ALGÈBRE
SYNTHÈSE CH.1 – CALCUL MATRICIEL
1.1.
DÉFINITIONS
Définition math
Définition
Illustration
Scalaire
Nombre réel ou complexe
/
𝒂𝒊𝒋 = (𝑨)𝒊𝒋
Éléments de la matrice
𝒎
Nombre de lignes
/
𝒏
Nombre de colonnes
/
𝒎>𝒏
Matrice verticale
𝒎<𝒏
Matrice horizontale
𝒎=𝒏
Matrice carrée
ℝ𝒎
𝒏
Ensemble des matrices
réelles (de taille 𝑚 × 𝑛)
/
ℂ𝒎
𝒏
Ensemble des matrices (de
taille 𝑚 × 𝑛)
/
𝒎=𝟏
Matrice-ligne
𝒏=𝟏
Diagonale principale
𝒏
trace A = ∑ 𝒂𝒊𝒊
𝒊=𝟏
𝒊≠𝒋
Somme des éléments de la
diagonale principale
Matrice diagonale
𝑎12
𝑎22 )
1
(2
3
(
4
5)
6
1 2
3 4
(
1
3
5
)
6
2
)
4
(1 2
3)
1
(2)
3
Matrice-colonne
𝒂𝒊𝒊
𝒂𝒊𝒋 = 𝟎
𝑎11
(𝑎
21
𝒂𝟏𝟏
( 0
0
0
𝒂𝟐𝟐
0
0
0 )
𝒂𝟑𝟑
/
1 0
A = (0 4
0 0
0
0)
−5
1
A = 𝑑𝑖𝑎𝑔(1,4, −5)
1.3.
𝒂𝒊𝒋 = 𝟎
𝒊<𝒋
Matrice triangulaire
inférieure
1 0
A = (3 4
6 7
0
0)
−5
𝒂𝒊𝒋 = 𝟎
𝒊>𝒋
Matrice triangulaire
inférieure
1 3
A = (0 4
0 0
7
9)
−5
ALGÈBRE MATRICIELLE
Opération
Égalité
Définition math
{
𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗
A(𝑚 × 𝑛) = B(𝑚 × 𝑛)
Propriétés
/
Commutativité
Somme
(A + B)𝒊𝒋 = 𝒂𝒊𝒋 + 𝑏𝑖𝑗
A+B =B+A
(Élément par élément)
Associativité
(A + B) + C = A + (B + C)
Commutativité
𝜆(A + B) = 𝜆A + 𝜆B
Produit par un scalaire
(𝜆A)𝑖𝑗 = 𝜆𝑎𝑖𝑗
Distributivité
𝜆(μA) = (𝜆μ)A = λμA
PAS commutativité !
AB ≠ BA
𝑟
(𝐴B)𝑖𝑗 = ∑ 𝑎𝑖𝑘 𝑏𝑘𝑗
𝑘=1
Produit matriciel
A(𝑚 × 𝑟)
B(r × 𝑛)
AB(𝑚 × 𝑛)
(Ligne par colonne)
Distributivité par rapport à
l’addition
(A + B)C = AC + BC
C(A + B) = CA + CB
Associative
A(BC) = (AB)C
2
Neutre
Définition math
A+0 = 0+A =A
Matrice nulle 𝟎
A0 = 0 et 0A = 0
(On peut avoir AB = 0 avec
A ≠ 0 et B ≠ 0)
A𝕀 = A et 𝕀A = A
Matrice identité 𝕀𝒏
(On peut avoir AB = A avec
B ≠ 𝕀)
Illustration
0
(⋮
0
⋯ 0
⋱ ⋮)
⋯ 0
La matrice est d’ordre n
1
0
(
⋮
0
0 ⋯ 0
1 ⋯ 0
)
⋮ ⋱ ⋮
0 ⋯ 1
La matrice est d’ordre n
3