Ahmet Karadeniz - Yüksek Matematik - Cilt 1

Prof. AHMET A. KARADENİZ YÜKSEK MATEMATİK cilt 1 DİFERANSIELVE İNTEGRAL HESAP Çağlayan Kitabevi B eyoğ lu - İS T A N B U L Prof. AHMET A. KARADENİZ YÜKSEK MATEMATİK CİLT. 1 DİFERANSİEL VE İNTEGRAL HESAP Çağlayan Kitabevi istiklal Caddesi 166 Tokatlıyan İş hanı Kat:1/7-8-9 Beyoğlu - İSTANBUL Tel:(0.212) 245 44 33 Faks: 249 17 94 e-mail:info@caglayan.com Onüçüncü Baskı 2003 ISBN 975-436-050-2 © Prof. Ahmet A. KARADENİZ (Z. Çınar - H.U. Karadeniz) Her hakkı mahfuzdur. Bu kitap veya bir kısmı Çağlayan Kitabevi’nin müsaadesi alınmaksızın tab ve kopya edilemez. Basıldığı Yer: Çağlayan Basımevi Cağaloğlu, Çatalçeşme Sok. No:26/3-4 İSTANBUL ÖNSÖZ Bu kitap, üç cilt halinde yayınlanmış “ YÜKSEKMATEMATİK” adlı çalış manın birinci cildinin onbirinci baskısıdır. Bu kitabın, Fen ve Mühendislik Fakültelerinin birinci sınıflarının Matematik veya Analiz Dersleri için, bu sınıflar öğrencilerine yardımcı olacağı kanısın dayım. Kitabı yayınları arasına alarak yayımını sürdüren. Çağlayan Kitabevi sahibi Sayın Tunçay Çağlayanca ve kitabın basımında titizlik gösteren Çağlayan Basımevi ’nin, başta teknik müdürü Fahri Vural olmak üzere hizmeti geçen bütün personeline teşekkür ederim. Kadıköy - Ekim, 1995 Ahmet A. Karadeniz İ Ç İ N D E K İ L E R 1. BÖLÜM SAYI, DEĞİŞKEN, FONKSİYON 1.1 Sayılar 1.1-1 1.1-2 1.2 Reel sayılar ....................................................... Bir reel sayının mutlak değeri ..................... Değişken ve sabit büyüklükler 1.2-1 1.2-2 1.3 .............................................................................. Tanım ................................................................ Bir değişkenin tanım aralığı ........................ Fonksiyon 1.3-1 1.3-2 1.3-3 1.3-4 1.3-5 1.3-6 1.3-7 1.3-8 ................................... ....................................................................... Fonksiyon tanımı ................................................ Fonksiyonların muhtelif şekilde gösterilmeleri Başlıca çok kullanılan fonksiyonlar ............ Fonksiyon fonksiyonu (bileşik fonksiyon) .... Elemanter fonksiyon tanımı ................ ........... Tek ve çift fonksiyonlar ..................................... Cebirsel fonksiyonlar ......................................... Yüksek fonksiyonlar ................................... 1. Bölüme ait problemler .................................................. . 2. 7 8 9 14 14 15 15 17 17 BÖLÜM LÎMÎT VE SÜREKLİLİK 2.1 2.2 Bir değişkenin limiti ......................................... 19 2.1-1 2.1-2 19 21 Tanım ..................................................... Sonsuz büyük ve sonsuz küçük tanımı Bir fonksiyonun limiti ..................................... 21 VIII 2.22.22.22.22.2- 1 2 3 4 5 Tanım ........................................................................... Sağdan ve soldan limit ........................................... Sonsuza yaklaşan fonksiyonlar ........................... Sınırlı fonksiyonlar .......................................... Çok kullanılan bazı limitler ................................... 2.3 Limite ait esas teoremler 2.4 Limite ait uygulamalar ............................................ 28 .................. ................................... 31 2.4- 1 X in bir tam çok terimlisinin x -> oo halinde limiti 2.4- 2 X 00 halinde bir rasyonel kesrin limiti ......... 2.4- 3 Bir rasyonel kesrin pay ve paydasının beraberce sıfıra yaklaşması halinde limiti .......................... 31 32 33 2.4- 4 irrasyonel cebirsel fonksiyonların limitleri ....... 34 .............................. 35 ................................................ . 38 Süreklilik tanımı ........................................... Süreksizlik tanımı .................................................. Sürekli fonksiyonların özelikleri ........................... Örnekler ...................................................................... 38 41 43 44 2.4-5 2.5 21 23 25 27 27 X -> 0 halinde X Fonksiyonların sürekliliği 2.52.52.52.5- 1 2 3 4 2. Bölüme ait problemler in limiti ............................................................ 3. 45 BÖLÜM TÜREV 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 Türevin tanımı ................. Türevin geometrik anlamı .......................................... Türetilebilen fonksiyonlar .................................... 2/ in türevi ............................................................ y — sin x y — cos x fonksiyonlarının türevi .............. Bir sabitin ve bir sabitle bir fonksiyonun çarpımının türevleri ................................................................................. 59 Toplam, çarpım ve. bölümüntürevleri ......................... Bir bileşik fonksiyonun türevi .......................................... y = tg u , y = cotg u , y = sec u , y = cosec u nun türevleri 61 66 69 3.9- 1 3.9- 2 69 70 y = tg u nun türevi .......................................... y = cotg u nun türevi .......................................... 50 52 54 56 58 IX 3.9- 3 3.9- 4 3.10 3.11 3.12 3.13 3.14 y = sec u nun türevi ........................................... y = cosecu nun türevi ...................................... 70 71 Kapalı fonksiyonlar ve türevleri .......................................... Ters fonksiyonlarıntürevleri ................................................ Yüksek mertebeden türevler ................... Bir çarpımın n. mertebe türevi için Leibnitz formülü ... Kapalı fonksiyonlarda yüksek mertebedentürevler ........ 72 73 75 77 79 3. Bölüme ait problemler ............................................................ 4. 81 BÖLÜM TÜREVİN ÇEŞİTLİ UYGULAMALARI 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 Bir eğrinin doğrultusu .......................................................... İki eğrinin kesişme açısı ...................................................... Teğet ve normal denklemleri ; teğet altı ve normal altı uzunlukları .............................................................................. 87 Artan ve azalan fonksiyonlar .............. Bir eğrinin konkavlığının yönü ......................... Bir fonksiyonun maksimum ve minumumdeğerleri ...;........ Büküm noktaları ..................................... Maksimum ve minumum problemleri ...............................,.. 2 / = îöi^klemi ile verilmiş bir eğrinin çizimi .............. , Asimptodlu eğriler ....... 91 92 94 98 99 103 105 4.10- 1 4.10- 2 4.10- 3 106 106 107 oy eksenine paralel asimptodlar ......................... ox eksenine paralel asimptodlar ......................... Eğik asimptod ...................................................... •4. Bölüme ait problemler ................................................................ 5. 85 86 112 BÖLÜM TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR 5.1 y = Arcsin x fonksiyonu 5.1-1 5.1-2 5.2 ...................................... .............. 2/ “ Arcsin o; in türevi y = Arcsin x in eğrisi 2/ = Arccosa; fonksiyonu ...................... .................... ........................................... ............ ........ ........................... . 118 119 120 121 5.2- 1 y = Arccos x in türevi 5.2- 2 y = Arccos X in eğrisi 5.3 ı/ = Arctgir fonksiyonu ............................. 5.3- 1 y — Arctg x in türevi 5.3- 2 y = Arctg x in eğrisi 5. Bölüme ait problemler ........................................... ........................................... 122 123 125 ................................................ .................................... 126 128 ......................................... .................... 130 6. BÖLÜM ÜSTEL FONKSİYON VE LOGARİTMA FONKSİYONU 6.1 Üstel fonksiyon 6.2 6.1- 1 a > 1 halinde üstel fonksiyonun özelikleri ........... 6.1- 2 a < 1 halinde üstel fonksiyonun özelikleri ........... Logaritma fonksiyonu .......................................................... 134 135 136 6.26.26.26.2- Logaritma kuralları .................................. Çeşitli tabanlı logaritmalar ................................... Taban değiştirme ....................................................... e sayısının tanımı ............................................... 137 137 138 138 y = logâc in türevi .............................................................. y=o>'' nun türevi .......... Logaritmik türev alma ................... Üstel ve logaritma fonksiyonlarının eğrileri .................. Türev tablosu .................................................... 141 144 145 147 149 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 1 2 3 4 ........................... 6. Bölüme ait problemler 134 .............................................................. 7. 150 BÖLÜM HİPERBOLİK FONKSİYONLAR 7.1 7.2 7.3 Tanımları ...................... Hiperbolik fonksiyonların özelikleri Hiperbolik fonksiyonların türevleri 7.3- 1 7.3- 2 7.3- 3 7.4 .................................. .................................. 155 156 161 y = chu nun türevi ........................................... y = shu nun türevi .............................. y = İh u nun türevi ,............................................. 161 162 163 Hiperbolik fonksiyonların eğrileri ....... 164 XI 7.4- 1 y — c h x in eğrisi 7.4- 2 i/ = sh a? in eğrisi 7.4- 3 y = iYıx in eğrisi 7.5 .............. ....;............................................. .................................................... Ters hiperbolik fonksiyonlar .......................... 7.5- 1 y = Arg ch x fonksiyonu 7.5- 2 y = Arg sh x fonksiyonu 7.5- 3 y = Arg th x fonksiyonu 7. Bölüme ait problemler 164 164 165 166 ........................................ ........................................ ........................................ 166 169 170 .............................................................. 172 8. BÖLÜM PARAMETRÎK DENKLEMLER 8.1 8.2 Parametrik denklem tanımı .................................................. Parametrik denklemlerde türev .......................................... 8.2- 1 8.3 8.4 Parametrik denklemlerde ikinci mertebe türevler 175 178 179 Parametrik denklemleriyle verilmiş eğrilerin asimptodlarmın bulunması ..................... ................................................ 182 8.3- 1 8.3- 2 182 182 Koordinat eksenlerine paralel asimptodiar ... Eğik asimptod ...................................................... Parametrik denklemleriyle verilmiş eğrilerin çizimi 8. Bölüme ait problemler ....... 184 .............................................................. 188 9. BÖLÜM KUTUPSAL KOORDİNATLAR 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 Kutupsal koordinatlar tanımı .......................................... Kutupsal koordinatlarla kartezyen koordinatlar arasındaki bağıntılar .............................................................................. Doğrunun kutupsal denklemi .............................................. Dairenin kutupsal denklemleri ...................... Koniklerin kutupsal denklemleri ...................................... Kutupsal (Jenklemi ile verilmiş bir eğrinin herhangibir nok tasındaki teğeti ile kutupsal ışını arasındaki açının hesabı 193 199 Kutupsal denklemleriyle verilen iki eğrinin kesişme açısı Kutupsal teğet altı ve normal altı ........................ 201 202 194 195 197 198 XII 9.9 9.10 Kutupsal denklemleriyle verilmiş eğrilerin asimptodlarının belirtilmesi .............................................................................. 204 Kutupsal denklemiyle varilmiş eğrilerin çizimi 208 9.10- 1 9.10- 2 .............. Simetri özelikleri ................................................... Kutupsal denklemi ile verilmiş eğrilerin çizimine ait örnekler .......................... 9. Bölüme ait problemler ............................................................ 10. 208 213 221 BÖLÜM SONSUZ KÜÇÜKLER 10.1 10.2 Tanım ve başlıca özelikleri ................. Sonsuz küçüklerin mukayesesi .......................................... 10. Bölüme ait problemler .............................................................. 11. 224 225 229 BÖLÜM DÎFERANSÎEL 11.1 11.2 11.3 Diferansiel tanımı .................................................................. Diferansielin geometrik anlamı .......................................... Diferansiel kuralları .............................................................. 11.3- 1 11.3- 2 231 234 _235 Diferansiel tablosu ........................................... Kapalı fonksiyonların diferansielleri ................... 237 238 Yüksek mertebeden diferansieller .............................. Yaklaşık hesapta diferansielin kullanılması ......... ........;. Yay uzunluğunun diferansieli (Kartezyen, parametrik ve kutupsal denklemlerde) .......................................................... 238 240 11. Bölüme ait problemler .................................................................. 248 11.4 11.5 11.6 12. 244 BÖLÜM EĞRİLİK, EĞRİLİK YARIÇAPI, EĞRİLİK DAİRESİ, b a s i t , MEBSUT 12.1 Eğrilik tanımı ve kartezyen denklemi ile verilmiş bir eğri nin eğriliği ............................................................................. 254 12.1-1 257 Parametrik denklemlerde eğrilik .......................... xnı 12.1-2 Kutupsal denklemlerde eğrilik ............................... 258 Eğrilik yarıçapı ....................................................................... Eğrilik dairesi, eğrilik merkezi, basit ve mebsut eğrileri 260 263 12. Bölüme ait problemler ...................... ......................................... 267 12.2 12.3 13. BÖLÜM ORTALAMA TEOREMİ; TAYLOR VE MACLAURIN FORMÜLLERİ; BELİRSİZ ŞEKİLLER 13.1 13.2 13.213.213.3 13.4 271 273 Rolle teoremi ... Ortalama teoremi 1 Cauchy teoremi (iki fonksiyon için ortalama teoremi) ............................................................... 2 Ortalama formülünün genelleştirilmesi ... 277 279 Taylor ve Maclaurin formülleri Belirsiz şekiller ...................... 280 286 13.4-1 -Q- belirsiz şekli (L ’hospital kuralı) 286 belirsiz şekli 288 13.4- 30 X 00 belirsiz şekli .. 13.4- 400 — 00 belirsiz şekli 13.4-5 1^ , 0° , 00^ belirsiz şekilleri 290 292 293 13. Bölüme ait problemler ............................ 296 13.4- 2 14. BÖLÜM BELİRSİZ INTEGRAL 14.1 14.2 14.3 14.4 İlkel fonksiyon - Belirsiz integral .............................. Belirsiz integralin tanımından çıkarılabilen özelikleri integral hesabı - Vasıtasız integrasyon .................. Vasıtalı integrasyon ...................................................... 301 302 303 305 14.4- 1 14.4- 2 305 306 Basit elemanlara ayırma ile integrasyon ... Değişken değiştirilmesi yardımiyle integrasyon XIV 14.4- 3 a? — veya \/x- ± a- yi içeren integraller ... 14.4- 4 Kısmi integrasyon kuralı (Parparti) ................. 14.4- 5 310 314 ax^ + hx c veya \/ax^ + hx -V c yi içeren integraller .................................................................. 320 6 Trigonometrik ifadelerin integralleri ................. 7 Rasyonel kesirlerin integralleri ............................. 8 irrasyonel cebirsel fonksiyonların integralleri...... 9 Bazı yüksek fonksiyonların integralleri . 330 335 345 356 14. Bölüme ait problemler .................................................................. 365 14.414.414.414.4- 15. BÖLÜM BELİRLİ INTEGRAL 15.1 15.2 15.3 15.4 Bir eğri altındaki alanın hesabı ..................... Bir toplamın limiti olarak integral .................................. Belirli integralin bazı özelikleri .......................................... Belirli integralin geometrik uygulamaları ...................... 381 385 389 390 15.415.415.415.415.4- Kartezyen koordinatlarda alan hesabı ............... Kutupsal koordinatlarda alan hesabı ............... Hacım hesabı .......................................................... Bir eğri yayının uzunluğu ............. Dönel yüzeylerin alanlarının hesabı ............... 390 398 401 410 415 Bir fonksiyonun ortalama değerinin hesabı ...................... Impropr integraller .................................................................. 419 422 15.6- 1 15.6- 2 Birinci türden impropr integraller....................... İkinci türden impropr integraller ....................... 422 424 Yaklaşık integrasyon ..:.......................................................... 426 15.7- 1 15.7- 2 Yamuklar kuralı ................................................... Simpson kuralı ....................................................... 426 429 15. Bölüme ait problemler .................................................................. 432 15.5 15.6 15.7 1 2 3 4 5 YÜKSEK MATEMATİK Cilt. 1 Diferansiel ve İntegral hesap Cilt. 2 Seriler Fourier serileri Kompleks sayılar Uzay analitik Geometri Çok değişkenli fonksiyonlar Cilt. 3 Diferansiel denklemler Kısmi türevli denklemler Katlı integraller Vektör analizi Eğrisel integraller Yüzey integraller! İntegral işareti altında türev 1. BÖLÜM SAYI, DEĞİŞKEN, EONKSİYON 1-1 Sayılar. 1.1 -1 . Reel sayılar. Sayı kavramı, analizin temel kavramlarından birini teşkil eder. 1, 2, 3, 4, ... şeklindeki pozitif tam sayılar doğal saı/ılardır. Bu sayılar, dört işlem ile birbiriyle bağlıdır. Toplama ve çarpma işlemleri, doğal sayılar çerçevesinde kalmak üzere, daima yapılabildiği halde çıkarma ve bölme işlemleri her zaman gerçekleşemez. Sıfır ve negatif sayıları doğal sayı lara katmak suretiyle bu zorluklar kaldırılabilir. Bu suretle : 0 , ± 1 , ± 2 , ± 3 , ... sayıları elde edilir ki bunlara bağıl sayılar denir. Tam sayılar için ta nımlanan bölme işleminin herhangi iki tam sa.yı için yapılabilmesi, an cak kesirli sa3aların tanımlanması ile mümkün olur. Pozitif, negatif tam sayılarla kesirli sayılar ve sıfır sayısı rasyo nel sayılar cümlesini teşkil ederler. Her rasyonel sayı p ve q gibi iki tam sayının bölümü şekline konabilir. 2 Sayij değişken, fonksiyon 3 2 gibi. Özel olarak, her tam sayı paydası 1 olan bir kesir gibi düşünülebi lir. Dört işlemin rasyonel sayılara uygulanması halinde gene bir ras yonel sayı elde edilir. Herhangi iki rasyonel sayı arasında sonsuz ras yonel sayı vardır. Rasyonel sayılar, bir sayı ekseninin üzerindeki noktalarla gösterile bilir. Sayı ekseni, bir O başlangıç noktası, pozitif yön ve uzunluk biri mi seçilmiş bir doğrudur. Genellikle yatay olarak alınır ve soldan sağa gidiş pozitif yön olarak seçilir. Xy pozitif bir rasyonel sayı ise, O baş langıç noktasının sağında ve O’dan Oilfı = kadar uzaklıkta bir Afi nok tası ile gösterilir. Ayni şekilde, X2 negatif rasyonel bir sayı ise O'mm solunda ve ondan OM2 — — X2 uzaklıkta bir Afj noktası ile gösterilir. O noktası sıfır sayısını gösterir. (Şekil 1). Her rasyonel sa3a, sayı ekseni üzerinde, bir tek nokta ile gösterilir. Sayı ekseninin rasyonel sayıları M-3 -2 -1 1 2 3 Şekil: 1 gösteren noktalarına rasyonel, noktalar denir. Xı sayısı, bu noktanm ap sisi adını alır. Xı ve a?2 gibi herhangi iki rasyonel sayı arasındaki fark ne kadar küçük olursa olsun, bunların arasına daha başka sa3nlar sı kıştırılabilir. Buna göre sayı ekseninin herhangi iki rasyonel noktası birbirine ne kadar yakın olursa olsun, bunların arasında daima daha başka rasyonel noktalar vardır. Rasyonel noktalar cümlesi, sayı ekseninin tamamını kaplamaz. Sa yı ekseni üzerinde apsisi rasyonel olmayan noktalar da vardır. Apsisi, kenarı 1 olan bir karenin köşegeninin uzunluğuna eşit bulunan d sayısı d?= 2 veya d = \/2 ile belirlidir. Bu sayı rasyonel bir sayı yani iki tam sayının bölümü şeklinde bir sayı değildir. S>B.yı ekseni üzerinde bu gibi sayılan gösteren noktalar rasyonel bir nokta değildir. îşte bu gibi sa yılara da irrasyonel sayılar ve bu sayıları gösteren noktalara da irrasyonel noktalar denir. Rasyonel ve irrasyonel sayılar beraberce reeZ sayılar cümlesini teş kil ederler. Reel sayıların herbiri sayı ekseni üzerinde bir nokta ile Sayılar 3 gösterilebilir. Sayı ekseninin her noktası da bir reel sayıya karşılık gelir. Böylece, reel sayılarla sayı ekseni üzerindeki noktalar arasında birebir tekabül vardır. İki reel sayı arasında daima rasyonel ve irras yonel sayılar mevcuttur. Ayni şekilde sayı ekseninin herhangi iki nok tası arasında daima başka rasyonel ve irrasyonel noktalar mevcuttur. Rasyonel katsayılı cebirsel bir denklemin kökü olabilen sayılara ce birsel sayılar denir. Her rasyonel sayı bir cebirsel sayıdır. Fakat, irras yonel sayılardan cebirsel olanlar bulunduğu gibi cebirsel olmıyanları da vardır. Örneğin n sayısı böyle bir sayıdır. Bunlara transandant sayılar denir. Cebirsel ve transandant sayılar reel sayılar cümlesini meydana getirirler. Her irrasyonel sayı, rasyonel sayılar yârdımiyle istenilen bir yakla şıklıkla gösterilebilir, a bir irrasyonel sayı olsun ve bu sayıyı — yaklan şıklıkla hesaplamak isteyelim, a ne olursa olsım N ve N -\-l gibi iki tam sayının arasında kalır. N ile N + 1 arasındaki aralığı n eşit parçaya m m +l bölelim. Buna göre a, N ----- ve ^ H----------rasyonel sayılarının arasında n n kalacaktır. Bu iki sayı arasındaki fark — olup herbiri a yı istenilen yaklaşıklıkta verecektir. ÖRNEK. V2 irrasyonel sayısını, rasyonel sayılar yârdımiyle gös teriniz. 1 10 yaklaşıklıkla 1,4 ve 1,5 1 100 » 1,41 ve 1,42 1 1000 » 1,414 ve 1,415 1 . 1 - 2 . Bir reel sayının mutlak değeri. X reel sayısının negatif olmayan reel değerine bu sa3anm mutlak değeri veya modülü denir ve |o?| ile gösterilir. Bir sayının mutlak değeri : 4 Sayij değişken, fonksiyon a? > 0 ise \x\ X < 0 ise 1a?1 = = X — X dir. = 2 , |-5| = 5 , |0| = 0 bütün X sayıları için X ^ |a?| Şimdi de mutlak değerin birkaç özelliğini gösterelim : 1) Birçok reel sayının cebirsel toplamının mutlak değeri, bunların mutlak değerleri toplamından küçük veya ona eşittir. Yani : I* + 3/| < |«| + \y\ dir. Gerçekten, « + ise «< | a!| ve y '^ \ y \ olduğundan: I* + 3/| = » + 2 /< |«1 + |j/| dir. » + 2/ < 0 ise ; \x + y\ = - (X + y) = ( - « ) + ( - y ) ^ |a;| + \y\ dir. ÖRNEK. 1 - 3 + 4| < |-3| + |4| = 3 + 4 = 7 veya 1 - 3 - 7| = |-3| + |-7| = 3 + 7 = 10 veya 1< 7 10 = 10 2) Bir farkın mutlak değeri, terimlerin mutlak değerleri farkından daha hüyük veya ona eşittir. Yani : I» - 2/| > |a5| - \y\ dir. Gerçekten, x - y = z lik uygulanırsa : ise x = y z olarak bundan evvelki öze |a:| = \y + e \ < \y\ + |a| = \y\ + \ ^ - y \ yazılabilir ve buradan dş. : |î«| - \y\^\x-y\ bulunur. 3) Bir çarpımın mutlak değeri, çarpanların mutlak değerleri çarpımına eşittir : \xyz\ = |a:| İyi |»| Değişken ve sabit büyüklükler 5 4) Bir bölümün mutlak değeri, bölünen ve bölenin mutlak değer leri bölümüne eşittir : Iî __N_ \y ~ \y\ Sonlu sayı tanım ı: a herhangi bir sayı olsun. Eğer \a\ < N ola cak şekilde pozitif tam bir N sayısı bulunabiliyorsa a sonlu bir sayı dır denir. Böyle bir N sayısı bulmak mümkün değilse yani a nın mut lak değeri her pozitif sayıdan daha büyük kalıyorsa a sonsuz'dıvc denir. 1-2 Değişken ve sabit büyüklükler 1.2 - 1 . Tanım. Hız, kütle, hacım, alan, uzunluk, zaman gibi bazı fiziksel büyük lüklerin ölçülmesi halinde bu büyüklüklerin nümerik değerleri elde edilir. Matematikte bu büyüklükler, nümerik değerleri gözönüne alın madan incelenir. Ancak inceleme sonunda bir nümerik değer aranır. Muhtelif olaylarda bazı büyüklükler değişik nümerik değerler alırlar. Bazı büyüklükler de ayni bir nümerik değeri alırlar. Örneğin, bir mad desel noktanın düzgün hareketi esnasında zaman ve yol değişir fakat hızı değişmez. Muhtelif nümerik değerler alan bir büyüklüğe değişken büyüklük veya sadece değişken denir. Nümerik değerleri değişmeyen bir büyüklüğe de sabit büyüklük veya sadece sabit denir. Değişken bü yüklükleri X, y, z, u , v , w , ... vb. ve sabit bÜ3diklükleri de a , b , c , ... harfleri ile göstermek adet olmuştur. Sabit bÜ3diklükler, matematikte ekseriya değişken büyüklüklerin bir özel hali gibi gözönüne alınır. Zira bir sabit, muhtelif nümerik de ğerlerinin hepsi birbirine eşit bir değişkendir. Fiziksel olaylarm incelen mesinde, ayni büyüklüğün bazı hallerde sabit, bazı hallerde de değiş ken olduğu görülür. Örneğin düzgün hareket eden bir cismin hızı sabit olduğu halde, düzgün değişen hareketli bir cismin hızı değişken bir bÜ5diklijktür. Gözönüne alman olay ne olursa olsun ayni bir değeri alan büyüklüklere mutlak sabitler denir. Örneğin bir dairenin çevresi nin çapına oranı bir mutlak sabit olup değeri tu = 3,14159 dur. 6 Sayı, değişken, fonksiyon 1.2 - 2. Bir değişkenin tanım aralığı. Bir değişkenin alabileceği değerlerin cümlesine bu değişkenin ta nım aralığı demr. Örneğin iTrrcosa değişkeni —1 ile + 1 arasında değerler alır. Bir değişkenin değeri, geometrik olarak, sayı ekseninin bir noktası ile gösterilebilir. Böylece, x = cos a değişkeninin, a nın bütün değerleri için alabileceği değerler cümlesi, sayı ekseninin —I ile 4-1 noktaları arasındaki noktalar cümlesi olarak gösterilebilir. a < h olarak x değişkeninin a ve b arasındaki bütün değerlerinin cümlesine, sınırları a ve h olan açık aralık veya, sadece aralık denir. a ve b sayıları bu aralığa dahil değildir! Bu şekilde tanımlanan aralık { a , b ) , a < X < b veya ] a , b [ sembolleri ile gösterilir, a ve b de ğerleri aralığa dahil ise aralığa kapalı aralık denir ve [a ,b^ veya a < x ^ b sembolleri ile gösterilir, a ve b sayılarından biri ve meselâ a aralığa dahil fakat b aralığa dahil değilse aralığa b de yarı açık aralık denir ve a < x < b veya [ a , b [ şeklinde gösterilir, a da yarı açık aralık ise a < x < b veya ] a , b ] şeklindedir. X değişkeni, a dan büyük bütün değerleri alıyorsa bu aralık, (a ^ oo) veya a < x < oo şeklinde gösterilir. Yukarıdakilere benzer olarak, a < x < oo , - o o < £ c < 0 , ~ o o < a ; < 0 , - o o < £ i î < 4-00 aralıkları da tanımlanabilir. ÖRNEK, a nın bütün değerleri için x = cos a değişkeninin ta nım aralığı [ - 1 , 1 ] veya - l < x < 1 şeklinde gösterilir. Yapılan tanımlarda sayı kelimesi yerine nokta kelimesi konabilir. Böylece kapalı aralık, a ve b noktalan arasındaki bütün x nokta larının cümlesidir, a ve b noktaları bu cümleye dahildir. Bir Xo noktasının civarı diye, bu noktayı içeren her ( a , b ) açık aralığına denir. Bu aralık, ekseriya Xq noktası, aralığın ortasında bu lunacak şekilde seçilir. (Şekil 2). Bu takdirde Xq civarın merkezi ve bâ —— sayısı da civarın yarıçapı adını alır. Şekilde (Xo— s , a?o 4- e) civarının merkezi Xq ve yarıçapı e olur. M. Şekil: 2 Fonksiyon 7 1-3 Fonksiyon. 1.3 - 1 . Fonksiyon tanunı. Bir y değişkeninin değerleri, diğer bir x değişkeninin değerleri ne bağlı olarak belirtiliyorsa y ye x değişkeninin fonksiyonudur de nir. Grenel olarak fonksiyonlar, y = f { x) , y = F ( x ) ^y = <j>ix)j şek linde gösterilir. x e bağımsız değişken adı verilir. x ve y arasındaki bağıntıya fonksiyonel bağıntı denir, y =z c (c = st) ifadesi, x ne olursa olsun c ye eşit bir fonksiyon gösterir. ÖRNEK 1. f { x) =(x^ + 3 ise /(2) = 22 + 3 7 /(O) := 02 + 3 = 3 f i t - 1) = (f - 1)2 + 3 = f2 _ + 4 f i -5c) = ( - x V + 3 = a?2 + 3 = f i x) dir. ÖRNEK 2. (f) iy) = cos 2y —2 sin y ise 4>(tc) = cos 2tz- 2 sin 7T = 1 —0 = 1 (f)= cos TZ o s •ı n 2 1 - 2 = -3 <f)(-x) = cos(-2a?) - 2 sin(-a?) = cos 2a: + 2 sin x y = f i x ) in belirli olabilmesi için a? in cümlesine fonksiyonun tanım aralığı denir. alması gereken değerler ÖRNEK. 3/ = sin a? fonksiyonu x in bütün değerleri için tanım lıdır. O halde fonksiyonun tanım aralığı ~ oo < x < + oo dır. Bir fonksiyon yalnız bir değişkene bağlı ise tek değişkenli fonk siyon, birden fazla değişkene bağlı ise iki, üç, ..., çok değişkenli fonk siyon adım alır. y ile X arasındaki bağıntı y ye nazaran çözülmüş ise fonksiyon, açık fonksiyon, çözülmemiş ise kapalı fonksiyon adını alır. 8 Sayij değişken, fonksiyon lar; ÖRNEK 3. y =z 1 , y = sin a; fonksiyonları açık fonksiyon 4- t/2 = 7^ fonksiyonu kapalı fonksiyondur. Verilen bir fonksiyonda, x in bir değerine y nin bir değeri kar şılık geliyorsa fonksiyon tek değerli^ birden fazla değeri karşılık geli yorsa çok değerlidir denir. y = f { x) fonksiyonunda x yerine -x konulduğu zaman fi:~-x) — - f { x ) oluyorsa fonksiyona tek fonksiyon, f { - x ) = f { x ) oluyorsa çift fonksiyon denir. ÖRNEK 4. 1/ = f { x ) z=z 1 fonksiyonu f { - x ) = { - x V + l = x^ ^ l = f { x) olup çift fonksiyondur. ÖRNEK 5. y — sin x fonksiyonu f ( ^ x ) = sin ( - 0?) =: - Sina? = - f i x ) olup tek fonksiyondur. Değişkeni ile ayni yönde değişen fonksiyonlara artan fonksiyon^ ters yönde değişen fonksiyonlara da azalan fonksiyon denir. ÖRNEK. A = artan fonksiyondur. fonksiyonu R ile ayni yönde değiştiğinden 1.3 - 2. Fonksiyonların muhtelif şekilde gösterilmeleri. a) Tablolar yar dimiyle verilmiş fonksiyonlar : Bağımsız .değişkenin Xy ,X 2 , ... ,x^ değerlerine fonksiyonun y\ ,y 2 > •• değerlerinin kar şılık geldiği biliniyor ise bu değer çiftleri aşağıdaki gibi bir tabloda gösterilmek suretile fonksiyon tanımlanabilir : X X\ X2 x^ y 2/1 2/2 2/n Trigonometrik oran tabloları, logaritma tabloları bu çeşit tablolardır. Bu tablolardan fonksiyonun istenen değerleri bulunabilir. Fonksiyon 9 b) Eğriler yardımiyle verilmiş fonksiyonlar : Bir OXY koordinat sistemi içinde M {x , y ) noktalar cümlesini düşünelim. Bu noktaların ordinatları, apsislerinin bağımsız değişken olarak düşünülmesi halinde fonksiyonun değerleri iseler, noktaların geometrik yeri fonksiyonun eğrisini verir. Bu eğri fonksiyonu tanımlar. Zira eğri üzerindeki nok taların ordinatları fonksiyonun değerleridir. c) Analitik ifadeleri ile verilmiş fonksiyonlar : y = f ( x) bağıntı sında f (x) analitik bir ifade ile verilmişse, fonksiyon analitik olarak verilmiştir denir. y = x^-6, y= (T + 3 ar - 3 \/9 ~ x ^, y = sinx , y = log x gibi. Analitik bir ifade ile verilmiş bir fonksiyonun tanım aralığı bağım sız değişkenin alabildiği değerler cümlesidir. y = x^ — 8 fonksiyonunun tanım aralığı X I 2 y -- ---------X—2 tanımlıdır. y \ /l — ^ aralığıdır. fonksiyonu x = 2 hariç, — oo < o? < + oo x in bütün değerleri için fonksiyonunun tanım aralığı y = \/2 cos X — 1 dur. 1 < o; ^ 1 kapalı fonksiyonunun tanım aralığı _ i + O < » < -^ + 2fc,c O aralığıdır. 1.3 - 3. Başlıca çok kullanılan f onksiyonlar. I. Kuvvet fonksiyonu : II. Üstel fonksiyon : y = x (a reel bir sayıdır) y = a"" {a ^ 1 III. Logaritma fonksiyonu : a :± 1 ve pozitif bir sayı) pozitif bir sayı) y = loğa x IV. Trigonometrik fonksiyonlar : y = cotg X , y =: sec x , y = cosec x (Logaritma tabanı olan y z=z sin x , y — cos x , y = x, 10 Sayı, değişken, fonksiyon V. Ters trigonometrik fonksiyonlar : y = arcsinx , y — arccosx , y = arctg x , y = arccotg x , y — arcsec x , y — arccosec x y — o t kuvvet fonksiyonu. 1) a pozitif tam bir sayı ise fonksiyon - oo < a? < + oo aralığı nın her noktasında tanımlıdır. Bu fonksiyonun, a nın farklı değerleri için eğrileri Şekil 3a ve b de gösterilmiştir. 2) a negatif tam bir sayı ise, fonksiyon x = 0 değerleri hariç, X in diğer bütün değerleri için tanımlıdır, a nın muhtelif değerleri için fonksiyonun eğrileri Şekil 4a ve b de gösterilmiştir. Ş ek il: 4a Şekil: 4b 3) a nın bir kesir olması halinde fonksiyonun eğrisine ait örnek ler Şekil 5a, b, c ve d de gösterilmiştir. Fonksiyon 11 y = üstel fonksiyonu. Bu fonksiyonun a > 1 ve a < 1 hallerine ait eğrileri Şekil 6a ve b de gösterilmiştir. Bu fonksiyon ileride ayrıca incelenecektir. y = loğa X logaritma fonksiyonu. a > 1 halindeki eğrisi Şekil 7. de gösterilmiştir. Fonksiyon ileride ayrıca incelenecektir. 12 Sayı^ değişken, fonksiyon Şekil : 7 Trigonometrik fonksiyonlar. Trigonometrik fonksiyonlar peryodik fonksiyonlardır. Bu sebeple evvelâ peryodik fonksiyon tanımını verelim, y = f { x) fonksiyonunda bağımsız değişkene ilâve edildiği veya çıkarıldığı zaman fonksiyonun değeri değişmeyecek yani : f { x + T) = f { x) olacak şekilde bir T sabit sayısı mevcut ise y f { x) fonksiyonu per yodik fonksiyondur denir. T, fonksiyonun peryodu adını alır. Bu ta nım bize, y — sin x fonksiyonunun 2r^ peryodlu bir fonksiyon oldu ğunu gösterir. Çünkü : sin {x + 2tz) = sin x dir. y = cos x fonksiyonu da 2r. peryodlu bir fonksiyondur. tg {x -{■ rJ) = tg X ve cotg + 71) = cotga? olduğundan t g x cotğo? fonksiyonları da 7: peryodlu peryodik fonksiyonlardır. 2/ = sin a? ve y = cos x fonksiyonları ve x in bütün değerleri için tanımlıdır : y = sec x ve y = t g x fonksiyonları ir in x = (2/c + l ) - ~ değerlerinden başka her değeri için; y = cotg ir ve y = cosecx fonk siyonları da İT in X = kK değerlerinden başka bütün değerleri için ta nımlıdır. Trigonometrik fonksiyonların eğrileri Şekil 8a, b ve 9a, b de gösterilmiştir. Fonksiyon 13 Şekil : 8b y r tg X Şekil: 9a Ters trigonometrik fonksiyonlar. Bu fonksiyonlar ileride ayrıca incelenecektir, Şekil: 9b 14 âyı, değişken, fonksiyon 1 .3 - 4 . Fonksiyon fonksiyonu (Bileşik fonksiyon). u ,u = olarak x in bir fonksiyonu ve t/ de y — F (u) olarak u nun bir fonksiyonu ise y ye fonksiyon fonksiyonu veya bileşik fonk siyon denir. Bu takdirde : y=iF{u) , u = <j>ix) den y = F[<j>(x)] yazılabilerek y de a? in bir fonksiyonu olur. ÖRNEK. siyondur. y = cos u ve u = x^ ise y = cos x^ bir bileşik fonk 2/ = F[^(a?)] fonksiyonunun tanım aralığı, u ^(x) fonksiyonu nun tamm aralığına karşılık gelen u değerlerinden y F(u) yu ta nımlayan aralıktır. Fonksiyon fonksiyonu işlemi birçok defalar uygulanabilir. Örneğin : y = log [sin (a?2 + 1) ] bileşik fonksiyonu v = + 1 , w = sin u , t/ = log u şeklindedir. 1.3 - 5. Elemanter fonksiyon tanımı. y = f ( x ) şeklinde tek bir analitik ifade ile tanımlanan fonksiyonla ra elemanter fonksiyon denir. log X + 3\/x fonksiyonları 10* + X elemanter fonksiyonlardır. Elemanter fonksiyondaki f ( x) ifadesi, elemanter fonksiyonlar ve sabitlerin toplama, çıkarma, çarpma ve böl me işlemleri yardımı ile meydana getirdiği bir ifadedir. ÖRNEK 1. 2/ = 1 4- 2 cosâ; y = Elemanter olmayan fonksiyonlar. Elemanter fonksiyon tanımına girmeyen fonksiyonlardır. ÖRNEK 2. dur. y 1,2 n elemanter olr .ayan bir fonksiyon Fonksiyon 15 ÖRNEK 3. O < a; < TC için f { x ) z = ı x ve tc < a; < 2tc için /(a;) = TC - X olan fonksiyon, elemanter olmayan bir fonksiyondur. 1.3 - 6. Tek ve çift fonksiyonlar. y ~ f { x) fonksiyonunda x yerine - x konulduğu zaman fonk siyon değişmiyorsa yani f ( - x ) = f ( x) oluyorsa fonksiyon, çift fonk siyondur denir. ÖRNEÇ, siyonlardır. y — - 3a;^ + 1 , y — f { x) fonksiyonunda x siyon işaret değiştiriyorsa yani tek fonksiyonudur denir. ÖRNEK 1. siyonlardır. y — cos x fonksiyonları çift fonk yerine — x konulduğu zaman fonk f (- x ) = -f{x) oluyorsa fonksiyon y = x^ , y = sin x ^y = t g x fonksiyonları tek fonk Grenel olarak, bir fonksiyon çift ve tek fonksiyon olmayabilir. ÖRNEK 2. siyondur. y = x^ 1 fonksiyonu ne çift ve ne de tek bir fonk 1.3 - 7. Cebirsel fonksiyonlar. ..., Tam rasyonel fonksiyon veya tam çok terimli (polinom) : Ooâı, ... sabit sayılar ve n tam ve pozitif bir sayı olmak üzere . y = + a^x^-^ + ... + a„ e a? in tam rasyonel fonksiyonu denir. Hemen görülebilir ki bu fonksiyon X in her değeri için tanımlıdır. ÖRNEK 1. y = ax h lineer bir fonksiyondur. ÖRNEK 2. y = axi^ + bx c (a?) in ikinci derece tam rasyonel bir fonksiyonudur. Bu fonksiyonun eğrisi bir paraboldür. Rasyonel kesirler : Bu tip fonksiyonlar iki tam çok terimlinin bö lümü olarak : 16 Bayiy değişken, fonksiyon OoiT" + aıx^~^ + ... 4y = h,x^ + + . . . 4_ şeklindedir. ÖRNEK 3. y = X fonksiyonu bir rasyonel kesirdir. Bu ifade ters orantılı bir bağlılık gösterir. Bu fonksiyonun eğrisi Şekil 10a ve b de gösterilmiştir. Fonksiyon, x in paydayı sıfır kılan değerlerinden başka bütün değerleri için tanımlanmıştır. Şekil ; 10b Şekil : 10a irrasyonel Fonksiyon : y = f { x ) fonksiyonunda bağımsız değiş ken kök altında bulunuyorsa, fonksiyon irrasyonel fonksiyondur denir. ÖRNEK 4. ı/ = 2x^ + \fx v/l + 5cc y = \/oo fonksiyonları irrasyonel fonksiyonlardır. Bu üç tip cebirsel fonksiyon bir tek şekilde tanımlanabilir. Po(a;) , Pı(x) Pnix) 1er a; in polinomları olmak üzere : j . . . j ' Po.(i») 2/" + M 2/"“^ + ... + Pn (^) = 0 (1) şartını sağlıyan y = f { x) fonksiyonuna cebirsel fonksiyon deııİT. (1) bağıntısı y ye göre birinci dereceden olursa rasyonel fonksiyon, aksi halde irrasyonel fonksiyondur. Fonksiyon 17 1 . 3 - 8 . Yüksek (Transandant) fonksiyonlar. Cebirsel olmayan fonksiyonlara, yüksek veya transandant fonksi yonlar denir. ÖRNEK. y = sin x , y =. 10* , y = lo g x fonksiyonlardır. 1. 1) f[x)=l—2x-{-x^ fonksiyonları yüksek BÖLÜME AİT PROBLEMLER olduğuna göre /(3) ü bulunuz. Cevap: /(3)=10 2) F{y)=y{y—Z)'^ olduğuna göre F(a:+3) ü bulunuz. Cevap: F(A:+3)=A:2(Ar+3) 3) F{x)=^ olduğuna göre F(tg x) i bulunuz. l+x^- Cevap : F(tg x)=sin a:(cos a:—sin x) 4) f(.x)=tgx 5) f(x)=log ise ^ l—x 6) f(x)=y/I+^^ 7) f(x)=x^ ve Hx-i-y)—f(x)= ^ 1—tg xt gy ise /(A:)+/(y)=/( — ise olduğunu gösteriniz. | olduğunu gösteriniz. I /(O), /(-3 /4 ), f(-xh [/W ]"S <Û)=2* olduğuna göre Cevap: f[<f>(x)]=2^\ fl<l>(x)2 ve i bulunuz. <t>[fix)]i bulunuz. <#>[/( at)]=2‘- Aşağıdaki fonksiyonların tanım aralıklarını bulunuz. 8) y=>^x+l Cevap: 9) y = V jt+ l Cevap: —oo<;e<H-oo 10) y-11) 1 Cevap : 4— J,= lo g ;o | ± ^ 2— X —1^ j^< + oo in a:= ± 2 den başka her değeri Cevap: —2< a:<4-2 18 Bayı, deği§ken, fonksiyon 12) ^=v/sin 2;t 13) / ( a:)=1 + 1/a: 14) C evap: ise 2-\-fix)f{y)=f{xy)-\-f{x)-{-fiy) <f>(x)=y^ olduğuna göre lanarak C evap: _^ü»02) — û ,0 2 3,0604 k‘it<;t'^(2k+l)Tc/2 h ı olduğunu gösteriniz bulunuz ve bundan fayda- değeri ni bulunuz. 2. BÖLÜM LİMİT VE SÜREKLİLİK 2-1 Bir değişkenin limiti 2 . 1 - 1 . Tanım. Bir X değişkeni sonsuz sayıda değerler alabiliyor ve sonunda, a gibi sabit bir sayıdan farkı, istenildiği kadar küçük kalıyorsa, x de ğişkeni a limit değerine yaklaşıyor denir ve işaretle : X veya lim x = a şeklinde gösterilir. Buna göre, a? in bir a limit değerine yaklaşması demek, e istenildiği kadar küçük, pozitif bir sayı olmak üzere : \x — a\ < t eşitsizliğinin sağlanması demektir. ÖRNEK 1. Sıra ile a :ı= l-k , X2 = l ^ , ®3=1-|- , . , 1 z O n 20 Limit ve süreklilik değerlerini alan bir x değişkeninin limitinin 1 olduğunu gösteriniz. k n -l| = 1+ - 1 -1 olup n i istenildiği kadar büyük seçmekle — < e kılınabilir. O halde : fi l^n — 1| < S olarak lim x = 1 dir. ÖRNEK 2. xn = ı + ( - l y Sıra üe aîı = l — y ^ X2 = l + ^ , 2“ değerlerini alan bir x o;3= l — ^ ^ ‘ değişkeninin 1 limitine yaklaştığım gösteriniz. | i » . - l | = |[ l + ( - ! ) " 2" < £ olması için 2“ > n log 2 > log logn> log 2 olmalıdır. O halde, n i bu eşitsizliği sağlıyacak şekilde seçebilirsek — 1| < e olarak Um ar = 1 olacaktır. Bu ise mümkündür. c gibi sabit bir büyüklüğün, bütün değerleri eşit olan bir değişken olarak düşünebileceğini daha evvel söylemiştik. Buna göre, sabit bir büyüklüğün limitinin de bu sabit değere eşit olacağı aşikardır. Zira, |ar— c| = |c — c| =^0 < £ olup bu eşitsizlik e > 0 sayısı için daima sağlanır. Bir değişkenin limiti 21 2,1 - 2. Sonsuz büyük ve sonsuz küçük tanunı. Bir X değişkeni, mutlak değer bakımından istenildiği kadar büyük seçilen pozitif bir N sayısından daha büyük kalıyorsa yani : \x\>N X, sonsuza yaklaşıyor denir. Sonsuza yaklaşan bir değişkene son suz büyük adı verilir ve ©o şeklinde gösterilir. ise ÖRNEK 1. X değişkeni, Xı = —1 , £i?2 = 2 , değerlerini alıyorsa bir sonsuz büyüktür. Zira |o?n] > N yan daima bir n bulunabilir. sa = ( —1)” n şartını sağlı- Eğer bir x değişkeni, N > 0 olarak N < x eşitsizliğini sağlıyor (-}- oo) a yaklaşıyor denir ve işaretle a? - » + ©o şeklinde gösterilir. ÖRNEK 2. Xı =z 1 , X2 = 2 y ... yXj^ = n değişkeni + ©© a yaklaşır. değerlerini alan bir x Eğer, bir x değişkeni, N > 0 olarak x < —N eşitsizliğini sağlı yorsa ( —oo) a yaklaşıyor denir ve işaretle o? — ©o şeklinde göste rilir. ÖRNEK 3. Xı = —1 , X2 = —2 , ..., 0?^ = —w bir X değişkeni — ©© a yaklaşır. değerlerini alan Eğer, bir x değişkeni sıfır limitine yaklaşıyorsa sonsuz küçük adını alır. x in bir sonsuz küçük olması demek : \x - 0 | = \x\ < t eşitsizliğinin sağlanması demektir. 2-2 Bir fonksiyonun limiti 2.Z -1. Tanım. y = f ( x ) fonksiyonu x = a noktası civarında tanımlı bir fonk siyon olsun. Bu fonksiyonun, a? in a ya yaklaşması (x a) halinde limitinin b ye eşit olması ( y - ^ b ) demek, istenildiği kadar küçük bir e’ > 0 sayısı seçildikten sonra : 22 Limit ve süreklilik |a? — a| < 8 olduğu zaman |/(a?) olacak şekilde bir S = 5(e) <e pozitif sayısının bulunabilmesi demektir. Bu takdirde, x , a y a . yaklaştığı zaman miti h dir denir ve işaretle : 1 i m x-â /(a?) fonksiyonunun li f(x) = b şeklinde gösterilir. ÖRNEK 1. 1i m a?-» 2 (2x + 1) =z 5 olduğunu gösteriniz, £ sa5usı verilmiş olsun. |(2aj + l ) ~ 5 | < £ şartınm sağlanması için : |2a; — 4| < e olmalıdır ki bu da bize 8= . olacağını gösterir, e seçilmiş oldu- ğuna göre bunun yarısı olarak ta 8 bulunmuş olacaktır. îhtar : Bir fonksiyomm, x -^ a halinde limitinin mevcut olabilmesi için, fonksiyonun x = a için tanımlı olması gerekli değildir. Bu tak dirde, fonksiyonun x z= a civarındaki (fakat a dan farklı) değerleri gözönünde tutularak limiti hesaplanır. ÖRNEK 2. Fonksiyon bilmesi için : 1i m X —^ 3 x = 3 ------- = 6 X 3 olduğunu gösteriniz. için tanımlı değildir. Verilen limitin doğru ola \x — 3| < 8 halinde x^ ____ 9 x —3 6 < £ ( 1) Bir fonksiyonun limiti eşitsizliği sağlanmalıdır, 23 a? = 3 için : (05 — 3) (a; + 3) -6 (x-S ) = |(ir + 3) — 6 |= |a? — 3 | < e (2 ) elde edilir ki, e ne olursa olsun ( 1 ) in sağlanabilmesi için ( 2 ) nin sağlanması gerekir. ( 2 ) de ise 8 = e olduğu görülmekle a?-^ 3 halinde verilen fonksiyonun limitinin 6 ya eşit olduğu görülür. 2.2 - 2. Sağdan ve soldan limit. a?in adan küçük değerlerden itibaren a y a yaklaşması halinde /(a 7) - > b ı oluyorsa, hıe /(ar) in ar-»a halinde soldan denir ve işaretle : 1 i m /(ar) = bı x-*â—0 şeklinde gösterilir. ar^ a dan büyük değerlerden itibaren a ya yaklaştığı zaman f ( x ) ^ 1)2 oluyorsa hz ye /(ar) in sacdan Zimifi denir ve işaretle : 1 i m ;ıc->-a+ 0 /(ar) = hz şeklinde gösterilir. (Şekil 11). Bir fonksiyonun sağdan ve soldan li mitleri mevcut ve birbirine eşitse yani : bı = &2 = & ise, h, fonksiyomm ar a halinde yukarıda tammlanmış olan limi tidir. Karşıt olarak /(ar) fonksiyonunun ar->a halinde bir b li miti mevcutsa, bu noktada sağdan ve soldan limitleri de mevcut ve birbirlerine eşittir. Ancak, bı = bz = h halinde fonksiyonun hakiki manada bir limitinin mevcut olduğu söylenir. ÖRNEK 1. /(ar) = -|^ fonksiyonunun ar 0 halinde ve soldan limitlerini hesaplayınız, ar < 0 halinde jarj = — ar olarak /(ar) = — 1 yani sağdan 24 Limit ve süreklilik . . X . 1 1 «1 ITT = — 1 ; *-►-0 l!»l « > 0 halinde ise |iB| = » olarak /( » ) = + 1 3rani a; 1 i m -j^ = + 1 ÖRNEK 2. -î Şek il: 12 halinde ise g(x) = 1 - » + \x — l\ fonksiyonunun a ? -> l halinde sağdan ve soldan limitlerini hesaplayınız. a; < 1 halinde |a; — 1 |= — ( a ; 1 ) ve g(x) = 1 — x — l = —X olarak : 1 i m x>l dir. (Şekil 12). g(x) = — 1 ; |a? — l| = £c — 1 ve fir(a;) = 1 — a; + 1 = 2 — a? olarak : 1 i m ;r-^.l + 0 g(x) = + 1 dir. (Şekil 13). Her iki örnekte de fonksiyonların eğrileri ikişer yarım doğru par çasından meydana gelmişlerdir. Bu doğrular, eğrilere ait olmayan iki noktaya yaklaşmaktadırlar. Zira /(O) ve g(l) tanımlanmamıştır. Şimdi de a?-> ©o halinde /(a?) fonksiyonunun limitini tanımlaya lım. a?-» oo halinde f(x) fonksiyonunun bir b limitine yaklaşması demek, istenildiği kadar küçük bir e > 0 sayısı seçildikten sonra : |a?| > olduğu zaman |/(a?) — b| < e olacak şekilde bir N pozitif sayısının bulunabilmesi demektir. Bir fonksiyonun limiti 25 OC“h 1 1 i m --------- = 1 00 ^ ÖRNEK 3. e olduğunu gösteriniz. ne olursa olsun : eşitsizliği |o?| > İV halinde sağlanmalıdır. Gerçekten : 1 X 1 \ . 1 + — -1 V < £ |cc| > -^ = N olarak s istenildiği kadar küçük seçildiği zaman N bÜ5dik olur. istenildiği kadar 2.2 - 3. Sonsuza yaklaşan fonksiyonlar. Şimdiye kadar x - ^ a veya x - ^ o o halinde f {x ) in bir h sonlu limitine yaklaşmasını inceledik. Şimdi de x herhangi bir değere yak laştığı zaman f{x) in sonsuza yaklaşması halini inceleyelim. halinde f { x ) in sonsuza yaklaşması veya x - ^ a halinde f (x ) in sonsuz büyük olması demek, N gibi istenildiği kadar büyük pozitif bir sayı seçildikten sonra, \x — a\ < 5 olduğu zaman \fix)\>N olacak şekilde bir 8 > O sayısının bulunabilmesi demektir. Bu şekildeki bir limit : 1i m x-â f{x ) — oo veya f (x ) oo şeklinde gösterilir. x - ^ a halinde f (x ) in pozitif değerler veya nega tif değerler alarak sonsuza yaklaşma halleri de 1 i m f(x ) = 4-00 X d ve 1 i m f(x) = — oo X —>■d 26 Limit ve süreklilik işaretleri ile gösterilir. ÖRNEK 1. 1 i m 7-------- = + « Limit doğru ise N > 0 olduğunu gösteriniz. olarak : 1 a -coy >N veya 1 — a: |< — = S olması gerekir. Halbuki N i istenildiği kadar büyük bir sayı seçmek suretile 8 istenildiği kadar küçük kılınabilir. (Şekil 14). X halinde /(a?) sonsuza yaklaşıyorsa : x-*‘ — co İhtar : f(x) fonksiyonu, x - ^ a halinde sonlu ve sonsuz bir limite yaklaşmayabilir. ÖRNEK 3. 2/ = sin x fonksiyonu — 00 < x < +00 aralığmda tanımlıdır, fakat 00 halinde bir limiti mevcut değildir. y — sin — fonksiyonu a; = 0 değeri hariç, x in diX ğer bütün değerleri için tanımlıdır. Ancak, a; -> 0 halinde sonlu veya sonsuz bir limiti mevcut değildir. ÖRNEK 4. Bir fonksiyonun limiti 27 2.3 - 4. Sınırlı fonksiyonlar. Tanım aralığındaki bütün x değerleri için, \ f ( x ) \ < M eşitsizli ğini sağlıyan bir M pozitif sayısı mevcutsa y — f(x) fonksiyonu sı nırlı bir fonksiyondur denir. Böyle bir sayı mevcut değilse fonksiyonun gözönüne alman aralıkta sınırlı olmadığı söylenir. ma ÖRNEK 1. y = oci^ + 2 > 2 dir. 2 fonksiyonu aşağıdan sınırlıdır. Zira dai ÖRNEK 2. y = sin x fonksiyonu — ©o < x < -f ©o tanımlı ve sınırlıdır. Zira, bütün x değerleri için : Isin I aralığında = M dir. 2.2 - 5. Çok kullanılan bazı limitler. 1i m 00 1i m AT-^+ O 1i m ^ x-ıÔ 1 i m TZ■~ 0 = ~ tg flc = + oo 1 i m a? sin — = 0 OG (Çünkü, ise ise 1 i m -1 - - oo x-i^-0 X j 1 i m \ =0 X -h O O x^ » 1 i m TZ + 0 . 1 sın — ^ 1 X olduğundan 1n fn > o lıma?"={ lw < 0 > ve tgo 5 = 1a? 1 < e a? sin — ^ Iaî I < £ dir.) X 0 . , . »lım a ?” oo n > 0 ise in < 0 ise oo 0 28 Limit ve süreklilik 1 i m a" = n -*■co a a a a > = < < 1 1 1 —1 ise ise ise ise oo 1 (n > 0 ve 0 limit yoktur. a sabittir.) 2-3 Limite ait esas teoremler TEOREM I. Sonlu sayıda fonksiyonun toplamının limiti, burüarın lim itleri toplamına eşittir. Yani lim(Mı + W2 + . . . 4- Wk) = lim U\ + lim U2 + ......... + lim Wk dır. İs pa t: îki fonksiyon alarak ispatı yapalım. lim x-â u= h lim V =c lim (u-i-ı;)z=54-c a ise a dır. u ve V nin x - ^ a halinde limitlerinin h ve c olabilmesi için gerek ve yeter şart şudur. İstenildiği kadar küçük her £ > 0 sayısına öyle i ' , 5" pozitif sayıları karşılık tutulabilir ki her : İ5C— a|<S' için |î^— b|< \x — a| < 5 " için \v — c\<-^- ve her : eşitsizlikleri sağlansın. 5', S" sayılarının herbirinden küçük olan bir sayıyı S olarak seçelim. O takdirde, \x — a\ < 8 eşitsizliği sağlan makla, |o; — a| < 5' , \x — a\ <5" eşitsizlikleri de sağlanır. Nihayet : \ u -h \ < ^ |v — c| < Lirhite ait esas teoremler 29 eşitsizlikleri taraf tarafa toplanırsa : |w — b| + |v - c| < e elde edilir. Bir toplamın mutlak değeri, terimlerinin mutlak değerleri toplamından küçük veya ona eşit olup : \u + V - (b + c)\ ^ \u-h\ + \v - c\ < z yazılabilir. Bunlara göre : \u -\-v olarak u+ v nin limitinin ib + c) \ < z b+ c olduğu gösterilmiş olur. ÖRNEK 1. 1i m x-^ co = 1i m X~ at- » . c o + —] = lim \ X-t^CO 1 + lim — = 1 + 0 = 1 X-*ÔS ^ 1 i m (2 sin x —cos x + cotg x) ÖRNEK 2. 2sin a?-lim = lim TZ cos a? + 1 i m TZ cotg x TZ ^"^2 = 2- 0+ 0=2 TEOREM il Sonlu sayıda fonksiyonun çarpımının limiti, bunla rın limitleri çarpımına eşittir. Ya ni : lim Uı .U2 ... Uy, = lim Uı. lim Ua ... lim Uy dır. i s p a t: u ve V gibi iki fonksiyon alalım. lim x-â u =zb lim V= c x-â olsun, uv çarpımının limitinin bc ye eşit olduğunu göstereceğiz. Bu nun için de uv — bc farkının sıfıra yaklaştığını göstermek yeterlidir. Bu fark : uv — bc = u iv — c) + c (w — b) şeklinde yazılabilir. Bu ifadenin ikinci tarafını teşkil eden terimlerden herbirinin limiti, 30 Limit ve süreklilik lim u =zb lim V= c ve V — c-ô % u — h-ô , olarak sıfırdır. Bunlara göre : uv — bc-^ o olup uv çarpımının limitinin ÖRNEK 3. bc £t? 1 i m sin a? tg TZ ^ X-*-— 2 olduğu gösterilmiş olur. = 1 i m sin a?. 1 i m tg TZ İZ -- X~h— 2 £C = 1 .1 = 1 ^ 2 Bu teoremin bir sonucu olarak, sabit bir çarpanın limit işareti dışma çıkarılabileceği söylenebilir. ÖRNEK 4. lim a?->5 ^ 3 3a?2 = 3 . 1 i m a?->5 25 = 75 TEOREM III. iki fonksiyonun bölümünün limiti, bölenin limiti sıfır dan farklı olmak şartiyle, bunların limitleri bölümüne eşittir. Yani u hm u hm — = 7:-----V hm V (lim V 0) dir. ispat : lim u = b lim V = c olsun. Bu takdirde .. u b hm — = — V c olduğunu göstereceğiz. Bunun için de u V b c farkının limitinin sıfır olduğunu göstermek yeterlidir. Bu fark u V şeklinde yazılabilir. b c(u - b) —b(v —c) cv Limite ait esas teorem ler u— 31 V— c -» 0 olup ikinci tarafın payının limiti sıfırdır. O halde ikinci taraf sıfır li mitine yaklaşacağmdan : ,. w b hm — = — V c dir. 1 i m (2x + 3) ÖRNEK 5. 1i m ^ ^ İ l m (305-2) AT-►1 = -?- = 1 1 1 i m sin 2x TC ÖRNEK 6 . 1 i m ^ ® sin 2o5 tg x ^------ = ~r = ^ 1 1 m tg ® 1 4 * -"1 - X ÖRNEK 7. ■» oo x -^ 2 TEOREM IV, Bir değişkenin n. kuvvetinin limiti, hu değişkenin li mitinin n. kuvvetine eşittir. ÖRNEK 8 . 1 i m (a;2 - 1)2 = 05-» 2 [1 i m (oc2 - i) ]2 = (4 - 1)2 = 9 05-» 2 2-4 Limite ait uygulamalar 2A - 1 . X in bir tam çok terim lisi x'le beraber sonsuz olarak artar. 3/ = ao 05™ + a ı 05™ " + . . . + a „ _ ı 05 + a, ise » = * - h + ^ + -+ s 5 ^ + ^ ] yazılarak : lim 05 y = 1i m oo 05—» oo Oo05“ 32 Limit ve süreklilik olduğu gösterilebilir. Buna göre, x -^ oo halinde, £cin bir tam çok terimlisinin limiti, en yüksek dereceli terimin limitine eşittir. Bu se beple : 1 i m e z= 0 İT—> oo olmak şartiyle ©o halinde y = Ooa;” { l + e) yazılabilir. ÖRNEK 1. 1i m a?->oo W — 3a?) = 1 i m a?->oo a?^ = ©o a? - oo ise a? “ » + oo ise ÖRNEK 2. 1 i m (a?^ - 3a;2 + 2) = 1 i m a?—> oo o?—» oo — oo + oo 2 .4 -2 . X ^ oo halinde bir rasyonel kesirin lim iti ; En genel şekilde bir rasyonel kesir : 2/ = ao a?” + Ui + . . . + am_ı a? + a„ bo a?“ + bj a?“ ^ + . . . + b„_ı a? + b„ şeklindedir. l i mt / = l i m a ? -> o o a?->oo ao a?"* + . . , + g, bo a?" + . . . + ba , . ao a?” 1 1 I» i:— İT a,^co !«" olup 1 i m 2/ = 1 i m a?->oo bo a?" a?—>oo m< n m '> n ise ise n ise =0 = ~ ao = bo dır. Bu halde' de y = ao a?™(l + El) bo a?”( l + £2) ao a?" gp ag” ( l + e)-> bo a?‘ bo a?^ yazılabilir. Bunlara göre, bir rasyonel kesrin, a?-^ ©o halinde limiti, pay ve paydadaki en yüksek dereceli terimlerin oranının limitine eşittir. Limite ait esas teoremler 1 •İl m + 3a? a?->oo 'T ^ i ÖRNEK 1. 1 •2 x ^ + x ^ /^r»TVTT7.TT o « ÖRNEK 3. 33 , . 2x^ . . 1 ı m ^ = 1 1 m a; = oo x->^ — 5 , . 2x ^ 1 , . 2x + 6 . . 2x . , 2 ^ 1 1 m —.. . ^ =1 ı m-7r = l ı m — = 0 flc ^ + 3 X ^ X X-ôo a?-ôo 05—>oo 2.4 - 3. Bir rasyonel kesirin pay ve paydasının beraberce sıfıra yaklaşması halinde lim iti. ^ ~ g ( ^ bir rasyonel kesir olsun. g(a)=0 xâ rasyonel kesri oluyorsa halinde /(a) = 0 , belirsiz şeklinde olur. f(a )= 0 , g(a)=0 olduğuna göre f ( x ) ve g ( x ) çok terimlileri a?—a ya bölünürler, /(a?) ve g{x) i ( x —a) nın mümkün olan kuv vetinde paranteze alırsak : f{x y = (x - a)^ P(x) olur. Bu halde P(a) ve Q{a) ; g(x) = (x - a)" Q(x) sıfırdan farklı olurlar. Bunlara göre : _ /(a?) __ {x — g)*" P(x) y = g{x) (X - ap Q(x) olup a? -> a halinde kesri Qix) (x — a)*" = 1 m = n ise m > n ise (x — g)"* (x — ap m < n ise (x — o)*" ______1 (a? — a)“ ~~ (x — ay olur. (X - ap ^ 7 7 7 limitine yaklaşır ve Q(a) (x — a)™~“ olarak ffx) ^ P ( a ) 1i m , . Q (a ) a:-â olarak l i m ^ = 0 x-â £'(«’• olarak f(x) _ 1im g{x) x~â 34 Limit ve süreklilik ÖRNEK 1. , . — 2x^ 35^ + 3 3 5 -1 0 1i m ~ 2x^ * + 3» - 10 ÖRNEK 2. 1 i m — 9 , . x\x - 2) - . x'^ a,_^2 + 5) (« - 2) a,_>2 * + ® x"^ — 1 —9 353-305-2 , . 353-1 , . A 1 m o c% **" A 1 x -> -l ^^-ôc-2 (05 - 1) (05 + 1) / c% \ / I \'> - 2) i x + l y , . 0 5 -1 A 1 lîi / ^ I \ (a; * - 2)(a? + 1) 2.4 - 4, irrasyonel cebirsel fonksiyonların limitleri ÖRNEK 1. \/2x + ^ - \^2x — 1i m 7ı->0 9 , . \j2x h - \/2x , . 2a; + Tl - 2a; 1 1 m --------------------- = 1 ı m fı-^ 0 M\/2x + Tl 4- \/2x) x-^0 ^ = 1i m ÖRNEK 2. 1 1 \/2x + h + \^2x 2\f^ x + l-^\/x^ + l 1i m a; -> 0 „ X (X 4- l y - (x^ + 1) a; + 1 - ^---------+ î = 1, 1. m 1 1 m ------------X 0 3c[(i» + l ) ' + (a?+l)Va^ + 1 + x -> 0 + , . 3a; 4- 3 = 1 1 m ---------------------------- —--/x;_> 0 (a? + 1)^ + (a; 4- 1)V^^ 4 -1 4 - V(a;^ -f 1)^ = 1 ÖRNEK 3. gösteriniz. 1 i m\^x^ + px + q = 1 i m X 4- P X X — > 03 > <» olduğunu Limite ait esas teoremler î/ = farkının + pac + q - IX + a;-> oo ^ 'p a , + g, _ y/jp2 ^ P^ 35 ^ £ halinae limitini arıyalım. (a?2 + pa; + g - V 4- pa; + ~ j 2/ = v V + px + + pa; + ^ + yâ;^ + po; + ^ olarak 1 i m p = l i mK/a;2 + pa? + g - \/£C“ +p a; + ^ a?-> oo a ;-^ o o L V = 0 4 J dır. Bu ifadeden ise : 1 i mvâî^ + paî + g = 1 i m y iaj^+ pa; + ^ = 1 i m a?-» oo aj—> o o » ^ 3j_^co 2 bulunur. Bu sonuçtan : 1 i m v/a;^ + px + g = 1 i m x + -|-] x— >+ ~ a?—> + oo L ^J 1 i m vâ;2 4 - pa? + çf = 1 i a j-> — ~ m- x-^—oo L a? 4 --f- ^ J eşitlikleri yazılabilir. M -5. Halinde a; fonksiyonun lim iti. Bu fonksiyon a? = 0 için tanımlı değildir. Zira a? = 0 için pay ve payda sıfır olmaktadır. Şimdi, a? 0 halinde bu fonksiyonun limitini hesaplıyahm. Yarıçapı 1 olan bir daire gözönüne alalım. (Şekil 15) MOP merkez açısına x diyelim. TC 0 < a? < - ^ olsun. Şekilden : ^ daire dilimi Alan MOA < Alan MOA < Alan TO a ( 1 ) yazılabilir. 36 Limit ve süreklilik MOA üçgeninin alanı = - ^ OA . MP = MOA daire diliminin alanı = ~ OA . AM = ^ . 1. a; = TOA üçgeninin alanı = dir. Bu değerleri (1) . 1. sin x = ^ sin x cc . OA . AT = - ^ . l . t g a ? = - | - t g a ; eşitsizliğinde yerlerine koyar ve ile kısaltırsak sin a? < a? < tg a; ve her iki tarafı sin x le bölersek 1 < X sın X 1 cos X < — — veya - ^ sın a; ^ 1 > ------- > cos X X elde ederiz. Bu eşitsizliği a;>0 farzederek elde ettik, sin ( - x ) sin x ------------- = -------olarak eşitsizlik ve cos[(—x ) — cos X a; < 0 halinde de sağlanır. 1i m a:-> 0 cos a; = 1 sın X ifadesi x - ^ 0 halinde 1 ile 1 e yak X laşan bir değişken arasında kalmaktadır. O halde olup bu eşitsizliğe göre , . sın a; 1 1 m ------- = 1 X a;- > 0 dir. ÖRNEK 1. 1i m a;- > 0 ^ sın X = 1i m — ^ a;- > 0 ^ cos a; Limite ait esas teorem ler sın X = 1i m iC->0 1i m ^ = 1 ÖRNEK 2. 1i m a?->0 sin kx sin kx = 1i m k X kx cc->0 = fc. 1 i m X -> 0 sin kx kx = k.1 = k ÖRNEK 3. X 2 - COS X . . 1 i m - ---------- = 1 1 m a?“ >0 ^ a;->0 X . = 1i m x-> 0 = ÖRNEK 4. 1i m a?->0 1.0 = 0 sın ax ^ aa; ^ sin Pa; Ç>x sin (XX _ 2 £ sinPa? li m a a:->0 J X JU . X ^ - sı n X . Â li m x-ô 1 sin «a? OLX sin Pa? pa; g " 0 1 37 38 Limit ve süreklilik 2-5 Fonksiyonların sürekliliği* 2.5 - 1 . Süreklilik tanımı. y = f ( x ) fonksiyonu x = a için tanımlı olsun. Bu takdirde x = a için y = f ( a ) dır. x e pozitif veya negatif bir Ax artımı verelim, y fonksiyonu da bu artıma karşılık bir Aa? artımı alır. Bu takdirde fonk siyonun yeni değeri 2/ -f Al/ = /( a + Aa?) olur. Fonksiyonun artımı : ^y=f {a•¥^x)-^{a) dır. Tanım ; y = f{x) fonksiyonu 1i m Aa:"^ o x —a Aî/ = 0 için tanımlı ve ( 1) İse, fonksiyon x —a için süreklidir denir. ( 1 ) ifadesi 1 i m Aa?-> 0 [f( a -\ r\ x )- f(a )]—Q şeklinde de ifade edilebilir. Bir fonksiyonun bir noktadaki sürekliliği, geometrik olarak, |Aa?| Fonksiyonların sürekliliği 39 yeter derecede küçük olduğu zaman, y =. f ( x ) fonksiyonunun eğrisi üzerindeki, a -f- Aa? ve a apsisli noktalarının ordinatları arasındaki farkın, bir sonsuz küçük olduğu peklinde de izah edilebilir. (Şekil 16) ÖRNEK 1. y —x^ fonksiyonunun x duğunu gösteriniz. in her değeri için sürekli ol y = x^ Ay = (x -h Ax)^ - x^ Ay = 3x^ .Ax + 3x. { A x f + (Ao?)^ 1 i m A 2/ = l i m [3x^. Acc + 3 . (Aa;)^ -f- (Aa;)^] = 0 Aa;->0 Aa;-»0 olarak x in her değeri için, Ay gösterilmiş olur. nin Ax le beraber sıfıra yaklaştığı ÖRNEK 2. y z= cos x fonksiyonunun x olduğunu gösteriniz. in her değeri için sürekli y = cos X Ay = cos (x + Aa:) - cos x ^ . Ax . / Ax \ A y = - 2 sın - y - sın la; + - y - j • 1 i m Aı/ = l i m - 2o sın Ax->0 Ax->0 L sın in |a; -+ Ax 1 i m Aa; = 0 Ax-»0 olarak y = cos x fonksiyonu x in her değeri için süreklidir. Bu iki örnek bize, her elemanter fonksiyon için aşağıdaki teore min söylenmesine imkân verir : TEOREM. Bütün elemanter fonksiyonlar, noktada tanımlıdırlar. sürekli oldukları her İspat: Süreklilik şartı olan : 1 i m [ /( o + Ax) — / ( a ) ] = 0 Aa? 0 40 Limit ve süreklilik ifadesinden 1 i m Ax-^0 f(a-\-Ax) = f(a) veya 1i m x->a fix) = fia) yazılabilir. Diğer taraftan a = 1i m x-^ a X olduğundan 1i m x-> a f {x ) = /(I i m x-^ a x) = f(a) yazılabilir. Bu da bize, bir sürekli fonksiyonun x - ^ a halindeki li mitinin, f {x ) ifadesinde x yerine a değerini koymak suretile elde edilebileceğini gösterir. ÖRNEK 3. duğuna göre y = x^ fonksiyonu x in her değeri için sürekli ol 1i m x-â lim x-^3 = 3^ = 27 dir. ÖRNEK 4. 2/ = cos x duğuna göre : 1 1• m 1 X fonksiyonu x in her değeri için sürekli ol cos X = cos — = v^2 --- 4 dir. ÖRNEK 5. 2/ = 10"^ ^ ^ l^^r değeri için sürekli olup Fonksiyonların sürekliliği 41 1i m x-â 10*=10“ dır. Tanım . [ a , &] aralığının her noktasında y z=z f {x ) fonksiyonu, hu aralıkta süreklidir denir. y =z f {x ) olan hir fonksiyonu x = a için tanımlı ve 1i m İse f ( x ) sürekli fonksiyonu, x=a f {x ) - f(a) için sağdan sürekli; 1 i m f(x)=f(h) 0 İse f {x ) fonksiyonu soldan süreklidir denir. 2.5 • 2. Süreksizlik tanımı. Süreklilik şartlarından herhangi birisi mevcut değilse yaıîi f ( x ) fonksiyonu x = a için tanımlı değilse veya 1 i m f ( x ) mevcut değilse veyahut da x-^ a 1i m x-^ a f {x ) ^ f { a ) ise fonksiyon a; = a için süreksizdir denir. Bu halde noktaya, fonksiyonun süreksizlik noktası denir. ÖRNEK 1. fonksiyon a?=0 a? = a apsisli 2/ = “ 3" fonksiyonu a? = 0 için süreksizdir. Çünkü X için tanımlı değildir. Diğer taraftan 1 i m !B-»0 + 0 -ö® 1 i m -T- = a;->0—0 a;3 dır. ÖRNEK 2. y = 10^ fonksiyonu a? = 0 için süreksizdir. Çünkü : 42 Limit ve süreklilik 1 i m aj->0 + 0 1 i m £C~^0-0 10 = oo 10 = 0 olarak fonksiyon ğildir. (Şekil 17) o;= 0 ÖRNEK 3. f{x) = 7^ için tanımlı de fonksiyonu: 05<0 için T ^ = -l a: > 0 için îJ| = + 1 ve X 1 i m iix) = 1 i m T—7 = - 1 a?-»0“ 0 ic-»0 -0 X 1 i m i(x) = 1 i m p-r = 1 a;-^0+0 £c-»0-0 olarak a? = 0 için tanımlı değildir. Böylece de dir. (Şekil 18) a; = 0 için süreksiz Şekil: 18 ÖRNEK 4. 2/ = sin — fonksiyonu X Tanım . f(x) mevcut, fakat a? = 0 için süreksizdir. fonksiyonu, sağdan ve soldan limitleri sonlu olarak 1 i m x-^ a+ o f(x) 5*^ 1 i m x -^ a -0 f(x) ve X = a için tanımlı olmayan bir fonksiyon ise taya birinci neviden süreksizlik noktası denir. x= a apsisli nok Fonksiyonlarm sürekliliği 43 X fonksiyonu için l»l den süreksizlik noktasıdır. (Şekil 18) örneğin f{x) x z= 0 noktası birinci nevi Sağdan ve soldan limitlerinden en az birisi sonsuz ise noktaya ikinci neviden süreksizlik noktası denir. Örneğin f{x) = — X süreksizlik noktasıdır. fonksiyonu için a? = 0 noktası ikinci neviden 2.5 - 3. Sürekli fonksiyonlarm özellikleri. Verilen bir aralıkta sürekli olan bir fonksiyonun eğrisi kesiksizdir, fonksiyonu a? in her değeri için sürekli olup eğrisi de bilindiği gibi, kesiksiz bir eğridir. TEOREMİ. y —( x ) fonksiyonu [a jh ] kapalı aralığında sürekli bir fonksiyon ise, hu aralıkta en az bir x = Xı değeri vardır ki bu de ğer için : fiocı) ^ f i x ) dir. Aynı şekilde, bu aralıkta en az bir ğer için ; x= X 2 değeri vardır ki bu de fiX 2) < f ( x ) dir. /(a?ı) e y = f ( x ) fonksiyonunun [a , b] kapalı aralığındaki ew büyük değeri; f(x 2) değerine de y = f ( x ) fonksiyonunun [a ,b ] kapalı aralığındaki en küçük değeri denir. TEOREM 2. [a ,b ] kapalı aralığında sürekli olan bir y = f { x ) fonksiyonu, aralığın sınır değerleri için değişik işarette değerler alıyor sa, bu aralıkta en az bir x = c değeri için sıfıra eşit olur, yani a<c<b olarak f{c)=0 dır. TEOREM S. [ a , b ] kapalı aralığında sürekli o l a n ^ y = f ( x ) fonk siyonu, fia) ile f{b) arasındaki her değeri en az bir defa alır. 44 Limit ve süreklilik 2.5 - 4. Örnekler . ÖRNEK 1. f {x ) — Oç^ıc^ -f aıX^~^ + ... + a^^-iX +an x in her değeri için süreklidir. şeklindeki x İD. bir tam çok terimlisi ÖRNEK 2. P{x) f{x) = —y -r şeklindeki her rasyonel kesir, paydayı sı- fır kılan değerler hariç, • x in diğer bütün değerleri için süreklidir. OlP' “h 1 y — —3— — fonksiyonu x = — 2 y X — 0 , x = ı 2 X — ğerleri hariç, diğer bütün x değerleri için süreklidir. Örneğin ÖRNEK 3. X <0 için f(x) = X X > 0 için fix) = X de- 2 olan f (x ) fonksiyonu x = 0 için süreksizdir. Çünkü /(O) = 0 oldu ğu halde : 1i m f {x ) = 0 A.'->0—0 1 i m f(x) = 2 a:-> -0 + 0 dir. 1 X—3 ÖRNEK 4. f(x) = + 1 fonksiyonunun süreksizlik noktasını 2* ’ - 1 2*” belirtiniz. f{x) = 1 + olup X = 3 için tanımlı değildir. Diğer taraftan : 1i m a:->-3+ 0 olarak f(x) = 1 1 i m f (x ) = - 1 ath.3 - 0 a; = 3 , fonksiyonun süreksizlik noktasıdır. Problemler 45 BÖLÜME AtT PROBLEMLER Z. 1. I i m X 2. 1 i m 10 00 .V ; f 00 5 at -I- 1 2x^ — X + 3 a:3 ~ 5. l i m 7. 1 i m X-^ 00 Cevap: 0 4a: + 5 a:5 + .V -► 00 6. 1 i m ATH- 00 Cevap:' » 3a: + 7 .V -► 00 00 Cevap: 0 1 — 3. 1 i m 4. 1 i m Cevap: 1 *2 + 1 Cevap: 72 5 2a:2 — 3a: — 4 Cevap : 2 yjx^+ 1 2a: + 3 Cevap : 2 X - f 3y/AT 8. 1 i m a:-». 00. 9. 1 i m X -h 00 10. 1 i m a:-», co 11. l i m x-^2 12. l i m X Cevap: oo 10 + x ^ x s/: Af2 — 3ac + 2 a:2 — (a + a: -►1 1) a: + . l —x ^ 7— 1 a: - 1 a 2 Cevap: a — 1 3a2 r3 — /,3 Ah-0 15. l i m Cevap: x^ — 4.V + 3 13. l i m x-t-l Cevap: 1 V a: + V'^;c + \/;c a 14. l i m Cevap: 0 x+ l 1 — a:3 Cevap: Zx^ Cevap: — 1 Cevap: — 2 46 Limit ve süreklilik 16. 1 i m AT 64 17. 1 i m X -►1 18. 1 i m X 1 19. 1 i m xh^7 20 . 1i m X -► 8 21. 1i m V^x-8 V ^ -4 C evap; 3 v r -1 C evap: V * -ı ’ V /P - 2 ’ V ^ + 1 ( at - D» C evap: 2-\Jx-Z x2 — 49 C evap: x - 8 22. 1 i m X 4 23. 1 i m ^x- C evap; 12 1 C evap: 3 2 C eva p: — Jl 3 y/l + X — Vl — X C evap: 1 X V^x 4- A — V^x h C evap: 25. 1 i m ^-►0 '>Jx 4- h — h C evap: 26. 1 i m X 3 v/x* — 2x 4- 6 — V^x^ 4- 2x — 6 X* — 4x 4- 3 C evap: im h-^0 1 1 56 3 — Vs + A1 — v/5 — X XH-0 24. 1 9 S x -2 V^—1 X -+• 1 4 3 1 2 V^x X 3V ^ 27. 1 i m (V'r + a — Vî) Cevap: 0 28. 1 i m [V'jrCı + a) —J(] Cevap CO a:-^+ co 29. 1 i m - 2) oO Cevap X -* -+ 00 30. 1 i m X CO (x + V l - * " ) Cevap; 0 31. 1 i m sın X /-I Cevap:. -sin j -2 xı^2 Problemler 32. 1 i m AT-►«5 sın A 33. 1 i m a: -►0 sin 3a 34. 1 i m ath.0 sin 5a sin 2 a Cevap: 35. 1 i m A'-►1 sin Tix sin Stta Cevap: J_ 3 Cevap: 0 A 3 Cevap: A 2 Cevap : Ti 36. 1 i m CO Cevap: J_ 2 37. 1 i m x-*-0 1 — COSA 38. 1 i m X a sin A— sin a X— a Cevap: COSa 39. 1 i m X a COSA — COSa X— a Cevap: a2 40. 1 i m tg 'KX x ^ —2 A + 2 — sin Cevap: Tt 41. 1 i m h-^0 sin(A + A) — sin A h Cevap: COSA 42. 1 i m Tt sin Cevap; 43. 1 i m X -*■ 44. ] i m A A -► 1 46. 1 i m A -4 . 0 A -► 7C 1 V^2 Cevap: 0 A A sin Cevap: — A ( 1 - a) t g - ^ 2 cotg 2.A cotg 1 - 5 - Cevap: — 1 Cevap — 1 Ti : 1 1 47. 1 i m COS A 1 - tg A A — sin — X -► .00 45. 1 i m 47 2 sin — Ti — A 2 Cevap; 0 48 Limit ve süreklilik 48. 1 i m ;c -► ü 49. 1 i m 1 — COS A C evap: a2 1 4 V^l + sin A — V l — s in a C evap: 1 A 50 . 1 i m TC X -*■---3 1 — 2 COS A 1 i m 0 52. 1 i m H- 1 sin Tzx 1 i m ath- 0 A + sin 3 a 54. 1 i m A 1 V^3 tg A — sin A 51. 53. 1 C evap: 7C — 3 a C evap : a3 1 - 1 2 a2 C evap : X — sin 2 a 2 _1_ C evap: 4 COS - î i 2 C evap: TC C evap: 2 \ -yJ x [vf 55. 1 i m AT-> 0 56 . 1 1 m A-+- 00 C evap: 0 57. 1 i m ah . 0 •C e v a p : 1 58. 1 - i ] ' C evap: 1 i m A H- 1 1 4 2x 59. 1 i m AH- 00 C evap: W 1 0 J" sin X 60. 1 i m A H .0 61. 1 i m A h- co r a2 - 2 a + S 1“ ^ 1 a2 - 3a + 2 J f A^ + 2 2a2 + 1 3 C evap: C evap: 2 0 49 Problemler i m [log(2AT + 1) — log (x + 2)] 62. 1 X-hCO Cevap : log 2 63. 1 i m --------;e->—00 V^2 1 Cevap : —1 64. 1 i m Cevap: AT-^+ OO + 1 1 65. 1 i m 1 Cevap: 1 AT-^0-0 1 + 10' 66. 1 i m Cevap: 0 ;,^0 + 0 1 + 10'^^ 67.. 1 i m , ' ^ " .1 . Cevap: —1 68. 1 i m --- ---- İ-: Cevap: 1 a:h-1-0 a:- > H -0 1a: — 1 i i a: — 1 i Aşağıdaki fonksiyonların sürekliliklerini inceleyiniz. 69. y Cevap : a: = 2 Süreksizlik nok. Cevap : a: = —1 Süreksizlik nok. 71. y = \h + x — 3 a:2 — 4 Cevap : a: = 72. y = ^ Cevap: X= 0 » » Cevap: x= 0 » » x~2 70. y = 1 + 1 + a: I a:1 73. y = sin — — 2vex^ = 2» » X Yüksek Matematik I F. 4 3, BÖLÜM TÜREV 3 -1 Türevin tanımı y = f ( x ) y verilmiş bir aralıkta tanımlı bir fonksiyon olsun, o? in bu aralıktaki herbir değeri için, y = f { x ) fonksiyonumm belirli bir de ğeri vardır. X e bir Ar» artımının verildiğini düşünelim. Bu artımın, pozitif veya negatif oluşunun bir önemi yoktur. x in bu artımına karşılık y de bir At/ artımı alır. Böylece bağımsız değişkenin x ve x -{■ Lx de ğerlerine karşılık y — f { x ) ve y A y = f ( x + Ax) değerlerini elde ederiz. y fonksiyonunun Ay artımını hesaplıyalım. î/ + At/ = /(o; + Ax) olarak Ay = f ( x + Ax) — f (x ) dir. Şimdi de fonksiyonun bu artımını, bağımsız değişkenin Ax artımı na oranlıyalım. Ay __ f(x + Ax) Ax ~~ Ax f(x) Türevin tanımı 51 ve bu oranın, Aic->0 halindeki limitini hesaplıyalım. Bu limit mev cutsa, fonksiyonun türevi adını alır ve işaretle , y , do? şeklinde gösterilir. O halde : 1i m Aa:-*.0 ^ - y - f\ x) = ^ veya . 11 m Ax-.0 /(a?+Aa?) - /(5c) , , ^ ^ ^ = y = f(x) dy da? dir. Buna göre bir f (x ) fonksiyonunun türevi, fonksiyonun artımının, bağımsız değişkenin artımına oranının, bağımsız değişkenin artımının sıfıra yaklaşması halindeki limitidir. Genel olarak, x in her değeri için f (x) türevinin bir belirli de ğeri vardır. Yani, türev de x in bir fonksiyonudur. x z= a için türevin değeri /'(o ) veya [t/'] -=[SL. şeklinde gösterilir. Bir f(x) fonksiyonunun türevini arama işlemine, bu fonksiyonun türetilm esi denir. ÖRNEK 1. y — x^ fonksiyonunun türevini herhangi bir x değeri ve X = 2 için hesaplayınız. Bağımsız değişken x değerini alırsa y = x^ ve bağımsız değişken -f Aa? değerini alırsa y + Ay = (a? 4- Aa?)^ olur. Fonksiyonun artımı Ay = (a? 4- Aa?) ^— x^ Ay = 3a?2. Aa? 4- 3a? (Aa?)^ 4- (Aa?)^ ve 52 Türev ^ = 3cc^ + 3a?. Aoî + (Aa?)^ Acc olup fonksiyonun türevi y' = l i m ^ A.v-kO dir. Böylece y = = lim A.vh.0 [3o?^ + 3o? . Aa? + (Aa?)^] = 3o?^ ün, herhangi bir x değeri için, türevi olarak y ’ = 3o?2 bulunmuş olur. x =.2 için türev (ı/').=2 = 3 . 2' = 12 dir. ÖRNEK 2. y — — fonksiyonunun türevini hesaplayınız. X Bir önceki örnekte yaptığımız işlemleri tekrarlarsak 1 » 2/ = — Ay = ^ ^ o? + A o? X - X - t^X 0? + Ao? Ao? 2/ 1 ;— 2/ 4-.AAy = — ;— X ^ 1 i m A at - ^ 0 X x{x + Ao?) Ao? x(x + Ao?) x(x + Ao?) Ay _ ^ = 1 i m A ath- 0 x{x + AO?) x^ bulunur. 3-2 Türevin geometrik anlamı y = f {x ) fonksiyonu ve bu fonksiyonun göstermiş olduğu eğriyi gözönüne alalım. x in verilmiş bir değeri için fonksiyon y z= f(x) de ğerini alır. {x , y ) değer çifti, eğrinin bir P ( x , y ) noktasına karşılık gelir. X e bir Ax artımı verelim. x in yeni a?+Ao? değerine, fonk siyonun y Ay = f ( x + Ax) Türevin geometrik anlamı 53 değeri karşılık gelir. Bu değer çiftine karşılık gelen nokta da Q {x + Aco ^y Ay) dir. PQ kesenini çizelim. Bu kesenin OX ekseni ile yaptığı açı cp olsun. Ax oranını teşkil edelim. Şekil 19 dan — = tg 9 Ax ^^ dir. Şimdi de ralım. Ax i sıfıra yaklaştı- Bu takdirde Q noktası, eğri boyunca hareket ederek, P nokta sına yaklaşır. PQ keseni ise P nok tası etrafında döner ve 9 açısı Ax le beraber değişir. Aa: 0 halinde. 9 açısı bir a limit durumuna yak laşır ki bu açı, PQ nün limit duru mu olan PT teğetinin eğim açısıdır. Buna göre teğetin eğimi : Şekil : 19 tg a = l i m t g ( p = l i m Ax-^0 Ax-^0 ^ = ıf'(x) den hesaplanabilir. O halde f ( x ) = tg a yani x in verilmiş bir değeri için f ( x ) türevinin değeri, y = f (x ) fonksiyonunun gösterdiği eğrinin P ( x , y ) noktasındaki teğetinin ox ekseni ile yaptığı açının tanjantına eşittir ki bu da teğetin eğimidir, ÖRNEK 1. y = x^ eğrisinin P ı ( l , l ) larındaki teğetlerinin eğimlerini bulunuz. ve 3.1 deki örnek 1. den : y' = Zoc^ olup tg ttı = tg tt2 = dir. ( 3 a j2 ) ,= ı = 3 = 3 p 2( —1 , ^1) nokta 54 Türev 3-3 Türetilebilen fonksiyonlar Tanım. likse yani, y = f {x) 1i m Ax-^0 fonksiyonu x = a noktasında bir türeve ma = 11m Ax -►0 f(a + Ax) - f(a) Aa; limiti mevcutsa, fonksiyona, x = a için türetilebilen veya türevi haiz fonksiyon denir. Eğer fonksiyon {a ,h) aralığının her değeri için türeve malikse, fonksiyon ( a , b) aralığında türetilebilen veya türevi haiz fonksiyondur. TEOREM. y - f( o c ) fonksiyonu fonksiyon ise x = a için süreklidir. x=a için türevi haiz bir Gerçekten L ‘ J ". H ise % = + ■ yazılabilir. Buradaki e , Ao? le beraber sıfıra yaklaşan bir değişken miktardır. Bıma göre At/ = f ( a ) Aa: + e . Aa? olup 1 i m Ay = 1 i m Aa:-^0 elde edilir ki bu da y = f{x) ğunu ifade eder. [/'(a) Aa? + £ . Ajc] = 0 fonksiyonunun x = a için sürekli oldu Böylece, bir fonksiyonun süreksizlik noktalarında türeve malik ol madığı anlaşılır. Ancak teoremin tersi doğru değildir. Yani x = a için sürekli olan bir y = f{x) fonksiyonunun bu noktada türevi haiz oldu ğunu iddia edemeyiz, y = f{x) fonksiyonu, sürekli olduğu bir noktada türevi haiz olmayabilir. ÖRNEK 1. a? > 0 için f(x) = X a ;< 0 için f{x) = -a? Türetilehiîen fonksiyonlar 55 olan f { x ) fonksiyonu x = 0 için sürekli olduğu halde bu noktada tü revi haiz fonksiyon değildir. (Şekil 20 ) X 0 Şekil: 20 dır. Diğer taraftan /(O) = 0 olup f {x ) reklidir. Fonksiyonun türevi ise : fonksiyonu a? = 0 için sü /(a;) = |ic| yazılabileceğinden : lim = » -0 x^0 ® olarak mevcut değildir. Zira bu ifadenin sağdan ve soldan limitleri 1i m= lim x-^0- X ^ = = 1î 1• m — \x\ = 1 1 m ----- := - 1 X *-.0» olup birbirinden farklıdır. O halde x = 0 için türev mevcut değildir. ÖRNEK 2. y=^\/x fonksiyonu x in her değeri için tanımlı ve sürekli olduğu halde x 0 için türevi haiz değildir. x=0 ve x=0+^x için fonksiyonun değerleri a; = 0 için £c=0+Aa? için olup bunlardan Ay = bulunur. Türevi hesaplamak istersek : 2/ = 0 y Ay = ^ A x 56 Türev Ay 3v/ acc 1 i m —^ = 1 1 m = 1i m Ax A.V- kO Aath-0 V(Aa;)^ olarak türevin mevcut olmadığı görülür. 3-4 n Tam ve pozitif olduğuna göre y = x "in türevi Verilmiş bir y = f (x ) fonksiyonunun türevini hesaplamak için, türevin tanımında söylenmiş olan aşağıdaki işlemler yapılır : 1) X bağımsız değişkenine Ax artımı verilir ve fonksiyonunun bu na karşılık olan 2/ + Ay = /(a; + Ax) değeri hesaplanır, 2) Ax artımına karşılık fonksiyonun Ay = f ( x + Ax) - f {x ) artımı hesaplanır, 3) Fonksiyonun artımı^ bağımsız değişkenin artımına oranlanır, Ay ___ f(x + Ax) - f(x) Aa ~ Ax Jf) A a ? 0 halinde bu oranın limiti aranır, Aî/ , j _ f(x 4- Ax) - f(x) y' — 1 i m . = 1 i m Aa; Aat-^0 A;r-^0 Türev hesabının genel kuralı olan bu kural pratik değildir. Bu ku raldan hareket edilmek suretile çeşitli fonksiyonların türevlerini ve ren özel kurallar elde edilir. Bu suretle elde edilen özel kurallar, türev formülleri şeklinde kullanılmaktadır. Biz de şimdi, bu kurallardan ba zılarını çıkaracağız. TEOREM, türevi n tam ve pozitif bir sayı olmak üzere^ y' dir. z= n x^~^ y=a;” in y = in türevi 57 y' = n x^~^ y = İspat : y — x^^ 1) bir X ti X artımı alırsa 2/ + At/ = (a? 4- Aa?)” olur. 2) At/ = (o; + Ax)" — İT” olup binom açılımından faydalanırsak At/ = x^~^ AûJ + - ■Y ^ — x^~^ (Aa?)^ + .... + (Acc)" - a;“ Ay — n x^~^ Ax + JL*iU ~ (Aa?,^ + .... + (Aa;)" elde edilir. 3) Bu ifadenin her iki tarafını Aa; le oranlarsak, Ay Ax 4) ' Bu oranın 1 . y =l 1 . , n(n - 1) a?"“ Âaî + .... + (Aa?)"~^ 1.2 Aa;->0 halinde limiti hesaplanırsa -At/ m - ~ = 1 i m I« a;" ^ A ath . 0 L - a?" ^ Ax + .... + (Aa;)"~^l J y' = n x^~^ bulunur. ÖRNEK 1. y = x'^ ise t/' = 7 a;^"^ = 7a?^ ÖRNEK 2. y —X ise t/' = 1 = 1 İhtar, y' = n a?""^ formülünün in tam ve pozitif olmasına göre ispat ettik. İleride formülün, n in kesirli veya negatif olmasıhalind de doğru olduğunu ispatlıyacağız. ÖRNEK 3. y = \/x den t/' türevini hesaplayınız. y olarak v/X — X 1,2 58 Türev ÖRNEK 4. y =z —ı::r den y' \'X y = türevini hesaplayınız 1 \'x olarak 1 -T -' y = ~ Y ^ 2x^'^ 2x\Jx dir. 3-5 y = sinx ve y = cosx fonksiyonlarının türevi TEOREM 1. sin a; in türevi cos x e 1/ = sin ise eşittir. Yani y' = cos x dir. i s p a t : X bağımsız değişkenine bir Aa? artımı verirsek : 2/ + Aî/ = sin {x + Aa?) Ay z= sin {x -f Ax) — sin x A = 2 o sın • — cos (^ / 1 Ay ve ^ ^ Ax . Ax sın — ^ ^ T olarak COS X + Agg\ I 2/ = sin o; ve y = e o s x in türevleri y = lım Ax sın -7t . Ax — ------cos x 4- . -^ = l ı m cosx bulunur. TEOREM 2. cos a? in türevi — sin a; e eşittir. Yani y = cos X ise y — — sın x dir. İspat: X bağımsız değişkenine bir Ax artımı verirsek : 2/ 4- At/ = cos {x 4- Aa;) Ay = cos {x 4- Aa;) — cos x A t/= - 2 sın - y sın h c + y l ve . Aa? sın Ay 2 . . Ax\ ------ sın \a? 4- -İT Ax = ------Ax 2 olarak f 1 . t/=lım A*h.O . Ax t • 2 . ~ = l ı m ------ ------sın A*-.0 / , Ax\ a? 4- -tt = “ sın 05 I 2 bulunur. 3-6 Bir sabitin ve bir sabitle bir fonksiyonun çarpımının türevleri TEOREM 1. Bir sabitin türevi sıfıra eşittir. Yani t/ = c dır. ise y = 0 59 60 Türev İs pa t: X ne olursa olsun y = f { x ) = c rirsek : olup x e bir Aa; artımı ve y + Ay = f ( x -i- Ax) = c Ay - f i x + Ax) — f (x ) = 0 olur. Buna göre ^ = 0 Ax y' = \ i m p -= 0 bulunur. TEOREM 2. Bir şahitle bir fonksiyonun çarpımının türevi, fonk siyonun türevi ile sabitin çarpımına eşittir. Yani y=c.u(x) ise y'=c.u'(x) dir. İspat y = c . u{x) y Ay = c . u(x Ax) Ay — c . u{x + Ax) - c . u{x) = c[u{x -f Ax) — u (x )] ây _ ÛlX ~ j ^ x + Ax) - u(x) Ax olarak y = lim ^ A.v->0 = c.lim A,y -+>0 u{x + Ao?) - u(x) = c . u\x) Ax bulunur. ÖRNEK, y = x^ nin türevini hesaplayınız. ı/ = 3 olarak x^ = 3 . 5C- 2 Toplam, çarpım ve holümün türevleri 61 t/' = 3 . (ic-2)' = 3 . (-2a?-3) = bulunur. 3-7 Toplam, çarpım ve bölümün türevleri TEOREM 1. Sonlu sayıda fonksiyonların toplamının türevi, fonksiyonların türevlerinin toplamına eşittir. Yani : y = u{x) + u(a?) + w{x) ise hu y' = u ( x ) + v'(x) + w'(x) dir. ispat : y = u -l- V -f- w olsun. X e bir Ax artımı verelim. Bu takdirde x in fonksiyonları olan y ,u , v , w fonksiyonları da A y , A u, A v , Aw artımlarını alırlar y Ay = {u Au) + + Av) + (tt? + Aw) olur. Buradan At/ = + Av + t<? ve Ay _ ^ A x ~ A x ^ Ax Av olarak , . Ay . . ^ = lım A * -o A;.^ 0 \Au Av , Aw I:---- h — + AX AX y = lım y ’ = w' (o?) + v' (x) -f w' (x) bulunur. ÖRNEK 1. y = X* 3a?2 — 5 y' = 4:0^ -f 6a? ÖRNEK 2. y = 2 aa?^ - x^ 62 Türev 2x ^ y '= 6ax^ y = y/3 ^ +3\/S + — X ÖRNEK 3. den y' 2/ = V^3 sc^ türevini hesaplayınız. + ap“ ’ olup 2/ '= \ j z . \ - x 2\/x x~'^ı^ - x~‘^ 3 dir. TEOiSEiif 2, îki fonksiyonun çarpımının türevi^ birinci fonksiyonun türevi ile ikinci fonksiyonun çarpımına, ikinci fonksiyonun türevi ile birinci fonksiyonun çarpımının ilâve edilmesi ile elde edilir. Yani y z=zuv ise y' = + uv' dir. İspat: y=uv olsun. xe bir Ax artımı verilirse 2/ + Ay = (u + Au) (v + Av) Ay = (w + Aw) (v + Av) — uv Ay = V Au u Av Au . Av ve Ay Au , Av , ^ Av - — = ——V -i u h Au . ~ Ax Ax Ax Ax olarak Ay 2/ '= 1 i m , = l ı m Aa: 0 \-T-v + u - ---- h A u . — dir. u ve V 1er Ax e bağlı olmadıklarından 2/ '= 1 i m ^ İll ı •m -A ui , r, . Av'ı — v + u l ı m — + lAx -► 0 \_Ax -►o lim Av Au.lim — Aath-0 A:»:-►o Toplam, çarpım ve holümün türevleri yazılabilir. halde u(x) 63 fonksiyonu türevi haiz fonksiyon olup süreklidir. O 1 i m Aw=0 0 dır. Bunlara göre de y' = u'v + uv' elde edilir. Bu teoremden faydalanarak, daha çok sayıda fonksiyonun çarpı mının türevi de hesaplanabilir. Örneğin : y = uvw ise y = u. (vw) yazılarak y' = u' ( v w ) + u (vw )' y' = u'vw -f u iv'w + vw') y' = u'vw -f uv'w + uvw' elde edilir. Aynı yoldan sonlu sayıda fonksiyonun çarpımınm türevi de hesaplanabilir. y = UıU2...u^ ise y '= Uı U2 . . . Wo—1 Wn + U\ U 2 . . . W n -1 + ... + U\ U 2 . . . W n-1 dir. ÖRNEK 4 y = a;(2a; - 1) (3a? + 2) y' = (2a?-l)(3a?+2)+2a?(3a?+2)+3a?(2a?-l) y' = 2(9a?2 + a? — 1 ) ÖRNEK 5. y = cx^cosx y' = cos a; + a?^ (cos a?)' y' = 3a?2 cos a? — sin a? 64 Türev TEOREM 3. îki fonksiyonun bölümünün türevi^ yayı, payın türevi ile paydanın ve paydanın türevi île payın çarpımları farkına ve pay dası da paydadaki fonksiyonun karesine eşit bir kesirdir. Yani 2/ = u ise y u V —uv v^ dir. ispat : X in Ax artımına karşılık, Av, Ay olsun. Bu takdirde y-\- Ay = u + û u -i- Av Ay = u Au V + Au u^ v, y nin artımları V Au —u Av v(v + At?) ve Ay _ Acc Au Av V --------- w — Ax Ao; v(v + At?) olarak , , . y = i ı m Ax-^0 Au Av Ay . . Ax Ax —^ = 1 1 m u(u + Au) A.v-^0 Av I. Au .. V . 1 1 m ----- w. 11 m ^ _ Ax Ax ~~ t? . 1 i m (t? + Au) olup Aa? 0 halinde A v 0 olduğundan , y = u V - uv u" bulunur. özel hal 1 . w =c=sabit C y z=z— ise , . olarak dir. özel hal 2 . u = c= sa b it ise r CV y = ------ 5- Au, Toplam, çarpım ve holümün türevi 65 u y = T olarak payda bir sabittir. Bunun türevini hesaplamak için, bölüme ait türev kuralı yerine bir sabitle bir fonksiyonun çarpımına ait türev ku ralım uygulamalıdır. Buna göre _ K _ 1 y~ c ~ c ^ olarak 1 f, = / --\C V = --1 M , = ---U c c J dir. Örneğin y sın X _ = ise cos y X dir. ÖRNEK 6 . a —X a -i- X y ^ dx — --(<» + a?) - (g - a?) _ -2 a (a + x f ~ {a + x)^ 2x* ÖRNEK 7. _ dy _ ^ dx , 8aP{h^ - x^) - ( - 2 x ) j2x^) (b^ - x ^ 4a;^(2b2 - 2x^ + x^) (b^ - y = - ÖRNEK 8 . 2/ y = = 4xH2h'^ - a;^) (b^ - x’^f sin X 1 -f cos X cos x(l + cos a;) — (~sin x) sin x (1 + cos x f cos X + cos^ X + sin^ x (1 + cos x y Yüksek Matematik I 1 1 -i- cos X F. 5 66 Türev ÖRNEK 9. n < O ve tam olarak y — in türevinin y' :=z n olduğunun ispatı. « = - m <0 m>0 ve olarak v olup 2/ ve = - m x^ X2m = — m X' -m—1 — m = n yaparak y' = n olduğu gösterilmiş olur. 3-8 Bir bileşik fonksiyonun türevi Bazen, y = f ( x ) fonksiyonu doğrudan doğruya x in bir fonksi yonu olarak tanımlanacağı yerde, x in bir fonksiyonu olan bir u de ğişkeninin fonksiyonu olarak tanımlanır. Bu halde y , u vasıtasile x in bir fonksiyonu olup bileşik fonksiyon veya fonksiyon fonksiyonu adını alır. y —F(u) ise y z= F(u) ve bileşik fonksiyondur. örneğin y = sin u TEOREM 1. yonunun tü rev i: y —F(u) , ve u — xPu=n[p(x) dy _ dF dx du du da? veya diğer bir gösterişle 2/'*= 2/'u. u'> dir. gibi. ise y=Fİ^(x)] fonksi Bir bileşik fonksiyonun türevi 67 Buna göre F{u) bileşik fonksiyonunun türevi, fonksiyonun u ya göre türevi ile u nun x e göre türevi çarpımına eşittir. I s y a t : x in verilmiş bir değeri için u-xp(x) olsun. X , y-F(u) in yeni bir a? + Ao? değeri için de w+Aw= ç)(a;+Aa?) , y L y — F { u -{■ û) olur. Böylece Lx artımına bir Aw artımı ve bu son artıma da bir At/ artımı karşılık gelir. Diğer taraftan Aa;->0 halinde Am - » 0 ve Ay-Ô olacaktır. Çünkü u ve y fonksiyonları türevi haiz fonksiyonlar kabul edilmiştir. Buna göre ^ 2/ _ dt/ _ Aw dit 1i m A;e-^0 olup yazılabilir. Buradaki ifadeden : e, Aw 0 halinde e 0 olacak şekildedir. Bu At/ = t/u . Aw + £ . Aw yazılıp her iki taraf ax e bölünürse : Au At/ ___ Ax , Au + £ Ax elde edilir. Hipotez gereğince , . Au 1 1 m —— Ax ->•0 1 i m e= 0 Ax-i^0 Wı olup r, 1 • Ay - . 11m = 11m Aat->0 Axh-0 X veya Au , Au' 6S Tûre'O dy _ dy dx ~~ du du da? ise y' = n bulılnur. ÖRNEK 1. y =: . u'^ dir. y = (o?2 + 1)3 ÖRNEK 2. y' = 3(a?2 4.1)Ma?2 + l ) ' y = 3(o?2 + 1 ) 2 . 20? y' = 6o?(a?2 4- 1)2 ÖRNEK 3. y = sin"o? ise y' yü hesaplayınız, u = sin a? kabul edelim. Bu takdirde y = ve y' = n . w' olur. Diğer taraftan u = sin a? ve m' = cos a? olduğu gözönüne alınırsa y' = n sin""^ a? cos a? bulunur. ÖRNEK 4. y = sinâ? y' =. 3 sin2a? cos a? ÖRNEK 5. y = sin aP- y = sin a?2 z= sin M yp = cos u . u’ y* = 2x cos aP 2/= tgw ^ 2/= cotg w ^ ı/=sec w ^ 2/ “ C0sec w nun türevleri 69 ÖRNEK 6. ÖRNEK 7. y = sin u ise y' = cos u .u' y z= cos u ise y' =. — sin u . u' 2/=sin^ 4aj y = sin^ 4a? = v? y' = 3 .u' = 3 sin^ 4a; (sin 4a;)' t/' = 3 sin^ 4a;. 4cos 4a; y' = 12 sin^ 4a; cos 4a; 3-9 y = tgu , y = cotgu , y = secu , y = cosecu nun türevleri 3.9 - 1 . y = tgu mm türevi. 2/ = t g M = sın u cos u olup r COS u cos u . u —( - sın u . u ) sın u y =z -------------------------- ^-------------------------^ cos-^ U , cos^tt + sin^M y = ----------- ----------- - u cos^ u u -3^ 2^ = s e c ^ M•«’ = ( !+ * § " M) m' özel hal. y = tg x ise w' = 1 olarak y = COS^ X = sec^ x = l + t g ^ X dir. 70 Türev 3.9 - 2. y = cotg ıı nun türevi, y = cotg u = tgu olup sec'‘ u . u tgû y = y — ---- ^ — = - cosec^ u . w'= —(1 + cotg^ u) u ^ sın^ u ® özel hal. y = cotg x ise olarak v! = 1 ı / ' = -----r- 2— = - cosec^ X = - (1 + cotg^ x) sın X dir. 3.9 - 3. y = sec u nun türevi. y == sec u = cosu olup , -sın u . u . y = ---------ö-----=sec u t g u u ^ cos^ u y = sec a; ise. dir. özel hal. u' — 1 2/ = sec a? tg a? | dir. olarak 2/= tg u ^ ı/=cotgw ^ y —secu , y=cosecu , nun türevleri 71 3.9 - 4. y = cosec u nun türevi. y = cosec u = ----sın u olup , cos u . u 2/ = ------ . ,—— = - cosec u . cotg u . u ^ sın^ u ^ dir. özel hal. y = cosec x ise u' = 1 olarak y' = — cosec x cotg x dir. ÖRNEK 1. 1/ = tg(aoj + b) î/ '= a sec\ax + b) ÖRNEK 2. 1 r = y tg3 <p- tg cp + <p dr = tg^ <p sec^ <p - sec^ 9 + 1 dq> = sec 29 (tg 29 - l ) + l = (l + tg2 9) (tg^ç ~1) + 1 = tg^ 9 - 1 + 1 = tg^ 9 ÖRNEK 3. y y y = V '= ^ sec X sec^ X . sec x - sec x tg agftg o; - 1 ) sec^ X sec^ X -tg ^ x + tg x sec X J d J S J L sec X 72 Türev 3-10 Kapalı fonksiyonlar ve türevleri f { X j y ) — Q şeklindeki bir fonksiyon y yi x in kapalı bir fonksi yonu olarak tanımlar. Bu tür fonksiyonları değişkenlerden birine göre çözerek, bazen açık fonksiyon haline sokmak mümkün olabilir. Birçok hallerde de bu çözüm imkânsız veya kullanılmayacak derecede karışık olur, örneğin + 1/2 — a2 = 0 (1 ) denklemi y '= \Jd^ - x^ x^ fonksiyonlarını kapalı olarak tanımlar. Bu son fonksiyonlar leminin y ye göre çözülmesi ile elde edilmişlerdir. y^ - y - a?^=0 (1) denk y —X —— sin y = 0 denklemleriyle tanımlanan fonksiyonlar açık fonksiyon haline getirile mezler. Bunlara göre, bu tür fonksiyonların, açık fonksiyon haline getiril meden türevleri hesaplanabilmelidir. Kapalı fonksiyonlardan, y' türe vini hesaplıyabilmek için, her iki tarafın türevlerini eşitlemcli ve elde edilen eşitlikten y' çözülmelidir. ÖRNEK 1. + y^ — = 0 dan y' nün hesabı. 2x + 2yy' = 0 X y = ÖRNEK 2. y^ — y — x^ = 0 dan y' nün hesabı. 6ı/V — y' — 2x = 0 , ÖRNEK 3. 2x (iK^ + 3/ 2) 2= 3 „ 2(a,2 _ ^2) ^ün hesabı. 2(x^ + y^) (2x + 2yy') = 3aH2x - 2yy') 2 (a;2 ^ y^) X + 2{x'^ + y^) y y '= 3a^ x - 3a^ yy Kapalı fonksiyonlar ve türevleri 73 y(3a^ + 2x^ -h 2y^) 3/ '= x(3a^ - 2x^ - 2y^) - 2x^ - 23/^) y{3oi^ + 2x^ + 23/^) y ÖRNEK 4. ^“ g şeklinde bir kesir olduğuna göre türevinin 3/' = nu""^. u' y = in olduğunun ispatı. y = olup her iki tarafın q yüncü kuvveti alınırsa y^ = elde edilir. Şimdide her iki tarafın türevleri eşitlenirse q y^~^ y' — V u’ ve buradan y = bulunur. Bu ifadede y p WP-1 U <1 y q-ı yerine konursa , p mp P“- ^ , p wP ^ y = — 1 -----u = —----------------— Q I Q . p y = — ^ ve V g q T —1 P - — w ** u olduğu hatırlanırsa y' = n . u' elde edilir. 3-11 Ters fonksiyonların türevleri y=fi^) fonksiyonundan x i çözmek suretile siyonunu elde ettiğimizi düşünelim. f{ x ) ve cp(y) x = (piy) fonk fonksiyonlarına 74 Türev ters fonksiyonlar denir. Bunların türevleri arasında bir bağıntı kurmak gerektiği takdirde Al/ Aaj Aa? __ ^ Al/ olduğu düşünülerek Ay _ Ax 1 Ax Ay yazılır ve limite geçilirse 1 i m ^ 2/ _= 11 i; m Ax^0 Ax Ax-^0 Ax Ay ^ _ _JL dû5 dcc veya (?Ky) Vx = 1 a?, bulunur. ÖRNEK 1. a; = V l - 2/^ + y^ da; için ^ i hesaplayınız, do; dy ve H'y* 1 g = y (1 - yî + y*r 2/3 (-2 y + 4y3) da; 4y’ —2y d^ " 3(1 - y2 + y y /3 olarak Yüksek mertebeden türevler 75 ^ _ 3(1 + y * f ‘^ da; 4ı/^ —2y dir. 3-12 Yüksek mertebeden türevler y = f(x) fonksiyonu [ a , b ] kapalı aralığında türetilebilen bir fonksiyon olsun. f'{x) türevinin değerleri, genel olarak, x e bağlıdır. Diğer bir deyimle, f'(x) türevi de x in bir fonksiyonudur. Türev fonk siyonunun bir daha türevi alınırsa, f ( x ) in ikinci mertebeden türevi el de edilir. Bu türev işaretle 2/" . n^) , d’’ y şekillerinde gösterilir. Örneğin y = x’ ise y' — lx^ ve y" — 42 a;^ dir. İkinci mertebeden türevin türevine de üçüncü mertebeden' türev de nir ve işaretle y'" rix) , d^y dx^ şekillerinde gösterilir. Genel olarak f {x ) in (n—1). mertebeden türev denir ve işaretle /(n) . /<”'(») . şekillerinde gösterilir. Benzer olarak 1er, Romen rakamları yardımile •IV r* şekillerinde gösterilir. ÖRNEK 1 . 2/ = a;5 ig^ » mertebeden türevinin türevine y' n. d°y dx° 4., 5., 6 . y VI mertebeden türev- 76 Türev y' = 5x* 120a: , y " = 20cc^ , y '" = 60a:’ , y''= 120 y^'^=0 , dır. ÖRNEK 2. f'(x) x^ den P''(x) 1 — a: f(x) = f"(x) = i bulunuz. 3 a:’ ( l - a:) + a:’ _ 3a:’ - 2a:’ . (1 - a :) ’ “ (1 - a :) ’ ’ (6a: - 6a:’ ) (1 - a:)’ + 2(1 - a:) (3a:’ - 2a:’ ) (1 -* )^ /" ( » ) = 2a:’ - 6a:’ + 6a: . ( 1 - a :) ’ ’ r'(x) = (6a:’ - 12a: + 6) (1 - a:)’ + 3(1 - a:)’ (2a:’ - 6a:’ + 6a:) (1 - x f /'"(a:) = 6(a:’ - 2a: + 1) (1 - a:) + 6(a:’ - 3a:’ + 3a:) (1 - aj)^ /'"(a:) = 6 1 —3a: + 3a:’ —a:’ + a:’ —3a:’ + 3a: (1 xY - /'"(a:) fHx) = 6 (1 - xV 6 .4 (1 - x)^ 4! (1 - x)^ ÖRNEK 3. y = sin x için y' = olarak i bulunuz. cos X = sin |aî + y" = - sin a; = sin + 2• j 2/ '" = - cos (» = sin + 3• Leibnitz formülü t/(") = sin 77 + n Y dir. ÖRNEK 4. 2/ = X den i hesaplayınız. X^ 2.3.4 2 / ' ' ' = --------- 5 olarak nî 2/(“>= ( - ! ) “ — + 1 o?‘ dir. Mtar. özel olarak (u + v)^"> = olduğu kolayca gösterilebilir. 3-13 Bir çarpımın n. mertebe türevi için Leibnitz formülü u = u(x) ve V = v(x) olarak y = uv olsun. Bu ifadenin n. mer tebeden türevini veren bir formül bulmağa çalışalım. y' =: ü V + uv y " = ü'v + 2ü v '+ uv" y '" = ü " V + 3w" v' + 3 ü v" + 78 Türev 0^" wiv ^ 4^' ^^ıv olup bu türevlerin yapısının {u + v Y ifadesinin, binom formülüne gö re, açılımına benzediği kolayca görülebilir. Ancak w ve v nin kuvvetleri yerine türevleri ve vP=v^=l yerlerinde de w ve u yani sıfırıncı mertebeden türevler bulunmaktadır. Bunlara göre : 2/(") = V+ v '+ ^ + yazılabilir. Bu ifade Leibnitz formülü adını alır. ÖRNEK 1. y = oc^{x + 2 y dımiyle i hesaplayınız. olduğuna göre, Leibnitz formülü yar- 10w'" v " + 10m" v " '+ y^=ı uv ^ ve u = , u '= öac'* ^ w "= 20cc^ ^ w "'= 60ic^ w^'^=120a? , V = (a; + 2)3 , w^ = 1 2 0 v'=: 3(a; + 2 f v" ' = 6 , , v " = 6(a; + 2) , u'' = 0 olarak y^ = 120(x + 2)3+ 5 . 120a;. 3(a; + 2)^+ 1 0 . eOa;^. 6(x + 2) + 1 0 .20a;3.6 + 0 y^ = 240(28a;3 + 63a;3 + 36a; + 4) dır. ÖRNEK 2. y = x sinx ise y^^^ i bulunuz. 2/(°) = w(") V + u '+ ^ — w^"“ ^^v"+ .. • ve w = sin a; m(“) , v = a; = sin ^x + n j v '= 1 , , , u "= 0 , .......... = sin |â; + (w - 1 ) olarak 7t \ 7t Ca; + n — I . a; + n . sin a; + (n - 1 ) — + 0 Kapalı fonksiyonlarda yüksek mertebeden türevler y(”) = X sin + n + w sin + n ı/(") = 05 sin 4- n - n cos ^05 + n y j 79 - yj dir. 3-14 Kapalı fonksiyonlarda yüksek mertebeden türevler fix,y) = 0 şeklindeki kapalı fonksiyonlardan y' türevi elde edildikten sonra ikinci ve daha yüksek mertebeden türevler de buluna bilir. Ancak, hesap sırasında ortaya çıkacak y' türevi yerine daha ev vel bulunmuş olan değeri konulmalıdır. ÖRNEK 1. + y^ = 25 den y"' türevini bulunu.z 2x + 2yy' = 0 olup y = — ^ dir. y' X y nün tekrar türevi alınırsa : y -x ^ ~ y = ve x^ + y^ = 25 olduğu gözönüne alınırsa : y3 nün de tekrar türevi alınırsa : y '" = - 2 5 bulunur. + y^ y^ » bulunur, y " X y I __ __ -3 y^ y' _ 75 • ( - — I y 75x A, 5 80 Türet) ÖRNEK 2. den y" 2 b^ X + 2d^ y y '= 0 türevini hesaplayınız. olup y '= — (X y dir. Tekrar türev alınırsa : xy' _ _ ^2 __ d ^ W y - h^x\ y - x Î- ~^ y ve — _ 52 y) y^ y^ y"^ + y^x q" 2/^ 2/^ + W x^ =■ olduğu gözönüne alınırsa a 2 b^ d y^ ^ b^ bulunur. ÖRNEK 3, y = sin (x 4- y) den y" yü hesaplayınız. y' = {1 + y') cos {x + y) [1 — cos {x + y ) ] y ’ = cos {x 4 - y) cos(g? 4- y) ^ “ 1 - cos(ac 4-2/) olup tekrar türev alınırsa : y y [ - ( 1 + 2/') sin(g?4- 2/)] [1 - cos(3g4- 2/)] - d + 2/') sin(a?4- 2/) cos(x-¥y) [1 - cos(aj-|-2/)P [ - (1 + 2/') sin(x+y) _ _ [ [1 - c os {x+ y) y y = bulunur. 1+ cos(a;-f 2/) sin(aj4- 2/) 1 - cos{x + y) [1 - cos(a?4- 2/)P sin(o;-f 2/) [1 -- cos(aj4 -2/)]' Problemler 3. 81 BÖLÜME AİT PROBLEMLER Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini hesaplayınız. 1. y = 2, y = | *v ; n= x'^ 3. y = X^\J X Sa^Va: 3aV^^ 1 V^zd- Vz)2 4. y = 5 sin x + Z cos x y 2a 1 + v/i 1— 5. 4/> y '= 5 cos A — 3 sin A /_ = tg a: — cotg A* 4 ^ 6. y = ( 3 + 2A=)4 y = 9. a y '= 1 6 A ( 3 + 2 7. y = V'l - 8. s in 2 2 a =)3 a2 v/l - 6a2 V(a + 6a3)2 ^yja + bx'^ ( a 2 / 3 _ ; , 2 '3)3/2 10. y = tg A— 3 tg3 a: + — tg^ X y '= 11. y = 2A + 5cosÂ y 13. V= tg “ A + tg ^ A COSÂ y '= 2 — 15 cos^ Asin a /_ 12. ^ — O 6(1 — 3 cos a)2 1 1 3 cos^ X cos X sin A (1— 3 cos a>3 ^ / _ sın-*3 A cos* A cos 1 y ^ 5 y = sin 3 a + cos -ğ- + tgsjx y = 3 15. y = — y' = A cos 2a2 sin 3a2 20 cos 5a2— — cosa^ 4 Yüksek Matematik I 3a — — sin — + 14. 2^xcos^yJx F. 6 82 Türev 16. y = 17. y 18. y = sin^ cos2 5x AT— 1 — 2a: + 1 __ X - \ '2 x ^ — 2 a: + 1 + a:-)3 Vâ- + 19. y = — V(1 + 4 *■/ x V V (1 + a:3)2 - — V(1 + .v3)5 8 20 . 1 5 — 1 3 V Je+ 2 — 1)^ 4- l+2\/y 21. z— \ y 22. y = 23. y 24. + 6 ^y V (y + ^y)‘ — cos^ at(3 15 cos^X — 5) y'= ^ '= 1 0 tg 5a: sec2 5.V = tg^ 5a: y'=- X cos w= — sin^^ 2 ^ sin^ X cos2 X 25. y = 3 sin X cos^ x + sin^ x ı/'= 3 cos X cos 2 x 26. y ‘= t g ^ x 1/ = A ö tg3 a: — tg a: + AT aşağıdaki kapalı fonksiyonlardan y ~ ~dy ^ türevini hesaplayınız. dx 27. 2a: — 5^4-10 = 0 28. A:3 + y3 = a3 29. 30. + a:^ y + X + V^y = a = 0 y= xl %x + 2 y ) ^ x'^ + 2y Problemler 31. 10 10 — 3 cosy , 32. y — 0,3 siny = A' V 33. a coS^Ca + y) = 6 /= - ı 34. 1n 3 V*^ + V ? = V ^ ^ tg y = y cos^ y 1 — A COs2 y xy Aşağıdaki fonksiyonların ikinci mertebeden türevlerini hesaplayınız. ff 35. y = sin^ A y 36. y = sin 2a sin ca y 37. y = A* / / __ y — 12 a2 - = n __ — 2 cos 2a 12 cos 2a cos 3a 3 4\ /x 38. y = — ^ - T A— 1 y " = 2(a - l)-3 39. y = tg2 A yv " — 40. 1 -A 1+. ^ 41. _ İX 42. s = sin» A 43. y = sin2;r için 2(1 + 2 a 2 sin2 a) COS^ A y "= 4(1 + a)-3 8a(a2 - 3) a2)3 yn " — (1 + s " = hesaplayınız. — cos A 2 ‘ Cevap. 16 sin 2a: Aşağıdaki fonksiyonların n. mertebe türevlerini hesaplayınız. = cos 2x 44. y 45. y = 46. y = 1 +x l + x l — x ^(n) _ 2n cos I 2i- 1)"+^n ! y(n) r= ((1- -f-A r)»*+> ,(n) = 2n! (1 -xy+^ 83 84 Türev 47. y = Sin AT + COS a: ^(nj =::: y (a -4 ) (n > 4 Aşağıdaki kapalı fonksiyonlar için y " türevlerini hesaplayınız. 48. 4a:2 + 1^2= 3 \/â 2xî'i +yi/2=â^'2 51. x'^ + x y y " ^ = l 52. y"^ = m{.x^ + y^) 53. sin X + COS 12 / _ 3aÂ:2 y = — y’ 49. x*^+y^ = 50. y - - y= 1 54. X + cos(:v 4- y) = 0 " 6 (2y + x)2 ^ 2m2y(y 2 -3 :r2) (3y2 — 2my)2 / / _ coş2 x+ sin X — 2 ^ sin'^ y y "= — . " Sİn^Cr + y ) İÇİn) 4. B Ö L Ü M TÜREVİN ÇEŞİTLİ UYGULAMALARI 4-1 Bir eğrinin doğrultusu y f ( x ) denklemi ile verilmiş olan bir eğrinin herhangi bir nok tasındaki doğrultusu diye, bu noktadaki teğetin doğrultusuna denir. O halde, teğetin eğimini veren f ( x ) değeri, eğrinin sözü geçen noktasmdaki doğrultusunu verecektir. ÖRNEK 1. X y = — eğrisinin (0, 0) noktasındaki doğrultusunu 4 "i X bulunuz. %~ (1 + x ^ Y (1 + a;2)2 olup aranan doğrultu iy )x~o — 1 dir. Eğrinin doğrultusunun ox eksenine paralel olduğu yani teğetin yatay bulunduğu noktalarda eğim açısı = a = 0 olarak 86 Türevin çeşitli uygulamaları dy = r ix ) = O dx dır. Eğrinin doğrultusunun ox eksenine dik olduğu yani teğetin düşey bulunduğu noktalarda eğim açısı = a = 90® olarak fix) olur. ÖRNEK 2. X- + 6xy + 25y^ = 16 teğetler yatay ve düşey durumdadır. eğrisinin hangi noktalarındaki 2^1? + 6y -f 6xy' + 50yy' = 0 ^ + 3ı/ 3x + 25y ^ olup y' = 0 için x = — 3y ve 182/2 + 25i/2 = 16 ^ =zl olarak dır. 3/' (3 ,-1 ) 00 için ve ; y = ±1 ( —3, 1) noktalarındaki teğetler yatay durumda25 3x + 25y = 0 , x = y ve ^ 3,2 _ 50 j,2 + 25y^ = 16 2 olarak ^5, - -| -j ve ^-5, 9 ^3 noktalarındaki teğetler düşey durumdadır. 4-2 İki eğrinin kesişme açısı İki eğrinin kesişme açısı diye, bu eğrilerin kesişme noktalarındaki teğetlerinin yaptıkları açıya denir. O halde problem, iki teğet yani iki doğru arasındaki açıyı bulmaktır. iki eğrinin kesişme açısı ÖRNEK, y = sını bulunuz. 87 — 1 ve y — 2x^ + 3 parabollerinin kesişme açı Evvelâ bu eğrilerin kesişme noktalarını bulalım. Bunlar ise, iki eğ rinin denklemlerinin meydana getirdiği denklem sisteminin çözüm ta kımıdır. Bunlar ise - 1 = 2rr2 + 3 x ‘- — \ \ X— 2 ve 3/ = IX olarak ( - 2, 1 1 ) ve (2 , 1 1 ) noktalarıdır. Bu noktalardaki teğetlerin eğimleri y = Zx^ — 1 için y' z=z 6x mı = —12 m'ı = 12 y = 2x^ 4- 3 için y'z=z^x mı = —Z m '2 8 olarak kesişme açısı, her iki nokta için : tg 0 m2 — mı 1 4- mı m 2 - 8 -h 12 14 -9 9 97 = arctg ^ dir. 4-3 Bir eğrinin herhangi bir noktasındaki teğet ve normalinin denklemleri - teğet altı ve normal altı uzunlukları y — f { x) denklemi ile verilmiş bir eğrinin herhangi bir noktasındaki teğeti P{Xı, y{) 2/ — 3/1 = m(a; — a?ı) doğru denkleminden kolayca bulunabilir. Teğetin eğimi sözü geçen nok tada, türevin değerine eşit olup 88 Türevin çeşitli uygulamaları m = f'(xı) dir. O halde teğetin denklemi y — V ı - f'İOCı) (X — X ı) dir. Normal ise, bu noktada teğete dik olup eğimi m= - 1 n x ı) ve denklemi 2/ - 2/ı = - (x - Xi) f(^ ı) dir. Teğetin, değme noktası ile ox ekseni arasında kalan parçasma te ğet uzunluğu; normalin, değme nok tası ile ox ekseni arasında kalan parçasına normal uzunluğu; teğet uzunluğımun ox ekseni üzerindeki izdüşümüne teğet altı ve normal uzunluğunun ox ekseni üzerindeki izdüşümüne de normal aZtı denir. Şekil 21 den ^ MP MN tg a = = — ■■= m TM MP olup teğet altı uzunluğu = TM = Mm normal altı uzunluğu = MN = myı dir. ÖRNEK 1. y = x^ — 2x + ö parabolünün teğet ve normalinin denkleıiılerini bulunuz. (2 ,5 ) noktasındaki y' = f '(x) = 2x — 2 olup x = 2 için m = f (2) = 2 denklemi olarak teğetin 1/ — 5 = 2( x — 2) veya y = 2x + 1 Teğet ve normal denklemleri 89 ve normalin denklemi 2/ - 5 = - - - (o? - 2) veya x -\-2y = 12 dir. ÖRNEK 2. = 2yx parabolünün herhangi bir noktasındaki te ğetinin, parabolün odağını teğetin oy eksenini kestiği noktaya birleş tiren doğruya dik olduğunu ispatlayınız. Parabolün herhangi bir noktası ğetin eğimi : 2yy'=2p (o?, ^ı/ı) ; olsun. Bu noktadaki te v'=-^ y olarak m = yy') X = X \ y=v\ dir. Buna göre teğetin denklemi 3/ - 3/1 = - !»ı) dir. Bu teğetin oy eksenini kestiği noktanın ordinatı olarak y\ ve y\ — 2yxı olduğu gözönüne alı- 3/1 90 Türevin çeşitli uygulamaları 2x\ 2/1 0 - i ve 2/ı^ = 2pxı olduğu gözönüne alınır ve buradan 2p elde edilerek m' ifadesinde yerine konursa ^Xi m İ(L P 2/1 elde edilir. Yukarıda teğetin eğimi olarak bulunan m= 2/1 ile m' ifadesi taraf tarafa çarpılırsa -^ = -1 yi r?t' m = — elde edilir ki bu da bize QF in teğete dik olduğunu gösterir. ÖRNEK 3. x^/‘' + t/2/3 = a ^'3 eğrisinin herhangi bir noktasındaki teğetinin eksenler arasında kalan parçasının sabit ve a ya eşit olduğu nu ispatlayınız. Teğetin eğimi 2 ya; - ± 2 - ’ + y 3/ - 1/3 ’ = 0 dan (y ) = T73 y=!/ı olup teğetin denklemi 2/1İ/3 (X - Xı) dir. Bu teğetin eksenleri kestiği noktalar : oy y - y ı- eksenini kestiği nokta için 2/ 1^^^ , 2/ = 2/ı + a; = 0 olup 2/ı*^^ = yi^‘\xı^ı^ + yı^'^) = ve ox eksenini kestiği nokta için y — 0 olup Artan ve azalan fonksiyonlar X - x\ = xı^ ‘^ y \ ' ^ , X = Xi + x\^‘^ y\^/^ = x\^ ' ^ { x ı ‘^ + = 91 a^‘ ^ olarak ( 0, (a2'3.V'^ 0) , dır. Bu noktalar arasındaki uzaklık ise : d = \/(a^/^ X\^!'^Y + = \/d^l'^{xYi^ + yY'^) d = \/a^'^. a^'^ = \/d^ = a dır. 4-4 Artan ve azalan fonksiyonlar Değişkeni ile aynı yönde değişen fonksiyonlara artan; ters yönde değişen fonksiyonlara da azalan fonksiyonlar denir. TEOREM 1. y = f { x) fonksiyonu [a ,h ] aralığında artan hir fonksiyon ise, f { x ) türevi, hu aralığın bütün değerleri için pozitifdir. Eğer fonksiyon, [a ,h ] aralığında azalan hir fonksiyon ise türevi, hu aralığın bütün değerleri için negatifdir. İspat: X ve x - h A x , [ a , h ] aralığının iki değeri, y ve y + h y de fonksiyonun bunlara karşılık olan değerleri olsunlar. Fonksiyon [a ,h \ aralığında artan bir fonksiyon ise x ile y aynı yönde değişeceklerinden Aa; ve Aî/ aynı işarette ve dolayısile Acc Ay olacaktır. — > 0 Ax > 0 ise lim Ax^0 ^ = dat de pozitif olacaktır. Aynı şekilde fonksiyon [a ,h ] aralığında azalan bir fonksiyon ise X ile y ters yönde değişeceklerinden Ax ile Ay farklı işarette ve dolayısile Ay Ax < 0 92 Türevin çeşitli uygulamaları Ay < 0 ise Aa; olacaktır, lim ^ = d» de negatif olacaktır. TEOREM 2. y — f { x) fonksiyonu^ türevinin pozitif olduğu x de~ ğerleri için artan; negatif olduğu x değerleri için azalan bir fonksi yondur. İspat: f(x) türevi [a,fe] aralığında pozitif ise y = f ( x) fonksiyonu bu aralıkta ne azalan ve ne de sabittir. Fonksiyon azalan olsa türevi negatif; sabit olsa türevi sıfır olması icap ederdi. Halbuki, hipotez gereğince bunlar olmadığına göre, fonksiyon bu aralıkta artan bir fonksiyondur. Teoremin ikinci kısmı da benzer şekilde ispat êdilebilir. 