Ahmet Karadeniz - Yüksek Matematik Problem Çözümleri

Onikinci Baskı 2011 ISBN: 978-975-436-064-6 © Prof. Ahmet A. Karadeniz (Z. Çınar - H.U. Karadeniz) Türk Ceza Kanunu ve 5846 sayılı F.S.E. Kanunu gereği her hakkı mahfuzdur. Bu kitap veya bir kısmı Çağlayan Kitabevi ve Yazarın müsaadesi alınmaksızın tab ve kopya edilemez. Baskı ve Cilt: Avcı Ofset Matbaacılık Davutpaşa Cad. İpek İş Merkezi No:6/13 Zeytinburnu - İstanbul İÇİNDEKİLER BİRİNCİ KISIM FORMÜLLER, TANIMLAR, KURALLAR, TEOREMLER 1 2 3 4 5 6 7 8 — — — — — — — — C e b ir ......................... 4 Geometri . ............. ............................................................................11 T r ig o n o m e tr i.................................................................. 15 Hiperbolik f o n k s iy o n la r ......................... 21 Analitik g e o m e t r i .............................................. 23 Diferansiel hesap . ........................................ 36 întegral hesabı ........ ..................................................... 47 D iferansiel d en k lem ler..........................................................................69 İKİNCİ KISIM PROBLEMLER 1 — Determinantlar ......................................................................................77 2 — F o n k siy o n la r ......................................................................... 90 3 — L im it ........................................................................................................... 93 4 — Türev 104 5 — Türevin çeşitli uygulam aları 6 — Parametrik denklemler ......................................................... 122 ....................................................................154 7 — Kutupsal denklemlerde eğri ç i z i m i ...............................................164 8 — Sonsuz küçükler, Diferansiel, E ğ r i l i k ..................... ..... 9 — Belirsiz şekiller . . 181 ....................................................................................195 10 - - Belirsiz in t e g r a l.......................................... 213 11 — Belirli integral 253 ............................................... 12 — S e r i l e r .................................... 285 13 — Kısmi t ü r e v l e r .................................... 316 14 — D iferansiel denklemler ....................................................................347 15 — K atlı in te g r a lle r ............................................... 417 16 — Kompleks sayılar 448 ......................................................................... BlRÎNCt KISIM Formüller Tanımlar Kurallar Teoremler 1. 1. CEBİR BAŞLICA KANUNLAR. Komütatiflik kanunu : a-\-b^b-\-a , ab^ba Asosiyatiflik kanunu : a + (6 + c ) = (a+6)-|-c ; a{bc) = (ab)c Distribütiflik kanunu : a(b-t-c) = ab-\-ac 2. KUVVET KANUNLARI. ; (a by^â^ b^ ; 0 5^0 olarak, a = l = a^-y ; a a" = Va 3. SIFIRLA İŞLEMLER. a—a = 0 aÔ 4. olarak, , aX 0=0X a = 0 -“ = 0 , 0“= 0 , a ° = l (sıfıra bölme imkânsızdır). KOMPLEKS SAYILAR. a ve b reel sayılar olarak a~{-bi şeklindeki bir sayı kompleks sayıdır. î = ^ —1 , P= —1 , P——i , a-{-bi=^c+di olması için a= c , b==d olması gerek ve yeterdir. (a + ^ 0 + (c4-c?0 == (a+ c) + (6+d)z (a + bi) (c+dz) = (ac —bd) + (ad + bc)i a-f-6z* c-ydi ac-\-bd (a+6z‘)(c—di) (c-j-di) (c—di) r= \/a ^ + 6^ ve tg<p= , bc—ad . H ----T-r-iT- I olarak: o+6z*=r (cos<p4-z sin(p)=re‘^ 4 Formüller, Tanımlar, Kurallar, Teoremler 5. LOGARİTMA KANUNLARI. A, B, a pozitif sayılar ve a^^l ise. A lo g . ^ = lo g . A —loğa B lo g , A B= lo g , A + log„ B , loğa A"= n loğa A log„a=fl 6. , log. V A = ^ log, A , log„ , loğa 1 = 0 , lo ğ aA = lo g iA lo g „6 = —log, A lo g iA lögio BİNOM TEOREMİ. n pozitif bir sayı ve n 1 = l '2 '3 - 4 ••• (n—!)• n olarak: ( a + 6)"= a "+ n + 7. 6+ •••" b^+ ....^ 6"->+6” ö»-.-+ı (r-l)l BAŞLICA ÖZDEŞLİKLER. { a ± b y = a ^± 2 a b + b^ ( a ± b y = a ^ ± 3 a H + 3ab^±b^ (a + 6 4- c)^ = -j- 6^ + + 2ab + 2ac + 2bc a ^ ^ b ^ ^ ( a - b ) (a + b) a3 53 _ ( a - b) (a2+ ab + b^) ^ ^ ^2) 6" = (a - b) (a"-*+ a r-H + ....+ 6"-') a” — 6" = (a + 6+ —6"~^) (n çift ise) a” + 6" = (a -f" (a"“ ^— a"’ ^b + + ^ ”“0 + 0^62 + 6^ = (a2 + ab + b^) {a^ - a b + b^) 8. *se) ORAN VE ORANTI. a a T dir. c a b j. — = - r dır. c d ise a d = bc k ise k g + c + e + » — _ pa+gc+re-jrb + d + f + .... “ pb-\-qd+rf+- Cebir 9. 5 ARİTMETİK DİZİ. a , a-\- r y a + 2r , a + 3 r , ............. a: birinci terim, r : ortak fark, n : terim sayısı, /: son terim ve S: ilk n terimin toplamını göstermek üzere: 1=^ a + {n — \ ) r , S = y (a + /) d ir.'a ve b sayılarının aritmetik ortalaması dir. 10. GEOMETRİK DİZİ. a , aq aq^ aq^y a: ilk terim, q: ortak çarpan, n: terim sayısı, /: son terim ve Sn: ilk n terimin toplamı ise: / dir. . S. = a^ <7— 1 aq ql—a q— \ < 1 halinde n sonsuz olarak arttığı zaman Sn in limiti S = --^ dir. a b sayılarının geometrik ortalaması âb dir. 11. HARMONİK DİZİ. Bir aritmetik dizinin terimlerinin terslerinin teşkil ettiği diziye harmonik dizi denir. Bu da: 1 1 1 a ’ a + r * a+2r * -----şeklindedir, a ve 6 sayılarının harmonik ortalaması 2ab dir. a-\- b 12. PERMÜTASYONLAR. 72 tane şeyin (eleman) muhtelif şekilde sıralanmalarının herbirine permütasyon denir. Birbirinden farklı n şeyin r tanesi alınıp muhtelif şekilde sıralanabilir, n tane şeyin r lik permütasyonlarının toplam sayısı: = 72(72 - 1) (72 - 2 ) .......... ( n - r + 1) = n\ )! 6 Formüller f T artımlar ^ Kurallar, Teoremler dir. n tane şeyin hepsinin birden ahnmasiyle elde edilecek permütasyonlarımn sayısı, yukarıdaki ifadede r = n alınarak P / - n ( n - l ) ( n ~ 2 ) .............. 3 * 2 * 1 - n! dir. 13. KOMBİNEZON. n tane şeyden, sıralama göz önüne alınmadan, r tanesinin toplu bir halde alınmasile elde edilen guruba n şeyin bir kombinezonu denir. n tane şeyden her defasında r tane almakla elde edilen bütün kombi nezonların sayısı: C/ ?n" rî n(n — l) - ->(n — r + l ) r ( r - l) ...l n! rl(n -r)! dır. 14. İHTİMAL. Bir olayın meydana gelmesine uyan haller sayısının, mümkün olan bütün haller sayısına oranına ihtimal denir. Olayın meydana gelmesine uyan haller sayısı p ve mümkün olan haller sayısı da q ise ihtimal p!q dür. 15. KALAN TEOREMİ. Bir f(x) çokterimlisinin x — a ya bölümünden elde edilen kalan /(a) ya eşittir, /(a) 0 ise f{x) çokterimlisi x — a ya bölünebiliyor demektir. 16. DETERMİNANTLAR. n. mertebeden bir D determinantı: ûll an .............. «21 ^22 ......... a2n • a„ı şeklinde olup: 0 K^) a«2 .............. ana aii ü2j a^k • • • âni toplamı ile tanımlıdır. Burada n l terim mevcuttur. Cebir üij elemanının A,y çarpanı, D determinantında (z) yinci satırla (y) yinci sütunun kaldırılması suretile elde edilen determinantın (—I)'"’’-' ile çarpımına eşittir. A,y ye a,; elemanının eşçarpanı denir. Determinantlar için şu teoremler söylenebilir: /. Bir determinantda satırlarla sütunlar yer değiştirirse determi nant değişmez, 2, Bir determinantda iki satır veya sütun aralarında yer değişti’ rirse determinant işaret değiştirir, 3, iki satır veya sütunu birbirinin ayni olan bir determinant sıfıra eşittir, 4, Bir determinantda bir satır veya sütunun elemanları m gibi bir sayı ile çarpılırsa determinantın değeri de bu sayı ile çarpılmış olur, 5, Bir determinantda bir satır veya bir sütunun bütün elemanları bir m sayısı ile çarpıldıktan sonra, diğer bir satır veya sütunun karşılık ^ elemanlarına ilâve edilirse determinantın değeri değişmez, 6, D - A m i ay A'ij 4 ..........+ 7, j / k olarak : a\j A\k 4^ 02/ A 2İC ı’' ......... 4“ 8, i - 1,2, , , , , n ve D ^ 0 olarak: an Xı 4 “ Üİ2 X 2 + .........................+ A„j Xn (y - 1,2, , , ,n) -= ^nk "= 0 dır, Ci denklem sisteminin bir tek çözümü vardır ve: D X\ Al , D X2 A2 , . . , , D Xa=^ A„ dir. A/, , D determinantında (k) yinci sütundaki elemanlar yerine Cj, C2 ......... . c„ Itri yazmak suretile elde adilen determinant dır. Örnek /. «n «12 «13 «21 «22 «23 «31 «32 «33 «11 «22 «23 «12 «32 «33 «21 «23 4~ «13 «31 «33 -^ a\\ ûj i («22 «33 ^33 - «32 «2s) — «12 («21 «33 ~ «31 «i'i) T «13 («21 «32 «21 «22 «31 «32 «31 «22) Formüller^ Tanımlar^ Kurallar^ Teoremler Örnek 2. Aşağıdaki denklem sistemini çözünüz. 2 x — ^ + 3z = — 7 5 x-2 y- z= = l 4x + 3 y + z = l l 3 -7 -1 1 - 2 ~1 3 11 1 2 -1 3 5 —2 —1 4 1 3 z= 80 80 2 -7 3 5 1 -1 4 11 1 3 2 —1 5 -2 -1 1 4 3 , ^ ^ 2 —1 - 7 1 5 -2 4 3 11 2 -1 3 5 —2 --I 3 4 1 ~160 80 =- 240 -3 80 2 17. İKİNCİ DERECE DENKLEMİ. a 9^ O olarak ax^ -f- -f- c == 0 ise x = b diz yjb^ — 4ac dır. a , b , c reel sayılar olarak: 6^ — 4ac>0 ise iki gfcrçel kök vardır. 6^ —4ac=0 ise iki katlı bir gerçel kök vardır. 6^—4ac<0 ise iki eşlenik kompleks kök vardır. 18. ÜÇÜNCÜ DERECE DENKLEMİ. y-^r=-0 denklemi y = x — şekline sokulur. Burada a = y ( 39 - P^) dir. xı t X2 , X3 çözümleri: dönüştürmesi yapılarak: + a;r -|- 6 = 0 b = - L ( 2 p ^ - ^ 9pq + 27r) Cebir 1 . A y 2 + y 4 'I~2 7 ’ ® V 2 V 9 4 ’^ 2 7 olarak ATı = A + B ; ;t2 , ;t3 = - ^ -(A + B ) ± - İ ^ ( A - B ) dir. f + y ; > « İse ise ise 19. n. DERECEDEN GENEL DENKLEM. P = C7o + öl + Ö2 + • . . • + «n-1 ^ = 0 71 > 4 ise bu denklemin köklerini veren bir formül bulunamaz. Bu halde aşağıdaki metodlar kullanılır : /. Çarpanlara ayırarak kök bulma ı Denklemi sağlıyan yani ao r^ + öl r"-^ + «2 + . . . + a„_ı r + a„ = 0 (oq9^0) olan bir r sayısı bulunuz. Bu takdirde a: — r, P nin bir çarpanıdır. P yi X — r e bölerek elde edilen denklem P den bir derece aşağı derece dedir. Bu suretle elde edilen denkleme de aynî metod uygulanarak denk lemin kökleri bulunabilir. P = 0 ın bütün kökleri —- m bölenleridir. 2. Köklerin yaklaşık olarak hesaplanması: x — a ve x = b için P değişik işaretlerde değer alıyorsa a ile b arasında denklemin bir kö kü vardır. Bu yoldan hareket edilerek kökler istenilen yaklaşıklıkta bulunabilir. 3, Grafik metodla kök bulma: P fonksiyonunun gösterdiği eğri nin ox eksenini kestiği noktaların x apsisleri P = 0 denkleminin gerçel kökleridir. Eğrinin, kök civarındaki kısmı daha büyük ölçekte çizilerek kök, mümkün olan yaklaşıkta bulunabilir. 10 Formüller t Tanımlar, Kurallar ^ Teoremler 20. a: " - a DENKLEMİNİN KÖKLERİ. Bu denklemin n kökü vardır. a > 0 ise a<0 ise ;r cos X « cos -{- V— i sın si (-----2Â :+'—l)7r' f; dir. Burada, ^ ya A: = 0, 1, 2, , . {n~~^) . V — 1 sın 21 ctz (2k + l)TZ değerleri verilecektir. 2. geom etri a, bt c, s ile uzunlukları, F ile alanları ve V ile hacunları gösterelim. 1. ÜÇGEN. Tabanı a, yüksekligfi h olarak alan: 2. DÎK DÖRTGEN. alanı F -= ab dir. F = ahj2 dir. Kenarlarının uzunlukları a ve b olduğuna göre 3. PARALELKENAR. Kenarlarının uzunlukları o, 6, yüksekliği h ve iki kenarı arasındaki açı 0 olduğuna göre alanı F ah -- ab sin 0 dir. 4. YAMUK. alanı: F 5. Paralel kenarları a, b ve yüksekliği h olduğuna göre ^ (a + b) dir. n KENARLI DÜZGÜN ÇOKGEN. 1 Bir kenarının uzunluğu a ise alan; F -- ^ n a} cotg Dışına çizilen dairenin yarı çapı İçine çizilen dairenin yarı çapı r= R= is e : 180” Z cosec — n cotg — a ^ — olarak : a = 2r tg ^ = 2R sin 6. 180” dır. DAİRE. (Şekil 1) c = çevre 50 merkez açısına karşılık yay uzunluğu R = yarıçap / -= s yay uzunluğuna karşılık kirişin uzunluğu D = çap h F = Alan 0 = merkez açısı (radyan cinsinden) =■ ok uzunluğu 12 Formülleri Tanımlar y Kur allar y Teoremler c = 271: R = 7î D s R0 = 4 TC—3,14159... D 0 = D Arc cos ~ I = 2 \İK‘ ~ d ^ K fi fi = 2R sin ^ =2d tg y yV 4R^-P=RcOSy 2 ^ 2 Şekil 1 A= R - r f 0= y = ^ = 2 A rc co sy = 2 A r c t g ^ = 2 Arc sin Dairenin alan ı: F=tcR^ Daire kesmesinin alanı F=yRs=yRê Daire parçasının alanı : F = daire kesmesi alanı — üçgen alanı 4 tcD^ = - y R 2 (0 - s in 0 ) - R^ Arccos — ( R - h ) \j2 R h -k ^ Daire içine çizilmiş n kenarlı bir düzgün çokgenin çevresi: = 2/ıR sin — n Daire içine çizilmiş n kenarlı bir düzgün çokgenin alanı: 1 • 2tc = -tt ^ R sın — 2 n Kenarları daireye teğet olan n kenarlı bir düzgün çokgenin çevresi: TC = 2nR tg n Kenarları daireye teğet olan n kenarlı bir düzgün çokgenin alanı: = nR2 tg TC n Geometri 13 Kenarlan a, 6, c olan bir üçgenin içine çizilmiş olan dairenin yarı çapı : p= + olarak: r = y/< £Z L tikzzİM £Z L £) Üçgenin dışına çizilmiş olan dairenin yarı çapı abc R 4 ^ p ( p — a) ip— b) (p—c) dir. 7. ELİPS. Asal ve yedek eksenlerin yarı uzunlukları a we b olduğuna göre alanı F = Txab dir. 8. YAKLAŞIK ALAN HESABI. Düzlem bir şeklin birbirinden h ka dar uzaklıktaki paralel kirişlerinin uzunlukları yo, yı, ise bu şek lin alanının yaklaşık değeri : F= - [ i = -y yo+i^l + i/2 + ....+y»-l + + 4^1 + 2y 2+ 4ys + 2 ı/4 + (yamuk metodu) «• • + 2^„«2 + 4^„-ı + {n çift, simpson metodu) 9. KÜP. Bir kenarının uzunluğu a ve köşegeninin uzunluğu d is e : V= ; d = \/3 a ; Alan = F == 6a^ dir. 10. DİKDÖRTGENLER PİRİZMASI. Kenarlarının uzunlukları a, b, c ve köşegenin uzunluğu d olduğuna göre ; V âbc; c/= + 6^+c^; F == 2(a6 + 6c-f* ca) dır, 11. PİRİZMA VEYA SİLİNDİR. V = Taban alanı X yükseklik Yanal yüzün alanı == Dik kesit çevresi X yanal kenar 12. PİRAMİT VEYA KONİ. 1 V = y X taban alanı X yükseklik Yanal yüzün alanı = i X taban çevresi X yanal yükseklik 14 Formüllerf Tanımlary Kurallary Teoremler 13. KESİK PİRAMİT VEYA KESİK KONİ. Aı,A 2 tabanlarının alanları ve h yükseklik olduğ’una göre V = 3 -(A , + A ,+ Yanal yüzün alanı = .1 -^ X taban çevresi X yanal yükseklik 14. KÜRE. (Şekil 2). Kürenin alanı : F^47 î R^= tcD^ Küre kuşağı alanı : Küre hacm i: V = = o Küre kesmesi hacm i: ^ 4“ o 2 “3" Bir tabanlı küre parçası hacm i: ^ Şekil 2 1 '^'^3 (3r3^ + h-s^) İki tabanlı küre parçası hacm i: V = - y 7u^2(3r3^ -f 3r2^ + hi^) 3. TRİGONOMETRİ 1. AÇI BİRİMLERİ. Bir dik açının ı. bir derecedir. Bir dairede, yarıçapa eşit uzunluktaki bir yayı gören merkez açısı 1 radj/andır, 180® = 11 radyan, 1® = y— =0,01745 radyan, 1 radyan - = 57“ 17' 44' 2. BİR AÇININ TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARI, a, bir kenarı ox ekseni üzerinde ve tepesi orijinde olan bir açı olsun. Bu açının di ğer kenarı da P(a:,^) noktasını orijine bir leştiren doğru olsun, r de P nin O ya olan uzaklığı olsun. (r> 0 ) Şekil 3. Bunlara gö re a açısının trigonometrik fonksiyonları şu şekilde tanımlanır ? sına _ y cotg a = — y cosa = tg a 3. sec a = E. X cosec a = — y TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN İŞARETLERİ. Bölge sin cos I + + 11 + 111 IV cotg + + — — + — — + — + i ““ — 16 4. Formüller, Tanımlar, Kurallar, Teoremler BAZI AÇILARIN TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARI. 0“ 30” sin 1 0 2 5. h s jî 190” 1180“ 270“ 360“ 0 —1 1 0 2 1 2 2 \/3^ 3 1 v/3" v/3" 1 0 cotg: V22 ^2 i tg 60“ v/32 1 cos 45” 0 -1 0 1 oo . 0 0 oo i 1 oo v/3^ j i 0 oo 3 11 ^ i 1 1 TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN DEĞİŞİMLERİ. sin Bölge cos i 1 tg: cotg: I 0 ^ + 1 + 1 -V 0 0 —>►+ -f- oo --->►0 11 + l-> 0 0 —> - l i — oo --->• 0 0 --->• — oo III 0 -> -l -l-> 0 IV — 1 --> 0 0 -> + l i 6. i1 0 ---> + oo + oo — y 0 ---y 0 0 — y — oo i — oo i HERHANGİDİR AÇININ TRİGONOMETRİK FONKSİYONLA RINI BİR DAR AÇININ TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARI CİNSİNDEN İFADE ETMEK. sin (360% + a) = sin a sin (180° — a) = cos(360% + a) = cos a cos (180° — a) = — cos a tg- (360% -f" tg (180° - a) ^ tgf a cotg(360% + a) = cotgf a sin a - tg a cotg (180° — a) = — cotg a sin (180° + a) = — sin a sin (360° —- a) = sin (—a)== —sına cos(180° + a) = — cos a cos(360° — a) = cos (—a )= tg (180° + a) = tg a tg (360° — a) = tg (—a )= —tg a cotg(180° + a) = cotga cos a cotg(360° — a) = cotg(—a )= —cotg a Trigonometri sin (90* — a) = cos a sin (90* + a) = cos(90® — a) = sin a cos(90® + a) == — sin a tgr (90® — a) = cotg* a tg (90® + a) = — cotg a cotg (90® + a) = — tg a cotg (90® — a) = tg a sin (270*--a) cos a — cos a sin (270* -j- â) = — cos a cos (270®—a) == — sin a cos (270* + a) = tg (270®—a ) -= tg (270* + a) = — cotg a cotg (270*—a) = cotg a sin a c6tg(270* + a) — — tg a tg a BAŞLICA ÖZDEŞLİKLER. sına = 1 cosec a cos a seca 1 se c a = cosec a = sin a cos a ^ tg a sin a sin*a4-cosâ=l , l+ tgr*a=scc*a , 1+cotgâ =cosecâ sin 2a =^2 sin a cos a cos 2a= cos* a —sin* a = 2 cos* a —1 = 1—2 sin* a •1 * 1—tg*a sin 3 a = 3 sin a —4 sin* a ; cos 3a= 4 cos* a —3 cos a s in n a = 2 sin (n—l)a c o s a —sin (n—2 )a cos /la= 2 cos (n—1) a cos a —cos(n—2) a sin (a ± p) = sin a cos 3 ± sin 3 cos a cos (a ± 3) = cos a cos 3 7 sin a sin 3 ı? i« a :p ; ir p tg a tg r P sin -f' s*** V = 2 sin^-^ - - cos ^ ^ sin — sin 9 == 2 sin' —o y ^ c ops+^q COS/Î+ COS9 = 2 cos^ ^ — cos - cos p —cos q — 2 sin sin ~ 17 18 Formüller^ Tanımlary Kurallar^ Teoremler cos cos a 2----- - > - . 5a 2 sın^ ^ 1 ~ cos a + cos a — 2------ ’ ^ â ^ , 2 cos^ y = 1 + cos a a l — cos g sin a __ f - l / ~ — cos a ^ 2 ^ sin a ~ 1 + cos a “ V 1 + cos a 2 sin^ a = 1 — cos 2a , 2 cos^ a -= 1 + cos 2a sin^ a = “ (3 sin a — sin 3a) , cos^ a = (cos 3 a + 3 cos a) sin a sin 3 = ~ cos (a—3) ™ ^ cos(a+3) cos a cos 3 ^ cos (a+ 3) + ^ cos (a —3) sin a cos 3 sin (a-f-3) + 2 tg a sına 1 +tg= sin (a—3) l - i g \ a I cos a = 1 + a “ 2 t g |tg-a = 1 -tg ' a 8 . TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN, BUNLARDAN BİRİ CİNSİNDEN İFADELERİ. fonk. sin a cos a tg a cotga sin a sin a ± V^l—cosâ tg a ± \/İ+ tg * a 1 ± \/l+ c o tg ^ a cos a ± v l “"Sin'a cos a 1 ± \Zl+tgâ cotga ± V l+ co tg â 1 sin a ± \ / l —cosâ cos a 1± \ / l —sinâ tg a 1 cotga cos a ± ^ 1 —sinâ ±V^İ—cosâ sin a 1 tg a cotgf a tg a cotgf a Trigonometri 19 9. TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR a: = sin y eşitliğini sağlıyan y çözümleri; y =* İk n -f- Arcsin x eşitlikleri ile verilmiştir. ve y ^ ( 2 k - \ ’ 1)tz — Arcsin x ^ Arcsin a: ^ + " ^ olup bu değerler herhangibir arcsin a: fonksiyonunun asal değerleridir. Ayni şekilde 0 ^ Arccos at^ tî olarak arccosAc = 2kız ± ArccosA: dir, (0,7î) aralığındaki değerler arccosA: in asal değerleridir. — ^ < ArctgA: < + ^ olarak arctgA:=ArctgAc+Â:7t dir. aralığındaki değerler arctgA: in asal değerleridir. 10. ÜÇGENLERİN KENAR VE AÇILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR. Üçgenin kenarları a, b, c ve açıları a, 3, y olsun. 2p = a + 6 + c , F = Alan , h — yükseklik, r üçgenin içine çizilen dairenin yarıçapı, R, üçgenin dışına çizilen dairenin yarıçapı olarak (şekil 4): a + 3 + Y = 180‘* sına a+ b a —b = 2R sın P sın y (Sinüs teoremi) tgr _ ^2 a a —3 ç2 _ 2 6 c cos a (Kosinüs teoremi) b cos Y ~h c cos 3 cos a = 2bc sin a = ^>Jp(p — a)(p — b){p — c) p(p — a) p -a 20 Formüller, Tanımlar, Kurallar, Teoremler (p — a){p — b)(p — c) F= y 6A i. « 2 sin a (5 sın y y1 aAsinY = a*sm 2 sin a abc 4F ’ = ^p {p -d )(p —bYjt—e) =» rp Ai = c sin a == a sin Y — = ~ ~ r 4. HİPERBOLİK FONKSİYONLAR 1. TANIMLARI. Sinüs hiperbolik jc == sh ==» Kosinüs hiperbolik ;c = ch Tanjant hiperpolik th^r cosech X = -7^ , shA: • 2. (e* + e“ *) e* — e c* + e * sh X ch X sech a: -r— , cot^h* x = chx * thA: TERS HİPERBOLİK FONKSİYONLAR. a: = sh ise y, x in sinüs hiperbolik fonksiyonunun tersi olur ve y == arg sh x şeklinde gfösterîlir. argfshAc= log (at+ ^ ac*+1) ar^chAT == ± log(A: + ^ a:*—1) ♦k yİ llo g 1 +^ arg-lhA:= BAŞLICA ÖZDEŞLİKLER. ch*A: —shÂC—1 sh(— at) =* — shA: ch(— a:) = sechÂ: -f- th*,t =* 1 chAr th (— x) = — th a: sh(A: ± ^) == sh Acch y ± sh^ ch a: ch(Af ± y) =* ch a: ch ^ ± sh a: shy ... . \ th a: ± th o th (' x ± y ) ^ 1r -±r -rr —ıc thA cth^-^' sh2jc =-2shATch a: 2 sh 2 ~ = c h ; c - l ch2A: = ch^ a:- f-shÂC 2ch^ -;^ = ch AC+ 1 22 Formüller^ Tanımlar^ Kurallar, Teoremler s h ;c + s h ^ 2 sh — ^ s h AT — s h ^ x —y 2 sh — ^ c^hv . ^ ^+ y 2 ch chjc + c h i? = 2ch —2 ^ ch;c-ch^ = 2 shî:^shî:j^ 4. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARLA ARALARINDAKİ BAĞINTILAR. sın X = cosa: 2i i x: , , s ın X = — i s hn za cos x ı'^“+e- == 1-2 - c h ix , - 1 t g x —— i th i x s in i x — z s h a: , . c o s i x == c h a: , tg ix = z t h ac s h i x == z s in X , c h i x = c o s a: , th î x == z t g ac sh(Ac ± z ^ ) — s h AC c o s ^ ± z c h a: s in y ch(AC ± z*^) — c h a: c o s z/ ± z s h ac s in y sh(AC + 2z TZ) s h ( A :- f z 7 î) s h ÂC + s h AC , == — shA c z'Tîj = ch(AC + 2z 1î ) = c h AC , ch(A: + zıı) I c h AC , — chA c chÂC + ~ = c h ( c o s cp + 1 s in <p)" = c o s nq> + z s in zztp / 2 / c7î , . . 2 ^ tcV c o s ------- h z s ı n ---- V ^ ^ / . = 1 Z s h AC . ( M o iv r e f o r m ü lü ) k = 0 , 1 ,2 , ... ,( ^ — 1 ). 5. ANALİTİK GEOMETRİ 1. KARTEZYEN KOORDİNATLAR. Orijin adı verilen bir O nokta sında kesişen birbirine dik x'x ve y'y eksenlerini göz önüne alalım. Düzlemdeki bir P noktasının yeri, bu noktanın, oy eksenine uzaklığı olan a: {apsis) ve ox eksenine uzaklığı olan y (ordinat) sayıları ile be lirli olur. Bunlarla P noktası, P(a:,^) şeklinde gösterilir. x sağ tarafta ise pozitif, sol taraf ta ise negatiftir, y ise, yukarı tarafta ise po zitif, aşağı tarafta ise negatiftir (Şekil 5). 2. KUTUPSAL KOORDİNATLAR. Ox ek senini ve O noktasını göz önüne alalım. Düzlemdeki herhangibir P noktasının yeri, bu noktanın O noktasına olan r uzaklığı ve P yi O ya birleştiren doğrunun O a: ekseni ile teşkil ettiği 0 açısı yardımı ile belirtilebilir (Şekil 5). Burada r, kutup sal ışın; 0, kutupsal açı ; Oa: ekseni, kutupsal eksen ; O noktası, kutup adını alır, r ve 0 nın her ikisine birden P noktasının kutupsal koordi natları denir ve P noktası, bunlarla P(r, 0) şeklinde gösterilir. 0, saat ibrelerinin dönüş yönünün tersinde çizilmiş ise pozitif, aksi halde negatifdir. r pozitif olarak alınır. 3. KARTEZYEN VE KUTUPSAL KOORDİNATLAR ARASINDAKİ BAĞINTILAR. f COS0 U sin 0 r= 0 = arctg — sin 0 = y COS0 4, NOKTALAR VE EĞİMLER. Pı(;rj, y,) ve m) gibi iki nokta verilmiş olsun ve P 1 P 2 nin O a: ekseni ile teşkil ettiği açı a olsun. Pj ve P 2 arasındaki P 1 P 2 uzaklığı (Şekil 6 ) : P,P2 = rf=v'(^2-^.)^ + (y2-^,)^ 24 Formüller^ Tanımlar^ Kurallar, Teoremler -— P1P2 nin eğimi yi — y\ m = tg a == — P^Pj yi — oramnda bölen noktanın koordinatları: , / mıX2^ m 2X\ ^ mıy2+ m 2yı\ /nı+m2 / . l mı + m2 P1P2 nin orta noktasının koordinatları: 'x ı^ x 2 2 y\-ry2 2 ’ Eğimleri mı ve m 2 olan iki doğru ara sındaki 9 açısı tg*(p = m2 —m\ 1 -f- mım2 formülü ile verilmiştir. m\m 2 ^ ~ \ ise doğrular birbirine dik, m \= m 2 ise paraleldir. 5 . ÜÇGEN ALANI. Köşelerinin koordinatları olan bir üçgenin alanı: yi 1 •^2 U2 1 ^3 ys 1 , (x 2,y 2) , ATI F- = Y (x\y2 — Xıy2 + X2y 3 —at2îî -f x^yı - x^y2) dir. 6 . EĞRİ VE DENKLEMİ. Verilmiş bir şartı sağlıyan noktaların hepsi birden bu şartın geometrik yerini meydana getirirler. Böyle bir eğri nin üzerindeki noktaların koordinatlarını birbirine bağlıyan bağıntıya eğrinin denklemi denir. Bu denklemler şu şekilde gösterilir ; a) Eğri üzerindeki noktaların a: ve y kartezyen koordinatları ara sındaki, y = f(x) şeklindeki bağıntı, eğrinin kartezyen denklemi dir. b) Eğri üzerindeki noktaların r ve 0 kutupsal koordinatları ara sındaki r = /(0) şeklindeki bağıntı, eğrinin kutupsal denklemidir, c) Eğri üzerindeki noktaların kartezyen koordinatları parametre adı verilen üçüncü bir t değişkeninin x = cp(0 , y ^ şeklindeki fonksiyonları olarak verilmişlerse, bu bağıntılar, eğrinin parametrik denklemleridir, Analitik Geometri 7. 25 KOORDİNAT EKSENLERİNİN DÖNÜŞTÜRÜLMESİ. a) Yeni orijin {hyk) noktasında olacak şekilde paralel kaydırmada: y y + k dır. X ve y' 1 er {xyy) koordinatlı noktanın yeni eksen takımındaki ko ordinatlarıdır. b) Orijin sabit kalmak şartiyle eksenleri 0 açısı kadar döndürmede: jc -= x' cos ^ — y sin 0 y ^ x' sin 0 + cos 0 dır. c) dır. Yeni orijin (htk) da ve eksenleri 0 açısı kadar döndürmede: X - x^ cos 0 ~ sin 0 - î“ h ^ = a:' sin 0 + y' cos 0 + ^ 8 . DOĞRU. Doğrunun muhtelif şekildeki denklemleri aşağıda göste rilmiştir. m eğim, n oy eksenini kestiği noktanın ordinatı olarak doğrunun denklemi: y ==m x-\- n \ (.Yı, y^) noktasından geçen ve eğimi m olan doğrunun denklemi: y — yı~^ m {x - x^) ; ( «“ı» ^ı) ve (y2, y 2) noktalarından geçen doğrunun denklemi: y — yı " X — Xi _ i/2— . X2 — X\ Koordinat eksenlerini a apsisli ve b ordinatlı noktalarında kesen doğrunun denklemi : a y. ^ b 1 p orijinin doğruya uzaklığı ve a, normalinin O a: le teşkil ettiği açı olarak, doğrunun normal şekildeki denklemi : X cos a + ^ s i n a —;? = 0 ; Doğrunun genel denklemi : A y -f- -f- C ^ o dır, A y -j-j- C 0 şeklindeki genel denklemi normal şekle sokmak için denklemin birinci tarafını ± y/A^ -fye bölmelidir. ± den C nin işaretinin aksi alınır. 26 Formüller, Tanımlar, Kurallar, Teoremler noktasının A a: + B^ + C = 0 doğrusuna uzaklığı AAfı+Bj^ı+C ± \/Â H ^ dir. 9. DAİRE, Merkezînin koordinatları {h, k) olan r yarıçaplı bir daire nin genel denklemi: ( x - h y + { y - ^ k f = r^ dir. 10. KONİK. Odak adı verilen bir F noktasına uzaklığının, doğrultman adı verilen bir doğruya uzaklığına ora nı sabit ve e ye (eksentrisite) eşit olan noktaların geometrik yerine konik denir (Şekil 7). F odağının doğrultmana uzaklığı d ve F odağı orijinde ise : = e \d + xY veya r — de l~ e c o s 0 Şekil 7 dir. e = 1 ise konik, parabol; e > 1 ise hiperbol; e < 1 ise elips'd\x. I I . PARABOL, e l. Köşesinin koordinatlar^ ( ^ , â:) ve ekseni O jc eksenine paralel olan parabolün denklemi (Şekil 8): ig-kf==2p(x-h) ve köşesinin koordinatları {h , k) ve ekseni Oy eksenine paralel olan pa rabolün denklemi (Şekil 9): Analitik Geometri {x —h f 27 ^ 2p ( y ~ k) dır. pj2 = odak uzaklığı -= VF dir. 12. ELİPS. e<l. Merkezi {h, k) da ve asal ekseni eksenine paralel elipsin denk lemi (Şekil 10); , {y-kf ve merkezi (h tk ) da, asal ekseni Oy eksenine paralel elipsin denklemi (şekil 11): 62 dir. Asal eksen uzunluğu = 2a yedek eksen > 26 merkezin odağa uzaklığı = \Jd^ — 6^ eksantrisite == e = —— ^ a Herhangibir P noktasının odaklara uzaklıkları toplamı PF' 4- PF = 2a dır. 28 Formüller, T artımlar ^ Kurallar ^ Teoremler 13. HİPERBOL. e> X Merkezi (A, k) da ve asal ekseni Ox e paralel olan hiberbolûn denk lemi (şekil 12): (x-hy (y-kf - 1 asimptodlarınm eğimi Merkezi {h , k) da ve asal ekseni oy eksenine paralel olan hiperbo lün denklemi (şekil 13): (y-ky {x~hf 62 -1 asimptodlarınm eğimi = ± ~ Asal eksen uzunluğu = 2a , dîr. yedek eksen uzunluğu = 26 Merkezin odaklara uzaklığı == s/a^+b^ Eksantirisite = e = Herhangibir noktasının odak lara uzaklıkları farkı = 2a dır. 14. SİNÜS EĞRİSİ. (Şekil 14) y = a sin( 6 jc-t-c) ve c = c - olarak: Iy a cos {bx + c') = a sin {bx + c) Şekil 14 {a = genlik) Analitik Geometri 15. TRİGONOMETRİK EĞRİLER. ~ a tg dx (şekil 15-1) t/ ^ a cotgf 6x (şekil 15*2) i/ -- a sec 6x (şekil 16-1) 16. LOGARİTMA VE ÜSTEL FONKSİYONLARIN EĞRİLERİ: (Şekil 17 ve 18) ^ AT = Şekil 18. Üste/ fonksiyon eğrisi y =: fl* veya x—log^y 29 30 Formüller^ Tanımlary Kurallary Teoremle? 17. İHTİMAL EĞRİSİ. (Şekil 19) 18, SİKLOİD (Şekil 20) = a (0 — sin 0) y = a{l —COS0) Şekil 19 Şekil 20 Eğri, bir dairenin, bir doğru üzerinde kaymadan yuvarlanması ha linde çemberi üzerindeki bîr noktasının çizdiği eğridir. Bir kemerinin alanı = 3tc ^ Bir kemerinin uzunluğu = 8a Şekil 21. Uzamış sikloid 19. UZAMIŞ VE KISALMIŞ SİKLOİD. (Şekil 21 ve 22). jr = a 0 — sin 0 y = a — b cos 0 ^ 20. EPİSİKLOİD. (Şekil 23). a: = (a + 6) cos 0 — a cos ^ İ ^ 0 a y —(a + 6 ) sin 0 — a sin ? * a 0 Eğri, sabit bir dairenin dı şında yuvarlanan diğer bir dai renin çemberi üzerindeki bîr noktasının çizdiği eğridir. Şekil 23 Analitik Geometri 31 21. KARDÎOİD (Şekil 24). r a (1 + cos 0) a = b olması halindeki bir episikloiddir. 22. HİPOSİKLOİD. X (a — b) COS 0 + ^ COS ^ 1/ (a — b) sin 0 — b sin —^ b a—b 0 0 Eğri, sabit bir halkanın içinde yuvarlanan diğer bir dairenin çem beri üzerindeki bir noktasının çizdiği eğridir. 23. DÖRT REBRUSMAN’LI HİPOSÎKLOİD. (Şekil 25). ;^.2/3 X == a cos^d , ^ ^ 2/3 y ~ a sin^0 a=Ab halindeki hiposikloid eğrisidir. 24. DAİRE b a s i t i (Şekil 26). a: = a (cos 0 -f- 0 sin 0) y ^ a (sin 0 — 0 cos 0) 32 Formüller^ Tanımlar, Kurallar, Teoremler Eğri, bir dairenin çemberi etrafına sarılmış ve bir ucu sabit olan bir ipliğin diğer ucunun, gêrgin bir şekilde çözülmesi halinde çizdiği eğridir. Şekil 28. Arşimed sipiral r = aO cos 20 26. S tP İR A L L E R . (Şekil 28, 29 ve 30) Şekil 29. Hiperbolik sipiral rO~ a Şekil 30. Logaritmik sipiral r = c“0 veya a0 = log r UZAY ANALİTİK GEOMETRİ 27. KOORDİNATLAR. (Şekil 31) (1) Kartezyen koordinatlar. Uzaydaki bir P(Ar, t/, z) noktasının yeri, bu noktanın zoy, xoz ve xoy düzlemlerine olan y, z uzaklıkları ile verilmişse bunlara noktanın kartez^ yen koordinatları denir. (2) Silindirik koordinatlar. Uzay daki bir P(r, 0, z) noktasının yeri, P noktasının xoy düzlemindeki izdüşümü nün (r, 0) kutupsal koordinatları ve nok tanın xoy düzlemine olan z uzaklığı ile verilmiş ise (r, 0, z) e noktanın silindirik koordinatları denir. (3) Küresel koordinatlar. Uzay daki bir P(p,0,<p) noktası p = OP ; 0 == ;rOM ve (p = 2:OP ile verilmişse p, 0, <p ye noktanın küresel koordinatları denir. Bu koordinat sistemleri arasında aşağıdaki bağıntılar mevcuttur: = p sin <p cos 0 psın <p p= z = p cos (p cosq) = y = p sin cp sin 0 z = p cos <p 28. NOKTALAR, DOĞRULAR, DÜZLEMLER. Pı(ATı,yı,Zı), P2(Ar2^y2»^2) noktaları arasındaki uzaklık: d = \J(x2 — xıY + İy2 — yıY + (z2 — zı)^ dir. Bir doğrunun koordinat eksenleri ile teşkil ettiği a, P, y açılarının kosînüslerine doğrunun doğrultu kosinüsleri denir. Pı(^ı»yı»^ı) noktasını P2(jf2ı y2i ^2) noktasına birleştiren doğru par çasının doğrultu kosinüsleri: 3 34 Formüller^ Tanımlar, Kurallar, Teoremler cosa= ATo— ^ l. ; dir. n V2 — Vl cosp = ■ ; COSY^*--- ^ — - = 5 2 ^ ise (doğrultu kosinüslerî ile orantılı olan a, b, c sayılarına doğrultu saikları denir): cosaa — — - a 7 = = \ J ( F -f- r = , COS P = 4“ c'* r = : , COS Y == -7 = = = = = = = = = \Jo ^ 4 " 6^4“ *-j~6^4“ ve cosâ 4“ cos^P H- cos^Y == 1 dir. Doğrultu açıları aı, Pj, Yi ve tt2, P2, Y2 olan iki doğru arasındaki 6 açısı: COS 9 = COS ttı COS tt2 4 - COS Pı COS P2 4 - COS Y i COS Y2 ifadesi ile verilmiştir. Bir düzlemin denklemi: A at4“ 4“ Cz 4" 1^ “ dır. A, B, C sayıları düzlemin normalinin doğrultu sayılarıdır. İki düzlem arasındaki açı bu düzlemlerin normallerinin teşkil ettiği açıdır. P i(a:i , yı, Zı) noktasından geçen ve doğrultu sayıları a, b, c olan bir doğrunun denklemi • £ Z £ î ==-İZİÜ = £Z2£ı Q b e dir. 29. UZAY ŞEKİLLERİ. Şekil 33. Eliptik elindir ■.2^T+ ,j2 i i = ı1 Analitik Geometri 35 36 Formüller^ Tanımlar t Kurallar t Teoremlef Ş«kil 40. îki yapraklı hiperboloid «2 62 c2 6. DİFERANSİEL HESAP 1, TÜREV, ^ = /(x )Is e ! Um ^ = Lim ^ = Dj Aat-Ô dir. Ajt ve 1er x v t y nin artımlarıdır. Yüksek mertebeden türevler aşağıdaki şekillerde gösterilir: A,v-* * 0 d^y dx^ A . (M d x \d x ) dx f'(x ) = f" (x) ^ (ikinci mertebeden türev) == /"(^) d dx3 “ i (£ ^ ) = i (a) sembolü (ü çü n cü m e rte b e d e n tü r e v ) / “■"*’ '"*'-'‘* * * ” ( j:) in ;r = a için değerini gösterir. TÜREVLER ARASINDAKİ BAZI BAĞINTILAR. x = f(y)\SQ i 1 dx dx dir. y — f(u) ve u — F(x) den: dy dx dy du da dx dir. X = (p(t) dy dx , ^ == ıp (ü(parametrik denklemler)ise: dy dt İL dt vl^'(0 <p'(0 ^y ' dx^ dy dx dy dt ^ dt x ^ y ' — x**y (x-y dir. Üslerdeki noktalar parametreye yani t ye göre türev alındığını gösterir. 38 Formüller^ Tanımlqr, Kurallar^ Teoremler 3. TÜREV TABLOSU. Tablodaki «, v 1er x in fonksiyonlarını, ö, n, c sabitleri göstermektedir, (e = 2,718281828.,..) 1. dx x^\ 2. d a —0 dx 3. d dx 4. d . . du d , dv , \ 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. . du du dX dv dx , dx r. dx « 1 du dx d lo g „ u = -L - ^ l o g . e dx d . 1 a» ^ dx du du logr, a dx d e“ = e» dx dx d _ı du . dx . du dx 14. du , cos ız — — sın ız —7— dx dx 15. . n du j tg ız = sec^ ız —T— a;c dr dv Diferansiyel hesap 16. d . - j ^ c o t g u ^ - - cosec^ 17. du d sec u — sec ız tg u ~di dx 18. d -7—cosec dx. 19. 20. dx dx 23. ch u—sh u 26. 27. dx du v / ı - u^ 1 du l + u^ dA: du “ “ sh u= ch u dx ~d^ 25. 4. 1 22. 24. da 1___ du Arcsinız = 21. dx du “ ~di -- cosec u cotg u Arccosu = 39 du dx th u = sech2 u dx 1 du ~d^ \/ıı* + l i du -İ-A r? c h « = v /a ^ -1 dx ^ A rg sh « = ^ A rg th « = 1 du dx BtR EĞRİNİN EĞİMİ, TEĞET VE NORMAL DENKLEMLERİ. y "= f{x) denklemi ile verilmiş bir eğrinin herhangibir P(jc , y) nok tasındaki eğimif bu noktadaki teğetinin eğimi ile tanımlıdır. (Şekil 41) e|ım = m = tg:a = ^ X = xı için eğim ; dir. = f'(x) 40 Formüller^ Tanımlar ^ Kurallar ^ Teoremler Eğrinin Pı(Arı,^ı) noktasındaki teğetinin denklemi y —y \^ rn \{ x -x ^ )\ ve normalinin denklemi: y —y ı = — ^ mı ( ^ - « ı ) dir. Kesişme noktalarındaki eğimleri mı ve m2 olan iki eğrinin 0 kesişme açısı: formülü ile verilmiştir. 5. DİFERANSİEL. y = f{x) fonksiyonunun dy diferansieli.: d y = d f = f'(x ) dx = dx= dx şeklinde tanımlanmıştır. Bağımsız değişkenin diferansieli olan dXf bu de ğişkenin artımı olan Ax e eşittir. ( d x ^ A x ) .A y ile dy birbirine eşit değildir. X = cp(f) , y — vK/) ise dx — <p'(0 > ^y ^ (0 d**"* Diferansieİ formülleri, türev formüllerinden kolayca yazılabilir. 6. BİR FONKSİYONUN MAKSİMUM VE MİNİMUM DEĞERLERİ. Bir f(x ) fonksiyonunun (a,b) aralığındaki maksimum değeri^ fonksi yonun bu aralıkta almış olduğu en büyük değerdir. Minimum değeri ise, bu aralıkta almış olduğu değerlerin en küçüğüdür. X ^ a için y = f{x) fonksiyonu bir maksimum veya bir minimum değere malikse f'{x) = 0 veya <» dur. x = a, f \ x ) = 0 denkleminin bir kökü ve f"{a) < 0 ise /(a) bir maksimum değer: f^ a ) > 0 ise f{a) bir minimum değerdir. f “{a) = 0, /'"(a) 0 ise f(a) ne bir maksimum ve ne de bir minimum değerdir. Fakat f \ a ) = f \ a ) 0 ise p'^(a) nın negatif veya pozitif oluşuna göre f{a) maksimum veya minimum değerdir. Ge nel olarak, a: = a için sıfır olmıyan ilk türevin mertebesi tek ise /(a) ne bir maksimum ve ne de bir minimum değerdir. İlk sıfır olmıyan tü revin mertebesi çift ise /(a) bir maksimum veya minimum değerdir. 7. BİR EĞRİNİN BÜKÜM NOKTALARI. x ^ a için f \ a ) işaret de ğiştirerek sıfır değerini alıyorsa at == a apsisli nokta y = f{x) eğrisinin Diferansiyel hesap 41* bîr büküm noktasıdır. Büküm noktasında eğri, konkavlıgım değiştirir. r ( x ) > 0 olduğu noktalarda yukarıya doğru; f ’{x) < 0 olduğu nok talarda aşağıya doğru konkavdır. 8. YAY DÎFERANStELl-EĞRÎLİK-EĞRtLİK YARIÇAPI. s,y= ^f(x) eğrisi boyunca belirli bir yay uzunluğu olsun. Yay diferansieli: ds = \I{d xf + { d y f = 1+ dx= \ / 1 + dy Eğri kutupsal deklemi ile verilmiş ise: ds = V ( 5 r F P W = \ J '■ '+ = \/ı + dr dir. y — f{x) eğrisinin herhangi bir P(A:,y) noktasındaki eğriliği: d}y K- dcL ■'* 3/2 ( 1 + ^ '2 ) 3 . [ ■ + ( * )j ve eğrinin r = /(0) kutupsal denklemi ile verilmesi halinde d e : (Pr K= (;.2 4./2)3/2 dir. Eğrilik yarı çapı = R dır. y = f{x) eğrisinin herhangibir P(;e,y) noktasındaki eğrilik merkezînin (a,P) koordinatları: y'{\+ y'^) a=*;cy 3=«?4- y' formülleri ile verilmiştir, y ' , y ” bu noktadaki birinci ve ikinci mertebe türevlerin değerleridir. Bu denklemler, ayni zamanda, y= f{x) eğrisinin /ne6sufunun parametrik denklemleridir. 42 Formüller, Tanımlar, Kurallar, Teoremler 9. ROLLE VE ORTALAMA TEOREMLERİ. Rolle teoremi: y = f(x) fonksiyonu ve f ( x ) türevi (a,b) aralığında sürekli ve f(a) '= f(b) =- 0 ise .r in a ile b arasında en az bir xı değeri için /'(^^ı)=^0 dır. Ortalama teoremi (sonlu artımlar formülü): y==f(x) fonksiyonu ve f ( x ) türevi (a, b) aralığında sürekli ise a: in a île b arasında en az bir A'ı değeri için: m -= f(a)+ (b-a) f'(x,) (a < x , < b) f(x+ A x)^f(x)~\-A x f(x4-QAx) veya (0 < 0 < 1) dir. 10. BELİRSİZ ŞEKİLLER. f(x) ve F(.y) ve birinci mertebeden türevleri sürekli fonksiyonlar olsunlar: (1) . Lim f(x ) ^ 0, Lim F(a:) == 0 ve Lim F'(a:) x-*~a x-~*-a 0 (veya Lim f ( x ) ^ x-*-a x-*’a Lim F(at) = oo) iseler: x-*-a Lim x->a Lim (Uhopitale kuralı) x -^ a ^ M dır. (2) . Lim / ( a')-=0 ve Lim F(a) = x-*â iseLim f ( x ) . F(a) limiti 0X °o x-*â ,v->a belirsiz şeklindedir. Bu limiti hesaplamak için: F W 7W T 0 yazılarak -ö- veya ^ şekline sokulur ve L’höpitale kuralı uygulanır. 00 (3) . Lim f(x ) ^ oo ve Lim F(a) ©o ise Lim lf(x) — F(a)] limiti x-â — 00 şeklindedir. Bu limiti hesaplamak içiıj; 1 1 f(x) F(x) yazılarak L’höpitale kuralı uygulanır. 43 Diferansîel hesap (4). Lîm/(A:)=^0 x--â ; Lim F(a:) = 0 ise x -*a Lim/(A:) = 1 ; Lim F(jif)= co ise x - * ‘ü Lim limiti O® ; x-*'Q x - * ’Q Lim limiti : limiti ; x-*-a Lim/(A:)=<» ; Lim F(a:)—0 ise Lim belirsiz şekillerindedir. Her üç halde de: y = den log y = F (x). log f(x) yazılarak Lim log ^ limitine varılmış olunur ki bu daO xc» şeklindedir. Lim log y ^ k ise x-â Lim ^ == e* dır. 11, TAYLOR VE MAGLAURİN FORMÜLLERİ. Kendisi ve türevleri sürekli olan bir f{x) fonksiyonu genel olarak Taylor formülü adı verilen: x —a / W = / ( a ) + / ' ( a ) ^ + f'(a ) + / ”(a) -h formülü île temsil edilebilir. Bu formülle, in a civarındaki değerleri için /(jt) in istenilen yaklaşıklıkta değerleri hesaplanabilir, n terimden sonraki kalan olarak adlandırılan R„; dir. Bu formülde a « 0 yapılırsa Maclaurin formülü adı verilen : / W = / ( 0 ) + / '( 0 ) j ^ + / '( 0 ) ^ + m + . . . . +/<"'-’>(0) +Rn formülü elde edilir. 12. SERİLER. Fonksiyonların seriye açılımları için Maclaurin ve Tay lor formüllerinden faydandır. Bu serilerin, â^msa^/z^ aralıklarındaki x değerleri için; Lim R„=0 dır. Bu takdirde, elde edilen serilerden fonksiyonların yaklaşık değer leri, baştan yeterli miktarda terimini hesaplamak suretile bulunur. 44 Formüller t Tanımlar^ Kur allar t Teoremler Muhtelif serîler: La~xY= a''+ n a - ’ + n ( n - l K n - 2 ) ^„_3^3^_ __^ 6V < e = l + - j î + 2j-+ 3T + - 4 7 + ........ y3 e * = n - ^ + j j + f r + f r + .......... 4 a*= 1 + -Vlog: a + e“^’ = 1 — y2 _L ± __ ^2! 3! ^ log x = -(x -‘ l) (x log g)^ 3! a> 0 4! ^ (;c -l)* + l ( ; . - l ) ’ - . , . . . 5 ( : ; ; ) ■ + ........ ] 2 . a:^ •. a:^ y T . cos x — 1 ;t > 0 —1 < a:^ 1 1 a:3 2 3 . x^ , x^ s ın x ==X — 0 < ;e< 2 1 .3 a:^ 2 -4 5 1-3-5 a:^ , 2-4-6 7 71 ”H • • • • x^ 2! ‘ 41 , 6! ‘ **** , , , 2x^ , 17x'^ , 62a:^ t ^ - " = ^ + T - r i F + - 3 î r + 2835 X^ + 6 + T 3a:^ ^ 2 Î ~ “ 4! 3 a:^ 1 4 5 + T Sa:^ 5! a:^ < — ^ 4 3 5 x^< l 3x« 6! 31a:^ 4a:^ ' 6! 2! + 4! 3x^ . 9x^ . 37a:5 e ^ ^ * ^ l+ x + y + 3! + 4! + 5! 2 / Diferansiel hesap 3 5 Su X X “J" 21 “f" 2 j 7 <y| "f*"• • • • y2 chjr = l + ^ + ^ y6 , thAT-AT 17a:’ , --315 + ----- 3 + 2j:^ J5 45 < 13. KISMİ TÜREVLER VE DİFERANSİELLER. z-=J(x,y) iki değişkenli dz fonksiyonunda ^ sabit kabul edilip, at e göre türev alınırsa 2 in ç- sem(yX bolü İle göstereceğimiz a-e göre kısmi türevi elde edilmiş olur. Ayni * C'Z şekilde x sabit kabul edilip y ye göre türev alınırsa ~ ile gösterilen y ye göre kısmi türevi elde edilmiş olur. ^‘U Genel olarak, u — j(x y y ,z ,. . . ) fonksiyonunun x e göre t- kısmî tüqX revi, ^ ,2, , . . değişkenleri sabit kabul edilmek suretile u nun hesaplanan türevidir. Birinci mertebe olarak elde edilen bu türevlerden daha yük sek mertebeden türevler de hesaplanabilir: d Su ^ dû dx dx * dy"^ dû d Su dy cy ’ dx dy X, y, z , , . , . değişkenleri bir t a =/(A ,iT,r,. . . ) ise: ^ du A. ^ âx dy A dy dx dû dy dx değişkenin fonksiyonları olarak ^y I Ju = ^ c/a + ^ </ı/ + ~ dx dy dz ^^1 + .... yazılabilir, jipe^y^z^. . . ) = 0 ise ; dx </a + ~ vy -f ^ c/2 -b . . . . s: 0 dz dır. 14. YÜZEYLER VE UZAY EĞRİLERİ, / ( a,^ ,2).- 0 denklemi ile ve rilmîş bir yüzeyin (a i ,^|,2 |) noktasındaki teğet düzleminin denklemi • 46 Formüller^ Tanımlar^ Kurallar, Teoremler dır. Buradaki İM ^ sembolü, (X türevinin { x ı , y ı , z ^ noktasındaki de- ğeridir. f{x,y,z) = 0 yüzeyinin ( x ı, y \ , zj) noktasındaki normalinin denklemir z — zı X — X^ ^ y — yı d f\ (e f dx \dy , (& ), dir. Yüzeyin ( x ı ,y ı ,z ı ) noktasındaki normalinin doğrultu kosinüsleri: sayılan ile orantılıdır (normalin doğrultu sayıları)» Bir uzay eğrisi x = x (t) , y = y (t) , z = z(t) denklemleriyle veril miştir. Eğrinin herhangi bir noktasındaki teğetinin doğrultu kosinüsleri: dx du dz ~ df ' - d t ' ~dt 1 1 1 > dz İle orantılıdır. Eğrinin bir { x ı,y \,z ( ) noktasındaki teğetinin denklemi: X — x\ ^ y — y\ ^ z ^ z\ ■ olup buradaki değeridir. sembolü, (^t ). türevinin (;rı, y i , zı) noktasındaki 7. İNTEGRAL HESABI 1, BELİRSİZ İNTEGRAL TANIMI. Türevi f{x) olan bir F(x) fonksL yonuna f(x) in ilkel fonksiyonu ve diferansieli f { x ) dx olan F(at) fonk siyonuna da f (x)dx in belirsiz integrali denir. d¥{x)^f{x)dx veya ^F(^) dx = /(^) ise n x) = jf{ x )d x dir. Genel olarak; jf{ x ) d x = n x ) + c dir. Buradaki C keyfi bir sabittir. 2. BAŞLICA İNTEGRAL TEOREMLERİ VE İNTEGRAL TABLOSU. u V (a:) in fonksiyonları; a, b, c sabitler olmak üzere aşağıdaki eşit likler yazılabilir ; 1. /c //w ^ /w + c 2. d f f ( x ) d x = f(x)dx 3. f0dx==C 4. j a f(x) dx = a J f(x) dx 5. J (u + v - F w + ...) dx ^ J u d x - { - J v d x - \ ~ J wdx- { ~ 6. j u d v — u v — J V du / udv , r du j — d x ^ u v ~ J v^^Jx 7. 48 Formüller i Tanımlar j Kurallar ^ Teoremler 9. ,n+l I u'" du ~ J ”1" ^ •/ ^ * 10. /'■“ ( n 9^ —1 ) w+ C 11. f e“du = e“+ C 12. I a" du = r — + t: J log a 13. j sm u d u = — cos u + C 14. / COS 15. J tg u du — log sec u + C ~ — log cos a + C 16. J cotg u d u ^ log sin a + C 17. J sec udu = log (sec a + tg a) + C = log tg 18. y*cosec u d u ^ log (cosec a — cotg a) -j- C = log tg y + C 19. J sinâc/a== y a --- ~ s in a c o s a + C = y a ----- ^ s in 2 a 4 - C 20. J cos^ a c/a = = y a + y sin a cos a + C = y a + - ^ sin 2a + C 21. J secâc/a = tg a + C 22. J cosec^ udu=^ ■ — cotg a + C 23. J tg^ a c/a = tg a — a + C 24. J cotg^ udu — — cotg a — a + C 25. X “ 2 = -a Arctg Jf ”T a-^ + ® -a + C u c/u == sin ız + C + -^ j + C tnteçıral hesabı u —a a 26. f u2 -a^- 2a^°^ u + 27. f . 28 +c = Arc sin — + C * f log-(ıı + \/ a^+a^) + C J 29. 49 f - Y ^ ^ ^ = - l o g ( ,u + s / u ^ —a^) + C 30. \Ja^— du— —u* 4- 31. j"yju^ + a* du= jû 32. j*yju^ — d} d u — |â Vâ^ — 33. sh a rfa — ch a + C 34. j ch a </a == sh a 4“ C 35. j th a ûfa = logf (ch a) + C 3. arc sin j+ C + a* log (u + û*+a*)j 4" C logf (a + vâ^—a^)j + C ve \Jx^±d^ Yİ İHTİVA EDEN İNTEGRALLER. \Ja^—x^ halinde « V^cM-o^ ;r = a sin değişken dönüştürmeleri yapılır. 4. KISMİ İNTEGRASYON KURALI. J u d v — u v — J v da formülünden faydalanarak daha basit bir integrale varılır. 5. R(a:) BİR RASYONEL KESİR OLDUĞUNA GÖRE J R(A:)djr İNTEÖRALİNİN HESABI. R(Af) =» f(x) ve f{x) in derecesi g{x) in derecesinden küçük olsun. 50 Formüllerf Tanımlar, Kurallar, Teoremler g(j:) = 6)^... (at— ••• (jc^+mAr+n)^ ve p^ — A q < 0 , r2 — 4 s < 0 , ........., m 2 - 4 n < 0 ise R(at) rasyonel k e srî: f{x) _ 8(x) t (;e -a )“ , (x ^ a r~ ^ ix ^ b )^ . . . . . . I Al , ..... ^ .....‘ ..........................+ . ....................... .....................................+ I PtJl’^ + Q n (a^+ P a:+9)1" ^ ^ -1 I PtX-^-^+QtWı ix ^ + p x + q )^ ^ ■ Sy , ~~h Sy^ı . (jc2+r;c+^)^ (;c^ + r;ı: + 5)'^'"^ ...................................... ....................... ................................ [ _L I Pl^ + Ql I x^+ px+ q , Rı^ + Sı x^+r:t-\'S ..... I {x^-\‘mx-\-ri)^ şeklînde basit kesirlere ay irilir. Bu suretle elde edilen basit kesirlerde ki katsayılar belirtildikten sonra herbîr kesrin întegrali hesaplanır. 6. İRRASYONEL CEBİRSEL FONKSİYONLARIN İNTEGRALLERİN İN HESABI. (1) . j ^ [ x , (ax -\-bY^”] dx şeklîndeki bîr integ:ralin hesabı içi {ax-{-b)=^t^ değişken dönüştürmesi yapılır. Bu takdirde, S'O rasyonel bir fonksiyon olmak üzere, j S(0 dt integralîne varılır. (2) için: . j ^ x , {ax^~\-bx-^cY ^]dx şeklîndeki bîr integrali hesaplama a>0 îse s (ax^ + 5a: + = f — \[â x t a < 0 îs e : (ajc^ + 5a: + = f ( a: — a) değişken dönüştürmeleri yapılır, a, ax^ + 5x + c » 0 denkleminin bir köküdür. Integral hesabı 51 (3). jR {s\n x , c o sx )d x şeklindeki integrali hesaplamak için de değişken dönüştürmesi yapılır. 7. BELİRSİZ İNTEGRALLER TABLOSU. Integral hesabı öğrendikten sonra, sonuca daha çabuk varabilmek için aşağıda verilen integral tab losu kullanılabilir : 1. Jdx = X + C 2. j a f(x ) dx — a j f{x) dx 3- / n{x)]dx= j fx(x)dx-\- j f '^ x ) dx + ... + jf„ (x )d x 4. /* yH+l /^V A : = 4 r 7 - + C 5. / “ ( n ^ - 1 ) = logAT + C a-\-bx in kuvvetlerini ihtiva eden şekiller bx 8. |l 0 8 : ( a + 6^) + C b j f{x, ax-\- b)dx z — a-\- bxy xz ^ a b x dönüştürmelerin den biri yapılır. 9. 10. ^ [ a+ b x - a log (a + 6;r)] + C J a+ ' x^dx /-i J1 aa+ bx dx 1 Y (a + b x f — 2a(a~{-bx)-\-o^ İ0g(a + bx) | + C b^ J x{a + bx) = - - -al o g ^ ±X ^ + C 52 Formüller, Tanımlar^ Kurallar, Teoremler r dx 1 , 6 , . j x^{a + 6a:) = - — 2 ax +' - a* 12. a-\-bx , ^ + e. xdx (û+6;c)^ 13i = ^ [ a + 6 .- 2 a l o g ( . + 6 . ) - ^ J + C . ■ıc f J x(a + bxy 1 a(a+bx) ^ + a:^, 1 , o+ 6 a: ^ , ^ H- İ+ 6 İ + 2(a + 6^)*] + — x ^, g + 6jc^ g -f- bx'^ i ihtiva eden şekiller ” • /? $ ? ■ ■ i + / j ^ - a . = l » . + C. 18. f - ^ . l - \ o s ‘- ± ^ + C-. J a^ — x^ 2a ^ a —x j x^ — ar 21. j x"{a + bx''y dx "-"+i(a+^^")'’ 6(ap + m + 1 ) 23. ®jt+ g b(np+ m + l) J cfjc / : a:'"(g+ 6 a:")^ 1 (m-l)GA:'"-HG+6A:")^-^ 24. İlo j^ + C . 2a (m—71+71/? —1)6 r dx (/7i - 1 ) g y a:'"-"(g+ 6 a:")'‘ dx / a:"*(g+ 6 a:")^ V: €/jC TH—71+ n/?— G7i(/?—l)Ac'”~^(a+6jc")'*“ ^ ' ûn(/? — l) j Ac”‘(a+6Ac")''^' In ie g r a l hesabı 25. f 26. f 27. 30. _ û(m—1) {a~\-bx'^y anp ( n p —m + l ) x ’"-^ np—m + i x^dx f(a -jrb x ^ y 2{ n h f{ a + b x Y ^ l)a* [ ( ? + P p ^ + - ‘- ' • d x b (m — n p -\-l) J a n ( p — l) ( a + 6A:'*)^“ ^ ^ ^dx f ______ _____________ /n+ n—71/7+1 c ı n ( p — 1) x ”^dx J a(m—n-f-1) 6(m—72/7+1 )(a-j-6A:")'* ^ (a -\ -b x ^ y f{ a ^ + x ^ Y - ,m—n+l / { ü '\- b x ’' y / b ( m -- nn — - n np p- - 1) 1) fr({a + b x ’^ y d x (a + b jy y ^ a (m { a - \- b x ^ y d x 28. 29. (a ^ b x ^ y d x (a+6;c")'’ f J ( a + b x ’^ y ~ ^ / (a^+A:^)»-»] 2( ^ î ) ^ [(a-j-İAT^)-» + (2n - 3) y* 31. 32. 33. 34. f - X . 1 f dx 2b { n - l)(a + İ a:*)"-! + 26( n - l ) / (a+İAr^)"-» x^dx J {a -i- b x Y f 7T= — İ0?TT-TTir + C. .r(a+6Ac") 071 * o+ 6 a: 1 , dx j:" 1 ^ /: J x ^ ia + b xry _ aa1JJxr^x^(a+bx^y-^ a + b x^-> r dca x 6 /• oa JJ ({a - t b x ^ ' 35. 36. 37. 38. 39. f J a + bx^ J f: +' x (a — S ___^ bx^) dx f ^ a + bx^) b 1 , x'^ = 2öTİo? a .â -\ -b x ^ \ b r dx _______ o y o + bx^ dx f (a + bx^y 2o(a+6A:*) \Ja + b x 40. f 6 y o+ bx^ ax ^‘ 53 2oa JJ a -+ b x ^ 2 i ihtiva eden şekiller. f x ~jz+bidx - - ?<22z 2 ^ ^ S ± S + c. 54 Formüller i Tanımlar, Kurallar, Teoremler 41. J W a + bxdx «■ dx 1 , \ J a - \ r l > x ^ \ l a .f ^ == -7==log*-V=^=---- ^ + C, / , x\]a-\-bx _______ sja \Ja-\-bx + \fâ 46. f J x^\la-[-bx 2(Sa^—\2abx+ \Sb’^ x'^)\l(a+bxf 10563 ^z W °± ^ _ A ûjc v/ at^ + g^ û>0. f 2a J x y a - \- b x yi ihtiva eden şekiller. 48. j (x^+a}y dx = ^y/x^-]ra^ + - y log(A: + \Jx'^+a^) + C. 49. j (at^ + o 50. / </a: = -|^(2a:* + 5tt’)Â:*+a* + ^ Iog(A:+ \!x^+ a^ + C. + ^ ! ^ / {x* + a ^f~ ^d x. n+2 51. f x(x^+a‘‘) h x 52. f a: V + a^) dx 53 ■ 54. / = ' + C. + «’) = log (a: + \/Ac’+a*) + C. (AT^+a^)^ dx / I- (a:^+ o') ' d‘\/x‘ + a* C. ^ log(A:-f + C. Integra! hesabı 55 ■ xdx I 56. I —^ ‘ + C. - = Y ^ x ^ + a ^ — Y log {x + x'^dx dx / ■ / 3x{x-^+a^f — log ® a + "^x^ -j^ dx \Jx^+a^ I ^ 2 a^x A:V+a2)2 dx '■ log {x + yjx^+a^ + C. \lx‘^+a^ (x^ -T a^y ■ C. (AT^+ a ^ I' 57 = 55 c. • 4x^+0^ loff ^ 2 - +I ^13 İo g “ + /■ r - ir Cc .' x \ x ’^-\-a^y 61. f 62. f0 4 ± ^ fd ^ = _ ^ - a.\os a + Vô^ + a:* C. + log (;,+ s / W ) + C . \!x'^—a} yî ihtiva eden şekiller. 63. I {x- - a '-f dx = --^Vx'^—a^ ~ y log (x + \Jx^—a^) + C 64. —îi . 3a^ / ix'^-d^y dx = ■§-(2j:^ ~ 5a^)^x^-d‘ + log (x + \/A:2-a2)+C. 65. J / (x^-aY dx = / (;c2-a2J ' 71 -|- 1 72- p l ,/ H4-2 66. / Ar(Ar^- a')’ J J ' +C. n -\-2 dx 56 Formüller, Tanımlar, Kurallar, Teoremler 67. j * log (A:+vÂ:^“ a*)4-C. _C(£__ 68 • 69 — a^y dx = " { ^ x ^ —ar’)\]x^—‘C^ — /■ (a:^ - a ^ f dx ■ /■ + C. cV-^* ““ o* (x ^ -a ^ y xdx 70 • x^dx 71 ■ n/ İ ^ /- / = ?+ C . - = ■^\Jx^—a^+ ‘y ' o? a’)+ C . (x^ - a y x ‘dx • X’ \/x^-a^ / dx • 1 x {x ^-a ^f / dx • /- t x>{x‘^ - a y T dx ” • j -------^ - + log(A:+ \/x^—a^) + C. a . ^ f dx 1 = — arccos -----^ C ; / — f =5== =* a r ^ ’ J X \tx ^ -\ 'l ^ + a‘x ^ ^ c . 1 CL . + 55>"“ “ T + < = ' ^ C{x^ — CL^ydx J — —^ a , ^ / — ^-------- —■-\x^—a^ — a arc c o s ----- [- C. At X 76. 77. f J = - v E Z + log(x4- v/?=^*) + C. X^ X yja^—x^ yi ihtiva eden şekiller. 78. j (a^—ac^)2 dx = y s /a ^ —a:2 + y arc sin — + C. 1 I <n, cos — hC. X Integral hesabı 79. j dx = ^ (5a*—2r*) y/a^—x^ + y arc sin - j + C. 80. y* ( a ^ - x 4 'd x = T-1 j n+2 81 82. f/ A:2(a2-A:2)2 83 f ___ ^ 84. f ___ ^ 87. ^2y/2 = arc sın — + C ; a ^ \J a ^ -x ^ /'-7 = ^ = = = arcsln;c+ C . + c. xdx 85. 86. = -|- (2^:^ - a^) \/a ^ -x ^ + Ç arc sin f - 4* C. ^ JfVjT *P* “ ~ y v'a* “ / ;-5------5^ = + y ®‘" y + ^• ■■,.... ..-— a r c s ı n ----- hC . j,m — 2 x ”^dx /'(a*-AT*p* ^ ^ y îz y r+ O îL -ıÜ E İ m /n / 1 . dx 1) 1/2 X - 90. 91 yJd^—‘X^ +C. a^x f . ____^ J A:2(a2 - .^ 2) 1/2 sja 2__ v2 2a^x'^ dx .2 ) 1 / 2 ■ ^ x\a^ 92 • 93. f J X (a2 - f d x = s/^ = ^ -a lo g c/a:= - X \ja.2__.^ ^—x2 — arc s i n -----1- C. X a +C. c/;c. 57 58 Formüller t Tartımlar t Kur allar^ Teoremler \]2ax—x ^f \j2aX’{‘X^ yî ihtiva eden şekiller. 94. 95. / \j2ax—x^ dx — ^ h dx 2ax - \/2ax—x^ + ^ aî*c cos j + C. = arc cos 96. J X " \j2ax- ■x^dx x"^~\2ax— x^y m-\-2 97 dx ■ J/ x ’'\j2ax — xi^ 98 99. ^ n/2a x —x ‘ m^ 1 x ’^dx _ j \İ2 a x -x ^ _ j J 3. {2ax—x^Y (2m~3)aA:- . _____ _ m—3 Ç \j2ax'^x^ (2m -3)a J jc— ı f - \İ2ax—. arc cos + c. 102. 103. 104 ■ ~~ = \/2ax—x^ + a arc cos f\İ 2 a x —x'^ , 2yj2ax—x^ 105. I ------ 2-----dx = — —------------- - arc cos 106. l'Û S ^ â L j^ f , —*^^\/2ax—x^ + J xyj2ax-x^ dx + (2m- l)a J x’'-^\j2ax— {2m—l)ax’ 100. I"X yj2ax—x^ </;r=— 10 1. / x'^-^\İ2ax—x^ , (2 m - l) a fÇ x ”^-^dx + m m J >j2ax—. r • . Ç\]2ax—x^. , {2m-\-l)a /* x "'-^ \j2 a x -x ^ d x . m (2 a x -x y ~ , C. 3ax^ j (‘ - v ) 4 -C . İntegral hesabı 107. 108. f dx _ J (2ax — J . c. d^yj2ax—x^ xdx (2aJC X + C. a\j2ax—x^ 109. j'F{x,yj2ax —x^) dx = 110. / 59 aiSjd^—z^)dz, dx --= log ( a: + r? + \/2ax+x^ 111. I F{x,>j2ax-{-x^) dx = 2ax-\rx'^) {z = x —‘ a). + C. F(z—a, \jz'^—a}) dz^ (z = x + a). a + 6a: ± c.v^ yi ihtiva eden şekiller. 2 r dx j a-\-bx-\rcx’^ 112. 113. /f a-\-bx-i-cx^ ^ a r c tg ^ ± L -\-C , ^ \4 a c —P b^<4ac. lo g ? « ± W ^ H + C , 114. f dx 1 , \Jb^+4ac + 2 c x - b , „ --- ------- - = - — l og ■ -------- ^------ H C. f a+6;tr—cx^ ^-bx—cx^ \Jyi-[-4ac \/6’4-4ac — 2ca: + 6 115. r dx = J \!a-]-bx + cx b^>4ac. log (2cx + 6 + 2^ c \]a+bx-\-cx^ + C. 116. 1 \/a-\-bx-{-cx^ i - a+bx+cx"^ — ^ İ 0 g ( 2 c A :+ 6 + 2 \/c ^ a 4 - İ J C + M * ) + C . 33. 8c2 1 . 2cx — b , ^ 117. ,________ = == -f= arc sın - 7= = = - + C. \J c sJP + 4ac / 7 â-\-bx " — ca :^ 4c 118. j*\ja-[-bx—cx^ dx = . 2 ca : — b 6^+4ac 2cX—b oarc sın - 7= ^ = + C. \!a-{-bx—cx^ + Sc ^ \Jb^-\-4ac 4c xdx » • h \la-\-bx-\rcx^ + 6 ac+ cac^ ^ — 2^ log(2cA: + 6 + 2 Vc V“ + ^>-«+ cx‘) + C. 60 Formüllerf Tanımlar, Kurallar, Teoremler \Ja-{-bx—cx^ , xdx •■ ..■— = — —------------------ 1“ 120. j \]a-\-bx— rcx^ ^ b . arc sın ^ \ c ^ Diğer cebirsel şekiller 121. m dx= \J(a+x)(b+x) + (a—6) \og (>Ja+x + \/b + x )+ C . 122. f \ / d x ^ »' 123. / y j(a -x){b + x) + (a+ 6 )arcsin \ J + C. _____ = - v/(a+xK 6-Jf) — (a+ 6) arc sin \ J + C. 124 , y y /^ ^ ^ t/A T = — \ / l —AT^+ arcsin jr+C ." 125 / ■ —rr-. = 2 arc sin \ / ^ —^ + C. ■ J \J x -o .){ ^ -x ) VP-a Üstel ve trigonom etrik şekiller 126. j a ''d x = j ^ l ^ + C . 129. j*sin xdx — cos x + C, 127. e"‘dx = e* + C. 130, j cos xdx — sin ar + C. 128. e°Vor = ~ + C: 131. j* tg xdx = log secar= “ logf cosor+C. 132. j "cötg xdx = log sin o: + C. 133. j's c c x d x = j 134. - dx c o şa r log(secA: + tgor) - log ^8^ (-f- + y ) + ^ f cosec xdx = / - 4 ^ = log(cosec-^ — cotgor) = lo g tg ~ + C. 135. y"sec^xdx = tg ar + C. 138. j * cosec ar cotg xdx= —cosecor+C. 136. J cosecôr</ar=—cotga:+C . 139. s\v^xdx = ^ ---- ^ sin2or+C. 137. j secor tg xdx = sec o: + C. 140. J cosôrt/or = sin 2or+C. Integral hesabı 14Î. j sin";'xdx = — 142. I cos"xdx — 143. 144. / / 61 sîn"~^;c cos Jt , n —1 / . ---- I sin"' ’^xdx. ^ J cos"”^jc sin jc . 71—1 j COS"“ xdx. dx _ _ 1 cosx , n —2 /* dx sin"AT n—1 sin"~^jc ti—1 J sin"" dx _ 1 sin a: n—2 Ç ddx cos"a: n —1 cos"“ ' x ' ti—1 J cos" J Âc t m • n j cos'"~Âc sin""*"^ a: , tm—I , _ , . „ , 145. I cos”*A:sın" a:c/a: = ---------- ;------------1----- ;— / cos"* COS"*' sın"AraA:. /n + 7 1 f ' ................ m+ n 146. I cos™j: sin" jct/jT = — 147. 148. 149. sin"~^ X cos'"'^' 3S'"'^'a: , n —1 f _ . „_2 I -----------------;— I cos"'A:sm"Â:d.Y 771+ n rn+ nj h dx sin"*A:cos" a: h dx _ _ _JL________ 1_______7n-|-n—2 r dx sin^’ATCOs" a: m —1 sin'"~Â:cos"'"Â: ^ m —1 j sin'"~Â: cos"a: cos'"xdx rcos J sın'A: si 1 1 n —1 sin”*~Âccos"~Â: cos"*^^ X (ti—l)sin"“ Âc cos"* xdx _ cos"*~^ X 150. / sin"A: (ttî —7i)sin"” Âc n + n —2 f J sin"* X cos"~^ X m—n+ —71+2 2 fcos"'xdx r cos”'x 71—1 J sin"“ ^ m—1 /*cos"*"’^ xdx sin"A: m —n j COS"^ÂT 151. y/'ssin a: cos" / a:<=/^— in ;c c o s »a:c;e ^ -“ ^ + C. n+ 1 152. sin"^'A: "Tı+Î” co sx d x = 153. J ' tg" xdx = tg"*ÂTi/Ar. 154. y*cotg" xdx = — ^ 155. /'sin m;, sin nxdx = J ICİT / 156. I cos cos I — y cotg"~Â:c/Ar. 2 \ 7îî + Tl) 2 ( 7h — n ) + C. sin(m+n)A: , sin(7n—ti)ac , ^ + C. 62 Formüller t Tanımlar ^ Kurallar^ Teoremler -c -7 T • j cos(m+n)x COs(m — n ) x , ^ 157. I sın m x c o s n x d x = = -----^-----------------------------^ + C. 2{m + Tl) 2(m — n) 158. dx j a+ 6 co sjc f ___ d£ 159 • f a + b c o s x “ a'~\-b sın X 161 ■Jfa + b sinx \/a‘—P . ^ \/6 -a t g + V 6 + 0 lo g ----------_ £ ------------- + C , o o tg ^ + 6 arc tg — z==— [-*C, ^ — 6^ \J(F — V 6'^-a^ a > 6. lo g ------ ::----------------------- |-C , t/A: :x a»"*: tg ^cosÂ:+6^sin^jı: = ab 162 a<b. a <6, + c. f ax • J e “"'(a sin TIJC— TI c o s TiAc) , ^ 163. / c“*sınn;cdA: = — — 5-------- - + G. J a2 + 71^ 164. f e - ’ cos nxdx ^ 1 + C. a^ -{• 165. j\e ^ - d x = Ç ( a x - l ) + C. 166. jÂcVc/;c= ----- x'"~ê“*dx, 167. f a'^*x^dx = —r~~------ — ------ /* J Tnloga /n loga J 168. Jf ^ x"*= - (Tn-“l)jc"*~^ r — “m + m —l j / " ^ 169. fe -c o s" x d x = e“ c o s " : M a ^ ^ + £L?İ g ^ + î ^ ) f e-cos’‘~^xdx. J a^ + n^ a^+ n^J J jc^cos ax dx = “ 2” j Afisin axdx = ûtAf+THços ax) — (th sîn ûaç— ca: cos ax) — ^^^2 ^"'~'^cosaxdx l'x”^^h\naxdx. Integral hesabı Loğarıtmîk şekiller 171, j log xdx = X log X — X -}- C. 172. = logdog ^) + log ^ / :X dx = log (log x) + C. lOgAT 174. J'x"logxdx = [1 ^ - 175. j"e'“‘logxdx = 177 + c. - L l ' f l dx. ^m+1 ^ / ^ ^ ^ log”jt— Iog”“ ^.rc/Ar. f x ”'dx ________ _________, m +1 f J {n — l)log“~'A: xTdx n—\ J log"~ÂC 63 BELİRLİ İNTEGRAL 8. BELİRLİ İNTEGRALÎN TANIMI : f(x ), a: = a dan a: = 6 ye ka dar olan aralıkta sürekli bir fonksiyon olsun. Bu aralığı, apsisleri a, xu X2 t at3, ...» b olan n parçaya bölelim. Aralıkların boyları, Aa:i , Aat2, ...» olsun. Bu aralıkların herbirinde x in x \\ X2 1 x^\,„yXn gibi herhangi değerlerini alalım. f(x) in a: = a, x = b limitleri arasın daki belirli integrali diye : b f f{x) dx =- lim [/(jr/) Aati + f( x 2 ) Aatj + ... + f{xn) Ax„] n-ôo a n = Lim 2 71-.C O = I/ f(x ) |‘ = IF(x) i; = F(6) - F(a) ya denir. Buradaki F(jt) fonksiyonu türevi f(x) olan bir fonksiyondur. 9. BELİRLİ İNTEGRALE AİT BAŞLICA TEOREMLER. b b b b f [ f ı ( . x ) + M x ) + . . . + f „ ( x ) ] d x = f f ı ( x ) d x + J f ^ x ) d x - { - . . . + J f„ {x ) d x a b a a b Jkf(x)dx = k ff{ x )d x a b a a Jf(x)dx = - / f(x)dx a b b c h f f{ x )d x = jf( x )d x + j f(x)dx a a c h j f ( x ) d x = (b — a) f(x\) a<x\<h a Belirli iniegral 65 j f ( x ) d x — Lîm j f ( x ) d x a B-ôo ^ b b ff(x ) dx — Lîm — 00 A -> -« [f{x) dx A c -foo -f"®® j f { x ) d x = f f { x ) d x + I f{x )d x — 00 — 00 C eğer x ^ b için f(x) süreksiz ise : 6— £ b j f { x ) dx = Lim J f(x ) dx a, £-^0 ^ f(x) fonksiyonunun (a, b) aralığındaki ortalama değeri ; dir. 10, ALAN HESABI, y = f(x) eğrisi ve —0, x = a, x ~ b doğruları nın sınırladığı alan, a ile b arasındaki bütün x değerleri için y ayni işarette olmak üzere: h jf(x)dx a dir, y = f{x) eğrisi ve y ^ c, y ^ d^ jr = 0 doğrularının sınırladığı alan: d F=- J x d y dir. r = /(ö) eğrisi ile 0 = a ve 0 = 3 doğrularının sınırladığı alan a c/0 dır. 11. YAY UZUNLUĞUNUN HESABI. f ( x , y ) ^ 0 eğrisinin (a,c) noktası İle {b, d) noktası arasında kalan kısmının uzunluğu: 66 Formüller, Tanımlar, Kurallar, Teoremler a c dîr. £jfri x == q>(^), y = vp(/) parametrik denklemleriyle verilmişse t = a dan t=^ 'b ye kadar olan kısmının uzunlugû : h dir. Eğrinin denklemi r = /(0) kutupsal denklemi ile verilmişse : a rj dir. 12. DÖNEL CİSİMLERİN HACMİ, y = f(x) eğrisinin a: = a ve a: = 6 apsisli noktaları arasındaki kısmının : 1. Ox ekseni etrafında dönmesinden meydana gelen cismin hacm i: b Tzfy^dx 2. ekseni etrafında dönmesinden meydana gelen cismin hacm i: d Vy = TCfx'^dy c dir. c ve d, (a:) in a ve 6 değerlerine karşılık y değerleridir. 3. Oy ekseni etrafında dönmesinden meydana gelen cismin hacm i; b Wy = J xy dx a /ı(^)» i/2 = f 2{x) eğrileri ile x -= a, x = b doğrularının sı nırladığı alanın x = d doğrusu etrafında dönmesinden meydana gelen cismin hacm i: b W =-2tzJ { x — d)(y 2 — yı) dx a dir. 67 Belirli integral 13. DÖNEL YÜZEYLERİN ALANI, y - f(x) esrisinin x a doğruları ile sınırladığı alanın ; x ^ b 1, O a: ekseni etrafında dönmesinden meydana gelen dönel cismin yüzeyinin alanı : b _________ b dx = 2- j yds-, a a 2. Oy ekseni etrafında dönmesinden meydana gelen dönel cismin yüzeyinin alanı : d d F ^ 2 r .f , \ J l ^ dy = 2r.f . r d s d İr. 3. y ^ k doğrusu etrafında dönmesinden meydana gelen dönel cis min yüzeyinin alanı : 6 /■= 2k / { y - k ) d s : 4. .V ^ k doğrusu etrafında dönmesinden meydana gelen cismin yü zeyinin alanı ; b F - 2r. f { x - k) ds O dir. 14. İKt KATLİ İNTEGRALLE DÜZLEM ALANLARIN HESABİ, 1. Kartezyen koordinatlarda : b f(x) ^ = / / dydx veya a cp(Ar) d My) JJ d xd y t h{y) 2. Kutupsal koordinatlarda ; F dir. 02 /2(ö) j j rd rd ^ 01/ı(0) <P2(0) j j rd ^d r M q>ı(0) r2 veya 68 Formüller, Tanımlar, Kur allar ^ Teoremler 15. İKİ KATLI İNTEGRALLE HACIM HESABI, r - f{x,y) ise î b iK a:) d 0(ı/) f { x , g ) d g d x veya j f f(x,g)dxdg a <p ( at) a (^ ) dir. c 16. ÜÇ KATLI İNTEGRALLE HACIM HESABI. 1. Kartezyen koordinatlarda; . V =5 j j J d x d y d z 2. Silindirik koordinatlarda: V = J J J r dr dQdz 3. Küresel koordinatlarda : V= sin 9 </0 </<pdp dır< 17. YÜZEYLERİN ALANI. z = f(x ,y ) yüzeyinin alan ı: • '- / / v ' ( S ) ’ + ( | ) ’ + ' dir. 8. DİFERANSİEL DENKLEMLER 1. BİRİNCİ MERTEBE DİFERANSİEL DENKLEMLER. Birinci mer tebe diferansîel denklemler, genel olarak; F(x, y, y ) 0 dx + dyÔ M + N dy dx şekillerindedir. (1) . Değişkenlere ayrılabilen tip : M dx 7- N Jy — 0 diferansîel denklemi f{x) dx -f- <p(y) dy sokulabiliyorsa değişkenlere ayrılabilen tipdir. Buradan : şekline ff ( x ) d x 4- f<f{y)dy = C şeklinde genel çözüm elde edilir. (2) . Homojen tip. M c/ a: + N cfy-= 0 denklemindeki M(a:,^), N(A:,y fonksiyonları x ve y ye göre ayni dereceden homojen iseler diferansîel denkleme, homojen tip diferansîel denklem denir. Bu denklemde y = ux değişken dönüştürmesi yapılırsa değişkenlere ayrılabilen tip denkleme varılır. (3) . Tam diferansîel tipi. M cfjc + N c/y = 0 denkleminde ise birinci taraf /(.r,y) sielidir. M cx çözümü bulunur. veya C şeklindeki bir fonksiyonun toplam diferanN ^ 7— den hareket edilerek denklemin genel cy Ayni şekilde : f{x,y) = / m {x,y) dx + /N (a .y ) dğ formülünden f^K^y) bulunarak — C çözümüne vanliff 70 Formüller i Tanımlar t Kurallar, Teoremler '4). Lineer tip diferansiel denklem. ^ - f P(jc)i^= Q(jc) şeklinde ki bir denkleme lineer tip diferansiel denklem denir. Bu denklem y ^ u v dönüştürmesi veya sabitin değişimi kuralı (Lagrange kuralı) ile çözülür. (5). BernoulH diferansiyel denklemi. ^ + P ( a:) ^ — Q ( a: ) şek lindedir. = u değişken dönüştürmesi ile lineer tipde bir denklem haline getirilir. (6). Clairaut diferansiel denklemi, y dir. çözümü için her iki tarafın türevi alınır «eklindeP dönüştürmesi yapılır. (7) . Lagranğe diferansiel denklemi, y + x f (y ) ^ ( y ) — 0 şek lindedir. Çözümü için türev alınır ve y — p dönüştürmesi yapılır. fonksiyon ve p bağımsız değişken gibi düşünülür. (8) . Rİccati diferansiel denklemi. ^ H~ P(jr) ax şeklindedir. Denklemin yi gibi bir özel çözümü biliniyorsa y ^ yi + u dönüştürmesi yapılarak BernoulH denklemine varılır. 2. İKİNCİ MERTEBE DİFERANSİEL DENKLEMLER (Bağımlı ve bağımsız değişkenlerden birinin denklemde bulunmaması hali). dû (1). ^ = / W tipi. Her iki tarafın iki defa integrali alınarak genel çözüm elde edilir. dû fi (2). = /(i^) t ‘P>- Denklemin heriki tarafı 2 ^ dx ile çarpılarak 2 /(l/) dy ,dxj " " 7 2 / (y) rfi/ - f C şeklinde birinci mertebe bir denkleme varılır. Sy dönüştürmesi ile ‘^ ± ^ f { x , p ) dx^ ' V"’ d xj ” *■■■ % dx şeklinde birinci mertebe bir denkleme varılır. (3), Diferansiel denklemler ^ ^ 71 ^ dönüştürmesi yapılırsa: d'^y dx^ dp ^ dp d y dx d y dx = p olarak P j y - f ( y > p) şeklinde birinci mertebeden bir denkleme varılır. 3. n. MERTEBEDEN LİNEER VE SABİT KATSAYILI DİFERANSİEL DENKLEMLER. d'^ d“-\g Ao ",^r + A, + .... + A„_, g + A „ y = /W dx'‘ dx"-^ şeklindedir. f{x) -= ü ise denkleme ikinci tarafsız denklem denir. (1) . İkinci tarafsız denklemin çözümü : denkleminden : Aor” “T A|T” ^ “1" .... -f- An-ı7* “i* An — 0 karakteristik denklemi yazılır. Bu denklemin : reel kökleri rı, rı^-^trı Katillik mertebeleri Xı, X2,.»..A/ Kompleks kökleri katillik mertebeleri aı=Fpı/,a2T32f>*»»»>otm^3w/ Vj, V2,....,V,„ ise diferansiel denklemin genel çözümü : / /'V ^ Oi V V = 2 ®^ P /.* -lW + E ® * [S v^-lW cos ^kX + Tv^_ıW sin (5*x] i= l (t=l dir. P, S, T 1er dereceleri indislerine eşit x in tam polinomlarıdır. (2) . İkinci taraflı denklemin çözümü. d’^yn + Al 5 ; ; ^ + ... + A „ - ıd;y~ + A„if dx' dx = / ( A f ) 72 Formüller, Tanımlar, Kurallar, Teoremler denkieminin genel çözâmilnü elde etmek için ikinci tarafsız denklemin genel çözümüne ikinci taraflı denklemin bir ^2 özel çözümünü ilâve etmek kâfidir. Buna göre genel çözüm y = y \-\-y 2 öir. özel çözümler: a) f (x) = Boa:” + Bı + ... + B„ şeklinde ise ^2 özel çözümü : y 2 = Co a:" -f Cı + ... + C„ şeklindedir, r'" karakteristik denklemin bir çarpanı ise özel çözüm : y-ı = a:'” (C o a:" + Cı a:"-' + ... + C„ şeklindedir. h) / ( a:) = şeklinde ise ^2 = şeklindedir, (r — a)"‘ karak teristik denklemin bir çarpanı ise özel çözüm : y^ = Kx'"e^x şeklindedir. c) / ( at) ~ C sin ax veya C cos ax şeklinde ise özel çözüm : y 2 ^ A sin ax 7 B cos ax şeklindedir, karakteristik denklemin bir çarpanı ise özel çözüm: y2 — sin aA: + B cos ax) şeklinde olur. d) f(x) == cp(jc) şeklinde ise y denklem eo-x üe kısaltılır. -= v z dönüştürmesi yapılır ve c) f(x) birkaç fonksiyonun toplamı şeklinde ise ^2 özel çözümü, bunların herbirine karşılık olan özel çözümlerin toplamına eşittir. II. GENEL KURAL (LAGRANGE KU RA LI)-. f(x) bu şekillerden biri şeklinde değilse ikinci tarafsız denklemin genel çözümüne sabitin değişimi (Lagrange) kuralı uygulanır. Örneğin A ı/'-f-B ^' + Cy = / W denkleminin genel çözümünü bu kuralla elde edelim : At/' + Be/' + C y - O denkleminin genel çözümü : y = C,^ı + C21/2 olsun. Şimdi de bu ifadenin ikinci taraflı denklemin genel çözümü ola bilmesi için Cı ve C2 nîn ne şekilde fonksiyonlar olması gerektiğini araştıralım. Cı ve C2 iki tane bilinmiyen fonksiyon olup bu fonksiyon ları bir tane bütünler şarta bağlı kılabiliriz. Bu şart y nin türevleri ba sit değerlere eşit olacak şekilde seçilir : y Cıyı + Ciyi Diferansiel denklemler 73 den türev alınarak *. y — C\y\ -r ^2y2 + Cı'ı/ı + C2yı elde edilir. Buradan bütünler şart olarak : CıVı + ^2y2 seçelim. Buna göre: 0 y -= Cı^ı' -f €2^2' olarak : y" - -r €2^2" + C ı> ı' + C2V2' ^\y\ bulunur. Bunlar ikinci taraflı denklemde yerlerine konulursa : A (Cıyı'+C2^2'^+Cı'^ı'4- 0 2 ^ 2 ')+ ^ (Cı^ı'+C2i/2")-rC (Cıyı+C2^2)"=/(-'^) Cı (AiTı"+B^ı'4-C^ı)+C2 (Ai^2''+Bı/2'+Ct^2)+A C r^ ı'+ A C 2 y 2 = f(x )' ve ^1, y 2 ikinci tarafsız denklemin çözümleri olduklarından: Ai/ı^-KBi// + C i/ı^ O ^y2" + B^>" + ^ 0 olup : A Cı'yı r A C2 y 2 -= f(x) elde edilir. Bu ifade ile yukarıdaki bütünler şartın meydana getirdiği: C ıy ı + Cı'yz 0 A C ıV r A C 2 V - / W denklem sisteminden Cı', C2' ve bunlardan da Cı ve C2 hesaplanarak (//) ifadesinde yerlerine konulursa ikinci taraflı denklemin genel çözümü bulunmuş olur. 4. dx' (Euler denklem i): a„_,A :^4-a„y= /(A :) DENKLEMİ Ç p { - r ...dx'^~^ e^ = X dönüştürmesi yapılırsa : dy dx . d y dV dt d x dy _ dt ‘ Dy d^y dy' dt d ? ^ ~ d t ' dx -2, 2' df fy dû ■ >A dt ' - a e~'“ i dt ^ - \d e dt dt dt I dy , dt d^y dt‘ e-'“ -D)</ ^ e-3-(D3_3D2+2D).v 74 Formüller t Tartımlar ^ Kurallar ^ Teoremler ve bunlardan ; dx ^ x ^^(D ^-D )y x ^ ^ = ( D ^ ~ 3 D ^ + 2D )y elde edilir ki bunlar diferansiel denklemde yerlerine konulursa sabit katsayılı lineer bir diferansiel denkleme varılır. İKİNCİ KISIM Problemler ;. . 1. 1. 01 6ı DETERMİNANTLAR determinantının değerini yazınız, 02 62 aı b\ ~ Ol 62 — 02 b\ 02 bı 2. 7 2 3 4 determinantının değerini hesaplayınız, 1 2 3 4 3. -2 a b - h 3a 7 X 4 — 3 X 2 = 28 — 6 = 22 determinantının değerini hesaplayınız, -2 o b = -6 o 2 + 62 —b 3o 4. 2 2 x -\-5 3x — / X—3 determinantının değerini hesaplayınız, x + 2 2x + 5 = (A :+2)(A :-3)-(2;r+5X 3A :-l)= -5;c2-14A :-l 3a: - 1 a: - 3 4ac+ 2o = 5 ) X= denklem sistemini determinantlar yardımı ile çözünüz. 5 2 1 -4 4 2 3 -4 2 0 -2 -1 6 -6 4 5 3 1 4 2 3 -4 4 -1 5 -1 6 -6 22 = 1 — 22 11 — 22 [ denklem sistemini determinantlar yardımı ile çözünüz, 3x-j-2y = 7 ) 78 Yüksek Matematik Problemleri X= 3 _ ,8 _ = 3 2x 5y 11 7 5 3 3 2 3 2 22 21 - 1 1 0 -9 5 11 3 7 5 3 3 2 3 5 -3 3 = 2 1 0 - 9‘ - denklem sistemini determinatlar yardımiyU çözünüz ± 2 3 ’ jr == 5^ 4 ’ 8. Qı b\ Cx Ü2 Ö2 C2 Ö3 bs C3 determinantının değerini yazınız. aı bı cı ~ a\ &2C3 ^2 ^2 fl3 ^3 C3 02 63 Cı "i“ 03 C2 — 03 b%Cı—Oı bı C2 — 02 bı C3 Determinantlar -/ 2 5 - 3 1 -1 -3 2 -3 -1 2 5 - 3 1 -1 -3 2 -3 79 determinantının değerini hesaplayınız. ( - l ) ( - 3 ) ( - 3 ) + (5)(-l)(-3)+(l)(2)(2)(1)(_3)(_3)_(_1)(2)(-1)_(-3)(2)(5) = - 9 + 15+ 4 - 9 - 2 + 3 0 -2 9 10 . a b c c a b determinantının değerini hesaplayınız. b c a a b c c a b b c a 11. x -2 -2 y+ 3 1 - 2 3 z-2 4 1 —3 a b determinantının değerini hesaplayınız. x —2 «/+3 z —2 -2 3 4 ^ 3 ( x - 2 ) + 4 { z - 2 ) + 4 (y+ 3) - 3 ( z - 2 ) + 1 -2 1 8 { x - 2 ) + 2{y+ 3) = . U { x - 2 ) + 6{y + 3 ) + { z - 2 ) = lİA: + 6 y + z — 6 12. k ne olmalıdır k î : k+ 3 3 -k 1 -2 -2 1 -3 3 0 olsun. k+ 3 3 -k 1 -2 -3 = - 6 ( ^ + 3) + 1 8 - )t + 4Â: + 3(^ + 3 ) - 9 = 0 - 6 Â : - 1 8 + 1 8 + 3 ^ + 3Â: + 9 - 9 = 0 0 .^ + 0 = 0 olarak /:*mn her değeri için determinant sıfıra eşittir. 80 13. Yüksek Matematik Problemleri 2x + y — z ^ 5 3x — 2y 2 z ^ — 3 X — 3y — 3z — — 2 denklem sistemini çözünüz* Bilinmiyenlerin paydalarım teşkil eden katsayılar determinantı: 2 1 -1 A= 3 -2 2 = 42 1 -3 -3 5 1 -1 3 -2 2 2 -3 -3 X— 42 2 5 -1 3 -3 2 1 -2 -3 A 42 3i\ — 2i*2+ 4iz — 2 ij 3î 2 ~ s 2iı — z*2— 2h == 0 3 1 2 3 1 2 *3 = -2 2 3 8 -1 0 —2 4 3 -6 —1 —2 - 1 ? i= 2 42 2 1 5 3 -2 -3 1 -3 -2 z= 14. olup : -1 dir. denklem sisteminden z*s û* determinantlar yar~ dimi ile hesaplayınız. 0 - 2 -3 2 -1 2 + 2 4 -0 —18 - 4 + 2 4 - 2 4 - 1 8 — 4 -2 2 —44 1 2 İ . + 1 + JL X y z 15. £ + A - A 5 X ^ ^ y ^ z denklem sisteminden x i determinantlar yardımiyle çözünüz. Determinantlar 2 81 1 2 -3 4 . 8 « 2 , 16 4 -_ _ 2 -3 — 6 -y 38 -3 - 1 2 1 4 2 -3 3 - 4 4 8 -1 6 —1 8 -6 -1 2 -3 2 ‘ -7 6 -4 j 6 olarak a: = 6 bulunur. 16. fll 61 Ci CZ2 62 C2 determinantının değerini birinci sütundaki elemanla* Û3 63 C3 rın minörlerine göre yazınız. «1 61 Cl 61 Cl 62 C2 b\ Cl ^2 ^2 C2 = Ol 63 C3 — O2 63 C3 + 03 62 c 2 03 63 C3 17. ö 4 6 2 5 determinantının değerini birinci satırdaki elemanların 7 minörleri yar dimiyle hesaplayınız. 1 0 3 4 5 6 2 3 5 3 4 4 5 5 = (1) 6 7 - ( 0 ) 5 7 + (2) 5 6 7 1 (28 — 3 0 ) - 0 + 2 ( 1 8 - 2 0 ) - 2 - 4 = - 6 18. y ^ * y'^ 1 r y^ 1 determinantını çarpanlara ayırınız. Birinci sütunun elemanları ar, ikinci sütunun elemanları y ortak çarpanına haiz olduklarından: I 1 1 1 X y 1 1X* y^ 1 yazılabilir. Şimdi de üçüncü sütununun elemanlarını bîr ve ikinci sütunun karşılık elemanlarından çıkaralım ve elde edilen determi nantı, birinci satırının elemanlarının minörleri yardımı ile hesaplıyalım. Bu suretle: X y 1 1 1 82 Yüksek Matematik Problemleri 1 1 X y x^ y^ 1 0 1 = xy x - l 1 x ‘^—l 0 1 y -1 1 y^— 1 1 x —\ y ~ l x y x'^~l y ^ - 1 = x y ( x —l) (ff—1) 1 1 y+ \ xy (jr—1) (i/—1) {y—x) elde edilir. 19. 6+ c c+ a a+ b determinantının değerinin sıfıra eşit olduğunu gösteriniz, Jkincî sütıimm elemanlarını üçüncü sütundaki karşılık eleman larına ilave edersek elde edilen determinantın üçüncü sütunundaki bütün elemanlar a + b + c ye eşit olarak bu ifade ortak çarpan şeklinde çubuklar dışına çıkarılabilir. Bu suretle : 1 a b+ c 1 a 1 a a-j-b-i~c = 1 b c+ a 1 b a-j- b-j- c = (a + 6 + c 1 b 1 c a+ 6 1 c a -i~ b -j-c 1 c 1 1 1 elde edilir. Bu son elde edilen determinantın birinci ve üçüncü sütunlarındaki elemanlar karşılıklı olarak birbirinin aynî olduk larından bu determinantın değeri sıfıra eşittir. Buna göre çarpım da sıfır olacağından verilen determinant sıfır olur. 20 . Determinantların değerini hesaplamadan : a^ a 1 b^ b 1 c 1 d^ d 1 bcd acd abd abc a 1 a^ P b‘‘ b 1 c 1 d^ d} d 1 =-{a~b) ( a - c ) ( a - d ) {b -c ) ( b - d ) ( c - d ) olduğunu gösteriniz. Verilen eşitlikte sıra ile a=by a=c, a-^d^ b = c, b = d ve c=</ yapılırsa determinantlar iki satın birbirinin aynî olan deter minantlar haline girerek sıfır değerine haiz olurlar. Bu suretle determinantların (a—b), (a—c), (a—d), (b — c), (b—d) ve (c—d) yi çarpan kabul ettikleri gösterilmiş olur. Determinantlar 83 3 2 2 1 21 6 5 4 -2 9 -3 6 -5 12 2 8 7 determinantının değerini hesaplayınız. Birinci sulundaki elemanlar 3, üçüncü sütundaki elemanlarda 2 orlak çarpanına haiz olduklarından: 3 2 2 I 6 5 4 -2 = (3)(2) 9 —3 6 - 5 12 2 8 7 1 2 2 5 3 -3 4 2 1 1 2 -2 3 -5 4 7 yazılabilir. Son elde edilen determinantda ise bîr ve üçüncü sütu nun karşılıklı elemanları birbirine eşit olduğundan bu determinant sıfıra eşit olur ve bu sebepten verilen determinantın değeri de sıfır olarak bulunur. 22 . 4 1 - 2 3 1 2 1 4 3-1 3 4 2 3 -3 2 determinantının değerini hesaplayınız. Birinci satırın elemanlarını (—2) ile çarpıp ikinci satırdaki karşılık elemanlarına; (—3) ile çarpıp dördüncü satırdaki karşılık elemanlarına ve (1) ile çarpıp üçüncü satırdaki karşılık eleman larına ilave edersek: 4 1 —2 3 - 1 2 1 4 3-1 3 4 2 3-3 2 4 —9 7 -10 1-2 3 0 5-2 0 1 7 0 3 -7 elde edilir. Şimdi de elde edilen determinantın değerini ikinci sütunun elemanlarının minörlerine göre yazarsak: -9 5 -2 7 (1) 10 bulunur. Bu determinantı hesaplamak üzere evvela ikinci sütun daki elemanları (—7) ile çarpıp bir ve üçüncü sütundaki karşılık 84 Yüksek Matematik Problemleri olan elemanlarına ilave eder ve sonra da determinantın değerini ikinci satırın elemanlarının minörleri yardımı ile hesaplarsak: -4 4 5 - 3 7 0 0 •28 •31 -4 4 -3 7 -3 1 -2 8 (44 X 28 - 31 X 37) = - 85 bulunur. 23. / -J 2 •7 2 / 2 -5 7 - 2 2 ^3 3 3 -2 -4 i / - 5 / 4 4 -1 2 1 determinantının değerini hesaplayınız. İkinci sütunun elemanlarını sırası ile (3), (2), (1) ve (—4J ile çarpıp birinci, üçüncü, dördüncü ve beşinci sütundaki karşılık ele* manlarına ilave* edersek: 2 -3 1 -3 11 -1 2 1 2 -3 | 4 -3 1 -2 -1 2 -3 3 4 —1 2 1 3 —2 - 4 13 - 8 - 3 "- 4 - 6 5 2 5 4 -1 1 0 0 1 0 0 -7 - 3 -3 11 1 9 - 3 - 2 -- 8 0 elde edilir. Şimdi de bu determinantın değerini üçünü satırında ki elemanların minörlerine göre yazalım: : -8 -4 -6 13 5 5 4 -1 1 —7 - 3 1 11 -3 -8 0 9 ve burada da üçüncü satırın elemanlarını sırası ile (6) ve (— 4) ile çarpıp birinci ve ikinci satırın karşılık elemanlarına ilave eder ve sonra da elde edilen determinantın değerini üçüncü sütunun elemanlarının minörlerine'göre yazarsak: - 5 0 - 2 2 0 '79 -5 5 33 17 11 -7 -3 9 -3 -8 -(-1 ) 3+3 -5 0 -2 2 79 33 17 - 5 5 -3 -8 9 elde edilir. Son determinantda üçüncü satırın elemanlarını (3) ile çarpıp birinci satırdaki karşılık elemanlarından çıkarır ve (2) ile çarpıp ikinci satırdaki karşılık elemanlarına ilave edersek: Determinantlar 85 -4 1 2 52 27 1 - 3 7 -3 -8 9 ve burada da ikinci satırın elemanlarının iki katını birinci satırdakilerden çıkarır ve (8) katını üçüncü satırdakilere ilave edersek: ■95 O 126 27 -3 7 213 -287 (-1)2+2 —95 126 213 -2 8 7 - - ( 9 5 X 2 8 7 -2 1 3 X 1 2 6 ) = -4 2 7 bulunur. 1 2 24. 3 4 2 12 1 0 0 11 3 4 1 2 1 2 3 4 determinantının değerini ilk iki sütunun minörle* rinden faydalanarak hesaplayınız» 2 12 1 1 1 1 2 0 0 3 4 (-1 ) (-1 ) 1+4+1+2 + î r2 1 2 3 4 1 1 12 + 2 1 __ _ 1 \2 + 4 + l+ 2 + (-1 ) 1 1 2 1 3 4 3 4 1 1 -( -3 )(l) + (-2 )(l)-(5 )(-l) - O bulunur. 25. 2 3 -2 4 3 -2 1 2 3 2 3 4 2 4 O' 5 determinantının değerini ilk iki satırın minör lerinden faydalanarak hesaplayınız. 2 3 -2 4 3 -2 1 2 3 2 3 4 O 5 2 4 3 2 —2 4 1 2 2 3 3 -2 1 3 -2 1 -2 1 2 3 4 0 4 } 21 •2 4 3 4 i _ 2 —2 3 1 0 5İ 3 41 - 2 5İ 3 4 -2 2 + 3 3 + -2 0 86 Yüksek Matematik Problemleri = (~ 1 3 )(1 5 )~ (8 )(~ 6 ) + ( - 8 ) ( ~ 1 2 ) + ( - l) ( 2 3 ) ~ ( 1 4 ) ( 6 ) + (-8 )(1 6 ) = -2 8 6 0 0 0 26. 0 0 0 0 6 0 0 0 5 5 O O O O O 6 O O O O 5 5 0 0 4 4 4 determinantının değerini ilk üç satırın mi nörlerinden faydalanarak hesaplayınız* _ ^_2y+2+3-f4+5+6 O O 1 0 2 1 3 2 1 0 0 4 0 5 4 6 5 4 O 1 O 4 . (-1)^+U6) 2 1 5 4 |] 18(0 — 2) (O- 20) = - [ ( - 1 ) ” '(3) 18(-t-2) (—20) = — 720 27. 1 0 1 0 2 1 0 1 1 0 0 1 2 1 1 1 0 0 1 2 1 0 1 0 1 2 1 0 1 1 0 0 1 2 2 2 1 1 1 0 0 = 1 2 1 1 12 2 1 1 determinantımn değerini ilk iki sütunun minör" lerinden faydalanarak hesaplayınız. 2Jİ+3+1+2 1 1 2j ı| 1 1 1 1 1 2 2 1 1 + (_ 1 )3 + S + I+ 2 1 1 (1 -2 ) 1 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 -(2 -1 ) 1 1 1 1 1 1 2 , Determinantlar s=s 1 0 2 1 0 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 — . 1 0 2 1 0 87 1 1 1 1 2 1 1 - - (1-2)-(1-2)-1 + 1-2 2x+ y — z + 28. u —— X 2y 2z 3u 6 , denklem 3 x — y — z + 2u = 0: f j 2^ + 3 y + z + 4u = - 5 ] sistemini determinantlar .......... 2 1 - 1 1 1 2 2-3 Katsayılar determinantı — 3 -1 -1 2 2 3 1 4 dir. 86 olarak 88 Yüksek Matematik Problemleri İ\ — 2 i 2 + 1*3 = + 3 ii — 1*5 = 1*1-|- 1*2+ 1*3-2i*2+ 1*3 ~ 2j*4— h + h + 2/4 + *2 29, 5 —5 !*5 = + 2/5 = o is=^ 3 denklem sisteminden (1*3) ^ hesaplayınız. 1 —2 3 0 0 0 1 -5 3 1 1 1 0 —1 0 2 0 -2 -2 1 0 3 2 1 1 -2 1 0 0 0 1 0 3 -1 1 1 1 0 -1 0 2 1 -2 -2 1 0 1 2 1 19 ^ Aşağıdaki determinantların değerlerini hesaplayınız. 30. 2 3 -5 7 -1 2 3 1 5 -2 2 4 6 4 2 3 Cevap: — 557 31. 4 -2 1 3 -5 -1 1 4 0 5 2 3 Cevap; — 219 3 3 6 0 33. 2 4 4 -3 3 5 3 2 1 5 3 4 6 10 13 - 8 33. 2 -1 3 2 -3 1 2 4 1 -3 -1 3 -1 2 -2 -3 Cevap î 34. 3 -1 2 1 4 2 0 -3 ~2 1 -3 2 1 3 -1 4 Cevap; — 143 Cevap: 158 38 M Determinantlar 3 •2 35 . 2 - 1 3 2 0 3 4 3 1 —3 —2 2 4 1 1 0 -1-12 0 Cevap; 88 1 1 0 Aşağıdaki denklem sistemlerini determinantlar yardımı ile çözünüz, 2x+ 36. *= 1 ] X — 2y — 3z = 1 ^ 3a: + 2j, + 4z = 5 i Cevap : .r = 1, y — 3, z = - 2. 37 . 3at - f 2^ — z — u — —1 y —3 z -i-« = 2 2x-jr2y — 2 + 3u = 13 X — Sy f 2 z — 2u = —1 Cevap : x — 2 t y — — 1, z — 1, u = 4. 38 . 3a*— 2y z + 2u — 2 X ^y — z — u = 0 2.V + 3z - f 4u = 3 y — 2z — 4u = 2 Cevap : A — 1, ^ 39 . A*— 2y + z — 3u = 4 2x-{-^y — z — 2u = —4 3-v — 4y + 2z — 4u = 12 2a — y — 3z -4~ 2u = —2 Cevap : A = 2, ^ = — 1, z = 3, u = 1. 40 . 2A -f i / - 3 z = - 5 3^ + 4z + u = 5 2z — u — 4a = 0 u + 3a — y = 4 Cevap î A = 1, 41 . A — 2y + y — 2z t z — 2u - f u — 2a + Cevap : 3z — 4u = — 8 3u 4a = 6 3a — 4^ = — 8 3^ — 4z = — 2 a 0, z — 3, u — — 2. = — 1, z = 2, u = 0. = 0, ^ = 1, z =- 2, u = 3. 89 2. FONKSİYON 1. f(x) — -j- Sx -j- S olduğuna göre: a) m , f) b) f { - 2 ) , c) f(x^h d) fit + 2h e) f { x - h ) . f(x + h) — f(x ) . ifadelerini hesaplayınız. a) m = i b) / ( - 2 ) = - 3 c) f ( x ^ = x* + 5x^ + 3 d) /(< + 2) = z 2 + 9 ; + 17 e) f ( x - k ) = x ‘^ - { 2 h - 5 ) x J r { h ^ - 5 k + -i) yj f { x + h ) —f ( x ) 2. (j:+^)^4~ 5(^+ ^)+ 3—(A:^-t-5-^+3) 2^ | 5 | /t f{x) = + / ve g(^) ^ 2 x — 1 olduğuna göre: f[g{0)], g{f{0)], f[g(x)], g[/W ] ve f[f{x)] i hesaplayınız. /[«(O)] = 2 g [ /( 0 ) ] = l f[g{x)\ = (2x — 1)* + 1 = 4a:*— 4x + 2 g [f(x )]^2 (x ^ + l ) - l ^ 2x^ + 1 f l f ( x ) ] ^ ( x ^ + i y + l = ^ x * + 2x^ + 2 <f(x} = sin X olduğuna göre: c) 9(ö)=0, b) 9 ^ - ^ — a j = cosa, c) < 9 {2 y) = 2<f{y) olduğunu gösteriniz. a) 9 b) 9 (0 ) = sin 0 = 0 — a j = sin — a j = cos a — y^ Fonksiyon c) 9 (2i/) = sin 2^ == 2 sin y cos y ^ 2 s \ n y sin 91 ----y ^ = 2cf(y)<f^Y~ 4. F(x) = a* olduğuna göre F{x ~ y ) = p/ 5. N. a"" F(x) olduğunu gösteriniz, F(jc) f{x) = cosx olduğuna göre f(2x) — 2 [ f { x ) Y î 0 gösteriniz, olduğunu f(2x) — 2 [/(^)P + 1 = cos 2x — 2 cos^ ;c -f- 1 = cos 2x — (2 cos^ ;c — 1) = cos 2x — cos 2x =. 0 6. (x^ -j- 5)^ -f (a: — x^y fonksiyonunun sürekli olduğu aralıkları be^ lir tiniz. Fonksiyon ;c in her değeri için süreklidir. 2x 7. . . t ^ fonksiyonunun sürekli olduğu aralıkları belirtiniz. Fonksiyon a' = 1 ve a = 2 değerleri hariç x in diğer bütün değerleri için süreklidir. \/( a—1)(x — 2){x — 3) fonksiyonunun tanımlı olduğu aralıkları belirtiniz. Fonksiyon l ^ A ^ 2 v e A > 3 aralıklarında tanımlıdır. \J— fonksiyonunun tanımlı olduğu aralıkları belirtiniz. Fonksiyon, yalnız a = 0 için tanımlıdır. 10 . 1 - ( x - 4 ) fonksiyonunun süreksiz olduğu yerleri belirtiniz. Fonksiyon a == 0 ve a = 4 değerleri için süreksizdir. n l x —3 y = V A + ? fonksiyonunun tanım aralığını belirtiniz. Fonksiyon a < —2 ve a ^ 3 aralıklarında tanımlıdır. 92 Yüksek Matematik Problemleri 12 . /(x)—2*^ 3 olduğuna göre /(O) ; / ( —1) î /(l) : /(3) değerlerini hesaplayınız. 13 . f{x) = x3 — 5x^ 4" 6x — 3 olduğuna göre /(x—1) ve f{a-\-h) değerlerini hesapla yınız. 14 . /(*) 15 . /(x )= log — 16 . F(x) = C*+2 olduğuna göre F(^)/F(z) — F(ı/ — z — 2) olduğunu gösteriniz. 17 . /(x) = sin ^ olduğuna göre /( tî—2x) = 1 — 2|/(x)]2 olduğunu gösteriniz. 18 . f{x,y) = x2 — 3x^ 4“ 4^2 olduğuna gÖre : x2 olduğuna göre /(x -r 1) — /(x) i hesaplayınız. X i" 1 olduğuna göre f{y) — /(z) yi hesaplayınız. JL /(1 .2 ) = 11; /( 2 ,1 ) = : 2 : / ( - 1 . 3) = 46 : f{y, x) = i^2 — /(x 19 . 4- 4x2 ve y — 2) = x2 — 3x^ 4“ 4~ 8x — \Sy 4 “ 23 olduğunu gösteriniz. /(x) = x2 olduğuna göre : /(x2 + ^2) = + f[f{y)\ + 2f{x)f{y) olduğunu gösteriniz. 20. /W = 21 /(* )= 22. /(*» */) = — + — ve F(x,y)= - î- 4îse F(x,^) = f/(x,^)]2 — 2 olduğunu y X 1/2 x2 gösteriniz. 23 , /(x) = 1—X x2 olduğuna göre olduğuna göre ve F(x) = duğunu gösteriniz. 1 4 -/(x )/(^ ) - ^ - olduğunu gösteriniz. \~r^y ^ ...^)---- ZlîL ı hesaplayınız. h iee / (d + + F j = 2d ol- 3. LİMİT Lîm ( 3x^ — A*-*-7 ~t 4x ) limitini hesaplayınız, Lîm (3.r^ — 5x’^ -}X~*‘\ = Lîm 3x^ — Lîm Sx'^ + Lîm Ax X~>\ X-P-l - 3 ~ 5 + 4 - 2 (jc^— 7)- (a i. . hesaplayınız, L 1 Lım --------A:^ +'—^) - limitim -* + 2 / j Lîm a->2 1W 3J^^\ (jc’ — 1) ( j:’ + 4) ^+2 Lim (A :* — l ) . L i m ( A : ’ + 4 ) x -*1 ■ x-*1 Lîm {x + 2) x-*^2 3.12 - 9 —‘ 27 Lim --------^ limitini hesaplayınız. x-*‘3 ^ ^ a: 3 - 27 { x - 3 ) { x ^ + 3 x + 9) olup 27 x — 3 ,, x-~ 3 , . « Lîm -------^ = Lîm (x’^ + 3;c + 9). Lîm —— 5 dır. dî ----- :r kesri x = 3 x-*‘3 ^ ^ x-‘*‘3 x-*‘3 ^ ^ X ö değerî harîç 1 e eşîttîr. O halde x ^ 3 îçîn verîlen kesîr tanımlanmamıştır. Buna göre : Llm 4. = 1 olup Lim ~ = Lim {x^ + 3;c + 9). 1= 27 dir. x-^3 x — İ 3x^ “f” 4x “I” «5^ Lim — ^ ■ j'Z, ?— limitini hesaplayınız. 3 + 1X+ 4 x^3x^ + 4x + 5 ^ == L îm -----------»---- = -j4 x^-3 A->00 4_ Lîm veya 94 Yüksek Matematik Problemleri Zx‘^ + Ax + 5 AT-**00 ^ _ 3 ■= 5. Lîm 2 Z,/m x-*-l Lim sjx~]~3 .. hesaplayınız. + 3^2+Jf — 2 6. 3 IJT = T —\/5.y + 7 = Lim AT->oo 2 a:3 3__^ 1 -0 limitini hesaplayınız^ \/3 a:+1 ^ (vâ: + 3—V^3Ar4-l)(vÎ+3^+V^3Ar+l)\/A:-~l 1 x“>l 1 V^;c—1 (y^;c+3+V^3Ar+l) v/ a: ~ = Lîm ;:;i Lîm x->l (.y + 3 --3 A r--l ) \ / J ^ {x - 1 ) ( \ / ^ + 3 + v ^ 3 l + î ) —2 U — 1)\/ a: - 1 (a: — 1) {\Jx + 3 -j- \ / 3 a: + 1 ) 2\J: 1 = Lîm x-^l • Vâ: + 3 + ^3 at+ 1 7. v/ at+ 2 Lim -,____ limitini hesaplayınız. k-^2 \!4x ^-1 0/0 şeklînde olup x - \ J 7 + 2 Lim :^2 \İ4x + 1- 3 _ , x-*2 {x - VF+2)(;>r4- y /j+ 2 ) ( y /4 ;+ î+ 3 ) ( v/4 at+ 1—3)(v/4^+l + 3)(a: + \Jx+2) 2)( v/4a: + 1 + 3 ) Hm w 2 (4x 4-1 — 9){x + v/jc + 2) = lîm at->2 Lim ( a: - 2 ) ( x + 1 ) ( \/4 a: + 1 + 3 ) 4 { x - 2 ) { x + \/x + 2) j x + l ) ( y / 4 m + 3) 4(x + \/x + 2) 8 dir. Limit 8. Um x-*â 95 x \Jx — a\Ja limitini hesaplayınız. \x —Sa 0/0 şeklinde olup , . X \Jx — a\Ja . • . X.3/2 L»ırn Tzrr -pızz .— Lıın ^.2 AT-ı-a \Jx - \]a --~ X-*’Q ^ Lim 3/2 1/2 — ~ Lim (jc + x^^^ x->a 9, (x-hx^'â^'^ + a) + o) == 3a dır. V/+JC--= limitini hesaplayınız. Lim VT x-*0'J3—3x — \j3-\-5x 0/0 şeklinde o lu p ; Un, J / S = 4 ^ İ = »-►O \/3-—Sac—VS+S a: = I îm (v'l— (\ / l —JC+n/ I+J: ) (v^3—3 x+\/?T^5^) x -0 '( V ^ ^ - v '3 + 5 S ) ( v ^ 3 ^ _ + V J + 3 I ) ( \/I ^ ;c + v ^ İ T i^ — I im ~ ^ ^ —3x + y/3+5j^) x-»-0 (3 — 3x — 3 — 5jr)(\/l—Ar-|-Vl+-*) - L i m y ö + ^ ı . ^ g d i , . x-*0 8 ( \ / l - - r + \ / l + ^ ) 4 10, Vâ Lim V -----r = ^ limitini hesaplayınız, x-â y X — y a 0/0 şeklinde olup : V T - W Lim -^7 = ----x-â y X — y a ^ Lim ^ V Q + Va-r + Va^) (>/ x + sTa) x->a (v^ X — yj a ) (\/ a: + a)( = I îm (x - a)(\/ x + y j a x->a (a:—a) ( 4“ + Vo^) x-la V \J X + \ / a + ^VôAc 4- 2\! a 3V 3 a 96 11. Yüksek Matematik Problemleri L im ^ ^ x-*0 X — ^\Jl—x limitini hesaplayınız. ^ 0/0 şeklinde olup : u „ V Î H : l N2 H . ü „ C + ^ .V < \ a { l-h x y -(l-x Y = Lim x-^0 X (v/l ~jr x + V l ““ 'V)[(l+-*f)^+(l + a:) V( 1““ + V ( l— x^~\-2x + 5 = Lim x-0 (\/l + x + V l - ^ )[(1+ at)*+(1 U ) V(1 + V(1 -x)* = T 12 . r, 2 x ^ - 5 + \/x ^ ^ 3 x - r l , L im --------- .............. ......... limitim hesaplayınız Ar-*'00jc—/ + ^4 x^+ 3 x—2 OO — şeklinde olup? OO 2 ;t2 -5 + v /? = 3 l+ r + Lim ----------- -------- -= = Lim ----------------=---—._ '.:r x-^coX —1 + V4-«:‘+3Ar 2 x— ôo 1 1 I . /. 3 '7 ~ ^ ' V4 13, Lim W t +. x-^'l ^\j4—x + 2 dir. — limitini hesaplayınız. 0/0 belirsiz şeklinde olup: NW x- 2 I . x-^l V 4 -^ - V3 ^ { l + x - « ) [ V(4=:r)'»+ V 3 ^ ) + W l x-l (4-AT-3) [ V(7+ a:)2+ _ I i„, _ V ( 4 ^ ^ + V â (4 = r)+ y y + V 8(7+;c) + Vs* V9 dir. 14 . r- W + ^ \ / l- x - \ - x ^ T. , , Ltm —------------- ö—T------------- l%m%t%n% hesaplaytntz, x-^1 ^ 3^g*] Limit 97 0/0 şeklîııde olup î Lim V ^ + x-«-l V î^ -f^ 1 (a:*-1X W ( x - 2 y = Lim V I - ^ + aT^+ V(1 - a:+ jc’)2 1 V (^ -2 )« - - 2 + V (l- ;r+ ;r')* dir. 15. Lim g --------- limitini hesaplayınız, x-*âo \x ^ ^ x^-]r1 OO — şeklinde olup: OO Um x - « V a:' - :t<+l 16. Z,ım ^ r-^00 Lim W .-*«0 v ^ * = 3 ^ 2 -dir. —2x — / — V-** — 7x + 3) limitini hesaplayınız. OO — OO şeklinde olup: Lim x-ôo 1— Lim 2a:—1— 7a: + 3) = Lim [| a:—1| — x-ôo L 7x + 3)= Lim (—x -\-l+ x ----- = --------- X-*' — 00 X_^_O oV ^ ^ ve Lim (\/a:*—2a:—I—Va:^—7a:+ 3) = Lim ( a:—1—A:-f x-^--hoo 17. x-H-fooV Z j = -^dir. l Lim {2x — / — \/4x^ — 4x — S) limitini hesaplayınız, X-^-4-00 OO — OO şekiinde olup: Lim (2 at - 1 - \İAx'^ - 4 x - 3 ) = x -^ -H 0 0 Lim [(2x - 1) - | 2ı: - H] x -> -4 -0 0 Lim ( 2 a: — 1 — \JAx '^— 4 a: — 3) = Lim ( 2 a: — 1 + 2 a: — 1) X“^—00 X-+-—00 = Lim ( 4 a: — 2) = — «> ve X—►— 00 Lim ( 2 a: — 1 — yjAx^ — 4 a: — 3) == Lim ( 2 a: — 1 — 2 a: + 1 ) = 0 dır. X - > - f “ 00 X --**+0O 98 18. Yüksek Matematik Problemleri Lim ( x-»-oo -^Sx) 00 — 00 Lim ( limitini hesaplayınız. şeklinde olup: - V ?T 87) X-*“00 + = Lim + 5 ac^)* + x->oo 5x^ — — 8 a: + 5a:* ^\/x ^ + 8 a: + V M” 8a:)* Lim ' v 5 ^ + ’v ^ V ‘+ f + V ’+ 5 T+T+T= T 19. 4 + 3^ Lim — limitini hesaplayınız, x -^ + 0 0 / “T” T- 4 + 3* . 4 + 3* ^ + (f)' Lim . , gy = 4 ve Lim -t- t— == Lim = o dır. —00 x~♦'^-oo ^ 5 1 X-»—0 01+ ^ +1 20. 2*~'^+ / y — — --------fonksiyonunun x ^ 3 halinde sağdan ve soldan ~3 limitlerini hesaplayınız. 1+ 2 *~^ + 1 Lim ------ = Lim — *-^3+0 ^ x-h-3+0 i 2 * - '- l 2 *“ ^ + 1 Lim ------ ^ ^ = - 1 x-*-3—O —1— 2 '" ^ - l 21, L im s in x tg - ^ limitini hesaplayınız, it ^ dir. »-3 -1 x-S ve Limit $0 Â? X Lîm sînjctgf-^ == LimsînAT.Limtgf = 1X1 == 1 7Ç 22. . “TC Tl ^ Lim ~— limitini hesaplauıniz. x^0 ^ ^ sın;t 23. ^ sınj: , . sınj: . . , cos X == cos X olarak Lım-r— = Lım cos x = l dır. sın;ı: x-H-otgrA: Lim limitini hesaplayınız. x-*0 l - “Cosx . a: sın a: Lim x-^0 ^ COSAf X X X 2 x sın -pj- cos *7^ X cos tt ,. 2 2 ,. 2 L ım ------------------------ Lım ---------x-^0 2sin^ *-*•“ s in -^ COS = Lîm 2 ^------- - 0 _ S in f = 2 dir. X \2 24. jL/m x->0 rrr: limitini hesaplayınız, —cos AT 0/0 şeklinde olup: .. sin 2a: t • 2 sin x cos a : Lım —7= = = = Lım x-^0 — cos a : x -> 0 y/ 2 s in ^ . ^ 2 V/7T 2 sın Tj- cos -fr cos x. n Lim x-*-0 sın Lim 2\J 2 cos x->0 25. Lîm i4-*-0 ^ limitini hesaplayınız, cos x -= 2 \j2 dir. 100 Yüksek Matematik Problemleri 0/0 şeklinde olup: l —c o sn A L ım ------Tö----- == Lım A->0 A-Ô nk 2sin^ sın = Lim ^ A-^-O ^ A^ nk nk dir. 26. Lim • limitini hesaplamnız, 0/0 şeklînde olup : . . sin mx . . sin mx mx Lım —;-------=î Lım ----------sın nx mx sın nx x-*^0 nx nx sin mx mx = L im -^ dir, sin nx x-^-0 ^ nx 27, Lim x-^0 ^ limitini hesaplayınız. 0/0 şeklinde olup : Lim x-^0 töfjı:—sînAT o l^ıııı sin (1 — cos ;t) Â 2 sin*-^ . . sinj: 2 Lım ------ * 1 x-^0 ^ / . a: \ / sın y . . sin ;t L ım -----x-0 l İR 40. f i cos;r 1 2 cos jc T n ,„ cosX—^ ycos 2x limitim hesapi , , z,ım---------------ayınız. x-^0 sim X -ö" şekilinde o lu p : Lim c o s ^ “~\/cos 2;c ^ (cos jt—yfcos 2;c) (cos x + yjcos 2x) x->0 sin* X x-»'0 sin* x (cos x V^cos 2jc) .. cos* X — cos 2x = Lım----------------------- . - ----x-»^ sin* X (cos X + ycos 2x) Limit ,. cos^ X—2 cos^ x + l x-ô sin-^ X (cos X + ycos 2x) cos^ X — Lîm -----------^ ,___ __ x->0 sin^ X (cos a: + Vcos 2x) 1 L im — ---------x-> 0 cos a: + ycos 2 a: ^ ^ dır. A şağıdaki lim itleri hesaplayınız. 29. 30. x5 - 32 Lım----------- Cevap : 80 I; »2 - 25 *2 — 7x + 10 Cevap xt'3 - al'3 X—a Cevap ; X- 2 x-T5 . 10 31. Lîm - 32. Lim - Cevap : 0 33. Lim tg: X x->0 sin 2 x Cevap : - L 34. Lim 1 — cos 31 Cevap : 0 Lim sın X — sın a x-*'a X — a Cevap : cos a X“>a x-r0 x-^0 35. 36. Lim coş2 X — sin2 X 5 -f- sin X x-^0 Cevap : - ~ 37. L im J£ ? İL ± A x-^0 cos * Cevap : 0 38. Lim [10-_logıo(9+x)l x-»-l Cevap : 9 39. Lim Cevap : 1 x-*-2 40. 41. tî 3 *2-1 *-►004*2+3 Lim y /1 + 9*2 *^V(8+*)2 3a2^3 Cevap; - j - Cevap: I* 101 1 02 Yüksek Matematik Problemleri 42. Lim 3 x ^ - 1 x-»3 X—3 Cevap : oo 43. Lim ! - ' < > » x X“*'0 \ — C 05 Cevap ; 4 44. L im (3+A V -9 h-<-o ı> Cevap ; 6 45. Lim rLim —î —1 x-ô »ry J Cevap ! 1 46. Lim pLim—î — y-*0 Lx->0 x+iT J Cevap : 0 47. Lim lO’'* A-+0+ Cevap : co 48. Lim 10*'* *-►0 - Cevap * 0 49. ,. 2'/* *-►0 + 1 + 2*'* Cevap : 1 50. , . --------2*'* Lim ^ A-+0 1 + 2*'* Cev'jp : 0 51. , . --------3*'*y-r Lim *-►0 5 + 4*'* Cevap : 0 52. 2x Lim — --------x-^-0 3x -h Vx3 + X 53. L im J y ^ E l+ ı 2 *-<■ 0 54. 55. * , v/Th x-*'0 + y /j+ I* Lim [v^x2-f-l — V^x3—l] X— ►co X— x) 56. Lim (^Vx3 + x-ôo 57. Li.n?-r y 2 - V ^ 4 - 3 x x-^l X— 1 58. Lim ^ t: cos 2t Limit 59. •Lım . ----sin -----! 3x +------sin 2x — cos 3x — cos 2x 60. Lim --------------- — J-ım sin 2 x ^-►O 1 61. Lim . 3x tgr X sın X 2x— cos x) Cevap : — - j . 62. x-*4 \/x+21 - VS^+S 63. - v^3x-2 Lim _____ x->2 v^4x + 1 Cevap : 103 4. 1. 5 /;C*—/ t/ — y ^ c/cn TÜREV türevini hesaplayınız» 4x 2. y = ^/ ?*+fz. w— V ^ + c ’“ ’ F ^ ’ 3slx'^~\ 9x'* ( a:* y =- (2 k — 3) V(-^ + /j* y —2 X 2 \J x ^ - \ 3a:‘ “ x * \lx ^ -l (2-r - 3) = den y türevini hesaplayınız» x -l \/x^ — 2 x , (x* - x)(2x^ - X - 5) s r. y ~ - ^ j türevini hesaplayınız, r y = F den y türevini hesaplayınız / - 2 V (T + 1 ? + y (^ + 1)~ 5, v^s’ + Cw) ’+ F - s r ) ’ y = 3x^ 4. F C»w LCw^ — 1 dg dC y = türevini hesaplayınız. C w )"C ^ İ ldC 3. </en y ^ ^ - 3 x + ^ ( x ^ - 3 x ) \ ' ( x ^ - 3 x f yjx'^- 2 X 3 {3 x ^ -3 )\lx ^ -2 x Türev y = (3 X — 4) (X 1p den y türevini hesaplayınız, y' = 3 V Ö ^ T Î? + T ,/ ^ 7. y= ^ 12(.c 4-1) + 3(3 a: - 4 ) ^ 4 W 1T+T 2lx 4 V ^+î — x^)^ den y ' türevim hesaplayınız. y '= ^ 3 x ^ Y iS - x ^ y + ~ x H 8 - . x ^ ) 8. ^ V (^ + î? + 3 ( - 3 a:2) = 2 A x ^ -5 x ^ V 8=I5- y —(5-v^ — 6x-\-9)^sI(x-\-1Y den y ' türevini hesaplayınız. ^ = (1 0 ;r-6 ) V ( ^ + î ? + - |- ( ^ + I)’ r(5 ^ * -6 ;c + 9 ) = 9. y = (21x^—24x-\-32)*^(x-\-lp den y ' türevini hesaplayınız. y ' = (42a: - 24) V ( ^ + l ) ’ 10 . 3 21a:2 - 2Ax + 32 4V i +1 xi3-\-2x^) y -------= = = = = den y ' türevini hesaplayınız, ^ 3 \ J ( i P x ‘p ^ ^ (3 + 6x'^) \!(i + x ^ f 1 ' ~r > 3 {l + x'‘p v/ ( 1 + a:*)’ (1 + 2a:^)(1 + x^y - a:(1 + x^H3x + 2x») _ \/(i + x y (1 + x^p 11 231 3x^- 1 1 \/( i+■**)* den y ' türevini hesaplayınız^ 's l( x ^ - ıp y = {3x'^ — 1) (x^ — 1) ^ şeklinde yazılarak _ 2_ _ L_ y ' ^ 6 x ( x ^ - l ) ’ - 4-(3A:'i-l)(;r’ - l ) ^ 3x^ 6x 2x (x — 3) (x^-lf 2x^(3x^ — l) 6 x ( x ^ - l ) - 2 x H 3 x ^ — l) (x^-lp ( a’ - I ) ’ bulunur. 105 106 Yüksek Matematik Problemleri 12. y ^ '2 y 13. y' hesaplayınız. ^ (2 sec 2x tg 2a: + 2 sec^2,r) = sec 2A:(tg 2ac+ sec 2x) y --= sin xcos x(2cos^x-\-3 ) -\-3x den y türevini hesaplayınız, y = cos^;c(2 cos'^x + 3) — sin^;t(2 cos^,y + 3) — 4 sinÂf cosâ: + 3 = 14. 8 c o s y â : cos 2x ( cos'^2x—■7) den y türevini hesaplayınız. -I _L ^ y = — y sin 2x(cos2x) ^3 ( cos^2y—7) — y \Jcos 2x cos 2acsin 2jc sin^2AT 2.Y 15. / y -^ den y türevini hesaplayınız. sjcos^ L £/ = cos yazarak ; | . ( c o s i : ) , ^ - s i n ^ ) ( - ^ j = - 3İ ( c o s ^ ) • — 1 — 3Q sın 3 tg — ^ X X 5A:^y/cos®-y 16. ^ ^ + T5 r_JL_ _L - _ 1 _ 1 4_ [cosÂc 3 cosâ:J ^ 5 bulunur. 5a:^ y/co s^ -^ [c o ? ^ + î ^ ] '= ^ s in i r 5a)sÂ:sin.r L cos^lr 4 cosâ: sin x cosâ: ■]^ 15 cos^jc y = 1 5 cos^ X + 4 sin^jc . 4sinÂc . 8 15 c o s â: +' cos®a: '' 5 cos^ a^: ~r 15 c o s â: Türev 107 3 cosâ: + 12 cos*x + 15 sin^;c -j-12 sin^jc cos^x I S c o s â: 3 (cos^jc -j- sin^.y) + 12 sin^x + 12 cos^jc ( cos'^jc + sin^jıc) I S c o s â: 3 + 12sin2A: + 12cos2A: 15 cos^jc 1 cos^;c 1. 2_ ^ ı3 ~I hX( x — y )»3 ^ a"3 den y ' türevini hesaplayınız. 17. Her iki tarafın türevlerini eşitleyerek : y (^ + y) ’ (1 + </') + - y (^ — i?) ’ (1 - y ') = 0 elde edilip buradan 1_ 1_ .3 +t {/Il - - y_a (x + y Y y3 L X (x + y Y - ( \ ^ y rk3 18. cos(3xy) T sin(X3y) bulunur. y' türevini hesaplayınız. Her iki tarafın türevlerini eşitleyerek : —(3 + y ) sin(3AT + y )-\-(l + 3y') cos (x + 3y) = 0 ve ^ 19. ^ + 3y). sin(3j: + ^) + 3 cos(A:+3y) bulunur x^ — x y -{-y^ c=z 3 den y ' ve y" türevlerini hesaplayınız. Her iki tarafın türevlerini eşitleyerek: 2x — y — xy' 2yy = 0 ve y 2jt — y ~A7' Z ZZyo ' ^^û*^^*** y türevinin bir daha türevi alınarak : _ (2 - y ) (x - 2y) - (1 - 2g) (2x - y) ^ 3xy’ - 3 y y {x -2 y Y (x-2yf ve y yerine değeri konursa : n y 2 a —y ' x — 2y ( ,x ~ 2 y f ^ ^ 3 x{2 x~ y)—3y{x—2y)_(i(x^—xy-\-y'^) ( t - 2 yf (^-2it)= 108 Yüksek Matematik Problemleri ve = 3 olduğu göz önüne alınırsa: 18 y = (x—2y)- 20, a^ ıp — bulunur. den y" türevini hesaplayınız. Her iki tarafın türevlerini eşitleyerek : 2 b'^x -\-2a}yy' = 0 y = ^ 2^ ve buradan da; (Py <Pb^ y —a^ b^ x ( —b'^ x/g} y) a^y^ (P l? y — (Pb^X y a*y‘^ y ory û y y^b"^x"^ = a}b^ olduğu da göz önüne alınırsa: = y 21, b^ bulunur. (x-{-yP = ^1 6 (x — y ) den y ve y ” türevlerini hesaplayınız. Her iki tarafın türevlerini eşitleyerek : 2(^ + i/) (1 + y') = 16(1 - y') , S -x ~ y y' = S+AT+y ve buradan da : ^ , _ (—1 — y')(8 + -r + jy)—(1 + j/')(8 — x — y) (8 + x + y r , ^ (1 8 — a; —ff — 8 + AT+ y) ^ — 16(l + ff') (8 + a: + «?)2 (8 + ;c + İ,)2 ^ elde edilir, y ' yerine de yukarıda bulunan ifadesi konursa : y 22, = - 256 {S + x + yy bulunur. x ^ 2 x ^ y " ^ = a^ den y ’ yü hesaplayınız, Ax^ + Axy^ Ax'^y y ' = 0 ve y ' x'^-\~ ıp ------^cy buradan : r ^ __ (2-y + 2 y y )x y — (y + xy)(x'^ + y"^) Türev ^ _ x^y + xy'^ g' — jtV 109 — x^y’ ^ (x^ — x y ‘^)g' + y ’ — x^y y.2gt {x -^-y ^)(x y -y ) xY elde edilir ve y ’ nün değeri yerine konursa (x^-y^) y {x’^ -y'^'A -x^— 'iy l xV xY (y^-x^)(x^+2g^) xV bulunur. Başta verilen : + 2x^ == ifadesinden ; olduğu g*öz önünde tutulursa: y" = —^ ^ r“3— - elde edilmiş olur, X y 23. — "1“ y* ^û*ret;/nı hesaplayınız. ~ Her iki tarafın türevlerinin eşitlenmesinden: 2_ ^y—y x^ , 1 İL 3 2_ 3 X y-xy y^ ^ ^yîxy-y) + x ^ y Ü y - x y ) = 0 4 L I 2_ ^xy^ y - 3y^ + x^ y^ - x^ y^ y '= 0 7 1 1. 5, (3 xy^-x^ y^)y-3y^~-x^y^ y = / o 1 / - / ) 1 1 3 /o 3 elde edilir. 3 y X ve y , xy —y y x , ^ ------ y X = 0 llö Yüksek Matematik Problemleri 24. ax^ 2hxy -|- by^ — / den y" yü hesaplayınız, 2ax 1- 2hy + 2hxy' + 2byy' = 0 . ^ _ ^ ve y ' = — (a + hy’) (hx + by) — (A + by’) (ax + hy) (hx + b y f aby — h^y — (abx — h^x)y' \h x + b y Y elde edilir, y' yerine yukarıda bulunan değeri konursa; « ■ - . t) i,+ ( * ■ - ,t), y ~ (Aat+ b y f ^ a&) [y(A.t+Aff) 4rAf (g-r+Ay)] ^ {h'‘—ab){ax'^+2hxy-\-by'^ {h x + b y f (hx-\-byf ve ax‘- + 2hxy + by'^ = 1 olduğu göz önünde tutulursa : • — ab y = 7î— r - r ^ ^ {hx + b y f 25. , , bulunur. y^ = uf';r^ 4" y'^) den y ’ yü hesaplayınız. Her iki tarafın türevleri eşitlenirse : + 2ayy , ^ ^ 2ax 3y^ — 2ay ve • — 2g(3y^—2aı/) — 2ax{,öyy'— 2ay’) (3y‘^ - 2 a y f elde edilir, y ' yerine bulunan değeri konursa : *2ax 2a(3y^—2ay)—2ax(6y—2a) y (3^* — 2ayy (3y^ — 2 a y f — 4ax‘‘{3y - a) (3 ^ -2 a y f bulunur. Diğer taraftan ax^—y^—ay^ olduğu göz önüne alınırsa: ,_ ^ “ 2 26. 3 , 3 •V + .7 2ay^{4a — 3y) _ 2a(4a — 3y) „ {3y^ - 2 a y f (3y - 2a^ 2 a3 den y* yü hesaplayınız* . „ j Türev 111 Her iki tarafın türevlerini eşitleyerek : 9 /7V3 ^ = O , y' ^ bulunur. Buradan da 9 1 3 3 ^ 1 y-^ y i/ = - ^ 33 y^ i/ .213 elde edilip y ' nün bulunan değeri yerine konursa ^3 i3 '1 » -2 /3 ^ ___ J?____ j___ İ _ y ^1/3 „» __ y y — .2/3 H yi 13^ j.2/3 = 3^4/3^1/3 yS/3 + olduğu ,2 /3 •V 27. ^ 3^4/3^V3 elde edilir. -----^ ( x - \ - 3a)\j2ax—x ^ A r c d a n y ' türevini hesaplayınız. a — X 3a^ v /‘ - ( " ? ) ’ \j2ax — 28. y — x^ layınız, = dir. {Arcsin X - - 2xsJ 1—x “ ^) Arc sin X den y türevini hesap + [vî^ ~ ^ + vfe] • ^+ Arcsin x — 2x ^ \-—x'^ V l— 72 = 2a: + > - « ‘ - « ^ + ^ A r c s i n , + V^l— Ax“ ^ Arc sin x dir. Arcsin x - 2 a: 112 Yüksek Matematik Problemleri — -- -- - i 29. \]6 x — ^ -2 ^ A rcsin —^ — den y ' tü revin i hesapla^ yınız. r 1 — 2 , (x—3)(6—2x) , 9 y = -7 ry J 6 x -x ^ + \ -----h-ö" 4y/6x — x^ v / H ? J ^ \İ6 x 30. y —x\J(9—x'^Y + \İ9—x^ + 243 Arcsin -y den y türevini hesaplayınız. 27x X 2 V9“^ î y ' = yj(9—x'^y— 3x^\/9—x^ + 243 = 4 ( 9 - ;»:2)3/î 31. ^ den y ' türevini hesaplayınız, y ' — 4 sin 2x cos 2x 32. = 2 sin 4x = c“ ^ 5zrt Jjt efen y ' ve y" türevlerini hesaplayınız, y"~ 3e'”^*^ cos 3x—26“ ^^ sin 3x—e~^* (3 cos 3a:—2 sin 3a:) ve g -2» ( _ 9 gjjj 3jj.—6 cos 3a:) — 2e~^"^ (3 cos 3a: — 2 sin 3a:) ?/*'=— 33 (12 cos 3a: + 5 sin 3a:) dir. y = 2 e^^ ( x ^ x — 3x-h 6 ^ x — 6) dan y ' türevini hesaplayınız, y ’" (x > J x -Z x + 6 ^ jx ~ 6) + 2 e ^ 3+ ^ x e V'i" 34. /e«» _ / ^ “ y ^â*njT7 türevini hesapLayınız. a e"(e" 4-1) — a e“V ' — 1) (e” + 1)2 ac t/E E I ( e " + l ) v/e’" — 1 Türev 35. y — 1+ x den y^ türevini hesaplayınız. , , , y ■“ /T-; n 1_L ^2 ® V Î + ? 1+^^ ,/ V î+ ^ -7 = = - — J L d Z - ^ - _ J L - » A r c t g y J _____ V İ+-^ i gArctg y l+ x ‘ 2 gArctg y y = (i+ P p 36, g2^ — y — Ar esin — _ç;^-2 x~ y ' türevini hesaplayınız. 2{e'^’‘ + e - ^ y — 2{e'^— e-^‘Y (e*' + e - ^ f i/ı y = 37. /— 8 (e^ + e~^‘f l JI e2" + e-2" + c- -2y / 6 y = ~2 y 2 1 + e2y yj- e/e/2 türevini hesaplayınız. e V * + l) - 2 e 2 ^ e ’^ 2(e2" + 1)2 , e V ^ + 1) — e V ^ + l) + 2e2" ^ ' 2(e2^ + l)2 38. y — Arctg ^ ^ ^ c^sx“ ,3y e“ (e'" + l)' türevini hesaplayınız. v/q2— cos x{b-\- a cos ;t) + fl (6 + a cos xY y = ( q2—62)sin2;c 1 + (6-j-a cos a:)2 —1>“sinÂ^ b sjg}—62 cos x-\- a \Ja^— cos^x ayja'^—b^ sinÂf b^ + 2a6 cos x a^ cos^x + a.^ sin^^: — P sinÂ: \la^ — b"^ (b cos AT g) _ \Zq2 — b^ {b cos x~\-aY b cos ,\:+a 113 114 Yüksek Matematik Problemleri 39. y = log ^ ^j 5 /(/ türevini hesaplayınız» = y , logr (1—j:^)— y log- (1 + x^) , ^ 3 —2x A 5 55 1\+ + xa^:2 1 ~ a:2 X Ar esin x 40. 2x olup 2 x ( x ^ - l) 5(1— x *) 5(1— ■ l^ğ y' türevini hesaplayınız» 'J l- . i Aresin x H— rn ^ = oP Aresin x s j\-x ^ \/l-x ^ l-x ^ 1 , (\Jl—x'^ Aresin x ~ \~ x)\ll—x^ + y - , y Aresin x X ( 1 - a:2)3/2 (1 — x “) Aresin x -* x \ l l —x'^ Aresin x — x ^ l —x‘^ ( 1 - a:2)3/2 , y - Aresin x (l-;t2)3/2 41. s ı n^ x cos X 3 cos X sin^x «XV ^ türevini hesapla^ yınız» 2(2 sin X eos^jc—sin^jc) sinÂT eosÂT y 42. —3 sin^jc—6 sin x eos^jc SİnÂT 2eos^ == sinÂ: eos^ x 1 , / — cos 2x cos 2x j ... ... , V “ "7T log T—,------ ^ ~~ j j o üen u türevim hesaplauınız» ^ 8 ^ 1 + cos2x 4sın^2x ^ ^ ^ 2 sin 2 a: (1 + cos 2x) + 2 sin 2x (1 — eos 2x) (l+eos2A :)2 1 — eos 2 a: 1 + cos 2.r 1 —2 ' 4 sin 2 jt sin^ 2 a: — 4 sin 2 a: eos^ 2 a: sin^2A: Türev 1 4 sin 2.V 8 1 •— cos^2.v 1 2sin2.v 43. 1 sin^2;t-f 2 cos^2.v 2 sin^2.v 2 “’ Sin^2A: ' 2sin3 2.»: sin^2x-f-2 —sin’2x 2sin^2.r _î__ sin^ 2x cosqc^2x y ^ (e'" — 1) A rcig(e''—1) — log\]2 — 2e'-\~ e^' den y* türevini hesaplayınız. y ’ = e* Arcig (e’' — 1) f./ = 44, 11S e'(e' —l) 1 “h (e* — 1)‘^ — c* + 2 — 2e* -h e2« Arctg (e > -1) + y - loğ ^> \/x^—/) — i4rcco^ ^ den y* türevini hesaplayınız. 2.<5 \/ a^~1 x^ f- vâ'*—1 2a*4.y 2a \J x ^ -\ 45. y = ^ y , \jl~ x * 1 2 av/ a^ ~ 1 (a* x ^ x ^ '-\ av/a^~1 ' - 2 Arcsin ;c , --------------------------------------- ----------------------------------------------------------- j_ 1 ~ a'^ 2 \ / l —A^ + 2 a Arcsin A (1 ~ a2)3/2 46. 1 + log -y den y' türevini hesaplayınız. H -x Vl” == 2 a (v/ a ^ - 1 4- .v') y = 2^7"^— ^ ^ — sin^ A— 2 sin a cos^ a 2 sin** A 1 + cos^ A _____1 2 sin^ A 2 sin A 2 1—a' -(1 + A r)-(1 ^ ) (1-f-A)^ 1 -A 1+A' 2a Arcsin a (İ-^ a2)3/2 türevini hesaplayınız. 1 4 2 4 co s^ y fg y — 1 — cos^ A—sin^ A 2 sin^ A sin^ A 116 Yüksek Matematik Problemleri 47, y == log — A r c tg -^ den y türevini hesaplayınız, AT+a—x-\-a , a 2 ( '+ “) V î + î - 1+ \ x+ a a} jP- — a + cd cP ‘ - x^—a^ 48, y — log(x^ + 2ax + 3a^)----- ^ İ - Arctg ■ - dan y türevini he^ \2 a \j2a saplayınız, 1 2x+2a 2 a+ 3 \/2 2 ,t- 3 y ^ Ac2+2aA:+3a^ \JYa ^ ı (x + a V x^+2ax+3a? “^ l \ / 2 a j 49, f ( x ) = e^^* log olduğuna göre f'( 1 ) ve f ( 1 ) i hesaplayınız, f \ x ) = — -~2 e*'" *0? 7 ~ X ; r ~ "7 X olarak / '( l ) = — 1, e . logf t — l . e = —'6 /•(») . İ08 i - ^ ve i «V- lo f i - i ,'<■) ,1/1 1 - -V at’ 1 9 log® - Af - + 4Ac"* 1 9 log® — +' 4a:^ a: = *4' ( t lo ? — + — lo? A T * ^ A :^ * A f Af ^ X 1 + — + l] ^ X 1/K x j olarak / '( l ) = Y (l-log 1 + 2.İO? 1 + 2 + 1 ) = 3e bulunur. 50. Arctg y ^ (a^ + Af*) “ cfan y ' türevini hesaplayınız, Arctjr J1 * ^ = (a^ + x^) — = ® dan log + Arctg 4 + = Arctg — log (û^ + a:^) yazılarak a^-\-x^ log («*+ a:’) Türev 117 Arctg — (aM-AT?) û2+;t2 51 . —1^2^: Arctg^ + .a log(a^+^^)j bulunur. y ~ (5 cos 2x^y fonksiyonunun türevini hesaplayınur. loSf y= ^x log(5 cos 2x^) yazarak: SL — — A.^sin 2jc^ 4- log (5 cos 2x*) y 5 cos 2x* ve (5 cos 2x^y [log (5 cos 2x*) — 8jc*tg 2x^] bulunur. 52, y — x ^ fonksiyonunun türevini hesaplayınız. log y = A*' log jc yazalım ve her iki tarafın türevlerini eşit leyebilmek üzere x"‘ in türevini hesaplıyalım : z — x"^ yazılarak log Z # x log x den -— = 1 z ' f= a:* (1 + log x) log x ve bulunur. Buna göre ? i y^ ^ = a:* (1 + log Jc) log ^ y “ ve X + log^ X j bulunur. 53. y — (tgx)^^^^ fonksiyonunun türevini hesaplayınız. lo g ^ = log X log (tg x) yazılarak buradan: log (tg x) y ' = (tg ^ ' 54. A rctg -^ y log AC sın X cos X ve - [ j £ £ < î r i + - J 2 £ i L _ l bulunur. L sın c o s x j logs]x^-\-y- = 0 dan y ve y ’ türevlerini hesaplayınız, — xy x + yy' ^+ y-.2x-{- y — ( x ~ y ) y y = x-{-y x -y ve 118 Yüksek Matematik Problemleri (x—y) - (1- 1/') (v+ y) {x — y f _ -2 y ^2 xy ' _ {x-yy 2(x^ + y^) ix-yy Aşağıdaki 55. y Cevap : y' =Âacx^-\-2{ad-\-hc)x Cevap : y'- f(x)~ 1 Cevap: y ' — 2+ 60. tfl U2 «3 y — VI V2 V3 tül *ü2 tü3 61. u:=. jui' U2' « 3' Cevap : y'=^ |vı V2 V3 + jtül tü2 tü3 1 V8x-2x3 62. (x3+3)2 Cevap : ^'=4x3—1 -j- /(») «/= 6x2 Ccvap r y y=(x3—1 ) (x—2v'x) _ _ - 2 x y + 2y‘ + 2x^ + 2xy (-^ — y)- fonksiyonların türevlerini hesaplayınız. x3+l v3T3" 58. 59. ^y ^ x - y (x-yy == [ax'l-\-b) (cx2+(/) 56. 57. _ 2 „ 4- 2 x i/ = x(x8 + 12)lo Cevap: y' __ v/* f{x)p{x) \r(x)]2 —15 (llx -h l 0)2 ! (Ul U2 «3 [«1 U2 ü3 iVIr V2r V3f + |vı V2 V3 tül W2 tü3 |tüi'zü2'tü3' 3x2-4 (8x-2x3)3 •2 Cevap : ^'=(x8+12)9 (81x8+12) —1 63. — x2 64. V 2x2-3x+7 + (5 Vx-9)5 (x 2 -3 x -2 )(v 2 ^ -l) 65. /(X ): 66. y- a + 6 cos X 67. /(0) = \l \ - k 1 sin^T 68 . 1—7x3 sın X ^ _ 1 — cos 2 x 1 + cos 2x Cevap : y'- —n1 x2 V^fl2—x2 Cevap: /'(4) = — | | Cevap; y 6 + a cos X (a+ 6 cos x)2 -Â:2sin 20 ‘Cevap: /'(0)= A .2 • 2 n 2vl—k2 sın2 0 , Cevap : y ' —2 tg x sec2 x Türev 69. Cevap î y ' ~ (cos 2 x — sia 2 x)2 ^ (1—sin 4x)2 70. y = cosec x Cevap ; y ’'= 2 cosec^ x—cosec x 71. y = X sın — Cevap ; y "=^— -4- sin 72. /(0 )^ [ - 73. //=Arcsin x - l X x3 j J 30 (1-f-cos 20) v/2+ sec2 0 ^ 1 Cevap : y' V^8 + 2 x — x2 A . \/ax 62 i/=Arçtg ^ ^— ---- 75. Arctg 76. i,= A r« in |İ+ 2 1 5 Cevap : y^ = 77. ^=Arcsin (tg x) Cevap : y' = 78. ArcsinVx y = ---------^ Arccosvx 80. 81. Cevap : y' = 4 sin X 3 + 5 os X Cevap: y ' — 5+ 3 cos X „ _ 1 _ ^ j 1 I fl si û7ccosv/x)^ J + ) 6 + a cos X X ^=A rctg 84. ^=Arcsin oe 85. cos XX++ 2! sın X cos ^ =_AAr cttg — ;------- ----------sın sin X — — 2 cos X y/a2 -I Arccos ( a + 6 cos X Vl-x2 V'l — x2 x+2Vl —x2 v/l — s 2 - 2x V 27x2 + 6 x — 1 ---- 3 Arcsın y —-------------------= X 26 83, 88. sec2 X_ Arctg 6+ a cos X I a si o2—62 a+6 Icos ^=Arctg —4 5 + 3 cos X fArcsînV^z + ArccosV^x1 ^ “ â'2—b21“++r^cos X - v /„ x ır ir Arctg ^ = A rc İg — 87. 1 4 5 + 3 cos X s/a "^— 62 sin x*| 6 sja'^ — b'^ 82. 86. , 6 2x )/ax—62 y 1 a sin X a2 —62 I a+ 6 COS X X Cevap: 74. 79. 119 1— 3 X 6x A r c s i n —2 x + 2 V 4 —x^. A rcsin-^ 1 Cevap: y*=- x2V27x2 + 6 x -l Cevap: Ârcsin-ğ-) 120 Yüksek Matematik Problemleri 89. j^=Arccos î 90. y=Arctjr \j. 1 —cos X 1 -f-cos X l+x2 91. lojf X Cevap: y' = e* ^lojf * “i" 92. 93. Cevap: y ' = y=\oy ^ (c* — e-*) Cevap: l+x+e-* 94. Cevap : ^' = x* (1 + log x) 95. Cevap : y'=^ «x* (1 -|- lojr x) 96. Cevap: ^ '= (1 + 2 lojr x) 97. Cev.p: s ' = J22-L * lo s \/x X 98. J>= (.•)*' Cevap : y ' = e* (c*) * (1 + x) 99. y=(sin x) Cevap : y'=^ (sinx)** . e* (log sin x + cotg x) 100 . 5x2)*^ Cevap : y'=^x^ (t j 5x2)*^ f 3 log L 5x2+ sın 5x2 cos 5x2 j 101 . y=lojr Arcsin V^x 102 . ^=sin X Cevap : j*”*=ain ( x + n -j" ^ 103. i/=a* Cevap : y^^^ = (log a)“ a* 104. y = c o s ex Cevep î y^'^^ = a" cos ^<*x+n —- ^ 105. y = e ' (sin xi-cos x) Cevap: ( V 2 )" c* sin ^x+n 106. 5 sm x + x co sff+ x’- x y = 0 Cevap, g . p y-^y cosx—cos y—2x 107. X log y=e* Cevap . y ' = ^ (e* — log y) 108. x2 + 2x^ + ^3 = 0 r 2 (x + y) 109. x5 + 5xV - 10x^4 - f ^5 = 0 Cevap : 110. ^y = (x + y)^ , , 2 « X e ' Cevap! A rcIİ^ T ' " — -t+ s jr x+2i^ j Türev 111 . (x+i/)2 '3 + 112. 3x2 + ^2 = l Cevap: i / = — ---- : i/'-— 113. Xl/2=x + l/ Cevap: '3 = a2 '3 Cevap : y' = 5 Vx + i^—V x — , »• = 2(»2r l l < i î M 2 x «y - l ’' ® ^ Arcsin 114. 2 lo g x + (^ A rc s in =c (2xy~l)3 (2««-l)3 --- ---- Cevap: y'- X Arcsin — 115. 116. X 2 . .^yH y-2 x) — y Cevap: 1/ ^ ^ / w x{y—x) * y — x(y—x)3 e**+y = ^* + xy3 = 2 Cevap : X= 1 için y' = — 1 ve y" = 0 117. j , = A r c t g V x H 2 x - '^ ^ Cevap: y = U ± llİ 2 I _ (î± l) 118. y=^ 2x Ar tg 2x —• log V^l+4x2 Cevap : y '= 2 Arctj 2x 119. ^=Arctg û* 120 . ^ (x2+2x)3'2 _ a * loff Cevap:. 1, f ------ r> a i^=lo^ v/2~2e*+e2« + (c*—l)Arccotgr (e*—1 ) 121 . «/=log V ^ + ^ l+ x2 2x-l (X+1)2 123. y = c h (lo g x )+ sh (logx)“ X 124. Arctjr JL 4 - 125. Arcsin ~ y Cevap: y + V^2_ x2 = 0 126. sin(x+2i/) + e2^+i'=0 127. 3^ 2* = Arctg Cevap: y'- x3-hl Cevap î t/*=0 o . .__i^(l”-x 2-^ / 2) Cevap l y —^ x(14-x2+^2) = 0 y"^ Cevap: ^'=e* Arcootg (c*—1) 2 x_ _ a „ ,İ „ ^ 2- x l-x 2 122. 121 r • '= ^ evap , y 2 >— j^(x—l) i^2-x (x + 2y) —cos (x + 2y) — sin (x4 - 2y) 5 / TÜREVİN ÇEŞİTLİ UYGULAMALARI 4- ^V2 _ eğrisinin herhangibir noktasındaki teğetinin ek senlerden ayırdığı parçaların toplamının sabit ve a ya eşit oldu ğunu gösteriniz. , 1/2 =0 ve y ’ = . 1/2 olup eğrinin herhangîbir (a:i , ^ı) noktasındaki teğetinin denklemi y - /7ı •^1 veya . - 1 -orV2; ^ jr:j-1/2 , - +‘ — ^ aV2^ji/2 d ir. Buna göre teğetin eksenlerden ayırdığı parçalar q1/2y^V2 uzunluklarıdır. Bunların toplamı ise : o' 'Vı'^^ = ve = û dır. ^2/3 _j_ y2i3 _ ^2i3 eğrisinin herhangibir noktasındaki teğetinin ek» şenler arasında kalan parçasının sabit ve a ya. eşit bir uzunlukta olduğunu gösteriniz. J ~ y~^'^y' = 0 ve y ' ^ ^ her hangibir (x\,y\) noktasındaki teğetinin denklemi: y-yı = -J^(x-x{) dir. Bu teğetin eksenleri kestiği noktaların koordinatları: O y eksenini kestiği noktanın koordinatları ;r=0, t/= V — J^ı-fi/ı 0 ;r > > > V,x\ > y = 0, X = ^ dir. Bu iki nokta arasındaki teğet parçasının uzunluğu ise: - yi -r yi = (^,V3 ;,^2/3 ^ y^y + (;rıV3^,2/3 + ATI Türevin Çeşitli Uygulamaları == (;Cı2/3 + y,V^y (xyi^ + y,V^) ^ ve 4“ y\^^ — + y^l ^f olarak d} ^ {a^f^f = c? ve 3. 123 d ^ a bulunur. y"^ = 2px parabolünün (a, \j2pa) noktasındaki normalinin, bu nok^ tayı odağına birleştiren doğru ile bu noktadan Ox ekse nine çizilen paralel doğru arasındaki açıyı iki eşit kısma ayır dığını ispatlayınız. 2yy -= 2p ve eğ-imi sj2pa ^ ^ (aV^joa) noktasındaki normalin ve bu noktadan Ox e çizilen paralelin egfimi de 0 dır. O halde normalle Ox e çizilen paralel arasındaki açı (şe kil 42) : m2 —mı tg. çp ^ formülünden tg- cpj olarak bulunur. (a, \j2pa) noktasını ^ odağına birleştiren doğru. . \]2pa nun eğimi olup bu a— doğru ile normal arasındaki 92 açısı : _\İ2pa P Şekil 42 \İ2pa a— tg-<P2=--------) = \]2pa 1 \j2pa \İ2pa . ile belirlidir. Bunlardan: - tg 9 ı tg 92 ve 9ı = 92 elde edilir. 124 4. Yüksek Matematik Problemleri a, by Cy d yi o şekilde belirtiniz ki y - o.t’ + bx' *f- c.v -f d eğrisi (2y3) noktasında 12x — y — 21 = 0 doğrusuna ve (ly —3) nok~ lasında x — y — 4 = 0 doğrusun teğet olsun. Eğri (2, 3) noktasında 12a: — ^ — 21 -= 0 doğrusuna teğet vc (1. —3) noktasında .r ~ ^ — 4 = 0 doğrusuna teğet olduğuna gö re bu noktalarda türevin değerleri teğet doğruların eğimlerine eşit olmalıdır : 12r —- 7 — 21 = 0 doğrusunun eğimi 12 ve doğrusunun eğimi 1 ve a: — y — 4 —0 y' — 3 a + 2bx -f c olduğuna göre : 12 = 12a-4-46 + c 1 = 3a + 26 + c dir. Bundan başka eğri (2, 3 ), (1, —3) noktalarından geçtiğine göre : 3 = 8a + 46 + 2c + c/ —3=*»a + 6 + c4-c? dir. Bu denklemlerden de a = l, bulunur. 6 -^ 1 . c = — 4 ve 1 1 5. ^ = ( a * — 2)(x -f noktalarını bulunuz. eğrisinin maksimumy minimum ve büküm y = { x + l)’/î + I (^ - 2)( V+ 1 ) - = 3(“ n p olup ^ y- ~ - j için i/' = 0 d ır; ( at + 1 )’/ ’ - I ( at + + 1) = |- ^ 1)5/3 olup j: == — — için ^ '> 0 dir. Buna göre -r = — — minimuma karşılık olup ^ ^ ----^ J y ’ ikinci türevi, x — — ^ a: minimum-noktasıdır. için işaret değiştirerek sıfır; = — 1 için ise, işaret değiştirerek sonsuza yaklaştığından bu değerler büküm noktalarının apsisleri olur. 125 Türevin Çeşitli Uygulamaları 6. y = ^\lx^—3x^ eğrisinin maksimum ve minimum noktalarını bu lunuz» y' = -6 ;t)= 3 f" : ~ olup X = 2 için y ' = 0 ve a : ^ 0 için y'->oo ve bu değerlerde türev işaret değiştirmektedir. a: için = 0 için ^ = 0 olup ( 0 , 0 ) maksimum noktası ve = V — 4 olup (2, V ”~ 4) minimum noktasıdır. a : == 2 y = (2x — a y — a)^^^ fonksiyonunun maksimum ve minimum değerlerini belirtiniz. Fonksiyonun maksimum ve minimum değerleri, a : in türevi işaret değiştirerek, sıfır veya sonsuz kılan değerlerine karşılık olacağından : i,' = j , 2 3x — 2a 3 { 2 x - a f ‘\ x - a y t ^ olup a: = (2x - a)-^ı\x - a)W + ^ { x - a)-^‘\ 2 x - a)''^ a: “ 2a = ^ için = 0 ve a: = a için y '-> ^ durumundadır. için hernekadar y'->oo olmakta ise de türev bu değerde işaret değiştirmemektedir. Türev (3 x ~ 2 a ){x — a) çarpımının işa retinin aynı işarette olacağından : 2a 2cz A' < -^ < X < a aralığında ve y '< 0 X > a aralıklarında Bunlara göre fonksiyon, ^ ^ ve ^ '> 0 için y = dir. nêksimum de ğerine ve a: = a için ^ = 0 minimum değerine maliktir. 8. f ( ^ ) — e~*\/x fonksiyonunun maksimum ve minimum değerlerini bulunuz, f(x ) = 2 \x olup x = \ - için f'{x) = 0 dır. 126 Yüksek Matematik Problemleri -(i+ 0 (-A ) / ' ( y + ^) = ' < O ve v /^ + i (+h) olarak > o ele türev pozitif değerlerden negâtif değerlere geçerek sıfır değerini alır. O halde x = ^ için maksimum değerdir. R yarıçaplı bir kürenin dışına yerleştirilebilecek minimum hacimdaki dik koninin boyutlarını hesaplayınız, (Küre, koni tabanına ve yanal yüzeyine teğettir,) Koninin taban yarı çapı x ve yüksekliği y olsun. V = ~ TCAcV ve (şekil 43) den : ^ „ _ y ^ \/ ( y - R Y - R ^ y \/y ^ -2 R y ^y ... X . . 2_ ve — Ry y ^ -2 R t/ \/y ^ ~ 2 R y olarak 1 ^ RV 3 g -2 R dir. dV ve hacmim minimum kılacak y değerini bulmak üzere ^ türe vini hesaplarsak : dV dy ~ 2v(v - 2R) - 1/2 3 (y -2 R )^ 7iR 2 y -4 R y 3 (y-2R)^ bulunur. ^ = 0 ve y = 4R için ı/' = 0 olarak bunlardan y = 4R, AT \/2 R değerleri V hacmim minimum kılarlar. Türevin Çeşitli Uygulamaları 10 . 127 1/ . . . T i ** ^ elipsinin içine çizilebilecek maksimum alandaki o dikdörtgenin boyutlarını belirtiniz. "T Şekil 4’e göre dik dörtgenin alanı : F = 4.17/ vc y = ^ \fa^—x^ olduğundan 4y 4b a dir. Bu alanı maksimum kıdV lacak x değeri ’i sıfır kı lacağından : d? 4b dx “ a —2x'^ ^ _ yazılarak II. _ ;r = - y a ve boyutlar olarak \J2 a ve \J2 b bulunur. Bir pencere, bir dikdörtgen ve bunun üzerine yerleştirilmiş bir ikizkenar üçgenden meydana gelmiştir. Üçgenin yüksekliği taba-nınm 3/8 ine eşittir. Çevresi 9 m olan pencereden maksimum ışık geçebilmesi için boyutları nasıl seçmelidir? Şekil 4 5 ’c göre : /ı= 9 64 -4- ^ ;r, x 2y 2z ^ 9 ve “ 25 64 5 . « 3 A / olup A -î- 2y -1- A = 9, 9r ^ -r2 i, = 9 Şekil 45 dir. Maksimum ışık geçebilmeei için pencere alanının maksimum; olması gerekir. 128 Yüksek Matematik Problemleri F ==x y + ^ hx = ■— 19 ^ = 4 / ^ 22 15 , 16 9 15 . . 12 „ ---- -g-A: = 0 dan x = = 2,40 m ve i/ = 1,80 ın bulunur, 12. 3 . 9 8 ’' 2 y ' — — ^ < 0 o*'*? sonuçlar maksimuma karşılıktır. 300 m^ su alacak silindir şeklinde ağzı açık bir su deposu yap tırılacaktır, Bu deponun tabanında kullanılacak malzemenin met re karesi yanal yüz için kullanılacak malzemenin iki katı fta t ta olduğuna göre deponun en ucuza maledilebilmesi için boyutla rı nasıl seçmelidir? Deponun taban yarıçapı r, yüksekliği h ve yanal yüz için kullanılacak malzemenin metre karesi a lira olsun. Bu takdirde: V= tabanın maliyeti = 7çr*2a yanal yüzün « deponun == 2‘Krha « A = 2-nr'â + 2 ı:r h a ve ^ = i4 = 2 râ + 2 ir r. 300 = 2 nr'â + 300 olarak 600 a r olup A yı minimum kılan r değeri dA 600 a — A%ra — dr 47tar^ — 600 a = 0 dan r bulunur, h ise : 300 0 == 2r „ dır, .. h. = — - ^ 300 V it" = o2V/l5 ---7cr^ i 3. TZ V 150^ V Tz Bir otomobil fabrikası herbiri 900 dolardan ayda ancak 5000 otomobil satabiliyor, Herbirinin fiatının 100 dolar daha ucuza satılfnası halinde ayda 1500 otomobil daha fazla satılabiliyor,^ En büyük kazancı sağlıyacak otomobil fiatının ne olduğunu he saplayınız. En büyük kazancı sağlıyacak otomobil fiatı x olsun. Ka zanç ; Türevin Çeşitli Uygulamaları A = 129 -1500 + 5000j X = 18500;c - 15x* olup A yı maksimum yapan x d eğ eri; dA 2 ^ = 18500 - 30;c == 0 dan ;c - 616 -f- dolar dx o olarak bulunur. 14, E = Elektromotor kuvvet, r = iç direnç, R =* dış direnç olduğuna E^R göre bir volta pilinin gücü P= formülü ile verilmiştir, P yi maksimum yapan R değerini bulunuz, P yi maksimum yapan R değeri: dP dR ■” £2 (r + R)2 - 2 £2R(r+R) (r R)^ { r ++ R r £ 2 (r-R ) == 0 dan (r+ R P 15. R r E^(r+R - 2R) (r+ R P olarak bulunur. / uzunluğunda bir telden bir daire diliminin bütün çevresi teşkil edilecektir. Yarı çapı nasıl seçmelidir ki bu dilimin alanı mak simum olsun? m Şekil 46 da görüldüğü gibi; 2 r -f- ^ ~ ^ m-/~2r M olup dilimin alanı: F = 5 ^ (/-2 r) 27îr 1 r(/-2 r) dir. Bu alanı maksimum kılacak r değeri; dF 1 / —2r ^ o dan f ^ ’t olarak bulunur, dr 2 4 16. Bir telefon kumpanyası, bîr merkezde 1000 veya daha az sayıda abone olduğu zaman her alet başına 15 lira net kâr yapıldığını görüyor. Eğer 1000 den fazla abone olursa, her alet başına ya- 130 Yüksek Matematik Problemleri pılan bu sayıdan fazla olan her abone için bir kuruş azalı yor, Maksimum kârı hangi sayıda abonenin temin edeceğini he saplayınız. Maksimum kârı 1000 den x kadar fazla abonenin temin et tiğini düşünelim. Buna göre kâr: A = (1000+ jc)(15 ~0,0 1 x) olacaktır. A yı maksimum kılan x değeri ise ; dA - 15 — 0 ,0 1 ; t - 0,01(1000 + at) - 0 dan - 250 olarak bulunur. Buna göre maksimum kârı temin eden abone sa y ısı: 1000 + 250 = 1250 dir. 17, ^ = 2a + sin 2x + sin (2a—2x) fonksiyonunun maksimum değeri ni bulunuz, \ 0< a < ^ y' olup = 2 cos 2jc — 2 cos(2a — 2 x ) 2 cos 2x — 2 cos(2a — 2x) = 0 cos 2x = cos (2a — 2x) 2x ~ 2a — 2x X = a için y = 0 olur. 4 sin 2x — 4 sin (2a — 2x) olarak ^ ^ ^ Y = 2" İÇİn y ’ "" — 8 s in a < 0 dır. Buna göre fonksiyon maksimum değere maliktir ve bu maksimum değer : ^ = 2a + sin a f sin a = 2(a + sin a) dır. Türevin Çeşitli Uygulamaları 18 . y = 131 fonksiyonunun değişimini inceleyiniz ve eğ^ risini çiziniz. Fonksiyon paydayı sıfır kılan x — — 3 ve a: = 1 değerle rinden başka x in her değeri için tanımlıdır. 20U + 1) {x^ + 2 x - 3 f ^ olup a: = — 1 için y ^0 dır. AT->qpoo halinde y->2 olup y = 2 doğrusu yatay asimptod ve jc->—3, a:-»1 hallerinde de olup x = — 3, x — \ doğ ruları düşey asimptoddur. Değişim tablosu: X f —oo — y 2 y ‘ —-3 — i \* ^ —oo 1i 1L ~1 0 + 9 2 mın. +0O + --OO olup eğri şekil 47 de s^österildiği gibidir. Tabanı Ox ekseni üzerinde ve iki köşesi denklemi y == 8d^ (a > 0 ) olan eğri üzerinde bulunan en büyük dik dörtgenin ala* mm hesaplayınız. 132 Yüksek Matematik Problemleri 8a’ a:’ + 4a’ fonksiyonu ( —«>, +«>) aralığında tanımlıdır. x-^q;:oo halinde y->0 plarak 0 doğrusu yatay asimploddur. Değişim tablosu: X r\ y — oo r y 0 0 + / 0 **}“oo - 2a \ maks. 0 olarak eğrisi şekil 48 de gösterilmiştir. Aranan en büyük alan : F = 2xy ve dF dx (;e’ + 4a’)’ dF . olup i sıfır kılan değerler x ^ T 2 a dır. Bunlardan x 2a F alanını maksimum kılar. Bu mdksiVnum değer: 8û3 jr =* 2a için y =* a olacağından 4a* + 4a* F « 2a:İ/ = 2.2a.a - 4a* dir. fonksiyonunun değişimini inceleyiniz çiziniz. ve eğrisini Türevin Çeşitli Uygulamaları Fonksiyon, paydasını sıfır kılan X in her değeri için tanımlıdır. y ^ 7 ^'+3)3 133 —3 değerinden başkaı -*^=--3 için y = 0 dır. a:-» t oo halinde y - ^ \ olup y = 1 doğrusu yatay asimptod ve .Y—>—3 halinde de y-> oo olup x — 3 doğrusu düşey asimptoddur. Değişim tablosu: -3 X — oo / ■r y y -2 1 4 - 0 0 - f oo \ + 0 + 0 min \ 00 1 olup eğrisi şekil 49 da gösterilmiştir. 21. y^x - fonksiyonunun değişimini inceleyiniz ve eğrisini çizi^ niz. Fonksiyon, a: = 0 dan başka x in her değeri için tanımlıdır. -L olarak daima pozîtifdir. x -^ ^ o o halinde y-^+ oc ve jy-»0 halinde doğrusu eğik asimptoddur. olup y=^x Yüksek Matematik Problemleri Değişim tablosu: — OO X f + y 0 oo ! + 1 y — oo — oo olup eğrisi şekil 50 de göste rilmiştir. ^ /on*sı> ^ ^ onunun “ eğrisini çiziniz. Eğri O a: eksenine göre simetrik olup yarısını elde etmek üzere y = x fonksiyonunu ^ inceleyelim : Fonksiyon —1 < ac< + 1 ara lığında tanımlıdır. y = / ! / 1 / f olup 1 i ‘ 1 î1 / \0 “1 \ X ^ 1 T \/5 . . , - \ bizim inceleme 1 \ 1 Şekil 51 aralığımıza dahil değildir, x^l 1 . için ^ = 0 dır. Bunlardan ^ X halinde y-»oo olup a: = 1 doğrusu düşey asimptoddur. Değişim tablosu : 1 - v /5 2 -1 \ y \/l0 v ^ 5 -2 2 / +1 + mın. olup eğrisi çizilir ve O a: e göre simetriği alınırsa Şekil 51 deki eğri elde edilir. Türevin Çeşitli Uygulamaları 23. y — fonksiyonunun eğri.s i m Fonksiyon —1 < at< 1 135 ç iz in iz . aralığında tanımlıdır. 1 olup daima pozitifdir. (1 x -^ l halinde y~->^ olup x ^ 1 doğrusu düşey asimptoddur. Değişim tablosu : A f - 1 y 0 +1 + y + 00 olup eğri şekil 52 de gösteril miştir. 24. y ^ \/x^ ~ x^ fonksiyonunun eğrisini çiziniz. Eğri O a: eksenine göre simetrik olup yarısını elde et mek üzere y ^ s j — x^ fonksiyonunu inceliyelim, ^ 0 olması gerektiğinden fonksiyonun tanımlı ola bilmesi için A' ancak 0 < a 1 aralığında değerler alabilecektir. 3a2 4a^ _^\Jx (3—4a) y ^ 2v/ a' î/' = 0 dır olup A-=0 ve A= için Değişim tablosu: 3 4~ AI 0 . '|o ^ |0 + o ~ 3\/3 \ 16 maks. 0 Şekil 53 olup bu tabloya karşılık olan eğri çizilir ve O a eksenine göre simetriği alınırsa Şekil 53 deki eğri elde edilir. 136 Yüksek Matematik Problemleri 25. a^y^ + h ^ x ^ ^ a ^ ^ x\a^ ar ^ eğrisini çiziniz. x^) ve ^ ^ (p ^ \Ja^ - x^ olup eğri O a: eksenine göre simetriktir. Eğrinin yansını elde et mek üzere y ^ ^ x\Ja^ — x'^ fonksiyonunu inceleyelim. ^ 0 olması gerektiğinden fonksiyon x in ancak, a < a: < + a aralığında tanımlı olacaktır. 6 _ 2x'^ ^ 2 a . . y olup 0 dır. - ö y \Ja}~x^ Değişim tablosu y y f s/2 + -2 - “ \/2 2 —a X co — 0 \ 0 0 + b 2 min. b 2 +a —. oo \ 0 maks. olup bu tabloya karşılık olan eğri çizilir ve O at eksenine göre simetriği alınırsa şekil 54 deki eğri elde edilir. 26. y ^ c o s 2 x — 2cosx eğrisini çiziniz. Fonksiyon 2tc peryodludur. Diğer taraftan f(Tz—x) = f(%-\-x) olduğundan x = tz doğrusu simetri eksenidir. Buna göre ince leme (0, Tc) aralığında yapılır ve bu aralığa ait eğri çizildikten sonra x = tz doğrusuna göre simetriği alınır. y = cos 2 a : — 2 eos a : ^ 2 c o s â : — 2 cos a : — 1 137 Türevin Çeşitli Uygulamaları 1 — v/3 olup cos AT= — 2---- “ ~ 0,366 , x = 111®30' için ^ ^ 0 dır. = — 4 cos a: sin a: + 2 sin a: = 2 sin a:(1 — 2 cos x) olup a: = 0, X = t: ve “K 0 < a: < y için x — ^ '< 0 değerleri için ^ ' = 0 dır. Buna göre ve TZ y < a: < 7 î için y '> 0 dır. Değişim tablosu : 7Î X 0 y 0 ~ -1 maks. \ y 7C 3 0 3 2 min 0 + z’ 3 maks. olup eğri şekil 55 de gösterilmiştir. 27. 3 - 2 si sın X ^ I + 2 s in x fonksiyonunun değişimini inekleyiniz ve eğrisini çiziniz. Fonksiyon 2 tz peryodlu olup incelemeyi (0 , 2 tc) aralîğında yapalım. , — 8 cos .V ^ ^ Ö + 2 s in ;.r , P 7c ^ 2" ^ 3tt: . . Y , - , 138 Yüksek Matematik Problemleri ve ;v-->-^4” halinde y->oo olduğundan a:= -Ş 0 o 0 ve IİTC X doğruları düşey asimptoddur. Değişim tablosu: X ^ 0 - y' o y ^ \ Tî 7u 3u 11u 2 6 2 6 0 1 3 / Min. 0 + -f — ^ ' — + 00 + “ -5 \ . ^ 3 Maks, olup eğrisi Şekil 56 da gösterilmiştir. 28, y — 2 sin x + cos 2x eğrisini çiziniz. Fonksiyon 2tc peryodlu olup incelemeyi (O, 2ıx) aralığında yapalım. ^ 2 sin a: + cos 2jc -- 1 + 2 sin a: ~ 2 sinÂ: ve y '^ 2 COS a: — 4 sin a: cos a: ^ 2 cos .ı:(l — 2 sin x) Türevin Çeşitli Uygulamaları olup , x-= ~ , x=^ 2" 6 degferleri için 139 0 dır. Değişim tablosu: X JW J 0 0 y y 1 /■ — 0 + 1 l-N maks min 2 tz 2 0 3 \ 2 maks 0 + -3 / 1 mm olup eğri şekil 57 de gösterilmiştir. Şekil 57 29. y = cos^x sin 2x eğrisini çiziniz. Fonksiyon tz peryodlu olup incelemeyi ( 0 ,7t) aralığında yap mak kâfidir. y ' ~ 2 cosâ:(cosâ: — 3 sin^;r) olup tgA: = ± ve a: ^ ~ için y =0 dır. Değişim tablosu 5tt: "6 X I0 + J, İO / 0 8 maks. + — \ 8 min. /■o 140 Yüksek Matematik Problemler^ dir. y "^ i) olup ( - Î - . » ) noktası büküm nok- ÎÇÎ*' y tasıdır. Eğri şekil 58 de gösterilmiştir. 30. y — tg X — / ^ ^— -j e ğ r i s i n i . . . . ç iz in iz . Fonksiyon tz peryodlu olup incelemeyi (0, tz) aralığında yapmak kâfidir. Fonksiyon tg a: = — 1 yani değildir, .v “ için olarak x ^ için tanımlı doğrusu düşey asimptoddur. X ™ 0 ve Jt - TC için tgAr — 0 olarak y cos*x (tg X +1)* COS^X M olup daima pozitifdir. Değişim tablosu: a: i o0 y ] T + -t /' y' i - l + ~ — oo olup eğrisi şekil 59 de gösterilmiştir. 1 d ir, 2 c o s ^ a: (tgA: H 1)^ Türevin Çeşitli Uygulamaları 31. ' 141 y — tg^x-\-tgx — 1 eğrisini çiziniz. Fonksiyon peryodlu olup incelemeyi (0, ti) aralığında 7w TC yapmak kâfidir. Fonksiyon ^ tanımlı değildir, a:-» halinde y-> ^ a: = 0 olup a: = ve X = Tz için !/’ = 2 tg x . c o s â : ‘ veya na gföre tg , = — ^ a: 1 tg a: ^ — ^ = tg a 0< x< Y doğrusu düşey asimptoddur. tg;c==0 ve y = _ 2 tg AT+1 ^ c o s olup 2 tg ;r + 1 ^ 0 a: TC â: c o s tgf a: ^ — y = a 1 için olması içjn : olmalıdır. ve a<AT<7x « / - + 0 -f-o o y - 1 ^ y' 0 dır. Bu (0 < a < t:) için ı/' == 0 dır. 0 y 1 dir. â t Değişim tablosu: X — 4 olup eğrisi şekil 60 da gösterilmiştir. + 142 Yüksek Matematik Problemleri 32. y == cos {3 Arcsîn x) eğrisini çiziniz, fonksiyonunun değişimini inceleyiniz ve Arcsîn x ==t yapılırsa ac = sin ^ olarak: y = cos 3^ = cos /(4 cos^ ^ — 3) yazılabilir. Diğer taraftan : cos f — sin^ t ^ \Jl ~ x^ olarak y ^ ( l ~ 4 x ^ ) \ / l — x^ elde edilir. Fonksiyon, x in (—1, + 1 ) aralığındaki değerleri için tanım lıdır. Ayrıca çift fonksiyon olup incelemeyi (0, + 1 ) aralığında yapmak kâfidir. Bu incelemeye ait eğri çizilir ve eksenine g-öre simetriği alınırsa eğrinin tamamı çizilmiş olur. jc = 0, X == 1 ve AT= ” y 3x(4x^ - 3) \/l-x ^ için y = 0 dır. olup a: = 0 ve x İçin ^ '= 0 dır. Değişim tablosu : X f y y 0 0 ~ 1 \ maks. 1 2 0 -1 mın. olup eğri Şekil 61 de g^österilmiştir. + oo 0 Türevin Çeşitli Uygulamaları 33. 143 y — Arccos y T j î eğrisini çiziniz. 1—a:2 2a-2 I + a:^ ^ - 1 + 2 yazılarak buradan, x ne olursa olsun —1< 1 ^ 1 olduğu görülür. Buna göre y fonksiyonu x in her değeri için tanımlıdır. f ( — x) = f(x) olup fonksiyon çift fonksiyondur ve oy ekseni si metri eksenidir. O halde incelemeyi (0, +«>) aralığında yapmak kâfidir. AT, Odan a kadar değiştiği zaman: l~\-x^ ^ ' l-hx^ ifadesi + 1 den ~ 1 e kadar azalmaktadır. Bu sebepten fonksi yon artan fonksiyondur. x-~>oo halinde y-^n olup y ^ tz doğrusu asimptoddur. y' = ^ ^ ^ 4 ^ = T ^ ^ ° '“P pozitifdir. Değişim tablosu: 0 X 0 + y y 0 7' ‘ TZ olup eğri Şekil 62 de gösterilmiştir. 34, y = Arctg ~ eğrisini çiziniz. Fonksiyon x in sıfırdan başka bütün değerleri için tanımlıdır, 1 1+ jt' olup daima negatiftir. Ac->0 halinde y - ^ — ~ dir. AT“» 0 için y ' -- — 1 din ve a:->0^ halinde ise 144 Yüksek Matematik Problemleri Değişim tablosu: 0 X — oo -j-oo — y y — + — ^ 2 2 \ 0 olup eğri Şekil 63 de gösteri İmiştir. Şekil 63 35. ~ e eğrisini çiziniz* Fonksiyon (—©o,0) ve (0, +*^) aralıklarında tanımlıdır. x negatif değerlerden itibaren sıfıra yaklaşırsa y - ^ 0 ve x pozitif değerlerden itibaren sıfıra yaklaşırsa olmaktadır. x - ^ ^ halinde ise olarak y =^1 doğrusu asimptoddur. 1 y ^ ^ e ^ olup ciaima negatifdir. O halde fonksiyon daima azalan fonksiyondur. x-^Q~ halinde ^^'->0 dır. Değişim tablosu: X y y 0 -- oo 0 — 1 \ -f- oo — 0 + ~ \ 1 olup eğri şekil 64 de g ö steril miştir. Türevin Çeşitli Uygulamalûrı 36 . y ^ k 145 eğrisini çiziniz. Fonksiyon ;c in bütün delerleri İçin tanımlıdır. jc->=Foo halinde ^ -> 0 olmaktadır. y '= — 2kxe''^^ olup x < 0 için i^'>0 v e jı:> 0 iç in y '< 0 d ir; Değmişim tablosu: 37. y ^ x e * eğrisini çiziniz. Fonksiyon, jt in bütün değerleri İçin tanımlıdır. — oo halinde ve halinde ise y -» + oo dır. Buna göre = 0 doğrusu asimptoddur. y ' — {x + 1) e' olup x ^ — 1 için y ' y ' = (a: + 2) c* olup x olmaktadır. Buna göre ^—2 Değişim tablosu: —00 —1 - \ _ 4"®® 0 + ı e /+ * Min. olup eğri şekil 66 da gösterilmiştir. 38. W — eğnsım çiziniz. / + e^ dır. — 2 için y ’ işaret değiştirerek sıfır ^ r I noktası büküm noktasıdır. 146 Yüksek Matematik Problemleri^ Fonksiyon (— « , 0) ve (0, + <») aralıklarında tanımlıdır. X pozitif değerlerden itibaren sıfıra yaklaşırsa y->0 ve x negatif değerlerden itibaren sıfıra yaklaşırsa y-^10 olur. Buna göre fonk siyon a: = 0 da süreksizdir. halinde y - ^ 5 olup y = 5 doğrusu asimptoddur. 10 olup daima pozitifdir. Bu sebepten de fonksiyon daima artan fonksiyondur. Değişim tablosu: X y —00 f y + 00 0 + + 5 0 olup eğri Şekil 67 de gösterilmiştir. 39. y = X* eğrisini çiziniz* (x> 0) ^ (log a: + 1) olup logAc=^-“l, = - ^ = 0,368 için türev işaret değiştirerek sıfır değerini almaktadır. a:-> + oo halinde ve x~^0 için ^->1 olmaktadır. Değişim tablosu: X 0 y 00 y + 00 İ le — 0 + + 00 1 ^ ( ^ r Min. olup eğri Şekil 68 de gösterilm iştir. Türevin Çeşitli Uygulamaları 40. 1 y —x^ eğrisini çiziniz. Fonksiyon x in bütün pozitif değeıleri için süreklidir. ~2 y ' = x^ (1—logA:) olup 1—logAT in işaretindedir. l —logAf=0, log a: == 1 yani x = e için y ' — 0 dır. ;e->-foo için ı/- > l dir. Değişim tablosu: 0 e + 0 1/e 0 /' - \^ 1 Maks. olup eğri Şekil 69 da gösterilmiştir. 41, y — X log X eğrisini çiziniz. Fonksiyon x in bütün pozitif değerleri için tanımlıdır. 0 için ı/“ >0 ve + iÇin y - ^ + ^ dır. ı/'= log Ac + 1 olup log a: = —1, ac = — için y '= 0 dır. olup eğri Şekil 70 de gös' terilmiştir. Şekil 70 147 148 42. Yüksek Matematik Problemleri y ^ X -r loğ X eğrisini çiziniz. Fonksiyon x in bütün pozitif değerleri için tanımlıdır. 1 X ^ x—l olup X için y ' = 0 dır. halinde y-> -\-^ ve halinde de dır. Değişim tablosu: 0 X 9 0 — y y + 00 1 + * \ + +00 ^ 1 Min. olup eğri Şekil 71 de gösteril miştir. 43* = ^ + log (x^ — /) eğrisini çiziniz. Fonksiyon x^ — 1 > 0 yani ;e < ~ 1 ve x > l değer leri için tanımlıdır, -> T 1 için y - - ^ ^ olup x — 1 ve a: = + 1 doğruları asimptoddur. y' = ^ ~ ^ = — 1 — V^2 için y ' = 0 dır. x->—00 için ^ -» —00 ve a:-> + oo için y->+oo dır. Değişim tablosu: -00 - 4- 1 - v^ 0 - 1 + 1 - +00 + +00 —00 ^ ^ —00 Maks. olup eğri Şekil 72 de gösterilm iştir. —00 Türevin Çeşitli Uygulamaları 44. log X — y = — ----------------- 149 ....................... eğrisini çiziniz. Fonksiyon x in bütün pozitif değerleri için tanımlıdır. y = olup z = 2 - ‘ X^—‘ log X in 2 — ac*— logf X 2x^ 4 - 1 işaretindedir. z'==--------— olarak negatifdir. Buna göre z fonksiyonu daima azalandır, a: 1 için z = 1 ve a: = 2 için z = — 2 — log 2 < 0 olup z, 1 ile 2 arasın da a gibi bir kök kabul eder. Değişim tablosu: a 0 X f y + 0 y —00 +00 - —00 Maks. olup eğri Şekil 73 de gösteril miştir. Şekil 73 150 Yüksek Matematik Problemleri + 4^3 — xy^ = 2 eğrisinin (2 , —1 ) noktasındaki teğetinin denklemini bulunuz. 45. Cevap: lİAT-j-16i^ = 6 — 3^2 = 0 eğrisinin (8, 1 ) noktasındaki teğetinin denklemini bulunuz. 46. Cevap : 348 y = 5x-jr 308 47. xn-f*ı/n = 2 eğrisinin (1 | 1 ) noktasındaki teğetinin denklemini bulunuz. Cevap ; x -[-y = 2 48. 2 a2 minin 2 elipsinin herhangibir (;ro , yoi noktasındaki teğetinin denklc- 52 a2 -j- 62 - = 1 olduğunu gösteriniz. 49. ;t:2'3-j-^2'3 = q2'3 eğrisinin herhangibir (ato » iô) noktasındaki teğetinin denk leminin Af 4 " olduğunu gösteriniz. 50. 9x2 4 - 4ı/2 = 36 elipsinin ( x = l , ^ > 0) .noktasındaki teğet altı ve normal al tı uzunluğunu hesaplayınız. Cevap ; Normal altı uz. = g teğet altı uz. = 3 51. xy = o2 eğrisinin herhangibir noktasındaki teğetinin koordinat eksenleriyle teşkil ettiği üçgenin alanının sabit ve 2a2 ye eşit olduğunu ispatlayınız. 52. 3 x2 -|- 5^2 = 32 elipsinin, apsisi ordinatına eşit olduğu noktasındaki teğet ve normalinin denklemlerini bulunuz. Cevap ; 3x 4“ 5^ ± 16 = 0 ve 5x — ^ ± 4 = 0 53. Bir hiperbolün teğetinin asimptodlar arasında kalan parçasının değme nok tası tarafından iki eşit parçaya bölündüğünü gösteriniz. 54. cr, 6 ve c yi o suretle belirtiniz ki ^/ = ax 2 -{- 6x 4 "c parabolü (—3, 12 ) nok tasından geçsin ve 3 x -{ -|/4 “l = 0 doğrusuna (—1, 2) noktasında teğet olsun. 55. 4x 2 >f>9^2 = 72 eğrisi için, değme noktası, koordinat eksenleri arasında kalan teğetin orta noktası olacak şekilde, her teğetin bu değme noktasının koordi natlarını belirtiniz. 56. log(x2+^2) = 2 Arctg ~ eğrisi île ı/=m x doğrusunun teşkil ettiği açının sa bit ve ^ e eşit olduğunu gösteriniz. 57. x^y = 4 ve i/ = 8 eğrilerinin kesişme açılarını bulunuz. ' Cevap: Arctg ^ 58. j,f2 4-^2 — 12x4*16 = 0 ve ıy2 = eğrilerinin kesişme açılarını bulunuz. Cevap: 0 59. y = 3r—i büküm noktalarını bulunuz. Türevin Çeşitli Uygulamaları 60. 151 -j- ,v2^2 eğrisinin büküm noktalarını bulunuz. Cevap: (0, 0) 61 . = (.v 1) Arctğ X eğrisinin büküm noktalarını bulunuz. Ç.vap: (l. 62. eğrisinin büküm moktasını bulunuz. (± C 5 -’ 63. y= e 1-.V eğrisinin büküm noktasını bulunuz. Cevâp: 64. y z=. ( |. ^ ) — 12a:2 -f-2 eğrisinin konkavlığını inceleyiniz. Cevap : .tr < — \f2 doğru konkav 65. 66 . ve sin 0 — cos 0 fonksiyonunun maksimum değerinin V^2 olduğunu gösteriniz. ^ = a: — 2 sin AT fonksiyonunun maksimum ve minimum değerlerini bulunuz. (Cevap : x = 2kTi 6?7. ^ için 2^71 4" ^ .v = 2 â:tc — ~ için 2k% — ~-{-V^3maks. değer değer 1/ = AT— sin 2at fonksiyonunun maksimum ve minimum değerlerini bulunuz. Cevap : a: = ^:7î -f- ~ 6 at= 68. x > \j2 İçin yukarıya, — ^ 2 < ,x < .\j2 için aşağıya yr=ze yj ■ için kTC+ ^ — V^3 min. değer ; 6 ~ İçin itTC— ~ + V^3 maks. değer. O O ^ 3 * 1 fonksiyonunun x = — için -pı■ maksimum değerine ma- 2 yj2 lik olduğunu gösteriniz. 69. Bir doğru boyunca akan bir nehrin gerisinde, nehirden birisi 10, diğeri 15 km uzaklıkta iki A ve B şehirleri bulunmaktadır. Bu iki şehire su vermek üzere nehir kıyısına bir depo yapılacaktır. AB mesafesinin, nekir kenarına iz düşümü 20 km olduğuna göre boru uzunluğunun minimum olması için depoyu nehir kıyısının hangi noktasında yapmalıdır? Cevap : A*ya en yakın kıyı noktasına 8 km uzaklıkta. 70. Oât ekseni üzerinde, (1, 2) ve (4, 3) noktalarına uzaklıkları toplamı minimum olan noktayı bulunuz. Cevap : ^2 ~ , 0^ 152 Yüksek Matematik Problemleri 71. Bir âçgenin 'bir kenarı 5 m ve bn kenarın karşılındaki açııı 40^ dır. Oçgelıiin alanının makaimnm olabilmesi için diÇfer açılar ne olmalıdır? Cevap: 70* Açal^ıda donklemlerl verilm iş eğrileri çlalnla; 2{x+ l) 72. y 73. „ = k h î) ? 89. «o, ir2=*3+ı 74. 91, ı3=ıx3—x 75. M, 76. «■ 77. S = (2 + x)‘/’(l-r)*/® 94. 78 . ir = ( 95. 79. 2 * - a) *^ jr = V*’ - 3 » î 80. 81. j,J= yzz: ^ 2;r2-3;r-2 xi-\-x+2 2x2-^x-l 97. 98. 82. 1?= *’/* 99. 83. i, = i(*+ l) 3 ( 3 *-2 ) » ^+4 k-31 96. 9 = v/l-4x* <*-!)* (;r-l)2 _ ^ 2;r2-.3;r x2—;r~2 = 2;e-8 2;r2-3;r-2 _ 2(x+\) 84. 101. 85. 102. y = 4x2-9jr+2 X—1 86 . =3 ar2 103. :r2+Ar4-l x—2 x2-|-5;r+2 İT? 87. y 'i =s ajr3 10 4 . y 88 . y2(2a—;r) = x3 10 5 . y= = sin 2jr + cos = sin X 2x sin 2 x Türevin Çeşitli Uygulamaları 106. 107. y = £»n X l+t«2Ar _ sin 2x ^ 1 -i- sin = cos -f 110. g-=^s\nx sin 111. i, = tg * Ij 112. ^ = " 114. = 117. ^ + 119. 1—* y= e 120. 1 -* y= e 121. sr = e — x^ 122. 123. 3 t y * 125. 1 lo g x 1 ^ 1 126. ^ 127. X __ sin X cos X ^ cos AT + 2 sin ^ _log X X sin 2 r 1 + sin = x+l î '= i= T * 1 3—4 cos X 2 + cos* « = (jf + 1) e 124. ^ 115 116. sın X cos* „ , 113. y = (!+ * ) 1 108. 109. H8. — — 1 — Vl — 2 sin ^ A f Af — , = —İ2İ3L. 128. 129.. m loş X l+:r-*log g l+;rlog;c = log sin X X 153 6. 2 sin t 1'^2 co st ' ^ X— cos i 1-\-2cost parametrik PARAMETRİK DENKLEMLER denklemlerinden türevlerini hesaplayınız. dx dt 2(2 + cos t) (1 + 2 cos 0^ — sin t (1+ 2 cos ty ^ dt olarak: İM. = dx ^ dt — sin t ^ ___________ 2(2 + cos t) bulunur, ikinci mertebe türev ise : d^y dx^ dy' dx dy dt dt —(4cost+ 2) 4(2+cosjf)2 2(2+cos t) (1+2 cos ty (1+ 2 cos 4(2+cos ty dir. 2. i2 / X — e*sin t ve y — e+os t olduğuna göre ve türevle rini hesaplayınız. “ = e^sin^ + e^cos^ at ve ~ -= e'cos^ — e^sin^ at olup dy _ cos t — sin ^ dx cos ^ + sin ^ dir. dy dt 2 (cos^ + sin^)2 olup d^y dx^ -2 e*(cos t + sin 0^ dir. Parametrik Denklemler 3. 155 Parametrik denlemleri x — f , y = 4t — P olan eğriyi çiziniz, t = 0 için a: = O, y = 0 ve ^ dx ^2t dt + 2 için - 4- dt olup ^ = O için $ — O ve t = -h at x~^-\-oo co halinde acoo dır. == 4, ^ — O dır. » için o + ar = O dır ve halinde ise Değişim tablosu: _2 t 0 - Xt 0 X + a o \ 4 \ y + » \ 0 \ 0 +2^3+ + + + 0 i- / 0 2 / /< 4 /< + 0 0 \ 0 \ -0 0 olup eğri şekil 74 de gösterilmiştir. 4. Parametrik denklemleri x — P — 2 t , çiziniz, y —P ~12t olan eğriyi t nin bütün değerleri için x, y fonksiyonları tanımlı ve sürek- 156 Yüksek Matematik Problemleri lidir. ^ = O ve ^ = 2 değerleri için j: — O ve ^«=0've t ^ ± 2 \ ] Z değerleri için ı/ = O dır. 2(/ ~ 1 ), ^ = 3(^2_4) olup ^ = 1 için ^ ^ t^ ± 2 dt = 0; için ^ = 0' dır, at 00 halinde a:- > * + o o , a:-»+00 ^->+00 dır. ve ^ - > + o o halinde ise Değişim tablosu : — 00 —2v'3 -2 - Xt yt + +00 \ y 1 O 2 \/3 o+ — + 00 + + 12+ 2 v/12 \ 8 \ 0 \ - 1 / ' 0 / ' \ 2 - 2 sJ\2 / +oo -»-00 /» + 0 0 Maks. Min. olup eğri şekil 75 de gösterilmiştir. (8, 16) noktası eğrinin iki katlı noktasıdır. 157 Parametrik Denklemler 5. Parametrik denklemleri x — tg t s i n t, y — - olan eğriyi çi* ziniz. Fonksiyonlar 2tc peryodlu olup incelemeyi (0, 2tz) aralığında yapmak kâfidir. Fonksiyonlarda t yerine —t konulduğu zaman X, —X, değerini a lır; y ise değişmez. Buna göre Oy ekseni si metri ekseni olup incelemeyi (0, tî) aralığında yapmalı ve buna karşılık bulunacak eğrinin eksenine göre simetriğini almak suretile eğrinin tamamını elde etmelidir. dx dt olup t — Tz için # 1 + cos^ t cos^t at sin t cos^ t — 0 ; ^ = = 0 v e ^ — tî için halinde ve doğrultuyu belirtmek üzere X dy dıj dt 1 s in /( l+ c o s /) at = 0 dır. dır. Buna göre asimptodik i teşkil edelim. olup t ^ ^ ' 2 halinde - - » 1 X. ve asimptodik doğrultu == m = 1 dir. Diğer taraftan : y — mx olup halinde 1 — sin ^ — sin t cos t cos t ı/ — — 1 olarak asimptodun denk lemi y ^ x — l dir. t Değişim tablosu: TC 0 2 « ' xl 2 + + 0 yt 0 + + 0 X 0 +00 —00 Jp 0 + 00 1 -0 0 —1 min maks olup eğri şekil 76 da gösterilmiştir. y Şekil 76 158 6. Yüksek Matematik Problemleri Parametrik denklemleri x = a(^ — sin^), y — a(1 — cos sikloid eğrisini çiziniz, olan y nin peryodu 2ıı olup incelemeyi (0, 2ıt) aralığında yapmak kâfidir. ~ = û(l — cos 0) , dx - ^ = £3! sin 0 olarak 0= 0 ve 0 = 2ıı için 3 = 0, 0 = 7T, 0 = 2tî dy dx “ ^ 0 = 15 için olup için dy dQ 0 = 2m 0 = 0 ve dy — >00 ^ = 0 dır. Değişim tablosu : 0 0 2m 0 i/e' 0 + + 0 X 0 / ma y 0 / 2a maks. 0 — 0 2ma \ 0 olup eğri şekil 77*de gösterilmiştir. Bu eğri a yarı çaplı bir dai renin O jt ekseni üzerinde, kaymadan yuvarlanması halinde çem beri üzerindeki bir noktasının çizdiği eğridir. 0 ya (0, 2tc) aralı ğının dışında değerler verilirse ayni kemerler tekrar tekrar çizi lir. (Sikloid eğrisi) 7. Parametrik denklemleri x — e -1 ' ^ e olan eğriyi çiziniz. t--l X fonksiyonu t nin T 1 ve ^ fonksiyonu t nin 1 değerlerin- Parametrik denklemler 159 den başka diğer değerleri için tanımlı ve süreklidir. / = 1 ve t = — 1 için -> 00 ve ^ == 1 için ^ oo v e ^ oo için ^ oo, x -> 0 olmaktadır. dx P+ 1 dy P -2 t dy t{ t-2 ) dt {P-IY dt {t-lf ' dx P+ 1 olup ^ 1 için x - > ^ Lim -- = Lim ve ^ oo dır. + 1) == 2 = m (asimptodik doğrultu) ve ,. , V ,. 3^2 + 2^ - 2 Lim (y — mx) = Lim — 2t olarak y =-2x 3 doğrusu A asimptoddur. Eğrinin iki katlı noktası: İ2 tY /ı~ l ve bu ikisinden _ \/5 + 'i f\ d e n ^ ı^ 2 = ~ l ve tY den ^2-1 3/2^ / î —1 ^ı= -3/A / / ------------ ^ 2 Ij! i 2/3 •1/2 l t') — — elde edilir ki ^ 2 buradan da a: = — 1, ^ = — 1 bulunur. Bunlara göre (—1 ,—*1) noktası eğrinin iki katlı nok tasıdır. 7 1 1 Şekil 78 Değişim tablosu: t —00 -1 Xt — yt + X y 0 1 + 00 2 — i i + 0 0 \_ - Ov ^1— -0 0 j 1 00 0 + + * \A \ 3 +“ \ " i / \ _ 0 0 Maks. olup eğri şekil 78 de gösterilmiştir. 4 Min. / 0 + 00 160 8. Yüksek Matematik Problemleri Parametrik denklemleri x =* ( t+ 1 ) ( t- 2 ) <+ / ’ ^ rigi çiziniz, X fonksiyonu f nin —1 ve g fonksiyonu fnîn —1 ve 2 de ğerlerinden başka diğer değerleri için tanımlı ve süreklidir. —1 için >00, y->oo; f = 2 için x =* 4/3, j5^->oo; f = 0 için a: = 0, y = — 1/2 olmaktadır; dx t(t-\-2) dg dt «( <++Di )* * '’ dt dt , . dx , 1 için ^ = o ve f = ^ l-2f (t+ \)\t-2 y . . ı . ° “P < ^ o o ve ^ n 2 di/ j ^ ~ ^ ^->oo halinde = 0 olarak Ox ekseni yatay asîmptoddur. a:->4/3 halinde ise y->oo olarak x = 4/3 doğrusu düşey asîmp toddur. 1 için Af->oo, g - ^ ^ dır. Lim y X 3 (asimptodik doğrultu) ve Um ( İ , + | a: ) = - | olarak ~ 3" ^ doğrusu asîmptoddur. Şekil 79 ‘ Değişim tablosu: t - 0 0 - 2 -1 0 Xt + 0 - — yt + i + + X —00 / ^ —4 y 0 /■ T \ ^ —00 0 + 0 -0 0 + 2 / 0 + « 2 -i- + + - — ^ y 9 ^ —00 / > + « + * \ 0 maks. olup eğri şekil 79 'da gösterilmiştir. ( + 1 , —1) noktası eğrinin iki katlı noktasıdır. Parametrik denklemler » P t Parametrik denklemleri x = ^_-y ı y =* '^ZTf 161 çiziniz» X fonksiyonu ^nin 1 ve ^ fonksiyonu f nin ± 1 değerlerin den başka diğer değerleri için tanımlı ve süreklidir. ^ — 1 için Ac->oe ve X = 0, dır. f = — 1 için ;r = — ^ ^ = 0 için =* 0 olmaktadır. cfr ^ f(f-—2) ^ ■ ^ 0 - 1 ) " ’ dt olup f=0, f = 2 değerleri için ^ = = 0 v e ^ daima negatiftir. ^->—00 halinde y->0 olarak O j: ekseni yatay asimptoddur. halinde ise olarak doğrusu düşey asîmp- toddur. f->l halinde ise a:->oo, y - ^ ^ dır. Lim = -L (asimptodik doğrultu) ve U ,n ( j,- i» ) - - I olarak — |- doğrusu asimptoddur. Değişim tablosu: t — 00 X i' 1 -h + yt 0 - ------ 1 -« /- X y —1 - y — 00 0 / 1 — 0 2 - +0O 0 - 0 N* -00 + 1 - 0 \ 4 /> \ y \ +00 0 olup eğri şekil 80 de gösterilmiştir. (~ 1 , —1) noktası eğrinin iki katlı noktasıdır. 11 162 Yüksek Matematik Problemleri dy Aşağıdaki denklem çiftlerinden ^ ve 10. X — a cos 6 y — a sin 0 3^2 l + <3 ^ X '= a cos30 y 13. X == a(2 cos 0 — cos 20) y 14. a sin30 a — b cos 0 y 15. dy = — cotg 0 dx Cevap : dy ~dx Cevap : dy _ dx Cevap î = a(2 sin 0 — sin 20) AT= û0 — 6 sin 0 AT= 3 x = it-\-2 y = t2 + 5t 17. X — cos 2t y = sin2# 18. X = a(cos 0 + 0 sin 0) y — a(sin 0 — 0 cos 0) 19. 20. 21. X = = t X = Arcsin i e « in t y = Arctg i d2y_ 1 sec^ö cosec 0 ’ J 7 2 -3 7 cos 0 — cos 20 sin 20 — sin 0 Cevap : dy __ 2 2t 3 ® dx Cevap : dy = 2 /4 -5 dx Cevap : dy dx . Cevap : 2 —2 d x 2 -/ dx2 . û d2y sec30 dx ~ ‘* ® ’ d ^ İ ~ - a d - Cevap : d.2y _ dx2 Cevap : d2y _cos2f 4 "sin / cos3f e » i n t dx2 Cevap : £y dx'^ e « " ^ y , . dy _ b sin 0 0 —b cos 0 dx X = cos t y = sin t dx 2^ — M 1 - 2^3 Cevap : y — 2e* 16. türevlerini hesaplayınız* Cevap : 3^ ~ 1 + /3 11. 12. d“^y 3 cos t sin5/ / (t^ - 3) a 4 /2)2 Aşağıda parametrik denklemleri verilmiş olan eğrileri çiziniz* ZZ<t X^ f 1/ ^ log t Parameirîk Denklemler _ 23. ^ — 1 -I- ^3 » i' ~ 1 4- ^3 24. X := a sin 25. X = sin 26. X = a cos-t , y = a sinV 27. X = a cos 6 , 28. X = sin t 29. X = ------:------ 30. X = 31. * = 4 < -y < 3. J,=l(f2_4) 32. x = 2atjrq), 33. *= _ i , İ7 = i^— 2 34. x = i(i—1), y = lo g i 35. •X= c» , y = log i 36. 37. , y^ o sin t t y = cos 2i y b sin 0 sin t 2-j-cos i3-.f24-2 i3-l t+1 i2(3 — 2i) , ı_<2 ' 1 COS i , t y = z i3(3 — 2i) y •=■ 2 a co%^<9 ? —î^rjs y = sin i 16^ 7. 1. Kutupsal denklemi r KUTUPSAL DENKLEMLERDE EĞRİ ÇİZİMİ a( 1 — 2cos^) olan eğrili çiziniz. / ( — 0) = /(0) olup kutupsal eksen simetri eksenidir. Buna ^öre incelemeyi (0, tc) aralığında yapmak kâfidir. r = 2a sin 0 olup 0 = 0 ve 0 = ‘ir için r ' = 0 dır. cos 0 = ® r = 0 olup 0 = doğrusu eğri nin kutuptaki teğetidir. Değişim tablosu: e r' 0 0 + r —a / r r 00 0 3a 00 Şekil 81 olup bu tabloya karşılık olan eğri çizilir ve kutupsal eksene g^öre simetriği alınırsa şekil 81 deki eğri elde edilir. Kutupsal denklemi r ^ 2 - - 4 s i n ^ olan eğriyi çiziniz. /( tî — 0) = /(0) olup 0 = ^ Buna göre incelemeyi ^ r ' = — 4 cos0 olup dır. ~ 0= — doğrusu simetri eksenidir. j aralığında yapmak kâfidir. ve 0 = + ~ için r '= 0 Kutupsal Denklemlerde Eğri Çizimi İçin «in0 = T « 0 = -? doğrusu eğrinin kutuptaki teğetidir. r=0 olarak 165 6= ıc 6 Değişim tablosu: e ıc + -2 2 ^ r' 0 — r r r 6 \ 0 -2 00 00 olup bu tabloya karşılık olan eğ» ri çizilir ve 0 = doğrusuna gö re simetriği alınırsa şekil 82 deki eğri elde edilir. 3, 0 r — a c o s ^ e ğ r i s i n i çiziniz* Peryod 6tc ve /(0 + 3tc) = ~ /(0) olup incelemeyi (0, 3tc) aralığında yaparsak eğrinin tamamını çizmiş oluruz. Diğer taraf tan f{ — 0) = /(0) olduğundan kutupsal eksen simetri eksenidir. Buna göre incelemeyi ^0, 0 aralığında yapmak kâfidir. 0 r = — a c o s ^ - j- s în - ^ olup r \ 0 = 0 için işaret değiştire rek sıfır olur. 3?t 0 = 7 ^ iç in r= 0 3ıt olarak 0=77* doğrusu, eğrinin,kutup- 166 Yüksek Matematik Problemleri olup bu tabloya karşılık olan eğri çizilir ve kutupsal eksene gö re simetriği alınırsa şekil 83 deki eğri elde edilir. 4. r = a siv? eğrisini çiziniz, f{3% + 0) ~ — /(ö) olup incelemeyi (0, 3tc) aralığında ya parsak eğrinin tamamını elde ederiz. Diğer taraftan, / ( —0)——/(0) olup ö = y doğrusu simetri eksenidir. Buna göre, eğrinin ya rısını elde etmek üzere, incelemeyi ^0, aralığında yapmak kâfidir. r =* a sın* cos olup cos "j" “ 0» ® ^ ret değiştirerek sıfır olmaktadır. 0 teğetidir. = 0 için r = 0 olarak 0 = 0 doğrusu eğrinin kutuptaki Değişim tablosu: 0 r/ 0 + 0 0 / a r r r7 , 3iî 2 0 0 00 , olup bu tabloya karşılık olan eğ ri çizilir ve 0 = Şekil 84 doğrusuna göre simetriği alınırsa Şekil 84 deki eğri elde edilir. 5. 0 Kutupsal denklemi r = a cos* -j- olan eğriyi çiziniz, /(e+4ıc)=/(0) olup peryod 4n dir. Dijer taraftan / ( —0)=/(0) Kutupsal Denklemlerde Eğri çizimi 167 olup kutupsal eksen simetri eksenidir. Buna gföre, eğrinin yarısını elde etmek üzere, incelemeyi (0, aralığında yapmak kâfidir. 6 r = — a cos^ sin 0 olup 0 = 0 için r işaret değiştire rek sıfır olmaktadır. 0 teğetidir. = 2tî için r = 0 olup 0 = 2tc doğrusu eğrinin kutuptak Değişim tablosu: 0 0 r' 0 — 0 r r r a \ 0 oo 0 olup bu tabloya karşılık olan eğ ri çizilir ve kutupsal eksene göre simetriği alınırsa şekil 85*deki eğ ri elde edilir. 6. Şeki! 85 Kutupsal denklemi r = acos3^ olan eğriyi çiziniz. f + == ^ cos3 olup incelemeyi TZ + = û cos(30+ ıt)= —a co s3 0 = —/(0) e eşit uzunluktaki bir aralıkta yapmak kâ- fidir. Bu incelemeye ait eğriyi negatif yönde tc— y kadar döndürmek ve bu döndürmeye eğri kendi üzerinde kapanıncaya kadar devam etmek suretile eğrinin tamamı elde edilir. Diğer taraftan / ( — 0) = /(0) olduğundan kutupsal eksen simetri ekseni dir. Buna göre, incelemeyi 0 nın yalnız pozitif değerleri için yapmak kâfidir. e eşit uzunluktaki aralık aralığı olarak seçilirse inceleme aralığı ^0, ^ j olur. / ^ — 3a sin 30 olup inceleme aralığında r daima negatif tir. 0 = 0 için r ' = 0 dır. 168 Yüksek Matematik Problemleri 0= i îçîn r = O olup 0 = -g- doğrusu eğrinin kutuptaki teğetidir. 7. Kutupsal denklemi r ^ a sin 50 olan eğriyi çiziniz, / (0 + == asîn3^0 + - ~ j = asin(30 + 7î) = — a s in 30 = —/(0) olup incelemeyi y e eşit uzunluktaki bir aralıkta yapmalıdır. Buna ait eğri elde edilince, bu eğriyi negâtif yönde ^ ~ 3* ** "J" kadar döndürmek ve bu döndürmeye eğri kendi üzerinde kapanıncaya kadar devam etmek suretile eğrinin tamamı elde edilir. İnceleme aralığını ^0, j olarak seçelim. sin 30 = 0, 30 = 0, 0 = 0 için r = 0 olup kutupsal eksenj eğrinin kutuptaki teğetidir. r = 3a cos 30 olup 0= Değişim tablosu: e r r r . r f .T iz 6 0 s 3 0 — 0 a \ 0 00 + 0 0 olup eğri şekil 87 de gösterilmiştir; îÇİn r ' « 0 dır. Kutupsal Denklemlerde Eğri Çizimi 169 r = a C05 20 eğrisini çiziniz» 8. / ^0 + -^ j = a cos2 ^0 + TC olup incelemeyi û c o s(2 0 + tc) = — acos20 = — /(0) ye eşit uzunluktaki bir aralıkta yapmalıdır. Bu incelemeye ait eğri, negatif yönde ^ ^ kadar üç defa dön dürülürse eğrinin tamamı elde edilir. Diğer taraftan / ( —0)=/(0) olup kutupsal eksen simetri eksenidir. Buna göre incelemeyi 0 nın yalnfz pozitif değerleri için yapmak kâfidir, -y ye eşit uzun luktaki aralık ^ j olarak seçilirse inceleme aralığı ( i ncel emeye ait eğrinin evvelâ kutupsal eksene 4 j göre simetriği alınır, sonra da yukarıda açıklanan döndürme ya pılır. cos 20 = 0, 20 = -J* , 0 = -Ş* İçil' r — 0 olup 0 = doğ2 ' ’ 4 4 rusu eğrinin kutuptaki teğetidir. r ' = — 2a sin 20 olup 0 = 0 için r' = 0 dır. Değişim tablosu: 0 T — r r r rT t: 0 a \ oo 0 0 olup eğri şekil 88 de gösterilmiştir. 9, r == a sin 20 eğrisini çiziniz, f == a sin 2 ^0 + asin(20 + : : ) = — a sin 20 = —/(0) 170 Yüksek Matematik Problemleri 71 olup incelemeyi ye eşit uzunluktaki bir aralıkta yapmak kâfidir. Bu incelemeye ait eğri çizilir ve negatif yönde ti — TZ TZ ^ kadar üç defa döndürülürse eğrinin tamamı elde edilir. İnceleme aralığını jÔ, - ^ j olarak seçelim. sin 20 = 0, 20 = 0 için r = 0 olup kutupsal eksen, eğrinin kutuptaki teğetidir. r' —2acos20 olup 0= için r ' = 0 dır. Değişim tablosu : 0 7Î T 0 r 4- 7ü T 0 *— \ r 0 a r r 0 oo 0 0 olup eğri şekil 89 da gösterilmiştir. 10. Kutupsal denklemi r^= a^cos2^ olan esriyi çiziniz, r = + a\/cos20 olup 0 ya r in simetrik iki değeri karşılık gelir. Buna göre kutup simetri merkezidir. Bu sebepten yalnız r ^ a \jcos 20 yı incelemek kâfidir. Bu incelemeye ait eğrinin, kutba göre simetriği alınırsa eğrinin tamamı elde edilir. Peryod Tl olup değişme aralığı olarak ^ s e ç i l e b i l i r . Ancak, TC cos 20 ^ o olması gerektiğine göre — ^ — 20 < TC ~2 olmalıdır. Diğer taraftan / ( — 0) = /(0) olup ku tupsal eksen simetri eksenidir. Buna göre incelemeyi 0 nın po zitif değerleri için yani 0 ^ 0 ^ — için yapmak kâfidir. Bu in Kutupsal Denklemlerde ^ğri Çizimi 171 celemeye ait eğri çizilir, evvelâ kutupsal eksene göre simetriği alınır ve sonra bu suretle elde edilen eğrinin de kutba göre si metriği alınırsa eğrinin tamamı elde edilir. co s2 0 Ô , 20 = 2 ’ ® 4 doğrusu eğrinin kutuptaki teğetidir. için r = 0 olup Ö= - ^ ' - — a sin 20 \/cos20 olup r inceleme aralığında negatifdir. 0 = 0 için r' = 0 dır. " Değişim tablosu ; olup eğri şekil 90 da gösterilmiştir. 11. Kutupsal denklemi r = a('s//2 20-f-cos 20^ olan eğriyi çiziniz, / ^0 -(- y ) = 4sin(20+'ir)+cos(20+Tc)]=—û(sin20+cos20)=—/(0) olarak incelemeyi TC ye eşit uzunluktaki bir aralıkta yapmanın kâfi olduğu görülür. Bu incelemeye göre elde edilen eğri nega tif yönde ^ ^ ^ kadar döndürülür ve bu döndürmeye eğ ri kendi üzerinde kapanıncaya kadar devam edilirse eğrinin ta mamı elde edilir. sin 20 + cos 20 = 0 dan tg 20 = — 1 = tg 20 = yÇ:7c— TC ve k = 0 için 0 = — ^ k ^ 2 bulunur ki bu değerler için r = 0 dır. ve /: = 1 için Ö= ^ olup incelemenin 172 Yüksek Matematik Problemleri [— yapı l ması halinde eğrinin bir ilmiğinin bulunacağı anlaşılır. r == 2a(cos 20 ~ sin 20) olup tg 20 ^ 1 ve olup cos 20 — sin 20 = 0 ^ 2 ^ 8 aralığında / yü sıfır kılan 0 değerinin ö“ "ğ* olduğu görülür. Değişim tablosu 0 r ■8“ + r r r 3ti 8 Tl Tl ■“ "s" 0 0 V/Fa 0 oo — \ 0 0 olup eğri şekil 91 de gösterilmiştir. 12. r~ 7 .................... e ğ rıs ın ı ç iz in iz . 3 0 C O S ^ -j Fonksiyonun peryodu 6tî ve /(3 tt: + 0) = —/(0) olduğundan incelemeyi (0, 3ti) aralığında yaparsak eğrinin tamamı çizilir. Di ğer taraftan f ( — 0) = /(0) olarak eğri kutupsal eksene göre si3tc' metriktir. Buna göre incelemeyii ^0, aralığında yapmak kâ fidir. Bu incelemeye göre elde edilen eğrinin kutupsal eksene gö re simetriği alınırsa eğrinin tamamı elde edilmiş olur. 3tc ( 3?^ halinde r->oo olmaktadır. Ancak Lim r sin (0 — -pr 3tç mevcut olmadığından asimptod yoktur. sın r = ------ ğ- olup COS^-7î- 0 == 0 için r '= 0 dır. Kutupsal Denklemlerde Eğri Çizimi 173 Değişim tablosu : 3^ 2 + + ' olup eğri şekil ?2 de grösterilmiştir. 13. Kutupsal denklemi r == / ( ~ ö) = —/(0) Şekil 92 sın 26 olup eğri ^ olan eğriyi çiziniz, ® 7î doğrusuna göre simet riktir. Buna göre incelemeyi (0, ir) aralığında yapmak kâfidir. 0 = 0 ve 0 = için r = 0 olup bu doğrular eğrinin ku tuptaki teğetleridir. , 2(cos^0 + cos 0 — 1) 1 + cos 0 . û — 1 + Vs 2 için r' = 0 dır. 0 = n asimptodik doğrultuyu vermektedir. Asimptod altı: d = Lim r sin (0 — tî) = Lim — r sin 0 0-^TÇ 0-^Tl — sin 20 sin 0 . ... = Lim —-7—i------5— = 4 anr. 0^^ 1 + COS0 174 Yüksek Matematik Problemleri 14. r ^ a(1 sin2^) eğrisini çiziniz. /(0 + t:) = a [1 + sin (20 + 2tc)] = o(l + sin 20) = /(0) olup kutup simetri merkezidir. Buna göre incelemeyi (0, -ıc) ara lığında yapmalı ve bu suretle elde edilen eğrinin kutba göre si metriğini almalıdır. 1 + sin 2 0 = 0, sin20 = — 1, 20 = ^ ; olup 0 = 3tc , 0= ^ için r = 0 doğrusu eğrinin kutuptaki teğetidir. r = 2acos20 olup 0 = ve 0 = ^ değerleri için r '= 0 dır, il r olup — 1+ 20 _ (cos 0 + sin 0)^ _ cos 0 + sin 0 2 cos 20 ~ 2(cos^0 — sin*0) 2(cos0 — sin0) 0= ^ için = 0 dır. Değişim tablosu: 0 r r r r a 3u 4 TZ 4 0 + 0 / 2a maks oo — \ u 0 + 0 min / 0 olup eğri şekil 94 de gösterilmiştir. a Kutupsal Denklemlerde Eğri Çizimi 15, 175 r — 2-\-sin3^ eğrisini çiziniz* { 2tc\ olup incelemeyi lO, - ^ | aralığında yaparak bu Peryod incelemeye karşılık olan eğriyi çizmeli ve bu eğriyi pozitif yönde iki defa döndürmek suretile eğrinin tamamını elde etmelidir. r = 3cos30 olup ö= ve Ö= iÇin r' = 0 dır. Değişim tablosu : TZ TC 0 0 / 2 + 'o - 0 2 / 3 maks \ 1 min r r r f 1 2 tz Y 6 oo OO 3 + 2 2 1 olup eğri şekil 95 de gösterilmiştir. Şekil 95 16. Kutupsal denklemi r — a(2-\-cos2^) olan eğriyi çiziniz ve bu eğrinin kutupsal eksene dik ve paralel olan teğetlerinin bulundu^ ğu noktalarını belirtiniz. / ( — 0) = /(0) olup kutupsal eksen ve / ( t: — 0) = /(0) olup 0 = y doğrusu simetri eksenidir. Bunlara göre incelemeyi aralığında yapmak kâfidir. Bu incelemeye ait eğri çizilir ve ev- 176 Yüksek Matematik problemleri velâ kutupsal eksene göre simetriği alınır ve sonra da elde edî* len bu eğrinin ö = - ^ doğrusuna göre simetriği alınırsa eğri nin tamamı elde edilir. olup eğri şekil 96 da gösterilmiştir. Şekilden de görüleceği gibi (3a, 0) ve (3a, n) noktalarında ki teğetler kutupsal eksene diktir. Kutupsal eksene paralel teğetler için a = 0 olmalıdır. a = ^ + 0 = 0 dan vp = — 0 veya tg = — tg 0 bulunur. Diğer taraftan : ^ r ^^ a(2 4-cos2e) — 2a sin 20 olup — tg 0 ya eşitlenirse : —t 0= ^ + c o s 2 0 ) ^ sin0 _ 2 + cos 20 — 2a sin 20 ’ cos 0 ~ 2 sin 20 q(2 2 sin 20 sin 0 = cos 0 (2 + cos 20) cos 0(2 + cos 20) — 4 sin^0 cos 0 = 0 cos 0 (2 + 1 — 2 sîn^0 — 4 sîn^0) = 0 cos 0 (3 — 6 sin^0) = 0 elde edilir. Buradan ; cos 0 = 0 dan 0= — 0= + ve Kutupsal Denklemlerde Ejğri Çizimi 3 17. — 6 sîn^0 = O dan sin 0 = ^ , ö= — 0 = + -^ » 0 = ^ ve 0 — —^ ^2a, noktalarındaki teğetler kutupsal eksene paraleldir. Kutupsal denklemi r == 177 bulunur. Bunlara göre : oos 0 eğriyi çiziniz ve bu eğrinin kartezyen denklemini bulunuz. /(iî — 0) = — /(0) olup eğri kutupsal ekene göre simetriktir. Buna göre incelemeyi 0-> için r->oo olup ö — aralığında yapmak kâfidir, asimptodik doğrultuyu verir. Asimptod altı is e : d = Lim r sin ^0 — = Lim — = Lim — (l+si^ı 0) 0-^^/2 \ 2 ) e^^/2 1 — sın 0 e^^/2 = — 2 dîr. , — sin 0 (1 — sin 0)+ cos’0 1 ı j . '■ ------------ ( l- s in ö ) » ---------= olup eğri şekil 97 de gösterilmiştir. 178 Yüksek Matematik Problemleri Eğrinin kartezyen denklemi ise : X = r cos 0 ve = r sin 0 olup .2 r* — rı/ — X ve r = ^ x^-\- r= olarak x ^ + y ^ — !f \/x^+g'‘ = X — X = y 'Jx^-\-y'‘ x* + y*-\-x^ — 2x^ + 2 jc y - 2xy^ = x Y + y^ X* — 2x^ + x Y + — 2xy^ = 0 jr^ — 2x^ -i- x^ — y \2 x — x'^) _ xjx-ıy bulunur. 2-x 18. Kutupsal denklemi ^ ~ /( ti — 0) = /(0) ® olan eğriyi çiziniz 7t olup Ö= doğrusu simetri eksenidir. Di ğer taraftan / ( tc+ 0) == —/(0) olduğundan (0, ti) aralığında eğri nin tamamı çizilir. Simetriden ötürü incelemeyi ^0, ğında yapmak ve elde edilen eğrininin ö= aralı doğrusuna göre simetriğini alarak eğrinin tamamını elde etmek mümkündür. 0-»O halinde r-ôo olup 0 = 0 asimptodik doğrultuyu verir. Asimptod altı is e : d = Lîm rsin0 = Lim(sin*0 + 1) = 1 dir. 0_Ô 0-^0 , û COS0 cos^0 , û j = 0 - y * Ç > " = 0 du-Değişim tablosu: 0 — r' r r rf TZ 2 Ö -|- oo \ 2 oo Kutupsal Denklemlerde Eğri Çitimi 179 olup eg:rî şekil 98 de gösterilmiştir. 19. r = tğ ~2 ^ğf’lsini çiziniz. / ( — 0) = — tg-|-== —/(0) olup ö simetri eksenidir. Buna göre, incelemeyi 0 mn pozitif değerleri için yap mak kâfidir. Bu incelemeye ait eğri çizilir ve Ö— doğrusu na göre simetriği alınırsa eğrinin tamamı elde edilir. 2ıc ye eşit uzunluktaki aralığı (— tc, + tc) olarak seçersek simetriden ötürü inceleme aralığı (0, n) olur. 0 ğetidir. = 0 için r = 0 olup 0 = 0 doğrusu eğrinin kutuptaki te olup daima pozitifdir. 0-»iî halinde r->oo dur. O halde 0 = tu asimptodik doğ rultudur. Asimptod a ltı: 0 / 0 ■ \ Lim tg sin (0 — ıc) = Lim (— tg ~ sin 0 I 0-^7t ^ 0-^7î \ ^ / = Lim f — 2 sin^ = —2 e-H-Tt \ 2) dir. 180 Yüksek Matematik Problemleri Değişim tablosu : 6 0 rf 7Î T +. r 0 1 r r 0 1 /< +00 olup eğri şekil 99 da gösterilmiştir. Şekil 99 A şa ğ ıd a ku tu psal d en klem leri verilen eğ rile ri ç izin iz. 20. . 0 , 0 I* = sın y + cos y 24. 21. jr — a ----- s sin20 co s 0 25. 22. r= a cos20 a co s u 26. 23. r— ® . 0 sın y r = cosy sin 0 + cos 6 _ cos 0 cos 0 — sin C 27. r = l + tg 0 28. r = 2a tjjr 0 sin 0 8. 1. SONSUZ KÜÇÜKLER, DİFERANSİEL, EĞRİLİK a bir sonsuz küçük olduğuna göre Iga. nın mertebesini ve asal kısmını bulunuz. L im îS ^ = l a-^0 ^ olup a île tg a ayni mertebeden sonsuz JkûÇüklerdîr ve tg a nın asal kısmı a dır. 2. a bir sonsuz küçük olduğuna göre P — 2a ve asal kısmını bulunuz, 3a^ nin mertebesini Lim — == Um Lîm( 2 4 - 3 a) = 2 a-Ô ® a-»-0 ® a-^0 olup P ve a ayni mertebeden sonsuz küçüklerdir ve p nın asal kısmı 2a dır. 3. a bir sonsuz küçük olduğuna göre P —a s m a nın mertebesini ve asal kısmını bulunuz. ..asına Li m-------- = a-^0 ® olup P, a ya göre daha yüksek Lim — I P Lim —2 “ a-^0 ® ı.-_ a-»-0 “ Sina ---- 2--^ .. . ^ Lim sın a = 0 a-^0 mertebeden sonsuz küçüktür* Sina a-+-0 ® , ^ olarak p, a ya göre ikinci mertebeden bir sonsuz küçüktür ve asal kısmı o? dir. 4. a bir sonsuz küçük olduğuna göre P=*scca — cosa bir sonsuz küçük müdür? P bir sonsuz küçük ise mertebesini ve asal ktsnum bulunuz. 182 Yüksek Matematik Problemleri Lim P = Lîm (sec a — cos a) = 0 a->0 a->0 olarak 3 bîr sonsuz küçüktür. -. û Lım — a -+“0 ® - . sec a — cos a .. 1 / 1 \ Lım ----------------- --- Lım — ----------cos a a -*»0 ^ «-► 0 ® \^COsa j 1 = Lim a-^.0 a 1—cosâ sınâ sec a ^ Lîm cos a a-+0 , . sına . f. — Lım ----- sın a sec a = 0 a-^0 a olup P, a dan daha yüksek mertebeden bir sonsuz küçüktür. Di ğer taraftan : ,. P , . sînâ . . /sin aV . Lım = Lım — 5“ sec a = Lım ----- sec a = 1 a-+>0 ^ a-^0 ^ a-+»0 V ® olup P, a ya göre ikinci mertebeden bir sonsuz küçüktür ve asal kısmı a? dir. a ve P, L im — = / olacak şekilde birer sonsuz küçük ise P—a a-*-0 ^ nın a ı;e P dan daha yüksek mertebeden sonsuz küçük olduğunu gösteriniz^ Lim ^ L i m — l] == 0 a-»0 ^ a-^0 \ / olup P —- a, a ve P dan daha yüksek mertebeden bir sonsuz kü çüktür. 6. a bir sonsuz küçük ise P = ^\j2a + rini karşılaştırınız. + a** ile a nın mertebele P = Lîm V 2 « + 6a^+a« = Lim \ / T + 6 + a = 00 Lim — ^ a->0 V cP a-^0 ® a-^0 olup P, a dan daha küçük mertebeden bir sonsuz küçüktür. Aşağıdaki sonsuz küçüklerin mertebelerini karşılaştırınız. 7. 3 = 2a 4- 3a 2 , a Cevap : a ve ^ ayni mertebeden sonsuz küçük lerdir. 8. 3 = sin^ût , Cevap î Ayni mertebeden sonsuz küçüklerdir. tgâ. 183 Sonsuz Küçüklerf Diferansielt Eğrilik 9. p = 1 — cos a a Cevap : ^ dan daha yüksek mertebeden sonsuz küçüktür. 10 . {î = sin a — a (X Cevap : oc dan daha yüksek mertebeden sonsuz küçüktür. 11. p = tjra —a a Cevap: „ „ „ 12 . 0 = 1 — secâ a Cevap! „ „ „ 13. 3=rVcx7-f3a5 , a V.CYOP. Cevap: „ „ 14. y= 1-}-A- — V^l—X, X Cevap: 15, y \/a^-x^ den dy diferansielini hesaplayınız* a —X (a— x) dy = 16. ayni mertebeden sonsuz küçüklerdir. \/a^-xH -l) adx sja^ —. dx— (a^xy {a—x)\Ja}-x^ dir. cos(x — y ) - \ - x - \ - y — 0 dan dy diferansielini hesaplayınız, — sin(j: —y) (dx —■dy) -\rdx-\- dy ^ 0 [1 + sin(AT — ^)] dy — [sîn(A: — — 1] dj: = 0 ve sîn(jy-j^) 1 dx dir. ^^~sm (x^y)+ \ Aşağıdaki fonksiyonların diferansiellerini hesaplayınız» 17. y = s\n2x Cevap; 18. y = \og (a + 1 ) Cevap: dg = - ^ ^ 19. yrr. v ^ 2 Cevap : dy — ,------- 20. y — X cos A Cevap ; dy •=■ (cos x — x sin x) dx 21. y — Arctg (log x) Cevap: rfp = ;,(,„g2' + i) 22. ^ — (1 ~ cos 0)^ Cevap: dy = sin 6 d0 2 V^l — cos 0 23. y — log Arcsin ax Cevap : dy = a dx Vİ-—o2jf2 Arc sin ax 24. dy =-2 cos2x dx X dx Cevap: d/(v) = !2£££Î!L‘ * 184 Yüksek Matematik Problemleri Aşağıdaki eşitliklerdin dy diferaneiellerini hesaplayınız'. 25. ;r2 ^ y 2 = a2 26. e* — sin 27. x^y — xy^ — at+ 28. y(l + tjr jf) — sin Af = 0 Cevap i = 0 X dy ==■— dx C«v.p! = 0 Cevap: ^ , C.V.P? d y - COSAf — V secÂT J rf* Aşağıdaki eşitliklerden dr diferansiellerini hesaplayınız. q2 cos 20 Cevap: = 0 dr- 29. f2 30. r20 = a2 Cevap î d r= ^ -- 31. r — o sec*2 -2ö = 0n Cevap : dr = a sec2 32. r2 cos 6 — o2 sin 30 = 0 _ , r2 sin 0 -f- 3 a2 cos 30 Cevap: d r jr c o .B 33. ^ == ^ J0 log sec X den ds yay cft'feransielini kesaplagımz. cty _ sec x t g x dx sec X t gx olup ds = dx — \ / î + t g ^ dx — sec x dx dir. 34, X — 3 c o s 4 t, y = 3sîn4t parametrîk denklemlerinden ds yay di< feransielini hesaplayınız. ^ = — 12sin4^ at ve ^ = 12cos4/ at olup ds = \ J dir. J + ( * J * “ v'lS^sinM/ + 12*cosMi dt = \2dt Sonsuz Küçükler t Diferansitl» Eğrilik 35. 185 X = a sinH , y = a cos^t parametrik denklemlerinden ds yay d> feransielini hesaplayınız,. ^ == 3a sin^^ cos t ve ^ ~ sin t olup ds = \J(3a sin*/ cos 0^ + ( ~ 3a cos*/ sin /)* dt = V9a*sin^/ cos*/ + 9a* cos^/ sin*/ dt *= yj9a* sin*/ cos*/ dt = 3a sin / cos / dt dir. 36. r = a scc* ~2 kutupsal denkleminden ds yay diferansielini Ae- saplayınız. ds = V^r*+r'* d0 ve r' = a sec* ’y olup; = y/a* sec^ y + a* sec^ y tg* y </0 = a sec* y c/0 dır. Aşağıdaki fonksiyonlardan ds yay diferansielini hesaplayınız* 37. y — x^ Cevap: ds = V^Î4-4a:2 dx 38. y — sin X Cevap! 39. ^ = -6 ^’ + 2Î Cevap: = V^l + cos2.v dx * - 2x2 Cevap: d s = ^ \ J l + ^ d y 40. 41. + i/' Cevap: 2tH y = 0 Cevap: ds = V<J\6 + 9t2dt y dg 42. a: = 43. x — t — sin/; ^ = 1 —cos/ Cevap : ds = V^2—2 cos / c?/=2 sİd 44. X = a cos 0 ; ^ = a s i n 0 Cevap : Js = a ûf0 45. r = 2 a cos 0 Cevap r ds = 2a c/0 186 Yüksek Matematik Problemleri 46. r = 2(1 -|- cos 0) Cevap : 47. r = 3 4- 2 cos 0 Cevap 48. y ^ Arcsin log X eğrisinin ( UO) noktasındaki eğriliğini ve egr'^ lik yarı çapını bulunuz. K= ve (1 + /2 )3 /2 = 4 cos 2 : ds — v/İ^412 cos 0 R K formüllerinde : ^ »__ ve jc ^ l — logÂ: olup ;c = 1 için y' = 1, — 1 olarak : —1 ^ _ \/2 ______ (l_|_l)3/2 4 K + ^Qg — 1 R = - 2\/2 ve bulunur. 49. eğrisinin herhangibir noktasındaki eğrilik yarıçapını hesaplayınız, R _ ( l ± ^ ; „l/3 - 173- ,2/3 3^4/3^1/3 ve olarak R= „2/3 - 3^4/3^1/3 i f ! İ _ „ 2 /3 = ^ ^ _2/3 = 3 ( „ . .) V 3 3x * 'Y ^ bulunur. 50. Parametrik denklemleri : X = a c h lt ; y = ash2t olan eğrinin herhangibir noktasındaki eğriliğini hesaplayınız. dx dt 2a sh 2t , İ l = 2a ch 2^ , dt dy _ ch 2^ = t -?r, dx sh 2t vî Sonsuz Küçükler, Diferansiel, Eğrilik d y jd t dxjdt Sy dx^ 2 s\i^2t-2c\i^2 t __ 2a sh^2^ 187 l a sh^2^ olarak K = - û(sh22^ + ch2 20^^=* bulunur. 51. Parametrik denklemleri I x = Y ^» a . ^ ~T y dan eğrinin herhangibir noktasındaki eğrilik yarıçapını hesapla* yınız. dx dt a , a a( — cos t — ^ sin t) - jfC O S t - — sin t = û ' dy dt — dy dx dy' ~dt _ a a a(— sin/ + <cos /) sın/ + — cos^ = t cos ^ — sin ^ — ^ sin / — cos t ve dV _ dx^ dff'/dt dxjdt (coş t —t sin t —cos /)(—t sin t—cos t)—(—sin t —t cos <-|-sin i){t cos t —sin Q (— t sin t — cos ta (— ^ sin ^ — cos ty olup : <Py _ d:P (—/ sin^—cosO^ a(—t sin t--cos t) _ P P a(— ^ sin ^ — cos t)^ olarak J+ y^ =l + R (t cos t — sin ty (—^sin^—cos/)2 P+ î (—^sin^—cos/)^ (/2+1)3/2 ^4 __________________________________ _ ( —^sin^—cosO^ a(—^ sin^ — cos^^ ve _ 1)3/2 P bulunur. 52, r==a(1 — 2cosQJ eğrisi üzerindeki minimum eğriliği bulunuz. 188 Yüksek Matematik Problemleri r -- 2a sin 0 ; r ' = 2a cos 0 olarak ^ + 2r'2— rr’ a ^ (l--2 c o s0 )^ + 8 a ^ sin ^ 0 — a ( l — 2 c o s 0 ) 2 a c o s 0 [q2(1 - 2 COS 0)2 + 4a2 sin20p/2 (^2 _f_ ^'2)-3/l 9 — 6 cos 0 a(5 — 4cos0)^'^ bulunur. Bunun minimum değerini elde etmek üzere K' türevini hesaplarsak : K' — 6 sin 0(5 — 4 cos 0)^^^ 3/2(5 •—4 cos 0)^^^ 4 sin 0 (9 — 6 cos 0) a(5 — 4cos0)^ ~ 6 sin 0 (—4 + 2 cos 0) a(5 — 4 cos 0)^/2 bulunur ki 0 = 0 , 0 = 7: için K' = 0 olur. K' yü minimum kılan 9 değeri 0 = t: olup bu değer için : Kmin — 9a bulunur. 53. cos 26 eğrisinin herbangibir noktasındaki eğrilik yarıçapım hesaplayınız.^ o (rM-r'2)3)2 olup 2 r r ' = ~ 2a^sin20 , r r ~ — a^sin20 ve r = av^cos29 olarak asi n20 ^,2 V^cos 20 ' a^sin^29 cos 20 bulunur. Diğer taraftan r r ' = — a^ sin 29 ifadesinden bir daha türev alarak : rP + = —2(P cos 20 r P — — 2 iP cos 20 g‘^sin^2Ö cos 20 Sonsuz Küçükler, Diferansîel, Eğrilik + r^ = d} cos 20 189 sin^20 _ d^ cos 20 ~ cos 20 2 oQ I 2 a 2 s ın 2 2 0 « 2 n û 1 o ^ s ın ^ 2 0 r r » = cxos 20 -\--------^ — h, 2axos 20H--------cos 20 cos 20 5 t o '2 r*+2r ‘ 3a2 cos 20 ve /_ a ^ \3 /2 R - \^cos 20 ) 3g^ 20 3 \/cos 20 3r COS bulunur. 54. y = 2x — 1 esrisinin (0, —1 ) noktasındaki eğriliğini hesaplayınız. Cevap : 0 55. y = lojr X eğrisinin herhanîbir noktasındaki eğrilik yarıçapını hesaplayınız. C.V.P : 56. X y = lojr X eğrisine ait minimum eğrilik yarıçapını bulunuz. Cevap : 57. X = o (0 — sin 0) , y = a(l — cos 0) eğrisinin herhansfibir noktasındaki eğ rilik yarıçapını bulunuz. Cevap ; — 4a sin ~ 58. 12 eğrisi üzerindeki en büyük eğriliği hesaplayınız. xy A- y"^ Cevap: ^ 59. y = a Arccos - —- ± ^2ax—x^ eğrisinin at = -^ apsîsli noktasındaki eğrilik a 2. yarıçapını bulunuz. Cevap : 2a 60. y = sin 3x eğrisinin orijindeki eğrilik, yarıçapını bulunuz. Cevap ; 61 . y = a e ^ eğrisinin x = + a apsisti noktalarındaki eğrilik yarıçaplarının çar pımının aê -f~ e eşit olduğunu gösteriniz. 19Û Yüksek Matematik Problemleri 62. r = o(2 cos 0 — 1 ) eğrisinin herhanîbir noktasındaki eğrilik yarıçapını bü* lunuz. „ o (5 -4 cos 6)®'^ Cevap ; --Q -z r 9 — 6 cos 0 63. = 2 cos 20 lemniskat eğrisinin herhanîbir noktasındaki eğrilik yarıça pını bulunuz. Cevap ; 2a2 3r 64. Parametrik denklemleri x — a cos^t, y — a sinî olan eğrinin berbangîbir noktasındaki eğrilik yarıçapın! hesaplayınız. Cevap ; 3n cos t sin t 65. 2 x y -{■ X y = 4 eğrisinin (1,1) noktasındaki eğrilik dairesinin denklemini bulunuz. c;^-ı-ı D = (1 + y 'T— ^ Eğrilik yan çapı = R ve eğrilik merkezinin koordinatları; a —x — 1 +y"^ > P=y olup 1+ 2 y -{■ 2 x g '+ \ y ' = d ve x = l, y = \ için y ' = — 1; = 2; ve 4 4y' + 2A:y' + y’ = 0 olup AT= 1, y = 1 için y ' = y K 2 ’ “ 2 ’ 2 bulunur. Bunlara göre eğrilik dairesinin deklemi: 2 dir. 66. Parametrik denklemleri: X = a (cos cp + <p sin (p) , y = a (sin <p — sin(p ve - ^ - = / = tg<p. dy !d^ __ cos^cp _ 1 dxld(^ acpcos(p acpcos^ dir. O halde: 1 + = 1 + tg2<p cos^cp o larak; = a cos cp a = û(cos (p + <psin (p) — a<p cos^’cp 0 = a(sin cp — cpcos 9) -f COS'^9 czsın 9 09 cos^9 bulunur. Bu şekilde elde edilen a = aco s9 , P = a sin9 para metrik denklemlerinden 9 parametresi yok edilerek: a2 + p2 = û2 şeklinde istenilen kartezyen denklem bulunmuş olur. 67. y^= ^2 p x parabolünün mebsutunun denklemini bulunuz, 2 </2 = 2;>Ar den 2yy ^ 2p , y = ~ y' ^ ' olup: i/ İt . ■ , - iL e± ü - ! - , •v + ^ + P = 3a:+ /> P 192 Yüksek Matematik Problemleri 1+ 4 />2 y y «2 bulunur. Bunlara göre mebsut eğrisinin parametrik denklemleri: d = 3 x p X 3 — dir. Bunlardan x v t y yokedilerek: kartezyen denklemi bulunur. Para bol ve mebsut eğrisi Şekil 100 de ayni eksen takımı üzerinde gösteril miştir. ^8. x^ ip ^ + *^ = / elipsinin mebsutunun denklemini bulunuz. 6V + = ---- ^ ay a^^0 - JC a y , 2y^x + 2cP yy = 0 , ^ olarak : y g + ym'^ ) ^mmmJT a W ^ .a V ) ' xy 6* ay a = a: 62 a = ye 62 0^62 _ (g2 ~ 62)jç3 ^ û"62 b*x* 1+^2 a 'r = aV —a y — aV <^y ] Sonsuz Küçükler, Diferansîel, eğrilik Q_ — aV ^ 193 (a^— h^)g^ b^ "■ dir. Bunlara göre mebsutun parametrîk denklemleri: a = (q2 - 3 - (û 2 -6 V 6^ dir. Bunlardan x v t y yokedilîrse mebsutun; (û(Z)2/3H-(63)2/3 = ( a 2 - 62)2/3 şeklîndeki kartezyen denklemi elde edilir. 69. Parametrîk denklemleri i X — 2 cos t + cos 2t y ^ 2 sin t + sin 2t olan eğrinin mebsutunun parametrik denklemlerini bulunuz, ^ — 2 sînlf — 2 sin 2t i ~ = 2 cos t + 2 cos 2f ve cos 1 cos 2t sin t + 5İn 2t iy. dx dy ^ dt 3 -f- 3 <:ös<‘ (sînY + sin 2 0 ^ 1 + cos f 3 2 (sin t + sin 2t)^ d^y _ dx^ olarak a — X -- y ( l -\-y^) 3 -y formüllerinden; a = — (2 cos ^-r-cos 2^) , 3= (2 sin t — sin 2t) denklemleri elde edilir. 70. y = sin X esrisinin x = Cevap : ^;r — 71 . apsisli noktasındaki eğrilik dairesini belirtiniz. ^2 = 1 y = e * eğrisinin x = 0 apsisli noktasındaki eğrilik dairesini bulunuz. Cevap: (.r + 2)2 + (;c - 3)2 = 8 194 Yüksek Matematik Problemleri 72. y =. — 6x 4" 10 eğrisinin (3, 1) noktasındaki eğrilik merkezinin koordinatla rını bulunuz. Cevap: 73. (3 ,|) y — — eğrisinin a: = 1 apsişli noktasındaki eğrilik dairesini belirtiniz. Cevap : {x — 2)2 -f- («/ — 2)2 = 2 74. eğrisinin y — — 1 ordinatlı noktasındaki eğrilik dairesini be lirtiniz. Cevap î 75. x 'i - i - (^ y + j J ' = j Parametrik denklemleri x = 4cost , kartezyen denklemini belirtiniz. C .„ „ ^ = 2;îînf olan elipsin mebsutunun ( |f + ( |) » = . 76. Parametrik denklemleri ;r = a (0 — si n 0), ı/= a (1 —• cos 0) olan eğrinin mebsutunun denklemini bulunuz. Cevap: a = a (0 + sin 0), p = — a ( 1 — cos 0) 77. Parametrik denklemleri a: = a ch i, 17 = 6 sh f olan eğrinin mebsutunun kartezyen denklemini bulunuz. Cevap: 78. 32,3= ı Parametrik denklemleri x = k log cotg ~ — k cos/, y = ks i n t olan eğriA nin mebsutunun kartezyen denklemini bulunuz. Cevap: y = -j +e^) 9. 1. Lîm x-^0 1 — cos X \Jcos 2x a:fe* — ^ 1) BELİRSİZ ŞEKİLLER limitini hesaplayınız^ belirsiz şeklinde olup L'höpitale kuralının uygulanması ile: sin X \]cos 2x + cos X sin 2x yjcos 2 a- , . 1 — cos X v/cos 2x T. L ım -------- --------------- = Lım x^Q x (e ’‘— l) x^0 e* — l + A c e * , . sin a: c o s 2a: + cos x sin 2a: ycos 2a: (a: e* + e* — 1) sin 3x = Lim ;r->0 yjcos 2x (x e* + e* — 1) elde edilir ki bu da -g- belirsiz şeklinde olduğundan L’hopitalo kuralının tekrar uygulanması ile: Lim 3 — sin 2 a: (a: e* \/cos 2 a: cos 3 a: “■1) “h Vcos 2a: (2 e* + 3 e*) bulunur. -. sin 3x-{-4 sin^ x — 3 log ( î + x ) , ------------------- —^ --------- limitim hesaplayınız, (e ^ -1 )s ın x ^ ^ 0 belirsiz şeklinde olup L’höpitale kuralının uygulanması ile: . o I >1 . 3 Ol \ \ 3 c o s 3 .Y + 1 2 s ın 2 A :c o s A :— T-j— . . sın3A:+4sınÂ:--31og(l+A:) l+ x Lım---------- -------------------------^= Lim---------------------- yr--------(e —1) sın a: e*sınA:+{e —1) cosa: elde edilir ki bu da belirsiz şeklinde olduğundan L’höpitale 196 Yüksek Matematik Problemleri kuralının tekrar uygulanması ile : — 9 sin Sac+ 24 sin x — 12 sin^ x = Lim 2e* cos a: + sin JT (1 bulunur. 3, g< Ârctg X L im —z----------- limitini hesaplamnız, J -c o sx Q belirsiz şeklinde olup L*höpitale kuralının uygulanması île gArctj X g ,x ___Ârctj: X Lim?^---- ------- = Lim x-^0 1 — cos X = elde edilir ki bu da .. sın X e*(l + a:^) — * Lim /I T ~T\ • ----;,_^0 (l+v^^)sınA? belirsiz şeklinde olduğundan L*höpîtale kuralının tekrar uygulanması ile : pArcty X e._eArci» , Lim 1 — COS X 2 at e* + (1 + a:*) e* = Lim l+ x^ =--0 2a: sin ac+ (1 + x^) cos x bulunur. X e'* ~~~x Lim ^--------^ limitini hesaplayınız. ;p^(7İ—"COSnx belirsiz şeklinde olup L’höpîtaîe kuralınin uygulanması ile: nA:e"* + e"* — 1 Lim... = Lim -------- :----------n sın n x X o l —costia: ^_ô elde edilir ki bu da -g- belirsiz şeklinde olduğundan L’höpitale kuralının tekrar uygulanması ile : Belirsiz Şekiller Lim xe^ 197 . 2n c"*+n*jre"* Lim bulunur 5. L>ım x-*0 1 — cos (a Ar esin x ) , , ,— 7"5—;— ------- limitini hescıplnuınızt log(1-V x^) ^ ^ 0 ö" belirsiz şeklinde olup L’höpitale kuralının uygulanması İle: a sin (q Aresin x) 1 — cos(a Aresin ;»r) >J\—x^ Lim ------ î----;------- 57------ = Lim -------- -7^----2x a:~^0 “İ~ ^ ) jr->-0 , . a ( 1 sin (a Aresin x) = Lim -------------- , ■■:—=--------•İXİV JT-+-0 elde edilir ki bu da -g- belirsiz şeklinde olduğundan L'höpitale kuralının tekrar uygulanması ile: I 1 — eos(a Aresin x) _ .!IS “ " lo g ( l+ ; r 2 ) 2ax sin (a Aresin x) Lim x->0 2\JT^. (1 4~ cos (g Aresin a:) 2x‘ v/î= : = Lim A'-Ô — ~ 2aM \ l l —x^ sin (a Aresin x) + a^(l + x^) cos (a Aresin x) 2 — 4x^ £1 T bulunur. sA ^ “h sin X — 2x limitini hesaplayınız. x (c h x-{- cos X — 2) belirsiz şeklinde olup L’hopitale kuralının uygulanması ile; 198 Yüksek Matematik Problemleri ,. sh + sin a: — 2jc ,. Lım -7-1— ^ ------------ = Lım _^0 X (ch X -h cos X — 2) elde edilir ki bu da ch ch X + cos x — 2 + cos x — 2-\- j:(sh x — sin x) belirsiz şeklinde olduğundan, pay ve paydanın her ikisi birden sıfır, olmayana kadar, L’höpitale kura lının uygulanmasına devam edilirse: Lim ^ ^ ^ X ~ 2x __ x — 2) sın X sh 2 sh x —2 sin A:-t-;c(ch x - cosx) _ _______ ch a: — cos X_______ ^ AT+;r(sh Ac+sin^:) ,. sh a: + sin a: = Lım ^-_>0 4 sh a:+ 4 sin Ac+A:(ch ac+ — Lim cosa :) ch Ac + cos X ^ Ac-f-A:(sh a:— sinA:) bulunur. 7. ■COS X i4rcfg Lim —y ^ limitini hesaplanınız, x-*0 eUog(1 + x ) ^ ^ \T^ -g- belirsiz şeklindedir; Diğer taraftan : Arctg y / j — COSAT 1 - f COSa: 2 sin^ = Arctg Arctg t? 2 İ 2 c o s 2 -| s olarak yerine konur ve L’höpitale kuralı uygulanırsa : Arctg — c o sa : 1 - f- cos a: eM og(l + ^) 32eMog(l+;t) !î" = Lim a:-+-0 2 Je'log(l+Ar) + elde edilir. \+ x 1 5 Belirsiz Şekiller 1/2 sin (logx) 8. 199 Lim x-^1 limitini hesaplayınız. x - l belirsiz şeklinde olup L'hopitale kuralı uygulanırsa: 1/2 sin(log j:) — log ^sin Y Lim x-^\ x -\ - Lim x-^l cos(logjr) — Y log^sin-YJcj İt COS t T 2 1/2 rc . İt s ı n y a: 2 4 co tg -2 -^ = Lim YCOs(logAf)— Y 1/2 Ilog :)1 = Lim I — cos (log a — Lim ~ x-t‘\ ^ J x-*^l ^ COtg X [‘o ? (s in |-A :)j 1/2^ I, Y ^ X cotg = 1 — Lim ^ x-*l 4 1/2 [ lo ? ( « n Y ^ ) ] elde edilir. Bu limit ise 0/0 belirsiz şeklinde olup bunu da L’höpitale kuralı yardımı ile hesaplarsak: İC 2 TC — y cosec^ y X i. cotg y JC Lim x-^l 1/2 [lo?(sîn Y -^ )] = Lim x-*^l L ^ C O tg y ^ [log (sin 1. ^ C O t g y AT Lim [log (sin ocj]''' = Lîm AT-^1 2 cosec^ y a: 2 ve 200 Yûkstk Matematik Problemleri * ^ cotgr Y ^ Lim W s/2 [*0î(sln Y *)] elde edilir ki yerine konursa: sin (losr Af) — I logr ^sin y jrj Lim ;r-^l Af 1/2 l - f —1 n/ 2 bulunur. 9. Lim x-^rt ^ limitini hesaplagtmz. — şeklinde olup L’höpitale kuralı uygulanırsa: oo 1 Lim ^ ** Lim ^Y elde edilir ki bu da y 2 cos* Y — ~—“ 4sec* — y sec^ 2 ^ belirsiz şeklinde olduğundan L’höpitale kuralının tekrar uygulanması ile: X X 1 / ^ — 2 sin -;r- cos Lim İ Q g ( x - ^ ) „ L i m -----------1---------- 0 tg -fbulunur. /o g (^ -f) 10. Lim sec X ^ limitini hesaplayınız» şeklinde olup L*höpitale kuralı uygulanırsa: Belirsiz Şekiller % ! « ,( ,- I ) Lim üm sec X i: 201 .. co s^ X Lım - j —------ Y------- ^ see X tg X ^^2 2 elde edilir ki bu da belirsiz şeklinde olduğundan L*h6pitale kuralının tekrar uygulanması ile : Lim ---- ^ 75 .. Lım ^ sec AT — 2 sin Arcos x ^ -- 0 , cos Ar+sînAT bulunur. 11. Lim log(2 + 3e*) lo g fl + “ 1 Umitihi hesaplayınız. X->00 \ ^ 1 0X şeklinde olup : Lim lo g (2 + 3e*).Iosr f l + — ] = Lim \ X—►oo ^ j (2 ± 3 e ‘) X—*^00 ^ yazılırsa Lim log^l + =» loge 1 vc L to ! M e + â î 3 . L to Jf->00 ^ JC-+-00 - Um K - 1 a:-*-oo 3e* olarak: Lim lojr (2 + 3e') log: f l 4- — ] = Af-♦‘00 \ X j bulunur. 12. Lim fa* — x^) tg ^ x-â limitini hesaplayınız Q X ^ şeklinde olup: Lim (a* — AT*) tg Lim cotg /'j ^ 1 V \ t: a: 2i ^ ) 202 Yüksek Matematik Problemleri yazılarak şekline sokulmuş olur. Bu limite de L’hopitale ku ralını uygularsak Lim (a^ — x^) tg ^ = Lim------ -—^ , TZX z>a »,_ x-*a x -*-a cosec^ 7T JLa 2a Aax sin^ = Lim ızx % TC bulunur. 13. Lim(argsh x — log x) limitini hesaplayınız» ;t-ôo oo —c» belirsiz şeklindedir. argsh;r — Iog(A: + • Lim (argsh x — log .y) = Lim [log(A: + v/-y^4~1) ~ îogT ,V->00 L nnlog(l + y / l + j = lo g 2 bulunur. 14. L im ,f- , ' x ^ lllo g x X~~Y^ , . r yazılarak ifade 1 ['•og j: hesaplayınız» 11 j: — i j ~ x — l — log (:«r — 1) İogAr t. belirsiz şeklîne sokulmuş olur. Buna da L’hö- pitale kuralı uygulanırsa : ı - i Lîm[î— --------- = Lim ;r-H.iL*ogA: ;y - 1 J bulunur. X x -*l x —l S 1 + 1 x -l = Lim x-^l X — 1 -i- X log a: + \ogx 1 + log a: 2 Belirsiz Şekiller sın X 15. X — sin X Lim A - ] X-^,Q\ ı nx j limitini hesapladınız^ L îm f-r^ f = L îm [l+ -T ^-lT L J x-ô[s\nxj L i m f l + f - T ^ ----L l s^" ^ /J = e 16, L im I-----[- / I limitini hesaplayınız. AT-ÔO Lim ( -----[- 1 a:-►00 17. = Lim ^£-►00 1 + -XW\ ^ L im (1 -] -x y limitini hesaplayınız, x-*‘0 — Lim (1 -)- x Y = Lim [c(1 -L -f* a:)* I = x-*^Q a:->0 q ( cos-----fX 18, m . a sin — m) belirsiz şeklinde ( y = {cos \ . limitini hesaplayınız, bulunduğuna göre : a • a Y - - + ^ s ın --' m m] den log y = m log (cos — + ^sin — m V ^ yazılarak 0X şekline ve : log i? log ( cos — + ;c sin — \ m m m — g2 203 204 Yüksek Matematik Problemleri yazılarak şekline dönüştürülmüş olur. Buna da L’höpitale kuralını uygulayarak: Lim logy =* Lim m -^ 0 0 1 [ , a —a , a —a ------------( —sin — • —5- -\-x cos — • —5, çîn , --a V \ m m COS----- lh y sin m m m-»*oo m; a ( — sin — 4- a: cos ~ I Lim — ^ — ax cos — + a: sin ~ m m ve Lim log y ^ ax 19. Lim ( I x-*0 tg^ den de Lim y = e"' bulunur. limitini hesaplayınız, 1®® belirsiz şeklinde olup: '/ = (! + den logri? = ^ Jo? (1 + yazılarak -q- şekline varılmış olur. Buna da L’höpitale kuralı uygulanırsa : Lim logy -= Lim ^ -^ 0 A -^0 2 a: 2 tgy/jT 0 H-tgV-^) \/x) , Lim 2 v/ a: (1 + — 2--------------- tgv'j; ve Lim log = -y den de Lim y == = vê bulunur. 1 Belirsiz Şekiller 20, Lim (2 — x ) x-^l 205 İCAT 2 litnitini hesaplayınız, 1°^ belirsiz şeklinde olup : ı:x = (2 - a:) * ^ den logry = tg y lo?(2 — x) = cotg yazılarak ö" belirsiz şekline varılmış olur. Bu ifadeye de L*hö- pitale kuralını uygulayarak: Limlogi? = Um — AT-^l a:-»-! -1 2“ sim 2 2 —X 2 — 75 ------ Um -75— t = — T^ll> Ar-^-l ^ •RX sim ve Lîmlog v = — den de Limy — e^ bulunur. T, 21, Lim ( t g x l i m i t i n i hesaplayınız. belirsiz şeklinde olup: 9 = (t? ^)** ** den yazılarak lo? i? = tg 2r.log tg a: = şekline varılmış olur. Buna da L’höpitale kuralı uygulanırsa: T. 1 T« lo g tg jt , , cosôftgA: Um logi, = L.m^ = Lim - z / TC ^ -4 4 sin^ 2x Lîm — = Lîm (— sin 2^:) =* ’- 1 ^ sın JtX ^ *-^4 *-^4 ve Limlogjr = — 1 den de limı^ — e“* = — elde edilir. 206 Yüksek Matematik Problemleri 23, ( o s 2— L im ic x-^co V •^ / limitini hesaplayınız» 1®® belirsiz şeklinde olup : 2 = ( cos 2— V ^ den log 1/ = 2 log cos — = ------j yazılarak -g- belirsiz şekline sokulmuş olur, ,Buna da L’hopitale kuralını uygularsak : o2 log cos — Lim log y == Lim x-âo x-*'X> sın X cos = Lim--------- Y Lim —Ac.tg ' = Li m— 2 - ^ Af-^00 = -2 elde edilir ve Lim log ly = — 2 den de Lim y = e 24 Lim(log x-ê bulunur. limitini hesaplayınız, 1®® belirsiz şeklinde olup : y = (log den log y ~ log(Ac — e) log(log a:) yazılarak 0X şekline ve : _ log(.r logy = e) log(logx) oo yazılarak da — şekline sokulmuş olur. Bu ifadeye de L’höpitale kuralının U3^gulanması ile : Belirsiz Şekiller 207 Lim log y = Lim — ^ = Lim ----— r x-*ê x-*’€___ *_____ x-ê_____ ^ X logf X İ0g(İ0g x) \og^(\ogx) Lim ~ X — e Lim — ^Qg ^ log^(log^)+İQg^(tog^)+2 log x log(log x) x-*-e = 0 bulunarak lim log y — e° = 1 elde edilir 25. Lim (1 r o.t^ x)"‘ limitini hesaplayınız» .v->ö belirsiz şeklinde olup : J tg Af X Lim (1 öt tg ^ == Lim [(1 + a tg xY .Y -0 bulunur. Ayni limit ^ - (1 + a tg ^ den log y = Io g (l+ a tg x) yazılıp L'hopitale kuralının uygulanması ile : T- ı T- ve Lim log y = a dan 26. û(l+ tg^jr) 1+ûtgj: ,. a(l -}■tg^x) Lim ^ = e“ olarak da bulunabilir. _ı / 'V j Y Limi e + -j ) limitini hesaplayınız, .v->oo\ I 0”0 şeklinde olup : y = den log^ = A:log/ê'^*+ yazılarak 0X 208 Yüksek Matematik Problemleri şekline ve : l« î (.■'■+i ) şeklinde yazılarak ta şekline sokulmuş ölür. Bu ifadeye de L’höpitale kuralı uygulanırsa: Lim xôo Lim log y * Lim AT-ÔO X->00 ve Lim logy — 2 den de Lîm^^ =* c* bulunur. 27. Lim (lo^x)^ limitini hesaplayınız. x-*e şeklînde olup: y = (Iog*ar)l-^®** den lo g y = yazılarak ~ belirsiz şekline varılmış olur. Bu ifadeye de L’hâ- pitale kuralı uygulanırsa: 21og^. “ t t « log*jc Limlogj^ = Lim------- j ---x^9 ----- - ve Lim logy « — 2 28. Lim ( c h x - - 1 0* den de fLim — î---2 ;r-.-e iogx -2 Lim y « c” * bulunur. limitini hesaplayınız, belirsiz şeklinde olup: y = (ch^: — !)•*** den logy = sh;clog(chA:—1 ) =* — sh X Belirsiz Şekiller 209 yazılarak L*höpitale kuraimm uygrulanması ile : sh Lîmılogri^ = Lim sh’jc Lim - r ------ ry - ^ s\^ x Lim ve Lim log y = 0 dan 29. Lim (3-j- 2 ir . . 3 sh ch X ^ Lim -=---- ^ ,* • =» 0 ^^^0 1 2 ch;c 3 sh^jr ch x sh x ^ 2 sh a: ch X Lim y = c®= 1 bulunur. limitini hesaplayınız» belirsiz şeklinde o lu p : ir = (3 + 2c‘« ^ T "^ log den: - (7c - 2;t) Iog(3 + 2 e'» ') - (ir - 2A)log - (:î - 2A:)[log(3 '(3c"‘»'+ 2 ) + 2) + log e‘»*] = (it - 2x) log(3 e-*»' + 2) + ( n - 2x) log = (it - 2x) log(3 + 2) + (it - 2x) tg a: yazılarak buradan: Lim log y == Lim [(it — 2x) Iog(3 n 2) + (tc~ 2of)tg x] Lim (it — 2x) tg x = Lim ^ ^ t: ^^2 2 Lim — ^ ve Lim log y ^ 2 den Lim y ^ ~ sın X ^^ ^ cosa: ^ __ 2 e^ bulunur. Aşağıdaki lim itle ri hesaplayınız> 30. Lim r —a x-â sın s: —sın a Cevsp: stca 210 Yüksek Matematik Problemleri 31. Lim .V-+-0 Cevap : 1 ^ 32. Lim A rci** x-^0 X Cevap ! 1 33. , . Af—sin Af AT- 0 Cevap : İR o 34. . . 1 — COS X Lim------ ------ Cevap : 35. ;ç_+.b sin 2x — 2 sin Af 3a: — 3 sin X 36. 1 . sin Af3 Lim . sın3 Af 37. Lim 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 46. 47. 48. 49. 50. 1 2 Cevap : JL 4 Cevap : 1 3 + 5jr« 2;c+ ; c3+3.v4 L im Y * -l® ■ Af-^16 \ x - 2 Lim (a:2 — 1000 Af) Af-*'00 L ı m - f — ----x -* l - 1 Lim Af cotg Af Af-^0 Cevap : J 3 Cevap : 00 Cevap : 00 Cevap : 5 4 Cevap : 1 Lim r ~ ~ ------- ^ 1 Af— ►00 L"^ 1 T" 1J Cevap : 2 Lim ' * ± 1 - 30 »-*■5 v/* - 1 - 2 Cevap : 44 Lim X Cevap : P .İD A f-*-00 45. 1 Lim (sec ■ £■*’ Af — tg A f) , . 2tgx--tg2x ;r(l~cos3;r) T• — sin at)2 ,. Cevap î 0 Cevab : — Cevap : sin 3at + 4 sinÂr — 3 lojr (1 4* x) Cevap : 0 , . e* + e~* — sin2 x — 2 C ev.p: , Arctg X — Arcsin x ^0 - c o .; r ) Cevap : — 1 İ:ro Belirsiz şekiller 51. Lim ■ A—*-0 52. Lim A-►O 53. 54. 211 Cevap î 1 e* + c-* —a:2—2 sin2 Lim ' .A->0 »2 cos 2x — 1 Lim 71 ,Y-*- — Cevap î — C ev.p: 1 -j Cevap : — 2 \/3 6 e3«~ 55. Lim ■ sin 2x ^-► 0 56. Lim " .Y->0 2x 57. Lim • { 71 — 3* Cevap : 3 Cevap : log - 1 1 Cevap î 0 0 58. Lim ,Y-vO X -2x — sın AT Cevap : 2 1 59. 60. Cevap : — ~ Lim ■ .v->^ Lim X — Arcsin x x-^0 s in 3 sin X 61. — 62. cotg 5a: Lim cotg . X ,_ 0 * 63. Lim 64. 65. 66 . 67. X Cevap : Cevap : 0 J. loy (logr x) Lim —i------ Cevap : 0 ;r-=o 'o*"' Lim .r->oo -1 Cevap : -İ- 1 — lojf Af2 Af->0 C .v .p : X lojr Lim (il — 2.v) t j TC Cevap : 0 X Lim sin 3a: cosec 5a: ;c->0 Cevap : 2 Cevap ; 4 212 68. Yüksek Matematik Problemleri Lim «'“•* lojr h jx Cevap : 0 Cevap : 0 Cevap : 0 X - * ‘0O 69. Lim r-^4-00 70. / I 71. X ^ lo g * ; 72. L îm (^ — 73. Lim (tg *—1)^1 — tg 74. 75. x^ 0\ X 78. 79. 80. 81. 82. 83. Cevap : 1 ' 1 Cevap ; Cevap : 1 76. 77. Cevap : - 1 Cevap : v r ^ 3 /sin x\x2 , . 3 Cevap : Lim sh X lojr x «-►0+ Lim (sh x)tf * x->0+ Lim * x-*-0 Lim (eotg x)* x-*-0 1 Lim x^‘~‘* x->l Lim €” t»*sec2x Cevap : a Lfm (sin xYt* Cevap : 1 Cevap ,• 1 Cevap : 1 Cevap : 1 Cevap : Cevap î e 0 X ’- > 0 84. 85. 86. 87. 88. ( 1 V®»« îır A -ı) Lim {«• + *)*" x-*-oo Lim (cos x)«®*«« » x-®-0 Lim (1 - f »in x-M) Lim X* x-^0 Cevap : 1 Cevap î e Cevap : 1 Cevap î e Cevap-: 1 10. BELİRSİZ İNTEGRAL i. I"^2x‘‘ -{■ 3x ~ ^ j dx integralim hesaplagımz. J ’2x^+3x -i-- - + - ^ y x = J " 2x^dx+ J s x d x + j ^ + j ^ d x ~ ^ 2. I j " j x d x - \ - + 4 y x~^dx (x^ -T 3) X dx integralini hesaplayınız, I i- 3) x d x == j (jc^ + 3x) dx = veya x"^ -f- 3 ^ x ‘^ + C u değişken dönüştürmesi jâpılırsa 2x d x ^ du ^ X dx ^ ^ du olarak j \x '^ + 3) = y y « rfu = i u» + C ^ (x’+ 3 y + C bulunur. 3. j*(ax^ + 2bx)*(ax + b) dx integralini hesaplayınız, ax^ + 2^-^ ^ u değişken dönüştürmesi yapılırsa (2ax “T 2b) dx — du ve (a;»: '\-b )d x ^ ^ j (aJT^ + 2bxY (ax + b)dx ^ ^ J 10 bulunur. olarak : «^ + C (ax‘^ i ‘ 2bxY~{-C 214 Yüksek Matematik Problemleri 4. integralini hesaplayınız, ax^ + 2bx = u değişken dönüştürmesi yapılırsa (2ax + 2b) dx = du ve (ax -\-b)dx ^ — du olarak : /•4 ( ° 5 7 ax^ -\-2bx ^ 2 /* ^ = 2 1 o ? « + C J u * ' -=2\og{ax'^ + 2bx) + C =^\og{ax'^ + 2bxy + C bulunur. 5. J(e"^* bp e*^"‘ dx integralini hesaplayınız. e«* e« djc ^ 6 = a değişken dönüştürmesi yapılırsa a e“Vjc = da ve a ^da olarak : j* (e®* + 6)^ e®*djc — J " a* du = ^ a^ + C ^ (e®"" + 6)^ + C bulunu? 6. / 7İ ^ T t j + ^ integralini hesaplagınız. tgr(aAr + 6) + C — a değişken dönüştürmesi yapılırsa sec^ (ax 4" a dAc ~ da ve sec^ (ax -]^b) dx ^ — du olarak : a f sec^ (ax + 6) djf 1 f du 1 . . ^ y . ; ( „ + t ) + c - T y ı r - T ‘° ^ " + ' ^ log[tgf(uj: + 6) + C] + K bulunur. 7, ^cos(2x^ 3x) (4x-\-3) dx integralini hesaplayınız, 2x^-\-Zx=u değişken dönüştürmesi yapılırsa (4x+3)dx=du olarak : Belirsiz integral 215 J cos(2a:^+3:i:) (4x-f3)</A:=j * cos udu = sin u + C = sin {2x^ + 3jc) + C bulunur. 8. j*\Jsin X cos^x dx integralini hesaplayınız, I \Jsm X cos^x dx I \/s\n x (1 — sinÂr) cos x dx olup sİha: ^ li değmişken dönüştürmesi yapılırsa c o sx d x = du el de edilerek : I v/sin X cos^x dx -= j — u^)du — j — u^'^) du = y u’/’ .- sin^% — y“ sin’^Âf + C = sin^/Â:(7 — 3sinâ:) + C bulunur. 9. js e c ^ 2 x d x integralini hesaplayınız, J sqc^2x dx = j sec‘‘2AT (sec^2x dx) -= J (1 tg^2xy sec^ 2 a: dx = J{1 + 2 tg^2x r tg^2Af) stc^2x dx olup tg'İA ve scc^2a dx u değişken dönüştürmesi yapılırsa 2 s tc ^ 2 x dx ^ du du olarak : I s tc^ 2xdx ^ I "j~2u^~{-u^)du y tjr 2^ + y tg^2x + bulunur. tg^2AT 4- C 216 10. Yüksek Matematik Problemleri J c o s ^ x d x întegralini hesaplayınız. cosÂc =* y (1 + cos 2x) olup: y* cosâ: = i y " ( l + cos 2x) dx y a: + -^ sin 2a: + C dir. 11. J*\Jl-^'Cos x d x integraiini hesaplayınız, X 1 + cos a: = 2 cos^ y / v/l j cos x d x + olup : \J2 cos y </a: = 2 \/2 sin + C y dir. 12, f J \/9-4x* întegralini hesaplayınız. 2x — u değişken dönüştürmesi yapılırsa :~ y C 2 d x ^ du o k ra k : dx / \ C 2y - da 1 - . u , ^ y 3 + «= 1 . 2 a: , ^ y arcsın y + C bulunur. 13. f dA: J \İ4 x -x ^ întegralini hesaplayınız. y jA x — a:* == \^ 4 — ( a: — 2 )^ olup : -= J ^2f = Jf \JAx—x^ = = Jf ^/4-(x— dir. = A r c s i n ^ ^ 2 + C ^ ve Belirsiz integral 14. / 4- 5 2^2 217 hesaplayınız, dx J 2x^6x + 5 /' f 2 c/at 2 c/a: 4a:2+ 12 jc + 10 * J/ {2x + S y + l olup 2;c + 3 = ız değişken dönüştürmesi olarak • dx 2x^ + 6x + 5 /: yapılırsa 2 d x ^ du du = arctg u f C = arctg(2A: + 3) + C «2+1 / bulunur. f 15. integraiîni hesaplayınız, f (x + \ ) d x ^ f (2jt — 4) dx 2 J x^ — 4a: + 8 J x^—4a:+ 8 = i / dx J a:^—4a:+ 8 log(x^ - 4^ 4- 8) + 3 Y log 16. « f + 4 - 4x + 8) + -|- arctg ^ integralini hesaplayınız. f (2-x)dx j4x^ + 4 x - 3 1 f 8J (8A: + 4)rfA: 5 f dx 4x^ 4x 3~^ 4x^ + 4 x - 3 + — 2f dx l){2;r+ 3) -|-Io g (4 :t^ + 4 A ;-3 ) + ^ l o g 17. / (2x + 3 )d x . ^ ~9 x^~l2x-{-8' 2;t — 1 , „ 2;t + 3 , , hesaplayınız. f (2x + 3)dx _ J _ r (18x— 12)dx 13 / djr J 9x‘ — \2 x+ 8 9 j 9a:2— 12;c+8 + Y J ( 3 x - 2) '+ 4 ylog(9^^—12jc+ 8 ) 4 - ^ arctg— — +C 218 18, Yüksek Matematik Problemleri f- — iniegralini hesaplayınız. J s /- x ^ + 2 x + 3 J \/-~x>+2xW J ( - 2 a: + 2) + 3 dx \/- x^+ 2x+ 3 n - 2 x + 2)dx , r J \/- x ^ + 2 x + 3 dx J \j4-(x-iy . x - l == — 2 \ / —;c^+2j:4-3 4-3arcsin—^----^■C 19. (x r ^ ^+ 3 )d x j V 5 = 4xf integralini hesaplayınız. f J \İ5—4x—x^ _ =r. — f J \]S—Ax—x^ 4_ = ^-\j5-4x-x^+ J == - v^5 ~4,r 20 . I f ___ J \/5 —4x—x'^ dx )İ9 -{x + 2 f x^ + afcsin '" i" - + C hesaplayınız. cos^x tg x = u değişken dönüştürmesi yapılırsa -^~-= ^du olarak: COS X = U+ -y + c == tg a: + y tgf3 4 C bulunur. 21. cos^xdx . , T. . 7 7 integralini hesaplayınız. sın X r cos^x dx sin X I Ç (1 — sin^jr)^ COS x dx sın X f yazılıp sin ;r==ız değişken dönüştürmesi yapılırsa co sx d x — du olarak : Belirsiz integral / ^xdx cos^x dx __ If ( l —s\n^xycosxdx sin X J sın X = f 219 / ' ( l —u^) du f u - 2u -f u^] du - log u - u^ + Y u' + C log sin a: + -^ sin‘‘A: — sin^Jt: 4- C bulunur. 22. j'sin^3x dx integralini hesaplayınız, j sin^S.r dx —Jsin* 3x sin 3,r dx J{1 — cos^3x)^ sin 3x dx ^ y^(l — 2 cos^3.v: -j- cos^3a') sin 3x dx yazılıp cos3;t--û değişken dönüştürmesi yapılırsa —3 sin3 jc</;r ^ du olarak: I sin^3,r dx — — ~ I (1 — 2u^-f^ u*) du 1 2 == — ^ cos 3;r r -g - c o s ^3 a: — 1 cos^3x + C bulunur. 23. I tg^x dx integralini hesaplayınız, Jig^x dx = J tg^jr(tg^jr4-l—l)d;r ^ Jtg^x{tg^x~i~l)dx— = tg* ■* — / — -^-tg®Ar— + 1 — 1) c/jr j ' tgÂT (tg^ .V + 1) = y tg*jr---- ^ tg‘‘x -f + j tg^xdx j ^gx: (tg-ÂT -f 1 — 1) d r dx 220 Yüksek Matematik Problemleri - 24. j tg X dx -~tg®AT - ^tgA r(tg 2 ^4 -l)< /A T ~ -= ^ tg®a: — i tg^ AT-r y tg-A: + İOg COS Af + C I cos\x dx integralini hesaplayınız jco s^xd x = Jcos*x cosx dx ==J{1 — sinÂ:)^ cos Af</a: ^ J(1 — 2 sinÂf -f sinÂf) cos x dx yazılıp sin at -= u değişken, dönüştürmesi yapılırsa co sxd x ^ du olarak : I c o s â : dx — I (1 — 2 u ^ f 2 du ^ u I- + 4- -r C 1 sin a: — ^ sinÂf-h y - sin^v -j- C bulunur. 25. I sin X sin 2x sin 3x dx integralini hesaplayınız, y"sin Afsin 2a: sin 3xdx ^ ^ i - sin 2x{cos 4x — cos 2;c) dx ^ j '(sin 2a: c o s 2a:—sin 2a: c o s 4x)dx === y I | y sin 4a: — (sin 6,t “ sin 2.\r) dx = y y"(sin 4a: — sin 6a' - sin 2a) dx ^ L F - L cos 2a — ^ cos 4a-f ~cos6x + C 4[ 2 = 2^ c o s ^ ^ cos 4a — y cos 2a+ C Belirsiz integral 26. 221 dx integralini hesaplayınız. cosec 2x — cotg 2x / f dx cosec 2x — cotg 2x / sin 2x dx cos 2x olup 1—cos2j: = u değişken dönüştürmesi yapılırsa 2s\n2xdx=^du ve sin 2 x d x == y du olarak / dx cosec 2x — cotg 2jc = y >og(l — cos 2 at) + C bulunur 27. ^ sec^xdx integralini hesaplayınız, j secÂ: dx ~ j sec^jr sec^jr dx yazılıp kısmi integ^rasyon kuralını uygulamak üzere sec^;r = u, sec*jf dx = dv kabul edilirse 3 stc?x i g x d x ^ du ve t g x == v olarak : Jstc^x dx ~ sec^jT tg a: — 3 Jstc^x tg^x dx = sec^;r tg x — s j sec^secÂ: — •1) dAr =* secÂ: tg Ac— 3Jstc^x d x - { - 3 j secÂ: dx 4 J stc^xdx = secÂc t g x + s j secÂc dx elde edilir. Şimdi de J s t c ^ x d x i hesaplamak üzere kısmi integrasyon kuralını uygulayalım : Jsec^x dx = J sec x secÂ: dx yazılıp sec x *= u, stc^x d x = dv kabul edilirse sec x t g x d x = du ve tg X = V olarak ; 222 Yüksek Matematik Problemleri Jsec^x dx - sec jc: tg a: — j sec x dx sec Xtg JT ~ j sec x (sec^jc -- \)dx sec X tg X —J sec^jf dx -\-Jsec x dx 2 J sec^x dx = sec x t g x j- log(sec x tg x) I seclv dx ^ ^ sec x tg .v f ^ log(sec ^ + tg a:) bulunur. Bu sonucu J sec^jt dx ifadesinde yerine koyarsak ; 4J sec^r dx 3 3 seclv tg .V 4- ^ sec a: tg a: + ^ log(sec a: + tg at) ve : J secÂc dx 1 3 3 -j secÂT tg a: + — sec a: tg a: f- log(sec Ac-j-tg a:) + C elde' edilir. ^ 28 . / arc/|f »f \J(1 + x^)^ integralîni hesaplayınız^ Kısmi integrasyon kuralını uygulamak üzere ârcig X J V l+ J = dv kabul edilirse (1 ^^2)3/2 ^ du au ve ve \ + x'^ olarak : ~ U B ^ gO arcig x x e ‘‘ dx e“ *r“‘»*</Ar / ( l+ ;c ^ ) V l+ ^ ' ov/l+;c2 a j elde edilir. Şimdi de ikinci taraftaki integ^rali hesaplamak için kısmi integrasyon kuralını uygulamak üzere: f- “ u c“ »^î*dx — dv 1 + a:2 ~ kabul edersek : — xdx (l_|_;r2)3/2 — aduu . vve e — ^ = 7»f Belirsiz integral 223 olarak ; ^ J \/(l+x^r / l’ ( bulunur. 29. / gO arctj X 1 \ e° fx + -ia ^/ \/(l+Jc*)^ J a \/l+ x^ a [a V î+ i^ ^ arctg x gCBTCİgX - i / a^<^+x^ a \f\+ x ^ "V 1 \ fx e ° d x (ax — l) e ° " ‘'f a" « V ; V (T + W ~ ATe° dx _ (ax V Ö T -^ ~ (a^ + l ) v / î + P sin3xe*dx sin 3: . inteğralini hesaplayınız* si s ın X “sin .1 dx sin X J ( 3 - 4 s\n^x)e^dx = j ( \ + 2 cos 2x)e* dx ^ je* dx -{- J 2 cos 2x e*" dx = e* 4" J 2 e* cos 2;t dx yazılıp ikinci taraftaki integrale kısmi integrasyon kuralını uy gulamak üzere e*"=^ız , 2cos2x dx==dv kabul edersek e*dx-=du ve sin 2x = v olarak : j2 e * cos 2x dx — e"‘ sin 2;r —j c* sin 2x dx elde edilir ve ikinci taraftaki integrale kısmi integrasyon kura lı tekrar uygulanırsa : ^ 2 e* cos 2x dx -= e* sin 2x + y e"' cos 2 x — cos 2x dx = e* sin 2x + 2 j'e"" cos 2xdx = ^f e*" cos 2jt e*sin 2 x + ^ e* cos 2x olarak : ‘sin sin 33xj c' dx = sın si a: / bulunur. + -ğ- e*(4 sin 2x + 2 cos 2x) + C 5 ' 224 Yüksek Maiemaiik Problemleri 30, 1^ • integralini hesaplayınız* / cos 2 xd x _ f cos 2x dx olup bu integrale kısmi integrasyon kuralını uygulamak üzere .-3» , cos 2x dx ^ dv kabul edilirse —3 e ^^d x ~ du ve sin 2x=^ V olarak y *e ^^cos2xdx == c*"^ sin 2a: e~^^sîn2xdx elde edilir. Şimdi de ikinci integrale ayni kuralı uygulamak üze re e-3;r _ sin 2x dx ~ dv kabul edersek — 3 e~^ dx == du ve COS 2 x ^ V olarak : j * c“ ^ sin 2 xdx ^ c” ^ cos 2x — j* cos 2x dx elde edilir ki bunu da yukarıdaki ifadede yerine koyarsak : COS 2 x d x ^ ^ c~^ sin 2jt~ 4- e'^^cos 2a: — - ^ y * c o s 2;r dx / • - * ------------------- 2 4 cos 2xdx f cos2x dx e~^ sin 2 a : /rt . « 1 — 2 ac c-3*cos2a: « Vr ^ — 3 cos 2 a t ) + C bulunur. 31, y *X arcsin x^dx iniegralini hesaplayınız. Kısmi integrasyon kuralını uygulamak üzere xdx=^ dv , y3 // y du o larak : arcsin x^=û kabul edilirse -zr — v ve N /Î-*.4 a: / arc sin x^dx = arcsin a :^ - ■/ = Y arcsin a:^+ bulunur. V^l—ac^ + C Belirsiz integral 32. 225 jx ^ ( lo g x ) ^ d x integratini hesaplayınız. Kısmi integrasyon kuralını uygulamak üzere (log xY *= u , x^^ dx = dv kabul edilirse — log x dx ^ du ve - r X 4 J x ^ (log x f dx = ^ x * (log ^ olarak: dx elde edilir. Şimdi de ikinci taraftaki integrale ayni kuralı uygu lamak üzere log x = u ■, x^ dx = dv kabul edilirse ^ — du ve X* = ü olarak: J x ^ log x d x ^ ~ T j 7 logx — ^ bulunur ki bunu da yukarıdaki ifadede yerine koyarsak: y* x^ (log x y d x = ^ x^ (log x y — g- log Af + ^ + C [8 (lo g ;r)2 -4 1 o g ;r + l] + C sonucuna varılır. 33. J (x ^— 1) arcsin 2x dx integralini hesaplayınız. Kısmi integrasyon kuralını uygulamak üzere arcsin 2 x — Uf (x^ — 1 ) c/jc =* dv kabul edilirse 2dx \/l- 4 x ^ j ^ du ve -X---- X = V 3 o larak: .3 J{x^ 1) arcsin 2 a: dx ~ — a : j arcsin 2 a: — 2 r(x ^-3 x)d x 4? elde edilir. Şimdi ikinci taraftaki integrali hesaplamak için de 2a:= sin 9 değişken dönüştürmesini yapalım. Bu halde 2 d x ^c o s <fd<^ olarak: 226 Yüksek Matematik Problemleri r ( x ^ - 3 x ) dx j 3 . -ö- sın" <p—• 7 ^ sın ş 8 cos <p = coscp dtp 9 — I " j S'" <l» <^9 = y ^ ^ (1 1 + cos^ <p) (— sin ç) </<p cos <p+ y cos^ (pj ^11 = cos <p (33 + cos^ <p) = s/ T ^ H 3 4 - 4 x ^) bulunur. Elde edilen bu sonucu yukarıdaki ifadede yerine ko yarsak : J (;c*-l) arcsin 2x dx= ^(ix^-3) arcsIn 2 x - ^ ( 1 7 - 2 x ^ ) sonucuna varılır. 34. y*"co5 / ınê^ra/ınz hesaplayınız. s\n2xdx __ Ç 2 sin X cos X__ j cos 3x " J 4 cos^ ;r — 3 cos x r 2 sin X dx "■J 4 cos2a: - : olup cos X — u değişken dönüştürmesi yapılırsa olarak: j ' i n t e g r a l i n e üzere yazılırsa A = ■ >L. ^ n/ 3 varılmış olur. Bunu hesaplamak -2 4u^— 3 sin a: c/;r = c/u 2«+V 3 B 2u—^ 3 , B = ----- tİ=- olup: \ /3 Belirsiz integral f -2 d u _ ^ /•/ 1 _ 1 ./ 4 u ’- 3 v/3 y \2 u + V 3 2 u -\lij 227 “ ■ ,„ ^ |! ± 5 ( 4 + C 2 \/3 2 u - \/ 3 bulunur ve u yerine cos x yazılırsa: ‘sin 2x dx cos 3 a: ^ log |5 £ 1 £ ± V 4 = + C 2 sJ 3 2 cos x —^ 3 p sonucuna varılır. 35. J xe'"cosxdx integralini hesaplayınız. Kısmi integrasyon kuralını uygulamak üzere a : c' = u, cos X d x ^ dv kabul edilirse (e' + x, e*) dx = du ve sin a : = ü olarak : yÂ: e* cos x d x — X t* sin x — y^(c* + a: e*) sin x dx - X e' sin X — j e * sin x d x —J x e* sin x dx - X e* sin X — s i n x —J e' cos x dx^ 4- X e' cos X —j (e* + x e*) cos x dx - x e ’‘ sin X — e* sin x - \ - J e’^cos x d x - i - x e'cos x —yİe^cosA: dx—jxe*oosx dx 2 J x e* cos x d x ^ X e* sin a : + Afe* cos a : — c' sin a : ( a: X c*cos x d x = bulunur. — 1) c* sin x-\- xe* cos ac 4- 2 e*" cos Af + C 228 Yüksek Matematik Problemleri 36. J ^ a ^ —x^dx integralini hesaplayınız, = a sin <p değişken dönüştürmesi yapılırsa dx ve yja^ — x^ ^ a cos <p olarak: a: a cos 9 cfip j\Jd^ — x“ ^ dx — a ^ j cosV = y o’ ^(1 + cos 2<p) d<f y a* L + y sin 2(p\ + C elde edilir. Halbuki <p = arcsin — ve sin 29 = 2 ^ s /a ^ — a:^ olup : j"\Ja^—x^ dx Âc — x^ + a* ârcsin -}- C bulunur. 37. f ~(İ ^ a j j 2 2 3 2 integralini hesaplayınız. x = atg(? değişken dönüştürmesi yapılırsa dx = d sec^ d ç ve \Jx'^+a^ = a sec 9 olarak; r dx I r d(ç 1 r , ı . . ^ J (IMT- ^ 2 = p - j = â y cosçrf9 = p-s.n<p + C t)ulunur ve tg 9 = — olduğundan sin9 == -y- —-^ yx^-\-a^ f:___^dx J ( x ^2-.V a ^ ı^ sonucuna varılır. 38. f j ^ \ ! x ^ - a ^ dx integralini hesaplayınız* . olarak : Belirsiz Integral 229 a: — aseccp ve \/x^ — değişken dönüştürmesi yapıhrşa c/A: = asec<ptg<pd<p = a tg <p olarak * J\Jx'^ — sec^ d(^ dx = = J (tg^cp + tgV) sec^cpd<p “ “*(t T ‘8^’ *'’ ) + ^ ^ X ^ — CL^ JC elde edilip sec cp = — ve tg <p ------------a a alınırsa j x^ \/x^ — d^dx~ yj(x^ — olduğu göz önüne {2a} + 3x'^) + C bulunur. 39. ( x ^ - a ^2)\3l 2 dx integralini hesaplayınız. x —a sec (p değişken dönüştürmesi yapılırsa dx= a sec <ptg <pc/(p ve x^ — a^ = a- tg^cp olarak : J r(x ^-a '^)^ '^, /a^tg3 a sec <p'rtgq> ^'rd(p = a^Jtg*!fd<f ■= a^J tg*(p (sec’cp — 1) dtf = a^J(tg* + 1) dç tgV — tg <p+ + C bulunur. Halbuki sec Jx^—a} ---------- J I olup: (^x^â^y^—a^\/x^—a^ —a^ arcsin — + K 3 ' X X elde edilir. 40. ~ integralini hesaplayınız. Vâ:2+ 2a:—3 = \/( a: + 1)2-4 dönüştürmesi yapılırsa. olup x + \ = 2 sec q) değişken dx = 2 sec <p tg <p dcp ve i \/ jc*+ 2jc—3 , ;c + l — 4 = 2 tg <p olarak f n J 2 sec ç t. I 'i' ö 'k y “ 2 y^tg^9 </<p = 2 / ( t g ’<p + l - l ) r f < p = 2 tgç — 2<p 4- C JT"4” 1 elde edilir. Diğer taraftan sec 9 = —^— , /—•j----r \A«:* + 2x - 3 tg 9 = v s e c ^ 9 —1 == —------------------ ' ^ *4“ 1. 9 = arcsec—^— , olup: Jf 4- 1 f, C rarcsec —x---- dir. 41 / (x + 7 )d x İntegralini hesaplayınız. (x^ + 2 x + /0 )^ + 2x + 10 = (jc +1)* + 9 olup a: + 1 = 3 tg 9 değişken dönüştürmesi yapılırsa dx — sec^9 d<^ olarak: Belirsiz Integral C (x+l)dx 3tg+ 2 2 - 8T y ( ş v H f “ ‘ 9 J 231 , secV 1 f^ g 9 + 2 " ‘9 y sec^cp = -^y*cos*<p(tg9 f 2)</9 = i y * (sîncp cos 9 + 2 cos^9) c/9 = -~y* (sîn 9 cos 9 + 1 + cos 29) c/9 “ T ( t S'“*‘P + ^ + -^sin 2 (p j + G :+1— olup bulunur. Diğer taraftan tg q>= a—j . 2 (at+ 1 )’ = F + 2F H Ö (x + 7)dx /■ - t y (a:^+2;c+ 10)* ^+1 > = A rc tj —g— .0 6(Ar + l> ®‘" 2*l>= p + 2l + W , , .** + & *+ 7 , 1 ^ JT+İ , r> --------h -JT arctg —^ + C 18(;«r* + 2;e+10) ' 9 elde edilir. a:^ + j : + 41 . / ;r^+ / / </* întegralim hesaplayınız. ^ ı + î - * f xx^dx ^ d x , f xxddxx , f dx dx ? + î +y ? + i +y ? + î -y ^ Iog(jf< + 1) 4 - i / dx arctg x ^ + j p y j integralinî hesaplam ak ü z e r e ; ;c<+l 232 Yüksek Matematik Problemleri 1 ■^‘+1 Ax + B + D x ^-~ \/2 x + l ^ x ^ - \ / 2 x + \ yazalım. Buradan A = 1 2yj2 B= - — L-. 9=, 1_ 2^/2* 2 C bulunarak r dx J ^ _ 1_ n x + \ İ 2 ) d x ____ 1^ r { x - \ j 2 ) d x 2 \/2 J x^+\/2 x A- l 2\/2 J ~x^-\/2x + 1 "" 7 7 ^ 4 v2 4- + v/2 a: 4- 1) İ0g(j:2— V2jf+1) 4 v2 sj2 dx . 1 wf '^'sİ2x + 1 ^ A\j2 J /• \İ2 dx v/2:e4- l 4 \İ2 4\j2 log x^+\j2 x + l a: W 2a-+1 r \/2rfj 4 v/2 ( - W 4- î w 4 ı/2 4 v/2 f + 4 ) \/2d^ s/2 2 / +' 2 log x^ + \İ 2 x ^ \ __j_ 1 arctg(v/2j:+ l) ^2- v ' 2Ar+l 2 v/2 log x^+ \İ2x+ \ x ‘-s İ2 x + \, ^ ^ [ a r c t g ( v / 2İ + D + arctg (\İ2x — 1)] x'^+\j2x-\-\ = log 4 v/2 x ^-S İ2 x + \ 1 , s]2x r7 ? " " ^ ı= ? aide edilir. Bu da yukarıda elde edilen ifadede yerine konulursa; / a:3 4-^4-1 a:<+ 1 + sonucuna varılır. - .+-V 1 arctg dx= 1 .lo g .(j:^ l)+. -^ 4 4 \/2 log x-^+\İ2_x+\ A :'-\/2;«r+l \'2x 1_ arctg 2\İ2 , _ i- C Belirsiz tntegral 43 . / (x^+mx^+x) 233 iniegralim hesaplayınız, ' 1 (x»+l)(;e*+A:) Cx + D A , B Ar"^;c + 1 + ;«r*+l 1 = A(x + 1) (;t2 + 1) + B at(x» + 1) + (Cx + D) a: ( a: + 1) 1 = (A + B + C ) ;c’+ (A + C + D ) ;r'+ (A + B + D ) x + A olup 1 A + B+ C = 0 A '4~ 0 ~t" D = 0 B= - den A + B + D =0 C = - - 2D = - A- 1 bulunarak: 1 AT+1 J (xî‘l)(x^+x) j [ x rdx \ 2 x+ l 2 r dx \ fx + \ , - İ T - T İ î + i - 7 / ? + î * = l o î * - -y lo îU + I ) - - ^ j -rf •og Jf — Y log(A: + 1) —i dx ;t=+l log (x^ + 1) - y a r c lg jf + C T * °* ^ ( a: + 1 ) ’(a:’ + 1 ) ~ “2 «'ctgA: + C elde edilir. / x^dx ^ integralini hesaplayanı z. 234 Yüksek Matematik Problemleri 8a —X o lup: bulunur. Şimdi de ikinci taraftaki integrali hesaplamak üzere _ 8a A^—8 A , Ba + C A — 2 ‘ a^+2 a + 4 yazarsak, buradan : 8 a = A ( a 2 + 2 a + 4 ) + (B a + C ) ( a - 2) ve B i3 ’ c = -^ 3 bulunarak x^dx / F ^8 - 4a - 8 1 i «’ + j 1 = [ 3( 7 - I 4 2 ^ rfA: '/ ^ - 2 2) 3 (jt* + 2 jr+ 4 ) dx 2 n ( z2 a : + 2 ) r f AT 3 J ;t2‘2 + 2;t+ 4 + 4 / a:’ + 2 a: + 4 = i a:’ + ^ log(A: - 2 ) - | - 1o?( a:^ + 2;c + 4) </a : + 4 / = y a:^ + - | - 1o ? ( a: — 2 ) — ( a: + 1 ) * + 3 logr(Ac^ + 2 a: + 4 ) I 4 a:-|-1 , a: + . _ + -T^- arctg —^ + C \/3 v/3 1 = y , . + 2 , jc^— 4 a: + 4 T elde edilir. 45- y integralini hesaplayınız. i + 4 v i 1 Bilirsiz Integral 235 / (x^+2)dx J ;t5+;t’+Ar+l x^ + x — l dx (a: + 1)U » + 1) -f ve • x^-{-x — 1 A , B;c + C (İ+ Î)(İM ^ 1) “ a: + 1 +' x ^ + l AT^ + AT- l = (A + B):t’ + (B + C)Ar + A + C A+ B= l B+ C = 1 A + C = -l 1 den A = - i , 3 B = ^ , 1 C= - y olup: (ı^ + 2)dx jc’+AT^+je+f / ' + 4 iı= ı„ u . 2 x+l '2 = at + 1 /' dx J 1 I" 3x 7+ 1 2 J x^+l A:+-^log(j:+l)— 1 f dx 2 /AT^+l log( 7 + l ) + ^&rctgx+C bulunur. 46. întegralini hesaplayınız» X + 2 __ Aa: 4 “ B . C jc + D x^ + ^x^ + 2 ” a:2 + 1 x^ + 2 x ’^+x^+x^-2=^ (A + C )x^+ (B+D) a:2+ (2A+C) a:+ 2B +D ve A = 0 , B= 1 , C-1 , D= 0 olarak f x^ + x^ + x + 2 ^^2. f j ± x* + 3x^ + 2 X dx fx^+l+j ++2 = arctg JT+ - j log(AT^ + 2) + C bulunur. 236 47, Yüksek Matematik Problemleri + 2 x ^-8 x^ - 4 ^ integralini hesaplayınız. /[« « + ‘■ / H + î ^ + 5 İ î ? + ^ F r f l ] ''' - y ** + 3jc + 2 Iog(j: — 1) + - ■ ^ dx L / \ . 2£ + 1 , ^ ^ A r ________ + t / x^-\-x-\-l 2 J a:^+ j: + Î = l ; . ^ + 3;c + 2 İ0? ( ; e - l ) + ^ + 4- 48. + ^ + 1) - ^ arctg \/3 18at* — ¥4A:^ + 5 A r-2 / </at integralini hesaplayınız. ( x - 1 ) ( 9 x ^ + 4) / •18at3— 44^» + 8;t—21 c/ a: (at— l)(9;t2 + 4) “ /[^ ) 26x^ + 13 1 . ( J r - l ) ( 9 i “ +TTi 4)jK -' " / [ 2 - ^ - 2 « - 3 ] o2 ( « - 1 ) + + 9 ? T 4 İ ''' dx m 0 i î ‘^ + f 9x^ + 4 = 2^ —3İ08t( a: — 1) + ^log(9A :*4-4)+4-arctgy+C 49 . dx integralini hesaplayınız^ sın 'x cos X h Belirsiz fniegral f 237 ---- — = f J cos X dx J si sin^j: cos^jc f sin3j:cos;if cos X dx sin^;c(l—sin^;c) - / olup sin jc = ız değişken olarak: r f dx sinÂTCos A: J r dönüştürmesi yapılırsa cos .r dx ==■du du D ^ E = /T A + 1 + Ç ^ u ^ 1+ a ' 1- u / ' [ ' u’ ^ 1 , 1 „3 “r 1 1 , 1 1 o i 1 .. T2 1+ u 2 1 „ = /[- — ^ 2 + lo? 1 ,, 2 sinÂ: du du \ *0? ( l + “) — \ lo? (1 —“) + C u v/l — u’ 1 +I \og +c sın X C . ^ ,--------4 sin^jT \/l 1 + logf tg^ ^ + C 2 sin^j: bulunur. 50. Ğos 2x dx . . , f ----- j—;—=— ıntegralını hesaplayınız, sın ;c+sm 3x ^ ^ ^ / cos 2x dx f sin ;c+sin 3a: f 2 ccos^ a: — 1 I 2 sin si 2a: c o s x dx ' 2 cos^ a: — 1 dx = y 4 sin X cos^x olup cos.Y-=i2 değişken dönüştürmesi yapılırsa —sin a: dA:=d£i ve: dx sin X olarak : du SİnÂ: du l-u * 238 Yüksek Matematik Problemleri 1 2 cos‘ X — 1 dx 4 sin X cos^ X / 1l -- 22ı|2 r « M İ- «2) 4J ve 1 - 2«2 _ a «2 (1 — u2) 1|2 JB u C 1 — a +* 1 4" U dan A, B, C, D belirtilirse; 1 /• 1 ^ ’ 4 J u ^ l—uy ' /-a - I 1 _ 4 y [u 2 2 1 —a ^ t [ “ 1 , 8 i + 1 1 L„ 2 1 + aj 1 lo g ( l- a ) - jlo g ( l+ » ) ] + C 1 -u + a 1 , _ 4u bulunur. Bu ifadede a yerine cos x yazılırsa: 2 : c/jc / cos a 1 |QOr-------------------, 1 — cos x --------------------r= ---M-,,1 sin a : + sin 3ac 8 ®1 + cos x 4 cos x secA:4-C «ide edilir. 51. J ' ( 5' — 4 ^ 1 . x ^ f !2 integralini hesaplayınız. 5 -4 ;tr-;« :* = (5 + x X l-;« :) olup (5 — 4j: — = (1 — a:) f değişken dönüştürmesi yapılırsa; 5 X = -i-, ^ , <’+ l j 12< * d x — /-—■.M (<*+!)= ve , ^ - j ------ 5 v5—4jf—AT* = o la ra k : dx 4 a T — Jc2)2^2 /(5 - 12-5 121* I <2_[_ı (p-)-l)2 I gs^j (w 7 18 6i 1+ /* Belirsiz İntegral İî ( ' + t 239 )+ '= 5 — 2a: 9 \J5 — Ax — a:2 bulunur. dx integralini hesaplayınız. X sJx^~\rx-\-2 52. / „ = \/ a:2 x «2— 2 j 2^ + r ’ + 2 değişken dönüştürmesi’ yapılırsa: ıi^+u+2 2u24*2u+ 4 du , \tx^+x-\-2 — 2 u + l (2« + l )2 olarak : ^ ________cbf__________ I* J a: J x\/x^ + x + 2 ~ J 2du 2 2 dı i J [ u - ^2 v/2 1 s/2 U + V2J da ‘ = 1 da u + ^2 J log î î ^ + C * u + \/2 J _ ı«c V H ± H l ± : l z : v / î a - r s/ x 2 +1İ + 2 + x + s/ 2 ^ ^ bulunur. 53 . / x2dx (/ + 2a:)V3 integralini hesaplayınız. 1 + 2jc = ve dx = değişken dönüştürmesi yapılırsa x — -^(u^—1) olarak : 240 Yüksek Matematik Problemleri x^dx ) ( l + 2.r)'/^ 3 8 da 3 = ğ- I (u’ - 2 3 /I , + u) da 2 5, 1 j , „ = ^ ( 5 « ‘-16u3+20)f C bulunur. 54. dx integralini hesaplayınız. 4- q2 ^ y2 değişken dönüştürmesi yapılırsa x d x = u da olarak: f 'i^ ^ x d x , a 1 U— ^ \ n “ + T * ° ^ iT f^ + ^ /-TTi— . a I \ x ’^-\-a^ a * • + “’ + 2- ' ° * - f c ? T T bulunur. 55. jx ^ ( \ -{- 2x^y^^ dx integralini hesaplayınız değişken dönüştürmesi yapılırsa x ^ d x ^ - ^ u d u olarak : Belirsiz İnİegral f **(1 + d x ~ f A 1 ^ + 2x^y>* 241 dx = j^ ( ,v ? — \)u ^ u d u - t ( t “‘ - t “’ ) + = -i« > (3 « * -5 ) + C = ^(l+2;t»)»/»(3:r»-l) + C bulunur. 9u. f ( x + 2 y ı ^ - ( x + 2 r'^ . . . .. . , . I ------ (x + 2yı* H- / — ıntegralım nesaplaytnız. X + 2 u* değişken dx = 4ıı’ /* - (x + 2 y * , I (x+2r+ı /• « » - « ‘* * - y - i T + r 4u>da = 4y*û<-2ıı> + 2B’ - 2 « + 2 - j ^ J d u =• 4j^y II*---- 1- B* + ve u yerine (x + 2 )*'^ y U* — tt’ + 2b—2lo^ (u4- l)j +C konursa : = y ( ^ + 2 ) ‘'^ - 2(x+ 2) + A ( x + 2 r - 4(x + 2)>'* + 8(x + 2)*/< - 8 log [(x+2)«/^ + 1 ] + C buhınur. 242 büksek Matematik Problemleri 57. hesaplayınız, f ^ \lx + 2 - \ - \ l x +~t-r ^dx integralim * ^ ^ / x + y J İ + 2 - ^ \lx - { - l sjX- \ - 2 \JX \ ____x d x ___ dx J \j X 2 \JX î + i — jx [ \ J x ^ 2 — Sİx+l ]dx-\-x-\-C = y*;tVÂ:+2£/A: —y^;rV/A:+l c/.v+ a: + C olarak \lx + 2==^ değişken dönüştürmesi yapılırsa d;r=2/ o l u p : j x \ l l ^ d x ^ ft{f--2)2tdt S 15 3 ^3(3^2-10) 2 ^^(x + 2)\!'^T(3x -A ) ve \/;t + l = ^ değişken dönüştürmesi ile d x ^ .2 td t olarak : f x ^ J ^ d x = ^ f t { P — \ )2t dt 5 ' 3 ^ = l f (* + l ) ( 3 ; t - 2 ) v / i + î elde edilip yukarıdaki ifadede yerlerine konursa: f x + \lir ^ ^ \l7 W J v/İ+2+ v/at+I ^ ( x + 2 )(3 at- 4) v/i-f 2 - ^ U + l)(3;c - 2)\Jx+\ + at+ C 15 bulunur belirsiz tniegral 58. 243 ayınız. Vl — = <(1—x) değişken dönüştürmesi yapılırsa: P —1 , Ü dt /i— ^ 2< JC = <‘+ l , ax=-75-r-riî" > = <*+l olarak: ^ _____ dx J 2 \/İ^ + l—^ _ ^ dt <"+<+! dr r+ ^ ■+’ areti, 2^+1 ^ + C ve t == 1 / î İ f L olduğu gözönûne alınarak: V 1—a: fm = M ________- L arala W l - a - + l ~ a A:*+l~;r2 \/3 v^ 3 ( 1 - a:) bulunur. 59. - integralini hesaplayınız. x= t^ değişken dönüştürmesi yapılırsa dji!:=6 dx /v ^ + V ^ d/ olarak ret^dt - / <’+/* y <+ l = 2<^ - 3<» + 6 r - 6 log(< + 1 ) + C = 2 \ / J - 3 V jt + 6 V ^ ' - 6 loy (V ^ ’+ l ) + C bulunur. 244 Yüksek Matematik Problemleri 60 . dx / 3 cos a: + sm X tgf -(- / ıntegralini hesaplayınız* ^ değişken dönüştürmesi yapılırsa cos x = 1 2t , 2dt , , sın jr *= -r-r-ır » dx * r-r-rr olarak 1+/* ' • 1 + ^' dx Ç_______d£_________ Ç dt______ J 3 cosx + sinx + J — P-\-t + 2 _____* _____ 7 ( 2 - 0 ( ^ + 1) /+ ı T ^°« r= 1 T 2 ------ t? V - 2 , bulunur. 61. f ((1 ±— Z la c o s x )-dj x---------------' J 1 -2 a C O S ;c-|-a" tg* X cos X m . ^ ı. . f f ıntegralını hesaplayınız* ^ değişken dönüştürmesi yapılırsa dx ^ 2 dt , olarak (1 — a cos x) dx _ 2a cos x + a^ 1 + /’ 1+/* 2dt ha» (1 + « )< » -(!- g ) [( H- a) */ »+ (l -g) »] (l +0 dt bulunur. Bu integrali hesaplamak için de içindeki kesri basit ke sirlere ayırırsak: Belirsiz tntegral (l + a ) / * - ( l - a ) A/ + B 245 , Q + D f(14-o)V + (l-a)»]{H-/*) ■"(l+a)><» + (l-a)*^ 1+/» ve A = O , B = i / (1 —a’) , C = O , D = -^ olarak: (l + a ) < » - ( l - a ) dt [(H i -a)V + (l-a)»](l+ < ») " ^ f (^ -c ? )d t f dt y (l+a)>/* + ( l - a ) ’ ■'“ y l+<* = a r c t g j + arctg <+ C elde edilir. Buna g ö re ; c H r. 62 . I dx integralini hesaplayınız. >Jcosx(1 —cos x) t? “2" dx = ^ değişken dönüştürmesi yapılırsa : 2dt 1+^’ cosjr = İ = £ 1 — cos X 2t^ 1+t^ olarak h dx cos a:(1 -- cos ;c) v/r<v/î elde edilir. Bu integrali hesaplamak için de / » sin <p değişken dönüştürmesi yapılırsa dt = cos <pd<p ve )/l — û = cos 9 olarak: / 2dt c< <pı/<p /— f/* cos sin 9 cos 9 y sîr 246 Yüksek Matematik Problemleri =* ^2 Jcosec(pd<p == ^2 log (cosec q) — cotg <p) + C ' = V 2 -lo g [-!~ -^ l + C * [sin <P sın <pJ * sın 9 = N/2logî---- ' + C bulunur. Buna g ö re : / V cosr(l—cos x) V2Iog \/ 1 — tg’ ig \/2 lo g c o tg ^ cotg= 1 +C dir. Aşağıdaki integraileri hesaplayınız. 63. J {2 + 5x2)Bxdx Cevap: l ( 2 + 5x2)9 + C 64. J sec^ö t jr 0 dd Cevap : -1 aec5 0 + C 65. r xdx J v/3;t2+2 Cevap: J Cevap: 1 (3*3 + 2* + 1)^'’ + C 4 66 . ySx^+2x-[-\ Cevap : arct2 (sin 0) -I- C 67. 68 . 69. 70. lv '3 ljT 2 + C J cos 0 (2 — sin 0)3 </0 f arctjf X j j X cos Tix^ dx Cevap: - | (2 - sin 0)< + C Cevap : i (arct; *)3 + C £ Cevap î -i- sin 'Kx'^ -f C 2t. Belirsiz Integral 71. j sin(tg 0) sec20 <£0 Cevap : — cos (tg 0) 4" C 72. f sec2 (aretg x) J l + *2 Cevap : a- 4-C 73. ffy J dxt Cevap : dx J yj4 — 3*2 1 arcsın^4— . \J3 X 4^- C r> Cevap : -]=. v/3 2 75 J x sec jt2 Cevap : i log ('ec a:2 -f- tg a:2) 4- C 76. J 1 4 - v4 77. h -f6 cos2 0 78. J e* tjr e^dx 74. 79. 80. t X dx QdQ y (Ar-2)2-h4 dx Cevap : ~ aretg at2 4- C Cevap : ___ 1__ arctg f ^^.cos 0^ -f- C Cevap ; log sec c* + C . X—2 Cevap : y^ « r o Ilj — + C ti 9 a* dx !V^l —a2* Cevap : 82. f ____ dx ± J X V^4—log2 X Cevap : ar esin 83. f J v/l-4A:-4;«r2 Cevap : 84. /* (5a: — 3) dx J x2 + 6x + U 5 _ a:4-3 Cevap : ylog(A:2-j-6A:4'12)—6^3 aretg"^^^—h C 81. 85. f J { x + 2 )d x v/3+ 2 at- x2 Cevap : log *c*+3 + C 6 1 log a T 1 arcsin a* -j" C ^ ~4- C . l + 2 x+ , ^C a r c s i n - ^ _I _________ Cevap : 3 arcsin — 2— — V^3 + 2at— jc2 f {\-x )d x J 3x2-4x-\-3 Cevap : J \j2ax-\-x2 Cevap: log ( at + a + V2aA:-f-a:2) 4 - C 88 . f X dx J Ar4+2Ar2-3 Cevap : 89. J X sin X d x Cevap: 90. J a rc c o s .v dx Cevap ; .v arccos x —V^l — at2 -j- C 86. 87. 247 C — —log (3a:2—4.v+3)+ —1— aretg —^ + C o 3V 5 V5 1 , s — a: a:2- 1 °®;e2 4-3 cos a: + sin a: + C 248 Yüksek Matematik Problemler 91. j\o i 92. Jx e-^ dx 93. / X dx Cevap ; .V(loj x — 1) 4" C Cevap: x^ c o s X dx -r -e -* (a:-f 1 )- f C Cevap : a:2 sin x-}-2x cos x—2 sin 94. J x lo jr xd X dx 95. j 96. [ J t dx J \Jl-x^ C evap : - ( * 3 + 2 ) ( l - * 3 ) i "3 + C 97. j x'^\Ja — 72 dx C evap: - (2 a + 3*3) + C C evap : i se c C evap : 8 s in 2 x — 98. 99. 100 . lo s ’ X dx Cevap : x 3 X dx / X s in Af c o s / j Cevap : ^ (^ \o g x — Af dx logÂT dx a:2 101 . j x ^ «a* dx 102. jc o s 103. X l o g s in Af dx + C 2 lojr at- f 2) + C z a: tg at 4 - 2 z x l o g (se c C evap; y ^ iog2A r— - |l o g A f + - | . y + C C evap: ^ ”( * 3 _ ^ + ^ ) + C s in a: (io g s in Af — 1) + C j —lo g O o g x) dx C e v a p .* [log(log 104. J secÂf l o g C evap î t g Af (log t g Af — 1) + C 105. Je' s in C evap ; Ç ( s in Af — c o s Af) + C 106. y*c2x c o s Af rfAf C evap; y 107. J c” 108. f x2 log(x - 109. J x^ &rctg>/x dx Af dy 2x(cosAf— sinAf)</Af C e v a p ; 3) dx A f - j - t g Af) - f lo g Af c o s Af) -}- C log(Af - 3) i C - f 2 c o s a:) + C —j - (S s in Af C evap ; C evap; (s in x) — 1) C c o s 2 at -f" C C evap : t g AT dx , i + ^ 4 * 9 a: j 4 - C ( a;3 4 " - İArl'24-C 110. J at2 a r c t g Af dx C evap : ~ x- a r c t g at — i Af2 4» i l o g ( l 4 ' ^ ^ ) 4 ' C Belirsiz Integral 111. 112. J x2â2 Cevap : i log 2a * x-\-a f (x24-3;e4-l)</^ J (x -l)(:r+ 2 )(3 ;.-2 ) Cevap : | l o « ( * - l ) - i l o g ( * + 2) 249 -^ lo g (3 * -2 )+ C 113. J { 2x2^1) dx C.V.P : 1 lo,(* - 2) - (;c~2)3(;r + l) - ^ l o » ( * + l) + C 114. 3a:2 -4 a:+2 . I U-l)2(2.v2+;r-hl) ^ Cevap : İM *- D - - 1 l o g (2*2 + * + !)+ 115. x2+ 4 a:+1 , / (:r2+;t+2)2 löv'? 5 ( .+ i) Cevap • arclg y/7 + C 4 =: arctg * 2at+1 — 7(;r2+:»:-f2) 7^7 V7 2(Ar2 + xH-2) (;t3-2) dx 116 U7 (x -h 3)(x-l) ;t4 - 3x i- 2 dx /(*+ î)î(*+ IlI Cevap . ^ - 2a: + Ş lo g U + 3 )~ -1 log(Ar-l)+C Cevap • 24 ;r + 2 AT+ l -}-131og(Ar + 2) -191og(Ar + l ) 4 -C 118 X dx / Cevap : - ^ log(A: + 1)+ log(A:2 — j,. -j_ i) »•3-1-1 I 1 . 2jt“"l İ-» + “7= arctg —— T- C \/3 V3 119 120 121 122 /*2jt2-f-6.r-t42 J (Ar2^ 2 ;r-H0)2 f 6 dx J 2 x 4 -» :2 -l /•(2 -|-tg2 e) seç29 J 1 tg30 J x3-hu Cevap Ar2-|-2:e+10 aretg Cevap * !og(jf--l)—*log(jf4-l) — 124 y Ar4-|-3;r2-f-2 f x2 c/ aJ x4H-a-2-2 V2 Cevap • lo g (l+ tg ö) + -p ı arctg V^3 Cevap - 1 log(.v -f 1 ) — i arctg V^2 4r-+* C -f C V^3 logU 2 — ^ 4 . 1 ) -r 123 + C i arctg v/3 y/3 Cevap 1 l o g î İ f ^ 4- V^2 arctg 2 ®*2+ l \/2 Cevap * 1 1 ^^ 6 ‘‘’* * -r ı + C arctg .r-|-C 250 Yüksek Matematik Problemleri 125. J x ^ + U x - 6 dx 8 126. C.vap: f ^ + log +C X 4- 2 Cevap : ~ arctg x — - ;,+ C 2 ^ 2(x2 + l ) 127. + 128. Cevap : — log - —^ ^ 4 - ^ xH-l 129. Cevap : 130. .Cevap : — 131. 133. 134. 135. 136. 137. 138^ 139. I sin34;c dx Hsın / — 3 arctg x H- C ^ ^ 4" C X—2 Cevap : 1 ^ 16 14-cos 4x 1—cos 4x cos 4x 48 sin24x C cos^jT dx Cevap ; 3atdx scc^Sa: dx sinÂT dx / »x2 4-i Cevap : - 2y sin3'2 ,v— 4 sin ^^2 x-{- 2 sı. tgfs,C / cos ;— ------- + C 2(x2 — 1) X co3^x d< / cos2'3 X / -f C x-^2 cos24a- /,i X »log ___ + C x(x2+l). Cevap: 1132. 1 x2+l g - a J 'c t g X *\/co3 X sinÂT dx secÂT 7 Cevap l “ 11 ) sin32A , X sin 4 a . 48 + 16 - - ı r - + ^ - 4 COSİ/2 -L 4-C 2 Cevap : —^ co s2 /3 x—3 cos'^'3x4-C Cevap : ± t g 3 x + - İ t g 3 3x + C Cevap : 4 stcl'<x + -i-<=os’ ' ' ' * + C Cevap : 4 ( , . - . , . , . + ™ S i ) + c 140. J sinÂT dx Cevap : 141. j tgÂ: dx Cevap .* 142. J sin**A' 008**^ dx Cevap t >in 2 ı + i Sin3 7 x + İ sin İS + C X—t? X+ tg3 x4- C 251 Belirsiz İniegral İ4 3 . J sin 2x cos 6x dx Cevap —i 144. J cos 5x co* Sx dx Cevap jL sin 8x4* sin 2x 4 * C 16 4 145. J s ın Cevap ------ ^1 146. J y/a2 4" Cevap logr (x -f Vâ24 - x2) 4“ C 147. J Vâ2— dx Cevap /-s—-* , - y* y/fl 2—x2ö 4“ 148. j a ^ - \ - x ^ dx Cevap 4- ^ logr (x4-yâ2+ x 2) -f- C Cevap - j \ / a 24-x 2 — y logr (x4-N/a'^.4*x^) + C 149. 150. 151. f . 4x . 2x j - ğ - s ın - y y* Af2 dx J f x2dx J f ___ J x"iyj9 + a:2 152. 153. 154. 155. r cos 8 x + • o2 x _L s ın 4 -_ ^ s ın Cevap y arcsin x — Cevap -v T O + c Cevap log(x + v'î +T2) - Cevap r - arctg v/3 dx 2 — sin cos 4x 4* C 4- p L ^^■csın — 4* C y^l—x2 4- C + c 2 tg -î--l X cos X dx 1 4* cos X Cevap ; - t z 4 + 2 1 + t.f tg xd x 1 4" sin X + C ~V Î Cevap : — —- logr 2 * - '« T ( W ■ t ı+ t* 4 156. f J sin Jf 4 “ tgr X Cevap 157. f sin X dx J 1 4 “ sin a: Cevap 158. Jf 3 — sin a: 4" 2 cos a* Cevap arctg-l(t^ -^ -l) + C 159. fJ sin X 4" cos AT4* 1 Cevap -y + l^H- c + x+C 1+tK )’ 252 Yüksek Matematik Problemleri 160. COS 161. 162. 163. X Cevap î dx Cevap : / / .tr4-2 V^;»: + 5 Cevap : İ0g(* + 2 \/x + S) — arctg Cevap : J X yj\—x t (14-5A:)cf;e J (;c+8)(l-;c)3'2 166 . 167. 168. 169. 170. 171. 172. 2dx !(xi + + C Cevap : 2 1 o g (v 'r-4) -h C J x—A\Jx 164. 165. 2 \/x — 2 log (1 + v'x ) + C Cevap : f __ dx dx f ______ +21og^l \/l-x + 3 Cevap : - i Cevap : 42 - l . gv /Vx +^l Ş + l^ - 4V. 3a , . t g» yV / i +3 l T+ C l (^^v/x<~+~4-x3 + C 4 Vx< + 4+x2 Cevap ; ( 4 -x 2 )3 '2 , ^ 12x3 Cevap : — arcsın —^----- 1- C 2x J X \Jixt - 2 x - l / X V^l+4;e + Sx^ 2 \J \-i 4*) v /* + l [}E ^dx J X* logr \J\^x - 1 j . c V'ı-^ + ı Cevap : • 1 “f" X , ^ •log l + 2x + V^l + 4x + 5x2 , ^ Cevap : V 2 7 x L H îZ ± - 3 a r e ,in ^ + C Cevap : _ _1 „ e •, . n 2_ + C Cevap : ■i-x (x2+10V x2+4+61og(x+\/x2+4)+C J (2*-3)v'4*J-12*+5 173. y‘(*2 + 4)3'î«/.v 174. f (2+AT)(.r+l)3'2 dx Cevap : v*+ı — 2 arctg V^x-|-1 + C İt. 1. ATI = O ve Xn+j — BELİRLİ INTEGRAL olduğuna göre: U m 2) 2n VJ + (2xi-\- Axı limitini hesaplayınız. Duhatnel teoremine g ö re : 2-r İ x İ + ^ ] \ / l + ( 2 a:İ + Ajr,)* t x i Lim — i--------------------- ^ --------------- --- 1 2ıtjr,v'l+(2*i)*A;ri A;r.-+0 o lu p : Um 2 2ıt + {2xi + A;r,)* A;r, Lim 2 2 TC;CıVl + 4 a:,* A a:,3 / 2 ______ f 2tİX ^1+ 4 x ^ dx (1 + 4jc2)3/2 3/2 TZ (lO V 'lO -l) dır. 2. 5 6 5 J f ( x j dx-\~ J f ( x ) dx — J f ( x ) dx toplamı yerine eşdeğer bîr îw f 4 4 tegral bulunuz. 254 Yüksek Matematik Problemleri 56 5 f f(x) d x + j f ( x ) d x - f f{x) d x = 1 4 4 6 = ff(x )d x + ff(x )d x + f f ( x ) d x - ff{x)dx 1 4 4 6 = f/(x)dx+ffix)dx 1 4 6 4 4 = f/M dx dir. 3. 3 4 3 4 2 J f ( x ) dx — J f ( x ) d x - 2j f ( x ) d x + J f ( x ) d x — J f ( x ) dx / 3 2 2 5 4 + jf( x )d x 5 in te g ra lin e eşdeğer bir in ie g r a l bulunuz* Verilen toplam : 2 3 4 3 3 = / f(x) d x + J f(x) dx — j'f(x ) dx — 2 j }lx ) d x + f f{x) dx ■ 2 3 2 4 2 5 5. + / / W ‘^■x + f f { x ) d x — J f ( x ) d x şeklinde yazılarak * - 2 5 5 = f f(x)dx + f f(x)dx - f f ( x ) d x 1 2 4 2 4 5 5 = / f(x) d x + J f(x) d x + f f(x) dx — J f { x ) dx 1 2 4 4 2 4 = f f{x)dx+ ff(x)dx 1 4 - ffix)dx 1 bulunur. 2 Belirli Integral 4. 255 x-=cos2y olduğuna göre j y dx iniegralini hesaplayınız. O X ^ cos2y den y = ^ arccos x olup : I 1 ^ J y dx — J arccos x dx 0 0 integralı elde edilir. Bunu hesaplamak üzere de kısmi integras yon kuralını uygularsak : X arccos x X dx X‘ ' / X arccos x 1^1 o 2- s/î- bulunur. 5. \ / 3 X. — x‘ integralini hesaplayınız» ^3 x — x^ = ix değişken dönüştürmesi yapılırsa; - = iS r . - 7 ^ ^ . v / 3 l '= ^ = — fi+1 ’ i = y /? —— ve a:= 1 için t= '/2 , x = 3 için t= 0 olarak: 0 3t f 3 r’+ i 27 J » - 6 i di • (i’+ l)* (<’+ ! ) ’ y/2 0 MS f J V2 2 "" 9 bulunura f V2 256 Yüksek Matematik Problemleri TZfS a. f ( J —cos O dQ integralini hesaplayınız. tt/ 3 7t/3 j (1—cos 36)^ û?0 = j ( l —4 cos 30+6 cos*30—4 cos^30+cos^30) </0 ^/3 4 cos 30 4- 3 (1 + cos 60) — 4 cos*30 1 + - |- ( l + cos60)* |rf 0 «/3 = y"^4 — 4 COS 30 + 3 COS 60 + - ^ + Y cos 60 + Y = 60 — 4 cos^ 30 j c/0 — 4 cos 30+ Y cos 60 + Y + -g-cos 120 — 4 cos^30 j c/0 ıt/3 o‘ — 4 cos 30(1 — sin^30) j dQ 0 8-® “ y sin 3 0 + sin 6 0 + ^ 4 4 - y sin 30 + y ıt/3 0 35 İt 24 7, 2ıc/i /* c/0 I cös~0~ hesaplayınız. 257 Belirli /ntegral ^ ^ değişken dönüştürmesi yapılırsa: ~2 t/0 = ve e = O IçJn < = 0. 0 = y ?î 3 f \/3 de 5 4-4 cos 0 İçin olarak: 2dt \/3 r 2dt ^2+9 V3 arctg 10 = y ^ — arctg 0 j = 4 bulunur 00 f X* 8. 4 hesaplayınız, 1 f dx 1 , x^+2x-{-2 j 1 ^ , -.v + y arctgr(;c-- 1)-|-C olup; // ' .t«+4 Ö ^ A-l»[l^ -T+4 TI A -« yf -* O 2A+2 + T 0 4 - — . i 4 - J L . i . = jl ^ 8 2 ^ 8 2 8 dır. + ^) + i - d] 258 Yüksek Matematik Problemleri 4 9. j I r ı t e g r a l i n i hesaplayınız, J (x-\y ,_ô J (^-1) — 1+e = Lim e-^0 a: 1 |I-e H- Lim - 1 !o e-0 1 14 X — 1 il+e olarak beriki limit de mevcut degîldir. Buna göre integral ,de mevcut değildir. 10. a^y* ~ a^b^ elipsinin alanını hesaplayınız, y — ± — â^ — x^ olup: . a a dx F ^- 4 I^ y d x = 4 0 0 a —~ sja"^ —x^ dx elde edilir ; Bu integrali hesaplamak için de x — a sin cp değişken dönüştürmesi yapılırsa : dx X~ cos (pd(p , \ / a ^ — x^ = TZ a için 9 ^ olarak : 2 a F ^ a cosç ve X = 0 için cp = 0; a^cos^ıpdç = 2ab j (1 + cos 2(p)d(p belirli İntegraİ ^2ab <p+ 2-sîn2cp 2ab bulunur. 11. eğrisinin sınırladığı alanı hesaplayınız, y ^ ^ (a*'^ — Qjyp gğj.i şekil 25 deki eğridir. F = J ydx= ^4 f (a2/3-A:2/3)3/2 J a: O O oîarak = a^'^sincp değişken dönüştürmesi yapılırsa: (^2/3—^2/3j3/2_ q ve ^ sin^(p, d;c=3asinVcos9c/<p JT= 0 için (p = 0 ; x = a için 9 = -^ olarak ; ‘Kİ2 F = 4 J a cos^) dç =^ I 6 kI2 j ' (sin^2<p + sin^2(p cos 2<p) dç k -W /2 — cos 4<p sin-2<p cos 2<p d<p 25^ 260 Yüksek Matematik Problemleri 3^ 2 y (p ~ sin 4(p + sin^2(p u/2 0 3a^ TU ^ 37îa2 2 * 4 8 bulunur. 12. ^ 4 ve saplayınız. y^ = 4x dairelerinin sınırladıkları alanı he* (Sekil 101). Dairelerin ke sişme noktalan (1, ^ 3 ) ve (1 , — dir. Seçilen alan elema nının alanı: ûF, = — Xxi)Ayi = [\/4—yji* —(2—V4-yii*)]Aiî olup: V^3 F=2/ - 2 + \/4-i?*]rfy o v's' ____ - 4 / ( v '4 - y * - l ) r f i , O elde edilir. Bunu hesaplamak için de ^ 2 sin degfişken dö nüştürmesi yapılırsa dy=^2cosod<? ve y = 0 için ç> = 0 ; y = için 9 — olarak ; t:/3 F~4 8/ O 8J O (2 cos ^) eğrilerinin sınırladığı alanı he* saplayınız. iki eğrinin kesişme noktalan jr » 2a ve x = — 2a apsisli noktalar ve hesaplanacak alanın oy eksenine g^öre simetrik oldugfu göze önünde tutulârak : d *= 2 j 4a^ arctg ^ |2a 12 a|o - 4 (3 ît-2 )a 2 bulunur. 14. y~ —2 p x parabolü ile mebsutu arasında kalan alanı hesaplayınız, g Mebsut eğrisinin denklemi Bölüm 8, problem 67 de = olarak bulunmuş ve her iki eğri Şekil lOO’de gös terilmişti. Bu denklemde 3 yerine y ve a yerine x yazılırsa: elde edilir. İki eğrinin kesişme noktalan 4p apsisli noktalar ve hesaplanacak alanın ox eksenine göre simetrik olduğu göz önünde tutulursa: 262 Yüksek Matematik Problemleri 4p s j2 p x d x - 4p F=2^J f \J ^ ^ (x -p r ^ d x O 88\/2 15 bulunur. 15. Parametrik denklemleri x — P y y — 4t — P olan eğrinin halka sının sınırladığı alanı hesaplayınız. Eğri şekil 74’de gösterilen eğri olup aranan alan : 4 2 F = 2 j y d x ^ 2 j ( A t - P)2tdt 4 J (4P — t*) dt 0 -d ili" ~ h Î6. 5 lo r = 5 -[- 2 C05 9 256 15 sınırladığı alanı hesaplayınız, } j r"^dQ formülünün uygu- Eğri bîr elips olup alanı F = a lanması ile : ^ 1 f 2 I 36de (3 + 2 c o s 0 ) 2 0 dir. Bu integrali hesaplamak için de t g pılırca : ^ dönüştürmesi ya Belirli Integral 2dt = ~ ~ ve 0=*O için /==0; 0==tc için r 263 «» o k ra k : 2dt 36. _ F = f72{l+f)./ J (<^+ 5)2 J f[ ? h - ( ? h ] ’“ -72/ ve C dt 1 . t y ? ? 5 -w " " * v r 4rf/ ,/ 1 , < , 1 i ^ = 4 (— prr arctg -7= + ,-K j q : y J «= + 5)* " U0V5 ' 10 <-^+5 /, olup 1 , / 2 ^ t 2 /1 “ F = 721^ - ârctgf a r “c t s—r "^~~j- ^ arctg a r c -7^ t g— ^ -j^ lo = 72 2t " 5(/2+5) 5V5 TC 5\İ5 0 -0 +0 2 \ _ 108 TC / 5v/5 diî. 17. 7C r = 4sinQ dairesi ile 0 = -j- doğrusunun sınırladığı alanı hesap- 264 Yüksek Matematik Problemleri 11/3 4 / (l-c o s 2 0 )< i0 0 4 İ 0 — 4" sln20r^^ 1 2 10 H f - x ) - 7 - V 3 - 18. r = 2 —4sinQ eğrisinin büyük halkasının sın&ladığı alanı hesap^ layınız. Eğri Şekil 82 de gösterilen eğri olup büyük halkasının yaTC nsı 0 nın — y Tî île -g- değerleri arasındaki değerlerine karşılık çizilmiştir. Eğri 0 » TC doğrusuna göre simetrik olduğundan: ıç/6 F= 2 J |- ( 2 -4 s i n 0 ) ’ </0 —ıt/2 iî/6 J (4— 16sln0 + 16sIn’0)</0 •b/2 w/6 / ( 12 ~ 16 s in 0 -8 c o s 2 0 )( /0 —1t/2 i 2 0 “f* 16 cos 0 — 4 sin 20 1C /6 —iî/2 8ıt + 6\/3 dir. 19. Kutupsal denklemi r — 2 hesaplayınız. sm 20 olan eğrinin sınırladığı diam Eğri şekil 95 deki eğri olup aranan alan t Belirli İntegral 265 2ı: (2 + sin 39)’ dQ Y J 2ı: (4 + 4 s in 3 0 + sin’30) d9 2ı: i J" J|-+4sin30--i-cos60j</0 O 2ı: O 9 2 ^ dir. 20. r=^4cosQ ve r = 4 sin.d eğrilerinin sınırladığı ortak alanı hesaplayınız. Eğriler şekil 103 de göste rilen daireler olup kesişme nok talan : r == 4 cos 0 = 4 sin 0 , tg 0 = 1 • 6=4kutupsal açılı noktalardır. Buna göre aranan a la n : ı:/4 F ^ iy * 0 tc/2 16sin’ 0 < f 0 + y y ' 16cos’0rf0 ı:/4 ı:/4 tc/2 = 4y (1 — cos20)rf0 + 4 y (t+ co s2 0 )rf9 ı:/4 410 — sin 20 ^ ''V 4 |0 + - ~ s m 2 0 ır/2 ıt/4 266 Yüksek Matematik Problemleri - ( T - T İ + ^ d - o - T - T ) — it — 2 -r it — 2 = 2ıt — 4 dir. 21. r = a(1 -T c o sO j ve r ^ 2 a c o s 0 eğrileri arasında kalan alanı he* saplayınız. Eğriler (Şekil 104) kutupsal eksene göre simetrik olup ara nan alan : it/2 F = 2 f Y a ^ İ - f c o s6 )V 0 - 2 J ' Y 4üîcos'0<^8 O o - r.l2 = a- J ( 1 -r 2 cos 0 -î- cos^) d0 — 2a‘- y* 2 cos^ö c/9 o 0 - - 2 -n - ( l + c o s 20)c/0 o = a’ || o -i- 2 sin 0 + YSİn29 2a^ 7- y S'"20 t:/2 0 _ 2 2 -..a 2 _ 21 2 dir. 22. Kutupsal denklemi r — a(2-{- cos 2Q) olan eğrinin sınırladığı ala nı hesaplayınız. Eğri êkil 96 da gösterilen şekil olup aranan alan : r,j2 F=4y a’(2+cos20)V O Belirli Integral 267 ^/2 (4 + 4 cos 20 + cos^29) c/Ö —2 7C/2 + 4 cos 20 -f- {r “ 1 cos 40^ dd 0 ^ 2 I ^ 0 H- 2 sin 20 -î- sin 40 ;/2 t 0 dir. 23. Kutupsal denklemi r — a ( s i n 2 ^ c o s 2^) olan eğrinin sınırladığı alanı hesaplayınız. Eğri şekil 91 de gösterilen eğri olup sınırladığı alan bir halkasının sınırladığı alanın dört katı olarak : 3 t:/8 F= 4 •y J a\s\n 20 + cos 20)^ c/0 -7 1 /8 3:t/8 = 2a?j (1 + 2 sin 20 cos 20) c/0 -7 7 /8 = 2a2 0 4- sin^20 3:;/8 - • 2 «’(7 :/8 t + İ + f - | dir. 24, r a ( I s i n 2QJ eğrisinin sınırladığı alanı hesaplayınız. Eğri şekil 94 de gösterilen eğri olup istenen alan : F= 2 -y y 0 ^ 1 + sin 20)’ c/0 268 Yüksek Matematik Problemleri = a* J (1 + 2 sin20+ sin* 20) </0 O 7C 2 /* f-1 +. 2^ sin 20 - “ 7 i 1 cos 40 c/0 j 2 0 — cos 20 — -ğ- sin 40 [3 , dir. 25. y = ^2"qp^2 eğrisinin asimptodu etrafında dönmesinden meydana gelen hacmi hesaplayınız. Asimptod y = 0 doğrusu yani ox ekseni olup istenen hacım: V = 2« y dx ==2^ f a - 2 , / Jdx 64 a^ dx (^* + 4a*)^ ve ^ = 2a tgf cp değişken dönüştürmesi yapılırsa dx — 2a sec*q> ve ;r == 0 için = ^ olarak: iî/2 64a^2g sec*ç c/q> [4a*(l + tg*q))]* V= 2 o ır/2 Z* 128 ^J sec^cp t/<p 16a^secV 11/2 ISıza^ J cos*<p</<p 71/2 Sız a^ J (1 + cos29)c/9 Belirli Integral ^ 8 lîû^ j(p + Y sîn2<p 269 ır/2 O == 4 1:* bulunur. 26 4 datresinin x = 5 rusu etrafında dönmesinden mey dana gelen hacmi hesaplayınız. Şekil 105 d e n ; 2 V — 2 n J 2y(3 ~ x) dx -2 yazılarak = 4 n j{ 3 - x ) \j4 - x ^ d x —2 2 2 ^ \2 'kJ yj4—x^dx — 4i:J x\j 4^x^dx -2 -2^ 12 •n{^\İ4--x^ + 2 arcsin 4 " ) T +2^ -2 24 71^ bulunur. 27. Yarı çapı r olan bir küreden h kalınlığında bir küre parçası ke^ siliyor. Integral hesap yardımiyle bu parçanın hacminin - j{ 3 r —h) olduğunu gösteriniz, b V=7t j y"^dx formülünden faydalanılarak ve = r^ — a a r ^ h t b = r olduğu gözönünde tutularak (şekil 106). V = TC f ( r ^ - x ^ ) d x r —h 270 Yüksek Matematik Problemleri = TC 3 r— h r r—h — (r — A fj _ ^ ^ (3 r -« '' "3" bulunur. 28, 1/ = e ' s/n j: eğrisinin x — 0 ve X = Tz apsisli noktaları arasında kalan kısmının ox ekseni etrafında dönmesinden meydana gelen hacmi hesaplayınız. Eğri Şekil 107 de görülen e jri olup ; TT TC V = n J y ^ d x = TZ Je^* sîn^jc dx 0 0 TC = ^ e ^ '( l — cos 2x) dx 0 TC = - ^ y * C O S 2x) dx 0 ve cos 2;c dx integralînî hesaplamak üzere de kısmî întegras- yon kuralını uygularsak : J'e^* cos 2x dx ~ ^ e^* sin 2;r —J*e^* sin 2x dx bulunarak: == ^ sin 2x + = sin 2a: + cos 2 x —J e^* cos 2a: ' cos 2jc dx Belirli İniegrûl V= TC i 1 | 2 t c .__ Lp2i( 4 ® ' 1 2 - 1 2 ^1 - 1 ep2n 2 1. 4 4 1 4 271 lo İ 4 _ l 2 ' 4 4 elde edilir. 29. X — a(Q — sin^J , y = a(1 — cos6) sikloidinin bir kemerinin ox ekseni etrafında dönmesinden meydana gelen hacmi hesaplayınız. Eğri şekil 77’de gösterilmiş olup istenen hacım : b 2n M ~ %j y^^dx =- TZ j û^(l — cos 0)^ û(l — cos 0) e/0 a 0 = n a^ J (1 •— COS 0 P c/0 o 2 tz ^ Tzd^ j (1 —3 cos 0 4- 3 cos^0 — cos^0) c/0 0 2tc = TC ^ j^l - 3 cos 0 + Y (1 + cos 20) - ~ (cos30+3 cos0)j </0 d 2 tz ^Tzd^ ^ COS0 + ~ cos20— ~ cos30jc?0 0 ^ TC I 0 — — sin 20+ sin 20—^ sin 30 27Ç o - S tc^ö^ dır. 30. Parametrik denklemleri x = P t y = 4t — P olan eğrinin halkasınının ox ekseni etrafında dönmesinden meydana gelen hacmi hesaplayınız. 272 Yüksek Matematik Problemleri Eğri şekil 74 de grösterilen eğri olup istenen hacım î 4 2 y ^ ı : J y ^ d x = ^T :J(4 i-P Y 2 td t = 2TzJ(16t^--SP + P) t d t 0 2 = 2k J ( 1 6 t ^ - 8 t ^ + t^)dt — 8 dir. 31. r = a ( l ^ c o s d ) eğrisinin kutupsal eksen etrafında dönmesinden meydana gelen cismin hacmim hesaplayınız. Eğri şekil 108 de görülen kardioid eğrisi olup istenen hacım h V = TCJ y^dx formülünde : X — r cos 0 , y ^ r sin 0 , </jr= cos0c/r — r s i n 0c/0 ve dr = — a sin 0 </0 olduğundan dx= —a sin0(l + 2 cos 0) c/0 olarak: V == Şekil 108 sın^ 0(— a sin 0) (1 + 2 cos 0 = TCj ~ a^ sin^0 (1 + cos 0)^(1 + 2 cos 0) c/0 0 elde edilir. Bunu hesaplamak için de cos 0==u dönüştürmesi yapılırsa — sin 0 c/0 = c/u ve 0 = 0 için u = 1 , 0 = tc için u = — 1 olarak : -1 V — Tca^ j 1 bulunur. « (1 — u*) (1 -f- u)^(l 4- 2 u) du — 3 Belirli Integral 32, 273 — 12x parabolünün odak noktasından eksenine çıkılan dikme tarafından ayrılan parçasının uzunluğunu hesaplayınız. Odak noktasının koordinatları (3, 0) ve çıkılan dikmenin eğriyi kestiği noktaların koordinatları da (3, 6) ve (3, —6) dır. ds ve ^ w») dy ve eğrinin ox eksenine göre simetrik olduğu da göz önünde tutulursa : elde edilir. Bu integrali hesaplamak için de mü yapılırsa dy ^ 6 sec’q) d = 0, y = 6 için ve 0 için olarak : ıt/4 s — 12 J sec^q> d<p 0 = 12| sec<ptg:9+ y log(sec<p + tg(p) ıt/4 0 = 6 [ \ / r + log(\/2 + l)] bulunur. 33. y a ch eğrisinin x — 0, x — h apsisli noktaları arasındaki kısmının uzunluğunu hesaplayınız, h s ^ f ds ve ds yJl-\-y*^ dx — ^ l - ^ ' s h ? d x = ^ c h ’^ dx 0 olarak u 274 Yüksek Matematik Problemleri b ^ = j * c h - ^ dx = a sh — ^ ~ a snA— O û bulunur. 34. y — logsinx eğrisinin x ^ v e x = apsisli noktaları ara- sındaki kısmının uzunluğunu hesaplayınız^ ds — y'"^ dx ~ v^l -f- cotgÂ: dx — cosec x dx t:12 s = I Gosec x d x ^4 — log (cosec X + cotg x) olup : lır/2 It:/4 = — l o g ( l + 0 ) + l o g ( v ^ + l ) = lo?(V2 + l) bulunur. 35. Parametrik denklemleri: X = 50( 1 — cos 0^ + 50( 2 — OJ sin 0 y 50sind-jr 50(2 — 0jcos0 olan eğrinin 0 = 0 ve ^ ^ 2 ye karşılık olan noktaları arasın^ daki kısmının uzunluğunu hesaplayınız. ve dx = 50 sin 0 — 50 sîn 0 + 50 (2 — 0) cos 0 = 50 (2 — 0) cos 0 dd dy _ = 50 cos 0 — 50 cos 0 — 50 (2 — 0) sin 0 = — 50 (2 — 0) sin 0 de olup : (^ )V olarak J = 50^(2 - e)* cos^0 + 50’(2 - 0)» sin»0 = 50»(2 - 0^ BelirR Jniegrat 5 = / 5O(2-0)</0 = 5O 2 0 O -5 0 ^ 4 0* 100 bulunur. 36. r ~ a( î sî nd) eğrisinin uzunluğunu hesaplayınız* £g:ri şekil 109 daki e^ri olup uzunluğu: ^/2 s = 2 İ x/H + r'2</0 den -:tl2 ds = ^ d ‘(,l + sin 0 )*'+ a* cos’0 d 0 = V^2a*(l + sin 6) </9 y /2 a ’ ^cos*-|- + sin* ^ + 2sin y cos -|-j d& = ^ 2 «* ^cos + sin y j cos y + sin y 1</0 olarak: TZ 2 2 I' yj2 a ^cos y + sin y j 0 0 = 2 \ j 2a 2 sin “2---- 2 cos ^ = 2v/2«(0 + 2v/2) = 8a bulunur. 275 276 Yüksek Matematik Problemleri 37. 0 r ^ a sin^ -jr eğrisinin uzunluğunu hesaplayınız; Eğri şekil 84*deki eğri olup uzunluğu : s— ________ f -h r '’* <f0 formülünde 0 . 2 0 r == a sın* -y cos 7 , 2 '2 • 6 ö r* + r * == a* sın^ "J" . 2 • 4 ö 2 3" yV^+r'* = a sin* -j- f asin^ y </0 û L . 20 İSt: 3 Ö '3' “ o • 4 ^ olarak : 37: 371 = 0 = -| - cos y j d6 3 T ® " 2-®'"Tİo = T " “ dir. 3B. r = a cos^ eğrisinin uzunluğunu hesaplayınız. Eğri şekil 83*deki eğri olup uzunluğu JŞ = fP cos®-^ + a* cos"* 3 r* + 1 sin* — = a* cos^. *— 3 olarak : 3tc \^r^+r'^d6 = J a c o s 'y = 3tî a f(. . = y bulunur. 3ti 20 A a L , 3 / |l +COSy j J0= y |0 + y . 20 3t: _ 3 TCa o S.O y Belirli İntegral 39. 277 .. 0 eğrisinin uzunluğunu hesaplayımz» r — a cos^ Eğri şekil 85 deki eğri olup uzunluğu : rî4 -r'2 = o2cos*-|4 olarak : 2t: =. 2 . /■ cos^~- d0 27: 16 0 -51 .sın^ 3 0 8fi a Ii s .ın -,---= a I 4 3 4 0 ^ dir. 40. r - eğrisinin halkasının uzunluğunu ve sınırladığı alanı COS' hesaplayınız. Eğri şekil 92 de gösterilen eğri olup halkasının uzunluğu : ^2 + = sec® olarak 7Î Tl S = 2y sec^ dQ = 2 J* 0 ^j sec^-|-d9 0 = 2 itg ^ -|- + 3 tg j J 3 Q =12v/3‘ bulunur. Halkanın sınırladığı alan ise : F=2 I ' sec«-|-</0 0 o" 278 Yüksek Matematik Problemleri Tl f T f tg 4 ^ T T 72\/3 ~ r~ + 2tg’ | + 3 t g i dir; 41. 4x^ + 16y^ ^ 64 elipsinin ox ekseni etrafında dönmesinden mey> dana gelen dönel yüzeyin alanını hesaplayınız, b F - .,/ y a dx formülünde î X ¥ &x + 32gt/' = 0 , i?' = 1 + y'2 = 1 + 16g‘‘ ve 16g^ + x ‘ 16 64-4x^-hx^ ^ 64-3x^ 16g^ 16g^ o larak : F = d;, = ^ 2 « y * y f ^ < 6 4 = ^ dx -4 2 ^ I x\/6A — + 32 arcsin +4 ~4 = 8« ( l + l ^ « ) bulunur. 42. Parametrik denklemleri x — a cos0 , y b a sin^ olan dairh nin ox ekseni etrafında dönmesiyle meydana gelen tekerlek hab kanın alanını bulunuz. F. = 2 « y g d s = 2ıcy'(6 + o sin 0 ) \ / ( ^ ) + de Belirli Integra! formülünde 279 = d} olarak ; 2:r Fx 2Tza J 2 (6 + a sin 0) a 60 — a cos 0 2tz 47îâ6 0 bulunur. 43. X = a(Q — sînQ) t y - a ( 1 — cos^) eğrisinin bir kemerinin ox ekseni etrafında dönmesinden meydana gelen yüzeyin alanını Aesaplayınız. Eğri şekil 77 de gösterilmiş olan sikloid eğrisi olup bir kemeri 0 nın (0, 2ti) aralığındaki değerlerine karşılık çizilmiştir; Buna göre aranan a lan : h F == 2tç y d s formülünde : ds = olarak : (1 — cos 0)2 + sin20 dd = 2a sin 2tz F ~ 2ti yâ (1 — cos 0) 2a sin d0 2îc 2tzy* 4 a} sin^ d 2tc = 8tu /I (hV — c ocos^ s - A )j sin c/0 o o 2İ o 8 Tî a2 — 2 cos ö , 2 , 0 + y cos^ Y 2n o d0 280 Yüksek Matematik Problemleri 44. r — a( 1 cos^) eğrisinin kutupsal eksen etrafında dönmesinden meydana gelen yüzeyin alanını hesaplayınız, Egfri kardioid eğrisi olup kutupsal eksene ^öre simetrik olan bir eğridir. O halde kutupsal eksenin üst tarafında kalan kısmının döndürülmesi kâfidir. Bu kısım ise 0 nın (0, tc) aralı ğındaki değerlerine karşılık olarak çizilmiştir. Bunlara göre yü’ zeyin alanı: b F == 2 n J y d s a formülünde ^ = r sin 0 = a sin 0 (1 -f cos 0) ve ds = >Jr^ + cf0 = _________ + c o s 0)* -H a* sîn^0 d0 0 — a \ / 2 ( l + c o s 0 ) d0 =* 2 û c o s olarak TZ F = 2 tî ^ 2a^ sin 0 (1 + c o s 0) c o s - y <f0 0 TZ = 4 tzo} j 4cos^ Y s*" y </0 1/: =* 16 71 2İ 2 cos 0 32 7Çû^ bulunur. 45. 46. J f(^t) dt ~ — f{x) olduğunu gösteriniz. f{x) fonksiyonu /( — x) = — f{x) siyon is e : olacak şekilde bir fonksiyon yani tek fonk -fa Jf(x)dx=^0 olduğunu gösteriniz. Belirli întegral 47. 281 f{x) fonksiyonu /(—x ) = f { x ) olacak şekilde bîr fonksiyon yani çift-bîr fonk siyon is e : -f-a a j f{x) = 2 j f{x) dx -a 0 olduğunu gösteriniz. 48. tt/2 J sin^jr cos x dx integralînî hesaplayınız. Cevap . 7 ’ 24 'ic/6 49. / Cevap : Arcsin X dx integralînî hesaplayınız. - —1 2 -2 50. Cevap : İntegralînî hesaplayınız» \-\-x^ log 5 51. f ~ — dntegralînî hesaplayınız* J li-e2* Cevap ; Arctg e— 52. y* V^l—at2 dx integralînî hesaplayınız. Cevap : 53. / y--------- dx integralînî hesaplayınız. Cevap: ^3 — y / 54. g=.\Ja^—at2 olduğuna göre J g ^ d x = ^ ~ olduğunu gösteriniz. 55. ; r ' ' 2 = q1'2 oldujruna göre J 2ız x“^dy Cevap : — integralini hesaplayınız. 2ıta3 15 r 56, .r = r cos 0, Cevap : TZr2 = r sin 0 olduğuna göre Jy<lx integralînî hesaplayınız. 282 Yüksek Matematik Problemleri 57. 2t:o A'= a(0 — sin 0) ; y — o(l — cos 0) oldu^ûna göre J y dx saplayınız. integralini he* ^ Cevap ! 3 ~ 58. ^2 r= .v^ eğrisi ile x = 5 doğrusunun sınırladığ^ı alanı hesaplayınız. Cevap : 20 V5 59 ^ = sin .V eğrrisinin .v=0 dan x = 7C ye kadar olan kısmının ox ekseni ile sı« nırladıgı alanı hesaplayınız* . Cevap : 2 60. 61. r yarıçaplı bir dairenin alanını integral hesao yardımı ile hesaplayınız. = 4y ve .v2 = 8 — 2y Cevap .; 62. parabollerinin sınırladığı alanı hesaplayınız 64v^3 ^— ^= 1 eğrisinin sınırladığı alanı hesaplayınız. r> 3 tz a b Levap :. --------- 63. _ 8a3 ^ — ^2_|_4a2 c^rrisinin asimptodu ile sınırladığı alanı hesaplayınız. Cevap : 4 'rt o2 64. Parametrik denklemleri A = 3 + cos 0 ; ^ = 4 sin 0 olan eğrinin sınırladı ğı alanı hesaplayınız. Cevap: 4'îi 65. ^(at2 -}-4) = 4 (2 — .v) eğrisinin ox ve oy eksenleri ile sınırladığı alanı he saplayınız. Cevap : TC— 2 log 2 66. y^{x^ eğrisinin asimptödları ile sınırladığı alanı hesaplayınız. Cevap : 4 q2 67. (y — 1)^ = (•«■ — 1)^(4 — a:) eğrisinin halkasının sınırladığı alanı hesaplayınız Cevap Belirli Integral 68. y2 == —L X ...: esrisinin halkasının sınırladığı alanı hesaplayınız. Cevap ; ~7r 69. ^ r = fl sin 2Ö esrisinin bir halkasının sınırladığı alanı hesaplayınız. Cevap • 70. 283 r2 = TCo2 8 cos 20 eğrisinin sınırladığı alanı hesaplayınız. Cevap ; d2 71. r = a(2 + cos 0) eğrisinin sınırladığı alanı hesaplayım;. 9 71 «2 Cevap ; 72. r = 4 cos 6 dairesinin içinde ve r = 2 dairesinin dışında kalan alanı belirtiniz. Cevap : 3 73. r= 2 2 cos 0 eğrisinin içinde ve r = 1 eğrisinin dışında kalan alanı he saplayınız:. 74. r = V^2 cos 0 eğrisinin içinde ve alanf hesaplayınız. 75. Taban yarıçapı r ve yüksekliği h olan bir dik koninin hacım formülünü bu lunuz. 76. r yarıçaptı bir kürenin hacim formülünü bulunuz. 77. ^•2/3 y2'3 — ü2/3 eğrisinin ox ekseni etrafında dönmesinden meydana gelen hacmi hesaplavinız. r == 2(1 — cos 0) eğrisinin dışında kalan P Cevap . 32 _ Tî 78. = a'3 eğrisinin ( o, 0) noktası ile .v = apsisti noktaları arasında kalan kısmının uzunluğunu hesaplayınız. r .. — 26 Cevap 79. Dairenin çevresini veren 2 77 r formülünü çıkarınız. 80. Af = a(0 — sin 0) , V = a(l — cos 0) parametrik denklemleriyle verilmiş sikloid eğrisinin bir kemerinin uzunluğunu hesaplayınız. Cevap : 8a 284 Yüksek Matematik Problemleri 81. AT= c® sin 0 ^ = c® cos 0 eğ-risinîn 0 = 0 ve 0 = ~ ye karşılık olan nok taları arasında kalan kısmının uzunluğunu hesaplayınız. Cevap: 62. — 1) Kutupsal denklemi r = a sec^ ~0 olan eğrinin 0 nın 0 *le ^TC değerlerine kar şılık olan noktaları arasında kalan kısmının uzunluğunu hesaplayınız. Cevap: fl[V 'r + İ 0 2 (\/2 '+ 1)] 83. r = 2(1 — cos 0) eğrisinin uzunluğunu hesaplayınız. Cevap : 16 84. y = z — y/a2 — at2 eğrisinin ox ekseni etrafında dönmesinden meydana jrelen yüzeyin alanını hesaplayınız. Cevap : 2 Tt ö ^6- Va2-Ö2 arcsın 12. 1. SERİLER p > 0 bir sayı olduğuna göre; 1 A -''- A^ 2" "^5'’ . -|-„7 + - 4" serîsinin karakterini întegral testi yardımiyle belirtiniz. Un = /(n) = — olup n in bütün pozitif değerleri için pozitif ve azalan bir fonksiyondur. Buna g-Öre: oo ' A. n'» nP Hm AA->oo A-P 1-p ^ 1 İP ^ l) 1) bulunur. p>l pUTÎ Um PA’^ oo ise 1 —;) negatif ve sıfıra yaklaşarak integral sonlu bir limit değerini alır. Buna göre Întegral mevcut olup seri yakınsaktır. p < l ise 1 — p pozitif ve A^~^ sonsuza yaklaşarak Integ ra! mevcut olmaz ve seri ıraksakiır. p = 1 ise seri : 1-1-4 + i5- + 2 n şeklini alır ki bu seriye harmonik seri denir. Bu ise 00 f J A — = Lim / — « Lim(logA) ^ A -ôo J ^ A->oo olarak ıraksaktır. Bunlara göre /?. serisi adı verilen yukarıdaki serî p > l ise yakınsak ve p ^ 'i ise Iraksaktır, 286 2 . Yüksek Matematik Problemleri 1 . 7t. Genel terimi Un = —w Iğ ~ö~ olan seriyi yazınız ve iniegral testi n on yardımiyle bu serjnin karakterini belirtiniz. S e ri: ta + L ta 4- JL ta ^ 4- _L J_ ta — + dir. olup n nin bu ifadeyi sürekli kıldığı değerler ^ On değerleridir. Buna göre n ^ 5 kabul edilerek: / A S i yani n > ^ 0 (- =- Lim log sec 3n) A-ôo 7ıt I 7tc log (secj5 bulunur; Bu ise integralin mevcut olduğunu gösterir ve buna göre seri yakınsaktır. 3. n ~2 olan serinin karakterini integral testi (n^+4) <yardımiyle belirtiniz. Genel terimi u„ = f j (n”+4)* AÎfoo/(n ’+4)’, 1 !A = Lim I— a“ „ , 2 n*+4 1 = Lim A-ôo olarak integral mevcuttur ve serî yakınsaktır. Seriler 287 SO +, 2 50 . . . karakterini i, Z,. . . ıntegraL . . , testi . Y~^ ~j +. 50 , 50 +. ••• serisinin yardımiyle belirtiniz, = Un C30 5Q 7l(/l + l) 50 dn = 50 logr 2 7z(/i 4-1) olarak 1 bulunur. Bu ise serinin yakınsak olduğunu g;österir. 5. sın TC / . t: , / . T C , / . T î , T* ^ sın — 2 H'— P^ sm — i +‘ T? 16 4 + terini integral testi yardımiyle belirtiniz. Un^ sın serisinin kar ak- TC olup Lim f ^ sin — dn n A->•00J U //(" ) 1 TC TC 1 TC Lim )cos n A-ôo| A 1 Lim (cos 4 + 1 A A-^-oo\ olarak integral mevcuttur. Buna ğöre seri yakınsaktır. 6. 3 4 2+ ^4" 5 serisinin karakterini mukayese testi yardımiyle belirtiniz, Mukayese serisi olarak 2/1 2 ^ genel terimli p serisini alalım, p = 2 olduğuna göre bu seri yakınsaktır; Diğer taraftan verilen serinin genel terim i: Un 71-f~ 1 n‘ olup 7i“f*l ^ 2/1 288 Yüksek Matematik Problemleri dir. Buna göre verilen serinin herbir terimi ele aldığımız p se risindeki karşılığı olan terimden daha küçüktür, p serisi yakın sak olduğuna göre u„ serisi de yakınsaktır. ^ -fl-i-3^ ‘ YTÂ 1+4^2 “I" ' tiniz. 1 ı^c2 + T~rZ2 ~\~ Serinin genel terimi 1+H2 serîsinin karakterini belir- olup bu seriyi p = 2 olan p serisi ile mukayese edelim. _ 1 1+H2 ^ 1 n2 olarak verilen serininin herbir terimi p serisindeki karşılığı olan terimden daha küçüktür; p » 2 olan p serisi yakınsak olduğuna göre verilen seri de yakınsaktır. 8, Genel terimi Un = (2n -\-ip olan serinin karakterini mukayese testi ile belirtiniz. Bu seriyi = 4 olan p serisi ile mukayese edelim ; ~ (2n+l)« ^ n* olarak p ^ 4 olan p serisi yakınsak olduğundan u„ serisi de ya kınsaktır. 9. /+ + y y j + / j j 'y Un ^ serisinin karakterini belirtiniz. nl 1.3.5 . . . ( 2 n - l ) olup «n+ı ( n + l) l 1.3.5...(2/ı — 1) _ n + l « 7 “ 1.3.5...(2n + 1) nl 2n + l ve Seriler Lîm n->-oo = Lim n-ôo ' * 289 = ~ < ı olarak seri yakınsaktır. 10. Genel terimi ı/^ = —r olan serinin karakterini belirtiniz* n! M/ı+ı ^ (n + 1 )^ j n! ^ (^+1)^ ^ (n-f-l)l ^1 (n + 1)! ^ n+ 1 n^ n^ ve î • ^ 4" 1 Um “ n+ l = Um = 0<1 Ti—►OO n‘ Ti-ÔO olup seri yakınsaktır. 11 . Genel terimi Un — n (n + 1 )( n-\-2) olan serinin karakterini 6e- lirtiniz. Vn = serisini göz önüne alalım. Un _ n- ^ .. n^ 1 5^ 0 olup Un ve Vn serileri ayni karakterdedir. Halbuki Vn = ^3 seri si p = 3 olan bir p serisi olduğundan yakınsaktır. Buna göre Un serisi de yakınsaktır. 12. ^ ' + Serinin genel terimi Vn — + .. serisinin karakterini belirtiniz. +1 olup bu seri genel terimi olan seri ile mukayese edilirse her n için Un<Vn ol duğu görülür. Halbuki , p > \ halindeki p serisi olup yakın saktır. Buna göre u„ serisi de yakınsaktır. 290 13. Yüksek Matematik Problemleri n \Jn Genel terimi Un = —---------s ,------ olan serinin karakterini be~ rn -/;V n " + / lir tiniz» n,n 1/2 n.n 4/3 Vn = 1 kabul ederek: n 3 . n W _ 7 1 -1 * \/ n sjnf n sİ n Lim — = Lim —^ \J . ' i = 1 n -> oo ^ 1 V n ^+ l ve 0 n -> 0 0 bulunur. Buna göre Un ve serileri ayni karakterdedir. Halbuki ^ serisi /)< ! olan p serisi olup ıraksaktır, O halde n5/6 serisi de ıraksaktır. Vn 14. TZ Genel terimi u„^tg-j=:. olan serinin karakterini belirtiniz. \!n TC Vn — -7= kabul ederek : \Jn tsr Hil Vn jrç_ v/n TZ ve Lîm İg J L y/n \Jn - 1 7^ 0 TC \/n olup beriki seri ayni karakterdedir. Halbuki TC TC = -p - == - y j - serisi ıraksaktır. Buna göre u„ serisi de ıraksaktır. 15. Genel terimi Un = sîn^ — olan serinin karakterini belirtiniz, n Vn Un Vn n^ . 3 1 sın^ — n 1 71^ kabul edilirse: r sın . 11 — n n 3 ve Lîm — — Lîm. r sın . 11 — n ~ ÎT n İTÔ olarak her iki seri ayni karakterdedir. Halbuki serîsi TT p = 3 olan bir p serîsi olduğundan yakınsaktır. Buna göre Un serisi de yakınsaktır. 16. 7w Genel terimi Un~ I c o s — olan serînin karakterini belirtiniz, n = i kabul ederek : n* 1 — cos 2sîn^ Un TZ sın 2n Tt 2n •Vn n2 ve % 2n TZ 2n sın Lim îîî- = Um ^ ö-ôc^« «-►oo ^ T - » bulunur. O halde Un ve Vn serileri aynî karakterdedir. Halbuki Vn^ ^ serisi p — 2 olan p serisi olup yakınsaktır. Buna göre Un de yakınsaktır. 17. Genel terimi Un — tg olan serînin karakterini belirtiniz. Birinci yol: TZ U n+l Un ^ 2n+l ^/l 2"+ı 1. ^ 0/1 ve ir tg 2/1+1 Lim n-+00 = Lim 2"+ı 292 Yüksek Matematik Problemleri i. , ^ it TZ 2 «+ ı 7Î 71 ~2^+T 2 « + “ı “ Lım n -*-a o = 4. ^ < 1 Lim . /ı-► co ^ ^ ^ 7Î n 7Î 2" 2 ^ 2 ^ olarak seri yakınsaktır. TC İkinci yol : - t ?^ 2 -" 2" fgr 2 " n 2« 1 0 2" 2"' bulunur. Buna göre u„ ve ^ kabul ederek ..i. T %rv% Ltllll ve Lim — — n-*-00 n-^00 TC Vn == 7C 1 * 2” serileri ayni karakterdedir. Halbuki serisi ortak çarpanı ~ olan bir geometrik dizi olup yakınsaktır. O halde Un serisi de yakınsaktır. 18. n+ / Genel terimi Un n ^ yjnUn 1 ,3/2 n + 1. / — = ------ y Vn n y - olan serinin karakterini belirtiniz. kabul ederek \ ^ n^ + n^ 2 _r r 3 n ^ + l ,. Un — . ^ 1 ^ 0 olarak her iki seri ayni karakterdedir. Halbuki v„ serisi p= 3 olan p serisi olup yakınsaktır. Buna göre u„ de yakınsaktır. 19. --------f4,7 16,2 ^ “ ... serisinin karakterini belirtiniz, 64,3 Seri alternatif bir seri olup 1 u„^ı 1 < | u„ | ve LimuA--0 n-^’oo olarak yakınsak bir seridir. Seriler 20. 293 / “ olan sonsuz serin‘ (2 n -iy ler veriliyor, Un serisinin toplamı S ve v„ serisinin toplamı A ol duğuna göre : Genel terimleri Un = 5 -/4 = 4 4 olduğunu gösteriniz, S == 1 + 1 3âr -* + ^4^ + — + ~2 + — 7 L A - 1+ L 11 1 + ... olup : ^ __ î__ î __ ı _ A . 2^ ^ 4^ ^ 6^ ^ l l ı + A 22 -t- 2 J + l ^ 32 + l . ^ 42 ^ 1 — J ve buradan S - A == bulunur. Aşağıda gene! terimleri verilmiş serilen yazınız ve ıntegral veya mukayese testim uygulayarak bu serilerin karakterlerini belirtiniz. 3 21. n>Jn 22. (n-t-l)(n+2) 2/1 + 3 23. Un — /ı2 + 3n + 2 24. Un = 25. Un = 26. Un = Cevap : Yakınsak Cevap : Yakınsak Cevap: Iraksak Cevap: Yakınsak Cevap: Iraksak Cevap: Iraksak /ı~l y/n(n+l) 1 n + 100 294 Yüksek Matematik Problemleri 1 27. Cevap : Yakınsak Cevap î Yakınsak n Cevap: Iraksak logf (n+l)3 Cevap: Yakınsak Cevap : Yakınsak Cevap î Yakınsak : Yakınsak loff n n2 Cevap : Yakınsak n* Cevap ; Yakınsak 2n + 5 28. 29. 30. 31. 32. 33. n “" = ?r "“ “ Un == 34. 35. Un n +1 0. 2" n Cevap = nl Aşağıda genel terimleri verilmiş serilerin karakterlerini belirtiniz. Seri ya~ kınsak ise mutlak yakınsak veya şartlı yakınsak olduğunu açıklayınız, ___ nl.î 36. ““ - röî 37. Un 38. - - ■ ( İ T 39. 40. Cevap: Iraksak 10" Un = (-1)" V^n ( ~ ır Un Un 42. Un = 43. Un 44. Un = Cevap: Mutlak yakınsak Cevap : Şartlı yakınsak Cevap : Mutlak yakınsak n \Jn 41. Cevap: Iraksak (-1)" n2 2" (-1 )"-^ (4/3)" 7i2 n . 7î! (~ ır ~ ^ »! 1 . 3 . 5 . . . (2n—1) Cevap : Mutlak yakınsak Cevap: Iraksak Cevap : Mutlak yakınsak Cevap : Mutlak yakınsak Seriler 45. Un = Cevap : Şartlı yakınsak n \Jn _ (-1)" . 2 . 4 . 6 . . . (2n) 1 . 4 . 7 . . . (3n - 2) 46. Un — 47. Un = 48. Un 49 Un = 50. a: 295 Cevap : Mutlak yakınsak (-1)"” ' . n «+ ı (—1)" (6n2 - 9n + 4) n3 Cevap: Iraksak Cevap ; Şartlı yakınsak (-1)”+* İ0î(n+1) •/I + l Cevap; Şartlı yakınsak A-^ , a" - “j* X— ■j” ------Y + ••• serisinin yakınsaklık aralığını belirtiniz^ / Serinin genel terimi: ı z „ - ( —1)"^^ Lîm Wn+1 = Lîm n-ôo «n /l~>00 2/1+1 2/1 — 1 olup 2 n -l 2 n -l a: 2n - 1 =» Lim n->oo 2/2 + 1 bulunur. Serinin yakınsak olabilmesi için a:^<1 olması gerekece ğinden yakınsaklık aralığı — K ac< + 1 dir. Ancak sınır değer lerinin aralığa dahil olup olmadıklarını incelemek gerekir. X — 1 için seri : _ n . L _ l ^ 3 5 ^ 7 + l _ . şeklinde alternatif bir seri olarak | ı/„+ı | < | «« | ve Lîm u„ = 0 7I-+-C30 olduğundan yakınsaktır. a: -= + 1 için seri : ^ 3 ^ 5 7 şeklinde alternatif bir seri olup ayni sebepten yakınsaktır. Bun lara göre verilen serinin yakınsaklık' aralığı ? — 1 ^ a: < dir. + 1 296 Yüksek Matematik Problemleri 51. 1 1-3 2 ^ 1'3'5 3. 2 ^ 2 .4 ^ 2.4.6 * lirtiniz. serisinin yakınsaklık aralığını be' Serinin genel terimi u„4., I Lim n-^co “« 1 2:4.6...2n ^ |1 .3 .5 ...(2 n -l)(2 n + l) 2.4.6...2n M-► »OO !! 2.4.6...2/i .(2ti+ 2) ’ l . İ 5 . . ( 2 / . - l ) ^ /» 2n + 1 X = Lim 2n + 2 /|-^►00 2n 4- 1 2n + 2 ~ Lim n-*-co \ X \ ^ \ x\ bulunur. Serinin yakınsak — 1 < a: < + 1 olmalıdır. olabilmesi için < 1 yani Diğer taraftan: ^ — 1 için seri ıraksak, X = + 1 için seri yakınsak olduğundan serinin yakınsaklık aralığı; < +1 dir 52. (x + 2 ) — Y ( x + 2 f + ^ (x + 2 / - ^ (x + 2 / + . . . . serisi^ nin yakınsaklık aralığını belirtiniz, (x + 2Y Serinin genel terimi: m„ = (-- 1)"^^-----olup Lim n->co = Lim 71-►30 = Lim 71-► 00 (x + 2)"+' 71+1 n+1 (x + 2) {x^2y +2 I dir. Serinin yakınsak olabilmesi için | x + 2 1 < 1 — l < x + 2 < - f l veya — 3 < x < — 1 olmalıdır. Ancak sı nır değerlerinin aralığa dahil olup olmadıklarını belirtmek iizere ayrıca inceleme yapmak gerekir. 297 Serîler AT= 3 için seri: 2 3 4 ' * * şeklinde bir harmonik seri olarak ıraksaktır, X ^ — 1 için seri: ı~ Y + T - T + ' ' ' şeklinde genel terimi sıfıra yaklaşan ve herbir terimi kendinden evvelkinden, mutlak degfer bakımından, daha küçük olan bir al ternatif seri olup yakınsaktır. Banlara göre verilen serinin yakınsaklık aralığı: dir. 53. + / _ 1 jn+r 1 • s • s (2n 3)^ * 1 .2 .3 ...(n - I ) "" ı serisinin yakınsaklık aralığını belirtiniz. Lim *^n+l = Lim /ı-ôo n-ôo •«= Lim n-ôo 1.3.5..(2n-^3).(2/ı-l) 1 .2 .3 ..(n -l) .2 1.2.3,..(n-l).ıt ■ 1.3.5..(2n-3) 2 n -l n UM = 2 I olup serinin yakınsak olabilmesi için 2 U ’ I < 1 olmalıdır: Bu* radan ise | jcM < y yani | a; | < - ^ elde edilir. Diğer taraftan 2 ^ 1.2 2* x 1.3.5 1.2.3 veya — ~ < x < + ^ 1 -7=.- ve v/2 1 , 2^ 7Î3 + ( - 1) a: , 1 . . . = T -77=- için s e n : \İ2 — -t- 1.3.5.. (2 n -3 ) 1 1.2.3.. ( n - l ) 2'*-* şeklini aiır ki bu da herbir terimi, mutlak değerce, kendinden evvel gelen terimden küçük olan ve genel terimi sıfır limitine 298 Yüksek Matematik Problemleri yaklaşan bir alternatif seri olarak yakınsaktır. Buna göre veri len serinin yakınsaklık aralığ ı; -------p = ^ AC ^ "i----- s/2 \/2 dir. 54. ( x —2 )— ^ (x —2 y — ^ ( x - 2 y -{-... serisinin ya* kınsaklık aralısını belirtiniz, Serinin genel terimi ı/„ Lim n-^-oo Un ( a: — 2 )" (— 1)"+^ ^ o l u p : (x - 2)"+> (n + l f ■( ^ - 2 ) " = Lim n->oo 2) - I at- 2 = Lim n“>oo dir. Serinin yakınsak olabilmesi için |a:—•2|< 1 yani —K a:—2 < + l veya K a: < 3 olmalıdır. Şimdi de aralığın sınır değerlerinin ara lığa dahil olup olmadıklarını inceleyelim. jc = 1 için s e r i: -(ı + ^ + ^ + ^ + şeklinde bir serr olur ki bu da p = 2 olan p serisi olup yakın saktır. a: = 3 için ise s e ri: 1_J_. J _ _ i + şeklinde bir seri olur ki bu da yakınsak bir alternatif seridir. Bunlara göre verilen serinin yakınsaklık aralığı: 1 < a: < 3 dür. 55. /+ ;r-2 , (x ^ 2 y , ( x -2 ) 2-------1------- ş------h ........ aralısını belirtiniz. serisinin yakınsaklık 299 Seriler _2)'* -------- - olup n Serinin genel (erimi Lim -H!î±İ = Lim /l-ÔO (x ı n+ 1 * (.r — 2)" = Lim n U ~2 n+ 1 n-*-oo a: — 2 dir. Serinin yakınsak olabilmesi için [ a: — 2 I < 1 yani — 1 < X — 2 < -\-l veya + l < a: < + 3 olmalıdır. Şimdi de aralığın sınır değerleri için serinin karakterini belirtelim, .V- 1 için sen ; 1—Y + y — y + ... şeklinde bir alternatif seri olup yakınsaktır. ^ == 3 için ise seri: 1+ y + y + şeklinde bir harmonik seri olup ıraksaktır. Bunlara göre verilen serinin yakınsaklık aralığı: 1 < a: < 3 dür. Aşağıda genel terimleri verilmiş kuvvet serilerinin yakınsaktık aralıklarını belirtiniz. 56. Mn = x “ Cevap : - ! < * < + ! 57. «n = (2*)" Cevap ; - y < * < + 2 68. Un 59. Un 60. Un 61, Un 62. Un — nHx — 1)“ 63. Un (-l)" -> (* + 4 )" 3".n2 Cevap : - 3 < * + 4 < + 3 64. Un ( - l ) ” +‘(n!)2(*--2)" 2"(2n)! Cevap : —8 < a— 2 < (* -!)" 2".n3 ^ ( a:4 -2 ) " \/n Af” (— 1)”(3/2)" at" n+ 1 Cevap : - 2 x - l ^ +2 Cevap ; - 1 < at + Cevap ; — 00 < Cevap î 2< + 1 < + 00 2 2 + -J Cevap ; - l< A r ~ - l< + l t 8 300 Yüksek Matematik Problemleri 65. Un 66. u „ = -----j— 67. ( - l ) " “ V fil(3 /2 )V 1.3.5..(2n — 1) Cevâp: — -|■ < â r < + y Cevap : — ( - 1)°~* jr» Cevap : — ( n + l) lo j r (n -h l) 68. ın~li “" = ------- ------------- 69, f(x ) = Cevap: — *) fonksiyonunu serîye çığınız^ /(O) = 1 f ( x ) = - ^ (e* - /'(0) = 0 h 1 f ( x ) ^ - ^ ( e ^ + e -‘) m rM 1 ( e '- e - ') = 1 / ”'(0 )= 0 olarak ; / W = / ( 0 ) + ^ / ' ( 0 ) + | f/'(0 ) f den : T < ‘' + <’- ^ > = ' + ^ - + ¥ + - + ( S î bulunur. 70. y = Arcsinx fonksiyonunu seriye açınız, f (^) = Arcsin ;r /( 0 ) = 0 f'(x ) = ;c(l - m = 1 /'(O) = 0 f"(x) == (1 f^ ( x ) = 9j«r(l f \ x ) = 9(1 - + 3a:M1 + 15;t^(l — x>)-'’'^ + 90 ;c* (1 - x^)~'''^ + 105a:<(1 — /"(O) == 1 /•''(O) = 0 /''(O) = 9 301 Seriler olup Mac-Laurîn serîsinde yerlerine konursa: A . ,1 Arcs.n.r = ^ + ^ . + ' T 1 .3 274 1 .3 .5 5 ^ 2 . 4 . 6 ,2n-l 1 .3 .5 ...(2 n -3 ) 2 . 4 . 6 . ..(2 n -2 ) 7 ^ ' 2 / 1 — l " * " '* ; bulunur. 71. y ^ l o g ( x + \ 1 x ^ ) fonksiyonunu seriye açınız. f{ x ) = log ( x + \/ h 7 ? ) /(O) = o / 'W = (1 + a: V ' ' /'(0) = 1 f ( x ) = - X(1 + x'‘)-^ı^ /'(O) = 0 f"{x) - - (1 4- /'(O) “ - 1 + ix^ (1 + f'^(x) = 9.r (1 + x^)-^'^ - 15 (1 + /*v(0) == 0 f \ x ) = 9(1 + jt’)-* /* - 90;c’ (l + x^y'ı^. + 1 0 5 AT^l + /v(0) = 9 olarak X X'' ÎT ■ 3! + 1 i' . 9 a:* 5! 1 .3 2 ' 3 ‘^ 2 . 4 ’ 5 1 .3 .5 2 .4 .6 Jt' ‘ 7 + bulunur. 72 . y — fonksiyonunun seriye açıltmnın ilk üç terimim belirtiniz. 1 /(*) = ch;c shjt ch*jc /V ) = sh^jı: — 1 ch’.r /(0 )= ı f(0 ) = 0 m - -1 302 Yüksek Matematik Problemleri nx) ^ 5 sh AT— sh^Jt ch^jc f(0 ) - 0 5 - l Ssh‘^x + sh^x ch^x /'V(O) = 5 olarak: Sx^ y2 ch bulunur. 73, y~xe fonksiyonunu seriye açınız. V ı+ ^ >2 y3 + ^ + + ^ r + l ve e-" = 1 X , X^_______ ________ x^ u -L 1! ^ 2! _l 3! ‘ ••• ^ ^ ı nl olup : ^ x ‘ . x^ x^ . . (— n! bulunur. 74. f( x ) ^ e^sinx fonksiyonunu seriye açınız. m m f 'M - e*" sin a: = e"'(sin X + cos x) = 2e* cos a: rw = 2e*(cos X — sin x) /'(0 ) = 2 / ”(0) = 2 f(x ) = — 4 e*"sin a: — — 4f(x ) n x ) =-- - 4 f \ x ) n ^ r) = - 4 r (x ) r * w = -4r(x) ■r'^(x)= - 4 /'V ( x ) r w olarak : f(0 ) = 0 = 1 /'V(0)= 0 r(o ) = — 4 n o )-= 8 r \o )= 8 /v ıü ( o ) 0 Seriler . . e sıtiJt X , 2.r’ . 1x'^ jj- + 2! 3! 5! 8 at« 6! 303 , 16.r» , " 7 f ^ 91 dir. Aşağıdaki serilerin» hizalarında belirtilen aralıklarda» verilen fonksiyonla rın açılımları olduklarını gösteriniz. a-3 75. sinA: = A: —^ 76. _ 1 cos AT— 1 77. a* = 1 + Aflogr 0 + ^ log2 a + 78. v2 ex = l + ^ + | 79. sınoAf = aAf —... at4 4! 2! (at în her değ-eri için) (.V in her dejferi için) 6! x2 21 (a: in her değeri için) (ajc)S + v2 (at in her değeri için) 51 ;|'3 v2 v4 v4 togd 82. (fl+*’)"=«"4"W a" 83. v3 v5 ;p7 Arctg Ar= Af — 3 + y — y 84. sin2Af = Af2 — 85. , / logAf = (Af 86 . sın : = sın a + (Af 87. ex+h= ex 88. 4” 4 3 ■— 1 2 ;ı;2 2 (a>0) ,, ( at 1) at^ +I ^ Af<+1 1 —a<Af<4-0 -l< A f^ + l +... a yi 2 X -K v3 81. x)— (a* in her dejferi için) v3 (aAT)3 80. log3a + . (x in her değeri için) — 1 )2 2 + ( a: - - 1 ) 3 (AT-a)2 . n) cos a + A+ ^ + 0< at^ 2 3 (x in her değeri için) a —.. +•••) (h ın her değeri için) o n d a lık d o ğ ru ola ra k h esaplayın ız. / ( 6) = /(« ) + ^ f ’i a ) r r (a ) + ... 4- __ g l— /("+') (jc,) ^ (n + 1)! > 304 Yüksek Matematik Problemleri formülünde f {x) = , a = 8, 6 = 7 ve 6 — a = — 1 olarak; f(x)~xy^ , f (a) = 2 f'(x ) = y , f'(a) = - - 0,0833 33 = - i- = - 0,0034 72 9 .2 ^ 8 lV n x ) = - t81 ?- / ' wV N-/ {a) 2,0000 00 = - 0 ,0 0 0 2 41 = - 0,0000 20 41 elde edilir. Diğer taraftan: 880 a:iV3 880 2 4 3 2 4 3 V ve 7< x,< 8 , xx^!^<2 , ;rı5> 75 = 49 X 343 olup o < -^ :^ < 51 '2 4 3 .4 9 .3 4 3 .1 2 0 250000 =0,000004 ve (b —• aY ~ “T 1 olarak: - 0,000004 < R4 < 0 dır. Buna göre yukarıki değerlerden: V 7 - 1,9129 olarak bulunur. 89, ün hesabı için e^ serisinin ilk beş terimi kullanılmış olsa yapılan hata ne. olur? „n+l X , ®' = ^ + TÎ + 2 f + 3 r + - + ;â + olup h a ta : ,n+l ■ '- ö r n i i ''' '» o o » dir. Bizim problemimizde n = 4 ve x = olduğuna gö re: Seriler 305 s R= î- e ® 29160 5! dir. O <0<! oİup 0a: in en büyük değeri 0 nın 0 — 1 değerine karşılık olanıdır; Buna göre: 1 R < 29160 3^/3 29160 R < 0,00005 bulunur. 90. X i hangi değerler arasında seçmelidir ki cos x yerine / ----- x^ alındığı zaman yapılan hata 0^0005 den küçük olsun? cos a: = 1 — y X ' + ^ / ‘''(0 a:) “ 1 — y ac* + ^ cos0a: olup R| = ^ cos0a: < ■îl < 0,0005 24 < 0,0005 24 1 < 0,012 = a: i < 12 0 10000 V l20 10 X I < 0,33 radyan AT 1 < 18*57' olmalıdır. t 91. / 1 -e -^ x^ dx integralinin değerini seriler yardımiyle üç onda^ lığı doğru olarak hesaplayınız. 306 Yüksek Matematik Problemleri y ^' = ^ + F + ¥ + 3 f + l r + -X* __ 1—c , X 1! ■'■21 .6 , jc'* ^ “I” 3l Ol -V 1 -e 3! 1 ’1 J 4T 5T “” *' - a*2 ^ / ^ j_ f!İ_ 31 41 X'A . “4* Âi “!“••• —at2 , _ , ^ 3.2! ■*■ 5.3! 7.4! ^ 9.5! 1 1 , 1 1 3 ‘ 21 5 ‘ 3! = 1--^+-!6 ^30 '•• . 1 1 , 1 1 7 ’ 41 9 ’ 5! J _ + J _ 168 ^ 1080 s 1 - 0,166 66 + 0,033 33 - 0,005 95 + 0,000 92 s 0,861 64 olup üç ondalığa kadar doğru sonuç 0,861 dir. 92. e~0,2 yi beş ondalık do^ru olarak hesaplayınız. Cevap: 0,81873 93. e0»2 yi beş ondalılc do^ru olarak hesaplayınız. Cevap: 1,22140 94. cos0,5 i beş ondalık do^ru olarak hesaplayınız. Cevap: 0,87758 95. (0,91)^'2 u beş ondalık dojfru olarak hesaplayınız. Cevap! 0,96905 96. sin 2** yi dört ondalık doğru olarak hesaplayınız. Cevap: 0,0349 97. sin 48° yi dört ondalık doğru olarak hesaplayınız. Cevap : 0,7431. 98. J 0,4. :: dx integralini dört ondalık doğru olarak hesaplayınız. D 99. Peryodu 2% olan f(x)==x fonksiyonunu — fourier serisine açınız. Cevap; 0.3797 aralısında Seriler 307 Fonksiyonun eğrîsî şekil 110 da g-österilmîş olup l—lî -0 ; -l-1t ^ ICX cos nx dx = — On = — %J 1 = — • n:r Arsın X +7Î -Tl 1 /* sin n x d x = 0 ; -------- I —t: +• n x d x = -------- \ x cos ha: + - + İ / - COS oa: «/a: IZ'X sı sin -TC - l - L COSniî —( — Tc) C 0s(— TITC) H7C[ — -------COS mz n ve 71 çift ise cos hti = + 1 : n tek ise cos titî == —-1 olarak * f{x) = 2 jsin a: — -^ s in 2 ^ + ^ sinSjc ----- ^ sin 4a: + ... + (-1 ''^ sın . nx 4-... ---- )" —— n bulunur. Fonksiyon tek fonksiyon olup oo ve a„ lerin, daha ev vel, sıfır oldukları söylenebilirdi. 100, ( — TZ,0) aralısında f ( x ) — — x ve (Ot ti) aralığında f ( x ) ~ x olan peryodik f{x) fonksiyonunu fourier serîsine açınız. Fonksiyonun eğrisi şekil 111 de gösterilmiştir : Fonksiyon çift fonksiyon olup 1er sıfıra eşittir. 308 Yüksek Matematik Problemleri ao O — Ty TZÇn = j ' f(x) COS i/AT —t: it 2 I X COS ha: dx / 0 ^ 2 r . = 2 — a : sin nx ------ / s ısin n o nJ = —^ t ia : dx (1 — COS n n ) 4 ve n çift ise a„ = 0, n tek ise a„ ----------- 7- olarak: 7C71^ /(jt) l^ c o s ^ ^ COS 3 a: + COS 5 a: + ............ j bulunur. İOl. f"—7t, aralığındaki bütün x değerleri için ( — tî, 0) aralığın^ da f ( x ) = — / ve (0, tz) aralığında f{x) — / olan f(x) fonksiyon nunu fourier serisine açınız. y 1 Fonksiyonun eg^risi şekil 112 de gösterilmiştir. Fonksiyon tek fonksiyon olup ao ve a„ 1er sıfıra eşittir. Tzb„=^ j f { x ) sin nx d x= 2 j sin :rt '2n •1 0 ;2n 3n % -n Şekil 112 t ia : </ac = (1 — cos n it) ve n çift ise bn ---= 0, n tek ise bn — ------ olarak n 7î / ( a:) bulunur. ^ ^sin a: + sin 3 a: + -y sin 5 a: + ... . j Seriler 102. peryodlu f{x) ~ fier serisine açınız. fonksiyonunu (— 7î, 7î) aralığında fou- 2 tz Fonksiyon çift fonksiyon olup ûû = 0 dır. f{ x )d x ^ ^ f(n ^ -x ^ )d x 0 0 _ Jl__ 1 2 TZ ^ \T1 Ti |0 “ V 7C TZ f (tî^ — A*^) COS n Vdx 0 Tt t: - h 0 ^7b^COS 7ZA'dX'— ^ ^1 x^ c6 sn xd x 0 TZ 1 . ^ 2 / = 27b 1 — s \ n n x ------ / x^ COS nx dx ^ 0 == — — f x^ cos nx dx ; - J . 0 / / x^ COS nx dx = — sin n x ---- f x sin nx dx ; 71 n J ;csin nx dx == — ^ cos n tia: + — /*cos n x d x ; \^ J X cos nx -f' 1 sın• nx ; -----n n / x^ cos n x d x 309 A'“ 2x 2 — sin ha: -1— 5- cos n x -----^ sin n x : n id Tl Q = — — / x^ cos nx d'x 0 2 \ x^ 2x 2 ----------— sin tia: H— ^ cos n x ------- ^ sin nx lî 7z n^ n^ 310 Yüksek Matematik Problemleri 2/27: \ 4 = ------“TT- cos m : = --- ----;r cos ht: t: J olarak .. /W . 2tî2 , 4 = ^ + 4 t t cos 0 1 ^ 0 2jc + Q2 32 c o s 3a: — ^ — 22 .. . bulunur. 103. 2 t: peryodlu f{x) = fonksiyonunu (—tt, +7r) aralığında fourier serisine açınız. Fonksiyon çift fonksiyon olup = O dır. X^ Tî''* . İ2 lo ~ 1 2 ’ 0 TC f^ '4 TC cos nx dx —-7—— / x^ cos nx dx 2ız J 0 0 ve f X' cos nx dx = —sin nx— ^ f x sin nx dx J n n j = —sin ha : + -5 n n' a: cos 2 r n . - ^ J COS nx dx 2 2 — sin 72a:4---5" x cos n x ----^ sin nx n n^ olup : On 2 7: \ x"^ 2 2 — sinÂrH— 5-a: cos ha : ---- ^ sin nx n n^ n^ I 2 tz = -7;— — 2 tz y n^ ve n çift ise On= ^ 7c^ bulunur. \ 1 COS rnz \= -j cos n t, ) n^ ; n tek ise o„ = — ^ n cos X . cos 2 + 2' a : olarak cos 3.Y 4" 32 . •o ♦ o Serîler 104. 311 2 tz peryodlu f(x) == e^* fonksiyonunu (—t:, + ti) aralığında fourîer serîsine açınız, +7T e27i: _ ^-2% 1 ,2r -f-Tî 4 TC — TZ — TC + 7Î a„ — ^ f e^"" cos n x d x olup; ^J cos n x d x = - ~ J sin ha: — sin nx dx ve : sin n x d x ^ cos n x d x — ^ f J cos n x n n j I e*' cos n;c c/a: sin ha: + -^ e^* cos n x n n^ cos nx dx n'^+ 4 r I e^ \ cos n x d x — e^ I “ Sin n x - \ - j ^ cos ha: 1 olup ^ C 2. I /ı2 e2" /1 . , 2 ' t e^ cos nx dx = \ . o—, .v — sın nx-\— ? cos nx On = — TzJ I TC(n2+4) 71 71^ —TC , = sin nu + I cos n::] - 7 ö .• tc(ti^+4) Tc(n2+4) r 2 2TC 2 _2^ *1 —7 e cos 727C------»e cos 717C n^ | — e~2^)cos nîc dir. 4-t: 1 /’ 5/, — — / sin Tijc djc olup J +1C —TC s in ( - nn) 4- = \ COS(*- 7l7c)j 312 Yüksek Matematik Problemleri T sin nx dx ---- ^ e^*"cos nx + ^ j c‘^'cos nx dx J cos nx dx = y* sin n xd x ^ e^^sin nx — ^ j * s i n nx dx e^' cos nx + ^ c-* sin nx — c^*sin n x d x — ^ c^^sîn nx^— f 71^ J + TÎ bn = ^ f e^'cos nx ve ^ +TT 2 1 -=- «^""sin n x ------ e^'cos nx ” Tç(n^+4) rr n —n e^s\Tinx dx —7Î 7c(n^+4) n c^'sîn nx dx - c-2^ .-2ir_ e^’')CÖS ^27: 727Î n cos mc n^+4 o larak : /w = gîTt _ g-27C 2(6^^ — 4 tî rcos X [v+ 4 TC S [sin [ î ^ COS 2jc . cos 3jc 2H 4 2sin2.Y . ““ ] 3*+4 3 sin 3 a: 3^+4 1 •••] bulunur. 105. TZ Ö<AC<« İçin f(x)== "Y ^ ^ —TCÂf^ö /pm / W = TC olan 2tİ peryodlu f(x) fonksiyonunu fourier serisine açınız^ Fonksiyonun eğrisi şekil 113 de gösterilmiştir. Fonksiyon çift fonksiyon olup 5„ == 0 dır. Seriler 313 sın nx ----^ / X co sn xd x == - ^ ( 1 — cosnTî) n 0 J ve n çift ise o„ = 0 , n tek ise o„ === —^ olarak : 4 rcosA: , CCS 3a: . cosSjc 3* + ^ l /w = bulunur. 106. — T Z < x < 0 aralığında f{x)= /K -{-x ve 0 < x < tz aralığında f(x) ~ TZ— X olan f{x) fonksiyonunu (— ir, tî) aralığında fourier serisine açınız. Fonksiyonun eğrisi şekil. 114 de gösterilmiştir. y •3jr *2« ‘K o Jt 2n 3n X Şekil 114 U (10= 7Î + x ) d x + I {n — x)dx^== — U TC fl/ı = ^ l^y (î5 + ^) cos nx dx -jr (t: — x) cos nx c/acj —Tî TZW (1 — COS mz); U ( iî + ^ ) 'Sİn nx d x J TZ (tz — A:)sin nAcc/Afj^Ô —TZ olarak . TZ , 4 /cos a: , cos 3a: , cos 5a: /W — ^ + - ^ r - + - 5i bulunur. 314 107. Yüksek Matematik Problemleri (—“Kf 0) aralısında f{x) — 0 ve (0, n) aralığında f(x) - x olan peryodik f{x) fonksiyonunu {--'Ki-\-%) aralığında fourier serisine açınız. Fonksiyonun gösterdiği eğri şekil 115 de gösterilmiştir. 1 r / oo 0 y -TC -U jr / 0 'K , 1• 27c | , Qdx + :/ -jt 0 L / 7t 2 lo “ 4 ’ 2n 3xc X Şekil 115 TZ t: 1 r 1 1 •. 1 /' ------ / — A'sın 72A' ■ TZ Ll 72 0 J 0 t: 1 _ı_ r 1 1 1 — cos nK — 1 ------ cos nx 7 2J n “Kn I Tzn 0 L " 1 ^ r , T- —r if X cos nx a x 71 J 0 - = ---7 - — — (COSHTÎ — —1) ve n çift ise a„ — 0, n tek ise Un —1 TIIV lc X sin sı• nx dx ~ dir. Diğer taraftan ; n olarak: f{x) = COS a: + S in a: ( 2 + (~ 7 F « sin 2x , sin 3x \ , "■ “ 3“ J bulunur. 108, Eğrisi şekil 116 da gösterilen fonksiyonu fourier serisine açınız. Fonksiyon çift fonksiyon olup = 0 d ır; y 0 -1 _ 1 Şekil 116 x.| Seriler 315 flo o 271/3 ve 7X/3 a„= j^y — cos;ijc</a: + O to s n xdx 2ır/3 2 I1 u[ 1 7t/3 , sin nx TC + 1 71 0 2 - / . 717:, . 2m:\ = — — sin sın -:r-T- + sın ^ , 7t/l i 3 y ^ sin nx 2 tc/3. 4 . n t: ------ sın ti — cos n — 7Î71 olup 71 çift ise (7„ = o , 71 tek ise : 2\/--3 > ^ û ^ -----03_—Aü , * ^ _—. +2 \— / 3- as t: .1 71.5 olarak ; f{x) == - ^ ^cos a: — cos 5 .r + cos 7x — " cos lL r + ... bulunur. 109. 2 tî peryodlu y = fonk siyonunu (— Tî, -|-^) aralığında fourier serisine açınız. C ev ap : f i *- 110 . n = l — A'2 — TlA — tc^ a' ^ O jc2 — 7C,V İçin f{x) — -------2 ------ iç*a /(-r) = “ ^— 2 ----- fonksiyonunu fourier serisine açınız. Cevap: 11 1 . 4 / sin X , sin 3 a , sin 5 a . \ /(A0 = - - ( ^ - Y r ' ' ^ “‘ 3 3 ~ + ~ ^ ' ^ * ’7 7^2;^*—a3 (— t:, + 7 î ) aralığında /(a) = ------^ /(•'') fonksiyonunu fourier serisine açınız. 00 C evap : /(a) —.4 ^ ( — l ) n ~ l sin nx n = l 112. 0^ aralığında f { x ) = x ve 7t^;^'^27w aralığında / ( a ) = 2 tî— a olan fonk siyonu fourier serisini açınız. C evap : /(a) = 71: y 4 / — — ^ cos a + cos 3 a 3'^ , c o s ( 2 / ı -f- l) - v (2n + 1)2 13. 1. u ^ f X log — y . . için dû dxdy dû olduğunu gösteriniz* dydx ^JL Vâ . - J- dx xjy du — dydx X xjy^ d'U dxdy 1 x/y ây KISMÎ TÜREVLER 0. 0 olarak: dû öxdy Bû dydx dır. 2. u ^ arctg — y^ arctg y için dû dydx x^ — 7“ ^ olduğunu 4- gösteriniz. I = 2x Arctg olup : Bû Bydx :2 ~ y^ x ^ '^ y^ dir. ız = e' cos y olduğuna göre Bu , - = ecosi, Bû — Bx^ ^ e cos y ^ Bû , Bû ' Bu ^y ~ By^ olup : Bû bulunur. Bû e* cos y — d sın y e^cos y Kısmî Türevler 4. u= Arcsîn “ X için dx dg 317 = u olduğunu gös^ teriniz* du ■^ Arcsin ^ \Jx^—y ‘ X ^ X i = ■■'■■■..£-'. Arcsin — + \/x^—y^ ;------ 1 = -, ■~ü'.-=:: Arcsin ^ + 1 olarak: a : ^ = -- - \Jx^-g^ -Arcsin ^ X — g— . Arcsîn — ^ \lx^—g^ X ^ = \lx^—y^ Arcsin — = u bulunur. 5, u ^ sın{^ +1^) + cos{x — ıp/n 6^ -2 âx^' -F İ^ ^ ö o /dx^ Bg^ ' duğunu gösteriniz* ou = cos(jc + y) — sin(A:— dx ö’u _ = _ sin(jf + 1;) — cos(jf — y) Bx dâ 3------- cos(j:4-İ>) + sin(j: — y) Bx = sİn(jc + i/) + cos(a: — y) ö’h = — cos(x + 6ydx^ — sin(j: — y) 318 Yüksek Matematik Problemleri dû df dx^ sır\{x + y) + cos{x — y) Ou ^y = cos(a: + i/) + sin(jc ~ y) 2 = — s\n{x + !/) — cos(x — y) ^ = — cos(,r + y) — s\n{x — y) Oû jOy = s İ i i ( a: . + i/) + cos(,Y — y) olarak : ^ G*A “ 2 ^ = sin(x+i^) + cos{x—y) - 2 sin(A:+ir) Ox^dy^ ‘ Oy^ 2 cos(x’- y ) + sin(A:+-^) + cos(jy—t/) -0 olduğu görülür. 6. u -= y^ e""-Y (x + y) e ' + 0x^ -j sin(x + 2y) — x Oû , Ou -f- T----- u = âx0y ' Oy cos ( a: için : + 2y) + olduğunu gösteriniz^ I " = ı/^ O'u = ox:^ + e~‘ — (j: + ı;) e-* + Y cos {x + 2y)— e» e* — 2e“ ' + (-*: + y) e“ * ~ y s\n(x + 2y) Ou - - = 2 ^ e' + c“ * + cos(jc 4 “ 2if) — X Oû öxöy olup: 2ye* — e~* — sin(.r + *^y) — Kısmî Türevler 0 - - + lİ “ “ = “ i — 2ê* + ia~* + sin(;c+2^) + —^ 319 sin(A-+2^,) + 2ye^ -j- e~"‘ + cos(A:-f 2^) e^ — (;t+ı^) e~^ — “ s\n{x + 2y) -j- .v e^ — COs(:c 4- 2y) + bulunur. 7. u — X"* -\- sın{x + ^) — y log x için : dû c/u dy^dx + dy dydx^ olduğunu gösteriniz, du .^y dû dy^ c o s ( a: + i/ ) ~ ôgx ; — co s{x + y ) ; 6û dxdy dy^ = — sin(j: 4 - ir); dû 6y^dx = - cos(a:4 “İ/) î 1 sln{x + g ) - - , = _ c o s(j: + t/) + ^ olarak : dâ Ö!,ex^ - 2 ^ + 0 - = - cos(.: + + 2cos(^ + 1,) — c o s ( a: + y) bulunur. 8. e-*[x^ + 2x + 2 y + 2 ig {x + y)] için: Bû , ^ Bu , ^ - _ —. Bû -— 42 r ----hll=»-rfc Bx^ By^ Bx olduğunu gösteriniz. Bu ox Bû e x'^ - 2 y - - 2 tg{x + ir) + 2 + 2 sec^(Ar + ir)] == e *\x'^--2x + 2y- 2 + 2 tgr(Ar 4“ i/) — 4sec^(A: 4- y) + 4 sec^(x + y) tg(Ac + ir}} 320 Yüksek Matematik Problemleri du = e~-^ [2 + 2 stç?{x + ı/)] dy (iy 2 = 4 C-* scc^(a: + y) tg(A: + y) olarak : dX^ ‘ bulunur. 9. u == jc" j ise Af1“ + i/ ~ == n II olduğunu gösteriniz. ey ^JL dx ve olarak: I + j-l - )+ » -- r ( i) = n.r"/ ^ ^ bulunur. 10. Af == e'’sın 0 t/e y ~ e' cos 0 olduğuna göre ^ ve ^ türevleri ni hesaplayınız. = tg 0 ve 0 = Arctg — y 60 ex ve Af*+ ^* = e*'', olarak: olarak : y U x^ + y^ 2r — log (Af* + ^*) veya r ~ ~~ log(Af* + ^^*) Kısmî Türevler 321 y x^+y^ ey bulunur. 11. u— xy y^ t a: = sin i, y ^ cos i olduğuna göre ^ yi hesaplayınız g - = 2x+ y . 0 2ifî § = c o s / , = - sin/ olarak : du du dx . m dy d T ^^d T + /« ı \ . t \ n \ * a (2^ + l ^ ) c o s / - ( x + 2 ı,)sın / = (2 sîn t + cos 0 cos t — (sin ^ + 2 cos /) sin / « cos^^ — sîn’/ = cos 2/ =s — x^ bulunur. 12. u == log(x^ y*)i a: “ c', ^ olduğuna göre ^ türevini ve bu türevin t — l için değerini hesaplayınız^ “ ==i^lo?;c+.Yİog:y yazılırsa ~ = logr a: + — ^y y ox X + lo^ry ve olarak : 4ı = + = fiL + io ır „ '\^ ^ Î 4 - /^ + lo < r A r 'l^ dt dx dt ^ dy dt ;c ^ ^ ^ ^ ) dt d^ ve tt == e‘ , dt dt ^ değerleri yerlerine konursa : = ( f + lo^y) e' - ( f + lo? *)«"' bulunur. Burada da a: ve ^ yerine t cinsinden değerleri yazılırsa: = e - '- / e '- e '- / e - ' = ( ! - / ) e-*- ( ! + / ) . ' ve / = 1 yapılırsa; 322 Yüksek Matematik Problemleri dt bulunur. 13. u ~ e^ sin X ve x =* r , ı/ == 3^ olduğuna göre d'U yi hesaplayınız du _ 6u dx . 6u dy dt 6x dt 6y dt d?u dP 6û dx , 6û d ^ ( ^ , 6_u^ ^ x 6x^ dt 6y6x dt ) dt 6x dP ( âx^ j 6y6x . I 6û d y\ dy 6x6y dt * 6y^ dt j dt dt *dt 6y^ j 6x dP ^ d^y 6y dP 6y dP olup : 6u — = 6x 6u 6y 6û 6x'^ cos X ; „, sın X ;. , 6û 6y 6x İ^-o t ^ -9 dt ’ de ^^ 5- = 6y^ e^ sin X ) •' sın x e^ cos X ; • d t^ " ^ ^ - n ’ de “ ^ değerleri yerlerine konursa: dû — gir sin x * A P ’\ ' 2e^ cos a* • 2^ • 3 + sin jr • 9 + e^ cos A • 2 + sin A • 0 = (9 — 4P) e^ sin a + (12^ + 1 ) e^ cos a = (9 — 4a) c^^sînA + (4y+ 1) cos a bulunur. 14. u = z sin ^ olduğuna göre , A = 3r^ + 2s , hesaplayınız^ y ^ 4r — 2s^ , z == 2r^ — 3s^ Kısmî Türevler dr 32â ^ ön dy , dil dz dy dr dz dr Bx dr ve co sX dx dx dr z i] d u , y — cos — , --= *sın— ; a: X dz X * dy br , f dz . ^ « 4r dr =4 olarak: 6rzy . ^z --- ----------cos — HyV ----------cos dr x^ • V • V -y + 4\ ra sın— V du bulunur. 15, V = V(Xiy) , a: == r cos 9 , ^ = r 5/72 9 olduğuna göre: (dvy,(dV Y __(dvy, 7 (dvy i ö r j + r" İ ö 9 j olduğunu gösteriniz^ dx dr öy dr , dx' * Ö9 . dy 69 j dV dy . rco s 9 ve c)V dr dx , dy dx dr ^ dy dr dV Ö9 dV dx . dW dy Öx d(? dy de? 1 dV dV dx . öV dx dV . ^ , , av — r - = — ;r“ sın 9 + cos 9 r a9 dx ‘ av ^ olarak : /av\2 , İö7J + 1 (dWY fdV ,av . v, / av. , av j= ^+ö7 -oj + ( '»'+ö7 /övv 2 , o^vav . ,(3vy . , J cos^ 9 + 2 - ^ cos 9 sm 9 + ( ^ - j smV l /'öVV . j + j „öVâV . - 2- . /ÖVV 2 - s«n 9 cos 9 + [^ J cos^q> 324 Yüksek Matematik Problemleri = (cos^ (p + sin^ <p) j + (cos^ (P + sin^ <p) bulunur. 16, z — f ( X f y)t X — e'* sec u, y ~ e^ tgu olduğuna göre: p 'f dxdy cos dudv du olduğunu gösteriniz» ^ = dv dx dv ^ dy öv olup: 67 _ dx , 67 dudv ^6a:^ du dydx du) dv \ dxdy du dir. Burada ~ = c®sec u , dv ~ dv dx dudv jL ^ 2 L § y y jL I dy^ d u/ dv ^ dy dudv tg », ^ = e^sec ız tg u, = e"' secû değerleri yerlerine konulursa : dudv == (f-4- e*' sec « tg u + ~ v “’ ^6jc2 * dydx + ( * \dxdy = sec u tg ız + ® ‘ 6y2 c^*' secû tg u + 6y6;r sec*« V^'sec u + ^ e" sec u tg u ) dx ^ secû 1 / secâ ^ ız tg ız -j- sec zztg^ ız + c^*' sec^ız tg zz + e®sec^zı * 6y* * ‘ 6^^ bulunur. Diğer taraftan: d± _ du dx du 6y du “ e®sec zztg zz 4- ^ e’^secâ dx ^ dy o lu p : tg ız + ^ e^'sec^ u ^1/ Kısmî Türevler -----^ ~ u tg u + ^ ^2/ •-—■— dy dx 325 sec^ -f ^2/ sec u tg^ız + ~4- e^*'sec*u tg u ^ dy^ cos u (-S-t----- e^‘' sec u tg u + ^ \^ Ğ’tZCÎt^ e**'sec^ız + dy âx ıı_ e^*' tg*u + dy^ Sg dx öV a_ 2 1 / ..22 Î sec Ktg u “5V 2 bulunur. 17, X =^ 2r — 5 ı;e ^ = r + 2s olduğuna göre u — f( x ,y ) için dû dy dx türevini veren ifadeyi bulunuz. ;: -=2r — s ve y = r + 2s ifadelerinin her iki tarafı A:’e gö re türetilirse : 1= 2 ^ - ^ dx dx ^ dr . ^ ds O = T---- h 2 —dx dx ve ve bunlardan da dr dx 5 ds dx 5 elde edilir. Ayni ifadelerin her iki tarafı y ye göre türetilirse: 0 = 2 ^ -^ dy dy ve dy dy ve bunlardan da: ds ^y öy elde edilir. Bunlara göre: du _ d ^ dr d x dx ds dx ^ 5 ^ ___ dr 5 ds 326 Yüksek Matematik Problemleri JhL. d(/ dx A- Aj l dy l ö;c dr A. ^ 5 dr /2^ Jl 5 j ds ________ 1 dû\ 2 2 d'û 5 ds dr 5 ds'^} 5 _ J_ d’û \ _1 5 5 “ (2 25l"âr^ + j 5 3 2 du__ ^ ^ 5 dr 5 dsjdy A l . _l ds dy JA l ds dr 2 (ra bulunur. 18. u ^ f ( X i y ) , x-=^g(r,s) , y h(r,s) olduğuna yöre dû '^^rcn bir formül çıkarınız. Ai. dr d'û ds dr î£ ^ ' ^lûiL dx dr dy ör d^f dx ^ o lu p î -(-. ö'^f \dx'^ ds ' dy dx ds j dr ' öx . ds dr d’^ f djc dff_ ^ \ d y ^ ^ d'y dx dy ds ‘ dy^ ds. dr ' dy ds dr j d^İ ^ dx . (d^ ^ . d ^ c)V , ^ dy dx' ds dr ds dr dr' ds ) d x d y ' ^ d y ^ ds dr 4. ^ î ^ <^V dx ds dr dy ds ör bulunur. 19. 1/ « V(xjy), X = rco 5 (p , y = rsm q ) olduğuna ğÖre d^V , d^V dx^ dy‘ denkleminin d^ dr^ / dV r dr ‘ 1 d’^ v V şekline sokulabileceğini ğösteriniz. dx ^§L ör dx d(? dx ve dV ^y âV dr , ^ ^ dr dy c>9 dy Kısmî Türevler 327 olup “ I ~ leri elde etmek üzere x = r cos 9 , dx dx dy dy y = r sin <p ifadeleri ;c e göre türetilirse : cir . ocp 1 == cos o ------- r sın (p ^ dx dx * o = sın <p r---- r r cos 9 — dx dx elde edilerek bunlardan sın 9 €r_ ^ cos 9 dx öx ve y ye göre türetilirse d9 n0 = cos 9 dr , ::----- r sın 9 oy . . 1 = sın 9 6r ı/f , + r cos 9 <99 ^y ^y ve bunlardan da : dr^ == sın 9 > — ^y cos 9 bulunur. Bunlara g ö re : (}V o'V sin 9 dV - - -= cos9 - ------------- ~ d.v dr r c9 dV . dV , COS 9 dV — = sın 9 — i -------^ — dy d cp r d([> olur. Bu ifadelerden d e : ^ c).r2 dx = cos 9 j ^ /^ V \^ r dr )dx , sin9(9V dr'^ ed9 d Id V \ 09 ‘ ^9 ) dx sin (D 6 ^ \ - cos 9 -f drd(? I c>V , d^V COS 9 dV sın 9 d^V\ ( sın 9 — sın 9 ----h COS 9 — ;--------------------------- zö— ---------d r o 9 rr Ö 9 rr dd‘9 ^ 9 yy \ or d9 r = cos^< ?^ + 2 sin 9 COS 9 dV d9 2 sin 9 cos 9 d^V r drd9 sin^ 9 dV , sin^9 d^V r dr r^ d9^ d^V . , d^V 2 sın 9 cos 9 dV , 2 sın 9 cos 9 d^V -—2- == sın^9—o------------- 2-------- — i ---------------------di/^ ^r^ r^ dç r drd9 C0S^9 dV , COS^9 r dr d9^ bulunarak : 328 Yüksek Matematik Problemleri Sx^ dy^ dr^ ■ 1 âv r dr , 1 d^y r^ oldugfu görülür. 20. uî=c**‘"^ den du toplam diferansiyelini hesaplayınız» du = dx + ^ d y dy dx ve ^ - sinoe*""» , ^ = ;rcostfe*""* ^ ' 6y ^ İ!X olarak : du = sin y e* **" ^ dx + cos y e* "" ^ dy = e * ^ (sin y d x -{ -x cos y dy) bulunur. 21. 2 — sin^log(xy^) den dz toplam diferansîelini hesaplayınız, dz dx dx+ ^ dy dy ve ^ = 2 sin log(A:y*).cos log(jti^=). ^ 2 = — sin log(j:^^) cos log(j:^^) = — sin 2 log(AT^^) ^ ~ sin log(Af‘^0 ,* = 2 sin log( V )c o s log(Arif’) ^ 4 t 2 = — sin log(jf^‘) cos log(A:^^) = — sin log(x^^) olarak: cfz = ~ sin log(;eî^^) d x - \ - ~ sin log(j:î^^) dy sin log(^V bulunur. 22. Kısmî Türevler 329 e^^^^ s î n ( x y ) dx + e y ^ ^ ^ [ s î n ( x y ) — y cos ( x y ) ] dy ransîelinin bir tam diferansîel olduğunu gösteriniz, dife~ M -|- N c(y şeklindeki bir diferansielin tam diferansiel ola-^ bilmesi için gferek ve yeter şart: __ ç)N dx dy olmasıdır. Buna göre: ^y = y e^^^^ sin (^ + cos (^+ y ) ve 6N == dx [cos (a: + ı/) + sin {x + ^ )] olarak dx dy olduğu görülür. 23, log (x^-;- yr) — Arcsin den türevini hesaplayınız. f(x,y) == log (x^ — y^) — Arcsin 0 yazılarak: ö f __ 2x^ + y\Jx^ — y^ dx x{x- ^- y^) ' df __ — (2y+ \/x^—y'^ dy ve ^x fg X (2y + \Jx'^—y^) bulunur. 24. x = c e^'* den türevini hesaplayınız, f(x,y)=^x-ce^f^ = 0 dan : dx x^ Sİ* df = — dy ,sl* olup 330 Yüksek Matematik Problemleri dy dx // f f _ l+ f , — e»'* -1 4 -^ ;r bulunur. 25. 2 log X + {Ârcsin = c den “ f(xty) = 2 log X + Ârcsin türevini hesaplayınız. j — c == 0 dan : îL dx rr- • 2 Arcsin — f2 X + ^ ----------^ ----- Arcsin ^ •* X \ x ^ — y"^ ^ 1 ^ = 2 A r c s i n ^ . ___ _____ ' 2 Arcsin — X yjx^— \ / - î olup 2y Arcsin x\Jx^—y^ fy 2 Arcsin — _________X \/x ^-y ^ Arcsin — a: bulunur. 26. 3x Arccos y 3 y log X — tz olduğuna göre ^ 1 y — - 2 için değerini hesaplayınız. türevinin x = 1 ve Kısmî Türevler 331 Arccos y - ^ 3 y logf jc — tc = 0 dan: | = 3 Arccosi, + ^ , | £ = - ^ İ - + 31 o? .: olup dy _ dx Arccos + •— =^== — lo? jc v/î bulunur. Bu ifadede a: = 1 ve y = ^ Arccos -7T + ö" 5^ dx yapılırsa: TZ , 1 "T + -TT 2 ı/3 2 12 (2tü+ 3) S^\İ2 V elde edilir. 27. —loğ(yz^) —c den türevlerini hesaplayınız, f{x ,y,z) = AC^- f ^2 ^2 __ log(^z2) _ c - 0 d an: , ^ a: 3A:^ dy ^ y ^ = 2 ^ -dz z olup : Şz ^ _ f j _ dx / / 3a:=İ 2 - 2z^ 3x’ 2r ve 5£_ ö"/ // // 2 < /2z — - z { 2 g '^ -\) y (2 z^-2 ) Z bulunur. 28. \Jl-\-(2j98)(5f03j ifadesinin değerini yaklaşık olarak hesaplayınız. 332 Yüksek Matematik Problemleri z , X = 3 ve y ^ 5 kabul edilirse: / ( 3 , 5 ) - z = v' Î + 3>0--=--4 bulunur. Aranılan değer ise: /(2 ,9 8 ;5 ,0 3 )= /(3 ;5 ) + Az V/1+ (2,98) (5,03) = 4 + Az olup Ax = - - 0,02 ve = 0,03 olduğu da gözönünde tutularak: » y Az = dz- 2s/l + xy ^^y 2 \/l + x y 5 . ( - 0 , 0 2 ) + 3 . (+ 0,03) 2 .4 0,10 +0,09 - - 0,00125 8 ve ı/l + (2,98) (5,03) a 4 + Az = 4 — 0,00125 a 3,99875 dir. 29. Bir cismin p yoğunluğu bunun havadaki ağırlığı Pji su içindeki p ağırlığı da P2 olmak üzere p = -5----5- formülü ile hesaplanıyor, r j —r2 Pu 0fi1 kg ve P2 de 0 fi2 kg lık birer hata ile Pj — 9 kg^ P2 ^ S kg olarak ölçülüyorlar, p nun yukarıdaki formülle hesaplanan değerinde yapılan maksimum hatayı bulunuz. Pı P -P 1 2 olup h a ta : Ap dp = - ^ dP, + - ^ dP 2 ciPı ‘ ^ eP2 -P 2 Pı 2 dPı + (Pı - P2>^ dpj (Pı - P )" Kısmî Türeüİer - P 2 C/P1 (Pı - Pır Maks. hata==Ap + - 5 X 0,01 + 42 333 Pı d ?2 (Pı - P 2)^ 9X0,02 42 0,23 - 0,0144 16 bulunur. 30, Oı^gen şeklîndeki bir bahçenin bîr açısı 120^ ve bu açıya ait ke~ narîarının uzunlukları 110 m ve 240m dir. Bu uzunlukların öl çülmesinde 3 cm hata yapıldığına göre, üçüncü kenarın hesaplan masında yapılacak maksimum hatayı yaklaşık olarak hesaplayınız, y == 110 m , z = 240 m , a == 120® j :2 = ^2 ^2 _ 2yz cos 120® = « /* + * * + y* X = \Jx^ + z^ + y z A„ ^ ^ S d y -\-z d z -{ -\l2 ( ,y d z -\-z d y ) yjy^ + z ^ -\-y z ^ {2y + z) dy + (2z + y) dz 2 >Jy^ + z^ + y z ve dy — dz = 0,03 olarak ; (220 + 240 + 480 + 110) 0,03 2 \/96100 31,5 = 0,05 2X 310 bulunur. 31 . Bîr devrenin direnci * “ jŞ" formülünden faydalanarak hesap lanmaktadır, E elektromotor kuvvetini ölçerken 1120 volt, i akı mını ölçerken de — IjlO amper okuma hatası yapılıyor. Bu şart lar altında i — 15 amper, E = 110 volt okunduğuna göre R di rencinin hesabında yapılacak mutlak ve iza fi hataları hesaplayınız. 334 Yüksek Matematik Problemleri . E R den AR a dR = R= — eE olup: di di di l i. L 15 ‘ 20 110 152 ( lo) = 0,0522 ohm (mutlak hata) ve AR R R i E , 1/20 1/10 lîD + i r = o, 47 , \ '^’ 60 ('âfıhata) bulunur. 32. sin (x 4" y) nin değerini: sin (jc + ^) = sin X cos y + sin y cos x formülü ile hesaplamak istiyoruz, x ve y açılarından herbirinin ölçülüşünde OJ derecelik birer hata yapıldığı ve bu dar açıların: sın X = B ve . sın y 5 olacak surette ölçüldükleri bilindiğine gÖre sin {x + y) nin hesa^ bında yapılan yaklaşık hata nedir? z = sin (x — sin x cos y + sin y cos x = (cos X cos ^ — sin sin y }d x + (— sin ;c sin ve dx dy 0,1 TZ 180 olarak + cos x cos y) dy Kısmî Türevler 335 Az s (2 cos X cos y — 2 sin x sin y) 0,1^ 180 2\v /r 25 ly/ lı 25 169 3 5 3 5 \ 71 2 İ 4 12 5 • 13/1800 5 • 13 ■ n TZ 66 0,0018 65 ‘ 1800/* bulunur. 33, r/, r2 t rs, n dirençlerini haiz olan dört direnç teli paralel ola rak bağlanmışsa sonuç olan R direnci şu bağıntı ile verilmiştir: L ^ L + 1 .+ L + L R rj ^ r2 rs r4 fu rit r3 f r4 de ayni E izafi hatası yapıldığı zaman R'in hesa bında buna karşılık yapılacak izafi hatanın da E olacağını gös teriniz. dr^ ^ c?r4 rz Ta d rı ^ d T2 ^2 r\ olup verilen ifadeden : dR R2 ■ dR R drı 1 1 R r\ dr2 drs rz drı + i . . dr^ +1. rı r2 rz ^3 elde edilir. Halbuki AR s </R olup : R R AR R bulunur. c/ra + rz dj^ 336 Yüksek Matematik Problemleri 34 Uzunluğu sabit ve a ya eşit olan ve uçları koordinat eksenleri üzerinde hareket eden bir doğru parçasının zarfının uzunluğunu hesaplayınız. Şekil 117 ye göre AB doğru parçasının denklemi: X cos OL-\~y sîn|a — p == 0 ve p = OA cos a, OA = a sin a p = a sin a cos a olarak : olup X cos a + 1/ sin a — a sin a cos a = 0 dır. Buna göre zarfın parametrik denk lemleri ; fix,yta) = X cos a + fa ~ ■” sin a —• a sin a cos a = 0 sin a + y cos a — a cosâ 4- a sin^ a == 0 denklemlerinden: a : == a sînâ , y = a cosâ olarak bulunur. Zarfın kartezyen denklemi is e : + ^2/3 = olup bu da zarf eğrisinin dört rebrusmanlı bir hîposîkloid eğri si olduğunu gösterir. Bu eğrinin uzunluğu: ds = >J(dxy + {dyy = 3a sin a cos a da = ^ a sin 2a da o larak: 7C/2 a sin 2a da / = 3a — cos 2a ıt/2 = 6a bulunur. 35.. Alanları sabit ve A değerine eşit olan bütün b^x^ + a^y^ = afb^ elipslerinin zarfının denklemini bulunuz. A = i î a 6 formülünden 6 = — olarak elipslerin denklem i: TUL Kısmî Türevler 1 2î* 2 , ,2 2 A^ 337 1 a A^ 1 a:^2+f a*ü^ 2 2 —-V A^ -^ • ~r 71^ a* ‘ ^ 0) şeklini alır. Bu denklemden, a ya göre türev alarak : 2k^x'^ 7Câ^ A*jc* 2ay^^ O — C^2 = O ve (1) denkleminden: A* a:^ + = A^ olarak iki denklem taraf tarafa toplanırsa: 2A»*’ =A*û» , at= T -^ \/2 ve A^ a* Tl* =* A* Slî* y"^ a* == A^ A^ 1 . y = ± 27^^ 02 * V 2 7t a parametrik denklemleri bulunur. Bunlardan o yok edilirse zarfın kartezyen denklemi olarak: xy^± A 2% elde edilir. 34. Başlangıç noktasından geçen ve merkezleri x^ — y ^ ^ a ^ hiperbolü üzerinde bulunan dairelerin zarfının kartezyen denklemini bulunuz Dairelerin denklemi: ( r — a)* + (i^ — P)* = r* ** + i/» - 2a ;c - 23 + a* + P* = r* ve daireler (0,0) noktasından geçtiğine göre a’ + 3*=» r’ olarak: 338 Yüksek Matematik Problemleri + (1) dır. Merkezler = a* hiperbolü üzerinde olduğuna göre a*-—32 ^ olarak 3 = yja? — (P dir. (1) denkleminin a ya göre türevi alınırsa: - 2 ; t - 2 i ^ 3 '- 0 + ve a: + v/a^-û* olduğundan 3' = — = 0 \]a? — a } x - \ - a y ~ 0 (2) (a^ — a^) jc^ — a? o? (x^ — y ’^) — o? = d^ x^ x '^ - y i j:* ax a=± ’ ^2 ve (-|-) hsı (2) denklemini sağlamadığından çözüm olmayıp: n/ ? = ? bulunur, Bu değer (1) de yerine konursa: ^ — 2aAf — 23i^ = 0 jf2 ^ ^2 _ 2a.x — 2y\Ja? — a^ ^ 0 , 2 , 2ax^ + * + S 3 = ? r, i / 2ox* + y + 5 2 2ai^’ A = 0 , j , 2a{x^ — y'‘) n + r + /-, , “ 0 yjx^ — y* 2a \ J x ^ - y ^ = 0 ^’ + l ^ * = - 2 a \ / j c * (-«’ + y Y = 4a’(jf* — y^) elde edilir. fCısmî Türevler 339 A şağıdaki fon ksiyan ların X ve y ye göre kısm î türevlerini hesaplayınız. 37. Z ^ lojr(jf3 -f- g2) 38. u = 10^* + 39. u = a: sin ^ -f- 40. z 41. 2 = X c»‘“ y 42. z = Arcsin xy 43. z = A rctjr^ 44. * = Arctg 45. z = s in (2 x ~ y ) + log(x^ + 3y) 46. z sec x = ch{x2 - f 3y) X + Arc sin ~ = y x2^y2 47. _ x^~-y^ 48. xy _at"—1/" 49. xy A şağıdaki 50. 2 = ise ise ise . dz dz , dz dx = 2 z olduğunu jrosterinîz. dy dz . ifadelerden dz = (n—*2 )z olduğunu posteriniz. &lz d^z &^z 6x^ dx dy dy"^ türevlerini hesaplayınız. x 2 y 2 -j - y S 51. z:=zx siny 52. z 53. 2 = e*+y2 54. z 55. 2 = lojr VÂr3-|-y4 56. z = x^^y + y^ ise 57. z = e*y ise 58. dz = sin 3x eos 2y = 8 İd(2 x - f 3^) 6 2i d2z olduğunu posteriniz. dy 6x dx dy ^2z d3z d3z dx2dy dx dy dx dy dx2 2 = lop >Jx2-\-y2 ise olduğunu posteriniz. = 0 olduğunu posteriniz. dx2 dy2 340 Yüksek Matematik Problemleri 59. z = 13at’ + 60. X = x^y'^ A rc s in — ^2^ ise ^ — 5 ^ * dx^ dx dy x ise ^ 61. * = at2 dx 4"i^ ^ Oy 6 - — = 0 olduğunu {rosterîniz. dy^ = 6z o ld u ğ u n a { ö s te rin iz . dz X = sin ^ , i/ = cos f o ld u ğ u n a g ö re ^ yi h e sa p la y ın ız -f- 4^2 j Cevap : 2 ât coş ^ — 8^ sin ^ 62. 2 == tg(A :2 -f 63. z - ^ c h ^— t » AT = 3 9 , a: = <p2 , y z=z 64. * = ( a:2 -f" 4^2 — 16)3/2 ve 65. ar = 66 . „ « sin i X = x^y^ , X = -------, * 67. o ld u ğ u n a g ö re o ld u ğ u n a g ö re ^ yi h e sa p la y ın ız yi h e sa p la y ın ız . : ^2 Cevap ey ^ = /X ve y </z y = \Jx o ld u ğ n n a . g ö re ^ i h e sa p la y ın ız dz = tg x o ld u ğ u n a g ö re ^ i h e sa p la y ın ız . s . , dz dz , . . y — ~r o ld u ğ u n a g ö re “i"' v« - r " » h e sa p la y ın ız . ■‘ ot CS _ y dz dz z = « 2 ^ 2 -j-o ;2 , u = y e \ v = xe~ ^t zv = — o ld u ğ u n a g ö re t “ » : r - yi ^ çx OjH h e sa p la y ın ız . A şağ ıd aki fonksiyonların toplam diferan siellerin i hesaplayınız. 68 . ar = Af3^ + Ar2^2-}- 1 69. 70. „ = » e î '+ ^ * 71. u = e2e«iıvt 72. U= Arccos(2:r — 73. u = A rc lg ? Aşağıdaki fonksiyonların yanlarında belirtilen noktalardaki toplam diferansielf lerin i bulunuz. 74. z î= 75, z = x cos xy 76. %— 77. f(x, y, z)=x^yz— 2xy'^z-i-4yz^ 78. / U , y, — Zxy^ x ^ + iy sin P(2, 1) Cevap : p (2' t ) Cevap : Cevap,: X z)=xy sın - XX z—y^ e P(l, 2. 1) P ( 2 ,l.^ ) Kısmî Türevler 79. f{x, y, t) = log ^ ± Jd + rA rctg ^ 80. 341 P (l, 1, 2) z = f{x,y) t X = c«cos V, ^ = e“ sin v olduğuna göre : ,p2 ^^«2 ^^2y z , z dx'^ dy^ olduğunu posteriniz. 81. e® 2 = . e ® x = r ------2 ----- - ’ olduğuna pore: ^ d^z ___^ ___ __1 ^ C>.v2 1 r2 ^02 + 7 c)r olduğunu posteriniz. 82. xiy2 83. .v2'3-i-^2'3-j~ 2 2 '3 — fl2/3 den 84. Arctg ~+;t 2si nyz— 85. sin (.V -f z) — .V — 3x^y -j- ,v6 + 8 = 0 dan ^ V ^ türevini hesaplayınız. ve 3^ o dan ^ = 0 dan 3^ S yi hesaplayınız. 3^ oy ve — yi hesaplayınız. i hesaplayınız. Aşağıdaki diferansiellerin tam diferansiel olup olm adıklarını gösteriniz. A*3 -{- ”2 cos y dy 86 . ;r2 sin y 87. {x + 88. 2 X lop y dx-T — dy sin .Vtp y) + (y -f tp .v sin y) dy 89. 90. e®'^* ^sh a: — ^ ch ^ ch x dy Toplam diferansielden faydalanarak aşağıdaki ifadeleri hesaplayınız. 91. 92. (3,02)2(1,91) + (3,02)(1,91)2 Cevap : 28,43 (2,06)2 + (3,95)2 ^ ____ ^ — ö w — 93. v'(2;97)2 + (2.05)4 Cevap: 5,142 94. ’V(3,8)2+2(2,1)3 Cevap: 2 , 0 1 342 Yüksek Matematik Problemleri 95. r(3.01)2 + (3,98)2 + (6,02)2 -f 5(1,97)2J - i '2 Cevap : 0,111427 96. z — f{x,y) fonksiyonu için /(1,2) = 3, /x'(l,2) = 2, /y'(l,2) = 5 olarak bilindiğine sföre /(l, 1:1,8), /(1,2; 1,8) değerlerini hesaplayınız. Cevap: 2,2; 2,4 97. Gazların ênel kanunu pv = RT ifadesi ile verilmiştir. Bir gazın p basıncı ile hacmi %3 er bağıl hata île ölçülmüş ve R de %1 bağıl hata ile biliniyor ise T nin hesabında yapılacak bağıl hata ne olur? Cevap : <Vo 7 V 98. Serbest olarak düşen' bîr cismin t saniyede aldığı yol « = manı ^ saniyelik bir hata ile 10 saniye olarak ölçülmüş ve g nin değeride % 0,1 bağıl hata ile biliniyor ise S in hesabında yapılacak bağıl hatayı bu lunuz. Cevap: %4,1. 99. Bir dik dörtgenler prizmasının kenarları 'ğ'cm hata ile 3, 4 ve 5 dm olarak ölçülmüştür. Bu kutunun hacminin hesabında yapılacak bağıl hatayı bulunuz. Cevap : ®/o 0,09 ®/o 0,1 100 . Bir Ç noktasının diğer bir B noktasına uzaklığı C açısı dik olan bir ABC üçgeni teşkil edilmek suretiyle belirtilmektedir. AC uzaklığı 0.5 m hata ile 1000 m ve CAB açısı 1 dakika hata ile 59°37' ölçülmüşse CB nin hesabın da yapılması mümkün olan en büyük hatayı bulunuz. Cevap : 2 metre, 101. Rı ve R2 dirençleri paralel bağlandıkları takdirde B, R, R ile belirli bir R direnci meydana getirmektedirler. Rı ve R2 nin ölçül mesinde yapılan maksimum bağıl hata 0,01 olduğuna göre R nin hesa bında yapılan maksimum bağıl hata ne olur? Cevap: 0,01 14. DİFERANSİYEL DENKLEMLER 1. x y = X d if e r a n s ie l d en k lem in i çözü n ü z. (l-\-x ^ )‘^ £ + xy==x ( 1 + ^ 0 ^ = ^(1 y) X dx 1 + a:^ dy 1-y yazılarak değişkenlere ayrılabilen tip de bir diferansiel denklem olduğu görülür. Her iki tarafın integralleri alınırsa: log k — log (1 — y ) ^ y log (1 + x ‘) log k lo g \/l+ j:* ^-y k = \J \+ x ^ ı - y k = \l\+ ? {\-y ) (\ + x ^ ) ( \ - y y = C bulunur. 2. xg^ dg (x^ g^) dx diferansiel denklemini çözünüz. Homojen tip de bir diferansiel denklem olup g == ux dönüş türmesi ile dg u dx + xd u olarak: x^ ( udx - j - x du) = (x^ + jc^) dx {udx + X du) = (1 -f- u^) dx u ^ x d u ^ dx 344 Yûkstk Matemâtik Problemleri 2J w . X ve İT = İ0 ? elde edilir. 3. (2 x -t 3g) dx -\- (y ^ x) dy — O diferansiyel denklemini çözünüz. Homojen tipte bir diferansiel denklem olup y =ûx dönüştürmesi ile dy u dx + x du olarak: {2x + Zux)dx + ( u x - - x ) { u d x ’\-x d u ) = 0 (2 + 3u) dx + (u -- 1) {u dx X du) — 0 (u^ + 2u -j- 2) cLc 4" (u — 1) ;c cfu — 0 ^ , (n — l)</u ^ ;» u^+2a+2 log ^ + y log + 2u + 2 ) - f ^ ° C logA :+ Y log(a* + 2u + 2) —2 A rctg(a + 1 )“ C bulunur. Elde edilen bu sonuçta u yerine l o g ; r + l log 2 log X + log (y^ + konulursa: + 2 . | - + 2 J - 2 A rc tg (| + 1 j = C + a:^) — 2 log a: — 4 Arctg log (y'^ + 2xy + a:^) — 4 Arctg ^ == k sonucuna varılır. 4. Âc — y Arcsin ni çözünüz. j dx-\- x Ârcsin ^ dy 0 diferansiel denklemi^ Diferansiet Denklemler 345 Homojen tipte bir diferansiel denklem olup y= ûx dönüş türmesi ile dy ^ u d x + x d u olarak denklem: (j: — ux Arcsin u) dx"\- x Arcsin u { u d x ’\ - x du) = 0 dx + X Arcsin u d u ^ O şeklini alır ki bu da degfişkenlere ayrılabilen tip de bir diferan* siel denklemdir. Buradan: “ + Arcsin u du ~ 0 a: log x-{- J Arcsin udu== Q elde edilerek ikinci terimdeki integrale kısmî integrasyon kura lım uygularsak: log ;c + u Arcsin u — f > == C log ;c + u Arcsin u + V^l — u* = C ve u yerine koyarak: 1o? a: + I Arcsin ^ + = C X log a: + ^ Arcsin ~ + \/x'^ — y"^ = Cx bul unur. 5, X cos ^ ^ =ucos — — AT diferansiel denklemini çözünüz* x d x X Homojen tip de bir diferansiel denklem olup y ^ u x dönüş türmesi ile ^ X = u-f-AT ^ olarak : COS UI/ U 4i *AT • ^\ I “ u — X I du . u COS u 4- a: COS u • = u cos u — 1 dx dx cos u d u = — 346 Yüksek Matematik Problemleri sin u =* — sin u = locf — ® X ve X e*'" r = C bulunur. 6. (2x-5y + 5 )d x^(4 x- y çözünüz* 1) d y ^ 0 diferansiyel denklemim X = x' h y ^ y -{-k dönüştürmelerini yaparak denk lemin homojen olabilmesi için h wt k nın hangfi değerlerde olması gerektiğini araştıralım : dx = dx' , dy = dy olarak : (2a:' - by + 2A - 5^ -t- 5) dx + (4a' - ı^' + 4A - ^ + 1) t/y' = 0 2/^--5^ + 5 = 0 , 4h-k + l = 0 dan h = 0 f k bulunur. Bunlara göre a' = a ve y' = y — l dir. A =• 0 ve Â: == 1 değerleri için denklem : (2x -^5y)dx + ( 4 x ^ y ') d y '^ 0 şekline girerek homojen tipde olur. Bu denklemde y ' = ux dö nüştürmesi yapılırsa dy' ^ u d x -\-x d u olarak : (2a ~ 5iia) dx -|- (4a — ux)(u dx + x du) ^ 0 (2 — u — ıP) dx + a(4 — u) c/u == o elde edilip buradan da : dx , (4 — u)</« AT ' ^ 2 - U - l f „ log: a: + 2 log(u + 2) — log'(u — 1) == log C log .A— =l o g C Diferansiyel Denklemler 347 x{u^-2f = C u —1 {y^ + 2xY = C ( y ^ x ) (2 x - \ - y — \ f ^ C ( y - x — \ ) bulunur, 7. ( X — y — 1) d x + (4y + zûnüz, — 1) dy ^ O diferansiel denklemini pö- X x' + h ve y = y ' + k dönüştürmeleri yapılırsa d x= d x' 'dy = dy' olarak denklem : (x' ^ y ' + h - - k — 1) dx' + (x' + 4y' + A + 4^ — 1) dy' == 0 şeklini alır. Bu denklemin homojen olabilmesi için î A— A — 1 - 0 , h+ 4k-1^0 A -1 , A-O olması gerekir. Bunlara göre x = x — l , y '= y vg denklem de; (x' - y ) dx + {x + Ay) dy - 0 şeklinde bir homojen denklem olur. Burada da y türmesi yapılırsa d y dx + x da olarak: ux dönüş (x' — ux') dx + {x' + 4ujc') (ız dx' + x' du) — 0 (1 — u) djc'-"j-(1 + 4u) (u djc'+ j: ' du) = 0 (4u^ + 1) dx' + (1 + 4u) a:' du == 0 V X 4u2+l log ;r'+ Y + 1) + -j- Arctg 2u ^ k 2 log x'-\- log (4u‘‘ + 1 ) 4 " Arctg 2u — C 2 log (x - 1) -t- log + 1 j + A rc tg ^ ^ log [ V + (a: - 1 « + A rc tg 2ff ==c x -l bulunur. 8. (x\Jx^+g^~ g) dx + {g\!x^-ry^ — x)dy = 0 diferansiel denklemini çözünüz. 348 Yüksek Matematik Problemleri y , N= ^ + - AT o larak: aM ^ xy slx^\-y^ dN ^ dx 1 - xy dM dN ve-T~ = T — olup denklem tam diferansiel denklem tipindedir. oy dx ^ Çözümü / (x,y) = C şeklindedir. M= = a: ^x^+y'^ — y den: f{x,y)=^ j { x ^ l ? W - y) /( ^ .İ ^ ) = y + F(i,) + y^'^ ~ ^ y + n y ) bulunur. Her iki tarafın y ye göre türevi alınırsa: ~ ^ + ^'(y) = N = y \ / x ^ - X C = ve buradan: F'(y) = o , H y)-k bulunarak: f{x,y) = y (-»f* + y'^f^’^ - x y + k-=^c (;^2 + ^2)3/2 _ C elde edilir: 9. Arcsin — dx-\- sly^-- dy = 0 diferansiel denklemini çözünüz. y M = A rcsin-^ , N y = ^ y o la ra k : öU Sy ve ^ — X y\ly'— x^ SN ’ Sx -X yy/y^ — x^ olup denklem tam ddiferansiel denklem tipindedir. Çözümü f(x,y) = C şeklinde olup : Diferansiyel Denklemler 349 Arcsin — u dx den: f(x,y) = / ' Arcsin - dx + F(y) i/ =- X Arcsin f{xyy) + \Jy’^—x^ + F(ı^) bulunur. Her iki tarafın y ye göre türevi alınırsa : — x^ + V p f c r + F '( ı . ) y \ly^—x^ e^f = N = y ^ y ‘—x^ _ \/y^—x^ + F'(i^) y y ve buradan : F'(y) = O . F(i,) - k bulunarak: f{x,y) = jr Arcsin ~ + \/y^—x^ = C elde edilir. 0. ( 2xcosy — y"^ sin x) dx + (2y cos X — x'^ sin y) dy = O diferansiel denklemini çözünüz, M = 2acc o s y olarak : sin a: , N ^ 2^ cos x — x^ sin y ^ . cN o . o • - - = — 2^ sın y — 2j^ sın a: , :^ == ~ 2jy sın x — 2x sın y ve ~ olup denklem tam diferansiel denklem tipindedir. Çözümü f(x,y) = C şeklinde olup ; M— — 2x cos y — y ’^ sin x den : f{x^y) = cos ^ + ^2 cos ^ p(^) bulunur^ Her iki tarafın y ye göre türevi alınırsa 350 Yüksek Matematik Problemleri df L ^ N= — oy sin V + 2v cos x + F"(i/) ~ 2i/ cos x — sin y ve buradan : r{y) = 0 , F (^ ) ^ k cos y + y"^ cos a: + AT^cos y C' y^ cos a: — C bulunur. 11. ^ ~ ^ ^ 2^ - diferansiel denklemini çözünüz. Birinci mertebeden lineer tipde bir diferansiel denklem olup sabitin değişimi kuralını uygulamak üzere evvela ikinci ta rafsız denklemin genel çözümünü bulalım : dy dx ^ =0 2x dan ; dy dx ■ f-T . y y ^ • y lOgAT — log cslx bulunur. Şimdi de bu ifadenin ikinci taraflı denklemin genel çö zümü olabilmesi için c nin nasıl bir c(Af) fonksiyonu olması ge rektiğini araştıralım ; dx dx 2ıjx' olarak bu türev ve y fonksiyonu ikinci taraflı denklemde yerle rine konursa: \f- dc . c d x '^ 2 \jJ * v/ a: 2a: x ‘ - 3 2x _ a:^—3 ^ 2x\Jx olup buradan 1 c = y A:3/2 + 3A:- ’/* + ife bulunarak: c v/a: = “ a:’*+ 3 + ky/x elde edilir. Diferansiel Denklemler 12. ( y cos2x + 2\jsin^2x ) dx çözünüz. 351 sin 2 x d y = O diferansiel denklemini Her iki taraf sin 2x dx e bölünürse denklem : dy , COS 2x ^ I ;r -T : o2x y ^ — 2vsın 2x dx + sın şeklini alır ki bu da lineer tip de bir diferansiel denklemdir. Bu denklemin çözümünü elde etmek üzere y = uv dönüştürmesi ya pılırsa ^ = V ^ + li ^ olarak denklem : dx dx dx du . dv . COS 2x ^ V ----- 1- li j 7 + —uv = — 2 V sın 2x dx dx sin 2x du , /dv , COS t; I = — 2 \/sin2A: şeklini alır. Bu denklemden v yi ^ , COS 2;ıc = 0 dx sin 2x ^ olacak şekilde belirtelim: dv . COS 2x j ^ — H.........ri - dx =- 0 V sın 2x log Tl + y log sin 2x = log C log(T;\/sin2j:) = log C Tiv/sin2;r = C V^sîn 2x olup denklemde yerine konursa: ^ ^ v/sin2AT dx — 2\/sin2jc du-= — u = ç elde edilir. Bunlara göre sin 2x COS 2x ıf C 352 Diferansiel Denklemler uv~ \ls\n2x -ç cos 2x -f C' K cos 2x 1V^sin2jır \/sin2;ı: 1/ K 4- cos 2x ^sin 2 x bulunur. 13, ^ -r y (c o tg X -i- 3 cotg 3x) = - j r / — COS X s in X s in f e r a n s iy e l d e n k le m in i 3x ( c o s x + s in x V clî- çözünüz. Birinci mertebeden lineer tip te bir diferansiel denklem olup sabitin değişimi kuralını uygulamak üzere evvela ikinci tarafsız denklemin genel çözümünü bulalım: ^ + ^(cotg,r + 3cotg3,r) = 0 ~ f (cotg A: + 3 cotg 3x) dx ^ 0 y + logf sin X + log sin 3at = log C ôgiy sin X sin 3a:) -= log C ^ C sin a: sin 3a: bulunur. Şimdi de bu ifadenin ikinci taraflı denklemin genel çö zümü olabilmesi için C nin nasıl bir C(a:) fonksiyonu olması ge rektiğini araştıralım : ^ dx c/C sin X sin 3a: t -' C(sin 3a: cos a: + 3 sin a: cos 3a:) ________ d x ____ _____ ___________ sinÂ: sin^3A: olup y ile birlikte denklemde yerlerine konursa: 1 dC sin X sin 3a: d x C cos a: sin^ X sin 3a: 3C cos 3a: sin X sîn^ 3a: C cosa: sinÂ: sin 3a: 1— cosa: , 3C cos 3a: _ * sin X sin^3A: sin X sin 3a: (cos x + sin x 1 — cos X cosa: + sin a: — 1 dx 1) Yüksek Matematik Problemleri C « 3^3 COS x) dx J cos jc+sin a: — 1 integraline varılır. Bu integrali hesaplamak için de t ; do* Düştürmesi yapılırsa . c - / ( , 4 ^ + 17) - i İ 0 7 ( |y ^ - A ,..,< + K - T " « r = â r » - f + '' = — -^|^İQg(l — sin^) + .r | + K r elde edilir. C nin bu değerin! y = ifadesinde yeri* * ^ sınATSinSjıc ne koyarsak : — ^ log(l siP x) K ^ ~ sin ATsin 3jc bulunur. t4. Direnci R, self indüksiyonu L olan ve e EM*K inde bir gena^^ ratörû havi olan bir devrede, değişen rejim halinde, akımın i şiddetini veren denklem : Ri — £ sin o)t dir, i — 0 iken i "*« ö farzederek i akimim veren ifadeyi belir* tiniz» Birinci mertebeden lineer tipte bir diferansiel denklem olup sabitin değişimi kuralını uygulamak üzere evvela İkinci ta rafsız denklemin genel çözümünü bulalım: L - + R I-0 f + S .* - o lo g i + ^ t = \ o g C C- I* 354 Yüksek Matematik Problemleri dîr. Şimdi de bu ifadenin ikinci taraflı denklemin genel çözümü olabilmesi için C nin nasıl bîr C(at) fonksiyonu olması gerekti ğini araştıralım : d t~ d t h olup i île birlikte denklemde yerlerine konursa : dt —R C e dC ^ +RCe ^ = E sinw ^ E r ' . , sıncoi e ^ sin o)t dt integraline varılır. Bu întegrali hesaplamak için de kısmi înteg* rasyon kuralını uygularsak : k / ■ T ^ . , R L e ^ sın bit dt = fi ^ , sın R (^JL r — ^ / e ^ cos bit dt L r< h RL sino)f R^ + Ubi^ R^ e ^ sin dt = f cos h bi. R2 e^ sın bit — EcoL rt . ^ , T,, cos + K R^ + Ubi"^ ER e ^ sın bit — o 0e R2+LW R2+LW ^\ COS wf+K elde edilir. C nin bu değerini yukarıda bulunan i ifadesinde ye rine koyarsak ; I— ER sin bit R2 + L2w2 --t EwL cos wf + Ke ^ R2 + L'w2 bulunur, t — 0 iken z = 0 olduğu göz önünde tutulursa ; 0= ve ELw R2 + Ubi^ K Dîferansîel Denklemler 355 £Lw R2 H- Lôy^ K olarak ELoj R2 + LW ER sin R2 + L2w2 ı~ COS -f ELw R2 + LW R^ ' E R'-' + £2^2 R sin cof —■Lw COS b)t + Lwe ^ — bulunur. 15, 2yy' ( / -j- Arj + 2 a: — ~ (7 diferansîel denklemini çözünüz» Her iki taraf 2y{l + x) ile bölünürse denklem : .2 _ 9 . d + 2(1+^) .- 1 2(1+^) şeklini alır ki bu da Bernoulli tipinde bir diferansîel denklem dir. y^~'"=y'^=u dönüştürmesi yapılırsa 2 y y '^ u olarak denklem: . , u ‘ l+ x — 2x 2(1 + a:) şeklinde bir lineer diferansîel denklem haline g-elir. Buradan da: 1 __İL_===o ~ = ______ 1 + a: ’ ız 1+.V log ■— == — Iog(l + x) c l+ x elde edilir. Şimdi de bu ifadenin ikinci taraflı denklemin genel çözümü olabilmesi için c nin nasıl bir c{x) fonksiyonu olması gerektiğini araştıralım ! u == 1 + a: (1 + a:)2 olup u île birlikte lineer denklemde yerlerine konursa c' l+ ;c c , c x'^ — 2x {l + x y ' { l + x y “ l + .r 356 Yüksek Matematik Problemleri c ~ — 2x , c~ + K elde edilir- c nin bu değerini bulunan u ifadesinde yerine ko yarsak : 3 (1 + ;r) ve u ^ olduğu göz önüne alınırsa: y‘- x ^ ’- 3 x ^ + K 3(1+ :r) bulunur. 6. [xg — çözünüz. 1 + x^)/ c/;r + f / + x^) dy — 0 diferansiel denklemini Her iki tarafı (1 + x^) dx ile bölersek: d x ^ l+ x ^ şeklinde bir denkleme varırız ki bu da Bernoulli tipinde bir dife ransiel denklemdir. y~'^ — u dönüştürmesi yapılırsa: dy dx~ 1 «du y ' T~ 2 ^ dx olarak denklem : _ 1 + JES_ = v3„3 2 ^ d x ^ l+ x ^ ^ dx 2x u = — 2x^ l+ x ^ şeklinde bir lineer diferansiel denklem haline gelir. Bu denkle min ikinci tarafsızının genel çözümü; du ^ 2x dx u 1 + a:2 lo g — = lo g (l+ ;r^ ) c « = c(l + x^) Diferansiel Denklemler 357 dir. Şimdi de bu ifadenin ikinci taraflı denklemin genel çözümü olabilmesi için c nin nasıl bir c(;r) fonksiyonu olması gerektiğini araştıralım ; olup u île birlikte yerlerine konursa : , (1 + 2x^ 2c^ dc dx 2^' = - 2 x + 1 + a:^ ' l+AT^ c = - x ^ + lo g (l+ ;r2 ) + K elde edilir, c nin bu değerini u ifadesinde yerine koyarsak: U= + x ^) + (1 + x^) lo g (l + ;r2) + K (1 + x^) ve . ^ bulunur. 1 ( l + x ’)[ K - ;c ^ + log(l+A:2)] ~ ^ \ f y diferansiel denklemini çözünüz. Bernoulli tipinde bir diferansiel denklem olup nüştürmesi yapılırsa ^ ^ ^ = u dö olarak: du du X T x~ ^ 2{x’^ - \ ) du dx xu 2 { x ^ - \) 2 lineer diferansiel denklemine varılır. Bu denklemin ikinci tarafsı zının genel çözümü: du dx ux 2 (x‘^ - \ ) - 0 358 Yüksek Matematik Problemleri du u lo g — c == - 4 ' X dx 2(a:2 ~ 1 ) u= c *“ 1 ) > ^ i dir. Şimdi de bu ifadenin, ikinci taraflı denklemin genel çözümü olabilmesi için c nin nasıl bir c(x) fonksiyonu olması gerektiği*' ni araştıralım : du dx = V * ' - 1 ^ + Y ox{x'^ olup u ile birlikte ikinci taraflı denklemde yerlerine konursa: I +T - ')'*■- 2 p ır) dc X dx 2*\Jx^— \ - T elde edilir, c nin bu değerini u ifadesinde yerine koyarsak : bulunur. 18, g — cos X dg _ g^ cos x(1 — sin x ) diferansiel denklemini çözünüz» Bernoulli tipinde bir diferansiel denklem olup g~^=u dÖnüşdg dx ^ dx o du y ~ g \ l — s\nx) y Tx + cos a: du u = 1 — sin a: d i + cos a: lineer diferansiel denklemine varılır. Bu denklemin ikinçi taraf sızının genel çözümü; Diferansiel Denklemler 359 du . u dx cos X du u dx = — sec X dx cosx u log* ■— = — log(sec X + tg y) c sec a : - f - tg a: dir. Şimdi de bu ifadenin, ikinci taraflı denklemin genel çözümü olabilmesi için c nin nasıl bir c ( a : ) fonksiyonu olması gerektiğiaraştıralım dc ---- c sec X du dx dx sec a : + t g a : olup u ile birlikte ikinci taraflı denklemde yerlerine konursa dc ---- c sec X dx , + sec a: + tg a : c o s c A:(sec x + tg x) dc ^ = (sec Ac + tg a:)(1 — sin dc dx = — 1 — sin a : x) c o s AC c == sin a : + K elde edilir, c nin bu değerini u ifadesinde yerine koyarsak : sin 4- K sec a : + t g a : ve sec a : + t g a : sin a : + K bulunur. 19. x y ) = + 1 d ife r a n s ie l d e n k le m in i den ^ çözünüz. = x^y^-\-xy veya ^ — jry = JcV 360 Yüksek Matematik Problemleri yazılarak Bernoulll tipinde bir diferansiel denkleme varılmış olur. Burada = u dönüştürmesi yapılırsa — x~~'^ ^ ^ olarak: lineer diferansiel denklemi elde edilir. Bu denklemin ikinci ta rafsızının genel çözümü: du du , - - - y d y ^y log ve u ^ ce T^ dir. Şimdi de bu ifadenin ikinci taraflı denklemin genel çözümü olabilmesi için c nin nasıl bir c{x) fonksiyonu olması gerektiği ni araştıralım: y__f _y9 9 ac 2__ci,e du dy olup u ile birlikte ikinci taraflı denklemde yerlerine konursa : - jd c dy cye ^ cye 2 ^ _ ^3 â L = - ^3 e 2 ^y r ^ - j y^ e ’^ dy c = — y3g2_j«2e2 -f-K elde edilir, c nin bu değerini u ifadesinde yerine koyarsak: ^ y l\ u = c 2İ — ^ « = = (2 -y * )-f-K e ve ^ 1 2 c2-|-K j 2 Dîferansîel Denklemler a: [ ( 2— 361 + k]= bulunur. 20. Herhangîhîr noktasındaki eğimi yHogx — y olan ve f/ , 1) noktasından geçen eğrinin denklemini bulunuz, d ^ ^ y^ loş x ~ y dx X ^ 4. ^ dx X X yazılarak Bernoulli tîpîndis bir diferansiel denkleme varılır. Bu rada y~-^ = u dönüştürmesi yapılırsa —y~ ’^ __^ _ı dx ^ olarak : ____'• X X lineer diferansiel denklemine varılır. Bu denklemin ikinci taraf sızının gehel çözümü: _— o dx'x * u log — = log X ve c — X u = cx dir. Şimdi de bu ifadenin ikinci taraflı denklemin genel çözümü olabilmesi için c nin nasıl bir c{x) fonksiyonu olması gerektiği ni araştıralım : du dc , olup u ile birlikte ikinci taraflı denklemde yerlerine konursa: dc , logf X — x -j- - c + c = — dx ' X dc 1 , 362 Yüksek Matematik Problemleri lo?;c-|-— + K - / - y l o î xdx— — X ^ ^ X elde edilir, c nin bu değerini u ifadesinde yerine koyarsak U = --- = logr -j- 1 y ve y = logf -|- 1 “f“ Kat bulunur. Eğri (1,1) noktasından geçtiğine göre: 1= 1 lo g l-t-l + K dan K= 0 olarak eğrinin denklemi: y (\o g x + l)==l dir. 21. y ' ~i~ -----2" diferansîel denklemini çözünüz. Riccati diferansiel denklemi olup t/ı == ~ denklemin bir özel çözümüdür. Buna göre y = ^ - \ - u dönüştürmesi yapılırsa —^ + u ' olarak: n -)---- 2 “I" 2ıı • —- -)X^ X = —j -|----X^ X ^ =— a ' HI-----= X 2 şeklinde Bernoulli tipinde bir diferansiel denkleme varılır. Bura da = z dönüştürmesi yapılırsa: z = cjc -f bulunur. 1 log X ^ cx-\- X log X -\- X x{cx -f- X log x) c + 1 -f- log X cx X log x 363 Dıferansiel Denklemler 22. ^ ^ f V— Riccati denkleminin^ bir özel çözümü ( dx 1— olduğuna göre, genel çözümünü bulunuz, y = - + u dönüştürmesi yapılırsa du ^ dx \ ~ şeklinde Bernouili tipinde bir denkleme varılır Buradan da u =- x^-\ AT4- C bulunarak x^— 1 _ — cx^ — I c X c X sonucuna varılır^ 23. ( x^-]r J) y ' 2 x ^ y + ( 1—x"^) y ' = (x^-\-1)~ diferansiel denkleminin bir özel çözümü y ~ x olduğuna göre^ genel çözümünü bulunuz, Riccati tipinde bir diferansiel denklem olup y ^ x nüştürmesi yapılırsa: u dö (x^ + 1) u' 4 2xu -= (x^ — 1) şeklinde bir Benoulli diferansiel denklemine varılmış olur denklemin çözümü ? 1 ^ “ AT+ C(^’ + 1) olup; 4 1 -f c 4 a:) ^ r + c ( x 2 + l) dir. 24 y = cos X ın bir ö z e l ç ö z ü m ™ — sın X cos x ) olduğu + y^ Bu bilindiğine göre cos x ~ y sın \ ^ 0 Riccati denklemini çözünüz y =■ cosAf-j-ü dönüştürmesi yapılırsa ^ ^ olarak: 364 Yüksek Matematik Problemler sin a: + ^ j (1 — sin x cos Jt) + (cos x -f- «F cos x — (cos a: + u) + sinA:==0 (1 — sin .Vcos a:) ^ — sin a: + sin^ x cos x + cos^ x + 2u cos^ x + cos X (1 — sin X cos cos a: — a + sin a: = 0 — ^ + cos A^(sinÂ: + cosâ:) + 2u cosâ: + , a^cos X — cos A' — a = 0 (1 — sin X cos du , dx + ^ “t" c o s â : 2 c o S 'a: — 1 a — 1 — sin Acos X —- l)a + a^ cos a' == 0 cos A 1 — sin A cos A şeklinde Bernoulli tipi bir diferansiel denkleme varılır. Burada a~^= A dönüştürmesi yapılırsa dz dx ^ 2 cosÂ — 1 z ~ 1 — sin Acos A olarak: cos A 1 — sin ATcos A lineer diferansiel denklemi elde edilir. Bu denklemin ikinci ta« rafsızmın genel çözümü ; log z dz ^ dx 2 cosÂ — 1 2= 0 1 — sin A cos A dz z 2 cosÂ — 1 ^/a = Ö 1 — sin Acos A + log(l — sin A cos a) = log c 2(1 — sin Acos x ) ~ c c i — sin A cos A dir; Şimdi de bu ifadenin ikinci taraflı denklemin genel çözümü olabilmesi için c nin nasıl bir c(a ) fonksiyonu olması gerektiği ni araştıralım. dz dx dc c cos 2 a 1—-sin A cos A J a + (1—sin a cos a )-* olup a ile birlikte ikinci taraflı denklemde yerlerine konursa Dıferansiel Denklemler ccos2x dc 1—sin X cos x d x + (1 — sin x cos x f 365 cco s2 x (1—sin x cos x y COSAT 1—sin a: cos a: dx — cos X , c = sin a : + K elde edilir, c nîn bu değerini z ifadesinde yerine koyarsak; 1 sin a : + K — s î n A c cos a : ve u 1—sînAfCOs;r sinAT + K bulunur, u nun bu değeri de ^ = cosa: + « ifadesinde yerine ko nursa : , , 1—sın ATcos a: y = cos a: + w~ cos x ------;-----r r ? — ^ sınAT + K __ sin X cos x + K cos at+ 1 — sin accos x ^ sin AT+ K — ^ ^ _ a: + 1 sinAT + K sonucuna varılır. 25. dîferansîel denklemini çözünüz, Claîraut denklemi o l u p ^ = ;> dönüştürmesi yapılırsa ■r y==px + p^ elde edilir. Her iki tarafın diferansiellerî eşitlenirse: dg ^ p d x + x d p -^ 2 p d p ve d g ^ p dx olduğu göz önüne alınırsa: p d x'= p d x x d p ‘\ ‘ 2p dp {x + 2p)dp = 0 bulunur. Buradan: 366 Yüksek Matematik Problemler I. cÇp = O ve p == c olup denklemde yerine konursa: y ^ cx + c- genel denklemi elde edilir ki bir doğru ailesi gösterir. II. a: + 2;? = 0 ve a: = y = ~ T 2p olup denklemde yerine konursa: + T y - ~ T şeklinde tekil çözüm elde edilir.’Bu da yukarıda bulunan doğru ailesinin zarfı olan bir paraboldür. 26. y — xy' — y'^ diferansîel denklemini çözünüz^ Clairaut denklemi olup y'=^ dönüştürmesi yapılırsa; y = p x — p^ denklemi elde edilir. Her iki tarafın diferansieli alınır ve d y = p d x olduğu göz önüne alınırsa: dy = X dp p dx — 3p^ dp p dx ^ X d p p dx — 3p^ dp 0 ^ x d p — 3p^ dp dp {x — 3p'^) = 0 elde edilir ki buradan da: I. dp = Q y p = c olup denklemde yerine konursa ; y = cx — II. a: — 3;?^ = 0 (doğru ailesi) veya P denklemde yerine konursa : - T V ^ çözümleri elde edilir. 27. y ~ 2xy + y ^ diferansiel denklemini çözünüz. Dîferansîel Denklemler 367 Lagrange denklemi olup — = dönüştürmesi yapılırsa; y = 2px-\elde edilir. Her iki tarafın diferansielleri eşitlenir ve dy = p dx olduğu gözönünde tutulursa : dy -= 2pdx-{- 2x dp + 2p dp p d x — 2pdx pdx dx 2x dp + 2p dp 2x dp-\-2pdp ^ 0 .2 x _ ^ lineer denklemine varılır. Buradan : c X = ve 2p 3c—2p^ T ~ 3p2 3p' elde edilir ki bu ikisinden p yok edilirse y = f{x) denklemi el de edilir. 28. denklemini çözünüz. ^ ~ ( ^ ) Lagrange denklemi olup P dönüştürmesi yapılırsa : j px+y=p^ elde edilir. Her iki tarafın diferansielleri eşitlenir ve d y = p d x olduğu göz önünde tutulursa : p dx X dp -{- dy = 3p^ dp p d x X dp-]r p dx = 3p^ dp X dp + 2p dx ~ 3p^ dp lineer diferansiel denklemine varılır. Buradan: .;r = K;, - i 3 368 Yüksek Matematik Problemleri elde edilip denkleminde yerine konursa : - 2 v t X v t y ifadelerinden p yok edilirse aranan y mi bulunur. 29. dx^ — Xe e* difer ansiel denklemini çözünüz dx^ dx d m = xe^ dx — e"" d x İM. dx I X e"" d x — f e’^dx X — /*e' d x — cı -j- c\ ~ ^ c* “ e*" — e* + Cı - .r e " ~ 2 e * + cı ve bir daha integral alınarak: y ~ J x e’‘ dx — 2 J e* dx c\Jdx = xe'' — e* — 2 e*" + CıX + C2 “ a: c'" — 3 e* + CıX + C2 bulunur. 30 dx^ diferansiel denklemini çözünüz* Her iki tarafı île çarparak: C2 f(x) denkle Diferansiel Denklemler 369 + cı elde edilir. Buradan da: dx y ydy dx olarak yjcıif^ (c,jf + c,)* = cıy* — a cı y* = (cı X 4- cj)’ H- a sonucuna varılır. 31, d^ ^ s= tg^y + tg y diferansiel denkleminin x ^ “jç için y ^ 0 ve / olması halindeki çözümünü bulunuz. Denklemin beriki tarafını 2.^ <i dx ile çarparak; y) ^ y ve = tî*y + C elde edilir. Buradan d a : ^ » v /tg * y + C bulunur. ninden : îÇİn = 0 , ^ 1 olup C =* 1 elde edilge 370 Yüksek Matematik Problemleri dy —— dx = V ^ tg'^y ^ + 1 = cos y ve ^ dx = c o s y d y jı: = sin ly + K içil' y = 0 oiup elde edilerek : , TC x==sıny+-^ TC veya jc — ^ = sın bulunur. 32, denklemini çozunuz. ~ ^ *= /j dönüştürmesi yapılırsa dp dx ^ olarak denklem : \/l+ p2 şeklini alır. Buradan da : dp _ dx v / r + ^ ” "" ’ ~ cx — p t c^x^ —J 2cxr iog (p + V1+/?^) = log cjc \-\~p‘^ — c^x^ — 2cxp + p^ c 2"^ dy _ ^ Tx ~ T y= 1 1 2c X ___ 1 1 ■ ;c x^ — ^ \ o g x + k bulunur. 33. ^ ^ ~ diferansiel denklemini çözünüz. dönüştürmesi yapılırsa ^ olarak: Diferansiel Denklemler ^ 371 + ;? tg- jc = sin 2x lineer diferansiel denklemine varılır. Bu denklemin ikinci taraf sızının genel çözümü: + tg ;c log p — log cos X = = o log c log ;? = log (c cos a:) p = c cos X dir. Şimdi de bu ifadenin, ikinci taraflı denklemin genel çözümü olabilmesi için c nin nasıl bir c(a:) fonksiyonu olması gerektiği ni araştıralım : dp dc = -y- cos X — c sın X dx dx olup p ile birlikte ikinci taraflı denklemde yerlerine konulursa dc cos —■c sin a: + c sin ;r = sin 2x dx dc — 2 sin X dx c = — 2 cos a: + Ki elde edilir, c nin bu değeri p ifadesinde yerine konursa: p= ^ = —2 cosÂc Ki cos a: = Ki cos x — cos 2jc — 1 ve ^ = K2 + Ki sin X — 2” 2x — X bulunur. 34. dx - ^x^ ^ ~ ^ diferansiel denklemini çözünüz. = p dönüştürmesi yapılırsa olarak denklen 372 Yüksek Matematik Problemleri Şeklini alır kî bu da homojen tîp’de bîr dîferaîlsîel denklemdîr, p = ux dönüştürmesi yapılırsa ^ “ olarak : ux + \!x^ + uV = x ( x ^ + u ^ u + V î+ t? = x ^ + u dx du di \/l + du dx = AT log — = log(u + == « + Vl+ıı2=== A -I- y ^ ı ^ ^ P+ — /? == Sİx^+p^ y — v2 C ( S - ) bulunur. Buradan da : ^ dx 2 [c^ “ T [sc* ~ 6c ^ 2 bulunur. 35. f a: + / ^ ^ ~ =* J dy diferansîel denkleminin x ^ 0 için ve y ^ 1 olması halindeki çözümünü bulunuz. Diferansiel Denklemler ^ = p dönüştürmesi yapılırsa ^ (* + l) J 373 olarak dçnklem =(^+2)p şeklini alır. Buradan d a : dp p log x+2 x+ l = X = 1+ ' x+ l dx log(jr -j- 1) ^ .•= e*-‘>o?(*+i) p==-cix + l)e^ giog{xî) dx dy — c(x + 1) e*: dx y ==c J (x + 1) c* {/j: = c* + K bulunur. ;r == 0 için ^ = 3 ve ^ = 1 olduğuna göre K = 1 ve c = 3 olup : ^ = 3jc6*^ + 1 dir. 36. (J+y'^yı^ '----- — = R diferansiel denklemini çözünüz. ( Problem, eğri' lik yarıçapikrı sabit ve R e eşit olan eğrilerin denklemini belirtiniz şeklinde de ifade edilebilir,) * ^ == p dönüştürmesi yapılırsa denklem ; p şeklini alır. Buradan da ; dp (p2 + ve 1)3/2 - dx R- 374 Yüksek Matematik Problemleri x--^R X —c dp i r J = / + 1)’^^ dp + elde edilir, p = tg u dönüştürmesi ile ikinci taraftaki întegral hesaplanarak: X —C p v /p ^ + l {x~cy R2 R2 - { x - C f dy P - dx p^+1 P x~C q:yrR2_ ( ^ _ Q 2 - f (^~ C ) dx ^ ~ J ± ^W -{x-C f y ^ + ^ Y ( } - { x - C f + Y. {y-Y if^R ^-{x-C f { x - C f + {y-Kf=^K\ bulunur. 37. y ( ^ ) ~ ^ diferansiel denklemini çözünüz, ^ dönüştürmesi y a p . l . r s a = olarak: do _ „2 ,■ + ,> - o dy ü t-P + r '-o ^ — P- = — pl dy y y = Diferansîel Denklemler 375 şeklinde Bernoulli tipi bir diferansiei denkleme varılır. Burada da = z dönüştürmesi yapılırsa — p dy dy olarak : dz ^ z _ 1 d y -y ~ y lineer denklemi elde edilir. Bu denklemin ikinci tarafsızının ge nel çözümü: ^dy + -y “ 0 ^ y zy = c log z y = log c dir. Şimdi de bu ifadenin ikinci taraflı denklemin genel çözümü olabilmesi için c nin nasıl bir c(a:) fonksiyonu olması gerektiği ni araştıralım : dz _ 1 d c ___ d y ~ y dy y ‘^ olup z ile birlikte ikinci taraflı denklemde yerlerine konursa ? 1_ dc y dy _c__|_ c _ 1 dc = 1 dy !/ + K ve z = y+K dx y+K _ < /+ K dx = dy x + C = y + Klog y bulunur. ~ ^ d f/e ra /ıs ıe Z denklemini çözünüZi 376 Yüksek Matematik Problemleri ^ = p dönüştürmesi yapılırsa = p olarak : dp _ „2 4e . dy p_ y p şeklinde Bernoulli tipi bir diferansiel denkleme varılır. Burada p^ ^ z dönüştürmesi yapılırsa 2/? ^ 1 dz z ^ olarak : 3 lineer denklemi elde edilir. Bu denklemin ikinci tarafsızının ge nel çözümü: 2 dy . y lo gz — 21ogy = lo g c ^ - 2 ^ = 0 z y , Z = dir. Şimdi de bu ifadenin, ikinci taraflı denklemin genel çözümü olabilmesi için c nin nasıl bir c(x) fonksiyonu olması gerektiğini araştıralım : dz cfc 2 , olup z ile birlikte ikinci taraflı denklemde yerlerine konursa: l^d c j, 3 dc dy 2ı, c = ir- + K^ p = W y ’+K* = ^ Diferansiel Denklemler 377 dy / j r V j r ‘+ K ’ ;r + C = 1 , x + C=‘ K y — u ® bulunul*. 38. y*y' +y 6 diferansiel denklemini çözünüz» İkinci tarafsız denklemin karakteristik denklemi: r2 — r + 1 - 0 ve bu denklemin kökleri : 1 _v/r. olup ikinci tarafsız denklemin sfenel çözümü: y\ v/3 . \J3 \ c o s ^ X +C2Sin = dir. ikinci taraflı denklemin özel çözümü: y2 = ax^ + bx^ ~ \ - c x + d şeklinde olup a, c, d yi belirtmek üzere türevler alınırsa. y f == 3 ax^ + 26 jt + c y%^ 6a^ ~\-2h ve diferansiel denklemde yerlerine konursa: 6ax + 2b — Saa:^ — 26a: — c -f ax'^ + bx^ c x '■{-d ^ + 6 a}^ + (6 — 3a) x^ + (6a — 26 -f c)x + 26 — c + </ » ac^ + ö « = 1, 6 = 3, c = 0, </=0 378 Yüksek Matematik Problemleri bulunarak: 1^2 = a:3+ 3a:2 elde edilir. Bunlara göre verilen denklemin genel çözümü: y = 3ı-\-y2 y = e'/* |cı cos ^ 4- C2sin + 3jc* dir. 39. 6y' 9y — 7 e^^ sin x diferansiel denklemini çözünüz. İkinci tarafsız denklemin karakteristik denklemi : r2~6r + 9 = 0 ve bu denklemin kökleri ; r = 3 (iki katlı) olup ikinci tarafsız denklemin genel çözümü: y\ dir. İkinci taraflının 7 ~ (C ı + C 2A:) den ötürü olan özel çözümü: seklinde olup K yı belirtmek üzere türevler alınır ve diferansiel denklemi sağlama şartı yazılırsa: y 2 - 3K e3- + 2Kx = K e^{3x^ + 2 x ) ; yY=-Ke^(9x^ + 12x + 2); K e^%9x^ + 12x + 2 ) - 6Ke^^{3x^ + 2x) + 9Kx^ e^ ^ 7 e"' 2Ke^^7e^ 2K = 7 , K= 7 ve bulunur. İkinci taraflının sin x den ötürü olan özel çözümü is e : ys = A cos x -\~ B sin j: Difcransiel Denklemler 379 şeklinde olup A ve B yi belirtmek üzere türevler alınırsa; ^3' = — A sin yz + B cos —A cos jc — B sin a: ve diferansiel denklemde yerlerine konursa : — A cos x —B sin a:-|-6A sin a:—6B cos a:+9A cos a: + 9B sin x sa sin x (8A — 6B) cos X + (6A + 8B) sin x »= sin a: 8A - 6B - 0 , A= — ^ 50 ’ 6A + 8 B - 1 B —— 25 bulunarak : i/3 = ^ (3 cos a: + 4 sin x) bulunur. Bunlara göre verilen denklemin genel çözümü : y Z/ = (Cı + C2A:) Uı + + "I" + ^ (3 cos Ac+ 4 sin a) dir. 40. Z ? — ^ '^8y= 4x^—15cos3x dîftransîel denklemini çözünüz^ ikinci tarafsıza ait karakteristik denklem : ve kökleri: r = ^ 2 ± 2 i olup ikinci tarafsız denklemin genel çö zümü : yi = c‘^ (Cı cos 2a: + C2sin 2a:) dir. İkinci taraflı denklemin 4a:^ den ötürü olan özel çözümü: y 2 ^ ax^ + bx + c şeklinde olup a, b, c yi belirtmek üzere türevler alınırsa : y2 = 2aA: + b y 2 = 2a ve diferansiel denklemde yerlerine konursa: 380 Yüksek Matematik Problemleri 2a — Sax — 46 + Sbx + 8c = 4x^ 8ax^ -(- 8(6 — a)x + 2a — 46 + 8c = 4x^ 8a — 4 , 6 —a = 0 , 1 a= Y > , ^ 2a — 46 + 8c = 0 1 2 • c= bulunarak: 1 y2 ^ -ğ-(4jr2 + 4A: -f 1) elde edilir. ikinci taraflı denklemin — IS cosSa: den ötürü olan özel çözümü is e : ^3 = A cos 3 j : + B sin 3 jc şeklinde olup A, B yi belirtmek üzere türevler alınırsa: ^ — 3A sin 3 ji: + 3B cos 3 a: ys" = — 9A cos 3 a: — 9B sin 3 a: ve diferansiel denklemde yerlerine konursa: — 9A cos 3;c — 9B sin 3 a: + 12A sin 3 a: — 12B cos 3 a: + 8A cos 3 a: + 8B sin 3 a: = — 15 cos 3 a: ( —A — 12B)cos3a: + (12A—-B)sin3A:= ~ 15 cos 3 a: '-A -12B --15 . 12A-B-0 A — ’ ^B = 29 “ M = 29 bulunarak : ^ (cos 3 a: + 12 sin 3 a:) elde edilir. Bunlara göre verilen diferansiel denklemin genel çözümü: y — c^*(Cı cos 2a: + C 2 sin 2a:) -)- (4 a:^ + 4a: -f 1) + ^ (cos 3 a: + 12 sin 3 a:) dîn 41. y^ — 3y' + 2y — x^ -\-e'‘ — sın 2x diferansiel denklemini çözünüz» Diferansîel Denklemler 381 ikinci tarafsız denklemin karakteristik denklemi: r2-3r + 2 - 0 ve kökleri r — 1, r = 2 olup ikinci tarafsız denklemin genel çö zümü ; «/ı = CıC* + C2c2^ dir. İkinci taraflı denklemin den ötürü olan özel çözümü: <ıx^ + bx-\rc şeklinde olup a, c yi belirtmek üzere türevler alınırsa: yi = 2ajc -t-6 U2 == 2a ve diferansiel denklemde yerlerine konursa : 2aA:2 + ( - 6a + 2b)x + (2a - 36 + 2c) * 2a = 1 , — 6a "t" 26 == 0 , 1 > û == -oT 2a — 36 -f- 2c = 0 6A = 7^^ , C bulunarak: 1 = 2 2. 3 , 7 +' * 29 " ^ +‘ T4 “ elde edilir. İkinci taraflı denklemin e* den ötürü olan özel çözümü d e : 1/3 = K ;c e* şeklinde olup K yı belirtmek üzere türevler alınırsa: ^3' = K atc' + K c* y3' = KA:6' + 2Ke* ve diferansiel denklemde yerlerine konursa: Kjrc' + 2 K e * - 3 K A : e " - 3 K e " + 2KA:e*«e* — K e* = e' K= - 1 olarak : = bulunur. İkinci taraflı denklemin — sin 2x den ötürü olan özel çözü mü is e : 382 Yüksek Matematik Problemleri g 4 ^ A sin 2x 4 B cos 2x * şeklinde olup A ve B yi belirtmek üzere türevler alınırsa : g 4 = 2A cos 2x — 2B sin 2x y 4 ^ — 4A sin 2x — 4B cos 2x ve diferansiel denklemde yerlerine konulura : (— 2A 4- 6B) sin 2a: 4~ ( ~ 6A — 2B) cos 2a: = — sin 2 a: - 2A 4- 6B = - 1 , ^ - 6A - 2B - 0 b 2Ö ’ ^ _ a 20 olarak y 4 -- “ (sin 2a: — 3 cos 2a:) bulunur Bunlara göre verilen diferansiel denklemin genel çözümü : i/ = y - 4- C 2e^* - r ^ a:^ i/ ı + 4- ~ i/ 2 + a: i/3 + 4- ^ i/ 4 — a: e'^4" 4 r ( s i n 20 2a:—3 COS 2a:) dir 42. + 2y’ çözünüz y ^ a:^ 4 -3 — 2 e ""4 " cos x diferansiel denklemini ikinci tarafsız denklemin karakteristik denklemi : r2 4- 2r 4- 1 = 0 ve kökü iki katlı olarak r = — 1 olup ikinci tarafsız denklemin genel çözümü : i/ı = (C ia: 4~ € 2)6 ^'' dir ikinci taraflı denklemin x^ den ötürü olan özel çözümü ; y 2 = ax^ 4" bx^ cx-{- d şeklinde olup a, 6, c, d yi belirtmek üzere türevler alınırsa ; yf 3 oa 4 26a 4 c y-f — 6 ûa: 4' 26 ~ :^ ~ : " ve diferansiel denklemde yerlerine konulursa : ax^ 4~ (6a + 6)at“4~ (6a 4- 46 4~ c)a: 4~ 26 4~ 2c 4~ cf = a:^ öiferansîeİ Denklemler û= l. 6a + 6 = 0 , 6a + 46 + c - 0 , a ^ \ , b ^ —6, c = 18, 383 26 + 2c + c / = 0 c/=-24 olarak : ^2 = — 6a:^ + 18a: — 24 bulunur, İkinci taraflı denklemin 3e^* den ötürü olan özel çözü mü de : ^3 = K şeklinde olup K yı belirtmek üzere türevler alınırsa : ı/3' = 2Ke2^ , ı/3'==4Ke^* ve diferansiel denklemde yerlerine konulursa ; 4Kc2" + 4 K c 2 M - K e 2 " * 3 e 2 ' 9Ke2" 3e2" ve K= 1 olarak î dir. İkinci taraflı denklemin -- 2 c” "" den ötürü olan çözümü ise; ^4 -= K a:- e-^ şeklinde olup K yı belirtmek üzere türevler alınırsa : 1/4' - 2Ka: c-" — KATê-" = 2K e-" ~ 4K a: e-" + K a:ê'*’ ve diferansiel denklemde yerlerine konulursa : 2K c -'-4 K a: c- '+ K at^c-"+4K a: c- " ~ 2K a:ê~"+K Arê"^ ^ - 2 c-"* 2 K e ’ *^ - - 2e-*^ K= - l bulunarak : ^4- — ATê-* dir. Nihayet ikinci taraflının cosa: den ötürü olan özel çözümü de : Us ^ A sin a: + B cos x şeklinde olup A ve B yi belirtmek üzere türevler alınırsa : A cos a: — B sin a: ^5""= — A sin a: — B cos x ys = 384 Yüksek Matematik Problemleri ve diferansiel denklemde yerlerine konulursa î —A sin AT—B cos x + 2 k cos a:—2B sin x + A sin ^ + B cos s cos x — 2B sin jc -f 2A cos a: = cos x - 2B - 0 , B=0, 2A - 1 A= 1 bulunarak : f/5 = sın a: elde edilir. Bunlara göre verilen diferansiel denklemin genel çö zümü : y = ^!/ı+ y2 + !/3 + yi + us y — (CıA:-}-C2)e‘"^+Ac^ — 6x^ + 18a: — 24 + -^ — xê'^^+ ^ sin x dir. 43. y'' + 4y = 2 cos x cos 3x diferansîel denklemini çözünüz, = 2 cos X cos 3a: = cos Ax + cos 2a: yazılabilir. Buna göre ikinci tarafsız denklemin karakteristik denklem!: r2 + 4 = 0 ve kökleri r = T 2/ olup ikinci tarafsız denklemin genel çözümü; y i = Cı cos 2a: .+ C 2 sin 2a: dir. İkinci taraflı denklemin cos 4a: den ötürü olan özel çözümü: ^2 = A cos 4;r + B sin Ax şeklinde olup A ve B yi belirtmek üzere türevler alınırsa: y 2 = — 4A sin Ax + 4B cos 4a: y2 — 16A cos4at— löBsin 4a: ve diferansiel denklemde yerlerine konulursa: — 16A cos Ax — 16B sin 4a: + 4A cos 4a: + 4B sin 4a: » cos 4a: — 12A cos 4a: — 12B sin 4a: » cos 4a: —1 2 A -1 , -12B = 0 Diferansiel Denklemler 1 385 B 12 * olarak : y2 _ JL 12 cos 4x dir. İkinci taraflı denklemin cos 2a: den ötürü olan özel çözümü is e : ^3 = a c(A cos 2x -\-B sin 2 a:) şeklinde olup A ve B yi belirtmek üzere türevler alınırsa : ^ 3' = A cos 2a: + B sin 2a: -f 2A sin 2a: + 2B cos 2a:) y / = — 4A sin 2a: + 4B cos 2 a: + 4A cos 2a: — 4B sin 2a:) ve diferansiel denklemde yerlerine konulursa 1 — 4A sin 2a: + 4B cos 2a: + x(— 4A cos 2 a: — 4B sin 2a:) + a:(4A cos 2 a: + 4B sin 2 a:) * cos 2 a: — 4A sin 2a: + 4B cos 2 a: » cos 2a: ~4A = 0 . 4B = 1 A= 0 Dİarak ^3 1 - ~^X sin 2 a: dir. Bunlara gpöre verilen diferansiel denklemin genel çözümü : y ^ y i+ y 2 + yz y = C\ cos 2 a: -f C2sin 2 a: “ cos 4a: + ~ a: sin 2.r dir. 44. y* — 2y" y — x^ e* x — 1 diferansiel denklemini çözünüz* İkinci tarafsız denklemin karakteristik denklemi: r2 -2 r + l - ( r ~ l ) 2 = 0 ve kökü iki katlı olarak r ^ 1 olup ikinci tarafsız denklemin genel çözümü: y\ = (C ia: + C2) e* dir. İkinci taratlı denklemin a:V den ötürü olan özel çözümü t 386 Yüksek Matematik Problemleri y ı^ z e şeklinde olup z yi belirtmek üzere türevler alınırsa: y 2 = 2' y2 — + z e* 2z' e""+ z e* ve diferansiel denklemde yerlerine konulursa : z ' e"" ~r 2z' e* -)- z e* — 2z' e* — 2z e* + z e* — e* z' = ve buradan z i elde etmek için d e : z - xKAx^ + B;c + C) - Ax^ + Bx^ + Cx^ yazılıp türevler alınır: z ^ 4 A x ‘^ + 3Bx^ + 2 Cx z"-12AA:2 + 6BAr + 2C ve denklemde yerlerine konulursa : 12Aa:2 f6BA: + 2C ^jc* 12A- 1 , 6B - 0 , 2C -0 A==^, BÔ, C -0 ^ 12 ^ elde edilip bulunur. İkinci taraflı denklemin at — 1 den ötürü olan özel çö zümü is e : y 2 ^ ax + b şeklinde olup a, b yi belirtmek üzere türevler alınırsa: y3 = a , y^ = 0 ve diferansiel denklemde yerlerine konulursa: —2a ax b ^ X —1 ax — 2a + 6 ^ a: — 1 a 1 , a -1 olarak , - 2a -f- 6 ~ ^— i 6 -1 Diferansîel Denklemler 387 x+ l dir. Bunlara göre verilen diferansiel denklemin genel çözümü; y= ^yı + y 2 + ys y ^ (Cıjr + C2) e* + e* + a: + 1 dir. 45. y" + 4y' çözünüz. y 3y = 6 e ( cos 3x 4- sin 3x) diferansiel denklemini z dönüştürmesi yapılırsa; z e ~2x _ 2 e z y /=== ~ 42'e ” ^* + 4ze*”2* olarak diferansiel denklemde yerlerine konulursa : ^ 6 e™2*f(cos 3at+ sin 3at) z" — z 6(cos 3att sin Zx) elde edilir. Bu denklemin ikinci tarafsızına ait karakteristik denklem : ve kökleri 1 ve r==l olup ikinci tarafsıza ait genel çözüm: z ,- C ıe ~ " f C2C" olur. İkinci taraflı denklemin özel çözümü is e : Z2 « A cos 3a: + B sin 3a: şeklinde olup A ve B yi belirtmek üzere türevler alınırsa : z{ ^ — 3A sin 3a: -f- 3B cos 3a: ^2 = — 9A cos 3a: — 9B sin 3at ve diferansiel denklemde yerlerine konulursa : — 9A cos3a: — 9Bsin3A:—A co s3 x —Bsin3A:s6cos3A:4-6sin3A: — 10 A cos 3a: — 10 B sin 3a: ^ 6 cos 3a: + 6 sin 3a: o larak: -lO A -6 , -lO B -6 '' 5 ’ “ 5 388 Yüksek Matematik Problemleri ^2 ^ (cos 3x + sin 3x) dîr. Bunlara göre z genel çözümü: Z - Zı + Z2 z = Cı + € 26* — (cos 3;c + sin 3x) olup verilen diferansiel denklemin genel çözümü: 1/ “ z e>-2x y Cıe~3^ + — -j- e-2^(cos 3,r + sin 3a:) dir. 46. y" — 4y' j- 3y == 2xe^'' + 3 e* cos 2x zünüz, » diferansiel denklemini çö İkinci tarafsız denklemin karakteristik denklemi: r 2 - 4 r + 3==0 ve kökleri r == 1 , çözümü: r = 3 olup ikinci tarafsız denklemin genel C\e* 1~ C ıe 3»* yi dir. İkinci taraflı denklemin 2 xe^^ den ötürü olan özel çözümü: _ 3 jf y^^ze^ şeklinde olup (z) i belirtmek üzere türevler alınırsa : y f = z' + 3z y { ~ z' + 6z' -f- 9z ve diferansiel denklemde yerlerine konulursa: z ' + 2z ' - 2 a: denklemi elde edilir ki bunun da özel çözümü: z = x(ax + 6) = OAC*+ bx şeklindedir, a ve 6 yi belirtmek üzere türevler alınırsa: z' = 2flA: + 6 , ve denklemde yerlerine konulursa: z ' =» 2a Diferansiel Denklemler 389 4ox + 2a + 26 = 2;t 4a - 2 û , 2a + 2 6 - 0 1 2 * , 1 *= - y olarak: z =* 1) ve ^2bulunur. İkinci taraflı denklemin 3 e* cos 2x den ötürü olan özel çö zümü is e : şeklinde olup (z) i belirtmek üzere türevler alınırsa: z" e * + z e* y$^ z" c' + 2z c* + z e* ve denklemde yerlerine konulursa: z ' — 2z' = 3 cos 2 x elde edilir ki bunun da özel çözümü: z = A sîn2z + Bcos2z şeklinde olup A ve B yi belirtmek üzere türevler alınırsa: z ^ 2A cos 2 x — 2B sin 2z ^ — 4A sin 2jc — 4B cos 2 x ve diferansiel denklemde yerlerine konulursa: (— 4A + 4B)sin 2a: + ( — 4A — 4B) cos 2 x ^ 3 cos 2 x - 4 A + 4B = 0 , A = B= - -4A -4B -3 3 8 o larak : z ~ —o 5“ (s**' ve 2a:) 390 Yüksek Matematik Problemleri 1^3 = — -g- e*(sîn 2 x + cos 2 x) bulunur. Bunlara göre verilen diferânsiel denklemin genel çö zümü : y = Cıc* + C2c^* + ™ e^{x"^ — jc) — ~ e*(sin 2x + cos 2x) dir. 47. 3^ — 4 ^ ^ 4 y ^ c o s2 x diferânsiel denklemini çözünüz* İkinci tarafsız denklemin karakteristik denklemi: r3 --- r2 + 4r - 4 - (r - l)(r2 + 4) - 0 ve kökleri r + 1 , r ^ ^ 2f olup ikinci tarafsız denklemin genel çözümü ; y^ ^ Cıe* “f“ C2cos 2 x -|- C3sin 2 x dir. İkinci taraflı denklemin cos 2 x den ötürü olan özel çözümü: y% ^ sin 2^ + B cos 2 x) şeklinde olup Â ve B yi belirtmek üzere türevler alınırsa: yf A sin 2^ + B cos 2x + jc(2A c o s 2x — 2B sin 2 x) y 2 ^ 4A cos 2x — 4B sin 2 x + at(“- 4A sin 2x ~ 4B cos 2jc) y » ^ ^ i 2 A sin 2^: 12B cos 2x + ^(—8A cos 2;r + 8B sin 2x) ve diferânsiel denklemde yerlerine konulursa: ( - 8A + 4B) sin 2jt + (—4A - - 8A + 4B - 0 , A -- 20 8B) cos 2x — cos 2jc - 4A - 8B - 1 « = -2 T o la ra k : y2 ~ ^ (sin 2 x + 2 cos 2jc) bulunur. Bunlara göre verilen diferânsiel denklemin genel çözümü: y = Cıe* + C2COS 2 x + dir* C3 sin 2 x — ^ (sin 2 a: + 2 cos 2 a: ) Diferansiel Denklemler 48. 391 y * y ' y —sin 2x-\-cos 3x diferansiel denklemini çözünüz* İkinci tarafsız denklemin karakteristik denklemi; r^ + r^ + r + l - ( r + l)(r2 + l) = 0 ve kökleri r = — 1 , genel çözümü: r==Pr olup ikinci tarafsız denklemin y\ “ Cıc“ * Ca cos a: + C3sin x dir. İkinci taraflı denklemin sin 2 a: den ötürü olan özel çözümü: ^2 ^ A sin 2a: + B cos 2 a: şeklinde olup A ve B yi belirtmek üzere türevler alınırsa : y f ^ 2A cos 2 ac — 2B sin 2 a: = — 4A sin 2 a: — 4B cos 2 a: ^ — 8A cos 2a: + 8B sin 2a: ve diferansiel denklemde yerlerine konulursa î (— 3A + 6B) sin 2 a: + (— 6A — 3B) cos 2a: ===sin 2 a: - 3 A + 6B - 1 A - - , ~-6A~3B-0 B= 15 15 olarak ^2 = (2 cos 2 a: — sin 2 a:) dır. İkinci taraflı denklemin cos 3a: den ötürü olan özel çözümü ise : ^3 == A sin 3a: + B cos 3a: şeklinde olup A ve B yi belirtmek üzere türevler alınırsa: yz = 3A cos 3a: — 3B sin 3a: yz == —9A sin 3a: — 9B cos 3a: yf* = — 27A cos 3a: + 27B sin 3a: ve diferansiel denklemde yerlerine konulursa; (— 8A + 24B) sin 3a: + (— 24A — 8B) cos 3.t - 8A + 2 4 B - 0 , -2 4 A -8 B = 1 cos 3a: 392 Yüksek Matematik Problemleri 3^ 80 ’ A- B 80 olarak ^3^ 2^ (3 sin 3a: + cos 3a:) 80 bulunur. Bunlara göre verilen diferansiel denklemin genel çözümü 5 y ^ C\e“'' 2 C2COS X C3sin a: -f* (2 cos 2 a: — sin 2 a:) — 1 r (3 sin 3a: + cos 3a:) 80 dir. 49. yOn + 2 ı f çözünüz» Sy*" — e"* -p sin x 4 diferansiel denklemini İkinci tarafsız denklemin karakteristik denklemi: r ' + 2r^ - 3r^ - r \r + 3)(r - 1) - 0 ve kökleri r 0 (iki katlı), r ^ — 3 , sız denklemin genel çözümü: Cı + C2A:- f r == 1 olup ikinci taraf + Cic* dir. İkinci taraflı denklemin x^ den ötürü olan özel çözümü: y 2 - x^(ax^ + bx + c ) ^ ax* + bx^ + ca:^ şeklinde olup c, b» c yi belirtmek üzere türevler alınırsa: y f ^ 4ax^ + 3bx^+ ^ 2^ — 12oa:^ + yf 24aAT + _ 24a 6 bx 2 ca: + 2c 6b ve diferansiel denklemde yerlerine konulursa: 24a -f - 48aA: + 126 — 36ax^ — 186a: — 6 c a» a:^ - 36ax^ + (48a ~ 186)jt + 24a + 126 - 6c ^ x^ —3 6 a - l , 4 8 a -1 8 6 - 0 , a= — L 36 * o larak : 1 27" 24a + 1 2 6 - 6 c = 0 27 Diferansiel Denklemler i/2==-^ 36 393 2 7 -'-2 T --râ 8 dir. İkinci taraflı denklemin 3e^"" den ötürü olan özel çözümü de y-i şeklinde olup K yı belirtmek üzere türevler alınırsa : ^3' = 2K . 2* , ^3' = 4K , ^3" = 8K ve diferansiel denklemde yerlerine konulursa : 16K + 16K = 16K - 12K e'* - 3 20Ke 2x _ ^ 3 g 2x 20 olarak 3 2, ==2 0 " bulunur. İkinci taraflı denklemin 4sin.v den ötürü olan özel çö zümü ise : ^4 = A sin x^~j- B cos şeklinde olup A ve B yi belirtmek üzere türevler alınırsa : ^4 = A cosj: — Bsin.v = — A sin — B cos ,v A cos : + B sin ^4(iv) _ A sin a: + B cos x — — j a : ve diferansiel denklemde yerlerine konulursa : A sin a:+ B cos a:—2A cos Ar-[-2B sin A:-j-3A sin A:-f 3B cos a: = 4 sin a* (4A + 2B) sin a: + ( - ' 2A + 4B) cos a' = 4 sin x 4A + 2B = 4 , A = ± — 2A + 4B - 0 b = 4 olarak : 1/ 4 bulunur. = (2 sin A'+ cos A') 394 Yüksek Matematik Problemleri Bunlara göre verilen diferansîel denklemin genel çözümü: y ^ y \+ y 2+ yi + ^ “ Cı -T' C2A: -f- Cae"^* — jgğ (3a:^ + 8a: + 28) + 3 2 — c^H- (2 sin X + cos x) dir. 50. 20e^''cos 3x diferansîel denklemini çözünüz* İkinci tarafsız denklemin karakteristik denklemi: r' + 5r2 - 36 - (r= - 4)(r2 + 9) - 0 ve kökleri r = — 2 , r denklemin genel çözümü : 2, y\ = Cıe“ ^* + € 26^* + r ^ T 3i olup ikinci tarafsız C3 cos 3a: + C4sin 3a: dir. İkinci taraflı denkleme ait özel çözüm : y 2 =^ z şeklinde olup (z) i belirtmek üzere türevler alınırsa : ^ 2" — + 2z y f' = z" e^' + 4z' y2 = r* yf^^^= + Az e^* + 62' + 12z' c^* + + Sz” e^* + 24z' + 32z' c^* + 16z elde edilir ki bunlar da diferansîel denklemde yerlerine konulursa: zIV g2ar 2Az’ e'^' + 32z'e^* 16z e2* + 5z'e2« + 20z'e2* + 20z e^* — 36z e^* ^ 20 e^* cos 3a: 2IV 8z" + 29z" + 52z' - 20 cos 3a: diferansîel denklemine varılır. Bu denkleme ait özel çözüm is e : z = A cos 3a: + B sin 3a: şeklinde olacakından A ve B yi belirtmek üzere türevler alınırsa: z' = — 3A sin 3a: + 3B cos 3a: z ' = — 9A cos 3a: — 9B sin 3at Diferansiel Denklemler 395 z ” = 27A sin 3a: —_27B cos 3.t — 81A cos 3a: -f 81B sin Zx ve diferansiel denklemde yerlerine konulursa : 81A cos 3.V+81B sin 3a’+216A sin 3,v-“ 216B cos 3;r~261 A cos 3 a : — 261B sin 3 a : — 156A sin 3x -j- 156B cos 3;r = 20 cos 3a: ( — 180A — 60B) cos 3 a: + (60A 180B) sin 3 a : a 20 cos 3 at ' - 180A - 60B - 20 . JL 60A - 180B - 0 ® 10 30 bulunarak ^ (3 cos 3 a : + sin 3 a: ) ve ^2 .2* — 3Q (3 cos 3 a : - f sin 3 a:) elde edilir. İkinci taraflı diferansiel denkleme ait genel çözüm ise y ^ C ıe + C 2e ^ * + C 3 C O S 3 a: j C 4s i n 3 . v — (3 cos 3 , v 4 “ S İ n 3 a:) dir. 51. yT -f" 2y'' — y" — 2y ~ 5 sin 2x~{- 12 x çözünüz» diferansiel denklemini İkinci tarafsız denklemin karakteristik denklemi: r^ + 2 r 2 ~ r - 2 - (r + 2)(r + l)(r ~ 1) = 0 ve kökleri r = — 2 , r = —1 , r = l olup ikinci tarafsız denk lemin genel çözümü: y\ — Cxc~“* -j- C 2c“ * -f- Csö* dir. İkinci taraflı denklemin 5sin2Ac den ötürü olan özel çözümü* ^2 = A sin 2 a: + B cos 2 x peklinde olup A ve B yi belirtmek üzere türevler alınırsa : y 2'= 2A cos 2 a : — 2B sin 2 a: ^2*'= — 4A sin 2 a : — 4B cos 2 a : 396 Yüksek Matematik Problemleri 1/ 2"' — SA cos 2x + 8B sin 2 x ve diferansiel denklemde yerlerine konulursa : — 8A cos 2x + 8B sin 2 x — 8A sin 2x — 8B cos 2 x — 2A cos 2jr+ 2B sin 2 x — 2A sin 2x — 2B cos 2jt s= 5 sin 2x (— lOA + 10B)sin 2 x + (— lOA — lOB) cos 2 x = 5 sin 2 x - lOA + lOB - 5 , A - - 4- - lOA — lOB - 0 . B - 4 bulunarak : (cos 2 x — sin 2 x) elde edilir. İkinci taraflı denklemin 12xe^* den ötürü olan özel çözümü; şeklinde olup (z) i belirtmek üzere türevler alınırsa : y^ = z" + = z* 2 z + 4 z' + 4z + 6 z ' + 1 2 z' e2* + 8 z c'* t ve diferansiel denklemde yerlerine konulursa : ^ z” f- 6 z^ + 12 z' + 8z + 2 z'e^* -j- 8 z' + 8 z e^* — z ' e 2 x _ 2 z e ^ * - 2 z e 2 ' = 12 a* z"' + 8z" + 19z' + 12z-= 12 a elde edilir ki bunun da ikinci taraftan olan özel çözümü: z = ax b şeklinde olup a ve 6 yi belirtmek üzere türevler alınırsa: z a z '- 0 ve diferansiel denklemde yerlerine konulursa . 19a + 12aA + 1 2 6 ^ 12a 12aA + (19a + 126)^12A 12a- 1 2 , a —1 o la ra k : 19a+ 126 = 0 b --^- 19 12 ,2x Diferansiel Denklemler z~ X — 391 19 12 ve ^V3 = ^ 2 ( 1 2 ^ - 1 9 ) bulunur. Bunlara gföre verilen diferansiel denklemin genel çözümü s y ^ Cıe~'* + € 26"* + Cse* + (cos 2x sin 2jr) + ^ ^ {\ 2 x — 19) dir. 52. ^ ^ c o s diferansiel denklemini çözünüz, ikinci tarafsız denklemin karakteristik denklemi: r< + 4 r3 -r3 (r + 4 ) - 0 ve kökleri r ^ 0 (üç katlı), r ^ — 4 olup ikinci tarafsız denkle min genel çözümü: y\ -= Cı + C2Jr + C$x^ f Ci6 dir, İkinci taraflı denklemin özel çözümü ise : ^2 A cos 4jt + B sin 4x şeklinde olup A ve B yi belirtmek üzere türevler alınırsa; y f ^ — 4A sin 4x + 4B cos 4x y 2 ' = — 16A cos 4;r — 16B sin 4x y2 == 64A sin Ax ~ 64B cos 4a: ^2*^^ ~ 256A cos 4a: + 256B sin 4x ve diferansiel denklemde yerlerine konulursa : 256A cos 4a: 4 256B sin 4a: 4- 256A sin 4x — 256B cos 4x ^ 4 cos 4a: (256A —• 256B) cos 4a: 4- (256A 4- 256B) sin 4a: * 4 cos 4a: 256A - 256B - 4 ^ bulunarak 128 , 256A + 256B - 0 * 128 398 Yüksek Matematik Problemleri H2 = (cos Ax — sin 4a-) elde edilir. Bunlara gföre ikinci taraflı denklemin sênel çözümü “ C ı + C 2 a: + C 3 + C4 (cos 4ac— sin 4a:) dir. 53. + 2 = 2a: 4* 25 e~* sin 2x diferansiel denklemini çözünüz* İkinci tarafsız denklemin karakteristik denklemi: r^ + 2r2- r2(r2 + 2 ) - 0 ve kökleri r = 0 (iki katlı), r = lemin genel çözümü: z olup ikinci tarafsız denk ı/ı = Cı -j- G2a:- f-C3cos ^2 AT4 *C4sin v/2 a: dir. İkinci taraflı denklemin 2 a: den ötürü olan özel çözümü: y 2 = x^ {ax + b )~ ax^ + bx^ şeklinde olup a ve 5 yi belirtmek üzere türevler alınırsa: §2 = 3ax^ + 2 bx , yı* = 6 ax + y ı' = 6a 2b , y j^ ^ 0 ve diferansiel denklemde yerlerine konulursa: 12a;r + 46 = 2A: 12a = 2 , 46 = 0 a= , 6= 0 olarak: 1^2= ğbulunur. İkinci taraflı denklemin 25 e~' sin 2a: den ötürü olan özel çözümü de: = « e-* şeklinde olup {z) i belirtmek üzere türevler alınırsa: Diferansiel Denklemler 399 ^3 == 6""*^ — ^3^ = e"** 2 ^— 2 e"* z' -}- c” * 2 i^s” = e“ * 2 ” — 3 e~* 2 ^+ 3 e“ * 2 ' — e“ * 2 = e'*" 2 *^ — 4 e~' 2 '" + 6 e“* 2 ' — 4 e”*"2 ' + c“ * ^ ve diferansiel denklemde yerlerine konulursa: 2 IV_ 4 g~.r ^ ^ __ 4 ^ g-ar ^ ^ 2 C"' 2 ' — 4 e”"" 2 ' + 2 2 ■* 25 e”*"sin 2x 2iV -42"' + 8 2 ' - 8 2 ' 4 - 3 2 « 2 5 sin 2at elde edilir ki bunun da ikinci taraftan olan özel çözümü: 2 A sin 2 a: + B cos 2 a: şeklinde olup A ve B yi belirtmek üzere türevler alınırsa: 2' 2A cos 2 a: — 2B sin 2a: 2 ' ~ — 4A sin 2 a: — 4B cos 2 a: 2 ” = — 8A cos 2 a: + 8B sin 2 a: 2 ^v = 16A sin 2a: + 16B cos 2a: bulunarak diferansiel denklemde yerlerine konulursa: 16A sin 2a: + 16B cos 2 a: + 32A cos 2a: — 32B sin 2a: — 32A sin 2a:— 32B cos 2 a: — 16A cos 2 a: + 16B sin 2a: + 3A sin 2a: + 3B cos 2 a: « 25 sin 2a: (— 13A — 16B) sin 2a: + (16A — 13B) cos 2a: ** 25 sin 2a: -13A~16B*25 a = -1 3 17 ’ , b = 16A-13B = 0 17 olarak: z — jy (13 sin 2at+ 16 cos 2a:) ve ^ - jy (13sin2A:+16cos2A:) bulunur. Banlara göre verilen diferansiel denklemin genel çözümü: 400 Yüksek Matematik Problemleri jy ^ Cj + + C3 cos ^2 x~\- C4Sİn \ ] 2 x “ ^ (13 sin 2 x + 16 cos 2 x) dir. .44, — 6 y ' -\-9y —^ diferansiel denklemini çözünüz, ikinci tarafsız denklemin karakteristik denklemi; - 6r + 9 - ( r - - 3 ) 2 - 0 ve kökleri r = 3 (iki katlı) olup ikinci tarafsız denklemin genel çözümü: = (C i + C2a:) c3* dir. Bu ifadenin, ikinci taraflı denklemin genel çözümü olabilme si için Cı ve C2 nin ne şekilde fonksiyonlar olması gerektiğini bulmak üzere sabitin değişim! (Lagrange) kuralını uygulayalım; y ^ C \ e^ + C 2 Xi?^ y - 3Cı + (e^ + 3a: e^*) C2 + Cı' + C2' .r olup bütünler şart olarak; C / c2 '4 0.2 x e ^ ^ ^ (1) olmasını kabul edelim. Buna g ö re; / - 3 C ı e ^ + (e3' + 3A:c3»)C2 olarak: y ’' = 9Cı + [3e^ + (1 + 3a:) 3e^] C2 + 3Cı' + (1 + 3a:) dir. Bu türevler diferansiel denklemde yerlerine konulursa: 3C i ' + (1 + 3x)C 2 ' - ^ (2) elde edilir. (1) ve (2) denklemlerinden C 2= - 4 - + K, ve C/ Dîferansîel Denklemler 401 1 C,'== Cj =* — log* ^ + Kj bulunarak y - ^ ( C , + C2 x )e ^ ^ = (— logj: + K2 — 1 + KıJr)e^ + K2 =- Ki a: logf x elde edilir. 55. y* — 4y' 7+5^ dı/cransıc/ denklemini çözünüz. İkinci tarafsız denklemin karakteristik denklemi: r 2 - 4r + 3 - ( r - l ) ( r - 3 ) - 0 ve kökleri r çözümü; 1 , r » 3 olup ikinci tarafsız denklemin sfenel y=*Cıe* + C2e^ dir. Şimdi, bu ifadenin ikinci taraflı denklemin genel çözümü olabilmesi için Cı ve C2 nin ne şekilde fonksiyonlar olması gerektigrini bulmak üzere sabitin değişimi kuralını uygulayalım: y^ == C\e* 3C2e^ -f- Cı^ e* -|- C2 olup bütünler şart olarak: Cı'e*^ + C2'c3* = 0 (1) olmasını kabul edelim. Buna göre i y ^ C ı e ^ + SCê^^ Alarak: / - Cı + 9C2 + Cı' c' + 3Cj' dır. Bu türevler diferansiel denklemde yerlerine konulursa: Cı e' + 9Cj + Cı' + 3C2' - 4Q c" ~ I 2C2 + 3Cı e" + SC je»»C ı'« ' + 3C2'e’* = 1+e* elde edilir. (1) ve (2) denklemlerinden ( 2) 402 Yüksek Matematik Problemleri 2C2'e^" = 2Cı'e^ = 1+e* 2 e2*(l+e*) ’ — e* 1+e* ’ Cı' = - 1 2(l+ e* ) ve bunlardan : e. - • C .= A Iog(e-' + l) + K, •3x c /- 2(l+e*) Y i® -'' - "■' + ^ ı ] 2 (e-' + l) - T Cî = y [ - - j e-2* + e - * - lo g ( e - " + 1) j + K, elde edilerek yerlerine konulursa: i^ = y e’'log(e-* + l) + K,e* + I [ - y e" + e^* y = K ,e’^+ K, İ0g(e-" + 1) j + e»* + y - e » '- j e* + y (e-^-e^) log (1+e-*) elde edilir. 56. dû '\ ’ 4y ^ 4 sec^ 2x diferansiel denklemini çözünüz, İkinci tarafsız denklemin karakteristik denklemi: r2 + 4 = 0 ve kökleri r = =F 2ı olup ikinci tarafsız denklemin genel çözümü: ^ = Cı cos 2 x + C2 sin 2 x dir. Şimdi, sabitin değişimi kuralını uygulayarak, bu ifadenin ikinci taraflı denklemin genel çözümü olabilmesi için Cı ve C2 nin nasıl Cı(;r) ve C2 {x) şeklinde fonksiyonlar olması gerekti ğini araştıralım: y ' = — 2Cı sin 2;r + 2C2 cos 2 x + Cı cos 2:r + C2' sin 2 x olup bütünler şart olarak: Cı' cos 2 jc + C2' sin olmasını kabul edelim. Buna göre: 2 a: = 0 (1) Diferansiel Denklemler 403 — 2Cı sin 2x + 2C2 cos 2x olarak: 1/' = — 4Cı cos 2 x — 4C2 sin 2r — 2C / sin 2 x + 2C2' cos 2 x , dir. Bu türevler diferansiel denlemde yerlerine konulursa: — 4Cı cos 2 x — 4C2 sin — 2 C / sin 2 a: 2 a: — 2Cı' sin 2 x + 2C2' cos 2 x + 4Cı cos 2 a: + 4C2 sin 2 a: = 4 sec^ 2 a: + 2C2' cos 2 a: = 4 sec^2r (2) elde edilir. (1) ve (2) denklemlerinden: C2' = 2 sec C/ 2 a: ~ 2 sec^2AT sin 2 a: , C2 == log (sec , Cı = — sec 2 a: + Ki 2 a: + tg 2 a:) + K2 elde edilerek yerlerine konulursa: ^ = Ki cos 2 a: + K2sin 2 a: — 1 + sin 2 a: log (sec 2 a: 4 tg - 2 a:) bulunur. 57. — xy' + 4y — cos(log a :^ -f çözünüz* a: = a: sîn(logx) diferansiel denklemini dönüştürmesi yapılırsa logA:-=/, ^ ve: dx dt dx‘ ~ dt dx " dt dx~ = e -'D y Dir)e-' = e~^'(D*-D)i^ xy = — Dy ; t y = (D * -D )i, o larak : (D^ — D — D + 4)^ = cos f + e' sin t — 2y Ay — cos f + e' sin t denklemine varılır. Bu denklemin ikinci tarafsızının karakteris tik denklemi: r2~2r + 4 = 0 ve kökleri: r = = l + v ^ 3 ı olup ikinci tarafsız denklemin genel çözümü: 404 Yüksek Matematik Problemler yx == e^(Cı cos \[Tt + C2 sin v^31) dir. İkinci taraflı denklemin cos^ den ötürü olan özel çözümü: ^2 = A cos ^ + B sin ^ şeklinde olup A ve B yi belirtmek üzere türevler alınırsa: y 2 ^ — A sin ^ + B cos t ^2*^== — A cos ^ — B sin ^ ve diferansiel denklemde yerlerine konulursa: —A cos B sin ^+2A sin t — 2B cos ^ + 4A cos ^ + 4B sin / = cos t (3A — 2B) cos t + (2A + 3B) sin t = cos t 3 A -2 B = 1 , 2A + 3 B - 0 A^ ~ ^ 13 ' « = -ıT y2 = (3 cos ^ — 2 sin t) olarak: dir. İkinci taraflı denklemin e^sin^ den ötürü olan özel çözümü de: yz^ze^ şeklinde olup (z) i belirtmek üzere türevler alınırsa: y^ = e' 2' + ^ y^ = e' 2' + 2 c' z' + e' z ve diferansiel denklemde yerlerine konulursa: c' z ' 2 e* z' + e' z — 2 e' z' — 2 e' z + 4 z e' == e*sin t z ' + 3 z = sin ^ elde edilir ki bunun da özel çözümü: z —A sin ^ + B cos t şeklinde olup A ve B yi belirtmek üzere türevler alınırsa: z ' = A cos^ — B sîn^ z"" == —•A sin < — B cos t bulunarak diferansiel denklemde yerlerine konulursa: Dîferansiel Denklemler A sin ^ B cos ^ -h 3A sin ^ 405 3B cos ^ = sin ^ 2A sin / + 2B cos ^ = sin ^ 2A = 1 > f 2B = '0 B= 0 olarak: 1 * = T sin^ ve e' i^3= y sinf bulunur. Bunlara gföre ikinci taraflı denklemin gênel çözümü: y ^ y \ - \ - y 2 + yz y e*(Cı cos 3 / + C2 sin \/ 3 /) + ^ (3 cos ^ — 2 sin /) + e* sin t dir. c' = X ve / = log x olduğu göz önünde tutularak verilen diferansiel denklemin genel çözümü: y ^ X (Cı cos \/ 3 log a: + C2 sin yj~3 log x) + ^ (3 cos log ;c — 2 sin lög x) + ^ x sin log x dir. 58. x^y" + 2xy' 2y — x^ log x-}- 3x dîferansiel denklemini çözünüz. jc = e' dönüştürmesi yapılırsa log x = t v e : § y = İ S .â . = dx dt dx 0 dt n„ ^ = [e-“(D^ - D^)i^ - 2 e-"(D» - D)i?] e"' = (D’ -3 D * + 2D )i;e-* 406 Yüksek Matematik Problemleri elde edilir. Bunlara göre, x=e^ olduğu da göz önünde tutularak: ; ^ y = (D5~3D2 + 2D)i^ 2xg= - 2 Dy —2^^=-— 2^ olup denklemde yerlerine konulursa: (D3 - 3D2 + 4D - 2)g - + 3e' denklemine varılır. Bu denklemin ikinci tarafsızının karakteris tik denklemi: r3 - 3r2 + 4 r - 2 - (r - 2r + 2) - 0 ve kökleri r == 1, r = 1 nP ı olup ikinci tarafsız denklemin ge nel çözümü: yi = Cıe' + c'(C2cos f + Ca sin t) dir. İkinci taraflı denklemin te^^ den ötürü olan özel çözümü: y 2 = e’' 2 şeklinde olup (z) i belirtmek üzere türevler alınırsa: y^' = e^'z' + 2 e^'z y2^ - e 2 V + 4 e V + 4e2'z ya” - e2' + 6 z^ + 12 c*' z' + 8 z ve diferansiel denklemde yerlerine konulursa: z” + 3z' + 4 z' + 2 z - ^ denklemi elde edilir ki bunun da özel çözümü: z ^ at + b şeklinde olup a ve 6 yi belirtmek üzere türevler alınırsa: z ~ a , z' = 0 , z” = 0 ve diferansiel denklemde yerlerine konulursa: 4a + 2a^ + 26 s ^ 2at + (4a 2a- 1 a — olarak: 1 , 26) s t 4 a + 26 = 0 b= - 1 Diferansîel Denklemler 2 < 407 1 ve bulunur. İkinci taraflı denklemin 3 e ' den ötürü olan özel çözümü: ^3 = K ^ e' şeklinde olup K yı belirtmek üzere türevler alınırsa : ı / s ' ==Ke' f Kı ?e' ^3' = 2Ke' + Kıfe' ı/3"' = 3Ke' + Kê‘ ve diferansiel denklemde yerlerine konulursa: K e' = 3 e' K= 3 olarak ^3 = 3 ê' bulunur. İkinci taraflı denklemin genel çözümü îse: y = y\ + y = CıAT-j-^ (C2 cos log ;r+C3sin log A:)+-^jı:^(log x — 2 )-{-3x log x dir. 59. ^ ^ ^ [ diferansiel denklem sistemini çözünüz^ z y -^ r lz \ y ^ y — 52 denklemi a: e göre türetilirse: y ' -=^y — 5z' ve bu ifadede z yerine ikinci denklemdeki değeri yazılırsa; y" y — Sy - 3Sz elde edilir. Burada z yerine de birinci denklemden elde edilecek değeri konulursa: 408 Yüksek Matematik Problemleri +12«/ = 0 denklemine varılır. Bu denklemin karakteristik denklemi: - 8r + 12 = 0 ve kökleri r — 2 , r = 6 olup bu denklemin genel çözümü: İ^ ^ K ıe ^ ' + Kje’* dir. Bu ifadenin türevi alınırsa: / = 6Kıe“ + 2K2e’‘' elde edilerek y ’ — y — 5z denkleminde yerine konulursa: 6Kj e«* + 2K, e*' = Kj + K2 - 5z 5 z = -5 K ıe « * -K 2 e ^ z = C ,e‘' + C2e2» bulunur. 60 . dt diferansiel denklem sistemini çözünüz. *2 t Diferansiel denklem sistemi: (D — 1) jf + (D —4) (D-~2)A: + ( D ~ 3 ) r / - c 2 ' şeklinde yazılarak, bu denklem sisteminden y yi yok etmek üze re birinci denklemi (D — 3) ve ikinci denklemi D —-4 ile çarpıp denklemleri taraf tarafa çıkarırsak: (D2 - 4D + 3 )AT+ (D2 - 7D + 12)y - (D (D2 - 6D + 8) a: + (D2 - 7D + 1 2 ) ve bunlardan:, 3)e^' - 3e^' = 2e^' - (D ~ 4) 2 e « -4 e « = ~ 2 c « Diferansiel Denklemler 409 (D2 - 4D + 3 - D2 + 6D - 8 ) a: - 2^^ + 2e^* ( 2 D - 5 ) A : - 2 e 5 ' + 2e2' elde edilir. Bu denklemden ise: 5 . Cı e ^ + 2e^' bulunur. Ayni iş x i yok etmek üzere tekrarlanırsa: ( 2 D - 5 ) 5 ^ = - 3 e ^ ' + e« ve bu denklenıden de: y =* C2C^ ^ e^* — 5 bulunur. x y içindeki sabitler bağımsız değildir. Gerçekten x ve y nin bu değerleri diferansiel denklem sisteminde yerlerine konulursa: ,4(Cı~C2)e2 i( C ,- C ,) e 2 + e « = e" elde edilir ki buradan da eşitliklerin sağlanabilmesi için C ı= C 2 olması gerektiği görülür. Buna göre Cı = C2 *= C alınırsa dife ransiel denklem sisteminin çözflmü olarak: At 9 x ^ C e '^ + 4 c ' ' - 2 e « .5/ _ -2< elde edilir. 61 . dt^ dx dt diferansiel denklem sistemini çözünüz. 410 Yüksek Matematik Problemleri Diferansiel denklem sistemi : (D' + 2D)jc + D ^ - 2 e 2 ' (D + 2);c + ( D- 2 ) ^==3 ^2 şeklinde yazılarak y yi yoketmek üzere : (D - 2) (D^ + 2D) a: + D (D ~ 2) î / - (D - 2) 2 eP - 4e2^-4e''= 0 D(D + 2 ) A : + D ( D - - 2 ) y - D3^2_6^ ve taraf tarafa çıkarırsak: [(D - 2) (D2 + 2D) - D (D + 2)] a: - - 6^ D.(D + 2 ) ( D- ~ 3 ) a: - - 6 ^ ; ( D ^ - - 6D) î^ - - 6f , elde edilir. Bu denklemin ikinci tarafsızının genel çözümü: ;^ı = Cı + C2e3^ + C3e-2' dir. İkinci taraflıya ait özel çözüm: Xı — t (at + 6) = aP -j- bt şeklinde olup a ve 6 yi belirtmek üzere türevler alınırsa: Dx 2 == 2 at + ^ at2 = 2a , a:2 = 0 olarak diferansiel denklemde yerlerine konulursa: 0 - 2a — 12af — 6 b ^ — 6 t - - \ 2 at — 2 a — 6 b -1 2 a - - 6 , - 2 a - 66 = 0 a= ve X2 _ 21 t.2 ^1 t, elde edilir. Bunlara göre x genel çözümü: Ar = C t + Q e ^ + C 3e-2'+ | - 1 dir. Şimdi de y yi bulmak üzere denklem sisteminden edelim: (D2 + 2D)A: + Dı/ = 2e2' (D2 i - 2 D ) a: + (D2 - 2 D ) y = D (ZP) = 6^ yazılıp taraf tarafa çıkarılırsa: a: i yok- Diferansiel Denklemler 411 (D" - 3D) i/ = 6if ~ elde edilir. Bu denklemin ikinci tarafsızının genel çözümü: y\ = C4-h Cs dir. İkinci taraflı denklemin den ötürü olan özel çözümü: ^2 = ^ {at + ^) = at^ bt şeklinde olup a ve 6 yi belirtmek üzere türevler alınırsa: ,D^2 = 2a/ + 6 , == 2a ve diferansiel denklemde yerlerine konulursa: 2a — 6 at — 3b ^ 6t — 6a = 6 , a — — 1 / 2a ~ 36 - 0 2 ve / bulunur. İkinci taraflı denklemin —2e^' den ötürü olan özel çözümü ise: şeklinde olup K yı belirtmek üzere türevler alınırsa: Dy3 = 2Ke'^ , 0 ^ 3 = 4Ke^' ve diferansiel denklemde yerlerine konulursa; -2K e2'^-2e2' - 2 K = -2 , K =1 olarak: bulunur. Buniara göre ^ genel çözümü y = C4+ Cs ~ (3/2 + 2/) + dir. X VQ y ifadelerindeki sabitler arasındaki bağıntıları belirt mek üzere bunların türevleriıîi alalım : 412 Yüksek Matematik Problemleri ~ = 3C2 - 2 C3 e -" + ^ - -g- = 9C2e'' + 4C3e-2' + l =3C5e' “ - 2 < - y + 2 e “ Bu değerler diferansiel denklem sisteminde yerlerine konu lursa: (15C2 + 3C5)e3< + 2e2' = 2e2^ ( 5 C 2 + C 5) e=' + 3^2 + 2C ı - 2 C 4- -g- = 3<2 elde edilirki bunlardan da, eşitliklerin sağlanabilmesi için: 15C 2 + 3 C s = 0 , 5C 2 + C 5 “ 0 Cs = - 5 C 2 , , 2 C ,- 2 C 4 - - İ * = 0 O C4 = 0 . - ^ 2 olması gerektiği bulunur. Bunlara göre diferansiel denklem siste minin çözümü; t / = Cj - ^ a: = - 5 C j e ^ ' - y (3i^ + 2 0 +-e" C, + C2e^' + Cs e-^' + y dir. Aşağıdaki diferansiel denklemleri çözünüz : 62. A-2(t/+l)</A:4-ı/2(^—l)c/^ = O Cevap : (.v + IP + (ı/—1)2H- 2 logU --l)(^4-l)=C —1 dx-{-y>^l—,v2 dy = 0 63. Cevap ; Afcsin x -j- ^y'^—1 = C 64. da 65. dr_ dÖ cos 0 Cevap: r = C(sec 0 -f* tg 0) 66. dz __ e2z dy 4 4- ^2 Cevap : c2z — Arctg 67. u tg V dv — O + Jfi^2(l -f jr2) Cevap: « = C cos v P . -v6(1+İ/3)2 Cevap: - - y =C ~ ^ Diferansiel Denklemler 6 S. {x^-[-yT)dx-\-xydg = (^ Cevap: x^ + 2x'^y’^= C 69. (y + yjx’^—y ’^)dx—‘X </y= 0 Cevap: loj Cjv= Arcsin — 7 0 . dy _ y y Cevap: 2 \/~ = lo flr C ü X— yjxy 71. y y dx-^{x-{- y)dy = 0 ^ ^ dx 7 2 . 413 Cevap î 2xy 4- = C Cevap : xy + lojj ;tf = C xdy 7 3 . {2xy’^-2y'^^-Axi)dx^{3x^y'^-Axy-'iy1)dy^(^ 7 4 . (i/ 2- ^ ey!*^dx + {2xy-{’ — ey'*)<fy=0 Cevap; xy’i’ + ey/* = C 7 5 . Arcsin y dx~\" Cevap : x Arcsin + 2 sin = C Sİl^y2 ^ dy=Q Cevap : x'iy^ - 2xy'^ + x< -^^3=0 7 6 . (•t2+1) ^ + xy=^x^ Cevap: (Ar-2y)v';r2+l = lo^(;e + 7 7 . dy = y + sinAf dx Cevap: 2 j /+ sin a: + cos ^ = C e» 7 8 . dy’¥ iy —2 sin at) cos Af </at= 0 C evap: i^ + 2 = 2sinAf + C e ~ > ‘«** 79. Af2İ0jr Af ^ Cevap': ~ + y lojr a: = C 8 0 . t. ZXjdy^ + y —stcx Cevap : 8^ Jt(x + l)y' + tf = Arctî Jr Cevap: y = 8 2 . l 8 3 . x | + y = -y’ Cevap î C x2y2 + 2xy2 = 1 ^ _<2+j2 Cevap : *2 = ^2 lojr <2 -j- C <2 8 4 . dt + Afi^ = 1 | + R.- = E sin a: = Af + 8 5 . Sy' cos A f + 3^ sin Af — 86 . xy' -\-y^ 1/2lojr X log ^^3"^ ^ = 0 88. 89. 9 0 . 1/ ' + ^ =i/2(cos A f— ı/' + l = ey 1/^+ J/ = s*** y' cotj Af+ = 1 ^ Cevap : ^3 = sin a: + C cos x 1 Cevap: y sin Af) Aretg + İO jjr Af + 8 7 . C Levap : I = ^ -j- c e at 1 + K .V Cevap: — = Kcx — sinACevap: ey = l + Ce*+y Cevap î Cevap: Afi/ + C = sin Af — Af cos Af = 1 + C cos .e C 414 Yüksek Matematik Problemleri 91. y dx + (x^ + x^y^) d y = :0 Cevap: ~ 4* 92. X y ' 4- y = ch X Cevap : Ary = sA a: 4” C 93. ( “ +s)<iir + d* = 0 Cevap: Wy 4" 94. n x y '4 - 2 y = xyr^-^^ Cevap : C A;2^n 4" i/" 95. {x—y ey 96. X d y - - [ y 4 - x ıy 3 ( 1 4 .1 o g r 97. y^ = sın X 98. 99. 100. 101 . 102 . 103. 104. 105. 106. 107. di2 - dx-\-x ev'^dy = 0 at) ] tfevap: ^ = — I ^ ( - | + losrA:^4-C Cevap : ôg\y ~ a 4- a)2 4" Cı] = + at4” C2 Cevap : 2 ^Cıy — 4 = T Cı-v 4 - C2 Cevap ; y = Cia:2 4 - C2 Cevap! 1/ = e* 4^ sh AT4" Cı 4" C2Ar4 -C3A:24rC4A:3 g -+ 4 ;-« ey (1 + x2)s' + "ixy' = Cevap: 1/ = Cı 4- log sec(A: 4~ C2) Cevap: lojr Cı—1/ Cevap: Cj _ y/Cıî + *Jy = C ı+ı/ Cı-v 4- C2 Cevap ; Cıy = C2 eCjx — 2 dx2^^dx~\dxj 2*-3 108. 109. =0 -Cevap : s = —- 16 ^2 4 - Cjf 4“ C2 ı/' =0 ÎV c* 4 " sh X d'iy dx2 - m ' = 1= C Cevap: ey'x 4" log •'■*= C -3 2 d^y dx2 dx2 = C Cevap : ı/ = —- sin a: 4* Ciat + C2 y'' = y — a d^y 4“ 2Iog i / = C Cevap ; y = CıArctg at4- ~ + C2 Cevap : i /2 == 2a:2 4- CiAf 4" C2 y" + y ' ^ b y ^ O Cevap: y = Cıe2x 4“ C2e~ 5x 110. Cevap : y = Cı 4“ C2c^* 4“ C3c~ 3x 111 . ı,"' + 2 / - 5 / - 6 ı / = J İ Cevap : y = Cıe2» 4" C2e~* 4“ C3e'~3* 112. y<n—. Cevap : y = Cıc* 4" C2Are* 4" C3Af2 c* 4- = o 113. 114. ^/r_2/4-10ı^ = 0 Cevap : y = c*(Cıcos 3at 4“ C2sin 3x) 115. ^«' + 4 / = 0 Cevap ; y = Cı-j~ C2COS 2x 4" C3sin 2x 116. y iv + Sy’' - 3 6 y = 0 Cevap : y = Cıc2x4-C 2e~ 2x-|-C3cos 3Ar4"C4Sİn 3at 117. y ” — 3y' 4- 2 ı/ = c* Cevap : y = Cıe* 4" C2c2x — x e* Cevap : y = e""*(Cı 4~ C2A: 4" C3a:2) 4- C4C<* 415 Diferansiel Denklemler ııs. ı/"' + 3^^ — 4t/ = Afe^ 2x Cevap ! ^ = Cı e* -j- C2 c~ 2x -j- C3 Af c~'2x — i ( ^ 3 + ,v2) e - 2. 119. y" — 3t/' + 2ı/ = eSx 120 . y" + 5y' + 4y — 3 — 2x 121. y'" - 12 2 . y" ~h9y ~ X cos Af Cevap : ı/=Cıcos 3 Af4-C 2Sİn 3Af4~ ■ğ-^cosAf-j- ^ sînAf 123. ^ff-|-^'—2ı/=:2(l+ .v—Af2) Cevap y — Cie* + C2C~2x+ Af2 124. y ’' —y = sm'2x Cevap — ^ >>V - J ™ y— Cıc* + C2C-*V ___ ~ T 125. y" — 2^' = exsin Af Cevap y = Cı -f" C2c2x— 126. 4"*/^ = cosec a: Cevap y — Cı-j-C2 COS Af+Cs sin Af— log(cosec Af+ cotjr Af) — cos Af log sİü Af — Af sİn X Cevap y = c*(Cı cosV^2 Af -f" C2 sin V^2 at) + 127. Cevapı■ y — Cl*' + C2«3x Cevap : y =r Ci C~x4-C2C""^* — ^ Sy'' + Sy' — 4ıy = e2x y''—2y'-\-3y = A:3-|-sin x ^ .5 j ^ : y — Cıc* + C2c2*+ CsATe2*-f" "y XÖ ^ (9;e3+18x2+6;f—8) + j (sin Af+cos Af) 128. ı/'"+2ı/'-ı/'-2^=ex+A:2 Cevap : ı/=Cıex + C2e~x -f C3e" 2x - 129. t/'^—4i/'-l-4ı/=.v3e2x-f..v c2* Cevap y = Cıe3«+C 2*«*+ ^ ** Cevap i/ = Cıcos 2.r 4" C2Sİn 2Af 1 Af2 + 2 ^ - 4 + 6 * " 130. + 4ı/ = Af2sin 2Af 1 + ğ" a:3cos 2a: 4" 1 ^ Af2gin 2a: 4" ^ ^ cos 2a: 131. 132. 133. y\V - f 2ı/'" - 3ı/" = Ar3+3e2x Cevap + 4 sin Af ^ = Cı 4* C2A: 4“C3cx + C4C”3x — I/" — 4ı/' + 3 ı/= 2Afe3x+ Cevap 3 cx cos 2a: y = Cıe» + CjeS» + - j e3»(A:2 — *) — ly" 4" 3i/'4" 2ı/= Afsin 2.V Cevap ^ (3 * 2 + 8 * + 2 8 )+ I , *2« + |(c o s * + 2siıı*) 3 ■g ex(co5 2a: 4" sin 2a:) ^ o 30;r-7 y = C ıe-x + C2C-2x — 2ÖÖ“ cos 2Af — 5 a:--1 2 . 100 134. y^ — y = Af2sin 3x sın 2 a: 25;^2~13 Cevap ; y = Cıe* 4 “ C2e~ x ----- - — sin 3a: — 250 ^ Af COS 3Af 416 135. Yüksek Matematik Problemleri y» -f. 5y' + 6i^ = C evap: g —2x sec2A r(l -j- 1 5 ^ y= C ı c ~ 2x -{- C2C“ 3 i -}- c ”"2xtg X -f 2 tjr Jf) 136. ^ IV — 137. ^ » - j - 4 i ^ '+ 5 t / = 2 0 c o s 3j(f = 8 g2x C e v a p . y = ( C ,+ C j;r ) e - 2 » + ( C 3 + C ,r ) e 2 .4 . C evap î y= e ~ 2 » ( C ı c o s Jt 4* C2SİD at) 4- (3 SİD 3 aT— 138. ^ I V 4 - i; ^ = . v3 4 . 1 5 c 3* C evap 139. ; .3 ^ '" + 3 a: 2 ^ ^ - 2 x- İ , '+ 2 i, = 0 C evap: y= ClAT 4" Cg t lo g AT 4* ^ 140. A:3y'" + C evap: y= •» I C ı 4 " C 2 lo g Afp' —i/ = Ar l o j Af : = Cı 4 " 142. 3Ar^'H-4i^=Af+A*2İ0gf V C e v a p Af3^"' ^ 143. dt -f Afp' ^ — dt = 3;^^ C evap C4 c o s x 4* JL v5 —;r3 + i e3» A)2 + X 4- C 3^(log ^ (l* * * )M : y= CıAr24"C2v21og Ar4-Ar4- ğ Af^ log3Af î y= CiAf 4 " C 2AT lo g — —et ^= X4- CsAf !og2Af 4- 9 r=(Cj—C2)cos f+(CıH-C 2)sİD ^ + 5 Cevap 2 y = Cıcos f4 -C2sin f + ^ AT=2Cic 5 j+ g - .+ 3 ,= .- .- . 144. 1 + y ** e2t+ 7 ^ 49 Cevap; =3Ck “" 5" - i e 2 t + ^ - e - t + l r ^ | * + | + « ,= .» + . 145. c o s Af) C 2AT 4 - C s s in jr 4 - “ 141. .2 . _ , *= - ' - î + | - " = 2' + l 2 3 Cevap: | » + c, d’^ x , d y _ 146. ^ = Cı -}- C2et -}- C3e~t Cevap: s "^*2 -®®*' = C4 — C2e' -}- Cse""* ^ cos r 15. 4 KATLI INTEGRALLER 3 j" I (x^ —2 xg^ + t)^) dx dy iki katlı integralini hesaplayınız. I -2 3 I"{x^ -2 x y ^ + y*)dx ^ x'^ — = 9 - V + y ‘ -\-y^x ^ ^ 3ir’ - ^ - y - V - 2 i ^ ) Ş - 5 i , ’ + 5y’ olup 4 3 / J \ -2 ^ y^) dxdy « I ^ y 35 5 3 , 5 , (4 y-^y^+ T 'y 995 dür. 2 2x I J X y dy dx iki katlı integralini hesaplayınız. 0 0 2 j j 0 2x xydydx^ j ^^xy^ 0 2 / d ir . dx 2x dx 418 Y üksek M atem atik P roblem leri integralini y = l, y=2f x = 0 ve x = y d o ğ rü la n m n 3. F sınırladığı T bölgesinde hesaplayınız. F bölgesi 1 ^ y ve 2 O ^ x ^y olup : 2 V j * j x ^ y ^ d A '= j j x^y^ dx dy 1 o 2 dy =T/ dir. 4. J J x y d x d y i n t e g r a l i n i x ^ + y^ = ^ a ^ d a i r e s i n i n b i r i n c i b ö lg e ^ d e k i k ıs m ın d a h e s a p la y ın ız . JJ a ya^— jj xydxdy = F xydxdy 0 0 a - f\£^ I V o » -* “ 71 2 |o o a = j ^ ( a ^ —x^)dx 11a^ x ^ 2 1 2 1 8 x^ 4 dx 419 KaiU tn tegraller y * y *sin i^ i hatlı integralini kenarları F a ve h olan bir OACB dikdörtgen bölgesinde ve bu dörtge^ n in yarısı olan OAB üçgen bölgesinde hesaplayınız. 1 . Dikdörtgen bölgesinde (şekil 118): a b O O a , , 2b Ti(x , y l“ C O .^ - + | dx foO TZ X , TC a . s ın -5- • --+ C 0S-5 -- ~ I dx M a 2 a (“ 4 Y 2a 2b \ TC X , , Tz x a -=— . — -_ c o s~ • — h s ın —• —I TC TC I 2 a 2 a|o Sab 2. Üçgen bölgesinde : OAB üçgeninin AB kenarının denkleX 1/ mi — h — 1 = 0 dır. x in verila b mi§ bir değeri için y nin lim it değerleri O ve (a—x) olduğu na göre Fi O O a / -(a -* ) a I I 2b TC Tz ( X , y 2 \ a b O c 2b X ^ = / — cos -----dx 2 a / TC O dx 420 Y üksek M atem atik Problem leri . Tt X \a 2a 2h --------- -- sın ----TC TC 2 . a lo 4ab TC^ dir. 1 1 6. y^y* k a t l ı in te g r a lin i h e s a p la y ın ız . o Buradaki birinci integrali basit kurallarla hesaplamak mümkün değildir. Ancak integral sırası değiştirilm ek suretile hesaplamak mümkün olabilir. İntegral bölgesi a;= 0 , a?=l, y = X y y = l doğrularının sınırladığı üçgen bölgesi olduğıina göre : 1 y 1 1 JJ e^^dy d x = J*j e^^ d x d y o o 1 =J o 1 = ^ ye^^dy ^ =y o (e - 1 ) dir. 2 ’• / / 1 s i n x^ d x d y i k i k a t l ı i n t e g r a l i n i h e s a p l a y ı n ı z . o yl2 Bu integral sınırlarına göre integrali hesaplamak müm kün değildir. întegrasyon bölgesi a;=l,a? = - ~ 3/ , ı/ = 0 , y = 2 JU doğrularının sınırladığı üçgen bölgesi olup : K a tlı tn te g r a lle r 2 J 1 2x 1 J \in x ^ dx d y = J J x^ j s in dy 421 dx O y/2 yazılabilir ve buradan da : 1 sın x^ y 2x dx o = . — cos x^-'I = l —cos 1 bulunur. 2 8. f f sec 0 h a tlı in te g r a lin i h e s a p la y ın ız . o o Kartezyen koordinatlara dönüştürelim, r cos 0 = i», r sin 0 = ı/ olup r = 0 için 5C= 0 ; r = s e c 0 için x = l ve 0 = 0 için y = 0 ; t: 0 = — için 2/ 00 olarak : TC 00 2 sec o r r J J rdrdO f 1 ( f dx \ . l+r^sin^Q'~J [ J 1+yy ^ 0 0 0 - f ~ J i w 0 422 Y üksek M atem atik Problem leri = A rctg y bulunur. a V 9. ff d y d x ik i k a tlı in te g r a lin i h e s a p la y ın ız , o o Kutupsal koordinatlara dönüştürelim, x ^ + y^ = r^ ; a?= rcos6 ; ı/.= r s i n 0 o la r a k ; ____ ^ a V a^—.r* 2 f j 0 o x^İö^T^dy dx=J a ^ o J cosÔ,r.rdrjdd . o TC ~2 a = ^ I y* o cos^ ö d r jd 8 o TC 2 co»*0|^ de = / o* / ’ 1 + cob20 10 0 Tca^ 20 bulunur. de s in 20 Katl% integraller 10. D b ö lg e s i - / / 423 d a i r e s i o ld u ğ u n a g ö r e V l+ a 5^ + 2/2 d x d y i k i k a t l ı i n t e g r a l i n i h e s a p l a y ı n ı z . întegralin hesabı için a?= r cos0 , t/= r s in 0 dönüştürme sini yapalım. Bu takdirde x ^ + y ^ = r ^ olarak in te g r a l: J J V l+a?‘^ + 2/^ jf D V l+ r ^ r d 0 d r D 2tz e — J* [ y*Vl+rVdrj şeklini alır. Bunu hesaplamak iç in d e : l+ r ^ = u dönüştürmesi yapılırsa 2 r d r —dw ve r = 0 için u = l ; r = R için w= l+ R ^ olarak 2ıt 1+R2 = /(/ 0 -ı-} *» 1 2ıt _ r I İ1+R2 I 3f d0 (l-|-R2)3/2—1 I ^ j2ıc = |k ( i + R * ) '^ * - l ] bulunur. 11. D b ö l g e s i R ı = l v e R 2 — 2 y a r ı ç a p l ı d a i r e l e r i n s ı n ı r l a d ı ğ ı böl-g e o lm a k ü z e r e /= / / { 2 x + y Y d x d y ik i k a tlı in te g r a lin i h e s a p la y ın ız . Kutupsal koordinatlara dönüştürürsek a?= rcos0 , o la r a k : y = r 8İnQ 424 Yüksele M atem atik P roblem leri I = y ' J*{2x-\-yy d x d y = J { 2 r cosö + r sin0)^.rd0 dr D D 2 tc 2 = y* I y 0 dr j (2cos9 + Eİn0)^ d0 1 2ıt =J I (4 cos’^0+ 4 sin 0 cos 04- sin^0) d0 2iî = - ^ J (3 cos^0 + 4sin0 c o s 0 + l) d 0 o 2t: = ^ J I 3 Ü - y 2 J L + 4sin9 c o s0 + ljd 0 2ıt = *^ y* d0 2w 2tî y cos20d0 + 15 y ' sin0cos0d0 o 75 7t 4 bulunur. 12. D bölgesi y^= ^ — x , (i!?=0 , ı/=Ö eğrilerinin s%ntrlad%ğ% böl ge olduğuna göre / / ! « - x^) ds D İki k a tlı integralini hesaplayınız. 4 J j^m -x^ds=^ f 0 ^/4-x j (16-»’) dyjd» 0. V 4—; dx K atlı In tegraîler 425 t = ~ J ' ( 1 6 - x y i - —^ d x olup dönüştürmesi yapılırsa: w^=4 — a? , a î =4 — d x = — 2 u d u olarak: o y j^ — x ^ u = A J [16 — : u (— 2u ) d u f “T « " “(İS— o 2 = - |- J (8u“ — u‘) d u -J l IA 5_Jl 7 - 2 I5 “ 7 “ 576 35 bulunur. 13. ( y - - x — 3 y = i — x^ e ğ r i s i n i n s ın ır la d ığ ı a la n ı h e s a p la y ın ız . y = x + 3 + \ / 4 , — x^ olup: y ı= a ? + 3 ~ y /f Z ^ 1/2= 05+3 4 *y^4— ve 1/2 — 2/1= 2 ^/411:72 Şekil 119 olur. Alan elemanı olarak ABCD dikdörtgeni (şekil 119) alı n ır ^ : 426 Y ü ksek M atem atik P roblem leri +2 ^2 F = y +2 +2 J d x d y = j ' ^ y J ’d x = J ' 2V 4—»2d® = 4 n —2 yi —2 —2 bulunur. 14. y = “TTr7 » y = - r ^ ğ T İ l e r % 05=0, fl5 = 2 d o ğ r u l a r t n t n s i n t r l a d ı k - X ~T^ Jf lar% a l a n ı i k i k a t l ı i n t e g r a l l e h e s a p l a y ı n ı z . (Ş e k il. 120) 16 2 x^-\r4: F = y* l*dydx 0 ^ 4 16 _ f( a;^\ (2o5 4j J ( o5H4 = f (3 ^ -1 ) Şekil 120 15. y = x ^ v e y = = 4 — 3x'^ e ğ r i l e r i n i n te g r a lle h e s a p la y ın ız . s ın ır la d ığ ı a la n ı i k i k a tlı in (Ş e k il. 121) + 1 4~3a‘2 - / ~1 / +1 -- 1f \ € dy dx 4-3 at2 dx +1 y* (4 — 3 o5^— x^) d x —1 = 405— 05^— — O ^^ = Ş a .b . -1 5 K atlı în teg ralîer 16. 427 r==a(l — cosQ) kardioidinin sınırladığı alanı ik i ka tlı integralle hesaplayınız. 2 ^ ca(l — cos 0) r dr j d0 0 0 D 2ır |a (l—COS0) = /|f d0 2ır COS 0)^d0 2ıt / ( - 3a2 I ^ 271 0 I 2 cos 0 + İ — a^ sin0 ± ^ ] d Q 27t 0 + -T 4 sin 20 2k 2 0 37üa“ 17. r = a dairesinin dışında ve r = a ( l +c o s Q) kardioidinin içinde kalan alanı hesaplayınız. -11/2 i<i/^ aa (l+ c o s 0 ) f - o / / =y r dr d0 / a ıt/2 11 2 İ T -" !. 0) ■“ 0 •k/2 = y ™ (2 cos 0+ cos^ 0) d9 n/2 = ~ y j^2 cos 0 + (1 + cos 20) d0 428 Y üksek M atem atik P roblem leri 2 sin 0 + 1 nÖ+. T” 1 sin . 20 ıc/2 2 4 ve F = 4 - ( i'+ 8 ) 4 A .B . dir. 18. r = 5 c o s 0 d a ir e s in in iç in d e v e r = İ + c o s0 k a r d io id in in d u ç ın d a k i a la n ı ik i k a tlı in te g r a l y a r d ım iy le h e s a p la y ın ız . + -2L 3 3 cos r D Tt dr j d0 1 + COS0 z 4- -\f 3 COS0 1+ cos 0 d0 + — =y J =t / —1—2 cos9 — cos’0) d9 ~ (3+4 cos 2 0 — 2 COS0) d0 K atlı İn tegraller 429 3 ö + 2 sin 2 0 —2 sin 0 = TZ dir. = 2 a ^ c o s 2 ^ l e m n i s k a t ı r = 2 a « in 0 d a i r e s i ve 0 = — d o ğ r u 19. s u n u n s ı n ı r l a d ı k l a r ı a l a n ı i k i k a t l ı i n t e g r a l l e b u lu n u z . Şekil 122 deki B noktasının koordinatları â, ^ j olup : 20 . x^+y^=2ax s ın ır la n a n s ilin d ir ik hacm i 2a V 2ax—x^ • ~ = y*da? y* o mxdy o 2a = y ü z e y i, z ^ m x v e h e s a p la y ın ız . x \ İ 2 a x — a? d x z= = 0 d ü z l e m l e r i i l e (Ş e k il 123) 430 21. Y üksek M atem atik Problem leri D e n k le m le r i z= x^ , z = 4 ~ o la n s i l in d i r le r a r a s ın d a k a la n h a c m i h e s a p la y ın ız . Bu silindirlerin arakesitinin x y düzlemindeki izdüşümü x ^ -\-y ^ = 4 t dairesidir. Bu dairenin içindeki bir noktadan o z e bir parelel çizilirse bu doğru, ortak hacmi Z ı= x '^ v e Z2 = ^ — y^ kot lu noktalarda deler. O halde h acım ; V = y ' y ' ( 2 2 - « ı) d A = J J (4-a^~y^)dA dır. Buradaki d A, x y düzlemindeki dairenin alan elemanıdır. Kutupsal koordinatları kullanırsak: V = y* /* ( i — r ^ ) r d r d Q olur, r in sınırları 0 ve 2 ; 0 nınkiler de 0 ve 2ıc dir. O halde : 2 J Y — 2 tc drJ 0 2 (4 — r 2 )r d 0 = J 2 n ( ^ — r ’^)r d r o 0 1 = 2 Tî 2 İ2 -----7- = dir. 22. z — ^— x^— y'^ , z = 0 , a;2+ î/ 2= 2 aî y ü z e y l e r i n i n s ı n ı r l a d ı ğ ı h a c ^ m ı h e s a p la y ın ız , V = y* J z d y d x olup D bölgesi a?^+t/^=2aj yani (ap—l r + 3 /^ = 1 dairesidir. Buna g ö re: 2 V l“ U--l)2 V = 2y* J y (4- 35^-y^) d y j d» 0 o dir.. Kutupsal koordinatlara dönüştürürsek: a = r cos0, i/= r sin0 ve D bölgesi r = 2 cos 0* o larak : K a ih In tegraller % 2 2cos0 V~^/ ( / O jdQ (4 — O 2r^ — = " / l 2 1" ( 8 2 cos 0 09 cos^ö — 4 cos^) <î9 = 2 y* 1^4(1 + co s 29) — (1 + c o s 29)*j d9 o (1 + c o s 29) (3 — cos 29) 09 2J (3 + 2 cos 29 — cos* 29) d9 0 .0 Oû 1 + cos 40 \ ,û 3 + 2 cos 20--------- r------- d d - / = 2 I 5 tc 2 bulunur. ( 0 + sin 2 0 — sin 40 431 432 23, Y üksek Matemati1c\ P roblem leri «2 î/2 «2 ı e lip s o id in in h a c m tn t i k i k a i l i i n t e g r a l yar* d im iy le h e s a p la y ın ız . V = 8 y* ve « = c y / : zds İ _ J İ 1)2 D (Şekil 128'e bak). v - so/ Z . n/ i - t V 0 -I-* » ' - ^ ____________ 0 kabul ederek: a V=8cy’ I y”y/ fc2 _ |i( i 2/jda! o 0 y ve -^ = k sin < p ; y = b /c s in 9 dönüştürmesi yapılırsa dy = bfc cos <pd(p olarak : ■TC 2 a cos^<pd9 jda? W= z% cJ o o JL 2 a = 8 c y * ^ y ' b 7 c 2 -l± ~ 5 İ5 d 9 jd a ? o o |-^(<P+Y Sİn29j o a = 8 c y ~ l c ‘ dx olarak: Katl% In tegraller s= 2 tc h c 433 dx 2 tc b c «3 la X 3a" 47cabc bulunur. 24. r y a n ç a p U b i r k ü r e n i n a l a n ı m v e r e n f o r m ü l ü i k i k a t l ı in^ te g r a lle b u lu n u z . Kürenin merkezini orijinde alırsak denklemi (Şekil 124): olur. Bu yüzeyin x o y düzlemindeki izdüşüm ü: -f y'^=zr^ dir. Diğer taraftan : d z ____ x^ z ve , —___y. * dy~ ^ z 434 Y üksek M atem atik P roblem leri olarak : r y/r^—x^ f r . . r d x d y .... f J J S 0 2 Tcr 0 F=47ur2 bulunur. 25. x^- hy^ = 9 v e y ^ - \- z ^ ^ 9 s i l i n d ir le r in in b ir in c i s ın ır la d ık la r ı b ö lg e d e h a cm i ve 9 s ilin d ir y ü z e y in in x ^ + y ^ = 9 s ilin d ir iy le a y r ıl m ış k ıs m ın ın a la n ın ı he s a p la y ın ız . V 9—^2 3 1 ) y=f j o (Şekil 125) o y 9— 3 = y* k/9 — =j (9—1/2) \/ ( S ' ) \j9^dxdy + (w) dy _ + © = 18 + 4*' = 2 V^»H*^ = 6 ve Katl% In tegraller m - m - m ÎL dz X =3f 26. »=— dx dy 2\JQ- - y ^ o o J 435 d y —Z j l\/9 ^ d y —9 O silindirinin y=^0, y —x ve x = 2 düzlem leriyle kesil- m eşinden elde edilen kısm ının alanını hesaplayınız. (S ekil 126) dz dz = x ; -x ^ = 0 dx dy ^ =f f ^ Jl +x ^ dA 2 X F = f f ^ı+ x ^d y d x O o —y * o d x = -|- (1 + » V = 4 - ( 5 \/5 - 1 ) dir. 27. küresinin kutupsal denklem i p = r cos 20 olan silin d irin bir halkasıyla kesilen kısm ın ın alanını bulunuz, ----- 5----- 5 *= o lu p : 9* _ —» 9a _ _ - ~aaT~v/r^ -a ;^ 3 ^ - ay — y____ 436 Y üksek M atem atik Problem leri I Ti 4 r cos 20 dpdO O 4 tc/4 Tc/4 = 2 r y* I —Y/|-2__p2 ^ d0 = 2 r^ y* (1 —sin 20) d0 ve bütün alan r^ (7ü—2 ) dir. 2 4 4 - “^ i^ ---- 3 6—2z 23 / / / y z d x d y d z ü ç k a tlı in te g r a lin i h e s a p la y ın ız . o o 2 3 6-2* / / O O 4 3 6 -2 * t/0 do? d y d z = / ff 4---- r ^ '“ 4 ' * x yz o o 3 6~2r O O 3 6-2x O / [ ( - 4 2’ 1(6-2»)»- -^ 2 (6 - 22)’J ds = ' l - y ' 2 (6 - 22 )’ d z O 54 5 dydz K atlı In tegraller 29. ^ V a^—2^ a —2 / / / 0 0 0 z dz dy dx 437 ü ç k a t l ı in te g r a lin i h e s a p la y ın ız * a y/ a*—2^ a —2 f f f ,izd,i.= f f 0 0 0 o o ® V ZX dzdy a Va^-2* z(a — z)d z d y = // o o a z ( a ~ 2;)t/ K = o a «r = y * azsJd^— z H z — J z^ > J a ^ — z^ d z O o olup ikinci taraftaki integralleri hesaplamak üzere, a J a z \ / a ^ — z^ d z integralinde d^— z ^ = u ^ dönüştürmesi yapılırsa î 0 a O J a z \ j d ^ — z^ d z ^ J o a —av?du^ J a u ^ d u O a 1 M* la 3 |o "" 3 m ve y * z^â^— z ^ d z integralinde z = a sin 0 dönüştürmesi yapılırsa* 0 a ır/2 J'z^)Ja^—z^ dz== J a^sin^0a^cos*0(i0 o o iî/2 Ti{2 d0= -5 = - 5 İ / . tsin* a > a2d0 O - fÎ-/* / -l-I ^ d e L sin 40 ıt/2 ® ^ o a* ^ 16 438 Yüksele M atem atik .P roblem leri elde edilerek yukarıda yerlerine k on u rsa; / / / 0 0 0 (4 bulunur. 30. u=xyz z=0 fo n k s iy o n u n u n x = ^ 0 , y = 0 , + ““ v e -~ + d ü z le m ^ le r in in s t m r l a d t ğ t b ö lg e d e ü ç k a tlı' in te g r a lin i h e s a p la y ın ız , (Şekil 127) 1 / / / x yz dV = V 2a 3 -x ) J*d x J* d y J* 0 0 I, ) xyz^ dz 0 Şekil 127 2(l->r) xy\ o dz o , 1 2(1-;^) = f f -^ [l'-2 *+ a 5 2 + (» -,l)î/+ -^Jdy o o _ f9x\ y 2 ( 1—İ B ) V 2 (a;—l)y ^ . - ^ 3 y* 2(1-*) 16 1 = J ^ \ 2 a - x y — | - (l-a r )» + ( ! - * ) < İ d » O 1 J 2 3 ‘* * “ 20 dx K atlı In tegraîler 31. 439 «8!^ + ~ 2" =-^ e l i p s o i d i n i n h a c m i m b u lu n u z . İstenen hacım birinci bölgedeki kısmının sekiz katıdır. (Şekil 128) v= s / 7 ^ ‘'^ dx dy dz o o * ^4 /1 _ 'iL da; di/ o o = 2 -^ h c 32. f M 2 j d x — —^ % a b c « = 2a;^+ ı/2 p a r a b o l o i d i i l e z = 4 —t/^ s i l i n d i r i n i n s ı n ı r la d ığ ı h a c m i h e s a p la y ın ız . Zf z = 2 x^ + y^ den 2 = 4 —2/2 ye kadar değiştiği zaman y,y=0 dan y= ^/ 2—x^ ye kadar değişir. Bu takdir de X de a;=Odan x —\ İ 2 y e kadar değişir. Bunlara göre: ^ y Ş*kil 128 Vl V 2^ - / o / o 4 -/ / dz dy dx 2x^-hy^ V 2 V 2—; [ ( 4 _ ^ 2 ) „ (23ç2^ ^ 2)] O / O V i" = » / r» - 2a:^ 1/- 2ı/’ V2-;t2 dx 440 Y üksek M atem atik Problem leri vr 16 3 / 33. (2 — ^ d x = 4 “^ dir. + = yüzeyinin koordinat düzlem leri ile stmrladtğt hacm i hesaplayınız. (Şekil 129) a (a^l2.-x^n)2 [(a'ı^2 -fd tj O ... 2 ((j^/2 — 35^/2) + 0 a ^ —x^^'^Y'dx 34. 90 ^c^+2/^=a^ y^=a'^ — a^; silindirleri ve z ^ O nırladıkları hacm i hesaplayınız. düzlem lerinin sv 441 K atlı în teg raller 2 = 4 -/ /V.2 («2 — a;2)3/2i ve a?= a sin 0 dönüştürmesi yapılarak : 7 t/ 2 û —^ cos^0 v =^ — /r (aî cos^2O 2 \ t:!2 = 4a^y' ^cos^0 — i-cos^0j d0 7î / 2 t " f [l+cos20 + -^sin229 j d9 ■Kİ2 = -^ / ^ 2 6 + — coa40'| = — Tîa' bulunur. Aşağıdaki iki katlı iniegrallerî hesaplayınız. 2y 2 f f (x-\-y^) dxdg 35. r. 35 Cevap : — 1 0 l-rx 1 36, I Xy dy dx I Cevap : / / O 2at2 1 l+x- / (y+2x) / “ dy d x Cevap : — (11 — O 1 TZ TZ 2 ~T 38. / / O y ^ sin 2 a: c/;cdy Cevap : jğ (^^ — 4) 442 Y üksek M atem atik P roblem leri 1 / O Vy ^ / y 1X Cevap : — log 2 - a: dy dy 40 Cçvap : -g- (4 — îî) / / O a:2 4 5 41. — y ‘^-]rxy — 3)dxdy J* J 455 Cevap 1 2 4 42. / (x^ + 2xy — 3y^)dy dx / Cevap : — 1447 1 VV V 3 43. / 16 VT-V2- Cevap ; / 559 2 1-f-^ 3 44. / V 1 8 -2 ^ 2 X d xd y / ' Cevap ; 0 —3 —V I s ^ V 2 45. / 2:^2 X cos ^ dy dx / Ceviap ; — (2 cos 4—cos 8~ i) 0 Jt2 4 Jlf2 Cevap : 6 — log 2 2 1 V Tt At2 47. / / a: cos y 0 TZİ2 J a: Cevap : (2—tc) TZ Tt/2 48. / X s in (AT+y) dx dy / Cevap : tz — 2 0 0 2 49. AT ^ ■ / / 1 1 log-p- Cevap ;•-^(11 — 161og2) g KatU Integraîler 443 2 V 4 — y* 50. / / U + y ) dx dy Cevap : -.-(S + S y a ) 1 O 7i /2 2 a cos 6 Cevap : ^ Tîa- rd ^ d r 0 0 tzJ2 52. / 3 cos 0 / - 7 î/2 sin=9 dO dr Cevap : 2 o Aşağıdaki iki katlı iniegrallcri gösterilen F bölgesinde hesaplayınız. rfA F : 0^y^2 Gevap : 40 / / ■K , ,_ F ; y==0,y=A, A==l ve A= Va > ■ / / . 88 105 Cevap : “4~(V3—l) F Aşağıdaki iki katlı întegrallerî iniegral sırasını değiştirerek hesaplayınız» 11 y d x dg 55. Cevap : 0 y • 56. / 1 2 / yV dx dg Cevap : - i- ( 5 - /T - 8 ) 0 2y 1 1 57. / / 0 X û?.v Cevap : — (4^2 — 1) .V co co 58. d^d!^ / / 0 t Cevap : 1 a: 1 1 59. / / 0 X ATsin^^ dg dx Cevap : 0,077 444 Y ü ksek M atem atik Problemleri 2 60 1 d x ciy ■ // Cevap : 0 y!2 1 1 61. j* J * 1 + ıp a y dx C e va p 0,406 vr O A ş a ğ ı d a k i ik i k e tl i in ts g r a ile r i k u tu p m ’l k o o r d in a tla r a d ö n ü ş tü r e r e k h e s a p la y ım : V 1 - .V 1 62. c / / 0 0 ^ ^ dy dx r A e -1 ) 4e C e va p 1 63 t: (e — 1) C e va p : Cevap ; --ğ - V 2 o 0 1 1 f 64. f O i/ A ş a ğ ı d a k i ik i k a t lı i n te g r a lle r i h e r h a n g i b ir y o ld a n h e s a p la y ın ız . V a ^— a 65. U'2i-J72)3/2 O C e va p o 1 1 66. / / .V C0S]7^ d y dx Cevap : — sin 1 O O V a 67. yf J f -- J|y2 (.vH-r/2)3/2 C e va p Y g - îîa' Cevap sin 1 O O 1 1 68 O 1/ 1 3 69. f f O O Cevap . V 2 KatU Integrdiler 446 70. 3y* = 25;f ve 5x^ = 9g parabollarının sınırladığı alanı iki katlı integralle hesaplayınız. Cevap : 5 Jl ^ ^ , 2 _= a 2 ve x-\-y = a eğrilerinin sınırladığı alanı iki katlı integralle 71. X 2 ’-\-y hesaplayınız. Cevap : 72. y = sin X , y = cos x , x = 0 eğrilerftıin sınırladığı alanı iki katlı integralle hesaplayınız. Cevap : V 2 —1 73. xy^ = a^ eğrisi ile y — a ve x — 0 doğrularının sınırladığı alanı iki katlı integralle hesaplayınız. 74. x^ = 2ay ve x^ = Aay—a^ eğrilerinin sınırladığı alanı iki katlı integralle hesaplayınız. Cevap : — 3 75. ve y^ = hesaplayınız. 3 at2 = 2y lBx parabollerinin sınırladıkları alanı iki kiatlı integralle Cevap : 4 76. y = x ^ v e y = 2 — x^ eğrilerinin sınırladıkları alanı iki katlı integralle he saplayınız. Cevap : 2 — 3 77. hesaplayınız. eğrisinin halkasının sınırladığı alanı iki katlı integralle Cevap : A İD 78. x^+y^ = 5fl2 dairesi ile y 8o3 eğrisinin herbirinin sınırladığı alanı -Jr“+4a2 l A İki katlı integralle hesaplayınız. Cevap 79. 2ır + 5 arcsin — j V5 ve | 71: •—2 ~ 5 arcsin ■” * ) r = 2 COS0 + 3 eğrisi ile r = 2 cosÖ eğrisinin sınırladıkları alanı iki katlı integralle hesaplayınız. Cevap : lOıc 80. r = 6 sinö, r = 12 sin0 eğrilerinin sınırladığı alanı iki katlı integralle he saplayınız. Cevap ; 27 tc 81. rcos0 = 4 , r = 8 eğrilerinin sınırladığı alanı iki katlı integralle hesapla yınız. Cevap ; - ® ^ _ 1 6 V 3 3 82. r = 0 (1 —sin a) eğrisinin sınırladığı alanı iki katlı integralle hesaplayınız. Cevap ; — 446 Y üksek M atem atik Pföhlem leH 83. x = 0, z = 0, ^^ = 4 — X ve * = ^+2 yüzeylerinin sımrladığı hacmi hesap layınız. Cevap : ö 84. g^ = z, yz=z^, z = x ve y^ = 2 — X yüzeylerinin sınırladığı hacmi hesapla yınız. 85. — + a Cevap + -£- = 1 düzleminin koordinat düzlemleriyle sınırladığı hacmi o c hesaplayınız. Cevap : ahc 6 I. * = yüzeyi ile = 0, x = 2, y = 0 ,y=3 ve «= 0 düzlemlerinin sınırla dığı hacmi hesaplayınız. Cevap : 62 ^ a ğ ıd a k i üç katlı iniegralleri hesaplayınız. / / 0 Cevap : - j- (tî — 2) / 0 0 a V o F r ^ Va*—x^—y^ y z dx dy dz / ' ■ f l 0 0 Cevap : -r^ ıra* ID o 1 logxx+y^ 89. II J J 0 0 I J 0 e 'x-\-y-fz dx dy dz (e3-8e+l5) Cevap 1 n/3 >^sih20 90. / / / f^/dr d0 dz I I: ■ 0 0 48 ^0 dr dz Cevap : a(2 — V2) 0 v ;O u »S0 v rr C 92:. / ^ / / 0 1 1 Cevap : ^ n/2 0 a j V3" 36 a V flt*—r* —ıc/2 a sin 0 93, j . 15 0 ‘iî/2 tî/4 Cevap j ^ 0 0 asin9 ^ ^ Cevap : (4+ıc) — log (V2+1) K a tlı tn iegraîîer 447 Aşağıdaki uç katlı ıniegralleri yanlarında gösterilen R bölgesinde hesaplayınız. x.y z dx dy dz / / R R : / Cevap : 4a« 3 x-\-y-\‘ z / / / R e dxdy dz _ e*-3 , 3e2 Cevap : —^— + c ---j 96 •/ / / R : * ‘^*‘^"* Cevap , x^y^tyvez^Q : ^ 97. jf*+y*+** = 5 küresi ile x^-\-y^ = 4« parapoloidinin sınırladığı hacmi hesap layınız. ^ 2ıc ,— Cevap : - 5 - ( 5 V 5 -4 ) 98. y^-\-z^ = 2x paraboloidinin layınız. = - düzlemi ile sınırladığı hacmi hesap> _ 9ır Cevap : 99. y = ;ır*, x=y^, z = 0, z = 1 2 + y —x^ yüzeylerinin sınırladığı silindirik hac mi hesaplayınız. Cevap 100. ^ ^2/3 = q2/3 yüzeyinin sınırladığı toplam hacmi hesaplayınız. Cevap 101. « = 4— layınız. : 4 jfj - 4 : — T[a^ parabolidi üe z = 4—2at düzleminin sınırladığı hacmi hesap Cevap : TE 2 16. KOMPLEKS SAYILAR 2 ZJjriÇlıö~ir 5 ^fodesîni kısaltınız, ,•44. ,9 4 . .16 , 4 4 (^.4)2 ,. 4 . (,.4)4 2 -,* 3 4 , 10_,15 2 i + {ly P - (ly P 2 14-z + l — i 4 ,*2 _ f3 2 + i 2 - ı - 1+ / 2 î 2. Kompleks ifadesi — 10— 10 i olan vektörün 45* ve 90"* döndü’ rülmesi halinde elde edilen vektörlerin kompleks ifadelerini 6ulunuz. Bir vektörün 45* döndürülmesi halinde elde edilecek vek törün kompleks ifadesini bulmak için, verilen vektörün komp leks ifadesini cos 45®-h i sin 45® ile çarpmak kâfidir. Buna göre elde edilen vektörün kompleks ifadesi: ( - 1 0 - 1 0 ı'Kcos 45.+1 sin 45.) = ( - 10 - 1 0 i ) { ^ + i = - f> \İ2 -5 \j2 i-b \j2 î-i\j2 f = -1 0 y /2 ı dir. Ayni vektörün 90* döndürülmesi halinde elde edilen vek törün kompleks ifadesi de verilen vektörün kompleks ifadesini: cos 90®-f- i sin 90* = i ile çarpmak suretile elde edilir. Buna göre elde edilen ifade: Kompleks S a yth r 449 ( - 10 - 10z)ı - — lOz - 10z*2 = 10~10z dir. 72(cos 16° + i sin 16°) . , [3(cos 44' + ,•sin 44’)][2(oos 6 ^ + sm 62°)] sonucu kartezyen olarak ifade ediniz. 12 (cos 16®+ 1sin 16®) 12(cos 16*4-z sin 16®) [3(cos 44®+z sin 44®)][2(cos 62®+z s!n62®)] ” 6(cos 106®+ı sin 106®) - 2[cos(16® - 106®) + z sin(16® - - 106’)] = 2[cos(— 90®) + z sin(~ 90®)] = 2(cos 90^ — zsin 90®) . *' [2 (co s1 5 °-\'isin 1 5 °)p [4(cos45° + isin45'')P , *#^*™'*' [2 (cos 15®+ i sin 15®)r 2^ (cos 105® + zsin 105”) [4 (cos 45® + i sin 45®)]^ ~ 2^ (cos 135® + i sin 135®) - 2 [cos ( - 30®) + i sin ( - 30®)] = 2 (cos 30®— z sin 30®) s= ^3 — I 5. I ; \100 JL I \ İşlemini yapınız, ^2 4 ^ i = cos 30® + i sin 30® olup: 4- \ i Y = (cos 30" + 1sin 30*)‘“ yazılarak ikinci taraftaki ifadeye Moivre formülü uygfulanırsa cos 3000’ + isin 3000* 450 • Yüksek Matematik Problemleri cos 120* + z sin 120* 1 , V^"3 . elde edilir. 6. v/2 —I—Sİ2 7^ 11 işlemini yapınız^ \/2 cos 45° = sin 45* ^ z i ^ cos 45° + i sin 45* z yazılarak : ^ 4 -İ? :; 2 2 olup : ^30 (cos 45° + 1sin 45*)30 = COS 1350° + i sin 1350* = cos 270° + i sin 270o bulunur. / . i f r L ] '” . v/'i ^ w ) ^ iv ? “ V?i ^ V? ~ sayılarını trigonometrik şekilde yazmak üzere bu sayıların modül ve argümanlarını belirtelim. Buna göre : n/2 / \/2 ) i tg<Pı = 1 q>, = 45* tg <P2 = — 1 <P2 = 315“ olup: 4 . - tL- = cos 45* + i sin 45* V2 ^ Kompleks Sayılar 451 cos 450* + i sin 450* cos 90®+ 1sin 90® —ı ve \! 2 \! 2 - cos 315® + i sin 315® =(cos315* + isin315*)'® = COS 3150® + i sin 3150® ^ cos 270*+ z sin 270® —ı elde edilerek: bulunur. 8. 256 y^ I . ( /~rO . . . . işlemim yapınız. 1 + * =* V^2 (cos 45® + i sin 45*) ve (1 + ı)H == 2’(cos 630® + i sin 630®) - 2 ’ (cos270® + zsin270®) = 2 M -0 « — 128z olup: 256 (1 + z r 256 128 z ~z 2z dir. 9. - V ^ + z sayısının altıncı mertebeden kökünü hesaplayınız. r = V 3+l = 2 ; tg<p -^ 3 9 ~ 150® 452 Yüksek Matematik Problemleri ve -* v^3 = 2(cos 150’+ ı sin 150®) ' olarak z = 6 \/-V 3 + 7= V 2 [ 150® + 3 6 0 ^ 6 z sın * ............... 150® + 360 it 6 V 2 [cos(25’ 4- 60*) + i sin(25o + 60*) dır. Buna g ö re : zı = V2(cos 25“ + i sin 25“) Z2 = Vâ[cos 85' + i sin 85”) Z3 = V2(cos 145' + i sin 145') V2(cos 205“ + i sin 205“) Zj = V2cfcos 265“ + i sin 265“) Zi = V2(cos 325' + i sin 325“) bulunur. 10. 2 ’—2 s f 3 i sayısının beşinci mertebeden kökünü hesaplayınız. r V^4 + 12 = 4 ; tg <p 2 \/3 ve 9 == 300® olup: 2 -- 2 \/ 3 z - 4 (cos 300® + z sin 300®) yazılâbilir. Buna göre: z = y 2 - 2 \ / 3 1 = V 4 (cos 300' + i sin 300“y = V 4 j^cos 360 k + 300 z sın 360 i t + 300 olarak: z \^ (cos 60® + i sin 60®) Z2 = (cos 132®+ z sin 132°) == V Î (< Z3 = (cos 204® + i sin 204°) 2:4 = (cos 276® + z sin 276®) zj = V?(cos348® + z sin 348®) bulunur. Kompleks Sapılar 11. A -1 olup : 453 O denkleminîn gerçel ve kompleks köklerini bulunuz» X = V “ 1 = (cos 7Î + * sîn r 2kTZ + TZ . . . 2y^ır+7i:l = c o s ----- ^ ------ + z sın -— ' 6 1 JTı =-= cos X2 == COS jt3 TC . . . ir v/ 3 + z sın -g- = ^ . . TC z s ın y ^ ^ z 5 tc . . . 5 tc = COS -g- + z sın -g- \/3 7tc ... . 7ıc + z sın o o \/3 2 a'4 = cos 3tc , . . 3tc .^5=cos *^ + z sın jt6= cos - z* 2 ' 1 . ı 2 ^ —z lİTt , . . Ilıt V3 1 . -ğ - + 1 sın = -y —y « bulunur. 12. ( 3 — 7i) ^ ü a-{-bi şekline sokunuz, 3 — 7ı sayısı için r = ^9 + 49 = \/58 , t j : q ) = - y = —2,3333 ve ()) = 293"12' olarak: (3 — 7ı)-3 - 58 2 (cos 293»] 2' + 1sin 293"12')-’ - 0,002264[cos(- 879°36') + 1s in (- 879”36')] - 0,002264[cos 200»24' + i sin 200°24'] = 0,002264(— cos 20»24' - i sin 20“24') = 0,002264(- 0,9373 — 0,3486 i) = -10-<(21,21 + 7.894i) bulunur. 13. (5-4iyiH3i-2)^ı^ ----^ --------- ifadesini a-\- bı şekline sokunuz. 454 Yüksek Matematik Problemleri 5 — Ai sayısı için r v^5H-16 = v^41 : tgcp = - “ ve 9 == 321®20' olarak : (5 _ 4/)i/2 = 41'/'‘(cos32r20' + î sin32r20'y/2 = 41'/^(cos 160®40' + i sin 160®40') — 2 + 3/ sayısı için r — \/4 + 9 “ \ / l 3 : dır. tg^9“ 3 2 ve 9 = 123"4r olarak : (3/ - 2)2/*^ - 13'/3(cos 123M1' + / sin 123®4l7/3 - 13^/3(cos s 2®27' + / sin 82®27') dır. — 8 — 3/ sayısı için de *=» 0,375 ve 9 ( - 8- 200°32' r == ^64 + 9 == \/73 , tg -9 « -^ olarak : 3/)2/5 =« 7 3 V ^ (c o s 200®32' + / s in 200®32')2'* = 73^/^(cos 80®13' + / sin 80®13') dır. Bunlara g ö re : ( 5 - 4 z+/2(3._2)2/3 ^ ( - 8 — 3/)2/5 411/4 ^ j^3V3 r(cos 160®4 0 '+ / sin 160® 40')(cos 82" 2 7 '+ / sin 82®27')' 731/5 (cos80"13'+/sin80®13'J ^ ™ c o s 243"7'+/sin243"7' * cos 80®13'+/ sin 80®13' 2,523(cos 162®54' + / sin 162®54') 2,523(— cos 17®6' + i sin 17®6') 2,523(- 0,9558+ 0,2940/) — 2,411 + 0,7415/ • bulunur. İ4. Sj = cos X + cos 2x -\- cos Jjr + . . . + cos nx S 2 — sin X + sin 2x + sin 5jc+ . . . + sin nx toplamlarını Sj + / S 2 yi teşkil ederek hesaplayınız. Kompleks Sayılar S ı-r i S 2^ (c o s x + i = (c o s x - \- i = (c o s A T + ıs în ) 2 x - \-î s in ;t ) + ( c o s x) s in + 1 — (c o s at (c o s x + CQS a : + g s în Af — (1 — _ c o s Af (c o s c o s A f) — + 1 s in Af — + jc i î + ac+ (1 — Co s in z s a x -\-î jc ) + .. s in s i n A c )" s i n A f) 1 s>n 1 ) Af + i c o s A f) — [ ( l — c o s A f ) - | - z s i n A f] [ c o s 3 j f + / s in 3 s i n Af c o s (yi + (1 — c o s z s in j r ) ^ + ( c p s x + i 1 — (c o s — s in 2 j : ) + ( 455 a z s in ( n + 1 ) ^ s i n Af :— c o s ( n + l ) :) ^ — x —i s in ( w + ^ ) x z ^ s în -A f [ ( 1 — c o s A f ) + t s i n A f] [ c o s A f— - c o s ( y ı + 1 ) A f + z s i n A f— ı s i n ( n + l ) A f] 2 (1 c o s T iA f— c o s ( n + l ) A f + c o s 2 (1 — cos a a — c o s A f) :— 1 , . s i n zzA f— s i n ( n + l ) 2 (1 — :) olup Sı c o s 71 Af — c o s ( r a + 1 ) Af + 2 (1 — c o s A f) sin 82== nx — sin ( r a 2 (1 — + 1 ) c o s Af — 1 Af+sin A f c o s A f) d ir. 15 . 5 ; = / + - ^ + Ç + J + . . . 8 +•• toplamlarını hesaplayınız. Sj + 82 = 2 + 2 ^ = z|^ı + ^ ^ ~ y = 2 ( - İ ) “!“••• ^ + •••] y ~ *”) 1+ Af+sin A f c o s A f) m Yüksek Matematik Problemleri 8 Sı + S2 — ^ ve Sı — 82 = 2 *”] __ \ M1 + İ2İ ^_L 2* ‘’V s ,-s , = ^ i bulunur. Bunlardan ise : ç 4 2 = y “ T ç 4 , 2 . y -r y . ' . ' elde edilir. Aşağıdaki işlemleri yapınız : 16. (4 - 3 i ) 4 - (2 i- 8 ) Cevap ; — 4 — i 17. (3-4-20(2- i ) 2 — 3i 4 —i (4 + 0(3 -f 20(1 - 0 (2 + 0(3 - 20(1 - 20 (1 - İ)2 Cevap ; 8 4" i ^ 11 10 Cevap: 18. 19. 20. Cevap ! 21 4" i Cevap î — 4" 3i 21. . . 11 23 Cevap; - y - y 22. Cevap : — 3 — 2i 23. 21 = 1 — i ; 22 = — 2 4~ 4i : ifadeleri hesaplayınız. a) rı2 -4- 2rı — 5 b) 12z2-3zıri 4 d) 24. Z\ 4 Z2 23 = V3 — 2i ^ 4- 1 , . —*2 4- î (2zı3 4 ^ 3 z 2^ — 5 ^32) nin reel kısmı olduğuna yöre ı Cevap ; — 1 — 4i Cevap; 170 Cevap : Cevap ; — 35 2.V — Siy 4" 4ı.v — 7y — 5 — lOı == (jf 4" 4~ 2) — (v — ^ 4 - 3)i eşitliğini sa^lıyan x vt y değerlerini bulunuz. Cevap : a: = 1. y = 2 Aşağıdaki kompleks sayıları kartezyen şekle sokunuz. 25. 26. 6(cos 135"4"<’ sin 135°) 4(cos 315"4-i sin 315'’) Cevap : — 3y^2 4 “ 3 V2 * Cevap : 2y/2 — 2^2 i Kompleks Sayılar 27. 5r. 2c 4 2ît. 28. 3c 20. Aşağıdaki işlemleri yapınız. 6(cos 20“+ ı sin20”).3(cos25H-f sin 25‘) 30. Cevap : — V^2 — V^2 i 3v3 Cevap î 3 * Cevap: 3 -Y' ~ 2 9v2 + 9v2ı (cos 18’ - f i sin 18*).3(cos 123° -j- i sin 123®). 4<cos 159’ + isin 159') Cevap : 6 — i 31. 12(cos 2 3 2 si n 232 ) 3(cos f i sin 82 ) Cevap ; —2V^3 + 2t 32. 8(cos 73 -1-1 sin 73 ) 2(cos 118''-j- i sin 118 ) Cevap: 33. |2(cos 50 -t-i sin 50°)!^ Cevap ; 32 — 32 y3 i 34. I8(cos40^ 4- ı s i n 4 0 |2(cos 60® -f~ i sin 60 )]^ 7w .\r -S r . . 2 \1 }-2 \J İİ Cevap : —16—16 y/3 i 5- . 6s 3 35. 36. 457 / 2tc .\2 (4.3 j v'3 - ■\ V i ± ! V 37. Cevap:- 1 ^ . - 1 # . - ^ Cevap :. 2 2 _v'^3'_ij T 2 Cevap: I Afağıdaki kökleri hesaplayınız : 38. (2\lî - 7i)yi 39. ( - 4 + 4i)'/5 40. (2 + 2v'3i)i/3 41. i-'l6i)V< 42. ( - i)i/3 43. * 8+3i Cevap: -(0,7796 + 0,5527 0 ( 5 - 4 .) i/ 2 (2+50VJ Cevap : - 1,072 + 0,9674 j 45. (5 - 7.)</S (2+ 7ı)i/3(3i-4’iı/2' Cevap : - 1,096 + 0,6805 i 46. (2 + S i)tP (-4 -9.)2/3 (8i - 3)4/5 Cevap: 44. - 0 ,6 4 5 7 + 1,8051 B İ B L İ Y O G R A F Y A AUBERT, P. - PAPELİER, G. Exerci$e8 d*Algebre d'Analg$e et de Trigono* metrie AYRES, Frank Jr. Theory and Problems of Differential and In^ iegral AYRES, Frank Jr. Theory and Problems of Differential Eguatione BACON, Harold Maile Differential and Integral Calcglua BURINGTON, Richard Stevens Handbook of Mathematical Tables and Formulas CASANOVA, G. Cours de Mathematigaea DALAKER, Henry E. The Calculus Hans H. - HORTING, DÎLGAN, Hamit Analiz II FORD, Lester R., Sr. - FORD, Lester R., Jr. Calculus GRANVİLLE, W. A. - SMITH, F. Elemente de Calcul Differentel et Integral ILIOVICI, G.. SAINTE-LAUGE, A. Cours dlAlgebre et d'Analyse KELLS, Lyman M. Calculus LABOUREUR, Maurice Cours d*exercices sur le Calcul Mathematigüe LEIB, D. - SALLİN, A. Exercices Methodigues de Calcul Differen*iel e* Integral MANN, H. LesHe Practical Mathematics MARTIN, J. Caurs de Mathematigues MILHAUD, G. - POUGEt, E. Cours de Geometrie Analytigue PAPELIER, G. Precis de Geometrie Analytig’ie Par une Reunion de Professeurs Exercices d'Algebre POUSSIN. C. J. Della Walle BERKER, Ratıp Analiz Dersleri PROTTER, Murray H. - MORREY, C. B. Jr. Modern Mathematical Analysîa OUINET. J Cours elementaire de Mathematigues Superieures ROTHE, R. Höhere Mathematik Yüksek Matematik Problemleri SMITH, Edward S. - SALKOVER, Meyer - JUSTICE, Hovvard, K. Unified Calculu» SPIGEL, Murray R. Theory and Problems of Advanced Calcuîus SPIGEL, Murray R. Theory and Problems of Complex Varîables STOCK, Robert Cours d'Algebre VESSIOT, Ernest - MONTEL, Paul Cours de Afathematiçues Generales VOGT, H. Solutions des exercices proposes dans les e/emenis de Mathematigues Saperieures WOODŞ - BAILEY - SALLIN, A. Mathematiyues Generales

Ahmet Karadeniz - Yüksek Matematik Problem Çözümleri

Products

Support

Ahmet Karadeniz - Yüksek Matematik Problem Çözümleri

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib