Sistema de CA en Régimen
Balanceado y Estacionario:
Estudios de Flujo de Carga
Por: Lucas Gabriel Arroyo Toconás
Profesor: MBA Ing. Máximo Adrián Forns
Cátedra: Sistemas Eléctricos de Potencia
Universidad Tecnológica Nacional - Facultad Regional Tucumán
27 de Mayo del año 2016
Sistemas Eléctricos de Potencia
Índice
 Introducción
 Estados y Estudios
 Conocer la base teórica del problema y analizar el mismo
o Estudios de Flujo de Carga
 ¿Qué es un Flujo de Carga?
 ¿Qué análisis en estado estacionario podemos hacer? ¿Qué preguntas
puede responder?
 Resumiendo
 Estado Normal
 Con Contingencia
 Preparar los circuitos equivalentes y recabar información
o Representación Unifilar
o Modelado de los componentes del sistema
 Modelo de Generador
 Modelo de Transformador
 Modelo de Línea
 Modelo de Demanda
o Construcción de la Matriz Admitancia
 Resumiendo
o Ecuaciones del Sistema
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Sistemas Eléctricos de Potencia
 Balance de Potencia
 Usar software o método apropiado y analizar los resultados
o Tipos de Barras
 Barras PQ, PV y SL
 Resumiendo
o Sistemas de Ecuaciones
o Métodos de Gauss
 Método de Eliminación directa de gauss
 Método iterativo de Gauus
 Convergencia
o Método de Gauss Seidel
 Comparación entre gauss y gauss Seidel
o Resolucion de flujos de carga – Métodos iterativos de Gauss y Gauss-
Seidel
 Planteo de ecuaciones
 Tratamientos según el tipo de barra
 Diagramas de flujo
o Método de Newton-Raphson
 Método iterativo de Newton-Raphson para una variable
 Método iterativo de Newton-Raphson para más de una variable
 Jacobiano Constante
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Sistemas Eléctricos de Potencia
o Resolucion de flujos de carga – método iterativo de newton-Raphson
 Planteo de ecuaciones
 Tratamientos según el tipo de barra
 Diagrama de flujo
 Aceleración de la convergencia
 Newton Raphson desacoplado
 Newton Raphson desacoplado rápido
 Conclusión
 Bibliografía
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Sistemas Eléctricos de Potencia
 Introducción
Los estudios eléctricos se llevan a cabo constantemente en las tareas de planificación,
diseño y operación para que los Sistemas Eléctricos de Potencia (SEP) cumplan sus objetivos
de calidad, sustentabilidad y confiabilidad. Además permiten diagnosticar y corregir
problemas existentes y predecirlos a futuro.
Por ello a la hora de estudiar y analizar los SEP como el conjunto interconectado formado
por generadores eléctricos, líneas de transmisión de potencia, cargas y todo el equipo
asociado para su funcionamiento; es necesario conocer los diferentes estudios que se
pueden realizar en los distintos estados y aquellos parámetros que nos permitirán analizar el
sistema para así resolver las múltiples situaciones posibles.
Estados y estudios:
Estado Estacionario
Falla
Cortocircuito
Flujos de Cargas
Despacho Económico
de Cargas
Estado Sub Transitorio y Transitorio
Estado Estacionario
Estabilidad
t
Transitorios Electromagnéticos y Electromecánicos
De estos estudios eléctricos se ha elegido como objetivo de presentación el estudio de
Flujo de Carga, por ser uno de los estudios más importantes en sí mismo y por ser punto de
partida para otros estudios. Para ello se definirá dicho estudio, se identificaran sus objetivos
y su utilidad. Además se explicarán los conceptos y describirán las herramientas y los
métodos necesarios para su resolución junto con algunos ejemplos.
Todo esto a través de los “pasos para encarar un estudio eléctrico”:
-
Conocer la base teórica del problema y analizar el mismo.
Preparar los circuitos equivalentes y recabar información.
Usar el software o método apropiado y analizar los resultados.
Comencemos.
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Sistemas Eléctricos de Potencia
 Conocer la base teórica del problema y analizar el mismo
A la hora de encarar un estudio de flujo de carga es sumamente necesario entender dicho
estudio, en que se basa, como se realiza y cuáles son sus objetivos principales. Así podremos
analizar qué problemas nos permite solucionar y en que situaciones nos es útil.
 Estudios de Flujos de Carga
¿Qué es un Flujo de Carga?
Lo definiremos parcial e intuitivamente.
“En primer lugar debemos decir que es un estudio eléctrico de estado estacionario.”
Ubicamos así el momento donde realizaremos este estudio.
Definimos entonces “Estado Estacionario” como el momento en el que las características
del sistema no varían con el tiempo. Podemos decir que todo está quieto, todo está estable.
Las variables como tensión, frecuencia, corriente, potencias generadas y demandadas activas
y reactivas permanecen constantes en este instante dado.
¿Es cierto que un sistema puede estar en estado estacionario?
No, ningún sistema está en estado estacionario, siempre hay variaciones pero son cambios
que podemos despreciar para simplificar la representación de las variables del sistema.
“La idea del flujo de carga es que tomamos una foto del sistema donde no hay falla y si
la hubo se llego a otra situación donde ya no la hay, en estado estacionario.”
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Sistemas Eléctricos de Potencia
¿Qué análisis en estado estacionario podemos hacer? ¿Qué preguntas puedo responder
con un flujo de carga?
A través de un flujo de carga se pueden analizar diversas situaciones y responder por
ejemplo a las siguientes preguntas:
1- ¿Puede ampliar su capacidad Papelera Tucumán de 14 MW a 20 MW? o ¿Cuál es la
máxima potencia que puede tomar de la red?
Aumentos de demanda: los accesos de demanda pueden ocasionar sobrecargas en líneas,
caídas de tensión, debemos responder como esa demanda afecta o no al sistema, y saber si
es necesaria la redistribución de generación.
2- ¿Cómo elevar tensiones? ¿Cuánto reactivo necesito inyectar? ¿Cuántos pasos de
capacitores son necesarios?
Manejo de reactivo para demandas alejadas, tensiones bajas. Permite analizar si necesito
generación o capacitores, la generación es más costosa pero los capacitores tienen un efecto
reducido al solo influir sobre el reactivo.
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Sistemas Eléctricos de Potencia
3- ¿Qué pasa si cierro un interruptor determinado? ¿Qué pasa si cierro cuando…?
Cambios de topología: provocan cambios de flujos, caídas de tensión. Su análisis permite
ver rápidamente el comportamiento del sistema antes distintos escenarios.
4- ¿Qué pasa si entra en mantenimiento la central hidráulica de Rio Hondo de 7MW?
Variación en la generación: por mantenimiento o emergencia, la salida de un grupo de
generación provoca caídas de tensión, cambios de flujos del sector, dependiendo de la
potencia suministrada por la máquina.
5- ¿Puedo sacar de servicio una línea por mantenimiento? Por ej. LAT 132 kV Bracho Rio Hondo.
Mantenimientos programados: el estudio permite visualizar la capacidad remanente de
otras líneas y el comportamiento del sistema ante la nueva distribución de corrientes y
potencias, dando lugar a las medidas preventivas necesarias.
6- ¿Durante qué hora puedo sacar la línea de servicio? ¿Qué día?
Programación: hay tareas que no podríamos hacer a la siesta en verano con alta demanda,
pero si a primeras horas del día, o un sábado o un domingo. Estas también son decisiones
que facilitan tomar un estudio de flujos de carga.
7- Si planeo la construcción de nuevas instalaciones por ejemplo una E.T. ¿De dónde la
alimento?
Planeamiento: para analizar el crecimiento del sistema en corto y largo plazo, estudios
prospectivos generalmente a 5 años o más. Por ej. Se necesita construir una estación en
Loreto ¿La abastecemos mediante líneas de 132 kV y/o 500 kV? Además tenemos distintas
longitudes de líneas, distintos tipos de líneas, en la Rioja, quizá sean más convenientes líneas
largas por llano que una línea corta por montaña. El estudio de flujo de carga permite
comparar diferentes alternativas, distintos puntos de alimentación para así obtener la
solución más eficiente y económica, mejores tensiones y mayor potencia transmitida.
8- ¿Cuándo entra en servicio la generación forzada de Añatuya? ¿Hasta cuándo?
Programación de la operación: permite la previsión de generación forzada, que es una
generación costosa y generalmente contaminante, por lo tanto se debe utilizar lo menos
posible. Para saber cuándo será necesaria en servicio podemos tener un programa de
despacho según el análisis de la demanda.
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Sistemas Eléctricos de Potencia
9- ¿Cuáles son las barras que pueden controlar tensión? y ¿Cómo debo hacerlo?
Tensión en Barras: El Bracho por ejemplo permite controlar tensiones porque es una
estación con dos transformadores de 500/132/33 kV con reguladores bajo carga y con tres
grupos de generación (CC.TT.: Tucumán, San Miguel y Pluspetrol Norte) que le brindan la
cualidad de controlar el reactivo modificando así las tensiones en las barras. Además en los
arrollamientos terciarios tenemos reactores que constituyen otro recurso para el control de
tensión.
Podemos de esta forma regular tensiones en una barra importante para el resto del
sistema. Por supuesto tiene sus limitaciones, no se puede elevar excesivamente la tensión en
la barra con el fin de lograr tensiones aceptables en el oeste de Catamarca por que
tendríamos niveles inadmisibles en las estaciones intermedias de Tucumán. Por ello nos
permite saber también cuál será la tensión con la cual van a operar normalmente las barras.
Aquí se muestra un ejemplo de un Flujo de Carga realizado para un sector de Santiago y
Tucumán del sistema NOA a través de DigSILENT.
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Sistemas Eléctricos de Potencia
Existen diferentes formas de presentar un Flujo de Carga: de forma tabulada y la más
utilizada usualmente, la representación unifilar. En el ejemplo anterior se puede observar
que en el diagrama unifilar se obtienen los datos de manera simple, rápida y fácil de analizar.
En cada barra podemos ver la tensión en kV y en valor por unidad con su respectivo ángulo
(δ). En el caso de las líneas, generadores y demás elementos del sistema tienen un cuadro
que puede mostrar los valores de potencia activa en MW, potencia reactiva en MVAr, cos ϕ
o corriente en A, con su signo respectivo según la dirección del flujo.
Resumiendo
Los estudios de Flujo de Carga nos sirven para analizar, planificar y anticiparnos en casos
de aumentos de demanda, sobrecargas en líneas, caídas de tensión, cambios de topología
del sistema, variaciones de generación y demanda, mantenimientos programados,
planeamiento a corto y largo plazo, y la programación de la operación optima del sistema en
el que se realice el estudio.
Entonces podemos definir un “Flujo de Carga” como aquel estudio eléctrico que nos
permite conocer el comportamiento del sistema que se ha modelado y todas sus variables:
tensión (en modulo y ángulo), potencias (aparente, activa y reactiva), cosϕ, corriente y
cualquier otra magnitud a partir de estas, en cualquier escenario que se plantee pero
siempre en estado estacionario.
Además podemos separar los análisis posibles en dos estados: estado normal y con
contingencia.
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Sistemas Eléctricos de Potencia
Ya se describieron todos los análisis que permite hacer un flujo de carga pero volveremos a
hacerlo brevemente en función de esta clasificación.
Estado Normal
Los niveles de carga, las pérdidas y los perfiles de tensión se obtienen analizando las
variables que nos entrega el flujo de carga, lo que nos muestra el comportamiento del
sistema en estado estacionario.
El planeamiento de redes y escenarios es un punto muy importante, ya que por ejemplo las
transportistas deben elaborar todos los años una guía de referencia de transporte dando
una descripción del sistema con las estadísticas de fallas, los estudios eléctricos de flujos de
cargas, estabilidad y corto circuito. Los Flujos se realizan para los próximos 8 años en los
escenarios tipos: pico, resto y valle de verano; pico y valle de invierno durante los primeros 3
años y después pico y valle de los años subsiguientes, en total 25 flujos de carga. Estos
estudios prospectivos sirven para conocer futuros problemas y plantear las posibles
soluciones. También permiten analizar solicitudes de acceso de demanda y analizar
pronósticos de demanda a corto plazo.
El despacho de generación y su optimización, se pueden analizar teniendo en cuenta el
precio de las máquinas para ingresar los más económicos y minimizar los tiempos de servicio
para los menos económicos.
Por ultimo un Flujo de Carga en estado normal sirve de punto de partida o condiciones
iniciales para los estudios de estabilidad y corto circuito.
Con Contingencia
Ante contingencia o sea una falla, un fuera de servicio intempestivo, también podemos
analizar los niveles de carga, las pérdidas y los perfiles de tensión del sistema en estado
estacionario en condiciones post-falla. Cuando se produce una falla podemos tener
problemas de estabilidad, en función de la magnitud de la falla y del comportamiento de las
máquinas, si corremos un flujo de carga y este nos entrega un resultado quiere decir q
converge pero no significa que el sistema es estable. Por lo tanto el resultado del flujo de
carga nos dice que sí el sistema es estable (los generadores no pierden el sincronismo) tales
serán las condiciones del sistema después de la falla pero no nos asegura que el sistema sea
estable o no.
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Sistemas Eléctricos de Potencia
Las simulaciones de contingencias y los criterios de seguridad se aplican cuando se
programan mantenimientos para prever generación forzada, maniobras u otros recursos
teniendo en cuenta el riesgo de falla de la línea o el equipo en mantenimiento asegurando
así un nivel de seguridad a las tareas planificadas.
Otro análisis de contingencia es la verificación del estado de la red para el estudio de
confiabilidad, es un análisis de falla con cierta probabilidad determinada por la taza de falla
de cada línea.
La estrategia para el restablecimiento del sistema es un análisis muy importante que nace a
partir de los estudios de flujos de carga. En el caso de un black out del sistema, un apagón,
por ejemplo después del desenganche de la generación de los grupos del Bracho se debe
plantear el procedimiento óptimo para levantar el sistema, dando el orden en que se deben
tensionar barras y líneas, tomar carga e ingresar con generación para así constituir las
correspondientes ordenes deservicio.
Por último el rechazo de carga se da cuando una gran demanda sale de servicio, por
ejemplo Minera Alumbrera. Mediante un flujo de carga analizamos la situación resultante y
se plantean las posibles soluciones, reactores, automatismos DAG (desconexión automática
de generación).
 Preparar los circuitos equivalentes y recabar información
Una vez que conocemos la base teórica del problema, analizamos y entendemos de que se
trata un estudio de Flujo de Carga, cuáles son sus objetivos y que sus resultados nos
permiten dar respuestas a las distintas situaciones que podemos plantear, es el momento de
recabar la información necesaria del escenario que se modelará para realizar el estudio.
Empezaremos por plantear cual es el sistema queremos estudiar, es decir elegimos y
representamos la red eléctrica que nos interesa analizar con sus elementos más importantes
(generadores, transformadores, líneas y demanda). Luego convertiremos el diagrama unifilar
con todos los elementos que lo conforman, de acuerdo a los parámetros eléctricos y el
modelo de cada componente, en un circuito equivalente del sistema deseado. El resultado
es un modelo donde cada componente del sistema está representado por impedancias y
admitancias equivalentes en un sistema por unidad, con la ventaja de evitar los
transformadores.
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Sistemas Eléctricos de Potencia
Por último debemos armar la matriz admitancia, que representa los elementos pasivos de
nuestro sistema. Para luego relacionar los elementos pasivos del sistema (matriz Y) con los
activos (generadores y demanda) obteniendo como resultando las ecuaciones que describen
el comportamiento del sistema modelado.
 Representación Unifilar
Ejemplos de diferentes diagramas unifilares, geográficos y no geográficos, en distintos niveles de tensión,
distintas regiones y subregiones, complejos y simples.
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Sistemas Eléctricos de Potencia
Este tipo de representación es muy usada en el ámbito eléctrico, ya que permite ver e
identificar el sistema y sus componentes de forma rápida. Sin embargo dependiendo de la
magnitud de la red puede no ser tan sencillo analizar el comportamiento de la misma. Por
ello a la hora de hacer un estudio de Flujo de Carga se debe decidir sobre que niveles se
trabajará, en que región y que porción del sistema eléctrico nos interesa analizar para
obtener los resultados deseados.
 Modelado de los Componentes del Sistema
Luego de representar el sistema elegido para el análisis debemos modelar todos sus
elementos con el fin de tener la representación más real posible del sistema y su
comportamiento. A los fines del estudio nos basta con representar los componentes
principales que todo sistema eléctrico de potencia posee: Generadores, Transformadores,
Líneas de Transporte y Demanda. Veremos rápidamente a continuación como se modela
cada uno de ellos:
Modelo de Generador
Los generadores se modelan como una inyección de potencia activa y reactiva. Podemos
mencionar que DigSILENT permite su configuración para respetar la curva de capabilidad de
la maquina a la hora del modelado.
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Sistemas Eléctricos de Potencia
Modelo de Transformador
En general los transformadores de potencia se modelan como un cuadripolo o circuito π
(pi), si es que tiene conmutador, bajo carga o no.
Modelo de Líneas
Las líneas también se modelan como un circuito π (pi), exacto o nominal y varía según sea
para línea corta, media o larga. Adoptándose el siguiente modelo para líneas medias:
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Sistemas Eléctricos de Potencia
Modelo de Demanda
Por último se utilizara como modelo de demanda el representado por la extracción de
potencia o inyección negativa de potencia activa y reactiva.
Reemplazando así cada elemento del sistema por su equivalente obtenemos el modelo de
la red que vamos a estudiar.
Cabe aclarar que al modelar los componentes las variables del sistema deben estar
referidas a los valores bases es decir que trabajaremos en un sistema por unidad.
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 Construcción de la Matriz Admitancia [Y]
Finalmente armaremos la matriz de las admitancias, asociando todas las admitancias e
impedancias de cada punto y expresándolas como admitancias equivalentes que luego
formaran la matriz.
Aquí vemos como se combinan las admitancias que llegan a cada punto, por ejemplo en el
punto 1 encontramos dos admitancias correspondientes a las líneas 1-4 y 1-5 y una
admitancia del transformador que llega a la barra 1, estas tres admitancias estarán
representadas por una equivalente y10 que será igual a la suma de las admitancias que
llegan al nodo 1.
Después de realizar el mismo procedimiento en cada nodo llegamos a un modelo más
simple pero equivalente y basados en la teoría de redes y mallas de Kirchhoff construiremos
la matriz Y de manera simple como se explica a continuación:
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Sistemas Eléctricos de Potencia
Empezaremos por calcular los elementos de la diagonal principal, Yii, estos son igual a suma
de todas las admitancias e impedancias que confluyen al nodo en cuestión. Es muy similar al
paso anterior pero se debe tener en cuenta que ahora estamos asociando magnitudes
inversas, por ello sería conveniente transformar las impedancias en admitancias para
sumarlas sin problemas.
=
+
→
=
=
+
1
=
1
+
≠
Aclarado esto veamos un ejemplo con el elemento Y11:
+
1
+
1
+
De esta manera calculamos y obtenemos todos los elementos de la diagonal principal.
Continuamos con las admitancias que están fuera de la diagonal principal, es decir los
elementos Yij, estos serán igual a las admitancias que se encuentran entre dos nodos
cambiadas de signo, un nodo “i” y otro “j”. Además si no existe una admitancia directa entre
los dos puntos el elemento de la matriz es igual a cero. Veamos unos ejemplos:
=−
Es el único elemento entre el nodo 1 y el nodo 4.
=0
No hay un elemento directo desde el nodo 1 al nodo 2.
Resumiendo
La matriz admitancia [Y] de orden n x n está formada por los elementos:
[ ]=
=∑
⋮
⋮
⋮
⋮
…
…
…
…
= −∑
⋮
⋮
…
…
…
…
⋮
⋮
=
* Los elementos de la matriz los representamos con Y (mayúscula) y los elementos del
sistema con y (minúscula).
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Sistemas Eléctricos de Potencia
 Ecuaciones del Sistema
Una vez construida la matriz impedancia del sistema debemos relacionar los componentes
pasivos allí presentes con los elementos activos del sistema, es decir, generadores y
demanda.
De esta relación resultan las ecuaciones que describen el comportamiento del sistema
modelado, que permiten hallar las tensiones y todas las demás variables que es el objetivo
principal del estudio de Flujo de Carga.
Para demostrar estas ecuaciones veremos un ejemplo simple: dos barras con generación y
demanda conectadas entre sí.
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Sistemas Eléctricos de Potencia
En primer lugar los datos que tenemos de cada barra son S Gi potencia generada, que es
igual a la suma de la potencia activa generada mas la reactiva generada. Tenemos SDi
potencia demandada, que es la suma de la potencia activa y reactiva demandada. Podemos
saber con eso la potencia que irá de cada barra a la línea y será S i igual a la diferencia entre
la potencia generada que ingresa a la barra y la potencia demandada consumida de la
misma.
Ahora lo que necesitamos conocer es la tensión y corriente en cada barra, para ello
partiremos de plantear la ecuación para la corriente I1 como la suma de la corriente en la
rama de la admitancia y en la rama de la impedancia, de la siguiente manera:
Así tenemos nuestra corriente I1 expresada en forma vectorial. Como sabemos que la
potencia aparente es igual a la tensión por la corriente conjugada* y que está formada por
una componente activa y otra reactiva, tenemos:
* Conjugada quiere decir que el signo del ángulo cambia.
Encontramos entonces dos ecuaciones que ayudan a describir el comportamiento de la
Barra 1, análogamente podemos obtener los mismos resultados para Barra 2 como se
muestra a continuación.
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Sistemas Eléctricos de Potencia
Es muy importante destacar que el comportamiento del flujo, la potencia transmitida
depende de los parámetros de la red (Z y Y), del módulo de las tensiones y de sus ángulos
pero más precisamente de las diferencias angulares.
Balance de Potencia
Además a partir estas ecuaciones podemos realizar un Balance de Potencia tan solo
calculando la diferencia entre la potencia que sale de una barra y la que llega a la otra.
Utilizando las siguientes relaciones:
Llegamos a:
Quedan así expresadas en la primer ecuación las perdidas en la línea que va desde la barra
1 a la barra 2 y en la segunda el reactivo consumido o generado por la misma.
 Usar software o método apropiado y analizar los resultados
Llegamos a la última etapa, la resolución del problema y la conclusión. Hasta ahora nos
familiarizamos con la situación, conocemos lo que es un estudio de flujo de carga y para que
nos sirve, logramos representar el sistema de una manera que podemos manejar la
información plasmada en el modelo y en las ecuaciones. Estamos entonces en condiciones
de dar solución a las ecuaciones planteadas y con ello una respuesta sobre el
comportamiento del sistema que se estudia.
Cabe destacar que existen softwares que permiten el abordaje de estos estudios, desde su
modelado hasta su solución para su posterior análisis, un ejemplo es DigSILENT, CYME, etc.
No obstante eso explicaremos a continuación dos métodos matemáticos convencionales
para su resolución.
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Sistemas Eléctricos de Potencia
 Tipos de Barras
Antes de los métodos de resolución analizaremos las ecuaciones y sus variables y
estableceremos conceptos que se utilizarán en ambos métodos.
Variables
Recordemos las ecuaciones encontradas para potencia activa y reactiva en una barra
cualquiera del sistema:
=
=
−
−
=
=−
| |
| |
cos( ) −
| |
| |
| |
+
cos
| |
| |
sin( ) −
| |
| |
+
−
sin
+
−
Primero analizaremos en función de que variables se modifica el comportamiento del
sistema para sacar algunas conclusiones generales que serán útiles en el momento de la
resolucion.
Como se dijo anteriormente el comportamiento depende de los parámetros de las líneas,
del módulo de las tensiones, de sus ángulos y de las diferencias angulares. Pero más
precisamente las variables que nos interesan son: PD, QD, PG, QG, U y δ. En cada barra
estarán presentes estas seis variables que además podemos clasificar de la siguiente
manera:
-
Variables Incontrolables: PD, QD. La demanda es una variable incontrolable, ya que
por ejemplo si juega la selección argentina de futbol no se puede evitar que la gente
encienda los televisores para ver el partido. Aunque se puede considerar controlable
hasta cierto punto con el aumento del precio por energía.
-
Variables Controlables: PG, QG. La generación es controlable, ciertamente no desde
su módulo, ya que por ejemplo si tengo 100MW de demanda necesito 100MW de
generación más las pérdidas, pero decimos que es controlable porque puedo elegir
que parque de generación despachar.
-
Variables de Estado: U y δ. Son las variables que debemos calcular, tensiones en
modulo y ángulo.
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Sistemas Eléctricos de Potencia
Entonces para cada barra tenemos: dos ecuaciones y seis variables. Por lo tanto debemos
especificar 4 variables para tener un sistema compatible determinado, es decir que tenga
solución.
Generalizando para un sistema de “n” barras: 2n
ecuaciones, 6n variables y 4n variables a especificar.
De las 4 variables a especificar unas serán datos y
otras se deberán asignar según el caso, según el tipo
de barra.
Barras PQ, PV y SL
Definiremos tres tipos de barras:
-
PQ: también llamadas Barras de Carga, son aquellas en las que tenemos como dato la
potencia activa y reactiva demandada (PD, QD). Además puede haber generación en
la barra siempre y cuando sea fija y se pueda especificar la potencia activa y reactiva
generada. Por ejemplo: en Rio Hondo (RHO) tenemos disponibles 16 MW y 13 MVAr,
especificaremos entonces un valor fijo de generación por ej. de 15 MW y 12 MVAr
con lo cual ya podemos calcular las tensiones en modulo y
ángulo.
Observemos que de las seis variables de esta Barra RHO, dos
variables son dato (PD, QD) otras dos son especificadas (PG,
QG) y por ultimo las otras dos son calculadas (U y δ). Estas
barras se denominan PQ justamente porque las variables que en ella se fijan son la
potencia activa y reactiva generada (PG, QG). También es importante destacar que la
mayor parte de las barras de un sistema de transporte serán barras PQ, ya que el
90% de las estaciones abastecen una demanda. Como ejemplos tenemos las
estaciones Tucumán Norte, Sarmiento, Estática, Agua Blanca, Papelera de Tucumán,
el Cadillal, etc. El Cadillal es otra barra que tiene generación (dos grupos 6,5 MW), no
tiene demanda como RHO pero puede ser considerada una barra PQ porque se
puede fijar su generación y no es tan significante para el sistema.
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Sistemas Eléctricos de Potencia
-
PV: o Barras de Control de Tensión, se denominan así ya que en ellas se asignan la
potencia activa generada (PG) y el módulo de la tensión (U). Luego el flujo de carga
entregará como resultado el ángulo de la tensión (δ) y la potencia reactiva a generar
(QG), ya que el reactivo controla el módulo de la tensión. No se debe olvidar que la
potencia activa y reactiva demandada (PD, QD) siempre es dato.
¿Qué condiciones se deben cumplir para
determinar una barra como PV? Para ello
debemos fijar PG y U, por lo que es necesario
tener elementos que permitan controlar el
reactivo, como ser: generación, bancos de
capacitores, compensadores sincrónicos o
reactores. Por ello cabe destacar que solo el 5% de las barras del sistema cumplen las
condiciones para denominarlas barras PV, son barras especiales ya que estos
elementos no se encuentran en todas partes.
Volviendo al ejemplo del Cadillal, vemos que por ser una barra solo con generación
puede considerarse una barra PV, pero al ser una generación muy pequeña que no va
a aportar mucho reactivo por lo tanto control de tensiones también se la puede
considerar PQ sin influir demasiado en el resultado.
-
SL: barras Slacks o Flotantes en español, son las que tienen como dato la potencia
activa y reactiva demandada (PD, QD) las cuales siempre se asignan por ser las
variables incontrolables y se especifican la tensión en modulo y ángulo (U, δ) para
calcular las potencias activas y reactivas a generar (PG, QG) necesarias para controlar
la tensión asignada. Se requiere una gran capacidad de variación de reactivo para
fijar el módulo de la tensión y a su vez una gran capacidad de variación de potencia
activa para controlar el ángulo de dicha tensión, por eso es que se elige como barra
Slack aquellas donde hay una generación importante o una inyección equivalente de
potencia.
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Sistemas Eléctricos de Potencia
En el momento de determinar la barra Slack de nuestro sistema debemos tener en
cuenta las condiciones anteriores y además que solo puede haber una barra SL a la
que asignaremos la tensión en modulo y ángulo, ya que todas las demás barras
referirán los ángulos de sus tensiones en función del ángulo especificado por lo que
no pueden existir dos o más referencias en el mismo sistema. Solo podremos definir
dos o más barras Slacks cuando las redes en cuestión estén desconectadas por lo
tanto se correrían dos o más flujos de cargas independientes.
Un ejemplo de barra Slack para el subsistema centro del sistema NOA es la barra de
Bracho, ya que tiene aproximadamente 1000 MW como potencia máxima operable
además de dos vínculos de 500kV, BRA-LAV y BRA-COB. Por lo tanto es una barra con
gran capacidad de aporte de potencia activa y reactiva capaz de controlar una
tensión asignada.
Por ultimo podemos decir que la barra Slack será la encargada de compensar la
potencia activa y reactiva que falta para cerrar el flujo de carga, por ello se denomina
como barra flotante.
Resumiendo
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Sistemas Eléctricos de Potencia
 Sistema de Ecuaciones
Luego de señalados los conceptos anteriores determinaremos el tipo de sistema de
ecuaciones que vamos a resolver entre dos tipos, sistemas de ecuaciones lineales y sistemas
de ecuaciones no lineales:
Definimos como sistema lineal aquel cuyas ecuaciones son de primer grado, es decir sus
variables independientes tienen un exponente máximo igual a uno. Opuestamente los
sistemas no lineales son aquellos cuyas ecuaciones son de segundo grado o mayor, es lo
mismo, que sus variables tienen tener exponentes mayores a uno.
Los sistemas que resolveremos serán lineales, mucho menos complejos que aquellos no
lineales. Para ellos utilizaremos los métodos numéricos de eliminación directa de Gauss, el
método iterativo de Gauss-Seidel y el método iterativo de Newton-Raphson, de cada uno
haremos una breve introducción y explicación de cada método matemático y nos
centraremos con más detalle en su aplicación para la resolución de flujos de carga.
Flujos de Carga – L. Arroyo
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Sistemas Eléctricos de Potencia
 Métodos de Gauss
Método de Eliminación Directa de Gauss
Explicaremos el método con el siguiente sistema de ecuaciones como ejemplo:
+
+
+
+
+
+
=
=
=
El primer paso es conseguir un pívot, es decir un elemento aij igual a la unidad. Si los
coeficientes de todas las variables son distintos de uno debemos fabricarlo eligiendo la
ecuación y el elemento que será nuestro pívot, luego dividiremos dicha ecuación por el
elemento elegido logrando así un coeficiente igual a 1. Para nuestro ejemplo elegiremos el
elemento a11, procederemos a dividir la primera ecuación a la que pertenece el elemento en
el valor de sí mismo:
1.
+
+
+
=
+
+
=
+
=
Así construimos nuestro pívot a partir del elemento a11, consiguiendo que el coeficiente de x1
sea igual a uno. Además como se puede ver para conseguir esto se modifican los demás términos
por lo que definiremos nuevamente los coeficientes de x2, x3 y el término independiente.
+
+
+
+
+
+
=
=
=
El siguiente paso es eliminar los términos de la columna de nuestro pívot para las demás
ecuaciones. Para ello multiplicaremos la ecuación o fila del pívot por el elemento que
queremos eliminar, luego restaremos ambas ecuaciones miembro a miembro y la
colocaremos como resultado en la fila de la ecuación cuyo término necesitábamos eliminar.
Cabe aclarar que la ecuación de nuestro pívot no se debe ver modificada.
Veamos el ejemplo para hacer cero el elemento a21:
+
Flujos de Carga – L. Arroyo
+
+
+
=
x a21
=
Página 27
Sistemas Eléctricos de Potencia
*Los términos entre corchetes pertenecen a la segunda ecuación de la cual queremos eliminar el primer término.
−[
0.
]+
+(
−
−[
)
]+
+(
−
+
=
)
−[
=(
]=
−
)
−[ ]
*Reemplazamos los paréntesis por los nuevos elementos de la segunda ecuación.
De la misma forma procedemos para eliminar el elemento a31 llegando a:
+
+
+
+
=
=
=
+
+
+
=
=
=
Siguiendo este procedimiento con las demás ecuaciones crearemos un pívot y
eliminaremos los elementos en su columna sin modificar las ecuaciones que ya tienen su
pívot, de lo contrario volveríamos a empezar y no llegando a la solución. Por ello se
recomienda ser ordenado al desarrollar el método y trabajar ecuación por ecuación
siguiendo el orden descendente como en el ejemplo.
+
+
+
+
La solución sería:
=
;
=
−
;
=
=
=
=
−
−
−
Por lo tanto el método concluye cuando se consigue el valor de una de las variables, en un
sistema de “n” ecuaciones se deben eliminar en la última ecuación “n-1” términos. Ya que
siendo conocida una variable se procede a reemplazar su valor en la ecuación anterior y se
logra conocer otra incógnita y así sucesivamente llegando a la solución exacta del sistema de
ecuaciones.
Flujos de Carga – L. Arroyo
Página 28
Sistemas Eléctricos de Potencia
Estos serian los pasos para desarrollar el método de eliminación gaussiana de forma
manual, pero a modo informativo dejaremos también la adaptación que posibilita realizarlo
de forma computacional:
+
+
+
=
=
=
Método Iterativo de Gauss
Otra alternativa para resolver un sistema de ecuaciones lineales es de forma iterativa
mediante aproximaciones sucesivas, proponiendo una solución, luego resolviendo con la
solución planteada para llegar a un resultado y corregirlo en función de un error
determinado a fin de considerar aceptables los resultados obtenidos. Explicaremos más
detalladamente el método tomando como ejemplo el mismo sistema de ecuaciones
anterior:
+
+
+
Flujos de Carga – L. Arroyo
+
+
+
=
=
=
Página 29
Sistemas Eléctricos de Potencia
1°: El primer paso de este método es despejar una variable de cada ecuación:
=
=
=
1
1
1
(
−
−
)
(
−
−
)
(
−
−
)
De esta manera tenemos el mismo sistema de ecuaciones pero representado de otra
forma.
2°: Continuamos con el segundo paso que consiste en adoptar un conjunto solución,
cualquiera sea, es decir asignar en este caso posibles valores solución de x1, x2 y x3. Dichos
valores se designaran con el superíndice 0 (cero) como se muestra:
( )
;
( )
;
( )
Además de adoptar estos valores iniciales para las variables, es necesario también
especificar el error que se considerará aceptable en el resultado final. A diferencia el método
de eliminación que entrega el resultado exacto los métodos iterativos tienen un error pero el
mismo es especificado por nosotros. Dicho error asignado puede ser porcentual o absoluto y
su valor dependerá de la exactitud que exijamos en nuestro resultado, como se verá influirá
en el tiempo del cálculo y en el número de iteraciones necesarias.
= 10% … 1% … 0,01% …
3°: Luego en el tercer paso se debe reemplazar simultáneamente los valores iniciales en
nuestro sistema de ecuaciones y calcular la primera iteración obteniendo un nuevo conjunto
solución:
1ra Iteración: valores iniciales x1(0), x2(0) y x3(0).
1
( )
( )
( )
=
( −
−
)
( )
( )
Flujos de Carga – L. Arroyo
=
=
1
1
(
(
−
−
( )
( )
−
−
( )
( )
)
)
Página 30
Sistemas Eléctricos de Potencia
4°: Seguimos con el cuarto paso en el cual se compara el nuevo conjunto solución con el
anterior, en este caso los valores iniciales, para controlar si los errores están dentro de lo
permitido o no. Procedemos a calcular los errores para todas las variables como la diferencia
entre dos iteraciones sucesivas, como se muestra a continuación:
¿
( )
−
( )
<
( )
−
( )
−
(
)
( )
<
<
?
( )
−
( )
<
De esta manera conocer el error nos permite saber que tan próximos estamos de la
solución y nos permite analizar si el cálculo debe continuar o no, ya que en los métodos
iterativos el cálculo no siempre concluye obteniéndose la solución, pudiéndose dar los
siguientes casos:
-
Si los errores calculados para todas las variables es menor al error asignado, entonces
estamos en condiciones de concluir el cálculo y dar como resultado el conjunto
solución de la última iteración. En este caso diremos que es un sistema convergente,
quiere decir que su error disminuye a medida que aumentan las iteraciones por lo
tanto se llega a una solución con un error aceptable.
-
Si aunque sea un error calculado supera el valor del error asignado, se debe volver a
iterar y realizar la comparación entre iteraciones. De continuar la situación se sigue
iterando con la posibilidad que converja, es decir se logren obtener errores menores
al asignado para todas las variables. En estos casos la convergencia puede ser más o
menos rápida, siendo determinada por la variación de los errores calculados y
haciendo necesario establecer un número máximo de iteraciones para que en el caso
de una convergencia muy lenta se concluya el cálculo y luego se analice si el
resultado es aceptable o no.
-
Si aunque sea un error calculado supera el valor del error asignado, se debe volver a
iterar y realizar la comparación entre iteraciones. Como en el caso anterior de
continuar la situación se sigue iterando con la posibilidad que converja. Pero si
analizando la variación del error en cada iteración vemos que el mismo no disminuye
paulatinamente, sino que aumenta u oscila permanentemente, dado un número
determinado de iteraciones concluiremos el cálculo sin llegar a obtener la solución o
un resultado aceptable para el sistema de ecuaciones. En este caso diremos que el
sistema no es convergente o lo que es lo mismo: es un sistema divergente.
Flujos de Carga – L. Arroyo
Página 31
Sistemas Eléctricos de Potencia
Estas son las posibles conclusiones del método iterativo de Gauss. Sin embargo debemos
decir que dado que rara vez se logra obtener el resultado en la primera iteración, se debe
incluir el paso 5°: que consistirá en repetir los pasos 3 y 4 consecutivamente hasta llegar a
la solución o concluir en un determinado número de iteraciones dados los casos
mencionados.
Convergencia
Los métodos iterativos son muy útiles para resolver problemas que involucran un gran
número de variables, donde los métodos directos tendrían un coste prohibitivo incluso con
la potencia del mejor computador disponible. Entre las grandes diferencias entre métodos
directos e iterativos podemos destacar que los segundos usan aproximaciones sucesivas
llegando a una solución con un error determinado, cuando los directos daban una solución
exacta. Además los métodos iterativos tienen otra pequeña desventaja ya que pueden ser
convergentes o divergentes, mientras que los métodos directos siempre llegan a la solución.
La convergencia de un sistema es un concepto que nos interesa, por ello empezaremos por
conocer su definición: una sucesión de elementos de un conjunto es convergente si y solo si
en el mismo conjunto existe un elemento (límite) al cual la sucesión se aproxima tanto como
se desee a partir de un momento dado. Si una sucesión tiene límite, se dice que es una
sucesión convergente, y que la sucesión converge o tiene a dicho límite. En caso contrario la
sucesión es divergente.
Así quedan definidas las posibles conclusiones de los métodos iterativos, pero ¿de qué
depende la convergencia del sistema? ¿Podemos saber si el sistema convergerá antes de
iniciar el cálculo?
Primeramente podemos decir que depende del propio sistema de ecuaciones y de otra forma
del conjunto solución propuesto como valores iniciales. Ya que dichos valores propuestos
pueden ser totalmente arbitrarios, pero es fácil comprender que si se eligen valores cercanos a
la solución se necesitarán menos iteraciones para concluir satisfactoriamente el cálculo. Por el
contrario si se eligen valores muy distintos a la solución o determinados valores que
dependiendo de las funciones pueden ocasionar una convergencia lenta o la divergencia del
sistema. Generalmente se asigna como valor inicial el 0 (cero), aunque en la aplicación de estos
métodos iterativos para la resolucion de flujos de carga lo más usados y más conveniente es
asignar como punto de partida el valor 1 (uno), denominada como partida plana. Esto se debe a
que al calcular las tensiones en un sistema por unidad sabemos que los valores posibles están
dentro de una franja del más menos cinco por ciento (± 5%) de la tensión nominal, por lo tanto
comenzando las iteraciones con el valor inicial 1 (uno) ya tenemos un error máximo del 5%.
Flujos de Carga – L. Arroyo
Página 32
Sistemas Eléctricos de Potencia
Para saber si el sistema a analizar es un sistema convergente antes de iniciar el cálculo,
podemos usar la condición suficiente de convergencia. La cual dice que la diagonal principal de
la matriz cuadrada “n” por “n” (nxn) debe ser estrictamente dominante, esto quiere decir que el
módulo de cada uno de los elementos de la diagonal principal debe ser mayor que la suma de
los elementos de dicha fila. Si se cumple esta condición entonces el método será convergente
cualquiera sean sus valores iniciales. Por el contrario si no se cumple esta condición que es
suficiente pero no necesaria aun hay posibilidades de que el método converja, ya que la
condición necesaria y suficiente para que estas iteraciones converjan a la solución del sistema
es que el radio espectral de la matriz sea menor que 1 (uno), concepto que por su complejidad
y menor importancia en el tema no se desarrollaran en este momento.
Veamos unos ejemplos de un sistema divergente y uno convergente respectivamente:
 Método de Gauss-Seidel
Es otro método iterativo utilizado para resolver sistemas de ecuaciones lineales, llamado así
en honor a los matemáticos alemanes Carl Friederich Gauss y Philipp Ludwig Seidel quienes
lo perfeccionaron. Dicho método tiene una mecánica de cálculo muy similar al anterior pero
es más avanzado, logrando mayor número de convergencias y con mayor velocidad, es decir
menor número de iteraciones.
Flujos de Carga – L. Arroyo
Página 33
Sistemas Eléctricos de Potencia
Por tratarse de un método iterativo obtiene su resultado mediante aproximaciones
sucesivas, proponiendo una solución, luego resolviendo con la solución planteada, llegando
a un resultado que luego evalúa y corrige en función de un error determinado a fin de
considerar aceptables los resultados obtenidos. Explicaremos más detalladamente el
método tomando como ejemplo el ya utilizado sistema de ecuaciones anterior:
+
+
+
+
+
+
=
=
=
1°: El primer paso de este método es despejar una variable de cada ecuación:
=
=
=
1
1
1
(
−
−
)
(
−
−
)
(
−
2°: Continuamos adoptando un conjunto solución:
−
( )
)
;
( )
;
( )
Además de adoptar estos valores iniciales para las variables, es necesario también
especificar el error que se considerará aceptable en el resultado final. A diferencia el método
de eliminación que entrega el resultado exacto los métodos iterativos tienen un error pero el
mismo es especificado por nosotros. Dicho error asignado puede ser porcentual o absoluto y
su valor dependerá de la exactitud que exijamos en nuestro resultado, como se verá influirá
en el tiempo del cálculo y en el número de iteraciones necesarias.
= 10% … 1% … 0,01% …
Hasta aquí hacemos todo de igual manera que para el método iterativo de Gauss. Pero
ahora se debe notar la diferencia en el siguiente paso.
3°: En el tercer paso se deben reemplazar los valores iniciales asignados, simultáneamente,
solo a la primera ecuación de nuestro sistema de ecuaciones y calcular la primera iteración
obteniendo un nuevo valor solución. Para la segunda ecuación se utiliza el nuevo valor
calculado y los anteriores valores iniciales, obteniendo así un segundo nuevo valor del
conjunto de solución. Por último, en este caso, se reemplazan en la tercer ecuación los
nuevos valores encontrados para completar el nuevo conjunto de solución se la primer
iteración. Veamos el ejemplo para que quede más claro:
Flujos de Carga – L. Arroyo
Página 34
Sistemas Eléctricos de Potencia
1ra Iteración: valores iniciales x1(0), x2(0) y x3(0).
1
( )
( )
( )
=
( −
−
)
( )
( )
=
=
1
1
(
( )
−
(
( )
−
( )
−
( )
−
)
)
Debemos tener en cuenta que de manera general para un sistema nxn se reemplazan en
una ecuación cualquiera, tantas variables calculadas de la misma iteración como sean
posibles. Dando como regla general que en la ecuación correspondiente a la variable xi(k) se
reemplazaran i-1 variables nuevas, de la kaesima iteración en curso, y quedaran n-i
variables de la iteración anterior k-1.
Siendo la característica y principal ventaja del método Gauss-Seidel utilizar en la misma
iteración los nuevos valores calculados a medida que son obtenidos, ganando tiempo en el
cálculo que llegará a la solución más rápidamente, en menos iteraciones y con mejor
convergencia.
4°: Seguimos con el cuarto paso en el cual se compara el nuevo conjunto solución con el
anterior, en este caso los valores iniciales, para controlar si los errores están dentro de lo
permitido o no y evaluar si debemos seguir iterando. Procedemos a calcular los errores para
todas las variables como la diferencia entre dos iteraciones sucesivas, como se muestra a
continuación:
¿
( )
−
( )
<
( )
−
( )
−
(
)
( )
<
<
?
( )
−
( )
<
De la misma manera que para el método iterativo de Gauss el error nos permite saber que
tan próximos estamos de la solución y nos permite analizar si el cálculo debe continuar o no,
pudiéndose dar los siguientes casos ya mencionados:
-
Si los errores calculados para todas las variables son menores al error asignado,
entonces estamos en condiciones de concluir el cálculo y dar como resultado el
conjunto solución de la última iteración. En este caso diremos que es un sistema
convergente.
Flujos de Carga – L. Arroyo
Página 35
Sistemas Eléctricos de Potencia
-
Si aunque sea un error calculado supera el valor del error asignado, se debe volver a
iterar y realizar la comparación entre iteraciones. De continuar la situación se sigue
iterando con la posibilidad que converja, siendo necesario establecer un número
máximo de iteraciones para que en el caso de una convergencia muy lenta se
concluya el cálculo y luego se analice si el resultado es aceptable o no.
-
Si aunque sea un error calculado supera el valor del error asignado, se debe volver a
iterar y realizar la comparación entre iteraciones. Pero dado un número determinado
de iteraciones sin llegar resultado aceptable diremos que el sistema no es
convergente o lo que es lo mismo: es un sistema divergente.
Estas son las posibles conclusiones del método iterativo de Gauss siendo iguales para
Gauss-Seidel. Por lo tanto también agregaremos el quinto paso:
5°: Este último paso consiste en repetir los pasos 3 y 4 consecutivamente hasta llegar a la
solución o concluir en un determinado número de iteraciones dados los casos mencionados.
Comparación entre Gauss y Gauss-Seidel
Veremos gráficamente las ventajas de un método sobre otro para los mismos sistemas de
ecuaciones, que como ya se mencionaron la característica y principal ventaja del método
Gauss-Seidel es utilizar en la misma iteración los nuevos valores calculados a medida que son
Flujos de Carga – L. Arroyo
Página 36
Sistemas Eléctricos de Potencia
obtenidos, ganando tiempo en el cálculo que llegará a la solución más rápidamente, en
menos iteraciones y con mejor convergencia. Manteniendo las ventajas y desventajas del
cálculo iterativo.
Se muestra en estos dos ejemplos el mismo par de sistemas de ecuaciones, siendo en el
primero divergente para el método de Gauss y convergente para Gauss-Seidel. Además en el
segundo caso se puede apreciar la rapidez con la que converge el mismo sistema resuelto
por Gauss-Seidel en 6 o 7 iteraciones, mientras que por Gauss en la iteración número 10
todavía faltan iteraciones para llegar al valor final.
Flujos de Carga – L. Arroyo
Página 37
Sistemas Eléctricos de Potencia
 Resolución de Flujos de Carga - Métodos Iterativos de Gauss y Gauss-Seidel
Planteo de Ecuaciones
Realizaremos el planteo de las ecuaciones que nos permitirán resolver el flujo de cargas
partiendo de la siguiente ecuación matricial:
[ ]
⋮
⋮
=
⋮
=[ ]
⋮
⋮
…
…
…
⋮
…
[ ]
…
…
⋮
⋮
⋮
⋮
…
⋮
…
⋮
De manera de comprender mejor ejemplificaremos con un sistema de 4 barras:
=
Desarrollando la ecuación tendremos un sistema de ecuaciones como el siguiente:
=
=
+
+
=
+
=
+
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Sabemos además que la potencia aparente S es igual a la tensión U por la corriente
conjugada I*, por lo tanto:
=
∗
∗
=
Igualando con las corrientes anteriores tenemos:
=
∗
∗
=
Flujos de Carga – L. Arroyo
−
∗
=
+
−
∗
+
+
+
+
Página 38
Sistemas Eléctricos de Potencia
−
=
−
=
−
=
−
=
∗
=
+
+
+
=
+
+
+
=
∗
∗
+
=
∗
+
+
+
+
Llegamos así a nuestro sistema de ecuaciones.
+
Para resolver este sistema mediante el método iterativo de Gauss o Gauss-Seidel lo primero
que necesitamos es despejar una variable de cada ecuación, generalizando las tensiones Ui,
en este caso particular U1, U2, U3 y U4.
=
1
−
∗
−
−
−
−
,
Reescribimos de acuerdo a ello el sistema de ecuaciones:
=
=
=
=
1
1
1
1
−
−
−
−
∗
∗
∗
∗
−
,
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
Vemos como cada tensión depende del intercambio de potencia de la barra y de la
admitancia propia de la misma, junto con la tensión propia y las adyacentes.
A partir de este sistema de ecuaciones resolveremos el flujo de carga mediante el método
de Gauss y Gauss-Seidel, procedimientos también llamados Métodos de las Corrientes por su
sistema de ecuación de origen. Comenzamos a desarrollar los métodos según los pasos ya
enumerados:
Pasos 1, 2, 3 y 4: Despeje, asignación de valores iniciales, primera iteración y control de error.
Flujos de Carga – L. Arroyo
Página 39
Sistemas Eléctricos de Potencia
Gauss
1ra Iteración Gauss: valores iniciales Ԑ, U1 (0), U 2(0), U3 (0) y U4 (0).
( )
( )
( )
( )
=
=
=
=
1
−
( )∗
1
−
( )∗
( )
¿
( )
−
( )
( )∗
−
−
( )
−
1
( )
−
( )∗
1
−
−
(
)
−
( )
−
( )
−
( )
−
( )
−
( )
−
( )
−
( )
−
( )
?
<
Gauss - Seidel
1ra Iteración Gauss-Seidel: valores iniciales Ԑ, U1 (0), U 2(0), U3 (0) y U4 (0).
( )
( )
( )
( )
=
=
=
=
1
−
( )∗
1
−
( )∗
( )
¿
( )
−
( )
<
( )
−
( )
( )
−
( )
( )∗
−
−
( )
−
1
( )
−
( )∗
1
−
<
−
(
)
−
( )
−
( )
−
( )
−
( )
<
( )
−
( )
−
( )
−
( )
−
( )
?
−
( )
<
( )
−
( )
<
La verificación del error cada dos iteraciones sucesivas se calcula de la misma manera para
ambos métodos.
Flujos de Carga – L. Arroyo
Página 40
Sistemas Eléctricos de Potencia
No está de más destacar nuevamente la diferencia entre un método y otro, ya que lo
principal se puede apreciar al calcular cada iteración. En el Método de Gauss se reemplazan
los valores iniciales o de forma general los valores de la iteración k-1 simultáneamente en
todas las ecuaciones para hallar los nuevos valores de la k-esima iteración. Mientras que en
el Método de Gauss-Seidel para un sistema nxn se reemplazan en una ecuación cualquiera,
tantas variables calculadas de la misma iteración como sean posibles. Dando como regla
general que en la ecuación correspondiente a la variable xi (k) se reemplazaran i-1 variables
nuevas, de la k-esima iteración en curso, y quedaran n-i variables de la iteración anterior
k-1.
Además se debe tener en cuenta que el sistema no está compuesto por un único tipo de
barra y que cada uno tiene un tratamiento diferente.
Tratamientos Según el Tipo de Barra
Recordemos se han clasificado las barras en tres tipos:
- Barras PQ: barras de demanda, para las cuales se
especifica la potencia activa y reactiva generada y se calculan las
tensiones en modulo y ángulo, siendo su ecuación la ya
deducida.
1
−
=
−
−
− − ,
∗
−
−
,
−
Pudiéndose escribir de manera reducida, distinguiremos el caso para ambos métodos:
Gauss
( )
=
1
−
(
)∗
−
(
)
( )
Flujos de Carga – L. Arroyo
(
−
=
1
)
−
(
−
)∗
−
−
,
(
(
)
−
,
(
)
−
−
(
)
Página 41
)
Sistemas Eléctricos de Potencia
Gauss – Seidel
( )
=
1
−
(
( )
−
)∗
( )
=
( )
−
1
−
(
)∗
−
−
( )
,
( )
−
−
(
,
(
−
( )
Para ambos métodos controlamos el error: ¿
−
)
−
(
−
)
)
(
)
<
?
- Barra PV: son aquellas en las cuales
especificamos la potencia activa generada y el
módulo de la tensión para calcular el reactivo a
generar y el ángulo de la tensión.
∗
=
∗
=
=−
−
∗[
{
=
∗
[
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
]
]}
De la potencia aparente de la barra el reactivo constituye la componente imaginaria.
Calculamos así las aproximaciones de la potencia reactiva generada para ambos métodos:
Gauss
( )
=−
(
)∗
Flujos de Carga – L. Arroyo
Gauss - Seidel
(
)
( )
=−
(
)∗
−1
=1
( )
+
=
( − )
Página 42
Sistemas Eléctricos de Potencia
Ahora si estamos en condiciones de calcular las tensiones en modulo y ángulo de nuestras
barras PV utilizando las potencias reactivas obtenidas:
Gauss
( )
( )
=
=
(
(
( )
)∗
(
−∑
)
Gauss - Seidel
( )
)∗
( )
−∑
( )
=
(
−∑
)
( )
=
( )
( )
Pero en estas barras PV controlamos el módulo de tensión, por lo tanto el modulo
calculado en cada iteración será reemplazado por su valor asignado y conservaremos el
ángulo de la iteración, lo que puede escribirse como:
( )
=
(
( )
)
De esta manera continuaremos iterando con las barras PV y controlamos el error de cada
variable: ¿
( )
−
(
)
<
?
- Barra SL: esta es la única barra del sistema en la que
asignamos el valor de la tensión en modulo y ángulo y
calculamos la potencia activa y reactiva generada.
=| |
−
Gauss y Gauss-Seidel
= ∗[
+
+
+
+
+
]
De esta manera se itera para cada tipo de barra y se debe seguir iterando y controlando
los errores hasta que se cumpla que todos son menores que el asignado o se determine
divergente al sistema.
Flujos de Carga – L. Arroyo
Página 43
Sistemas Eléctricos de Potencia
Diagramas de Flujo
También se puede realizar ambos métodos siguiendo un diagrama de flujo determinado
para cada uno.
Método de Gauss
Método de Gauss – Seidel
Flujos de Carga – L. Arroyo
Página 44
Sistemas Eléctricos de Potencia
Ambos diagramas empiezan por determinar el número máximo de iteraciones que se
realizaran y el error que se desea obtener en la solución para considerarla aceptable. Luego
se asignan los valores iniciales a cada variable U i (0) utilizando la partida plana y se pone en
cero el contador k.
Una vez realizado esto se procede a calcular las iteraciones para las n barras según el
tratamiento correspondiente a cada una y según el método elegido. Después de cada
iteración se procede a controlar el error comparándolo con la diferencia entre dos
iteraciones sucesivas que llamamos ΔU i (k). Llegando a la primer bifurcación, si el error
para todas las variables se encuentra dentro de los valores aceptables es decir: ΔU i (k) < Ԑ,
entonces el cálculo de las iteraciones se da por concluido restando solo utilizar las
tensiones obtenidas para hallar todas las demás variables del sistema que se deseen. Si por
el contrario: ΔU i (k) > Ԑ, aunque sea para una variable, se recorre el otro camino
aumentando el contador en uno y llegando a la segunda bifurcación condicional.
En este momento se plantea la cuestión ¿se debe seguir iterando o no? Para ello se
compara el contador que vamos incrementando cada iteración con el número máximo de
iteración asignado al comienzo. Como sabemos los métodos iterativos pueden converger
llegando a la solución de manera más o menos rápida o pueden no converger, por ello si se
presenta una convergencia lenta o una divergencia se debe detener el proceso de cálculo
para no entrar en un bucle infinito. Por lo tanto siempre que k<Nmax se debe repetir el
bucle de la iteración.
Como se ve ambos diagramas tienen la misma forma por la similitud del método, variando
sin embargo en la manera de calcular cada iteración como ya se ha visto.
 Método de Newton-Raphson
En el análisis numérico, este método consiste en un eficiente algoritmo utilizado para
encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una función real. Es un método iterativo
por ello su solución no es exacta, existe un error pero será tan pequeño como queramos ya
que podemos determinar dicho error. Veremos rápidamente el origen del método y su
planteo para una variable y luego para más de una variable independiente.
Flujos de Carga – L. Arroyo
Página 45
Sistemas Eléctricos de Potencia
Método Iterativo de Newton-Raphson para Una Variable
Primero escribimos nuestra función como serie de Taylor, de la siguiente forma:
( )=
( )+
´( )
´´( )
( − )+
( − ) +
1!
2!
+
( )
( )
( − ) +
!
( )
Esta es la expresión completa de la serie de Taylor pero solo utilizaremos los dos primeros
términos para nuestro método. Quedando así:
( )=
( )+
´( )
( − )
1!
Los dos primeros términos de la serie de Taylor nos dejan la ecuación de una recta, que en
este caso será tangente a la curva que representa f(x), como se ve a continuación:
Tenemos nuestra función f(x)
representada por la curva roja.
Estimaremos un valor inicial para
nuestra raíz x(0) y construiremos la
recta tangente:
( ) = ( ) + ´( )( − )
( )=
∆ ( ) = ´ ( )∆
( )
+ ´
( )
( )
−
( )
=0
Luego calculamos donde esta recta intercepta al eje X, es decir la raíz de la función. Para
ello despejamos x(1):
( )
Flujos de Carga – L. Arroyo
=
( )
−
´(
( )
( ))
Página 46
Sistemas Eléctricos de Potencia
De esta manera tenemos una expresión que nos permite iterar tantas veces como sea
necesario. Avanzando así de un punto a otro del eje X cada vez más cercano al valor real de
la raíz, yendo del eje X al valor de la función en dicho punto y luego a una nueva intercepción
con el eje X a través de la recta tangente al punto tantas veces como sea necesario. Por
último nos falta decir que cada iteración debe ser comparada con el valor anterior para
lograr un error determinado en nuestro valor final.
∆
( )
¿∆
( )
=
( )
−
<
( )
?
Para la aplicar el método con mayor facilidad enumeraremos los pasos a seguir:
1°: Primero despejamos de la función nuestra variable, x(k), raíz o cero de la misma:
(
( )=
)
( )
+ ´
(
=
(
)
)
−
(
´(
( )
−
)
(
)
=0
))
(
2°: Luego asignaremos un valor inicial cualquiera a nuestra variable independiente y
también el error máximo que se considerará aceptable: x(0) y Ԑ.
3°: El tercer paso será reemplazar nuestro valor asignado y calcular la primera iteración.
( )
=
( )
−
( )
( ))
´(
4°: Calculamos el error como la diferencia entre el valor de la iteración actual menos el de la
iteración anterior. Por ser este un método iterativo se dan las posibilidades mencionadas
para Gauss y Gauss-Seidel, el método puede converger o divergir.
∆
5°: Por ultimo hasta que ∆
( )
( )
=
¿∆
( )
( )
−
<
(
?
)
sea menor al error asignado se debe seguir iterando,
calculando nuevamente la función y la pendiente con los valores que se van encontrando
para cada iteración, repitiendo los pasos 3 y 4.
Flujos de Carga – L. Arroyo
Página 47
Sistemas Eléctricos de Potencia
Método Iterativo de Newton-Raphson para Más de Una Variable
Ampliaremos ahora el método para ecuaciones con más de una variable independiente y
para sistemas de ecuaciones con más de una ecuación. Aprovecharemos la interpretación
grafica de la resolucion del método para una variable aplicándola válidamente a funciones
con más de tres variables independientes, ya que a pesar de no poder representarlas el
camino de resolucion es el mismo.
Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
( ,
( ,
( ,
,
,
,
)=
)=
)=
1°: El primer paso no será despejar nuestras raíces ya que en estos sistemas trabajaremos
con operaciones matriciales por lo cual iremos más lentamente. Empezamos por expresar
nuestras funciones según la serie de Taylor en sus dos primeros términos, es decir siguiendo
la forma de la ecuación de la recta:
Antes:
Ahora:
( ) = ( ) + ´( )( − )
( ,
,
)+∆
+∆
+∆
=
( ,
,
)+∆
+∆
+∆
=
( ,
,
)+∆
+∆
+∆
=
Como vemos se respeta la forma de la recta para una variable pero esta vez para una
función de tres variables. Lo que se tiene es el valor de la función en un punto, más las tres
derivadas parciales (que representarían la pendiente de la recta en el caso de una variable)
multiplicadas cada una por su incremento. Por el momento dejaremos así expresado nuestro
sistema.
2°: El segundo paso será asignar valores iniciales a nuestras variables independientes x1(0),
x2(0), x3(0) y asignar el error máximo que se considerara para tener un resultado aceptable, Ԑ.
Procederemos a reemplazar el conjunto solución en nuestro sistema:
Flujos de Carga – L. Arroyo
Página 48
Sistemas Eléctricos de Potencia
( )
( )
( )
,
,
,
( )
( )
( )
( )
,
+∆
( )
,
+∆
( )
,
+∆
( )
( )
( )
( )
( )
( )
+∆
+∆
+∆
( )
( )
( )
( )
( )
( )
+∆
+∆
+∆
( )
( )
( )
( )
( )
( )
=
=
=
3°: Para continuar con el tercer paso que será calcular la primera iteración debemos
despejar las raíces, o en este caso los incrementos en los cuales se encuentran las raíces de
las funciones. Reescribiremos nuestro sistema del siguiente modo matricial:
−
(
)
,
(
)
,
(
)
−
(
)
,
(
)
,
(
)
−
(
)
,
(
)
,
(
)
=
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1ra Iteración: valores iniciales x1(0), x2(0) y x3(0).
−
( )
,
( )
,
( )
−
( )
,
( )
,
( )
−
( )
,
( )
,
( )
=
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
∆
∆
∆
∆
∆
∆
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Como vemos mantiene la forma: ∆ ( ) = ´( )∆ obtenida para una variable.
Obtenemos entonces una ecuación matricial que escribiremos simplificadamente como:
[∆ ] = [
][∆ ]
Luego para lograr nuestra primera iteración y hallar los valores de los incrementos
debemos despejar la matriz de los mismos. Esto se logra pre multiplicando ambos miembros
por la matriz inversa del Jacobiano, [ ] , siendo el Jacobiano la matriz que representa las
derivadas parciales particularizadas para un punto.
Flujos de Carga – L. Arroyo
Página 49
Sistemas Eléctricos de Potencia
[
] [∆ ] = [
[
] [
] [∆ ] = [∆ ]
][∆ ]
De esta manera se realiza la primera iteración, calculando el valor de las funciones para el
punto (k), las derivadas parciales particularizadas para el mismo punto y la matriz inversa de
las derivadas parciales que es lo mismo que la inversa del Jacobiano. Solo falta obtener el
nuevo conjunto solución de los incrementos calculados:
(
(
)
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
Tenemos:
−
(
)
,
(
)
,
(
)
−
(
)
,
(
)
,
(
)
(
−
∆
( )
( )
( )
Entonces:
( )
=
=
=
=
( )
)
−
(
)
(
)
(
)
(
,
(
+∆
+∆
+∆
)
,
(
)
∆
= ∆
∆
( )
( )
( )
)
( )
( )
( )
4°: Continuamos con el cuarto paso, como se espera, consta de verificar el error de la
iteración. Este método entrega en cada iteración el incremento, valor calculado que
comparamos con el error para determinar cuándo debe cesar el cálculo, siendo que este
converja o no.
( )
¿
−
(
)
<
?
¿
( )
−
( )
< ?
¿
( )
−
( )
< ?
¿
( )
−
( )
< ?
5°: Finalizamos el cálculo repitiendo los pasos 3 y 4, para calcular una nueva iteración y
verificar el error hasta que se cumpla la desigualdad para todas las variables o se llegue a un
número determinado de iteraciones dando como divergente al sistema.
Flujos de Carga – L. Arroyo
Página 50
Sistemas Eléctricos de Potencia
Jacobiano constante
El Jacobiano como se dijo es la matriz de las derivadas parciales particularizadas para un
punto, además el orden de dicha matriz en un principio es igual al número de barras del
sistema. Para cada iteración se debe calcular un Jacobiano ya que el punto para el que se
particulariza cambia en cada iteración, lo cual es trabajoso si se hace manualmente y si se
trata de un cálculo computacional añade operaciones que toman recursos y tiempo del
sistema.
Este inconveniente se puede evitar si realizamos la simplificación de calcular solo el primer
Jacobiano, es decir utilizar un Jacobiano constante para todo el método. Con ello se facilita
el cálculo y se aceleran las iteraciones pero se añade un pequeño error por iteración debido
a la diferencia entre el Jacobiano constante y el que se debió calcular dando como resultado
una leve disminución en la convergencia.
Se puede observar que utilizando un Jacobiano no constante converge más rápidamente
aunque las iteraciones sean más laboriosas. Mientras que para un Jacobiano constante se
necesitan algunas iteraciones más para lograr la misma exactitud.
 Resolución de Flujos de Carga - Método Iterativo de Newton-Raphson
Plantearemos ahora el sistema de ecuaciones que nos permitirán resolver un flujo de
cargas a través del método de Newton-Raphson, también llamado Método de las Potencias
por las siguientes ecuaciones que le dan origen al sistema.
Flujos de Carga – L. Arroyo
Página 51
Sistemas Eléctricos de Potencia
Planteo de Ecuaciones
Anteriormente partimos de la ecuación matricial:
[ ]
⋮
⋮
⋮
=
[ ]
…
…
⋮
⋮
=
=[ ]
⋮
…
⋮
+
En cambio ahora partiremos desde:
+
[ ] = [ ][ ]∗
⋮
⋮
Reemplazando la matriz [I]:
⋮
=
⋮
=
∗
=| |
|
|
=
=
∗
|
|
+
Flujos de Carga – L. Arroyo
⋮
⋮
=
⋮
(
+|
=
+
∗
|
…
…
|
∗
⋮
…
…
⋮
+
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
|
⋮
=
⋮
…
+
⋮
⋮
…
⋮
…
+
…
…
+
=| |
+
…
…
⋮
…
⋮
+
…
+| |
∗
⋮
⋮
⋮
+
+
⋮
| |
+
∗
)∗
+|
|
|
Página 52
|
∗
Sistemas Eléctricos de Potencia
Desarrollaremos el producto de las matrices y ejemplificaremos para un sistema de cuatro
barras escribiendo las ecuaciones de forma polar:
∗
=
=|
=|
=|
=|
| |
=|
||
=|
=|
|
|
|
|
|
|
||
||
|
||
||
|
||
|
|
|
||
|
|
|
+|
|
|
||
|
+|
+|
+|
||
+|
| |
+|
||
+|
||
|
|
||
|
|
|
|
+|
|
+|
||
+|
|
|
De esta manera tenemos:
|
||
|
|
||
+|
+|
|
||
||
+|
|
+|
|
|
|
|
+|
+|
+|
+
Por lo tanto podemos conocer P y Q:
=
=
Flujos de Carga – L. Arroyo
−
−
=
=
∗
|
|
||
|
|
|
+|
||
||
|
| |
|
+|
||
||
|
||
||
|
||
+|
|
||
+|
||
| |
|
|
| |
=
=1
|
|
||
Llegando entonces a la siguiente ecuación general y resumida:
=
|
|
|
|
|
=1
cos
sen
−
−
−
−
Página 53
Sistemas Eléctricos de Potencia
Finalmente estas serán las ecuaciones que desarrollaremos para formar nuestro sistema
de ecuaciones, a partir del cual resolveremos el flujo de carga mediante el método de
Newton-Raphson. Comenzamos a desarrollar los métodos según los pasos ya enumerados:
Pasos 1, 2, 3 y 4: Armar ecuaciones diferenciales, asignar de valores iniciales, primera iteración
y control de error, quedando para nuestro ejemplo:
=|
| |
=|
||
||
=|
||
||
=|
||
||
=|
| |
=|
||
=|
||
=|
||
| cos(−
+ | ||
) + | || || | cos( − −
) + | ||
|| | cos( − −
) + | | | | cos(−
| cos( − −
) + | ||
+ | || || | cos( − −
| cos(
+| | |
− −
| cos(−
)+|
)+|
||
||
) + | ||
| cos( − −
+ | || || | cos( − −
||
||
| cos(
| cos(
|| | cos(
)+| | |
| sen(− ) + | || || | sen( − −
) + | ||
+ | || || | sen( − −
|| | sen( − −
+ | || || | sen(
|| | sen( − −
+ | | | | sen(−
|| | sen( − −
+ | || || | sen(
)
||
)
||
−
−
| cos(
−
−
)
| cos(
−
−
)
−
−
)
−
−
)
−
−
− −
| cos(−
)
|| | sen(
) + | | | | sen(− )
) + | || || | sen(
− −
) + | || ||
) + | || ||
| sen( −
| sen( −
−
−
) + | || || | sen( − −
) + | | | | sen(−
− −
)
)
)
)
)
)
)
)
Podemos observar con este simple ejemplo para un sistema de cuatro barras como se
empiezan a complicar las cosas. Comparando con los métodos anteriores donde se obtiene
un sistema de n ecuaciones para n barras ahora se tiene 2xn ecuaciones para n barras.
Además para armar nuestras ecuaciones diferenciales necesitamos realizar el cálculo de los
Jacobianos correspondientes y para ello tendremos que derivar las ecuaciones encontradas
distinguiendo las variables dependientes de las independientes:
Flujos de Carga – L. Arroyo
Página 54
Sistemas Eléctricos de Potencia
=
−
=
=
−
=
=1
|
|
|
|
=1
cos
−
sen
−
Recordemos debemos llegar a expresiones de la forma:
[∆ ] = [
−
−
] [∆ ]
Donde las variables independientes (x) son las tensiones en modulo y ángulo, y las
variables dependientes (y) son las potencias activas y reactivas que dependen de dichas
tensiones.
=
| |
=
|
|
⋮
⋮
|
|
;
= ( ) = ( , | |) =
( ,|
⋮
( ,|
( ,|
⋮
( ,|
( , | |)
=
( , | |)
|)
|)
|)
|)
Hecho esto podemos realizar el cálculo del Jacobiano y para ello de sus elementos:
[
]=
| |
| |
=
⋮
⋮
⋮
⋮
|
|
|
|
⋮
⋮
|
|
|
|
|
|
|
|
⋮
⋮
|
|
|
|
Contando para nuestro ejemplo con dos variables dependientes por barra y dos
independientes, es decir ocho ecuaciones de potencia que se deben derivar en función del
modulo y ángulo de las tensiones, dando un total de 16 derivadas.
Flujos de Carga – L. Arroyo
Página 55
Sistemas Eléctricos de Potencia
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[
| |
]=
|
=
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Viendo como queda el Jacobiano para un sistema de cuatro barras se vuelve a marcar la
diferencia en la complejidad y la cantidad de operaciones de un método y otro. Sin embargo,
es necesario destacar que los resultados obtenidos a partir de Newton-Raphson son mucho
más precisos, más finos y útiles que aquellos logrados por Gauss y Gauss-Seidel, ya que nos
permite conocer la diferencia de potencias activas y reactivas en cada barra y no tan solo las
tensiones en ellas.
Para calcular los elementos dejaremos las siguientes expresiones generalizadas que pueden
comprobar haciendo las correspondientes derivadas:
|
|
(
)
(
)
(
)
|
=−
|(
)
(
=|
|(
)
(
=|
|(
)|
| cos (
(
Flujos de Carga – L. Arroyo
)
=|
)
)
|(
sen
)+
)
(
sen
cos
(
)
)
−
(
)
(
)
(
−
(
)
)
−
(
cos(
−
(
−
)
)
−
(
)
−
)
−
Página 56
Sistemas Eléctricos de Potencia
|
(
)
(
)
(
|
)
|(
|
=
|(
= −|
|(
=|
(
(
)
(
)
)|
)
)
)
|(
)
sen
(
−
)
(
)
(
−
(
)+
)
)
(
cos
| sen (−
=|
(
cos
)
)
−
−
(
sen(
(
−
)
)
−
(
)
−
−
Finalmente para terminar el primer paso solo queda expresar el sistema en su última
forma, que será la que aplicaremos en cada iteración:
[∆ ] = [
→
| |
=
|
|
⋮
⋮
|
|
∴ ∆ =
→
∆
( )
=
( )
−
(
Flujos de Carga – L. Arroyo
)
( )
−
] [∆ ]
(
)
→
( , | |)
=
( , | |)
∆ ( , | |)(
→
∆ ( , | |)(
)
)
=
∆
( )
∆| |(
( ,|
⋮
( ,|
( ,|
⋮
( ,|
( ,|
⋮
( ,|
( ,|
⋮
( ,|
=
)
|
|
( )
( − )
( )
( − )
⋮
|(
⋮
|(
)
)
−
|
|
⋮
|(
⋮
|(
−1)
−1)
|)
|)
|)
|)
|)(
|)(
|)(
|)(
)
)
)
)
−
( , | |)(
⋮
( , | |)(
( , | |)(
⋮
( , | |)(
− )
− )
− )
− )
Página 57
)
Sistemas Eléctricos de Potencia
(
[
][∆ ] = [∆ ] →
[∆ ] = [
)
(
∆
] [∆ ] →
( )
∆| |(
(
| |
)
| |
(
)
(
)
(
)
=
)
)
∆
( )
∆| |(
| |
| |
=
)
(
)
(
)
∆ ( , | |)(
∆ ( , | |)(
)
)
∆ ( , | |)(
∆ ( , | |)(
)
)
Llegado este momento se asignan los valores iniciales Ԑ, ( ) y | |( ). Luego se realizan las
iteraciones con esta última ecuación matricial, donde deben calcularse las potencias activas
y reactivas y el Jacobiano con sus elementos para cada iteración. Conviene tener presente el
concepto de Jacobiano Constante.
1ra Iteración:
∆
( )
∆| |(
( )
=
)
| |
( )
| |
( )
∆ ( , | |)(
∆ ( , | |)(
( )
)
)
Cada iteración entrega como resultado los incrementos ∆ ( ) y ∆| |( ) , por eso se debe
despejar de cada uno de ellos el valor correspondiente a la nueva iteración.
( )
=
(
)
+∆ →
|
|(
|(
−1)
)
|
( )
=|
|(
)
|(
=
)
|
( − )
|(
+ ∆|
−1)
|(
+
)
∆
∆|
( )
|(
)
Finalizamos la iteración y calculamos el error como la diferencia entre el valor de la
iteración actual menos el de la iteración anterior. Por ser este un método iterativo se dan las
posibilidades mencionadas para Gauss y Gauss-Seidel, el método puede converger o divergir.
¿ |
|( ) − |
Flujos de Carga – L. Arroyo
<
?
¿
( )
−
( − )
<
?
Página 58
Sistemas Eléctricos de Potencia
Hasta que los incrementos ∆ ( ) y ∆| |( ) sean menores al error asignado para todas las
barras, se debe seguir iterando, o hasta llegar a un determinado número de iteraciones.
Además se debe tener en cuenta que el sistema no está compuesto por un único tipo de
barra y que cada uno tiene un tratamiento diferente.
Tratamientos Según el Tipo de Barra
Recordemos se han clasificado las barras en tres tipos:
- Barras PQ: barras de demanda, para las cuales se
especifica la potencia activa y reactiva generada y se calculan las
tensiones en modulo y ángulo, siendo su ecuación la ya
deducida.
=
−
=
−
Que ahora expresaremos como:
∆
∆
( )
( )
=
=
−
−
( )
( )
=
=
=
=
=1
|
|
|
|
=1
−
−
=1
cos
sen
−
−
|
|(
−1)
( −1)
|
|(
−1)
( −1)
=1
−
−
cos
sen
( − )
( − )
−
−
( − )
( − )
- Barra PV: son aquellas en las cuales
especificamos la potencia activa generada y el
módulo de la tensión para calcular el reactivo a
generar y el ángulo de la tensión.
Flujos de Carga – L. Arroyo
Página 59
−
−
Sistemas Eléctricos de Potencia
∆
( )
=
( )
−
∆
=
( )
=
−
=1
|
−
|(
( −1)
−1)
( )
=
cos
( − )
−
( − )
En el método de Newton-Raphson estamos calculando las variaciones de potencia activa y
reactiva, y tenemos una potencia activa generada especificada o dato, por ello como el
incremento de la potencia reactiva debe ser nulo no se calcula.
- Barra SL: esta es la única barra del sistema en la que
asignamos el valor de la tensión en modulo y ángulo y
calculamos la potencia activa y reactiva generada.
∆
∆
( )
(
=
)
=
−
−
( )
( )
=
=
De igual manera que para las barras PV no se calcula la potencia reactiva, para las barras
Slack donde se asignan tensiones en módulos y ángulos los incrementos para las potencias
activas y reactivas deben ser nulos.
De esta manera se itera para cada tipo de barra y se debe seguir iterando y controlando
los errores hasta que se cumpla que todos son menores que el asignado o se alcance un
determinado número de iteraciones.
Flujos de Carga – L. Arroyo
Página 60
−
Sistemas Eléctricos de Potencia
Diagrama de Flujo
También se puede realizar el método siguiendo un diagrama de flujo determinado para el
mismo:
De manera muy similar a los diagramas para los métodos anteriores (métodos de las
corrientes) ahora para Newton-Raphson (método de las potencias) describiremos el
procedimiento que en esencia es el mismo pero han cambiado sus ecuaciones de origen y las
variaciones que se controlan.
Primero se fija el número máximo de iteraciones que se realizaran y el error que se desea
obtener en la solución para considerarla aceptable. Como ya se vio Nmax se incluye para que
en los casos en que no converja el sistema, el cálculo no entre en un bucle infinito. También
debemos destacar que en este método a diferencia de los anteriores, los errores se fijan
para controlar las variaciones de potencias activas y reactivas y no de tensiones.
Luego se asignan los valores iniciales a cada variable U i (0) utilizando la partida plana y se
pone en cero el contador k. Empezando en este momento el cálculo de las iteraciones para
las n barras según el tratamiento correspondiente a cada una, empezando por las
variaciones de potencia ΔP i y ΔQ i , continuando por el Jacobiano y finalmente las
tensiones en módulos y ángulos. Después de cada iteración se procede a controlar el error
Flujos de Carga – L. Arroyo
Página 61
Sistemas Eléctricos de Potencia
comparándolo con la diferencia entre dos iteraciones sucesivas que llamamos ΔP i (k) y ΔQ
(k)
i . Llegando a la primer bifurcación, si el error para todas las variables se encuentra dentro
de los valores aceptables es decir: ΔP i (k) y ΔQ i (k) < Ԑ, entonces el cálculo de las
iteraciones se da por concluido restando solo utilizar las tensiones obtenidas para hallar
todas las demás variables del sistema que se deseen. Si por el contrario: ΔP i (k) y ΔQ i (k) >
Ԑ, aunque sea para una variable, se debe seguir el flujo por el otro camino aumentando el
contador en uno y llegando a la segunda bifurcación condicional.
En este momento se plantea la cuestión ¿se debe seguir iterando o no? Para ello se
compara el contador que vamos incrementando cada iteración con el número máximo de
iteración asignado al comienzo. Como sabemos los métodos iterativos pueden converger
llegando a la solución de manera más o menos rápida o pueden no converger, por ello si se
presenta una convergencia lenta o una divergencia se debe detener el proceso de cálculo.
Por lo tanto siempre que k<Nmax se debe repetir el bucle de la iteración.
Como se puede apreciar el procedimiento es muy similar para los tres métodos vistos,
pero en general este método es el que posee una convergencia más rápida entre los tres.
Aceleración de la Convergencia
En algunos casos las convergencias son muy lentas y para ellos es útil conocer esta
alternativa que permite mejorar la convergencia. Esta mejora consiste en introducir un
factor de convergencia “α” de manera tal que tendremos una tensión acelerada:
=
+ (
−
)
Modificando así la primitiva ecuación:
=
+ ∆ , donde el factor de convergencia
Alfa multiplica el incremento de la variable entre dos iteraciones sucesivas o error. Si
suponemos una convergencia normal, sin mejora, estaríamos en presencia de un Alfa igual a
uno, α=1. En principio Alfa puede tomar cualquier valor, si es
la unidad no hay cambios, pero para valores de Alfa mayores
a uno, α>1, estamos amplificando el error y quizá de esta
forma nos aproximamos más rápidamente al valor final. Se
ha observado en numerosos casos de estudio que a medida
que Alfa aumenta el número de iteraciones (n) para
encontrar la solución final va disminuyendo hasta un valor de
α=1,6 , a partir del cual la anticipación del error asignada es demasiado grande aumentando
de nuevo el numero de iteraciones necesarias. Por el contrario si α<1, estaremos
minimizando el error, aumentando las iteraciones necesarias y claramente retrasando la
Flujos de Carga – L. Arroyo
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Sistemas Eléctricos de Potencia
convergencia. El caso extremo seria α=0, donde el nuevo valor seria igual al anterior por ser
el incremento igual a cero, el sistema nunca convergería.
Podemos concluir entonces que para ciertos casos se puede usar el factor de convergencia
α, siempre con valores mayores a la unidad para lograr una aceleración y como primer valor
se puede utilizar 1,6 para analizar el comportamiento del sistema y en función de ello
modificar el valor para mejorar la convergencia.
Newton-Raphson Desacoplado
Veremos ahora otro concepto que nos permitirá resolver algunos Flujos de Carga con
mayor practicidad y velocidad. Consideremos el caso más sencillo de una línea de
transmisión:
Siendo representada por el modelo de una línea corta, compuesta por sus valores
característicos de Resistencia e Inductancia, sus tensiones en ambos extremos con su
respectiva diferencia angular y finalmente la corriente de carga en modulo y ángulo. Ello nos
permite construir un diagrama fasorial como el siguiente:
Flujos de Carga – L. Arroyo
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Sistemas Eléctricos de Potencia
Aquí se representa la corriente IR, las tensiones en ambos extremos VR y VS, y además las
caídas de tensión en la resistencia y en la inductancia, que permiten conocer la tensión en
ambos extremos por composición vectorial.
Así también la potencia en el extremo receptor puede ser deducida como:
=
+
=|
=
|| |(cos
−
Obteniendo también las potencias activas y reactivas:
= | || | cos
= | || | sen
|
→
|
|
|
)
= | | cos
= | | sen
Dejamos así expresado y vamos ahora a determinar lo que nos interesa: ΔVx y ΔVy,
señalados en el diagrama.
|∆ | = | | cos
∆
+ | | sen
= − | | sen
+ | | cos
Si reemplazamos por los valores antes despejados, tenemos:
|∆ | = | | cos
+ | | sen
=
= − | | sen
+ | | cos
= −
∆
→
|∆ | =
∆
|
=−
|
|
|
+
+
|
|
|
|
|
|
+
|
+
|
|
|
|
|
Con estas expresiones incluiremos una suposición mas en nuestro planteo, diremos que el
valor de la Resistencia de una línea es como máximo un cuarto (1/4) del valor de su
Reactancia Inductiva, por ello para esta línea corta consideraremos despreciable su
resistencia. Veamos cómo influye esto en lo obtenido hasta ahora:
≈0→
Flujos de Carga – L. Arroyo
≈
|
|
|∆ | ≈
|∆ |
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Sistemas Eléctricos de Potencia
De aquí demostramos el concepto que hasta ahora venimos usando, si se desea variar el
modulo de la tensión se debe modificar la potencia reactiva. No depende del ángulo, el
control de tensiones se hace en función del reactivo.
≈0→ ∆
≈
|
|
Igualmente para la variación de ΔVy se elimina un término quedando proporcional a la
reactancia y la potencia sobre la tensión del emisor. En este caso debemos usar la
trigonometría para llegar a la expresión deseada, la aproximación para ángulos pequeños. El
error para sen x ≈ x es del 1% alrededor de los 14 grados sexagesimales (0,244 radianes),
además para estos ángulos se puede aproximar dicho valor al arco o a su altura por lo tanto:
∆
≈
|
|
→
∆
≈
≈ sen
|
|
≈0→
∆
≈
≈
→
≈
|
|
≈
Por lo tanto la potencia activa va a depender del ángulo δ, si queremos modificar la
potencia activa transmitida tendremos que modificar dicho ángulo. Este concepto también
se puede ver en la siguiente expresión:
=
|
|| |
sen
Existen bajo este concepto transformadores especiales que incorporan una variación
angular en el sistema para poder modificar los límites de potencia activa a transmitir.
Quedan más que claras ahora las relaciones entre tensión y potencia reactiva (U-Q) y entre
ángulos y potencias activas (δ-P).
Veremos ahora para que nos sirvan estos conceptos a la hora de resolver un Flujo de Carga
por el método de Newton-Raphson, recordemos la ecuación matricial:
∆ ( )( )
=
∆ (| |)( )
Flujos de Carga – L. Arroyo
| |
| |
∆
( )
∆| |(
)
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Sistemas Eléctricos de Potencia
La matriz de las variaciones de potencia es igual al Jacobiano por la matriz de las variables
independientes. Como se estableció para las condiciones de línea corta y R≈0, la potencia
activa depende del ángulo, por lo que las variaciones de potencia activa respecto del ángulo
dan un valor determinado pero en cuanto a la variación de activo respecto del modulo de las
tensiones dan un valor próximo a cero, no existe dependencia entonces se puede considerar
despreciable la variación del modulo de la tensión ante la potencia activa. Esta consideración
nos permite evitar el cálculo del cuadrante relacionado.
Bajo las mismas consideraciones la potencia reactiva depende del modulo de las tensiones
y no del ángulo. Por lo tanto el cálculo de las variaciones de reactivo respecto del ángulo nos
entregara un valor próximo a cero, despreciable, de manera que se evita el cálculo de dichas
relaciones y solo resta calcular las variaciones entre la potencia reactiva y el modulo de las
tensiones. Quedando como resultado tenemos:
0
0
| |
( )
∆
∆| |(
)
=
∆ ( )( )
∆ (| |)( )
Luego de esta simplificación si desarrollamos obtendremos un sistema de ecuaciones
matriciales en términos de potencia activa y ángulo y separadamente otro en términos de
potencia reactiva y módulos de tensiones.
| |
∆
( )
∆| |(
)
= ∆ ( )(
)
= ∆ (| |)(
)
Por lo tanto se puede resolver como dos sistemas separados potencia activa y potencia
reactiva, a este tipo de sistemas los denominamos como “Desacoplados”. El hecho de que la
potencia activa no depende del modulo de la tensión ni la reactiva del ángulo hace del
sistema un sistema más reducido siendo de esperar que la resolución sea más rápida y
sencilla aunque quizá con mas iteraciones.
Newton-Raphson Desacoplado Rápido (Jacobiano Constante)
En este caso repetimos los supuestos anteriores con sus resultados y además adoptamos
un Jacobiano constante simplificando aún más el proceso de cálculo, ya que se evitará
calcular en cada iteración dicho Jacobiano y sus matrices inversas correspondientes
acelerando el proceso de resolucion.
Flujos de Carga – L. Arroyo
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Sistemas Eléctricos de Potencia
∆
( )
∆| |(
| |
= ∆ ( )(
)
= ∆ (| |)(
)
)
Calculamos solo el Jacobiano para los valores iniciales, quedando:
( )
→
| |
( )
∆
( )
∆| |(
)
= ∆ ( )(
)
= ∆ (| |)(
)
 Conclusión

Bibliografía
o
Apuntes de clases de la asignatura Sistemas Eléctricos de Potencia de la Universidad
Tecnológica Nacional – Facultad Regional Tucumán. Docentes: MBA. Ing. Máximo
Adrián Forns; Ing. José Antonio Andrada.
o Apuntes de la asignatura Sistemas Eléctricos de Potencia de la Universidad
Tecnológica Nacional, Facultad Regional Santa Fe.
o William D. Stevenson y John J. Grainger “Análisis de Sistemas Eléctricos de Potencia”,
Editorial McGraw-Hill.
o J. Duncan Glover y Mulukutla S. Sarma “Sistemas de Potencia, Análisis y Diseño”,
International Thomson Editores S.A.
o Enlaces consultados en la red:
https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_iterativo
https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Gauss-Seidel
https://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_de_una_sucesi%C3%B3n
http://usuarios.fceia.unr.edu.ar/~pablos/Metodos%20Computacionales%20%20Info%20Aplicada/jacobi-gs.pdf
Flujos de Carga – L. Arroyo
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Sistemas Eléctricos de Potencia
http://es.slideshare.net/fernandopenaalvarez7/flujo-de-carga
http://usuarios.fceia.unr.edu.ar/~pablos/Metodos%20Computacionales%20%20Info%20Aplicada/jacobi-gs.pdf
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