DEDICATÓRIA
Aos amigos que acreditam em mim e na honestidade dos
meus propósitos. À Rose, minha eterna paixão, presença
física e virtual em todos os dias da minha vida desde que a
conheci e musa inspiradora das minhas melhores
realizações. E às minhas filhas Daniela e Fabiana pelo
incentivo e apoio incondicional.
AGRADECIMENTOS
Meus sinceros agradecimentos a dezenas de amigos,
professores e alunos que colaboraram para que este
trabalho se tornasse uma realidade. Muitos deles também
colaboraram na análise e correção dos textos de alguns
capítulos, sugerindo cortes e inclusões. Entre eles, André
Antunes Soares de Camargo, José Marcos de Campos, Luiz
Mário Marinho, Paulo Freire de Mello, Salomão Fridman e
Teotônio Rezende .
APRESENTAÇÃO
Depois de escrever vários trabalhos e fazer diversas
palestras sobre as restrições à capitalização de juros,
percebi que a maioria dos meus leitores e ouvintes ainda
não tinha entendido os fundamentos históricos e práticos
dessa questão que, lamentavelmente, continua polêmica.
Como professor de Matemática Financeira desde os anos
1970, autor de livros sobre essa matéria, estudioso do
assunto e consciente da responsabilidade que julgo ter
perante o ensino e a educação financeira da nossa
sociedade, senti-me na obrigação de apresentar um
trabalho que pudesse ajudar no esclarecimento dessa
questão, tendo em vista a sua importância para o mercado
financeiro e para as Ciências Econômica, Financeira e
Jurídica.
A proibição da capitalização de juros é contrária a tudo
que se faz no mundo real, não só no que se refere às
práticas internacionais no mercado financeiro e de capitais,
como também a tudo o que se ensina nas universidades e
nos textos dos livros de Finanças dos autores mais
conceituados. Pode-se assegurar que a maioria das
operações financeiras realizadas no mundo, bem como
todos os estudos de viabilidade econômico-financeira, é
realizada com base no critério de juros compostos. Entre as
mais populares, pouquíssimas operações são feitas com a
utilização de juros simples, entre elas os juros de mora e os
juros remuneratórios cobrados nos cartões de crédito por
conta do atraso no pagamento da fatura.
Proibir a capitalização dos juros implica marginalizar os
fundamentos de uma ciência matemática respeitada,
aplicada e reconhecida no mundo inteiro. Toda essa
argumentação encontra total apoio na “Declaração dos
professores em defesa das Ciências Econômica, Financeira e
Jurídica”, um importante documento publicado no jornal
Folha de S.Paulo em 8 de outubro de 2009, subscrito por 32
professores que ministram cursos na área de Finanças das
principais universidades brasileiras, e transcrito no final
deste livro. Esses professores são, em sua maioria, autores
de livros, artigos e de outros estudos pertinentes aos
campos econômico e financeiro e, sem dúvida, estão entre
as maiores autoridades no assunto neste país.
Os resultados práticos demonstram que a restrição legal à
capitalização de juros apenas prejudica a imprescindível
transparência que deve haver nos contratos financeiros e,
ao contrário do que afirmam aqueles que a defendem,
acaba por encarecer em vez de reduzir o custo do capital.
Assim, proibir a capitalização de juros, além de ir contra a
lógica matemática e as boas práticas internacionais, gera
uma infinidade de interpretações equivocadas sobre o
assunto, provocando conflitos desnecessários entre
credores e devedores e abarrotando o Poder Judiciário de
ações apresentadas pelas partes. Como resultado dessa
confusão, quem sai ganhando é uma minoria que não se
interessa pela transparência e pela clareza das normas, em
detrimento da maioria da sociedade.
Ao longo dos anos de 2008 a 2016, pude confirmar a
situação verdadeiramente caótica da legislação brasileira
sobre essa questão, que em alguns dispositivos de lei proíbe
a capitalização de juros e em outros a permite. Nesse
período ministrei aulas de Matemática Financeira para cerca
de 1.800 a 1.900 advogados, em diversos cursos de pósgraduação do Instituto de Ensino e Pesquisa (Insper), uma
das universidades mais respeitadas deste país. A maior
parte dos alunos trabalhava na área jurídica de empresas e
principalmente nos escritórios de advocacia de São Paulo.
Para efeito de avaliação, além de uma prova sobre
conhecimento específico da Matemática Financeira,
solicitava a elaboração de um trabalho para ser feito em
grupo de até seis pessoas em que eu solicitava algumas
tarefas. Na principal delas, pedia para o grupo pesquisar
nas instituições financeiras (bancos comerciais, de
investimento, de desenvolvimento e financeiras), bem como
em outras entidades que concedem créditos, como
construtoras, incorporadoras e lojas comerciais, para
identificar quais critérios de cálculo – se juros simples ou
composto – utilizam para definir os valores das prestações
em suas operações de empréstimos ou financiamentos.
Resultado da pesquisa: nenhum dos quase 400 trabalhos
elaborados por mais de 1.800 advogados dos cursos de MBA
do Insper comprovou a existência de um só contrato em que
as prestações tivessem sido calculadas com base no regime
de capitalização simples.
Considerando tudo que li, estudei e pesquisei, estou
absolutamente seguro de que a nossa legislação
envolvendo o assunto anatocismo (cobrança de juros sobre
juros) precisa ser urgentemente revista. Trata-se de uma
legislação confusa, contraditória, incoerente, inconsistente e
sem nenhum respeito à lógica das práticas operacionais
utilizadas no Brasil e no mundo, e contrariando tudo aquilo
que nós, professores de Economia e Finanças, ensinamos
em nossas aulas e livros.
O principal objetivo deste livro é mostrar a inviabilidade
da utilização de critérios lineares nas operações de
empréstimos ou investimentos, devido a sua inconsistência
financeira e às consequentes distorções que provocam.
Também faz parte dos objetivos corrigir a história mal
contada sobre a origem das tabelas utilizadas para o cálculo
de prestações, bem como restabelecer a verdade sobre a
participação de alguns matemáticos na dedução de
fórmulas de uso rotineiro.
O Capítulo 1 trata da origem das restrições judiciais à
capitalização de juros, apresentando um pequeno histórico
da chamada “Lei da Usura” (Decreto 22.626 de 7 abril de
1933), que é o principal normativo sobre o assunto; em
seguida, descreve a influência marcante da legislação
estrangeira na elaboração desse decreto e de outros
normativos anteriores.
O Capítulo 2 aborda os conceitos básicos da Matemática
Financeira contidos praticamente em todos os livros
editados no mundo e ensinados nos cursos que tratam de
Economia e Finanças de qualquer escola de nível médio ou
superior. Nos Capítulos 3, 4 e 5, é apresentada uma análise
detalhada da inconsistência dos critérios de cálculo
baseados em juros simples (ou capitalização simples), e das
consequentes distorções provocadas pela utilização desses
critérios.
O Capítulo 6 trata da origem das primeiras tabelas
financeiras utilizadas para o pagamento de um empréstimo
em prestações iguais, com destaque para aquela que,
séculos depois, viria a ser chamada, só no Brasil, de “Tabela
Price”. E, por fim, nos Capítulos 7 e 8, são eliminadas
dúvidas sobre os regimes de capitalização de juros
utilizados no cálculo das prestações obtidas de acordo com
os sistemas Price e SAC.
Tenho fundadas esperanças de que, após a leitura deste
trabalho, cada leitor chegue às mesmas conclusões às quais
já cheguei há muito tempo:
A cobrança de juros sobre juros não é uma questão
jurídica: ela é eminentemente matemática.
O critério de juros simples é impraticável devido à sua
inconsistência matemática e financeira, o que conduz a
distorções incontornáveis.
O conceito de anatocismo, tal como caracterizado em
todos os códigos de que tomei conhecimento, nada tem a
ver com os regimes de capitalização simples e composta
ensinados, praticados e respeitados no mundo inteiro.
Espero que este livro possa colaborar efetivamente para
um reexame da legislação existente sobre critérios de
cálculo utilizados no nosso mercado financeiro e, com isso,
contribuir para a elaboração de um Projeto de Lei que, uma
vez votado, elimine definitivamente o desentendimento
atual que impõe ao cidadão brasileiro um grau de
sofrimento absolutamente desnecessário.
1
Capítulo 1
A ORIGEM DAS RESTRIÇÕES JUDICIAIS
Para meditar e comparar:
O Artigo 213 do Código Civil francês, também chamado de
Código de Napoleão, promulgado no dia 19 de março de 1804,
assim define as relações entre marido e mulher: “O marido deve
proteção à sua mulher; a mulher, obediência ao seu marido”.
Como sabemos, a realidade atual é totalmente diferente.
Mudaram os costumes, os valores e as relações entre as
pessoas. Obviamente, a redação do artigo que estabelece as
relações entre casais também mudou!
Como profissional, professor, pesquisador e estudioso de
assuntos relacionados com as operações financeiras
realizadas nos mercados brasileiro e internacional, dois
fatos importantes e contraditórios vinham chamando a
minha atenção há muitos anos: o primeiro se refere à
restrição judicial à capitalização dos juros baseada na
interpretação do Artigo 4º do Decreto 22.626 de 7 de abril
de 1933 e explicitada na Súmula 121 do STF; o segundo, ao
fato de praticamente todas as operações realizadas no
mercado financeiro, tanto as ativas quanto as passivas,
serem calculadas com base no regime de capitalização
composta ou juros compostos. Tinha absoluta convicção de
que havia algum equívoco relacionado à interpretação do
citado decreto. Seria necessário primeiro entender o que o
redator do Artigo 4º do citado decreto quis dizer com o texto
(original): É prohibido contar juros dos juros; esta
prohibição não compreende a acumulação de juros
vencidos aos saldos liquidados em contas-correntes
de anno a anno . (Grifo do autor). Como veremos mais
adiante, esse detalhe se mostraria importante para as
minhas conclusões sobre a origem das referidas restrições
judiciais à capitalização de juros.
Inicialmente, com a ajuda de amigos, pesquisei
publicações de diversos autores e nada encontrei que
pudesse justificar as restrições contidas naquele artigo.
Tive, então, a ideia de pesquisar os jornais de abril de 1933,
o que foi extremamente compensador. Pesquisei nos
arquivos dos jornais Folha de S.Paulo e O Estado de S .
Paulo , e recebi importantes contribuições de O Globo e do
Jornal do Brasil . Com base nas matérias publicadas nesses
jornais, e que estão transcritas no item seguinte, pude
esclarecer parte das minhas dúvidas. Consegui identificar
qual foi o grupo responsável pela elaboração do decreto,
quem o levou para ser assinado, quem discutiu suas
cláusulas com o então ministro Oswaldo Aranha e,
principalmente, o que visava. Considerando os contextos
político e econômico da época, esse normativo fornece
informações das mais relevantes. E, como sabemos, ainda
hoje esse decreto se constitui na principal fonte da proibição
de capitalização de juros no Brasil, o qual teve influência
marcante na redação da Súmula 121 do STF.
1.
1. O DECRETO 22.626 DE 7 DE ABRIL DE 1933
O ano era 1932. O Movimento Constitucionalista de São
Paulo acabava de ser derrotado pelas forças do governo de
Getúlio Vargas, comandadas pelo general gaúcho Waldomiro
Castilho de Lima e pelo general Góes Monteiro. Logo após a
derrota, o general Waldomiro foi nomeado por Vargas
governador militar de São Paulo, passando, em janeiro de
1933, a ostentar o cargo de interventor federal desse
Estado. E um fato político de fundamental importância, e
muito bem lembrado pelo ex-presidente Juscelino
Kubitschek em seu livro Meu Caminho para Brasília , é que o
presidente Vargas teria enorme dificuldade em governar o
Brasil sem o apoio da principal unidade da federação, que
era São Paulo. Esse fato foi reforçado pelo historiador
paulista Boris Fausto, que escreveu: “Embora vitorioso, o
governo percebeu claramente a impossibilidade de ignorar
a elite paulista. E os derrotados, por sua vez,
compreenderam que precisavam fazer alguns arranjos com
o Poder Central”. 1
O general Waldomiro empenhou-se na aproximação de
São Paulo com o governo federal. Organizou o Partido da
Lavoura com o intuito de atrair o apoio dos cafeicultores, e
que, como demonstram as reportagens estampadas a
seguir, obteve êxito total.
É importante atentar para dois destaques desta página:
• General Waldomiro de Lima : informe publicitário,
divulgado pelo Partido da Lavoura, convidando os
lavradores da capital e do interior a recepcionarem o
interventor federal.
Figura 1.1
Fonte: Folhapress.
• A lei contra a usura: entrevista concedida ao jornal O
Globo pelo então ministro Oswaldo Aranha sobre o
conteúdo do decreto. Para uma leitura mais confortável
dessa matéria, ela aparece ampliada na Figura 1.2. Vale
observar dois detalhes contidos nessa entrevista:
Figura 1.2
Fonte: Folhapress
• A preocupação do ministro em desmentir a afirmação
corrente de que o principal objetivo do decreto era
conceder moratória aos inadimplentes da lavoura
paulista.
• Em resposta à pergunta “ O combate à usura atinge a
toda e qualquer operação de crédito?” , o ministro
Oswaldo Aranha responde ao jornalista de O Globo: “
Não. O objetivo do governo é auxiliar os que trabalham
nos campos, pondo fim aos exageros dos juros, que, de
agora em diante, não mais serão capitalizados” .
A Figura 1.3. a seguir mostra o texto publicado na mesma
página do jornal Folha da Noite , de 8 de abril de 1933,
reproduzindo os telegramas enviados pelo presidente do
Instituto do Café de São Paulo, Dr. Luiz Figueira de Mello,
também presente no Rio de Janeiro como chefe da
delegação da lavoura paulista, a outros colegas do Instituto
do Café e aos integrantes da Comissão Central da Lavoura.
É importante observar que ele não faz nenhuma referência
à proibição de se capitalizar juros.
Figura 1.3
Fonte: Folhapress
“Ao povo, à lavoura, aos trabalhadores de São Paulo”. Em
matéria publicada pelo general Waldomiro Castilho de Lima
no jornal Folha da Noite , de 11 de abril de 1933, ele
agradece a calorosa recepção que teve em São Paulo por
ocasião do seu regresso à capital após a aprovação do
decreto. O discurso, de espírito eminentemente político,
está na Figura 1.4. a seguir.
Figura 1.4
Fonte: Folhapress
A Figura 1.5. mostra texto publicado na Folha da Noite ,
de 8 de abril de 1933, o qual reproduz, além do decreto,
importantes declarações feitas pelo presidente do Instituto
de Café de São Paulo, em entrevista concedida aos
jornalistas no Rio de Janeiro no dia anterior.
Figura 1.5
Fonte: Folhapress
As declarações do presidente do Instituto de Café de São
Paulo não deixam a menor dúvida sobre a principal
finalidade do Decreto 22.626 de 7 de abril de 1933, cuja
minuta foi redigida pelo Partido da Lavoura e pelos
componentes da Comissão da Lavoura de São Paulo. Esse
decreto visava principalmente resolver os problemas
financeiros dos cafeicultores, que se encontravam bastante
endividados em decorrência da crise econômica mundial
iniciada em 1929. O sucesso obtido pela iniciativa do Partido
da Lavoura paulista pode ser avaliado pelas entrevistas
transcritas neste capítulo. Entre os principais pleitos de São
Paulo contemplados pelo decreto podemos destacar:
a
)
Moratória de 10 anos para liquidação das dívidas
existentes na data da publicação do decreto, as quais
poderiam ser pagas em até 10 prestações anuais, iguais
e consecutivas (Artigo 10º);
b
) As taxas de juros não poderiam exceder a 10% ao ano,
nos casos de hipotecas urbanas, nem a 8% ao ano, nos
casos de hipotecas rurais ou de penhores agrícolas
(parágrafo primeiro do Artigo 1º). Essa regra seria
aplicada a todos os contratos existentes ou já ajuizados
(Artigo 3º);
c
) Os juros devidos somente seriam capitalizados de ano a
ano (Artigo 4º); seguramente essa cláusula foi inserida
no decreto porque os juros devidos nos contratos de
empréstimo em conta corrente eram debitados com
periodicidade inferior a um ano. A não capitalização dos
juros mencionados implicaria um custo financeiro
ligeiramente menor para os devedores. Caso os juros
fossem debitados semestralmente à razão de 8% ao
ano, a economia em um ano seria de 0,16% sobre os
saldos devedores; se a 10%, a economia seria de
0,25%; e se os débitos de juros fossem trimestrais, as
economias de juros por ano seriam, respectivamente,
de 0,24% e 0,38%. Não tenho nenhuma dúvida de que,
entre todas as conquistas obtidas com o “decreto
salvador” da lavoura, a proibição de se capitalizar juros
para períodos inferiores a um ano foi a que menos
contribuiu para
agricultores.
a
solução
do
endividamento
dos
Com base nessa pesquisa inicial, é importante deixar
registrado que, de modo geral, o referido decreto foi muito
bem elaborado. Algumas cláusulas, como os Artigos 2º, 6º e
8º (textos originais), embora pouco citados, contemplam
entendimentos dos mais avançados em termos de custo
efetivo de uma operação financeira e de multa contratual.
Mesmo uma análise rápida mostra esse fato, como se pode
comprovar.
Art. 2º – É vedado a pretexto de comissão, receber
taxas maiores do que as permittidas por esta lei.
A interpretação é clara: não se pode, por exemplo,
emprestar a uma taxa de juros de 12% ao ano e cobrar, no
ato da operação ou da assinatura do contrato, qualquer tipo
de comissão; a taxa efetiva resultante obviamente seria
superior a 12%.
Art. 6º – Tratando-se de operações a prazo superior a
seis meses, quando os ajustados forem pagos por
antecipação, o cálculo deve ser satisfeito de modo
que a importância desse juro não exceda á que
produziria a importância líquida da operação no
prazo convencionado, ás taxas máximas que esta lei
permite.
Embora eu não entenda o porquê da restrição somente
para prazos superiores a seis meses, a interpretação desse
artigo também é muito clara. Supondo que em um
empréstimo de R$ 100,00, feito por um ano, à taxa de 12%
ao ano, os juros fossem “pagos por antecipação”
(descontados no ato), a importância líquida recebida pelo
tomador do empréstimo seria de R$ 88,00; a divisão dos
juros de R$ 12,00 pelo valor líquido de R$ 88,00 resultaria
em uma taxa efetiva de 13,64%, o que excederia o limite
estabelecido pela lei.
Art. 8º – As multas ou clausulas penaes, quando
convencionadas, reputam-se estabelecidas para
attender às despesas judiciaes, honorários de
advogados e não poderão ser exigidas quando não
for intentada acção judicial para cobrança da
respectiva obrigação.
A interpretação é claríssima e dispensa comentários.
Mas a análise de todo material apresentado não
conseguiu
dar
uma
resposta
ao
meu
principal
questionamento sobre a redação do Artigo 4º: a de que
havia algum equívoco na interpretação desse artigo. E a
resposta veio com a constatação de que esse artigo é uma
cópia literal do Artigo n. 253 do Código Comercial Brasileiro
de 1850. E lá fui eu parar em 1850 com as minhas
pesquisas!
1.
2. A INFLUÊNCIA DA LEGISLAÇÃO ESTRANGEIRA
Com a ajuda de alguns especialistas, pude constatar que
os nossos códigos, tanto o Civil quanto o Comercial, foram
muito influenciados pelos códigos de países europeus,
principalmente pelo Código Francês de 1804. Só não
imaginava que essa influência tivesse sido tão grande!
Pesquisei vários livros e códigos na biblioteca da
Faculdade de Direito do Largo São Francisco e na Biblioteca
Mário de Andrade (da Prefeitura Municipal de São Paulo). No
livro Código Comercial do Império do Brasil , de Salustiano
Orlando de Araújo Costa, edição de 1863, o autor comenta
que a redação do Artigo 253 do nosso Código Comercial de
1850 (reproduzido literalmente no Artigo 4º do Decreto
22.626) tinha sido inspirada em códigos de diversos países,
como o Artigo 1.154 do Código Civil Francês, o Artigo 286 do
Código Comercial Português, de 1833, além de artigos de
códigos de outros países como Holanda, Alemanha e
Espanha.
Essa pesquisa, além de evidenciar que o Código Civil
Francês, também chamado Código de Napoleão, se
constituiu realmente na fonte inspiradora dos códigos de
boa parte dos demais países do mundo, foi fundamental
para esclarecer a minha principal dúvida: a redação do
Artigo 253 do nosso Código Comercial realmente veda a
utilização do critério de juros compostos?
Vamos, primeiramente, transcrever o artigo do Código
Francês que, segundo as pesquisas citadas, foi a principal
referência para a elaboração do Artigo 253 do nosso Código
Comercial:
Art. 1.154 – Os juros vencidos dos capitais podem
produzir juros, quer por um pedido judicial, quer por
uma convenção especial, contando que, seja no
pedido, seja na convenção, se trate de juros devidos,
pelo menos, por um ano inteiro (grifo do autor ).
Para efeito de comparação e análise, é importante
transcrever o artigo que trata desse mesmo assunto no
primeiro Código Comercial Português, de 1833:
Art. 286 – Os juros vencidos de capitais podem
produzir juros, ou por um litígio, ou por uma
convenção particular, tratando-se de juros vencidos
por um ano. Em reformas de obrigações mercantis é
lícito capitalizar no novo título os juros vencidos para
vencimento de novos juros, fosse qual fosse o prazo
da duração do título precedente (grifos do autor ).
No livro Anotações ao Código Commercial Portuguez
(título original em português de 1866), de autoria de Diogo
Pereira Forjaz de Sampaio Pimentel, editado em Coimbra,
em 1866, o autor faz o seguinte comentário referente à
disposição que trata das reformas em obrigações mercantis:
“Funda-se essa capitalização em um princípio de justiça,
porque o credor, privado dos juros vencidos , que poderia
ter consumido produtivamente, só na capitalização deles
encontra a justa compensação” (grifo do autor) . O autor
também menciona que a disposição inicial desse artigo foi
baseada no Artigo 1.154 do Código Francês.
O atual Código Civil Português, Decreto-Lei n. 47.344 de
25 de novembro de 1966, refere-se à disposição inicial
desse artigo de maneira idêntica, embora mais explícita:
• Para que os juros vencidos produzam juros é necessária
a convenção posterior ao vencimento; pode haver
também juros de juros, a partir da notificação judicial
feita ao devedor para capitalizar os juros vencidos ou
proceder ao seu pagamento sob pena de capitalização
(grifos nossos).
• Só podem ser capitalizados os juros correspondentes ao
período mínimo de um ano.
• Não são aplicáveis as restrições dos números anteriores,
se forem contrárias às regras ou aos usos particulares do
comércio (Artigo 560 – Anatocismo 2 , grifos do autor).
