Практическое занятие № 6
Пограничный слой
1. Цели и задачи практического занятия: решением задач закрепить
теоретический материал, уметь вычислять толщину, вытеснение
пограничного слоя, сопротивление трения в ламинарном, турбулентном,
смешанном пограничных слоях.
2. Общие сведения.
Рассмотрим обтекание тел вязким несжимаемым потоком жидкости
(газа). Вследствие вязкости молекулы жидкости (газа), обтекающей тело,
прилипают к его поверхности, образуя слой, в котором происходит обмен
между прилипшими частицами и соседними слоями потока жидкости. Это
приводит к образованию некоторого градиента скорости течения. По мере
удаления от поверхности скорость течения увеличивается, приближаясь к
скорости набегающего на тело потока. Образуется пристеночный тонкий слой
жидкости (газа) определенной толщины δ, который называется пограничным
слоем (рис. 18). Он характеризует влияние вязкости на обтекание тела и
определяет сопротивление трения и давления, аэродинамический нагрев,
подъемную силу и т. д.
Пограничный слой по своей структуре может быть ламинарным и
смешанным ламинарно-турбулентным. Примером смешанного пограничного
слоя может служить обтекание длинной пластины длиной l и шириной b (рис.
19).
Рис. 18. Пограничный слой
Рис. 19. Структура и эпюры скоростей в
пограничном
слое
при
обтекании
воздушным потоком плоской пластины:
1 – ламинарный пограничный слой; 2 – переходный;
3 – турбулентный; 4 – ламинарный подслой; х –
координата точки перехода Т ламинарного
пограничного слоя в турбулентный.
Вблизи передней кромки пластины образуется ламинарный
пограничный слой, который по мере удаления от нее утолщается, а
устойчивость ламинарного течения уменьшается: теряется устойчивость
линий тока. Они становятся волнистыми, а затем слои перемешиваются. Эта
зона называется переходной областью от ламинарного течения к
турбулентному.
По мере продвижения потока к задней кромке пластины перемешивание
слоев увеличивается и развивается устойчивое турбулентное течение.
Этот слой получил название турбулентного пограничного слоя. Точка Т,
в которой ламинарный слой переходит в турбулентный называется точкой
перехода. Она зависит от степени турбулентности внешнего потока и
шероховатости пластины. Чем больше шероховатость пластины и
турбулентность набегающего потока, тем раньше осуществляется переход.
Координата x определяет точку перехода Т ламинарного пограничного слоя в
турбулентный.

x  Re  V
.
кр
(59)
Переход от ламинарного слоя в турбулентный можно объяснить
следующим образом. Рассмотрим произвольную частицу m в ламинарном
пограничном слое.
Известно, что жидкие частицы при своем движении деформируются.
Вследствие вязкости жидкости в данном случае сторона частицы,
расположенная дальше от поверхности тела, движется быстрее, чем та,
которая расположена ближе к поверхности, что приводит к деформации
частицы и вращению ее вокруг мгновенной оси, а, следовательно, к
образованию вихрей. При движении частиц вдоль пластины местное число
Рейнольдса увеличивается ( Re 
Vb

, b – возрастает); а, следовательно,
возрастает интенсивность вихреобразования, что приводит к уменьшению
устойчивости ламинарного течения. Линии тока становятся волнистыми, а
затем слои перемешиваются, и образуется устойчивое турбулентное течение.
Пограничный слой с ламинарным и турбулентным течением называется
смешанным.
Критическое число Рейнольдса определяется по формуле
V x
Re  
кр
(60)
где V – скорость потока, x – точка перехода ламинарного течения в
турбулентное, ν – кинематический коэффициент вязкости жидкости (газа).
В турбулентном пограничном слое имеется тонкий ламинарный
подслой, примыкающий к поверхности обтекаемого тела. В нем молекулярные
процессы обмена частиц преобладают над процессом турбулентного обмена.
Поток, обтекающий твердое тело, условно делят на три части: внешний
который принимают невязким (идеальная среда), пограничный слой (вязкая
среда) и спутный след (вязкая среда) (рис. 20).
Рис. 20. Структура воздушного потока, обтекающего твердое тело:
1 – внешний невязкий слой; 2 – пограничный (вязкий) слой; 3 – спутный след
Спутный след – область течения, которая образуется позади обтекаемого
тела.
Условное
деление
потока
дает
возможность
определить
аэродинамические силы, возникающие на обтекаемом теле. Толщина
пограничного слоя δл (толщина ламинарного пограничного слоя); δт – толщина
турбулентного пограничного слоя.
Одна из них – сила сопротивления Xf обусловленная трением,
возникающим в пограничном слое.
Для расчета ламинарного и турбулентного пограничных слоев
используется уравнение импульсов (интегральное соотношение) для плоского
установившегося течения несжимаемой жидкости, которое имеет вид:



d
d
dP
Vx2 dy  V0  Vx dy  
 0

dx 0
dx 0
dx
(61)
где ρ – плотность жидкости;
P – давление;
V0 – скорость на верхней границе пограничного слоя;
δ – толщина пограничного слоя;
τ0 – касательное напряжение, т. е. сила трения, отнесенная к единице
поверхности. Оно определяет силу трения Xf, возникающую в пограничном
слое при обтекании тел.
Для ламинарного пограничного слоя плоской пластины, решая
интегральное соотношение (61) при условии V0=V, получают следующие
выражения:
л 
5 ,48 x
Re x
Re x 
(62)
 x
(63)
V
 0 л  0 ,332
V3
x
(64)
V - скорость невозмущенного потока;
x – длина пластины, соответствующая толщине пограничного слоя δ;
ν – кинематический коэффициент вязкости жидкости;
μ – динамический коэффициент вязкости;
δл – толщина ламинарного пограничного слоя;
Rex – число Рейнольдса, соответствующее x.
Более точные формулы, полученные Блазиусом имеют вид:
 л  5 ,2
 x
V
,
(65)
 0 л  0 ,332
V3
x
.
Сила сопротивления трения Xтр.л., действующая на одну сторону
пластины длиной l и шириной b определяется по формуле:
X тр л  0 ,664  V2  b  l 
b·l=S – площадь пластины.

V  b
X тр л 
Cf л 

(66)
V  b

1
Reb
1,328
V 2
S  
2
Reb
(67)
1,328
– коэффициент трения плоской пластины.
Reb
X тр л  C f  S 
V2
(68)
2
Коэффициент лобового сопротивления пластины, обусловленный
силами трения, действующими на обе стороны пластины Cx равны:
Cx=2Cf
(69)
Для турбулентного пограничного слоя формулы для определения
толщины δт, касательного напряжения τ0т и силы одностороннего
сопротивления трения плоской пластины Xтр.т. имеют вид:
1 ,5
 1 
  x
 т  0 ,37 
 Re x 
(70)
1 ,5
0 т
 
1
 0 ,0289 V     5
x
 V 
2

X тр т
где C f т 
для
 
 0 ,036  
 V 
(71)
0 ,2
 l  b0 ,8  V2
(72)
0 ,072
0 ,144
, Cx 
.
0 ,2
Re
Re 0 ,2
Для смешанного пограничного слоя коэффициент сопротивления трения
плоской пластины имеет вид (обтекание плоской пластины
безградиентное
dP
 0 ):
dx
4
C X тр
5 5

0 ,074 
 Re  Reкр  0 ,37 Reкр8 


Re 

(73)
В случае сжимаемого турбулентного пограничного слоя для расчета его
толщины и коэффициента сопротивления трения применяются формулы
Бураго
1
 сж
1

3
  нс  1  M 2 
 15

C fсж
1

3
 C fнс  1  M 2 
 15

(74)
2
(75)
Во многих случаях вместо толщины пограничного слоя в расчетах
применяют условные толщины пограничного слоя:
δ* - толщина вытеснения массы, вследствие действия пограничного слоя
и смещений линий тока (рис. 21);
δ** - толщина потери импульса.
Рис. 21. К определению толщины вытеснения
Для несжимаемого газа для плоской пластины
для ламинарного слоя
 л* 
1,72 x
Re x
(76)
 л** 
0 ,664 x
Re x
(77)
для турбулентного слоя
 т* 
0 ,046 x
5 Re
x
(78)
 т** 
0 ,036 x
5 Re
x
(79)
Для ламинарного пограничного слоя:
 л**  0 ,4 л*  0 ,12 л
Для турбулентного пограничного слоя:
 т**  ( 0 ,7  0 ,8 ) т*  ( 0 ,09  0 ,1 ) т
Вопросы для самопроверки:
1. Почему на поверхности обтекаемого тела возникает пограничный
слой?
2. Что называют пограничным слоем?
3. Какие бывают виды пограничного слоя?
4. Что такое критическое число Рейнольдса Reкр?
5. Какие виды сопротивлений создаются в пограничном слое?
6. На какие части делится поток, обтекающий тело?
4.3. Обтекание криволинейной поверхности. Отрыв пограничного слоя.
Выше было рассмотрено обтекание плоской пластины, установленной
под нулевым углом атаки по отношению скорости набегающего потока (α=0).
В этом случае в пограничном слое изменяется градиент скорости
продольный градиент давления
dVx
,а
dy
dP
равен нулю, т. е. давление по длине
dx
пластины остается постоянным, и среда движется только под воздействием
сил трения.
При обтекании же криволинейной поверхности картина течения в
пограничном слое изменяется: струйки, обтекающие такую поверхность,
изменяют свое поперечное сечение: в месте наибольшей выпуклости
поверхности струйки сильно сжимаются, в более пологом расширяются.
На основе уравнения неразрывности и уравнения Бернулли для струйки
газа
V1S1=V2S2
(80)
P1 
V12
2
 P2 
V22
2
  const 
(81)
в месте уменьшения сечения скорость возрастает, а сила давления падает, и в
месте увеличения сечения наоборот (рис. 22), т. е. изменяются скорость и сила
давления.
Рис. 22. Обтекание потоком криволинейной поверхности
В пограничном слое изменение скорости и силы давления определяются
dP
dVx
и
. Очевидно, что на участке отрицательного градиента
dx
dy
dP
dP
 0 силы давления способствуют течению в пограничном слое, при
0
dx
dx
их градиентами
силы давления направлены против течения (рис. 22). В наибольшей
выпуклости поверхности скорость течения максимальная, а давление
минимальное, т. е. в этой точке пограничного слоя
dP
dVx
0,
0.
dx
dy
Из рис. 22 видно, что до этой точки имеется зона, где
зона, где
dP
 0 , а после нее
dx
dP
 0 , в которой частицы жидкости (газа) под влиянием
dx
положительного градиента давления при определенных условиях начинают
перемещаться против течения в пограничном слое, что может привести к
отрыву пограничного слоя (рис.23).
Рис. 23. Схема отрыва пограничного слоя на криволинейной поверхности:
1 – пограничный слой; 2 – вязкий подслой; 3 – зона срыва потока
Движущиеся массы жидкости (газа) в разных направлениях в
пограничном слое сталкиваются, свертываются, давая начало вихрю, отходят
от поверхности и подхватываются набегающим потоком.
Внутри зоны срыва потока положительный градиент давления
снижается почти до нуля, так что давление в кормовой части тела значительно
уменьшается по сравнению с давлением, имеющим место при безотрывном
обтекании, что приводит к резкому увеличению лобового сопротивления.
Сила лобового сопротивления тела складывается из сопротивления,
связанного с трением в пограничном слое и сопротивления давления,
обусловленного различием давления в носовой и кормовой частях обтекаемых
тел, т. е. коэффициент силы лобового сопротивления обтекаемого тела равен
сумме коэффициентов соответственно трения и давления
Cx  Cx  Cx ,
f
P
где Cx – коэффициент силы трения;
f
C xP – коэффициент сопротивления, обусловленный разностью давлений.
Вопросы для самопроверки:
1. В чем причины образования пограничного слоя у твердых тел,
обтекаемых потоком?
2. Какие виды пограничного слоя существуют?
3. Как определить переход ламинарного пограничного слоя в
турбулентный?
4. Какое сопротивление образуется в пограничном слое,
образовавшегося на криволинейной поверхности?
5. Чему будет равно сопротивление на плоской пластине, на которую
поток, набегает под углом атаки α=0? α≠0?
6. Как образуется срыв потока?
4.4. Пример решения типовой задачи.
Задача 1
Условие
При сверхзвуковых скоростях обтекания напряжение трения на
заостренном конусе при ламинарном режиме течения в пограничном слое в
3 раз, а при турбулентном в 1,176 раза больше, чем напряжение трения на
пластине, т. е.  ст.к  3 ст.пл , c fxк  3с fxпл (в ламинарном пограничном слое);
τст.к=1,176·τст.пл, cfxк=1,176·cfxпл (в турбулентном пограничном слое).
Установите связь между средними коэффициентами трения на конусе cfк
и пластине cfпл для ламинарного и турбулентного режимов течения в
пограничном слое, предполагая, что параметры невязкого потока, т. е.
параметры на границе пограничного слоя, для пластины и конуса одинаковы.
Определите без учета влияния сжимаемости сопротивление трения для
ламинарного и полностью турбулентного пограничных слоев на поверхности
заостренного конуса (полуугол при вершине конуса βк=40°, высота h=5 м),
если известны параметры невязкого потока Vк=Vδ=2527 м/с; ρк=ρδ=3,237 кг/м3;
μк=μδ=91,72·10-6 Н·с/м2. Эти параметры соответствуют полету конуса на высоте
Н=10 км со скоростью V∞=3500 м/с.
Решение
Для плоской пластины средний коэффициент трения определяется
следующим образом:
c fпл 
X fпл
q S пл

X fпл
q Lb
,
(82)
где
L
X fпл    ст .пл dS  b   ст .пл dx
(S)
(83)
0
– сопротивление трения плоской пластины; L, b – соответственно длина и
ширина пластины.
Напряжение трения τст для ламинарного пограничного слоя

1

1
 ст.пл  0 ,332  V2 Re x 2  0 ,332   V3 x 2 .
(84)
Подставляя (84) в (83) и произведя соответствующие вычисления,
получаем
 0 ,332    V3

c fпл  2
 2 K пл ,
L
 q 
где
(85)
 0 ,332    V3

.
K пл  
q
L
  
(86)
Для конуса
c fк 
X fк
qк Sбок

X fк
qкRL
,
(87)
где
L
X fк    ст .к dS  2   ст .к rdx
(S)
(88)
0
– сопротивление трения конуса; R – радиус основания (миделева сечения)
конуса; L – длина его образующей; qк 
 кVк2
2
.
Учитывая то, что  ст.к  3 ст.пл , а значения текущего радиуса r 
xR
,
L
получаем
2 3R

 ст .пл xdx .
L 0
L
X fк
(89)
Следовательно,
L
2 3
c fк 
 ст .пл xdx .
qк L2 0
Заменяя в последнем соотношении τст.пл по (84) и произведя
соответствующие вычисления, находим
c fк 
4 3  0 ,332  к  кVк3 4 3



Kк ,
3  qк 
L
3
(90)
где
 0 ,332  к  кVк3

K к  
.
q
L
 к 
(91)
Так как по условию параметры невязкого потока на пластине и конусе
одинаковы, т. е. Vк=Vδ, ρк=ρδ и т. д., то связь между cfк и cfпл для ламинарного
пограничного слоя можно найти из сопоставления (85) и (90), принимая, что
Kпл=Kк:
c fк 
2 3
c fпл .
3
(92)
Используя аналогичные рассуждения и учитывая, что для турбулентного
пограничного слоя

1

1
 ст.пл  0 ,0289  V2 Re x 5  0 ,02895 4V9  x 5 ,
можно
установить
следующее
соотношение
между
средними
коэффициентами трения для конуса и пластины:
c fк  1,045c fпл .
(93)
Для определения сопротивления трения конуса найдем средний
коэффициент трения cfпл по формулам плоской пластины и параметрам на
конусе. Для ламинарного пограничного слоя c лfпл 
c тfпл 
1,328
; для турбулентного
Re L
0 ,074
, где после подстановки всех данных
Re L
5
Re L 
Vк L к
к
 5 ,821  10 8 .
Следовательно, c лfпл  5,496  10 5 ; cтfпл  1,307  103 .
Используя (92) и (93), для конуса находим
c лfк  6 ,346  10 5 ; c тfк  1,366  10 3 .
Зная скоростной напор qк 
 кVк2
2
 10 ,34  10 6
Н
м2
и площадь боковой
поверхности конуса Sбок=πRL=85,99 м2, можно определить сопротивление
трения конуса. Для ламинарного пограничного слоя X fл  c лfк qк Sбок  5,642  104 Н ,
а для турбулентного X тf  cтfкqк Sбок  121,4  104 Н .
4.5. Решить задачи.
1. Определить коэффициент и силу сопротивления трения гладкой
пластины с размерами l=0,5 м, b=3 м при α=0. Скорость потока V=12 м/сек.
Течение полагать: а) ламинарным; б) турбулентным. Параметры воздуха
соответствуют высоте Н=1 000 м. Определить толщину пограничного слоя на
конце пластины.
Ответ: а)
б)
2. Определить коэффициент сопротивления профиля крыла с
относительной толщиной c  14% и хордой b=3 м при полете на высоте H=600
м со скоростью V=600 км/час. Точка перехода ламинарного пограничного слоя
в турбулентный расположена на расстоянии 20% хорды от носика профиля.
Ответ:
3. Поток воздуха, имеющий скорость V=30 м/сек, обтекает тонкую
плоскую пластину, расположенную по потоку, при нормальных атмосферных
условиях. Длина пластины l=200 мм. Приняв для критического числа Re,
взятого по длине пограничного слоя, среднее значение 5·105, показать, что
пограничный слой, образующийся у пластины, является ламинарным. Найти
коэффициент трения cxтр. Коэффициент кинематической вязкости воздуха при
нормальных атмосферных условиях ν=0,145·10-4 м2/сек.
Ответ:
4. Определить в ламинарном пограничном слое на плоской пластине
толщину пограничного слоя δл, толщину вытеснения массы  л* и толщину
потери импульса  л** , а также коэффициент сопротивления трения cxтр, если
x=0,5036·10-2 м, а Rex=105.
Ответ:
5. Определить в турбулентном пограничном слое на плоской пластине
толщину пограничного слоя δт, толщину вытеснения массы  т* , толщину
потери импульса  т** , коэффициент сопротивления cxf, если x=0,7·10-2 м, а
Rex=106.
Ответ:
6. Толщина потери импульса  л** в ламинарном пограничном слое
плоской пластины равна  л**  0 ,0032 м .
Определить толщину пограничного слоя δл, толщину вытеснения массы
*
 л , число Рейнольдса Rex, если x=0,52·10-2 м.
Ответ:
7. Толщина вытеснения турбулентного пограничного слоя на плоской
пластине  т* равна  т*  0 ,004 м . Определить толщину пограничного слоя δт,
толщину потери импульса  т** , координату x, если Rex=105.
Ответ:
8. Толщина ламинарного пограничного слоя на плоской пластине δл
равна δл=0,01546 м. Определить толщину вытеснения массы  л* , толщину
потери импульса  л** .
Ответ:
9. Определить длину ламинарного участка пограничного слоя на
плоской пластине Xл, толщину пограничного слоя δл, толщину вытеснения
массы  л* и толщину потери импульса  л** для высоты 10 км и скорости потока
V=180 км/ч, если число Reкр=105, νH=10000 м=3,525·10-5 м2/сек.
Ответ:
10. Толщина ламинарного пограничного слоя на конце пластины δл=4,65
мм, длина пластины l=0,5 м. Определить число Рейнольдса Rel и коэффициент
силы сопротивления трения cxf.
Ответ:
11. Определить коэффициент и силу сопротивления трения гладкой
пластины с размерами l  0 ,5 м; в  3 м при   0 скорость потока
V  12
м
м2
кг
; H  1000 м . Поток ламинарный.  H 1000м  1,51812  10 5
;   1,1117 3 .
с
с
м
Ответ:
12. Определить коэффициент и силу сопротивления трения гладкой
пластины на высоте полета H  1000 м . Размеры пластины l  0 ,5 м; в  3 м .
м
с
Скорость потока V  12 , угол атаки пластины   0 . Поток турбулентный.
 H 1000 м  1,51812  10 5
кг
м2
;  H 1000 м  1,1117 3 .
м
с
Ответ:
13. Определить сопротивление профиля крыла с относительной
толщиной c  14% и хордой в  3 м при полете на высоте H  600 м со
скоростью V  600
км
. Точка перехода ламинарного пограничного слоя в
ч
турбулентный расположена на расстоянии 20 % хорды от носика профиля. (
a H 600 м  338 ,35
Ответ:
м
м2
;  H 600 м  1,53  10 5
).
с
с