Cálculo en varias variables
Unidad 01
Funciones reales de varias variables
Docente: Yordan Aguilar Ruiz
Cálculo en varias variables
Clase 01 - 28 de enero del 2024
1 / 77
Índice
1
Introducción
2
Topologı́a en Rn
3
Funciones en varias variables
4
Gráficas y superficies
5
Lı́mites de funciones en varias variables
6
Continuidad de funciones de varias variables
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Cálculo en varias variables
Clase 01 - 28 de enero del 2024
2 / 77
Introducción
Tabla de contenidos
1
Introducción
2
Topologı́a en Rn
3
Funciones en varias variables
4
Gráficas y superficies
5
Lı́mites de funciones en varias variables
6
Continuidad de funciones de varias variables
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Introducción
Introducción
En los cursos previos de cálculo ya hemos estudiado y revisado minuciosamente el
comportamiento de las funciones reales de una variable real, las cuales, como ya
sabemos, están definidas sobre un conjunto especial de números que denominamos
“números reales” y que usualmente acostumbramos a denotar por R.
√ 2
R = 0, 1, 2, −1, −2, 3,13, 2.1, 2, , π, ...
3
La idea de este curso es generalizar adecuadamente las definiciones y sus propiedades
estudiadas para funciones de una variable a más dimensiones.
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Introducción
Introducción
Para realizar esto, partiremos definiendo formalmente el espacio donde comenzaremos a movernos, el cual denominaremos espacio Euclideo n−dimensional y que
denotaremos por Rn .
Rn = {(x1 , x2 , . . . , xn ) : xi ∈ R ∀i = 1, 2, . . . , n}
A los elementos ⃗x = (x1 , x2 , . . . , xn ) de este conjunto los llamaremos puntos o
vectores y a x1 , x2 , . . . , xn los llamaremos componentes o coordenadas de ⃗x.
Ejemplo.
R2 = {(x, y) : x, y ∈ R}
R3 = {(x, y, z) : x, y, z ∈ R}
R4 = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) : xi ∈ R ∀i = 1, 2, 3, 4}
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Introducción
Introducción
Podemos definir sobre este conjunto un par de operaciones llamadas suma (+) y
producto por escalar (·) tal como sigue:
+:
Rn × R n
7 →
−
((x1 , ..., xn ), (y1 , ..., yn )) −
7 →
·:
R × Rn
(α, (x1 , ..., xn ))
7 →
−
7−→
Rn
(x1 + y1 , ..., xn + yn )
Rn
(α · x1 , ..., α · xn )
Ası́, el conjunto (Rn , +, ·) con las operaciones de suma y producto por escalar antes
definidas forman un espacio vectorial real.
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Introducción
Propiedades de espacio vectorial
En sencillas palabras, que Rn con las operaciones de suma y producto por escalar
formen un espacio vectorial se resume a que dicho conjunto verifique las siguientes
propiedades:
Propiedades de la suma
∀⃗x, ⃗y , ⃗z ∈ Rn se cumple (⃗x + ⃗y ) + ⃗z = ⃗x + (⃗y + ⃗z)
∀⃗x ∈ Rn ∃⃗e ∈ Rn tal que ⃗x + ⃗e = ⃗e + ⃗x = ⃗x
∀⃗x ∈ Rn ∃(−⃗x) ∈ Rn tal que ⃗x + (−⃗x) = (−⃗x) + ⃗x = ⃗e
∀⃗x, ⃗y ∈ Rn se cumple ⃗x + ⃗y = ⃗y + ⃗x
El vector ⃗e = (0, 0, . . . , 0) se llama cero vector de Rn y se acostumbra a denotar
por ⃗0Rn o simplemente ⃗0 cuando se conoce a priori el espacio donde se trabaja.
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Introducción
Propiedades de espacio vectorial
Propiedades del producto por escalar
∀⃗x ∈ Rn ∀α, β ∈ R se cumple α · (β · ⃗x) = (α · β) · ⃗x
∀⃗x, ⃗y ∈ Rn ∀α ∈ R se cumple α · (⃗x + ⃗y ) = α · ⃗x + α · ⃗y
∀⃗x ∈ Rn ∀α, β ∈ R se cumple (α + β) · ⃗x = α · ⃗x + β · ⃗x
∀⃗x ∈ Rn se cumple 1 · ⃗x = ⃗x
Observación. Sean ⃗x, ⃗y ∈ Rn . Diremos que ⃗x es igual a ⃗y , y lo denotaremos por
⃗x = ⃗y , si y solo si xi = yi para cada i = 1, . . . , n.
(x1 , ..., xn ) = (y1 , ...yn ) sii xi = yi ∀i = 1, ..., n
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Introducción
Gráfica de puntos en Rn
Una herramienta importante al momento de trabajar con números reales es su
representación gráfica en la recta numérica. Dicha representación permite asociar
cada número con un punto que nos permite comprender su posición y orden respecto
de los demás.
Ahora, al generalizar el conjunto de los números reales a Rn esperarı́amos tener una
estructura similar que nos permita graficar cualquier punto, sin embargo, esto solo
está disponible para los espacios particulares R2 y R3 por las limitaciones fı́sicas de
nuestra percepción.
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Introducción
Módulo en Rn
Función módulo
Una propiedad importante del conjunto de números reales es que podemos utilizar
algunas funciones especiales para medir longitudes y distancias. Esta caracterı́stica
es ideal para cualquier conjunto, inclusive el que nos interesa a nosotros, por tal
razón es que definiremos a continuación la siguiente función en Rn llamada módulo:
∥∥:
Rn
7 →
−
(x1 , ..., xn ) 7−→
R
p
x21 + ... + x2n
Esta función cumple las siguientes propiedades:
∥⃗x∥ ≥ 0 y ∥⃗x∥ = 0 si y solo si ⃗x = ⃗0
∥α · ⃗x∥ = |α| · ∥⃗x∥ ∀⃗x ∈ Rn y α ∈ R
∥⃗x + ⃗y ∥ ≤ ∥⃗x∥ + ∥⃗y ∥ ∀⃗x, ⃗y ∈ Rn
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Desigualdad triangular
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Introducción
Distancia en Rn
Función distancia
Utilizando la función módulo es posible definir otra función importante llamada
distancia en Rn :
Rn × Rn 7−→
R
d:
(⃗x, ⃗y )
7−→ ∥⃗x − ⃗y ∥
Esta función cumple las siguientes propiedades:
d(⃗x, ⃗y ) ≥ 0 y d(⃗x, ⃗y ) = 0 si y solo si ⃗x = ⃗y
d(⃗x, ⃗y ) = d(⃗y , ⃗x) ∀⃗x, ⃗y ∈ Rn
d(⃗x, ⃗z) ≤ d(⃗x, ⃗y ) + d(⃗y , ⃗z) ∀⃗x, ⃗y , ⃗z ∈ Rn
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Desigualdad triangular
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Topologı́a en Rn
Tabla de contenidos
1
Introducción
2
Topologı́a en Rn
3
Funciones en varias variables
4
Gráficas y superficies
5
Lı́mites de funciones en varias variables
6
Continuidad de funciones de varias variables
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Topologı́a en Rn
Disco abierto
Disco abierto
Sea ⃗x0 ∈ Rn y sea r un número real positivo. Definimos el disco abierto de centro
⃗x0 y radio r, denotado por Dr (⃗x0 ), como el conjunto:
Dr (⃗x0 ) = {⃗x ∈ Rn : ∥⃗x − ⃗x0 ∥ < r}
donde ∥⃗x − ⃗x0 ∥ corresponde al módulo de la diferencia entre ⃗x y ⃗x0 .
Ejemplo.
En R Dr (x0 ) = {x ∈ R : x0 − r < x < x0 + r}
En R2 Dr (x0 , y0 ) = {(x, y) ∈ R2 : (x − x0 )2 + (y − y0 )2 < r}
Entenderemos a los discos como una especie de generalización de los intervalos de
números reales.
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Topologı́a en Rn
Conjunto abierto
Conjunto abierto
Sea A ⊆ Rn . Diremos que A es un conjunto abierto si y solo si se cumple que:
∀⃗x0 ∈ A ∃Dr (⃗x0 ) ⊂ A
Ejemplo.
A =] − 1, ∞[, B =]1, 2[, C =] − ∞, 1[ son conjuntos abiertos en R.
A = {(x, y) ∈ R2 : (x > 0) ∧ (y > 0)} es abierto en R2 .
ϕ y Rn son conjuntos abiertos en Rn .
Un conjunto será abierto si no contiene ningún punto del “borde” o “contorno” que
lo rodea.
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Topologı́a en Rn
Conjunto cerrado
Conjunto cerrado
Sea A ⊆ Rn . Diremos que A es un conjunto cerrado si y solo si Ac es un conjunto
abierto.
Ejemplo.
A = [a, b] para todo a, b ∈ R con a ̸= b es un conjunto cerrado en R.
A = {(x, y) ∈ R2 : (x ≤ 0) ∨ (y ≤ 0)} es un conjunto cerrado en R2 .
ϕ y Rn son conjuntos cerrados en Rn .
Un conjunto será cerrado solo cuando contenga todo el “borde” o “contorno” que
lo rodea.
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Topologı́a en Rn
Interior, frontera y exterior de un conjunto
Interior, frontera y exterior
Sea A ⊆ Rn . Definimos los siguientes conjuntos a partir de A:
Int(A) = {⃗x ∈ Rn : ∃Dr (⃗x) ⊂ A}
F r(A) = {⃗x ∈ Rn : ∀Dr (⃗x), (Dr (⃗x) ∩ A ̸= ϕ) ∧ (Dr (⃗x) ∩ Ac ) ̸= ϕ}
Ext(A) = {⃗x ∈ Rn : ∃Dr (⃗x) ⊂ Ac }
Observación. Para todo conjunto A ⊆ Rn se cumple que:
Int(A) ∪ F r(A) ∪ Ext(A) = Rn
Ejemplo. Sea D = {(x, y) ∈ R2 : 1 < x2 + y 2 ≤ 9}. Graficar este conjunto y hallar
su conjunto interior, frontera y exterior.
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Topologı́a en Rn
Caracterización de conjuntos
En general, no es sencillo demostrar cuando un conjunto es abierto o cerrado utilizando su definición. Por tal razón es que presentamos a continuación los siguientes
teoremas que facilitan esta actividad:
Teorema
Un conjunto A ⊆ Rn es abierto si y solo si A = Int(A).
Teorema
Un conjunto A ⊆ Rn es cerrado si y solo si F r(A) ⊂ A.
Observación. Existen conjuntos que no son considerados ni abiertos ni cerrados
por no verificar ninguna de las dos definiciones.
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Topologı́a en Rn
Ejercicios
Ejercicio 01. Sea A = {(x, y) ∈ R2 : (y > x2 ) ∧ (y < 3)}. Graficar el conjunto y
hallar su conjunto interior, frontera y exterior. Clasificar este conjunto como abierto
o cerrado.
Ejercicio 02. Sea B = {(x, y) ∈ R2 : (3y ≥ x2 ) ∧ (y − x ≤ 0)}. Graficar el
conjunto y hallar su conjunto interior, frontera y exterior. Clasificar este conjunto
como abierto o cerrado.
√
Ejercicio 03. Sea C = {(x, y) ∈ R2 : (y < x) ∧ (y ≥ 0) ∧ (x ≤ 3)}. Graficar
el conjunto y hallar su conjunto interior, frontera y exterior. Clasificar este conjunto
como abierto o cerrado.
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Topologı́a en Rn
Conjuntos acotados y compactos
Conjunto acotado y conjunto compacto
Sea A ⊆ Rn . Se define lo siguiente:
A es un conjunto acotado si existe Dr (⃗0) tal que A ⊂ Dr (⃗0).
A es un conjunto compacto si A es cerrado y acotado.
Observación.
Los conjuntos compactos son la generalización natural de los intervalos cerrados
[a, b] de números reales.
Ejemplo. Sea A = {(x, y) ∈ R2 : (|x| + |y| ≤ 1) ∨ (x, y) = (1, 1)}. Graficar el
conjunto y hallar su conjunto interior, frontera y exterior. Analizar si el conjunto es
acotado y compacto.
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Topologı́a en Rn
Ejercicios
Ejercicio 1. Considere los siguientes conjuntos de R2 . Grafı́quelos y clasifı́quelos
como abiertos o cerrados. Determine su conjunto interior, frontera y exterior e
indicar si son o no conjuntos compactos.
A = {(x, y) ∈ R2 : (|x − y| ≤ 4) ∧ (|y − 4| < 2)}
B = {(x, y) ∈ R2 : (x2 + y 2 − 4)(x2 + y 2 − 9) > 0}
C = {(x, y) ∈ R2 : (|x| < 2) ∨ (x > y) ∨ (x, y) = (3, 4)}
D = {(x, y) ∈ R2 : (9x2 − 4y 2 + 24y ≤ 36) ∧ (3 ≤ y ≤ 6)}
E = {(x, y) ∈ R2 : (x2 − 2x + y 2 ≤ 3) ∨ (|x + 3| + |y − 1| ≤ 2)}
F = {(x, y) ∈ R2 : (x2 − y)(x2 + y 2 − 16) < 0}
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Funciones en varias variables
Tabla de contenidos
1
Introducción
2
Topologı́a en Rn
3
Funciones en varias variables
4
Gráficas y superficies
5
Lı́mites de funciones en varias variables
6
Continuidad de funciones de varias variables
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Cálculo en varias variables
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Funciones en varias variables
Funciones vectoriales y funciones en varias variables
Una función de varias variables es una función cuyo dominio es un subconjunto
de Rn . Una función vectorial es una función cuyo codominio es un subconjunto
de Rm . Usualmente, las clasificamos en los siguientes tipos:
Funciones escalares de varias variables
Son aquellas que se caracterı́zan por tener su dominio en Rn y su codominio en R,
es decir:
f : A ⊆ Rn 7−→ R
Ejemplo de estas funciones son:
f (x, y) = 12x3 − 4xy + 6y + 1
2x2 − y
f (x, y, z) = p
z 5 + xy + x
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Cálculo en varias variables
f : R2 7−→ R
f : A ⊆ R3 7−→ R
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Funciones en varias variables
Funciones vectoriales y funciones en varias variables
Funciones vectoriales de una variable
Son aquellas que se caracterizan por tener su dominio en R y su codominio en Rm ,
es decir:
F : [a, b] ⊆ R 7−→ Rm
Ejemplo de estas funciones son:
F1 (x) = (5x2 + x + 1, x − 3)
F : R 7−→ R2
F2 (x) = (x + 1, x2 − 5, 2x)
√
F3 (x) = x3 , x + 1, 100, −x + 1
F : R 7−→ R3
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Cálculo en varias variables
F : A ⊆ R 7−→ R4
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Funciones en varias variables
Funciones vectoriales y funciones en varias variables
Funciones vectoriales de varias variables
Son aquellas que se caracterizan por tener su dominio en Rn y su codominio en
Rm , es decir:
F : A ⊆ Rn 7−→ Rm
Ejemplo de estas funciones son:
F : R2 7−→ R2
F1 (x, y) = (xy, x + y)
F2 (x, y) = (x2 + 2xy,
p
x2 + y 2 , cos(x) − 1)
F3 (x, y, z) = (x + y + z, 12x − y 2 + 6)
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Cálculo en varias variables
F : A ⊆ R2 7−→ R3
F : R3 7−→ R2
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24 / 77
Funciones en varias variables
Funciones vectoriales y funciones en varias variables
Observación.
Las funciones escalares y las funciones vectoriales están estrechamente relacionadas. Cada componente de una función vectorial puede ser interpretada como
una función escalar, es decir:
F (⃗x) = (f1 (⃗x), f2 (⃗x), ..., fm (⃗x))
Evaluar una función consiste en tomar un punto de su dominio y reemplazarlo
en la expresión que la define para obtener un valor.
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Funciones en varias variables
Dominio y recorrido de una función de varias variables
Dominio y recorrido
Sea F : D ⊆ Rn 7−→ Rm una función vectorial de varias variables. Entonces:
1) Llamaremos dominio de F al conjunto:
Dom(F ) = {x ∈ Rn : F (x) existe}
2) Llamaremos recorrido de F al conjunto:
Rec(F ) = {y ∈ Rm : y = F (x) para algún x ∈ Dom(F )}
Observación. En general, no es sencillo determinar el recorrido de una función,
pues el procedimiento que esto implica no siempre es posible de llevar a cabo con
funciones de varias variables.
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Funciones en varias variables
Dominio y recorrido de una función de varias variables
Ejercicio 1. Calcular el dominio de las siguientes funciones escalares de varias
variables:
p
x2 − y + 1
f (x, y) = 2
x + y2 − 1
f (x, y) = 2x · ln(4 − x2 − y 2 )
Ejercicio 2. Calcular el recorrido de las siguientes funciones escalares de varias
variables:
p
f (x, y) = 9 − x2 − y 2
f (x, y) = 5 · sen(x2 + y 2 ) + 2
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Funciones en varias variables
Operaciones con funciones escalares de varias variables
Operaciones
Sean f, g : D ⊆ Rn 7−→ R. Se define:
1) Suma de funciones: (f + g)(⃗x) = f (⃗x) + g(⃗x)
2) Resta de funciones: (f − g)(⃗x) = f (⃗x) − g(⃗x)
3) Producto de funciones: (f · g)(⃗x) = f (⃗x) · g(⃗x)
f
f (⃗x)
4) Cociente de funciones:
(⃗x) =
donde g(⃗x) ̸= 0
g
g(⃗x)
Composición de funciones
Sean f : D ⊆ Rn 7−→ R y g : D′ ⊆ R 7−→ R dos funciones. Se define la
composición de f y g como (h ◦ g)(⃗x) = h(g(⃗x)).
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Cálculo en varias variables
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28 / 77
Funciones en varias variables
Ejercicios
Ejercicio 1. Calcular el valor de las siguientes funciones de varias variables en los
puntos indicados:
f (x, y) = x(y − 2)3 en P1 (1, −3) y P2 (2, 2)
x+z
en P1 (5, 3, 1) y P2 (−10, −6, 2)
f (x, y, z) = 2
x − y2
Ejercicio 2. Determine el dominio de las siguientes funciones y represéntelo de
manera gráfica.
sen(x − y)
p
f (x, y) =
x − x2 + y 2 − 9
f (x, y) =
p
y − x2 + ln(x) + 2
Ejercicio 3. Determine el recorrido de las siguientes funciones de varias variables:
f (x, y) = 12 +
p
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16 − 2x2 − 2y 2
f (x, y) = 3 sen(x) + 2 cos(y) + 1
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Gráficas y superficies
Tabla de contenidos
1
Introducción
2
Topologı́a en Rn
3
Funciones en varias variables
4
Gráficas y superficies
5
Lı́mites de funciones en varias variables
6
Continuidad de funciones de varias variables
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Gráficas y superficies
Superficies en R3
Superficies
Una superficie S es un conjunto de puntos del espacio determinado por una ecuación
de la forma F (x, y, z) = 0, es decir:
S = {(x, y, z) ∈ R3 : F (x, y, z) = 0}
No todos los conjuntos de puntos que podemos graficar en el espacio conforman
una superficie, por ejemplo, las rectas en R3 no son superficies.
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31 / 77
Gráficas y superficies
Gráficas en R3
Gráfica de una función
Si F es una función escalar en Rn , entonces la gráfica de F corresponde al conjunto
de puntos en Rn+1 tal que z = F (⃗x) para todo ⃗x ∈ Dom(F ), es decir:
Graf (F ) = {(⃗x, z) ∈ Rn+1 : z = F (⃗x) ∀⃗x ∈ Dom(F )}
En general, no podemos obtener una representación gráfica de todas las funciones
de varias variables, pues si consideramos una función w = f (x, y, z) sabemos que su
gráfica se encontrarı́a en R4 y este es un espacio que no es “visible” para nosotros.
Por tal razón, es que nos centraremos en estudiar aquellas que si podemos graficar,
haciendo énfasis en aquellas funciones cuyos gráficos se encuentren especı́ficamente
en el espacio R3 .
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32 / 77
Gráficas y superficies
Rectas en el espacio
Rectas en el espacio
Sea P (x0 , y0 , z0 ) un punto del espacio y d⃗ = (d1 , d2 , d3 ) un vector directos. La
recta L que pasa por P y que sigue la dirección del vector d⃗ se describe como el
siguiente conjunto:
L = {(x, y, z) ∈ R3 : (x, y, z) = (x0 , y0 , z0 ) + λ · (d1 , d2 , d3 )}
Esta ecuación se denomina forma vectorial de la recta.
La variable λ se denomina parámetro y se mueve a lo largo de todo los números
reales. Para cada valor de λ tendremos un punto de la recta.
Notemos también que, según la definición, basta tener un punto y un vector director
para determinar la ecuación de la recta.
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Gráficas y superficies
Rectas en el espacio
De la forma vectorial de la recta se desprenden otro tipo de ecuaciones equivalentes
iguales de útiles que la primera. La primera de ellas es la que denominamos ecuación
paramétrica:

x = x 0 + λ · d 1
L = y = y0 + λ · d2
λ∈R

z = z0 + λ · d3
De las ecuaciones paramétricas de la recta podemos despejar los parámetros e
igualarlos para obtener las ecuaciones continuas:
y − y0
z − z0
x − x0
=
=
d1
d2
d3
Cualquiera de las formas en las que se presente a una recta es equivalente y es
posible pasar de una forma a otra por medio de diferentes procedimientos.
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Gráficas y superficies
Rectas en el espacio
Determine la ecuación vectorial, paramétrica y continua de las rectas que cumplen
las siguientes condiciones:
La recta que pasa por el punto P (3, 3, 3) y que tiene como vector director
d⃗ = (5, 1, 2).
La recta que pasa por el punto P (1, −5, 8) y que tiene como vector director
d⃗ = (6, 0, 1).
La recta que pasa por los puntos P (1, 2, 3) y Q(2, 5, 8).
La recta que pasa por los puntos P (2, 0, 1) y Q(1, 1, 0).
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Cálculo en varias variables
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Gráficas y superficies
Planos en el espacio
Planos en el espacio
Sea P (x0 , y0 , z0 ) un punto del espacio y ⃗u = (u1 , u2 , u3 ), ⃗v = (v1 , v2 , v3 ) vectores
directores. El plano π que pasa por P y que tiene vectores directores ⃗u y ⃗v se
describe como el siguiente conjunto:
π = {(x, y, z) ∈ R3 : (x, y, z) = (x0 , y0 , z0 ) + λ · (u1 , u2 , u3 ) + η · (v1 , v2 , v3 )}
Esta forma se denomina forma vectorial del plano.
La definición sugiere que, para determinar la ecuación de un plano, basta tener tres
puntos o un punto y dos vectores directores.
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Cálculo en varias variables
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Gráficas y superficies
Planos en el espacio
De la forma vectorial del plano se desprende otro tipo de ecuación denominada
ecuación paramétrica:

 x = x 0 + λ · u 1 + η · v1
π = y = y0 + λ · u2 + η · v2
λ, η ∈ R

z = z0 + λ · u3 + η · v3
Otra forma de representar un plano es por medio de su ecuación general o forma
cartesiana, la cual se describe de la siguiente forma:
π = {(x, y, z) ∈ R3 : (a, b, c) · (x − x0 , y − y0 , z − z0 ) = 0}
donde ⃗n = (a, b, c) es un vector normal al plano y P (x0 , y0 , z0 ) es un punto por el
que pasa el plano.
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Cálculo en varias variables
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Gráficas y superficies
Planos en el espacio
Ejercicio 1. Determine la ecuación vectorial y general de los planos que cumplen
las siguientes condiciones:
El plano que pasa por los puntos A(0, 1, −1), B(2, 3, −5) y C(1, 4, 3).
El plano que pasa por los puntos A(1, 3, −1), B(2, −1, 5) y que contiene al
vector ⃗u = (−1, −3, 3).
Ejercicio 2. Determine, en cada caso, cuales de los siguientes puntos pertenecen a
los planos indicados:
Puntos A(2, 1, 5) y B(0, 0, 1). Plano π : 2x + y + 3z − 20 = 0
Puntos A(3, 4, 6) y B(2, 2, 1). Plano π : 4x − 2y − 3z = 1
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Cálculo en varias variables
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Gráficas y superficies
Esferas
Esfera
Sea C(x0 , y0 , z0 ) ∈ R3 y r un número real positivo. Definimos la esfera de centro
C(x0 , y0 , z0 ) y radio r como el conjunto:
Sr (x0 , y0 , z0 ) = {(x, y, z) ∈ R3 : (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 = r2 }
A esta forma se le conoce como forma canónica de la esfera.
Observación. Toda esfera puede ser descrita por una ecuación de la forma:
x2 + y 2 + z 2 + Ax + By + Cz + D = 0
dicha ecuación se conoce como forma general de la esfera.
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Gráficas y superficies
Esferas
Ejercicio 1. Hallar la ecuación de la esfera que pasa por el punto P (4, 3, −1) y que
tiene centro en C(3, 8, 1).
Ejercicio 2. Calcular el centro y el radio de la esfera de ecuación:
2x2 + 2y 2 + 2z 2 = 8x − 24z + 1
Ejercicio 3. Hallar la ecuación canónica de la esfera que tiene los puntos A(1, 6, 1)
y B(5, 4, 5) como extremos de uno de sus diámetros. Graficar la esfera y calcular
su área y volumen.
Ejercicio 4. Hallar la ecuación general de la esfera que pasa por los siguientes
puntos:
A(1, −2, −1)
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B(−5, 10, −1)
C(4, 1, 11)
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D(−8, −2, 2)
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Gráficas y superficies
Cilindros
Cilindro
Sea C una curva contenida en un plano π y L una recta que no es paralela a dicho
plano. Al conjunto de todas las rectas que son paralelas a L y que pasar por los
puntos de C se le denomina cilindro. La curva C se denomina directriz y a la recta
L, generatriz.
Observación. Algebraicamente, reconocemos un cilindro porque está expresado
como una ecuación en dos variables. Por ejemplo:
√
y= x
Variable x y variable y
4x2 + 9z 2 = 36
Variable x y variable z
z = cos(y)
Variable y y variable z
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Gráficas y superficies
Cilindros
Identifiquemos la directriz y la generatriz en la siguiente superficie cilı́ndrica:
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Gráficas y superficies
Cilindros
Ejercicio 1. Represente gráficamente las siguientes superficies cilı́ndricas en el espacio tridimensional R3 :
y = x2
x2 + z 2 = 1
z = y2 + 1
x = 2z−1 + 2
z =y+1
√
y = x−2
Observación. Para facilitar la gráfica, identifique la directriz del cilindro en el plano
correspondiente y luego trace una superficie que siga su forma.
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Gráficas y superficies
Superficies cuadráticas
En general, existen muchos tipos de superficies notables en el espacio que podemos
estudiar, sin embargo, nos interesan especı́ficamente aquellas superficies que tienen
la forma:
Ax2 + By 2 + Cz 2 + Dxy + Exz + F yz + Gx + Hy + Iz + J = 0
Si aplicamos adecuadamente algunas traslaciones y rotaciones, podemos reducir
esta expresión a la siguiente forma:
Ax2 + By 2 + Cz 2 + Dx + Ey + F z + G = 0
A las superficies representadas con ecuaciones de esta forma las llamaremos superficies cuadráticas.
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Gráficas y superficies
Elipsoide
Un elipsoide de centro C(x0 , y0 , z0 ) es una superficie cuadrática de la forma:
(x − x0 )2
(y − y0 )2
(z − z0 )2
+
+
=1
a2
b2
c2
donde a, b y c son las medidas de los semiejes del elipsoide. Geométricamente, un
elipsoide es una superfricie de la forma:
Si el centro del elipsoide es el origen de
coordenadas, entonces su ecuación se reduce a la forma:
x2
y2
z2
+
+
=1
a2
b2
c2
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Gráficas y superficies
Hiperboloide de una hoja
Un hiperboloide de una hoja de centro C(x0 , y0 , z0 ) es una superficie cuadrática de
la forma:
(x − x0 )2
(y − y0 )2
(z − z0 )2
+
−
=1
2
2
a
b
c2
la variable negativa indica el eje (orientación) del hiperboloide. Geométricamente,
un hiperboloide de una hoja es una superficie de la forma:
Si el centro del hiperboloide de una hoja
es el origen de coordenadas, entonces su
ecuación se reduce a la forma:
x2
y2
z2
+ 2 − 2 =1
2
a
b
c
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Gráficas y superficies
Hiperboloide de dos hojas
Un hiperboloide de dos hojas de centro C(x0 , y0 , z0 ) es una superficie cuadrática
de la forma:
(x − x0 )2
(y − y0 )2
(z − z0 )2
−
−
+
=1
2
2
a
b
c2
la variable positiva indica el eje (orientación) del hiperboloide. Geométricamente,
un hiperboloide de dos hojas es una superficie de la forma:
Si el centro del hiperboloide de dos hojas
es el origen de coordenadas, entonces su
ecuación se reduce a la forma:
−
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x2
y2
z2
−
+
=1
a2
b2
c2
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Gráficas y superficies
Cono elı́ptico
Un cono elı́ptico de centro C(x0 , y0 , z0 ) y en eje z es una superficie cuadrática de
la forma:
(x − x0 )2
(y − y0 )2
(z − z0 )2
+
=
2
2
a
b
c2
Si a = b el cono se denomina cono circular. la variable del lado derecho indica el
eje (orientación) del cono. Geométricamente, un cono elı́ptico es una superficie de
la forma:
Si el centro del cono es el origen de coordenadas, entonces su ecuación se reduce
a la forma:
x2
y2
z2
+
=
a2
b2
c2
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Gráficas y superficies
Paraboloide elı́ptico
Un paraboloide elı́ptico de centro C(x0 , y0 , z0 ) y en eje z es una superficie cuadrática
de la forma:
(x − x0 )2
(y − y0 )2
z − z0
+
=
a2
b2
c
Si a = b el paraboloide se denomina paraboloide circular. la variable del lado derecho
indica el eje (orientación) del paraboloide. Geométricamente, un paraboloide elı́ptico
es una superficie de la forma:
Si el centro del paraboloide es el origen
de coordenadas, entonces su ecuación se
reduce a la forma:
x2
y2
z
+
=
2
2
a
b
c
Si c > 0 el paraboloide abre hacia arriba
y si c < 0 abre hacia abajo.
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Gráficas y superficies
Paraboloide hiperbólico
Un paraboloide hiperbólico de centro C(x0 , y0 , z0 ) y en eje z es una superficie
cuadrática de la forma:
−
(x − x0 )2
(y − y0 )2
z − z0
+
=
2
2
a
b
c
Geométricamente, un paraboloide hiperbólico es una superficie de la forma:
Si el centro del paraboloide es el origen
de coordenadas, entonces su ecuación se
reduce a la forma:
−
x2
y2
z
+
=
2
2
a
b
c
La variable que no está al cuadrado indica el eje del hiperboloide hiperbólico.
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Gráficas y superficies
Superficies cuadráticas
Ejercicio 1. Transformar a su forma canónica las siguientes expresiones e identificar
el tipo de superficie cuadrática a la que corresponde:
1) 9x2 + 36y 2 + 4z 2 + 18x − 16z − 11 = 0
2) 4x2 − 9y 2 + 36z 2 − 18y − 10 = 0
3) x2 − y 2 − z 2 + 8x + 15 = 0
4) x2 + 16y 2 − 4z 2 + 2x − 128y + 257 = 0
5) 12x2 + 3y 2 − 24x + 12y − 4z + 24 = 0
6) −3x2 + 3y 2 − 6x − 18y − z + 20 = 0
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Gráficas y superficies
Trazas y conjuntos de nivel
Sea f : D ⊆ Rn 7−→ R una función de varias variables. Para n = 2, Graf (f ) es,
generalmente, una superficie de R3 .
Para n = 3, Graf (f ) es un subconjunto de R4 que no podemos visualizar, por ello
es que se introduce a continuación el siguiente concepto:
Conjuntos de nivel
Sea f : D ⊆ Rn 7−→ R una función escalar de varias variables y c ∈ R. Se define el
conjunto de nivel Sc (f ) como:
Sc (f ) = {⃗x ∈ D : f (⃗x) = c}
Observación. Para n = 2, Sc (f ) se denomina curva de nivel. Para n = 3, Sc (f )
se denomina (y son)superficie de nivel.
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Gráficas y superficies
Trazas y conjuntos de nivel
Ejercicio 1. Considere las siguientes funciones reales de varias variables. Utilizar
conjuntos de nivel para construir un esbozo de su gráfica:
p
f (x, y) = 9 − x2 + y 2
f (x, y) = 2x2 + y 2
p
f (x, y) = x2 + y 2
p
f (x, y) = 2 1 + x2 + y 2
Observación. Considere todos los conjuntos de nivel que desee hasta tener claridad
de la superficie con la que se encuentra trabajando.
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Gráficas y superficies
Trazas y conjuntos de nivel
Trazas
Las trazas de una superficie son las curvas que resultan de intersectar dicha superficie con planos paralelos a los ejes coordenados.
Observación. Podemos utilizar trazas para analizar la gráfica de una superficie que
no necesariamente es una función, por ejemplo, las superficies cuadráticas.
Usualmente, utilizamos trazas para graficar superficies generales y conjuntos de
nivel para graficar funciones.
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Gráficas y superficies
Trazas y conjuntos de nivel
Ejercicio 1. Utilice trazas para hacer un esbozo rápido de la gráfica de las siguientes
superficies en R3 :
x2
y2
z2
S1 = (x, y, z) ∈ R3 :
+
+
=1
9
4
4
2
2
y
z2
x
S2 = (x, y, z) ∈ R3 :
+
−
=1
25
4
9
2
2
y
z2
x
S3 = (x, y, z) ∈ R3 : − −
+
=1
4
4
9
2
2
x
y
z
3
=
S4 = (x, y, z) ∈ R : − +
9
16
2
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Lı́mites de funciones en varias variables
Tabla de contenidos
1
Introducción
2
Topologı́a en Rn
3
Funciones en varias variables
4
Gráficas y superficies
5
Lı́mites de funciones en varias variables
6
Continuidad de funciones de varias variables
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Lı́mites de funciones en varias variables
Lı́mites de funciones en varias variables
Lı́mite
Sea A ̸= ϕ, A ⊆ Rn , f : A 7−→ Rm . Diremos que L ∈ Rm es el lı́mite de f cuando
x tiende a x0 si y solo si:
(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ A)(x ∈ Dδ∗ (x0 ) 7−→ f (x) ∈ Dε (L))
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Lı́mites de funciones en varias variables
Lı́mites de funciones en varias variables
Observación. Si L es el lı́mite de la función f cuando x tiende a x0 , escribiremos:
lı́m f (⃗x) = L
x→x0
Una pregunta importante que nos podemos hacer es ... ¿cuántos valores puede
tomar un lı́mite cuando x tiende a x0 ? ... la respuesta está en el siguiente teorema.
Unicidad del lı́mite
Sea f una función, b1 , b2 ∈ R y x0 un punto de acumulación. Si se cumple que:
lı́m f (⃗x) = b1
x→x0
lı́m f (⃗x) = b2
x→x0
entonces b1 = b2 , es decir, si el lı́mite de una función existe, es único.
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Lı́mites de funciones en varias variables
Lı́mites de funciones en varias variables
Ejercicio 1. Demuestre, utilizando la definición formal, el valor de los siguientes
lı́mites en dos variables:
lı́m
(7x − 4y) = 1
(x,y)→(3,5)
(2x + 5y − 3) = 9
2 2 x y
lı́m
=0
2
(x,y)→(0,0) x + y 2
!
5y 2
p
lı́m
=0
(x,y)→(0,0)
x2 + y 2
lı́m
(x,y)→(1,2)
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Lı́mites de funciones en varias variables
Álgebra de lı́mites
Teorema del álgebra de lı́mites
Sea A ̸= ϕ, A ⊆ Rn , f, g : A 7−→ R, x0 ∈ A, c ∈ R y b0 , b1 , b2 ∈ R. Entonces:
1) Si lı́m f (x) = b0 entonces lı́m c · f (x) = c · b0
x→x0
x→x0
2) Si lı́m f (x) = b1 y lı́m g(x) = b2 entonces lı́m f (x) ± g(x) = b1 ± b2
x→x0
x→x0
x→x0
3) Si lı́m f (x) = b1 y lı́m g(x) = b2 entonces lı́m f (x) · g(x) = b1 · b2
x→x0
x→x0
x→x0
4) Si lı́m f (x) = b1 ̸= 0 y f (x) ̸= 0 ∀x ∈ A, entonces lı́m
x→x0
x→x0
1
1
=
f (x)
b1
Existen tres lı́mites importantes que debemos considerar:
lı́m
(x,y)→(x0 ,y0 )
x = x0
lı́m
(x,y)→(x0 ,y0 )
y = y0
lı́m
c=c
(x,y)→(x0 ,y0 )
Estos lı́mites nos permitirán calcular el valor de una gran cantidad de funciones.
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Lı́mites de funciones en varias variables
Álgebra de lı́mites
Ejercicio 1. Calcular el valor de los siguientes lı́mites utilizando los lı́mites notables
y los teoremas del álgebra de lı́mites:
2
x +y
lı́m
y−x
(x,y)→(1,2)
5xy
√
lı́m
(x,y)→(5,0) 12 5x
y · ln(x)
lı́m
y+1
(x,y)→(e,4)
√
3x + 2y
lı́m
(x,y)→(2,4) xy + x2 + y 2
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Lı́mites de funciones en varias variables
Teorema de acotamiento
Teorema de acotamiento
Sean f, g, h funciones de varias variables tales que:
lı́m f (x) = L = lı́m g(x)
x→x0
x→x0
Si f ≤ h ≤ g en un Dr∗ (x0 ), entonces se cumple que
lı́m
h(x) = L.
(x,y)→(x0 ,y0 )
Observación. Este teorema nos permitirá calcular lı́mites que presentan indefini0
ciones de la forma y que no son posibles de determinar por medio de los teoremas
0
del álgebra de lı́mites.
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Lı́mites de funciones en varias variables
Teorema de acotamiento
Ejercicio 1. Calcular el valor de los siguientes lı́mites por medio del teorema de
acotamiento:
2 2 3x2 y
x sin (y)
lı́m
lı́m
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
x2 + 2y 2
(x,y)→(0,0)
x3
xy 5
lı́m
lı́m
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
(x,y)→(0,0) 3x2 + 2y 4
Ejercicio 2. Analice el valor de los siguientes lı́mites por acotamiento. ¿Qué se
puede concluir?
1
xy 2
lı́m (x2 + y 2 ) · sin
lı́m
xy
(x,y)→(0,0)
(x,y)→(0,0) x2 + y 4
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Lı́mites de funciones en varias variables
Lı́mites que no existen
Tal como sucede en una variable, al enfrentarnos a la resolución de problemas es
posible encontrarnos con lı́mites que no tienen existencia. En el caso de una variable,
la inexistencia de un lı́mite se manifestaba cuando los lı́mites laterales no coincidı́an.
Sin embargo, al considerar varias variables, la evaluación de la existencia de un
lı́mite se vuelve más compleja. En este contexto, la aproximación a un punto puede
realizarse desde una variedad infinita de direcciones, lo cual complica el análisis de
la existencia del lı́mite.
En lugar de tener simplemente dos direcciones laterales, como en el caso unidimensional, en múltiples dimensiones debemos tener en cuenta las diversas trayectorias
que pueden converger hacia el punto en cuestión. Este enfoque más amplio y complejo resalta la necesidad de técnicas y herramientas más avanzadas para abordar
y comprender los lı́mites en contextos multivariables.
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Lı́mites de funciones en varias variables
Teorema de las trayectorias
Teorema de las trayectorias
Sea f : G 7−→ R, G ̸= ϕ, G ⊆ Rn y x0 ∈ G. Si lı́m f (x) = L se tendrá que
x→x0
lı́m f (ψ(t)) = L para cada función continua ψ : R 7−→ G tal que ψ(t) converge a
t→t0
x0 cuanto t tiende a t0 .
De este teorema es útil el contrarrecı́proco, el cual nos dá un método para probar
la no existencia de un lı́mite en varias variables. Esto se dará cuando el lı́mite tome
diferentes valores al aproximarse a x0 por diferentes trayectorias.
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Lı́mites de funciones en varias variables
Teorema de las trayectorias
Ejercicio 1. Demostrar por medio de trayectorias, que los siguientes lı́mites no
existen:
xy 2
lı́m
(x,y)→(0,0) x2 + y 4
2
x − y2
lı́m
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
2x2
lı́m
(x,y)→(0,0) x2 − y 2
xy − x + y
lı́m
x+y
(x,y)→(0,0)
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Lı́mites de funciones en varias variables
Lı́mites iterados
Lı́mites iterados
Sea f : D ⊆ R2 7−→ R y (x0 , y0 ) ∈ D. Llamaremos lı́mites iterados a los siguientes
lı́mites:
lı́m
f (x, y) = lı́m
lı́m f (x, y)
x→x0 y→y0
(x,y)→(x0 ,y0 )
lı́m
f (x, y) = lı́m
lı́m f (x, y)
(x,y)→(x0 ,y0 )
y→y0
x→x0
Al igual que las trayectorias, usualmente utilizamos los lı́mites iterados para demostrar que un lı́mite no existe. Más aún, los lı́mites iterados corresponden a los casos
particulares de las trayectorias x = 0 e y = 0.
Observación. Que los lı́mites iterados coincidan no significa que el lı́mite existe.
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Lı́mites de funciones en varias variables
Lı́mites iterados
Ejercicio 1. Demostrar que los siguientes lı́mites no existen utilizando lı́mites iterados y trayectorias:
2x4
lı́m
(x,y)→(0,0) x4 + y 2
2x2 y
lı́m
(x,y)→(0,0) x4 + y 2
x2
lı́m
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
5x2 y 3
lı́m
(x,y)→(0,0) x5 + y 3
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Lı́mites de funciones en varias variables
Lı́mites por coordenadas polares
Lı́mites por coordenadas polares
Sea f (x, y) una función real de dos variables y (x0 , y0 ) ∈ R2 . Se cumple entonces
lo siguiente:
lı́m
f (x, y) = lı́m f (r cos(θ), r sin(θ))
(x,y)→(x0 ,y0 )
donde r0 =
p
r→r0
x2 + y 2 cuando (x, y) tiende a (x0 , y0 ).
Al igual que las trayectorias y los lı́mites iterados, las cordenadas polares se utilizan
usualmente para demostrar que un lı́mite no existe.
Observación. Que las coordenadas polares entregen un valor constante no significa
que el lı́mite exista.
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Lı́mites de funciones en varias variables
Lı́mites por coordenadas polares
Ejercicio 1. Demostrar, utilizando coordenadas polares, trayectorias y lı́mites iterados, que los siguientes lı́mites no existen:
2
x − y2
lı́m
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
x2 y
lı́m
(x,y)→(0,0) x4 + y 2
!
−x
p
lı́m
(x,y)→(0,0)
x2 + y 2
3
2x − x2 + y
lı́m
x3 − x2 + y
(x,y)→(0,0)
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Continuidad de funciones de varias variables
Tabla de contenidos
1
Introducción
2
Topologı́a en Rn
3
Funciones en varias variables
4
Gráficas y superficies
5
Lı́mites de funciones en varias variables
6
Continuidad de funciones de varias variables
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Continuidad de funciones de varias variables
Continuidad de funciones de varias variables
Continuidad de funciones de varias variables
Diremos que f : A ⊆ Rn 7−→ R es continua en el punto x0 ∈ Rn si y solo si se
verifica que:
1) f (x) está definida en un entorno de x0
2) lı́m f (x) = L
x→x0
3) f (x0 ) = L
Sea f una función y D ⊆ Rn . Se dice que f es continua en D si f es continua en
x para todo x ∈ D.
Para una función real de dos variables cuyo gráfico es una superficie, el hecho de
que sea continua en su dominio significa que es una superficie sin interrupciones,
sin cortes y sin orificios.
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Continuidad de funciones de varias variables
Continuidad de funciones de varias variables
Ejercicio 1. Analizar la continuidad de las siguientes funciones escalares de dos
variables en torno al punto (x, y) = (0, 0):

 3x2 y 2
f (x, y) = x2 + y 2

0

 x2 y 4
f (x, y) = x2 + 4y 2

1
 2
 x − y2
f (x, y) = x2 + y 2

0
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(x, y) ̸= (0, 0)
(x, y) = (0, 0)
(x, y) ̸= (0, 0)
(x, y) = (0, 0)
(x, y) ̸= (0, 0)
(x, y) = (0, 0)
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Continuidad de funciones de varias variables
Propiedades de las funciones continuas
Propiedades
Sean f, g : A ⊆ Rn 7−→ R continuas en x0 ∈ Rn . Entonces, se verifica:
1) c · f + g es continua en x0 para todo c ∈ R.
2) f · g es continua en x0 .
3) Si g(x0 ) ̸= 0 en algún entorno de x0 , entonces
f
g
es continua en x0 .
4) Si h es una función continua cuyo dominio permita que la composición h ◦ f
esté bien definida, entonces la composición h ◦ f también es continua en x0 .
5) Las funciones polinomiales son continuas en todo Rn .
6) Las funciones racionales son continuas en todo Rn excepto en aquellos valores
que anulan su denominador.
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Continuidad de funciones de varias variables
Discontinuidad de funciones de varias variables
Discontinuidad de funciones de varias variables
Si f no es una función continua en x0 , entonces se dice que hay una discontinuidad
de f en x0 . Además, si lı́m f (x) existe, se dice que la discontinuidad es reparable,
x→x0
de lo contrario se dirá irreparable o escencial.
La condición más importante para que una función sea continua es la existencia del
lı́mite en torno al punto en cuestión. Si la función no está definida en dicho punto
pero aún ası́ existe el lı́mite es posible redefinir la función para que sea continua.
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Discontinuidad de funciones de varias variables
Ejercicio 1. Analizar la continuidad de la siguiente función en torno al punto
(x, y) = (0, 0):

 8x2 y 2
(x, y) ̸= (0, 0)
f (x, y) = x2 + y 4

2
(x, y) = (0, 0)
Ejercicio 2. Determinar los puntos del dominio de la siguiente función donde f (x, y)
es continua:
 2
x + y 2 x < y
2
x=y
f (x, y) =

x+y x>y
Ejercicio 3. Consideremos la siguiente función escalar de dos variables:
f (x, y) = p
|xy|
x2 + y 2
Redefinir adecuadamente la función para que sea continua en todo R2 .
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