E, comprovando a influência do Código de Napoleão nos
códigos de outros países, vamos encontrar entendimento
semelhante no atual Código Civil Italiano (o primeiro código
entrou em vigor em 1865; o atual é de 16 de março de
1942):
Art. 1.283 – Anatocismo – Na falta de uso contrário,
os juros vencidos só podem produzir juros do dia do
pedido judicial, ou por efeito de convenção posterior
ao seu vencimento, e sempre que trate de juros
devidos pelo menos por seis meses (grifo do autor) .
A novidade aqui é a redução para seis meses do prazo
mínimo de incidência dos “juros sobre juros”. No restante,
tanto no código italiano quanto no português, as
considerações sobre juros vencidos dos capitais são
idênticas.
Com base nessas evidências, pode-se deduzir que o Artigo
253 do nosso Código Comercial, editado em 1850 e
reproduzido literalmente no Artigo 4º do Decreto 22.626 de
7 de abril de 1933, foi redigido de forma deficiente, não
traduzindo o entendimento contido nos códigos da época.
Assim, por uma questão de coerência, a primeira parte
deste artigo deveria ter o seguinte texto: “É proibido contar
juros dos juros vencidos ”; ou ainda: “É proibido calcular
juros sobre juros vencidos ”.
1.
3. EXEMPLOS PARA ESCLARECIMENTO DO NOSSO
ENTENDIMENTO
Por meio da constatação desse equívoco de origem
histórica, o cenário passou a ficar mais transparente para
mim: a restrição à capitalização de juros dizia respeito à
incidência de juros sobre juros vencidos e não pagos .
E, de acordo com a redação dos artigos analisados, essa
restrição claramente se refere ao cálculo de juros,
compensatórios ou moratórios, devidos após o vencimento
da obrigação ou do contrato. Esse fato nada tem a ver com
o critério de cálculo utilizado para se determinar o valor a
pagar ou a receber de qualquer obrigação de dinheiro, seja
ela
referente
a
uma
operação
de
empréstimo,
financiamento, seja de aplicação de recursos para ser paga
de uma só vez ou de forma parcelada.
Entendido o anatocismo tal como foi caracterizado, ele
somente existiria se, após o vencimento de uma operação,
o credor cobrasse juros sobre os juros vencidos e não pagos.
Vamos esclarecer melhor essa questão com o seguinte
exemplo:
Um banco empresta R$ 1.000,00 por um prazo de
quatro meses, cobrando uma taxa de juros de 10% ao
mês. Calcular o valor a ser recebido no vencimento,
de acordo com os critérios de juros simples e
compostos. 3
Solução:
a
) Com base no critério de juros simples (ou capitalização
simples):
O cálculo é feito de acordo com a fórmula universalmente
conhecida:
J=Pxixn
em que J é o valor dos juros, P é o capital inicial, i é a taxa
mensal de juros e n é o prazo.
Assim, tem-se que:
J = 1.000,00 x 0,10 x 4 = 400,00
Montante = S = capital + juros = 1.000,00 + 400,00 =
1.400,00
Com base no critério de juros compostos (ou capitalização
composta):
Montante: S = 1.000,00 x (1,10)4 = 1.464,10
Nos casos dos exemplos, não se poderia falar em
anatocismo caso o empréstimo fosse quitado no dia do
vencimento por qualquer um dos montantes encontrados,
independentemente do regime de capitalização utilizado
para o seu cálculo . Nos exemplos apresentados o
anatocismo somente ocorreria se após o vencimento o
credor cobrasse juros também sobre os juros de R$ 400,00
ou de R$ 464,10.
O objetivo desse exemplo foi enfatizar que o significado
de anatocismo, como foi caracterizado nesta pesquisa
histórica, nada tem a ver com o critério de juros compostos
explicado e exemplificado em todos os livros de Matemática
Financeira, de autores nacionais ou estrangeiros, ensinado
em todas as universidades do mundo que tratam de
Finanças.
Em se tratando de um empréstimo ou financiamento para
ser pago em prestações mensais iguais, o entendimento é
idêntico. Para tanto, vamos considerar o seguinte exemplo:
Um banco empresta R$ 1.000,00 para ser quitado
em quatro prestações mensais, iguais e consecutivas,
cobrando uma taxa de juros de 10% ao mês. Calcular
o valor das prestações.
Vamos calcular o valor das prestações com base no
critério conhecido, ensinado e utilizado de forma
generalizada no mundo, dado pela fórmula:
R=Px
(1 + i )n x i
(1 + i )n - 1
em que R representa o valor das prestações; P, o capital
inicial; i, a taxa de juros; e n, o número de prestações
periódicas (mensais, bimestrais, trimestrais etc.). Essa
fórmula, conhecida apenas no Brasil como “Tabela Price”, é
calculada com base no critério de juros compostos. 4 (Ver
demonstração no capítulo seguinte, “Conceitos Básicos da
Matemática Financeira”).
Solução:
R = 1.000,00 x
(1,10)4 x 0,10
4
(1,10) - 1
= 315,47
Observação: esse mesmo valor pode ser obtido pelas
funções financeiras de calculadoras eletrônicas como a HP12C ou de funções pré-programadas contidas na planilha
Excel.
Portanto, o empréstimo de R$ 1.000,00 pode ser quitado
em quatro prestações iguais de R$ 315,47. Ao pagar cada
uma das prestações, o tomador do empréstimo estará
pagando o total dos juros devidos sobre o saldo devedor
imediatamente anterior, sendo a diferença utilizada para
amortizar a dívida, como nos mostra a tabela a seguir.
Tabela 1.1
PRAZO
SALDO
DEVEDOR
VALOR DA
AMORTIZAÇÃO
VALOR DOS
JUROS
VALOR DAS
PRESTAÇÕES
0
1.000,00
-
-
-
1
784,53
215,47
100,00
315,47
2
547,51
237,02
78,45
315,47
3
286,79
260,72
54,75
315,47
4
0,00
286,79
28,68
315,47
TOTAL
-
1.000,00
261,88
1.261,88
Com base nessa tabela, podemos verificar que o valor dos
juros devidos no primeiro mês, de R$ 100,00, igual a 10%
sobre o saldo devedor inicial de R$ 1.000,00, é
integralmente pago, sendo a diferença de R$ 215,47
utilizada para amortizar parte do saldo devedor; no mês
seguinte, a taxa de juros incide somente sobre o saldo
devedor de R$ 784,53, que nada contém de juros referentes
ao mês anterior, e assim sucessivamente. É fácil verificar
que, ao efetivar os pagamentos de cada uma das
prestações nos respectivos vencimentos, os juros devidos e
vencidos são integralmente pagos e, portanto, nada restará
de juros para o mês seguinte. Efetuando-se os pagamentos
dessa forma, não existirá anatocismo, de acordo com o
entendimento do Artigo 1.154 do Código Francês de 1804 e
reproduzido nos códigos de diversos outros países.
É importante enfatizar que nos dois exemplos analisados,
tanto para o cálculo do montante de R$ 1.464,10, como
para obtenção do valor das prestações iguais de R$ 315,47,
foi utilizado o critério de juros compostos como
demonstramos. Assim, com base apenas nos textos
contidos nos códigos mencionados, pode-se afirmar que o
anatocismo se caracteriza pela incidência de juros sobre
juros vencidos e não pagos , que nada tem a ver com o
critério de juros compostos ou capitalização composta,
utilizado de forma generalizada no Brasil e no mundo para
calcular valores a pagar ou a receber. Portanto, é no mínimo
discutível a restrição judicial à capitalização de juros
baseada na interpretação de uma simples frase contida no
Artigo 4º do Decreto 22.626 de 7 de abril de 1933.
Finalmente, termino este capítulo como o iniciei, fazendo
referência ao Artigo 213 do Código Civil Francês de 1804.
Da mesma forma, como seu texto foi alterado em
decorrência das mudanças de costumes, dos valores e das
relações entre pessoas, também deve ser alterada a nossa
legislação sobre juros, visto ser baseada em uma realidade
existente há mais de dois séculos e que nada tem a ver com
a atual. Nesse tempo, as mudanças ocorridas no campo das
relações financeiras e econômicas devem ter sido muito
mais profundas e radicais.
2
Capítulo 2
CONCEITOS BÁSICOS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA
2.
1. CONCEITO DE JUROS E DE TAXA DE JUROS
Em um sentido bastante restrito, juro pode ser entendido
como a remuneração do capital emprestado ou
simplesmente como o aluguel pago pelo uso do dinheiro. E
a taxa de juro nada mais é do que o resultado da divisão do
valor dos juros pelo capital emprestado. Assim,
representando-se a taxa de juro pela letra i , o valor dos
juros pela letra J e o valor do capital inicial pela letra P ,
tem-se que:
i=
J
P
Nessa relação matemática, é importante enfatizar que o
valor dos juros (J ) é sempre pago (ou recebido) no final de
um certo período de tempo, e o capital (P ), o valor
inicialmente emprestado ou aplicado; com base nesse
entendimento não se pode falar em juros pagos no ato ou
em juros antecipados. O exemplo a seguir ilustra bem o que
estamos querendo explicar:
Uma pessoa solicita um empréstimo no valor de R$
1.000,00 para ser devolvido no final de um mês. O
emprestador, que alega cobrar uma taxa de juros de
5% ao mês, lhe entrega R$ 950,00 sob a alegação de
que os juros são pagos no ato, ou seja, antecipados.
Qual a taxa mensal de juros efetivamente cobrada
nesse empréstimo?
Solução:
i=
= 0,0526 ou 5,26%
A taxa de juro informada sempre se refere a uma unidade
de tempo, geralmente ano ou mês, sendo normalmente
representada na forma de porcentagem (ou percentagem).
Assim, quando falamos que a taxa de juro cobrada pelo
banco em uma operação de empréstimo é de 4% ao mês,
significa dizer que o banco cobra R$ 4,00 de juro para cada
R$ 100,00 que empresta.
2.
2. CONCEITO DE JUROS SIMPLES (OU CAPITALIZAÇÃO
SIMPLES)
Capitalizar, em Matemática Financeira, significa adicionar
juros ao capital. Essa adição pode ser feita de forma linear
ou exponencial. Quando feita de forma linear, dizemos que
a capitalização é simples, e quando feita exponencialmente,
dizemos que ela é composta. Assim, podemos conceituar
juros simples como sendo o processo de obtenção de juros
(ou do montante) em que a taxa de juro definida para o
período unitário (dia, mês ou ano) incide sempre sobre o
capital inicial, não incidindo, portanto, sobre os juros que
vão se acumulando.
Exemplo: calcular o valor dos juros e do montante
correspondente a um empréstimo de R$ 1.000,00,
contratado a uma taxa de juro de 10% ao mês, pelo
prazo de quatro meses.
Solução:
MÊS
JUROS MENSAIS
JUROS ACUMULADOS
MONTANTE
1
100,00
100,00
1.100,00
2
100,00
200,00
1.200,00
3
100,00
300,00
1.300,00
4
100,00
400,00
1.400,00
O valor total dos juros é calculado em função de três
variáveis: valor do capital emprestado (P ), taxa de juros (i )
e prazo (n ) fixado para o seu retorno. Ele é obtido com
base na seguinte fórmula: J = P x i x n . No caso do nosso
exemplo, tem-se que:
J = 1.000,00 x 0,10 x 4 = 400,00
Como o montante, representado pela letra S, é igual ao
capital mais juros, temos que:
S = 1.000,00 + 400,00 = 1.400,00
2.
3. CONCEITO DE JUROS COMPOSTOS (OU CAPITALIZAÇÃO
COMPOSTA)
Podemos conceituar juros compostos como sendo o
processo de obtenção de juros (ou do montante) em que a
taxa de juro definida para o período unitário (dia, mês ou
ano) incide sobre o capital inicial e também sobre os juros
que vão se acumulando periodicamente.
Exemplo: calcular o valor dos juros e do montante
correspondente a um empréstimo de R$ 1.000,00,
contratado a uma taxa de juro de 10% ao mês, pelo
prazo de quatro meses.
Solução:
MÊS
JUROS MENSAIS
JUROS ACUMULADOS
MONTANTE
1
100,00
100,00
1.100,00
2
110,00
210,00
1.210,00
3
121,00
331,00
1.331,00
4
133,10
464,10
1.464,10
O montante é determinado com base na fórmula:
S = P x (1 + i) n
No caso do nosso exemplo, tem-se que:
S = 1.000,00 x (1,10)4 = 1.464,10
Como o valor dos juros é igual ao montante menos o
capital, temos que:
J = 1.464,10 - 1.000,00 = 464,10
Observação importante para o caso particular em que n =
1
Quando o valor dos juros ou do montante corresponde ao
período de uma unidade de tempo, ou seja, n = 1 (1 dia, 1
mês, 1 trimestre ou 1 ano), esse valor não pode ser
classificado como simples ou composto. Assim, se um
empréstimo de R$ 100,00 for quitado no final de um mês
por R$ 110,00, o acréscimo de 10% se refere à taxa do
período de um mês; igualmente, se o mesmo empréstimo
de R$ 100,00 for liquidado por R$ 121,00 no final de dois
meses, o acréscimo de 21% se refere à taxa de juros para o
período de dois meses.
A necessidade de se utilizarem os critérios de juros
simples e compostos aparece quando a operação financeira
é realizada por prazos superiores a uma unidade de tempo e
queremos calcular a taxa de juros para uma unidade de
tempo. Assim, no caso do empréstimo de R$ 100,00 para
ser quitado por R$ 121,00 no final de dois meses, a taxa
mensal de juros é obtida como segue:
a
)
de acordo com o critério de juros simples (ou
capitalização simples):
Taxa mensal = 21%/2 = 10,5%
b
)
de acordo com o critério de juros compostos (ou
capitalização composta):
Taxa mensal = (1,21)1/2 - 1 = 0,10 ou 10,0%
Outro exemplo: uma aplicação de R$ 1.000,00 foi
resgatada por R$ 1.286,50 no final de 13 meses; calcular as
taxas mensais de juros de acordo com os critérios de juros
simples e compostos.
Solução:
Como essa aplicação teve uma rentabilidade de 28,65%
no período de 13 meses, temos que:
a
)
de acordo com o critério de juros simples (ou
capitalização simples):
Taxa mensal = 28,65% / 13 = 2,20%
b
)
de acordo com o critério de juros compostos (ou
capitalização composta):
Taxa mensal = (1,2865)1 /13 - 1 = 0,0196 ou 1,96%
2.
4. CONCEITO DE SÉRIES DE PAGAMENTOS IGUAIS
Trata-se de uma série de pagamentos iguais, periódicos
(mensais, bimestrais, trimestrais ou anuais) e sucessivos.
Esse sistema de pagamentos é o mais utilizado no mundo,
tanto para amortizar dívidas ou empréstimos como para
formar uma poupança. Em uma série de pagamentos iguais,
os pagamentos podem ser postecipados ou antecipados. Os
postecipados são aqueles com prestações pagas ao final de
cada período de tempo. Em relação a esse sistema, é
importante saber que:
• o montante total formado no final das aplicações é o
resultado da soma dos montantes de cada uma das
parcelas
aplicadas
(prestações)
consideradas
individualmente;
• de forma idêntica, o valor do empréstimo (que é o
capital inicial ou o valor presente na data do contrato) é
o resultado da soma dos valores presentes de cada uma
das prestações consideradas individualmente;
• para o cálculo desses dois modelos utiliza-se o critério
juros compostos . Não tenho conhecimento de um único
país no mundo que faça diferente; também não conheço
um único livro de Matemática Financeira, editado nos
últimos 40 anos, de autor nacional ou estrangeiro, que
apresente esses modelos desenvolvidos com base em
juros simples.
2.4.
1.
Montante de uma série de pagamentos iguais
postecipados
Exemplo: calcular o montante correspondente à
aplicação de quatro prestações mensais iguais de R$
1.000,00 cada, a uma taxa de juros de 10% ao mês,
conforme fluxo abaixo.
Solução:
O montante total, de acordo com o fluxo acima,
corresponde à soma dos montantes de cada uma das
parcelas, como segue:
• Montante da primeira parcela: S1 = 1.000 x 1,103 =
1.331,00
• Montante da segunda parcela: S2 = 1.000 x 1,102 =
1.210,00
• Montante da terceira parcela: S3 = 1.000 x 1,101 =
1.100,00
• Montante da quarta parcela: S4 = 1.000 x 1,100 =
1.000,00
• Montante total: St = .................... = 4.641,00
Ou escrito de outra forma:
S
t
= 1.000 x 1.103 + 1.000 x 1.102 + 1.000 x 1.101 +
1.000 x 1.100
Colocando-se 1.000 em evidência, tem-se que:
S t = 1.000 x (1.103 + 1.102 + 1.101 + 1.100 )
A partir desta última equação, e utilizando a fórmula da
soma de uma PG (Progressão Geométrica), deduz-se que:
S t = 1.000 x
1,104 - 1
0,10
= 4.641,00
Generalizando-se a expressão acima e fazendo ST = S,
chega-se à fórmula para o cálculo do montante de uma
série de pagamentos iguais postecipados, de uso
generalizado no mundo, como:
S=Rx
(1 + i )n - 1
i
Em que R representa o valor das prestações (ou parcelas)
iguais e n , o número de prestações.
2.4.
2.
Valor presente de uma série de pagamentos iguais
postecipados
Exemplo: um empréstimo deverá ser liquidado em
quatro prestações mensais iguais de R$ 1.000,00
cada uma, a uma taxa de juros de 10% ao mês,
conforme fluxo a seguir. Calcular o valor emprestado,
ou seja, o valor presente na data do contrato.
Solução:
O valor presente total, como mencionado, corresponde à
soma dos valores presentes de cada uma das parcelas,
como segue:
• Valor presente da 1ª parcela: P1 = 1.000,00 / 1,101 =
909,09
• Valor presente da 2ª parcela: P2 = 1.000,00 / 1,102 =
826,45
• Valor presente da 3ª parcela: P3 = 1.000,00 / 1,103 =
751,31
• Valor presente da 4ª parcela: P4 = 1.000,00 / 1,104 =
683,01
• Valor presente total: Pt = ........................... = 3.169,86
A partir daí, pode-se escrever que:
Valor presente total:
P
Valor presente total:
P
t
=
=
t
(
1.000,00 1.000,00 1.000,00 1.000,00
+
+
+
1
2
3
4
1,10
1,10
1,10
1,10
1.000,00 x
(
1
1,10
1
1
+
1,10
1
2
+
1,10
1
3
+
1,10
4
)
)
Utilizando-se a fórmula da soma de uma progressão
geométrica chega-se à seguinte expressão:
4
Pt = 1.000,00 1,10 - 1
= 3.169,86
4
x
1,10 x 0,10
Generalizando-se a expressão acima e fazendo-se Pt = P,
chega-se à fórmula para o cálculo do valor presente de uma
série de pagamentos iguais postecipados, de uso
generalizado no mundo:
P=Rx
(1 + i )n - 1
(1 + i )n x i
A partir dessa expressão, deduz-se a fórmula que calcula
diretamente o valor das prestações, como segue:
R=Px
(1 + i )n x 1
(1 + i )n - i
Essa fórmula serve para determinar o valor das
prestações iguais, sendo, no Brasil, conhecida como Tabela
Price. E, como ficou evidenciado pela demonstração que
fizemos, ela foi deduzida com base no critério de juros
compostos.
Exemplo: Calcular o valor das prestações mensais
iguais correspondentes a um empréstimo de R$
10.000,00, contratado a uma taxa de juro de 3% ao
mês, para ser pago em 24 prestações mensais.
Solução:
R = 10.000,00 x
1,0324 x 0,03
1,0324 - 1
= 590,47
2.
5. SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
Um sistema de amortização nada mais é do que um plano
de pagamentos para quitação de uma dívida. Ora, de
quantas maneiras uma dívida pode ser paga? Resposta:
infinitas!
Entretanto, existem dois casos mais comuns no mundo.
São eles:
• devolução do capital mais juros de uma só vez no final
período contratado;
• devolução do capital mais juros em prestações mensais
e consecutivas.
No caso de devolução integral do capital no final do
contrato, também é comum o pagamento periódico
(mensal, trimestral ou semestral) dos juros. Quanto aos
casos de pagamentos mensais envolvendo parcelas de
capital e de juros, os dois planos mais conhecidos e
utilizados no mundo são:
• sistema de prestações iguais ou uniformes;
•
sistema de amortizações iguais, com prestações
decrescentes em Progressão Aritmética (PA).
Entre esses dois planos, o sistema de prestações mensais
iguais é seguramente o mais utilizado no mundo nas
operações de empréstimos e de financiamentos. No Brasil, e
apenas no Brasil, esse plano é conhecido por “Sistema
Price”, ou simplesmente Tabela Price, como mencionado
anteriormente, também conhecido por Sistema Francês de
Amortização.
Quanto ao sistema de amortizações iguais, com
prestações decrescentes em Progressão Aritmética,
conhecido universalmente por SAC (Sistema de Amortização
Constante), é muito utilizado em nosso país para
financiamentos imobiliários. Sua adoção no Brasil tem
crescido substancialmente nos últimos anos em função do
menor risco de crédito para o agente financeiro e,
principalmente, pelas restrições legais ao uso da Tabela
Price. Fora o setor habitacional, o SAC é bastante utilizado
em nosso país nas operações com recursos do Banco
Nacional de Desenvolvimento Econômico e Social (BNDES),
em que o Financiamento de Máquinas e Equipamentos
(Finame) é a modalidade mais conhecida.
Entre outros infinitos planos que podem ser adotados para
a amortização de uma dívida, podemos citar mais dois: o
Sistema de Amortização Misto (SAM) e o Sistema de
Amortização Crescente (Sacre). O primeiro é um misto do
Price com o SAC , ou seja, cada prestação corresponde à
média aritmética das prestações calculadas com base
nesses dois sistemas; foi muito utilizado pelo extinto Banco
Nacional da Habitação (BNH) para financiamento de
unidades habitacionais. Já o Sacre, criado pela Caixa
Econômica Federal, está caindo em desuso. Neste livro não
vamos tratar desses dois sistemas.
2.5.
1.
Sistema de prestações iguais ou uniformes (Price)
Este sistema, também conhecido como Sistema Francês
de Amortização, é o mais utilizado para a amortização de
empréstimos ou de financiamentos. Ele representa cerca de
80 a 90% dos planos de pagamentos utilizados no mundo,
servindo de base para o cálculo de prestações nos casos de
financiamento de veículos, imóveis, eletrodomésticos,
roupas, móveis, empréstimos pessoais, capital de giro e de
operações de leasing . Para melhor entendimento e
caracterização desse sistema, vamos resolver o seguinte
exemplo:
Calcular os valores das prestações correspondentes
a um empréstimo de R$ 1.000,00 a ser quitado em
quatro parcelas mensais, considerando-se uma taxa
de juro de 10% ao mês. Mostrar também a
decomposição de cada prestação em parcelas de
amortização e de juros.
Solução:
Como se trata de uma série de pagamentos iguais, o valor
das prestações é obtido com base na fórmula já conhecida,
ou seja:
R=Px
(1 + i )n x i
(1 + i )n - 1
Substituindo-se as variáveis da fórmula especificada pelos
dados do problema, obtém-se o valor das prestações, como
segue:
R = 1.000,00 x
Decomposição
das
amortização e juros:
1,104 x 0,10
4
1,10 - 1
prestações
= 315,47
em
parcelas
MÊS
SALDO DEVEDOR
AMORTIZAÇÃO
JUROS
PRESTAÇÃO
0
1.000,00
0,00
0,00
0,00
1
784,53
215,47
100,00
315,47
2
547,51
237,02
78,45
315,47
3
286,79
260,72
54,75
315,47
4
0,00
286,79
28,68
315,47
TOTAL
-
1.000,00
261,88
1.261,88
de
Os valores contidos na coluna JUROS foram obtidos por
meio da multiplicação da taxa de juros de 10% pelos valores
discriminados na coluna SALDO DEVEDOR, correspondentes
aos meses imediatamente anteriores; os valores da coluna
AMORTIZAÇÃO resultam da subtração das parcelas de juros
dos valores das prestações; e os valores discriminados na
coluna SALDO DEVEDOR são obtidos pela dedução das
parcelas de amortização dos saldos devedores existentes
nos meses imediatamente anteriores.
Observação importante sobre a parcela de amortização:
Em qualquer sistema de amortização, como vimos, as
prestações (ou pagamentos) são compostas por duas
parcelas distintas: uma de amortização e outra de juros, ou
seja:
PRESTAÇÃO = AMORTIZAÇÃO + JUROS
Caso o valor da prestação paga seja inferior ao valor dos
juros, teremos uma amortização negativa. Vamos tomar
como exemplo os dados contidos no item 2.5.1, em que um
empréstimo de R$ 1.000,00 foi contratado a uma taxa de
juros de 10% ao mês para ser quitado em quatro prestações
mensais de R$ 315,47. Se no final do primeiro mês o
devedor pagasse apenas R$ 100,00, teríamos:
100,00 = AMORTIZAÇÃO + 10% x 1.000,00
100,00 = AMORTIZAÇÃO + 100,00
Portanto: AMORTIZAÇÃO = 0
Caso pagasse apenas R$ 50,00, o valor da amortização
seria de R$ 50,00, ou seja, teríamos uma amortização
negativa; em decorrência disso, o saldo devedor do mês
seguinte seria de R$ 1.050,00. Esse fato ocorreu em grande
escala no Brasil, durante várias décadas, com os
financiamentos imobiliários firmados com base nas regras
do SFH vigentes na época.
2.5.
2.
Sistema de Amortização Constante (SAC)
No SAC, como o próprio nome já diz, as amortizações
mensais são constantes, ou seja, de mesmo valor. Para
facilitar a comparação com o sistema de prestações iguais,
vamos utilizar os mesmos dados do exemplo anterior.
Assim, para se obter o valor da amortização constante basta
dividir o valor financiado pelo número de parcelas, como no
exemplo:
Amortização constante = A =
Decomposição
das
amortização e juros:
1.000,00
prestações
4
em
= 250,00
parcelas
MÊS
SALDO DEVEDOR
AMORTIZAÇÃO
JUROS
PRESTAÇÃO
0
1.000,00
0,00
0,00
0,00
1
750,00
250,00
100,00
350,00
2
500,00
250,00
75,00
325,00
3
250,00
250,00
50,00
300,00
4
0,00
250,00
25,00
275,00
TOTAL
-
1.000,00
250,00
1.250,00
de
Como se pode observar, a decomposição das prestações
no caso do SAC é bem mais simples. A partir das parcelas
de amortização, que são iguais, e seguindo a mesma rotina
de cálculo mostrada na tabela anterior, obtêm-se facilmente
os valores contidos nas colunas SALDO DEVEDOR e JUROS;
os valores das prestações contidos na última coluna
resultam da soma das parcelas de amortização e de juros.
Como se vê na tabela apresentada, os valores das
prestações decrescem mensalmente à razão constante de
R$ 25,00, constituindo-se, pois, em uma Progressão
Aritmética. E, sendo assim, os valores de todas as
prestações podem ser facilmente obtidos com o
conhecimento de apenas dois elementos: o valor da
primeira prestação e o valor do decréscimo mensal,
calculados como segue:
• Valor da primeira prestação = A + i x P
• Valor do decréscimo mensal = razão = i x A
No caso do nosso exemplo, temos:
• Valor da primeira prestação = 250,00 + 0,10 x 1.000,00
= 350,00
• Valor do decréscimo mensal = razão = 0,10 x 250,00 =
25,00
O valor da última prestação também é facilmente obtido;
ele é dado pela soma da parcela de amortização com a
parcela de juros calculada sobre o saldo devedor do mês
imediatamente anterior, ou seja:
• Última prestação = A + i x A = A x (1 + i)
Assim, no caso do nosso exemplo, temos:
Última prestação = 250,00 x 1,10 = 275,00
Em relação ao SAC, a soma das prestações é obtida
facilmente, visto que os seus valores correspondem a uma
Progressão Aritmética. Assim, conhecendo o valor da
primeira e da última parcela, é possível obter a soma de
todas. Para tanto, basta utilizar a fórmula que calcula a
soma dos termos de uma PA (Progressão Aritmética), dada
pela seguinte equação:
SPA
=
(a
1
+a
n
)xn
2
Em que:
S
PA
= soma dos termos de uma Progressão Aritmética;
a
1
= valor do primeiro termo;
a
n
= valor do último termo;
n = número de termos.
Aplicando-se essa fórmula no caso do nosso exemplo,
temos:
SPA
=
(350 + 275,00) x 4
2
= 1.250,00
2.5.
3.
Exemplo de utilização dos sistemas Price e SAC
Um financiamento no valor de R$ 120.000,00
deverá ser amortizado em 240 prestações (20 anos).
Sabendo-se que a taxa de juros é de 1% ao mês,
calcular o valor das prestações mensais de acordo
com os sistemas Price e SAC, bem como a soma das
prestações dos respectivos planos.
Solução:
Sistema Price:
• Valor das prestações:
R = 120.000,00 x
1,01240 x 0,01
1,01240 - 1
= 1.321,30
• Valor da primeira prestação = valor da última =
1,321,30
• Soma das prestações = 240 x 1.321,30 = 317.112,00
Sistema SAC:
• Valor da parcela de amortização = 120.000,00 / 240 =
500,00
• Valor da primeira prestação = 500,00 + 0,01 x
120.000,00 = 1.700,00
• Valor da última prestação = 500,00 + 0,01 x 500,00 =
505,00
• Soma das prestações:
3
Capítulo 3
CONSISTÊNCIA FINANCEIRA DOS CRITÉRIOS DE
JUROS SIMPLES E COMPOSTOS
Vamos mostrar neste capítulo porque o regime de
capitalização simples não é geralmente utilizado para o
cálculo de operações de empréstimos, financiamentos e
aplicações financeiras, tanto no mercado brasileiro como
nos demais países do mundo. A razão está ligada à falta de
consistência matemática desse critério, que, se utilizado,
realmente provocaria distorções incontornáveis, como
veremos adiante.
Inicialmente, vamos analisar casos que envolvem
pagamento simples ou único. Posteriormente, vamos
analisar os casos referentes a séries de pagamentos iguais
ou uniformes.
3.
1. CASOS ENVOLVENDO PAGAMENTO ÚNICO
Por uma questão de ordem didática, vamos começar esta
análise utilizando o critério de juros compostos. E para
facilitar a comparação com juros simples, vamos utilizar os
mesmos exemplos para os dois regimes de capitalização.
3.1.
1.
Utilização do critério de juros compostos
Iniciaremos este item com um pequeno histórico
envolvendo títulos de crédito. Quando ingressei no mercado
financeiro no final da década de 1960, o principal título de
crédito existente, com rendimento prefixado, era a Letra de
Câmbio (LC); o Certificado de Depósito Bancário (CDB) e a
Letra do Tesouro Nacional (LTN) viriam a ser criados alguns
anos depois. O valor de resgate e o vencimento do título
eram fixados na data da sua emissão, sendo que os prazos
se estendiam até dois anos. Caso o comprador quisesse
negociar um título antes do seu vencimento, poderia fazê-lo
por meio de uma distribuidora ou uma corretora de valores.
E essa negociação normalmente era feita com a utilização
de tabelas financeiras, construídas para prazos entre 180 e
720 dias.
A rentabilidade dos títulos era fixada com base numa taxa
anual de juros, sendo o ano definido para 360 dias. O valor
de resgate da Letra de Câmbio correspondia, normalmente,
a um valor múltiplo de R$ 100,00, ou seja: R$ 100,00, R$
500,00, R$ 1.000,00, R$ 10.000,00 e assim por diante 5 .
Para o cálculo dos valores de emissão e de eventual
negociação antes do vencimento, o critério utilizado era –
como ainda continua sendo – o de juros compostos.
Para melhor entendimento dessa questão, e também da
construção de uma tabela de venda de títulos, vamos a um
exemplo:
Calcular os valores de emissão para os prazos de 6,
12, 18 e 24 meses, considerando que o valor de
resgate do título é de R$ 100,00 e que a taxa anual
de juros é de 26,824% (equivalente a 2% ao mês).
Solução:
A solução é obtida com base na conhecida fórmula do
montante: S = P x (1 + i)n , em que S é o valor de resgate;
P, o valor de emissão; i, a taxa de juros; e n, o prazo. Com
essa expressão obtém-se a fórmula para o cálculo do valor
de emissão, ou seja:
P=
S
(1 + i )n
Os valores de emissão para os prazos indicados,
correspondentes a um valor de resgate de R$ 100,00 e a
uma taxa de juros de 2% ao mês, são obtidos a partir da
utilização desta fórmula, como segue:
• Valor de emissão para 6 meses =
= 88,80
• Valor de emissão para 12 meses =
= 78,85
• Valor de emissão para 18 meses =
= 70,02
• Valor de emissão para 24 meses =
= 62,17
Todos esses valores poderiam ser encontrados nas tabelas
existentes na época. Assim, se alguém aplicasse R$ 78,85
receberia R$ 100,00 no final de 360 dias (12 meses); caso
quisesse resgatar R$ 10.000,00 no final do mesmo prazo,
desembolsaria R$ 7.885,00 e assim sucessivamente.
Portanto, em resumo, o cálculo feito por meio de uma tabela
implica a utilização da conhecida “regra de três”.
3.1.
1.1. Consistência financeira no caso de juros compostos
Admitindo-se que a taxa de juros se mantivesse constante
em 2% ao mês ao longo de 24 meses e que o mercado
assegurasse total liquidez para o título durante todo esse
período, o título emitido por R$ 62,17 e prazo de 24 meses
teria o mesmo valor de negociação seis meses após a sua
emissão, fosse o cálculo feito com base no valor de emissão
ou no valor de resgate; e se o título fosse negociado 12
meses depois da sua emissão, esse fato se comprovaria,
como apresentado a seguir:
Valor de negociação seis meses após a emissão (ou 18
meses antes do resgate):
• Com base no valor de emissão: 62,17 x 1,026 = 70,02
• Com base no valor de resgate:
= 70,02
Valor de negociação 12 meses após a emissão (ou 12
meses antes do resgate):
• Com base no valor de emissão: 62,17 x 1,0212 = 78,85
• Com base no valor de resgate:
= 78,85
Essa consistência matemática só é possível se o critério
utilizado para o cálculo for o de juros compostos.
3.1.
2.
Utilização do critério de juros simples
Considerando-se o mesmo exemplo do item anterior, a
solução seria obtida com a fórmula S = P x (1 + i x n), que
nos dá o montante calculado com base no regime de
capitalização simples. A partir dessa expressão, obtém-se
facilmente a fórmula para o cálculo do valor de emissão, ou
seja:
P=
S
1+ixn
Da mesma forma como fizemos para juros compostos, os
valores de emissão para os prazos de seis a 24 meses
seriam obtidos como segue:
• Valor de emissão para 6 meses:
= 89,29
• Valor de emissão para 12 meses:
= 80,65
• Valor de emissão para 18 meses:
= 73,53
• Valor de emissão para 24 meses:
= 67,57
3.1.
2.1. Consistência financeira no caso de juros simples
No caso da utilização de juros simples, a consistência
matemática inexiste. Supondo que a taxa de juros se
mantivesse constante em 2% ao mês ao longo de 24 meses,
e que o mercado assegurasse total liquidez para o título
durante todo esse período, os valores de negociação para o
título emitido por R$ 67,57 e prazo de 24 meses seriam
diferentes, caso a base de cálculo fosse alterada, como
mostramos a seguir:
Valor de negociação seis meses após a emissão (ou 18
meses antes do resgate):
• Com base no valor de emissão: 67,57 x (1 + 0,02 x 6) =
75,68
• Com base no valor de resgate:
= 73,53
Valor de negociação 12 meses após a emissão (ou 12
meses antes do resgate):
• Com base no valor de emissão: 67,57 x (1 + 0,02 x 12)
= 83,79
• Com base no valor de resgate:
= 80,65
Os exemplos apresentados mostram a inconsistência do
critério de juros simples. O comprador do título adquirido
por R$ 67,57 no dia da sua emissão, espera vendê-lo seis
meses depois por R$ 75,68 para ganhar 2% ao mês;
entretanto, o novo comprador, para ganhar 2% ao mês até
o vencimento, só estaria disposto a pagar R$ 73,53.
Igualmente, um investidor que tivesse adquirido esse título
por R$ 67,57 no dia da sua emissão esperaria vendê-lo 12
meses depois por R$ 83,79; entretanto, o comprador só
estaria disposto a pagar R$ 80,65.
Essa falta de consistência inviabiliza a utilização do
critério de juros simples. Mudando a base de cálculo, muda
o valor do título. E tudo isso acontece por uma simples
razão: no regime de capitalização simples, a taxa de juros
incide sempre sobre o capital inicial.
No final da década de 1960 e início de 1970, os usuários
de produtos bancários tinham extrema dificuldade para lidar
com cálculos exponenciais, embora todas as tabelas
divulgadas para aplicações financeiras em Letras de Câmbio
ou para obtenção das prestações mensais referentes a
empréstimos e financiamentos fossem construídas com
base no critério de juros compostos. Por causa dessa
dificuldade, era usual, principalmente no caso de aplicações
em Letras de Câmbio, a apresentação de tabelas que
informavam a rentabilidade mensal calculada com base no
critério de juros simples. Assim, o comprador desse título,
para obter o rendimento total da sua aplicação, bastaria
multiplicar a taxa mensal de rendimento pelo seu prazo.
Lembro-me bem de uma tabela exposta, nessa época, em
uma loja da Baú Financeira, localizada na Rua Líbero
Badaró, na cidade de São Paulo, e que retratava
exatamente o que estamos afirmando. Embora não me
lembre exatamente da rentabilidade oferecida, vou
transcrever a seguir uma tabela com rentabilidades
próximas às oferecidas na época.
PRAZO (em meses)
RENTABILIDADE MENSAL
6
2,103 %
12
2,235 %
18
2,379 %
24
2,535 %
A tabela indica, como era usual na época, que quanto
maior o prazo da aplicação, maior seria a rentabilidade
obtida. Entretanto, o leitor mais familiarizado com cálculo
financeiro vai comprovar que a rentabilidade efetiva,
calculada com base no critério de juros compostos, é
exatamente a mesma para quaisquer dos prazos
especificados, ou seja, de 2% ao mês. Vamos mostrar esse
fato para os prazos de seis e 24 meses:
• Prazo de seis meses
Rentabilidade no período: 6 x 2,103% = 12,618%
Taxa mensal efetiva: (1,12618)1/6 - 1 = 0,02 ou 2%
• Prazo de 24 meses
Rentabilidade no período: 24 x 2,535% = 60,840%
Taxa mensal efetiva: (1,60840)1/24 - 1 = 0,02 ou 2%
3.
2. CASOS ENVOLVENDO SÉRIES DE PAGAMENTOS IGUAIS
OU UNIFORMES
Como fizemos para os casos de pagamento único,
também aqui utilizaremos um mesmo exemplo para os dois
regimes de capitalização para facilitar a comparação entre
os dois critérios. E propositalmente escolhemos uma taxa
elevada para tornar mais visíveis as distorções que
queremos mostrar.
3.2.
1.
Utilização do critério de juros compostos
A partir de uma série de prestações iguais a R$ 100,00
cada uma, podemos tranquilamente calcular o montante da
série ou o seu valor presente.
a
)
Montante de
postecipados:
uma
série
de
pagamentos
iguais
Calcular o montante, composto pela aplicação de
quatro prestações iguais, mensais e consecutivas de
R$ 100,00, a uma taxa de 10% ao mês, de acordo com
o fluxo de caixa abaixo:
Solução:
O montante total, de acordo com o fluxo especificado,
corresponde à soma dos montantes de cada uma das
parcelas consideradas individualmente. Assim, sabendo-se
que o montante nos casos de pagamento único é obtido por
meio da fórmula S = P (1 + i) n , temos que:
Montante da primeira: S1 = 100 x 1,103 = 133,10
Montante da segunda: S2 = 100 x 1,102 = 121,00
Montante da terceira: S3 = 100 x 1,101 = 110,00
Montante da quarta: S4 = 100 x 1,100 = 100,00
Montante total: St = ................... = 464,10
Esse valor também poderia ter sido obtido utilizando a
fórmula demonstrada no Capítulo 2, item 2.4.1, que nos dá
o montante de uma série de pagamentos iguais
postecipados, ou seja:
S=Rx
Substituindo os dados
especificada, tem-se que:
S = 100 x
(1 + i )n - 1
i
do
(1,10)4 - 1
0,10
problema
na
fórmula
= 464,10
b
) Valor presente de uma série de pagamentos iguais
postecipados:
Calcular o valor de um empréstimo a ser quitado
em quatro prestações iguais, mensais e consecutivas
de R$ 100,00, sabendo-se que a taxa de juros
cobrada na operação é de 10% ao mês.
O exemplo é representado pelo seguinte fluxo de caixa:
Solução:
O valor presente total, de acordo com o fluxo anterior,
corresponde à soma dos valores presentes de cada uma das
parcelas, consideradas individualmente. Assim, sabendo-se
que o valor presente nos casos de pagamento único é
obtido com base na fórmula P = S /(1 + i) n , temos que:
• Valor presente da primeira: P1 =
= 90,91
• Valor presente da segunda: P2 =
= 82,64
• Valor presente da terceira: P3 =
• Valor presente da quarta: P4 =
= 75,13
= 68,30
Valor presente total: Pt = 90,91 + 82,64 + 75,13 + 68,30
= 316,98
Esse valor também poderia ter sido obtido utilizando a
fórmula demonstrada no Capítulo 2, item 2.4.2 , que nos
dá o valor presente de uma série de pagamentos iguais
postecipados, ou seja:
P=Rx
(1 + i )n - 1
(1 + i )n x 1
em que P é o valor presente total; R, o valor das
prestações; i, a taxa de juros; e n, o número de parcelas.
Substituindo, temos que:
P = 100,00 x
(1,10)4 - 1
(1,10)4 x 0,10
= 316,98
3.2.
1.1. Consistência financeira no caso de juros compostos
Como foi demonstrado, partindo-se do valor das
prestações podemos calcular o seu valor presente na data
do contrato, bem como o seu montante no dia do
vencimento da quarta parcela. E, conhecido o valor
presente da série, podemos obter o seu montante utilizando
a fórmula definida para pagamento único a seguir:
S = P (1 + i )n = 316,98 x 1,104 = 464,10
Igualmente, o valor presente da série pode ser obtido a
partir do montante de uma série de pagamentos iguais, que
já demonstramos ser de R$ 464,10. Utilizando-se a fórmula
definida para pagamento único, tem-se que:
P = S=464,10 = 316,98(1 + i )n 1,104
Como mostraremos a seguir, essas contas não fecham
quando se utiliza o critério de juros simples ou capitalização
simples.
3.2.
2.
Utilização do critério de juros simples
Para este caso, vamos utilizar os mesmos dados e os
mesmos esquemas de pagamentos apresentados no item
anterior para juros compostos.
a
)
Montante de
postecipados:
uma
série
de
pagamentos
iguais
Calcular o montante composto pela aplicação de
quatro prestações iguais, mensais e consecutivas de
R$ 100,00, a uma taxa de 10% ao mês, de acordo com
o fluxo de caixa abaixo:
Solução:
O montante total, conforme apresentado no esquema,
corresponde à soma dos montantes de cada uma das
parcelas consideradas individualmente. Assim, sabendo-se
que o montante nos casos de pagamento único é obtido
pela fórmula S = P x (1 + i x n) , temos que:
Montante da primeira: S1 = 100 x (1 + 0,10 x 3) = 130,00
Montante da segunda: S2 = 100 x (1 + 0,10 x 2) = 120,00
Montante da terceira: S3 = 100 x (1 + 0,10 x 1) = 110,00
Montante da quarta: S4 = 100 x (1 + 0,10 x 0) = 100,00
Montante total: St = = 460,00
Observação: o capítulo seguinte apresenta a fórmula de
cálculo para obtenção do montante ou do valor das
prestações para quaisquer taxas e número de prestações.
b
) Valor presente de uma série de pagamentos iguais:
Calcular o valor de um empréstimo a ser quitado
em quatro prestações iguais, mensais e consecutivas
de R$ 100,00, sabendo-se que a taxa de juros
cobrada na operação é de 10% ao mês.
Solução:
O exemplo é representado pelo seguinte fluxo de caixa:
O valor presente total, de acordo com o fluxo de caixa
anterior, corresponde à soma dos valores presentes de cada
uma das parcelas consideradas individualmente. Desse
modo, sabendo-se que o valor presente nos casos de
pagamento único é obtido com base na fórmula P = S / (1
+ i x n) , temos que:
• Valor presente da primeira: P1 =
= 90,91
• Valor presente da segunda: P2 =
= 83.33
• Valor presente da terceira: P3 =
• Valor presente da quarta: P4 =
= 76,92
= 71,43
Valor presente total 6 : Pt = 90,91 + 83,33 + 76,92 + 71,43
= 322,59
3.2.
2.1. Consistência financeira no caso de juros simples
Vamos demonstrar que, para os casos de séries de
pagamentos iguais, os cálculos feitos com base no critério
de juros simples são inconsistentes.
Adotando-se os mesmos dados e procedimentos utilizados
no item anterior para juros compostos, mostraremos que os
resultados são divergentes quando se utiliza juros simples.
Com o valor presente da série, de R$ 322,59, e utilizando o
conceito de pagamento único, não se obtém o seu
montante de R$ 460,00, ou seja:
S = P (1 + i x n ) = 322,59 x (1 + 0,10 x 4) = 451,63
Da mesma forma, partindo-se do montante da série, no
valor de R$ 460,00, não se chega ao valor presente de R$
322,59, se utilizado o critério de pagamento único, tal
como:
P=
460,00
1 + 0,10 x 4
= 328,57
Afinal de contas, o valor presente da série é de R$ 328,57
ou de R$ 322,59? E o seu montante ou valor futuro é de R$
451,63 ou de R$ 460,00?
Exemplos com prazos maiores agravam substancialmente
essa distorção.
3.
3. EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS EM REGIME DE
CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
Equivalência de capitais é um dos conceitos mais
importantes no estudo da Matemática Financeira. No caso
do regime de capitalização composta ele é assim entendido:
se dois ou mais capitais, ou conjuntos de capitais, forem
equivalentes em uma determinada data, considerada a
mesma taxa de juros, também o serão em quaisquer outras
datas.
E essa afirmação é absolutamente verdadeira no caso de
juros compostos, como se pode comprovar pelos estudos e
livros que tratam desse assunto. Por essa razão não o
faremos neste capítulo. Entretanto, no caso do regime de
capitalização simples essa equivalência não ocorre. Essa
inconsistência financeira é a responsável pelas distorções
apresentadas em todas as operações realizadas com base
no critério de juros simples.
No campo da Matemática Financeira a análise da
equivalência de capitais baseada no regime de capitalização
simples tem sido pouco abordada por uma razão
fundamental: utilização extremamente limitada do critério
de juros simples no mundo dos negócios financeiros,
particularmente nos casos que envolvem dois ou mais
pagamentos.
3.3.
1.
Plano composto por séries de pagamentos
Vamos admitir duas séries de pagamentos compostas
pelos fluxos A e B como mostrados a seguir:
FLUXO A
FLUXO B
Admitindo-se uma taxa de juros de 5% ao mês, temos os
seguintes resultados:
• Data focal ZERO
Fluxo A =
+
+
=
= 952,38 + 2.608,70 + 1.600,00 = 5.161,08
Fluxo B =
+
= 3.181,82 + 1.979,26 = 5.161,08
Portanto, na data focal zero esses dois fluxos são
equivalentes.
• Data focal 3
Fluxo A = 1.000,00 x (1 + 0,05 x 2) + 3.000,00 +
=
= 1.100,00 + 3.000,00 + 1.818,18 = 5.918,18
Fluxo B = 3.500,00 x 1,05 +
5.916,56
= 3.675,00 + 2.241,56 =
Portanto, como os resultados são diferentes, esses dois
fluxos não são equivalentes na data focal 3.
• Data focal 8
Fluxo A = 1.000,00 x (1 + 0,05 x 7 + 3.000,00 x (1 + 0,05
x 5 + 2000 x (1 + + 0,05 x 3) = 1.350,00 + 3.750,00 +
2.300,00 = 7.400,00
Fluxo B = 3.500,00 x (1 + 0,05 x 6 + 2.353,64 x (1 + 0,05
x 4) = 4.550,00 + + 2.824,37 = 7.374,37
Portanto, também nessa hipótese os dois fluxos não são
equivalentes na data focal 8.
Esse exemplo mostra que os dois fluxos apresentados,
considerando o regime de capitalização simples, são
equivalentes apenas na data focal ZERO. Com base neste
estudo se poderia concluir inicialmente que “se dois ou mais
fluxos forem equivalentes em uma determinada data, e
considerada a mesma taxa, não o seriam em nenhuma
outra”. Entretanto, com a ajuda valiosa do Prof. Clóvis de
Faro, uma das maiores autoridades no assunto, tanto no
Brasil como no mundo, comprova-se que existe pelo menos
mais uma data além da mencionada em que os valores se
igualam. Assim, partindo do mesmo exemplo, podemos
comprovar que os fluxos A e B também são equivalentes na
data focal n = 8,0211. Esse número foi obtido com a
seguinte equação:
1.000,00 x {(n - 1) x 0,05 + 1} + 3.000,00 x {(n - 3) x
0,05 + 1} +
+ 2.000,00 x {(n - 5) x 0,05 + 1} = 3.500,00 x {(n - 2) ×
0,05 + 1} +
+ 2.375,11 x {(n - 4) × 0,05 + 1}
Por tentativa e erro, obtém-se n = 8,0211, que iguala os
dois fluxos.
Não consegui encontrar a equivalência para mais de duas
datas. Por enquanto, para o regime de capitalização
simples, fico com a seguinte convicção: “se dois ou mais
fluxos forem equivalentes em uma determinada data, e a
uma determinada taxa, apenas o serão em mais uma data”.
Mas, ainda segundo o Prof. Clovis de Faro, eu não poderia
fazer essa afirmação porque existem infinitas datas e eu,
obviamente, não analisei todas. Espero que outros
estudiosos possam dar continuidade a este estudo,
confirmando a minha conclusão atual e provisória, ou
comprovando a sua existência para outras datas focais.
Por não atender à condição plena de equivalência de
capitais, qualquer modelo matemático baseado no regime
de capitalização simples apresentará sempre inconsistência
financeira; e se utilizado para o cálculo de operações de
empréstimo, financiamento ou investimento seguramente
apresentará distorções incontornáveis, como mostrado no
Capítulo 5.
4
Capítulo 4
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO CALCULADOS COM
BASE EM JUROS SIMPLES
Nos últimos anos têm sido divulgados dois planos para
pagamento de empréstimos ou financiamentos em
prestações iguais calculados com base no regime de
capitalização simples. O mais citado e polêmico é o
chamado “Sistema de Gauss” 7 , também conhecido por
Sistema Linear Ponderado ou Soma dos Dígitos; o outro é o
Sistema de Amortização Linear (SAL) que, especialmente no
Paraná, esse sistema é chamado de Método de Amortização
a Juros Simples (MAJS). A escolha da estratégia adotada
para o cálculo do valor presente de uma série de
pagamentos iguais é que determinou a existência desses
dois planos; o SAL foi deduzido pelo cálculo do valor
presente dessa série da forma tradicional e o “Sistema de
Gauss” por seu valor futuro, como mostraremos.
O objetivo inicial deste item é simplesmente descrever
esses dois planos e mostrar as diferenças entre ambos.
Posteriormente, vamos demonstrar que a inconsistência
matemática e financeira dos critérios lineares “Gauss” e SAL
nos leva a resultados discrepantes, o que fatalmente conduz
a distorções irreversíveis. A apresentação desses sistemas
neste livro não deve ser entendida como aprovação ou
recomendação de uso. Pelo contrário, as incoerências que
apresentam e as distorções que provocam quando
comparados à realidade financeira do Brasil e do mundo
inviabilizam a utilização de qualquer um desses planos.
Vamos, inicialmente, tratar do SAL porque “Método de
Gauss” surgiu exatamente pela impossibilidade de se obter
uma fórmula simplificada para o cálculo do valor presente
de uma série de prestações iguais com base no critério de
juros simples.
4.
1. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO LINEAR (SAL)
Trata-se de um plano de empréstimo ou financiamento
obtido pelo cálculo do valor presente de cada uma das
prestações consideradas individualmente, utilizando-se o
conceito de juros simples. A demonstração é semelhante ao
que se faz para se obter o valor presente das prestações no
caso de juros compostos (ver item 2.4.2, do Capítulo 2).
Representando o valor das prestações pela letra R, temse a seguinte equação genérica para se obter o valor
presente total (Pt ):
Pt=
+
+
+... +
Colocando-se R em evidência, essa equação pode ser
escrita da seguinte maneira:
Pt=Rx
+
+
+... +
Entretanto, com base nas regras matemáticas, não é
possível simplificar a expressão contida dentro dos
colchetes e, com isso, escrever uma fórmula reduzida para
calcular o valor presente total, como é feito no caso de juros
compostos. Assim, a única maneira de resolver essa
equação é calcular, individualmente, o valor presente de
cada uma das prestações, exatamente como fizemos no
Capítulo 3, no exemplo com quatro parcelas de R$ 100,00 e
taxa de juros de 10% ao mês (ver no item 3.2.2).
Esse cálculo, relativamente simples para um número
reduzido de prestações, obviamente será mais trabalhoso à
medida que o número de parcelas aumenta. Por essa razão,
com o auxílio de uma planilha Excel, elaboramos a Tabela
4.1 apresentada a seguir para o cálculo da expressão
contida dentro dos colchetes. Essa tabela foi construída
para taxas de juros de 1% e 5% ao mês e nos dá o valor
presente, individual e acumulado, para diversos planos com
até 360 prestações.
Os números contidos na coluna “Valor presente
acumulado” é um fator que representa a soma dos valores
presentes de uma série de prestações iguais a R$ 1,00.
Como o objetivo maior deste livro é mostrar as distorções
que os critérios lineares provocam quando comparados com
os critérios exponenciais (juros compostos), construímos a
coluna “Taxa efetiva mensal” (%), que nos dá, para o
mesmo plano, a taxa calculada com base no regime de
capitalização composta.
Tabela 4.1: SAL (Sistema de Amortização Linear)
TAXA DE JUROS DE 1% AO MÊS
NÚMERO
DE PREST.
TAXA DE JUROS DE 5% AO MÊS
VALOR PRESENTE
TAXA
EFETIVA
VALOR PRESENTE
TAXA
EFETIVA
INDIVIDUAL ACUMULADO
MENSAL
(%)
INDIVIDUAL ACUMULADO
MENSAL
(%)
1
0,99010
0,99010
1,0000
0,95238
0,95238
5,0000
2
0,98039
1,97049
0,9967
0,90909
1,86147
4,9218
3
0,97087
2,94136
0,9935
0,86957
2,73104
4,8477
4
0,96154
3,90290
0,9902
0,83333
3,56437
4,7773
TAXA DE JUROS DE 1% AO MÊS
NÚMERO
DE PREST.
TAXA DE JUROS DE 5% AO MÊS
VALOR PRESENTE
TAXA
EFETIVA
VALOR PRESENTE
TAXA
EFETIVA
INDIVIDUAL ACUMULADO
MENSAL
(%)
INDIVIDUAL ACUMULADO
MENSAL
(%)
5
0,95238
4,85528
0,9871
0,80000
4,36437
4,7103
6
0,94340
5,79868
0,9839
0,76923
5,13360
4,6464
7
0,93458
6,73326
0,9808
0,74074
5,87434
4,5853
8
0,92593
7,65919
0,9777
0,71429
6,58863
4,5270
9
0,91743
8,57662
0,9747
0,68966
7,27828
4,4710
10
0,90909
9,48571
0,9717
0,66667
7,94495
4,4174
11
0,90090
10,38661
0,9687
0,64516
8,59011
4,3659
12
0,89286
11,27947
0,9658
0,62500
9,21511
4,3164
13
0,88496
12,16442
0,9628
0,60606
9,82117
4,2687
14
0,87719
13,04161
0,9600
0,58824
10,40941
4,2228
15
0,86957
13,91118
0,9571
0,57143
10,98084
4,1786
16
0,86207
14,77325
0,9543
0,55556
11,53639
4,1358
17
0,85470
15,62795
0,9515
0,54054
12,07693
4,0946
18
0,84746
16,47541
0,9487
0,52632
12,60325
4,0547
19
0,84034
17,31574
0,9460
0,51282
13,11607
4,0160
20
0,83333
18,14908
0,9433
0,50000
13,61607
3,9786
21
0,82645
18,97552
0,9406
0,48780
14,10387
3,9424
22
0,81967
19,79520
0,9379
0,47619
14,58006
3,9073
23
0,81301
20,60820
0,9353
0,46512
15,04518
3,8732
24
0,80645
21,41466
0,9327
0,45455
15,49972
3,8401
25
0,80000
22,21466
0,9301
0,44444
15,94417
3,8079
26
0,79365
23,00831
0,9275
0,43478
16,37895
3,7766
27
0,78740
23,79571
0,9250
0,42553
16,80448
3,7462
28
0,78125
24,57696
0,9225
0,41667
17,22115
3,7166
29
0,77519
25,35215
0,9200
0,40816
17,62931
3,6878
30
0,76923
26,12138
0,9175
0,40000
18,02931
3,6598
36
0,73529
30,61650
0,9032
0,35714
20,27459
3,5055
48
0,67568
39,04250
0,8767
0,29412
24,12637
3,2534
TAXA DE JUROS DE 1% AO MÊS
TAXA DE JUROS DE 5% AO MÊS
VALOR PRESENTE
TAXA
EFETIVA
VALOR PRESENTE
TAXA
EFETIVA
INDIVIDUAL ACUMULADO
MENSAL
(%)
INDIVIDUAL ACUMULADO
MENSAL
(%)
NÚMERO
DE PREST.
60
0,62500
46,81337
0,8527
0,25000
27,35479
3,0546
120
0,45455
78,57367
0,7591
0,14286
38,49371
2,4566
180
0,35714
102,64124
0,6934
0,10000
45,60583
2,1446
240
0,29412
122,02536
0,6439
0,07692
50,84159
1,9477
300
0,25000
138,25522
0,6048
0,06250
54,98717
1,8102
360
0,21739
152,21512
0,5730
0,05263
58,41925
1,7079
Para se calcular o valor presente de uma série de n
pagamentos iguais, basta multiplicar o valor da prestação
pelo respectivo fator; e para calcular o valor da prestação, é
só dividir o valor presente (valor financiado) pelo fator
acumulado correspondente ao número de parcelas do
empréstimo ou financiamento 8 . Para melhor entendimento
do uso dessa tabela, vamos apresentar três exemplos:
Um empréstimo deverá ser amortizado em quatro
prestações iguais de R$ 100,00. Sabendo-se que a
taxa de juros é de 1% ao mês, calcular o valor
financiado. 9
Solução:
Na Tabela 4.1, o fator para determinar o valor presente de
uma série de quatro pagamentos iguais, para uma taxa de
juros de 1% ao mês, é 3,90290.
Assim, temos que:
Valor financiado = 100,00 x 3,90290 = R$ 390,29
Um financiamento deverá ser quitado em 24
prestações
mensais
iguais
de
R$
645,17.
Considerando-se uma taxa de juros de 5% ao mês,
calcular o valor financiado. 10
Solução:
Valor financiado = 645,17 x 15,49972 = R$ 10.000,00
Calcular o valor das prestações correspondentes a
um financiamento no valor de R$ 75.000,00 para ser
liquidado em 360 prestações iguais, contratado a
uma taxa de juros de 5% ao mês. 11
Solução:
Valor das prestações = 75.000,00 / 58,41925 = R$
1.283,82
4.
2. SISTEMA DE GAUSS (OU MÉTODO DE GAUSS)
Este sistema, também conhecido por Linear Ponderado, é
construído com base no conceito de juros simples, inspirado
nas mesmas regras que norteiam a construção de um
sistema baseado em juros compostos. A diferença entre
esse sistema e o SAL está na estratégia utilizada para a
obtenção do valor presente de uma série de pagamentos
iguais. Acredito que o primeiro matemático que deduziu a
fórmula do chamado Sistema de Gauss tenha trilhado
inicialmente o mesmo caminho utilizado para a dedução da
fórmula do SAL. Mas, ao perceber que não seria possível
simplificar a expressão matemática contida dentro dos
colchetes (ver demonstração no item 4.1), ele resolveu
fazer o caminho inverso: calcular primeiro o montante das
prestações iguais – porque nesse caso é possível se chegar
a uma fórmula resumida – e, em seguida, utilizando o
conceito de pagamento a único, obter o seu valor presente,
como mostrado mais adiante.
4.2.
1.
Histórico
Com base em ampla pesquisa que realizei sobre esse
assunto, o primeiro matemático no mundo que deduziu e
utilizou essa fórmula foi David Wilkie no seu livro Theory of
Interest Simple and Compound publicado em 1794. Já o
primeiro brasileiro a fazê-lo foi o ex-professor da Escola de
Comércio Álvares Penteado e da Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo, Rodolpho Baptista de S. Thiago,
falecido em 28 de setembro de 1933. Ele deduz e apresenta
essa fórmula em sua obra póstuma Mathemática
Commercial e Financeira , publicada em março de 1937 pelo
seu filho Luiz Gomes de S. Thiago, no Capítulo XX, página
439. Anos depois, o Prof. Luiz Álvaro Ferreira Cavalheiro, em
seu livro Elementos de Matemática Financeira , também
apresenta essa fórmula (Capítulo 13, página 129, 1ª edição
de 1970). Nos capítulos em que esses autores tratam desse
assunto, nenhum deles faz qualquer referência ao grande
matemático alemão Carl Friedrich Gauss. É possível afirmar,
com total segurança, que Gauss nada teve a ver com a
fórmula que leva o seu nome (ver item 5.4.1).
Para mostrar como se chega à fórmula para obter o valor
das prestações iguais por meio do Sistema de Gauss, vamos
partir do nosso exemplo padrão:
Calcular o montante de uma série de quatro
prestações iguais, mensais e consecutivas de R$
100,00, considerando uma taxa de juros de 10% ao
mês, de acordo com o fluxo de caixa abaixo:
Solução:
a
) Cálculo do montante da série
O montante total, com base no esquema acima, como já
mostrado no item 3.2.2 do Capítulo 3, corresponde à soma
dos montantes de cada uma das parcelas consideradas
individualmente. Sendo assim, sabendo-se que o montante
nos casos de pagamento único é obtido utilizando a fórmula
S = P x (1 + i x n) , temos que:
• Montante da primeira: S1 = 100 x (1 + 0,10 x 3) =
130,00
• Montante da segunda: S2 = 100 x (1 + 0,10 x 2) =
120,00
• Montante da terceira: S3 = 100 x (1 + 0,10 x 1) =
110,00
• Montante da quarta: S4 = 100 x (1 + 0,10 x 0) = 100,00
• Montante total: St = = 460,00
Como o montante de uma série de pagamentos iguais é
igual à soma dos montantes de cada uma das prestações
consideradas individualmente, podemos dizer que:
St = S1 + S2 + S3 + S4
St = 100 x (1+ 0,10 x 3) + 100 x (1 + 0,10 x 2) + 100 x (1
+ 0,10 x 1) + 100 x x (1 + 0,10 x 0)
St = 100 x [1 + 0,10 x 3 + (1 + 0,10 x 2 + 1 + 0,10 x 1 +
1 + 0,10 x 0]
St = 100 x [4 + 0,10 x 3 + 0,10 x 2 + 0,10 x 1 +
0,10 x 0]
St = 100 [(4 + 0,10 x (3 + 2 + 1 + 0)] ou
St = 100 x [(4 + 0,10 x (0 + 1 + 2 + 3)]
Como a expressão 0 + 1 + 2 + 3 se constitui em uma PA
(Progressão Aritmética) cuja soma é dada pela seguinte
expressão:
Spa =
xn
sendo Spa a soma da Progressão Aritmética, a
termo, a
n
1
o primeiro
o último e n o número de termos. Portanto, em
resumo, podemos escrever:
S t = 100 x 4 + 0,10 x
x 4 = 460,00
Representando-se o montante das prestações pela letra S
, o valor das prestações pela letra R , o número de
prestações pela letra n, a taxa de juros pela letra i e
substituindo-se números por letras na última expressão,
obtém-se a fórmula do montante de uma série de
pagamentos iguais, como segue:
S=Rx
(1+
xi
b
) Cálculo do valor presente da série
)xn
No caso da capitalização composta, o valor presente de
uma série de pagamentos iguais pode ser facilmente obtido
com base no montante dessa série, bastando para tal
apenas dividir esse montante por (1 + i)n . Dessa forma, por
analogia, para achar o valor presente de uma série de
pagamentos iguais o matemático que deduziu a fórmula de
Gauss também dividiu o montante da série pela expressão 1
+ i × n, como mostrado a seguir:
P=
=
Ou seja:
P=Rx
A partir da fórmula do valor presente, facilmente se deduz
a chamada fórmula de Gauss, como segue:
R=Px
Para facilitar a comparação entre esses dois sistemas
lineares, vamos utilizar, para o cálculo do valor presente e
das prestações obtidas de acordo com o Gauss, os mesmos
dados do primeiro exemplo apresentado anteriormente para
explicar o SAL, a saber:
Um empréstimo deverá ser liquidado em quatro
prestações mensais iguais de R$ 100,00 cada, a uma
taxa de juros de 10% ao mês, conforme fluxo
apresentado a seguir. Calcular o valor emprestado,
ou seja, o valor presente na data do contrato.
Solução:
P = 100,00 x
= 328,57
A solução, de acordo com o SAL, como mostrado no item
3.2.2 do Capítulo 3, é de R$ 322,59. Embora os dois cálculos
tenham sido feitos com base no critério de juros simples,
chega-se a resultados diferentes, o que comprova a
inconsistência matemática desses critérios. Afinal, qual
seria o valor correto: R$ 322,59 ou R$ 328,57?
Contrariamente ao caso do SAL, no Sistema de Gauss não
há grande dificuldade para se obter o valor das prestações
por meio de fórmula, mesmo que o número de parcelas seja
grande. Assim, supondo um valor financiado de R$
50.000,00 para ser amortizado em 180 prestações mensais
e contratado a uma taxa de juros de 1% ao mês, o valor das
prestações é obtido da seguinte maneira:
R = 50.000,00 x
= 410,44
Com o objetivo de facilitar os cálculos para o leitor, à
semelhança do que fizemos no caso do SAL, elaboramos a
Tabela 4.2 transcrita a seguir para o cálculo da expressão
contida dentro dos colchetes da fórmula de Gauss. Essa
tabela também foi construída para taxas de juros de 1% e
5% ao mês e nos fornece o fator (ou coeficiente) que,
multiplicado pelo valor financiado, nos dá o valor das
prestações. Assim, no caso do último exemplo, a Tabela 4.2
mostra que o fator para 180 prestações, considerando uma
taxa de 1% ao mês, é de 0,00821, que, multiplicado pelo
valor financiado de R$ 50.000, resulta em uma prestação de
R$ 410,50 como obtido anteriormente pela fórmula (a
diferença de 0,06 se refere a um problema de
arredondamento). Assim como fizemos na tabela anterior
para o SAL, a última coluna da Tabela 4.2 nos dá, para o
mesmo plano, a taxa calculada com base no regime de
capitalização composta.
Tabela 4.2: Sistema de Gauss
TAXA DE JUROS DE 1% AO MÊS
TAXA DE JUROS DE 5% AO MÊS
FATOR PARA
PRESTAÇÃO
TAXA EFETIVA
MENSAL (%)
FATOR PARA
PRESTAÇÃO
TAXA EFETIVA
MENSAL (%)
1
1,01000
1,0000
1,05000
5,0000
2
0,50746
0,9934
0,53659
4,8399
3
0,33993
0,9869
0,36508
4,6903
4
0,25616
0,9804
0,27907
4,5500
5
0,20588
0,9741
0,22727
4,4182
6
0,17236
0,9678
0,19259
4,2942
7
0,14840
0,9617
0,16770
4,1771
NÚMERO DE
PRESTAÇÕES
TAXA DE JUROS DE 1% AO MÊS
TAXA DE JUROS DE 5% AO MÊS
FATOR PARA
PRESTAÇÃO
TAXA EFETIVA
MENSAL (%)
FATOR PARA
PRESTAÇÃO
TAXA EFETIVA
MENSAL (%)
8
0,13043
0,9556
0,14894
4,0665
9
0,11645
0,9496
0,13426
3,9618
10
0,10526
0,9436
0,12245
3,8626
11
0,09610
0,9378
0,11273
3,7683
12
0,08847
0,9320
0,10458
3,6787
13
0,08200
0,9263
0,09763
3,5933
14
0,07646
0,9207
0,09164
3,5120
15
0,07165
0,9151
0,08642
3,4343
16
0,06744
0,9096
0,08182
3,3600
17
0,06373
0,9042
0,07773
3,2890
18
0,06042
0,8989
0,07407
3,2210
19
0,05746
0,8936
0,07078
3,1558
20
0,05479
0,8884
0,06780
3,0933
21
0,05238
0,8832
0,06508
3,0332
22
0,05019
0,8781
0,06259
2,9754
23
0,04818
0,8731
0,06031
2,9199
24
0,04634
0,8681
0,05820
2,8664
25
0,04464
0,8632
0,05625
2,8149
26
0,04308
0,8583
0,05444
2,7652
27
0,04163
0,8535
0,05275
2,7173
28
0,04028
0,8488
0,05117
2,6711
29
0,03902
0,8441
0,04970
2,6264
30
0,03785
0,8395
0,04831
2,5832
36
0,03215
0,8127
0,04148
2,3515
48
0,02497
0,7642
0,03257
1,9948
60
0,02059
0,7214
0,02694
1,7326
120
0,01149
0,5644
0,01468
1,0470
180
0,00821
0,4643
0,01015
0,7506
240
0,00645
0,3946
0,00777
0,5851
300
0,00534
0,3432
0,00629
0,4794
NÚMERO DE
PRESTAÇÕES
NÚMERO DE
PRESTAÇÕES
360
TAXA DE JUROS DE 1% AO MÊS
TAXA DE JUROS DE 5% AO MÊS
FATOR PARA
PRESTAÇÃO
TAXA EFETIVA
MENSAL (%)
FATOR PARA
PRESTAÇÃO
TAXA EFETIVA
MENSAL (%)
0,00457
0,3037
0,00529
0,4061
Para fazer o cálculo do valor da prestação, multiplica-se o
valor financiado pelo fator correspondente ao número de
parcelas; e para se obter o valor presente da série, basta
dividir o valor da prestação pelo fator correspondente ao
número de parcelas do plano. Visando comparar os
resultados obtidos com base nos critérios SAL e Gauss, e
facilitar o entendimento do uso dessa última tabela, vamos
resolver os mesmos exemplos apresentados e solucionados
anteriormente baseados no SAL (item 4.1).
Um empréstimo deverá ser amortizado em quatro
prestações iguais de R$ 100,00. Sabendo-se que a
taxa de juros é de 1% ao mês, calcular o valor
financiado. 12
Solução:
Valor financiado = 100,00 / 0,25616 = R$ 390,38
Com base no SAL, o valor é ligeiramente menor: R$
390,29.
Um financiamento deverá ser quitado em 24
prestações mensais iguais de R$ 645,17. Sabendo-se
que a taxa de juros é de 5% ao mês, calcular o valor
financiado. 13
Solução:
Valor financiado = 645,17 / 0,05820 = R$ 11.085,40
Comparado ao SAL, o valor é menor: R$ 10.000,00.
Calcular o valor das prestações correspondentes a
um financiamento no valor de R$ 75.000,00 para ser
liquidado em 360 prestações iguais, contratado a
uma taxa de juros de 5% ao mês. 14
Solução:
Valor das prestações = 75.000,00 x 0,00529 = R$ 396,75
Em comparação ao SAL, o valor das prestações é muito
maior: R$ 1.283,82. Quando se compara o valor das
prestações obtidas com base nos sistemas SAL, Gauss e
Price, constata-se que as diferenças se ampliam à medida
que se aumentam o prazo e a taxa de juros.
Para que o leitor possa comparar os três sistemas,
elaboramos as tabelas apresentadas a seguir. A Tabela 4.3
mostra os valores das prestações para diferentes prazos e
taxas de juros de 1% e 5%, considerando-se um valor
financiado de R$ 100.000,00; a Tabela 4.4 apresenta as
correspondentes taxas efetivas de juros (calculadas com
base no regime de capitalização composta), referentes aos
planos mostrados na Tabela 4.3.
Tabela 4.3: Valor das prestações
NÚMERO DE
PRESTAÇÕES
TAXA DE JUROS DE 1% AO
MÊS
TAXA DE JUROS DE 5% AO MÊS
SAL
“GAUSS”
PRICE
SAL
“GAUSS”
PRICE
60
2.136,14
2.059,20
2.224,44
3.655,67
2.693,60
5.282,82
120
1.272,69
1.149,43
1.434,71
2.597,83
1.467,51
5.014,37
180
974,27
820,87
1.200,17
2.192,70
1.014,71
5.000,77
240
819,50
645,41
1.101,09
1.966,89
776,58
5.000,04
300
723,30
534,40
1.053,22
1.818,61
629,30
5.000,0022
360
656,96
457,17
1.028,61
1.711,76
529,10
5.000,0001
A Tabela 4.4 mostra as taxas efetivas de juros para cada
um dos planos especificados, correspondentes às taxas de
1% e 5%. Para sua obtenção, adotamos o critério de juros
compostos, que, como se sabe, é o processo de cálculo
utilizado para se obter a taxa interna de retorno (TIR). No
caso do Price, as taxas informadas correspondem às
próprias taxas efetivas de juros. As diferenças são enormes,
principalmente quando se comparam os sistemas Price e
Gauss. Para um plano com 360 prestações mensais iguais, a
taxa de juros de 1% ao mês, no caso do sistema Gauss,
corresponde a uma taxa mensal efetiva de 0,30%; e para
uma taxa de 5% ao mês, a taxa efetiva correspondente é de
0,41% para o mesmo plano.
Tabela 4.4: Taxa efetiva de juros (em %)
TAXA DE JUROS DE 1% AO
MÊS
TAXA DE JUROS DE 5% AO
MÊS
SAL
“GAUSS”
PRICE
SAL
“GAUSS”
PRICE
60
0,8527
0,7214
1,0000
3,0546
1,7326
5,0000
120
0,7591
0,5644
1,0000
2,4566
1,0470
5,0000
180
0,6934
0,4643
1,0000
2,1446
0,7506
5,0000
240
0,6439
0,3946
1,0000
1,9477
0,5851
5,0000
300
0,6048
0,3432
1,0000
1,8102
0,4794
5,0000
360
0,5730
0,3037
1,0000
1,7079
0,4061
5,0000
NÚMERO DE
PRESTAÇÕES
É importante lembrar que tanto o SAL quanto o Gauss têm
critérios de cálculo deduzidos com base no regime de
capitalização simples (ou juros simples). As grandes
diferenças entre os valores das prestações obtidas com
base nesses dois critérios, mostradas nas duas tabelas
anteriores e amplamente comprovadas nos exemplos
apresentados neste capítulo, evidenciam a falta de
consistência matemática e financeira dos critérios de
cálculo baseados no regime de capitalização simples. E essa
falta de consistência, também enfatizada no Capítulo 3,
conduz a distorções incontornáveis, como mostraremos no
capítulo
seguinte.
E,
nesse
particular,
Gauss
é
simplesmente catastrófico!
5
Capítulo 5
DISTORÇÕES CAUSADAS PELA UTILIZAÇÃO DE
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO CALCULADOS COM
BASE EM JUROS SIMPLES
A comparação entre os valores especificados nas tabelas
4.3 e 4.4 do capítulo anterior mostra claramente que tem
algo muito estranho com os três sistemas apresentados.
Mesmo entre os critérios lineares, SAL e Gauss, as
diferenças são acentuadas. E, se compararmos esses dois
com os sistemas calculados com base em juros compostos,
as diferenças são astronômicas. Como demonstramos nos
Capítulos 3 e 4, todos os sistemas de amortização (ou
planos de liquidação de uma dívida) calculados com base no
regime de capitalização composta são consistentes, e, por
essa razão, não provocam nenhuma distorção financeira. No
final deste capítulo, também vamos evidenciar que, do
ponto de vista contábil, esse regime é perfeito.
5.
1. INCOERÊNCIA ENTRE OS CRITÉRIOS SAL E GAUSS
A incoerência, devido à falta de consistência matemática
e financeira desses dois critérios, pode ser comprovada
pelos resultados dos três últimos exemplos apresentados,
demonstrados novamente a seguir:
Cálculo do valor presente (ou valor financiado) de
uma série de quatro prestações iguais de R$ 100,00,
considerada uma taxa de juros de 1% ao mês:
• de acordo com o SAL: R$ 390,29;
• de acordo com o Gauss: R$ 390,38.
O exemplo mostra que, para taxas e prazos reduzidos, a
diferença entre os dois resultados é pequena.
Cálculo do valor presente (ou valor financiado) de
uma série de 24 prestações iguais de R$ 645,77,
considerada uma taxa de juros de 5% ao mês:
• com base no SAL: R$ 10.000,00;
• com base no Gauss: R$ 11.085,37.
Observa-se que, para
diferenças se acentuam.
taxas
e
prazos
maiores,
as
Cálculo do valor das prestações de uma série de
360 prestações iguais, correspondente a um valor
financiado (ou valor presente) de R$ 75.000,00, a
uma taxa de juros de 5% ao mês:
• conforme o SAL: R$ 1.283,83;
• conforme o Gauss: R$ 396,75.
Esse último exemplo apenas evidencia que as diferenças
entre os resultados obtidos aumentam substancialmente
com a ampliação dos prazos. Mas o importante nessa
análise é responder à seguinte questão: se os dois
sistemas são calculados com base no regime de
capitalização simples, qual seria o correto?
5.
2. DISTORÇÕES PROVOCADAS PELO SISTEMA DE GAUSS
Todos os critérios lineares, como mostramos, são
inconsistentes e incoerentes. E, por isso, provocam
distorções incontornáveis quando os resultados de
operações financeiras calculadas com base na capitalização
simples são comparados entre si. Essas distorções se
ampliam quando os resultados obtidos com base na
utilização de critérios lineares são comparados aos
resultados calculados com base na capitalização composta.
Para comprovar esse fato vamos utilizar apenas o Sistema
de Gauss. Escolhemos esse sistema por ser o mais citado
nos trabalhos que tratam de sistemas de amortização
baseados em juros simples e também por ser aquele que
apresenta as maiores distorções em relação ao seu
“concorrente”, a Tabela Price; obviamente um estudo
semelhante pode ser feito para o sistema SAL.
Vamos admitir que no dia 2 de maio de 2012 uma pessoa
conseguisse um empréstimo de R$ 100.000,00 para quitá-lo
em 24 prestações mensais iguais calculadas pelo Método de
Gauss e a um custo extremamente favorecido: taxa de juros
de apenas 0,5% ao mês mais TR (taxa referencial de juros).
O tomador do empréstimo decide aplicar o valor obtido
em uma caderneta de poupança que naquela data também
pagava 0,5% ao mês mais TR e autoriza o Banco a quitar o
valor das prestações por meio de saques na conta
poupança. E, como é de conhecimento geral, a TR corrige
mensalmente os saldos da poupança e, quando contratada
no empréstimo, corrige também os valores das prestações e
os saldos devedores dessa conta. Neste exemplo vamos
desconsiderá-la porque os seus efeitos seriam nulos.
Primeiramente vamos calcular o valor das prestações de
acordo com o Sistema de Gauss. E, em seguida, para efeito
de comparação, vamos também calcular com base na
Tabela Price, como segue:
• Valor das prestações mensais pelo Sistema de Gauss:
R = 100.000,00 x
= 4.412,92
• Valor das prestações mensais pelo Sistema Price:
R = 100.000,00 x
= 4.432,06
Após o pagamento da última parcela prevista, entende-se
que os saldos devedores de ambos os planos deveriam
estar zerados. E, se houvesse coerência, também deveriam
estar zerados os saldos da poupança. Entretanto, a Tabela
5.1 mostra que após o saque referente ao valor da última
prestação restaria ainda, no caso do Sistema Gauss, um
saldo positivo de R$ 486,70 na conta poupança, o que é
incoerente, visto que as duas operações foram contratadas
com a mesma taxa de juros de 0,5% ao mês.
Em casos semelhantes, quando as prestações forem
calculadas com base na Tabela Price, os saldos das
operações de empréstimo e da aplicação de recursos devem
zerar após o pagamento da última parcela, qualquer que
seja a taxa de juros e o prazo contratados. Mas isso nunca
acontecerá caso as prestações sejam calculadas com base
no Método de Gauss ou mesmo do SAL. Por isso, nos
próximos exemplos, só vamos analisar os saldos da
poupança decorrentes de débitos de prestações calculadas
com base no Sistema Gauss.
Tabela 5.1: Movimentação da conta poupança
MÊS
PRICE - CRITÉRIO EXPONENCIAL
JUROS
SAQUE
0
SALDO
“GAUSS” - CRITÉRIO LINEAR
JUROS
SAQUE
100.000,00
SALDO
100.000,00
1
500,00
4.432,06
96.067,94
500,00
4.412,92
96.087,08
2
480,34
4.432,06
92.116,22
480,44
4.412,92
92.154,60
3
460,58
4.432,06
88.144,74
460,77
4.412,92
88.202,45
4
440,72
4.432,06
84.153,40
441,01
4.412,92
84.230,54
5
420,77
4.432,06
80.142,11
421,15
4.412,92
80.238,77
6
400,71
4.432,06
76.110,76
401,19
4.412,92
76.227,05
7
380,55
4.432,06
72.059,25
381,14
4.412,92
72.195,26
8
360,30
4.432,06
67.987,48
360,98
4.412,92
68.143,32
9
339,94
4.432,06
63.895,36
340,72
4.412,92
64.071,12
10
319,48
4.432,06
59.782,78
320,36
4.412,92
59.978,55
11
298,91
4.432,06
55.649,63
299,89
4.412,92
55.865,52
12
278,25
4.432,06
51.495,82
279,33
4.412,92
51.731,93
13
257,48
4.432,06
47.321,23
258,66
4.412,92
47.577,67
14
236,61
4.432,06
43.125,78
237,89
4.412,92
43.402,64
15
215,63
4.432,06
38.909,35
217,01
4.412,92
39.206,73
16
194,55
4.432,06
34.671,83
196,03
4.412,92
34.989,85
17
173,36
4.432,06
30.413,13
174,95
4.412,92
30.751,88
18
152,07
4.432,06
26.133,14
153,76
4.412,92
26.492,71
19
130,67
4.432,06
21.831,74
132,46
4.412,92
22.212,26
20
109,16
4.432,06
17.508,84
111,06
4.412,92
17.910,40
21
87,54
4.432,06
13.164,32
89,55
4.412,92
13.587,03
22
65,82
4.432,06
8.798,08
67,94
4.412,92
9.242,05
23
43,99
4.432,06
4.410,01
46,21
4.412,92
4.875,34
24
22,05
4.432,06
0,00
24,38
4.412,92
486,79
Se o prazo do empréstimo fosse ampliado para cinco anos
(60 prestações mensais), teríamos, com base na Fórmula de
Gauss, uma prestação no valor de R$ 1.886,16 e, após o
saque do valor correspondente à última parcela, restaria um
saldo credor na conta poupança no valor de R$ 3.147,85. A
Tabela 5.2, transcrita a seguir, mostra, para diferentes taxas
de juros, quais seriam os saldos credores da poupança após
o saque para pagamento da última prestação do plano
escolhido; consideramos planos com até 360 prestações
mensais, que é o prazo máximo pela maioria das
instituições financeiras. Para esse prazo e taxa de juros de
0,5%, o saldo na conta poupança seria de R$ 190.510,76.
Os números contidos nessa tabela podem ser facilmente
calculados por qualquer pessoa, mesmo que possua
pequena noção de matemática e razoável conhecimento de
uma planilha Excel.
Tabela 5.2: Saldos da poupança após o pagamento da
última prestação 15
Nº DE
PRESTAÇÕES
TAXA MENSAL DE JUROS
0,50%
0,84%
1,00%
2,00%
5,00%
12
119,96
1.968,07
2.962,00
8.667,78
22.831,56
24
486,70
3.352,77
5.130,15
14.788,41
35.300,69
60
3.147,85
5.182,63
8.785,58
26.010,23)
53.047,73
120
13.534,44
754,06
6.427,39
30.080,79)
58.554,13
180
33.336,60
13.922,25
6.683,94
20.971,78)
-49.688,27
240
65.895,26
41.486,96
32.816,38
1.640,26
-27.792,67
300
116.027,76
86.316,64
76.159,53
41.237,35
10.394,50
360
190.510,76
154.845,87
143.027,83
103.769,06
70.768,08
Em um período recente a taxa média cobrada nos
financiamentos concedidos dentro das regras do SFH girava
em torno de 10,5% ao ano, equivalente a 0,84% ao mês.
Considerando um prazo de 20 anos (240 meses), o valor das
prestações utilizando-se o Sistema de Gauss, para um
financiamento no valor de R$ 100.000,00, seria o seguinte:
R = 100.000,00 x
= 627,14
Admitindo-se que o mutuário aplicasse o valor financiado
na poupança e autorizasse o banco a sacar mensalmente
dessa conta o valor de R$ 627,14 para quitar as prestações
do empréstimo, no final de 20 anos, após o pagamento da
última parcela, o saldo devedor do financiamento estaria
zerado e a sua conta poupança estaria apresentando um
saldo credor de R$ 41.486,96; se o prazo da operação fosse
estendido para 360 meses, esse saldo seria de R$
154.845,87,
como
mostra
a
Tabela
5.2.
Melhor
“investimento” que esse, só esse!
Uma questão interessante relacionada com os exemplos
citados me foi apresentada por um conhecido: “Mas Dutra,
você não pode fazer essa afirmação, pois está comparando
uma operação feita a juros simples (cálculo das prestações)
com outra feita a juros compostos (cálculo da poupança)!”.
E eu lhe respondi: “E o que você quer que se faça: que se
altere a regra de cálculo do rendimento da poupança,
pagando eternamente 0,5% sobre o depósito inicial?”. Se
essa fosse a regra, gostaria que o leitor imaginasse o que
aconteceria com os fundos de previdência, fundos de
investimentos em renda fixa, fundos de pensão, FGTS, com
os títulos da dívida pública federal e com outras dezenas de
modalidades de investimento. Não se preocupe, caro leitor.
Até onde consigo vislumbrar, esse absurdo jamais ocorrerá!
Mas ainda não chegamos ao fim das incoerências
decorrentes dos cálculos feitos com base nesse “sistema de
amortização”. A análise dos dados contidos na Tabela 5.2
escancara o absurdo do Sistema Gauss na medida em que
consideramos taxas mais elevadas de juros, de 1%, 2% e de
até 5% ao mês. Observe que para um empréstimo de R$
100.000,00, obtido a 0,5% ao mês e aplicado em uma
caderneta de poupança, que remunerasse o capital também
a 0,5% ao mês, os saldos seriam todos credores, quaisquer
que fossem os prazos acima de um mês, ou seja, quaisquer
que fossem os planos com duas ou mais prestações.
Para empréstimos firmados a uma taxa de juros de 1% ao
mês, os saldos da poupança seriam credores com planos de
156 prestações mensais; com 2% ao mês, em planos de 237
prestações. E agora atente para o tamanho do absurdo:
dentro das hipóteses que estamos considerando, um
empréstimo contratado a uma taxa de juros de 5% ao mês e
integralmente aplicado a 0,5% apresentaria saldos credores
na conta poupança para todos os planos com prazos acima
de 287 meses, ou seja, de 28 anos; para o prazo de 360
meses, com prestações mensais de R$ 529,10 (ver Tabela
4.3), existiria no final um saldo credor de R$ 70.768,08 na
conta poupança.
Para uma taxa média de mercado de 0,84% ao mês, todos
os contratos acima de 125 meses, pouco mais de 10 anos,
apresentariam saldos credores na caderneta de poupança
após o pagamento da última prestação. Embora não tenha
elementos suficientes para fazer uma previsão segura,
acredito que até mesmo uma empresa financeira do porte
da Caixa Econômica Federal iria à falência em bem menos
que 10 anos se adotasse esse famigerado Sistema de
Gauss.
E para finalizar a análise desse critério absurdo faço
questão absoluta de utilizar o exemplo apresentado por um
dos convidados na audiência pública promovida pelo
Superior Tribunal de Justiça (STJ) no dia 29 de fevereiro de
2016 em Brasília para tratar do “Conceito jurídico de
capitalização de juros” . O expositor, com o propósito de
mostrar que a Tabela Price é um “roubo”, apresentou o
seguinte exemplo:
Um financiamento no valor de R$ 100.000,00
deverá ser amortizado em 420 parcelas mensais
iguais a uma taxa de juros de 1% ao mês. Se as
prestações forem calculadas pelo Sistema Price o seu
valor é R$ 1.015,55 e se calculadas de acordo com o
Método de Gauss, de R$ 400,03.
Vamos imaginar que o tomador do crédito tivesse
um saldo de R$ 100.000,00 aplicado em uma conta de
poupança com rendimento de 0,5% ao mês e que
mesmo assim resolvesse contratar um empréstimo
nesse mesmo valor a uma taxa de juros de 1% ao
mês para amortização em 420 parcelas de R$ 400,03.
Com as duas operações realizadas na mesma
instituição financeira, esse mutuário autoriza o Banco
a sacar mensalmente R$ 400,03 da sua conta de
poupança e quitar o valor das prestações do
empréstimo. Pergunta-se: após o pagamento da
última parcela no final de 35 anos, quais os saldos
das duas contas?
Resposta: Como as prestações do empréstimo foram
todas pagas nos respectivos vencimentos, o saldo está
zerado; quanto à poupança, apresentaria um saldo credor
de R$ 242.427,19. Sem dúvida um excelente negócio; uma
pessoa não desembolsa nenhum tostão e no final de 35
anos tem disponível em sua conta um valor considerável.
Importante: Esse valor está absolutamente correto e pode
ser comprovado pelo leitor com base no mesmo critério de
cálculo utilizado no exemplo anterior demonstrado na
Tabela 5.1. E a evidência está no fato de que logo no
primeiro mês o saldo credor da poupança se eleva de R$
100.000,00 para R$ 100.099,97: há um crédito de R$
500,00 de juros e um débito de R$ 400,03 referente à
prestação do financiamento. Obviamente esse saldo
continuará crescendo gradativamente até o pagamento da
última prestação, até atingir o valor mencionado de R$
242.427,19.
5.
3. EQUIVALÊNCIA ENTRE OS SISTEMAS PRICE E GAUSS
Os exemplos mostrados na Tabela 5.3 a seguir foram
construídos com dois grandes objetivos:
a
) mostrar que, para os mesmos dados de uma operação
financeira, os sistemas Price e Gauss se equivalem a
uma determinada taxa de juros;
b
) demonstrar que a proibição de se capitalizar juros é
totalmente inócua.
Tabela 5.3: Sistema Price x Sistema Gauss
FINANCIAMENTO IMOBILIÁRIO
SISTEMA
ESCOLHIDO
REGIME DE
CAPITALIZAÇÃO
PRAZO
VALOR
FINANCIADO
VALOR DA
PRESTAÇÃO
TAXA MENSAL
DE JUROS
GAUSS
simples
240
100.000,00
645,41
1,0000%
PRICE
composta
240
100.000,00
645,41
0,3946%
EMPRÉSTIMO PESSOAL
SISTEMA
ESCOLHIDO
REGIME DE
CAPITALIZAÇÃO
PRAZO
VALOR
FINANCIADO
VALOR DA
PRESTAÇÃO
TAXA MENSAL
DE JUROS
GAUSS
simples
36
10.000,00
414,80
5,0000%
PRICE
composta
36
10.000,00
414,80
2,3515%
No primeiro exemplo, estamos mostrando que um
financiamento imobiliário no valor de R$ 100.000,00 deverá
ser pago em 240 prestações iguais, mensais e consecutivas
de R$ 645,41 para ambos os sistemas; no caso do Gauss, a
taxa de juros utilizada foi de 1% ao mês, e no Price, de
0,3946%. O segundo exemplo consiste em um empréstimo
pessoal de R$ 10.000,00 para ser quitado em 36 prestações
mensais e iguais de R$ 414,80, sendo a taxa de juros de 5%
ao mês para o Gauss, e 2,3515% para o Price. Considerando
os exemplos apresentados, entendo ser indiferente optar
por um ou por outro plano, tanto do ponto de vista do
tomador do crédito como de quem está emprestando.
Os exemplos também evidenciam que a proibição de se
capitalizar juros é totalmente inócua, visto que qualquer
sistema de amortização calculado com base em juros
simples, e a uma determinada taxa, tem o seu
correspondente calculado em regime de capitalização
composta, só que a uma taxa menor. Assim sendo, vale a
seguinte indagação: você prefere pagar um financiamento
no valor de R$ 100.000,00 em 240 prestações iguais de R$
645,41 pelo Sistema Gauss, cuja taxa de juros é 1% ao mês,
ou tomar um empréstimo de mesmo valor, para quitar
também em 240 prestações de R$ 645,41 pelo Sistema
Price, pagando uma taxa de juros de 0,3046% ao mês?
Para finalizar este tópico, vamos fazer um exercício de
ficção, supondo, por absurdo, que as autoridades
governamentais conseguissem proibir a utilização de juros
compostos no mercado financeiro e oficializassem o Sistema
de Gauss. As instituições financeiras, como todos sabem,
costumam agir muito rápido em situações como essa, e
prontamente construiriam as novas tabelas de acordo com
as regras aprovadas. E que ninguém tenha a menor dúvida:
os coeficientes (ou fatores) utilizados para o cálculo do valor
das prestações seriam mantidos, alterando-se apenas as
taxas de juros informadas, as quais seriam adaptadas para
atender ao novo sistema de amortização calculado de
acordo com o regime de capitalização simples.
Com isso, uma instituição financeira, ou qualquer loja que
vendesse seus produtos por meio do chamado crediário, e
que cobrasse uma taxa de juros de 2% ao mês de acordo
com o critério de juros compostos, apresentaria suas novas
tabelas construídas com base em juros simples, mas com
taxas mensais de juros crescentes. A tabela a seguir ilustra
bem o que estamos dizendo. Todos os coeficientes contidos
nela foram construídos com base no regime de capitalização
composta a partir de uma taxa de juros de 2% ao mês; na
última coluna, informamos as taxas equivalentes para
diversos prazos, de acordo com o Sistema Gauss.
Tabela 5.4: Exemplo de utilização do sistema de
amortização de Gauss
NÚMERO DE PRESTAÇÕES
COEFICIENTE
(ou FATOR)
TAXA MENSAL DE JUROS
(capitalização simples)
12
0,09456
2,340%
24
0,05287
2,858%
36
0,03923
3,654%
48
0,03260
5,035%
60
0,02877
7,995%
Exemplo de utilização da tabela:
Calcular o valor das prestações correspondente a
um financiamento no valor de R$ 30.000,00, para ser
pago em 48 parcelas mensais iguais.
Solução:
Valor da prestação = 30.000,00 x 0,03260 = R$ 978,00
Taxa de juros cobrada:
• 2% ao mês, de acordo com o regime de capitalização
composta;
• 5,035% ao mês, com base no regime de capitalização
simples (Sistema de Gauss).
Portanto, acredito que tenha ficado evidente que o
problema do custo financeiro das operações de crédito não
está na utilização do critério de juros compostos, e sim no
tamanho da taxa de juros cobrada.
5.
4. SISTEMA LINEAR PONDERADO E SISTEMA DE GAUSS: OS
NOMES SÃO INDEVIDOS E A HISTÓRIA DE SUAS ORIGENS
É FALSA
5.4.
1.
Sistema Linear Ponderado
Vamos começar pelo equívoco relativo ao nome dado a
esse critério de cálculo. O chamado critério linear
ponderado não é um sistema de amortização, e sim um
critério matemático para apropriação e contabilização das
receitas ou das despesas financeiras diferidas. Fico
confortável para falar sobre isso porque fui eu quem criou
esse nome (ver Capítulo 12, item 12.2 do meu livro
Matemática Financeira 16 ). Na época, final da década de
1970, criei esse critério para atender a uma das opções de
cálculo, sugeridas pelo Banco Central do Brasil, para
apropriação mensal (ou diária) dos valores contabilizados
como receitas ou despesas de exercícios futuros.
O Banco Central admitia dois critérios para a apropriação:
um linear e outro exponencial. O linear, que chamei de
“Linear Ponderado”, poderia ser aplicado para a apropriação
periódica das receitas ou das despesas financeiras
decorrentes de operações ativas ou passivas, quaisquer que
fossem os planos de recebimentos ou pagamentos, ou seja,
com prestações iguais, diferentes, ou composto por apenas
uma parcela. No caso particular de um empréstimo para
pagamento em prestações mensais iguais, os valores das
parcelas de juros a serem apropriados mensalmente como
receitas, obtidos de acordo com o critério Linear Ponderado,
coincidem com valores das parcelas de juros obtidos por
meio do critério chamado “Soma dos Dígitos”. Esse critério,
muito utilizado para depreciação de ativos, também era,
como apurei na época, adotado por alguns países para o
cálculo das referidas parcelas de juros. Mais tarde o Banco
Central do Brasil oficializou o exponencial como único
critério a ser adotado para a apropriação das receitas e
despesas diferidas.
Aproveito a oportunidade para prestar uma justa
homenagem a dois dos principais responsáveis pelo estudo
e pela criação dos planos de contabilização das instituições
financeiras, implantados no Brasil na segunda metade dos
anos 1970. O primeiro, Sr. Evaristo Soares Confort,
competente técnico do Banco Central, com sólidos
conhecimentos das regras, princípios e convenções
contábeis; o segundo, o professor Iran Siqueira de Lima, já
falecido, foi chefe do Departamento de Mercado de Capitais
do Banco Central do Brasil na época, e posteriormente
diretor dessa instituição; foi professor da USP e presidente
da Fundação Instituto de Pesquisas Contábeis, Atuariais e
Financeira (Fipecafi). Naquela época, eu era responsável por
um departamento de apoio à contabilidade de um grande
banco; acompanhei muito de perto o estudo e a discussão
desse projeto, desde o seu início até a sua implantação. Sou
testemunha viva da enorme contribuição dada por esses
dois técnicos. O critério para apropriação mensal das
receitas e despesas diferidas contido nesse plano de
contabilidade, se não é perfeito, está muito próximo disso!
5.4.
2.
Sistema de Gauss ou Método de Gauss
As denominações Sistema de Gauss ou Método de Gauss,
atribuídas por alguns autores brasileiros ao matemático
alemão Carl de Johann Friedrich Gauss, nascido em 30 de
abril de 1777 e falecido em 23 de fevereiro de 1855, não
possuem nenhum fundamento. Esses autores, com base em
informações de fontes duvidosas, obtidas na internet,
cometeram o absurdo de afirmar, em livros e outras
publicações, que a fórmula da soma de uma Progressão
Aritmética (PA) foi deduzida por Gauss. Apenas para
lembrar, a fórmula da soma de uma PA já era conhecida há
1650 anos antes de Cristo, fato comprovado por
documentos da época (Papiro de Rhind, por exemplo).
Segundo o pouco que li sobre esse grande matemático,
reconhecidamente tratava-se de um gênio. Tudo indica que,
por causa de sua inteligência prematura, teria sido
seguidamente promovido pelo seu professor para turmas
mais adiantadas, o que era comum na época. E,
possivelmente, em uma dessas turmas, quando ele tinha
apenas 10 anos, o professor estaria desenvolvendo para a
classe o tema Progressão Aritmética. A tese defendida por
alguns autores, com a qual também concordo, é que, em
vez de pedir para que os alunos calculassem a soma dos
números inteiros de 1 até 100, o professor teria
apresentado um problema de ordem bem mais complexa.
Essa tese, também baseada em dados obtidos na internet e,
portanto, de fonte igualmente duvidosa, é que ele teria
pedido aos alunos que calculassem a soma dos termos da
seguinte Progressão Aritmética:
81.297 + 81.495 + 81.693 + ............ + 100.899.
Considerações importantes:
• o número de termos da série não é informado;
• a conta tinha de ser feita na “munheca” (porque
obviamente ninguém possuía calculadora);
• Gauss teria sido o primeiro a entregar a resposta, e
correta!
Para a solução dessa questão, o aluno teria de saber,
além da fórmula da soma de uma Progressão Aritmética
(PA), também a fórmula do chamado termo geral, ou seja:
a
n
= a
termo, a
1
1
+ (n - 1) x r , em que a
n
representa o último
o primeiro termo, n o número de termos e r a
razão (diferença entre um termo e o anterior).
Solução:
Razão: r = 81.495 - 81.297 = 198
Substituindo na equação do termo geral, temos:
100.899 = 81.297 + (n - 1) x 198
Resolvendo-se essa expressão, obtém-se n = 100
Para obter o total, basta utilizar a fórmula que nos dá a
soma dos termos de uma PA, como segue:
S
PA
=
xn=
x 100 = 91.109.800
Essa história parece, para mim, mais próxima da verdade.
E o menino Gauss, embora gênio, só teria chegado ao
resultado correto se conhecesse as duas fórmulas
mencionadas.
6
Capítulo 6
ORIGEM DO NOME TABELA PRICE E AS PRIMEIRAS
TABELAS FINANCEIRAS PUBLICADAS
Em meu livro Matemática Financeira (Editora Atlas), da
primeira até sétima edição, nos capítulos em que trato de
sistemas de amortização, consta uma informação
equivocada que tem sido citada por vários estudiosos e
reproduzida em seus laudos por dezenas de peritos judiciais
ou assistentes técnicos que consultaram meu trabalho. Essa
informação encontra-se no início do capítulo citado e é a
seguinte:
De acordo com o Professor Mario Geraldo Pereira, a
denominação “Tabela Price” se deve ao nome do
matemático, filósofo e teólogo inglês Richard Price, que
viveu no Século XVIII e que incorporou a teoria de juros
compostos
às
amortizações
de
empréstimos
(ou
financiamentos). A denominação “Sistema Francês”, de
acordo com o autor citado, deve-se ao fato de o mesmo terse efetivamente desenvolvido na França, no Século XIX.
Mas a responsabilidade dessa informação equivocada,
contida na tese de doutoramento Plano Básico de
Amortização pelo Sistema Francês e Respectivo Fator de
Conversão (FEA-1965), do respeitável Professor Mario
Geraldo Pereira, meu mestre de Matemática Financeira na
USP, tem de ser relativizada, visto que na época as fontes
disponíveis para consulta realmente atribuíam a Richard
Price o privilégio de ter sido o primeiro a utilizar a teoria de
juros compostos na dedução de uma fórmula para calcular o
valor das prestações que amortizasse uma dívida em
parcelas iguais e consecutivas, e que somente no Brasil é
conhecida por Tabela Price. Mas hoje, graças principalmente
às facilidades de pesquisas proporcionadas pela internet,
sabemos que isso não é verdade. O próprio Richard Price, na
primeira edição da sua obra Observations on Reversionary
Payments and Annuities , ao se referir às tabelas para o
cálculo do valor presente de anuidades contidas no
apêndice do seu livro, deixa esse entendimento bastante
claro (texto original):
Fonte: Richard Price, p. 334.
Tradução:
“Estas tabelas podem ser encontradas na maioria dos
livros que tratam de juros compostos e anuidades; mas tem
sido, neste trabalho, tantas vezes necessário consultá-las,
que foi preciso poupar o leitor do trabalho de recorrer a
outros livros por causa delas.”
Por meio da leitura do texto em destaque, escrito na
primeira edição de seu livro publicado em 1771, o próprio
Richard Price já deixava evidente a existência de tabelas
semelhantes àquelas que se encontravam no apêndice da
sua obra. Observe a página original do livro, Figura 6.1.
Já a Figura 6.2 mostra uma das tabelas do livro do Price,
construídas para taxas de juros de 3% a 6%, encontrada na
página 312 da edição citada.
Figura 6.1 Figura 6.2
Fonte: Richard Price (1723-1791). London: Printed for T. Cadell, in the Strand.
Segundo ampla pesquisa que realizei, o primeiro autor a
publicar uma tabela financeira, com base no regime de
capitalização composta, foi o matemático Simon Stevin,
nascido em Bruges (atual Bélgica) em 1548 e falecido em
1620 na Holanda. Ao contrário do Richard Price, Stevin é
considerado um dos grandes matemáticos da história.
Escreveu 11 livros sobre diversos assuntos ligados à
Matemática. E, com o objetivo de conhecer um pouco mais
o trabalho deste matemático belga, importei o livro Magic is
no Magic - the wonderful word of Simon Stevin , dos autores
J. T. Devreese e G. Vanden Berghe, o qual transcreve grande
parte das importantes contribuições dadas por Simon nos
diversos campos da Matemática. De acordo com o livro,
tabelas manuscritas já existiam antes de serem publicadas
por Simon Stevin. Faziam parte de um manuscrito
compilado por Francesco Balducci Pegolotti, agente
comercial da casa bancária de propriedade da poderosa
família Bardi, de Florença, na Itália, e transcritas no seu
manual conhecido por Pratica della Mercadura (título
original em italiano). O trabalho de Pegolotti, provavelmente
desenvolvido entre os anos de 1335 e 1343, era baseado na
sua experiência como comerciante e banqueiro. Apresenta
informações relevantes sobre comércio, viagens, medidas,
pesos, cunhagem de moedas, tabelas de juros e costumes
predominantes na época em diversos países. Consta que
possuía 15 tabelas manuscritas para cálculo de juros
compostos construídas para taxas de 1%, 1,5%, 2% até 8%
ao ano, com prazos de até 20 anos (ou 20 prestações
anuais). Uma delas, desenvolvida no ano de 1340, teria sido
publicada em 1472. Consta também que algumas delas
estariam contidas no livro L’Arithmétique , de Jean
Trenchant, publicado em 1558.
Segundo os autores de Magic is no Magic - the wonderful
word of Simon Stevin , o livro de Simon Stevin, The Tafelen
van Interest , editado em 1582, contém a primeira tabela
completa de juros até então publicada, e que está na página
123 de seu livro (ver Figura 6.3.).
Figura 6.3
Fonte: Imagem cedida por WIT Press/ J. T. Devreese e G. V. Berghe: Magic is no
Magic: the wonderful world of Simon Stevin , 2008, p. 123.
Essa tabela nos dá o valor presente, individual (primeira
coluna) e acumulado (segunda coluna) correspondente a
pagamentos periódicos de R$ 10.000.000, calculados a uma
taxa de juros de 2% para o período unitário. Considerandose o período unitário como ano, ela indica que um
empréstimo de R$ 89.825.859, contratado a uma taxa de
2% ao ano, deverá ser quitado (ou amortizado) em 10
prestações anuais de R$ 10.000.000 cada uma; também
indica que um empréstimo de R$ 9.057.309 será quitado de
uma só vez no final de cinco anos pelo valor de R$
10.000.000. Como toda tabela, ela pode ser adaptada para
qualquer valor ou unidade de tempo. Veja o exemplo a
seguir:
Um empréstimo de R$ 18.913,93 deverá ser pago
em 24 prestações mensais, iguais e consecutivas;
sabendo-se que a taxa mensal de juros é de 2%,
calcular o valor das prestações.
A solução é obtida facilmente por meio de uma simples
regra de três, ou seja, a resposta é R$ 1.000,00. De forma
análoga, pode-se calcular o valor de um empréstimo a ser
liquidado em 18 prestações iguais de R$ 1.600,00,
contratado a uma taxa de juros de 2% ao mês. Também
nesse caso a solução é bem simples: basta multiplicar R$
1.600,00 pelo valor presente da segunda coluna,
correspondente a 18 prestações, e dividir o resultado por
10.000.000; o resultado corresponde a R$ 23.987,25.
Para encerrar as citações sobre o trabalho de Stevin, faço
questão de transcrever algumas definições sobre conceitos
básicos da Matemática Financeira, apresentadas por esse
matemático há mais de quatro séculos no referido livro:
• Principal é o valor sobre o qual o juro é cobrado.
• Juro é o valor cobrado sobre o principal durante um
determinado tempo.
• Juro simples é o valor cobrado somente sobre o
principal.
• Juro composto é o valor cobrado sobre o principal junto
com o juro não pago.
Observa-se claramente que não existe nenhuma
discrepância entre os conceitos apresentados pelo autor e
aqueles que apresentamos no Capítulo 2 deste livro.
Detalhe: o capital inicial é chamado de principal.
Outro grande matemático que publicou tabelas
financeiras bem antes de Richard Price foi Abraham de
Moivre, nascido no dia 26 de maio de 1667 e falecido em 27
de novembro de 1754. Autor de vários livros, faz parte da
galeria dos maiores matemáticos da história. Em 1718,
publicou o livro Doctrine of Chance, talvez a obra mais
importante sobre Teoria das Probabilidades. Também
apresentou nesse livro estudos sobre estatística de
mortalidade e tabelas financeiras para cálculo de
anuidades, amplamente utilizados para a construção de
tabelas atuariais de seguros de vida e previdência. Todos
esses estudos tiveram grande influência nos trabalhos
desenvolvidos por Richard Price sobre aposentadoria para
viúvas e idosos.
Figura 6.4 Figura 6.5
Fonte: Abraham de Moivre (1667-1754). London: Printed for A. Millar, in the
Strand.
Embora a primeira edição de Doctrine of Chance tenha
sido publicada em 1718, somente a partir da segunda
edição, em 1724, é que foram divulgadas as tabelas para o
cálculo do valor presente de anuidades. A Figura 6.4 é uma
reprodução da capa da sexta edição de seu livro, publicado
em 1756, dois anos após a sua morte.
A Figura 6.5 mostra a tabela utilizada para o cálculo do
valor presente das anuidades, construída com base em uma
taxa de juros de 5%. Comparando-se essa tabela com
aquela publicada no livro do Richard Price (Figura 6.2),
embora as duas estejam montadas de forma diferente,
observa-se que os números foram digitados em um mesmo
teclado ou digitados em teclados produzidos pelo mesmo
fabricante. Basta confrontar o formato dos dígitos que
compõem os coeficientes definidos para os mesmos prazos.
Em resumo, mostramos neste capítulo que Richard Price
nada teve a ver com a tabela que leva o seu nome, pois
elas já eram conhecidas há pelo menos dois séculos antes
de serem publicadas em seu livro. É até possível que ele
tenha dado algum tipo de contribuição no campo da
Matemática Financeira, mas, se o fez, deve ter sido muito
modesta.
De qualquer forma, tem algo relacionado com essa tabela
que me intriga: por que no Brasil ela ficou conhecida como
Tabela Price? É possível que em edições posteriores do seu
livro – houve pelo menos seis edições – Richard Price tenha
publicado tabelas com prestações mensais e que elas
tenham chegado ao Brasil no início do século passado.
Embora eu seja um pesquisador de plantão sobre esse
assunto, jamais tive informação segura que justificasse a
utilização desse nome. Assim, termino este capítulo com um
desafio a você que está lendo este livro: se conhecer
alguma fonte, peço a gentileza de informar!
7
Capítulo 7
TABELA PRICE: CÁLCULO COM BASE NO CRITÉRIO DE
JUROS SIMPLES OU COMPOSTOS?
Conforme foi enfatizado ao longo deste livro, apenas no
Brasil o sistema de amortização em prestações iguais é
conhecido por Tabela Price. O valor das prestações é
calculado com base na fórmula matemática exaustivamente
apresentada e utilizada nesta obra, cuja demonstração
aparece em dois capítulos: Capítulo 2, item 2.4.2, e Capítulo
3, item 3.2.1. Com base nessa demonstração, nenhum
estudioso do assunto deveria ter qualquer dúvida de que
essa tabela é calculada com base na teoria de juros
compostos.
Entretanto, não é isso que ocorre. E o argumento mais
frequente apresentado por aqueles que entendem não
haver incidência de “juros sobre juros” nesse sistema de
amortização é o de que, ao se pagar uma prestação
qualquer referente a um empréstimo ou financiamento, o
mutuário quita integralmente os juros devidos no período –
o que é um fato –, sendo a diferença utilizada para
amortizar o saldo devedor. Assim, pagando-se o total dos
juros devidos, nada restaria de juros para o período seguinte
e, dessa forma, não poderia haver incidência de juros sobre
juros.
Embora entenda que a referida demonstração já seria
suficiente para afastar qualquer dúvida sobre o assunto, a
minha vivência envolvendo discussões sobre esse tema
indica a necessidade de uma abordagem mais ampla para
eliminar definitivamente essa polêmica. Para tal, além de
repetir e explicar mais detalhadamente a demonstração
tradicional já citada, apresentaremos mais duas, que
acredito serem absolutamente inéditas para grande parte
dos estudiosos desse assunto.
7.
1. PRIMEIRA PROVA: DEDUÇÃO DA FÓRMULA DA TABELA
PRICE
Essa demonstração, como mencionamos, já foi feita nos
Capítulos 2 e 3. Entretanto, vamos repeti-la de forma mais
cuidadosa. Para tanto, partiremos da equação básica S = P
x (1 + i ) , deduzida com base no regime de capitalização
composta, utilizada de forma generalizada no mundo para o
cálculo de operações financeiras; caso a incógnita do
problema seja o capital inicial (valor presente), tem-se que:
P=
.
Para se obter o valor financiado a ser pago em quatro
prestações iguais de R$ 1.000,00, considerando-se uma
taxa de juros de 10% ao mês, como já exaustivamente
demonstrado neste livro, vamos calcular o valor presente de
cada uma das prestações, consideradas individualmente,
como segue:
• Valor presente da primeira parcela: P1 = 1.000 / 1,101 =
909,09
• Valor presente da segunda parcela: P2 = 1.000 / 1,102 =
826,45
• Valor presente da terceira parcela: P3 = 1.000 / 1,103 =
751,31
• Valor presente da quarta parcela: P4 = 1.000 / 1,104 =
683,01
• Valor presente total: Pt = = 3.169,86
É importante deixar registrado que o valor presente total
de R$ 3.169,86 resulta da soma dos valores presentes de
cada uma das parcelas, calculadas de acordo com o
regime de capitalização composta.
Os cálculos feitos podem ser resumidos na seguinte
expressão:
Pt =
+
+
+
Como se pode observar, a prestação no valor de R$
1.000,00 aparece em todas as parcelas. Assim sendo, podese fatorar essa expressão algébrica, ou seja, o valor da
prestação pode ser colocado em evidência, como segue:
Pt = 1.000,00 x
(
+
+
+
)
Dentro dos parênteses temos a soma de uma Progressão
Geométrica (PG) de quatro termos e de razão 1 / 1,10.
Utilizando a fórmula da soma dos termos de uma PG, deduzse que:
P t = 1.000,00 x
= 3.169,86
Generalizando-se a expressão acima, isto é, substituindose números por letras, fazendo-se Pt = P e lembrando que
representamos o valor das prestações pela letra R , chegase à fórmula para o cálculo do valor presente de uma série
de pagamentos iguais postecipados, de uso generalizado no
mundo, a saber:
P=Rx
Com base nessa expressão, deduz-se facilmente a fórmula
que calcula diretamente o valor das prestações, ou seja:
R=Px
Essa fórmula é utilizada no mundo inteiro para o cálculo
das prestações iguais e consecutivas. 17
Considerando que o todo é representado pela soma das
partes, e que as partes são calculadas com base no regime
de capitalização composta, não se pode ter a menor dúvida
de que a expressão final para se obter o valor das
prestações também é calculada com base no regime de
capitalização composta. Portanto, como comprovado, a
Tabela Price é calculada com base na teoria de juros
compostos.
7.
2. SEGUNDA PROVA: COMPOSIÇÃO DOS SALDOS
DEVEDORES NOS SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO EM
PRESTAÇÕES IGUAIS
Vamos considerar o mesmo exemplo anterior em que um
empréstimo de R$ 3.169,86 é pago em quatro prestações
iguais de R$ 1.000,00 cada uma, obtidas a uma taxa de
10% ao mês. A decomposição das prestações em parcelas
de juros e amortização, já mostrada em capítulos anteriores
deste livro, é feita da maneira tradicional, como
apresentado na tabela a seguir:
Tabela 7.1: Decomposição das prestações em
parcelas de juros e de amortização
PRAZO
SALDO
DEVEDOR
AMORTIZAÇÃO
JUROS
VALOR DAS PRESTAÇÕES
0
3.169,86
-
-
-
1
2.486,85
683,01
316,99
1.000,00
2
1.735,54
751,31
248,69
1.000,00
3
909,09
826,45
173,55
1.000,00
4
-
909,09
90,91
1.000,00
TOTAL
-
3.169,86
830,14
4.000,00
Como já observado no Capítulo 1, os juros são calculados
aplicando-se a taxa de juros sobre os saldos devedores dos
meses imediatamente anteriores. E, realmente, ao se pagar
o total dos juros calculados sobre o saldo devedor do mês
anterior, nada de juros será transferido para o mês
seguinte. É exatamente com base nesse entendimento que
alguns estudiosos afirmam que, no caso da Tabela Price, não
há capitalização de juros, ou seja, não ocorre a incidência de
juros sobre juros e, portanto, não ocorre o tal de
anatocismo.
Vamos agora comprovar que esse entendimento é falso, e
que, na verdade, em todo plano correspondente a um
empréstimo ou financiamento para liquidação em
prestações, iguais ou diferentes, a taxa de juros também
incide sobre juros. Para tanto, utilizaremos os mesmos
dados do exemplo anterior, mas visto e analisado de outro
ângulo, como segue:
Uma pessoa obtém quatro empréstimos distintos,
com prazos de um, dois, três e quatro meses
respectivamente, contratados a uma taxa de juros de
10% ao mês. Sabendo-se que o tomador desses
quatro empréstimos fixou em R$ 1.000,00 o valor
pelo qual cada um deles será quitado no respectivo
vencimento,
calcular
o
valor
emprestado
correspondente
a
cada
uma
das
operações
contratadas, de acordo com o conceito de juros
compostos.
Solução:
No exemplo anterior, que vamos chamar de primeira
versão, o entendimento é que se tratava de um único
contrato correspondente a um empréstimo de R$ 3.169,86
para ser quitado em quatro prestações iguais de R$
1.000,00, considerada uma taxa de juros de 10% ao mês. Já
nesse exemplo, a segunda versão, a hipótese é que são
firmados quatro contratos individuais de empréstimos, cujos
valores de resgate (montante ou valor futuro) foram fixados
em R$ 1.000,00 para cada um. O que se quer saber é quais
são os valores dos empréstimos (capital inicial ou valor
presente) correspondentes a cada um dos contratos.
Vejamos a solução.
Nesta segunda versão, como são quatro empréstimos
distintos, vamos calcular, individualmente, cada um deles.
Para isso, utilizaremos uma fórmula já bastante conhecida:
P = S /(1 + i )n , em que P é o valor do empréstimo e S, o
montante ou valor futuro. Assim, temos que:
•
Valor
emprestado
no
1.000,00/1,101 = 909,09
primeiro
contrato:
P1
=
•
•
Valor emprestado no
1.000,00/1,102 = 826,45
Valor
emprestado
no
segundo
contrato:
P2
=
terceiro
contrato:
P3
=
quarto
contrato:
P4
=
1.000,00/1,103 = 751,31
•
Valor emprestado no
1.000,00/1,104 = 683,01
• Total emprestado: Pt = = 3.169,86
Fazendo uma comparação das duas versões, a conclusão
imediata é a de que eles são idênticos do ponto de vista
financeiro, embora contratualmente diferentes; nesta
segunda versão, o mutuário poderia firmar um único
contrato, com empréstimo de R$ 3.169,86 para ser pago em
quatro prestações iguais de R$ 1.000,00 e, com isso, se
recairia na primeira versão.
Vamos demonstrar, com base nos cálculos referentes a
essa segunda versão, que nos sistemas de prestações
iguais (caso da Tabela Price) a taxa de juros também incide
sobre juros. Essa demonstração é absolutamente inédita. E
isso ocorre porque o saldo devedor correspondente a
qualquer mês é sempre formado por duas parcelas distintas,
uma de capital e outra de juros incorridos e não pagos.
Vamos demonstrar que isso é verdade!
Para evidenciar esse fato, partiremos dos valores dos
empréstimos para cada um dos contratos e mostraremos a
composição mensal dos juros cobrados em cada um deles,
conforme dados da Tabela 7.2.
Tabela 7.2: Saldo devedor de capital (valor
emprestado) mais juros na data do contrato
Nº DE
VALOR PRESENTE
VALOR MENSAL DOS JUROS
TOTAL PAGO
ORDEM
J1
J2
J3
1
909,09
90,91
2
826,45
82,64
90,91
3
751,31
75,13
82,64
90,91
4
683,01
68,30
75,13
82,64
TOTAL
3.169,87
316,99
248,69
173,55
J4
TOTAL
90,91
1.000,00
173,55
1.000,00
248,69
1.000,00
90,91
316,99
1.000,00
90,91
830,13
4.000,00
Nessa tabela, transcrevemos em cada uma das quatro
linhas e para cada um dos contratos o valor emprestado, os
juros devidos no final de cada mês e o valor total pago no
final do prazo. A última linha mostra os totais referentes a
cada uma das colunas. A soma dos valores contidos na área
demarcada, de R$ 3.169,86, corresponde ao saldo devedor
das quatro operações na data dos contratos; e esse saldo
devedor é composto apenas por parcelas de capital. 18
Os valores das parcelas de juros devidos mensalmente no
final de cada período foram calculados da seguinte maneira:
• Primeiro empréstimo: a parcela de juros de R$ 90,91 foi
obtida aplicando-se a taxa de 10% sobre o valor
emprestado (capital inicial) de R$ 909,09.
• Segundo empréstimo: a parcela de juros de R$ 82,64
referente ao primeiro mês é o resultado da aplicação da
taxa de 10% sobre o valor emprestado de R$ 826,45; a
parcela de juros de R$ 90,91 referente ao segundo mês
foi obtida pela aplicação de 10% sobre o total
correspondente ao valor emprestado mais a primeira
parcela de juros, ou seja: 10% x (826,45 + 82,64) = 10%
x 909,09 = 90,91.
• As parcelas mensais de juros referentes aos demais
empréstimos foram obtidas de maneira idêntica.
Nesse quadro, é importante observar que os totais dos
juros mensais devidos, discriminados em cada uma das
colunas, coincidem com as parcelas de juros transcritas em
cada uma das linhas na coluna JUROS, conforme mostra a
Tabela 7.1. E isso não acontece por acaso, como vamos
mostrar na próxima tabela.
Tabela 7.3: Saldo devedor de capital mais juros após
o pagamento da prestação referente ao 1º contrato
Nº DE
VALOR PRESENTE
ORDEM
VALOR MENSAL DOS JUROS
J1
J2
J3
J4
TOTAL
TOTAL
PAGO
90,91
1.000,00
173,55
1.000,00
248,69
1.000,00
1
909,09
90,91
2
826,45
82,64
90,91
3
751,31
75,13
82,64
90,91
4
683,01
68,30
75,13
82,64
90,91
316,99
1.000,00
TOTAL
3.169,87
316,99
248,69
173,55
90,91
830,13
4.000,00
A área demarcada nessa tabela mostra o saldo devedor
total após o pagamento da primeira operação de
empréstimo, composto por parcelas de capital e de juros,
como segue:
• Saldo de capital inicial = 826,45 + 751,31 + 683,01 =
2.260,77
• Saldo de juros incorridos = 82,64 + 75,13 + 68,30 =
226,07
• Saldo devedor total = = 2.486,84
O saldo devedor total é formado pela soma dos capitais
iniciais correspondentes aos empréstimos ainda não pagos
e dos juros incorridos (e ainda não pagos), referentes às três
últimas operações. É exatamente esse valor que servirá de
base para o cálculo dos juros totais devidos no final do mês
seguinte, de R$ 248,68, que corresponde à aplicação da
taxa de 10% sobre R$ 2.486,84. 19
Tabela 7.4: Saldo devedor de capital mais juros após
o pagamento da prestação referente ao 2º contrato
Nº DE
VALOR PRESENTE
ORDEM
VALOR MENSAL DOS JUROS
J1
J2
J3
J4
TOTAL
TOTAL
PAGO
90,91
1.000,00
173,55
1.000,00
248,69
1.000,00
1
909,09
90,91
2
826,45
82,64
90,91
3
751,31
75,13
82,64
90,91
4
683,01
68,30
75,13
82,64
90,91
316,99
1.000,00
TOTAL
3.169,87
316,99
248,69
173,55
90,91
830,13
4,000,00
A área demarcada na Tabela 7.4 indica o saldo devedor
total após o pagamento da segunda operação de
empréstimo, como demonstrado a seguir:
• Saldo de capital inicial = 751,31 + 683,01 = 1.434,32
• Saldo de juros incorridos = 75,13 + 82,64 + 68,30 +
75,13 = 301,20
• Saldo devedor total = = 1.735,52
O saldo devedor total é formado pelo saldo das parcelas
de capital e dos juros incorridos referentes às duas últimas
operações. Esse valor servirá de base para o cálculo dos
juros totais devidos no final do mês seguinte (final do
terceiro mês), de R$ 173,55, que corresponde à aplicação
da taxa de 10% sobre R$ 1.735,52.
Tabela 7.5: Saldo devedor de capital mais juros após
o pagamento da prestação referente ao 3º contrato
Nº DE
VALOR PRESENTE
ORDEM
VALOR MENSAL DOS JUROS
J1
J2
J3
J4
TOTAL
TOTAL
PAGO
1
909,09
90,91
2
826,45
82,64
90,91
3
751,31
75,13
82,64
90,91
4
683,01
68,30
75,13
82,64
TOTAL
3.169,87
316,99
248,69
173,55
90,91
1.000,00
173,55
1.000,00
248,69
1.000,00
90,91
316,99
1.000,00
90,91
830,13
4.000,00
A área destacada na Tabela 7.5 mostra o saldo devedor
total após a liquidação da terceira operação de empréstimo,
como segue:
Saldo de capital inicial = = 683,01
Saldo de juros incorridos = 68,30 + 75,13 + 82,64 =
226,07
Saldo devedor total = = 909,08
O saldo devedor total é formado pela parcela de capital e
dos juros incorridos referentes à última operação. Assim, no
final do quarto mês, o total dos juros devidos de R$ 90,91
corresponde à aplicação da taxa de 10% sobre o saldo
devedor total de R$ 909,08.
As demonstrações feitas para as quatro operações da
segunda versão podem ser resumidas na tabela a seguir:
Tabela 7.6: Composição dos saldos devedores no final
de cada mês
MÊS
PARCELA DE CAPITAL
JUROS INCORRIDOS
TOTAL
0
3.169,86
0
3.169,86
1
2.260,77
226,08
2.486,85
2
1.434,32
301,22
1.735,54
3
683,01
226,08
909,09
4
0,00
0,00
0,00
Com base no que foi exposto, observa-se que os saldos
devedores transcritos na Tabela 7.1, referentes à primeira
versão, são efetivamente constituídos por parcelas devidas
de capital e de juros incorridos. Portanto, fica comprovado
que em um sistema de amortização em prestações iguais
(Tabela Price) ocorre a capitalização de juros, ou seja, há
incidência de juros sobre os juros incorridos. Assim, se
tomarmos como exemplo a terceira parcela paga, composta
por R$ 826,45 de amortização e R$ 173,55 de juros (ver
Tabela 7.1), podemos comprovar que o saldo devedor do
mês anterior de R$ 1.735,54 (sobre o qual incidiu a taxa de
10% para se obter o valor dos juros do mês) é composto
pela soma do saldo devedor de capital de R$ 1.434,32 mais
os juros incorridos de R$ 301,22. Como nessa segunda
versão utilizamos o conceito de juros compostos para
calcular os valores dos empréstimos correspondentes a
cada uma das quatro operações, e sabendo-se que o todo
é composto pela soma das partes, conclui-se, por uma
questão de lógica matemática, que as prestações da
primeira versão também foram obtidas com base no critério
de juros compostos.
7.
3. TERCEIRA PROVA: COMPROVAÇÃO GRÁFICA POR MEIO
DO CONFRONTO DE ÁREAS
Para efeito de comprovação, partiremos de um exemplo
semelhante ao utilizado no item anterior. Entretanto, para
melhor visualização das áreas representativas das parcelas
de amortização e de juros, vamos aumentar o prazo da
operação de empréstimo para 10 meses. Sendo assim, os
dados do contrato para este exemplo são os seguintes:
• Valor das prestações: R$ 1.000,00
• Número de prestações mensais: 10
• Taxa mensal de juros: 10%
• Valor do empréstimo: R$ 6.144,57 (obtido pela fórmula
tradicional ou utilizando uma calculadora financeira).
Também para este exemplo, vamos partir das duas
hipóteses consideradas anteriormente, que são:
a
) O valor de R$ 6.144,57 corresponde à soma dos valores
presentes de cada um dos pagamentos iguais de R$
1.000,00, como se tratasse de dez contratos individuais
de empréstimo para serem quitados em parcelas de
mesmo valor.
b
) O valor de R$ 6.144,57 corresponde ao valor financiado
a ser pago em dez prestações mensais iguais de R$
1.000,00 (Tabela Price).
Com essa abordagem, apresentaremos mais uma
evidência de que a chamada Tabela Price contempla juros
compostos. Acredito que qualquer pessoa com boa noção
de lógica matemática, e que por ventura ainda tenha
alguma dúvida sobre essa questão, certamente a eliminará.
7.3.
1.
Parcelas de capital (amortização) e de juros
correspondentes a dez contratos individuais de
empréstimo
Na Tabela 7.7 a seguir, reproduzimos os valores presentes
de cada uma das dez prestações mensais iguais, em que as
parcelas de R$ 1.000,00 representam os montantes
individuais de cada uma das 10 operações de empréstimo;
os valores presentes, cuja soma é de R$ 6.144,57, foram
calculados da forma tradicional, isto é, dividindo-se o valor
das prestações pela expressão (1 + i )n , em que n
representa o prazo de cada um dos pagamentos de R$
1.000,00; os juros especificados na última coluna foram
obtidos pela diferença entre o valor dos pagamentos
mensais e os respectivos valores presentes. Observe que os
valores presentes de cada uma das prestações são
decrescentes; obviamente, os juros se comportam de
maneira inversa.
Tabela 7.7: Decomposição dos valores das dez
prestações mensais contratadas
Nº DE
ORDEM
VALOR DOS PAGAMENTOS
VALOR PRESENTE
JUROS
1
1.000,00
909,09
90,91
2
1.000,00
826,45
173,55
3
1.000,00
751,31
248,69
4
1.000,00
683,01
316,99
5
1.000,00
620,92
379,08
6
1.000,00
564,47
435,53
7
1.000,00
513,16
486,84
8
1.000,00
466,51
533,49
9
1.000,00
424,10
575,90
10
1.000,00
385,54
614,46
TOTAL
10.000,00
6.144,57
3.855,43
O Gráfico 7.1, mostrado a seguir, nos permite visualizar a
evolução dos valores presentes (valor do empréstimo) e dos
juros correspondentes a cada um dos dez contratos, como
mostrados na Tabela 7.7.
Gráfico 7.1: Evolução dos valores presentes e dos
juros correspondentes a cada contrato
7.3.
2.
Parcelas de capital (amortização) e de juros
correspondentes a um empréstimo para ser pago em
dez prestações iguais (Tabela Price)
Para este caso, não há necessidade de explicações mais
aprofundadas, visto que a decomposição das prestações de
um empréstimo em parcelas de amortização e de juros é
bastante conhecida. A Tabela 7.8 mostra como evoluem
essas parcelas para um empréstimo de R$ 6.144,57;
também apresenta a evolução dos saldos devedores após o
pagamento de cada prestação.
Tabela 7.8: Evolução das parcelas de um empréstimo
e dos saldos devedores após o pagamento de cada
prestação
Nº DE
ORDEM
SALDO
DEVEDOR
PARCELAS DE
AMORTIZAÇÃO
JUROS
VALOR DOS
PAGAMENTOS
0
6.144,57
-
-
-
1
5.759,03
385,54
614,46
1.000,00
2
5.334,93
424,10
575,90
1.000,00
3
4.868,42
466,51
533,49
1.000,00
4
4.355,26
513,16
486,84
1.000,00
5
3.790,79
564,47
435,53
1.000,00
6
3.169,87
620,92
379,08
1.000,00
7
2.486,86
683,01
316,99
1.000,00
8
1.735,54
751,31
248,69
1.000,00
9
909,10
826,45
173,55
1.000,00
10
-
909,09
90,91
1.000,00
Já o Gráfico 7.2 nos permite visualizar as parcelas de
amortização e de juros correspondentes a um empréstimo
de R$ 6.144,56, conforme ficou demonstrado na Tabela 7.8.
Como se pode verificar, os valores das parcelas mensais de
capital e de juros nos dois casos, se considerados na ordem
inversa, são absolutamente iguais.
Gráfico 7.2: Parcelas de amortização de juros
correspondentes ao empréstimo demonstrado na
Tabela 7.8
Comparando-se os dados da coluna VALOR PRESENTE da
Tabela 7.7 com os dados da coluna AMORTIZAÇÃO da Tabela
7.8, podemos observar que eles são exatamente os
mesmos, se considerados na ordem inversa; obviamente, o
mesmo ocorre com os dados correspondentes aos juros. Em
decorrência, as áreas destacadas nos Gráficos 7.1 e 7.2
refletem esse fato, sendo possível mostrar que elas são
exatamente iguais. Para tanto, basta refletir o Gráfico 7.1
em um espelho e você verá o Gráfico 7.2.
Para facilitar essa visualização, elaboramos o Gráfico 7.3,
que representa o Gráfico 7.1 ao lado do 7.2; caso se
imagine um eixo unindo esses dois gráficos, e em seguida
se um deles fosse virado sobre o outro, ficaria comprovado
que eles são rigorosamente iguais.
Gráfico 7.3: Comparação das duas modalidades de
contratação de empréstimos
Conclusão: se as operações de empréstimos do primeiro
modelo (10 contratos individuais - Gráfico 7.1) foram
calculadas com base no regime de capitalização composta,
então com certeza absoluta a operação correspondente ao
segundo modelo (com um só contrato de empréstimo para
ser amortizado em 10 prestações iguais - Gráfico 7.2)
também o foi.
8
Capítulo 8
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) :
CÁLCULO COM BASE NO CRITÉRIO DE JUROS SIMPLES
OU COMPOSTOS?
No mundo jurídico, e até mesmo entre vários profissionais
que atuam como peritos em processos envolvendo questões
econômico-financeiras, há o entendimento de que o SAC
não é calculado com base no critério de juros compostos e,
não o sendo, obviamente seria com critério de juros
simples. Esse entendimento está implícito em várias
decisões judiciais que proíbem a utilização do Sistema Price
por conter a “odiosa” capitalização de juros, e propõem que
em seu lugar seja adotado o SAC. Esse sistema, como todos
os outros que são utilizados no mercado financeiro dos
países com um mínimo de racionalidade em Finanças, é
calculado com base na teoria de juros compostos.
Todas as equações matemáticas possuem um caminho de
ida e outro de volta. Vou explicar melhor com o exemplo a
seguir, calculado de acordo com o regime de capitalização
composta:
• Calcular o montante de um empréstimo de R$ 1.000,00
contratado pelo prazo de cinco meses, a uma taxa de
juros de 4% ao mês.
Solução:
S = 1.000,00 x 1,045 = 1.216,65
• Calcular o valor de um empréstimo contratado pelo
prazo de cinco meses, a uma taxa de juros de 4% ao
mês, a ser quitado pelo valor de R$ 1.216,65.
Solução:
P=
= 1.000,00
Ou seja, caminho de ida: dado o valor do empréstimo,
obtém-se o montante; caminho de volta: dado o montante,
obtém-se o valor do empréstimo.
O mesmo acontece com os sistemas de amortização,
quaisquer que sejam eles. No caso específico da Tabela
Price, dado o valor do empréstimo, a taxa de juros e o
número de parcelas, determina-se o valor das prestações; e,
partindo-se dos mesmos dados de taxa, número de parcelas
e valor das prestações, determina-se o valor emprestado.
Para que isso aconteça, é necessário utilizar o mesmo
regime de capitalização de juros, tanto no caminho de ida
quanto no de volta.
Bem, agora já podemos falar do SAC. Para provar que
esse sistema é calculado com base no regime de
capitalização composta, vamos utilizar o seguinte exemplo:
Um financiamento no valor de R$ 1.000,00 deverá
ser amortizado em cinco prestações mensais
calculadas de acordo com o SAC. Sabendo-se que a
taxa de juros é de 4% ao mês, calcular o valor das
prestações.
Solução:
O esquema de cálculo das prestações por meio do SAC é
dos mais simples, já bastante conhecido do leitor. Portanto,
sem explicações mais aprofundadas, vamos transcrever a
Tabela 8.1 contendo os principais dados.
Tabela 8.1: Cálculo das prestações pelo sistema SAC
MÊS
SALDO DEVEDOR
AMORTIZAÇÃO
JUROS
PRESTAÇÃO
0
1.000,00
1
800,00
200,00
40,00
240,00
2
600,00
200,00
32,00
232,00
3
400,00
200,00
24,00
224,00
4
200,00
200,00
16,00
216,00
5
-
200,00
8,00
208,00
1.000,00
120,00
1.120,00
TOTAL
A razão principal da dúvida sobre o regime de
capitalização adotado é que não foi utilizado, nesse
exemplo, nenhum critério exponencial para o cálculo do
valor das prestações, o que evidenciaria o emprego de juros
simples. Para eliminar essa dúvida, precisamos fazer o
caminho de volta, ou seja, partir dos valores das prestações
a serem pagos nos respectivos vencimentos, calcular os
valores presentes de cada uma das cinco prestações na
data do contrato e verificar se a soma desses valores é igual
a R$ 1.000,00.
Para o cálculo dos valores presentes das prestações do
plano, podemos utilizar o critério de juros simples ou de
juros compostos. Vamos começar pelo critério de juros
simples. Assim, temos que:
a
) Valor presente calculado a juros simples:
P=
+
+
+
+
P = 230,77 + 214,81 + 200,00 + 186,21 + 173,33 =
1.005,12
Portanto, como o valor presente encontrado é diferente de
R$ 1.000,00, o critério utilizado não foi o de juros simples.
b
) Valor presente calculado a juros compostos:
P=
+
+
+
+
P = 230,77 + 214,50 + 199,14 + 184,64 + 170,96 =
1.000,00
Nesse caso, como o valor presente da série de
pagamentos é igual ao valor financiado, fica evidenciado
que o SAC é um sistema de amortização calculado com
base no regime de capitalização composta. Mais uma vez: o
todo é igual à soma das partes!
Antes de finalizar este capítulo, vamos aproveitar a
oportunidade para eliminar outra afirmação totalmente
falsa: a de que os empréstimos com pagamentos mensais
somente dos juros e o principal no vencimento do contrato
seriam calculados com base no critério de juros simples.
Usando a mesma estratégia adotada no caso do SAC, é
possível mostrar que esse plano para liquidação de uma
dívida também implica a utilização de juros compostos. Para
provar, vamos ao seguinte exemplo:
Um agiota empresta R$ 1.000,00 por um prazo de
quatro meses, cobrando uma taxa de juros de 10% ao
mês. O tomador do empréstimo vai liquidar essa
dívida pagando mensalmente apenas os juros no
valor de R$ 100,00 e o principal de R$ 1.000,00 no
final de quatro meses. Pergunta-se: esse plano é
calculado com base no critério de juros simples ou
compostos?
Vamos comprovar que o regime de capitalização adotado
nesse plano também é composto. Para isso, basta calcular o
presente dos quatro pagamentos utilizando esse conceito,
como segue:
P=
+
+
+
P = 90,91 + 82,65 + 75,13 + 751,31 = 1.000,00
Portanto, como o valor presente obtido, calculado com
base no regime de capitalização composta, coincide com o
valor emprestado, também nesse caso a nossa afirmação se
comprova. Caso utilizasse o critério de juros simples, o valor
presente seria diferente de R$ 1.000,00, como se pode
comprovar:
P=
+
+
+
P = 90,91 + 83,33 + 75,19 + 785,71 = 1.035,14
Comprovado!
9
ANEXO
DECLARAÇÃO EM DEFESA DAS CIÊNCIAS ECONÔMICA,
FINANCEIRA E JURÍDICA (PUBLICADA NO JORNAL
FOLHA DE S.PAULO EM 8 DE OUTUBRO DE 2009)
Os professores abaixo identificados, que ministram cursos
na área de Finanças das principais universidades brasileiras,
autores de livros e de outros trabalhos sobre essa
importante Ciência e preocupados com a restrição legal de
se capitalizar juros, apelam para os representantes dos
poderes Legislativo e Judiciário que reexaminem as razões
que levaram à referida restrição e ponderem sobre a
validade atual dos argumentos utilizados no passado. A
restrição legal mencionada, no âmbito do STF, está
sintetizada no texto da Súmula nº 121, que diz: “É vedada a
capitalização
de
juros,
ainda
que
expressamente
convencionada”.
Essa proibição é contrária a tudo que se faz no mundo
real, não só no que se refere às práticas internacionais no
mercado financeiro e de capitais, como também em tudo o
que se ensina nas universidades e nos textos dos livros de
Finanças dos autores mais conceituados. Pode-se assegurar
que a quase totalidade das operações financeiras realizadas
no mundo, bem como todos os estudos de viabilidade
econômico-financeira, é efetivada com base no critério de
juros compostos, ou capitalização composta. Proibir a
capitalização dos juros implica colocar na marginalidade os
fundamentos de uma Ciência Matemática respeitada,
aplicada e reconhecida no mundo inteiro. Apenas para
ilustrar, a seguir estão colocadas algumas operações
realizadas no nosso mercado, calculadas com base nesse
critério,
começando
pelas
aplicações
financeiras:
cadernetas de poupança, fundos de investimento em renda
fixa, fundos de previdência, fundos de pensão, fundo de
garantia por tempo de serviço (FGTS), títulos de
capitalização, títulos de renda fixa privados e todos os
títulos das dívida s pública s federal, estadual e municipal,
sejam eles com rendimentos pré ou pós-fixados. Do lado
dos empréstimos e financiamentos tem-se o crédito pessoal
parcelado, financiamento de veículos, todas as formas de
Sistema de Amortização Constante (SAC): Cálculo com Base
no Critério, crediário de lojas, empréstimos para
aposentados, financiamentos e repasses de recursos feitos
pelo BNDES, todas as modalidades de financiamentos
habitacionais realizados dentro e fora do SFH e muitos
outros. Em contrapartida, o número de operações
calculadas com base em juros simples é insignificante; entre
as mais conhecidas estão as de juros de mora,
adiantamento sobre contratos de câmbio (ACC) e as de
cálculo de juros sobre saldos devedores dos cartões de
crédito.
Do ponto de vista matemático, operacional e contábil, o
critério de juros compostos é coerente e consistente,
quaisquer que sejam os valores, taxas e prazos envolvidos,
e quaisquer que sejam as formas de pagamento. O mesmo
não ocorre com o critério de juros simples que, se utilizado,
provoca distorções irreversíveis, principalmente nas
operações de empréstimos ou de aplicações financeiras
envolvendo dois ou mais pagamentos.
A preocupação sobre o tema aumenta à medida em que
se toma conhecimento de pronunciamentos e decisões
judiciais fundamentadas em argumentos equivocados, que
contrariam a lógica e o bom senso, afetando negativamente
o ensino da Ciência Financeira e da própria Ciência Jurídica.
Membros dos poderes Legislativo e Judiciário têm enorme
responsabilidade perante a sociedade brasileira no que diz
respeito à elaboração e à aplicação das leis; os professores
universitários também se sentem responsáveis diante dessa
mesma sociedade no que se refere à formação técnica e
científica dos estudantes e dos profissionais que atuam no
mercado financeiro e de capitais. E é em nome da
responsabilidade perante o ensino que se propõe uma
revisão das regras que ainda restringem a capitalização de
juros.
Professor e instituição em que ministra cursos :
Ademar Campos Filho (autônomo)
Alcides Teixeira Lanzana (FEA-USP e FIA-USP)
Ângela de Souza Menezes (Insper-SP e Mackenzie-SP)
Antonio Araujo Freitas Jr. (FGV-Rio)
Antonio Carlos Borges (licenciado)
Antonio Carlos Cassarro (FAAP-SP)
Antônio Carlos Lopes (PUC-SP) in memoriam
Antonio Cordeiro Filho (PUC-SP)
Antonio Evaristo Teixeira Lanzana (FEA-USP e FIPE-USP)
Armando José Tozi (autônomo)
Carlos Roberto Vieira Araújo (FEI-SP)
Celina Martins Ramalho (FGV-SP)
Clóvis de Faro (FGV-Rio)
Edson Gonçalves (Insper-SP e ESPM)
Flávio Málaga (Insper-SP)
Francisco D’Orto Neto (FIPECAFI)
Gerson Lachtermacher (UERJ e FGV-Rio)
Heron Carlos Esvael do Carmo (FEA-USP)
Iran Siqueira de Lima (FEA-USP)
José Dutra Vieira Sobrinho (Insper-SP)
José Messias Moreira de Souza (Uniban-SP)
José Nicolau Pompeo (PUC-SP e MBA Politécnica-USP)
José Roberto Securato (FEA-USP e PUC-SP)
Keyler Carvalho Rocha (FEA-USP)
Leonardo Pagano (Insper-SP)
Mamerto Granja Garcia (PUC-SP)
Marco Antônio S. Vasconcelos (FEA-USP)
Paulo Freire de Mello (Andima Educação-SP)
Samuel Hazzan (FGV-SP e PUC-SP)
Simão Davi Silber (FEA-USP)
Udibert Reinold Bauer (FURB-Blumenau)
Walter de Francisco (aposentado)
Washington Franco Mathias (FEA-USP)
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BRASIL. Código Comercial Brasileiro , Art. nº 253, 1850.
BRASIL. Supremo Tribunal Federal. Súmula nº 121 , Art. 4º. Decreto nº 22.626,
de 7 de abril de 1933,
BRASIL. Supremo Tribunal Federal. Decreto nº 22.626, Art. 1°.
BRASIL. Supremo Tribunal Federal. Decreto nº 22.626, Art. 2°.
BRASIL. Supremo Tribunal Federal. Decreto nº 22.626, Art. 3°.
BRASIL. Supremo Tribunal Federal. Decreto nº 22.626, Art. 6°.
BRASIL. Supremo Tribunal Federal. Decreto nº 22.626, Art. 10°.
BRASIL. Supremo Tribunal Federal. Lei da Usura . Decreto nº 22.626 de 7 de
abril de 1933.
CAVALHEIRO, Luiz Álvaro Ferreira. Elementos de Matemática Financeira . 1ª
ed. Rio de Janeiro: Fundação Getúlio Vargas – Instituto de Documentação, 1970.
COSTA, Salustiano Orlando de Araújo. Código Comercial do Império do
Brasil . 1863.
DEVREESE, J. T.; BERGHE, G. Vanden. Magic is no Magic – the wonderful
world of Simon Stevie .
FAUSTO, Boris. História concisa do Brasil . 2. ed. São Paulo: Edusp, 2006.
FRANÇA. Código Civil Franc ê s . Art. 213, de 19 de março de 1804.
FRANÇA. Código Civil Francês. Art. 1.154.
ITÁLIA. Código Civil Italiano . Art. 1.283, de 16 de março de 1942.
MOIVRE, Abraham de. Doctrine of Chance . W. Pearson, 1718.
PEGOLOTTI, Francesco Balducci. Pratica della Mercadura , (entre 1335 e
1343).
PEREIRA, Mario Geraldo. Plano b ásico de amortização pelo Sistema
Francês e respectivo fator de conversão. Tese (Doutorado em Economia) Faculdade de Economia e Administração, Universidade de São Paulo, São Paulo,
١٩٦٥.
PIMENTEL, Diogo Pereira Forjaz de Sampaio. Anotações ao Código
Commercial Portuguez . Coimbra, 1866.
PORTUGAL. Código Civil Português . Decreto-Lei nº 47.344, de 25 de
novembro de 1966.
PRICE, Richard. Observations on Reversionary Payments and Annuities .
1771.
PRICE, Richard. Código Comercial Português . Art. 286, 1833.
STEVIN, Simon. The Tafelen van Interest . 1532.
THIAGO, Rodolpho Baptista de S. Mathematica Commercial e Financeira .
São Paulo: Escolas Profissionaes Salesianas, 1937.
TRENCHANT, Jean. L’Aritimétique . 1558.
VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática Financeira . 1. ed. São Paulo: Atlas,
1981.
CRÉDITOS DAS IMAGENS
p. 19, Figura 1.1.: Folhapress.
p. 20, Figura 1.2.: Folhapress.
p. 21, Figura 1.3.: Folhapress.
p. 22, Figura 1.4.: Folhapress.
p. 23, Figura 1.5.: Folhapress.
p. 97, Figura 6.1. : Richard Price (1723-1791). London: Printed for T. Cadell, in
the
Strand.
Disponível
em:
<http://www.archive.org/stream/observationsonre00pr
iciala#page/334/mode/2up>. Acesso em: abr. 2021.
p. 97, Figura 6.2. : Richard Price (1723-1791). London: Printed for T. Cadell, in
the
Strand.
Disponível
em
:
<http://www.archive.org/stream/observationsonre00pr
iciala#page/312/mode/2up>. Acesso em: abr. 2021.
p. 98, Figura 6.3. : Imagem cedida por WIT Press/ J. T. Devreese e G. V.
Berghe: Magic is no Magic: the wonderful world of Simon Stevin, 2008, p. 123.
Acesso em: abr. 2021.
p. 100, Figura 6.4. : Abraham de Moivre (1667-1754). London: Printed for A.
Millar, in the Strand. Disponível em: <http://www.archive.org/stream/
doctrineofchance00moiv#page/n5/mode/2up>. Acesso em: abr. 2021.
p. 100, Figura 6.5. : Abraham de Moivre (1667-1754). London: Printed for A.
Millar,
in
the
Strand.
Disponível
em:
<http://www.archive.org/stream/doctrineofchance00moiv#page/304/mode/2up>
. Acesso em: abr. 2021.
Fausto, Boris. História Concisa do Brasil. 2. ed. São Paulo: Edusp, 2006.
Anatocismo é uma palavra de origem grega, e que realmente significa “juros
sobre juros”.
1) Sobre juros simples e compostos, ver o capítulo seguinte em que tratamos
dos conceitos básicos da Matemática Financeira, de validade universal. 2)
Estamos utilizando uma taxa de juros de 10% ao mês por razões didáticas;
embora exagerado para os padrões atuais do mercado financeiro, o cálculo com
esta taxa é bem simples, podendo ser feito até manualmente; e também porque
as diferenças entre os resultados obtidos pelos critérios de juros simples e
compostos ficam mais visíveis.
Esse mesmo valor pode ser obtido utilizando as funções financeiras de diversas
calculadoras (HP-12C, Cassio, Dismaq e outras) ou por meio das funçõe préprogramadas da planilha excel; todas essas calculadoras ou planilhas
eletrônicas processam esse cálculo com base no critério dejuros compostos.
As tabelas de venda de Letras de Câmbio, muito populares na época, eram
construídas exatamente dessa forma, ou seja, informava qual seria o valor da
aplicação para cada R$ 100,00 de resgate. Nos anos de 1967 e 1968, eu fui o
responsável pela elaboração das tabelas de venda de Letras de Câmbio do
extinto Banco Halles; também tive a oportunidade de participar ativamente da
construção da primeira tabela do grupo Sofisa / Sodril, feita com a utilização de
um computador. Mas a tabela mais conhecida na época, e que permanece na
lembrança de vários amigos da velha guarda, foi a elaborada e distribuída pela
Financeira Martinelli, em que aparecia a seguinte observação no final da
primeira página: “Elaborada nos computadores da USP”.
Observação: veja, no capítulo seguinte, a fórmula de cálculo para obtenção do
valor presente ou do valor das prestações para quaisquer taxas e número de
prestações.
Escrevo “Sistema Gauss” entre aspas porque este nome é absolutamente
indevido; Gauss jamais falou sobre esse sistema nem deu qualquer tipo de
contribuição que pudesse justificar esse nome. Johann Carl Friedrich Gauss
(1777-1855) foi um matemático, físico e astrônomo alemão; aos 21 anos de
idade já era considerado um dos maiores matemáticos da Europa. Seus estudos
contribuíram em diversas áreas científicas especialmente a matemática. Não se
tem conhecimento de que tenha elaborado qualquer trabalho voltado para a
área de matemática financeira.
A coluna TAXA EFETIVA MENSAL (%) da tabela nos fornece a taxa de juros
calculada em regime de capitalização composta para cada um dos planos
apresentados. Assim, de acordo com o SAL, a taxa de juros de 1% ao mês,
cobrada no plano correspondente a 36 prestações mensais, equivale a uma taxa
efetiva de juros de 0,9032% ao mês para o mesmo plano calculado com base no
critério de juros compostos; para um plano com 240 prestações, a taxa
equivalente é 0,6439%. Caso a taxa de juros cobrada no SAL seja de 5% ao
mês, as taxas efetivas mensais correspondentes aos planos com 36 em 240
prestações são respectivamente de 3,5055% e 1,9477%.
A taxa efetiva de juros deste financiamento, de acordo com o regime de
capitalização composta, é de 0,9902% ao mês (ver tabela).
A taxa efetiva de juros deste financiamento, de acordo com o regime de
capitalização composta, é de 3,8401% ao mês (ver tabela).
A taxa efetiva de juros deste financiamento, de acordo com o regime de
capitalização composta, é de 1,7079% ao mês.
A taxa efetiva de juros deste financiamento, de acordo com o regime de
capitalização composta, é de 0,9804% ao mês (ver tabela).
A taxa efetiva de juros deste financiamento, de acordo com o regime de
capitalização composta, é de 2,8664% ao mês (ver tabela).
A taxa efetiva de juros deste financiamento, de acordo com o regime de
capitalização composta, é de 0,4061% ao mês.
Saldos da poupança correspondentes a um depósito inicial de R$ 100.000,00.
VIEIRA SOBRINHO , José Dutra. Matemática Financeira . 8. ed. São Paulo: Editora
Atlas, 2018.
Já li e ouvi grandes absurdos sobre essa fórmula, mas um dos maiores é o que
afirma não existir capitalização de juros porque a expressão (1 + i )n , que
aparece tanto no numerador quanto no denominador, eliminaria o “efeito
exponencial” dessa fórmula.
Só existem juros em função de prazo decorrido; assim, como na data do
contrato não houve decorrência de prazo, não existem juros.
Para efeitos contábeis, em obediência ao regime de competência, os juros
incorridos devem ser apropriados como receita financeira do mês em que
ocorrem.
| APRESENTAÇÃO
| APRESENTAÇÃO
SUMÁRIO
Dedicatória, 5
Agradecimentos, 7
Apresentação, 9
CAPÍTULO 1
A ORIGEM DAS RESTRIÇÕES JUDICIAIS, 17
1.
1. O Decreto 22.626 de 7 de abril de 1933, 18
1.
2. A influência da legislação estrangeira, 26
1.
3. Exemplos para esclarecimento do nosso entendimento,
28
1
CAPÍTULO 2
CONCEITOS BÁSICOS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA, 33
2.
1. Conceito de juros e de taxa de juros, 33
2.
2. Conceito de juros simples (ou capitalização simples), 34
2.
3. Conceito de juros compostos (ou capitalização
composta), 35
2.
4. Conceito de séries de pagamentos iguais, 37
2.4
.1. Montante de uma série de pagamentos iguais
postecipados, 38
2.4
.2. Valor presente de uma série de pagamentos iguais
postecipados, 39
2.
5. Sistemas de amortização, 41
2
2.5
.1. Sistema de prestações iguais ou uniformes (Price), 43
2.5
.2. Sistema de Amortização Constante (SAC), 45
2.5
.3. Exemplo de utilização dos sistemas Price e SAC, 47
CAPÍTULO 3
CONSISTÊNCIA FINANCEIRA DOS CRITÉRIOS DE JUROS
SIMPLES E COMPOSTOS, 49
3.
1. Casos envolvendo pagamento único , 49
3.1
.1. Utilização do critério de juros compostos, 50
3.1
.1.
1. Consistência financeira no caso de juros
compostos, 51
3.1
.2. Utilização do critério de juros simples, 52
3.1
.2.
1. Consistência financeira no caso de juros simples,
53
3.
2. Casos envolvendo séries de pagamentos iguais ou
uniformes, 55
3.2
.1. Utilização do critério de juros compostos, 55
3.2
.1.
1. Consistência financeira no caso de juros
compostos, 57
3.2
.2. Utilização do critério de juros simples, 58
3
3.2
.2.
1. Consistência financeira no caso de juros simples,
60
3.
3. Equivalência de capitais em regime de capitalização
simples, 61
3.3
.1. Plano composto por séries de pagamentos, 61
CAPÍTULO 4
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO CALCULADOS COM BASE EM
JUROS SIMPLES, 65
4.
1. Sistema de Amortização Linear (SAL), 66
4.
2. Sistema de Gauss (ou Método de Gauss), 70
4.2
.1. Histórico, 70
4
CAPÍTULO 5
DISTORÇÕES CAUSADAS PELA UTILIZAÇÃO DE SISTEMAS DE
AMORTIZAÇÃO CALCULADOS COM BASE EM JUROS SIMPLES,
81
5.
1. Incoerência entre os critérios SAL e Gauss, 81
5.
2. Distorções provocadas pelo Sistema de Gauss, 82
5.
3. Equivalência entre os sistemas Price e Gauss, 89
5.
4. Sistema Linear Ponderado e Sistema de Gauss: os nomes
são indevidos e a história de suas origens é falsa, 92
5.4
.1. Sistema Linear Ponderado, 92
5
5.4
.2. Sistema de Gauss ou Método de Gauss , ٩٣
CAPÍTULO 6
ORIGEM DO NOME TABELA PRICE E AS PRIMEIRAS TABELAS
FINANCEIRAS PUBLICADAS, 95
6
CAPÍTULO 7
TABELA PRICE: CÁLCULO COM BASE NO CRITÉRIO DE JUROS
SIMPLES OU COMPOSTOS?, 103
7.
1. Primeira prova: dedução da fórmula da Tabela Price, 104
7.
2. Segunda prova: composição dos saldos devedores nos
sistemas de amortização em prestações iguais, 106
7.
3. Terceira prova: comprovação gráfica por meio do
confronto de áreas, 112
7.3
.1. Parcelas de capital (amortização) e de juros
correspondentes a dez contratos individuais de
empréstimo, 113
7.3
.2. Parcelas de capital (amortização) e de juros
correspondentes a um empréstimo para ser pago em
dez prestações iguais (Tabela Price), 115
7
CAPÍTULO 8
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) : CÁLCULO
COM BASE NO CRITÉRIO DE JUROS SIMPLES OU
COMPOSTOS?, 119
8
ANEXO
DECLARAÇÃO EM DEFESA DAS CIÊNCIAS ECONÔMICA,
FINANCEIRA E JURÍDICA (PUBLICADA NO JORNAL FOLHA DE
S.PAULO EM 8 DE OUTUBRO DE 2009), 125
9
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS, 129
| SUMÁRIO
| REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS