Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 Mustafa Özdemir Full Sorular
advertisement
FULL SORU VERSİYONU
Çözümleri Kitapta Bulabilirsiniz.
2
Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 ­ Mustafa Özdemir
MATEMATİK OLİMPİYATLARINA HAZIRLIK 5 (460 sayfa)
ANALİZ ­ CEBİR 2
TANITIM DÖKÜMANI
(Kitabın içeriği hakkında bir bilgi verilmesi amacıyla bu döküman hazırlanmıştır.)
KİTABIN ORJİNALİNDE BULUNAN, TEOREM İSPATLARI, KONU ANLATIMI
ve ÇÖZÜMLERİN OLDUĞU KISIMLAR,
BU DÖKÜMANA KONULMAMIŞTIR.
Bu dökümanda,
KİTAPTA BULUNAN SORULAR BULUNMAKTADIR.
Konuların içeriğini ve soruların çözümlerini
MATEMATİK OLİMPİYATLARINA HAZIRLIK 5 (Analiz ­ Cebir 2)
ALTIN NOKTA YAYINLARI
kitabında bulabilirsiniz.
Bu kitap,
Logaritma
Trigonometri
Karmaşık Sayılar
Limit, Süreklilik, Türev
Fonksiyonel Denklemler
Eşitsizlikler (Aritmetik ­ Geometrik ­ Harmonik Ortalama Eşitsizliği, Cauchy ­
Schwarz Eşitsizliği, Kuvvet Ortalamaları Eşitsizliği, Simetrik Ortalamalar Eşitsizliği,
Bernoulli Eşitsizliği, Yeniden Düzenleme veya Permütasyon Eşitsizliği, Chebysev Eşit­
sizliği, Jensen Eşitsizliği, Genelleştirilmiş Aritmetik ­ Geometrik Ortalama Eşitsi­
zliği, Schur Eşitsizliği, Hölder Eşitsizliği, Minkowski Eşitsizliği, Muirhead Eşitsizliği,
Geometrik Eşitsizlikler)
konularında farklı, sıradışı ve kısmen zor problemler çözmek isteyen öğretmen ve
öğrencilerimiz için, güzel bir kaynak olarak kullanılmaktadır.
Bu konulardaki lise Matematik yarışmalarında sorulan sorular, kitaba ilave edilmiştir.
Kitabın içeriğindeki konuları, Aşağıdaki İÇİNDEKİLER bölümünden
inceleyebilirsiniz
Mustafa Özdemir
İrtibat İçin : mozdemir07@gmail.com
veya Altın Nokta Yayınevi
İçindekiler
BİRİNCİ BÖLÜM
Logaritma
Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri
Logaritma Fonksiyonunun Grafiği
Karakteristik ve Mantis
Logaritmik Denklemler
Logaritmik Eşitsizlikler
Karışık Örnekler
11
11
15
15
16
20
22
İKİNCİ BÖLÜM
Trigonometri
Sinüs ve Kosinüs Fonksiyonları
Tanjant, Kotanjant, Sekant ve Kosekant Fonksiyonları
Trigonometrik Fonksiyonların Periyodu
Toplam ve Fark Formülleri
Yarımaçı Formülleri
Üç Kat Formülleri
Dönüşüm Formülleri
Ters Dönüşüm Formülleri
Bir Üçgenin Elemanları ve Trigonmetrik Bağıntılar
Ters Trigonometrik Fonksiyonlar
Trigonometrik Denklemler
Trigonometrik Denklemlerin Bilinmeyene Göre İncelenmesi
Yardımcı Bilinmeyen Yardımıyla Çözülebilen Denklemler
Trigonometri Yardımıyla Denklem Çözümü
Trogonometrik Toplamlar
Trigonometrik Çarpımlar
Karışık Örnekler
Alıştırmalar
31
31
35
39
40
45
47
52
56
57
73
78
89
91
94
96
106
108
125
ÜÇÜNCÜ BÖLÜM
Kompleks Sayılar ve De Moivre Formülü
131
DÖRDÜNCÜ BÖLÜM
Fonksiyonların Limit, Sürekliliği ve Türevi
Fonksiyonların Limiti
Belirsizlikler ve Limitlerinin Hesaplanması
Fonksiyonların Sürekliliği
Türev
Fonksiyonun Artan ve Azalan Olduğu Aralıkların Belirlenmesi
Türevi Kullanarak Bir Denklemin Köklerinin Yorumlanması
Bir Fonksiyonun Konveksliği ve Konkavlığı
Üslü Değişkenli Fonksiyonların Türevi
Fonksiyonların Grafiklerinin Çizilmesi
Taylor Formülü
İntegral
147
152
157
161
165
173
180
187
190
201
202
206
BEŞİNCİ BÖLÜM
Fonksiyonel Denklemler
Tamsayılar ve Rasyonel Sayılar Kümesinde Fonksiyonel Denklem Çözümü
Rasyonel Sayılar Kümesinden Reel Sayılar Kümesine Geçiş
Fonksiyonel Denklemlerin Polinom Denklem Çözümleri
Fonksiyonel Denklemin Çözümünün Varlığı
Fonksiyonel Denklemlerin Sürekli Fonksiyon Çözümleri
Fonksiyonel Denklemlerin Diferensiyellenebilir Fonksiyon Çözümleri
Özel Fonksiyonel Denklemler
Birinci Cauchy Denklemi
İkinci Cauchy Denklemi
Üçüncü Cauchy Denklemi
Dördüncü Cauchy Denklemi
Jensen Denklemi
Pexider Fonksiyonel Denklemleri
Problemler
Problemlerin Çözümleri
Alıştırmalar
209
213
220
223
226
230
234
236
236
240
243
244
245
246
251
254
272
ALTINCI BÖLÜM
Eşitsizlikler
Üçgen Eşitsizliği
Toplam ve Çarpımlarda Basit Eşitsizliklerin Kullanımı
2 ≥ 0 Eşitsizliği
2(+ + + ) ≥ ( + )( + ) Eşitsizliği
+ ≥ 2 Eşitsizliği
Aritmetik ­ Geometrik ­ Harmonik Ortalama Eşitsizliği
Cauchy ­ Schwarz Eşitsizliği
P
notasyonu (Dairesel Toplam)
Kuvvet Ortalamaları Eşitsizliği
Simetrik Ortalamalar Eşitsizliği
Bernoulli Eşitsizliği
Yeniden Düzenleme veya Permütasyon Eşitsizliği
Chebysev Eşitsizliği
Jensen Eşitsizliği
Genelleştirilmiş Aritmetik ­ Geometrik Ortalama Eşitsizliği
Schur Eşitsizliği
Hölder Eşitsizliği
Minkowski Eşitsizliği
Muirhead Eşitsizliği
Homojenleştirme
Geometrik Eşitsizlikler
Trigonometrik Fonksiyonlar Kullanarak Eşitsizlik Ispatı
Problemler
Problemlerin Çözümleri
Alıştırmalar
Kaynaklar
279
283
284
287
294
296
300
323
334
337
341
343
345
353
357
366
368
373
374
375
381
383
406
410
416
444
459
AŞAĞIDAKİ ÖRNEKLERİN ve PROBLEMLERİN ÇÖZÜMLERİNİ
MATEMATİK OLİMPİYATLARINA HAZIRLIK 5 (Analiz ­ Cebir 2)
KİTABINDA BULABİLİRSİNİZ.
Mustafa Özdemir
Logaritma
1.1
Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri
Örnek 1 1 reel sayıları ve pozitif sayısı için, log = 24 log = 40
ve log = 12 olduğuna göre, log değeri kaçtır? (AIME)
Örnek 2 ve aralarında asal pozitif tamsayılar olmak üzere,
2
3
+
=
log4 20006 log5 20066
ise + =? (AIME)
Örnek 3 log8 + log4 2 = 5 ve log8 + log4 2 = 7 olduğuna göre, değerini
bulunuz. (AIME)
Örnek 4 : Z+ → R olmak üzere, (1) = 22006 ve ≥ 1 için
½
log2 () ;
() 0 ise
( + 1) =
0;
() ≤ 0 ise
olacak şekilde bir fonksiyon tanımlansın. () 1 olacak şekilde en küçük tam­
sayısını bulunuz.
Örnek 5 2− log6 2 · 3log6 18 ifadesini hesaplayınız.
2
Örnek 6 log2 (log8 ) = log8 (log2 ) olduğuna göre (log2 ) değerini bulunuz.
(AIME)
Örnek 7 10000 sayısının tüm pozitif bölenlerin logaritmalarının toplamını bulunuz.
Problem : Siz de 1000000 sayısının kendisi haricindeki tüm pozitif bölenlerinin
logaritmalarının toplamının 141 olduğunu görünüz. (AIME)
Örnek 8 () = log+3
2 − 1
fonksiyonunun en geniş tanım aralığını bulunuz.
2 − 4
Örnek 9 5050 sayısı kaç basamaklıdır? (log10 5 ≈ 0698)
8
Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 ­ Mustafa Özdemir
1.2
Örnek 10 log 2 log
Örnek 11 (0 4)log
2
16
Logaritmik Denklemler
2 = log 2 denklemini çözünüz.
+1
64
3
= (6 25)2−log denklemini çözünüz.
3
Örnek 12 log3 ( ) + log23 = 1 denklemini çözünüz.
Örnek 13 log3 3 + log27 3 = −43 denkleminin kökler toplamını bulunuz.
√
Örnek 14 log4 43 + 3 log (16) = 7 denklemini sağlayan değerini bulunuz.
Örnek 15 log (5 − 2) = 3 denkleminin kaç tane kökü vardır?
√
Örnek 16
1995log1995 = 2 denkleminin pozitif köklerinin çarpımının son üç
basamağı kaçtır? (AIME )
½
log225 + log64 = 4
Örnek 17
denklem sisteminin çözümleri (1 1 ) ve
log 225 − log 64 = 1
(2 2 ) ise, log30 (1 2 1 2 ) değerini hesaplayınız. (AIME)
√
⎧
⎨ + log( + p2 + 1) =
Örnek 18
+ log( + √ 2 + 1) = denklem sisteminin tüm reel çözümlerini
⎩
+ log( + 2 + 1) =
bulunuz.
Örnek 19 Aşağıdaki denklem sisteminin çözümleri (1 1 1 ) ve (2 2 2 ) oldu­
ğuna göre, 1 + 2 değerini bulunuz. (AIME)
⎧
⎨ log (2000) − (log ) (log ) = 4
log (2) − (log ) (log ) = 1
⎩
log () − (log ) (log ) = 0
1.3
Örnek 20 log2−1
Logaritmalı Eşitsizlikler
32 + 2
log2−1 3 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
2 − 1
Örnek 21 log12 + log3 1 eşitsizliğini çözünüz.
Örnek 22
1
1
−
1 eşitsizliğini çözünüz.
log2 log2 − 1
9
Logaritma
1.4
Örnek 23
Karışık Örnekler
√
log( + 1 + 1)
√
= 3 denklemini sağlayan değerlerini bulunuz.
log 3 − 40
Örnek 24 Bir üçgenin kenarlarının uzunlukları log 12 log 75 ve log olduğuna
göre, pozitif sayısının alabileceği değerlerin sayısı kaçtır? (AIME)
Örnek 25 log2 ( + ) − log3 ( − ) = 1 ve 2 − 2 = 2 denklemlerini sağlayan
tüm ( ) reel sayı ikililerini bulunuz.
4
2
Örnek 26 ∈ (1 64) olduğuna göre, (log2 ) +12 (log2 ) log2 (8) ifadesinin
en büyük değerini bulunuz.
Örnek 27 log3 27 · log 7 = log27 · log7 3 ise, ’in alabileceği en küçük değeri
bulunuz.
Örnek 28 ≥ 3 reel sayıları için, log2 (log3 ) − log3 (log2 ) = 0 denkleminin
kaç kökü vardır?
Örnek 29 √ pozitif reel sayılar olmak üzere, log3 7 = 27 log7 11 = 49 ve
log11 25 = 11 ise,
2
2
2
= (log3 7) + (log7 11) + (log11 25)
değeri kaçtır? (AIME)
Örnek 30 1 ve = log + log + log olsun. ’nin alabileceği
en küçük değeri bulunuz.
Örnek 31 ≥ olacak şekildeki ( ) pozitif tamsayı ikilileri için
|log − log | log
eşitsizliğini sağlayan tam 50 farklı pozitif tamsayı olduğuna göre, çarpımının
alabileceği tüm değerlerin toplamı kaçtır? (AIME)
Örnek 32 ∈ Z+ için =1081 ve (log ) (log )+(log ) (log )=468 ise
q
(log )2 + (log )2 + (log )2
değerini hesaplayınız. (AIME)
Örnek 33 Artan geometrik bir dizi oluşturan pozitif tamsayıları için − bir
tamsayının karesi ve log6 + log6 + log6 = 6 ise + + değerini bulunuz.
(AIME)
10
Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 ­ Mustafa Özdemir
Örnek 34 db||ce sayısında büyük olmayan en büyük tamsayıyı göstersin. Her pozi­
100
P
tif tamsayısı için, () =
db|log ()|ce biçiminde tanımlanıyor. () ≤ 300
=1
olacak şekildeki en büyük tamsayısını bulunuz. (AIME)
Örnek 35 log5 + 3log3 = 5 ve = 56 denklemlerini sağlayan kaç ( ) ikilisi
vardır?
⎧
⎨ log2 + log4 + log4 = 2
log3 + log9 + log9 = 2
Örnek 36
denklem sistemini çözünüz.
⎩
log4 + log16 + log16 = 2
Örnek 37 2 ≤ ≤ 2005 ve 2 ≤ ≤ 2005 olmak üzere, log + log = 5
denklemini sağlayan ( ) tamsayı ikililerini sayısını bulunuz. (AIME)
Örnek 38 ve pozitif tamsayılar ve 1 = olmak üzere, 1 2 ortak çarpanı
olan bir geometrik dizi olsun.
log8 1 + log8 2 + · · · + log8 12 = 2006
ise, ( ) ikililerinin sayısı kaçtır? (AIME)
Örnek 39 de ve bc sırasıyla sayısından küçük veya eşit olan en büyük tamsayı
ile sayısından büyük veya eşit olan en küçük tamsayıyı göstersin. Buna göre,
1000
P ¡§ √ ¨ ¥ √ ¦¢
=
log 2 − log 2
=1
toplamının 1000’e bölümünden kalan kaçtır? (AIME)
Örnek 40 db||ce sayısından büyük olmayan en büyük tamsayıyı gösterdiğine göre,
db|log2 1|ce + db|log2 2|ce +db|log2 3|ce + · · · + db|log2 |ce = 1994
eşitliğinin sağlanması için kaç olmalıdır? (AIME )
Örnek 41 (log − log )2 +(log12 −log2 )2 +· · ·+(log12 −log2 )2
ifadesini sadeleştiriniz.
Örnek 42 3’ün kuvvetlerinden oluşan 0 1 2 artan geometrik dizisi veriliyor.
µ 7
¶
7
P
P
log3 ( ) = 308 ve 56 ≤ log3
≤ 57
=0
olduğuna göre, log3 (14 ) değerini bulunuz. (AIME )
=0
Trigonometri
2.1
Trigonometrik Fonksiyonlar
Örnek 43 ∈ Z için, = sin +cos olduğuna göre, 34 −26 = 1 olduğunu
gösteriniz.
Örnek 44 log sin + log cos = −1 ve log (sin + cos ) =
ğuna göre değerini bulunuz. (AIME)
Örnek 45 Bir altıgeni, şekildeki
gibi 5 tane ve eşkenar dörtgenine
parçalanıyor. √eşkenar dörtgenleri eştir
ve her birinin alanları 2006’dır. eşkenar
dörtgeninin alanının olabileceği tamsayı değerlerin
sayısı kaçtır? (AIME)
1
(log − 1) oldu­
2
P
R
T
K
S
Örnek 46 (1 + sin ) (1 + cos ) = 54 ve ( ) = 1 olacak şekildeki
pozitif tamsayıları için,
√
(1 − sin ) (1 − cos ) =
−
eşitliği sağlanıyorsa, + + toplamını bulunuz. (AIME)
Örnek 47 bir dar açı olmak üzere, sec2 +tan2 = 4 ise, csc2 +cot2 değerini
bulunuz.
Örnek 48 ∈ [−512 −3] olmak üzere,
2
= tan( +
) − tan( + ) + cos( + )
3
6
6
ifadesinin maksimum değerini bulunuz.(Çin Ulusal M.O.)
Örnek 49 sec + tan = 227, csc + cot = ve ile aralarında asal
ise + =? (AIME)
Örnek 50 () = 5 cos4 (7 + 30◦ ) + 21 fonksiyonunun periyodunu bulunuz.
Örnek 51 Periyodu 1 olan bir fonksiyon yazınız.
12
Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 ­ Mustafa Özdemir
2.2
Toplam ve Fark Formülleri:
Örnek 52 + + = ise, tan · tan + tan ·tan + tan ·tan = 1 olduğunu
2
gösteriniz.
Örnek 53 + + =
ise tan2 + tan2 + tan2 ≥ 1 olduğunu gösteriniz.
2
Örnek 54 tan tan 2 tan 3 = 12 ise, tan + tan 2 − tan 3 =?
Örnek 55 tan + tan = 25 ve cot + cot = 30 olduğuna göre tan ( + )
değerini bulunuz. (AIME)
Örnek 56 Bir üçgeninde
tan tan + tan tan + tan tan = 1
2
2
2
2
2
2
olduğunu ispatlayınız.
Örnek 57 sin = sin ( + ) ise,
tan ( + ) =
olduğunu ispatlayınız.
sin
cos −
Örnek 58 ∈ Z için, + + = ise tan + tan + tan = tan ·
tan · tan olduğunu gösteriniz.
Örnek 59 tan ve tan , 2 + + = 0 denkleminin kökleri olduğuna göre,
= sin2 ( + ) + sin ( + ) · cos ( + ) + cos2 ( + )
ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?
Örnek 60 3 sin = sin (2 + ) ve tan = 5 ise, tan ( + ) ifadesinin değerini
hesaplayınız.
Örnek 61 Bir karesinin merkezi olsun. || = 900 ve [] üze­
b )=
rinde öyle iki nokta ki, noktası ile arasında ve || | |’dir. (
◦
+
45 ve | | = 400 olduğuna göre, ∈√Z için, herhangi bir tamsayının
karesine bölünmemek koşuluyla | | = + ise + + değerini hesaplayınız.
(AIME)
b = 227’dir. ’dan [] doğru parçası­
Örnek 62 Bir üçgeninde, tan
na inilen yükseklik, []’yi 3 ve 17 br’lik parçalara ayırmaktadır. Buna göre,
üçgeninin alanını bulunuz. (AIME)
13
Trigonometri
2.3
Yarım Açı Formülleri
Örnek 63 2 + + = 0 ikinci dereceden denkleminin kökleri sin 15◦ ve cos 15◦
ise 4 − 4 ifadesinin değeri kaçtır?
Örnek 64 sin 10◦ sin 50◦ sin 70◦ =?
Örnek 65 tan
3
7
9
− tan
− tan
+ tan
ifadesi neye eşittir?
20
20
20
20
2.4
Üç kat Formülleri
1) sin 3 = 3 sin − 4 sin3 veya sin 3 = − sin3 + 3 cos2 sin eşitlikleri vardır.
İspat :
2) cos 3 = 4 cos3 − 3 cos veya cos 3 = cos3 − 3 cos sin2 eşitlikleri vardır.
İspat :
3 tan − tan3
eşitliği sağlanır.
3) tan 3 =
1 − 3 tan2
İspat :
Örnek 66 tan 20◦ tan 40◦ tan 80◦ çarpımının değerini bulunuz.
Problem : En genel halde,
tan tan(
− ) tan( + ) = tan 3
3
3
olduğunu gösteriniz.
Örnek 67 sin () ve cos () ifadelerinin açılımlarının,
¡ ¢
¡ ¢
¡ ¢
cos () = 0 cos − 2 cos−2 sin2 + 4 cos−4 sin4 − · · ·
ve
sin =
¡¢
1
cos−1 sin −
olduğunu gösteriniz.
¡¢
3
cos−3 sin3 +
¡¢
5
cos−5 sin5 − · · ·
Örnek 68 sin 3 · sin3 + cos 3 · cos3 = cos3 2 olduğunu gösteriniz.
Problem : Siz de, cos3 · sin 3 + sin3 · cos 3 =
3
sin 4 olduğunu gösteriniz.
4
Örnek 69 sin 3◦ nin değerini köklü sayılarla ifade ediniz. (BALTIK WAY M.O.)
14
Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 ­ Mustafa Özdemir
Örnek 70 3 − 2 − 2 + 1 = 0 denkleminin bir kökünün 2 cos (7) olduğunu
ispatlayınız.
Örnek 71 cos +
olina Math. Contest)
cos (3)
fonksiyonunun en küçük değeri kaçtır? (Un. South Car­
cos
2.5
Dönüşüm Formülleri
Örnek 72 sin2 − sin2 = sin ( + ) sin ( − ) olduğunu gösteriniz.
Örnek 73 cos
2
− cos
ifadesinin değerini hesaplayınız.
5
5
Örnek 74 ve bir üçgenin iç açıları olduğuna göre,
cos 2 + cos 2 + cos 2 + 4 cos cos cos
ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?
Örnek 75 ve bir üçgenin iç açıları olduğuna göre,
cos + cos + cos = 1 + 4 sin (2) sin (2) sin (2)
olduğunu gösteriniz.
Örnek 76 ve bir üçgenin iç açıları ve sin sin sin = 512 olduğuna
göre, sin 2 + sin 2 + sin 2 ifadesinin değerini bulunuz.
Örnek 77 cos
2
4
6
+ cos
+ cos
ifadesinin değerini bulunuz.
7
7
7
Örnek 78 ve bir dörtgenin iç açıları olduğuna göre,
+
+
+
sin
sin
sin + sin + sin + sin = 4 sin
2
2
2
bağıntısının doğruluğunu gösteriniz.
cos 96◦ + sin 96◦
denklemini sağlayan en küçük pozitif
cos 96◦ − sin 96◦
tamsayısı kaçtır? (AIME−1996)
Örnek 79 tan 19◦ =
2.6
Ters Dönüşüm Formülleri
Örnek 80 tan 20◦ tan 40◦ tan 80◦ =
√
3 olduğunu ispatlayınız.
Trigonometri
2.7
15
Bir Üçgenin Elemanları ve Trigonometrik Bağıntılar
Sinüs Teoremi : Köşeleri R yarıçaplı çember üzerinde olan bir üçgenin kenar ve
açıları arasında,
sin
sin
sin
1
=
=
=
2
bağıntısı vardır. Bu çembere üçgenin çevrel çemberi denir.
İspat :
Kosinüs Teoremi : Herhangi bir ABC üçgeninin kenarlarıyla açıları arasında aşağı­
daki bağıntılar vardır.
2 = 2 + 2 − 2 · cos
2 = 2 + 2 − 2 · cos
2 = 2 + 2 − 2 · cos
İspat :
Tanjant Teoremi : Bir üçgende iki kenarın toplamının bu kenarların farkına oranı, bu
kenarlar karşısındaki açıların yarılarının toplamlarının tanjantıyla, farklarının tanjantı
oranına eşittir. Yani, aşağıdaki üçgen göz önüne alınırsa,
+
tan
+
2
=
−
−
tan
2
eşitliği sağlanır.
İspat :
Örnek 81 üçgeninde, 3 sin + 4 cos = 6 ve 4 sin + 3 cos = 1
olduğuna göre açısının ölçüsü en fazla kaç olabilir?
Örnek 82 Kenarları ardışık tamsayı ve en büyük açısı, en küçük açının iki katı olan
sadece bir üçgen olduğunu gösteriniz. (IMO)
+
ise, bu üçgenin dik üçgen olduğunu
Örnek 83 Bir üçgeninde cot =
2
gösteriniz.
Örnek 84 Bir üçgeni için,
sin2 + sin2 + sin2
=2
cos2 + cos2 + cos2
olduğuna göre, bu üçgenin bir dik üçgen olduğunu ispatlayınız.(IMO Shortlist)
Örnek 85 Bir üçgeninin alanı olduğuna göre
16
Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 ­ Mustafa Özdemir
¢
1¡ 2
sin 2 + 2 sin 2
4¡
¢
2 − 2 sin sin
b) =
2 sin ( − )
eşitliklerinin sağlandığını gösteriniz.
a) =
2
Örnek 86 Bir üçgeninde, cos + cos + cos =
bağıntısının
varlığını ispatlayınız.
Örnek 87 dar açılı üçgeninin alanı olmak üzere,
p
p
p
2 + 2 + 2
2 2 − 4 2 + 2 2 − 4 2 + 2 2 − 4 2 =
2
eşitliğinin sağlandığını gösteriniz.
Örnek 88 Bir üçgeninde, iç teğet çemberin yarıçapı, çevrel çemberin
yarıçapı ve 2 = + + ise,
tan =
tan =
ve tan =
2
−
2
−
2
−
olduğunu gösteriniz.
Örnek 89 Yandaki ikizkenar üçgeninde
b = 106◦ ( )
b
|| = ||
= 7◦
◦
b
ve ( )
= 23 olduğuna göre, b açısı kaç
derecedir? (AIME)
Örnek 90 Bir üçgeninde 2 + 2 = 19892
cot
ise
değeri kaçtır? (AIME)
cot + cot
A
P
B
C
Örnek 91 Bir üçgeninde, eğer cot 2 cot 2 ve cot 2 değerleri
bir aritmetik dizi oluşturuyorsa, üçgenin ve kenarlarının da bir aritmetik dizi
oluşturacağını gösteriniz.
Örnek 92 Bir üçgeninde, iç teğet çemberin yarıçapı, çevrel çemberin
yarıçapı ve 2 = + + ise,
a tan tan tan =
2
2
2
4 +
b) tan + tan + tan =
2
2
2
olduğunu gösteriniz.
17
Trigonometri
Trigonometrik Ceva Formülü : Bir üç­
geninde, ve köşesinden kenarlara [ ]
[] ve [] doğru parçaları çiziliyor. Bu
doğru parçaları bir noktada kesişiyorlar. Üç­
genin köşelerinde oluşan açılar şekilde gibi be­
lirtilmiştir. Buna göre,
sin 1 sin 1 sin 1
·
·
=1
sin 2 sin 2 sin 2
eşitliği sağlanır.
İspat :
B
c1
β1 β2
a2
P
R
O
a1
c2
A
α2
α1
γ1
γ2
b1
Q
b2
C
b = 60◦ olarak veriliyor.
b = 40◦ ve
Örnek 93 Bir üçgeninde,
b
b = 70◦ olacak
ve sırasıyla ve kenarları üzerinde, = 40◦ ve
şekildeki noktalar olsun. noktası ve ’nin kesişim noktası olduğuna göre,
’nin ’ye dik olduğunu ispatlayınız. (KANADA)
Örnek 94 Herhangi bir üçgeninde,
sin ( − )
2 − 2
=
2
sin ( + )
eşitliğinin sağlanacağını gösteriniz.
Örnek 95 Herhangi bir üçgeninde,
tan
2 + 2 − 2
=
2
2
2
+ −
tan
eşitliğini sağlanacağını gösteriniz.
Örnek 96 Kenarları ve olan bir kirişler dörtgeninin alanının,
2 = + + + olmak üzere,
p
() = ( − ) ( − ) ( − ) ( − )
olduğunu gösteriniz.
Örnek 97 Kenarları olarak verilen bir kirişler dörtgeninin çevrel çem­
berinin yarıçapını hesaplayınız.
Örnek 98 Bir üçgenin de, dış teğet çemberlerin yarıçapları ve iç
teğet çemberin yarıçapı olmak üzere, − − = ise, bu üçgenin dik üçgen
olduğunu gösteriniz.
b ∼
b || = || = 180 ve
Örnek 99 Bir konveks dörtgeninde,
=
|| 6= || olarak veriliyor. Dörtgenin çevresi 640 ise, db|1000 cos |ce değerini
bulunuz. (AIME)
18
Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 ­ Mustafa Özdemir
Örnek 100 Kenar uzunlukları || = 13 || = 15 ve || = 14 olan bir
b =
b olacak şekilde bir
üçgeninde, [] üzerinde, || = 6 ve
noktası alınıyor. ( ) = 1 olmak üzere, || = ise =?(AIME)
Örnek 101 Kenar uzunlukları olan bir üçgeninde, iç teğet çemberin
yarıçapı, çevrel çemberin yarıçapı ve 2 = + + ise
) = 4
) + + = 2 + 2 + 4
¡
¢
) 2 + 2 + 2 = 2 2 − 2 − 4
¡
¢
) 3 + 3 + 3 = 2 3 − 32 − 6
eşitliklerinin sağlandığını gösteriniz.
Örnek 102 Bir üçgeninde,
cos + cos + cos =
+1
olduğunu ispatlayınız.
2.8
Ters Trigonometrik Fonksiyonlar
Örnek 103 2 arctan
1
1
+ arctan = eşitliğinin doğru olduğunu gösteriniz.
3
7
4
Örnek 104 sin (arccos ) = − 1 ise, =?
¶
µ
2
1
1
değerini hesaplayınız.
Örnek 105 sin
arcsin √ + arcsin √
2
5
5
µ
¶
29
Örnek 106 arcsin cos değerini hesaplayınız.
5
Örnek 107 arctan
1
1
1
1
+ arctan + arctan + arctan değerini hesaplayınız.
3
5
7
8
Örnek 108 arcsin (cos arcsin ) ve arccos (sin arccos ) arasında bir bağıntı bu­
lunuz.
Örnek 109 10 cot (arccot 3 + arccot 7 + arccot 13 + arccot 21) değerini hesapla­
yınız. (AIME)
1
1
1
1
+ arctan + arctan + arctan = eşitliğini sağlayan
3
4
5
4
pozitif tamsayısını bulunuz. (AIME)
Örnek 110 arctan
19
Trigonometri
2.9
Trigonometrik Denklemler
Örnek 111 sin 2 + cos 2 =
√
2 sin denklemini çözünüz.
Örnek 112 1 + sin + cos + sin 2 + cos 2 = 0 denklemini çözünüz.
Örnek 113 sin + sin 2 + sin 3 + sin 4 = 0 denklemini çözünüz.
Örnek 114 2 (sin + cos ) = sec denklemini çözünüz.
Örnek 115 cos + sin −1− = 0 ve cos −sin +1+ = 0 denklemleri
veriliyor. Bu denklemlerin ortak bir kökünün olması için ne olmalıdır. Bu ortak
kökü bulunuz.
Örnek 116 8 sin6 + 3 cos 2 + 2 cos 4 + 1 = 0 denklemini çözünüz.
Örnek 117 tan 2 + cot = 8 cos2 denklemini çözünüz.
Örnek 118 sin2 + 2 sin cos − 2 cos2 =
1
denklemini çözünüz.
2
Örnek 119 cot − tan = sin + cos denklemini çözünüz.
Örnek 120 tan (cot ) = cot (tan ) denklemini çözünüz.
√
Örnek 121 (sin + 3 cos ) sin 4 = 2 denkleminin [0 2] aralığında kaç çözümü
vardır?
Örnek 122 100◦ ◦ 200◦ olmak üzere, cos3 3◦ +cos3 5◦ = 8 cos3 4◦ cos3 ◦
eşitliğini sağlayan tüm değerlerinin toplamını bulunuz. (AIME)
Örnek 123 ve reel sayıları
½
sin + cos = 1
cos + sin = −1
denklem sistemini sağladığına göre cos 2 = cos 2 olduğunu ispatlayınız. (ESTONYA
M.O.)
Örnek 124 sin + cos = denklemini çözünüz
Örnek 125 sin + cos = 4 denkleminin çözümü olacak şekilde kaç tam­
sayısı vardır?
20
Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 ­ Mustafa Özdemir
Örnek 126 sin + cos = 2 denkleminin çözümlerini bulunuz.
Örnek 127 tan + cot = denklemini çözünüz.
Örnek 128 tan + 2 cot = 3 denklemini çözünüz.
Örnek 129 2 sin 11 +
√
3 cos 5 + sin 5 = 0 denklemini çözünüz.
Örnek 130 sin2 + sin cos + cos2 = denklemini çözünüz.
Örnek 131 sin2 + sin cos + cos2 = 2 denkleminin çözümünün olabilmesi
için sayısı nasıl seçilmelidir? = 8 için denklemi çözünüz.
Örnek 132 (sin + cos ) + sin cos = denklemini çözünüz.
√
2
Örnek 133 sin + cos =
denklemini çözünüz.
2
3
2.10
3
Trigonometrik Denklemlerin Bilinmeyenlere Göre
İncelenmesi
Örnek 134 cos + cos 2 − cos ( + 2) = 1 denklemini çözünüz ve ve
değerlerine göre inceleyiniz.
Örnek 135 sin2 + sin2 ( − ) = denklemini çözünüz ve ile ’ye göre
inceleyiniz.
b) = 60◦ alınırsa, sayısı hangi aralıktan alınmalıdır?
c) = 65 alınırsa, sayısının 0◦ 60◦ 90◦ ve 120◦ değerlerinden hangisi için
denklemin çözümü yoktur?
2.11
Yardımcı Bilinmeyen Yardımıyla Çözülebilen Denklemler
Örnek 136
Her ∈ R − { ∈ Z} için
1
= cot + cot
sin
2
eşitliğini sağlayan kaç ( ) reel sayı ikilisi vardır?
Örnek 137 cos − ( + 1) sin = denkleminin 1 ve 2 köklerinin farkının
2 olması için ne olmalıdır?
21
Trigonometri
Örnek 138 (sin4 + cos4 )2 = sin2 cos2 + sin cos denklemini çözünüz.
Örnek 139 sin8 + cos8 = 18 denklemini çözünüz.
Örnek 140 sin5 − cos5 =
2.12
1
1
−
denklemini çözünüz.
cos sin
Trignometri Yardımıyla Denklem Çözümü
q
p
p
√ q
√
√
Örnek 141 ≥ 0 için, 2 + 2 + 2 + + 3 2 − 2 + 2 + = 2
denklemini çözünüz. (Kanada M. Soc. MOCP)
√
Örnek 142 3 − 3 = + 2 denkleminin köklerini bulunuz.
p
p
√
Örnek 143 + 2 1 − 2 + 2 1 − 2 − (1 − 2 ) (1 − 2 ) ifadesinin ala­
bileceği en büyük değeri bulunuz. (BALTIK WAY M.O. )
2.13
Trigonometrik Toplamlar
Örnek 144 = sin + sin ( + ) + sin ( + 2) + · · · + sin [ + ( − 1) ]
toplamını hesaplayınız.
Problem : sin 1 + sin 3 + sin 5 + · · · + sin 101 toplamını, yukarıdaki formülü uygu­
lamadan, aynı yöntemle çözünüz.
Örnek 145 = cos + cos ( + ) + cos ( + 2) + · · · + cos [ + ( − 1)]
toplamını hesaplayınız.
Örnek 146 = cos 1 + cos 3 + cos 5 + · · · + cos 1001 toplamını hesaplayınız.
Problem : = cos 3 + cos 7 + cos 11 + · · · + cos 99 toplamını hesaplayınız.
Örnek 147 a) = cos2 + cos2 ( + ) + · · · + cos2 [ + ( − 1) ] ve
b) = sin2 + sin2 ( + ) + · · · + sin2 [ + ( − 1) ] toplamlarını hesaplayınız.
Örnek 148 = sin sin 2 + sin 2 sin 3 + · · · + sin sin ( + 1) toplamını
hesaplayınız.
Örnek 149 2 sin 2◦ 4 sin 4◦ 6 sin 6◦ 180 sin 180◦ sayılarının ortalamasının cot 1◦
olduğunu ispatlayınız. (USAMO)
22
Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 ­ Mustafa Özdemir
2.13.1
Toplamdaki her bir ifadeyi iki trigonometrik fonksiyonun farkı
olarak yazma
Örnek 150 ∈ Z+ ve ∈ N için 6= 2 olmak üzere,
1
1
1
1
=
+
+
+ ··· +
= cot − cot 2
sin 2 sin 4 sin 8
sin 2
olduğunu gösteriniz. (IMO ­ 1966)
1
1
1
+
+· · ·+
toplamını
Örnek 151 =
sin 30◦ sin 31◦ sin 32◦ sin 33◦
sin 148◦ sin 149◦
hesaplayınız.
Örnek 152 =
hesaplayınız.
1
1
1
+
+· · ·+
toplamını
cos cos 2 cos 2 cos 3
cos cos ( + 1)
1
1
1
1
+
+ ··· +
=
◦
◦
◦
◦
◦
sin 46
sin 47 sin 48
sin 133 sin 134
sin ◦
eşitliğini sağlayan en küçük pozitif tamsayısını bulunuz. (AIME)
Örnek 153
sin 45◦
Örnek 154 = tan +
1
1
tan + · · · + tan toplamını hesaplayınız.
2
2
2
2
Örnek 155 = 2008 olmak üzere,
¤
£
2 cos sin + cos 4 sin 2 + cos 9 sin 3 + · · · + cos 2 sin 2
ifadesi tamsayı olacak şekilde en küçük pozitif tamsayısını bulunuz. (AIME)
Örnek 156
P
tan 2010 2010
tan tan ( + 1) ifadesinin değerini bulunuz.
−
tan 1
=1
Örnek 157 ve aralarında asal pozitif tamsayılar olmak üzere, 0 ve
= sin 5 + sin 10 + sin 15 + · · · + sin 175 = tan
iii) Toplamdaki terimleri gruplayarak toplamı hesaplama
Örnek 158 cos 1◦ + cos 2◦ + · · · + cos 180◦ toplamını hesaplayınız.
Örnek 159 =
(AIME)
cos 1 + cos 2 + · · · + cos 44
olduğuna göre, db|100|ce kaçtır?
sin 1 + sin 2 + · · · + sin 44
23
Trigonometri
2.14
Trigonometrik Çarpımlar
Örnek 160 = cos cos 2 cos 22 · · · cos 2100 çarpımının değerini hesaplayınız.
Örnek 161 =
2
olmak üzere
1999
= cos cos 2 cos 3 · · · cos 999
çarpımının değerini hesaplayınız. (103 Trig. Prob. ­ Andrescu ­ Feng.)
Örnek 162 (1 + tan 1◦ ) (1 + tan 2◦ ) · · · (1 + tan 45◦ ) = 2 olduğuna göre, değerini
bulunuz. (AMC 12)
2.15
Karışık Örnekler
Örnek 163 60√◦ lik bir açı arasında öyle bir ışın çiziliyor ki, yeni oluşan açıların
sinüsleri oranı 3 + 1 oluyor. Bu açılar kaçar derecedir?
Örnek 164 30◦ lik bir açı öyle iki parçaya ayrılıyor ki, bu açıların tanjantları oranı
oluyor. Buna göre, sayısı hangi aralıkta olabilir?
Örnek 165 ve bir üçgenin iç açıları ve cos cos cos = 38 olduğuna
göre, cos2 + cos2 + cos2 ifadesinin değerini bulunuz.
Örnek 166 tan + tan + tan = tan tan tan eşitliği sağlanıyorsa,
ve açıları arasında nasıl bir bağıntı vardır?
Örnek 167 sin =
2
sin ( + ) ve sin = 35 ise, tan ( + ) =?
3
Örnek 168 cot − 2 sin 2 = 1 denklemini çözünüz.
Örnek 169 + + = ise, sin2 +sin2 +sin2 = 2+2 cos cos cos
olduğunu gösteriniz.
Örnek 170 sin100 + cos100 = 1 denkleminin [0 2) aralığında sadece dört
kökünün bulunduğunu gösteriniz.
Örnek 171 tan 10◦ tan 50◦ tan 70◦ çarpımının değerini hesaplayınız.
Örnek 172
∞
P
=1
arctan(
1
) değerini hesaplayınız.
2 − + 1
24
Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 ­ Mustafa Özdemir
Örnek 173 =
( − 1)
( − 1)
cos
olduğuna göre,
2
2
= |19 + 20 + · · · + 98 |
değerini hesaplayınız. (AIME)
Örnek 174 , pozitif terimli bir aritmetik dizi oluşturduğuna göre,
sin sin = sin sin
denklemini çözünüz.
Örnek 175 cos 3◦ ’ün irrasyonel sayı olduğunu ispatlayınız.
Örnek 176 cos−1 (13) sayısının irrasyonel olduğunu ispatlayınız. (Putnam M.O.
)
Örnek 177 ∈ R olmak üzere, sin (cos ) ve cos(sin ) ifadelerinden hangisi
daha büyüktür?.
Örnek 178 logsin 2 · logsin2 + 1 = 0 denklemini çözünüz.
½
= cot + tan
denklem sistemindeki ’yı yok ederek ederek denk­
= sec − cos
lemi ve tarafından sağlanan bir polinom denklemi yapınız. (Kanada M. Soc. MOCP)
Örnek 179
Örnek 180 cos + sin = denkleminin 2 − 1 = 2 bağıntısını gerçekleyen
1 ve 2 gibi iki kökünün olması için ne olmalıdır. Bu durumda 1 ve 2 köklerini
bulunuz.
√
Örnek 181 (sin + cos ) 2 = tan + cot denkleminin köklerini bulunuz.
Örnek 182 ve bir üçgenin iç açıları olduğuna göre,
sin + sin + sin = 4 cos cos cos
2
2
2
olduğunu gösteriniz.
Örnek 183 sin − sin 3 + sin 5 = cos − cos 3 + cos 5 trigonometrik denk­
leminin tüm çözümlerini bulunuz. (Kanada M. Soc. MOCP)
Örnek 184
reel sayılar olsun.
¡
¢¡
¢¡
¢
( + + − 1)2 ≤ 2 + 1 2 + 1 2 + 1
olduğunu ispatlayınız. (Andreescu ­ Feng 103 Trig. Problems)
Trigonometri
25
Örnek 185 sec ( + ) + sec ( − ) = 2 sec denkleminin, = 60◦ = 90◦ ,
= 180◦ = 250◦ ve = 120◦ değerlerinden hangileri için çözümü vardır.
Örnek 186 Bir üçgeninde sin + sin = 2 sin bağıntısı varsa,
tan tan
2
2
ifadesinin değerini bulunuz.
Örnek 187 Bir üçgeninde, kenarları, ise açıları gösteriyor.
Elemanları arasında
+
tan + tan = ( + ) tan
2
bağıntısı olan ve tüm açıları tamsayı olan kaç üçgeni vardır?
Örnek 188 Bir ikizkenar üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı ve iç çemberin yarıçapı
da olsun. Bu iki çemberin merkezler uzaklığı ise,
p
= ( − 2)
olduğunu gösteriniz. (IMO)
Örnek 189 sin + cos = denkleminin her reel sayısı için çözümünün
bulunacağını gösteriniz.
Örnek 190 + = ve sin sin = denkleminin çözümünün olması için,
ile arasında nasıl bir bağıntı olmalıdır?
Örnek 191 Verilen bir dik üçgeninde, uzunluğu olan [] hipotenüsü, bir
tek sayı olmak üzere, eşit parçaya bölünüyor. Bölünmüş doğru parçaları arasındaki,
hipotenüsün orta noktasını içeren doğru parçasını gören, köşesi olan dar açı
olsun. Hipotenüse ait yüksekliğin uzunluğu da ise
4
tan = 2
( − 1)
olduğunu ispatlayınız. (IMO)
Örnek 192 bir pozitif tamsayı olmak üzere cos − sin = 1 denklemini
çözünüz. (IMO)
Örnek 193 cos2 + cos2 2 + cos2 3 = 1 denklemini çözünüz. (IMO)
Örnek 194 Bir üçgeninin kenar uzunlukları olsun. Eğer
+ = tan ( tan + tan )
2
ise üçgenin ikizkenar üçgen olduğunu ispatlayınız. (IMO)
26
Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 ­ Mustafa Özdemir
BU ÖRNEKLERİN ÇÖZÜMLERİNİ MATEMATİK OLİMPİYATLARINA
HAZIRLIK 5 (Analiz ­ Cebir 2) KİTABINDA BULABİLİRSİNİZ.
Mustafa Özdemir
2.16
Alıştırmalar
√
1. ∈ (0 2) ise, arctan 1 + arctan 3 değerinin 712 olduğunu gösteriniz.
2. sin 36◦ sin 72◦ sin 108◦ sin 144◦ çarpımının değerinin 516 olduğunu gösteriniz.
3. cos 72◦ + 2 cos 144◦ + 3 cos 216◦ + 4 cos 288◦ toplamının −52 olduğunu gös­
teriniz.
4. ∈ (0 2) ise, sin ( + + ) sin + sin + sin olduğunu gösteriniz.
5. ∈ (0 2) ise, arcsin (45) + arcsin (513) + arcsin (1665) değerinin 2
olduğunu gösteriniz.
sin
6.
= 1 + 2 cos 2 + 2 cos 4 + 2 cos 6 eşitliğinin sağlanması için kaç
sin
olmalıdır?
7. 2 sin2 3 + sin2 6 = 2 denklemini çözünüz.
8. sin ( cos ) = cos ( sin ) denklemini çözünüz.
9.
½
10.
sin + sin = 1
denklem sistemini çözünüz.
cos cos = 34
½
tan + tan = 1
denklem sistemini çözünüz.
tan 2 + tan 2 = 2
sin
sin
=
denklemini sağlayan ve
sin
sin
değerleri için, cot − cot = cot − cot olduğunu ispatlayınız.
11. + + + = olmak üzere,
b
b = ve ()+(
b
b ise, üçgenlerin
12. ve üçgenlerinde, ()+(
)
)
kenarları arasında = + bağıntısı olduğunu ispatlayınız.
27
Trigonometri
13. Bir üçgeninde, − = ise, cot(
gösteriniz.
−
1 + cos
) =
olduğunu
2
sin
14. Bir üçgeninde, cos + cos + cos = 1 +
olduğunu gösteriniz.
15. Bir üçgeninde, cot cot ve cot değerleri bir aritmetik dizi oluş­
turuyorsa, bu üçgenin kenarlarının karelerinin de bir aritmetik dizi oluşturacağını
gösteriniz.
16. ∈ (0◦ 45◦ ) olmak üzere,
= (tan )
tan
= (tan )
cot
= (cot )
tan
= (cot )
cot
sayılarını büyükten küçüğe doğru sıralayınız.
17. 0 ≤ ≤ 2 olmak üzere, − sin − sin olduğunu ispatlayınız.
≤ ≤ 32 içinde bu eşitsizlik geçerli olur mu? (BREZİLYA ­ 1979)
18. Her ∈ R için, |cos | + |cos 2| ≥ 12 olduğunu gösteriniz. Bu eşitsizlikten
yararlanarak,
¯
¯
|cos | + |cos 2| + ¯cos 22 ¯ + · · · + |cos 2 | ≥
4
olduğunu ispatlayınız.
b
b
19. bir konveks dörtgen olmak üzere, ( )
= ()
= 30◦
b
b
= 50◦ olarak veriliyor. Köşegenler noktasında
( )
= 20◦ ve ()
kesişiyorlarsa, | | = | | olduğunu ispatlayınız. (BREZİLYA ­ 1993)
20. Bir üçgeninin açısının açıortayı, [] kenarını noktasında kesiyor.
2 cos 2
olduğunu ispatlayınız. (KANADA ­ 1969)
|| =
+
b
b olduğuna
21. dörtgeninde || = || olarak veriliyor. ()
( )
göre, || || olduğunu ispatlayınız. (KANADA ­ 1971)
b = 10◦
b = 20◦
b = 30◦
22. üçgeninin bir iç noktası için,
◦
b
ve = 40 açıları oluşuyorsa, üçgeninin ikizkenar olduğunu ispatlayınız.
(USA ­ 1996)
23. ≥ 2 bir tamsayı olmak üzere,
28
Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 ­ Mustafa Özdemir
Q
∙
tan
3
=1
µ
1+
3
3 − 1
¶¸
Q
∙
cot
=
3
=1
olduğunu ispatlayınız. (Asya ­ Pasifik ­ 1982)
µ
1−
3
3 − 1
¶¸
24. çevrel çemberinin merkezi olan dar açılı bir üçgen olsun. noktasından
b ≥
b + 30◦ eşitsizliği
’ye indirilen dikmenin ayağı olmak üzere,
◦
b +
b 90 olduğunu ispatlayınız. (IMO ­ 2001)
varsa,
25. ∈ R+ olmak üzere, ∈ (0 1] veya ≥ 3 ise,
1
2
1
√
+√
≥√
2
2
1 +
1+
1+
eşitsizliğini ispatlayınız. (103 Trigo. Problem)
∞
∞
26. ( )1 ve ( )1 reel sayı dizileri olsunlar. ≥ 1 için,
p
√
1 = 1 = 3 +1 = + 1 + 2 +1 =
p
1 + 1 + 2
olduğuna göre, 1 için 2 3 eşitsizliğinin sağlandığını ispatlayınız.
(BEYAZ RUSYA ­ 1999) (İpucu : = tan )
27. üçgeninin çevrel ve iç teğet çemberinin yarıçapları ve üçgeninin
b = b ve 0 = 0
çevrel ve iç teğet çemberinin yarıçapları da 0 ve 0 olsunlar.
ise, üçgenlerin benzer olduğunu ispatlayınız. (KORE ­ 1999)
28. Bir üçgeninde, ||2 sayısı, ||2 ve ||2 değerlerinin aritmetik orta­
laması olduğuna göre, cot2 ≥ cot cot olduğunu ispatlayınız. (BALTIK WAY ­
1999)
29. Bir üçgeninde,
cot 2 + cot 2
=
2 sin
olduğunu ispatlayınız. (ESTONYA ­ 1994)
30. Konveks bir ABCD dörtgeninin açılarından hiçbirisi dik açı değilse,
tan + tan + tan + tan
= cot + cot + cot + cot
tan tan tan tan
olduğunu ispatlayınız.
31. Bir üçgeninde, ve köşelerinden çizilen kenarortaylar birbirine dik ise,
cot + cot ≥ 23 olduğunu ispatlayınız. (İSVEÇ ­ 1994)
29
Trigonometri
b = 15◦ olacak şe­
32. bir dikdörtgen ve köşegeni üzerinde
kilde bir nokta olsun. üzerinde ⊥ olacak şekilde noktasını alalım.
b açısını ve ||
| | = || 2 ve || = olduğu biliniyor. Buna göre,
uzunluğunu bulunuz. (KANADA MOCP ­ 2001)
33. Her bir kenarının uzunluğu olan kenarlı regüler bir poligon veriliyor. Bu
poligonun bir iç noktasının köşelere uzaklıklarını 1 2 ile gösterelim
1
P
2
=1
olduğunu ispatlayınız. (KANADA MOCP ­ 2002)
34. ∈ R için,
sin sin sin sin ve sin sin
sayılarından en az birinin 12’den büyük olmadığını gösteriniz.
b = 100◦ ve || = || olsun. köşesin­
35. ikizkenar üçgeninde ()
den çizilen açıortayın ’yi kestiği nokta ise, || + || = || olduğunu
ispatlayınız. (KANADA MOCP ­ 1998)
36. bir üçgen, ve üçgenin dışındaki noktalar olmak üzere,.
b = ()
b = 15◦
()
(b) = (b) = 30◦
b = ( )
b = 45◦
( )
b = 90◦ olduğunu ispatlayınız. (KANADA MOCP ­
ise, i) || = || ii) ( )
1998)
37. ∈ (0 2) olmak üzere, sec6 + csc6 + sec6 csc6 ≥ 80 olduğunu
ispatlayınız. (USA M. TALENT SEARCH ­ 1999)
38. Bir üçgeninde, || || ve, kenarortay ve yüksekliktir.
b
b ) = ( )
b
=? (USA M. TALENT SEARCH ­
(
= 17◦ ise, ( )
2001)
cos 3
1
sin 3
= olacak şekildeki için,
değerini
cos
3
sin
bulunuz. (USA M. TALENT SEARCH ­ 2002)
39. ∈ [0 2] olmak üzere,
30
Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 ­ Mustafa Özdemir
³ ´
3
40. cos2 ( − ) − 2 cos ( − ) + cos
cos
+
+ 2 = 0 denkleminin
2
2
3
sadece bir reel kökü olacak şekildeki en küçük doğal sayısını bulunuz.
(BULGARİSTAN ­ 1997)
41. üçgeninin ağırlık merkezi olmak üzere, √doğrusu, üçgeninin
b + sin
b ≤ 2 3 olduğunu ispatlayınız.
çevrel çemberinin teğetiyse, sin
(BULGARİSTAN ­ 1997)
¢
¡
42. Bir üçgeninde, = 3 ise, 2 − 2 ( − ) = 2 olduğunu ispatlayınız.
(ÇEK ve SLOVAK ­ 1997)
43. Bir üçgeninde, || = || ve ’den ’ye çizilen açırotayın ’yi
kestiği nokta ’dir. || = || + || ise, açısını bulunuz. (KANADA ­ 1996)
44. Alanı, kenar uzunlukları ve açı ölçüleri (derece cinsinden) rasyonel olacak şekilde
tüm üçgenleri bulunuz. (Türkiye ­ 2006)
Kompleks Sayılar ve De Moivre formülü
Örnek 195 = 1+ cos 32+ 2 cos 16 + sin 32 karmaşık sayısının esas argümentini
bulunuz.
√
Örnek 196 = 1 + 3 ise 10 karmaşık sayısının bulunuz.
√
Örnek 197 = 1 + 3 sayısının küpkökünü bulunuz.
Örnek 198 4 − 1 = 0 denkleminin köklerini bulunuz.
Örnek 199 5 + 4 + 3 + 2 + + 1 = 0 denkleminin köklerini bulunuz.
Örnek 200 bir reel sayı ve bir pozitif tamsayı olmak üzere,
ise kaçtır? (AIME)
+ 164
= 4
+ 164 +
Örnek 201 bir pozitif bir reel sayı olmak üzere, = 9 + karmaşık sayısı verili­
yor. 2 ve 3 sayılarının sanal kısımları aynı olduğuna göre, kaçtır? (AIME)
Örnek 202 pozitif tamsayılar olmak üzere, = ( + )3 −107 ise kaçtır?
(AIME)
¡
¡
¡ 1+ ¢22 ´ ³
¡ 1+ ¢2 ´
¢¢ ³
¡ 1+ ¢2 ´ ³
Örnek 203 1 + 1+
1
+
·
·
·
1
+
çarpımı­
1
+
2
2
2
2
nı hesaplayınız.
Örnek 204 1000’den küçük veya eşit kaç pozitif tamsayısı için,
(sin + cos ) = sin + cos
eşitliği her ∈ R için sağlanır. (AIME)
Örnek 205 6 + 3 + 1 = 0 denkleminin argümenti 90◦ ile 180◦ arasında olan
kökünün argümentini bulunuz. (AIME)
1
1
= 2 cos 3◦ eşitliğini sağlayan karmaşık sayısı için, 2000 + 2000
sayısından büyük olan en küçük tamsayı kaçtır? (AIME)
Örnek 206 +
Örnek 207 6 + 4 + 3 + 2 +1 = 0 denkleminin pozitif sanal kısımlı köklerinin
çarpımı olsun. 0 ve 0 ≤ 360 olmak üzere, = (cos + sin ) ise
kaçtır? (AIME­1996)
32
Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 ­ Mustafa Özdemir
+
fonksiyonu ve 1 ≤ ∈ N için
−
1
+ ve 2002 = + ise,
= (−1 ) dizisi göz önüne alınıyor. 0 =
137
+ =? (AIME)
Örnek 208 : C − {} → C, () =
¯
¯
Örnek 209 ¯¯ +
mum kaçtır?
¯
1 ¯¯
= 1 eşitliğini sağlayan karmaşık sayısının uzunluğu maksi­
¯
Örnek 210 ve aralarında asal positif tamsayılar olmak üzere, 0 ve
= sin 5 + sin 10 + sin 15 + · · · + sin 175 = tan
ise, + değerini hesaplayınız. (AIME)
1
= 2 cos(
) denkleminin bir çözümü ise
1001
1
2002 + 2002
ifadesinin değeri kaçtır? (Un. South Carolina Math. Contest)
Örnek 211 karmaşık sayısı +
Örnek 212 sin () ve cos () ifadelerinin açılımlarının,
¡ ¢
¡ ¢
¡ ¢
cos () = 0 cos − 2 cos−2 sin2 + 4 cos−4 sin4 − · · ·
ve
sin =
¡¢
1
cos−1 sin −
olduğunu gösteriniz.
¡¢
3
cos−3 sin3 +
¡¢
5
cos−5 sin5 − · · ·
Örnek 213 bir pozitif tamsayı ve = (2 + 1) olsun.
¡2+1¢ ¡2+1¢ −1 ¡2+1¢ −2
+ 5
− ··· = 0
− 3
1
denkleminin köklerinin cot2 cot2 2 cot2 olduğunu ispatlayınız. (Kanada M.
Soc. MOCP)
Örnek 214 Karmaşık sayıları kullanarak sin 10◦ sin 50◦ sin 70◦ değerini hesaplayınız.
(Kanada M. Soc. MOCP)
Örnek 215 cos
2
3
1
− cos
+ cos
= olduğunu ispatlayınız. (IMO
7
7
7
2
Soru : İmajiner kısımlarının toplamının da sıfır olduğunu kullanarak, bu açıların
sinüsleri arasında bir bağıntı bulunuz.
Kompleks Sayılar ve De Moivre formülü
33
2
3
4
)(sin
)(sin
)(sin ) çarpımının değeri kaçtır? (Un. South
5
5
5
5
Carolina Math. Contest)
Örnek 216 (sin
Örnek 217 = cos 5◦ + cos 77◦ + cos 149◦ + cos 221◦ + cos 293◦ toplamını
hesaplayınız. (Kanada M. Soc. MOCP)
¡ ¢
¡ ¢
¡ ¢
Örnek 218 = 1 sin + 2 sin 2 + · · · + sin ve
¡ ¢
¡ ¢
¡ ¢
= 1 cos + 2 cos 2 + · · · + cos toplamlarını hesaplayınız.
Örnek 219 tan2 1◦ + tan2 3◦ + tan2 5◦ + · · · + tan2 89◦ toplamını hesaplayınız.
Örnek 220 sin 1◦ sin 2◦ · · · sin 89◦ sin 90◦ çarpımını hesaplayınız.
BU SORULARIN ÇÖZÜMLERİNİ MATEMATİK OLİMPİYATLARINA
HAZIRLIK 5 (Analiz ­ Cebir 2) KİTABINDA BULABİLİRSİNİZ.
Mustafa Özdemir
Fonksiyonların Limiti, Sürekliliği ve Türevi
Örnek 221 () = cos2 + cos2 ( + ) − cos cos ( + ) fonksiyonu ’in bir
sabit fonksiyonu olacak şekilde bir değeri bulunuz.(KANADA MOCP)
Örnek 222 : R → R, () = ln( +
olduğunu gösteriniz.
√
1 + 2 ) fonksiyonunun tek fonksiyon
Alıştırma : 1. : (−1 1) → R () = ln
olduğunu gösteriniz.
2. : R\ {0} → R () =
gösteriniz.
(2 + 1)
fonksiyonunun çift fonksiyon olduğunu
2 − 1
3. : (−2 2) → R () =
olduğunu gösteriniz.
1−
fonksiyonunun tek fonksiyon
1+
1 + sin − cos
fonksiyonunun tek fonksiyon
1 + sin + cos
Örnek 223 () = sin4 + cos4 fonksiyonunun periyodik olup olmadığını ince­
leyiniz.
Örnek 224 : R → R bir tek fonksiyon ve : R → R bir periyodik fonksi­
yon olmak üzere, () = 2 fonksiyonunun () + () şeklinde yazılamayacağını
gösteriniz.
Alıştırma 1. : () = − db||ce fonksiyonunun esas periyodunu bulunuz.
2. : R → R fonksiyonu, her ∈ R için,
1 + ()
( + ) =
1 − ()
eşitliğini sağlıyorsa, ’nin periyodik olduğunu gösteriniz
3. : R → R ve : R → R olmak üzere, her ∈ R için, () = () + sin ()
olmak üzere, () fonksiyonu periyodik ise fonksiyonunun da periyodik olacağını
gösteriniz.
4.1
Fonksiyonların Limiti
½
2 − 3 ≤ 1 ise
fonksiyonunun = 1
4 − 1 1 ise
noktasında limitinin olmadığını gösteriniz.
Örnek 225 : R → R () =
35
Fonksiyonların Limiti, Sürekliliği ve Türevi
⎧ 2
⎨ + 2
4
Örnek 226 () =
⎩
+ 5
tasında limitini bulunuz?
Örnek 227
Örnek 228
1 ise,
=1
parçalı fonksiyonun = 1 nok­
1 ise,
lim 21 limitinin olmadığını gösteriniz.
→0
lim sin
→1
1
limitinin olmadığını gösteriniz.
−1
Örnek 229 () = 2 + 2 fonksiyonu için, lim () = 3 olduğunu, limit tanımını
→1
kullanarak gösteriniz.
Örnek 230
lim () = 12 olacak şekilde bir : N → Q fonksiyonu bulunuz.
→∞
Örnek 231 lim () =
→∞
olduğunu gösteriniz.
√
2 + 1 olacak şekilde bir : N → Q fonksiyonun var
Örnek 232 {} ifadesi, ’in kesir kısmını göstermek üzere,
lim { ()} = lim { ()} = 0
→∞
→∞
olacak şekilde, : N → R ve : N → R fonksiyonları göz önüne alınıyor.
) lim { + } = 0 eşitliği doğru mudur?
→∞
) lim { − } = 0 eşitliği doğru mudur?? (İSVEÇ M.O.)
→∞
4.2
1)
Belirsizlikler ve Limitlerinin Hesaplanması
0
belirsizliği
0
Örnek 233
√
2 + 3 − 3
√
=?
→3 2 − + 1
Örnek 234
2 − 1
=?
→0
Örnek 235
lim
lim
lim
→0
ln (1 + )
1
=
olduğunu türevi kullanmadan hesaplayınız.
2 − 1
ln 2
−
= ln olduğunu türevi kullanmadan hesaplayınız.
→0
Alıştırma 1. lim
36
Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 ­ Mustafa Özdemir
Alıştırma 2. lim
→4
2)
∞
belirsizliği
∞
ln (tan )
= 1 olduğunu türevi kullanmadan hesaplayınız.
1 − cot
√
3
3 + 32 + 1
limitini hesaplayınız.
Örnek 236
lim √
→−∞
42 − 2 + 1
3) ∞ − ∞ belirsizliği
Örnek 237
√
lim ( 2 − + 1 + ) limitini hesaplayalım.
→−∞
.
Örnek 238
lim (csc − cot ) limitini hesaplayınız.
→0
4) 0 · ∞ belirsizliği
Örnek 239
lim (1 − tan ) (tan 2) =?
→4
Alıştırma : lim sin 2 · sec değerini hesaplayınız.
→2
4.2.1
Trigonometrik Fonksiyonların Limiti
sin
= 1 olduğunu kanıtlayınız.
√
1 − cos cos 2
limitini hesaplayınız.
Örnek 241 lim
→0
2
Örnek 240
lim
→0
sin ( − 6)
Alıştırma : lim √
= 1 olduğunu gösteriniz.
→6
3 − 2 cos
4.3
Fonksiyonların Sürekliliği
Örnek 242 : R → R olmak üzere, her 1 sayısı için, ()+ () fonksiyonu
sürekli ise, () fonksiyonunun da sürekli olduğunu gösteriniz. (RUSYA M.O.)
Örnek 243 Tüm irrasyonel sayılarda sürekli, fakat rasyonel sayılarda sürekli ol­
mayan bir fonksiyon örneği veriniz.
37
Fonksiyonların Limiti, Sürekliliği ve Türevi
( + 1) − 1
fonksiyonu veriliyor. ’nin bütün reel sayılar
kümesinde sürekli olması için, (0) kaç olmalıdır?
Örnek 244 () =
4.3.1
Sürekli Fonksiyonların Özellikleri
Örnek 245 {} reel sayısının kesir kısmını göstermek üzere, () = { + sin }
fonksiyonu periyodik olacak şekilde, tüm ∈ R sayılarını bulunuz. (BEYAZ RUSYA ­
1999)
Örnek 246 : R → R fonksiyonu sürekli ve monoton artan bir fonksiyon olmak
üzere, ( + ) = () · () ise, −1 () = −1 () + −1 () olduğunu gös­
teriniz.
4.4
Türev
Örnek 247 : R → R+ , () = || fonksiyonun 0 = 0 noktasındaki türevini
inceleyelim.
Teorem : ⊂ R olmak üzere, : → R = () fonksiyonu 0 ∈ için
türevlenebilirse, = 0 noktasında süreklidir.
İspat :
Örnek 248 ˙ : R → R ∈ Z+ için, () = ise, 0 () = −1 olduğunu
gösteriniz.
Örnek 249 () = 33 ve () = 2 + 2 eğrileri arasındaki açıyı bulunuz.
Örnek 250 () ve () türevlenebilen fonksiyonlar olmak üzere, bu fonksiyon­
ların çarpımının türevi, yani, () = () () fonksiyonunun türevinin,
0 () = 0 () () + () 0 ()
olduğunu gösteriniz.
Örnek 251 () ve () fonksiyonları ∈ noktasında türevlenebilen fonksiyon­
lar olmak üzere, () 6= 0 ise, () = () () bölüm fonksiyonunun türevinin
0 () () − () 0 ()
0 () =
[ ()]2
olduğunu gösteriniz.
38
Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 ­ Mustafa Özdemir
Örnek 252 ⊂ ve ⊂ R olmak üzere, : → : → R fonksiyonları
verilsin, fonksiyonu 0 ∈ noktasında, fonksiyonu da (0 ) ∈ noktasında
türevlenebiliyorsa, ◦ fonksiyonu da = 0 noktasında türevlenebilir. ◦
fonksiyonunun noktasındaki türevi,
( ◦ )0 (0 ) = 0 (0 ) · 0 ( (0 ))
ile bulunur.
Örnek 253 : R → R fonksiyonu, her ∈ R için ( + ) = () + () + 2
denklemini sağlasın. 0 (0) = 5 olduğuna göre, () fonksiyonunu bulunuz.
4.4.1
Ters Fonksiyonun Türevi
Kural : ⊂ , ⊂ R ve : → fonksiyonu bire­bir ve örten bir fonksiyon
olsun. fonksiyonu 0 ∈ noktasında türevlenebiliyorsa ve 0 (0 ) 6= 0 ise, −1
fonksiyonu da 0 = (0 ) noktasında türevlenebilir ve
¡ −1 ¢0
1
(0 )0 = 0
(0 )
ile bulunur.
İspat :
Örnek 254 sayıları reel sayılar olmak üzere
() = 1 sin + 2 sin 2 + · · · + sin
olsun. () fonksiyonu tüm reel sayıları için | ()| ≤ |sin | şartını sağlıyorsa,
olduğunu gösteriniz..
|1 + 22 + · · · + | ≤ 1
¯
¯
Örnek 255 : R → R, () = ¯2 − ¯ fonksiyonunun = 0 ve = 1
noktalarında türevi var mıdır?
4.4.2
Kapalı Fonksiyonların Türevi
Örnek 256 2 + 2 + 3 2 − 1 = 0 kapalı fonksiyonun türevini bulunuz.
4.4.3
Ters Trigonometrik Fonksiyonların Türevi
0 ()
ile bulunur.
Kural : () = arcsin () ise 0 () = p
1 − 2 ()
İspat :
39
Fonksiyonların Limiti, Sürekliliği ve Türevi
4.4.4
Logaritma Fonksiyonunun Türevi
Kural : ∈ R+ ve =
6 1 olmak üzere, : R+ → R () = log ise,
1
0 () = log olur.
İspat :
4.4.5
Üstel Fonksiyonun Türevi
Kural :
Alıştırmalar
1. () = sin2 (ln ) ise 0 () =?
¢11
¡
ise 0 (1) =?
2. () = 7 + 54 − − 4
3. () = ln2 2 · sin2 2 ise 0 () =?
4. () = arctan ln sin ise 0 () =?
5. () = 3 ln 3 ise 0 () =?
¡
¢
2
6. () = 2 sin 2 ise 0 () =?
7. () = cos ise, (11) () =?
1
8. () =
ise, (11) () =?
1+
9. () = ln ise, (11) () =?
4.5
Örnek 257
Fonksiyonun Artan ve Azalan Olduğu Aralıkların
Belirlenmesi
2 − −2
3 − −3
ve 3
sayılarından hangisi daha büyüktür?
2
−2
+
+ −3
Örnek 258 0 2 olmak üzere,
Örnek 259 Her ∈ (0 2) için,
tan
olduğunu ispatlayınız.
tan
3
4 − cos olduğunu ispatlayınız.
sin
Örnek 260 Toplamları 60 olan iki sayının birincisinin küpü ile ikincisinin çarpımının
maksimum olabilmesi için, sayılar kaç olmalıdır?
Örnek 261 yarıçaplı çember içine çizilebilecek maksimum alanlı dikdörtgenin
boyutlarını cinsinden bulunuz.
Örnek 262 Toplamları 6 olan iki pozitif tamsayıdan birinin karesi ile diğerinin küpü­
nün çarpımı maksimum kaç olabilir?
40
Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 ­ Mustafa Özdemir
Örnek 263 Düzlemde, = (2 0) noktasının 2 − 2 = 1 hiperbolüne en yakın
olan noktasının koordinatlarını bulunuz.
2
4
Örnek 264 ∈ [−2 2) olmak üzere, ( + 2) ( − 1) ifadesinin alabileceği mak­
simum değeri bulunuz.
11
Örnek 265 ∈ [2 ∞] olmak üzere, () = 3 − 2 + 6 + 1 polinomunun
2
alabileceği minimum değer kaçtır?
Örnek 266 : (0 ∞) → R kesin artan fonksiyonu her ∈ (0 ∞) için,
) Her için, () −1
) Her için, () ( () + 1) = 1
koşullarını sağladığına göre, (1) değerini bulunuz. (Yunanistan M.O. )
1
Örnek 267 : (0 6) → R, () = 3+
fonksiyonunun tersinin olduğunu
sin 3
gösteriniz.
Örnek 268 ∈ R olmak üzere, () sayısı,
¯
¯
¯
¯
2
¯
: R → R, () = ¯sin +
+ ¯¯
3 + sin
fonksiyonunun maksimum değerini gösteriyorsa, ()’nin alabileceği minimum değer
kaç olur? (Bulgaristan M.O.)
Alıştırmalar
¡
¢
1. Her ∈ (0 2) için, 0 sin − sin2 2 ( − 1) 2 olduğunu ispat­
layınız.
¡
¢
2. ∈ R için, ( − 1 − ) 4 − 32 ifadesinin alabileceği en küçük ve en büyük
değer arasındaki farkı bulunuz. Bu farkın en küçük olması için kaç olmalıdır?
3. 52 − 6 + 5 2 = 4 denklemiyle verilen eğrinin, orjine en yakın noktasının
koordinatlarını bulunuz.
4. () = 2 sin 2 + sin 4 fonksiyonunun extremum noktalarını bulunuz.
5. ∈ R+ için, (5 sin ) (4 + cos ) olduğunu gösteriniz.
Fonksiyonların Limiti, Sürekliliği ve Türevi
4.6
41
Türevi Kullanarak Bir Denklemin Köklerinin
Yorumlanması
Örnek 269 () = 3 −2 +4−4 polinomu fonksiyonunun kaç reel kökü vardır?
Örnek 270 3 − 62 + 15 = 0 denkleminin kaç tane reel kökü vardır?
Örnek 271 3 + 4 − 5 = 0 denkleminin kaç reel kökü vardır?
Örnek 272 4 + 53 + 62 − 4 − 16 = 0 denkleminin tam iki reel kökü olduğunu
ispatlayınız. (KANADA MOCP )
Örnek 273 Bir () = 3 + 2 + + fonksiyonu için 0 ve = 9 ise,
’nin tam üç farklı köke sahip olduğunu ispatlayınız. (Baltık Way )
Örnek 274 3 +2 ++ = 0 denkleminin üç reel kökü varsa, 2 ≥ 3 olduğunu
gösteriniz.
Örnek 275 5 + 3 + polinomunun iki katlı kökü varsa ile arasındaki bağıntı
nedir?
2
Örnek 276 () = 1 +
+
+ ··· +
polinomunun katlı kökünün bulun­
1!
2!
!
madığını gösteriniz.
Örnek 277 farklı reel sayılar olsun.
0 = ( − ) ( − ) ( − ) ( − ) + ( − ) ( − ) ( − ) ( − )
+ ( − ) ( − ) ( − ) ( − ) + ( − ) ( − ) ( − ) ( − )
+ ( − ) ( − ) ( − ) ( − )
denkleminin 4 farklı reel çözüme sahip olduğunu ispatlayınız. (Baltık Way )
2
Örnek 278 Bir sabiti için, 0 () = () 00 () eşitliğini sağlayan tüm ()
polinom fonksiyonlarını bulunuz. (İSVEÇ M.O.)
Örnek 279 () = 3 − 32 + 5 olsun. reel sayısı () = 1 denkleminin ve
reel sayısı () = 5 denkleminin bir kökü olduğuna göre, + aşağıdakilerden
hangisine eşittir? (SSCB 1991)
Örnek 280 22 5 ise, 5 + 4 + 3 + 2 + + = 0 denkleminin tüm
köklerinin reel olamayacağını gösteriniz.
42
Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 ­ Mustafa Özdemir
Örnek 281 2 +24 +38 +· · ·+101024 = 55 denkleminin çözümlerini bulunuz.
Örnek 282 − = 1 denkleminin kökünün bulunmadığını gösteriniz.
Örnek 283 () = 1 + +
bulunmadığını gösteriniz.
4.7
2
3
2
+
+ ··· +
polinomunun reel kökünün
2!
3!
(2)!
Bir Fonksiyonun Konveksliği ve Konkavlığı
Örnek 284 () = 2 ln fonksiyonunun konveks olduğu aralığı bulunuz.
Örnek 285 Her ∈ R+ olmak üzere,
√
+
≤
olduğunu gösteriniz.
2
Örnek 286 ∈ (0 ) olmak üzere,
olduğunu ispatlayınız.
sin + sin + sin
++
≤ sin
3
3
Örnek 287 ∈ [0 1] olmak üzere,
1
2
1
√
+p
≤√
1 +
1 + 2
1 + 2
eşitsizliğini ispatlayınız. (RUSYA M.O.)
4.8
Üslü Değişkenli Fonksiyonların Türevi
Örnek 288 : (0 ∞) → R () = 1 fonksiyonunun artan ve azalan olduğu
aralıkları bulunuz.
Örnek 289
√
√
√
√
2009
2010
2010
ve 2009
sayılarından hangisi daha büyüktür?
Örnek 290 ve sayılarından hangisi daha büyüktür?
F İkinci Türev Testiyle Maksimum ve Minimumun Belirlenmesi
Örnek 291 ∈ R+ olmak üzere, ifadesinin minimum değerini bulunuz.
43
Fonksiyonların Limiti, Sürekliliği ve Türevi
4.8.1
Türevle İlgili Önemli Teoremler
¢
¡
Örnek 292 arctan reel sayısının 1 + 2 ile arasında olduğunu gösteriniz.
ln(1 + ) olduğunu gösteriniz.
1+
µ
µ
¶
¶
1
1
ve 1 +
sayılarından hangisi büyüktür?
Örnek 294
1+
Örnek 293 0 için
Örnek 295 0
Örnek 296
için, tan olduğunu gösteriniz.
2
3
4
1
+ arctan + olduğunu gösteriniz.
25
4
3
4
6
Örnek 297 0
için 1
olduğunu gösteriniz.
2
sin
2
Örnek 298 0 ise
−
−
ln
olduğunu gösteriniz.
Alıştırmalar : Aşağıdaki eşitsizliklerin doğru olduğunu ispatlayınız.
1
a) ∈ (0 1) için, ln
1−
1−
b) ∈ (−∞ 1) için, − 1
1−
c) ∈ (−∞ 1) \ {0} için,
1 − −
1−
d) ∈ (0 ∞) için, ln(1 + )
1+
e) ∈ (0 ∞) \ {1} için, ln − 1
5 sin
f) ∈ (0 ∞) için,
4 + cos
Örnek 299 ∈ R
+
için, () =
gösteriniz.
Örnek 300 ( + 3) =
+2
P
=3
lerini bulunuz. (FRANSA M.O.)
µ
+3
+2
¶
fonksiyonunun artan olduğunu
denklemini sağlayan tüm pozitif tamsayı çözüm­
44
4.8.2
Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 ­ Mustafa Özdemir
L’Hospital Kuralı
Örnek 301
4.8.3
lim
→0
µ
1
ln ( + 1)
−
( + 1)
2
¶
=?
1∞ ∞0 ve 00 belirsizlikleri
Örnek 302
Örnek 303
lim sin limitini hesaplayınız.
→0+
lim
→0
µ
tan
¶12
limitini hesaplayınız.
Alıştırma : lim ln(cos ) limitinin 1 olduğunu gösteriniz.
→0
Örnek 304
∞
Q
=1
4.8.4
¡
¢
cos 2− sonsuz çarpımını hesaplayınız.
Asimptotlar
Örnek 305 () = ln(1 +
4.9
Örnek 306
gösteriniz.
1
) fonksiyonunun yatay asimptotunu bulunuz.
Fonksiyonların Grafiklerinin Çizilmesi
2 − 2 + 2
= sin denkleminin köklerinin olmadığını grafik çizerek
−1
4.10
Taylor Formülü
Örnek 307 () = ln ( + 1)’in seri açılımını bulunuz. ln 2 için bir seri yazınız.
Örnek 308 () =
bulunuz.
Alıştırma : () =
1
fonksiyonunun = 0 noktasındaki Taylor açılımını
1+
1
fonksiyonunun = 0 noktasındaki Taylor açılımının
1−
45
Fonksiyonların Limiti, Sürekliliği ve Türevi
1
= 1 + + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 · · · + + · · ·
1−
olduğunu gösteriniz.
Alıştırma : () = sin fonksiyonunun = 0 noktasındaki Taylor açılımının
sin = −
3
5 7 9
(−1) 2+1
+
−
+
− ··· +
+ ···
3!
5!
7!
9!
(2 + 1)!
olduğunu gösteriniz.
Alıştırma : () = cos fonksiyonunun = 0 noktasındaki Taylor açılımının
cos = 1 −
(−1) 2
2 4 6 8
+
−
+
− ··· +
+ ···
2!
4!
6!
8!
2!
olduğunu gösteriniz.
Alıştırma : () = fonksiyonunun = 0 noktasındaki Taylor açılımının
2 3 4
+
+
+ ··· +
+ ···
2!
3!
4!
!
olduğunu gösteriniz. Bu açılımdan yararlanarak sayısının yaklaşık değerini bulunuz.
= 1 + +
Örnek 309 () = arctan fonksiyonunun = 0 noktasındaki Taylor açılımını
bulunuz. sayısı için bir seri açılımı elde ediniz.
Örnek 310 1 +
1
1 1
+ + · · · + 2 2 olduğunu ispatlayınız.
4 9
Örnek 311 ∈ Z+ için,
P
2−1 değerini hesaplayınız.
=1
4.11
İntegral
Örnek 312 : R+ ∪{0} → R fonksiyonu sürekli türevlenebilir bir fonksiyon olsun.
(0) = 1 0 (0) = 0 ve
( () + 1) 00 () = + 1
olduğuna göre, fonksiyonunun artan olduğunu ve (1) ≤ 43 olduğunu ispat­
layınız. (İSVEÇ M.O. )
Örnek 313 = arctan olsun. = 1 2 için +1 −
ispatlayınız.
2
1
olduğunu
+
46
Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 ­ Mustafa Özdemir
BU SORULARIN ÇÖZÜMLERİNİ MATEMATİK OLİMPİYATLARINA
HAZIRLIK 5 (Analiz ­ Cebir 2) KİTABINDA BULABİLİRSİNİZ.
Mustafa Özdemir
Fonksiyonel Denklemler
Örnek 314 Her ∈ R için, ( + ) = + () eşitliğini sağlayan tüm
: R → R fonksiyonlarını bulunuz.
1
Örnek 315 : R\ {0} → R\ {0} () + 2 ( ) = 3 denklemini sağlayan tüm
fonksiyonları bulunuz.
Örnek 316 : R − {0} → R − {0} fonksiyonu (1) + (1) (−) = 3
koşulunu sağlıyorsa, () =?
Örnek 317 2 () + 3 (1 − ) = 2 ise, () =?
Örnek 318 ()+ (
−1
) = 2 denklemini sağlayan tüm fonksiyonları bulunuz.
Örnek 319 : R × R → R olmak üzere,
) ( ) + = ( + + )
) (0 + ) = (0 ) + (0 )
koşulları sağlanıyorsa, ( ) =?
Örnek 320 Her ∈ R için, ( − ) = () () eşitliğini sağlayan tüm
: R → R fonksiyonları bulunuz.
Örnek 321 ve pozitif tamsayılar olmak üzere, : R+ → R+ fonksiyonu
( ()) =
eşitliğini sağladığına göre, = 2 olduğunu gösteriniz. (İsrail )
Örnek 322 Her ∈ R için, ( − ()) = 1 − − fonksiyonel denklemini
sağlayan tüm : R → R fonksiyonlarını bulunuz. (Slovenya)
Örnek 323 Aşağıdaki koşulları sağlayan bir : Z+ → R+ fonksiyonu bulunuz.
) (4) = 4
1
1
1
()
1
+
+
+ ··· +
=
)
(1) (2)
(2) (3)
(3) (4)
() ( + 1)
( + 1)
(Kanada MOCP. )
Örnek 324 100 tane olmak üzere, ( ( (· · · ()))) = 3100 +1 olacak şekilde
bir () fonksiyonu bulunuz.
48
5.1
Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 ­ Mustafa Özdemir
Tamsayılar ve Rasyonel Kümesinde Fonksiyonel Denklem
Çözümü
Örnek 325 : Z+ → Z+ fonksiyonu için, (1) = 1 ve () = ( − 1) +
biçiminde tanımlanıyor. () fonksiyonunu bulunuz.
Örnek 326 : Z+ × Z+ → Z+ fonksiyonu için,
( + ) = ( ) ( )
( + 1) = ( 1) + ( 1)
( + 2) = ( 2) + 4 ( 1) + ( 2)
olduğuna göre, ( ) fonksiyonunu bulunuz.
Örnek 327 : Z × Z → Z fonksiyonu,
) (2 ) = 2 ( )
¡
¢
) ( + 1 ) = ( ) + 2 + 1 0
) (1 0) = 1
koşullarını sağladığına göre, ( ) =?
Örnek 328 : N → N olmak üzere,
) Her ∈ N için ( + ()) = ()
) Bir 0 ∈ N için, (0 ) = 1
koşulları sağlanıyorsa, her ∈ N için () = 1 olmalıdır, gösteriniz. (Kore )
Örnek 329 Pozitif tamsayı ikililerinden tanımlanan ( ) : Z × Z → R fonksi­
yonu
) (1 1) = 2
) ( + 1 ) = 2 ( + ) + ( )
) ( + 1) = 2 ( + − 1) + ( )
özelliklerini sağladığına göre ( ) = 402 olacak şekilde ve tamsayılarını
bulunuz.
Örnek 330 Negatif olmayan tamsayılarda tanımlı, fonksiyonu, her için,
¡
¢
() + () = ( + ) 2 + 2
eşitliğini sağlıyorsa, ’nin sabit fonksiyon olduğunu gösteriniz.
Örnek 331 Her ∈ Z için, ( + ()) = () + denklemini sağlayan
tüm : Z → Z fonksiyonlarını bulunuz. (Güney Afrika C.)
49
Fonksiyonel Denklemler
Örnek 332 Her ∈ Q+ için, aşağıdaki koşulları sağlayan tüm : Q+ → Q+
fonksiyonlarını bulunuz. (Ukrayna)
) ( + 1) = () + 1
¡ ¢
2
) 2 = ()
Örnek 333 () : Z+ → Z+ olsun. Eğer her pozitif tamsayısı için
( + 1) [ ()]
ise, her için () = olduğunu gösteriniz. (IMO )
Örnek 334 Her ∈ Z için,
( + ) + () = () () + 1
eşitliğini sağlayan tüm : Z → Z fonksiyonlarını bulunuz.
5.2
Rasyonel Sayılar Kümesinden Reel Sayılar Kümesine Geçiş
Örnek 335 ( + ) − ( − ) = 2 () denkleminin tüm çözümlerini bulunuz.
Örnek 336 Her ∈ R için, ( + )+ ( − ) = 2 [ () + ()] denklemini
sağlayan tüm : R → R fonksiyonlarını bulunuz.
Örnek 337 Her ∈ R için, ( + ) + ( − ) = 2 () denklemini sağlayan
tüm : R → R fonksiyonlarını bulunuz.
Örnek 338 2 () = ( + ) ( − ) denklemini sağlayan tüm : R → R
fonksiyonlarını bulunuz.
5.3
Fonksiyonel Denklemlerin Polinom Fonksiyon Çözümleri
Örnek 339 bir pozitif tamsayı olmak üzere, ( ()) = ( ()) eşitliğini sağ­
layan tüm reel sayı katsayılı polinomları bulunuz. (KANADA M.O.)
Örnek 340 () ve () reel sayılarda tanımlı polinomlar olsunlar.
( ()) = ( ()) ve () = ()
eşitliklerini sağlayan bir değeri yoksa, ( ()) = ( ()) eşitliğinin çözümü
olmadığını gösteriniz. (KANADA M.O.)
50
Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 ­ Mustafa Özdemir
Örnek 341 () polinomunun tüm katsayıları 0 −1 veya 1 ve () polinomu­
nun katsayılarından biri 100 olmak üzere, () = () () eşitliğini sağlayan
tamsayı katsayılı () () ve () polinomları bulunabilir mi?
Örnek 342 (2) = 0 () 00 () eşitliğini sağlayan tüm () polinomlarını
bulunuz. (İsveç)
Örnek 343 Her pozitif tamsayısı için,
¡
¢
2
2
( ()) − 1 = 2 − 1 ( ())
eşitliğini sağlayan, ’inci dereceden bir () polinomu ve ( − 1)’inci dereceden
bir () polinomunun bulunabileceğini gösteriniz. (M. Excalibur)
Örnek 344 Tamsayı katsayılı () polinomu ∈ Z için (−) ()
eşitsizliğini sağlıyorsa, (−) − olduğunu ispatlayınız. (Baltık Way)
5.4
Fonksiyonel Denklemin Çözümünün Varlığı
Örnek 345 Her ∈ R için,
) (1 + ()) = 1 −
) ( ()) =
özelliklerini sağlayan : R → R fonksiyonu olmadığını gösteriniz. (Municipal M.O.)
Örnek 346 Her ∈ R için,
| ( + ) + sin + sin | 2
eşitsizliğini sağlayan : R → R fonksiyonu var mıdır?
Örnek 347 Her ∈ R için,
2 ( + ) + 6 3 = ( + 2) + 3
eşitliğini sağlayan fonksiyonunun olmadığını gösteriniz.
Örnek 348 Her tamsayısı için
( ()) = + 1
eşitliğini sağlayan : Z → Z fonksiyonu olmadığını gösteriniz.
Örnek 349 (db||ce) + ({}) = 2 eşitliğini sağlayacak şekilde : R → R ve
: R → R fonksiyonlarının olmadığını ispatlayınız.
51
Fonksiyonel Denklemler
Örnek 350 Her ∈ Z için, ( + ()) = () − olacak şekilde : Z → Z
fonksiyonunun bulunmadığını ispatlayınız. (Avusturya ­ Polonya ­)
Örnek 351 = (db||ce)+ () ve () = (−) eşitliklerini sağlayan : R → R
ve : R → R fonksiyonları var mıdır?
5.5
Fonksiyonel Denklemlerin Sürekli Fonksiyon Çözümleri
Örnek 352 ( ()) fonksiyonu kesin azalan olacak şekilde : R → R bir sürekli
fonksiyon var mıdır?
Örnek 353 Reel sayılar kümesinde sürekli olan ve ( ()) = − eşitliğini sağla­
yan bir fonksiyonu bulunmadığını gösteriniz.
Örnek 354 : R → R sürekli olmak üzere, her ∈ R için, ( ( ())) = ise,
() = olduğunu gösteriniz.
Örnek 355 () sürekli fonksiyonu her ∈ R için, ( ()) = −2 eşitliğini
sağlıyorsa, her ∈ R için
olduğunu ispatlayınız.
() ≤ 0
1
Örnek 356 Her reel sayısı için ( ()) = 2 − olacak şekilde () : R → R
2
sürekli bir fonksiyon var mıdır?
Örnek 357 : R → R sürekli fonksiyonu (100) = 99 ve her ∈ R için,
() · ( ()) = 1
eşitliğini sağladığına göre, (50) =?
Örnek 358 ∈ (−1 1) olmak üzere, her ∈ R için () = () koşulunu
sağlayan ve = 0 noktasında sürekli olan tüm fonksiyonları bulunuz.
Örnek 359 Her ∈ R için, ( () + ) = ( + ) + (0) eşitliğini sağlayan
tüm monoton artan reel değerli fonksiyonları bulunuz. (Avusturya Polonya M.O. )
Örnek 360 Her ∈ R+ için, azalan ve sürekli : R+ → R+ fonksiyonu göz
önüne alınıyor.
( + ) + ( () + ()) = ( ( + ()) + ( + ()))
eşitliği sağlanıyorsa ( ()) = olduğunu ispatlayınız. (IRAN ­ 1997)
52
5.6
Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 ­ Mustafa Özdemir
Fonksiyonel Denklemlerin Diferensiyellenebilir Fonksiyon
Çözümleri
Örnek 361 Her ∈ R için,
( + ) + ( − ) = 2 ()
fonksiyonel denklemini sağlayan tüm türevlenebilir : R → R fonksiyonlarını bu­
lunuz.
Örnek 362 Her ∈ R için
· () − · () = ( − ) ( + )
fonksiyonel denklemini sağlayan tüm : R → R türevlenebilir fonksiyonlarını bu­
lunuz.
Örnek 363 Her ∈ R için
( + ) = () + () + 2
fonksiyonel denklemini sağlayan tüm : R → R türevlenebilir fonksiyonlarını bu­
lunuz.
Örnek 364 Her ∈ R için,
( + ()) = () ()
fonksiyonel denklemini sağlayan tüm diferensiyellenebilir : R → R fonksiyonlarını
bulunuz.
5.7
5.7.1
Özel Fonksiyonel Denklemler
Birinci Cauchy Fonksiyonel Denklemi
Örnek 365 Her ∈ R için,
( + ) = () + ()
fonksiyonel denklemini sağlayan tüm : R → R sürekli fonksiyonlarını bulunuz.
Örnek 366 Her ∈ R ve sabit pozitif tamsayısı için,
( + ) = () + ()
eşitliğini sağlayan tüm : R → R sürekli fonksiyonlarını bulunuz.
Örnek 367 Her ∈ R için, ( + ) =
: R → R fonksiyonlarını bulunuz.
() ()
denklemini sağlayan tüm
() + ()
53
Fonksiyonel Denklemler
Örnek 368 ∈ R olmak üzere, her ∈ R için
( + ) − () − () = 3 2 + 32 + 2
denklemini sağlayan tüm sürekli fonksiyonları bulunuz.
Örnek 369 Her ∈ R için
( + ) − () − () = 2 + 2 − 2
denklemini sağlayan tüm sürekli fonksiyonları bulunuz.
Örnek 370 Her ∈ R için
( + ) − () − () = 2 (1 − 3 ) (1 − 3 )
denklemini sağlayan tüm sürekli fonksiyonları bulunuz.
Örnek 371 Her ∈ R için ( + + cos 3◦ ) = () + () denklemini
sağlayan tüm sürekli fonksiyonları bulunuz.
Örnek 372 ∈ Q olmak üzere, her ∈ Q için,
( + ()) = ( + ) + +
eşitliğini sağlayan tüm : Q → Q fonksiyonlarını bulunuz. (Romanya ­ 2006)
5.7.2
İkinci Cauchy Fonksiyonel Denklemi
Örnek 373 Her ∈ R için,
( + ) = () ()
fonksiyonel denklemini sağlayan tüm : R → R sürekli fonksiyonlarını bulunuz. Bu
fonksiyonel denkleme ikinci Cauchy denklemi denir.
Örnek 374 Her ∈ R için,
( + ) = () ()
fonksiyonel denklemini sağlayan tüm : R → R sürekli fonksiyonlarını bulunuz.
Örnek 375 Her ∈ R için,
( + ) = () + () + () ()
fonksiyonel denklemini sağlayan tüm : R → R sürekli fonksiyonlarını bulunuz.
Örnek 376 Her ∈ R için,
4 ( + ) − 4 () () = 3 (2 () + 2 () + 1)
fonksiyonel denklemini sağlayan tüm : R → R sürekli fonksiyonlarını bulunuz.
54
Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 ­ Mustafa Özdemir
Örnek 377 Her ∈ R için,
´
³p
2 + 2 = () ()
fonksiyonel denklemini sağlayan tüm : R → R sürekli fonksiyonlarını bulunuz.
(Putnam M.O. 1947)
Örnek 378 Her ∈ R için,
¡
¢
¡
¢
2 + 2 = 2 − 2 + (2)
fonksiyonel denklemini sağlayan tüm : R → [0 ∞) sürekli fonksiyonlarını bulunuz.
(Romanya M.O. 1997)
5.7.3
Üçüncü Cauchy Fonksiyonel Denklemi
Örnek 379 Her ∈ R+ için,
() = () + ()
fonksiyonel denklemini sağlayan tüm : R+ → R sürekli fonksiyonlarını bulunuz.
(Bu fonksiyonel denkleme üçüncü Cauchy denklemi denir.)
Örnek 380 Her ∈ R+ için, () = () + () eşitliğini sağlayan bir
fonksiyonu bulunuz.
5.7.4
Dördüncü Cauchy Fonksiyonel Denklemi
Örnek 381 Her ∈ R+ ∪ {0} için,
() = () ()
fonksiyonel denklemini sağlayan tüm : R+ ∪ {0} → R sürekli fonksiyonlarını
bulunuz. (Bu fonksiyonel denkleme dördüncü Cauchy denklemi denir.)
5.7.5
Jensen Fonksiyonel Denklemi
Örnek 382 Her ∈ R için,
µ
¶
+
() + ()
=
2
2
eşitliğini sağlayan tüm sürekli fonksiyonları bulunuz. (Bu fonksiyonel denklem Jensen
fonksiyonel denklemi olarak bilinir.)
Örnek 383 Her ∈ R ve sabit bir reel sayısı için,
µ
¶
µ
¶
µ
¶
1
1
1
+
+
2
+ + =
+
2
4
4
2
2
55
Fonksiyonel Denklemler
eşitliğini sağlayan tüm sürekli : R → R fonksiyonlarını bulunuz.
Örnek 384 Her ∈ R için,
Ãr
! s
2
2
2 + 2
() + ()
=
2
2
eşitliğini sağlayan tüm sürekli fonksiyonları bulunuz.
5.7.6
Birinci Pexider Fonksiyonel Denklemi
Örnek 385 Her ∈ R için,
( + ) = () + ()
eşitliğini sağlayan tüm : R → R sürekli fonksiyonlarını bulunuz. (Bu denkleme
Birinci Pexider Fonksiyonel denklemi de denir.)
Örnek 386 Her 1 2 ∈ R için,
(1 + 2 + · · · + ) = 1 (1 ) + 2 (2 ) + · · · + ( )
eşitliğini sağlayan tüm : R → R sürekli fonksiyonlarını bulunuz.
5.7.7
İkinci Pexider Fonksiyonel Denklemi
Örnek 387 Her ∈ R için,
( + ) = () ()
eşitliğini sağlayan tüm : R → R sürekli fonksiyonlarını bulunuz. (Bu denkleme
İkinci Pexider Fonksiyonel denklemi de denir.)
Örnek 388 Her 1 2 ∈ R için,
(1 + 2 + · · · + ) = 1 (1 ) 2 (2 ) · · · ( )
eşitliğini sağlayan tüm : R → R sürekli fonksiyonlarını bulunuz.
5.7.8
Üçüncü Pexider Fonksiyonel Denklemi
Örnek 389 Her ∈ R+ için,
() = () + ()
eşitliğini sağlayan tüm : R+ → R sürekli fonksiyonlarını bulunuz. (Bu den­
kleme Üçüncü Pexider Fonksiyonel denklemi de denir.)
56
Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 ­ Mustafa Özdemir
Örnek 390 Her 1 2 ∈ R için,
(1 2 · · · ) = 1 (1 ) + 2 (2 ) + · · · + ( )
eşitliğini sağlayan tüm : R+ → R sürekli fonksiyonlarını bulunuz.
5.7.9
Dördüncü Pexider Fonksiyonel Denklemi
Örnek 391 Her ∈ R+ ∪ {0} için,
() = () ()
eşitliğini sağlayan tüm : R+ ∪ {0} → R sürekli fonksiyonlarını bulunuz. (Bu
denkleme Dördüncü Pexider Fonksiyonel denklemi de denir.)
Örnek 392 Her 1 2 ∈ ∈ R+ ∪ {0} için,
(1 2 · · · ) = 1 (1 ) 2 (2 ) · · · ( )
eşitliğini sağlayan tüm : ∈ R+ ∪ {0} → R sürekli fonksiyonlarını bulunuz.
Örnek 393 Her ∈ R için,
µ
¶
+
() + ()
=
2
2
eşitliğini sağlayan tüm : R → R sürekli fonksiyonlarını bulunuz.
BU SORULARIN ÇÖZÜMLERİNİ MATEMATİK OLİMPİYATLARINA
HAZIRLIK 5 (Analiz ­ Cebir 2) KİTABINDA BULABİLİRSİNİZ.
Mustafa Özdemir
57
Fonksiyonel Denklemler
5.8
Problemler
1. ( ( (1 2 ) 3 ) 100 ) = 1 + 2 + 3 + · · · + 100 fonksiyonel denklemini
sağlayan tüm : R2 → R fonksiyonlarını bulunuz.
2. Her ∈ R için,
( () + ) = + ()
koşulunu sağlayan tüm : R → R fonksiyonlarını bulunuz.
3. Her ∈ R için, (2002 − (0)) = 20022 eşitliğini sağlayan tüm reel değerli
fonksiyonları bulunuz. (Avusturya ­ Polonya ­ 2002)
4. ∈ R için
( + ) = () + () + ( + )
bağıntılarını sağlayan 0 noktasındaki tüm sürekli fonksiyonları bulunuz.
5. ve sıfırdan farklı reel sayılar olmak üzere, her ∈ R için
µ
¶
µ
¶
2
−
+ 2 ≤ 2 +
≤ +
− 2
eşitsizliğini sağlayan tüm : R → R fonksiyonları bulunuz.
6. 6= 0 ve 6= ±1 olmak üzere,
()2
µ
1−
1+
¶
= 64
olduğuna göre, () =? (Iberoamerikan M.O. 1987)
¡
¢
7. Her ∈ R için, 2 + 2 = ( − ) ( () + ()) fonksiyonel denklemini
sağlayan tüm : R → R fonksiyonlarını bulunuz. (KORE ­ 2000)
8. Aşağıdaki koşulları sağlayan : R → R fonksiyonlarını bulunuz.
) (1) = 1
) (−1) = −1
) 0 1 ise () ≤ (0),
) Her ∈ R için, ( + ) ≥ () + ()
) Her ∈ R için, ( + ) ≤ () + () + 1 (APMO ­ 1994)
58
Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 ­ Mustafa Özdemir
9. Her ∈ R için
£
¤£
¤
2
[ ( + ) − () · ()] = 1 − 2 () 1 − 2 ()
fonksiyonel denklemini sağlayan tüm : R → R fonksiyonlarının çift fonksiyon
olacağını gösteriniz.
10. ( − ) = () () + () () denklemini sağlayan tüm sürekli çözümleri
bulunuz.
11. Her ∈ R için, ( + ) + ( − ) = 2 () cos eşitliğini sağlayan tüm
: R → R fonksiyonlarını bulunuz.
12. ( + ) = () () () eşitliğini sağlayan tüm : R → R fonksiyon­
larını bulunuz.
13. ( ( + )) = ( + ) + () () − koşulunu sağlayan tüm : R → R
fonksiyonlarını bulunuz. (Beyaz Rusya ­ 1995)
14. Her ∈ R için,
´
³
2
2
( − ) = ( ()) − 2 () + 2
eşitliğini sağlayan : R → R fonksiyonlarını bulunuz.
¡ ¢
()
15. (0) = 1 2 =
( ||) eşitliklerini sağlayan, = 0 noktasında
1+
sürekli tüm : R → R fonksiyonlarını bulunuz. (UIUC Math. Contest ­ 2004)
16. ∈ R ve sabit bir pozitif tamsayı olmak üzere 1 olsun.
( + ) = () + ()
fonksiyonel denklemini çözünüz.
17. Her ∈ R için, ( + 19) ≤ () + 19 ve ( + 94) ≥ () + 94 eşitsizliklerini
sağlayan reel değerli fonksiyonunun her ∈ R için, ( + 1) = () + 1 eşitliğini
sağladığını gösteriniz. (Avusturya Polonya M.O. 1994)
¡
¢
18. Her için, 4 + = 3 ()+ ( ()) eşitliğini sağlayan ve sonlu sayıda
0 değeri alan tüm fonksiyonlarını bulunuz. (Asya Pasifik 2002)
¡
¢
19. Her ∈ R için, ( () + ) = 2 − + 4 () fonksiyonel denklemini
sağlayan tüm : R → R fonksiyonlarını bulunuz. (Çek&Slovak ­ 1997) (İran ­ 1999)
59
Fonksiyonel Denklemler
20. Her 1 reel sayıları için, () − () = ( − ) () fonksiyonel
denklemini sağlayan tüm : (1 ∞) → R fonksiyonlarını bulunuz. (Çek&Slovak ­
1999)
21. Her ∈ R için, ( () + ) = () + fonksiyonel denklemini sağlayan
tüm kesin monoton : R → R fonksiyonlarını bulunuz.
) Her 1 tamsayısı için, ( () + ) = () + denklemini her ∈ R için
sağlayan : R → R kesin monoton fonksiyonunun bulunmadığını gösteriniz. (İtalya
­ 1999)
22. ( () + ) = 2 + ( ( ()) − ) koşulunu sağlayan tüm : R → R
fonksiyonlarını bulunuz.
2
23. ( + ) ( − ) = [ () ()] denklemini sağlayan tüm sürekli fonksiyon­
ları bulunuz.
³
´
24. ( − )2 = 2 − 2 () + ( ())2 eşitliğini sağlayan tüm reel değerli
fonksiyonları bulunuz. (Avusturya ­ Polonya M.O. ­ 2001)
25. Her ∈ R için : R → R fonksiyonu
) (10 + ) = (10 − )
) (20 − ) = − (20 + )
koşullarını sağlıyorsa, fonksiyonunun tek ve periyodik bir fonksiyon olduğunu gös­
teriniz. (İtalya ­ 1997)
26. Her ∈ R için : R → R fonksiyonu,
13
1
1
| ()| ≤ 1 ve ( + ) + () = ( + ) + ( + )
42
6
7
koşullarını sağlıyorsa, ()’in bir periyodik fonksiyon olduğunu ispatlayınız. (IMO
Shortlist ­ 1996)
BU SORULARIN ÇÖZÜMLERİNİ MATEMATİK OLİMPİYATLARINA
HAZIRLIK 5 (Analiz ­ Cebir 2) KİTABINDA BULABİLİRSİNİZ.
Mustafa Özdemir
60
Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 ­ Mustafa Özdemir
5.9
Alıştırmalar
1. R + = { ∈ R : 0} olmak üzere, her ∈ R+ için
( ()) − () =
+
bağıntısını sağlayan : R −→ R+ fonksiyonlarını bulunuz. (Antalya M.O.2003)
2. Her ∈ R için
( + ) − () = () ()
eşitliğini sağlayan ve kesin artan : R →R fonksiyonunun varlığını garanti eden
: R → R fonksiyonlarının hepsini bulunuz. (Antalya M.O.2004)
3. Her ∈ \ {0} için
¶
µ
¶
µ
1
1
−· +
= · () − · ()
· +
eşitliğini sağlayan fonksiyonlarının hepsini bulunuz. (Antalya M.O.2005)
4. (0) = 2 ve (0) = 1 olmak üzere, her reel ve için
( − ) () − + 2 ≤ () − () ≤ ( − )() − + 2
eşitsizliklerini sağlayan tüm : R → R fonksiyonlarını bulunuz. (Antalya M.O.
2006)
5. ile, 1’den küçük olmayan rasyonel sayılar kümesini gösterelim. : → R
fonksiyonu, her ∈ için
( + ) − 1 ≤ () + () ≤ ( + ) + 1
eşitsizliğini sağlasın. Bu durumda, her ∈ için
( − 2) () ( + 2)
sağlanacak biçimde bir reel sayısının varlığını gösteriniz. (Antalya M.O.2007)
6. : R → R ve (1) = 0 olmak üzere, ( + 1) + 3 = () eşitliğini
sağlayan
a) bir fonksiyon örneği gösteriniz;
b) sonsuz çoklukta fonksiyon bulunduğunu kanıtlayınız. (Antalya M.O.2008)
7. 6= 0 olmak üzere, () = 2 + + ikinci dereceden fonksiyonu,
( (1)) = ( (2)) = ( (3))
eşitliklerini sağlıyorsa, ve ’yi bulunuz. (Kanada MOCP. ­ 2003)
61
Fonksiyonel Denklemler
8. Her ∈ R için,
( + 2 ()) = () + + ()
fonksiyonel denklemini sağlayan tüm : R → R fonksiyonlarını bulunuz. (Kanada
MOCP. ­ 2003)
9. Her ∈ R için,
( + 1) = () () − () − + 2 ve (0) = 1
koşullarını sağlayan () fonksiyonunu bulunuz.
10. Her ∈ Z+ için, ( ()) = 2 fonksiyonel denklemini sağlayan bir
: Z+ → Z+ fonksiyonu bulunduğunu gösteriniz. (Singapur M.O.. ­ 1996)
11. Her ∈ Z+ için,
( + 1) ( ())
fonksiyonel denklemini sağlayan tüm : Z+ → Z+ fonksiyonlarını bulunuz. (IMO ­
1977)
12. Her ∈ Z+ için,
( () + ()) = +
fonksiyonel denklemini sağlayan tüm : Z+ → Z+ fonksiyonlarını bulunuz.
13. Her ∈ Z+ için,
( ()) + () = 2 + 2001 veya ( ()) + () = 2 + 2002
eşitliğini sağlayan tüm : Z+ → Z+ fonksiyonlarını bulunuz. (Balkan M.O. ­ 2002)
14. Her ∈ Z+ için,
( () + ()) = 2 + 6
fonksiyonel denklemini sağlayan tüm : Z+ → Z+ fonksiyonlarını bulunuz. (Avusturya
­ 1989)
15. Her ∈ N için,
( + ()) = ( ()) + ()
fonksiyonel denklemini sağlayan tüm : N → N fonksiyonlarını bulunuz. (IMO ­
1996)
62
Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 ­ Mustafa Özdemir
16. Her ∈ Z için, ( ()) = + 1 fonksiyonel denklemini sağlayan tüm
: Z → Z fonksiyonlarını bulunuz. (Slovenya ­ 1996)
17. Her ∈ Z+ için,
1. (2) = 2
2. () = () ()
3. ( + 1) ()
koşullarını sağlayan tüm : Z+ → Z+ fonksiyonlarını bulunuz. (Kanada­ 1969)
18. Her ∈ Z için,
( + ()) = () −
fonksiyonel denklemini sağlayan tüm : Z → Z fonksiyonlarını bulunuz. (Asya
Pasifik ­ 1997)
19. Her ∈ Q için,
() = () () − ( + ) + 1
fonksiyonel denklemini sağlayan tüm : Q → R fonksiyonlarını bulunuz. (Asya
Pasifik.­ 1984)
20. Her ∈ Z+ için,
( () + ()) = +
fonksiyonel denklemini sağlayan tüm : Z+ → Z+ fonksiyonlarını bulunuz. (Short­
list ­ 1988)
21. Her ∈ Z+ için,
( ()) = 3
fonksiyonel denklemini sağlayan kesin artan tüm : Z+ → Z+ fonksiyonlarını
bulunuz. (Asya Pasifik ­ 1997)
22. Her ∈ Z+ için,
) () = () + ()
) (30) = 0
) Her ≡ 7 (mod 10) için () = 0
koşullarını sağlayan tüm : Z+ → N fonksiyonlarını bulunuz. (Brezilya ­ 1988)
63
Fonksiyonel Denklemler
23. : R+ → R kesin artan fonksiyonu, her ∈ R için
µ
¶
2
() + ()
≥
−
2
koşulunu sağlıyorsa, ()’in negatif değer alabileceğini gösteriniz. (Brezilya ­ 2003)
24. Her ∈ R+ ∪ {0} için,
(2 + 1) = 3 () + 5 ve (0) = 0
koşullarını sağlayan tüm : R+ ∪ {0} → R fonksiyonlarını bulunuz. (Brezilya ­
1993)
25. : R → R fonksiyonu, her ∈ R için
() − () ≤ | − | ve ( ( (0))) = 0
koşullarını sağlıyorsa, (0) = 0 olduğunu ispatlayınız. (Moğolistan ­ 2000)
26. : Q → {0 1} fonksiyonu
() = () ise, () =
µ
+
2
¶
= ()
koşulunu sağlamak üzere, (0) = 0 ve (1) = 1 ise her ≥ 1 için () = 1
olduğunu ispatlayınız. (Hindistan ­ 2000)
27. Her ≥ 2 tamsayısı için,
( ( − 1)) = ( + 1) − ()
fonksiyonel denklemini sağlayan : Z+ → Z+ fonksiyonu var mıdır? (Beyaz Rusya
­ 2000)
28. Sıfırdan farklı her ∈ R için, () = () (−) − () + () ve her
∈ {0 1} için,
1
( ()) =
(1)
eşitliklerini sağlayan tüm : R\ {0} → R\ {1} fonksiyonlarını bulunuz. (Baltık Way
M.O. ­ 2007)
29. Her ∈ Q+ için,
µ
¶
µ ¶
1
1
1+
() = ( + 1) ve
= ()
eşitliklerini sağlayan tüm : Q+ → Q+ fonksiyonlarını bulunuz. (Baltık Way M.O. ­
2003)
64
Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 ­ Mustafa Özdemir
30. : Z+ → R fonksiyonu, 1’den büyük herhangi tamsayıları için, OBEB( ) =
olmak üzere,
µ ³ ´
µ ¶¶
() = ()
+
eşitliğini sağlıyorsa, (2001)’in alabileceği değerleri bulunuz. (Baltık Way M.O. ­
2001)
31. Her ∈ Q+ için,
() + () = ( () ())
eşitliğini sağlayan tüm : R → R fonksiyonlarını bulunuz. (Baltık Way M.O. ­1998)
32. Her ∈ Z+ için,
(1) ( ) = (2) ( ) = ( ) ve (3) ( + ) ( ) = ( + )
eşitliklerini sağlayan tüm : Z+ → Z+ fonksiyonlarını bulunuz. (Baltık Way M.O. ­
1998)
33. Her ∈ R için,
() () = ( − )
eşitliğini sağlayan, () = 0 haricindeki, tüm : R → R fonksiyonlarını bulunuz.
(Baltık Way M.O. ­1997)
34. Her ∈ R için,
( () + ()) = + 2 ()
eşitliğini sağlayan, tüm : R → R fonksiyonlarını bulunuz. (Balkan M.O. ­ 2000)
36. Her ∈ Q için,
i) ( + ) − () − () = () () − − −
ii) () = 2 ( + 1) + + 2
ii) (1) + 1 0 () + () = + 2 ()
koşullarını sağlayan, tüm : Q → R fonksiyonlarını bulunuz.
37. Her ∈ R için,
µ
¶
1
2
() = +
4
eşitliğini sağlayan, tüm : R → R sürekli fonksiyonlarını bulunuz.
65
Fonksiyonel Denklemler
38. Sıfırdan farklı her reel sayısı için,
µ
¶
µ ¶2
+1
1
ve (1) = 1
= () +
2
eşitliklerini sağlayan : R → R sınırlı fonksiyonu var mıdır? (Shortlist. ­ 1995)
39. Her ∈ Z+ için, ( + ()) = + ( + 95) eşitliğini sağlayan bir tek
: Z+ → Z+ fonksiyonu olduğunu gösteriniz. (1) + (2) + · · · + (19) değerini
hesaplayınız. (Shortlist ­ 1995)
40. ∈ Q ∈ R ve : R → [−1 1] olmak üzere, her ∈ R için,
( + + ) − ( + ) = db| + 2 + db||ce − 2 db| + |ce − db||ce|ce +
eşitliği sağlanıyorsa, fonksiyonunun periyodik olduğunu ispatlayınız. (Tayvan ­
1997)
41. Her pozitif tamsayısı için,
i) (1997) = 1998
ii) her ∈ N için () = () + () + (OBEB ( ))
şartlarını sağlayan bir : N → Z fonksiyonunun bulunabileceğiniz gösteriniz. (Tayvan
­ 1997)
42. (), 6.dereceden bir polinom ’de 0 olacak şekilde reel sayılar
olsun.
() = (−) () = (−) 0 (0) = 0
eşitlikleri sağlanıyorsa, tüm reel sayıları için () = (−) olduğunu ispat­
layınız. (Baltık Way ­ 1998)
43. () = 1 + + 2 + · · · + −1 olsun. Her ∈ R ve her ∈ Z+ için
¡ ¢
P
−1
( 1+
2 )
() = 2
=1
olduğunu gösteriniz. (Baltık Way ­ 1998)
44. 0 1 pozitif tamsayı dizisinde, 0 keyfi bir sayı ve sabitlenmiş bir tek sayı
pozitif sayı olmak üzere, her negatif olmayan tamsayısı için
(
1
çift ise
+1 =
2
+ tek ise
olduğuna göre, dizinin periyodik olduğunu ispatlayınız. (Baltık Way ­ 1997)
66
Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 ­ Mustafa Özdemir
45. (2 4) aralığında tanımlanan () ve () fonksiyonları veriliyor. Her ∈ (0 2)
için,
i) 2 () 4
ii) 2 () 4
iii) ( ()) = ( ()) =
iv) () () = 2
ifadeleri sağlandığına göre, (3) = (3) olduğunu ispatlayınız. (Baltık Way ­ 1993)
46. Aşağıdaki dört şartı sağlayan 4’üncü dereceden tüm () polinomlarını bulunuz:
i) Her için () = (−)
ii) Her için () ≥ 0
iii) (0) = 1
iv) () polinomu |1 − 2 | = 2 olacak şekilde 1 ve 2 gibi iki yerel minimum
noktaya sahiptir. (Baltık Way ­ 1992)
47. Her ∈ Z için, ()− ( + ()) = eşitliğini sağlayan tüm : Z → Z
fonksiyonlarını bulunuz. (Türkiye ­ 2004)
48. : N → N fonksiyonu aşağıdaki koşulları sağlamaktadır.
i) (0 0) = 1 (0 1) = 1
ii) Her ∈ Z\ {0 1} için, (0 ) = 0
iii) Her ≥ 1 ve her ∈ Z için, ( ) = ( − 1 ) + ( − 1 − 2).
¡
¢
P
Buna göre, 2009
(2008 ) toplamını hesplayınız. (Türkiye ­
= olmak üzere,
2
=0
2007)
49. Her pozitif reel sayıları için, ( + ) () (1 + ()) eşitsizliğini
sağlayan : R+ → R+ fonksiyonunun olmadığını gösteriniz. (Türkiye ­ 1996)
50. Her negatif olmayan reel sayısı için, 4 () ≥ 3 ve (4 () − 3) =
koşullarını sağlayan tüm : R+ ∪ {0} → R+ ∪ {0} fonksiyonları bulunuz. (Türkiye
­ 2005)
51. Her 1 rasyonel sayısı için, (1) = () ve ( + 1) ( − 1) = ()
eşitliklerini sağlayan tüm : Q+ → Z fonksiyonlarını bulunuz. (Türkiye ­ 2009)
52. Her ∈ Q+ için,
³
´
()
+
= () +
+ 2
()
eşitliğini sağlayan tüm : Q+ → Q+ fonksiyonlarını bulunuz. (Türkiye ­ 1993)
Eşitsizlikler
Örnek 394 3111 ve 1714 sayılarından hangisi daha büyüktür? (Wisconsin M. Talent
Search ­ 1995)
Örnek 395 999! ve 500999 sayılarından hangisi daha büyüktür?
¡
¢2
Örnek 396 ∈ R olmak üzere, 2 + 2 ≥ ( + )2 olduğunu gösteriniz.
Örnek 397 ∈ R olmak üzere, 0 ≤ ≤ ≤ ise,
√
√
√
√
+− −≥ +− −
olduğunu gösteriniz.
Örnek 398 ∈ R için
r
√
√
+ +1
1
+
eşitsizliğini ispatlayınız.
2
2
Örnek 399 negatif olmayan sayılar olmak üzere,
+ = 1 ve + = 9
2
2
olduğuna göre, ( − 9) + ( − 9) toplamının alabileceği maksimum değer
kaçtır?
Örnek 400 ∈ R için, ≥ ()(++)3 eşitsizliğini ispatlayınız.
(Kanada M.O. 1995)
Örnek 401 Üç tane pozitif tamsayının çarpımı 1 ve toplamı ise çarpmaya göre ters­
lerinin toplamıdır. O halde bu sayılardan sadece birinin 1’den büyük olabileceğini
gösteriniz.
√
¡√
¢2
Örnek 402 Her pozitif tamsayısı için
2010 + 2009
sayısı ile araların­
daki fark 1 (4 · 2009) ’den büyük olmayan bir tamsayının bulunabileceğini ispat­
layınız.
Örnek 403 ∈ (0 1) olmak üzere,
(1 − ) + (1 − ) + (1 − ) + (1 − ) 2
olduğunu gösteriniz.
68
Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 ­ Mustafa Özdemir
6.1
Üçgen Eşitsizliği
Üçgen Eşitsizliği : ∈ R için, | + | ≤ || + || eşitsizliği sağlanır.
İspat :
Örnek 404 reel sayılar olmak üzere,
|| + || + || ≤ | + − | + | − + | + |− + + |
olduğunu ispatlayınız.
Örnek 405 ve reel sayılar olmak üzere,
| + |
||
||
≤
+
1 + | + |
1 + || 1 + ||
olduğunu ispatlayınız.
6.2
Toplam ve Çarpımlarda Basit Eşitsizliklerin Kullanımı
Örnek 406
999
Q 2 − 1
1
1
eşitsizliğini ispatlayınız.
1999 =1 2
44
Örnek 407 =
ispatlayınız.
1
P
toplamının her ≥ 2 için 54’ten küçük olacağını
3
=0
Örnek 408 sayısı 1’den büyük bir tamsayıyı gösterdiğine göre
1
P
P
1
2
=1 2 − 1
=1
+1
olduğunu kanıtlayınız. (Kanada M.O. 1998)
Örnek 409
1
P
−1
−1
olduğunu gösteriniz.
2 ( + 1) =2 2
Örnek 410 ≥ 1 olmak üzere,
1 3 5
2 − 1
1
· · ···
≤√
2 4 6
2
3 + 1
olduğunu ispatlayınız.
Alıştırma : ∈ N için,
69
Eşitsizlikler
99
Q
=0
( + 1) ≥ 250·99
olduğunu gösteriniz. (İpucu : ∈ N için, ( + 1) ≥ 2 olduğunu tümevarımı
kullanarak ispatlayınız ve bu eşitsizliği kullanınız.)
6.3
2 ≥ 0 Eşitsizliği
Örnek 411 2 + 2 ≥ 2 olduğunu gösteriniz.
Örnek 412 2 + 2 + 2 ≥ + + olduğunu gösteriniz.
Örnek 413 ∈ R olmak üzere,
6 ≤ 2 2 + 2 2 + 2 2 + 2 2 + 2 2 + 2 2
olduğunu gösteriniz.
Örnek 414 ∈ R+ olmak üzere,
olduğunu gösteriniz.
( + ) ( + ) ( + ) ≥ 8
Örnek 415 ve pozitif tamsayılar olmak üzere, = 1 ise
minimum değerini bulunuz.
1
1
+ 4 ifadesinin
4
4
Örnek 416 Üç reel sayının karelerinin ortalamasını, ortalamalarının karesinden
küçük olamayacağını ispatlayınız.
Örnek 417 ve negatif olmayan reel sayıları için, + + = 6 olduğuna
göre, 2 + 2 + 2 ≥ 12 olduğunu gösteriniz. (Municipal M.O. 1999)
Örnek 418 ve negatif olmayan sayılar ve = 2 olduğuna göre,
( + + )3 − (3 + 3 + 3 )
ifadesinin alabileceği minimum değeri bulunuz.
Örnek 419 ve pozitif reel sayıları için,
µ
¶
¢ 1 1 1
¡ 2
2
2
+ +
+ +
≥ 3 ( + + )
olduğunu gösteriniz.
70
Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 ­ Mustafa Özdemir
Örnek 420 pozitif reel sayılar olmak üzere, + = 1 ise,
µ
¶µ
¶
1
1
1+
1+
≥9
olduğunu gösteriniz. (KANADA M.O. ­1971)
Örnek 421 1 2 2010 ve 1 2 2010 pozitif tamsayılar olmak üzere,
ise,
2010
P
=1
1 + 2 + · · · + 2010 = 1 + 2 + · · · + 2010 = 1
1
≤ olduğunu gösteriniz.
+
2
Örnek 422 ∈ R+ olduğuna göre,
¡
¢
3
3
2
8 3 + 3 + 3 ≥ ( + ) + ( + ) + ( + )
olduğunu gösteriniz. (Wisconsin M. Talent Search ­ 1999)
Örnek 423 reel sayıları için,
2
2
2
++
+
+
≥
+ + +
2
olduğunu gösteriniz.
Örnek 424 bir pozitif tamsayı olmak üzere, 1 ile 4¡− 1 dahil
¢olmak üzere, 1’den
4 − 1’e kadar olan tüm tek sayıların çarpımlarının 42 − 1 sayısından büyük
olamayacağını gösteriniz. (Wisconsin M. Talent Search ­ 2000)
Örnek 425 Her pozitif reel sayısı için
¢2
¡ 2
+ 2 ≥ ( + + ) ( + − ) ( + − ) ( + − )
olduğunu gösteriniz. (İngiltere ­ 2007)
Örnek 426 pozitif sayılar olsun.
2 + 2 + 2
2 + 2 + 2 2
ve ii)
+
+
ifadelerinin minimum değerini bulunuz. (Hırvatistan ­ 2008)
i)
6.4
2 (+ + + ) ≥ ( + ) ( + ) Eşitsizliği
Kural 1 : ve negatif olmayan sayılar olmak üzere, ∈ Z+ için,
¡
¢
2 + + + ≥ ( + ) ( + )
eşitsizliği sağlanır.
71
Eşitsizlikler
İspat :
Örnek 427 ve negatif olmayan sayılar olduğuna göre,
¢ ¡
¢¡
¢¡
¢
¡
4 9 + 9 ≥ 2 + 2 3 + 3 4 + 4
olduğunu gösteriniz.
Örnek 428 ve negatif olmayan sayılar olduğuna göre,
¢
¡
¢2
¡
8 8 + 8 ≥ ( + )2 3 + 3
olduğunu gösteriniz.
Örnek 429 ve pozitif sayıları için,
¢ ¡
¢¡
¢
¡
3 8 + 8 + 8 ≥ 3 + 3 + 3 5 + 5 + 5
olduğunu ispatlayınız.
6.5
+
≥ 2 Eşitsizliği
Kural 2 : 1 2 pozitif reel sayıları için,
µ
¶
1
1
1
+
+ ··· +
≥ 2
(1 + 2 + · · · + )
1 2
eşitsizliği sağlanır.
İspat :
Örnek 430 1 2 11 ∈ R+ olmak üzere,
1
1
1
+
+ ··· +
1 2
11
ise, · çarpımının alabileceği en küçük değer kaç olur?
= 1 + 2 + · · · + 11 ve =
Örnek 431 ve pozitif reel sayılar olmak üzere, + + ≤ 1 ise,
1 1 1
+ + ≥9
olduğunu gösteriniz.
Örnek 432 ∈ R+ ise,
teriniz.
( + + ) ( + + )
≥ 9 olduğunu gös­
Örnek 433 pozitif reel sayılar olmak üzere, 1 + 1 + 1 = 1 ise,
( − 1) ( − 1) ( − 1) ≥ 8
72
Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 ­ Mustafa Özdemir
olduğunu gösteriniz.
Örnek 434 reel sayılar olmak üzere, + + = 1 ise,
³ √
√
√ ´
+
+
2
1 1 1
√
≥3
+ + −
olduğunu gösteriniz.
Örnek 435 ve pozitif reel sayılar olduğuna göre,
3
+
+
≥
+ + +
2
olduğunu gösteriniz. (Bu eşitsizlik Nesbitt Eşitsizliği olarak bilinir.)
Örnek 436 Her 1 2 1 2 ∈ R+ için
P
1
42
≥ P
2
=1
=1 ( + )
eşitsizliğinin sağlandığını ispat ediniz. (Baltık Way ­ 1992)
6.6
Aritmetik ­ Geometrik ­ Harmonik Ortalama Eşitsizliği
√
Örnek 437 Her pozitif tamsayıları için, 2 ( + )+1 ≥ 2 2 + 2 eşitsizliğini
ispatlayınız.
1 1 1
Örnek 438 0 olmak üzere, +++ + +
≥ 6 olduğunu gösteriniz.
Örnek 439 1 2 ≥ 0 ve (1 + 1 ) (1 + 2 ) · · · (1 + ) = 2 ise
olduğunu gösteriniz.
1 2 · · · ≤ 1
Örnek 440 pozitif reel sayılar ve bir tamsayı olmak üzere,
µ
¶ ³
´
1+
+ 1+
≥ 2+1
olduğunu ispatlayınız.
Örnek 441 Her pozitif tamsayıları için,
ispatlayınız.
√
√
√
+ ≤ 2 + 2 eşitsizliğini
73
Eşitsizlikler
Örnek 442 ∈ R+ olduğuna göre,
√
√
√
√ ´ √
2 ³√
6
6
+ + ≥ 6 + + − 1
3
olduğunu ispatlayınız.
Örnek 443 ∈ R ve = 1 olduğuna göre,
¡√
√ ¢
√
2 + 2 + 2 + + + ≥ 2 + +
eşitsizliğini ispatlayınız. (Avusturya ­ Polonya M.O. 1991)
Örnek 444 ≥ 0 için, 156 + 3 4 + 8 4 ≥ 243 olduğunu ispatlayınız.
Örnek 445 pozitif reel sayıları için,
¡ 2
¢¡
¢
+ 2 + 2 2 + 2 + 2 ≥ 92 2 2
olduğunu gösteriniz.
Örnek 446 pozitif reel sayıları için,
1
1
1
1
+
+
+
=1
+1 +1 +1 +1
olduğuna göre, ( + 1) ( + 1) ( + 1) ( + 1) ≥ 256 olduğunu gösteriniz.
2 2 2 2
+
+
+
= 2 denklemini sağlayan kaç ( ) reel sayı
2 2 2 2
dörtlüsü vardır?
Örnek 447
Örnek 448 , ve pozitif sayıları için, = 4 olduğuna göre,
1
1
2
3
+
+
+
2 3 4
ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?
Örnek 449 bir pozitif tamsayı ve bir reel sayı olmak üzere, +
alabileceği en küçük değer nedir? (UİMO ­ 2002)
Örnek 450 pozitif bir reel sayı olmak üzere, 2 +
hangisini alamaz? (UMO ­ 2002)
√
√
A) 3 − 1
B) 5 − 1
C) 1
1
ifadesinin
1
ifadesi aşağıdaki değerlerden
4
√
D) 2 2 − 2
E) Hiçbiri
Örnek 451 4 + 4 + 4 +1 = 4 eşitliğini sağlayan kaç ( ) reel sayı üçlüsü
vardır? (UMO ­ 2006)
74
Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 ­ Mustafa Özdemir
Örnek 452 ve reel sayılar ve ( − ) = 1 ise, 2 + 2 aşağıdakilerden hangi­
sine eşit olabilir? (UMO ­ 2001)
√
√
A) 11
B) 1
C) 2
D) 2 2
E) Hiçbiri
√
Örnek 453 pozitif reel sayıları için, 4 + 4 + 2 ≥ 8 eşitsizliğini
ispatlayınız. (SSCB. M.O. 1988)
Örnek 454 pozitif reel sayıları için, = 1 ise,
+ + ≤ 2 + 2 + 2
olduğunu gösteriniz.
Örnek 455 ∈ R+ için 5 + 5 ≤ 1 ve 5 + 5 ≤ 1 olduğuna göre,
3 2 + 3 2 ≤ 1
olduğunu ispatlayınız. (Avusturya ­ Polonya 1983)
Örnek 456 0 ≤ 1 olduğuna göre,
+ + ≥++
olduğunu gösteriniz.
3
3
Örnek 457 3 31 +
1988)
3
= 6 denkleminin kaç farklı reel çözümü vardır? (UMO ­
3
Örnek 458 pozitif reel sayılar ve = 1 olmak üzere,
√
√
√
+ + + + +
√
√
≥2
√
4
+ 4+ 4
olduğunu gösteriniz.
Örnek 459 pozitif reel sayıları için, = 1 ise,
√
√
+ + + √
√ + √ + √ ≥ + + +3
olduğuna gösteriniz.
Örnek 460 pozitif reel sayıları için,
µ
¶+
+
≥
2
eşitsizliğini ispatlayınız.
75
Eşitsizlikler
Örnek 461 2 + 2 + 2 = 3 olduğuna göre,
1
1
1
3
+
+
≥
1 + 1 + 1 +
2
olduğunu gösteriniz. (Beyaz Rusya. ­ 1999)
Örnek 462 Beş pozitif sayının toplamı 2, kareleri toplamı 2 küpleri toplamı 3
ve dördüncü kuvvetleri toplamı 4 olsun. 2 2 3 4 sayılarından hangisi ya da
hangileri en büyük olabilir?
Örnek 463 pozitif reel sayıları için,
1
1
1
3
+
+
≥
(1 + ) (1 + ) (1 + )
1 +
olduğunu gösteriniz.
Örnek 464 ve , 1’den büyük gerçel sayılar olduğuna göre,
2
2
+
≥8
−1 −1
olduğunu gösteriniz. (SSCB ­ 1992)
Örnek 465 pozitif reel sayıları için,
3
3
3
+
+
≥++
eşitsizliğini gösteriniz. (Kanada M.O. 2002)
Örnek 466 Her pozitif sayıları için
1 1 1
2
2
2
9
+ + ≥
+
+
≥
+ + +
++
eşitsizliğini ispatlayınız. (Baltık Way ­ 1991)
Örnek 467 0 1 ve + + = 2 için 8 (1 − ) (1 − ) (1 − ) ≤
olduğunu gösteriniz.
Örnek 468 ≥ 1 olacak şekilde 0 olsun.
¡
¢¡
¢¡
¢
= 27 3 + 2 + + 1 3 + 2 + + 1 3 + 2 + + 1
¢¡
¢¡
¢
¡
= 64 2 + + 1 2 + + 1 2 + + 1
≥ olduğunu gösteriniz. (Ukrayna ­ 2007)
Örnek 469 pozitif reel sayıları için,
4 + 4 + 4 + 4 ≥ ( + + + )
76
Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 ­ Mustafa Özdemir
olduğunu ispatlayınız.
Örnek 470 ∈ R için,
³√
√
√
p
√ ´
+ + + ( + + )2 ≥ 4 3 ( + + )
olduğunu gösteriniz.
Örnek 471 ve , 1’den büyük reel sayıları olduğuna göre,
3
3
3
+
+
= +++
−1 −1 −1
³√
´
p
√
= 2
+2+ +2+ +2
ise, = eşitliğini sağlayan,1’den büyük kaç tane reel sayı vardır? (Nordic Math.
Contest 1992)
Örnek 472 ∈ R ve 3 + 3 + 3 − 3 = 1 şartını sağlayacak şekilde
2 + 2 + 2 ifadesinin minimum değerini bulunuz. (İngiltere ­ 2008)
Örnek 473 negatif olmayan gerçel sayıları için
2
√
( + + )
√
√
≥ + +
3
eşitsizliğini ispatlayınız. (SSCB. M.O. 1991)
Örnek 474 ∈ R için + + + = 0 ve 2 + 2 + 2 + 2 = 1 ise,
−1 ≤ + + + ≤ 0
olduğunu ispatlayınız. (Avusturya ­ Polonya M.O. 1996)
Örnek 475 ≥ 1 olacak şekilde 0 olsun.
1
1
1
27
( +
)( +
)( +
)≥
+1
+1
+1
8
olduğunu gösteriniz. (Ukrayna ­ 2007)
Örnek 476 bir üçgenin kenar uzunlukları ise,
2 ( + − ) + 2 ( + − ) + 2 ( + − ) ≤ 3
olduğunu ispatlayınız. (IMO ­ 1964)
Örnek 477 Toplamları 1 olacak şekilde pozitif reel sayılar olsun.
1
1
1
1
+
+
≥
2
2
2
+ 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2
+ +
77
Eşitsizlikler
olduğunu ispatlayınız. (Türkiye ­ 2007)
Örnek 478 ( + ) ( + ) ( + ) = 8 olacak şekilde pozitif sayılar olsun.
r
3
3
3
++
27 + +
≥
3
3
eşitsizliğini ispatlayınız. (Makedonya ­ 2008)
Örnek 479 = 1 olacak şekilde pozitif reel sayıları verilsin.
+ 2
+ 2
≤1
2
+2 +2 +2
olduğunu ispatlayınız. (Baltık Way ­ 2005)
Örnek 480 + + + = 1 olacak şekilde pozitif reel sayılar olsun.
¡
¢
1
6 3 + 3 + 3 + 3 ≥ 2 + 2 + 2 + 2 +
8
olduğunu ispatlayınız. (Fransa ­ 2007)
sec4
sec4
+
ifadesinin miniumum
( ∈ Z) için
2
2
tan
tan2
değerini belirleyiniz. (103 Trig. Prob. ­ Andrescu ­ Feng)
Örnek 481 Her 6=
Örnek 482 0 ≤ 90◦ ve sin + sin + sin = 1 olacak şekilde ve
açıları verilsin.
tan2 + tan2 + tan2 ≥
3
8
olduğunu gösteriniz. (Baltık Way ­ 2005)
6.7
Cauchy ­ Schwarz Eşitsizliği
1 2 1 2 reel sayılar olmak üzere,
¡
¢¡
¢
2
(1 1 + 2 2 + · · · + ) ≤ 21 + 22 + · · · + 2 21 + 22 + · · · + 2
eşitsizliği sağlanır. Bu eşitsizliğe Cauchy ­ Schwarz Eşitsizliği denir.
İspat :
Örnek 483 sayıları için 2 + 2 + 2 = 12 ise, + + ifadesi en büyük
kaç olabilir?
Örnek 484 + + + = 1 eşitliğini sağlayan, reel sayılar için, 2 + 2 + 2 + 2
ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir?
78
Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 ­ Mustafa Özdemir
Örnek 485 + + = 1 eşitliğini sağlayan, reel sayılar için, 22 + 3 2 + 6 2
ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir?
Örnek 486 2 + 2 ≤ 16 ise, 3 + 4 ifadesinin alabileceği en büyük değer nedir?
Örnek 487 ∈ olsun. 3 + 4 = 5 2 ve 2 + 2 = 64 olmak üzere, ’nin
alabileceği en büyük değer nedir?
Örnek 488 ++++ = 15 ve 2 +2 +2 +2 +2 = 45 eşitliklerini sağlayan
reel sayıları için | − + − + | ifadesinin alabileceği en büyük değer
nedir?
Örnek 489
büyüktür?
√
√
√
√
√
√
3
4 − 3 10 + 3 25 ve 3 6 − 3 9 + 3 15 sayılarından hangisi daha
Örnek 490 pozitif reel sayılar olmak üzere,
µ
¶µ
¶
1
4
+
+
ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?
Örnek 491 pozitif reel sayılar olmak üzere,
µ
¶µ
¶
20
4
1
5 + +
+ 100 + 12
3
ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?
Örnek 492 cos + sin ifadesinin 0 ≤ 2 aralığı için maksimum ve mini­
mum değerini bulunuz.
Örnek 493 pozitif reel sayıları için,
¡ 2
¢¡
¢
+ 2 + 2 2 + 2 + 2 ≥ 92 2 2
olduğunu gösteriniz.
Örnek 494 pozitif reel sayıları için,
1 1 4 16
64
+ + +
≥
+++
olduğunu gösteriniz.
1
1 1
Örnek 495 1 reel sayıları için, + + = 2 ise,
p
√
√
√
++ ≥ −1+ −1+ −1
79
Eşitsizlikler
olduğunu ispatlayınız. (İran ­ 1998)
Örnek 496 Reel sayılar için
+ + + + = 8 ve 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 16
eşitlikleri sağlanıyor. ’nin maksimum değerini bulunuz. (USAMO ­ 1978)
Örnek 497 0 1 2 3 4 olmak üzere, kaç tane sayısı için,
⎧
⎨ 1 + 2 + 3 + 4 = 1
1 1 + 2 2 + 3 3 + 4 4 =
⎩ 2
1 1 + 22 2 + 23 3 + 24 4 = 2
denklem sisteminin bir çözümü vardır? (Avusturya ­ Polonya M.O. 1983)
Örnek 498 ∈ R için, 2 + 2 + 2 = 2 olduğuna göre,
+ + ≤ + 2
olduğunu gösteriniz. (IMO Shortlist 1987)
¡
¢3
3
3
Örnek 499 0 ve 2 + 2 = 2 + 2 ise
+
≥ 1 olduğunu
gösteriniz.
Örnek 500 ve sayıları pozitif reel sayılar olmak üzere,
P
=
=1
P
=1
22
2
1 + 2 + +
21
+
+ ··· +
≥
1 + 1 2 + 2
+
2
eşitsizliğini ispatlayınız. (Asya Pasifik M.O. 1991)
Örnek 501 reel sayıları için, 2 + 2 + 2 = 9 ise,
2 ( + + ) − ≤ 10
olduğunu gösteriniz. (Vietnam M.O. 2002)
Örnek 502 1 2 0 ve 1 + 2 + + = 1 için
µ
¶2 µ
¶2
¶2
µ
1
1
1
+ 2 +
+ · · · + +
1 +
1
2
ifadesinin minimum değerini bulunuz.
Örnek 503 pozitif reel sayılar olmak üzere, = 1 ise,
1
1
1
3
+
+
≥
3 ( + ) 3 ( + ) 3 ( + )
2
ise,
80
Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 ­ Mustafa Özdemir
olduğunu gösteriniz. (IMO ­ 1995)
Örnek 504 Farz edelim ki üç farklı pozitif reel sayı olsun.
¯
¯
¯ + + + ¯
¯
¯
+
+
¯ − − − ¯ 1
olduğunu ispatlayınız. (İran ­ 2007)
1
1
1
+
+
≥ 1 olacak şekilde pozitif
++1 ++1 ++1
üç reel sayı olsun.
Örnek 505
+ + ≥ + +
olduğunu ispatlayınız. (Romanya ­ 2007)
Örnek 506 + + = 1 olacak şekilde 0 olsun.
¢
¡
2 2 2
+
+
≥ 3 2 + 2 + 2
olduğunu ispatlayınız.
6.8
P
notasyonu (Dairesel Toplam)
Örnek 507 pozitif reel sayılar olmak üzere,
3
+
+
≥
+ + +
2
olduğunu gösteriniz.
Örnek 508 + + = 3 olacak şekilde pozitif reel sayılar olsun.
1
1
1
1
+
+
≤
1 + 2 ( + ) 1 + 2 ( + ) 1 + 2 ( + )
olduğunu ispatlayınız. (Romonya ­ 2008)
Örnek 509 bir dar açılı üçgen olmak üzere, üçgenin kenarları ise,
p
Pp 2
+ 2 − 2 2 − 2 + 2 ≤ + +
olduğunu ispatlayınız.
81
Eşitsizlikler
6.9
Kuvvet Ortalamaları Eşitsizliği
Örnek 510 pozitif reel sayılar olmak üzere,
¡ 3
¢2 ¡ 3
¢2 ¡ 3
¢2
+ 3 + 1
+ 3 + 1
+ 3 + 1
(2 + 2 + 1)3 (2 + 2 + 1)3 ( 2 + 2 + 1)3
ifadesinin alabileceği en küçük değeri bulunuz.
Örnek 511 ve negatif olmayan reel sayıları için, + + = 6 olduğuna
göre, 2 + 2 + 2 ≥ 12 olduğunu gösteriniz. (Municipal M.O. 1999)
Örnek 512 pozitif reel sayılar olmak üzere,
¡
¢
3
) 4 3 + 3 ≥ ( + ) olduğunu ispatlayınız.
¡ 3
¢
3
) 9 + 3 + 3 ≥ ( + + ) olduğunu ispatlayınız. (United Kingdom ­ 1996)
Örnek 513 pozitif reel sayıları için,
s
s
r
2
2
2
5 + 5 + 5 ≤ 5
+ 5
+ 5
olduğunu gösteriniz.
Örnek 514 0 ve = 2 + 2 + 2 + 2 ise
3 + 3 + 3
3 + 3 + 3 3 + 3 + 3 3 + 3 + 3
+
+
+
≥
++
++
++
++
olduğunu gösteriniz.
Örnek 515 1 10 ∈ [0 2] olmak üzere, sin2 1 +sin2 2 +· · ·+sin2 10 = 1
olsun. Buna göre,
3 (sin 1 + · · · + sin 10 ) ≤ cos 1 + · · · + cos 10
olduğunu ispat ediniz. (St. Petersburg ­ 2001)
6.10
Simetrik Ortalamalar Eşitsizliği
Örnek 516 1 2 pozitif reel sayıları için,
(1 + 1 ) (1 + 2 ) · · · (1 + ) = 2
ise 1 2 · · · ≤ 1 olduğunu gösteriniz.
82
Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 ­ Mustafa Özdemir
Örnek 517 pozitif reel sayılar olmak üzere,
olduğunu gösteriniz.
8 + 8 + 8
1 1 1
+ + ≤
3 3 3
6.11
Bernoulli Eşitsizliği
Örnek 518 Her ∈ N ve −1’den büyük reel sayısı için
(1 + ) ≥ 1 +
olduğunu gösteriniz. (Bernoulli Eşitsizliği 1)
Örnek 519 Her ∈ (0 1) ve her pozitif reel sayısı için
(1 + ) 1 +
eşitsizliği sağlanır. (Bernoulli Eşitsizliği 2)
Örnek 520 ∈ (0 1) olmak üzere, + 1 olduğunu ispatlayınız.
6.12
Yeniden Düzenleme veya Permütasyon Eşitsizliği
Örnek 521 ∈ R için, 2 + 2 + 2 ≥ + + olduğunu ispatlayınız.
Örnek 522 pozitif bir tamsayı ve 1 2 pozitif reel sayılar olmak üzere,
−1
1 + 2 + · · · + ≥ −1
2 + −1
3 + · · · + −1
1
1
2
−1 +
olduğunu gösteriniz.
Örnek 523 pozitif reel sayıları için,
olduğunu gösteriniz.
2
2
2
+
+
≥ + +
2
2
2
Örnek 524 pozitif reel sayıları için,
µ
¶2 µ
¶2 µ
¶2
+
+
+ + +
+
+
+
≥
+
+
+
+
+
+
+ +
olduğunu gösteriniz.
83
Eşitsizlikler
Örnek 525 pozitif reel sayıları için,
olduğunu gösteriniz.
3 3 3
+
+
≥ 2 + 2 + 2
Örnek 526 1 2 birbirinden farklı tamsayılar olduğuna göre,
1 2
1 1
1
+ 2 + ··· + 2 ≥ + + ··· +
1
2
1 2
olduğunu gösteriniz. (IMO −1978)
Örnek 527 1 ≤ 2 ≤ · · · ≤ ve 1 ≤ 2 ≤ · · · ≤ sayı dizileri göz
önüne alınıyor. (1 2 ) sayı ’lisi (1 2 ) sayı ’lisinin herhangi bir
permütasyonu ise,
2
2
2
2
(1 − 1 ) + · · · + ( − ) ≤ (1 − 1 ) + · · · + ( − )
olduğunu ispatlayınız. (IMO ­ 1975)
Örnek 528 bir üçgenin kenar uzunlukları ise,
2 ( + − ) + 2 ( + − ) + 2 ( + − ) ≤ 3
olduğunu ispatlayınız. (IMO ­ 1964)
Örnek 529 bir üçgenin kenarları olsunlar. Buna göre,
2 ( − ) + 2 ( − ) + 2 ( − ) ≥ 0
eşitsizliğini ispatlayınız. (IMO ­ 1983)
Örnek 530 pozitif reel sayılar olmak üzere, = 1 ise
1
1
1
3
+
+
≥
3 ( + ) 3 ( + ) 3 ( + )
2
eşitsizliğini ispatlayınız. (IMO ­ 1995)
Örnek 531 pozitif reel sayılar ise,
¶
µ
¶
µ
³
´
³
´
++
1+
1+
1+
≥2 1+ √
3
olduğunu ispatlayınız. (APMO ­ 1998)
Örnek 532 + + + = 4 olacak şekilde negatif olmayan sayılar ise,
2 + 2 + 2 + 2 ≤ 4
olduğunu ispatlayınız. (Orta Avrupa M.O. ­ 2007)
84
Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 ­ Mustafa Özdemir
Örnek 533 ∈ R için,
−1 + −1 + −1
+
+
≥
+ + +
2
olduğunu gösteriniz.
6.13
Chebysev Eşitsizliği
1 ≤ 2 ≤ · · · ≤ ve 1 ≤ 2 ≤ · · · ≤ olmak üzere, (1 2 )
ve (1 2 ) sıralı ­lilerini göz önüne alalım. Yani, artan sırada dizilmiş
elemandan oluşan iki tane sıralı ­lisi verildiğinde,
= 1 1 + 2 2 + · · · + ve = 1 + 2 −1 + · · · + 1
toplamlarına sırasıyla sıralı toplam ve ters toplam demiştik. Chebysev eşitsizliği,
(1 + 2 + · · · + ) (1 + 2 + · · · + )
≥
≥
olarak ifade edilir.
İspat :
Örnek 534 Chebysev eşitsizliğini kullanarak, pozitif reel sayıları için,
≥ ()
(++)3
olduğunu gösteriniz. (USAMO ­ 1974)
Örnek 535 pozitif reel sayıları için,
√
√
√
+
+
+
4 ( + + )
+
+
≥p
( + ) ( + ) ( + )
olduğunu gösteriniz. (D. Grinberg)
Örnek 536 bir doğal sayı olmak üzere, toplamları 1 olacak şekilde her pozitif
sayısı için,
+2
+2
+2
1
+
+
≥
+1 + +
+1 + +
+1 + +
7
olduğunu ispatlayınız. Eşitlik ne zaman mümkündür? (Yugoslavya ­ 2007)
=
6.14
Jensen Eşitsizliği
Örnek 537 Aritmetik ­ Geometrik ortalamalar eşitsizliğini, Jensen eşitsizliği yardımıyla
ispatlayınız.
85
Eşitsizlikler
Örnek 538 Bir dar açılı üçgeninde cos + cos + cos ≤ 32 olduğunu
gösteriniz.
Örnek 539 ∈ R için (+2+3)6 ≤
layınız.
+ 2 + 3
eşitsizliğini ispat­
6
Örnek 540 pozitif reel sayılar olmak üzere, + + = 6 ise,
¶5 µ
¶5 µ
¶5
µ
1
1
1
+ +
+ +
+
ifadesinin alabileceği en küçük değeri bulunuz.
Örnek 541 pozitif reel sayısı için, ≥
µ
+1
2
¶+1
eşitsizliğini ispatlayınız.
Örnek 542 ve pozitif reel sayılar olmak üzere + + = 3 · 27 ise,
¡
√ ¢7
√ ¢7
√ 7 ¡
1 + 7 + (1 + 7 ) + 1 + 7 ≤ 38
olduğunu gösteriniz.
Örnek 543 pozitif reel sayıları için,
µ
¶++
++
≥
3
olduğunu gösteriniz.
Örnek 544 ve pozitif reel sayıları için,
3
+
+
≥
+ 3 + 3 3 + + 3 3 + 3 +
7
olduğunu kanıtlayınız.
Örnek 545 pozitif reel sayılar olmak üzere, = 1 ise,
1
1
1
3
+ 3
+ 3
≥
3
( + ) ( + ) ( + )
2
olduğunu gösteriniz. (IMO ­ 1995)
Örnek 546 1’den küçük olmayan 1 2 reel sayıları için,
P
1
≥
√
···
1
+
1
+
1 2
=1
olduğunu kanıtlayınız. (Shortlist ­ 1998)
86
Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 ­ Mustafa Özdemir
6.15
Genelleştirilmiş Aritmetik ­ Geometrik Ortalama
Eşitsizliği
Genelleştirilmiş Aritmetik ­ Geometrik ortalama eşitsizliği
1 2 ≥ 0 ve 1 2 0 ve 1 + 2 + 3 + · · · + = olsun. Buna
göre,
p
1 1 + 2 2 + · · · +
≥ 1 1 2 2 · · ·
eşitsizliği sağlanır. Bu eşitsizliğe Genelleştirilmiş Aritmetik ­ Geometrik ortalama
eşitsizliği denir.
İspat :
Örnek 547 ≥ 0 için, 83 + 5 4 + 3 2 ≥ 16
teriniz.
p
8 6 4 olduğunu gös­
16
Örnek 548 1 2 pozitif reel sayılar ve bir pozitif tamsayı olmak üzere,
1
1
1
+
+ ··· +
=
1
2
eşitliği sağlanıyorsa,
22 33
+
+ ··· +
2
3
ifadesinin minimum değerini bulunuz. (Polonya ­ 1995)
1 +
6.16
Schur Eşitsizliği
Schur Eşitsizliği : negatif olmayan reel sayılar ve 0 olmak üzere,
( − ) ( − ) + ( − ) ( − ) + ( − ) ( − ) ≥ 0
eşitsizliği sağlanır. Eşitlik, = = = 0 durumunda mümkündür.
İspat :
Örnek 549 negatif olmayan reel sayılar olmak üzere,
³
´
32
32
32
3 + 3 + 3 + 3 ≥ 2 () + () + ()
olduğunu ispatlayınız.
√
Örnek 550 pozitif reel sayılar 2’den büyük olduklarına göre,
√ ¢
√ ¢
¡
¡
2 − 2 ( − ) + 2 − 2 ( − )
√
√
≤2
2 + 2 − − 2
87
Eşitsizlikler
olduğunu gösteriniz.
Örnek 551 pozitif reel sayıları için, = 1 ise,
µ
¶µ
¶µ
¶
1
1
1
−1+
−1+
−1+
≤1
olduğunu gösteriniz. (IMO−2000)
Örnek 552 negatif olmayan reel sayıları için, + + = 1 olduğuna göre,
1
3 + 3 + 3 + 6 ≥
4
olduğunu gösteriniz.
Örnek 553 Dar açılı bir üçgeninde,
cot3 + cot3 + cot3 + 6 cot cot cot ≥ cot + cot + cot
olduğunu gösteriniz.
Örnek 554 pozitif reel sayılar olmak üzere, = + + + 2 ise
olduğunu gösteriniz.
+ + ≥ 2 ( + + )
Örnek 555 pozitif reel sayılar olmak üzere, + + = 1 ise
¡
¢
¡
¢
5 2 + 2 + 2 ≤ 6 3 + 3 + 3 + 1
olduğunu ispatlayınız.
Örnek 556 Eğer ve pozitif reel sayılar ise
4
4
4
(1 +
)(1 +
)(1 +
) 25
+
+
+
olduğunu ispat ediniz. (Bosna Hersek ­ 2008)
6.17
Hölder Eşitsizliği
Örnek 557 pozitif reel sayılar olmak üzere,
3 3
3
( + + )3
+
+
≥
3 ( + + )
eşitsizliğinin sağlandığını gösteriniz.
88
Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 ­ Mustafa Özdemir
Örnek 558 pozitif reel sayıları için,
¶
µ
¶µ
¡ 3
¢ 1 1 1
1
1
1
+
+
≥ 27
+ 3 + 3
+ +
2 2
2
olduğunu gösteriniz.
Örnek 559
P
=1
3 = 3 ve
sayıları verilsin.
P
=1
5 = 5 olacak şekilde 1 2 pozitif reel
P
=1
3
2
olduğunu ispatlayınız. (Baltık Way ­ 2001)
6.18
Muirhead Eşitsizliği
Örnek 560 ∈ R+ için, 2 + 2 + 2 ≥ + + olduğunu ispatlayınız.
Örnek 561 ∈ R+ için, 2 + 2 ≥ 2 olduğunu Muirhead teoremini kulla­
narak gösteriniz.
Örnek 562 ∈ R+ için, 3 + 3 + 3 ≥ 3 olduğunu ispatlayınız.
Örnek 563 ∈ R+ için, 7 + 7 ≥ 4 3 + 3 4 olduğunu ispatlayınız.
Örnek 564 ∈ R+ ve = 1 için,
3 3 + 3 3 + 3 3 ≥
2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2
2
olduğunu ispatlayınız.
Örnek 565 ∈ R+ için
¢
1¡ 3
4 + 4 + 4
≥
+ 3 + 3 + 3 + 3 + 3
3
6
olduğunu ispatlayınız.
Örnek 566 ≥ 0 olmak üzere,
√
√
√
3 + 3 + 3 ≥ 3 + 2 + 3
olduğunu ispatlayınız. (Moldova ­ 2004)
Alıştırma 1. ∈ R+ için,
2 2 + 2 2 + 2 2 ≥ 2 + 2 + 2
89
Eşitsizlikler
eşitsizliğini gösteriniz. ([2 2 0] ≥ [2 1 1])
2. ∈ R+ için,
¡ 3 2
¢
¢
¡
+ 3 2 + 3 2 + 3 2 + 3 2 + 3 2 ≥ 2 3 + 3 + 3
eşitsizliğini gösteriniz. ([3 2 0] ≥ [3 1 1])
3. ∈ R+ için,
4 + 4 + 4 ≥ 2 2 + 2 2 + 2 2
olduğunu gösteriniz. ([4 0 0] ≥ [2 2 0])
Örnek 567 ∈ R+ olmak üzere,
r
r
√
2
2 √
+
≥ +
olduğunu gösteriniz.
Örnek 568 ∈ R+ olmak üzere,
3
3
3
+
+
≥++
olduğunu ispatlayınız. (Kanada ­ 2002)
Örnek 569 ∈ R+ ∪ {0} olmak üzere,
olduğunu ispatlayınız.
3 + 3 + 3 + ≥
1
3
( + + )
7
Örnek 570 ∈ R+ olmak üzere,
3
3
3
+ 2
+ 2
≥++
2
2
2
− +
− +
− + 2
olduğunu ispatlayınız. (Ibero Amerikan (Shortlist) ­ 2003)
Örnek 571 negatif olmayan reel sayılar olmak üzere,
3
3
3
2 + 2 2 + 2 2 + 2
+
+
≤
+
+
2
2
2
eşitsizliğini gösteriniz.
Örnek 572 pozitif reel sayılar olmak üzere,
2
2
2
3
+
+
≥
( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + )
4
olduğunu ispatlayınız. (Hırvatistan ­ 2004)
90
6.18.1
Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 ­ Mustafa Özdemir
Homojenleştirme
Örnek 573 ∈ R+ olmak üzere, + = 1 ise,
2
1
2
+
≥
+1 +1
3
olduğunu ispatlayınız. (Macaristan ­ 1996)
Örnek 574 pozitif reel sayılar olmak üzere, + + = 1 ise
4
2 + 2 + 2 + 3 ≥
9
olduğunu ispatlayınız. (Sırbistan ­ 2008)
6.19
Geometrik Eşitsizlikler
F Bir üçgende, çevrel çemberin, de iç teğet çemberin yarıçapı olmak üzere,
≥ 2
eşitsizliği sağlanır. Eşitlik durumu eşkenar üçgenlerde mümkündür.
İspat :
Örnek 575 ve bir üçgenin açıları olmak üzere,
¶ µ
¶
µ
¶
µ
¶
µ
1 1
1 1
1 1
sin sin sin
+
+
≤
+
sin +
+
sin +
+
sin
2
olduğunu ispatlayınız.
Örnek 576 bir üçgenin kenarları, de çevrel çemberin yarıçapı olmak üzere,
√
++
≤ 3
3
olduğunu gösteriniz.
Örnek 577 ve bir üçgenin kenarları ve ve ’da bir üçgenin iç açıları
olsun. Eğer 2 ( + ) ise, 2 ( + ) olduğunu ispatlayınız.
Örnek 578 bir üçgenin kenarları ve bu kenarlara ait yükseklikler
olsun.
2
2
2
+
+
≥4
olduğunu ispatlayınız.
91
Eşitsizlikler
Örnek 579 Bir üçgeninde,
olduğunu gösteriniz.
sin2 + sin2 + sin2 ≤
9
4
Örnek 580 bir konveks dörtgeni için || = || = || = ve
|| = olmak üzere,
+
) () ≤
2
+ +
) () ≤
·
2
2
eşitsizliklerini ispatlayınız.
Örnek 581 Herhangi üçgeninde, cos + cos + cos ≤ 32 olduğunu
gösteriniz.
Örnek 582 üçgeninin kenar uzunlukları , ise,
++
cos + cos + cos ≤
2
olduğunu ispatlayınız.
Örnek 583 dar açılı bir üçgenin açıları olsun. O halde
sin + sin cos + cos + cos
eşitsizliğini ispatlayınız. (Baltık Way ­ 1991)
Örnek 584 Kenar uzunlukları olan bir üçgeninde,
9
() ≤ √
4 3 ( + + )
olduğunu gösteriniz.
Örnek 585 üçgeninin kenarları ve iç teğet çemberin yarıçapı ise,
√
3
1 1 1
+ + ≤
2
olduğunu gösteriniz.
Örnek 586 bir üçgenin üç kenar uzunlukları olmak üzere, + + = 3 ise,
4
= 2 + 2 + 2 +
3
ifadesinin minimum değerini bulunuz.
92
Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 ­ Mustafa Özdemir
Örnek 587 bir üçgenin kenarları olmak üzere,
( + − ) ( + − ) ( + − ) ≤
olduğunu ispatlayınız.
Örnek 588 bir üçgenin kenarları ve bir üçgenin iç açıları ise,
+ +
≤
3
++
2
olduğunu ispatlayınız.
Örnek 589 bir üçgenin kenarları ise,
2
3 ( + + ) ≤ ( + + ) 4 ( + + )
eşitsizliğini ispatlayınız.
Örnek 590 bir üçgenin kenarları olduğuna göre,
3
≤
+
+
2
2
+ + +
eşitsizliğini ispatlayınız.
Örnek 591 bir üçgenin kenarlarını göstermek üzere, 3 + 3 + 3 3
olduğunu gösteriniz. (Tourn. of the Towns ­ 2002)
Örnek 592 bir üçgenin kenarları olmak üzere,
√
√
√
√
√
√
+−+ +−+ +−≤ + +
olduğunu ispatlayınız. (APMO ­ 1996)
Örnek 593 bir üçgenin kenar uzunlukları ise,
2 ( + − ) + 2 ( + − ) + 2 ( + − ) ≤ 3
olduğunu ispatlayınız. (IMO ­ 1975)
Örnek 594 bir dar açılı üçgen olmak üzere, üçgenin kenarları ise,
p
Pp 2
+ 2 − 2 2 − 2 + 2 ≤ 2 + 2 + 2
olduğunu ispatlayınız.
Örnek 595 bir üçgenin kenarları ve 2 = + + olduğuna göre,
36 2
2 + 2 + 2 ≥
( +
)
35
eşitsizliğini ispatlayınız.
93
Eşitsizlikler
Örnek 596 bir üçgenin kenarları ve 2 = + + olsun. O halde
( + ) + ( + ) + ( + )
≥ 48
( − ) ( − ) ( − )
eşitsizliğini ispatlayınız.
Örnek 597 Bir üçgeninde, ve üçgenin yükseklikleri, ise bu
yüksekliklerin kesişme noktası olsun.
||
|| | |
)
+
+
≥9
|| || | |
|| || | |
3
)
+
+
≥
||
|| ||
2
olduğunu gösteriniz.
Örnek 598 bir üçgenin kenarları ve 2 = + + olduğuna göre,
1
1
1
2
≤ 2+ 2+ 2
eşitsizliğini ispatlayınız.
Örnek 599 bir üçgenin kenarları olsun.
( + − )4
( + − )4
( + − )4
+
+
≥ + +
( + − ) ( + − ) ( + − )
olduğunu ispatlayınız. (Yunanistan ­ 2007)
Örnek 600 üçgeninin kenarları olmak üzere, kenar uzunlukları
+ 2 + 2 ve + 2
olan bir üçgeni oluşturalım. 4 ( ) ≥ 9 () olduğunu gösteriniz.
(Hindistan ­2003)
Örnek 601 bir üçgenin kenarları, bu kenarlara ait yükseklikler ise,
√
2 ( + + ) ≤ 3 ( + + )
olduğunu ispatlayınız.
Örnek 602 bir üçgenin kenarları ve bu kenarlara ait yükseklikler
olsun. de iç çemberin yarıçapı olsun. O halde
olduğunu ispatlayınız.
+ + ≥ 9
√
3
Örnek 603 üçgeni için, tan tan tan ≤
olduğunu ispatlayınız.
2
2
2
9
94
Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 ­ Mustafa Özdemir
Örnek 604 bir üçgenin açıları olsun. O halde
√
3 3
sin + sin + sin ≤
2
eşitsizliğini ispatlayınız.
Örnek 605 bir üçgenin açıları olsun. O halde
r
p
p
√
4 3
sin + sin + sin ≤ 3
4
eşitsizliğini ispatlayınız.
Örnek 606 Herhangi bir üçgeninde,
sin 2 + sin 2 + sin 2 ≤ sin + sin + sin
eşitsizliği sağlanır.
Örnek 607 + + = olmak üzere, reel sayıları için,
2 + 2 + 2 ≥ 2 ( cos + cos + cos )
eşitsizliğini ispatlayınız.
Örnek 608 pozitif reel sayılar ve ve bir üçgenin iç açıları olsunlar.
Buna göre,
µ
¶
1
cos + cos + cos ≤
+
+
2
eşitsizliğinin doğrulunu ispatlayınız.
Örnek 609 bir üçgenin açıları,olsun.
sin + sin + sin ≥ sin 2 + sin 2 + sin 2
olduğunu ispatlayınız.
Örnek 610 noktası bir üçgeninin içinde bir nokta olsun. noktasından
üçgenine 1 2 ve 3 dikmeleri çiziliyor. Bu durumda,
| | + | | + | | ≥ 2 (| 1 | + | 2 | + | 3 |)
6.20
Trigonometrik Fonksiyonları Kullanarak Eşitsizlik İspatı
Örnek 611 0 1 olduğuna göre,
p
√
+ (1 − ) (1 − ) (1 − ) 1
95
Eşitsizlikler
eşitsizliğini ispatlayınız. (Romanya ­ Junior ­ 2002)
Örnek 612 pozitif reel sayılar olmak üzere,
¡ 2
¢¡
¢¡
¢
+ 2 2 + 2 2 + 2 ≥ 9 ( + + )
olduğunu ispatlayınız. (APMO 2004)
Örnek 613 pozitif reel sayılar olmak üzere,
1
1
1
1
+
+
+
=1
4
4
4
1+
1+
1+
1 + 4
ise, ≥ 3 olduğunu ispatlayınız. (Litvanya ­ 2002)
Örnek 614 pozitif reel sayılar ve + + = olmak üzere,
1
1
1
3
√
+p
+√
≤
2
2
2
1+
1+
1 + 2
olduğunu gösteriniz. (Kore 1998)
Örnek 615 ∈ R+ ∪ {0} olmak üzere, 2 + 2 + 2 + = 4 ise,
0 ≤ + + − ≤ 2
olduğunu gösteriniz. (USAMO ­ 2001)
BU SORULARIN ÇÖZÜMLERİNİ MATEMATİK OLİMPİYATLARINA
HAZIRLIK 5 (Analiz ­ Cebir 2) KİTABINDA BULABİLİRSİNİZ.
Mustafa Özdemir
96
Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 ­ Mustafa Özdemir
6.21
Problemler
1. reel sayıları için, 0 ve = 2 olduğuna göre,
2 + 2
−
ifadesinin alabileceği minimum değer kaçtır?
( + )3
ifadesi bir tek tamsayı ise,
2
sayısının alabileceği en küçük değer ne olur? (Wisconsin M. Talent Search ­ 1999)
2. ve pozitif tamsayılar olmak üzere, =
3. ve pozitif reel sayılar olmak üzere,
r
1
2 + 2 + 2
≤ ( +
+ )
3
3
olduğunu ispatlayınız.
4. ve dört farklı tamsayı ise,
¢
¡
2
4 2 + 2 + 2 + 2 − ( + + + )
ifadesinin alabileceği en küçük değeri bulunuz. (Wisconsin M. Talent Search)
5. 1 2 negatif olmayan sayıları için, ≥ 4 ve 1 + 2 + · · · + = 1 ise,
= 1 2 + 2 3 + · · · + −1 + 1
ifadesinin alabileceği maksimum değer kaçtır? (Wisconsin M. Talent Search 2008)
6. 2 + 2 ≤ 16 ise, 3 + 4 ifadesinin alabileceği en büyük değer nedir?
7. (1 2 3 1 2 3 1 2 3 ) sayıları 1 2 3 4 5 6 7 8 9 sayılarının herhangi
bir permütasyonu olsun. Buna göre,
= 1 2 3 + 1 2 3 + 1 2 3
ifadesinin en küçük değeri kaçtır? (Beyaz Rusya ­ 2002)
½
+ + + + = 15
eşitliklerini sağlayan sayıları için
2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 45
| − + − + | ifadesinin alabileceği en büyük değer nedir?
8.
9. ∈ olsun. 3 + 4 = 5 2 ve 2 + 2 = 64 olmak üzere, ’nin alabileceği
en büyük değer nedir?
97
Eşitsizlikler
10. 2 ve 2 + 2 + 2 = 3 olacak şekilde pozitif reel sayılar ise
3
1 + 2
1 + 2 1 + 2
+
+
3
2
+2
+2
+2
olduğunu ispatlayınız. (Yunanistan ­ 2008)
3
eşitsizliğini sağlayan sayıları pozitif reel sayıları için,
11. + + ≤
2
1
= +
ifadesinin en küçük değerini bulunuz. (Moldova ­ 2008)
12. + + + = 1 eşitliğini sağlayan, reel sayılar için, 2 + 2 + 2 + 2 ifadesinin
alabileceği en küçük değer nedir?
13. + + = 1 eşitliğini sağlayan, reel sayılar için, 22 + 3 2 + 6 2 ifadesinin
alabileceği en küçük değer nedir?
14. Verilen bir pozitif tamsayısı için, ve sayıları = + eşitliğini
sağlayan pozitif tamsayılar ise, ’in en küçük ve en büyük değerini bulunuz.
15. 2007 pozitif tamsayısı için, ve sayıları = 2007 ( + ) eşitliğini sağlayan
pozitif tamsayılar ise, ’in en küçük ve en büyük değerinin toplamı kaçtır?.
16. Herhangi ve reel sayıları için,
2 + 2 + 2 − − − ≥ max
(
2
eşitsizliğin sağlandığını gösteriniz. (Bosna H. ­ 2008)
17. ∈ R+ için,
(1 +
eşitsizliğini gösteriniz.
³
´
( + + )
)(1 + ) 1 +
≥2+2 √
3
18. pozitif reel sayılar olsun.
6
3
≥
+ +
++
olduğunu ispatlayınız. (Makedonya ­ 2007)
1+
2
2
3 ( − ) 3 ( − ) 3 ( − )
4
4
4
)
98
Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 ­ Mustafa Özdemir
19. = 1 olacak şekilde ∈ R olsun.
1
1
1
1 1 1
= 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2( + + + + + )
= 6 + 2( + + + + + )
ise, ≥ olduğunu ispatlayınız. (Brezilya ­ 2007)
20. ≥ 1 olacak şekilde 0 olsun.
1
1
1
27
( +
)( +
)( +
)≥
+1
+1
+1
8
olduğunu gösteriniz. (Ukrayna ­ 2007)
21. Her pozitif reel sayısı için
p
√
√
√
+ + ≤ ( + ) ( + ) ( + )
eşitsizliğini sağlayan en küçük reel sayısını bulunuz. (İran ­ 2008)
22. pozitif reel sayılar olmak üzere = 1 ise,
2
2
2
+
+
≤1
=
2
2
2
2
2
( + 1) + + 1 ( + 1) + + 1 ( + 1) + 2 + 1
olduğunu kanıtlayınız.
23. birbirinden farklı reel sayılar olmak üzere,
+ + + = 4 ve =
eşitlikleri sağlandığına göre, + + + ifadesinin maksimum değeri kaçtır?
24. Eğer 2 + 2 + 2 = 1 olacak şekilde ve pozitif reel sayıları varsa
5 + 5
5 + 5
5 + 5
+
+
≥ 3 ( + + ) − 2
( + ) ( + ) ( + )
eşitsizliğinin olduğunu ispat ediniz. (Bosna H. ­ 2008)
25. ( + ) ( + ) ( + ) = 8 olacak şekilde pozitif sayılar olsun.
r
3
3
3
++
27 + +
≥
3
3
eşitsizliğini ispatlayınız. (Makedonya ­ 2008)
99
Eşitsizlikler
26. 1 2 ∈ [0 1] olmak üzere, = 31 + 32 + · · · + 3 ile gösterilsin.
2
1
1
+
+ ··· +
≤
2 + 1 + − 31
2 + 1 + − 32
2 + 1 + − 3
3
olduğunu ispatlayınız. (Moldova ­ 2007)
√
√
√
√
27. ≥ 1 olduğuna göre, + 1 − ve − − 1 sayılarından hangisi daha
büyüktür? (Kanada M.O. 1969)
28. ve pozitif reel sayıları için,
2 2 2
+ +
≥ + + olduğunu gösteriniz.
29. 0 ve = 1 olduğuna göre,
+ 5
+ 5
≤1
5
5
5
+ + + + + 5 +
olduğunu gösteriniz. (Shortlist−1996)
30. 1 2 sayıları tane farklı pozitif tek sayıyı göstermektedir. 1 ≤
≤ içini bu sayıların herhangi ikisinin arasındaki | − | farkı birbirinden farklı
olduğuna göre,
¢
¡
2 + 2
1 + 2 + · · · + ≥
3
olduğunu gösteriniz.
31. ∈ R olmak üzere, − = 1 eşitliği sağlanıyorsa,
√
2 + 2 + 2 + 2 + + ≥ 3
olduğunu gösteriniz.
2
32. ∈ R olmak üzere, ≥ 0 ve ( + 1) ≤ ( + 1) eşitsizlikleri sağlanıyorsa,
( − 1) ≤ 2 olduğunu gösteriniz. (CMS­Calısma Soruları−2006)
33. pozitif reel sayıları için, = 1 ise,
µ
¶µ
¶µ
¶
1
1
1
−1+
−1+
−1+
≤1
olduğunu gösteriniz. (IMO−2000)
34. ∈ R ise, 3 ( + + + )2 ≥ 8 ( + + + + + )
olduğunu gösteriniz. (Wisconsin M. Talent Search ­ 1995)
100
Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 ­ Mustafa Özdemir
¡ ¢
13
35. 210 ! 22 olduğunu gösteriniz. (Wisconsin M. Talent Search 1996)
36. pozitif reel sayıları, 1 + 1 + 1 = 1 eşitliğini sağlasın,
√
√
√
√
√ √ √
+ + + + + ≥ + + +
olduğunu ispatlayınız. (Asya Pasifik M.O. 2002)
37. pozitif tamsayısı için, 1 2 1 reel sayıları [1 2] kapalı aralığın­
daki sayılar olsun.
olduğuna göre,
21 + 22 + · · · + 2 = 21 + 22 + · · · + 2
¢
2
17 ¡ 2
31 32
+
+ ··· + ≤
1 + 22 + · · · + 2
1
2
10
olduğunu gösteriniz. (M.Excalibur)
38. + + = 1 eşitliğini sağlayan negatif olmayan reel sayıları için,
¢2 ¡
¢2 ¡
¢2
¡
2 ≤ 1 − 2 + 1 − 2 + 1 − 2 ≤ (1 + ) (1 + ) (1 + )
eşitsizliğini ispatlayınız. (Asya Pasifik M.O. 2000)
39. ∈ R olmak üzere, 2 + 2 ≤ 1 ise,
¡
¢¡
¢
( + − 1)2 ≥ 2 + 2 − 1 2 + 2 − 1
olduğunu gösteriniz. (Avusturya ­ Polonya M.O. 1988)
40. ≥ olmak üzere, pozitif tamsayıları için,
( + )!
( + 1) ≥
≥ 2 !
( − )!
eşitsizliğini ispatlayınız. (Asya Pasifik M.O. 1996)
41. 1 2 3 ∈ R olmak üzere, her için, + ≤ + sağlanıyorsa,
1
1 +
+ ··· +
≥
2
eşitsizliğinin sağlandığını gösteriniz. (Asya Pasifik M.O. 1999)
42. 1 2 reel sayıları her = 1 2 için ≥ 1 şartını sağlasın.
1
1
2
(1 + 1) (2 + ) · · · ( + ) ≥
(1 + 1 + 22 + · · · + )
2
( + 1)!
eşitsizliğini ispatlayınız. (Moldova ­ 2007)
101
Eşitsizlikler
43. negatif olmayan farklı reel sayılar olsun.
1
1
1
=
2 +
2 +
2
( − )
( − )
( − )
ise, ≥
4
olduğunu ispatlayınız. (Vietnam ­ 2008)
+ +
1 1 1
+ + ise ve sayılarından
sadece birinin 1’den büyük olabileceğini gösteriniz. (Sovyet M.O. ­ 1970)
44. ∈ R+ için, = 1 ve + +
45. db||ce, sayısından büyük olmayan en büyük tamsayıyı ve d||e ise, sayısından
küçük olmayan en küçük tamsayıyı göstermek üzere,
db||ce + db||ce + d||e + d||e
db| + |ce ≤
≤ d| + |e
2
olduğunu gösteriniz.
46. ∈ R+ ve + + = 3 olmak üzere,
3
3
1
2
3
+
+
≥ +
( + + )
3
3
3
+8 +8 +8
9 27
olduğunu ispatlayınız. (İran ­ 2008)
47. Bir üçgeni için,
=
P cos2 (2) cos2 (2)
cos2 (2)
ifadesinin minimum değerini bulunuz. (Vietnam ­ 2007)
BU SORULARIN ÇÖZÜMLERİNİ MATEMATİK OLİMPİYATLARINA
HAZIRLIK 5 (Analiz ­ Cebir 2) KİTABINDA BULABİLİRSİNİZ.
Mustafa Özdemir
102
Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 ­ Mustafa Özdemir
6.22
Alıştırmalar
¯
¯
1. Her ∈ [−1 1] için ¯22 + + ¯ ≤ 1 eşitsizliğinin sağlanmasını garanti eden
reel ve sayıları için 2 + 2 sayısı kaçtır? (Antalya M.O.­ 2000)
2. 0 0 0 ve + + = 1 olmak üzere
alabileceği en küçük değer kaçtır? (Antalya M.O.­ 2001)
3. 0, 0, 0 olmak üzere,
değer nedir? (Antalya M.O.­ 2002)
4
1
9
25
+ +
ifadesinin
2
ifadesinin alabileceği en büyük
+ 4 + 4
4. + + ≤ eşitsizliğini sağlayan her pozitif gerçel sayıları için ≤
eşitsizliği de sağlanıyorsa, gerçel sayısına bir "iyi sayı" diyelim. En büyük "iyi
sayının" karesi aşağıdakilerden hangisidir? (Antalya M.O.­ 2003)
5. 0, 0, 0 olmak üzere,
değer nedir? (Antalya M.O.­ 2003)
+
ifadesinin alabileceği en büyük
2 + 2 + 18 2
¡√
¢2
6. ( + 6) + 1−1 ≥ 2 eşitsizliğini sağlayan sayılarının bulunduğu en
geniş aralığın uzunluğu aşağıdakilerden hangisidir? (Antalya M.O.­ 2005)
88
7. 0 olmak üzere, 7 + 7 ·
ifadesinin alabileceği en küçük değeri cinsinden
bulunuz. (Antalya M.O.­ 2006)
8. + = 2
¡√
¢
√
+ 3 + + 4 eşitliğini sağlayan reel ve sayıları için,
p
√
+3+ +4
toplamının alabileceği en büyük değer nedir? (Antalya M.O.­ 2007)
9. pozitif tam sayısının kaç farklı değeri için
1
1
1
+
+ ··· +
=3
1 + 2 + · · · + = 3 ve
1 2
eşitliklerini sağlayan pozitif 1 2 · · · gerçel sayıları bulunur? (UMO.­ 2006)
10. gerçel sayıları 42 +9 2 = 8 eşitliğini sağlıyorsa, 82 +9+18 2 +2+3
ifadesinin alabileceği en büyük değer nedir? (UMO.­ 2004)
Eşitsizlikler
103
11. = 1 koşulunu sağlayan her, gerçel sayıları için
¡
¢
( + )2 + 4 (( + )2 − 2) ≥ · ( − )2
eşitsizliği sağlanıyorsa, sayısının alabileceği en büyük değer kaçtır? (UMO.­ 2008)
√
√
12. bir gerçel sayı ise 2 − 6 + 13 + 2 − 14 + 58 ifadesinin alabileceği en
küçük gerçel değer kaçtır? (UMO.­ 2008)
13. ve herhangi pozitif reel sayılar olmak üzere,
r
r
2
2
+
≥ 2 + 2
eşitsizliğinin sağlandığını gösteriniz. (Antalya M.O. 1997)
14. reel sayılar ve 1 ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ 100 olmak üzere,
alabileceği en küçük değeri bulunuz. (Antalya M.O. 1997)
15. x, y, z negatif olmayan reel sayılar ve + + ≤ 3 ise,
2
2
2
+
+
≥3
1+ 1+ 1+
olduğunu kanıtlayınız. (Antalya M.O. 1998)
16. x, y, z reel sayılar ve ≥ ≥ 0 ise
2 − 2 2 − 2 2 − 2
+
+
≥ 3 − 4 +
olduğunu kanıtlayınız. (Antalya M.O. 1998)
17. ve herhangi pozitif reel sayılar olmak üzere,
µ
¶
1
1 1 1 4 16
≤
+ + +
+++
64
eşitsizliğinin sağlandığını gösteriniz. (Antalya M.O. 1999)
√
√
2 2 için
4 − 3 + 2 2 − 3 + 4 2 + 2
eşitsizliğinin sağlandığını kanıtlayınız. (Antalya M.O. 1999)
18. Her
19. = 1 eşitliğini sağlayan pozitif reel sayıları için
1 + 1 + 1 + 1 +
+
+
+
≥4
+1
+1
+1
+1
olduğunu ispatlayınız. (Antalya M.O. 2001)
+ ifadesinin
104
Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 ­ Mustafa Özdemir
20. = 1 eşitliğini sağlayan pozitif reel sayıları için
1 1 1 1
+ + + ve = 3 + 3 + 3 + 3
olduğuna göre + ≤ 2 eşitsizliğini ispatlayınız. (Antalya M.O. 2001)
= + + + =
21. , ve sayıları bir dik üçgenin kenar uzunlukları ise,
(3)3 (3 − 3 − 3 )(3 − 3 − 3 )(3 − 3 − 3 )
eşitsizliğinin sağlanacağını gösteriniz. (Antalya M.O. 2002)
22. , , , , , pozitif tamsayıları
bağıntılarını sağlamaktadırlar. Bu durumda, ≥ + eşitsizliğinin sağlanacağını
gösteriniz. (Antalya M.O. 2002)
− = 1 ve
23. = 1 eşitliğini sağlayan her pozitif , ve sayıları için
22 2 2 2 2
2 2 2
+
+
≥3
+
+
+
eşitsizliğinin sağlanacağını gösteriniz. (Antalya M.O. 2003)
1
24. a) 0 1 2 99 100 pozitif sayılar olsun. 0 = 1 ve 100 ≤ 100 ise,
2
µ
¶
22
299
1
20 21
+
+
+ ··· +
≥ 4 1 − 100
1 2
3
100
2
eşitsizliğinin sağlandığını gösteriniz.
1
b) 0 = 1 ve 100 = 100 olmak üzere,
2
µ
¶
20 21
2
2
1
+
+ 2 + · · · + 99 = 4 1 − 100
1 2
3
100
2
eşitliğini sağlayan pozitif 1 2 99 sayıları bulunuz. (Antalya M.O. 2004)
25. 1 2 3 15 16 reel sayıları için
p
|1 − 2 + 3 − 4 + · · · + 15 − 16 | ≤ 17 − (21 + 22 + · · · + 216 )
eşitsizliği sağlandığına göre, her = 1 2 16 için | | ≤ 4 olacağını gösteriniz.
(Antalya M.O. 2005)
105
Eşitsizlikler
26. + + = 1 eşitliğini sağlayan her pozitif ve sayıları için
¡
¢
18 + 7 2 + 2 + 2 ≥ 3
eşitsizliğinin sağlanacağını gösteriniz. (Antalya M.O. 2005)
27. Pozitif ve sayıları 7 + 7 ≥ 6 + 9 eşitsizliğini sağlasın. Bu durumda,
i)
8 + 5 ≥ 7 + 7 ;
ii)
9 + ≥ 6 + 7
eşitsizliklerinin sağlandığını gösteriniz. (Antalya M.O. 2006)
28. 0 1 koşulunu sağlayan her reel sayıları için
1
1
(1−)+(1−)+(1−)+(1−)+((1−)(1−)(1−)(1−)) 3 +() 2 3
eşitsizliğinin sağlandığını gösteriniz. (Antalya M.O. 2007)
29. 1 2 7 pozitif sayılar olup,
1
1
1
+
+ ··· +
= 1 sağlansın.
1
2
7
(2000 + 1 )(2000 + 2 ) · · · (2000 + 7 ) ≥ 20077
eşitsizliğini kanıtlayınız. (Antalya M.O. 2007)
30. 0 ve 1 + 1 + 1 = 5 olsun.
√
√
√
√
√
√
5 − 1 5 − 1 + 5 − 1 5 − 1 + 5 − 1 5 − 1
ifadesinin alabileceği en küçük değerin 6 olduğunu gösteriniz. (Antalya M.O. 2008)
31. , pozitif sayıları + + = 1 eşitliğini sağlasınlar. O halde,
1√
1 √
1
1
1
1 √
3
3
3
1+−+
1+−+
1+−
+
+
≥
eşitsizliğinin sağlanacağını gösteriniz. (Antalya M.O. 2008)
32. ≥ 1 ≥ 2 ≥ 3 ve + + = 10 ise,
p
p
p
( ) = 2 − 1 + 2 − 4 + 2 − 9
ifadesinin alabileceği en büyük değerin 8 olduğunu gösteriniz ve yukarıdaki koşullar
altında ( ) = 8 eşitliğini sağlayan ( ) üçlüsünü bulunuz. (Antalya M.O.
2009)
106
Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 ­ Mustafa Özdemir
33. Şekildeki üçgeninin alanı 1 ve üç küçük
üçgenin alanları da birim karedir. Bu du­
rumda,
1 1 1
+ + 18
olduğunu gösteriniz. (Antalya M.O. 2009)
C
a
b
c
A
34. 0 0 0 ve 0 olmak üzere,
¶
µ
¶
µ
6 2 + 2
2 + 2
2 + 2
+
+
+
+
+
+ 5 + 5 + 5
2 + 2 + 2 +
ifadesinin alabileceği en küçük değerin 6 olduğunu gösteriniz. (Antalya M.O. 2009)
35. ve pozitif sayılar olup + + = 3 sağlansın. Bu durumda,
1
1
1
3
√ ≥
√ +
√ +
1 + 3 1 + 3 1 + 3
2
olduğunu gösteriniz. (Antalya M.O. 2010)
36. pozitif sayılar olup, + + = 1 sağlansın. Bu durumda,
√
√
2 · + + · + + ≤ ( + ) + ( + ) + ( + )
olduğunu kanıtlayınız. (Antalya M.O. 2010)
37.. ∈ R+ olmak üzere
3
+
+
≥
+ + +
2
eşitsizliğini, yeniden düzenleme eşitsizliğini kullanarak ispatlayınız.
38. ∈ R+ ve = 1 ise,
¡
¢
3 + 3 + 3 + ()3 + ()3 + ()3 2 2 + 2 + 2
olduğunu ispatlayınız.
39. ∈ R+ için,
2
2
2
+ 2+ 2 ≥ + +
2
olduğunu ispatlayınız.
40. ∈ R+ için,
1
1
1
++
+ 2+ 2 ≥
olduğunu ispatlayınız.
2
B
107
Eşitsizlikler
41. bir üçgenin kenar uzunluklarını göstermek üzere,
+
+
≥3
+− +− +−
olduğunu gösteriniz.
42. 1 2 ∈ R+ ve = 1 + 2 + · · · + ise,
2
1
+
+ ··· +
≥
− 1 − 2
−
−1
olduğunu ispatlayınız.
43. 1 2 ∈ R+ ve = 1 + 2 + · · · + ise,
2
+
+ ··· +
≥
− 1 − 2
−
−1
olduğunu ispatlayınız.
44. bir konveks dörtgen olmak üzere, || || ≤ || ||+|| ||
olduğunu ispatlayınız. Eşitlik durumu ne zaman mümkündür? (Ptolemy Eşitsizliği)
45. , üçgeninin kenarortayları ve üçgenin kenarları olmak üzere,
3
( + + ) + + + +
4
eşitsizliğini gösteriniz.
46. , üçgeninin kenarortayları, üçgenin kenarları ve çevrel
çemberin yarıçapı olmak üzere,
2 + 2
2 + 2 2 + 2
+
+
≤ 12
olduğunu ispatlayınız.
47. , üçgeninin kenarortayları, üçgenin kenarları ve çevrel
çemberin yarıçapı olmak üzere,
¡
¢
¡
¢
¡
¢
− 2 + − 2 + − 2 ≥ 0
olduğunu ispatlayınız.
48. üçgeninin kenarları olmak üzere, ise
3
1
( − ) − ( − )
2
2
olduğunu ispatlayınız.
108
Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 ­ Mustafa Özdemir
49. üçgeninin kenarları olmak üzere
2
3 ( + + ) ≤ ( + + ) ≤ 4 ( + + )
olduğunu gösteriniz.
50. üçgeninin kenarları olmak üzere,
+ + ≤ 2 + 2 + 2 ≤ 2 ( + + )
olduğunu gösteriniz.
51. üçgeninin kenarları olmak üzere,
¡
¢
2 2 + 2 + 2 ≤ ( + + )2
olduğunu gösteriniz.
52. üçgeninin kenarları olmak üzere, + + = 3 ise,
√
3≤++≤2 3
olduğunu gösteriniz.
53. üçgeninin kenarları olmak üzere, + + = 2 ise,
olduğunu gösteriniz.
( − ) ( − ) ≤
54. üçgeninin kenarları olmak üzere, + + = 2 ise,
+ +
( − ) ( − ) + ( − ) ( − ) + ( − ) ( − ) ≤
4
olduğunu gösteriniz.
55. altıgenin kenarları arasında, || = || || = || ve
| | = | | eşitlikleri vardır. Buna göre,
|| || | |
3
+
+
≥
|| || | |
2
olduğunu ispatlayınız. (Shortlist ­ 1997)
56. , üçgeninin kenarları ve () = olmak üzere,
√
√
3
4 3 ≤ 3 2 2 2
olduğunu ispatlayınız.
109
Eşitsizlikler
57. üçgeninin kenarları olmak üzere, üçgeninin alanı ise,
√
+ + ≥ 4 3
olduğunu gösteriniz.
58. üçgeninin kenarları olmak üzere, üçgeninin alanı ise,
√
3 ( + + )
≤ 4 3
+ +
olduğunu gösteriniz.
59.. üçgeninin kenarları olmak üzere, + + = 1 ise,
1
2 + 2 + 2 + 4
2
olduğunu gösteriniz.
60. pozitif reel sayılar olmak üzere,
√
+√
+√
≥1
2
2
2
+ 8
+ 8
+ 8
eşitsizliğini ispatlayınız.
61. 1 2 ∈ R+ ve 1 + 2 + · · · + = 1 ise,
2
1
+
+ ··· +
≥
2 − 1 2 − 2
2 −
2 − 1
olduğunu ispatlayınız.
62. 1 ve
1 1 1
+ + = 2 olduğuna göre,
p
√
√
√
++ ≥ −1+ −1+ −1
eşitsizliğini ispatlayınız. (İran ­ 1998)
63. ∈ R+ olmak üzere, = 2 ise,
√
√
√
3 + 3 + 3 ≥ + + + + +
olduğunu ispatlayınız.
64. pozitif reel sayılar olmak üzere, + + = 1 ise
p
+ + + 2 ( + + ) ( + + ) ≤ + +
olduğunu gösteriniz. (Ukrayna ­ 2001)
110
Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 ­ Mustafa Özdemir
65. negatif olmayan reel sayılar olmak üzere, + + = 1 ise
1
1
5
1
+
+
≥
+ + +
2
olduğunu ispatlayınız.
66. pozitif reel sayılar olmak üzere,
eşitsizliğini ispatlayınız.
3
3
3
2 2 2
+ 2+ 2 ≥
+
+
2
67. üçgeninin içinde bir nokta olsun. ise, b b ve b
açılarının açıortaylarının ve kenarlarını kestiği noktalar olsun.
| | + | | + | | ≥ 2 (| | + | | + | |)
olduğunu ispatlayınız.
68. pozitif reel sayılar olmak üzere, + + + = olsun.
Buna göre,
s
( + ) ( + ) ( + )
cos + cos + cos + cos ≤
olduğunu ispatlayınız.
69. reel sayısı için = 8 ise,
−2 −2 −2
+
+
≥0
+1 +1 +1
olduğunu ispatlayınız.
70. + + = 1 olacak şekilde pozitif reel sayıları verilsin.
1
1
27
1
1 +
1 +
1 ≤ 31
+ +
+ +
+ +
eşitsizliğini ispat ediniz. (Sırbistan ­ 2008)
71. + + = 1 olacak şekilde pozitif reel sayılar olsun.
− − −
3
+
+
≤
+ + +
2
olduğunu ispatlayınız. (Kanada ­ 2008)
111
Eşitsizlikler
1 1 1
+ + olacak şekilde pozitif reel sayılar olsun.
3
2
++≥
+
+ +
olduğunu ispatlayınız. (Peru ­ 2007)
72. + + ≥
1 1 1 1
73. ∈ R+ olmak üzere, + + + = 4 ise
r
r
r
r
3
3
3
3
3
3
3
3
3 +
3 +
3 +
3 +
+
+
+
≤ 2 ( + + + ) − 4
2
2
2
2
olduğunu ispatlayınız. (Polonya ­ 2007)
74. Eğer pozitif reel sayılar ise,
¡
¢¡
¢¡
¢
( + + )2 ( + + )2 ≤ 3 2 + + 2 2 + + 2 2 + + 2
olduğunu ispatlayınız.
75. ve bir üçgenin kenarları olsun.
√
√
√
+−
+−
+−
√
√ +√
√
√
√ +√
√
√ ≤3
+ −
+ −
+ −
olduğunu ispatlayınız.
76. 0 ve + + = 1 olsun.
p
p
p
√
3 + + 3 + + 3 + ≥ 2 + +
olduğunu ispatlayınız. (İran ­ 2008)
77. 1 + · · · + = 0 şartını sağlayan tüm 1 2 reel sayıları için
1 2 + 2 3 + · · · + −1 + 1 ≤ 0
eşitsizliğini sağlayan ≥ 3 pozitif tamsayılarını bulunuz. (Baltık Way ­ 1999)
78. 3 6 12 ve 2 − 2 + 2 − 2 = 1749 olacak şekilde ve
asal sayıları verilsin. 2 + 2 + 2 + 2 ifadesinin alabileceği tüm değerleri bulunuz.
(Baltık Way ­ 1999)
79. Aritmetik ortalaması olan, 1 sayıları için,
1
(1 − )2 + · · · + ( − )2 ≤ (|1 − | + · · · + | − |)2
2
eşitsizliğinin sağlandığını gösteriniz. (Baltık Way ­ 1997)
112
Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 ­ Mustafa Özdemir
olduğuna göre, ve sayıları,
2
i) 0 ve tan , tan ve tan ’nın aritmetik ortalamasıdır.
2
1
1
1
ii) 0 ve
,
ve
’nın aritmetik ortalamasıdır.
2
cos cos
cos
koşullarını sağladığına göre, olduğunu ispatlayınız. (Baltık Way ­ 1998)
80. 0
81. Bir üçgenin iç açıları ve olmak üzere, bu açıların karşılarındaki kenarları
sırasıyla ve ile gösterelim. Buna göre,
1
1
1
1
1
1
( + ) + ( + ) + ( + ) ≥ 2( + + )
eşitsizliğini ispatlayınız. (Baltık Way ­ 1994)
82.
3 − 1
2
≥ olduğunu gösteriniz. (Baltık Way­ 1992)
3+1
3
=2
100
Q
83. 1 2 pozitif reel sayılar ve = 1 + 2 + · · · + olsun. O halde
√
√
√
(2 + ) (2 + 1 2 + 2 3 + · · · + 1 ) ≥ 9( 1 2 + 2 3 + · · · + 1 )2
olduğunu ispatlayınız. (Baltık Way ­ 2007)
84. dizisi 1 = 1 2 =
tanımlansın.
1
1
1
olarak
ve ≥ 1 için +2 = + +1 +
2
2
4 +1
1
1
1
1
+
+
+ ··· +
4
1 3
2 4 3 5
98 100
olduğunu ispatlayınız. (Baltık Way ­ 2005)
85. ∈ R+ ve + + = 1 olduğuna göre,
µ
¶2 µ
¶2 µ
¶2
1
1
100
1
+ +
+ +
≥
+
3
olduğunu gösteriniz
1
P
ve ≥ 3 olduğuna göre,
2
=1
7 1
19
1
−
−
12 + 1
4
olduğunu ispatlayınız.
86. =
113
Eşitsizlikler
87. ∈ R+ ve ∈ N olsun. Eğer = 1 ise, o halde
1
1
1
+
+
≤1
+ + 1 + + 1 + + 1
olduğunu gösteriniz. (Baltık Way ­ 2004)
88. = 1 olacak şekilde ve pozitif reel sayıları verilsin.
r
r
r
3
3
+
+ 3 )
(1 + ) (1 + ) (1 + ) ≥ 2(1 +
olduğunu ispatlayınız. (Baltık Way ­ 2003)
89. pozitif reel sayıları verilsin.
2
2
2
+
+
≤
+
+
2 + 2 + 2 +
olduğunu ispatlayınız. (Baltık Way ­ 2003)
90. ≥ 2 için ( ) dizisi
1 =
√
2 2 = 2 ve +1 = 2−1
olarak tanımlansın. Her ≥ 1 için
³
√ ´
(1 + 1 ) (1 + 2 ) · · · (1 + ) 2 + 2 1 2 · · ·
oldğunu ispatlayınız. (Baltık Way ­ 2003)
91. ∈ Z+ ve 1 + 2 + · · · + = 1 olacak şekilde negatif olmayan tüm
1 2 reel sayıları için
P
1
2
(1 − ) ≤ (1 − )2
=1
eşitsizliğini ispatlayınız.(Baltık Way ­ 2002)
92. Tüm pozitif reel sayıları için
p
p
p
2 − + 2 + 2 − + 2 ≥ 2 + + 2
olduğunu ispatlayınız. (Baltık Way ­ 2000)
93. ≥
1
bir reel sayı ve bir pozitif tamsayı olsun.
2
2
2 ≥ ( − 1) + (2 − 1)
olduğunu ispatlayınız. (Baltık Way ­ 2000)
114
Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 ­ Mustafa Özdemir
94. Her pozitif tamsayısı için
(2 + 1) (2 + 3) · · · (4 − 1) (4 + 1)
=
2 (2 + 2) · · · (4 − 2) 4
√
2
1
olsun.
− 2 olduğunu ispatlayınız. (Baltık Way ­ 2000)
4
95. pozitif reel sayılar olmak üzere,
P
1
27
≥
2
2 ( + + )
( + )
olduğunu gösteriniz (Junior Balkan ­2002)
96. bir dikdörtgen, sırasıyla, [] [] [] ve [] ke­
narları üzerinde noktalar olsun. Eğer, , dörtgeninin çevresi ise aşağıdakileri
ispatlayınız.
i) ≥ || + ||
ii) Eğer, = || + || ise ( ) ≤ () 2
2
2
2
iii) Eğer, = || + || ise | | + | | ≥ ||
(J. Balkan Team Selection ­1998)
97. ∈ (0 1) olmak üzere,
√
p
+ (1 − ) (1 − ) (1 − ) 1
olduğunu gösteriniz. (J. Balkan Team Selection ­2002)
98. ve pozitif tamsayılar olmak üzere,
≤ 2000 ve = 3 −
ise sayısının en küçük değerini bulunuz. (J. Balkan Shortlist ­2000)
99. ∈ R+ olmak üzere,
6= 6= 2 6= 2 6= 3 ve
ise,
2 −
+ 3
=
2 −
− 3
2 + 2
≥ 1 olduğunu gösteriniz. (J. Balkan Shortlist ­2000)
2 − 2
√
√
√
100. 2 − 1 + 2 − 1 + 2 − 1 ≥ + + eşitsizliğini sağlayan tüm
( ) üçlülerini bulunuz. (J. Balkan Shortlist ­2000)
115
Eşitsizlikler
101. ∈ R+ ve = 1 ise
√
√
√
3 + 3 + 3 + + + + +
eşitsizliğini gösteriniz. (J. Balkan Shortlist ­2002)
102. 1 = 2 = 1 ve +2 = + +1 biçiminde tanımlanan Fibonacci dizisi
veriliyor.
2
3
5
1
1
+
+
+ 5 + ··· + 2
+
2 22 23 24
2
2
olduğunu ispatlayınız.
103. Bir üçgeninin kenarları ve iç teğet çemberinin yarıçapı da olmak
üzere,
1
1
1
1
+ 2+ 2 ≤ 2
2
4
olduğunu ispatlayınız. (Türkiye ­ 2005)
104. Her ∈ R için,
p
p
p
p
√
4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 ≥ 2 2 ( + )
olduğunu ispatlayınız. (Türkiye ­ 2005)
105. 0 ≤ ≤ ≤ reel sayıları için,
( + 3) ( + 4) ( + 2) ≥ 60
olduğunu ispatlayınız. (Türkiye ­ 1998)
106. Bir üçgeninin iç teğet çemberi, [] [] ve [] kenarlarına sırasıyla
1 1 ve 1 noktalarında teğettir. Buna göre,
s
s
s
3
|1 |
|1 |
|1 |
+
+
≤√
||
||
||
2
olduğunu ispatlayınız. (Türkiye ­ 2009)
107. 1 2 ∈ R sayıları için, 1 +2 +· · ·+ = ve 21 +22 +· · ·+2 = 2
ise
P
( − 1)2
≥
−1
6=
olduğunu ispatlayınız. (Türkiye ­ 2006)
116
Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 ­ Mustafa Özdemir
108. Bir dar açılı üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı olsun. ve
’den kenarlara inilen dikmelerin, kenarları kestiği noktalar sırasıyla 0 0 ve 0
olsun. |0 | = 1 | 0 | = 2 ve | 0 | = 3 diyelim. Eğer, 1 2 ve 3 sırasıyla
ve ’den 0 0 0 üçgeninin çevrel çemberine çizilen teğetlerin uzunlukları ise,
2
2
3
21
+ 2 + 3 ≤
1 2 3
2
olduğunu ispatlayınız. (Türkiye ­ 1998)
109. pozitif reel sayılar olmak üzere, + + = 1 ise,
2 2
2 2
3
2 2
+
+
≥
3
2
2
3
2
2
3
2
2
( − + ) ( − + ) ( − + )
+ +
olduğunu ispatlayınız. (Türkiye ­ 2007)
110. pozitif reel sayılar olmak üzere, + + = 1 ise
√
¢2
¡√
√
√
27
++ ++ + ≥6 3
( + ) ( + ) ( + ) ≥
4
olduğunu gösteriniz. (Türkiye ­ 2006)
111. 1 2 pozitif reel sayılar olmak üzere, 21 + 22 + · · · + 2 = 1 ise,
P
5
=1 1 + 2 + · · · + −
toplamının minimum değerini bulunuz. (Türkiye ­ 1997)
112. Bir kirişler dörtgeninin alanını ve çevresini sırasıyla ve ile göstere­
lim. kirişler dörtgeninin çevrel çemberinin herhangi bir teğetler dörtgeninin alanı
ve çevresi de sırasıyla ve olsun. Buna göre,
µ
¶2
≥
olduğunu ispatlayınız. (Türkiye ­ 1999)
KAYNAKLAR
1. Aliyev İ., Özdemir M., Şıhaliyeva D., Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları
Sorular ve Çözümler, 1996­2010, Altın Nokta Yayınları, 2011.
2. Alizade R., Ufuktepe Ü., Sonlu Matematik, TÜBİTAK Yayınları, 2006.
3. Andreescu T.; Feng Z., 101 Problems in Algebra from The Training of The USA
IMO Team, Australian Mathematics Trust, 2001.
4. Andreescu T., Feng Z., 102 Combinatorial Problems from The Training of The USA
IMO Team, Birkhäuser, 2002.
5. Andreescu T., Feng Z., 103 Trigonometry Problems from The Training of The USA
IMO Team, Birkhäuser, 2005.
6. Andrescu T, Andrica D., Feng Z., 104 Number Theory Problems from The Training
Of The USA IMO Team, Birkhäuser 2007.
7. Andrescu T., Enescu B., Mathematical Olympiad Treasures, Birkhäuser, 2006.
8. Andrescu T, Feng Z., Mathematical Olympiads, 1996­1997: Problems and Solu­
tions From Around The World, The Math. Association of America, 1998.
9. Andrescu T, Feng Z., Mathematical Olympiads, 1997­1998: Problems and Solu­
tions from Around The World, The Math. Association of America, 1999.
10. Andrescu T, Feng Z., Mathematical Olympiads: Problems and Solutions from
Around The World 1998­1999, The Math. Association of America, 2000.
11. Andrescu T, Feng Z., George L., Mathematical Olympiads, 1999­2000: Problems
and Solutions from Around The World, The Math. Association of America, 2002.
12. Andrescu T, Feng Z., George L., Mathematical Olympiads, 2000­2001: Problems
and Solutions from Around The World, The Math. Association of America, 2003.
13. Arthur E., Problem ­ Solving Strategies, 1999, Springer.
14. Balcı M., Matematik Analiz, Cilt 1., Balcı Yayınları, 2008.
15. Bin X., Peng Yee L., Mathematical Olympiad in China Problems and Solutions,
East China Normal University Press and World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd.,
2007.
16. Don R., Number Theory, An Introduction, Marcel Dekker, Newyork, 1996.
17. Dickson L. E., First Course in The Theory of Equations, J.Wiley & Sons, 1922.
18. Doob M., The Canadian Mathematical Olympiad 1969–1993, University of
Toronto Press, 1993.
19. Efthimiou C., Introduction to Functional Equations and Inequalities, 2010.
20. Felda Darjo, (by Translated), 40 National Math. Olymp. in Slovenia, Soc. of.
Math., Phy. and Astr. of Slovenia, 1996.
21. Fomin D., Kirichenko A., Leningrad Mathematical Olympiads 1987–1991, Math­
Pro Press, 1994.
118
Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 ­ Mustafa Özdemir
22. Fomin D., Genkin S., Itenberg I., Mathematical Circles, American Mathematical
Society, 1996.
23. Gerald L. A., Klosinski L. F., Larson L. C., The William Lowell Putnam Math­
ematical Competition Problems and Solutions: 1965­1984, 1985, The Mathematical
Association of America.
24. Greitzer S. L., Uluslararası Matematik Olimpiyatları 1959 ­ 1977, TÜBİTAK
Yayınları, 1984.
25. Gürlü Ö., Meraklısına Geometri, Zambak Yayınları, 2005.
26. Honsberger R., From Erdos to Kiev Problems of Olympiad Caliber, The Mathe­
matical Association of America, 1996.
27. Honsberger R., In Polya’s Footsteps, Miscellaneous Problems And Essays, The
Mathematical Association of America, 1997.
28. Honsberger R, Mathematical Diamonds, The Mathematical Association of Amer­
ica, 2003.
29. Karakaş H. İ., Aliyev İ., Sayılar Teorisinde İlginç Olimpiyat Problemleri ve
Çözümleri, TÜBİTAK Yayınları 1999.
30. Karakaş H. İ., Aliyev İ., Analiz ve Cebirde ilginç olimpiyat problemleri ve Çözüm­
leri, TÜBİTAK Yayınları 1999.
31. Kazarinoff N. D., Geometric Inequalities, New Mathematical Library,Vol. 4,
Random House, 1961.
32. Klamkin M, USA Mathematical Olympiads 1972­1986 Problems And Solutions,
Mathematical Association of America, 1989.
33. Klamkin M., International Mathematical Olympiads, 1978–1985, NewMathe­
matical Library, Vol. 31, Mathematical Association of America, 1986.
34. Kızılırmak A., Akbulut F., Cevdet Bilsay’dan Bir Demet, Ege Ün. Yay., Bornova,
1975.
35. Kuczma M., 144 Problems of The Austrian–Polish Mathematics Competition
1978–1993, The Academic Distribution Center, 1994.
36. Larson L. C., Problem ­ Solving Through Problems, Springer ­ Verlag, 1992.
37. Lidsky V., Ovsyannikov L., Tulaikov A., and Shabunin M., Problems in Elemen­
tary Mathematics, Mir, Moscow: 1973
38. Manfrino, R. B., Ortega J.A.G., Delgado R.V., Inequalities, A Mathematical
Olympiad Approach, Birkhäuser, Berlin, 2009.
39. Nesin A., Matematiğe Giriş 1, Sezgisel Kümeler Kuramı, Nesin Yayıncılık, 2008.
40. Salkind C. T., The Contest Problem Book, Random Hause, 1961.
41. Shanks D., Solved and Unsolved Problems in Number Theory, 1978, Chelsea Pub.
Company, New York.
42. Shklarsky D. O., Chentzov N. N., Yaglom I. M., The USSR Olympiad Problem
Book, Dover Pub. 1994.
KAYNAKLAR
119
43. Yücesan R., Meraklısına Matematik, Zambak Yayınları, 2005.
44. Terzioğlu N., İçen O., Saban G., Şahinci H., Analiz Problemleri, Şirketi Müret­
tibiye Basımevi, 1962.
45. Töngemen M., TÜBİTAK Ulusal Matematik Olimpiyat Soru ve Çözümleri, 1993­
2006, Altın Nokta Yayınları, 2006.
46. TÜBİTAK, Liselerarası Mat. Yarışması Soruları ve Çözümleri, 1969­1983, TÜBİTAK
Yayınları, 1983.
47. Türk Matematik Derneği, Matematik Dünyası Dergileri, 2000 ­ 2008.
48. Özdeğer A., Özdeğer N., Çözümlü Analiz Problemleri Cilt 1, Kuşak Ofset, 1995.
49. Öztunç M. K., Trigonometri Problemleri, İrem Yayınevi, 1965.
WEB KAYNAKLARI
1. The art of problem solving, http://www.artofproblemsolving.com.
2. Estonian Math Competitions,
http://www.math.olympiaadid.ut.ee/eng/html/index.php
3. Mathematical Excalibur Journal, http://www.math.ust.hk/excalibur/.
4. Crux Mathematicorum with Math. Mayhem, Canadian Math. Society,
http://journals.cms.math.ca/CRUX/.
5. Bulgarian Competitions in Mathematics and Informatics,
http://www.math.bas.bg/bcmi/index.html.
6. Problems from Olympiads,
http://www.imomath.com/index.php?options=oth|other&p=0.
7. Canadian Math. Olympiads, http://www.math.ca/Competitions/CMO/
8. Wisconsin Math. Enginering and Science Talent Saerch Problem Page,
http://www.math.wisc.edu/~talent/problems.html.
9. Kalva Math.Problems , John Scholes, http://www.kalva.demon.co.uk/.
10. William Lowell Putnam Mathematics Competition Problems,
http://www.unl.edu/amc/a­activities/a7­problems/putnamindex.shtml.
11. AMC USAMO/MOSP/IMO & Others Problems,
http://www.unl.edu/amc/a­activities/a7­problems/problemUSAMO­IMOarchive.shtml.
12. Problems in Elemantary Number Theory, http://www.problem­solving.be/pen/.
13. Lecture Notes of Dr.David A. Santos, http://faculty.ccp.edu/faculty/dsantos/.
14. The Harvard MIT Mathematic Tournament, http://web.mit.edu/hmmt/www/.