5 CAPÍTULO 6: DIBUJO TOPOGR.ÁFICO Generalidades Título Escalas La norte-sur Letreros Notas y leyendas Signos convencionales Sistemas automáticos de dibujo CAPÍTULO 7: EL TEODOLITO 69 69 70 71 72 73 74 74 74 77 Generalidades Nivel de burbuja Mecanismo para nivelar el aparato El anteojo · Objetivo Hilos del retículo Ocular Poder de aumento del ocular Enfoque Tornillos de fijación y de movimiento lento Correcciones al teodolito Observaciones Centraje y nivelación del aparato 77 Usos 97 CAPíTULO 8: DIVERSOS DEL TEODOLITO Determinación de la distancia entre dos puntos cuando no puede medirse directamente Método A Método B Método C Determinación de la intersección de dos rectas Medición de un ángulo cuando el. tránsito no se puede colocar en el vértice Prolongación de una linea recta Trazar una linea recta entre dos puntos Caso 1 Caso 2 Caso 3 Procedimientos para medición de ángulos Reiteración Repetición Uso del teodolito en altimetría 79 80 82 83 83 85 86 86 87 88 93 94 97 97 98 98 98 99 100 101 101 101 101 102 102 103 104 6 TOPOGRAFÍA CAPÍTULO 9: MÉTODOS PARA MEDIR UN TERRENO CON TRÁNSITO y CINTA Levantamiento de un lote por radiación Procedimiento Modelo de cartera Cuadro de cálculos Levantamiento de un lote por intersección de visuales o base medida Procedimiento Modelo de cartera Cálculos Cuadro de cálculo de las distancias A0 (primera parte) Levantamiento de un lote por medio de "poligonales" Cálculo y ajuste de la poligonal Ajuste de la poligonal Manera de distribuir el error de cierre Método A Método B Variaciones del método de levantamiento por poligonal Levantamiento de detalles Detalles por izquierdas y derechas Cálculos Detalles por radiación Modelo de cartera Cálculos Modelo de cartera Modelo de cuadro de cálculos Omisión de datos en una poligonal CAPÍTULO 10: FóRMULAS PARA EL CALCULO DEL ÁREA Cálculo del área de un polígono en función de las coordenadas de sus vértices Primer método Segundo método Determinación del área de un polígono por el método de las dobles longitudes · Preliminares Determinación del área CAPÍTULO 11: TRIANGULACIÓN Y TRILATERACIÓN Generalidades Trabajo de campo para una triangulación topográfica Ajuste y cálculo Ajuste de una triangulación topográfica entre dos bases medidas 105 105 105 106 106 107 108 109 109 110 111 112 117 117 118 118 119 120 120 121 121 122 122 123 124 124 127 127 128 129 130 130 131 133 133 135 13 7 140 CONTENIDO 7 Trilateración Aplicaciones Solución trigonométrica al problema de los tres puntos Ejemplo CAPÍTULO 12: GENERALIDADES SOBRE ÜTRAS CLASES DE LEVANTAMIENTOS Levantamiento de edificaciones Levantamiento de poblaciones Levantamiento de lotes urbanos Ejemplo CAPÍTULO 13: PARTICIONES Caso general Casos especiales en la partición de un terreno 14: 145 145 146 149 153 153 156 157 157 159 159 161 URBANIZACIONES 163 Introducción Planes y normas Plan de Ordenamiento Territorial Urbanizaciones Plano topográfico del predio por urbanizar Afectaciones Área neta urbanizable Diseño de vías locales Áreas de cesión Área útil Replanteo Reglamentación interna Entrega de zonas de cesión Construcciones Densidad Volumetría Licencias y permisos 163 165 165 166 166 167 167 167 167 170 170 171 171 171 171 171 CAPÍTULO CAPÍTULO 15: INTRODUCCIÓN A LA ALTIMETRÍA Generalidades Clases de nivelación CAPÍTULO 16: APARATOS EMPLEADOS EN NIVELACIÓN Niveles de precisión Niveles de Y-Y Niveles Dumpy 172 173 173 176 177 178 178 179 8 TOPOGRAFÍA Niveles láser Niveles de mano Nivel Locke Nivel Abney Correcciones a los niveles Correcciones al nivel de Y-Y Correcciones al modelo francés de Y-Y Correcciones al modelo americano de Y-Y Ajuste a los niveles Locke y Abney CAPÍTULO 17: NIVELACIÓN BAROMÉTRICA Concepto general Método cuando se dispone de un solo altímetro Método cuando se dispone de dos altímetros CAPÍTULO 18: NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA 19: NIVELACIÓN DIRECTA (o GEOMÉTRICA) Nivelación directa (o geométrica) simple Nivelación directa (o geométrica) compuesta Chequeo de la cartera Contranivelación Anotaciones respecto a la nivelación CAPÍTULO 20: CURVAS DE NIVEL - PERFIL - NIVELACIÓN Perfil de una línea Nivelación Nivelación de una línea Nivelación de un terreno CAPÍTULO 21: AJUSTE DE UNA NIVELACIÓN Ajuste de una red de nivelación Ejercicios teóricos Resumen Cartera de nivel Resumen CAPÍTULO 22: Generalidades TAQUIMETRÍA 180 181 184 184 185 189 191 191 192 192 195 195 Concepto general CAPÍTULO 179 179 179 205 205 207 209 209 209 211 215 215 215 216 219 221 224 225 226 227 229 229 CONTENIDO 9 Deducción de las fórmulas para calcular las distancias horizontal (D~) y vertical (Dv) Cálculo de cotas Anotaciones sobre taquimetría Aplicaciones Posibles causas de error Recomendaciones El taquímetro autorreductor Modelo K1-RA de la casa Kern Retículo y lectura del taquímetro autorreductor K1-RA Modelo DKRV de la casa Kern Modelo RDS de la casa Wild Observaciones Estadía de invar Precauciones en el manejo de la estadía Ejercicios teóricos La plancheta Descripción Colocación, orientación y manejo de la plancheta El 'ltco Beaman Distancias horizontales Distancias verticales Correcciones a la alidada Levantamientos con la plancheta Levantamiento por radiación Intersección de visuales Rumbo y distancia Determinación de puntos con la plancheta por medio de triangulación gráfica Solución aproximada Solución exacta Problema de los dos puntos Problema de los tres puntos Método A Método B Ajuste gráfico de poligonales Ventajas y desventajas de la plancheta CAPÍTULO 23: NOCIONES DE TRAZADO Introducción Estudios preliminares Levantamiento topográfico de la zona escogida Dibujo del plano acotado Consideraciones generales y elementos de diseño en planta 230 233 233 233 233 234 235 236 236 238 240 241 241 244 244 249 249 251 254 254 255 257 259 259 260 260 262 262 262 262 264 264 265 266 267 269 269 270. 270 271 273 10 TOPOGRAFÍA CAPÍTULO 24: FACTORES GEOMÉTRICOS EN EL DISEÑO DE UNA VÍA Curvas Curvas circulares Curvas circulares simples Curvas circulares compuestas Nociones de estabilidad en la marcha Peralte Condiciones de equilibrio Curvas de transición Longitud de la curva de transición Nomenclatura y fórmulas de la curva de transición Perfil longitudinal de la vía Curvas verticales Visibilidad en las curvas verticales Curva vertical más conveniente CAPÍTULO 25: LOCALIZACIÓN DEL PROYECTO EN EL TERRENO Localización de los alineamientos rectos Replanteo de las curvas circulares Replanteo por el método de las deflexiones Casos especiales Cuando el PI es un punto inaccesible Cuando el PI y el PC son inaccesibles Cuando el PT es inaccesible Localización de un punto cualquiera a partir del PI Cuando debido a obstáculos no son visibles todos los puntos de la curva desde el PC Replanteo por el método de ordenadas sobre la tangente Replanteo por el método de ordenadas sobre la cuerda principal Cierre de una curva en ángulo y en lado Replanteo de curvas verticales CAPÍTULO 26: ESTACAS DE CHAFLÁN Y CUBICACIÓN Estacas de chaflán Estacas de chaflán en corte Estacas de chaflán en relleno Cubicación del movimiento de. tierra Dibujo de las secciones transversales Cálculo de las áreas de las secciones transversales Ejercicio teórico Cálculo de los volúmenes de tierra que deben removerse Cálculo del volumen Cartera de cubicación 277 277 277 277 279 284 284 285 286 287 288 289 290 290 292 295 295 295 296 297 297 298 299 300 301 303 305 305 306 309 309 309 312 314 314 315 316 317 319 320 CONTENIDO 11 Métodos para calcular el posible volumen del movimiento de tierra A partir del perfil del proyecto A partir de las curvas de nivel Empleo de fotogrametría y computadores digitales en cubicaciones CAPÍTULO 27: NOCIONES DE FOTOGRAMETRÍA Generalidades Introducción Definición Reseña histórica Desarrollo de la fotogrametría en Colombia Descripción del proceso fotogramétrico Fotogrametría terrestre Fotogrametría aérea Cámaras Recubrimiento ·Punto principal de una fotografía Ejes de una fotografía · Fundamentos geométrícos de la fotogrametría Relación entre la escala de la fotografía y la altura de vuelo Cálculo de coordenadas Visión binocular Visión estereoscópica Paralaje Medición del desplazamiento de la imagen debido al relieve Desarrollo del proceso fotogramétríco Toma de fotografías Planos fotogramétricos Mosaico Planos Fotocontrol Control directo Triangulación aérea Instrumentos fotogramétricos Fotogrametría analítica Fotogrametría digital (ortofotos) Causas de error en la fotogrametría Equivocaciones Aplicaciones principales de la fotogrametría Percepción remota CAPÍTULO 28: 325 325 325 325 326 326 327 328 329 329 330 330 331 332 332 333 335 335 336 339 341 341 343 343 343 344 344 344 344 347 348 350 351 351 351 DETERMINACIÓN DE AzIMUT POR ALTURA ABSOLUTA DEL SOL Introducción 321 321 321 322 355 355 12 TOPOGRAFÍA La esfera celeste Movimiento aparente Sistemas de coordenadas celestes Verticales Meridianos celestes Meridiano del observador Coordenadas horizontales Coordenadas ecuatoriales horarias Coordenadas ecuatoriales absolutas El punto vernal El triángulo astronómico Correcciones por refracción y paralaje Refracción Paralaje Determinación de azimut Procedimiento CAPÍTULO 29: PRINCIPALES CARACTERÍSTICAS DE LOS APARATOS MODERNOS EMPLEADOS EN TOPOGRAFÍA Introducción Principales innovaciones introducidas La plomada óptica El doble círculo Micrómetro óptico Innovaciones introducidas a los niveles Mejoras introducidas a los trípodes Instrumentos electrónicos de medidas Medición electrónica de distancias Teodolitos electrónicos Estaciones totales El GPS (Sistema de Posicionamiento Global) CAPÍTULO 30: 355 356 357 358 358 358 358 358 359 360 361 362 362 363 364 364 TOPOGRAFÍA HIDROGRÁFICA Introducción La medición de distancias por microondas Altura y distancia inclinada Efectos de la curvatura de la Tierra La forma de la Tierra Posicionamiento por microondas Exactitud de la posición Distancias máxima y mínima para una base dada AB Redundancia de distancias - múltiples remotos Medición de profundidades El efecto de las mareas 369 369 370 370 371 372 373 375 377 377 378 379 380 383 383 384 384 385 385 386 386 387 388 388 391 CONTENIDO 13 Medición de profundidades muy bajas Sistema de topografía hidrográfica Pre topografía Toma de datos (levantamiento hidrotopográfico) Postopografía Corrección de datos Elaboración de la carta hidrográfica Elaboración del Modelo Digital del Terreno (DTM) o malla 3D Trazado de curvas batimétricas Aplicación para el diseño de canales Definición de plantillas de secciones transversales y cálculo de volúmenes de dragado Conclusión CAPÍTULO 31: SISTEMA DE POSICIONAMIENTO GLOBAL (GPS) Reseña histórica Utilidad del sistema Funcionamiento del GPS 1. Determinación de la posición 2. Determinación de las distancias 3. Obtención de una sincronización perfecta 4. Determinar la posición de cada satélite en el espacio 5. Fuentes de error Métodos para levantamientos por GPS GPS estático GPS diferencial· cinemático GPS cinemático en tiempo real Sistema de coordenadas CAPÍTULO 32: SISTEMA DE INFORMACIÓN GEOGRÁFICA (SIG) Introducción Áreas de utilización Ventajas de usar un SIG Preguntas que puede contestar un SIG Componentes de un SIG El usuario. Programas para SIG (soft)J}are) Entrada de datos Almacenamiento de datos Manejo de datos Análisis y modelamiento Salida y presentación de datos Equipo electrónico (hard)J}are) Solución de problemas de tipo espacial con el SIG 391 392 392 394 398 398 398 399 400 401 401 403 405 405 406 407 407 407 408 411 411 412 412 413 413 414 415 415 415 416 416 417 417 '417 418 418 418 418 419 419 420 14 TOPOGRAFÍA Problema u objetivo Estructuras para representar información espacial en el computador Estructuras basadas en datos vectoriales Entidades puntuales Entidades lineales Entidades de área Estructuras basadas en celdas (raster) Atributos Funciones de análisis utilizadas en un SIG Funciones de consulta y medición Funciones de superposición Funciones de vecindad Funciones de conectividad Medida de contigüidad Medida de proximidad Funciones de redes Medidas de esparcimiento CAPÍTULO 33: COMPUTADORES Y SU UTILIZACIÓN EN TOPOGRAFÍA Introducción Equipos electrónicos para la obtención y procesamiento de datos Procesamiento electrónico de la información Modelos digitales del terreno {DTM) El computador en dibujo y en diseño Ejemplo de un problema topográfico formulado para el computador Formulación del problema para el computador Paquetes de software para ingeniería civil y para topografía Proceso automatizado de principio a fin CAPÍTULO 34: FóRMULAS 420 421 421 422 422 422 422 423 423 423 424 424 425 425 425 425 426 427 427 427 428 430 431 432 433 434 435 437 Algunas fórmulas útiles Geometría Trigonometría 437 437 439 ÍNDICES 441 Índice de figuras Índice analítico 441 449 PRÓLOGO A LA CUARTA EDICIÓN La evolución de la topografta fi1e, hasta las 1íltiv1as décadas del siglo XX, extremadamente lenta. Sin embargo, las nuevas aplicaciones de la tecnología inalámbrica y de los satélites de órbita bqja, gracias a las C11ales hqy en día pueden deterJJJinarse distanciasy coordenadas (x,y, z) de puntos topogr4ficos sin hacer medicionespor los métodos de la topografta tradicio11a4)1111to con la aparición de los computadoresy s11 cada vez más acelerado desarrollo, han per1JJitido avances tecnológicos en genera4 a velocidades no imaginadas atÍn por los creadores de ciencia .ficción. Los 1JJencionados avances dieron lugar a la necesidad de actualizar este texto, pero conservando losprincipios básicos, quepenJJanecen vigentesy son elfimdamento para entendery asi1JJilar esta antigua ciencia, con el.fin de co1JJprender las herramientas v1odemas q11e hanper1JJitido siv;plijicar y a la vez hacer v1ásprecisoy diná1JJico elproceso de 1JJedición de las ditJJensionesy jorJJJas de los terrenosy sus aplicaciones a las diferentes especialiZf1ciones de la ingeniería. Lapri1JJera edición de TOPOGRAFÍA apareció en 1961, C11a11do s11s autores estaban vinC11lados a la FaC11ltad de Ingeniería de la Universidad Nacional de Colombia. La seg1111da edición, con el sello Editorial NorJJJa,fi1e galardonada en 1965por la Sociedad Colo1JJbia11a de Ingenieros con elpretJJio Diodoro S ánchez como la tJJljorp11blicació11 de la ingeniería nacional. La aceptación de TOPOGRAFÍA en el medio 1111iversitarioy profesiona4 tanto colombiano cov10 lati11oa1JJerica110, se rejllja en más de doscientos tJJil ljev;plares iv;presos y vendidos lo Clfa4 tratándose de 1111 texto eminentemente técnico, constift!Je 1111a gran satisfacción profesionalPfra s11s autores. Los autores agradecen la colaboración de los ingenieros Pedro Chocontá Rnjas, Fabio &mero Mo,yey L11z Mery Valencia, de la Esc11ela Colombiana de Ingeniería, en la act11alizació11 de lapresente edición; ellos, con s11 experiencia acadétJJicay profesiona4 dan a esta obra el respaldo técnico q11e garantiza su vigencia por m11chos mios. También agradecen a Gina Ardila por s11 colaboración en lapreparación del Índice Analíticoy a Trimble Navigation Limited de Estados Unidos porpermitirnos 11tilizar las Jotograftas sobre GPS. 16 TOPOGRAFÍA Adicionalmente, ahora se c11enta con el apqyo de Pearson Ed11cación, q11e con s11 trqyect01ia en el cav¡po editorial a nivel v11mdial garantiza 1111a avplia difúsión de este libro. Mediante coedición entre la Esmela Colombiana de Ingenicriay Pearson Educación hacemos eq11ipo para llevar a los profesores, est11diantes y prefesionales 11na oporttmidad para act11alizar st1s conocimientos. ÁLVARO TORRES NIETO EDUARDO VII.LATE BONILLA Bogotá, enero de 2001 CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN. NOCIONES GENERALES LA TO PO GRAFÍA a topografía tiene por objeto medir extensiones de tierra, tomando los datos necesarios para poder representar sobre un plano, a escala, su forma y accidentes. Es el arte de medir las distancias horizontales y verticales entre puntos y objetos sobre la superficie terrestre, medir ángulos entre rectas terrestres y localizar puntos por medio de distancias y ángulos previamente determinados. Con los datos tomados por el topógrafo sobre el terreno y por medio de elementales procedimientos matemáticos, se calculan distancias, ángulos, direcciones, coordenadas, elevaciones, áreas o volúmenes, según lo requerido · en cada caso. El proceso de medir, calcular y dibujar para determinar la posición relativa de los puntos que conforman una extensión de tierra es lo que se llama levantamiento topográfico. El procedimiento que debe seguirse en un levantamiento topográfico comprende dos etapas fundamentales: 1. El trabajo de campo, o sea la recopilación ·de datos o la localización de · puntos. 2. El trabajo de oficina, que comprende el cálculo y el dibujo. La topografía sirve como base para la mayor parte de los trabajos de ingeniería, pues la elab_oración de un proyecto se hace una vez que se tengan los datos y planos topográficos que representan fielmente todos' los accidentes del terreno sobre el cual se va a construir la obra. Así mismo, se emplea para establecer los límites de propiedades, medir sus extensiones, dividirlas y determinar accidentes u objetos dentro de ellas. La topografía de alta precisión la emplean los gobiernos nacionales para establecer sus fronteras, límites internos, para determinar las líneas de navegación en los ríos y lagos y, en especial, para elaborar la carta geográfica del país. 18 TOPOGRAFÍA DIFERENCIA ENTRE TOPOGRAFÍA Y GEODESIA Es necesario hacer una pequeña aclaración para delimitar dos ciencias que tienen más o menos la misma finalidad: medir extensiones de tierra. Estas dos ciencias, la topografía y la geodesia, difieren entre sí en cuanto a las magnitudes consideradas en cada una de ellas y, por consiguiente, en los métodos empleados. La topografía opera sobre porciones pequeñas de tierra, no teniendo en cuenta la verdadera forma de ésta, un elipsoide, sino que considera la superficie terrestre como un plano. Cada punto se determina generalmente mediante sus dos coordenadas rectangulares planas (x, y) y, si acaso, su altura (h). El error cometido con base en esta hipótesis es depreciable, tratándose de extensiones de tierra que no sean excesivamente grandes, si se considera que un arco en la superficie terrestre de 20 km de longitud es tan sólo 1 cm más largo que la cuerda subtendida, y que sólo se comete un error de 1" (un segundo) de exceso esférico en un triángulo que tenga un área de 190 km.2 • Cuando se trata de medir grandes extensiones de tierra como, por ejemplo, para confeccionar la carta de un país, de un departamento, o de una ciudad grande, no se puede aceptar la aproximación que da la topografía, teniéndose entonces que considerar la verdadera forma de la tierra; por consiguiente, su superficie ya no se .considera un plano sino que se toma como parte de la superficie de una "esfera" o de un "elipsoide" (según la precisión considerada), y tenemos, por tanto, que acudir a la geodesia. En este caso, cada punto se determina mediante coordenadas esféricas: longitud y látitud (ver capítulo 6). El presente texto se dedicará en forma exclusiva a la topografía, por ser esta ciencia la empleada más a menudo en los trabajos de ingeniería y porque, siendo la geodesia suficientemente extensa y diferente, debe tratarse como materia independiente. Se tomarán, pues, como base de este estudio las siguientes hipótesis, fundadas en la anterior diferenciación: 1. La línea más corta que une dos puntos sobre la superficie de la tierra es una recta. 2. Las direcciones de la plomada, colocada en dos puntos diferentes cualesquiera, son paralelas. 3. La superficie imaginaria de referencia, respecto a la cual se tomarán las alturas, es una superficie plana. 4. El ángulo formado por la intersección de dos líneas sobre la superficie terrestre es un ángulo plano y no esférico. Con las hipótesis anteriores, con los conocimientos básicos de geometría y trigonometría y con un poco de sentido común, se está perfectamente INTRODUCCIÓN: NOCIONES GENERALES 19 capacitado para iniciar y completar con éxito el estudio de la topografía. Es condición indispensable para que el estudiante obtenga buen provecho del curso, poner todo el interés, tanto en la parte teórica como en la práctica, pues está comprobado que, por intenso que sea el estudio de la teoría, no se obtiene un buen topógrafo si éste no ha tenido un adecuado entrenamiento en el terreno. No es difícil comprender la importancia de la topografía para el estudiante de ingeniería, principalmente por dos aspectos: 1. Porque la topografía es la primera materia en la cual tiene oportunidad de desarrollar una labor profesional. · 2. Porque, aunque no tenga como ideal llegar a ser un topógrafo, sí es muy útil dominar la materia como un primer paso al éxito en la mayor parte de las ramas de la ingeniería y profesiones afines y complementarias. DIVISIÓN BÁSICA DE LA TOPOGRAFÍA La topografía se puede dividir en dos grandes ramas: 1. La planimetría 2. La altimetría Planimetría Sólo toma en cuenta la proyección del terreno sobre un plano horizontal imaginario que, se supone, es la superficie media de la Tierra. Altimetría Tiene en cuenta las diferencias de nivel existentes entre los distintos puntos de un terreno. Para la elaboración de un "plano topográfico" propiamente dicho, es necesario conocer estas dos partes de la topografía y así poder determinar la posición y elevación de cada punto. UNIDADES EMPLEADAS EN TOPOGRAFÍA Tanto en planimetría como en altimetría es necesario medir ángulos y longitudes. Además, se calculan superficies y volúmenes. Es, por tanto, conveniente indicar las unidades más usuales. Las unidades de medición angular son el grado, el minuto y el segundo (en el sistema sexagesimal). En gran parte de los trabajos topográficos es suficiente 20 TOPOGRAFÍA tomar los ángulos hasta el minuto. En ciertos trabajos de precisión los ángulos se toman al segundo y, a veces, hasta a la décima de segundo. En la mayoría de los países, la unidad de medición longitudinal es el metro, con sus múltiplos y submúltiplos; en general, las longitudes se toman al centímetro. De acuerdo con la mayor o menor precisión deseada se toman al milímetro o al decímetro, medio metro o metro simplemente. Las áreas se expresan en metros cuadrados (m2); en algunos países se mantiene la costumbre de indicar el área en varas cuadradas (v-'). Si el área es demasiado grande se expresa en hectáreas (ha) o en fanegadas (fg). Las relaciones que las ligan son: 1 ha 1 fg 10.000 m 2 10.000 v2 1 v2 1 fg 0,64 m 2 0,64 ha Los volúmenes se expresan en metros cúbicos (m3). En ciertos países es necesario expresarlos en yardas cúbicas (yd3) o en pies cúbicos (p 3). 1 yd 3 1 p3 0,7646 m3 0,0283 m 3 PLANIMETRÍA La planimetría considera la proyección del terreno sobre un plano horizontal. Está proyección se denomina "base productiva" y es la que se considera cuando se habla del área de un terreno. Las distancias se toman sobre esta proyección (Figura 1.1). Los métodos empleados en topografía son estrictamente geométricos y trigonométricos. Se determinan las lineas rectas y ángulos para formar figuras geométricas. El terreno se considera como un polígono y se trata de calcular su área. Para lograr este objetivo se fijan pttntos, sobre los linderos del terreno, que son los vértices del polígono. Estos p1111tos pueden ser: · a) Puntos instantáneos o momentáneos: son puntos que se necesitan en un determinado instante, pero que luego pueden desaparecer. Se determinan por medio de piquetes o jalones (figuras 2.2 y 2.3 del siguiente capítulo). b) Puntos transitorios: son puntos que deben perdurar mientras se termina el trabajo, pero que posteriormente pueden desaparecer; en general, son estacas de madera (Figura 1.2). INTRODUCCIÓN: NOCIONES GENERALES 21 Base productiva o proyección a b c d e g h Figura 1.1 Base productiva del terreno. c) Puntos definitivos: son aquellos que no pueden desaparecer una vez hecho el trabajo. Son fijos y determinados. De estos puntos hay que considerar dos clases: 131 ____ T __________ _ 1 Estaca de punto Figura 1.2 Estacas. Estaca de chaflán 22 TOPOGRAFÍA 1. Punto natural: es un punto existente en el terreno, fijo, destacado, que puede identificarse fácilmente; por ejemplo: intersección de las orillas de dos ríos, punto más alto de un cerro o prominencia de una roca. 2. Punto artificial permanente: es generalmente un mojón formado por un paralelepípedo de concreto de 1O x 1O cm de sección y de 60 cm de longitud y que sobresale unos cinco cm sobre el terreno (Figura 1.3). ~ ~ Mojóoa. concreto Figura 1.3 Mojón. Una vez definidos los vértices del terreno que se desea medir, se procede a trazar las rectas entre ellos por medio de puntos intermedios alineados, y se miden sus longitudes por medio de una cinta, o por cualquier otro procedimiento, como se verá más adelante. CAPÍTULO 2 MEDICIONES CON CINTA ELEMENTOS NECESARIOS EN LAS MEDICIONES Cintas edir con cinta se llama cadenear. El que maneja la cinta se denomina cadenero. Esto se debe a que originalmente se empleaba para medir una cadena de cien pies de longitud, compuesta de cien eslabones, cada uno de un pie. Cada diez pies, o sea cada diez eslabones, tenía una señal de bronce que indicaba el número de segmentos de diez eslabones (diez pies) desde el origen. Figura 2.1 Cinta. TOPOGRAFÍA Las cintas que se usan en la actualidad para medir están hechas de diferentes materiales, longitudes y pesos. Las más comunes son las de tela y las de acero. Las primeras son de material impermeable y llevan un refuerzo de delgados hilos (cuatro, seis u ocho hilos) de acero o de bronce para impedir que se alarguen demasiado con el uso. Generalmente vienen de 10, 20 o 30 m y su ancho es de 5/8 de pulgada. Las cintas de tela no se emplean para levantamientos de mucha precisión o cuando los alineamientos son muy largos, pues con el uso se estiran. Se debe tener el cuidado de dejar secar la cinta, antes de colocarla de nuevo en la caja, cuando por efectos del trabajo se haya humedecido. Igualmente, al enrollarla se debe hacer pasar entre los dos dedos, índice y medio, manteniendo éstos cerca de la ranura para evitar que la cinta .entre torcida en la caja y se atasque. Las cintas de acero se emplean para mediciones de precisión. Las longitudes más comunes en que vienen son 25, 30, SO y 100 m. Son un poco más angostas que las de tela; 1/4'' y 5/16" son los anchos más comunes. Tienen la desventaja de partirse con mucha facilidad. Recientemente se están usando, con muy buenos resultados, cintas de hilo sintético o fibra .de vidrio con recubrimiento de plástico. Cuando se trabaja en vecindades de agua salada, es útil el empleo de cintas de bronce y fósforo, pues son a prueba de óxido. La cinta de i11var se emplea para levantamientos de alta precisión. El invar es una aleación de níquel y acero que tiene una expansión térmica aproximadamente igual a 1/30 de la del acero. Por lo general se emplean aleaciones de 1/ 1O del coeficiente de expansión del acero. Siendo el invar un material blando, se debe manejarla cinta con cuidado; debido a esto y a su alto costo, es poco práctica para el uso corriente. Figura 2.2 Piquetes. MEDICIONES CON CINTA 25 Como precaución importante en las mediciones con cinta, se debe tener cuidado de determinar la posición del "cero", puesto que en algunas cintas está en el extremo y en otras 1O o 20 cm después, Piquetes Son generalmente de unos 25 a 35 cm de longitud, están hechos de varilla de acero y provistos en un extremo de punta y en el otro de una argolla que les sirve de cabeza. Un juego de piquetes consta generalmente de diez unidades que van sostenidas de un gancho (como se ve en la Figura 2.2). Para hacerlos más visibles durante el trabajo, es aconsejable ponerles un trapo de color en la argolla; · Jalones Son de metal o de madera y tienen una punta de acero que se clava en el terreno. Sirven para indicar la localización de puntos o la dirección de rectas. Generalmente son varas cuya longitud oscila entre 2 y 3 m, de sección circular u octogonal; de más o menos 1 pulg de diámetro. Están pintados en franjas de 20 cm de colores rojo y blanco, alternativamente (Figura 2.3, parte A). o A BB B e Figura 2.3 Jalón, escuadra de agrimensor y plomada. 26 TOPOGRAFÍA Escuadra de_ agrimensor Es un instrumento que se emplea en levantamientos de poca precisión, para lanzar visuales o para trazar perpendiculares. Consta de una caja metálica o de madera y un palo o bastón. para apoyarla. Tiene en la caja unas ranuras a 90º, por medio de las cuales se pueden trazar alineamientos perpendiculares entre sí. Algunas poseen otra ranura a 45º para trazar alineamientos con esta dirección. Su sección es cuadrada u octogonal (Figura 2.3, parte B). Existe la esc11adra prismática con la cual, mediante prismas pentagonales, se pueden trazar perpendiculares con la misma facilidad y con bastante más precisión que con la escuadra de agrimensor antes citada. Plomada Es una pesa generalmente de bronce, de forma cónica, suspendida mediante un hilo. Cuando la plomada está estática, suspendida por su hilo, éste tiene, por definición, la dirección vertical y así sirve para determinar en el suelo la proyección horizontal de un punto que está a cierta altura. Las más usadas en topografía son las de 16 oz (Figura 2.3, parte C). Nivel de mano (Locke o Abney) Se utiliza para hacer que los extremos de la cinta queden sobre la misma horizontal cuando la cinta no se puede tender horizontalmente sobre el piso (ver descripción de los niveles en el Capítulo 16). MEDICIÓN DE DISTANCIAS ENTRE DOS PUNTOS FIJOS En un terreno plano Elementos necesarios: dos o más jalones, un juego de piquetes, una cinta. Los jalones se colocan en los puntos extremos y sirven para mantener el alineamiento. La medida la efectúan dos individuos,. que se denominan cadenero trasero y cadenero delantero. El primero coloca el cero de la cinta en el punto de partida mientras que el segundo, con el extremo de la cinta que tiene la caja, avanza hacia el otro punto; cuando ha recorrido una longitud igual a la de la cinta, se detiene. Por medio de señales de mano, el cadenero trasero, observando el jalón situado en el otro extremo, alinea al cadenero delantero, y éste pone un piquete sobre la recta. Luego tensiona MEDICIONES CON CINTA 27 la cinta y cuando el cadenero trasero la tenga sujeta, coincidiendo el piquete con el cero de la cinta, coloca el cadenero delantero, frente a la división final, el piquete. Como comprobación se vuelve a tensionar la cinta y se ve si está correcta la medición; si esto ocurre, se avanza, arrancando el cadenero trasero el piquete y llegando hasta donde el cadenero delantero dejó clavado el otro, y luego se repite la operación. Así, el número de piquetes que el cadenero trasero tenga, será igual al número de veces que se midió con la cinta completa y tensionada. Popularmente se denomina una "cintada" a una medida con la cinta tensionada en toda su longitud. La comprobación con los piquetes es importante, pues es fácil, por distracción, equivocarse en el número de "cintadas". Cuando el alineamiento se hace por medio de un tránsito o teodolito (ver Capítulo 7) puesto en uno de los extremos de la línea que se quiere medir, entonces el que está en el tránsito dirige por medio de señales de mano al cadenero delantero para mantenerlo alineado. Cuando se,requiere ir estacando la línea medida a distancias dadas, se coloca una estaca en el sitio del piquete que marca cada cintada; luego, manteniendo tensa la cinta, se ve sobre qué punto de la cabeza de la estaca cae la división correspondiente de la cinta y, tomando en cuenta las indicaciones dadas por quien tiene a cargo la alineación, se clava sobre dicho punto una tachuela. En seguida se verifican la medida y el alineamiento. - - - - - - - - - - - - - 20 m - - - - - - - - - - - Figura 2.4 Medición en terreno inclinado. 28 TOPOGRAFÍA Cuando el terreno es inclinado o irregulár Es necesario mantener siempre la cinta horizontal. Entonces se usa la plomada para proyectar el cero o extremo de la cinta sobre el punto donde debe ir el piquete. Cuando no se requiere demasiada precisión, basta con un jalón, en vez de plomada, cuidando que éste permanezca vertical. La cinta se debe mantener bien tensa para evitar que forme una catenaria. Cuando el terreno es muy inclinado (Figura 2.4) se mide por partes, tomando tramos tan largos como sea posible, manteniendo la cinta horizontal. Para contabilizar el número de "cintadas" se procede como está indicado en la figura: se coloca un piquete en B, la proyección de un número completo de metros (8); luego el cadenero trasero avanza, le da un piquete al cadenero delantero, y sostiene la cinta sobre B, marcando el mismo número de metros (8) leídos hasta B; avanza el cadenero delantero hasta completar otro número completo de metros (14) y proyecta sobre C dicha cantidad. Avanza de nuevo el cadenero trasero, le entrega al delantero otro piquete y éste sigue hasta completar la cintada, proyectando sobre D el extremo de la cinta, mientras el cadenero trasero mantiene el punto correspondiente de la cinta (14) en C. Al llegar al punto D, el cadenero trasero ya no entrega ningún piquete; de esta manera se puede llevar el control. del número de "cintadas" con el mismo método anterior (cuando el terreno era plano). Para mantener la cinta horizontal se recomienda llevar un nivel de mano, pues a simple ojo se cometen errores de apreciación en la horizontalidad. Mediciones inclinadas Hay ocasiones en las cuales es más conveniente medir la distancia indinada (S) y tomar la pendiente o la diferencia de altura entre los extremos de ésta (h), para luego calcular la correspondiente distancia horizontal (d) (Figura 2.5): d=Scos0= ✓S 2 -h 2 Si se desea averiguar la diferencia de altura entre los dos extremos de la cinta, se emplea un "nivel Locke" (ver Niveles de mano). Si se desea conocer la pendiente de la cinta, se emplea un "nivel Abney" (ver Niveles de mano). Fórmula aproximada para calcular la distancia horizontal conocida la distancia inclinada. Corrección por pendiente La fórmula aproximada que se deduce a continuación se puede utilizar en aquellos casos en que, por· cualquier circunstancia, no se puede aplicar una fórmula trigonométrica o el teorema de Pitágoras: 29 MEDICIONES CON CINTA \ s h h \ \ l A=-----'-=------------------L----'!_· - - - - - - - - - d - - - - - - - - - , C h L- ---s---1 Figura 2.5 Corrección por medición incliriada. S h d Ch distancia inclinada entre dos puntos A y B. diferencia de altura entre A y B. distancia horizontal entre A y B. corrección, debida a la pendiente, que debe hacerse a S para obtener la distancia horizontal d. Ch= S-d Cuando la pendiente no es muy grande,,º sea, para valores pequeños de 0, se tiene que S + d""' 2S. 2 . h 2 h = 2S (S-d) :. (S-d) =Ch= 2S El error cometido al aplicar esta fórmula es despreciable, como se ve en el siguiente ejemplo: Si: h s 5m 20 m Ch= :. d 25 40 =~ 8 0,625m = 20 .:.:..o,625 m = 19,375 m Calculando la distancia d en forma correcta, tendríamos: 5 . sen 0 = - = O250· d h / tg 0 20 ' ' 30 TOPOGRAFÍA 5 0 =14º 28'· tg 0 = O 25800 luego d = - - = 19 379 m ' ' O2580 ' ' La cual difiere de la calculada, aplicando la corrección por pendiente, sólo en 0,004 m que es, en realidad, despreciable. Cuando se conoce el ángulo de pendiente 0 se puede calcular directamente la distancia horizontal por la fórmula: d = S cos 0 Para ángulos menores de 3º no vale la pena efectuar la corrección, pues: cos 3º = 0,99863 ::::: 1,00 En 20 metros, la corrección sería: d = 20 x 0,99863 = 19,973 m :. Ch= 0,027 m Nota: Cuando la precisión exige que se haga la corrección por pendiente para ángulos menores que 3º, podemos usar la fórmula aproximada: h = S X sen 0::::: S X 0 X sen lº{S: en metros h=Sx0x0,0175 0:engrados ? :. Ch= 0,015 x S xe- Ch: en centímetros ERRORES Cuando se mide una magnitud se presentan errores cuyo valor no se conoce y que se deben a muchas causas, por lo cual una medida nunca es realmente verdadera. En topografía las mediciones deben mantenerse dentro de ciertos límites de precisión que dependen de la clase y finalidad del levantamiento. Por eso se deben conocer las causas u origen de los errores, apreciando el efecto conjunto de varios sobre cada medición y familiarizándose con el procedimiento que hay que seguir para lograr_ la precisión requerida. Es conveniente distinguir entre exactitud y precisión de una medida. La exactitud es la "aproximación a la verdad", mientras que la precisión es el MEDICIONES CON CINTA 31 "grado de afinación en la lectura de una observación o el número de cifras con que se efectúa un cálculo", de donde se deduce que una medida puede ser exacta sin ser precisa, o al contrario. En ingeniería es más importante la exactitud que la precisión. En general, hay tres clases de errores, de acuerdo con su causa: a) Instrumentales, que provienen de imperfecciones o desajustes en los instrumentos de medida. b) Personales, debidos a limitaciones de la vista o el tacto del observador. c) Naturales, causados por variaciones de ciertos fenómenos naturales como temperatura, viento, humedad, refracción o declinación magnética . . En topografía se consideran varias clases de errores: a) Error real, que es la diferencia entre la medida de una cantidad y su valor verdadero. Si la medida es mayor que el valor verdadero, el error es por exceso o positivo; en caso contrario, se dice que es por defecto o negativo. El error real es la acumulación de errores diferentes debidos a diferentes causas, algunos que quizá tiendan a producir valores excesivos y; otros, a resultados menores que los verdaderos. b) Equivocación es un error, generalmente grande, debido a una falla de criterio o a una confusión del observador. Ellas no entran en el estudio y discusión de la teoría de errores, y se descubren y eliminan comprobando todo el trabajo. c) Discrepancia es la diferencia entre dos mediciones de la misma cantidad. d) Error sistemático es aquel que, en igualdad de condiciones, se repite siempre en la misma cantidad y con el mismo signo. Puede ser constante, cuando no cambian las condiciones durante la serie de medidas, o variable, en caso contrario. Todo error sistemático obedece siempre a alguna ley matemática o física, por lo cual puede determinarse y aplicarse la correspondiente corrección. e) Error accidental es el debido a una combinación de causas ajenas a la pericia del observador, y al que no puede aplicarse ninguna corrección: En cada observación la magnitud y el signo del error accidental son casuales, por cuya razón no se puede aplicar la corrección en cálculos, como sí se puede hacer con la cuantía y el signo de los errores sistemáticos. Sin embargo, en conjunto, los errores accidentales suelen obedecer las leyes de la probabilidad. Entre errores accidentales de la misma cantidad se produce siempre alguna compensación, por lo cual se les llama también errores compensables. El error sistemático total de un cierto número de observaciones es la suma algebraica de los errores de cada observación. En cambio, los errores 32 TOPOGRAFÍA accidentales tienen carácter puramente ocasional, y no hay modo de determinarlos ni de eliminarlos. Según el cálculo de las probabilidades, los errores accidentales tienden a aumentar proporcionalmente a la raíz cuadrada del número de errores probables. Así, si el error accidental cometido en una cintada fuera de ± 0,01 m, el error accidental total que se tendría en cien cintadas no pasaría de ±0,01 X ✓ 100 ±0,10 m. Un error sistemático de igual magnitud produciría un error total de 0,01 X 100 = 1,00 m. Se ve así que en una serie de observaciones de cantidades independientes pero homogéneas, los errores accidentales tienen menor importancia que los sistemáticos de igual magnitud. Aun cuando los errores accidentales no se pueden eliminar, pueden reducirse a un valor muy pequeño empleando instrumentos y métodos adecuados. Repitiendo varias veces y del mismo modo la medición de una misma cantidad, se puede tener una idea del .error accidental, pero su verdadero valor no es posible determinarlo de manera alguna. En los levantamientos corrientes se hace todo lo posible por eliminar los errores sistemáticos, y la precisión de una medición depende, entonces, del error accidental de que esté afectada. Para tener idea del valor probable, o de la precisión probable de una medición en la cual se hayan eliminado los errores sistemáticos, hay que recurrir a la teoría. de probabilidades, que trata de los errores accidentales de una serie de mediciones iguales o semejantes. En esta teoría se supone que: 1. 2. 3. 4. Los errores pequeños son más frecuentes que los grandes. No se cometen errores muy grandes. Los errores pueden ser positivos o negativos. El verdadero valor de una cantidad es la media de un número infinito de observaciones análogas. Como es igual de imposible eliminar los errores accidentales en la práctica, que hacer un número infinito de observaciones, nunca ·puede conocerse el valor exacto de una cantidad. • Las reglas y normas que siguen se basan en la teoría de probabilidades y sirven en los casos sencillos de verificación de observaciones, así como · para determinar valores ·y errores probables. Esto, en cuanto los resultados estén afectados sólo por errores accidentales; los sistemáticos se deben tratar de minimizar hasta hacerlos prácticamente despreciables. El valor más probáble de. una cantidad es una expresión matemática que designa el valor calculado que, según la teoría de mínimos cuadrados, tiene más probabilidades que ningún otro de rep~esentar el verdadero valor de la cantid.ad. Para un~ serie de mediciones de una misma cantidad, MEDICIONES CON CINTA 33 com9 "valor más probable" se toma la media aritmética de las observaciones hechas. Por ejemplo, se midió cuatro veces una distancia, y los datos obtenidos fueron: 310,25 310,20 310,30 310,27 Suma = Media aritmética m m m m 1.241,02 m = 1.2414 'º2 = 310,255 m Entonces 310,255 m será el valor más probable de la distancia medida. Generalizando, la media aritmética está dada por: n En donde: n = número de observaciones y M 1, M2 , M3, cada observación. ••• M el valor de 0 Error. residual El error residual de una observación es la diferencia entre el valor de esa observación y el valor de la media. La suma de todos los errores residuales, con su. signo, es cero. Error probable Es un error tal, que la probabilidad de cometer un error mayor que él es_. igual a la probabilidad de cometer un error menor. Según la teoría de los mínimos cuadrados y llaman.do: r r v· O error probable de. una observación error probable de la media · error residual, el valor del error probable de una observación está dado por la fórmula 34 TOPOGRAFÍA y el valor del error probable de la media, por la fórmula: ro -+ - _o, 6745 ~ v 2 n (n-1) Siendo 11 el número de observaciones o valores que se han tomado. Con los mismos datos del ejemplo anterior se tendrá: Observación 310,25 310,30 310,20 310,27 llledia v2 V 310,255 -0,005 + 0,015 0,000025 0,002025 0,003025 0,000225 í: v = 0,00 í: ~ = 0,005300 + 0,045 - 0,055 n=4 Error probable de una observación: ~ r = ±0,6745 r - r = ±0,028 m ±0,67 45 X = ±0,6745 ,Jo,00111 0,042 = ±0,0283 Error probable de la media: ±0,6745 53 0,00 =±0,6745X0,021 4X3 r 0 = ±0,014 m Se dice que hay un 50% de probabilidad de que el valor real de la distancia medida esté dentro del intervalo Media ± error de la media = (310,255 ± 0,014) m El grado de precisión será: r/Media, expresado como 1: Media/r (error unitario). En este caso: 0 0,014 1 =-310,255 22.161 o sea 1: 22.161 MEDICIONES CON CINTA 35 Actualmente se usa poco el error probable para analizar el efecto de los errores accidentales en las medidas. Se usa más el error del 95% (esto es, que con 95% de probabilidad el error sea :::; E 9J: para especificar precisiones exigidas en ciertos trabajos de topografía. Por ejemplo, si en el trabajo de las medidas dadas se exigiera que E 95 fuera menor o igual que ±0,05 m, como estas medi~as, entonces, no serían aceptables. Por otra parte, se suele usar mayor que éste no se considera ya error accidental sino una equivocación. ERRORES QUE SE PUEDEN COMETER EN LAS MEDICIONES CON CINTA Cinta no estándar Ocurre cuando la cinta no tiene realmente la longitud que indica. Esto se puede evitar patronándola en una base medida con precisión y aplicando la corrección. Alineamiento imperfecto Se presenta cuando el cadenero delantero coloca el piquete fuera del alineamiento, dando como resultado una longitud mayor. Cuando no es demasiado grande la cantidad en que se desvía el piquete de la recta, este error puede ser despreciable, pues, midiendo con una cinta de 20 m al desalinearse en 0,20 m, el error cometido es tan sólo de 0,001 m. Falta de horizontalidad en la cinta Produce un error similar al del alineamiento imperfecto, dando una longitud mayor que la real. Aun en los cadeneros más experimentados se 36 TOPOGRAFÍA ha comprobado que cometen error al apreciar la horizontalidad. Esta es una de las principales fuentes de· error en una medición; por tanto, se debe evitar en lo posible y la mejor manera de hacerlo es usando un nivel de mano para lograr que la cinta quede horizontal. Cinta no recta Algunas veces la cinta no queda recta debido .al viento o a la presencia de obstáculos. Este error es variable, y produce el mismo efecto de la cinta más corta. El cadenero debe fijarse en que la cinta esté recta cuando se tensiona para hacer la lectura. Otros errores accidentales Al leer la cinta, al colocar la plomada y los piquetes se incurre en errores accidentales. El error probable tiende a variar como la raíz cuadrada del número de "cintadas". El error cometido con la plomada se puede evitar midiendo las distancias inclinadas y su ángulo verticál. Los otros errores, aunque es difícil evitarlos, no son generalmente de gran ocurrencia. Variación en la longitud de la cinta debido a la temperatura La cinta se expande cuando la temperatura ·sube y se contrae cuando la temperatura baja. Así, para una cinta de acero de 30 m de longitud, un cambio de 10ºC en la temperatura produce una variación de 0,0035 m. Esto se evita, en levantamientos de precisión, no haciendo lecturas en condiciones extremas de temperatura. Las cintas vienen estandarizadas para una temperatura dada; si se anota la temperatura con la cual se ha efectuado la medición, se podrá realizar después una corrección por temperatura. Variaciones de tensión Las cintas están calibradas para una determinada tensión, y siendo algo elásticas, se acortan o alargan a medida que la tensión aplicada sea menor o mayor que la estándar. Este error sólo se tiene en cuenta en mediciones de alta precisión. Formación de una catenaria (debida al peso propio de la cinta) Esto puede evitarse aplicando una tensión tal que produzca un alargamiento que contrarreste el error cometido por catenaria. Esta tensión así aplicada se denomina tensión normal, la cual varía según el tipo de cinta empleado. 37 MEDICIONES CON CINTA PRECISIÓN DE LAS MEDICIONES CON CINTA En levantamientos que no exigen mucha precisión, se procura (a ojo) mantener horizontal la cinta (aunque es mejor obtenerlo por medio de un nivel Locke), usar la plomada para proyectar los extremos de la cinta sobre el terreno, y aplicar una tensión conveniente (a estimación). No se acostumbra hacer correcciones por catenaria, temperatura o tensión. Generalmente, el grado de precisión que se obtiene varía de 1/1.000 a 1/2.500. En la mayor parte de los casos, la longitud de las líneas medidas resulta mayor que la real, pues los errores de mayor magnitud tienden a hacer más corta la cinta. Si la medición se efectúa sin aplicar la tensión suficiente y cuando los cadeneros no son muy expertos en mantener dentro de límites razonables la horizontalidad de la cinta, la precisión puede rebajarse hasta 1/500. En un terreno plano y continuo se puede obtener perfectamente una precisión de 1/5.000, la cual se considera buena. · Jvlidiendo sobre una superficie lisa, v. gr., un terreno pavimentado, se puede esperar una precisión de 1/10.000, que es la mayor que se puede lograr sin ayuda de instrumentos topográficos. Para los levantamientos quc;: exigen un máximo de precisión, se emplean dinamómetros y termómetros para controlar la tensión y la temperatura de la cinta durante la medición, y efectuando todas las correcciones del caso, puede esperarse una precisión hasta de 1/20.000. CORRECCIONES A LAS MEDICIONES CON CINTA Corrección por temperatura Cuando la temperatura a la cual se hace la medición· es mayor o menor que la temperatura para la cual viene patronada la cinta, se aplica la sigt;riente corrección: C ,= 0,000012 XL X (t-t 0 ) t t L C, 0 temperatura a la cual se hace la medición (ºC) temperatura de patronamiento (ºC) longitud medida (m) corrección por temperatura, en metros 38 TOPOGRAFÍA Corrección por tensión La longitud patronada de la cinta se obtiene aplicándole una determinada tensión o tensión de patronamiento. Si se aplica una tensión diferente, la corrección está dada por la siguiente fórmula: T TO L S E CT tensión aplicada (kg) tensión de patronamiento (kg) longitud a la cual se aplica la corrección (m) área de la sección transversal de la cinta (mm2) módulo de elasticidad del material de la cinta (kg/mm2). Para el acero puede tomarse 24.000 kg/mm2 corrección por tensión, en metros. Corrección por catenaria Al suspender la cinta, entre cada dos apoyos se forma una curva o catenaria. La corrección para cada uno de esos tramos será la diferencia entre la curva y la cuerda y, si se supone que es un arco de una parábola, está dada por la siguiente fórmula: =P C e P L T Ce 2 XL 2 24XT peso total del tramo de cinta entr~ los dos soportes (kg) longitud entre soportes (m) tensión aplicada (kg) corrección para el tramo, en metros. Tensión normal Igualar los valores de CT y Ce de las dos últimas fórmulas es equiparar un alargamiento mediante tensión con un acortamiento por catenaria; así se puede compensar todo el acortamiento debido a la catenaria mediante una tensión conveniente que se llama tensión normal y está dada por la fórmula siguiente: = 0,204xPx../s;jj, T 0 .jT n -T o MEDICIONES CON CINTA 39 Cada término tiene el mismo significado que en las fórmulas anteriores y la ecuación se debe resolver, como es obvio, por tanteos o aproximaciones sucesivas. EQUIVOCACIONES QUE SE PUEDEN PRESENTAR AL CADENEAR 1. A1iadir o quitar 1111a "cintada": Se evita aplicando el método de llevar la cuenta 2. 3. 4. 5. de las "cintadas" por el sistema de los piquetes, o también si se van contando las estacas. Añadir 1111 111etro (1 m): Puede ocurrir cuando se mide el extremo de la recta con una fracción de "cintada". El error se elimina midiendo la recta en el otro sentido o, al menos, la fracción del extremo. Cuando se toman otros puntos, diferentes de los marcados en la cinta, como origen o extremo de la cinta. También debe observarse si la cinta trae un metro extra, graduado, en uno de sus extremos, pues algunas lo tienen. Debe tenerse cuidado de leer concienzudamente la cinta para evitar confusiones tales como leer 68 en vez de 89, o de confundir el 6 con el 9. Al dictar las cantidades a un anotador se debe estar seguro de que éste haya escuchado correctamente, y procurar dictar con toda claridad; así por ejemplo, al dictar 50,3 decir "cincuenta coma tres" y no "cincuenta tres". Debe, además, repetirse cuan~o se considere necesario, o hacer que el anotador repita la cantidad dictada. Es conveniente hacer estimación a ojo de la distancia para cerciorarse si la medida obtenida se ciñe a la realidad. Cuando se trabaja con teodolito, se debe verificar leyendo en una mira y calculando la distancia taquimétricamente (ver Capítulo 22). MEDICIÓN DE ÁNGULOS CON LA CINTA Se trata de medir el ángulo B A e (Figura 2.6); entonces a partir del vértice A, se miden 20 m (o la distancia más conveniente según el caso) sobre cada uno de los lados AB y AC para determinar los puntos b y e, respectivamente. En b y e se clavan piquetes y se mide la longitud de la cuerda be. 40 TOPOGRAFÍA \ ' e ' ,z_l)~ \ a 2 A\~----+"-----.L---------1 B Figura 2.6 MedicióQ de ángulos con cinta. De la figura se tiene: a bc/2 be sen-=--=2 20 40 Con lo cual queda determinado el ángulo a. Si se tratara de construir un ángulo dado sobre el terreno a partir de un alineamiento tal como AB y · con vértice en A, de la fórmula se deduce el valor de la cuerda be:, se localiza el punto b a 20 m de A, luego con centro en b y con radio be se traza un arco; la intersección de este arco con el arco trazado desde A con radio 20 m determina el punto e y uniendo A con C y prolongando la recta se obtiene el ángulo requerido B A C. TRAZADO DE UNA PERPENDICULAR A UNA RECTA POR MEDIO DE LA CINTA Método de 3, 4, 5 (Figura 2.7) Tiene la ventaja de ser más o menos rápido pero no es muy exacto. Si se desea trazar una perpendicular a la recta AB, que pase por un punto D, exterior a ésta, lo primero que hay que hacer es suponer (a ojo) que el punto a, sobre AB, está sobre la perpendicular a AB que pasa por D. Se construye un triángulo rectángulo en a, que tenga por catetos 3 y 4 o múltiplos de. 3 y de 4 y por hipotenusa 5 o un múltiplo de 5; así pues, el MEDICIONES CON CINTA 41 punto b está a una· distancia del punto a que es 3 o múltiplo de 3 y el punto e a una distancia 4 o múltiplo de 4; b y e distan 5 o múltiplo de 5, con lo cual el ángulo en a es de 90º. Si la perpendicular ac no pasa por D sino por D', se mide. DD' y se corre el pie de la perpendicular una distancia igual a DD' y se revisa la· perpendicularidad. D r :e a A b B e 4 5 5= -J (3)2+ (~)2 ~ bac=90º a 3 b Figura 2.7 Trazado de una perpendicular con cinta. Método 3, 4, 5. Cuando el terreno lo permite, se trazan arcos, con los radios convenientes, desde a y desde b; el punto de intersección de estos dos arcos determina el punto c. Nota: En el caso de no necesitarse mucha precisión se puede levantar una perpendicular, colocándose una persona sobre la recta AB, con los brazos abiertos en cruz, de modo que el brazo izquierdo apunte hacia A y el derecho hacia B; luego, cerrando los ojos, se juntan hacia adelante, palma coh palma <le las manos, y esta direcciph seña4tda con los brazos juntos es aproximadamente p~rpendicular a AB (Figura 2.7A). · 42 TOPOGRAFÍA Figura 2.7A Trazado de una perpendicular a ojo. Método de la cuerda bisecada Se toma (a ojo) un punto (e) que esté sobre la perpendicular a AB que pase por D. Haciendo centro en e, se traza un arco que corte a AB; la corta en E y en F; se mide la cuerda EF y se sitúa el punto a en.la mitad de EF; se une a con e con una recta que se prolonga; como lo más probable es que no pase por D sino por D', entonces se mide DD' y se corre el pie de la perpendicular a sobre AB, una distancia igual a DD'. Luego se comprueba repitiendo el procedimiento (Figura 2.8A). TRAZADO DE UNA PERPENDICULAR POR UN PUNTO SOBRE LA RECTA Si queremos levantar una perpendicular a la línea AB en el punto a hacemos lo siguiente: medimos una distancia Ea igual a aF (Figura 2.8B) (aproximadamente de 3 m cada una); trazamos arcos con radios iguales, desde E y desde F; el punto e de corte será un punto de la perpendicular ac. También se puede emplear el método 3, 4, 5. 43 MEDICIONES CON CINTA D D' , ,, I ,, , '' ' ,, ' '' '' \ I 1 \ 1 ' 1 ' A B A \ ' E 1 F a B Figuras 2.SA y 2.88 Trazado de una perpendicular con cinta. Método de la cuerda bisecada. MEDICIÓN DE DISTANCIAS CUANDO SE PRESENTA UN OBSTÁCULO 1. Se trata de medir la distancia AB. Se traza AO y desde B se traza una perpendicular a AO, obteniéndose BC. Se miden BC y AC y se calcula la distancia AB (Figura 2.9). A C -~----------------------,--0 ........................ ....... ........ ............ •s• Figura 2.9 Medición de una distancia cuando se presenta un obstáculo. Caso 1. TOPOGRAFÍA 44 2. Se l_evantan perpendiculares (Figura 2.1 O) en A y en B tales que AA'= BB'. Se mide A' B', que es de igual longitud que AB (Figura 2.10). Para aplicar este. método se debe poder ver cada extremo desde el otro para poder levantar las perpendiculares. Figura 2.10 Medición de una distancia cuando se presenta un obstáculo. Caso 2. 3. Empleando relación de triángulos semejantes (Figura 2.11). _ _ Sea C un punto desde el cual se ven A y B. Se miden las distancias AC y CB. Los puntos D y E se sitúan en tal forma que CD CE CA CB e A lllllJíl------------ --------1 B Figura 2.11 Medición de una distancia cuando se presenta un obstáculo. Caso 3. CD Generalmente la relación - e s 1/2 o 1/3. Se mide DE y se calcula AB por CA . CD relación de triángulos - CA DE =- AB 45 MEDICIONES CON CINTA PROQLEMÁS RELATIVOS A MEDICIONES CON CINTA 1. La longitud de una recta medida con una cinta de 20 m resultó de 112,45 m. Se encontró que al comparar la cinta con un patrón, ésta era 0,08 m más larga. ¿Cuál es la longitud real de la recta? SOLUCIÓN: La medición se efectuó con cinco (5) "cin.tadas" y una medida de 12,45; así, el error cornetido fue: 8 5 X 0,08 + 12,45 X 0,0 20,00 l:,a longitud real de la recta es: = 0,40 + 0,05 = 0,45 m, 112,45 +0,45 112,90 m 2. Se requiere determinar una distancia de 160 m. La cinta que se va a utilizar es de 30 m, pero resulta que se ha alargado en 0,03 m, ¿Qué se debe hacer en el terreno? SOLUCIÓN: Se miden cinco "cintadas" y 10 m; luego se mide hacia atrás una cantidad 3 = 5x0,03+10x 0,0 = 0,15+0,01 = 0,16 m 30 3. La verdadera distancia entre dos puntos es de 220,08 m. Al medirla con una cinta de 50 m encontramos una distancia de 220,85 m. Se pregunta: ¿cuánto más larga o más corta está la cinta? SOLUCIÓN: 220,85 m con una cinta de 50 m son 4,417 "cintadas". Así pues: Si en 4,417 "cintadas" se cometió un error de 0,77 m en 1 "cintada" se cometió un error de x m X= 0,174 m RESPUESTA: la cinta está más corta en 0,174 m 46 TOPOGRAFÍA 4. La longitud inclinada entre dos puntos es de 75 m. La diferencia de cota entre puntos intermedios sucesivos que distan entre sí 20 m inclinados es + 1,0 m + 1,50 m + 0,70 m y+ 0,95 m. ¿Cuál es la distancia horizontal entre esos dos puntos? SOLUCIÓN: Se busca la corrección por pendiente para cada tramo y luego se suman: 2 2 2 2 - 1,0 1,5 0,7 0,95 - 3,74 0,90 - o 09 o 03 o12 Ch ---+--+--+-----+--+ = m 40 40 40 30 40 30 ' ' ' La distancia horizontal será: 75,00 - 0,12 = 74,88 m 5. Dos puntos situados a 100,00 m de distancia inclinada tienen una diferencia de nivel de 12,00 m; ¿cuánto se debe agregar a esta medida para que la distancia horizontal sea aproximadamente de 100,00 m? SOLUCIÓN: Ch= 144 = O 72 m 200 ' :. la distancia inclinada debe ser de 100,72 m, para obtener con la pendiente dada, una distancia horizontal de 100,00 m. CAPÍTULO 3 LEVANTAMIENTO DE UN LOTE POR CINTA ÚNICAMENTE ara medir un terreno con cinta únicamente hay que dividir, en la forma más conveniente, el terreno en triángulos y tomar las medidas de sus lados, las alturas y los ángulos (de dichos triángulos) suficientes para poder calcular la superficie total y para poder dibujar el plano. Se debe procurar, hasta donde lo permita el terreno, que los triángulos no presenten ángulos demasiado agudos, para no disminuir la precisión del levantamiento. Los detalles como, por ejemplo, los linderos que no son líneas rectas sino irregulares, se toman por el método de izquierdas y derechas, para lo cual se colocan piquetes a distancias fijas (cada 20 m, p.e.), o bien donde se crea necesario por haber un cambio brusco en la forma del lindero, y se miden las perpendiculares a las líneas hasta el lindero; en general, no deben pasar de 15 m, para poder trazar las perpendiculares a ojo sin cometer mayor error. Por último, se calcula el área de los triángulos principales, a la cual se le suma o resta el área de detalles por izquierdas y derechas, según el caso. MODELO CARTERA DE 'I / LEVANTAMIENTO DE UN LOTE SITUADO r-,$ ••••••-•o•••••u•••••••••n•••••••••••••••••-.••••n•••••••••••••••H•no•••••••••••••••••uoouo• PROPIEDAD DE ..•...••••••...••••.••••.......• FECHA •..••.......•....•••....• Aor.,c,,d. E,lacic/-, Dio!-. J:ag,uic lkte<>,. L-CuMla óe-1"/¿ ,<_ A B 0 e e A : '- '. º·º 20.n 400 60,0 80,n 98 O 0,00 100 1,2.0 1,2.5 1,-40 o.o º·ºº 2.00 400 60.0 800 82,0 0,90 1,70 1,60 O 80 0,00 GAC ~~ ·~i'1 ' . ,f' P1 P1 .. - 0CA 118,01 ~J~ EN • E. -·-....J.,.....- _;r..,_ ~· ...___.,,_.-D Lindero con... Figura 3.1 Modelo de cartera: levantamiento de un lote con cinta. ./ 48 TOPOGRAFÍA Figura 3.2 Medición con cinta en terr,eno inclinado. FóRMULAS PARA CÁLCULO DE ÁREAS Como el terreno que se mide se descompone en triángulos y trapecios (Figura 3.3), las fórmulas más usuales para un triángulo son: S= bxh~bxaxsena 2 2 donde p es el semiperúnetro y S .es el área. Para un trapecio: Cuando l¡i.ay que calcular una sucesión de trapecios, se pueden ·emplear las llamadas.. fórmula de los trapecios y fórmula de Simpson, las que se explican más adelante. 49 LEVANTAMIENTO DE UN LOTE POR-CINTA ÚNICAMENTE a b s1 B H Figura 3.3 Dimensiones del triángulo y del trapecio. fóRMULA DE LOS TRAPECIOS Se divide la zona en un número par o impar de trapecios de igual altura (h) (Figura 3.4). a b e d e Figura 3.4 División del área para la fórmula de los trapecios. S1 =: (a+b) S2 = ~ (b+c) 50 TOPOGRAFÍA S 3 =~(c+d) 2 h S 4 =-(d+e) 2 S 5 =~(e+ f) 2 h S =-(a+2b+2c +2d +2e+ f) 2 1 a+f S =h ( - -+ b+c+d+e) 2 El número de trapecios puede ser par o impar. FóRMULA DE SIMPSON Es necesario dividir el área total en un número par de partes~ Se considera luego, para la deducción de la fórmula, un trapecio de base 21:\. (Figura 3.5). Sea A1 el área de una parte, como la de la figura, que se puede considerar formada por la suma del área de un trapecio más el área de un segmento cfe parábola: A 1= A, ,(trapecio) + AP (segmento de parábola) .l--h-------h--~ Figura 3.5 División del área para la fórmula de Simpson. (1) 51 LEVANTAMIENTO DE UN LOTE POR CINTA ÚNICAMENTE _ Y1+y3 , A t - - -- X 211 , que se puede transformar en: 2 (2) Siendo que el área de un segmento de parábola es 2 3 de la flecha por la cuerda, se puede deducir que: (3) Remplazando los valores de (2) y (3) en (1) se tiene: ~umando las áreas consecutivas tales como A 1, se obtiene finalmente la fórmula de Simpson: , h Area total A =- X (y 1 +y n +2y impares+ 4y pares) 3 ' Así, la superficie dada por la fórmula de Simpson es igual a: "un tercio de la altura, que multiplica .a la suma de las ordenadas extremas, más el doble de la suma de las ordenadas impares, más el cuádruplo de la suma de las ordenadas pares". CAPÍTULO 4 ÁNGULOS Y DIRECCIONES GENERALIDADES a· principal finalidad de la topogtafía es la localización de puntos. Un punto se puede determinar si se conocen: 1. 2. 3. 4. Su dirección y distancia a partir de un punto ya conocido. Sus direcciones desde dos puntos conocidos. Sus distancias desde dos puntos conocidos. Su dirección desde un punto conocido y su distancia desde otro, también conocido. Nota: realmente en 3 y 4 resultan dos puntos pero, con una breve nota aclaratoria, se puede determinar cuál de los dos es. · Se Hama dirección de una recta al ángulo horizontal existente entre esa recta y otra que se toma c.omo referencia. Y ángulo horizontal es aquel ángulo cuyos lad?s están .sobre el. mismo plano hori¡o1ttal.' D A DPA DPC APB e Figura 4.1 Ángulos entre líneas. B ' 54 TOPOGRAFÍA M A D e Figura 4.2 Ángulos a partir de un meridiano. Se denomina inclinación de una recta el ángulo vertical (elevación o depresión) que ésta hace con la horizontal. Y ángulo· vertical es aquel ángulo cúyos lados están sobre el mismo plano vertical. Las direcciones entre rectas que unen puntos sobre un terreno se pueden obtener de varias formas: a) La dirección de cualquier recta se puede dar respecto a la recta adyacente por medio del ángulo existente entre ellas (Figura 4.1). Si es entre rectas no adyacentes, se suman los ángulos que intervienen. b) Se pueden tomar también las direcciones á partir de una recta de referencia, tal como PM (Figura 4.2) y así conocer la dirección de cada recta. MERIDIANO VERDADERO Y MERIDIANO .MAGNÉTICO Si la recta de referencia, respecto a la cual se toman las direcciones, es la recta que pasa. por los polos (N y S) geográficos de la Tierra, se denomina meridiano verdadero. Si es la recta que pasa por los polos magnéticos, se denomina meridiano magnético. El primero se determina por medio de observacio.nes astronómicas (como se puede ver en el Capítulo 28) y, para cada punto sobre la ·superficie terrestre, tiene siempre la misma dirección. El segundo se determina por medio de la brújula y no es paralelo al verdadero, pues los polos magnéticos están a alguna distancia de los geográficos; 55 ÁNGULOS Y DIRECCIONES además, como los polos magnéticos están cambiando de posición constantemente, entonces este meridiano no tendrá una dirección estable. DECLINACIÓN E INCLINACIÓN MAGNÉTICAS El ángulo que forma el meridiano magnético con el verdadero se denomina declinación magnética. Para cada punto sobre la Tierra tiene un valor diferente y variable. Uniendo puntos de igual declinación magnética resulta una línea llamada isogónica. Estas líneas no son fijas, pues la declinación tiene variaciones (oscilaciones) en períodos de 300 años, un año y un día, llamadas variación secular, anual y diaria, en ese orden. La declinación puede ser este u oeste, dependiendo de que la aguja de la brújula desvíe su extremo N hacia el este u oeste, respectivamente, del meridiano verdadero. La aguja de la brújula no se mantiene horizontal debido a la atracción que ejercen los polos sobre ella. La aguja trata de inclinar su extremo norte en el hemisferio norte y su extremo sur 'en el hemisferio sur. El ángulo que hace la aguja con la horizontal se llama inclinación magnética; este ángulo varía de Oº en el ecuador, a 90º en los polos. Para mantener la aguja horizontal se usan contrapesos. Las líneas que unen puntos de igual inclinación se llaman isoclínicas. RUMBO Rumbo de una recta es la dirección de ésta respecto al meridiano escogido. Se indica por el ángulo agudo que la recta forma con el meridiano a partir de cualquiera de sus extremos N o S, especificando el cuadrante en el cual se toma. Figura 4.3 Medición de rumbos de varias rectas: PA, PB, pe y PD. 56 TOPOGRAFÍA El rumbo puede ser magnético, verdadero o arbitrario, según se tome respecto al meridiano magnético, verdadero o a una recta cualquiera escogida arbitrariamente como meridiano. Así, en la Figura 4.3 se tiene: N 20º E. Rumbo de.PA " " PB " " PC " " PD S 10º E S 60º W N 45º W AZIMUT Azi~nut de una recta es la· dirección de ésta respecto' al meridiano escogido, per? !,Il~dida ya. no como el rumbo.,' por un. ángulo agudo, sino tomada como el ángulo que. existe entre la recta y un extremo del meridiano . .Generalmente se toma. el extremo norte de. éste y el ángulo se mide en el sentido .del movimiento de las man.ecillas. del reloj. En igual forma, el azimut puede s.er verdadero, magnético o arbitrario, según .el meridiano al cual se refiera. El rumbo varía de Oº a 90º y, el. azimut, de Oº a 360º. En el mismo ejemplo se tiene (Figura 4.4): Azimut de PA " " 20º 170º 240º 315º PB " " PC " " PD N A ----------- E s Figura 4.4 Medición de azimutes de las mismas rectas de la Figura 4.3. ÁNGULOS Y DIRECCIONES 57 ÁNGULO DE DEFLEXIÓN Se denomina ángulo de deflexión el ángulo que hace un lado de una poligonal con la prolongación del lado inmediatamente anterior. En la Figura 4.5 son ángulos de deflexión a y ~- Los ángulos de deflexión se consideran positivos o negativos según se hallen a la derecha (D) o a la izquierda (I) de la prolongación. 4 Figura 4.5 Ángulos de deflexión en una poligonal. En una poligonal cerrada, la suma de los ángulos de deflexión es igual a 360º. Tanto en las poligonales como en las triangulaciones es necesario medir ángulos, lo cual se puede hacer por medio de la cinta (como ya se vio), la plancheta, el tránsito, el sextante, o la brújula (como se verá más adelante). CAPÍTULOS LA BRÚJULA V, sus APLICACIONES DESCRIPCIÓN e compone esencialmente de: a) una caja con un círculo, graduado de Oº a 90º en ambas direcciones desde los puntos N y S, y teniendo por lo general intercambiados los puntos E y W con el fin de leer directamente los rumbos; o graduado de Oº a 360º desde el punto N para leer los azimutes; y b) una aguja magnética. La brújula de la Figura 5.1 permite leer rumbos. Cuando la línea de vista se orienta en una dirección dada, la aguja magnética indica el rumbo o el azimut magnético de la visual. Existen algunas brújulas que traen un dispositivo móvil, el cual permite corregir la declinación del lugar (girandp el círculo graduado) y leer entonces rumbos o azimutes verdaderos. Ciertas brújulas traen el tablero con doble graduación, con lo cual se pueden leer rumbos y azimutes. Hay brújulas de bolsillo que se llevan en la mano cuando se hace una observación; también existe la brújula de topógrafo o agrimensor, que va montada sobre un trípode liviano y que se usó muchísimo en toda clase de levantamientos y hoy sólo en levantamientos de muy poca precisión. Esta brújula posee un sistema nivelante, un eje vertical sobre el cual puede girar y tornillos para soltar o fijar la aguja y el eje vertical. Para leer el rumbo o el azimut de una recta se coloca la brújula sobre la linea, se nivela, se suelta la aguja para que pueda girar libremente, se da vista a otro punto de la recta, y cuando la aguja se quede quieta, se lee el ángulo que ésta indica. Recordar que el contrapeso está siempre en el extremo S en cualquier punto situado en el hemisferio norte, o sea en casi todo el territorio colombiano, evita confundir el extremo N con el S de la aguja. Se debe asegurar la aguja con el tornillo de fijación antes de mover la brújula para transportarla a otro sitio. 60 TOPOGRAFIA ~ '> Ql 'O ro Ql e ::¡ o 1/l Ql c. .§ e o __ 3 '' 1 1 O8S ERVAQOR 1 1 ' Figura 5.1 Brújula de bolsillo, marcando rumbo N 30 E. ATRACCIÓN. LOCAL La dirección de las líneas de fuerza magnética (o sea fa dirección señalada por la brújula). se altera po~ la llamada atrac.ción local, originada por la presencia de objetos de .hierro o acero,, de algunos otros metales y por corrientes eléctricas que producen atraccióri magnética .sobre la aguja magnética de la brújula, hasta el punto de que en algunos lugares se hace · imposible el uso de la brújula por una atracción local demasiado grande. El método de detectar y eliminar la atracción local. se basa en las siguientes consideraciones: a) cuando el rumbo de una recta leído. ,enla brújula tiene el mismo valor dd contrarrumbo (contrarrumbo = rumbo tomado desde su otro extremo), o cuando el azimut es igual al contraazimut, más o menos 180º (contraazimut = azimut en sentido opuesto), se dice que en los puntos 61 LA BRÚJULA Y SUS APLICACIONES extremos de esa recta no hay atracción local; b) todos los rumbos o azimutes tomados desde una misma estación están afectados en la misma cantidad, o sea que los ángulos entre rectas tomados d·esde una misma estación y calculados a partir de esos rumbos o· azimutes, no se afectan por la atracción local. Esta segunda consideración es bastante clara si se piensa que la aguja permanece en una sola: posición mientras se observan las direcciones desde esa estación hacia los diferentes puntos. LEVANTAMIENTO DE UN LOTE CON BRÚJULA Y CINTA Generalmente se traza una poligonal inscrita o circunscrita en el lote, se mide la longitud de cada lado y, en cada vértice o estación, el rumbo o azimut atrás y el rumbo o azimut adelante, para detectar si· hay atracción local y corregirla. Cuando en una estación 'hay atracció1~ local, el error en la lectura atrás como en la lectura adelante será el mismo, y si en los puntos extremos de una recta AB, la lectura adelante en A tiene el mismo valor de la lectura atrás eri B (en el caso de rumbos), o difieren en 180º (en el caso de azimutes), es probable que no haya atracción local en esos dos puntos. A continuación se' da un ejemplo de un levantamiento C011 brújula y cinta, la manera. de ajustar la poligonal y de c¿rregir la atracción local. DE LEVANTAMIENTO CON BRÚJULA UN y SITUADO EN _ _ _ _ _ _ __ LOTE PROPIEDAD DE _ _ _ _ _ __ CINTA / -b~ ¡/ A 0 o~- e 'º"' _Bv/l)'lb'ó eorrigidó "evrre.e.ido ANGULO J:NT€1ZIOl1 Rumbo Ob6ervodo Cakvl.,do 60'49' E N 52.º 00' E 67° 11 1 66°53 1 N 52° .22' E a2.· 2.5' 82.º 07' 5 .29º 45 1 é. 118º .31-' 116º16' 93'02.' 92. º++· 361' 12.' 360°00• ~ 30 ~ A ºº 52.• 4-0' W e 41 G N ,2.9'+5' W 76,90 '5 31' +1· W o D (m) D 6 B Dl6f-. c. 5 2.9"45' E ~ l+t:t:t:l+ti:t:l::ttt:t:t:3:t:!:t:::t:t:t:1~:ttt:l lJlEEBEEEESfEE:EE:l:fEEE a1ºs!l'w N 32"02' E A 71,.30 N &I" oo• i: 2.95, 5C w N '-0'45 W Figura 5.1A Modelo de cartera: levantamiento de un lote con brújula que lee rumbos. ) 62 TOPOGRAFÍA Explicación de la Figura 5.1 A Como los ángulos interiores no se afectan por la atracción local, entonces podemos basarnos en ellos para hacer el ajuste y la corrección. Los ángulos interiores deberian sumar (n - 2) x 180º = 360º. Luego sobran 72' que divididos entre cuatro dan una corrección de -18' por ángulo (n = número de lados). Se supone cierto el rumbo o azimut de la recta que no tenga atracción local; si hay varias rectas en esta condición, se supone que una de ellas es, arbitrariamente, la mejor; si ninguna, se escoge la que presente menor discrepancia entre lectura atrás y adelante como base para ir calculando los rumbos (o azimutes) de los otros lados utilizando los ángulos interiores corregidos. En el ejemplo, el lado cuyo rumbo se consideró no afectado por la atracción local fue el BC. A partir de su rumbo se calcularon los otros. Estos levantamientos con brújula se han ido sustituyendo por levantamientos con teodolito, que requieren un trabajo igual y dan mayor precisión; pero en algunos casos la brújula es insustituible, como cuando se trata del interior de un bosque, debido al gran número de lados más o menos cortos con que resultaría la poligonal. Haciendo la corrección por declinación de acuerdo con un mapa isogónico, se obtienen azimutes verdaderos a partir de los tomados con la brújula (Figura 5.2). Cuando la declinación es E (caso 1), se suma al magnético para obtener el verdadero. Si la declinación es W (caso 2), se resta al magnético y da el verdadero. En caso de que se tengan rumbos, se procede en forma s'emejante, considerando el cuadrante respectivo para saber si se suma o resta. e ,§ Q) 'O ,qj C\l 'E Q) > Q) t:: o z § ! -& ~ Caso 1 Figura 5.2 Declinación magnética. e <e,;::. Q) ~ ~ 'é 'O C\l 'EQ) > Q) t:: i o % z Caso2 LA -BRÚJULA Y SUS APLICACIONES 63 T~mbién se puede hacer la corrección por comparación con un rumbo o azimut verdadero que se conozca de alguna recta; hay que tomar varias observaciones a diferente hora para obtener un promedio del valor de la ·declinación. Otro ejemplo Se efectuó el levantamiento del polígono ABCDE mediante brújula y cinta. Se hicieron las medidas de azimutes en cada estación: primero el del lado anterior (atrás) y luego el del siguiente (adelante). Se trata de ajustar el levantamiento por atracción local, para lo cual, primero se calculan y luego se corrigen (por posibles errores de lectura) los ángulos interiores del polígono. En la cartera de campo no se an~taron las longitudes de los lados. N Cartera de campo A A Punto observado Azimut leído E 199º40' 100º15' 280º30' 167240' 348 220' 232º10' 52º10' 310 2 10' 129º45' 20º00' B B c A c B D D c E E D A Corrección= -10'/5 = -2'. Ángulos internos Calculado Corregido 99º25' 99º23' 112º50' 112º48' 116º10' 116208' 102200' 101 258' 109245' 109243' }: = 540 2 10' 540 200' Azimut corregido 200 229' 101º06' 281º06' 168º18' 348º18' 232º10' 52º10' 310º12' 130º12' 20º29' Observaciones 64 TOPOGRAFÍA Cálcttlo de ángttlos internos Normalmente se obtienen por diferencia de los azimutes de los dos lados. Por ejemplo en la estación A, el ángulo interno es 199º40'-100º15' = 99º25. En D, en cambio, haciendo 360º - 310º10' se obtiene el ángulo NDE = 49º50'; si a éste se le suma el azimut DC = 52º10' se obtiene: 49º50' + 52º1 O' = 102º00' que es el ángulo interno . . Corrección de áng11los internos En la poligonal cerrada ABCDE la suma de los ángulos internos debe ser (n - 2) x 180 = (5 - 2) X 180 = 540º00'. Al hacer la suma de los ángulos obtenidos s~ encuentra 540º10'. Luego h~y un error de +10'; entonces, cada uno de los cinco ángulos se debe corregir en -10' /5 = -2'. Corrección de azivmtes Se consideran correctos el azimut y el contraazimut de aquel lado en que la diferencia entre los dos sea 180º. En este caso, para el lado CD, el contraazimut y el azimut tienen 232º10' - 52º1 O' = 180º00' de diferencia. Tomados como correctos, a partir de ellos se van calculando los otros, avanzando sobre la poligonal en el sentido en que se facilite el trabajo y aplicando el principio de que "en los extremos de una recta no existe atracción local cuando el azimut es igual al contraazimut más o menos 180º", y el de que "los ángulos entre dos rectas tomados desde una misma estación no se afectan por la atracción local". En el problema se tiene: Azimut correcto de CD = 232º10' Angulo correcto en C = 116º08' Azimut correcto de CB = 348º18' (ver el gráfico y la cartera) Avanzando de la estación C a la estación B: si en C y en B no bqy atracción local, Azimut BC contraazimut BC ± 180º Azimut correcto BC Ahora: si· aZÍmut correcto BC y ángulo correcto en B :. Azimut ·correcto BA azimut correcto CB ± 180º 348º18' - 180º00' = 168º18' 168º18' 112º48' 281º06' Pasando de la estación B a la estación A y si se supone que en ninguna de las dos hay atracción local: Azimut correcto AB = contraazimut AB Azimut correcto AB ± 180º azimut BA ± 180º 281º06' - 180º00' 101º06' LA BRÚJULA y sus APLICACIONES - 65 En igual forma, se sigue avanzando de un vértice a otro de la poligonal hasta llegar de nuevo al punto o estación de partida, en este caso C. Si de · allí en adelante se trata de continuar corrigiendo, ya no será posible, si lo . que se realizó antes se hizo correctamente. Fuentes de error en levantamientos con brújula 1. Aguja doblada (no recta). Se elimina leyendo ambos extremos, encontrando el 'error y promediándolo. Es preferible retirar la tapa de vidrio y enderezar la aguja, pero evite tocarla con las manos, pues esto trata de desimantada. 2. Soporte de la aguja doblado, o sea que el punto de giro no coincide con el centro geométrico del círculo. Se elimina igual que (1). 3. Aguja lenta (perezosa). La aguja, al detenerse, no queda señalando la N-S magnética; hay que golpear ligeramente el vidrio para producir vibración y hacer que la aguja tome su verdadera posición. Si la aguja está muy desmagnetizada, se magnetiza de nuevo deslizando el polo S de un imán, del centro hacia el extremo, sobre la parte norte de la aguja y viceversa. En ocasiones la aguja perezosa se debe a que el pivote ofrece resistencia al libre giro de la aguja; vale, pues, la pena revisarlo. 4. Falta de. habilidad del observador para leer el punto que, sobre el círculo, señala la aguja.• Es menor el error cuando la aguja es más larga, o sea el círculo graduado más grande. 5. Las variaciones magnéticas son lás principales fuentes de error. Esto hace que sólo se efectúen levantamientos empleando la brújula cuando no se necesita precisión en la determinación de los ángulos. Se debe tener cuidado en ·mantener alejados objetos de hierro o acero mientras se hacen las observaciones. También perturban la aguja las cargas estáticas de electricidad en el vidrio de la cubierta. Tocando el vidrio con el dedo húmedo, se descarga. Problemas 1. El rumbo magnético de una línea es N78º29'W y la declinación del lugar es 3º40'W. ¿Cuál es el rumbo verdadero? SOLUCIÓN: Rumbo verdadero = 78º29' + 3º40' Rumbo verdadero = N82º09' W 66 TOPOGRAFÍA 2. Se hizo un levantamiendo en una época en la cual la declinación magnética era 08º40'E en esa zona, y se encontró que el rumbo magnético de una línea era N25º45'E. Ahora la declinación en el mismo sitio es 02º15'W. ¿Cuál era el verdadero rumbo y el rumbo magnético que se necesita ahora para replantear la línea? SOLUCIÓN: Rumbo verdadero Rumbo magnético (actual) = 25º45' + 08º40' = N34º25'E = 34º25' + 02º15' = N36º40'E 3. Se dan los siguientes rumbos magnéticos tomados en una poligonal; corregirlos por atracción local: Estación Rumbo atrás Rumbo adelante N372 15'E S65 230'E S31 2 00'E N89 2 15'E S46 230'1; S15 2 00'E A B S36 2 30'W e N66g_15'.W N31 2 00'W sa9 245'W N46º45'W N14º45'W D E F G Figura 5.2A Croquis de la poligonal. SOLUCIÓN: Estación Ángulo de deflexión Atracción local 12 30' W A B 78 200' '\0º45' 'IV_ ,.1 e 352 15' ( 59º45' 43 245' ~1 2'< 45' 02 30' w 02 15' W D E F G LA 67 BRÚJULA Y SUS APLICACIONES-. . -~' Se ve que la línea CD no presenta\ atracción local, así que se toma su azimut como verdadero y a partir de éste se encuentran los demás. Rumbos corregidos S31 200'E C-D: C-8: N662 15'W 8-A: S35º45'W D-E: N89º15'E E-F: S472 00'E F-G: S15º15'E D-C: N31º00'W 8-C: S66º15E A-8: N35º45'E E-D: S89º15'W F-E: N47200'W G-F: N15º15'W 4. La misma poligonal del problema 3, habiendo leído azimutes magnéticos y en una cartera de campo normal: Á < Azimut observado A 8 8 A 37º15' 2162 30' 1142 30' 2932 45' 1492 00' 329 2 00' 89º15' 269 245' 1332 30' 313 2 15' 1652 00' 345º15' e D E F G e 8 D e E D F E G F Ángulo de deflexión 78º00' 35 2 15' 59º45' 43 245' 31º45' Azimut corregido 35º45' 215º45' 113º45' 293º45' 1492 00' 329º00' 89 2 15' 269º15' 133º00' 3132 00' 1642 45' 344º45' 68 TOPOGRAFÍA .Solución a) Como en este caso no hay á11g11los internos, se hallan los ángulos de deflexión como auxiliares. Éstos no están afectados por atracción local. Se podría usar cualquiera de los otros ángulos que se forman en cada vértice. b) Se parte, también, del lado que no presente atracción local; CD, en este caso. O del que presente menos atracción local. c) Se procede a recalcular todos los azimuts corregidos. CAPÍTULO 6 DIBUJO TOPOGRÁFICO GENERALIDADES 1 dibujo topográfico comprende la elaboración de planos (o mapas) en los cuales se representan la fo1ma y accidentes de un terreno. Es necesario hacer la distinción entre mapa planimétrico o plano simplemente, y mapa altimétrico o topográfico propiamente dicho. En el primero de éstos se representan accidentes naturales y artificiales del terreno tales como quebradas, lagos, linderos, obras, etc.; y en eL segundo, además de esto, se representa el relieve del terreno, mediante las curvas de nivel, que se conocerán más adelante. Figura 6.1 Líneas geográficas. 70 TOPOGRAFÍA En el dibujo topográfico, además del dibujo de la planta, el perfil, y las secciones transversales, hay necesidad de realizar cálculos gráficos, luego la precisión en la localización de puntos y líneas sobre el plano es factor muy importante. Puesto que la superficie de la Tierra es esférica y la superficie sobre la cual se dibuja es' plana, no se puede representar un territorio dado sin alguna distorsión; pero como las áreas medidas en topografía son relativamente pequeñas, se pueden considerar planas y, por tanto, representar sobre un mapa construido con proyecciones ortogonales. Así, un punto se puede localizar por sus dos coordenadas o por un ángulo y una distancia. Los mapas de países o de extensiones muy grandes de tierra no pueden representarse valiéndose de estos métodos topográficos, que resultan inadecuados, sino que usan las coordenadas geodésicas o geográficas: latitud y longitud (Figura 6.1). Como se ve en la figura, la latitud de un · punto P es <I>, ángulo medido en el plano del meridiano que pasa por P, entre el plano del ecuador y la normal al elipsoide en P, mientras que la longitud del punto P es el ángulo /1,, medido en el plano del ecuador entre el meridiano que pasa por Greenwich y el meridiano que pasa por P. Para representar sobre un plano estos meridianos y paralelos hay diferentes métodos, los cuales no son materia de este libro. Al tratar este tema del dibujo topográfico se supone que el estudiante ya está familiarizado con el manejo de los instrumentos esenciales de dibujo y, por tanto, se omite cualquier explicación a este respecto. En un mapa deben aparecer: 1. Espacio apropiado y debidamente situado para indicar a manera de título: propósito del mapa, o proyecto para el cual se va a usar; nombre de la región levantada; escala; nombre del topógrafo o ingeniero; nombre del dibujante; fecha. 2. Escala gráfica del mapa e indicación de la e.scala a la cual se dibujó. 3. La dirección norte-sur. 4. Indicación de las convenciones usadas. TíTULO La posición m~s indicada para colocarlo es la esquina inferior derecha, excepto cuando pof algún motivo haya que hacerlo en otro sitio. El tamaño debe estar en prop6r~ión al tamaño del mapa; hay que evitar la tendencia a hacerlo demasiado- grande. Cada letrero debe quedar bien centrado y su repartición ha de ser tal que se vea bien distribuido. Se indica a continuación u11 título que puede servir de modelo. 7'1 DIBUJO TOPOGRÁFICO Se debe comenzar por el principal objeto del dibujo, o por el nombre de la zona levantada. La letra tiene que ser unifor~e y sólo es permisible cambiar de estilo para destacar partes importantes del Ütulo. Para resaltar la diferencia \ entre el número de M2 y el de V 2 del área, este último se anota en color rojo. Todo lo demás, en negro. VIAL CO PLANO DE & UN co. LOTE SITUADO EN _ _ _ __ PROPIEDAD D c - - - - - Á RE A _ _ M2_ _ _ v2 ESCALA 1 :500 LEVANTÓ - - - D I B U J Ó - - APROBÓ-BOGOTA. o.e., MAYO DE 2000 Figura 6.2 Modelo de título para un plano. ESCALAS Representan la relación fija existente entre cada distancia en el mapa a la correspondiente distancia en el terreno. Como por lo general no se indican dimensiones en el mapa, es necesario indicar la escala a que se ha dibujado, ya sea gráfica o numéricamente. 1. Numéricamente: si, por ejemplo, 1 ero en el plano representa 200 ro en el terreno, se indicará: 1 ero: 200 ro Regularmente se indica en las mismas unidades, y en tal caso sería: 1 : 20.000 No resultando necesario indicar ya las unidades; ésta es la forma más usada. 2. Gráficamente: consiste en dibujar la: escala gráfica en una línea sobre el plano, subdividida en distancias que corresponden a determinado número de unidades en el terreno; las formas más comunes de indicarla son como las que se representan en la Figura 6.3. Para mayor claridad, se subdivide sólo una sección en fracciones más pequeñas y esa es la llamada cabeza de la escala. Las escalas numéricas están sujetas a error, pues el papel se alarga o encoge con los cambios de temperatura y humedad, siendo esto muy 72 TOPOGRAFÍA frecu.ente. Por tanto, es conveniente indicar ambas escalas, la numérica y la gráfica; además, los mapas se reproducen a menudo a diversos tamaños por sistemas fotográficos y en tal caso sólo queda efectiva la escala gráfica. Hay que aclarar que la escala numérica es la escala original a la cual se dibujó el plano. Om 10m 20m Escala F F 100m 50m Esca la O 1: 5 O O 1 Om 30m 0,5 km 1.5 km 1 km Escala 150m 1: 2, 00 O 2,0km 1: 25.000 Figura 6.3 Modelo de escalas gráficas. La escala gráfica se debe dibujar en un lugar destacado para que fácilmente se pueda ver, y el sitio más indicado es cerca del título. La magnitud de la escala depende del fin para el cual se vaya a dibujar el mapa y, en cierto modo, de la calidad y extensión de la zona mostrada. En general no debe ser mayor de la necesaria para localizar detalles con la precisión requerida .. En proyectos de ingeniería, las escalas generalmente oscilan entre Para mapas de catastro entre Para mapas geográficos entre. 1 : 200 y 1 : 10.000 1 : 10.000 y 1 : 50.000 J : 50.000 y 1 : 500.000 Por conveniencia, las escalas se dividen así: Escalas grandes Escalas intermedias Escalas pequeñas 1 : 1.200 1 : 1.200 1 : 12.000 o menos a 1 : 12.000 en adelante LA NORTE-SUR La dirección del meridiano se indica por medio de una flecha que señala el norte; ésta debe ser de longitud suficiente como para poder llevar su dirección a cualquier parte del mapa con suficiente precisión. Cuando se indica la norte-sur verdadera, se hace por medio de una flecha completa; cuando 73 DIBUJO TOPOGRÁFICO la indicada es la norte-sur magnética, se hace por medio de una flecha en que se dibuja sólo medio lado. Cuando se desea indicar ambas direcciones, se ha de anotar el ángulo de declinación magnética (ver Declinación magnética). Figura 6.4 Indicación de la norte-sur. LETREROS Puesto que un dibujo tiende a ser juzgado por la calidad de sus letreros, es importante que el dibujante esté capacitado para hacer las letras y para agruparlas en tal forma, tamaño y disposición que el letrero sea claro y de apariencia agradable. La letra no debe ser complicada sino sencilla y clara. Cuando los letreros se hacen sin ayuda de instrumentos mecánicos o electrónicos, se deben usar guías que faciliten que los letreros queden alineados. No hay que elaborar letreros en un mismo dibujo que combinen letras hechas a mano y con aparatos. Hoy en día, la mayoría de los planos y letreros se hacen con la ayuda del computador, como se presenta más adelante. Las siguientes normas son las que hay que ·tener en cuenta para dibujar un letrero, si no se dispone de medios mecanizados: 1. Estar suficientemente familiarizado con cada letra para que su forma siempre sea la misma. 2. Conservar la misma inclinación en todas las letras, con lo cual se logra un buen. efecto, aun si están. dibujadas defectuosamente. f 74 r :: ••::¡, l.• • ~ ' ,. ;r, TOPOGRAFÍA 3. No inclinar demasiado las letras. Aproximadamente 22º. 4. No tratar de mejorar las letras hechas a mano realizando los tramos rectos por medios mecánicos. · 5. Los tres defectos más notables en el principiante son: variar las formas de las letras; dejar espacios excesivos; desigual espaciamiento entre. las letras de una misma palabra. 6. Hacer los letreros de tamaño proporcional a su importancia. Los nombres de los objetos más grandes o más importantes deben destacarse. NOTAS y LEYENDAS Con frecuencia se necesitan notas explicativas para interpretar un dibujo. Éstas deben ser tan breves como las circunstancias lo permitan pero, a la vez, contener suficiente información para aclarar toda duda que se suscite en la persona que haga uso del dibujo. Estas ."notas y leyendas" se colocan preferiblemente en la parte inferior, a la izquierda del título. SIGNOS CONVENCIONALES Para evitar que la claridad de un mapa sea aminorada al mostrar tal como son los objetos en el terreno, se utilizan los llamados signos convencionales, que se dibujan de un tamaño proporcional a la escala del mapa. Los más comunes son los que se muestran en la Figura 6.5. SISTEMAS AUTOMÁTICOS DE DIBUJO Los computadores digitales se han convertido e,n la herramienta más útil en el trabajo del ingeniero y eso es cierto también en la parte gráfica o de dibujo. Los sistemas de dibujo ayudado por computador (CAD - Computer Aided Drafting) son ya elementos de trabajo comunes en las oficinas de ingeniería y de topografía, y existen sistemas específicos de mapeo automático (AM Automated Mapping) utilizados para levantamientos topográficos y trabajos de sistemas de información geográfica (SIG). El equipo o hard111are que se recesita para operar estos sistemas consta de un computador con disco duro de buena capacidad y monitor (o pantalla) de alta resolución, dispositivo'cle-~ntrada, ratón y el graficador o plottet~ El sojt111are permite poner a trabajar el computador y sus accesorios para diseñar y dibujar los planos o mapas. Mientras se está elaborando el trabajo -~~~"'l SE::CU)HAA. S-Ot-ORIIO BIBLIOTECA DIBUJO TOPOGRÁFICO J A gran escala ======================== CORRIENTES DE AGUA 75 CERCAS •--><-•-•--•~ De alambre de púas Carreteable en proyecto A escala pequeña CAJRR TERAS De alambre liso ---Sendero, trocha ~ Vallado, setos 7 11111111111111111 ~eacuerdocon De una via FERROCARRILES la escala y _el oo:~~¡g,;t:ri93;a:s;;eei!G;i.;.s8'®~s&-!&SC::f8!~'1.g,k'.:f2B<:12e 111 1 1 111 1 11 1111 1 !amano Cerca de piedra _J .. Do dobla,. --1,;;;~=],es ===t:::::__=€==-= En carretera ,-·,J ______ .,-.., __________ J LINEAS ~ - r -,- -,- -r--r- -r--,- -,--,- Linea telefónica Linea de conducción LAGO CULTIVOS POTREROS .. PANTANOS ~~~ .\ll(¡. PUE TES ,1.11,_ EDIFICACIONES ·•an D.. LO,. Estación Vértice de geodésica triangulación .>Úl<. PALMERAS cll! ~ * ~ ARBOLES r~ Figura 6.5 Signos convencionales más usuales. se puede ver el dibujo en la pantalla y, a la vez añadir, quitar o cambiar cualquier detalle, tanto en el dibujo propiamente dicho como en los títulos, letreros y demás aspectos; cuando ya esté el plano completo, se activa el graficador para que haga el dibujo. Los datos se pueden introducir mediante el teclado (coordenadas, ángulos y distancias, etc.), pero también hay procedimientos para meterlos desde una cartera electrónica o desde unidades de GPS. Los planos ya terminados se pueden ahnacenar en forma digital para hacer copias de ellos cuando se desee; también se les pueden efectuar revisiones cuando sea necesario y se pueden trasmitir electrónicamente, de un computador a otro, por medio de la red. CAPÍTULO 7 EL TEODOLITO GENERALIDADES 1 teodolito (Figura 7.1) es un aparato que se adapta a múltiples usos en topografía. Se utiliza principalmente para medir ángulos horizontales y verticales, para medir distancias por taquimett:ía o con la estadia y para trazar alineamientos rectos. Generalmente se considera que teodolito y tránsito son sinónimos, aunque hay cierta diferencia entre los dos: el tránsito tiene los círculos hechos de metal y las lecturas de la parte fina de los ángulos se hace mediante un vernier o nonio y, por lo regular, son aparatos antiguos; los teodolitos más modernos tienen los círculos hechos de vidrio y la lectura de los ángulos se precisa por medio de micrómetros. Actualmente se producen y usan "teodolitos electrónicos" y "estaciones totales", de los cuales se comenta en el Capítulo 29. El tránsito o teodolito se compone de un telescopio que puede girar respecto a un eje vertical y a un eje horizontal; para medir esos giros posee un círculo horizontal y uno vertical, respectivamente. Está provisto, generalmente, de una brújula. Todo el aparato va montado sobre un trípode para facilitar el trabajo. El telescopio está sostenido por dos soportes que descansan sobre el plato superior, el cual está provisto de niveles de burbuja para poder nivelarlo. Este plato gira, con los soportes y el anteojo a la vez, sobre un cono interior. El plato inferior, que lleva el círculo graduado, gira también sobre un cono llamado cono exterior. Éste cubre el cono interior y, a su vez, va dentro de un cono fijo que lleva los tornillos de nivelar, los cuales tienen la función de hacer verdaderamente vertical al eje vertical del aparato. El telescopio se puede fijar en cualquier posición vertical y horizontal por medio de los tornillos de fijación; también se pueden efectuar pequeños giros verticales y horizontales por medio de los tornillos de movimiento lento. A continuación detallamos las partes principales de un tránsito. 78 TOPOGRAFÍA Eje vertical 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) . 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) Eje horizontal 24) 25) 26) 27) 28) 29) 30) 31) Tubo del anteojo Tornillo de enfoque del objetivo Línea de vista y eje óptico del anteojo Ocular Tornillo de corrección del nivel del anteojo Nivel del anteojo Tornillo de movimiento lento vertical Nivel del plato Aguja de la brújula Tornillo de movimiento lento del plato Tornillo de fijación del plato Tornillo de.fijación del círculo Tornillo de nivelación Rótula o articulación Rosca de la cabeza del trípode Círculo vertical Nonio del círculo vertical Soporte del anteojo Círculo horizontal Cono exterior Cono Interior Conofljo Mesilla de nivelación (enroscada a la cabeza del trípode) Trípode Soporte de la plomada Tornillo de fijación del anteojo Nonio del círculo horizontal Enfoque del retículo Cubierta del círculo vertical Anillo del retículo Caja de la brújula Línea de vista y eje óptico Figura 7.1 Sección transversal y vista superior de un tránsito. EL TEODOLITO 79 Nivel de burbuja Es un tubo de vidrio que presenta en su parte superior unas divisiones uniformemente espaciadas, y cuya superficie interior tiene forma de barril, o sea que una línea longitudinal A-B en su cara interior será un arco de círculo. El tubo está casi lleno de éter sulfúrico o alcohol, y el espacio restante, de aire, formando una burbuja que ocupa la parte más alta (Figura 7.2). El tubo va dentro de una caja metálica que lleva tornillos para fijarla al aparato. Una recta tangente a la curva de la cara interior del tubo en su punto medio se denomina "eje de nivel". Cuando la burbuja está "centrada" (dentro de sus "reparos"), el eje del nivel debe quedar horizontal. PERSPECTIVA SECCIÓN VERTICAL Figura 7.2 Nivel de burbuja. -·-·-·-·-·-·-·--..:·-:.;·.:=-:.:.·-~-~,.,.-~.:.::-:.::·-·-· E~ del nivel .• I I I A I I / I I I I I / I 8 I I R I I ,' Figura 7.3 Sensibilidad de un nivel. La sensibilidad de un nivel es proporcional al radio de la curvatura (R) de la cara interior del tubo (Figura 7.3). A mayor radio, la burbuja ocupa mayor espacio y, entonces, a una pequeña inclinación del tubo corresponde un mayor desplazamiento de la burbuja fuera de sus "reparos". 80 TOPOGRAFÍA La sensibilidad se expresa por el número de segundos del ángulo que subtiende el arco correspondiente a una división. De esta manera, la sensibilidad es inversamente proporcional al número de segundos. Regularmente cada división es de 2 mm y los valores más comunes que expresan la sensibilidad son 30" para el nivel del anteojo. y .75" para los del plato. Al primero corresponden 20 m y, al segundo, 5 m de radio de curvatura. Nivel del plato Tornillos de nivelación Figura 7.4 Mecanismo de nivelación de un tránsito. En general, la sensibilidad es apropiada cuando, al primer movimiento que se note en la burbuja, se aprecie un movimiento en la línea de vista. Mecanismo para nivelar el aparato Como es indispensable que el eje vertical sea verdaderamente vertical, con lo cual el círculo horizontal queda verdaderamente horizontal, entonces es necesario nivelar el aparato. Esta operación se hace por medio de los tornillos de nivelar y de acuerdo con los niveles del plato. El mecanismo que hace posible esta nivelación. se puede ver esquemáticamente en la Figura 7.4. La cabeza nivelante (C) se puede inclinar (inclinando a su vez el aparato), gracias a la articulación de rótula (A) que hace flexible su conexión con la EL 81 TEODOLITO base (B) (ésta lleva una rosca (R) para fijarla al trípode). La inclinación de la cabeza nivelante es regulada por los tornillos de nivelar. 1 Figura 7.5 Nivelación con cuatro tornillos. Los tornillos de nivelar son cuatro en los aparatos americanos y tres en los europeos. Para nivelar un aparato de cuatro tornillos, se hace lo siguiente: se gira el plato hasta que el nivel quede paralelo a dos tornillos opuestos (Figura 7 .5); se centra la burbuja del nivel moviendo los dos tornillos (marcados XJ, en sentido contrario, la misma cantidad. La burbuja se desplaza de acuerdo con la dirección del movimiento del pulgar de la mano izquierda. Se gira luego el plato 90º (Figura 7.5) y se hace lo mismo con los otros dos tornillos opuestos (X¡¡). El proceso se repite alternativamente sobre dos pares de tornillos opuestos, hasta que la burbuja permanezca centrada en cualquier posición del plato. Si el aparato tiene en el plato dos niveles perpendiculares entre sí, no hay necesidad de girar el instrumento, pues cada nivel queda paralelo a dos tornillos opuestos y se centra cada burbuja con ellos. Si el aparato tiene tres tornillos de nivelar, se pone el nivel primeramente paralelo a dos de ellos (Figura 7.6, parte A) y se centra la burbuja; luego se gira 90º, de modo que el nivel quede paralelo a la perpendicular bajada desde el tercer tornillo a la línea que une los otros dos (Figura 7.6, parte B); en esta segunda posición para centrar la burbuja sólo se emplea el tercer tornillo (también se observa la regla del pulgar izquierdo para el desplazamiento de la burbuja). 82 TOPOGRAFÍA 1, 1 A B Figura 7.6 Nivelación con tres tornillos. En los tránsitos se debe cuidar que todos los tornillos de nivelar estén siempre en contacto con la base. Si un par de tornillos se ajusta demasiado, se debe girar uno de éstos hasta que se noten nuevamente suaves. Cuando ya falte muy poco para centrar la burbuja, se puede hacer con un solo tornillo sin que esto ajuste, ni afloje, demasiado el instrumento a la base. En los teodolitos modernos la rótula ha sido remplazada por otros sistemas de basculamiento, y en ellos no es necesario girar tornillos opuestos cantidades iguales; cada tornillo se puede girar independientemente de los demás, sin que por eso se apriete demasiado o se suelte de la base. El anteojo Es un telescopio que permite lanzar visuales a distancias relativamente grandes. Existen dos tipos de anteojo: el de enfoque interno (Figura 7. 7) y el de enfoque externo (Figura 7.8). En el primero, el objetivo permanece fijo y el enfoque se logra mediante un lente interior llamado "lente de enfoque"; en el segundo, el enfoque se hace moviendo el objetivo. Hoy en día todos los aparatos traen anteojo de enfoque interno, pues éste presenta las siguieJ?-tes ventajas: 1) el anteojo es más corto; 2) ambos extremos . del anteojo permanecen herméticamente cerrados, con lo cual se evita que entren mugre y arenisca que obstruyen y ocasionan desgaste; 3) elimina la constante de adición en la taquimetría, con lo cual se consigue simplificar los cálculos taquimétricos (ver Taquimetría). Las partes principales de un anteojo son: 83 EL TEODOLITO ANTEOJO DE ENFOQUE EXTERNO 1) portaocular; 2) tornillo de enfoque; 3) objetivo; 4) hilos del retículo · 5) lente de enfoque; 6) línea de vista Figuras 7.7 y 7.8 Tipos de anteojo. Objetivo Es un lente compuesto de uno exterior biconvexo, de cro11111 glass, y otro interior cóncavo-convexo, de cristal. Debe ser un lente compuesto, pues si fuera solamente un lente biconvexo tendría el inconveniente de la aberración esférica (los rayos laterales forman un foco más cercano al lente y, por tanto, la imagen no se forma sobre un plano sino sobre una superficie esférica, presentándose borrosa) y la aberración cromática (debido a que los diferentes colores del espectro sufren retraso, unos en relación con otros, al atravesar el lente, haciendo descolorida la imagen). El objetivo produce, sobre el plano del retículo, una imagen invertida del objeto. Hilos del retículo Son un par de hilos, uno horizontal y el otro vertical, sostenidos por un anillo metálico llamado retículo (Figura 7.9). Por lo general son hilos de tela de araña o de platino. Ahora se usan rayados finamente sobre un vidrio. El retículo se mantiene en debida posición por medio de cuatro tornillos que permiten: 1) que éste sea desplazado vertical u horizontalmente, para lo cual se giran en sentido contrario los dos tornillos verticales o los dos tornillos horizontales; 2) que se pueda girar, para lo cual se aflojan dos 84 TOPOGRAFÍA tornillos consecutivos, se gira y luego se vuelven a ajustar. Cuando hay que remplazar provisionalmente los hilos del retículo, se hace con hilos de araña joven, para que sean lo más finos posible. El retículo puede llevar también otros hilos adicionales para taquimetría, como se ve en la Figura 7.10, llamados hilo superior e hilo infel'ior, equidistantes del hilo horizontal principal, o hilo medio. Sobre el plano de los hilos del retículo debe caer la imagen del objeto formada por el objetivo. Figura 7.9 Anillo e hilos del retículo. Hilo ertical Hilo superior Figura 7.10 Hilos del retículo taquimétrico. EL 85 TEODOLITO Ocular Hace las veces de un microscopio, ampliando la imagen formada sobre el plano del retículo. Hay dos tipos de ocular: a) el que invierte la imagen que ha formado el objetivo, presentándola al ojo en su posición normal; lo usan los anteojos llamados de imagen normal (Figura 7.11); b) el que no invierte la imagen formada por el objetivo sino que sólo la aumenta; lo llevan los aparatos llamados de imagen invertida. (Figura 7.12). Este tipo es más ventajoso por hacer más corfo el anteojo y, además, porque debido a que tiene menos lentes, da una imagen más brillante y clara. En poco tiempo el topógrafo se acostumbra a ver las imágenes invertidas y esto no afecta para nada su trabajo. Objeto 1. 1magen sobre el plano del retículo (invertida). 2. Imagen vista por el ojo (imagen normal). 3. Eje óptico. Figura 7.11 Ocular de imagen normal. La línea de vista queda definida por la intersección de los hilos del retíwlo y el centro del objetivo. Eje óptico es la dirección según la cual un rayo de luz no experimenta desviación alguna al atravesar un lente. El eje óptico del objetivo debe coincidir con la línea de vista, para lo cual se pueden subir o bajar los hilos del retículo. 86 TOPOGRAFÍA Objeto 1. Imagen invertida sobre el plano del retículo. 2. Imagen invertida que ve el observador. 3. Eje óptico. Figura 7.12 Ocular de imagen invertida. Poder de aumento del ocular Es la relación existente entre el ángulo con el cual se vería el objeto sin anteojo, y el ángulo con el cual se observa la imagen aumentada: aumento a a/a1 (Figura 7.13). El poder de aumento de un telescopio varía en los teodolitos de 20 a 40 diámetros, según sea teodolito de tipo ordinario o de precisión. = = Figura 7.13 Poder de aumento del ocular. Enfoque a) Del ocular: se mueve el portaocular hacia adentro o hacia afuera hasta que se vean nítidos los hilos del retículo. Esto se debe hacer con frecuencia, pues a medida que se fatiga el ojo, su visión varía. 87 EL TEODOLITO b) Del objetivo: con el tornillo de enfoque y gracias a un sistema de engranaje que permite deslizar el portaobjetivo, se hace que la imagen caiga sobre el plano del retículo. El objetivo se enfoca cada vez que varíe la distancia al objeto que se quiere observar. Para comprobar si el anteojo ha quedado correctamente enfocado, se mueve un poco el ojo para ver si existe paralaje. Si lo hay, se ve un movimiento aparente de los hilos del retículo sobre la imagen, debido a que no han coincidido el plano en el cual se forma la imagen y el plano de los hilos del retículo. La paralaje se debe eliminar, pues es una fuente de error; hay que volver a enfocar el ocular, el objetivo o ambos, hasta que ésta desaparezca. Es aconsejable mantener ambos ojos abiertos mientras se esté observando, pues así se fatigan menos. Tornillos de fijación y de movimiento lento El aparato posee unos mecanismos (dos de los tipos más comunes se muestran equemáticamente en la Figura 7.14) para poder fijarlo en cualquier posición e imprimirle pequeños movimientos respecto al eje fijo (5). Cuando (1) está suelto, el cono exterior (4) puede girar libremente alrededor de (5). Cuando (1) se ajusta, la abrazadera (3) presiona a (4) y le impide girar. Sin embargo, se le puede imprimir un pequeño giro a todo el conjunto (cono exterior y abrazadera) ajustando o aflojando (2), el cual actúa directamente sobre el tope (6) que permanece fijo. 4 1) Tornillo de fijación; 2) Tornillo de movimiento lento; 3) Abrazadera; 4) Sección del cono exterior; 5) Sección del cono Interior (fijo); 6) Tope (fijo); 7) Resorte que presiona (2) contra (6). Figura 7.14 Tornillos de fijación y de movimiento lento. 88 TOPOGRAFÍA CORRECCIONES AL TEODOLITO Para que un teodolito funcione correctamente debe cumplir las siguientes condiciones: 1. · Los ejes de los niveles del plato deben estar en un plano perpendicular al eje vertical del aparato. COMPROBACIÓN: Se nivela el aparato (Figura 7.15, parte A), luego se gira 180º sobre su eje vertical (Figura 7.15, parte B); si en esta nueva posición la burbuja permanece centrada (no se sale de sus "reparos"), se cumple. la condición enunciada. Figura 7.15 Eje del nivel del plato perpendicular al eje vertical. Por el contrario, si la burbuja se. sale de sus reparos, el ángulo formado por el eje del nivel y el eje vertical del aparato no es recto, sino de (90-a), como se puede ver en la Figura 7.16, parte A. Al girar el aparato 180º, el error inicial a se duplica (Figura 7.16, parte B), razón por la cual tan sólo se corrige la mitad del desplazamiento observado. A B Figura 7.16 Eje del nivel del plato haciendo un ángulo con la horizontal. EL 89 TEODOLITO CORRECCIÓN: Se efectúa sobre la segunda posición, corrigiendo la mitad con los tornillos de ajuste del nivel y la otra mitad con los tornillos de nivelar. Es necesario comprobar nuevamente, repitiendo el procedimiento. 2. El hilo vertical del retículo debe ser verdaderamente vertical (por tanto, el hilo horizontal tiene que ser verdaderamente horizontal). COMPROBACIÓN: Se coloca una plomada a una distan da aproximada· de 50 m del aparato. Estando la plomada en reposo, se hace coincidir el. hilo vertical del retículo con el hilo de la plomada; si éstos coinciden exactamente (como en la Figura 7.17, parte A), se cumple el enunciado. A B Figura 7.17 Posiciones correcta e incorrecta del hilo vertical. CORRECCIÓN: Si ocurre como en la Figura 7.17, parte B, hay necesidad de corregir los hilos del retículo, para Jo cual se aflojan dos tornillos consecutivos, y se gira el retículo hasta que suceda como lo ilustrado en la parte A de la misma figura. En seguida se. vuelven a ajustar estos tornillos. 3. La linea de vista deb<:! ser perpendicular al eje horizontal del anteojo (Figura 7 .18, parte A). COMPROBACIÓN: Se nivela el aparato en O (Fjgura 7.18, parte B), se pone una estaca en A a una distancia aproximada de ·100 m; se transita .el aparato y se coloca 90 TOPOGRAFÍA otra estaca en B a igual distancia aproximadamente; se gira 180º y se mira de nuevo a A; se vuelve a transitar y si la visual pasa por B exactamente, se cumple lo enunciado. (A) (B) Figura 7.18 Línea de vista perpendicular al eje horizontal del anteojo. CORRECCIÓN: Si el aparato está descorregido, la visual no pasa por B, sino por el punto C (Figura 7.19); hay que corregir el retículo (con dos tornillos opuestos) hasta que la visual pase por el punto D, situado a 1/4 de la distancia CB, a partir del punto C. Se corrige sólo una cuarta parte, pues en la distancia CB el error a ha quedado incluido cuatro veces (Figura 7.19). Esta corrección debe efectuarse en un terreno que sea más o menos plano. ~ J e / ' posición B 90 A--------------------------- -- --------------- D e Eje horizontal 1.íl posición Figura 7.19 Interpretación de la corrección cuando el eje horizontal está d_escorregido en ex. EL 91 TEODOLITO 4. El eje horizontal debe ser perpendicular al eje vertical del aparato. COMPROBACIÓN: Se coloca el tránsito cerca de un muro sobre el cual se pueda localizar un punto A bajo un ángulo vertical > 45º (Figura 7.20, parte A). Se nivela con cuidado, con lo cual el eje vertical es verdaderamente vertical. Se mira al punto A y luego a un punto B, situado debajo de A, cercano al suelo. Se transita el anteojo y se hace un giro sobre el eje vertical para enfocar nuevamente el punto A. Inclinando el anteojo, la línea de vista debe caer sobre el punto B, lo cual confirma el enunciado. CORRECCIÓN: Si la línea de vista no cae exactamente sobre B sino sobre un punto C (Figura 7.20, parte B), hay que efectuar la corrección enfocando al punto D, medio entre B y C, levantando luego el anteojo hasta la altura del punto A y haciendo coincidir la visual con A por medio del tornillo de corrección que sube o baja un extremo del eje horizontal (Figura 7.20, parte C). Se va ajustando o soltando este tornillo hasta que el plano vertical de la línea de vista contenga a A y a D. A A 1) Eje horizontal descorregido 2) Posición correcta del eje horizontal B Figura 7.20 Comprobación y corrección para hacer el eje horizontal perpendicular al vertical. 5. La linea de vista debe ser horizontal cuando la burbuja del anteojo esté centrada (dentro de sus "reparos"). COMPROBACIÓN: Sobre un terreno más o menos plano, se clavan dos estacas A y B a una distancia aproximada de 100 m. El aparato se centra y nivela sobre un 92 TOPOGRAFÍA punto M equidistante de A y de B (Figura 7.21). Se hace que la burbuja · del anteojo quede dentro de sus "reparos". Se toman lecturas sobre una mira situada sobre las estacas A y B. La diferencia de lecturas da la verdadera diferencia de nivel entre los puntos A y B, aun si la línea de vista no ~s horizontal. Luego, se sitúa el aparato detrás de una de las estacas (A en este caso), a una distancia menor de .5 m; se nivela y con la burbuja del a~teojo dentro. de sus "reparos" se vuelven a hacer lecturas sobre la mira colocada en A y en B; se calcula la diferencia de nivel y si es igual a la. ap.terior, se cumple el ,enunciado. CORRECCIÓN: Si la segunda diferencia de nivel no es igual a la primera, hay que hacer la visual horizontal cuando la burbuja del nivel del anteojo esté centrada, para lo cual. hay que corregir el nivel con los tornillos que para tal efecto tiene. La. magnitud de la corrección se determina de la siguiente manera (ver Figura 7.21): , (11 - l',) = 01 (verdadera diferencia de nivel entre A y B, pues, aun si el aparato está descorregido, el error cometido es el mismo en ambas direcciones y, por tanto, no afecta). (diferencia de nivel hallada por el segundo método); (error en la apreciación de la diferencia de nivel). @- Error en (D + 2d) CD- Error en 2d p "'1:_:_¡'2' ----------------------------------------- G -----------------------------------------------_-_-_-_-_-_-___ F ]-__~ E . \¿J . Figura 7.21 Comprobación y corrección para hacer la línea de vista horizontal cuando la burbuja está dentro de sus reparos. EL 93 TEODOLITO Se tiene que si: Obsérvese que si: o = 0 está correcto {o 0 hay que corregir { 02 > o1 la visual está inclinada hacia arriba 0 < o la visual está inclinada hacia abajo 1 2 1 -::/:- 2 2 1 Error cometido en la distancia 2 d es EG = (02 Error cometido en la distancia D + 2 d es EF o1 ) EG CG Pa'r semejanza de triángulos se tiene: - = EF FP EF = magnitud de la corrección; EF = EG Remplazando, se tiene: EF = (02 - o 1) FP CG D+2d 2d La corrección se efectúa como sigue: a) Se calcula EF, con lo cual podemos determinar F sobre la mira. b) Con el tornillo de movimiento lento se lleva la visual sobre F, con lo cual ésta queda horizontal. c) Se vuelve a: centrar la burbuja con los tornillos de corrección que para tal efecto tiene el nivel. 6. Cuando la visual está horizontal, el nonio del círculo vertical debe leer 0º00'00". COMPROBACIÓN: Se nivela el aparato. Se pone la visual horizontal haciendo que la burbuja del anteojo esté centrada. Si la lec.tura en el nonio vertical es 0º00'00", se cumple el enunciado. CORRECCIÓN: Si la lectura es diferente de 0º00'00" hay que corregir el nonio por medio de los tornillos que para tal efecto tiene, haciendo que se lea 0º00'00". Observaciones 1. Las correcciones deben efectuarse en el mismo orden en que se han enunciado. 94 ·TOPOGRAFÍA 2. Al finalizar cada corrección se debe comprobar nuevamente si el aparato cumple con la condición impuesta. 3. Debido a que las condiciones impuestas están ligadas entre sí, hay que hacer de nuevo todas las comprobaciones, luego de realizar todas las correcciones. 4. En la mayor parte de los teodolitos modernos, debido al blindaje de que están provistos, no es posible hacer las correcciones anteriores con la facilidad con que se pueden efectuar en los de nonio; por esta razón se recomienda realizar las comprobaciones y, si no están bien, corregirlos en un taller especializado. 5. También hay que tener en cuenta que la mayor parte de los teodolitos modernos no marcan cero en el círculo vertical cuando el anteojo está horizontal. Los de tipo Wild parten de ceros en el cenit (ángulos cenitales) y los de tipo Kern parten de ceros en el nadir, y en ambos casos leen de O a 360º. CENTRAJE y NIVELACIÓN DEL APARATO Al colocar el tránsito en una estación para lanzar desde allí visuales o medir ángulos, es necesario que se cumplan dos condiciones fundamentales para lograr precisión en los datos tomados: 1) que el eje vertical del aparato pase exactamente por el punto que se toma como estación; y 2) que el aparato esté perfectamente nivelado, es decir, que su círculo horizontal esté en un plano horizontal, con lo cual los ángulos horizontales están sobre un plano verdaderamente horizontal y los ángulos verticales en un plano verdaderamente verticaL La manera de centrar (hacer pasar el eje vertical sobre el punto estación) y nivelar (dejar horizontal el círculo horizontal) es la siguiente: 1. Se arma el trípode· sobre la estación, procurando que la mesilla quede verticalmente encima de la estaca o placa y, además, que quede aproximadamente horizontal, para lo cual se juega con la longitud variable de las patas del trípode. · 2. Se saca el aparato del estuche y se coloca sobre la mesilla del trípode sujetándolo a ésta ya sea por medio de rosca o de un clip de sujeción. 3. Se le coloca la plomada al gancho que para tal fin tiene el tránsito, si el aparato cuenta con este tipo de plomada; si posee plomada óptica o plomada de bastón (ver Capítulo 29: Principales características de los aparatos modernos empleados en topografía) se procede a accionarla para saber en qué momento el aparato está centrado. 4. Una vez que la plomada nos indique que estamos dentro de un radio menor de unos 2 cm del punto estación, procedemos a nivelar el aparato con los tornillos de nivelar, como ya se vio. Si la plomada cae más de EL TEODOLITO 95 2 cm aparte del punto estación, tenemos que mejorar el centraje por medio de las patas del trípode, acortándolas y alargándolas, según para el lado que se quiera desplazar el eje vertical, que está señalado por la plomada. S. Teniendo el aparato nivelado, observamos cuán lejos quedó el eje vertical (o sea la plomada) del punto estación. Si está a una distancia menor de unos 2 cm podemos soltar el aparato (cada aparato tiene un sistema particular para hacer esto, pero por lo general es muy similar en todos) y, deslizándqlo sobre la mesilla, hacemos que el eje vertical pase por el punto estación. Es necesario que la excentricidad del eje vertical respecto al punto estación no sea mayor de unos 2 cm, pues el juego que tiene el aparato para desplazarse sobre la mesilla es limitado. Si se presenta una excentricidad mayor (se ha podido aumentar la excentricidad al nivelar el aparato, ya que esto hace variar la dirección del eje vertical), se debe reducir esta excentricidad por medio de la longitud variable de las patas del trípode, volver a nivelar el aparato, observar la excentricidad, soltar el aparato y llevar la plomada para que pase exactamente por el punto estación. Después de esta operación es necesario ajustar el aparato para que no se deslice sobre la mesilla y, así, permanezca centrado. 6. Al hacer la operación ejecutada en el numeral anterior (deslizar el aparato sobre la mesilla) es probable que se haya desnivelado el aparato y, por tanto, es necesario volver a nivelarlo, ahora sí con bastante exactitud; esta última nivelación puede causar un ligero desplazamiento del eje vertical, lo cual hace que no esté todavía completamente centrado el aparato. Se vuelve a corregir la excentricidad y, una vez corregida, se vuelve a nivelar el aparato. Es decir, que esta última etapa, en la cual se deja el aparato perfectamente centrado y nivelado, se hace por aproximaciones sucesivas: se nivela, se centra, se nivela, se centra. Es conveniente que las patas del trípode queden perfectamente ancladas, en terreno firme, para que el peso del observador, e incluso el del mismo aparato, no vaya a producir asentamientos que desnivelarían el aparato. Se recomienda que el observador verifique el centraje y la nivelación del aparato inmediatamente antes de lanzar cada visual. 96 Figura 7.21A Modo de armar el trípode en terreno inclinado. TOPOGRAFÍA Figura 7.218 Manera de señalar hacia qué lado se debe desplazar el aparato para obtener un centraje exacto. CAPÍTULO 8 D1vERsos, Usos DEL TEODOLITO DETERMINACIÓN DE LA DISTANCIA ENTRE Dos PUNTOS CUANDO NO PUEDE MEDIRSE DIRECTAMENTE Método A e 'trata de determinar la distancia AB (Figura 8.1); un obstáculo (un río, en el ejemplo) hace imposible la medición. Se procede así: se centra y nivela el teodolito en el punto A; se da visual a B, se gira un ángulo de 90º y sobre esta visual se localiza el punto C. Se mide la distancia AC. Luego se centra el aparato en C y se mide el ángulo a. Se puede luego calcular AB: AB = AC Xtg a e Figura 8.1 Medición indirecta de una distancia: método A. 98 TOPOGRAFÍA Método B Cuando el tránsito se halla del lado del punto B, pero no se puede por algún motivo emplear el método A, se levanta la perpendicular AC por un método aproximado (con cinta o escuadra de agrimensor) y se sitúa el punto C a una distancia conveniente (de 30 a 50 m). Con el teodolito centrado y nivelado en B, se mide el ángulo p. Se puede conocer AB así: AB=ACxctgP Método e Se aplica cuando no se dispone de funciones trigonométricas. El procedimiento es el siguiente: se centra y nivela el aparato en C y se construye el ángulo BCD = 90º. Se determina el punto D, intersección de CD con la prolongación de BA. Se miden las distancias AC y AD. Por semejanza de triángulos se tiene (Figura 8.2): · -2 AC AB=.-=AD Figura 8.2 Medición indirecta de una distancia: método C. DETERMINACIÓN DE LA INTERSECCIÓN DE DOS RECTAS El punto I de intersección de dos rectas, tales como AB y CD (Figura 8.3), se determina como sigue: una de las rectas, AB, por ejemplo, se prolonga, y sobre esta prolongación se estima en qué punto .~aerá la prolongación de la DIVERSOS Usos DEL TEODOLITO 99 otra línea CD; se coloca un piquete (I 1) un poco antes y otro (IJ un poco después. Luego se tiende una cuerda entre estos dos piquetes y se prolonga CD pudiéndose ver el punto en que intersecta a la cuerda 11 12, quedando en esta forma determinado el punto l. El teodolito se emplea para prolongar las rectas AB y CD y para colocar 11' 12 e l. Figura 8.3 Determinación de la intersección de dos líneas. MEDICIÓN DE UN ÁNGULO CUANDO EL TRÁNSITO NO SE PUEDE COLOCAR EN EL VÉRTICE Este problema se presenta más frecuentemente cuando se desea medir el ángulo formado por dos muros de un edificio (Figura 8.4). Se sitúa el punto "d' a una distancia conveniente, "!', del muro. A la misma distancia l se sitúa el punto "b"; ab es paralela al muro. De igual manera se traza cd paralela al otro muro a una distancia !. El punto de intersección, "?', de ab con cd, se determina como se hizo en el caso anterior. Sobre el punto i se centra y nivela el teodolito y se mide el ángulo aid, que es el pedido. Figura 8.4 Medición de un ángulo cuando el tránsito no se puede colocar en el vértice. 100 TOPOGRAFÍA PROLONGACIÓN DE UNA LíNEA RECTA •P . A B C D P ••----,-----~------•------(B) Figura 8.5 Prolongación de una línea recta. Este problema se presenta cuando un punto P debe quedar sobre la prolongación de la recta AB (Figura 8.5, parte A). Puede suceder que el punto P esté fuera del alcance del aparato o que sea invisible desde A y B; entonces hay que colocar estaciones sucesivamente (ver Figura 8.5, parte B) hasta llegar a P. Para lograr esto se pueden seguir varios métodos: a) Con el ,teodolito en A se da vista a B y se establece el punto C; luego se ocupa el punto B, se da vista a C y se establece D; así hasta llegar a P. b) Con el teodolito en B se da vista a A, se transita y se coloca el punto C; luego se ocupa el punto C y se repite la misma operación. c), Si el aparato no está bien ajustado o se desea alta precisión, se emplea el método de la doble vista (Figura 8.6). O" A ------------------¡ ...--::_-:_-:________________ ¡D --..! D' Figura 8.6 Prolongación de una línea recta. Método de la doble vista. Con el aparato en B (Figura 8.6) se da vista a A, se transita y se coloca un piquete en el punto C'; con el aparato transitado se vuelve a dar vista a A, se transita nuevamente y se coloca el punto C". (Si el aparato está perfectamente corregido, C' y C" deben coincidir. Si no lo está, se evita el error que puede traer determinando el punto C). El punto C está a la mitad de C'C". Luego se repite la misma operación con el aparato centrado en C; así hasta llegar finalmente a P. DIVERSOS Usos DEL TEODOLITO 101 TRAZAR UNA LÍNEA RECTA ENTRE DOS PUNTOS Caso 1 Los dos puntos son intervisibles. Se coloca el tránsito en A, se da vista a B y así se pueden establecer puntos intermedios que determinen totalmente la línea AB. Caso2 Los dos puntos extremos no son intervisibles, pero sí visibles desde un punto intermedio (C) (Figuta 8.7). Se procede por tanteos hasta que se encuentre el punto C, en el cual se da vista hacia A, se transita el anteojo y la visual debe pasar por B. --------------¡ 1 1 1 A-;,;:,.:,,,,,..,""--,.""--Jie---+'---=.o......;,,_,,__ _ _➔ B 1 1 1 ___________ J Figura 8.7 Trazado de una recta entre dos puntos: caso 2. Caso3 Los dos puntos extremos no son intervisibles, ni visibles desde un punto intermedio (Figura 8.8). Se traza una línea ~-X en la dirección aproximada de B. Se localiza el punto E, de modo que BE sea perpendicular a ~-X. Se miden AE y BE. BE Se calcula a = Are tg - AE Con el teodolito en A y a partir de AE se inarca el ángulo a, pudiéndose trazar AB. Si no se llega exactamente a B sino a un punto cercano B', se mide BB' y cada punto intermedio se corrige a una cantidad NN' = AN XBB' /AB Ésta sería la corrección para un punto intermedio N situado a una distancia AN" de A. 102 TOPOGRAFÍA A Figura 8.8 Trazado de una recta entre dos puntos: caso 3. PROCEDIMIENTOS PARA MEDICIÓN DE ÁNGULOS Reiteración 1 Se emplea este método cuando el aparato que se está usando no dispone de doble sistema de ejes para el círculo horizontal. (No se puede dejar un determinado ángulo en el círculo y mover conjuntamente el anteojo y el círculo para así conservar el ángulo). El procedimiento es el siguiente: 1. Se centra y nivela el aparato en O (Figura 8.9), vértice del ángulo. A o B Figura 8.9 Medición de un ángulo con el trárisito. DIVERSOS Usos 103 DEL TEODOLITO 2. Se da vista a A y se pone en 00º00'00" el círculo horizontal; se gira hacia B y se anota la lectura: a1 = lectura en B 3. Se da vista a A y se pone en 90º00'00" el círculo horizontal; se gira hacia B y se anota la lectura; a 2 = lectura en B - 90º00'00". 4. Se da vista a A y se pone en 180º00'00" el círculo horizontal; se gira hacia By se anota la lectura; a 3 = lectura en B - 180º00'00". Este procedimiento se repite un número de veces igual al número de valores requeridos para promediar, según la precisión deseada. Finalmente se tiene: a =<X¡-+a2 - - +a3 - - -+-...-ann El poner 00'00" en cada lectura inicial es tan sólo por comodidad al hacer la resta. Se puede también dejar un número de minutos y segundos diferente de cero. Se trata de 8ue en las medidas de los distintos valores de a intervengan diferentes sectores del círculo horizontal. Repetición Se emplea este método cuando se dispone de un aparato repetidor, o sea, con doble sistema de ejes para el círculo horizontal. Se procede así: 1. Se centra y nivela el aparato en O (Figura 8.9), vértice del ángulo. 2. Se da vista hacia A y se anota la lectura que marque el círculo horizontal; sea 10 esta lectura. Se gira hacia B y se toma la nueva lectura, 11• Se tendrá: a 1 = 11 - 10 • 3. Se da vista a A con el círculo horizontal marcando 11; para esto se hacen girar a la vez el anteojo y el círculo. horizontal, aflojando el tornillo inferior de la fijación; se da vista hacia A, se ajusta nuevamente este tornillo, se suelta el tornillo superior de fijación, se da vista hacia B y se lee 1z. Se tendrá: a 2 = 1z - ~. 4. Se repite la operación anterior, obteniéndose CX 3 . = 13 - 12 5. Así se continúa hasta la lectura final, In. Para encontrar el valor de a se promedian estos valores. Se observa que las lecturas intermedias se anulan al sumar algebraicamente, o sea que por este método tan sólo es necesario anotar las lecturas primera y última, hacer la diferencia y dividirla por el número de veces que se repitió la 104 TOPOGRAFÍA operac1on. Como realmente lo que se hace es multiplicar el ángulo un determinado número de veces (evitando los errores de las lecturas intermedias), se debe tener cuidado del número de veces que esté incluido 360º en / pues en el círculo tan sólo aparece el exceso a 360º, 720º, ... etcétera. 0 , (X,I cx,2 cx,3 = 1i - /O = 12 - 11 = S- 12 cx.4=~1-/3 = /n - /n-l ncx = /n -lo CX,n ¡_ -/ :. a = _n _ o n Todo último movimiento con los tornillos de movimiento lento se debe hacer ajustando el correspondiente tornillo, o sea en el sentido de las manecillas del reloj, con lo cual siempre se está presionando el resorte y se evitan, así, errores por falta de potencia en éste o por el juego que tiene todo tornillo con la rosca correspondiente. Uso DEL TEODOLITO EN ALTIMETRíA Para determinar alturas o diferencias de altura entre puntos del terreno se usa el círculo vertical del teodolito. Esta nivelación, llamada trigonométrica, se analiza en el Capítulo 18. CAPÍTULO 9 MÉTODOS PARA ,MEDIR UN TERRENO CON TRÁNSITO y CINTA LEVANTAMIENTO DE UN LOTE POR RADIACIÓN s el sistei.na más simple, para medir un terreno empleando el tránsito y la cinta, únicamente. Se aplica cuando el área del terreno es relativamente pequeña y se cumplen otras condiciones, como se verá más adelante. 2 5 Figura 9.1 Levantamiento de un lote por: radiación. Procedimiento Sea el terreno 1-2-3-4-5-6 (Figura 9.1); se centra y nivela el tránsito en un punto central O, tal que desde él puedan verse todos los vértices del polígono que determina el lote y todos los otros puntos que se deseen localizar. Desde el punto O se miden las distancias (01, 02, 03, ...) y sus respectivos azimutes (a, ~' y, ...). 106 TOPOGRAFÍA Es necesario, luego de tomar el último punto (6, en el ejemplo), volver a leer azimut (a') hacia el primer punto (1, en el ejemplo), para comprobar que el aparato no se ha movido. ~ Modelo de cartera LEVANTAMIENTO DE UN LOTE ' Situado e n - - - - - - - - - - Propiedad ae _ _ _~ - - - - - Levantó _ _ _ _ _ _ _~ ~ - - Fecha Di!rtanela O Nort-e. 38,2.0 2. 3 4 5 6 40,10 4-5.2.0 46,15, :?>7,50 40,.30 Az.irno+ oo• oo• 30• 2.0' 100• 10' 105° 00' 2.15" 10' 2.80"40' 32.0° ::lO' Figura 9.1A Modelo de cartera: levantamiento por radiación. A 0 Estación: punto en el cual se centra el aparato Punto hacia el cual se lanza la visual Error de cierre en ángulo: e = a - a' e = 30º20' - 30º21'= 01' e no debe ser mayor que la aproximación del aparato. Si e da mayor, hay que repetir todas las lecturas de los ángulos. Las distancias, ángulos y datos complementarios para la confección del plano se anotan en libretas especiales denominadas "carteras", las cuales tienen hojas con columnas para anotar los datos y hojas cuadriculadas para hacer esquemas, que sü-ven para ver la posición correcta de los diversos puntos establecidos. Cuadro de cálculos Se procede a calcular las coordenadas N y E de los, vértices del polígono. En el cuadro de cálculos del ejemplo (Figura 9.1B), se aprecia el procedimiento seguido. En las columnas 1, 2, 3 y 4 se copian los datos de la cartera; 107 MéTODOS PARA MEDIR UN TERRENO CON TRÁNSITO Y CINTA en la 5 se calculan los rumbos; en las 6 y 7 se copian, de una tabla de funciones naturales, el coseno y el seno de cada rumbo; en las 8, 9, 1O y 11 .. se anotan las proyecciones, que son el producto de cada distancia por el coseno y el seno del rumbo correspondiente, según el cuadrante en que éste se encuentre; en las 12 y 13 se anotan las coordenadas relacionadas con las de O. Las coordenadas de O se adoptan en tal forma que todos los vértices queden en el cuadrante N-E, o son conocidas por cálculos previos. A partir de las coordenadas, se procede al cálculo del área (ver los diferentes métodos en el Capítulo 1O) y al dibujo del plano. Las coordenadas N y E de cada puntó del polígono se calculan, a partir de las coordenadas del centro de radiación, así: 11 N 11 = N 0 E = E0 11 8 0 1 o Dlst. Azimut Rumbo 2. :3 4- 5 1 35,2.0 40,10 45,2.0 46,/5 35, 70 40,30 YJº2.o' 100°10• 185°00' 2.15°10' 2.80'40' 32.0'.30' 2. 3 4!5 6 11 ± proyección,+ si es norte, - si es sur ± proyección,+ si es este, - si es w (oeste) N-Cos-S E-Sen-W 6 7 N•~•2.o'.E. 0,86310 0,50503 PROYECCIONES N(+) B S(-) 9 ?,2,91 .5.7.9•5o!e: 0.17651 o,,84-'D 708 45,03 5-os•oo'.II' 0,9%1.9 o, 013716 5.3~•10'.v, o,81748 0,67596 37. 73 N· 79°2.0'.1,, O,IB50.9 o, 9B2.72. 6.61 N,39'ao'.-,, O, 77162. 0,63608 31,IO E(+) 10 COORDENADAS W(-) 11 19,2.!l N 12. 100,00 132.,97 92,92. 3.9,47 +,94 54.91 2.6,58 .35,08 2.5,63 62,2.7 106, 61 1:31, 10 E 13 100,00 119, 2.9 139,47 !3:5,06 73,42 64 92. 7+,37 Figura 9.1 B Modelo de cuadro de cálculos: levantamiento por radiación. LEVANTAMIENTO DE UN LOTE POR INTERSECCIÓN DE VISUALES o BASE MEDIDA Se localizan dos puntos, tales como A y B (Figura 9.2), los cuales deben cumplir los siguientes requisitos: que sean intervisibles; que todos los vértices del polígono y puntos que se deseen localizar sean visibles desde A y desde B; que la distancia AB sea fácil• de medir y de magnitud proporcional al tamaño del lote; 108 TOPOGRAFÍA que la· orientación de la línea AB sea tal que los ángulos BAG y ABG no sean demasiado agudos. 2 ,, ............. 1 \ 1 ,, ', , , ......... ' N 1 1 1 1 1 ~~-=7~---+'----..:~ 4 5 Figura 9.2 Levantamiento de un lote. por intersección de visuales. Procedimiento 1. 2. Se colocan estacas en A y en B. Se centra y nivela el aparato en A. Se mide la distancia AB con la mayor exactitud. Se pone el círculo horizontal en ceros con la N-S. Se leen los azimutes de las visuales A1, A2, A3, etc., lo mismo que el azimut de AB. Se centra y nivela el aparato en B. Se da vista hacia A y se pone en ceros el círculo horizontal. Se leen los ángulos de las visuales B1, B2, B3, etc. (medidos a partir de BA). Es conveniente medir dos o más veces la distancia AB para obtener un promedio, el cual se usará en los cálculos; se debe, tanto en A como en B, volver a leer el azimut del primer punto para comprobar que el aparato no se ha movido. No debe presentar una diferencia mayor que la aproximación del aparato. Como se puede ver, este método se utiliza cuando, por cualquier razón, se quiere evitar la medida de la longitud de cada w10 de los radios, como en el caso anterior. 109 MÉTODOS PARA MEDIR UN TERRENO CON TRÁNSITO y CINTA Modelo de cartera LEVANTAM,IENTO DE UN LOTE Situado en _ _ _ _ _ _ _ _ __ Propiedad de _ _ _ _ _ _ _ __ Levantó _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ Fecha b. 0 A N-6 .e Distancia -d, Azimut ,,L.e, "'' ) ,.:,_ 2. ,• ,3 B 4 5 1 A Obs. 000° 00'00 1 ,(.~ ol., .t.. o<., d,. 000º00'00" 1 o<.\ 2. 3 .,(,', 4, .{.'4 , ,<'5 o(:, ~ .¿', Figura 9.2A Modelo de cartera: levantamiento por intersección de visuales. Cálculos Se trata de calcular analíticamente las distancias A1, A2, A3, etc.; en general A0. Conocidas éstas, el sistema queda reducido al de radiación, pues también se conocen los azimutes de las visuales A0. Las coordenadas de los vértices se calculan como se vio en el método anterior. 2 B N Figura 9.3 Reducción del cálculo de intersección de visuales al de radiación. 110 TOPOGRAFÍA Ejemplo: cálculo de la distancia A2: el ángulo a se conoce, pues: <XzL2AB = L'l = La¡,-Lcx.2; ex,~ se midió y LA2B se calcula. sen LA2B AB ----=sen LAB2 A2 senLAB2 :.A2=----xAB sen LA2B Generalizando: A 0 = sen LAB0 x AB sen LA0B Cuadro de cálculo de las distancias A0 (primera parte) ® ----- @ AB - -- AB ® A@ B ---- ---- Son AB @ Son A@B Distancia A ® Figura 9.3A Modelo de cuadro de cálculo (1 9 parte): levantamiento por intersección de visuales. La segunda parte' de los cálculos es idéntica a la vista en el sistema por radiación. Para el cálculo del área a partir de las coordenadas de los vértices del polígono, ver Capítulo 10. 111 MÉTODOS PARA MEDIR UN TERRENO CON TRANSITO Y CINTA LEVANTAMIENTO DE UN LOTE POR MEDIO DE "POLIGONALES" Cuando el terreno es bastante grande o existen obstáculos que impiden la visibilidad necesaria en los métodos anteriores, se emplea este método que consiste en trazar un polígono que siga aproximadamente los linderos del terreno y desde puntos sobre este polígono se toman los detalles complementarios para la perfecta determinación del área que se desea conocer y de los accidentes u objetos que es necesario localizar. Veamos primeramente lo concerniente al trazado y cálculo del polígono base y, luego, cómo se complementa el levantamiento tomando los detalles por "izquierdas y derechas" o por "radiación". La línea que une los vértices del polígono se denomina poligonal y para determinarla es necesario medir sus lados y los ángulos en los vértices. A continuación se muestra un ejemplo completo para ilustrar el trazado, la observación y anotación de los datos y el cálculo y ajuste de una poligonal. Asumamos un terreno de forma poligonal (Figura 9.4), de vértices 1, 2 ... , 10. El procedimiento en el terreno es el siguiente: a) Centrar y nivelar el aparato en la estación Nº 1. b) Localizar la estación Nº 2 y tomar el azimut de L11 hacia L12 (puede ser azimut verdadero, magnético o arbitrario). Medir la distancia 1-2. N Figura 9.4 Levantamiento de un lote por poligonales. e) Llevar el aparato a L12; se centra y nivela. Se localiza la estación Nº 3. Se mide el ángulo 1-2-3 (por i-epetición o reiternción). Según la pi-ecisión requetida, se toman una o vatias lectutas de ese ángulo. En la mayot parte de los trabajos tan sólo se necesita tomar dos lecturns; si ellas difieten en 112 TOPOGRAFÍA más de la aproximación del aparato, se hace una lectura adicional. En cualquier caso, el valor definitivo del ángulo será el promedio, descartando las lecturas erradas. Luego ,se mide la distancia 2-3. d) Se lleva luego el aparato a ó3. y se procede tal como se hizo en ó2. Esta operación se repite en los. vértices 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10. e) Se vuelve a centrar y nivelar el aparato en ól. Se lee el ángulo 10-1-2 (tal como se hizo para determinar los otros ángulos en los vértices). f) Antes de abandonar el sitio de trabajo se comprueba que el poügono tenga bien determinados. sus ángulos en los vértices, es decir, que no se haya cometido un error .al leer o anotar uno de los ángulos. Para esta comprobación se toma en cuenta lo siguiente: Los ángulos en los vértices pueden ser exteriores (si se recorre la poligonal en sentido horario) o interiores (si se recorre en sentido contrario al horario). Esto se entiende fácilmente si se obse1-va que el teodolito lee siempre ángulos en el sentido horario (ver Figura 9.5). Si se ha recorrido la poligonal en sentido horario, la suma de los ángulos debe dar (n + 2) X 180º, siendo 11 el número de lados de. la poligonal. Si se ha recorrido en sentido opuesto, la suma de los ángulos debe dar (n - 2) X 180º. Cálculo y ajuste de la poligonal Tal como se acaba de enunciar, la suma de los ángulos medidos debe dar (n + 2) X 180º o (n - 2) X 180º, según se hayan medido los ángulos exteriores o interiores. Es apenas lógico que al sumar los ángulos no se encuentre con exactitud este resultado teórico, sino que exista una pequeña diferencia, debido a que el valor de cada ángulo no es exacto sino el más aproximado que se pudo determinar. Mientras más fino y preciso sea el teodolito, más cerca se estará de conocer el valor exacto de cada ángulo y, por tanto, será más pequeña la diferencia encontrada. Esta discrepancia entre la suma teórica y la encontrada se denomina "error de cierre en ángulo" y debe ser menor que el error máximo permitido (e), según las especificaciones de precisión, así: =a.n a) Para levantamientos de poca precisión e m:íx b) Para levantamientos de precisión em:íx = a✓n siendo 11 el número de vértices de la poligonal, o sea el número de estaciones, . y a la aproximación del teodolito. Las unidades de e son las mismas de a. 113 MÉTODOS PARA MEDIR UN TERRENO CON TRÁNSITO Y CINTA 3 4 2 6 (a) (b) Figura 9.5 a) Poligonal recorrida en sentido horario: los ángulos medidos son exteriores; b) Poligonal recorrida en sentido contrario al horario: los ángulos medidos son interiores. Si el error de cierre en ángulo resulta superior al valor especificado se deben rectificar todos los á11g11los observados, pues alguno, o varios, se han leído o anotado erróneamente. Si el error de cierre es menor que la cantidad especificada se procede a repartirlo por partes iguales entre todos los ángulos de los vértices. Si el error fue por exceso se quita a cada ángulo la corrección (error+ n); si fue por defecto, se suma (ver primeras columnas del "cuadro de cálculo"). Una vez que se tengan los ángulos corregidos, se calculan los azimutes de los lados de la poligonal; partiendo del azimut conocido se calcula el contraazimut (sumando o restando 180º); a éste se le suma el ángulo en el vértice y así se obtiene el azimut del lado siguiente. Esto se repite sucesivamente hasta volver a calcular el azimut de partida, lo cual sirve de comprobación; si no concuerdan con exactitud ha habido error al hacer las correcciones o al calcular algún azimut. A continuación, en la columna siguiente, se anotan los senos y cosenos correspondientes. Al multiplicar la longitud de cada lado (aparecen en el cuadro de cálculos en la columna de DISTANCIAS) por el seno de su azimut, encontraremos la proyección de ese lado sobre el eje E-W; al multiplicarla por el coseno se encontrará su proyección sobre el eje N-S. Estas proyecciones se anotan en dos de las cuatro columnas encabezadas con PROYECCIONES, según el cuadrante indicado por el rumbo, o por el signo, positivo o negativo, del correspondiente coseno o seno del azimut. 114 /' TOPOGRAFÍA 2 1 tl;;t, 10 .24:6' 2.8' 35'' " A..4. 7P. 4,() ,.,, 1 1 9n m 10 1247" '.'16 '11" o. no 10 101 80 10 9 10 1nn IV\ 0000 9 14.9" .2'5' 2.7" q r_, M 4J'l nn ºº 2.0 9 O 00 '"' 8 '" 9 Al\(11) GOOO "'"°· {J{J n ?l'l D() 8 1,2.•2.3•+2· R 000 U4'!'1"1 Qt:,• 7 8 " " I? GO nn 4-0 no 2.n. or. 7 7 o.on ,. 7 -.,347 7 6 f, 2.?~ 10' o.~· - 1i+.•9q, ,,., 6 20 00 O 00 5 C.f 4.'I c:.o 00 17.-.,· 2G '58'' 4 "'5 A ,.., . (11) " 4 no o on 46,.., 6 5 ?/l 6 ,_ 40 00 2.0 00 O 00 ~-~ 3~ '58 09 'H_J f4 "' 20 00 ::) 186'34' 35" "I o r,r, ~? ,n '\fl 1\0 3 2 3 ~om , .(\ /Vl ,,,, Nl 2. 2.:36°32.'02." c. O 2 nn P.c. oc; 0.1\ - '"' G<> " ' ' 2 4o.nn •~<, ,,,, om 1 ANGULO 1 L."'7.•~•?:~" DISTANCIA· MODELO N ESQUEMA AZIMUT DE DE ALINEAMIENTOS CARTERA \.. Figura 9.5A Modelo de cartera: levantamiento por poligonales. "'\ CÁLCULO Levantamiento del lote ANGULO coÁNGULO OBSERVADO RREC. CORREGIDO I • ' • Y AJUSTE "ENANO '' (PQrce/aciÓn AZIMUT N RUMBO E S W ¿s2'55•2.3• 5 7¿'5523• "226'32.'03" .32. 02. OI :io,•27•2!," 1-:2.4 236 =::--::.~.r.;¡-¡;;-/¡¡r,¡,..,:;;;¡:,:,¾'J- 46,o2.0 40,692. lí::G" ;,9• "" o1· 166' z9• ,2." 2.9rsa·1::i· l'I G2'01'47'~ 5º10'04-" G 75"10'03" 01" 2:/ 33'08'17" N 33'08'17'E 5 L-l-,..,,.-,,-:--::-=,::+.;;-;-;-h;;;-;., • ....-,ñ?'I 7 264"55'06 01"264550711Bº03'2.4"5 c;1'5G':,~•¡;_ 191' 2'1 43 /30" 2.7'07" 5 49":;2.'53' 6 • 14.!l'Z?>'.2.8º OI' 91 4-52. •~2. 4058 •~;~~1~ • 54-6658.3 l-2) (-r) ,io,9ao 2.1. 7~ 46,40 80,/2, 70.737 :¡~~7:.~z S5;!3 72..373 s: E N 100,000 \ 2.17 751 7+, 730 2. 154-, 368 126 902. .3 115 52.7 170,091 4- ~ 210, 781 "i 2.32. 542. 6 2.8 535 2.13,02.6 (+G) m Cl :ñ e z -1 m :D :D m z o o o z ;;' z> 4G,8~ 2.60,566 7 2l 117577 -,·n:;»2. A o (+2.) 37G2.2. ~ ~) ,'."652.1.37 7 19 :4 ~99H...:l'.:'.0~1,~a::o-r1 ~ ~ :C.00 000 511 oC/l C/l t• 2 l '!ª6;~~~ t ~·F=i_':~~¡~~~ 1'~¾Í 99 50 3 5 5 00 09 25 .9 149 23 27 01 ~-~~.: ~, ~ ~ '.'.:, l--1-::-=.-=:-;-.,.;l-;:;;-;,l,,.J;;.,~y.J 10 2.47" 3'' 11 01• 2.47º36 '12' IG7° _y;'47• 12.º3.3• /3'' E (-31 (-4-) 18,2.'7 . (-ti) 25 2.G9 H·) 3.3,+7 'e:37.;3558 , (-7) BZ, 256 (-,1 <-3> .Dl-{,3 COORDENADAS S 61, 43 , ~ N .38,B44- +3.192 311 • 2.9'0t" ¡.¡ "t8º30'!r.l'V< L: W 58,09 • 6' :9" 0 E 1 FECHA E.V 8 PROYECCIONES DISTANCIA 82,10 •~!~;~ REVISO /\-TN ' "5501.9 16 " N 50•:,2•:,4-•1.... 173" 26' 58 OI 192º 23'42.' , , • CALCULO l·3 > f,3,389 52,175 -1- A I 86- o5 188º"'4-'.3!!" 01• l8R'""4- :% 31Bº 02'02"N 41°5'/'58"W l?'I 2' 5'. 1~ Delicid5) 5ubacho~,.;e E~SENO-W N- COS -S s: ~ Cl POLIGONAL ~ •1~~;7 ;72099.3 :3 • UNA DE 61, 7~:l J-1"""8"'9"""',9"'5""6M---::16"1',;;2.¡:;17;-j-,'q"f -< ~ (-t'J º~º~-~: 1~1.~(+~,L---.,..,...J---;-;:;-;::-;:;;:;;:;j-¡-t s~o~4>r.2-::9 :=0 : 26=:6±:14~~3,1~1=2.:::1=:1º:=¡ ( ;oT__1 _ 1+.3. .!l. 7.33 703 ~00 00D 1~ ~~O 1 #,78 + 1) 1 2.65' 2.8'35 01· 2'5' 25'3G 2.52º50'2'.i" \;:::J ¿"',, ~ 2. 2159, 59 , 50 +m· Nt DE VÉ<llCES (nJ = w;o·oo'oo" - 10 Ee SUIMTE0RJCA(190~(n±2) 2.(60' 00'00" SUMA 0B1ENIDA 2_153º 59' 5'Q" ERROR EN ANGULO ERROR MAX. PERMISIBLE o• 00' (.0' '5vio -1 ...- t 6139,?>7 271.441 2.71,W 185,e,47 185,82! = r.w = 2.71. 441 EN= = 27/,413.9 i:s = 0,048 ,EN= @ 1s, a· Figura 9.58 Cuadro de cálculos: levantamiento por poligonales. EE+ EW = ~2, 9.30 Ccrrtecl6n EW: 0, 088 -w- 185,8+7 185,82.5 0,022. ANS= EN+ Es, :i71, G72. Corrección NS: o,059 LONGrTUO POLIGONAL ERROR ,/AEW 2+ ANs' CIERRE OBTENIDO ~CIERRE ESPECIFlCADO 689, '!>7,.,., 52., 8 rn,.,., 1:l;iO'56@ 1 :10000 ..... ..... 01 116 TOPOGRAFÍA Por ser un polígono cerrado, se debe cumplir (1) !: proyecciones N = !: proyecciones S (2) !: proyecciones E = !: proyecciones W Debido a pequeños errores ~l determinar los ángulos y las distancias y a haber repartido el error de cierre en partes iguales entre .todos los ángulos (es la mejor manera de hacerlo), las igualdades (1) y (2) no se cumplen exactamente, así: !: proyecciones N - !: proyecciones S = !: proyecciones E - !: proyecciones W = ONS OEW Estos errores en las proyecciones N-S y E-W hacen que al reconstruir la poligonal a partir de la estación Nº 1 no se llegue nuevamente a ella sino a un punto 1' que difiere en las abscisas una cantidad ºmv y en las ordenadas una cantidad ºNs y estará a una distancia E del punto de partida 1: 8 Figura 9.6 Expresión gráfica del error de cierre. representa el error total cometido al hacer la poligonal o error de cierre en distancia; generalmente se expresa en forma unitaria, es decir, como el número de metros en los cuales, proporcionalmente, se cometería un error de 1 m y al cual se llama CIERRE de la poligonal. E 117 MÉTODOS PARA MEDIR UN TERRENO CON TRÁNSITO Y CINTA Siendo D la longitud total de la poligonal y E el error total cometido, el número de metros (X) en los cuales se cometería 1 m de error, sería: E-D 1-x D /.x=E y se expresa 1 : X· De acuerdo con la exactitud requerida, se han establecido límites máximos para el error unitario o cierre. Se toman como guía las siguientes normas: Error 1J1áximo 1 : 800 1 : 1.000 a 1 : 1.500 1 : 1.500 a 1 : 2.500 1 : 2.500 a 1 : 4.000 1 : 4.000 en. adelante 1 : 10.000 y más Clase de leva11ta111ie11to Levantamiento de terrenos quebrados y de muy poco valor, levantamientos de reconocimiento, . colonizaciones, etc., generalmente hechos por taquimetría .. Levantamiento de terrenos de poc:o: valor; taquimetría con dobles lecturas de mira. Levantamiento de terrenos agrícolas de valor medio. Levantamientos con estadía. Levantamientos urbanos y terrenos rurales de cierto valor. Levantamientos en ciudades y terrenos bastante valiosos. Levantamientos geodésicos. Si el error de cierre es mayor que el especificado, habrá que repetir el levantamiento; si está dentro del valor tolerado, hay que distribuirlo para que el polígono quede cerrado y se pueda dibujar correctamente. AJUSTE DE LA POLIGONAL Manera de distribuir el error de cierre Existen varios métodos para repartir el error de cierre y hacer que las proyecciones den sumas iguales, o sea, que el. polígono cierre perfectamente. Se mencionan aquí los dos métodos más usuales y se efectúa el ajuste por am~os métodos, para indicar la diferencia. En el modelo de cuadro de cálculos se emplea el método A, que se usa más frecuentemente; en tabla separada se muestran los resultados del ajuste por el método B. 118 TOPOGRAFÍA Método A La relación entre la corrección (C) que se hace a cada proyección y el error total (o) es igual a la relación entre dicha proyección y la suma de las proyecciones. Así, la corrección para las proyecciones N y S será: ONS C = !N + !:S X la respectiva proyección. y la corrección para las proyecciones E y W será: OEW . C = !:E+ !:W X la respectiva proyección. Para las proyecciones cuya suma ha dado mayor, la corrección es negativa; para la que ha dado menor, la corrección es positiva. Este método se emplea asumiendo. que los ángulos se han medido con mayor precisión que las distancias. Método B La relación entre la corrección (C) que se hace a cada proyección y el error total (o) es igual a la relación entre el lado respectivo de la poligonal y la longitud total de ésta. Así, la corrección para las proyecciones N y S será: X e = ONS L cada lado de la poligonal y la corrección para las• proyecciones E y W será: óEW C =L .. x cada lado de la poligonal. El signo de la corrección sigue la misma regla del método A. Este método se usa con base en que el error se debe a la influencia de pequeños errores accidentales, cometidos tanto en la medición de distancias como en la lectura de los ángulos. Lo anterior se puede resumit diciendo que en el método A las correcciones se hacen repartiendo el correspondiente error de cierre propordonahnente a las proyecciones de los lados de la poligonal, y en el método B las correcciones se hacen repartiendo el error de cierre proporcionalmente a las longitudes de los lados de la poligonal. 119 MÉTODOS PARA MEDIR UN TERRENO CON TRÁNSITO Y CINTA Ajuste por medio del método B Á Proyecciones Distancia E w -6 82,256 -6 63,389 1 86,05 2 82,10 3 -4 58,09 38,844 -5 46,020 -3 40,980 4 61,43 5 46,40 6 N Coordenadas 'S E +2 25,269 300,00 100,00 217,750 74,729 154,367 126,901 115,527 170,091 69,512 210,781 28,535 232,541 46,834 260,565 117,577 222,941 189,957 161,217 290,265 143,710 300,000 100,000 -3 52,175 -2 43,192 -2 40,692 -2 21,762 -2 28,026 44,78 +2 18,297 +6 70,737 +7 72,373 +7 100,301 +2 9,733 689,37 271,441 271,489 185,847 185,825 271,465 271,465 185,836 185,836 · 33,47 7 80,12 8 95,13 9 101,80 10 +2 37,622 +3 61,721 +3 17,504 +1 43,709 1 Sumas Sumas corregidas N Factor de corrección para las E, W: óEW 48 C =--=--=006962mm/m L 689,37 ' Factor de corrección para las N, S: óNS 22 C =-=--=003191mm/m L 689,37 ' Variaciones del método de levantamiento por poligonal Según la preferencia del topógrafo, se usa una de las dos siguientes variaciones al método de levantamiento por poligonal: 120 TOPOGRAFÍA 1 . Por m111bo y distancia: se requiere teodolito repetidor y en cada estación, después de la primera, el teodolito se lleva y se centra con el azimut del lado anterior fijo; se transita, se da vista a la estación anterior, se suelta el círculo horizontal, se vuelve a transitar y se gira hacia la estación 1 siguiente; con esto, se lee directamente el azimut del lado siguiente y así : se ahorra el cálculo de los azimutes en la oficina. El error de cierre en ángulo es la diferencia entre el azimut inicial del primer lado y el azimut del mismo lado obtenido después de haber recorrido toda la poligonal. Este error, dividido por el número de vértices, da una corrección que se aplica una vez al azimut del segundo lado, dos veces al azimut del tercer lado, y así sucesivamente hasta cerrar la poligonal. 