Chương 6
Chẩn đoán hồi quy: Tự tương quan
(Gujarati: Econometrics by example, 2011) 1.
Người dịch và diễn giải: Phùng Thanh Bình
http://vnp.edu.vn/
C
Một vấn đề phổ biến trong phân tích hồi quy liên quan đến chuỗi thời gian là hiện tượng
tự tương quan. Nhớ lại rằng một trong những giả định của mô hình hồi quy tuyến tính
cổ điển là các hạng nhiễu, ut, không tương quan – nghĩa là, hạng nhiễu tại thời điểm t
không tương quan với hạng nhiễu tại thời điểm (t - 1) hoặc bất kỳ hạng nhiễu nào trong
quá khứ. Nếu các hạng nhiễu tương quan sẽ dẫn đến các hậu quả sau đây2:
1. Các ước lượng OLS vẫn không chệch và vẫn nhất quán.
2. Chúng (tức các ước lượng OLS) vẫn theo phân phối chuẩn trong các mẫu lớn.
3. Nhưng chúng không còn hiệu quả nữa. Nghĩa là, chúng không còn BLUE nữa (ước
lượng tuyến tính không chệch tốt nhất). Trong hầu hết các trường hợp, các sai
số chuẩn OLS bị ước lượng thấp (underestimated), nghĩa là các giá trị t ước ượng
bị thổi phồng (tức cao hơn bình thường), điều này nhìn bề ngoài có vẽ như một
hệ số có ý nghĩa thống kê hơn là nó thực sự có thể. [Diễn giải: Dễ bác bỏ giả
thuyết H0, mặc dù H0 có thể là giả thuyết đúng].
4. Kết quả là, như trong trường hợp phương sai thay đổi, thủ tục kiểm định giả
thuyết trở nên đáng nghi, vì các sai số chuẩn ước lượng có thể không tin cậy,
thậm chí tiệm cận (tức là trong các mẫu lớn). Vì vậy, các kiểm định t và F có thể
không có hiệu lực.
Như trong trường hợp phương sai thay đổi, chúng ta cần tìm hiểu xem liệu tự tương
quan có tồn tại trong một trường hợp cụ thể nào đó hay không và có hành động chỉnh
sửa hoặc tìm kiếm các thủ tục ước lượng thay thế khác sao cho có được các ước lượng
tuyến tính không chệch tốt nhất. Trước khi thực hiện điều này, chúng ta hãy xem xét
một ví dụ cụ thể.
6.1 Hàm tiêu dùng của Mỹ, 1947 – 2000
Table 6.1 là tệp dữ liệu về chi tiêu cho tiêu dùng thực (C), thu nhập cá nhân khả dụng
thực (DPI), tài sản thực (W), và lãi suất thực (R) của Mỹ giai đoạn 1947 – 2000; thuật
1
Hiện nay đã có ấn bản mới (lần 2, năm 2015). Dữ liệu của phiên bản 2011:
https://www.macmillanihe.com/companion/Gujarati-Econometrics-By-Example/student-zone/
2
Để biết chi tiết, xem Gujarati/Porter, Chương 12.
1
ngữ ‘thực’ nghĩa là đã được điều chỉnh lạm phát3. Table 6.1 có thể được tìm thấy trên
trang web của cuốn sách.
Bây giờ hãy xem xét mô hình hồi quy sau đây:
Lưu ý rằng chúng ta dùng chỉ số dưới là t (thay vì i) để chỉ ra rằng chúng ta đang xử lý
dữ liệu chuỗi thời gian. Cũng lưu ý rằng ln là logarít tự nhiên.
Để đơn giản hóa việc giải thích, chúng ta sẽ gọi phương trình (6.1) là hàm tiêu dùng. Các
biến giải thích trong phương trình này là các biến được sử dụng phổ biến trong hàm
tiêu dùng, mặc dù có thể có các biến đổi trong lựa chọn các biến DPI, tài sản, và lãi suất.
Tham khảo bất kỳ giáo trình kinh tế vĩ mô nào để tìm hiểu lý thuyết kinh tế nền tảng của
hàm tiêu dùng.
Lưu ý rằng chúng ta cho các biến C, DPI, và W ở dạng log, nhưng R ở dạng tuyến tính
bởi vì một số lãi suất thực có giá trị âm. Các hệ số B2 và B3 lần lượt là các hệ số co giãn
của chi tiêu cho tiêu dùng theo thu nhập khả dụng và tài sản, và B4 là hệ số bán co giãn
theo lãi suất thực (nhớ lại là thảo luận của chúng ta về các dạng hàm của mô hình hồi
quy ở chương 3)4. Theo tiên nghiệm, chúng ta kỳ vọng các hệ số co giãn theo thu nhập
và tài sản có dấu dương và hệ số bán co giãn theo lãi suất mang dấu âm.
Kết quả hồi quy
Kết quả ước lượng mô hình hồi quy được trình bày trong Bảng 6.2.
3
Dữ liệu được thu thập từ nhiều nguồn khác nhau của chính phủ, như Phòng công thương, Ngân hàng dự trữ liên
bang và Báo cáo kinh tế cho tổng thống.
4
Trong phân tích hàm tiêu dùng, chúng ta thường sử dụng các dạng log hoặc bán log, vì các hệ số có thể được
giải thích như các hệ số co giãn hoặc hệ số bán con giãn.
2
Đánh giá kết quả
Các hệ số độ dốc có dấu đúng như kỳ vọng. Nếu thỏa mãn các giả định của mô hình hồi
quy tuyến tính cổ điển, thì các hệ số ước lượng có ý nghĩa thống kê “cao”, vì các giá trị
xác suất p rất thấp. Hệ số co giãn theo thu nhập là 0.8 cho chúng ta biết rằng, khi giữ
nguyên các biến khác không đổi, nếu thu nhập khả dụng thực cá nhân tăng thêm 1%,
thì chi tiêu cho tiêu dùng trung bình tăng thêm khoảng 0.8%. Hệ số của tài sản khoảng
0.20 cho chúng ta biết bằng nếu tài sản thực tăng thêm 10%, thìchi tiêu cho tiêu dùng
trung bình tăng thêm khoảng 0.2%, khi giữ nguyên các biến khác không đổi. Hệ số bán
co giãn theo lãi suất cho chúng ta biết rằng nếu lãi suất tăng thêm một điểm phần trăm
(không phải 1%), thì chi tiêu cho tiêu dùng trung bình giảm xuống khoảng 0.25%, khi giữ
nguyên các biến khác không đổi.
R2 cao và các thống kê khác trong bảng kết quả trên có thể cho thấy rằng mô hình hồi
quy rất phù hợp, mặc dù chúng ta nên thận trọng với một giá trị R2 gần như bằng 1.
Điều này bởi vì khả năng hồi quy giả mạo (spurious regression) xảy ra khi cả biến phụ
thuộc và các biến giải thích tăng qua thời gian. [Diễn giải: Khi các biến trong mô hình là
các chuỗi không dừng thì hồi quy có thể cho kết quả R2 cao, t cao, nhưng R2 > DW].
Nhưng chúng ta sẽ thảo luận chủ đề này chi tiết hơn ở chương về kinh tế lượng chuỗi
thời gian (chương 13 của cuốn sách này).
Vì chúng ta đang xử lý dữ liệu chuỗi thời gian, có ta phải dè chừng hiện tượng tự tương
quan (hoặc tương quan chuỗi). Nếu có tự tương quan trong hạng nhiễu, thì các sai số
chuẩn ước lượng, và tự bản thân nó, các giá trị t ước lượng sẽ bị nghi ngờ. Vì thế, trước
khi chúng ta chấp nhận các kết quả được trình bày trong bảng trên, chúng ta cần kiểm
tra xem có sự hiện diện của hiện tượng tự tương quan hay không.
6.2 Các kiểm định tự tương quan
Mặc dù có nhiều kiểm định tự tương quan, nhưng ở đây chúng ta sẽ chỉ thảo luận một
vài cách, cụ thể là phương pháp đồ thị (graphical method), kiểm định Durbin-Watson,
và kiểm định Breusch-Godfrey (BG)5.
Phương pháp đồ thị
Khi đánh giá các kết quả hồi quy thì một cách thực hành tốt là luôn luôn phải vẽ đồ thị
phần dư từ mô hình được ước lượng để nhận diện ra các manh mối về sự khả năng vi
phạm một hoặc nhiều hơn một trong số các giả định OLS. Như một tác giả lưu ý: “Bất
kỳ ai cố gắng phân tích một chuỗi thời gian mà không vẽ đồ thị là đang tìm đến rắc rối”6.
Ví dụ, trong thảo luận của chúng ta về phương sai thay đổi, chúng ta vẽ đồ thị phần dư
bình phương theo giá trị ước lượng của biến phụ thuộc để tìm ra một dạng nào đó trong
các phần dư này, điều này có thể gợi ý loại chuyển hóa mà bạn có thể thực hiện đối với
mô hình gốc để trong mô hình được chuyển hóa chúng ta không gặp vấn đề phương sai
thay đổi.
5
6
Để tìm hiểu các phương pháp khác dùng để phát hiện tự tương, xem Gujarati/Porter, Chương 12, trang 429-40.
Chris Chatfield, The Analysis of Time Series: An Introduction, 6th edn, Chapman and Hall, 2004, p.6.
3
Vì tự tương quan là sự tương quan giữa các hạng nhiễu, ut, nên một phương pháp đơn
giản tình thế để kiểm định tự tương quan đơn giản là vẽ các giá trị của ut theo thời gian.
Không may, chúng ta không thể quan sát các ut một cách trực tiếp. Thứ mà chúng ta có
thể quan sát là các đại diện của chúng, tức các et, tức phần dư mà chúng ta có thể quan
sát sau khi ước lượng mô hình hồi quy.
Mặc dù các et không hoàn toàn giống các ut, nhưng các et là các ước lượng nhất quán
của các ut, theo nghĩa là khi cỡ mẫu tăng, thì các et hội tụ về các giá trị thực, tức các ut,
của chúng. Mẫu của chúng ta với 54 quan sát thì về mặt kỹ thuật không phải là lớn,
nhưng chúng bao quát dữ liệu cả giai đoạn sau chiến tranh thế giới lần thư hai. Thậm
chí nếu chúng ta mở rộng cỡ mẫu đến cuối năm 2009, thì chúng ta sẽ chỉ có thêm có 9
quan sát. Vì thế, chúng ta không thể làm nhiều về cỡ mẫu của chúng ta.
Bằng cách vẽ dữ liệu các et theo thời gian, chúng ta có thể có một ấn tượng trực giác về
khả năng tồi tại vấn đề tự tương quan. Thực hiện như thế, chúng ta có được Hình 6.1.
Hình 6.1: Phần dư (nhân với 100) và phần dư chuẩn hóa.
Hình này cho thấy rằng phần dư S1 thu được từ hồi quy (6.1) và phần dư chuẩn hóa, S2,
tức đơn giản là lấy S1 chia cho sai số chuẩn của hồi quy [Diễn giải: Tức là căn bậc hai của
RSS / bậc tự do]. Để tương đồng về quy mô, chúng ta nhân S1 với 100.
[Diễn giải: Cách tạo S1 và S2 trên Eviews:]
ls lnconsump c lndpi lnwealth interest
scalar se_reg=0.011934
genr S2=resid/se_reg
genr S1=resid*100
plot s1 s2
4
Các đồ thị S1 và S2 cho thấy một dạng chuyển động lên – xuống, điều này cho chúng ta
biết rằng các phần dư có tương quan với nhau. Điều này có thể được thấy rõ hơn nếu
chúng ta vẽ đồ thị phần dư tại thời điểm t the phần phần dư tại thời điểm (t - 1), như
trong Hình 6.2.
Hình 6.2: Phần dư hiện hành và phần dư trễ một giai đoạn.
[Diễn giải: Để vẽ được Hình 6.2 trên Eviews, chúng ta thực hiện như sau: Chọn
Quick\Graph …, nhập tên biến, ví dụ resid và resid(-1), và chọn tiếp như bảng dưới đây:]
5
Đường hồi quy trong Hình 6.2 cho thấy rõ ràng rằng các phần dư có mối tương quan
dương với nhau.
[Diễn giải: Cách vẽ Hình 6.1 trên Stata]:
Ngay sau khi hồi quy với Stata
-2
-1
0
1
2
3
predict s1, resid
gen s1_100=100*s1
label var s1_100 "Residuals"
predict s2, rstandard
twoway (line s1_100 time) (line s2 time)
0
20
40
Time
Residuals
Standardized residuals
[Diễn giải: Dạng đồ thị phần dư và nhận dạng loại tự tương quan]
Tự tương quan dương:
6
60
Tự tương quan âm:
7
Không có tự tương quan:
Kiểm định d Durbin-Watson7
Kiểm định nổi tiếng nhất và thường được sử dụng nhất để phát hiện tương quan chuỗi
được phát triển bởi hai nhà thống kê Durbin và Watson, và được biết rộng rãi với tên
gọi là thống kê d Durbin-Watson. Thống kê d Durbin-Watson được định nghĩa như sau:
Đây là tỷ số của tổng bình phương khác biệt giữa hai phần dư liền kề nhau so với tổng
bình phương phần dư. Lưu ý rằng bậc tự do trên tử số là (n - 1), vì chúng ta mất một
quan sát để tạo ra các chênh lệch liền kề của phần dư. Cũng lưu ý rằng giá trị d luôn
nằm giữa 0 và 48.
[Diễn giải: Công thức (6.2) có thể được triễn khai như sau:
d=
2
𝑡=𝑛 2
𝑡=𝑛
∑𝑡=𝑛
𝑡=2 𝑒𝑡 + ∑𝑡=2 𝑒𝑡−1 −2 ∑𝑡=2 𝑒𝑡 𝑒𝑡−1
2
∑𝑡=𝑛
𝑡=1 𝑒𝑡
(a)
𝑡=𝑛 2
2
Do ∑𝑡=𝑛
𝑡=2 𝑒𝑡 và ∑𝑡=2 𝑒𝑡−1 chỉ khác nhau một quan sát, nên chúng được xem là xấp xỉ
bằng nhau, vậy công thức (a) có thể được viết gọn lại như sau:
d = 2 (1 −
7
8
∑𝑡=𝑛
𝑡=2 𝑒𝑡 𝑒𝑡−1
2
∑𝑡=𝑛
𝑡=1 𝑒𝑡
)
(b)
Để biết thêm chi tiết, xem Gujarati/Porter, Chương 12.
Để biết chi tiết, xem Gujarati/Porter, Chương 12, trang 435 – 6.
8
Nếu đặt 𝜌
̂
=
∑𝑡=𝑛
𝑡=2 𝑒𝑡 𝑒𝑡−1
2
∑𝑡=𝑛
𝑡=1 𝑒𝑡
, ta có:
d = 2(1 − 𝜌̂)
(c)
Qua công thức (c) chúng ta thấy 0 < d < 4, vì -1 < 𝜌̂ < 1; 𝜌̂ = 1, d = 0, và 𝜌̂ = -1, d = 4].
Giá trị d Durbin-Watson cho ví dụ của chúng ta là 1.2829  1.28. Chúng ta làm gì với giá
trị này?
Trước khi chúng ta tìm hiểu thống kê d được sử dụng như thế nào, điều quan trọng cần
nhớ là các giả định cơ bản của thống kê d. Các giả định này là:
1. Mô hình hồi quy có hệ số cắt9.
2. Các biến giải thích là cố định trong lấy mẫu lặp đi lặp lại.
3. Các hạng nhiễu, ut, theo cơ chế tự hồi quy bậc một [AR(1), first-order
autoregressive scheme]:
Trong đó,  (rho) là hệ số tự tương quan (coefficient of autocorrelation) [Diễn
giải: Ước lượng của hệ số này chính là AC bậc 1 trong giản đồ tự tương quan của
Eviews], nằm trong khoảng -1 <  < 1. Nó được gọi là AR bậc một bởi vì chỉ liên
quan đến hạng nhiễu hiện tại và hạng nhiễu trễ một giai đoạn. vt là hạng nhiễu
ngẫu nhiên.
4. Hạng nhiễu ut theo phân phối chuẩn.
5. Các biến giải thích không bao gồm các giá trị trễ của biến phụ thuộc, Yt, nghĩa là,
các biến giải thích không bao gồm các biến Yt-1, Yt-2, Yt-3, và các số hạng trễ khác
của Y.
Như bạn có thể thấy, các giả định này có thể khá hạn chế trong thực tế.
Phân phối xác suất chính xác của d thì khó để suy ra bởi vì nó phụ thuộc vào một cách
phức tạp về các giá trị được nhận của các biến giải thích. Và vì các giá trị mà các biến
giải thích nhận được có tính đặc thì của mẫu, nên không có cách duy nhất để suy ra
phân phối mẫu của d.
Tuy nhiên, dựa trên cỡ mẫu và số lượng các biến giải thích, Durbin và Watson có thể
thiết lập hai giá trị tới hạn (critical values) của thống kê d, gọi là dL và dU, gọi là giới hạn
dưới và giới hạn trên. Vì thế, nếu giá trị d tính toán nằm dưới giới hạn dưới, hoặc trên
giới hạn trên, hoặc nằm giữa hai giá trị giới hạn, thì một quyết định có thể được thực
hiện về sự tồn tại hiện tượng tự tương quan hay không.
Quy tắc quyết định như sau:
1. Nếu d < dL, có thể có bằng chứng về tự tương quan dương.
2. Nếu d > dU, có thể có bằng chứng tự tương quan âm.
3. Nếu dL < d < dU, không có kết luận xác định về tự tương quan dương.
9
Nếu không có hệ số cắt, Farebrother đã điều chỉnh kiểm định d để tính đến trường hợp này. Để biết thêm chi
tiết, xem Gujarati/Porter, trang 434.
9
4. Nếu dU < d < 4 – dL, không có bằng chứng về tự tương quan dương hoặc âm.
5. Nếu 4 – dU < d < 4 – dL, không có kết luận xác định về tự tương quan âm.
6. Nếu 4 - dL < d < 4, có thể có bằng chứng về tự tương quan âm.
Như đã lưu ý, giá trị d nằm giữa 0 và 4. Càng gần về 0, càng có bằng chứng về tự tương
quan dương; và càng gần về 4, càng có bằng chứng về tự tương quan âm. Nếu d khoảng
bằng 2, không có bằng chứng về tự tương quan âm hoặc dương bậc một.
[Diễn giải: Chúng ta có thể minh họa bằng sơ đồ sau đây:]
Durbin và Watson chuẩn bị các bảng về các giới hạn dưới và giới hạn trên của thống kê
d cho một số quan sát được chọn (tối đa đến 200) và số biến giải thích (tối đa đến 10)
và cho các mức ý nghĩa 5% và 1%.
Trở lại với hàm tiêu dùng của chúng ta, chúng ta có n = 54, X (số biến giải thích) = 3. Các
giá trị phê phán ở mức ý nghĩa 5% cho kết hợp này (sử dụng n = 55): (1,4552, 1.681). Vì
giá trị d Durbin-Watson tính toán là khoảng 1.28, giá trị này nằm dưới giới hạn dưới,
nên chúng ta kết luận rằng có thể có tự tương quan dương trong hạng nhiễu.
Giá trị d phê phán ở mức ý nghĩa 1% là (1.284, 1.506). Giá trị tính toán d hơi thấp hơn
giới hạn dưới, một lần nữa cho thấy rằng hồi quy của chúng ta có thể bị hiện tượng tự
tương quan dương bậc một.
[Diễn giải: Cách kiểm định d Durbin-Watson trên Stata, … dùng giá trị xác suất, khỏi cần
tra bảng]:
10
[
Lưu ý: burbinalt chính là thống kê Durbin h, sẽ được thảo luận ở phần sau.
Kiểm định Breusch – Godfrey (BG) về tự tương quan10
Để tránh vài tính chất hạn chế của kiểm định d, Breusch và Godfrey đã phát triển một
kiểm định tự tương quan mang tính tổng quát hơn, kiểm định này cho phép: (1) Các giá
trị trễ của biến phụ thuộc được đưa vào mô hình như các biến giải thích, (2) Cơ chế tự
tương quan bậc cao hơn, chẳng hạn AR(2) và AR(3), và (3) Các số hạng trung bình di
động (MA) của hạng nhiễu, như ut-1, ut-2, …11
Để minh họa kiểm định BG, giả sử trong phương trình (6.1), hạng nhiễu theo cấu trúc
như sau:
Trong đó, vt là hạng nhiễu theo các giả định cổ điển thông thường.
Phương trình (6.4) là một cấu trúc tự hồi quy AR(p) trong đó hạng nhiễu hiện tại phụ
thuộc vào các hạng nhiễu trước đó cho tới độ trễ p. Giá trị chính xác của p thường là
một quá trì thử và sai [Diễn giải: Thường dựa vào các tiêu chí AIC hoặc SIC để xác định
độ trễ tối ưu, hoặc dựa vào giản đồ tự tương quan (xem bài giảng về chuỗi dừng)], mặc
dù trong hầu hết các chuỗi thời gian kinh tế bạn không phải chọn một giá trị p cao.