2 . ÖRNEK, y = -^ fonksiyonunun artam ve azalan olduğu aralıkları belirtiniz. y' = 2x9^ — 6o? olup türevi sıfır kılan x değerleri o; = 0 ve x = 2 dür. X< 0 0 < , < 3 X o? > 3 halinde y' > 0 olarak fonksiyon artan; halinde ise y' < 0 olarak fonksiyon azalan; dır. 4-5 Bir eğrinin konkavlığının yönü y z= f ( x ) fonksiyonunun eğrisi, bir i x , y ) noktasında, teğetinin üst tarafında kalıyorsa, yukarıya doğru konkav \ teğetinin alt tarafın da kalıyorsa, aşağıya doğru konkav eğri adını alır. Şekil 23 den de görüldüğü gibi, yukarıya doğru konkav olan bir eğri üzerinde, apsisi daha büyük olan bir noktadaki eğim açısı daha büyüktür. Buna göre : Bir eğrinin konkavhğımn yönü tt2 > aı olup tg tt2 > tg aı ve 93 / t e ) > f ( xı ) dir. O halde f (x) türev fonksiyonu, değişkeni ile aynı yönde değişmek te olduğundan artan bir fonksiyon olup r(x)>0 dir. O halde ikinci türevi pozitif kılan x doğru konkav olacaktır. değerleri için eğri yukarıya Aşağıya doğru konkav olan bir eğri üzerinde ise, apsisi daha bü yük olan noktadaki eğim açısı, daha küçüktür. Buna göre : tt2 < aı olup tg tt2 < tg aı ve f ( x 2) < f ( xı ) dir. O halde, türev fonksiyonu, değişkeni ile ters yönde değişmekte ol duğundan azalan bir fonksiyon olur ve bu sebeple de f"(x)<0 dir. O halde, ikinci türevi negatif kılan doğru konkav olacaktır. x değerleri için eğri aşağıya ÖRNEK. y= x* — + 16a; — 10 eğrisinin aşağıya ve yukarı ya doğru konkav olduğu aralıkları belirtiniz. y' = 4:X^ — 48a; + 16 y" = 12c(^ - 48 = 12(a;2 - 4) olup y" yü sıfır kılan x değerleri x = —2 ve a; = 2 dir. 94 X Türevin çeşitli uygulamaları < —2 , X> 2 — 2 < a? < -f-2 için y" > O olup eğri yukarıya doğru konkav; için y" < 0 olup eğri aşağıya doğru konkav; dır. 4-6 Bir fonksiyonun maksimum ve minimum değerleri y z= f { x) fonksiyonunu gözönüne alalım. Eğer f i a ) y X İn a ci varındaki değerleri için, f { x ) in aldığı her değerden daha büyük ise, /(a ) , f { x ) fonksiyonunun bir maksimum değeri dîr. f{a) , x in a ci varındaki değerleri için f { x ) in aldığı her değerden daha küçük ise, /(a ) , f { x) in bir minumum değeri dir. Bu tanımlara göre, /(a ) bir maksimum değer ise, f { x) fonksi yonu, h yeter derecede küçük pozitif bir sayı olmak şartiyle, [a—h, a] aralığında artan ve [ a , a hl aralığında azalan bir fonksiyon dur. O halde f ( a — h) > 0 ve f(a + h ) < 0 dir. Buna göre, y z= f { x) eğrisi üzerindeki bir maksimum noktası, fonksiyonun artma halinden azalma haline geçtiği bir nokta olacaktır ki, türevi, bu noktada pozitif değerler den negatif değerlere geçecektir. Eğer bu noktada f'(x) sürekli ise, fia) = 0 olması gerekir. (Şekil 24) Bunun gibi f(a) bir minumum değer ise, f ( x) fonksiyonu [a — hâ] aralığında azalan ve [a , a + h] aralığında artan bir fonk siyondur. O halde f i a - h) < 0 f i a + h) > 0 Bir fonksiyonun maksimum ve minimum değerleri 95 dir. Buna göre y = f { x) eğrisi üzerin deki bir minumum noktası, fonksiyonun azalma halinden artma haline geçtiği bir nokta olacaktır ki f'(x) türevi bu nok tada negatif değerlerden pozitif değerle re geçecektir. Eğer bu noktada f ( x ) sürekli ise fia) = 0 olması gerekir. (Şekil 25) Cebirsel fonksiyonların değerleri an cak, sıfır veya sonsuz değerlerini alırken işaret değiştirirler. Şekil 26 daki P2 noktası, f(x2)=0 , f i x2 — h ) > 0 , rix2-\-h)<0 olarak maksimum noktasıdır. P4 noktası, f'(x4)=0 , f i x 4 — h) olarak minumum noktasıdır. /'(a?3) ^ o o , ) = 0 f { x 3 — h) , rixA + h ) > 0 f'(x^-\-h) < 0 P3 noktası, olarak bir maksimum noktasıdır. f'{x, , < 0 , > 0 Pı noktası ise fix,^ h )> 0 \ f{x^ + h ) > 0 olarak, türev bu noktada işaret değiştirmediğinden bir maksimum veya minumum noktası değildir. Bir fonksiyonun maksimum veya minumum değerlerinden hangi sinin kastedildiğini belirtmeye gerek olmadığı vakit bu kavramlar ye rine ekstremum deyimi kullanılır. Türevi sıfır ve sonsuz kılan değerlere kritik değerler ve bunlara karşılık gelen noktalara da kritik noktalar denir. f { x ) = 0 halindeki bir maksimum noktasında, konkavlık aşağıya doğru olacağından, y = f ( x) için, f(a ) = 0 ve ./" (a ) < 0 ise [ a , f ( a ) ] noktası bir maksimum noktasıdır. Minumum noktasın da ise konkavlık yukarıya doğru olup, y = f ( x ) için 96 T^ürevin çeşitli uygulamdlan f'{a)=0 ise [a,f{a)] ve f"(a)>0 noktası bir minumum noktasıdır. Bunlara göre, y = f { x ) gibi bir fonksiyonun maksimum ve mini mum değerlerini bulmak için şu kuralı söyliyebiliriz. KURAL. y = f ( x ) îerini bulmak için : 1) fonksiyonunun maksimum ve minumum değer• f.(x) z=z 0 denkleminin kökleri bulunur. 2) Her a kökü için f "(a) hesaplanır. f " ( a) < 0 ise /(a ) bir maksimum değer; f "( a) > 0 ise f(a) bir minumum değerdir, f'^ (a) = 0 veya mevcut değilse kuralın 3. kısmı uygulanır. S) f ( a — h) ve Her a kökü ve yeter derecede küçük, pozitif h değeri için f { a ^ h ) hesaplanır. f ( a — h) > 0 , f (a + A) < 0 ise f(a) maksimum değer; f{a — h ) < Q , /'( a 4- Tl) > 0 ise f{a) minumum değer; dır. f i a — h) ve f (a + h) aynı işarette iseler f{a) mum ve ne de bir minumum değerdir. ne bir maksi Bu kısım X z= a için f { a ) nın mevcut olmadığı bir [ a , f ( a ) ] noktasının maksimum veya minumum noktası olup olmadığının araştı rılmasında da kullanılır. Bir fonksiyonun maksimum ve minumum değerleri 97 ÖRNEK 1. + + — 2005 + 5 fonksiyonunun maksi mum ve minumum değerlerini bulunuz. + lbx^ - 20a: - 20 f{x) = W + f'{x) = 5(a: - 1 ) {x + 1) (x + 2)^ olarak x = 1 , x = —1 ve a? = —2 için f'(x) = 0 /" ( X ) =: 30^ 20a?3 + 60a:2 _ dır. 20 f " { x ) = 10(2a?3 + 6a:2 ^ 3 ^ _ 2 ) olup /"(-D = 10 < o olarak x = —1 için / ( —1) = 14 maksimum değer; / " ( + 1 ) = 90 > 0 olarak a: = 1 için / ( l ) = —14 dir. / " ( —2 ) =: 0 olup x = —2 minumum değer; için bu yoldan birşey söylenemez. / ' ( - 2 - h ) = 5 ( - 3 - h) ( - 1 - h) { - h f = f \ - 2 + W = 5 ( ~ 3 + h) ( - 1 + h) + h) {l + h ) > 0 = bW(h - 3) - 1) > 0 (Ti > 0 ve istenildiği kadar küçük) olarak /'(a?) türevi x — —*2 de işaret değiştirmemektedir. O halde x = —2 bir ekstremuma karşılık bir değer değildir. Bu sonuç, f { x ) içinde (x + 2)^ nin bulunmuş ol ması ve X — — 2 de türevin işaret değiştirmediğini görmekle de elde edilebilirdi. ÖRNEK 2. 2/ = 12a? — 4a?’ mum noktalarını bulunuz. eğrisi üzerindeki maksimum ve minu 2/ ' = 1 2 -^-6a?^^’ a?V^ = 2 ve a? = 4 için f (4) = 0 ve /"(a?) = - 3 a ? - ' = /"(4) = - y < 0 yjx olarak (4,16) noktası maksimum noktasıdır. ÖRNEK 3. y = 3x^ ’ — 2a? eğrisi üzerindeki maksimum ve minu mum noktalarını bulunuz. 2/ '= 2a?-'/’ - 2 = Yüksek Matematik 1 a?1/3 - 2 = 2(1 - a?'/’ ) a ?'/3 F. 7 98 ' Türevin çeşitli uygulamaları olup dir. x —l için y '—O ve 2/ " x=0 için -4y3 ve = y'oo olarak mevcut değil /" ( l ) < 0 olup ( 1 ,1 ) noktası maksimum noktasıdır. Şimdi de /■( O - x = 0 - apsisli noktayı inceliyelim. ^ - 2<0 : /•(0 + fe ) = ^ - 2>0 olarak ( 0,0 ) noktası bir minumum noktasıdır. 4 -7 Büküm noktaları y = f { x) denklemi ile verilmiş bir eğrinin, yukarıya doğru olan konkavlığını aşağıya doğru olan konkavlığa, veya aşağıya doğru olan konkavlığını yukarıya doğru olan konkavlığa değiştirdiği noktaya hüküm nok tası denir. (Şekil 27) Büküm noktasın da konkavlık değiştiğinden, bu noktada f " { x ) türevi işaret değiştiriyor demektir. f " { x ) türevi X = a da işaret değiştiri yor ve bu noktada sürekli ise f"{a)=0 olması gerekir. Bu da f'{x) türev fonk siyonunun bu noktada bir maksimum ve ya minumumdan geçtiğini gösterir ve dolayısile r(x) o olmasını gerektirir. Bunlara göre, y = f { x ) denklemi ile verilmiş bir eğri üzerindeki bir [a,f{a)] noktasının büküm noktası olabilmesi için. /"(a) = 0 olmalıdır. r ( a ) :7i 0 Büküm noktaları ÖRNEK 1. y= x^ —3x^—4: 99 eğrisinin büküm noktalarını bulunuz, t/ z=z 3x^ — 6x y" = 6x - 6 olup X = 1 için y" türevi sıfır ve işaret değiştirmekte olduğundan (1 , —6 ) noktası büküm noktasıdır. Diğer bir ifade ile X = olarak ( 1 , —6 ) ÖRNEK 2. nı bulunuz. 1 için y” = 0 ve y'" = 6 :^ 0 noktası büküm noktasıdır. y = 1 y' = 5 { x - 2 ) ‘ {x — 2)^ eğrisi üzerindeki büküm noktaları y" = 2 0 ( x — 2 ) y'" = 60 (a? — 2)2 olup X — 2 için y " = 0 ve y ‘" = 0 olarak birşey söylenemez. Bu halde x = 2 de f " { x ) in işaret değiştirip değiştirmediği araştırılır. f " ( 2 - h) = 2 0 { - h y = -20/^3 < 0 /" ( 2 + h) = 2 0 h ^ > 0 olarak (2 , 1 ) noktası büküm noktasıdır. İHTAR. f'{a) = 0 , /"( a) = 0 , f ”'(a) = 0 , olması hallerinde, tü revler kolay bir şekilde alınabiliyorsa, x = a için sıfır olmayan ilk tü rev bulununcaya kadar türev almaya devam edilir. Bu takdirde [ a , f ( a ) ] noktası, sıfır olmayan ilk türevin mertebesi tek ise bir bü küm noktası; çift ise bir maksimum veya minumum noktasıdır. 4 -8 Maksimum ve minimum problemleri Değişken bir miktarın maksimum ve minumum değerleri, uygula ma alanı çok olan değerlerdir. Verilen bir hacımda depo yapılabilmesi için minumum miktarda malzemeye gerek görülmesi; bir merminin ula şacağı en büyük yüksekliğin bulunması gibi sorulara verilecek cevaplar bu gibi problemlerin çözümü ile elde edilebilecektir. Maksimum ve mi numum problemlerini çözebilmek için, evvelâ maksimum veya minumum 100 Türevin çeşitli uygulamaları olması istenilen büyüklüğün yalnız bir değişken cinsinden ifadesi bulu nur. Sonra da bunun türevi sıfıra eşitlenerek elde edilen denklem çö zülür ve bulunan sonuçlara göre karar verilir. ÖRNEK 1. bulunuz. Toplamları 10 ve çarpımları maksimum olan iki sayı Aranan sayılardan biri x ise, diğeri 10 — a? olur. Bunların çar pımı A o?(10 — x) = 10x — olarak bu ifadeyi ekstremum kılacak x değeri dA =«10 — 2x = 0 dx X = 5 dir. dÂ - 2 < 0 dx^ olup X = 5 değeri aranan sayıların çarpımını maksimum kılan x ğeridir. O halde aranan sayılar 5 ve 5 dir. de ÖRNEK 2. Verilmiş bir dik koni içine yerleştirilmiş maksimum hacımdaki silindirin yüksekliğini bulunuz. Şekil 28. AC = r ; BC — h ve silindirin aranan yüksekliği taban yarıçapı x olsun. Silindirin hacmi y, V = TzCü^y dir. ABC ve DBE üçgenlerinden r X h - y olup r(h - y) X — dir. X in bu ifadesini V hacım ifadesin de yerine koyarsak V = *.2 TZ jjr y ih - y y Tzr‘ Ov^y-2hy^ + y^) Maksimum ve minumum problemleri 101 elde edilir. V hacmini maksimum kılacak y değeri Y' türevini sıfır ve y " yü negatif yapacağından : dy ûy (h^ - ^hy + 3y2) = 0 y = h 2/ = h ve rzr^ V " = ^ (-4/ 1 + 61/) h t/ = y için y"< 0 y = h için y"> 0 IV olarak maksimum hacımdaki silindirin yüksekliği y dir. ÖRNEK 3. Dik silindir şeklinde 3 m^ su alacak üst kısmı açık bir depo yapılacaktır. Deponun tabanında kullanılacak malzemenin met^ re karesi, yanal yüzeyinde kullanılacak malzemenin metre karesinin iki katı fiattadır. Deponun en ekonomik boyutlarını hesaplayınız. Buna göre, deponun maliyetinin minumum olmasını istiyoruz. De ponun taban yarıçapı r ve yüksekliği h olsun. Bu takdirde deponun hacmi olup h= Tzr‘‘ dir. Yanal yüzeyde kullanılan malzemenin metre karesi ponun maliyeti M — 2a , Tzr^ + a . 2Tzrh M = 2'Kar'^ + 2Tzra M — 2Tzar'^ + olup bunu minumum kılacak r 6a değeri Tzr^ a lira ise de 102 Türevin çeşitli uygülamalan dM ^ 6a . = 47car — —7T = 0 dr dan -V' 2 tz dir. Grerçekten . 12 a d^M ■ dr^ olup Td^Ml [dr^J; olarak r in 12 'n:a > 0 bu değeri ıhaliyeti minumum kılar. Aynı şekilde dM ^. 6a ^ = 4:Tzar------T- = 0 dr dan 2nr^ = S yazılıp r^ = olduğu gözönüne alınırsa 27îr •Kh = 3 h = 2r bağıntısı bulunur. ÖRNEK 4. Bir x'x yoluna uzaklığı 3 km olan bir M evinden, bu yol üzerinde olan bir C kentine minumum zamanda gitmek zorunluğu hasıl oluyor. Yol üzerinde ancak saatte 5 km; yolla ev arasındaki kı sımda da saatte 4 km’lik bir hızla yürünebiliyor. x'x yoluna hangi noktasında geçilmelidir. (Şekil 29) MA = 2 km AC = d = sabit Bu şartlarda yola geçiş noktası B ve bunun A ya uzaklığı AB = x olsun. X < d yani üç nokta A, B, C sırasında olmalıdır. y r= f ( x ) denklemi ile verilmiş hir eğrinin çizimi MAB 103 üçgeninden MB^ = AB^ + MA^ mW 3 km = o^ + 9 MB = y/0(^+ 9 X' B ve MB yi katetmek için geçen zaman Şekil : 29 MB _ \Za;2 + 9 4 ~ 4 ve BC yi katetmek için geçen zaman BC __ d - X 5 5 olup M den C ye gitmek için geçen zaman : ^_ \/x'^ + 9 , 4 "^ d - X 5 olup bunun minumum olması için : d^ da? 1 X 4 \!x^ + 9 5 5o? — 4 \/a;^ + 9 20 \!x^ + 9 ve d^ = 0 do? yani 5o? — 4 + 9= 0 o? = 4 km. olmalıdır. 4-9 y=f(x) denklemi ile verilmiş bir eğrinin çizimi y = f ( x) denklemi ile verilmiş bir eğriyi çizmek için, evvelâ y = f { x ) fonksiyonunun değişimini incelemek gerekir. Bu da, genel olarak, fonksiyomm artan ve azalan olduğu aralıkları belirtmek demektir. Bunlara göre, y = f ( x) denklemi ile verilmiş bir eğriyi çizmek için aşağıdaki sırada işlem yapılır : 104. Türevin çeşitli uytgülamaları 1. y — f ( x ) belirtilir, fonksiyonunun tanım aralığı ve süreksizlik noktaları 2. Türev yardımı ile fonksiyonun artan ve azalan olduğu aralıklar ve varsa maksimum, minumum noktaları bulunur. 3. Bağımsız değişkenin mit değerleri aranır, ± oo Jf. Bu incelemeler lenir. ve x, y değerlerine karşılık fonksiyonun li y' yü içeren bir tablo üzerinde özet 5. Değişim tablosu adı verilen bu tablodan ve diğer bazı özel nok talardan faydalanmak suretile eğri çizilir. ÖRNEK 1. y^ = x^ ^ X* eğrisini çiziniz. 2/ = ± —X* olarak ox ekseni simetri eksenidir. Buna göre y = yj e ait eğriyi çizmeli ve sonra da ox eksenine göre simetriğini almalıdır. y = ^ ün tanım aralığı - a?'* ^ 0 ^ x\ x — olması gerektiğinden 0 < a? < 1 y olup X = 0 ve , , a? — ^ 0 dir. 3ac^ — ix^ = ^ 0 \/x (3 — 4ac) v/:x^— a?" \/ı X = -j" için ı/' = 0 dır. Bu bilgileri değişim tablosuna taşır ve bu tablo yardımiyle eğriyi çizersek Şekil 30 daki eğri elde edilir. X 0 o + o 3v/3 16 \ 0 Asimptodlu eğriler ÖRNEK 2. y — sin^ x Fonksiyon, x değerleri alır Yani 105 eğrisini çiziniz. in birbirinden t. /(o? + kadar farklı değerleri için aynı = /(i») olarak 7: peryodludur. Buna göre incelemeyi yeterlidir. (0 , tO aralığında yapmak y' — 2 sin X cos x = sin 2x olup 2.r = 0 , Tz , 2 r :....... yani » =o , y , TC değerleri için ı/' = 0 dır. Değişim tablosu : olup eğrisi Şekil 31 de gösterilmiştir. Eğri x değerleri için çizilmiştir. in (0, 2ti) aralığındaki 4 -1 0 Asimptodlu eğriler Eğrilerin sonsuza uzanan kollarının yaklaşmakta olduğu bazı doğ rular mevcut olabilir. Sonsuza uzanan bir eğri kolunun üzerindeki bir P noktasının sabit bir doğruya uzaklığı, P noktasının sonsuza yak laşması halinde sıfır oluyorsa, sözü geçen doğruya eğri kolunun asimp- 106 Türevin çeşitli uygulamaları tod’u denir. Asimptodların bilinmesi eğrinin çiziminde kolaylık sağ lar. 4 .1 0 - 1 . oy Eksenine paralel asimptodlar x - ^ a halinde y mutlak değer bakımından sımrsız olarak artıyor yani y -^ o o oluyorsa o? = a doğ rusu eğri kolunun asimptodudur. Gerçekten PM uzaklığı a ■— x olup y -^ o o halinde |a — o?| 0 olacaktır. (Şekil 32) 4 .1 0 - 2. ox Eksenine paralel asimptodlar -> 00 halinde y -^ h oluyorsa y = h doğrusu asimptoddur. Gerçekten PM=\y^b\ olup X halinde oo y— olarak y = h 0 asimptoddur. (Şekil 33) Asimptodlu eğriler 4 .1 0 107 - 3. Eğik asimptöd Eğri üzerinde sonsuza giden bir P { x , y ) noktasının her iki koor dinatı da sonsuza yaklaşabilir. ( x -> od halinde y -> oo olması). Son suza uzanan P noktası ile O başlangıç noktasını birleştirelim. P nin sonsuza yaklaşması halinde OP nin A gibi bir limit durumu mevcut ise A ya asimptodik doğrultu denir. OP nin doğrultusu ve 1 i m OP = A olup A nin doğrultusu m= 1 i m dir. (Şekil 34) Şimdi de P noktasından A ya bir d paralel doğrusunu çizelim. P noktası sonsuza yaklaştığı zaman, d daima asimptodik doğrultuya paralel kalacağından, limit durumu asimptodu verecektir. d doğrusu P{x, y) ğundan denklemi : noktasından geçtiğinden ve eğimi Y - y = m iX - X) Y = mX 4- 2/ — ve y z=z f { x ) olup Y = mX -f f ( x) — mx m oldu 108 Türevin çeşitli uygulamaları dir. x - ^ oo halinde bu doğrunun limit durumu asimptod olacaktır. Li mit halinde m eğimi değişmeyeceğine göre bu doğrunun oy eksenini kestiği noktanın f ( x) —■mx ordinatının limiti, asimptodun oy ekseni ni kestiği noktanın ordinatını verecektir. Buna göre : w =l i m [f{x) mx] X -> oo olur. O halde eğik asimptod’un denklemi m =l i m rc->oo n = l i m [f{x) — mx] a?-» 00 olarak y = mx + n dir. Asimptod'un y = mx + n denklemi şu şekilde de çıkarılabilir. Denklemi y = mx + n olan l doğ rusu asimptodsa 1i m ^ = 0 olacaktır. (Şekil 35) PM duğu zaman PM’ 0 yani 0 ol PM' = y — {mx + n) = /(a?) — (ma? + n) -> 0 ve /(a?) ma? + n olacaktır. O halde 1 i m /(a?)=l i m { mx+n) a?~>00 a?-> 00 1 1 m ----- = l ı m mH------ \ = m « X X—>oo X a?-><» bulunur, n ise Asim'ptodlu eğriler 1i m a?—>00 f ( x) = 1 i m { mx+n) x-^ 00 1i m x-^ 00 f{x) — 1 i m İC—>00 1i m a?—>00 [ f ( x) — mx] = n 109 mx = n dır. ÖZET, y = mx + n x^ 1. in asimptod olabilmesi için halinde oo oo 2. 11 1• m ~y = m ; X—>oo ® 3. 1 i m (y — ma?) = n ; a?“ >oo J olmalıdır. İHTAR. f{x) = P(g?) şeklindeki bir rasyonel kesrin gösterdiği Ç(a?) eğrinin bir eğik asimptodunun olabilmesi için, P{ x) in derecesinin Q(a?) in derecesinden bir fazla olması gerekir. Gerçekten bu halde : , Pı(a?) yazıllbilir. Buna göre 1 i m /(a?) = 1 i m aj-> Go 4. ^ 4. ap-» oo L = 1 i m (ma? + n) + 1 i m aj—>oo a?—>oo ve Pı(a?) in derecesi Ç(a?) Pı(») in derecesinden daha küçük olduğımdan 1 1 m ——- = O af~>oo olup 1 i m f { x) = 1 i m (ma? + n) a?—>00 a?—>00 110 Türevin çeşitli uygulamaları dir. Bu da y = mx + n ÖRNEK 1. in asimptod olduğunu gösterir. 1 ~f“ X y^ = x “^ ----- ;;7 fonksiyonunun eğrisini çiziniz. X olup eğri y nı elde etmek üzere y = Fonksiyon ox fonksiyonunu inceliyelim. V 1 X — 1 < o? < + 1 aralığında tanımlıdır. , 1 + X — x^ (1 olup X = — eksenine göre simetrikdir. Yarısı X) - V t^ için y' = 0 dır. Bunlardan ^ inceleme aralığına dahil değildir. x - ^ l halinde Değişim tablosu X y y t/ -> oo olup 1 - \/5 -1 doğrusu düşey asimptoddur. +1 2 - x = 1 o + o \ 4 Vi 0v^5 - 22 + mm. olup buna ait eğri çizilir ve ox e göre simetriği alınırsa Şekil 36. daki eğri elde edilir. ÖRNEK 2. y = ^y^x^ — 3x^ eğ risini çiziniz. Fonksiyon x in her değeri için tanımlıdır. y x‘ 2x W(x^ - 3a;2)2 X —2 x^'Hx - olup X — 2 için y' = 0 ve x = 0 için türev işaret değiştirerek sonsuz olmaktadır. Asimptodlu eğriler a? -> + oo halinde ± oo t/ 1 i m -- = 1 ac-» co ^ olarak y —x —1 X ve 1 i m (2/ — flc) = - 1 X”^ co ; eğik asimptoddur. Değişim tablosu — Oü 0 y y 111 + — oa / 2 0 - 0 \ maks. 3 •i- + + 0 \/i min. + 00 olup eğirisi Şekil 37 de gösterilmiştir. ÖRNEK 3. 3 _2 sin X 3/ = 3^^ 2 sin ac Fonksiyon 2r. mak yeterlidir. 8 peryodlu olup incelemeyi COS X , y = (1 + -----------2 sin x) 2 X h -Ş 6 ve fonksiyonunun eğrisini çiziniz. û5 - » Sız 2 TZ ^ ^ 'TT halinde ^ 3/ (0, 2rJ) ~ aralığında yap için olduğundan y '= 0 x = dır. ve 112 Türevin çeşitli uygulamaları o; = doğruları•düşey asımptoddur. Değişim tablosu : X ^ 3 7tz - 6- y - y y tt; ° 0 1 + + ^ +CO — oo / min. Stü 1İ7C T - -T 0 - -5 \A — — co 4- OO 3 maks. olup eğrisi Şekil 38 de gösterilmiştir. Şekil: 38 4. B Ö L Ü M E A İT PRO BLEM LER 1. y=x^—l2x-\-A eğrisinin hangi noktasındaki teğetinin eğimi 15 dir. Cevap. x = ± 3 2. 2y=2x^—x^+l rusuna paraleldir. Cevap. x=2 apsisli noktalar. eğrisinin hangi noktalarındaki teğetler ^=10 a— 5 doğ 5 ve x ~ — — apsisli noktalar. Problemler 3. y= - Ax eğrisinin a: 113 apsisli noktasındaki eğimi bulunuz. = ö Cevap, y'—m—l 4. y—2 sin X-4-3 cos 2;e eğrisinin hangi noktalarında eğimi sıfırdır. Cevap. x\=~ , , at3=9®30' apsisli noktalar. 2 5. AT^+ r/3—.v^--7=0 eğrisinin (1, 2) noktasındaki teğetinin eğimini bulunuz. Cevap. m =— i 6. y'^=2x^ eğrisinin hangi noktasındaki teğeti 4a:—3ı/+2=0 doğrusuna dik olur. Cevap • (a ’ le) 7. y=\^x eğrisinin x=4 lemini bulunuz. apsisli noktasındaki teğet ve normalinin denk Cevap. x—4y-\-A—0 ve 4;c+37—18=0 8. y=V-^—1 eğrisinin (1, 0) noktasındaki teğet ve normalinin denklemini bulunuz. Cevap. AT—1=0 ve ^=0 9. y—ig 2x eğrisinin (0, 0) noktasındaki teğet ve normalinin denklemini bulunuz. Cevap. y—2x ve y ~ — -^x 10. AT^+y2+2A:—6=0 eğrisinin linin denklemlerini bulunuz. Cevap. S at+Öİ/-—13=0 ve 11. y=x^—2x eğrisi ile ^=5 ordinatlı noktasındaki teğet ve norma y=3 6 a: —5y+21=0 doğrusu hangi açı altında kesişirler. Cevap. 85® 12. xy—a^ ve x‘^—y'^=h‘^ hiperbollerinin dik açı altında kesiştiklerini gös teriniz. 13. — + -:?-= l a} elipsi ile a:^4 - çemberinin aynı apsisli noktalarına ait teğet altılarının birbirine eşit olduklarını gösteriniz löksek Matematik I F. 8 114 Türevin çeşitli uygulamaları Aşağıdaki fonksiyonların artan ve azalan olduğu aralıkları bulunuz. 14. y—x^—6.V+1 Cevap. :t>3 için artan .r<3 için azalan 15. y = Cevap, daima artan Cevap. 0 < ;e < -~ 16. y 2x-Z 1 v/ 1- 2at2 1 V'2 için artan -----^ < * < 0 için azalan v'2 U -l)3 17^ Cevap. —5<;e< —1 İçin azalan diğer aralıklarda artan Cevap. 0<;c<l için azalan K a:< co için artan Cevap. —!<:»:< 1 için azalan diğer aralıklarda artan ( a: + 1)2 18. y=ix—Z) >Jx 19. 20. y=x+sin X Cevap. daima artan Aşağıdaki fonksiyonların gösterdiği eğrilerin üzerindeki büküm noktalarını bulunuz. 21. 6at2—36a: + 30 Cevap. (2, -5 8 ) 22. 3 = x ^ + - Cevap. ( -1 . 0) 23. y=sin2 X Cevap. ^ x = ^ ( 2 k + l ) ~ 4 X 24. o sınA:+-------, sin 2 x 2 y=2 Cevap. x=0 ve 3 Aşağıdaki fonksiyonların maksimum ve minimumlarını bulunuz. 25. 3_i_48 — y=x^+ X 26. y=sin2 X Cevap. a:= —2 için maks. a: = 2 için min. Cevap, x = — için maks 3tc . . x-=— için mın. 2 Problemler 27. y=sin AT+cos AT Cevap. 28. y=cos X— — cos 2x Cevap. 2 ^ maks. X- 3 için maks. Cevap. AT=—2V^3 29. y=3 /—r^= x=2 V^3 30. y.=V(Ar’ -l)2 P=3 115 için maks. için min. Cevap. AT= ± 1 için min. a:= 0 için maks. 31. p ve <7 yü o şekilde belirtiniz ki minimumuna malik olsun. y=x^+px+q üç terimlisi at= 1 için Cevap. p = —2 ; ç=4 32. Kenarlanndan biri 5 m ve bu kenarın karşısındaki açısı 40® olan bir üç genin alamnın maksimum olabilmesi için diğer açılan ne olmalıdır. Cevap. 70® ve 70® 33. Hipotenüsü l uzunluğunda olan dik üçgenlerden maksimum alanlı olanımn dik kenarlanm bulunuz. Cevap. ^ 2 ve ^ 2 34. R yarıçaplı bir küre içine yerleştirilen dik konilerden, yanal yüzünün alanı maksimum olamnm yüksekliğini bulunuz. Cevap. A= 4/? 35. R yançaplı bir küre içine yerleştirilen dik koşdlerden maksimum hacımlısınm yüksekliğini bulunuz. Cevap. A= 36. sokunuz. 4/? l uzunluğunda bir bakır teli, maksimum alanlı bir dik dörtgen şekline Cevap. 4- kenarlı bir kare 4 37. Eksenlerinin yarı uzunlukları a ve b olan bir elips içine, kenarlan elip sin eksenlerine paralel olan, maksimum alanlı bir dik dörtgen çiziniz. Cevap. Dik dörtgenin kenarlarının uzunlukları \/2a ve y/Tb 116 Türevin çeşitli uygulamaları 38. Silindirik bir kap için ekonomik boyutları bulunuz. Cevap, taban yarıçapı = yükseklik 39. Tabam kare şeklinde olan ağzı açık bir kutunun ekonomik boyutlarını bulunuz. Cevap, taban kenarı = 2 X yükseklik 40. Alam 20 m2 olan bir daire diliminin çevresinin minumum olabilmesi için yarıçap ne olmalıdır. Cevap. ^=4,47 41. Bir pencere, bir dikdörtgen ve bunun üzerine yerleştirilmiş bir ikizkenar üçgenden meydana gelmiştir. Üçgenin yüksekliği tabamnın 3 8 ine eşittir. Çevresi 9 m olan pencereden maksimum ışık geçebilmesi için boyutları nasıl seçmelidir. Cevap, üçgenin tabam = 2,40 ; dikdörtgenin boyutları 2,40 ve 1,80 42. Bir otomobil fabrikası herbiri 95000 liradan ayda ancak 4500 otomobil satabiliyor. Herbirinin fiatımn 5000 lira daha ucuza satılması halinde ayda 1500 otomobil daha fazla satabiliyor. En büyük kazancı sağlıyacak otomobil fiatımn ne olduğunu hesaplayınız. Cevap. 55000 L. 43. E= Elektromotor kuvvet, bir volta pilinin gücü E^R P= (r+Ry r= iç direnç, /?= dış direnç olduğuna göre formülü ile verilmiştir. P yi maksimum ya- pan R değerini bulunuz. Cevap. R=r 44. Bir telefon müdürlüğü, bir merkezde 1000 veya daha az sayıda abone olduğu zaman her alet başına 150 lira net kâr yapıldığını görüyor. Eğer 1000 den fazla abone olursa, her alet başına yapılan kâr; bu sayıdan fazla olan her abone için 10 kuruş azalıyor. Maksimum kân hangi sayıda abonenin temin edeceğini hesapla yınız. Cevap. 1250 Problemler Aşağıdaki fonksiyonların eğrilerini çiziniz. 1 45. l+(l-ArP 46. y _ 2x^-1 2x2-2 47. 48. y . x2- 2x + l 49. y = l —v/î+4l2 50. ı/=V^sin X 51. y=sin AT+-- sin 2x 52. y = (x -2 )2 (x+ 3) (x - 4 ) 2x2- 2x+ l 2 53. 55. y=ax crj 57. 59. __ y = - COS —x'^ Zx 1+cos 2x 56. y 58. y _V^x2—4x+3 x+l 1+ sin X sin x ( l —sin x) 60. ü=2 sin X — sin 2x r= -7 ^ 61. y=2 sin X—3 cosx 62. f(bi)=C 63. /(j?)= 64, y=v'x+v/4—X ^ ------- 65. y —x \Jx+'i 67. y=sin3 x+cos3x 66. y=?\J\—j 117 s. BÖLÜM TERS t r ig o n o m e t r ik f o n k s iy o n l a r 5-1 y = Arcsinx fonksiyonu y z= sin X fonksiyonu ~ aralığında sürekli ve artan bir fonksiyon olup bl < 1 için tanımlı y — Arcsin x ile gösterebile ceğimiz sürekli ve artan bir ters fonksiyon kabul eder. y = Arcsin x TC sembolü . ^ x = s m y •, — y â l / â + y sistemi iie ajmi anlamlıdır. ÖRNEK 1. Arcsin ^ ÖRNEK 2. Arcsin Arcsin = y : Arcsin ( ~ y ) = “ y 3 4 + Arcsin o o —^ toplamını hesaplayınız, > Arcsin -ğ- = P y = Arcsin x fonksiyonu 119 ise sin 0 = sın a ve . . , 3 3 ,4 4 ^ s m (« + [î) = - . ğ - + - . - = l olarak a + P = Arcsin ~ + Arcsin 4" o D bulunur. 5 .1 - 1 . y = Arcsin x in türevi y = Arcsin x den a; = sin ı/ yazılarak her iki tarafın türevleri eşit lenirse 1 = cos y . y' 1 y = cos y ve X = sin y den cos y = \ /l ~ ^ y = elde edilir, u z:z u{x) olarak fonksiyonu türev kuralından edilerek yerine konursa 1 v r: 3/ = Arcsin w nun türevi, fonksiyon dir. ÖRNEK 1. y — Arcsin x . Arcsin 2a? y = ÖRNEK 2. den y' 50! hesaplayınız. Arcsin 2x . 2 . Arcsin x \Jl'-x^ y — Arcsin -j= VX V^l - 4a?^ den y' yü hesaplayınız. 120 Ters trigonometrik fonksiyonlar 2x \Jx _ y = ÖRNEK 3. 2x\Jx- 1 2/ = Arcsin (sin a?) , y = Arcsin (sin x) lar. Buna göre den y' cos X V l-s in ^ r » yü hesaplayınız. cos X = 1 cos a fonksiyonu sinüsü sin x olan yayı, yani x i tanım y = Arcsin (sin x) z= x olup y' = 1 dir. ÖRNEK 4. 1/ = 2~" \/6a? - Arcsin - —- " den y yü he saplayınız. / 1 ------- 2 , a? — 3 6 —2a; 9 \ l' 2 = 1 2v/6a;~a;^ ------- 2 I 6 a ;-a ;^ ~ 9 + 9 V^Öa; - a;2 + ■ 2 \JQx - X* {X - s y 9 2 V6a; — ac^ >jQx-x^ , v^6a; - a;^ y ' = \JQx - ac^ 5 .1 - 2. y = A r c sin x in eğrisi - Fonksiyonun tanım aralığı 7î . < 7t . <^ 4,. İL ^ 3/ ^ dır. Türevi 2 - y 2 — 1 < ac < + 1 y = olarak daima pozitiftir. Değişim tablosu : ve bu halde y = Arccos x X y -1 0 oo + y 121 4- 1 oo 1 i * t ^ 0 TZ fonksiyonu + — ^ 2 1 dır. Eğri Şekil 39 da gösterilmiştir. y =: sin a* fonksiyonu tek değerlidir. Bunun tersi Olan y = arcsin x fonksiyonu çok değerli dir. y — arcsin x den x = s,iny yazılabilir. Bu eşitliğe, ( 0 , 2n) aralığında iki y değeri karşı lık gelir. Bunlardan 2k% kadar farklı her y değeri eşitliği sağlayacaktır. O halde t/= arcsin x çok değerlidir. Halbuki + lir. y = Arcsin x aralığında bir tek y y — arcsin x değeri karşılık ge TZ fonksiyonunun TZ değerlerine asal değerler denir. Asal değerler için, bolü kullanılır. Buna göre : aralığındaki y = Arcsin x sem y = arcsin x = Arcsin x + 2k/K y = arcsin a? = tî — Arcsin x + 2kn dir. 5-2 y = Arccos X fonksiyonu y = cos X fonksiyonu (0, ?:) aralığında sürekli ve azalan bir fonksiyon olup |a?| < 1 için tanımlı y = Arccos x şeklinde göstere bileceğimiz sürekli ve azalan bir ters fonksiyon kabul eder. y Arccos ar sembolü X = cos y ; 0 < y < n sistemi ile ayni anlamlıdır. ÖRNEK 1. Arccos 1 = 0 Arccos __ _TC 122 Ters trigonometrik fonksiyonlar ÖRNEK 2. cos (2 Arccos a;) = ? Arccos a? = a ise cos a = x olup cos (2 Arccos x) = cos 2a = 2 cosâ — 1 cos (2 Arccos x) = 2a^ — 1 bulunur. ÖRNEK 3. Arcsin x -f Arccos y = -^ ifadesini cebirsel şekle so kunuz. a = Arcsin x ise x = sin a p = Arccos y ise 2/ = cos p olarak Arcsin x + Arccos 1/ = a + P = — olur. sin (a + P) = v/2 sin a cos P + cos a sin P = r2 x y + \Jl — x^ \/l — y^ \/2 ^ v/2 x^. \/l — y^ = 1 — x y \j 2 2(1 - a;2) (1 - 3/2) ^ _ 2 v/2 İTİ/ + 2x^y’^ 2x^ ~2 \ j 2 x y ’\- 2t/2 = 1 5. 2 - 1 . y = Arccos x in türevi y = Arccos x eşitlenirse^ den x = cos y yazılarak her iki tarafın türevleri 1 = — sin 2/ . 2/' 1 2/ = - sın ^ y = Arccos x ve X =r cos y den sin y = \/l — fonksiyonu 123 elde edilerek yerine konursa elde edilir, w = w(a?) olarak y = Arccos w nun türevi, fonksiyon fonk siyonu türev kuralından dir. ÖRNEK 4. 2/ z= Arccos 3/ = - ÖRNEK 2. 3a? / den y ’ yü hesaplayınız. 2 v^4 - 9a?2 9x^ Arcsin a? + Arccos a? ifadesini hesaplayınız. Bu fonksiyon |a?| < 1 için tanımlıdır. İki sürekli fonksiyonun toplamına eşit olduğundan süreklidir. ( —1 , + 1 ) aralığında türeve ma liktir ve 2/ = 1 V^l x^ + -1 \J\ — =o olarak y bir sabittir. O halde » e hangi değer verilirse verilsin, top lam a5mı değerde olacaktır. Halbuki a? = 0 için Arcsin 0 = 0 TZ Arccos 0 = Y olup Arcsin a? -f- Arccos x = TZ dir. 5. 2 - 2. y =s Arccos x in eğrisi Fonksiyonun tanım aralığı — dir. Türevi ve bu halde 0 < y < tz 124 Ters trigonometrik fonksiyonlar ^\ J \— olup daima negatifdir. Değişim tablosu : X - 1 y + 1 — TC y \ 0 dir. Eğri Şekil 40 da gösterilmiştir. Şimdi herhangi bir y = Arccos x fonksiyonu düşünelim. Tanım dan, y = arccos x ise x = cos y yazılabilir, y = arccos x ifadesi kosinüsü X olan y yaylarını vereceğine göre kosinüsleri eşit olan bü tün yaylar soruya cevap teşkil eder. Bu şarta uyan yaylar ise -fg veya g, 2ti: — a yaylarıdır. Halbuki y = Arccos o? e (0, t:) aralığında bir tek yay karşılık gelir. Bu sebeple (0, t:) aralığındaki değerler asal değerler adını alır ve Arccos a; ile gösterilir. Asal değer biliniyor ise diğerleri y = arccos x = ±_ Arccos x -f 2kız bağıntısı ile belirli olur. ÖRNEK 6 . y Arccos l -x ^ 1 + x^ yazılarak buradan, x = 1 1 — x^ - 2a;2 1 + fonksiyonunun eğrisini çiziniz. = -1 + 1 ne olursa olsun —1 ^ ^ 1 + X' — - 2~ ^ 1 olduğu görülür. Buna göre y fonksiyonu x in her değeri için tanımlıdır. f ( —x) = f(x ) olup fonksiyon çift fonksiyondur ve oy ekseni simetri eksenidir. O halde incelemeyi (0, oo) aralığında yapmak yeterlidir. x, 0 dan + 00 a kadar değiştiği zaman y = Arctg X fonksiyonu 125 1 - 0?^ 2 = -1 + 1 + x^ 1 + X' ifadesi + 1 den — 1 artan fonksiyondur. x - ^ oo halinde e kadar azalmaktadır .Bu sebepten fonksiyon y tz olup y = i / ' = --------— z—T— 2 (1 + « 2) \/4a;2 1 + tz doğrusu asimptoddur. olup daima pozitifdir. ^ Değişim tablosu : X + y y 4 cc 0 TC 0 olup eğri Şekil 41 de gösterilmiştir. 5-3 y = Arctg X fonksiyonu 7Î ~2 TC > + "^j aralığında sürekli ve artan bir fonksiyon olan 2/ =tgrr fonksiyonu x in ( — 00 , 4 . 00) aralığındaki değerleri için tanımlı ve y = Arctg x ile gösterebileceğimiz bir ters fonksiyon ka bul eder. sembolü sistemi ile ayni anlamlıdır. ÖRNEK 1. ÖRNEK 2. OL = Arctg A rctg 1 = -^ ; A rctg ( — v^3) = - sin (2 Arctg x) = ? X ise sin(2 A rctg o?) = olur. t g a = a? olup sin 2 a = 2 sin a cos a 126 Ters trigonometrik fonksiyonlar cos a = 1 , . „ v/ı + os sin a = -p- — v^l + ; olarak sin(2 A rctg x) == 2 sin a cos a = 2x 1 + bulunur. ÖRNEK 3. A rctg 2 — A rctg — = A rccotg 2 olduğunu gösteriniz. A rctg 2 = a ; A rctg -^ = 3 olsun. Bizim a — Ş yı bulmamız gerekiyor. tg(« - p) = ve tg a = 2 , 3 t g 3 = -^ 1 + tg a tg p olarak 2~ tg(a - 3 ) = 1+2 3 2 olup a — 3 = A rctg — = Arccotg 2 bulunur. 5. 3 - 1 . y = A r c tg x in türevi y = Arctg X eşitlenirse den x =ıtgy yazılarak her iki tarafın türevleri 1 = (1 + tg 2j/) y' 1 y = l+ t g ^ ı/ 1 2/' = 1 + y = Arctg X fonksiyonu 127 elde edilir, u :=z u(x) olarak y — Arctg w nun türevi, fonksiyon fonk siyonu türev kuralından dır. ÖRNEK 1. y = Arctg den y' yü hesaplayınız. 2x y = 1 + 0?^ ÖRNEK 2. y=z A rctg y - — V 1 "f" cos X ^ 1 — cos 1 -f- cos den y' 2 sın“ — X 2 _ X 2 cos^ _ ^ a; ~ ^ yü hesaplayınız. 2® 2 olarak y = \/ 1 + coM = 2 )- 2 olup 3 /= - 2 dir. ÖRNEK 3. y = 2\/^ — 2 Arctg V^P den y' yü hesaplayınız. 1 t/'= i - 2 . = i y/aj * 1 -fa; y 1 -f a; - 1 Va?(l + x) - ^ y/x(l-\‘ X) \/a; 1+ X ÖRNEK 4. 2/ = Arctg x + Arctg — i hesaplayınız. Fonksiyon a? = 0 hariç, diğer bütün x Türevi değerleri için süreklidir. 128 Ters trigonometrik fonksiyonlar + y 1 +ix^ 1 + x^ = O olarak fonksiyon bir sabit olur. Buna göre : A rctg 1 + A rctg ^ ^ = "y TC A rctg (—1) + A rctg(—1) = TZ olarak 5C> 0 İçin 1 7T A rctg x + A rctg — = — a; < 0 1 7Î A rctg x + A rctg — = — iu X için X ^ dir. 5. 3 - 2. y = A rctg x in eğrisi Fonksiyonun tanım aralığı — ^ < y < + ve bu halde — o o < a ? < -| -o o dir. Türevi y = 1 + flc' olup dr ima pozitifdir. 7w x - > —oo halinde t/-->— — ve a;->+c>o halinde Z 7t TC olarak ı/ = — ^ ^ y =z + doğruları asimptoddur. Değişim tablosu : X — oo y y + ~ + — 2 + TZ ~ ~2 Z ' . TZ y-^ -\ -- 7^ 2 y=A.TQ,tgx fonksiyonu 129 olup eğri Şekil 42 de gösterilmiştir. Şekil 42 X = tg y fonksiyonu peryodu ti olan bir fonksiyon olduğundan bumm tersi olan y — arctg x fonksiyonu çok değerlidir. Bunun — ^ aralığındaki değerleri asal değerler adım alır ve î/ = Arctg ic ile gösterilir. Bu değer bilinirse diğerleri arctg X = Arctg x k^z bağıntısından bulunur. ÖRNEK 1. y — Arctg — fonksiyonunun eğrisini çiziniz. X Fonksiyon x in sıfırdan başka bütün değerleri için tammlıdır. 2/ = - 1 1 + 0?^ olup daima negatifdir. a? dir. 0 — halinde ûî-->0 için Yüksek Matematik I y = 7Î y ^ — ^r- ve oj“ > 0 + halinde ise y TC dir. F. 9 130 Ters trigonometrik fonksiyonlar 5. BÖLÜM E A İT PRO BLEM LER 1. Arcsinj — -4r| = ? Cevap. —— 4 2. Arcsin(—1) = ? Cevap. —~ 3. Arccosj—-4=1 = ? ^ Cevap. -2-::- 4. Arctg — Cevap. ~ - l V2 ; V v/3 ? Aşağıdaki eşitliklerin doğruluğunu gösteriniz. 5. Arcsin at= — —Arccos a: 6. Arctg(—at) = —Arctg a: 7. Arcsin x = Arctg Problemler Aşağıdaki ifadeleri hesaplayınız. 8. cos(Arctg x) 9. sin(2 Arcsin x) 10. sin(Arccos x) Cevap. 1 V/î+^5 Cevap. 2x\İ\—x'^ Cevap. 11. cos(2 Arccos .v) Cevap. 2,v2-l 12. tg(2 Arcsin x) Cevap. 2at v/l-.v2 l-2,ı:2 " 13. sin(Arcsin x+J^ esin y) Cevap. A-Vl— 14. Arctg — + Arcsin 12 13 Cevap. T 15. Arctg 5—Arctg 4 Cevap. Arctg — ^21 16. tgf Arctg — + Arctg -J- Cevap. 1 2 17. cos I Arcsin — —Arccos 13 Cevap. 63 65 / 10 18. tg I Arctg y + Arctg Y -r Arctg— 3 71 Cevap. 4 t: 19. Arctg 4—Arctg — Cevap. T 20. Arctg— + Arctg-î3 2 Cevap. T 21. 1 13 Arccos — + Arcsin — 7 14 Cevap. 7t 5t: 6 Aşağıdaki ifadeleri cebirsel hale sokunuz. 22. Arctg AT+ Arctg y = Cevap. xy-{‘X +y= 23. Arccos :r+Arccos y = Cevap. 131 132 24. Ters trigonometrik fonksiyonlar Cevap. xy= l Arctg ;»:+Arctg y= - 25. Arccos A:+Arccos Cevap. ^x'^—^xy+^y^=Z y= - Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini hesaplayınız. 26. y=Arcsin x -2 y '= - .y + 2 27. y=Arccos X— a' (x+2) >j2x 2a y— 1 28. ^=ArctgV^;t^+2Ar (Ar+ l)v/A:2+ 2A: 29. y= x Arcsin \J1—x'^—'J1—x^ z/'=Arcsin V 1—x^ 30. y= x Arcsin x-\-^l—x^ ı/'=Arcsin 81. y = — Arcsin— + - ^ sja'^-x^ 2 a 32. ü=— Arcsin ^ 2 ^ (x + 3a) \j2ax-x^ a 2 X* y 33. ^=Arcsin(cos a:) 34. y=-^ x“Ârctg Jd Arctg x— -t x A y'—x Arccotg x A 35. ^=(:v—1) v/2a:—:c2+Arcsin(Af—1) 36. y=Arctg2(;»:3) 37. y=2 Arcsin ^ ^ 38. ^=;e2_|_(Arcsin x—2x >J1—;v-) Arcsin x 243 39. w= a:V (9 -; c* P - ^ V ^ 9 - * 2 + ^ Arcsin y'=2 \j2x-x‘^ /_ 6 at2Arctg x^ ^ l+x^ 1 y —V2AT—; 4x^ Arcsin x v /r ^ y'=4(9-*2)3» Problemler . , . â^-h-smx 40. y=Arctg b+a cos;t 41. y = V ^ ? ± t i î r :i - 3 Arcsin 42.. y = x ( Arcsin 133 y/a^— ^ ~b cos ;t+a 6* —2;»:+2 V^4—at- Arcsin a;2 V^27at2 + 6 a:— 1 7'=|Arcsin -y j Aşağıdaki fonksiyonların eğrilerini çiziniz. 43. Arcsin 47. y=Arctg —î— l —x 44. y=Arccos(x^+2) 48. y=Arcsin( 1—V x^) 1 __ „ 45. y=Arcsin — ^ l+ x 46. y=Arctg(x + l) 49. Arcsin x 50. y=Ar—2 Arctg 6. BÖLÜM ÜSTEL FONKSİYON VE LOGARİTMA FONKSİYONU 6-1 Üstel fonksiyon a > 0 olmak üzere y —a"" şeklindeki bir fonksiyona üstel fonksiyon denir. a > 0 için x in herbir değerine y nin bir tek değeri karşılık ge lir. 6. 1 - 1 . a > l halinde üstel fonksiyonun özelikleri. I. o? > o için a" > 1 oî < 0 a "< l £C= 0 a" = 1 II. a > l halinde y = a " fonksiyonu artan fonksiyondur. Gerçek ten, X e bir h > 0 artımı verelim. O takdirde Ao/ = elde edilir. (I) den a ^ > l — a"" = a^(a^ — 1) ve dolayısile a^—1 > 0 olarak üstel fonksiyon - 1) ^ Q ^ Aa? h olur. Bu da fonksiyonun artan olduğunu gösterir. 1 i m III. 1 i m a"" = + oo X->+0O IV. V. g^ = 0 X — > — 00 Fonksiyon x in her değeri için süreklidir. Fonksiyonun değişim tablosu : g> 1 X — oo -}- oo a"" 0 -j- oo olarak eğrisi Şekil 44 de gösteril miştir. 6. 1 - 2 . a < l halinde üstel fonksiyonun özelikleri. I. 05 > 0 için g" < 1 05 < 0 » a*>l 05 = 0 » g* = 1 n . g < l halinde fonksiyonu azalan ten, X e bir ^ > O artımı verelim. O takdirde At/ = — g"^ = g*(g^ — 1) elde edilir. (I) den a^<l ve dolayısile g^—K O olarak ^ 6.x - 1) ^ Q h olur. Bu da fonksiyonun azalan olduğunu gösterir. III. IV. 1 i m g"^ = O X-^ + 00 Fonksiyon 1 i m a"" = + oo X-»-00 x in her değeri için süreklidir. 135 136 Üstel fonksiyon ve logaritma fonksiyonu 6-2 Logaritma fonksiyonu Pozitif bir y değerine, 3/ = er'" olacak şekilde, karşılık gelen bir X değerine y nin a tabanına göre logaritması denir ve = loğa y şeklinde gösterilir. Buna göre x = loğa fonksiyonu y = a '' üstel fonk siyonunun tersidir. (Bak ters fonksiyonlar). X a? = logai/ ifadesi y = e karşılık olduğundan y — yazılabilir. . y = loğa X fonksiyonu ele alınırsa, bu fonksiyonun eğrisi y = a"" in eğrisinin birinci açı ortaya nazaran simetriği olur. a > l kabul edile rek y = loğa 00 eğrisi Şekil 46 da gösterilmiştir. Bu eğriden, logaritmanın aşağıdaki özellikleri kolayca söylenebilir. 1, Yalnız pozitif sayılarır logaritmaları mevcuııur, 2. 0 ile 1 arasındaki sa yıların logaritmaları negatifdir. S. 1 den büyük olan sa yıların logaritmaları pozitifdir. Jf, l o g l = 0 dır. 5. Sayı sıfıra yaklaşırsa, logaritması ( —00) a yaklaşır. Logaritma fonksiyonu 6 . Sayı arttığı zaman logaritması da artar. ic->+oo log x-^ + 00 dır. 7. Her sistemde tabanın logaritması 1 137 halinde e eşittir. 6. 2 - 1 . Logaritma kuralları. log (AJ5.C'...)=logAH-logB + lo g a + ... log — = log A - log B log A" ~ tî log A 6. 2 - 2. Çeşitli tabanlı logaritmalar. Pratikte en çok kullanılan logaritmalar 10 tabanlı logaritmalardır. Bir N sayısının 10 tabanına göre logaritması 10" = N eşitliğini sağlıyan bir x sayısıdır. Buradan X = lo g io N yazılabilir. Diğer bir logaritma çeşidi, tabii logaritma’dır. Bu çeşit logaritmada taban e = 2,7 18 28 18 28 45 90 45... şeklinde irrasyonel bir sayıdır. İleri matematik konularında tabii loga ritma kullanılır. Zira, logaritmaların dahil olduğu birçok analiz for mülleri, tabii logaritmanın kullanılması halinde, basit bir şekil alırlar. Buna göre, bir N sayısının tabii logaritması = N eşitliğini sağlıyan bir X x sayısı olup = loge N = h iN = LN = Log N = log N işaretleri ile gösterilir. Çeşitli kitaplarda yukarıdaki değişik semboller den biri ile gösterilen tabii logaritma bu kitapta log işareti ile göste rilecektir. 138 Üstel fonksiyon ve logaritma fonksiyonu ^ . 2 - 3 . Taban değiştirme. Bir N sayısının e tabanına göre logaritması ile 10 tabanına göre logaritması arasında bir bağıntı kurmak isteyelim. Sayı N ve bu sayı nın e tabanına göre logaritması L olsun. Buna göre e^ = N yazılabilir. Bu eşitliğin her iki tarafının 10 tabanına göre logaritmasını alırsak L logio e = logio N elde edilir. L = log^ N ve logio e = 0,43429 olduğu gözönüne alınırsa logio N = logio e . loge N ve lo g io N= 0 ,4 3 4 2 9 lo g e N bulunur. Aynı şekilde loe N = lo g e logio e “ 0,43429 N= 2 ,3 0 2 6 lo g io N elde edilir. 6. 2 - 4. e sayısının tanımı. y — ‘Oga X İn türevinin hesabında pek önemli olan 1 i m X —> o o 1 + 1 \ limitine rastlanır. Bu limitin mevcut ve 1 i m 11 + ac—>oo _! Vv X = e = 2,71828.. olduğu daha yüksek seviyedeki derslerde ispat edilir. Biz burada daha basit iki yolu tercih edeceğiz. Logaritma fonksiyonu İlk olarak 1 + 139 ifadesinde x yerine 1 , 10 , 100 , 1000,10 000, 100 000 değerlerini koyarak ifadenin aldığı değerleri bir tablo üzerinde göstereceğiz. 1 X 10 (l + a)’ '*- 2 100 2,594 1000 10 000 100 000 2,705 2,717 2,7182 2,71827 Bu cetvelde o;=100 000 için bulunan değer e nin gerçek değeri ile beş basamak aynı ve altıncı basamakta yalnız 1 birim farketmektedir. Diğer bir yol olarak, x ! 1 Vv i pozitif kabul ederek, [İH -----1 i X binom formülüne göre açalım. Bu takdirde - i r — •( i ) - (i)’ - .... 1- ^ 1 = 1+ 1 î !! + - 2-!“! + - - 4 r - - + ... elde edilir. Buna göre olup ( l + X le beraber artar ve daima ^ ■ ^ l! + 2İ + İ ! + - - - den küçük kalır. O halde ( - i r bir limite yaklaşır. Bu ise dir. e sayısının 2,5 ile 3 arasında kaldığı gösterilebilir. e = l + j-j + ^ + ğ7 + « * * > 2,5 140 Üstel fonksiyon ve logaritma fonksiyonu olduğu kolayca görülür. Diğer taraftan e - l = l + |y + | j + . . . < l + y + ^ + yazılabilir. Sağ taraftaki ^ toplamı ortak çarpanı ••• olan sonsuz terimli bir geometrik dizi topla mıdır. Bu toplam 1 a = 2 i - i - 2 olup 6 -1 = 1 + ^ + ^ + ...<2 ve e< 3 dır. Bunlara göre olduğu gösterilmiş olur. 2,5 < e < 3 / 1 1 1 m (1 + — = e Y -►CO V ^/ den 1 i m (1 + :ı: 0 = e olduğu da kolayca görülebilir. ÖRNEK 1. , 1 i m [ l a: co V ^f e~^ olduğunu gösteriniz. - 1-rl olup 1m 1 + dir. X —1 1 4- a? - 1 y = loğa os in türevi ÖRNEK 2. 1 i m |l 4- i hesaplayınız. 1 + 1 \xik- olup ı ^ _ ı _ \ w .- 1 i m (1 [: + — Y = 1 i m ->00 \ ^ 00 = X ~k dır. 6-3 y = logaX in türevi X e bir Lx artımı verilirse fonksiyonun artımı y Ly = loğa (oc + Ax) Ay = + Ao;) Ax = loğa 1 + lo ğ a lo ğ a x olur. Her iki tarafı Ax e oranlarsak Ay _ 1 logc Aa; Ax ° \ ve ikinci tarafı x X ] le çarpar bölersek Ay ^ 1 XX , / .^ A x\ ^ = - - — log.(l+— ) Ax ^ X Ax X 1 , ^ Ax elde edilir. Buradan da X ^ = 1 i m da? A;r->0 = 1 i m — • loğa ( l + A xÔ ^ Ax Ax X İ l1 /i . â? A:r = — 1 1 m loğa 1 + 141 142 Üstel fonksiyon ve logaritma fonksiyonu ,Y dy d.r 1 loğa 11 1• m M1 + X Ay 0 ' ^ X olup —— = u kabul edilirse Ao;-^0 halinde u-^ oo ve ^ Ax X 1i m = 1 im Ay -►O V ^ / 11+ ~ e u olarak 1 1 sonucuna varılır. Buna göre , y = logaX . ise dy 1 , 5 ^ = — l°g<.e dir. u = u (x ) olarak y = loğa w verilmiş ise fonksiyon fonksiyonu türe vinden faydalanarak olduğu görülür. Eğer a = e ise loğa e = loge e = log e = 1 y — \ogu ise y — log ise , u . 1 olarak y ^ = — u ve X bulunur. ÖRNEK 1. y= l o g {2 x+ bY u = — ^ u y veya den y^ türevini bulunuz. Z{2x + 5)2.2 {2x + 5)2 6 2x + 5 y = loğa X in türevi y = log (2x-\-^y = 3 log (2x+5) olduğu gözönüne alınarak y = 2a; + 5 bulunur. X sin - - dan y' ÖRNEK 2. CL türevini bulunuz. 1 X , — cos — n . a a , logıoe ^ x y = _ log,o e = ------- ^ log,o e =: cotg sın a y = log y// ( l - x^) dan y' türevini bulunuz. (1 + x‘^)^ ÖRNEK 3. y = - ^ [ 3 logd - , ^ 1 r ~ 6a; 5 [ 1 - a;2 ~ 4 log (l + as^)] x^) olup Sx 1 4- X' 2x(x^ - 7) 5(1 - 0^^) dir. ÖRNEK 4. y = log \ / ----- ÇOS_x V 1 + cos X y , türevini bulunuz. y — ^ [log(l *- cos o;) - log(l + cos o;)] sın X 1 - cos X —sın X 1 + cos X olup , y sin o;(l + cos x) + sin o;(l - cos x) = -----------2(1 - cos^ x) 1 sın X dır. ÖRNEK 5. log {oc^+y^) + 4 Arctg — = 1 den y' X 2x + 2yy' x ‘ + y'^ xy - y x^ ^ = 0 1 + o;^ yü bulunuz. 143 144 Üstel fonksiyon ve logaritma fonksiyonu X + y y ' , 2xy' - 2y _ 4- y+ y^ (x - 2y) + (2x + y ) y ' = O 2y - X y = y + 2x 6-4 y = a" nun türevi. u = u(x) Her iki tarafın logaritmalarını eşitlersek log y = u log a elde edilir. Şimdi de kapalı fonksiyonlara ait türev kuralını uygulayalım. _= u log a y y y ' —y . u' log a a/' = a“ . u loğa olup buna göre y = dir. Özel olarak u = x 1/ '= a“ . w '.lo g a ise alınırsa u '= l 2/ = a"" ise olup î/'= a ^ lo g a dir. Bundan başka a —e ise l o g a = lo g e = l 2/ = e“ ise y = olur ve buna göre : ,u ve y = e"" ise y '= e"" dir. ÖRNEK 1. 2/ = 10 den y' yü bulunuz. 1 0 “ ^ '(— 2 a;) . log 10 Logaritmik türev alma 145 2/ '= - 2x 10 ^ log 10 ÖRNEK 2. 2/ = den ı/' = ? 2/ '= ^ a;2 ÖRNEK 3. y = loga(e" + e” ") den y=^ ? e"^ — 6“ "^ y '= ÖRNEK 4. î / = e®' den y = ’>. 2/ '= e®*. e""' ÖRNEK 5. 2/ = (e T den y '= ? y '= (e')"^ log e*= (e T •e = ÖRNEK 6. y = den y —? y = e'", u = e^**. (ea:®~^) = ÖRNEK 7. yü bulunuz. 2/ = - 1 ) ArctgCe"^ - 1 ) - log \İ2- 2e"^ + e^"^ den y 2/' = e" Arctg(e" - 1) + e^(e^ - 1 ) 1 + (e^ - 1)2 -e^ + e 2x 2 - 2e^ + e^^ y = e"^ ArctgCe"*" - 1 ) + e^(e^ - 1 ) 2 - 2e '+ e '^ e^(e^ - 1 ) 2 - 2e^ + e 2ar 2/ '= e ' Arctg(e"^ - 1) 6-5 Logaritmik türev alma u = u ( x ) ve v —v ( x ) olarak y = u'^ şeklindeki daha karışık fonk siyonların türevlerini hesaplamak için, evvelâ ifadenin her iki tarafının logaritmaları eşitlenir ve sonra elde edilen eşitliğe kapalı fonksiyonlara ait türev kuralı uygulanır. Buna göre y = u^ ise Yüksek Matematik I F. 10 146 Üstel fonksiyon ve logaritma fonksiyonu log y = V log u yazılarak her iki tarafın türevleri eşitlenirse y 2/ = V*1log u +. Vw— u ve buradan log u y V bulunur. Bu şekildeki türev alma işlemi, logaritma kurallarının uygulanabi leceği diğer karışık ifadeler için de kullanılır. Bunları aşağıda örnekler le göstereceğiz. ÖRNEK 1. y=x^ den ı/'= ? log y — X log X olup y = 1 + log X y' = y (1 + loga;) = a:’' (1 + log re) dır. ÖRNEK 2. t/ = fsina?)®^ den ı/'= ? log 2/ = e"" log sin x olup y y VI • .V cos X = e'" log sın a? + e . —:---sın X y '= (sin x)^^. e"^(log sin x 4- cotg a;) dir. ÖRNEK 3. n herhangi bir sayı olduğuna göre nin y'=nu''~^.u^ olduğunu ispatlayınız. y = u^ den log y = n log u yazılarak her iki tarafın türevleri eşitlenirse y=u'^ in türevi üstel ve logaritma fonksiyonlarının eğrileri 147 y' = n u JL^ ----y u ve / w „ u y = n y -----= nw" . u u y = nw” ^. u bulunur. ÖRNEK 4. y (1 - a;2)3/2 (2 + (8 den - 2/"= ? İfade karışık bir şekilde olup evvelâ logaritması alınırsa : log 3/ = y lo g (l - •+ -|- log(2 + » ) - y log(8 - a^) ve her iki tarafın türevleri eşitlenirse : ^ 3 y ~2a; 3 - = — :r— T- + — 2/' 2 _ y 3/ 1 — oj'-* 1____ 3 224-0? ^ 4 -3a;^ 8-0?^ 9o?^ -3o? 44l - i » 2 ' 2 ( 2 4-0?) 4 ( 8 -a?3) ( l - a ? 2 ) 3 / 2 ( 2 4-a?)3/2 -3o? (8 - a?2)3/^ L- 0?^ 4- 9o?2 2(2 4 - a?) 4 (8 -» 2 ) bulunur. 6-6 Üstel ve logaritma fonksiyonlarının eğrileri Üstel ve logaritma fonksiyonlarını içeren fonksiyonların değişim lerinin incelenmesi ve eğrilerinin çizimleri daha evvel söylenen yollardan faydalanarak yapılabilir. ÖRNEK 1. 2/ = 0^!'' eğrisini çiziniz. Fonksiyon ( —oo, 0) ve (0, 4-oo) aralıklarında tanımlıdır, o?^ ne gatif değerlerden itibaren sıfıra yaklaşırsa y-^0 ve x, pozitif değer lerden itibaren sıfıra yaklaşırsa y-ôQ olmaktadır. 0?->oo halinde ise 2/“ >l olarak y —1 doğrusu asimptoddur. 148 Üstel fonksiyon ve logaritma fonksiyonu 1 2/ = - J IX olup daima negatifdir. O halde fonksiyon, daima azalan fonksiyondur, halinde dır. Değişim tablosu : 0 X + + «î \ 0 \ olup eğri şekil 47 de gösterilmiştir. Şekil 47 ÖRNEK 2. y = xe eğrisini çiziniz. Fonksiyon ıx in bütün değerleri için tanımlıdır. x-^ —oo halinde y-^0 ve x-^+oo halinde ise y-^-ôo dır. Buna göre y = 0 doğrusu asimptod’dur. y' = ( x + l ) e ' ' olup x = —l y " = ( x + 2 )e'' olup x — —2 tadır. Buna göre için y ' = 0 dır. için y ” işaret değiştirerek sıfır olmak noktası büküm noktasıdır. Fonksiyon x in bütün pozitif değerleri için tanımlıdır. x-^0 için yÔ y '= lo g x + l olup ve x -^ oo için y-^ + oo logo 7= —1 dır. ^ x = —~ için ı/'= 0 dır. Türev tablosu Değişim tablosu : 1 e a? 0 y — co y 0 -f 00 0 \ + + 0, / - T min olup eğri Şekil 49 da gösterilmiştir. 6-7 Türev tablosu _ « 4) d . , + d , . = . / \ dw da? 6) dy _ dy du da? ~ du da? 8) 9) dM dv da? v-T— - M3 ~ d u\ da? VV/ d , + dv , 5) 7) dw , du n 1 dw dy _ da? da? dy d . da? du da? 149 150 Üstel fonksiyon ve logaritma fonksiyonu d do; 11) . dw dx 3—tg M= sec^ u — da? ® do? 0\ ^ ^ cotg X w = - cosec^2u ^ dw 12) 13 ) 3—sec w = sec Mtg 1/3— 14) d da; 15) 3— 16) d . , 1 _A rctg « = j ^ 17) A —1t— - 3du 3d- Arccos u = -- — — da? y/ı _ w2 da? 18) d , 1 du, -lo g ,u = - ~ lo g ,e 21) ^da? da? ® da; ^ ^ d . . Arcsın u da; = du da; 1 dw 3 — y/ı _ ^2 da? y dw 3^ du da? 6. BÖLÜM E A İT PRO BLEM LER Aşağıdaki ifadeleri basitleştiriniz. 1) e^°« * Cevap. 4 2) e-^®* * Cevap. — X Problemler 3) g -3 Cevap. log 2 4) gSy+logy 5) +^ 151 8 Cevap, y e^y ıf e“ 2y Cevap. Y Aşağıdaki fonksiyonların tersleri olan fonksiyonları bulunuz. 6) j,= i- [e ‘»-e-<^] Cevap. 7) 4^=e"-8e-‘ Cevap. A=log(y+vV+2)+log 2 8) Cevap. A=V^l + e* y=log(AT + l)H-log(A:—1) Aşağıdaki limitleri 1 i m İH---- log(y+V^y2_|_i) ê"" dan faydalanarak hesaplayınız. X-*- OO 9) 1 i m AH- 0 N is 1^] 10) 1 i X 11) 1 i m AH- 00 _i Ia+2 N 12) 1 i m (l+sinA)i'* A 0 Cevap. 1 Cevap. e“ ^ Cevap. e“ ^ Cevap, e Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini hesaplayınız. 13) y=\/e« y'~ s/ e:" I4) y=e*'''“ X y = sin 2a e*'" X 15) y'=e~* cos 3a e * (3 sin 3a—cos 3a) 16 ^ = a" a~^“ y'=A"“" ‘* a—^“{n—2a^ log a) 152 Üstel fonksiyon ve logaritma fonksiyonu 17) y=\Jcos X oN/cos X 18) g — \ o g (,x -\ -^ a ^ + x '^ ) 19) y=x-2sJx^2log{l+\Jx) y' = — ~2 y a: ( 1 yja'^+ a:2 >J~x y =— 1+ VÂT 20) y= - ' -2 y = -------------X log^ X 21) y —— lOgÂT 5T = ]o g c o s t g -------X^ 1 22) I/: 23) y — 2 f-s jx '^ — a^— 24) j^ = lo g 25) 2 sin2X y = ^ l + lo g 2» y =-T-^---------SmÂ: c o s AT log(.v+V' ÂT^— a }) y ' = ^ x ‘^ — a^ 2 y ——-------VÂT^+a^ lo g U ^ — q 2) - { - ^ lo g ^ — £ 2a x-V a ^ /_mx+n x^-a'^ t g ^ + 2 -v '3 ' 1 26) y = - ^ l o g ----- i-----------— \/ 3 tg -Î-+2+ \!z ^ = A r c tg (lo g 28) y=Arctg ^ 1 + 2 sin ;e ^ A :( l + l o g 2 a:) 1 a:) 1 flo g I+V sİiia: 29) v=log ----- t= + 2 1—ysın X X 1 igx +g^4-y ^x^-\-cP‘—x 27) ^ /----- ArctgysinA: A:(l+İ0g2 x) / = -------^ c o s ATV sın X X Arcsin x , ,------30) 1/ = - ^ ^ = = — +log v/ I - a:^ » —(l^;^2)3/İ 31) s ' = e * ’‘ * * ( 1 + l o g 32) y=xôg\/x +V^ cos A r c in X ,J o e ^ ,iogs/7 ^ X x) x lo g a) Problemler 33) J,=(sin AOe* ^'=(sin 34) y— y/H-; ^“ (1 + 7 ^ 35) ^=Arcsin —e--*' e2* + e " 2* . e* (log sin Ar+cotg x) 2* +e _Uo-2* Î6) ı^=i- Arctge*— ------------ - 37) y r = l İ 0 g l = ^ ^ - - E 2 1 ^ 8 l-fcos2:f 4sin2 2A: y'=cosec^ 2at ^ 2 oo\ __ 2(e2*+l) ** 1 COS X ı__x_AT 39) j)=e*'«log-- (e2*-M)2 y'——cosec^ x / '( l ) = - e X 40) y=(a2+Ar2)Arct:x/a 41) l/=:(5 COS 2x^r 1 42) ey=A:+y ey—1 a:+İ^—1 43) log x+e” <y^*^=c y'=JL+ey'* 44) log y + — =c /— y y x—y 45) Ary=y* X log y — y y log x—x X y 46) e*+y=ı/* 47) sin(Ar+2y)+e2*+y=0 48) 3y . 2‘ =Arctg r/2 /_ yx{y—x) 153 154 Üstel fonksiyon ve logaritma fonksiyonu Aşağıdaki fonksiyonların eğrilerini çiziniz. 49) 56) i,= ? Ş £ 50) 57) . = f - l o g | - \lx 51) ı,=e 52) y=e''* 59) y=log(H-e“ *) 53) ^= ( y + 1) e* 60) y=log(e + 54) y—^ —^ gi X 2 61) y—x^ X 55) y-. — 1 log.t 62) v) 7. BÖLÜM HİPERBOLİK FONKSİYONLAR 7-1 Tanımları Bir u değişkeninin fonksiyonları durumunda olan (1) fonksiyonlarına hiperbolik fonksiyonlar denir. sh w =sinüs hiperbolik u ; ch w=kosinüs hiperbolik u th w =tanjant hiperbolik u Hiperbolik fonksiyonların, dairesel fonksiyonlar adını da alan, tri gonometrik fonksiyonlarla çok benzerlikleri vardır. 156 Hiperbolik fonksiyonlar ( 1 ) ifadelerinden, c h (—M)=chw ; s h (—w) = —shw ; t h ( —w) = —th i 6 ve ch w—sh M=e"' ch w+sh w = e “ (2) olduğu kolayca görülebilir. Bu son iki ifadeyi taraf tarafa çarparsak (3) ch- w—sh^ w = l bağıntısı elde edilir. Burada lırsa ch.u=x ; shw = î/ dönüştürmesi yapı elde edilir ki bu da bir ikizkenar hiperboldür. Buna göre bir u paramet resinin kosinüs ve sinüs hiperbolikleri, x^—y^=l ikizkenar hiperbolü üzerindeki noktaların koordinatları olmaktadır. Bu nedenle, bu fonksi yonlara hiperbolik fonksiyonlar denir. 7-2 Hiperbolik fonksiyonların özelikleri 7.1 in (2) bağıntılarından = ch a + sh a , e* = ch b -f- sh b olup bunlar tarafa çarpılırsa : ga+6 _ a + sh a) (ch b + sh b) elde edilir. Diğer taraftan + b) + sh(a + b) olup yukarıda yerine konursa : ch ('a-f b^-hsh ( a + b ) = (c)ı a-f sh a) (eh b-fsh h) ch fa-hb^-l-sh ( a + b ) = ch a ch b-hsh a sh bH-sh a ch b-f sh b ch a elde edilir. Aynı şekilde e~“ = ch a - sh a ^ e~* = ch b -- sh b (1 ) Hiperbolik fonksiyonların özellikleri 157 olduğu gözönüne alınır ve bu ifadeler taraf tarafa çarpılırsa g-(a+ 6) _ a - sh a) (ch b - sh b) ve g-(a+6) — + b) - sh(a + b) olduğu gözönüne alınır yukarıda yerine konursa : ch (a + b ) —sh (a + b ) = (ch a —sh a) (ch b —sh b) ch ( a + b ) —sh (a + b) =ch a ch b+sh a sh b —sh a ch b —sh b ch a (2 ) elde edilir. ( 1 ) ve ( 2 ) bağıntılarını taraf tarafa toplamak ve taraf tara fa çıkarmak suretile de ch (a + b ) = ch a ch b+sh a sh b (3) sh (a + b ) = sh a ch b+sh b ch a formülleri elde edilir. (3) formüllerinden de th f 4- h) — _ sh g ch b + ch g sh b ^ ch (a + b) ~~ ch a ch b + sh a sh b yazılıp ikinci tarafın pay ve paydası th (a + b) = ch a ch b ifadesine bölünürse th g + th b 1 + th g th b (4) elde edilir. (3) ve (4) formüllerinde b yerine —b yazılırsa : ch (g —b) = ch a ch b —sh a sh b sh (g —b) = sh a ch b —ch a sh b th (g - b) = th g - th b 1 - th g th b formülleri bulunur. (3) ve (4) formüllerinde b yerine a yazılırsa (5) 158 Hiperbolik fonksiyonlar ch 2a= ch “ a+sh^ a sh 2a = 2 s h a c h a (6) formülleri elde edilir. Aynı şekilde (3) ve (5) formüllerinden : sh (a+ h ) +sh (a—b) = 2 sh (a + 5 ) —sh (a—b) = 2 sh a ch & chashb (7) ch (a+ h ) +ch (a—b) = 2 ch a ch & ch (a+b) —ch (a—b) bulunur. Bunlarda da a= — a+b=p ^ ^ == = 2 sh a sh h ^ a —b = q dönüştürmeleri yapılırsa olarak sh p + sh g = 2 sh — ch ^ ^ sh p - s h g = 2 ch - 2 - ^ ^ sh ^ ^ ( 8) c h p + c h q = 2 c h ^ - | ^ ch ^ ^ ^ ch p — ch = 2 sh - sh formülleri elde edilir. Şimdi de ch 2a ve sh 2a formüllerinde a yerine a koyalım. Bu takdirde ch a = ch^ elde edilir. ch^ Zi + sh^ ~ /i - sh^ ^ ~ ^ î sh a = 2 sh — ch -Şz a olduğu da gözönüne alınırsa : Hiperbolik fonksiyonların Özelikleri ch a = a a C h ^ y + S h ^2 sh a = c h ^ f-s h ^ l ve pay ve paydaları ch^ a 159 c h ^ f-s h ^ f ye bölünürse (9) elde edilir. ÖRNEK 1. shrr= — ™ olarak bilindiğine göre diğer hiperbolik fonksiyonları hesaplayınız. ch^ X = 1 -t sh^ X == th a; = ÖRNEK 2. ch a? = 16 sh X ch X 5 Sı = ch a?+ch 2a;+ch 3a;+... + ch na? S2=sh a;+sh 2a?+shSa;+...+sh wa? toplamlarını hesaplayınız. Sı+S 2= (ch a;+sh ar) + (ch 2ar+sh 2ar) + ... + (ch nar+sh nar) = e^ + e^'*' + ... + e”"' olup ikinci taraf, ilk terimi e"" ve ortak çarpanı e ' olan, bir geometrik dizinin ilk n teriminin toplamı olarak .V e”" - l Sı + S2 = e" . e^ - 1 160 Hiperbolik fonksiyonlar dir. Bu ifade ise nx 81 + 82 e"^ ~ l e * -l = eê nx __n,r\ ( i - - . - - ] iî+ 1 , sh ^ Sı + S2 = e ı- ® nx sh jSı -f S2 = ch — ;r— a? 4 - sh — r— ") sh X (1) şeklinde yazılabilir. Aynı şekilde 8 ^ -8 2 = (ch a? — sh oî) + (ch 2a? — sh 2 x) + . . . + (ch nx - sh nx) 8 1 - 82 = e-^ + e- 2 " + . . . + e- ”" olup ikinci taraf, ilk terimi e”"^ ve ortak çarpanı e’ "" olan bir geometrik dizinin, ilk n teriminin toplamı olarak Sı - ^2 = e - " - e -"-l dır. Bu ifade ise 8 1 -8 2 = e- ■n^_l e^'ê e =: e 2 nx / nx n.y\ ^\e ^ -e 2 j i (-it ) \e - e / nx sh „ 2 s h -^ , nx 81-82 = ( c h - ^ ^ n+ 1 a; - sh — r— a? ( 2) ' s h -^ Hiperbolik fonksiyonların türevleri 161 şeklinde yazılabilir. ( 1 ) ve ( 2 ) bağıntılarının taraf tarafa toplanması ve çıkarılması suretile : - n -f 1 nx ch — -— x sh -^ 5ı = ch iT + ch 2ic + . . . + ch no; X sh - n+ 1 s h — 2— 52 = sh 03 + sh 2a? + . . . + sh naî = sh , nx X bulunur. ÖRNEK 3. chô? ve olarak ifade ediniz. shô? i sh ch* X = - i (e* + e -')* = -^j (e** + ve ch in lineer bir bağıntısı + 10e* + 10e-* + 5e“ ** + e“ **) 1 /e** + e-** . „e**+ e-** . „ e * + e “ * + 10 + 5 2* \ ve aynı şekilde bulunur. 7-3 Hiperbolik fonksiyonların türevleri 7.3 -1 . y = ch u nun türevi. , e“ + e - “ 2/ = ch M = — s----- den e“ — e” “ y' = ------------u veya Yüksek Matematik I F. 11 162 Hiperbolik fonksiyonlar t/'=sh u . u* bulunur. Buna göre y — Q,\ıu ise y = chx y= sh .u ,u ise y=slax dir. ÖRNEK 1. y ^ e \ i{2 x -l) ÖRNEK 2. y —ch^2x ÖRNEK 3. y=e~^ c\ıx den den y'=2sh {2x-l) t/'= 9 ch^ 3a? sh 3a? den dir. dir. t /'= ? = e“ ^ sh a?—e"'*'ch a? y = e'"*" (sh a?—ch a?) 7.3 - 2. y = sh u nun türevi. po — p~“ 2/ = sh W = — ------ den e" 4- ?/'= — ------- il veya ı/'= ch u . u' bulunur. Bunlara göre : o/ = shw ise y = ch.u.u y = shx ise o/'=cha? dir. ÖRNEK 1. t/=sh4a? den y'=4:Ch4:X dir. ÖRNEK 2. 2/ = s h Ml — den y '= —2 s h ( l —a?) c h ( l —a?) ÖRNEK 3. 2/ —Arctgsha? den y '= ? ,_ ch a? _ ch a? _ 1 ^ ~ 1 + sh^ a? ~ ch'-^ a? ~ ch a? dir. Hiperbolik fonksiyonların türevleri 7.3 - 3. y = th u nun türevi. 2/ = th M= sh u ch u olup y = ch Mch u . m" — sh Msh u . u' ch^ u , ch^ u - shû , u o X . y = ------ ch^ zı:rr.----^ = rinrr = (1 — th^ u ). u w ch^ u dir. Buna göre y = thx ise y ' = - —— = l - t h ^ a j cn X dir. ÖRNEK 1. 2/ = t h ( l —3a?) den y' = ÖRNEK 2. y=\ogth^Zx den y '= ? c h ^ l -3 a ;) dir. y —\og th^ 3a; = 2 log th 3a; olup y=2 ch^ X 6 6 12 th 3a; ch^ 3a; th 3a; ch 3a; sh 3a; sh 6a; dir. 2/=A rcsin th a; den y'=*t ÖRNEK 3. y 1 ch^ X = ch a; 163 164 Hiperbolik fonksiyonlar 7-4 Hiperbolik fonksiyonların eğrileri 7 . 4 - 1 . y == ch X in eğrisi. Fonksiyon x in her değeri için tanımlıdır. ch(--rr) = ch rr olup eğri oy eksenine göre simetriktir. , e* - e“ ^ 2/ = sh ap = — 2----olup a?>0 halinde y '> 0 azalan fonksiyondur. ve y artan; £c< 0 için y '= 0 dır. halinde y '< 0 ve y Değişim tablosu : X - y y 0 0 — oo + oo + oo \ 1 Min. olup eğri Şekil 50 de gösterilmiştir. Şekil 50 7 .4 - 2 . y = sh X in eğrisi. Fonksiyon x in her değeri için tanımlıdır. orijin simetri merkezidir. s h (—a?)= —sha; olup t/'=cha; olup daima pozitifdir. Buna göre fonksiyon daima artan fonksiyondur. 2/"=sh£c olup a?<0 halinde y " < 0 ; a;> 0 dir. O halde (0,0) noktası büküm noktasıdır. Değişim tablosu : X — oo y y + — oo 0 1 0 + oo + oo + halinde ise t/" > 0 Hiperbolik fonksiyonların eğrileri 165 olup eğri Şekil 51 de gösterilmiştir. 7.4 - 3. y = th X in eğrisi. Fonksiyon x in her değeri için tanımlıdır. orijin simetri merkezidir. 3/ = th a; = olup a?~>— 00 halinde x-^+oo halinde ise y-^1 eê*+ e' th (~ a?)= —tho? olup 1 - e~2^ e 2* - l 1+ ~ + 1 —1 olarak y = —1 doğrusu asimptod ve olarak ' y = l doğrusu asimptoddur. ^ ch^ a? olarak daima pozitif ve fonksiyon daima artan fonksiyondur. 2/ = - 2 sha; ch^ X olup ikinci türev a?=0 da işaret değiştirir. O halde küm noktasıdır. (0,0) noktası bü 166 Hiperbolik fonksiyonlar 7-5 Ters hiperbolik fonksiyonlar 7.5 - 1. y = ch X in tersi - Argch x fonksiyonu. y=Q)ıx fonksiyonu x in bütün değerleri için süreklidir. x > 0 olduğu zaman bu fonksiyon + 1 den + o o a kadar artar ve x < 0 olduğu zaman + o o dan + 1 e kadar azalır. Buna göre x = c h y fonk siyonu o? in + 1 den büyük değerleri için iki ters fonksiyon kabul eder. Her iki fonksiyon da süreklidir. Bunlardan yi = Argch x ile göstereceğimiz fonksiyon artan bir fonksiyondur, (argch a? bolü argüman chir şeklinde okunur ve kosinüs hiperboliği x argüman demektir). Diğeri ise 2/2 — “ Argch sem olan X olup azalan bir fonksiyondur. Her iki fonksiyonu temsil eden eğri y=chx eğrisinin birinci açı ortaya nazaran simetriği olan eğridir. Şekil 53. Bunlara göre x=/chy nin tersi olan fonksiyon y = argch x = ± Argch x olup Ters hiperbolik fonksiyonlar 167 x=c\ı y ı/=:argch x sembolleri ayni anlamlıdır. y=BXgchx den o;=chy yazılabileceğine göre , e^ + e-^ x = c h y = ----- ^----- 2a; = e- + -~2x ei' + l = 0 e^ = a; ± \/a;^ - 1 2/ = lo g (a ;± \/x^-l) veya 2/ı = log {x+\/x~-D , 2/2=log {x -\ / a ^ -l) elde edilir. Yukarıda elde ettiğimiz sonuca göre 2/1 = - 2/2 olmalıdır. Gerçekten : x^ - x^ + 1 3/2 = log (5C- \!x^ - 1) = log -- X + \/x^ - 1 = log X + \/x^ —1 2/2 = - İ0g(a; 4- \/x'^ - 1 ) = - ı/ı dir. Buna göre argch X = ± log (x + ~ 1) dir. Bu ifadeden hareket edilerek 3/ = argch o; in türevi de kolayca hesaplanabilir. y — argch x = ± log {x + \/xP- — 1) olup X 1 + \/x^ - 1 y == ± X 4- \^x‘^- 1 \Jx‘^- 1 168 Hiperbolik fonksiyonlar dir. Bunlara göre de y = argch u ise v '-+ “ \‘ U^ - 1 y = argch x ise y —± 1 —_ \/x^ - 1 dir. ÖRNEK 1. argch ü hesaplayınız. argch iT = ± log (rc + \ /^ ” D olup a r g c h | -= ± l o g ( | - + Y / j ^ - l ) = ± l o g 2 dir. ÖRNEK 2. argch (cothlogS) o e‘« ^ coth logS - ^,,^3 _ ü hesaplayınız. 3 + 3 + 3-1 2 5 ^ olup argch (coth log 3) = argch — = ± log 2 ÖRNEK 3. arg ch V 2 ^ ^ 2 ifadesini basitleştiriniz. 1 + ch a; = 2 c h ^ f olup , . / l + ch a; argch y ----- ------- = arg ch 1 olarak a rgch y / l -f ch a? 2 dır. ÖRNEK 4. ı/=a;2 argch 3a; X “ X 2 den y' ± 3 v '= 2a? argch 3a; + a;^. -= = = = = ^ V^9a;2 - 1 Ters hiperbolik fonksiyonlar y '= 2x argch 2x ± ■ 169 X" V 9 cc^ — 1 7.5 - 2. y = sh X in tersi - A rgsh x fonksiyonu. î/=shrr fonksiyonu —oo dan +oo a kadar artan bir fonksiyon olup X in ( — 00 , + 00) aralığında tanımlı ve argsh x ile göstere ceğimiz bir ters fonksiyon kabul eder. Buna göre t/= argsh X a;=sh y bağıntıları ayni anlamlıdır. O halde i/= argsh a; fonksi yonu sinüs hiperboliği x olan y argümanını verecektir. Bu fonksiyo nun eğrisi, y = s h x in birinci açı ortaya göre simetriği olup Şekil 54 de gösterilmiştir. 2/ = argsh a; den a;=shî^,.ve ch-1/ —s h ^ = l Şekil 54 den c h y = \ / l + sh^ = V I + ^ olup sh y + c h y = x+\/l+a^ = e^ ve buradan da y = log {x+\/l-ha^) bulunur. O halde argsh X = log (x-\-\/l-hx^) dir. y = argsh x in türevi ise y — argsh x = log (a?4-Vl+^“) den 170 Hiperbolik fonksiyonlar X 1 + ^ \Jı + x ’^_____L v'i + X- + + v'l V' + dir. Bunlara göre de y = argsh u ise y' — y = argsh x ise y' = u \/l -h v/l + x^ dir. ÖRNEK 1. argsh \/2 yi hesaplayınız. argsh a; = log ix+\/l+x^) olup argsh V 2 = log(2 + V l + 2 ) = log (2 + V 3 ) dir. ÖRNEK 2. 1/ = argsh (tgcc) y , u den sec^ = y' X V^lH-tg'ôc türevini hesaplayınız. = sec X 7.5 - 3. y = th X in tersi - A rgth x fonksiyonu. y —th.x fonksiyonu x in ( —oo , + o o ) aralığındaki değerleri için —1 den + 1 e kadar artan bir fonksiyon olup t/= argth o; ile göste receğimiz bir ters fonksiyon kabul eder. O halde t/= argth X x —\h y bağıntıları ayni anlamlıdır. y = 2ir ^ )ıx fonksiyonu, tanjant hiperboli ği X ,olan y argümanını tanımlar. Bu fonksiyonun eğrisi, ı/=tha: fonksiyonunun eğrisinin birinci açı ortaya nazaran simetriği olup Şekil 55 de gösterilmiştir. ı/=argthic den x=th. y yazılabileceğine göre Ters hiperbolik fonksiyonlar X = ih y = - 1 + 1 ev _ e-i' ey+e~^ den 1 + a? = 1 — oc olup 1 , 1 4- ac î/ = y l o g T i r ^ bulunur. O halde dir. 2/*=argtha? in türevi ise ., 1 , 1 + a? y = argth « = -^ log-ij------Z . ^ 1 2 1 — X 1 — X + 1 -h X â ~ W 1 + a; 1 —X 1 - x^ dır. Buna göre de y = argth u y = argth x 3/ - ise u 1 _ „2 1 2/ = . 2 l - a ?2 dir. ÖRNEK 1. argth y) .u argth olup hesapla3nmz. = yİ l l o g 1y +^ y» olup 171 172 Hiperbolik fonksiyonlar a r g th (-| -) = | - l o g ^ = | -lo g | 2 a r g t h | - y j = - logv^3 dir. ÖRNEK 2. y=x~^ argth den y' türevini hesaplayınız. 2x y = - X ^ argth x^ + x'~^ •-z------j 1 —X y ' = — x~^ argth x“^ + T "~~ r j. «r 7. BÖLÜM E A İT PRO BLEM LER 1) ch 0 , sh 0 , th 0 değerlerini bulunuz. Cevap . ch 0 = 1 , sh 0=0 , th 0=0 12 2) sh x = — — olduğuna göre ch ve th r i bulunuz. 5 Cevap. c h r = y ; t h * = - | | 3) th AT=— — olduğuna göre sh ve ch 5 5 i bulunuz. 4 Cevap, ch AT=— ; sh;r=— — 3 3 4) sh a:= — — olduğuna göre ch a: ve th x i bulunuz. 1 Cevap. chAT=^^— , thA:=— -7= 2 5) chjt=2 ve r< 0 V5 olduğuna göre shA: ve th Cevap. shj»:=— V^3, th A r = --^ 6) 1—th X olduğunu gösteriniz. i bulunuz. Problemler 7) (ch AT+sh ;t)“=ch «AT+sh 8) AT=log tg olduğunu gösteriniz. ise sh x-=tg 0 olduğunu gösteriniz. 9) cos [7Csh log 2] yi hesaplayınız. 10) 173 argshy=? r Cevap. — Cevap. log|y+yV^5j 11) argch—= ? Cevap. log(2+\/3) A Aşağıdaki bağıntıların doğruluğunu gösteriniz. 12) argsh AT=arg cosech — 13) argth AT=argsh V/1~ : 14) sh (2 argsh x)=2x \jl-k-x'^ 15) argth ^ l-4 = lo g a: a:^+1 16) ch(2 argshA:)=l+2A:2 17) sh (2 argth x) 18) th ( 2 argth at) _ 2 a: I - a:'-' 2 at 1 + a:^ 19) argch4 ^ = 2 argth— x ^ —1 X (at^D Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini hesaplayınız. 20) jr=ch‘ 4 O g ’= x Ch’ i - Shi- 21) y=che* y'z=e* sh e* 22) y=log ch X y'=th a: 174 23) ^ Hiperbolik fonksiyonlar 4 sh 2 x — — AT 2 ^'=sh^ X 24) ^=logth2A: ff'^4 cosech 4a: 25) z/=sh 2 x ch- X ff'=2 ch X (ch 2a: ch A: + sh 2a: sh a:) 26) y=e^+ch3x ^ = 3 sh 3a: el+^*»3* 27) ^=ch (sin 2.r) ff'=2 cos 2x sh (sin 2 a:) 28) y=sh (arctg e"**) /_3e3‘ ch (arctg e^*) 29) >:=:ch(logı,) sh (log y) 3 30) y=argsh 3x 31) y=argch e* 32) g—2 argth (*«f) - v/9A:2-hl e* ^ y/e2* - l i7'=sec X 33) y=argth (sin x) ff'==sec X 34) y=argsh (tg x) ff'=sec X 35) y=argsh^ 2 x , 4 argsh 2a- Vix- + 1 36) ^ = e “ 2xargsh (3a:—2) 37) e“ * argch (1—A-) 38) y=argch (a:^-1- 2;c+2) ^ V(*+l )2+ 2 8. BÖLÜM PARAMETRİK DENKLEMLER 8-1 Parametrik denklem tanımı Bazı uygulamalarda, bir eğrinin herhangi bir noktasının koordinatları, üçüncü bir t değişkeninin x=^(t) , x ve y (1 ) şeklindeki fonksiyonları olarak tanımlanırlar, t değişkenine paramet re (1) denklemlerine de eğrinin parametrik denklemleri denir. Bu denklemlerden, t parametresi yok edilebilirse, eğrinin y = f ( x ) şeklin deki kartezyen denklemi elde edilir. Parametrik denklemleriyle veril miş bir eğriyi çizmek için, t yi yok ederek kartezyen denkleme geç mek şart değildir. Parametrik denklemlerden faydalanarak, eğrinin teğetlerini, konkavlığını ve asimptodlarını belirtmek mümkündür. Bu denklemlerde t nin bir değerine x ve y nin birer değeri kar şılık gelirse cp(t) fonksiyonları tek değerli fonksiyonlar olurlar. çp{t) ve rasyonel fonksiyonlar iseler, bunlara karşılık olan eğriye ünikürsal eğri denir. ÖRNEK 1. x=at+h yy=ct+d denklemleri olduğunu gösteriniz. nin bir doğrunun parametrik 176 Parametrik denklemler Gerçekten bu denklemlerden t yok edilirse f ^ ^ ~ ^ __ 2/ ~ ^ elde edilir ki bu da. x ve y runun kartezyen denklemidir. ye göre lineer bir bağıntı olup bir doğ ÖRNEK 2. Merkezi orijinde olan rametrik denklemlerini bulunuz. R yarıçaplı bir dairenin pa Daire çemberi üzerindeki bir M{x , y ) noktasını orijine birleştiren doğrunun ox ekseni ile teşkil ettiği açı 0 olsun. Bu tak dirde Şekil 56 dan M(x , y ) nin koordi natları e parametresine bağlı olarak yazı lırsa M (x ;y ) X = R cos 0 ^ t/ = B sin (O < 0< 2tu) Şekil 56 denklemleri elde edilir ki bunlar dairenin parametrik denklemleridir. Bu denklemlerden 0 yok edilirse dairenin kartezyen denklemine varılır. Gerçekten her iki denklemin kareleri alınır, taraf tarafa toplamrsa oc^+y^ = R^ bulunur. ÖRNEK 3. + = 1 elipsinin parametrik denklemlerini bulunuz. Bu denklemde de edilir. O halde, 5c = a c o s 0 dönüştürmesi yapılırsa O < 0< 2 t: olarak 2/ = ö s i n 0 el X = a cos 0 , y = h sin 0 denklemleri elipsin parametrik denklemleridir. Şimdi de 0 parametre sinin geometrik olarak neyi gösterdiğini bulmak üzere orijin merkez, a ve b yarıçapları ile iki daire çizelim. Şekil 57. Parametrik denklem tanımı 177 M{x , y ) elips üzerinde ve B de ilf ile ayni apsisli olan a yarıçaplı çem ber üzerindeki bir nokta olsun. OB yarıçapının ox ile teşkil ettiği açı da 0 olsun. Şekil 57 den : X — OP = a cos 0 CQ = b sin 0 yazılabilir. Halbuki x = a cos 0 olduğu zaman y — b sin 0 olacağından CQ = y yani CM doğrusu ox eksenine paralel Şekil 57 olacaktır. Buna göre elipsin parametrik denklemlerinde 0 parametresi, OB ile ox ekseninin teşkil ettiği açıdır. ÖRNEK 4. Bir dairenin bir doğru üzerinde kaymadan yuvarlan ması halinde, çemberi üzerindeki bir noktanın geometrik yeri olan eğri nin parametrik denklemlerini bulunuz. (Sikloid eğrisi) Eğriyi çizen çember noktası P {x ^y) olsun. Bu noktanın verilen doğru üzerindeki başlangıç durumunu orijin noktası olarak ve doğruyu da ox ekseni olarak seçelim. Verilen dairenin yarıçapı a olsun. Daire nin merkezini P ye birleştiren yarıçap doğrultusunun değme nokta sındaki yarıçapla teşkil ettiği açı 0 olsun. Şekil 58 den PQ = OQ = a 0 olup 178 Parametrik denklemler X = OR = 0Q - RQ = 0Q - PN o? = ae — a sin e = a (e — sin 0) ve y = RP = QN = QM — NM = a — a cos 0 = a (1—cos 0) bulunur. Bunlara göre sikloid eğrisinin parametrik denklemleri ic = a ( 0—s in 0) , 2/ = ® ( l “ Cos 0) dır. 8-2 Parametrik denklemlerde türev ûy parametrik denklemleri verilmiş iken ^ tü revinin hesaplanması gerekiyorsa y = f { x ) şeklindeki kartezyen denk lemi bilmeye ihtiyaç yoktur. x=<ç(t) ve y=t\>(t) fonksiyonları türe vi haiz fonksiyonlar iseler Ay Ay __ At Ax ~~ Ax ~Ât yazılıp. Af->0 halinde olacağından 1i m = 1i m Ay At Ax At Ai Ax do? dt __ ç i t ) _ dx ~ X’ dt At ve bulunur, y* ve x' sembolleri parametreye göre türev sembolleridir. Parametrik denklemlerde türev x = R cos 0 , t/= R sin 0 ÖRNEK 1. dy ^ 179 parametrik denklemlerinden türevini hesaplayınız da = a* = — R sin 0 ; M dî/ = ı/' = R cos olarak dy R cos 0 , « dır. a = a ( 0—s in 0) ÖRNEK 2. ây ^ ı/—a ( l —c o s 0) , denklemlerinden türevini hesaplayınız. ^ = a (l - cos 0) = a sın 0 ; olarak dy _ a sin 0 _ sin 0 da ~ a (l - cos 0) ~ 1 — cos 0 dır. 8. 2 - 1 . Parametrik denklemlerde ikinci mertebe türevler. Şimdi de parametrik denklemlerinden ikinci mertebe türevini hesaplayalım. dy d^y __ da’^ ~ da \daj da ” ve _ ^ den da dy dt da dt da dt d?y 180 Parametrik denklemler 6?y dcc dt/ _ dt^ dt W ~ / do; (d T j dy d^ dâ? dt^ olarak d^y da? _ dy dâ? dt^ dt dt dt^ __ y " x ‘ — y' a?* * a?* / da? 1 d^ d^y _ da?'^ bulunur. a?=a cos 0 î/= b sin e ÖRNEK 3. denklemlerinden dPy türe vini hesaplayımz. Örnek 1 . den ^ h cotgG a = dy d0 h ve buna göre cosec^ 0 olarak dy' d0 da? d0 d^y da?^ Jb cosec^ 0 a ■a sin 0 sİtP 0 dır. ÖRNEK 4. d^y a?=a( 0—sine) , 2/ = a ( l —c o s 0) sin 0 = -z------ - —p- ve buna göre denklemlerinden türevini hesaplayınız. X , ^ n Örnek 2 . den dy' d0 dy CLOO COS jL C OS ü 0(1 — COS 0) — sin^ 0 (1 — COS 0)^ —1 1 — COS 0 olarak d^y da?'-^ bulunur. dy d0 da? d0 -1 a(l — C OS 0)^ Parametrik denklemlerde türev ÖRNEK 5. a?=e"‘ ^ y=t^ denklemlerinden 181 türevini he saplayınız. da? "dF ^ dy = 3^2 d^ olarak ^ _ da? _ e "' 3 F e' ve d 2/" _ = - 6^ e' -■ 3^2 e' d^ olarak S da?-2 = = î ^ ? ^ = e»( 6. + « dır. Diğer taraftan _ d r d2y 1 __ dy" _ da?2 "“ da? 1 da?2 da; dy" df da: da; df olup da/"__ = (6 + 6f) e2' -f 2e2'(6f + 3f2) = (6f2 + ±st + 6) e^ df da; = — e —t df ve da;^ —e den ± « L î ^ = - 6e»(.> + » + 1 ) bulunur. ÖRNEK 6 . a ;= cost , ı/= s in t denklemlerinden hesaplayınız. — = - cotgt da; ; â^y __ _ 1 , d^y __ _ 3 cost da;2 sin^ t * dx^ ~ sin^ t türevini 182 Parametrik denklemler 8-3 Parametrik denklemleriyle verilmiş eğrilerin asimptodlarının bulunması 8. 3 - 1 . Koordinat eksenlerine paralel asimptodlar. halinde ve ı/->oo oluyorsa x = a doğrusu düşey asimptoddur. Aynı şekilde t-^to halinde x-ôo ve y-^h oluyorsa y = h doğrusu yatay asimptoddur. 8. 3 - 2. Eğik asimptod t-^to halinde x-âo ve y-ôo oluyorsa eğrinin bir eğik asimptod'u bulunulabilir. Bu takdirde y = m III•m — X t-^to limiti aranarak asimptodik doğrultu bulunur. Eğer lim ^ i İQ X ise eğri kolu paraboliktir. lim ^ limiti sıfırdan farklı ve sonlu bir m sayısı ise m asimp t^ U X todik doğrultudur. Bu takdirde 1 i m ( y —mx) f— limiti aranır. Bu limit de mevcut ve n gibi bir sayıya eşitse y = m x+ n doğrusu eğik asimptoddur. t t-1 * y nin asimptodlarını bulunuz. ÖRNEK 1. x = t - 1 denklemleriyle verilmiş eğri- Parametrik denklemlerde asimptod t-ôo halinde x -^ l,y -^ o o 183 olarak x=^l doğrusu düşey asimptoddur. t-^1 halinde ise x-ôo 1 i m - ^ = 1i m i-^1 ^ [t - 1 ve y-ôo olarak T- ^ 1 = 1 i m t = 1 ^ - IJ t^ı (asimp. doğıultu) ve 1 i m (2/ - a?) = 1 i m ( t ^—t ~ 7- ^ ) = 1 i m ~ — ~ == 1 i m t = l olup y = X+ 1 doğrusu eğik asimptoddur. ÖRNEK 2. Parametrik denklemleri X = 2t t^ -1 y = t - 1 olan eğrinin asimptodlarını bulunuz. ^-^00 halinde x-^0 j y -^ 0 0 olarak a;= 0 doğrusu düşey asimptod dur. t-^ —1 halinde x-ôo ve y - » -----^ olarak y = ------- doğrusu ya tay asimptoddur. t-^1^ için cc->oo ^ 2/-^ 00 olup ,. I . + 1) İl m -y^ = lım ---------= 1 » fH.1 2 ve jlm = ,. <3 + - 2f = iım - ^ n r ı — = lim / 1 olarak ^2 + ^ _ 3 1 “ 2 184 Parametrik denklemler 1/ = 05 + eğik asimptod’dur. 8-4 Parametrik denklemleriyle verilmiş eğrilerin çizimi x —(p{t) , parametrik denklemleriyle verilmiş bir eğriyi çiz mek için evvelâ (p{t) ve fonksiyonlarının tanımlı ve sürekli oldu ğu aralıklar belirtilir. Daha sonra bu fonksiyonların özellikleri (peryodik oluşu vb) aranır. Ayrıca bu denklemlere karşılık olan eğrinin özellik leri araştırılır. Örneğin ise 005 ekseni simetri eksenidir. cp{t) ve siyonlar iseler orijin simetri merkezidir. fonksiyonları tek fonk cp(0 ve 4)(O fonksiyonları T gibi ortak bir peryoda malikse, eğ riyi çizmek için, değişimi bir peryoda eşit uzunluktaki gi bi bir aralıkta, incelemek yeterlidir. Bu incelemelerden sonra cp(f) , 4 (f) fonksiyonlarının beraberce değişimleri incelenir. Eğrinin sonsuzdaki noktaları, asimptodik doğrul tuları ve asimptodları aranır. Eksenlerle kesişme noktaları, yatay teğet lerinin bulunduğu noktalar belirtilir. Bütün bu incelemeler, t , ç '(f ) , 4 '(f) »^ >2/ yi içeren bir tablo üze rinde özetlenir. Varsa iki katlı noktaları belirtilir. Tablodan da fayda lanarak eğri çizilir. ÖRNEK 1. 05—a(0—sine) , 2/ = a ( l “ Cos 8) leriyle verilmiş sikloid eğrisini çiziniz. parametrik denklem 2/ = a ( l —COS0) fonksiyonu 2t: peryodlu olup, incelemeyi aralığında yapmak yeterlidir. do5 cos 0) = asine [ 0 , 27t] Parametrik denklemleriye verümiş eğrilerin çizimi olarak d0 0 = 0 , 6 = 2t: = 0 için 0 = O , 0 = 7c , 0 = 2ıç için dır. sın - = cotg — 1 — cos 0 dflc olup ^ = ^ ve 185 0=0 ve 0= 2tc için y'->oo 0=71 için y '= 0 dır. Değişim tablosu 0 0 TC 2 x 'q 0 + 0 0 0 X 0 T ca y 0 - tc 0 27ca 2a maks. \ 0 olup eğri Şekil 59 da gösterilmiştir. ÖRNEK 2. Parametrik denklemleri X t t2 - 1 y^ = t - 1 ' olan eğriyi çiziniz. x , t nin ± 1 ve y de, t nin değerleri için tammiı ve süreklidir. +1 t-ôQ için a?->0 , 2/“^00 olarak x = 0 1 asimptoddur. için o?-ôo ^ 2/->— — değerlerinden başka bütün doğrusu düşey asimptoddur. olarak y= — ^ doğrusu yatay 186 Parametrik denklemler t-^ + 1 için ar-ôo ^ y-ôo I lim — = lim t^ I X ve (t -h l ) t = 2 (asimptodik doğrultu) t^ I , „ , ,. 3t2 + 2^ - 2 iy - 2x) = h m ------- ^ 2t lım 3 olarak 1/ = 2a? + -|eğik asimptoddur. + l - 1)2 da? dt ’ dy _ t ^ - 2 t dt ~ ( t - 1)2 - 2 ) it + 1)2 da; olup t= 0 ve ^2 ^ 1 ^3/ için ^ = 0 ^ =2 dır. Değişim tablosu t —1 —oo 0 + + 0 y 0 - o o - 0 + ~ 2 - \ 0 \ \ — oo 1 2 +®® — + “ X 2 — — yt 1 + 0 ----- OO _ J L 2 ^ 0 \ maks. + \ 4 min. olup eğri Şekil 60 da gösterilmiştir. Eğrinin ( —1 , —1) noktası iki katlı noktadır. Bu nokta, t nin iki farklı değerine karşılık gelen bir {x , y ) noktasıdır. Bu noktanın koordinatlarını belirtmek için t=t^ ve değerleri için a?ı=a?2 ve y ı—yı olduğunu yazmak ve elde edilen denklemlerden ti ve t 2 yi be lirtmek yeterlidir. Bu eğri için Parametrik denklemleriyle verilmiş eğrilerin çizimi den U t 2 = —1 den ti + İ2 = 187 ve İ2^ İ2 -1 - 1 olarak elde edilen ti İ2= —1 tı+ t2 = -l denklemlerinden v /5 -l v/5 + 1 tn -- n elde edilir ki bunlardan da x — —1 , y — —1 bulımur. O halde ( —1 , —1) noktası, eğrinin iki katlı noktasıdır. ÖRNEK 3. Şekil 60 Parametrik denklemleri o; = sin ^ y = sin t 2 + cos t olan eğriyi çiziniz. X ve y 1er 2n peryodlu fonksiyonlardır. O halde incelemeyi 2% ye eşit uzunluktaki bir aralıkta yapmak yeterlidir. Diğer taraftan x ve y fonksiyonları birer tek fonksiyon olup eğri orijini simetri merkezi ola rak kabul eder. Buna göre de incelemeyi [0 , tt] aralığında yapar ve buna karşılık olan eğriyi çizer ve orijine göre simetriğini alırsak iste nen eğriyi elde etmiş oluruz. dx = cosf dt 1 + 2 cos t cos f (2 + cos t da: olup t = TZ için da? ^ ^ = 0 1 + 2 cos t (2 + cos t f dt ve ^ 2 tz * = -3- . . dy ^ . için ^ = 0 dır. 188 Parametrik denklemler 8. BÖLÜME AİT PROBLEMLER Aşağıdaki parametrik denklemlerden dx türevini hesaplayınız. x = 2t-l 1) 2) dx 2 dy t-1 d* <+1 dat l+P 3a#'-* l + #3 3) 4) x — ^t V 5) dy t (2-#3) d;»r“ 1—2#3 dy _ dx 2 36^ ^ x = a (cos #+# sin t) y = a (sin #—# cos t) dA: tg t Problemler 6) X — a cos^ t 189 dy _ __ b dx a y — b sin- / x — a co s^ i 7) dAT y = h sin^ t 8) a ^ = -2e3t dx y = e-'‘ = a |log tg Y +cos f—sin t j d^: 9) = tg< y = a (sin <+cos t) x = i log i 10) y= ] ^ a: 11 ) = e* (S ),.,- cos t ^ = e‘ sin t 12) jf = 2/+3f2 ; y = <2-f2f3 parametrik denklemleriyle tanımlanmış 17 fonk siyonunun = (S )« (Ş J denklemini sağladığını gösteriniz. Aşağıdaki parametrik denklemlerden ^ dA:^ a: türevini hesaplayınız. = log t 13) y = fi dAT* X= arctg t d}y 14) = 9f3 y — log (l*ff2) X = arcsin t 15) y = ^ l—i‘ 16) d}y d^ = - V ı -<2 x — a COS t d^y y = a sin t dA:2 ~ -1 a sin^ i 190 Parametrik denklemler x = a COS^ / 17) 1 3a cos-î sin t dx^ y = a Sİn^ t X = cos 2t d^y dx^ = 0 18) y = sin^ t X= d^y dx^ = 2 19) y= X = arctg t 20) j ^ = a + « ( i + 3« "2 ;e = log# 21) d^y _ 1 + ^ dx^ (1 - tf 1 1- t x — e^cos t d^y_ 22) dx^ y — e^sin i 23) 2e"‘ (cos t + sin X — log (1 + 0 24) X = sin t i y — ae^ lanmış y fonksiyonunun 2t U ~\l2 t — he ^ parametrik denklemleriyle tanım dx2 dx ^ denklemini sağladığını gösteriniz. Aşağıdaki parametrik denklemlerden X = sec t 25) y = igt X = c” * cos t 26) 27) y = e“ t sin t a: = c- y = t^ dAC^ türevini hesaplayınız. d^y __ 3 cotg^ t dx^ sin t d?y _ dA’3 (2 sin t — cos t) (sin t 4- cos 0^ ‘ dx^ = - 6 e 3 t ( l + 3t + t=) Problemler logt 28) d;»r" y = t^ m” Aşağıdaki parametrik denklemleri verilmiş eğrileri çiziniz. X = x = 2atgt at^ 37) 29) X= t + 4 17 = 2 a co s^ AT= 3 + 2 t cos t 38) 30) y = 2 sin / — 1 y= = 4t t- 1 39) 31) t- y= 2 y= t - 1 at x = t^— 2t 32) 33) 40) y = P -1 2 i 1+ t _ f ^+ 1 x = a cos^ t x = tHZ^2t) ^ = #3 (3 _ 20 41) y = b sin^ t a + 2)2 t+1 x = 4t — — 2 42) 34) = I+ a COS U _ -ğ - I 43) 35) 2a#2 (#-3)2 ( # - l ) a#2 y = #— l {t - 2)2 t-î tt— 1 t y = #2 - 1 y = b sin 2t 36) ^ x = ±\Ji^ — 2t + 2 44) 191 192 Parametrik denklemler x = e'‘ 45) y 46) 1 53) = logf y= ^ 1 _ __0-l ^ -T T T 47) y— i ı-t ı + t^ a sin 2t y — a sin 3f x = 55) ;c = tg f + sin f AT= th < 48) t 54) sin t X ~ 56) y = th 3< 1 y = cos x = 49) t a cos^ t 57) y= y ^ a (t + 2)^ t+ 1 _ ( f - 2)2 58) y = te~^ t— 1 59) 51) AT= f + e"‘ y — 2t+ y = sin / it + 1) W+ 2) e -2 t X= a (sh t — 1) = (ch t — 1) 60) y it + 1) U + 2 ) sin i x = i X — 52) -b D i t - AT= tg # ^ 50) it a 2) 9. BÖLÜM KUTUPSAL KOORDİNATLAR 9-1 Kutupsal koordinatlar tanımı Şimdiye kadar, bir noktanın bir düzlem üzerindeki yerini x \e y gibi iki uzunluk ile belirtmiştik. Bu takdirde, x ve y noktamn kartezyen koordinatları olarak tanımlanmıştı. Şimdi, orijin veya kutup adı verilen bir O noktası ile kutupsal eksen adı verilen ox gibi bir eksen gözönüne alalım. Düzlemdeki bir P nok tasını 0 ile birleştirelim. Bu suretle elde edilen OP doğrusunun ox ek seni ile yaptığı açıyı 0 ile gösterelim. ~ÖP=ç olsun, p ve 0 nın bilinmesi halinde P noktası belirtilebilir, p ve 0 ya P noktasının kutupsal koordi natları denir, p ya kutupsal ışın ve 0 ya da kutupsal açı denir. 0 nın po zitif değerleri, saat ibrelerinin dön me yönünün tersi olan yönde çizilen Şekil 62 açılardır. Şekil 62. 0 açısı çizildikten sonra, p nun pozitif değerleri 0 nın hareketli ke narı üzerinde O dan itibaren alınır, p nun negatif değerleri ise, 0 nın haYüksek Matematik I F. 13 194 Kutupsal koordinatlar reketli kenarının ters yönde uzatılmış kısmı üzerinde alınır. Bunlara göre ayni bir P noktasına sonsuz sayıda kutupsal koordi nat çifti karşılık gelir. Gerçekten D= r t —r ve 0 — a + {2k + l)7t + 2kv: koordinatları hep ayni noktayı gösterirler. Eğer p pozitif bir uzunluk ve 0 açısı 0 ^ 0^ 2t: aralığında kabul edilirse düzlemin herbir noktasına tek bir (p , 0) sayı çifti karşılık gelir. Bir eğrinin üzerindeki noktaların p , 0 kutupsal koordinatları ara sındaki p = / ( 0) şeklindeki bir bağıntıya eğrinin kutupsal denklemi de nir. 9-2 Kutupsal koordinatlarla kartezyen koordinatlar arasındaki bağıntılar Kartezyen koordinatlar sisteminin ox ekseni ile kutupsal ekseni ve kartezyen sistemin orijini ile kutup noktasını çakışmış farzedelim. Bir P noktasının kartezyen koordinatları ordinatları (p , 0) olsun. Şekil 63 den {x , y ) X = p cos 0 2/ = p sin 0 yazıla Dilir. Bu ifadelerin kareleri nin taraf tarafa toplanması suretile + ^2 — p2 ve taraf tarafa bölünmesile de veya elde edilir. 0 = arctg X ve kutupsal ko Doğrunun kutupsal denklemi 195 Bu bağıntılar yardımıyla, kartezyen denklemi verilmiş bir eğrinin kutupsal denklemi ve kutupsal denklemi verilmiş bir eğrinin kartezyen denklemi bulunabilir. ÖRNEK 1. çemberinin kutupsal denklemini bulunuz. a? = p cos 0 , y = ç sin 0 dan x~+y^ — p2 olup p2 = 7^2 yeyg^ p — ± jı dir. p = E ifadesi kutuptan R e eşit uzaklıkta bulunan noktaların geo metrik yerini tanımlar. Bu da verilen çemberin tanımından başka birşey değildir. ÖRNEK 2. çp- — a? cos 20 denklemini bulunuz. kutupsal denklemi! eğrinin, kartezyen p2 = aP cos 20 = aP (cos^ 0 — sin^ 0) olup her iki tarafı çP ile çarparsak çP ve (p2 cos^ 0 — p2 sin^ 0) p cos 0 = 0? ^ p sin 0 = 2/ ^ çp = xP+y^ olduğunu gözönüne alırsak {x^ + y'^f = oP (x^ — y^) bulunur. 9-3 Doğrunun kutupsal denklemi Doğrunun kutupsal denkleminin genel şekli p(A cos 0+ R sin 0) +(7 = O dır. Gerçekten doğrunun genel denklemi A x + B y + C = 0 olduğuna gö re, iT = p cos 0 ^ 2/ —p si n 0 olarak bu denklemde yerlerine konursa yu karıdaki denklem elde edilir. Bu denklem, olması halinde 196 Kutupsal koordinatlar A cos d + B sin 0 = — C 1 A . B , — = — cos 0 — — sın P (7 C şeklinde de yazılabilir. Ancak, bu şekildeki denklem C = 0 halindeki ya ni kutuptan geçen doğruyu göstermez. Bu sebeple genel denklem değil dir. özel haller. 1) A =0 ise p(A cos 0 + B sin 0) + (7 = 0 denkleminde : p B s i n 0+ C = O veya denklemi elde edilir ki bu da kutupsal eksene paralel doğruyu gösterir. 2) J5=0 ise p A cos d+C = 0 veya = acos0 elde edilir ki bu da kutupsal eksene dik doğruyu gösterir. 3) (7=0 ise p(A cos 0+J5 sin 0) = 0 veya A cos*0+J5 sin 0 = 0 A B tg 0 = 0 = Arctg H ) bulunur ki bu denklem de kutuptan geçen doğruyu gösterir. Dairenin kutupsal denklemi 197 9-4 Dairenin kutupsal denklemleri Dairenin genel denklemi bu denklemde x ve y yerine x--\-y^-\-Dx-{-Ey+F=0 olduğuna göre X — ^ cos 9 , 1/ = p sin ifadeleri yazılırsa p2+p(D cos 0+ jE7sin 0) + F = 0 elde edilir. Bu denklem dairenin kutupsal genel denklemidir. Özel haller. 1) Dairenin merkezi kutupta ise p = x^+y^—R^ den ±R bulunur. 2) Daire kutuptan geçiyorsa kutupsal denklemi p2+p(D cos ^+E sin 0) = 0 p+D cos Q+E sin 0 = 0 p = a cos 0+ b sin 0 dir. 3) Daire kutuptan geçiyor ve merkez kutupsal eksen üzerinde ise { x —R)^+y^=R^ kartezyen denkleminden (Şekil 64) p^ — 2R p cos 0 = 0 p — 2R cos 0 kutupsal denklemi bulunur. Şekil 64 4) Daire kutupta, kutupsal eksene teğet ise x-+ { y —RY=R^ tezyen denkleminden (Şekil 65) kar 198 Kutupsal koordinatlar p^—2i? p sin 0 = 0 p = 2R sin 0 bulunur. Şekil 65 9-5 Koniklerin kutupsal denklemleri Koniklerin kartezyen olarak genel denklemi Ax'^-\-Bxy+Cy^+DxÊy-\-F=^0 olduğuna göre kutupsal genel denklem : (A cos^ 0 + B sin 0 cos 0 + C sin^ 0) + p (D cos 0 + ^ sin 0) + jp = 0 dır. Bu denklem görüldüğü gibi karışık ve kullanılması zahmetli olan bir denklemdir. Koniklerin aşağıda inceleyeceğimiz özel haldeki denkle mi kullanılmaya daha çok elverişlidir. Koniğin bir odağının kutupta ve asal ekseninin de kutupsal eksen olarak seçilmesi halinde, kutupsal denklemin ne şekilde olacağını araş tıralım. Bunun için de, ''şahit hir F noktası ile sabit bir l doğrusuna uzaklıkları oranı sabit olan noktaların geometrik yeri bir koniktir” şek lindeki genel konik tanımını hatırlayalım. Bu tanımdaki F noktası odak, l doğrusu doğrultman, sözü geçen oran dış merkezlik ve odaktan doğ rultmana indirilen dik asal eksen adını alır. Odağın doğrultmana uzaklığı d ve sözü geçen oran e olarak veril miş ve koniğin herhangibir noktası P ( p , 9) olsun. Şekil 66 dan : FP = ; EP = HM = HF+FM EP = d+p cos 0 olup FP =e EP geometrik yer denkleminde yerlerine konursa açısı d + P cos 0 199 = e veya bulunur. Denklemden kolayca görü Şekil 66 lür ki konik asal eksene göre simet riktir. Gerçekten denklemde 9 yerine —0 konursa p değişmez. Bu denklem e= 1 ise parabol e< 1 ise elips e> 1 ise hiperbol gösterir. 9-6 Kutupsal denklemi ile verilmiş bir eğrinin herhangi hir noktasındaki teğeti ile kutupsal ışını arasındaki açının hesabı p = / ( 6) kutupsal denklemi ile verilmiş bir eğriyi gözönüne alalım. P ( p , 0) eğrinin herhangibir noktası olsun. Bu noktadaki teğet ile ku tupsal ışın arasındaki açısını hesaplamak istiyoruz. Şekil 67 Kutupsal denklemi ile verilmiş eğrilerin incelenmesinde bu açının önemli bir rol oynadığı ilerideki uygulamalarda görülecektir. Herhangibir noktada ki teğetin çiziminde de bu açıya ihtiyaç olduğu kolayca görülür. Şekil 67 200 Kutupsal koordinatlar 0 ya bir A0 artımı verelim. Buna karşılık olarak, p da bir Ap ar tımı alır. Bu suretle, eğri üzerinde koordinatları (p+Ap ; 0+A 0 olan bir Q noktasını elde ederiz. OQP açısının A0-Ô halindeki limiti aranılan açısını verir. OQ ye PR dikini indirelim. Bu takdirde tgOçp = ^ = = ^ RQ O Q -O R olup OQ = p+Ap ; PR = p sin A0 , OR =p cos A0 olduğu gözonünde tu tulursa tg OQP = p sin A0 p -h Ap — p cos A0 p sin A0 1 i m tg OQP = 1 i m — aû^ ■ a A0H.O ^9^0 P(-J--COSA0) + Ap p sin A0 tgv|; = 1 im A0 A0 H-O 2p sinô— + Ap tg ıp = 1 im A0->O sin A0 A0 sın A0 . A0 . Ap M 2 bulunur. Teğetin eğim açısı hesaplanmak istenirse OPT a = 0+4^ yazılıp tg a = tg (0 + 4') bulunur. t g 0 + tgıj; 1 - t g 0 t g 4/ üçgeninden ÎM eğrinin kesişme açısı ÖRNEK. Sonucu p = a ( l —C O S 0 ) 6“ eğrisi için ve cj; a 201 açılarını hesaplayınız. değerlendiriniz. p' = a sin olarak p' asine ^^2 ve I Ö ıp = - ^ dir. 0= 6 ise v[; = 12 ve , A ^ 20 î a = 0 + 4; = y a= 4 dir. 9-7 Kutupsal denklemleriyle verilen iki eğrinin kesişme açısı İki eğrinin kesişme açısı, bunların kesişme noktalarındaki teğetleri nin teşkil ettikleri açıdır. Buna göre Şekil 68 den (C,) (C2) olup dir. ÖRNEK. bulunuz. p=asin20 ve p=acos20 eğrilerinin kesişme açılarını Evvelâ bu eğrilerin kesişme noktalarını bulalım. Denklemlerden a sin 20 = a cos 20 t g 20 = l 202 Kutupsal koordinatlar elde edilir ki bu denklem kesişme noktalarının kutupsal açılarını verir. Bunlardan bir tanesi için isteneni bulalım. tg 20 = 1 den TZ 20 = olup ^ , p tg = -^ = , tg a sin 20 2a cos 20 2 p o cos 20 - - - - _ 2a sin 20 2 cotg 20 = olarak H ıİI tg(? = - i (-i) cp = arctg — bulunur. 9-8 Kutupsal teğet altı ve normal altı P=/(0) eğrisi verilmiş olsun. Eğrinin herhangi P noktasındaki te ğet ve normalini çizelim. Bu noktaya ait kutupsal ışına da kutuptan bir dik doğru çizelim. Teğetin bu doğruyu kestiği nokta T; normalin bu doğ ruyu kestiği nokta N olsun. Şekil 69. Bu takdirde PT = teğet uzunluğu PN = normal uzunluğu adlarını alır. PT teğet uzunluğunun NT üzerindeki OT izdüşümüne kutupsal teğet altı ve PN normal uzunluğunun NT üzerindeki ON izdüşümüne kutupsal normal altı denir. OPT üçgeninden ^ , tg OT OT = ----OF P Kutupsal teğet altı ve normal altı 203 olup OT ve OPN üçgeninden 4. ı OP 9 tg Ip = = -= ^ ON ON olup i_ = P ' P' ÖN ÖN = normal altı = p' bulunur. ÖRNEK. p2—a2cos2e eğrisinin herhangibir noktasındaki teğet al tı ve normal altı uzunluklarını hesaplayınız. z: cos 20 2pp' = —2a^ sin 20 p ,= sin 20 ---------------- ------------ olup kutupsal teğet altı ~ p2 ~ ~ p3 a'^ sin 20 kutupsal normal altı = p' = — dır. a^ sin 20 204 Kutupsal koordinatlar 9 -9 Kutupsal denklemleriyle verilmiş eğrilerin asimptodlarının belirtilmesi p = / ( 9) kutupsal denklemi ile verilmiş bir eğrinin sonsuza uzanan bir kolunun bulunduğunu düşünelim. Böyle bir eğri kolu üzerinde ha reket eden bir P noktasının sonsuza yaklaşması halinde OP doğrusu Z gibi bir limit durumunu alıyorsa eğri kolu l yi bir asimptodik doğrultu olarak kabul eder. Şekil 70. Z nin kutupsal eksenle yaptığı açı a olsun, a nın p->oo halinde 6 nın limiti olduğu kolayca görülebilir. Buna göre, asimptodik doğrultu, 0 nın p yu sonsuz kılan değerlerine karşılık olur lar. Yani 0-â halinde p->oo oluyorsa 0=a doğrusu asimptodik doğrultudur. ÖRNEK 1. p= eğrisine ait asimptodik doğrultuyu J. “T“ ^ C OS V belirtiniz. 1+ 2 . için p-ôo olup ÖRNEK 2. tiniz. COS 2 0= 0 tz 0= - ğ p=tg20 , 1 C OS 0= — — 2 , 0= o doğrusu asimptodik doğrultudur. eğrisine ait asimptodik doğrultuyu belir Kutupsal koordinatlarda asimptodların belirtilmesi TZ 0= — olarak 6= TC İçin p 205 ~ doğrusu asimptodik doğrultudur. Şimdi de asimptodu belirtmeğe çalışalım. Bunun için de P nok tasından l asimptodik doğrultusuna A paralelini çizelim. P noktası sonsuza yaklaştığı zaman A nın bir V limit durumu varsa bu eğri ko lunun asimptodudur. Şekil 70. Z asimptodik doğrultusu a açısı ile belirli olsun. ox kutupsal ek seninin Z ile çakışmış olduğunu farzedelim ve O dan Z ye dik oy doğrusunu çizelim. P noktasından Z ye çizilen paralel oy yi D de kessin. OD nin OA limiti bilinirse A dan Z ye çizilecek paralel V asimptodunu verecektir. OA ya asimptod altı denir. P ( p ,e ) olduğuna göre MOP = (OP , o x ) = 0 - a A olup MOP üçgeninden OD — MP = p sin (0—a) yazılabilir. Buna göre asimptod altı d — OA = 1 i m OD 0 a dır. Buna göre asimptodun kutupsal denklemi cZ = p sin ( 0 - a ) dır. ASİMPTODU ÇİZMEK İÇİN : 1) Asimptodik doğrultu bulunur ve çizilir. (0 = a) 2) Kutuptan asimptodik doğrultuya dik çıkılır. S) Bu dik üzerinde 206 Kutupsal koordinatlar p sin (0 —a) OA = d = l i m 0 a eşitliğini sağlayan A noktası belirtilir ve hu noktadan asimptodik doğrultuya paralel çizilir. ÖRNEK 3. P~ eğrisinin asimptodunu belirtiniz. 0->O halinde p->oo olup doğrultudur. Asimptod altı , 1. d = lım 0 0 0 = 0 yani kutupsal eksen asimptodik . û 1• sin 0 psın0 = l ı m a — 3— = ® 0 H- o ^ ■Asimptod T ' a olarak asimptod’un denklemi a = p sin 0 dır. Asimptod Şekil 73 de gösterilmiş tir. ÖRNEK 4. p cos 0 = a cos 20 c o s 20 dır. Buna göre 0 = TZ , A 1 Şekil 71 eğrisinin asimptodunu belirtiniz. . . doğrusu asimptodik doğrultudur. Asimptod altı d = l i m p s i n [0 — ^| = l i m ( — p cos 0) = 1 i m ( —a cos 20) = a 0h^-!L 2 2 olarak asimptodun denklemi 2 asimptodik doğru a = —p cos 0 dır. Asimptod Şekil 72 de gösterilmiş tir. Şekil 72 Kutupsal koordinatlarda asimptodlann belirtilmesi ÖRNEK 5. cos 0 -ğ1 — sin p= 1 — sin 0 = 0 olarak ö= 7Î eğrisinin asimptodunu belirtiniz. sin 0 = 1 , ^ 0= için p -> oo doğrusu asimptodik doğrultudur. Asimptod altı d = 1 i m p sin (0 — ~| = l i m ( — p cos 0) 2 2 COS^0 1 — sin = 1i m A ^ = 1 i m — (1 + sin 0) = \a s i m p t o d a s . doğ. olup asimptodun denklemi p cos 0 = 2 dir. Asimptod Şekil 73 de gösterilmiş tir. ÖRNEK 6 . p=tg 20 olup 20 Şekil 73 eğrisinin asimptodunu belirtiniz. T TC C 3ıc ıçm p-»oo 3tc 0= - ; ^ doğrusu asimptodik doğrultudur. Asimptod altı d = 1 1 m sın 0 - .3* l 20 d = 1 i m sin « û 3« ^ = 1 i m tg - 77- sın 0 ----- 7 4 / 3 , 3 I 4 cos COS 20 = 1i m A 3-n: olup asimptod - ■ 5 - = p sm 3tc "T 2 . 20 207 208 Kutupsal koordinatlar asimptod \ \ dir. Asimptod Şekil 74 de gösterilmiş tir. Şekil 74 9-10 Kutupsal denklemi ile verilmiş eğrilerin çizimi Kutupsal denklemi ile verilmiş bir eğriyi çizmek için aşağıdaki sı rada işlem yapılır. 1) p = / ( 0) fonksiyonunun tanımlı ve sürekli olduğu aralıklar be lirtilir. Simetri özelliklerinden de faydalanarak inceleme aralığı bulu nur. Eğer 0 ,/(O) içinde yalnız trigonometrik fonksiyonları ile bulu nuyorsa / ( 0) peryodik olur. Bu halde inceleme aralığının ne olacağı araştırılır. Örneğin / ( 0+ 2^) = / ( 0) oluyorsa, 0 nın birbirinden 2% kadar farklı iki değeri eğrinin ayni bir noktasına karşılık gelir. Bu halde incelemeyi 2t. ye eşit uzunluktaki bir aralıkta yapmak yeterlidir. p = /(0) türev yardımıyla, değişimi incelenir. S) Sonlu noktalardaki ve bilhassa eğrinin kutuptan geçen kolla rının kutuptaki teğetleri belirtilir. Bunun için p = fiQ) = 0 denklemini sağlıyan 0 değerleri araştırılır. Jf) Bu incelemeler 0 , p ' , p ve tg ^ yi içeren bir tabloda özetlenir. 5) Tablo ve yukarıdaki sonuçlar yardımiyle eğri çizilir. 9. 10 - 1. Simetri özelikleri. p = / ( 0) 1) denklemi verilmiş olsun. p = / ( 0) fonksiyonunda 0 yerine —0 konduğu zam an: Kutupsal denklemi ile verilmiş eğrilerin çizimi 209 a) / ( —0) = /(0) oluyorsa kutupsal eksen simetri eksenidir. Zira, bu takdirde ( p , 0) ve ( p , —0) noktaları elde edilir ki bu noktalar kutupsal eksene nazaran simetrik noktalardır. Bu halde, / ( 0) yı "0 nın yalnız pozitif değerleri için incelemek yeterlidir. 0 nın pozitif de ğerlerine karşılık olan eğri çizilir ve kutupsal eksene nazaran simet riği alınırsa eğrinin tamamı elde edilir. ÖRNEK 1. p = 0^ fonksiyonunda tanım aralığı ( —oo ,+ o o) dır. / ( - e ) = ( - 0)2 = 0^ = /( 0) [0 , + o o [ olduğuna göre incelemeyi aralığında yapmak yeterlidir. ÖRNEK 2. p = l + 2 c o s 0 fonksiyonu 2% peryodlu olup incele meyi 2tc ye eşit uzunluktaki bir arahkta yapmak yeterlidir. Diğer ta raftan / ( - 0) = 1 + 2 c o s ( - 0) = 1 + 2 cos 0 = / ( 0) olduğuna göre, 2ti ye eşit uzunluktaki aralık, [ —ti, + ti] olarak se çilirse, incelemeyi [0 , t i ] aralığında yapmak yeterli olacaktır. Bu aralığa karşılık gelen eğri çizilir, kutupsal eksene göre simetriği alı nırsa eğrinin tamamı elde edilir. b) ti / ( —0) = —/ ( 0) oluyorsa 0 ="^ doğrusu simetri eksenidir. Zira, bu takdirde ( p , 0) , ( —p , —0) noktaları elde edilir ki, bu nokta71 1ar 0“ "2~ <io#rusuna göre simetrik noktalardır. Bu halde de / ( 0) 0 nın yalnız pozitif değerleri için incelemek yeterlidir. 0 nın po71 zitif değerlerine karşılık olan eğri çizilir ve 0= ^ doğrusuna göre yı simetriği alınırsa eğrinin tamamı elde edilmiş olur. ÖRNEK 3. p= 0 fonksiyonunun tanım aralığı ( —oo , + oo) dır. / ( - e ) = ~ 0= - / ( O ) olduğuna göre incelemeyi [0 , + oo [ aralığında yapmak yeterlidir. Bu 0= doğrusuna nazaran simetriği alı aralığa karşılık olan eğrinin nırsa istenen eğri elde edilmiş olur. Yüksek Matematik I F. 14 210 Kutupsal koordinatlar ÖRNEK 4. p = sin04-tge fonksiyonu 2r. peryodlu olup, in celemeyi 2tî ye eşit uzunluktaki bir aralıkta yapmak gerekir. / ( - 0) = s in (- 0) + t g ( - 0) = - sin 0 - tg 0 = — /( 0) olduğuna göre, 2t. ye eşit uzunluktaki aralık [ —K j + u] olarak alı nırsa, inceleme aralığını [0 , + tz] olarak seçmek yeterlidir. Bu aralığa 0” karşılık olan eğrinin doğrusuna göre simetriği alınmak sure tiyle istenen eğrinin tamamı elde edilir. İhtar. Şimdiye kadarki incelemelerimizi herhangi p = / ( 0) fonksi yonu için yaptık. Simetri özelikleri için bundan sonra yapacağımız in celemelerde p = / ( 0) içersinde 0 veya katlarının yalnız trigonometrik fonksiyonlarının mevcut olduğunu farzedeceğiz. 2 ) p = / ( 0) fonksiyonunda 0 yerine u + 0 konduğu zam an: a) / ( tc+ 0) = / ( 0) oluyorsa kutup simetri merkezidir. Zira, bu takdirde ( p , 0) , ( p , 7: + 0) noktaları elde edilir ki bu noktalar kut ba göre simetrik noktalardır. b ) / ( tc+ 0 ) = - / ( 0 ) oluyorsa, ( p , 0 ) elde edilir ki hu noktalar üst üste çakışırlar. , ( - p , 7î + 0 ) noktaları Her iki halde de, incelemeyi uzunluğu t: ye eşit, başlangıcı keyfi olan bir aralıkta yapmak yeterlidir. a halinde bulunuyor isek, eğrinin tamamını elde etmek için bu aralığa karşılık gelen eğrinin kutba naza ran simetriğini almak gerekir, b halinde bulunuyor isek, bu aralığa karşılık gelen eğri, istenen eğrinin tamamı olur. p = l + t g 0 için ÖRNEK 5. /( t: + 0) = 1 + tg(7î + 0) = 1 + tg 0 = /(0) olup kutup simetri merkezidir. O halde incelemeyi •k ye eşit uzunluk aralığında yapmak yeterlidir. Bu fi incelemeye karşılık gelen eğri çizilir ve kutba nazaran simetriği alınır taki [ 0 , 7t] + veya sa eğrinin tamamı elde edilir. ÖRNEK 6. olup incelemeyi P= [0 , 2 sin 0 — cos 0 için cos 20 ti ] / ( tc+ 0) = - / ( 0) aralığında yaparsak eğrinin tamamı elde edilir. Kutuysa! denklemi ile verilmiş eğrilerin çizimi 3 ) p = / ( 0) fonksiyonunda 0 yerine 0 +a 211 konduğu zam an: a) /(0 + a) = / ( 0) oluyorsa, bu takdirde P ( p , 0) ve P ' ( p , 0+a) noktaları elde edilir ki bunlardan P' noktası, P noktasını kutup etra fında a açısı kadar döndürmek suretile elde edilir. Şekil 75. P' nokta sını da, kutup etrafında a açısı kadar döndürürsek elde edilecek olan P" nok tası da eğri üzerinde bir noktadır. Ger çekten bu noktanın kutupsal açısı 0+ 2a olup /(ö + 2 a) = /(0 + a + a) = /(0 + a) = f(0) = p dır. Ayni şeyler P" noktası için de söy lenebilir. Bu suretle verilen eğri üzerinde Şekil 75 ki birbirinden a kadar farklı kutupsal açılı noktaların p lan yani kutupsal ışınları birbirine eşit olur. Bu sebeple de bu noktalardan bir tanesi bi linirse, diğerleri bu noktayı kutup etrafında a kadar döndürmek ve bu döndürmeye devam etmek suretile elde edilir. Bu halde, incelemeyi a ya eşit uzunluktaki bir aralıkta yapmak yeterlidir. Bu suretle eğrinin bir kısmı elde edilir. Elde edilen eğri parçasını, kutup etrafında a açısı kadar döndürmek ve bu döndürme ye eğri kendi üzerinde kapanıncaya kadar devam etmek suretile eğri nin tamamı elde edilir. b) / ( 0+ a) = —/ ( 0) oluyorsa, bu takdirde P ( p , 0)^ P ' ( - p , 0 +a) noktaları elde edilir. Şekil 76. P' noktası [ p , 0 —(Tc~a)] koordinatları ile de gösterilebilir. O halde P' noktası, P noktasını ters yönde tî—a açısı kadar döndürmek suretile elde edilebilir. x ^ ’ / /c>< Bu halde de incelemeyi a ya eşit uzunluktaki bir aralıkta yapmak yeterli dir. Bu incelemeye ait eğri çizilir ve ne gatif yönde tc—a kadar döndürülür ve bu döndürmeye eğri kendi üzerinde kapanıncaya kadar devam edilirse eğrinin ta Şekil 76 mamı elde edilir. ÖRNEK 7. p = cos 30 verilmiş olsun. 212 Kutupsal koordinatlar TZ / (0 + -^ ) = cos(30 + 7î) = —cos 39 = —/(0) TZ olup incelemeyi -ğ- e eşit uzunluktaki bir aralıkta yapmak yeterlidir. Diğer taraftan / ( - 0) = / ( e ) olup kutupsal eksen simetri eksenidir. O halde aralık celemeyi TZ e eşit uzunluktaki olarak seçilirse / ( —0) = / ( 0) özelliğinden in6 * ^ 6 0 nın yalnız pozitif değerleri îri için yapmak yeterli olacağmaralığı alınır. Bu aralığa ait eğri dan, inceleme aralığı olarak çizilir ve kutupsal eksene göre simetriği alınırsa eğrinin _ İL 6 + JLİ ’ ^ 6 J aralığına karşılık olan kısmı elde edilmiş olur. Bu aralık / 1^0 j = —/ ( 0) özelliğinden seçilmiş olduğuna göre eğrinin tamamını elde [ t: , TC aralığı için çizilmiş olan kısmını negatif etmek için, — ~q , yönde tc—a = 7c— 2 t. TZ ^ = "ğ" açısı kadar döndürmek ve döndürmeye eğri kendi üzerinde kapanıncaya kadar devam etmek gerekir. 4 ) p = / ( 0) fonksiyonunda a) / ( tc—0) = / ( 0) 0 yerine oluyorsa n —0 0=^ konduğu zam an: doğrusu simetri eksenidir. Zira bu takdirde (p,0) ve ( p , ; : ^ 0) noktaları elde edilir ki, bu noktalar 0 = doğrusuna göre simetrik noktalardır. b) /(;c —0) = —/ ( 0) oluyorsa kutupsal eksen simetri eksenidir. Zira, bu takdirde ( p , 0) ve ( —p , 7c—0) noktaları elde edilir ki bu nok talar kutupsal eksene göre simetrik noktalardır. (~ TC ~2 TC \ ' ~2 } yapmalı ve buna karşılık olan eğriyi çizmelidir. Eğrinin tamamını elde etmek için de simetri özelliğinden faydalanmalıdır. Kutupsal denklemi ile verilmiş eğrilerin çizimi 213 ÖRNEK 8 . f{TZ 6= olup 4- P= için cos 20 1 + sin (tt - 0) cos 2 (tt: — 0) — 0) = 14- sin 0 = /( 0) cos 20 doğrusu simetri eksenidir. Buna göre incelemeyi —~ , aralığında yapmalı ve buna karşılık olan eğriyi çizmelidir. Elde edilen eğrinin 0= TC doğrusuna göre simetriği alınırsa eğrinin tamamı elde edilir. ÖRNEK 9. P= cos 0 1 — sın ö - 0) = için cos (tt — 0) 1 — sin ( tc — 0) cos 1 — sin 0 = - m w aralığında inceleme 2 ’ ^ 2 L yapılır, eğri çizilir ve kutupsal eksene göre simetriği alınırsa eğrinin tamamı elde edilir. olup kutupsal eksen simetri eksenidir. 9 .1 0 - 2. Kutupsal denklemi ile verilmiş eğrilerin çizimine ait örnekler. ÖRNEK 1. = a? cos 20 Çi — ±L eğrisini çiziniz. aVcos 2e olup her bir 0 ya p nun simetrik iki değeri karşılık gelir. O halde kutup simetri merkezidir. Bu sebeple yalnız p = a V c o s 20 nın değişimi incelenir ve buna ait eğrinin kutba nazaran simetriği alın mak suretile eğrinin tamamı elde edilir. Fonksiyonun peryodu r. olup inceleme aralığı olarak 7t TT1 ~2 * ~2 seçilebilir. Ancak cos 20 > 0 olması gerektiğine göre 214 Kutupsal koordinatlar - ■ f a z e a + l - yanı olmalıdır. Diğer taraftan / ( —0) =/ (0 ) olup kutupsal eksen simetri eksenidir. Buna göre incelemeyi 0 nın pozitif değerleri için yani İZ 0 < 0 < -j-için yapmak yeterlidir. Bu incelemeye ait eğri çizilir, ev velâ kutupsal eksene göre simetriği alınır ve bu suretle elde edilen eğrinin kutba göre simetriği alınırsa eğrinin tamamı elde edilir. 7ü C08 20 = 0 , 20 = y 7ü 0= y için p= 0 olup doğrusu eğrinin kutuptaki teğetidir. P = olup , 0 p' — a sin 20 v/cos 20 inceleme aralığında daima negatifdir. 0=0 için p'= 0 dır. Değişim tablosu : 0 — 9 9 7ü T 0 a _P_ co 9 \ 0 0 Şekil 77 olup eğri Şekil 77 de gösterilmiştir. ÖRNEK 2. Daire konkoidi (Paskal limasonu). Bir (c) eğrisi ve bir O noktası verilmiş olsun. O noktasını c eğrisine ait herhangi bir P noktası ile birleştirelim ve OP doğrusu üzerinde P ye göre simetrik Mı ve M2 noktalarını alalım. Şekil 78. Mı ve M2 noktaları PMı = PM2 = a = 8t Kutupsal denklemi ile verilmiş eğrilerin çizimi 215 eşitliğini sağlıyan noktalar olsunlar. Bu şartlar altında Mı,M 2 noktaları nın geometrik yerine, ( c ) eğrisinin O noktasına nazaran, konkoidi denir. Paskal limasonu denen eğri de bir dairenin çemberi üzerindeki bir nokta sına göre konkoididir. Bu eğriyi çizmek için evvelâ ku tupsal denklemini bulalım. Bunun için de O noktasını kutup ve dairenin kutuptan geçen çapını da kutupsal eksen olarak seçelim. Dairenin yarıçapı R olsun. Şekil 79. Bu takdirde dairenin kutupsal denklemi : p = 2R cos e dır. Daire konkoidini çizen noktaları Mı 9 M2 PMı=PM2=a eşitliğini sağlıyan noktalar iseler konkoidin kutupsal denklemi p = 2R cos 0 ± a olur. Bunları ayrı ayrı yazarsak p = 2R cos 0 + a , p = 2R cos 0 — a elde edilir ki bunların her ikisi de ayni eğriyi gösterir. Gerçekten bun ların herbirinde 0 yerine tî + 0 konursa p yerine —p bulımur. O halde bu iki denklemin gösterdiği eğrilerin birbirinden % kadar farklı kutupsal açılı noktaları üst üste çakışırlar. Bu da her iki denklemin ayni eğriyi gösterdiğini açıklar. O halde eğriyi çizmek için bunlardan birini incelemek kâfidir. Biz p = 2R cos 0 + a yı inceleyeceğiz. Peryod 2n dir. / ( ~ 0) = / ( 0) olup kutupsal eksen simetri ekse nidir ve incelemeyi [ 0 ,;:] aralığında yapmak yeterlidir. >' = - - 2i 2 sin 0 dır. 216 Kutupsal koordinatlar Kutuptaki teğet için p - O yani cos 0 = — 2R olmalıdır. Buna göre üç hal düşünülebilir. TC 1) a<2R ise p yu sıfır kılan ile tc w arasında bir 0=p değe ri mevcuttur. 2) a=2R ise için p=0 dır. Z) a > 2R ise p yu sıfır kılan bir 0 değeri mevcut değildir. (1) a < 2 R olması hali. 0= P p= 0 için Değişim tablosu : 0 0 P TC p' 0 - 0 P 2R + a \ 0 \ - İ 2 R - a) p oo tg>l^ Oû olup bu tabloya karşılık olan eğri çizilir ve kutupsal eksene göre simetriği alınır sa Şekil 80 deki eğri elde edilir. (Paskal limasonu) 2) a=2R p = 2 i2 (l+ cos 0) olması hali. 0=yj: için p= 0 Değişim tablosu : 0 / p TC 0 0 p 4JJ tg 't CO \ 0 0 olup bu tebloya karşılık olan eğri çizilir ve kutupsal eksene göre simetriği alınır sa Şekil 81 deki eğri elde edilir. Bu eğri kardioid adını alır. Şekil 80 Kutupsal denklemi ile verilmiş eğrilerin çizimi 217 3) a>2R olması hali. Değişim tablosu : 0 TZ 0 2R -{- a ^ a — 2R tg4< olup bu tabloya karşılık olan eğri çizi lir ve kutupsal eksene göre simetriği alınarak eğrinin tamamı elde edilir. Bu takdirde 2R<a<4:R ise Şekil 82 ve a >4/2 ise Şekil 83 deki eğri elde edi lir. ÖRNEK 3. a) Rozaslar. p=acos30 / (o + eğrisini,çiziniz. = a cos TC olup incelemeyi = a cos ( 3 0 + 3 ^0 -f- tt) = — a cos 30 = - /( 0 ) e eşit uzunluktaki bir aralıkta 5rapmak kâfidir. Bu İncelemeye ait eğriyi negatif yönde TZ 2tt “ -ğ -k a d a r döndürmek ve bu döndürmeye, eğri kendi üzerinde kapanıncaya kadar, devam etmek suretile eğrinin tamamı elde edilir. Diğer taraftan / ( —0) = /(0) ol duğundan kutupsal eksen simetri eksenidir. Buna göre incelemeyi 0 nın yalnız pozitif değerleri için yapmak kâfidir, aralık 0=0 6 ’ ^ 6 TZ -ğ- e eşit uzunluktaki olarak seçilirse inceleme aralığı p' = —3 a sin 30 olup, inceleme aralığında için p'= 0 dır. 0= “ o için p= 0 doğrusu eğrinin kutuptaki teğetidir. olup 0= p' o olur. daima negatifdir. 218 Kutupsal koordinatlar Değişim tablosu : TC 0 0 ~6~ — 9 P a _P_ 9 co \ 0 0 olup eğrinin tamamı Şekil 84 de gös terilmiştir. b) p = a cos 29 eğrisini çiziniz. ^ y) ~ ® y ) ~ ^ cos (20 -t- 7î) ^ = — a cos 20 = — / ( 0) TC olup incelemeyi yc eşit uzunluktaki bir aralıkta yapmalıdır. Bu in1T celemeye ait eğri çizilir ve negatif yönde TC ^ kadar üç defa döndürülürse eğrinin tamamı elde edilir. Diğer taraftan / ( —0)=/(0) olup kutupsal eksen simetri eksenidir. Buna göre incelemeyi 0 nm yalnız pozitif değerleri için yapmak kâfidir. aralık _ “ TC T , " " ^ T ~ ye eşit uzunluktaki olarak seçilirse inceleme aralığı jÔ , + olur. Bu incelemeye karşılık olan eğrinin evvelâ kutupsal eksene göre simet riği alınır, sonra da jmkarıda açıklanan döndürme yapılır. cos 20 = 0 p= 0 , 20 = y olup ^ ^~ T 0 = -^ doğrusu eğrinin kutuptaki teğetidir. p' = - 2a sin 20 olup 0= 0 için p'' = 0 dır. Kutupsal denklemi ile verilmiş eğrilerin çizimi 219 Değişim tablosu : 0 « T — p' p a \ JL p' oo 0 0 olup eğrinin tamamı Şekil 85 de gös terilmiştir. ÖRNEK 4. Spiraller, a) p = a 9 Arşimed spirali. Tanım aralığı ( —o o , + o o ) ve >/(—6) = —/ ( 6) olarak TZ ^ ^~2 doğrusu simetri eksenidir. Buna göre incelemeyi yalnız 0 nın pozitif değerleri için yani [ 0 , + c « [ aralığında yapmak yeterlidir. p' = a > 0 dır. Değişim tablosu : 0 0 + + p' p _p_ 4- 0 oo 0 p' olup eğri Şekil 86 da gösterilmiştir, b) 0 p = “^ = 0 / ( —0) = —/ ( 0) lemeyi hiperbolik spiral. değeri hariç, fonksiyon olup ]0 ,+oo[ 6= 0 nın her değeri için tanımlıdı doğrusu simetri eksenidir. Buna göre ince aralığında yapmak yeterlidir. p '= - - p - olarak daima negatifdir. 220 Kutupsal koordinatlar 0“ >O halinde tod altı : p-ôo olup 0=0 asimptodik doğrultudur. Asimp- j ,. • A ,. sin 0 d = 11 m p sın 0 = 11 m o —ö— = a 0-I-O 0 -0 Değişim tablosu : 0 0 + ~ - P + 03 \ 0 0 olup tabloya ait eğri Şekil 87 de gösterilmiştir. Eğrinin tamamını elTZ 6= ^ de etmek için doğrusuna göre simetriğini almak gerekir. cos 0 1 - sin ÖRNEK 5. olup eğri kutupsal eksene göre simetriktir. Bu- / ( ti — 0 ) = — / ( 0 ) na göre incelemeyi 0-» TZ eğrisini çiziniz. ^ p-ôo ^ olup aralığında yapmak yeterlidir. 6—*^ doğrusu asimptodik doğrultudur. Asimptod altı : d = 1 i m p sin f ö 0--^ ^ 2 ) / cos ^0 1 i m -. û ^ l-sm 0 = 1 i m - (1 + sin 0) = - 2 fi dir. - sin 0 (1 - sin 0) + cos^ 0 (1 -- sin 0)2 olup daima pozitifdir. 1 —sin 0 Problemler 221 Değişim tablosu : 0 7C 0 ~ ~ 2 + P' P + — ^2 0 /’ 1 z’ -}- o o _P_ 0 p' olup eğri Şekil 88 de gösterilmiş tir. Şekil 88 9. BÖLÜME a it PROBLEMLER Aşağıdaki denklemleri kutupsal koordinatlara dönüştürünüz. 1) x - Z y = Cevap. 0 = Arctg 0 2) j»:2+y2 = 16 Cevap, p= ± 4 3) 2xy=^l Cevap, p= 4) x^ — y^ = a} Cevap, p= ± ±1 \Jsin 20 v/cos20 5) Kutupsal denklemi p= a0 olan eğrinin kartezyen denklemini bulu nuz. Cevap. y = xtg — ^ a 6) Kutupsal denklemi p- sin 20 = bulunuz. Cevap, y = 2x olan eğrinin kartezyen denklemini 222 Kutupsal koordinatlar Aşağıda kutupsal denklemleri ile verilmiş eğrileri çiziniz. 7) 2 1 — cos P=, 8) p= 10 cos 0 9) p= 6 23) p = a sin 20 24) p= 25) p= cos 0 a (sin 20 + cos 20) 1 0 cos^3 — 26) P = sin 20 1 4- cos 0 27) P = a (1 + p = 3 4- 5 cos 0 28) P = 2 sin 30 13) p = 4 — 3 cos 0 29) P = a (2 + 14) p - 30) P = sin 0 + 15) p = a tg 0 31) P = •4 16) p _ a (1 32) P = a ------ -- 17) p = a (1 — 2 COS 0) 33) P = a --------— 18) p = 2 — 4 sin 0 34) P = . 0 sın — 2 19) 3 0 p = a COS^ — 3 35) rû ---- cos 0 sin 0 4- cos 0 20) p = a sın^ — 36) 0f — \ cos 0 cos 0 — sin 0 21) 0 p = a COS*4 — 3 37) p= sın — + cos 2 : 22) p = a sin 30 38) p= 0 cos — 2 10) r - - 11) p = a (2 12) 4 1 — 2 COS 0 ^ + COS 20) ^ 1 - tg e + COS 0) sin 0 ö + sin 20) cos 20) ^ sm 0 sin^ 0 cos 0 cos 20 COS 0 a Problemler 39) p == 1 + tg 8 40) p= a 41) p = 2a tg 0 sin 0 42) p = sin 43) p = 1 + sin 30 49) p 44) P = tg ^ 50) p= sin 20 cos o 20 223 45) p = 3 cos 0 + 4 sin 0 — 5 46) p = sin 0 + tg 0 47) p_ tg 1 — 2 sin 0 48) p = cos 4 COS0 1 + sin 0 1 — sin 0 sin^ 0 1 — 2 sin 0 10. B Ö L Ü M SONSUZ KÜÇÜKLER 10-1 Tanım ve başlıca özellikleri Sıfır limitine yaklaşan bir değişken miktara sonsuz küçük denir. Sonsuz küçük bir değişken miktar olduğuna göre, ne kadar küçük olur sa olsun, sabit bir miktar sonsuz küçük olamaz. Türev hesabında bağımsız değişkenin artımı olarak gözönüne alı nan Ait? bir sonsuz küçüktür. Türevin mevcut olduğu hallerde Aa?->0 için Aı/-»0 olup fonksiyonun artımı olan Ay de bir sonsuz küçük olur. Ay sonsuz küçüğünde olduğu gibi bazı sonsuz küçükler diğer bir son suz küçüğün fonksiyonu olabilirler. Örneğin x-^0 halinde sm x tg x 1 —cos X fonksiyonları da sıfıra yaklaştıklarından her biri birer sonsuz küçüktür. Burada x e asal sonsuz küçük denir. X bir sonsuz küçük ise, limit tanımına göre, küçük pozitif bir sayı olarak, \X\ < olmalıdır. Karşıt olarak, sayı olmak üzere e e istenildiği kadar £ istenildiği kadar küçük seçilen pozitif bir Tanım ve başlıca özelikleri 225 tel < e eşitsizliği sağlanıyorsa x bir sonsuz küçükdür. Sonsuz küçükler için aşağıdaki teoremler söylenebilir. TEOREM 1. lim/(a?) = c ve a bir sonsuz küçük ise f(x) - c+a yazılabilir. {x a veya x oo halinde) TEOREM 2. suz küçüktür. Sonlu sayıda sonsuz küçüklerin toplamı da bir son TEOREM S. suz küçüktür. Sonlu sayıda sonsuz küçüklerin çarpımı da bir son TEOREM Jf. küçüktür. İki sonsuz küçüğün birbirine bölümü de bir sonsuz 1 0 - 2 Sonsuz küçüklerin mukayesesi îki sonsuz küçüğü birbiriyle mukayese etmek için, asal sonsuz kü çüğün sıfıra yaklaşması halinde, oranlarının limiti aranır, a ve p ayni bir asal sonsuz küçüğün fonksiyonları olan iki sonsuz küçük olsun. 1 i m — = fc 5*^ 0 a-.o a sonsuz küçüklerdir. Tanım 1. ÖRNEK 1. ve p ayni mertebeden sin 3a; = 3 ve sin 3a; a5mi mertebeden sonsuz küçüklerdir. Tanım 2. denir ve a a = ic ve p = sin 3a; ve x asal sonsuz küçük olsun. 1i m ;r-.0 olarak x ise a'^p ÖRNEK 2. Yüksek Matematik I 8 denk sonsuz küçüklerdir 1 i m — = 1 ise a ve a o ® şeklinde gösterilir. a; 0 olarak a = a; , p = sin a; ise F. 15 226 Sonsuz küçükler . . sincap . 11 m ------- = 1 olup X ve sin x Tanım 3, denk sonsuz küçüklerdir. 8 , a ise a -► o ® mertebeden sonsuz küçüktür denir. ÖRNEK 3. 1i m — = 0 X- 0 1i m x-^0 olup sinâ? ^ x Tanım 4. olarak sin^ X ya nazaran daha yüksek a = a? , p = sin^ x 1i m :.-.0 sin X i» ise sin ac = 0 e nazaran daha yüksek mertebeden sonsuz küçüktür. l i m — = 0 a l i m - ^ = / c 5*s0 a' ve ise Ş , a ya nazaran n. mertebeden sonsuz küçüktür denir. ÖRNEK 4. y = ise Ay = (x -h Ax)^ — x^ Ay = 3 a5^. Ax + 3a?. (Aa?)^ + (Aa?)^ olup Ax->0 halinde Ay-^0 olarak Ay= f(A x) çüktür. lim A at-*-0 şeklinde bir sonsuz kü 4 ^ = 1 i m [3a:* + 3a:. Aa: + (Aa:)*] = 3a:* A x*0 dir. Bıma göre x ^ 0 ise Ay ile Ax ayni mertebeden sonsuz küçük lerdir. a?=0 ise Ay f Ax den daha yüksek mertebeden sonsuz küçük tür. a?=0 halinde, Ay = (Ax)^ 1i m Ax -*■0 olarak Ay,Aa? _ Ay {A X ? e nazaran üçüncü mertebeden sonsuz küçüktür. Bir sonsuz küçüğün asal kısmı. lim (3 a' = k Sonsuz küçüklerin mukayesesi 227 ise 10.1, TEOREM 1 e göre 4 a"- = f c + E yazılabilir, e burada asal sonsuz küçükle birlikte sıfıra yaklaşan bir sonsuz küçüktür. Buradan P = fc a" + £ a" olur. Bu ifadedeki ka" terimine p sonsuz küçüğünün asal kısmı de nir. p sonsuz küçüğünün fea” ve e a" terimleri mukayese edilirse , . e a" ,. £ 11 m -z— - = hm — '«a * 0 olarak ea" terimi e nazaran daha 5diksek mertebeden bir sonsuz küçüktür. Buna göre, asal kısım, sözü geçen sonsuz küçüğün en küçük mertebeli terimidir. Kolayca ispatlanabilir ki hir sonsuz küçükle asal kısmı denk sonsuz küçüklerdir. Gerçekten 3 11 m a-o = 11 m och-O fca"+£a" ka: il". * t )=1 olarak p ile /ca” denk sonsuz küçüklerdir. ÖKNEK 5. çüktür ve X asal sonsuz küçük ise tg x de bir sonsuz kü ,. tg a; , . sin x 1 11 m — = 11 m ------- •------ = 1 ^ ^ cosa; olarak tga? in asal kısmı x lerdir. ÖRNEK 6 . X dir ve tga? ile x denk sonsuz küçük bir sonsuz küçük olduğuna göre 1 i m ( 1 —cosa ?)= 0 AT o olarak 1 —cosa? de bir sonsuz küçüktür. 1 - coş X 1i m X x^0 olup l~cosa?^£C ğer taraftan 2 sin^ 1i m 0 X X X sın 2 . X ^ = 1i m - — sın — = o X 2 a: - o den daha yüksek mertebeden sonsuz küçüktür. Di 228 Sonsuz küçükler sın cos X ,. 1 - = 11 m X* 1i m ATH- o olarak l —cosccâ? e göre ikinci mertebeden sonsuz küçüktür. Buna gö re asal kısım X" dir. 10.1, TEOREM 1 e göre : 1 — cos X x^ 1 — cos X y + E dir. TEOREM 1. a. ve ^ denk sonsuz küçükler ise a,—§ farkı burulann herbirinden daha yüksek mertebeden sonsuz küçükdvr. Gerçekten 1i m a-> o olarak a -3 — <x—p , a ÖRNEK 7. « ( l - — ) = l - l i1 m 3 = 1 - 1 = 0 aÔ l «/ a- 0 = lim ya nazaran daha yüksek mertebeden sonsuz küçüktür. X^ 0 1i m halinde a = a? , p = £c + a;^ = 1 i m (1 + X AT -> 0 sonsuz küçükleri = 1 olarak denk sonsuz küçüklerdir. Buna göre P - a = a?3 ve 1 i m a;^ = 0 1i m ^ ^ = 1i m “ a-^ U AT-+-0 0 ^ X -*■ o ^ olarak p—a farkı a ya nazaran daha yüksek mertebeden sonsuz kü çüktür. TEOREM 2. a ve p sonsuz küçüklerinin farkı olan a —p son suz küçüğü a ve p ya nazaran daha yüksek mertebeden bir sonsuz kü çük ise a ve p denk sonsuz küçüklerdir. Problemler 229 Gerçekten a—Ş daha 3diksek mertebeden ise , 1. m --------a - 3= O 1 a->0 a dir. Buradan 1 = O l i m f l —— ] = 1 — l i m -— a^ O l ^j CL o a lim — = 1 a->0 a elde edilir ki bu p ile a nın denk sonsuz küçükler olduğunu gösterir. ÖRNEK 8 . x-ôo halinde ûJ + 1 a = — ve . 1 p= X sonsuz küçükleri denk sonsuz küçüklerdir. Zira a - S= ^ ^ _ 1_ x^ ve 1 . a- 3 1 1 m --------- = 1 1 m a X <X> X -*■ 00 x^ o; + 1 x"^ = 1i m ,v 00 X -\ -l = O olup a —3 , a ya nazaran daha yüksek mertebeden sonsuz küçüktür. O halde TEOREM 2 ye göre a ve p denk sonsuz küçüklerdir. 10. BÖLÜME AÎT PROBLEMLER. X asal sonsuz küçük olduğuna göre aşağıdaki sonsuz küçüklerin mertebele rini ve asal kısımlarını bulunuz. 1) tg AT— sin 2) Arcsin x Cevap. 3) Arctg A' Cevap. * * X 4) log (1 + x) Cevap. > » X 5) e* — 1 Cevap. * * X asal kısım x 230 Sonsuz küçükler 6) shx Cevap, asal kısım x 7) c h x - l Cevap. 8) th^r Cevap. 9) X sin X Cevap. 10) sec X — cos AT Cevap. » * y.2 _ 11. BÖLÜM DİFERANSÎEL 1 1 - 1 Diferansiel tanımı y = f ( x ) fonksiyonu, [a^h] aralığında türevi haiz bir fonksiyon olsun. Bu fonksiyonun aralığın herhangibir noktasındaki türevi 1 i “ Ax = /'(®) Ax-^0 bağıntısı ile tanımlıdır. Ay oranı Aoî-^0 halinde f'(x) gibi bir li mite yaklaşmakta olduğundan f'{x) türevinden bir sonsuz küçük kadar farklıdır. (10.1-TEOREM 1 e bakınız). Buna göre yazılabilir, e, 1 i m e = 0 eşitliğini sağlıyan bir sonsuz küçüktür. Bu Ax -►0 eşitliğin her iki tarafı Ax ile çarpılırsa Ay = / ' (a?) Ax + t . Ax elde edilir. Böylece, gözönüne alınan noktada f(x)^ 0 kabul edilirse, 232 Diferansiel fonksiyonun bağımsız değişkenin Aa? artımına karşılık olan Ay ar tımı, iki kısımdan meydana gelmiştir. Birinci kısım, f'{x) Ax olup Ax e nazaran lineerdir. İkinci kısım ise Ax le birlikte sıfıra yaklaşan £ sonsuz küçüğü ile Ax in çarpımından ibarettir. Ax bir sonsuz küçük yani sıfıra yaklaşan bir değişken ise Ay de bir sonsuz küçük olur. /'(o?)^ 0 ise Ay ile Ax ayni mertebeden sonsuz küçüklerdir. Ay nin ikinci kısmı olan z . A x , 1• ^ •Ax , . ^ 1 1 m — :-----= 1 1 m e = 0 Ao; 0 Ax-^0 olarak, Ax e göre daha yüksek mertebeden sonsuz küçüktür. Buna gö re Ay nin birinci kısmı olan f'{x) Ax ifadesi bu sonsuz küçüğün asal kısmıdır. İste Ay artımının asal kısmı olan f'(x) Ax e y = f{ x) fonk siyonunun diferansieli denir ve işaretle dy = d f ( x ) — f'(x) Ax şeklinde gösterilir. f{x)=x ise d f (x ) = do? = 1 . Aa; = Air olur ki bu da bize, bağımsız değişkenin diferansielinin, bu değişkenin artımına eşit olduğımu gösterir. Bu takdirde, y = f i x ) in diferansieli ifadesinde Air = dr eşitliği gözönüne alınır ve desi Air yerine diT yazılırsa, diferansiel ifa- dy = /'(ir) diT olur. Diferansiel ifadesinden yazılabilir. Bu da, y = f { x ) fonksiyonunun türevinin, fonksiyonun di feransielinin bağımsız değişkenin diferansieline oranına eşit olduğunu gösterir. O halde, daha evvel türev işareti olarak gösterilmiş olan in bir bölüm ifade ettiğini söyliyebiliriz. diT Diferansiel tanımı 233 Tekrar Ay = f i x ) Aa; + e . Ax bağıntısına dönelim ve bu bağıntıda takdirde f'(x) ^x yerine dy yazalım. Bu Ay = dy + e . Ax veya Ay — dy = s., Ax elde edilir ki bunlar da Ay artımı ile dy diferansielinin birbirin den farklı ve aralarındaki farkın Ax ve Ay ye nazaran daha yüksek mertebeden sonsuz küçük olduğunu gösterir. ÖRNEK 1. hesaplayınız. y = f ( x ) = x ^ —6x için Ay , dy ve Ay—dy yi Ay = f(x + Aa?) — f(x) = [ix + Aa?)^ — 6(x + Aû?)] — (x^ — 6x) = x^ + Sx^ Ax + 3x(Ax)^ + (Aa;)^ — 6a; - 6 Aa; — a:^ + 6a; Ay = (3a;^ — 6) Aa; + 3a;(Aa;)^ + (Aa;)^ dy diferansieli Ay niri asal kısmı olup dy = (3a;2 — 6 ) Aa; = {3oc^ — 6 ) da; ve Ay — dy = 3x (Ax)^ + (Aa;)^ dir. ÖRNEK 2. x = l y Aa;=0,01 ve Ay y dy ve Ay—dy yi hesaplayınız. Ay = {x f(x)=x^+3x olduğuna göre Aa;)2 + 3(a; + Aa;) —a;^ — 3a; Ay = 2a; Aa; + (Aa;)^ + 3 Aa; Ay = (2a; + 3) Aa; + (Aa;)^ = 5.0,01 + (0,01)2 Ay = 0,05 + 0,0001 = 0,0501 ve dy y Ay nin asal kısmı olup dy = {2x + 3) Aa; = 0,05 dir. Ay — dy = 0,0001 234 Diferansiel olup di/=0,05 yanında ihmal edilebilirse Ay ^ d y olacağı görülür. 1 1 - 2 Diferansielin geometrik anlamı y=f(x) fonksiyonun [a ,h] üzerinde herhangi bir P(a?,ı/) noktasını gözönüne alalım. Şe kil 89. X e bir Aa? artımı ve relim. Buna karşılık y nin al dığı artım ^y olsun. Bu suret le Q(a?+Ao;, ı/+Aı/) nokta sı elde edilir. Şekilden aralığına ait eğrisini ve bu eğri- Ay = MQ dür. P noktasındaki teğeti çi zelim. Bu teğet MQ 501 bir R noktasında kesmiş olsun. Aa? yeter derecede küçük seçilirse MR ile MQ uzunluklarının birbirine çok yakın değerlerde olacağı şekilden kolayca görülebilir. Eğrinin P noktasındaki eğimi ve PM—^x den MR = f ( x ) L x yazılabilir. İkinci taraf duğuna göre : y=f(x) fonksiyonunun dy diferansieli ol MR = dy dir. Buna göre dy diferansieli, y = f { x ) eğrisinin P { x , y ) noktasmdaki teğetinin, x in Ao? artımına karşılık olan y ordinatının MR artımından ibarettir. Yukarıda da açıklandığı gibi Diferansiel kuralları 235 Ay — dy = MQ — MR = RQ Ax ve Ay ye göre daha yüksek mertebeden sonsuz küçüktür. 1 1 - 3 Diferansiel kuralları y=f(x) fonksiyonunun diferansieli dy = / ' ix) dx olduğuna göre, türev yardımiyle, fonksiyonların diferansiellerinin ko layca hesaplanacağı anlaşılır. Daha evvel çıkarılmış olan türev kural ları diferansiel için de doğrudur. Bu kuralların ifadelerinde, türev yerine diferansiel kelimesinin yazılması suretile, diferansiel kuralları elde edil miş olur. ÖRNEK 1. !ki fonksiyonun toplamının diferansieli bunların diferansielleri toplamına eşittir. Grerçekten d(w + u) = ^ (w + u) da? da? da; dxj da; dv da; daj d {u + v) = du + du dir. ÖRNEK 2. îki fonksiyonun çarpımının diferansielinin d{u v) = u dv -{■ V du olduğunu gösteriniz. d(uv) = {u^ V u v ' ) dx — u'V d x -{■ u v ' d x ve tanımdan u' dx = du ; u' da; = dv olarak d(wv) = V du bulunur. udv 236 Diferansiel Bir fonksiyon fonksiyonunun diferansieli. y = f ( u) , u = (p (x) olarak y = f[(pM ] fonksiyonunu gözönüne alalım. dy = fa(u) . ç i x ) dx olarak dy = Tu (w) cp'{x) dx yazılabilir. Diğer taraftan ^'{x) dx = du olarak dy = f { u ) dw bulunur. ÖRNEK 3. y = {a~ — x^)^ den dy diferansielini hesaplayınız, dy = 5 { —2x) {a? — dy = —Wx{a?—x^Ydx veya dy = b{a?—oc^y d(a^—x^) dy = 6{a^—x^)* { —2 x ) d x dy = —lQx(a?—xi^ydx dir. ÖRNEK 4. y= ^ JL — X -f io g (l — x) den dy diferansielini he> saplayınız. dy =[ (1 +l og x) (1 — x) + X l o g X (1 - xT _ , 1 + log ar - a; dî/ = |— 1— 1 1 —X dx loğa; da; Diferansiel kuralları 237 11.3 - 1. Diferansiel tablosu. y = u-\-v—w Ğy = d u + d v —dil? y = uv &y = V dw+w dv y = ^ u — V , V dw—u dv y = 6y = n y = a^ &y = a'^ log a dw &u &y ~ dw dw y = loğu di/ = y = sin u &y ~ cos u dw y = cos u 6y — —sin u du 2/ = tgw dy = secû du y = cotg u dy = —cosec^w du y = sec u dy — sec u t g u d u y = cosec u dy — —cosec u cotg u du y = Arcsin u dy = y = Arccos u dy - y = Arctg u dy - 2/ = sh w di/ = ch u du y ~ oh u dy = sh u du y = t\iu dy = w du \/l—u^ —du \ h —u^ du 1 + 1? du ch^ u 238 Diferansiel 1 1 .3 -2 . Kapalı fonksiyonların diferansîelleri. f(^^y)=0 şeklindeki kapalı fonksiyonların diferansielleri, bu fonksiyonların türevlerinin hesabında takip edilen yolla hesaplanabilir. Bunun için de her iki tarafın diferansielleri eşitlenir* ve elde edilen ifa deden aranan diferansiel çözülür. Kapalı fonksiyonların türevleri dife ransiel alma yolu ile de daha kolayca elde edilebilir. ÖRNEK 1. 3C!^+2xy—y^=0 dan dy diferansielini hesaplayı- nız. 2x dx + 2y dcc 4- 2x dy — 2y dy = 0 (a? + y) da? + (a? - y) dy = 0 olup dy = ^ - - dx y-X y + a; y -x da; dir. ÖRNEK 2. layınız. y ( 1 + tg a;) —sin a;= 0 dan dy diferansielini hesap- ( 1 + tg x) d y + y secâ? da;—cos a; da; = 0 ( 1 +tga;) dy = (cos a;"-y secâ;) da; , cos a; - y secâ; da; ‘^3'= — ÎT ti-*— ÖRNEK 3. p^—a^ cos 20 = 0 dan dp diferansielini hesaplayınız. 2 p dp + 2a^ sin 20 d 0 = 0 , a2sin20 d p = -------------- d 0 1 1 - 4 Yüksek mertebeden diferansieller, y=fix) fonksiyonunun diferansieli dy = f'(x) dx ifadesi de a; in bir fonksiyonudur. Fakat burada yalnız f'(x) çarpanı Yüksek mertebeden diferansieller 239 X e bağlıdır. İkinci çarpan olan dXyX bağımsız değişkeninin artımı olup X e bağlı değildir, dy diferansiyeli x in bir fonksiyonu oldu ğuna göre, bunun da diferansielinden bahsedilebilir. Bir fonksiyonun diferansielinin diferansieline, bu fonksiyonun ikinci mertebeden diferansieli denir ve d ^ ile gösterilir. Buna göre d^y = d (di/) = [f'(x) dx]'dx yazılır. dx , x O halde e bağlı olmadığına göre türev işareti dışına çıkarılabilir. d?y = f " { x ) (da?)2 dir. Parantezleri kullanmamak için (da?) 2 yerine şekilde (da;)^ yerine da?^ yazılır, vb. da?2 kullanılır. Ayni Üçüncü mertebeden diferansiel, ikinci mertebeden diferansielin di feransieli olup d^y = d{d?y) = [/"(a?) da?2]' da? = /'"(a?) da?^ dür. Grenel olarak, n yinci mertebeden diferansiel den diferansielin diferansielidir. O halde (n—1) ci mertebe d^y = d(d"“ ^ı/) = [/^"“ ^^(a?) da?”“ ^]' da? d”y = (a?) da?" dir. ÖRNEK 1. y=cos5x d^y = (y") da?2 , den d?y yi hesaplayınız. y' = —5 sin 5a? , y " = —25 cos 5a? d2y = —25 cos 5a? da?2 olup dir. ÖRNEK 2. . 2? = a?2 e""*" den d^z i hesaplayınız. d^ 2: = z"' da?^ ve 2?'= 2â? - a?2 e~' ; z " = 2e“ * - 4a; e -* + x^ e“ * 2?'"= - 6 e“ ^ + 6a? e“ "^ - xê~^ olup d^g? = ( - 6 + 6a? - a?2) e~" da?^ dir. 240 Diferansiel 1 1 - 5 Yaklaşık hesapta diferansielin kullanılması y=fi^) fonksiyonunun x in \x in artımına karşılık artımının Al/ = f(cc) Ax + e ^x veya Ay = dy -h z Ax olduğımu biliyoruz. A 3mi şekilde Ax bir sonsuz küçük ise Ay ile dy arasındaki Ay—dy farkının Ax ve Ay ye nazaran daha yüksek mer tebeden sonsuz küçük olduğunu da görmüştük. Diğer taraftan £ . Ax At/ __ Aat- 0 A x-.0 /'(» ) /(») = 1 olup Ay ve dy denk sonsuz küçüklerdir. Bu sebeplerle, AXj yeter de recede küçük olduğu zaman, z Ax , dy yanında ihmal edilebilirse Ay ^ dy alınabilir. Bu da bize f(x -\ -A x) -f{ x) ^ .f '( x ) Ax de görüldüğü gibi, artımların hesabının, diferansieller yardımiyle hesabı na imkân verir. Bu da hesapları bir hayli kolaylaştırır. Zira, Ay lerin hesabı yanında dy diferansiellerinin hesabı daha kolaydır. ÖRNEK 1. Bir kenarı 3,01 cm olan bir kübün hacminin yaklaşık değerini bulunuz. Kübün hacmi V = x^ olup x = 3 için K = 3^ = 27 cm^ dür. X e Aa?=0,01 cm artımı verilirse kübün hacmındaki artım AV ka dar olacaktır. Ax yeter derecede küçük olup AV ^. dV = 3x^. Ax = 3 0,01 = 0,27 cm^ dir. Buna göre 3,01 cm kenarlı kübün hacmi : V + A V = 27+0,27 = 27,27 cm^ dir. X = 3,01 alınırsa V = x ^ = (3,01)3 = 27,270901 cm^ Yaklaşık hesapta diferansielin kullanılması 241 bulunur ki gerçek değerle yaklaşık değer arasındaki farkın çok küçük olduğu kolayca görülür. ÖRNEK 2. nin değerini yaklaşık olarak hesaplayınız. y = f { x ) = ^y/x ve X = 625 kabul edilirse V ^ bulunur. takdirde = 5 V 627 yi hesaplamak için x e Aa; = 2 artımını verelim. Bu iıı artımı Ay = + 2 — ‘*y/x olup \ fx + 2 = ^\/x + Ay \ / 6^ = V 6^ -h Ay = 5 + Ay olacaktır. Diğer taraftan A y ^ d y = j - x (3'^). Aas = .2= = 0,004 olup '\/627 = 2/ + A ı / 3 3 / + dî/ = 5 + 0,004 = 5,004 dir. ÖRNEK 3. 10 cm yarıçaplı bir kürenin yarıçapı 0,1 cm arttırı lırsa hacmi ne kadar artar? F = ve AV s d F = 4Ttr^ Ar A V ~ 4 ı t . l 0 ^ . 0 , l = 40TC cm^ bulunur. ÖRNEK 4. Diferansielden faydalanarak y = logıoO? olsun. X ve logıo997 yi hesaplayınız. x — 1000 e Aa? = —3 artımı verilirse 2/+ A i/ = logıo(a?+Aa?) = logıo997 A At/ = dy = Yüksek Matematik I 1 logio e = , ® - 3 X 0,43429 1000 nnnion “ “ 0,00130 F. 16 242 Diferansiel logıo997 = y + A y = logıolOOO - 0,00130 = 3 - 0,00130 logıo997 = 2,99870 bulunur. Bu sonuç tablodan bulunan değerin a5midir. Küçük hatalar. Genel olarak bir u değerinin ölçülmesinde veya hesabında bazı ha talar yapılır. Gerçek değer u ve Ölçülen veya hesaplanan değer Uı ise u—Uı=Âu yapılan mutlak hata yı verir. Ancak, hata hesabmda mutlak hatadan daAu bağıl hatası kul ha çok, mutlak hatanın gerçek değere oram olan u lanılır. Bu hesaplarda Au mm bulunması güç olduğundan, bunun bir yaklaşık değeri sayılabilecek dw diferansielleri ile hesap yapılır. Buna göre bağıl hata Au _ dw u ~~ u olur. Çok defa, bağıl hatayı doğrudan doğruya belirtmek için esas değe rin logaritması alınır ve sonra her iki tarafın diferansielleri eşitlenir. Gerçekten d(log y) = y dir. ÖRNEK 1. Bir kürenin yarıçapı 0,02 cm hata ile 10 cm olarak ölçülmüşse V hacminin hesabında yapılan bağıl hata nedir? olup dir. Burada dV = 47:r^ dr r = 10 , dr = Ar = ± 0,02 A V c ^ d V = ^Tz. 10^ . dir. Bağıl hata ise, AF olup mutlak hata ( ± 0 , 02 ) = ±8 k AF = 87: kabul edilirse dF 8 tz TZ.IO^ = 0,006 = % 0,6 Yaklaşık hesapta diferansielin kullanılması dır. dV 243 yi hesaplamadan da 4 TT a ve log V = log — TT-f 3 log r o den ■Ç = 3 = 3. ^ = 0,006 = % 0,6 bulunabilir. ÖRNEK 2. yerine 0,01 den küçük olabilmesi için x alındığı zaman yapılan hatanın hangi değerleri almalıdır? hata = Al/ = ^sjx + 1 — V X Ay s dî/ = 4 - cc-(2/3) < 0,01 o a;-(2/3) < 0,03 a;2/3 > > 10^ 3" 1 ^100 0,03” 3 103 x> 3y/3 1732 9 a;> 192 olmalıdır. ÖRNEK 3. Bir açı 10' hata ile ölçülebiliyor. Bu açının sinüsü nün hesabında yapılacak hatanın 0,001 den küçük olabilmesi için, açı nın hangi değerlerde bir dar açı olması gerektiğini bulunuz. y = sina; Ay , Ay = sin (oj+Aa:) —sin ir dy = cos ir do? < 0,001 dic = Air = 1 0 '= o = 0,0029 rad. 0,0029 . cos İT < 0,001 244 Diferansiel £c>69“ 50' 11-6 Yay uzunluğunun diferansieli y = î ( x ) fonksiyonu, sürekli ve türevi haiz tek değerli bir fonksi yon olsun. Bu fonksiyonun gösterdiği eğri üzerinde alınan sabit bir A noktasından, hareketli bir P{ Xyy) noktasına kadar ölçülen eğri yayı nın uzunluğunu s ile gösterelim ve x artarken 5 in arttığını kabul edelim. x in bir Ax artımına karşılık yay uzunluğundaki değişme PQ=As olsun. (Şekil 90). A 3n?ıca : M PQ rr. 0 PQ kabul edelim. Şekilden İAxy+{Ayy olup birinci tarafı (Asy ile çar pıp böler ve her iki tarafı da (Aa?)2 ile bölersek PÇ2 (As)^ (As)^ {Axf (Aa;)^ + ( A y ? (A!»)2 ^ _j_ elde edilir. Ax-^0 halinde PQ-^0 olarak 1 1 m PQ-.0 ve 1i m Ax^0 PQ As As Ax ^ = 1 Yay uzunluğunun diferansieli 245 elde edilir. Bu ifadeden de, y —f {x ) kartezyen denklemi ile verilmiş bir eğrinin, herhangi bir noktasındaki ds yay diferansieli için veya ds^ = dflc^ + dy^ ds = \/da?^ + dı/2 formülleri elde edilir. ÖRNEK 1. yınız. + 2/2/3 = a^/3 eğrisi için yay diferansielini hesapla a;2/3 + 2/2/3 = a 2 /3 den 1/3 ve = (f)' bulunur. ÖRNEK 2. 2/ = o?2 eğrisi boyunca, taları arasındaki yay uzunluğunu bulunuz. As olup a;=3 ve As ( 3 ,9 ) ; (3,01 ; 9,0601) nok ds = V I + y'" da; = V I + Aa;=da7=0,01 ^ için V l + 3 6 .0,01 = V 3 7 .0,01 = 6,08276 X 0,01 246 Diferansiel As £^0,0608 dır. Parametrik denldemlerâe yay diferansieli Eğer eğri miş ise parametrik denklemleri ile veril PQ^ = (AxV + (AyV (As)2 (As)2 ' {Aty l2 PQ^ / * .. \2 /AyV I At / [AtJ olup buradan da lim A/-*, o \ As I [At] 1i m At-^0 d^ dt ds ~dt = V (S H f)’ elde edilir. ÖRNEK 3. Parametrik denklemleri a?=acos^9 olan eğri için ds yay diferansielini bulunuz. ^ = — 3a cos^ 0 sin 0 d0 , 2/= a s in ^0 = 3a sin^ 0 cos 0 olarak ds = v^( - 3a cos^ 0 sin 0)^ + (3a sin^ 0 cos 0)^ d0 ds = v^9a^ cos^ 0 sin^ 0 (cos^ 0 + sin'*^ 0) d0 ds = 3a cos 0 sin 0 d0 dır. Kutupsal koordinatlarda yay diferansieli Eğri p=/(e) kutupsal denklemi ile verilmiş olsun. Eğri üzerin- Yay uzunluğunun diferansieli 247 de sabit bir A noktasından hare ketli bir P (p ,0 ) noktasına kadar ölçülen yay uzunluğunu s ile göste relim ve 0 artarken 5 in arttığını kabul edelim. 0 nın bir A0 artı mına karşılık yay uzunluğundaki değişme PQ=As a o Şekil 91 olsun. Ayrıca 1 i m PQh.O As olduğunu kabul edelim. (Şekil 91). Şekildeki PQR den : PQ- = PR^^ + RQ^- olup PR = p sin A0 , RQ = (p + Ap) - p cos A0 olduğu gözönüne alınırsa PQ^ = (p sin A0)2 + (p - p cos A0 + Ap)2 ve yukarıda yapıldığı gibi PQ2 (As)^ _ / sin A0 Y , i P(1 —cos A0) + + (As)2 ■ (A0)2 A0 Ad J (âbF " ! 'V'"" A0 yazılır, A0H.O A0->O l veya elde edilir. halinde limite geçilirse A0-.-O f sin A0 y Ad Y I â -I) + I rP—T A0“ sın A0 2 P -^ 0 “ . A0 ,A p ® * ° T ‘* ' Â 0 248 Diferansiel ÖRNEK 4. Kutupsal denklemi yay diferansielini bulunuz. p = a ( l —cos0) olan eğri için dp = a sin 0 d0 olup ds = \/a^(l — cos 0)^ + sin^ 0 d0 = \/a\l — 2 cos 0 + cos^ 0 + sin^ 0) d0 ds = a \/2(l — cos 0) d0 = a y /4 sin^ ^ d0 = 2a sin d0 elde edilir. 11. BÖLÜME AİT PROBLEMLER. Aşağıdaki fonksiyonların diferansiellerini hesaplayınız. 1. y = ( 5 - x y dy = — 3(5 — Af)^dAf 2. y = dy = o 3. y = 4. y dAr S ac _ sin ------;»r = a:^ dy = — 2bx sin bx^ dx COS bx" _ — 2dAT 5. y = Arccos 2x dy 6. y = log tg X dy = 7. y = (* 2 -l)e «’ dy = 2 a:^ 8. y dy = dAT ^ l-x- = Arctg t y = log X vr a V/1 - 4at2 dy = x — a 10. y = log (log Af) dy __ - 2dAT sin __ 2 a: dA: 2a dA: x^-a^ dA: X log X Problemler 11. y = cos a: (sin- X + 2) 12. y — :c*Arctg lâ log (1 + dy = — 3 sin^ X d^r dy = Arctg X dx 13. yâ^^ dy = 14. dy = y — Arctg Ârcsin — 249 b y x^~ ^ log a dA: 1 dx 1 + (Arcsin f j 15. g = J ) — İ !L dAT V 1 + v'x 2\/x i x - 16. 5 = e’ 17. v = d^ e» = e*‘" * sin 2 at dAT _ e*" (2a*2- 1) dAT 18. y = Arcsin (cos x) d^ = — d.v 19. = dr^= 2 dy 20. y = Arcsin e* 21. y _ 1 + e*'2 1— 22. 23. = V^l — ;r Arcsin Vâ: — v/;c y 1) _ dAT e^dx V'l — 2V^1 —AT = Arctg Ac* 24. y = e^* + Arcsin 2x 25. y — cos^ 2 at + sin Zx 26. y = x^ log X dı^ = (— 2 sin 4;e + 3 cos 3x) dAr d^y _ ( - l)“-i2 (n -3 )! dA* 250 Diferansiel 27. y = xe^ d “y = (n + :r) e* dY " 28 . y — x log^ X d V = — (1 + İ 0 g j : ) d x 2 Y 29. y = 3 sin2 — d^y = A COS Y dY“ 30. y = .\*2 e “ * d*y = e ” "^ ( y - — 4 y + 2) dY- 31. y = lo g - - d3y = — 2 Y "3 d Y ^ X 32 . y3 - Ary - 1= 33 . lo g (.Y^ + y2) = d2y — “ ^ dx^ ^ (3 y 2 -x )3 0 10(.^ ^ Y d^y = 34. e* -t- ey = 4 35. y = e* “ sin (y s in a ) 36. y = /( y) = C evap. 37. Y= 38. 1 , Ay = x = — 3 C evap. 39. 4- — Y y Ay = 0 ,0 1 Ay ^ iç in y = 0 ,0 3 0 2 , d y = A x = -îc ~ 18 , d “y = o ld u ğ u n a g ö r e A y - A x - ^ C evap. + y ^ ) d .,2 i x - 2y)3 A rc tg dy = - - = 36 Ay , dy — 4 e*“ 2y dY^ e* ve * sin ( y sin a + « a ) dY" Ay — dy yİ h e s a p la y ın ız . ; dy - 2y ^ — y d e n A y v e d y y i h e s a p la y ın ız . 0 ,0 3 - in--------------iç y = s -ı n x den dy d ife r a n s ie lih i h e s a p la y ın ız . 0 ,0 8 7 3 logio 20 0 = 2 ,3 0 1 0 3 o ld u ğ u b ilin d iğ in e göre logio 2 0 0 ,2 n in y a k la ş ık d e ğ e r in i b u lu n u z . C evap, logio 2 0 0 ,2 = D ife r a n s ie ld e n 2 ,3 0 1 4 6 fa y d a la n a r a k a ş a ğ ıd a k i ifa d e le r in y a k la ş ık d e ğ e r le r in i b u lu nuz. 40. V l7 C evap. 2 ,0 3 1 2 5 Problemler 41. VÎÖ2Ö Cevap. 3,99688 42. cos 59® Cevap. 0,5151 43. tg 44® Cevap. 0,9651 44. sin 60® r Cevap. 0,86618 45. cos 61° Cevap. 0,485 46. e®.2 Cevap. 1,2 47. logio 0,9 Cevap. — 0,045 48. Cevap. ~ + 0,025 = 0,81 4 Arctg 1,05 251 49. Bir kürenin yarıçapı 10 cm den 9,8 cm ye düşürülürse hacmındaki ve yüzey alanındaki azalmayı yaklaşık olarak hesaplayınız. Cevap. A l / — 80 71 cm^ ; A5 — 16 t: cm^ 50. 15 cm yarıçaplı bir kürenin yarıçapı 2 mm arttırılırsa hacmi ne ka dar artar. Cevap. A K = 565 cm^ 51. A;f mutlak değer bakımından yeter derecede küçük olmak şartıyla \Jx + X+ A a: = 2^Jx olduğunu gösteriniz ve bu formülden faydalanarak V^5 * yjll » v^70 » V^640ın yak laşık değerlerini bulunuz. Cevap. v'5«2,25 ; v^Î7 « 4,13 ; 52. V-v + A;c « « 8,38 ; « 25,3 olduğunu gösteriniz ve bu formülden faydasV a- lanarak VlO > VÔ , V 2OO in yaklaşık değerlerifîi bulunuz. Cevap. V îÖ «2 ,1 6 ; V^Ö « 4,13 ; V ^ O « 5,85 53. lunuz. X — 1,03 için y = x^ — Ax"^ + + Z fonksiyonunun yaklaşık değerini bu Cevap. 5 54. x = Qy2 için y = v^l -|-:r in yaklaşık bir değerini bulunuz. Cevap. 1,1 252 Diferansiel 55. ;ı- = 0,1 İçin Cevap. .Y İn yaklaşık bir değerini bulunuz. fix) 0,93 56. X = 1,05 için Cevap. - y = e 2 * nin yaklaşık bir değerini bulunuz. 0,9 57. Bir karenin kenarı 0,01 cm den daha küçük bir hata ile ölçülebilmek tedir. Bu karenin alanının 2 cm- den daha küçük bir hata ile hesaplanabilmesi için karenin kenarı hangi büyüklüklerde seçilmelidir. Cevap. X < 100 cm 58. Bir kübün bir kenarı 0,05 cm hata ile 7,49 cm olarak ölçülmüştür. Hacminin hesabında yapılacak bağıl hatayı bulunuz. Cevap. °/o 2 59. Bir kürenin çapı, 0,1 cm hata ile 6 dm olarak ölçülmüştür. Hacminin hesabında yapılacak maksimum hatayı bulunuz. Cevap. 204 cm^ Aşağıda denklemleri verilmiş eğriler için yay diferansielini hesaplayınız. 60. Y^ -f d s = — dY 61. 4 + ^ = 1 ds = = A. 4 / A z ı f A dY ay — y^ 62. ds = — o* *2 y^ — 2p x + y^ dY 63. ;»-2'3 4-y2/3 = a2/3 d ..y | 64. y = ds = ch — dY a ch — dY a == a (0 — sin 0) 65. y = a (1 Y — COS 0) ds = 2a sin — d0 ds = 12 dt = 3 COS 4t 66 . y = 3 sin 4t 2 Problemler 253 x — a COS 0 67. d» = a d0 y — a sin 0 68. p = a^ ds = aV^l + <f>^d <t> 69. p = A 9 ds= — vr+~^d<A P* 70. p = a sec2 — . 2 ds = d0 cos^ 71. p = acos2 ds = 72. p= ds = p\/l + (logla)2 d0 73. p2 = a '' COS 20 ö COS — d 0 2 ds = ^d0 P 12. B Ö LÜ M EĞRİLİK EĞRİLİK YARIÇAPI EĞRİLİK DAİRESİ b a s it , MEBSUT 12-1 Eğrilik tanımı ve kartezyen denklemi ile verilmiş bir eğrinin eğriliği y = f i x ) denklemi ile verilmiş bir eğri gözönüne alalım. y = f { x ) in ilk iki mertebeden türevlerinin mevcut ve sürekli olduğunu kabul ede lim. Eğri üzerinde herhangi bir P { x , y ) noktası ile Q(o; + Aa?, y + Ay) noktalarını gözönüne alalım. PQ öyle bir eğri yayı olsun ki değme noktası P den Q ye kadar yer değiştirdiği zaman teğetin doğrultusu hep a3mi yönde değişsin. Yayın iki uç noktasından, ayni yönde çizilen teğetler PT ve Q T olsun. Şekil 92. PQ yayının eğriliği diye, iki uç noktasındaki teğetlerin teşkil ettikleri açıya denir, PT nin eğim açısı a ve Q T nün eğim açısı a + Aa olarak PQ yayının eğriliği Aa dır. Bu açının PQ PQ = As ise yayının uzunluğuna oranı ortalama eğrilik adını alır. Kartezyen denklemi ile verilmiş bir eğrinin eğriliği 255 Aa ortalama eğrilik = — dir. Q noktasının P noktasına sonsuz bir şekilde yaklaşması halinde ortalama eğriliğin limitine eğrinin P noktasındaki eğriliği denir. Q noktasmın P noktasına yaklaşması Acc in sıfıra yaklaşması ile müm kün olduğuna göre ŞekU 92 P noktasındaki eğrilik = l i m ^ = ^ = A :. h- o 'İS da dır. O halde y = f ( x ) riliği dir. P eğrisinin herhangibir P ( x , y ) noktasmdaki teğetin eğimi tg a = y' olup a = Arctg y' dir. Buradan türev alınırsa : da ^ y' da? 1 + 3/'^ bulımur. Diğer taraftan noktasındaki eğ 256 Eğrilik — dx = V^l + y'^ olup da da __ _ ds ^ do? y 1 + y '2 \/l + 2/7 '2 da _ ^ _ t/d« (1 + î/'2)3/2 elde edilir. Buna göre d ?y rr _ _ y “ 3 /2 (1 + h ö?y dir. Bu da gösteriyor ki & î ] türevinin mevcut ve sürekli olduğu bir noktadaki eğrilik, bu formül yardımiyle hesaplanabilir. X e göre türev almanın zahmetli olduğu veya cut olmadığı hallerde mül kullanılır. y dy ___ dx da? dy d^y türevinin mev^ ye göre türevlerle ifade edilen aşağıdaki for- . ’ d’ j/ da;2 dâ? dy dy"^ da? _ /da?\^ ^ [d y) d?x dy^ /da?\^ [dyj olup dâ: dj/^ K = h (S l dir. tutar. Yarıçapı R - a?" “ (1 + olan bir daire çemberinde eğrilik her noktada ayni ve yarıçapın tersine yani e eşittir. Kartezyen denklemi ile verilen bir eğrinin eğriliği 257 Gerçekten PQ yayına karşılık gelen merkez açısı, uç noktalardaki teğetlerin teş kil ettikleri e açısına eşittir. (Şekil 93). PQ yayının s uzunluğu ise RQ olup PQ yayı ne olursa olsun ortalama eğrilik = ^ —K dır. Ortalama eğrilik sabit olduğuna göre her noktadaki eğrilik ^ ÖRNEK 1. ni hesaplayınız. e 2/^ = 4 , eşit olacaktır. parabolünün 2 ( 1 ,2 ) noktasındaki eğriliği yy " = - A y r3 olarak 4 _ 3 /2 - 4 ^y2 + 4 )3 /2 1 + 4dır. ( 1 , 2 ) noktasındaki eğrilik ise K = 4v/2 dir. 12,1 - 1 . Parametrik denklemlerde eğrilik. Eğri a; = 9(f) , y-^{t) parametrik denklemleri ile verilmiş olsun. Bu takdirde dy _ da? olarak Yüksek Matematik I y' a?‘ y" (1 + y'V'^ â?y _ y " X' — y' x " da;^ ~ x'^ formülünde yerlerine konursa F. 17 258 Eğrilik, eğrilik yarıçapı 1d“^y da; J. _ _ y " X' - y X - _ (a;-2 _j_ y ’2^^/2 d y dâ; dt^ d t d t dt^ j d x V . f d y Y' 3/2 A ldt j . elde edilir. ÖRNEK. a?=a(e—sine) , t / = a ( l —cos6) parametrik denklem leriyle verilmiş sikloid eğrisinin herhangibir noktasındaki eğriliğini bulunuz. da; = a[l — cos 0) dĞ* dâ; = a sın "dĞ^ dy _ = a sin 0 d0 d'^y = a COS0 d02 olarak K = a cos 0 . g (l — cos 0) - a sin 0. a sin 0 [a^(ly- cos 0)^^ + sin^0p/2 K = aHcos 0 - cos^0 - sin^ 0) a^[l - 2 cos 0 + cos ^0 -t- sin^ 0p/^ K = cos 0 —1 _ 2^/'^ a (l - cos 0)^^^ ~ ___ 1 ___ 2^%(1 - cos 0)^/^ 4a sin — dır. 12.1 - 2. Kutupsal denklemlerde eğrilik. Eğrinin p = /(0) kutupsal denklemi ile verilmiş olduğunu farzedelim. Eğri üzerinde ^(p,e) ve Ç(p+Ap,0+A0) noktalarını gözönüne alalım. Şekil 94. P ( p ,e ) noktasındaki eğrilik Aa da 11 m —— = 3 — = K A0H.O dır. Şekilden Kutupsal koordinatlarda eğrilik 259 olup a = Arctg— + P dır. Buradan da W p''' 1+ p-+p'^ + 2 - pp' p2 + p'2 ve d0 = s i f + p'2 olarak da d0 da ds p2 + 2p'2 — pp" (p2 + p'2)3/2 ■ 50 bulunur. Buna göre kutupsal koordinatlarda eğrilik K p2+ 2p'2-pp" (p2+ p'V/2 dir. ÖRNEK. bulunuz. p = a ( l —2cos0) 9 eğrisi üzerindeki minimum eğriliği = 2a sin 0 ^ p" = 2a cos 0 olarak K = p2 2 p'2 _ pp" (p2 + p '2 )3 /2 9 — 6 cos 0 a (5 -4 c o s 0 > 3 '2 260 Eğrüık, eğrilik yarıçapı dır. K yı minumum kılan 0 değeri K' türevini sıfır kılacağından K' türevini hesaplıyalım. olup 9=0 ğeri 0 = ve 0=71 olup K = 6 sin 0 ( - 4 4- 2 cos 0) a(5,— 4 cos 0)^/^ için K '= 0 dır. K yı minumum kılan 0 de -A _ ""^9 a dır. 1 2 - 2 Eğrilik yarıçapı Bir eğrinin herhangibir P noktasındaki eğrilik yarıçapı diye, eğ rinin P noktasındaki eğriliği ile ayni eğrilikte olan dairenin yarıçapı na denir. Dairenin yarıçapı, eğriliğinin tersine eşit olduğundan eğrinin herhangibir noktasındaki eğrilik yarıçapı, bu noktadaki eğriliğin tersi ne eşit olacaktır. Buna göre eğri, y = f ( x ) şeklindeki kartezyen denk lemi ile verilmişse eğrilik yarıçapı. dir. Eğri, x = (p(t) , y = cj>(f) parametrik denklemleri ile verilmişse eğ rilik yarıçapı. ve eğri p=/(0) kutupsal denklemi ile verilmiş ise eğrilik yarıçapı _ 1 _ K + p2-f2p'2-pp' dir. ÖRNEK 1. (»2/3 + y2/3 rilik yarıçapmı bulunuz. ^ ^ 2/3 eğrisinin herhangibir noktasındaki eğ Eğrilik yarıçapı 261 y y = ı2/3 1/3 ye y = 3^4,3 2^1/3 olarak 2/3 '^ ) 3 /2 _ R = ( 1 + 1/ y [l + 2/ X2/3 3/2 _ ,2/3 a X 3x^ y^ a2/3 R = 3 {a x y Y dir. ÖRNEK 2. = a? cos 20 eğrisinin herhangibir noktasındaki eğ rilik yarıçapını hesaplayınız. 2 p p' = — 2 ve p = a V cos 2e sin 20 , sin 20 olarak , - a sin 20 P = ----• . \Jcos 20 bulunur, p p' = - P'^= a? sin2 20 cos 20 p p' = —a^ sin 20 ifadesinden bir daha türev alınarak p p" + p'^ = — 2a? cos 20 p p" = — 2a? cos 20 sin^ 20 cos 20 elde edilir. Diğer taraftan p2 + p' 2 = ^2 ç Q g 2 0 a?sm^2^ cos 20 cos 20 ve 2 . o '2 2 oû . 2a^sin2 20 , _ , , a^sin2 20 P^ + 2p 2 - pp = a? cos 20 H---------- -------- h 2a? cos 20 + cos 20 cos 20 = 3a? cos 20 + 3a? cos 20 olarak 3 a? sin^ 20 cos 20 262 Eğrilik, eğrilik yarıçapı [ cos 20 '2\3/2 (P^ + P") p2 + 2p'2 - pp' j 3a^ cos 20 _ 3 a cos 20 veya 72= 3p bulunur. ÖRNEK 3. Parametrik denklemleri X = g(cos 0+0 sin 0) y = g(sin 0—0 cos 0) olan eğrinin 0 = — ye karşılık olan noktasındaki eğrilik yarıçapını bu- 2 lunuz. R = {x'^ + y' 'X' —y ' x " ve flc* = g 0 cos 0 , !/• = o 0 sin 0 X’ * = g(cos 0 ~ 0 sin 0) , j/* * = g(sin 0 + 0 cos 0) olarak (g - 02 cos2 0 + g2 02 sin20)3/2 g2 0 cos 0 (sin 0 + 0 cos 0) — g^ 0 sin 0(cos 0 — 0 sin 0) R = t: dır. ^ — ~2 g2 03 = g0 g2 02 noktasındaki eğrilik yarıçapı ise 72 = olur. Tcg Eğrilik merkezi 263 12.3” Eğrilik dairesi, Eğrilik merkezi Basit ve mebsut eğrileri Verilmiş bir eğrinin herhangibir noktasındaki eğrilik dairesi diye, bu noktadan geçen ve bu noktadaki eğimi ile eğriliği, bu eğrinin eğim ve eğriliğine eşit olan daireye denir. Eğrilik dairesinin merkezine, eğri nin sözü geçen noktasındaki eğrilik merkezi denir. Eğrilik dairesi ayni zamanda, bir eğrinin sözü geçen noktası ile bu noktaya sonsuz bir şekilde yaklaşan diğer iki noktasından geçen bir dairenin limit durumu olarak da tanımlanabilir. Bu şekilde tanımlanan daireye oskülatör daire de denir. Bir eğrinin herhangibir P noktasındaki eğrilik dairesini çizmek için evvelâ eğrinin bu noktasındaki teğeti çizilir. Sonra bu noktadan te ğete bir dik çıkılır yani bu noktadaki normal çizilir ve normal üzerinde P den itibaren, eğrinin konkavlığı yönünde, eğrilik yarıçapına eşit bir uzunluk alınır. Bu suretle elde edilen nokta eğrilik dairesinin merkezi yani eğrinin P noktasına ait eğrilik merkezidir. Şekil 95. sın cp = y R olarak - COS cp = ■ 1 , y' 264 Eğrilik dairesi^ Eğrilik merkezi, basit ve mebsut 3= . + ^ + / y y bulunur. Eğrilik merkezinin koordinatları ( a , p) ve sözü geçen nokta daki eğrilik yarıçapı R ise eğrilik dairesinin denklemi olur. Bir eğrinin eğrilik merkezlerinin cümlesi yeni bir eğri meydana getirir. Bir eğrinin eğrilik merkezlerinin geometrik yeri olan bu eğriye, sözü geçen eğrinin mebsuVv denir. Buna karşılık ilk eğriye de basit de nir. Eğer eğri y —f {x ) denklemi ile verilmiş ise, eğrilik merkezleri nin koordinatlarını veren a = X — y ( l + y'^) y" P = 2/ + 1+y^ y" denklemleri, x parametre olarak, mebsut eğrisinin parametrik denklem leri olur. Bu denklemlerden x yokedilebilirse mebsutun kartezyen denk lemi elde edilir. Verilmiş bir eğrinin normalleri, bu eğrinin mebsutuna teğettir. ÖRNEK 1. eğrisinin sinin denklemini bulunuz. y '.-e - (0 ,1 ) , noktasındaki eğrilik daire y"=e^ olup eğrilik merkezinin koordinatları a= X a= X y\l -f- y^) y" e"(l + e2") 3= , P = 2/ + 1+y^ y" = x-l-e^^ = Q - l - l = - 2 = e^-l-e-^ + e^ = 2e^ + e-^ = 3 ve eğrilik yarıçapı : y ' Basit ve mebsut eğrileri olarak eğrilik dairesinin denklemi (a;+2)24-(2/-3)2 = 8 dir. ÖRNEK 2. i elipsinin mebsutunu bulunuz. W a? W den y = _ b^ + a^y'^ _ y = a^y a‘ y b^ a?y^ olarak mebsutun parametrik denklemleri (X = X — y '(l + y'^) y b'^x a^y 1 + o>y^ w a'^y^ a = X a= X a = xy^ b'^x^ _ ÖF ~ xy (b'^—y^)x b'^x^ (a^b'^-a^y^—b'^x^) x __ (a^b^x^ —b^x^) x a'b2 aV OL = P = 2/ + jd^-b^) x^ 1+y^ y V-x^ Ö = V + ____ ? v = „ _ « V {,4 y h* _ ^ a^y^ Q_ a^b^y—a^y^— Wx’^y _ o_ ^ a^b^y^ — a^y~ (g^ - b^) y^ b^ 1+ b^x^ ay J 265 266 Eğrilik dairesi, Eğrilik merkezi, basit ve mebsut olarak a = (a^ — h^) x~ dür. Bu iki denklem ve £C“ 1/^ (g^ - 3= = 1 denkleminden x ve y yok edi lirse mebsutun kartezyen denklemi ola rak (a a)2'3 4- (b 3)2/3 =: _ ^2)2. ni eksen takımı üzerine çizilirse Şekil 96 elde edilir. Şekil 96 ÖRNEK 3. Parametrik denklemleri X = a(cos 0 + 0 sin 0) ^ 2/ = g(sin 0 — 0 cos 0) olan eğrinin mebsutunu bulunuz. da; ^ 3/' _ g(cos Q- cos Q+ 0 sin|0) _ g 0?sin 0 _ . X' ~ a(—sînJ0 + sin 0 + 0 eos 0) g 0 cos 0 ^ a 0 cos0 d a ;'^ d a ; ~~ da; "dT ^ 2a " = g cos 0 1 + tg^ 0 a 0 cos 0 a = a(cos 0 + 0 sin 0) - 1 + te^ 0 3 = o(sin 0 - 0 cos 0) + ^ 0 = g sin 0 a 0 cos 0 olarak mebsutun parametrik denklemleri a = g cos e , û p = g sin 0 Problemler 267 ve kartezyen denklemi cf} + f dir. Görülüyorki verilen eğrinin mebsutu dairedir. Bu sebeple bu eğriye daire basiti denir. 12. 1) bulunuz. BÖLÜM E A İT PRO BLEM LER. b^ elipsinin (0 , b) ve (a, 0) noktalarındaki eğriliğini x'^ + Cevap. (0,6) de K = J ^ ; (o, 0) da 2) xy = 12 eğrisinin (3,4) K= -^ noktasındaki eğriliğini bulunuz. Cevap. /C = 24 125 3) y = — 4.v^ — 18 at- Cevap. eğrisinin (0,0) /C=36 4) x^ -t xy + y^ — 3 eğrisinin (1,1) Cevap, /e = 5) noktasındaki eğriliğini bulunuz. 1 3 v/2 y — x^ eğrisinin herhangibir noktasındaki eğriliğini bulunuz. Cevap. K = 6) noktasındaki eğriliğini bulunuz. = 6>r (1 + 9x*P' — a:® eğrisinin (2,0) noktasındaki eğriliğini bulunuz. Cevap, /e = — 7) a:^'3 + /3 _ q2'3 eğrisinin herhangibir noktasındaki eğriliğini bulunuz. Cevap. AT= ----- ------ ^ 3(axyy^ 8) Parametrik denklemleri x = t^ , y = t^ olan eğrinin (1,1) noktasında ki eğriliğini bulunuz. Cevap. K = 6 13 V 13 268 Eğrilik dairesi, Eğrilik merkezi, basit ve mebsut 9) p2 = 2a“ cos 20 eğrisinin 0 = 0 ve 0 = u kutupsal açılı noktalarında eğriliğini bulunuz. Cevap. K = —-— er 10) y^ = Bx parabolünün eğriliği ^= 0,128 Cevap. 11) ( A . 3) ve ( A olan noktasını belirtiniz. , - 3) — ^3 eğrisinin (4,8) noktasındaki eğrilik yarıçapını bulunuz. Cevap. 12) x^ = 4ay eğrisinin (0, 0) noktasındaki eğrilik yarıçapını bulunuz. Cevap. R = 2a 13) y = logx eğrisinin (1, 0) noktasındaki eğrilik yarıçapını bulunuz. Cevap. 14) AT= R= 2 \ ^ 2 — ~ log y eğrisinin herhangibir noktasındaki eğrilik yarıçapını bulunuz. Cevap. /? = A ± A 15) Parametrik denklemleri ,v = a cos^ 0, gibir noktasındaki eğrilik yarıçapını bulunuz. y = b sin^ 0 olan eğrinin herhan Cevap. / ? = - ? _ a sin 20 16) Parametrik denklemleri x = Z{^, y = 3t — t^ olan eğrinin #= 1 e kar şılık olan noktasındaki eğrilik yarıçapını bulunuz. Cevap. R = 6 17) p= asin0 lunuz. Cevap. 18) bulunuz. eğrisinin herhangibir noktasındaki eğrilik yarıçapını bu R = ^ p= a (1 -f cos 0) eğrisinin herhangibir noktasındaki eğrilik yarıçapını Cevap. R = ~ a cos — 3 2 Problemler 19) p = a sec^— 2 269 parabolünün herhangibir noktasındaki eğrilik yarıçapını bulunuz. Cevap. 20) R=^ 2 a p = a sin^ — 3 sec^ eğrisinin herhangibir noktasındaki eğrilik yarıçapını bulunuz. Cevap. R = — 4 a sin^ — 3 21) y — log X eğrisinin en küçük eğrilik yarıçaplı noktasını belirtiniz. Cevap. (~ log 2 22) y — e^ eğrisinin eğrilik yarıçapı en küçük olan noktasını bulunuz. Cevap. ( - X i o g 2, . ^ ) 23) v 'lT + v '7 = v ^ 7 eğrisinin eğrilik yarıçapı en küçük olan noktasını bulunuz. Cevap. (-^ , 24) 4- ^2/3 = 0^/3 eğrisinin herhangibir noktasındaki eğrilik merkezinin koordinatlarını bulunuz. Cevap, a = a: + 3at^^^ ; |3= y + 3at^'^ 25) y^=â^x eğrisinin herhangibir noktasındaki eğrilik merkezinin koordi natlarını bulunuz. 26) Ary= 1 eğrisinin (1, 1) noktasındaki eğrilik merkezinin koordinatlarını bulunuz. Cevap. (2,2) 27) Parametrik denklemleri x = ^t , y = _ 5 olan eğrinin herhangibir noktasına ait eğrilik merkezinin koordinatları bulunuz. Cevap, a = 0= - 270 Eğrilik dairesi, Eğrilik merkezi, basit ve mebsut 28) y = — 6,v + 10 eğrisinin (3,1) noktasındaki eğrilik dairesinin denkle mini belirtiniz. Cevap. {x - 3)2 + ( j 29) 4 y‘ — 2px parabolünün mebsutunun kartezyen denklemini bulunuz. Cevap. pp2 = . ^ ( a - p ) 3 30) Parametrik denklemleri at= < , y= — 8 olan eğrinin mebsutunun parametrik denklemlerini bulunuz. JL, 16 3=J. 8 31) Parametrik denklemleri x parametrik denklemlerini bulunuz. — 2t , y = 2 t'^ — 1 olan eğrinin mebsutunun Cevap, a = — 8#^ . 0 = 6#2 32) Parametrik denklemleri x — sin 2t , parametrik denklemlerini bulunuz. Cevap, y = cos 2i olan eğrinin mebsutunun a = 0 , 3= 0 33) Parametrik denklemleri x = k log cotg — — k cos 2 eğrinin mebsutunun kartezyen denklemini bulunuz. Cevap, y — — (e*'>" -f e” *'*") 2 t , y — k sin t olan 13. BÖLÜM ORTALAMA TEOREMİ TAYLOR VE MACEAURİN f o r m ü l l e r i ,BELİRSİZ ş e k il l e r 1 3 - 1 Rolle teoremi ROLLE TEOREMİ. Bir [ a , &] kapalı aralığında tanımlı ve sürek li bir f ( x ) fonksiyonu, hu aralığın her noktasında türevi haiz ve f ( a ) = f ( b ) — 0 ise sözü geçen aralıktaki en az bir değeri için f ( x ) türevi sıfıra eşittir. Yani a<Xı<b olarak f'{xı) = 0 dır. Gerçekten, [a ^b] kapalı aralığında f { x ) daima sıfıra eşit olu yorsa teoremin doğruluğu aşikâr olur. f { x ) , sözü geçen aralığın bütün değerleri için sıfıra eşit değilse f{ x ) i sıfır kılmayan diğer değerler için, pozitif veya negatif olmak zorundadır. Eğer aralığın bazı değer leri için pozitifse, / ( a ) = 0 ve f i b ) = 0 olduğundan, x in [ a , b ] ara lığındaki değerleri için daima artamaz veya daima azalamaz. Bu tak dirde f {x ) , [ a , b ] aralığındaki en az bir Xı değeri için maksimum olur. Bu da f '( x ı ) = 0 olduğunu gösterir. Eğer f (x ) , [ a , b ] aralığının bir kısım değerleri için negatifse, f ( a ) = 0 ve f ( b ) = 0 olduğundan 272 Ortalama teoremi X in [a ^5] aralığındaki bütün değerleri için daima azalamaz veya daima artamaz. Bu takdirde f {x ) , {a ,h] aralığındaki en az bir Xı de ğeri için minumum olur. Bu da /'(a?ı)=0 olduğunu gösterir. ox Rolle teoreminin bütün şartları mevcut değilse, eksenine paralel bir teğeti bulunamaz. y=f(x) eğrisinin Şekil 97 ve Şekil 98 de teoremin şartları mevcut olup birincide teo reme uyan bir Xı değeri; İkincide ise Xı ve a?2 gibi iki değer mev cuttur. Şekil 99 ve 100 de teoremin şartlarının mevcut olmadığı iki fonk siyonun eğrisi görülmektedir. Şekil 99 da [a ,b ] aralığındaki bir x = c de sürekli olmayan bir fonksiyonun eğrisi; Şekil 100 de [a^b] aralığının bir x = c noktasında türevi haiz olmayan bir fonksiyomm eğrisi görülmektedir. Ortalama teoremi 273 1 3 - 2 Ortalama teoremi ORTALAMA t e o r e m i . f ( x ) fonksiyonu [a jh } aralığında tammlij sürekli ve hu aralığın her noktasında türevi haiz bir fonksiyon ise sözü geçen aralıkta bulunan en az bir Xı değeri için f(b)-f(a) = f (x ı ) b —a ; a< xı< b dir. Teoremi ispat için (x) z= f ( x ) ~ f (a) - fib) - f (a) {x — a) a fonksiyonunu gözönüne alalım. Bu ifadeden cp(a) = 0 , cp(b) = 0 oldu ğu kolayca görülür. f {x ) , [a^b] aralığında tanımlı ve sürekli ve ara lığın her noktasında türevi haiz bir fonksiyon olduğundan cp(^r) fonk siyonu da ayni şartlara haizdir. O halde, cp(a?) fonksiyonu Rolle teo reminin şartlarını haiz olduğundan bu fonksiyona Rolle teoremi uygu lanabilir yani [ a ,h ] aralığında cp'(a;) i sıfır kılan en az bir Xı de ğeri mevcuttur. Buna göre. (p' (a;) = / ' (x) — olup a < X ı< b fib) - f (a) a olarak ve dır. Bu formül ortalama formülü adını alır. Bu formülü geometrik olarak manalandırmak üzere y = f ( x ) fonk siyonunun [a ,b ] aralığındaki eğrisini gözönüne alalım. Şekil 101. Yüksek Matematik I F. 18 274 Ortalama teoremi m u in i 25 b —a keseninin eğimi; f'{xı) de eğ rinin Xı apsisli noktasındaki teğetinin eğimidir. Buna göre ortalama formülü^ AB yayı üzerinde, teğeti AB kesenine paralel olan, en az bir M noktasının mevcut olduğunu ifade eder. Ortalama formülünde b yerine a+Aa? ve x^ yerine de O<0<1 olarak a+e.Ao? ya zılırsa formül, / (g + A g?) - / (g) = / ' (a + Q, A x ) AX veya /( g + Ao?) — /(g ) = Ao?. / '( g + şeklini alır. Bu formülde de a=x e . Ax) yapılırsa f ( x + Ax) — f ( x ) = A x . f ( x + Q. Ax) O<0<1 elde edilir. Bu formüle sonlu artımlar formülü denir. Bu formülün, fonk siyonların değişiminde, yaklaşık hesapta ve birçok teoremlerin ispatın da geniş uygulama alanı vardır. ÖRNEK 1. aralığında f{x)=x^-\-2x-hl ve l< o ? < 4 olduğuna göre [ 1 ,4 ] r(o) = i ^ p > bağıntısını sağlayan c sayısını bulunuz. f { x) fonksiyonu [ 1 , 4 ] aralığında ortalama teoreminin şartları nı haiz olup verilen bağıntıyı sağlayan bir c sayısı mevcuttur. f'(x) =2 x+ 2 olarak verilen bağıntıdan /(4)=25 , /(1)=4 Ortalama teoremi 2 c + 2 = — -g— ve 275 c = y bulunur. ÖRNEK 2. y = x —x^ eğrisinin ( —2 , 6 ) ile ( 1 , 0 ) noktaları arasındaki kısmı üzerinde teğeti, bu noktaları birleştiren kesene para lel olan noktayı bulunuz. formülünden /(!)-/(-2 ) l - ( - 2) ve / ( —2 ) = 6 , / ( 1 ) = 0 olup 1 —30?^ = —2 olup aranan noktalar 1 - +1 ve , 0(^1 = 1 —1 , Xı = ± 1 apsisli noktalardır. FONKSİYONLARIN DEĞİŞİMLERİNE UYGULAMA. 1) gibi hir fonksiyon bu aralıkta sıfıra eşittir. [a,})] aralığında sabit ise türevi, Gerçekten Ai/ = f ( x + A x ) ^ f ( x) = 0 olarak türev sıfır olur. 2) y = f i x ) fonksiyonu [a ,b ] ise türevi^ bu aralıkta pozitifdir. (Gerçekten fonksiyon artan ise Ay aralığında artan bir fonksiyon >0 olup f { x ) limiti de pozitif olur. 3) y=fioc) fonksiyonu [a ,b ] ise türevi bu aralıkta negatifdir. aralığında azalan bir fonksiyon 276 Ortalama teoremi Ay Grerçekten, fonksiyon azalan ise ^ < 0 AX tif olur. olup f'(x) limiti de nega- Bu teoremlerin karşıtları da kolayca söylenebilir. Xı ve X2 , [ a, b] aralığında iki değer, f{xı) , /(a?2) 1er de fonksiyonun x=Xı ve x = X 2 değerlerine karşılık olan değerleri olsun. Bunlar için sonlu ar tımlar formülü yazılırsa / (X2) — t İXı) = (X2 ~ Xı) f (c) ; (a?, < c < X2) elde edilir. Bunlara göre : 4) layısile [a j b] aralığında f{x)>Q ise özel olarak f'(c)>0 ve do- / '( c ) < 0 ve do- X2 — Xı olup f(x) 5) layısile olup [a , b ] f{x) 6) layısile artan bir fonksiyondur. aralığında /'(a?)< 0 ise özel olarak azalan bir fonksiyondur. [a yb] aralığında f'{x) = 0 ise özel olarak f { c ) = 0 ve dof { x 2) - f{x,) = 0 fiX2) = f { X ı ) olup f ( x) bir sabittir. TEOREM. f ( x ) ve F ( x ) gibi iki fonksiyonun türevleri birbiri ne eşit ise, bu fonksiyonların farkı bir sabite eşittir. Yani f{x)-F'{x) ise f { x ) —F { x ) - C dir. İspat. cp(x) = f ( x ) - F { x ) olsun. Bu suretle tanımlanan (p{x) fonksiyonuna ortalama formülünü Cauchy teoremi uygulayalım. Bu takdirde a<Xx<x ( ? { x ) - ç (a) elde edilir. f'ix)=F'(x) 277 olarak ^ = cp (x0 olup cp'(iT) = f { x ) - F'{x) = 0 ve dolayısile (p'(iîîı) — 0 dır. Buna göre (o;) - cp (a) = cp' (acı) = 0 X a (p(a?) — cp(a) = 0 cp(x) = cpia) = st dır. 1 3 .2 -1 . CAU CH Y TEOREM İ (İki fonksiyon için ortalama formülü). CAUCHY t e o r e m i . f ( x ) ile F ( x ) ve hunlarm birinci mertebeden türevleri [a , &] aralığında sürekli iseler ve F '(x ) türevi bu ara lıkta sıfır olmuyorsa, bu takdirde a ile b arasında fib) - fia) _ r ( x ı ) F(h)-Fia) F'(flCı) eşitliğini sağlıyan bir Xı değeri mevcuttur. İspat. fonksiyonunu teşkil edelim. <p(a) =Kp(ö) = 0 teoremi uygulanabilir. Bu takdirde olup a ile b arasında bir Xı değeri için olup bu fonksiyona Rolle 278 Ortalama teoremi cp'İXı) — O olmalıdır. O halde dan f i h ) - f ( a ) ^ r(g?ı) F(b)-Fia) F'ixı) bulunur. F { x ) —x alınırsa bu formül daha evvel bulunan şeklini alır. ÖRNEK. f ( x ) = x ^ + 2 ^ F { x ) = x ^ —1 fonksiyonları için [1 ,2 ] aralığında Cauchy teoremini uygulayınız ve Xı değerini bulunuz. /( 1 ) = 3 , f(2)=6 , Fİİ)=0 , f'(x )= 2 x , F'(x)=3x^ F (2 )= 7 ve olarak f(h )-f(a) ^ /(2 )-/(l) ^ ^ 3_ F(b)-F{a) F (2 )-F (l) 7 -0 7 f(xı) 2xı F' (Xı) 3 x\ veya 3_ ^ 2 7 3»ı elde edilir. Buradan da Xı bulunur. 14 = 2 3 xı Ortalama formülünün genelleştirilmesi 279 1 3 .2 -2 . Ortalama formülünün genelleştirilmesi. [a^b] aralığında tanımlı, sürekli ve türevi haiz bir f ( x ) yonunu gözönüne alalım. A herhangibir sabit olmak üzere <p(w) = /(b) - /(» ) - ( b - o c ) f ’(x) fonksiyonunu teşkil edelim. (p(b) = 0 yı belirtelim. O halde olacaktır. Bu şartlar altında lanabilir. Buna göre z{ x) A olup cp(a) = 0 /(b) - /(a) - (b - a) /'(o) - fonksi ^ olacak şekilde A A = 0 ( 1) fonksiyonuna Rolle teoremi uygu cp'(x) = - f ' { x ) +f ' ( x) - ( b - x ) f " ( x ) + i b - x) A cp'{x) = { b - x ) [ A - f " { x ) ] dir. a<Xı <b olarak x=Xı için ç'(o?ı)=0 olacağından ^'{x,) = ( b - x 0 [ A - r ( x , ) ] = 0 ve buradan da b —Xı^;±0 olup A -rix,)= 0 , A = f"{x0 bulunur. A nın bu değerini (1) bağıntısında yejrine koyarsak m - H a ) - (b - a) /'(a ) - /"(a::) = 0 ve buradan da /(b) = /(a) + (b - a) /'(a ) + elde edilir. Bu ifadede a = x , b=x+h ve O <0<1 olarak Xı =x+^h lırsa Hx elde edilir. + h) = / (X ) + h f'(x) + ^ /"(x+e A) yapı 280 Taylor ve Maclaurin formülleri a=0 , b=x ve 0<9<1 f{x) = m olarak o?ı = 0a? alınırsa formül + i» /'(O) + ~ /"(0 X) şeklini alır. 1 3 - 3 Taylor ve Maclaurin formülleri Yukarıda elde ettiğimiz formülleri daha da genelleştirmek mümkün dür. Bundan evvelki kısımdaki şartları haiz ve n + 1 defa türetilebilen f ( x) fonksiyonunu gözönüne alarak <P(X) = m - f{x) - ( b - X) f ( x ) - / " ( » ) - ..... _ , (n -1 )! ’ _ (b - x)" n! ^ ( 1) fonksiyonunu teşkil edelim. Kolayca görülür ki :^(b)=0 dır. Yukarıda yaptığımız gibi A yı (^(a) = O olacak şekilde belirtelim. Bu tak dirde A tp(a) = /(b) - /(a) - (b - a) f'(a) - 2! /"(a ) / " - ’ Ha) - ni A = 0 (2) denklemini sağlamalıdır. ç(a ) = O , (p(b) = O olduğuna göre (çix) fonksiyonuna Rolle teo remi uygulanabilir. Bu takdirde a<Xı <b olarak bir Xı değeri için cp'(a;ı)=0 olacaktır. Buna göre cp'(a;) = - f' (x) + f'(x) ~ (b - X) /"(o?) -{- {b - x) f"(x) — (n - D! olup kısaltıhrsa ~ ^(w - ”^1)! ~ {b — x f 2! (n - 1)! Taylor ve Maclaurin formülleri elde edilir. x=x^ için 9 ' ( » 1) ve b —X ı ^ 0 cp'(irı)=0 281 olacağından _ (b - a?ı)" r A - / (”>(xd (n - 1) I [ = 0 olarak A = (X,) bulunur. A nın bu değeri (2) ifadesinde yerine konursa Taylor formülü adı verilen / (W = /(« ) + /■ <«) + formülü elde edilir. Bu formülde b = x /(sc) = / (o) + 2,"'“I" (o) + ■•■+ (3) yapılırsa formül / '(a ) + («) + ••• + (4) / («-D (a) + (n - 1 )! ^ ' ' şeklini alır. Benzer şekilde h—a + h pılırsa formül, ~ M! / (") (X.) ‘ ^ ve O<0<1 olarak a?ı=a+07j ya / ( a + ft) = /( a ) + ^ f ( o H - | y r ( a ) + ........ (5) nI şeklini alır. Bu formül verir. Taylor formülünde verilen f(x) in artımını x in artımı olan h cinsinden a=0 ^ h=x yapılırsa Maclaurin formülü adı /(X ) = /(O) + ^ f ( O ) + I j - r (0) + (6) formülü elde edilir. 282 Taylor ve Maclaurin formülleri Görülüyor ki çok terimlisi ile f { x) in bu şekli (w—1). dereceden x in bir tam şeklindeki bir tamamlayıcı terimin toplamına eşittir. Rn e n terimden sonraki kalan adı verilir. f{ x ) in hesabında baştan itibaren n terim alınırsa yapılan hata Rn olur. Eğer \x \<1% için | \< A ise dır. Buna göre, bu formül yardımiyle x in verilmiş bir değeri için f {x ) fonksiyonunun sayısal değeri, istenilen bir yaklaşıklıkla hesaplanabilir. Eğer Xı bir sonsuz küçük ve (o;) sonlu ise, o; 0 halinde R^ mertebesi n den büyük olan t şeklinde bir sonsuz küçüktür. O halde Maclaurin formülü m X = /(O) + - f r m + a;- ,n—1 n o ) + •••+ şekline girer. Bu formül, x in sıfır civarındaki değerleri için hesabında kolaylık sağlar. / ( « + h) = /(a) + h f i a ) + ^ r ( a ) + . . . + f { x) in /<"-’ >(a) + n f^'^Ka + 0 Tl) formülündeki h, mutlak değer bakımından yeter derecede küçük ve h} li terim h lı terim yanında ihmal edilebilirse h m daha yukarı derece lerinin bulunduğu terimler de ihmal edilebileceğinden f(a-\-h) ^ f ( a ) + h f ' ( a ) (7) yazılabilir. Daha yaklaşık bir değer bulunmak istenirse /(a + h) = f(a) + h f'(a) + - Ç / " ( o ) formülü kullanılır. (8 ) Taylor ve Maclaurin formülleri ÖRNEK 1, f{x)=x^-2x^+^x-\-b vetlerine göre yazınız. çokterimlisini x —2 283 nin kuv (4) formülünü uygulamak üzere /'(a;) = 3 a ;2 _ 4 a ; + 3 , /"(a;) = 6 a; - 4 , /'"(a?) = 6 , ve w> 4 ve a =2 olarak (a;) = 0 için /(2 ) = 11 , /'(2 ) = 7 , 7 "(2 ) = 8 , r (2 )-6 olduğu gözönünde tutulursa - 2»’ + 3a; 4 5 = 11 + . 7 4- - . 8 4- ■6 a;3 - 2»2 4- 3a; + 5 = 11 + ? (* - 2) + 4(a; - 2? + (a; - 2 f elde edilir. ÖRNEK 2. f { x ) = e*' fonksiyonunu, x + l in kuvvetlerine göre (a?+l)^ İÜ terime kadar, taylor formülüne uygulayınız. /(")(a;) = e" , /(" )(-!) = olarak e* = ^ dır. 4-1) f a?ı=—H -0(a?+l) ÖRNEK 3. ^1,2 a = l ^ /i=0,2 4- ve O <0<1 nin yaklaşık bir değerini bulunuz. olarak (8) formülünü kullanırsak f (») = ^\fi = a;‘ /3 olup dır. / (a) = / (1) = 1 f'ioo) = y / '( ! ) = r ’ {x)= r (l) = - y 284, Taylor ve Maclaurin formülleri / (1 + 0 ,2 ) = / (1 ) + 0 .2 / ' (1 ) + (0,2)‘ V l,2 = l + 0 , 2 . y + ^ = 1 + 0,0666 t" (1 ) •( - 0,04 = 1,0666 - 0,0044 = 1,0622 (ÜÇ ondalık doğru) \/l,2 ^ 1,062 ÖRNEK 4. layınız . sin 30®=0,5 olarak bilindiğine göre f { x ) = Sina? a = 30® , f'{x) = cosa? ; /i = 1® = 0,01745 sin 31® yi hesap radyan f " ( x ) = — sin a; olarak (7) formülü kullanılırsa : sin 31® = sin 30® + 0,01745 . cos 30® = 0,5 + 0,01745 X 0,866 sin 31® = 0,5151 ve (8) formülü kullamlırsa sin 31® = sin 30® + 0,01745. cos 30® + (0,01745)^ - sin 30“ = 0,5 + 0,01745X0,866 - (0,01745)2 •^ sin 31® = 0,51503 bulunur. Trigonometrik oran tabloları incelenirse sin 31® = 0,51504 olduğu görülür. ÖRNEK 5. yazınız. f { x) = ^/l+x^ fonksiyonu için Maclaurin formülünü Taylor ve Maclaurin formülleri fix) = \/l -f = (1 + /(O) = 1 f { x ) = a;(l + f \ x ) = (1 + a;2) - i /2 _ 3^2(1 ^ f'"(x) = - 3 x a + 285 /'(O) = O /"(O) = 1 - 3xHl + cc2)-5/2 /"'(O) = O /'V(O) = - 3 f^ (x) = -3 (1 + ac2^-3/2 + lösc-'d + cc^)-7'2 olarak 2 \/ı + a; __ 1+ 1 1 . 2 ■4 2 elde edilir. Bu bağıntıda x^ yerine bl < 1 1 2 ■4 - .... —oc^ konursa X* V^l - at;2 = 1 — bulunur, 1 2*4' ^ a?” - .... '2*4 ise ve yaklaşık formülleri elde edilir. ÖRNEK 6. Sina? fonksiyonu için Maclaurin formülü 3 5 sin a? = a? — ^ 4cos 0 ac o 12U ,. x^ dır. X ----- ^ o Eğer . . . |a?|^ ifadesi sın a? ı izü |a?| < ise hata 10“ ^ (0 < 0 < 1) den küçük bir hata ile temsil eder. den küçük olur, sın X a? bir sonsuz küçükse X olur. ÖRNEK 7. cos a? fonksiyonu için Maclaurin formülü cos X = 1 — ^ dir. 1— ifadesi cos a? i sin 0 a? Ia?l^ (0 < 0 < 1) den küçük bir hata ile temsil eder. TU |a?| < — ise hata 2.10 ^ den küçük olur. x bir sonsuz küçük ise 286 Belirsiz şekiller 1 — cos X x^ olur. 1 3 - 4 Belirsiz şekiller Grenel olarak bir y=f{x) fonksiyonu x=a için , 0 X oo , ı « , 0° , şekillerinden biri oluyorsa f ( x) fonksiyonu x = a için belirsiz şekilde dir denir. x = a için bu fonksiyonun gerçek değeri diye, x-â ya yak laşması halinde, fonksiyonun limitine denir. Şimdi biz çeşitli belirsiz şekiller için f ( x) in limitini aramak konusunu inceliyeceğiz. 1 3 .4 -1 . y Belirsiz şekli (L ’hospital kuralı). L'hospital 18. yüzyılın başlarında yaşamış bir Fransız matematik0 çişi olup -Q- belirsiz şeklinin gerçek değerlerinin belirtilmesi için kendi adı ile anılan aşağıdaki kuralı bulmuştur. şekline, kesrinin pay ve paydası, x = a için ayni zaman da sıfıra eşit plan şürekli fonksiyonlar oldukları vakit rastlanır. L'hos pital, gerçek değerin bulunması için, fonksiyonların oranı yerine, türevf(oc) lerinin oranını almak şeklinde bir kuralı vermiştir. Gterçekten F(x) kesri x = a için f { a ) = 0 , F ( a ) = 0 Bu fonksiyonlara uygulayalım. [a ,x1 olarak -g- belirsiz şeklinde olsun. aralığı için Cauchy teoremini (13.2-1 e bak) f{x) — /(g) _ f\xı) F{x)-F{a) F\xı) Buradaki Xı , a ile x arasındadır. Halbuki /(a ) = 0 ^ F(a) = 0 olup bu bağıntı j{x) _ f'(Xı) F(x) F'(xı) 0/0 belirsiz şekli 287 şeklini alır. x-â halinde Xı de a ya yaklaşacağından m —. . -= 11 Iim m -=77—r- = - 1 1 i1 m m II Ii m m -7f=77—r = 1I 1i nı P{») P (» l) ;r-.a f r olup ( U hospital kuralı) dir. ihtar 1. /(a ) = 0 , F(a) = 0 , /'(a ) = 0 , F'{a) = 0 ise ayni kural f'ix) F^(x) uygulanarak : H-n. 1 1 m F(x) - Hm 1m — i V ı'y F(a;) - H1 ^n . --- irTT/’T \ --- ■ _ ,/ , F (x) T F (a) elde edilir. /^T5XTT-.Tr -I 1 • sın 3a; ,. 3 cos 3a? ÖRNEK 1. lım —:------ = l ı m ------------ = 3 sın a? .. o ^ X ÖRNEK 2. lim X 0 — 2a? a? — sin a? — ? = lim lım —;-------------- = li m „ . o cos a? ^^0 l-c o s a : ATH.0 sın a? ihtar 2. 0 = 2 şeklindeki belirsiz şekillerin gerçek değerleri; pay ve payda yerine maclaurin formüllerine göre açılımlarını yazmak ve elde edilen ifadeyi basitleştirmek suretile de elde edilebilir. Diğer taraftan pay ve payda sıfıra yaklaştıklarına göre birer sonsuz küçük olup, Mac laurin formülü yardımiyle kendilerine denk olan ifadeler bulunarak ta sonuca gidilebilir. ÖRNEK 3. lim ^ ~ ;.-.0 tg » = ? x-^0 halinde pay ve payda sıfıra yaklaşmaktadırlar. Bu sebeple 1 — cos X .2 x^ tg X ^ X 288 Belirsiz şekiller ve 1 — cos X tg^ X 2x"^ 2 olarak 1 — cos tgâ? 1i m 1 X dir. ÖRNEK 4. iT-»0 — cos gg — sın o; x^ lim ATH.0 halinde pay ve payda sıfıra yaklaşmaktadır. X o x^ X-" cos X = 1 - ^ + S2 X* ; sin a; = oj —^ + £3 x^ 3! olup e"^ - cos X — sin x = x “^ + - cos X - sın x^ lim cos X - sın x X x^ ;»r-^ o = 1+ £1 x^ S2 x^ — £3 £ı X — £2 x^ — £3 o r = 1i m (1 + £1 a; — £2 £c^ — £3 :t H-0 = 1 dir. 13.4 - 2. Belirsiz şekli. a?=a için f{x)-ôo ^ F(x)-ôo oluyorsa f(a?) -^rırr kesri F(x) 00 — belirsiz şeklindedir. Bu kesir f{x) F{x) F(x) fioo) şeklinde yazılabilir. x=a için 1 Fix) ve 1 f{x) ifadeleri sıfıra yaklaş- oo/oo Belirsiz şekli 289 belirsiz şeklindedir. O halde ikinci taraftaki 0 kesre L'hospital kuralı uygulanabilir. Buna göre tıklarından ikinci taraf m X a 1 F( x) d 1 dx F(x) 1 ;r-.a d dsc i (x) 1 / (* ) F' ' (X ) f (X) Y = 1i m X ■ ,. F( x) a F-(x) / ' (x) [/(» )? i „ 1i m /r, -; -r _= 111 m X (I lim .V -V a lim X a F'(x) f(x) F( x) /(» ) T F(x) f(x) F(x) lim , f(x) 1i m X a F(X) f ( x) F(x) = lim F'{x) /'( » ) m rca:) elde edilir. Bu ise, f(x) ^ İM F'(a) kesrine L'hospital kuralının doğrudan doğru ya uygulanması suretile elde edilecek sonuçtan başka birşey değildir. oo Buna göre — belirsiz şeklindeki bir fonksiyonun gerçek değeri L'hos pital kuralının uygulanması ile bulunabilir. ÖRNEK 1. ,. log sin a x „ lım r-^— ^ ^ = ? ^^0 log s ın P » , i ^ log sin a Ü3 _ H-o log sın 3 X Yüksek Matematik I cos a X sin a X ,. a sın P a: cos a x = 11 m -^5— ^-----------0 p Ços_3^ sin P X a F. 19 290 Belirsiz şekiller - Iim — -H m - - ^(1 + tg^ P X) _ ı-H-O P « (l + tgâO!) ;t-0 0 ÖRNEK 2. 1i m - -Y-*- 00 e'^ + İl m - ,— 7T = lım + = lım - - , >.—^ = lım —- - - a— e* + 3aj2 e^ + 6 x Se^" ,. 16 .- - . = liK i ---- ^— e*+ 6 e- = 1i m 16 e"" —> ûo -V-►00 ÖRNEK 3. lim -V-> 00 3^ log 3 = lim a:-^ 00 2^ . 2x log 2 1i m AT H- 00 olup türev yolu ile pay ve paydada üstel fonksiyonlardan kurtulmak mümkün değildir. Ancak verilen kesri aşağıdaki şekilde ifade etmek suretile 1 im AT-►00 = 1i m AT-^ 00 22a = lim AT-> 00 2x'^~2x 2x = 0 bulunur. 13.4 - 3. OX ~ lim a: belirsiz şekli. f{x)=0 , -► a lim F{x)-oo X -¥• a f ( x) . F { x ) ifadesi 0 X o o belirsiz şeklindedir. lim X limitini hesaplamak için [f{x).F{x)] a oluyorsa x=a için O X 00 Belirsiz şekli fix) . F(x) = fico) F{x^ F(x) f(x) O belirsiz şekli -q- veya — olduğu gözönünde tutulursa 0Xoo 291 belirsiz şekillerinden birine dönüştürülmüş olur. Bu suretle l i m [f{x) X -¥■ . f(x) , . Fix) = lım — — 1 X F(a?)] = 1i m a X -*■ a X -h a F{x) ^ fix) dir. ÖRNEK 1. 1i m x-^0 sin a? log x = ? 1i m sin x - 0 olarak , 1i m O AT (sin o? logo?) ifadesi 0Xoo lo g x = —co O Af belirsiz şeklinde olup ,. . , ,. log a: ,. X 11 m sın a; log cc = 11 m —^— = 11 m ----------;.-.0 AT - . 0 1 ATH . 0 sın X sin^x = lim ^ O ,. 2 sin a? cos x ^ sin^ X = 11 m -------------------;---- = O ^ ^ a: o X - X sın X dır. ÖRNEK 2. lim (a ^ - q>^)tg 9 -► a TTCp 2a 1i m (a^ — cp^) = O ^ ç -*■a olarak <p = a için (a^ - <p^) tg - — ^Ct lim (a^ - 9^1 tg cp -► a 7C(p = ? TZ(p 1i m tg 2a (?-hO ifadesi OX —cp2 = 1i m -----— = 1i m '1’ -^° cotg — 2a şeklindeki olup — 2<p TTCp — cosec' 2a 2a 292 Belirsiz şekiller 4acp sin^ = lim TUCp 2a 4 a' cp -► a dir. 13.4 - 4. x-â Belirsiz şekli. 00-00 halinde f{x)-ôo , F{ x)- ^cc oluyorsa f{x)-F(x) 00 —00 belirsiz şeklindedir. Bu ifade, ayni bir paydada birleştirilmek su0 OO retile -ğ- , — şekillerinden birine dönüştürülebilir. Gerçekten fix) - F(x) = 1__ fix) Fix) m yazılırsa ikinci tarafın - qÖRNEK 1. F(x) şeklinde olduğu kolayca görülebilir. 1i m (tg a: - sec j ) = ? ,. .. . ,. sin cc — 1 ,. cos X 11 m (tg X — sec x) = 11m -------------- = 11 m ------- — r- = O — sın X cos a? ÖRNEK 2. lim a: 1i m AT o . x^ O COtg X^ COtg X X — ? X X = 1i m a: - > O = 1i m ^ O sın X ~ X cos sın X X cos X — cos a? + a; sin a; 4- 2a; sin x , . sin a; = 1 ı m ------------ —r—T-----X cos a; 4- 2 sın a; , . cos X = 1 ım --------------- ^------ — r---------= O X ~ X sın a; 4- 2 cos x 1 3 1“ , 0“ , 00° Belirsiz şekilleri 293 ÖRNEK 3. 1 i m (Arg sh x - log x) - ? X oo — co ^ belirsiz şeklinde olup 1 i m (A rg sh a? - log a?) = 1 i m [log (a? + \/aj^ 4- 1) -* log x\ X -h zo OD = 1 i m log X-h co 1 + = log 2 1 3 .4 -5 . 1 " , 0“ , Belirsiz şekilleri. 1 i m [/(! b)]^(") limitini gözönüne alalım. X a halinde /(a ) =1 , F (a) = oo ise lOD /(o )= 0 , F{a)=0 ise 00 /(a ) = 00 , F(a) = 0 ise ooO belirsiz şekilleri ile karşılaşırız. y = yazarak her iki tarafın logaritmaları eşitlenirse log y = F( x ) log f i x) elde edilir ki, ikinci taraf her üç halde de 0 X o o belirsiz şeklindedir. O halde 0 X o o belirsiz şekline ait kuralı uygulayarak 1 i m log y = h X -f a elde edilirse 1 i m 2/ = 1 i nı [/(a?)]^<"'l = e* X a X a olur. ÖRNEK 1. 1 i m (cos x + sin .Y 0 = ? 294 Belirsiz şekiller 1®® belirsiz şeklinde olup y = (cos X + sin xy''' ise log y = — log^’cos x + sin :r) X olarak - sin a? + cos z . . . ,. log(cos X + sin x) ,. cos x + sin x ^ 11 m lo g y = h m — --------------------- = 1 1 m --------------------------= 1 Jf-+-0 AT-»-0 bulunur. Böylece ^ log y -^ 1 0 olup 1 i m (cos X y e ^ yani + sin = e .Y -► 0 dir. ÖRNEK 2. lim = ? Y -> 0 0° belirsiz şeklinde olup y = ^ ise log y = sin x log x olarak log X 1 i m log lo g 1 2// = = 11 1i m m sin sın a; x lo log g a a;? = = 1 11i m ın Y h -0 _ Jl Y -^ 0 Y -► 0 sın X sinâ? = 1 i m ------------- = 1 im — x-ô ^ ^ YH.0 ^ , . 2 sın a; cos x = 1 ı m ---- --------------- = 0 . n cos X —X sın X bulunur. Böylece log y -^0 olup y = 1 1i m rr"" * = 1 Y 0 dir. ÖRNEK 3. 1 i m [3 + 2 e'» * ]"" 2* = ? 00® belirsiz şeklinde olup yani ^ , 0® , oo® Belirsiz şekilleri 1/ = [3 + 2 ise log y = {% - 2x) log[3 + 2 olarak 1 i m log y — I im X - * - ----- ,Y (tz - 2x) log[3 + 2 TZ ----- 2 secâ; e‘** log{3 + 2e‘^*) 3 + 2 e ‘** = 11 m -------- ----------= 1 1 m --------- ^------tt __ 1___ it ^ TZ — 2x (it — 2 x)‘‘ (t: - 2 x)^ e*»* = 1i m “ cos^r (3 + 2 e 'n I i m I i m ^ 3+ - X -h ~ X 2 2 o:)2 cos2 X T. 2e*^^ 2 , . sec^ X .. = 1 1 m t;----- ö-----. 1 1 m 7ç 2 sec^ X - 4: {t: — 2 x) — 2 cos a: sin a? _ 1 4(7C - 2 a -)_ 1 , . ^ - 8 _ , = -- 1 1 m ---- :— :r----- = — 1 1 m ------- ^ sin 2 x 2 ^ 2 cos 2 a? 7t 2 bulunur. Böylece log y -^2 2 olup 1 i m (3 + 2 TZ dir. y yani = 295 296 Ortalama teoremi, belirsiz şekiller 13. BÖLÜM E A İT PRO BLEM LER. 1) f(x) = x^'^ fonksiyonuna [— 1, + 1] aralığında ortalama formülüne uy gulayınız ve xi değerini bulunuz. Cevap. ATİ = 0 2) y= parabolünün hangi noktasındaki teğeti, rını birleştiren kesene paraleldir ? Cevap. i4 ( 1 , 1 ) , B(3,9) noktala (2,4) 3) ff = log X eğrisinin hangi noktasındaki teğeti; /4(1,0) , 5(e,l) rını birleştiren kesene paraleldir. Cevap, 4) X < noktala e — 1 apsisli nokta < X h olarak sin(AT + A) — sin x — h cos xı olduğunu gösteriniz. 5) 0, aralığında f(x) = sin x ve F(x) = cos x fonksiyonlarına Cauchy teoremini uygulayınız ve xı değerini bulunuz. Cevap. ;tı = — 6) f(x) = log X fonksiyonunu a- — 1 in kuvvetlerine göre, (x — 1)^ li teri me kadar, yazınız. Cevap, log — 1) — 2 — 1)^ + ~ 3 ! A-r '> IA i < 1 için '/ı + * - ı + T ^ - T * ' yaklaşık formülünün doğruluğunu gösteriniz ve yapılan hatayı bulunuz. Cevap. /?3 ...3 1 6 ( 1 + A i)s'= ^3 16 (1+ 0 (0 < 0 < 1) a )5/2 8) |a1< 1 için vrr 1+ 1 3 9 yaklaşık formülünün doğruluğunu gösteriniz ve yapılan hatayı bulunuz. a Cevap. /?3 (1 + Ai )8/3 (1 + 0 ;r)8/3 Problemler 9) e = 2 + ± - + ^ Cevap. Rs < 10) f { x ) = göre yazınız. 11) yazınız. f ( x) = 40 x*~5x^-\-5x- Cevap. yaklaşık formülünde yapılan hatayı bulunuz. 4! 5! 297 + çok terimlisini x-h2 x — 2 nin kuvvetlerine - l(x - 2) - (x — 2)- + 3(.v - 2)3 + (.v - 2Y x^-\-2x* — x ^ - h x + l çok terimlisini ,y -i- 1 in kuvvetlerine göre Cevap. {x + 1)2 + 2(x + 1)3 — 3(.r + 1)^ + (x + 1)^ 12) a = l ve n = 3 olarak yz=z\J x zınız. Cevap. — . x-\ \/.Y= 1 + —Y fonksiyonu için Taylor formülünü ya 1 ( at 2 — 1)2 1 ‘ "4 2! 4 (x — lY 4! 13) f(x) = \^l + AT fonksiyonunun at= 0 ,2 V^l + AT= 1 4- X 15 16 ( at [1 + -1 )3 3 3! '8 6 ( a: - 1 ) ] - 7 / 2 için değeri — A.'2 formülü ile hesaplanırsa hata ne olur? Cevap. R3 < 1 2.103 14) log(l + Ar) = A : - 4 - + ^ 2 3 4 + 5(1 + Ar,)3 olduğunu gösteriniz ve bu ifadeden faydalanarak log 1,1 i hesaplayınız. Cevap, log 1,1=0,09531 ve hata 2.10“ ® dan küçük 15) e* fonksiyonunu a: — 1 in kuvvetlerine göre ilk dört terimini belirtmek suretile taylor formülüne uygulayınız. Elde ettiğiniz formülden faydalanarak e^-^ i hesaplayınız ve hatayı bulunuz. , f — 1) 4----. ( :^------- l) ' }-, ( ^ - 1)' Cevap, e* = e .1 +. (A 2! 3! e’ i = 3.0042 ; R, < 0,00002 16) Arctg 0,2 yi üç ondalık doğru olarak hesaplayınız. Cevap. 0,197 298 Ortalama teoremi^ belirsiz şekiller 17) e"^'^ ü üç ondalık doğru olarak hesaplayınız. Cevap. 0,741 Aşağıdaki limitleri hesaplayınız. — sin a: — sin X 1i m Cevap. co 1 i m logd — cos a:) log a: AT-V0 Cevap. 2 1 i m 2 tg Af — tg 2a: AT-^0 at(1 — cos 3a:) Cevap. _ 4 9 1 i m tg a x — a x x^ tg a x ,Y -^ 0 Cevap. 1 i m sin 5a: — tg 3a: X-*- 0 sin 3a: — tg 2a: Cevap. 2 1 i m e' sin X — a: AT-^0 sinesin x ) Cevap. 0 1 i m e* — e’'“ * AT-0 X — sin X Cevap. 1 1 i m 1 - r sin X — cos X AT-..0 1 + sin p x — cos p x Cevap. J_ X 1i m a:-*- 1 1i m -v -f- 0 1i m ath-2 1im AT-,.0 1i m n Oİog * _ ^ a: — V^CO S 2a- sin2 X sin'-' P Cevap. log a — 1 log Af COS 3 TtA' Cevap. Cevap. 2e"‘ i^ — e x 4' — 2* — AfÜog 4 — log 2) e Cevap. 3(log 2)2 2 Cevap. 1 2 a -2 sec2 a: — 2 tg A1 - r cos 4 a: 1 2 Problemler 31) lim 1 4- x-t~ 1 — COS 7C.Y 2x + Cevap. 32) l i m - lOg COS 2x x - ^ 0 log COS 2 x Cevap. 33) lim Cevap. x^ .v-^0 7C2 l AT— Arctg X log(l + X) 4 1 6 Cevap. J_ Cevap. —1 Cevap. log 37) 1 i m Arctg X — Arcsin .v Ar(l — COS x) x -^ 0 Cevap. 1 3' 38) lim log X Cevap. 0 39) 1 i m x3 Q-İx x-hCo Cevap. 0 40) 1 1 m AT-0 Cevap. 0 41) 1 i m x^ e-* X-hOO Cevap. 0 rkcr ^ + 3 -42) 1 i m ATIlog-----X —3 Cevap. 6 43) lim AT-^00 Cevap. TC Cevap. IX 45) lim A^ x-.0 Cevap. 1 46) li m Cevap. e1/3 1 _ sin^ AT 34) lim x-^ 0 1' x'^ —2 ( + 1 0 COS i x — 2 COS 2 x -h COS ;c 35) l i m - 36) lim 3*— 2* x^ 3 x -^ 0 X^ a: log X sin — X 44) li m 2 ^ t g ^ AT-+-00 299 300 Ortalama teoremi^ belirsiz şekiller 47) 1 i m (cos A')'"'* Cevap. 1 48) 1 i m (tg a)‘2 t: .V-»- — 4 Cevap. _1 e 49) 1 im (e'-}-xy'^ A->CO Cevap. e ir 50) 1 i m X-*- 0 'l o g 3x Cevap. e 51) 1 i m dog.v)‘ '* x-t- 00 Cevap. 1 52) 1 i m Vlog.v X-*- 00 Cevap. 1 53) 1 i m (cosÂ)^" ^-►co Cevap. e ■- 54) 1 i m (cos x-^0 Cevap. e-ı/2 55) 1 i m (e^'-5xy>^ x-hCO Cevap. e3 56) 1 i m (e3*_5;^)UA-^0 Cevep. 57) 1 i m ,r->00 ( ‘ - t ) " Cevap. e“ « 58) 1 i m (1 -r 2.v)i'3* AT-+-CO Cevap. 1 59) 1 i m (x + e' + e2")i X-*- 00 Cevap. e^ 60) 1 i m t g ^ 4 A-»- 1. Cevap. 1 e ‘’ T e“ 2 14. BOLUM BELİRSİZ İNTEGRAL Integral hesabı, diferansiel hesabın tersi olan bir işlemdir. Diferansiel hesabın amacı, verilen bir fonksiyonun türev veya diferansielini bulmak olduğuna göre, integral hesabın amacı, bunun tersi olarak, türevi veya diferansieli verilmiş olan fonksiyonları bulmaktır. Genellikle integral hesabı, türev hesabından daha karışıktır. Adi fonksiyonların türevleri, daima adi fonksiyonlar cinsinden ifade edile bildiği halde integral hesabı ile elde edilen sonuçlar hakkında daima ay ni şeyi söylemek mümkün değildir. Örneğin dy __ = da? sın X a? si eşitliğini sağlıyan y fonksiyonu adi fonksiyon değildir. 1 4 - 1 İlkel fonksiyon - Belirsiz integral Türevi /(a?) veya diferansieli f ( x) da? olan bir F(a?) fonksiyo nuna, /(a?) in ilkel fonksiyonu veya /(a?) da? diferansielinin integrali denir. Türevleri eşit iki fonksiyon, birbirinden bir sabit kadar farklı ol duğundan, bir /(a?) fonksiyonunun birbirinden bir sabit kadar farklı sonsuz sayıda ilkel fonksiyonu olacaktır. 302 Belirsiz integral f { x) sürekli bir fonksiyon ve F( x) in türevi f { x) ise, C keyfi bir sabit olmak üzere F{ x) + C ifadesi türevi f { x ) olan bütün fonk siyonları gösterir. Karşıt olarak, türevi f { x) olan her ç(ar) fonksi yonu F{ x) le ayni türeve malik olduğundan 9 (0?) le F{ x) in farkı sabittir. Demek oluyor ki, C keyfi bir sabit olduğuna göre F{ x) + C fonksiyonu, türevi f { x) ve diferansieli f { x ) dx olan en genel fonksi yondur. Bu fonksiyona f { x) ^x in belirsiz integrali denir ve bu belir siz integral J /(a!)d£c İşareti ile gösterilir. Keyfi sabit bu işarette saklıdır. Buna göre d F(x) — f(x) d.a: ise J f(x) da? = F(x) + C dir. Örneğin d (sin x) = cos o? do? olup J cos o? do? = sin o; + (7 d(o?^) = 2x do? olup J 2xdx = + C dir. 14-2 Belirsiz integralin tanınundan çıkarılabilen özelikleri 1) Tanımdan veya olduğu kolayca görülür. Demek oluyor ki d ve J işaretleri, d işareti, işaretinden evvel olduğu zaman birbirini yokederler. 2) F( x) fonksiyonu dF(x) in bir integrali olduğuna göre J d F(£C) = F(x) + C dir. Demekki d ve J" işaretleri, d işareti J işaretinden sonra oldu- întegral hesabı - vasıtasız integrasyon ğu takdirde de F{ x) önünde birbirlerini yokederler. Ancak, fonksiyonuna keyfi bir C sabiti ilâve etmek gerekir. 303 F( x) 3) Sabit bir çarpan integral işareti dışına çıkarılabilir, yani bir sabit olduğuna göre a J a f(x) dûj = a J f(x) dx dir. Her iki tarafın diferansiellerinin eşit olmasından, eşitliğin doğru luğu gösterilebilir. 4) Bir diferansieller toplamının belirsiz integrali, bu diferansiellerin integralleri toplamına eşittir. Yani J (w + V — 10 + ...) dcc = J uda; 4- J u da; - J ti? da; -f ... dir. Gerçekten, bir toplamın türevi, terimlerin türevleri toplamına eşit olduğundan her iki taraf, ayni u + v —w + ... türevine maliktir. Bu se bepten farkları sabittir. Fakat her iki taraf ta keyfi sabit içerdiklerin den, eşit oldukları yazılabilir. 14-3 întegral hesabı - Vasıtasız integrasyon Diferansiel hesapta bulunan sonuçlar, bazı basit diferansiellerin integrallerini derhal yazmak olanağını sağlarlar. Gerçekten integrali alı nacak ifadenin, belli bir F{ x) fonksiyonunun diferansieli olduğu görü lebilirse, belirsiz integrali elde etmek için bu F( x) fonksiyonuna keyfi bir sabit ilâve etmek yeterlidir. Bu husus, adi fonksiyonların diferansiellerini veren tabloya uygulanırsa aşağıdaki integral tablosu elde edilir. Integra! Tablosu : 1) j' du = u + C 2) 1* a dw = a J du 3) j* (du 4- du 4- ...) = J 4) 1 w” dw = — —— 4- C f n 4-1 1) 304 Belirsiz integrdi 5) J -Ş- 6) J 7) f o “ dM = J l oğa = logM + C e° dit = e“ + C C 8) J cosudu = sinu + C 9) J sin wdw = — cos u -h C 10) J sec^wdu = tg u -h C 11) J cosecûdı^ = —cotg w + (7 12) J sec u tg u d u = sec u + C 13) J cosec wcotgw du = —cosec w + C 14) J sh wdw = ch w + (7 15) J ch wdw = sh w + (7 16) 17) 18) 19) 20) J* ch^ u = thu + C du 1 ^ ^ ^ — ö = — a r c t g ------ h C u^ + ar a a J J^ J J du u = a r c s in ------ h O a u" tg u du = —log cos U+C7 = log sec u+(7 cotg u du = log sin u 4-(7 21) J sec u du = log (sec u + tg u) +(7 22) J cosec u du = log (cosec u —cotg u) +(7 23) 24) J Jf du 1 . u- a , ^ —2 y 2-----_ T = ^T“ 2a log®— u +;------a ^ dM ^ ,_______ (u + \/u^ + d^)+ C Basit elemanlara ayırma ile integrasyon 25) / dw \Jv? - = log (u + 305 — a^) + O Bu formüllerden 1-16 formülleri, diferansiel formüllerinden doğrudan doğruya yazılabilir. 17, 18, 19 ve 20 formülleri, diferansiel formüllerin den faydalanarak çıkarılabilir. 21-25 formülleri ise daha sonra verile cek kurallarla çıkartılabilecektir. 1 4 - 4 Vasıtalı integrasyon Bu kısımda, daha karışık diferansiellerin integrasyonunu yukarı da verilen integral tablosunun formüllerine dönüştürmek mümkün ol duğu takdirde, bu dönüştürmeyi yapmak için kullanılabilen belli başlı kuralları vereceğiz. Genel olarak bu kurallar şunlardır : 3. 1. Basit elemanlara ayırma; 2. Kısmî integrasyon (paryarti), Değişken değiştirilmesi; 14.4 -1 . Basit elemanlara ayırma ile integrasyon. Bu kural J (w + V - + ...) da? = J w da? + J V da? - J İt? d^; + ... özeliğinin uygulanmasından ibarettir. Eğer, f ( x) da? diferansieli, integrali bilinen terimlerin toplamına ayrılabilirse, bu terimlerin integralleri toplamı /(a?) da? in integralini verir. ÖRNEK 1. J (3*2 + 2* - 3) d* = ? J (3a;2 + 2* — 3) d* = J 3*2 d* + J 2* d* — J 3 d* = ÖRNEK 2.I. *2 + *2 _ 3a; + c f . J sınâ: cosâ? r da? __ r sinâ? 4- cosâ? da? J sinâ; cosâ? J siı sınâ? cosâ: = I Yüksek Matematik I I ^ = t g * - c o t g * + (7 F. 20 306 Belirsiz integral ÖRNEK 3, J tg'^x d x = j (1 + tg^ x - 1) da; = I' (1 + tg^x) dx — J dx = tg x - x + C 14.4 - 2 . Değişken değiştirilmesi yardımiyle integrasyon. Bu kural, fonksiyon fonksiyonlarının diferansieli kuralına dayanır. J f { x) da? integralinde isteyelim. X= a?=cp(^) cp(f) değişken dönüştürmesini yapmak ise da; = <p'(f) dt olarak J f{x) da; = J / [9(f)] 9 ' (t) dt yazılabilir. /(a?) da; in, integrali bilinen bir şekle dönüşmesini sağlıyacak tarz da bir değişken değiştirilmesi yapılırsa, integral t cinsinden elde edi lecektir. integrali a? cinsinden ifade etmek için t yerine a?=<p(f) den bulunacak t = t ( x ) değerini, koymak kâfidir. ÖRNEK 1. J tg u dtt = ? sın u du cos u J tg IKİM = J olup J cosu = t tgudu = J dönüştürmesi yapılırsa —^ — log f + O = —si nudu = dt log cos w + C = log sec w + C elde edilir, (integral tablosu, formül 19.) dw 4r I _ , du r __ 1 du J u olup — = t Cb dönüştürmesi yapılırsa olarak du=adt + 1 olarak Değişken değiştirilmesi yardımiyle integrasyon f du 1 C dt ^ = — I -o 307 1 = ~ arctg t + C = — a rctg -----C bulunur. (Integral tablosu formül 17.) ÖRNEK 3. 3a?=w J cos 3x d x = ? dönüştürmesi yapılırsa da?= -^dw r İ r 1 J cos 3a; da? = — J cos u d u — — shtm olarak 1 + (7 = — sin 3a? + C dir. ÖRNEK 4. —2 x = u J e-2» da? = ? dönüştürmesi yapılırsa da?=— -^di6 J olarak = - | - J e“ d u = - | e“ + (7 = - | - e - ^ * + C dir. ÖRNEK 5. J da? \/l - 4a? = ? l —4a?=w dönüştürmesi yapılırsa r J da? = _ i. f v^l - 4a? 2 J dw 2\lu da?=— du olarak - 4- \/m + Cf = - 4- \/l - 4a: + C 2 " ' 2 dir. ÖRNEK 6. f da? j5a?-2 • 5a?—2=W dönüştürmesi yapılırsa 5da?=dw ve da?= -ğ- dw olarak J = İ / 5Ş = i . o g « + C bulunur. ÖRNEK 7. J (3a?2+4)’ a?da?=.? = -l-lo g (5 .-2 ) + C 308 Belirsiz integrdi 3o?2+4=u dönüştürmesi yapılırsa ve olarak J (3a?2 + 4)5a; d» = y J du = ^ ■^ u *+ C ^ (3 x ^ = + i)* + C dir. ÖRNEK 8 \/3x=u da; 5 4- 3ir^ ■/ dönüştürmesi yapılırsa f du J 5 + 3x^ “ 1 f du J 5+ “ do;= —j=^ du V3 olarak 1 1 w , _ y/s X v/3“ = -^ a r c t g y /| -a : + C ÖRNEK 9. I* = ? J v'l - 4a;^ —8o;da;=dw l —4iXİ^=u dönüştürmesi yapılırsa ve o;da;=— -ğ-dw olarak / 3x dx v/l - 4a?^ f 3 /— ^ 3 /----- T—2 , ^ I - ^ ^ - = - g - - 2 V« + C = - - v l - 4 o . ^ + C 3 = bulunur. ÖRNEK 10. 2 x= u f J J 3 da; — ? v/l - 4a;2 do;=dw ve dönüştürmesi yapılırsa 3 da; 3 \/l - 4x^ ~ f 2J — da?=-^dw olarak • u -h I rf ^ arcsın ' 2x n +1 r* = -7^T arcsın C = -jr C 2 dır. ÖRNEK 11. J cos^ o; sin o; do; = ? coso;=w dönüştürmesi yapılırsa olarak —sino;da?=du ve sino;da;=—dw Değişken değiştirilmesi yardımiyle integrasyon 309 _ w^ 1 J cos'* oj sin a? do; = — J w"* dw = — -ğ- + C = — ğ- cos^ x + C dir. ÖRNEK 12. J v/o;2 - 2x^ dx = ? J \/x^ — 2 x"^ dx = j \J l — 2x^ xd x olup 1 —20 ^= u dönüştürmesi yapılırsa —4:X dx=du ve x d x = ---- T-du olarak 4 J _ 2ojMa?= —^ J \/wdw= 1 9/3/2 J dw 1 bulunur. ÖRNEK 13. /r d£^ + /r lı= = / ( ı - r f p h = J ^ - / î olup ikinci integralde olarak J = * - l+e'*'=w J ^ e* dx + dönüştürmesi yapılırsa e''daî=dw = X - lo ğ u + C = X - l o g d + e*) + C bulımur. ÖRNEK 14. J cos^xda; = ? J = Ir ------1+ C O S205, If/ ^, Jr cos*^2 xdx ^------- dı; = -^ J (1 + cos 2 x) dx İ r = y J d.r + İ r J = y a? + ™ sin 2x + C ÖRNEK 15. J Sin2 .î:d2: = ? 22*d.c 310 Belirsiz integral J sin^X dx ~ = Y j “ "I" J J = y a; - -^ sin 2o? + C 14.4 - 3. \/a^ - x^ veya yjx^ ± a^ yi içeren integraller. Bu ifadeleri içeren integrallerin hesabı için trigonometrik değişken dönüştürmeleri yapılır. 1. — a;2 yi içeren integraller. Bu halde X — a sın (p değişken dönüştürmesi yapılır. O takdirde dx = a cos (p d^ ; \/a^—a^ = a cos olarak integral, trigonometrik bir integral halini alır. ÖRNEK 1. cc = 2 sin ç Jr - y- — - = ? \/4:-X^ dönüştürmesi yapılırsa da? = 2 cos 9 d<p ; \/4:—x^ = 2 cos çp olarak r J _ = f J J 4 sin^ <p. 2 cos 9 d 9 2 cos 9 4 sin^ 9 d9 = 2 J (1 — cos 2 9) d 9 = 29 — sin 2 9 + C elde edilir. Şimdi bu sonucu x cinsinden ifade etmek üzere a: = 2 sın 9 , sın 9 = — , sin 2 9 = 2 sin 9 cos 9 = x ^ 1 — ^ olduğu gözönüne alınırsa 9 = arcsın = ^ x v/4 — Değişken değiştirilmesi yardımiyle integrasyon bulunur. / dX X 1 = = 2 arcsin --------— v/4-.'C^ ------------ 2 ÖRNEK 2 . J V 5-3a^ daj = = 5 sin^ (p veya 311 /------- ^ C ? \/3 x — \/d sin cp dönüştürmesi yapılırsa V^3 da? = v^5 cos(p dcp ; \/5 - 3aj^ = V^5 - 5 sin^ç = \/ö coscp olarak f V^5 - 3 a;" d.r = f v^5 cos cp. \/3 = f (1 + cos 2cp) d(p f cos^ (p d(p = — J 2\/3 \/3 2 v/3 elde edilir. Sonucu x coscp d9 (< P + |- ssin i 2cp + (7 cinsinden ifade etmek üzere t /— 3 a; , sın <p = y • *V/ 3 ^ ^ q> = arcsin O . / ”^ J 't ^ ®m2'P = 2 \ / ^ * •y i - ^ 2 v /l s/5-3x'^ olduğu gözönüne alınırsa j* 5-3x^ da? = - arcsin y^“^ ^ + —3a;'' + C bulunur. 2 . vâ?^ + yi içeren integraller. Bu halde de a? = a tg cp dönüştürmesi yapılır. O takdirde da? = a (1 + tg^cp) dcp = a sec^ dcp ve \/x^ + = a sec cp olarak integralde yerlerine konursa bir trigonometrik integral elde edilir. ÖRNEK 3 ■/ da; \/x^ + 312 Belirsiz integral dönüştürmesi yapılırsa x = a tg q ) da; = a (1 + tg^ cp) dcp = a sec^ 9 dcp ^ \/x'^ + d^= a sec 9 olarak f _ J - f ® sec^ 9 d9 _ f aseccp - J «ec<pdq> J trigonometrik integraline varılır, integral tablosundaki formül 21 e göre J sec 9 d9 = log (sec 9 + tg 9) + (7 ve ^ X tg 9 = — ® a j sec 9 = \/x^ + ----------a olarak bulımur. (integral tablosu formül ÖRNEK 4. a;=atgç} / da; (a;2 4- a2)3/2 2 4 ). — 9 * dönüştürmesi yapılırsa da; = a sec^ 9 d9 ^ {x^ + sec^ 9 olarak / _ da; (a;^+a2)2/2 r a sec^ 9 d9 J a2sec^9 f , = ' f cos 9 d 9 = i J ^ ^ J sec9 ve sın 9 = olup Ç bulunur. da; a; sin 9 + (7 Değişken değiştirilmesi yardtmiyle integrasyon 3. yi içeren integraller. Bu halde de X = a sec cp dönüştürmesi yapılır. O takdirde drr = a sec 9 tg <p dcp ; \/x'^ - = a tg<i> olarak integralde yerlerine konursa bir trigonometrik integral elde edilir. ÖRNEK 5. x=aseccp J da: = ? dönüştürmesi yapılırsa dx = a sec 9 tg 9 d9 ; \/x^ - = a tgq> olarak f x^ \/x^ - sec^ 9 . a tg 9 . a sec 9 tg 9 d9 do; = J = a^J sec'*9 tg^9 d9 sec^9 tg^9 sec^9 d9 = = J (1 _j_ tg2<p) tg29 sec^ 9 d9 “ J (tg^ 9 + tg29) sec^ 9 d(? elde edilir. Bu integralde de tgçç>=u dönüştürmesi yapılırsa sec^<pdcp=du olarak J x^ \/ x^ - dx = j (u^ + u^) dw = “ ' ( İ “ ' + T “ ') + c = «’ tg^<P + y tg* <pj + C = o*tg *9 bulunur. Sonucu tg *9 + y ) + C x cinsinden ifade etmek üzere X sec 9 = ~- , a * - o* a t g 9 = - — -------- 313 314 Belirsiz integral olduğu gözönüne alınırsa + c = ^ {x ^ ~ 15 (3a;2 + 2a'*) + C elde edilir. ÖRNEK 6 . + 8g? + 7 r J ix^+ 2ı- + 10)2 - 18^.2+ j I 4- 10) ^ 9 X + 1 3 ^ ^ olduğunu gösteriniz. ÖRNEK 7. _ 1 ^^2 _ (,?)3/2 _ fji yjyp. ^ r (x-----a ) ‘ J 3 X ^ arcsin — + C X olduğunu gösteriniz. ÖRNEK 8 . f ---- = log -- - - — "— ~ + C J X \fx^ + 1 ^ olduğunu gös- teriniz. 14.4 - 4. Kısm i integrasyon kuralı (P arparti). Bu kural, bir çarpımın diferansieli kuralına dayanır. x in fonksi yonları olan u ve V fonksiyonlarının çarpımlarının diferansieli d ( mu ) = u dM—Mdu olup buradan Mdv = d (m u ) —V du yazılabilir. Her iki tarafın integrali alınırsa J J M dv = J J d(Mv) — V dw elde edilir. d ( mu ) integrali mu çarpımından bir sabit kadar farklı bir genel çözüm verir. Bu sabiti diğer integraller içinde saklı keyfi sa bitlere dahil edersek Kısmi integrasyon kuralı (Parparti) J u dv = u v — formülünü elde ederiz. Bu suretle J 315 V du J u dv integrali J vd u integrali cinsinden ifade edilmiş olur. Bu formülün uygulanabilmesi için, J v d u integrali J u d v integralinden daha kolay bir şekilde hesaplanabilmelidir. Aksi duruma düşüldüğü takdirde u ve dv nin rolleri değiştirilir. Kısmi integrasyon kuralı, genellikle aşağıdaki ifadelerin integrasyonuna uygulanır : 1) X in bir tam çok terimlisi ile bir üstel fonksiyonun çarpımı; 2) X in bir tam çok terimlisi ile bir sinüs veya kosinüsün çarpı 3) Bir üstel fonksiyonla bir sinüs veya kosinüs çarpımı; mı; 4) X çarpımı; in bir tam çok terimlisi ile bir logaritma fonksiyonunun 5) arcsin, arccos, arctg% içeren ifadeler; 6) Bazı kare köklü ifadeler; 7) Bazı trigonometrik ifadeler; Şimdi bunların herbirini birer örnekle göstermeğe çalışalım. ÖRNEK 1. X= u , j X dz = ? dx = dv kabul edilirse da; = dw ^ olarak dır. J a; da; = -^ a: e^^ - J X dz = J ( 2z - 1 ) + C dx = V 316 Belirsiz integral ÖRNEK 2 . J (2x^ - 1) cos 3x d.c = ? 2x^—1 = u , cos 3a? da; = dv kabul edilirse 4i: di; = dw ; sin 3a; = u olarak J {2x^ - 1 ) cos 3a? d r = —- sin ~ ^ ^ ^ ^^ elde edilir. İkinci taraftaki integrali hesaplamak için de a?=w , sin 3a? da?=dt? kabul edilirse da? = dw / — O cos 3i: = v olarak c J X 1 sin 3.r da? = - — = - x İr* cos 3.r 4- y J cos 3.r di: i: cos 3r + -^ sin 3a: bulunur ve yukarıda yerine konursa : J {2x^ ~ 1) cos 2x d iz = ^ {2x^ —1) sin 3i: + “ a: cos 3.r —~ sin 3i; + G — ^ (18a?^ - 13) sin 3a? + 4" 21 o elde edilir. ÖRNEK 3. J sin 3 » = ? e^'" = u , sin 3.r d.r = du kabul edilirse 2e^^ d r = du ^ d cos 3.r = t? cos 3a? + C Kısmi integrasyon kuralı (parpartı) 317 olarak J sin da; = - e-"*" cos 3x + J cos 3a; dx elde edilir. İkinci taraftaki integral, hesaplanması istenen integralle ay ni tipten olup, bu integrali hesaplamak için de v2.y u ^ COS 3a; dr = du kabul edilirse 2e2"^ da; = du —sin 3x = O V olarak J e^^ sin 3:r da; = - e^"' cos 3.r + J e'^"^ sin 3.c ~ sin 3a; da; elde edilir ki ikinci tarafta ortaya çıkan integral, birinci taraftaki integralin aynidir. Bu ifadeden J s i n 3a; da; integralini çözersek 1 -f -ğ-1 J e^"^ sin 3a; d.c = J e^* sin 3a; da; = - —-ğ- cos 3a; + — e^^ sin 3.r ^ e^"" cos 3x + • -ğ- e^^ sin 3x + C = -^ e2 * (2 sin 3a; - 3 cos3j ) + C bulunur. ÖRNEK 4. J a;^logâ; da; = ? log^ X = u , a; da; = du kabul edilirse 2 log X • ® X = du = V olarak J a;^logâ; da; = log^ ^ ~ ^ J ^ elde edilir. İkinci taraftaki integrali hesaplamak için de 318 Belirsiz integrasyon log X = , u x ^ û x = 6.V kabul edilirse do; = dM, X ~^ = v o olarak J log^xd x = ^ x ^ log^X - ^ x ^ log ^ J = y a^Mog^rr - -|-a;^loga; + - ^ x ^ + C = - ^ ( 9 logâ; - 6 loğa; + 2) + C bulunur. ÖRNEK 5. J arcsin a; da; = ? arcsin x = u , da? = dv kabul edilirse da; = dw ^ V / I - a;2 X= V olarak J , . r a; da; arcsin x dx = x arcsin x — i ~y— J \ /l-x ^ = X arcsin x + v^l — x^ + C dır. ÖRNEK 6 . J \/x^—a^ da? = ? ^/x^—a^ = w , da? = du kabul edilirse X dx \/x^ - du , X= V olarak f \/x'^- dx = x\Jx'^ - — dx f ,___ Kısmi integrasyon kuralı (parparti) 319 2 _ /, 2 + a^) , /~2----- 2 r = aj \/a:^ -----r î = = ^ = a? J vâ?2 - /- ö -------n \/x^ - da? = a?v/a?^ - f - \ j (x^ - a^) da? , ------ a? \Jx^-a^ -- J yâ?^- — a'*^ da? ~ f J da? -7 = = = ^ \/x^ - log(.r 4- vâ?^ - a^) olup bu ifadeden J \/x^—a^ da? çözülürse : bulunur. ÖRNEK 7. J sec3a?da7=? J sec^ a: j sec x sec^ x da; olup sec a?=16 ^ secâ?da?=du kabul edilirse seca;tga?da?=du , tga?=v olarak J sec^ a; da; = sec x tg a;—J sec x tg^ x da; = sec X tg a; —J sec a;(sec^ a; — 1) da; = sec X tg a; — J (sec^ x — sec x) dx = sec X tg a? —J sec^ a; da; + J sec x dx J sec^ X da; = sec a; tg a;—J sec^ a; da; + log(sec+ tg a?) ve buradan J secâ? da? çözülürse : bulunur. 320 Belirsiz integral 14.4 - 5. 1. ax^ + hx + c veya \âx'^ + bo? + c yi içeren integraller. da; + hx + c J aat" integral tipi Bu integral, esas itibariyle ileride ele alacağımız rasyonel kesir integralidir. Ancak, burada payda, ikinci derece üç terimlisi olduğu için şimdi vereceğimiz bir kural ile doğrudan doğruya hesaplanabilecektir. dx^-hbx+c üç terimlisinin iki kare toplamı veya iki kare farkı ha line getirilebileceği düşünülürse bu integralin I ,2 du + £2 veya du j „2 _ / şekillerinden birine dönüşeceği kolayca görülebilir. Bunlardan birincisinin I dw 1 ^ # + Ki = K " ‘ *8 ğ ^ + C olduğu, integral tablosunun 17. formülünden görülür. İkincisi ise ayni tablonun 23. formülüne göre I du 1 u —K , ^ log —T-vı; + C 2K u+ K w dir. Birinci integral 14.4-2. Örnek 2. de hesaplanmıştır. İkinci integral ise u^ - u+ K B + u—K 1 ^ A ( u - K) + B(u + K) ve A = - 2K 2K olarak r du J u^~ ^ 1 r du 2K j u ~ K ~ 2F 1 r du 2K ] u + K -K )~ ^ log(M + K) + C aoG^-\rhx+c veya \Zax^-\-l>x+c yi içeren integraller 321 1 , 2K u - K dir. Genel hal. ax^ + ba; + c = a ^ 2a j 4a^ olup I da: ax^ + bx + c a dx , b ,, \, b^-iac] yazılabilir. Bu integralde X . h + ^ = u 2a ve — - 4 ac „2 — = ± 4a^ yapılırsa üç hal ile karşılaşılır. 1. b^—4ac = 0 ise f __ ^ __ - a1Jfd»- 1 da: J aa?^ + ba: 4- c 2. J ise c 1 - ^2 _ ^ 4 a' I c x . * olarak ; da; - Jf -u aa;^ + ba; + c = a 3. f J &2-4ac < 0 + aw ^ b^—4ac > 0 ise JL f da: — ax^ + hx + c~~ a j b^ _ 4 — -—^ o l a r a k 4 a' _ 1 du . — K^~~ 2a K ; * u —K m+ X ^ dir. ÖRNEK 1. Yüksek Matematik I f 2 = ? J a;' - a: + 1 F. 21 322 Belirsiz integral da; a; + 1 / ÖRNEK 2 / ■I da; = r = -J= z I “, 1 :.2 4,- ^2 r.i! = ^ Ka r c t g — + e 2 ^ 2a; - 1 , ^ a rctg ---- --------h C \/3 \JZ da; 2a;2 + a; - 1 ? — da; 2a;^ + a; - 1 da; 91 2 f/ . 1 (* + t ) ~ Î 6 du 2 3 1 “ ~ T = i l o g -------I- + C M + “- ( t ) 1 ‘3 = _ l o g _ ^ - | - + C 1 , 2. f J ipx 4- r) da; 4- ba; 4- c aa;^4-ba;+c=w 2x - 1 , ^ integral tipi. dönüştürmesi yapılırsa (2aa; 4- b) da: = dw ve x da; dw — b da; 2a dw 2a 2a olarak f f (P»^+ J ax^ 4- ba; 4- c __ ~ J /dw bda;\ P (T a , + M da; ax^-{-bx-{-c veya ^/ax^+bx+c yi içeren integraller ^ r ^ 2a J = ^ / pb \ r M V 2a j J 323 d05 ax^ -{-bz + c + hx + c) + ( r - -g -J J do? ax^ + bx -i- c elde edilirki ifadedeki integral, bundan evvel incelenen tipteki integraldir. Bu tipe ait çözüm kuralı uygulanırsa verilen integralin hesabı ya pılmış olur. ÖRNEK 3 •f {2x - 3) dx + 2x + 2 x^ + 2 x+ 2 = ( x + l ) ^ + l da;=dw olarak I — ? olup x+l=u (2a; — 3) da: _ r 2w — 5 - a:2+ 2a: + 2 “ J Ü^~T1 dönüştürmesi _ Ç 2u du j f yapılırsa du +1 = log(u^ -f 1) — 5 arctg u + C = log(a5^ + 2a; + 2) — 5 arctg(x + 1) + C bulunur. ÖRNEK 4. J* (1 — a:) da; - 4* - 3 = - -T + a ‘»S İ h r I + ° olduğunu gösteriniz ÖRNEK 5. I 1 (1 — x) dx 3.^ - 4* + 3 = - 6- t/ p; - 4 . + 3) + - ^ _2 + "" olduğunu gösteriniz. 3. I dx \Jax^ bx + c integral tipi. ax^+bx+c üç terimlisi kanonik şekle sokulursa iki kare farkı ve ya iki kare toplamı haline girer. Buna göre üç hal meydana çıkar. 324 Belirsiz integral f Birinci hal. i —p = ^ = = = arcsin + C7 \/K^ — u^ K (İntegral tablosu formül 18) J^ İkinci hal. ,2 4 . JÇ2 = İ0g(M + sju^ + m + C (integral tablosu formül 24 ve 14.4-3, Örnek 3). du ,2 / \/u^ _ jp u = K sec (p dönüştürülmesi yapılırsa Üçüncü hal. olup du = K sec(p tg(p dcp ve f dw = K tgcp olarak Ç K seccp tg cp d<p J f — r t ü — =J ■“* = Iog(sec 9 + tg (p) + c ve U seccp = -;ğ- . . 4 / W" 1 = K olarak bulunur. (İntegral tablosu formül 25). Genel hal. f olup a di: dx \Jax^ + hx + c - 4 ac 4a^ nın işaretine göre aşağıdaki hallerle karşılaşılır. 1 . hal, a< 0 ise. Karekök altındaki ifadenin pozitif olması gerektiğinden, bu halde köşeli parantez içindeki ifade negatif olmalıdır. Bu üç terimli, ancak, X in kökler arasında değerler alması halinde negatif olur. Buna göre üç terimlinin kökleri olmalı yani 4ac>0 olmalıdır. b^ — 4 gç 4 a^ ve 2: + 7T- = M alınırsa î 2a ax^+hx+c veya \/ax^+hx+c yi içeren integraîler dr . / \Jax^ + 1 br + c r V^l a I 325 dr Vdw =7^'/ 1 v/| a I \JK^ - u‘ . arcsın — ^ ----- f- C bulunur. 2. hal. a > O ise. ^ 2 _ ^ ac — j-^-2— = ± r + ^ = u <ca I (:t den 4ac nın işareti alınır) ve dönüştürmesini yaparsak \âx^ +" bx + c \Ja J s/u^ ± E? \ja elde edilir. ÖRNEK 6. r _ = ji_ _ = ? J \j2x — r- 2a; - a?2 = - (flp2 - 2r + 1) + 1 = 1 - (r - 1)^ olup r -j= ^ ^ = = ^ = J \A2r - r2 r ---- —= : = arcsin (r - 1) + C J y/ı - _ 1)2 bulunur. ÖRNEK 7 ■I; da; /r^ + 6r + 5 a;2 + 6a; + 5 = (a? + 3)2-4 olup dir. 326 Belirsiz integrdi C ÖRNEK 8 . teriniz. r J (İt t -4- 1 - — = = = = = arcsin — r— + C J \/8 — 2x — xr ^ + r) da; sjax‘' + hx + c Bu integralde olduğunu gös- integra! tipi. ax--i-bx-hc = u (2ax -h b) dx = du dönüştürmesi yapılırsa ve a; dj; = ûu — b dx 2a olarak du — b dx , , p - ^ — + r d^ (px + r) da; Jv/ ax^ + bx -h c \/u dx 2\Ju \ ax^ + bx 4- c = ^\/ax^+bx + c + ( T - ^ ^ I _ dx ax'^ + bx + c elde edilir. Bu ifadedeki integral bundan evvelki tipte olup gösterilen ^yoldan hesaplanır. ÖRNEK 9 (2x — 3) da; ■/ İ2x-Z )âx J v/3 — 7 \ / i - 2 x - x^ — 2a; — x^ f-(-2 x -2 )-5 J \J8- _ _ r 2x — da; ( — 2a; — 2) do; _ ^ f ____ da? J \j8-2x- o;2 Jv/4^(l + a;)2 = - 2 v^3 - 2a; — .o;2 — 5 arcsin 4- O Dikkat. Birinci integralde 8 —2 x —o^—Uy ikinci integralde l + x = t dönüştürmesini yapınız. ÖRNEK 10 ■/ (3a; 4- 2) do; \J4o;^ — 4x* 4- 5 — 7 ax^+hx+c veya \/ao(^+bx+c yi içeren integraller 327 jZx + 2) dx 3(8a; - 4) + 28 da; v/4.i- - 4a; + 5 I \J^x^ — 4.r + 5 =t J (öa; — 4) da; , 7 da; + V^4a;2 _ 4* + 5 2 J y/(2 a; _ 1) 2+ 4 I —— 5. - 4.r + 5 + log(2a; - 1 + v^4a;^ — 4a; + 5) + (7 integral tipi. v/aa;^ + ba; + c da aoıi^-\-hx-\-c üç terimlisi kanonik şekle sokulursa iki karenin top lamı veya farkı haline gelir ve integral de J \JK^ — dw veya J ± dw şekillerinden birine dönüşür. 1. hal. J \/K‘^— u^du u = K sinjp dönüştürmesi yapılırsa du = K cosçp dçp , -\/IP—y? = K cosq? olarak J \jK^ - V? dM = = Jcos^ıp d(p E? = -^ bulunur. Sonucu u r J (<P 2q>) d<p + y sin 2cp) + C cinsinden yazınak üzere u sın <p = — K . u ^ <p = arcsın K • o • U . I V? sın 2<p = sın 9 cos <p= ^ y 1 - ^ olduğu gözönüne alınırsa ^ U - j ^ ------\ K^ - w" 328 Belirsiz integral J \/K^ — du = arcsin ^ + H. A A — v?A- C bulunur. 2. hal. ^ \Jv? ± du Bu integrallerde v?+K} halinde u = K tgç y?—K^ halinde u = K secç dönüştürmeleri yapılır ve elde edilen trigonometrik integral çözülür, ö r neğin J s/u^ + integralini hesaplıyalım. u = K tg^ du = K sec^^ d(p , E ? dM dönüştürmesi yapılırsa ^/u^+K^ = K sec^ olarak J \/u^ + du = sec^cpdcp elde edilir. 14.4-4, ÖRNEK 7 den J sec^ (p d 9 = y sec cp tg <p + y log (sec <p + tg (p) olup / v/w^ + bulunur. Sonucu dw = — sec 9 tg <p + u log (sec 9 + tg 9 ) 4- C cinsinden yazmak üzere tg<P = ;^ . sec9 = ;^ V olduğu gözönüne alınırsa elde edilir. Ayni şekilde hareket edilerek doo^+hx+c veya \/aa^+hx+c yi içeren integraller 329 bulunur. Bu son iki integral kısmî integrasyon kuralı ile de hesaplanabilir di. (14.4-4, ÖRNEK 6 ya bak). J Vl5 + 6a: - 9x^ dz = ? ÖRNEK 11. J V^15 + 6® — 9x‘^dx = J v^l6 - (1 olup l~3rr = 4sincp d® dönüştürmesi yapılırsa —3 do; = 4 coscp d(p ; \/15+6a?— = 4 cos^ olarak \/l5 + dx — da? = — ^ J' cos^ <p d<p 8 r = — -ğ- J (1 + cos 2(p) dcp = - |(p + y sin 8 2(pj + C 8 = - -ğ- <p - -ğ- sin 9 cos <p + (7 elde edilir, sın cp = a? e l-3 a : dönmek üzere ^ 9 = arcsin - , cos 9 = -^ \/l5 H- 62; — 9a;^ olduğu gözönüne alınırsa j \/l5 + 62; — 92;^ d 2; = — o arcsin 1 - 32 : 4 - y (1 - 3x) \/l5 + 6® - bulunur. ÖRNEK 12. J \/Tx^ + 12x + 13 d® = ? / v/4®2 + 12® + 13 d® = J V(2® + 3)2 + 4 d® + c 330 Belirsiz integral olup 2oî+3=w dönüştürmesi yapılırsa J v'4FTl2xTl3 ~ I" J 2 dx=du olarak du = ^ Ms/y? + 4 + log(M 4- + 4) + C = j* (2.r 4- 3) \/Ix^ + 12a? H-Î3 4log {2x + 3 + \/4r^ 4- 12.r 4- 13) + C dır. 14.4 - 6. Trigonometrik ifadelerin integralleri. 1 . I J sin mx cos yx dx , J sin mx sin px dx , ^ cos m x cos 'px da? integralleri. Bu integralleri hesaplayabilmek için, logaritmik formüllerden fay dalanarak, integral işareti altındaki ifadeleri çarpım şeklinden toplam şekline dönüştürmek gerekir. Buna göre sinma?cospa:;=-|- [sin (m 4p )aj4sin (m —p)a;] sin ma? sin pa?= [cos(m—p)a?—cos(m4p)a?] cos ma? cos p x = - ^ [cos(m4p)a?4cos(m—p)a?] olup -1 r 1 sin mx cos px dj; = «7 — .— xcos (m + p ) x ---------r cos (m - p) x 4- C J ^ 2 (m 4- p) 2 (m - p) r J c J 1 1 sin mx sin px da? = ;;-7-------- sin (m - p) a? - 7^7— — r sin (m + p) a? + C ^ 2 (m - p) ^ 2 (m 4- p) 1 1 cos ma? cos px dx = — -— r sin (m + p) a? 4- 777-------- r sin (m — p) x + C ^ 2 (m 4- p) 2 (m - p) bulunur. Trigonometrik ifadelerin integrdlleri J sin 39 cos 20 d0= ? ÖRNEK 1. J sin 30 cos 20 d0 = - ^ J = —~ ÖRNEK 2. (sin 50 + sin 0) d0 cos 50 — ^ cos 0 + 0 J sin 40 sin 30 d0= ? J sin 40 sin 30 d0 = -~ J (cos 0 — cos 70) d0 = J cos0 cosy30 d9 = ÖRNEK 3. r J ^ cos0, cos—30 1 sin 0 — - i sin 70 + 0 JL4 ? Jr I/ 50 ^ ~02 d0 1 • 50 . 0 , ^ = ğ -s ın ^ + sm y + C 2. sin'" X cos" X dx întegralleri Bu tip integraller n tam ve tek hir sayı İse u = sin x m tam ve tek bir sayı ise w = cos x dönüştürmeleri yapılmak suretile hesaplanır. ÖRNEK 4. J sin^ a; z dx = ? J sin^ X cos^ '^x dx J sin^ x cos^ x sin x dx = J (1— cosâ?) cos^% sin x dx = J (cos^-'^ X — cos®A^ x) sin x dx olup cosa?=u dönüştürmesi yapılırsa —sin a; da?=dw olarak 331 332 Belirsiz integrdi J sinâ?cos^^^ z d x = (— + w®^^)dw J = _ A « 5 /3 + 3 O ç 11 = — J - cos^/â? 4cos'^â: + C 5 11 bulunur. tip integrdllerde m ve n in herikisi de çift sayılar iseler, sin” X ve cos" x , cos 2x in kuvvetleri cinsinden ifade edilir. ÖRNEK 5. J J sinyorda; = ? sin"* a: d.r = = ^ J (1- cos 2xY dr J ( 1 - 2 cos 2r + cos^ 2x) dr =H(î- 2 3 cos 2.r 4- = t ( — a? — sin cos 4r |da; 1 2r 4- -ğ- sin 4r |4- C 3 1 1 -ğ- r - — sin 2r 4- -22 sin 4r 4- C J tg” r sec” r dr ve J cotg” r cosec"r dr m tek bir sayı ise : birinci integralde u = sec x ikinci integralde u = cosec x n çift bir sayı ise : birinci integralde w = tg a? ikinci integralde u = cotg x dönüştürmeleri yapılır. integralleri. Trigonometrik ifadelerin integralleri 333 ÖRNEK 6. J tg’ar secâ; dx = ? J tg^x se&x d x= j tg^x sec^x sec^x dx = J tg^x ( 1 + tg^x) sec^x do? = J itg^x 4- tgâ;) secâ? da; olup tg a; = w dönüştürmesi yapılırsa secâ; da; = du olarak J tg^ a; »ec^ a; da; = J (u^ + u^) du = + û^+C 4 O = Y tg*-* + y tg«a: + C bulunur. ÖRNEK 7. f r ^^ — = ? J V sec X V sec X = f sec“ ^ X tg^x da; = J (sec tg^ X sec a; tg a; da; = J (sec (sec^x — 1) sec x t g xdx = J [(seca;)^^^-(seca;)“ ‘ '^]seca;tga;da; olup sec a;=w I dönüştürmesi yapılırsa sec a; tga; da;=du V sec o = — (sec xy^^ + 3 (sec x)~^ o dir. ÖRNEK 8. J cotg<a!da; = — 9 + C olarak 334 Belirsiz integrdi J cotg"* X dx = j cotg^x cotg^x dx = J cotg^sc (cosecâ; - 1) dx = J cotg^j: cosec* x d x - j cotg^ x dx = J cotg^x cosec^ o? da? - J (cosec^ a; -- 1) da? = J cotgâ? cosecâ? da? - J cosecâ? da? + j d ® = ■— ^ cotgâ? + cotg a? + a? + C7 İhtar, Eğer ne n çift ve ne de m tek ise, ifade sin a? ve cos a? cinsinden yazılarak elde edilen ifadenin integrali hesaplanır. ÖRNEK 9. f J tgâ; dx secâ? n=5 olarak çift değil, m =2 olarak tek değil. O halde ifadeyi Sina? ve cos a? cinsinden yazarsak : f tgâ? da? f sinâ? . , I —^ 5— = I — T- . cosâ? da? J secâ? J cosâ; = J sinâ; cosâ; da? = J sinâ: (1 — sinâ:) cos x da; = J (sinâ; — sinâ;) cos x da? olup sin a?=w dönüştürmesi yapılırsa cosa?da?=dw olarak = J (u^ — u^) du = o o + C = 4-sinâ; — ^-sinâ; + C o D bulımur. Rasyonel kesirlerin integralleri 335 14.4 - 7. Rasyonel kesirlerin integralleri. R (x) = olduğuna göre J R{x)dx boo;'” + ao-T" + + , . , + hr + . . . + a„ integralini hesaplamak istiyoruz. A , a reel sabitler ve n tam ve pozitif sabit bir sayı olmak üzere A {X - a)" şeklindeki bir kesire birinci türden basit kesir denir. M ,N 4g< 0 j q reel sabitler ve olmak üzere n tam ve pozitif sabit bir sayı ve Mx + N {x^ + yx + qy şeklindeki bir kesire de ikinci türden basit kesir denir. 1. Birinci türden basit kesrin integrali. da; {x — olup x —a = t dönüştürmesi yapılırsa a a)" dx = dt olarak ( r ^ ^ = A f ^ J (x-a)" J t” elde edilir. w=l ise ise Aj ~ J t" = A log t + C - w+ 1 olup dir. n= 1 için n> 1 için j* A dx _ ^ log(a: - a) + C J r A da; __ A 1 J (a; - a)" *” 1 - n (a; - a) 336 Belirsiz integral 2. İkinci türden basit kesrin integrali. „ ^ ^ ©2 - 4g < o ^ ^ , , olarak r Mx + N , „ I --------r— —di» = ? J (a;2 + 4- q T + px + q = olup p^—4:q<0 olduğundan + q — q- x + fP= _ t P _= a^ , q --^ dönüştürmeleri yapılırsa olarak > 0 d » = d^ ve bunlara göre x^+px+q = olur. Diğer taraftan Mx + - -|-j + N = J fi + P olup Ç Mx + N Mt + P Ç J (a?2+ pa? + g)" J + a^r - Mf dt ^ dt J (t^+ a^r elde edilir. . „ f dt J (t^+ a^r j İkinci taraftaki birinci integrali hesaplamak için nüştürmesi yapılırsa 2t dt = du olarak r t dt J (t'^+ a^r n= 1 _ 1 r dw J için n > 1 için = Y = = u + O ^ 2(1 - n) u veya f t dt J (t2+ a^)" bulunur. ^ n = 1 için ) _ = — log(t^ + a^) -h C 2 - ^n > 1 ıçm - 2(1 1 1 _ „) ((2+ a’)"-> ^ + 0 dö Rasyonel kesirlerin integralleri 337 Şimdi de ikinci taraftaki ikinci integrali hesaplıyalım. dt + a^y '""J olsım. w=l için dir. (t^ + a^) ( e + a^r (f‘ + a'^)" (t^ + a^)" olduğu gözönüne alınırsa Ç J At _C dt {t^ + a Y (t’ + a ^ )"-' “J Jn = J n - i - 1 f J {t‘ + a Y t’ dt (t^ + d Y olup ikinci taraftaki integrale kısmi integrasyon kuralını uygulayalım. t dt *“ “ ’ (t'* + aY = dv kabul edilirse df = du ’ 2(1 - n) (f2+ aY~^ = V olarak / dt (f2 + a Y 1 t 2(1 - n) (^2 + aY~'^ 1 f 2 - 2n bulunur. Bu sonuç 2r _ r ® ~ dt (f2 + aY ~^ 1 2 - 2n n -l Jn ifadesinde yerine konursa İ t , 1 ^ 2 - 2n (t' + aY~^ ^ 2 - 2n d / „ = |l + 2 _ 2 „ ) Yüksek Matematik I 1___ f 2(1 - n) j + 2 n - 2 (t^+ F. 22 338 Belirsiz integral 2- "“ I 2n — 3 - dt (t^ + a^r , t 2n - 2 (^2+ a2)"“ i 1 2n - 3 ^ ,1 1 «'n-l + "TT a2 2 n - 2 a 2 + a 2 r " i a2 2n — 2 elde edilir. Bu formül sayesinde (Rekürans formülü). Jn^\ biliniyor iken Jn hesaplanır. Bu suretle de ikinci türden basit kesrin integrali hesaplanmış olur. ÖRNEK 1. I {2x + 3) da? (a?2 + a? + 1)2 ? = a?2+ a?+ 1= ^0?+-|-j ^ olup a?+ = f dönüştürmesi yapılırsa dar = df ve 3 a?2 + ar + l = f2 + olarak r (2a; 4-;3) da; J (a?2 + a; + 1)^ (2f + 2) df ( - t )’ 2t df J , o r M î elde edilir. Burada birinci integral 2t dt (■ =HJ t^+ dür. İkinci integral ise df I (-olup bunu hesaplamak için evvelâ = J% t )’ ( 1) Rasyonel kesirlerin integralleri , , Jı = hesaplanıp J2 için 339 dt 2 ^ 2t -----------— r r -p ı^ a r c t g - p r t2 + ± s/3 ®\/3 «/„ formülünü uygularsak t L x + - L . J L ______ 2 ’^ , 4 1 2 2 ^ 2t , 4 1 f^ + 7 4 \/3 <^2 = —y arctg 2 İ 3 _ f + 2 4 bulunur. Bulunan bu iki integrali yukarıdaki koyarsak (2f + 2) df j ve (* -fj X e j (1) ifadesinde yerlerine ^8\/3 ^ 2v/3 , , 4 ---- y ar c t g— + 9 3 ‘’ + T + C 4 dönersek (2x + 3) da? (a;^ + a? + 1)^ 1 a?^ + a? + 1 4a? - 1 3(a?2 + a? + 1) I '+ t ) + 9 8 ^ Q 4 3 a?* + a? + 1 V^3 . arctg ^ (2a? + 1) + (7 elde edilir. 3. Genel rasyonel kesilin integrali. / R (x)= - ^ rasyonel kesrini gözönüne alalım. m , g( x) in derecesi n olsun (w^0) . f (x ) leri bulunmadığını kabul edelim. m < n ise has kesir denir. m > n ise R (a?) = /(a?) g(x) P(a?) + f(x) in derecesi ve g(x) in ortak kök R(x) rasyonel kesrine /ı (Jg) ö^(a?) 340 Belirsiz integral yazılabilir. Bu takdirde R {x) yX in bir tam çok terimlisi ile fı şeklinde bir has kesrin toplamı şekline sokulmuş olur. İspat edilebilir ki bu şekildeki rasyonel bir has kesir yukarıda tammlanan ve integralleri hesaplanan basit kesirlere ayrılabilir. g(x) ^ aox^ + aı + ... + a„_ı x + a„ olsım. a 1ar reel katsayılardır. ör(o7)=0 denkleminin daima n tane kökü vardır. Bu kökler reel veya kompleks olabileceği gibi bir kısmı basit ve diğer kısmı da katlı kökler olabilir. gr(ir)=0 denkleminin a+hi şek linde bir kompleks kökü var ise bu kökün eşleniği olan a —bi de kök tür. Her iki kökün katlıhk mertebeleri de aynidir. Her eşlenik kompleks kök çiftine g {x ) içersinde, diskriminantı negatif bir a^+px+q ikin ci derece üç terimlisi karşılık gelir. g {x )= 0 denkleminin reel kökleri a , h , ............ . , > P j ................ 1 ^ katillik mertebeleri Ot kompleks kökleri m ı± in , katlüik mertebeleri |X g(x) » Oq(x - a)® (x - b)^... (x l)^ (x^ ^ m2—i>n2 , , V , -f + q)^ 1 ^ mk±ink ise (a;^ + r x + ... (x^ + u x + ... v)^ yazılabilir. Buna göre genel rasyonel kesrin basit kesirlere ayrılmasına ait şu teorem söylenebilir. f(x ) g (x) TEOREM, gix) = ao(x - a)® (x has kesrini gözönüne alalım. - b )^... (x - l)^ 4g < 0 , + p x + q)^ — 4s < 0 , . . . ^ (a?* -f ra; + s y ... ... (x^ + ux + v)^ - 4v < 0 olsun. O takdirde A, f(x) _ gM (X - a)® ^ a -l (X - ay + ... + a; - a Rasyonel kesirlerin integralleri + Bo0-1 + ... + r + {x — b)^ (x *- b)^ ^ Br, 341 B, X — h + + + + , {x^ ^ + pa? + q)^ - 1 x^ ^ v -1 ^ + ^v-1 ^ (x^ + rx + s)^ , Pı a? + Qı 4- px + g P\ı!» + Q{1 _ — j>, f ’n - l ® + Ç _n -1_ - j,_ _ (x^ + p x + q)^ + ... + iRı a? + 3ı a?2 + ra? + 5 (x^ + ra? + s y ~ ^ ^Ti a? + F ti , ^ 7 )— 1 ^ ^Ti— 1 , , 4----- 1----------------Z---1---“ I-------------- "Z---7 - 1 “T ... "T (a?^ 4- Mo? 4- v)^ (a?^+ wa? 4- v)'^ Î7ı a? + T l a?^ 4- Ma? 4- V dir. Buradaki A* , B,- . ... , Li , Pı , Q,- , B,- , 8i , . . . ^ C7, , F,* Zer belirtilmesi gereken reel sabitlerdir. Bu sabitlerin hesabı muhtelif şekillerde yapılabilir. Bunlardan en çok kullanılanı belirsiz katsayılar kuralıdır. Gerek bu sabitlerin hesa bını ve gerekse genel bir rasyonel kesrin integralini aşağıdaki örnekler le göstereceğiz. ÖRNEK 2. f J = ? a?^ - 7a? 4- 6 a?^ 7a? 4- 6 = (a? - 1) (a? - 2) (a? 4- 3) olup 2a? 4" 1 a?^ — 7 » 4 - 6 yazılabilir. A ,B ,C a ? -l a? — 2 ' z 4 - 3 yi belirtmek üzere 2a? 4-1 = A(a? - 2) (a? 4- 3) 4- B(x - 1) (a? 4- 3) 4- C{x - 1) (a; - 2) yazarsak 342 Belirsiz integral a; = 1 için 3= -4 A ve A= - a; = 2 için 5 = 5B ve B = 1 a; = — 3 için - 5 = 20 (7 ve C= - elde edilir. Bunlara göre / (2x + 1) do; - 7x + 6 X- 1 _ .Z i Ç 4 J + X- 2 dx o ?+ 3 dx 1 r da; a; + 3 4 Ç dx x -2 J |-log(a: - 1) + log(a! - 2) - log(a: + 3) + C bulunur. J ÖRNEK 3 4a;^ — 2a;^ 4- a; + 1 da; = ? (X - 2) (x + 1)3 4a;3 - 2a;2 + a; + 1 (X - 2 ) (x + 1)3 olup A ^ B ,G ^ D A , B a; ~ 2 ‘ (a; + 1)^ D (x + 1)^ ’ a; + 1 yi belirtmek üzere 4a;3 — 2a;3 + x 4-1 ss ^ A(x 4-1)3 4- B(x - 2) 4- C(x - 2) (x + 1) 4- D(x ~ 2) (a; 4-1)3 = U 4-D ) a;3+(3A + O) x^+(3A-hB - C - 3D) x-h(A - 2B - 2(7 - 2D) yazılırsa A+D = 4 , 3A +0 = -2 , 3 A + B -0 -3 D = 1 , A -2 B -2 0 -2 D = 1 ve bunlardan da A = 1 , B = 2 , 0 = -5 , D = 3 bulunur. Bunlara göre J 4a;3 — 2a;3 4- flc + 1 da; (a; - 2) (a; 4-1)3 2 4- (a; 4- 1)^ 4- -5 ^ 3 da; (a; 4- 1)^ a; + 1 Rasyonel kesirlerin integralleri dop ^ r = log(=. - 2) - ^ = log(a? - 2) (a? + l)^ + 343 r da? da? + 3 (a? + 1)2 a? + l J + 3 log(x + 1) + C- 5a? 4- 4 (a? + 1)2 dir. ÖRNEK 4 ■I 7a?2 + 20a?2 + 35 a? - 13 da? = ? a?2(a?2 + 4a? + 13) 7a?2 + 20 a?2 + 35a? - 13 a?2(a?2 4- 4a? 4-13) A a?2 a? Ca? + D a?2 4- 4a? + 13 7a?2 + 20 a?2 4- 35a? - 13 ^ ^ A (a?2 + 4a? 4-13) + Bx (a?2 4- 4a; 4-13) 4- (Ca?4-D) a?2 ^ (B 4- (7) a?2 4- U + 4B4-D) a?2 4- (4A 4- 13B) a? + 13 A ve B 4- C = 7 A 4 - 4B 4 -D = 20 , 13A = - 13 4A 4 - 13B = 35 olarak A= -1 B= 3 D= 9 C= 4 bulunur. Bunlara göre / 7a?2 4- 20a?2 4- 35a? - 13 !T + 4a; + 13) = ----- h 3 log * + 2 Xf 4a? + 9 da? 2 4- 4a? + 13 f J (2 a; 4- 4) dx a*2 4- 4 a; 4- 13 f J (X da; + 2)2 4- 9 = — 4- 3 log a? 4- 2 log (a?2 4- 4 a? 4 - 13) 4 - 4 " arctg a? o o 4- C dir. ÖRNEK 5 ■f (a?2 — a? + 4)da? (X — l)(a?2~+ 2a? 4- 2)2 a?^ a? 4- 4 (a? - l)(a?24- 2a? + 2)2 — ? Da? + B Bx + C + a? - l 4-' (a?2 4- 2a; 4- 2)2 ‘ a?2 4- 2a? 4- 2 344 Belirsiz integrdi X^ — a? + 4 A{x^ -t 2x + 2)2 + {Bx + C) (2C- 1) + (Dx (A + D) a;^ + (4A + D + E) a;^ + (8A + B + E) x^ + E) {x - 1)+ 2a; + 2) + (8A - B + O - 2D) a; + (4A - C - 2E) ve A +D= 0 , 4A + D + İ57 = 0 8 A -B + C -2 D = -1 , , 8A + B + £7 = 1 4 A -a -2 £ 7 = 4 olarak A 4^ 25 B= C= 5 ^ = -2 5 ' £ ;= ~ î? . 25 bulunur. Bunlara göre / (a;2 — a; + 4) da; (a: - l)(a:^ + 2a: + 2Y r {X - 12)da; - İ J 1(a;2 + 2a: + 2)2 = ^ log(a: - 1 ) + + + 2 Ç (2x 2)da: - A a;2 2a: 2 25 25 1 + = ^ 1 25 log (a; - 1) - ^ 10 J r (4a; + 12)da; ^1 a:" + 2a: + 2 ( a;2 + da: 2a; + 2 J (2a; 4- 2)da; 2a; + 2)2 log (a;2 + 2a; + 2) - ^ + _ ^ f (a;2 + da; 2a; + 2)2 5 J arctg(a; + 1) 10(a;2 + 2a; + 2) da; - ^ r 5 J (a;2 + 2a; + 2)2 5 J elde edilir. İkinci taraftaki integral Jn formülünden bulunabileceği gibi trigonometrik bir dönüştürme ile de hesaplanabilir, (lerçekten oc^-\-2x+2 = {x-\-iy-¥\ dönüştürmesi yapılırsa J da; (x‘‘ + 2a: + 2)2 da; = sec^^ dcp olup ve a ;+ l = tg<p x^+2x+2 = sec^ 9 olarak f sec 2ş dcp r — — = f cos^ç d(p = -^ r (1 + cos 2<p) dç J sec <p J 2 J 1 sın • 2< op = y1 9 +, -^ X + 1 = 4 - arctg (a; + 1 ) + ^ 2 x^ + 2x + 2 İrrasyonel cebirsel fonksiyonların integralleri 345 bulunur ve yukarıda yerine konursa J (x^ — X 4) âx (a: - 1) (a;2 + 2x + 2)^ — ^ l o g ( x - 1) - l o g (x^ + 2a; + 2) - _ ± __ L ___ 13 10 a;^+ 2a; + 2 10 = A ,og _ ^ H İ ) 1 _ 25 ^ a:^ + 2a; + 2 elde edilir. arctg(a; + 1) + 1) _ 13_^ ±1....._ + ^ 10a;' + 2a; + 2 C — arcte (a? 4 * 1 ) _____ --------------------[. q 50 ^ ^ 10 (x^ + 2x + 2 ) ^ ^ 14.4 - 8. İrrasyonel cebirsel fonksiyonların integralleri 1. y = aa? 4- b a'x olduğuna göre r J R (x, y) dx integralinin hesabı. ax + b = a'x + b' dönüştürmesi yapılırsa ax + b tp y = a'x 4- b ve X= b't^ - b a — a' olarak integral J R ( x , y ) d x — j S it) dt şeklinde t nin S (t) nüşür. ÖRNEK 1 şeklindeki rasyonel bir fonksiyonun integraline dö 4- ■J\/4 X X = t X = da; = ? dönüştürmesi yapılırsa 1 + 1 ’ da; = 4f df it^ 4- 1)2 olarak 4t df ^ r . 2f dt + ıf 346 Belirsiz integrdi elde edilir ki bu integrali hesaplamak için kısmî integrasyon kuralını uygulamak üzere t 2t dt = du + 1)2 u kabul edilirse dt = du , ^2 + 1 = V olarak J 2t dt (t2 + 1)2 f^ + 1 ^ J t^ + 1 t^ + 1 + arctg t + Cı bulunur. Bunlara göre /VI da; = - + 2 arctg t + C X = - (1 — x) + 2 arctg y \ —X x^ + 2 arctg \J\ ^ ^ + dir. 2. y ao; + b ' Pj9 - [ i 'o; + b' J R(x, y,Z y. . . ) da; p m q ^ n olmak üzere ,... > Z- ' ax + b ' a x + b' olduğuna göre integralinin hesabı. kesirlerinin paydalarının en küçük ortak katı N ax + h a X+ b dönüştürmesi yapılır ve bu suretle integral t nin rasyonel bir fonksiyo nunun integraline dönüştürülmüş olur. irrasyonel cebirsel fonksiyonların integralleri ÖRNEK 2 r 05^^ + 2 *J Bu integralde , a '= 0 , b '= l dflc = ? a?^/3+ l aa; + b 347 yerinde re bulunmaktadır. Yani 1 5 1 ’ ~q ^ olmaktadır. O halde ~2 a=l , kesirlerinin pay dalarının en küçük ortak katı 6 olarak dönüştürmesi yapılırsa (kr = X — / + 2a:’ /* _ d» a;’ '3 + ı f + 2f5 ~ J J -P T I df +1 df = 6 j ( 2f® - f« + f <- f* + 1 = y f’ - Y f’ + y = -F İ l) dt f ‘ - 2f3 + 6f - 6arctg t + C ~ 4" t u O d^ olup ~ 2o:''^ + — 6 aretg + C bulunur. ÖRNEK 3 cc+1 = / da; (a; + 1)V»-(a; + l)>/2 dönüştürmesi yapılu-sa — 9 da; = 6 f^df olarak f da; _ f 6fMf _ r 6f’ df J (a; + 1)2/’- (a; + 1)''2 “ J f4_j3-J f _ ı = ^ f (t + ^ + r h ) df = 3f2 + 6f + 6 log(f - 1) + C = 3(a; + 1)2'’ + 6(a; + 1)’ '‘ + 6 log[(a; + 1)'/® - 1] + C dır. 348 Belirsiz integral 3. y = \lax^ + b x+ ~ c raliıım hesabı. J olduğuHa göre b (x , y) da: mteg- Bu integral a nın pozitif veya negatif oluşuna göre ayrı ayrı şekil lerde hesaplanır. I. a > 0 ise \'ax^ — \ !a x dönüştürmesi yapılır. Bu takdirde X = _ 2\/at“ + 2bt + 2 \â c .. dx = ------------------ —I--------- dt (b + 2\/a t f h + 2\/a t \Jax'^ Vâ bx -h c = b + hf 4- y/g c 2\Ja t olarak integral t nin rasyonel bir fonksiyonunun integraline dönüşmüş olur. ÖRNEK 4 . f \^x^ 4- 4a; Vô;^ 4- 4a; = f — a; da; dönüştürmesi yapılırsa a;^ 4- 4a; = — 2f a; 4- x' ^ 2ti2t 4- 4) - 2f2 da; = - — ■ Ao-----dt (2t 4- 4)2 \^x'^ 4- 4a; = f olarak f \/x ^ - {^ i x ^ J =} 2f 4- 4 2t2 4- 8t dt (2f 4- 4)2 ^ 2f 4- 4 Ç2 T f l f2 + 4f X = f2 + 4f 2f 4- 4 (2f4-4)2 t^ J tHt + 2)^* J 2(f2 + 4f) df (2t 4- 4)2 f2 + 8f 4- 16 df tHt 4- 2) elde edilir ki bu da bir rasyonel kesir integralidir. Bunu da hesaplamak üzere integral içindeki rasyonel kesri basit kesirlere ayırırsak irrasyonel cebirsel fonksiyonların integralleri t^ + S t -h ie _ A B t\t + 2) "" ^2 + ^ ^2 + 349 C ^ 2 + 16 ^ A { t + 2) + B t{t + 2) + Ct^ = (B + C)t^ + (A + 2B)t + 2A B + a = l , A = 8 A + 2B = 8 , B = 0 , , 2A =: 16 (7 = 1 ve ^2 4" 8t 4" 16 dt t\t 4- 2)“ I df = * j T + / 1+ 2 log(^ 4-2) - y 4-(7 bulunur, J a? e dönersek da; = log(a; 4-2 4- \/a;2 4- 4a;)----^ -f C a; 4- \/a;2 4- 4a; elde edilir. II. a < 0 ise, bu takdirde b^—Jfac>0 olmak mecburiy dedir. O takdirde aoı>^-\-bx+c üç terimlim a ve p gibi iki köke ma liktir. Bunlara göre \Jaa;2 4- ba; 4- c = t(a; — a) veya t{x — 0) dönüştürmesi yapılır. aa^-\-bx+c = t { x —a) ise ax^-hbx+c = t~ ix -a )a ( x - a ) i x - ^ ) = t H x -a )^ a (a ;-p ) = tH x -a ) X = a0 — at^ a -t^ \/aa;2 4- ba; 4- c = (a - f V g(3 — a)t a — t^ 350 Belirsiz integraî olarak integraî müş olur. t ÖRNEK 5. nin rasyonel bir fonksiyonunun integraline dönüştürül f 7=---- T ^ J (5 - 4* - - 2-Jn = = - (x -h 5) (x — l ) = (1 — x ) ( x + 5) 5 —ix olup v/ö - 4a? — f (1 — a?) dönüştürmesi yapılırsa 5 — i x — x^ = (1 — x )(x + 5) = (1 — a;)^ o; + 5 = tHl - X) , (^2 + 1) o? = - 5 ^ 2t + 1) - 2f - 5) da; = ----------- ..o . ---------- dt = + 1 )' ^ x 5 + 1 12f df + ly t^ -5 ) V '5 - 4 * - x ^ = t d - * ) = t ( l - ^ ) = ^ (5 — 4a: — a:V^* = 6^ (<" + D ’ tzî olarak r J -5 + l" 6» (t" + a: da: (5 - 4a; - 12t + ly dt 2(t^ - 5) 6^ 1 f2 + 5 “ ■İ?(' + f ) + ‘’ - 18 bulunur. Sonucu x cinsinden yazmak üzere ^ _ \/5 - 4a; — a;^ _ * 1-a;. olduğu gözönüne alınırsa + 5 a; “" V l - + C İrrasyonel cebirsel fonksiyonların integralleri 351 Ç X dx (5 - 4a; - J _ - X » +_5 , 5 1 1 Î8 “ 5 — 2a; 9 v/5 — 4a; — a;^ 18 ^5 - 4a; — sc^ + C elde edilir. ihtar, întegrali alınacak i f a d e -----------------. -............ ...... r(A x + B) \Jax^ + b x + c içeriyorsa yukarıda söylenen dönüştürmeleri yapmadan önce A x -f" B = u dönüştürmesi yapılırsa sonuca daha kolay varılabilir. ÖRNEK 6. / 2a; + 1 = — dönüştürmesi yapılırsa X v/6 ." da; (2a; + 1) \/5x^ + 8a; + 3 = 2 - i - + 8. + 3 = \ /-K -İ --| + 2u \/u^ i) + A -4 + 3= v/ ^ + A 6u + 5 olarak do? / (2a; + 1) y/öa;^ + 8a; + 3 2m2 du -L . J _ \/w^+ 6u + 5 u 2u du ■ I s/i? + 6 m+ integraline varılır. Burada da 5 + ^ 352 Belirsiz integral \Ju^ + 6m + 5 = ^ - w dönüştürmesi yapılırsa u2+6w+5 = t^ -2 t u+uu = ; (2t+ 6) u = 5 2t + 6 , 2^(2t 4-6) — 2 (t2 - 5)^^ 2^2 + 1 2 ^ + 1 0 ,^ dW = ---------- —- a: o ------------ dt = ----- - ------------ dt (2t + 6)' {2t + 6)^ r r -r â — ^ + 0^ + 5 - 5 olarak 2(*2 + 6t + 5) - log (t + 3 ) + C ve J t = v/ m^ 4 6tt 4- 5 + M ve m = olduğu gözönüne alınırsa d» (2x + l)v^5a;"+ 8 » + 3 = - log ( m + 3 + + 6m 4- 5 ) + C = - l < ,g .[ l + |- + y /l + i + = - log » 4- C 1 4- 3(2a; 4- 1) 4- y/l 4- 6(2a; 4- 1) 4- 5(2a! 4-1)^ + C 2£C4- 1 . 6» 4- 4 4- sj2Qx‘ 4- 32a: 4- 12 , _ - lo g ---------------\ . ^------------------h C 2a; 4-1 = log bulunur. 2 * 4 -1 4-C 3a; 4- 2 4- \j5x‘ 4- 8a: 4- 3 irrasyonel cebirsel fonksiyonların integralleri du -I + 6w + 5 353 integrali 14.4-5. deki 3. integral tipinde olup w 2+ 6u + 5= (w + 3 )2-4 olduğu gözönüne alınırsa I du = log (u + \/w2 - K^) + G v/ dan faydalanarak u yerine w+3 ve K yerine de 2 yazarak -I du — log (w + 3 + \/u^ + 6m + 5) + C v/w^ + 6w + 5 olarak da hesaplanabilirdi. 4. Binom âiferansiellerînin integrali. J da: integrali. a , p , Y rasyonel sabitler, a ve b reel sabitler olduğuna göre, veri len integral içindeki ifadeye binom diferansieli denir. Aşağıdaki üç hal den birinde bulunuyor isek bu integrali hesaplamak mümkün olabilmek tedir. Y integral / R ( x ^ ' f X ^ ) d x şeklinde olur. Bu ise 14.4-8. in 2. integral tipidir, a ve p nın paydalarının en küçük ortak katı İV ise I. x= t^ dönüştürmesi yapılır. II, — t am bir sayı ise ax P + b = t dönüştürmesi yapılarak x^ = t - b X= da; = Yüksek Matematik I l t - bVI^ ; a 1 ■t - p 1 b u ı/3 ) -ı 't dt a F. 23 354 Belirsiz integrdi olup Ot H" 1 integraline varılır. Bu ise ayni tipte bir integraldir. Ancak — ^— bir a + 1 tam sayı olduğu için — ^----- 1 de tam sayı olarak bu integral I. halde yani y nın tam sayı olması halindeki integral şeklinde olacaktır. O halde t nın üssü olan y nın paydası v ise N = v olarak t = yy dönüştürmesi yapılmalıdır. Böylece u nun rasyonel bir fonksiyonunun integraline varılır. Bu iki dönüştürme birleştirilirse bu halde ax P -f b = dönüştürmesini yapmak gerekir, III, a H“ 1 —p---- h Y J tam bir sayı ise (ax^ + b)^ dx = J x^ [x^(a 4- bx da? = Ja!«+0Y (a + ba;-3)Y d® a +1 yazılarak II. hal uygulanır. Gerçekten yukarıdaki —ğ— yerine burada a + 3Y4-l_ -p “ /a + l \ l ) p gelmiş olur ki bu da hipotezimize göre tam bir sajndır. O halde ise a + bx ^ = u ^ yanı ax 0 + b = dönüştürmesi yapılır. \ Y ^"^ İrrasyonel cebirsel fonksiyonların integralleri ÖRNEK 7. do; I — ? \/l + — ö— == —S— = 2 p ^ olarak tam ve Y = — — olup 1 + x^ = dönüştürmesi yapılırsa x^ = —1 ; x d x = udu olarak r x^ dx J __ r (w^ — 1) w dw J \/l 4- = J (M^ - 1) dw u(u^ — 3) = 3 --U + C = y v/l + a;2 + a - 2) + C dir. f— ÖRNEK 8. =? J a?v - ^ ^ - = 0 olup tamdır. O halde g2 — olup — U^ dönüştürmesi yapılırsa = a^—u^ ; x d x = —u du olarak f —u d u _ _ Ç du J ~x^ jW ^ ~ J (a^ - w') w “ J m^"Ö2 dır. 1 , ““ 2a u - a , ^ w+ a ^ _ 1 , ~ 2a \/a^ — ^/a‘ - —a ^ + a^ 355 356 Belirsiz integral ÖRENK 9. f +..^d* = ? J j" \/x + ^ dag = J x~H x' + 4)’ ^^ da: ve a + l _ -3 + 1 P “ 4 ; OC+ l 1 1 r\ /i. - f - + ^ = “ y + Y = '^ (tam değil) \ olup a;4 4- 4 = 1^2^4 dönüştürme yapılırsa Of- = - ; 1 dof = 8u du 4of^ dof = (u^ - 1)^ ~ 2u du af^(u^ ~ I f olarak J Vôj'* + 4 ^___f of^ u — f - 2u du ~ — r - 2uHu^ - ” J of'^Cu^- 1)^~ J 1 = - 2 fi 4(u'^- 1)^ 1 , yjx"^+1 - of^ --------T ‘ '> ® 7 s f T T T ^ + ‘ ’ dir. 1 4 .4 -9 , Bazı yüksek fonksiyonların integralleri 1. J R (sin Of, cos Of) dof du integralinin hesabı. Bazı yüksek fonksiyonların integralleri 357 Daha evvel gördüğümüz özel hallerin dışında bulunuyor isek dönüştürmesi yapılır. Bu takdirde : da; = 12dt + 1 -^ 2 2t cos a; = -1 + ^2 > sın X = 1 + ^2 ^ olarak J E (s in * , co s x )â x = J 2t « (t + 1 - ^2. 2 dt ’ 1 + 1 + = J 8 {t) dt şeklinde, S (t) ÖRNEK 1 gibi rasyonel bir fonksiyonun integraline varılır. r J L ±4- sin x) da; I Sina; (1 + cos x) — ? Yukarıda söylenen dönüştürmeler yapılırsa : f (1 + sip da; [ı + r J V ] J sin a; (1 + cos a;) _ 2 1 _ İl + 1 + *4 ^ 1 + 2t + 2t dt 2dt 1+ *j + 2 + f j df / = İlo g tg f + t g f + | tg 2 f + C bulunur. ÖRNEK 2. I ^5-:------ — ------- = ? I 2 sın X - cos a; + 3 Ayni dönüştürme yapılırsa 358 Belirsiz integral r _______ ^ _ r _________ 2 d t dx 2 sin o: - cos o; + 3 ” - (1 -h 3 (1 + J J (2t + 1)2 + 1 Ç J 4 2d t + 4^ + 2 = arctg (2t + 1) + C = arctg ^2 tg y + 1j + C bulunur. 2. Kısmi integrasyon kuralı ile hesaplanabilen, bazı yüksek fonksi yonlarm integralleri. /. P (x ) , x in n. dereceden hir tam çok terimlisi olarak / p ( . ) e“* dz integralinin hesabı. Kısmî integrasyon kuralını uygulamak üzere e“* dx = dv P(x) = u kabul edilirse P'(x)dx = du ; olarak J P(x) e " = - ^ e « P(x) ~ | e " P'(x) da: yazılabilir.. İkinci taraftaki integrale ayni kural uygulanır ve böylece devam edilirse / P'{x) e“* dx = 7^ e " P'(x) f P "(x) e»* da: = f P<»-')(x) e»* dx = •' j f e « P '" ( x ) dx — e“*P "(x) - — a — a e“*P"(a:) dx a j P(’- ’)(a:) - — f e»* P<"Kx) da; a J Bazı yüksek fonksiyonların integraîleri 359 elde edilir. Bunlardan birincisini 1, İkincisin i------- , üçüncüsünü a ^ ................ve sonuncusunu da ^ ile çarparak j* P(a;) e " d» = -^ e“* P(x) - J P'(x) e" dx = - j ^ e»^ +^ J e“ P'(x) J* p (" -’>(x) e «d iB = ( - I ) " - » ^ da; e“^ P'"(x) dx P"(x) e«' dx = 4 - e“" P"(x) O" (- P "(x) e'^PC-^Ca) - — ^ — J P (")(x )e «d x elde edilir ve bunlar da taraf tarafa toplanırsa / P(x) e « dx = - ^ e«Jp (x) - - 1 P '(«) + ^ ( —İl"'* P"(x) - . . . + ^ elde edilir. Halbuki, P (x ) n. dereceden olup cağından J P<") (x) e“* dx = p(") (X) J e“ dx = P<"> (x) / - Hx) e“*da? türevi sabit ola e*" + C,j = -P (")(x )e °* + Cj a dir. Bu ifade yukarıda elde edilen sonuçta yerine konursa 1 f P{x) e®-^d.T = — e* j a P ( x ) ~ ^ P '( x ) + p P " ( x ) + . . . + P(»-1) (*) + 1 - ^ P(») (X) I + c 360 Belirsiz integrdi bulunur. Bu ifade ise şeklindedir. Q{x) , P { x ) in derecesine eşit derecede x in bir tam çok terimlisidir. Pratikte elde edilen uzun formül yerine, Q{x) i belirsiz katsayılarla yazıp her iki tarafın türevlerini eşitlemek suretile bir öz deşlik elde edilir. Bu özdeşlikten bilinmiyen katsayılar belirtilir ve Q(x) de yerlerine konursa integralin sonucu elde edilmiş olur. ÖRNEK 3. Ji»3e2*d!» = ? J a:’ e2’^da; = e^''Ç(!r) + K: J ic’ e’ ' d£C = e’ *(Aa;’ + Bx ‘ + Cx + D) + K olup her iki tarafın türevleri alınırsa ^.3^2.: ^ (3 ^^2 ^ 2 Bx + C) + 2e2"- (Ax^ + Bx^ + + D) x^ = 2Ax^ + (3A + 2B) x'^ + (2B + 2C) a? + C + 2D 2A = 1 , 3A + 2B = 0 : — 2B + 2C = Ö , 3^ 4 * T - C + 2D = 0 D= - 3 8 bulunur. Bunlara göre : J dx = x^ - + -â; - -|-j + K dır. II. P(x) , x in n. dereceden bir çok terimlisi olarak, J P (a;) log X da: integralinin hesabı. Kısmî integrasyon kuralını uygulamak üzere u = log X kabul edilirse , P{x) dx = dv Bazı yüksek fonksiyonların integraîleri dM = — , J V= 361 P(x) d x = Q (X) olarak J elde edilir. P(x) log x d x = Q{x) \ o g x - Q(x) , (n + 1 ). Q{x) J Q{x) dx dereceden bir çok terimli olup S(x) = a„+ıo?" + + . . . -â2X + aı dır. Bunlara göre J P(x) loğa; da; = Q(x) log x —j 8{x) dx dir. ÖRNEK 4. J a:" lo g * d* = ? u = log X , du = a;" da; = dv •n+l _____ = V * n + 1 da? X olarak Ir 1 x d^x = ^ log n+l 1log * - Jr ^ .a d* log X — + C (n + 1)2 dır. 3. Bazı yüksek fonksiyonların, değişken döni^türmesi yardımiyl hesaplanabUen integraîleri. J E (e «) d* = ? u dönüştürmesi yapılırsa ae°'^dx=du olarak f E (e «) d* = +a Jf R(u) —u şekline varılır. 362 Belirsiz integral ÖRNEK 5. I = ? e* = M dönüştürmesi yapılırsa e-^ da; = dw olarak r e'da; f dw . , I -^ ^ ? T T = J 5 i r ^ = « c t g « + C = arctg e* + C dir. ÖRNEK 6. f e* + J 1 = ? e* = M dönüştürmesi yapılırsa f e’ ^dac _ f e* d » = dit Mdu _ f / . olarak 1 J e' + 1 J M+ 1 J r \ M+1;*^“ = W— log(tt + 1) + C = e" - log(e* + D + C dir. //. J R(ch X, sh a;) da; = ? cha; = e* + e* ^ sh a; = e' — e olup (ch a;, sh a;) da; = J 8 (e"") da; şeklindedir. ÖRNEK 7. f . —- ^ = ? ..... J ch a; ~ ch a ch X e* + e* ch a = e“ + e' olup 2 da; ____ = f J ch ;r — ch a J e* + e“ ^ - e“ ~ e“ “ dır. Bu son integralde e* = u dönüştürmesi yapılırsa Bazı yüksek fonksiyonların integralleri e* da; = du , 363 dx = — u olarak / du u d.r ch a; — ch a u f J u ^ — e“ — e 2dü + 1 — Me“ ______ 2 d^______ [u - e“) iu — e“ “) olur. Integral işareti altındaki ifadeyi basit kesirlere ayıralım. Bu tak dirde 2 {u — e") (u A —e“ “) ^ M —e“ B u - e 2 = A(u - e“ “) + B(u - e“) M = e“ için 2 = A(e“ — e“ ") ve A = u = e” “ için 2 = B(e“ ®— e“) ve B = —^ e e« — e“ ® 2 „ e sh a 1 sh a olup f 2 dt^ ^ r / 1________ 1 ^ du J (u - e“) (tt ~ e~“) sh a j [w - e“ u — e“ “ y 1 , u ~ e® , ^ sh a log::----1=:; ° u — e' + O 1 . lo g -Te*— - re“= sh a ® e* — e‘ ; + ^c elde edilir. Bu sonucu hiperbolik fonksiyonlar cinsinden ifade etmek is tersek : / ____ ^ ___ ch a: — ch a 1 sh o e-(e"-° - 1) , p ® e~“(e*‘*'‘' - 1) sh a ^ ) / 2) ^• ^ _ Q-{*+a)/2) 364 Belirsiz integrdi sh sh a loge‘ sh sh sh a log sh x—a 2 X+ a + C X—a ac 4- a bulunur. İhtar. Bu suretle belirsiz integrallerin hesabı konusunu tamamla mış oluyoruz. Ancak şunu ifade edelim ki J f { x) da? integrali daima adi fonksiyonlar cinsinden ifade edilemez, örneğin J x^{ax ^ + h)^dx a -h 1 integrali, y , — a -f- 1 ve —^--- l-y nın tam bir sayı olması hallerinden birinde bulunulmadığı takdirde, adi fonksiyonlar cinsinden ifade edile mez. J b [ Xy \ / P (a?)] da? integrali P{ x) in derecesi 2 den yüksek ise eliptik integral adını alır ve bu halde adi fonksiyonlar cinsinden ifade edilemez. J* da? ^ J îog~x * J iK da? * f \/^ sin a? da? integralleri de adi fonksiyonlar cinsinden ifade edilemiyen integrallerdir. Problemler 14. BÖLÜME AİT PROBLEMLER Aşağıdaki integralleri hesaplıyarak sonuçlarının doğruluğunu gösteriniz. 1) f (a + 6*3)2 dx = a‘ x + ^ J 2) J \ / 2 ^ d* = “ r d* + ^ 2 7 + C ^2 ^ + C ^ n J ı^ = ^ rrr-+ c 4) f (a’ O- *3'3/ dx = a ^X - — a'-l^ 5 J 5) I '3 + A o’ '3 *3/3 _ A . + c 7 d *= ^ * ‘ V I - - f * ^ V I - 6 V I + c 6) f V^2TI^-V^2~ J d* = Arcsin V'4- *< — Iog(* + V^*3 + 2) + C V'2 7) J* th3 * d * = * — t h * + C 8) 9) J ' cotg3 * d * — — c o t g * — * + C f 3‘ e« d * = J 10) I + C lo g 3 + 1 ° = — a İ0g(a — x) + C J 11) 12) 13) I - | ^ ± A d:»r = Ar + log(2Ar + 1) + C J I J r J 3 2 a: + 1 dA: = a: - 1 -^ 2 + 5 a: + 7 d ;, ^ ^+ 3 a: + 2 log(AT - 1) + C z i . + 2 ;. + log(AT + 3) + C 2 365 366 14) Belirsiz integraî J — ^- + C ^ j j j d ACİa:: = İ0g(;r log(* ++ 1) l) ++ ^ a: ■”/w= -*S7 °M=-z= - 2a 16) J* 18) I Vâ — 6 a : Cİa : = + C — — 23) 24) + C + C =+c ■ ( İ a: 22) bx)^ ^ ^ 1± 8 *<İ, = 2 v^ + * -2^ /21) 4 -1 r -|- 3 If X dx = — -|-------^ İ0g(a2 — a:^) + C _____ _____ I ^ ^ = = (İ a: = v'* - - 4 + 3 lo g (r + v' at^ - ^ + C 1:^=::=:^ = J yja* —x* f , ^ = L J. 1 + Af® r 3 1 2 v2 ^ a* arctg*3 + C 1 v2 dV . arcsın ^ + C ______ I -^ ^ -= ^ = 3- log (*> + v'*'- 1) + c 25) J y / “ 1“ V(Arcsin x)^ + C r arctg ~ 26) J T+^^l- d,=L(arctg|-y 27) J + C log (1 + 4a:^) - 2x)^ ^ g Problemler 367 28) J 4= 29) = f ^2lZ±2İd;. = ______ L_____ J 30) J 31) J 32) a'b' lo g o -lo g i + ” X- d * = e -b * 1 — e - 2bx f ’ e* d< J VT=^ 1 1, log (2* + 3) + C 3 log 2 dv _ 1 2h = arcsin e* + C 36) J* sin (a + 6x) d:t = — 37) cos (a -f 6:t) + C f (cdfe ajf + sin ax)^ dx = x — cos 2ax + C J 2a 38) J sin (log ;t) — = — cos (log x) 39) C J -^=4-tg*=+c cos* X‘ 2 40) J* x s i n ( l — a:*) dar= - i cos (1 — a:*) + C 41) f]-2 , +C = log ( e * -l ) + dA: __ X 3 2* + 3 34) [i- ê'/xdAr = - c ‘ /* + C e* - 1 33) 35) 4 ,-3 .+ c dA: SinAT COS;e log tg AT + C 368 Belirsiz integraî 42) 43) 1 I sın'’a;e Jf ^ sı 4a sin^ ax 1 log (3 + cos 3;t) + C sin 3;c dAr _ i f + cos 3at r s in . £ + C c o s .A: d . v . . ^ _ 1 J Vcos2 ,Y—sin^^ + 1 + 3 cos^Y sin 2y d,v = — 45) 46) J tg3 A sec‘ e 2 d* = -| tg< VU + f (2 sh 5* — 3 ch 5x) dj: = |- ch J 5 48) f A-Vs — A:2dA: = - 4 - V ( 5 - a:2)® + C J 12 I J — 4y T . 1 dA: 50) J Y e-»' dx = - j 51) f dY J 52) _ v'e* 55) - J 5 a: — A sh 5* + C 5 = llog(A :^-4.v + l) + C 4 e-*^ + C + C sın Y dY = log ( y + cos x) + C + cos Y Y , 3^ J 54) C + C 47) 49) cos^y)^ + I f Y dA: = I log (sec 3 a: + tg 3 a:) + İ0g2 Y log Y 1 flsinX log a a^‘" * cos Y dY V(i + x^y^ + C / v » r - ’' C + C Problemler r sec^;c d.Y _ arcsin J v '4 -t ğ ^ 58) J 59) 2 369 + C V l +^log a: dAT = -| V ( 1 + log + C f l - ‘- + ^ı°ga + ^^) + ı d. = e - . * + ^ 2 £ S 1 ^ + arctg . + c J 1+ 4 60) J* * sin 2x dx = e*‘“^* + C logd + e") + C .2, j 63) J' ® 64) I 65) I I dx SİnÂTCOS^X 1+ C O S ^ a: 2 cotg 2a: + C 1 “ V2 + 5)*o ( İ a : = 63) dx yje^ — 1 69) e2* dx + 1 I ^ a i.« ^ o x x ı A arcsin x. + -r A x. ı1 . /----------------- _ — — = y (arcsin a:)^— y 1 — a:^+ C a: ( 2 a: 70) 2 + log AT 2 - log a: * sec^;c (Îa: = — e ^2 * + C ( İ a: 66 ) 1 4 dA: ;f(4 - log^x) x^ ( Î a : Vl — Yüksek Matematik I tg Af y/2 (2a: + 5)i2 12 5(2a + 5) 11 + C 1 2 arc 2 (e ^ — 2) Vê* + 1 + C (e* 3 X V^l — x^ + 2 arcsin x C F. 24 370 Belirsiz integral 71) r d.Af J 72) J* 73) \/2 — x‘ — 4-\/2— x^+ C ---- ?L djr = — a arccos —: + C X .1 H , C r I — r ------ = arccos----- J 74) I" 75) / a: \x'^— 1 «V + C dx 4a: r2 v /4 - 76) J V^l — atM ; c= -|-V^1 — at2 + -^ arcsin a: + C 77) cI a: I __ V^ a : ( 1 - 78) J* log a : Ü 2 arcsin VÂ-+ C {x — sir)?i dönüştürmesini yap). a t) a: = Af log a : — x + C 79) J* arctg x üat = a: 80) sin x — x cos x AT sin a: dx — J' J X cos 3 a: Ü a: = 1 -ğ - a arctg x ----------^ log(l4- x^) + C sin 3 a: + 1 — C COS 3 a: + 82) J 83) J xê^^dx = - ^ (9x^-6x + 2) + C I -| -d ;. = - ^ U + C c 84) J* (x^ — 2at + 5) e” * djt = — e~^(x'^ + 5) + C J A- sin X cos X 1 ÜA- = ------- ---- X cos 2a- + 1 -ğ - sin 2a: + C Problemler 86) J ^2 + 5x + 6) C0§ 2Ard;v = -^(2;t2 + lOjc + 11) sin 2 a: + -^ 87) j log cIa: = 88) / log X , a:3 89) I J log j: 90) v/^ -^ 2og a: — 1 , 2a:2 1 , ^ 4a:^ ^ d x '= 2 ^ X log X — 4 ^x -[- C X arctg a: 1 dA: = — ( a :^ + 1) arctg x — a: 1 x+ C ---- ^ arcsin x -\-— x ^ l — x^ + C 92) O. ^ _3*(sin a: + C0SA:İ0g 3) , ^ J 3* COS a: dA: = ------- ——71------------------r C 1 + (log 3)! 93) J 95) I 86) / + 5) cos 2 a: + C *2 + C X arcsin a : dA: = — x^ arcsin 94) J (2 a: e - ’ * d* = - i (*= + 1) e-*' dA:=2e'/* (\/* - l ) + C I ;>r logî— ^ d * = 4 - ( * ^ - l ) l o g İ 3 - ^ - j : + C 1 “T a: ^ 1 “T a: I — log Uog a : ) dA: = [log (log a: ) — 1] log a : + C log (9^^ + 1) + C 97) J* a:2arctg 3 a: dA: = -^ a:ârctg 3 a: — 98) J' A(arctg a)2 dA = -^ (1 + a2) (arctg a)2 — a: arctg A + -^log (1 -î-a2) + C 99) J* (arcsin x)^ d^ = a (arcsin a)^ + 2 V^l — aârcsin a — 2a + C arcsin ^x 100) I 101) J* A tg22A dA = -^ A tg 2 a + -^ log COS2 a ---- ^ yjl- X dA = — 2 V^l — A arcsin Vâ + 2 Vâ + C a2 + C 371 372 Belirsiz integrdi 102) J 103) J' cos2 (log a: ) d;c = 104) 108) (cos 2 x - 2 sin 2at- 5) + C 10 -^ [5x + 1 a: 1 , ^ Cİa: + 2 a: “ a: 2 a: dA: J* 3a:2— a: + 1 v^n ^ dAT= 4a: + 5 J ^ dAT= dA; r __ 110) J 111 ) J f f / 6 a: + a: 10 dA: V^2 + 3.r - 2a:2 dx + ^ I J + 1 log ,y ) + , 2 a: sin (2 log a: ) ] + C ^ , 2 ^ ^ arctg - - - + C v/ıı log (a:^— 4^ + 5) + 4 arctg ( a: — 2) + C a: - log (;.^ + + 3 log 3 at + 4) + ^ arctg + C — 6 y + 10) + 8 arctg ( a: — 3) + C 1 . 4 a: — 3 . ^ = ~7^ arcsın — ------r C V2 5 arcsin (2a: — 1) + C ^ ~ X - X- (3a: — 6) dA: = 3 Vâ:2 — 4a: + 5 + C \/x^ — 4a: + 5 “» J 2v^l — a: 114) J \jx'^ + 2x + ^ d x = ^ { x 115) COS (2 a: J -- 109) 112) e* <c 105) 106) 212^ dx = ^ J >Jx — x'^dx — ( 2 a: — 1) — x^ — 9 arcsin — V5 4- C l)^lx^ + 2x + ^ + 2 log (a: + 1 + V^:t2+2A:+ 5)+ C Vâ: — a:^ + arcsin ( 2 a: — 1) + C Problemler 116) J y j 2 - x - x ^ d x = - - ~ ( 2 x + l ) \ / 2 - x - x ^ + 117) 118) 119) 120) i - J 4x^ + 3 COS X . 2 a 4- 1 3 + 1 3 — sin A- ^ = arctg-----— + C y/3 v/3 Cİa: sinÂT— 6 sin a: + 12 log e’^ + — + v/lH- e* + e2* |+ C y/l + e* 4- e2’' sin X d;t fJ \/cOS2a: 4- 4 C O S AT 4- 1 log COS A 4- 2 4- V^cosÂ 4- 4 cos a 4- 1 4- C 121) J* cosÂT dA'= sin AT— ~ sinÂT + C J s in ^ A ' d A = — COS X -r 2 co s â 1 ---- ^ c o s =a 4- C 1 sinÂ cosÂ dA = -g- sinÂ — ğ- sinÂ 4- C 125) RX 1 dA = -^ cos® ------ -- cos® J J 127) QA sin^ y cos^ 124) 2 sinÂ , ^ ^ 4- 2 log sin A + C 3 1 1 sinÂ dA = -ğ- A ---- ^ sin 2a 4sin 4a 4- C JI sinÂ “ cosÂ dA = — a — sin 4a 4- C 128) J' sinÂ cos‘*AdA = — x — -V sin 4 a 4- -A* sin'*2A 4- C 48 16 64 129) r J 130) J sin^*A r co s ®3a dA = dA ^ C + C = -^log 4 ^ :ır2 - 1 e’^cİat J 9 8 16 A 4- 12 sin 6 a 4- C O t g A --------ğ - C O t g ® A 64 4- C sin 12 a 4- j / ' sin®6A 4- C 144 373 374 131) Belirsiz integral j - J cos® Y 132) 133) 134) m, |* i J J j sın^Y ~ tg .Y -I- 43“ tg Y sın^Y cos^v —r-, 4 — 2 c o tg 2 y + 3 2 sm-2-cos’ -2- <;>ı r - ^ 4 tg'-v ! 3 log (tg x) sm^Y cos^Y f - — r +c dY — ---- 4 cotg'lv — 7 cotg^Y + C 136) JI* -sın^Y r ■foT^ T- 4" 5 sin 4 y , t4 tg^v 2 tg^Y + C + '■ - 8f sın^Y j .-4^-------- 4 - cos^-2' 4 sjn^Y 137) J sec 4* d,v _ C 8 3 sin 4 y ■ 32~cosHİ log tg 7+C 2 , 3 32 , . ‘8 |^2a; + ^ 4 l , j+^ 138) J tg^Sj: dx = -|- tg 5a- - a + C 139) J” cotg®AdA = — 2 colS^^'~ I06 ®ltı A + C 140) J' cotg*A dA= — 2’ cotg^v + cotg a -f a + C 141) I ^tg3 142) J Y sin^ + tg< dA = 1 O dY 2 1 t g ’ - 3- + t g ’ - 3- - 3 tg ^ - + 3 lo g c o s -| - - f A - f C . sin 2y^ + C 143) | f | ^ d A = -4-cotg3A + C 144) J' sin®Y Vcos y dY = ---- -- V c o s ^y + ~ V c o s ^'^y — V c o s ^®y -1- C Problemler 145) cİ a: j sin 3a: cos 5a: (3a: 146) J c o s 8 a: + cos 1 1 2x C + sin 10a: sin 15;e d;^ = — — sin 25a: + -jö" sin 5r + C 148) j* cos Y 149) 2\jtgx + C v/sin v/si] X cos^x J* sin Y cos J cos J cos J sin I . X COS (ax + o ~ h) 3 (İ a: = . 3 dx = 5 a: s ın 5 Y , o . X 3 s ın — + D a: 1 COS - ğ ----------^ 1 cos ( oa : —b) dA: = 1 X cos23a- dA: = y sİ^ ^ a: sin 2a: sin 3a: d^ = dx 1 ‘ a— b ( a: + a ) (Af + 6 ) 1 , C + o COS a : + , ^ C 1 sin 2ax + Y ^ 26 + C 1 sin 5a: + -ğğ- sin l x 1 + C 1 cos 6 a: —-jğ- cos 4 : x --- ğ- cos 2 a: + C lo g ^ + C a: + a 154) J* ^ -2—-_5x_+_£. dAT= ;c + 3 log(jr - 3) - 3 log(x - 2) + C 5 a: + 6 155) ıc fl\ d A: dx J _ ( a: + 1 ) ( a: + 2 ) ( a: + r J “f” 2 ) dA: 5 j .I + 4]^ ;f3 _ = - ,c:o^ 159) r I r I J a: ^ - 6 a:3 + 12 a:2 + 6 a: 3 - 6 a: 2 + 1 2 a: - 8 5a:2 3)2 ( a: + log 12 ,■ 1 , log a: 15V ) ^ 1 3) , 161 ~6~ ^+ - , ( a: - 2 ( a: - . . ~ 7 , ~ T a: 2 ( a: + 1) - . iog(2A: + 8 2)2 1 3) .. + C ~ î| - 11 2 9 1)2 2 )* + İ0g(2A: ~ ^ 1 1)(a: + 3)5 (x 2 + C ı\ , r> — 1) + 1) + C e 375 376 Belirsiz integrdi ■«» j 10)2 8 49U — cİ a: 27 49U + 5) 1 (2x - 3 ) dx (x^ - Z x + 2)2 ’ 30 , x - 5 , ^ log — + C 343 ‘ ^ a: + 2 . ^ 161) / 162) I ^ î i S T î f '''= '+ '« v r â + ‘^ 2 U 2 — 3x . + 2) + 2)2 163) 164) 4x + 3) (,v2 + 4* + 5) 52 20 + r d.v _= -^log 1 165) J ,r2+ 1 166) J 167) 168) 6 6 r_ 5 ^ = _ L _ / + 1 4 V^2 ^ + 2 a: + 2 )2 4 a: + 5)2 arctg log ^^ + s/ 2 a: + 1 ;»:2 — V^2 a: 2 a: + 3 a: - 17 2) ^3 ^ ^ 1 — a;2 ^ + arctg(A: . 1 2 ( a:2 — 4 a: + 5 ) 2 + 1) + C log(A:2 — 4 a: + 5 ) + x^ dA: = — [8 log(A:2 + 8) - log(A:2 + 1)] + C (a:2 + 1) (a:2 + 8) 21 169) I 170) /_ 171) r ^J ^ = l o g . _ ^ , o g ( . . + l) + C — --------- L ( a: - 1 ) 1 ' ^ 9 ( a: - 1)9 4 ( a: - 1)8 arctg(;t + 2) + C -f C \/2 1 + 2 a: - 1 2 ( a:2 + (a:2 -+ 1) dA: r J y/ 3 x^ — X -r 1 ( 3 a: + 5 ) dA: ix İ0 g(;r2 + 4^r + 5) + Ux - 1)7 + C arctgCA: — 2) + C Problemler 172) / dA: a:» _ ;t*2 d x 173) 1 1 + 5 a:3 + a:® 3 a:3 ‘ 1 = 2 174) J* 3^!---- — = 1 ^2 [2 djjT V'j: + 1 + v'(at + 1)3 / 176) ö \ X + v /m +c H- 6)3 — 56 V(a^ + 6)^] + C 2 arctg H-1 + C + 2 , f V 7 + l — 1)2 'i* = (* + C ^ 181) / 7 f ^ - = V - V ^ — + a:^ ( at2 + at + 2 1)2/2 cİat = (* _- ON 2) 4+- — y log ( X + \Jx^-\) + C 1 / J S I -7^-- —- = 4- V9 r 2 V ^xT l + 1 -------y/3 ^ = 2 v'-i - 2 \/2 arctg y / f + C 180) J 2 - 7r 179) J 183) + x \ X I 182) — = 6x'’^- 3x''^ + 2y jx- 6 log (1 + ;»r''^) + C J 178) {x— 1)3 + 4 - 7 sJV ^İ 175) 377 Î . c 2 — (2 a: + 64 log ( a: -f \/9 + a;2) + C 1) ( 8 a:2 + 8 a: + 17) x^ + a: H- 4 ^ log (2a: + 1 + 2 v/ a:2 + 128 ----------------= 2 ./-İL n 2 + C 184) Jr ---------ix— l )\J^ — 'ix + 2 Y AT— 1 1+ a: + 1) + C ^ 378 Belirsiz integrdi 185) d.r J- 2x + X 5)3/^ 1 + 5 1 dx / — ^ sjx 'i-2 x ■««> I iiir5 7 C T ~ 7 l"” ‘=7fâftr + ‘' 237) I (1 — I 1) + log (2x -f 1 + = — 2 (y^l + .Y^ V^l + X + ,\3 X 2 sJYTVT^) r _____^ _____ __ j_ ^ arcsin H- C 188) J x s j x'^ + ^ x — ^ 22 ^ 2X 189) J* 190) 191) )[ x ^ 2y -r log ( y -f 1 + V^Y^ + 2y) + C ^ ^ x f y3(1 4- 2y2)-3/2 dY = -i- 2^/1 + 2.v2 f - , ^ J VI + a:* = -1 » ^ 192) l o g ^ ^ S I ± l - X —1 (2y3 - 1) \ / r + y ^ ^ r dY _ 4 + 3 y3 J y3(2 ^y3)5'3 194) J1 Y*'3^2 + y2'3)1'4 d;t= -|ğ- 195) JI 197) 198) 2 a rc tg V ^ ^ ^ + C ç 3y3 193) 196) + C 8y(2 4- y3)2/3 1 I y 5(1 H- y 3)2'3 dY = -^ ____ ^ -------= J - log 3 + 5 cos Y 4 dY sin X + cos Y r cos AL -*dY _ J 1i-+ cos *^ X 1 ^/2 + C ( 10 y3/3 _ 16) (2 + y2/3)5/4 + C (5 y 3 — 3) (1 + tg t g f + 2 lot tg ( ^ + •V- tg 2 + c y 3)5/3 + C +c 1-) + c +c Problemler sin ATcİa: = — A T+ tg 1 — sin .r 199) / 200) I 201) / 3 sin a : 4- 2 cos a : dx j _= -r:r12 X — 13 2 sin AT4- 3 C O S x i 1 + tg a : 1 — tg X 202 ) 203) I 204) I 205) I 206) I dx COS a: 4* 2 sin a: + 3 AT 4 - S e C 1 + 3 cos^r 2 c o s a: 207) J sh’ r d* = y/ L arctg ( ^ t g r) + C = 1 , 4 4 -C 5 — sin X , ^ -------TT— + C 1 — sin x eh’* — ch ^ + C 208) J ch<*d;r=-|-j: + -i-s h 2 * + i s h 4 j r + C 209) 210) J sh’ r ch J dr = -^ sh<r + C dx , X , 1 , ^ —----- = log th -T— 1— T---------h C sh X ch?x 2 ch a: 211) J' thÂ'd:^ = log ch a: ---- ^thÂ' 4- C 2 .» I shÂT 4- chÂ Sm y sin X ( İ at _________ 1_____ (1— cos x)^ ~ 2(1 — c o s a-)" cos X ( İ a : İ0 g (2 — sin a : ) 4* C 2 â : sin-;c — 6 sin a: 4- 5 5 13 ~ ~ 4- C arctg (^-^) + C dx 3 s i n ^ A T 4- 5 + C = arctg (l 4- tg _ log (cos -------ÛE------ = ± AT arctg(th a ) + C q AT 4* 3 ^ _l n C O S Af) 4 - U 379 380 Belirsiz integral 213) J Cv2 + 1)2 e 2 * dx = 214) J' Ar2cos23;c d^r = -p I 215) ~ 5-v + Y + — .\:2sin in 6.V + -p X cos 6.V— ,v sin X cos 2y d.Y = ---- p x cos 3.y -r 216) J* ^ 6* cos X dx = Y J 5T4- e* 218) J + C ^ 18 sin 3.v 4- y) sin 6,y | + C x cos x ---- ^ sin ,v + C + C 2 = ~ Y ' ^ + ^ l o g ( e ‘ - l ) + i lo g ( e ’‘ + 2 )+ C dY )Je-^ - = Y — log(2 - e‘ f 2v/e2* 4- e’' 4- 1; f C e* 4- i 219) J* log2(Y 4- V^l -r y '^) dY ~ y log2(Y 4- V'^1 4- y2) — 2\/l -h y2log ( y v/1 4* y2) 4- 2y + C 220) J . M o g [ ^ d , = | y2 log -? ^ + logd — y2) 4- y2 1—Y C 15. BÖLÜM BELİRLİ İNTEGRAL 1 5 -1 . Bir eğri altındaki alanın hesabı. y — bir [a ,h] aralığında sürekli ve pozitif bir fonksiyon olsun. Bu fonksiyonun göstermiş olduğu eğri üzerinde, a? = a apsisli BC ordinatını ve herhangi x apsisli ED ordinatını gözönüne alalım. Şekil 102. BCDE alanının değeri A olsun. x e bir Ax artımı veriürse y de bir Ay artımı alarak KG durumunu ahr. A alanı nın X in Ax artımına karşılık olan artımı da DEKG alanı olup değeri AA olsun. DEKH ve JEKG alanlarını tamamlıyalım. DEKG alanı JEKG alanından küçük ve DEKH alanından büyük tür. Buna göre Şekil 102 ED , A x < AA < KG . Ax 382 Belirli integral yazılır ve her taraf Ax ile bölünürse ^ AA < KG ED < Ax elde edilir. Şimdi Ax artımını sıfıra yaklaştıralım. O takdirde K G -^ E D = y AA Ax ve dA do? olarak dA ûx = y veya dA = y dx = f (x ) dx olup her iki tarafın integralleri eşitlenirse A = J f{x) dx + C = cp{x) + C elde edilir. C sabitini belirtmek üzere x — a için A = 0 olduğu gözönüne alınırsa 0 = cp(a) + (7 ve C = — (p{a) olur. Buna göre A = cp(a?) — (p{d) bulunur. y — f {x ) eğrisinin x — a ^ x = h doğruları ve ox ekseni ile sı nırladığı alan hesaplanmak istenirse A ifadesinde x yerine b koy mak yeterli olur. O halde söz konusu alan A — (p(6) — (p{a) dır. (p(b) — (p(a) ifadesi j: f(x) dx işareti ile gösterilir. Buna göre 'b ı: f(x) das = <p(x) + C = M b ) + C] - [ç(a) + C] = <9(b) — <p(a) Bir eğri altındaki alanın hesabı 383 dır. Burada integrasyon sabiti yok olmuş ve sonuç belirli bir sayı olarak elde edilmiştir. Bu nedenle ı: f(x) dx integraline belirli integral denir, a b ye de üst sınırı (limiti) denir. ya integralin alt sınırı (limiti), Sonuç olarak, y — f {x ) eğrisi, seni) doğrularının sınırladığı alan x = a , x = b ve 3/ — O (ox ek d çp(x) = f( x ) âx olarak dır. ÖRNEK 1. {x - 3)^ dx integralini hesaplayınız. (X (X - ÖRNEK 2. V2 J; 3)3 - 3 )2 d ı ; = İntegralini hesaplayınız. — x^ dag _ v/4 - o?3 A • — X Arcsın r ^ İl TZ TZ ^ = — Arcsin — Arcsin 1 TZ T " " T “ l2 ÖRNEK 3. x = cos 2y olduğuna göre y dx saplayınız. 2y = Arccos x olup , 2/ = Arccos x integralini he 384 Belirli integral fi I y jo 1 fi dx = — \Arccos x dx ^ jo dır. f Arccos X J X Arccos x — \ - 7^ ^ dx= J \/ı-i = a; Arccos x — v'^1 — olarak P y d» = Y r Jo ^ 2 Jo Arccos x û x = ^ 2 X Arccos o; — v/l — 1 = y (Arccos 1 - 0) - y (0 - 1) = ^ dir. ÖRNEK 4. 3/ = — 4oî + 4 parabolünün x = Z , x = 5 ruları ve ox ekseni ile sınırladığı alanı hesaplayınız. doğ Hesaplanması istenen alan Şekil 103 de gösterilmiş olup A = = f(x) dx = X -ü-----2x^ + 4x (x^ — ix + 4) dx = 125 - 50 + 20 - ( 9 - 8 + 12) olarak A = 26 dir. ÖRNEK 5. y = x l o g x eğrisi nin ox ekseni ile sınırladığı alanı hesaplayınız. Eğri Şekil 49. da gösterilmiş olup : Bir toplamın limiti olarak integral X -- l o g X d.7: r 385 1 log * -(0 -0 ) dir. 1 5 - 2 Bir toplamın limiti olarak integral Amaç, aşağıdaki şekilde teşkil edeceğimiz bir toplamın limitini ara maktır. y = f {x ) , [a aralığında tanımlı ve sürekli bir fonksiyon olsun, b > a olduğunu kabul ediyoruz, [a ,b] aralığını n pozitif parçaya ayıralım ve bunları ^x^ ^Xn şeklinde gösterelim. Buna göre kısmî aralıkların sınır değerleri a:o = a , xı = xo + Axı , X2 = Xı + Ax2 j , Xn = b olacaktır. Diğer taraftan herbir kısmi aralıkta seçilmiş bir x değeri için f {x ) fonksiyonunun değerini hesaplıyalım ve bu değerleri, ait oldukla rı aralıkların büyüklüğü ile çarpalım. Sonra da elde ettiğimiz bu çar pımların toplamını teşkil edelim. Bu toplamı yazmak için, İ>o^5l’i] aralığında x in seçilmiş bir değe ri olarak a;/ yü alalım ve fonksiyonun bu değere karşılık gelen f ( x ı ) değerini hesaplayıp elde ettiğimiz sonucu aralığın Aa?ı büyüklüğü ile çarpalım. Aynı şekilde, [ x ı , X2] aralığında x in seçilmiş değeri olarak X2 }ü alalım ve buna karşılık olan değerini, aralığın Aa?2 bü yüklüğü ile çarpalım. Bu işi diğer aralıklar için de yapalım ve f{Xl) Axi + f ( X2) AX2 + ...........+ f ( Xn) AXn = i^ 1 toplamını teşkil edelim. Şimdi de, herbir aralığın büyüklüğü sıfıra yaklaşması şartiyle, kıs mî aralıkların sayısının sınırsız olarak artması halinde bu toplamın bir limitinin mevcut olduğunu ve bu limitin, herbir aralıkta seçilmiş olan Xı ,X 2 f ,Xn değerlerinin seçilişine ve aralıkların aynı anda sıfıra yaklaşmalarına bağh olmadığını ve 386 Belirli integral 1 ” i m<30 y^ X= f(Xi') AXi = 1 ICb f{x) *n dx olduğunu gösterelim. İspatı yapmak için f {x ) fonksiyonunun gösterdiği eğriden fayda lanalım. İşi basitleştirmek için f {x ) fonksiyonunun [ a , h ] aralığında sürekli, pozitif ve artan bir fonksiyon olduğunu kabul edelim. Bu halden genel hale geçmek kolaydır. y — f {x ) fonksiyonunun eğrisi Şekil 104 de gösterilmiş olan eğri olsun. ox ekseni üzerindeki a ve b apsisli noktalar A ve eğri nin bunlara karşılık noktaları P , Q olsun. AB doğru parçasını AXı , AX2 , A^3 , •• e eşit A A ı , A 1A 2 , A 2A İ, ... parçalarına ayıralım. Bunlara ait AP , A iP t, , A 2P2 , ordinatlarını çizelim. Ayni şekilde x{^X 2 yXi\... ap sisli C ı, (72 , C3 , ... noktalarının M^Ciy M2C2 , M 3 , ... ordinatlarını ve Cı , € 2 j C i , noktalarından ox eksenine DDı, E 1E 2 , F 2F3 , pa ralellerini çizelim. Yukarıda teşkil olunan (1) toplamı ADDyAı , A 1E 1E 2A 2 , AJP2F2A 3 , Bir toplamın limiti olarak integral 387 dik dörtgenlerinin alanları toplamına eşittir. Bu dik dörtgenlerin alan ları toplamı ise PQ eğrisi, AP ^ BQ doğruları ve ox eksenininin sınır lamış olduğu alandan pek az farklıdır. PQ eğrisi ile AP , BQ doğru ları ve ox ekseninin sınırladığı alanın belirli bir değeri olduğunu kabul edelim ve bu alanın (1) toplamının limitine eşit olduğunu gösterelim. (1) toplamının en küçük değeri, Cı in P de; C2 nin Pı de; Oa ün P2 de, ... olması halindekine karşılık olup Şekil 105 de gösterilen APHıA^ A 1P 1H2A 2 ,... dikdörtgenlerinin alanlarının toplamına eşittir. (1) toplamının en büyük değeri ise AKPıAı y A 1K 1P2A 2 dik dörtgenlerinin alanları toplamı na eşittir. APQB eğrisel alanı ve (1) toplamı içe ve dışa çizilmiş dik dörtgenlerin alanları toplamı olan s ve S arasındadır. S-5 farkı, PKP,Hı, P 1K 1P2H2 J... küçük dik dört genlerinin alanları toplamına eşittir. Bu toplam ise, bu dik ŞekU 105 dörtgenlerin tabanlarının topla mı olan AB = h—a ile yüksekliklerinin en büyüğünün çarpımına eşit veya ondan küçüktür. Bu yükseklikler f(ocı) - f(Xo) fiX 2) - f(x,) farklarına eşit olup, f (x ) in sürekli oluşundan, bunlar da Aa?ı, Aa?2 ,. •• lerle a5mi zamanda sıfıra yaklaşırlar. Bundan ötürü iS - s farkı da sıfı ra yaklaşır. (1) toplamı ile APQB eğrisel alanı arasındaki fark ise, kendileri s ile 8 arasında kaldıklarından, S - s ile birlikte sıfır limitine yaklaşır. Bu da bize (1) toplamının limitinin APQB eğrisel alanının değerine eşit, yani 388 Belirli integral olduğunu gösterir. (15-1 e bak.) Şimdi bunu bir teorem halinde ifade edelim. Integra! hesabm temel teoremi. f(oc),[a,b] aralığında sürekli ve tek değerli bir fonksiyon ve d(p(a;) = f(x ) da; olacak şekilde bir fonksiyon ise aJo = a ^ aj„ = b , a;,_ı < a;,' < Xı (i = 1, 2, , n j olduğu ve n sınırsız olarak arttığı zaman her Axı değeri sı fıra yaklaşmak şartiyle dir. n ÖRNEK 1. 1 ^ 5C^ 3 için 1i m ^ AXi limitini hesap- layınız. integral hesabın temel teoremine göre 1i m 72 00 ” f3 E i = = , 1 a;^ da; = ^ —r- 3 = 3 İ _ J L ^ 2 0 1 4 4 dir. ÖRNEK.2 y = -^ llm limitini hesaplayımz. ve 0 ^ a ;^ 4 olarak + Belirli integralin bazı özelikleri da; 389 4 olup M m 2 y/l+(g)’ =n m I 4 15it: o 2 ,. t e y / 15t: = ^ ^ 16 = 15ır dir. 1 5 - 3 Belirli integralin bazı özelikleri 1. y = f{x) fonksiyonu [a ^b] aralığında sürekli ise f(x) d x = - J"“ f(x) dx dir. Gerçekten, dcp(a?) = f {x ) da; J*" f(x) âz = <p(b) - <p(o) olarak : j*“ f(x) dx =- <p(o) - <p(fc) olup (^f(x) dx = - f“ /(a:)da; «} b J et dir. 2. y = fix) fonksiyonu [a , b ] aralığında sürekli ve ise dir. Grerçekten J f(x) da; = <p(c) — (p (a) ve |*^f{x) dr = <p(b) — <p(c) a < c <b 390 Belirli integral olup iki ifade taraf tarafa toplanırsa f f(x) âx + P f(x) dx = 9 (b) Ja Jc (a) = f(x) dx bulunur. ÖRNEK. f(x) d x f { x ) dx — j J4 f(x)dx ifadesine eşdeğer J4 bir integral bulunuz. Birinci integrale yukarıdaki özelik uygulanırsa fix) dx = f{x) dx + f(x) dx olup ifadede yerine konursa : f4 = J 1 f(x) dx 4= f(x) d.T + f5 J re fix) + J ~ J f5 f(x) dx = bulunur. 1 5 - 4 Belirli integralin geometrik uygulamaları 16.4 - 1 . Kartezyen koordinatlarda alan hesabı. y — f ( x ) eğrisi ile x = a , x = h doğruları ve ox ekseninin sınır ladığı alanı hesaplamak isteyelim. Bir toplamın limiti olarak belirli in tegralin mevcudiyet teoreminin ispatında yapıldığı gibi [a , b] aralığı n parçaya ayrılır ve herbir kısmî aralıkta x in Xi' gibi bir değeri seçilir ve Xi' apsisli eğri noktalarından oo; eksenine paraleller çizilirse Şekil 106 daki dik dörtgenler elde edilir. Bu dik dörtgenlerin herbirinin alanı AA,* = f(x/) Axi dir. Bu dik dörtgenlerden herhangi i numaralısı alan elemanı olarak ka bul edilir. Kartezyen koordinatlarda alan hesabı 391 Bu dik dörtgenlerin tanesinin toplamı n 2 AAi = i= 1 i= 1 olup aranan alan, herbir AXi-^0 olacak şekilde, n-ôo halinde bu toplamın limiti dir. O halde integral hesabın temel teoremine göre (bak 15.2) : A = Cb 1i m 2 f(x/) Axi = n H- 00 X= 1 f(x)dz = a lrb \ y da: Ja dir. Eğer, hesaplanacak alanın bir kısmı. Şekil 107 de olduğu gibi, ox ekseninin altında kalıyorsa, bu kısımdaki dik dörtgenlerin alan ları negatif olacağından, bütün dik dörtgenlerin alanlarının top lamı, pozitif ve negatif alanların cebirsel toplamını yani bunların pozitif olanlarının toplamı ile ne gatif olanlarının toplamı arasın daki farkı verecektir. Bu sebeple, istenen alanı hesaplamak için, po zitif ve negatif alanlı olan kısım ların alanlarının mutlak değerleri toplamını hesaplamalıdır, örneğin Şekil 107 için : f(x) da: + I r* 1 dir. J C f(z) dz 392 Belirli integral y = f(x) eğrisinin y = c , y = d doğruları ve oy ekseni ile sınır ladığı alan ise, Şekil 108 deki dik dörtgen alan elemanına göre dir. ÖRNEK 1. t/2 = 2yx para bolünün X = a doğrusu ile sınırla dığı alanı hesaplayımz. Aranan alan, ox eksenine na zaran simetrik olup OAB alanının iki katıdır. Şekil 109. Buna göre : Şekil 109 = 2 dir. " o * = 2 / ■ *'2p = 2 da? = 2 \/ 2p = 2 \ f^ . ~ — A ^ y' 2pa i * ’" Kartezyen koordinatlarda alan hesabı + ^*2 = 1 ÖRNEK 2. 393 elipsinin sınırladığı alanı hesaplayınız. Aranan alan, simetriden ötürü OAB alanının dört katıdır. Şekil 110. Buna göre : A = 4 I Jo ^ =— f a h Jo — s/a"^ - x'^ dx a ^ sjo? - x'^ dx dir. Bu integrali hesaplamak için = a sin dönüştürmesi yapılırsa X ^/a^ — = a cos ^ ; dx = a cos cpd<p olur. Bu halde, integral sınırlarının da, bu dönüştürme için, yeniden belir tilmesi gerekir. Gerçekten X= 0 için 0 = a sin cp , sin cp = 0 ^ 9= 0 •= a için a = a sin 9 , sin 9 = 1 , 9 X -ir dir. O halde 47) fa ,______ 4b f^/2 A = — I \’ 0 ^- x'^dx = — I a jo ' a jo Çilli = 2 ab I h f^^2 cosV d9 = 4 ab I cos^9 d9 Jo I 1 I ır /2 ^ o (1 + cos 29) d 9 = 2ab \(? + -jr sin 29 ■ = Tzab dir. ÖRNEK 3. a? = a (0 — s in e )^ 2 / = ® ( l " " cos 0) parametrik denk lemleriyle verilmiş sikloid eğrisinin bir kemerinin ox ekseni ile sınırla dığı alanı hesaplayınız. dx = a (1 — cos 0) d 0 olup 394 Belirli integral A = j f2Tia f27î ^ ^ 1/ dr = J a(l — cos 0) a (l - cos 0) d0 = (1 - cos d f d0 = 2 —^ o . 1 + cos 20 11 “ 2 cos 0 H----------------- 1d0 \ =“-/r I 2 ( 1 - 2 cos 0 + cos’ 0) d0 0 ----- 2 cos ö + - ~ cos 20 - 2 sin 0 H. 4 j d0 sin 20 I jo = ^ızar dir. Şekil 111 İki eğrinin sınırladığı alan y — fı(x) , y = fı(x) eğrileri ile x — a , x — h doğrularının sınır ladığı alan istenmiş olsun. Şekil 112. Bu alan APQB alanı ile AMNB alanı arasındaki farka eşittir. Kartezyen koordinatlarda edan hesabı Al î\{x) dx 395 t 2İx) dx A2 olup A = A. - Al A = P f 2İx) dac Ja P fı(x) di: Ja dir. Bu sonuç Şekil 112 deki dik dörtgen alan elemanından da buluna bilirdi. Gerçekten aranan alan, bu şekildeki n dik dörtgenin alanları top lamının limitidir. O halde = LhiXi') - /ıto')] Aa;.olup A = Ii m [ / 2(»i') - fı(xi')lAXi = P [fiil) - /ı(a:)] dx ^ ■ Ja W->OOİ=;1 dir. Kesişen iki eğrinin sınırladığı alanın hesabı istendiğinde, a ye b ye rine kesişme noktalarının apsisi konur. ÖRNEK 4. oc^ = 8y parabolünün sınırladığı alanı hesaplayınız. x — 2y + S = 0 doğrusu ile îki eğrinin kesişme noktalarının apsisleri x = 8 ve a?=3— 4 dir. Şekil 113. Dooğru üzerindeki x apsisli noktanın ordinatı 2/ — ^ { x - \ - 8 ) \ parabol üzerindeki ayni apsisli noktanın ordinatı y = ~ğ- oc^ olup 4, 1 'a: + 8 x^. 2-----1 )-( i8 4 - 1 6 + y l = 36 396 Belirli integral . ÖRNEK 5. = 4 aı/ 8a^ parabolü ile . . . . sınırladığı alanı hesaplayınız. Eğriler Şekil 114 de gösterilmiş olup hesaplanmak istenen alan oy eksenine göre simetriktir. İki eğrinin kesişme noktalarının apsisleri X = —2a ve x = 2a dır. Bunlara göre 2a Jl0 8a^ x'^ + 4a^ = 2 4a'-^ arctg X 2a , , 4a. ^ x^ m Kartezyen koordinatlarda alan hesabı 397 = 2 arctg 1 - - 4a^ arctg O + Oj = 2(402 . ^ - 4 a 2 j = |- (3u - 2) o2 dir. ÖRNEK 6. 2/2 = a? + 4 parabolü ile sınırladığı alanı hesaplayınız. y — X ■¥ 2 — 0 doğrusunun Eğri ve doğru Şekil 115 de gösterilmiştir. Bu iki eğrinin sınırladığı ala nı hesaplamak için iki çe şit alan elemanı seçilebi lir. Şekilde görüldüğü gi bi, alan elemanını seçmek üzere a? in [ —4 , 5 ] ara lığını n parçaya bölersek iki çeşit alan elemam elde ederiz. Bu da bizi iki ayrı tip integralin hesaplanma sına götürür. Halbuki y Ş e k il 115 nin [ —2 , 3 ] aralığını n parçaya bölersek tek çeşit alan elemanı elde edilir ve bu suretle de tek bir integralin hesabına varılır. Bu hallerden birini seçmek, hesabı yapana ait olmakla beraber, bizi sonuca götürecek en kısa hesap yolu nu tercih etmek gerekir. Bu problemde ikinci tip alan elemanını seç mek en uygun yoldur. Buna göre — İsCdi ^pî) Ayı AAi = Uyi + 2 ) - ( y ^ - i ) - ] A y i = (6 + yi - 2/f2) Ayi olup A = l i m Y ( 6 + yi - yi^) Ayi = = j 61/ + y î/2 - (6 + 2/ - 3/^) dy 398 Belirli integral 9 = (l8 + | - S . ) dır. 15.4. - 2. Kutupsal koordinatlarda alan hesabı p = /(0) kutupsal denklemi ile verilmiş bir eğrinin 0 = a ^ 0 = p doğruları ile sınırladığı alanı hesaplamak isteyelim. /(0) fonksiyonu, [ a , p] aralığında sürekli olsun. Ş — a açısını n açıya bölelim. Bu açı ları A0; ile gösterelim. Bunlara ait kutupsal ışınlar Po P2 Pı Pn ve 0 = a için po = /(a ) ve 0 = p için p„ = /(p) olsun. Şimdi her A0,- aralığında 0 nin 0/ gibi bir değerini seçelim. Bunlara karşılık olan Pı' = /(0ı) kutupsal ışınları yarıçap ve kutup merkez olmak üzere da ire yayları çizelim. Bu suretle, merkez açıları A0,- 1er olan daire dilim leri elde edilir. Şekil 116. Bu şekilde elde edilen daire dilimleri, alan ele manı olarak seçilirse A A .= | -p ,'2 A e , = | -[/(0 ,')p A 0 , ve A = l i m 71 -> CO 2 i= 1 elde edilir. Buna göre p = /(0) kutupsal denklemi ile verilmiş bir eğ rinin 0 = a , 0 = Ş doğruları ile sınırladığı alan dır. Kutupsal koordinatlarda alan heszhı Eğer pı = /ı(e) , p2 = / 2(e) eğrileri ile sınırladıkları alan hesaplanmak iste- A = lim 2 ÖRNEK 1. p2 = ^ [P2.’ - 0= a, 399 0 = p doğrularının [P2^ - P>' ]d9 ^ dir. cos 20 eğrisinin sınırladığı alanı hesaplayınız. Eğri Şekil 77 de gösterilen eğri olup ® [ — ^ TZ doğrusu ve kutupsal Tî I aralığında çi zilmiştir. Bunlara göre A = ^ , 4" f cos 20 d0 = 2d^ ^ Jo ^ sin 20 I ^ n dir. ÖRNEK 2. layımz. p = a (1 — cos 0) kardioidinin sınırladığı alanı hesap- Eğri Şekil 118 de gösterilmiş olup kutupsal eksene göre simetrik tir. Bıma göre A = 2 f"' ^ p2 d0 = f"" a\l - cos 0)2 d0 Jo ^ = a2 Jo (1 - 2 cos 0 + cos2 0) d0 2 o û I 1 + cos 20 \ -û = a2 J 11 - 2 cos 0 H--------- ^------ j Ş e k il 118 400 Belirli integral j 2 cos ö + ^ cos 20 d9 = I 2 0 — 2 sin 0 + 4 sin 20 Tt 3 0 ^ , dir. ÖRNEK 3. X = — doğrusunun sağında ve p = a ( l + cos 0) a kardioidinin içinde kalan alanı hesaplayınız. Eğriler Şekil 119 da 3 gösterilmiş olup x = — a doğrusunun kutupsal denklemi 3 a sec o A p= — dır. Doğrunun kardioidle kesim noktaları 3 o (1 + cos 0) = — a sec 0 3 sec 0 = 4 + 4 cos 0 4 cos^ 0 + 4 cos 0 — 3 = 0 Şek il 119 (2 cos 0 + 3) (2 cos 0 — 1) = 0 dan COS0 = yani Ö= 7ü ve 0= 7ü kutupsal açıh noktalardır. Şekilde gösterilen alan elemanının alanı AA.- =y(p>tf2-p.,.-2)A0. olup hesaplanması istenen alanın kutupsal eksene göre simetrik olduğu gözönüne alınırsa = İPk^ — Pd"^ d0 = jô^(1 + cos 6)^ ~ ^ Hacım hesabı = = = 1^1 + 2 cos0 4- cosÔ— yq secôj d0 + 2cos0+ Y J 401 ~ ^ sec^0j d0 u /3 -- 0 + 2 sin 0 + - - sin 20 — --- tg 0 16 0 = “^(87t + 9v/3) bulunur. 15.4 - 3. Hacım hesabı. 1. Genel hal. Bir S yüzeyi ile sınırlanmış bir hacım düşünelim. Bu yüzeyin oxy düzlemine paralel z kotlu bir düzlemle kesilmesi halinde elde edilen kesitin alanı S(z) olsun. Bu yüzeyin z = z^ ve z — z düzlemleri ile sınırladığı V hacmini hesaplamak isteyelim. z > Zq olduğunu farzediyoruz. Zq sabit ve z de ğişken olduğuna göre V hacmi V (z) gibi z in bir fonksiyonu olacaktır. Şekil 120. S 5dizeyi ve z — z, z = z' düzlemleri ile sı nırlanmış hacmi [V]^ ile gösterelim. Bu takdir de bu hacım aşağıdaki özeliklere haizdir. I. Zo< z < z' [ F] i ; = dir. + için [ F] 402 Belirli integral II. Birinci özelikte z' — z alınırsa [Vr^ = 0 olduğu görülür. III. banlı ve z' — z ğından z sabit tutulursa [V]^ hacmi, z ^ z halinde 8(z) yüksekliğindeki bir silindirin hacmi ile eşdeğer olaca [ F ] f - S(z) (z' - z) dir. Şimdi V (z) in türevini düşünelim. Bunun içinde z' -> z halinde V( z ) - V(z) z'ı— z oranının limitini hesaplıyalım. z' > z ise birinci özelikten v ( z ) - v(z) = m ı ve üçüncü özelikten V(z') - V(z) - /S(z) (z - z) olup aranan limit 1i m V(z') - Viz) _ f —1i m S(z) (z - z ) _ / — 0 ( 2»^ olacaktır. Ayni limit z' < z farzedilerek te bulunabilir. Bu suretle V (z) in türevi olarak 8 (z) elde edilmiştir. O halde V(z) fonksiyonu 8 (z) fonksiyonunun ilkel fonksiyonudur. 8( z) eğer sürekli ise V(z) 8(z) dz + G dir. C yi belirtmek üzere ikinci özeliği kullanırsak vizo) = m i l = ^ = 0 bulunur. Buna göre aranan hacım dur. Hacım hesabı 403 ÖRNEK 1. Piramidin hac mi. Piramidin tepesi orijinde, yüksekliği h ve tabanının ala nı B olsun, z kodlu bir düz lemle piramidi keselim. Şekil 121. Elde edilen kesitle, pira midin tabanı homotetik durum da olup Siz) ^ B yazılabilir. Buradan da 5(z) = B h^ olup piramidin hacmi : h V = y = fı^ Siz) dz = £ İ 1^ 3 in Bh dır. ÖRNEK 2. Kürenin hacmi. R yarıçaplı ve O merkezli küreyi gözününe alalım. \z\ < R ola cak şekilde z kodlu bir düzlemle küreyi keselim. Şekil 122. Kesit \JR^ — z^ yarıçaplı bir daire olur. O halde Siz) = t^ ( R ^ - z^) dir. Buna göre Viz) = t:İR'^ — z^) dz J Zo = I \ \ olup kürenin hacmi için z = ^ I ^ =TZ R^z — ~ ^ Zq Zq ve Zq = — R ^ alınırsa 404 Belirli integral y = tt: = T bulunur. 2. Dönel yüzeylerin sınırladıkları hacımlann hesabi. a , X= b y = f( x ) eğrisi ile x doğruları ve ox ekseninin sınırladığı düzlem şeklin ox ekseni etrafında dön mesinden meydana gelen cismin hacmini hesaplamak isteyelim. Şekil 122 Bunun için de düzlem şekli n dik dörtgene bölelim. Bu dik dörtgenler, dönme esnasında, Şekil 123 de görüldüğü gibi dik silindirler meydana getirirler. Bu silindirlerin hacımlarının toplamının limiti a- y = f { x ) eğrisi ile y — c , y = d doğruları ve oy ekseninin sı nırladığı alanın oy ekseni etrafında dönmesinden meydana gelen cis min hacminin da olduğu kolayca görülebilir. yi — /ı(^ ) , 3/2 f 2 İ^) eğrileri ile x = a , x = b doğrularının sı- Hacım hesabı 405 nırladığı alanın ox ekseni etrafında dönmesinden meydana gelen hacim ise, Şekil 124 de gösterilen dik dörtgenlerin ox ekseni etrafnda dönmesinden meydana gelen silindirik hacımlarm toplamının limiti olup ATf = T:y2i^ AXi - Tzyî^ AXi = [ tc(2/2i^ - yu ^) AXi olarak y , = 1i m n -►00 ^ n(ı/2i2 - y\i^) f =1 dir. Şekil 124 ÖRNEK 3. R yarıçaplı bir kürenin hacmini veren formülü bulu nuz. Küreyi, + y^ = R?- çemberinin pozitif ordinatlı kısmının ox ek seni etrafında dönmesinden meydana gelen cisim olarak kabul edersek, hacmi y = 2 f ^ Tty^ do; = 27î f ^ (R"^ — x^) dac Jo Jo = 2tt RH - f = )= !* * ’ olur. ÖRNEK 4. y^ — 4âx parabolü ile x — a doğrusunun sınırladığı alanın x = a doğrusu etrafında dönmesinden meydana gelen hacmi hesaplayınız. Hacım elemanı olarak Şekil 125 den meydana gelen silindir seçilirse deki dik dörtgenin dönmesin Ay,* = 7w(a — Xif Ay i olup 406 Belirli integral dir. ÖRNEK 5. y = — — + ^ parabolü ile £C+ 1/ — 3 = 0 doğ rusunun sınırladığı alanın o? + 2/ -* 3 = 0 doğrusu etrafında dönmesin den meydana gelen cismin hacmini bulımuz. Hacım elemanı olarak, Şekil 126 daki dik dörtgenin sözü geçen doğru etrafında dönmesinden mey dana gelen silindiri seçelim. Bu si lindirin taban yarıçapı, p. noktası nın doğruya uzaklığı olup ^ + Vi - 3 \/2 ve yüksekliği hi = v^(Acc;)2 4- (A y if dir. Diğer taraftan 07 + 2/ — 3 = 0 dan Ay = — Ax hi = yj2 AXi dir. Bunlara göre hacım elemanın hacmi olup Hacım hesabı 407 _ _ \Xi + Vi - 3 ~ [ v/2 Ay,- . \J2 Axi ve yi , Pi noktasının ordinatı olup parabol denkleminden Vi = — — 3a?,- + 6 olduğu gözönüne alınırsa v/2 AXi olur. Buna göre aranan hacım =n —a?2 - 2a? + 3 [— y — s[2 2 7j v/2 y = ( - - 2 x + 2,f Ax (x* + 4®’ — 2®^ — 12® + 9) d® V= ^Tz I 2 ]V2da: = - ^Tt a?‘ jo -f a?^ - 2a?3 o - 6a?2 + 9a? 1 —3 256 /T, V^2 TC 15 dir. 3. Tabaka kuralı ile dönel hacımlarm hesabı. y — fio c). eğrisi/ x = a/ x = h doğruları ve ox ekseninin sınır ladığı alanın oy ekseni etrafında dönmesinden meydana gelen dönel cismin hacmini diğer bir yoldan hesaplıyalım. Hacım elemanı olarak Şe kil 127 de görülen dik dörtgenin oy ekseni etrafında dönmesile mey dana gelen içi boş dik silindir tipini seçelim, h — a ya eşit AB uzun luğunu herhangi n parçaya bölersek, bu suretle elde edilecek içi boş si lindirlerin bacımları toplamının limiti aranan hacmi verecektir. P,- (Xi, yd noktası Aa?,- aralığının tam ortasına karşıhk olan Xı apsisli nokta olsım. Buna göre, içteki silindirin yarıçapı silindirin yarıçapı a?,- + Aa?,- a?i— ~ A a?,- ve dıştaki olarak hacım elemanının hacmi 408 Belirli integral AVi =-TZ^Xi + Y Vi - j 3/i = 2ıt Xi 2/i AXi ~ Y olur. O halde aranan hacım Fy = 1 i m n 00 ^ Cb \ 2ızXi yi Axı = 1 2ı: xy da; 2 Ja dir. Benzer yoldan hareket edilerek, t/ı = /ı(a?) ^ 2/2 = / 2(i^) eğrileri ile X = a j X = h doğrularının sınırladığı alanın x = d doğrusu etrafında dönmesinden meydana gelen dönel cismin hacminin Hacım hesabı 409 formülü ile hesaplanabileceği gösterilebilir. ÖRNEK 6. Örnek 4 deki hacmi tabaka kuralı ile hesaplayınız. Şekil 128. Hacım elemanının hacmi : A T f = 2Tz{a — Xi) 2yi Aa;,* ve yi , parabol üzerindeki Xi apsisli nokta nın ordinatı olup y,- = \JâXi olarak AFf = 2î:(a - xd 2 y/4aa^f Aa;; = 8tc vâ (a — xd \Jxi Aa;* dir. Buna göre aranan hacım y = 8tt \/a (a — x)\Jx da; = 87cvâj*^ (a\Jx — x^‘'^) &x V = Stz \/a 2 3/2 Şekil 128 2 a;V2 32 Tî a^ İ5 dir. ÖRNEK 7. y^ = X ve y = x^ parabollerinin sınırladıkları alanın X = — 2 doğrusu etrafında dönmesinden meydana gelen cismin hacmi ni hesaplayınız. Hacım elemanı olarak Şe kil 129 da görülen dik dörtge nin X = —2 doğrusu etrafın da dönmesinden meydana gelen içi boş silindirik cisim gözönüne alınırsa AVi = 2ıt (Xı + 2) (\/x, - Xi^) AXi olup aranan hacım V = 2 tz (X + 2) (\/a: - x^) da; = 2ıt Şekil 129 (2*''^ - 2x^ + x^'^ - x M x 410 = Belirli integral 2 tz -----1“^ — _______ >*3 _j_ ---- . y S / 2 ___ 3* 3 * ^5- *^ T.'l 1 4 / 4 3- ^ 3 2 _ 5 1 \ _ 49tc 4 "" 30 dır. 15.4 - 4. Bir eğri yayının uzunluğu. y = f { x ) denklemi ile verilmiş bir eğrinin x = a , x — b apsisli noktaları arasındaki AB kısmının uzunluğunu hesaplamak isteyelim. y = f {x ) fonksiyonu [a ^b] aralığında tek değerli ve türevi haiz bir fonksiyon olsun. AB yayını herhangi n parçaya bölelim. Şekil 130. Bölüm noktaları A ^Pı ^P j, ..., P„_ı , P olduğuna göre APı ^P 1P 2 , P2P 3 y ... yPn~ı B kirişlerini çizelim. AB yayının uzunluğu n Â ^ + K ^ + p ^ 3 + . . . . + p ;iir B = 2 1 = 1 toplamının n->oo halindeki limitine eşittir. Bu kirişlerden bir tanesi ni ve örneğin Pi~ı Pi kirişini gözönüne alalım. P; noktası, Xî apsisli noktadır. Pı_ı P,- kirişinin ox ekseni üzerindeki izdüşümü (Şekil 131) AXi — Xi ve QiPi = Ayı dir Şekil 131 den Xi_\ Bir eğri yayının uzunluğu 411 P._,P.- = v/(Âi.)2 + (Ay.)^ veya p ,-,p , = \ / ı + Aa?x yazılabilir. Sonlu artımlar formülüne göre (Bak. 13.2) Ayı = LXi f ( X i ) = AiTf f(X i-ı + 0* Aa;.) veya = / '( » / ) = + 0, A*,') olup Pi-\Pi = V^î+ [/'(a?f_ı + 0f Ai»f)]2 ^Xi ve bu tip kirişlerin toplamı ise n n 2 P.-iPi = 2 i= 1 v/l + [/'(a;,_ı + 0,- Aas.]^ Aa:,- i= 1 dir. Herbir Aa;, sıfıra yaklaşmak şartiyle n oo halinde bu toplamın limiti, hesaplanması istenen 5 eğri uzunluğunu verecektir. Integral he sabın temel teoremine göre bu limit : •a = 1 i m n ao E i = \/î~4- [/'(a;,_ı + 0;'3Aa;,)P Aa?; = f 1 V^l -f [ f ( x ) Y dx ^ ° dir. Buna göre, y = f {x ) eğrisinin x = a , x = h apsisli noktaları ara sındaki kısmının uzımluğu : dir. Integral işareti altındaki y/1 + y'^ dx ifadesi y = f(cc) denklemi ile verilmiş bir eğri içinde da yay diferansieli olup eğri.uzunluğu şeklinde kısaca yazılabilir. 412 Belirli integral Eğri x = (?(t) , y = parametrik denklemleriyle verilmiş ise yay diferansieli ds = y olup eğrinin t = ti nın uzunluğu ve dx _dt 2 + dy dt 2 dt t = İ2 ye karşılık noktaları arasındaki kısmı - ı :v dx‘ i + dt dy 2 dt dt dir. Eğri, p = /(0) skutupsal denklemi ile verilmiş ise yay diferansieli ds = V p' + ?'" de olup eğrinin uzunluğu 0 = a , 0 = j3 kutupsal açılı noktaları arasındaki kısmının dir. ÖRNEK 1. Bir daire çemberinin uzunluğunu bulunuz. Daire denklemiyle verilmiş olsun, y = denklemiyle tanımlı olan ve ox ekseninin üst tarafında kalan yarım çemberi gözönüne alalım. Bu çember oy eksenine göre simetrik oldu ğundan X i [OÊ] aralığında değiştirmek yeterlidir. Buna göre : s= 4 \/l + y ’^dz dir. Diğer taraftan 1 + 2/'^ = 1 + ve — X _\1r:^ — x^\ r R} ' ^ - x^ Bir eğri yayının uzunluğu 413 R v'l + y"^ = \J ~ X olup = 4B f^ -p = â ^ = - = 4B J 0 \! R^ - . X aresın — ^ 0 = 472 (arcsin 1 — arcsin 0) = 2tt;72 dir. ÖRNEK 2. .?;2'3 + 2/2/3^= eğrisinin uzunluğunu hesaplayınız. Eğri Şekil 132 de gösterilen eğri olup AB kısmının uzunluğunu hesaplar, dört katını alırsak tamamının uzunluğu elde edilmiş olacak tır. AB yayı için y = (a ^ / 3 _ .^;2 / 3 ) 3 / 2 olup y' = — ^2/3 _ ^2/3 _ l + “ ^ ,,3 l + î/'^2 = olarak a = 4aV^ I x~^''^dx = 4a^^^ 1 ? -' s = 4a bulunur. ÖRNEK 3. o? = a(9 — sin 6) , y = a ( l — cos 0) denklemleriyle ve rilmiş sikloid eğrisinin bir kemerinin uzunluğunu hesaplayınız. Eğri Şekil 59 da gösterilen eğri olup bir kemeri, aralığında çizilmiştir. — = a (l - cos 0) da? 2 r dy 4d0 d0 , 0 nin = a sın 0 = aHl — cos 0)^ + sin^ 0 = 2a^(l — cos 0) = 4a^ sin^ — A [0 ,2 ^ ] 414 Belirli integral olup . ‘2tî 0 ^ S = I 2a sin — do = 2a 0 2 —2 cos 0: 2TZ o = 2a(2 -f* 2) = 8a dır. ÖRNEK 4. p = a ( l + sine) kardioidinin uzunluğunu hesaplayı- nız. Eğri Şekil 133 de gösterilen eğri olup 7Î 0 = “^ doğrusuna göre si metriktir. Yansının uzunluğunu elde etmek üzere TC TC 0 yı aralığında değiştirmek yeterlidir. p2 4- p'2 = 4- sin 0)^ + cos^ 0 = a^(l + 2 sin 0 + sin^ 0 + cos^ 0) = 2a^(l + sin 0) 02/ - 2Ö, = 2a^ ^ 2Ö. O - Ö ^ sın y cos-^1 . - , 0^2 sın y + cos y = 2a^ |sii olup s = 2J yj2 a ^cos y = 2 v y a 2 sin = 4 y y a ^sin y 0 *2— 2 cos TC , 0 + t :/2 —m y . t: , TC cos — + sın — + cos — 4 4 4 = 8\/2 a s i n y = 8a dır. + sin y ) d0 -7C/2 Dönel yüzeylerin alanlarının hesabı 415 15.4 - 5. Dönel yüzeylerin alanlaruun hesabı. y — denklemi ile verilmiş bir eğrinin, x = a t x = b apsisli A ye B noktaları arasındaki kısmının ox ekseni etrafında dönmesin den meydana gelen yüzeyin alanını hesaplamak istiyelim. Şekil 134. Bu nun için de AB yayını herhangi n parçaya bölelim. Bölme noktaları A = Po , P ı , P 2 , . . . , P n -l j Pn = B olsun. APı , Pı P2 , P 2 P 3 •••j P/ı-ı B kirişlerini çizelim. AB yayının ox ekseni etrafında dönmesi halinde bu kirişlerde birer kesik koni meydana getirirler, n ’in sımrsız arttırılma sı halinde bu kesik konilerin yanal yüzeylerinin alanları toplamının limiti, hesaplanması istenen alanı ve rir. Şekii 134 Kesik konilerin yanal yüzeylerinin alanlarını hesaplamak üzere Pf_ı Pi kirişinin ox ekseni etrafında dönmesinden meydana gelen ke sik koniyi ele alalım. Bu alan : AAi = Tziyi^ı + AXi olup bütün kirişlerin dönmesinden meydana gelecek kesik konilerin ya nal yüzeylerinin alanlarının toplamı 2 = E + î/') \ /^ + dir. Sonlu artımlar formülüne göre olup ^ AXi + 0.- Aac.) o < 8; < 1 416 Belirli integral E E ~ i= 1 3/.)\/l + [/'u.'-i + Öz AXi ) f AXi i= 1 dir. Buna göre aranan alan = 1i m ^ n -*■ co . = Tz{y:-ı + yi) \/l + [f'(Xi-ı + 0/ Ascdf AXi 1 A;, = 1 i m 2] 2nı/._ıv/l + [/'(*'.-_ı)P Axı /!->• 00 f = l ve integral hesabın temel teoremine göre A, = 2ıtı/ v^l + [/'(x)P d* veya dir. Diğer taraftan V^ı + (da? da; = ds olduğu hatırlanırsa y ds yazılabilir. Bu ifadede ds yerine - (İl)‘ d0 ifadeleri yazılarak AB yayının denkleminin parametrik veya kutupsal verilmesi halindeki formüller elde edilir. AB yayı oy ekseni etrafında döndürülürse meydana gelen alan Dönel yüzeylerin olanlarının hesabı A , = 2'k (^ .r \ / l + / ^^ ) âx = 2tz ( Ja 417 a: ds formülü ile hesaplanır. Eğer, AB yayı y — h veya x — k doğruları etrafında döndürülüyorsa meydana gelen alanlar Av = 2 tz \ J(c) A,, — 2tA iy ~ k) ds J (c) (.?; — k) ds formülleri ile hesaplanır. AB 0= yayı, p = /(O) kutupsal denklemi ile verilmişse 0 = 0 veya doğruları etrafında dönmesinden meydana gelen yüzeylerin alan ları formülleri ile hesaplanır. ÖRNEK 1. Küreyi Küre yüzeyinin alanını veren formülü bulunuz. + y^ — R~ dairesinin ox ekseni etrafında dönmesinden meydana gelen yüzey olarak kabul edersek : A^ = I y 6.S J -R ve simetri gözönüne alınırsa CR CR ,______ A;,: = 47îj^ y ds = 4iT: \ y\/l-i-y'^dx yazılabilir. Yüksek Matematik I F. 27 418 Belirli integral „ = ; \ /l + ( g ) ‘ = R \Jr ^ - olup A = Atz Jo A = ^tzR \/r ^ X - j = M = da; = 4tüİ2 ■ \/ r ^ - x ^ da; J o = 47C/^2 dir. ÖRNEK 2. a; = a (9 — sin 0) , y = a { l — cos 0) sikloidinin bir kemerinin ox ekseni etrafında dönmesinden meydana gelen yüzeyin alanını bulunuz. Eğri Şekil 59 da gösterilmiş olup ox mesinden meydana gelen yüzeyin alanı : A . = 27. ekseni etrafında döndürül y A s = 27. J J " a (l - cos 0) \J( g ) ' + j ' d6 f 2iî 0 0 = 21Î I 2a sin^ — . 2a sin-^ d0 Jo ^ . = Sıra^ ~ y ] Y o 2I2 3 0 o Ö 1271 64 7ca2 = 8ıra2 y cos^ y - 2 cos y I = — g— dir. ÖRNEK 3. p = a ( l + cos 0) kardioidinin kutupsal eksen etra fında dönmesinden meydana gelen yüzeyin alanını hesaplayınız. Eğri kardioid eğrisi olup kutupsal eksene göre simetrik olan bir eğ ridir. O halde, kutupsal eksenin üst tarafında kalan kısmının döndürül mesi yeterlidir. Bu kısım ise 0 nın [0 , tc] aralığındaki değerlerine karşılık olarak çizilmiştir. Buna göre yüzeyin alanı Ax = 2tz \ y ds J(c) formülünde i/ = p sin 0 ~ a (l + cos 0) sin 0 ve Bir fonksiyonun ortalama değerinin hesabı ds = \/p2 + p'2 419 = \/a^(l + cos 0)2 + a^ sin^G d0 = a \/2(l + cos 0) d0 olarak A:c = a (l + cos 0) sin 0 . a \/2 + 2 cos 0 d0 = 2Tca2 \/2 (1 + cos 0)^/2 sin 0 d0 = 27ra2 v/2 I — — (1 + cos 0)^/2 o = 2ıza^ ^2 ^0 + y . 2^'^'j = dır. 1 5 -5 Bir fonksiyonun ortalama değerinin hesabı y = f(oc) fonksiyonunu ve bu fonksiyonun gösterdiği eğriyi gözönüne alalım. Ayrıca bu eğrinin, [a ^h] aralığında sürekli ve ox eksenini kesmediğini düşünelim. Amacımız y = f(x) fonksiyonunun [ a ,h ] ara lığındaki ortalama değerini hesaplamaktır. Ortalama değer, daima kullanılan bir kavramdır. Örneğin, bir sını fın öğrencilerinin “ ortalama yaşı” denince bütün öğrencilerin yaşları nın toplamının öğrenci sayısına bölümü akla gelir. Bir fonksiyonun ortalama değeri denince de x = a dan x = h ye kadar bütün y = f ( x ) değerlerinin veya y ordinatlarının ortalaması akla gelir. Bu ise genişliği h — a ve alanı y = f {x ) eğrisi ile x = a , X = h doğrularının ox ekseni ile sınırladığı alana eşit olan, bir dik dörtgenin h yüksekliğine eşittir. Şekil 135. Sözü geçen eğrisel alan y da? ve dik dörtgenin alanı 420 Belirli integral A = h{h — a) olup h{h - “’ = r y da; den h= 2/c =_ı_r j/dx b - « j. elde edilir. Bu formül, aritmetik ortalama kavramının genelleştirilmesi ile de elde edilebilir. Bunun için b — d aralığını n eşit parçaya böle lim ve herbir apsise karşılık olan ordinatları Vı , Vl , Vi , ■■■ , Vn ile gösterelim. Bunların ortalaması „ " _ 2/1 + yi + ys + •••+ n dir. Pay ile paydayı aralıkların boyu olan M„ Aa; ile çarpalım. 2 y‘ yıAQ:-\-y2Ax + , , , - { - yn Ax __ i = 1 h—a n,Ax Şimdi de n-^ oo halinde l?u ifadenin limitini hesaplarsak 2/or = 1 i m n -*• co = 1i m w-+-oo 1 yi Ax i —1 Bir fonksiyonun ortalama değerinin hesabı 421 ve integral hesabın temel teoremine göre de b 3/c = b-a — Ja P y dx bulunur. ÖRNEK 1. y = ma değerini bulunuz. fonksiyonunun ^ 3x^ dîc = 1 Z 2/c ÖRNEK 2. rısının 0, [0 ,2 ] .3 aralığındaki ortala _ = 4 lO y = sin x eğ- TZ aralığındaki ortalama değerini bulunuz. 1 fTc/2 . ^ 2/or = ----------- 1 sın X dx J L -n J o \nl2 cos a; I = ,0 — 2 ^ îhtar. y = f ( x ) fonk siyonunun [a , b] aralığında sıfır olması hali : Şekil 136. Ş e k il 136 [a ^c] aralığında y > 0 olduğundan Aj alanı pozitif ve [ c j b ] aralığında y < 0 olduğundan Aı alanı negatiftir. y dx integrali hesaplanırsa A 2 — farkı elde edilir. Buna gö re ortalama değer ayni formülle hesaplanabilir. Zira yüksekliği olan dik dörtgenin alanı bu iki alanın farkına eşittir. ÖRNEK 3. rini bulunuz. 2/ = sin a; in [O , 2tî] yor aralığındaki ortalama değe 422 Belirli integral Şekil 137 den görüldüğü gibi simetri sebebiyle A^ — A 2 = O olup ortalama değerin sı fır olması gerekir. Zira A^ ve A 2 alanları mutlak değerce bir birine eşittir. Bu sonucu hesap yolu ile bulmak istersek : 2tt: Ve 2u I, = 1 I prZTZ - sin X d.?; COS x\ M n = 0 Şekil 137 0İde edilir. 15-6 împropr integraller f {x ) fonksiyonunun [a aralığına ait belirli integralinin ta nımında a ve b sınırlarını sonlu ve f{x) fonksiyonunu da [a aralığında sürekli farzetmiştik. Eğer bu şartlar mevcut değilse yeni ta nımlar yapmak gerekir. a ve b sınırlarından biri veya berikisinin sonsuz olması halleri ile f {x ) in a ve h sınırlarından biri veya \a,h] aralığındaki bir veya birkaç değer için süreksiz olması hallerinde integrale impropr in tegral denir. 15.6 -1 . Birinci türden impropr integraller. (întegral sınırları sonsuz olan integraller). B > a olmak şartile B ne olursa olsun [ a , b ] aralığında sürek li olan ve integrali hesaplanabilen f {x ) fonksiyonunu gözönüne ala lım. Tanım olarak, f{x) dx in a ile 00 sınırları arasında alınan integ rali, a ile B arasında alınan integralinin, B nin sonsuza.yaklaşma sı halinde mevcut farzedilen limitidir. Buna göre împropr integraller 423 ^00 dir. Eğer bu limit mevcut değilse I f(x) da; integrali de mevcut değildir. Benzer şekilde aşağıdaki integraller de tanımlanır. J —00 f(x)dx = l i A ÖRNEK 1. m P /(a;)da; + l i m f f{x)dx OO J ■A. B -*■00 Jc J ^ ” -j- ^^'^2 f + 00 do: Jo 1+ , . integralini hesaplayınız. r5 d.c 5^+co Jo 1+-^^ = 1 i m A rctg B = B -*•-f-oo ÖRNEK 2. ro I e^do; J —00 - . I A + 5-> + co I TT integralini hesaplayınız. f e"*" dx = 1 i m r ^ e^ do: = 1 i m (1 —e^) = 1 A-*^ — co J —00 A-^~°o J a Bu sonuç Şekil 138 de gö rülen NOCD alanının, ND sınırı sonsuza gitti ği zaman, limitinin 1 e eşit olduğunu gösterir. i ! 424 Belirli integral 15.6 - 2. İkinci türden impropr integraller. (Süreksiz bir fonksiyonun integrali). I. f { x ) fonksiyonu için sürekli değilse, a <h aralığında sürekli, fakat x —b C■6- s fb f(x) dx = 1 i m J a e f ( x ) d.î; 0 Ja dir. £, istenildiği kadar küçük pozitif bir sayıdır. Sağ taraftaki limit mevcut ise, sol taraftaki integral de mevcut olur. II. f ( x ) fonksiyonu için süreksiz ise f a< x ^ b aralığının yalnız x —a değeri /(a ;)d x I 0 Ja + s f ( x ) d i; = 1 i m Ja S dir. İkinci taraftaki limit mevcutsa, integral de mevcut olur. III. f ( x ) fonksiyonu [a ,b ] aralığının sonlu sayıda değerleri için süreksiz ise^ [ a , b ] aralığı, f (x ) yalnız uç noktalarının birinde sü reksiz olacak şekilde ardışık aralıklara bölünür. Bu takdirde f (x ) dx in [a ^b] aralığındaki integrali, tanım olarak, kısmî aralıklara ait integrallerin toplamına eşittir. Örneğin f (x ) fonksiyonu [ a , b ] aralığın daki yalnız x = c değeri için süreksiz ise dir. Sağ taraftaki her iki limit de mevcutsa sol yandaki integral mev cut olur. ÖRNEK 1 ■ ı: ^/ı dx X integralini hesaplayınız^ împropr integrdiler rı âx _ Jo v / r ^ r ı-£ “ Jo dx v 'r - _______i l — s — = 1i m X 425 Eh- o •’2 V ı - * L = lim (~2\/z + 2) = 2 E-►0 integralini hesaplayınız. ÖRNEK 2 ■ f ( x ) = — fonksiyonu [ — 1 , + 1] aralığının o; = 0 değeri için süX reksiz olup : f-f-1 I J-1 da; , . f —— = 1 1 m I o—El E,->oJ 1i m — XI dx dx p .rl + £2l i-m ►0 J o+ £2 x^ ■El , , . I 1 |l + 1 1 m -----X IE £2"*“ o 1 2 1 i m ( - - — 1 ] + 1i m £2"^ 0 £, -►0 / 1+ £2 dır. Sağ taraftaki limitlerin her ikisi de mevcut olmadığına göre verilen integral mevcut değildir. X = 0 süreksizlik noktası gözönüne alınmadan integral hesaplansa idi, sonuç olarak — 2 bulunacaktı. Bu ise yanlış bir cevaptır. ÖRNEK 3. fi I d;r - Jovl — I ...integralini hesaplayınız Jo v l - , . f 1—£ dx = 11 m I ...... £->ojo \ / l — x^ 1 | l-£ 1 i m lArcsin x ı = Arcsin 1 = ^ Bu sonuç Şekil 139 da gösterilen OBCD alanının BC sınırının a? = 1 doğrusuna yaklaştığı zaman değeriTC nin — ye yaklaştığını gösterir. 426 Belirli integral 1 5 - 7 Yaklaşık integrasyon İntegral hesabı, bütün integrallerin pratik yoldan hesaplarına dai ma imkân vermez. Bazen de integralin sonucunu bulmak zahmetli olur. Bu hallerde, belirli integrallerin yaklaşık değerleri hesaplanır. Örneğin fr.!2 ,------- I Jo ysin ./■d r fO,l ^ I Jo e-"^^ d.;- integralleri, adi fonksiyonlar cinsinden hesaplanmak suretile, elde edile mez. Bu gibi fonksiyonların belirli integrallerini yaklaşık olarak bul mak için pek kolay kurallar vardır. L f (x ) da; ile gösterilmiş olan bir belirli integralin yaklaşık de ğerini bulmak için ortaya atılan kurallar, integralin sayısal olarak y — f (x ) eğrisi ve y = 0 j X = a , x = b doğruları ile sınırlanan alana eşit olması gerçeğine dayanmaktadır. O halde, bu alanın yaklaşık bir değerini veren herhangibir kural, integralin yaklaşık değerinin he sabı için de bir kural olur. Daha önce dik dörtgenler yardımiyle alanla rın ve dolayısile belirli integrallerin yaklaşık değerlerini hesaplamıştık. Şimdi de, bundan başka olarak, daha yaklaşık sonuçlar veren iki kuralı ele alacağız. 15.7 -1 . Yam uklar kuralı. f (x ) dx integralinin değerini yaklaşık olarak he saplamak .için bir formül el de etmek üzere [a ,h ] ara lığını n eşit parçaya ayı ralım. Bu takdirde her ara lığın uzunluğu h = ~ olur. Her bölme noktasından ox eksenine dikler çıkalım. Şekil 140 Yaklaşık integrasyon 427 Bu suretle elde edilen eğri noktalarını ardarda birleştirelim ve elde edilen yamukların alanları toplamını teşkil edelim. (Şekil 140). A = y hiyo Bu ifadede + 2/1) + y A Myı + 2/2) + y h{y 2 Myn-ı + 2/3) + -------+ y yerine yaklaşık değeri olarak | f(x)dx + yj yazılırsa : a h= elde edilir. Bu formül, yamuklar kuralı yardımiyle h —a n Çb I f (x ) d^c integJa ralini veren bir formüldür, n bölme sayısı nekadar büyük seçilirse toplam da gerçek değere o kadar yakın olacaktır. ÖRNEK 1. n dr Jo 1 + •?' integralini n= 5 alarak, yamuklar kuralı ile hesaplayınız. (Herbir terimin hesabında 4 ondalığa kadar he sap yapılacak ve sonuç üç ondalığa yuvarlatılacaktır.) n 5 ^ “ 2 /(O) = 0,5000 ve (Şekil 141) : 1 2 1 y, = f(0,2) = 0,9615 î/2 = 7(0,4) = 0,8820 j/3 = /(0,6) = 0,7353 y4 = /(0,8) = 0,6097 Y Vs = ~ f a ) = 0^2500 3,9185 Şekil 141 428 Belirli integral olarak i __d.r IT ^ 0,2 X 3,9185 = 0,78370 = 0,784 dır. Integralin gerçek değeri ise n di; A rctg r ;o = A rctg 1 - A rctg 0 = - ^ = 0,7854 dir. ÖRNEK 2. Altı aralık kullanarak yamuklar kuralı ile k!2 fn ----sın X di; in yaklaşık değerini bulunuz. , _ h= n TT 9 ^ “ Ö — = ^ 6 12 = 15» = 0,2618 rad. ^ ve y î/o = | /(0 ) = y V^sinO = 0,000 Vı = /(15») = \/sin 15» = 0,509 2/2 = /(30») = v^sin 30° = 0,707 2 /3 = Z(45») = V^sin 45° = 0,841 2 /4 = /(60») = \/sin 60° = 0,931 2 /5 = /(75») = v/sin75o = 0,983 y 2 /6 --| -/(9 0 » ) = -^ \/sin 900 = 0,500 4,471 olarak J, bulunur. \'sin X d:f = 0,2618 X 4,471 = 1,170 Yaklaşık integrasyon 429 15.7 - 2. Simpson kuralı. Bu kuralda, eğri içine çizilen yamuk veya çokgenler yerine parabol yayları alınarak verilen eğrinin yaklaşık bir şekli kullanılmıştır. ox alan Önce denklemi y = ax^ + ba? + c olan eğri x = — h ^ x = h ve ekseninin sınırladığı Şekil 142 de görülen alanı hesaplıyalım. Bu dir. Şimdi bu alanı, eğrinin denklemini bilmediğimize, fakat yo , yi , yz ordinatlarını bildiğimize göre hesaplamak isteyelim. X = —h için y = yo — X= 0 » y = yi = c X = -h h » y — Vı — — hh + c hh + c olup bu ifadelerin İkincisi 4 ile çarpılıp üçü taraf tarafa toplanırsa yo + 4ı/ı + 2/2 = 2ah^ + 6c bulunur. Bu da A alanının ifadesinde yerine konursa Jv A = y (2/0 + 4yı + 2/ 2) elde edilir. Şimdi, P Ja f{x)dx hesaplama yoluna gidelim, integralinin [a^h] değerini bu formül yardımiyle aralığını çift sayıda olmak üzere n 430 Belirli integral parçaya ayıralım. (Şekil 143). Bu takdirde h~ h —d -------M olur. A dan başlayarak, ardarda üç noktadan geçen ve ek seni oy eksenine pa ralel olan paraboFün y = . y = yz ve ox ekseni ile sınırladı ğı alana yukarıdaki for mülü uygulayalım ve bu işe devam edelim. — Bu takdirde M Gl K Şekil 143 MAPQ nün alanı olarak QPRK LBBN // ff // // ff — (yo -f 4^/1 + 1/ 2) d h (1/2 + 4 i/3 + 2 / 4 ) h - (yn- 2 + 4ı/„_ı + yn) elde ederiz. Bu kısmî alanların toplamı, Çb I f(x) diX integralinin yak laşık değerini verecektir. Buna göre : İ(x) dx = y (^0 + 4ı/ı + 2/ 2) + (î/2 + 42/3 + ^ 4) + . . . + y (yn-2 + 4ı/„_ı + yn) Yaklaşık integrasyon 431 elde edilir. Bu formül Simpson kuralı olarak tanınır. Formül kullanılırh —a ken n in çift bir sayı ve h = ------- olduğu unutulmamalıdır. n ÖRNEK 1. dx /.‘ r + X 2 integralini n= 4 olarak simpson ku ralı ile hesaplayınız. (Herbir terim 5 ondalığa kadar hesaplanacak ve sonuç 4 ondalığa yuvarlanacak.) b_a l_ 0 - “ n“ - " T " = _ n _ 1 ’ T -Î2 ve 2/0= /(O) = 1 = 1,000 00 64 4 ! , , = 4 ; ( i ) = ^ = 3,764 71 2 !/.= 2 / ( İ ) = | - = 1 . ' ,600 00 4î/3 = 4 /( | - ) = 1 = 2/4= fil) 2,560 00 = ^ = 0,500 00 9,424 71 olarak 1 dx ^ i 1 + x^ 9,42471 12 = 0,78539 = 0,7854 bulunur. ÖRNEK 2. n = 4 alarak f7 l/2 I Jo ,---------- Vsin x d x ğerini simpson kuralı ile bulunuz. h= ve h __ t: in yaklaşık bir de- 432 Belirli integral yo = /(O) = = 2,47 ^ = 1,68 4 / =V 4i/3 = 4/ 3/4 = 0,00 v'sin 0® . 4 4yı = 4/ 21/2 = 2/ = >(r) sın Sın = 3,84 ~8“ = \/’ ‘" î = 1 8,99 olarak TZİ2 ,-----V^sin X I,0 dx = X 8,99 = 0,1309 X 8,99 = 1,176791 = 1,18 bulunur. 15. BÖLÜME AİT PROBLEMLER. 1. integral hesap yardımiyle 1i m /!-►<» limitini hesaplayınız. Cevap. 2. integral hesap yardımiyle 1 i m I— n limitini hesaplayınız. Cevap. log 2 00 n+ 1 H---- + . . . + n+ 2 -i-1 n -\- nj Problemler 433 3. Integral hesap yardımiyle 2P + . . . + /ı^ (p > 0) ,P+1 1i m n 00 limitini hesaplayınız. Cevap. P+ 1 Aşağıdaki belirli integralleri hesaplayarak sonuçlarının doğruluğunu gös teriniz: 4. j** (\j2x + ^ x) d* = ^ 5. Jî 6. ^ j;* — a ,» !t 7. 8. xdx f , Jo + 3r + 2 _ _£_ ^® 8 Jo*“+1 16 10. r-Kli 1 I secâ da = 1 — -7= J tc/6 V^3 Jo 3^ ‘•reM Jc Ic Yüksek Matematik I COS^;c d;»: = Tç 2 1 H— r sinÔ d0 = F. 28 434 Belirli integral 14. 15. r Je X log X = log 2 f® sin (log a:) , - ■ I ---- — d^r = 1 — cos 1 Jl + iî/4 16. tg ,v d.Y = 0 71/4 e‘ d.v T1ir. = a r c t g e - - ^ 17. 18. Jo p og 3 19. Jloı 20 . e—e ‘ If i ch d^r = sh 1 ch^jc th (log 3) - th(log 2) = ı: sh»*dAT = - - ^ + i s h 2tc ALAN HESABI 21. g = Ax—x^ parabolünün o .y ekseni ile sınırladığı alanı hesaplayınız. 32 Cevap. O 22. y = log X eğrisi ile y = e doğrusu ve o y ekseninin sınırladığı alanı he saplayınız. Cevap. 1 23. y^ = X eğrisinin y — 1 ve y = 8 doğruları ile sınırladığı alanı hesapla yınız. Cevap. 24. — y = tg X eğrisi ile hesaplayınız. Cevap, log 2 y = — doğrusu ve ö oy ekseninin sınırladığı alanı Problemler 435 25. y eğrisinin ox ekseni ile sınırladığı alanı hesaplayınız. + d‘ Cevap. 26. y- = 2p x Cevap. 27. ve = 2py parabollerinin sınırladıkları alanı hesaplayınız. — y = 2^r — parabolü ile y = — doğrusunun sınırladığı alanı hesapla- yınız. Cevap. 28. — y = x^ » y = ’V parabolleri ile y — 2x doğrunun sınırladığı alanı heA saplayınız. Cevap. 4 29. y = 1 - Cevap. x^ eğrisi ile y = — parabolünün sınırladığı alanı hesaplayınız. t: -2- - ^ 1 30. y = e* , y = e~* eğrileri ile x = 1 doğrusunun sınırladıkları alanı he saplayınız. Cevap. e H-------- 2 = 2(ch 1 — 1) 31. y2/3 == q2/3 eğrisinin sınırladığı alanı hesaplayınız. Cevap. 32. “5" Tta^ o a^y^ = xHd — x^) eğrisinin sınırladığı alanı hesaplayınız. Cevap. 33. 4 3 j Cevap. 15« , = 1 eğrisinin sınırladığı alanı hesaplayınız. 436 Belirli integral 34. y* = 2a — X x — 2a asimptodu ile sınırladığı alanı hesaplayınız. Cevap. 35. y^ = —---------eğrisinin asimptodu ile sınırladığı alanı hesaplayınız. 2 a - ( a > 0) Cevap. 0^ (2 + - ^ ) 36. Parametrik denklemleri X — a( 2 cos t — cos 2 i) y = a(2 sin t — sin 2 t) olan eğrinin sınırladığı alanı hesaplayınız. Cevap. 67îa^ 37. Parametrik denklemleri x = t- , y — 4t — P olan eğrinin halkasının sı nırladığı alanı hesaplayınız. Cevap. 38. 256 15 p= acos20 eğrisinin bir halkasının sınırladığı alanı hesaplayınız. Cevap. TZa^ T 39. p* = a~ sin 40 eğrisinin sınırladığı alanı hesaplayınız. Cevap, 40. p= asin30 eğrisinin sınırladığı alanı hesaplayınız. _ Cevap. TZa— 41. p = 2 + cos 0 eğrisinin sınırladığı alanı hesaplayınız. Cevap. — Tt Problemler 42. layınız. 437 p = 2o cos 30 eğrisinin p = a dairesinin dışında sınırladığı alanı hesap Cevap HACIM HESABI 43. y = ax — x^ eğrisinin ox ekseni ile sınırladığı şeklin ox ekseni etrafın da dönmesinden meydana gelen cismin hacmini hesaplayınız, (a > 0) Cevap. 44. 3ÖT 1 elipsinin ox ekseni etrafında dönmesinden meydana ge- — a- + 62 len cismin hacmini hesaplayınız. Cevap, -ğ- TZab- 45. y = sin^jt^ eğrisinin = 0 ve at= 7t apsisli noktaları arasındaki kısmını ox ekseni etrafında dönmesinden meydana gelen cismin hacmini hesaplayınız. Cevap. 3 «2 o 46. y^ = 4ax parabolü İle x = a doğrusunun sınırladığı şeklin jc= a doğrusu etrafında dönmesinden meydana gelen cismin hacmini hesaplayınız. Cevap. — 15 47. y = x^ ve y = \ J X eğrilerinin sınırladığı şeklin ox ekseni etrafında dön mesinden meydana gelen cismin hacmini hesaplayınız. Cevap, 48. y^ 3 2a — X Tz eğrisinin x = 2a na gelen cismin hacmini hesaplayınız Cevap. 2ıt2fl2 asimptodu etrafında dönmesinden meyda- 438 Belirli integral 49. = ikizkenar hiperbolünün ox ekseni etrafında dönmesinden meydana gelen cismin x = 2 a düzlemi ile sınırlanan kısmının hacminin, a yançaplı bir kürenin hacmına eşit olduğunu ğösteriniz. 50. ;t = a(0 — sin0) , y = a(l — cos 0) sikloidinin bir kemeri ile o;r ekse ninin sınırladığı şeklin ox ekseni ve oy ekseni etrafında dönmesinden meydana gelen cisimlerin hacımlarını hesaplayınız. Cevap. ve 51. a: = acos30 ^ y = a sin30 eğrisinin meydana gelen cismin hacmini hesaplayınız. Oy ekseni etrafında dönmesinden 32 î ö T ’'”' 52. p= a(l + cos 0) kardioidinin kutupsal eksen etrafında dönmesinden meydana gelen cismin hacmini hesaplayınız. Cevap. 8 — 53. p = a cos20 eğrisinin kutupsal eksen etrafında dönmesinden meydana gelen cismin hacmini hesaplayınız. Cevap. 21 BİR EĞRİ YAYININ UZUNLUĞU 54. = j;* eğrisinin * = 0 ve * = 4 apsisli noktaları arasındaki kısmının uzunluğunu hesaplayınız. Cevap. ğf-ClOV^ÎÖ-l) 55. y = 2 ^x parabolünün x = 0 ve x = l apsisli noktaları arasındaki kıs mının uzunluğunu hesaplayınız. Cevap. logd + y/2) 56. y = e* eğrisinin (0, 1) ve (1, e) noktalan arasındaki kısmının uzunluğu nu hesaplayınız. ' 57. y = log X eğrisinin x = ^ nın uzunluğunu hesaplayınız. Cevap. 1+ 1 3 log — ve x —^S apsisli noktaları arasındaki kısmı Problemler e* + 1 y — log 58. 439 - eğrisinin x = l ve x — 2 apsisli noktaları arasındaki kı mının uzunluğunu hesaplayınız. Cevap. log(e + e~0 59. y = log cos a: eğrisinin a: = 0 , a: = O apsisli noktalan arasındaki kıs- minin uzunluğunu hesaplayınız. Cevap. log(2 + sjz ) 60. y = arcsin e“ * eğrisinin a: = 0 ve x — l apsisli noktaları arasındaki kısmının uzunluğunu hesaplayınız. Cevap. 61. log(e + s/e^ — 1) A: = log secy eğrisinin y = 0 ve y = ~ ~ ordinatlı noktaları arasındaki O kısmının uzunluğunu hesaplayınız. Cevap. log(2 + V^3) 62. X ---- ^ ^ 2 ---- L log y eğrisinin y = 1 ve y = e ordinatlı noktaları ara sındaki kı.smınının uzunluğunu hesaplayınız. Cevap. ~ 4 (e2 + 1) 63. 9 ay2 = x(x — 3 a)^ eğrisinin halkasının uzunluğunu hesaplayınız. Cevap. 2\J 3 a 64. 6 Ary — + 3 eğrisinin nın uzunluğunu hesaplayınız. Cevap. 65. a: = 1, at = 2 apsişli noktaları arasındaki kısmı 11 12 Parametrik denklemleri X = o(cos 0 -}- 0 sin 8) y = a(sin 0 — 0 cos 0) olan eğrinin 0 = 0 ve 0 = T ye karşılık noktaları arasındaki kısmının uzunluğunu hesaplayınız. Cevap, — ar” 2 440 Belirli integral 66. Parametrik denklemleri x = — cosH , y = ^ sin3^ , (c^ = a h — b^) olan eğrinin uzunluğunu hesaplayınız. Cevap. ab 67. Parametrik denklemleri x = a(2 cos 0 — cos 20) y = a(2 sin 0 — sin 20) olan eğrinin uzunluğunu hesaplayınız. Cevap. 16 a 68. Parametrik denklemleri X = 5(2< — sin 20 y = 10 sin^f olan eğrinin t = 0 , t — n ye karşılık olan noktaları arasındaki kısmının uzunlu ğunu hesaplayınız. Cevap. 40 69. Parametrik denklemleri x = 3a cos 0 — a cos 30 y = 3a sin 0 — a sin 30 olan eğrinin 0 = 0 , 0 = a ya karşılık olan noktaları arasındaki kısmının uzunlu ğunu bulunuz. Cevap. 6a(l — cos a) t= 4 ö 70. Paramatrik denklemleri x = 99? J. y = t ^ t olan eğrinin t = ~ ve 4 e karşılık olan noktaları arasındaki kısmının uzunluğunu hesaplayınız. Cevap. 71. lo g i + A Parametrik denklemleri x = e^ cos 0 , y = e” sin 0 olan eğrinin 0 = = 0 , 0= ^ ye karşılık olan noktaları arasındaki kısmının uzunluğunu bulunuz. A Cevap. J— 7C/2 V2 (« — 1) Problemler 441 72. Parametrik denklemleri x — cos 3# , ^ = e~2t sin 3# olan eğrin #=0 ,# = ‘nye karşılık olan noktaları arasındaki kısmının uzunluğunu hesaplayınız. Cevap. 73. p= a sin^— eğrisininin toplam uzunluğunu hesaplayınız, d Cevap. 74. (1 — 3 tcq p= a cos^ — 3 Cevap. eğrisinin uzunluğunu hesaplayınız. 16 a 75. p= sec^— eğrisin halkasının uzunluğunu hesaplayınız. 3 Cevap. 76. p= sec^ 12 3 0 eğrisinin 0=0 ile 2 0= TU 2 kutupsal açılı noktaları arasın- daki kısmının uzunluğunu hesaplayınız. Cevap. 2 + log (v^ 2 + 1) 77. p= 1 — 02 eğrisinin halkasının uzunluğunu hesaplayınız. Cevap. D — DÖNEL YÜZEYLERİN ALANLARI. 78. x = ^ apsisli noktaları arasındaki kıs4 minin ox ekseni etrafında dönmesinden meydana gelen yüzeyin alanını hesapla yınız. y= tg x Cevap. eğrisinin x = 0 ve TC(v/ 5 — 2) + TTlog 2(V”2 + 1) yj 5 + 1 79. + ^2/3 _ q2/3 eğrisinin oy ekseni etrafında dönmesinden meydana gelen yüzeyin alanını hesaplayınız. Cevap. 80. a: = 12 — 7^02 5 log u eğrisinin y ~ 1 , y — e ordinatlı noktaları arasın- 442 Belirli integral daki kısmının ox ekseni etrafında dönmesinden meydana gelen yüzeyin alanını, hesaplayınız. Cevap. ^ (e — 1) (e^ -f e -r 4) ö 81. + (y — by — a- çemberinin ox ekseni etrafında dönmesinden meyda na gelen yüzeyin alanını hesaplayınız. (b>a) Cevap. 4^2 ab 82. 9i/2 = ;i:(3 — x)^ eğrisinin halkasının ox ekseni etrafında dönmesinden meydana gelen yüzeyin alanını hesaplayınız. Cevap. STt 83. Parametrik denklemleri x = a{2 cos 0 — cos 20) y = a (2 sin 0 — sin 20) olan eğrinin ox ekseni etrafında dönmesinden meydana gelen yüzeyin alanını bulunuz. Cevap. — TZa^ 5 84. ;*: = a (0 — sin 0) , ı/ = a(l — cos0) sikloid eğrisinin bir kemerinin, si metri ekseni etrafında dönmesinden meydana gelen yüzeyin alanını hesaplayınız. Cevap. St: ^ ti — A 85. cos 20 eğrisinin kutupsal eksen etrafında dönmesinden meyda na gelen yüzeyin alanını bulunuz. Cevap. 2ıca2 {2 — \J2) 86. cos 20 eğrisinin ®= y doğrusu etrafında dönmesinden mey dana gelen yüzeyin alanını hesaplayınız. Cevap. 4 y/ 2 87. Parametrik denklemleri a*= y= 2 olan eğrinin t = l ve t = 3 değerlerine karşılık noktaları arasındaki kısmının ox ekseni etrafında dönmesin den meydana gelen yüzeyin alanını bulunuz. Cevap. 3 tî 1 50 10 — y/ j 2 Problemler ox 443 88. y=^chx eğrisinin at= O, x ~ l apsisli noktalan arasındaki kısmının ekseni etrafında dönmesinden meydana gelen yüzeyin alanını bulunuz. Cevap, -iTC (2 + sh2) z 89. 3y2 ■ = x i x — 1)2 eğrisinin halkasının meydana gelen yüzeyin alanını bulunuz. ox ekseni etrafında dönmesinden Cevap. 90. Parametrik denklemleri = S/- , y — t^ — Z t olan eğrinin etrafında dönmesinden meydana gelen yüzeyin alanını hesaplayınız. ox ekseni Cevap. 27 tc 91. x ‘^ = Aay parabolünün x- = 0, x — 2a apsisli noktaları arasındaki kıs mının o y ekseni etrafında dönmesinden meydana gelen yüzeyin alanını bulunuz. Cevap. -5- TC(2^ 2 — 1) q2 ORTALAMA DEĞER. 92. f{x) — e* fonksiyonunun 0 ^ x lunuz. 1 Cevap. 93. f{x) = log X fonksiyonunun bulunuz. Cevap. 1 ^ a: ^ 3 aralığındaki ortalama değerini — (3 log 3 — 2) z 94. f{x) = sinÂT fonksiyonunun bulunuz. Cevap. aralığındaki ortalama değerini bu 0 ^ < tc aralığındaki ortalama değerini — 2 95. y=ı\Ja^- a'2 fonksiyonunun — a ^ x ^ -ra aralığındaki ortalama de ğerini bulunuz. Cevap. — 444 Belirli integral İMPROPR INTEGRALLER. ^00 96. Jl ^ Cevap, mevcut değil ^ Cevap. * /•oo 97 I Jl d.ı 98 1 Cevap. Tz ' J-CO 1 + 99 + 4a: + 9 r" sin X (lAT 100. I Jo 1/2 101 ■ io dAT X log X 1/2 0 dAT log^x X dx 104 105 p d, jo (a: - 1)2 fl d;. • Jo \/r= '■ 106. I ■i re/2 o cotg ATdAT ar arctg Ac • Jo 1 + x^ Cevap. TZ V^5 Cevap, mevcut değil Cevap, mevcut değil Cevap. Cevap. log 2 2 Cevap, mevcut değil Cevap. Cevap, mevcut değil Cevap. TC2 Problemler »00 dA: 108. 0 a t3+ 1 Cevap. dAT Cevap. 445 2tc 3V^3 rco 109. L i +x^ » ~ arctg a 00 110. Cevap, mevcut değil COS X d ;t 0 •00 111. X dAT dx v'x‘ + 1 0 •00 dx .00 ch;r ■i: dA f -J, v/^ 0 o y/' dx +1 t : X YAKLAŞIK İNTEGRASYON 4x) djc integralini n = 10 alarak yamuklar kuralı ile hesap- 117 layınız Cevap. — 0,995 118 f 1 * dx . integralini 10“ * yakınlıkla simpson kuralını uygulayarak he- Jo saplayınız. Cevap. 0,3068 d^r i integralini 0,01 yakınlıkla hesaplayınız. Cevap. 0,69 j ; ^ d+AT Cevap. integralini 0,01 yakınlıkla hesaplayınız. 0,79 446 Belirli integral 121. If i -,- d.v 7' 3 integralini 0,01 yakınlıkla hesaplayınız. Jo 1 + -^ Cevap. 122. I a: 0,84 log xdx İntegralini 0,01 yakınlıkla hesaplayınız. 1 Cevap. log X 123. I 0,28 (îa: integralini 0.01 yakınlıkla hesaplayınız. Cevap. 0,10 2 gjj^ Y "I,0 124. I ----- ^ dx integralini 0,01 yakınlıkla hesaplayınız. ^ Cevap. . p 125. I sin a: Jo Cevap. 126. 1,61 cI a: integralini 0,01 yakınlıkla heseplayınız. 1,85 2 QQ3 ^ ----- ^ d.Y integralini 0,01 yakınlıkla hesaplayınız. i' Jl I Cevap. 0,09 127. Jo +* 1 +* d;Y integralini 0,01 yakınlıkla hesaplayınız. Cevap. 0,67 128. e ■* dx integralini 0,01 yakınlıkla hesaplayınız. Cevap. 0,75 Birinci cildin sonu i n d e k s Açık aralık 6 Açık fonksiyon 7, 72 Alan elemanı 390 Alt sımr 383 Aralık 6 Argimed spirali 219 Artan fonksiyon 8, 91 Artım 50, 52 Asal değerler 121, 124, 129 Asal kısım 227 Asal sonsuz küçük 224 Asimptodik doğrultu 107, 182, 204 ^simptodlu eğriler 105 Aynı mertebeden sonsuz küçükler 225 Azalan fonksiyon 8, 91 Bağıl hata 242 Bağıl sa3nlar 1 Bağımsız değişken 7 Basit 264 Basit elemanlara ayırma 305 Belirli integral 383 Belirsiz integral 302 Belirsiz şekiller 286 Bileşik fonksiyon 14, 66 Binom açılımı 57, 78 Binom diferansieli 353 Birinci neviden süreksizlik noktası 42 Birinci türden basit kesir 335 Büküm noktası 98 c ç Cebirsel fonksiyon 16, 95 Cebirsel sayılar 3 Çemberin uzunluğu 412 Çift fonksiyon 8, 15 Çok değerli 8 Çok değişkenli fonksiyon 7 Daire basiti 267 Daire konkoidi 214 Dairesel fonksiyonlar 155 Değişken 5 Değişken değiştirilmesi 305, 306 Denk sonsuz küçükler 225 Dış merkezlik 198 Diferansiel 231 Diferansiel tablosu 237 Dik asal eksen 198 'Doğal sayı 1 Doğrultu 85 Dönel yüzeylerin sımrladıklan ba cımların hesabı 404 Düşey asimptod 182 448 Yüksek matematik E Eğik asimptod 182 Eğim 53 Eğim açısı 53, 85, 86 Eğri altındaki alan 381 Eğrilik 254 Eğrilik dairesi 263 Eğrilik merkezi 263 Eğrilik yarıçapı 260 Eğri yayınm uzunluğu 410 Ekstremum 95 Elemanter fonksiyon 14, 39 Eliptik integral 364 En büyük değer 43 En küçük değer 43 Fonksiyon 7 Fonksiyonel bağıntı 7 Fonksiyon fonksiyonu 14, 56 Fonksiyonun diferansieli 232 Fonksiyonun limiti 22 Fonksiyonun türevi 51 Hacim elemam 404 Has kesir 339 Hiperbolik fonksiyonlar 155 Hiperbolik spiral 219 İki eğrinin sınırladığı alan 394 îki katlı nokta 184, 186 İkinci mertebeden türev 75, 79 İkinci neviden süreksizlik noktası 43 İkinci türden basit kesir 335 İlkel fonksiyon 301 İmpropr integral 422 Integral 301 İntegral hesabın temel teoremi 388 Integralin yaklaşık değeri 426 İntegral tablosu 303 İrrasyonel fonksiyon 16 İrrasyonel noktalar 2 İrrasyonel sayılar 2 K Kapalı aralık 6 Kapalı fonksiyon 7, 72, 238 Kardioid 216 Kesişme açısı 86 Kısmî integrasyon 305, 314 Konkav 92, 93 Konkoid 215 Kritik değer 95 Kritik nokta 95 Kutup 193 Kutupsal açı 193 Kutupsal denklem 194 Kutupsal eksen 193 Kutupsal ışın 193 Kutupsal koordinatlar 193 Kutupsal koordinatlarda yay dife ransieli 246 Kutupsal normal altı 202 Kutupsal teğet altı 202 Kutuptan geçen doğru 196 Kuvvet fonksiyonu 9 Küçük hatalar 242 Kürenin hacmi 403, 405 Küre yüzeyinin alam 417 îndeks Leibnitz formülü 78 L’hospital 286 L’hospital kuralı 287 Limit 19 Logaritma fonksiyonu 9 Logaritmik formüller 330 Parametre 175 Parametrik denklemler 175 Parametrik denklemlerde yay diferansieli 246 Parparti 305, 314 Paskal limasonu 214, 216 Peryod 12 Peryodik fonksiyon 12 Pramidin hacmi 403 M Maclaurin formülü 281 Maksimum 94, 96 Mebsut 264 Minimum 94, 96 Modül 3 Mutlak değ:er 3 Mutlak hata 242 Mutlak sabit 5 R "Rasyonel kesir integrali 320 Rasyonel kesirler 15, 32, 33, 339 Rasyonel noktalar 2 Rasyonel sayılar 1 Reel sayılar 2 Rekürans formülü 338 Rolle teoremi 271 Rozaslar 217 N mertebeden sonsuz küçük 226 n. mertebeden türev 75, 77 Normal altı 88, 203 Normal uzunluğu 88, 202 n. terimden sonraki kalan 282 7V, Ortalama Ortalama Ortalama Ortalama Oskülatör de|:er 419 egrrilik 254 formülü 273, 277 teoremi 273 daire 263 449 Sabit 5 Sağrdan limit 23, 43 Sınırlı fonksiyon 27 Sikloid 177 Simpson kuralı 429 Soldan limit 23, 43 Sonlu 5 Sonlu artımlar formülü 274 Sonsuz 5 Sonsuz büyük 21, 25 Sonsuz küçük 21, 39, 224 Spiraller 219 Sürekli fonksiyon 38, 43 450 Yüksek matematik Süreklilik 38 Süreksizlik 41 Süreksizlik noktası 41, 42, 43 Türev 50 ‘Türev formülleri 56 Ü Tabaka kuralı 407 Tabiî logaritma 137 Tam çok .terimli 15 Tam rasyonel fonksiyon 15 Tanım aralığı 6, 7, 9 Taylor formülü 281 Teğet altı 88, 203 Teğetin eğimi 53, 85, 87 Teğet uzunluğu 88, 202 Tek değerli 8 Tek değişkenli fonksiyon 7 Tek fonksiyon 8, 15 Ters fonksiyonlar 74 Tfcrs trigonometrik fonksiyon 10. Transandant fonksiyon 17 Transandant sayılar 3 Trigonometrik değişken dönüştür, mesi 310 Trigonometrik fonksiyon 9 Trigonometrik integral 310 Türetilebilen fonksiyon 54, 63, 75 Türetilme 51 Üçüncü mertebeden türev 75 Ünikürsal eğri 175 Üstel fonksiyon 9, 134 Üst sımr 383 Vasıtalı integrasyon 305 Vasıtasız integrasyon 303 Yamuklar kuralı 426 Yarı açık aralık 6 Yatay asimptod 182 Yay diferansieU 245, 411 "Say uzunluğu 244 Yüksek fonksiyon 17 Yüksek mertebeden sonsuz küçük 226 Yüksek mertebeden türevler 75, 79 BİBLİYOGRAFYA AYRES, Frank BACON CASANOVA, G. DEMIDOVITCH, B. ERÎM; Kerim KELLS Lyman M. LESIEUR, L. - LEFEBVRE, J. LOVE, C. - RAINVILLE, E. MILHAUD, G. - POUGET, E. PAPELIER, G. PISKOUNOV, N. POUSSIN, C.J. Della Valice BERKER, Ratıp QUINET, J. VOGT, H. Calculus Differantial and integral calculus Algebre et Analyse Recueil D’exercises et de probl6mes d’analyse math6matique Analiz dersleri Calculus Mathematiques Differantial and integral calculus Cours de gômetrie analytique Prâcis D’Algebre d’Analyse et de trigonom^trie Calcul diff^rantiel et integral Analiz dersleri Cours 616mentaire de math^matiques sup6rieures Elements de math6matiques sup^rieures

Ahmet Karadeniz - Yüksek Matematik - Cilt 1

Products

Support

Ahmet Karadeniz - Yüksek Matematik - Cilt 1

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib