ÁLGEBRA‐I
1.2
FÓRMULA CUADRÁTICA
Binomio al cuadrado
 a  b   a 2  b2  2ab
3
Binomio al cubo
 a  b   a 3  3a 2b  3ab 2  b3
Diferencia de cuadrados
a2  b2   a  b   a  b 
Diferencia de cubos
a 3  b 3   a  b   a 2  b 2  ab 
Suma de cubos
a 3  b 3   a  b   a 2  b 2  ab 
a4  b4   a  b   a  b   a2  b2 
2
 a  b  c   a 2  b2  c 2  2ab  2ac  2bc
2
POTENCIAS
RADICALES
DEFINICIÓN
DEFINICIÓN
 a a  a
m
m
1
a
 a n m
m
a
PROPIEDADES
PROPIEDADES

  a n   a nm
m
  a  b   an  bn
n
n
an
a
    n ; b0
b
b
Llamamos discriminante a:   b 2  4ac
Si   0  Dos soluciones reales distintas: x1 , x 2
Si   0  Una solución real doble: x1  x 2
Si   0  Sin solución real, dos soluciones complejas
n
log a x  y  a  x
x  0 ; a  0 ; a 1

n
1
n

 a
n
ab  a  b
a

b
n
n m
n
n
m
a
; b0
b
n
 a
a
nm
n
 a      a m
m impar
 a     a m
m par
a
n
n
n
 ac ar
c 
n  par 
a  0 n a ;  n a
a  0 no definida
n  impar 
n
 a
n
 a
log b N
log b a
 log a a n  n
log 2  0, 3010 ; log 3  0, 4771
; e  2, 7182818 
ln 10  2, 302585 ; log e  0, 434294
VALOR ABSOLUTO
a
Cerrado
Semiabierto
Semicerrado
Semirrecta cerrada
Semirrecta cerrada
Semirrecta abierta
Semirrecta abierta
Recta real
Conjunto vacio
u
 log a    log a u  log a v
v
 log a u n  n  log a u
1
n
 log a u  log a u
n
 log a 1  0 ; log a a  1
Cambio de base
log a N 
log10 A  log A  decimal 
log e A  ln A  neperiano 
 log a  u  v   log a u  log a v
log a 0  no existe
INTERVALOS
 a, b 
 a, b 
 a, b 
 a, b 
 a,  
 , b 
 a,  
 , b 
 ,  
 ac
a
PROPIEDADES
Para n  0 (negativo) el
log a n  no existe
m
a m p  a m
m
am  
r
2
Tipos
y
Simplificar:
n p
b 2
LOGARÍTMOS
DEFINICIÓN
n
b 2
Haciendo: S  x1  x 2 ; P  x1  x 2
n


1
a  n  n ; a  0, n  0
a
0
a 1 ; a  0
Abierto
x1 
Si b es par:
ax 2  bx  c  a  x  x1   x  x 2 
 an  a ; a2  a
n
b  b 2  4ac
2a
x 2  Sx  P  0  forma canónica 
 a n  am
nm
x
a  b  bn  a
nveces
n
ax 2  bx  c  0 ; a  0 ; a, b, c  
b
 x : a  x  b
 x : a  x  b
 x : a  x  b
 x : a  x  b
 x : x  a
 x : x  b
 x : x  a
 x : x  b
DEFINICIÓN
 a si a  0
a 
 a si a  0
 a 0
 a  a
 ab  a  b
 ab  a  b
d  a, b   b  a  a  b
DISTANCIA en la recta real

ba
x a

Los intervalos son subconjuntos de números reales formados por todos
aquellos números que están comprendidos entre dos dados, llamados
extremos del intervalo; a veces, puede haber solo un extremo.
PROPIEDADES
n
an  a
a

 a ; a1  a

DEFINICIÓN
PRODUCTOS NOTABLES
Siendo
a0
a
0
x a
a
a
x a
a
0
0
a
x a
a
a
0
a
LOGARITMOS
DEFINICIÓN
1.2
Observaciones
Propiedades
El cero no tiene logaritmo:
Forma Logarítmica
① loga  P  Q  loga P  loga Q
Forma Exponencial
loga x  y  a y  x
 a  0 a 1 ; x  0 ; y
 P
② loga    loga P  loga Q
Q
De la definición deducimos que:
③ loga Pn  n  loga N
Y se lee logaritmo en base a de x
a
log ax
x
④ loga P 
n
El logaritmo de un número
es un exponente, y solo eso.
log b N
log b a
log N ln N

log a ln a
1
 log a P 
log P a
log10 N  log N
Logaritmos neperianos
log e N  ln N
Antilogaritmo
log a x  y  Anti log a y  x  a y  x
Ejemplo
Si log N  log10 N  2,1673  N  102,1673  147
a
 log
1
  log P  co log P
P
también se escribe:
De la definición de logaritmo y de sus propiedades deducimos las siguientes igualdades:
 log a n
 log a a  1 pues a  a
1
 log a n
 log a a  n
n
 log a P  log a n P n  log n
n
a
P
 log n
Anti log 2,1673  147
Equivalencias
Igualdades
 log a 1  0 pues a 0  1
log a  k    ; k  0
loga P
n
Q
P
 log a     log a  
P
Q
 log 1 P   log a P
 log a N 
Los números negativos
no tienen logaritmo:
Logaritmos decimales
CAMBIO DE BASE
log a N 
log a 0  
a
m
m
P   log a P ; log a n a m 
n
n
1
1
P   log a P
; log a n a 
n
n
P  n  log a P
; log n a  n
m
a
log 2  0,3010
log 3  0, 4771
log e  0, 4343
ln 2  0,6931
ln 3  1,0986
ln10  2,3026
log N  0, 4343  ln N
Otras relaciones:
 log b a  log c b  log d c  log e d  log e a " regla de la cadena "
ln N  2,3026  log N
 log na P   log a P    log a P    log a P 
log 5  log
n
 log a P 
n  veces
Los logaritmos fueron introducidos en matemáticas con el propósito de
facilitar, simplificar o hacer posible complicados y tediosos cálculos
numéricos.
Utilizando logaritmos podemos convertir productos en sumas, cocientes en
restas, potencias en productos y raíces en cocientes.
El método de cálculo mediante logaritmos aparece en el siglo XVII gracias a
los trabajos independientes de Neper y Bürgi. Los logaritmos se emplearon
habitualmente en astronomía, geodesia, navegación marítima y matemática.
10
 1  log 2
2
SIGNO
logaritmos
N 1
0  N 1
a 1 0  a 1




APLICACIONES : Geología: escala Richter; Química: cálculo de pH;
Arqueología: velocidad desintegración del C 14; Física: intensidad sonora;
Medicina: concentración de alcohol en sangre, etc...
Hasta la llegada de las calculadoras y los ordenadores los logaritmos fueron
muy utilizados por científicos, ingenieros, para realizar operaciones más
fácil y rápidamente, usando reglas de cálculo y tablas de logaritmos.



La constante a es un número real positivo distinto de 1
y se denomina base del sistema de logaritmos.
El número N debe ser un número real positivo
El exponente b puede ser cualquier número real
Es decir, la operación de logaritmación ( extracción de logaritmos o
tomar logaritmos ) es siempre posible en el campo real cuando tanto
la base a como el número N son positivos.
La base puede ser cualquier número pero las más frecuentes son la
base 10 (logaritmos decimales) y la base e (logaritmos neperianos) y lo
habitual es no escribir la base.
VALOR ABSOLUTO / inecuaciones
DEFINICIÓN
PROPIEDADES
Si x es un número real cualquiera, el valor absoluto
de x , escrito x , queda definido del siguiente modo:
x
x 
x
x  0 para todo x  , y x  0  x  0
si x  0
si x  0
xy  x  y
xy  x  y
Si a y b son dos números reales, entonces la distancia
entre los puntos a y b sobre la recta real es:
Una distancia siempre es positiva
x a
x a
x a
x a
x a
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
a
0
a
a
0
a
a
0
a
a
0
a
a
0
a
a
x c  d
k
x c  d
x c  d
0 x c  d
a  x  a
x  7  7  x  7 
 7, 7 
a  x  a
x  7  7  x  7 
 7, 7 
c
cd
cd
c
cd
cd
c
cd
cd
c
cd
c
cd
ck
cd
cd
ck
c
x  4  x  4 ó x  4
 , 4    4,  
0 x  2  x  0 y 2  x  2
0 x  a  a  x  a y x  0
cd
c
cd
x  4  x  4 ó x  4
 , 4    4,  
 x0
x  a  a  x  a
a
k
cd
k  x c  d
 k  0, k  d 
0
EJEMPLO
x  5  x  5 ó x  5
x  a ó x  a
a
0
x c  d
x c  d
x  a se expresa así: x  -a ó x  a
x  a
k x
a
x  a se expresa así: x  -a ó x  a
EXPRESIÓN SIN VALOR ABSOLUTO
x  a ó x  a
k x a
 k  0, k  a 
x  a se expresa así:  a  x  a
Si el punto a se elimina del conjunto, se denomina entorno reducido.
0 x
0 x a
para todo x , y  
Si a es positivo, entonces:
x  a se expresa así:  a  x  a
Si a es un punto de la recta real y r un número real positivo, es llama entorno de centro a y radio r
al conjunto de puntos cuya distancia a a es menor que r. Se simboliza Er (a)  x  a  r
d  a, b   a  b  b  a
a0 ; d0
para todo x , y  
1.1
cd
 x  k ó x  k
3 x  7 
x  a  a  x  a
7  x  3 ; 3  x  7
k  x  a   a  x  k ó k  x  a
 7, 3    3, 7 
x  c  d  x  c  d ó x  c  d
d  x  c  d   d  c  x  d  c
d  x  c  d   d  c  x  d  c
x  c  d ó x  c  d
x  cd ó x  cd
x  3  8  x  5 ó x  11
x  5  9   4  x  14
 4, 14 
x  5  9   4  x  14
 4, 14 
x  5  12  x  7 ó x  17
 , 7   17,  
x  c  d ó x  c  d
x  cd ó x  cd
 , 7   17,  
0 x c
0  x  3  11 
 x c  0  x  c
x  5  12  x  7 ó x  17
x  c y d c  x  d c
x  3 y  8  x  14
x  3 y  8, 14 
k  x c
4  x  6  13 
x c  d  d c  x  d c
 x  ck ó x  ck
x c  d  cd  x  cd
cd  x  ck ó ck  x  cd
7  x  2 ó 10  x  19
 7, 2   10, 19 
 estrictamente menor ;  menor o igual que ;  estrictamente mayor ;  mayor o igual que
G R Á F I C A S DE FUNCIONES ─ I
FUNCIONES LINEALES
FUNCIONES EXPONENCIALES
y  2x
yk
1.2
yx
1
y 
2
ax
x
y  mx  b
0  a 1
a 1
FUNCIONES POTENCIALES
FUNCIONES LOGARÍTMICAS
y  log 2 x
y  x2
y  log 1 x
log a x
y  x 4  2x 2
y  x 3  2x
2
FUNCIONES RACIONALES
0  a 1
a 1
y
1
x
y
1
x2
y
1
x 1
2
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Función seno
Función coseno
y  sen x
y
1
x 1
2
y
x
x 1
y
2
y  cos x
x2 1
x
FUNCIONES DEFINIDAS POR INTERVALOS
Función tangente
Funciones Valor Absoluto
y  x  E x
Función Parte Entera
y  E x
Función Signo
y  sgn  x 
Función secante
y  sec x
FUNCIONES IRRACIONALES
y x
y  cot x
y  x2 1
y x
Función Mantisa
y  tan x
Función cotangente
3
y x
3
y  x2
Función cosecante
y  csc x
G R Á F I C A S DE FUNCIONES ─ Transformaciones
1.1
DESPLAZAMIENTO VERTICAL
DESPLAZAMIENTO HORIZONTAL
Supongamos que c  0
 Para graficar y  f ( x)  c , desplazamos la gráfica de y  f ( x)
hacia arriba c unidades.
 Para graficar y  f ( x)  c , desplazamos la gráfica de y  f ( x)
hacia abajo c unidades.
Supongamos que c  0
 Para graficar y  f ( x  c), desplazamos la gráfica de y  f ( x)
a la derecha c unidades.
 Para graficar y  f ( x  c) , desplazamos la gráfica de y  f ( x)
a la izquierda c unidades.
ESTIRAMIENTO Y ACORTAMIENTO VERTICAL
Para graficar y  c  f ( x)
 Si c  1, alargamos verticalmente la gráfica de y  f ( x)
por un factor c .
 Si 0  c  1, acortamos verticalmente la gráfica de y  f ( x)
por un factor c .
REFLEXIÓN DE GRÁFICAS
 Para graficar y   f ( x) , reflejamos la gráfica
de y  f ( x) en el eje X
 Para graficar y  f ( x) , reflejamos la gráfica
de y  f ( x) en el eje Y
ALARGAMIENTO Y ESTIRAMIENTO HORIZONTAL
Para graficar y  f (c  x)
 Si c  1, acortamos horizontalmente la gráfica de y  f ( x)
por un factor 1 c .
 Si 0  c  1, alargamos horizontalmente la gráfica de y  f ( x)
por un factor 1 c .
Transformaciones de funciones:
Se pretende que, a partir del conocimiento de la gráfica de
una función f, esencialmente mediante traslaciones,
contracciones y reflexiones, se obtenga un bosquejo de la
gráfica de una función g de la forma:
g ( x )  k  f (ax  b)  c
Ejemplo:
Trigonometría
RELACIÓN FUNDAMENTAL
sen   cos   1
2
2
tg 2   1  sec 2 
1  cotg   cosec 
2
2
cateto opuesto
sen  
hipotenusa
cateto adyacente
cos  
hipotenusa
cateto opuesto
tg  
cateto adyacente
Sistema sexagesimal : circunferencia  360º  2 rad
40
48

 20  0, 6  0.013  20, 68º
60 3600

20º 


20, 68º  0, 68  60  40,8'  20º 40 ' 48"
 0,8  60  48"


Razones trigonométricas de cualquier ángulo
TRANSFORMACIONES
Ángulo DOBLE
base  altura
abc
; s
2
2
1
1
1
A  bc sen   ac sen   ab sen 
2
2
2
A
Razones trigonométricas de un ángulo agudo
1º  60 ' ; 1'  60" ; Larco  radio  ángulo (en rad)
20º 40 ' 48"  20º 
Área (A), radios de la circunferncia inscrita (r) y
circunscrita (R), y semiperímetro (s)
hipotenusa
cosec  
cateto opuesto
sec  
cotg  
sen 2  2sen   cos 
cos 2  cos 2   sen 2 
A  s  s  a  s  b  s  c   r  s
hipotenusa
cateto adyacente
r
tg 2 
Conversión : 1º  0, 0175rad ; 1rad  57, 296º
 
180
a
b

 radianes
  grados 

180 
180

  0,0175
180

 2, 5 rad
143,24º 

sen

1  cos 

2
2
cos

1  cos 

2
2
[1] Tres segmentos son triángulo si:
sa y sb y sc
Triángulos rectángulos
T. Pitágoras: a  b  c
2
2
2 tg 
1  tg 2 
Ángulo MITAD
 s  a  s  b  s  c 
s
1 a
1 b
1 c
R


2 sen  2 sen  2 sen 
cateto adyacente
cateto opuesto
Sumas en Productos

 
sen   sen   2sen
 cos
2
2

 
sen   sen   2 cos
 sen
2
2

 
cos   cos   2 cos
 cos
2
2

 
cos   cos   2sen
 sen
2
2
tg
2
 180 57,296

Productos en sumas
1
1
sen   cos   sen       sen     
2
2
1
1
sen   sen   cos       cos     
2
2
1
1
cos   cos   cos       cos     
2
2
Sumas y Diferencias

1  cos 

2
1  cos 
sen       sen   cos   cos   sen 
a 2  b 2  c 2  T . rectángulo
cos       cos   cos  sen   sen 
a 2  b 2  c 2  T . acutángulo
tg      
a 2  b 2  c 2  T . obtusángulo
sen 
cos 
1
cotg  
tg 
1
sec  
cos 
1
cosec  
sen 
[1] Tres segmentos forman triángulo si el valor de su semisuma es mayor
que la longitud de cualquiera de ellos.
tg  
ordenada

radio
abscisa x
cos  

radio
r
ordenada
tan  

abscisa
sen  
y
r
VALORES
Teorema de la altura 
h 2  Pb  Pc ; h  a  b  c grados
Teorema del cateto 
2
b  a  Pb ; c  a  Pc
2
0º
30º
45º
60º




6
4
3
2
1
2
3
2
3
3
2
2
2
2
3
2
1
2
1
1
radianes
0
Cualquier triángulo
Teorema del seno :
sen
0
Las longitudes de los lados de un triángulo son
proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.
cos
1
tan
0
cotg
*
3
sec
1
2 3
3
cosec
*
2
a
b
c


 2R
sen  sen  sen 
Teorema del coseno :
y
x
tg   tg 
1 tg   tg 

3
2
2
1
0
1
0
0
1
0
1
3
*
0
*
0
3
3
0
*
0
*
2
2
*
1
*
1
2
2 3
3
1
*
1
*
En todo triángulo se verifica que
a 2  b 2  c 2  2bc cos 
b  a  c  2ac cos 
2
2
2
c 2  a 2  b 2  2ab cos 
Nota: Para ángulos obtusos el coseno es negativo
Función arco seno :
y  arc sen x  x  sen y
ej. con la calculadora: sin
1
 arc sen  0,5   30º
90º 180º 270º 360º
Un radián (1 rad) es el ángulo central (de una circunferencia)
que abarca un arco con igual longitud que el radio.
Notación :  sen  
2
 sen 2   sen  2
tg   tan  ; cotg   cot  ; cosec   csc 
GEOMETRÍA
ANALÍTICA
PENDIENTE DE UNA RECTA
m
1.1
RECTAS PARALELAS
r  Ax  By  C  0
s  Ax  By  D  0
 
r  s  u  v    B, A 

u
y2  y1
x 2  x1
r  y  mr x  b
s  y  ms x  c
r  s  mr  ms

v
ECUACIÓN PUNTO‐PENDIENTE DE LA RECTA
RECTAS PERPENDICULARES

u
y  y1  m  x  x1 

v
Recta que pasa por P cuya
pendiente es m
r  A1 x  B1y  C1  0
s  A2 x  B2 y  C 2  0
 
r  s  uv  0
r  s  A1 A2  B1 B2  0
1
r  s  mr  
ms
ECUACIÓN EXPLÍCITA DE LA RECTA
VECTOR

v
y  mx  b
Recta que tiene de pendiente m y
cuya ordenada en el origen es b
Módulo

2
2
AB   x 2  x1    y2  y1 

v  v12  v22
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
d  P, Q  
 x 2  x1 
2
  y2  y1 
Componentes

AB   x 2  x1 , y2  y1 

v   v1 , v2 
2
BARICENTRO DE UN TRIÁNGULO
PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
 1 
AM  AB
2
 x  x 2 y1  y2 
M 1
,
2 
 2
 x  x 2  x 3 y1  y2  y3 
G 1
,

3
3


GEOMETRÍA‐I
FIGURAS CIRCULARES
POLÍGONOS
d
A  l2
P  4l
l
h
b
d l 2
RECTÁNGULO
A  bh
CUADRADO
h
Dd
A
2
CIRCUNFERENCIA
L  2r
Bb
A
h
2
b
D
d
1.3
ARCO
Larco
CORONA
2r 

360º
A     R2  r 2 
B
TRAPECIO
ROMBO
CÍRCULO
r
A   r2
h
l
b
ROMBOIDE
A  bh
a
A
Pa
2
TRAPECIO circular
SECTOR
Asec 
r 
360º
2
A
   R2  r 2   
360º
POLÍGONO REGULAR
POLÍGONO REGULAR
( solo en hexágono: radio = lado )
c
Ángulo central:
El formado por dos
radios consecutivos
TRIÁNGULO
A
base  altura
2
c 
e  c
a  ha
2
i  180º   c
i Ángulo interior: formado
A  rs
a bc
A
4R
por dos lados consecutivos
i 
P  abc
por un lado y la prolongación del
lado consecutivo
nº diagonales desde un vértice
Si es un triángulo, la longitud de
cualquier lado es menor que el
semiperímetro s.
Fórmula de Herón
A  s  s  a    s  b   s  c
A área ; P perímetro ; s semiperímetro ; a, b, c lados ; C circunferencia
ha , hb , hc alturas sobre lados ; R radio C. circunscrita ; r radio C. inscrita
a
180º   n  2 
n
 e Ángulo exterior: El formado
abc
s
2
c
360º
n
Teorema de Pitágoras
(TRIÁNGULO RECTÁNGULO)
b
a b c
2
2
2
Polígono: Línea poligonal cerrada
Elementos: LADOS, VÉRTICES y DIAGONALES
A
área
D
diagonal mayor
l
lado
d
diagonal
Polígono convexo: Todos sus ángulos
interiores son menores de 180º
h
a
altura
apotema
r
L
radio
longitud
Polígono cóncavo: algún ángulo
interior es mayor de 180º
P
b
perímetro
base
r
R
radio
radio mayor
B
base mayor

ángulo
 c ángulo central
e
ángulo exterior
i
s
semiperímetro
ángulo interior
A  T1  T2  T3
Suma de ángulos interiores
Si  180º   n  2 
Diagonal: Segmento que une dos
vértices no consecutivos
núm. diagonales de polígono regular
  n  3
n º de D 
n  n  3
2
Polígono Regular: Es el que tiene todos sus lados y todos sus ángulos iguales.
Elementos: Lados, Vértices, Diagonales, Circunferencia inscrita, Circunferencia
circunscrita, Centro, Radio, Apotema, Perímetro.
Son polígonos regulares: Triángulo equilátero, cuadrado, pentágono regular,
hexágono regular, etc...
T1
T2
T3
CIRCUNFERENCIA
A
Formulario Básico de Física
y = x tan θ −
Cine matic a
gx 2
2V0 2 sen 2 θ
Movimiento rectilíneo uniforme (MRU):
x = V0 cos θ.t
sigue una trayectoria recta, con velocidad

Posición de partícula: 
constante y aceleración nula.
1 2
 y = V0 sen θ.t − gt

2
e : espacio
e
v : velocidad
v t
V0 2 sen2 θ
t : tiempo
Alcance máximo: D =
g
tencuentro =
d
VA + VB
talcance =
d
VB − VA
V 2 sen θ 2
Altura máxima: H = 0
2g
Movimiento rectilíneo uniformemente Tiempo de vuelo: T = 2V0 sen θ
V
g
variado (MRUV): sigue una trayectoria recta,
con velocidad variable y aceleración nula.
4H
Ángulo de tiro: tan θ =
V − Vi
D
* Vf = V0  at
* a= f
t
* Vf 2 = V0 2  2ae
* e = V0 t 
1 2
at
2
 V + Vi 
* e = f
t
 2 
DINAMICA
V + Vi
* Vm = f
2
Caso I: Equilibrio / Reposo / Equilibrado
∑Fx = 0
Caída libre vertical:
* Vf = V0  gt
V2
* h máx = i
2g
∑Fy = 0
* Vf = V0  2gh
2V
* t vuelo = i
g
1
* h = V0 t  gt 2
2
h
* t encuentro =
V1 + V2
2
2
* talcance =
Caso II: Equilibrante / Fuerza Equilibrante
h
V1 − V2
∑Fx + Ex = 0
∑Fy + Ey = 0
Caso III: Resultante / Fuerza Resultante
Movimiento Parabólico:
Y
∑Fx = Rx
M Vx
P Vx
V0 y
V0
V0x
H
Vy
∑Fy = Ry
V
X
D
Ecuación de la trayectoria: