UNIVERSIDAD PRIVADA BOLIVIANA
Facultad de Ingenierías y Arquitectura
Ingeniería Civil
ANÁLISIS DE UNIÓN VIGA-COLUMNA
MEDIANTE UN MODELO DE ELEMENTOS
FINITOS PARA DEFINIR UN MODELO DE
ARMADO EFICIENTE
Presentado por: Jorge Luis Medina Torrez
Como requisito parcial para optar al título de
LICENCIATURA EN INGENIERIA CIVIL
Tutor: MSc. Álvaro Moscoso Wayar
La Paz, enero, 12
CONTENIDO
I. INTRODUCCIÓN ......................................................................................................... 1
1.1 Antecedentes ............................................................................................................... 1
1.2 Problemática ............................................................................................................... 1
1.3 Justificación ................................................................................................................ 3
1.4 Objetivos ..................................................................................................................... 3
1.4.1 Objetivo General ...................................................................................................... 3
1.4.2 Objetivos Específicos .............................................................................................. 3
1.5 Alcance del trabajo de grado ...................................................................................... 4
II. DEFINICIONES, DISEÑO Y COMPORTAMIENTO ............................................... 5
2.1 Unión viga-columna ................................................................................................... 5
2.2 Clasificación de la unión según la ACI-352 ............................................................... 6
2.3 Recomendaciones para el diseño de uniones según la ACI-352 ................................ 7
2.4 Comportamiento de la unión viga-columna externa ................................................. 10
2.5 Estudios experimentales y modelos numéricos ........................................................ 14
2.6 Método de Bielas y Tirantes ..................................................................................... 17
III. MODELOS CONSTITUTIVOS Y LEYES DE COMPORTAMIENTO DE LOS
MATERIALES ............................................................................................................... 19
3.6 Elasticidad, plasticidad y comportamiento de materiales ......................................... 19
3.7 Modelo constitutivo del hormigón ............................................................................ 21
3.7.1 Modelo constitutivo del hormigón en compresión ................................................ 22
3.7.1 Modelo constitutivo del hormigón en tracción ...................................................... 25
3.8 Modelo constitutivo del acero................................................................................... 27
IV. DISEÑO DEL CÓDIGO .......................................................................................... 28
4.1 Método de Elementos Finitos ................................................................................... 28
4.1 Estado Plano de Tensiones ....................................................................................... 29
i
4.1.1 Ecuaciones de equilibrio interno (Ecuaciones de Cauchy) .................................... 30
4.2 Elasticidad Bidimensional ........................................................................................ 31
4.2.1 Campo de desplazamientos .................................................................................... 32
4.2.2 Campo de deformaciones....................................................................................... 32
4.2.3 Relación Tensión-Deformación ............................................................................. 32
4.2.3 Principio de trabajos virtuales................................................................................ 32
4.2.4 Discretización del campo de desplazamiento ........................................................ 33
4.2.5 Discretización del campo de deformaciones y tensiones....................................... 33
4.2.5 Ecuación de equilibrio para el elemento finito ...................................................... 34
4.3 Formulación del elemento cuadrilátero de 4 nodos .................................................. 35
4.4 Formulación del elemento barra de 2 nodos ............................................................. 40
4.5 Simplificación numérica de modelos constitutivos .................................................. 43
4.5.1 Simplificación del modelo constitutivo del hormigón ........................................... 45
4.5.1 Simplificación del modelo constitutivo del acero.................................................. 46
4.6 Estructura del código y proceso de resolución del sistema ...................................... 46
4.6.1 Lectura de datos y creación de variables ............................................................... 48
4.6.2 Computo de las matrices características ................................................................ 51
4.6.3 Resolución del sistema para el paso de carga actual ............................................. 51
4.6.4 Subrutina para hallar tensiones y suavizado de tensiones ..................................... 52
4.6.5 Aplicación de criterios de fisuración ..................................................................... 55
4.6.6 Coeficiente de reducción de rigidez....................................................................... 55
4.7 Despliegue de resultados (Post-Proceso) .................................................................. 55
V. MODELADO COMPUTACIONAL ......................................................................... 57
5.1 Recreación de modelos a través de GiD ................................................................... 57
5.1.1 Modelo de unión viga-columna RK2..................................................................... 57
5.1.2 Modelo de unión viga-columna SR y CR .............................................................. 61
ii
5.2 Comparación de modelos numéricos ........................................................................ 65
VI. ANALISIS EN LA UNION VIGA-COLUMNA ..................................................... 70
6.2 Modelos de armadura en base a modelos B y T ....................................................... 70
6.2.1 Primer modelo de Bielas y Tirantes ....................................................................... 70
6.2.2 Segundo modelo de Bielas y Tirantes.................................................................... 71
6.2.2 Tercer modelo de Bielas y Tirantes ....................................................................... 73
6.2.3 Armaduras horizontales en la zona de momento negativo .................................... 75
6.3 Análisis de resultados ............................................................................................... 76
6.3.1 Comparación de los resultados del código con los de otros autores ...................... 83
6.3.2 Comparación entre la configuración de refuerzo propuesta y el de la ACI 352 .... 84
VII. CONCLUSIONES .................................................................................................. 85
7.1 Conclusiones ............................................................................................................. 85
VIII. RECOMENDACIONES ........................................................................................ 86
8.1 Recomendaciones ..................................................................................................... 86
8.2 Sugerencias para trabajos futuros ............................................................................. 86
IX. BIBLIOGRAFIA ...................................................................................................... 87
iii
INDICE DE FIGURAS
Figura Nro. 1.1 – Falla por corte en una unión viga columna. (Orrego Ramírez, 2016).. 2
Figura Nro. 2.1 – Definición de unión viga-columna. (EHE, 2008) ................................ 5
Figura Nro. 2.2 – Unión viga-columna. (Alva, 2004) ...................................................... 6
Figura Nro. 2.3 – Tipos de uniones viga-columna según su posición. (ACI-ASCE 352) 7
Figura Nro. 2.4 – Fuerzas en los nudos en las secciones criticas (ACI-ASCE 352) ........ 8
Figura Nro. 2.5 – Fuerzas en la unión viga columna (LNEC,1977) ................................. 9
Figura Nro. 2.6 – Evaluación del cortante horizontal en el nudo (ASCE-ACI 352) ........ 9
Figura Nro. 2.7 – Distribución idealizada de las fuerzas sobre la unión: a) Cargas
gravitacionales actuantes sobre el nodo; b) Cargas resultantes sobre el núcleo del nudo.
(Kassem, 2016) ............................................................................................................... 11
Figura Nro. 2.8 – Izquierda: Tensiones diagonales en la unión viga columna (LNCE,
1977); Derecha: Biela de compresión diagonal y fuerzas en el nudo. (Ortiz, 1993) ...... 11
Figura Nro. 2.9 – Fisuración causada por la flexión que se extiende hasta la zona de
compresión. (Lamas, 2019) ............................................................................................ 12
Figura Nro. 2.10 – Mecanismo diagonal de transferencia de corte. (Kassem, 2016) ..... 13
Figura Nro. 2.11 – a) Fuerzas actuando en el nodo b) Desarrollo de fisuras en el nodo.
(Kadarningsih et al., 2014) ............................................................................................. 13
Figura Nro. 2.12 – Configuración geométrica de ensayos experimentales de la unión
viga-columna: a) Externa; b) Interna. (Lamas, 2019) ..................................................... 14
Figura Nro. 2.13 – Procedimiento de carga y condiciones de borde. (Haach et al., 2008)
........................................................................................................................................ 15
Figura Nro. 2.14 – Diagramas carga-desplazamiento de los ensayos experimentales.
(Roeser, 2002) ................................................................................................................. 15
Figura Nro. 2.15 –Deformación de estribos bajo variación de carga axial sobre la
columna: a) estribos superiores; b) estribos inferiores; c) estribos en el núcleo. (Haach
et al., 2008) ..................................................................................................................... 16
iv
Figura Nro. 2.16 – Deformación del refuerzo longitudinal de la viga: a) Carga de la
columna; b) carga de la viga. (Haach et al., 2008) ......................................................... 17
Figura Nro. 2.17 – Flujo de fuerzas y mecanismo resistente de celosía ......................... 18
Figura Nro. 2.18 – Criterio de elección de celosía según el flujo de fuerzas ................. 18
Figura Nro. 3.1 – Relaciones constitutivas Elásticas y Plásticas. (Lamas, 2019) .......... 20
Figura Nro. 3.2 – Relaciones constitutivas Elásticas y Plásticas. (Lamas, 2019) .......... 20
Figura Nro. 3.3 – Ensayo de compresión en el hormigón. (Canet, 2012) ...................... 21
Figura Nro. 3.4 – Ensayo de tracción en el acero. (Canet, 2012) ................................... 21
Figura Nro. 3.5 – Diagrama carga-desplazamiento típico del concreto estructural.
(Lazzari, 2015) ................................................................................................................ 22
Figura Nro. 3.6 – Superficie de rotura del hormigón en el espacio tridimensional.
(Lamas, 2019) ................................................................................................................. 23
Figura Nro. 3.7 – Superficie de plastificación y ruptura en estado biaxial. (Lazzari,
2015) ............................................................................................................................... 24
Figura Nro. 3.8 – Superficie de plastificación y ruptura en estado biaxial. Código
Modelo fib 2010 (2010) .................................................................................................. 24
Figura Nro. 3.9 – Modelo para el “endurecimiento por tensión”. (Haach, 2005) .......... 26
Figura Nro. 3.10 – Modelo para el “endurecimiento por tensión”. (Ng et al., 2010) ..... 26
Figura Nro. 3.11 – Modelo elastoplástico perfecto y con endurecimiento. (Lazzari,
2015) ............................................................................................................................... 27
Figura Nro. 3.12 – Modelo elastoplástico: a) trilineal; b) bilineal. (Tamayo, 2011) ...... 27
Figura Nro. 4.1 – Procedimiento de conversión del problema real al modelo
computacional. (Oñate, 2009) ......................................................................................... 29
Figura Nro. 4.2 – Estado tensional de un elemento diferencial de volumen. (Cervera,
2015) ............................................................................................................................... 30
Figura Nro. 4.3 – Estado plano de tensiones. (Cervera, 2015) ....................................... 31
Figura Nro. 4.2 – Elemento Rectangular de 4 nodos en coordenadas globales. (Hutton,
2004) ............................................................................................................................... 35
v
Figura Nro. 4.3 – a) Traslación a coordenadas naturales; b) Coordenadas naturales
(Hutton, 2004) ................................................................................................................. 36
Figura Nro. 4.4 – a) Dominio a ser modelado; b) Elementos triangulares; c) Elementos
rectangulares; d) Elementos cuadriláteros y rectangulares. (Hutton, 2004) ................... 37
Figura Nro. 4.5 – “Mapeo” de un elemento rectangular padre a un elemento cuadrilátero
descrito por (Hutton, 2004) ............................................................................................. 38
Figura Nro. 4.6 – Elemento barra/cercha. (Hutton, 2004) .............................................. 41
Figura Nro. 4.7 – a) Elemento barra con una orientación θ; b) Desplazamientos locales;
c) Desplazamientos globales. (Hutton, 2004) ................................................................. 42
Figura Nro. 4.8 – Simplificación del modelo constitutivo del hormigón (Lamas, 2019)
........................................................................................................................................ 46
Figura Nro. 4.10 – Flujograma del programa principal .................................................. 47
Figura Nro. 4.11 – Sección de materiales en el archivo de entrada ................................ 48
Figura Nro. 4.12 – Sección de coordenadas en el archivo de entrada ............................ 48
Figura Nro. 4.13 – Sección de elementos en el archivo de entrada ................................ 49
Figura Nro. 4.14 – Sección de restricciones en el archivo de entrada ............................ 49
Figura Nro. 4.15 – Sección de cargas en el archivo de entrada ...................................... 50
Figura Nro. 4.16 – Lectura del archivo de entrada y preparación de variables .............. 50
Figura Nro. 4.17 – Calculo de las matrices de rigidez .................................................... 51
Figura Nro. 4.18 – Subrutina de resolución del sistema ................................................. 52
Figura Nro. 4.19 – Campo de tensiones discontinuo y continuo (suavizado) (Oñate,
2009) ............................................................................................................................... 53
Figura Nro. 4.20 – Extrapolación lineal de 2 puntos de Gauss (Oñate, 2009) ............... 53
Figura Nro. 4.21 – Extrapolación lineal de 2 puntos de Gauss (Oñate, 2009) ............... 54
Figura Nro. 4.22 – Cálculo de las tensiones en los nodos del elemento ......................... 54
Figura Nro. 4.23 – Aplicación de criterios de fisuración en el hormigón traccionado ... 55
Figura Nro. 4.24 – Suavización de esfuerzos nodales: a) Con tensiones nodales; b) Con
tensiones centrales. (Meneghetti et al., 2018) ................................................................. 56
vi
Figura Nro. 4.25 – Proceso de suavización de tensiones nodales................................... 56
Figura Nro. 5.1 – Configuración geométrica, condiciones de borde y cargas (Lamas,
2019) ............................................................................................................................... 57
Figura Nro. 5.2 – Modelos RK2 (Roeser, 2002) ............................................................ 58
Figura Nro. 5.3 – Malla Elementos Finitos del modelo RK2 ......................................... 59
Figura Nro. 5.4 – Comparación de los diagramas carga-deformación del modelo RK2 60
Figura Nro. 5.5 – Modelo SR (Lamas, 2019) ................................................................. 61
Figura Nro. 5.6 – Malla de elementos finitos del modelo SR ........................................ 62
Figura Nro. 5.7 – Modelo CR (Lamas, 2019) ................................................................. 63
Figura Nro. 5.8 – Malla de elementos finitos del modelo CR ........................................ 64
Figura Nro. 5.9 – Comparación de los diagramas carga-deformación de los modelos SR
y CR ................................................................................................................................ 65
Figura Nro. 5.10 – Tensiones normales en el hormigón (𝝈𝒙 𝐌𝐏𝐚) Modelos SR y CR
(Python) .......................................................................................................................... 66
Figura Nro. 5.11 – Tensiones normales en el hormigón (𝝈𝒙 𝐊𝐍/𝐜𝐦𝟐) Modelos SR y
CR. (Lamas, 2019) (ANSYS) ......................................................................................... 66
Figura Nro. 5.12 – Tensiones normales en el hormigón (𝝈𝒚 𝐌𝐏𝐚) Modelos SR y CR
(Python) .......................................................................................................................... 67
Figura Nro. 5.13 – Tensiones normales en el hormigón (𝝈𝒚 𝐊𝐍/𝐜𝐦𝟐) Modelos SR y
CR. (Lamas, 2019) (ANSYS) ......................................................................................... 67
Figura Nro. 5.14 – Tensiones normales en el acero (𝝈𝒔 𝐌𝐏𝐚) Modelos SR y CR
(Python) .......................................................................................................................... 68
Figura Nro. 5.15 – Tensiones normales en el acero (𝝈𝒔 𝐌𝐏𝐚) Modelos SR y CR
(Lamas, 2019) (ANSYS) ................................................................................................ 68
Figura Nro. 5.16 – Desplazamiento máximo vertical (𝑼𝒚 𝐦𝐦) Modelos SR y CR...... 69
Figura Nro. 5.17 – Elementos finitos “fisurados” Modelos SR y CR ............................ 69
Figura Nro. 6.1 – esquema de bielas y tirantes (Romo Martin et al., 2003) en el nudo,
tensiones principales en el nudo ..................................................................................... 71
vii
Figura Nro. 6.2 – esquema de bielas y tirantes con tirante horizontal en el núcleo
(Kassem, 2016) ............................................................................................................... 72
Figura Nro. 6.3 – Modelos E1 y E2 ................................................................................ 72
Figura Nro. 6.4 – Diagrama Carga-desplazamiento de los modelos E1 y E2 ................ 73
Figura Nro. 6.5 – Modelo de cercha resistente en el núcleo (tirante vertical) (Kassem,
2016) ............................................................................................................................... 73
Figura Nro. 6.6 – Modelos V1, V2, V3 .......................................................................... 74
Figura Nro. 6.8 – Diagrama Carga-desplazamiento de los modelos V1, V2, V3........... 74
Figura Nro. 6.9 – Modelos H1, H2, H3 .......................................................................... 75
Figura Nro. 6.10 – Modelos H4, H5, H6 ........................................................................ 75
Figura Nro. 6.11 – Diagrama Carga-desplazamiento de los modelos H1, H2, H3, H4,
H5, H6 ............................................................................................................................. 76
Figura Nro. 6.12 – Tensiones normales en el hormigón (𝝈𝒙 𝐌𝐏𝐚) Modelos H5 vs SR 78
Figura Nro. 6.13 – Tensiones normales en el hormigón (𝝈𝒚 𝐌𝐏𝐚) Modelos H5 vs SR 79
Figura Nro. 6.14 – Tensiones normales en el hormigón (𝝉𝒙𝒚 𝐌𝐏𝐚) Modelos H5 vs SR
........................................................................................................................................ 79
Figura Nro. 6.15 – Tensiones principales en el hormigón (𝝈𝟏𝐌𝐏𝐚) Modelos H5 vs SR
........................................................................................................................................ 80
Figura Nro. 6.16 – Tensiones principales en el hormigón (𝝈𝟐 𝐌𝐏𝐚) Modelos H5 vs SR
........................................................................................................................................ 80
Figura Nro. 6.17 – Tensiones normales en el acero (𝝈𝒔𝐌𝐏𝐚) Modelos H5 vs SR ........ 81
Figura Nro. 6.18 – Desplazamiento máximo vertical (𝑼𝒚 𝐦𝐦) Modelos H5 vs SR .... 81
Figura Nro. 6.19 – Elementos finitos “fisurados” Modelos H5 vs SR ........................... 82
Figura Nro. 6.20 – Fenómenos asociados al deterioro mecánico de la unión vigacolumna de extremo (Alva, 2004) .................................................................................. 82
Figura Nro. 6.21 – Comparación de configuraciones de refuerzo entre el modelo H5 y la
ACI 352 para uniones de tipo 1 ...................................................................................... 84
viii
INDICE DE TABLAS
Tabla Nro. 2.1 – Valores de g para uniones viga columna ............................................ 10
Tabla Nro. 5.1 – Parámetros mecánicos del hormigón del modelo RK2 ....................... 58
Tabla Nro. 5.2 – Parámetros mecánicos del acero del modelo RK2 .............................. 58
Tabla Nro. 5.3 – Resumen de la malla y elementos finitos del modelo RK2 ................. 59
Tabla Nro. 5.4 – Resumen del análisis realizado por el código para el modelo RK2 .... 60
Tabla Nro. 5.5 – Parámetros mecánicos del hormigón y acero de los modelos SR y CR
........................................................................................................................................ 61
Tabla Nro. 5.6 – Resumen de la malla y elementos finitos del modelo SR ................... 62
Tabla Nro. 5.7 – Resumen de la malla y elementos finitos del modelo CR ................... 63
Tabla Nro. 5.9 – Resumen del análisis realizado por el código para el modelo SR ....... 64
Tabla Nro. 6.1 – Resumen de los Resultados del modelo SR y H5 y las variaciones de
resultados cuantificadas en porcentaje ............................................................................ 83
Tabla Nro. 6.2 – Tabla comparativa de resultados entre (Medina, 2022) y (Lamas, 2019)
........................................................................................................................................ 83
Tabla Nro. 6.3 – Tabla comparativa de resultados entre (Medina, 2022) y (Haach et al.,
2008) ............................................................................................................................... 84
Tabla Nro. 6.4 – Tabla comparativa de resultados entre (Medina, 2022) y (Roeser,
2002) ............................................................................................................................... 84
Tabla Nro. 6.5 – Tabla comparativa de resultados entre (Medina, 2022) y (Taylor, 1974)
........................................................................................................................................ 84
ix
RESUMEN EJECUTIVO
La unión viga-columna es una región critica en el sistema aporticado de hormigón armado
debido a las funciones estructurales que cumple y por las condiciones geométricas y de
cargas a las que está sometida. Además, los materiales de los que está constituida el nodo
viga-columna poseen propiedades mecánicas particulares y una interacción compleja
entre ellos ocasionando que el comportamiento mecánico de este elemento estructural sea
no-lineal. Así la unión viga-columna es un elemento estructural al cual no puede aplicarse
la hipótesis de Bernoulli-Navier usada para analizar elementos esbeltos (Meseguer Garcia
et al., 2011). A raíz de esta imposibilidad de aplicar la hipótesis de Bernoulli-Navier y de
la evidencia recopilada por la bibliografía especializada de casos en los que el refuerzo
de acero implementado en esta región no es adecuado provocando fallas que anteceden
colapsos estructurales (Kadarningsih et al., 2014), se presenta en este trabajo un código
el cual mediante el método de elementos finitos permita conocer la distribución de
esfuerzos y aproximar de manera satisfactoria el comportamiento mecánico de la unión
viga-columna y a partir de ello poder proponer un modelo de refuerzo de acero eficiente
para la unión viga-columna.
ABSTRACT
The beam-column joint is a critical region on the reinforced concrete frame structural
system due the critical tasks that it accomplish and beacause the geometrical and load
conditions to which it is subjected. Furthermore, the materials of which the beam-column
joint is compounded have a particular mechanical properties and a complex bond
interaction causing the mechanical behavior of this structural element to be non-linear.
Thus, the beam-column connection is a structural element to which the Bernoulli-Navier
hypothesis used to analyze beams or columns cannot be applied. (Meseguer Garcia et al.,
2011)
Since this impossibility of applying the Bernoulli-Navier hypothesis and the evidence
collected by the specialized bibliography of failure cases due the inadequate steel
reinforcement implemented (Kadarningsih et al., 2014), a code is proposed in this work
which, through the finite element method, will be able to find the stress distribution and
to approximate the mechanical behavior of the beam-column joint. Then, based on the
results, an efficient steel reinforcement configuration for the concrete joints will be
proposed.
x
A mis padres
Jorge Medina y María Jesús Torrez
y a mi hermano Alejandro Medina,
por el constante apoyo
xi
AGRADECIMIENTOS
A la Universidad Privada Boliviana por el conocimiento y herramientas de aprendizaje
adquiridas en sus aulas y al MSc. Álvaro Moscoso por la orientación y consejo
xii
I. INTRODUCCIÓN
1.1 Antecedentes
El sistema de pórticos es el más utilizado en el diseño de estructuras civiles de hormigón
armado en Bolivia como en varias partes del mundo por su versatilidad ante cualquier
tipo de solicitaciones y circunstancias geográficas. Dentro de este sistema aporticado
existen elementos estructurales de bastante importancia como son las uniones de viga y
columna, las cuales por ser lugares geométricos con un cambio de tensiones brusco y de
transmisión de fuerzas varias de los otros elementos adyacentes a la unión (vigas,
columnas, muros) (Cid et al., 2015), se consideran regiones críticas que necesitan un
análisis más detallado de sus esfuerzos. Además, estas regiones desempeñan un papel
más crítico aun frente a cargas dinámicas o cíclicas (de viento, sismo, etc.) al proporcionar
a la estructura estabilidad lateral frente a cargas de viento, por ejemplo (Alva, 2004).
Estos nudos entre viga-columna, no pueden ser modelados teóricamente con métodos
tradicionales, debido a que estas zonas de discontinuidad geométrica no responden a la
hipótesis de Bernoulli, la cual es la teoría más usada para el diseño de vigas o elementos
esbeltos (Tipán Espinoza, 2019).
Por otro lado, si bien las normas actuales de diseño presentan recomendaciones para su
diseño como la ACI-352R, varios ensayos y estudios han mostrado evidencia de que la
capacidad resistente de las uniones depende de más variables de las que incluyen las
normas llegando a proponer refuerzos en base a modelos numéricos que representan estos
elementos de manera más precisa en diferentes estados de resistencia (Kadarningsih et al.,
2014).
1.2 Problemática
La unión viga columna es una de las regiones más críticas del sistema estructural, ya que
en estas conexiones confluyen grandes esfuerzos de corte de flexión y axiales
provenientes de los elementos que llegan a esta región. Evidencia de esto se encuentra en
la bibliografía especializada de casos en el que el refuerzo de acero en estos nodos no es
adecuado y por tanto no puede absorber el esfuerzo ante cargas de corte importantes
produciendo fallas que anteceden colapsos de estructuras ante fuerzas sísmicas, por
ejemplo. Esto ocurre porque el nudo al no estar bien reforzado pierde rigidez y la
ductilidad necesaria para resistir estas fuerzas (Kadarningsih et al., 2014).
1
Por ejemplo, una de las fallas frecuentes es la que se produce debido a grandes esfuerzos
de corte en el núcleo de la unión viga-columna externas que superan su resistencia
mecánica, generando fisuras diagonales que provocan la falla temprana de estos
elementos estructurales (Antonopoulos & Triantafillou, 2002) y que según varios autores
como (Orrego Ramírez, 2016) suceden por la falta de refuerzo de acero en el núcleo de
la columna como En la figura Nro. 1.1
Figura Nro. 1.1 – Falla por corte en una unión viga columna. (Orrego Ramírez, 2016)
Debido a que el hormigón armado está constituido principalmente por dos materiales
distintos y uno de ellos posee una diferencia de resistencias en tracción y compresión,
este adquiere un comportamiento no-lineal, el cual surge no solo de la naturaleza
mecánica del material sino también de la geometría de esta región al no poder
considerarse como un elemento esbelto. Este comportamiento se difiere de uno elástico
lineal en que la relación carga/tensión-deformación no es constante al variar la
carga/tensión.
A diferencia de un modelo lineal de elementos esbeltos como las vigas y columnas, la
cual solo puede arrojar resultados de los esfuerzos y deformaciones de estos elementos
bajo la teoría de elasticidad (Timoshenko & Goodier, 1951), la unión viga-columna exige
recurrir a otros métodos de cálculo de elementos estructurales que tomen en cuenta o
aproximen este comportamiento no-lineal de la unión para ser diseñada, tales como el
método de los elementos finitos que sería el método ideal para este tipo análisis según
(Salinas & Mercedes, 2015)
2
Si bien las normas brindan recomendaciones de diseño para estas conexiones, la
complejidad de su comportamiento producto de la naturaleza de la geometría y materiales
que constituyen estos elementos estructurales exigen al ingeniero aplicar técnicas
computacionales para comprender de forma más precisa la distribución de esfuerzos para
así diseñar un armado eficiente de estos nodos importantes.
Por otro lado, el detallado y construcción de uniones viga-columna no recibe la debida
atención en el ámbito constructivo o “en obra” provocando que detalles críticos en su
comportamiento se pasen por alto. (Alcocer, 1995)
1.3 Justificación
Mediante la elaboración de un análisis de elementos finitos se brindará más herramientas
para el ingeniero estructural que puedan aproximarse más al comportamiento complejo
de la unión viga-columna y así lograr modelos de refuerzo óptimos en estas regiones en
base a los resultados que se obtenga de un análisis numérico.
La elaboración de un código en software libre supone un aporte académico y una
herramienta para el ingeniero estructural para la investigación o proyectos ingenieriles.
1.4 Objetivos
1.4.1 Objetivo General
A partir del análisis de Deformaciones y Tensiones en ELS (Estado Límite de Servicio)
por el método de Elementos Finitos, inferir una configuración de refuerzo de armadura
eficiente del nodo viga-columna y validarlo aplicando el método de Bielas y Tirantes.
1.4.2 Objetivos Específicos
1. Identificar los factores que influyen en la resistencia de una unión viga-columna.
2. Estudiar en las normas las especificaciones de refuerzo para uniones viga-columna de
concreto armado y conocer el proceso de diseño propuesto.
3. Elaborar un MEF que aproxime de forma satisfactoria las condiciones de contorno y
comportamiento de un nodo viga-columna y un código que calcule los resultados
4. Validar el análisis de esfuerzos y deformaciones obtenido con el código desarrollado
mediante comparaciones con resultados experimentales, numéricos y modelos
teóricos como el método de Bielas y Tirantes.
5. Proponer un modelo de refuerzo eficiente para la unión viga-columna.
3
1.5 Alcance del trabajo de grado
Debido a que el objetivo general de este trabajo es el de analizar el comportamiento
mecánico de la unión viga-columna en estado limite servicio, el enfoque de este trabajo
se concentra en las fases elásticas de los materiales y de fisuración en el caso del hormigón
y no así en la plastificación materiales. Así mismo, el código presentado en este trabajo
constituye la primera etapa del desarrollo de una herramienta de análisis estructural de
software libre que será ampliada en trabajos futuros junto con el alcance de esta
investigación sobre el comportamiento de la unión viga-columna.
El análisis que se realiza en este trabajo se concentra en las uniones viga-columna
externas. Estas presentan una simetría transversal respecto a un plano vertical, lo cual
provoca que solo dos dimensiones sean relevantes en la distribución de esfuerzos y por
tanto que se pueda aplicar el estado plano de tensiones como modelo matemático de
aproximación.
Con el objetivo de realizar la validación del código propuesto mediante comparación de
resultados, se adoptan las condiciones de borde y el sistema de cargas utilizados por
(Lamas, 2019) y de (Roeser, 2002) en sus respectivas investigaciones y modelos de unión
viga-columna externas.
En base a lo mencionado anterior, el alcance de este trabajo se puede resumir de la
siguiente manera:
•
El análisis se realiza sobre una unión viga-columna de exterior.
•
El sistema de cargas consiste en una carga monotónica en el extremo de la viga que
varía desde cero hasta un valor determinado en dirección de la gravedad y una carga
axial estática distribuida sobre la columna, la cual es constante en todas las etapas de
carga.
•
No se considera cargas axiales variables y tampoco excentricidad de las mismas
•
El código resuelve geometrías arbitrarias con elementos finitos bidimensionales y
unidimensionales en estado plano de tensiones.
•
El código considera la etapa de elasticidad del acero y hormigón, la etapa de fisuración
del hormigón, pero no la etapa de plastificación del acero y hormigón.
4
II. DEFINICIONES, DISEÑO Y COMPORTAMIENTO
2.1 Unión viga-columna
En una estructura de hormigón armado se pueden distinguir dos tipos de zona: aquellas
en las que existe una continuidad geométrica y mecánica sobre las cuales se puede aplicar
la hipótesis básica de Bernoulli-Navier o de Kirchoff. Estas regiones se denominan como
regiones B (por Bernoulli) y por otra parte aquellas zonas en las que no existe tal
continuidad geométrica y mecánica por lo que no se le puede aplicar la teoría de
Bernoulli-Navier. Estas regiones son llamadas regiones D (Discontinuidad) y no
responden concretamente a la conservación de secciones planas en deformación
(Meseguer Garcia et al., 2011).
Figura Nro. 2.1 – Definición de unión viga-columna. (EHE, 2008)
En un pórtico se puede observar que la unión viga-columna en particular, contiene
discontinuidades geométricas y de carga, lo que implica que no pueden aplicarse las
hipótesis de Bernoulli-Navier y por tanto entran dentro de la categoría de región D (Tipán
Espinoza, 2019). A raíz de esto la unión viga-columna recibe una especial atención al
momento de diseñar el refuerzo correspondiente para poder desempeñarse de manera
correcta en un pórtico de hormigón armado.
Según la ACI-ASCE 352 la unión viga-columna es la porción de la columna localizada
dentro de la altura de la viga más alta de las que lleguen a la columna. Estas regiones
tienen un comportamiento estructural complejo donde concurren tensiones normales y
5
tangenciales y cuyo desempeño depende de muchas variables como la geometría, el
armado, la intensidad de solicitaciones y la resistencia de materiales (Alva, 2004). Esto
provoca que sean considerados regiones críticas en un sistema aporticado.
Figura Nro. 2.2 – Unión viga-columna. (Alva, 2004)
Antes de 1960 no existían requerimientos especiales en estas zonas debido a la falta de
investigación, la cual se desarrolló recién en las últimas 3 décadas debido al incremento
de solicitaciones vinculado a la construcción de edificios más altos, los cuales
presentaban vigas y columnas de capacidades altas frente a nudos frágiles que fallaban y
provocaban colapsos. Así, eventos como el terremoto de México en 1985 entre otros
mostraron que se necesitaba un mayor análisis y refuerzo en estos elementos impulsando
la investigación (Tipán Espinoza, 2019).
2.2 Clasificación de la unión según la ACI-352
La clasificación de nudos se puede realizar en base a su posición en la estructura de la
cual depende su confinamiento, como es el caso de la norma americana, la cual presenta
una clasificación ilustrada en la figura Nro. 2.3. Sin embargo, esta norma hace una
subclasificación según la condición de carga:
•
Tipo 1: miembros diseñados para cumplir los requisitos de resistencia de ACI 31802 (sin deformaciones inelásticas significativas)
•
Tipo 2: miembros diseñados para que su resistencia se mantenga deformaciones
alternantes en el rango inelástico
6
Figura Nro. 2.3 – Tipos de uniones viga-columna según su posición. (ACI-ASCE 352)
2.3 Recomendaciones para el diseño de uniones según la ACI-352
La norma americana recomienda diseñar la unión para la combinación critica de fuerzas
multidireccionales (cargas axiales, flexión y cortantes) provenientes de los elementos
adyacentes y esta debe resistir estas fuerzas en la sección critica de cortante y en la sección
de barras de refuerzo ancladas en el nudo (esto último se refiere a la longitud de
desarrollo). Para una unión externa del tipo 1 la ACI menciona unos requisitos mínimos
listados a continuación:
•
El refuerzo transversal horizontal debe ser colocado en toda la altura de la unión
•
Deben colocarse al menos 2 filas de refuerzo transversal entre la parte inferior y
superior del refuerzo longitudinal de la viga más alta que llegue al núcleo. Puede no
colocarse este refuerzo cuando al nudo llegan vigas por las 4 caras del nudo y cubren
al menos 2/3 del ancho de la columna y también cuando llegan dos vigas en caras
opuestas cubriendo 2/3 del ancho de la columna.
7
•
El espaciamiento de estribos no debe ser mayor a 300 mm y si el nudo es parte de un
sistema estructural que resiste cargas horizontales no sísmicas, no debe ser mayor
150mm
Luego, para evaluar la sección resistente, se necesita conocer la resistencia a flexión las
vigas adyacentes para establecer la demanda cortante en el nodo teniendo en cuenta su
refuerzo longitudinal, quedando así el siguiente diagrama de fuerzas en el nodo:
Figura Nro. 2.4 – Fuerzas en los nudos en las secciones criticas (ACI-ASCE 352)
Donde T = fuerza de tracción, C = fuerza de compresión, V = fuerza cortante, el
subíndice b para viga, subíndice c para columna y subíndice s para losa
Para el cálculo de las solicitaciones en una unión viga-columna externa y de tipo 1 se
necesita recurrir a ecuaciones de equilibrio en el núcleo del nodo para lo cual se aísla la
unión viga-columna en los puntos de inflexión de los elementos viga y columna (donde
el momento se iguala a cero). Este procedimiento es necesario para identificar los flujos
de fuerza que actúan en el nodo (Figura Nro. 2.5 y 2.8) y en especial a la fuerza cortante
de diseño.
La fuerza cortante de diseño Vu debe ser calculada sobre un plano horizontal a la mitad
de la altura del nudo considerando las fuerzas cortantes sobre los bordes del cuerpo libre
del nudo, las fuerzas normales de tracción y compresión en los miembros estructurales
que llegan al nudo. Para hallar Vu se parte del equilibrio en la sección critica como se
ilustra en la Figura Nro. 2.6.
8
Figura Nro. 2.5 – Fuerzas en la unión viga columna (LNEC,1977)
Figura Nro. 2.6 – Evaluación del cortante horizontal en el nudo (ASCE-ACI 352)
Y se debe cumplir la siguiente ecuación:
𝜙𝑉𝑛 ≥ 𝑉𝑢
(2.1)
Donde el factor de reducción de resistencia 𝜙 es igual a 0.85 y Vn es igual a:
𝑉𝑛 = 0,083𝛾√𝑓′𝑐 𝑏𝑗 ℎ𝑐
(2.2)
9
donde 𝒃𝒋 es el ancho efectivo del nudo según se define en la ecuación (4.8), y 𝒉𝒄 es la
altura de la sección de la columna en la dirección en la que se considera el cortante de la
unión. El ancho efectivo del nudo 𝒃𝒋 no debe exceder el menor valor de:
𝑏𝑏 + 𝑏𝑐
𝑚 ℎ𝑐
(2.3)
; 𝑏𝑏 + ∑
;
𝑏𝑐
2
2
El término 𝒃𝒃 es el ancho de la viga longitudinal. Para juntas donde la excentricidad entre
la línea central de la viga y el centroide de la columna excede 𝑏𝑐 /8, se debe usar m = 0.3;
para todos los demás casos, m = 0,5. El término de suma debe aplicarse a cada lado de la
junta donde el borde de la columna se extiende más allá del borde de la viga. El valor de
𝑚 ℎ𝑐 /2 no debe ser mayor que la extensión de la columna más allá del borde de la viga.
Tabla Nro. 2.1 – Valores de g para uniones viga columna
Clasificacion
Tipo de conexión
1
2
A.1 Nudos con columna continua
A.1 Nudos confinados efectivamente en las 4 caras verticales
24
20
A.2 Nudos confinados efectivamente en tres caras verticales o en dos
caras verticales opuestas
20
15
A.3 Otros casos
B.1 Nudos con columna continua
15
12
B.1 Nudos confinados efectivamente en las 4 caras verticales
20
15
B.2 Nudos confinados efectivamente en tres caras verticales o en dos
caras verticales opuestas
15
12
B.3 Otros casos
12
8
Fuente: (ASCE-ACI 352)
2.4 Comportamiento de la unión viga-columna externa
Ubicando las fuerzas que actúan en los nudos viga-columna es posible comprender la
transferencia de esfuerzos en el núcleo y en las caras del nudo, el equilibrio en el nudo
esta descrito por las siguientes ecuaciones, descritas y explicadas por (Ortiz, 1993).
𝑉𝑗ℎ = 𝑇 − 𝑉𝑝 = 𝐶𝑐 + 𝐶𝑠 − 𝑉𝑝
(2.4)
𝑉𝑗𝑣 = 𝑇1 + 𝐶𝑠2 + 𝐶𝑐2 − 𝑉𝑣 = 𝐶𝑠1 + 𝑇2 + 𝐶𝑐1
(2.5)
En este caso 𝑉𝑗ℎ y 𝑉𝑗𝑣 serian 𝑉𝑢 en la normativa ACI 352. 𝑉𝑝 , 𝑉𝑣 son las fuerzas cortantes
horizontal y vertical de la columna respectivamente.
10
Se puede observar en las Figuras Nro. 2.7 y 2.8 la presencia de determinados flujos de
fuerzas en el núcleo de la unión y sus alrededores. Estas fuerzas de tracción y compresión
cuyas resultantes producen esfuerzos diagonales, se encuentran en equilibrio a través de
la presencia de un campo de compresión o una “biela” de compresión que se puede
apreciar en la Figura Nro. 2.8 y 2.10. Esta biela de compresión transmite diagonalmente
las fuerzas horizontales de la viga hacia la parte superior del nodo y esta hacia las
columnas de manera vertical generando zonas de compresión en estas (Alva, 2004).
Figura Nro. 2.7 – Distribución idealizada de las fuerzas sobre la unión: a) Cargas gravitacionales
actuantes sobre el nodo; b) Cargas resultantes sobre el núcleo del nudo. (Kassem, 2016)
Figura Nro. 2.8 – Izquierda: Tensiones diagonales en la unión viga columna (LNCE, 1977);
Derecha: Biela de compresión diagonal y fuerzas en el nudo. (Ortiz, 1993)
11
La distribución de fuerzas en el contorno del nodo y de su núcleo produce
comportamientos mecánicos complejos, los cuales en condiciones determinadas derivan
en problemas y deficiencias en el comportamiento de la unión viga-columna.
Por ejemplo, uno de los problemas que afecta la adherencia de refuerzo y hormigón es la
fisuración causada por la flexión debido al momento negativo de la viga adyacente nodo.
Esta fisuración puede alterar la transferencia de tensiones entre materiales y reducir la
rigidez en esta región al extenderse hasta la zona de compresión de la viga (Haach, 2005)
como se muestra en la figura Nro. 2.9.
Otro problema surge cuando el refuerzo longitudinal de las columnas se ve sometido a un
empuje horizontal debido a las fuerzas que resiste la biela de compresión en esta dirección
y de no ser por los estribos en el núcleo, los cuales permiten que el nodo trabaje en toda
su altura y confinan la armadura longitudinal de las columnas y el concreto del núcleo, la
biela de compresión no podría transmitir las fuerzas horizontales hacia las columnas y sus
armaduras no resistirían estas fuerzas horizontales (Haach, 2005).
Figura Nro. 2.9 – Fisuración causada por la flexión que se extiende hasta la zona de compresión.
(Lamas, 2019)
Otra función que cumplen los estribos es la de cuidar la adherencia entre el refuerzo
longitudinal de la columna y el concreto. Y por último ayudan a controlar la fisuración a
lo largo de la biela de compresión cuando las tensiones en esa dirección superan la
resistencia del hormigón (Haach, 2005) indicada en la Figura Nro. 2.10 y Nro.2.11.
12
Figura Nro. 2.10 – Mecanismo diagonal de transferencia de corte. (Kassem, 2016)
Por todo esto, se recomienda colocar al menos 2 estribos en la parte superior en inferior
de la armadura longitudinal de la viga y extender el refuerzo de transversal hasta el núcleo
de la unión viga-columna (Ortiz, 1993).
Figura Nro. 2.11 – a) Fuerzas actuando en el nodo b) Desarrollo de fisuras en el nodo.
(Kadarningsih et al., 2014)
(Ortiz, 1993) llega a estas conclusiones acerca de los estribos años antes: En su
investigación concluye que los estribos se necesitan justo después de la fisuración, es
decir que cuando no existe una presencia de estribos y las fuerzas transversales alcanzan
la resistencia a tracción del hormigón, las fisuras se extienden a lo largo de la biela de
compresión y cuando estas se extienden hasta la parte superior, la biela ya no puede
distribuir los esfuerzos y el nodo se rompe.
13
En el caso de tener estribos en el núcleo, las fisuraciones se controlan mediante estos
estribos y la biela puede resistir los esfuerzos en toda su altura.
Por otra parte (Ortiz, 1993) también concluye que los estribos realizan las siguientes
tareas: En primer lugar, reducen las tensiones de adherencia entre el refuerzo longitudinal
de la columna y el concreto. En segundo lugar, permiten que las barras longitudinales de
las columnas resistan las fuerzas horizontales que las empujan fuera del recubrimiento y
por último, los estribos cercanos al refuerzo longitudinal de la viga absorben pare de las
tensiones de este. Así mismo este autor sugiere colocar al menos 2 estribos adicionales
en la parte superior del nodo
2.5 Estudios experimentales y modelos numéricos
Los estudios experimentales sobre la unión viga-columna permiten replicar el
comportamiento de esta región gracias a que se realizan en un ambiente controlado el cual
aproxima las condiciones reales a las que está sometida la unión viga-columna. También
permiten validar simulaciones numéricas y validar modelos. Para representar la unión
viga-columna en laboratorio se puede usar las condiciones de contorno de la Figura Nro.
2.12, las cuales simulan las cargas gravitacionales y laterales. Esta configuración
geométrica y de contorno es usada para testear modelos numéricos y experimentales y
también se utilizará para el modelo numérico de este estudio, la cual se basa en la
representación de la unión como una subestructura del pórtico delimitada por secciones
de momento flector nulo.
Figura Nro. 2.12 – Configuración geométrica de ensayos experimentales de la unión viga-columna:
a) Externa; b) Interna. (Lamas, 2019)
14
Figura Nro. 2.13 – Procedimiento de carga y condiciones de borde. (Haach et al., 2008)
A través de ensayos experimentales varios autores han aportado al entendimiento sobre
el comportamiento y desempeño de las uniones viga-columna. Por ejemplo (Roeser,
2002) ensayó 8 uniones viga-columna externas y 7 uniones viga-columna internas
diferenciadas según su tipo de armado en el nodo y dotándoles una codificación. Este
autor llego a la conclusión que la aparición de fisuras diagonales en la unión, provocan el
incremento de la deformación de toda la subestructura a nivel global de manera
significativa. También pudo evaluar estos diferentes armados y cuantías de refuerzo para
luego catalogarlos como más dúctiles que otros según su diagrama carga-deformación.
En la figura Nro. 2.14 se puede observar que los armados RK2 y RK3 son más dúctiles
que los armados RK5 y RK6
Figura Nro. 2.14 – Diagramas carga-desplazamiento de los ensayos experimentales. (Roeser, 2002)
En otro estudio experimental realizado por (Taylor, 1974), se llegó a la conclusión de que
la capacidad resistente de las uniones viga-columna es rebasada antes de que la viga
15
alcance el momento máximo resistente, por otro lado también observó que las vigas con
cuantías elevadas provocaban que las uniones desarrollaran fisuras diagonales con cargas
de servicio.
(Haach et al., 2008) en sus ensayos numéricos observaron que en columnas con cargas
axiales pequeñas aparecían deformaciones significativas en los estribos del núcleo antes
que en columnas con cargas axiales más grandes como se puede observar en la figura
Nro. 2.15. Esto indica que el nodo adquiere mayor rigidez con cargas axiales importantes
sobre la columna. Adicionalmente, indican que la excentricidad de estas cargas no
provoca variaciones significativas de esfuerzos en el núcleo.
Por otra parte, en sus resultados se indica que los estribos ubicados en el núcleo y en la
parte superior del nudo mejoran el desempeño del nudo en dos aspectos: En primer lugar,
los estribos que están ubicados en el núcleo logran una distribución de esfuerzo más
homogénea y regular y el efecto aumenta con la cuantía de estribo. En segundo lugar, los
estribos ubicados en la parte superior del nodo ayudan a absorber las tensiones producidas
por la armadura longitudinal principal de la viga y también a su anclaje. También llegaron
a la conclusión de que la carga axial genera esfuerzo de tracción en el refuerzo
longitudinal de la viga provocando que la cortante en el nodo se incremente.
Paralelamente, Haach validó su modelo numérico en elementos finitos comparándolo con
los resultados experimentales realizados por este mismo como se ve en la figura Nro. 2.16
Figura Nro. 2.15 –Deformación de estribos bajo variación de carga axial sobre la columna: a)
estribos superiores; b) estribos inferiores; c) estribos en el núcleo. (Haach et al., 2008)
16
Figura Nro. 2.16 – Deformación del refuerzo longitudinal de la viga: a) Carga de la columna; b)
carga de la viga. (Haach et al., 2008)
2.6 Método de Bielas y Tirantes
El método de las bielas y tirantes es un procedimiento que permite el diseño de elementos
lineales, superficiales o volumétricos de hormigón estructural. El método incluye una
parte de análisis estructural y otra de dimensionamiento, en la que se realiza la
comprobación del hormigón y el diseño de la armadura (Romo Martin et al., 2003).
Está basado en el principio mínimo de plasticidad (comportamiento rígido-plástico o
plasticidad perfecta del material) , y el principio de Saint-Venant el cual establece que
una carga concentrada o una distribuida equivalente sobre una pieza producen resultados
iguales de tensión en cualquier sección de la pieza más allá de una distancia dada
(uniformización de tensiones) (Romo Martin et al., 2003).
Este método, consiste en modelizar una región D de una estructura sustituyéndola por un
elemento (normalmente plano) constituido por barras articuladas isostáticas, que
representan el comportamiento de dicha región. Las barras, debido a su biarticulación,
están sometidas únicamente a esfuerzo axil. Las barras comprimidas se denominan bielas
y representan los campos de compresión del hormigón. Las barras traccionadas se
denominan tirantes y representan las fuerzas de tracción de las armaduras (Meseguer
Garcia et al., 2011).
17
Este método es válido para el diseño de regiones D en Estado limite Ultimo, es por esto
que se usa frecuentemente para dimensionar y diseñar elementos estructurales que caen
dentro esta clasificación incluyendo la unión viga-columna. De hecho, este método sirve
de base para realizar comprobaciones que son clasificadas como zonas B. Y por otro lado
las comprobaciones basadas en la teoría de la elasticidad, en formulas empíricas y “reglas
de buena práctica” que se aplican para para zonas D como nudos viga-columna o zonas
con carga concentrada que también derivan indirectamente del método (Romo Martin
et al., 2003) como el caso de la norma ACI-ASCE 352, la cual como ya se vio verifica el
cortante en el núcleo del nodo resistido por la biela diagonal de compresión de hormigón
(Kassem, 2016). Sin embargo, este es un método simplificado, ya que no tiene en cuenta
efectos tales como la rigidez del hormigón entre fisuras, etc. Pero aun así tiene una
aproximación adecuada para conocer el flujo de tensiones del elemento a analizar. (Romo
Martin et al., 2003). En resumen, se podría decir que el método de las Bielas y Tirantes
consiste en construir un sistema equivalente de celosía o cercha que no sufre
deformaciones ni fluye (modelo de plasticidad perfecta) que represente el flujo de fuerzas
presente en una región D.
Figura Nro. 2.17 – Flujo de fuerzas y mecanismo resistente de celosía
Figura Nro. 2.18 – Criterio de elección de celosía según el flujo de fuerzas
18
III. MODELOS CONSTITUTIVOS Y LEYES DE
COMPORTAMIENTO DE LOS MATERIALES
3.6 Elasticidad, plasticidad y comportamiento de materiales
Para comprender el comportamiento de las estructuras de hormigón armado es necesario
recurrir a las ecuaciones que relacionan deformaciones con tensiones. Estas ecuaciones
son abordadas en el estudio de la mecánica de sólidos deformables.
Todo cuerpo sólido bajo acción de cargas sufre deformaciones y al cesar estas, el cuerpo
tiende a recuperar su forma original. Esta tendencia que los materiales sólidos tienen en
mayor o menor grado se denomina elasticidad (Cervera, 2015). Sin embargo, todos los
cuerpos no son ni perfectamente elásticos ni inelásticos, por ejemplo, uno de los
comportamientos inelásticos básicos que presentan los sólidos es la plasticidad. Este
comportamiento consiste en la capacidad de un cuerpo de deformarse irreversiblemente.
La plasticidad se suele ver con frecuencia en la cotidianeidad en cuerpos que han
alcanzado su límite elástico. Esto quiere decir que el comportamiento de los materiales
puede ser descrito a través de la combinación de comportamientos básicos como el
elástico, plástico y otros más en distintas etapas (Lamas, 2019).
El comportamiento elástico tiene como principal característica la reversibilidad de
deformación, la cual, podría describirse matemáticamente mediante la ley de Hooke,
ecuación que establece una proporcionalidad lineal entre estas dos magnitudes:
𝑃=𝑘𝛿
(3.1)
Donde P es una carga aplicada, k es una constante de proporcionalidad y 𝛿 es la
deformación. La tensión dependerá de la geometría del cuerpo y será constante si el área
de aplicación también lo es. (Cervera, 2015). Sin embargo, es posible encontrar
elasticidad no lineal, en la cual los valores de formación se corresponden con los de
tensión mediante una función única, como se puede observar en la Figura Nro. 3.1.
El comportamiento lineal es uno de los más aplicados en resistencia de materiales debido
a que, en varios sólidos, si las cargas no sobrepasan determinados valores, las
deformaciones permanentes son muy pequeñas e incluso nulas, y en consecuencia, dichos
cuerpos pueden considerarse elásticos (Cervera, 2015). Por ejemplo en condiciones
permanentes de servicio, es frecuente que los elementos estructurales de hormigón
19
armado presenten este comportamiento de proporcionalidad entre tensiones y
deformaciones (Gonzales Cuevas & Robles Fernandez, 2005)
Figura Nro. 3.1 – Relaciones constitutivas Elásticas y Plásticas. (Lamas, 2019)
Por otra parte, en un régimen inelástico como ya se ha mencionado las deformaciones son
irreversibles. Además, también se caracteriza porque sin aumento de tensión se produce
un incremento notorio de deformaciones, al menos en una plasticidad ideal. (Canet, 2012)
Otros modelos consideran un aumento de tensiones a la vez que se producen
deformaciones (Lamas, 2019).
Figura Nro. 3.2 – Relaciones constitutivas Elásticas y Plásticas. (Lamas, 2019)
En efecto, el concreto armado, está compuesto por materiales que poseen características
mecánicas que pueden describirse mediante estas curvas de tensión-deformación en las
cuales se observan los distintos comportamientos en diferentes etapas. Por ejemplo, en el
caso del hormigón sometido a compresión uniaxial de forma gradual la curva que
describe, nos indica que hasta cierto punto el comportamiento es elástico y partir de ese
valor de tensión se comporta anelásticamente (Canet, 2012):
20
Figura Nro. 3.3 – Ensayo de compresión en el hormigón. (Canet, 2012)
Por otro lado, el acero sometido a tracción axial pura presenta una curva en la cual se
observa tres zonas, la primera claramente se trata de un comportamiento elástico
delimitada hasta un valor de tensión determinado, luego se observa una zona de
comportamiento plástico con deformaciones sin incremento de tensión, y por último se
visualiza una zona donde se produce un endurecimiento por tensión hasta cierto valor de
deformación y luego un ablandamiento hasta llegar a la rotura (Canet, 2012):
Figura Nro. 3.4 – Ensayo de tracción en el acero. (Canet, 2012)
3.7 Modelo constitutivo del hormigón
El comportamiento de un elemento estructural de concreto puede describirse a partir de
un caso específico como es en el caso de un voladizo sometido a una carga vertical P en
el su extremo la cual varia desde un valor nulo hasta que el elemento estructural colapsa
(Gonzales Cuevas & Robles Fernandez, 2005). En ese caso se puede observar tres fases
de comportamiento en un elemento estructural sometido a este tipo de cargas (Lazzari,
2015).
21
Figura Nro. 3.5 – Diagrama carga-desplazamiento típico del concreto estructural. (Lazzari, 2015)
La primera fase o Estadio I describe un comportamiento elástico lineal. La Segunda fase
o Estadio II presenta se caracteriza por la fisuración del hormigón y en la última etapa o
Estadio III ocurre la plastificación de los materiales (Lazzari, 2015).
Una característica importante del hormigón es su baja resistencia a la tracción en relación
a su resistencia a compresión. Es por eso que se necesitan dos modelos constitutivos
diferentes para replicar su comportamiento en compresión y tracción.
3.7.1 Modelo constitutivo del hormigón en compresión
Para elaborar el modelo constitutivo en compresión se requiere un modelo elastoplástico
con endurecimiento el cual permita una réplica eficiente del comportamiento no lineal de
este material. Este se compone de tres leyes o criterios: Un criterio de ruptura, un criterio
de plastificación y una regla de endurecimiento (Tamayo, 2011).
Criterio de ruptura: El criterio de ruptura se basa en una función que depende del estado
de tensiones. Así se conforma una superficie que se puede encontrar a través de ensayos
triaxiales (Lamas, 2019) y representada en un espacio tridimensional de la siguiente
manera:
22
Figura Nro. 3.6 – Superficie de rotura del hormigón en el espacio tridimensional. (Lamas, 2019)
Este criterio de rotura propuesto por (Chen y Han, 2007) depende de las invariantes del
tensor de tensiones, supone al hormigón como un material isotrópico y la superficie puede
ser construida a partir de 3 meridianos parabólicos (Lazzari, 2015).
Existen otros varios criterios de rotura sugeridos por varios autores, por ejemplo (Lamas,
2019) y (Lazzari, 2015) utilizan el criterio propuesto por (Ottosen, 1977) y también
recomendado por Código Modelo fib 2010 (2010), el cual se basa igualmente en una
función que depende de las invariantes:
𝑓(𝐼1 , 𝐽2 , 𝐽3 ) = 0
(3.2)
𝐼1
√𝐽2
+𝛽
−1=0
𝑓𝑐𝑚
𝑓𝑐𝑚
(3.3)
1
𝜆 = 𝑐1 cos [ arccos(𝑐2 cos 3𝜃)]
3
(3.4)
𝛼
𝐽2
𝑓𝑐𝑚
2
+𝜆
cos 3𝜃 =
3√3 𝐽3
2 𝐽2 2/3
(3.5)
Donde 𝐼1 es el Primer invariante del tensor de tensiones; 𝐽2 es el Segundo invariante del
tensor desviador de tensiones; 𝐽3 es el Tercer invariante del tensor desviador de tensiones
𝑓𝑐𝑚 es la resistencia media de compresión del hormigón; 𝛼, 𝛽, 𝑐1 y 𝑐2 son parámetros del
material; 𝜆 es el coeficiente que depende del ángulo de similaridad del hormigón y 𝜃 es
el ángulo de similaridad del hormigón (Lazzari, 2015).
Criterio de plastificación: El criterio de plastificación se sigue de la suposición del
criterio de ruptura al considerar al hormigón como un material isotrópico, y también
23
asumiendo que la superficie de plastificación posee la misma forma que la superficie de
ruptura. Reemplazando 𝑓𝑐𝑚 por la tensión efectiva de fluencia 𝜎𝑒𝑓 en la ecuación 3.3 se
tiene (Lazzari, 2015):
2
𝜎𝑒𝑓 =
𝜆√𝐽2 + 𝛽𝐼1 + √(𝜆√𝐽2 + 𝛽𝐼1 ) + 4𝑎𝐽2
(3.6)
2
Figura Nro. 3.7 – Superficie de plastificación y ruptura en estado biaxial. (Lazzari, 2015)
Criterio de endurecimiento: La regla de endurecimiento se obtiene a través del
diagrama tensión-deformación en un ensayo uniaxial:
Figura Nro. 3.8 – Superficie de plastificación y ruptura en estado biaxial. Código Modelo fib 2010
(2010)
24
Los valores de esta curva están representados por esta ecuación:
𝜎𝑐
𝑘𝜂 − 𝜂 2
= −(
) 𝑝𝑎𝑟𝑎 |𝜀𝑐 | < |𝜀𝑐,𝑙𝑖𝑚 |
𝑓𝑐𝑚
1 + (𝑘 − 2)𝜂
(3.7)
𝜂=
𝜀𝑐
𝜀𝑐1
(3.8)
𝑘=
𝐸𝑐𝑖
𝐸𝑐1
(3.9)
Donde 𝜀𝑐 es la deformación de compresión; 𝜀𝑐1 es la deformación máxima de compresión;
𝜀𝑐,𝑙𝑖𝑚 es la deformación ultima de compresión; 𝐸𝑐𝑖 es el módulo de elasticidad del
concreto; 𝐸𝑐1 es el módulo secante correspondiente a la máxima tensión de compresión;
𝑘 es el numero plástico (Lazzari, 2015).
3.7.1 Modelo constitutivo del hormigón en tracción
Debido a que el hormigón en tracción tiene un comportamiento elástico lineal con una
pérdida de rigidez a partir de su fisuración (Lazzari, 2015), se puede usar un criterio de
tensión máxima que consiste en que al superar la tensión principal este valor límite en un
punto de análisis, el hormigón se fisura y cambia sus propiedades mecánicas. En el caso
del hormigón este pasa de ser un material isótropo a ser un material ortótropo (Tamayo,
2011).
Los primeros análisis numéricos de elementos de hormigón estructural suponían su
comportamiento como elástico-frágil, es decir que, una vez alcanzada la tensión máxima
resistente a tracción, este perdía toda su rigidez. Sin embargo, más adelante se observó
que el hormigón resistía ciertas tensiones después de haberse fisurado (Lazzari, 2015).
Este fenómeno conocido como “tension stiffening” era ignorado debido a que no afectaba
significativamente la resistencia última de los elementos de hormigón armado. Sin
embargo, desde los años 70, se realizaron investigaciones en el análisis de las curvas
carga-deflexión de los elementos sometidos a flexión y tracción provocando que desde
los 80 se incluyan criterios en normativas, para considerar este fenómeno al evaluar la
capacidad de servicio de las estructuras de concreto armado (Stramandinoli & La Rovere,
2008). Este fenómeno se da por la interacción entre el hormigón y el acero: En una fisura
el esfuerzo de tracción es soportado por el acero de refuerzo, sin embargo, una parte de
este esfuerzo se transfiere por la adherencia entre estos dos materiales al hormigón
circundante que no se ha fisurado llegando a soportar tensiones (Allam et al., 2013). Estas
25
tensiones pueden contribuir significativamente a la rigidez global de la estructura
(Lazzari, 2015).
Algunos investigadores simulan este comportamiento post-fisura con un modelo
constitutivo bilineal simple como (Haach, 2005) expuesto en la siguiente figura:
Figura Nro. 3.9 – Modelo para el “endurecimiento por tensión”. (Haach, 2005)
Otros autores utilizan un modelo bilineal discontinuo como proponen (Ng et al., 2010) en
su investigación acerca del “endurecimiento por tensión” en vigas de concreto:
Figura Nro. 3.10 – Modelo para el “endurecimiento por tensión”. (Ng et al., 2010)
26
3.8 Modelo constitutivo del acero
En elementos estructurales de hormigón armado el modelado de elementos de acero
adopta el comportamiento elástico perfecto tanto para tracción y compresión. Además
debido a que los elementos de acero son barras, estos suportan cargas esencialmente
uniaxiales (Tamayo, 2011). Sin embargo, la elección del modelo puede variar
dependiendo del material y la naturaleza de la investigación. Por ejemplo según (Lazzari,
2015) para los aceros con un punto de fluencia bien definido es más adecuado usar un
modelo bilineal con plasticidad perfecta, mientras que para aceros endurecidos al frio es
mejor usar un modelo bilineal plástico con endurecimiento. Y en otro casos de aceros
convencionales o pretensados como sugiere (Tamayo, 2011) se puede usar modelos
trilineales y bilineales. Como se puede ver en las figuras:
Figura Nro. 3.11 – Modelo elastoplástico perfecto y con endurecimiento. (Lazzari, 2015)
Figura Nro. 3.12 – Modelo elastoplástico: a) trilineal; b) bilineal. (Tamayo, 2011)
27
IV. DISEÑO DEL CÓDIGO
4.1 Método de Elementos Finitos
El método de los elementos finitos es un procedimiento para la solución numérica de las
ecuaciones que gobiernan los problemas y fenómenos de la naturaleza. Por lo general, el
comportamiento de estos fenómenos se describirse mediante ecuaciones diferenciales.
Por esta razón, el MEF se entiende como una técnica numérica para resolver ecuaciones
diferenciales parciales o integrales. Con este método se puede obtener la evolución en el
espacio y/o tiempo de una o más variables que representan el comportamiento de un
sistema físico (Oñate, 2009).
Un elemento finito puede definirse como una pequeña porción de un medio continuo que
en el caso de esta investigación es la unión viga-columna. El objetivo de discretizar en
elementos finitos este medio continuo es el de componer o ensamblar la geometría de este
medio con una colección de dominios no superpuestos y de geometría simple, el cual
permita representar el sistema físico cuya solución previa a la discretización es muy
compleja o no se puede conocer (Oñate, 2009). Los elementos finitos pueden ser
triángulos y cuadriláteros en dos dimensiones o tetraedros y hexaedros en tres
dimensiones. La variación de los desplazamientos en una estructura por ejemplo se
expresa dentro de cada elemento por medio de una expresión polinomial con el objetivo
de reducir el problema analítico a “varios” con parámetros conocidos y simples. (Reddy,
2006).
El método de los elementos finitos necesita de un modelo conceptual del problema, para
poder ser aplicado y luego este modelo conceptual debe convertirse en un modelo
matemático que recoja la descripción geométrica de la estructura, las expresiones
matemáticas de las leyes que gobierna el comportamiento de la estructura (en este caso
las ecuaciones de equilibrio y las condiciones de borde). De esta manera se construye un
modelo matemático acorde con la precisión o simplicidad que se necesite (Oñate, 2009).
Para el problema que se trata en este documento el modelo matemático es el estado plano
de tensiones en 2D.
En todo caso, el procedimiento de conversión de un problema real a un modelo
computacional según (Oñate, 2009) debe seguir el siguiente esquema:
28
Figura Nro. 4.1 – Procedimiento de conversión del problema real al modelo computacional. (Oñate,
2009)
4.1 Estado Plano de Tensiones
Para abordar el modelo matemático, es necesario describirlo mediante expresiones
matemáticas. El modelo matemático que describe el comportamiento de la estructura que
se pretende resolver, se puede construir de la siguiente manera:
Si se considera un cuerpo sometido a la acción de un sistema de fuerzas en equilibrio. Se
puede analizar un elemento diferencial de volumen y forma hexaédrica y de dimensiones
(𝑑𝑥, 𝑑𝑦, 𝑑𝑧) con un vértice en un punto 𝑂 y con caras paralelas a un eje cartesiano. Sobre
cada cara del elemento diferencial actúa una tensión diferente que se puede descomponer
según los ejes de referencia. 𝜎 serán los componentes del vector tensión normal a cada
cara y 𝜏 los componentes tangenciales. Las componentes tangenciales se pueden
descomponer a su vez en las direcciones de los dos ejes paralelos a la cara (Cervera,
2015).
29
Figura Nro. 4.2 – Estado tensional de un elemento diferencial de volumen. (Cervera, 2015)
Este estado tensional puede describirse mediante un tensor de tensiones:
𝜎𝑥
𝜏
𝜎 = [ 𝑦𝑥
𝜏𝑧𝑥
𝜏𝑥𝑦
𝜎𝑦
𝜏𝑧𝑦
𝜏𝑥𝑧
𝜏𝑦𝑧 ]
𝜎𝑧
(4.1)
Sin embargo, cuando las componentes tensionales sobre planos normales al eje 𝑧, 𝜎𝑧 , 𝜏𝑧𝑥
y 𝜏𝑧𝑦 , son nulas, las tensiones están siempre contenidas en el plano 𝑥𝑦, y entonces se dice
que se tiene un estado plano de tensiones (Cervera, 2015) .El estado tensional queda
completamente definido por las componentes 𝜎𝑥 ; 𝜎𝑦 ; 𝜏𝑥𝑦 . Esta situación puede describir
adecuadamente cuerpos cuyas dos de sus dimensiones son considerablemente más
grandes que la dimensión restante y sobre este cuerpo actúan cargas únicamente
contenidas en el plano de estas dos dimensiones. Los problemas de estructuras que se
pueden incluir en esta categoría son los de análisis de vigas de gran peralte, placas con
cargas en su plano medio, presas de contrafuertes, etc. (Morales, 2013). Luego el tensor
de tensiones quedaría de la siguiente manera:
𝜎𝑥
𝜎 = [𝜏
𝑦𝑥
𝜎𝑥
𝜏𝑥𝑦
𝜎
𝜎𝑦 ] = { 𝑦 }
𝜏𝑥𝑦
(4.2)
4.1.1 Ecuaciones de equilibrio interno (Ecuaciones de Cauchy)
Ya en el estado plano bidimensional todavía se distingue con una prima las tensiones que
actúan sobre los lados que no forman los ejes coordenados observados en la anterior
30
figura. Las relaciones que existen entre las tensiones, por ejemplo en dirección
perpendicular de 𝑥, correspondientes a lados paralelos son establecidas por continuidad
del campo de tensiones (Cervera, 2015):
𝜎𝑥′ = 𝜎𝑥 +
′
𝜏𝑥𝑦
= 𝜏𝑥𝑦 +
𝜕𝜎𝑥
𝑑𝑥
𝜕𝑥
(4.3)
𝜕𝜏𝑥𝑦
𝑑𝑥
𝜕𝑥
(4.4)
Ocurre lo mismo para las tensiones que son perpendiculares al eje 𝑦.
Figura Nro. 4.3 – Estado plano de tensiones. (Cervera, 2015)
Luego al aplicar condiciones de equilibrio de fuerzas y de momento en 𝑂 al sistema
diferencial y llamando 𝑏 a las fuerzas por unidad de superficie, se obtienen las ecuaciones
de equilibrio interno o ecuaciones de Cauchy:
𝜕𝜎𝑥 𝜕𝜏𝑦𝑥
+
+ 𝑏𝑥 = 0
𝜕𝑥
𝜕𝑦
(4.5)
𝜕𝜎𝑦 𝜕𝜏𝑥𝑦
+
+ 𝑏𝑦 = 0
𝜕𝑦
𝜕𝑥
(4.6)
𝜏𝑥𝑦 = 𝜏𝑦𝑥
(4.7)
4.2 Elasticidad Bidimensional
Para poder aplicar la teoría de elasticidad al problema bidimensional, es necesario aparte
del campo de tensiones, definir un campo de desplazamientos, un campo de
deformaciones y generalizar la Ley de Hooke para poder relacionar deformación y tensión
(Morales, 2013).
31
4.2.1 Campo de desplazamientos
El campo de desplazamientos de un sólido deformable se contiene únicamente en los dos
ejes principales en el caso del estado plano de tensión, por lo tanto, se puede expresar de
la siguiente manera:
𝑢(𝑥, 𝑦)
𝜙(𝑥, 𝑦) = {
𝑣(𝑥, 𝑦)
(4.8)
4.2.2 Campo de deformaciones
Del campo de desplazamiento se deduce la expresión para el campo de deformaciones
mediante la teoría de la elasticidad (Timoshenko & Goodier, 1951):
𝜀𝑥
𝜀
𝜀={ 𝑦}=
𝛾𝑥𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑥
= 0
𝜕𝑢 𝜕𝑣
+
{𝜕𝑦 𝜕𝑥}
𝜕𝑢
[𝜕𝑦
0
𝜕𝑣 𝑢
{ }
𝜕𝑦 𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑥]
(4.9)
4.2.3 Relación Tensión-Deformación
Para establecer la relación entre tensiones y deformaciones se utilizará la ley de Hooke,
por tanto, se establece una relación matricial de esta manera:
{𝜎} = [𝐷] {𝜀}
(4.10)
Donde 𝐷 es la matriz constitutiva o la matriz de constantes elásticas (Timoshenko &
Goodier, 1951)
1
𝐸
𝐷=
[𝜈
1 − 𝜈2 0
𝜈
1−𝜈
0
0
0
]
(1 − 2𝜈)/2
(4.11)
En esta matriz está el módulo de elasticidad 𝐸 y el módulo de Poisson 𝜈 (Smith, 2014).
4.2.3 Principio de trabajos virtuales
La expresión integral de equilibrio en elasticidad bidimensional puede obtenerse haciendo
uso del Principio de Trabajos Virtuales así, teniendo en cuenta las tensiones y
deformaciones que contribuyen al trabajo virtual de la estructura (Morales, 2013), la
expresión del P.T.V. en forma matricial puede escribirse como:
∬ 𝛿𝜀 𝑇 𝜎 𝑡 𝑑𝐴 = ∬ 𝛿𝑢𝑇 𝑏 𝑡 𝑑𝐴 + ∫𝛿𝑢𝑇 𝑐 𝑡 𝑑𝐴 + ∑ 𝛿𝑢𝑖𝑇 𝑞𝑖
𝐴
𝐴
𝑙
𝑖
(4.12)
Donde:
32
𝑇
𝑇
𝛿𝑢 = [𝛿𝑢, 𝛿𝑣]𝑇
𝛿𝜀 = [𝛿𝜀𝑥 , 𝛿𝜀𝑦 , 𝛿𝛾𝑥𝑦 ]
𝑇
𝛿𝑢𝑖 = [𝛿𝑢𝑖 , 𝛿𝜈𝑖 ]𝑇
𝑐 = [𝑐𝑥 , 𝑐𝑦 ]
𝑏 = [𝑏𝑥 , 𝑏𝑦 ]
𝑞𝑖 = [𝑈𝑖 , 𝑉𝑖 ]𝑇
La primera parte de la ecuación representa el trabajo que el vector de esfuerzos 𝜎 realiza
sobre las deformaciones virtuales 𝛿𝜀. A la derecha de la igualdad están las fuerzas
repartidas por unidad de volumen 𝑏, fuerzas repartidas sobre el contorno 𝑐 y finalmente
las fuerzas puntuales 𝑞𝑖 sobre los desplazamientos virtuales 𝛿𝑢. 𝐴 y 𝑙 son el area y el
contorno de la sección transversal del sólido y 𝑡 su espesor. (Morales, 2013)
4.2.4 Discretización del campo de desplazamiento
Para aplicar el método de los elementos finitos es necesario discretizar los campos de
variables establecidos hasta ahora. Suponiendo un elemento plano cuyos nodos definen
su configuración geométrica, es posible expresar los desplazamientos de sus nodos como:
𝑢(𝑥, 𝑦)
𝜙(𝑥, 𝑦) = {
= ∑ 𝑁𝑖 𝜙𝑖
𝑣(𝑥, 𝑦)
𝑖
(4.13)
Donde 𝜙 es el campo de desplazamientos; 𝜙𝑖 representa los desplazamientos de cada
nodo y 𝑁𝑖 son las funciones de interpolación o de forma, las cuales para el tipo de
problema analizado se expresan como polinomios (Reddy, 2006). Estas funciones deben
cumplir que deben valer 1 en su nodo asociado y 0 en el resto de nodos (Hutton, 2004).
4.2.5 Discretización del campo de deformaciones y tensiones
Partiendo de la ecuación 4.9 se obtiene:
𝜀𝑥
𝜀 = { 𝜀𝑦 } =
𝛾𝑥𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝜕𝑢 𝜕𝑣
+
{𝜕𝑦 𝜕𝑥}
𝜕𝑁𝑖
𝜕𝑥
=
0
𝜕𝑁𝑖
[ 𝜕𝑦
𝜀 = [𝐵]{𝜙}
0
𝑢𝑖
𝜕𝑁𝑖
… [𝑣𝑖 ]
𝜕𝑦
⋮
𝜕𝑁𝑖
𝜕𝑥 ]
(4.14)
(4.15)
Donde:
33
𝜕𝑁𝑖
𝜕𝑥
0
𝐵𝑖 =
𝜕𝑁𝑖
[ 𝜕𝑦
0
𝜕𝑁𝑖
𝜕𝑦
𝜕𝑁𝑖
𝜕𝑥 ]
(4.16)
Para la discretización del campo de tensiones bastará con expresar la ecuación 4.10 en
función de la ecuación 4.15 (Morales, 2013).
{𝜎} = [𝐷][𝐵]{𝜙}
(4.17)
4.2.5 Ecuación de equilibrio para el elemento finito
Aplicando el Principio de Trabajos Virtuales a un elemento finito deformable se puede
obtener su ecuación de equilibrio de la siguiente forma con 𝜙𝑖 como los desplazamientos
virtuales de cada nodo (Morales, 2013):
∬ 𝛿𝜀 𝑇 𝜎 𝑡 𝑑𝐴 = ∬ 𝛿𝑢𝑇 𝑏 𝑡 𝑑𝐴 + ∫𝛿𝑢𝑇 𝑐 𝑡 𝑑𝐴 + ∑ 𝛿𝜙𝑖𝑇 𝑞𝑖
𝐴
𝐴
𝑙
𝑖
∬ 𝛿𝜀 𝑇 𝜎 𝑡 𝑑𝐴 − ∬ 𝛿𝑢𝑇 𝑏 𝑡 𝑑𝐴 − ∫𝛿𝑢𝑇 𝑐 𝑡 𝑑𝐴 = [𝛿𝜙]𝑇 𝑞
𝐴
𝐴
𝑙
(4.18)
(4.19)
Reescribiendo con:
𝛿𝑢𝑇 = [𝛿𝜙]𝑇 𝑁 𝑇 ;
𝛿𝜀 𝑇 = [𝛿𝜙]𝑇 𝐵𝑇
[𝛿𝜙]𝑇 [∬ 𝐵𝑇 𝜎 𝑡 𝑑𝐴 − ∬ 𝑁 𝑇 𝑏 𝑡 𝑑𝐴 − ∫𝑁 𝑇 𝑐 𝑡 𝑑𝐴] = [𝛿𝜙]𝑇 𝑞
𝐴
𝐴
(4.20)
(4.21)
𝑙
Teniendo en cuenta que los desplazamientos virtuales son arbitrarios y reemplazando la
ecuación (4.17) en el primer término (Morales, 2013), se tiene:
∬ 𝐵𝑇 𝐷 𝐵 𝑡 𝑑𝐴 {𝜙} − ∬ 𝑁 𝑇 𝑏 𝑡 𝑑𝐴 − ∫𝑁 𝑇 𝑐 𝑡 𝑑𝐴 = 𝑞
𝐴
𝐴
∬ 𝐵𝑇 𝐷 𝐵 𝑡 𝑑𝐴 = 𝐾
𝐴
∬ 𝑁 𝑇 𝑏 𝑡 𝑑𝐴 = 𝑓𝑏
𝐴
∬ 𝑁 𝑇 𝑐 𝑡 𝑑𝐴 = 𝑓𝑐
𝑙
(4.22)
(4.22)
(4.22)
(4.22)
𝐴
Donde 𝐾 es la matriz de rigidez del elemento, 𝑓𝑏 son las fuerzas másicas del y 𝑓𝑐 son las
fuerzas en la superficie o contorno (Oñate, 2009). Escribiendo las fuerzas másicas y de
34
contorno como una sola, la ecuación final del elemento puede resumirse de la siguiente
forma:
𝐾 𝑒 𝜙 𝑒 = 𝑓 𝑒 + 𝑞𝑒
(4.23)
Y para una estructura global donde las rigideces de cada elemento aportan a la rigidez de
la estructura global, se puede construir una matriz de rigidez global mediante ensamblaje
y así una ecuación matricial global y un vector de desplazamientos global 𝑢 (Smith,
2014):
[𝐾][𝑢] = [𝑓]
(4.24)
4.3 Formulación del elemento cuadrilátero de 4 nodos
Para el modelado de los elementos finitos de hormigón se utilizarán elementos
cuadriláteros. Estos derivan del elemento rectangular simple, los cuales son adecuados
para modelar geometrías regulares (Hutton, 2004). Este elemento plano cuanta con 4
nodos y dos grados de libertad en cada uno y en su formulación se usa por convención el
conteo de nodos en sentido antihorario (Hutton, 2004). En principio se supondrá que los
lados del elemento son paralelos a los ejes cartesianos (Figura Nro.4.2):
Figura Nro. 4.2 – Elemento Rectangular de 4 nodos en coordenadas globales. (Hutton, 2004)
Ya que existen 4 nodos, un polinomio de 4 términos será el que describa el campo de
desplazamientos de una forma adecuada (Hutton, 2004):
𝜙(𝑥, 𝑦) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑦 + 𝑎3 𝑥𝑦
(4.25)
Y expresada para cada nodo queda de la siguiente forma:
𝜙1
1 𝑥1
𝜙2
1 𝑥2
[ ]=[
1 𝑥3
𝜙3
1 𝑥4
𝜙4
𝑦1
𝑦2
𝑦3
𝑦4
𝑥1 𝑦1
𝑥2 𝑦2
𝑥3 𝑦3 ]
𝑥4 𝑦4
𝑎0
𝑎1
[𝑎 ]
2
𝑎3
(4.26)
35
Al despejar los coeficientes que multiplican la matriz, las funciones de forma quedan
expresadas de forma algebraicamente compleja y por conveniencia se traslada el sistema
a coordenadas normalizadas o naturales (Hutton, 2004)
𝑥 − 𝑥̅
𝑦 − 𝑦̅
(4.27)
;
𝑠=
𝑎
𝑏
Donde 2𝑎 y 2𝑏 son las dimensiones del rectángulo y su centroide esta dado por:
𝑟=
𝑥̅ =
𝑥1 − 𝑥2
;
2
𝑦̅ =
𝑦1 − 𝑦2
2
(4.28)
Figura Nro. 4.3 – a) Traslación a coordenadas naturales; b) Coordenadas naturales (Hutton, 2004)
Aplicando las condiciones que deben tener las funciones de forma para cada nodo se
obtiene:
1
𝑁1 (𝑟, 𝑠) = (1 − 𝑟)(1 − 𝑠)
4
1
𝑁2 (𝑟, 𝑠) = (1 + 𝑟)(1 − 𝑠)
4
1
𝑁3 (𝑟, 𝑠) = (1 + 𝑟)(1 + 𝑠)
4
(4.29)
1
𝑁4 (𝑟, 𝑠) = (1 − 𝑟)(1 + 𝑠)
4
𝜙(𝑥, 𝑦) = 𝜙(𝑟, 𝑠) = 𝑁1 (𝑟, 𝑠) 𝜙1 + 𝑁2 (𝑟, 𝑠) 𝜙2 + 𝑁3 (𝑟, 𝑠) 𝜙3 + 𝑁4 (𝑟, 𝑠) 𝜙4
(4.30)
Este elemento finito es adecuado para geometrías regulares como ya se estableció, sin
embargo, cuando se presentan geometrías irregulares este elemento necesita adaptar su
geometría para poder ser más versátil al momento de discretizar un espacio geométrico
36
convirtiéndose en un elemento cuadrilátero no rectangular (Hutton, 2004) tal como se
muestra en la figura Nro. 4.4:
Figura Nro. 4.4 – a) Dominio a ser modelado; b) Elementos triangulares; c) Elementos
rectangulares; d) Elementos cuadriláteros y rectangulares. (Hutton, 2004)
Este último elemento ya no tiene sus lados rectos, sin embargo, deviene del elemento
rectangular. La formulación isoparamétrica descrita a continuación generaliza a ambos
elementos. Para este caso la geometría esta descrita de la siguiente manera:
4
𝑥 = ∑ 𝐺𝑖 (𝑥, 𝑦)𝑥𝑖
(4.31)
𝑖=1
4
𝑦 = ∑ 𝐺𝑖 (𝑥, 𝑦)𝑦𝑖
(4.32)
𝑖=1
Donde 𝐺𝑖 son las funciones geométricas de interpolación y están asociadas a cada punto
del cuadrilátero. Estas funciones también deben cumplir las condiciones de una función
de forma las cuales son que deben valer 1 en su nodo asociado y 0 en el resto de nodos.
Estas condiciones las cumple también las funciones de forma del elemento rectangular
por lo que se las puede usar como las funciones geométricas del elemento cuadrilátero.
Para esto simplemente se hace corresponder las coordenadas (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ) del cuadrilátero con
las coordenadas naturales (𝑟, 𝑠) del elemento rectangular (Hutton, 2004):
37
Figura Nro. 4.5 – “Mapeo” de un elemento rectangular padre a un elemento cuadrilátero descrito
por (Hutton, 2004)
Este proceso también es necesario y conveniente desde el punto de vista computacional,
ya que para computar la matriz de rigidez del elemento se debe hacer uso de integración
numérica (Smith, 2014). De esa forma las funciones geométricas quedarían de la siguiente
forma:
4
𝑥 = ∑ 𝑁𝑖 (𝑟, 𝑠)𝑥𝑖
(4.33)
𝑖=1
4
𝑦 = ∑ 𝑁𝑖 (𝑟, 𝑠)𝑦𝑖
(4.34)
𝑖=1
Debido a que las funciones de forma describen la geometría y el campo de desplazamiento
a la vez este es llamado elemento isoparamétrico (Ergatoudis et al., 1968).
Resumiendo, la ecuación 4.30 ahora en función de (𝑟, 𝑠):
4
𝜙(𝑥, 𝑦) = 𝜙(𝑟, 𝑠) = ∑ 𝑁𝑖 (𝑟, 𝑠) 𝜙𝑖
(4.35)
𝑖=1
El siguiente paso es encontrar las matrices características del elemento y poder hallar
expresiones para 𝐾 y 𝐵; y para esto se requiere derivar varias veces las funciones de
interpolación. Sin embargo, estas están en función de (𝑟, 𝑠) y su expresión
correspondiente seria:
𝜕𝜙 𝜕𝑁𝑖
𝜕𝑁𝑖 𝜕𝑟 𝜕𝑁𝑖 𝜕𝑠
=
=
+
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑟 𝜕𝑥 𝜕𝑠 𝜕𝑥
(4.36)
𝜕𝜙 𝜕𝑁𝑖
𝜕𝑁𝑖 𝜕𝑟 𝜕𝑁𝑖 𝜕𝑠
=
=
+
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑟 𝜕𝑦 𝜕𝑠 𝜕𝑦
(4.37)
38
Debido a que no se conoce las derivadas parciales de (𝑟, 𝑠) respecto de (𝑥, 𝑦), debemos
escribir las derivadas de otra forma (Hutton, 2004)
𝜕𝜙 𝜕𝑁𝑖
𝜕𝑁𝑖 𝜕𝑥 𝜕𝑁𝑖 𝜕𝑦
=
=
+
𝜕𝑟
𝜕𝑟
𝜕𝑥 𝜕𝑟 𝜕𝑦 𝜕𝑟
(4.38)
𝜕𝜙 𝜕𝑁𝑖
𝜕𝑁𝑖 𝜕𝑥 𝜕𝑁𝑖 𝜕𝑦
=
=
+
𝜕𝑠
𝜕𝑠
𝜕𝑥 𝜕𝑠 𝜕𝑦 𝜕𝑠
(4.39)
Estas ecuaciones expresadas en forma matricial son:
𝜕𝑁𝑖
𝜕𝑥
𝜕𝑟
𝜕𝑟
[𝜕𝑁
] = [𝜕𝑥
𝑖
𝜕𝑠
𝜕𝑠
𝜕𝑦
𝜕𝑁𝑖
𝜕𝑟
]
𝜕𝑦
[𝜕𝑁𝑖 ]
𝜕𝑠
𝜕𝑦
𝜕𝑥
(4.40)
En este caso se conoce las derivadas de las funciones de forma respecto de (𝑟, 𝑠) y
también conocemos la matriz 4 x 4 por las ecuaciones 4.33 y 4.34 la cual es llamada
matriz Jacobiana (Hutton, 2004):
4
𝜕𝑥
[𝐽] =
𝜕𝑦
∑
𝜕𝑟
[𝜕𝑥
𝜕𝑟
]
𝜕𝑦
𝜕𝑠
𝜕𝑠
𝜕𝑁𝑖
𝑖=1 𝜕𝑟
4
𝜕𝑁𝑖
=
∑
[
𝑖=1 𝜕𝑠
4
𝑥𝑖
∑
𝑥𝑖
∑
𝜕𝑁𝑖
𝑖=1 𝜕𝑟
4
𝜕𝑁𝑖
𝑖=1 𝜕𝑠
𝑦𝑖
𝑦𝑖
(4.41)
]
Despejando el vector desconocido de la ecuación 4.40 la expresión queda:
𝜕𝑁𝑖
𝜕𝑁𝑖
𝜕𝑥
[𝜕𝑁𝑖 ]
=
𝜕𝑦
[𝐽]−1
𝜕𝑟
[𝜕𝑁
]
(4.42)
𝑖
𝜕𝑠
Ahora se conocen las derivadas de las funciones de forma en función de (𝑟, 𝑠) se puede
construirse la matriz 𝐵 mediante la ecuación 4.16 y a su vez la matriz 𝐾 por el principio
de trabajos virtuales (Ecuación 4.22) (Smith, 2014):
[𝐾] = 𝑡 ∬ [𝐵]𝑇 [𝐷] [𝐵] 𝑑𝐴
𝐴
(4.43)
Sin embargo, debido a que 𝐵 está en términos de las coordenadas naturales debemos
transformar los límites de la integral, las diferenciales esto implica usar el determinante
de la matriz jacobiana para la integración en cambio de variable:
1
[𝐾] = 𝑡 ∬ [𝐵]𝑇 [𝐷] [𝐵] |𝐽| 𝑑𝑟 𝑑𝑠
−1
(4.44)
39
Para eficiencia computacional, esto debe realizarse utilizando integración numérica.
Como las funciones de forma y sus derivadas son polinomios. Se utiliza la cuadratura de
Gauss (Smith, 2014) :
𝑛
𝑛
𝑇
[𝐾] = 𝑡 ∑ ∑ 𝑤𝑖 𝑤𝑗 [𝐵(𝑟𝑖 , 𝑠𝑗 )] [𝐷] [𝐵(𝑟𝑖 , 𝑠𝑗 )] |𝐽(𝑟𝑖 , 𝑠𝑗 )|
(4.45)
𝑖=1 𝑗=1
𝑛𝑖𝑝
𝑇
[𝐾] = 𝑡 ∑ 𝑊𝑖 [𝐵(𝑟𝑖 , 𝑠𝑗 )] [𝐷] [𝐵(𝑟𝑖 , 𝑠𝑗 )] |𝐽(𝑟𝑖 , 𝑠𝑗 )|
(4.46)
𝑖=1
2
Donde 𝑛𝑖𝑝 = 𝑛 es el número total de puntos de integración; 𝑊𝑖 = 𝑤𝑖 𝑤𝑗 son los
coeficientes de peso. Para el caso de este problema, una aproximación de 2 puntos de
integración es suficiente para hallar el valor exacto de la integral (Smith, 2014).
Es importante recalcar que la elección de los puntos de Gauss dependerá del elemento
finito escogido y el grado que tendrá sus polinomios de interpolación. Un elemento finito
con más nodos necesitará polinomios de grado superior y por ende más puntos de Gauss
para la integración numérica exacta. La elección del elemento finito depende de la
naturaleza del problema a resolver y del criterio de quien este aplicando MEF con tal de
conseguir mayor precisión o mayor eficiencia computacional (Irons, 1966).
4.4 Formulación del elemento barra de 2 nodos
El elemento finito destinado para las barras de acero es el elemento “Truss” o cercha, el
cual sigue la formulación del elemento barra. Para la descripción de este elemento se
adopta la teoría de elasticidad y ecuaciones de equilibrio al igual que para el elemento
bidimensional previamente descrito. Su descripción matemática también obedece a una
discretización de los campos de desplazamiento, deformación y tensión (Hutton, 2004).
hace una breve lista de características de este elemento:
•
El elemento barra/cercha es totalmente rectilíneo.
•
El material obedece la Ley de Hooke.
•
Solo se pueden aplicar fuerzas en los extremos de la barra.
•
La barra/cercha solo soporta cargas axiales a su eje longitudinal.
El campo de desplazamientos viene dado por:
𝑢(𝑥) = 𝑁1 (𝑥) 𝑢1 + 𝑁2 (𝑥) 𝑢2
(4.45)
40
Donde 𝑁𝑖 son las funciones de interpolación o de forma y 𝑢𝑖 son los desplazamientos de
cada nodo
Figura Nro. 4.6 – Elemento barra/cercha. (Hutton, 2004)
Las funciones de forma deben ser polinomios que cumplan las condiciones nodales
previamente explicadas, los polinomios que cumplen esta condición son:
𝑁1 (𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥
𝑁2 (𝑥) = 𝑏0 + 𝑏1 𝑥
(4.46)
(4.47)
Los valores de los coeficientes según las condiciones de contorno son 𝑎0 = 1; 𝑏0 = 0 y
𝑎1 = −(1/𝐿); 𝑏1 = 𝑥/𝐿 , después las funciones de forma quedan:
𝑁1 (𝑥) = 1 − 𝑥/𝐿
𝑁2 (𝑥) = 𝑥/𝐿
(4.48)
(4.49)
La rigidez que posee un objeto que solo sufre deformaciones axiales es:
𝐴𝐸
(4.50)
𝐿
Donde 𝐴 es el área transversal del elemento; 𝐸 es el modulo de elasticidad; y 𝐿 es la
𝑘=
longitud del elemento, mientras que las deformaciones y tensiones son descritas por las
ecuaciones 4.51 y 4.52 cuya base, de nuevo, es la teoría de la elasticidad (Timoshenko &
Goodier, 1951):
𝑑𝑢 𝑢2 − 𝑢1
(4.51)
=
𝑑𝑥
𝐿
𝑢2 − 𝑢1
(4.52)
𝜎𝑥 = 𝐸𝜀𝑥 = 𝐸
𝐿
A partir de la ecuación 4.52 se puede asociar una fuerza axial al desplazamiento de cada
𝜀=
nodo:
𝐴𝐸
(𝑢2 − 𝑢1 )
𝑃 = 𝜎𝑥 𝐴 =
𝐿
𝐴𝐸
(𝑢2 − 𝑢1 )
𝑓1 = −
𝐿
(4.53)
(4.54)
41
𝐴𝐸
(𝑢2 − 𝑢1 )
𝐿
Con estas ecuaciones se puede construir la ecuación de equilibrio del elemento
𝑓2 =
(4.55)
barra/cercha:
𝐴𝐿 1
[
𝐿 −1
𝑓
−1 𝑢1
] [𝑢 ] = [ 1 ]
𝑓2
1
2
(4.56)
Con la matriz de rigidez igual a:
𝐴𝐸 1 −1
(4.57)
[
]
𝐿 −1 1
Para poder utilizar este elemento finito es necesario transformar la rigidez en un
[𝐾] =
principio local a una rigidez global (Hutton, 2004). Y para esto es necesario considerar
un elemento barra orientado en una determinada dirección cuantificada por un ángulo θ
Figura Nro. 4.7 – a) Elemento barra con una orientación θ; b) Desplazamientos locales; c)
Desplazamientos globales. (Hutton, 2004)
Por tanto, se modifican el campo de desplazamiento de la siguiente forma:
𝑢1 = 𝑈1 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑈2 𝑠𝑖𝑛 𝜃
𝑢1 = 𝑈3 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑈4 𝑠𝑖𝑛 𝜃
(4.58)
(4.59)
Donde 𝑈𝑖 son los desplazamientos en coordenadas globales. Estas ecuaciones son
descritas de manera matricial así:
𝑢1
𝑐𝑜𝑠 𝜃
{𝑢 } = [
2
0
𝑠𝑖𝑛 𝜃
0
0
𝑐𝑜𝑠 𝜃
𝑈1
𝑈1
𝑈
𝑈
0
] [ 2 ] = [𝑅] [ 2 ]
𝑈3
𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑈3
𝑈4
𝑈4
(4.60)
Ahora, la ecuación 4.56 queda transformada:
42
𝑘
−𝑘
[
−𝑘 𝑐𝑜𝑠 𝜃
][
0
𝑘
𝑠𝑖𝑛 𝜃
0
0
𝑐𝑜𝑠 𝜃
𝑈1
𝑓
𝑈
0
] [ 2] = [ 1 ]
𝑓2
𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑈3
𝑈4
(4.61)
La ecuación 4.61 expresa los desplazamientos en el sistema global. Sin embargo, la
ecuación como tal describen el equilibrio en las coordenadas locales del elemento, por lo
que ahora falta multiplicar toda la igualdad por 𝑐𝑜𝑠 𝜃 y 𝑠𝑖𝑛 𝜃:
[𝑅]𝑇 [ 𝑘
−𝑘
𝑈1
𝑐𝑜𝑠 𝜃
−𝑘 [𝑅] 𝑈2
]
[ ] = [ 𝑠𝑖𝑛 𝜃
𝑈3
0
𝑘
0
𝑈4
0
0 ] [𝑓1 ]
𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑓2
𝑠𝑖𝑛 𝜃
(4.62)
De esta manera las fuerzas están descritas en el sistema de coordenadas globales:
𝑈1
0
𝑐𝑜𝑠 𝜃
𝑈2
𝑘
−𝑘
0 ] [𝑓1 ]
𝑠𝑖𝑛
𝜃
𝑇
[𝑅] [
] [𝑅] [ ] = [
𝑈3
0
𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑓2
−𝑘 𝑘
0
𝑠𝑖𝑛 𝜃
𝑈4
𝑈1
𝐹1
𝑈
𝐹
[𝑅]𝑇 [ 𝑘 −𝑘] [𝑅] [ 2 ] = [ 2 ]
𝑈3
𝐹3
−𝑘 𝑘
𝑈4
𝐹4
(4.63)
(4.64)
La matriz de rigidez del elemento “Truss” se diferencia del elemento barra por esta
transformación de la matriz de rigidez (Hutton, 2004):
[𝐾] = [𝑅]𝑇 [ 𝑘
−𝑘
−𝑘 [𝑅]
]
𝑘
(4.65)
En la práctica del método de los elementos finitos, las coordenadas de los elementos están
en el sistema global, por lo que el ángulo director de la barra puede ser escrito en función
de estas coordenadas, Este procedimiento se realiza para hallar los cosenos directores
(Hutton, 2004):
𝑥𝑗 − 𝑥𝑖
(4.66)
𝐿
𝑦𝑗 − 𝑦𝑖
(4.67)
𝑠𝑖𝑛 𝜃 = 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑦 =
𝐿
Donde 𝑥𝑗 ; 𝑥𝑖 y 𝑦𝑗 ; 𝑦𝑖 son las coordenadas globales del elemento y 𝐿 su longitud
𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑥 =
4.5 Simplificación numérica de modelos constitutivos
La no-linealidad de los materiales implica un cambio de rigidez de la estructura en un
análisis. La consideración de la plasticidad de los materiales (hormigón y acero) supone
una respuesta estructural en la curva tensión-deformación que no es constante en los
distintos intervalos de carga (Lamas, 2019).
43
Debido a que el código de elementos finitos elaborado en este trabajo resuelve la ecuación
4.24, la cual es en esencia un sistema de ecuaciones lineales que describen el equilibrio
estático de un sistema global (Smith, 2014), la aplicación de los criterios y leyes de
comportamiento no-lineales descritos en el anterior capítulo son incompatibles en este
sistema lineal. Por este motivo se optó por usar simplificaciones de los modelos
constitutivos tanto del hormigón como del acero.
(Lamas, 2019) realiza el análisis elastoplástico de una unión viga-columna a través de
una variación de carga desde un valor nulo hasta el valor de colapso estructural mediante
el programa comercial ANSYS. Este programa comercial de elementos finitos permite al
usuario realizar análisis de sistemas estáticos, y dinámicos. También simular materiales
lineales y no lineales y a la vez que proporcionar una amplia variedad de elementos finitos
modificables y programables. En efecto, en el trabajo de (Lamas, 2019) se resuelve la
ecuación 4.68 a través del método de Newton-Raphson de manera iterativa:
[𝐾𝑖𝑇 ][∆𝑢𝑖 ] = [𝐹 𝑎 ] − [𝐹𝑖𝑛𝑟 ]
{𝑢𝑖+1 } = {𝑢𝑖 } + {𝛥𝑢𝑖 }
(4.68)
(4.69)
Donde [𝐾𝑖𝑇 ] es la matriz de rigidez tangente; [𝐹 𝑎 ] es el vector de carga aplicada; [𝐹𝑖𝑛𝑟 ]
son las fuerzas internas del elemento; [∆𝑢𝑖 ] es el incremento de desplazamiento y por
último 𝑖 representa la iteración de equilibrio actual (Lamas, 2019)
El código propuesto está desarrollado en Python y si bien resuelve únicamente un sistema
estático, este introduce una variación de carga al igual que (Lamas, 2019) debido a la
incorporación del criterio de fisuración simplificado el cual inevitablemente modifica las
matriz de rigidez original de la estructura durante el análisis como se explicará más
adelante. Esto provoca que la curva carga-deformación ya no sea una función lineal
constante durante todo el análisis, aunque el sistema de ecuaciones todavía es en esencia
lineal. Es decir, el sistema de ecuaciones lineales 4.70 se resuelve a través de
Descomposición LU de manera iterativa de la siguiente manera:
[𝐾𝑖 ][𝑢𝑖 ] = [𝑓𝑖 ]
(4.70)
Donde [𝐾𝑖 ] es la matriz de rigidez global que se actualiza en cada iteración; [𝑢𝑖 ] son los
desplazamientos de todo el sistema en cada paso y [𝑓𝑖 ] es el vector de cargas externas que
varía en todo el análisis. A continuación, se explica las simplificaciones de los modelos
constitutivos de los materiales adoptadas para el código y los algoritmos:
44
4.5.1 Simplificación del modelo constitutivo del hormigón
La simplificación del modelo constitutivo del hormigón en compresión consiste en
considerar su comportamiento como elástico lineal, sin considerar un criterio de ruptura,
una regla de endurecimiento ni de plastificación. Ya que se espera que el código pueda
replicar la fase I y II del diagrama carga-deformación de un elemento estructural de
concreto armado según (Lazzari, 2015), esta simplificación es suficiente para replicar el
comportamiento hasta antes de la fase III (Lazzari, 2015).
Para el modelo constitutivo del hormigón traccionado se adoptara un criterio de fisuración
implicado en el que se considerará una tensión máxima al igual que (Lazzari, 2015;
Tamayo, 2011) la cual será el límite de su comportamiento elástico.
La tensión máxima será calculada a partir de la obtención de tensiones principales, las
cuales se obtienen de respuesta tras preguntar en qué direcciones ocurre que las tensiones
del elemento sean únicamente normales en la Figura 4.3 (Cervera, 2015). Para ello se
resuelve la ecuación:
(𝑇 − 𝜎𝐼)𝑛 = 0
(4.71)
Donde 𝑇 es el tensor de tensiones en estado plano; 𝜎 son el módulo de las tensiones en
una dirección definida por 𝑛 el cual es el vector que define esa dirección arbitraria. Así
se obtienen las siguientes ecuaciones (Cervera, 2015):
𝜎𝑥 − 𝜎
| 𝜏
𝑦𝑥
𝜏𝑥𝑦
𝜎𝑦 − 𝜎| = 0
2
(𝜎𝑥 − 𝜎)(𝜎𝑦 − 𝜎) − 𝜏𝑥𝑦
=0
𝜎 = 𝜎1,2 =
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 2
2
± √(
) + 𝜏𝑥𝑦
2
2
(4.72)
(4.73)
(4.74)
Donde 𝜎1 es la tensión principal máxima y 𝜎2 . Entonces el valor de la tensión principal
máxima es la tensión máxima que un elemento puede tener antes de fisurarse. Luego el
procedimiento para simular la fisuración es reducir al 1% la rigidez del elemento finito
multiplicando su matriz de rigidez por este valor. Este “coeficiente de reducción” es
distinto de 0 para poder replicar de manera aproximada el efecto de “Tensión Stiffening”
ya mencionado y replicado por autores como (Allam et al., 2013; Lam et al., 2010; Ng
et al., 2010; Stramandinoli & La Rovere, 2008) en sus modelos. De manera resumida se
presenta el flujo de análisis del elemento finito de hormigón ideal y simplificado:
45
Figura Nro. 4.8 – Simplificación del modelo constitutivo del hormigón (Lamas, 2019)
4.5.1 Simplificación del modelo constitutivo del acero
El modelo constitutivo simplificado del acero solo considera la elasticidad lineal. Esta
simplificación es definida nuevamente por el alcance del código, ya que se espera que el
modelo converja hasta la plastificación de materiales (Lazzari, 2015).
4.6 Estructura del código y proceso de resolución del sistema
Como en cualquier otro método numérico, el desarrollo y aplicación del método de
elementos finitos está ligada al lenguaje de programación y las herramientas de software
contemporáneas elegidas. Históricamente, el primer lenguaje de programación para uso
práctico del MEF fue FORTRAN. Desde entonces se han programado en este lenguaje
muchas rutinas, algoritmos y programas asociados al método. Con el desarrollo de las
computadoras han aparecido nuevos lenguajes, cada uno con capacidades y herramientas
específicas para diversos campos de aplicación. El objetivo común es simplificar la
codificación de los algoritmos y optimizar los recursos informáticos (Oñate, 2009).
Si bien FORTRAN sigue siendo un lenguaje de referencia para el FEM, los nuevos
lenguajes y herramientas de programación desarrollados durante estos últimos años
permiten simplificaciones en el trabajo de codificación. Al mismo tiempo, se pueden
utilizar bibliotecas específicas que optimizan la memoria y los recursos informáticos
(Oñate, 2009).
El código propuesto en este trabajo este escrito en Python, el cual, en el ámbito del
desarrollo de software ha experimentado un gran avance en creación de herramientas,
46
librerías para diversos campos de investigación en física e ingeniería. Incluso se han
desarrollado librerías específicas para la aplicación del método de los Elementos finitos
como “scikit-fem” (Gustafsson & Mcbain, 2020). Por estos motivos se eligió Python para
escribir el código.
El código recibe la geometría, la malla de elementos finitos, los materiales y condiciones
de contorno del programa GiD. Este programa permite realizar las tareas de pre-proceso
mediante CAD y asignar todos los datos necesarios para el cómputo de EF (Oñate, 2009).
El flujo de trabajo del código su ilustra en la Figura Nro. 4.10
Figura Nro. 4.10 – Flujograma del programa principal
47
4.6.1 Lectura de datos y creación de variables
El archivo de lectura, el cual es exportado desde GiD contiene 5 tipos de datos los cuales
están almacenados en 5 distintas variables. La primera variable llamada materiales
contiene toda la información acerca de los materiales como ser módulos de elasticidad,
coeficientes de Poisson, áreas transversales, espesores y de ser necesario pesos
específicos identificados. Cada material que puede contener uno o varios de estos datos
son identificados con un numero:
Figura Nro. 4.11 – Sección de materiales en el archivo de entrada
La siguiente variable llamada coordenadas almacena todas las coordenadas globales de
todos los nodos en el sistema:
Figura Nro. 4.12 – Sección de coordenadas en el archivo de entrada
La variable denominada elementos contiene las conectividades de todos los elementos del
sistema incluyendo el material al que este asociado:
48
Figura Nro. 4.13 – Sección de elementos en el archivo de entrada
La variable denominada restricciones almacena las restricciones de los nodos o las
deformaciones impuestas si es el caso:
Figura Nro. 4.14 – Sección de restricciones en el archivo de entrada
La última variable llamada cargaspuntuales la cual almacena en forma de matriz las
cargas impuestas a los nodos y sus respectivas direcciones (Figura Nro. 4.15):
Una vez hecha la lectura del archivo de entrada del cual se extrae información primaria
como la cantidad de elementos y el número de nodos y el número de pasos o iteraciones
del análisis introducida por el usuario. Luego se procede a la creación de variables
importantes para el funcionamiento del código: la definición del vector de carga
incremental y el vector multidimensional de desplazamientos.
49
Figura Nro. 4.15 – Sección de cargas en el archivo de entrada
La variación de cargas estará se guardará en un vector de carga incremental que contendrá
la carga nula y una carga limite que el usuario puede definir, y su longitud dependerá de
las iteraciones que el usuario le indique con esta información se multiplicara n veces la
matriz de cargaspuntuales donde n es el número de iteraciones del análisis. Todo se
guardará todo en un vector multidimensional.
Figura Nro. 4.16 – Lectura del archivo de entrada y preparación de variables
50
4.6.2 Computo de las matrices características
Las matrices constitutivas D se computan a través de distintas funciones (una cada tipo
de elemento) las cuales son escogidas según el número de nodos que contiene el elemento.
Este criterio en principio servirá para diferenciar elementos cuadriláteros simples,
triangulares simples y elementos “Truss”
Las matrices de rigidez Ke se construyen a través de funciones específicas para cada tipo
de elemento al igual que las matrices constitutivas, las cuales siguen la siguiente
subrutina:
Figura Nro. 4.17 – Calculo de las matrices de rigidez
4.6.3 Resolución del sistema para el paso de carga actual
Luego de ensamblar la matriz global, la resolución de la ecuación 4.70 se realiza a través
de la descomposición LU, la cual consiste en la descomposición de la matriz que
multiplica las incógnitas A del sistema A x = b, en una matriz triangular superior U y otra
matriz triangula inferior L y al final resolver el sistema por eliminación de Gauss 2 veces
(Gander et al., 2014) . En Python la librería scipy.sparse.linalg
proporciona la
51
herramienta splu la cual permite al usuario utilizar el algoritmo de resolución cuando sea
necesario.
Figura Nro. 4.18 – Subrutina de resolución del sistema
4.6.4 Subrutina para hallar tensiones y suavizado de tensiones
El procedimiento para hallar las tensiones del elemento cuadrilátero de 4 nodos se basa
en la ecuación 4.75 la cual es calculada para todos los puntos de Gauss escogidos en la
tabla 4.1 para la integración numérica
𝜎𝑖 = 𝐷𝐵𝑖 𝑈 𝑒
Donde
𝑈𝑖𝑒
(4.75)
son los desplazamientos de un solo elemento obtenidos tras la resolución del
sistema global y 𝐵𝑖 es la matriz de deformación evaluada en el nodo i.
A diferencia de los desplazamientos, cuya continuidad está garantizada a través de las
funciones de forma la continuidad de tensiones de los elementos está sujeta simplemente
al refinamiento de la malla de elementos finitos (Oñate, 2009). Para solucionar este
problema se puede calcular la tensión promedio de los puntos de Gauss de cada elemento
o se pueden usar técnicas de suavizado de tensiones mediante la obtención de tensiones
nodales:
52
Figura Nro. 4.19 – Campo de tensiones discontinuo y continuo (suavizado) (Oñate, 2009)
Las tensiones obtenidas en los puntos de Gauss pueden servir para realizar una
extrapolación lineal de esos valores hacia los nodos. Por ejemplo, si se considera un
elemento cuadrático de una dimensión (1D) con 𝜎1,2 como las tensiones en los puntos de
Gauss 𝑝 = ± √3⁄3 , estos pueden ser extrapolados linealmente dentro del intervalo
definido por ambos puntos de Gauss de la siguiente manera:
1 − 𝑠 1 + 𝑠 𝜎1
(4.76)
,
) {𝜎 }
2
2
2
Donde 𝑠 = 𝜉 ∕ 𝑝 satisface que 𝑠 = −1 para 𝜉 = −𝑝 y 𝑠 = 1 para 𝜉 = 𝑝 de esta manera
𝜎=(
las tensiones en los nodos serian en 𝑠 = ±1 ∕ 𝑝 como se puede ver en la figura:
Figura Nro. 4.20 – Extrapolación lineal de 2 puntos de Gauss (Oñate, 2009)
Este procedimiento puede ser generalizado para cualquier elemento mediante la siguiente
ecuación:
𝑛
(4.77)
𝜎(𝑠, 𝑡) = ∑ 𝑁𝑖 (𝑠, 𝑡) 𝜎𝑖
𝑖=1
53
Donde 𝜎𝑖 es la tensión encontrada en cada punto de Gauss que tenga el elemento. Por
ejemplo, en el elemento cuadrilátero se existen 4 puntos de Gauss extrapolados como se
puede ver en la figura:
Figura Nro. 4.21 – Extrapolación lineal de 2 puntos de Gauss (Oñate, 2009)
Así, la el cálculo de las tensiones se puede resumir en la figura 4.11
Figura Nro. 4.22 – Cálculo de las tensiones en los nodos del elemento
54
4.6.5 Aplicación de criterios de fisuración
Los criterios de fisuración mencionados en la sección 4.5.1. se basa en una lista de
“elementos rotos”, los cuales han alcanzado la tensión máxima en más de la mitad de sus
nodos, más de 2 en el caso del elemento cuadrilátero. Esta lista le indica al programa
principal que matrices de rigidez modificar la cual se modifica para cada etapa de carga.
4.6.6 Coeficiente de reducción de rigidez
Se multiplica la matriz de rigidez de un elemento fisurado por un coeficiente mayor a
cero (para evitar la singularización de la matriz global) y cuyo valor se calibre a través de
“ensayo y error” de manera iterativa hasta alcanzar la convergencia con los resultados
experimentales.
Figura Nro. 4.23 – Aplicación de criterios de fisuración en el hormigón traccionado
4.7 Despliegue de resultados (Post-Proceso)
Para el Post proceso y despliegue de resultados, se realiza un segundo suavizado de
tensiones, el cual toma un promedio de las tensiones que confluyen en un nodo
55
provenientes de distintos elementos que comparten este mismo nodo en la malla global
de elementos como se ve en la Figura Nro. 4.12. Este proceso de suavización
promediando tensiones nodales se resume en el flujograma de la Figura Nro. 4.24
Figura Nro. 4.24 – Suavización de esfuerzos nodales: a) Con tensiones nodales; b) Con tensiones
centrales. (Meneghetti et al., 2018)
Figura Nro. 4.25 – Proceso de suavización de tensiones nodales
56
V. MODELADO COMPUTACIONAL
En este capítulo se analiza los resultados del código y se los compara con los resultados
obtenidos por (Lamas, 2019) en sus modelos numéricos de uniones viga-columna y con
los resultados experimentales de (Roeser, 2002) concretamente con el modelo RK2. Esta
comparación servirá para poder determinar si el código es capaz de replicar las fases I y
II del comportamiento del hormigón estructura según (Lazzari, 2015).
Con la finalidad de reproducir las restricciones de apoyo en los ensayos experimentales,
se optó por restringir los desplazamientos en x y y en la parte superior de la columna y
restringir solo el desplazamiento en x en la parte superior de la columna. También se
introdujo una carga de gravitación G en la parte superior de la columna distribuida sobre
todos los nodos. El análisis carga desplazamiento será controlado desde un nodo en el
extremo de la viga justo donde se aplica la carga variable P. En la siguiente figura se
muestra un esquema de las condiciones de borde y carga
Figura Nro. 5.1 – Configuración geométrica, condiciones de borde y cargas (Lamas, 2019)
5.1 Recreación de modelos a través de GiD
5.1.1 Modelo de unión viga-columna RK2
El primer modelo de unión viga columna recreado en GiD es el modelo RK2 el cual es
un modelo con una configuración de armadura común en la viga y columna y con armado
de refuerzo en el nudo. El modelo RK2 fue ensayado experimentalmente por (Roeser,
2002) y fue comparado con el modelo numérico de (Lamas, 2019) Las características de
esta unión viga-columna se muestra en las siguientes tablas:
57
Tabla Nro. 5.1 – Parámetros mecánicos del hormigón del modelo RK2
Parámetros
Resistencia cilíndrica a la compresión 𝑓𝑐′ (MPa)
Módulo de elasticidad 𝐸 (MPa)
Módulo de ruptura 𝑓𝑟 (MPa)
Coeficiente de Poisson 𝑣𝑐
Modelo RK2
57.4
32446
5.30
0.11
Fuente: (Roeser, 2002)
Tabla Nro. 5.2 – Parámetros mecánicos del acero del modelo RK2
Parámetros
Módulo de elasticidad 𝐸𝑠 (MPa)
Coeficiente de Poisson 𝑣𝑠
Modelo RK2
210000
0.3
Fuente: (Roeser, 2002)
A continuación, se muestra las dimensiones de la sección y el detalle de armado de la
unión viga-columna RK2:
Figura Nro. 5.2 – Modelos RK2 (Roeser, 2002)
58
El modelo de elementos finitos diseñado en GiD tiene las siguientes características:
Tabla Nro. 5.3 – Resumen de la malla y elementos finitos del modelo RK2
Material/Parte
Hormigón
Estribos de la columna
Estribos de la viga
Barras longitudinales columna
Barras de tracción viga
Barras de compresión viga
Barras verticales unión
Barras horizontales unión
Barras diagonales unión
Tipo de elemento
Cuadrilátero Simple
"Truss"
"Truss"
"Truss"
"Truss"
"Truss"
"Truss"
"Truss"
"Truss"
Número de Elementos
1695
128
64
170
55
55
78
108
19
Figura Nro. 5.3 – Malla Elementos Finitos del modelo RK2
59
Tabla Nro. 5.4 – Resumen del análisis realizado por el código para el modelo RK2
Modelo
Número de nodos
Número de elementos
Carga de análisis P (KN)
Carga Gravitacional G (KN)
Iteraciones realizadas
Tiempo computacional empleado (segundos)
RK2
1838
2318
50
500
50
55
Figura Nro. 5.4 – Comparación de los diagramas carga-deformación del modelo RK2
Comparando los resultados del código de este trabajo con los resultados numéricos de
(Lamas, 2019), y experimentales de (Roeser, 2002), se puede observar una convergencia
de la curva roja hasta los 50 KN con un coeficiente de rigidez de 0.01 (reducción de
rigidez al 1% de elementos fisurados). Este resultado cumple las expectativas ya que al
no considerar la plasticidad de los materiales, solo es posible replicar el comportamiento
hasta antes del inicio de la plastificación de los materiales (fase III según (Lazzari, 2015)).
Se puede observar también que durante la fase elástica el modelo numérico del presente
trabajo adquiere un leve aumento de rigidez respecto del experimental. (Haach et al.,
2008) explica que este fenómeno se debe a la simplificación de la adherencia entre
hormigón y concreto el cual en la realidad representa una interacción más compleja en
especial se someten elementos estructurales a flexión ya que ahí se hace importante las
tensiones rasantes o de adherencia entre ambos materiales las cuales no son perfectas en
laboratorio.
60
5.1.2 Modelo de unión viga-columna SR y CR
Los siguientes dos modelos corresponden al análisis que realizó (Lamas, 2019) en
uniones viga-columna en el contexto nacional (Bolivia), en el cual compara un modelo
sin refuerzo en la unión viga-columna y otro modelo con un armado similar al modelo
RK2 descrito por (Roeser, 2002). A continuación, se describen el detalle de armado y las
características de ambos modelos:
Tabla Nro. 5.5 – Parámetros mecánicos del hormigón y acero de los modelos SR y CR
Parámetros del hormigón
Resistencia cilíndrica a la compresión 𝑓𝑐′ (MPa)
Módulo de elasticidad 𝐸 (MPa)
Módulo de ruptura 𝑓𝑟 (MPa)
Coeficiente de Poisson 𝑣𝑐
Parámetros
Módulo de elasticidad 𝐸𝑠 (MPa)
Coeficiente de Poisson 𝑣𝑠
SR y CR
28
24870
3.7
0.16
SR y CR
203000
0.3
Fuente: (Lamas, 2019)
Figura Nro. 5.5 – Modelo SR (Lamas, 2019)
61
Tabla Nro. 5.6 – Resumen de la malla y elementos finitos del modelo SR
Material/Parte
Hormigón
Estribos de la columna
Estribos de la viga
Barras longitudinales columna
Barras de tracción viga
Barras de compresión viga
Tipo de elemento
Cuadrilátero Simple
"Truss"
"Truss"
"Truss"
"Truss"
"Truss"
Número de Elementos
1695
128
64
170
55
55
Figura Nro. 5.6 – Malla de elementos finitos del modelo SR
62
Figura Nro. 5.7 – Modelo CR (Lamas, 2019)
Tabla Nro. 5.7 – Resumen de la malla y elementos finitos del modelo CR
Material/Parte
Hormigón
Estribos de la columna
Estribos de la viga
Barras longitudinales columna
Barras de tracción viga
Barras de compresión viga
Barras verticales unión
Barras horizontales unión
Barras diagonales unión
Tipo de elemento
Cuadrilátero Simple
"Truss"
"Truss"
"Truss"
"Truss"
"Truss"
"Truss"
"Truss"
"Truss"
Número de Elementos
1695
128
64
170
55
55
78
108
19
63
Figura Nro. 5.8 – Malla de elementos finitos del modelo CR
Tabla Nro. 5.9 – Resumen del análisis realizado por el código para el modelo SR
Modelo
Número de nodos
Número de elementos
Carga de análisis P (KN)
Carga Gravitacional G (KN)
Iteraciones realizadas
Tiempo computacional empleado (segundos)
SR
1838
2191
36
300
50
51
CR
1838
2318
36
300
50
55
64
Figura Nro. 5.9 – Comparación de los diagramas carga-deformación de los modelos SR y CR
Al comparar los resultados obtenidos por el modelo computacional en Python con los
resultados numéricos de (Lamas, 2019) se puede observar nuevamente una convergencia
entre los modelos numéricos. No obstante, también se ve que a partir de los 36 KN el
modelo ya no puede seguir convergiendo, ya que a partir de esa carga los efectos de
plastificación son relevantes en el desempeño de la estructura. Además, que la
plastificación necesita de iteraciones numéricas en cada etapa de carga
5.2 Comparación de modelos numéricos
Como se puede ver en las curvas de carga-deformación de las figuras Nro. 5.4 y 5.9 la
elección de elementos finitos junto con los criterios de fisuración añadidos al código
replica de manera satisfactoria la fase elástica de la estructura y la de fisuración inicial
del hormigón armado. Así las expectativas de lograr un comportamiento no-lineal
mediante un criterio de fisuración simplificado fueron cumplidas. Cabe resaltar que,
aunque los materiales siguen siendo elásticos, la no-linealidad observada en las curvas se
debe únicamente a los cambios de rigidez que el hormigón sufre por haber superado la
tensión máxima de tracción.
