‫התזה של צ׳רץ׳ וטיורינג‬
‫שי תבור‬
shay.tavor@gmail.com
www.shaytavor.com
1
‫מכונת טיורינג‬
‫מכונת טיורינג (‪ )Turing Machine‬היא מבנה תאורטי שהוצע ע״י אלן‬
‫טיורינג ב‪ 1936-‬ומהווה מודל חישובי שנשתמש בו‪.‬‬
‫למכונה יש את המרכיבים הבאים ‪-‬‬
‫‪ .1‬ראש קורא וכותב שיכול לקרוא מהקלט ולכתוב אליו‪ ,‬וגם לזוז ימינה‬
‫ושמאלה‪.‬‬
‫‪ .2‬סרט קלט אינסופי‪.‬‬
‫‪ .3‬מצב מקבל ומצב דוחה‪.‬‬
‫‪ .4‬פונקצית מעברים ששולטת בצעד הבא של המכונה‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪shay.tavor@gmail.com‬‬
‫‪www.shaytavor.com‬‬
‫מכונת טיורינג – הגדרה פורמלית‬
‫מכונת טיורינג מוגדרת כשביעיה )‪ (Q, Σ, Γ, 𝛿, q0, qaccept, qreject‬כאשר‪:‬‬
‫‪ – Q‬אוסף המצבים של המכונה‪.‬‬
‫‪ – Σ‬אלפבית הקלט‪ ,‬קבוצה סופית של סימנים שלא כוללת את סימן הרווח‬
‫נסמן אותו כ‪⊔ -‬‬
‫‪ – Γ‬אלפבית הפלט‪ ,‬כאשר ‪⊔∈ Γ, Σ ⊆ Γ‬‬
‫𝛿 ‪ -‬פונקצית המעברים‪ ,‬עבור מצב מתוך ‪ Q‬וסימן מהסרט היא ממפה‬
‫למצב אחר‪ ,‬רושמת סימן כלשהו על הסרט ומגדירה האם הראש יזוז‬
‫ימינה או שמאלה‪.‬‬
‫‪ – q0‬המצב ההתחלתי‬
‫‪ – qaccept‬המצב המקבל‬
‫‪ – qreject‬המצב הדוחה‬
‫‪3‬‬
‫‪shay.tavor@gmail.com‬‬
‫‪www.shaytavor.com‬‬
‫פעולת המכונה‬
‫מכונת טיורינג (מ״ט) מתחילה את פעולתה כאשר הראש נמצא בצד‬
‫השמאלי ביותר של הסרט‪.‬‬
‫סימני הקלט כתובים החל מהתא השמאלי ביותר וימינה‪ .‬בסוף מילת‬
‫הקלט מופיע רווח (הסימן רווח אינו חלק מאלפבית הקלט ולכן הוא מציין‬
‫את סוף הקלט)‪.‬‬
‫בהנתן מצב ‪ q‬מסויים וסימן ‪ w‬על הסרט‪ ,‬הראש יכתוב במקום ‪ w‬את‬
‫הסימן ’‪( w‬יכול להיות ש ’‪ ,)w = w‬וינוע ימינה או שמאלה‪ .‬אם הראש‬
‫נמצא כבר בתא השמאלי ביותר של הסרט‪ ,‬תנועה שמאלה תשאיר אותו‬
‫במקום‪.‬‬
‫כאשר המכונה נכנסת למצב קבלה או דחיה‪ ,‬החישוב נגמר‪ .‬אם היא לא‬
‫נכנסת לאחד מהמצבים האלה‪ ,‬החישוב יכול להיות אינסופי‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪shay.tavor@gmail.com‬‬
‫‪www.shaytavor.com‬‬
‫קונפיגורציה‬
‫בכל רגע נתון בזמן פעולת המכונה ניתן לתאר את המצב באמצעות‬
‫מיקום הראש על הסרט‪ ,‬והמצב בו נמצאת המכונה‪ .‬תיאור זה נקרא‬
‫קונפיגורציה‪.‬‬
‫למשל‪ ,‬הקונפיגורציה ‪ aaaq3aab‬מסמלת שהראש עבר כבר שלושה תווי‬
‫‪ ,a‬כרגע הוא נמצא מעל תו ה‪ a-‬הרביעי ובמצב ‪.q3‬‬
‫אנחנו אומרים שקונפיגורציה ‪ uaqibv‬מובילה לקונפיגורציה ‪ uqjacv‬אם‬
‫בפונקצית המעברים קיים המעבר‪:‬‬
‫)𝐿 ‪𝛿 𝑞𝑖 , 𝑏 = (𝑞𝑗 , 𝑐,‬‬
‫אנחנו אומרים שקונפיגורציה ‪ uaqibv‬מובילה לקונפיגורציה ‪ uacqjv‬אם‬
‫בפונקצית המעברים קיים המעבר‪:‬‬
‫)𝑅 ‪𝛿 𝑞𝑖 , 𝑏 = (𝑞𝑗 , 𝑐,‬‬
‫‪5‬‬
‫‪shay.tavor@gmail.com‬‬
‫‪www.shaytavor.com‬‬
‫דוגמא‬
‫נבנה מ״ט שמקבלת את השפה‪:‬‬
‫}‪{aib2i+1c3i+2 | i ≥ 0‬‬
‫מילת הקלט כתובה על הסרט החל מהתא השמאלי ביותר‪.‬‬
‫הרעיון – ״נסמן״ את התווים שאנחנו רואים באמצעות תו שלא שייך‬
‫לאלפבית (נניח ‪ .)x‬בכל פעם שנראה ‪ a‬נסמן אותו ונחפש שני ‪ b‬ושלושה‬
‫‪ .c‬בסוף נחפש עוד ‪ b‬ו‪ c-‬נוספים‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫‪shay.tavor@gmail.com‬‬
‫‪www.shaytavor.com‬‬
bR
xR
aR
xR
q0
bR
a_,R
q1
bx,R
q2
bx,R
q3
cx,R
_R
xR
q7
xR
bR
q8
q6
cx,L
cx,R
q5
q4
a, b, c  L
xR
cR
q9
cR
_R
q10
shay.tavor@gmail.com
www.shaytavor.com
qacc
7
‫תרגיל‬
‫בנו מ״ט שמקבלת את שפת הפאלינדרומים על }‪{a, b‬‬
‫‪8‬‬
‫‪shay.tavor@gmail.com‬‬
‫‪www.shaytavor.com‬‬
aR
bR
_ L
q1
a_,R
bL
aL
q2
a_,L
_R
q3
q0
_R
b  _, R
b_,L
_R
qacc
q4
aR
bR
shay.tavor@gmail.com
www.shaytavor.com
q6
q5
aL
bL
9
‫זיהוי שפה‬
‫אוסף כל המחרוזות שמ״ט ‪ M‬מקבלת היא השפה ש‪ M-‬מזהה‪.‬‬
‫שפה ‪ L‬נקראת מזוהה‪-‬טיורינג אם קיימת מ״ט שמזהה אותה‪.‬‬
‫הכרעת שפה‬
‫כשמ״ט רצה על קלט מסויים‪ ,‬היא לא חייבת לעצור בקבלה או דחיה‪ ,‬היא‬
‫יכולה גם להכנס ללולאה אינסופית‪.‬‬
‫מ״ט שעוצרת על כל קלט נקראת מכונה מכריעה‪.‬‬
‫שפה ‪ L‬נקראת כריעה‪ ,‬אם קיימת מ״ט שמכריעה אותה‪.‬‬
‫אם שפה ‪ L‬היא כריעה‪ ,‬היא גם מזוהה‪.‬‬
‫‪10‬‬
‫‪shay.tavor@gmail.com‬‬
‫‪www.shaytavor.com‬‬
‫משפט‪:‬‬
‫השפה ‪ L‬היא כריעה אמ״מ גם ‪ L‬וגם 𝐿 מזוהות טיורינג‪.‬‬
‫הוכחה‬
‫כיוון ראשון – נתון ש‪ L-‬היא כריעה‪ .‬כלומר קיימת מ״ט ‪ M1‬שמכריעה אותה‪.‬‬
‫נבנה מ״ט ‪ M2‬שמכריעה את 𝐿 ‪ -‬המכונה ‪ M2‬תהיה זהה ל‪ M1-‬אבל‬
‫נחליף בין המעברים ל‪ qaccept -‬ו‪.qreject -‬‬
‫כיוון שני – נתון ש‪ L -‬ו‪ 𝐿 -‬הן מזוהות‪ .‬כלומר קיימות מכונות ‪M1, M2‬‬
‫שמזהות את השפות בהתאמה‪.‬‬
‫נבנה מכונה ‪ M3‬שתכריע את ‪ L‬בצורה הבאה ‪-‬‬
‫‪ .1‬בהנתן מילה ‪ w‬נריץ לסירוגין את ‪ M1‬ו‪ M2-‬על ‪.w‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ M1‬עצרה‪ ,‬נחזיר את תשובתה‪.‬‬
‫‪ .3‬אם ‪ M2‬עצרה‪ ,‬נחזיר את התשובה ההפוכה‪.‬‬
‫כלומר‪ ,‬עבור כל קלט ‪ w‬המכונה ‪ M3‬עוצרת ולכן היא מכריעה את ‪.L‬‬
‫‪11‬‬
‫‪shay.tavor@gmail.com‬‬
‫‪www.shaytavor.com‬‬
‫התזה של צ׳רץ׳ וטיורינג‬
‫כל חישוב הנעשה במודל חישוב סביר‪ ,‬ניתן לחישוב במכונת טיורינג‪.‬‬
‫המושג ״חישוב״ הוא מושג אוניברסלי‪.‬‬
‫התזה מגבילה למשל את כוחו של המחשב המודרני – כל מה שמחשב‬
‫כזה מסוגל לבצע בעצם ניתן לביצוע גם ע״י מכונת טיורינג‪.‬‬
‫האם מחשב קוונטי הוא מודל חישוב סביר?‬
‫‪12‬‬
‫‪shay.tavor@gmail.com‬‬
‫‪www.shaytavor.com‬‬
‫וריאנטים של מכונות טיורינג‬
‫ניתן להשתמש בוריאנטים של מכונות טיורינג כדי לבצע חישובים שונים‪.‬‬
‫נראה מספר וריאנטים כאלה ונראה את שקילותו למכונת טיורינג‪.‬‬
‫‪13‬‬
‫‪shay.tavor@gmail.com‬‬
‫‪www.shaytavor.com‬‬
‫מכונת טיורינג מרובת סרטים‬
‫במכונת טיורינג מרובת סרטים יש מספר סרטים‪ ,‬לכל אחד מהם ראש‬
‫קורא וכותב‪.‬‬
‫בתחילת החישוב הקלט נכתב על הסרט הראשון ושאר הסרטים ריקים‪.‬‬
‫פונקצית המעברים משתנה בהתאם – הפונקציה קוראת את התו שרשום‬
‫על ‪ k‬סרטים ומחליטה עבור ‪ k‬ראשים מה הפעולה הבאה‪.‬‬
‫האם מכונת טיורינג מרובת סרטים היא בעלת כוח חישובי גדול יותר‬
‫ממכונת טיורינג רגילה?‬
‫משפט‪ :‬לכל מ״ט מרובת סרטים ‪ M‬קיימת מ״ט רגילה ‪ S‬ששווה לה בכוח‬
‫החישוב‪.‬‬
‫‪14‬‬
‫‪shay.tavor@gmail.com‬‬
‫‪www.shaytavor.com‬‬
‫מכונת טיורינג מרובת סרטים ‪ vs.‬מכונת טיורינג רגילה‬
‫נראה איך ניתן לבנות מ״ט רגילה ‪ S‬שמסמלצת את פעולת מ״ט מרובת‬
‫סרטים ‪.M‬‬
‫הרעיון – כדי לדמות את ריבוי הסרטים באמצעות סרט אחד‪ ,‬נשתמש‬
‫בסימן מיוחד ‪ #‬כדי להפריד בין הסרטים‪.‬‬
‫כדי לדעת איפה הראש נמצא בכל אחד מהסרטים‪ ,‬נסמן בתג את התו‬
‫שמעליו נמצא הראש (למשל ’‪.)a‬‬
‫‪15‬‬
‫‪shay.tavor@gmail.com‬‬
‫‪www.shaytavor.com‬‬
‫סימולציה של פונקצית המעברים‬
‫בכל צעד של פונקצית המעברים של ‪ M‬יש התחשבות ב‪ k-‬ראשים ותווים‪.‬‬
‫כדי לדמות את המצב במ״ט ‪ S‬נבצע את הסימולציה הבאה‪:‬‬
‫ ‪ S‬תבצע מעבר על הסרט כדי לדעת איפה נמצא הראש בכל אחד‬‫מהחלקים שמדמים תתי סרטים‪.‬‬
‫ כעת ‪ S‬תבצע מעבר נוסף כדי לעדכן את כל אחד מהראשים במיקום‬‫החדש שלו‪.‬‬
‫מה קורה אם נגמר המקום בתת סרט מסויים?‬
‫‪16‬‬
‫‪shay.tavor@gmail.com‬‬
‫‪www.shaytavor.com‬‬
‫הוכיחו את הטענה הבאה‪ :‬שפה היא מזוהה טיורינג אמ״מ‬
‫קיימת מ״ט מרובת סרטים שמזהה אותה‪.‬‬
‫כיוון ראשון – אם שפה היא מזוהה טיורינג קיימת מ״ט שמזהה אותה‪.‬‬
‫כיוון שמ״ט רגילה היא מקרה פרטי של מ״ט מרובת סרטים‪ ,‬הוכחנו את‬
‫הכיוון הזה‪.‬‬
‫כיוון שני – אם קיימת מ״ט מרובת סרטים שמזהה שפה‪ ,‬לפי המשפט‬
‫הקודם‪ ,‬קיימת מ״ט רגילה ששווה לה‪ ,‬ולכן השפה היא גם מזוהה‪-‬טיורינג‪.‬‬
‫‪17‬‬
‫‪shay.tavor@gmail.com‬‬
‫‪www.shaytavor.com‬‬
‫תרגיל‪ :‬נתון מודל של מכונת טיורינג עם סרט אינסופי לשני הכיוונים‪.‬‬
‫הוכיחו שהמודל שקול למ״ט רגילה‪.‬‬
‫בהנתן מ״ט עם סרט אינסופי ‪ ,S‬נבנה מ״ט רגילה ‪ M‬שתחקה את פעולת ‪.S‬‬
‫נרשום סימן מיוחד ‪ #‬על תחילת הסרט של ‪ M‬כדי לסמן את הנקודה‬
‫השמאלית ביותר‪.‬‬
‫פונקצית המעברים – בכל מעבר של ‪ ,S‬אם הראש נע ימינה‪ ,‬נבצע בדיוק‬
‫אותו מהלך ב‪.M-‬‬
‫אם הראש נע שמאלה‪ ,‬נבדוק אם הגענו ל‪ .#-‬אם כן‪ ,‬נבצע הזזה של כל‬
‫תוכן הסרט תא אחד ימינה ואז נבצע את פעולת התזוזה שמאלה‪.‬‬
‫‪18‬‬
‫‪shay.tavor@gmail.com‬‬
‫‪www.shaytavor.com‬‬
‫מונה ‪enumerator -‬‬
‫מודל חישובי נוסף הוא מונה‪.‬‬
‫המונה מכיל סרט עבודה כמו מ״ט‪ ,‬וסרט הדפסה‪ ,‬שהוא לכתיבה בלבד‪.‬‬
‫המונה מכיל מצב מיוחד ‪ .qprint‬ברגע שמגיעים למצב הזה‪ ,‬כל מה שנמצא‬
‫על סרט ההדפסה מודפס‪.‬‬
‫המונה מכיל מצב ‪ . qhalt‬ברגע שהמונה מגיע אליו‪ ,‬פעולתו נפסקת‪.‬‬
‫אין מצבי קבלה ודחיה‪.‬‬
‫‪19‬‬
‫‪shay.tavor@gmail.com‬‬
‫‪www.shaytavor.com‬‬
‫תרגיל – בנו מונה שמדפיס את כל המילים מעל השפה }‪ {0, 1‬בסדר‬
‫לקסיקוגרפי‪.‬‬
‫‪20‬‬
‫‪shay.tavor@gmail.com‬‬
‫‪www.shaytavor.com‬‬
‫{ בסדר‬0, 1} ‫תרגיל – בנו מונה שמדפיס את כל המילים מעל השפה‬
.‫לקסיקוגרפי‬
qpri
_  R, 𝜀
_  0, R, 𝜀
q1
q2
nt
0 1, R, 𝜀
1 0, R, 𝜀
0, 1 R, 𝜀
_  R, 𝜀
_  L, 𝜀
_  L, 𝜀
q3
q4
_  0, R, 𝜀
0  1, R, 𝜀
0  L, 0
1  L, 1
q5
1 0, R, 𝜀
shay.tavor@gmail.com
www.shaytavor.com
21
‫משפט – שפה ‪ L‬היא מזוהה טיורינג אמ״מ קיים מונה ‪ L‬שמדפיס את ‪L‬‬
‫הוכחה‬
‫כיוון ראשון – שפה ‪ L‬היא מזוהה טיורינג‪ ,‬לכן קיימת מ״ט ‪ M‬שמזהה‬
‫אותה‪.‬‬
‫נראה איך לבנות מונה ‪ E‬שמדפיס את השפה ‪.L‬‬
‫ עבור ‪ i = 1‬ועד אינסוף‬‫ הרץ את ‪ M‬על ‪ i‬המילים הראשונות בסדר לקסיקוגרפי של ‪ ,i Σ‬צעדים‬‫על כל מילה‪.‬‬
‫ כל מילה ש‪ M-‬קיבלה‪ ,‬נשלח לסרט ההדפסה ונעבור ל‪.qprint-‬‬‫השפה שמודפסת היא ‪.L‬‬
‫‪22‬‬
‫‪shay.tavor@gmail.com‬‬
‫‪www.shaytavor.com‬‬
‫משפט – שפה ‪ L‬היא מזוהה טיורינג אמ״מ קיים מונה ‪ L‬שמדפיס את ‪L‬‬
‫הוכחה‬
‫כיוון שני – קיים מונה ‪ E‬שמדפיס את ‪.L‬‬
‫נראה איך לבנות מ״ט ‪ M‬שמזהה את ‪.L‬‬
‫עבור מילת קלט ‪ w‬במכונה‪ ,‬הרץ את ‪.E‬‬
‫ אם ‪ E‬עצרה בלי להדפיס כלום‪ M ,‬תדחה את ‪.w‬‬‫ אם ‪ E‬הדפיסה ’‪ ,w‬נשווה את ’‪ w‬ל‪ w-‬ונקבל אם הן שוות‪.‬‬‫ אם ‪ ,w’ ≠ w‬נמשיך להריץ את ‪.E‬‬‫‪ M‬מזהה את ‪.L‬‬
‫‪23‬‬
‫‪shay.tavor@gmail.com‬‬
‫‪www.shaytavor.com‬‬
‫הוכיחו – שפה ‪ L‬היא כריעה אמ״מ קיים מונה שמדפיס אותה בסדר‬
‫לקסיקוגרפי‪.‬‬
‫הוכחה‬
‫כיוון ראשון – שפה ‪ L‬כריעה‪ ,‬כלומר קיימת מ״ט ‪ M‬שמכריעה אותה‪.‬‬
‫נראה איך לבנות מונה ‪ E‬שמדפיס את המילים בשפה בסדר לקסיקוגרפי‪.‬‬
‫פעולת המונה‪:‬‬
‫המונה יחולל את כל המילים באלפבית בסדר לקסיקוגרפי‪.‬‬
‫עבור כל מילה ‪ w‬המונה יפעיל את ‪ M‬על ‪.w‬‬
‫אם ‪ M‬מקבלת את ‪ E ,w‬ידפיס אותה‪.‬‬
‫אם ‪ M‬דוחה את ‪ E ,w‬לא ידפיס‪.‬‬
‫המונה ידפיס רק את המילים ששייכות ל‪ L-‬בסדר לקסיקוגרפי‪.‬‬
‫‪24‬‬
‫‪shay.tavor@gmail.com‬‬
‫‪www.shaytavor.com‬‬
‫הוכיחו – שפה ‪ L‬היא כריעה אמ״מ קיים מונה שמדפיס אותה בסדר‬
‫לקסיקוגרפי‪.‬‬
‫הוכחה‬
‫כיוון שני – קיים מונה ‪ E‬שמדפיס את ‪ L‬בסדר לקסיקוגרפי‪.‬‬
‫נראה איך לבנות מ״ט ‪ M‬שמכריעה את ‪.L‬‬
‫בהנתן מילה ‪ w‬ב‪ ,M-‬נריץ את ‪ E‬עד לעצירה או הדפסה‪.‬‬
‫אם ‪ E‬עוצר‪ M ,‬תדחה את ‪.w‬‬
‫אם ‪ E‬מדפיס מילה ’‪ w‬נבדוק‪:‬‬
‫אם ‪ w’ = w‬אזי ‪ M‬תקבל את ‪.w‬‬
‫אם ’‪ w‬גדולה לקסיקוגרפית מ‪ ,w-‬אזי ‪ M‬תדחה את ‪.w‬‬
‫אחרת נמשיך להריץ את ‪.E‬‬
‫המכונה ‪ M‬מכריעה את ‪.L‬‬
‫‪25‬‬
‫‪shay.tavor@gmail.com‬‬
‫‪www.shaytavor.com‬‬
‫תרגיל – הוכיחו את הטענה הבאה‪ :‬לכל שפה אינסופית ‪ L‬מזוהה טיורינג‪,‬‬
‫קיימת תת שפה אינסופית שהיא כריעה‪.‬‬
‫הוכחה‬
‫לפי המשפט‪ ,‬אם השפה ‪ L‬היא מזוהה טיורינג‪ ,‬קיים לה מונה ‪ E‬שמדפיס‬
‫אותה‪.‬‬
‫נבנה מונה ‪ E1‬בצורה הבאה‪:‬‬
‫נריץ את ‪ E‬עד להדפסת מילה ראשונה ‪.Wcurr‬‬
‫נמשיך להריץ את ‪ E‬עד להדפסת המילה הבאה ’‪.w‬‬
‫אם ’‪ w‬גדולה לקסיקוגרפית מ‪ ,Wcurr-‬נדפיס את ’‪ w‬ונציב אותה בתוך‬
‫‪.Wcurr‬‬
‫נמשיך להריץ את ‪.E‬‬
‫המונה ‪ E1‬מדפיס שפה בסדר לקסיקוגרפי‪ ,‬ולכן לפי משפט‪ ,‬השפה היא‬
‫כריעה‪.‬‬
‫‪26‬‬
‫‪shay.tavor@gmail.com‬‬
‫‪www.shaytavor.com‬‬
‫תרגיל – הוכיחו – אם השפה ‪ L‬כריעה‪ ,‬אז גם 𝐿 כריעה‪.‬‬
‫הוכחה‬
‫נתון ש‪ L-‬כריעה‪ ,‬לכן קיימת מ״ט ‪ M‬שמכריעה אותה‪.‬‬
‫נבנה מכונה ‪ M1‬שמכריעה את 𝐿‪.‬‬
‫בהנתן מילה ‪ w‬נריץ את ‪ M‬עליה‪ .‬אם ‪ M‬תקבל‪ M1 ,‬תדחה‪ ,‬ואם ‪M‬‬
‫תדחה‪ M1 ,‬תקבל‪.‬‬
‫המכונה ‪ M1‬מכריעה את 𝐿‪.‬‬
‫‪27‬‬
‫‪shay.tavor@gmail.com‬‬
‫‪www.shaytavor.com‬‬
‫תרגיל – אם קיים מונה שמדפיס את השפה ‪ L‬בסדר לקסיקוגרפי‪ ,‬האם‬
‫קיים מונה שמדפיס את 𝐿 בסדר לקסיקוגרפי?‬
‫לפי המשפט‪ ,‬אם קיים מונה שמדפיס את השפה בסדר לקסיקוגרפי‪,‬‬
‫השפה היא כריעה‪.‬‬
‫אם השפה היא כריעה‪ ,‬אזי המשלימה שלה היא כריעה‪.‬‬
‫ראינו שאם שפה היא כריעה‪ ,‬קיים מונה שמדפיס אותה בסדר‬
‫לקסיקוגרפי‪ ,‬ולכן הוכחנו את הטענה‪.‬‬
‫‪28‬‬
‫‪shay.tavor@gmail.com‬‬
‫‪www.shaytavor.com‬‬
‫תרגיל – הוכיחו – אם השפה ‪ L‬לא כריעה‪ ,‬אז גם 𝐿 לא כריעה‪.‬‬
‫הוכחה‬
‫נתון ש‪ L-‬לא כריעה‪ .‬נניח בשלילה ש‪ 𝐿 -‬כן כריעה‪ ,‬כלומר קיימת מ״ט ‪M‬‬
‫שמכריעה אותה‪.‬‬
‫נבנה מ״ט ‪ M1‬בצורה הבאה – בהנתן מילה ‪ w‬נריץ את ‪ M‬על ‪.w‬‬
‫אם ‪ M‬מקבלת‪ w ,‬שייכת ל‪ 𝐿 -‬ולכן ‪ M1‬תדחה‪ ,‬וההיפך‪.‬‬
‫כלומר בעצם ‪ M1‬מכריעה את ‪ ,L‬בסתירה לנתון‪.‬‬
‫‪29‬‬
‫‪shay.tavor@gmail.com‬‬
‫‪www.shaytavor.com‬‬
‫תרגיל – הוכיחו או הפריכו את הטענות הבאות‪:‬‬
‫‪ .1‬אם ‪ L1, L2‬כריעות‪ ,‬גם ‪ L1 U L2‬כריעה‪.‬‬
‫‪30‬‬
‫‪shay.tavor@gmail.com‬‬
‫‪www.shaytavor.com‬‬
‫תרגיל – הוכיחו או הפריכו את הטענות הבאות‪:‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ L1, L2‬מזוהות טיורינג‪ ,‬גם ‪ L1 U L2‬מזוהה‪.‬‬
‫‪31‬‬
‫‪shay.tavor@gmail.com‬‬
‫‪www.shaytavor.com‬‬
‫תרגיל – הוכיחו או הפריכו את הטענות הבאות‪:‬‬
‫‪ .3‬אם ‪ L‬מזוהה טיורינג‪ ,‬גם שפת הרישות של ‪ L‬מזוהה‪.‬‬
‫‪32‬‬
‫‪shay.tavor@gmail.com‬‬
‫‪www.shaytavor.com‬‬