A L AR CON
CHAPTER 1: LIMITS
EXERCISE 1.1
2
2
1. I f f x  x  4 x f i n d  a f  5  b f y  1  c f x 
a f  1   5
2
x  d f x  1  f x  1
4 5
 25  20
f  1  45 
b f y 2  1  y 2  1
2
4 y2 1
 y4 2 y2 1 4 y2 4
 y4 2 y2 3
f y2 1  y2 3
y2 1
c f x   x  x   x
 x  x
2
x  x 4
f x  x  x  x
x  x4
d f x  1  f x  1 

4 x  x
x1
x2  2x  1  4x  4 
2
4 x1

2
x1
4 x1
x2  2x  1  4x  4
 x2  2x  3  x2  6x  5
 x2  2x  3  x2  6x  5
f x  1  f x  1  4 x  8 o r 2 x  4
x2  3
 f i n d x a s a f u n c t i o n o f y
x
2. I f y 
y
x2  3
x
x2  3  xy
x2  xy  3  0
Find the value of x by using the quadratic equation.
x
x
x
b
2
b  4ac
2a
 y 
y
 a  1 b   y c  3
2
4 1
3
2 1
y
y 2  12
2
3 If y= tan x    find x as a function of y.
y  tan x  
x    arctan y
x  arctan y  
4. Express the distance D travaled in t hr by a car whose speed is 60 km/hr.
Distance = Rate  Time
D  60 t
5.  Express the area A of an equilateral triangle as a function of its side x.
1
A
2
bh
a2  b2  c2
1
2
1
2
x
h  x
2
x h x
2
2
4
h2  x2 
h 
2
h 
2
h
1
4
3
Let b = x, h =
2
2
A
A
1
2
3
x
3
4
2
x
2
x
x
x
x
2
x2
1
2
2
2
4x x
4
3x
2
4
3
2
x
1
2
x
x
3
1
2
x
6. The stiffness of a beam of rectangular cross section is proportional to the breadth and the cube of the depth.
If the breadth is 20 cm, express the stiffness as a function of the depth.
Let S = stiffness, b = breadth, d = depth
S  bd3
S  20 d 3
D
d
b
7. A right circular cylinder, radius of base x, height y, is incribed in a right circular cone, radius of base r and height h.
Express y as function of x (r and h are constant)
Using ratio and proportion of two similar
triangle  BC D  and  AC E
E
y
h

rx
r
ry  h r x
y
D
h
h rx
r
y
B
A
x
2
8. If f x  x  1 find
f xh f x

h



xh
r
f xh f x
 h  0
h
2
 1  x2  1
h
2
x2  2xh  h  1  x2  1
h
2 xh  h
2
h
h 2xh
h
f xh f x
 2x  h
h
2
9. If f 3 x  4 x  1  find
f h3 f 3
3 h3

h



f h3 f 3
h0
h
2
4 h3 1  3 3
h
2
3 h  6 h  9  4 h  12  1  27  12  1
h
2
3 h  18 h  27  4 h  12  1  27  12  1
h
2
3 h  14 h
h
2
4 3 1
C
h 3 h  14
h
f h3 f 3
 3 h  14
h

4
10 If f x 
f g x

f g x

g f x

g f x

g f x

g f x

g f x

g f x

x3
2
and g x  x  3 find f g x
4
x2  3  3
4
x2
4
x3
2
3
16
3
x  6x  9
2
16  3 x  18 x  27
2
x2  6x  9
2

16 3 x  18 x  27
x2  6x  9
 3 x 2  18 x  11
x2  6x  9
 3 x 2  18 x  11
x3
2
EXECRCISE 1.2
Evaluate each of the following.
2
1. lim x  4 x  3
x 2
2
 2 4 2 3
 483
lim x 2  4 x  3   1
x 2
3x2
x4
2. lim
x 3


3 3 2
34
92
7
3x2
x4
lim
x 3

11
7
3. lim tan x  sin x
x

4

 tan
 sin
4

4
2
 1
2
lim tan x  sin x 
x

4
sin 2 x
sin x
4. lim
x


3

sin 2
3
sin

sin
sin

3
2
3

3
3
2

3
2
lim
x

3
sin 2 x
sin x
1
2
2
2
and g f x
5. lim 2 x 
3
x 8
3
2 8 
x 4
8 4
 16  2  4
lim 2 x 
3
x  4  14
x 8
6. lim 4 x  3
x2 5
 4 2 3
2
x 2
 83
 5
2
5
45
9
lim 4 x  3  45
x 2
3x
7. lim


x1
x
x 3
3 3
31
3
9
3
4
3x
lim
x1
3x2
x
x 3
8. lim
1

2
x2  2x  4
3 0 2
x 0


2
0 2 0 4
2
4
3x2
lim
x2  2x  4
x 0

1
2
EXERCISE 1.3
Evaluate each of the following.
x 3  64
1. lim 2

x 4 x  16
x  4 x 2  4 x  16

x4 x4
x 2  4 x  16

\
x4



2
 4 4  16
44
16  16  16
4
8
48
8
x 3  64
6
x 2  16
2
x  2x  8
2. lim
3x6
x 2
x4 x2

3 x2
x4
lim
x 4



3
24
3
6
3
lim
x 2
x2  2x  8
2
3x6
3
x  13 x  12
3. lim
x 3



x3
x 3  14 x  15
x2  3x  4
x  3 x2  3x  5
x2  3x  4
x2  3x  5
3
3
2
3 3 4
2
3 3 5

994
995
x 3  13 x  12
lim

14
13
x 3  14 x  15
x3  x2  x  2
x 3
4. lim
3
2
2 x  5 x  5x  6
2



x 2 x x 1
x 2




x  2 2 x2  x  3
x2  x  1
2
2 x x3
2
2 21
2
2 2 23
421
823
x3  x2  x  2
lim
3
2
2 x  5 x  5x  6
2

x 3 9
x 2
5. lim
2x
 3
x 0
x3



2
6
2
x3
2
9
x  16  4
x
x 0
x  16  4

3
2x
6. lim
x
x  16  4
x  16  4

x  16  16
x
x  16  4
x
x  16  4
1
x  16  4
x

1


x3 3
x x6
2x
x6
x 0

9
2x
lim

7
2
2x
x3 3


2

16  4
1
44
x  16  4
lim

x
x1
x 0
7. lim
1
8
x3 2
x 1
x1
x3 2

x3 2
x3 2
x1
x3 2
x34
x1
x3 2
x1




x3 2

13 2

4 2
 22
lim
x 1
8. lim
x 8
3

x1
x3 2
3
x 2
4
x8
x 2
x8

3
x2  2
3
x 4
3
x 2
3
x 4
2
x8





3
x8
3
3
x2  2
1
3
x 4
2
3
8 4
2
8
1
3
64  2 2  4
1
444
3
x 2

x8
x 8
1
x
9. lim

1
12
1
4
x4
x 4
4x

x 4
1
lim

3
x2  2
4x
x4
4x
4x x4
x4

4x x4
1

4x
1

4 4
1

x
lim
1
4
1

x4
x3  8
x 4
16
10. lim
x 2 x 2  4
x  2 x2  2x  4

x2 x2
x2  2x  4

x2



2
2 2 4
22
444
2
4
12
4
x3  8
lim
3
x2  4
x 2
x3
x2  4x
x3
x2 

x2  4x
x2 
x3
x2  4x
11. lim
x 3



x3
x2 
4x
x3
2x6
x2 
4x
2 x3
x2  4x

2
32 


11
2
2
x 3
12. lim
x 0


43
2
2
lim

4x
x2  4x


4x
x3
x2  4x
1
1
3
x9 3
1
x
1
3x
1
3x

x
3
1
1
x9
x9
x9 3
x9 3
x9
x9 3
x9 9
x9
x9 3




x
x9 3
x
1

3x
x9 3
3x
x9
1
3 x9 9
x9
1
3 0  27  9
09
1
0  27  27
lim
x 0
1
1
x
3
1

x9
13. lim
x2  9
x3


x 3
x2  9



x2  9
x3
x3
x2  9
x3
x3
x3
x2  9
x2  9
33

2
3 9
6
0
x2  9
lim
   The Limit does not exist
x3
tan 2 x
14. lim
 sec 2 x

x 3
x
4
sin 2 x
cos 2 x


1
cos 2 x
sin 2 x cos 2 x
cos 2 x
 sin 2 x
 sin 2
 sin
lim
x


4

2
tan 2 x
sec 2 x
1
4
sin 3 x
sin
x  tan x
x 0
sin 3 x
15. lim







1
54
x2  9
x3
x2  9


x9
sin x 
sin x
cos x
sin 3 x
sin x cos x  sin x
cos x
sin 3 x cos x
sin x cos x  sin x
sin 3 x cos x
sin x cos x  1
sin 2 x cos x
cos x  1
1  cos 2 x cos x
cos x  1
1  cos x 1  cos x cos x
cos x  1
  1  cos x cos x
  1  cos 0 cos 0
  1  1 1
lim
x 0
sin 3 x
sin x  tan x
 2
16. lim
x 0
1  cos 2 x
1  cos x
1  cos x 1  cos x
1  cos x

 1  cos x
 1  cos 0
 11
1  cos 2 x
1  cos x
lim
x 0
0
sin x sin 2 x
1  cos x
sin x 2 sin x cos x
1  cos x
2 sin 2 x cos x
1  cos x
2 cos x 1  cos 2 x
1  cos x
2 cos x 1  cos x 1  cos x
1  cos x
17. lim
x 0




 2 cos x 1  cos x
 2 cos 0 1  cos 0
2 1
11
2 2
sin x sin 2 x
1  cos x
lim
x 0
4
18.

1  cos 2 x
1  cos x
1  cos x 1  cos x
1  cos x

 1  cos x
 1  cos 
 1 1
sin 2 x
1  cos x
lim
x 
2
If f x  x  find;
f x f 4
19. lim
x4
x 4
x  4
x4
x 2


x4
x 2

x4
x4

x4
x 2
1

x 2
1
4 2


x 2
x 2

1
22
f x f 4
1

x4
4
f 9x f 9
20. lim
x
x 0
lim
x 4



9x 
9
x
x9 3
x
x9 3
x

x9 3
x9 3


x99
x
x9 3
x
x9 3
1
x9 3
x

1

09 3
1


9 3
1
33
f 9x f 9
x
lim
x 0

1
6
If f x  x  2 x  3 find;
f x f 2
21. lim
x2

x 2
2
2
x2  2x  3  2  2 2  3
x2
x2  2x  3  4  4  3

x2
x2  2x

x2
x x2

x2

x
f x f 2
2
x2
f x2 f 2
22. lim
x
x 0
2
2
x2 2 x2 3  2 2 2 3

x
x2  4x  4  2x  4  3  4  4  3

x
x2  2x

x
x x2

x
lim
x 2
 x2
 02
f x2 f 2
x
lim
x 0
2
EXERCISE 1.4
Evaluate each of the following.
3
2
6x 4x 5
1. lim
REMINDER:
3
8 x  7x  3
x 
lim
1

3
2
6x 4x 5
3
8 x  7x  3
3
6x

x
8x
x


3
3
6
4
8
7
x

4x

3
x


2
3
7x
x3


x 
x3

1
x3
5
x3
3
x3
5
x3
3

x2 x3
600
800
6
8
lim
3
2
6x 4x 5
x 
2. lim
x 
3
8 x  7x  3
2
3 x x2
x3  8x  1

3
4
1
x
0
1

2
3 x x2


2
1
x3
x

x3
2

x3
x3
x3
8x
1
 3  3
x3
x
x
3
1
2


x x2 x3
8
1


x3  8x  1
3x
x3
1

x2 x3
000
100
2
3 x x2
lim
x 
3. lim
0
x3  8x  1
4x5
x2  1
x 
1

4x5


1
x2
5

x2
x2
x2
1

x2 x2
4
5

x x2
1
1


x2  1
4x
x2
x2
00
10
4x5
lim
x 
4. lim
0
x2  1
x3  x  2
x2  1
x 
1

x3  x  2
x


x3
1
x3
1

x x3

1 00
00
x3  x  2
lim
x 
5. lim
x2  1
8x5
x 
8x5


x

4x
x2
8

2

x
1
x
5
x
3
x2
x
3
4
80


5

2
4x 3
1
2
4x 3
8x

2

x2
x3
1

1
1
2

x3
x2
1
x3
x

x3
x3


x2  1
3
x3
x2
40
8
2
lim
x 
8x5
2
4x 3
4
x3
6. lim
x 


2
2x1
x3
2
4 x  4x  1
1
x3
x3

2
4 x  4x  1
1
x3
x3

x3
2
4x

1

x3
x3
1
4
4

x

4x

x3
1

x2
x3
1
000
x3
lim
x 
2x1
x3
7. lim

2
3
 x2




x
x 3  9 x 2  27 x  27  x 3  6 x 2  12 x  8
x2
x  9 x 2  27 x  27  x 3  6 x 2  12 x  8
3
x2
2
15 x  15 x  35
x2
x2
2
15 x

x2


x2
x

35
x2
1
x2
x2
2
x2
35
 2
x
x
1
15  0  0
15
15 

1
2
15 x  15 x  35
15 x

3
2
x 
1
3
x3
lim
x 
 x2
x
2
3
 15
9x 4
2
8. lim
6x1
x 
1
2
9x 4

6x1
x


x
6
4
x
2
1
x
4
9


2
6x
x
1
x
9 x2
x
2
1
x
90



60
3
6
2
9x 4
lim
6x1
x 

1
2
EXERCISE 1.5
Find the value or values of x for which the function is discontinuous. (The function is discontinuous if the denominator is equal to 0)
3x
1.
x5
x5  0
x5
Check
3x
x5

3 5
55

15
0
  Therefore, the function is discontinuous if x=5.
3x2
2.
x 2  8 x  15
x 2  8 x  15  0
x3  0
x5
x  5 x  3
Check
3 5 2
2
5

 8 5  15
17

     
0
3 3 2
2
3  8 3  15
11
0
Therefore, the function is discontinuos if x=5 and x=3.
5x1
3. 2
x 4
None. The function is continuous.
6x
4. 2
x 9
x2 9  0
x3 x3  0
x  3 x   3
Check
6x
x2  9


6 3
2
 3 9
 18
0
Therefore, the function is discontinuous if x   3.
5.
1
x
2 8
x
2 8  0
x
2 8
log 2 8  x Use calculator or just simply assume a number that makes the denominator zero.
log 2 8  x
x3
Check
log 2 2 3  x log a a r  r
1
x
2 8
1



6.
log 2 2 3  3
3
2 8
1
88
1
0
  Therefore, the function is discontinuos if x=3.
x3
x  3 x2  2x
3
x3  3 x2  2x  0
x x2  3x  2  0
x x2 x1  0
x  0 x  2 x  1
Check
x3
x3  3 x2  2x
03

0
3
f 0 
f 2 
f 1 
3 0
3
0
5
0
4
0
2
2 0
EXERCISE 1.6
Sketch the graph of the following functions:
1. y 
5. y 
9. y 
4
          2. y 
x
6
x
2
        3. y 
x2  1
x2  1
       4. y 
2x
x1
x2
2x
2
x2
        6. y  2
         7. y  2
         8. y  2
x2
x 4
x 1
x  9 x  20
4x
x 9
2
10. y 
x2  1
x
CHAPTER 2: DIFFERENTIATION OF ALGEBRAIC FUNCTIONS
EXERCISE 2.1
Find the derivative by use of Delta Method.
2
1. y  4 x  5 x
2
y  y  4 x  x 5 x  x
2
y  4 x  x  5 x  x  4 x2  5x
dy
y
 lim
dx
 x0  x




4 x x
2
5 x x
 4 x2  5x
x
2
2
2
4 x  2x  x   x  5x  5  x  4 x  5x
x
2
2
2
4 x  8x  x  4  x  5x  5  x  4 x  5x
x
2
8x x4  x 5 x
x
x 8x4 x5

x
 lim 8 x  4  x  5
 x0
 lim 8 x  4 0  5
 x0
dy
 8x  5
dx
3
2. y  x  2 x
y  y  x  x
y 
x  x
3
3
2 x  x
2 x  x
 x3  2x
dy
y
 lim
dx
 x0  x
3
x   x  2 x   x  x3  2x

x
x3  3 x2  x  3x  x2   x3  2x  2  x  x3  2x

x
x3  3 x2  x  3x  x2   x3  2x  2  x  x3  2x

x
2
2
3
3 x  x  2x  x   x  2  x

x
 x 3 x2  2x  x   x2  2

x
 lim 3 x 2  2 x  x   x 2  2
 x0
 lim 3 x 2  2 x 0  0
 x0
2
2
dy
 3 x2 2
dx
3. y  4
x
y  y  4
x x
y  4
x x 4
dy
y
 lim
dx
 x0  x

4

4



x  x 4
x
x
x
x  x 4
x

4
x
4
16 x   x  16 x
x 4
x  x 4
x
16 x  16  x  16 x
x 4 x  x 4 x
x 4
 lim
 x0
16  x
x  x 4 x
16
4 x  x 4 x
x  x 4
x  x 4
x
x
 lim
 x0
16
x0 4
4
x
16
 lim
x
8
 x0
dy

dx
2
x
6
4. y 
x
6
y  y 
x x
6
6
y  x x  x

dy
y
 lim
dx
 x0  x
6



x  x
6
x
x
6x6 x  x
x x  x
x

6 x  6x  6  x
x x x x

6 x
x x x x
6
 lim
x x x
 x0
6
 lim
x x0
 x0
dy
6
 2
dx
x
3
5. y 
x
y  y 
3
x x
3
y 
3
x x 
dy
y
 lim
dx
 x0  x



3
x  x 
3
x
x
x
3
x  x 
3
x
3

x
3
x
x
 lim
 x0
 lim
 x0
 lim
 x0
3
x  x
3
2
x  x

2
x  x
2

3
x x  x 
3
x2
x  x
2

3
x x  x 
3
x2
3
x x  x 
1

3
3
x2
x x  x 
3
1
3
3
2
x0
x2 
3

1
3
x x0 
x2 
3
x2
dy
1
 3
dx
3
x2
6. y  2  5 x
y  y  25 x  x
y  2 5 x  x
 2  5x
dy
y
 lim
dx
 x0  x
2  5 x   x  2  5x

x
2  5x  5  x  2  5x

x
5 x

x
dy
 5
dx
3
x2
x2
7. y 
4x3
y  y 
4 x x 3
y 
4 x x 3 
dy
y
 lim
dx
 x0  x



4 x  x 3 
4x3
4x3
x
4 x  4  x  3  4x  3
4 x  x 3 
x

4 x  x 3 
4x3
4 x  x 3 
4x3
4x3
4 x
4 x  x 3 
x
 lim
4 x  x 3 
 x0
4 x0 3 
 x0
4x3
4
 lim
 x0
8. y 
4x3
4
 lim
dy

dx
4x3
4
4x3
2
2
4x3
2x
x1
2 x x
x x 1
y  y 
y 
2 x x
2x

x x 1 x1
dy
y
 lim
dx
 x0  x

2 x  x
2x

x  x 1 x 1
x
x  1  2x x   x  1
x x x 1 x1
2
2
2 x  x  x  x   x  2 x  2x  x  2x



x x x 1 x1
2
2
2 x  2x  2x  x  2  x  2 x  2x  x  2x

x x x 1 x1
2 x

x x x 1 x1

2 x x
2
 lim
x x 1
 x0
 lim
2
x0 1
 lim
2
 x0
x1
 x0
dy
2

2
dx
x1
9. y 
x1
x1
3
2x1
3
y  y 
y 
x1
2 x  x 1
3
2 x  x 1

3
2x1
dy
y
 lim
dx
 x0  x
3






2 x x 1

3
2x1
x
3
2x1 3
x
2x1
2 x  x 1
3
2x1 3
2 x  x 1
x
2x1
2 x  x 1
x
2x1
2 x  x 1

3
2x1 3
2 x  x 1
3
2x1 3
2 x  x 1
9 2x1 9 2 x  x 1
2 x  x 1
3 2x1 3
2 x  x 1
18 x  9  18 x  18  x  9
3 2x1 3
 18  x
2 x  x 1
2x1 3
2 x  x 1
x
2x1
2 x  x 1
x
2x1
2 x  x 1
3
 18
 lim
 x0
 lim
 x0
2x1
2 x0 1
 x0
2x1
2 x0 1
6
2x1
3
2x1
2x1
2
5x
4x1
y  y 
2
5 x x
4 x x 1
2
5 x x
5x

4 x x 1
4x1
2
dy
y
 lim
dx
 x0  x
2

2x1 3
2x1
2x1
6
dy

dx

3
2 x  x 1
 18
 lim

2x1 3
3
 18
2x1
 x0
y 
2 x  x 1
 18
 lim
10. y 
2x1
5 x  x
5x

4 x  x 1
4x1
2
x
5 x x
2
2
4x1  5 x
4 x x 1
x 4 x  x 1 4x1
2
2
2
5 x  10 x  x  5  x
4x1  5 x
4x4 x1
x 4 x  x 1 4x1

3
2
2
2
2
3
2
2
20 x  5 x  40 x  x  10 x  x  20 x  x  5  x  20 x  20 x  x  5 x



x
4
x
x
1
4
x
1



2
2
2
20 x  x  10 x  x  20 x  x  5  x
x 4 x  x 1 4x1
 x 20 x 2  10 x  20 x  x  5  x
x 4 x  x 1 4x1
2
20 x  10 x  20 x  x  5  x
 lim
4 x  x 1 4x1
 x0
2
20 x  10 x  20 x 0  5 0
 lim
4 x 0 1 4x1
 x0
2
20 x  10 x
 lim

4
x
1
4x1

x 0
dy
10 x 2 x  1

2
dx
4x1

11 Given s 
s  s 
t   find
t t
s 
t t 
ds
s
 lim
dt
 t0  t




ds
dt
t t 
t
t
t
t t 
t
t
t tt
t
t t 
t t 

t t 
t
t
t
t t 
 lim
 t0
 lim
 t0
t
1
t t  t
1
t0  t
ds
1

dt
2 t
12 Given A   r  find
2
A  A  r  r
A  r  r
dA
A
 lim
dr
 r0  r
2
2
 r 2
dA
dr
t
t





2
 r   r  r 2
r
 r 2  2 r  r   r 2  r 2
r
 r 2  2 r  r    r 2   r 2
r
2
2 r  r   r
r
 r 2 r   r
r
 lim 2  r    r
 r0
 lim 2  r   0
 r0
dA
 2 r
dr
4
13. Given V 
V V 
V 
3

3
dV
V
 lim
dr
 r0  r
4 r   r




3
3
4 r   r
3
3

dV
dr
 r 3  find
3
4 r   r
r
12  r   r
4 r

3
4
3
 r3
3
3
 12 r 3
9 r
3
2
2
3
3
12  r  3 r  r  3 r  r   r  12 r
9 r
3
2
2
3
3
12  r  36 r  r  36 r  r  12  r  12 r
9 r
2
2
3  r 12  r  12 r  r  4  r
9 r
2
2
12  r  12 r  r  4  r
 lim
 r0
 lim
3
2
12  r  12 r 0  4 0
3
 r0
12  r
 lim
 r0
2
3
dV
 4 r 2
dr
2
14. Given S  4  r   find
S   S  4 r   r
 S  4 r   r
dS
dr
2
2
 4 r 2
dS
S
 lim
dr
 r0  r
2
2
4  r   r  4 r

r
2
2
2
4  r  2 r  r   r  4 r

r
2
2
2
4  r  8 r  r  4  r  4 r

r
 r 8  r  4  r

r
 lim 8  r  4   r
 r0
 lim 8  r  4  0
 r0
dS
 8 r
dr
2t3
dS
  find
3t4
dt
2 t t 3
S  S 
3 t t 4
2 t t 3
2t3
15.  Given S 
S 
3 t t 4

3t4
dS
S
 lim
dt
 r0  r

2 t t 3
2t3

3 t t 4
3t4
t
3t4  2t3 3 t  t 4
t 3 t  t 4 3t4
2t2 t3 3t4  2t3 3t3 t4

t 3 t  t 4 3t4
2
2
6 t  8 t  6 t  t  8  t  9 t  12  6 t  9 t  6 t  t  9  t  8 t  12

t 3 t  t 4 3t4
 17  t

t 3 t  t 4 3t4

2 t t 3
 17
3 t t 4
 17
 lim
 t0
 lim
3 t0 4
 17
 t0
 lim
3t4
3t4
3t4 3t4
 t0
dS
17

2
dt
3t4
EXERCISE 2.2
dy
 of each of the following;
Find 
dx
3
2
1. y  5 x  4 x  3 x  6
Use power rule where;
d
dx
 n un1
un
du
d
 and the constant rule where;
dx
dx
c
0
dy
 5 3 x31  4 2 x21  3 1 x11  0
dx
dy
 15 x 2  8 x  3
dx
2. y 
3
4
x 
Simplify y 
x

x
1
x 4x 
3
d
Use power rule where;
dx
dy
=
dx
1
1
3x
3
1
4 1 x
 n un1
un
11
du
d
 or
dx
dx
1

1
2x
dy
1
4
1


 3
dx
x2 2 x
3
x2
3. y  5  6 x
d
Use power rule where;
dx
u  5  6x
d u   6dx
dy
6

dx
2 5  6x
u
2
1
=
du
2
u
3
dy

dx
4. y 
x
5  6x
3
2x7
Use power rule where;
u  2x  7
d u  2dx
n
1

m
3
dy

dx
3
2
3
2x7
2
d
dx
n
um

n
m
du
n
um
1
.
n
um

n
m
du
u
n
1
m
.    du means the derivative of u.
2
5. y  3 x  4 x  1
5
Use chain rule where;
d
dx
u
n
= ndu u
n1
u  3 x2  4x  1
d u  6 x  4 dx
dy
4
 5 6 x  4 3 x2  4x  1
dx
dy
4
 30 x  20 3 x 2  4 x  1
dx
6. y 
7
3x1
Use chain rule where;
u  7
du 
2
3x1
3
3x1
d
dx
u
n
= ndu u
n1
 and power rule where;
d
dx
u
=
du
u
2
dx
3
dy

dx
2
2
3x1
7
3x1
dy
3

dx
2 7  3x1
dy
3

dx
4 3x1 7 
4x5
7. y 
2x1
3x1
2
3x1
Use quotient rule where,
d
dx
u
v

u
v

v du  udv
v2
.
u = 4x - 5
du = 4dx
v = 2x + 1
dv = 2dx
dy
2 x  1 4  4 x  5 2

2
dx
2x1
dy
8 x  4  8 x  10

2
dx
2x1
dy
14

2
dx
2x1
3x1
8. y 
2
3x 2
Use quotient rule where;
d
dx
u  3x  1
d u  3dx
v  3 x2  2
3x
dv 
2
3x 2
2
3x 2
dy

dx
dx
3x
3  3x1
3 x2  2
2
3
3x 2 
2
2
3 x 2 2
9 x  3x
dy
3 x2  2

2
dx

3x
2
2
dy
3 3 x2  2 3 x2  2  9 x  3x

2
2
dx
3x 2
3x 2
2
2
dy
3 3 x  2  9 x  3x

3
dx
2
2
3x 2
2
2
dy
9 x  6  9 x  3x

3
dx
2
2
3x 2
dy
6  3x

3
dx
2
3x 2
v du  udv
v2
 and power rule where;
d
dx
u

du
2
u
9. y  2 x  5
4x1
Use product rule where;
d
dx
uv
 u d v  v d u and power rule where;
d
dx
du

u
2
u  2x  5
u
d u  2dx
v
4x1
2
dv 
dy
dx
dy
dx
dy
dx
dy
dx
dy
dx
4x1
2
 2x5
2 2x5

2
4x1
2
4x1
4x1
4x1
2 2x5 2 4x1

4x1
4 x  10  8 x  2

4x1
12 x  8

4x1
2
10. y  3 x  4
Use chain rule where;
u  3x4
3
x5
d
dx
u
n
 ndu u
n1
 and product rule where;
d
dx
uv
 and quotient rule where;
d
dx
u
v
 udv  vdu
2
du  6 3x4
3
v  x5
dv  3 x 5
dy
dx
dy
dx
dy
dx
dy
dx
2
 3x4
2
3 x5
2
 x5
 3 x5
2
3x4
2
2 x5
 3 x5
2
 3 x5
2
11. y 
3x4
3x4
3
6 3x4
3x4
3 x  4  2 x  10
5x6
4
2x3
5x1
Use chain rule where;
d
dx
u
n
 ndu u
n1
v du  udv

v2
u  2x  3
d u  2dx
v  5x  1
d v  5dx
dy
2 5x1 5 2x3
4
2
dx
5x1
dy
10 x  2  10 x  15
4
2
dx
5x1
dy
4
dx
17
5x1
68
dy

dx
2
2
5x1
3
dy
68 2 x  3

5
dx
5x1
3x4
12. y 
2x3
5x1
3
3
3
2x3
5x1
2x3
5x1
2x3
5x1
3
2x5
Use quotient rule where;
u  3x  4
d u  3dx
v
dv 
2x5
1
2x5
dx
d
dx
u
v

v du  udv
v2
d
 and power rule where; d x
u

du
2
u
3x4
2x5 
3
dy

dx
2x5
2
2x5
dy
3 2x5  3x4

3
dx
2x5
dy
6 x  15  3 x  4

3
dx
2x5
dy
3 x  19

3
dx
2x5
x6
3
13. y 
3x4
d
dx
Use chain rule where;
n
u
 ndu u
n1
 and quotient rule where;
v du  udv
d
dx
u
v
un
 ndu u

v2
u  x6
d u  dx
v  3x  4
d v  3dx
dy

dx
3x4 3 x 6
1
2
3
dy

dx
3x4
3 x  4  3 x  18

2
3
2
x6
2 3
3 3x4
dy

dx
x6
3x4
3x4
22
dy

dx
3 3x4
2 3
3 3x4
2
2
x6
3x4
22
dy

dx
3
x6
3x4
22
3
x6
2
3
2
2
3x4
4
3
x2  4 x
3
14. y 
3
3
Use power rule where;
d
dx
 n un1
un
2

y  x 3 4x 3
1
dy
2 
 x
dx
3
  3 4 x 4
3
dy
2
12

 3
dx
x4
3 x
15. y  4
x 1
5
Use product rule where;
u4
d
dx
 u d v  v d u and chain rule where;
uv
d
dx
du  0
v
dv 
x 1
1
dx
x
2
dy
 4
dx
dy
10

dx
1
5
x 1
x 1
x
2
5
x
5x3
d
dx
u4
du  0
v  5x3
dy

dx
x 1
4
Use quotient rule where;
dy

dx
 0
4
16. y 
dv 
4
5
dx
5x3
2
0
5x3 
5x3

10
5x3
5x3
10
5x3
2
u
v

v du  udv
v2
d
 and power rule where; d x
u

du
2
u
n1
dy

dx
17. y 
10
5x3
3
2
3
4x1
Use product rule where;
u2
du  0
v  4x1
d
dx
uv
 u d v  v d u and chain rule where;
3
4
d v   12 4 x  1
dx
dy
4
3
 0 4x1
  24 4 x  1
dx
dy
4
  24 4 x  1
dx
dy
24

4
dx
4x1
dy
 at the specified value of x.
Evaluate
dx
3
2
18. y  6
x 2  x  8
u6
du  0
v
dv 
3
2
2
x 2
3
x 2
3
3
x2
dx
3
dy
2
x 2
 0
6
3
dx
3
x2
3
dy
4
x 2

 x  8
3
dx
x2
f' 8 
4
f' 8 
4
f' 8 
3
3
8 2
3
8
3
2
8 2
3
64
4 22
4
f' 8  4
19. y 
6
u  6
x
du  
x
1
dx
x
1
2
 x  4
dy
1
 
dx
2 x
2 6
dy
1

dx
4 x
6 x
f' 4  
f' 4  
f' 4  
f' 4  
1
4
6
4
4
1
62
4 2
1
8
4
1
16
1
20. y  x  4 x  x  1
dy
4
 3 x4  2  x  1
dx
x
3
f' 1  3 1
f' 1  3 4
f' 1  1
4

4
1
2
x
x 2
2
d
dx
un
 ndu u
n1
3
21. y  2 x  1
4

3x2
x2
3
u  2x1
2
d u  6 2 x  1 dx
1

v  4 3x2
2

dv  6 3x2
dy
 6 2x1
dx
2
3
2
6

f' 2  6 2 2 1
2
f' 2  6 4 1
f' 2  6 3
2
3 2 2
3
6
62
3
6

3
6
f' 2  6 9 
f' 2 
6


4
f ' 2  54 
3
3x2
2
64
3
4
213
4
Find the slope of the tangent to the curve at the given point.
dy
 m o r s l o p e
dx
2
3
22. y  7  x  4 x    1 2
dy
  2 x  12 x 2  x   1
dx
f'  1   2  1  12  1
f '  1  2  12
f'  1  14
1
23. y  x  2 x  2  3
dy
2
 1 2  x  2
dx
x
f' 2  1 
f' 2  1 
f' 2  1 
f' 2 
2
2
2
2
4
1
2
1
2
4
2
24. y  3 x 
x
  2  10
dy
4
 6x  2  x  2
dx
x
f' 2  6 2 
f ' 2  12 
4
2
2
4
4
f ' 2  12  1
f ' 2  13
25. y 
u
10  2 x
3x
  3
10  2 x
du  
v  3x
d v  3dx
1
10  2 x
dx
2
9
2
dy

dx
1
3x 
3
10  2 x
9x
10  2 x
2
3 10  2 x  3 x
dy
10  2 x

2
dx
9x


dy
30 6 x 3 x

2
dx
9x
10  2 x
dy
30  3 x

x3
2
dx
9x
10  2 x
30  3 3
f' 3  
2
9 3
10  2 3
30  9
f' 3  
10  6
9 9
21
f' 3  
81
4
21
f' 3  
81 2
21
f' 3  
162
7
f' 3  
54
Find the values of x for which the derivative is zero.
3
2
26. y  x  4 x  3 x  5
dy
dy
 3 x 2  8 x  3 
0
dx
dx
2
0  3 x  8x  3
Use quadratic equation to solve for x.
x



b
2
b  4ac
2a
8 
2
8 4 3
 a  3 b  8 c   3
3
2 3
8 
64  36
6
8 
x
x
100
6
 8  10
6
 8  18
6

1
3
 3
4
3
2
27. y  x  8 x  22 x  24 x  9
dy
dy
 4 x 3  24 x 2  44 x  24 
0
dx
dx
3
2
0  x  6 x  11 x  6
GCF of -6 is -1,1,6,-6,2,-2,3,-3
To check, it must be equal to zero.
x 3  6 x 2  11 x  6  0
3
2
1  6 1  11 1  6  0
1  6  11  6  0
 12  12  0
00
x1
x1
x1
x1
x2
x3
x2  5x  6  0
x2
x3  0
28. y ''  12 x  8 x
3
d y
8
 12 
dx3
1
x2
8
12 
x2
2
12 x  8
8
x2 
12
2
x
3
6
x
3
x1
29. y 
x  2x  5
2
u  x1
d u  dx
v  x2  2x  5
d v  2 x  2 dx
dy
x2  2x  5  x  1 2 x  2

2
dx
x2  2x  5
dy
x2  2x  5  2 x2  4x  2

2
dx
x2  2x  5
 x2  2x  3
dy

2
dx
x2  2x  5
x2  2x  3
0
2
x2  2x  5
x3 x1

0
2
x2  2x  5
x3
x  1
Find the values of x given that;
dy
1
 14
30. y  2 x  3 x  and
dx
dy
3
 2 2
dx
x
3
14  2 
x2
3
12 
x2
2
12 x  3
1
x2 
4
1
x
2
2
31. y  x
y
3
u
3
du 
1
x
3
3
x2 
x
 and
x
2
2
3
3
3
dx
x
1
vx3
dv 
1
3
3
x2
dx
dy
2
1

 3
3
dx
3 x
3
x2
1
4
2

3
3
1

x
3
3
x2
dy
1

dx
4
1
2

4
3x
1

1
1
3
3x
1
3
Let x
1
1
3u
1
1
2
3
9u
3u 2u1
9u
2u1

4
1
3u
6 u  3u

4

2

4
2
=u
2

4
3
3u
3
2
8u4  3u
2
2
3 u  8u  4  0
2
3 u  2u  6u  4  0
u2  0
3u2
2
u
3
Subtitute the value of u
u2
1
x3 
2
3
Cube both side of the equation
1
x
2
3
x
8
27
x8
1
2
32. y  3 x  4 x  and
dy
 11
dx
dy
4
 6x  2
dx
x
11  6 x 
4
x2
4
 11  6 x  0
x2
3
2
6 x  11 x  4
0
2
x

2
6x x2  0
x2
x2
EXERCISE 2.3
Use the Chain Rule to find
2
1. y  u  u u  2 x  1
y  2x1
2
 2x  1
dy
 2 2 2x1 2
dx
dy
 4 2x1 2
dx
dy
 8x  6
dx
2. y 
y
y
u 2  1  u  4
x
4
2
1
16 x  1
dy

dx
2
dy

dx
16
16 x  1
8
16 x  1
x
dy
and express the final answer in terms of x.
dx
3
2
3. y  u  4
 u  x 2  4
3
y
2
x2 4 4
3
2
y  x2
y  x3
dy
 3 x2
dx
2
3
4. y  2 u  2
 u  4 x 3  1
2
y  2 4 x3 1 2
3
2
3
y  8 x3
y  4 x2
dy
 8x
dx
5. y 
y
u  2  u  4 x  2
4x22
y2
x
dy

dx
1
6. y 
y
x
2u
u2  1
2
2x
 u  x 2
x4  1
v  2 x2
d v  4xdx
w  x4 1
d w  4 x3 dx
4
2
3
dy
4x x 1 2x 4x

2
dx
x4  1
5
5
dy
4 x  4x  8 x

2
4
dx
( x -1 )
4
dy
4x x 1

2
4
dx
( x -1 )
7. y 
uu
y
x
y
x
4
x
dy
1
 4
dx
4
x3
Use the Inverse Function Rule to find
2
3
8. x  y  y  y
dx
 1  2y  3 y2
dy
dy
1

2
dx
1  2y  3 y
3
9. x  y 
y
dx
1
1


3
dy
2 y
3
y2
3
3
y2  2 y
dx

6
dy
6
y7
dy

dx
3
6
3
6
y7
y2  2
y
dy
dx
3
2
10. x  4  3 y
9 4  3y
dx

dy
2
dy
2

dx
9 4  3y
3
11. x  2 4 y  1
dx
2
 24 4 y  1
dy
dy
1

2
dx
24 4 y  1
12. x 
6
2
3y1
u6
du  0
2
v  3y1
d v  6 3 y  1 dy
3y1
0
dx

dy
2
6 6 3y1
4
3y1
36 3 y  1
dx

4
dy
3y1
dx
36

3
dy
3y1
3
dy
3y1

dx
36
13. x 
u
du 
1
1
1
y
y
y
1
y
y
1
4
1
dx

dy
8 1
dy
8 1
dx
2y1
14. x 
3y1
dy
1
1
y

1

y
1

y

y
y
4
u  2y  1
d u  2dy
v  3y  1
dv  3
2 3y1 3 2y1
dx
4
2
dy
3y1
6 y  2  6y  3
2y1
dx
4
2
dy
3y1

3y 1
3
2y1
dx
20
 
2
dy
3y1
3y1
3
20 2 y  1
dx

5
dy
3y1
5
dy
3y1

3
dx
20 2 y  1
2y1
3y1
3
3
EXERCISE 2.4
Find the first and second derivative of each of the following;
2
5
1. y  x  3 x  4 x
dy
6
 5 x4  3 4
dx
x
2
d y
dx2
18
 20 x 3 
2. y 
x4
1
x
dy
1
 2
dx
x
2
d y
2
 3
dx
x
3. y  4  x 2
dy
x

2
dx
4x
ux
d u  dx
v
4x
x
dv  
2
d y
dx2
2
d y
2
dx
2
d y
dx2
2
4x
dx
2
4x

x2

2
4x
4  x2
2
2
2
4x x
4  x2

4x

4. y 
2
4
4x
4x
x1
2 2
u  4x
d u  4dx
v  x1
d v  dx
dy
4 x  1  4x

2
dx
x1
dy
1

2
dx
x1
2
d y
dx2
2

x1
5. y  x  5
3
2
dy
 2 x5
dx
2
d y
2
dx2
1
1
2
6. y  a 2  x 2
dy
a  x

dx
x
u
a 
du  
v
dv 
2
d y
dx2
x
1
x
2
dx
x
1
2
x


2
a  x
2 x
x

x
x
2
d y
dx2

7. y 
a
2x x
1 x
x
u  1
x
1
du 
v
dx
x
2
x
1
dv 
dx
x
2
x
1

dy
2 x

dx
x
dy
1

dx
2x x
x
x
2
u1
du  0
v  2x
x
dv  3
x dx
0 2x
2
d y
dx2
2
d y
dx2
2
d y
dx2



x 3
4x
x
3
x
3
4x
3
3
4x
2
x
x
8. y 
x1
ux
d u  dx
v
dv 
x1
1
dx
x1
2
x
x1 
dy
2 x1

dx
x1
dy
2 x1 x

3
dx
2
x1

dy
x 2

3
dx
2
x1
u  x2
d u  dx
v2
x1
dv  3
2
d y
dx2
2
d y
dx2
2
d y
dx2

3
x1
2
x1
3
 x2 3
4 x1
x1 4 x

4 x1
4x

4
x1
3
5
3
x1
x2
x1
9. y 
u  x2
d u  2xdx
v  x1
d v  dx
2
dy
2x x1  x

2
dx
x1
2
2
dy
2 x  2x  x

2
dx
x1
dy
x2  2x

2
dx
x1
u  x2  2x
d u  2 x  2 dx
2
v  x1
d v  2 x  1 dx
2
d y
2
dx
2
d y
dx2
2
d y
dx2
2
d y
dx2
2x2

2
2 x1
x1

2x2
x1
x  1  2 x2  2x
4
x1
2
2 x  4x  2  2 x  4x
2

x1
3
2

3
x1
3
x  find f ' 8 and f '' 8 .
3
x
dy
1
 3
dx
3
x2
1
f' 8 
3
3
8
2
1

3
3
64
1
f' 8 
2
d y
dx2
2
d y
dx2
12
2

9

3
x5
2
3
9x
f '' 8  
9 8
x2
2
3
8
2
2

72
x2  2x
4
10. If y=
y
x1
3
64
f '' 8  
1
144
5
4
11. If y=x  find y and y
yx
y 4  x 20
y  x5
5
dy
 5 x4
dx
2
d y
 20 x 3
dx2
3
d y
 60 x 2
dx3
4
d y
 120 x
dx4
4
.
3
12. Find the point on the curve y  x  3 x for which y '  y ''
y  x3  3x
dy
 3 x2 3
dx
2
d y
 6x
dx2
2
3 x  3  6x
x2  1  2x
x2  2x  1  0
x1  0
x1
x1
f' 1  3 x2 3
2
3 1
3
 33
f' 1  6
f '' 1  6 x
6 1
f '' 1  6
y '  y ''
y  x3  3x
 1
3
3 1
4
1 4
2
13. How fast does the slope of the curve y  x  x  1
y  x x1
2
2
 change at the point where x=2?
2
dy
 2 2x 1 x2 x 1
dx
dy
 4x 2 x2 x 1
dx
dy
 4 x3  4 x2  4x  2 x2  2x  2
dx
dy
 4 x3  6 x2  6x  2
dx
f' 2  4 2
3
6 2
2
6 2 2
f' 2  4 8 6 4 6 2 2
f ' 2  32  24  12  2
f ' 2  70
3
14. Find the rate of change of the slope of the curve y  x  1  at 2  7
3
y  x 1
dy
 3 x2
dx
2
f' 2  3 2
f ' 2  12
dy
 by implicit differentiation.
Find
dx
3
3

1. x
y  6xy  0
dy
2
2 dy
 6x
 6y  0
3x 3y
dx
dx
dy
2
2
3 y  6x  6y  3 x
dx
2
dy
6y3x

2
dx
3 y  6x
2
dy
2y x
 2
dx
y  2x
2
2
2
2. x  x y  y  1
dy
dy
 y2  2y
0
2 x  2xy
dx
dx
dy
2
2 xy  2y   y  2x
dx
 y2  2x
dy

dx
2y x1
dy
y2  2x

dx
2y x1
x  y  x y  21
3.
1
dy
dx
x
dy
y  0
dx
xy
dy
dy
 2x x  y
1
dx
dx
2
xy
2
1
dy
dx

xy
dy 2 x
2
 y
xy 1
2x
xy
2
 y
xy 1
1
  y
dx
2 xy
2 xy
dy 2 x x  y  1
2y xy 1

dx
2 xy
2 xy
dy
2y xy 1 2 xy

dx
2 xy 2x xy 1
dy
2y xy 1

dx
2x xy 1
y 
x 
4.
1
x
2
1
2
1

2
a
dy
0
y dx
dy
1

y dx
2 x
dy

dx
y
x
2 2
2 2
2 2
5. b x  a y  a b
dy
2
2
0
2b x2a y
dx
dy
2
 2 b2 x
2a y
dx
2
dy
b x
 2
dx
a y
3
6. x  y
 xy
dy
dx
3 1
3 xy
2
3 xy
2
xy
2
2
2 1
2
2
7. y  4 x  y
y  4 x2 4 y2
 8x  8y
 8y
dy
dx
dy
 8x
dx
1  8y  8x

8x
1  8y
3x1
2
8. y 
2x3
u  3x  1
d u  3dx
xy
dy
dy
 2 xy 2 xy
dx
dx
dy
dy
2
2 xy
 3 xy 2 xy
dx
dx
3 xy
2
dy
2
3 xy 2 xy
dx
2
dy
3 xy 2 xy

2
dx
3 xy 2 xy
dy
dx
dy
dx
dy
dx
dy
dx
dy
dx
 3 xy
2
2 xy
v  2x  3
d v  2dx
dy
3 2x3 2 3x1

2
dx
2x3
2y
dy
6 x  9  6x  2

2
dx
2y 2x3
dy
11

2
dx
2y 2x3
2
9. y  3 x  2 y  0
dy
dy
32
0
2y
dx
dx
dy
2y2  3
dx
dy
3

dx
2 y1
Find y'' in each of the following.
11. x y  32
dy
y  0
x
dx
dy
 y
x
dx
dy
y

dx
x
2
d y

dx2
2
d y
3
2
3
3
y
2
2
3
a3
2

x
2
3
x2
x2
2
12. x

y
dx
2
y
dy
2
 3
dx
3 x
3
y
3
x
3
d y
2
dx
2
2
d y
dx2
2
d y
dx
2
2
d y
dx2
2
d y
dx2
3
3

y

3
3
3
x
3
x2

x
2
3y
3
3
y

3
3y
3
y
x4
x2 y  y
3
x y y
2
3
2
x2
x y y
2

3
3
y
x2
2
3
3
3
3
y2  3y
9y

y
3
2
3y

3

2
3

3
3
1
x
3
d y
dy
0
dx

3
3
dy

dx
2
y
y
x
x 
2y

dx2
3
x2

dx2
2
d y
dy
y
dx
x
x4 y2
x4
3
y
y
x
x2

3
y
1
3
3
x2
13. y  16 x  0
dy
 16  0
2y
dx
dy
 16
2y
dx
dy
8

dx
y
2
2
d y
dx2
2
d y
dx2


2
8
dy
dx
y2
8
8
y
y2
d y
64
2
3 yx
 3
dx2
y
2
2
14. x  2 x y  3 y  4
dy
dy
 2y  6 y
0
2 x  2x
dx
dx
dy
dy
 2x
 6y
 2y  2x
dx
dx
dy
6 y  2x  2y  2x
dx
dy
yx

dx
3yx
d y
dx2
2
d y
dx2
2
d y
dx2
2
d y
dx2
2
d y
dx2
2
d y




2
3yx
yx
yx
yx
yx
yx
x  3y
 y  3x
x
3 y
3yx
3yx
3yx
3yx
3yx
2
dx2
2
d y
dx2
2
d y
dx2
2
d y
dx
2
2
d y
dx
2
2
d y
dx
2
2
3y y x
3x y x
3y y x
3x y x
 3y 
 3x 
y
x
3yx
3yx
3yx
3yx
3yx
2 x  2y
3yx
2
2 xy
u  4x
d u  4dx
v  9y
d y
dy
1
dx
2
d x 24 x 2 39y y 2x 2 36
15.
dy
0
8 x  18 y
dx
dy
  8x
18 y
dx
dy
4x

dx
9y
dv  9
3
3yx
dy
dy
dy
dy
yx
x  3y
 y  3x
x
3 y
dx
dx
dx
dx


dy
1  yx
dx
dy
dx






dy
dx
36 y  36 x
81 y
2
36 y  36 x 
81 y
36 y 
4x
9y
2
144 x
2
9y
2
81 y
2
2
144 x  324 y
729 y
3
2
9 16 x  36 y
2
9 81 y
3
2
2
16 x  36 y
81 y
3
2
Find the slope of the curve at the given point.
3
3
16. 2 x  2 y  9 x y a t  2  1
dy
2
2 dy
 9y
 9x
6x 6y
dx
dx
dy
2 dy
 9x
 9y  6 x2
6y
dx
dx
dy
2
2
6 y  9x  9 y  6 x
dx
2
dy
9y6x

2
dx

6y
9x
2
dy
3y2x

2
dx
2 y  3x
2
3 1 2 2
f ' 2 1 
3 1
2
 2
38
32
f ' 2 1 
' 2y31 
f17.
x 251 a t  3  2
3y
2
dy
 2x
dx
2x
dy

2
dx
3y
f ' 3 2 
f ' 3 2 
2 3
2
3 2
6
12
1
f ' 3 2 
2
2
2
18. x  4 x y  y  25 a t  4  1
2x
2x
dy
dx
dy
y
dx

2x
2y
 2y
xy
dy
0
dx
 2y
xy
dy
dx
xy
dy
dx
2 x
dy
  2x
dx
2y
 2y   2x 
xy
2 x  2y
xy

xy
dy
x xy y

dx
y xy x
dy
x xy y

dx
y xy x
f ' 4 1  
xy
2x
xy
2
xy
2
xy
4
4
1
1
1
4
1
4
f ' 4 1  
4
f ' 4 1  
9
x y  2y
4 1
4 4
6
3
f ' 4 1  
2
3
2
3
19. x  x y  y  9 a t   1 2
2
2
3x x
dy
dy
 2xy  3 y2
0
dx
dx
dy
x2  3 y2   3 x2  2xy
dx
2
dy
3 x  2xy
 2
dx
x  3 y2
f '  1 2  
f '  1 2  
f '  1 2 
3 1
2
1
34
1  12
1
13
2 1
2
3 2
2
2
3
3

x
2
3
y

2
 5 a t  3  2
4y
4
3
3
4
3
3
3
3x 
20.

y2
dy
0
dx
dy

dx
2
dy

dx
2
3
27
f ' 3 2  
f ' 3 2  
3
2
3
3
27
2
4
3
3
2
4
3
4
27
f ' 3 2  
f ' 3 2  
4
27
2
3x
y2
3
x
3
12
3
2
2
2
21. A circle is drawn with its center at (8,0) and with radius r such that the circle cuts the ellipse x +4y =16 at right angles.
Find the radius of the circle.
Equation of the circle x  8
2
 y2  r2
2
2
Make the Ellipse Equation into standard form: x  4 y  16
Make the Ellipse Equation equal to 1;
x
2
16
y

2
4
1
Differentiate both equation
2
 y2  r2
dy
0
2 x  8  2y
dx
dy
 2 x8
2y
dx
dy
x8

dx
y
x8
y'  
y
x8
x2
16
x
8
y2


4
1
y dy
2 dx
y dy
2 dx

0
x
8
dy
x

dx
4y
x
y'  
4y
x8 x

  1 
y
4y
x x8
 1
2
4y
x x 8  4 y2
2
Find y using the ellipse equation
x2
16
y2
4

y2
4
 1
y2  4 
y2  4 
1
x2
16
x2
4
x2
4
Substitute y
2
x x8  4 4
x2
4
x x  8   16  x 2
 x 2  x 2  8 x   16
x2
x2
16

4y
2
16

16
16
y2  4 
y2  4 
x2
4
2
2
4
y2  3
Finally, find the value of r in the circle equation
x8
2
 y2  r2
28
2
3  r2
6
2
3  r2
36  3  r
2
r  39
r  39
2
2
22. The vertex of the parabola y  9 x  is the center of an ellipse. The focus of the parabola is an end of the minor axis
of the ellipse, and the parabola and ellipse intersect at the right angles. Find the equation of the ellipse.