電磁気学 I, II
風間洋一
電磁気学 I, II
Home Page:
担当 風間洋一
http://hep1.c.u-tokyo.ac.jp/˜kazama/kazama.htm
電磁気学 I
1. 序論: 電磁気学 I, II の目標
1.1 電磁気学の重要性
1.2 電磁気学の枠組みの概観
2. 静電場
2.1 クーロンの法則
2.2 電場の概念と重ね合わせ：連続分布に対するクーロン則
2.3 クーロン則の簡単な応用
2.4 ガウスの法則とマックスウェルの第１方程式
2.5 ポテンシャルエネルギーと電位
2.6 基本的な電荷分布とそのつくる電位、電場
2.7 導体系とそれに伴う電荷分布、電位、および電場
2.8 電場のエネルギーの概念
2.9 導体系の電位と電気容量
2.10 導体系に働く力
電磁気学 II
3. 定常電流
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
オームの法則
ジュール熱
電荷の保存則
起電力と電池
抵抗と電池を使った回路網
4. 静磁場
4.1 序論
4.2 クーロン静磁場とローレンツ力
4.3 電流間に働く力とビオ-サヴァールの法則
4.4 ビオ-サヴァール則からマックスウェル方程式へ
4.5 静磁場の法則の積分形とその応用
5. 時間変化する電磁場
5.1
5.2
5.3
5.4
磁場の時間変化：ファラディーの電磁誘導の法則
電場の時間変化とマックスウェルの変位電流
マックスウェル方程式系のまとめ
真空中のマックスウェル方程式と電磁波
6. 進んだ学習
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
(時間があれば、以下の項目から取捨選択して学習する)
ベクトルポテンシャルによる静磁場の表し方
静磁場の多重極展開と磁気双極子モーメント
磁場が電流に及ぼす力と回転力
時間に依存する電場のポテンシャルによる表式
電流の時間変化とインダクタンス
電流のエネルギーとその磁場のエネルギーとしての解釈
電磁場のエネルギー保存則とポインティングベクトル
参考書について：
• この講義では、電磁気学を高校で履修していることを前提としないので、それを前
提とした教科書は用いない。講義ノートをきちんととり、適所に配された演習問題
を自分で解いていけば、十分な理解が得られるように設計してある。
• 適当な時期に、何度かに分けて、講義ノートの pdf file を HP に up する。演習問題
の解答も付ける。
• しかし、自分の学力及び興味に合致した本を一冊座右において参考にすれば、より
深い理解を得ることができる。電磁気学に関する本は多々あるが、定評のあるもの
（の一部）をおおまかな難易度 (A,B) をつけて幾つか示す。この講義に関しては A 程
度で十分である。
–
–
–
–
–
–
–
–
長岡洋介：
「電磁気学 I, II」、
「例解電磁気学演習」、 岩波物理入門コース
砂川重信: 「電磁気学」(はじめて学ぶひとのために)、培風館
原康夫：
「電磁気学 I, II」、裳華房 (A)
加藤正昭：
「電磁気学」、東大出版会 (A ∼ B)
ファインマン物理学：
「電磁気学」、「電磁波と物性」、 岩波 (A ∼ B)
バークレー物理学コース 「電磁気、上下」、丸善 (A ∼ B)
バーガー・オルソン：
「電磁気学 I, II」、培風館 (B)
金原寿郎：
「電磁気学 I, II」、裳華房 (B)
(A)
5
目次
第 1 章 序論: 電磁気学 I, II の目標
9
1.1 電磁気学の重要性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 電磁気学の枠組みの概観 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
第2章
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
静電場
Coulomb の法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
電場の概念と重ね合わせ：連続分布に対する Coulomb 則
Coulomb 則の簡単な応用 . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gauss の法則と Maxwell の第１方程式 . . . . . . . . . .
2.4.1 Gauss の法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Gauss の法則による電場の計算 . . . . . . . . . .
2.4.3 Gauss の定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.4 Maxwell の第一方程式の微分形 . . . . . . . . . .
ポテンシャルエネルギーと電位 . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 仕事とポテンシャルエネルギーの復習 . . . . . .
2.5.2 クーロン力によるポテンシャルエネルギーと電位
2.5.3 電位の満たす方程式：ポアソン方程式 . . . . . .
2.5.4 Poisson 方程式の一般解 . . . . . . . . . . . . . .
基本的な電荷分布とそのつくる電位、電場 . . . . . . . .
2.6.1 単電荷、及び電気双極子のつくる場 . . . . . . .
2.6.2 電位の多重極 (Multipole) 展開 . . . . . . . . . .
導体系とそれに伴う電荷分布、電位、及び電場 . . . . .
2.7.1 静的な状態での導体の電気的特徴 . . . . . . . . .
2.7.2 導体の回りの静電場の求め方 . . . . . . . . . . .
2.7.3 Kelvin の鏡像法 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
電場のエネルギーの概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.1 静電エネルギー . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.2 簡単な系の持つ静電エネルギー . . . . . . . . . .
2.8.3 静電エネルギーの電場のエネルギーとしての解釈
. .
.
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
17
17
22
24
29
29
32
35
37
38
38
39
43
43
46
46
48
53
53
54
56
61
61
63
64
2.9 導体系の電位と電気容量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.10 導体系にはたらく力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
第 3 章 定常電流
3.1 定常電流が生ずるメカニズムとオーム (Ohm) の法則
3.1.1 Ohm の法則の様々な形 . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Ohm の法則の起源 . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Joule 熱（摩擦熱） . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 電荷の保存則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 起電力と電池 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 抵抗と電池を使った回路網と Kirchhoff の法則 . . . .
第4章
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
静磁場 (Magnetostatics)
序論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Coulomb 静磁場と Lorentz 力 . . . . . . . . . .
電流間に働く力と Biot-Savart の法則 . . . . . .
4.3.1 平行電流の間に働く力 . . . . . . . . . .
4.3.2 Biot-Savart(ビオ・サバール) の法則 . . .
Biot-Savart 則から Maxwell(Ampère) の法則へ
~ ·B
~ = 0 の導出
4.4.1 磁化の非存在を表す式 ∇
~ ×B
~ = µ0~ の導出 . .
4.4.2 Ampère の法則 ∇
静磁場の法則の積分形とその応用 . . . . . . . .
4.5.1 Stokes の定理 (数学的恒等式) . . . . . .
4.5.2 静磁場の法則の積分形 . . . . . . . . . .
4.5.3 Ampère の法則の応用例 . . . . . . . . .
第 5 章 時間変化する電磁場
5.1 磁場の時間変化：Faraday の電磁誘導の法則 .
5.1.1 Faraday の発見 . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 非一様な磁場中を回路が動いた場合 . .
~ が時間変化する場合：相対性の考え
5.1.3 B
5.1.4 誘導電場の計算例 . . . . . . . . . . .
5.2 電場の時間変化と Maxwell の変位電流 . . . .
5.3 Maxwell 方程式系のまとめ . . . . . . . . . .
5.4 真空中の Maxwell 方程式と電磁波 . . . . . .
5.4.1 真空中の Maxwell 方程式 . . . . . . . .
5.4.2 真空中の電磁波の方程式 . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
77
77
77
79
81
83
84
85
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
93
93
93
95
95
97
102
102
104
105
106
108
110
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
115
. 115
. 115
. 116
. 118
. 119
. 121
. 123
. 124
. 124
. 124
.
.
.
.
.
.
.
5.4.3
5.4.4
5.4.5
波動方程式の平面波解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
２次元以上の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
電磁場に対する平面波解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
第 6 章 進んだ学習
6.1 ベクトルポテンシャルによる静磁場の表し方 . . . . . . . . . .
6.1.1 ベクトルポテンシャルに対する「ゲージ変換」の自由度
~ のみたす Maxwell 方程式 . . . . . . . . . . . .
6.1.2 静磁場 B
6.1.3 Vector Potential の満たす微分方程式 . . . . . . . . . . .
6.2 静磁場の多重極展開と磁気双極子モーメント . . . . . . . . . . .
6.2.1 平面中のループ電流の magnetic moment . . . . . . . . .
6.3 磁場が電流に及ぼす力と回転力 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.1 一般論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.2 一様な磁場の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.3 磁場中の magnetic moment の持つ potential energy . . .
6.4 一般の電場の potential による表式 . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5 電流の時間変化とインダクタンス . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.1 インダクタンスの定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.2 インダクタンスの役割 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6 電流のエネルギーとその磁場のエネルギーとしての解釈 . . . .
6.6.1 一回路系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6.2 一般の静磁場の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7 電磁場のエネルギー保存則とポインティングベクトル . . . . .
6.7.1 時間的に変化する場合の電磁場のエネルギーの定義 . . .
6.7.2 エネルギー保存則とポインティングベクトル . . . . . .
6.7.3 平面波に対するエネルギー保存則 . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
131
. 131
. 134
. 136
. 137
. 137
. 141
. 144
. 144
. 145
. 146
. 147
. 147
. 148
. 150
. 154
. 155
. 155
. 156
. 156
. 157
. 159
電磁気学 I
9
第 1 章 序論: 電磁気学 I, II の目標
1.1
電磁気学の重要性
電磁気学は次の二つの意味で非常に重要な学問である。
実用性：
• 日常生活における様々な電気的磁気的現象を司る。
• 実は、原子レベル以上のほとんどすべての現象を支配する。
（但し、ミクロな現象に
対しては量子力学も必要。）
例：
• 化学反応
• 物性物理 ( 磁性体、導体、絶縁体、超伝導体、etc. )
• 生物の運動。脳の活動。
理由： 物質は正負の電荷を持った陽子と電子（及び中性子）からできており、こ
れらの間に働く電磁相互作用は
(i) 遠距離力、かつ
(ii) 他の相互作用に比べて強い（後述）。
理論的重要性：
• 場の概念のプロトタイプをなす。
– 近接相互作用の考え（ファラディー）。
– 波動の考え方。
• アインシュタインの相対性理論の原点。←電磁誘導
• 自然界の基本的な力の一つ。
遠距離力 ↔ 質量がゼロの粒子の 交換によって生ずる力。
10
第 1 章 序論: 電磁気学 I, II の目標
自然界の基本的な力、到達距離、相対的強さ
すべての力を感ずる陽子に対して比較。
重力
電磁気力
弱い力
強い力 (核力)
“到達距離”
交換される粒子の質量
力の強さ（陽子に対して）
∞
∞
∼ 10−16 cm
∼ 10−13 cm
0 (重力子)
0 (光子)
100 GeV /c2 (W,Z 粒子)
140 M eV /c2 (中間子)
∼ 10−38
∼ 10−2
∼ 10−5
∼ 10
1 M eV /c2 =100 万電子ボルト /c2 = 1.8 × 10−27 gram。1 GeV /c2 = 1000 M eV /c2
(相対性理論の式 E = mc2 から、質量 m は E/c2 とも表される。)
• “到達距離”と交換される粒子の質量は逆比例する。
湯川秀樹
核力の「中間子論」を発表 (1935 年)：
原子核内部の陽子 p と中性子 n の間に働く「核力」は「中間子」と呼ばれる新粒子
の交換による力と理解できる。力の具体的な式を提案
核力 =
到達距離 r0 ⇔
e−mr
,
r
m = 中間子の質量
r0 m ' 1
⇔
r0 '
1
m
(1.1)
(1.2)
実際の核力の到達距離から、中間子の質量を予言。後にその質量を持つ粒子が発見
された。湯川はこの中間子論により、1949 年、日本人として初めてノーベル賞を
受賞。
• この「交換力」の考え方は、実は総ての力に対してなり立つことが以後わかって
きた。
•
重力は基本的には圧倒的に弱いが、「中和」されないため巨視的物体に対して
は加算的に働き非常に大きくなる。
• アインシュタインの夢： これらの総ての力を統一的に理解すること。
アインシュタインは後半生を重力と電磁気力を統一することに費やしたが、うまく
いかなかった。
• 現在までに、電磁気力と弱い力の統一は成し遂げられた。強い力も含めた「大統
一理論」も作られているが、これに関しては確証はない。
重力が最も難しい力。それも含めた統一理論の候補 = (超対称) 弦理論
1.2. 電磁気学の枠組みの概観
1.2
11
電磁気学の枠組みの概観
• 以下に述べることは、これから 1 年かけてゆっくりと理解していくことのまとめで
あり、現時点ではだいたいどんなものかをイメージできればそれで十分。
電磁気学は、次に述べる４つの基本的な法則から成り立っており、これを場の考えを用
いて正確に表したものが Maxwell の方程式 (系)(1865) である。
1. Coulomb の法則
~ : 但し r̂ は q から q 0 の方向への単位ベクトル
点電荷 q が q 0 に及ぼす力 F
F~ (~r) =
1 qq 0
r̂
4π²0 r2
(1.3)
~r ≡ (x, y, z) = (x1 , x2 , x3 ) ,
q
~r
r̂ ≡
~r
|~r|
(1.4)
q0
~ q (~r) によるものと
これは瞬間的に働く遠距離力を表すが、q 0 に働く力を q がつくる場 E
考えることもできる。その考えを表現すれば
~ q (~r)
F~ (~r) = q 0 E
1 q
~ q (~r) =
E
r̂ ,
4π²0 r2
(1.5)
(1.6)
と書ける。
この式は、電荷が与えられたときにどのような電場ができるかを表しているが、逆に電
場がわかればそれを生み出している電荷分布がわかるはずである。これを一般的に捉えた
ものが、 Maxwell の第 1 の方程式である。
~ · E(~
~ r, t) = ρ(~r, t) ,
∇
²0
ρ = 電荷密度 = 単位体積あたりの電荷量 ,
²0 = 真空の誘電率 (dielectric constant) .
(1.7)
(1.8)
(1.9)
12
第 1 章 序論: 電磁気学 I, II の目標
~ は「nabla」演算子と呼ばれ、x, y, z による微分演算子を並べてベクトルの
• ここで、∇
ように書いたものである。


~ =
∇

∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z


(1.10)
• この講義では誘電体の議論はしないので、「真空の誘電率」のきちんとした説明はしな
い。現時点ではある定数 (但し次元を持つ) と考えておけば良い。後に出てくる「真空の
透磁率」についても同じ。
~ ·E
~ は電場の湧き出し = divergence と呼ばれ、ベクトルの内積と似た形で定義
ここで ∇
される：
~ ·E
~ ≡
∇
∂
∂
∂
E1 +
E2 +
E3
∂x1
∂x2
∂x3
(1.11)
実際通常の数ベクトルに対する内積と比較すると
~a · ~b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3
(1.12)
電場の divergence の直観的イメージについては、すぐ後で述べる。
2 偏微分の復習 :
偏微分: 多変数関数に対して、その変数のどれかひとつのみ変化させたときの傾きを表
す。
3 変数の場合
f (x + ∆x, y, z) − f (x, y, z)
∂f (x, y, z)
= ∂x f (x, y, z) ≡ lim
∆x→0
∂x
∆x
∂f (x, y, z)
f (x, y + ∆y, z) − f (x, y, z)
= ∂y f (x, y, z) ≡ lim
,
∆y→0
∂y
∆y
(1.13)
etc.
(1.14)
具体的な計算は簡単:
例
f (x, y, z) = xm y n z l
∂x f (x, y, z) = mx
(1.15)
m−1 n l
y z ,
m n−1 l
∂y f (x, y, z) = nx y
z ,
etc.
(1.16)
2 ベクトルの内積と divergence との比較 :
内積の定義は
~a · ~b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3
この ai を微分演算子に置き換えたものが、divergence である。
(1.17)
1.2. 電磁気学の枠組みの概観
13
2. Ampère の法則
電荷が移動すると、電流密度 ~ = ρ~v が生ずるが、それはよく知られたようにその電流の
~ を生み出す。
流れにまつわりつくような磁場（磁束密度） B
さらに、Maxwell は電荷の保存則が成り立つためには、時間変化する電場によっても磁場
が生じなければならないことを見いだした。こうした磁場の生成を正確に表したものが
Maxwell の第 2 の方程式である：
Ã
!
~
∂
E
~ ×B
~ = µ0 ~ + ²0
∇
,
(1.18)
∂t
µ0 = 真空の透磁率 (magnetic permeability)
(1.19)
~
電流と同じ資格で現れる ²0 (∂ E/∂t)
は Maxwell の変位電流と呼ばれ、電磁波の存在に
とって重要な役割を果たす。
~ ×B
~ は磁場の回転 =rotation と呼ばれ、ベクトルの外積に似た形で定義される
また、∇
微分演算である：
³
´
~ ×B
~
∇
1
³
´
~ ×B
~
∇
2
³
´
~ ×B
~
∇
3
∂
B3 −
∂x2
∂
≡
B1 −
∂x3
∂
B2 −
≡
∂x1
≡
∂
B2 ,
∂x3
∂
B3 ,
∂x1
∂
B1 .
∂x2
(1.20)
(1.21)
(1.22)
2 ベクトルの外積との比較 :
(~a × ~b)1 = a2 b3 − a3 b2 ,
2 場の divergence の直観的イメージ :
(~a × ~b)2 = a3 b1 − a1 b3 ,
etc.
(1.23)
14
第 1 章 序論: 電磁気学 I, II の目標
電場の divergence のイメージを得るには、次のような、原点から放射状に出ている電場を
考えると良い。(原点に点電荷がある場合に他ならない。)
~ r) = E~r ,
E(~
E は定数
(1.24)
この divergence を計算すると、
~ ·E
~ = E(∂x x + ∂y y + ∂z z) = 3E 6= 0
∇
(1.25)
実際、湧き出しがゼロでないことがわかる。点電荷があたかも水道の蛇口のような役割を
果たしていることを表す。
2 場の rotation の直観的イメージ :
上記の電場の rotation の成分を計算してみると、
~ ×E
~ 1 = ∂x2 x3 − ∂x3 x2 = 0
∇
~ ×E
~ 2 = ∂x3 x1 − ∂x1 x3 = 0 ,
∇
etc.
(1.26)
~ ×E
~ = 0 ゆえ、放射状の場は rotation を持たない。
ゆえ、∇
rotation を持つ典型的な場は次のようなものであり、直線電流が生み出す磁場の形である。


x2

~ r) = B~r × ẑ = B 
B(~
 −x1 
0
B は定数
~r × ẑ = (x2 , −x1 , 0)
(1.27)
~r = (x1 , x2 , x3 = 0)
(1.28)
この場の rotation を計算すると
~ × B)
~ 1 = ∂ 2 B3 − ∂ 3 B1 = 0
(∇
~ × B)
~ 2 = ∂ 3 B1 − ∂ 1 B3 = 0
(∇
~ × B)
~ 3 = ∂1 B2 − ∂2 B1 = −2B 6= 0
(∇
~ に垂直な第 3 方向の ∇
~ ×B
~ の成分 (∇
~ × B)
~ 3 のみがちょ
ゆえ、回転しているベクトル場 B
うどゼロでない値を持つ。(ここに電流が通っている。)
一方、このベクトル場の divergence を計算してみると
~ ·B
~ = ∂1 (Bx2 ) + ∂2 (−Bx1 ) + ∂3 (0) = 0
∇
であり、divergence を持たない場であることがわかる。
(1.29)
1.2. 電磁気学の枠組みの概観
15
3. 磁荷の非存在
実験家の執拗な努力にもかかわらず、未だ単独の「磁荷」
（単磁極 = magnetic monopole）
1
2 ~
は発見されていない 。従って磁束密度 B に対しては、電場に対する Maxwell の第 1 方
程式に対応して次の式が成り立つ：
~ ·B
~ = 0.
∇
(1.30)
これは明らかに電荷に対応する磁荷がないことを表している。
これはまた、磁場を辿ってできる「磁力線」に電荷の作る電場が作る「電気力線」の場合
のような「端」(源) がないことを意味している。
4. Faraday の電磁誘導の法則
磁場の時間変化は電場を生み出す。これは次の様に表される。
~
~ ×E
~ = − ∂B .
∇
∂t
(1.31)
• これら４つの Maxwell 方程式は、線形 連立偏微分方程式系をなし、実際の物理的状況
に応じた境界条件のもとに多様な解を生み出す。本講義では、そのうちの最も基礎的な部
分のみ扱う。
Lorentz 力：力学との接点
Maxwell 方程式には、荷電粒子がどのように電磁場と相互作用するのかが示されていな
い。これを補うのがいわゆる Lorentz 力である。
F~ = F~E + F~M
~,
~
F~E = q E
F~M = ~v × B
磁場による力は電荷が運動していないと働かないことに注意。
~
B
~v
F~M
1
2
素粒子の大統一理論では単磁極の存在が予言されている。発見されれば確実にノーベル賞。
~ の正式な呼び名。
Maxwell の方程式に現れる「磁場」B
(1.32)
(1.33)
16
第 1 章 序論: 電磁気学 I, II の目標
Maxwell 方程式とローレンツ力のまとめ (Maxwell (1865))
~ ·E
~ = ρ
(I) ∇
²0
~
~
(II) ∇ · B = 0
~
~ ×E
~ = − ∂B
(III) ∇
∂t
Ã
!
~
~ ×B
~ = µ0 ~ + ²0 ∂ E
(IV ) ∇
∂t
•
~ + ~v × B)
~
F~ = q(E
(1.34)
(1.35)
(1.36)
(1.37)
(1.38)
たったこれだけの式で総てのマクロな電磁気現象が記述できる！
！
• 電磁気学 I: (I)
• 電磁気学 II: (II), (III), (IV )
2 巨視的な物体に対する適用 :
実際上の問題では、しばしば物質中における電磁場の問題を扱わなければならない。物
質 = 特別な電荷、電流の配位 = 複雑な電子-陽子系。これを直接扱うのは不可能であるか
ら、
「巨視的な性質」の特徴を抜き出して分類し、近似的な扱いを行う。
（その意味で熱力
学に似た部分を持つ。）
分類：
導体、絶縁体、半導体、超伝導体、
誘電体、磁性体、
これらを用いて様々な配位をつくる：
抵抗、コンデンサー、コイル、電池、磁石、etc. → 回路 etc.
下線を引いた項目は本講義で説明する。
17
第 2 章 静電場
2.1
Coulomb の法則
Coulomb’s law1 (1785)
(Cavendish 1772 未発表 )
電荷 q 0 が電荷 q に及ぼす力：
q0
0
qq
F~ = k 2 R̂ ,
R
~
R = ~r − r~0
~
R
R̂ =
,
R2
(2.1)
(2.2)
~ =
R = |R|
p
~ ·R
~
R
q
~
R
r~0
~r
(2.3)
O
2 次元と単位 :
次元：
総ての物理量は次の 3 つの「基本的次元」の組み合わせからなる「次元」を持っている。
基本的次元:
長さ = L ,
時間 = T ,
質量 = M
以下では量 A の次元を [A] で表す。
例：
· ¸
· 2¸
dx
dx
L
L
速度 [v] =
= , 加速度 [a] =
= 2,
2
dt
T
dt
T
·
¸
2
1 2
L
L
エネルギー [E] =
mv = M 2 , 力 [F ] = [ma] = M 2
2
T
T
(2.4)
(2.5)
(2.6)
• 次元は L, M, T のどのような組み合わせかのみが重要であり、係数等は問題にしない。
単位:
各基本的次元をどのような基準で測るかを表すのが「単位」であり、様々な可能性がある。
1
イタリア語読みにすれば Columbus. Columbus day (in US) = Oct.12
18
第 2 章 静電場
例:
長さ L の単位：
m, cm, km, inch, yard, mile, etc. etc.
単位はいくらでも変えられるが、その量の次元は決して変わらない。
過去に良く使われた単位系 = CGS 単位系 C=cm, G=gram, S=second
現在良く使われている単位系 =MKS 単位系 M=m, K=Kg, S=second
2 次元解析とその重要性 :
二つの原則
1. A = B のような等式がある場合、A と B の次元は必ず等しくなければならない。
2. 物理量の次元は、考えている状況に現れる量の次元の組み合わせのみから作られる。
これらの事実を使うと、全く詳細な計算をせずに、答えの形が、定数を除いてわかってし
まうことがしばしばある。こうして答えの形を決める方法を「次元解析」と呼び、非常に
強力な方法をなす。また答えのチェックをする際に真っ先に次元があっているかを確かめ
ることが重要である。
次元解析の例:
2 次元の単振り子の周期 T
l
m
mg
2 次元の単振り子に関する量は、振り子の質量 m、長さ l, 重力加速度 g しかない。各々
の次元は
[m] = M ,
[l] = L ,
[g] =
L
T2
これらの量から、T の次元を作り出すには、次の組み合わせしかない
s
· ¸
1
[g]
l
, c = 定数
= 2 ⇒ T =c
[l]
T
g
(2.7)
(2.8)
これは正しい形をしており、振り子の周期が m に依らないことが一目瞭然にわかる。
2 クーロンの法則に現れる量の次元と単位系 :
2.1. Coulomb の法則
19
k 及び q の次元は、次の関係が成り立つようになっていなければならない：
[kqq 0 ] = [k][q]2 = [F R2 ] =
M L3
.
T2
(2.9)
つまり、k と q の次元は個別には決まらない。従って、便利なスキームをとることを考え
る。二つの代表的なスキームがある。
1. 三元単位系:
と定まる。
k を無次元量にとる。こうすると電荷 q の次元は [q] = M 1/2 L3/2 /T
さらに、k の値を勝手に決める自由度がある。例えば、二つの同じ電荷を 1 m の距
離におくとき、及ぼしあう力が 1 ニュートンであったとする。このとき電荷の「値」
をいくつと呼ぶかは k をいくらに定めるかに依存する。 逆に言えば、値として定
まるのは kqq という積のみであって、個々の値ではない。
次の二つの取り方がよく用いられる。
• k = 1. この場合、力学量に対して CGS 単位系を用いることが多い。これを
「CGS Gauss 単位系」と呼ぶ。このときには、Coulomb の法則は簡単な形だ
が、様々なところに 4π (= 単位球面の表面積) が現れる。
• k = 1/4π. 今度は 4π が現れるのは Coulomb 則のみとなる。
2. 四元単位系: 三元単位系での電荷の次元は複雑。⇒ 電荷に見かけ上独立な単位を
導入する 。
実際には MKS 系において、まず電流の単位「アンペア」を定め、それから電荷の
単位「クーロン」を定めるやり方がよく用いられる。具体的には次のようにする。
• 1m 離れた同じ強さを持った平行電流の長さ 1m あたりに働く力（磁場による
ローレンツ力）が 2 × 10−7 N であるとき、この電流を 1 アンペアと定める2
2
一般の公式は
F = km
2I1 I2
l,
d
km =
k
= 10−7
c2
20
第 2 章 静電場
1A
F~
1A
l = 1m
d = 1m
• 電荷の単位 C(Coulomb)
C = A·s
(2.10)
• このとき k の 単位 は Coulomb の法則より、[k] = N m2 /C 2 となる。k の 数値
としては、この時点では天下りであるが、
k = 10−7 c2 = 8.988 × 109
(2.11)
c = 光速度 = 2.998 × 108 m/s
(2.12)
ととる。光速度の値が現れる理由は、後に電磁波を扱うところで明らかになる。
さらにこのように定められた k を次のように記す。
1
4π²0
= 真空の誘電率 (dielectric constant)
k =
(2.13)
²0
(2.14)
誘電率の意味は、誘電体の理解を必要とするので、本講義では説明しない。
以下 MKSA 四元単位系を採用する。
演習 2.1 Coulomb という単位は実は非常に大きい。(落雷の放電は数クーロン程度。) 1
Kg, 1C の２つの電荷をどれほどの距離におくと、地上重力 9.8 N と同じ力になるか。
解 地上重力による力 = 9.8 N
静電気力 = 9 × 109 N m2 /R2 . これらを等値すると
r
9 × 109
m
R =
9.8
= 3.03 × 104 m ' 30 km!
2.1. Coulomb の法則
演習 2.2
21
陽子に対して重力とクーロン力の比はどれほどになるか。但し
mp = 1.672 × 10−27 kg ,
ep = 1.602 × 10−19 C
G = 6.67 × 10−11 N m2 /Kg 2
(2.15)
(2.16)
解
qqq
N m2 (1.602 × 10−19 C)2
C2
R2
2
N m (1.672 × 10−27 )2 Kg)2
= 6.67 × 10−11
(Kg)2
R2
FC = 9 × 109
(2.17)
FG
(2.18)
FC
' 1.24 × 1036
FG
(2.19)
22
2.2
第 2 章 静電場
電場の概念と重ね合わせ：連続分布に対する Coulomb
則
電荷 q が他の電荷から Coulomb 力を受けている状態を、電荷 q の位置に他の電荷がつ
くった電場があり、それから q が力を受けるという近接相互作用の考え方を採用する。す
なわち、一般に
~ r) .
F~ (~r) = q E(~
(2.20)
力はベクトル的に重ね合わされることを知っているので、力の重ね合わせ の原理から、
電場の重ね合わせ の原理が導かれる。これを個々の電荷のつくる電場に対しても適用す
れば、
~
E
q
q1
qN
q2
~ r) =
E(~
N
1 X qi ~
Ri
4π²0 i=1 Ri3
~ i ≡ ~r − ~ri
R
(2.21)
(2.22)
を得る。
2 E の次元と単位 :
F = qE から、[E] = N/C
E = (1/4π²0 )q/R2 を用いれば、
· ¸
1 Q
[E] =
[²0 ] L2
(2.23)
2.2. 電場の概念と重ね合わせ：連続分布に対する Coulomb 則
23
とも書ける。この書き方は非常に便利であり、電場の次元をチェックするのに使うと良い。
2 連続分布による電場 :
電荷の担い手は電子と陽子であるから、古典的には電荷の分布は離散的である。しかし、
量子力学的にはそれらの位置は確率波として解釈されるので、連続的に分布することにな
り、実用的にも、巨視的物体に対しては連続分布と見なして十分。（というよりむしろそ
の様に取り扱うべきである。）
ρ(~r) = 電荷密度 = electric charge density (2.24)
ρ(~r)dV
dV
= ~r 近傍の微小体積 dV 中の電荷
(2.25)
= dxdydz = d3 r
(2.26)
dz
dV = 体積要素
dy
dx
これより、離散的な公式において、次の置き換えをすればよいことがわかる：
qi ⇒ ρ(r~0 )d3 r0
Z
X
⇒
(2.27)
(2.28)
i
従って
1
~ r) =
E(~
4π²0
Z
ρ(r~0 )
(~r − r~0 )d3 r0
0
3
~
|~r − r |
(2.29)
24
2.3
第 2 章 静電場
Coulomb 則の簡単な応用
2 例 1. 平面上の一様な電荷分布のつくる電場 :
y-z 平面上に面密度 σ で一様に電荷が分布しているとする (下図参照)。一様性から、電場を
測る位置を x 軸上にとっても一般性を失わない。位置 r~0 近傍の微小面積上の電荷 σdy 0 dz 0
がこの位置につくる電場を求める。
2 対称性と次元解析 :
次元解析と並んで非常に重要なのは、考えている系が持っている対称性である。
この例の場合、平面上に特別な方向はないから、ゼロでないのは Ex のみ。また σ の次元
は [σ] = Q/L2 . これはちょうど ²0 E の次元に等しい。従って、
Ex = c
σ
²0
の形にならなければならない。ここで c は無次元量。x の他に長さの次元を持つ量はない
から、c は定数である他はなく、E は x によらない！従って、実際に計算で求めなければ
いけないのは c の値のみ。
2 実際の計算 :
qqq
r~0 = (0, y 0 , z 0 ) ,
~r = (x, 0, 0) ,
~r − r~0 = (x, −y 0 , −z 0 )
z
σdy 0dz 0
r~0
y
~r
x
従って、基本式より
~ r) =
E(~
σ
4π²0
Z
dy 0 dz 0
(x, −y 0 , −z 0 )
(x2 + y 0 2 + z 0 2 )3/2
2.3. Coulomb 則の簡単な応用
25
y 0 z 0 のかかっている成分は奇関数の −∞ から ∞ の積分ゆえゼロになる。（これは対称性
から明らか。）従って
Ey = Ez = 0
Z
1
σx
Ex =
dy 0 dz 0 2
2
0
4π²0
(x + y + z 0 2 )3/2
2 Scaling の考え :
この種の積分をうまくやるには、次のような scaling の考えを用いて x 依存性を抽出して
しまうのが良い。
y 0 = xu ,
Z
dy 0 dz 0
z 0 = xv
C
1
2
2 3/2 =
2
0
0
x
(x + y + z )
Z
dudv
ここで
C=
=数
(1 + u2 + v 2 )3/2
C は平面極座標を用いると簡単に求まる：
v
da
(u, v)
a
φ
u
u = a cos φ ,
v = a sin φ
Z ∞
2πada
C =
(1 + a2 )3/2
0
Z ∞
db
= π
(b ≡ a2 )
3/2
(1
+
b)
0
= 2π
従って結局
(2.30)
26
第 2 章 静電場
σx 2π
σ
·
=
= constant
4π²0 x
2²0
= Ez = 0
Ex (~r) =
(2.31)
Ey
(2.32)
この結果は後に Gauss の法則を用いて再導出する。
演習 2.3
たい。
z-軸上に単位長さあたり τ の線密度で一様に分布する電荷がつくる電場を求め
(1) まず、対称性と次元解析を用いて、結果の形を予想せよ。
(2) 実際に計算を行って電場を求めよ。
unit length τ
~r
Er (~r)
~r = (x, 0, 0)
解 (1) 対称性からゼロでないのは電場の動径方向成分 Er のみで、しかもこれは r の関
数となることは明らか。また、次元解析より、τ ∼ Q/L, E ∼ (1/²0 )Q/L2 であるから、c
を定数として
cτ
Er =
²0 r
となるはずである。
(2) 対称性を考慮すると、x-軸上の点 ~r = (x, 0, 0) で電場 Ex を計算すれば良い。
qqq
~r = (x, 0, 0) ,
r~0 = (0, 0, z 0 )
~r − r~0 = (x, 0, −z 0 )
Z
1
τ dz 0 x
Ex =
4π²0
(x2 + z 02 )3/2
Z ∞
du
τx x
(z 0 = xu)
=
3
4π²0 x −∞ (1 + u2 )3/2
Z
τ 1 ∞
du
=
2π²0 x 0 (1 + u2 )3/2
2.3. Coulomb 則の簡単な応用
27
積分は、 u = tan θ とおけば容易にできて 1 を与える。従って答えは
Er (~r) =
τ 1
2π²0 r
(2.33)
28
第 2 章 静電場
2 例 2. 球面上の一様な電荷分布のつくる電場 :
球の半径 = a、全電荷 = Q とおく。面密度は σ = Q/(4πa2 ).
対称性から、電場は法線方向成分 En のみ。
無次元量 r/a が存在することに注意すると、次元解析から、次の形が可能：
1 Q
f (r/a)
4π²0 r2
r → ∞ では 点電荷に見えるから、f (∞) = 1 とならなければならない。
En =
Coulomb の法則を使った実際の計算はかなり難しい。(球面の小さな面積要素からの寄与
を総て足し合わせる (積分する) ことが必要。) 従って、この計算は省略して、答えだけを
示す。
(
f (r/a) =
(
qqq
En (~r) =
1
0
Q
4π²0 r2
0
r>a
r<a
r>a
r<a
(2.34)
• この答えは r = a で不連続だが、実際の場合には、球殻には厚みがあるので、その部分
で連続的につながる。
• 途中の計算は複雑だが、結果は非常に簡単かつ驚異的！
r > a の場合はちょうど中心に電荷 Q がある場合の答えに等しい。また球の内部では場
は完全にうち消しあう。
これは次の節で述べる Gauss の法則から見事に説明される。
2.4. Gauss の法則と Maxwell の第１方程式
2.4
29
Gauss の法則と Maxwell の第１方程式
以上見てきたように、Coulomb 則は一般の電荷分布に対して適用できる法則であるが、
その直接的適用はかなり煩雑であり、また遠隔作用の形をとっている。そこで、 Coulomb 則
の本質を場の立場から Maxwell の第一方程式として捉えるために新しい見方を開発する。
2 基本的描像 :
Maxwell は電磁気理論を構築する際に、流体力学とのアナロジーを駆使した。その考え方
の一つは、電荷を流体の湧き出し口 (あるいは吸い込み口、総称 source) と見立て、そこ
から湧き出す流体が 閉じた面を 横切って出ていく際の保存に注目することである。具体
的には、次の様な状況を考えることによって 「Gauss の法則」と呼ばれる重要な式を得
ることができる。
q
q
2.4.1
Gauss の法則
2 電荷が閉曲面内にある場合曲面上の微小な面積:
~ · n̂ の積を微小な「電束」(electric
dS とそこでの電場（電束密度）の垂直成分 En = E
flux) と呼ぶ。面を貫く全電束は
Z
Z
~ · n̂dS .
Φe =
En dS = E
(2.35)
En
n̂
~
E
r
dΩ
q
r2dΩ
30
第 2 章 静電場
今、電荷 q を囲む単位球を考え、q と dS のヘリを結んでできる錘がこの球面を横切る際
の微小面積を (無限小の)「立体角」 dΩ と呼ぶ。通常の角度も実は弧の長さで測っている
ことを思い出そう。
1
この定義から、明らかに
θ radian
θ
Z
dΩ = 4π
dS
θ
r2dΩ
図から容易に
2
r dΩ = dS cos θ
→
r2 dΩ
dS =
cos θ
(2.36)
~ 、
を得る。En = E cos θ であるから ( E ≡ |E|)
Z
Φe =
E(~r)r2 dΩ
(2.37)
ここで Coulomb 則を用いると、
Z
Z
q
q
2
Φe =
r dΩ =
dΩ
4π²0 r2
4π²0
q
q
=
4π =
(4π がちょうどキャンセルする。)
4π²0
²0
Z
~ · n̂dS =
E
q
,
²0
(任意の閉局面に対して)
(2.38)
(2.39)
すなわち、全電束はその中にある電荷を表している。この結果を得るのに E ∼ 1/r2 であ
ることが非常に重要であることに注意。
2.4. Gauss の法則と Maxwell の第１方程式
31
2 この議論のエッセンス :
特に、電荷を球面で囲んだ場合を考えると分かり易い。
半径 r0 の球面上にある電荷の総量は、面密度を σ 0 とすると σ 0 4πr0 2 。この量が保存しな
がら拡がっていくと考えると、任意の半径 r に対して σ 0 4πr0 2 = σ4πr2 となり、しかも、
r0 → 0 の極限を考えると、これは全電荷 q に等しい。次元解析から E ∼ q/²0 L2 = σ/²0 。
従って、
qqq
q = ²0 E4πr2
q
E · 4πr2 =
²0
(2.40)
32
第 2 章 静電場
2 電荷が閉曲面の外部にある場合 :
dS1
~ (1)
E
dΩ
~ (2)
E
q
dS2
n̂ が外向き法線方向であることに注意して、


Z
Z
 (1)

(2)
En dS =
 En dS1 − En dS2 
| {z } | {z }
(q/4π²0 )dΩ
= 0
(q/4π²0 )dΩ
← 同じ立体角の積分に帰着するゆえ
以上より、一般の電荷分布に対しては重ね合わせの原理を用いて、次の結果を得る：
Maxwell の第一方程式の積分形
Z
1 X
1
qi = (V 中の電荷の和 )
²0 i
²0
Z
1
=
ρ(~r)d3 r
²0 V
= V の境界面
~ · n̂dS =
E
∂V
∂V
2.4.2
Gauss の法則による電場の計算
Gauss の法則は、形がきれいで意味も分かりやすいだけでなく、ある条件のもとで、電
場自体の計算に絶大な威力を発揮する。
2.4. Gauss の法則と Maxwell の第１方程式
33
2 条件: :
系の対称性から適当な閉曲面上で場が一定でそのため面積分の外に出せること。
すなわち、
Z
Z
Q
~
E · n̂dS = En
dS = En S =
²0
∂V
∂V
Q
En =
(2.41)
qqq
²0 S
2 例 1.
球面上の一様な電荷分布がつくる場 :
この際の電場は、既に Coulomb 則を直接用いて求めたが、Gauss の法則を用いるとはる
かに簡単に計算できる。対称性から、電場は動径方向成分しか持たず、しかもその大きさ
は r にのみより、角度によらない。これを E(r) と書いて Gauss の法則を適用すると
Z
En dS = E(r)4πr2
S
(
Q/²0
if r > a
=
0
if r < a
(
Q
if r > a
4π²0 r2
E(r) =
qqq
0
if r < a
~ r)
E(~
r
a
Q
演習 2.4 半径 a の一様に帯電した球がつくる電場を求
め、その大きさをグラフで示せ。特に球の内部ではどう
なるか。
全電荷 Q
a
34
第 2 章 静電場
解 全電荷を Q とする。外部では前例と同じ。内部では、半径 r 以内の電荷が Q(r/a)3
であることから
1 Q(r/a)3
Q r
E(r) =
=
2
4π²0
r
4π²0 a3
(2.42)
となり、r に linear に増大する。
E(r)
Q/(4π²a2)
r
a
2 例 2.
無限に長い直線上の一様な電荷分布のつくる場 :
電荷 τ l
線密度を τ とする。右図において対称性から E は r 方
向であるから上下面からの寄与はゼロであり、積分は円
筒の側面積のみ考えればよい。従って
Z
²0 En dS = ²0 E(r)2πrl = lτ
qqq
E(r) =
1 τ
2π²0 r
l
r
Er
(2.43)
すなわち、電場は 1/r でしかおちない。この直観的な理由は次のとおり。z 方向に系は一
様であるから、あたかもその方向の次元がなくなり、２次元の世界で点電荷がつくる電場
を求めるのと同じになる。（実際 l は両辺でキャンセル。）従って Gauss の法則の積分は
4πr2 を出さずに、円周 2πr を出す。これは２次元性から電束が拡散する次元が減ったた
め電場が弱らないことを表す。
演習 2.5
y-z 平面に一様に分布した電荷がつくる電場を求めよ。
2.4. Gauss の法則と Maxwell の第１方程式
35
解 面密度を σ とする。電場は面に垂直。両側の
面からの寄与を正しく考慮して Gauss の法則を適
用すると
Z
²0 En dS = 2 × ²0 E(x)S = σS
qqq
E(x) =
σ
= constant
2²0
(2.44)
S
x
Ex
これは１次元上の点電荷のつくる電場とも見るこ
とができる
演習 2.6 半径 R の無限に長い円筒の側面上に、電荷が一様な面密度 σ で分布していると
き生ずる電場を求めよ。
解 軸対称性から、Er 成分のみゼロでない。半径 r、長さ l の閉じた円筒面で囲んだ領域
にガウスの法則を適用すると、
r > R の場合： この領域内部にある電荷の総量は q = 2πRlσ 。一方電束は Er × 2πrl。
従って
σR
Er =
²0 r
r < R の場合： 内部には全く電荷がないので Er = 0。
2.4.3
Gauss の定理
Gauss の法則は面積分と体積積分の間の関係を与えているが、ここから、局所的に各点
で成り立つ法則を引き出すことによって Maxwell の第一方程式（の微分形）を得ること
ができる。これを可能にするのが、数学の定理としての「Gauss の定理」である。（一般
に「 Stokes の定理」と呼ばれるものの３次元での形。）本質は、Gauss の法則の左辺の面
積積分を体積積分になおすところにある。
2 Gauss の定理 :
~ x) を一つのベクトル場、V を有限な３次元領域、 ∂V をその境界面、とするとき
E(~
36
第 2 章 静電場
Z
Z
~ · n̂dS =
E
∂V
~ ·E
~ d3 x
∇
(2.45)
V
~ ·E
~ = ∂Ex + ∂Ey + ∂Ez
∇
∂x
∂y
∂z
X
=
∂i Ei
i
En
V
∂V
証明：
対象となる領域を小さな直方体に分割して
考える。まず x 方向成分に着目する。全体としてこの直
~ の flux は
方体から x 方向に外に出ていく E
Z
Z
0 0
0
0
Φx =
Ex (x + ∆x, y , z )dy dz −
Ex (x, y 0 , z 0 )dy 0 dz 0
Z
S10
Z
∆y
=
S1
0
S1
Z
∆z
dy 0
dz 0
(2.46)
S1
S2
0
y 0 , z 0 を y, z のまわりで展開して微少量は無視すれば
∆y
Φx ' [Ex (x + ∆x, y, z) − Ex (x, y, z)] ∆y∆z
∆z
∂Ex
=
(x, y, z)∆x∆y∆z
(2.47) (x, y, z)
∆x
∂x
従って、y, z 方向に出ていく flux も加えれば、この直方体に関して
µ
¶
Z
∂Ex ∂Ey ∂Ez
~
E · n̂dS =
+
+
∆V
∂x
∂y
∂z
Ex(x + ∆x, y 0, z 0)
Ex(x, y 0, z 0)
(2.48)
微小直方体を寄せ集めてもとの領域全体を構成すると、その表面以外では左辺は打ち消
しあうから、結局任意の V に対して Gauss の定理が成り立つことがわかる。
2.4. Gauss の法則と Maxwell の第１方程式
2.4.4
37
Maxwell の第一方程式の微分形
上記 Gauss の定理を Gauss の法則の左辺に適用すると
Z
Z
~
~ · Ed
~ 3x
E · n̂dS =
∇
∂V
V
Z
1
=
ρd3 x
²0 V
(2.49)
これが任意の V に対して成り立つから、被積分関数が一致しなければならない。こうし
て我々は Maxwell の第一方程式を得る：
~~
~ ·E
∇
=
ρ
²0
(2.50)
Coulomb 則はこの微分方程式の解として得られることになる。これについては「電位」
の概念を導入した後に述べる。
まとめ
Coulomb
Gauss
Maxwell 1st eq