OSCILACIONES, ONDAS Y TERMODINÁMICA
MÓDULO 2: ONDAS
Figuras cedidas en parte por W.H. Freeman/Worth, que pertenecen
al libro “Física, 4a. Ed.”, P.A. Tipler, Ed. Reverté
Osc. Ondas y Termodinámica
Módulo 2: Ondas
Lección 5. Movimiento ondulatorio.
Ondas en una cuerda.
Lección 6. Ondas sonoras. Acústica.
6.1 Ondas elásticas en sólidos y fluidos
6.2 Potencia e intensidad de la onda.
Densidad de energía.
6.3 Percepción del sonido. Decibelios.
6.4 Transmisión y reflexión de odas sonoras
6.5 Superposición de ondas sonoras.
6.6 Efecto Doppler
6.7 Cualidades del sonido.
5.1 Introducción al mov. ondulatorio
Definiciones.
5.2 Función de onda.
5.3 Ondas armónicas.
5.4 Velocidad de propagación.
5.5 Energía de la onda.
5.6 Ondas en medios absorbentes.
Atenuación.
5.7 Reflexión y transmisión de ondas.
Lección 7. Óptica Física
5.8 Superposición de ondas en una cuerda
Ondas estacionarias.
7.1 Ondas electromagnéticas. Espectro.
7.2 Principio de Huygens-Fresnel.
7.3 Reflexión y refracción.
7.4 Dispersión. Velocidad de grupo.
7.5 Polarización.
7.6 Interferencias.
7.7 Difracción.
Osc. Ondas y Termodinámica
Módulo 2: Ondas
Lección 5. Movimiento ondulatorio.
Ondas en una cuerda.
Lección 6. Ondas sonoras. Acústica.
6.1 Ondas elásticas en sólidos y fluidos
6.2 Potencia e intensidad de la onda.
Densidad de energía.
6.3 Percepción del sonido. Decibelios.
6.4 Transmisión y reflexión de odas sonoras
6.5 Superposición de ondas sonoras.
6.6 Efecto Doppler
6.7 Cualidades del sonido.
5.1 Introducción al mov. ondulatorio
Definiciones.
5.2 Función de onda.
5.3 Ondas armónicas.
5.4 Velocidad de propagación.
5.5 Energía de la onda.
5.6 Ondas en medios absorbentes.
Atenuación.
5.7 Reflexión y transmisión de ondas.
Lección 7. Óptica Física
5.8 Superposición de ondas en una cuerda
Ondas estacionarias.
7.1 Ondas electromagnéticas. Espectro.
7.2 Principio de Huygens-Fresnel.
7.3 Reflexión y refracción.
7.4 Dispersión. Velocidad de grupo.
7.5 Polarización.
7.6 Interferencias.
7.7 Difracción.
Osc. Ondas y Termodinámica
5.1 Introducción al movimiento ondulatorio.
Qué es una onda?
• Propagación de una perturbación con velocidad finita a través del espacio.
• Se produce un transporte de energia y cantidad de movimiento.
• No se produce un transporte de masa.
v
Osc. Ondas y Termodinámica
5.1 Introducción al movimiento ondulatorio.
Tipos de ondas: según la naturalesa de la perturbación
• Ondas mecánicas: perturbación de la posición del medio material. El medio en el que se propagan
tiene que ser elástico.
- ondas en una cuerda, en un muelle, vibraciones en una barra, ondas superficiales en flúidos,
etc.
- ondas de presión en fluidos (ondas acústicas).
• Ondas electromagnéticas: perturbación del campo electromagnético. Se pueden propagar en el
vacio o en un medio material.
- ondas radio y de TV;
- microondas;
- radiación infrarroja, visible o ultravioleta;
- rayos X y gamma.
Osc. Ondas y Termodinámica
5.1 Introducción al movimiento ondulatorio.
Pulsos, trenes de pulsos y ondas armónicas
• Si la perturbación se produce una sola vez se produce un pulso de onda.
• Si el extremo de la cuera realiza un MAS durante un intervalo de tiempo ∆ t y después se para se
produce un tren de pulsos.
• Si el extremo de la cuera realiza un MAS produce una onda armónica.
Osc. Ondas y Termodinámica
5.1 Introducción al movimiento ondulatorio.
Tipos de ondas: según la dirección de la perturbación
• Ondas transversales: la perturbación se produce en dirección perpendicular a la dirección de
propagación (ondas en cuerdas, en barras, en mueles, ondas electromagnéticas.....)
v
Ondas longitudinales: la perturbación se produce en dirección perpendicular a la dirección de
propagación (ondas en barras, en mueles, ondas sonoras, etc...)
v
Osc. Ondas y Termodinámica
5.1 Introducción al movimiento ondulatorio.
Tipos de ondas: según la dirección de la perturbación
• Ondas en la superficie de los líquidos
Osc. Ondas y Termodinámica
5.1 Introducción al movimiento ondulatorio.
ONDAS PLANAS (1D)
ONDAS CIRCULARES (2D)
ONDAS ESFÉRICAS (3D)
Osc. Ondas y Termodinámica
5.1 Introducción al movimiento ondulatorio.
Osc. Ondas y Termodinámica
5.1 Introducción al movimiento ondulatorio.
Osc. Ondas y Termodinámica
5.2 Función de onda.
Osc. Ondas y Termodinámica
5.2 Función de onda.
Función de onda viajera
Es una función matemática que describe adecuadamente una
perturbación que se propaga por un medio a velocidad constante.
Osc. Ondas y Termodinámica
5.2 Función de onda.
Función de onda viajera
Es una función matemática que describe adecuadamente una
perturbación que se propaga por un medio a velocidad constante.
c
Osc. Ondas y Termodinámica
5.2 Función de onda.
Función de onda viajera
Es una función matemática que describe adecuadamente una
perturbación que se propaga por un medio a velocidad constante.
Expresión general de la Función de onda.
c
Osc. Ondas y Termodinámica
5.2 Función de onda.
Función de onda viajera
Es una función matemática que describe adecuadamente una
perturbación que se propaga por un medio a velocidad constante.
Expresión general de la Función de onda.
O sistema fijo.
O' se mueve con el pulso
Definimos
y'
c
O'
Osc. Ondas y Termodinámica
5.2 Función de onda.
Función de onda viajera
Es una función matemática que describe adecuadamente una
perturbación que se propaga por un medio a velocidad constante.
Expresión general de la Función de onda.
O sistema fijo.
O' se mueve con el pulso
Definimos
y'
x
c
x'
O'
Osc. Ondas y Termodinámica
5.2 Función de onda.
Función de onda viajera
Es una función matemática que describe adecuadamente una
perturbación que se propaga por un medio a velocidad constante.
Expresión general de la Función de onda.
Respecto de O la perturbación es una
función de la posición y del tiempo
O sistema fijo.
O' se mueve con el pulso
y = f  x ,t 
y'
x
Definimos
c
x'
O'
Osc. Ondas y Termodinámica
5.2 Función de onda.
Función de onda viajera
Es una función matemática que describe adecuadamente una
perturbación que se propaga por un medio a velocidad constante.
Expresión general de la Función de onda.
Respecto de O la perturbación es una
función de la posición y del tiempo
Respecto de O' la perturbación sólo
depende de la posición
O sistema fijo.
O' se mueve con el pulso
y = f  x ,t 
Definimos
y ' = f  x '
y'
x
c
x'
O'
Osc. Ondas y Termodinámica
5.2 Función de onda.
Función de onda viajera
Es una función matemática que describe adecuadamente una
perturbación que se propaga por un medio a velocidad constante.
Expresión general de la Función de onda.
Respecto de O la perturbación es una
función de la posición y del tiempo
Respecto de O' la perturbación sólo
depende de la posición
O sistema fijo.
O' se mueve con el pulso
y = f  x ,t 
Definimos
y ' = f  x '
Relacionando x con x' e y con y':
y'
x
c
x'
O'
Osc. Ondas y Termodinámica
5.2 Función de onda.
Función de onda viajera
Es una función matemática que describe adecuadamente una
perturbación que se propaga por un medio a velocidad constante.
Expresión general de la Función de onda.
Respecto de O la perturbación es una
función de la posición y del tiempo
Respecto de O' la perturbación sólo
depende de la posición
O sistema fijo.
O' se mueve con el pulso
y = f  x ,t 
Definimos
y ' = f  x '
Relacionando x con x' e y con y':
y'
y = y'
x
c
x'
O'
Osc. Ondas y Termodinámica
5.2 Función de onda.
Función de onda viajera
Es una función matemática que describe adecuadamente una
perturbación que se propaga por un medio a velocidad constante.
Expresión general de la Función de onda.
Respecto de O la perturbación es una
función de la posición y del tiempo
Respecto de O' la perturbación sólo
depende de la posición
O sistema fijo.
O' se mueve con el pulso
y = f  x ,t 
Definimos
y ' = f  x '
Relacionando x con x' e y con y':
ct
y'
y = y'
x
c
x'
O'
Osc. Ondas y Termodinámica
5.2 Función de onda.
Función de onda viajera
Es una función matemática que describe adecuadamente una
perturbación que se propaga por un medio a velocidad constante.
Expresión general de la Función de onda.
Respecto de O la perturbación es una
función de la posición y del tiempo
Respecto de O' la perturbación sólo
depende de la posición
y = f  x ,t 
Definimos
y ' = f  x '
Relacionando x con x' e y con y':
y = y'
O sistema fijo.
O' se mueve con el pulso
ct
y'
x = x'  c t
x
c
x'
O'
Osc. Ondas y Termodinámica
5.2 Función de onda.
Función de onda viajera
Es una función matemática que describe adecuadamente una
perturbación que se propaga por un medio a velocidad constante.
Expresión general de la Función de onda.
Respecto de O la perturbación es una
función de la posición y del tiempo
Respecto de O' la perturbación sólo
depende de la posición
y = f  x ,t 
y ' = f  x '
Definimos
y ' = f  x '
Relacionando x con x' e y con y':
y = y'
O sistema fijo.
O' se mueve con el pulso
ct
y'
x = x'  c t
x
c
x'
O'
Osc. Ondas y Termodinámica
5.2 Función de onda.
Función de onda viajera
Es una función matemática que describe adecuadamente una
perturbación que se propaga por un medio a velocidad constante.
Expresión general de la Función de onda.
Respecto de O la perturbación es una
función de la posición y del tiempo
Respecto de O' la perturbación sólo
depende de la posición
y = f  x ,t 
y ' = f  x '
ct
y'
x = x'  c t
y = f  x−c t
Definimos
y ' = f  x '
Relacionando x con x' e y con y':
y = y'
O sistema fijo.
O' se mueve con el pulso
x
c
x'
O'
función de onda de una perturbación
que viaja hacia x positivas
Osc. Ondas y Termodinámica
5.2 Función de onda.
Función de onda viajera
Es una función matemática que describe adecuadamente una
perturbación que se propaga por un medio a velocidad constante.
Expresión general de la Función de onda.
Respecto de O la perturbación es una
función de la posición y del tiempo
Respecto de O' la perturbación sólo
depende de la posición
y = f  x ,t 
y ' = f  x '
ct
y'
x = x'  c t
y = f  x−c t
función de onda de una perturbación
que viaja hacia x positivas
Definimos
y ' = f  x '
Relacionando x con x' e y con y':
y = y'
O sistema fijo.
O' se mueve con el pulso
x
c
x'
O'
y = f  xc t  perturbación que viaja
hacia x negativas
Osc. Ondas y Termodinámica
5.2 Función de onda.
Osc. Ondas y Termodinámica
5.3 Ondas armónicas.
Ondas armónicas
Es cuando la función de onda
f(x-ct) es del tipo seno o coseno
Osc. Ondas y Termodinámica
5.3 Ondas armónicas.
Ondas armónicas
y = f x−c t
Es cuando la función de onda
f(x-ct) es del tipo seno o coseno
Osc. Ondas y Termodinámica
5.3 Ondas armónicas.
Ondas armónicas
Es cuando la función de onda
f(x-ct) es del tipo seno o coseno
y = f x−c t
y = y 0 cosk  x−c t 
y = y 0 coskx− t 
Osc. Ondas y Termodinámica
5.3 Ondas armónicas.
Ondas armónicas
Es cuando la función de onda
f(x-ct) es del tipo seno o coseno
y = f x−c t
k : número de
onda ([k]=m-1)
y = y 0 cosk  x−c t 
y = y 0 coskx− t 
Osc. Ondas y Termodinámica
5.3 Ondas armónicas.
Ondas armónicas
Es cuando la función de onda
f(x-ct) es del tipo seno o coseno
y = f x−c t
k : número de
onda ([k]=m-1)
y = y 0 cosk  x−c t 
y = y 0 coskx− t 
ω=kc :
frec. angular
de la onda
( [ω]=s-1 )
Osc. Ondas y Termodinámica
5.3 Ondas armónicas.
Ondas armónicas
Es cuando la función de onda
f(x-ct) es del tipo seno o coseno
c : velocidad
de la onda
y = f x−c t
k : número de
onda ([k]=m-1)
y = y 0 cosk  x−c t 
y = y 0 coskx− t 
ω=kc :
frec. angular
de la onda
( [ω]=s-1 )
Osc. Ondas y Termodinámica
5.3 Ondas armónicas.
Ondas armónicas
Es cuando la función de onda
f(x-ct) es del tipo seno o coseno
Periodicidad espacial
c : velocidad
de la onda
y = f x−c t
k : número de
onda ([k]=m-1)
y = y 0 cosk  x−c t 
y = y 0 coskx− t 
ω=kc :
frec. angular
de la onda
( [ω]=s-1 )
Osc. Ondas y Termodinámica
5.3 Ondas armónicas.
Ondas armónicas
Es cuando la función de onda
f(x-ct) es del tipo seno o coseno
Periodicidad espacial
c : velocidad
de la onda
y = f x−c t
k : número de
onda ([k]=m-1)
y = y 0 cosk  x−c t 
y = y 0 coskx− t 
ω=kc :
frec. angular
de la onda
( [ω]=s-1 )
'foto' de la cuerda
Osc. Ondas y Termodinámica
5.3 Ondas armónicas.
Ondas armónicas
Es cuando la función de onda
f(x-ct) es del tipo seno o coseno
Periodicidad espacial
c : velocidad
de la onda
y = f x−c t
k : número de
onda ([k]=m-1)
y = y 0 cosk  x−c t 
y = y 0 coskx− t 
ω=kc :
frec. angular
de la onda
( [ω]=s-1 )
'foto' de la cuerda
Osc. Ondas y Termodinámica
5.3 Ondas armónicas.
Ondas armónicas
Es cuando la función de onda
f(x-ct) es del tipo seno o coseno
Periodicidad espacial
'foto' de la cuerda
c : velocidad
de la onda
y = f x−c t
k : número de
onda ([k]=m-1)
y = y 0 cosk  x−c t 
y = y 0 coskx− t 
ω=kc :
frec. angular
de la onda
( [ω]=s-1 )
λ : longitud
de onda
Osc. Ondas y Termodinámica
5.3 Ondas armónicas.
Ondas armónicas
Es cuando la función de onda
f(x-ct) es del tipo seno o coseno
Periodicidad espacial
'foto' de la cuerda
c : velocidad
de la onda
y = f x−c t
k : número de
onda ([k]=m-1)
y = y 0 cosk  x−c t 
y = y 0 coskx− t 
ω=kc :
frec. angular
de la onda
( [ω]=s-1 )
λ : longitud
de onda
Periodicidad temporal
Osc. Ondas y Termodinámica
5.3 Ondas armónicas.
Ondas armónicas
Es cuando la función de onda
f(x-ct) es del tipo seno o coseno
Periodicidad espacial
'foto' de la cuerda
Periodicidad temporal
c : velocidad
de la onda
y = f x−c t
k : número de
onda ([k]=m-1)
y = y 0 cosk  x−c t 
y = y 0 coskx− t 
ω=kc :
frec. angular
de la onda
( [ω]=s-1 )
λ : longitud
de onda
Cada punto
de la cuerda
realiza un
MAS de frecuencia ω
Osc. Ondas y Termodinámica
c : velocidad
de la onda
5.3 Ondas armónicas.
Ondas armónicas
y = f x−c t
Es cuando la función de onda
f(x-ct) es del tipo seno o coseno
y = y 0 cosk  x−c t 
y = y 0 coskx− t 
Periodicidad espacial
'foto' de la cuerda
k : número de
onda ([k]=m-1)
ω=kc :
frec. angular
de la onda
( [ω]=s-1 )
λ : longitud
de onda
Cada punto
de la cuerda
realiza un
MAS de frecuencia ω
Periodicidad temporal
t
Para x fijo
Osc. Ondas y Termodinámica
5.3 Ondas armónicas.
Relación entre λ, f=ω/2π y c
Osc. Ondas y Termodinámica
5.3 Ondas armónicas.
Relación entre λ, f=ω/2π y c
• Suponer que generamos
una onda en una cuerda
Osc. Ondas y Termodinámica
5.3 Ondas armónicas.
Relación entre λ, f=ω/2π y c
• Suponer que generamos
una onda en una cuerda
c
Osc. Ondas y Termodinámica
5.3 Ondas armónicas.
Relación entre λ, f=ω/2π y c
c
• Suponer que generamos
una onda en una cuerda
• En un tiempo t el primer frente
de onda avanza hasta c·t
ct
Osc. Ondas y Termodinámica
5.3 Ondas armónicas.
Relación entre λ, f=ω/2π y c
c
ct
• Suponer que generamos
una onda en una cuerda
• En un tiempo t el primer frente
de onda avanza hasta c·t
• Se generan N oscilaciones en
el tiempo t
Osc. Ondas y Termodinámica
5.3 Ondas armónicas.
Relación entre λ, f=ω/2π y c

c
ct
• Suponer que generamos
una onda en una cuerda
• En un tiempo t el primer frente
de onda avanza hasta c·t
• Se generan N oscilaciones en
el tiempo t
• La longitud de onda será:
ct
=
N
Osc. Ondas y Termodinámica
5.3 Ondas armónicas.
Relación entre λ, f=ω/2π y c

c
ct
• Suponer que generamos
una onda en una cuerda
• En un tiempo t el primer frente
de onda avanza hasta c·t
• Se generan N oscilaciones en
el tiempo t
• La longitud de onda será:
ct ct
=
=
N
f t
Osc. Ondas y Termodinámica
5.3 Ondas armónicas.
Relación entre λ, f=ω/2π y c

c
ct
• Suponer que generamos
una onda en una cuerda
• En un tiempo t el primer frente
de onda avanza hasta c·t
• Se generan N oscilaciones en
el tiempo t
• La longitud de onda será:
ct ct
c
=
=
=
N
f t
f
Osc. Ondas y Termodinámica
5.3 Ondas armónicas.
Relación entre λ, f=ω/2π y c

c
ct
Relación entre estos parámetros
• Suponer que generamos
una onda en una cuerda
• En un tiempo t el primer frente
de onda avanza hasta c·t
• Se generan N oscilaciones en
el tiempo t
• La longitud de onda será:
ct ct
c
=
=
=
N
f t
f
Osc. Ondas y Termodinámica
5.3 Ondas armónicas.
Relación entre λ, f=ω/2π y c

c
ct
Relación entre estos parámetros
y = y 0 cosk x− t
=
c
f
1 2
T= =
f 

f=
2
=T c
=k c
 2  f 2
k= =
=

c
f
• Suponer que generamos
una onda en una cuerda
• En un tiempo t el primer frente
de onda avanza hasta c·t
• Se generan N oscilaciones en
el tiempo t
• La longitud de onda será:
ct ct
c
=
=
=
N
f t
f
y0: amplitud de la onda
k: número de onda
λ: longitud de onda
de la onda
c: velocidad de la onda y del MAS
ω: frecuencia angular de cada punto
f: frecuencia
T: periodo
Osc. Ondas y Termodinámica
5.3 Ondas armónicas.
Ejercicios:
1. ¿Cuál de las siguientes expresiones describe
correctamente el desplazamiento de una onda
armónica en función de x y t?
a) y=Asin(k(x-vt))
b) y=Asin(kx-ft)
c) y= Α sin(kt−ω t))
d) y=Asin(2π (kx-ω t))
e) y=Asin(2π (x/λ −ω t))
2. La función de onda de una onda armónica que se mueve sobre una cuerda es:
y  x , t = 0.03 sin 2.2 x − 3.5 t 
a)¿En qué dirección se propaga la onda y cuál es su velocidad?
b) Determinar la longitud de onda, la frecuencia y el período de esta onda;
c) ¿Cuál es el desplazamiento máximo de cualquier segmento de la cuerda?
d) ¿Cuál es el la velocidad máxima de cualquier segmento de la cuerda?
Osc. Ondas y Termodinámica
5.3 Ondas armónicas.
Ejercicios:
1. ¿Cuál de las siguientes expresiones describe
correctamente el desplazamiento de una onda
armónica en función de x y t?
a) y=Asin(k(x-vt))
b) y=Asin(kx-ft)
c) y= Α sin(kt−ω t))
d) y=Asin(2π (kx-ω t))
e) y=Asin(2π (x/λ −ω t))
y = y 0 cosk x− t
=
c
f
1 2
T= =
f 

f=
2
=T c
=k c
 2  f 2
k= =
=

c
f
2. La función de onda de una onda armónica que se mueve sobre una cuerda es:
y  x , t = 0.03 sin 2.2 x − 3.5 t 
a)¿En qué dirección se propaga la onda y cuál es su velocidad?
b) Determinar la longitud de onda, la frecuencia y el período de esta onda;
c) ¿Cuál es el desplazamiento máximo de cualquier segmento de la cuerda?
d) ¿Cuál es el la velocidad máxima de cualquier segmento de la cuerda?
Osc. Ondas y Termodinámica
5.3 Ondas armónicas.
Ejercicio: Una cuerda se mantiene en tensión y de hace vibrar
transversalmente uno de sus extremos, de manera que se genera una
onda armónica transversal que se propaga a lo largo de la cuerda a una
velocidad v=240m/s. El desplazamiento transversal máximo de cualquier
punto de la cuerda es de 1 cm y la distancia entre máximos consecutivos
de 3 m. ¿Cuál es la velocidad transversal máxima que tendrá una mosca
que está fuertemente cogida a la cuerda?
y = y 0 cosk x− t
=
c
f
1 2
T= =
f 

f=
2
=T c
=k c
 2  f 2
k= =
=

c
f
Osc. Ondas y Termodinámica
5.3 Ondas armónicas.
Notación compleja:
Consiste en representar la función de onda armónica como la
parte real del número complejo:
y = y0 e
 
j t−
x
c
Osc. Ondas y Termodinámica
5.3 Ondas armónicas.
Notación compleja:
Consiste en representar la función de onda armónica como la
parte real del número complejo:
y = y0 e
 
j t−
x
c
Im
y0
Re

y re
y = y0 e j 
Osc. Ondas y Termodinámica
5.3 Ondas armónicas.
Notación compleja:
Consiste en representar la función de onda armónica como la
parte real del número complejo:
y = y0 e
 
j t−
x
c
Efectivamente son expresiones equivalentes:
Im
y0
Re

y re
y = y0 e j 
Osc. Ondas y Termodinámica
5.3 Ondas armónicas.
Notación compleja:
Consiste en representar la función de onda armónica como la
parte real del número complejo:
y = y0 e
 
j t−
x
c
Efectivamente son expresiones equivalentes:
y = y0 e
 
j t−
x
c
Im
y0
Re

y re
y = y0 e j 
Osc. Ondas y Termodinámica
5.3 Ondas armónicas.
Notación compleja:
Consiste en representar la función de onda armónica como la
parte real del número complejo:
y = y0 e
 
j t−
x
c
Efectivamente son expresiones equivalentes:
y = y0 e
 
j t−
x
c
[  ]
y = y 0 cos  t−
x
c
[  ]
 j sin  t−
x
c
Im
y0
Re

y re
y = y0 e j 
Osc. Ondas y Termodinámica
5.3 Ondas armónicas.
Notación compleja:
Consiste en representar la función de onda armónica como la
parte real del número complejo:
y = y0 e
 
j t−
x
c
Efectivamente son expresiones equivalentes:
y = y0 e
 
j t−
x
c
[  ]
y = y 0 cos  t−
x
c
Parte real
[  ]
 j sin  t−
x
c
Im
y0
Re

y re
y = y0 e j 
Osc. Ondas y Termodinámica
5.3 Ondas armónicas.
Notación compleja:
Consiste en representar la función de onda armónica como la
parte real del número complejo:
y = y0 e
 
j t−
x
c
Efectivamente son expresiones equivalentes:
y = y0 e
 
j t−
x
c
[  ]
y = y 0 cos  t−
[  ]
y re = y 0 cos  t−
x
c
x
c
Parte real
[  ]
 j sin  t−
x
c
Im
y0
Re

y re
y = y0 e j 
Osc. Ondas y Termodinámica
5.3 Ondas armónicas.
Notación compleja:
Consiste en representar la función de onda armónica como la
parte real del número complejo:
y = y0 e
 
j t−
x
c
Efectivamente son expresiones equivalentes:
y = y0 e
 
j t−
x
c
[  ]
y = y 0 cos  t−
[  ]
y re = y 0 cos  t−
[
y re = y 0 cos t−
x
c
x
c
]
x
c
Parte real
[  ]
 j sin  t−
x
c
Im
y0
Re

y re
y = y0 e j 
Osc. Ondas y Termodinámica
5.3 Ondas armónicas.
Notación compleja:
Consiste en representar la función de onda armónica como la
parte real del número complejo:
y = y0 e
 
j t−
x
c
Efectivamente son expresiones equivalentes:
y = y0 e
 
j t−
x
c
[  ]
y = y 0 cos  t−
[  ]
y re = y 0 cos  t−
[
y re = y 0 cos t−
x
c
x
c
x
c
[  ]
 j sin  t−
Parte real
x
c
Im
y0
Re

]
y re
como ω=k c y el coseno
es una función par
y = y0 e j 
Osc. Ondas y Termodinámica
5.3 Ondas armónicas.
Notación compleja:
Consiste en representar la función de onda armónica como la
parte real del número complejo:
y = y0 e
 
j t−
x
c
Efectivamente son expresiones equivalentes:
y = y0 e
 
j t−
x
c
[  ]
y = y 0 cos  t−
[  ]
y re = y 0 cos  t−
[
y re = y 0 cos t−
x
c
x
c
]
x
c
[  ]
 j sin  t−
x
c
Im
Parte real
y0
Re

y = y 0 cosk x −  t
como ω=k c y el coseno
es una función par
y re
y = y0 e j 
Osc. Ondas y Termodinámica
Módulo 2: Ondas
Lección 5. Movimiento ondulatorio.
Ondas en una cuerda.
Lección 6. Ondas sonoras. Acústica.
6.1 Ondas elásticas en sólidos y fluidos
6.2 Potencia e intensidad de la onda.
Densidad de energía.
6.3 Percepción del sonido. Decibelios.
6.4 Transmisión y reflexión de odas sonoras
6.5 Superposición de ondas sonoras.
6.6 Efecto Doppler
6.7 Cualidades del sonido.
5.1 Introducción al mov. ondulatorio
Definiciones.
5.2 Función de onda.
5.3 Ondas armónicas.
5.4 Ecuación de onda.
5.5 Velocidad de propagación.
5.6 Energía de la onda.
5.7 Ondas en medios absorbentes.
Atenuación.
Lección 7. Óptica Física
5.8 Reflexión y transmisión de ondas.
5.9 Superposición de ondas en una cuerda
7.1 Ondas electromagnéticas. Espectro.
Ondas estacionarias.
7.2 Principio de Huygens-Fresnel.
7.3 Reflexión y refracción.
7.4 Dispersión. Velocidad de grupo.
7.5 Polarización.
7.6 Interferencias.
7.7 Difracción.
Osc. Ondas y Termodinámica
5.4 Ecuación de onda.
Ecuación de onda:
Osc. Ondas y Termodinámica
5.4 Ecuación de onda.
Ecuación de onda:
Se puede demostrar que la función
de onda, del tipo y=y(x­ct), cumple
la ecuación diferencial:
2
2
Ecuación
∂ y
1 ∂ y
−
= 0 de onda
∂ x² c² ∂ t²
Osc. Ondas y Termodinámica
5.4 Ecuación de onda.
Ecuación de onda:
Se puede demostrar que la función
de onda, del tipo y=y(x­ct), cumple
la ecuación diferencial:
2
2
Ecuación
∂ y
1 ∂ y
−
= 0 de onda
∂ x² c² ∂ t²
gradiente
Osc. Ondas y Termodinámica
5.4 Ecuación de onda.
Ecuación de onda:
Se puede demostrar que la función
de onda, del tipo y=y(x­ct), cumple
la ecuación diferencial:
gradiente
2
2
Ecuación
∂ y
1 ∂ y
−
= 0 de onda
∂ x² c² ∂ t²
Velocidad
de la onda
Osc. Ondas y Termodinámica
5.4 Ecuación de onda.
Ecuación de onda:
Se puede demostrar que la función
de onda, del tipo y=y(x­ct), cumple
la ecuación diferencial:
Principio de superposición:
gradiente
2
2
Ecuación
∂ y
1 ∂ y
−
= 0 de onda
∂ x² c² ∂ t²
Velocidad
de la onda
Osc. Ondas y Termodinámica
5.4 Ecuación de onda.
Ecuación de onda:
Se puede demostrar que la función
de onda, del tipo y=y(x­ct), cumple
la ecuación diferencial:
Principio de superposición:
gradiente
2
2
Ecuación
∂ y
1 ∂ y
−
= 0 de onda
∂ x² c² ∂ t²
Velocidad
de la onda
Si y 1 , y 2 son dos soluciones de la
ecuación de onda (i/e, dos ondas),
y1+y2 también es solución de la
ecuación de onda.
Osc. Ondas y Termodinámica
5.4 Ecuación de onda.
Ecuación de onda:
Se puede demostrar que la función
de onda, del tipo y=y(x­ct), cumple
la ecuación diferencial:
Principio de superposición:
gradiente
2
2
Ecuación
∂ y
1 ∂ y
−
= 0 de onda
∂ x² c² ∂ t²
Velocidad
de la onda
Si y 1 , y 2 son dos soluciones de la
ecuación de onda (i/e, dos ondas),
y1+y2 también es solución de la
ecuación de onda.
2
2
∂  y1 y 2
1 ∂  y 1 y2 
−
=0
∂ x²
c²
∂ t²
?
Osc. Ondas y Termodinámica
5.4 Ecuación de onda.
Ecuación de onda:
Se puede demostrar que la función
de onda, del tipo y=y(x­ct), cumple
la ecuación diferencial:
Principio de superposición:
gradiente
2
2
Ecuación
∂ y
1 ∂ y
−
= 0 de onda
∂ x² c² ∂ t²
Velocidad
de la onda
Si y 1 , y 2 son dos soluciones de la
ecuación de onda (i/e, dos ondas),
y1+y2 también es solución de la
ecuación de onda.
2
2
∂  y1 y 2
1 ∂  y 1 y2 
−
=0
∂ x²
c²
∂ t²
2
2
2
?
2
∂ y 1 ∂ y2
1 ∂ y1
1 ∂ y2

−
−
=0
∂ x² ∂ x²
c² ∂ t²
c² ∂ t²
Osc. Ondas y Termodinámica
5.4 Ecuación de onda.
Ecuación de onda:
Se puede demostrar que la función
de onda, del tipo y=y(x­ct), cumple
la ecuación diferencial:
gradiente
Principio de superposición:
2
2
Ecuación
∂ y
1 ∂ y
−
= 0 de onda
∂ x² c² ∂ t²
Velocidad
de la onda
Si y 1 , y 2 son dos soluciones de la
ecuación de onda (i/e, dos ondas),
y1+y2 también es solución de la
ecuación de onda.
2
2
∂  y1 y 2
1 ∂  y 1 y2 
−
=0
∂ x²
c²
∂ t²
2
2
?
2
2
∂ y 1 ∂ y2
1 ∂ y1
1 ∂ y2

−
−
=0
∂ x² ∂ x²
c² ∂ t²
c² ∂ t²
2
2
2
2
∂ y1 1 ∂ y1 ∂ y2 1 ∂ y2
−

−
=0
∂ x²
c² ∂ t²
∂ x²
c² ∂ t²
Osc. Ondas y Termodinámica
5.4 Ecuación de onda.
Ecuación de onda:
Se puede demostrar que la función
de onda, del tipo y=y(x­ct), cumple
la ecuación diferencial:
gradiente
Principio de superposición:
2
2
Ecuación
∂ y
1 ∂ y
−
= 0 de onda
∂ x² c² ∂ t²
Velocidad
de la onda
Si y 1 , y 2 son dos soluciones de la
ecuación de onda (i/e, dos ondas),
y1+y2 también es solución de la
ecuación de onda.
2
2
∂  y1 y 2
1 ∂  y 1 y2 
−
=0
∂ x²
c²
∂ t²
2
2
?
2
2
∂ y 1 ∂ y2
1 ∂ y1
1 ∂ y2

−
−
=0
∂ x² ∂ x²
c² ∂ t²
c² ∂ t²
2
2
2
2
∂ y1 1 ∂ y1 ∂ y2 1 ∂ y2
−

−
=0
∂ x²
c² ∂ t²
∂ x²
c² ∂ t²
Osc. Ondas y Termodinámica
5.4 Ecuación de onda.
Ecuación de onda:
Se puede demostrar que la función
de onda, del tipo y=y(x­ct), cumple
la ecuación diferencial:
gradiente
Principio de superposición:
ecuación de onda.
2
2
2
2
Velocidad
de la onda
Si por un medio se propagan dos o más
ondas, la onda resultante es la suma
(punto a punto) de cada una de las
ondas que se propagan.
Si y 1 , y 2 son dos soluciones de la
ecuación de onda (i/e, dos ondas),
y1+y2 también es solución de la
∂  y1 y 2
1 ∂  y 1 y2 
−
=0
∂ x²
c²
∂ t²
2
2
Ecuación
∂ y
1 ∂ y
−
= 0 de onda
∂ x² c² ∂ t²
?
2
2
∂ y 1 ∂ y2
1 ∂ y1
1 ∂ y2

−
−
=0
∂ x² ∂ x²
c² ∂ t²
c² ∂ t²
2
2
2
2
∂ y1 1 ∂ y1 ∂ y2 1 ∂ y2
−

−
=0
∂ x²
c² ∂ t²
∂ x²
c² ∂ t²
Osc. Ondas y Termodinámica
5.4 Ecuación de onda.
Ecuación de onda:
Se puede demostrar que la función
de onda, del tipo y=y(x­ct), cumple
la ecuación diferencial:
gradiente
Principio de superposición:
ecuación de onda.
2
2
2
2
Velocidad
de la onda
Si por un medio se propagan dos o más
ondas, la onda resultante es la suma
(punto a punto) de cada una de las
ondas que se propagan.
Si y 1 , y 2 son dos soluciones de la
ecuación de onda (i/e, dos ondas),
y1+y2 también es solución de la
∂  y1 y 2
1 ∂  y 1 y2 
−
=0
∂ x²
c²
∂ t²
2
2
Ecuación
∂ y
1 ∂ y
−
= 0 de onda
∂ x² c² ∂ t²
?
2
2
∂ y 1 ∂ y2
1 ∂ y1
1 ∂ y2

−
−
=0
∂ x² ∂ x²
c² ∂ t²
c² ∂ t²
2
2
2
2
∂ y1 1 ∂ y1 ∂ y2 1 ∂ y2
−

−
=0
∂ x²
c² ∂ t²
∂ x²
c² ∂ t²
Osc. Ondas y Termodinámica
5.5 Velocidad de propagación.
Velocidad de propagación de las ondas en una cuerda
Osc. Ondas y Termodinámica
5.5 Velocidad de propagación.
Velocidad de propagación de las ondas en una cuerda
• Suponer un pulso de onda que se propaga a velocidad c por una
cuerda de densidad lineal μ sometida a una tensión F
c
Osc. Ondas y Termodinámica
5.5 Velocidad de propagación.
Velocidad de propagación de las ondas en una cuerda
• Suponer un pulso de onda que se propaga a velocidad c por una
cuerda de densidad lineal μ sometida a una tensión F
• Suponer ahora un sistema de ref. O' que se mueve con el pulso
O'
c
Osc. Ondas y Termodinámica
5.5 Velocidad de propagación.
Velocidad de propagación de las ondas en una cuerda
• Suponer un pulso de onda que se propaga a velocidad c por una
cuerda de densidad lineal μ sometida a una tensión F
• Suponer ahora un sistema de ref. O' que se mueve con el pulso
• Respecto de este sistema, la cuerda 'pasa' con velocidad c hacia la
izquierda haciendo un MCU
O'
c
Osc. Ondas y Termodinámica
5.5 Velocidad de propagación.
Velocidad de propagación de las ondas en una cuerda
• Suponer un pulso de onda que se propaga a velocidad c por una
cuerda de densidad lineal μ sometida a una tensión F
• Suponer ahora un sistema de ref. O' que se mueve con el pulso
• Respecto de este sistema, la cuerda 'pasa' con velocidad c hacia la
izquierda haciendo un MCU
O'
c
Osc. Ondas y Termodinámica
5.5 Velocidad de propagación.
Velocidad de propagación de las ondas en una cuerda
• Suponer un pulso de onda que se propaga a velocidad c por una
cuerda de densidad lineal μ sometida a una tensión F
• Suponer ahora un sistema de ref. O' que se mueve con el pulso
• Respecto de este sistema, la cuerda 'pasa' con velocidad c hacia la
izquierda haciendo un MCU
O'
c
2da ley de Newton para un  s de la cuerda
Osc. Ondas y Termodinámica
5.5 Velocidad de propagación.
Velocidad de propagación de las ondas en una cuerda
• Suponer un pulso de onda que se propaga a velocidad c por una
cuerda de densidad lineal μ sometida a una tensión F
• Suponer ahora un sistema de ref. O' que se mueve con el pulso
• Respecto de este sistema, la cuerda 'pasa' con velocidad c hacia la
izquierda haciendo un MCU
O'
c
2da ley de Newton para un  s de la cuerda
∑ F y = 2⋅ F sin/2 =  m a N
Osc. Ondas y Termodinámica
5.5 Velocidad de propagación.
Velocidad de propagación de las ondas en una cuerda
• Suponer un pulso de onda que se propaga a velocidad c por una
cuerda de densidad lineal μ sometida a una tensión F
• Suponer ahora un sistema de ref. O' que se mueve con el pulso
• Respecto de este sistema, la cuerda 'pasa' con velocidad c hacia la
izquierda haciendo un MCU
O'
c
2da ley de Newton para un  s de la cuerda
∑ F y = 2⋅ F sin/2 =  m a N
sin /2≈/2
Osc. Ondas y Termodinámica
5.5 Velocidad de propagación.
Velocidad de propagación de las ondas en una cuerda
• Suponer un pulso de onda que se propaga a velocidad c por una
cuerda de densidad lineal μ sometida a una tensión F
• Suponer ahora un sistema de ref. O' que se mueve con el pulso
• Respecto de este sistema, la cuerda 'pasa' con velocidad c hacia la
izquierda haciendo un MCU
O'
c
2da ley de Newton para un  s de la cuerda
∑ F y = 2⋅ F sin/2 =  m a N
sin /2≈/2
 m=  s
Osc. Ondas y Termodinámica
5.5 Velocidad de propagación.
Velocidad de propagación de las ondas en una cuerda
• Suponer un pulso de onda que se propaga a velocidad c por una
cuerda de densidad lineal μ sometida a una tensión F
• Suponer ahora un sistema de ref. O' que se mueve con el pulso
• Respecto de este sistema, la cuerda 'pasa' con velocidad c hacia la
izquierda haciendo un MCU
O'
c
2da ley de Newton para un  s de la cuerda
∑ F y = 2⋅ F sin/2 =  m a N
sin /2≈/2
a N =c²/ R
 m=  s
Osc. Ondas y Termodinámica
5.5 Velocidad de propagación.
Velocidad de propagación de las ondas en una cuerda
• Suponer un pulso de onda que se propaga a velocidad c por una
cuerda de densidad lineal μ sometida a una tensión F
• Suponer ahora un sistema de ref. O' que se mueve con el pulso
• Respecto de este sistema, la cuerda 'pasa' con velocidad c hacia la
izquierda haciendo un MCU
O'
c
2da ley de Newton para un  s de la cuerda
∑ F y = 2⋅ F sin/2 =  m a N
sin /2≈/2
2F
a N =c²/ R
 m=  s
c²

=  s
2
R
Osc. Ondas y Termodinámica
5.5 Velocidad de propagación.
Velocidad de propagación de las ondas en una cuerda
• Suponer un pulso de onda que se propaga a velocidad c por una
cuerda de densidad lineal μ sometida a una tensión F
• Suponer ahora un sistema de ref. O' que se mueve con el pulso
• Respecto de este sistema, la cuerda 'pasa' con velocidad c hacia la
izquierda haciendo un MCU
O'
c
2da ley de Newton para un  s de la cuerda
∑ F y = 2⋅ F sin/2 =  m a N
sin /2≈/2
2F
c²

=  s
2
R
a N =c²/ R
 m=  s
 s=R 
Osc. Ondas y Termodinámica
5.5 Velocidad de propagación.
Velocidad de propagación de las ondas en una cuerda
• Suponer un pulso de onda que se propaga a velocidad c por una
cuerda de densidad lineal μ sometida a una tensión F
• Suponer ahora un sistema de ref. O' que se mueve con el pulso
• Respecto de este sistema, la cuerda 'pasa' con velocidad c hacia la
izquierda haciendo un MCU
O'
c
2da ley de Newton para un  s de la cuerda
∑ F y = 2⋅ F sin/2 =  m a N
sin /2≈/2
2F
 m=  s
c²

=  s
2
R
F =  R
a N =c²/ R
 s=R 
c²
R
Osc. Ondas y Termodinámica
5.5 Velocidad de propagación.
Velocidad de propagación de las ondas en una cuerda
• Suponer un pulso de onda que se propaga a velocidad c por una
cuerda de densidad lineal μ sometida a una tensión F
• Suponer ahora un sistema de ref. O' que se mueve con el pulso
• Respecto de este sistema, la cuerda 'pasa' con velocidad c hacia la
izquierda haciendo un MCU
O'
c
2da ley de Newton para un  s de la cuerda
∑ F y = 2⋅ F sin/2 =  m a N
sin /2≈/2
2F
c²

=  s
2
R
c²
F =  R
R
a N =c²/ R
 m=  s
 s=R 
c=

F

Velocidad
de las ondas
en una
cuerda tensa
Osc. Ondas y Termodinámica
5.5 Velocidad de propagación.
Velocidad de propagación de las ondas mecánicas
Osc. Ondas y Termodinámica
5.5 Velocidad de propagación.
Velocidad de propagación de las ondas mecánicas
En una cuerda:
c=

F

Osc. Ondas y Termodinámica
5.5 Velocidad de propagación.
Velocidad de propagación de las ondas mecánicas
En una cuerda:
c=

F

Relacionado con propiedades elásticas
del medio
Osc. Ondas y Termodinámica
5.5 Velocidad de propagación.
Velocidad de propagación de las ondas mecánicas
En una cuerda:
c=

F

Relacionado con propiedades elásticas
del medio
Relacionado con propiedades inerciales
Osc. Ondas y Termodinámica
5.5 Velocidad de propagación.
Velocidad de propagación de las ondas mecánicas
En una cuerda:
c=

F

Relacionado con propiedades elásticas
del medio
Relacionado con propiedades inerciales
En otros medios materiales surgen ecuaciones similares:
Osc. Ondas y Termodinámica
5.5 Velocidad de propagación.
Velocidad de propagación de las ondas mecánicas
En una cuerda:
c=

F

Relacionado con propiedades elásticas
del medio
Relacionado con propiedades inerciales
En otros medios materiales surgen ecuaciones similares:
Sólidos
c=

Y

Osc. Ondas y Termodinámica
5.5 Velocidad de propagación.
Velocidad de propagación de las ondas mecánicas
En una cuerda:
c=

Relacionado con propiedades elásticas
del medio
F

Relacionado con propiedades inerciales
En otros medios materiales surgen ecuaciones similares:
Sólidos
c=

Y


 L −1
=
F
L
Y

Módulo
de Young
Densidad
Osc. Ondas y Termodinámica
5.5 Velocidad de propagación.
Velocidad de propagación de las ondas mecánicas
En una cuerda:
c=

Relacionado con propiedades elásticas
del medio
F

Relacionado con propiedades inerciales
En otros medios materiales surgen ecuaciones similares:
Sólidos

Y
c=


 L −1
=
F
L
Y
Módulo
de Young
Densidad

Líquidos
c=

B

Osc. Ondas y Termodinámica
5.5 Velocidad de propagación.
Velocidad de propagación de las ondas mecánicas
En una cuerda:
c=

Relacionado con propiedades elásticas
del medio
F

Relacionado con propiedades inerciales
En otros medios materiales surgen ecuaciones similares:
Sólidos

Y
c=


 L −1
=
F
L
Y
Módulo
de Young
Densidad

Líquidos
c=

B


Módulo de
compresibilidad
V −1
=
P
V
B

Densidad
Osc. Ondas y Termodinámica
5.5 Velocidad de propagación.
Velocidad de propagación de las ondas mecánicas
En una cuerda:
c=

Relacionado con propiedades elásticas
del medio
F

Relacionado con propiedades inerciales
En otros medios materiales surgen ecuaciones similares:
Sólidos

Y
c=


 L −1
=
F
L
Y
Módulo
de Young
Densidad

Líquidos
c=

B


Módulo de
compresibilidad
V −1
=
P
V
B

Densidad
Gases
c=

P

c=

RT
M
Osc. Ondas y Termodinámica
5.5 Velocidad de propagación.
Velocidad de propagación de las ondas mecánicas
En una cuerda:
c=

Relacionado con propiedades elásticas
del medio
F

Relacionado con propiedades inerciales
En otros medios materiales surgen ecuaciones similares:
Sólidos

Y
c=


 L −1
=
F
L
Y
Módulo
de Young
Densidad

Líquidos
c=

B


V −1
=
P
V
B

Densidad
Cte. adiabática del gas
Presión
Gases
c=

Módulo de
compresibilidad
P

c=
=1.666 monoat.
=1.4 diat.

RT
M
Temperatura
(en K)
Peso
molecular
Osc. Ondas y Termodinámica
5.5 Velocidad de propagación.
Velocidad de propagación de las ondas mecánicas
En una cuerda:
c=

Relacionado con propiedades elásticas
del medio
F

Relacionado con propiedades inerciales
En otros medios materiales surgen ecuaciones similares:
Sólidos

Y
c=


 L −1
=
F
L
Y

Módulo
de Young
Densidad
Ejercicio:
buscar en tablas el valor de estas
magnitudes y calcular c para
el acero, el agua y el aire a 0ºC.
Solución:
cacero=5060 m/s cagua=1450 m/s caire=330 m/s
Líquidos
c=

B


V −1
=
P
V
B

Densidad
Cte. adiabática del gas
Presión
Gases
c=

Módulo de
compresibilidad
P

c=
=1.666 monoat.
=1.4 diat.

RT
M
Temperatura
(en K)
Peso
molecular
Osc. Ondas y Termodinámica
Ejercicios
Ejercicio (prob. 33): Atamos un diapasón a un alambre y
generamos ondas transversales de frecuencia 440Hz y 0.5mm de
amplitud. El alambre tiene una densidad lineal de 0.01kg/m y está
sometido a una tensión de 1000N. Determinar:
a) periodo y frecuencia de las ondas en el alambre
b) Velocidad de las ondas
c) Escribir la función de onda en el alambre
d) Velocidad y aceleración máxima de un punto del alambre
d) ¿Qué potencia debe suministrar el diapasón para que la amplitud
sea constante?
Solución:
T=2.27·10-3 s
v=316.2 m/s
vmax=1.38 m/s amax=3822 m/s2
P=3.02 W
Osc. Ondas y Termodinámica
5.6 Energía de la onda.
Energía de las ondas mecánicas en una dimensión
Osc. Ondas y Termodinámica
5.6 Energía de la onda.
Energía de las ondas mecánicas en una dimensión
• Suponer un tren de ondas que avanza por una cuerda
Osc. Ondas y Termodinámica
5.6 Energía de la onda.
Energía de las ondas mecánicas en una dimensión
• Suponer un tren de ondas que avanza por una cuerda
• En un instante t1 ha llegado hasta P1
P1
Osc. Ondas y Termodinámica
5.6 Energía de la onda.
Energía de las ondas mecánicas en una dimensión
• Suponer un tren de ondas que avanza por una cuerda
• En un instante t1 ha llegado hasta P1
• Un Δt posterior habrá llegado hasta P2= c Δt
P1
P2
c
Osc. Ondas y Termodinámica
5.6 Energía de la onda.
Energía de las ondas mecánicas en una dimensión
• Suponer un tren de ondas que avanza por una cuerda
• En un instante t1 ha llegado hasta P1
• Un Δt posterior habrá llegado hasta P2= c Δt
• El ΔE de la onda debido a este avance será la energía asociada
al MAS que realiza este nuevo trozo de cuerda:
P1
P2
c
Osc. Ondas y Termodinámica
5.6 Energía de la onda.
Energía de las ondas mecánicas en una dimensión
• Suponer un tren de ondas que avanza por una cuerda
• En un instante t1 ha llegado hasta P1
• Un Δt posterior habrá llegado hasta P2= c Δt
• El ΔE de la onda debido a este avance será la energía asociada
al MAS que realiza este nuevo trozo de cuerda:
E =
P1
1
 m v 2max
2
P2
c
Osc. Ondas y Termodinámica
5.6 Energía de la onda.
Energía de las ondas mecánicas en una dimensión
• Suponer un tren de ondas que avanza por una cuerda
• En un instante t1 ha llegado hasta P1
• Un Δt posterior habrá llegado hasta P2= c Δt
• El ΔE de la onda debido a este avance será la energía asociada
al MAS que realiza este nuevo trozo de cuerda:
 m=  l
E =
P1
1
 m v 2max
2
P2
c
Osc. Ondas y Termodinámica
5.6 Energía de la onda.
Energía de las ondas mecánicas en una dimensión
• Suponer un tren de ondas que avanza por una cuerda
• En un instante t1 ha llegado hasta P1
• Un Δt posterior habrá llegado hasta P2= c Δt
• El ΔE de la onda debido a este avance será la energía asociada
al MAS que realiza este nuevo trozo de cuerda:
 m=  l
E =
P1
1
 m v 2max
2
vmax = y 0
P2
c
Osc. Ondas y Termodinámica
5.6 Energía de la onda.
Energía de las ondas mecánicas en una dimensión
• Suponer un tren de ondas que avanza por una cuerda
• En un instante t1 ha llegado hasta P1
• Un Δt posterior habrá llegado hasta P2= c Δt
• El ΔE de la onda debido a este avance será la energía asociada
al MAS que realiza este nuevo trozo de cuerda:
 m=  l
E =
P1
E =
1
 m v 2max
2
1
 l 2 y 20
2
vmax = y 0
Energía de un
trozo  l de cuerda
P2
c
Osc. Ondas y Termodinámica
5.6 Energía de la onda.
Energía de las ondas mecánicas en una dimensión
• Suponer un tren de ondas que avanza por una cuerda
• En un instante t1 ha llegado hasta P1
• Un Δt posterior habrá llegado hasta P2= c Δt
• El ΔE de la onda debido a este avance será la energía asociada
al MAS que realiza este nuevo trozo de cuerda:
 m=  l
E =
P1
E =
P2
1
 m v 2max
2
1
 l 2 y 20
2
vmax = y 0
Energía de un
trozo  l de cuerda
E 1
Densidad
=
=  2 y 20
de energía
l
2
c
Osc. Ondas y Termodinámica
5.6 Energía de la onda.
Energía de las ondas mecánicas en una dimensión
• Suponer un tren de ondas que avanza por una cuerda
• En un instante t1 ha llegado hasta P1
• Un Δt posterior habrá llegado hasta P2= c Δt
• El ΔE de la onda debido a este avance será la energía asociada
al MAS que realiza este nuevo trozo de cuerda:
 m=  l
E =
P1
E =
P2
c
1
 m v 2max
2
1
 l 2 y 20
2
vmax = y 0
Energía de un
trozo  l de cuerda
E 1
Densidad
=
=  2 y 20
de energía
l
2
P=
E 1
=  2 y 20 c
t
2
c=
l
t
Potencia
transmitida
Osc. Ondas y Termodinámica
Módulo 2: Ondas
Lección 5. Movimiento ondulatorio.
Ondas en una cuerda.
Lección 6. Ondas sonoras. Acústica.
6.1 Ondas elásticas en sólidos y fluidos
6.2 Potencia e intensidad de la onda.
Densidad de energía.
6.3 Percepción del sonido. Decibelios.
6.4 Transmisión y reflexión de odas sonoras
6.5 Superposición de ondas sonoras.
6.6 Efecto Doppler
6.7 Cualidades del sonido.
5.1 Introducción al mov. ondulatorio
Definiciones.
5.2 Función de onda.
5.3 Ondas armónicas.
5.4 Ecuación de onda.
5.5 Velocidad de propagación.
5.6 Energía de la onda.
5.7 Ondas en medios absorbentes.
Atenuación.
Lección 7. Óptica Física
5.8 Reflexión y transmisión de ondas.
5.9 Superposición de ondas en una cuerda
7.1 Ondas electromagnéticas. Espectro.
Ondas estacionarias.
7.2 Principio de Huygens-Fresnel.
7.3 Reflexión y refracción.
7.4 Dispersión. Velocidad de grupo.
7.5 Polarización.
7.6 Interferencias.
7.7 Difracción.
Osc. Ondas y Termodinámica
5.7 Ondas en medios absorbentes.
Atenuación de la energía de la onda
Osc. Ondas y Termodinámica
5.7 Ondas en medios absorbentes.
Atenuación de la energía de la onda
• Al atravesar un medio, la onda pierde energía progresivamente

−d 
x
Osc. Ondas y Termodinámica
5.7 Ondas en medios absorbentes.
Atenuación de la energía de la onda
• Al atravesar un medio, la onda pierde energía progresivamente
• Se observa experimentalmente:
d  = −   dx

−d 
x
Osc. Ondas y Termodinámica
5.7 Ondas en medios absorbentes.
Atenuación de la energía de la onda
• Al atravesar un medio, la onda pierde energía progresivamente
• Se observa experimentalmente:
d  = −   dx
Coeficiente de atenuación
depende del medio y de la
frecuencia de la onda

−d 
x
Osc. Ondas y Termodinámica
5.7 Ondas en medios absorbentes.
Atenuación de la energía de la onda
• Al atravesar un medio, la onda pierde energía progresivamente
• Se observa experimentalmente:
d  = −   dx
Coeficiente de atenuación
depende del medio y de la
frecuencia de la onda

Sonido 10kHz en aire a 20ºC
20% humedad → β = 0.063 m-1
70% humedad → β = 0.022 m-1
−d 
x
Osc. Ondas y Termodinámica
5.7 Ondas en medios absorbentes.
Atenuación de la energía de la onda
• Al atravesar un medio, la onda pierde energía progresivamente
• Se observa experimentalmente:
d  = −   dx
Coeficiente de atenuación
depende del medio y de la
frecuencia de la onda

d
= − dx

Sonido 10kHz en aire a 20ºC
20% humedad → β = 0.063 m-1
70% humedad → β = 0.022 m-1
−d 
x
Osc. Ondas y Termodinámica
5.7 Ondas en medios absorbentes.
Atenuación de la energía de la onda
• Al atravesar un medio, la onda pierde energía progresivamente
• Se observa experimentalmente:
d  = −   dx
Coeficiente de atenuación
depende del medio y de la
frecuencia de la onda

d
= − dx


∫
0
x
d
= − ∫0 dx

Sonido 10kHz en aire a 20ºC
20% humedad → β = 0.063 m-1
70% humedad → β = 0.022 m-1
−d 
x
Osc. Ondas y Termodinámica
5.7 Ondas en medios absorbentes.
Atenuación de la energía de la onda
• Al atravesar un medio, la onda pierde energía progresivamente
• Se observa experimentalmente:
d  = −   dx
Coeficiente de atenuación
depende del medio y de la
frecuencia de la onda

d
= − dx


∫
0
x
d
= − ∫0 dx

Sonido 10kHz en aire a 20ºC
20% humedad → β = 0.063 m-1
70% humedad → β = 0.022 m-1
ln
 

= − x
0
−d 
x
Osc. Ondas y Termodinámica
5.7 Ondas en medios absorbentes.
Atenuación de la energía de la onda
• Al atravesar un medio, la onda pierde energía progresivamente
• Se observa experimentalmente:
d  = −   dx
Coeficiente de atenuación
depende del medio y de la
frecuencia de la onda

d
= − dx


∫
0
x
d
= − ∫0 dx

Sonido 10kHz en aire a 20ºC
20% humedad → β = 0.063 m-1
70% humedad → β = 0.022 m-1
ln
 
Atenuación
de la energía

= − x
0
− x
 = 0 e
−d 
x
Osc. Ondas y Termodinámica
5.7 Ondas en medios absorbentes.
Atenuación de la energía de la onda
• Al atravesar un medio, la onda pierde energía progresivamente
• Se observa experimentalmente:
d  = −   dx
Coeficiente de atenuación
depende del medio y de la
frecuencia de la onda

−d 
d
= − dx


∫
0
x
d
= − ∫0 dx

Sonido 10kHz en aire a 20ºC
20% humedad → β = 0.063 m-1
70% humedad → β = 0.022 m-1
ln
 
Atenuación
de la energía

= − x
0
− x
 = 0 e
• Como E≈ A²
x
y = y0 e
− x
2
Atenuación
de la
amplitud
Osc. Ondas y Termodinámica
5.7 Ondas en medios absorbentes.
Atenuación de la energía de la onda
• Al atravesar un medio, la onda pierde energía progresivamente
• Se observa experimentalmente:
d  = −   dx
Coeficiente de atenuación
depende del medio y de la
frecuencia de la onda

−d 
d
= − dx


∫
0
x
d
= − ∫0 dx

Sonido 10kHz en aire a 20ºC
20% humedad → β = 0.063 m-1
70% humedad → β = 0.022 m-1
ln
 
Atenuación
de la energía

= − x
0
− x
 = 0 e
• Como E≈ A²
x
y = y0 e
− x
2
Atenuación
de la
amplitud
• Algunas veces puede interesar
un coef. de atenuación grande
(para aislamientos acústicos)
Osc. Ondas y Termodinámica
Ejercicios.
Ejercicio: La función de onda de una onda armónica que se
propaga por una cuerda es (un unidades del SI):
y  x , t = 0.04 cos20 x100t 
Determinar la potencia media de la onda.
Si ahora consideramos la atenuación de la onda, con un coeficiente
de atenuación β=0.5 m-1, ¿al cabo de cuantos metros la amplitud
habrá disminuido hasta la mitad del valor inicial?
Solución:
P = 0.8 W
d = 2.77m
Osc. Ondas y Termodinámica
Ejercicios.
Ejercicio: La función de onda de una onda armónica que se
propaga por una cuerda es (un unidades del SI):
y  x , t = 0.04 cos20 x100t 
Determinar la potencia media de la onda.
Si ahora consideramos la atenuación de la onda, con un coeficiente
de atenuación β=0.5 m-1, ¿al cabo de cuantos metros la amplitud
habrá disminuido hasta la mitad del valor inicial?
P=
E 1
=  2 y 20 c
t
2
− x
 = 0 e
y = y0 e
− x
2
Solución:
P = 0.8 W
d = 2.77m
Osc. Ondas y Termodinámica
Módulo 2: Ondas
Lección 5. Movimiento ondulatorio.
Ondas en una cuerda.
Lección 6. Ondas sonoras. Acústica.
6.1 Ondas elásticas en sólidos y fluidos
6.2 Potencia e intensidad de la onda.
Densidad de energía.
6.3 Percepción del sonido. Decibelios.
6.4 Transmisión y reflexión de odas sonoras
6.5 Superposición de ondas sonoras.
6.6 Efecto Doppler
6.7 Cualidades del sonido.
5.1 Introducción al mov. ondulatorio
Definiciones.
5.2 Función de onda.
5.3 Ondas armónicas.
5.4 Ecuación de onda.
5.5 Velocidad de propagación.
5.6 Energía de la onda.
5.7 Ondas en medios absorbentes.
Atenuación.
Lección 7. Óptica Física
5.8 Reflexión y transmisión de ondas.
5.9 Superposición de ondas en una cuerda
7.1 Ondas electromagnéticas. Espectro.
Ondas estacionarias.
7.2 Principio de Huygens-Fresnel.
7.3 Reflexión y refracción.
7.4 Dispersión. Velocidad de grupo.
7.5 Polarización.
7.6 Interferencias.
7.7 Difracción.
Osc. Ondas y Termodinámica
5.8 Reflexión y transmisión de ondas en cuerdas.
• Al cambiar de medio, parte de la onda se refleja y parte se transmite
Osc. Ondas y Termodinámica
5.8 Reflexión y transmisión de ondas en cuerdas.
• Al cambiar de medio, parte de la onda se refleja y parte se transmite
Osc. Ondas y Termodinámica
5.8 Reflexión y transmisión de ondas en cuerdas.
• Al cambiar de medio, parte de la onda se refleja y parte se transmite
Osc. Ondas y Termodinámica
5.8 Reflexión y transmisión de ondas en cuerdas.
• Al cambiar de medio, parte de la onda se refleja y parte se transmite
Osc. Ondas y Termodinámica
5.8 Reflexión y transmisión de ondas en cuerdas.
• Al cambiar de medio, parte de la onda se refleja y parte se transmite
• Si el medio 1 es más denso, la reflexión no se invierte
• Si el medio 1 es menos denso, la reflexión se invierte
• La onda transmitida nunca se invierte
Osc. Ondas y Termodinámica
5.8 Reflexión y transmisión de ondas en cuerdas.
• Al cambiar de medio, parte de la onda se refleja y parte se transmite
• Si el medio 1 es más denso, la reflexión no se invierte
• Si el medio 1 es menos denso, la reflexión se invierte
Vamos a
• La onda transmitida nunca se invierte
demostrarlo
Osc. Ondas y Termodinámica
5.8 Reflexión y transmisión de ondas en cuerdas.
Obtención de la onda transmitida y reflejada
Osc. Ondas y Termodinámica
5.8 Reflexión y transmisión de ondas en cuerdas.
Obtención de la onda transmitida y reflejada
• Analizamos la interfase entre dos medios: μ1 , c1 , k1 y μ2 , c2 , k2
y
O
x
Osc. Ondas y Termodinámica
5.8 Reflexión y transmisión de ondas en cuerdas.
Obtención de la onda transmitida y reflejada
• Analizamos la interfase entre dos medios: μ1 , c1 , k1 y μ2 , c2 , k2
y i = y 0 i cos k 1 x−t 
ω es la misma en 1 y 2
y r = y 0 r cos k 1 x t
y t = y 0 t cos k 2 x−t 
y
O
x
Osc. Ondas y Termodinámica
5.8 Reflexión y transmisión de ondas en cuerdas.
Obtención de la onda transmitida y reflejada
• Analizamos la interfase entre dos medios: μ1 , c1 , k1 y μ2 , c2 , k2
y i = y 0 i cos k 1 x−t 
y r = y 0 r cos k 1 x t
y t = y 0 t cos k 2 x−t 
ω es la misma en 1 y 2
• En x=0 se debe cumplir:
yt = yi  y r
y
yi  yr
yt
O
x
Osc. Ondas y Termodinámica
5.8 Reflexión y transmisión de ondas en cuerdas.
Obtención de la onda transmitida y reflejada
• Analizamos la interfase entre dos medios: μ1 , c1 , k1 y μ2 , c2 , k2
y i = y 0 i cos k 1 x−t 
y r = y 0 r cos k 1 x t
y t = y 0 t cos k 2 x−t 
ω es la misma en 1 y 2
• En x=0 se debe cumplir:
yt = yi  y r
y 0 t cos−t  = y 0 i cos − t  y 0 r cos t 
y
yi  yr
yt
O
x
Osc. Ondas y Termodinámica
5.8 Reflexión y transmisión de ondas en cuerdas.
Obtención de la onda transmitida y reflejada
• Analizamos la interfase entre dos medios: μ1 , c1 , k1 y μ2 , c2 , k2
y i = y 0 i cos k 1 x−t 
y r = y 0 r cos k 1 x t
y t = y 0 t cos k 2 x−t 
ω es la misma en 1 y 2
cos t  = cos − t 
• En x=0 se debe cumplir:
yt = yi  y r
y 0 t cos−t  = y 0 i cos − t  y 0 r cos t 
y
yi  yr
yt
O
x
Osc. Ondas y Termodinámica
5.8 Reflexión y transmisión de ondas en cuerdas.
Obtención de la onda transmitida y reflejada
• Analizamos la interfase entre dos medios: μ1 , c1 , k1 y μ2 , c2 , k2
y i = y 0 i cos k 1 x−t 
y r = y 0 r cos k 1 x t
y t = y 0 t cos k 2 x−t 
ω es la misma en 1 y 2
cos t  = cos − t 
• En x=0 se debe cumplir:
yt = yi  y r
y 0 t cos−t  = y 0 i cos − t  y 0 r cos t 
y0 t = y 0 i  y0 r
y
yi  yr
yt
O
x
Osc. Ondas y Termodinámica
5.8 Reflexión y transmisión de ondas en cuerdas.
Obtención de la onda transmitida y reflejada
• Analizamos la interfase entre dos medios: μ1 , c1 , k1 y μ2 , c2 , k2
y i = y 0 i cos k 1 x−t 
y r = y 0 r cos k 1 x t
y t = y 0 t cos k 2 x−t 
ω es la misma en 1 y 2
cos t  = cos − t 
• En x=0 se debe cumplir:
yt = yi  y r
• La tensión es la misma en 1 y 2
y 0 t cos−t  = y 0 i cos − t  y 0 r cos t 
(misma pendiente)
y0 t = y 0 i  y0 r
y
yi  yr
yt
O
x
Osc. Ondas y Termodinámica
5.8 Reflexión y transmisión de ondas en cuerdas.
Obtención de la onda transmitida y reflejada
• Analizamos la interfase entre dos medios: μ1 , c1 , k1 y μ2 , c2 , k2
y i = y 0 i cos k 1 x−t 
y r = y 0 r cos k 1 x t
y t = y 0 t cos k 2 x−t 
ω es la misma en 1 y 2
• En x=0 se debe cumplir:
yt = yi  y r
• La tensión es la misma en 1 y 2
     
dy t
dx
dy i
dx
=
x=0
dyr
dx

x=0
cos t  = cos − t 
y 0 t cos−t  = y 0 i cos − t  y 0 r cos t 
(misma pendiente)
y0 t = y 0 i  y0 r
x=0
y
yi  yr
yt
O
x
Osc. Ondas y Termodinámica
5.8 Reflexión y transmisión de ondas en cuerdas.
Obtención de la onda transmitida y reflejada
• Analizamos la interfase entre dos medios: μ1 , c1 , k1 y μ2 , c2 , k2
y i = y 0 i cos k 1 x−t 
y r = y 0 r cos k 1 x t
y t = y 0 t cos k 2 x−t 
ω es la misma en 1 y 2
• En x=0 se debe cumplir:
yt = yi  y r
• La tensión es la misma en 1 y 2
     
dy t
dx
dy i
=
dx
x=0
dyr

dx
x=0
cos t  = cos − t 
y 0 t cos−t  = y 0 i cos − t  y 0 r cos t 
(misma pendiente)
y0 t = y 0 i  y0 r
−k 2 y 0 t sin − t = −k 1 y 0 i sin − t  − k 1 y 0 r sin  t
x=0
y
yi  yr
yt
O
x
Osc. Ondas y Termodinámica
5.8 Reflexión y transmisión de ondas en cuerdas.
Obtención de la onda transmitida y reflejada
• Analizamos la interfase entre dos medios: μ1 , c1 , k1 y μ2 , c2 , k2
y i = y 0 i cos k 1 x−t 
y r = y 0 r cos k 1 x t
y t = y 0 t cos k 2 x−t 
ω es la misma en 1 y 2
• En x=0 se debe cumplir:
yt = yi  y r
• La tensión es la misma en 1 y 2
     
dy t
dx
dy i
=
dx
x=0
dyr

dx
x=0
cos t  = cos − t 
y 0 t cos−t  = y 0 i cos − t  y 0 r cos t 
(misma pendiente)
y0 t = y 0 i  y0 r
−k 2 y 0 t sin − t = −k 1 y 0 i sin − t  − k 1 y 0 r sin  t
−sin − t 
x=0
y
yi  yr
yt
O
x
Osc. Ondas y Termodinámica
5.8 Reflexión y transmisión de ondas en cuerdas.
Obtención de la onda transmitida y reflejada
• Analizamos la interfase entre dos medios: μ1 , c1 , k1 y μ2 , c2 , k2
y i = y 0 i cos k 1 x−t 
y r = y 0 r cos k 1 x t
y t = y 0 t cos k 2 x−t 
ω es la misma en 1 y 2
• En x=0 se debe cumplir:
yt = yi  y r
• La tensión es la misma en 1 y 2
     
dy t
dx
dy i
=
dx
x=0
dyr

dx
x=0
cos t  = cos − t 
y 0 t cos−t  = y 0 i cos − t  y 0 r cos t 
(misma pendiente)
y0 t = y 0 i  y0 r
−k 2 y 0 t sin − t = −k 1 y 0 i sin − t  − k 1 y 0 r sin  t
−sin − t 
x=0
k 2 y0 t = k 1 y 0 i − k 1 y0 r
y
yi  yr
yt
O
x
Osc. Ondas y Termodinámica
5.8 Reflexión y transmisión de ondas en cuerdas.
Obtención de la onda transmitida y reflejada
• Analizamos la interfase entre dos medios: μ1 , c1 , k1 y μ2 , c2 , k2
y i = y 0 i cos k 1 x−t 
y r = y 0 r cos k 1 x t
y t = y 0 t cos k 2 x−t 
ω es la misma en 1 y 2
• En x=0 se debe cumplir:
yt = yi  y r
• La tensión es la misma en 1 y 2
     
dy t
dx
dy i
=
dx
x=0
dyr

dx
x=0
cos t  = cos − t 
y 0 t cos−t  = y 0 i cos − t  y 0 r cos t 
(misma pendiente)
y0 t = y 0 i  y0 r
−k 2 y 0 t sin − t = −k 1 y 0 i sin − t  − k 1 y 0 r sin  t
x=0
Combinando las
dos ecuaciones:
−sin − t 
k 2 y0 t = k 1 y 0 i − k 1 y0 r
k 2 y0 i  k2 y0 r = k 1 y 0 i − k 1 y 0 r
y
yi  yr
yt
O
x
Osc. Ondas y Termodinámica
5.8 Reflexión y transmisión de ondas en cuerdas.
Obtención de la onda transmitida y reflejada
• Analizamos la interfase entre dos medios: μ1 , c1 , k1 y μ2 , c2 , k2
y i = y 0 i cos k 1 x−t 
y r = y 0 r cos k 1 x t
y t = y 0 t cos k 2 x−t 
ω es la misma en 1 y 2
• En x=0 se debe cumplir:
yt = yi  y r
• La tensión es la misma en 1 y 2
     
dy t
dx
dy i
=
dx
x=0
dyr

dx
x=0
cos t  = cos − t 
y 0 t cos−t  = y 0 i cos − t  y 0 r cos t 
(misma pendiente)
y0 t = y 0 i  y0 r
−k 2 y 0 t sin − t = −k 1 y 0 i sin − t  − k 1 y 0 r sin  t
x=0
Combinando las
dos ecuaciones:
−sin − t 
k 2 y0 t = k 1 y 0 i − k 1 y0 r
k 2 y0 i  k2 y0 r = k 1 y 0 i − k 1 y 0 r
y
y0 r =
yi  yr
yt
O
k 1−k 2
y
k 1k 2 0 i
x
Osc. Ondas y Termodinámica
5.8 Reflexión y transmisión de ondas en cuerdas.
Obtención de la onda transmitida y reflejada
• Analizamos la interfase entre dos medios: μ1 , c1 , k1 y μ2 , c2 , k2
ω es la misma en 1 y 2
y i = y 0 i cos k 1 x−t 
• En x=0 se debe cumplir:
y r = y 0 r cos k 1 x t
yt = yi  y r
y t = y 0 t cos k 2 x−t 
• La tensión es la misma en 1 y 2
     
dy t
dx
dy i
=
dx
x=0
dyr

dx
x=0
Combinando las
dos ecuaciones:
x=0
y0 r =
O
y0 t = y 0 i  y0 r
−k 2 y 0 t sin − t = −k 1 y 0 i sin − t  − k 1 y 0 r sin  t
−sin − t 
k 2 y0 t = k 1 y 0 i − k 1 y0 r
k 2 y0 i  k2 y0 r = k 1 y 0 i − k 1 y 0 r
y
yt
y 0 t cos−t  = y 0 i cos − t  y 0 r cos t 
(misma pendiente)
=k c
yi  yr
cos t  = cos − t 
k 1−k 2
y
k 1k 2 0 i
x
Osc. Ondas y Termodinámica
5.8 Reflexión y transmisión de ondas en cuerdas.
Obtención de la onda transmitida y reflejada
• Analizamos la interfase entre dos medios: μ1 , c1 , k1 y μ2 , c2 , k2
ω es la misma en 1 y 2
y i = y 0 i cos k 1 x−t 
• En x=0 se debe cumplir:
y r = y 0 r cos k 1 x t
yt = yi  y r
y t = y 0 t cos k 2 x−t 
• La tensión es la misma en 1 y 2
     
dy t
dx
dy i
=
dx
x=0
dyr

dx
x=0
y0 r =
O
(misma pendiente)
y0 t = y 0 i  y0 r
−sin − t 
Combinando las
dos ecuaciones:
x=0
y
yt
y 0 t cos−t  = y 0 i cos − t  y 0 r cos t 
−k 2 y 0 t sin − t = −k 1 y 0 i sin − t  − k 1 y 0 r sin  t
=k c
yi  yr
cos t  = cos − t 
k 2 y0 t = k 1 y 0 i − k 1 y0 r
k 2 y0 i  k2 y0 r = k 1 y 0 i − k 1 y 0 r
k 1−k 2
c −c
y0 i = 2 1 y0 i
k 1k 2
c 1c2
x
Osc. Ondas y Termodinámica
5.8 Reflexión y transmisión de ondas en cuerdas.
Obtención de la onda transmitida y reflejada
• Analizamos la interfase entre dos medios: μ1 , c1 , k1 y μ2 , c2 , k2
ω es la misma en 1 y 2
y i = y 0 i cos k 1 x−t 
• En x=0 se debe cumplir:
y r = y 0 r cos k 1 x t
yt = yi  y r
y t = y 0 t cos k 2 x−t 
• La tensión es la misma en 1 y 2
     
dy t
dx
dy i
=
dx
x=0
dyr

dx
x=0
y0 r =
O
(misma pendiente)
y0 t = y 0 i  y0 r
−sin − t 
Combinando las
dos ecuaciones:
x=0
y
yt
y 0 t cos−t  = y 0 i cos − t  y 0 r cos t 
−k 2 y 0 t sin − t = −k 1 y 0 i sin − t  − k 1 y 0 r sin  t
=k c
yi  yr
cos t  = cos − t 
c=

F

k 2 y0 t = k 1 y 0 i − k 1 y0 r
k 2 y0 i  k2 y0 r = k 1 y 0 i − k 1 y 0 r
k 1−k 2
c −c
y0 i = 2 1 y0 i
k 1k 2
c 1c2
x
Osc. Ondas y Termodinámica
5.8 Reflexión y transmisión de ondas en cuerdas.
Obtención de la onda transmitida y reflejada
• Analizamos la interfase entre dos medios: μ1 , c1 , k1 y μ2 , c2 , k2
ω es la misma en 1 y 2
y i = y 0 i cos k 1 x−t 
• En x=0 se debe cumplir:
y r = y 0 r cos k 1 x t
yt = yi  y r
y t = y 0 t cos k 2 x−t 
• La tensión es la misma en 1 y 2
     
dy t
dx
dy i
=
dx
x=0
dyr

dx
x=0
y0 r =
O
y0 t = y 0 i  y0 r
(misma pendiente)
−sin − t 
Combinando las
dos ecuaciones:
x=0
y
yt
y 0 t cos−t  = y 0 i cos − t  y 0 r cos t 
−k 2 y 0 t sin − t = −k 1 y 0 i sin − t  − k 1 y 0 r sin  t
=k c
yi  yr
cos t  = cos − t 
c=

F

k 2 y0 t = k 1 y 0 i − k 1 y0 r
k 2 y0 i  k2 y0 r = k 1 y 0 i − k 1 y 0 r
k 1 −k 2
c −c
y0 i = 2 1 y0 i =
k 1 k 2
c 1c 2
 1− 2
 1 2
y0 i
x
Osc. Ondas y Termodinámica
5.8 Reflexión y transmisión de ondas en cuerdas.
Obtención de la onda transmitida y reflejada
• Analizamos la interfase entre dos medios: μ1 , c1 , k1 y μ2 , c2 , k2
ω es la misma en 1 y 2
y i = y 0 i cos k 1 x−t 
• En x=0 se debe cumplir:
y r = y 0 r cos k 1 x t
yt = yi  y r
y t = y 0 t cos k 2 x−t 
• La tensión es la misma en 1 y 2
     
dy t
dx
dy i
=
dx
x=0
dyr

dx
x=0
y0 r =
O
y0 t = y 0 i  y0 r
(misma pendiente)
−sin − t 
Combinando las
dos ecuaciones:
x=0
y
yt
y 0 t cos−t  = y 0 i cos − t  y 0 r cos t 
−k 2 y 0 t sin − t = −k 1 y 0 i sin − t  − k 1 y 0 r sin  t
=k c
yi  yr
cos t  = cos − t 
c=

F

k 2 y0 t = k 1 y 0 i − k 1 y0 r
k 2 y0 i  k2 y0 r = k 1 y 0 i − k 1 y 0 r
k 1 −k 2
c −c
y0 i = 2 1 y0 i =
k 1 k 2
c 1c 2
 1− 2
 1 2
y0 i
Coeficiente
de reflexión
x
Osc. Ondas y Termodinámica
5.8 Reflexión y transmisión de ondas en cuerdas.
Obtención de la onda transmitida y reflejada
• Analizamos la interfase entre dos medios: μ1 , c1 , k1 y μ2 , c2 , k2
ω es la misma en 1 y 2
y i = y 0 i cos k 1 x−t 
• En x=0 se debe cumplir:
y r = y 0 r cos k 1 x t
yt = yi  y r
y t = y 0 t cos k 2 x−t 
• La tensión es la misma en 1 y 2
     
dy t
dx
dy i
=
dx
x=0
dyr

dx
x=0
y0 r =
O
x
y0 t = y 0 i  y0 r
(misma pendiente)
−sin − t 
Combinando las
dos ecuaciones:
x=0
y
yt
y 0 t cos−t  = y 0 i cos − t  y 0 r cos t 
−k 2 y 0 t sin − t = −k 1 y 0 i sin − t  − k 1 y 0 r sin  t
=k c
yi  yr
cos t  = cos − t 
c=

F

k 2 y0 t = k 1 y 0 i − k 1 y0 r
k 2 y0 i  k2 y0 r = k 1 y 0 i − k 1 y 0 r
k 1 −k 2
c −c
y0 i = 2 1 y0 i =
k 1 k 2
c 1c 2
 1− 2
 1 2
y0 i
Ejercicio: demostrar,
y0 t =
2 k1
2 c2
y0 i =
y =
k 1k 2
c 1c 2 0 i
2  1
 1  2
y0 i
Coeficiente
de reflexión
Coeficiente
de transmisión
Osc. Ondas y Termodinámica
5.8 Reflexión y transmisión de ondas en cuerdas.
• Al cambiar de medio, parte de la onda se refleja y parte se transmite
• Si el medio 1 es más denso, la reflexión no se invierte
• Si el medio 1 es menos denso, la reflexión se invierte
• La onda transmitida nunca se invierte
R=
 1−  2
 1  2
T=
2  1
 1  2
Osc. Ondas y Termodinámica
Módulo 2: Ondas
Lección 5. Movimiento ondulatorio.
Ondas en una cuerda.
Lección 6. Ondas sonoras. Acústica.
6.1 Ondas elásticas en sólidos y fluidos
6.2 Potencia e intensidad de la onda.
Densidad de energía.
6.3 Percepción del sonido. Decibelios.
6.4 Transmisión y reflexión de odas sonoras
6.5 Superposición de ondas sonoras.
6.6 Efecto Doppler
6.7 Cualidades del sonido.
5.1 Introducción al mov. ondulatorio
Definiciones.
5.2 Función de onda.
5.3 Ondas armónicas.
5.4 Ecuación de onda.
5.5 Velocidad de propagación.
5.6 Energía de la onda.
5.7 Ondas en medios absorbentes.
Atenuación.
Lección 7. Óptica Física
5.8 Reflexión y transmisión de ondas.
5.9 Superposición de ondas en una cuerda
7.1 Ondas electromagnéticas. Espectro.
Ondas estacionarias.
7.2 Principio de Huygens-Fresnel.
7.3 Reflexión y refracción.
7.4 Dispersión. Velocidad de grupo.
7.5 Polarización.
7.6 Interferencias.
7.7 Difracción.
Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Supondremos dos ondas en la misma dirección:
• Misma dirección
• Misma amplitud
• Igual frecuencia
• Diferente fase inicial
Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Supondremos dos ondas en la misma dirección:
• Misma dirección
• Misma amplitud
• Igual frecuencia
• Diferente fase inicial
y 1 = y 0 cos k x− t 
y 2 = y 0 cos k x− t
Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Supondremos dos ondas en la misma dirección:
• Misma dirección
• Misma amplitud
• Igual frecuencia
• Diferente fase inicial
y 1 = y 0 cos k x− t 
y 2 = y 0 cos k x− t
La interferencia de ambas ondas será:
y = y 1  y 2 = y 0 cosk x− t  y 0 cosk x− t
Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Supondremos dos ondas en la misma dirección:
• Misma dirección
• Misma amplitud
• Igual frecuencia
• Diferente fase inicial
y 1 = y 0 cos k x− t 
y 2 = y 0 cos k x− t
La interferencia de ambas ondas será:
y = y 1  y 2 = y 0 cosk x− t  y 0 cosk x− t
y = y 0 [cos k x− t   cos k x−t ]
Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Supondremos dos ondas en la misma dirección:
• Misma dirección
y 1 = y 0 cos k x− t 
• Misma amplitud
• Igual frecuencia
• Diferente fase inicial
y 2 = y 0 cos k x− t
La interferencia de ambas ondas será:
y = y 1  y 2 = y 0 cosk x− t  y 0 cosk x− t
A
cos Acos B=2 cos
   
AB
A−B
cos
2
2
B
y = y 0 [cos k x− t   cos k x−t ]
Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Supondremos dos ondas en la misma dirección:
• Misma dirección
y 1 = y 0 cos k x− t 
• Misma amplitud
• Igual frecuencia
• Diferente fase inicial
y 2 = y 0 cos k x− t
La interferencia de ambas ondas será:
y = y 1  y 2 = y 0 cosk x− t  y 0 cosk x− t
A
cos Acos B=2 cos
   
AB
A−B
cos
2
2
B
y = y 0 [cos k x− t   cos k x−t ]
y = 2 y 0 cos
 


cos k x− t
2
2

Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Supondremos dos ondas en la misma dirección:
• Misma dirección
y 1 = y 0 cos k x− t 
• Misma amplitud
• Igual frecuencia
• Diferente fase inicial
y 2 = y 0 cos k x− t
La interferencia de ambas ondas será:
y = y 1  y 2 = y 0 cosk x− t  y 0 cosk x− t
A
cos Acos B=2 cos
   
AB
A−B
cos
2
2
B
y = y 0 [cos k x− t   cos k x−t ]
y = 2 y 0 cos
 


cos k x− t
2
2

El mov. resultante es una onda armónica
Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Supondremos dos ondas en la misma dirección:
• Misma dirección
y 1 = y 0 cos k x− t 
• Misma amplitud
• Igual frecuencia
• Diferente fase inicial
y 2 = y 0 cos k x− t
La interferencia de ambas ondas será:
y = y 1  y 2 = y 0 cosk x− t  y 0 cosk x− t
A
cos Acos B=2 cos
   
AB
A−B
cos
2
2
B
y = y 0 [cos k x− t   cos k x−t ]
y = 2 y 0 cos
 


cos k x− t
2
2

El mov. resultante es una onda armónica
La amplitud depende de δ
Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Supondremos dos ondas en la misma dirección:
• Misma dirección
y 1 = y 0 cos k x− t 
• Misma amplitud
• Igual frecuencia
• Diferente fase inicial
y 2 = y 0 cos k x− t
La interferencia de ambas ondas será:
y = y 1  y 2 = y 0 cosk x− t  y 0 cosk x− t
A
B
y = y 0 [cos k x− t   cos k x−t ]
y = 2 y 0 cos
 


cos k x− t
2
2
cos Acos B=2 cos
   
AB
A−B
cos
2
2
Int. constructiva

El mov. resultante es una onda armónica
La amplitud depende de δ
=0  A=2 y 0
Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Supondremos dos ondas en la misma dirección:
• Misma dirección
y 1 = y 0 cos k x− t 
• Misma amplitud
• Igual frecuencia
• Diferente fase inicial
y 2 = y 0 cos k x− t
La interferencia de ambas ondas será:
y = y 1  y 2 = y 0 cosk x− t  y 0 cosk x− t
A
B
y = y 0 [cos k x− t   cos k x−t ]
y = 2 y 0 cos
 


cos k x− t
2
2
cos Acos B=2 cos
   
AB
A−B
cos
2
2
Int. constructiva

El mov. resultante es una onda armónica
La amplitud depende de δ
=0  A=2 y 0
=  A=0
Int. destructiva
Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Supondremos dos ondas en direcciones opuestas:
Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Supondremos dos ondas en direcciones opuestas:
• Se generan cuando la onda es reflejada en un extremo de la cuerda
Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Supondremos dos ondas en direcciones opuestas:
• Se generan cuando la onda es reflejada en un extremo de la cuerda
• En la reflexión se produce un desfase de π rad.
Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Supondremos dos ondas en direcciones opuestas:
• Se generan cuando la onda es reflejada en un extremo de la cuerda
• En la reflexión se produce un desfase de π rad.
• La onda resultante es la suma de yD e yI
y D = y 0 cosk x− t 
y I = y 0 cosk x t
Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Supondremos dos ondas en direcciones opuestas:
• Se generan cuando la onda es reflejada en un extremo de la cuerda
• En la reflexión se produce un desfase de π rad.
• La onda resultante es la suma de yD e yI
La interferencia de ambas ondas será:
y D = y 0 cosk x− t 
y I = y 0 cosk x t
y = y D  y I = y 0 cos k x−t   y 0 cos k xt
Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Supondremos dos ondas en direcciones opuestas:
• Se generan cuando la onda es reflejada en un extremo de la cuerda
• En la reflexión se produce un desfase de π rad.
• La onda resultante es la suma de yD e yI
La interferencia de ambas ondas será:
y D = y 0 cosk x− t 
y I = y 0 cosk x t
y = y D  y I = y 0 cos k x−t   y 0 cos k xt
y = y 0 [cos k x− t   cos k xt ]
Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Supondremos dos ondas en direcciones opuestas:
• Se generan cuando la onda es reflejada en un extremo de la cuerda
• En la reflexión se produce un desfase de π rad.
• La onda resultante es la suma de yD e yI
La interferencia de ambas ondas será:
y D = y 0 cosk x− t 
y I = y 0 cosk x t
y = y D  y I = y 0 cos k x−t   y 0 cos k xt
A
cos Acos B=2cos
   
AB
A−B
cos
2
2
B
y = y 0 [cos k x− t   cos k xt ]
Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Supondremos dos ondas en direcciones opuestas:
• Se generan cuando la onda es reflejada en un extremo de la cuerda
• En la reflexión se produce un desfase de π rad.
• La onda resultante es la suma de yD e yI
La interferencia de ambas ondas será:
y D = y 0 cosk x− t 
y I = y 0 cosk x t
y = y D  y I = y 0 cos k x−t   y 0 cos k xt
A
cos Acos B=2cos
   
AB
A−B
cos
2
2
B
y = y 0 [cos k x− t   cos k xt ]

y = 2 y 0 cos k x
 


cos  t−
2
2

Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Supondremos dos ondas en direcciones opuestas:
• Se generan cuando la onda es reflejada en un extremo de la cuerda
• En la reflexión se produce un desfase de π rad.
• La onda resultante es la suma de yD e yI
La interferencia de ambas ondas será:
y D = y 0 cosk x− t 
y I = y 0 cosk x t
cos Acos B=2cos
y = y D  y I = y 0 cos k x−t   y 0 cos k xt
A
B
y = y 0 [cos k x− t   cos k xt ]

y = 2 y 0 cos k x
 


cos  t−
2
2

cos A
   
AB
A−B
cos
2
2


=−sin  A
2

Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Supondremos dos ondas en direcciones opuestas:
• Se generan cuando la onda es reflejada en un extremo de la cuerda
• En la reflexión se produce un desfase de π rad.
• La onda resultante es la suma de yD e yI
La interferencia de ambas ondas será:
y D = y 0 cosk x− t 
y I = y 0 cosk x t
cos Acos B=2cos
y = y D  y I = y 0 cos k x−t   y 0 cos k xt
A
B
y = y 0 [cos k x− t   cos k xt ]

AB
A−B
cos
2
2


=−sin  A
2
  

sin k x cos   t− 
2
y = 2 y 0 cos k x
y = −2 y 0

cos A
   


cos  t−
2
2
Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Supondremos dos ondas en direcciones opuestas:
• Se generan cuando la onda es reflejada en un extremo de la cuerda
• En la reflexión se produce un desfase de π rad.
• La onda resultante es la suma de yD e yI
La interferencia de ambas ondas será:
y D = y 0 cosk x− t 
y I = y 0 cosk x t
cos Acos B=2cos
y = y D  y I = y 0 cos k x−t   y 0 cos k xt
A
B
y = y 0 [cos k x− t   cos k xt ]

AB
A−B
cos
2
2


=−sin  A
2
  

sin k x cos   t− 
2
y = 2 y 0 cos k x
y = −2 y 0

cos A
   


cos  t−
2
2
La amplitud depende
de la posición x
Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Supondremos dos ondas en direcciones opuestas:
• Se generan cuando la onda es reflejada en un extremo de la cuerda
• En la reflexión se produce un desfase de π rad.
• La onda resultante es la suma de yD e yI
La interferencia de ambas ondas será:
y D = y 0 cosk x− t 
y I = y 0 cosk x t
cos Acos B=2cos
y = y D  y I = y 0 cos k x−t   y 0 cos k xt
A
B
y = y 0 [cos k x− t   cos k xt ]

  

sin k x cos   t− 
2


y = 2 y 0 cos k x
cos  t−
2
2
y = −2 y 0
La amplitud depende
de la posición x

cos A
   
AB
A−B
cos
2
2


=−sin  A
2
Aparecen nodos y vientres
Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Supondremos dos ondas en direcciones opuestas:
• Se generan cuando la onda es reflejada en un extremo de la cuerda
• En la reflexión se produce un desfase de π rad.
• La onda resultante es la suma de yD e yI
La interferencia de ambas ondas será:
y D = y 0 cosk x− t 
y I = y 0 cosk x t
cos Acos B=2cos
y = y D  y I = y 0 cos k x−t   y 0 cos k xt
A
B
y = y 0 [cos k x− t   cos k xt ]

  

sin k x cos   t− 
2


y = 2 y 0 cos k x
cos  t−
2
2
y = −2 y 0
La amplitud depende
de la posición x

cos A
   
AB
A−B
cos
2
2


=−sin  A
2
Aparecen nodos y vientres
Puntos que
no oscilan
sin k x=0
Puntos con
amplitud máxima
sin k x=1
Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Superposición de ondas en direcciones opuestas:
Cuerda sujeta por los dos extremos.

y = −2 y 0 sin k x cos  t−

2

Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Superposición de ondas en direcciones opuestas:
Cuerda sujeta por los dos extremos.

y = −2 y 0 sin k x cos  t−

2

• Tendremos un nodo en x=0 y x=L
Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Superposición de ondas en direcciones opuestas:
Cuerda sujeta por los dos extremos.

y = −2 y 0 sin k x cos  t−

2

• Tendremos un nodo en x=0 y x=L
x=0  sin k 0 =0
Se cumple siempre
Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Superposición de ondas en direcciones opuestas:
Cuerda sujeta por los dos extremos.

y = −2 y 0 sin k x cos  t−

2

• Tendremos un nodo en x=0 y x=L
x=0  sin k 0 =0
Se cumple siempre
x= L  sin k L = 0
Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Superposición de ondas en direcciones opuestas:
Cuerda sujeta por los dos extremos.

y = −2 y 0 sin k x cos  t−

2

• Tendremos un nodo en x=0 y x=L
x=0  sin k 0 =0
x= L  sin k L = 0
Se cumple siempre
k L = n
Se cumple si:
Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Superposición de ondas en direcciones opuestas:
Cuerda sujeta por los dos extremos.

y = −2 y 0 sin k x cos  t−

2

• Tendremos un nodo en x=0 y x=L
x=0  sin k 0 =0
x= L  sin k L = 0
Se cumple si:
Se cumple siempre
k L = n
L= n

k
Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Superposición de ondas en direcciones opuestas:
Cuerda sujeta por los dos extremos.

y = −2 y 0 sin k x cos  t−

2

• Tendremos un nodo en x=0 y x=L
Se cumple siempre
x=0  sin k 0 =0
x= L  sin k L = 0
k L = n
Se cumple si:
k=
2

L= n


=n
k
2
Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Superposición de ondas en direcciones opuestas:
Cuerda sujeta por los dos extremos.

y = −2 y 0 sin k x cos  t−

2

• Tendremos un nodo en x=0 y x=L
Se cumple siempre
x=0  sin k 0 =0
x= L  sin k L = 0
k L = n
Se cumple si:
k=
2

L= n


=n
k
2
• Para diferentes valores de n obtenemos la
Serie armónica
L= n

2
n=1, 2,...
Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Superposición de ondas en direcciones opuestas:
Cuerda sujeta por los dos extremos.

y = −2 y 0 sin k x cos  t−

2

• Tendremos un nodo en x=0 y x=L
Se cumple siempre
x=0  sin k 0 =0
x= L  sin k L = 0
k L = n
Se cumple si:
k=
2

L= n


=n
k
2
• Para diferentes valores de n obtenemos la
Serie armónica
L= n

2
n=1, 2,...
Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Superposición de ondas en direcciones opuestas:
Cuerda sujeta por los dos extremos.

y = −2 y 0 sin k x cos  t−

2

• Tendremos un nodo en x=0 y x=L
Se cumple siempre
x=0  sin k 0 =0
x= L  sin k L = 0
k L = n
Se cumple si:
k=
2

L= n


=n
k
2
• Para diferentes valores de n obtenemos la
Serie armónica
L= n

2
n=1, 2,...
Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Superposición de ondas en direcciones opuestas:
Cuerda sujeta por los dos extremos.

y = −2 y 0 sin k x cos  t−

2

• Tendremos un nodo en x=0 y x=L
x=0
Se cumple siempre
 sin k 0  =0
x= L  sin k L = 0
k L = n
Se cumple si:
k=
2

L= n


=n
k
2
• Para diferentes valores de n obtenemos la
Serie armónica
L= n

2
n=1 , 2 , ...
Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Superposición de ondas en direcciones opuestas:
Cuerda sujeta por los dos extremos.

y = −2 y 0 sin k x cos  t−

2

• Tendremos un nodo en x=0 y x=L
Se cumple siempre
x=0  sin k 0 =0
x= L  sin k L = 0
k L = n
Se cumple si:
k=
2

L= n


=n
k
2
• Para diferentes valores de n obtenemos la
Serie armónica
L= n

2
n=1, 2,...
Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Superposición de ondas en direcciones opuestas:
Cuerda sujeta por los dos extremos.

y = −2 y 0 sin k x cos  t−

2

• Tendremos un nodo en x=0 y x=L
Se cumple siempre
x=0  sin k 0 =0
x= L  sin k L = 0
k L = n
Se cumple si:
k=
2

L= n


=n
k
2
• Para diferentes valores de n obtenemos la
Serie armónica
L= n

2
n=1, 2,...
Ondas estacionarias
cuerda sujeta por
los dos extremos
Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Superposición de ondas en direcciones opuestas:
Cuerda sujeta por los dos extremos.

y = −2 y 0 sin k x cos  t−

2

L= n

2
n=1, 2,...
Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Superposición de ondas en direcciones opuestas:
Cuerda sujeta por los dos extremos.

y = −2 y 0 sin k x cos  t−

2

L= n

2
n=1, 2,...
Si las ondas generadas no cumplen esta condición, las
sucesivas reflexiones estaran ligeramente desfasadas y
acabarán anulándose.
Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Superposición de ondas en direcciones opuestas:
Cuerda sujeta por los dos extremos.
Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Superposición de ondas en direcciones opuestas:
Cuerda sujeta por los dos extremos.
http://www.youtube.com/watch?v=3mclp9QmCGs
Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Superposición de ondas en direcciones opuestas:
Cuerda sujeta por un extremo.

y = −2 y 0 sin k x cos  t−

2

Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Superposición de ondas en direcciones opuestas:
Cuerda sujeta por un extremo.

y = −2 y 0 sin k x cos  t−

2

• Tendremos un nodo en x=0
y un vientre en x=L
Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Superposición de ondas en direcciones opuestas:
Cuerda sujeta por un extremo.

y = −2 y 0 sin k x cos  t−

2
• Tendremos un nodo en x=0
y un vientre en x=L
x=0  sin k 0 = 0

Se cumple siempre
Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Superposición de ondas en direcciones opuestas:
Cuerda sujeta por un extremo.

y = −2 y 0 sin k x cos  t−

2
• Tendremos un nodo en x=0
y un vientre en x=L
x=0  sin k 0 = 0

Se cumple siempre
x= L  sin k L = 1
Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Superposición de ondas en direcciones opuestas:
Cuerda sujeta por un extremo.

y = −2 y 0 sin k x cos  t−

2
• Tendremos un nodo en x=0
y un vientre en x=L
x=0  sin k 0 = 0
x= L  sin k L = 1

Se cumple siempre
k L = 2n1

2
Se cumple si:
Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Superposición de ondas en direcciones opuestas:
Cuerda sujeta por un extremo.

y = −2 y 0 sin k x cos  t−

2
• Tendremos un nodo en x=0
y un vientre en x=L
x=0  sin k 0 = 0
x= L  sin k L = 1
Se cumple si:
k=
2


Se cumple siempre
k L = 2n1
L = 2n1

2


= 2n1
2k
4
Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Superposición de ondas en direcciones opuestas:
Cuerda sujeta por un extremo.

y = −2 y 0 sin k x cos  t−

2
• Tendremos un nodo en x=0
y un vientre en x=L
x=0  sin k 0 = 0
x= L  sin k L = 1
Se cumple si:
k=
2


Se cumple siempre
k L = 2n1
L = 2n1

2


= 2n1
2k
4
• Para diferentes valores de n obtenemos la
Serie armónica
L = 2n1

4
n=0, 1, 2, ...
Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Superposición de ondas en direcciones opuestas:
Cuerda sujeta por un extremo.

y = −2 y 0 sin k x cos  t−

2
• Tendremos un nodo en x=0
y un vientre en x=L
x=0  sin k 0 = 0
x= L  sin k L = 1
Se cumple si:
k=
2


Se cumple siempre
k L = 2n1
L = 2n1

2


= 2n1
2k
4
• Para diferentes valores de n obtenemos la
Serie armónica
L = 2n1

4
n=0, 1, 2, ...
Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Superposición de ondas en direcciones opuestas:
Cuerda sujeta por un extremo.

y = −2 y 0 sin k x cos  t−

2
• Tendremos un nodo en x=0
y un vientre en x=L
x=0  sin k 0 = 0
x= L  sin k L = 1
Se cumple si:
k=
2


Se cumple siempre
k L = 2n1
L = 2n1

2


= 2n1
2k
4
• Para diferentes valores de n obtenemos la
Serie armónica
L = 2n1

4
Ondas estacionarias
n=0, 1, 2, ...
cuerda sujeta
por un extremo
Osc. Ondas y Termodinámica
Ejercicios
Ejercicio (prob. 37): En una cuerda tensa dispuesta
horizontalmente uno de sus extremos está fijado a la pared,
mientras el otro pasa por una polea y se cuelga una masa m. En la
cuerda se producen ondas estacionarias. ¿Qué masa m' se ha de
añadir a la m inicial si queremos que la frecuencia del sexto
armónico sea ahora igual a la frecuencia del séptimo armónico de
antes?
Solución:
m' = 13m / 36
Ejercicio: Calcular cuál es la velocidad de propagación en una cuerda
de 3m de longitud sabiendo que la frecuencia del tercer armónico es de
60Hz.
Ejercicio: Una cuerda fijada por los dos extremos tiene una longitud de
40cm y una masa de 8g. Sabemos que esta cuerda entra en resonancia
a las frecuencias de 424Hz y de 530Hz sin que entre en resonancia a
ninguna frecuencia intermedia.
¿Cuánto vale la tensión a la que está sometida la cuerda?
Osc. Ondas y Termodinámica
Osc. Ondas y Termodinámica
4.1 Principio de superposición.
Representación fasorial.
Será muy útil para representar la suma de varios MAS
y
=
A
A1  
A2

A2
Principio de
superposición
x = x1  x2

A1
x2
x1
x
x
Es la componente x
=
del vector A
A1  
A2
Osc. Ondas y Termodinámica
5.1. Conceptos básicos
Vector velocidad
La velocidad nos indica cómo cambia la posición de la
partícula dividido entre en el tiempo empleado
●
●
En una dimensión:
y
j
k
z
r t 
i
x
r t =x t  i  y t  j z t  k
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