Module : Prévision des crues et risques d’inondation
Objectifs de l’enseignement :
Posséder les notions de base permettant de comprendre et caractériser le fonctionnement hydrologique des
bassins versants et de maitriser les techniques aujourd’hui utilisées pour prémunir du risque d’inondation.
Programme :
Chapitre 1 : Présentation générale du cycle hydrologique
1.1Cycle hydrologique d’un bassin versant
1.2 Régime hydrologique des cours d’eau. Débit moyen ; étiage ; crue
1.3Modélisation des processus d’écoulement.
Chapitre2 : Analyse fréquentielle
2.1 Analyse et critique des données
2.2 Calcul des valeurs de débits et hydrogramme de référence
Chapitre 3 : Estimation probabiliste des évènements de crue extrême
3.1 Modèle probabiliste simplifié : Gradex et agregee
3.2 Modèle pluie-débit
3.3Utilisation de l’information historique
3.4 Estimation sur un site non jaugé : méthodes sommaires ; courbes QDF ; méthodes cartographiques
Chapitre 4 : Gestion du risque d’inondation
4.1 Annonce et prévision des crues
4.2 Prévention du risque d’inondation
4.3 Problématique du risque :Aléa/vulnérabilité
4.4 Différents mesures de protection et leurs effets : méthode inodabilité
Chapitre 5 : Influences humaines sur le risque d’inondation
5.1 Effets de l’aménagement du territoire
5.2 Effets des ouvrages de protection et de rétention
5.3 Détection de tendances sur les séries observées
Chapitre 6 : Protection contre les crues
6.1 Aménagement du bassin versant
6.2 Endiguement
6.3 Aménagement des lits majeurs.
Chapitre 1 : CYCLE ET BILAN HYDROLOGIQUE
1.1 INTRODUCTION
L'eau, source de toute vie, se présente dans la nature sous trois états :
 solide : neige et glace,
 liquide : eau chimiquement pure ou chargée en solutés,
 gazeux : à différents degrés de pression et de saturation.
Les changements de phase de l'eau dépendent essentiellement de la température et de la pression.
Dans l'atmosphère terrestre, l'eau se retrouve sous ses trois formes.
Les eaux circulent en permanence sur la terre et subissent des changements d'état. L'importance de
ces modifications fait de l'eau le principal agent de transport d'éléments physiques, chimiques et
biologiques.
L'ensemble des processus de transformation
et de transfert de l'eau forme le cycle hydrologique.
1.2 DEFINITION ET COMPOSANTE DU CYCLE HYDROLOGIQUE
La notion de cycle hydrologique englobe les phénomènes du mouvement et du renouvellement
des eaux sur la terre. Cette définition implique que les mécanismes régissant le cycle hydrologique
surviennent conjointement. Le cycle hydrologique n'a donc ni commencement, ni fin.
Précipitation
Evapotranspiration
Evaporation
Interception
Stockage
Précipitations
Evaporation
Infiltration
Percolation
Ecoulements
souterrains
Ecoulement de
surface
Océan
Définition du cycle de l’eau.
Les éléments qui composent le cycle de l’eau sont respectivement :
 Les précipitations : eaux météoriques qui tombent sur la surface de la terre, sous forme liquide
(bruine, pluie, averse) et / ou solide (neige, grésil, grêle) ainsi que les précipitations déposées
ou occultes (rosée, gelée blanche, givre,...).
 L’évaporation : passage de la phase liquide à la phase vapeur, il s'agit de l'évaporation
physique.
 L’évapotranspiration : englobe les processus d’évaporation et de transpiration de la
végétation
 L’interception : processus selon lequel la pluie (ou dans certains cas la neige) est retenue par
la végétation, puis redistribuée en une partie qui parvient au sol et une autre qui s'évapore.
 Le ruissellement ou écoulement de surface : mouvement de l’eau sur ou dans les premiers
horizons du sol (écoulement de subsurface), consécutif à une précipitation.
 Le stockage dans les dépressions : processus au cours du quel l’eau est retenue dans les creux
et les dépressions du sol pendant une averse.
 L’infiltration : mouvement de l'eau pénétrant dans les couches superficielles du sol.
 La percolation : mouvement de l’eau en profondeur dans les sols faisant suite à l’infiltration.
1.3 LA REPARTITION DES EAUX
La répartition des eaux peut se faire d’une manière quantitative et qualitative à l’échelle du globe,
et par rapport aux différentes composantes du cycle hydrologique.
0.1 % eaux douces de surface
0.9 % eaux souterraines
2 % glace
97 % mer
La terre apparaît comme une planète
recouverte en grande partie d'eau (planète
bleue). Mais la répartition de l’eau à la surface
de la planète est très inégale. Les océans
occupent une superficie à peu près égale à 70%
de la surface du globe et représentent 97% de
la masse totale d'eau dans la biosphère. Le reste
se trouve sur les continents sous forme de neige,
de glace, d’eau courante ou souterraine. Une
infime partie est dans l’atmosphère sous forme
de vapeur. Sur cette réserve d’eau douce plus
des
¾ sont immobilisées sous forme de glaces
polaires.
Répartition des eaux dans le monde
A l’échelle continentale et selon les zones géographiques, on se doit de noter d’énormes disparités
entre les régions quasiment dépourvues d’eau et celles qui en bénéficient à l’excès.
1.4 LE BILAN HYDRIQUE
Le cycle de l’eau peut-être analysé schématiquement selon les trois éléments suivants :
 Les précipitations,
 le ruissellement ou écoulement de surface et l'écoulement souterrain,
 l'évaporation.
Dans chacune des phases on retrouve respectivement un transport d'eau, un emmagasinement
temporaire et parfois un changement d'état.
L’estimation des quantités d'eau passant par chacune des étapes du cycle hydrologique peut donc
se faire à l'aide d'une équation de bilan appelée "bilan hydrologique" qui représente le bilan des
quantités d'eau entrant et sortant d'un système défini dans l'espace (entité naturelle en générale) et
dans le temps, à savoir l’année hydrologique (période d’une année très souvent différente de l'année
civile).
L'équation du bilan hydrique se fonde sur l'équation de continuité et
peut s'exprimer comme suit, pour une période et un espace donnés :
P + S = R + E + ( S + S)
Avec :

P : précipitations (liquide et solide) [mm] ;

S : ressources disponible à la fin de la période précédente (eaux
souterraines, humidité du sol, neige, glace) [mm] ;

R : ruissellement de surface et écoulements souterrains [mm] ;

E : évaporation (y compris évapotranspiration) [mm] ;

S + S : ressources accumulées à la fin de la période étudiée [mm].
Sous sa forme la plus générale et pour une période déterminée (mois, année), ce bilan peut s'écrire
encore sous la forme simplifiée suivante :
E : évaporation [mm],
E  I  O  S avec : I : flux d'eau entrant [mm],
O : flux d'eau sortant [mm],
S : variation de stockage (positive ou négative) [mm].
Si S  0 (bassin versant naturel relativement imperméable), la différence entre les débits entrant
(les précipitations) et sortant correspond au déficit d’écoulement. Ce déficit d’écoulement représente
essentiellement les pertes dues à l'évaporation.
Il peut être estimé à l'aide de mesures (pluies et débits) ou de méthodes de calcul (formules de Turc
et Coutagne).
1.5 DEFINITION DU REGIME HYDROLOGIQUE D'UN COURS D'EAU
Le régime hydrologique d'un cours d'eau résume l'ensemble de ses caractéristiques
hydrologiques et son mode de variation. Il se définit par les variations moyennes de son débit
en fonction du temps.
1.6 CLASSIFICATION DES REGIMES HYDROLOGIQUES
La classification des régimes hydrologiques est basée d'une part sur la complexité de la
répartition des débits au cours de l'année (variations moyennes au cours de l'année des
coefficients mensuels de débits) et d'autre part sur le mode d'alimentation, c'est-à-dire la
nature et l'origine des hautes eaux (pluviale, nivale ou glaciaire).
100
Une des classifications des régimes hydrologiques des rivières les plus simples distingue trois
principaux types de régimes, dans lesquels on regroupe des régimes aux modes d’alimentation
différents :
CHAPITRE:1 (suite)
1.3. Modélisation des procesus d'écoulement:
Il s'agit d'une part d'identifier les processus hydrologiques et leur part respective intervenant
dans la réponse du bassin versant et, d'autre part, les modalités du passage de l'impulsion
pluviométrique à la réponse hydrologique. La question qui se pose alors est de
comprendre et interpréter les mécanismes de transformation de la pluie à
l'hydrogramme de crue.
1. Définition du ruissellement
Le ruissellement est la part des précipitations qui est drainée ou transite à travers l'exutoire du
bassin. Le ruissellement peut atteindre l'exutoire par différentes voies:
– Ruissellement direct
– Ecoulement hypodermique
– Ecoulement souterrain ou de base
La contribution de chaque type de ruissellement est déterminée par plusieurs facteurs :
– la nature du sol
– le type d'utilisation (forêt, pâturage ou agriculture)
– la topographie du bassin
– La nature géologique et la profondeur de la nappe
2. Constitution des débits de crues :
Les débits de crue sont générés par plusieurs processus simultanément ou
successivement, dans des combinaisons variables dans l’espace et dans le temps.
Précipitation
Interception et
autres pertes
Evapotranspiration
Infiltration
Excès
de pluie
Ecoulement
hypodermique
Percolation
Ruissellement
de surface
Ecoulement retardé
Ecoulement
non retardé
Ecoulement
de base
Ruissellement
direct
Ecoulement
souterrain
Débit
total
Figure 1 : Différentes composantes participant au ruissellement.
Le ruissellement direct : Il est composé essentiellement du ruissellement de surface dû à
l’excès de pluie, appelé pluie nette.
L’écoulement hypodermique : c’est la partie des précipitations infiltrée qui chemine
latéralement dans les couches supérieures du terrain pour réapparaître à l’air libre, à la
rencontre d’un cours d’eau. L’importance de cette fraction de débit total dépend de la
structure du sol à la surface.
Ecoulement de base : C’est le débit initial qui existe dans le cours d’eau avant le début de
l’averse. Il correspond à l’écoulement souterrain relatif à des précipitations antérieures.
Les précipitations directes sur les surfaces d’eau libres ne sont considérées dans les calculs
que lors du dimensionnement d’un évacuateur de crue annexé à un grand barrage. Autrement
elles sont négligées.
3. Forme et caractéristiques de l'hydrogramme
Un hydrogramme est la représentation graphique du débit à l’exutoire en fonction du temps. Il
est constitué des différentes fractions d’écoulements déjà cités. L'hydrogramme est composé
de trois parties :
2
•
•
•
La courbe de concentration qui dépend de l'intensité de l'averse et des caractéristiques du
bassin. Elle correspond à la montée de la crue.
La pointe de l'hydrogramme qui correspond à la partie autour du débit maximal.
La courbe de récession (décrue): c'est une caractéristique du bassin. Elle est indépendante
de l'intensité de l'averse
Courbe de
concentration
Segment de
crête
Courbe de décrue
Débit
Temps
Figure 2: Hydrogramme de crue
En général, la courbe de concentration est assimilée à une droite. La courbe de décrue
prend une forme exponentielle décroissante. En pratique on considère que la décrue est bien
représentée par l’équation:
Qt = Qo e − at
Qt : le débit à l’instant t
Qo : le débit pris comme origine de la décrue
a : Coefficient d’ajustement.
3.1. Définitions :
L'hydrogramme est caractérisé aussi par un certain nombre de paramètres de temps :
Temps de base (tb) : c'est la durée qui s'écoule entre le début de la phase de concentration et la
fin du ruissellement direct et hypodermique. Il correspond à la durée du ruissellement pur
excédentaire.
Temps de montée (tm) : c'est la durée qui s'écoule entre le début de la phase de concentration
et la pointe (débit maximal) de l'hydrogramme.
Temps de réponse (tr) : (ou lag) c'est la durée qui sépare le centre de gravité de la pluie
efficace et la pointe de l'hydrogramme.
Durée de la pluie (ta) : durée totale de l'averse génératrice de l'hydrogramme.
Durée de la pluie efficace (te) : c'est la durée de l'averse qui a générée réellement le
ruissellement.
Temps de concentration(tc) : c’est le temps de parcours qu’effectue une particule d’eau entre
la partie du bassin la plus éloignée et son exutoire. Il est estimé comme étant la distance
comprise entre la fin de la pluie efficace et la fin du ruissellement pur :
tc = tb − te
Figure 3: Hydrogramme type ; représentation de la courbe de tarrissement (Mussy, 1998)
4
3.2. Facteurs déterminant la forme de l'hydrogramme
Ils peuvent être groupés dans quatre catégories.
a. Facteurs liés aux précipitations :
Les précipitations influencent par :
- la nature des précipitations : liquides (pluie) /solide (neige) ;
- l'intensité et la durée de l'averse ;
• Pour une durée donnée, plus l'intensité est grande plus le volume
ruisselé et le débit maximal sont élevés.
• Pour une intensité donnée, plus la durée est longue plus le temps de
base de l'hydrogramme est long et le débit de point tend vers un débit
d'équilibre :
Qe = I * A
Qe : débit d'équilibre
I : Intensité
A : superficie du bassin
- la distribution spatiale et temporale des précipitations ;
- la direction de l'averse ;
b. Facteurs liés aux caractéristiques du bassin :
Le ruissellement représente l'effet intégré de toutes les caractéristiques du bassin :
– la surface du bassin
– la forme
– la pente
– le réseau hydrographique
c. Le sol
Il intervient par :
- Le couvert végétal (capacité d’infiltration plus élevée) ;
- La perméabilité ;
- La profondeur et le profil géologique du sol.
d. Le climat
Il intervient essentiellement par la température et les précipitations antérieures.
3.3. Séparation des différentes composantes d’un hydrogramme
L’analyse d’un hydrogramme de crue commence par la séparation des différentes
composantes notamment, l’écoulement de base, l’écoulement hypodermique et le
ruissellement pur.
Il n’existe pas de méthode analytique spécifique pour effectuer cette séparation. Les méthodes
utilisées sont approximatives et arbitraires.
5
On se base sur la forme exponentielle de la courbe de décrue pour déduire les points
limitant un écoulement par rapport à l’autre. L’hypothèse de base est que les écoulements ont
des temps de réponse différent. Lorsque l’écoulement excédentaire cesse, l’écoulement de
base se prolonge plus après l’arrêt de l’écoulement hypodermique.
Si la décrue peut être représentée par la fonction :
Qt = Qo e − at
Nous pouvons déduire qu’en coordonnées semi logarithmiques, les courbes de décrue
de chacune des composantes (ruissellement direct, écoulement de base, écoulement retardé)
sont approximativement représentées par des droites de pentes différentes.
Ln(Qt)=f(t) = Ln(Qo)-a.t
On aura alors sur le tracé de la courbe autant de cassures que d’effets d’autres composantes.
Q
Temps
tb
Ruissellement
Hypodermique
Ln Q
Débit de base
Ruissellement direct
t1
t2
Temps
Figure 4 : identification des différents écoulements
La séparation des différentes composantes d’un hydrogramme se fait par le biais de trois
méthodes approximatives :
Hypothèse :
Soit le point C, point de cassure déterminé à partir du tracé Ln(Qt)=f(t).
N (en jours)
Méthode ABC
Q
Méthode AC
B
C
A
Méthode ADC
D
Temps
Figure 5 : Méthode de séparation de l’écoulement de base
Supposons que C représente le début du tarissement et la fin de l’écoulement de surface. Et
soit A le point de montée de l’hydrogramme. La figure illustre le mode d’application des trois
méthodes de séparation.
Méthode ABC :
Elle consiste à prolonger la courbe de tarissement de l’écoulement de base au dessous de la
pointe de l’hydrogramme (point B). la partie au dessus des lignes (ACB) représente le volume
de l’écoulement de surface.
Méthode AC :
Cette technique consiste à tracer une droite reliant les points A et C. l’aire au dessus de la
ligne AC et l’hydrogramme représente le volume de l’écoulement de surface. Celle en bas de
la ligne AC représente l’écoulement de base.
Méthode ADC
Elle consiste à prolonger la courbe de tarissement avant le début de la crue (avant le point A)
jusqu’au point D situé sous la pointe.
On peut procéder de la même manière pour séparer le ruissellement direct de l’écoulement
hypodermique, s’il existe.
Pour la détermination du ruissellement pur, généré par la pluie nette, il faudra soustraire à
chaque instant t, des coordonnées de l’hydrogramme total ceux des écoulements séparés
(écoulement de base et hypodermique, s’il existe).
L’hydrogramme de ruissellement pur est limité dans le temps et se termine par un débit nul.
Son volume correspond à la lame d’eau nette écoulée.
4. L’hydrogramme unitaire (HU) :
Cette méthode a été proposée par Sherman en 1932. Elle a pour objet la détermination de
l’hydrogramme du ruissellement superficiel à l’exutoire d’un bassin. L’hydrogramme unitaire
d’un bassin est défini comme l’hydrogramme de ruissellement pur résultant d’une pluie
nette de hauteur unité produite de façon homogène sur la totalité du bassin (averse unitaire)
en un temps donné. Cette méthode s’applique pour des bassins dont la superficie est comprise
entre 2 et 200 km2.
L’usage de la méthode tend à s’étendre pour le calcul des débits de crue. En outre elle donne
les éléments d’une sorte de « modèle schématique » de la transformation « intensité de pluiedébit » qui permettra de mieux cerner les limites d’application de méthodes plus simples et
plus rapides de calcul de débit de crue.
Trois postulats sont à la base de cette théorie :
1. Temps de base : Pour un bassin versant donné, le temps de base du ruissellement
direct est constant pour n'importe quelle averse de durée (te) (tb=tc+te)
2. Proportionnalité: Une averse unitaire d'intensité double (2 I ) engendre un
hydrogramme unitaire dont les débits sont doubles par homothétie
3. Linéarité : Une averse d'intensité (I) de durée double (2 te) engendre un
hydrogramme non unitaire composé de deux hydrogrammes unitaires décalés te.
L'hydrogramme unitaire a donc une forme fixe pour un bassin versant. La forme de l'H.U. est
affectée par la durée. On aura donc des H.U. de 1, 2, 3, .... 6h etc. selon la durée de la pluie
efficace correspondante. Cette théorie permet ainsi la reconstitution de crues complexes.
te = durée de l’excès
Intensité
I
Postulat 1 : Averse unitaire d’intensité I
Débit
Temps
te = durée de l’excès
Intensité
I
Postulat 2 : Averse unitaire d’intensité 2I
I
Débit
Temps
Intensité
I1
I2
I1 + I2
I1
I2
Postulat 3 : Averse de durée double de
l’averse unitaire
Débit
Temps
Figure 6 : Hypothèses de linéarité de l’hydrogramme unitaire
4.1. Détermination de l’H.U normé du bassin
Dans la pratique on choisi des averses intenses, courtes et uniformément distribuées
sur le bassin versant. La durée de l'averse doit être à peu près de 10 à 30% du temps de
réponse (lag) du bassin.
L’hydrogramme est découpé pour séparer ses différentes composantes pour obtenir le
volume ruisselé. La pluie nette est alors égale à ce volume divisé par la surface du bassin
versant. Il est préférable d'obtenir un hydrogramme unitaire moyen pour plusieurs averses.
Les différentes étapes sont:
1. Séparation du ruissellement direct de l’écoulement de base.
2. Détermination de la hauteur équivalente en mm du ruissellement direct.
3. Pour l'averse choisie, on détermine l'hyétogramme correspondant ;
4. On estime l'indice φ. Ceci permet de connaître la durée de la pluie efficace (te)
5. extraire pour chaque pas de temps, les ordonnées de l’hydrogramme de ruissellement
direct et diviser par la lamme d’eau ruisselée. On peut déterminer ainsi les ordonnées de
l'hydrogramme unitaire correspondant à une pluie efficace de durée te
Souvent l'hydrogramme engendré par une averse résulte de plusieurs unités de pluie efficace.
Autrement dit l'intensité de l'averse (surtout l'excès) est variable. Dans ce cas la dérivation de
H.U. est différente :
•
Soit m le nombre d’excès de pluie et n le nombre des ordonnées du ruissellement
direct
L’averse sera décomposée en m averses élémentaires juxtaposées, chacune d’intensité
constante et de durée t. On admettra que l’hydrogramme global de ruissellement est la somme
des m hydrogramme relatifs aux averses élémentaires.
Dans ce cas, si on note Qi les ordonnées de l’hydrogramme de ruissellement et ui les
ordonnées de l’hydrogramme unitaire recherché.
Alors nous avons :
Q1 = p1 ⋅ u1
Q2 = p 2 ⋅ u1 + p1 ⋅ u 2
Q3 = p3 ⋅ u1 + p 2 ⋅ u 2 + p1u 3
......
Qn = p m −1u1 + p m − 2 u 2 + ...... + p1u n − m +1
On obtient ainsi un système d’équations linéaires simultanées qui permet de calculer les
ordonnées ui.
4.2. Convolution de la pluie nette avec l’HU
A partir d’un HU connu pour une averse unitaire de norme 1mm et de durée de référence τ
(HUN), on peut calculer l’hydrogramme résultant d’une averse longue et complexe. Le
hyétogramme de l’averse est décomposé en une succession d’événements simples de durée τ.
Pour chacun des événements simples, on peut déterminer l’hydrogramme de ruissellement qui
en résulte en appliquant le principe de linéarité. De plus, chaque hydrogramme obtenu est
décalé dans le temps d’une durée τ par rapport à l’hydrogramme résultant de l’événement
précédent.
L’hydrogramme résultant de l’événement pluviométrique complexe s’obtient finalement en
effectuant la somme des hydrogrammes obtenus.
La figure résume les différentes étapes de la convolution.
Figure 7: Convolution d’une pluie nette avec un HU (Musy, 1998)
Tableau 1 :Convolution d’une pluie nette avec un HUN
Temps
τ
2. τ
3. τ
4. τ
p1*HUN
p1· u1
p1· u2
p1· u3
p1· u4
p2· HUN
p2· u1
p2· u2
p2· u3
p3· HUN
p3· u1
p3· u2
Hydrogramme x1
x2
x3
x4
5. τ
6. τ
p2· u4
p3· u3
x5
p3· u4
x6
4.3. L’hydrogramme en S :
L’hydrogramme en S est l’hydrogramme de ruissellement d’une pluie continue et d’une durée
supérieure au temps de concentration tc. Cet hydrogramme prend la forme d’une courbe en S
qui devient constante. En fait, au-delà de tc, la contribution du bassin versant devient
maximale puisque toute la surface contribue à l’écoulement. Ceci n’est vrai que dans le cas
d’une averse uniforme.
La courbe en S permet de calculer un hydrogramme unitaire de norme 1 et de durée de
référence Tτ, à partir de l’HU correspondant à τ.
Figure 8: Construction de la courbe en S
En effet, en décalant deux hydrogrammes en S d’intervalle de temps T, on obtient par
soustraction les ordonnées de l’HU correspondant à l’averse unitaire de durée T. L’H.U.
résultant doit encore être réduit à un volume ruisselé normé, en le divisant par le rapport T/τ.
Figure 9: Décalage d’une courbe en S et calcul d’un HU.
4.4. Hydrogramme unitaire de Synder
Il est parfois utile de connaître l’allure générale de l’hydrogramme en divers points du cours
d’eau sur lequel on ne dispose pas d’enregistrement de débits. A cet effet, de nombreuses
tentatives ont été faites pour déterminer les éléments principaux de l’hydrogramme unitaire
(temps de base, débit de pointe) à partir des caractéristiques physiques et géographiques du
bassin versant.
Synder a proposé un certain nombre de formules de ce genre pour les bassins de la région des
appalaches aux Etats-Unis. La méthode de Synder a été élaborée pour des bassins versants de
10 à 10000 (miles)². Quatre types de données sont nécessaires pour la détermination de
l’hydrogramme unitaire de Snyder :
•
•
•
•
La surface du bassin (A)
La longueur du cours d’eau principal (L)
La longueur séparant le centre de gravité et l’exutoire du bassin (Lg)
Deux coefficients (Ct) et (Cp) (Ct varie entre 0.3 et 6 et Cp de 0.31 à 0.93)
Le paramètre de base choisi par cet auteur est le « temps de réponse » (tr) (temps qui sépare le
centre de l’excès de pluie et le temps de pointe de l’hydrogramme). Une estimation de ce
paramètre est donnée par la formule suivante :
t r = C t (L ⋅ L g )
0.3
tr en heures et Lg en Km.
Ct varie entre 0.3 et 6. Il est lié au gradient de la pente S :
0.6
Ct =
S
- La durée de la pluie efficace est déduite du temps de réponse par la formule :
t
te = r
5.5
te en heure; tr en heure
Si la durée (te’) de l’averse nette souhaité est différente de te , le temps de réponse doit être
ajusté selon :
t r' = t r + 0.25 t e' − t e
(
)
Avec :
t’r : temps de réponse corrigé (hr)
tr : Temps de réponse initial (hr)
t’e : La durée souhaitée de l’hydrogralmme unitaire (excès de pluie)(hr)
te: la durée calculée de l’hydrogramme unitaire (hr)
- La valeur du débit de pointe (Qp) de l’hydrogramme unitaire pour une averse unitaire
donnant une hauteur de ruissellement de 1mm est donnée par la relation :
A
Q p = 2.78 ⋅ C p
(m³/s)
tr
Cp varie de 0.31 à 0.93.
- L’estimation du temps de base (tb) de l’hydrogramme unitaire, qui correspond à la durée du
ruissellement direct est donnée par :
t
tb = 3 + r
8
tb en jours et tp en heures.
Le temps de monté (tm) en heure peut être calculé selon :
t
tm = e + tr
2
Des cordonnées supplémentaires de l’hydrogramme unitaire peuvent être calculées :
Le débit Q50 est défini comme étant 0.50*Qp. Il est relié aux temps :
W
W
t1 = t r − 50 et t 2 = t r + 2 50
3
3
avec :
−1.08
 Qp 

W50 = 5.87
 A 
Le débit Q75 est défini comme étant 0.75*Qp. Il est relié aux temps :
W
W
t '1 = t r − 75 et t ' 2 = t r + 2 75
3
3
avec :
W75 =
W50
1.75
W75 et W50 (hrs), Qp (m3/s) et A (Km2)
Les intervalles définis par W75 et W50 doivent être placés de sorte que le 1/3 soit avant le
temps de montée (tm) et les 2/3 après.
Temps de montée
7
Qp
6
5
W75
Q75
4
Q50
3
W50
tb
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Figure 10 : Exemple d’hydrogramme unitaire de Synder
10
11
4.5. Méthode du Service de conservation des sols: SCS (1957)
L’ hydrogramme unitaire peut être présenté sous une forme d'un triangle
– Durée de l’excès (te)
– Débit de pointe (Qp)
– Temps de récession (B)
– Temps de réponse (tr)
– Temps de monté (tm)
Durée excès
te
Temps de réponse
tr
Pluie efficace
tm
B=1.67 tm
Figure 11: Triangle de l’Hydrogramme unitaire synthétique de SCS
Temps de réponse :
t r = 0.6 ⋅ t c
Temps de montée :
tm =
tr
+ te
2
Débit de pointe :
2.08 ⋅ A
tm
Temps de récession
Qp =
B = 1.67 ⋅ t m
5. Méthodes de calcul du débit de crue :
Une crue est caractérisée par :
- son débit maximal ou pointe de la crue ;
- sa durée et la durée de ses différentes phases notamment le temps de base et le temps de
montée ;
- son volume ;
- son hydrogramme.
Les méthodes de calcul doivent être aux mesures et informations disponibles concernant la
crue. Elle doivent aussi prendre en considération l’importance des aménagements à mettre en
place et l’importance des valeurs socio-économiques des biens que l’on souhaite protéger.
De manière générale, les méthodes de calcul utilisées peuvent être classées en trois catégories
selon le niveau de disponibilité de données sur la zone d’étude :
Cas 1 : pas ou peu de données disponibles :
Des méthodes approximatives peuvent être appliquées. Elles ne fournissent que des ordres de
grandeur difficilement probabilisables (méthodes analogiques, régionales, empiriques ou
pseudo-empiriques).
Cas 2 : données concomitantes de pluies et de débits (au même pas de temps)
Application de méthodes déterministes.
Cas 3 : données existantes de pluies et/ou de débits :
Application de méthodes statistiques qui peuvent être couplées aux méthodes déterministes.
I. Les méthodes approximatives
I.1. Les méthodes analogiques
Lorsque l’on ne dispose pas de données hydro-météorologiques sur la zone d’étude, il
est possible de procéder à une étude hydrologique sur un ou plusieurs bassins analogues pour
lesquels les données sont disponibles. Les résultats obtenus peuvent être alors transposés sur
le bassin initial, moyennant des règles de transfert à établir.
L’analogie hydrologique doit respecter certaines règles et critères :
- la morphologie des bassins versants « analogues » : ce sont essentiellement les
paramètres de pente, orientation, densité de drainage, type de couverture végétale,
pédologie.
- La situation géographique : latitude, longitude et altitude.
- Les aménagements réalisés sur les basins versants « analogues »
- Les caractéristiques physiques : telles que la surface, la longueur, la largeur, la forme,
etc.
La qualité des résultats acquis de cette manière sur le bassin versant initial dépend fortement
de la qualité de l’analogie établie.
I.2. Les méthodes régionales
Elles consistent à réaliser le transfert d’un ou de plusieurs paramètres régionaux
estimés pour un bassin jaugé, au bassin concerné. Plusieurs méthodes peuvent être utilisées à
cet effet. La méthode la plus utilisée au Maroc est la formule empirique régionale de Francou
Rodier (elle sera détaillée plus loin) :
Qmax
 A 
= 10  8 
 10 
1− 0.1K
6
K est le paramètre de Francou Rodier.
La première étape consiste à calculer le paramètre K, connaissant le débit Q pour une période
de retour T, dans un bassin jaugé de superficie A1.
Le débit Q peut être calculé par une étude statistique appliquée aux données observées dans le
bassin ou par une autre méthode telle que la méthode du Gradex ou la méthode rationnelle
décrites plus loin. Le choix de la méthode dépendra des données disponibles sur le bassin
jaugé.
Le calcul de K peut se faire en effectuant la transformation suivante sur la formule de Francou
Rodier:
 K (T ) 
log(Q(T )) = 6 + 1 −
(log( A1 ) − 8)
10 

La deuxième étape du calcul consiste à utiliser la même valeur du paramètre K pour calculer
le débit de crue dans le bassin analogue non jaugé de superficie A2. La formule de Francou
Rodier est donc utilisée à cet effet.
Il faut noter que cette méthode n’a de sens que si une étude de comparaison entre les deux
bassins versant a été effectuée et a permis de conclure qu’on peut les considérer
« homogènes ».
II. Les méthodes empiriques :
Il existe un grand nombre de formules empiriques, en général, mises au point pour une
région donnée ; leur utilisation doit être faite avec beaucoup de prudence. Les formules
empiriques sont de diverses nature, en fonction du type de données disponibles sur le bassin
versant. Il est possible de les classer selon leur degré de complexité :
a- formules empiriques utilisant uniquement les caractéristiques du bassin versant.
La formule générale est :
Ou encore
Qmax = f(c1, c2,……..,cn, A)
qmax = f(c’1,c’2,…………c’n, A)
Avec:
c1, c2,……..,cn: coefficients exprimant les caractéristiques géomorphologiques du bassin
versant ;
A : superficie du bassin versant ;
Qmax: débit maximal du bassin versant;
q max : débit spécifique maximal.
La plupart des formules empiriques donnant les débits maxima Q (m³/s) en fonction de la
superficie du bassin versant s’apparentent à la formule de Myer :
Q = C ⋅ Aα
Où :
C : coefficient appelé « cote Myer » déterminé en fonction des caractéristiques du bassin et en
particulier de sa pente moyenne ;
α : exposant généralement pris au Maroc égal à 0.5 (variant de 0.4 à 0.8 suivant les régions).
Formules de Hazan et Lazarevic
Appartiennent à ce groupe, les formules de M Hazan et Lazarevic déterminées
particulièrement dans différentes régions marocaines. Une méthodologie pour calculer les
débits maxima pour une fréquence millénaire a été établie. Les résultats sont présentés dans le
tableau suivant.
Tableau 2: Débit de pointe millénaire en fonction de la superficie du bassin (Formule de
Hazan et Lazarevic)
Zone géographique
Débit (m3/s)
Pluviométrie
(mm)
0.776 1000 - 1300
Rif central
Q1000 = 15.55 ⋅ A
Rif occidental
Q1000 = 9.78 ⋅ A 0.793 800 – 1000
Rif oriental
Q1000 = 7.58 ⋅ A 0.808 600 – 800
Haut Atlas saharien
Q1000 = 9.38 ⋅ A 0.742 200 – 400
Moyen Atlas
Q1000 = 14.94 ⋅ A 0.636 700 – 900
Moyen Atlas
Q1000 = 13.51 ⋅ A 0.613 500 – 700
Moyen Atlas (Karst)
Q1000 = 13.47 ⋅ A 0.587 400 - 700
Parmi les formules applicables aux bassins de petite taille on peut citer:
Formule de Lauterburg
1120
pour1 < A < 500km²
31 + A
Avec α : coefficient exprimant à la fois la pente du bassin versant, le type de sol et la
végétation.
Qmax = α ⋅
Formule de Melli
Qmax = ϕ
18.5
pour 1<A<500 km²
A
Avec φ : coefficient dont la valeur moyenne est 0.4.
6
Formule de Francou et Rodier
Ces auteurs ont classé plusieurs centaines de crues dans le monde dans un diagramme
log (Q) = f(log (A)). Ils ont constaté que dans les régions relativement homogènes, les points
étaient plus au moins alignés. Ils en ont déduit une formule générale de la forme :
1−
K
10
Q  A
= 
Q0  A0 
Où Q0 est le débit maximal d’une crue observée dans un bassin de superficie A0.
K : paramètre régional, appelé aussi paramètre de Francou Rodier.
La formule de Francou Rodier, analysée dans les bassins marocains a permis d’aboutir à la
relation suivante, très utilisée au Maroc :
 A 
Qmax = 10 6  8 
 10 
1− 0.1K
Avec K coefficient qui varie de 4 à 5 pour les régions marocaines.
La méthode des courbes enveloppes :
C’est une méthode graphique qui consiste à grouper sur un même graphique, souvent
logarithmique, le nuage de points des crues maximales observées en fonction des superficies
pour un ensemble de bassins plus ou moins homogènes. Une courbe enveloppent représentant
une limite supérieure peut être tracée pour ce nuage de point. L’expression analytique de cette
courbe sera la formule empirique utilisée pour le calcul de Qmax dans le bassin de superficie
A. ceci permettra d’estimer un débit de crue qui ne pourra pas être dépassé quelque soient les
conditions morphologiques du bassin. Dans ce cas, l’estimation obtenue risque de fournir un
débit surestimé et donc loin de la solution économique. La méthode de Francou Rodier
semble être plus intéressante.
- Formules empiriques faisant intervenir le temps de retour :
Formule de Fuller :
Q(T ) = Q1 (1 + log(T ))
Avec :
Q(T) : débit moyen journalier de crue de temps de retour T ;
Q1 : valeur moyenne des débits maxima Qmax de chaque année ;
T : temps de retour considéré.
Pour passer de Q(T), débit moyen journalier, au débit de pointe Qp, il faut appliquer un
coefficient de pointe cp. Fuller propose :
2.66
c p = 1 + 0.3
A
A partir de cette formule, il a été proposé la formule suivante utilisée au Maroc (Sghir, 1996):
2.66
)
A 0.3
Où : a varie de 0.8 à 1.2 pour les oueds rifains et de 3 à 3.5 pour les oueds sahariens.
Q p = Q1 (1 + a ⋅ log(T ))(1 +
Formule de Coutagne :
(
Qmax (T ) = Q0 1 + K log(T )
Avec :
Qmax(T) : débit de pointe de temps de retour T ;
Q0
: débit de pointe de temps de retour T=1an ;
T
: temps de retour considéré.
Le coefficient K varie de 1.82 à 1.4.
)
b- formules empiriques utilisant les caractéristiques du bassin versant et les
précipitations :
La formulation générale est :
Qmax = f(c1, c2,…….,cn, A, p)
Avec p : paramètre tenant compte de la précipitation.
On peut citer dans cette catégorie :
Formule de Iskowski
Q(m³ / s) = λ ⋅ m ⋅ P ⋅ A
Avec :
λ : coefficient caractérisant la morphologie du bassin versant ( 0.017 ≤ λ ≤ 0.8 ) ;
m : coefficient reflétant la grandeur du bassin versant ;
P : module pluviométrique annuel moyen (en mm) ;
A : superficie du bassin versant (en km²)
Formule de Possenti
Q(m³ / s ) =
λ ⋅ P24 
L
A 
 Am + p 
3 

Avec :
λ : coefficient caractérisant la longueur du cours d’eau principal (compris entre 700 et 800) ;
P24 : pluie maximale (en m) d’une durée de 24h ;
L : longueur du cours d’eau principal (m)
Am : surface (en km²) de la partie montagneuse ;
Ap : surface (en km²) de la partie plate.
c- formules empiriques utilisant les caractéristiques du bassin versant, les précipitations,
le ruissellement et le temps de concentration :
La formulation générale est :
Qmax = f(c1, c2,…….,cn, A, p, tc),
Tc est le temps de concentration.
On peut citer :
Formule de Turazza
Q=
cr ⋅ H ⋅ A
3 .6 ⋅ t c
Où :
Cr : est le coefficient de ruissellement du bassin versant ;
H : la hauteur totale maximale (en mm) des précipitations pendant une durée égale à tc ;
A : superficie du bassin versant ;
tc : temps de concentration (en heures)
III. Méthodes pseudo-empiriques
Elles se distinguent des méthodes empiriques en raison d’un certain degré de
conceptualité et d’une mise en application faisant appel à de réels résultats de mesure. Par
contre, la nature de certains coefficients ou la manière dont ceux-ci on été déterminés peut
être empirique. Parmi ces méthodes la plus connue est la méthode rationnelle.
III.1. La formule rationnelle :
Q = 0.278 ⋅ c r ⋅ i ⋅ A
Avec :
Cr : coefficient de ruissellement ;
i : intensité de la pluie pour une durée t donnée ou choisie en fonction du temps de
concentration (mm/h) ;
A : superficie du bassin versant (km²) ;
Q : débit (m³/s).
Si la durée de la pluie est égale au temps de concentration, le débit obtenu est le débit
maximal. L’application de cette méthode nécessite l’identification des différents coefficients
qui la caractérisent. Notamment, le temps de concentration, le coefficient de ruissellement et
l’intensité.
a- le temps de concentration :
A défaut de mesure, le temps de concentration peut être estimé par des formules empiriques.
Formule de Ventura :
t c = 76.3.
A
I
t c : temps de concentration (min) ;
A : superficie u bassin versant (km²) ;
I : pente moyenne du bassin (%).
Formule de Kirpich :
t c = 0.0195
L0.77
S 0.385
L : longueur du cours d’eau principal (m);
S : pente du cours d’eau principal (%)
t c : temps de concentration (min)
Formule de Turazza
L
t c = 0.0529 ⋅ A ⋅  
S
A : surface du bassin (km²) ;
L : longueur du cours d’eau principal (km);
S : pente du cours d’eau principal (m/km) ;
1/ 3
t c : temps de concentration (heures).
Formule de Giandotti
tc =
4 ⋅ A 0.5 + 1.5 ⋅ L
0.8 ⋅ h 0.5
A : Surface du bassin versant (km2) ;
L : longueur du cours d’eau principal (km) ;
h : différence entre l’altitude moyenne du bassin et celle à l'exutoire (m) ;
t c : temps de concentration (heures).
b- coefficient de ruissellement
Il dépend essentiellement du type de sol, de sa couverture végétale et de la pente du bassin. Le
tableau 3 indique quelques valeurs de ce coefficient.
cr =
pluie(mm)
Ruissellement (mm)
Tableau 3 : Quelques valeurs du coefficient de ruissellement
Type de surface
Pente
Coefficient de ruissellement
Sols à texture sableuse
Sols à texture lourde
<2%
0.05 - 0.10
2-7%
0.10 - 0.15
> 7%
0.15 - 0.20
<2%
0.13 - 0.15
2-7%
0.18 - 0.22
> 7%
0.25 - 0.35
Le coefficient de ruissellement est considéré constant dans le temps et dans l’espace. Ceci
peut conduire à une sous estimation du volume ruisselé puisque la capacité d’infiltration est
supposée rester constante dans le temps tandis qu’en réalité, elle diminue.
Il est plus correct de considérer une valeur globale du coefficient de ruissellement calculée en
découpant le bassin versant en zones homogènes, chacune ayant un coefficient de
ruissellement ci et une superficie ai :
∑ ci ai
cr =
∑ ai
c- L’intensité i
La méthode rationnelle nécessite le calcul de la pluie de fréquence donnée et de durée égale
au temps de concentration. Pour cela il faudrait suivre les étapes suivantes :
-
dépouiller les enregistrements pluviométriques et constituer un échantillon de pluie
maximale de durée égale au temps de concentration du bassin.
- Ajuster une loi de probabilité théorique à cet échantillon et en déduire la valeur de la
pluie moyenne maximale correspondant à la fréquence F choisie. La loi de Gumbel est
la plus utilisée.
Dans le cas où l’on ne dispose pas d’enregistrements pluviographiques à proximité du site
étudié, mais il existe un poste pluviométrique ayant fourni des relevés de pluies en 12h ou
24h, la procédure de calcul de l’intensité sera comme suit :
- constituer un échantillon de précipitations maximales journalières (ou de 12h)
- ajuster une loi théorique à cet échantillon et en déduire la valeur de la pluie journalière
(ou de 12h) maximale correspondant à la fréquence choisie Pjmax(F).
- A partir de Pjmax(F), effectuer le passage aux pluies maximales pour le temps de
concentration tc, selon les relations régionales liant Pjmax à la pluie en n heures :
Pt ( F )
= At B (T )
Pj max ( F )
ou
t
Pt ( F )
=  
Pj max ( F )  j 
b (T )
A, B, b sont des paramètres régionaux ;
j =12h ou 24h
T : temps en heures, pour lequel on cherche la pluie de fréquence F.
III.2. La méthode des isochrones
C’est une extension de la méthode rationnelle qui permet d’obtenir en plus du débit de
pointe, l’hydrogramme de crue. Son principe consiste à estimer les débits après avoir
préalablement subdivisé le bassin versant en un certain nombre de secteurs Ai limités par des
isochrones. Les lignes isochrones sont définies comme étant les lignes d’égale temps
d’écoulement. Avant d’évaluer l’hydrogramme de crue dû à une précipitation sur le bassin
versant (uniforme dans l’espace) on peut tout d’abord déterminer l’effet d’une précipitation de
durée ∆t qui tombe sur le secteur Ai. Le temps mis par l’eau pour parvenir à l’exutoire varie
entre (i-1) ∆t et i ∆t. Si le pas de temps est suffisamment petit, on admet que le temps de
parcours de l’eau est égal à (i-1) ∆t.
Ainsi, une intensité de précipitation Ii tombant sur le secteur Ai entre t et t + ∆t va provoquer
un débit Qi = cri Ii Ai entre t + (i-1) ∆t et t + i ∆t.
Le débit à l’exutoire peut être déterminé comme étant la somme des débits résultants de la
précipitation :
Sur le secteur A1 entre t et t + ∆t ;
Sur le secteur A2 entre t- ∆t et t ;
Sur le secteur A3 entre t – 2 ∆t et t – ∆t ;
Sur le secteur Ai entre t – (i-1) ∆t et t- (i-2) ∆t ;
Sur le secteur An entre t-(n-1) ∆t et t-(n-2) ∆t.
En procédant à la sommation de ces différents débits partiels, on obtient :
Q(t ) = ∑ c ri ⋅ I i [t − (i − 1) ⋅ ∆t ]Ai
Où Ii [t - (i-1) ∆t] désigne l’intensité de la précipitation sur le secteur Ai au temps [t - (i-1) ∆t].
IV. Les méthodes statistiques :
Elle s’applique lorsque de longues séries de données sont disponibles.
IV.1. L’analyse fréquentielle
Elle se base sur le principe de l’ajustement d’une série d’observations à une loi de distribution
statistique connue. Une foie l’adéquation de cette loi vérifiée, il est possible d’extraire des
résultats relatifs à des phénomènes rares et très rarement observés. Deux problèmes majeurs
se posent :
- l’ajustement : dans la plupart des cas, il est possible de trouver plusieurs lois de
probabilité s’ajustant correctement aux données disponibles ; on ne peut donc dire que
les débits obéissent à telle loi mais on doit dire que telle loi, dans tel domaine de
fréquence, décrit bien la distribution.
- L’extrapolation : a-t-on le droit d’extrapoler les ajustements réalisés à des fréquences
faibles ; deux difficultés se posent :
1- cela suppose que les crues de fréquence rare ne sont qu’un prolongement des crues
courantes.
2- selon la loi choisie, l’extrapolation peut donner des résultats différents de 50 à
100% pour des crues millénaires, par exemple.
L’ajustement et l’extrapolation des débits de crues doivent donc être maniés avec la plus
grande réserve.
La loi la plus utilisée est la loi de Gumbel :
F ( x) = prob( X ≤ x) = e −e
−a( x− x 0 )
On peut ajuster a et x0 par une méthode graphique de manière simple sur un papier gradué en
probabilité mais avec une échelle non linéaire (en –Log(-Log(F))). On peut aussi faire un
ajustement par la méthode des moments. Dans ce cas :
1
= 0.78σ
a
0.577
x0 = x −
a
Avec x et σ respectivement la moyenne et l’écart type de l’échantillon.
Exemple d’ajustement : MAULE à ARMERILLO (CHILI)
Bassin versant total 5000 km², dont 4000 km² de neige en hiver.
Tableau : Débits moyens journaliers maxima (m³/s)
Année
1951
1952
1953
1954
1955
1956
1957
1958
1959
Débit
1380
2000
1500
600
1200
830
900
1300
1400
Année
1960
1961
1962
1963
1964
1065
1966
1967
On prend comme fonction de fréquence cumulée empirique :
m
n : nombre de données, m : rang de la donnée.
F ( x) =
n +1
D’où le graphique ci-dessous :
Débit
540
2700
360
2800
500
1900
1250
300
Figure 13: Ajustement de la loi de Gumbel
IV.2. La méthode du Gradex
La méthode du GRADEX a été développée par l’équipe de recherche d’Electricité de
France (EDF) (Guillot et Duband, 1967). Cette méthode a pour but de rechercher les débits
maximaux de crues pour des fréquences d’apparition rares et très rares (temps de retour de
plus de 100 ans). Elle présente l’intérêt de tenir compte de l’information « pluie » pour
compléter l’information « débit ». Elle s’applique notamment lorsque l’on dispose d’une
longue série de pluie et d’une courte série de débits (environ 10 ans) sur le bassin.
Les hypothèses suivantes doivent être vérifiées pour l’application de cette méthode :
- les débits maximaux recherchés sont provoqués uniquement par des pluies maximales
uniformément réparties sur le bassin.
-
-
Les pluies maximales et les débits correspondants suivent une même loi de
distribution statistique, dite des « extrêmes » en raison de la nature du phénomène
recherché. La loi de Gumbel est souvent utilisée dans ce but. Dans ce cas, et dans ce
cas uniquement ; le caractère exponentiel de cette distribution est décrit par la pente de
la droite d’ajustement des pluies observées, mesurée sur un diagramme de probabilité
adéquat. La pente de cette droite est le GRAdient de cette distribution Exponentielle,
d’où le nom de la méthode GRADEX.
A partir d’une certaine valeur de pluie, correspondant à un état de saturation en eau du
bassin, tout excédent de pluie provoque le même excédent du débit ( tout ce qui tombe
ruisselle). On en déduit que l’on peut dans certains cas définir la loi des débits en se
servant de celle des pluies. En raisonnant sur une loi de Gumbel, la droite de
distribution des débits est alors parallèle à celle des pluies à partir de ce seuil. Il est
alors possible de déterminer la valeur des débits correspondant à des pluies maximales
par simple extrapolation statistique.
Selon les auteurs de cette méthode, le taux de saturation du bassin est atteint après un
événement pluviométrique qui provoque un débit décennal (T=10 ans).
Figure 14: Principe de la méthode du GRADEX basée sur une distribution de Gumbel
(Musy 1998)
L’application de la méthode du GRADEX implique que:
1- la durée des pluies considérées doit strictement correspondre à celle des débits (même ∆t
qui est de l’ordre de grandeur du temps de concetration du bassin)
2- les unités des pluies et des débits doivent être identiques, si l’on procède à l’application de
cette méthode en utilisant la loi de Gumbel et sa représentation sur un papier de
probabilité correspondant ;
3- les limites d’application de cette méthode sont conditionnées par des temps de
concentration tc variant entre 1 heure et 4 jours, ce qui limite la taille du bassin versant à
5000 km² au maximum.
Soit T0 la période de retour correspondant au débit pour lequel la saturation d’équilibre du sol
est atteinte. Q(T0) est appelé « charnière »
P(T0) est la pluie qui a généré l’écoulement Q(T0).
Selon l’hypothèse de la méthode, une pluie de période de retour T supérieure à T0 va générer
un écoulement Q(T) tel que :
Q(T) = dP = (P(T) – P(T0))
En supposant que les précipitations journalières maximales suivent une loi de Gumbel, la
représentation graphique des quantiles sur le papier de Gumbel sera linéaire en fonction de la
variable réduite de Gumbel u :
dP = G ⋅ u
Avec :
u = − Log (− Log ( F ))
G étant la pente de la droite des pluies. C’est ce qu’on appelle le Gradex des pluies.
Selon la méthode du GRADEX la fonction de répartition des débits extrêmes s’extrapole audelà du débit de crue charnière, parallèlement à celle des pluies extrêmes.
Ainsi, au changement d’unités près, le Gradex des pluies est égal au Gradex des débits.
En considérant l’homogénéité des unités, on abouti à :
Gradex des débits = Gradex des pluies
[m³ / s] = [mm] ⋅ [km²]
[heures]
A
3.6t c
Rappelons que les paramètres de la loi de Gumbel, calculés par la méthode des moments
sont :
1
P = u + x0
a
1
G = = 0.78σ
a
0.577
x0 = P −
a
Avec P etσ respectivement la moyenne et l’écart type de l’échantillon de pluies.
u = − Log (− Log ( F ))
F est la fréquence au non dépassement.
1
F = 1−
T
Le calcul par la méthode du Gradex passe par les étapes suivantes :
1- estimer le temps de concentration des hydrogrammes disponibles (h heures). On
retiendra une valeur arrondie ;
2- étudier la variable aléatoire « pluie reçue par le bassin en h heures ». Tracer sa
fonction de répartition suivant une loi de Gumbel. Calculer le Gradex des pluies (pente
de la droite) ;
3- étudier la variable aléatoire « débit ». le temps de retour préconisé par les auteurs de la
méthode est de 10 ans. On calculera le quantile Q(10), de fréquence 0.9.
4- extrapoler la fonction de répartition des débits pour T>10 ans par une droite parallèle à
celle des pluies. Il ne faut pas oublier d’effectuer le changement d’unité du Gradex de
pluie en Gradex de débit. Cette extrapolation permet de calculer le quantile Q(T)
recherché.
Il faut préciser que les résultats obtenus pour des débits maximaux résultent de pluies
maximales moyennes. Il faut donc multiplier les valeurs de débits obtenus par extrapolation
par le coefficient de pointe pour obtenir le débit maximum instantané.
Si des hydrogrammes de crues observées existent, le coefficient de pointe peut être estimé par
la moyenne de la variable :
débit de pointe
rp =
Q[T] en t c heures
La moyenne rp varie entre 1.2 et 1.7 pour les bassins versants français et entre 1.2 et 3 pour
les bassins versants marocains.
Si les hydrogrammes de crues ne sont pas disponibles pour le bassin étudié, on procédera par
estimation analogique avec d’autres bassins.
Exemple d’extrapolation par le Gradex :
P = 10 u + 21.83
Q10 = 150 m³/s
A = 1100 km²
Le Gradex de pluie en 24 h (Gradex journalier) = pente de la droite.
G = 10 mm/j
Le Gradex de débit est alors calculé comme suit :
G (débit ) =
-
10 ⋅ 1100
= 127.3m³ / s
3.6 ⋅ 24h
Graphiquement : On représente la droite des débits de pente 127.3 m³/s passant par le
point Q10 et on extrapole.
Analytiquement : on pose
Q[T] = 127.3 u + x0
u = − Log (− Log ( F ))
Connaissant Q10, on déduit x0 :
T = 10 ans donc F = 0.9 et u = 2.25
x0 = Q10 − 127.3 ⋅ 2.25 = −136.425
Ainsi la droite de Gumbel pour les débits s’écrit :
Q[T] = 127.3 u – 136.425
Pour T = 100 ans, u = 4.6 et donc Q100 = 450 m³/s.
Tableau 4: Résumé des méthodes d’estimation des crues en fonction du type de données
disponibles
Variable de
dimensionneme
nt
Débit de pointe Hydrogramme
de crue
-
Scénarios de
crues historiques
ou probables
Données nécessaires enregistrées dans le bassin
versant
Type de données
Méthodes
Longue série de débits
- Analyse fréquentielle
maximaux.
- Gradex et méthodes
Longue série de
dérivées
précipitations maximales
- Méthodes rationnelles
Courte série de débits
et méthodes dérivées
maximaux (Qmax)
Courbes IDF
Courtes séries concomitantes - Modèle hydrologique
de précipitations et de
simple (hydrogramme
débits, et courbe IDF
unitaire, méthode du
Longue série de débits
SCS-CN)
- Hydrogramme
synthétique
monofréquence
- Analyse fréquentielle
- Courtes séries
- Modèle de simulation
concomitantes de
continue. Calage sur la
précipitations et de débits et
courte série de pluielongues séries de
débits puis validation
précipitations
sur une longue série de
débits à partir d’une
longue série de
précipitations.
- modèle stochastique
de précipitations pour
générer des chroniques
synthétiques de pluies.
Pas de données
- Formules empiriques
- Méthodes régionales
- Méthodes analogiques
-
Hydrogramme
unitaire synthétique
Coefficient de
ruissellement
CHAPITRE: 2
Statistiques appliquées à l’hydrologie
1. Terminologie et notions fondamentales
L’analyse statistique permet de synthétiser l’information hydrologique représentée par des
séries de mesure sur plusieurs années en quelques paramètres qui reflètent le phénomène
étudié. L’analyse statistique consiste en la formalisation des données observées par une
expression mathématique. Le problème consiste à choisir le modèle probabiliste qui
représentera au mieux la série expérimentale. C’est l’ajustement théorique.
La série d’observation sera décrite par trois types de paramètres :
- Les valeurs centrales ;
- Les paramètres de dispersion ;
- Les caractéristiques de forme des courbes de fréquence.
Hypothèses de travail : Cette analyse suppose que l’échantillon a été choisi de manière
aléatoire (variable aléatoire) et que les données utilisées sont homogènes (extraites d’une
même population) et indépendantes.
1.1. Définitions
•
•
•
Population : l'ensemble de toutes les observations dont on tire les échantillons
Echantillon : observations X1, X2, ..., Xn d'une variable aléatoire
Evénement : l'occurrence d'une valeur spécifique d'une variable aléatoire.
1.2. Distribution d’une série statistique
Soit un échantillon de n observations décrivant une variable aléatoire X (x1, x2, x3,…., xn).
Probabilité d’une variable
Une variable aléatoire peut être discrète ou continue. La probabilité d’une variable discrète
est :
P(X=x) = p(x)
Elle est caractérisée par :
p(x) ≤ 1
F(x) = p(X ≤ x)
Lorsque la variable aléatoire est continue, on parle d’histogramme de fréquences ou polygone
de fréquences.
a- Polygone des fréquences d’apparition
La construction d’un histogramme des fréquences de la variable X consiste à graduer
l’axe des abscisses en valeur croissante de la variable étudiée et découpée en intervalles de
classes. En ordonnée, on porte le nombre d’apparitions constatées dans chaque intervalle. On
obtient ainsi un graphique en « escalier ».
Certaines règles doivent être observées :
• Nombre de classes : entre 5 et 20
• Largeur des classes : entre 0.25 et 0.5 * écart-type
• Si on dénote par C le nombre de classes : C = 1+3.3 log(n)
0.3
Fréquences relatives
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
2000
4000
6000
8000
10000
120000 140000
16000
Débits
Figure 1 : Histogramme de fréquences d’un échantillon
b- courbe des valeurs classées
Ces courbes représentent :
En ordonnées : les valeurs observées, classées en ordre décroissant
En abscisse : la fréquence d’apparition de l’ensemble des valeurs supérieures à la valeur
portée en ordonnée.
Ce sont des courbes qui permettent de donner le pourcentage de probabilité où une valeur
observée a été égalée ou dépassée. Elles ont généralement l’allure d’un S horizontale.
c- La courbe de distribution des fréquences
On peut construire soit la distribution des fréquences cumulées au non dépassement soit la
distribution des fréquences cumulées au dépassement.
1
Fréquences cumulatives
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
2000
4000
6000
8000
10000
120000 140000
16000
Débits
Figure 2 : Courbe de distribution des fréquences cumulées
La fonction de densité de probabilité :
Si la taille de l’échantillon devient grande et l’intervalle de classe te,d vers zéro, le
polygone des fréquences relatives sera décrit par une courbe à laquelle est associée une
fonction de distribution continue appelée fonction de densité de probabilité. Elle est notée f(x)
et caractérisée par :
−∞
∫ f ( x)dx = 1
+∞
Ainsi l’effectif ou la fréquence d’apparition d’une valeur xi deviendra la densité de probabilité
f’(xi).
La fonction de répartition
Elle représente la probabilité de non dépassement :
x
p ( X ≤ x) =
∫ f ( x)dx = F ( x)
−∞
La probabilité pour que la variable soit comprise entre deux valeurs a et b est :
b
p(a ≤ x ≤ b) = p (b) − p (a) = ∫ f ( x)dx
a
La probabilité au dépassement est :
+∞
p ( X ≥ x) =
∫ f ( x)dx = 1 − p( X ≤ x)
x
En hydrologie on parle surtout de probabilité de dépassement (ou probabilité d’apparition) :
p ( X ≥ x) = 1 − F ( x)
Figure 3 : Fonction de répartition
Probabilité d’apparition :
La probabilité d’apparition d’un phénomène est une notion importante pour le
dimensionnement des structures conditionnées par un phénomène naturel. On définie
l’intervalle moyen de récurrence, ou période de retour, par:
1
T=
P
P : probabilité de dépassement (p(X ≥ xT))
Exemple :
- un débit d’inondation dont la probabilité d’apparition ou de dépassement est de 0.033 est
appelé crue de 30 ans (T=1/0.033)
Les intervalles de récurrence recommandés pour le dimensionnement de certaines structures
sont présentés dans le tableau suivant.
Tableau 1 : Périodes de récurrence recommandée pour certains ouvrages
Type d’ouvrage
Période de récurrence (T) recommandée
Déversoirs de barrage
500 à 1000 ans
Ponts
Autoroutes
100 ans
Routes principales
50 ans
Routes secondaires
25 ans
Digues
100 ans
Plaines inondables
100 ans
Egouts pluvieux, fossés de drainage
5 à 10 ans
Egouts pluvieux de moindre importance 1 à 2 ans
Notions de risque :
Le concept de risque hydrologique est à la base du choix de la période de récurrence
utilisée pour la conception d’ouvrages hydrauliques. Elle représente la probabilité qu’un
critère de conception soit dépassé au moins une fois pendant la période de retour calculée
(T) ;
La probabilité que la variable aléatoire prenne la valeur x (probabilité pour qu’un événement
se produise) pour la première fois dans les (k-1) prochaines années :
C’est le produit des probabilités de non apparition pendant (k-1) années et la probabilité
d’apparition à la (kème) année :
1
1
p (1 − p) k −1 = (1 − ) k −1
T
T
On définit le risque hydrologique (R) comme étant la probabilité de dépassement de la
valeur xT au cours des k années de la vie d’un projet. La probabilité pk que l’événement x se
produise au moins une fois dans les (k) prochaines années : C’est la somme des probabilités
d’apparition pendant les années 1, 2, 3, …..,k.
p k = p + p (1 − p ) + p (1 − p ) 2 + p (1 − p ) 3 + ........ + p (1 − p ) k −1 = 1 − (1 − p ) k
1
p k = R = 1 − (1 − ) k
T
Exemple 1:
La probabilité d’apparition dans le 30 prochaines années (risque), d’un débit de valeur x dont
l’intervalle de récurrence est T=100 ans:
p30 = 1 − (1 −
1 30
) = 0.26
100
Pour un échantillon de 30 ans, il y a 26 sur 100 de chance (de risque) que cet échantillon
contienne une valeur dont l’intervalle réel de récurrence est de 100 ans.
En spécifiant le risque, on peut déterminer la période de récurrence nécessaire.
Exemple 2:
Un risque de 10 % pour que la capacité d’un ouvrage ne soit pas dépassée durant les 25
prochaines années :
1
0.01 = 1 − (1 − ) 25
T
La période de récurrence nécessaire est T =238 ans.
5
2. Caractéristiques d’une distribution
Une série statistique (échantillon) est caractérisée par trois types de paramètres :
1- les valeur centrales : (moyenne, mode, médiane)
2- les indices de dispersion :
- l’étendue (ou l’amplitude) : w = x max − x min
1 n
∑ ( xi − x ) 2
n − 1 i =1
s
- le coefficient de variation : C v =
x
3- Les caractéristiques de forme des courbes de fréquence.
n
n
( xi − x ) 3
∑
(n − 1)(n − 2) i =1
- le coefficient d’asymétrie : C s =
s3
- la variance : s 2 =
3. L’analyse fréquentielle
L'analyse fréquentielle est une méthode statistique de prédiction consistant à étudier
les événements passés, caractéristiques d'un processus donné (hydrologique ou autre), afin
d'en définir les probabilités d'apparition future. La figure 5 présente les étapes de l’analyse
fréquentielle.
Définition et but de l’étude
Constitution d’une série de valeurs
Contrôle de la série des valeurs
Choix du modèle
d’analyse fréquentielle
Ajustement du modèle
Contrôle de l’ajustement
Analyse des incertitudes
Exploitation du modèle
Figure 4 : Etapes de l’analyse fréquentielle.
6
La constitution d'échantillons, au sens statistique du terme, est un processus long, au cours
duquel de nombreuses erreurs, de nature fort différente, sont susceptibles d'être commises. Par
ailleurs, il est indispensable, avant d'utiliser des séries de données, de se préoccuper de leur
qualité et de leur représentativité.
3.1. Analyse de fréquence :
Deux méthodes sont possibles pour effectuer l’analyse de fréquence :
– Méthode graphique
– Méthode analytique
Méthode graphique
C’est une méthode empirique qui consiste à placer sur un graphique les points constituant un
échantillon donné, calculant pour chaque valeur sa fréquence expérimentale de dépassement
ou de non dépassement.
Les étapes à suivre sont :
Classer les événements xi par ordre décroissant et affecter à la plus grande valeur l’ordre 1
Calculer la fréquence expérimentale associée à chaque événement à l’aide de la formule
générale:
pm =
m −α
n + 1 − 2α
pm : probabilité de dépassement de la mème valeur
m : le rang qu’occupe la valeur
n : le nombre d’observation
α : paramètre qui varie selon les auteurs (Voir tableau suivant)
Plusieurs formules sont présentées dans la littérature pour le calcul de la fréquence. La
formule la plus utilisée est celle de Weibull pour laquelle α=0.
7
Tableau 4: Formules pour la détermination de la fréquence expérimentales pour la
méthode graphique
Auteur
Formule
Α
Hazen
Weibull
Chegodayev
pm
pm
pm
Blom
pm
Tukey
pm
Gringorten
Cunnane
pm
pm
m − 0.5
n
m
=
n +1
m − 0.3
n + 0.4
3
m−
8
=
1
n+
4
1
m−
3
=
1
n+
3
m − 0.44
=
n + 0.12
m − 0.4
=
n + 0.2
0.50
0
0.30
0.375
0.333
0.44
0.40
Après avoir classé les événements par ordre décroissant et Calculé la fréquence expérimentale
associée à chaque événement :
- Choisir un papier à probabilité correspondant à la fonction de densité choisie
(Normale, lognormal ou autre);
- Positionner les points expérimentaux sur le papier;
- Tracer une courbe d’ajustement à travers le nuage de points;
- Interpoler ou extrapoler pour trouver la fréquence d’un événement donné ou obtenir la
valeur de l’événement correspondant à une probabilité donnée.
La méthode graphique présente l’avantage d’être facile d’utilisation et permet l’évaluation
visuelle de l’ajustement d’une fonction de distribution donnée à l’échantillon. Néanmoins,
elle manque de précision et ne permet pas la comparaison entre différentes distributions.
Méthode analytique :
L’équation générale est la suivante : x = x + ∆x
x : Moyenne
∆x : Ecart par rapport à la moyenne, fonction des caractéristiques de dispersion de la
distribution. Cet écart peut être égal à :
∆x = k ⋅ s
k : Facteur de fréquence
s : Ecart type
xT = x + k T ⋅ s
8
Ou encore :
xT
= 1 + kT ⋅ C v
x
3.2. Choix du modèle fréquentiel
La validité des résultats d'une analyse fréquentielle dépend du choix du modèle fréquentiel
et plus particulièrement de son type. Diverses pistes peuvent contribuer à faciliter ce choix,
mais il n'existe malheureusement pas de méthode universelle et infaillible.
A partir de l’échantillon de n observations, l’histogramme de fréquence d’apparition, la
courbe de fréquence cumulée de non dépassement sont construits.
Si le nombre n devient grand, on cherche la loi de distribution de la population. La fréquence
devient densité de probabilité.
Tableau 5: Variables hydrologiques et les lois qui généralement s’y ajustent
Lois
Variables
Normale
Précipitations annuelles, Débits, Volume de stockage des réservoirs
Log Normale
Débits maxima annuels, Précipitations journalières, Précipitations
annuelles, Volume du ruissellement mensuel, Volume du ruissellement
annuel
Pearson type III Débits maxima annuels, Précipitations journalières, Précipitations
(Gamma)
annuelles, Volume du ruissellement mensuel, Volume du ruissellement
annuel
Loi de Gumbel et Débits maxima annuels
Fréchet
Loi exponentielle Précipitations journalières, Durée entre deux événements
Loi de Goodrich Valeurs moyennes annuelles (débits, précipitations, etc..
Les lois les plus utilisées en hydrologie sont la loi normale (loi de Gauss) et la loi de Gumbel.
Considérations théoriques
Loi normale
La loi normale se justifie, comme la loi d'une variable aléatoire formée de la somme
d'un grand nombre de variables aléatoires. En hydrologie fréquentielle des valeurs extrêmes,
les distributions ne sont cependant pas symétriques, ce qui constitue un obstacle à son
utilisation. Cette loi s'applique toutefois généralement bien à l'étude des modules annuels des
variables hydro-météorologiques en climat tempéré. La fonction de densité de probabilité est
définie par :
1
( x − m) 2
f ( x) =
exp(−
)
2σ 2
σ 2π
Les deux paramètres de cette distribution sont la moyenne m et l’écart type σ.
La fonction de densité f(x) se présente sous forme de courbe en cloche, symétrique par
rapport à la moyenne m.
Si on opère le changement de variable suivant :
9
x−m
z=
σ
La distribution devient :
z2
ϕ ( z) =
exp(− )
2
2π
φ(z) est appelée « distribution normale réduite » et z « variable réduite ». C’est une loi
normale de moyenne 0 et d’écart type 1.
L’estimation de la moyenne de la distribution théorique (m) est la moyenne de l’échantillon
( x ). L’estimation de l’écart type de la distribution théorique (σ) à partir d’un échantillon de
taille n est :
1
(∑ x )
−
2
∑x
2
i
i
n
n −1
A partir de l’expression de la variable réduite on peut écrire :
x = m + z ⋅σ
Le facteur de fréquence correspond donc à la variable réduite (kT=zT). L’équation de
fréquence s’écrit :
xT = x + z T ⋅ s
xT : la valeur de la variable pour une période de retour T.
s=
Exemple :
Déterminons la valeur de la pluie pour la période de retour de 10 ans :
Moyenne : m=704 mm
Ecart type : s=252 mm
T = 10 ans :
P(Z≤z)=1-1/T=1-1/10=0.9
La valeur de la variable réduite selon la table (par interpolation) est : z=1.28 donc k10=1.28.
x10 = m + k10 ⋅ s = 704 + 1.28 ⋅ 252 = 1027 mm
Loi de Gumbel (distribution des valeurs extrêmes)
E.-J. Gumbel postule que la loi double exponentielle, ou loi de Gumbel, est la forme
limite de la distribution de la valeur maximale d'un échantillon de n valeurs. Le maximum
annuel d'une variable étant considéré comme le maximum de 365 valeurs journalières, cette
loi doit ainsi être capable de décrire les séries de maxima annuels.
La fonction de répartition a la forme suivante :
−e
−
( x−β )
F ( x) = e
La variable réduite u de Gumbel est définie par :
x−β
u=
α
α
D’où ,
F ( x) = e −e
−u
9
Où α et β sont les paramètres de la loi. Le paramètre α est un paramètre caractéristique de la
dispersion. On démontre que β est le mode (la valeur la plus probable).
L’estimation des paramètres peut être calculée par la méthode des moments:
α = 0.78 ⋅ s
β = x − 0.45 ⋅ s
s est l’écart type de l’échantillon ;
x est la moyenne de l’échantillon.
La variable réduite u de Gumbel se calcule par :
u = − Log (− Log ( F )) ;
F étant la probabilité de non dépassement.
L’équation de fréquence la loi de Gumbel s’écrit:
xT = x + k T ⋅ s
Si la taille de l’échantillon est supérieure à 100, on peut démontrer en remplaçant α et β par
leur valeurs dans l’équation de fréquence que:

 1 
k T = −0.45 − 0.78 ⋅ Log − Log 1 − 
 T 

Si la taille de l’échantillon est inférieure à100, le facteur kT est obtenu à partir de valeurs
tabulées en fonction de la taille de l’échantillon.
Distribution de Pearson (Gamma) Type III
La fonction de densité de probabilité de la loi de Pearson Type III à deux paramètres :
1  x −γ 
f ( x) =


λΓ( β )  λ 
β −1
− ( x −γ )
e
λ
α,β et γ sont des paramètres.
Si on introduit la variable u=x- γ dans l’équation précédente la loi Pearson III devient une
distribution à deux paramètres.
Estimation des paramètres :
 2
β = 
 Cs
s
λ=



2
β
γ = x+s β
Cs est le coefficient d’asymétrie.
Equation de fréquence : xT = x + k T s
10
Le facteur de fréquence kT peut être calculé selon la formule :
2
kT =
Cs
 C
s

 6
C

z − s
6

3

 
 + 1 − 1
 

Où z est la variable réduite de la loi normale correspondant à la période de retour T.
Si Cs=1 la loi Pearson III correspond à la loi normale.
Loi de Galton (Loi log-normale)
Lorsque les valeurs du logarithme d’une variable X suivent une distribution normale,
on dit que la variable X suit une loi de Galton.
La loi log-normale est préconisée par certains hydrologues qui la justifient en argumentant
que l'apparition d'un événement hydrologique résulte de l'action combinée d'un grand nombre
de facteurs qui se multiplient.
Loi de Frechet
On dit qu’une variable suit une loi de Frechet si la variable log(X) suit une loi de
Gumbel.
Il est à remarquer que plus le nombre de paramètres d'une loi est grand, plus l'incertitude dans
l'estimation est importante. Pratiquement il est par conséquent préférable d'éviter l'utilisation
de lois à trois paramètres ou plus.
3.3. Contrôle de l’ajustement
Il existe toujours des écarts entre les fréquences expérimentales des valeurs observées
et les fréquences des mêmes valeurs calculées à partir d’une fonction de répartition
quelconque. L’ajustement graphique est la première étape mais reste insuffisante pour le
choix définitif de la loi théorique. Le test statistique d’adéquation consiste à comparer
l’adéquation de plusieurs lois afin d’adopter le moins mauvais ajustement. Les tests les plus
utilisés sont le test χ 2 et le texte de Kolmogorov Smirnov.
Le test d’adéquation de χ 2 :
Ce test permet de faire une comparaison entre la distribution empirique et la
distribution théorique. Le principe consiste à faire l’hypothèse que les deux distributions ne
différent pas. Si la probabilité qu’il en soit ainsi est faible, on rejette l’hypothèse et on
conclura que la distribution théorique ne s’ajuste pas à l’échantillon étudié. Si au contraire
cette probabilité est forte, la loi théorique sera acceptée.
Soit un échantillon de taille n (x1,x2,…..xn)
Hypothèse: Ho : x1,x2,…..xn sont issus d’une population distribuée selon la loi de probabilité
F(x) à p paramètres.
11
La mise en oeuvre consiste à subdiviser l’échantillon en k classes équiprobables,
v
chacune ayant une probabilité théorique : Pi telle que Pi = i où vi est l’effectif théorique
n
(nombre d’éléments) de chaque classe i.
En réalité l’effectif réel de chaque classe i est ni, plus ou moins différent de vi.
Le problème est de vérifier si l’écart entre les vi et les ni des différentes classes est significatif.
La vérification se fait par le calcul de la moyenne des carrées des écarts entre ces deux
effectifs :
k
(n − vi )2
2
=∑ i
χ calculé
vi
i =1
Cette quantité suit une loi χ 2 à µ degrés de liberté. Avec :
µ = k − p −1 ≥ 1
Ce qui implique que k ≥ p+2
Le test n’est significatif que si vi ≥ 5.
2
2
est comparée à une valeur tabulée, χ tabulé
, fonction du nombre de degré de liberté et du
χ calculé
seuil de signification α imposé en général à 5%.
2
Des tables donnant la loi χ tabulé
à la probabilité α de dépassement existent.
2
2
> χ tabulé
si χ calculé
, µ On rejette l’hypothèse nulle.
2
2
≤ χ tabulé
Si χ calculé
, µ la loi d’ajustement sera retenue.
Le test de Kolmogorov Smirnov
Ce test se base sur la fonction de répartition empirique Fn(x) définie par :
Fn ( x) =
nombred ' observations
≤x
n
La fonction théorique F(x) est comparée à l’échantillon selon le principe suivant :
On calcule la quantité Dn telle que :
n
Dn = max F ( xi ) − Fn ( xi )
i =1
Pour chaque événement xi observé, on calcule sa fréquence théorique F(xi) et Fn(xi).
Dn est la valeur maximale de toutes les quantités calculées F ( xi ) − Fn ( xi ) . Le test repose sur
la valeur de Dn. Si celle-ci est assez grande, la loi sera rejetée.
Le test consiste à calculer la quantité Dn,α, fonction de la taille de l’échantillon n,et d’un seuil
de risque imposé α sur des tables appropriées au test de Kolmogorov-Smirnov.
Si Dn > Dn ,α alors l’hypothèse de validité est rejetée.
Intervalle de confiance
12
La valeur d’une variable estimée ne correspond pas à la vraie valeur qui ne peut être
connue qu’avec un échantillonnage de dimension infinie. La notion d’intervalle de confiance
représente un certain nombre de chances de trouver la vraie valeur du paramètre cherché. Son
amplitude est d’autant plus grande que :
•
•
•
Le degré de confiance choisi est grand
La dispersion (écart) est grande
La taille de l’échantillon est réduite
Le chois du degré de confiance dépend du risque que le projecteur accepte. Le degré est choisi
d’autant plus élevé que l’on recherche la sécurité.
Valeurs communément admises :
•
95 % pour les projets importants économiquement et/ou exigeant une
sécurité élevée
•
70 % pour les projets d’importance économique moindre et / ou
n’exigeant pas une sécurité très poussée
Loi Normale
xT = x + k T s
On peut montrer que la valeur xT pour une période de retour T a α % de chance d’appartenir à
l’intervalle :
(xT )inf , (xT )sup
Limite inférieure :
(xT )inf
= xT − z
1−
Limite supérieure : (xT )sup = xT + z
α
1−
S eT
2
α
S eT
2
SeT : Erreur standard pour une période de retour T estimée par : S eT =
s
n
1+
z T2
2
Loi de Gumbel
La valeur approximative de l’erreur standard :
S eT ≈
δ
n
s
avec s : l’écart type et δ = 1 + 1.14k T + 1.10k T2
13
14
15
16
17
18
19