2. Por á11g11/os de deflexión, los cuales se miden así: en cada, estación se coloca el teodolito, se da vista a la estación anterior con ef círculo horizontal en ceros, se transita y se gira hacia la estación siguiente. El azimut de cada lado se obtiene sumando algebraicamente, al azimut del lado anterior, el ángulo de deflexión medido en cada vértice. La diferencia entre 360º y la suma de todos los ángulos de deflexión de la poligonal es el error de cierre en ángulo. Éste, dividido por el número de. vértices, da la corrección que se debe hacer a cada ángulo. En los demás detalles de los cálculos se procede exactamente igual al método original de poligonal. LEVANTAMIENTO DE DETALLES Como en la mayor parte de los casos todos los lados del terreno no son rectos, o siendo rectos no se puede trazar el polígono, coincidiendo completamente con los linderÓs del terreno, es necesario inscribir o circunscribir un polígono y desde sus vértices y lados tomar los datos que determinen la forma exacta del terreno. Esta operación se denomina "levantamiento de detalles" y se hace por uno de los dos métodos que a continuación se exponen, o por una combinación de ellos, que es el caso más usual. Detalles por izquierdas y derechas A partir del polígono, los detalles del perímetro exacto del lote se toman indicando la distancia sobre cada lado (abscisa) a partir de la estación correspondiente y midiendo, perpendicularmente a éste, la longitud izquierda o derecha, como se puede ver en la Figura 9.7. MÉTODOS PARA MEDIR UN TERRENO CON TRANSITO Y CINTA 121 Figura 9.7 Detalles por izquierdas y derechas. Cálculos Una vez que se ha calculado y ajustado la poligonal y hallado el área dentro de ella, se encuentra el área comprendida entre la poligonal y el lindero del lote y se suma o resta según esté fuera o dentro del polígono. Para calcular estas áreas se puede emplear la fórmula de los trapecios o la de Simpson (ver página 50). En la Figura 9.7A aparece la cartera de campo correspondiente a los detalles de la Figura 9.7. Hay que tener especial cuidado para que no haya omisión de algún dato indispensable para el cálculo geométrico de estas áreas; por tanto es conveniente, al mismo tiempo que se lleva la cartera, comprobar que cada tramo de terreno tenga los datos suficientes para su cálculo. Se recomienda especial cuidado en los vértices de la poligonal y en los puntos en que hay cambio de izquierdas a derechas o viceversa. También hay que tomar izquierda o derecha intermedias cuando cambie bruscamente la dirección del lindero (ver abscisa 68.20 del tramo 2-3). Detalles por radiación Consiste en tomar, desde cada estación o vértice de la poligonal, suficientes datos del perímetro del lote y demás detalles pertinentes. Estos puntos se determinan por radiación, o sea, anotando su azimut y distancia desde la estación correspondiente. 122 TOPOGRAFÍA Modelo de cartera ~ 1 - - mm mi - 4 4 79 50 :::1 bO 00 40 00 20.00 00 00 - - - 7_ '.}5,70 B0.00 68,2.0 60.00 40, 00 2.0,00 nn 00 7_ !:l9 95 1,75 80 00 1,70 GO 00 1,50 3 1 A ºº·ºº Distancia -- --- -- 1,85 - 4-0 00 2.0 00 320'00• Azimut -- 165 0,45 1,60 1,70 1 80 ,4-P,(Q - - - -- - ; -- - . - - 0,90 1,2.0 - lzqu/er. Derecha - 1 - §ffl ': - - -- - ,+~ -~ Figura 9.7A Modelo de cartera: detalles por izquierdas y derechas. Sea un lote como el que muestra la Figura 9.8 y 1-2-3-4-5-6-1, el polígono. Los puntos que se deben determinar por radiación son a, b, c, d, e... , m. Cálculos Una vez calculada y ajustada la poligonal, a partir de las coordenadas de cada estación se calculan las coordenadas de los puntos (detalles) tomados desde cada una de ellas, tal como se hizo en el método de levantamiento por radiación (ver página 105). 123 MÉTODOS PARA MEDIR UN TERRENO CON TRANSITO Y CINTA h Figura 9.8 Detalles por radiación. Modelo de cartera 11') 4 ºº ºº 4 44.A0 4000 20 on 3 ·oo oo :3 75,:3D (;Q 40,00 20 00 2.40°00 1 i k .\ i n .217°00 1 p V ºº 2. º" 00 ' 46 1 3110 11 80 'i 40 1", 70 2.2. 'º 2.5o"oo' 210·00• 138' 00' (:..oº 00 1 20·00 1 10 .20 Q 31 00 l!l,50 100° no• 80°00' (:) Distancia Azimut "º' e d e 90" QO' Azimut 3500 12 20 2..20°00• 110° 00' 160·00· 12.0·00• 60º 00 1 330°00' .l= \7'l. 1.9 40 P. 20 8 70 J('\ 40 no 2.0 00 ºº 00 A Distancia b Figura 9.8A Modelo de cartera: detalles por radiación. 124 TOPOGRAFÍA Modelo de cuadro de cálculos • 0 Dist. Azimut Rumbo NcosS EsenW N PROYECCIONES s E w 1 a 19,50 eo•oo• NBO"OO' E b 31 00 100·00' 6 eo• oo' E 2. e: 10,10 3.30• 00' !},70 60'00' e. 12.W 12.0· 00' .¡: 21~.oo 160°00' d 174 985 .3 .3.9 174 9115 l!l, 2.2. 5 38 .30,52 COORDENADAS N E 2.00,00 300,00 .303 .'>8 2.19 22. 'Cl.d. &.? 'º ºº .2.5.3 64 ?_56 6f> ?"iA 06 22.4 'JO lí .246, ID .3 1 2.30 52. ID J 2. r-.r,o oo 1 <2.46 .aoe et- 2.41 5,10 N Jo'oo' w 866 500 8,8.3 1,54 N 60'oo' E 600 866 4,35 .304 35 fl 60'00' E 500 666 6,/0 29.3 90 58 5 1.D'OO' E 939 34-2 212, 86 11,96 2.67. 14- • .3 ~ '1 ú Figura 9.88 Modelo de cuadro de cálculos: detalles por radiación. NOTAS: 1. Las coordenadas de las estaciones 1, 2, 3, etc., se obtuvieron del cuadro de cálculos de la poligonal. 2, Para el cálculo del área sólo intervienen las coordenadas de los puntos situados sobre el lindero; por tanto, es conveniente destacar, enmarcando en rojo, las coordenadas de los puntos que no forman parte de él (Figura 9.8B). OMISIÓN DE DATOS EN UNA POLIGONAL a) Se desconocen la longitud y el azimut de un lado de la poligonal (AE, Figura 9.9A). Se parte del supuesto de que no existe error en los datos tomados y. que los datos incógnitos vienen a cerrar el polígono. Es un caso similar al de hallar el error de cierre, así: tg ex,= 1:E-1:W 1:N -1:S 125 MÉTODOS PARA MEDIR UN TERRENO CON TRANSITO Y CINTA D B Figura 9.9A Omisión de datos en una poligonal: caso A. b) Se desconoce la longitud de dos lados de la poligonal (AF y EF, Figura 9.9B). Aplicando el procedimiento del caso A, se pueden conocer la longitud y el azimut de la línea AE, con lo cual el problema se reduce al caso de intersección de visuales en que se conocen la longitud y el azimut de la base AE y los ángulos a y p. Por relaciones trigonométricas, pueden conocerse la longitud y el azimut de EF y de AF. D e \ a\ \ \ \ \ \ \ \ \ F I I I I 13/ ;' I I A Figura 9.98 Omisión de datos en una poligonal: caso B. CAPÍTULO 10 FóRMULAS PARA EL CÁLCULO DEL ÁREA CÁLCULO DEL ÁREA DE UN POLÍGONO EN FUNCIÓN DE LAS COORDENADAS DE SUS VÉRTICES manera de ejemplo, se trata de calcular el área del polígono 1-2-34-5 (Figura 10.1), de cuyos vértices se conocen las coordenadas (nortes y estes). El área del polígono queda determinada por la diferencia entre las áreas A-1-2-3.-B y A-1-5-4-3-B. N ____________________________ _2 ___________________________________________ - N e e: e: 11) e: '<t e: - - - e . . - - -... ,, ,, ,, e5-----,i -----e2-----,.¡ -------e4------- _ _..,____.__..,____.___.__ E :B 1 1 1 1 1 1 ---------e3---------- Figura 10.1 Cálculo del área de un polígono en función de las coordenadas de los vértices. 128 TOPOGRAFIA Llamando A a esta diferencia se tiene: (1) A partir de la ecuación (1) se puede calcular el área. Para resolverla mecánicamente existen dos métodos: Primer método De la ecuación (1) se obtiene: La anterior ecuación se obtiene igualmente si se ordenan las coordenadas de los vértices de la poligonal, tal como se muestra en la Figura 10.2. La suma de los productos en diagonal hacia la derecha menos la suma de los productos en diagonal hacia la izquierda es igual a dos veces el área de la poligonal. Coordenadas 0 1 2 3 4 5 1 N E n1 )><( n2><( el na><_ n")x( ns>< n, e2 e3 e. es e, Figura 10.2 Ordenación de las coordenadas para el primer método. SF.';ClOMAL aOCORRO FóRMULAS PARA EL CALCULO DECÁREA 129 BIBLIOTECA Segundo método Transformando la ecuación (1), se obtiene: Esta misma expresión se obtiene a partir del cuadro de coordenadas si se ordenan como se ve en la Figura 10.3. Se multiplica luego cada 1101te por la diferencia entre· la este del punto inmediatamente inferior y la del inmediatamente superior. El signo de esta diferencia determina el signo de cada producto. La suma algebraica de todos estos productos da el doble del área. Se observa que por este segundo método sólo se hace la mitad del número de multiplicaciones del método anterior. Coordenadas 0 N E 5 1 2 3 4 e,. 5 1 Figura 10.3 Ordenación de las coordenadas para el segundo método. Nota: Al aplicar estos métodos es indispensable que las coordenadas aparezcan en el mismo orden en que los puntos se suceden en el terreno, sin importar si se toman en sentido horario o en sentido contrario. 130 TOPOGRAFÍA DETERMINACIÓN DEL ÁREA DE UN POLÍGONO POR EL MÉTODO DE LAS DOBLES LONGITUDES Preliminares El eje N-S desde el cuál se miden las E y las W se denomina tJJeridiano. Las proyecciones E y W se denominan proyecciones de longit11d y se toman positivas las E y negativas las W. El eje E-W desde el cual se miden las N y las S se denomina paralelo. Las proyecciones N y S se denominan proyecciones de latitt1d, tomándose positivas las N y negativas las S. N B b a ---A, l l W-----------+-----'-----'---E a' e' b' a b A a' B b' e c' proyección de latitud latitud de A latitud de B latitud de AB a' A B C b' a b c proyección de longitud longitud de A longttud de B longitud de AB 8 Figura 10.4 Proyecciones de longitud y latitud. Una recta tal como AB. (Figura 10.4) tendrá como proyección de longitud la diferencia algebraica entre la longitud del punto A y la del punto B (a'b). La proyección de latitud será la diferencia álgebráica entre la latitud de A y la de B (ab). Se llama longitud de una línea a la longitud de su punto medio. Así, para la línea AB, siendo C su punto medio, se tendrá como expresión de su longitud: Ce= Bb+Aa 2 de donde: 2 Ce= Bb + Aa (1) en que Bb y Aa son las longitudes de B y de A, respectivamente, y 2 Ce la doble longitud de la línea AB. 131 fóRMULAS PARA EL CALCULO DEL ÁREA Determinación del área Como ejemplo se determinará el área del polígono A Be DE (Figura 10.5). Se debe hacer pasar el meridiano por el punto más occidental del polígono (que en este caso es A), que será aquel que tenga la mayor W; si no hay puntos al W, no es necesario. · e D Figura 10.5 Determinación del área por el método de las dobles longitudes. Llamando S = superficie del polígono, de la Figura 10.5, se tiene: S = dDCc + cCBb - BbA - AeE - eEDd d pero: dDCc = Cc+D ·dc2 cCBb= Cc+Bb ·cb· ' 2 eE AeE=-·ae· 2 Llamando: M g ' bB BbA=-·ba· eEDd = eE+dD ·ed ' doble longitud proyección de latitud 2 (2) 2 ' 132 TOPOGRAFIA y de acuerdo con (1) se puede escribir: 1 cCBb =-M?g?; 2 - - 1 AeE=-M 4g 4 ; 2 y remplazando estas expresiones en (2) se obtiene: pudiéndose enunciar la siguiente regla: Para determinar la superficie de un polígono se multiplica la proyección de latitud de cada lado del polígono por la "doble longitud" correspondiente. Luego se suman algebraicamente estos productos y el resultado se divide por dos. El signo de cada producto se determina partiendo de A en el sentido contrario al de las manecillas del reloj, y tomando proyecciones norte positivas y proyecciones sur negativas. CAPÍTULO 11 TRIANGULACIÓN Y TRILATERACIÓN GENERALIDADES on llamados levantaJJJientos de control porque se utilizan principalmente para determinar con precisión la posición de puntos que sirven para iniciar o para terminar o "cerrar" una poligonal. Se llama triang11/ación el método en el cual las líneas del levantamiento forman figuras triangulares, de las cuales se miden sólo los ángulos y los lados se calculan trigonométricamente a partir de uno conocido llamado base. El caso más simple de triangulación es aquel que se vio en el "levantamiento de un lote por intersección de visuales": de cada triángulo que se forma se conocen un lado, la base, y los dos ángulos adyacentes; los demás elementos se calculan trigonométricamente. Una red de ttia11g11/ació11 se forma cuando se tiene una serie de triángulos conectados entre sí, de los cuales se pueden calcular todos los lados si se conocen los ángulos de cada triángulo y la longitud de la línea "base". No necesariamente· han de ser triángulos las figuras formadas; también pueden ser cuadriláteros (con una o dos diagonales) o cualquier otro polígono que permita su descomposición en triángulos (Figura 11.1). Se debe medii- otra línea al final para confrontar su longitud medida dii-ectamente y la calculada a través de la triangulación, lo cual sirve de verificación. La precisión de una triangulación depende del cuidado con que se haya medido la base y de la precisión en la lectura de los ángulos. Los ángulos de cada triángulo deben sumar 180º; debido a pequeños errores inevitables, esto no se logra exactamente y, así, se presenta un pequeño error en cada triángulo (cierre en ángulo). De acuerdo con el grado de precisión deseada, este error tiene un valor máximo tolerable. También se puede encontrar el error de cierre en lado o cierre de la base, o sea, la diferencia que se encuentra entre la base calculada, una vez ajustados los ángulos, y la base medida, expresada unitariamente. 134 TOPOGRAFÍA a) Red formada por seis triángulos independientes b) Red formada por tres cuadriláteros c) Red formada por tres figuras de punto central d) Red formada por tres figuras de punto central con una diagonal extra Figura 11.1 Redes de triangulación. 135 TRIANGULACIÓN Y TRILATERACIÓN - Según la magnitud del error promedio en ángulo y en lado, las triangulaciones se clasifican en triangulaciones de 1º, 2º, 3º y 4º orden, de conformidad con las siguientes especificaciones: Errores máximos permitidos según el orden de la triangulación Orden de la triangulación Clase de error 1) 2) 3) 4) Error probable* en la medición de la base Máximo error de cierre en ángulo (en cada triángulo) Cierre promedio en ángulo Cierre de la base (cierre en lado) calculada después del ajuste angular 12 22 32 42 1 :1 '000.000 1:500.000 1:200.000 1:20.000 3" 1" 5" 3" 10" 6" 30" 15" 1:25.000 1:10.000 1:5.000 1:3.000 • Error probable de la media (ver página 34). Las triangulaciones de 1º, 2º y 3cr orden se emplean en geodesia. Tanto la técnica para llevarlas a cabo como el método de cálculo y ajuste están fuera del alcance de este texto. Al topógrafo, y en general al ingeniero, sólo le interesa la triangulación de 4º orden, pues ésta proporciona la precisión suficiente para los trabajos ordinarios de ingeniería. Así. pues, todo lo que a continuación se expresa trata de triangulaciones de 4º orden. TRABAJO DE CAMPO PARA UNA TRIANGULACIÓN TOPOGRÁFICA Lo primero que se debe hacer es un reconocimiento del terreno para planear la triangulación, o sea, estudiar la posición más conveniente de las estaciones de acuerdo con la topografía misma del terreno y con las condiciones de visibilidad y facilidad de acceso. Luego se determinan las estaciones, lo cual se llama "materializarlas"; para esto se emplean mojones o estacas. Además, las estaciones deben hacerse visibles mutuamente; para tal fin se establecen señales que pueden ser, como lo muestra la Figura 11.2, un. trípode, con su vértice verticalmente sobre la estación, o un poste (pintado de un color que 19, haga más visible), que se· pone al lado de la estación. y que se remueve mientras se están observando ángulos desde .ella. Estas señales son indispensables, pues es imposible, dado que las distancias son muy grandes (de 0,5 a 2,0 km en promedio), alcanzar a ver piquetes o jalones colocados en 136 TOPOGRAFÍA otra estación. Iguahnente, a veces es necesario consttuir "tones de obsei-vación" pata salvat obstáculos de visibilidad en algunas estaciones. En la patte supetioi- de la tone se construye una plataforma de observación en la cual se, sitúa el aparnto pata hacer las lecturns de los ángulos. Cuando se toma como estación la tone de una iglesia o la pai-te sobi-esaliente de un edificio, las observaciones desde esta estación no se pueden hacei-, generalmente, situando el aparnto exactamente sobre la estación. En estos casos se ocupa otro punto cei-cano conveniente (o se construye una tone de observación) y las mediciones hechas desde allí hay que cori-egirlas por excentricidad. Fi.gura 11.2 Materialización de las estaciones de triangulación. Se procede luego a la medición de la base. En esta clase de triangulaciones se emplean los métodos de pi-ecisión vistos en medición de una línea. Se debe patronai- la cinta que se va a utilizar en la medición; en el Instituto Geográfico se solicita este patronamiento y así, una vez conocida la verdadera longitud de la cinta, se puede hacer la corrección del caso. La base se toma sobre un terreno que presente condiciones favorables pata efectuar la medición; hay que medir varias veces para así conocer la precisión con que se hizo. Si s~ ·realizan varias mediciones y se calcula el error probable (ver página 36), éste 'no debe ser menor de 1:20.000. Es, entonces, requisito fundamental trabajar con un grupo de cadeneros expertos para garantizar que se alcanzad esta precisión en la medición. En general, como los lados de la triangulación oscilan entre 200 y 2.000 m, la base ha de ser menoi- de TRIANGULACIÓN Y TRILATERACIÓN 137 300 m. Si se ha medido otra base en el extremo de la triangulación no se debe encontrar una discrepancia, entre el valor calculado y el valor medido, superior a 1:3.000. Usualmente se miden la base de partida y la base de confrontación ~l otro extremo de la red. También se emplean una base central y dos bases de confrontación en los extremos. Debe anotarse que a mayor longitud de la base se obtendrán resultados inás exactos en el cálculo de las longitudes de los lados de la red. Luego viene la medición de los ángulos. El tránsito se coloca en cada vértice y, por uno de los métodos de precisión ya vistos (según el aparato que se esté usando), se van midiendo todos los ángulos. Para cada ángulo la mitad de las lecturas se toma con el anteojo· en posición directa y la otra mitad con el anteojo en posición inversa para evitar cualquier error ocasionado por ligeros descuadres del aparato. Se admite un error promedio en el cierre de los triángulos de 15". AJUSTE Y CÁLCULO Si la triangulación es una cadena de triángulos, el ajuste se hace teniendo en cuenta dos condiciones: que la suma de los ángulos alrededor de cada estación sea 360º, y que la suma de los ángulos en cada triángulo sea 180º. En este tipo de triangulaciones es suficiente hacer el ajuste así: a) Se suman los ángulos alrededor de cada estación. La diferencia a 360º se divide en partes iguales de acuerdo con el número de ángulos alrededor de cacla estación y esta corrección se suma o resta, según que la suma ,haya resultado menor o mayor que 360º. b) A partir de los valores encontrados en a) se suman los ángulos de cada triángulo; la diferencia a 180º en cada triángulo se divide en tres partes iguales y esta corrección se suma o resta a cada ángulo del triángulo, según que la suma haya sido menor o mayor que 180º. Con los valores de los ángulos así ajustados se procede a calcular los lados ·de los triángulos; estos cálculos se hacen trigonométricamente, basándose en la relación de los senos; cada' lado calculado sirve de base para el cálculo en el triángulo siguiente; así se continúa hasta conocer todos los lados de la triangulación. Si en la triangulación se ha formado un cuadrilátero, éste se debe ajustar teniendo en cuenta: 1. Alrededor de cada estación los ángulos deben sumar 360º. 2. Los ángulos interiores del cuadrilátero deben sumar: 180º x (n - 2) = 360º. 3. Un lado calculado por uno u otro camino debe tene1· igual valor. 138 TOPOGRAFÍA í· Figura 11.3 Ángulos en un cuadrilátero. En efecto, considerando el cuadrilátero A-B-C-D (Figura 11.3), en el cual se · conoce el lado AB, existen cuatro rutas diferentes para calcular el lado opuesto •CD; estas rutas son: a) c) AB ➔ BC ➔ CD b) AB ➔ BD ➔ CD AB ➔ CA ➔ CD d) AB ➔ AD ➔ CD El ajuste se hace así: 1) Se ajustan los ángulos alrededor de cada estación, como se indicó anteriormente. 2) Se hace cumplir la segunda condición · por medio de la ecuación: L1 + L2+ L3+L4+ LS+ L6+ L7 + L8 = 360º (1) / Si la suma de los ángulos no da 360º exactamente, se divide el error por ocho y esta cantidad resultante se suma o resta a cada ángulo según que la suma haya sido menor o mayor que 360º. 3) Con estos valores ya corregidos se hacen cumplir las condiciones geométricas: L3+L2-(L6+L7)=0 (2) L4+L5-(L1 +L8) = O (3) Al hacer cumplir las ecuaciones (2) y (3) no se rompe la condición de la ecuación (1), pues a una pareja de ángulos se le suma la corrección y a otra 139 TRIANGULACIÓN Y TRILATERACIÓN pareja se le resta. 4) Por último, se hace el ajuste para que el valor de CD sea el mismo, indiferentemente de la ruta escogida. Para plantear la ecuación correspondiente se toman las dos rutas más convenientes: AB ➔ BC ➔ CD y AB ➔ AD ➔ CD. Por la primera ruta se tiene (Figura 11.4): D 8 A Figura 11.4 Rutas para el cálculo del lado opuesto. AB BC BC CD sen LS =---:.Be sen L2 sen L2 =AB--- sen LS sen L7 sen L4 sen L4 sen L7 = - - - :. CD= BC - - - sen L2 sen L4 CD= AB - - - - - - sen.LS sen L7 Por la segunda ruta se tiene: AB AD sen L8 sen L3 sen L3 sen L8 =---:.AD=AB--- AD sen L6 sen Ll sen Ll sen L3 = - - - :. CD= AD - - - = AB - - - - - CD sen Ll sen L6 sen L6 sen L8 140 TOPOGRAFÍA Igualando estos dos valores de CD, se tiene: sen L'.'.1 sen L'.'.3 sen L'.'.2 sen L'.'.4 sen L'.'.6 sen L'.'.8 sen L'.'.5 sen L'.'.7 ------=-----:. sen L'.'.1 sen L'.'.3 sen L'.'.5 sen L'.'.7 = sen L'.'.2 sen L'.'.4 sen L'.'.6 sen L'.'.8 Al tomar logaritmos se encuentra la "ecuación de lado": log sen L'.'.1 + log sen L'.'.3 + log sen L'.'.5 + log sen L'.'.7 = log sen L'.'.2 + log sen L'.'.4 + log sen L'.'.6 + log sen L'.'.8 El error (E) que presente esta ecuación se distribuye en tal forma que a todos los ángulos del cuadrilátero les corresponda una corrección igual (para cuatro de ellos positiva y para los otros cuatro negativa, según el miembro de la ecuación que se considere). Para encontrar esta corrección promedio (en segundos) se divide el error promedio en log sen (o sea E + 8) por el promedio de diferencias tabulares para 1" de todos log sen. Esta corrección se aplica a cada ángulo. Con este método aproximado de distribuir el error de la "ecuación de lado" no se rompen las condiciones impuestas en las ecuaciones (1), (2) y (3), pues alterna.tivamente se suma y resta la corrección a todos los ángulos del cuadrilátero. AJUSTE DE UNA TRIANGULACIÓN TOPOGRÁFICA ENTRE Dos BASES MEDIDAS Si se ha medido otra báse al final de la triangulación (que es lo más aconsejable) se puede establecer otra condición para. el ajuste: "la longitud de cualquier lado debe ser la misma si se calcula a partir de la base inicial o de la final". En triangulación topográfica es suficiente el método que a continuación se expone para ajustar esta condición. Se escoge una línea ("base media") más o menos en la mitad de la triangulación, es decir, equidistante de las dos bases medidas, y se calcula su longitud a partir de uno y otro extremos de la triangulación, utilizando los valores de los ángulos ya ajustados, como se acabó de ver. Se toma un prqmedio de estos dos valores calculados independientemente y se supone este prqmedio como el valor verdadero de la "base media" (con lo cual se admite que las dos mitades de la triangulación están hechas con igual precisión). A partir de este valor verdadero de la base media, se ajustan las dos mitades de la triangulación por uno de los dos métodos siguientes: 141 TRIANGULACIÓN Y TRILATERACIÓN Ejemplo de ajuste de una red A Figura 11.5 Longitud de la base: 578,792 m Longitud de la base de comprobación: 276,091 m 1) Ajuste angular a) Triángulo: 1 Ángulos leidos Corr. Ángulos corregidos ,g. 87° 35' 43" + 06" 87° 35' 49" t 42º 25' 35" + 06" 42° 25' 41" .e, 49° 58' 24" + 06" 49° 58' 30" L 179° 59' 42" + 18" 180° 00' 00" b) Cuadrilátero 1 2 3 4 5 6 7 8 L 35° 49 54 38 37 50 53 40 = 360 - 360 Error de cierre 47' 00 52 20 47 42 09 20 25" 08 18 32 12 38 40 17 00 00 10 00 e D + 10" Figura 11.6 142 TOPOGRAFÍA Corrección para cada ángulo: - 1'.'25 2) /\ 54g 3 /\ 2 32' /\ 18' 49g 00 08 103Q 52 26 6 /\ 7 50Q 42' 48" 53Q 09' 40" 52 18 35Q 47' 25" 40Q 20' 17" 07' 42" 103 Error de cierre: + 08" Corrección: /\ /\ /\ /\ -02" Para ángulos 2 y 3 Para ángulos 6y7--- +02" 3) /\ 38Q 4 /\ 5 20' /\ 32" 37g 47' 12" 76Q 07' 44" 1 /\ 8 76Q Error de cierre: 02" Corrección: /\ /\ /\ /\ -0,5" Para ángulos 4 y 5 para ángulos 1y8 4) + 0,5" Ecuación de lado d I" lo¡:¡ sen 1 log sen 3 loo sen 3 log sen 7 Sumas: 9,7670222 9,9126818 9,7872643 29 14 27 d I" /\ lo¡:¡ sen 2 /\ lo¡:¡ sen 4 ¡,,.. loo sen 6 /\ 9,9032602 16 log sen 8 39,3702345 87 Sumas: Error: 39,3702562 - 39,3702345 = 0,0000217 Error promedio: 0,0000217, + 8 = 0,0000027125 Promedio di": (87 + 87) + 8 = 174 + 8 = 21.750 ., d , I 27125 Correcc1on para ca a angu o _,- - = ±1: '247 = ±1: '25 21750 = Figura 11.GA. 9,8777945 18 9,7926418 27 9,8887168 17 9,8111031 25 39,3702562 87 143 TRIANGULACIÓN Y TRILATERACIÓN Cuadro resumen de ajuste del cuadrilátero: Ángulo Corr. Corr. Corr. 1º 2ºy 3º 4º Ang. ajustado di" 1 35º 47' 25" 29 -1:•25 +0','5 + 1:•25 35º 47' 25','5 1 2 49'00 08 1.8 -1,25 -2,0 -1,25 49 00 03,5 2 3 54 52 18 15 -1,25 -2,0 . + 1,25 54 52 16,0 3 4 38 20 32 27 -1,25 -0,5 -1,25 38 20 29,0 4 5 37 47 12 27 -1,25 - 0,5 + 1,25 37 47 11,5 5 6 50 42 38 17 -1,25 +2,0 -1,25 50 42 37,5 6 7 53 09 40 16 -1,25 +2,0 + 1,25 53 09 42,0 7 8 40 20 17 25 -1,25 +0,5 -1,25 40 20 15,0 8 e) Triángulo 2: Áng. Corr. Ángulos corregidos 22º 18' 28" +04" 22º 18' 32" 97º28'45" +04" 97º 28' 49" d 60º 12' 35" +04" 60º 12' 39" ~ · 179º 59' 48" + 12" 180º 00' 00" A e Ángulos leídos A f A Figura 11.6B 144 TOPOGRAFÍA 11) Cálculo de los lados: Triángulo Lado conocido Lados calculados ABC AB BC BCD BC CDyBD CEO CD ED 1Compro- BDE BD EDÍbación DEF ED DF Como ya se tienen los ángulos ajustados, se pueden calcular todos los lados desconocidos con base en la relación de senos: lado desconocido = = lado conocido x seno án,gulo opuesto al lado desconocido seno ángulo opuesto al lado conocido Base medida: 578,792 m. /\ /\ /\ /\ 1 + 2 = 84º 47' 28:'5 5 + 6 = 88º 29' 49:•o Cuadro de cálculos Elemento Valor Elemento Valor AB 578,792 BC 755,171 0,9991206 Sen~ Sen '8' BC / \ ' /\ Sen (1 + 2) /\ Sen 3 /\ 0,8178596 0,7657639 sen 8 0,6472888 755,171 BD 954,171 0,9958705 0,6472888 · Sen 8 /\ /\ Sen 1 /\ 0,5848220 Sen 6 0,7739553 CD 1161,850 DE 720.998 CD 1161,850 DE 720,998 0,6203457 Sen~ Sen /\ 4' /\ /\ Sen (5 + 6) 0,9996559 Sen f DE 720,997 DF 0,3795996 0,9914897 276,040 (Base ) Error de cierre: 276,091 - 276,040 = 0,051 m (1 :5400). Figura 11.6C compr. TRIANGULACIÓN Y TRILATERACIÓN - 145 1. Si se considera que los ángulos están níedidos relativamente con mayor precisión que las bases, entonces sólo se corrigen los lados de la triangulación y se dejan invariables lo.s ángµlos. Cada lado se corrige proporcionalmente a su longitud, comparada con la de la base media. 2. Si se considera una mayor precisión en la medición de las bases que en la de los ángulos, entonces la corrección a cada lado se hace no solamente proporcional a su longitud sino también proporcional a su distancia desde la base medida, decreciendo la corrección desde la corrección total para la base media hasta cero para la base medida. Este procedimiento cambia ligeramente el valor de los ángulos, siendo necesario calcularlos de nuevo para utilizarlos en cálculos_ posteriores. Trilateración La trilateración es semejante a la triangulación, pero en ella, utilizando medidores electrónicos de distancias (lvIBD), se miden las longitudes de los lados de los triángulos en vez de los ángulos. Los ángulos que se necesiten se calculan. El establecimiento de la red de trilateración es similar al de la triangulación; es conveniente que los triángulos no tengan ángulos muy agudos para disminuir la probabilidad de errores; las distancias deben corregirse de todos los errores sistemáticos y ambientales, y reducirse a distancias horizontales. Generalmente se prefieren redes de trilateración más o menos cuadradas debido a que las figuras o redes delgadas son menos "rígidas" en sentido transversal a su mayor longitud, y esto hace que se utilicen para controlar grandes obras de ingeniería o áreas urbanas muy extensas. APLICACIONES La triangulación se emplea en combinación con las poligonales para determinar puntos o detalles de un levantamiento. Ésta resulta más económica cuando se trata de medición de grandes distancias, pues cuando las distancias son cortas, el costo de la constmcción de las estaciones, torres de observación, etc., hace preferible el empleo de -poligonales. Por otra parte, el uso de instrumentos de precisión en las triangulaciones no aumenta mucho el costo. Se recomienda utilizar una triangulación topográfica cuando se trate del levantamiento de una zona relativamente grande o que presente inconvenientes para el trazado de una poligonal, ya sea por vegetación abundante o por cursos de agua, como en el caso del levantamiento de la hoya de un río, de una zona costanera, etc. El GPS (ver Capítulo 31) permite actualmente hacer esto más rápida y económicamente. Los detalles del levantamiento se toman por radiación desde las estaciones de la triangulación o trazando poligonales adicionales a partir de ellas, o también por GPS. 146 TOPOGRAFÍA SOLUCIÓN TRIGONOMÉTRICA AL PROBLEMA DE LOS TRES PUNTOS La solución de este típico problema de reseccion es muy interesante, pues frecuentemente se requiere determinar un punto, conocidos otros tres vi'sibles desde él, sin necesidad de tomar distancias o de volver a ocupar alguno de los ya conocidos, sino tan sólo leer los ángulos entre esos tres puntos desde el punto desconocido. · Sean A, B y C los tres puntos conocidos y P el punto desconocido (Figura 11.7) desde el cual se han medido los ángulos a y p. Es necesario determinar los elementos de los triángulos (1) y (2), de los cuales se conocen un ángulo {;} y un !ad o. {:} ; además, se conocen los ángulos <p y 0. Se deben determinar los ángulos x y y; conocidos éstos, se pueden calcular los lados CP, AP y BP por relación de senos. Figura 11.7 Solución al "problema de los tres puntos". x+y Llamando: S = - s y~- 2 - y x-y ~=- - 2 se pueden calcular x y y si se conocen 147 TRIANGULACIÓN Y TRILATERACIÓN · a) Determinación de S. De la Figura 11.7 se obtiene: b) Determinación de i1. Por la relación de los senos, en el triángulo G): AP c c sen y --=--.'.AP=--~ sen y sen P sen P @: Por la relación de los senos, en el triángulo AP b b sen x - - · = - - :. AP = - - sen x sen a sen a luego: c sen y sen P = b sen x sen a de donde: c sen a sen x -----b sen P Tomando un ángulo auxiliar y tal que: sen y sen y tg Y = sen x Se tiene: c sen a sen x 1 ---=--=-b sen P sen y tg y (1) Como el primer miembro es conocido, se puede despejar a y. De la ecuación (1). sen x - sen y _ 1 - tg 'Y senx+seny l+tg"{ y como: sen x - sen y x-y x+y = 2 sen - cos - - 2 2 148 TOPOGRAFÍA x+y x-y sen x + sen y = 2 sen - - cos - - 2 tg ( y+ 45 º) 2 tg 45º+tg y 1 + tg y =~ - - ~ - = ---=---'--1 - tg 45º tg y 1 - tg y luego: x-y x+y 2 sen - - cos - 2 = c tg ('Y + 45º) 2 x+y x-y 2 sen - - cos - - 2 2 x-y x+y tg--= tg--ctg (y+45º) 2 2 o sea: tg s tg Ll = -----"'-tg (y+ 45º) (2) de donde se obtiene Ll, pudiéndose ya calcular x y y. Si tg Ll es (+) X+ y = 2S :. x = S + Ll { x -y= 2.il :. y= S-Ll Si tg Ll es(-) X+ y = 2S :. x = S - Ll { x - y = 2.il :. y = S + Ll El problema es indeterminado para: a + P + (<p + 0) = 180º, pues estarían A, B, C y P sobre un círculo y cualquier punto de él satisface la ecuación. Si a + P + (<p + 0) es próximo a 180º el problema es poco preciso. Cuando el punto P está como se ve en la Figura 11.8, entonces: A + <p + 0 = <p = 180º - (a 0 = 180° - (P :. A - a - p = 360º + x) + y) x +y :.S=x+y =A-(a+P) 2 Lo demás sigue igual. 2 149 TRIANGULACIÓN Y TRILATERACIÓN. p Figura 11.8 Caso particular del "problema de los tres puntos". Ejemplo Según la Figura 11.9 se conocen los siguientes datos: b 1.428, 46 m c 848,40 m Lcp + L0 Azimut de A ➔ 205º26'19" B = 75º30'30" Coordenadas de A: N = 21.565,73 m E = 12.345,45 m Se miden en el terreno los ángulos: a= ~ 44º53'05" = 20º41'10" Se pide calcular las coord~nadas del punto P, en función de los datos conocidos y de los ángulos a y ~ medidos en el terreno. 150 TOPOGRAFÍA Figura 11.9 Ejemplo de aplicación del "problema de los tres puntos". 1. Cálc11/o de S: A = 360º - 205º26'19" = 154º33'41" 154º 33' 41"-(44º 53'05" + 20º 41'10") S = - - - - - - - - - - ~ = 44º29'43" 2 tg S = 0,98253527 2. Cálcttlo de ~: tg 'Y= b sen~ e sen a t ( g 'Y = 1.428,46 X 0,35324808 =0, 84282638 848,40 X O, 70568267 + 45º) = 1 + 0,84282638 = 11 72478167 1 - O 84282638 ' t ' ~ = 11,72478167 º' = O' 08379988 g 98253527 :. ~ = 4º47'24" 3. Cálcttlo de x y y: X y = 44º29'43" + 4º47'24" = 49º17'07" = 44º29'43" - 4º47'24" = 39º42'19" 151 TRIANGULACIÓN Y TRILATERACIÓÑ De donde: + 44º53'05") =;= 85º49'48" e = 180° - (39º42'19" + 20°41'10") = 119°36'31" <p = 180º - (49º17'07" Comprobación: <p + 0 = 205º26'19" 4. Cálcttlo de las coordenadas de P: Azimut de A ➔ . . D 1stanc1a AP P = 75º30'30" + 119º36'31" = 195º07'01" = 848,40 -0,63883869 - - - : : : : 1.534,306 m 0,35324808 Rumbo de AP = S 15º07'01" W Proyección Sur = 1.534,306 X 0,96539555 = 1.481,21 m Proyección Oeste = 1.534,306 X 0,26079002 = 400,13 m Coordenadas de P: N = 21.565,73 - 1.481,21 = 20.084,52 m E = 12.345,45 - 400,13 = 11.945,32 m CAPÍTULO 12 GENERALIDADES SOBRE OTRAS CLASES DE LEVANTAMIENTOS LEVANTAMIENTO DE EDIFICACIONES ste tipo de levantamiento es de gran utilidad para conocer o reconstruir planos de edificaciones existentes, con el fin de proyectar ampliaciones, localizar maquinarias, calcular asentamientos en placas, conocer dimensiones de las estructuras y muchos otros objetivos. El procedimiento se puede resumir en los siguientes puntos: 1. Constmir 1111a base: por medio de dos mojones de concreto y placas metálicas se determina una base, escogiendo la localización más adecuada dentro del terreno aledaño. De esta base se debe conocer: a) su longitud; b) su orientación con respecto a la N-S verdadera, o magnética, según sea necesario; c) coordenadas y cotas de los puntos extremos. 2. Hacer 1111 plan de trabqjo consistente en: a) elaborar esquemas a mano alzada tanto de las plantas como de los cortes necesarios del edificio o edificios por levantar, haciendo resaltar los elementos estructurales (ver Figura 12.1); b) sobre dichos esquemas escoger los puntos por localizar; c) ado¡:>tar una nomenclatura conveniente, por ejemplo: para cada planta asignar una letra mayúscula que la identifique, que será la misma para los puntos de la poligonal con un subíndice numérico; para los puntos diversos por localizar en cada planta se adoptará la misma letra, en minúscula, con un subíndice numérico que llegará a tener igual valor que el número total de puntos localizados en cada planta. 3. Sobre los esquemas, se dispone la localización de las estaciones de modo que sea el menor número posible y que desde· cada una de ellas se pueda localizar el máximo de puntos para disminuir las probabilidades de error. 4. Se deben medir todas las dimensiones posibles, que puedan servir luego de comprobación, entre puntos que se vayan a localizar por radiación, lo mismo que el espesor de los muros y elementos estructurales fácilment~ visibles. 154 TOPOGRAFÍA N / 1 -·----- ---------- .SECCIÓt.J- AA Figura 12.1 Esquema preliminar (a mano alzada) a un levantamiento de una edificación. GENERALIDADES SOBRE OTRAS CLASES DE LEVANTAMIENTOS 155 5. Eq11ipo empleado: a) tránsito de precisión debidamente corregido y que lea por lo menos 1O"; b) cinta metálica patronada; c) dinamómetro; d) termómetro; e) plomada y demás elementos accesorios; f) tachuelas de acero para determinar las estaciones; g) nivel de precisión, con burbuja de coincidencia; h) mira metálica. patronada, e i) nivel circular para mira. 6. ProcediJ11ie11to: a) si se trata de edificios separados entre sí, o de un bloque de edificaciones, se hace una poligonal que lo rodee con el fin de tener la localización general de la planta de las edificaciones por levantar, lo mismo que _de los puntos exteriores importantes del conjunto; b) el levantamiento de la poligonal o poligonales necesarias se hace referido a las placas antes mencionadas, determinando así las coordenadas de todas las estaciones. Debe tenerse especial cuidado tanto en la medición de las · distancias como en la de los ángulos, haciendo siempre comprobaciones y tomando varias lecturas de cada elemento que hay que medir. Es necesario, además, cerrar independientemente las poligonales parciales en cada planta; c) puesto que tanto los ángulos como las distancias medidas son horizontales, para efecto de cerrar la poligonal total se puede lanzar una visual desde una estación situada, por ejemplo, en el último piso del edificio que se está levantando, a una de las placas, si esto es posible, o si no a un punto convenientemente situado desde el cual una de éstas sea visible. Para medir la distancia entre un punto de un piso alto del edificio y un punto al nivel del piso más bajo, se puede emplear la estadia de invar con buenos resultados; d) las nivelaciones se referirán todas a una de las placas adoptadas como BM. Mientras las nivelaciones se hagan a campo abierto es conveniente el uso de parasol, que evita las perturbaciones que los cambios de temperatura causan en la burbuja. Con el objeto de disponer de BM en cada piso para las nivelaciones en cada uno de ellos, se hace una nivelación y contranivelación a partir del BM inicial, fijando las cotas de estos BM auxiliares. Se determinarán las cotas de todos los puntos que se consideren necesarios según los esquemas y el plan de trabajo previamente elaborado. Deberán, además, tomarse mediciones directas de distancias verticales sobre los muros en los diferentes pisos, con el objeto de comprobar, por una parte, los resultados de las nivelaciones, y por otra, para determinar por diferencias los espesores de las placas de los pisos en los sitios donde no sea posible medirlos directamente. 7. CálcNlos y dibt!}o: en estos dos aspectos hay que intentar obtener los resultados más exactos, para lo cual se tienen que emplear los métodos e instrumentos de mayor precisión. El dibujo deberá hacerse a las escalas acostumbradas en dibujo arquitectónico. Una planta general de localización, a escala más pequeña, del conjunto total levantado, complementa y aclara notablemente el trabajo. 156 TOPOGRAFÍA LEVANTAMIENTO DE POBLACIONES Si la población es de tamaño considerable, se debe hacer una triángulación de precisión que cubra toda la región. Así se establecen puntos (tanto planimétrica como altimétricamente) que sirven luego como apoyo para efectuar el resto del levantamiento, los cuales se denominan puntos de control. Si la población no es muy grande, basta entonces con trazar una poligonal de gran precisión alrededor de la zona urbana.· Los vértices de ésta sii-ven de apoyo para completar el levantamiento. En general, esta poligonal debe .¡;; ( cerrar con un error de ángulo menor que a X en que ª· es la aproximación del aparato y 11 el número de estaciones) y un error en lado menor que 1:5.000. El tránsito empleado ha de leer mínimo medio minuto y se debe usar cinta metálica para las mediciones. Como estos puntos de control deben ser fijos y permanentes, tienen que materializarse por medio de mojones de concreto (aproximadamente 10 X 10 X 6.0 cm), que se incrustan .en el terreno y en cuya cara superior se fija una placa .de bronce que lleva señalado el punto determinado. Cada placa tiene un número que la identifica. Una vez materializados y determinados los puntos de control, se procede a completar el levantamiento. Se trazan, a partir de estos puntos, poligonales que van por los ejes de las calles. En las esquinas se dejan estacas o placas que sirven para luego tomar detalles o trazar poligonales más pequeñas. 0,10m §J0,10m T . MOJÓN PLACA Figura 12.2 Materialización de un punto. Todas estas poligonales se deben controlar tanto en ángulo como en lado; o sea, que tienen que cerrar sobre los puntos de control. Pueden ser de una precisión menor que la poligonal base. Luego se procede a tomar los parámetros de las manzanas y demás detalles necesarios para la elaboración del plano. GENERALIDADES SOBRE OTRAS CLASES DE LEVANTAMIENTOS 157 Como los puntos de control también están determinados altimétricamente, se pueden trazar circuitos de nivel para conocer las cotas de las estacas de las poligonales y así poder dibujar las curvas de nivel. LEVANTAMIENTO DE LOTES URBANOS Cuando se trata de levantar un lote en la ciudad, generalmente hay que referir las coor<;l.enadas del lote al sistema de coordenadas de la ciudad, que se conoce como "amarrar" el levantamiento al sistema. Para esto se comienza de dos placas (las dos más cercanas posibles), de las cuales se conocen las coordenadas. Se calcula el azimut existente entre ellas y con ese azimut se inicia la poligonal que, luego de cubrir el lote que se quiere levantar, se debe prolongar hasta encontrar otras dos placas sobre las cuales se cierra dicha poligonal, pudiéndose calcular el error tanto en ángulo como en lado para verificar si están dentro de los límites permisibles. Ejemplo Si se conocen las coordenadas de las placas P-231 y P-230 (Figura 12.3), se puede conocer el azimut de P-230 ➔ P-231. Con el teodolito en P-230 se da vista a P-231,' poniendo el azimut calculado. Una vez terminada la poligonal que tiene como último lado P-252 - P-253, se ve cómo ha cerrado en ángulos y en lado, pues también se deben conocer las coordenadas de P-252 y P-253. ~ w Figura 12.3 Trazado de una poligonal referenciada a puntos de coordenadas conocidas. 158 TOPOGRAFÍA Cuando en las cercanías del lote urbano que hay que medir no existen más placas, se puede volver a cerrar en las iniciales, calculando nuevamente distancias y azimut para verificar el cierre. Cada municipio tiene especificaciones para estos cierres en levantamientos de lotes urbanos pero, en general, se puede decir que no son inferiores a 1:4.000 en distancia y a ángulo, con un valor de a = 30", como máximo. X.¡;; en CAPÍTULO 13 PARTICIONES CASO GENERAL ste caso se presenta cuando, por ejemplo, se trata de dividir una finca entre varios herederos, proporcionalmente al capital heredado por cada uno de ellos. Si, v.gr., son tres los herederos y se dispone de los siguientes datos: Al 1º le corresponden $15 millones sobre $80 millones Al 2º le corresponden $30 millones sobre $80 millones Al 3º le corresponden $35 millones sobre $80 millones Siendo $80 millones el avalúo de la finca. El ingeniero debe asesorarse de un avaluador profesional que le indique las zonas en que se puede dividir la finca y los valores unitarios (por hectárea o fanegada) correspondientes. Así habrá zonas ganadera, agrícola, forestal, valle, ladera, etcétera. Luego se hace un levantamiento cuya precisión depende del valor de los terrenos, y en el· cual deben quedar definidas las diversas zonas (Figura 13.1). Figura 13.1 Ejemplo de zonificaciónen una partición. 160 TOPOGRAFÍA Si el agrónomo ha suministrado los siguientes datos: Zona agrícola: Zona forestal: Zona ganadera: $3 millones/hectárea $700.000 /hectárea $1,875 millones/hectárea De acuerdo con el levantamiento hecho, se puede calcular el valor de cada zona: Zona agrícola: Zona ganadera: Zona forestal: 22 hectáreas $66 millones 12 hectáreas $22,5 millones 8 hectáreas $5,6 millones De estos datos se deduce: Área total de la fine~: Valor real de la finca: 42 hectáreas $94,1 millones En seguida, se divide el valor real de la finca proporcionalmente a lo que le corresponde a cada hereclero: 15 X = 80 94,1 X= de donde resulta: 17,64375 Al· 1º le corresponden, ahora, Al 2º le corresponden, ahora, Al 3º le corresponden, ahora, Total $17,643 7 5 millones 35,28750 millones 41,16875 millones $94,1 millones Se procede entonces a la partición: sobre el plano se marcan las partes en las cuales se va a dividir, teniendo en cuenta: 1) que a cada parte le correspondan terrenos de todas las clasés que el agrónomo señaló (esto hasta donde sea posible); 2) que todas las partes queden con acceso (si no, se debe proyectar una carretera de penetración que les dé acceso a todas); 3) que todas dispongan de agua. Con el planímetro se van haciendo tanteos hasta que se obtengan áreas equivalentes en valor a la parte correspondiente a cada uno. Se determinan las coordenadas de los linderos y se calcula analíticamente el área de cada parte. Esto nos da unos valores bastante próximos a los que buscamos. La última aproximación se hace añadiendo o quitando un pequeño triángulo: se conoce cuánto falta o sobra en valor ($); de acuerdo con la zona y el p ARTICIONES 161 valor por hectárea se averigua la extensión que falta o sobra, se fija la base o la altttra del triángulo y se ve cuánto tiene la otra dimensión. Por último, sé localizan estos linderos sobre el terreno, se hace una descripción de cada uno de ellos, la cual se lleva al juez, quien, si encuentra todo correcto, lo pasa a la notaría para la protocolización. CASOS ESPECIALES EN LA PARTICIÓN DE UN TERRENO 1. Partir un terreno en. dos zonas de á~eas conocidas, por una línea que pase por un punto dado. Sea el terreno A-B-C-D-E-A (Figura 13.2) que se quiere partir en dos zonas de áreas A 1 y A 2 por una línea que pase por el punto P. Sea PR la línea pedida, la cual se determina como sigue: se ve qué línea que pase por P y por uno de los vértices determina más o menos la división pedida (esto a estima). e Figura 13.2 Partición de un terreno: caso 1. Se supone que esta línea sea PD. Como se conocen las coordenadas de P y de D se puede averiguar la distancia PD y su azimut y también calcular el área P-B-C-D-P; se compara con A 1 que es el área pedida y se ve si es mayor o menor. En este caso, A 1 > P-B-C-D-P, o sea que hay que agregar al área P-B-C-D-P una cantidad M para que sea igual a A1• Como se ve: M = área del triángulo PDR, del cu~ se pueden conocer el ángulo en D y el lado PD; los otros elementos se pueden calcular: M = .L2 PD · DR · sen LD 2•M PD·sen LD :.DR=----- 162 TOPOGRAFÍA Luego se calcula el ángulo en P y, por tanto, se pueden conocer el azimut de PR y también la longitud de PR (por relaciones trigonométricas en el triángulo PDR), con lo cual queda solucionado el problema; B _ _ _ _ _ _, e G ------------------ -----------------X A F Figura 13.3 Partición de un terreno: caso 2 . . 2. Partir un terreno en dos zonas de áreas conocidas, por una línea que tenga una dirección dada. Sea el terreno A-B-C-D-E-F-A (Figura 13.3), que se quiere partir en dos zonas de áreas A1 y A 2 por una línea de dirección dada, por ejemplo, N-60º-E. Se toma un vértice cercano a la línea pedida. Sea D este vértice. Se traza DG con la dirección dada. Se pueden calcular GB y GD tal como se vio en el caso en el cual se desconocen dos longitudes de una poligonal, pero se conocen sus direcciones. Se calcula el área G-B-C-D-G y se compara con Al' Suponiendo que haya dado menor y que HI es la verdadera línea divisoria, se debe agregar el área del trapecio GHID (GD es paralela a HI a una distancia x). Llamando M = área del trapecio 2 M = GD · x + ~ [± tg a ± tg p] (1) 2 el ± de la tangente indica si el ángulo está dentro o fuera del trapecio. De (1) se obtiene el valor de x. Así se pueden calcular GI-I y DI y se sitúan H e I sobre las lín¡:as respectivas. Se puede calcular HI como chequeo. HI = GD teniendo en cuenta que a y dentro o fuera del trapecio. + x (tg a + tg p son P) positivos o negativos, según estén CAPÍTULO 14 URBANIZACIONES INTRODUCCIÓN n las ediciones anteriores de TOPOGRAFÍA este capítulo estuvo orientado especialmente a la situación y normas vigentes en el Distrito Especial de Bogotá (hoy· Distrito Capital), lo cual en primer lugar lo limitaba a las condiciones particulares de la capital de la república y a la vez su vida práctica estaba limitada a la vigencia de las normas. En consecuencia, el capítulo quedó obsoleto muy prontamente. Por tales razones el propósito de este capítulo en la presente edición es, tal como se apreciará, de índole mucho más general y se espera que también sea de mayor utilidad para la formación integral de los profesionales que tengan la oportunidad de estudiarlo. Por otra parte, el trabajo en urbanizaciones constituye en muchas oportunidades la primera experiencia como estudiante o como joven profesional de la ingeniería o de la arquitectura. Por tanto, tiende a mirarse como un trabajo rutinario, consistente en localizar en el terreno algo concebido por otro, que no incita a pensar o a analizar el porqué del diseño y de las características que identifican la urbanización de un terreno. Lo anterior no corresponde en manera alguna a la realidad, ni a la importancia que este tema adquiere cada día más. Si algo identifica la segunda mitad del siglo X,"I{, es precisamente el proceso de urbanización a que ha llegado el mundo. Y como todos los procesos que de alguna manera son propios de esta era, está caracterizado por la aceleración, lo cual permite predecir que a mediados del siglo X,XI el mundo será sustancialmente urbano. ¿Cuáles son las razones que explican el fenómeno de la urbanización? Con seguridad que son muchos los motivos de índole sociológica y económica que pretenden responder a este crucial interrogante. ¿Por qué la humanidad, sin distingo de razas, ha decidido abandonar los campos para acomodarse, reproducirse, progresar, vivir y morir en núcleos urbanos? Con el pragmatismo característico de las profesiones técnicas y para no entrar en análisis 164 TOPOGRAFÍA ajenos al propósito de este libro, aceptemos la siguiente explicación, que a pesar de parecer simplista, no deja por eso de contener una gran verdad: el hombre a partir de la segunda mitad del siglo X.-X ha decidido ser urbano, principalmente por razones de economía de escala: en las concentraciones urbanas resulta más eficiente alcanzar todo aquello que se identifica con el progreso humano y con una mejor calidad de vida. Pero aun cuando tales cosas no se consigan, para el hombre moderno la ciudad es por lo menos fuente de esperanza. Por esto, todo aquel que de alguna manera participa en un trabajo de urbanización ha de estar consciente de que es actor en el proceso más importante y característico del mundo moderno; en consecuencia, deberá actuar con el espíritu crítico, profesionalismo y responsabilidad propios de una actividad de esta trascendencia. A pesar de las anteriores consideraciones resulta curioso, por decir lo menos, registrar la poca importancia que la mayor parte de los gobiernos, en particular los de Colombia, han dado al proceso de urbanización. La principal responsabilidad de un Ministerio de Planeación Nacional debería ser estudiar y adoptar una política nacional de asentamientos humanos, con el fin de planificar las ciudades del próximo milenio: tanto las existentes como las que necesariamente habrán de crearse. Todo lo anterior basado en el respeto por la naturaleza y en especial en el instinto de conse1-vación, que es el que ha identificado al hombre desde que así se le ha podido denominar, para prese1-var el planeta Tierra y dejarlo apto para las futuras generaciones. Una política de este tipo debe responder no sólo a normas de índole de política internacional, de soberanía nacional y de fronteras, o de carácter puramente geográfico, sino fundamentalmente a la búsqueda de conglomerados humanos que, en términos de dimensiones apropiadas, puedan disponer de los se1-vidos básicos que aseguren altos niveles de calidad de vida. La experiencia alcanzada hasta ahora en materia de urbanización permite llegar a algunas conclusiones que bien vale la pena tomar en cuenta para la planeación del futuro urbano del país. Los errores cometidos a lo largo de un lento proceso, por grandes que ellos sean, pueden corregirse en un lapso relativamente corto, gracias a la característica de aceleración antes mencionada. Alcanzar el estado actual de urbanización ha tomado, en nuestro caso, algo más de, 400 años, mientras que duplicar la población actual tardará apenas entre 35 y 50 años, siendo por tanto posible introducir cambios fundamentales a los modelos de urbanización para poder llegar en un tiempo así de corto a un país urbano con una altísima calidad de vida. Tal vez el mayor error de todos los cometidos en materia de urbanización es haber llegado a tener megaciudades. Todavía recordamos el orgullo que URBANIZACIONES 165 pregonó Bogotá cuando llegó a un· millón de habitantes y la envidia inicial y posterior emulación que esto representó para que Medellin, Cali y demás ciudades trataran de acelerar su crecimiento para alcanzar y sobrepasar cuanto antes esta meta, ignorando, tal vez por inexperiencia, que un millón de habitantes es el límite superior para que una ciudad pueda ser razonablemente administrable y pueda alcanzar y mantener satisfactorios niveles de calidad de vida. A partir del millón de habitantes se hace cada vez más difícil y más costoso disponer de los sei-vicios que pei-mitan asegui-ar, no ya una alta calidad de vida, sino apenas un decoroso nivel. El ejemplo de Bogotá debería servir para destacar la urgencia de la formulación de un plan nacional de asentamientos humanos. Colombia posee una proporción mucho más alta de tieri-as para lograr asentamientos humanos de gran calidad, que de suelos aptos para la producción agrícola, lo que encuadra pei-fectamente dentro de lo establecido en la Constitución Política de 1991, que en su artículo 366 establece: "El bienestar genei-al y el mejoramiento de la calidad de vida son finalidades sociales del Estado". El abastecimiento de agua potable a costos razonables y la viabilidad de potabilizar las aguas servidas deben estar entre las noi-mas que sirvan para orientar los nuevos asentamientos humanos. PLANES y NORMAS En la actualidad, en términos generales, las normas que rigen el proceso de urbanización son el resultado del trabajo de los departamentos o secretarías municipales de planeación, entidades que preparan planes orientadores del desarrollo urbano, para ejecutarlos en períodos relativamente cortos. La planeación a largo plazo, en la historia que llevamos como nación independiente, tanto a nivel nacional como municipal, no pasa de ser un deseo frustrado de quienes piensan que es posible evolucionar hacia un país mejor. PLAN DE ORDENAMIENTO TERRITORIAL Para i-emediar lo antei-ioi-, el parlamento colombiano ha promulgado una ley que obliga a todos los municipios a formular los llamados planes de ordenamiento territorial (POT), con el fin de que cada municipio disponga de un programa que ordene su desarrollo ui-bano pata los siguientes diez años. Por desgracia, tales planes no forman parte de una política nacional, simplemente por inexistencia de ésta. 166 TOPOGRAFÍA Los POT son obviamente para los desarrollos urbanos existentes. Para la creación de nuevos núcleos urbanos no hay planes ni mucho menos normas, ni lo que más falta hace: incentivos. Pero de todas maneras, así sea sólo para orientar independiente o aisladamente el desarrollo de cada municipio, por el lapso de su vigencia, diez años, los POT se pueden considerar un avance importante dentro de la incipiente planeación urbana del país. Los POT, desarrollados por las dependencias locales de planeación, debe aprobarlos primero la corporación regional responsable del manejo de los recursos naturales y finalmente el respectivo concejo municipal. Así mismo, fijan a gran escala las áreas de servicios, o sea las áreas donde se pueden llevar a cabo los diferentes desarrollos de tipo urbano, ya sean residenciales, recreacionales, comerciales, industriales, zonas de protección ambiental, etc., sin que lo anterior signifique, corno en el pasado, exclusividad de usos. Igualmente allí quedarán determinados los planes viales y sistemas de transporte de diferente tipo, entre ellos los corredores para transporte masivo. También deberán definirse los planes maestros de acueducto, alcantarillado, plantas de tratamiento, redes de energía, así corno canales y rondas de los ríos. En la actualidad todos los municipios de Colombia están obligados a preparar y adoptar sus respectivos planes de ordenamiento territorial, la mayor parte de los cuales están en proceso de desarrollo. Al momento de escribir el presente capítulo, no ha vencido aún el plazo para la presentación y adopción de los POT; por tanto, en la presente edición de TOPOGRAFÍA no es posible recoger los detalles de su estructura y ordenarnien to. URBANIZACIONES Con este nombre genérico se define el desarrollo de globos de terreno de extensión apreciable con destino a usos eminentemente urbanos. Las normas y procedimientos que rigen este proceso difieren de un municipio a otro, lo mismo que la terminología empleada. A continuación se presentan, de manera esquemática, las etapas que generalmente deben seguirse. Plano topográfico del predio por urbanizar Esta primera etapa consiste en el levantamiento planirnétrico de precisión Y. del relieve del terreno, siguiendo las normas establecidas por cada municipio en cuanto a escala y distancia entre curvas de nivel. URBANIZACIONES 167 Afectaciones El levantamiento debe incluir la localización· de todas las afectaciones que tenga el predio, tales como rondas de ríos, reservas forestales, canales, redes de acueducto y de alcantarillado, redes de energía, redes viales y corredores de transporte masivo; tanto existentes como programadas en los llamados planes maestros para cada tipo de servicio. El levantamiento deberá estar relacionado con las coordenadas y cotas establecidas en toda la nación por el Instituto Geográfico Agustín Codazzi (IGAC). Son varias las finalidades de este levantamiento y plano resultante: a) Incorporar el predio a la cartografía oficial de la ciudad. b) Conocer el área bruta del predio por desarrollar. c) Conocer en detalle las afectaciones que tiene el predio. Área neta urbanizable Con base en la información obtenida en el punto anterior y una vez que el plano topográfico haya sido aprobado por la oficina de planeación, se puede continuar el proceso. El área resultante.de sustraer al área bruta del predio el área correspondiente a las afectaciones es la que se denomina área neta urbanizable, sobre la cual se llevan a cabo las siguientes etapas: Diseño de vías locales Tomando en consideración el tamaño y forma del globo por desarrollar, al igual que la localización de las vías arterias y sistemas de transporte que lo conectan con el resto de la ciudad, se procede con el diseño de las vías locales, siguiendo las especificaciones establecidas en cada municipio en cuanto al propósito y sección transversal de cada vía. Para tener una idea de las características de las vías arterias y de las vías locales, en las figuras 14.1 y 14.2 se presentan las secciones transversales, de acuerdo con las normas de Bogotá, D.C. Áreas de cesión Se entiende por áreas de cesión aquellas que hay que entregar al municipio o a la comunidad. En general pueden clasificarse así: 'TI ...... < ► ~ (Q )> e -l ll) 'ü o 'F ú) ,¡:. :.. ::! -¡¡ o 'F ú) m en < ► ::! -¡¡ o CD o o . 5· ::::1 CD ....en ñl ::::1 :Il P. ambiental en < CD iil lll ro !'! < iii' Andén ~r r ;:¡. .... ü, Calzada CD ~en N Separador Calzada Zona verde Andén P. ambiental Andén Zona verde (11 :zona verde en lll P. ambiental "'o b wi 1-;;:1 1 1 ~~u Calzada Separador !J t 1 NI ti Ult l 1 Calzada Zona verde Andén P. ambiental 1 1 P. ambiental Andén Zona verde nt l:l I IH Calzada 1- 1 Separador Ciclopista Separador N lL ~H P. ambiental Calzada Zona verde Andén ... ~ 1 :n 1°l 1 l~f ~ t 1" ~1 t ► -¡¡ Calzada Separador Separador Ciclopista Separador Andén Zona verde (11 Zona verde Ciclopista UI P. ambiental o f ]'-'. Andén 1 ~ J. Calzada Jl Zona verde zj_ 1 Ciclopista 1 Zona verde < ► 1 181 1 li.,, ::! -¡¡ o 'F o _J 1 -~ Calzada w ;,, :1 e (11 Separador gl 9 b o ;,, (11 Calzada 1~I 1 Calzada lg Zona verde 1 .?1 Separador eff Calzada "' P. ambiental < ::! Zona verde Andén ••m~o~ 1 ~l E ~¡ 1 Ciclopista Zona verde Calzada ü, 1 Zona verde Andén P. ambiental fJ f G) :n )> ► "11 e ce e JJ m ... )> k> o z ii'I z ~ .i::,. m (/) CD en C') 1·en 1 < < < (O (O o, < __, C) < < < O> "" t ¡¡f < ... Andén "' u, :::, en < CD ¡¡¡ Andén Sll Andén ro And. !'! < ¡¡, Andén en o 2 ~ 1 Andén Zonaverde Andén Zona verde Andén 1~ ,~ Andén Zona verde 11~ üi Zon::eroe 1~ Zona verde 1 u Zona verde - ..·· 1·t: Bahla de parqueo 111 Calzada i; lb! "' lm Andén Zona verde-~ _t.> 0 Andén o"' "' I"' "' u, 0 Calzada ~I~ 0 Calzada ilb Calzada i 1~11 Cagada ~I g1 1 Cagada ~I fl 1 Separador ~lwo g "' u, Andén ll" 0 Zona verde 1-~ Andén "' u, Zona verde Andén i:n Zona verde Andén ~+i ~I 1 Bahía de ¡..,u, Calzada ·.,,... parqueo Zona veme Andén I q t.J u, Zona verde I b. Andén 1~ ..... O) (0 170 TOPOGRAFÍA a) Áreas de cesión para vías públicas, que pueden corresponder a vías arterias, a corredores para transporte masivo o a vías locales de carácter público. b) Áreas de cesión, generalmente llamadas tipo A: corresponden a las áreas públicas exigidas por las normas municipales destinadas a zonas verdes y recreativas. Regularmente la determinación de estas áreas está fijada en las normas como un porcentaje del área neta urbanizable. c) Áreas de cesión, generalmente llamadas tipo B: corresponden a las áreas exigidas por las normas municipales con destino a servicios comunales de los futuros habitantes de la urbanización. Por lo regular la magnitud de estas áreas está fijada en las normas como una función del área destinada a los respectivos .usos habitacionales, comerciales o industriales que se proponga desarrollar. Área útil Se denomiria área útil o área construible la resultante de sustraer al área neta urbanizable la' correspondiente a la suma· de las áreas de cesión. A su vez, el área útil se puede subdividir en: a) Supermanzanas, cuya área por lo general debe ser superior a cuatro hectáreas. b) Manzanas, cuya área mínima es de una hectárea. La manzana a su vez se divide en: 1. Superlotes: generalmente destinados al desarrollo de agrupaciones. 2. Lotes individuales, de diferentes proporciones: frente por fondo, siguiendo las normas de cada municipio, de acuerdo con la destinación dada a los lotes individuales. Replanteo Todo el trabajo anterior se ha desarrollado sobre el plano topográfico. Una vez que se obtiene la aprobación definitiva de este trabajo, es necesario proceder a su localización en el terreno, lo cual constituye una labor de alta precisión, que se denomina replanteo del proyecto en el terreno. El replanteo se materializa mediante la colocación de mojones que permitan la construcción de las obras de urbanismo y su posterior verificación, para constatar que corresponden exactamente a lo diseñado en los planos. El producto final, luego de ejecutadas las obras, se consigna en los planos definitivos de precisión que se inco1poran para formar parte del plano oficial de la ciudad. 171 URBANIZACIONES Reglamentación interna Cada urbanización debe tener un reglamento que contenga las normas internas de construcción y de convivencia que son de obligatorio cumplimiento por los futuros habitantes o usuarios de los predios y construcciones que la compongan. Estas normas son elevadas a escritura: pública y forman. parte de cada una de las escrituras por medio de las cuales se transfiera la propiedad de los terrenos que integran la u.rbanización. Entrega de zónas de cesión La etapa final de un proceso de urbanización consiste en la entrega oficial de las zonas públicas mediante escritura pública y acta de entrega física de las mismas a la dependencia respectiva del municipio, generalmente denominada Procuraduría de Bienes. CONSTRUCCIONES Las construcciones que se pueden llevar a cabo en una. urbanización están a su vez regidas por un conjunto de normas estudiado por las I dependencias de planeación. éstas, las de carácter general se convierten en acuerdos del respectivo concejo municipal y las de' carácter particular en resoluciones de la dependencia de planeación. Las normas de construcción tienen dos características fundamentales: De Densidad Consiste en el número de unidades por hectárea que es permitido construir. A su vez la densidad puede ser: 1. Restringida: especialmente aplicable a zonas de carácter de conservación, bien sea urbanística o arquitectónica. 2. Resultante: de acuerdo con el diseño particular de cada proyecto arquitectónico. Volumetría Trata lo referente a la altura de las edificaciones y a los aislamientos de éstas en relación con predios vecinos y vías circundantes. 172 TOPOGRAFÍA Tanto las alturas como los antejardines (o aislamientos con respecto a vías) están determinados generalmente en función del tipo y características de la vía, en particular del ancho de la misma. LICENCIAS Y PERMISOS La expedición de licencias y permisos ha sido desde hace mucho tiempo uno de los factores que han causado más perjuicios, en términos de costos directos de los proyectos, así como en costos sociales, debido a la incorrecta y en muchos casos fraudulenta interpretación de las normas. Por otra parte el tiempo de trámite de un proyecto, tanto de urbanización como de construcción, era un dato de imposible predicción, lo cual representaba un extracosto, igualmente incalculable, que afectaba de modo sustancial cualquier proyecto. Luego de varios y fallidos esfuerzos realizados en diferentes administraciones, con el propósito de agilizar y racionalizar los trámites relativos a la expedición de licencias y permisos, se llegó finalmente· a la situación actual con la creación, a nivel nacional, de las curadurías urbanas, las cuales han constituido un notable avance en materia de expedición de licencias. En efecto en la actualidad, tal como se ha repetido en este texto, las dependencias de planeación estudian y adoptan o proponen para su adopción al estamento pertinente, las normas relativas al ordenamiento urbano. La función de las curadurías urbanas consiste en aplicar las normas vigentes, con base en las cuales expiden con notable agilidad las respectivas licencias y permisos para urbanismo, construcción, demolición, modificaciones y ampliaciones y proyectos de división. CAPÍTULO 15 INTRODUCCIÓN A LA ALTIMETRÍA GENERALIDADES a altiJ11etrfa considera las diferencias de nivel existentes entre puntos de un terreno o de una construcción. Para poder conocer estas diferencias de nivel hay que medir distancias verticales directa o indirectamente, operación que se denomina nivelación. Las distancias verticales, que se miden a partir de una superficie de nivel o plano de referencia arbitrario, que debe ser normal a la dirección de la plomada, se denominan cotas. Cuando el plano de referencia coincide con el nivel del mar, las distancias verticales medidas a partir de dicho plano se denominan altitttdes o alt11ras (ver Figura 15.1). --------------------. . ALTITUD PLANO DE REFERENCIA (COTA DE A= 20 m; ALTITUD DE A= 120 m) (COTA DE B = 37,80 m; ALTITUD DE B = 137,80 m) Figura 15.1 Cotas y altitudes. 174 TOPOGRAFÍA La superficie de nivel que se toma como referencia, bien sea ésta real o imaginaria, se llama DATUM. Denomínase BM a un punto de carácter más o menos permanente, del cual se conocen su localización y su elevación. Su cota, que ha sido determinada previamente por una nivelación de precisión o adoptada de manera arbitraria, sirve de base para efectuar la nivelación. Como en muchos casos tan sólo es necesario conocer diferencias de nivel entre los diversos puntos de un terreno, se le puede asignar al plano de referencia una altura que sirve de base para calcular las cotas de dichos puntos y las diferencias de nivel entre ellos. h' = P"P = error por curvatura r = P'P"= error por refracción h P'P error resultante = = Figura 15.2 Refracción atmosférica y curvatura terrestre. Hay dos factores que afectan las nivelaciones: la curvatura terrestre y la refracción atmosférica (Figura 15.2). Se estima que el efecto producido por la curvatura terrestre GS directamente proporcional al cuadrado de la distancia. Llamando h': efecto de la curvatura terrestre y K: distancia en km entre dos puntos, se tiene (según Davis & Fcíote): h' = 0,08 K 2 La refracción atmosférica varía con la temperatura,. la presión atmosférica y el sitio, y casi se puede eliminar tomando observaciones recíprocas, asumiendo que las condiciones atmosféricas son iguales en los dos puntos. Es mejor hacer las· observaciones hacia el mediodía, pues a esa hora la refracción es menos variable que en las mañanas o en las tardes. La refracción atmosférica .produce un efecto contrario al anterior y menor que él. Llamando ,~ efecto por refracción atmosférica, se tiene (según Davis & Foote): r = 0,01 K 2 175 INTRODUCCIÓN A LA ALTIMETRÍA Llamando h el efecto combinado de estos dos fenómenos: h = 0,07 K.2 Nota: h, h' y r están expresados en m; K en km. En nivelaciones de alta precisión, que se emplean en levantamientos geodésicos, hay que considerar estos dos fenómenos y hacer las correcciones respectivas. En las nivelaciones de las cuales trata este texto, aunque son de precisión, no se tendrán en cuenta correcciones por refracción y curvatura, puesto que, por las condiciones mismas del trabajo, los errores introducidos por estos efectos son minimos, como se ye: en el efecto por refracción para K = 1 km, se obtiene: r = 1 cm; por curvatura se tiene que para h' = 1 cm. Así, como en la práctica las visuales máximas no sobrepasan los 300 m debido a las características ópticas de los aparatos empleados, son despreciables los efectos por curvatura y refracción. De la siguiente manera se puede. calcular también la distancia en la cual se comete un error de 1 cm, debido a la curvatura ter,restre (Figura 15.3). Figura 15.3 Efecto de la curvatura terrestre. 176 TOPOGRAFÍA Llamando: Se tiene: AA' D: diámetro de la Tierra = 12,3 x 103 km AB BC K: distancia entre dos puntos, en kilómetros 1cm K2 K:2 K D X BC (por geometría) 12,3 X 106 X 0,01 352 m CLASES DE NIVELACIÓN a) Nivelación geométrica: para realizarla se utilizan los niveles y las miras. Es la más usada en obras civiles. b) Nivelación trigonométrica: se hace utilizando el teodolito (para medir ángulos verticales) y la cinta (para medir distancias horizontales). Se usan fórmulas trigonométricas en los cálculos. Con los medidores electrónicos de distancias (MED) se facilita mucho esta nivelación. c) Nivelación barométrica: las alturas de los pUntos se obtienen mediante fórmulas empíricas a partir de las presiones atmosféricas, que se miden con barómetros. Hay barómetros aneroides especiales que dan directamente las alturas y se llaman altímetros. En ingeniería civil casi no se usa porque es de poca precisión. CAPÍTULO 16 APARATOS EMPLEADOS EN NIVELACIÓN os aparatos empleados en nivelación son: NIVELES (para lanzar las visuales horizontales) y JvIIRAS (para medir distancias verticales). En cuanto a niveles, los hay de precisión y de 1JJano. En general, tienen dos características principales: 1) la línea de vista y 2) un nivel de burbuja para poner la linea de vista horizontal. ® @ © A = MIRA CON TRIPODE B = MIRA CON ENCHUFE C = MIRA PLEGABLE Figura 16.1 Tipos de miras. Las JvIIRAS son unas reglas verticales cuya longitud varía de 3 a 6 m. Las hay de enchufe (Figura 16.1, parte B) y plegables (Figura 16.1, parte C); esto, en esencia; los detalles secundarios varían según el fabricante. Para nivelaciones de precisión existen miras equipadas con trípodes que sirven para mantenerlas verticales (Figura 16.1, parte A). 178 TOPOGRAFÍA NIVELES DE PRECISIÓN Hay dos clases de niveles de precisión: Niveles de Y-Y El anteojo descansa sobre unos soportes en forma de Y; se puede sacar, girar sobre su eje longitudinal o voltear extremo por extremo. En general, el anteojo es igual al del teodolito. Los hay de enfoque interno y de enfoque externo, así como también, de imagen en posición normal (los más antiguos) y de imagen invertida (los más modernos). (Figura 16.2). NIVEL Y-Y (TIPO AMERICANO) 1. ABRAZADERA DEL SOPORTE y.y 2. TORNILLO DE ENFOQUE 3, TORNILLO DE CORRECCIÓN DEL RETICULO 4. NIVEL (solldarto al anteojo) 5, SOPORTES y.y a.ANTEOJO 7, TORNILLO DE CORRECCIÓN DEL NIVEL 8, TORNILLOS DE NIVELACIÓN 9, RÓTULA (A) NIVEL Y-Y (TIPO FRANCÉS) 1. ASAS DE SUJECIÓN DEL TELESCOPIO 2, NIVEL (solidarlo a la barra del nivel) 3. BARRA DEL NIVEL 4. SOPORTES y.y 5. TORNILLO DE ENFOQUE 6, TORNILLOS DE NIVELACIÓN (B) Figura 16.2, parte A. Nivel de y.y tipo americano; parte B. Nivel de y.y tipo francés. La diferencia fundamental con el teodolito es que el nivel no tiene eje horizontal, en tanto que el teodolito sí. En los niveles de Y-Y se pueden distinguir dos tipos especiales: nivel de Y-Y tipo francés (Figura 16.2, parte B): lleva el nivel de burbuja solidario al soporte. nivel de Y-Y tipo americano (Figura 16.2, parte A): lleva el nivel de burbuja solidario al anteojo. La única ventaja del nivel de Y-Y es que se puede sacar y girar el anteojo para las correcciones, pero en general 179 APARATOS EMPLEADOS EN NIVELACIÓN ofrece muchos inconvenientes a causa del desgaste y consiguiente desajuste en las partes de contacto entre el anteojo y el soporte. El aumento del anteojo es de 20 a 30 diámetros. Niveles Dumpy La característica principal es que el anteojo es solidario con el resto del aparato. Está consuuido en tal forma que siempre el eje óptico es perpendicular al eje vertical del aparato. El nivel Dumpy es más sencillo y práctico que el de Y-Y debido a que tiene menos partes sujetas al desgaste y a que las correcciones que hay que hacerle son pocas y más sencillas. Todos los niveles modernos son de este tipo. 1. SOPORTES FIJOS 2. TORNILLO DE ENFOQUE 3, TORNILLO DE CORRECCIÓN DEL RETICULO. 4. NIVEL 5, TORNILLO DE CORRECCIÓN DEL NIVEL 6, TORNILLOS DE NIVELACIÓN 7. RÓTULA Figura 16.3 Nivel Dumpy. Niveles láser Estos niveles generan rayos de luz láser que remplazan las visuales de los anteojos (nivel de línea), o mediante prismas con mo~or crean planos horizontales con el haz de luz que permiten determinar diferencias de nivel (nivel rotativo o de plano). NIVELES DE MANO Son de dos tipos: Locke y Abney. Nivel Locke Se usa para hacer nivelaciones de muy poca precisión. Consta de un tubo de 13 a 15 cm de longitud que sil-ve de anteojo para dar vista y sobre el cual va montado un nivel de burbuja para hacer la visual horizontal. Por medio 180 TOPOGRAFÍA de un prisma se refleja la burbuja dentro del campo visual del anteojo y en el momento en que ésta quede bisecada por el hilo horizontal, la línea de vista es horizontal y, por tanto, es cuando se debe hacer la lectura sobre la mira (Figura 16.4). Figura 16.4 Nivel de mano: nivel Locke. Nivel Abney Consta de las mismas partes de un Loclre, pero posee además parte de un círculo vertical graduado (Figura 16.5). Con este nivel pueden efectuarse las siguientes operaciones: ~---TORNILLO DE SUJECIÓN DEL NONIO CÍRCULO GRADUADO VISTA LATERAL VISTA SUPERIOR NIVEL;--_, Figura 16.5 Nive.1 de mano: nivel Abney. - TORNILLO DE SUJECIÓN DEL NONIO APARATOS EMPLEADOS EN N1vÉLAc1óN 181 a) Lanzar visuales horizontales (como si fuera un Locke). b) Averiguar la pendiente o ángulo vertical de una línea. c) Lanzar '.isuales inclinadas con una pendiente o ángulo vertical dados. Para lo primero -a)- se pone en ceros el índice del círculo vertical, se ajusta el tornillo de fijación y se trabaja como si fuera un Ladee. Para lo segundo -;b)- .se. da vista y girando el índice solidario con la burbuja se hace que ésta quede fentrada, o sea que se vea. bisecada por el hilo horizontal; se lee en el círculo la pendiente o ángulo vertical que tiene ~sa visual. Para lo tercero -c)- se marca dicha pendiente o ángulo en el círculo vertical (teniendo en cuenta si es positiva o negativa) y se baja o levanta la visual hasta que la burbuja quede bisecada por el hilo horizontal. Tanto el nivel Abney como el Loclce se usan apoyándolos en una vara o en un jalón que les sirve de apoyo. Figura 16.5A Manejo del nivel de mano Locke. Figura 16.58 Manejo del nivel de mano Abney. CORRECCIONES A LOS NIVELES 1. El eje vertical del aparato debe ser verdaderamente veftical, o sea que el eje del nivel del plato debe ser perpendicular al eje vertical del aparato. COMPROBACIÓN: Se nivela cuidadosamente el aparato y si al girarlo 180º sobre el eje vertical permanece nivelado, está correcto. 182 TOPOGRAFÍA CORRECCIÓN: Si al girar 180º la burbuja se sale de sus "reparos", hay que corregirlo.· Esta operación se efectúa la mitad con los tornillos de corrección de la burbuja y la otra mitad con los tornillos de nivelar (volviéndose a nivelar). Se debe revisar varias veces hasta que quede completamente corregido. 2. El hilo horizontal del retículo debe ser verdaderamente horizontal, o · sea que, cuando el aparato esté nivelado, al girar el anteojo el hilo horizontal se desplace sobre un plano perpendicular al eje vertical. COMPROBACIÓN: Se sitúa y nivela el aparato a unos 25 m de un muro sobre el cual se marca un punto por medio de una tachuela o de dos líneas que se cortan, de modo que éste quede en un extremo del hilo horizontal (Figura 16.6, parte A); en seguida, con el tornillo de movimiento lento, se gira el anteojo; si el punto se mantiene sobre el hilo horizontal, está correcto (Figura 16.6, parte B). (A) (B) (C) Figura 16.6 El hilo horizontal debe ser verdaderamente horizontal. CORRECCIÓN: Si sucede como en la Figura 16.6, parte C, hay que corregirlo aflojando dos tornillos consecutivos del retículo y haciéndolo girar hasta que quede correcto. 3. La línea de vista debe ser horizontal cuando el aparato está nivelado, o sea que la visual debe ser paralela al eje del nivel del plato. COMPROBACIÓN: Se hace por el método de las dos estacas, ya visto en las correcciones al teodolito. Existe otro método, el cual se verá a continuación, pudiéndose 183 APARATOS EMPLEADOS EN NIVEi.ACiÓN utilizar el que se desee de los dos. La única diferencia entre esta corrección y la correspondiente para el tránsito está en que la corrección se hace al nivel del anteojo cuando se trata del tránsito y a los hilos del retículo cuando se corrige el nivel. A una distancia aproximada de 100 m se clavan dos estacas, A y B, sobre un terreno más o menos plano; se nivela el aparato en el extremo A, de modo que el ocular del anteojo quede a una distancia menor de 5 cm de la mira colocada sobre la estaca A (Figura 16.7) y se toma la lectura a sobre la mira (observando por el objetivo del anteojo); luego, sobre una mira situadá en la estaca B, se toma la lectura correspondiente (sea b esta lectura). Igualmente, con el aparato en B se toman las lecturas e y d. Si e dtf bb', representa el error en la línea de vista en la distancia AB, se tendrá: = = - considerando el aparato en A: verdadera diferencia de nivel = a - (b - e) (1) - considerando el aparato en B: verdadera diferencia de nivel = (d - e) - c (2) - sumando las ecuaciones (1) y (2) resulta: verdadera diferencia del nivel (a-b)+(d-c) (3) 2 si (a - b) = (d - c) el aparato está correcto. d e VERDADERA HORIZONTAL ________________________________________________ b' VERDADERA HORIZONTAL • - - - - - - - - 1 0 0 m aprox. Figura 16.7 Línea de vista horizontal cuando el aparato está nivelado. 184 TOPOGRAFÍA CORRECCIÓN: Si (a - b) -:/: (d - c), entonces hay que corregir haciendo que la línea de vista caiga sobre el. El valor de el .se halla así: el = e + verdadera diferencia de nivel El ajuste se efectúa subiendo o bajando (según el caso) la visual por medio de los dos tornillos verticales opuestos del retículo. CORRECCIONES AL NIVEL DE Y-Y Correcciones al modelo francés de Y-V 1. El eje vertical del aparato debe ser verdaderamente vertical cuando la burbuja esté dentro de sus reparos. (Ver Corrección 1, nivel Dumpy). 2. El hilo horizont.al debe ser verdaderamente horizontal. (Ver Corrección 2, nivel Dumpy). La corrección puede hacerse girando el retículo, como en el Dumpy, o simplemente girando el anteojo sobre su eje longitudinal (si el aparato tiene un dispositivo especial para hacer esto). 3. La línea de vista debe ser paralela al eje de la burbuja. Para esto se requiere que: a) la línea de vista sea paralela al eje de las Y-Y o eje mecánico, y b) que la línea de vista y el eje mecánico sean paralelos al eje de la burbuja, con lo cual la visual se hace horizontal. e;:;;> .. -mj---·-·-·-·-·-·-·UD ··1ª· posición ·-ml·-·-·-·-·-·-·-·-llli·-·c!:5 . 2ª· posición (A) ----30maprox. - - - - (B) Figura 16.8 Línea de vista paralela al eje mecánico. 185 APARATOS EMPLEADOS EN NIVELACIÓN COMPROBACIÓN: a) Con el anteojo en la primera posición (Figura 16.8, parte A) se lanza una visual sobre una mira situada a unos 30 m; luego, con el anteojo en la segunda· posición, se lanza otra visual; si las dos lecturas sobre la mira coinciden, está correcto. De lo contrario, sucede lo ilustrado en. la Figura 16.8, parte B; para corregirlo se efectúa el promedio de las dos lecturas sobre la mira y, subiendo o bajando los hilos del retículo, se hace caer la visual sobre el punto a (punto medio).' b) Se efectúan cuatro lecturas sobre una mira (una en cada una de las posiciones (A), (B), (C), (D) de la Figura 16.9) y se saca un promedio •de ellas. Hay que llevar la visual hasta que se lea dicho promedio en la mira, lo cual se logra por medio de un tornillo de ajuste que tiene el aparato en uno de los soportes, el cual sube o baja el anteojo, variando así la posición del eje mecánico. JJ!q--1 -----2:::5 1 0 Záfese el anteojo e lnvlértase la posición de los soportes; colóquese de nuevo el anteojo. -ill3l ·•· · ' ·"'<2 0 2 0 0 Figura 16.9 Línea de vista y eje mecánico paralelos al eje de la burbuja. Correcciones al modelo americano de Y-Y 1. El eje de la burbuja debe estar en el mismo plano vertical con el eje mecánico (Figura 16.1 O). COMPROBACIÓN: Se nivela el aparato (Figura 16.11, parte A) y luego se gira el anteojo sobre su eje longitudinal (Figura 16.11, parte B). Si la burbuja no se sale de sus "reparos", está correcto. 186 TOPOGRAFÍA Eje mecánico--, CORRECTO INCORRECTO Figura 16.10 Eje de la burbuja y eje mecánico en el mismo plano vertical. CORRECCIÓN: Si la burbuja se sale de sus "reparos", no está corregido. Se ajusta por medio de los tornillos laterales de corrección que tiene el nivel de burbuja en uno de sus extremos; este tornillo desplaza el extremo del nivel, pudiéndose así situarlo en el plano vertical requerido. ¡•--;,--\ (A) (B) Figura 16.11 Comprobación de que el eje de la burbuja y el eje mecánico están en el mismo plano vertical. 2. El eje mecánico debe ser paralelo al eje de la burbuja. COMPROBACIÓN: Se nivela cuidadosamente el aparato (Figura 16.12, parte A), luego se saca el anteojo y se cambia extremo por extremo. Si la burbuja permanece en sus "reparos", está correcto (Figura 16.12, parte B). CORRECCIÓN: Si la burbuja se sále de sus "reparos" (Figura 16.12, parte C) hay que corregir la mitad con los tornillos de corrección de la burbuja y la otra mitad volviendo a nivelar. -. 187 APARATOS EMPLEADOS EN NIVELACIÓN (B) (A) (C) Figura 16.12 Eje mecánico paralelo al eje de la burbuja. 3. El hilo horizontal del retículo debe ser verdaderamente horizontal, o sea que, cuando el aparato esté nivelado, al girar el anteojo, el hilo horizontal se desplace sobre un plano perpendicular al eje vertical. (Ver Corrección 2 al nivel Dumpy). 4. La línea de vista debe estar paralela al eje mecánico, con lo cual será paralela al eje de la burbuja. COMPROBACIÓN: Con el anteojo en la posición indicada en la Figura 16.13, parte A, se marca un punto P (intersección de los hilos del retículo) sobre un muro a unos 50 m, y luego se gira el anteojo 180º sobre su eje longitudinal (Figura 16.13, parte B). Si la visual vuelve a determinar el punto P, se cumple la condición enunciada. -·IHJ]-· (A) -·00:._·--,-,s,.._·~--'-J;FflJl (B) Figura 16.13 Línea de vista paralela al eje mecánico y, por tanto, paralela al eje de la burbuja. 188 TOPOGRAFÍA CORRECCIÓN: Si la visual cae sobre otro punto (P") hay que corregir llevándola hasta el punto medio entre P' y P". Esto se logra con los tornillos de ajuste del retículo, desplazándolo: primero horizontalmente con los dos tornillos opuestos horizontales y luego verticalmente con los dos tornillos opuestos verticales, hasta que pase por P. 5. El eje de la burbuja (y por tanto el eje mecánico) debe ser perpendicular al eje vertical del aparato. COMPROBACIÓN: Se nivela el aparato, y si al girar 180º sobre el eje vertical (Figura 16.14) la burbuja no se sale de sus "reparos", está correcto. CORRECCIÓN: Si en la posición de la Figura 16.14, parte B, la burbuja se sale de sus "reparos", hay que corregir la mitad con los tornillos. que controlan la elevación del anteojo en uno de los extremos de las Y-Y y la otra mitad con los tornillos de nivelar. o 180º Figura 16.14 Eje de la burbuja perpendicular al eje vertical del aparato. Nota: las correcciones deben realizarse todas las veces que sea necesario; una vez hechas, se comprueba la horizontalidad de la visual por el método de las dos estacas (página 91). 189 APARATOS EMPLEADOS EN NIVELACIÓN AJUSTE A LOS N1vELES locKE v ABNEY a) El nivel Locke se puede ajustar basándonos en la horizontalidad determinada por un nivel de precisión. En el caso de no disponer de un nivel de precisión, se puede emplear el siguiente método (ver Figura 16.15): con el nivel en C se da vista hacia A y se lee el punto D; luego se pasa el nivel a D, se da vista hacia B y se lee el punto E. El promedio F define la horizontal DF. La corrección se efectúa con el tornillo que sube o baja un extremo del nivel de burbuja, haciendo que, con el nivel en D, cuando la visual pase por F, la burbuja esté centrada. _,,,,,,,--lllillllllii-..-laa--., Figura 16.15 Ajuste de un nivel de mano. b) El nivel Abney se ajusta como si fuera un Locke, poniendo en ceros el índice del círculo vertical. CAPÍTULO 17 NIVELACIÓN BAROMÉTRICA CONCEPTO GENERAL a presión atmosférica varía en forma inversamente proporcional a la altura sobre el nivel del mar; así, en función de la presión en un determinado lugar se puede establecer su altura; por tanto, si se conoce la. diferencia de presión entre dos puntos, se puede precisar la diferencia de nivel existente. En este principio se basa la nivelación "barométrica", llamada así por ser el barómetro el aparato usado en la determinación de la presión atmosférica. Existen dos clases de barómetros: a) el baróJlletro de Jllercttrio, que da la presión según la altura de la columna de mercurio en un tubo al vacío, y b) el aneroide, que mide la deformación experimentada por una cápsula, parcialmente al vacío, al ser sometida a la presión atmosférica; esta deformación se transforma por medios mecánicos en el movimiento de una aguja que marca directamente sobre un tablero circular graduado, la presión existente y la altura correspondiente. En virtud de que .el barómetro de mercurio es muy delicado para su transporte y de que una lectura toma bastante tiempo (mientras llega a su posición definitiva la columna de mercurio), el aneroide, que es además más liviano y pequeño, lo ha remplazado, tanto más cuanto que día tras día se perfeccionan la medición de la deformación experimentada por el diafragma de 1~ cápsula y los mecanismos que convierten esta deformación en movimiento de la aguja indicadora. Los últimos modelos de aneroides, llamados altímetros, son los que actualmente se utilizan en esta clase de nivelaciones y con ellos se obtienen alturas que sólo presentan errores promedios de un metro, aproximadamente. Como la presión atmosfética varía, además, con la temperntura y con la humedad relativa se deberr hacer las correcciones necesarias, para lo cual existen tablas y gráficos que, por lo general, se suministran con el instrumento. Debido a esto y a que los instrumentos de medición no son totalmente exactos, las alturas que se establecen por medio de la nivelación 192 ToPOGRAFIA barométrica no son muy precisas, utilizándose esta clase de nivelación sólo para determinaciones grosso modo de diferencias de nivel entre puntos de terrenos montañosos. METODO CUANDO SE DISPONE DE UN SOLO ALTÍMETRO Se parte del punto de altura conocida (o del punto que se toma como base para determinar las diferencias de nivel); se lee la altura en el altímetro y se anotan la hora en que se hizo la observación y la temperatura que indica el termómetro; se lleva luego el instrumento a los otros puntos cuya cota se desea conocer y en cada uno de ellos se anotan la altura, la hora y la temperatura. Se devuelve inmediatamente al punto inicial y de nuevo se leen la altura; el tiempo y la temperatura. Debido a cambios en las condiciones atmosféricas, la altura leída inicialmente no concuerda, por lo general, con la lectura del altímetro luego de tomar los otros puntos. Si suponemos que las condiciones atmosféricas variaron gradualmente durante el lapso comprendido entre la lectura inicial y la final, podemos conocer la corrección que le corresponde a cada lectura inte1·media, pues se tiene la hora en que se hizo cada observación. Como el altímetro viene calibrado para una determinada temperatura, es necesario hacerle la corrección a cada lectura según la temperatura observada. -Si se trabaja en una zona donde se presenta alta humedad se debe hacer la corrección correspondiente, para lo cual se requiere tomar lecturas con termómetros con bulbo seco y con bulbo húmedo. · METODO CUANDO SE DISPONE DE DOS ALTÍMETROS ,' Sean los altímetros 1 y 2; el 1 permanece fijo en la estación inicial mientras que el 2 se utiliza para tomar las lecturas en los otros puntos. El 1 es leído frecuentemente (cada diez minutos, por ejemplo) para así determinar la c1:1rva de la variación de la altura (y, por consiguiente, de la presión) durante el tiempo en que se hizo la nivelación. En cada lectura se toman la altura que la aguja indica, la hora en que se hizo la observación y la temperatura correspondiente. El altímetro 2 se lee primeramente (en forma simultánea con el 1) en la estación inicial. La diferencia entre las lecturas del 1 y del 2 se debe exclusivamente a la calibración de cada aparato; esta diferencia se toma como un .error índice y se aplica luego a todas las lecturas tomadas con el 2 para reducirlas a lecturas del 1. Luego se lleva el 2 a cada uno de los puntos de NIVELACIÓN BAROMÉTRICA 193 la nivelación, anotándose la altura, el tiempo y la temperatura correspondientes. Se debe procurar que el tiempo de recorrido entre una y otra estaciones sea mínimo. Si por alguna razón hay demora en una estación, se debe tomar una lectura tan pronto se llega y otra inmediatamente antes de partir; esto ayuda a verificar la curva de variación determinada por el 1. Se retorna, finalmente, al punto inicial y se toman de nuevo las tres lecturas. En la cm-va de variación de la altura debida a cambios en las condiciones atmosféricas (obtenida de las obsenraciones del 1), podemos interpolar para cada instante en que se hicieron observaciones en los otros puntos. La diferencia entre la lectura encontrada de la curva y la lectura observada (corregida ya por el error índice) es la diferencia de nivel entre los dos puntos, la cual debe corregirse luego por la temperatura (según la temperatura de observación y aquella para la cual viene calibrado el altímetro). Si se devuelve por el mismo camino es conveniente hacer otra lectura en cada estación; así se tienen dos determinaciones de la diferencia de nivel y su promedio es un mejor estimativo de la verdadera diferencia existente. Haciendo observaciones cuando las condiciones atmosféricas son más o menos estables durante el día y aprovechando las horas en las cuales la temperatura no toma valores extremos, se obtienen mejores resultados. Las lecturas se deben efectuar al aire libre y con el altímetro preferiblemente en posición horizontal. Si la nivelación es muy larga, se puede subdividir en tramos y en cada uno de ellos aplicar uno de los dos métodos expuestos. El último punto de cada tramo sil-ve de base para el siguiente. BIBLIOTECA CAPÍTULO 18 NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA CONCEPTO GENERAL n esta clase de nivelación se miden ángulos verticales y distancias horizontales, en tanto que las diferencias de nivel se calculan trigonométricamente. Si las distancias se han determinado por métodos indirectos, como sucede en las triangulaciones, hay que tener presente que instrumentos tales como el geodímetro, el electrotape y el telurómetro miden distancias inclinadas, y que la estadia de invar mide directamente la distancia horizontal. Los ángulos verticales se pueden medir a partir de la horizontal (ángulo de pendiente) o del· cenit (ángulo cenital), siendo esto último lo más conveniente. El ángulo vertical debe medirse varias veces, la mitad de ellas con el anteojo en posición directa y la otra mitad con el anteojo transitado; así se obtendrá una mejor estimación del verdadero valor del ángulo, eliminando además posibles errores por falta de corrección del aparato. Consideremos dos puntos A y B (Figura 18.1), cuyas alturas sobre el nivel del mar son h/1 y hw respectivamente. Por medio de nivelación trigonométrica, deseamos conocer la diferencia de nivel (hu - hA) entre dichos dos puntos. Se denominan: R el radio del esferoide terrestre y cp el ángulo al centro. Debido a la refracción atmosférica, una visual entre A y B no sigue la línea recta AB sino el arco AB. Cuando observamos desde A, la dirección de la visual hacia B es tangente a dicho arco en el punto A. Así pues, el ángulo cenital leído en A es Z 1• De igual manera, cuando ocupamos la estación B el ángulo leído es Z 2 • Se ha observado que existe una relación aproximadamente constante entre r y cp para unas mismas condiciones atmosféricas. El valor de esta relación, denominado "coeficiente de refracción" (m), oscila entre 0,06 y 0,08. m r = - :. r = cp · m cp 196 TOPOGRAFIA Del Li ACB se tiene: sen 'Y sen 0 hB-hA = A C - - (1) ·Figura 18.1 Nivelación trigonométrica. (2) También en el Li ACO: Determinación del ángulo "{: ' L. y = LACO - L.0 = 90º -cp / 2 0=18Oº-Z 2 -mcp { ACO (3) 197 NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA Por otra parte, en el punto A: Ly =180º-[Z 1 +m<p+90º- ~] Promediando (3) y (4): L 'Y= (4) Z2-Z1 2 (5) Determinación del ángulo 0: L0 =180º-[ <p + (180º-Z 1 .-m<p )] en el~ ABO (6) L0 = 180º-Z 2 -m<p en el punto B (7) Promediando (6) y (7): (8) Sustituyendo (2), (5) y (8) en (1) se tiene: (9) D La ecuación para determina_ r <p es: sen <p / 2 = 2 (R + 1 ) 1 ,\ En nivelaciones topográficas no es necesario calcular el valor exacto de R para cada lugar; basta con tomar el valor promedio R = 6'378.200 m. Nótese que cuando la observación es recíproca, el valor del coeficiente de refracción (JJJ) no aparece en la fórmula (9), lo cual quiere decir que el efecto causado por la refracción atmosférica se elimina. Cuando la observación no es recíproca, es necesario conocer el valor del coeficiente de refracción para así determinar el ángulo r y hacer la respectiva corrección al ángulo cenital. Cuando se trata de obtener sin demasiada exactitud la diferencia de nivel BC (Figura 18.2) entre dos puntos, ésta se calcula asumiendo que el ángulo ACB = 90º y haciendo la corrección combinada por curvatura y refracción, quedando la expresión de la diferencia de nivel: 198 TOPOGRAFÍA -2 BC AC = AC ctg ZA ±0,07-- 1.000 (Para una distancia de 200 m entre los puntos A y B, la diferencia de nivel BC no tiene más de medio milímetro de error por esta razón). Se tomará el signo (+) si ZA <90º y (-) si ZA > 90º Ae = distancia horizontal en m. AC = Distancia horizontal de A a B Figura 18.2 Nivelación trigonométrica: observación no recíproca. Los ángulos cenitales Z 1 y Z 2 que se emplean en la fórmula (9) deben corregirse por la diferencia existente entre "T" (altura sobre la placa, del punto obsenrado) y "t" ·(altura del tránsito sobre la placa en el punto de observación). El valor de dicha corrección "a", en segundos de arco, se deduce fácilmente a partir de las figuras 18.3 y 18.4. En la Figura 18.3, asimilando el valor (T 1 - t 1) a un arco de radio D y ángulo al centro a 1 (en segundos), se puede escribir: a1= T 1 - t1 D X sen 1" y por tanto: Haciendo un raciocinio similar en la Figura 18.4 se obtiene: NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA ...--------------0------------~ Figuras 18.3 y 18.4 Niveláción trigonométrica: corrección por altura del aparato y altura del punto observado. 199 200 TOPOGRAFÍA y por tanto: El valor de sen 1" = 0,00000485 Sí se .trata de determinar la cota del punto B conociendo la cota de la estación A: VB = VA + t ± BC -T En los casos normales, T sería la lectura hecha en la mira colocada sobre el punto B o, si se está usando MED, se1-ía la altura del prisma colocado en B. (Ver Cálculo de cotas por taquimetría, Capítulo 22). • Para hallar la altura de un edificio se centró y niveló un teodolito en un punto T frente al edificio a una distancia D = 84,25 m. Lanzando una visual a la parte alta se leyó un ángulo de elevación a = 13º25' y al dar vista a la base (B) se leyó un ángulo de depresión P = 5º22'. ¿Cuál es la altura del edificio? La altura del edificio H = h 1 + h 2 • Pero trigonométricamente, h 1 = D tg a = 84,25 tg 13º25' = 20,097 m h 2 = D tg p = 84,25 tg 5º22' = 7,915 m :. H = 28,012 m H -----------' D Figura 18.4A. 201 NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA • Para calcular la altura de una torre, como la de la iglesia de Usaquén, se encontró y niveló un teodolito en un punto T en la plaza. Se lanzó una visual a la cúspide y se leyó el ángulo cenital Z 1 = 72º33'; como no se pudo ver la base B, se colocó allí una mira y se lanzó ,una visual a ésta: se leyó un ángulo cenital de Z 2 = 82º49' y en la mira se leía con el hilo horizontal medio m = 2,25 m. La distancia D = 92,10 m. Calcular la altura de la torre. Cenit __ Horizont D Figura 18.48. Según el dibujo, la altura de. la torre H = h 1 - h1 = D tg ()(, =,: D cot = 92,10 h2 + m zl ctg 72º33' = 28,951 m h2 = D tg ~ =D cot Z 2 = 92,10 cot 82º49' = 11,608 m :. H = 28,951 - 11,608 + 2,25 = 19,593 m 202. TOPOGRAFÍA • Se quiere obtener la cota del punto B sabiendo que la cota del punto A es 100,000 m. Se colocó un teodolito en A a 1,65 m sobre el punto, se dio vista a una mira colocada verticalmente en B y en ella se leyó 1,85 m, mientras que en el círculo vertical del teodolito se leía un ángulo cenital de 81 º16'. La distancia AB (horizontal) es de 184,30 m. a Figura 18.4C. La _distancia vertical (D) entre el eje horizontal del teodolito y el punto donde se lee con el hilo medio del retículo en la mira es, según el esquema: Dv = Dh tg a = Dh ctg Z = 184,30 cot 81º16' = 28,312 m También, observando la gráfica, la cota de B es: h B =hA +a+h+D -m V . 100,000 + 1,65 + 0,002 + 28,312 - 1;85 = 128,114 m h, corrección por curvatura terrestre y refracción atmosférica h = 0,07· K 2 = 0,07 (0,1843) 2 = 0,002 m (Como se ve, no se justifica tenerla en cuenta si no se exige alta precisión o si la distancia e,ntre los puntos no es muy grande: unos 200 o 300 m). • Suponiendo que hay otro punto C, a 218,24 m de distancia de A; alli se coloca una mira vertical y en ella se lee 2, 15 m con el hilo medio horizontal del retículo cuando el ángulo cenital Z = 99º26'. Hallar la cota de C. 203 NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA Corrección por curvatura terrestre y refracción: = 0,07 · K = (0,21824) = 0,003 m Dv = D cot Z = 218,24 cot 99º26' = -36,260 m h 2 2 Entonces la cota del punto C será: He = 100,000 + 1,65 + 0,003 - 36,260 - 2,15 = 63,243 m Es natural la respuesta, puesto que cuando el ángulo cenital Z sea mayor que 90º00' la visual irá por debajo de la horizontal. Por esto Dv tiene signo negativo. CAPÍTULO NIVELACIÓN DIRECTA 19 {O, GEOMÉTRICA) a nivelación directa (o geométrica) es el sistema más empleado en trabajos de ingeniería, pues permite conocer rápidamente diferencias de nivel por medio de lectura directa de distancias verticales. Puede ser simple o compuesta. NIVELACIÓN DIRECTA (o GEOMÉTRICA) SIMPLE Figura 19.1 Nivelación geométrica simple. Es aquélla en la cual desde una sola posición del aparato se pueden conocer las cotas de todos los puntos del terreno que se desea nivelar (Figura 19.1). Se sitúa y nivela el aparato en el punto más conveniente, o sea el que ofrezca mejores condiciones de visibilidad. La primera lectura se hace sobre la mira 206 TOPOGRAFÍA colocada en un punto estable y fijo que se toma como BM, y a partir del cual se van a nivelar todos los puntos del terreno. Este BM puede tener cota determinada previamente, o escogida arbitrariamente. Sea / la lectura al BM que servirá para encontrar la altura del plano horizontal que recorre la línea de vista y que se denomina altura del aparato (h 71\); así pues: 0 h/1\= v'BM + /0 (V= cota) La lectura sobre un punto de cota conocida se denomina vista atrás; ésta, sumada a la cota del punto, da la altura del aparato. Las cotas de los diferentes puntos, tales como A, B, C, etc., se encuentran restando a la altura del aparato la lectura correspondiente sobre cada punto, así: VA= h 71\-IA VB = h 71\-/B Las lecturas sobre los difen;ntes puntos, tales como ~v ·/8 etc., se denominan vistas i11ter111edias; éstas, restadas de la altura del aparato, dan la cota de cada punto. 0 BM (+) (-) VISTAATR. VISTAINT,' ALTURA Lo A \70M+-Lo \7 8-M hiK-LA A lA G Le h'i1\-Le c. Le Lo h'il\-k o OBSERVACIONES COTAS hil\-1..o -- 1 m 1 1 1 1 Figura 19.1A Modelo de cartera: nivelación geométrica simple. 1 1 1 NIVELACIÓN DIRECTA (o 207 GEOMÉTRICA) NIVELACIÓN DIRECTA (o GEOMÉTRICA) COMPUESTA Es el sistema empleado cuando el terreno es bastante quebrado, o las visuales resultan demasiado largas (> 150 m). El aparato no permanece en un mismo sitio sino que se va trasladando a diversos puntos, desde cada uno de los cuales se toman nivelaciones simples, que van ligándose entre sí por medio de los llamados p1111tos de calllbio. El punto de cambio se tiene que escoger de modo que sea estable y de fácil identificación; <';S un BM de carácter transitorio. En la nivelación directa compuesta se efectúan tres clases de lecturas: 1. Vista atrás. Es la que se hace sobre el Diferencia de nivel = r vista atrás -r vista adelante BM para conocer h 71\. (2) j Figura 19.2 Nivelación geométrica compuesta. 2. Vista intermedia. Es la que se hace sobre los puntos que se quieren nivelar para conocer la correspondiente cota. 3. Vista adelante. Es la que se hace para hallar la cota del punto de cambio (o BM provisional). El procedimiento que debe seguirse en una nivelación directa compuesta puede resumirse así: 1. Se arma y nivela el aparato en un punto favorable (1), desde donde se pueda leer al BM y al máximo número de puntos posible (de acuerdo con la pendiente del terreno y la longitud de la mira de que se disponga). (Ver Figura 19.2). 208 TOPOGRAFÍA 2. Se toma la lectura /0 (vista atrás) con la mira sobre el BM para encontrar la altura del aparato. 3. Se toman lecturas de la mira sobre los diferentes puntos, tales como A, B, etc. (vistas intermedias), las cuales sirven para hallar las cotas respectivas, así: 4. Cuando ya no se puedan hacer más lecturas desde esta primera posición del aparato, se busca un punto de cambio (C Nº 1), sobre el cual se lee la mira (vista adelante). Ve Nº 1=h 1 71\ -(vista adelante) 5. Se lleva el aparato a una segunda posición (2) desde la cual se puedan leer al C Nº 1 y al máximo número de puntos posible. Se arma y nivela el aparato, y luego se lee la mira (vista atrás), con lo cual se halla la nueva altura del aparato. h 2 71\ Ve Nº 1 + (vista atrás) 6. Se prosigue nuevamente como en 3, 4, 5. o 611 A C,jpl V, Atrás+ V.lnter.(-1 V.Adol,(-) Altura11' L: l'c.;1 13 Le e Le Cff,2. o E V 0,"1 h1 i\'i 'v A V c.<11'1 LA L'e»• L'ciioz. Lc1t.t Lo lo COTA h, il\ h OBSERVACIONES va ve ;t; V C,11,2. VD V e: Figura 19.2A Modelo de cartera: nivelación geométrica compuesta. NIVELACIÓN DIRECTA (o 209 GEOMÉTRICA) Chequeo de la cartera Se hace para estar seguro de no haber cometido error en las operaciones aritméticas o en las anotaciones. en la cartera. Se basa el chequeo en que: L vista atrás - L vista adelante = diferencia de nivel entre el primer punto (al cual se tomó vista atrás) y el último (al cual se tomó vista adelante). Esta condición se deduce fácilmente al observar la Figura 19.2. Contranivelación El chequeo de la cartera no indica que la nivelación esté bien o mal hecha. Así pues, si no se cierra la nivelación sÓbre un punto de cota conocida (lo cual su-ve como chequeo), entonces es necesario CONTRANIVELAR, o sea, nivelar a partit del último punto hasta llegar al BM inicial. La cota de llegada se compara con la cota de partida y la diferencia entre ellas da el error de cierre de la nivelación. Errores permitidos en nivelación (K = distancia nivelada, en kilómetros) Clase de nivelación Longitud dela visual máxima Aproximación en la lectura de la mira Error máximo en centímetros Poca precisión Ordinaria Precisión Geodésica 2º orden Geodésica 1º' orden 300 m 150 m 100 m 100 m 100 m 5cm· 0,5 cm 0,1 cm 0,1 cm 0,1 cm 9,5 ✓í< 2,4../K 1,2 ✓í< 0,8 ✓í< 0,4 ...fK Anotaciones respecto a la nivelación 1. Tanto en nivelación como en contranivelación, para ahorrar trabajo y tiempo, se debe procurar: a) si se va subiendo: hacer las "vistas atrás" en el e:Xtremo superior de la mira y las "vistas adelante" en el extremo inferior; b) si se va bajando: hacer las "vistas atrás" en el extremo inferior de la mira y las "vistas adelante" en el extremo superior. Así se podrá abarcar más en cada posición del aparato. 2. Una nivelación puede cerrar bien, pero esto no indica que las cotas de los puntos intermedios por los cuales pasó la nivelación estén correctas, pues pueden haberse cometido equivocaciones en las lecturas o en las anotaciones y cómputos de puntos sobre los cuales se tomó vista intermedia. 210 TOPOGRAFÍA 3. En nivelaciones de mayor precisión, para evitar los efectos de cm-va tura y refracción y por falta de ajuste en el aparato, se debe procurar: a) para curvatura y refracción: que la vista adelante se tome a una distancia más o menos igual a la que se tomó la vista atrás; b) por falta de ajuste: que la suma de las distancias a que se tomaron las vistas atrás sea aproximadamente igual a la suma de las distancias a que se tomaron las vistas adelante. 4. Los errores más comunes cometidos en nivelaciones son los siguientes (entre paréntesis se anota la manera de evitarlos): a) Error al leer la mira (familiarizarse con anterioridad con las divisiones de ésta). b) Errores en las anotaciones (chequeo de la cartera). c) Errores aritméticos (chequeo de la cartera). d) Que en el "punto de cambio" se varíe la posición de la mira mientras se hace la lectura de vista atrás y vista adelante (procurar hacerlo sobre un punto establ.e y plano o colocar una placa). e) Que la mira esté mal desdoblada, si es de bisagra, o mal empatada, si es de enchufe (encargar al cadenero que observe constantemente la mira para que esto no se presente). f) Falta de verticalidad en la mira (para evitar esto se le da a la mira un movimiento de vaivén hacia adelante y hacia atrás, que se llama "batir la mira", tomándose la lectura menor que se presente. También existe el nivel vertical llamado "ojo de pollo", que se fija a la mira para garantizar su verticalidad. g) Asentamientos, debidos a falta de resistencia del terreno, que pueden sufrir el trípode o la mira en los puntos de cambio (se fija bien el trípode, y los puntos de cambio se toman sobre terreno firme). h) Que la burbuja no esté dentro de sus "reparos" al hacer la lectura sobre la mira (se debe verificar la burbuja a cada lectura). i) Error debido a que la línea de vista no sea exactamente paralela al eje 8e la burbuja, "error de colimación o error de nivel" (este error se puede determinar e introducir la corrección. Hay niveles modernos con el anteojo reversible que permiten, efectuando dos lecturas, tomar el promedio como valor exacto). i) Paralaje (enfocar correctamente el anteojo). . CAPÍTULO 20 CURVAS DE NIVEL - PERFIL - NIVELACIÓN e denomina c11rva de nivel la línea determinada por la intersección del terreno con un plano horizontal (Figura 20.1). Así, una curva de nivel une puntos de igual cota. Tomando una serie de planos horizontales equidistantes se obtiene un conjunto de curvas de nivel, las cuales al proyectarlas sobre un plano representan el relieve del terreno (Figura 20.2). Se acostumbraba dibujadas en un color diferente del de los otros detalles del mapa, por lo. general sepia; actualmente se dibujan también en negro y con pluma fina y, además, se indica en sus extremos la cota a la cual corresponde cada curva. Figura 20.1 Esquematización de los planos horizontales y las correspondientes curvas de nivel. 212 TOPOGRAFÍA Las características principales de las curvas de nivel son: a) la distancia horizontal entre dos curvas de nivel es inversamente proporcional a la pendiente del terreno; así, mientras más inclinado sea el terreno, más cercanas entre sí estarán las curvas de nivel. Cuando la pendiente es uniforme, éstas serán equidistantes. b) En superficies planas inclinadas (taludes) son rectas y paralelas entre sí. c) Líneas de nivel cerradas indican una prominencia o una depresión del terreno. d) Una curva de nivel va normalmente entre una correspondiente a mayor elevación y una correspondiente a menor elevación. e) Dos curvas de nivel no pueden cortarse (salvo el caso de un socavón). La distancia vertical entre los planos que determinan las curvas de nivel depende del propósito para el cual se quiere utilizar el plano, de la escala a la cual se ha de dibujar, como también de las características mismas del terreno representado. Así, se podrán dibujar curvas de nivel cada 50 cm, · cada metro, cada dos metros, etcétera. Figura 20.2 Dibujo de las curvas de nivel. El proceso que hay que seguir para dibujar las cm-vas de nivel consiste en unir sobre el plano puntos que tengan igual cota. El dibujante debe unir puntos de igual cota tratando de que, entre punto y punto, la cm-va represente fielmente la intersección del terreno con el plano correspondiente; para esto debe analizar y tratar de visualizar el relieve del terreno antes de proceder a trazar definitivamente estas cm-vas. Los puntos que se unen para trazar una curva de nivel son los llamados puntos de cota redonda. Si éstas se han tomado directamente en el terreno el problema es muy simple, pues basta con localizarlos en el plano y proceder a trazar las curva~; este procedimiento simplifica el trabajo de cálculo y dibujo, pero en cambio es bastante dispendioso en el terreno (ver Nivelación de una línea por cotas redondas, pág. 216). En cambio, si en el terreno se han tomado puntos determinados y se les ha establecido su cota, entonces es necesario inte1polar entre éstos para encontrar los puntos de "cotas redondas". Esta interpolación se puede hacer por diferentes métodos: 213 CURVAS DE NIVEL - PERFIL - N1VEU\CIÓN 1. Por estimación: se emplea cuando, además de no requerirse mayor precisión, el dibujante tiene conocimiento del terreno y criterio suficiente para efectuar, mediante cálculos mentales aproximados, la interpolación. 2. Por co1JJjJtttación aritmética: pese a ser el sistema más dispendioso, es el que da mayor precisión si el terreno es más o menos parejo. Se interpola en forma lineal. Ejemplo (ver Figura 20.3): . {cota de a= 99,20 m Se tiene cota de b = 98,10 m Se quiere buscar el punto de cota 99,00 m si hay una distancia de 5 m entre los dos puntos. Hacemos el siguiente raciocinio: si en 5 m hay una diferencia de nivel de 1,10 m, en x metros habrá una diferencia de 0,20 m, de donde: x= Sx0,20 =091m 1,10 ' b = 98,10 1,10 Figura 20.3 Interpolación aritmética de una cota redonda. 3. Gráficamente: interpolar aritméticamente, cuando el número de puntos que se desea interpolar es bastante grande, puede resultar demasiado dispendioso y, por tanto, se ha ideado el método gráfico que da una aproximación aceptable. Un ejemplo lo explicará fácilmente. Se tienen dos puntos A y B (Figura 20.4) (ya dibujados en el plano), de los cuales se conocen las cotas: Cota A = 85,10 m Cota B = 88,80 m 214 TOPOGRAFIA Figura 20.4 Interpolación gráfica de una cota redonda. Entre A y B estarán los puntos de cota 86,00 - 87,00 - 88,00, cuya localización se quiere determinar sobre la línea AB. Se trazan dos líneas paralelas entre sí (Ac//BD) por A y por B. Se toma una escala (escogida convenientemente), y se marca 5,10 sobre la línea que pasa por A; luego se gira la escala hasta que marque 8,80 sobre la línea que pasa por B. Por los puntos 6,00 7 ,00 y 8,00 de la escala se trazan paralelas a AC y BD hasta cortar la línea AB, con lo cual se determinan los puntos requeridos. Este método se basa en que, por un teorema de geometría (Figura 20.5), · se tiene que: 0a aa' -=-=--=-0b bb' b' b" b"b" a"' b'" a" a' a o Figura 20.5 Explicación geométrica de la interpolación gráfica. Los paquetes de soft111are para topografía tienen programas especiales que hacen la correspondiente interpolación para dibujar las curvas de nivel. Igualmente hay programas para "suavizar" las curvas de nivel para que no resulten con "quiebres". 215 CURVAS DE NIVEL - PERFIL - NIVEU\CIÓN PERFIL DE UNA líNEA Es la línea determinada por la intersección del terreno con un plano vertical que pasa por la línea. Para dibujar el perfil de una línea, conociendo cotas de diferentes puntos sobre ella, se localizan éstos sobre el papel (generalmente papel milimetrado) mediante un sistema de coordenadas en las cuales las abscisas representan las distancias horizontales entre ellos y las ordenadas correspondientes cotas. Uniendo_ estos puntos así determinados se obtiene el perfil de la línea (Figura 20.6). En el caso de una poligonal, el perfil de .cada tramo se encuentra como se acaba de ver y el perfil del conjunto se obtiene al dibujar uno tras otro los diferentes perfiles de los tramos que forman la poligonal, como si todos se hall_asen en un mismo plano vertical. ,_ ci/ 1 / - \_ f ""'-a el u 1/ \ \ 1 1 h / \__ i---É!/ 1/ \ ABSCISAS Figura 20.6 Esquematización y representación de un perfil. NIVELACIÓN Nivelación de una línea Para nivelar una línea se puede emplear uno de' los métodos que se explican a continuación (el que se considere más conveniente en cada caso): a) Tomando lecturas sobre la mira colocada en la línea cada 5, 10, 15 o 20 m, según la precisión que se desee. Este método se denomina Nivelación por distancias fijas. 216 TOPOGRAFIA b) Buscando directamente en el terreno los puntos de cotas redondas, para lo cual, a partir de una estaca o BM, del cual se conozca su cota, se halla la lectura del aparato y luego se corre la mira hasta el sitio en que la lectura cuadre con una cota redonda; por ejemplo, si se tiene altura del aparato de 101,65 m, hay que colocar la mira donde la lectura sea 1,65 para conocer la cota redonda 100; luego, donde se lea 2,65 estará el punto de cota 99; donde se lea 3,65 se tendrá la cota 98, y así sucesivamente. Hay que medir la distancia a la cual se encuentran estos puntos de cota redonda. Este método se denomina Nivelación por cotas redondas. c) Tomando lecturas sobre la mira colocada en los puntos donde el terreno presenta quiebres o variaciones en su· pendiente. Hay que ir midiendo las distancias parciales entre estos puntos. Este método se denomina Nivelación por p1111tos de q11iebre. Según las características de pendiente y longitud de la línea que hay que nivelar, estos métodos anteriores se harán por nivelación simple o por nivelación compuesta. También puede emplearse en la nivelación de una línea la nivelación trigonométrica. Últimamente, con el uso de distanciómetros en los levantamientos topográficos, se está utilizando más la nivelación trigonométrica porque facilita el trabajo al realizar al mismo tiempo la planimetría y la altimetría del terreno. Según el grado de precisión requerido en la nivelación, se empleará nivel de precisión o nivel Locke; en el caso de nivelación trigonométrica se usará tránsito o nivel Abney. Nivelación de un terreno a) Sistel/Ja radiación: se emplea cuando el terreno, además de no ser muy grande, es más o· menos plano. Lo que se hace prácticamente es una nivelación simple desde el punto A (Figura 20.7) sobre el cual se nivela el aparato. Cada una de las líneas A0 se nivela por uno cualquiera de los sistemas vistos para nivelar una línea. Luego se unen los puntos de cota redonda y se obtienen las curvas de nivel o, simplemente, en cada punto se anota su cota, que es muy usual en terrenos con pequeñas diferencias de nivel. b) SisteJJJa ct1adtict1la: se emplea cuando el terreno es más extenso y presenta variaciones considerables de nivel. Al hacer el lev~ntamiento del terreno se estaca el lado mayor del polígono (AB, Figura 20.8) y una perpendicular a ésta (Be) cada 5, 10 o 20 m (según la precisión requerida). Luego se levantan perpendiculares a AB y (BC) por los puntos estacados; estas perpendiculares también se estacan. 217 CURVAS DE NIVEL - PERFIL - NIVELACIÓN 10 Figura 20.7 Nivelación ·de un terreno por radiación. Finalmente se nivelan todas las estacas y se hallan, por interpolación, las cotas redondas para dibujar las cmvas de nivel. e V 1 ---- -- -- ~- - 1 - 1'- \\ \\ \ 1 1l ~ \ 1 \ B '- --- \ \ A' V ['- ./ Figura 20.8 Nivelación utilizando sistema cuadrícula. c) Cuando se trata de nivelar una faja de terreno, como para el trazado de una vía, se procede de esta manera: se traza una poligonal a lo largo de la zona cuya topografía se desea conocer (ABCD) (Figura 20.9). Se ponen estacas cada 10 o 20 m (según las características del terreno y la precisión requerida). Se nivela con nivel de precisión toda la poligonal, con lo cual se fijan cotas a las estacas. Luego, por cada estaca se traza una perpendicular a la poligonal; estas perpendiculares deben tener una longitud de más o menos 50 m, a lado y lado de la poligonal (esto varía según el 218 TOPOGRAFIA ancho de la zona que se desea levantar). Se nivela cada una de estas transversales, con lo cual se determinan los puntos de cota redonda para luego trazar las curvas de nivel. En los vértices también se nivelan las bisectrices y las perpendiculares exteriores a cada uno de los alineamientos para que no queden zonas sin determinar. Figura 20.9 Nivelación de una faja de terreno. En la nivelación de estas transversales y bisectrices se puede emplear nivel de precisión si se desea una topografía muy exacta de la zona, pero generalmente es suficiente usar nivel de mano y hacer la nivelación de la línea por el método de cotas redondas. CAPÍTULO 21 AJUSTE DE UNA NIVELACIÓN n un circuito cerrado de nivelación (se denomina circuito cerrado· cuando la nivelación regresa al punto de partida, o cuando va de un punto de ·cota conocida a otro punto de cota conocida) hay necesidad de repartir el ~rror de cierre, pues debido a pequeños errores cometidos durante la nivelación la cota calculada del punto final no concuerda exactamente con el valor que se conoce. Como los principales errores en nivelación son accidentales, el error probable tiende a variar proporcionalmente a la raíz cuadrada del número de oportunidades de error, o sea a la raíz cuadrada del número de· puntos de cambio. Suponiendo igual número por kilómetro, entonces el error probable varía como la raíz cuadrada del número de kilómetros. Como ·la corrección es proporcional .al cuadrado del error probable, la corrección para cada punto intermedio es proporcional a la distancia a ese punto desde el punto de partida: Ejemplo Dist. parcial (m) BMO BM 1 BM 2 BM 0 00 320 850 1.170 Cota Aº A1 A2 A0 + e e: error de cierre en 2.340 m nivelados. Por regla de tres: 2.340 320 e C1 Corrección 220 TOPOGRAFÍA !: distancias niveladas 2.340 m . C _ 320·e 1 - 2.340 •• De igual manera: (320 + 850~. )- e e _ _,__ __ 2 - 2.340 ' (320 + 1.170 )- e C =....,_ _+ _850 __ ___,~=e 3 2.340 Cuando se trata de ajustar varias nivelaciones que cierran todas en el mismo punto (Figura 21.1), hay necesidad de efectuar dos correcciones: 1) ajustar la cota del punto común (A) de llegada para encontrar su valor más probable; 2) a partir de esta cota, ajustar cada nivelación repartiendo (como se acabó de ver) el error de cierre, que es la diferencia entre el valor ajustado y el valor que se encontró por cada nivelación. Para el primer ajuste se procede así: los valores .de la cota del punto (A) común que se encuentran por las diferentes rutas no se pueden promediar aritméticamente, pues cada uno de ellos tiene mayor o menor probabilidad de error, según la longitud de la ruta respectiva; entonces, se adopta el sistema de darle un "peso" a cada ruta, el cual es inversamente proporcional a la longitud de esa ruta; así pues, la nivelación que se ha traído desde una menor distancia tendrá un "peso" mayor que aquella que se ha traído desde una distancia mayor. Ejemplo (en la Figura 21.1): BM 3 Figura 21.1 Ajuste de nivelaciones cerrando tln punto común. 221 AJUSTE DE UNA NIVELACIÓN Ruta Longitud (m) Cota calculada de A (m) Exceso a 420 Peso - -'---- a b e d 1.000 1.200 200 400 420,30 420,80 420,10 420,60 0,30 0,80 0,10 0,60 SUMAS Exceso ponderado= Exceso x peso 1/10 1/12 1/2 1/4 0,03 0,07 0,05 0,15 56/60 0,30 El promedio ponderado es la suma de los excesos ponderados dividida por la suma de los pesos, o sea: 0,30 + 56/60 = 0,32 Se han tomado los excesos a 420,00 para simplificar las operaciones puesto que la cota de A es 420,00 más una fracción de metro, que es la que tratamos de determinar. El valor más probable de esta cota es, pues: 420,32 (cota ajustada). El segundo ajuste se efectúa en cada ramal, repartiendo el respectivo error de cierre (diferencia entre la cota ajustada 420,32 y la cota con que se llegó por cada ramal) proporcionalmente a la distancia desde el punto de partida de cada ramal, como ya se vio en el ajuste de un circuito cerrado de nivelación. AJUSTE DE UNA RED DE NIVELACIÓN Si varias líneas de nivelación forman una red, ésta se debe ajustar para que las cotas calculadas por uno u otro camino resulten iguales. Sea, como ejemplo, la red de la Figura 21.2; la dirección en la cual se recorrió cada línea está indicada por la flecha respectiva y la diferencia de nivel entre sus puntos extremos está expresada por la cifra, en metros, colocada en la parte superior de cada línea. Una diferencia negativa indica que el punto de llegada está más bajo que el de partida; el signo positivo, lo contrario. Igualmente se registra, en km, la longitud aproximada de cada línea nivelada. Se puede suponer que la red está formada por varios circuitos cerrados adyacentes y que cada circuito tiene su error de cierre, el cual hay que repartir para que se pueda ajustar la red. En el ejemplo se han considerado los circuitos I, II, III, IV, V y VI (siendo este último ,un circuito formado por las líneas exteriores de la red). / 222 TOPOGRAFIA + o 871 m 3,0 km o E Figura 21.2 Red de nivelación. Para encontrar el error de cierre de cada circuito se parte de un punto cualquiera sobre el circuito y se van sumando algebraicamente las diferencias de nivel de las líneas, reconidas todas en un mismo sentido (en el caso del ejemplo se recorrieron en sentido horario). Nótese que una línea recorrida en un circuito en una dirección, es recordda en sentido contrario en el circuito adyacente. Esto hace que al sumar los errores de cierre de varios circuitos adyacentes, se obtenga el error de cierre del circuito formado por las líneas exteriores (pues estas cjiferencias son las únicas que no se anulan). En la Figura 21.2A se pueden observar los circuitos formados y sus respectivos errores de cierre, en milímetros. e B A F A F e A F F F D D E E B Figura 21.2A Circuitos de la red de nivelación. 223 AJUSTE DE UNA NIVELACIÓN 1 2 3 CIRCUITO L %' 0 AB 3,7 0F 2.2. 35 20 'FA 4,8 45 :z: 4 -11 t!!' .. ® z:: e,::F6 'ºº E:F 3,0 2.8 F() DE 26 24 5, 2. 4-8 10.8 100 r. G co OF" z &ro,. cierre o ec CD DE. E.A 'Z E:n-or cJOtfC -1~ -4 +3 -1 -1 -1 +2. +I -4 -1 +1 +I o o -11 +10 o +1 +I -10 +10 '21 .2,9 3G ?G 33 -4 -4 +5 +12. -12 +2. ·HZ -4 -9 +:, o -3 -1 o o +4 +3 -2 -2 +2. -14 o o +I +10 +'3 +r+ o -z -2 +3 +-1 -1 ,o .. ? ie 1"7l'. " -4 -3 '.'" 1 +7 o -4 +I +I +-1 _, o 17 -5 +3 ::,o +-7 +::, 16 +2 -t-1 +.3 -11 +3 -1+ -5 -19 +7 -12. +3 -9 -1 +10 +I +I ...~ o ... , 100 ~B -2 -.3 +3 +2. 16 -4 +-3 - 1 +2 -7 +11 +G +I 80 100 3'7 30 o o +2 -3 -10 o -2 +.3 +-4 o -1 l-4 -8 +-15 -G -t-7 -8 o - 2. -3 -3 -14 +I +-2. -J -11 2,5 o o +2. -e AS -4 +4 +3 -5 -4 rc.ttor tiene -fl FC o +I -10 -1 39 25 32 2,2. 2.9 &ror c:ierr. +to @ -2. -4 +3 +5' .30 7,., ~ 13 10 6 IOO -1! ,.; 12 +3 -5 'ºº Er"'' derre. 11 +2. -.z 4,8 411 FE. '<! o --.--., EA 2.8 2.7 10 9 ,,.,,.. AF G) 8 -4 ¡,m,rcie= +11 10,7 7 6 5 Ajusto Nuevo Ajuste Nuevo AJuoto Nuovo Ajusto Nuevo AJuato Nuevo AJuat, Nuevo AJuato Nuevo AJu1to Nuevo Corroe. cierro cierro clorni V cierre 1 cltrro 111 IV VI 11 cierro 11 cltrn nnll TOTAL r5 -1-l -1 o +13 Figura 21.28 Cuadro de cálculos: ajuste de una red de nivelación. El ajuste se hace por aproximaciones sucesivas; se escoge para comenzar cualquier circuito y luego se reparte su error de cierre de manera proporcional a las longitudes de las líneas que lo forman. Como uno o varios lados de este circuito pertenecen a circuitos adyacentes al cierre de cada uno de éstos, se modifica de acuerdo con estas correcciones. Luego se van ajustando los otros circuitos, uno por uno, y se van haciendo las modificaciones respectivas en los demás circuitos. Así se continúa hasta que todos los circuitos queden perfectamente ajustados. Las operaciones del ajuste se pueden desarrrollar en un cuadro como el que se indica para el ejemplo. En las columnas 1, 2 y 3 se indican el circuito, las lineas que lo componen, la longitud aproximada de cada linea, su porcentaje respecto a la longitud total del circuito y el error de cierre respectivo. En la columna 4 se indica el ajuste del circuito I y las modificaciones que experimentan los circuitos afectados. Obsérvese que si la corrección es positiva para la línea recorrida en un determinado sentido, lo es negativa para la linea en sentido opuesto, y viceversa. 224 TOPOGRAFÍA En la columna 5 aparece el nuevo cierre de todos los circuitos, después del ajuste de l. Nuevamente la suma de los cierres del I al V debe ser igual al cierre del VI; esto sii'Ve de chequeo de las operaciones. En las columnas 6, 7, 8, 9, 10 y 11 se repite lo mismo que en 4 y 5, para los circuitos II, III, IV, V, VI y II (nótese que se vuelven a ajustar los circuitos si los cierres son mayores que 1 mm). El ajuste se hace hasta que los cierres son O o 1 mm. En la columna 12 se hace el ajuste final para aquellos circuitos que todavía presentan un cierre de 1 mm, aplicando este milímetro a la línea más conveniente. En la columna 13 aparece la suma algebraica de las correcciones aplicadas a cada línea. Como chequeo, obséi'Vese que la suma de las correcciones aplicadas a cada circuito debe ser igual y de signo contrario al error de cierre inicial. El método de ajuste de una red por aproximaciones sucesivas se conoce con el nombre de método de Cross, se utiliza en el ajuste de caudales en redes hidráulicas y para aplicarlo hay programas de computador con los cuales se puede usar· fácilmente, sin las demoras que implica el método manual. Ejercicios teóricos • Se niveló el eje de un tramo de carretera (K0 + 000 a K 1 + 270), cada 200 m para simplificar el problema. Se partió del BM (cota 100,000 m), se usaron dos puntos de cambio y se cerró en el BM, (cota 107,510 m). Los números sobre las visuales indican los valores leídos en la mira. Hallar, en una cartera de nivel, lás cotas de los puntos nivelados, hacer el chequeo de cartera y hallar el error de cierre. Cartera de nivel Punto VA(+) BM 1 K0 + 000 + 200 +400 C#1 + 600 + 800 C#2 K1 + 000 + 270 BM 2 3,282 VI(-) VA(-) h;l\ ·cota 103,282 100,000 100,113 101,241 102,370 102,407 103,482 104,595 105,353 105,715 106,666 107,503 3,169 2,041 0,912 3,584 0,875 105,991 0,638 108,608 2 ,509 1,396 3,255 2,893 1,942 10,121 1,105 2,618. Observaciones P·ara determinar si una lectura es VA(+), VI(-), o VA(-), basta observar cómo se presenta en el diagrama (arriba) 225 AJUSTE DE UNA NIVELACIÓN l:VA(+) - l:VA(-) = cota final - cota inicial Chequeo de ·cartera: 10,121 - 2,618 = 107,503 -100,000 7,503 = 7,503 ¡OK! Error de cierre: = cota 'obtenida - cota real (del punto de llegada: BMJ = 107,503 - 107,510 = -0,007 m Error máximo permitido (suponiendo la nivelación ordinaria) =2,4.Jk = 2,4 ,J1,170 = 2,6 cm Como el error cometido (0,007 m) es menor que el máximo permitido (0,026 m), el trabajo está bien. • Corregir las cotas de los puntos de cambio suponiendo que el C#1 está cerca de K 0 + 500 y el C#2, cerca de K 0 + 900; el BM2, cerca de K 1 + 200. Con: C1 D1 -=-: C2 D2 7 mm= 1200m.:.Cl = 7 mm _500 = 3 mm C1 500 m 1200 7 mm = 1200 m :. Cl = 7 mm. 900 = 5 mm C2 900 m 1200 Resumen Punto BM 1 C# 1 C#2 BM 2 Cota obtenida Corr. Cota correcta 100,000 102,407 105,353 107,503 o + 3 mm + 5 mm + 7 mm 100,000 102,410 105,358 107,510 226 TOPOGRAFIA • En la figura se observa un esquema en planta de una nivelación geométrica compuesta. Cada recta representa una visual. N son las diversas posiciones del nivel, y sobre cada visual se indica el valor de la lectura hecha en la mira. Los índices de los puntos de cambio (C) señalan el sentido de la nivelación. Calcular en ún cuadro o cartera de nivel las cotas de todos los puntos nivelados, hacer el chequeo de cartera y hallar el error de cierre. Cota del BM = 100,000 m. C-2 3,467 BM 4 Figura 21.2C. Cartera de nivel Punto BM 1 C-1 2 C-2 3 4 C-3 VA(+) VI(-) VA(-) 4,387 H 71\ 104,387 2,301 4,759 2,572 106,574 0,674 109,706 5,782 4,280 13,308 104,292 3,095 3,806 4,226 3,467 0,368 BM 13,320 Cota Observaciones 100,00 102,086 101,815 103,479 105,900 105,480 106,239 103,924 100,012 Chequeo de cartera: LVA(+) - LVA(-) = cota final - cota inicial a 13,320 - 13,308 = 100,012 - 100,00 0,012 = 0,012 ¡OKI Error de cierre: = cota obtenida (punto de llegada) - cota real = 100,012 - 100,000 = +0,012 m 227 AJUSTE DE UNA NIVELACIÓN • Determinar, para el problema anterior, si el trabajo está bien hecho. En caso positivo, ajustar las cotas de los puntos de cambio. Suponer que entre el nivel y los puntos de cambio respectivos existen distancias aproximadamente iguales a 150 m. Hay ocho tramos de 150 m, luego 8 x 150 = 1200 m es la longitud total nivelada. Error máximo aceptable = 2,4 ✓k = 2,4 ✓í";2 = 2,6 cm = 0,026 m, El trabajo está bien hecho: 0,012 m (error cometido) < 0,026 m (error aceptable) Corrección para puntos de cambio: Corrección por tramo de 150 m 12mm =--= 8 1,5 mm Corree. C #1 = 1,5 x 2 = -3 mm Corree. C #2 Corree. C #3 = 1,5 = 1,5 = -6 mm 6 = -9 mm x 4 x * (Las cotas de los cambios de la contranivelación no se ajustan). Resumen Pto. Dist. (m) BM e #1 o C#2 BM 300 600 1200 Cota cale. 100,000 101,815 105,900 100,012 Corr. Cota corr. -O 100,000 101,812 105,894 100,000 -3mm -6mm -12 mm CAPÍTULO 22 TAQUIMETRÍA GENERALIDADES e considera taquimetría cualquier sistema de "medida rápida" de distancias. Actualmente hay tre_s: a) Taquimetifa con mira vertical o taquimetría, simplemente: muy rápida, pero de poca exactitud. b) Taquimetifa con mira horizontal o con estadia de Invar: de alta precisión para distancias relativamente cortas. c) Medición Electrónica de Distancias (MED): la más moderna. Es rápida, muy exacta y un poco costosa. Las dos primeras se tratarán en este capítulo y la MED se estudiará en el Capítulo 29, en el cual se analizan los aparatos modernos utilizados en topografía. Gracias a la taquimetría se pueden medir distancias horizontales y diferencias de nivel indirectamente. Se emplea este sistema cuando no se necesita gran precisión, o cuando las características mismas dd terreno hacen difícil y poco preciso el empleo de la cinta. Para poder usar este método se requieren un teodolito que tenga en su retículo hilos taq11i1JJétricos (dos hilos paralelos al hilo horizontal del retículo, situados uno por encima y otro por debajo de él, equidistantes) y una mira sobre la cual se toman las lecturas correspondientes al hilo superior (s), al hilo medio (tJJ) y al hilo inferior (z) (Figura 22.1). Nótese que el hilo medio es el hilo horizontal del retículo. Para hacer un levantamiento empleando este sistema se procede tal como se vio en los diferentes métodos de levantamiento de un terreno con tránsito y cinta, tan sólo que, en lugar de medir distancias, se toman las tres lecturas (s, v1 e z), y el valor del ángulo vertical (a). 230 TOPOGRAFÍA Figura 22.1 Retículo taquimétrico y zona de la mira dentro del campo visual. Deducción de las fórmulas para calcular las distancias horizontal (DH) y vertical (DJ a) Cuando el anteojo está horizontal: Por semejanza de triángulos (Figura 22.2) se tiene: BA D 1 -=ab f f + d es constante ·para el aparato y llámase constante estadimétrica (S). (c + f) también es constante y se denomina constante taqtti111éttica (T). Finalmente, como DH DI+ T: DH T + S (s - i) b) Cuand_o el an,teojo está inclinado (caso general): Para la distancia horizontal DH (Figura 22.3): DH = D. cosa pero: D = T + S (A' B'), A' B' = AB. cosa= (s - i) cosa 231 TAQUIMETRÍA d a' b' 1 .2: ::,1 .!e 'e -¡¡; ] (1) "C > e: iIT o ..\!l A t: (1) a. -----------DH _____________, f = Distancia focal del objetivo a', b'= Hilo superior e inferior del retículo a' b' = Separación entre el hilo ~uperio_r y el inferior = d B A= (s-i) ="Lectura superior menos·1ectura·inferior Figura 22.2 Esquematización de la taquimetría: visual horizontal. :. D1-1 = S • (s - i) · cos 2 a + T cos a (1) Pa~a la distancia vertival, Dv Dv = D ·sena y remplazando el valor de D se obtiene: Dv = S (s - i) cos a sen a pero: cos a · sen a = ½ sen 2 a + T sen a luego: (2) Generalmente las constantes T y S las determina el fabricante y están indicadas en el estuche del aparato (en los aparatos modernos T = O y S = 100). Dado el caso de que se desconozcan estas constantes o que se dude de sus valores, se procede, para su determinación, así: 232 TOPOGRAFÍA ,----------------0,~----------.. Figura 22.3 Esquematización de la taquimetría: visual inclinada. 1. Determinación de T: en los teodolitos de enfoque interno T = O. En los teodolitos de enfoque extemo hay que conocer f y e puesto que T = f + c; para conocer a f se enfoca un objeto lejano, se mide la distancia entre el objetivo y los hilos del retículo y se obtiene así j, pues teóricamente la imagen de un objeto en el infinito se forma en el plano focal, que coincide con el del retículo. Para conocer a e se mide la distancia del eje vertical al objetivo, cuando se ha enfocado un objeto distante unos 80 m, aproximadamente; esto da un valor promedio de c. 2. Determinación de S: en la mayoría S = 100; si se duda se puede establecer midiendo una distancia en terreno plano con cinta y luego taquimétricamente. Se tiene que D:::::: S (s - i) :. S:::::: D/(s - i). Como Ses de todas maneras un número redondo, se toma el que más se aproxime al valor así determinado. (A) (B) Figura 22.4 A. Cálculo de cotas por taquimetría: ángulo vertical negativo; B. Cálculo de cotas por taquimetría: ángulo vertical positivo. 233 TAQUIMETRÍA Cálculo de cotas Para el cálculo de cotas, una vez conocida Dv, hay que tener en cuenta lo ilustrado en la Figura 22.4, parte A (bajando), y Figura 22.4, parte B (subiendo). Se conoce la cota (H) de A y se quiere determinar la de B (HJ. La altura del aparato (h ;1\ ) se puede determinar dando una "vista atrás" a un punto de cota conocida o midiendo directamente la longitud a, distancia del eje del anteojo al punto A; esta segunda manera es la más frecuente. Obsérvese que_ también se puede hacer el problema contrario, esto es, calcular HA conociendo HB. h;l\ HA+ a La cota desconocida será: HB = h ;1\ ± L; según la· Figura 22.4, partes A y B: HB HA + (a - m) ± Dv + subiendo { - bajando Anotaciones sobre taquimetría Aplicaciones. En levantamientos que aceptan poca precisión, en levantamientos gros.ro modo y en levantamientos en que el uso de la cinta es difícil por las características mismas del terreno, se emplea con ventaja la taquimetría. En los casos mencionados resulta más rápido y económico el levantamiento taquimétrico que el levantamiento con cinta. También es gran auxiliar en levantamientos de mayor precisión para tomar detalles y para comprobar mediciones hechas directamente (con lo cual se evitan errores tales como dejar de anotar una cintada o equivocaciones al hacer la cartera). Posibles causas de error Además de las .ya vistas al emplear el tránsjto y el nivel, se deben tener presentes las siguientes: Que las constantes estadimétrica y· taquimétrica no sean las· supuestas. Y a se vio cómo se deterrninan, por si hay alguna duda. 234 TOPOGRAFÍA Que la mira no tenga la longitud que indica. Hay necesidad de patronarla, y si hay diferencia se debe establecer el error para aplicar a cada lectura la corrección correspondiente. Que la mira no sea colocada verticalmente en el momento de la observación. Para lograr esto se utiliza un nivel circular ("ojo de pollo"), el cual garantiza que la mira quede vertical. Error al determinar las lecturas s e i. Es necesario que el observador sea bastante hábil y tenga suficiente práctica. Además de habilidad y experiencia hay que poner especial cuidado al hacer las lecturas, pues de la precisión con que se determine la diferencia (s - i) depende la exactitud del levantamiento. Por otro lado, ha de evitarse el efecto de la refracción atmosférica, para lo cual hay que abstenerse de hacer observaciones durante condiciones atmosféricas extremas. La paralaje también debe eliminarse, por lo que deben enfocarse correctamente el ocular y el objetivo. Error al determinar el ángulo vertical. Además de las consideraciones del aparte anterior, válidas también para la determinación de este ángulo, es necesario poner especial cuidado en la lectura del círculo vertical y en que el. círculo sí lea 0° 00' cuando la visual está horizontal (ver la última corrección al tránsito). Recomendaciones El personal necesario para un levantamiento taquimetrico consta de un obsetvador (para el tránsito), uno o varios cadeneros (para la mira, o las miras) y, generalmente, un anotador Oo cual agiliza más el trabajo en equipo). Cuando sólo se desea conocer D,P no se requiere anotar el ángulo vertical cuando éste es inferior• a 3°, pues no vale la pena hacer la reducción a la horizontal por ser muy pequeña la corrección. Basta con calcular (s - t) y multiplicar por S (generalmente = 100). Para no tener que anotar s e i, se ·toma para i un número redondo, con lo cual se puede hacer mentalmente lá operación (s - t) y así sólo se tiene que anotar la cantidad s. Cuando se están determinando las cotas de los puntos observados, se simplifica bastante el cálculo si se toma la lectura v; igual a la cantidad a (obséi-vese la fóri;nula para el cálculo correspondiente). Es muy probable que al hacer que v1 sea igual a a, la lectura i no concuerde con un número redondo, y no se tendría la facilidad anotada anteriormente. Esto se evita así: se ·toma la lectura v; de igual magnitud que a y en este momento se lee el ángulo vertical; luego se le da un pequeño movimiento al anteojo, con el tornillo de movimiento lento, hasta que i coincida con 235 TAQUIMETRÍA un número redondo. Como lo realmente útil para los cálculos es (s - t), ésta se puede determinar en la segunda posición sin que presente diferencia apreciable con la que se habría establecido en· 1a primera oportunidad. Debido a que la imagen de la mira se forma en el plano de los hilos del retículo, y como éste se inclina al mismo tiempo que se inclina el anteojo mientras que la mira se coloca vertical, entonces se produce una paralaje que introduce error al tomar las lecturas sobre la mira. Por esta razón no se deben tomar lecturas taquimétricas cuando el ángulo vertical sea superior a 30°. EL TAQUÍMETRO AUTORREDUCTOR Los tránsitos modernos tienen la constante de adición igual a cero (ver Taquimetría, pág. 231) y la de multiplicación igual a 100, con lo cual las fórmulas taquimétricas quedan reducidas a: Di, = 100 (s - i) cos 2 a D" = 100 (s - i) cos2 a X tag a Como se puede observar, la distancia horizontal (D 1,) es función de cos 2 a. Este factor decrece a medida que aumenta el ángulo de inclinación a, lo cual equivale a reducir la cantidad (s - t) a una cantidad (s - t)' que depende del valor del ángulo de inclinación a, con lo cual se puede escribir que Di, = 100 (s - t)'. La reducción de la cantidad (s - t) a (s - t)' en que (s - t)' = (s - t) cos 2 a, podría lograrse automáticamente si los hilos del retículo se fueran acercando entre sí a medida que el anteojo se va desviando de la horizontal, es decir, a medida que a aumenta, de manera que la cantidad leída fuera directamente (s - t)'. La teoría anterior se ha puesto en práctica por medio de un retículo excéntrico que gira dentro de una caja aplicada al ocular, de manera que hace que la distancia entre los hilos superior e inferior varíe proporcionahnente a cos 2 a y por tanto el valor leído corresponda a (s - t)', bastando ent~~ces multiplicar mentalmente este valor por 100 para conocer Di,, Siguiendo un raciocinio similar y haciendo que la variación entre los hilos del retículo ocurra proporcionalmente a cos 2 a X tg a, se logra leer dire.ctamente el valor (s - t)", el cual multiplicado por 100 permite conocer Dv. Los tránsitos con la innovación en los hilos del retículo descrita anteriorme.nte se denominan tac1uímetros autorreductores y tienen variaciones de detalles de acuerdo con los respectivos fabricantes. Para ilustrar esto se 236 TOPOGRAFÍA explican a continuación, brevemente, algunos de los modelos más conocidos en nuestro medio. Modelo K1-RA de la casa Kern 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Espejo de iluminación Ocular para la lectura de los limbos Tornillo de coincidencia vertical Mando para el giro del limbo horizontal Mando para la puesta en posición horizontal Mando para el ajuste de foco Arandela de cambio, para distancia horizontal o diferencia de altura 8. Colimador visor 9. Botón de cambio, para numeración dextrmsum o sinistrorsum del limbo horizontal 1O. Enchufe de iluminación 11. Tornillo de coincidencia azimutal 12. Mando del micrómetro Figura 22.5 Taquímetro autorreductor modelo Kern K1-RA. Este instrumento resume una larga experiencia en autorreducción y es, por tanto, un aparato extremadamente sencillo. El dispositivo reductor consta sólo de dos trazos horizontales paralelos que aparecen en el campo visual del anteojo (Figura 22.6, partes A y B), los cuales permiten tomar lectura directa sobre una mira vertical de tipo corriente y, por una sencilla resta, conocer la distancia horizontal o vertical directamente. En el caso ilustrado en la Figura 22.6, parte A, se tiene: (s - t)' 1,456 - 1,300 0,156 y se obtiene la distancia horizontal Dh = 15,6 m. = = Retículo y lectura del taquímetro autorreductor Kt-RA Análogamente, girando la "arandela de cambio" (ver Figura 22.6) se toma, también en forma directa, la lectura de (s - t)" 1, 364 - 1,300 0,064 y se = = 237 TAQUIMETRÍA obtiene la distancia vertical o diferencia de altura Dv = 6,40 m (Figura 22.6, parte B). (a) (b) Figura 22.6 a) Lectura de la distancia horizontal 15,6 m; b) Lectura de la diferencia de altura 6,4 m. Altura de visado en la mira 1,3 m. Como puede apreciarse en el ejemplo, el trazo superior del retículo es fijo y corresponde al eje de la línea de vista (sólo que en este instrumento está desplazado hacia arriba), o sea que su lectura sobre la mira equivale a la 111 (ver Taquimetría, pág. 232) utilizada para el .cálculo de cotas. El trazo inferior del retículo es móvil y se ajusta por medio de la "arandela de cambio" para la lectura de la distancia horizontal (D 1,) .o de la distancia vertical (Dv). Otras características del Kern K1-RA incluyen el limbo de lectura del círculo vertical provisto de división tangencial (permite leer directamente el valor de la tangente del ángulo vertical) y la lectura del círculo horizontal (según el modelo) se puede obtener con micrómetro o con microscopio. Además por medio del botón 9 (ver Figura 22.5) se puede efectuar la lectura del círculo horizontal hacia la derecha o hacia la izquierda, permitiendo la lectura de ángulos hacia la izquierda. Estas características están ilustradas en la Figura 22. 7. 238 TOPOGRAFÍA Figura 22.7 Ilustración de la lectura de los círculos vertical y horizontal del taquímetro autorreductor K1 ·RA •. Modelo DKRV de la casa Kern Objetivo orn1 o e pres1on para tornillo de basculamiento Nivel del anteojo Mando para ajuste de foco Tornillo de coincidencia de colimación Tornillo de coincidencia para ajuste cenital Tambor de micrómetro Tornillo cÍe coincidencia para a·uste azimutal Tornillo de presión del eje vertical Tornillo de traspiés, con Indice para la posición media Mando para el giro del limbo horizontal, con tapa de protecció Trípode centrador :¡gura 22.8 Taquímetro autorreductor Kern DKRV. 239 TAQUIMETRÍA Con este modelo de autorreductor 'la casa constructora ha alcanzado una mayor precisión en los resultados del cálculo de la distancia horizontal, en comparación con el modelo Kl-RA descrito anteriormente. La constante de multiplicación es 80 (para poder mejorar las características ópticas del anteojo y lograr mayor precisión en las lecturas), lo cual hace necesario multiplicar por 80 cuando se lee una mira graduada en centímetros; pero, para evitar esta ligera incomodidad, el aparato cuenta entre sus accesorios con una mira especial cuya graduación no es en centímetros sino en divisiones de 1,25 cm cada una, lo que hace que las (s - z) observadas, como si fueran centímetros, se puedan multiplicar por 100. HIio verticai Figura 22.SA Hilos del retículo del autorreductor DKRV. Además, el retículo es diferente (Figura 22.8A), pues no posee los hilos tradicionales de todo tránsito. Tiene hilo vertical y horizontal, pero este último no pasa por el centro del campo visual, sino que está hacia la parte superior. Cuenta además con un hilo taquimétrico que se desplaza según el ángulo a. El eje óptico del aparato sigue siendo el cruce del hilo vertical con el horizontal. Como el anteojo es de imagen invertida, el cero de la mira aparece en la parte superior del campo visual; se hace coincidir el hilo horizontal con el cero de la mira, así que la lectura es i = 0,0. La lectura superior se toma con el hilo taquimétrico móvil (por medio de un novedoso sistema se pueden leer cuatro cifras, lo cual da centímetros para distancias menores de 100 m, y decímetros para distancias superiores) y puesto que i = 0,0 entonces basta con multiplicar esta única lectura por 100 para obtener D 1_r El cálculo de la distancia vertical también se ha modificado bastante, pues ésta se calcula como D" = DH · tg a. Para simplificar esta operación, en lugar del círculo vertical graduado en grados, minutos y segundos, tiene un círculo vertical que da la tangente del ángulo a con su signo. Además, para 240 TOPOGRAFÍA agilizar el cálculo de cotas, la altura 111 se toma igual a la altura del aparato a, para lo cual el cero de la mira se subé o ·baja hasta que esté a una altura igual a a sobre el punto de cota; esto se puede hacer fácilmente pues la mira, sostenida por un trípode, se puede subir o bajar hasta que esta condición se cumpla. 2 11 3 4 12 13 5 14 15 6 16 7 17 18 8 9 1. Objetivo del anteojo 2. Nivel del limbo cenital 3. Tornillo de ajuste del nivel 4. Caja del limbo cenital 5. Tornillo de calaje del nivel del limbo cenital 6. Espejo de iluminación 7. Botón de fijación al estuche 8. Tornillo de fijación del tornillo nivelante 9. Tornillo nivelante 1O. Plataforma de fijación 11. Caja del círculo del diagrama 12. Tornillo de corrección de la colimación horizontal 13. Visor anual 14. Tornillo tangencial vertical 19 10 Figura 22.9 Taquímetro autorreductor Wlld RDS. Modelo RDS de la casa Wild Este aparato tiene constante de multiplicación igual a 100. El retículo presenta hilo vertical y tres hilos en el sentido horizontal (Figura 22.9A). El hilo inferior corresponde al horizontal del retículo corriente; este hilo hay que procurar coloc¡irlo siempre sobre la marca 100 de la mira. El hilo superior sirve para encontrar la lectura s', de la cual basta restar 100 y multiplicar por 100 para conocer DH' El hilo central se utiliza para conocer la Dv (diferencia de nivel entre _el anteojo y el punto sobre el cual cae el hilo inferior en la mira). Se anota la lectura con este hilo s", se le. resta la lectura con el hilo inferior (100, general- TAOUIMETRÍA 241 mente) y este residuo, en centímetros, se multiplica por el factor marcado sobre este hilo. El resultado es la Dv, en metros, positiva para los signos (+) y negativa para los signos (-). Observaciones Para obtener buena precisión con estos aparatos se debe: a) leer los hilos diagramados sobre la mira siempre en correspondencia con el hilo vertical del retículo; b) colocar verticalmente la mira para cada lectura, y c) tener suficiente habilidad para tomar las lecturas correspondientes. -0,1 -0,1 Dh =41,3m D,v = +0,1 X 21,7 =+ 217 Dh= 35,5 m Dv= + ½x 21,8 = + 10,9 Figura 22.9A Hilos del retículo del autorreductor Di, =57,2m Dv = + 0,2x 40,1 = + 8,02 RDS. Fácilmente se pueden apreciar las ventajas que presenta este aparato, pues ahorra gran cantidad de cálculos, evita consultar tablas y, por ende, elimina muchas posibilidades de error. Antes de comenzar un trabajo, es conveniente verificar que el retículo diagramado esté correctamente ajustado, comprobando mediciones hechas de manera· directa. EsTADIA DE INVAR La estadía de invar es un instrumento empleado para la medición indirecta de distancias horizontales. Este aparato es, en esencia, una base de longitud fija (2 m), que va montada sobre un a:ípode y que tiene dispositivos especiales para colocarla horizontal y perpendicular a la línea que se desea medir. La distancia se puede determinar por un sencillo cálculo trigonométrico, si se 242 TOPOGRAFÍA conoce el ángulo entre las dos señales de la estadia, observado con un teodolito desde el otro extremo de la línea por medir. i----------2,00m----------t Tornillo de fijación Señal Figura 22.10 Estadia de invar. Se denomina "de invar" debido a que el material que une las dos señales es de invar, aleación de acero y níquel principalmente, que presenta muy poca variación de longitud con los cambios de temperatura, con lo cual se garantiza que la distancia entre las dos señales se mantiene constante. Por medio de la cabeza nivelante, y con la ayuda de un nivel circular, se logra la horizontalidad de los brazos de la estadia; a través de un colimador se da vista hacia el teodolito y cuando se tenga éste bien centrado en su campo visual, la estadia estará perpendicular a la línea que se desea medir. Basta sólo .observar con el teodolito. el ángulo 0 (ángulo paraláctico, Figura 22.11), entre las visuales a cada una de las señales de la estadia. Cabe anotar que este ángulo se mide en un plano horizontal (que es el plano en el cual está el círculo horizontal del teodolito) y que, por tanto, al calcular trigonométricamente la distancia, se obtiene la longitud horizontal entre los dos puntos: tg 0 / 2 = l,O D¡.¡ 1,0 0/ 2 :.D 1.1 =---=ctg · tg0/2 243 TAQUIMETRÍA Figura 22.11 Esquematización de la teoría de la estadia de invar. Para calcular la distancia vertical se necesita medir además el ángulo vertical: Se observa claramente que la exactitud con la cual podemos conocer el valor de la longitud DH depende de la precisión en la determinación de 0. Por esta razón el ángulo paraláctico se debe establecer con un teodolito que lea segundos, empleando uno de los métodos vistos para medir ángulos con precisión, y haciendo la mitad de las observaciones con el anteojo en posición directa y la otra mitad en posición inversa. En la siguiente tabla se muestra la aproximación de la medición en el supuesto de que el ángulo paraláctico se ha determinado según las recomendaciones anotadas anteriormente, y con una precisión de ± 1". Distancia medida (m) Error promedio (cm) Error unitario 50 100 150 200 300 400 500 600 700 0,43 1,71 3,86 6,86 15,43 27,43 42,86 61,72 84,00 1 :11.650 1 :5.850 1:3.900 1:2.950 1:1.950 1:1.450 1:1.200 1:1.000 1:850 244 TOPOGRAFÍA Como se puede apreciar en la tabla antedor, para obtener resultados satisfactorios se debe procurar que la distancia medida no sea superior a 200 m. Si se necesita medir una distancia mayor y no se quiere rebajar la exactitud, se emplea uno de los siguientes métodos (Figura 22.12): a) Medir la distancia en dos partes, colocando la estadia en la parte media. b) Determinar la distancia mediante una base auxiliar· situada en un extremo de la línea; para la medición de esta base auxiliar se emplea la estadia. c) Determinar la distancia en dos partes, colocando la base auxiliar en la parte media de la línea por medir. A ~ ~~ (A) AB = ctg 0A 2 13•~•8 (B) + ctg AB = ctg 0 2 (C) x ctg 13 AB = ctg 0 2 (ctg a.+ ctg ~) Figura 22.12 Manera de medir una distancia con la estadia de invar. Precauciones en el manejo de la estadia 1. Para que las condiciones trigonométricas supuestas en el desarrollo · teórico se cumplan en el campo práctico, es necesario verificar antes de cada observación que la estadía esté horizontal y que sea perpendimlar a la línea que se va a determinar. 2. El teodolito debe est¡ir perfectamente corregido y en el momento de la observación debe estar bien nivelado para que el ángulo 0 sea verdaderamente horizontal. 3. Para que el ángulo paraláctico quede perfectamente determinado, se debe procurar no hacer observaciones durante condiciones extremas de temperatura y evitar que la visual pase muy cerca del suelo o de cualquier otra superficie para eliminar las variaciones debidas a la refracción. Ejercicios teóricos Para hallar la distancia horizontal y la diferencia de nivel entre dos puntos, A y B, se. centró y niveló un teodolito en A, con el anteojo (eje horizontal) a 1,68 m sobre el punto, y se dio vista a una mira vertical colocada en B. Con los hilos trigonométricos se leyó en la 245 TAQUIMETRÍA mira: s = 3,50 m; 111 = 2,25 m e i = 1,00 m, mientras el ángulo de elevación dela visual era de -12°17' (ángulo de depresión). Las constantes del teodolito son S = 100 y T = O. La distancia horizontal entre A y B es: DH = S (s - i) cos 2 a. + T cos a. = 100 (3,50 - 1,00) cos2 (-12°17') + O · cosa.= 238,68 m La distancia. vertical entre el hilo horizontal medio del retículo y el punto donde se lee en ese mismo hilo en la mira es: Dv = S (s - t) cos a sen a. + T sen a. = 100 (2,50) cos (-12º17') sen (-12º17') + O · sen a. = -51,97 m Como se ve en la figura: -a--------------------------------r Dv H, + a - Dv - m = Hb, la diferencia de nivel entre A y B será: L1H=HA -HB =-a+ Dv + m = -1,68 + 51,97 + 2,25 = 52,54 m (H,\ > HB) o sea que la distancia entre A y B es de unos 239 m y la diferencia de nivel es de unos 52 m (el signo indica que A es más alto (HA > H 8 ). 246 TOPOGRAFIA = = = El punto P tiene coordenadas N 1.000,00 m; E 800,00 m y H 600,00 m. Ahí se centró y niveló un teodolito taquímetro, a 1,72 m sobre el punto. Se lanzó una visual a una mira vertical colocada en Q y en ella se leyó: s 3,25 m; m 2,49 m e i 1,73 m, con la visual con un ángulo cenital Z = 78°27' y con un azimut de 248°36'. Calcular las coordenadas de Q · (S 100; T O). = = = = = 248º 36' Distancia PQ DH = 100 (3,25 - 1,73) cos 2 pero a = 90 - 78°27' a + 0 cos a = + 11 º33' :.DH = 100 · 1,52 cos 2 (11°33') = 145,90 m Dv = 100 · 1,52 · cos (11 °33') sen (11 °33') = 29,82 m Las coordenadas de Q son: = 1.000,00 + 145,90 cos 248°36' = 100,00 - 53,24 = 946,76 m EQ = 800,00 + 145,90 se~ 248°36' = 800,00 - 135,84 = 664,15 m HQ = 600,00 + 1,72 + 29,82 ~ 2,49 = 629,05 m NQ :=::: 947 m :::: 664 m :=::: 629 m (La poca exactitud de estas medidas no justifica· aproximar al cm, ni aun al dm). 247 TAQUIMETRIA En un punto A de un terreno se centró y niveló un teodolito de segundos a 1,72 m sobre el suelo (eje horizontal). En otro punto B, se colocó una estadia de invar a 1,62 m sobre el suelo. Al mirar la estadia con el teodolito se leyó un ángulo paraláctico (círculo horizontal), 0 = 1°10'26", y al mismo tiempo se leyó un ángulo cenital (círculo vertical), Z = 75°16'32". Calcular las distancias horizontal y vertical entre los puntos A y B. m Dv La distancia horizontal entre A y B es Dh e =cot=c o1°10'26" t - - - =97,614 m 2 2 La distancia vertical entre el eje horizontal del teodolito y la estadia es: Dv = D1, cot Z = 97,614 cot 75°16'32" = 25,653 m y la distancia vertical entre A y B se obtiene así: Hb - HA = 1,72 + 25,653 - 1,62 = 25,753 m (Hb > H.) 248 TOPOGRAFÍA Como las distancias medidas con estadia de invar son bastante exactas, en particular para valores hasta de unos 200 m, es conveniente precisarlas bien, por lo menos aproximando al centímetro. Un punto P tiene coordenadas N = 1.000,00 m; E = 800,00 m y H = 600,00 m. Si en él se centra y nivela un teodolit~, a 1,72 m sobre el piso y se da vista a una estadia de invar localizada en el punto Q, a 1,60 m sobre el piso, y se lee con el círculo horizontal del teodolito un azimut de 127°18'42", con el círculo horizontal un ángulo paraláctico de 0°52'33" (valor promedio) y con el círculo vertical un ángulo cenital Z = 81 °35'45", calcular las coordenadas del punto Q (el dibujo del problema anterior es válido). Distancia horizontal PQ: Oº 52'33" Dh = c o t - - - = 130,835 m 2 ~ 130,835 cot 81 °35'45" Distancia DV = 19,330 m Coordenadas del punto Q: NQ = 1.000,00 + 130,835 cos 127°18'42" = 1.000,00 EQ = 800,00 = 800,00 HQ 79,306 = 920,694 m + 130,835 sen 127°18'42" + 104,060 = 904,060 m = 600,00 + 1,72 + 19,330 - 1.000 N 820 840 860 1,60 = 619,450 m 880 900 ---1-----------~----<p !E 980 960 940 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 920 1 1 1 -------------------------------- 1 900 Q TAQUIMETRIA 249 LA PLANCHETA Descripción La plancheta (Figura 22.13) consta, en esencia, de un tablero o plancheta que se monta y nivela sobre un trípode que tiene una cabeza diseñada especialmente (Figura 22.18), con doble tornillo, lo cual permite, por una parte, nivelar el tablero y, por otra, una vez nivelado, girar en azimut; y de una alidada (Figura 22.13A), que es una regla adjunta a un anteojo que permite lanzar visuales paralelas a sus bordes. El anteojo gira sobre un eje horizontal y dispone además de un semicírculo vertical graduado y un arco Beaman (en algunos modelos), que se describe más adelante. Por medio de ganchos tales como el mostrado en la Figura 22.14 se asegura al tablero el papel especial sobre el cual se dibuja. Figura 22.13 La plancheta. 1 La plancheta es un instrumento ampliamente usado tanto en Europa como en Norteamérica para la elaboración de planos, cuando no se requiere alta exactitud pero sí bastante rapidez. Es de gran utilidad en levantamientos geológicos en los que se necesita establecer la posición de muchos puntos que determinan líneas bastante irregulares por lo general, sin que se requiera gran exactitud en la posición de cada punto. El plano se hace directamente en el terreno a medida que avanza el trabajo de campo, eliminándose así el trabajo de oficina. 250 TOPOGRAFIA 0 ALIDADA 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Nivel de caballete Tornillo de corrección del nivel Anteojo Nivel del circulo vertical Retículo Prisma ocular [ndlce del Beaman H Índice del Beaman V 9. 1O. 11. 12. 13. 14. 15. 16. Tornillo de movimiento lento de la alidada Tornillo de movimiento lento del nivel 4 Nivel circular de la base Brújula o declinatoria Soporte de la alidada Sujetador de la brújula Perilla Base Figura 22.13A Alidada de la plancheta. Para medir las distancias, el anteojo dispone de hilos taquimetncos que se emplean, en combinación con el arco Beaman, para conocer las distancias horizontales y las diferencias de nivel. Figura 22.14 Gancho para sujetar el papel. 251 TAOUIMETRIA Existen también alidadas cuyo anteojo tiene retículo con dispositivo autorreductor (figuras 22.15 y 22.16), que simplifica notablemente el cálculo de DH y Dv. Figura 22.15 Plancheta autorreductora Kern. Figura 22.16 Retículo de la plancheta autorreductora Kern. Colocación, orientación y manejo de la plancheta Para colocar la plancheta sobre un punto determinado y obtener exactamente su localización sobre el papel, hay que tener en cuenta: a) Si la escala empleada es más pequeña que 1:500, esto pu~de hacerse aproximadamente, a estima, sin que el error debido a la excentricidad resultante sea apreciable. b) Si se trabaja a escala igual o mayor que 1:500, se emplea el dispositivo que aparece en la Figura 22.17. 252 TOPOGRAFÍA c Figura 22.17 Dispositivo para "centrar'' la plancheta. El tablero se nivela centrando el nivel circular que posee la alidada, o por medio de un nivel tubular auxiliar que algunos modelos traen para este efecto, moviendo manualmente el tablero, lo cual se puede hacer manteniendo flojo el tornillo de nivelación de la cabeza del trípode (Figura 22.18). Figura 22.18 Dispositivo para "nivelar'' la plancheta: rótula Johnson. El trípode debe ir firmemente asegurado al terreno para evitar las vibraciones; también deb<r dársele una altura adecuada, con el fin de que el observador no tenga que apoyarse sobre el tablero y lo desnivele. Para orientar el tablero con una dirección dada, éste puede girar sobre su eje vertical soltando el tornillo de azimut (Figura 22.18). Se presentan dos casos: 1 253 TAOUIMETRIA a) Si se desea orientar con la dirección norte-sur, se traza sobre el papel una línea que la represente (Figura 22.19) y se hace ésta paralela a la declinatoria (Figura 22.20) (aguja imantada de poco giro), girando el tablero hasta que la aguja marque el norte. En seguida se fija el tornillo de azim{tt. Figura 22.19 Orientación de la plancheta con la N-8. Figura 22.20 Brújula declinatoria. b) Cuando en el plano existe una línea cuya dirección es conocida y se ocupa con la plancheta uno de los extremos de dicha línea, la orientación de la plancheta se lleva a cabo dando "vista atrás". Esta operación se efectúa haciendo coincidir la regla de la alidada con la línea b a (Figura 22.21) y girando el tablero hasta que el punto A sea visible por el anteojo. Una vez orientada la plancheta, para determinar un punto sobre el plano se procede así: manteniendo la regla de la alidada en contacto con el punto que representa la estación sobre la cual está el aparato, se gira la alidada hasta que con el anteojo se dé vista al punto que se desea localizar. Se dibuja la. correspondiente visual y sobre ésta se mide, a la escala del plano, la distancia a que se encuentra el punto por determinar, calculada ésta de manera directa (con cinta) o indirecta (taquimétricamente). . TOPOGRAFIA 254 Ne A Figura 22.21 Orientación de la plancheta con una línea conocida. El arco Beaman Deriva su nombre del de su inventor, el norteamericano William Beaman. Consiste e.n un arco especialmente graduado sobre el semicírculo vertical de la alidada (Figura 22.22), que se usa para determinar distancias horizontales y diferencias de elevación, sin necesidad ·de emplear tablas o diagramas, ni de leer ángulos verticales. Figura 22.22 Arco Beaman. Distancias horizontales Para este objetivo las divisiones señaladas en la escala H (Figura 22.22) se han hecho de tal manera que cuando el anteojo esté horizontal, la correspondiente lectura sea 100; esto quiere decir que la distancia horizontal observada 255 TAOUIMETRIA es el 100% de la calculada taquimétricamente en .función de la lectura hecha sobre una mira, con los hilos superior e inferior del retículo. Cuando se · hace una lectura sobre la mira con el anteojo inclinado, el valor (s - t) leído se multiplica por la lectura indicada por el Beaman, expresada en porcentaje. Distancias verticales La graduación de la escala V del Beaman está hecha para los valores de ángulos vertic.ales que tengan "múltiplos. exactos". Esto quiere decir lo siguiente: la fórmula taquimétrica para las distancias verticales es Dv = 100 (s - t) 1/2 sen 2 a; se dice que el valor de a es un ángulo con múltiplo exacto cuando toma valores que producen, por ejemplo, los resultados siguientes: a Para 2a sen 2 a 1/2 sen 2 a De donde 100 X 1/2 sen 2 00°34'23" 01 °08'46" 0,01998754 0,00999 a=1 Haciendo iguales cálculos con otros valores de a, se obtendrá: Para Para 1°08'46" 3°26'46" 100 X 1/2 sen 2 a = 2 100 X 1/2 sen 2 a= 6, etc. Una vez hallados todos los ángulos con esta propiedad y llamando 1/2 sen 2 a m y 100 m M se tendrá que para una determinada lectura (s - t) se puede calcular D,, = M (s - t), en que el valor M es el indicado en la escala V del arco Beaman. La operación para el cálculo de una distancia vertical se efectúa prácticamente como sigue: = = a) Cuando la lectura en la escala es cero, quiere decir que el anteojo está horizontal y por tanto Dv = O; la diferencia de nivel entre A y B (Figura 22.23) en este caso se expresará como:' Diferencia de nivel = a - m b) Cuando la observación se hace desde un ángulo vertical (Figura 22.24), la lectura (s - t) se debe tomar para un valor exacto de i; en seguida se sube o baja el anteojo de manera que el índice del Beaman quede frente a la división más cercana en la escala V. En esta posición se toma sobre 256 TOPOGRAFÍA la mira elvalor de la lectura del hilo medio (m). El valor (s - t) se multiplica por la lectura del· Beaman, expresada en tanto por ciento, obteniéndose así la Dv entre el centro de la alidada y el punto leído con el hilo medio sobre la mira. En este caso, la diferencia de nivel entre A y ,B se calculará así: Diferencia de nivel = a ± Dv - m Figura 22.23 Utilización del arco Beaman: visual horizontal. Dv Diferencia de nivel Figura 22.24 Utilización del arco Beaman: visual inclinada. Generalmente la escala V del Beaman trae, para aclarar las anotaciones en la cartera de campo, en lugar del cero cuando el anteojo está horizontal, el valor 50, de mocl,o que cuando la lectura del Beaman es mayor que 50, la inclinación del anteojo es positiva, y cuando es menor que 50, negativa. En este caso, para efectuar el cálculo de Dv, se resta 50 a la lectura del Beaman y el residuo, positivo ·o negativo, se multiplica por la correspondiente lectura (s - t), resultando así D" con su signo (+ para inclinación positiva, - para inclinación negativa). 257 TAOUIMETRIA Correcciones a la alidada 1. El eje de la burbuja de la base de la alidada debe ser paralelo a ésta. COMPROBACIÓN: Se nivela la plancheta haciendo que el nivel de burbuja de la alidada quede dentro de sus "reparos"; se gira 180° la alidada; si la burbuja continúa centrada, está correcta. CORRECCIÓN: Si la burbuja se sale de sus "reparos", hay que corregir el nivel de la alidada con los tornillos que para tal efecto tiene. Se corrige la mitad con dichos tornillos y la otra mitad volviendo a nivelar el tablero. 2. El hilo vertical del retículo debe ser perpendicular al eje horizontal del anteojo. COMPROBACIÓN: Se fija sobre un muro un punto P distante de la plancheta aproximadamente unos 80 m, y que coincida con el hilo vertical del retículo tal como se muestra en la Figura 22.25, parte A; si al describir un pequeño ángulo vertical el punto P aparece como en la Figura 22.25, parte B, está correcto. (A) (B) (C) Figura 22.25 Hilo vertical del retículo verdaderamente vertical. CORRECCIÓN: Si sucede lo ilustrado en la Figura 22.25, parte C~ hay que corregir, aflojando dos tornillos consecutivos del retículo y girándolo; luego se vuelven a ajustar. 258 TOPOGRAFIA 3. La línea de vista debe coincidir con el eje del anteojo. COMPROBACIÓN: Se localiza con el cruce de los hilos del retículo un punto P distante de la plancheta unos 50 m, aproximadamente (Figura 22.26, parte A) y se hace girar el anteojo 180° sobre su eje longitudinal. Si ocurre como lo mostrado en la parte B de la misma figura, está correcto. CORRECCIÓN: Si ocurre lo mostrado en la parte C, hay que corregir llevando los hilos del retículo a su posición correcta , desplazándolo vertical y horizontalmente por medio de los tornillos opuestos verticales y horizontales. (A) Figura 22.26 La línea de vista debe coincidir con el eje del anteojo. 4. a) Cuando el anteojo tiene nivel de caballete: El eje del nivel debe ser paralelo al eje del anteojo y, por tanto, paralelo a la línea de vista. COMPROBACIÓN: Se nivela el anteojo centrando la burbuja del nivel de caballete; se cambia la posición de éste, extremo por extremo; si la burbuja continúa dentro de sus "reparos", está correcto. CORRECCIÓN: Si la burbuja se sale de sus "reparos" hay que corregir la mitad con los tornillos de corrección del nivel y la otra mitad volviendo a nivelar. TAQUIMETRIA 259 b) Cuando el nivel es solidario al anteojo. Para la comprobación y corrección se emplea el método de las dos estacas, que ya se ha visto (ver corrección 5 del teodolito o 3 del nivel). La única diferencia es que la corrección se hace al nivel, no a la línea de vista. S. a) Si tiene círculo vertical fijo. "La lectura en el círculo vertical debe ser cero cuando la visual está horizontal" (o sea, la burbuja del nivel del anteojo dentro de sus "reparos"). COMPROBACIÓN: Se hace la visual horizontal poniendo la burbuja del nivel del anteojo dentro de sus "reparos"; si en esas condiciones la lectura en el círculo vertical es cero (00° 00' 00"), está ·correcto. CORRECCIÓN: Si la lectura no es cero, hay que corregir desplazando el nonio con los tornillos que para tal efecto tiene, hasta· que la lectura sea cero. b) Si el círculo vertical es móvil, con nivel de control, este nivel debe ser paralelo al eje del anteojo cuando la lectura en el círculo vertical sea cero. COMPROBACIÓN: Se llevan dentro de sus "reparos" tanto la burbuja del anteojo como la del control del círculo vertical. Si en estas condiciones el aparato lee cero, está correcto. CORRECCIÓN: Si no lee ceros el círculo vertical, entonces se corrige con los tornillos de corrección del nivel de control. Levantamientos con la plancheta Levantamiento por radiación Una vez armado y nivelado el aparato con el punto escogido, O, se orienta el tablero como se vio; con la alidada se da vista a cada punto necesario para determinar el lote y se traza la correspondiente dirección (Figura 22.27). 260 TOPOGRAFIA Sobre dichas líneas, a partir de O, se toman a escala las distancias, con lo cual se determinan en el plano los vértices del terreno. Si se desea conocer el área se puede usar un _planímetro o descomponer el área en sencillas figuras geométricas de las cuales se puede calcular fácilmente el área. 8 Figura 22.27 Levantamiento por "radiación", con la plancheta. Intersección de visuales Se sigue un procedimiento similar a cuando se emplea el teodolito. Hay que establecer la base AB (Figura 22.28) en el terreno por medio de dos estacas. Se mide esta base. Se arma el aparato en A y se orienta; se da vista a B y se traza a b sobre el plano, y en seguida se dibujan las visuales lanzadas hacia todos los vértices del lot~ por levantar. Luego se lleva el aparato a B, se arma y se nivela; se alinea ba con BA y se lanzan visuales a todos los vértices, quedando éstos determinados en el plano por las intersecciones de las visuales lanzadas a cada uno de ellos desde los dos puntos a y b. Rumbo y distancia Consiste en ir trazando los alineamientos en el papel, armando el aparato en cada estación: Se nivela y orienta en estación 1 (Figura 22.29); se da vista a 2 y se traza 1-2; se lleva a la estación 2, se arma y se da vista a 1 para orientar de nuevo; en seguida se da vista a 3 y se dibuja 2-3, y así sucesivamente. 261 TAQUIMETRÍA 4 Figura 22.28 Levantamiento por "intersección de visuales", con la plancheta. Se pueden lanzar visuales de chequeo tales como las lanzadas desde la estación 3 a 1 y de 4 a 2, que comprueban si se han cometido o no errores hasta ese punto. <D Figura 22.29 Levantamiento por "rumbo y distancia", con la plancheta. 262 TOPOGRAFÍA Determinación de puntos con la plancheta por medio de triangulación gráfica · a) Intersección: Cuando desde estaciones conocidas se quiere determinar un punto desconocido, desde cada estación conocida (dos o más) se lanza una visual a la estación desconocida y se traza la línea correspondiente. El punto en el cual se intersecten esas líneas será la estación desconocida. b) Resección: Cuando no se puede o no se desea ocupar las estaciones conocidas sino que se ocupa el punto desconocido. Solución aproximada A y B son los puntos conocidos; C es el punto desconocido; a y b representan sobre el plano A y B; c representa a C (indeterminado aún), (ver Figura 22.30). 1. Se centra y nivela la plancheta en C. 2. Se orienta con la brújula, con lo cual se obtiene una orientación aproximada. 3. Se trazan visuales que pasen por aA y bB. 4. El punto c se localiza en la intersección de las dos visuales. Solución exacta Problema de los dos puntos Se presenta cuando se tienen sólo dos estaciones conocidas que son visibles desde la estación desconocida. Para que la determinación del punto c en el caso anterior (Figura 22.30) fuera exacta, sólo se necesitaría que la orientación de la plancheta lo fuera. Esta orientación es la que se trata de lograr exactamente en este problema. Sean A y B las estaciones visibles y conocidas y C la estación que se quiere determinar (Figura 22.31). La estación D es auxiliar; se escoge convenientemente para no obtener ángulos muy agudos. 263 TAQUIMETRÍA Figura 22.30 Solución al problema de resección. A B __________ ____ .._ , ____..::,,,:::,::::-- --- ---~ e tic Figura 22.31 Solución exacta al "problema de los dos puntos". .6.D __, 264 TOPOGRAFÍA PROCEDIMIENTO: 1. Se centra y nivela la plancheta en D; se orienta aproximadamente, a estima o por medio de una brújula. 2. Se trazan los rayos Aa y Bb, con lo cual se determina el punto den su intersección. 3. Se lanza visual hacia la Li C y se localiza e midiendo la distancia DC. 4. Se lleva la plancheta a Li C y se orienta, dando vista atrás, hacia la estación D, con lo cual el error en orientación introducido en D se conserva. S. Se trazan los rayos cA y cB y se determinan los puntos a' y b'. El cuadrilátero a'b'cd es semejante al ABDC; por tanto, a'b' debería ser paralela a AB, o sea, paralela a ab. El error cometido en la orientación será el ángulo a. que forman esas dos líneas. 6. El error de orientación se corrige así: a) por el punto a' se traza a'b" paralela a a b; b) se materializa un punto F en el terreno que sea · continuación de a' b"; e) se hace coincidir la alidada con la línea a' b'; d) se gira el tablero en la dirección conveniente, de manera que la visual de la alidada pase por el punto F; con esto se ha girado un ángulo igual a a., que era el error en orientación. Problema de los tres puntos Se presenta cuando son visibles tres estaciones conocidas desde la estación desconocida. Llamemos A, B, C las estaciones conocidas (con lo cual se pueden determinar a, b y e en el papel) y P la desconocida. Existen varios métodos para determinar a P. A continuación se explican dos de los más rápidos y sencillos: Método A 1. Se centra la plancheta en P (Figura 22.32), estación desconocida, y se orienta aproximadamente por medio de la brújula o a estima. 2. Se trazan rayos de resección Aa, Bb y Ce. 3. Estos tres rayos no se intersectan en un punto único debido al error de orientación y forman un triángulo denominado "triángulo de error". 4. Dibujando los círculos que pasan por los puntos a, b y ab; b, e y bc, a, e y ac, el punto P queda localizado en la intersección de los tres círculos mencionados. TAQUIMETRÍA o Figura 22.32 Solución al "problema de los tres puntos". Método A. Método B 1. Se orienta la plancheta aproximadamente y trazando rayos de resección se obtiene un triángulo de error (Figura 22.33). 2. Se gira el tablero una pequeña cantidad (más o menos 10°) en cualquier sentido. 3. Se obtiene para la nueva posición un triángulo de error. 4. Se unen por rectas los vértices de igual nombre en los triángulos de error. 5. La intersección de las rectas así trazadas determina el punto P buscado. 6. Se pueden presentar varios casos, según la localización relativa de P respecto a, A, B y C, como los ilustrados en la Figura 22.33, partes A, B y c. NOTA: Tanto en el método A como en el B, una vez determinado P se corrige la orientación, alineando la alidada con los puntos p y a, y gh-ando el tablero hasta localizar A, siendo A el punto más distante de P (para que se logre más precisión en la orientación). TOPOGRAFÍA A' \ B' \ e '' ' '' '' ' ,,,,,✓ ,,,,,,, • 1 1 C' 1 1 1 1 e : / l C' ,,,// ,/ ,/ {e , ' , ' (B) (A) (e) Figura 22.33 Solución al "problema de los tres puntos". Método B. Ajuste gráfico de poligonales Este caso ocurre cuando por medio de la plancheta se quiere efectuar una poligonal entre dos estaciones previamente determinadas, tanto en el terreno como en el plano. Sea, por ejemplo, el caso ilustrado en la Figura 22.34. Las dos estaciones de localización determinada son a y z; al efectuar la poligonal, se llegó a un punto z' y no a z, siendo el error de cierre de esta poligonal, en distancia y en ángulo, la cantidad z!(,: El ajuste se lleva a cabo como sigue: se divide la poligonal en un número de segmentos de longitudes aproximadamente iguales (cuatro en este caso); el cierre se divide en igual número de partes iguales al que se dividió la poligonal entera. Por cada uno de los puntos de división de la poligonal se trazan paralelas a y se marcan en cada una de estas paralelas una división en la primera, dos divisiones en la segunda, etc., iguales a las de zZ:, determinándose así los puntos I' II' y III'; por estos puntos se deben ajustar las secciones de poligonal a-I, I-II, II-III y III-z' hasta obtener la poligonal ajustada a I' II' II'z. Esto se consigue calculando separadamente los segmentos originales entre los puntos de ajuste y distribuyendo los errores a ojo en los segmentos intermedios. zz zz 267 TAQUIMETRÍA o - ................_ 111' _.,............ -"~ N350 ,,/,, .,------- 300 ( ~ _./ \, / ' \- ---u - z ,.,V 11 ~y 250 200 150 ,,,,,' 11' o ........... z r .y _/1 , .,Coort1•1tada• ! . Conocido• N o 1, 1.YtJo,oo /lllS100 1 z~º:O r 2 ~ a 100 100 E 150 E 200 E 250E 300E 350E 400E o 450E 500E 550E o Figura 22.34 Ajuste gráfico de poligonales. Ventajas y desventajas de la plancheta 1. Ventqjas: Las principales ventajas en el uso de la plancheta son: a) el relieve y los detalles se pueden representar más fielmente, pues están a la vista del dibujante. b) Se evitan los errores que se pueden cometer al leer, ajustar y computar los ángulos, ,por dibujarse directamente. c) Se evita la omisión de datos. d) El trabajo de oficina se reduce al mínimo. e) Se pueden hacer chequeos directamente. 2. Desventqjas: a) El trabajo de campo se alarga considerablemente. b) Es necesario que haya buen tiempo en la región durante la época del trabajo. c) La plancheta es algo incómoda para transportar. d) El operador debe ser bastante hábil para obtener buenos resultados. CAPÍTULO 23 NOCIONES DE TRAZADO INTRODUCCIÓN 1 tratar lo relacionado con el proyecto y trazado de caminos, carreteras, ferrocarriles, canales, etc., debe aclararse que sólo se considerarán los aspectos geométrico y topográfico de la cuestión, que si bien en muchos casos tienen escaso interés si se les compara con la parte financiera o con los estudios geológicos y de tráfico, son, por otra parte, de capital importancia por la economía que pueden representar en el movimiento de tierras, en las obras de arte dependientes del trazado, en las curvas y pendientes resultantes. Con el propósito de orientar mejor al estudiante y darle una idea más clara del conjunto de operaciones que tienen lugar en el proyecto y trazado de una vía, se ha escogido el caso del proyecto y trazado de una carretera, pues en esencia todos los proyectos y trazados son similares, variando únicamente de acuerdo con las especificaciones propias del tipo de obra por construir. Como ya se expresó, sólo se tendrán en cuenta los aspectos geométrico y topográfico del proyecto, pues lo demás está fuera del alcance de este texto y pertenece a un curso de vías. El estudio que a continuación se inicia puede resumirse en los siguientes pasos fundamentales: Estudios preliminares, para escoger el trazado más favorable. Levantamiento topográfico de la zona escogida. Dibujo del plano acotado. Consideraciones generales y elementos de diseño. Factores geométricos en el diseño de una vía, tanto en planta como en perfil. En esta última parte se incluirán también nociones sobre estabilidad en la marcha, al igual que lo referente a la localización del proyecto en el terreno y al movimiento de tierras. 270 TOPOGRAFÍA ESTUDIOS PRELIMINARES Los estudios para escoger la línea más conveniente se hacen utilizando mapas o planos levantados con anterioridad. De la calidad del mapa que se disponga para este fin dependen la rapidez, comodidad y p1·ecisión de tales estudios. De regiones de las cuales no se tienen mapas, se requiere hacer estos estudios directamente sobre el terreno, necesitándose a veces ejecutar varios trazados preliminares para así obtener los planos sobre los cuales se puedan comparar y escoger el más conveniente. En general, y desde el punto de vista topográfico exclusivamente, estos estudios se realizan teniendo en cuenta dos limitaciones: la pendiente (máxima y mínima) permisible y el paso por los puntos obligados, puntos impuestos por la destinación del proyecto o bien por las condiciones mismas del terreno. Un trazado preliminar se lleva a cabo de la siguiente manera: se hace un reconocimiento de la zona, con ayuda de un guía; en el caso de disponer de helicóptero, éste representa un medio más fácil y rápido para escoger las posibles rutas; luego se efectúa un levantamiento de poca precisión (brújula y nivel de mano) de la zona escogida que contendrá la posible mta, teniendo en cuenta las especificaciones por pendiente. Si son viables varias mtas, se harán los respectivos levantamientos aproximados de cada una de ellas. :Luego de dibujar los planos y de considerar los factores influyentes, se escoge la mta más favorable. Hoy en día los trabajos antes mencionados se simplifican .debido a que se dispone de mapas de la mayor parte del país. Así mismo el empleo de la fotogrametría para hacer los estudios de reconocimiento y trazado preliminar acelera dichos trabajos, con un costo relativamente bajo. Además, el uso combinado de planos fotogra111étricos y computadores electrónicos permite determinar líneas definitivas de óptimas características en cuanto al trazado más económico y las mejores especificaciones. LEVANTAMIENTO TOPOGRÁFICO DE LA ZONA ESCOGIDA Una vez determipada la ruta que hay que seguir, se procede al trazado de la poligonal principal.· Este trazado se hace empleando instrumentos de precisión (tránsito, cintas metálicas o estadia de invar) y cadeneros expertos; se deben colocar estacas cada 10 o 20 m, que estarán numeradas de acuerdo con un orden establecido previamente; cada estaca tendrá una abscisa cuyo origen será el mismo de la poligonal, o sea la primera estaca. NOCIONES DE TRAZADO 271 Puesto que en este caso se trata de una poligonal abierta, se debe poner especial cuidado en la determinación de los azimutes de los alineamientos, comprobando dichos azimutes por determinaciones por sol, tanto al iniciar como al finalizar la poligonal. También se deben comprobar las distancias entre las estaciones, tomando los datos necesarios para computar dichas distancias taquimétricamente, evitando así las. posibles equivocaciones en la medición de las longitudes. En estas comprobaciones es de gran utilidad el GPS (capítulo 31). A continuación, con nivel y miras de precisión, se nivelan todas las estaciones y estacas intermedias de la poligonal. Se debe procurar cerrar dicha nivelación, o sea partir de un punto de cota conocida y terminar en otro punto de cota conocida. Igualmente, hay que contranivelar para evitar equivocaciones en la determinación de las cotas de puntos intermedios. El levantamiento topográfico de la zona a lado y lado de la poligonal principal se lleva a cabo de acuerdo con lo explicado ya en la página 217. DIBUJO DEL PLANO ACOTADO Una vez que se han calculado las coordenadas de la poligonal principal, se dibuja ésta y luego las curvas de nivel (Figura 23.1). Actualmente la forma más recomendable para hacer los planos es usando el programa autocad para que el computador realice el dibujo, incluso utilizando varios colores. Se deben sacar copias heliográficas del plano topográfico para, sobre éstas, hacer todos los tanteos necesarios para proyectar, y solamente cuando se haya definido la línea de proyecto se dibujará ésta sobre la plancha .original. Como detalles para el dibujo se insiste sobre los siguientes aspectos: Las curvas de nivel se dibujan con línea fina. La poligonal (o preliminar, como la llaman más comúnmente) también va en línea delgada. La línea definitiva de proyecto se dibuja más gmesa (hasta hace algunos años se dibujaba en tinta roja, por lo cual se llamaba "línea roja"). Las tangentes y radios se dibujan a trazos. Los PC, PT y PI de las curvas se destacan con pequeños círculos, indicando, , además, su abscisa. Los caminos y vías existentes se dibujan a trazos. ro ~ o 8 llJ o 8 "'llJ ~ TOPOGRAFÍA PROYECTO DE o o o "'~ y CARRETERA o o o "' ~ N llJ :z LÍNEA fil "' llJ NEGRA o o o o "'"'llJ ;z "' ~ Le'.VANT6 /:JI' (, ~T.N. , TRAMO: t<O•OOm o ....o llJ FECHA DIBUJO a I< O• 840m ;,:.,e M 1 ,,.,_ /63 "é} .,, o G) :n ., )> Figura 23.1 Plano topográfico de la zona levantada. )> 273 NOCIONES DE TRAZADO N-100 o !;¡/ liJ o ¡;¡%1N liJ o o ~ ~ o o ;;;; Ese, 1 : 1500 $:r o o liJ Figura 23.2 Trazado de la "línea de ceros". CONSIDERACIONES GENERALES Y ELEMENTOS DE DISEÑO EN PLANTA Sobre el plano topográfico lo primero que debe trazarse es la denominada "línea de ceros", que es la línea que, pasando por los puntos obligados del proyecto, conserva la "pendiente media". Así pues, si la pendiente media especificada para trazar una vía entre los puntos A y B (Figura 23.2) es, por ejemplo, del 6%, se calculará en qué distancia horizontal, manteniendo el 6% de pendiente, se pasará de una curva de nivel a otra. En el presente ejemplo, las curvas de nivel están cada 2 m de distancia vertical; resulta, pues, una distancia horizontal de 33,33 m. Con un compás de puntas secas se toma a la escala correspondiente una abertura de 33,33 m; partiendo de A se van cortando curvas de nivel, hasta llegar a B. La unión de los puntos donde se han cortado las curvas de nivel produce una poligonal entre A y B cuya pendiente es del 6% en toda su extensión. Esta es la "línea de ceros". El eje de la vía, una sucesión de tramos rectos empalmados entre sí por curvas, se proyectará teniendo en cuenta la línea de ceros, que es una buena guía, y observando las demás especificaciones del proyecto (pendiente 274 TOPOGRAFÍA máxima, radio mínimo en las curvas, y todas las otras de las cuales se adquirirá completo conocimiento en un curso de vías. · Cuando el terreno no es muy pendiente debe procurarse que la línea de proyecto coincida con la línea de ceros; cuando sea necesario apartarse de ésta hacia un lado, se tratará de apartarse luego hacia el otro, logrando así que el material que en un caso se corta su-va en el otro para rellenar (Figura 23.3). Eje del proyecto ! ¡ / y línea de ceros i i i i Figura 23.3 Línea de proyecto y línea de ceros coincidiendo. Cuando la pendiente del terreno es fuerte, debe procurarse que la línea .de proyecto vaya más arriba de la línea de ceros, puesto que es más económico cortar terreno y botar la tierra, que efectuar un relleno difícil por lo inclinado del terreno, según puede apreciarse en las secciones transversales mostradas (figuras 23.4 y 23.5). 1 i j/ Eje del proyecto i Linea de ceros Figura 23.4 Línea de proyecto arriba de la línea de ceros. 275 NOCIONES DE TRAZADO ¡--- Eje del proyecto i i i i i i ! Linea de ceros RELLENO (difícil) Figura 23.5 Relleno difícil por mal proyecto. Cuando el terreno es más o menos plano, hay que procurar que los tramos en corte sean aproximadamente iguales a los de relleno, para que los volúmenes de tierra que es necesario mover se puedan compensar, evitándose así el acarreo de material a grandes distancias. Si el terreno es extremadamente plano (Figura 23.6), se debe sacar material de lado y lado para elevar la banca y producir condiciones favorables de drenaje. Berma Figura 23.6 Sección transversal en terreno plano. Hay paquetes de programas (soft1vare) que permiten tener la topografía del terreno en la memoria del computador, el cual hace sobre esa topografía diversos trazados de la vía, siguiendo las especificaciones que se le den, para que el ingeniero escoja el más conveniente. CAPÍTULO 24 FACTORES GEOMÉTRICOS EN EL .DISEÑO DE UNA VíA CURVAS a planta de una vía está formada por tramos rectos empalmados entre sí por curvas. En perfil, la vía está compuesta por tramos de pendientes diferentes, que se unen entre sí por cui-vas. A continuación se expondrán las curvas más ampliamente usadas y los elementos componentes de dichas curvas. Curvas circulares Éstas se clasifican en cui-vas circulares simples, compuestas y reversas. Curvas circulares simples Así se denomina el arco de círculo simple que empalma dos tangentes (Figura 24.1). o Figura 24.1 Curva circular simple. 278 TOPOGRAFIA Definiciones 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Radio de la curva: OA = OB = R Angulo al centro = Ll Cuerda ptincipal = AB = C Tangente = AV = VB = T Externa= CV = E Flecha = CP = F El punto A donde comienza la cui-va se denomina punto de cui-vaturn o PC. El punto B donde finaliza la cui-va se denomina punto de tangencia o PT. 9. El punto V de intersección de las dos tangentes se denomina véttice o PI. 10. Grndo de la cui-va, G, es. el ángulo al centto conespondiente a una cuerda tomada como unidad. La cuerda unitatia se denomina con una e y generalmente su valor es de 10 m (Figurn 24.2). 11. Angulo .de deflexión, d, de una cuerda, e, es el que forma dicha cuerda con la tangente ti-azada a la curva en el punto de tangencia (Figura 24.2). o Figura 24.2 Cuerda unitaria de 1O m. De las figuras 24.1 y 24.2, teniendo en cuenta el valor 1O m, pata la cuerda unitatia, y aplicando elementales conocimientos de geometría y trigonometría planas, se deducen las siguientes expresiones de las partes que componen las curvas circulares simples: 279 FACTORES GEOMÉTRICOS EN EL DISEÑO DE UNA VIA 5 G=2ArcsenR C =2 R sen l.2 .6. T=Rtg½.6. (1) (2) (3) E = R ( sec ½.6. - 1) (4) F = R (1 - (5) cos ½.6.) L=.6./Gx10 (6) El radio se escoge por tanteos (teniendo en cuenta las especificaciones). Por la fórmula (3) se calcula T; se mide el valor calculado de T a partir del PI, localizándose así el PC y el PT. Levantando perpendiculares en dichos puntos se hallará el centro de la curva. Se calcula con la ecuación (1) el grado, aproximando su valor al múltiplo más cercano de 4, con el fin de facilitar las operaciones de localización, como se verá más adelante. En seguida se recalcula el valor de R a partir del dato de G aproximado; este valor del radio es el que se anotará en el plano, no siendo necesario variar el radio en el dibujo. Con este valor de R se cal.culan T y los demás elementos. Curvas circulares compuestas Están formadas por dos o más curvas circulares simples de radios diferentes. Se emplean principalmente con el fin de lograr que el eje de la vía se ajuste lo más posible al teneno; tiene notables ventajas cuando el trazado se desarrolla en terrenos montañosos, pues en algunos casos se hace necesario utilizar dos, tres o más curvas simples de radio diferente. El punto de tangencia entre las curvas simples se suele llamar "punto de curvatura compuesta" (PCC). Cuando las dos curvas tienen sus centros en lados opuestos a la tangente común, se denomina curva reversa (de relativamente poco uso). En la Figura 24.3 se muestra una curva circular compuesta, formada por dos curvas circulares simples AC y CB, en que el PT de la primera coincide con el PC de la segunda. En la Figura 24.4 se muestra una curva idéntica a la anterior, únicamente girada 180°. 280 TOPOGRAFIA o R 90º 1 A 1 1 1 te---------- X1 - - - - - - - - - - • , Figura 24.3 Curva circular compuesta. ---------------,----------61 'l 1 1 1 1 1 1 1 Figura 24.4 Curva circular compuesta (girada 180°). 281 FACTORES GEOMÉTRICOS EN EL DISEÑO DE UNA VIA Para la curva AC llamaremos: radio = OA = OC = tangente ángulo al centro R T1 AV 1 i>¡ De manera similar para la curva CB: r T, ◊ 1- radio CV 2 = tangente ángulo al centro Se tiene que: Además definiremos: Xl' Y 1: X 2, Y2 : AV VB coordenadas del punto B (Figura 24.3) con respecto al origen A, siendo A V el eje X. coordenadas del punto A (Figura 24.4) con respecto al origen B y en el cual BV es el eje X. tangente mayor tangente menor A continuación se deducen las ecuaciones que ligan entre sí los elementos de las dos curvas que forman la curva circular compuesta: En la Figura 24.3 se tiene que: X 1 = R sen 3 + r cos (90 11) - r cos (90 - 3) de donde: X 1 = r sen 11 + (R - r) sen 3 (1) por otra parte: Y 1 = R- R cos 3 + r cos 3 - r cos /1 luego: Y1 = R - r cos /1 - (R - r) cos 3 También, como sen /1 = Y1 t2 se tiene que: Y 1 = t2 sen 11 (2) (2') 282 TOPOGRAFÍA llevando este valor de Y 1 a la ecuación (2): = tz R - r cos Ll -(R - r) cos o (1) sen Ll Empleando un razonamiento similar en la Figura 24.4 se obtiene: X2 = R sen Ll - (R- r) sen 01 (3) Y2 = r - R cos Ll + (R- r) cos 01 (4) Y2 = t 1 sen Ll t¡ = r - R cos Ll + (R - r) cos o1 senil (II) De la ecuación (I) se tiene: o+ r cos o R cos o + r cos o r - R cos o + r cos o t2 sen Ll = R - r cos Ll - R cos t2 sen Ll +r cos Ll = R - t2 sen Ll - r + r cos Ll = R - t2 sen Ll - r + r cos Ll = (R - r) (1 - cos o) senvers O= t 2 sen Ll - r senvers Ll R-r (III) De la ecuación (II) se tiene: ·s:: senvers u 1 _ - R senvers Ll - t 1 sen Ll R-r (IV) De la ecuación (1) y tomando en cuenta que X 1 = t 1 + t2 cos Ll se tiene que: s:: sen u= X 1 -r sen Ll R-r de donde: s:: sen u= t 1 + t 2 cos Ll - r sen Ll R-r (V) 283 FACTORES GEOMÉTRICOS EN EL DISEÑO DE UNA VIA De la ecuación (3) y considerando que X 2 = t 2 + t 1 cos Li se tiene que: s:: sen u 1 =· R sen Li-Xo R-r - de donde: s:: sen u 1 Sabiendo que sen vers 8 sen 8 obtiene que: = R sen Li - s:: cos Li (VI) R-r = tg l.2 8 1 tg-u = 2 t2 - t1 dividiendo la ecuación (III) por la M se ' Li - r senvers Li t 1 +t 2 cos Li-r sen Li t 0 sen - (VII) de manera similar se obtiene: R senvers Li - t 1 sen Li 1 s:: tg-:,u 1 = R sen Li - t 1 cos Li - t 2 De la ecuación (2) Y1 = R - r cos Li - cos 8 (R - r) ·se tiene: Y 1 = R - R cos 8 - r cos Li + r cos 8 Y 1 = R (1 - cos 8) - r (cos Li - cos 8) Y 1 = R (1 - cos 8) - r [cos Li - cos 8 + 1 - 1] Y1 = R (1 - cos 8) - r (1 - cos 8) - r (cos Li - 1) y despejando el valor de R: R r (1-cos 8)+ Y1 -r+r cos Li = ---'----'------1- cos 8 R Y -r+r cos Li = r +---'-1- - - - 1- cos 8 Y1 - r senvers Li R=r+ -----senvers 8 (VIII) 284 TOPOGRAFÍA Por otra parte, sabemos que Y 1 = t2 sen ~, ecuación (2'); por tanto: R t? sen ~- r senvers ~ =r+~-=-------senvers o (IX) De la ecuación (4), y por procedimiento similar al anterior, se obtiene la expresión: r = R- R senvers ~-t 1 sen~ senvers o (X) 1 Como se ha podido obse1-var, hay siete elementos en las curvas circulares compuestas, a saber: Se sabe además que en todos los casos se curr;i.ple: Cuando se conocen cuatro de los elementos enumerados (es indispensable conocer o asumir el valor de uno de los ángulos), se pueden determinar los tres elementos restantes, empleando una de las ecuaciones I a X, según el caso. NOCIONES DE ESTABILIDAD EN LA MARCHA En esta breve noción sobre estabilidad en la marcha se tratarán los siguientes puntos: a) Compensación de la fuerza centrífuga en las curvas: peralte, radio mínimo. b) Condiciones de equilibrio: deslizamiento, volcamiento. c) Cu1-vas de transición. Peralte Consiste en elevar en- las curvas el borde exterior de la vía en una cantidad p, que permita que un componente del peso del vehículo se oponga a la fuerza centrífuga (F J. 285 --------------------- FACTORES GEOMÉTRICOS EN EL DISEÑO DE UNA VIA El peralte puede expresarse en valor absoluto, en tanto por uno, o simplemente por el ángulo a. (Figura 24.5). ,r a Figura 24.5 Descomposición del peso del vehículo. Fuerza centrífuga. Se tiene que: v a p g a i AB h velocidad del vehículo ancho de la vía peralte gravedad ángulo de inclinación de la superficie de la vía tg a = pendiente transversal en tanto por uno b = ancho del vehículo altura del centro de gravedad del vehículo Condiciones de equilibrio Deslizamiento: en la Figura 24.5 se puede apreciar que el peso P del vehículo se descompone en: P cos a: normal a la calzada P sen a: paralelo a la calzada Además, Fe se descompone igualmente en: Fe sen a: normal a la calzada Fe cos a: paralelo a la calzada. Habrá equilibrio cuando: Fe · cos a= P sen a+ µ, (Fe sen a+ P cos a) en que µ, = coeficiente de roce transversal. 286 TOPOGRAFÍA P v2 F =-e gR De lo anterior se deduce que: 2 tga.= V -g R µ~ gR+µt -v- (1) De esta expresión se obtienen: 2 R= V (1-µt tga.) (2) g(tga.+µt) V= gR(tga.+µt) 1-µt · tg a (3) Vo!ca11Jie11to: en la Figura 24.5, tomando momentos con respecto al punto A, se obtienen las expresiones siguientes: tg a,= 2V 2 h-gRb o 2g R h+v- b (4) 2 V (2h-btga.) R=-~------'g (2 h · tg a+ b) V= g R (2h tg a + b) (5) (6) 2 h-b·tg a, En las anteriores fórmulas debe tenerse en cuenta que la velocidad está expresada en m/seg, R, b, h en metros y g = 9,8 m/seg2. Curvas de transición Son curvas que permiten un cambio gradual en el paso del alineamiento recto al circular y tienen su mayor importancia en .las vías férreas de alta velocidad. En el diseño de carreteras producen notable aumento en la seguridad a gran velocidad, reduciendo la tendencia a desviarse de la línea de circulación. 287 FACTORES GEOMÉTRICOS EN EL DISEl'IO DE UNA VIA Cuando se pasa de un alineamiento recto a una curva circular, la fuerza centrífuga aparece bruscamente, haciendo que el vehículo se desvíe de su trayectoria. Longitud de la curva de transición La fuerza centrífuga varía desde un valor cero en el alineamiento recto hasta un valor V 2/R, para la unidad de masa, en la curva circular de radio R. Para evitar que este cambio en la fuerza centrífuga ocurra bmscamente, se introduce la curva de transición (de longitud L) de manera que la fuerza centrífuga crezca en forma paulatina en .este trayecto; simultáneamente se va levantando el borde exterior de la vía con el objeto de producir el peralte adecuado. El vehículo recorre la curva de transición en un tiempo t = L/V. Siendo esto así, se tiene que el incremento de Fe por unidad de tiempo será: 3 V - Fe -- Jt LR Así pues, la longitud de transición estará dada por la expresión: L = V 3 /JR Los valores de J más empleados son 0,305 m/ seg3 para curvas de ferrocarriles y 0,61 y 0,915 en carreteras. p = peralte Figura 24.6 Compensación de la fuerza centrífuga por peralte variable. Otro criterio para establecer la longitud de transición consiste en introducir una pendiente longitudinal en el borde exterior de la vía, hasta obtener que en la curva circular se produzca un componente del peso del velúculo que contrarreste la fuerza centrífuga. Dicha pendiente debe estar comprendida 288 TOPOGRAFIA entre 1. y 2%, según la clase de terreno. De acuerdo con esto se tendrá que, llamando i = pendiente longitudinal: L = P/i D ------x------Figura 24.7 Curva de transición. Nomenclatura y fórmulas de la curva de transición (Figura 24. 7) TE EC CE ET L R p ¡ Li <I> punto de unión de la tangente con la curva de transición punto de unión de la curva de.transición con la curva circular punto de unión de la curva circular con la curva de transición punto de unión de la curva de transición con la tangente longitud total de transición radio de la curva circular radio (variable) de la curva de transición longitud parcial de la curva de transición hasta un punto cualquiera. ángulo al centro de la curva total ángulo al :centro de la curva de transición 289 FACTORES GEOMÉTRICOS EN EL DISEriJO DE UNA VfA cp Tl'T 2 e= A. D,D' Ec = ángulo al centro de la curva de transición, coi-respondiente a una longitud / longitudes de las tangentes longitud de la cuerda principal ángulos de deflexión de la cuerda principal La siguiente es la ecuación general de la curva de transición (tomando como origen de coordenadas el TE), (Figura 24.7): (1) <P=~ 2R cp D=3 (2) D'= 3_ <I> (3) 3 T1 =X - Y cotg <P (4) = Y cosec <I> (5) T2 NOTA: Debe aclararse que en este caso las fórmulas y propiedades en que éstas se basan se refieren a una parábola cúbica. Existen otras curvas que se adoptan también para las transiciones, tales como la lemniscata de Bernoulli, la espital de Seatles, etcétera. PERFIL LONGITUDINAL DE LA VíA Simultáneamente con el diseño en planta de la vía (línea roja) se debe dibujar el correspondiente perfil, para tener en cuenta las especificaciones respecto a la pendiente, cortes y rellenos. Cuando se proyecta en media ladera, es conveniente dibujar el perfil del borde exterior de la vía ("media banca") con el objeto de apreciar un cambio demasiado brusco en la sección transversal, el cual implicaría un relleno excesivo o una "obra de arte" costosa. El dibujo se hace generalmente sobre papel milimetrado, localizando el perfil del terreno por donde pasa la línea roja (Figura 24.8). El perfil del terreno se dibuja en negro; las cotas de puntos sobre el terreno se denominan "cotas negras" y se calculan por interpolación. Las cotas 290 TOPOGRAFÍA sobre la línea de proyecto se denominan "cotas rojas" y se calculan de acuerdo con la pendiente y la distancia horizontal. Cuando al dibujar el perfil de la línea roja se ve que ésta no cumple las especificaciones de pendiente, corte y relleno, es necesario desechar dicha línea y, volviendo a la planta, proyectar una nueva línea roja. Curvas verticales Son las empleadas para empalmar tramos de pendientes diferentes, produciendo efectos de visibilidad y seguridad en la marcha. Visibilidad en las curvas verticales Para que exista una adecuada visibilidad, es necesario que el ángulo entre las rasantes (a) no exceda de cierto valor. El mencionado ángulo impone el empleo de curvas que las empalmen para obtener las condiciones de visibilidad y de estabilidad de la marcha (Figura 24.9). En la Figura 24.9 llamaremos: dv = AB = Se tiene que: distancia de visib.i).idad, que es la distancia necesaria para que el vehículo alcance a efectuar una maniobra cuando divisa un vehículo u obstáculo en sentido contrario y por su línea de circulación. altura de la vista del conductor. altura del obstáculo. . h1 h1 dv = AO + OB; AO=--""-; sen <p <p OB = h2 sen (a - <p) "" h2 (a - <p) (1) A cada valor de <p corresponde una posición del vehículo y del obstáculo, lo mismo que una distancia AB, cuyo mínimo coincidirá con la situación más desfavorable. Derivando e igualando a cero la expresión (1) se tiene: (2) [ :o m rn :;;; z -~ ~ 1¡; ...1 w ABSCISAS COTA NEGRA COTA ROJA CORTE RELLENO PENDIENTE- 1719v 1718 1717 1716 1715 1714 1713 ......... 1712 1711 ---"--- \. 1710 \ 1709 1708 1707 1706 1705 1704 1703 1702 1701 1700 1699 K2+600 G) m o s:: 5 o rn I m z ( / ~ ~ - 1/ ,-- '\. e \ ' '' + 720 / / r--... ,o\a ¡....---:--, ,t. m r· ..--r o¡¡; ) m Z• V-- .ocN)O~ o CJ m e z PT __.:;--- -·· :,, '' '' ' '' ' < ► '' '' ' '' ' '' ' '' ' '' '' + 680 / ,~.,ad"~ I : i + 640 - ~r"'\.. / ~ '' ' '' ' '' '' ' ' ''' '' ' + 760 + 800 + 840 + SBDm H '' : ' '' -2.36% (Curva a la liqulerda) ALINEAMIENTO !!l" :o ESCALAS H: 1: 1500 V: 1: 150 pe Figura 24.8 Perfil longitudinal y línea roja. ;J, R, L, T, G PT .,,,,. PC ;J, R, L, T, G PT (CUrva a la derecha) 1\) (O ...,, 292 TOPOGRAFIA Eliminando a <p entre (1) y (2) se obtiene: a.= h 1 +h 2 + 2 ~ (3) dv La expresión (3) da el valor máximo admisible de a. para que en la posición más desfavorable se produzca una dv necesaria. Cuando h 1 = h 2 se tiene: 4h (4) a.=dv B Figura 24.9 Visibilidad en las curvas verticales. Curva. vertical más conveniente Se escoge para este efecto una parábola de segundo grado. Debido al pequeño ángulo entre las rasantes, la curva puede asimilarse sin error apreciable a una circunferencia. Por esta razón, es conveniente determinar las condiciones de visibilidad como si se tratara de una ctí1-va circular. El replanteo se hace más sencillo siguiendo la ecuación de la parábola, pues una vez determinado R, se hallan las constantes de la parábola (longitud y flecha), con lo cual es fácil obtener las coordenadas. Como es necesario calcular el radio de la cU1-va circular, hay que considerar los dos casos siguientes por aparte: a) dv < L (cuando la distancia de visibilidad es menor que la longitud de la cU1-va) b) dv > L (cuando la distancia de visibilidad es mayor que la longitud de la cU1-va). 293 FACTORES GEOMÉTRICOS EN EL DISEÑO DE UNA VIA dv Para el primer caso se obtiene: R= 2 2 h1+h2+2M . Para el segundo caso: R Para ambos casos: L = R 2dv 2 ( = ~ - r/ a h1 +h2 ~) + 2 '\Í h 1 h 2 CAPÍTUL025 LOCALIZACIÓN DEL, PROYECTO EN EL TERRENO LOCALIZACIÓN DE LOS ALINEAMIENTOS RECTOS res puntos son suficientes para localizar, y verificar a la vez, un alineamiento recto. A partir de la poligonal se toman distancias (Figura 25.1) di' d2 y d3, las cuales. se han medido sobre la planta. Por medio de dos distancias,· d 1 y d2, por ejemplo, se determina el alineamiento; la ot;ra distancia, d 2, sirve de comprobación. 4 Figura 25.1 Localización de los alineamientos rectos. REPLANTEO DE LAS CURVAS CIRCULARES Lo primero que hay que localizar en el terreno es el PI, o sea el punto de intersección de dos alineamientos rectos. Para esto se hace lo que ya se estudió (página 98) para encontrar, por medio del tránsito, la intersección de dos rectas. Luego se centra y nivela el aparato en el PI, y se mide el ángulo Li; este valor de Li no es idéntico al Li del proyecto. Así pues, la longitud de la cUi'va se obtendrá L = Li (medido) X cuerda unitaria. G (del proyecto) 296 TOPOGRAFÍA Como se puede conocer la longitud de la tangente T, se localizan los puntos PC y PT los cuales se marcan con una estaca con tachuela. Replanteo por el método de las deflexiones Se presentan dos casos: a) Cuando la abscisa del PC es múltiplo exacto de 10 m (Figura 25.2): sea, por ejemplo, / = 10 m. Se centra y nivela el teodolito en el PC; a partir del alineamiento PC - PI se marca un ángulo horizontal igual a G/2 (puesto que se sabe por geometría que el ángulo seminscrito es igual a la mitad del ángulo al centro). Se miden 10 m a partir de la estaca del PC sobre la visual y se coloca una estaca. Luego, marcando un ángulo horizontal de 2G/2 (basado en el mismo teorema de geometría) se miden 10 m a partir de la estaca que· se acaba de clavar hasta la visual. En seguida, y con un ángulo de 3G/2, se miden, a partir de la última estaca, colocada .a 10 m, y se pone allí otra estaca. Así se continúa, añadiendo G/2 a cada nuevo ángulo. Hablando de G calculado para cuerda de 10 m, el Ministerio de Transporte recomienda utilizar cuerda unitaria de 1O m. PI Figura 25.2 Replanteo de una curva. En caso de que se tratare de cuerda de 1O m, se supone que. el grado es G 2/2 y, si la cuerda es de 5 m, que el grado es G 2/ 4. Luego para deflectar una curva con cuerda de 10 m, los ángulos de deflexión serán: G/4, 2 G/4, 3 G/4, 4 G/4, 5 G/4, etcétera. Y si la cuerda es de 5 m, G/8, 2 G/8, 3 G/8, 4 G/8, 5 G/8, etcétera. .,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . _,. __ ~-- LOCALIZACIÓN DEL PROYECTO EN EL TERRENO b) Cttando el PC no está sobre ttna estaca ctrya abscisa sea ,míltiplo exacto del lado I del polígono inscrito, entonces la primera estaca se coloca a una distancia que sea la diferencia al último má~ cercano de l. Si I = 20 m y la abscisa del PC es, por ejemplo, K 1 + 132, la primera estaca deberá colocarse a 8 m del PC (abscisa K 1 + 140) y a partir de ésta se continuará estacando cada 1O m. Hay que calcular el ángulo de de flexión correspondiente a una distancia inicial a partir del punto PC de 8 m. Por regla de tres: Si a 10 m corresponde un ángulo G/2 a 8 m corresponderá 8 10 'Y G y=-X.- 2 Generalizando, para una distancia d, se tendrá: 'Y= d/10 x G/2. Así pu~s, bajo un ángulo 'Y y a una distancia d se clava la primera estaca de la curva. En seguida, a 1O m de. esta última estaca y con un ángulo de deflexión igual a 'Y + G/2 se coloca la siguiente estaca. Se continúa estacando cada 10 m, con ángulos de deflexión que serán sucesivamente: 2G '\l'+1 2 ' 3G '\/'+¡ 2 ' 4G 'V+¡ 2 ' etcétera CASOS ESPECIALES Cuando el PI es un punto inaccesible Se procede como sigue: Sobre el primer alineamiento se escoge un punto A y sobre el segundo, un punto B (Figura 25.3). Por medio del tránsito se miden los ángulos a y ~' y la distancia AB .. Se calculan las longitudes A · PI y B · PI (por relación de senos). Luego se calculan A · PC y B · PT por diferencia al valor de T. A partir de A se mide la distancia A · PC, con lo cual queda localizado el PC. A partir de B se mide la distancia B · PT, con lo cual queda localizado el PT. TOPOGRAFÍA PI ,,, \ I ,/ \ \ I Figura 25.3 Rep.lanteo de una curva cuando el PI es inaccesible. Cuando el PI y el Pe son inaccesibles Se escogen sobre. las tangentes dos puntos como A y C (Figura 25.4). Se miden los ángulos a, ~ y la distancia AC. Se tendrá que PC · A = T - A · PI sen~ pero A · PI = AC - sen y PC·A además sen 0 = --R Figura 25.4 Replanteo de una curva cuando el PI y el Pe:: son inaccesibles. 299 LOCALIZACIÓN DEL PROYECTO EN EL TERRENO Por el punto A se levanta AA' perpendicular a •A · PI, siendo: AA' = R (1 - cos 0). Sobre una paralela a PI · A, trazada por A' se mide A'B' '= AB = 2 A · PC = 2 R sen 0, localizándose así el punto B'. En B' se mide, perp,endicular a B'A', la distancia BB' = AA', determinándose el punto B sobre la 'tangente. La direcció~ de la tangent~ en A' se halla dando .vista atrás a B', transitando y marcando un ángulo cuyo valor sea 0. Se deflecta a continuación una curva. circular cuyo ángulo al centro es L1 - 0, hasta llegar finalmente al PT. Cuando el PT es inaccesible Se localiza normalmente la curva hasta el punto X (último accesible), al cual corresponde un ángulo al centro CX. (Figura 25.5). Figura 25.5 Replanteo de una curva cuando el PT es inaccesible. El ángulo al centro correspondiente al arco que falta por localizar valdrá: - Se calcula el valor XA: XA = R sen p 300 TOPOGRAFIA Se calcula el valor LX': P) XX' = R (1 - cos Sobre la línea XA se mide un valor igual a 2 XA = 2 R sen p, con lo cual queda localizado el punto q. Se levanta qq' = XX', perpendicular a X q, con lo. cual se localiza el punto q sobre la tangente. Localización de un punto cualquiera a partir del PI Se trata de localizar (Figura 25.6) el punto cualquiera P, sobre la curva, a partir del PI. El punto P qudará determinado si se conocen: el ángulo a la distancia PI · P Figura 25.6 Localización a partir del PI. · · Según la Figura 25.6 se tiene: MP tga=-PI.M Q.PC tga=-....;;... __ T-PC.M tga= R (1 - cos 0) R tg ½L1 - R sen 0 301 LOCALIZACIÓN DEL PROYECTO EN-.EL TERRENO De donde: 1-cos 0 tga=-----tg ½Ll-sen 0 (1) Llamando arco PC · P = 1 se puede escribir: G 0 - =10 1 de donde: R (1-cos 0) sen a=--=----------'--· PI.P PI. p ' 0= G.l 10 de donde: R (1 - cos 0) T -R sen 0 = --'--------'=----sen a (2) cosa (3) Las dos igualdades de la ecuación 3 son equivalentes, como puede demostrarse fácilmente; por tanto, se puede calcular PI · P por cualquiera de ellas. Cuando debido a obstáculos no son visibles todos los puntos de la curva desde el PC Figura 25.7 Todos los puntos de la curva no son visibles desde el pe; empleo de una estación intermedia. 302 TOPOGRAFÍA Sea el caso ilustrado en la Figura 25.7, en la cual el punto 4 ya no es visible desde el PC; supóngase que el punto 1 se deterrrúnó a partir de un ángulo de deflexión y; según esto, el ángulo de deflexión correspondiente al punto 3 será: 2G y+2 El ángulo PI - PC-3 es igual al ángulo PC-4-3 puesto que, siendo el primero seminscrito y el segundo inscrito, son ambos iguales a la mitad del arco comprendido. Se procede coi.no sigue: con el aparato en la última estaca visible (punto 3) se da vista al PC, se transita y se gira un ángulo igual a y+ 2G/2 + G/2 = y+ 3G/2 (Figura 25.7); se miden 10 m a partir del punto 3 y se localiza el punto 4. Luego se va agregando G/2 hasta llegar al PT. Figura 25.8 Todos los puntos de la curva no son visibles desde el Pe; empleo de dos o más estaciones intermedias. LOCALIZACIÓN DEL PROYECTO EN EL TERRENO 303 Si antes de llegar al PT se presenta otro obstáculo que hace invisibles los puntos siguientes y, si además, desde la última estaca visible no se puede observar el PC para emplear el método que se acaba de explicar, se procede como sig,ue: Sea el ejemplo mostrado. en la Figura 25.8; con el aparato cólocado en el punto 4 fue posible localizar los puntos 5, 6, 7 y 8; el punto 9 no es visible desde el 4, y desde el punto 8 no es visible el PC. Se centra en 8 el aparato; se da vista a 4, se transita y se deflecta un ángulo igual a G/2 + 4 G/2 = 5 G/2 (Figura 25.8). Como puede apreciarse: en que 9: estación que se va a colocar 4: última estación en que estuvo el teodolito. REPLANTEO POR EL MÉTODO DE ORDENADAS SOBRE LA TANGENTE La curva se refiere a las dos tangentes T 1 y T 2 y a las normales respectivas sobre el PC y el PT. Figura 25.9 Replanteo por el método de ordenadas sobre la tangente. 304 TOPOGRAFÍA De la Figura 25.9: llamando P 1P = y, se tiene: y=PC·O-POO y=R- ✓R 2 -x 2 (1) (2) La fórmula (2) se puede tabular para radio = 1,0 (ver tabla en el ejemplo). Así, para obtener X y Y para cualquier otro radio (R), se multiplicarán los valores de la tabla por el radio R. Tabulando la fórmula (2) para valores de X entre 0,1 y 0,9, se obtiene: y X 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,0005 0,0202 0,0460 0,0834 0,1339 0,2000 0,2858 0,4000 0,5641 Para una curva de radio 180 m, los valores correspondientes serían: y X 0,90 3,64 8,28 15,01 24,10 36,00 51,44 72,00 101,54 18 36 54 72 90 108 126 144 162 Comprobación para X R 72 180 305 LOCALIZACIÓN DEL PROYECTO EN EL TERRENO aplicando la fórmula (1) ✓2 - ,2 Y= 180-180 -72 Y= 15,01 m REPLANTEO POR EL MÉTODO DE ORDENADAS SOBRE LA CUERDA PRINCIPAL En este método el punto N se toma como origen de coordenadas. Las abscisas se fijan sobre la línea PC - PT, que es la· cuerda principal. En la Figura 25.10 se tiene: y TU y US - ST h h R (1 - cos 11/2), (flecha) US = MN Los valores ST son las ordenadas sobre la tangente, para el ángulo al centro 11/2, y se determinan según lo visto en el método anterior. PI Figura 25.10 Replanteo por el método de ordenadas sobre la cuerda principal. CIERRE DE UNA CURVA EN ÁNGULO y EN LADO El ángulo PI-PC-PT debe ser igual a 11/2; la diferencia que pueda existir se llama cierre de la curva en ángulo y es admisible un cierre hasta de tres minutos. 306 TOPOGRAFÍA De acuerdo con el número de veces que se pueda inscribir el lado del polígono, /, y contabilizando la fracción, se calcula la longitud de la curva; la diferencia entre este valor y el calculado analíticamente se denomina cierre en longitud de la curva; se admiten cierres hasta de 1O cm en curvas pequeñas y hasta de 20 cm en curvas mayores. Estas especificaciones son apenas indicativas de las magnitudes de error admitidas; cada proyecto tendrá sus propias especificaciones, de acuerdo con la precisión requerida. REPLANTEO DE CURVAS VERTICALES La ecuación de la parábola referida a una tangente, como eje X, y a la vertical, que tomaremos como paralela al eje de la parábola, es (Figura 25.11): Y= aX2 p ~.,..X y Figura 25.11 Replanteo de curvas verticales. Por conocidas pr?piedades de la parábola puede escribirse que: BE ED AD DC Se acostumbra tomar por longitud de la curva el valor AC = L. 307 LOCALIZACIÓN DEL PROYECTO EN EL TERRENO El triángulo ABD es semejante al AFC, luego: Luego = 1/2 BD pero: FG = L 2 i1 y GC = - L . 2 ·tz (FG + GC) en que i1 e i2 son las pendientes de las rasantes. Llamándose BD = 2 f se tendrá: (1) Basados en otra propiedad de la parábola que se expresa: y f xz a 2 = AB 2 = (L/2)2 Se tiene: (2) Por medio de estas dos ecuaciones (1) y (2) puede localizarse una curva vertical. Ejemplo (ver figura 25.12): f =(i1-i2)L 8 f=[0,04-(-0,06)] 2 ~º = = 0,1 X200 = 20 = 2 50 m 8 8 ' 2 Y1 =4x2,50 ( - 25 ) 200 =0,156m 308 TOPOGRAFÍA 2 Y?= 4x2,50 ( - 50 ) = 0,625 m 200 2 Y3 = 4X2,50 ( - 75 ) =1,406 m 200 Y4 = f= 4X2,50 ( -100) = 2,50 m 200 Figura 25.12 Cálculo de una curva vertical. Las ordenadas a la derecha del PI son iguales a las computadas para la izquierda, midiendo las distancias de derecha a izquierda desde el PT. CAPÍTULO 26 ESTACAS DE CHAFLÁN y CUBICACIÓN ESTACAS DE CHAFLÁN e den.ominan así las estacas que sirven para determinar los puntos de intersección de los taludes con el terreno natural. Las que se ponen en otros puntos determinantes de las secciones transversales de una vía en los cortes y en los rellenos son generalmente las estacas de "ceros". La localización de las estacas de chaflán presenta un problema indeterminado, teniéndose que proceder por un sistema de tanteos, como se verá más adelante. Los datos de los cuales se parte son (Figura 26.1): el.ancho de la banca (b); el talud (s), o adecuada inclinación que debe darse al terreno con fines de estabilidad, y la diferencia de cotas (h) en el eje de la vía, que es la diferencia entre la cota roja y la cota negra, conocida como "cota de trabajo" de la sección. Talud es la pared lateral de los cortes y rellenos y su valor es el de la cotangente del ángulo que forma con la horizontal sobre 1, como s 1:1; s 2:1; s ½:1, etcétera. = = = ESTACAS DE CHAFLÁN EN CORTE Como puede deducirse de la Figura 26.1, es necesario determinar los valores de las distancias d 1 y d 2 y las diferencias de cotas h 1 y h 2• Se tiene que: d 1 =EA+AG d1 = sh 1 +-b 2 (1) 310 ToPOGRAFIA d2 = GB+BF d? - =-+ sh 2 2 b (2) En las ecuaciones (1) y (2) se desconocen los valores de d 1 y hl' d2 y h2, por lo cual no pueden solucionarse directamente, debiéndose determinar sobre el terreno, por tanteos, puntos tales como D y C que satisfagan las ecuaciones (1) y (2). A r Figura 26.1 Estacas de chaflán en corte. Ejemplo: Ancho de la banca Talud (Figura 26.2): Cota negra Cota roja luego b 12 m s - 1/4: 1 1.807,35 m 1.800,65 h 6,70 m de corte 311 ESTACAS DE CHAFLÁN y CUBICACIÓN Determinación de D: Se tiene que: (1) BANCA ¼ = 0,25:1 S = _±. 1 Figura 26.2 Banca y talud en corte. El procedimiento que debe seguirse se resume en estos pasos: 1. Se sitúa un nivel de Locke en un punto (1) que se encuentre cercano a donde, se estima, se cree que va a. quedar D (Figura 26.1). 2. Se coloca una mira sobre el punto H (punto del eje de la vía) y se toma la lectura I; sea, por ejemplo, I = 4,50 m. 3. Se calcula la altura instrumental: h 7K = h + I = 6,70 + 4,50 = 11,20 m 4. Se coloca. luego .la mira sobre un punto que, se estima, se considera el buscado. Llamamos N dicho punto. 5. Se hace lectura sobre la mira en N (IN), y se mide la distancia respectiva dN (de N al eje de la vía). IN= 2,70 m dN = 4,50 m 312 ToPOGRAFIA 6. La cota de N con respecto a la plataforma de la vía será: hN h 7K - /N 11,20 - 2,70 8,50 m hN 7. Remplazando los valores obtenidos en la fórmula (1) se tiene: 4,50 = ½ 4,50 X 12 + 0,25 X 8,50 * 8,50 de este resultado se deduce que el punto N, escogido, no cumple la ecuación (1) y, por tanto, se deben seguir haciendo tanteos hasta llegar a una solución,' como la siguiente: 11 = 1,60 dl = 8,40 en que, al remplazar en la fórmula (1), se tiene: 8,40 = ½ X 12 + (11,20 - 1,60) X 0,25 8,40 = 8,40 8. Cuando se ha logrado un resultado como el inmediatamente anterior, en el punto así localizado se clavará una estaca con las anotaciones: "9,60, al <:fe 8,40", lo cual quiere decir que el punto buscado, D, se halla 9,60 m sobre la han.ca y a una distancia de 8,40 m del eje de la vía. ESTACAS DE CHAFLÁN EN RELLENO El pmcedimiento que debe seguirse es apmximadamente el mismo que en el caso anterior. El ejemplo que se muestra a continuación ilustra este caso: ancho vía talud s Cota roja Cota negra h b = 12 m ¼: 1 1.801,50 m 1.796,20 m 5,30 m de relleno 313 ESTACAS DE CHAFLÁN Y CUBICACIÓN Determinación del punto D: 1. Se sitúa el nivel de Loclce en un punto tal como (2) (Figura 26.3). b --------------1-------B --- ~---- -h __¡__ 1 ' Figura 26.3 Estacas de chaflán en relleno. 2. Se coloca una mira en H y se lee: I = 2,50 m. 3. Se calcula la altura instrumental con respecto a la banca (es negativa en este caso). h-/ 5,30 - 2,50 2,80 m a a a 4. Se escoge un punto N para hacer el primer tanteo: se lee IN 3,20 m dN 6,00 m 5. Es necesario que los datos anteriores verifiquen la ecuación + sh 1 d1 ½b 6,00 6 6,00 7,50 (no puede ser). + 0,25 (3,20 + 2,80) 314 TOPOGRAFIA 6. Se siguen haciendo tanteos hasta obtener, por ejemplo: 4,00 m 7,70 m :. 7,70 7,70 6 + 0,25 (4,00 7,70 + 2,80) CUBICACIÓN DEL MOVIMIENTO DE TIERRA Y a se explicó la localización de la línea de proyecto adoptada o línea roja. Una vez efectuada dicha localización, se procede a nivelar con exactitud la línea roja, con el objeto de poder dibujar el perfil real del terreno determinado por el eje de la vía adoptado y poder conocer así la diferencia real entre cotas rojas y cotas negras sobre el perfil longitudinal de la vía. A continuación se deben levantar las secciones transversales a la línea roja (con nivel de mano) a las distancias escogidas según la precisión requerida y la naturaleza del terreno, para lo cual se deben determinar no sólo los puntos de chaflán sino los puntos de quiebre que tenga el terreno entre los dos chaflanes; los datos (cota y distancia del eje) de esos puntos se anotan en la llamada "cartera de chaflanes". Dibujo de las secciones transversales Base o banca SECCIÓN TRANSVERSAL Abscisa K1 + 180 Figura 26.4 Perfil de una sección t.ransversal de la vía. Con base en los datos tomados en la nivelación de las secciones transversales, se dibuja el perfil de cada una de ellas; como se conocen la "cota roja", o sea 315 ESTACAS DE CHAFLÁN Y CUBICACIÓN la cota a la cual va a quedar el eje del proyecto, el ancho de la base de la vía o banca y los taludes, que se han fijado de antemano, es fácil, a partir de estos datos, dibujar la sección transversal de la vía, quedando por tanto determinada su área. Cada una de estas secciones debe llevar un título que indique la abscisa a la cual corresponde (Figura 26.4). Las secciones se dibujan a igual escala horizontal y vertical, escala escogida de acuerdo con la precisión con que se desee calcular el área; por lo general es 1:50. Cálculo de las áreas de las secciones transversales Para este efecto puede seguirse uno de los dos métodos expuestos a continuación: 1 . A partir de la cartera de nivelación de las secciones transversales o cartera de chaflanes: Se conocen las distancias di' d 2; it' i 2 (del centro de la banca hacia la derecha e izquierda, respectivamente); también se conocen las coordenadas h~, h'~; 11¡, 1:( de los puntos de quiebre escogidos, si los hay, y el ancho de la banca que se denomina b. Observando la Figura 26.5 se puede escribir que: ABCDEGKA = ABJL + BCIJ + CDHI + DEFH - AKL - EFG Figura 26.5 Cálculo del área de una sección transversal. 316 TOPOGRAFIA El valor obtenido por la ecuación (2) es igual al calculado por la ecuación (3), ordenando los datos conocidos de la siguiente manera (como aparecen en la cartera de chaflanes): Izquierda (3) -Área= Eje Derecha IL productos unidos por/\i- lL productos unidos por/\ 1 2 2. En función de la sección transversal dibujada, siguiendo uno de estos procedimientos: Descomponiendo la sección eh figuras geométricas simples (triángulos, rectángulos, trapecios) y computando por separado el área de cada una de éstas. Empleando el planímetro, que ofrece• satisfactoria precisión, dado que las escalas utilizadas en el dibujo son grandes. Por este sistema se obtiene notable economía de tiempo. Deberán tomarse tres mediciones diferentes con el planímetro para lograr un buen promedio. Ejercicio teórico Suponer que la cartera de chaflanes de la sección transversal que muestra la Figura 26.5, tiene estos datos: Izquierda Eje 15,40 10,40 7,80 15,80 4,50 o Derecha 8,70 4,20 8,20 10,70 Si se supone, también, que la banca tiene 10 m de ancho: b = 10 m, las operaciones para calcular el área de la sección serán éstas: 317 ESTACAS DE CHAFLÁN Y CUBICACIÓN O sea: Productos positivos 7,80 X 4,50 10,40 X 15,80 15,40 X 5 7,80 X 4,20 8,70 X 10,70 8,20 X 5 }:/\ 2A A = = = = = = .= = = 35,1 164,32 77,00 32,76 93,09 41,00 Productos negativos 0 X 10,40 4,5 X 15,40 15,8 X 0 0 X 8,70 4,20 X 8,20 10,7 X 0 443,27 }: \/ = = = = = = o 69,3 o o 34,44 o 103,74 443,27 -103,74 =339,53 169,765 = 170 m2 Cálculo de los volúmenes de tierra que deben removerse A causa del error probable que traen consigo las mediciones tanto horizontales como verticales y ¡<:lel error que se comete al considerar uniforme la variación de la superficfe del terreno entre una y otra secciones transversales, no se justifica efectuar el cálculo de estas áreas con .más de una cifra decimal. Así pues, las áreas se expresarán en m 2 y los volúmenes en m 3 con una cifra decimal únicamente, puesto que no tiene objeto tomar cifras decimales inciertas. El error que se puede com:eter al determinar estos volúmenes depende de varios factores: 1) de la magnitud de la escala a la cual se haya dibujado, pues de allí se toman los datos que intervienen en los cómputos; 2) de la equidistancia de las curvas de nivel, esto es, del intervalo que existe entre ellas; 3) de la precisión con .que se haya tomado la topografía. Existen varios métodos para determinar estos volúmenes. El más práctico para establecer el movimiento de tierras en la ejecución de un proyecto de carretera, ferrocarril, canal, etc., es aquel que calcula el volumen entre dos secciones transversales consecutivas, multiplicando el promedio de las áreas de las secciones por la distancia que las separa. Así, llamando Al' A2 las áreas de las secciones transversales, y L la distancia entre esas secciones, el volumen entre estas dos secciones estará dado por: Como puede apreciarse, esta fórn:-ula será más precisa a medida que A 1 y A 2 tiendan a ser iguales. Cuando una de las dos secciones tiende a cero, el volumen se puede calcular como si fuera una pirámide, o sea: 318 TOPOGRAFÍA V=]__A.L 3 En general, la precisión de este primer método es más que suficiente puesto que se ha supuesto que el terreno es completamente uniforme entre las dos secciones, lo cual de antemano implica que se está calculando un volumen un poco diferente del real. Sin embargo, cuando se desea una mayor precisión, o el valor de las dos áreas es bastante diferente entre sí, se puede calcular el volumen como si fuera un prismatoide, o sea: L V =-(A 1 +4Am+A 2 ) 6 en que Am es el área de la sección 111edia (y no el promedio de A 1 y A 2 ). En general, los valores obtenidos por el primer método resultan un poco mayores que si se emplea la fórmula del prismatoide. Se pueden, entonces, calcular estos volúmenes multiplicando el promedio de las áreas extremas por la longitud y restando una cantidad o corrección e, que se expresa así: en que: C = corrección que hay que restar, en M3, para volumen calculado entre dos secciones distantes 20 m; H 1 y H 2 = diferencia entre cota roja y cota negra, en metros (Figura 26.6); D 1 y D 2 = distancia en metros, entre las estacas de chaflán en cada una de las secciones. H Figura 26.6 Sección transversal tipo para cubicación. Así pues, el trabajo se simplifica bastante, pues la fórmula del promedio de áreas es muy sencilla y encontrar la corrección t~mbién lo es. 319 ESTACAS DE CHAFLÁN Y CUBICACIÓN Eje1J1p!o: Calcular el volumen comprendido entre las secciones (1) y (2), distantes entre sí 20 m (Figura 26.7). Se tiene: 120 m 2 55 m 2 Area (1) Area (2) 10 O 100 CD 0 100 Figura 26.7 Secciones transversales extremas, del ejemplo considerado. 13,0 Am 10,0 Figura 26.8 Sección transversal media del ejemplo considerado. Se calcula ahora el área Am de la sección media. Es de notar que en este ejemplo ninguno de los lados del prismatoide es una superficie alabeada y por tanto es fácil encontrar Am. Área de la sección media, Am = 86,25 m 2 • Cálculo del volumen 1. Promediando las áreas de las secciones: V= 12 º+2 55 X20 = 1.750 m 3 320 TOPOGRAFÍA 2. Por la fórmula del prismatoide: 20 V= -(120+ 4X86,25+55) 6 V = 1.733,3 m 3 3. Calculando por promedio de áreas y aplicando la corrección: V= 120 55 + 2 x20 = 1.750 m 3 e = 1,68 c10,o - 5,0) (14,o - 12,0) e= 16,8 m 3 V = 1.750 - 16,8 = 1.733,2 m 3 Por este último método se obtiene igual resultado que empleando la fórmula del prismatoide, pero de una manera más sencilla, pues no es necesario calcular Am. Cartera de cubicación Se emplea para consignar todos los datos relativos al cálculo de volúmenes de tierra. Una parte de los datos anotados en esta cartera se toma del levantamiento de las secciones transversales y de las carteras de tránsito y nivel; la otra va con los datos obtenidos del cálculo de las áreas transversales y de los volúmenes en corte y relleno, siguiendo cualquiera de los métodos antes enunciados con 'tal fin. / \ o"' 'E Abscisas :, o. Cota negra Cota roja SECCIÓN IZQUIERDAS Figura 26.9 Modelo de cartera de cubicación. TRANSVERSAL EJE DERECHAS ÁREAS M' corte VOLÚMENES M' M' re~:no corte relleno ESTACAS DE CHAFLÁN v 321 Cus,éAclóN MÉTODOS PARA CALCULAR EL POSIBLE VOLUMEN DEL MOVIMIENTO DE TIERRA Cuando sólo se desea tener idea del número de metros cúbicos de tierra que se necesita remover, se procede como sigue: A partir del perfil del proyecto Se halla la profundidad promedio de las secciones transversales, para lo cual se mide con planímetro el área comprendida entre la línea roja y la línea negra (tanto en corte como en relleno) (Figura 26.1 O) y se divide por la longitud. Luego se calcula el área de la sección promedio (sección normal al perfil longitudinal del proyecto), teniendo en cuenta la profundidad promedio, ya calculada, y los taludes en cada taso. Finalmente, multiplicando esta área promedio por la longitud se obtiene el volumen aproximado del movimiento de tierra. Si se desea obtener un dato más ceñido a la realidad, se efectúa varias veces este procedimiento considerando tramos más cortos, pudiéndose calcular cada 20 m la sección transversal promedio con la profundidad promedi9 obtenida del perfil (en corte o en relleno) y con los taludes respectivos. Se supone que esta área se mantiene igual a 10 m adelante y 10 m atrás del punto considerado y así cada volumen parcial será igual a: área promedio X 20 m. Sumando los volúmenes calculados de 20 en 20 m, · se obtendrá el volumen total aproximado. PERFIL DEL TERRENO Figura 26.10 Perfil preliminar utilizado para cubicar. A partir de las curvas de nivel El procedimiento consiste en determinar los volúmenes de tierra existentes entre planos horizontales, para lo cual se requiere establecer las áreas de las intersecciones de esos planos ½on el terreno y multiplicarlas, luego de 322 TOPOGRAFÍA promediarlas, por la distancia que las separa. Cuando se desea una precisión mayor se puede emplear la fórmula del prismatoide. Es obvio que a menor separación entre los planos horizontales, o sea a menor equidistancia de las curvas de nivel, se obtendrán resultados más precisos. T;memos como ejemplo el caso de la Figura 26.11; se quiere averiguar el volumen de tierra que habrá que mover al pasar la vía por ese montículo. Se determina sobre el plano la intersección del terreno con los taludes de acuerdo con la pendiente de éstos, con lo cual quedan perfectamente definidas las intersecciones de los planos de cotas 20, 18 y 16 con el terreno que se va a remover. Se miden las áreas 1, 2 y 3 y ya se puede calcular el volumen. EMPLEO DE FOTOGRAMETRÍA Y COMPUTADORES DIGITALES EN CUBICACIONES PLANTA --- ~ ............. . .................................... e l l -b e -------------------14 PERFIL TRANSVERSAL (Escala natural) Figura 26.11 Cálculo del volumen de movimiento de tierra. Detalle de áreas e b a ESTACAS DE CHAFLÁN Y CUBICACIÓN 323 Las secciones transversales se obtienen directamente de un modelo estereoscópico en un aparato de restitución. El punto móvil de luz se mantiene, a lo largo de la línea que determina la sección transversal, en contacto constante con la superficie del relieve; a intervalos uniformes o cuando se aprecie un cambio en la pendiente del terreno, se tomarán las lecturas de las cotas y las distancias al eje de la vía. Dichas lecturas se registran automáticamente en tarjetas perforadas o en cintas magnéticas. De esta manera se dispondrá de una representación del terreno en forma numérica y con. la aproximación que se desee, pudiéndose, por medio de un computador digital, efectuar las operaciones conducentes al cálculo de los volúmenes de tierra. Entre las ventajas de este moderno método se destacan la rapidez y la fidelidad de los resultados. CAPÍTULO 27 NOCIONES DE FOTOGRAMETRÍA GENERALIDADES Introducción n este capítulo se pretende dar información sobre las posibilidades que ofrece el empleo de fotografías para obtener conocimientos de áreas extensas sobre la superficie terrestre, a un costo relativamente bajo y con numerosas aplicaciones. Es oportuno aclarar que los principios aquí expuestos son elementales, pero suficientes para entender los fundamentos de esta ciencia; Los conocimientos así obtenidos le permitirán al lector que se interese en la materia profundizar, más tarde, en estudios especializados de este campo. · Definición Se puede definir como la técnica de obtener información cuantitativa y cualitativa a partir de fotografías aéreas. La fotogrametría puede dividirse en fotogrametría métrica y fotointerpretación (interpretación fotográfica). La fotogrametría métrica tiene su aplicación en la determinación de distancias, elevaciones, áreas, volúmenes, perfiles y secciones transversales, así como en la elaboración de mapas topográficos con base en mediciones hechas en las fotografías. En esta aplicación se utiliza, principalmente, la fotografía aérea (obtenida con cámaras situadas en aviones), pero en casos especiales se emplea la fotografía terrestre (realizada con cámaras ubicadas en tierra). La fotointerpretación tiene por objeto el reconocimiento y análisis de objetos a partir de sus imágenes fotográficas. Los principales factores que se deben considerar en la identificación de los objetos son la forma, tamaño, sombra, tono, patrón y textura de su imagen. Para ayudar en la interpre- 326 TOPOGRAFÍA tación, recientemente se han creado otros equipos sensores y de imágenes tales como los barredores multiespectrales y térmicos, los radiómetros y el radar de visión lateral y por satélite. Estos instrumentos detectan energía de longitudes de onda más allá de las que el ojo humano puede percibir y la película fotográfica puede registrar. Generalmente se transportan en aviones o satélites. Ahora se aplica un nuevo término, "PERCEPCIÓN REMOTA", al aspecto inte1pretativo de la fotogrametría. La percepción remota tiene cada vez más importancia y se analizará al final de este capítulo. Reseña histórica Los trabajos de mediciones de extensiones de tierra y la confección de planos y mapas se han venido efectuando desde tiempos remotos, pero en los últimos 50 años han recibido mayor impulso debido principalmente a los inventos surgidos de las necesidades militares impuestas por las guerras mundiales. Desde el invento de la fotografía por los científicos franceses Niepce y Daguerre, se pensó en utilizar las fotografías ·para efectuar mediciones. El primer intento en emplear para estos fines la cámara fotográfica fue el de Laussedat, de la armada francesa, en 1850, dando así comienzo a la llamada fotogrametría terrestre. La armada de los EE.UU. experimentó, hacia 1861, la toma de fotografías aéreas desde globos, con poco éxito. En Europa el empleo de dirigibles produjo resultados más satisfactorios. En los archivos de la Sociedad Internacional de Fotogrametría se conservan las primeras fotos tomadas desde un avión por el capitán Cesare Tardiro, con fines de elaboración de mapas, en la primera década de este siglo. Desarrollo de la fotogrametría en Colombia ; Por iniciativa de la Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional se trajeron al país los primeros instrumentos para fotogrametría aérea, en el año de 1930. Igualmente, por dicha época vinieron al país los primeros expertos en el tema. Antes el doctor R. Perry había desarrollado varios trabajos en fotogrametría terrestre con un aparato ZEISS-OREL. En 1935 se hizo la primera importación de aparatos fotogramétricos par.a el Instituto Geográfico Agustín Codazzi, en donde desde esa época, y con equipo cada vez .más moderno, se han realizado diferentes e interesantes trabajos en el campo de la fotogrametría . Uno de los primeros· trabajos fue la elaboración del plano de la ciudad de Bogotá, con motivo de su cuarto centenario (1938). A partir de este año se comenzó a hacer en firme el mapa del territorio nacional en escala 1:100.000, NOCIONES DE FOTOGRAMETRÍA 327 el cual se halla ya prácticamente completo y en proceso de actualización. Para las zonas de la Orinoquia y la Amazonia, el país cuent.a con ORTOIlvIÁGENES en escala 1:100.000, producidas 'a partir del procesamiento digital de imágenes satelitales, obtenidas por el satélite norteamericano Landsat. Se han realizado otros proyectos ele diversa índole, tales como el levantamiento de ciudades a escalá 1:2000 (Bogotá, Medellín y otras) y trabajos por contrato con entidades semioficiales y privadas. Actualmente se utilizan equipos de fotogrametría analítica, digital y cartografía automatizada. La fotogrametría, en conjunto con la fotointerpretación, forma parte importante de los planes de estudio de ingeniería civil de todas las universidades del país, y varios proyectos de ingeniería del país se han efectuado con el auxilio de esta valiosa rama de la ciencia. En la actualidad, la fotogrametría ··aérea tiene muchas aplicaciones en ingeniería y topografía. Se usa, por ejemplo, en los levantamientos de tierras para el cálculo de vértices de secciones, o en la determinación de vértices de linderos o puntos .que ayuden a fijar esos vértices. Los mapas a gran escala se elaboran utilizando procedimientos fotogramétricos con· fines múltiples, uno de los cuales son los mapas catastrales. La fotogrametría se usa para determinar riberas o líneas de costa en los levantamientos hidrográficos, para establecer con precisión las coordenadas de ·puntos en tierra en los levantamientos de control y para elaborar mapas y definir secciones transversales en los levantamientos de vías. La fotogrametría está desempeñando un papel importante en la creación de los datos necesarios para los modernos sistemas de información geográfica (SIG). La fotogrametría básica se aplica también con éxito en mucl19s campos ajenos a la ingeniería civil o de construcción. Por ejemplo, en geología, arqueología, servicio forestal, agricultura, conservación ecológica, planificación, operaciones militares de inteligencia, control del tránsito urbano y en carreteras principales, investigación de accidentes, etcétera. Como se indicó antes, en este capítulo se des.cribirá sólo la fotogrametría aplicada a los levantamientos aéreos. Las aplicaciones de la ingeniería fotogramétrica han aumentado notablemente en años recientes, y su crecimiento futuro para resolver complejos problemas de medición y cartografía está asegurado. Descripción del proceso fotogramétrico La fotografía estereoscópica es una aplicación d¡; la facultad innata en el hombre de la apreciación del relieve, es decir, de las diferentes distancias a que se encuentran los objetos. La explicación de este fenómeno consiste en que cada ojo ve una perspectiva ligeramente diferente del mismo objeto. 328 TOPOGRAFÍA Debido a la posición relativa de los ojos del obse1-vador, las dos imágenes que del objeto se forman en la retina son distintas; la combinación de dichas imágenes produce la sensación de relieve. La aplicación de este principio hizo posible el proceso fotogramétrico, que consiste en hacer planos topográficos a partir de pares de fotografías tomadas desde puntos diferentes, las cuales al ser proyectadas en ciertas condiciones reproducen fielmente el terreno con todas sus características, incluyendo el relieve (Figura 27.1). Este proceso comprende esencialmente los siguientes pasos: 1) plan de trabajo y cálculos preliminares; 2) toma de fotografías (terrestres o aéreas); 3) proceso de laboratorio (revelado, copias, diapositivas, etc.); 4) control terrestre para ajustar escalas y cotas; 5) restitución (o elaboración de planos) por medio de instrumentos especiales. Aerofotografías Zona de superposición (visión en relieve) Figura 27.1 Visión estereoscópica de un par de fotografías aéreas con recubrimiento. Fotogrametría terrestre La fotogrametría terrestre ofrece la facilidad de hacer levantamientos rápidos, económicos y precisos cuando se trata de extensiones pequeñas, por lo que no se requiere disponer de equipo de alto costo, aparte del llamado fototeodolito. Este es un teodolito, con cámara fotográfica acoplada, que va montado sobre un trípode y toma las fotografías en dirección horizontal. NoctONES DE FOTOGRAMETRÍA 329 La fotogrametría terrestre tiene hoy día un campo limitado en lo que se refiere a la confección de planos; se emplea cuando la fotogrametría aérea resulta muy costosa, poco práctica o imposible; Se utiliza principalmente en trabajos pequeños y para entrenamiento de estudiantes. Fotogrametría aérea La fotogrametría aérea tiene múldples usos dentro del campo de la ingeniería. Las fotografías se toman desde un avión, siendo fácil determinar la altura y el azimut del vuelo. Las fotografías aéreas pueden ser: a) Verticales: Cuando el eje de la cámara es vertical y la película horizontal. Corresponden a perspectivas del terreno sobre un plano horizontal. b) ,Oblicuas: Son las tomadas con el eje de la cámara haciendo un ángulo con la vertical (la película siempre es perpendicular al eje de la cámara). Se denominan oblicuas altas cuando aparece el horizonte y oblicuas bajas cuando éste no aparece. Cámaras Van montadas. sobre un sistema de balancines y soportes qu~ absorben las vibraciones. Por• medio de un nivel circular se hace vertical el eje de la cámara, quedando siempre en .cada fotografía la imagen de dicho nivel, que muestra la localización de la burbuja en el momento en el cual se toma la fotografía. Debido a vientos laterales, que tratan de desviar el avión de su línea de vuelo, es necesario poder hacer girar la cámara sobre su eje vertical un ángulo dado para que las fotografías de la zona queden una a continuación de otra. Toda cámara tiene ciertas características diseñadas para registrar imágenes sobre un medio sensible. Se puede comparar la cámara fotográfica con el ojo humano, en cuya retina se fijan constantemente imágenes; el ojo es una cámara perfecta que se ajusta• automáticamente a las condiciones de luminosidad, foco, etc., mientras que en la cámara fotográfica se requieren mecanismos especialmente diseñados para lograr estos ajustes. Una cámara, en general, es un pequeño cuarto oscuro, que tiene un lente frente a un obturador que actúa como una ventana a través de la cual se admite la luz. La cantidad de luz admitida es importante, por lo que el tamaño del obturador deberá ser graduable. La luz admitida va directamente al fondo de la caja donde se halla la película sensibilizada, que se impresiona. El plano donde se coloca la película se denomina plano focal. Hay cámaras manuales y cámaras automáticas (con un motor o batería) que disponen de 330 TOPOGRAFÍA un interv:alómetro que, una vez regulado, opera la cámara automáticamente. Los elementos esenciales de una cámara son: a) lentes, b) obturador, c) cuerpo de la cámara, d) mecanismo para operarla y e) película. Los lentes deben tener características que les permitan eliminar las aberraciones cromática y esférica, principalmente. El lente de una cámara se define por su distancia focal, siendo los valores 90 roro, 150 roro y 210 roro los más usados para fotografías empleadas en trabajos de precisión, y los de 400 mm o más, principalmente para fines militares. La1 película empleada en fotografía aérea debe ser fresca, de grano fino, alta velocidad y pancromática (sensible a todos los colores). El encogimiento entre la película húmeda (al revelado) y seca no debe sobrepasar una variación del 2 por 1.000; la diferencia en encogimiento en dos direcciones cualesquiera, entre el revelado y el sec;ado, no debe exceder un 0,5 por 1.000. Para evitar distorsión en las imágenes, la película debe quedar completamente sobre el plano focal, lo cual se logra por medio de una cámara de vacío; el vacío se interrumpe una vez hecha la exposición, para permitir avanzar a otra parte de la película. Una fotografía aérea no puede considerarse por sí misma como el plano de una porción de terreno, pero mediante el empleo de métodos fotogramétricos y de principios geométricos se pueden obtener planos a partir de fotografías, siendo necesario para esto disponer de fotografías tales que un mismo punto sobre la tierra aparezca en dos fotografías tomadas desde sitios diferentes, denominadas pares estereoscópicos. Recubrimiento Para satisfacer lo dicho anteriormente sobre pares estereoscop1cos se requiere; al fotografiar una faja de terreno, que el punto central de cada fotografía quede en dos fotografías consecutivas. Esto se logra por medio de un recubrimiento, entre una fotografía y la. siguiente, del 60% en el sentido longitudinal. Además, para asegurar el cubrimiento total de una zona, es necesario el recubrimiento de una faja de fotografías sobre la inmediatamente adyacente en un 30% (Figura 27.2). Punto principal de una·fotografía Es el determinado por el pie de la perpendicular trazada desde el foco, o punto nodal de la lente, al plano focal, en el cual debe estar colocada la película. En una fotografía completamente vertical, el punto principal debe coincidir con el punto determinado por la dirección de la plomada a través del centro del lente, y se·determina uniendo marcas fiduciales diametralmente opuestas. 331·· NOCIONES DE FOTOGRAMETRÍA .... Dirección de vuelo 60% r 1 1 ': : 60% 1 r 1 1 1 1 + + + + + + FAJA"B" Figura 27.2 Recubrimiento longitudinal y transversal de las fotografías. Ejes de una fotografía Son los determinados a! unir por rectas las marcas que aparecen en los bordes de toda fotografía aérea (denominadas marcas fiduciales). La intersección de estos ejes señala el centro geométrico (centro óptico) de la fotografía. El eje que coincide con la dirección del vuelo se denomina eje X y el eje perpendicular a la dirección de vuelo, eje Y (Figura 27.3) . ...... Dirección de vuelo l. Marca J /fiduclal Eje X-X 1 :1 >-1 >Q) LIT ~~ Figura 27.3. Ejes de una aerofotografía. 332 TOPOGRAFÍA FUNDAMENTOS GEOMÉTRICOS DE LA FOTOGRAMETRÍA El estudio que a continuación se expóne se refiere a fotografías verdadera.mente verticales, dejando lo relacionado al caso real, en que éstas no lo son completamente, para estudio especializado que está fuera del alcance de este capítulo. Relación entre la escala de la fotografía y la altura de vuelo Si una distancia AB sobre la tierra queda representada por una distancia ab en la fotografía, la escala correspondiente estará expresada por la relación ab/ AB. La escala se representa como un fraccionario cuyo numerador es la unidad y el denominador, el módulo de la escala (1/E). Estrictamente no se puede hablar de "escala de una fotografía" porque el área fotografiada presenta zonas con diferente cota, lo cual hace que la escala no sea única sino que varíe según la cota de la zona fotografiada. A mayor distancia entre la película y la zona fotografiada, menor será la escala resultante. En la Figura 27.4 se representa una fotografía vertical, en la que el punto L es el lente; H, la altura de vuelo sobre el plano de referencia (nivel del mar); o, el punto principal de la fotografía, y j, la distancia focal del lente. Para la línea AB situada al nivel del mar, determinada por los puntos A y B, y cuyas imágenes sobre la fotografía son a y b, respectivamente, considerando los triángulos semejantes LAB y Lab se tendrá que la escala para líneas sobre el nivel del mar es: 1 f = E H (1) f y H en las .mismas unidades. Para la línea CD de igual longitud (en el terreno) a AB, pero situada a una altura h sobre el nivel del mar, se tiene que su escala será: 1 E f = H-h (2) Observando las ecuaciones (1) y (2) se deduce que, a menos que el área fotografiada sea plana completamente, no se puede obtener una escala representativa. Una escala media (EM) se obtiene usando la expresión (3): 1 f =--- (3) 333 NOCIONES DE FOTOGRAMETRÍA H A Figura 27.4 Altura de la cámara y escala de la aerofotografía. En la cual el valor hM corresponde al promedio de las alturas sobre el nivel del mar, de los puntos contenidos en la fotografía. Cálculo de coordenadas Se pueden establecer relaciones entre coordenadas en el terreno y las coordenadas sobre las foi:ógrafías, eliminando así las variaciones en la escala de la fotografía debidas, como ya se dijo, a las diferencias del nivel entre puntos. En la Figura 27.5 se tiene un punto P en el terreno y su representación p sobre una fotografía vertical; se toma como centro de coordenadas el punto O (al nivel del mar), que es la proyección vertical (según la dirección de la plomada) del punto o en la fotografía, determinado por la intersección de las líneas que unen las marcas. Así pues, se tendrá para el punto P: 334 TOPOGRAFÍA Coordenadas terrestres: Xr, Yr· Altura sobre el nivel del mar: h p. Coordenadas sobre la fotografía: xP, Yp· Igualmente, para el punto Q se tendrá: Coordenadas terrestres: XQ, YQ" Altura sobre el nivel del mar: h q . Coordenadas sobre la fotografía: xq, yq. xp f X= --=--Xp H-hr H-h yp f -=--Yp H-hr y= p f X H-h q Q p X p (4) H-h p y f p (5) f p = H-h q f X q H Q Xp O Xa Figura 27.5 Cálculo de coordenadas en función de coordenadr1s sobre la aerofotografía. (6) 335 NOCIONES DE FOTOGRAMETRÍA Yq f --=--YQ H-h,1 ' H-h q y Y Qq ,f (7) (8) De la Figura 27.5 se pueden establecer fácilmente las relaciones que permiten hallar expresiones de las coordenadas del punto P (ecuaciones (4) y (5)) y del punto Q (ecuaciones (6) y (7)) en función de las coordenadas medidas sobre la fotografía, de la altura de vuelo, de la distancia focal y de la altura sobre el nivel del mar de los puntos en cuestión. Mediante la ecuación (8) se puede calcular la longitud de la línea PQ, obviando así el problema de la escala de la fotografía. Visión binocular Es la tercera dimensión o profundidad mediante la cual pueden realizarse medidas aproximadas en el espacio, utilizando dos imágenes, o dos fotografías, que tengan superposición o recubrimiento común. Visión estereoscópica Es el fenómeno natural que tiene lugar cuando una persona mira simultáneamente a dos imágenes de la misma escena desde puntos diferentes, viendo cada imagen con un ojo. El resultado es la percepción de la tercera dimensión, o sea, la profundidad. Cuando dos imágenes fotográficas se intercambian de posición y se trata de obtener visión tridimensional de los objetos del terreno, se logra una imagen invertida de ellos llamada seudoscópica. En la Figura 27.6 se muestran la estereoscopia y la seudoscopia, si en un par de fotografías observamos un árbol. Foto2 imagen estereoscópica del árbol Figura 27.6 Estereoscopia y seudoscopia. 336 TOPOGRAFÍA Como cada zona del terreno ha quedado captada en dos fotografías consecutivas tomada~ desde sitios diferentes, entonces, es posible al observar independientemente con cada ojo cada una de estas fotografías, apreciar el relieve de la zona común a las dos imágenes. En este principio se basan todos los medios y aparatos de restitución de planos a partir de pares de fotografías Paralaje Es el desplazamiento aparente de un objeto con respecto a un punto, o una línea de referencia, causado por el cambio del punto de observación. La visión estereoscópica hace posible la medición del paralaje, pudiéndose, mediante éste, dibujar curvas de nivel y detalles planimétricos a partir de fotografías superpuestas. El paralaje se mide sobre el eje X de las fotografías. En la Figura 27.7 se tiene que a y a1 son las imágenes en un par de fotografías del punto A sobre la tierra, situado a una altura h sobre el nivel del mar. Se puede apreciar que dichos puntos a y a1 tienen· diferente localización en las respectivas fotografías a causa del cambio de lugar de la cámara fotográfica de la posición La la posición L 1• La abscisa del punto a es x en la fotografía derecha, y x 1, en la izquierda. La diferencia algebraica x 1 - x, que es el desplazamiento total, se denomina valor absoluto del paralaje estereoscópico. (9) Sien,do siempre el valor x 1 medido sobre la fotografía de la izquierda y x sobre la de la derecha. En las fotografías vertical½s no existe paralaje en la dirección del eje y. Esto se prueba de la siguiente manera: En los triángulos semejantes Lna y LNA se puede· escribir: na Ln NA = LN (10) igual con los triángulos Lon y L0N: Ln LN f = H-h (11) de (1 O) y (11) se puede deducir que: f na=NA--(H -,-h) (12) 337 NOCIONES DE FOTOGRAMETRÍA H h --------B--------Figura 27.7 Esquema del desplazamiento aparente o paralaje. Para la fotografía de la izquierda se puede llegar igualmente a: (13) y por tanto poder escribir que na= n 1a 1, de donde y=y 1 Haciendo referencia nuevamente a la Figura 27.7 se denominan X y Y las coordenadas terrestres del punto A, referidas al punto 01' como centro de coordenadas. Además, el triángulo LL 1, 11, n 1 formado en la Figura 27.8 es semejante al triángulo L1N, L y, por tanto, se puede escribir: B H-h -=--- p f 338 TOPOGRAFÍA De los triágulos L 1 o 1 n 1 y L 1 0 1 N, L 1 n 1 a 1 y L 1 NA, resulta: X L N Y H-h B - = -1- = - = - - = X¡ L 1n 1 y 1 f p De las anteriores igualdades pueden deducirse las siguientes expresiones, denominadas fórmulas de paralaje: B X=-Xx 1 p (14) B Y=-Xy 1 p (15) B H-h=-Xf p X,Y x1, y1 B p H h f (16) coordenadas terrestres, con origen en 0 1, en metros. coordenadas sobre la fotografía de la izquierda (Figura 27.7 ), en mm. distancia entre dos exposiciones sucesivas, en metros. paralaje absoluto, en mm. altura del vuelo, sobre el nivel del mar, en metros. altura del punto observado sobre el nivel del mar, en metros. distancia focal de la cámara, en mm. 001 p Figura 27.8 Desplazamiento sobre una misma fotografía. 339 NoclONES DE FOTOGRAMETRÍA Para medir el paralaje es necesario establecer la intersección de los ejes geométricos de las fotografías y efectuar directamente, por medio de una escala graduada, la medición de la coordenada x para un punto en ambas fotografías. El signo de la x es el convencional de + a la derecha y - a la izquierda.· Medición del desplazamiento de la imagen debido al relieve El desplazamiento debido al relieve de un punto en la fotografía es la distancia que hay·entre dicho punto (q) y la posición que ocuparía en la misma fotografía (q 1), si el punto objeto del terreno (Q) se considerará proyectado ortogonalmente sobre un plano horizontal de referencia (Q¡). En las figuras 27.9 y 27.10 se puede observar que la distancia qq1, es decir, la distancia entre la imagen (q) y la imagen que tendría el mismo punto sobre el plano de referencia (q1), corresponde al desplazamiento (L.ir), debido al relieve, del punto Q con· respecto al plano de referencia (superficie media del mar). R Figura 27.9 Desplazamiento de la imagen debido al relieve. 340 TOPOGRAFÍA Figura 27.10 Desplazamiento en la fotografía debido al relieve. En la Figura 27 .10 se tiene: Llr=r-r 1 De la Figura 27.9 se puede escribir: r f -=-R H-h (17) R·f r=-H-h (18) De donde: Igualmente: r f R H -1..=- (19) Oe donde: (20) De (18) y (20) se obtiene: Llr = _R_·f_._h_ H(H-h) (21) Teniendo en cuenta las igualdades (17) y (19), se obtienen las siguientes expresiones para Llr. A partir de la ecuación (21): r·h &=H (22) 341 NOCIONES DE fOTOGRAMETRfA- r ·h .ó.r=-1H-h (23) Estas fórmulas son aplicables para determinar alturas de objetos, cuando en una fotografía aérea vertical son visibles el techo y la base, sin necesidad de emplear aparatos estereoscópicos de medición. DESARROLLO DEL PROCESO FoTOGRAMETR1co Toma de fotografías Para emprender el trabajo de tomar fotografías, es necesario planear la manera de ejecutar esta operación, la cual puede hacerse a través de los siguientes pasos: a) Estudio sobre los planos disponibles de la región, con el objeto de establecer el método más económico de efectuar los vuelos desde la base de operaciones. b) Se confecciona un plan de vuelo en el cual se determinan las líneas de vuelo en función de los siguientes datos: distancia focal, escala de las fotos, recubrimiento (longitudinal y transversal), tamaño de los negativos y altura de vuelo. c) El plan de vuelo se entrega al piloto para que éste mediante una inspección, pueda confrontar detalles sobre el terreno, comparando con el plano. d) Antes de tomar las fotografías, es necesario recorrer completamente la faja del terreno que se va a fotografiar, con el fin de determinar el ángulo existente entre el eje del vuelo y el eje del avión, para hacer la corrección por este concepto. Igualmente es necesario comprobar por medio del altírnetro que se cumpla la condición especificada sobre la altura de vuelo. En seguida se da un ejemplo de los cálculos necesarios para efectuar una misión de vuelo cuando se trata de fotografiar una zona de 1O km de ancho por 20 km de largo, sabiendo que la velocidad del avión es de 160 kph, la distancia focal de la cámaraf = 210 mm, la escala promedio EM= 1:10.000, la altura promedio de la zona h = 500 m, el tamaño de las fotografías de 9" X 9" , el recubrimiento en el sentido longitudinal de 60% y en sentido transversal del 30%. 342 TOPOGRAFÍA 1. Cálculo de la altura de vuelo: __f_ •.• r: LI -_ 500 + 210 H -11M- /-1.000 -EM 1 / 10.000 H = 2.600 m 2. Cálculo del área cubierta por cada fotografía: a) Cubrimiento lateral: 9 2 54 X , X 10.000 = 2.286 m 100 b) Cubrimiento longitudinal efectivo: 2.286 X (1,00-0,60) = 914,40 m c) Cubrimiento transversal efectivo: 2.286 X (1,00 - 0,30) =1.600,20 m Área cubierta por cada fotografía: 914,40 X 1.600,20 =1' 463.222,88 m 2 1,463 km2 3. Cálculo del intervalo de tiempo entre exposiciones: . Cubrimiento longitudinal efectivo (m) Velocidad del avión (m/ seg) . 914,40 = 160 =20' 6 seg X 1.000 3.600 4. Cálculo del número de fajas de vuelo (asumiendo las fajas de vuelo en el sentido longitudinal de la zona que se va a fotografiar). Para garantizar el cubrimiento total de la zona, se debe aumentar a lado y lado del ancho real del terreno una cuarta parte del cubrimiento total de una fotografía: 343 Noc10NES DE FOTOGRAMETRÍA 10.000 +½X 2.286 . --------'---= 6,9, que se aproxima a 7. 1.600,20 5. Cálculo del número de fotografías por faja: 20.000 . --= 21,8, que se aproxima a 22 914,40 fotografías Se estima que para garantizar el cubrimiento completo de cada faja es necesario aumentar dos fotografías al, comienzo y dos al final, quedando por tanto 26 fotografías por faja. 6. Cálculo del número total de fotografías para cubrir la zona: 26 X 7 =182 fotografías Planos fotogramétricos Una vez tomadas las fotografías, se llevan los rollos al laboratorio, se revelan y luego se clasifican y numeran según el orden en que se tomaron. De su compilación se pueden obtener las siguientes clases de planos o mapas: Mosaico Consiste en una serie de fotografías, arregladas de tal manera que representen completamente el área deseada. Éstas se recortan con cuidado y se pegan en una base de cartón, que generalmente se fotografía para obtener en una sola imagen el conjunto total. Los mosaicos pueden ser: 1) No controlados: los que se hacen sin tener en cuenta puntos de control ni escala. 2) Controlados: cuando para arreglar las fotografías se tienen en cuenta los puntos de control, y se ajustan las escalas para obtener una escala común. Planos Son los obtenidos por algún sistema de restitución fotogramétrica. Pueden ser: 1. Planimétrico, en el que no aparecen curvas de nivel. 2. Topográfico, el cual resulta de complementar el planimétrico con las curvas de nivel. 344 TOPOGRAFÍA Fotocontrol Es el proceso mediante el cual se controla la escala de la fotografía, especialmente la de los modelos fotogramétricos (formados por pares de fotografías con recubrimiento longitudinal y transversal). Para esto, se determina la localización en un sistema de coordenadas en el espacio de por lo menos cuatro puntos por modelo, ya que tres de ellos, que no estén en línea recta, determinan la posición de un plano y el cuarto es para comprobación. Control directo Se denomina así al proceso mediante el cual a los puntos de fotocontrol se les determinan sus coordenadas por sistemas topográficos o geodésicos. Triangulación aérea Es el procedimiento en el cual las coordenadas de los puntos de fotocontrol se establecen mediante métodos de medición, en un instrumento fotogramétrico. INSTRUMENTOS f OTOGRAMÉTRICOS Los instrumentos fotogramétricos se utilizan para producir mapas topográficos a partir de fotografías aéreas con recubrimiento común, así como también para determinar secciones transversales. Existen dos tipos básicos: los instrumentos de proyección óptica y los instrumentos de proyección mecánica. Los instrumentos contienen los siguientes componentes generales: 1) Sistema de proyección para crear el estereomodelo. 2) Sistema de visualización, el cual permite que un operador observe o examine el estereomodelo. 3) Sistema de medición para medir o trazar a escala el estereomodelo. Los instrumentos de proyección óptica se están volviendo obsoletos, pero se prefieren para iniciar a los estudiantes en el estudio de la fotogrametría, por su diseño y operación relativamente simple. Los instrumentos con proyección mecánica se usan ampliamente en la práctica pero son remplazados gradualmente por instrumentos analíticos y sistemas digitales. En la Figura 27.11 se muestra un instrumento con proyección óptica. En este equipo se proyectan diapositivas de un par de fotografías con recubrimiento, de modo que los rayos de luz que transportan las imágenes 345 NOCIONES DE FOTOGRAMETRÍA comunes a ambas, formen por intersección un estereomodelo. Los proyectores son similares a los proyectores comunes empleados para diapositivas o transparencias, sólo que los utilizados en los equipos de· proyección óptica son más precisos y se pueden ajustar en orientación angular y ubicación para reproducir la posición y orientación espacial exacta de la cámara aérea en el momento de la toma de las fotografías. Así se produce un modelo verdadero del terreno en el área de superposición, a una escala muy reducida que está dada por la relación entre la base del modelo (distancia real entre los lentes del proyector) y la base aérea (distancia real entre los dos estaciones de toma). Los sistemas visualizadores están diseñados de manera que el ojo izquierdo y el derecho del observador vean sólo las imágenes proyectadas de las diapositivas izquierda y derecha correspondientes. Un método es colocar un filtro azul en un proyector y un filtro rojo en el otro, el operador observa con unas gafas con un lente azul y el otro rojo, de manera que los ojos izquierdo y derecho vean sólo las imágenes proyectadas de las diapositivas izquierda y derecha, respectivamente. Este método de visualización estereoscópica se conoce con el nombre de SISTEMA ANAGLIFO. o Proyector I 1 . Proyector 2. Aparato para dibujar (mesilla) 3. Estereomodelo 4. Para! de soporte 5. Bombillo 6. 7. 8. 9. 1O. Figura 27.11 Proyección óptica y modelo estereoscópico (cortesía de Bausch & Lomb). FIitro Condensador Placa Objetivo Cono luminoso 346 TOPOGRAFÍA Otro sistema, denominado alternador de imagen estereoscópica, opera con obturadores de rotación rápida, instalados en los proyectores, y un ocular de visualización. Los obturadores están sincronizados de manera que los ojos izquierdo y derecho puedan ver sólo las imágenes provenientes de los proyectores correspondientes de la izquierda y de la derecha. Un tercer método, similar al anaglifo, utiliza filtros de polaridad opuesta. Existen varios sistemas de medición y trazado. En los instrumentos de • proyección óptica (Figura 27 .11) los rayos de luz de las imágenes son intersectados sobre la platina (pequeño disco circular blanco) de la mesilla de trazo. Un haz de luz emitido a través de un pequeño orificio en la platina proporciona la marca flotante que se puede hacer aparecer exactamente en un punto del modelo, subiendo o bajando la mesilla de trazo. Un lápiz situado debajo de la marca flotante permite ubicar el punto planimétricamente. Un contador unido a la mesilla trazadora detecta el movimiento ascendente y descendente, de modo que la elevación correspondiente a cualquier posición de la marca flotante se puede leer directamente. Cuando las diapositivas se colocan en los proyectores y las luces se encienden, los rayos correspondientes no se cortarán para formar un modelo claro debido a la inclinación de la fotografía y a las alturas de vuelo desiguales. Estos instrumentos se pueden desplazar linealmente a lo largo de los ejes X, Y, H y girar alrededor de ellos hasta que las diapositivas reproduzcan las condiciones exactas existentes en el momento de toma. Este procedimiento se llama orientación relativa, y cuando se realiza, los rayos correspondientes deben formar, por intersección, un modelo tridimensional perfecto. El modelo se lleva a la escala necesaria, haciendo que los rayos de por lo menos dos puntos de control, preferiblemente tres, se corten en sus posiciones trazadas en el dibujo preliminar preparado a la escala deseada. El modelo .se nivela ajustando los proyectores de manera que el contador indique las elevaciones correctas de cada uno de los puntos de control, mínimo tres, preferiblemente cuatro, cuando la marca flotante se coloca sobre ellas. La escala (medir o determinar la escala) y la nivelación del modelo se denominan orientación absoluta. Después de orientadas las fotografías, se pueden efectuar mediciones como la de secciones transversales a partir del modelo, o elaborar un plano o mapa. En trabajos de cartografía se identifican primero los elementos planimétricos, colocando la marca flotante en contacto con los puntos u. objetivos del modelo y delineando o recorriendo su contorno. Un trazador situado debajo de la marca de referencia traza o registra sus ubicaciones en el dibujo preliminar. Las curvas de nivel se delinean ajustando el contador de elevación sucesivaménte a cada altura de curva de nivel y desplazando la marca flotante a lo largo del modelo, manteniéndola en contacto con el NOCIONES DE FOTOGRAMETRÍA 347 terreno. Una vez terminado el dibujo preliminar, se revisa en busca de omisiones y equivocaciones. El dibujo definitivo se traza a tinta o se graba en material plástico. Los instrumentos estereoscópicos de proyección mecánica utilizan dos varillas metálicas de precisión para simular rayos .de luz. Las diapositivas se visualizan a través de binoculares mediante un sistema óptico de lentes y prismas. La marca flotante, constituida por un par de medios índices superpuestos en el sistema óptico, se mueve hacia arriba o hacia abajo, accionando un tornillo de J:nano o un disco de pie y se desplaza en las direcciones X y Y manualmente. Los instrumentos de proyección mecánica tienen las siguientes ventajas: se manejan en un cuarto iluminado, por un operador que puede estar sentado; son más versátiles; tienen mayor estabilidad y producen resultados más precisos. En la época actual, los sistemas de cartografía automatizada están provistos de restituidores o instrumentos de proyección mecánica, para facilitar en forma considerable el mapeo y las mediciones registradas. Con este sistema, después que el operador fija la marca flotante sobre un punto del modelo, se oprime un pedal o una tecla y las coordenadas X, Y y H del objeto se graban automáticamente. Las secciones transversales, los perfiles y los modelos digitales de elevación (MDE) son digitalizados rápidamente. Los mapas planimétricos pueden también compilarse con estos sistemas. Aquí el operador indica el tipo de objeto que se está mapeando, tecleando el código numérico de identificación. Cuando la marca flotante se fija y se oprime el pedal, esta información se registra junto con las coordenadas terrestres del objeto. Conforme avanza el mapeo, aparece en el monitor del computador el trabajo realizado. Cuando el mapa se termina puede obtenerse una copia en formato digital o impresa, transfiriendo los datos a un trazador automático. Los mapas compilados en forma digital tienen muchas ventajas: se pueden obtener en cualquier escala, son editables y se pueden actualizar con facilidad; además pueden integrarse con otros datos digitales para utilizarlos en proyectos de diseño ayudados por computador (CAD) o en los sistemas de información geográfica (SIG). Fotogrametría analítica Con la llegada de los computadores de alta velocidad y capacidad de almacenamiento, gran parte del trabajo realizado por los restituidores puede efectuarse económicamente, recurriendo a la fotogrametría analítica. Esta disciplina comprende mediciones precisas de las coordenadas fotográficas y la elaboración de un modelo matemático que se pueda resolver por análisis numérico. 348 TOPOGRAFÍA Los procedimientos de la fotogrametría analítica son muy precisos y adecuados para tener control vertical y horizontal mediante la "aerotriangulación". Precisiones de 1/15.000 de la altura de vuelo pueden determinarse fácilmente para las coordenadas terrestres X y Y calculadas y de 1/10.000 para la elevación H. Así para fotos tomadas a 1.800 m de altura de vuelo, X y Y pueden calcularse con una aproximación de 0,12 m y H con una de 0,18 m. Los restituidores analíticos combinan un sistema estereoscópico de precisión para medir coordenadas fotográficas con un computador. Cuando un operador coloca la marca flotante sobre los puntos del terreno, las coordenadas fotográficas x y y se introducen directamente en el computador que calcula las coordenadas X, Y y H en tiempo real. Los datos se tienen en forma digital y disponibles para usarse en los cálculos. En la Figura 27.12 se muestra un restituidor analítico de la casa Leica DSR 15, con un monitor a laizquierda que da al operador el registro visual del trabajo realizado y le permite comprobar y editar los datos digitalizados. Los restituidores analíticos con sus ventajas de rapidez operativa, precisión y versatilidad, están reemplazando rápidamente a los ópticos y mecánicos. Figura 27.12 Restituidor analítico DSR 15 (cortesía del Instituto Geográfico Agustín Codazzi). Fotogrametría digital (ortofotos) Las ortofotos son representaciones fotográficas en proyección ortogonal del terreno. Se obtienen a partir de las fotos aéreas en un proceso llamado RECTIFICACIÓN DIFERENCIAL, que elimina las variaciones de escala y los NOCIONES DE FOTOGRAMETRÍA 349 desplazamientos de imagen debidos al relieve y a la inclinación; por consiguiente, los objetos representados se muestran en su posición planimétrica verdadera. ' Los restituidores digitales modernos operan mediante computadores y producen ortofotos utilizando un procesamiento digital de las imágenes. El contenido de las fotografías es digitalizado automáticamente mediante un escáner de alta resolución y almacenado en el computador como una serie de pequeños elementos gráficos llamados celdas o pixeles, dispuestos sistemáticamente en filas y columnas. A cada pixel (pictttre ele11Je11t) se le asigna un valor digital que representa su densidad (grado de iluminación u oscuridad) . · En la Figura 27.13 se ilustra una estación de escaneo digital Leica de Relava para la digitalización de fotografías. Consta de una fuente luminosa de alta calidad y produce una imagen digital en disco o en cinta de muy buena resolución para usarse en el restituidor digital. Figura 27.13 Estación de escaneo digital Leica de Helava (cortesía del Instituto Geográfico Agustín Codazzi). El archivo de los datos digitalizados automáticamente se introduce en el restituidor digital (Figura 27 .14), el cual modifica los pixeles para tomar en cuenta las variaciones de escala y los desplazamientos de las imágenes, y luego los imprime electrónicamente para producir una ortofoto. Las ortofotos combinan las ventajas de las fotografías aéreas y de los mapas. Como fotografías, muestran los objetos del terreno con sus imágenes reales más que como representaciones de líneas y símbolos, siendo así más fáciles 350 TOPOGRAFÍA Figura 27.14 Estación fotogramétrica digital Leica de Helava. Estación estereoscópica para operaciones como la triangulación y la orientación con puntos de control, la edición de modelos digitales de elevación y el dibujo de líneas (cortesía del Instituto Geográfico Agustín Codazzi). de interpretar y comprender. Muestran los objetos en su verdadera posición planimétrica, como los planos; por consiguiente, las distancias, ángulos y áreas reales se pueden determinar directamente y si a las ortofotos se les adicionan nombres, cuadrícula y notas marginales se obtiene un ORTOFOTOlvIAPA, muy utilizado recientemente por la interpretación visual de sus elementos. Las ortofotos y los ortofotomapas se elaboran más rápida y económicamente que los mapas convencionales de línea. Son productos nuevos aún, pero por sus muchas ventajas ya han remplazado a los mapas comunes en muchas apliq1.ciones. CAUSAS DE ERROR EN LA FOTOGRAMETRÍA Algunas fuentes de error en los trabajos fotogramétricos son: Instrumentos (restituidores) no calibrados. Ubicación inexacta de los puntos principales. Deficiencias en la utilización de los datos de calibración de la cámara (distancia principal, posición del plano focal y marcas fiduciales). Considerar que se tienen fotografías verticales, cuando en realidad son inclinadas. Suponer la altura de vuelo uniforme cuando en realidad varía. NOCIONES· DE FOTOGRAMETRÍA 351 No considerar la contracción o expansión diferencial del· material fotográfico. Orientación incorrecta de las fotografías en los restituidores. Ajuste deficiente de la marca flotante sobre un punto. Equivocaciones - Lectura incorrecta de las escalas de medición. Confusión en el uso de unidades (pulgadas, milímetros). Confusión en la identificación de puntos homólogos en distintas fotografías. No consideración del desplazamiento debido al relieve. No proporcionar el fotocontrol adecuado o utilizar coordenadas erróneas. Fallas en los cálculos de coordenadas. Identificación incorrecta de los puntos de control. APLICACIONES PRINCIPALES DE LA FOTOGRAMETRÍA Los planos y mosaicos obtenidos de las fotografías aéreas se emplean como base para ejecutar un gran número de trabajos y proyectos en ingeniería, tales como diseño y localización de carreteras, ferrocarriles, aeropuertos, canales, acueductos y alcantarillados, líneas de transmisión eléctrica, irrigaciones, puertos marítimos y fluviales, urbanismo, estudios de tráfico, catastro, conservación del suelo, geología, estimativo de bosques, medición de áreas, fines militares, etcétera. Hay casos en que no se justifica, debido al costo, la ejecución de planos fotogramétricos detallados, pero un buen empleo de mosaicos o el estudio estereoscópico de las fotografías proporciona invaluables datos para un proyecto. PERCEPCIÓN REMOTA La percepción remota puede definirse como el estudio de las características de los objetos a distancia. En el contexto de la topografía y la fotogrametría, es la obtención de información sobre la tierra y el medio ambiente, a partir de imágenes logradas por sensores portados en aviones y satélites. Los sistemas de obtención de imágenes por percepción remota operan en forma parecida al ojo humano, pero pueden captar una región más amplia del espectro electromagnético. Las cámaras que exponen diferentes tipos de 352' TOPOGRAFÍA película se encuentran entre los sistemas de percepción remota. También se emplean sistemas no fotográficos como los barredores multiespectrales (MSS), los radiómetros, el radar aerotransportado de visión lateral y las microondas pasivas. A continuación se describe brevemente su forma de operar y el uso de las imágenes obtenidas. El sol y otras fuentes emiten energía electromagnética (EEM) en un amplio intervalo llamado espectro electromagnético. Los rayos X, la luz visible y las ondas de radio son algunos ejemplos conocidos. La energía se clasifica de acuerdo con su longitud de onda (Figura 27.15). La luz visible (energía a la que es sensible el ojo humano) tiene longitudes de onda (A) que varían entre 0,4 y 0,7 micrómetros y comprende una parte muy pequeña del espectro. Dentro de las longitudes de onda visibles, el ojo humano es capaz de distinguir diferentes colores. Los colores primarios (azul, verde, rojo) tienen longitudes de onda que varían entre 0,4 y 0,5, 0,5 y 0,6 y 0,6 y 0,7 micrómetros, respectivamente. Todas las otras tonalidades son combinaciones de los colores primarios. Al ojo humano un objeto aparece de cierto color porque éste refleja energía de una longitud de onda que produce ese color. Si un objeto refleja toda la energía del espectro visible, se verá blanco, y si absorbe toda la energía, se verá negro. Si el objeto absorbe toda la energía azul y verde se verá rojo. 1 1 10-10 1O-B 1 1 102 1010 10 4 108 10 6 Longitud de onda (milímetros) Figura 27.15 Espectro electromagnético. Así como la retin¡i del ojo humano puede detectar variaciones en las longitudes de onda, las películas fotográficas, o emulsiones, también se fabrican con sensibilidad a diferentes longitudes de onda (azul, verde, rojo y algunas a una parte del infrarrojo (IR)). Los sistemas no fotográficos, como el MSS (multiespectral), son transportados en satélites y pueden operar con longitudes ?e onda entre los 0,13 y NOCIONES DE FOTOGRAMETRÍA . 14 micrómetros. Los sensores del MSS aíslan la energía recibida en categorías espectrales discretas, o bandas, y luego la convierten en señales eléctricas que pueden representarse digitalmente. La escena barrida bajo la trayectoria del satélite consta de filas y columnas contiguas de celdas llamadas pixeles (contracción de pictt,re elemen~. Los dígitos asociados con cada pixel representan intensidades de las varias bandas de energía que están dentro de ellos. Este formato digital es ideal para el procesamiento y el análisis digital de imágenes de satélite. Las bandas de una escena pueden analizarse por separado, lo cual resulta muy útil al identificar e interpretar objetos detectados por los sensores, o bien, pueden combinarse las bandas en una sola banda compuesta. En la Figura 27 .16 se muestra una imagen lograda por un sistema Thematic Mapper (TM) llevado a bordo de un satélite Landsat; fue tomada a una altura de 1.000 km y muestra una parte del embalse de Tominé, en el departamento de Cundinamarca (Colombia). El embalse se observa en la parte superior. Estas imágenes son muy útiles en variadas aplicaciones. Pueden estudiarse las formaciones geológicas sobre áreas grandes, determinarse el Figura 27.16 Imagen Landsat TM de un sector del embalse de Tominé. (Banda 5, sector del I.R.). TOPOGRAFÍA número de lagos y ríos del área de estudio, lo mismo que sus posiciones relativas, formas y áreas, hac;:er una clasificación del uso y la cobertura del suelo para representarse después en un mapa a pequeña escala; estas aplicaciones se realizan mediante el procesamiento digital de imágenes. La tecnología de la percepción remota se ha aplicado a la localización de incendios forestales, a la detección de plagas en cosechas y árboles, al estudio de la fauna silvestre, a los estudios de prevención de desastres, al análisis del crecimiento y distribución de la población, a los estudios de la calidad del agua, a la actualización de mapas de escala pequeña, y a la detección de contaminantes, entre otros. La resolución espacial de los primeros sistemas de imágenes multiespectrales con satélite Landsat fue de 80 m. Esto se ha mejorado a 30 m en el actual Landsat Thematic Mapper (MT), usado para la imagen de la figura anterior. El satélite francés SPOT MSS tiene una resolución espacial de 20 m y el SPOT pancromático, que trabaja en una sola banda, de 10 m. Esta resolución permite, mediante la ampliación, la detección y el análisis de objetos pequeños y ha conducido a una gran cantidad de nuevas aplicaciones. En el futuro los topógrafos serán los encargados de cartografiar· los usos del suelo y obtener diversos tipos de información de las imágenes satelitales. Estos datos son una fuente de información para los Sistemas de Información Geográfica (SIG). La percepción remota desempeñará un papel importante al proporcionar datos para evaluar el impacto de las actividades del hombre en el agua, aire y recursos agrícolas, así como en la toma de decisiones y formulación de políticas relacionadas con el control y desarrollo de los recursos naturales. CAPÍTULO 28 DETERMINACIÓN DE AZIMUT POR AL TURA AesoLUTA DEL SoL INTRODUCCIÓN --""", n este capítulo se pretende hacer una breve presentación de la astronomía como auxiliar del ingeniero, cuando quiera que se trata de deter11====!.dminar el azimut de una dirección con mayor exactitud de la que puede obtenerse con la brújula. Teniendo entendido que los lectores están ya familiarizados con la trigonometría esférica y aun con los principios básicos de la astronomía de campo, solamente se hará un brevísimo resumen de tales principios para presentar el método de determinación del azimut de una dirección por medio de una observación solar: LA ESFERA CELESTE En la antigüedad se pensaba que el universo era un gran globo en cuyo centro se hallaba la Tierra, y en cuya superficie se encontraba una serie de puntos luminosos que eran las estrellas; pues bien, para el estudio de la astronomía de posición, ese gran globo se denomina la esfera celeste, y ya que se trata de poder determinar la posición de las estrellas y demás astros, deben introducirse varios puntos y círculos de referencia para establecer uno o varios sistemas de coordenadas. En la Figura 28.1 se han representado tanto la Tierra como la esfera celeste, y se ha colocado un individuo en una posición cualquiera sobre la Tierra. De tal manera, se pueden localizar los siguientes puntos sobre la esfera celeste: * Colaboración del ingeniero Luis Guillermo Aycardi, profesor ele la Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional de Colombia. 356 TOPOGRAFÍA E-E': Z y Z': N-S: polos norte y sur celestes: puntos de penetración en la esfera celeste de la prolongación del eje de la Tierra. ecuador celeste; sección determinada en la esfera celeste por el plano del ecuador terrestre. cenit y nadir: puntos de penetración en la esfera celeste de la vertical ascendente y descendente del observador que hemos colocado sobre la Tierra. horizonte del observador. cp Horizonte del observador E Figura 28.1 Tierra y esfera celeste. MOVIMIENTO APARENTE A pesar de que las estrellas tienen movimientos propios, éstos, debido a la gran distancia que las separa de la Tierra, son prácticamente despreciables, de tal suerte que las estrellas pueden considerarse como puntos fijos sobre 357 DETERMINACIÓN DE AZIMUT POR ALTURA ABSOLUTA DEL SOL la esfera celeste. Por otra parte la Tierra, como es bien sabido, gira de oeste a este; pero para facilidad del estudio se considerará un cuerpo fijo y, en cambio, se asignará a la esfera celeste una rotación alrededor del eje polar en sentido contrario al movimiento de la Tierra. A causa de esta rotación de la esfera celeste, las estrellas, que podían estimarse como puntos colocados en su superficie, describirán circunferencias que se denominarán recorridos de movimiento aparente de las estrellas. S1sTEMAS DE CooRDÉNADAS CELESTES El establecimiento de los diferentes sistemas de coordenadas es más cómodo si se pone la Figura 28.1 en la posición que indica la Figura 28.2, que es el resultado de girar la esfera celeste un ángulo de 90º - <p. Z' Figura 28.2 Esfera celeste y círculos principales. ----:-----,, S1-----------+------1N A Z' Figura 28.3 Coordenadas horizontales. 358 TOPOGRAFÍA Verticales Así se denominan los círculos que pasan por el cenit y el nadir, llamándose p1i!Jler vertical el que pasa por la dirección este-oeste. Meridianos celestes Son los círculos que pasan por los polos norte y sur celestes. Meridiano del observador Es el meridiano celeste que pasa por el cenit y el nadir. COORDENADAS HORIZONTALES En este sistema de coordenadas se determina la posición de un astro (e), por su azimut (A) y su altura (h), o por su azimut (A) y su distancia cenital (Z), (Figura 28.3). El azimut (A) es el ángulo medido a partir del norte, en el sentido NE, hasta encontrar el vertical correspondiente al astro (sus límites son O y 360º). La altura (h) es el ángulo medido a partir del horizonte sobre el vertical correspondiente al astro y hasta encontrarlo a él (sus límites son O y 90º). La distancia cenital (Z) es el ángulo medido a partir del cenit sobre el vertical correspondiente al astro (en la práctica sus límites son O y 90º). Por tener como referencia el horizonte del observador, el azimut y la altura de un astro varían según la posición del observador sobre la Tierra. Por otra parte, teniendo en cuenta que el recorrido aparente de los astros es paralelo al ecuador, en general y salvo el caso de lo que sucede para los individuos situados exactamente en los polos, el azimut y la altura son función del tiempo. COORDENADAS ECUATORIALES HORARIAS Si se traza el m,eridiano celeste para el astro que se ha colocado en una posición cualquiera e, puede localizarse el astro definiendo el ángulo horario (AH) y la declinación (ú). El ángulo horario (AH) es el que forma el meridiano celeste del astro con el meridiano del observador. Se mide de O a 180º, y se considera negativo para los. astros colocados al este y positivo para los situados al oeste del meridiano del obse1-vador. Y la declinación (ú) es el 359 DETERMINACIÓN DE AZIMUT POR ALTURA ABSOLUTA DEL SOL ángulo medido a partir del ecuador sobre el meridiano celeste del astro y hasta encontrarlo a él. Sus límites son-O y 90º, y se considera positiva hacia el norte y negativa hacia el sur del ecuador celeste (Figura 28.4). Z' Figura 28.4 Coordenadas ecuatoriales horarias. El ángulo horario depende tanto de la posición del observador como del tiempo, en tanto que la declinación -si se refiere a las estrellas- no varía, ya que se pueden considerar fijas sobre la esfera celeste, y por tanto, con recorridos paralelos al ecuador. COORDENADAS ECUATORIALES ABSOLUTAS füi e.ste sistema de coordenadas interviene la declinación (ó) del astro, ya definida anteriormente, y la ascensión recta (AR), que es el ángulo medido a partir del punto vernal ('Y), en sentido contrario al movimiento aparente de los astros y de O a 360° (Figura 28.5). 360 TOPOGRAFÍA El punto vernal El plano de la órbita de la Tierra alrededor del Sol no coincide con el plano del ecuador, sino que hace un determinado ángulo con éste (23° 27' aproximadamente). La sección que determina el plano del ecuador terrestre en la esfera celeste se denomina ecuador celeste y la sección que el plano de la órbita de la Tierra hace a la esfera celeste se llama eclíptica. Siendo la eclíptica y el ecuador dos circunferencias máximas trazadas sobre la esfera celeste, se intersectan en dos puntos, uno de los cuales es el p1111to vernal (Y). Figura 28.5 Coordenadas ecuatoriales absolutas. Ahora bien, ya que en la figura adoptada se ha considerado la Tierra como fija, la eclíptica corresponderá en esta figura al recorrido aparente del Sol en un año, con lo cual el Sol tien~; además del movimiento diurno (paralelamente al ecuador), un movimiento anual sobre la eclíptica, que se realiza en sentido contrario al movimiento aparente de las estrellas. Con este concepto previo puede decirse que el punto vernal, llamado también eq11inoccio de pri1JJavera, corresponde a la posición del Sol el 21 de marzo, fecha en la cual, además, tendrá declinación de 0°, ya que se encuentra también sobre, el ecuador; tres meses después (22 de junio) el Sol se encontrará en el punto M (solsticio de verano), con una inclinación de +23°27', y ocupará sucesivamente las posiciones N y P (eq11inoccio de otoíio y solsticio de invierno), con declinaciones de 0° y -23°27', respectivamente (Figura 28.6). 361 DETERMINACIÓN DE AZIMUT POR ALTURA ABSOLUTA DEL SOL Figura 28.6 Ecuador celeste, eclíptica y punto vernal. En consecuencia, el Sol adopta declinaciones entre -23°27' y +23°27' y AR variables entre O y 360° a través del año, en tanto que las estrellas tienen declinaciones y ascensiones rectas prácticamente constantes, puesto que el punto vernal es, como ellas, un punto fijo colocado sobre la esfera celeste. (Las pequeñas variaciones de AR y ó de las estrellas se deben a fenómenos que no se tratarán acá, y sus valores, tanto para las estrellas como para el Sol, se encuentran en las Eje1JJérides solares, o en el Al11Janaq11e ncí11tico, libros de los cuales diferentes países hacen ediciones anuales). EL TRIÁNGULO ASTRONÓMICO z Z' Figura 28.7 Triángulo astronómico. 362 TOPOGRAFÍA Analizando una posición arbitraria e, de un astro, se denomina triángulo astronómico al triángulo esférico que forman el astro, el cenit y el polo norte; por tanto, los lados del triángulo astronómico valen 90-cp, 90-o y Z, y los ángulos en Z y P 11 son medidas del azimut y del ángulo horario, en ese orden (Figura 28.7). Se comprende así claramente cómo, si se tienen un valor aproximado de la latitud en la cual se encuentra el observador, el correspondiente valor de la declinación del astro (Sol o estrella) en el instante de la observación, y con el teodolito se mide su distancia cenital, se puede determinar con auxilio de las fórmulas de la trigonometría esférica el azimut del astro, que se1-virá a su vez para determinar el azimut de una dirección, tal como aparece en la Figura 28.8. Figura 28.8 Esquema de los ángulos considerados. CORRECCIONES POR REFRACCIÓN Y PARALAJE De los tres lados del triángulo astronómico que sil-ven para calcular el azimut del astro, solamente requiere medición en el terreno la distancia cenital, ya que la declinación es un dato que se obtiene en el Catálogo de estrellas o en las Efe111érides solares, y debe tenerse un dato lo más aproximado posible de la latitud del lugar. Sin embargo, a la distancia cenital de la obse1-vación deben hacerse correcciones por refracción y por paralaje, correcciones que se analizarán muy someramente. Refracción Por efecto de la refracción atmosférica, los astros se ven más altos de lo que realmente están, de tal modo que la distancia cenital que se mide a un astro DETERMINACIÓN DE AZIMUT POR ALTURA ABSOLUTA DEL SOL 363 es menor de la que realmente tiene, y así se deberá sumar un cierto valor a la distancia cenital medida para tener el valor de la distancia cenital verdadera. Esta corrección es un valor que varía con la temperatura, la presión barométrica y la distancia cenital misma, y sus valores se encuentran en función de tales variables, en diversas publicaciones. Es bueno tener en cuenta, sin embargo, que la corrección para un astro en el cenit es O, y alcanza su valor máximo -aproximadamente 32'- para el astro en el horizonte; por ser menor para distancias cenitales menores, siempre se prefiere efectuar la observación cuando el astro tiene una distancia cenital inferior a 45°. Paralaje A observadores situados en cualquier posición sobre la Tierra les resultaría demasiado difícil tabular la posición del Sol, así que las observaciones deben corregirse de tal modo que sus valores sean los mismos que se habrían obtenido desde el centro de la Tierra. Según este concepto, es lógico que dicha corrección no se tenga en cuenta si se trata de observaciones de estrellas, debido a la gran distancia a que se encuentran. La corrección por paralaje es de sentido contrario a la corrección por refracción, y su valor depende también de la distancia cenital misma; se puede demostrar· fácilmente, llamando: p = corrección por paralaje; P = paralaje horizontal (para el astro en el horizonte), que cumple la relación p = P sen Z. Se puede tomar como valor promedio de P: 8".8; pero también se acostumbra simplemente, cuando la distancia cenital es mayor de 20°, tomar como valor de p: 6" y restar en consecuencia siempre 6" a las distancias cenitales medidas con el aparato. En resumen, para calcular la distancia cenital verdadera se empleará la relación: Zv Z Z0 R V Z 0 + R - 6" distancia cenital verdadera distancia cenital de la observación corrección por refracción 364 TOPOGRAFÍA DETERMINACIÓN DE AZIMUT Recordando que se trata de establecer en el terreno solamente la distancia cenital del astro en un instante determinado, tomando a su vez las lecturas del círculo horizontal al astro y a una señal (punto X sobre la línea de la cual se desea conocer el azimut) que debe estar colocada siquiera a unos 300 metros del observador, es bueno ·tener en cuenta que se obtendrán resultados más exactos cuando el astro varía lentamente de azimut y rápidamente de altura, lo cual sucede precisamente cuando éste se encuentra lo más cerca posible del primer vertical. Procedimiento Puesto que se deben tomar los ángulos horizontal y vertical al astro en un instante determinado, surge una dificultad en el caso de la observación solar por la imposibilidad de establecer el centro del Sol; por tal motivo la práctica corriente consiste en efectuar, como mínimo, dos observaciones al Sol para cada determinación del azimut, siendo la primera de ellas en posición directa del anteojo y localizando el Sol como se indica en el esquema A de la Figura 28.9, para realizar luego la segunda en posición inversa y según el esquema B de la misma figura. El promedio de los resultados obtenidos en esas condiciones equivale a una observación del centro del Sol. A B Figura 28.9 Esquema de las dos observaciones al Sol. Al efectuar las dos observaciones en la forma que se acaba de indicar se eliminan, si existen, el error de colimación (no coincidencia de la línea de vista con el eje del anteojo) y el error índice (el ~írculo vertical no lee 0° 365 DETERMINACIÓN DE AZIMUT POR ALTURA ABSOLUTA DEL SOL 00'00" cuando la visual está horizontal). La segunda observación debe hacerse inmediatamente después de efectuada la primera, procurando que el tiempo transcurrido entre una y otra observaciones sea el menor posible. Para cada una de tales observaciones, el procedimiento consiste en dejar el hilo horizontal en espera del Sol, y mantener en contacto el borde del Sol con el hilo vertical (por medio del tornillo de movimiento lento) hasta el _instante de tangencia simultánea con ambos .hilos del retículo. Debe aclararse que no importa cuáles cuadrantes se· utilicen, siempre y cuando las dos observac_iones se realicen en cuadrantes opuestos. Generalmente, para cada determinación se acostumbra realizar la práctica en el siguiente orden: a) Dirigir la visual a la señal y tomar la lectura del círculo horizontal en posición directa del anteojo. b) Todavía en posición directa del anteojo, tomar las lecturas horizontal y vertical del Sol (Figura 28.9, parte A) y registrar el tiempo cronométrico de la observación, siendo suficiente la aproximación de un minuto. El tiempo anotado es aquel que marque el cronómetro del observador en el momento de la obse1-vación. 1 OBSERVACIÓN PARA AZIMUT POR ALTURA ABSOLUTA Prosión baromótrlca Estado dol cronómotro Lugar .e o GO,A Moyo Focha OBJETO Soñal X Sol Sol -P-d- Soñal X Posición 24 - Círculo horizontal D G.5ª 20' 10• o 2<(.' .32 '42' Circulo vortlcal PROMEDIO (Zo) cron~:::-:1,100 :zc,4• 3.!J' 2,· 1 2~· 20· 10· 32• 1.9' 50" ;,;r o9'oo· Promodlo GS" 2o' 10• N 40" 41' º'N /01, ¡¡;,., /0 h ¡.;.,.. 8 \/.SI''"" A L. G-, .4 ¡oh 12"' 31•-1e•-10 • 24•.3.3'04" 1 W/LO 'T2. Jnstrumonto PROMEDIO Ad. 9,,, 501 Estrollo /9G4 56 em /BºC Tomporatura Figura 28.10 Modelo de formato para la observación de azimut. DIAGRAMA X 366 TOPOGRAFÍA c) Transitar el aparato, y tomando el Sol en la posición B, realizar de nuevo las lecturas de los círculos horizontal y vertical, tomando otra vez la lectura del cronómetro. d) También en posición inversa, dirigir de nuevo la visual a la señal y tomar la lectura del círculo horizontal. La Figura 28.10 proporciona un modelo de formato para la observación; con base en los datos allí consignados se calcula el azimut de la dirección A-X, según el modelo de cuadro de cálculo (Figura 28.11) en el que A es la posición del aparato y X el sitio en el cual se ha colocado la señal. 367 DETERMINACIÓN DE AZIMUT POR ALTURA ABSOLUTA DEL SOL AZIMUT POR ALTURA Cuadro da ABSOLUTA Sal Estrella Declinación _ _ _ _ _ __ Cálculo Fecha Lugar____l3 __ o_s_o_r_A______ Presión barométrica Temperatura 4º ;38' N Latitud FÓRMULA n = 90º- 6 EMPLEADA sen t•o½ = (p-b) sen b=00º-q> • sen (p-o) o = i!v p . son (p-n) 2p CÁLCULO DE LA DECLINACIÓN (Sol únlonmento) CÁLCULO DISTANCIA ¡olt /4"' Zo Estado oronómotro Ad. 9"''"· Corrección por refrnoolón Corrección por pnrnlnje do Longitud Tiempo do /Oh osm obsorvnclón del del 5h lugar (observnoión) w /6h n Oh. os'" n 20• 4.:?>'Se" + b 7' /.511 00-0 p P - n (-} i!v = o V n r J ne 1 6 n - - - - - - - ~+ -~ Deollnnolón (+) _ _ _ _ 2_6_• Morldlnno Groenwlch 0ocllnnclón + b + o O E LA CENITAL Horn oronomélrlon Horn =n Sol e 20• SI' 1.3" (O) Sumn 6 9• 01'47" =n 9.,- 2s• Jog. son p T, 9992237 24"' /(,' 4z• log, sen (p - n): 7, 03' 29" log. son (p - b): T, /4{.C7..S0 ¡3• lag. sen (p - o): T, 942/909 e· p - o GIº 05' (2) - ( 1) lag tng 7, = A 2 2e•.do' A y= (Azimut Sol) Azimut A Cnlculó 22' .32º 20· 10" lf,/4021O 47" :50' 67" Suma (1) IT.M324471 Suma (2) l1oeeei:.s9 8 N oe" -57• 20' /~M = dirección B.5º --17.562/2 T. 73 78 /06 = oe· /86° = 2p 2.!Jw p - b tE, ., .. = 98' 07' 22'1 L. G A X Revisó A. 7:N Figura 28.11 Modelo del cuadro de cálculo para la determinación de azimut. I CAPÍTULO 29 PRINCIPALES CARACTERÍSTICAS DE LOS APARATOS MODERNOS EMPLEADOS EN TOPOGRAFÍA INTRODUCCIÓN n este capítulo se tratará de dar al estudiante de topografía una idea de las innovaciones que, a través de años de experiencia en la fabricación y en el empleo de los aparatos de topografía, se han ido introduciendo en el diseño y construcción de éstos, para obtener así resultados más exactos con aparatos cada vez más sencillos, livianos y de fácil operación. Con el propósito de hacer clara y elemental la explicación de estas innovaciones, se han omitido todos los cálculos que trae consigo la solución de los problemas optomecánicos que se han aplicado en la nueva técnica de fabricación de aparatos topográficos. El teodolito clásico (el cual se estudió en el Capítulo 7), o sea el aparato tradicional, utiliza un sistema puramente mecánico para la medición y lectura de ángulos, en tanto que en los aparatos modernos se aplica la óptica para este propósito, con lo cual se pretende eliminar los errores de construcción y disminuir los personales. Además, en todas las partes móviles del instrumento se ha suprimido el sistema de bujes metálicos (que ofrecía desgaste y, por consiguiente, desajuste) y se ha remplazado por el sistema de rodamiento (que presenta mejores condiciones por su funcionamiento, poco desgaste y, por tanto, gran ajuste). El anteojo de los teodolitos y niveles modernos, por ser de enfoque interno e imagen invertida, tiene las ventajas de ser más corto, de longitud constante y herméticamente cerrado (con lo cual se evita la entrada de mugre, que ocasiona obstrucciones y desgaste). Además de estas ventajas, que hacen que el aparato sea de dimensiones menores que las del aparato tradicional y de menor peso, la construcción misma del anteojo hace que las constantes taquimétricas sean 100 y O (100 la de multiplicación y O la de adición), con lo cual se simplifican los cálculos taquimétricos. Se observa una marcada tendencia de los fabricantes de aparatos de topografía a perfeccionar y simplificar los sistemas taquimétricos autorreductores, 370 TOPOGRAFÍA es decir, aquellos sistemas en los cuales, gracias a un retículo de trazos móviles y a una mira graduada especialmente, se pueden obtener distancias horizontales y verticales con gran precisión, sin necesidad de medir directamente o hacer operaciones a.ritméticas (véase el Taqtúmetro autorreductor, capítulo 22). Aparte de estas mejoras generales en la construcción de los aparatos modernos, se pueden citar las siguientes innovaciones como las principales: "el doble círculo", "la plomada óptica", "el micrómetro óptico" y las introducidas en el diseño y construcción de los trípodes. En las secciones siguientes se estudiarán en detalle estas innovaciones, las cuales han contribuido a perfeccionar el funcionamiento y simplificar la operación de los clásicos aparatos empleados en los levantamientos topográficos. PRINCIPALES INNOVACIONES INTRODUCIDAS La plomada óptica - - - - - E j e vertical Imagen vista en el ocular @ Prisma ...__ ___;Objetivo del colimador ~---Estaca Figura 29.1 Esquema de.la plomada óptica. PRINCIPALES CARACTERÍSTICAS DE LOS APARATOS MODERNOS 371 Este dispositivo óptico hace las veces de plomada en la operación de centraje del aparato y de ahí deriva su nombre. Consta de un colimador, provisto de un ocular con retículo y de un objetivo, y de un prisma interior por medio del cual, desde el ocular del colimador, el observador puede ver el punto sobre el cual se va a centrar el aparato (Figura 29.1). El observador puede así deslizar el aparato sobre la cabeza del trípode hasta que el punto sobre el cual se va a centrar aparezca dentro del retículo circular que tiene el colimador; es lógico que el aparato esté nivelado para que la línea de vista de la plomada óptica sea vertical. El doble círculo Esta propiedad del "d_oble círculo" no significa que realmente el aparato posea doble sistema de círculos sino que, gracias 'a un complejo sistema de prismas que interiormente trae el aparato, la lectura que en determinado momento se toma es la media aritmética de las dos regiones opuestas del círculo (180° de diferencia), con lo cual se evitan los errores que podrían ocasionar la excentricidad del círculo y el error natural en la graduación debido al sistema mecánico, único posible, empleado en grabar los círculos. Para hacer posible este sistema los círculos se han construido de cristal, tanto el vertical como el horizontal, y el rayo de luz que los atraviesa es llevado luego (por el sistema de _p1-ismas) a un microscopio situado a un lado del ocular del anteojo, así que el observador no necesita cambiar de posición alrededor del aparato para realizar la lectura correspondiente. En la Figura 29.2 se puede apreciar un esquema del funcionamiento de este sistema (para el círculo horizontal únicament1:). Se observa que los círculos tienen dos escalas grabadas: una cifrada, con intervalos cada 20' Oa externa), y otra con divisiones de grado en grado, sin cifrar (la interna). KERNAARAU Figura 29.2 Esquema del sistema doble círculo. 372 TOPOGRAFÍA La lectura, tanto del círculo vertical como del horizontal, se hace por el ocular del microscopio, el cual en algunos aparatos es sencillo y en otros trae micrómetro óptico. Cuando el microscopio es sencillo, la lectura se lleva a cabo así (se toma como ejemplo el caso de la Figura 29.3): 360º C!rculo vertical a= 69º 20' b= 6' 69º 26' C!rculo horizontal a= 215º 30' b= 8' 215º 38' Figura 29.3 Lectura del microscopio con doble círculo. En el campo del microscopio se registran dos escalas, tanto del círculo vertical (superior) como del horizontal (inferior): una escala con números, que indican los grados, y con inte1-valos de 20 minutos, y otra con divisiones cada grado y sin numeración, percibiéndose solamente un trazo de esta escal¡i, el cual sirve de índice para la lectura complementaria, como se verá más adelante. Cada imagen aparece recortada en tal forma que sólo se obse1-va un trazo de la escala no cifrada y el borde del recorte sil-ve de índice para la lectura. aproximada. Cada lectura se compone de 1) lectura aproximada (grados + decenas de minuto = a) y 2) lectura complementaria (número de minutos = b). Como las dos escalas se desarrollan en sentido inverso y se desea la media de las dos regiones opuestas del círculo, es necesario, al tomar la lectura complementaria, contar el intervalo de 20 minutos de la escala cifrada como si valiera diez minutos (Figura 29.3). Cuando el microscopio de lectura está provisto de micrómetro óptico la lectura se hace de una manera algo diferente, como se verá después. Micrómetro óptico Este dispositivo permite leer con exactitud la fracción por exceso o por defecto señalada por el trazo fijado (guía de lectura) entre dos divisiones del círculo principal. PRINCIPALES CARACTERÍSTICAS DE LOS APARATOS MODERNOS 373 El principio de su funcionamiento es el siguiente: la luz que ha penetrado a través de los círculos se hace pasar por un prisma de caras paralelas; este prisma está accionado por un brazo que encaja en un tornillo sin fin, puesto en movimiento por el botón del micrómetro y que, a su vez, se mueve en relación con el tambor graduado del micrómetro. Cuando la luz entra perpendicular en el prisma de caras paralelas no sufre ninguna desviación, pero tan pronto como se acciona el botón del micrómetro, el prisma gira empujado por el brazo y la luz sufre una desviación proporcional a dicho giro, al índic~ de refracción del prisma y a su espesor. Se gradúa, al construirlo, en forma tal que cuando el tambor del micrómetro (que está graduado en fracciones de la división -menor del círculo principal) haya dado vuelta por el valor total de la división menor del círculo principal, la luz que viene de los círculos se desvíe de un trazo al otro de la misma división. De acuerdo con la anterior descripción, cuando se mueve el micrómetro para medir la fracción, por exceso o por defecto del círculo principal, tanto la línea de vista como el círculo vertical y el horizontal permanecen quietos; el movimiento que se observa es el desplazamiento de la imagen de los círculos cuando se gira el prisma de caras paralelas. De los aparatos que traen micrómetro, unos emplean el sistema de "doble círculo" y otros no. El ejemplo de la lectura del micrómetro en cada uno de estos casos se puede ver más adelante, en el aparte en el cual se describen dos aparatos de los tipos más comunes y prácticos en los trabajos de topografía que ejecuta un ingeniero: el K.ern DKM-1 y el Wild T-16. Innovaciones introducidas a los niveles 1. Al igual que en los teodolitos, los anteojos tienen mayor potencia y luminosidad, y por ser de enfoque interno e imagen invertida, su longitud es constante y mucho menor que la de los anteojos de los viejos niveles. 2. El nivel que garantiza la horizontalidad de la visual viene ahora provisto de un dispositivo (un prisma, en esencia) por medio del cual el observador puede ver por una ventanilla, situada a un lado del ocular del anteojo, los dos extremos de la burbuja (tal como se ve en la Figura 29.4, parte A); al hacerlos coincidir (Figura 29.4, parte B), moviendo el tornillo de calado de la burbuja, el observador sitúa la burbuja dentro de sus reparos, o sea que hace que la visual sea horizontal. Este sistema se denomina "nivel de coincidéncia" y tiene la ventaja de que evita que el obse1-vador deba cambiar de posición para obse1-var y calar la burbuja; así se ahorra tiempo y a la vez se evita que el trípode sufra asentamientos o golpes debidos al constante movimiento del obse1-vador a su alrededor. 374 TOPOGRAFÍA , A B Figura 29.4 Nivel de coincidencia. },,..lgunos niveles modernos traen el nivel de coincidencia visible en el campo del anteojo, con lo cual en una sola operación el observador cala la burbuja y da vista para tomar la lectura correspondiente (Figura 29.5). Figura 29.5 Nivel de coincidencia dentro del campo del anteojo. 3. Como en los niveles modernos es fácil calar la burbuja, o sea hacer horizontal la línea de vista cada vez que se da vista, entonces no resulta tan importante. la exacta nivelación del aparato en todo momento. Así, sólo se requiere una horizontalidad aproximada del aparato y luego, con ayuda del nivel de coincidencia, se hará exactamente horizontal la visual correspondiente. PRINCIPALES CARACTERÍSTICAS DE LOS APARATOS MODERNOS 375 4. Existen niveles de precisión que no necesitan que el operador cale la burbuja para lograr que la línea de vista sea horizontal, ya que attfomáticaJJJente, por medio de un sistema óptico-rri.ecánico de compensación, la visual se mantiene en todo momento horizontal; esto es, sólo se requiere que el aparato esté aproximadamente nivelado. 5. Algunos niveles modernos vienen montados sobre un trípode de cabeza con articulación de rótula, que no necesita tornillos de nivelar, pues, aprovechando el basculamiento en todos los sentidos que proporciona la articulación de rótula, y con ayuda del nivel esférico ("ojo de pollo") que trae el aparato, éste se horizontaliza rápidamente en forma aproximada; luego, cada visual es nivelada por medio del tornillo de movimiento lento vertical, de acuerdo con el nivel de coincidencia. Otros niveles tienen el sistema de nivelación de cuñas: la base del aparato está formada por tres cuñas circu:lares que, al girarlas, le ·dan diferente inclinación a la base. Figura 29.6 Cabeza de trípode con articulación de rótula (Kern). Mejoras introducidas a los trípodes Los trípodes de diseño moderno tienden a proporcionar una instalación rápida, con el máximo de estabilidad a pesar de su poco peso. Las principales innovaciones han sido la mesilla o cabeza basculante, que se caracteriza porque el apamto va situado sobre una mesilla suspendida por un cardán e.n el interior de la cabeza del trípode; se puede bascular en todos los sentidos y fijarla en cualquier posición por medio de tres tornillos de presión. Dos 376 TOPOGRAFÍA niveles en cruz, montados sobre la mesilla, su-ven para ponerla horizontal rápidamente. Esto hace que cuando el aparato se coloque sobre ella le falte muy poco para estar exactamente nivelado y entonces se puede desplazar sobre la mesilla para su centrado y luego, con pequeños movimientos de los tornillos de nivelar, se nivela definitivamente (Figura 29.7). Figura 29.7 Cabeza de trípode con mesilla nivelante (Kern). Una reciente innovación ha consistido en diseñar la cabeza del trípode con articulación de rótula. Así, la plataforma (parte superior de la cabeza del trípode) en la que se va a montar el aparato se puede bascular en todos los sentidos y fijar en cualquier posición por medio de un tornillo de presión situado por debajo de la cabeza del trípode. Se monta el aparato sobre la plataforma de la cabeza del trípode y con ayuda del nivel esférico ("ojo de pollo") que trae el aparato, se horizontaliza y luego se fija en esa posición ajustando el tornillo de fijación. Esta clase de trípodes se usa para montar sobre ellos los niveles, los cuales no requieren la operación de ce.ntraje. Para aplicar esta clase de trípodes (de cabeza con articulación de rótula) a los teodolitos, se han ideado los trípodes centrantes (o de bastón), los cuales llevan, solidario con la articulación de rótula, un bastón metálico que sirve para el centraje. El bastón lleva un nivel esférico ("ojo de pollo") por medio del cual, a la vez que se centra el aparato, se nivela aproximadamente. Así pues, por medio de estos dispositivos se alcanza, en una sola operación, una horizontalización aproximada y un éentraje bastante aceptable (con aproximación menor de 1 mm). Luego se monta el aparato sobre la plata- .. PRINCIPALES CARACTERÍSTICAS DE LOS APARATOS MODERNOS 377 forma de la cabeza del trípode y con un pequeño movimiento de los tornillos de nivelar se logra la nivelación exacta del aparato. INSTRUMENTOS ELECTRÓNICOS DE MEDIDAS Medición electrónica de distancias Hacia el año de 19 50 aparecieron los primeros aparatos electrónicos para medir distancias, llamados distanciómetros. Un dispositivo envía una onda de energía electromagnética desde un extremo de la recta por medir hacia el otro extremo, donde se coloca un espejo o prisma; en éste se refleja y regresa al primer punto. Conociendo la frecuencia de la onda portadora se puede determinar indirectamente el tiempo gastado en el recorrido de la doble distancia y conociendo, además, la velocidad con que se mueve la onda en el aire, se puede calcular la distancia, que se lee en una ventanilla (Figura 29.8). La forma usual de clasificar los medidores electrónicos de distancias (MED) es considerando la longitud de onda de la energía electromagnética: a) Los equipos electroópticos envían luz (rayos infrarrojos) que, en el extremo de la recta por medir, se refleja mediante un retrorreflector de uno o varios prismas. b) Los equipos de microondas transmiten microondas; en ellos se deben usar dos unidades iguales, una de las cuales transmite la señal (estación maestra) y la otra la recibe y la regresa al punto inicial (estación remota). Figura 29.8 Distanciómetro (Sokkisha). 378 TOPOGRAFÍA La frecuencia de las ondas electromagnéticas puede controlarse con mucha precisión, con lo cual el tiempo recorrido se determina con gran exactitud; la velocidad, en cambio, varía con la temperatura, la humedad y la presión atmosfédcas, por lo cual hay que medirlas para hacer las correcciones del caso. Los fabricantes hacen distanciómetros para medir distancias desde alrededor de 1 km para trabajos topográficos comunes, hasta unos 60 km para trabajos geodésicos; la precisión está afectada por dos errores: los errores fijos, que son del orden de 5 a 10 mm, y los errores variables, en función de la distancia, que son del orden de 5 ppm (cinco partes por millón). El distanciómetro mide propiamente la distancia inclinada .entre los dos puntos dados, pero proporcionándole el ángulo vertical al procesador se pueden obtener la distancia horizontal y la diferencia de nivel (ver Nivelación trigonométrica). Teodolitos electrónicos Lo mismo que muchos otros instrumentos de ingeniería, los teodolitos han recibido la influencia de la electrónica, lo cual los ha mejorado en varios aspectos. Figura 29.9 Teodolito electrónico (Topean). PRINCIPALES CARACTERÍSTICAS. DE. LOS APARATOS MODERNOS 379 En primer lugar, la forma exterior de los aparatos prácticamente no ha variado en relación con los teodolitos prismáticos. El cambio más notable es la presencia, debajo del telescopio, de una ventanilla donde aparecen digitalmente los ángulos horizontales, los verticales y algunos otros datos como las pendientes de las visuales, por ejemplo. Los ángulos se dan en grados, minutos y segundos, con aproximación de 3", 5", 10" o 20", normalmente. El teodolito requiere, obviamente, pilas eléctricas para que funcione su parte electrónica. Los ángulos pueden medirse en sentido horario o el opuesto, según convenga para el trabajo. Normalmente el teodolito tiene· plomada óptica, pero también cuenta entre sus accesorios con plomada corriente. Por lo demás, el teodolito electrónico (Figura 29.9) se usa en idéntica forma que los optomecánicos tradicionales, y los ángulos, como ya se dijo, se pueden leer digitalmente para anotarlos en una cartera de campo tradicional o el instrumento puede tener su "cartera electrónica", en la cual se registran automáticamente los datos para trasladarlos después al computador que los va a procesar. Estaciones totales Se conocen con este nombre los instrumentos que combinan un teodolito electrónico y un medidor electrónico de distancias con su correspondiente microprocesador. Así, con una estación total se puede determinar la longitud y la dirección de cada visual en forma muy exacta y muy rápida, por lo cual se le da también el nombre de "taquímetro electrónico". Además, el microprocesador generalmente sirve para calcular los componentes horizontal y vertical de la distancia, lo mismo que para hallar el azimut de la visual y, con ellos, las coordenadas horizontales y vertical del punto buscado; los resultados se pueden almacenar o enviar a una impresora pata hacer el dibujo. Como los teodolitos electrónicos simples, las estaciones totales tienen un teclado mediante el cual se dan las órdenes de control. Hay algunas que, incluso, reciben órdenes a control remoto y que se llaman "estaciones totales robotizadas" (Figura 29.10). Estas estaciones totales, como los demás teodolitos y niveles, tienen muchos elementos de vidrio, como lentes y prismas, que las hace muy frágiles y costosas; pero a esto se añade que los elementos electrónicos son muy delicados. Por tal razón se recomienda que el uso, empaque y traslado de dichos aparatos se haga con sumo cuidado para evitars~ problemas que, además, resultan generalmente muy costosos. 380 TOPOGRAFÍA Figura 29.10 Estación total. El GPS (Sistema de Posicionamiento Global) El GPS es un sistema de medición tridimensional que utiliza señales de radio que proporciona el sistema NAVSTAR (Navigation Satellite Time and Ranging) del gobierno de los Estados Unidos. Particularmente recibe este nombre un instrumento, de los más modernos utilizados en topografía, que se puede usar en levantamientos topográficos corrientes o para establecer puntos de control (como sustituto de la triangulación o la trilateración), y que funciona como un punto vértice del sistema GPS. (Para un mayor detalle ver capítulo 31). Este sistema está conformado por tres segmentos: a) El espacial, que es un conjunto de 24 satélites NAVSTAR, del Departamento de Defensa de los EU, localizados en seis planos orbitales, de órbitas casi circulares alrededor de la Tierra y a una altura de cerca de 20.200 km. En cada sitio de la Tierra son visibles siempre entre cuatro y seis satélites PRINCIPALES CARACTERÍSTICAS DE-.LOS APARATOS MODERNOS 381 para un cubrimiento en 3D (tres dimensiones) y el sistema está a disposición de los usuarios de todo el mundo sin costo alguno. b) El terreno, compuesto de cinco estaciones terrestres, distribuidas estratégicamente en todo el mundo, que envían de modo permanente información georreferencial a los satélites; éstos, a su vez, mandan esa información con datos adicionales a los receptores GPS. c) El usuario, que es cada uno de los instrumentos receptores con sus correspondientes "softJVare de posproceso". Ellos reciben las señales de los satélites y les hacen los ajustes para corregir los efectos ionosféricos y de degradaciones de señal que, por razones de seguridad, maneja el Departamento de Defensa. Midiendo el tiempo que gasta la señal en viajar desde el satélite hasta el receptor GPS se fija la distancia entre los dos, y a partir de la posición del satélite en el espacio se determina la posición (coordenadas) del punto (Figura 29.11). Figura 29.11 Aparato receptor GPS. Utilizando "efemérides radiadas" se puede conocer con anticipación a la medición la órbita del satétile y, por tanto, su localización en el momento de tomar los datos; así se hacen "levantamientos cinemáticos en tiempo real" para levantamientos topográficos normales. En cambio, para levantamientos de control la localización de un punto se hace con "efemérides precisas", que dan la posición del satélite sobre la órbita que "realmente recorría" en el momento de medir y que es más exacta que la obtenida con 382 TOPOGRAFÍA efemérides radiadas. Utilizando otra unidad GPS en un punto de la Tierra cercano y de coordenadas conocidas se mejora la precisión de las coordenadas buscadas. La relación de espacios entre un satélite y el punto donde está el receptor GPS. en el instante de la observación se especifica en un sistema de coordenadas rectangulares tridimensional que tiene como origen un foco de la órbita del satélite; como eje de las x está la línea de los ápsides (recta que une los dos focos); el eje de las y se halla en el plano de la órbita y el eje de las z es perpendicular a ese plano. Estas coordenadas se pueden transformar en coordenadas geodésicas Qatitud, longitud y altura) con respecto al elipsoide de referencia que es el Sistema Geodésico Mundial de 1984 (WGS 84), el mismo Datum norteamericano de 1983 (NAD 83). CAPÍTULO 30 TOPOGRAFÍA HIDROGRÁFICA INTRODUCCIÓN odos los temas a los cuales se ha hecho referencia en los capítulos anteriores implican procesos topográficos sobre puntos del terreno que están en la superficie seca de la tierra, o sea por encima del nivel de las aguas. Podría decirse, por tanto, que se trata de topografía terrestre. Sin embargo, las dos terceras partes del planeta están bajo las aguas de los océanos, los lagos y los ríos. El conocimiento de la forma de la tierra bajo el agua corresponde a otro capítulo de la topografía, tan amplio como el de la superficie seca. Este es el campo de la topografía hidrogr4ftca, que se dedica a la medición de profundidades y determinación de los lechos subacuáticos. Es el campo denominado batimettia. Este campo hoy en día se desarrolla en fm-ma totalmente computarizada, utilizando los más modernos sistemas de medición electrónica de distancias por microondas, de profundidades por ecosondas, de posicionamiento por sistemas conocidos .como GPS (ver Capítulo 31). En la topografía terrestre el proceso de toma de datos lo realizan el topógrafo y sus auxiliares ubicándose físicamente con el equipo (tránsito, jalones, miras, etc.) en los puntos de estudio sobre la superficie terrestre. En el caso de la topografía hidrográfica, los puntos están debajo del agua, en medio de ríos, lagunas lagos o el mar, a distancias más o menos grandes de las costas, a los cuales no se puede llegar caminando y donde no se pueden ubicar fácilmente el equipo o las personas. Esto implica, por tanto, un sistema de toma de datos muy diferente del usado en topografía terrestre. Para ubicarse en un punto específico en medio de un l'Ío, lago o mar, debe disponerse de un barco con equipo especializado para determinar las coordenadas de su posición, con respecto a una línea base en la costa. La medición de la distancia se efectúa por medios electrónicos, toda vez que no es posible hacerla con cintas métricas, como en el caso terrestre. Esto se realiza con equipos de radioposicionamiento por microondas, o utilizando equipos GPS. 384 TOPOGRAFÍA La medición de distancias por microondas Las microondas son ondas electromagnéticas de longitud de onda muy corta, cuyo espectro varía entre los 3 y los 30 gigahertz (GHz). Son similares a las ondas de luz, ya que pueden ser reflejadas por cualquier objeto cercano, viajan en línea recta y a la misma velocidad de la luz (300.000 km/ seg). Las microondas se usan tanto para los enlaces satelitales como para enlaces terrestres. En este capítulo se estudiarán los enlaces terrestres, puesto que los satelitales se usan en GPS. Los equipos que generan las microondas básicamente constan de un magnetrón y una antena direccional dual de recepción-transmisión, operados por baterías, con los correspondientes circuitos electrónicos para detectar los impulsos de llegada y emitir sus propios impulsos de respuesta. Varían en capacidad de distancia de transmisión desde 15 hasta 80 km. Si un pulso de microondas viaja a velocidad conocida y constante (V), y si se conoce el tiempo (T) al que el pulso ha estado viajando, se puede calcular la distancia recorrida usando la ecuación D = VT, o sea distancia igual a velocidad por tiempo. Esta es la base fundamental del sistema de posicionamiento por microondas. Sin embargo, es necesario eliminar ciertas complicaciones. Por ejemplo, si el cronómetro sólo mide millonésimas de segundo, únicamente se pueden medir distancias con una aproximación de 300 metros. Esta y muchas otras consideraciones las han tenido en cuenta los fabricantes de equipos de medición de distancias por microondas para solucionar tales inconvenientes por medio de los avances en la electrónica de los aparatos y en los métodos de medición, los cuales permiten precisión por debajo de ±1 m. Un concepto importante que hay que considerar en transmisión por microondas es que debe existir visión directa entre las antenas. Como la medición de distancias por microondas depende de la propagación en línea recta, la trayectoria entre antenas ha de estar libre de obstáculos. Altura y distancia inclinada Para asegurar una visual, el transponder remoto debe colocarse en un sitio elevado, de· modo que no haya interferencia en la visual entre el remoto y el máster. Como este sistema mide la distancia en línea recta entre las antenas de los tra11spo11der, hay que convertir dicha lectura en distancia horizontal. Es necesario, entonces, tener en cuenta las diferencias de nivel involucradas. 385 TOPOGRAFÍA HIDROGRÁFICA Efectos de la curvatura de la Tierra La redondez de la Tierra influye en los equipos de medición de distancias por microondas. Cuando se intenta medir distancias largas, deben estar elevados tanto el máster como el remoto, para mantener la visual entre cada estación por encima de la curvatura de la Tierra. Para trabajar una distancia máxima dada, ésta depende de la altura tanto del máster como del remoto. ~ I" '' ' Figura 30.1 Efecto de la curvatura de la Tierra. La forma de la Tierra Si la superficie de la Tierra fuera plana, la medición de la distancia sería muy fácil y su cálculo podría hacerse por fórmulas de geometría o trigonometría plana, con resultados muy precisos; sin embargo, como la Tierra no es plana, el problema que enfrenta el topógrafo es cómo representar las características de la superficie terrestre en una hoja de papel plano. Tomando en consideración todas las posibles fuentes de error, una pequefia superficie de la Tierra que no exceda un radio de aproximadamente 22 km puede considerarse superficie plana. La verdadera forma de la Tierra es la de un esferoide o elipsoide achatado en los polos. La posición geodésica de un punto sobre la superficie terrestre se determina por su longitud y latitud. La latitttd es el ángulo en el meridiano medido a partir del ecuador y se expresa por la letra griega <j>. La lo11git11d es el ángulo medido sobre el ecuador a partir del primer meridiano o meridiano de Greenwich, tomado como meridiano 0°, y se indica por la letra griega A. Para los trabajos topográficos es necesario disponer de un mapa, el cual no es otra cosa que la representación plana de la Tierra sobre una hoja de papel, en la cual se han proyectado la latitud y la longitud de todos los puntos de la Tierra. 386 TOPOGRAFÍA Antes de hacer cálculos para establecer la distancia entre dos puntos de la superficie terrestre, en extensiones considerables, hay que desarrollar fórmulas que conecten la curvatura de la superficie terrestre con las mediciones efectuadas en el terreno. Estas distancias determinadas en línea recta deben corregirse por la curvatura de la Tierra, utilizando el factor de escala de la zona geográfica donde se hace el levantamiento, el cual a su vez depende de la latitud de los puntos que se están midiendo. Las fórmulas matemáticas para efectuar estas correcciones son materia de la geodesia, por lo cual se remite al lector a estudiar esta disciplina. Posicionamiento por microondas En la sección anterior se presentó el método para obtener la medición de una distancia simple exacta (con precisión de ± 1,0 m). Se necesita un mínimo de dos distancias para determinar una posición. Por ejemplo, para establecer la posición del máster (Figura 30.2) se deben instalar dos estaciones remotas a una distancia no muy alejada de la costa, en puntos de coordenadas geográficas conocidas, formando una línea base, cuya longitud queda definida. REMOT0-1 Figura 30.2 Posición de las estaciones remotas - línea base. La posición del máster, en relación con los dos remotos, se puede calcular conociendo la distancia a esos dos remotos. El procedimiento matemático se conoce como trilateración (ver Capítulo 11): El punto cuya posición se determina por este procedimiento se denomina jix. Exactitud de la posición Aunque la exactitud de lá medición con el sistema de microondas es de ± 1 metro, la verdadera exactitud del fix depende ·del ángulo de intersección de las distancias (véase Figura 30.3). 387 TOPOGRAFÍA HIDROGRÁFICA LÍNEA BASE q \ G /y) a \---~/ \ / \ DISTANCIA 1 / 1 ~~I ~~ / \ / \ 15 j DISTANCIA .9 Oo t±t__ ----- / ~ ~ !'!: 1 ~ ERROR DE FIX y DISTANCIA Figura 30.3 Error de fix por efecto del ángulo en la posición del máster. La práctica recomendada es la de mantener el ángulo de intersección "a" entre 30 y 150º; Con un error típico de ±1 metro, el error de fix a 30 y 150° es ±1/seno 15° (lo que da ±3,86 metros). A 90°, que es el ángulo ideal de intersección de distancias, el máximo error, de fix se reduce a ±1/seno 45° (lo que da ±1,4 metros). Distancias máxima y mínima para una base dada AB Teniendo en mente los límites de los ángulos de intersección, una línea base dada debe proporcionar un campo específico de operación aceptable, dentro de una distancia mínima y una máxima (Figura 30.4). 8 (Remoto - b) i 1RS = distancia ec = AB X - = 0.1340 AB 2 Tang 75° AB 2 LÍNEA BASE AB 1 RL = distancia ed = 2 X Tang 15• = 1.866 AB A(Remoto - a) Figura 30.4 Distancias máxima y mínima para un fix satisfactorio. 388 TOPOGRAFÍA Aun cuando el sistema de microondas tiene capacidad para medir hasta 80 km, los ángulos de 30 y 150º limitan las distancias máximas y mínimas con las cuales se puede trabajar, para obtener fixes precisos. Se observa que la distanda 11Jíni111a de trabqjo es cerca del 10% de la longitud de la línea base, y la distancia 11Jáxi11Ja es aproximadamente dos veces la longitud de la línea base (Figura 30.4). Redundancia de distancias - múltiples remotos Normalmente en sistemas de posicionamiento se tiende a tomar más distancias que las dos mínimas necesarias. El advenimiento de los equipos para adquisición de datos y cómputo a alta velocidad permite soluciones en tiempo real con información redundante de distancias. La .unidad de medición de distancias puede proporcionar distancias hasta de ocho estaciones remotas. Tres distancias casi siempre se intersectan para formar un triángulo. Hay muchos métodos para calcular un fix. con tres distancias. El usuario puede desarrollar los algoritmos para monitorear la calidad del fix, y. así trabajar fuera de los límites impuestos de 30 y 150°. La redundancia de distancias se puede extender a cuatro. El fix correspondiente a las mejores tres de las cuatro distancias es el que se determina finalmente como el más preciso. En este caso, una obstrucción a cualquier remoto, o la recepción de una señal reflejada, no tendrá influencia al usar el análisis de errores Medición de profundidades Puesto que la posición del máster corresponde a un punto sobre la superficie del agua, para efectos de determinar el lecho subacuático se debe medir la profundidad del agua en dicho punto. Para medir profundidades se utilizan equipós electrónicos especiales llamados ecosondas (Figura 30.5). Las ecosondas fundamentalmente son equipos que producen ondas sonoras, las cuales viajan a través del agua y rebotan en el fondo (efecto eco), siendo captadas en su viaje de regreso por una unidad de procesamiento de datos especializada en la recepción de ondas sonoras. Las ecosondas n? miden las profundidades directamente. Lo que realmente miden con gran precisión es el tiempo que tarda un pulso de sonido en viajar desde el transmisor hasta el fondo subacuático y volver al receptor. Este intervalo de tiempo (t) se convierte en profundidad multiplicándolo por la velocidad (v) del sonido en el agua (que es, en promedio, 1.460 m/ seg), así: Proftmdidad = ½(vt). 389 TOPOGRAFÍA HIDROGRÁFICA NIVEL DEL AGUA h +d h = Profundidad del transductor por debajo de la linea de flotación (constante) d = Lecl'ura de profundidad de la ecosonda PROFUNDIDAD= h Figura 30.5 Medición de profundidad por la ecosonda. Si la profundidad indicada por la ecosonda es correcta, entonces en teoría la medición de t debe ser correcta, y el valor de v usado en el cálculo debe ser igual a la velocidad promedio del sonido en el agua a través de la cual ha viajado el pulso. La velocidad del sonido en cualquier medio depende de la elasticidad y la densidad del medio. Cuanto mayor sea la elasticidad, mayor será la velocidad; cuanto mayor sea la densidad, menor será la velocidad; usualmente la elasticidad tiene un efecto mayor que la densidad. La elasticidad y la densidad del agua dependen ambas, en diferente medida, de la temperatura, la presión hidrostática (profundidad) y la salinidad del agua; por tanto, un pulso de sonido viajando hasta el fondo y regresando se mueve con velocidad variable. La velocidad del sonido debe tomarse, entonces, sólo como velocidad promedio. Existen tablas que dan valores de la velocidad del sonido en el agua para diferentes valores de temperatura, presión y salinidad; otras tabulan la velocidad contra la profundidad en diferentes zonas del mundo. Un método para subsanar los errores que se puedan presentar para tomar un valor aproximado de la velocidad radica en calibrar la ecosonda. Consiste en colocar una barra colgada del bote a cierta profundidad, medida con exactitud, y determinar el tiempo de ida y regreso del eco, para deducir la velocidad del sonido y usarla para todas las mediciones. La ecosonda dispone de un mecanismo de reloj que hace girar una cinta de papel a velocidad predeterminada, en la cual se registra en forma gráfica y 390 TOPOGRAFÍA continua la profundidad medida en cada instante durante el trayecto recorrido por el bote. Esto dibuja el perfil de profundidad de la línea de sondeo recorrida en tiempo real (Figura 30.6). Figura 30.6 Registro de profundidades por la ecosonda. En la figura anterior se muestran la escala de profundidades y las anotaciones que la ecosonda hace cada vez que el sistema de topografía hidrográfica le pide la profundidad en un punto determinado, anotando el número de identificación del punto, la profundidad, la hora en que se tomó la medida y otra serie de datos que usan para el trabajo final de sondeo. La ecosonda registra no un solo eco sino varios en cada punto, debido a que el fondo subacuático no tiene densidad uniforme sino que es más denso a mayor profundidad, o sea que la onda sonora tiene que penetrar el fondo a diferentes profundidades, produciendo ecos sonoros por cada densidad; así se habla de primero, segundo y tercer ecos que se muestran como las líneas dispersas por debajo del primer eco; éste corresponde a la densida.d más baja, o sea el primer contacto del agua con el fondo del terreno. Puesto que el fondo, subacuático puede variar bruscamente, hacia abajo o hacia arriba, la ecosonda dispone de un mecanismo de cambio automático de escala para permitir el registro gráfico en forma ininterrumpida. Los datos de profundidad de los puntos específicos del programa de batimetría se envían a la unidad de topografía hid·rográfica para su posterior procesamiento y almacenamiento en la base de datos del sistema. TOPOGRAFÍA HIDROGRÁFICA 391 El efecto de las mareas Antes de aceptarse parala batimetría, las medidas de profundidad deben corregirse por marea, toda vez que la profundidad leída para un punto específico varía según sea la hora en que se tomó, en razón de la altura de la marea a esa hora. En un proceso de topografía hidrográfica es necesario hacer un estudio previo de la marea para determinar sus variaciones de altura, datos que se deben tener en cuenta para establecer la verdadera profundidad de un punto dado. El equipo de ecosonda permite determinar profundidades hasta de 9.000 metros, y mostrar el perfil de la profundidad de un recorrido en forma gráfica en la pantalla de la unidad en tiempo real. Esta información es de gran importancia en la navegación para detectar puntos de poca profundidad que puedan ocasionar encallamiento a un navío. Medición de profundidades muy bajas Para medir profundidades muy bajas (menos de 1,50 m), no se puede usar el bote de topografía hidrográfica debido a que su calado por lo general es mayor de dos metros, y puede encallar en profundidades bajas. En estos casos la medición se hace colocando un jalón especial marcado con medidas de profundidad, metros o pies, el cual va unido a una unidad de posicionamiento global GPS. La unidad permite registrar tanto las coordenadas geodésicas longitud y latitud del punto, como la profundidad, proceso que hace el operador del equipo colocándose físicamente en los puntos previamente definidos en el plan de trabajo, y anotando manualmente los datos de profundidad y posición (Figura 30.7). Figura 30.7 Medición de profundidades bajas. 392 TOPOGRAFÍA SISTEMA DE TOPOGRAFÍA HIDROGRÁFICA Un sistema integrado de topografía hidrográfica reúne los equipos de medición de distancias por microondas (o equipos GPS) para determinar la posición de los puntos sobre la superficie del agua, los equipos de sondeo (ecosondas) y un computador con soft1vare especializado para procesar electrónicamente en tiempo real los datos, hacer las correcciones necesarias y generar un mapa de profundidades y su representación gráfica por curvas batimétricas. Los componentes básicos de un sistema de posicionamiento por radioenlace de microondas terrestres comprenden: Computador para el procesamiento de datos Unidad digital de medición de distancias Estación máster Estaciones remotas Equipo de ecosonda y transductor Impresora para registro de información en tiempo real total Plotter para seguimiento gráfico de trayectorias Sistema de navegación Pantalla del timonel Soft1vare especializado para procesamiento de datos en tiempo real. La Figura 30.8 es un diagrama de bloques que indica la forma como se interconectan todos los equipos dentro del sistema. Estos equipos están instalados físicamente en el bote de topografía hidrográfica·. Las estaciones remotas se instalan en la costa o en las orillas del río o lago en sitios escogidos previamente que permitan visibilidad permanente con el bote, durante todo el tiempo de toma de datos. Debe conocerse su posición geográfica (coordenadas X, Y tomadas del mapa del lugar), al igual que su altura con respecto al nivel promedio de las aguas. El proceso de topografía hidrográfica se hace en tres etapas: 1) pretopografia, 2) toma de datos o levantamiento hidrotopográfico, y 3) pos topografía. Pretopografía En esta etapa se definen los datos del área que se va a estudiar: • Identificación general del área. • Digitalización del área de trabajo a partir del mapa de la región, con detalles topográficos y sitios claves de fácil identificación desde el agua. TOPOGRAFÍA HIDROGRÁFICA 393 Estación remota Figura 30.8 Equipos del sistema de topografía hidrográfica. • • • • El plano digitalizado se imprime con el plotter para disponer de una representación gráfica exacta del área de trabajo. Configuración del equipo de topografía hidrográfica: Tipo de ecosonda. Sistema de posicionamiento (transponder o GPS). Tipo de proyección geodésica. Identificación, posición (coordenadas geográficas X, Y) y altura de las estaciones remotas (en caso de posicionamiento por tra11sponde17. Definición de la grilla. Se denomina grilla a la cuadrícula del plano. En el plano sólo se dibujan los cruces de las líneas horizontales con las verticales de la cuadrícula (cruces en el dibujo) para dar mayor claridad al plano. En la parte inferior del margen del plano se anotan los siguientes datos: Coordenadas X, Y del origen, área que cubre (ancho y altura de la carta), tamaño de la cuadrícula unitaria (tick), inclinación de los ejes (ske1v) con respecto a la horizontal, escala, anotación de las coordenadas norte y este en los extremos de la cuadrícula (Figura 30.9).Definición de la poligonal correspondiente al área que se va a medir (Figura 30.9) y coordenadas .de sus vértices. Esta poligonal se dibuja directamente sobre el plano, marcando los vértices (línea gruesa con 394 TOPOGRAFÍA X \ \ \ \ \ X \ \ X \ \ ~ \ X X \ \ \ \ \ \ X \ \ \ X X 123200x 439000y ORIGEN: X: 123100 Y: 439060 123400x 439200y ANCHO DE CARTA: ALTURA CARTA: 123600x 123800x 124000x 439400y 439800y 439800y 1150 TAMAÑO CUADRICULA (flCK): 200 FECHA: 26 - SEPT - 1999 850 ESCALA: 5000 INCLINACION GRILLA: 45 Figura 30.9 Área de trabajo con coordenadas norte-este. números del 1 al 12). Como el plano dispone de un sistema de coordenadas geográficas, se pueden obtener los valores de X y Y de cada vértice de la poligonal. Se elabora manualmente una tabla con dichos valores y luego se suministran al sistema en el momento de definir la poligonal. • Definición de bloques de líneas de recorrido y distancia entre líneas (Figura 30.10). El cubrimiento del área encerrada dentro de la poligonal se hace por recorridos lineales paralelos a distancias fijas. Un conjunto de líneas paralelas de recorrido forman un bloque. Dentro de la poligonal puede haber varios bloques, permitiéndose el traslapo de líneas de recorrido. Todos los datos anteriores se suministran al programa, el cual los muestra en forma impresa para revisión y control. Toma de datos (levantamiento hidrotopográfico) Al iniciarse el levantamiento se prenden los eqcipos de posicionamiento y los de microondas en.las estaciones máster y remotas, al igual que la ecosonda y el computador. El programa procesa las primeras distancias a los remotos y determina la posición inicial del bote, la cual se visualiza sobre el plano 395 TOPOGRAFÍA HIDROGRÁFICA que está en el plotter y en la pantalla del computador. El capitán del bote dirige el navío a la posición inicial de la primera línea de recorrido, siguiendo las indicaciones del operador del sistema que es'tá monitoreando el recorrido del bote desde el plotter (la aguja impresora se desplaza en el sentido de la navegación). TAHOUE ELEVADO 0 ~ +- C0D1 ll RE~-• ll:I - - - - Yl»II~ X- - - , AlTURA Hllm 123100x 439000y ORIGEN: X: 123100 Y: 439060 REMOT0--4 ~--x- t:1rn:!.k- -:X - ALlll!lA1'1~. OODEGA 1 +- -CÓD!ODH M:llHD1 ~IHIU REM0T0•2 X X ALlUAA:JISm 123400x 123600x 123800x 124000x 439200y 439400y 439600y 439800y ANCHO DE CARTA: 1150 TAMAÑO CUADRICULA (TICK) . 200 FECHA: 25-SEPT-1999 ALTURA CARTA: 850 ESCALA: 5000 INCLINACION GRILLA: 45 Figura 30.10 Poligonal y bloques de recorrido. El programa de topografía hidrográfica está diseñado para conseguir datos hidrográficos en tiempo real. Automáticamente calcula, visualiza en pantalla, graba e imprime en el plotter la posición del bote en una red de coordenadas en tiempo real, basado en los datos suministrados electrónicamente por los sistemas de posicionamiento y sondeo. El programa lleva el registro para cada punto de: hora, coordenadas X-Y, profundidad, velocidad del navío, información de fix y distancias a los transponder remotos. Cuando se usa en combinación con el diagrama del sitio en el mapa previo, proporciona al operador el registro gráfico permanente de la trayectoria real seguida por el navío contra la trayectoria propuesta en la pretopografía (Figura 30.12). La información también se muestra en la pantalla del timonel (Figura 30.11) para ayudar a conducir el navío a lo largo de las líneas de recorrido prefijadas. 396 TOPOGRAFÍA El programa actualiza dinámicamente y muestra el tiempo, las coordenadas X-Y, las distancias medidas por el sistema de posicionamiento, el rumbo que hay que seguir, el azimut de la línea, la velocidad, señales de alarma, calidad, estado de grabación y distancia por recorrer. -50 RUTAX PROFUNDIDAD lÍNEA# AZIMUT RUMBO VELOCIDAD ALCANCE ALARMA -40 -30 -20 -10 Q -0,2 0,0 50,0 9,0 9,0 10,0 60,8 Figura 30.11 Pantalla de timonel. Muestra la trayectoria del bote contra línea determinada con desviaciones izquierda-derecha. El operador puede registrar los fixes de tres formas diferentes: 1) registrar los puntos cuando el navío cruce la línea central de un recorrido, 2) registrar los puntos por distancia, y 3) registrar los puntos por tiempo. La toma de datos se hace por bloques de recorridos paralelos. Para iniciar el levantamiento hidrotopográfico el bote debe colocarse en la posición geográfica (coordenadas X, Y) del punto inicial de la primera línea de recorrido. Esto se logra con el sistema de posicionamiento y navegación del bote. A su vez se coloca el brazo marcador del plotter para que coincida en el mapa con dicho punto. Esto se denomina "í:eferenciar el plotter con el origen". El recorrido se hace en zigzag, empezando por la línea número 1 del bloque 1, y regresando por la línea 2, para pasar a la línea 3, etc., hasta terminar cada bloque (Figura 30.12). En cada recorrido de línea el sistema registra tanto en memoria como gráficamente en la impresora los datos de posición y profundidad d~ cada punto, numerándolos en orden consecutivo. Los datos registrados ·son los siguientes: 1. 2. 3. Número del punto Hora de la lectura Coordenada este (X) 397 TOPOGRAFÍA HIDROGRÁFICA 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Coordenada norte (Y) Distancia al remoto R1 Distancia al remoto R2 Distancia al remoto R3 (si está instalado) Distancia al remoto R4 (si está instalado) Profundidad Señales de alarma Cuando el bote se sale de los límites de la poligonal el sistema da un mensaje de "fuera de límites" (011t of bo1111daries), y registra la hora del evento en el listado. Cuando el número de lectuq.s de distancia de los transponder remotos es menor de dos, se interrumpe el proceso de cálculo de coordenadas y de levantamiento, dando el mensaje "levantamiento interrumpido" (s11rvry intermpted) y marca la hora del evento. Cuando se normalizan las . lecturas el levantamiento se reinicia con el mensaje "levantamiento reiniciado" (S11rvry res111md) y marca la hora del evento. Igualmente, el sistema lleva el registro de terminación de un bloque y comienzo del siguiente, al tiempo que registra la fecha y hoi-a del inicio y terminación del levantamiento, salvando el archivo con el nombre sumí- 123200x 439000y ORIGEN: X: 123100 Y: 439060 123400x 123600x 123800x 124000x 439200y 439400y 439600y 439800y ANCHO DE CARTA: 1150 TAMAÑO CUADRICULA (flCK). 200 FECHA: 25-SEPT-1999 ALTURA CARTA: 850 ESCALA: sopo INCLINACIÓN GRILLA: 45 Figura 30.12 Trayectoria recorrida por el bote indicando la posición de cada fix. 398 TOPOGRAFÍA nistrado por el usuario para dicho trabajo. Estos datos también quedan registrados en el listado. Este archivo constituye el ARCHIVO DE LEVANTAMIENTO HIDROGRÁFICO y es la base para todos los demás archivos del sistema. El programa de levantamiento hidrográfico termina con la última línea del último bloque. Todos los datos quedan registrados en la memoria del computador para su posterior procesamiento. Postopografía El programa de postopografía convierte los datos tomados durante el levantamiento en una base de datos llamada "archivo de postopografía". El proceso comprende cinco pasos: Corrección de datos Elaboración de la carta hidrográfica Elaboración de la malla Trazado de curvas batimétricas Definición de plantillas de secciones transversales y cálculo de volúmenes de dragado Corrección de datos Como los datos de profundidades registrados durante el levantamiento son datos brutos, éstos deben corregirse por factores de marea, oleaje, velocidad del sonido, etc. La principal función del programa de postopografía consiste en ejecutar dicho trabajo combinando la información del archivo de marea y archivo de corrección por barra para velocidad del sonido con el archivo de levantamiento, para. obtener un archivo final de datos corregidos y depurados de todo tipo de errores. Elaboración de la carta hidrográfica La carta hidrográfica es una representación gráfica que muestra las profundidades en los puntos (fixes) finalmente escogidos después del proceso de corrección de errores. Con esta información se crea el Archivo de carta hidrográfica y se genera un plano de carta hidrográfica que se imprime por medio del plotter.' El sitio exacto de la profundidad de cada punto corresponde al punto decimal de la cifra escrita en la carta. El programa dispone de una gran cantidad de ayudas para determinar el tipo de letra (Jont), tamaño de los números, distancia entre cotas, colores, etc. En la Figura 30.13 se muestra un ejemplo de carta hidrográfica. 399 TOPOGRAFIA HIDROGRÁFICA X X 29,7 X 28,6 29,7 27,6 29,2 28.7 31.0 31.2 X 3))( 31.0 30,0 31,0 30.'1 ~5 X X 31,6 32.4 32,6 3 1.9 32,0 X X X X 29.6 28,8 32, 1 3 29,l 32,6 X º·' 31,s 31,B X X X 30,8 X 123200x 439000y ORIGEN: X: 123100 Y: 439060 X +"""'.. " ,, ,:-, r llUH ..... 11...... ,11 .. X -,ffá~: . X 123400x 123600x 123800x 124000x 439200y 439400y 439600y 439800y ANCHO DE CARTA: 1150 TAMAÑO CUADRICULA (TICK), 200 FECHA: 25-SEPT-1999 ALTURA CARTA: 850 ESCALA: 5000 INCLINACIÓN GRILLA: 45 Figura 30.13 Carta hidrográfica. Elaboración del Modelo Digital del Terreno (DTM) o malla 3D En la carta hidrográfica no se muestran curvas de nivel de profundidades (curvas batimétricas). La carta sólo registra la profundidad de la totalidad de los fixes del levantamiento. Para poder determinar las curvas batimétricas es necesario hacer un proceso previo, llamado elaboración de malla, que se ejecuta con el programa de enmallado. Este programa genera una matriz (espaciada regularmente) de datos, a partir de los datos leídos en el Archivo de postopografía, los cuales se usan posteriormente para dibujar curvas batimétricas y trazar superficies tridimensionales. Para formar un enmallado matricial se crea una malla rectangular de filas y columnas, indicando el número de líneas de malla en cada eje coordenado. El número de líneas puede variar entre 2 y 2.000, mientras que el número total de nodos no excede de 20.000. Aumentando la densidad de la malla se incrementa la exactitud y continuidad de la línea final dibujada por el plotter. El programa se encarga de escoger los puntos que más se ajustan a cada nodo y dar sus coordenadas X, Y y la profundidad que corresponde a la del punto más cercano al nodo dentro de un radio de exactitud previamente determinado. Con estos datos se genera el Archivo de malla matriz. El resultado final es un Modelo Digital del Terreno· que se puede imprimir en el plotter, como se muestra en la Figura 30.14. 400 TOPOGRAFÍA Figura 30.14 Malla poligonal tridimensional. Trazado de curvas batimétricas El programa traza las curvas batimétricas a partir de los datos previamente creados en el Archivo de malla v1atriz. Un mapa de .curvas batimétricas es un trazo de tres valores, de los cuales los dos primeros son las coordenadas X-Y y el tercero, la Z, representa los p11ntos de ig11al proj11ndidad. El área entre dos curv:as adyacentes contiene sólo puntos cuya profundidad está entre las líneas que lo encierran. Para el proceso. el programa pide la definición de varios parámetros, de los cuales los más significativos son: Curva batimétrica mínima (menor valor de Z). Cmva batimétrica máxima (mayor valor de Z). Intervalo entre curvas. Frecuencia de rotulación .de curvas (por omisión se rotulan cada dos curvas). Número de veces que se debe rotular cada curva. Espacio entre rótulos. Curvas de líneas gruesas para determinados valores de profundidad. Color de las curvas. El programa toma el archivo de malla e interpola lineahmnte ,la posición de las cotas redondas y l11ego las .conecta por 1mdio de líneas que identifica de acuerdo con los criterios anteriores. Previamente se ha defiru.do por medio de una poligonal cerrada el área dentro de la cual se van a trazar las cUl'vas 401 TOPOGRAFÍA HIDROGRÁFICA batimétricas. Los puntos que quedan por fuera de esta área no se tienen en cuenta y dicha zona se blanquea, es decir, no se trazan en ella curvas batimétricas. Con estos datos se genera el ARCHIVO DE CURVAS BATIMÉTRICAS. El resultado gráfico se muestra en la Figura 30.15. Aplicación para el diseño de canales Definición de plantillas de secciones transversa/es y cálculo de volúmenes de dragado El programa realiza dos funciones inte~relac.ionadas: 1. Trazado de secciones transversales (perfiles) de las líneas de levantamiento y plantillas asociadas. 2. Cálculo de volúmenes de subdragado y superdragado. Para ejecutar cualquier acción, se deben definir primero las plantillas y asociarlas a las líneas de trayectoria del levantamiento. Una plantilla es una sección transversal ideal de la forma como• aparecería el canal después de haberse realizado el dragado. La definición del canal se hace redefiniendo el área del levantamiento. Definiendo explícitamente los límites del canal se permite la expansión o 1471000x 484000y 1472000x 1473000x ,J. >, o o .., o ,ojo "' >, º>< ºº ºº No ex,,... s!'r,.. .... ,ojo ..¡_ 1472000x XREF: 1471500 'l'REF: ◄01000 CHART WIDnt 3700 TICK: 1000 CIL\AT HEIGHT: 2600 SCALE: 5000 Figura 30.15 Carta batimétrica. 1473000x 482000 y GRIO ORAWN OH: 13•AUG-B7 SKat -26 1474000x 402 TOPOGRAFÍA contracción del mismo. Una definición de canal se lee de la definición del polígono en el archivo de parámetros del levantamiento. Las líneas de trayectoria ideales se intersectan entonces con el polígono para formar nuevas extensiones y la línea central. Se pueden entonces calcular volúmenes para áreas regulares e irregulares dentro de la zona del levantamiento. La plantilla o sección transversal se define en términos de: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Profundidad del canal Sobreprofundidad del canal Número de taludes a cada lado Sobreprofundidad del talud Angulo del talud Distancia horizontal del talud Longitud de la línea de trayectoria El ángulo del talud es el ángulo que describe la inclinación del segmento inclinado de la plantilla (Figura 30.16). Puede haber hasta un máximo de ocho taludes a izquierda y derecha para una plantilla dada. Los segmentos del talud se cuentan a partir del centro del canal. No es necesario dar el ancho del canal ni la orientación de la plantilla, durante la definición, para permitir su ajuste automático a una ampliación o reducción o curvado del canal. '11: o 'E .!!! ::, .§" CANAL SOBREPROFUNDIDAD . Figura 30.16 Definición de taludes. 403 TOPOGRAFÍA HIDROGRÁFICA Una vez definida la forma de la plantilla (se pueden definir hasta diez plantillas), se aplica a los perfiles de profundidad de las diferentes secciones transversales del canal, hasta cubrir la totalidad del tramo en estudio. Las plantillas ya definidas se guardan en un archivo de plantillas desde el cual pueden ser llamadas o editadas durante todo el estudio de dragado. La profundidad del canal puede modificarse, creando una sobreprofundidad. Ésta se refiere a la profundidad por debajo del canal donde se permite aun el dragado. Esta profundidad se mide desde la base del canal y no desde la superficie del agua (Figura 30.17). Linea No. 12,00 Plantilla No. 1 Estación No. 11 + 25,50 Escala horizontal : 20000 Escala vertical : 2000 Factor de volumen : 1,0 2 2 4 4 6 8 8 10 10 o o IZQUIERDA TALUD# 1 ESTÁNDAR 2185,00 SOBREDRAGADO 0,0 TOTAL 2185,00 i5 IZQUIERDA TALUD#2 CANAL 0,0 0,0 1975,25 512,15 0,0 2487,40 DERECHO TALUD# 1 4592,35 0,0 4592,25 DERECHO TALUD#2 877,24 0,0 877,24 o TOTALES 9629,74 0,0 10141,89 Figura 30.17 Ejemplo de una sección transversal (plantilla). La función de cálculo del volumen de dragado emplea el algoritmo del prov1edio de las áreas extremas. Esto significa que el volumen se calcula entre dos secciones transversales consecutivas del canal, multiplicando el área promedio (formada por las plantillas y las líneas de perfil) por la distancia entre las dos secciones transversales. Se enfatiza el hecho de que el volumen se calcula entre pares de líneas de trayectoria. Los resultados del estudio de volumen de dragado se guardan en un archivo de plantillas y volúmenes de dragado. CONCLUSIÓN La información suministrada en los párrafos anteriores sobre la forma como se lleva a cabo un levantamiento de topografía hidrográfica ilustra sólo en 404 TOPOGRAFÍA términos muy generales un proceso que en la práctica es mucho más complejo de lo que aquí se ha mostrado, y que se hizo únicamente con el propósito de complementar el conocimiento del campo de acción total de la topografía por parte del estudiante. La práctica de la topografía hidrográfica implica un largo entrenamiento de campo y estudio profundo de aspectos tanto geodésicos, marinos (mareas, oleajes, salinidad), geográficos, factores ambientales de temperatura, humedad, estado del tiempo, etc., además de conocimiento de equipos especializados para navegación, sondeos, telemetría por microondas o posicionamiento global (GPS), que se deben tener en cuenta para lograr resultados satisfactorios. El estudiante interesado puede ampliar el conocimiento en este campo en las muchas publicaciones que existen al respecto, entre las cuales se destaca el Adv,iralry Ma1111al of Hydrographic S11rvrying, publicado por el Hydrographer of the Navy de la marina británica. CAPÍTULO SISTEMA DE POSICIONAMIENTO GLOBAL 31 {GPS) RESEÑA HISTÓRICA esde cuando el hombre apareció sobre la superficie terrestre, ha tenido el problema de saber en qué sitio se halla y hacia dónde se mueve. Iniciahnente marcaba esos lugares con árboles o piedras que la lluvia, la nieve o la niebla, volvían inservibles. Posteriormente recurrió a las estrellas, y para poder identificarlas tuvo que acudir a instrumentos como el astrolabio o el sextante, pero solamente podía observarlas en noches claras. Hacia el año de 1940 y mediante señales de radio, se hizo posible determinar una posición con mayor exactitud; se desarrollaron los sistemas Loran, Omega y Decca con tal fin, que tenían limitaciones como el poco alcance de las ondas de radio y el hecho de que las. tormentas eléctricas las afectaban notoriamente. A partir del lanzamiento del primer satélite artificial se pensó en utilizarlos como sistemas de estrellas que "iluminaban" con señales de radio grandes extensiones de la Tierra, y hacia 1960 se diseñó el sistema Transir, que empleaba satélites de baja altura para hacer mediciones geográficas usando un método diferente del actual, el cual no era muy exacto; quedó fuera de servicio hacia 199 5. En 1973 empezó a operar el Sistema de Posicionamiento Global (GPS) NAVSTAR (Navigation System by Time and Range), que fue desarrollado por el Departamento de Defensa de los EE.UU. Existe también un sistema similar llamado Glonass, desarrollado en Rusia. El GPS se basa· en una constelación de 24 satélites alrededor de ia Tierra, en seis planos orbitales, que giran a una altura aproximada de 20.200 kilómetros. Tres de los cuatro satélites de cada órbita funcionan perrnanentemente, mientras que el cuarto es de repuesto. Con esta distribución se garantiza que desde cualquier lugar del planeta hay siempre visibles entre cuatro y ocho satélites. 406 TOPOGRAFÍA Estos satélites usan una tecnología de medición tan precisa como para definir posiciones exactas en cualquier lugar del mundo durante las 24 horas del día; Normalmente se consiguen aproximaciones de unos diez metros, que es aproximadamente la anchura de una calle, y en el llamado "modo diferencial", los topógrafos realizan mediciones con precisiones hasta de un centímetro. UTILIDAD DEL SISTEMA Con la tecnología actual de circuitos integrados, los receptores GPS se están haciendo lo suficientemente pequeños y baratos como para que cualquier persona pueda llevarlos para saber exactamente dónde se encuentra en cualquier momento: Por esto se cree que en poco tiempo el GPS será un nuevo "servicio público". Sus aplicacio_nes casi no tienen límite. Llenarán las necesidades de usuarios tradicionales, como pilotos y marineros. De igual manera servirán a despachadores, conductores de vehículos, bomberos, ambulancias, brigadas de rescate, etc. Se pueden diseñar con ellos sistemas para evitar colisiones en el aire. Para los sistemas de información geográfica (SIG), el GSP puede implementar y actualizar sus bases de datos a bajo costo. Los agricultores ya los están utilizando para optimizar la fumigación y la aplicación de abonos y lograr mayor eficiencia en sus cosechas. Los automóviles comienzan a estar dotados, mediante ellos, de mapas electrónicos que muestran instantáneamente el camino a cualquier destino. A los topógrafos les está reduciendo notoriamente el tiempo y el costo en los levantamientos topográficos. Los ingenieros constructores disminuyen con GPS los costos de movimiento de tierras, realizan rápidamente inventarios de caminos y carreteras, etc. En general, el sistema GPS tiene muchas ventajas para la ingeniería con respecto a los métodos tradicionales, principalmente por su rapidez y precisión, y porque puede utilizarse en cualquier momento. Su aplicación solamente está restringida en aquellos sitios con obstrucciones inevitables a los satélites, como en las zonas urbanas de construcciones muy altas, o en túneles y minas. Para estos casos se emplea equipo complementario que mide distancias con base en rayos infrarrojos. 407 SISTEMA DE POSICIONAMIENTO GLOBAL (GPS) FUNCIONAMIENTO DEL GPS El funcionamiento correcto del sistema GPS depende de los siguientes cinco pasos o p~ocesos: 1. Determinación de la posición Para determinar la posición de uri punto es necesario medir sus distancias desde un grupo de satélites; si se conoce su distancia a un satélite se sabe que el punto está sobre la superficie de una esfera que tiene esa distancia como radio; si se conoce su distancia a ·dos satélites se restringe la posición a la circunferencia donde las esferas de esos radios se interceptan; si se conoce su distaricia a tres satélites se reduce el número de posiciones a dos puntos, donde la tercera esfera corta al círculo anterior; si se conoce la distancia a un cuarto satélite se puede saber cuál de los dos puntos anteriores es el correcto. Por eso se dice que matemáticamente se necesitan cuatro mediciones para determinar la posición del punto requerido. 2. Determinación de las distancias Estas distancias se establecen multiplicando la velocidad de la señal de radio que envía el satélite (que es igual a la velocidad de la luz) por el tiempo que tarda en llegar del satélite al receptor. Para determinar ese tiempo, el satélite y el receptor generan sincronizadamente una sucesión de códigos digitales, con una determinada secuencia, para que se les pueda comparar fácilmente y sin ambigüedad. Estos códigos se generan exactamente al mismo tiempo, tanto en el satélite como en el receptor; cuando se recibe el código en el receptor se mira retrospectivamente para ver cuánto hace que se generó allí ese mismo código y así podemos conocer el tiempo transcurrido desde que ese código específico partió del satélite y llegó al receptor; se determina de este modo cuánto tarda la señal en recorrer la distancia. SATÉLITE (Transmisión) Diferencia : de tiempo : RECEPTOR GPS (Recepción) Figura 31.1 Desfase de códigos da tiempo transcurrido. 408 TOPOGRAFÍA 3. Obtención de una sincronización perfecta Si los relojes de los satélites y del receptor no están perfectamente sincronizados, cualquier pequeña diferencia da lugar a errores en la localización del punto, debido a la gran velocidad con que viaja la señal. Los satélites están equipados con relojes atómicos (que emplean las oscilaciones de un átomo particular como control), que son sumamente precisos, y también costosos; cada satélite lleva cuatro de ellos para estar seguros de que por lo menos uno funcione siempre bien. Sin embargo los receptores, por razones de precio, no pueden tener relojes tan precisos; pero haciendo la medición de una distancia. adicional se pueden usar relojes medianamente precisos, sin menoscabo de la exactitud en la localización del punto. La trigonometría permite hacer la afirmación de que si tres mediciones perfectas ubican un punto en el espacio, cuatro mediciones imperfectas pueden eliminar cualquier desajuste de tiempo, desde que ese desajuste sea consistente. Para explicar este principio se aplica el siguiente raciocinio, suponiendo que el reloj del receptor no es perfecto como uno atómico sino que se adelanta un poco: si la estación está a una distancia equivalente a la recorrida por la luz en cuatro segundos desde el satélite A y a seis segundos desde el satélite B, en dos dimensiones estas dos distancias ubican la estación en un punto como X (Figura 31.2). Esa posición se obtendría con dos relojes perfectos. ~B ~A \ 4seg / ,. 6 seg Figura .31.2 Ubicación (X) con relojes sincronizados. Pero si el reloj del receptor está adelantado un segundo, señalaría que el satélite A está a cinco segundos, y .el B, a siete segundos, o sea, que ubicarían SISTEMA DE POSICIONAMIENTO GLOBAL 409 (GPS) el receptor en LX, distinto de X (Figura 31.3), y esa posición se aceptaría como perfecta puesto que no se sabría que el reloj del receptor está adelantado un segundo. 1 1 1 1 1 ~A l t. 1 1 5 seg I I I I 1 1 1 I I --------- _... , .......... / Figura 31.3 Ubicación (XX) con reloj del receptor adelantado. Si adicionalmente se toma la distancia desde un tercer satélite, C, y ese satélite estuviera a una distancia de ocho segundos del receptor, considerando los relojes perfectos, la posición del receptor estaría en X de la Figura 31.4. ~\ ~B / 4seg 6seg e Figura 31.4 Ubicación con relojes sincronizados. 410 TOPOGRAFÍA Pero si se presentara ese error de un segundo en el receptor, las líneas de puntos mostrarían las "pseudodistancias" causadas por el reloj adelantado, llamando "pseudodistancias" las distancias con errores ocasionados en la falta de sincronización; o sea, que no existe un punto que esté a cinco segundos de A, a siete de B y a nueve de C (Figura 31.5). Las computadoras de los receptores se programan para que cuando reciban una serie de datos como éstos, que no se intersectan en un punto, asuman que hay algo erróneo a causa de que el reloj interno del receptor está desajustado. Entonces la computadora va restando o sumando la misma cantidad de tiempo a todas las mediciones, hasta que logra una respuesta que permita que todas las distancias pasen por un punto. I I I I ~A ( '' ' Figura 31.5 Ubicaciones con reloj del receptor adelantado. En este caso, la computadora "concluye" que restando un segundo a las tres mediciones puede ,hacer que las circunferencias se corten en un punto, o sea, que el reloj estaba adelantado un segundo. En realidad lo que la computadora hace es resolver el problema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas para hallar el desajuste de los relojes. Así entonces, al añadir una medición se pueden eliminar los errores que pueda tener el reloj del receptor. SISTEMA DE POSICIONAMIENTO GLOBAL (GPS) 411 En tres dimensiones, para determinar X, Y, Z, no puede encontrarse una posición verdaderamente precisa sino cuando se tengan cuatro satélites sobre el horizonte circundante, y eso en verdad sucede siempre con el tren de satélites NAVSTAR. La necesidad de hacer cuatro mediciones afecta el diseño de los receptores: se requieren receptores mínimo de cuatro canales si se desean mediciones continuas de la posición en tiempo real para dedicar simultáneamente un canal a cada uno de los cuatro satélites. Sin embargo, muchas aplicaciones no requieren esta clase de precisión instantánea; en tal caso, un receptor de un solo canal, más económico, puede ser suficiente: éste deberá realizar una medición distinta a cada uno de los cuatro satélites antes de poder calcular una respuesta tipo X, Y, Z. 4. Determinar la posición de cada satélite en el espacio El hecho de que los satélites giren tan alto en el espacio es una gran ventaja para su funcionamiento, pues, estando libres de la atmósfera terrestre, las predicciones de sus órbitas son muy precisas. Algunos receptores GPS tienen un "almanaque" que les indica dónde se encuentra cada satélite en un momento dado. Pero, además, el Departamento de Defensa los controla permanentemente: cada satélite del sistema pasa sobre cada una de las estaciones de control dos veces al día, lo cual da oportunidad de medir su altitud, posición y velocidad para encontrar los errores de "efemérides" ocasionados por la atracción lunar y solar y otros fenómenos celestes; esta información de ajuste se retransmite al satélite, que luego emite esas pequeñas correcciones junto con la información de tiempo. Entonces los satélites no sólo transmiten los códigos para medir el tiempo transcurrido sino también información sobre su posición orbital exacta. 5. Fuentes de error Además de tener en cuenta los pasos anteriores, para asegurar la exactitud de las mediciones de GPS es necesario considerar algunas fuentes de error, tales como las siguientes: a) La ionosfera terrestre es una capa de partículas cargadas eléctricamente que se encuentra entre 150 km y 200 km sobre la superficie terrestre: esta capa afecta (disminuyendo) la velocidad de las señales de radio GPS. Comparando la hora de llegada de dos señales GPS, de diferente frecuencia, se puede deducir el tipo de desaceleración que ha sufrido. Esta corrección la hacen los receptores de "frecuencia doble" y con ella se elimina gran parte de este tipo de error. 412 TOPOGRAFÍA b) El vapor de agua de la atmósfera .terrestre también puede afectar las señales en forma y magnitud similares a las de la ionosfera; esta clase de error es casi imposible de corregir, pero su efecto es, en realidad, muy pequeño. c) Siendo muy precisos, los relojes atómicos de los satélites pueden sufrir pequeñas variaciones, pero los encargados del sistema GPS los controlan, y los ajustan cuando sea necesario. d) Los relojes de los receptores en el terreno también cometen, a veces, errores. Por ejemplo, una interferencia eléctrica puede ocasionar una correlación errónea en los códigos; los errores son generalmente o muy pequeños o muy grandes. Los grandes se detectan porque son evidentes, pero en ocasiones es difícil descubrir los pequeños, llamados "errores de receptor", que pueden producir incertidumbres de algunas décimas de metro. e) Los "errores por trayectoria múltiple" se producen cuando las señales no llegan en línea recta sino después de rebotar en algún objeto; pero hay técnicas avanzadas en los receptores para minimizar ese problema. f) Un buen receptor tomará en cuenta el principio de "Dilución de Precisión Geométrica" (GDOP), que significa que, dependiendo de la posición relativa de los satélites sintonizados, se pueden hacer cálculos con menor posibilidad de error que otros. Los buenos receptores tienen rutinas que analizan las posiciones relativas de los satélites y les permiten elegir los cuatro mejores candidatos para reducir las posibilidades de error. g) Por último, el Departamento de Defensa de los Estados Unidos puede degradar intencionalmente la precisión del GPS mediante un modo operativo llamado "Disponibilidad Selectiva" (S/ A), diseñado para evitar que fuerzas hostiles utilicen las ventajas tácticas del posicionamiento GPS. Éste podría llegar a ser el mayor componente del error. Para mejorar este aspecto se pueden tomar lecturas adicionales de otro sistema de satélites GPS, como el sistema Glonass de Rusia. En mayo de 2000 se anunció que no se operaría más. en este modo. MÉTODOS PARA LEVANTAMIENTOS POR GPS GPS estático En general, si se usan lecturas GPS independientes se logra una precisión de una o varias decenas de metros, lo cual puede ser aceptable para muchas aplicaciones del GPS (como localización de vehículos) pero no aceptable en trabajos topográficos. Para estos trabajos se usan los métodos que se describen a continuación: 413 SISTEMA DE POSICIONAMIENTO GLOBAL (GPS) GPS diferencial cinemático Se usan una estación fija (base) y otras móviles. Se hacen 1m1chas observaciones desde la fija para determinar bien su posición; luego se hacen lecturas más o menos rápidas desde las móviles; a las lecturas de las móviles se les hacen las mismas correcciones que se determinaron para la fija (basados en la gran distancia a la cual se encuentran los satélites, las correcciones que se aplican a la estación base son_ las mismas para las estaciones móviles dentro de la misma área). Se logra gran precisión si las correcciones para la estación fija se determinan con base en las coordenadas de un punto de control con coordenadas conocidas. Programas (sojtivare) complejos calculan las correcciones que deben afectar las lecturas GPS. GPS cinemático en tiempo real Si las estaciones móviles se conectan por radio con la estación base (Figura 31.6), se pueden hacer en tiempo real los ajustes a las lecturas GPS en las estaciones móviles, pues por estos enlaces de radio se envían las correcciones necesarias. . .,,.,,,. ,; /~ I \ I ;"" I \ \ ,,/ Señal satelital GPS ,,,..,, j .,,,. I ,' .,,,,."' ,,,.' ,, ,,.,. ,,' ': : .,." I ,,,/ I 1 I I ,,."' .,."" ,,,,,,"' ="';:_ ---4r Señal de radio A Estación base Figura 31.6 GPS cinemático en tiempo real. I / 1 ./ \ \ \ \ \ \ \ l \ \ \ \ / """""M mó,1•s 414 TOPOGRAFÍA SISTEMA DE COORDENADAS Las relaciones de espacios entre los satélites y los puntos terrestres donde se estacionan los receptores GPS se especifican en un sistema tridimensional de coordenadas rectangulares que tiene como origen un foco de la órbita del satélite (el cual coincide con el centro de gravedad de la Tierra, G); como eje de las X se toma la línea de los ápsides o recta que une los dos focos; el eje de las Y está en el plano de la órbita y el eje de las Z es perpendietilar a dicho plano (el satélite tiene ligeras desviaciones de su órbita en dire'cción Z) (Figura 31.7). Estas coordenadas se transforman luego a coordenadas geodésicas o topográficas. Las geodésicas Oatitud, longitud y altura) consideran la Tierra como un elipsoide de revolución, que es la figura geométrica simple que mejor se ajusta al "geoide", siendo el elipsoide más conocido el del sistema geodésico mundial de 1984 (WGS 84), que es el mismo Datum norteamericano de 1983 (NAD 83). También se puede considerar la Tierra como el geoide, que idealiza la superficie terrestre como la "continuación de la superficie del mar bajo los continentes". y Órbita de satélite ~ Satélite I Apogeo '\ X Perigeo Figura 31.7 Sistema coordenado con satélites GPs. A partir de las coordenadas geodésicas se pueden calcular las coordenadas rectangulares (topográficas) para cada región específica de la superficie terrestre. Los paquetes de softivare especializados se encargan de estos cálculos para datos obtenidos por GPS. CAPÍTULO 32 SISTEMA DE INFORMACIÓN GEOGRÁFICA (SIG) INTRODUCCIÓN randes empresas, universidades e instituciones de gobierno han coincidido en utilizar esta nueva tecnología para agilizar y optimizar la toma de decisiones. El SIG se emplea en diversas aplicaciones y, en consecuencia, son múltiples las definiciones que existen. Una definición general sería: Conj11nto de JJJétodos y herra1JJientas q11e acttían coordinada y lógicaJJJente para capt11ra1; a/1JJacenar, analizar, transfor1JJar y presentar i11for1JJació11 geográfica con s11s correspondientes atrib11tos, con el fin de satisfacer JJJtíltiples propósitos. El SIG permite, en una forma automatizada, integrar información espacial con otro tipo de información para su manipulación y análisis, facilitando la toma de decisiones en diversos problemas de ingeniería. Igualmente es una herramienta importante para el conocimiento y manejo de los recursos naturales y del medio ambiente, y facilita a los planificadores y administradores el uso de la información georreferenciada. ÁREAS DE UTILIZACIÓN Los principales usos de un SIG en el área de ingeniería son: estudios de factibilidad para el trazado de vías, localización de presas y embalses, trazado de oleoductos, rutas vehiculares, planes de desarrollo y evacuación, localización de recursos, cartografía, entre otros. En el área de recursos naturales: manejo de bosques y tierras, preservación de ríos y selvas, análisis de impacto ambiental, análisis del recurso agua, geología, agricultura, estudios de suelos, etcétera. También tiene gran utilidad en el catastro para identificar predios y propietarios, junto .con sus elementos físicos, legales y fiscales. 416 TOPOGRAFÍA VENTAJAS DE USAR UN SIG Las grandes ventajas de un SIG las podemos sintetizar así: Los datos están digitalmente almacenados en forma compacta y sistemática. La actualización y la recuperación de la información se pueden realizar más rápida y económicamente. Datos espaciales y no espaciales pueden analizarse simultáneamente, en forma automática. Se pueden construir modelos conceptuales, los cuales pueden probarse y evaluarse rápidamente. Se pueden analizar varias alternativas. Los análisis de cambios a través del tiempo pueden realizarse eficientemente. La adquisición de datos, los análisis espaciales y los procesos de toma de decisiones se integran en un contexto común de mánejo de información. PREGUNTAS QUE PUEDE CONTESTAR UN SIG Un SIG puede comprenderse mediante una definición formal y a través de su capacidad para llevar a cabo operaciones espaciales, enlazando datos espaciales con sus atributos o características. También se puede conocer un SIG por una serie de preguntas típicas que puede o está capacitado para responder, y que .en forma genérica son: Localización: ¿Qué hay en ... ? ¿Qué se encuentra en ... ? Con esta pregunta se pretende encontrar qué existe en un sitio en particular. La localización puede estar dada por el nombre del lugar, la dirección o las coordenadas. Condición: ¿Dónde hay ... ? ¿Dónde se encuentra ... ? Esta pregunta complementa la primera y requiere un análisis espacial para su respuesta. Es necesario encontrar un lugar donde ciertas condiciones son satisfechas. Por ejemplo: se requiere encontrar una zona sin bosque de por .lo menos 2.000 m 2 que esté dentro de los 100 m del.área de influencia de una carretera y cuyos suelos sean apropiados para la construcción ·de edificios de diez o· más pisos. Tendencia: ¿Qué ha cambiado desde ... ? Esta interrogación involucra la primera y la segunda preguntas y busca encontrar las diferencias existentes de uh área a través del tiempo. Por ejemplo: ¿Qué cantidad de terreno agrícola ha cambiado a residencial? SISTEMA DE INFORMACIÓN GEOGRÁFICA (SIG) 417 Patrones: ¿Qué patrón espacial existe ... ? Con esta pregunta se puede identificar la existencia de un fenómeno que se repite ante ciertas condiciones. Ejemplo: se· podría realizar esta pregunta para determinar si el cáncer es la principal causa de mortalidad entre las personas que viven cerca de estaciones nucleares. También se podrían conocer las características de un patrón y dónde se localiza: ¿Cuál es el patrón que existe en accidentes vehiculares? ¿Dónde y a qué hora ocurren éstos? Modela1nie11to: ¿Qué pasa si. .. ? La pregunta está dada para determinar qué pasa cuando se realiza un cambio. Ejemplo: ¿Qué pasa si se adiciona una nueva vía a la red de carreteras? ¿Qué pasa si una sustancia tóxica fluye por las aguas subterráneas de un sitio dado? ¿Cuál sería la mejor ubicación de un negocio? Las respuestas necesitan información geográfica, técnica y económica. · COMPONENTES DE UN SIG En la forma más simple, los componentes de un SIG son el usuario, los programas para el SIG (soft1vare) y el equipo electrónico (hard1vare). Los datos, que son parte integral del SIG, también pueden considerarse como otro componente. El usuario Es la parte más importante del sistema porque es él quien realiza complicados análisis y modelamientos con el fin de encontrar un resultado esperado. Generalmente se requiere gran habilidad para escoger las herramientas de sojhvare más adecuadas, buen conocimiento del equipo, de los datos que se van a usar y del problema por resolver. Programas para SIG ( software) El soft1vare especializado para SIG consta en general de cinco módulos o subsistemas: Subsistema Subsistema Subsistema Subsistema Subsistema de de de de de entrada de datos almacenamiento o base de datos manejo de datos análisis y modelamiento de datos salida y presentación de datos 418 TOPOGRAFÍA Entrada de datos La función principal de la entrada de datos es convertir datos existentes a una forma tal que el SIG los pueda utilizar. Las fuentes de entrada de datos pueden ser: Mapas existentes Tablas de atributos Archivos electrónicos de mapas Archivos de atributos asociados Fotografías aéreas Datos de levantamientos topográficos, estaciones totales y GPS Imágenes de satélite Imágenes de radar Almacenamiento de datos El almacenamiento de datos, o bases de datos, es un subsistema compuesto por cuatro bases de datos interrelacionadas entre sí: Base de datos donde se guardan los planos de imagen (COBERTURAS). Base de datos donde se guardan los planos gráficos (LEYENDAS Y NOMBRES). Base de datos donde se almacena la topología de cada mapa vectorial (TOPOLOGÍA). Base de datos donde se guardan las tablas de atributos (ATRIBUTOS). Manejo de datos El subsistema de manejo de datos debe permitir todas las operaciones de manipulación de datos, tales como generación, interrogación, edición y actualización. El propósito de un MANEJADOR DE BASES DE DATOS es almacenar, organizar y recuperar la información requerida. Además debe estar capacitado para proveer interfaz entre los datos almacenados en las diferentes bases de datos y los algoritmos de los distintos modelos matemáticos que se emplearán durante el proceso de análisis. Análisis y mode/amiento Este subsistema permite realizar las operacio.nes analíticas necesarias para resolver un problema dado. Entre otros, debe incluir medida de áreas, cálculo de distancias y perímetros, comparación de múltiples elementos o de datos SISTEMA DE INFORMACIÓN GEOGRÁFICA (SIG) 419 de diferentes bases de datos, facilidades para realizar operaciones con álgebra booleana como unión, intersección, disolución, o modelos complejos de simulación con propósitos de predicción sobre diversas alterm¡.tivas posibles. Salida y presentación de datos Permite generar información, producto de la integración y análisis de los datos de entrada. Los formatos de salida son generalmente gráficos (mapas) y tablas, ya sea, en forma impresa o digital. BASE DE DATOS Figura 32.1 Módulos o subsistemas de un s10. Equipo electrónico (hardware) En general, el equipo electrónico o harchvare se compone de un computador (con buena capacidad de memoria, velocidad de proceso y almacenamiento secundario, gracias al cual pueden almacenarse datos y programas), un digitalizador u otro dispositivo que permita convertir los datos de mapas u otros documentos a forma digital, y un plotter o graficador para representar los resultados de los datos procesados. 420 TOPOGRAFÍA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE TIPO ESPACIAL CON EL SIG A continuación se mencionan las etapas que deben llevarse a cabo para la solución de problemas de tipo espacial, desarrollando un problema tipo, a manera de ejemplo: Problema u objetivo Determinar las áreas de· bosque aledañas a las vías existentes en un área previamente determinada. Modelo concept11al: Mapa de 11so de la tierra y mapa de vías en la zona de estudio. Modelo de decisión: Las áreas de bosque que estén dentro de los cien metros a lado y lado de las vías existentes. Validación: Cálculo de áreas para los diferentes bosques existentes dentro de los límites preestablecidos. Creación de la base de datos: Preparar los mapas, digitalizarlos e introducir las tablas de atributos correspondientes a la información espacial inherente a cada mapa. Análisis: Entre las tareas de análisis de datos, una de las más importantes es la representación de los datos. Los diferentes paquetes para SIG disponen de opciones que permiten visualizar por separado la información de los diversos mapas que se hallan en la base de datos. Si por ejemplo, se carga el mapa 11so de la tierra, aparecerá en la pantalla con todas las unidades que lo componen. Cada unidad estará conformada por· uno o varios polígonos cerrados, los cuales tendrán en su interior un valor asociado a los datos no espaciales o descriptivos del elemento cartografiado. Generalmente cada polígono debe aparecer achurado o coloreado de acuerdo con el valor o código que identifica el tipo de uso de la tierra. La manera de interrogar la base de datos no espacial consiste en llevar el cursor sobre el mapa en pantalla y solicitar la información sobre el punto escogido. Las opciones de consulta y despliegue de datos son fundamentales en el análisis y modelamiento de los datos. Al mapa de vías se le aplica una función de b1iffer o corredor (100 m a lado y lado de las vías) para obtener el mapa de las áreas de influencia. 421 SISTEMA DE INFORMACIÓN GEOGRÁFICA (SIG) MAPA DE uso REPORTE MAPA SUPERP~ RESULTADO MAPA DE VÍAS - ÁREAS DE BUFFER O CORREDOR INFLUENCIA Figura 32.2 Proceso de análisis. La supe1-posición (intersección) permite tomar la información del mapa de act11al únicamente en el área de influencia de 100 metros a lado y lado de las vías. Éste será el mapa resultado, que contiene las áreas de bosques que se encuentran en las zonas aledañas a las vías existentes. Es necesario verificar los resultados por medio de una comprobación parcial en el campo. Si los resultados son satisfactorios, y cumplen con todos los objetivos propuestos, el trabajo llega a su finalización. · füO ESTRUCTURAS PARA REPRESENTAR INFORMACIÓN ESPACIAL EN EL COMPUTADOR Existen dos formas contrastantes pero complementarias para representar los datos espaciales en el computador: estructuras basadas en vectores y estructuras basadas en celdas (raster). Estructuras basadas en datos vectoriales El espacio, o área, es un conjunto continuo de coordenadas donde cada elemento puede definirse con la precisión deseada. Las coordenadas permiten el posicionamiento preciso de elementos en el espacio. La localización de elementos sobre la superficie terrestre se realiza referenciándolos respecto a un sistema cartesiano de coordenadas (X, Y, Z) o geográfico(<p, 11,). Los elementos sobre la tierra se representan mediante puntos, líneas y polígonos. 422 TOPOGRAFÍA Entidades puntuales Una entidad puntual es toda entidad gráfica o geográfica que se posiciona por un solo par de coordenadas X, Y. El área o extensión es insignificante o nula, pero algunas veces con una dimensión vertical significativa, como en el caso de datos sísmicos y perforaciones geológicas, los cuales se tratan como datos de punto, o puntuales. Otros datos que se posicionan con puntos son los pozos de petróleo, lugar de toma de estratigrafía, punto de cota, estaciones hidrológicas, estaciones climatológicas, ubicación de obras de infraestructura (como centros de salud y escuelas), un símbolo sin ninguna relación, un texto, un nodo entre líneas o segmentos, etcétera. Entidades lineales Son todos los elementos lineales constituidos por segmentos de líneas rectas. Están conformados por cadenas de coordenadas con un punto inicial y uno final y un registro que indican a qué tipo de entidad pertenece o qué símbolo se usará para su despliegue. Como ejemplos se pueden mencionar líneas férreas, drenajes, tuberías, carreteras, calles, canales, fallas y fracturas geológicas. Cuando los ríos tienen un curso muy ancho, se digitalizan con una sola línea y el ancho se incluye como atributo. Para la codificación de líneas curvas se necesita un mayor número de coordenadas que para la codificación de líneas rectas. Entidades de área Polígonos, regiones, áreas o superficies pueden representarse de diversas maneras en una base de datos. Cada componente de un mapa es único en su forma, perímetro y área particular, es decir, nunca será regular, como por ejemplo las unidades de suelo y parcelas. Además de esta información, un polígono tiene otros datos geométricos asoci~dos, como sus vecinos y otras relaciones espaciales. Cada polígono se almacena como una cadena de segmentos de líneas, representada por una secuencia de coordenadas que inician y terminan en el mismo punto. Se usan nombres o símbolos para indicar lo que representa el área. Esta es la forma más simple y fácil de representar áreas. Estructuras basadas en celdas (rasterj Un modelo raster simple consiste en la subdivisión del espacio en celdas de igual forma y tamaño comúnmente llamadas pixel, distribuidas uniformemente en una cuadrícula. La localización de cada celda o pixel se define SISTEMA DE INFORMACIÓN GEOGRÁFICA (SIG) 423 por un número de fila y de columna. Cada celda tiene un valor asignado que indica el valor de la entidad, del atributo o identificador que se ahnacena en tablas junto con otros atributos. Se maneja, fácilmente como una matriz. ATRIBUTOS Los atributos hacen referencia a las ·propiedades o caracteristicas de las entidades espaciales que deben manipularse en un SIG. Son datos no espaciales y se representan en tablas. Las fuentes de atributos disponibles son generalmente datos socioeconómicos provenientes de censos y encuestas, y datos obtenidos en el campo, referidos a los atributos de cualquier objeto o fenómeno. FUNCIONES DE ANÁLISIS UTILIZADAS EN UN SIG La mayoría de los SIG incluyen un completo conjunto de funciones que permiten la entrada, almacenamiento y recuperación de datos espaciahnente referenciados. Algunas de las funciones más comúnmente utilizadas en un SIG para la manipulación y análisis integrado de datos espaciales y no espaciales son consulta y medición, superposición, vecindad y conectividad. Funciones de consulta y medición La consulta es la búsqueda selectiva, obtención y manejo de datos sin necesidad de modificar la localización geográfica de elementos, o la creación de nuevas entidades espaciales. Ejemplos típicos de obtención de datos incluyen entre otros: ¿Dónde se encuentran los cultivos de café? ¿Dónde está el suelo A en relación con la vía principal? ¿Qué uso del suelo tienen los puntos A y B? Las funciones de medición incluyen el cálculo de distancias entre puntos, longitud de líneas, perímetros y áreas de polígonos y volúmenes. Por ejemplo, encontrar todas las áreas de bosques >250 km2 que son potencialmente aptas para uso conservacionista; ¿cuál es la distancia más corta entre A y B pasando por C? Las mediciones de volumen se utilizan principalmente en aplicaciones de ingeniería. Por ejemplo, el cálculo del volumen de los movimientos de tierra por realizar en corte y relleno, en el trazado de una vía. Mediciones en las que se involucran puntos, incluyen distancias de un punto a otro, a 424 TOPOGRAFÍA una línea o polígono. La determinación de algunas funciones de medición efectuadas en formato vectorial, como la longitud y la sinuosidad de una línea, se realizan en formato celda, involucrando el concepto de operación de vecindad, descrito más adelante. Funciones de superposición Las operaciones de superposición lógica y aritmética hacen parte de todos los paquetes de sojt1JJare de SIG. Las superposiciones aritméticas incluyen operaciones tales como suma, resta, multiplicación y división de cada uno de los valores de los datos en una capa de datos, por el valor de la localización correspondiente de una segunda capa de datos. Una superposición lógica sería el caso de encontrar aquellas áreas donde ocurre. un conjunto especificado de condiciones. Un ejemplo de superposición utilizando una operación lógica es el siguiente: si mapas temáticos como 11so de la tierra, suelos, geo1110,fológico, se almacenan en capas separadas en una base de datos, una operación de superposición lógica podría identificar áreas para recreación con unas condiciones específicas: áreas de bosque, con topografía suave, y suelos bien drenados. Uno de los factores que más afectan .la ejecución de estas operaciones es el fort~ato del dato, ejecutándose más eficientemente en formato celda. Las operaciones entre dos mapas involucran por lo general lo siguiente: • La superposición de los mapas para producir otro mapa. Por ejemplo, la combinación de un mapa de s11elos con uno de bosql/es, y otro de pendientes para obtener un mapa de la mejor ubicación para cierto objetivo. • La producción de tablas cruzadas para establecer relaciones estadísticas entre dos juegos de· atributos. • La búsqueda con condicionamiento, por ejemplo, ubicar todos los suelos profundos y bien drenados en pendientes <5% y a una distancia <20 km del centro agrícola comercial. Funciones de vecindad Las operaciones de vecindad evalúan las características de un área alrededor de una localización especificada. La caracterización de vecindades cartográficas involucra la creación de un nuevo mapa basado en puntos vecinos alrededor de. localizaciones selecdonadas; en esta categoría de análisis espacial de datos, se incluyen la interpolación y el análisis de modelos digitales del terreno. SISTEMA DE INFORMACIÓN GE6GRÁFICA (SIG) 425 Funciones de conectividad Estas funciones acumulan valores sobre el área que .se atraviesa. Las funciones de conectividad se agrupan en las categorías de contigiiidad, proxi1J1idad, redes y esparcimiento. Medida de contigüidad Evalúa las características de las unidades espaciales conectadas. Un área contigtta consiste en un grupo de unidades espaciales que comparten una o más características específicas y forman una unidad. Una aplicación común realizada con esta medida es la determinación del tamaño de áreas contiguas y de la linea recta más larga que cruza el área. Medida de proximidad Es la medida de distancias entre objetos, empleada usualmente en unidades de longitud, pero también puede usarse en otras unidades. Para medir la proxilllidad deben especificarse cuatro parámetros: la localización del objeto, la unidad de medición, la función para el cálculo de la proximidad y el área que se va a analizar. Un ejemplo es un corredor o b11fer de 10 m delineado alrededor de una quebrada, indicando una zona de protección forestal dentro de la cual 110 se permite ningún tipo de uso. Funciones de redes Estas funciones se utilizan para mover recursos de una localidad a otra. Una red es un conjunto de objetos linealmente interconectados, que forman un patrón o esquema. Algunos ejemplos de redes son el drenaje de una cuenca, las rutas de servicios de las aerolíneas, las calles de las ciudades, su alcantarillado, etcétera. En un SIG se pueden realizar tres tipos de análisis de redes: optimización de rutas, localización de recursos y predicción de redes de flujo. En el análisis de red usualmente se involucran cuatro componentes: un conjunto de recursos (tales como bienes que se van a entregar), una o más localizaciones donde los recursos estén ubicados, un objetivo o destino para entregar los recursos o para proveer el mínimo nivel de servicios a un área, y un conjunto de restricciones. 426 TOPOGRAFÍA Medidas de esparcimiento Presentan características de las funciones de proximidad y de redes. Una función de esparcitviento evalúa fenómenos que se acumulan con la distancia. Las medidas de esparcimiento pueden evaluar tiempo de transporte y costos sobre superficies complejas, así como definir el drenaje de una cuenca. Las funciones de esparcimiento son herramientas muy flexibles e importantes dentro de un SIG, particularmente para el modelamiento cartográfico. Las medidas de esparcimiento pueden ser de: 1) distrib11ció11, cuando la asignación de recursos se realiza desde un centro hasta una localidad. Ejemplos: agua, energía eléctrica, teléfonos, setvicios. Y 2) recolección, si la asignación de recutsos se tealiza de una localidad a un centro. Ejemplos: asignación de estudiantes a una escuela, tecolección de basutas, etcétera. CAPÍTULO 33 COMPUTADORES Y SU. UTILIZACIÓN EN TOPOGRAFÍA INTRODUCCIÓN n 1960, cuando apareció la primera edición de esta obra, el uso de los computadores electrónicos estaba en una etapa inicial. Sus aplicaciones eran limitadas, especialmente a las áreas administrativas en las empresas pioneras en la utilización de tecnologías novedosas. Las aplicaciones en diferentes campos de la ingeniería civil eran aún inexistentes. A partir de la segunda edición (Editorial Norma, 1964) se incluyó, como tema nuevo, un capítulo sobre la aplicación de los computadores digitales a los cálculos propios de la topografía. Por aquellos tiempos no estaba claro todavía el futuro de los computadores analógicos y por tal razón el tema se mencionó igualmente en ese capítulo. La descripción detallada de los principios, los componentes y el funcionamiento de un computador digital, lo mismo que el proceso automático. de cálculo, los lenguajes y programas utilizados formaron parte integral del capítulo de esta segunda edición. En la actualidad, los anteriores temas se conocen desde la educación secundaria y en la mayoría de los colegios existen centros de cómputo que habilitan a los estudiantes para llegar a la universidad con el dominio de los programas y equipos avanzados de computación. Esta tendencia se irá generalizando y profundizando con la aceleración propia del avance y popularización del computador como elemento cada día más indispensable en el mundo moderno. EQUIPOS ELECTRÓNICOS PARA LA OBTENCIÓN Y PROCESAMIENTO DE DATOS La gran difusión actual de los equipos electrónicos (computadores, unidades de entrada y salida, teodolitos digitales, estaciones totales, colectores de TOPOGRAFÍA datos, equipos de medición por microondas y equipos GPS) han influido sustancialmente en la manera como se recolecta, se almacena, se procesa y se entrega la información para hacer mapas y gráficos. El perfeccionamiento y la miniaturización de los circuitos electrónicos han permitido que algunas versiones de los computadores digitales sean portátiles y tiendan a parecerse cada vez más a las calculadoras electrónicas de bolsillo. Existen varios fabricantes de computadores portátiles pequeños, y de calculadoras electrónicas de bolsillo, que hacen posible la realización de los cálculos que requiere la topografía, si tienen el sojt1J1are y las tarjetas de hard1J1are apropiados. Estos equipos son de gran ayuda para que el topógrafo pueda 'hacer cálculos preliminares en el terreno, con el fin de poder detectar errores e inconsistencias en los datos topográficos. Hoy en día, normahnente, en toda oficina y en gran número de hogares, se cuenta con un computador personal, PC, o un servidor con suficiente capacidad para hacer los cálculos, ajustes, análisis, construir los modelos ·• digitales y hacer las simulaciones que permiten ensayar varias alternativas para el diseño de obras civiles. Existen equipos electrónicos portátiles, "colectores de datos", que se conectan a los equipos electrónicos de topografía, tales como teodolitos digitales o estaciones totales, o estaciones GPS, para que el operador pueda recolectar la información, o sea la cartera, en forma electrónica. De esta manera, al captarse directamente la información en forma electrónica, se automatiza todo el proceso topográfico: desde la toma de datos, pasando por los cálculos, hasta la producción de resultados y mapas finales. Procesamiento electrónico de la información La contribución más importante del. computador en. todos los procesos de cálculo es la velocidad.· de procesamiento de datos y la eliminación de la . posibilidad de errores aritméticos. Naturalmente, si los datos contienen imprecisiones o errores, el computador producirá resultados imprecisos o equivocados. Por tanto, el computador no puede sustituir ni remplazar el criterio, basado en los conocimientos, del ingeniero o del topógrafo que maneja la información. Además, como complemento de lo anterior, con el computador se pueden hacer simulaciones eficientemente, sobre modelos tridimensionales de la realidad, con el fi,n de comparar diferentes alternativas para la solución .de un problema. El uso adecuado del computador permite optimizar la solución de problemas técnicos, cosa que antes era imposible por el tiempo que consumía efectuar repetidamente cálculos complejos. Los 'continuos avances, tanto en la producción de equipos (hardware) con mayores capacidades y velocidades, como de programas (softivare) de UNIVERSUJIUI COMPUTADORES Y SU UTILIZACIÓN EN TOPOGRAFÍA ?.I ~ ...... SECCIONAL !•Ot,r.:>n.~g utilización cada vez más simple, hacen obligatorio el empieo de estos métodos en todo el proceso topográfico y sus aplicaciones en los diferentes campos de la ingeniería. Los principales procesos automatizados de cálculo son: Cálculo de coordenadas de puntos determinados por métodos topográficos. Ajuste de poligonales. Cálculo y ajuste de redes de triangulación y trilateración. Cálculos de intersecciones. Cálculo de áreas. Cálculo de volúmenes de movimiento de tierra. Solución y replanteo de curvas horizontales y verticales. Partición de terrenos. Áreas predeterminadas. Transformación de coordenadas. Construcción de modelos digitales tridimensionales del terreno. Operaciones topográficas sobre modelos del terreno. Al programa de computador basta con suministrarle la información según el formato y sintaxis que estipula el lenguaje, o paquete específico, y el equipo se encarga de hacer los cálculos necesarios y entregar los resultados. Más importante y delicado que los cálculos en sí mismos es preparar la información, ordenarla y verificar que no contenga errores, pues suministrar al computador datos equivocados o fuera del orden estipulado conduce a resultados incorrectos. Se dice que si se ingresa basura eri el computador, éste igualmente produce basur~. Por lo anterior, antes de iniciar el proceso de cálculo, resulta indispensable dedicar el tiempo necesario a la depuración y verificación de los datos con que se alimenta el computador, con el fin de detectar y corregir los errores que puedan presentarse; un punto decimal equivocado, o la secuencia indebida en el orden de los datos, son suficientes para obtener resultados completamente erróneos. No basta repetir los cálculos para estar seguro de los resultados, pues simplemente se puede ser consistente en los errores. Un método aconsejable para evitar resultados incorrectos es resolver el mismo problema por métodos diferentes, con lo cual, si el resultado es el mismo, se está seguro de que los datos y el procesamiento son correctos. Otra forma de comprobar los resultados es verificando el orden de magnitud de los mismos, mediante cálculos aproximados con una calculadora de bolsillo o por métodos gráficos con la ayuda de mapas e instiumentos de dibujo como escala, escuadra y compás. 430 TOPOGRAFÍA i Vale la pena recalcar que para utilizar con éxito el computador es de particular importancia tener un conocimiento profundo de la teoría y los principios fundamentales de topografía y del área de utilización, que facilite la formulación de los problemas y la estructura lógica de sus soluciones. El computador simplemente permite procesar la información con velocidad y precisión de otra manera inalcanzables. Finalmente, para familiarizarse con un programa de cálculo, es recomendable procesar primero datos con resultados conocidos previamente, con lo cual se asegura que el manejo del programa se ha asimilado a cabalidad. MODELOS DIGITALES DEL TERRENO (DTM) Si a cada punto significativo y determinante del terreno se le miden y almacenan las coordenadas X,Y, Z, es posible, por medio de algoritmos matemáticos, reconstruir en el computador, en un sistema gráfico tridimensional digital, el relieve del terreno (DTM: · Digital Terrain Mode~ (Figura 33.1). Los datos básicos son las coordenadas X, Y, Z de los puntos significativos. Del DTM se pueden obtener curvas de nivel, perfiles, secciones transversales o vistas panorámicas, y calcular volúmenes de tierra. Obviamente, mientras más densa sea la cuadrícula o grilla formada por los puntos cuyas coordenadas X,Y, Z se conocen,, y además si se determinan puntos adicionales donde cambia la pendiente del terreno y en otros accidentes geográficos, el modelo tridimensional obtenido representará con mayor exactitud la forma real del terreno y lcis cálculos que con base en aquél se hagan serán más precisos. Figura 33.1 Modelo digital de un terreno. -. COMPUTADORES Y SU UTILIZACIÓN EN TOPOGRAFÍA EL COMPUTADOR EN 431 DIBUJO Y EN DISEÑO El computador se ha convertido en una herramienta muy útil para efectuar con velocidad y precisión labores tediosas y consumidoras de tiempo, tales como el dibujo de mapas y gráficos, a partir de los datos topográficos. Existen muchos programas para computador que hacen dibujos, a partir de datos e instrucciones suministrados al computador en formatos definidos generalmente en el lenguaje COGO. COGO (Coordinate Geo1JJetry) es un lenguaje desarrollado desde los años sesenta en universidades norteamericanas, para formular y resolver problemas topográficos . Con COGO se pueden manejar todos los problemas geométricos que hay que resolver en topografía para la definición, determinación y almacenamiento en archivos electrónicos .de puntos, líneas, curvas, perímetros, perfiles, secciones transversales, áreas, .textos y símbolos, para poder pasar automáticamente la información a la etapa de dibujo y replanteo. El formato COGO continúa. siendo la base para los paquetes de sojtJ1Jare actuales que manejan dibujo y diseño en topografía e ingeniería civil. Hay muchos paquetes de sojhvare y éstos tienen macroinstmcciones para facilitar, unos más que otros, el diseño y dibujo de proyectos de ingeniería. En general, a estos paquetes se les conoce como CAD o CADD (Comp11ter Aided Draiving and Design) y requieren los siguientes elementos básicos para su operación: Un computador de cierta capacidad El paquete de sojt111are respectivo U na impresora y/ o plotter Una mesa digitalizadora Figura 33.2 Mesa digitalizadora. 432 TOPOGRAFÍA La mesa digitalizadora (Figura 33.2) se emplea para tomar datos digitalmente de mapas o gráficos, a escala, ya existentes. A cada punto del mapa que se enfoca con el cursor se le pueden determinar electrónicamente sus coordenadas. EJEMPLO DE UN PROBLEMA TOPOGRÁFICO FORMULADO PARA EL COMPUTADOR Con el fin de que el lector tenga una idea de cómo se formula un problema topográfico para resolverlo mediante un programa adecuado; se presenta el siguiente caso: Se trata de un trazado de una curva PC - PT que pasará por el predio B (Figura 33.3). El dueño de dicho predio desea saber el área de su propiedad, que quedará a la derecha y a la izquierda de la curva PC - PT. Los datos disponibles son los siguientes: 1. Coordenadas del punto 2: N 4.050,35 m E 6.350,43 m 2. Azimut PC-PI: 313º 40' 30" 3. Curva: Ll = 85º 52' 25,0" (ángulo al centro). Centro en punto 12. R = 140,50 m (radio de la curva) 4 t 5 2 1 11 Figura 33.3 Croquis del problema que hay que resolver. COMPUTADORES y su 433 UTILIZACIÓN EN TOPOGRAFÍA 4. Cartera del levantamiento planimétrico: CARTERA TOPOGRÁFICA PUNTO AZIMUT DISTANCIA 43 2 25' 15" 56,35 m 132 15' 45" 57,48 m 85 2 18' 43" 40,75 m 1 2 3 4 5 6 8 6 9 11 1 12 00' 35" 50,95 m 1822 35' 43" 104,78 m 90 2 00' 35" 140,54 m 90 2 1822 35' 43" 100,50 m 75 2 43' 11" 146,38 m 1352 40' 05" 63,45 m FORMULACIÓN DEL PROBLEMA PARA EL. COMPUTADOR (Comandos sin toda la sintaxis requerida y traducidos al español) - BORRE TABLA DE COORDENADAS - . ALMACENE COORDENADAS PUNTO 2 X 6350.43 Y 4050.35 - LOCALICE 3 DESDE 2 AZIMUT 13 15 45.0 DIST 57.48 - LOCALICE 4 DESDE 3 AZIMUT 85 18 43. DIST 40.75 - LOCALICE 5 DESDE 4 DIST 50.95 AZIMUT 90 00 35. - LOCALICE 6 DESDE 5 DIST 104.78 AZIMUT 182 35 43. - LOCALICE 8 DESDE 6 DIST 140.54 AZIMUT 90 00 35. - LOCALICE 9 DESDE 6 DIST 100.50 AZIMUT 182 35 43. - LOCALICE 11 DESDE 9 DIST 146.38 AZIMUT 75 43 11. - LOCALICE 1 DESDE 2 AZIMUT 223 25 15. DIST 56.35 - LOCALICE 12 DESDE 1 AZIMUT 135 40 5. DIST 63.45 - INTERSECCIÓN ARCO CON LÍ;NEA, LOCALICE 7 CENTRO 12 RADIO 140.5 PCERCANO 6 PUNTOA 8 PUNTOB 6 - INTERSECCIÓN ARCO CON LÍNEA, LOCALICE 10 CENTRO 12 RADIO 140.5 PCERCANO 9 PUNTOA 11 PUNTOB 9. 434 TOPOGRAFÍA ÁREA POLÍGONO 6 8 11 9 6 ÁREA POLÍGONO 6 7 10 9 6 SUMAR ÁREA SEGMENTO, CUERDA 7 A 10 RADIO 140.50 ÁREA POLÍGONO 7 8 11 10 7 RESTAR ÁREA SEGMENTO, CUERDA 7 A 10 RADIO 140.50 PAQUETES DE SOFTWARE PARA INGENIERÍA CIVIL y PARA TOPOGRAFÍA Hoy en día existen "paquetes" (programas completos ya desarrollados y probados) de seft1vare para muchas de las actividades de cálculo y diseño en ingeniería civil. Es así como existen, entre otros, programas para el área de estructuras· y cimentación, diseño tridimensional de edificaciones, cálculo y diseño de redes de alcantarillado de aguas lluvias y aguas negras, modulación de cuencas hidrográficas, diseño y modulactón de canales, análisis y comprobación de redes de acueducto, redes de gas y redes eléctricas, etcétera. Específicamente, para el área de topografía, movimiento de tierras y diseño de vías, existen hoy paquetes muy completos, tales como LAND DEVELOPMENT DESKTOP (LDD) o EAGLE POINT que tienen, en general, los siguientes módulos: Captura de dat<?s: recibe electrónicamente los datos de diversas fuentes, tales como estaciones totales, carteras electrónicas y equipos GPS. Transferencia de información: permite el ingreso de información que ya existe en un archivo digital. COGO: para la edición de información; permitiendo cálculos, dibujos y reportes básicos. COMPUTADORES Y SU UTILIZACIÓN EN TOPOGRAFÍA 435 Ajustes de levantamiento: permite ajuste de poligonales abiertas o cerradas, por diversos métodos. Perfiles: para obtener secciones transversales o perfiles longitudinales de líneas escogidas. También se usa para trazar tangentes y curvas verticales y localizar obras civiles. Dibujo: provee todas las ayudas necesarias para dibujar desde simples gráficos hasta complejos mapas. Modelaje de superficies: crea modelos digitales a partir de la información ingresada y adecuada por cualquiera de los tres primeros módulos. De estos modelos se pueden obtener curvas de nivel o mallas tridimensionales. Diseño de sitios específicos: este módulo permite, por ejemplo, el diseño de terraplenes, rellenos, cortes en canteras, sitios de pozos petroleros, etcétera. Diseño geométrico de vías: sii-ve para el diseño y cálculo en el trazado de vías, tanto horizontal como verticalmente, generando automáticamente las cui-vas con sus peraltes, espirales y ecuaciones de empalme, y otros resultados posibles tales como diagramas de masas y dibujo automático del trazado en planta y perfil, con sus secciones transversales y demás detalles que se requieran. La persona que necesite utilizar un paquete específico debe iniciarse con un curso en el cual se familiarice con todos los módulos, con sus posibilidades, capacidades y restricciones; es conveniente conocer bien todas sus características para evitar errores y lograr un buen aprovechamiento de ese sojhvare, que generalmente requiere que el usuario se vuelva experto en él. PROCESO AUTOMATIZADO DE PRINCIPIO A FIN Generalmente, cuando se va a hacer un levantamiento topográfico de cierta magnitud, se parte de información existente sobre el área (ya sea de mapas elaborados previamente o de archivos electrónicos como los que puede contener un sistema de información geográfica (SIG)). Se localizan de antemano los principales accidentes topográficos, obras civiles y puntos de control existentes en el área a efecto de poder planear eficientemente el levantamiento y utilizar como referencia y control las coordenadas de los puntos que ya las tengan. Con la información sobre los puntos que se van a levantar, y los puntos de referencia y control, se arma un archivo con el plan de trabajo. Este archivo se pasa electrónicamente a un dispositivo electrónico portátil, que tiene teclado y una pantalla; este aparato portátil se lleva al terreno con la información así preparada. 436 TOPOGRAFÍA A medida que se van haciendo las observaciones en los puntos previamente seleccionados (ya sea utilizando una estación total o GPS), la información se puede ir transfiriendo electrónicamente al dispositivo portátil (generalmente conocido como "recolector de datos"). El recolector de datos tiene íconos y facilidades para ingresar rápidamente la información sobre los atributos de los puntos levantados. Se dice, entonces, que la cartera es electrónica. En la oficina, la información del recolector de datos, recogida en el terreno, se transfiere electrónicamente al computador donde programas especializados hacen los cálculos y ajustes necesarios y analizan la información para detectar posibles errores e inconsistencias. Con esta información se hace, también en forma automatizada, el diseño, se elaboran los mapas y planos del caso, y se obtiene toda la información necesaria para el -replanteo. La información así obtenida se pasa electrónicamente al recolector de datos y con él se va al terreno a hacer el replanteo y a estacar. De lo anterior podemos deducir que a medida que se obtiene la información inicial en forma digital y que se utilizan estaciones totales o equipos GPS y recolectores de datos electrónicos, es posible hacer el proceso automatizado de principio a fin. Un aparato como el mostrado en la Figura 33.4 (A) permite capturar los datos en el campo en forma electrónica; también se puede utilizar para la localización del proyecto en el terreno, ya que, tomando electrónicamente los resultados del computador, el aparato va mostrando en su pantalla, cómo proceder al replanteo. La Figura 33.4 (B) muestra cómo se utiliza conectado a una estación GPS. (A) (B) Figura 33.4 Dispositivo para captura y replanteo electrónico de datos. CAPÍTULO 34 fóRMULAS ALGUNAS fóRMULAS ÚTILES Geometría 1. Área del triángulo bxh bxc ¡ Área del triángulo = - - =--sena= -vP(p-a)(p-b)(p-c) 2 2 a+b+c ( . , ) d on d e p = - - - sem1perunetro 2 B 2. Área del trapecio , b+B l Area del trapecio = - - X 1 2 b B 438 TOPOGRAFÍA 3. Área del círculo 2 , ,,,.R2= nD Area del círculo = ,. 4 '' SECTOR '' ' ', / '' . <t 4. Área del sector 2 nR xa Área del sector = - - 360º 5. Área del segmento de círculo 2 Área del segmento = Área del sector R sen a. 2 Área del segmento = Área del sector - (R - F) XC 2 SEGM~HA•F ~ C = CUERDA "-. 6. Longitud de la circunferencia Longitud de la circunferencia = 2 7t R = 7t D 7. Área del segmento de parábola Área del segmento de parábola = 2/3 (C X F) 439 FóRMULAS Trigonometría a sen a=-; b cosa=-; e e 1 seca=--cosxa a sen a 1 taga=-=--= b cosa cotg a sen2 a + cos 2 a = 1 A a2 = b 2 + c2 - 2bc x cos a sen (a± ~) = sen a cos ~ ± sen~ cosa a b e --=--=-sen a sen ~ sen "{ cos (a ± ~) = cos a cos ~ ± sen a sen ~ ÍNDICES ÍNDICE DE FIGURAS Figura 1.1 Figura 1.2 Figura 1.3 Figura 2.1 Figura 2.2 Figura 2.3 Figura 2.4 Figura 2.5 Figura 2.6 Figura 2.7 Figura 2.7A Figuras 2.8A y 2.8B Figura 2.9 Figura 2.10 Figura 2.11 Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 5.1 5.1A Base productiva del terreno Estacas Mojón Cinta Piquetes Jalón, escuadra de agrimensor y plomada Medición en terreno inclinado Corrección por medición inclinada Medición de ángulos con cinta Trazado de una petpendicular con cinta. Método 3, 4, 5 Trazado de una perpendicular a ojo Trazado de una perpendicular con cinta. Método de la cuerda bisecada Medición de una distancia cuando se presenta un obstáculo. Caso 1 Medición de una distancia cuando se presenta un obstáculo. Caso 2 Medición de una distancia cuando se presenta un obstáculo. Caso 3 · Modelo de cartera: levantamiento de un lote con cinta Medición con cinta en terreno inclinado Dimensiones del triángulo y del trapecio División del área para la fórmula de los trapecios División del área para la· fórmula de Simpson Ángulos entre líneas Ángulos a partir de un meridiano Medición de rumbos de varias rectas: PA, PB, PC y PD Medición de azimutes de las mismas rectas de la Figura 4.3 Ángulos de deflexión en una poligonal Brújula de bolsillo . Modelo de cartera: levantamiento de un lote con brújula que lee rumbos 21 21 22 23 24 25 27 29 40 41 42 43 43 44 44 47 48 49 49 50 53 54 55 56 57 60 61 442 TOPOGRAFÍA Figura 5.2 Declinación magnética 62 Figura 5.2A Croquis de la poligonal 66 Figura 6.1 Líneas geográficas 69 71 Figura 6.2 Modelo de título para un plano Figura 6.3 Modelo de escalas gráficas 72 Figura 6.4 Indicación de la norte-sur 73 Figura 6.5 Signos convencionales más usuales 75 Figura 7 .1 Sección transversal y vista superior de un tránsito 78 Figura 7.2 Nivel de burbuja 79 Figura 7.3 Sensibilidad de un nivel 79 80 Figura 7 .4 Mecanismo de nivelación de un tránsito 81 Figura 7 .5 Nivelación con cuatro tornillos 82 Figura 7.6 Nivelación con tres tornillos Figuras 7.7 y 7.8 Tipos de anteojo 83 Figura 7 .9 Anillo e hilos del retículo 84 Figura 7 .10 Hilos del retículo taquimétrico 84 Figura 7.11 Ocular de imagen normal 85 Figura 7 .12 Ocular de imagen invertida 86 Figura 7.13 Poder de aumento del ocular 86 Figura 7.14 Tornillos de fijación y de movimiento lento 87 Figura 7 .15 Eje del nivel .del plato perpendicular al eje vertical 88 Figura 7.16 Eje del nivel del plato haciendó un ángulo con la horizontal 88 Figura 7.17 Posiciones correcta e incorrecta del hilo vertical 89 Figura 7 .18 Línea de vista perpendicular al eje horizontal del anteojo 90 Figura 7 .19 Interpretación de la corrección cuando el eje horizontal está descorregido en a 90 Figura 7.20 Comprobación y corrección para hacer el eje horizontal 91 perpendicular al vertical Figura 7.21 Comprobación y corrección para hacer la línea de vista horizontal cuando la burbuja está dentro de sus reparos 92 96 Figura 7 .21A Modo de a¡:mar el trípode en terreno inclinado Figura 7 .21B Manera de señalar hacia qué lado se debe desplazar el aparato 96 para..,2btener un centraje exacto Medición indirecta de una & 1tancia: método A 97 Figura 8.1 Medición indirecta de una distancia: método C 98 Figura 8.2 Figura 8.3 Determinación de la intersección de dos líneas 99 Figura 8.4 Medición de un ángulo cuando el tránsito no se puede colocar en el vértice 99 Figura 8.5 Prolongación de una línea recta 100 Figura 8.6 Prol~ngación de una línea recta. Método de la doble vista 100 Figura 8.7 Trazado de una recta entre dos puntos: caso 2 101 Figura 8.8 Trazado de una recta entre dos puntos: caso 3 102 Figura 8.9 Medición de un ángulo con el tránsito 102 Figura 9.1 Levantamiento de un lote por radiación 105 106 Figura 9.1A Modelo de cartera: levantamiento por radiación . Figura 9.1B Modelo de cuadro de cálculos: levantamiento por ~adiación 107 443 ÍNDICE DE FIGURAS Figura 9.2 Figura 9.2A Figura 9.3 Figura 9.3A Figura 9.4 Figura 9.5 Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura 9.5A 9.5B 9.6 9.7 9.7A 9.8 9.8A 9.8B 9.9A 9.9B 10.1 Figura Figura Figura Figura 10.2 10.3 10.4 10.5 Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 11.6A 11.6B 11.6C 11:7 11.8 11.9 12.1 Figura 12.2 Figura 12.3 Figura 13.1 Levantamiento de un lote por intersección de visuales Modelo de cartera: levantamiento por intersección de visuales Reducción del cálculo de intersección de visuales al de radiación Modelo de cuadro de cálculo (1ª parte): levantamiento por intersección de visuales Levantamiento de un lote por poligonales a) Poligonal recorrida en sentido horario: los ángulos medidos son exteriores; b) Poligonal recorrida en sentido contrario al horario: los ángulos medidos son interiores Modelo de cartera: levantamiento por poligonales Cuadro de cálculos: levantamiento por poligonales Expresión gráfica del error de cierre Detalles por izquierdas y derechas Modelo de cartera: detalles por izquierdas y derechas Detalles por radiación Modelo de cartera: detalles por radiación Modelo de cuadro de cálculos: detalles por radiación Omisión de datos en una poligonal: caso A Omisión de datos en una poligonal: caso B Cálculo del área de un polígono en función de las coordenadas de los vértices Ordenación de las coordenadas para el primer método Ordenación de las coordenadas para el segundo método Proyecciones de longitud y latitud Determinación del área por el método de las dobles longitudes Redes de triangulación Materialización de las estaciones de triangulación Ángulos en un cuadrilátero Rutas para el cálculo del lado opuesto Solución al "problema de los tres puntos" Caso particular del "problema de los tres puntos" Ejemplo de aplicación del "problema de los tres puntos" Esquema preliminar (a mano alzada) a un levantamiento de una edificación Materialización de un punto Trazado de una poligonal referenciada a puntos de coordenadas conocidas Ejemplo de zonificación en una partición 108 109 109 110 111 113 114 115 116 121 122 123 123 124 125 125 127 128 129 130 131 134 136 138 139 141 141 142 143 144 146 149 150 154 156 157 159 444 TOPOGRAFÍA Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura 13.2 13.3 14.1 14.2 15.1 15.2 15.3 16.1 16.2 Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura 16.3 16.4 16.5 16.5A 16.5B 16.6 16.7 16.8 16.9 16.10 16.11 Figura 16.12 Figura 16.13 Figura 16.14 Figura 16.15 Figura 18.1 Figura 18.2 Figuras 18.3 y 18.4 Figura 18.4A. Figura 18.4B. Figura 18.4C. Figura 19.1 Figura 19.lA Figura 19.2 Figura 19.2A Figura 20.1 Figura Figura Figura Figura Figura Figura 20.2 20.3 20.4 20.5 20.6 20.7 Partición de un terreno: caso 1 Partición de un terreno: caso 2 Secciones transversales: vías arterias Secciones transversales: vías locales Cotas y altitudes Refracción atmosférica y curvatura terrestre Efecto de la curvatura terrestre Tipos de miras (A) Nivel de Y-Y tipo americano (B) Nivel de Y-Y tipo francés Nivel Dumpy Nivel de mano: nivel Locke Nivel de mano: nivel Abney Manejo del nivel de mano Locke Manejo del nivel de mano Abney El hilo horizontal debe ser verdaderamente horizontal Línea de vista horizontal cuando el aparato está nivelado Línea de vista. paralela al eje mecánico Línea de vista y eje mecánico paralelos al eje de la burbuja Eje de la. burbuja y eje mecánico en el mismo plano. vertical Comprobación de que el eje de la burbuja y el eje mecánico están en el mismo plano vertical Eje mecánico paralelo al eje de la burbuja Línea de vista paralela al eje mecánico y, por tanto, paralela al eje de la burbuja Eje de la burbuja perpendicular al eje vertical del aparato Ajuste de un nivel de mano Nivelación trigonométrica Nivelación trigonométrica: observación no recíproca Nivelación trigonométrica: corrección por altura del aparato. y altura del punto observado Nivelación geométrica simple Modelo de cartera: nivelación geométrica simple Nivelación geométrica compuesta Modelo de cartera: nivelación geométrica compuesta Esquematización de los planos horizontales y las correspondientes curvas de nivel Dibu¡o de las curvas de nivel Interpolación aritmética de una cota redonda Intetpolación gráfica de una cota redonda Explicación geométrica de la interpolación gráfica Esquematización y representación de un perfil Nivelación de un terreno por radiación _ 161 162 168 169 173 174 175 177 178 179 180 180 181 181 182 183 184 185 186 186 187 187 188 189 196 198 199 200 201 202 205 206 207 208 211 212 213 214 214 215 217 445 ÍNDICE DE FIGURAS Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura 20.8 20.9 21.1 21.2 21.2A 21.2B 21.2C. 22.1 Nivelación utilizando sistema cuadrícula Nivelación de una faja de terreno Ajuste de nivelaciones cerrando en punto común Red de nivelación Circuitos de la red de nivelación Cuadro de cálculos: ajuste de una red de nivelación Retículo taquimétrico y zona de la mira dentro del campo visual Figura 22.2 ,· Esquematización de la taquimetría: visual horizontal Figura 22.3 Esquematización · de la taquimetría: visual inclinada Figura 22.4 A. Cálculo de cotas por taquimetría: ángulo vertical negativo; B.· Cálculo de cotas por taquimetría: ángulo vertical positivo Figura 22.5 Taquímetro autorreductor modelo Kern Kl-RA Figura 22.6 a) Lectura de la distancia horizontal 15,6 m; b) Lectura de la diferencia de altura 6,4 m. Altura de visado en la t~a 1,3 m Figura 22.7 Ilustt:ación de la lectura de los círculos vertical y horizontal del taquímetro autorreductor Kl-RA Figura 22.8 Taquímetro autorreductor Kern DKRV Figura 22.SA Hilos del retículo del autorreductor DKRV Figura 22.9 Taquímetro autorreductor Wild RDS Figura 22.9A Hilos del retículo del autorreductor RDS Figura 22.10 Estadía de invar Figura 22.11 Esquematización de la teoría de la estadía de invar Figura 22.12 Manera de medir una distancia con la estadía de invar Figura 22.13 La plancheta Figura 22.13AAlidada de la plancheta Figura 22.14 Gancho para sujetar el papel Figura 22.15 Plancheta autorreductora Kern Figura 22.16 Retículo de la plancheta autorreductora Kern Figura 22.17 Dispositivo para "centrar" la plancheta Figura 22.18 Dispositivo para "nivelar" la plancheta: rótula Johnson Figura 22.19 Orientación de la plancheta con la N-S Figura 22.20 Brújula declinatoria Figura 22.21 Orientación de la plancheta con una línea conocida Figura 22.22 Arco Beaman Figura 22.23 Utilización del arco Beaman: visual horizontal Figura 22.24 Utilización del arco Beaman: visual inclinada Figura 22.25 Hilo vertical del retículo verdaderamente vertical Figura 22.26 La línea de vista debe coincidir con el eje del anteojo Figura 22.27 Levantamiento por "radiación", con la plancheta Figura 22.28 Levantamiento por "intersección de visuales", con la plancheta Figura 22.29 Levantamiento por "rumbo y distancia", con la plancheta. Figura 22.30 Solución al problema de resección 217 218 220 222 222 223 226 230 231 232 232 236 237 238 238 239 240 241 242 243 244 249 250 250 251 251 252 252 253 253 254 254 256 256 257 258 260 261 261 263 446 TOPOGRAFÍA Figura 22.31 Figura 22.32 Figura 22.33 Figura 22.34 Figura 23.1 Figura 23.2 Figura 23.3 Figura 23.4 Figura 23.5 Figura 23.6 Figura 24.1 Figura 24.2 Figura 24.3 Figura 24.4 Figura 24.5 Figura 24.6 Figura 24.7 Figura 24.8 Figura 24.9 Figura 25.1 Figura 25.2 Figura 25.3 Figura 25.4 Figura 25.5 Figura 25.6 Figura 25.7 Figura 25.8 Figura 25.9 Figura 25.10 Figura 25.11 Figura 25.12 Figura 26.1 Figura 26.2 Figura 26.3 Figura 26.4 Figura 26.5 . Figura 26.6 Figura 26.7 Figura 26.8 Figura 26.9 Figura 26.10 Figura 26.11 Solución exacta al "problema de los dos puntos" Solución al "problema de los tres puntos". Método A Solución al "problema de los tres puntos". Método B Ajuste gráfico de poligonales Plano topográfico de la zona levantada Trazado de la "línea de ceros" Línea de proyecto y línea de ceros coincidiendo Línea de proyecto arriba de la línea de ceros Relleno difícil por mal proyecto Sección transversal en terreno plano Curva circular simple Cuerda unitaria de 10 m Curva circular compuesta Curva circular compuesta (girada 180º) Descomposición del peso del vehículo. Fuerza centrífuga Compensación de la fuerza centrífuga por peralte variable Curva de transición Perfil longitudinal y línea roja Visibilidad en las curvas verticales Localización de los alineamientos rectos Replanteo de una curva Replanteo de una curva cuando el PI es inaccesible Replanteo de una curva cuando el PI y el PC son inaccesibles Replanteo de una curva cuando el PT es inaccesible Localización a partir del PI Todos los puntos de la curva no son visibles desde el PC; empleo de una estación intermedia Todos los puntos de la curva no son visibles desde el PC; empleo de dos o más estaciones intermedias Replanteo por el método de ordenadas sobre la tangente Replanteo por el método de ordenadas sobre la .cuerda principal Replanteo de cut-vas verticales Cálculo de una curva vertical Estacas de chaflán en corte Banca y talud en corte Estacas de chaflán en relleno Perfil de una sección transversal de la via Cálculo del área de una sección transversal Sección transversal tipo para cubicación Secciones transversales extremas, del ejemplo considerado Sección transversal media del ejemplo considerado Modelo de cartera de cubicación Perfil preliminar utilizado para cubicar Cálculo del volumen de movimiento de tierra 263 265 266 267 272 273 274 274 275 275 277 278 280 280 285 287 288 291 292 295 296 298 298 299 300 301 302 303 305 306 308 310 311 313 314 315 318 319 319 320 321 322 447 ÍNDICE DE FIGURAS Figura 27.1 Figura Figura Figura Figura 27.2 27.3 27.4 27.5 Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura 27.6 27.7 27.8. 27.9 27.10 27.11 27 .12 27 .13 27.14 Figura 27 .15 Figura 27 .16 Figura 28.1 Figura 28.2 Figura 28.3 Figura 28.4 Figura 28.5 Figura 28.6 Figura 28.7 Figura 28.8 Figura 28.9 Figura 28.10 Figura 28.11 Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura 29.1 29.2 29.3 29.4 29.5 29.6 29.7 29.8 29.9 29.10 29.11 30.1 30.2 Visión estereoscópica de un par de fotografías aéreas con recubrimiento Recubrimiento longitudinal y transversal de las fotografías Ejes de una aerofotografía Altura de la cámara y escala de la aerofotografía Cálculo de coordenadas en función de coordenadas sobre la aerofotografía Estereoscopia y seudoscopia Esquema del desplazamiento aparente o paralaje Desplazamiento sobre una misma fotografía Desplazamiento de la imagen debido al relieve Desplazamiento en la fotografía debido al relieve Proyección óptica y modelo estereoscópico Restituidor analítico DSR 15 Estación de escaneo digital Leica de Helava Estación fotogramétrica digital Leica de Helava. Estación estereoscópica para operaciones como la triangulación y la orientación con puntos ·de control, la edición de modelos digitales de elevación y el dibujo de líneas Espectro electromagnético Imagen Landsat TM de un sector del embalse de Tominé Tierra y esfera celeste Esfera celeste y círculos principales Coordenadas horizontales Coordenadas ecuatoriales horarias Coordenadas ecuatoriales absolutas Ecuador celeste, eclíptica y punto vernal Triángulo astronómico Esquema de los ángulos considerados Esquema de las dos observaciones al Sol Modelo de formato para la observación de azimut Modelo del cuadro de cálculo para la determinación de azimut Esquema de la plomada óptica Esquema del sistema doble círculo Lectura del microscopio con doble círculo Nivel de coincidencia Nivel de coincidencia dentro del campo del anteojo Cabeza de trípode con articulación de rótula Cabeza de trípode con mesilla nivelante Distanciómetro Teodolito electrónico Estación total Aparato receptor GPS Efecto de la curvatura de la Tierra Posición de las estaciones remotas - línea base 328 331 331 333 334 335 337 338 339 340 345 348 349 350 352 353 356 357 357 359 360 361 361 362 364 365 367 370 371 372 374 374 375 376 377 378 380 381 385 386 448 TOPOGRAFÍA Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura 30.3 30.4 30.5 30.6 30.7 30.8 30.9 30.10 30.11 Figura 30.12 Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura 30.13 30.14 30.15 30.16 30.17 31.1 31.2 31.3 31.4 31.5 31.6 31.7 32.1 32.2 33.1 33.2 33.3 33.4 Error de fix por efecto del ángulo en la posición del máster Distancias máxima y mínima para un fix satisfactorio Medición de profundidad por la ecosonda Registro de profundidades por la ecosonda Medición de profundidades bajas Equipos del sistema de topografía hidrográfica Area de trabajo con coordenadas norte-este Poligonal y bloques de recorrido Pantalla de timonel. Muestra la trayectoria del bote contra línea determinada con desviaciones izquierda-derecha Trayectoria recorrida por el bote indicando la posición de cada fix Carta hidrográfica Malla poligonal tridimensional Carta batimétrica Definición de taludes Ejemplo de una sección transversal (plantilla) Desfase de códigos da tiempo transcurrido Ubicación (X) con relojes sincronizados Ubicación (XX) con reloj del receptor adelantado Ubicación con relojes sincronizados Ubicaciones con reloj del receptor adelantado GPS cinemático en tiempo real Sistema coordenado con satélites GPS Módulos o subsistemas de un SIG Proceso de análisis Modelo digital de un terreno Mesa digitalizadora Croquis del problema que hay que resolver Dispositivo para captura y replanteo electrónico de datos 387 387 389 390 391 393 394 395 396 397 399 400 401 402 403 407 408 409 409 410 413 414 419 421 430 431 432 436 ÍNDICE ANALÍTICO A Aberración cromática, 83 esférica, 83 Aerofotografías, 328, 331, 333, 334 Aerotriangulación, 348 Ajuste de una nivelación, 219-227 de una poligonal, 117-120, 266 de una red de nivelación, 221-224 de una triangulación entre dos bases medidas, 140 por el método de aproximaciones sucesivas, 223, 224 y cálculo de una triangulación, 137-140 Alidada, 250 correcciones a la, 257-259 Alineamientos rectos, 77, 295 Almanaque náutico, 361 Alternador de imagen estereoscópica, 346 Altimetría, 19, 173 clases de nivelación en, 176 introducción a la, 173-17 6 Altúnetro, 176, 191 Altitud, 173 Altura, 173 de vuelo, 342 del nivel, 206 en determinación de azimut, 358 en levantamientos hid1:otopográficos, 384 geográfica, 382, 414 AM (ver Mapeo automático) Aneroide, 191 Angulo, 53-57 cenital, 94, 19 5 de deflexión, 57, 67, 120, 278 de una poligonal, 62, 64, 112 de un triángulo, 133 entre las rasantes, 290 horario, 358, 359 horizontal, 53, 77 medición de un, 39, 99, 102 paraláctico, 242, 243, 244 vertical, 54, 77, 195, 229 Anteojo, 82, 369 partes principales de, 82 tipos de, 82, 83 Aparatos empleados en nivelación, 177-189 Aparatos modernos empleados en topografía principales características de los, 369-382 principales innovaciones en los, 370 Arco Beaman, 249, 250, 254 distancias horizontales, 254 distancias verticales, 255 utilización del, 256 Arca construible, 170 del círculo, 438 del sector circular, 438 del segmento de la parábola, 438 del segmento del círculo, 438 del trapecio, 48, 49, 437 del triángulo, 48, 437 de un polígono, 127-132 de una sección transversal, 315 Arcas de cesión, 167-170 tipo A, 170 tipo B, 170 450 TOPOGRAFÍA Ascensión recta, 359 Atracción local, 60, 61, 63, 66 Atributos, 423 Autocad, 271 Azimut, 56, 59, 358 arbitrario, 56 corrección de, 64 determinación por altura absoluta del sol, 271, 355-367 magnético, 56, 62 observación de, 365 verdadero, 56, 62 B Banca, 275, 311, 314, 315 Barómetro, 176, 191 Barredores multiespectrales (MSS), 326, 352 térmicos, 326 Base en levantamientos de edificaciones, 153 en levantamientos hidrotopográficos, 386 en levantamientos por GPS, 413 en una triangulación, 133, 136, 137, 140 productiva, 20, 21 Batimetría, 383 Berma, 275 BM, 174, 206 provisional, 207 Brújula de agrimensor, 59 de bolsillo, 59, 60 declinatoria, 253 descripción de la, 59 de topógrafo, 59 fuentes de error en levantamientos con, 65 e Cabeza basculante, 375 (ver Co111p11ter Aided Drafti11g) C1\DD (ver Co111p11ter Aided DrmJJi11g a11d Desig11) Cadenear, 23, 39 Cadenero, 23 Cálculo de cotas, 206, 224, 226, 233, 240 de coordenadas, 107, 109, 246, 248, 333 de distancias, 28, 110, 230-232, 239, 243 de una poligonal, 112-117 CAD de volúmenes de un movimiento de tierra, 317-323 Cálculo del área (ver también Arca) de un polígono en función de las coordenadas, 127-129 de un polígono por el método de las dobles longitudes, 130-132 de una sección transversal, 315 Cálculo del volumen dragado, 401 Cámara, 329 Carta batimétrica, 401 hidrográfica, 398 Cartera, 106 chequeo en nivelación de la, 209, 226 de cubicación, 320 de chaflanes, 314, 316 electrónica, 75, 379, 436 modelos de (ver Modelo de cartera) Catálogo de estrellas, 362 Celda, 349 Catenaria, 36 Cenit, 94, 195, 356, 358 Centraje y nivelación del teodolito, 94-96 Centro de una fotografía geométrico, 331 óptico, 331 Cierre de la poligonal, 116 de una curva en ángulo y en lado, 305 Cinta, 23 de acero, 24 de fibra de vidrio, 24 de hilo sintético, 24 de invar, 24 de tela, 24 trazado de una perpendicular con, 40 Círculo horizontal, 238 vertical, 180, 238, 259 Coeficiente de refracción, 195 COGO (ver Coordi11ate Geo1J1etry) Colimador, 242, 370 Comprobaciones del teodolito, 88, 89, 91, 93 · Computadores electrónicos, 270 utilización en topografía de los, 322, 427-436 Co111p11ter Aided Drafti11g (CAD), 74, 431 Co111p11ter A_ided DrmJJi11g a11d Desig11 (CADO), 431 Condiciones de equilibrio en una vía, 284-286 deslizamiento, 284, 285 451 ÍNDICE ANAlÍTICO volcamiento, 284, 286 · Constante de adición, 235, 369 de multiplicación, 235, 239, 369 estadimétrica, 230, 232, 369 taquimétrica, 230, 232, 369 Construcciones, 171 densidad en, 171 volumetría en, 171 Contraazimut, 60, 64 Contranivelación, 209 Contrarrumbo, 60 Control directo en fotogrametría, 344 Coordenadas, 128, 129 cálculo de, 107, 109, 246, 248, 333 cartesianas, 421 celestes, 357 ecuatoriales absolutas, 359, 360 ecuatoriales horarias, 358 geodésicas, 382, 414 geográficas, 70, 421 rectangulares, 414 topográficas, 414 horizontales, 357, 358 verticales, 358 Coordi11atc Gco111ctry (COGO), 431, 434 Corrección por pendiente, 28 Correcciones a la alidada, 257-259 a los niveles, 181-188 al teodolito, 88-94 por paralaje, 362 por refracción, 362 Correcciones a las mediciones con cinta, 37-39 por catenaria, 38 por temperatura, 37 por tensión, 38 Cotas, 173 cálculo de, 206, 224, 226, 233, 240 de trabajo, 309 negras, 289, 314 redondas, 212, 400 rojas, 290, 314 Cuadriláteros, 137, 141, 143 Cuadro de cálculos de ajuste de una red de nivelación, 223 de detalles por radiación, 124 de levantamiento de un lote por intersección de visuales, 109, 11 O de levantamiento de un lote por poligonales, 115 de levantamiento de un lote por radiación, 106, 107 para la determinación de azimut, 367 Cubicación cartera de, 320 del movimiento de tierra, 314 dibujo de las secciones transversales en, 314 empleo de la fotogrametría y los computadores en, 322 sección transversal tipo para una, 318 Cuerda, 278 Cuneta, 275 Curadurías urbanas, 172 Curva, 277-284 cierre de una, 305 grado de la, 278 longitud de la, 295 Curvas batimétricas, 400 Curvas circulares, 277 cierre de, 305 compuestas, 279-284 replanteo de las, 295 simples, 277-279 Curvas de nivel, 211-214, 321, 346 características principales de las, 212 Cmvas de transición, 284, 286-289 ecuación general de las, 289 longitud de las, 287 nomenclatura y fórmulas de, 288 otros tipos de, 289 Curvas verticales, 290-293 cálculo de, 308 más convenientes, 292 replanteo de, 306-308 visibilidad en, 290-292 Curvatura terrestre, 17 4-17 6, 385 D DATUM norteamericano (NAD-83), 382, 414 DATUM, 174 Declinación, 358, 362 magnética, SS, 62 Deslizamiento, 284, 285 Desplazamiento, aparente, 337 de la imagen debido al relieve, 339-341 Detalles por izquierdas y derechas, 47, 120 cálculos, 121 modelo de cartera, 122 Detalles por radiación, 121-124 452 TOPOGRAFÍA cálculos, 122 cuadro de cálculos, 124 modelo de cartera, 123 Determinación de azimut, 364-367 de distancias con cinta y teodolito, 97 de la intersección de dos rectas, 98 de puntos con la plancheta, 262 Dibujo de las secciones transversales, 314 del plano acotado, 271 topográfico, 69-75 Diferencia de nivel, 173, 174, 195, 209, 229, 244 Dilución de precisión geométrica (GDOP), 412 Direcciones de una recta, 53, 54 del meridiano, 72 en la brújula, 60 Discrepancia, 31 Disponibilidad selectiva (S/ A}, 412 Distancia cálculo de la, 28, 110, 230-232, 239, 243, 407 cenital, 358, 362, 363. horizontal, 28, 212, 229, 230, 235, 239, 244, 247, 254 inclinada, 28, 384 medición ele la, 26-30, 43, 97, 384, 407 vertical, 173, 239, 243, 247, 255 Distanciómetro, 216, 377, 378 Doble círculo, 370, 371 DTM (ver Modelo Digital del Terreno) E Eclíptica, 360, 361 Ecosondas, 388-390, 392 Ecuación de lado, 140, 142 Ecuador, 69 celeste, 356, 360, 361 Efecto ele las mareas, 391 por curvatura, 175, 210, 385 por refracción, 175, 210 Efemérides en GPS, 381 solares, 361, 362 Eje ele la burbuja, 185, 186, 188, 210, 257 ele la vía, 273 del proyecto, 27 4 horizontal, 90, 91, 257 mecánico, 184, 185, 186, 188 óptico, 85, 179, 239 vertical, 91, 181, 184, 188 Elementos necesarios en las mediciones, 23-26 . Enfoque del objetivo, 87 del ocular, 86 Entidades ele área, 422 lineales, 422 puntuales, 422 Equilibrio, 284 Equinoccio de otoño, 360 primavera, 360 Equipos de radioposicionamiento por microondas, 383, 392 electrónicos usados en topografía, 427-430 Equivocación, 31 Equivocaciones en fotogrametría, 351 que se pueden presentar al cadenear, 39 Error, 140 accidental, 31, 32, 36 ele colimación, 210, 364 de la media, 34 de nivel, 210 de una observación, 34 en lado menor, 156, 158 índice, 364 probable, 33, 136, 219 promedio, 140 real, 31 residual, 33 sistemático, 31, .32 Error ele cierre de la base, 133 en ángulo, 106, 112, 113, 156, 266 en distancia, 116, 117, 158, 266 en lado menor, 156, 158 en nivelación, 209, 220, 221 manera de distribuir el, 11 7 Errores, 30-36 clases de, 31 compensables, 31 de receptor, 412 en fotogrametría, 350 en nivelación, 209, 210 en las mediciones con brújula, 65 453 ÍNDICE ANALITICO en las mediciones con cinta, 35 en mediciones con GPS, 411 en topografía, 31 Escala, 70, 71, 386 gráfica, 71 numérica, 71 Escuadra de agrimensor, 25, 26 prismática, 26 Esfera celeste, 355, 357 Espectro electromagnético, 352 Espiral de Searles, 289 Estabilidad en la marcha, 284-489 Estacas, 20, 135 de ceros, 309 de punto, 21 Estacas de chaflán, 21, 309 en corte, 309-312 en relleno, 312-314 Estación en Gl'S, 413 en hidrotopografía, 386, 392 maestra, 377 remota, 377, 386, 392 robotizada, 379 total, 379 Estadía de invar, 155, 229, 241-248 ejercicios teóricos de la, 244 manera de medir una distancia con, 244 precauciones en el manejo de la, 244 Estereoscopia, 335 Estructuras basadas en celdas, 422 datos vectoriales, 421 Estudios preliminares requeridos para el trazado, 270 Exactitud, 30, 386 Excentricidad, 136 del eje vertical, 95 Externa, 278 F Factor de escala, 386 Factores geométricos en el diseño de una vía, 277293 Fix, 386 distancia máxima y mínima para un, 387 error de, 387 Flecha, 278 Fórmula de los trapecios, 48, 49, 121 de Simpson, 48, 50, 121 Fórmulas para calcular áreas, 48, 127-132, 437-439 distancias, 28, 230, 239, 243 Fotocontrol, 344 Fotografía aérea, 325, 329 desplazamíento sobre una misma, 338 ejes de una, 331 escala de una, 332 estereoscópica, 327 oblicua, 329 punto principal de una, 330 recubrimiento de una, 330 relación entre la altura de vuelo y la escala de la, 332 superposición de una, 331 terrestre, 325 toma de una, 341 vertical, 329, 330 Fotogrametría aérea, 327, 329 analítica, 347 aplicaciones principales, 351 cálculo de coordenadas en, 333 causas de error en, 350 definición, 325 desarrollo del proceso de, 341 desarrollo en Colombia de la, 326 descripción del proceso, 327 digital, 348 equivocaciones en, 351 fundamentos geométricos de, 332 instrumentos usados en, 344 métrica, 325 nociones de, 325-354 reseña histórica, 326 Sociedad Internacional de, 326 terrestre, 326, 328 usos de la, 322, 327 Fotointerpretación, 325 Fototeodolito, 328 Fuentes de error en fotogrametría, 350 levantamientos con brújula, 65 mediciones con cinta, 35-39 mediciones con Gl'S, 411 Fuerza centrífuga, 284, 285, 287 Funciones de conectividad, 425 454 TOPOGRAFÍA consulta, 423 medición, 423 redes, 425 superposición, 424 vecindad, 424 J Jalones, 20, 25 G (ver Dilución de Precisión Geométrica) Geodesia, 18, 135 G/ob(I/ Positio11i11g Systc111 (ver Sistema de Posicionamiento Global), 405 Glonass, 405, 412 GPS (ver G/oh(I/ Positio11i11g Systclll), 380 Grado de la curva, 278 GDOP H H(lrt/111(/rc, 74, 419 Hilos del retículo, 83, 239, 241 horizontal, 83, 182, 184, 187 taquimétricos, 84, 229, 230 vertical, 83, 89, 257 I JGAC (ver Instituto Geográfico Agustín Codazzi) Imagen seudoscópica, 335 Inclinación de una recta, 54 magnética, 55 Ionosfera terrestre, 411 Instituto Geográfico Agustín Codazzi (IGAC), 167, 326, 348, 349 Instrumentos (ver también Aparatos) de proyección mecánica, 344, 347 de proyección óptica, 344, 345 electrónicos de medidas, 377-382 fotogramétricos, 344 topográficos, 23-26, 369°382, 427-436 Interpolación aritmética, 213 gráfica, 213 por estimación, 213 Intersección, 262, 421 de dos rectas, 98 Isoclínica, 55 Isogónica, 55 K Kern, Aarau, 371 DKM-1, 373 plancheta autorreductora, 251 taquímetro autorreductor tipo, 236-240 teodolito tipo, 94 L Landsat (ver Satélite) Latitud, 69, 70, 382, 385, 414 proyección de, 130, 132 Lecturas s, 111 e i, 229, 230, 234 Leica de Helava, 349 Lemniscata de Bernoulli, 289 Lentes, 83, 330 Letreros en un plano, 73 Levantamiento con la plancheta, 259-261 con GPS, 412 de control, 133, 381 geodésico, 135, 175 geológico, 249 hidrotopográfico, 392, 394-398 por ángulos de deflexión, 120 por rumbo y distancia, 120, 260 topográfico, 17, 270, 381 Levantamiento de detalles, 120-124 cálculos del, 121, 122, 124 por izquierdas y derechas, 120 por radiación, 121-124 Levantamiento de edificaciones, 153-155 cálculos, 155 equipo empleado en el, 155 esquema preliminar, 154 procedimiento, 155 Levantamiento de lotes urbanos, 157 ejemplo, 157 Levantamiento de poblaciones, 156 Levantamiento de un lote con brújula y cinta, 61 Levantamiento de un lote por base medida, 107110 455 ÍNDICE ANALIT!CO Levantamiento de un lote por cinta, 47-51 Levantamiento de un lote por intersección de visuales, 107-110, 133, 260, 261 cuadro de cálculos, 11 O modelo de cartera, 109 procedimiento, 108 Levantamiento de un lote por. poligonales, 111117, 119 cálculo y ajuste de la poligonal, 112-117 cuadro de cálculos, 115 modelo de cartera, 114 procedimiento, 111 variaciones del método de, 119 Levantamiento de un lote por radiación, 105-107, 259 cuadro de cálculos, 106, 107 modelo de cartera, 106 procedimiento, 105 Línea longitud de una, 130 de ceros, 273, 274 de los ápsides, 382, 414 de vista, 60, 85, 89, 91, 182-184, 185, 187, 210, 258, 374 del proyecto, 274 roja, 271, 290, 291, 314 Línea recta, 18 dirección de una, 53 inclinación de una, 54 prolongación de una, 100 trazado de una, 101 Líneas geográficas, 69 Localización de los alineamientos rectos, 295 de un punto cualquiera a partir del PI, 300 del proyecto en el terreno, 295-308 Longitud de la circunferencia, 438 de la curva, 295 de onda de la luz visible, 352 de una línea, 130 geográfica, 69, 70, 382, 385, 414 proyección de, 130 M Malla 3D, 399 Manera de distribuir el error de cierre, 117-120 Mapas, 69, 347, 350 Mapeo automático (Aivl), 74 Marca fiducial, 331 flotante, 347 Materialización de un punto, 156 un replanteo, 170 una estación, 135, 136 MDE (ver Modelo Digital de Elevación) MEO (ver Medidor Electrónico de Distancias) Media aritmética, 33 Medición de á~gulos con cinta, 39 con teodolito, 99, 102 Medición de distancias, 383 cuando se presenta un obstáculo, 43 electrónicamente, 377-382 entre dos puntos fijos, 26-30 indirectamente, 97 por microondas, 384 Medición de profundidades, 388-391 Mediciones con cinta, 23-46 correcciones a las, 37-39 en un terreno inclinado, 27, 28, 48 en un terreno plano, 26 precisión de las, 37 problemas relativos a, 45 Medida de contigüidad, 425 esparcimiento, 426 proximidad, 425 Medidor Electrónico de Distancias (MED), 145, 176, 229, 377 Meridiano, 69, 130 celeste, 358 de Greenwich, 69, 385 del observador, 358 magnético, 54 verdadero, 54 Mesa digitalizadora, 431, 432 Mesilla, 94, 375 Método de 3, 4, 5, 40 Cross en el ajuste de una red de nivelación, 224 la cuerda bisecada, 42 las cotas redondas, 212, 216, 218 las dobles longitudes, 130-132 las dos estacas, 91, 182, 188 Método de ordenadas sobre la cuerda principal, 305 sobre la tangente, 303-305 456 TOPOGRAFIÁ Métodos para calcular el volumen de un movimiento de tierra, 321 medir un terreno con tránsito y cinta, 105125 Ivlicrómetro óptico, 370, 372 Ivlicroondas, 384 medición de ,distancias por, 384 posicionamiento por, 386 , Mira, 177, 210 Modelo de cartera de cubicación, 320 detalles por izquierdas y derechas, 122 detalles por radiación, 123 levantamiento de un lote con brújula y cinta, 61 levantamiento de un lote con cinta, 47 levantamiento de un lote por intersección de visuales, 109 levantamiento de un lote por,poligonales, 114 levantamiento de un lote por radiación, 106 nivelación geométrica compuesta, 208 nivelación geométrica simple, 206 observación del azimut, 367 Modelo Digital de Elevación (MDE), 347 del Terreno (DTM), 399, 430 Mojón, 22, 135, 156 Mosaico, 343, 351 Movimiento aparente, 356 Movimiento de tierra, cubicación del, 314 métodos para calcular el volumen del, 321 MSS (ver Barredores multiespectrales) Múltiples remotos, 388 N NAO 83 (ver DJ\TUM norteamericano) Nadir, 94, 356, 358 NJ\ VSTJ\R (ver Satélite) Nivel, 177 ajuste a un, 189 correcciones a un, 181-188 de coincidencia, 373, 374 de mano, 26, 177, 179, 189 de precisión, 177, 178, 375 del mar, 173 dumpy, 179 innovaciones introducidas a un, 373-375 Nivel Abney, 26, 28, 180 ajuste del, 189 manejo del, 181 Nivel de burbuja, 79 eje del, 79, 88 sensibilidad de un, 79 Nivel de caballete, 258 eje del, 258 Nivel láser, 179 Nivel Locke, 26, 28, 179 ajuste del, 189 manejo del, 181 Nivel Y-Y, 178 correcciones al, 184-188 tipo americano, 178, 185 tipo francés, 178, 184 Nivelación, 173, 215 ajuste de una, 219-227 aparatos empleados en, 177-189 circuito cerrado de, 219 clases de, 176 corrección de errores en, 219 de alta precisión, 175 de una linea, 215 errores en, 209, 210 por cotas redondas, 216 por distancias fijas, 215 por puntos de quiebre, 216 Nivelación barométrica, 176, 191-193 concepto general, 191 cuando se dispone de dos' altímetros, 192 cuando se dispone de un solo altímetro, 192 Nivelación del teodolito con cuatro tornillos, 81 con tres tornillos, 81 Nivelación de un terreno, 216-218 por el sistema de cuadrícula, 216 por el sistema de radiación, 216, 217 Nivelación directa, 205-210 Nivelación geométrica, 176, 205-210 definición, 205 errores permitidos en, 209 Nivelación geométrica compuesta, 207-210, 216 anotaciones respecto a la, 209 chequeo de la cartera en, 209 modelo de cartera de una, 208 procedimiento, 207 Nivelación geométrica simple, 205, 216 modelo de cartera, 206 Nivelación trigonométrica, 176, 195-203, 216 concepto general, 195-203 457 ÍNDICE ANALITICO corrección por altura del aparato y del punto observado en,' 199 Nonio, 77, 93 Norte magnético, 60, 62 sur, 70, 72 verdadero, 62 o Objetivo, 83, 87 Ocular, 85 enfoque del, 86 poder de aumento del, 86 tipos de, 85 Omisión de datos en una poligonal, 124 Orientación absoluta, 346 relativa, 346 Ortofoto, 348 Ortofotomap_a, 350 Ortoimágenes, 327 p Pantalla de timonel, 395, 396 Paquetes de sojt1vare para topografía, 434 Paralaje, 87, 210, 234, 235, 336-339, 362, 363 Paralelo, 69, 130 Pares estereoscópicos, 330 Particiones, 159-162 caso general, 159 casos especiales en, 161 ejemplo de zonificación en, 159 re (ver Punto de curvatura) Película pancromática, 330 Peralte, 284 Percepción remota, 326, 351-354 Perfil, 70, 401 del proyecto, 321 de una línea, 215 ' de una sección transversal de una vía, 314_ longitudinal de la vía, 289, 291, 314, 321' PI (ver Punto de intersección) Piquetes, 24, 25 Pirámide, 317 Pb:el, 349, 353, 422 Placa, 156 Plan de Ordenamiento Territorial (POT), 165 Plancheta, 249 ajuste de poligonales por medio de la, 266 alidada de la, 250 autorreductora Kern, 251 descripcióO:, 249-251 determinación de puntos con la, 262 levantamientos con la, 259-261 manejo de la, 251, 253 orientación de la, 251, 252, 254 ventajas y desventajas de la, 267 Planes y normas en urbanizaciones, 165 Planimetría, 19, 20 Plano, 69, 74, 249, 343 de referencia, 173 dibújo de un, 271 en urbanizaciones, 166 escala de un, 71 focal, 329 fotogramético, 270, 343 letreros en un, 73 notas y leyendas en un, 74 planimétrico, 343 signos convencionales en un, 74, 75 topográfico, 272, 343 Plantilla, 401, 402, 403 Plomada, 25, 26, 37 de bastón, 94 óptica, 94, 370, 379 Poligonal, 111, 395 ángulos de deflexión en una, 57 cálculo y ajuste de la, 112-120 cierre de la, 116 omisión de datos en una, 124 Polo norte, 356, 358 sur, 356, 358 Posición geodésica, 385 Postopografía, 392, 398-403 POT (ver Plan de Ordenamiento Territorial) Precisión, 30, 179 de las mecliciones con cinta, 37 en el cálculo de una poligonal, 112 en una triangulación, 133 grado de, 34, 37 Presión atmosférica, 191 Pretopografía, 392 Primer vertical, 358, 364 Prismatoide, 318 Problema de intersección, 262 los dos puntos, 262 resección, 146, 262, 263 458 TOPOGRAFÍA Problema de los tres puntos, 264-266 caso particular del, 149 ejemplo de, 149 método A, 264 método B, 265 solución trigonométrica del, 146 Proceso fotogramétrico, 341 Prolongación de una línea recta, 100 por el método de la doble vista, 100 Proyección de longitud y latitud, 130 del terreno, 20 en una poligonal, 113, 118 Punto, 20, 53 artificial permanente, 22 de cambio, 207, 210 de control, 156 de cota redonda, 212 de curvatura. (Pe), 278, 296, 298, 301 de curvatura compuesta (Pee), 279 definitivo, 21 de intersección (PI), 278, 295, 296, 297, 298, 300 de tangencia (PT), 278, 296, 299 determinación de un, 53, 70, 407 instantáneo, 20 momentáneo, 20 natural, 22 transitorio, 20 vernal, 360 PT (ver Punto de tangencia) R Radar de visión lateral, 326 por satélite, 326 Radiación, 121, 109 Radio, 278, 279, 292 Radiómetro, 326, 352 Raster, 421, 422 Rectificación diferencial, 348 Recubrimiento, 330, 335 Red, 425 de nivelación, 222, 262 de triangulación, 133, 134 Refracción atmosférica, 174, 195, 197, 234, 362 Reiteración en medición de ángulos, 102 Relación entre la escala de la fotografía y la altura de vuelo, 332 Relleno, 274, 289 Repetición en medición de ángulos, 103 Replanteo, de curvas verticales, 292, 306-308 en urbanizaciones, 170 Replanteo de las curvas circulares, 295-305 casos especiales en el, 297-303 por el método de las deflexiones , 296 por el método de ordenadas sobre la tangente, 303-305 por el método de ordenadas sobre la cuerda principal, 305 Resección, 146, 262, 263 Restituidor, 347 analítico, 348 digital, 349 Retículo, 83 anillo del, 84 hilos del, 83, 235, 241 taquimétrico, 230 Rótula Johnson, 252 Rumbo, 55, 59; 62, 120 arbitrario, 56 magnético, 56, 65 verdadero, 56, 65 s Satélite, 410, 414 Landsat, 353, 354 1•·· Ni\VSTAR, 380, 405 SPOT MSS, 354 SPOT pancromático, 354 Sección transversal cálculo del área de una, 315 dibujo de una, ,275, 314 ejercicio teórico de cálculo de una, 316 Sentido horario, 112, 129 Seudoscopia, 335 SIG (ver Sistema de Información Geográfica) Signos convencionales para planos, 70, 74, 75 Sistema, anaglifo, 345 de bujes metálicos, 369 de coordenadas, 414 (ver también Coordenadas) de cuadrícula, 216 de radiación, 216, 217 de rodamiento, 369 Geodésico Mundial (WGS-84), 382, 414 459 ÍNDICE ANALITICO Sistema <le Información Geográfica (SIG), 74, 75, 327, 347, 415-426 Sistema de Posicionamiento Global (GPS), 75, 271, 380, 384, 392, 405-414 cinemático en tiempo real, 413 diferencial cinemático, 413 estático, 412 fuentes de error en un, 411 funciotrnmiento del, 407 métodos para hacer levantamientos por, 412 reseña histórica, 405 utilidad del, 406 Sistemas automáticos de dibujo, 74 -áreas de utilización, 415 componentes de un, 417 definición, 415 funciones de análisis utilizadas en un, 423 módulos o subsistemas de un, 419 preguntas que puede contestar un, 416 programas para un, 417 solución de problemas de tipo espacial con un, 420 ventajas de usar un, 416 Sobreprofundidad, 403 Seft1vare, 74, 275, 392, 413, 417, 431, 434 Solsticio de invierno, 360 de verano, 360 SPOT (ver Satélite) Superposición, 331, 335, 421 T Talud, 309, 311, 313, 402 Tangente, 278 Taquimetría, 229-267 aplicaciones de la, 233 cálculo de cotas por, 233, 240 cálculo de distancias por, 230-243 equipo requerido en, 229 generalidades, 229 posibles causas de error en, 233 recomendaciones para hacer, 234 tipos de, 229 Taquímetro autorreductor, 235, 369 modelo Kern DKRV, 238-240 modelo Kcrn K1-RA, 236-238 modelo Wild ROS, 240 Taquímetro electrónico, 379 Tbe111atic Mapper (TM), 353, 354 Tensión normal, 36, 38 Teodolito, 77, 112, 178, 369 centraje y nivelación del, 94-96 correcciones al, 88-94 diversos usos del, 97-104 electrónico, 378 generalidades del, 77-87 medición de ángulos con, 99, 102 nivelación del, 80 partes principales del, 77 usos del, 97-104 Teoría de probabilidades, 32 Tierra, 356 Topografía, 17, 18 clases de errores en, 31 computadores y su utilización en, 429-436 de alta precisión, 17 definición, 17 división básica de la, 19 importancia de, 19 nociones generales en, 17-22 terrestre, 383 unidades empicadas en, 19 usos de la, 17 Topografía hidrográfica, 383-404 aplicación para el diseño de canales de la, 401 corrección de datos en, 397 definición, 383 equipos del sistema de, 392, 393 etapas de la, 392-403 introducción, 383-391 sistema de, 392 Tornillo de fijación, 59, 77, 87 movimiento lento, 77, 87, 104, 375 nivelación, 80 'torres de observación, 136, 145 Trqbajo de campo, 17, 135, 249 oficina, 17, 249 Tránsito, 77, 137, 156 (ver también Teodolito) Trapecios, 437 fórmula de los, 48, 49, 121 Trazado de curvas batimétricas, 400 de la línea de ceros, 273 de una linea recta con teodolito, 101 de una vía, 269-275 Trazado de una perpendicular con cinta a una recta, 40 por un punto sobre la recta, 42 460 TOPOGRAFÍA Triangulación, 133-151, 195, 380 aére_a, 344 . ajuste y cálculo de una, 137-140 aplicaciones, 145 entre dos bases medidas, 140 errores máximos permitidos en, 135 gráfica, 262 generalidades, 133-135 orden de la, 135 red de, 133, 1-34 trabajo de campo para una, 135 Triángulo, 48, 133, 137, 437 astronómico, 361 Trigonometría, 439 Trilatcración, 145, 380, 386 redes de, 145 Trípode, 77 centrante, 376 . con articulación de rotuL'l; 375, 376 con mesilla nivelante, 375·;_;376 de bastón, 376 ·. mejoras introducidas al. 375 modo de armar el, 96 ' ,. ... planes y normas ·que rigen las, 165 repl~ntéo en, 170 V Velocidad del sonido, 389 Vernier, Ti Vértice de una curva, 278 de una poligonal, 20, 99, 111 Vías arte tias, 168 ·1ocalcs, 169 Visión binocular, 335 estcreoscópica, 328, 335, -336 Vistü ·adelante, 207, 209 ! atrás, 206, 207, 209, 253 intermedia, 206, 207 Volcamiento, 284, 286 Volúmenes de un movimiento de tierra cálculo qe, 317-323 u Urbanizaciones, 163-172 afectaciones en, 167 área construible en, 170 área neta de, 167 área útil en, 170, 171 áreas de cesión en, 167-17.0 definición, 166 diseño de -vías locales en, 167 introducción, 163 licencias y pc;misos en, 172 ,, - t w WGS-84 (ver Sisten:;ta Geodésico Mundial) Wild, T-16, 373 taquímetro autorreductor tipo, 240 teodolito tipo, 94 · z ZEISS OREL, 326

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