Giả thuyết H0 như sau:
Nghĩa là, không có tương quan chuỗi ở bất kỳ độ trễ nào.
10
Để biết chi tiết, xem Gujarati/Porter, trang 438 – 40.
Ví dụ, một cơ chế AR(2) nghĩa là hồi quy giá trị hạng nhiễu hiện tại của một biến theo các độ trễ một và hai giai
đoạn của nó. Trong khi, một cơ chế MA(1) là hồi quy theo hạng nhiễu hiện tại và giá trị giai đoạn trước đó của
hạng nhiễu. Cơ chế MA được thảo luận chi tiết hơn ở Chương 16.
11
11
Trong thực tế, chúng ta chỉ quan sát các phần dư et, đó là các ước lượng của ut. Vì thế,
kiểm định BG được thực hiện theo các bước sau đây:
1. Ước lượng phương trình (6.1) theo OLS và thu phần dư et.
2. Hồi quy et theo các biến giải thích trong mô hình (6.1) và p hạng nhiễu tự hồi quy
như trong phương trình (6.4), nghĩa là chạy hồi quy sau đây:
và thu được R2 từ hồi quy phụ này.
3. Nếu cỡ mẫu lớn (về mặt kỹ thuật, là vô cùng), thì BG cho thấy rằng:
Nghĩa là, trong mẫu lớn, (n - p) nhân với R2 theo phân phối Chi bình phương với
p bậc tự do.
4. Một cách khác, chúng ta có thể sử dụng giá trị F thu được từ hồi quy (6.6) để
kiểm định giả thuyết H0 trong (6.5). Giá trị F này lần lượt có (p, n – k - p) bậc tự
do trên tử và dưới mẫu, trong đó k thể hiện số tham số trong phương trình (6.1)
(bao gồm cả hệ số cắt).
Vì thế, nếu trong một ứng dụng, giá trị Chi bình phương tính toán lớn hơn giá trị Chi
bình phương phê phán tại một mức ý nghĩa được chọn, chúng ta có thể bác bỏ giả
thuyết H0 cho rằng không có tự tương quan, trong trường hợp đó ít nhất có một giá trị
p trong (6.6) khác 0 một cách có ý nghĩa thống kê. Nói cách khác, chúng ta có một hình
thức tự tương quan nào đó. Hầu hết các phần mềm thống kê hiện nay đều có trình bày
giá trị xác suất p của giá trị Chi bình phương ước lượng, nên chúng ta không cần chọn
mức ý nghĩa một cách tùy tiện.
Tương tự, nếu giá trị F tính toán lớn hơn giá trị F phê phán tại một mức ý nghĩa cho
trước, chúng ta cũng có thể bác bỏ giả thuyết H0 cho rằng không có tự tương quan. Thay
vì chọn mức ý nghĩa, chúng ta có thể dựa vào giá trị xác suất p của thống kê F ước lượng
và bác bỏ giả thuyết H0 nếu giá trị p này thấp.
Hai kiểm định này cho các kết quả tương tự, điều này không có gì ngạc nhiên vì chúng
ta biết rằng có mối quan hệ giữa thống kê F và Chi bình phương12.
Trước khi minh họa kiểm định, các tính chất sau đây của kiểm định BG mà ta cần phải
lưu ý:
1. Kiểm định đòi hỏi rằng phương sai của hạng nhiễu ut, khi cho trước các giá trị của
các biến giải thích và các số hạng trễ của hạng nhiễu, là đồng nhất. Nếu điều này
không xảy ra, chúng ta sẽ phải sử dụng phương sai điều chỉnh phương sai thay
đổi, chẳng hạn như sai số chuẩn mạnh theo thủ tục của White.
12
Mối quan hệ này như sau: Đối với bậc tự do ở mẫu số lớn, thì bậc tự do ở tử số nhân với giá trị F xấp xỉ bằng giá
trị Chi bình phương với số bậc tự do của tử số, trong đó m và n lần lượt là các bậc tự do của mẫu và tử số.
12
2. Một vấn đề thực tế khi áp dụng kiểm định BG là việc lựa chọn số số hạng trễ của
hạng nhiễu, p, trong phương trình (6.4). Giá trị p có thể phụ thuộc vào loại chuỗi
thời gian. Đối với dữ liệu theo tháng, chúng ta có thể đưa vào 11 biến trễ của
hạng nhiễu, đối với dữ liệu theo quý, chúng ta có thể đưa vào 3 biến trễ của hạng
nhiễu, và đối với dữ liệu theo năm, một độ trễ của hạng nhiễu có thể đủ. Dĩ nhiên,
chúng ta có thể chọn số độ trễ theo cách thử và sai và chọ giá trị p dựa vào các
tiêu chi AIC và SIC (xem chương 2). Giá trị các tiêu chí này càng nhỏ, thì mô hình
càng tốt.
Quay lại ví dụ về hàm tiêu dùng của chúng ta, các kết quả hồi quy (6.6) như sau: Để
minh họa, chúng ta chỉ đưa vào một biến trễ của phần dư trong hồi quy này bởi vì chúng
ta có dữ liệu theo năm. Kết quả được trình bày trong Bảng 6.3.
Như các kết quả này cho thấy, có bằng chứng mạnh về tự tương quan bậc một, vì cả các
giá trị F và Chi bình phương đều có ý nghĩa cao bởi vì các giá trị xác suất p rất thấp.
Bảng 6.3: Kiểm định BG về tự tương quan của hàm tiêu dùng.
Chúng ta cũng ước lượng mô hình bao gồm 2 và 3 độ trễ của hạng nhiễu. Tiêu chí AIC
cho các giá trị lần lượt là -6.01, -6.0, -5.96 cho một, hai và 3 độ trễ của hạng nhiễu trong
phương trình (6.6). Mặc dù không có khác biệt đáng kể trong các giá trị này, trên cơ sở
thông tin AIC, nhưng chúng ta chọn mô hình với giá trị âm lớn nhất, ở đây là -6.01, vì
thế chúng ta có thể biện minh cho việc sử dụng một biến trễ của hạng nhiễu trong
phương trình (6.6) là phù hợp13. Cũng vậy, các hệ số của các hạng trễ thứ hai và thứ 3
cũng không có ý nghĩa thống kê.
13
Lưu ý rằng -5.96 lớn hơn -6.00, và số này lớn hơn -6.01.
13
[Diễn giải: Kểm điện BG trên Eviews và Stata:]
6.3 Các biến pháp khắc phục
Nếu chúng ta thấy có tự tương quan trong một áp dụng thực tế, chúng ta cần để ý điều
này, vì tùy vào mức độ nghiêm trọng của nó mà chúng ta có rút ra những kết luận sai
lầm bởi vì các sai số chuẩn OLS thông thường có thể bị chệch nghiêm trọng. Bây giờ, vấn
đề mà chúng ta đối mặt là chúng ta không biết cấu trúc tương quan của các hạng nhiễu
ut như thế nào, vì chúng không thể quan sát một cách trực tiếp.
14
Tuy nhiên, như trong trường hợp của phương sai thay đổi, chúng ta cần sử dụng đến
ước đoán dựa trên cơ sở kinh nghiệm (educated guess) hoặc một loại chuyển hóa nào
đó về mô hình hồi quy gốc để trong mô hình đã được chuyển hóa chúng ta không còn
gặp phải vấn đề tương quan chuỗi nữa. Có nhiều cách chúng ta có thể thử áp dụng.
Chuyển hóa sai phân bậc 1
Giả sử tự tương quan là loại AR(1), như trong phương trình (6.3), chúng ta có thể viết
như sau:
Nếu chúng ta biết giá trị của , chúng ta có thể lấy giá trị hiện tại của hạng nhiễu trừ
cho  nhân với giá trị hạng nhiễu trước đó một giai đoạn. Hạng nhiễu thu được, vt, sẽ
thỏa mãn các giả định chuẩn của OLS. Vì thế, chúng ta có thể chuyển hóa hồi quy gốc
như sau:
Số hạng cuối cùng trong phương trình này đơn giản là vt, bây giờ không còn tương quan
chuỗi nữa.
Mô hình được chuyển hóa vì thế có thể được ước lượng theo OLS. Tất tả điều mà chúng
ta phải làm là chuyển hóa mỗi biến trong mô hình gốc bằng cách lấy giá trị ở hiện tại trừ
cho  nhân với giá trị trước đó và chạy hồi quy. Các hệ số ước lượng thu được từ mô
hình đã được chuyển hóa là các ước lượng tuyến tính không chệch tốt nhất (BLUE).
Nhưng lưu ý rằng trong chuyển hóa này, chúng ta mất một quan sát, bởi vì đối với mỗi
quan sát đầu tiên không có quan sát trước đó. Nếu mẫu tương đối lớn, mất một quan
sát có thể không phải là vấn đề. Nhưng nếu cỡ mẫu nhỏ, thì việc mất một quan sát đầu
tiên có nghĩa là các ước lượng sẽ không còn BLUE. Tuy nhiên, có một thủ tục, gọi là
chuyển hóa Prais-Winsten, vẫn tính đến quan sát đầu tiên14.
Bây giờ câu hỏi đặt ra là: chúng ta ước lượng  như thế nào? Chúng ta biết rằng -1 < 
< 1. Vì thế, bất kỳ giá trị nào trong khoảng này có thể được sử dụng để chuyển hóa mô
hình gốc, như trong phương trình (6.9). Nhưng chúng ta nên chọn một giá trị nào, vì có
vô số các giá trị trong khoảng này?
Nhiều chuỗi thời gian kinh tế có tự tương quan với nhau rất cao, gợi ý rằng một giá trị 
= 1 có thể là thích hợp để chuyển hóa mô hình gốc. Nếu thực sự điều này đúng, thì
phương trình (6.9) có thể được viết như sau:
14
Chúng ta sẽ không theo đuổi thủ tục này ở đây, vì nó đã được xây dựng sẵn trong các phần mềm. Để biết thêm
chi tiết, xem Gujarati/Porter, trang 442-3.
15
Ở đây,  là toán tử sai phân bậc một. Ví dụ, lnCt = (lnCt – lnCt-1).
Phương trình (6.10) được gọi là chuyển hóa sai phân bậc 1. Ngược lại, phương trình
(6.1) được gọi là hồi quy dạng gốc (level form regression).
Khi ước lượng phương trình (6.10), lưu ý rằng không có hệ số cắt. Vì thế, khi ước lượng
mô hình này bạn phải bỏ hệ số cắt ra. Hầu hết các phần mềm có thể thực hiện một cách
dễ dàng.
Sử dụng Eviews, một kết quả thực nghiệm của phương trình (6.10) được trình bày trong
Bảng 6.4.
Bảng 6.4: Chuyển hóa sai phân bậc 1 của hàm tiêu dùng.
[Diễn giải: Trên Eviews, chúng ta không cần tạo ra các biến sai phân, vì chúng ta có thể
sử dụng trực tiếp các lệnh hàm log hoặc sai phân, ví dụ LS D(LOG(CONSUMPTION))
D(LOG(PDI)) D(LOG(WEALTH)) D(INTEREST). Trong Stata, ta phải tạo ra các biến log
trước, sau đó dùng lệnh như sau: reg d.lnconsump d.lndpi d.lnwealth d.interest, nocon].
Nếu chúng ta kiểm định tự tương quan của hồi quy này bằng kiểm định BG, chúng ta
thấy rằng không bằng chứng về tự tương quan, cho dù chúng ta sử dụng 1, 2, hoặc
nhiều độ trễ của hạng nhiễu trong phương trình (6.4).
Nếu chúng ta so sánh các kết quả hồi quy của hồi quy gốc được cho trong Bảng 6.2 và
các kết quả thu được từ chuyển hóa sai phân bậc 1 trong Bảng 6.4, chúng ta thấy rằng
hệ số co giãn của theo thu nhập gần như giống nhau, nhưng hệ số co giãn theo tài sản,
mặc dù vẫn có ý nghĩa thống kê, nhưng hầu như chỉ bằng một phần hai và hệ số bán
con giãn theo lãi suất thực tế là bằng 0 và sai dấu. Kết quả này có thể là do chọn sai giá
trị  để chuyển hóa. Nhưng cơ bản hơn là nó có thể phải thực hiện với tính dừng của
một hoặc nhiều biến, một chủ đề chúng ta sẽ khám phá chi tiết ở chương về kinh tế
lượng chuỗi thời gian (Chương 13 của cuốn sách này).
16
Chúng ta nên nhấn mạnh rằng các giá trị R2 trong hồi quy dạng gốc (Bảng 6.2) và trong
dạng sai phân bậc 1 (Bảng 6.4) không thể so sánh trực tiếp bởi vì biến phụ thuộc trong
hai mô hình là khác nhau. Như được lưu ý trước đây, để so sánh hai hoặc nhiều giá trị
R2, biến phụ thuộc phải giống nhau.
Chuyển hóa tổng hóa
Vì sẽ lãng phí thời gian để thử nhiều giá trị  để chuyển hóa mô hình gốc, chúng ta có
thể tiến hành theo kiểu hơi phân tích. Ví dụ, nếu giả định ut theo cơ chế AR(1) là phù
hợp, chúng ta có thể hồi quy et theo et-1, sử dụng et làm biến đại diện cho ut, một giả
định có thể phù hợp trong các mẫu lớn, bởi vì trong các mẫu lớn 𝜌̂ là ước lượng nhất
quán của  [Lưu ý: Trong sách ghi et là không đúng]. Đó nghĩa là chúng ta ước lượng:
Ở đây 𝜌̂ là ước lượng của  được cho trong phương trình (6.8).
Một khi chúng ta có được một giá trị ước lượng của  từ phương trình (6.11), chúng ta
có thể sử dụng giá trị này để chuyển hóa mô hình như trong phương trình (6.9) và ước
lượng mô hình được chuyển hóa.
Các giá trị ước lượng của các tham số thu được vì thế được biết với tên gọi là các ước
lượng bình phương bé nhất tổng quát khả thi (FGLS, feasible generalized least squares
estimators).
Sử dụng dữ liệu của chúng ta, giá trị 𝜌̂ thu được là 0.3246.
Một cách khác để có một ước lượng của , đặc biệt trong các mẫu lớn, là sử dụng mối
quan hệ sau đây giữa  và d Durbin-Watson:
Ở đây d là DW d thu được từ hồi quy gốc. Trong ví dụ của chúng ta, d bằng 1.2892. Vì
thế chúng ta có:
Chúng ta có thể sử dụng giá ước lượng này của  để chuyển hóa mô hình gốc.
Các giá trị ước lượng từ phương trình (6.11) và (6.12) là gần giống nhau. Nên lưu ý rằng
𝜌̂ được ước lượng từ (6.11) và (6.12) cung cấp một giá trị ước lượng nhất quán của giá
trị  thực. Để minh họa chúng ta sử dụng 𝜌̂ = 0.3246 và thu được các kết quả như được
trình bày trong Bảng 6.5.
Bây giờ, chúng ta phần tích phần dư từ hồi quy này để xem có tương quan chuỗi hay
không, ví dụ sử dụng kiểm định BG. Sử dụng 1 và 2 độ trễ trong phương trình (6.6),
chúng ta thấy rằng thống kê BG ước lượng không có ý nghĩa thống kê, điều này chỉ ra
rằng các phần dư trong cách chuyển hóa AR(1) không có tự tương quan: giá trị Chi bình
17
phương của kiểm định BG cho một độ trễ của phần dư là 0.0094, với xác suất khoảng
92%.
Bảng 6.5: Hàm tiêu dùng được chuyển hóa với 𝜌̂ = 0.3246.
Nếu bạn so sánh các kết quả trong bảng này với các kết quả trong Bảng 6.2, bạn sẽ thấy
các sai số chuẩn của các hệ số trong hai bảng khác nhau một cách đáng kể, nhưng nhớ
rằng Bảng 6.2 chưa có điều chỉnh tự tương quan, trong khi Bảng 6.5 có điều chỉnh tự
tương quan. Độ lớn của các hệ số co giãn theo thu nhập và tài sản gần như giống nhau
trong hai bảng, mặc dù các sai số chuẩn, và vì thế các giá trị t, là khác nhau.
Các giá trị tuyệt đối của t thấp hơn trong Bảng 6.5 cho chúng ta thấy rằng các sai số
chuẩn OLS ban đầu được ước lượng thấp, đúng như thảo luận của chúng ta về các hậu
quả của ước lượng OLS khi có hiện diện tự tương quan.
Hệ số của biến lãi suất trong mô hình chuyển hóa có dấu đúng, nhưng nó vẫn không có
ý nghĩa thống kê. Một lần nữa, điều này có thể là vì các lý do vừa được thảo luận ở trên.
Các giá trị R2 trong hai bảng gần giống nhau, nhưng chúng ta không thể so sánh chúng
một cách trực tiếp vì các lý do đã được thảo luận trước đây.
Trước khi tiếp tục phân tích sâu hơn, chúng ta cần lưu ý rằng chuyển hóa dạng AR(1) là
một trường hợp cụ thể của một dạng chuyển hóa tổng quát hơn, như dạng AR(p) đã
được trình bày ở phương trình (6.4). Ví dụ, nếu hạng nhiễu theo cơ chế AR(2).
thì
Ở đây vt theo các giả định chuẩn của OLS. Trong trường hợp này, chúng ta sẽ chuyển
hóa biến phụ thuộc và các biến giải thích bằng cách lấy giá trị hiện tại của mỗi biến trừ
18
cho hai giá trị trước đó của chúng, mỗi giá trị đó lần lượt được nhân với các hệ số tự
tương quan 1, và 2.
Trong thức tế, dĩ nhiên chúng ta thay thế các ut không thể quan sát được bằng các ước
lượng của chúng, tức là các et. Nhưng chúng ta không cần phải thực hiện bằng tay. Ví
dụ, trong eviews, nếu bạn đưa thêm các số hạng AR(1) và AR(2) khi chạy hồi quy PLS, vì
mỗi số hạng AR được đưa vào mô hình sẽ tiêu hao một bậc tự do.
Phương pháp Newey-West để điều chỉnh các số chuẩn của OLS.
Tất cả các phương pháp tìm kiếm các hệ số tự tương quan đã được thảo luận về cơ bản
là các phương pháp thử và sai. Các phương này sẽ thành công như thế nào trong một
ứng dụng thực tế sẽ tùy thuộc vào bản chất của vấn đề và cở mẫu.
Nhưng nếu cỡ mẫu lớn, thì bạn có thể ước lượng hồi quy OLS theo cách thông thường,
nhưng điều chỉnh các sai số chuẩn của các hệ số hồi quy, theo một phương pháp được
đề xuất bời Newey và West. Các sai số chuẩn được điều chỉnh theo thủ tục của họ cũng
được biết với tên gọi các sai số chuẩn HAC (heteroscedasticity and autocorrelation
consistent)15. Nói chung, nếu có tự tương quan, các sai số theo phương pháp HAC được
tìm thấy lớn hơn các sai số chuẩn theo phương pháp OLS thông thường.
Thủ tục HAC bây giờ được đưa vào trong nhiều phần mềm. Chúng ta minh họa thủ tục
này cho hàm tiêu dùng. Sử dụng Eviews, chúng ta thu được kết quả như trong Bảng 6.6.
Nếu bạn so sánh các sai số chuẩn HAC với các sai số chuẩn OLS trong Bảng 6.2, bạn sẽ
thấy rằng chúng không khác nhau đáng kể. Điều này cho thấy rằng mặc dù có bằng
chứng tự tương quan dựa trên nhiều kiểm định tự tương quan, nhưng vấn đề tự tương
quan dường như không quá nghiêm trọng. Điều này có thể do sự thật rằng sự tương
quan được phát hiện trong hạn nhiễu, khoảng 0.32 và 0.35, có thể là không quá cao. Dĩ
nhiên, câu trả lời này là riêng biệt cho trường hợp dữ liệu của chúng ta và không có sự
đảm bảo rằng điều này sẽ xảy ra trong mọi trường hợp.
Bảng 6.6: Các sai số chuẩn HAC của hàm tiêu dùng.
15
Công thức toán học đằng sau phương pháp này khá phức tạp. Nếu bạn biết đại số ma trận, bạn có thể tham
khảo William H. Greene, Econometric Analysis, 6th edn, Pearson/Prentice Hall, New Jersey, 2008.
19
[Diễn giải: Để hiểu công thức toán, chúng ta có thể xem Giáo trình kinh tế lượng UEH:
Chapter 12, pp. 431 – 34].
Tình cờ, quan sát thấy rằng các giá trị hệ số ước lượng trong hai bảng là giống nhau,
cũng như các thống kê tóm tắt khác. Nói cách khác, thủ tục HAC chỉ thay đổi các sai số
chuẩn, và vì thế các thống kê t và các giá trị xác suất p. Điều này tương tự như các sai
số chuẩn điềi chỉnh phương sai thay đổi theo thủ tục của White, nghĩa là, cũng không
ảnh hưởng đến các hệ số hồi quy gốc và các thống kê tóm tắt khác.
Nhưng hãy nhớ rằng thủ tục HAC chỉ có hiệu lực trong các mẫu lớn16.
[Diễn giải: Phương pháp Newey-West trên Eviews và Stata]
16
Về các hạn chế của thủ tục HAC, xem Jeffrey M. Wooldridge, Introductory Econometrics, 4 th edn, SouthWestern, Ohio, 2009, pp. 428-31.
20
[Diễn giải: Mở rộng phương pháp FGLS bằng thủ tục lặp Cochrane-Orcutt và thủ tục lặp
Prais-Winsten]
Cochrane và Orcutt (1949) phát triển một thủ tục lặp vốn trở nên khá phổ biến trong
giới nghiên cứu kinh tế lượng. Thủ tục Cochrane-Orcutt được thực hiện theo các bước
sau đây:
Bước 1: Ước lượng phương trình sau đây theo OLS và lưu phần dư et.
Yt = b1 + b2Xt + et
(*)
Bước 2: Ước lượng hệ số tương quan chuỗi bậc một, ̂ , theo OLS từ phương trình sau
đây:
et = ̂ et-1 + vt
Bước 3: Chuyển hóa các biến gốc theo cách sau đây: Yt* = Yt − ˆ Yt −1 , b*1 = b1(1 - ̂ ),
và X*t = Xt - ̂ Xt-1 cho các quan sát từ t = 2 trở đi; và Y1* = Y1 1 − ˆ 2 và
X *i1 = X i1 1 − ˆ 2 cho quan sát t = 1.
Bước 4: Hồi quy lại phương trình (*) với các biến chuyển hóa và lưu phần dư của mô
hình vừa được chuyển hóa này. Do chúng ta không biết có phải ̂ từ Bước 2
là giá trị ước lượng “tốt nhất” của  chưa, nên chúng ta quay trở lại như Bước
2, tiếp tục thực hiện quy trình này từ Bước 2 đến Bước 4 (bước lặp) một số
lần cho đến khi nào giá trị ước lượng của  ở hai lần lặp liền kề khác nhau rất
ít (ví dụ 0.001). Tuy nhiên, nếu chúng ta thực hiện thủ tục lặp này một cách
thủ công (ước lượng, tính toán, rồi ước lượng lại, v.v.) sẽ tốn kém rất nhiều
thời gian. Chính vì thế, các thủ tục lặp này luôn được lập trình trong hầu hết
các phần mềm kinh tế lượng.
Trên thực tế, thủ tục này trở nên rất đơn giản với Eviews. Giả sử lúc đầu ta có phương
trình:
ls lnconsump c lndpi lnwealth interest [như Bảng 6.2]
Thì thủ tục lặp của Cochrane-Orcutt trên Eviews chỉ đơn giản là ước lượng phương trình
sau đây:
ls lnconsump c lndpi lnwealth interest AR(1)
21
Trong kết quả hồi quy, hệ số ứng với AR(1) chính là giá trị ̂ tối ưu sau một số bước lặp.
Lưu ý rằng, nếu mô hình hồi quy có hiện tượng tự tương quan bậc 2, thì thủ tục lặp của
Cochrane – Orcutt trên Eviews sẽ như sau:
ls lnconsump c lndpi lnwealth interest AR(1) AR(2)
Như vậy, giá trị ̂ tối ưu theo thủ tục lặp Cochrane-Orcutt là 0.61. Bây giờ, thống kê d
Durbin-Watson gần bằng 2, chứng tỏ không còn tự tương quan với FGLS với giá trị ̂ =
0.61.
Trên Stata:
22
Thủ tục lặp Prais-Winsten cũng tương tự, nhưng khác ở cách xử lý quan sát đầu tiên
như sau:
Y*t = √(1 − ρ̂2 )Yt và X*t = √(1 − ρ̂2 )X t
Trong Eviews không có sẵn thủ tục này, nhưng Stata thì ta sử dụng lệnh sau:
23
6.4 Đánh giá mô hình
Một giả định quan trọng của mô hình hồi quy tuyến tính cổ điển là mô hình được sử
dụng trong phân tích là mô hình được xác định đúng (correctly specified model). Đây là
một yêu cầu cao, vì tìm một mô hình đúng giống như tìm Holy Grail (tức Chén Thánh).
Trong thực tế, chúng ta sử dụng các nghiên cứu thực nghiệm trước đây đã được công
bố trong cùng lĩnh vực nghiên cứu như một hướng dẫn, thu thập dữ liệu có sẵn tốt nhất,
và sử dụng phương pháp ước lượng tốt nhất có thể.
Mặc dù thế, việc xây dựng mô hình là một nghệ thuật. Trong ngữ cảnh của chương này,
tự tương quan có thể xảy ra vì nhiều lý do, chẳng hạn như tính trì trệ, lỗi dạng mô hình,
và hiện tượng Cobweb (mạng nhện), thao tác dữ liệu, và tính không dừng17.
Để minh họa, chúng ta sẽ xem xét trường hợp lỗi dạng mô hình. Bây giờ, xem xét một
xác định lại của mô hình (6.1):
Mô hình này khác mô hình (6.1) ở chổ chúng ta đưa thêm biến log của chi tiêu cho tiêu
dùng trễ một giai đoạn như một biến giải thích và thay ký hiệu hệ số từ B sang A để xem
liệu có bất kỳ khác biệt nào giữa chúng.
Mô hình (6.15) được gọi là mô hình tự hồi quy (autoregressive model) bởi vì một trong
số biến giải thích là giá trị trễ của biến phụ thuộc. Lý do đưa thêm giá trị trễ của biến
tiêu dùng vào mô hình là để xem liệu chi tiêu cho tiêu dùng trong quá khứ có ảnh hưởng
chi tiêu cho tiêu dùng ở hiện tại. Nếu có, thì đó sẽ là yếu tố trì trệ (hoặc quán tính) được
đề cập ở trên.
Từ bảng này chúng ta thấy rõ ràng rằng độ trễ của tiêu dùng có ảnh hưởng chi tiêu cho
tiêu dùng hiện tại, khi giữ nguyên các biến khác không đổi. Điều này có thể do tính trì
trệ. Các hệ số trong Bảng 6.2 và 6.7 thoạt nhìn thì khác nhau, nhưng thực sự không phải
17
Một thảo luận vắn tắt về vấn đề này, xem Gujarati/Porter, trang 414-18.
24
thế, vì nếu bạn chia cả hai vế cho (1 – 0.2765) = 0.7235, thì bạn sẽ có các giá trị của hệ
số gần như giống với Bảng 6.218.
Bảng 6.7: Hàm tiêu dùng tự hồi quy.
Liệu chúng ta có gặp vấn đề tự tương quan trong mô hình được chỉnh sửa lại này hay
không? Ở đây, chúng ta không thể sử dụng kiểm định d Durbin-Watson bởi vì, như đã
được lưu ý trước đây, kiểm định này không thể áp dụng nếu mô hình có các giá trị trễ
của biến phụ thuộc, tức như trường hợp ở đây.
Giả định có tự tương quan bậc một, Durbin đã phát triển một kiểm định khác thay thế
cho các mô hình như thế, gọi là thống kê h Durbin19.
18
Trong dài hạn, khi chi tiêu cho tiêu dùng ổn định, LCt = LCt-1. Vì thế, nếu bạn chuyển 0.2765LCt sang vế trái, bạn
sẽ có 0.7235LCt. Sau khi chia cả hai vế cho 0.7235 bạn sẽ có các kết quả có thể so sánh với Bảng 6.2.
19
Để biết một thảo luận về kiểm định này, xem Gujarati/Porter, trang 465.
25
Dưới giả thuyết H0 rằng  = 0, trong các mẫu lớn, thống kê h theo phân phối chuẩn
chuẩn hóa, nghĩa là, h ~ N(0,1). Bây giờ, từ các tính chất của phân phối chuẩn chúng ta
biết rằng xác suất để |h| > 1.96 là khoảng 5%, trong đó |h| có nghĩa là giá trị tuyệt đối
của h. Đối với ví dụ của chúng ta, giá trị h khoảng 5.43, lớn hơn giá trị h phê phán ở mức
ý nghĩa 5%, nên chúng ta có kết luận rằng mô hình (6.15) cũng gặp vấn đề tự tương
quan bậc một.
[Diễn giải: Kết quả trên Stata sử dụng thống kê Chi bình phương chứ không phải phân
phối chuẩn chuẩn hóa, và kết luận vẫn không thay đổi].
Thay vì sử dụng kiểm định này, chúng ta sẽ sử dụng kiểm định BG, vì nó cho phép các
giá trị trễ của biến phụ thuộc như các biến giải thích. Sử dụng kiểm định BG, và sử dụng
hai giá trị trễ của phần dư, vẫn có bằng chứng về tự tương quan; các giá trị xác suất p là
0.09 (kiểm định F) và 0.07 (kiểm định Chi bình phương) (Bảng 6.8).
Bảng 6.8: Kiểm định BG về tự hồi quy của hàm tiêu dùng tự hồi quy.
26
Dù sử dụng mô hình nào, (6.1) hay (6.15), thì dường như chúng ta đều gặp vấn đề tương
quan chuỗi trong dữ liệu của chúng ta.
Một lưu ý kỹ thuật: Vì chúng ta có một biến trễ của biến phụ thuộc như một trong những
biến giải thích và tương quan chuỗi, các hệ số hồi quy ước lượng trong phương trình
(6.15) có thể bị chệch cũng như không nhất quán. Một giải pháp của vấn đề này là sử
dụng một biến công cụ (IV, instrumental variable hoặc instrument), cho biến trễ của
biến phụ thuộc theo một cách mà biến công cụ được chọn có tương quan (có thể là
cao) với biến phụ thuộc nhưng không tương quan với hạng nhiễu. Chủ đề này tương đối
phức tạp và chúng ta sẽ dành một chương cho ước lượng biến công cụ (Chương 19).
Mộ giải pháp được đề nghị là sử dụng giá trị trễ của biến thu nhập như một biến công
cụ thay vì giá trị trễ của biến chi tiêu cho tiêu dùng. Nhưng chúng ta sẽ nói nhiều hơn
về vấn đề này ở chương 19.
Để giải quyết vấn đề tự tương quan trong hạng nhiễu, chúng ta có thể sử dụng một
hoặc nhiều phương pháp khắc phục đã được đề cập ở trên, hoặc có thể sử dụng phương
pháp Newey – West và thu được các sai số chuẩn HAC hoặc các sai số chuẩn mạnh. Kết
quả này được trình bày trong Bảng 6.9.
Bảng 6.9: Các sai số chuẩn HAC của hàm tiêu dùng tự hồi quy.
So sánh các kết quả trong Bảng 6.6 và 6.9, rõ ràng rằng các sai số chuẩn của các hệ số
trong Bảng 6.6 bị ước lượng thấp. Một lần nữa hãy nhớ rằng thủ tục điều chỉnh HAC chỉ
có hiệu lực trong các mẫu lớn.
Mô hình (6.15) không phải là cách duy nhất trong đó mô hình gốc có thể được xác định
lại. Thay vì đưa giá trị trễ của biến phụ thuộc giữa các biến giải thích, chúng ta có thể
đưa các giá trị trễ của các biến giải thích, ví dụ LDPI. Hoặc chúng ta có thể đưa cả hai20.
20
Để biết chi tiết, xem Gujarati/Porter, Chương 17.
27
6.5 Tóm tắt và kết luận
Trong chương này, chúng ta đã khảo sát hơi sâu chủ đề tự tương quan. Dữ liệu chuỗi
thời gian thường gặp phải vấn đề tự tương quan. Trước hết chúng ta thảo luận bản chất
và các hậu quả của tự tương quan, sau đó chúng ta thảo luận các phương pháp phát
hiện tự tương quan, và rồi chúng ta xem xét các cách trong đó vấn đề tự tương quan có
thể được giải quyết.
Vì nói chung chúng ta không biết các hạng nhiễu thực trong một mô hình hồi quy, trong
thực tế chúng ta phải suy đoán bản chất của tự tương quan trong một ứng dụng cụ thể
bằng cách phân tích phần dư, đó là các đại diện tốt của hạng nhiễu thực nếu cỡ mẫu là
tương đối lớn. Chúng ta có thể vẽ đồ thị phần dư, hoặc sử dụng các kiểm định DurbinWatson, hoặc Breusch-Godfrey.
Nếu các kiểm định tự tương quan cho thấy rằng tự tương quan tồn tại trong một trường
hợp cụ thể, chúng ta có thể chuyển hóa mô hình gốc sao cho trong mô hình được
chuyển hóa chúng ta không còn gặp vấn đề tự tương quan. Nhưng nói dễ hơn làm, vì
chúng ta không biết cấu trúc thực của tự tương quan trong tổng thể của một mẫu được
rút ra. Vì thế chúng ta cố gắng thử nhiều cách chuyển hóa, chẳng hạn như chuyển hóa
dạng sai phân bậc một và sai phân tổng quát. Thông thường thì đây là một quá trình
thử và sai.
Nếu cỡ mẫu tương đối lớn, chúng ta có thể sử dụng các sai số chuẩn mạnh hoặc các sai
số chuẩn theo phương pháp HAC, cách này không đòi hỏi bất kỳ kiến thức đặc biệt nào
về bản chất của tự tương quan. Thủ tục HAC đơn giản là điều chỉnh các sai số chuẩn của
OLS, mà không làm thay đổi các giá trị của các hệ số hồi quy.
Vì các ước lượng OLS vẫn nhất quán mặc dù có tự tương quan, nên sự đột phá của các
phương pháp điều chỉnh được thảo luận trong chương này là ước lượng các sai số chuẩn
của các hệ số hồi quy càng hiệu quả càng tốt sao cho chúng ta không rút ra các kết luận
sai lầm về ý nghĩa thống kê của một hoặc nhiều hệ số hồi quy./.
28