Desbalance Rotatorio
Una fuente común de vibración problemática es la maquinaria rotativa. Muchas maquinas
y dispositivos tienen componentes rotatorios , generalmente impulsado por motores eléctricos.
Cuando pequeñas irregularidades en la distribución de la masa en los componentes rotativos
, puede causar una vibración substancial , la cual es conocida como desbalance rotatorio.
Analizando los diagramas de cuerpo libre donde a) es el desbalance:
m0 (ẍ + ẍr ) = Fr
y b)la maquina
(m − m0 )ẍ = Fr − cẋ − kx
mẍ + m0 ẍ + cẋ + kx = 0
Se asume que la maquina rota con una frecuencia constante , la cual ahora denotaremos
como ωr , o (frecuencia de rotacion ), el componente en la direccion del eje x , del movimiento de
la masa , m0 , es xr = e sen ωr t ,lo que conlleva una aceleracion rotativa de la siguiente manera:
ẍr = −eωr 2 sen ωr t
Luego de realizar la sustitucion pertiente obtenemos :
mẍ + cẋ + kx = m0 eωr 2 sen ωr t
Donde :
m : es la masa de la maquina
c: es el coeficiente de amortiguamiento
k : la rigidez del sistema
m0 :masa desbalanceada
e : es la distancia excentrica del centro de rotacion a la masa de desbalance
Resolviendo la ecuación diferencial que modela el sistema ,centrándonos principalmente en
la solución particular , se plantea como de la manera en que lo hemos hecho anteriormente.
xp (t) = X(senωr t − θ)
Donde
X=
m0 e
r2
p
m
(1 − r2 )2 + (2ζr)2
y
θ = arctan
2ζr
1 − r2
Considere una maquina con desbalance rotatorio como la que se muestra al inicio. En resonancia, la deflexión máxima se mide para ser de 0.1 m. De un decaimiento libre del sistema, el
coeficiente de amortiguamiento se estima que debe ser ζ = 0.05. De datos de manufactura, la
masa de desbalance, m0 , se estima que debe ser de un 10 %. Calcule la distancia excéntrica y
por lo tanto la ubicación aproximada de la masa desbalanceada.Determine también que tanta
masa deberı́a agregarse al sistema para reducir la deflexión en resonancia a 0.01m.
a) Partiendo de la ecuacion de la amplitud ,en resonancia ( r = 1 ) , tendriamos :
X=
1
1
m0 e
m0 e 1
m0 e
p
p
=
=
2
2
2
m
m
m 2ζ
(1 − 1) + (2ζ)
(2ζ)
Despejando llegamos a :
mX
1
1
1
=
=
=
= 10
m0 e
2ζ
2(0.05)
0.1
Con lo anterior es facil ver que :
e=
mX
10m0
y teniendo en cuenta que los datos de fabrica indican que la masa desbalanceada debe ser
de un 10 % de la masa del motor :
e=
m(0.1)
= 0.1mts
10(0.1m)
b) Partiendo de lo que se acaba de encontrar :
m X
= 10
m0 0.1
Buscaremos una masa agregada , ma ,para lograr la deflexion a 0.01m:
m + ma 0.01
= 10
0.1m
0.1
ma
1
ma
ma
ma
m
+
= 100 →
+
= 100 → 10 +
= 100 →
= 90
0.1m 0.1m
0.1 0.1m
0.1m
0.1m
ma = 9m
Este resultado indica que se tendria que aumentar en un 90 % la masa de la maquina para
reducir la deflexion en resonancia de 0.1 m a 0.01m.