1
NOMBRES
ET OPÉRATIONS
1
2
NO19 Quels facteurs ?
a) Complète cette grille de la même manière, c’est-à-dire à l’aide de produits de nombres premiers.
3
6=2·3
12 = 2 2 · 3
2
4 = 22
·3
1
·2
NO20 Décompositions
Décompose chacun des nombres suivants en un produit de nombres premiers.
a) 14 ; 32 ; 60 ; 72 ; 300 ; 1024
b) 24 ; 34 ; 56 ; 100 ; 132 ; 1000
3
NO21 Plus petit multiple commun
Trouve le plus petit multiple commun, appelé ppmc, des entiers suivants.
a) 2 et 3
c) 5 et 10
e) 6 et 15
b) 8 et 4
d) 3 et 12
f) 5 ; 13 et 20
a) 8 et 24
c) 6 ; 8 et 9
e) 45 et 20
b) 14 et 35
d) 12 ; 15 et 30
f) 36 et 40
NO22 ppmc
Trouve le ppmc de :
4
NO23 Plus grand diviseur commun
Trouve le plus grand diviseur commun, appelé pgdc, des entiers suivants.
a) 9 et 12
c) 4 et 8
e) 7 et 11
b) 10 et 25
d) 15 et 20
f) 50 ; 250 et 400
NO24 pgdc
Trouve le pgdc de :
a) 180 et 240
c) 10 ; 12 et 16
e) 288 et 360
b) 72 et 66
d) 200 et 350
f) 550 et 70
5
NO28 Tableaux de ppmc et de pgdc
a) Complète le tableau suivant avec le ppmc des deux nombres concernés.
ppmc
6
8
15
4
12
20
b) Complète le tableau suivant avec le pgdc des deux nombres concernés.
pgdc
6
8
15
4
12
20
6
7
NO2 C’est astucieux !
Calcule mentalement et astucieusement.
a) 256,4 + 880,2 – 66,4 + 20,8 =
b) 5 · 47 · 200 =
c) 98 · 500 =
_________________________________________________________
e) 2030 · 0,01 =
__________________________
f) 15,7 : 0,5 =
______________________________
d) 1,3 · 6 + 1,3 · 4 =
g) 890 : 1000 =
_______________________
_________________________
___________________________
__________________________
NO3 Dans quel ordre ?
Calcule.
a) 8 + 2 · 7 =
f) 3 + 7 · 3 – 4 · 5 =
b) 8 + 12 : 3 – 5 =
g) 12 + 12 : 4 – 21 : 3 =
c) 4 · 9 + 2 – 6 · 3 =
h) 4 · 7 – 3 + 5 · 2 =
d) 8 · 3 : 2 – 56 : 7 + 3 · 7 =
i) 6 · 7 : 3 · 7 =
e) 6 + 4 · 5 – 26 : 13 =
j) 8 : 8 · 16 : 4 =
8
NO4 Attention à l’ordre !
Calcule.
a) 3 + 4 · 5 =
f) 8 : 4 · 2 – 3 =
b) (4 + 3)2 =
g) (7 – 3) · 3 =
c) 33 – (8 – 2) =
h) 5 : 22 + 1 =
d) 8 : (60 – 14 · 4) =
i) 72 – (5 + 24 : 3) =
e) (62 + 52) · 0 =
j) 59 – 48 : 12 =
PROPRIÉTÉS DES OPÉRATIONS
1) Dans les multiplications suivantes, groupe les facteurs de façon à faciliter
les calculs. Ensuite, calcule.
Ex. : 8,7, 25 = (8 x 25) x7 = 200 x 7 = 1400
a) 6 x 15 x 8 =
b) 20 x 8 x 125 x 5 =
c) 11 x 4 x 8 x 25 =
9
2) Effectue
a) ( 7 + 7 ) x ( 7 -7 ) = 7 + (7 x 7 ) =
b) 7 + 7 x (7 x 7 ) =
c) ( 7 +7 ) x 7 - 7 =
d) 4 x 3 + 5 x 2 +9 = 5 +7 x 3 =
e) 5 - 1x 2 =
f) 8 + 9 x 3 +2 = 100 - 2 x 25 - 5 =
g) 25 : 5 - 2 + 3 x ( 12 - 8 ) : 2 =
h) 12 - ( 7 - 1 ) + 12 x ( 5 - 1 ) : 3 + 12 =
i) ( 12 : 3 x 2 ) x 2 + (10 - 5 ) : 5 =
j) ( 10 + 5 x 3 - 5 x 5 ) x 4 + 7 : ( 49 - 6 x 8 ) =
k) 52 x 2 + 3 x 42 =
l) 4 + 5 x 22 + 3 =
m) 4 + (52 + 3 x 1) x 2 + 8 =
n) (4 + 5)2 x 3 + 1 + 2 x 8 =
10
3) Écris l’opération qui correspond à chaque phrase
a) Le produit de 5 par la somme de 3 et 8 : _________________________________
b) La somme des carrés de 2 et de 7 : _____________________________________
c) La somme dont les termes sont le produit de 7 par 3 et 9 : ___________________
d) Le carré de la somme de 2 et de 7 : ____________________________________
e) Le quotient de 20 par la différence entre 9 et le carré de 2 : __________________
f) Le produit de 7 par la différence entre le carré de 9 et 3 : ____________________
g) Le cube de la somme de 2 et du carré de 3 : _____________________________
NO32 On recherche
Trouve :
a) des carrés parfaits compris entre 50 et 100 ;
b) des carrés parfaits diviseurs de 100 ;
c) des cubes parfaits multiples de 2 ;
d) des cubes parfaits compris entre 100 et 400 ;
e) des cubes parfaits multiples de 5 ;
f) des nombres qui sont à la fois des carrés parfaits et des cubes parfaits ;
g) les diviseurs de 400 supérieurs à 200 ;
h) des nombres premiers divisibles par 1 et par 7 ;
i) des multiples de 8 compris entre 51 et 55 ;
j) un multiple de 5 et de 7 qui se termine par 3 ;
k) des multiples à la fois de 5 et de 7, compris entre 100 et 200 ;
l) un multiple de 17 et de 18 qui se termine par 8.
11
omaths.ch - calcul de puissances
http://w
Calculs de puissances
Réduis les expressions suivantes.
N'hésite pas à récrire les divisions sous forme de fractions!
1)
(22)4
= ........
16)
(31)3
= ........
2)
(22)4
= ........
17)
(33)4
= ........
3)
43 . 45
= ........
18)
102 . 103 = ........
4)
101 : 101 = ........
19)
54 . 52
= ........
5)
(52)2
= ........
20)
(53)1
= ........
6)
(34)2
= ........
21)
(24)5
= ........
7)
(53)3
= ........
22)
24 : 2 4
= ........
8)
105 . 103 = ........
23)
(54)4
= ........
9)
101 . 105 = ........
24)
32 . 33
= ........
10)
34 : 3 1
= ........
25)
(103)5
= ........
11)
24 : 2 2
= ........
26)
(33)2
= ........
12)
104 : 102 = ........
27)
(104)5
= ........
13)
(52)4
= ........
28)
44 : 4 3
= ........
14)
25 : 2 2
= ........
29)
(104)3
= ........
15)
24 : 2 1
= ........
30)
(44)2
= ........
Réponses
1) 28
2) 28
6) 38
7) 59
11) 22
12) 102
3
12
12
3) 48
4) 100
5) 54
8) 108
9) 106
10) 33
13) 58
5
14) 23
15) 23
6
3
omaths.ch - calcul de puissances
http://w
Calculs de puissances
Réduis les expressions suivantes.
N'hésite pas à récrire les divisions sous forme de fractions!
1)
(101)2
= ........
16)
105 . 104 = ........
2)
54 . 52
= ........
17)
52 : 5 2
= ........
3)
101 . 102 = ........
18)
33 : 3 1
= ........
4)
(45)4
= ........
19)
(35)2
= ........
5)
(52)1
= ........
20)
22 . 23
= ........
6)
32 : 3 2
= ........
21)
(102)2
= ........
7)
(44)2
= ........
22)
102 . 103 = ........
8)
(54)4
= ........
23)
32 . 33
= ........
9)
103 . 104 = ........
24)
(43)2
= ........
10)
102 . 103 = ........
25)
(41)4
= ........
11)
(33)2
= ........
26)
55 . 54
= ........
12)
(53)3
= ........
27)
104 : 101 = ........
13)
(45)1
= ........
28)
25 : 2 3
= ........
14)
25 . 21
= ........
29)
43 . 45
= ........
15)
54 : 5 3
= ........
30)
(103)1
= ........
Réponses
1) 102
2) 56
6) 30
7) 48
13
3) 103
4) 420
5) 52
8) 516
9) 107
10) 105
Nombres et opérations
Nombres relatifs
NO58 Simplifions
Voici des simplifications d’écritures :
(+ 4) + (+ 4) = (+ 8)
devient
4 + 4 = 8
(+ 4) + (– 4) = 0
devient
4 – 4 = 0
(– 4) + (+ 4) = 0
devient
–4 + 4 = 0
(– 4) + (– 4) = (– 8)
devient
–4 – 4 = –8
(– 4) – (+ 4) = (– 8)
devient
–4 – 4 = –8
(– 4) – (– 4) = 0
devient
–4 + 4 = 0
En respectant les mêmes procédés, que deviennent les écritures suivantes ?
a) (–11) + (+ 3) =
_________________________
d) (+ 21) + (– 7) =
_________________________
________________________
e) (– 69) + (+1) =
_________________________
f) (+ 36) – (–18) =
_________________________
b) (– 20) – (–16) =
c) (+100) + (+ 200) =
_______________________
Nombres et opérations
Nombres relatifs
NO59 Relions
Relie l’expression de la colonne de gauche à son écriture simplifiée de
la colonne de droite et donne le résultat de l’opération.
(+10) + (+10)
•
•
–10 – 10
(–10) – (+10)
•
•
10 – 10
(+10) + (–10)
•
•
10 + 10
(–10) – (–10)
•
•
–10 + 10
Mathématiques 10e
© CIIP – LEP, 2012
14
15
Nombres et opérations
Nombres relatifs
NO42 Les quatre additions
Aide-toi de ces quatre égalités
(+ 3) + (+ 9) = (+12)
(+ 3) + (– 9) = (– 6)
(– 3) + (+ 9) = (+ 6)
(– 3) + (– 9) = (–12)
pour trouver le résultat de ces calculs :
a) (– 8) + (+7)
c) (+ 5) + (+15)
e) (+ 32) + (+ 68)
g) (– 7) + (– 21)
b) (+ 20) + (–19)
d) (–11) + (–1)
f) (– 3) + (+13)
h) (+ 4) + (–12)
Nombres et opérations
Nombres relatifs
NO43 Additions d’entiers relatifs
Effectue ces calculs, puis confronte tes résultats avec ceux que tu obtiens à l’aide de ta calculatrice :
a) (+ 5) + (+ 6)
b) (+ 5) + (– 6)
c) (– 5) + (+ 6)
d) (– 5) + (– 6)
Procède de même pour les calculs suivants :
e) (+ 9) + (– 3)
g) (–13) + (+7)
i) (– 20) + (– 80)
k) (+ 36) + (+14)
f) (– 20) + (–12)
h) (+ 4) + (+ 8)
j) (+ 6) + (–18)
l) (–15) + (+15)
Comment additionner deux nombres, qu’ils soient positifs ou négatifs ?
Mathématiques 10e
© CIIP – LEP, 2012
16
Nombres et opérations
Nombres relatifs
NO45 Les huit additions
Calcule.
a) (+15) + (– 5) =
___________________________
e) (–15) + (+ 25) =
__________________________
b) (–12) + (–18) =
___________________________
f) (+10) + (–13) =
___________________________
c) (–16) + (+16) =
___________________________
g) (–19) + (– 4) =
d) (+ 28) + (+ 22) =
__________________________
____________________________
h) (+ 7) + (– 23) =
___________________________
Nombres et opérations
Nombres relatifs
NO46 Encore huit additions
Calcule.
a) (+ 6,5) + (– 6,5) =
_________________________
e) (+ 6,8) + (+1,8) =
_________________________
b) (– 3,1) + (– 7,1) =
_________________________
f) (+ 3,5) + (– 6,5) =
_________________________
c) (– 0,7) + (+ 0,7) =
_________________________
g) (–14,6) + (+ 6) =
d) (– 2,7) + (– 7,3) =
_________________________
h) (– 8,2) + (–1,8) =
Nombres et opérations
__________________________
_________________________
Nombres relatifs
NO50 Les quatre soustractions
Aide-toi de ces quatre égalités
(+7) – (+ 2) = (+7) + (– 2) = (+ 5)
(– 7) – (+ 2) = (– 7) + (– 2) = (– 9)
(+7) – (– 2) = (+7) + (+ 2) = (+ 9)
(– 7) – (– 2) = (– 7) + (+ 2) = (– 5)
pour trouver le résultat de ces calculs :
a) (–14) – (– 8)
c) (+12) – (–12)
e) (+100) – (+ 90)
g) (– 8) – (– 2)
b) (+ 31) – (+ 9)
d) (– 5) – (+19)
f) (– 6) – (+16)
h) (+7) – (– 4)
17
Mathématiques 10e
© CIIP – LEP, 2012
Nombres et opérations
Nombres relatifs
NO47 Déplacements autorisés
Parcours ce labyrinthe en respectant les déplacements autorisés :
–9
+11
+19
+1
–12
–5
–14
–15
+4
+ 23
+ 12
+1
+ 20
+ 39
–8
+5
–5
–3
–14
– 25
–6
–17
+2
–3
+ 10
+ 39
+ 18
+ 27
–1
–13
+6
–5
–16
– 27
– 38
–19
0
+ 19
0
–2
–14
+5
–4
–15
+4
–7
–18
+1
–8
+ 21
–2
0
– 24
–5
+ 15
+5
–6
–17
–2
–9
+ 10
+ 29
–12
– 23
–2
–15
+3
+ 22
+8
0
–8
+ 11
0
+ 19
+ 10
– 33
–13
–2
–6
+ 16
+ 31
–7
–17
+1
+ 20
+9
–10
– 42
– 54
– 35
–16
+3
+ 22
–11
+2
–9
+ 10
–1
+ 18
– 54
– 63
+ 47
– 56
–6
–17
+2
–2
+ 11
0
+ 19
+ 38
+ 42
– 23
– 55
– 66
– 77
– 58
– 31
–12
+7
–1
+9
–2
–13
+6
+ 27
– 76
+ 65
–2
+ 41
+ 60
+ 79
– 21
+5
–3
– 23
–4
+ 15
+ 36
– 97
+ 44
+ 33
+ 52
+ 39
+ 58
+ 69
+ 14
+3
–14
+5
+ 26
+ 45
+ 34
+ 23
+ 42
+ 31
+ 48
+ 37
–12
entrée
Mathématiques 10e
18
© CIIP – LEP, 2012
sortie
–21
Nombres et opérations
Nombres relatifs
NO54 Les huit soustractions
Calcule.
a) (+ 7) – (–15) =
e) (– 29) – (–17) =
__________________________
f) (+ 35) – (+ 33) =
__________________________
___________________________
g) (+ 24) – (–14) =
__________________________
__________________________
h) (– 45) – (+ 36) =
__________________________
___________________________
b) (–12) – (+ 23) =
c) (–18) – (– 6) =
__________________________
d) (+ 52) – (+13) =
Nombres et opérations
Nombres relatifs
NO55 Plus et moins
Calcule.
a) (+ 6) + (– 4) =
____________________________
b) (–13) – (–17) =
__________________________
f) (– 3) + (– 6) =
____________________________
g) (+ 4) – (+ 6) =
____________________________
c) (– 7) + (– 5) =
____________________________
h) (+10) – (– 5) =
d) (– 8) + (– 2) =
____________________________
i) (+10) – (–10) =
e) (– 3) – (+ 7) =
____________________________
j) (– 24) – (+ 36) =
Nombres et opérations
___________________________
__________________________
_________________________
Nombres relatifs
NO56 Virgule
Calcule.
a) (+7,7) + (– 8,2) =
________________________
e) (+ 28) – (+ 42) =
b) (– 4,8) – (+ 3,4) =
________________________
f) (–15,9) – (+ 5,9) =
c) (– 8,9) + (–11) =
d) (+ 5,5) – (– 5,6) =
_________________________
_______________________
_________________________
g) (+ 0,4) + (– 8,9) =
________________________
________________________
h) (– 4,5) – (+ 5,4) =
_________________________
Nombres et opérations
Nombres relatifs
NO57 Additions et soustractions à trous
Complète ces égalités.
a) (+ 36) +
______
= (– 6)
e)
= (–19)
f) (– 8) +
b) (+17) –
______
c)
+ (+16) = (+ 8)
______
d) (–7) –
______
= (+14)
______
+ (– 22) = (– 30)
______
= (+ 20)
g)
______
– (– 3) = (–18)
h)
______
– (+ 5) = (+ 9)
Mathématiques 10e
© CIIP – LEP, 2012
19
10
Nombres et opérations
Aide-mémoire
Généralités
Ensembles de nombres
NO
Ensemble de nombres
Notation
nombres naturels
!
0 ; 1 ; 5 ; 12 ; 1022 ; …
nombres entiers relatifs
"
… ; –52 ; –20 ; –2 ; 0 ; 4 ; 215 ; …
nombres rationnels
Q
… ; –10 ; – 74
nombres réels
R
… ; –19 ; –3,4 ; –
; – 2 ; 0 ; 0,333… ; 7 ; 11 ; 19,6 ; …
3
5
2;0;2; 5 ;
3
Chiffres et nombres
Les chiffres sont des
symboles. Il en existe dix :
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Les nombres sont écrits à
l’aide d’un ou de plusieurs
chiffres.
Exemple : 536 est un
nombre écrit à l’aide
de trois chiffres.
1–
Q
; 30 ; …
R
> Nombre entier relatif (p. 18), Nombre rationnel (p. 20), Nombre irrationnel (p. 27)
Droite numérique
On peut représenter l’ensemble des nombres réels par une droite, appelée droite numérique :
– 3,5
–5
–
7
5
1+ 5
2
50
5
0
9,666...
10
R
> Ordre croissant (p. 11), Ordre décroissant (p. 11)
20
12
Nombres et opérations
Aide-mémoire
Propriétés de l’addition et de la multiplication dans
NO
L’addition est associative
(a + b) + c = a + (b + c)
La multiplication est associative
(a · b) · c = a · (b · c)
L’addition est commutative
a+b = b+a
La multiplication est commutative
a·b = b·a
0 est l’élément neutre pour
l’addition
a+0 = 0+a = a
1 est l’élément neutre pour
la multiplication
a·1 = 1·a = a
Pour tout nombre a, il existe
un nombre opposé, noté –a,
tel que :
a + (–a) = (–a) + a = 0
Pour tout nombre a différent de 0,
il existe un nombre inverse, noté 1
a,
tel que :
1
1
a· a = a ·a = 1
associativité
adsocius (latin) : joint à,
associé
commutativité
commutare (latin) :
changer une chose contre
une autre chose
Attention !
La soustraction et la
division ne sont ni
associatives, ni commutatives, et n’ont pas
d’élément neutre.
La multiplication est distributive sur l’addition et la soustraction
a · (b + c) = (a · b) + (a · c)
a · (b – c) = (a · b) – (a · c)
Priorités des opérations
On effectue les opérations dans l’ordre suivant :
1. Opérations notées entre parenthèses
(17 – 5) · 6 = 12 · 6 = 72
2. Puissances, racines
45 : 3 2 = 45 : 9 = 5
3. Multiplications, divisions
7 + 8 · 5 = 7 + 40 = 47
4. Additions, soustractions
Lorsque des additions et des soustractions se suivent,
on effectue les opérations de gauche à droite.
75 – 4 + 12 = 71 + 12 = 83
Lorsque des multiplications et des divisions se suivent,
on effectue aussi les opérations de gauche à droite.
12 : 4 · 15 = 3 · 15 = 45
Exemple plus complexe
2 + 5 · (42 + 20 : 4) =
=
=
=
Autre présentation possible
2 + 5 · (4 2 + 20 : 4)
16
2 + 5 · (16 + 5)
2 + 5 · 21
2 + 105
107
5
21
105
107
21
Aide-mémoire
Nombres et opérations
15
Recherche du ppmc de deux nombres naturels
Pour rechercher le ppmc de deux nombres naturels, on peut décomposer
chaque nombre en un produit de facteurs premiers.
Exemple
150
75
25
5
1
2
3
5
5
150 = 2 · 3 · 52
1485
495
165
55
11
1
3
3
3
5
11
Il existe d’autres méthodes
pour rechercher le ppmc de
deux nombres.
1485 = 3 3 · 5 · 11
Le ppmc est alors le produit de tous les facteurs premiers différents apparaissant dans
les décompositions, écrits chacun une seule fois avec son plus grand exposant.
ppmc (150 ; 1485) = 2 · 33 · 52 · 11 = 14 850
> Nombre premier (p. 16), Décomposition en produit de facteurs premiers (p. 17), Nombres premiers entre eux (p. 18)
Critères de divisibilité
Un nombre naturel se divise par :
2
s’il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8 ; on dit alors qu’il est pair
3
si la somme de ses chiffres se divise par 3
4
si le nombre formé par ses deux derniers chiffres se divise par 4, notamment s’il se termine par 00
5
s’il se termine par 0 ou par 5
6
s’il se divise par 2 et par 3
9
si la somme de ses chiffres se divise par 9
10
s’il se termine par 0
25
s’il se termine par 00, 25, 50 ou 75
50
s’il se termine par 00 ou 50
100
s’il se termine par 00
> Multiple (p. 14), Diviseur (p. 15), Nombre premier (p. 16)
Diviseur
Si a et b sont deux nombres naturels non nuls,
alors b est un diviseur de a s’il existe un nombre
naturel c tel que a = b · c
Exemples
7 est un diviseur de 21, car 21 = 7 · 3
5 n’est pas un diviseur de 23
1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12 sont les diviseurs de 12
> Opérations – vocabulaire (p. 11), Multiple (p. 14), Critères de divisibilité (p. 15)
22
NO
16
Nombres et opérations
Aide-mémoire
Diviseur commun et pgdc
NO
Un diviseur commun de plusieurs nombres naturels est
un nombre naturel qui est diviseur de chacun d’eux.
Exemple
2 est un diviseur commun de 16, 24 et 40, car 2
est diviseur de ces trois nombres
Le plus grand diviseur commun de plusieurs nombres
naturels est appelé le pgdc de ces nombres.
Exemple
8 est le pgdc de 16, 24 et 40
> Multiple commun et ppmc (p. 14)
Recherche du pgdc de deux nombres naturels
Pour rechercher le pgdc de deux nombres naturels, on peut décomposer
chaque nombre en un produit de facteurs premiers.
Exemple
378
189
63
21
7
1
2
3
3
3
7
378 = 2 · 33 · 7
1260
630
315
105
35
7
1
2
2
3
3
5
7
Il existe d’autres méthodes
pour rechercher le pgdc de
deux nombres.
1260 = 22 · 32 · 5 · 7
Le pgdc est alors le produit des facteurs premiers communs aux deux
décompositions, écrits chacun une seule fois avec son plus petit exposant.
Si aucun facteur premier n’est commun aux décompositions,
le pgdc est alors égal à 1.
pgdc (378 ; 1260) = 2 · 32 · 7 = 126
> Nombre premier (p. 16), Décomposition en produit de facteurs premiers (p. 17), Nombres premiers entre eux (p. 18)
Nombre premier
Un nombre premier est un nombre naturel qui a
exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
Exemples
7, 13, 19
> Multiple (p. 14), Diviseur (p. 15)
23
Attention !
1 n’est pas un nombre
premier.
Aide-mémoire
Nombres et opérations
17
Liste des nombres premiers inférieurs à 1000
2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47
53
59
61
67
71
73
79
83
89
97
101
103
107
109
113
127
131
137
139
149
151
157
163
167
173
179
181
191
193
197
199
211
223
227
229
233
239
241
251
257
263
269
271
277
281
283
293
307
311
313
317
331
337
347
349
353
359
367
373
379
383
389
397
401
409
419
421
431
433
439
443
449
457
461
463
467
479
487
491
499
503
509
521
523
541
547
557
563
569
571
577
587
593
599
601
607
613
617
619
631
641
643
647
653
659
661
673
677
683
691
701
709
719
727
733
739
743
751
757
761
769
773
787
797
809
811
821
823
827
829
839
853
857
859
863
877
881
883
887
907
911
919
929
937
941
947
953
967
971
977
983
991
997
Décomposition en produit de facteurs premiers
Tout nombre naturel se décompose de manière unique en
un produit de facteurs premiers.
Exemples
24 = 2 · 2 · 2 · 3 = 2 3 · 3
126 = 2 · 3 · 3 · 7 = 2 · 3 2 · 7
Pour décomposer un nombre naturel en un produit de facteurs
premiers, on peut par exemple procéder ainsi :
495
165
55
11
1
3
3
5
11
495 = 3 · 3 · 5 · 11 = 3 2 · 5 · 11
On peut procéder différemment, par exemple :
150
10
2
15
5
3
5
150 = 2 · 5 · 3 · 5 = 2 · 3 · 52
> Opérations – vocabulaire (p. 11)
24
décomposition
decomponere (latin) :
séparer, mettre en plusieurs
morceaux
NO
28
Nombres et opérations
Aide-mémoire
Puissances et racines
Puissance
NO
On appelle puissance la notation a n indiquant le produit de
n facteurs a, n étant un nombre naturel.
Cas particuliers
a 0 = 1 (a ≠ 0)
a1 = a
exposant
4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 45
a · a · a · a · … · a = an
5 facteurs
n facteurs
a2 se lit « a au carré »
a3 se lit « a au cube »
Autre dénomination
45 se lit aussi «4 puissance 5».
base
a5 se lit « a exposant 5 »
Le carré d’un nombre entier
est aussi appelé carré parfait.
1, 4, 9, 16, 25, … sont des
carrés parfaits.
Puissances d’exposant négatif
Une puissance d’exposant négatif est l’inverse d’une puissance positive.
a–n =
1
an
Exemples
(a différent de zéro et n ! !)
1
= 0,001
103
1
1
= 2 =
= 0,25
2
4
10–3 =
2–2
Puissances de dix
On appelle puissance de dix le nombre noté 10n (n ! !), ou
Puissance
…
10 9
10 6
10 3
10 2
10 1
10 0
10 –1
10 –2
10 –3
10 –6
10 –9
…
Ecriture décimale
1 000 000 000
1 000 000
1 000
100
10
1
0,1
0,01
0,001
0,000 001
0,000 000 001
1
, noté aussi 10–p ( p ! !).
10 p
Nom
Préfixe
Symbole
milliard
million
mille
cent
dix
un
dixième
centième
millième
millionième
milliardième
giga
méga
kilo
hecto
déca
G
M
k
h
da
déci
centi
milli
micro
nano
d
c
m
Exemples
1 GW = 10 9 W
1 Mo = 106 o
1 km = 1000 m
1 hl = 100 l
1 mg = 0,001 g
1 s = 10 –6 s
n
> Puissance (p. 28), Puissance d’exposant négatif (p.28), Notation scientifique (p. 29), Unités de mesure (pp. 120-121)
25
Aide-mémoire
Nombres et opérations
29
Propriétés des puissances
Cas général
Exemple
Produit de puissances de même base :
am
am + n
4 2 · 4 3 = 4 2+3 = 4 5
Quotient de puissances de même base :
am : an = am – n
6 5 : 6 3 = 6 5– 3 = 6 2
Puissance d’une puissance :
(a m ) = a m · n
(10 2 ) = 10 2 · 3 = 10 6
Puissance d’un produit :
(a · b) m = a m · b m
(10 · 5)2 = 102 · 5 2 = 2500
Puissance d’un quotient :
! ba "
!4"
·
an
=
n
n
n
= an
b
3
3
3
=
33
27
=
43
64
Notation scientifique
Un nombre positif est écrit en notation scientifique s’il est écrit
sous la forme a · 10 n où :
1 ! a < 10 ;
On peut aussi écrire un
nombre négatif en écriture
scientifique. Par exemple,
–5000 = –5 · 10 3
n est un nombre entier.
Exemples
125 000 = 1,25 · 10 5
0,001 = 1 · 10 –3 = 10 –3
756 = 7,56 · 10 2
0,0007 = 7 · 10 –4
diamètre d’un noyau d’atome # 1 ·
10–15
m = 0,000 000 000 000 001 m
masse de la Terre # 5,97 · 1024 kg = 5 970 000 000 000 000 000 000 000 kg
> Nombre entier relatif (p. 18), Puissances de dix (p. 28)
Racine
■ Racine carrée
La racine carrée d’un nombre réel positif x est le nombre positif
dont le carré est égal à x. On le désigne par x.
81 = 9 car 92 = 81
Exemples
2,25 = 1,5 car 1,52 = 2,25
Attention !
Dans l’ensemble des
nombres réels, l’écriture x
n’a de sens que si x est un
nombre positif.
■ Racine n-ième
La racine n-ième d’un nombre x est le nombre dont la n-ième puissance est égale à x
n
(si n est pair, alors ce nombre est positif). On le désigne par x.
Si
Si
Si
Si
x
x
x
x
= 0, alors n x = 0 ;
est positif, alors n x est un nombre positif ;
est négatif et n est impair, alors n x est un nombre négatif ;
est négatif et n est pair, alors x n’a pas de racine n-ième dans les nombres réels.
Exemples
3
5
–125 = – 5 car (– 5)3 = –125
32 = 2 car
25
= 32
6
64 = 2 car 26 = 64
en revanche, – 64 n’a pas de racine 6-ième
dans les nombres réels
> Puissance (p. 28)
26
NO
1
NOMBRES
ET OPÉRATIONS
(SUITE)
27
Nombres et opérations
Nombres décimaux
NO35 L’escalier
Un menuisier désire construire un escalier composé de deux parties, l’une de
2,88 m de hauteur, l’autre de 3,52 m de hauteur.
Il désire évidemment construire des marches de même hauteur, comprise entre
15 cm et 20 cm.
Détermine la hauteur exacte de chaque marche et le nombre total de marches.
Partie 1
Partie 2
2,88 m
3,52 m
x
x
La taille des marches (x) doit être comprise entre 15 et 20 cm : 15 ≤ $ ≤ 20
1. Combien y-a-t-il de marches ?
2. Quelle est la hauteur de chaque marche ?
Mathématiques 10e
28
© CIIP – LEP, 2012
Nombres et opérations
Nombres décimaux
NO36 Découpage
Les dimensions d’un parallélépipède rectangle sont 48 cm, 120 cm et 144 cm.
On veut le découper entièrement en cubes identiques de plus de 5 cm d’arête,
sans aucune perte.
Combien y a-t-il de solutions ?
x
x
Avec x > 5 cm.
x
144 cm
120 cm
48 cm
Réponse :
Solution 1 : On peut découper le parallélépipède rectangle en .......... cubes de .......... cm.
Solution 2 : On peut découper le parallélépipède rectangle en .......... cubes de .......... cm.
Solution 3 : On peut découper le parallélépipède rectangle en .......... cubes de .......... cm.
Solution 4 : On peut découper le parallélépipède rectangle en .......... cubes de .......... cm.
Mathématiques 10e
© CIIP – LEP, 2012
29
Nombres et opérations
Nombres décimaux
NO37 La parcelle
Un jardinier désire planter une haie autour d’une parcelle rectangulaire de longueur
10,8 m et de largeur 7,8 m.
Il place un plant à chaque sommet du rectangle.
La distance entre deux plants doit toujours être la même et doit être égale à un
nombre entier de centimètres.
a) Détermine la plus grande distance possible entre deux plants.
b)
x
Calcule le nombre de plants nécessaires pour entourer la parcelle rectangulaire.
plant
10,8 m
x
7,8 m
x
x
x
x
1. Quelle est la plus grande distance possible entre deux plants (= x) ?
2. Combien faut-il de plants pour entourer la parcelle ?
Mathématiques 10e
© CIIP – LEP, 2012
30
31
32
33
34