En las siguientes figuras se realiza una comparación de la distribución de esfuerzos entre
los resultados del código elaborado y los resultados de los análisis de (Lamas, 2019) con
el objetivo de verificar si el comportamiento es coherente con los resultados obtenidos
por este autor.
65
Figura Nro. 5.10 – Tensiones normales en el hormigón (𝝈𝒙 [𝐌𝐏𝐚]) Modelos SR y CR (Python)
Figura Nro. 5.11 – Tensiones normales en el hormigón (𝝈𝒙 [𝐊𝐍/𝐜𝐦𝟐]) Modelos SR y CR. (Lamas,
2019) (ANSYS)
En las figuras de tensión normal de la dirección x se puede observar la zona de compresión
en la viga, mientras que las zonas de tracción no se producen tensiones similares, debido
a que en esa zona los elementos de hormigón están sujetos a tracción y se fisuran.
También puede observarse el fenómeno de “tension stiffening” en los modelos CR.
66
Figura Nro. 5.12 – Tensiones normales en el hormigón (𝝈𝒚 [𝐌𝐏𝐚]) Modelos SR y CR (Python)
Figura Nro. 5.13 – Tensiones normales en el hormigón (𝝈𝒚 [𝐊𝐍/𝐜𝐦𝟐]) Modelos SR y CR. (Lamas,
2019) (ANSYS)
En las tensiones normales en dirección y se pueden observar las zonas de compresión las
cuales son coherentes con la distribución de fuerzas ilustradas por varios autores como
(Alva, 2004), (Kadarningsih et al., 2014), etc.
67
Figura Nro. 5.14 – Tensiones normales en el acero (𝝈𝒔 [𝐌𝐏𝐚]) Modelos SR y CR (Python)
Figura Nro. 5.15 – Tensiones normales en el acero (𝝈𝒔 [𝐌𝐏𝐚]) Modelos SR y CR (Lamas, 2019)
(ANSYS)
Las tensiones en la armadura muestran que en la zona de tracción de la viga existe un
incremento de esfuerzos axiales en el refuerzo principal de tracción en el modelo SR
respecto del CR. Esto se debe principalmente a que el modelo CR al ser más rígido que
el CR, no permite que el refuerzo longitudinal a tracción alcance los mismos valores que
el modelo SR cuando se los compara en la misma etapa de carga. (Alva, 2004; Lamas,
2019)
68
Figura Nro. 5.16 – Desplazamiento máximo vertical (𝑼𝒚 [𝐦𝐦]) Modelos SR y CR
Figura Nro. 5.17 – Elementos finitos “fisurados” Modelos SR y CR
Por último, se pueden ver las claras mejoras en cuanto al desplazamiento global
cuantificadas por (Lamas, 2019), evidentes también en la figura Nro. 5.9. Por otro lado
en los resultados obtenidos por el código en Python también se pueden observar la
propagación de fisuras mencionada por (Haach, 2005) la cual es mitigada por la armadura
horizontal en el nudo del modelo CR evitando que llegue a la zona de compresión.
69
VI. ANALISIS EN LA UNION VIGA-COLUMNA
En este capítulo se explica el análisis de la unión viga-columna con los distintos armados
presentados en el modelo RK2 y CR. También se abordará este análisis desde la teoría de
Bielas y Tirantes para poder entender el papel que realizan los refuerzos de acero en el
núcleo. El análisis servirá también para proponer un modelo de refuerzo en base a los
resultados obtenidos por los modelos RK2 y CR de (Roeser, 2002) y (Lamas, 2019) y el
análisis por el método de Bielas y Tirantes. Para los siguientes análisis se adoptó la
configuración geométrica, las condiciones de borde y los materiales de los modelos SR y
CR para poder evaluar el rol de las armaduras en el desempeño de la unión viga-columna.
Un aspecto importante que cabe recalcar es que debido al alcance que tiene el código, el
desempeño de los refuerzos solo podrá ser evaluado en el rango de convergencia del
diagrama carga-deformación de los modelos SR y CR. Esto implica que la
implementación de los distintos refuerzos solo podrá ser valorada hasta la fase II de
fisuración del hormigón. Es decir que, si la implementación de una armadura mejora el
desempeño de la unión en algún aspecto, solo se podrá concluir que ese refuerzo de acero
aporta a la mejora del rendimiento de la unión hasta antes de la etapa de plastificación.
De igual manera, si los resultados muestran que la implementación de algún refuerzo no
provoca una mejora de rendimiento en la unión, esto no significa que no lo haga en la
fase de plastificación y estado limite último de la estructura.
En el caso ideal se debería mostrar que cualquier configuración de refuerzo propuesta
debería estar también justificada durante la fase de plastificación y de rotura como en los
trabajos de (Roeser, 2002) y (Lamas, 2019). A continuación, se muestra algunos modelos
de B y T de los cuales obtendrán criterios de refuerzo de acero
6.2 Modelos de armadura en base a modelos B y T
6.2.1 Primer modelo de Bielas y Tirantes
La monografía M-6 de (Romo Martin et al., 2003) recoge algunos modelos de nudos vigacolumna, de los cuales el modelo del nudo externo gobernado por fuerzas gravitacionales.
Uno de estos modelos es el que representa las condiciones de carga y direcciones de
fuerzas al que está sometido la unión viga-columna externa. En la figura 6.3 se puede
observar que los flujos de tensiones indican que existe una biela de compresión diagonal,
la cual resiste, como se supone por el equilibrio de las fuerzas mostradas en el capítulo II,
70
las fuerzas cortantes en el núcleo del nudo. Este modelo de bielas y tirantes es el más
simple y el mecanismo de resistencia más aceptado (Kassem, 2016).
Figura Nro. 6.1 – esquema de bielas y tirantes (Romo Martin et al., 2003) en el nudo, tensiones
principales en el nudo
Como se ha mencionado ya, la norma ACI-ASCE 352 se basa en este esquema para
verificar el cortante en el núcleo, el cual es soportado exclusivamente por la sección de
hormigón y por ende por ende esta biela de compresión diagonal que transmite los
esfuerzos horizontales hacia las columnas. Este modelo no contempla ningún aporte que
pueda realizar el refuerzo de acero a la resistencia en el núcleo del nodo viga-columna.
6.2.2 Segundo modelo de Bielas y Tirantes
El segundo modelo de bielas y tirantes propone un mecanismo de cercha resistente
mencionado por (Kassem, 2016), el cual incluye el aporte de los estribos en el núcleo de
hormigón. En la investigación de (Haach et al., 2008) y otros autores, mencionan la
importancia que tienen los estribos para lograr un confinamiento adecuado en el núcleo
de la unión, y que así pueda trabajar en toda su altura. También se ha mostrado que los
estribos mejoran la homogeneidad en la distribución de tensiones en el núcleo. Por otro
lado (Kassem, 2016) sugiere con este modelo bielas y tirantes que los estribos y la
armadura longitudinal también aportan en la resistencia a cortante del núcleo mediante su
proposición de modelo Bielas y Tirantes, como se aprecia en la figura Nro. 6.2.
71
Figura Nro. 6.2 – esquema de bielas y tirantes con tirante horizontal en el núcleo (Kassem, 2016)
Para evaluar el aporte de los estribos en el desempeño de la unión viga-columna se
dibujaron 2 modelos, los cuales varían la cantidad de refuerzo transversal en el núcleo
como se observa en la figura Nro. 6.3. A partir de este punto todos los modelos de los
siguientes análisis parten de un aumento de refuerzo al modelo SR, es decir que tanto los
materiales, las condiciones de borde, las cargas y la armadura de base (la que se calcula
en la columna y viga en ELU; y por normativa) la comparten todos los modelos.
Figura Nro. 6.3 – Modelos E1 y E2
Una vez realizado el pre-proceso de los modelos E1 y E2 el código computa el análisis
de EF para arrojar los resultados en la curva carga-desplazamiento como se puede ver en
la figura Nro. 6.4. La evaluación del rendimiento de los modelos propuesto se realizará
en la zona de convergencia de la fase I y II de comportamiento.
72
Figura Nro. 6.4 – Diagrama Carga-desplazamiento de los modelos E1 y E2
6.2.2 Tercer modelo de Bielas y Tirantes
El tercer modelo de bielas y tirantes que se observa en la figura Nro. 6.5, es similar al
anterior con la diferencia en la posición del tirante añadido en el núcleo. La razón por la
que se sugiere esta disposición es la de considerar algún aporte que las barras o refuerzo
vertical puedan tener en la resistencia a cortante. El objetivo de estas barras sería la de
absorber las tensiones provocadas por el cortante vertical
Figura Nro. 6.5 – Modelo de cercha resistente en el núcleo (tirante vertical) (Kassem, 2016)
73
Para evaluar el desempeño de este tipo de armaduras se propone 3 tipos de armado
variando la cuantía de acero vertical como se puede ver en la figura Nro. 6.6 y evaluando
su desempeño. Nuevamente estos modelos parten del modelo de armado básico SR más
un refuerzo en el nodo añadido
Figura Nro. 6.6 – Modelos V1, V2, V3
Los tres tipos de armado se ordenan en orden ascendente de cuantía partiendo del modelo
SR hasta el modelo V3, el cual posee la mayor cantidad de refuerzo vertical:
Figura Nro. 6.8 – Diagrama Carga-desplazamiento de los modelos V1, V2, V3
74
6.2.3 Estribos abiertos en la zona de momento negativo
Como un último análisis se realizará una comparación de modelos con distintos tipos de
armadura horizontal, basados en los refuerzos horizontales del modelo CR, en cual se
tratará de observar el efecto que tienen estos al momento de evitar la propagación de
fisuras en la viga debido al momento negativo hasta la zona de compresión. El propósito
de este análisis es el de proporcionar información para sugerir un armado alternativo al
de la armadura horizontal del modelo CR pero que pueda igualar o superar su desempeño.
Los primeros tres modelos poseen barras de acero colocados simétricamente en toda la
altura de la viga. En la Figura Nro. 6.9 se observa los modelos en orden de menor cuantía
a mayor cuantía de acero:
Figura Nro. 6.9 – Modelos H1, H2, H3
Los siguientes tres modelos poseen barras de acero colocadas específicamente en la
mitad superior de la altura de la viga. En la figura Nro. 6.10 se puede observar a los
modelos en orden de menor a mayor cuantía de acero
Figura Nro. 6.10 – Modelos H4, H5, H6
75
Figura Nro. 6.11 – Diagrama Carga-desplazamiento de los modelos H1, H2, H3, H4, H5, H6
6.3 Análisis de resultados
Los diagramas carga-deformación de los modelos E1 y E2 muestran que no existe una
mejoría notoria al variar la cuantía de estribos. Sin embargo, los estudios mencionados
en este trabajo concluyen que los estribos si tienen un papel fundamental en el desempeño
de la unión viga columna. Esto puede deberse a que, debido al alcance del código, no se
pueda apreciar el efecto de los estribos, el cual se nota después de la fase de fisuración
como indica (Ortiz, 1993)
En los resultados ilustrados en la figura Nro. 6.8 sobre los modelos V1, V2, V3 se puede
observar que las barras verticales no aportan una mejora significativa en la rigidez de la
estructura. Este resultado coincide con los comentarios que hace (Kassem, 2016) acerca
de este tipo de refuerzos que atraviesan la columna por su eje. Este autor señala que
investigadores concluyen que el refuerzo vertical tiene una muy poca influencia en el
esfuerzo cortante del nudo, mientras que otros autores señalan que el aumento de cuantía
vertical incrementa la resistencia a cortante según sus ensayos. Esta contradicción, según
(Kassem, 2016) también se da en las normas, por ejemplo, la ACI no considera el efecto
76
del cortante vertical ni algún refuerzo para esta zona, mientras que el Eurocódigo
recomienda un límite mínimo para la cantidad de refuerzo en medio de la columna.
En los diagramas carga-desplazamiento de la figura Nro. 6.11 se puede observar que
existe una evolución o mejora notoria entre distintos armados. Observando con detalle
todas las curvas se pueden extraer las siguientes conclusiones:
•
El modelo H1 supone una mejora importante respecto del modelo SR original, ya que
claramente se encuentra en el medio de los modelos de parámetro SR y CR. Esto
quiere decir que la armadura del medio evita la propagación de fisuras y ralentiza el
deterioro mecánico de la estructura debido a estas fisuras tal como sugiere (Alva,
2004)
•
El modelo H3, el cual tiene 3 barras cosiendo las fisuras por flexión en la viga,
presenta mejores resultados que los modelos H1 y H2. Esto indica que la barra
superior y la barra intermedia en combinación trabajan mejor que cada una por si sola
(modelos H1 y H4).
•
Los modelos H2 y H4 tienen un comportamiento similar lo cual indica que el uso de
la barra inferior (zona de compresión de la viga) es indistinto a diferencia de la barra
superior (cerca al refuerzo longitudinal principal de la viga) la cual genera una leve
mejoría respecto del modelo H1.
De las anteriores conclusiones se espera que le modelo H5 tenga un comportamiento
similar al del modelo H3 y como se observa en el grafico el modelo H5 no solo supera al
modelo H3, sino que también representa menos cuantía de acero en la unión vigacolumna.
El modelo H6, el cual es presenta la misma configuración de que el modelo H5, pero con
barras de diámetro más grande, muestra una leve mejora en la respuesta mecánica a la
carga, lo cual parece indicar que, a mayor cuantía de acero en esta región, mejores
resultados se obtienen. Sin embargo, el aumento de cuantía supone el uso de más espacio
por lo que inevitablemente esta mejora encuentra su límite en el espacio mínimo que
deben tener las armaduras por norma. Esta norma indica que el espaciamiento mínimo
entre barras no debe ser menor que el diámetro de estas dn ni menor a 25 mm (ACI 3182002).
Después del análisis de los distintos armados y modelos probados, claramente la
armadura horizontal colocada entre los refuerzos longitudinales de la viga de los modelos
77
H3, H5 y H6 favorecen el desempeño del nudo viga-columna de manera significativa
durante la fase de fisuración del hormigón señalada por (Lazzari, 2015). Y más aún si se
colocan estas barras en la parte superior de la altura de la viga como muestran los modelos
H5 y H6. Esto puede significar una mejora en la etapa inicial de resistencia de una unión
viga-columna respecto incluso del modelo CR. Sin embargo, no se puede afirmar que son
mejores que este último en todas las fases, ya que no se está tomando en cuenta el
comportamiento plástico de los materiales y por ende la curvas están incompletas. Por
ejemplo, esto sucede con la armadura diagonal del modelo CR cuyo aporte no parece
significativo en la etapa elástica y de fisuración inicial según los resultados. Sin embargo,
esta cumple la función de absorber tensiones de tracción en la última etapa de carga de la
unión viga-columna (Lamas, 2019). Lo mismo sucedería con los análisis de los modelos
E1, E2, V1, V2, V3 al estar sujetos al mismo alcance, y especialmente en el caso del
análisis de los estribos cuyo aporte al desempeño de la unión lo han mostrado autores
como (Haach et al., 2008) y (Ortiz, 1993).
Por último, se realizó un análisis comparativo entre el modelo H5 y el modelo SR: En la
figura Nro. 6.12 se observa claramente que la tensión de compresión en el hormigón en
dirección horizontal es menor en el modelo H5 que en el SR. Esto puede suceder debido
a que el acero de refuerzo horizontal del nudo puede estar resistiendo parte de la tensión
que resiste la armadura principal de la viga.
Figura Nro. 6.12 – Tensiones normales en el hormigón (𝝈𝒙 [𝐌𝐏𝐚]) Modelos H5 vs SR
78
En la figura Nro. 6.13 se puede apreciar que existe una reducción en las tensiones
verticales del hormigón en dirección vertical. Aunque esta reducción es poco significativa
puede notarse que las tensiones de compresión en el núcleo del modelo H5 están por
debajo de 6 MPa mientras que en el modelo SR las tensiones nucleares superan este valor.
Figura Nro. 6.13 – Tensiones normales en el hormigón (𝝈𝒚 [𝐌𝐏𝐚]) Modelos H5 vs SR
Las tensiones cortantes en el núcleo de la unión viga-columna también reducen como se
puede observar en la figura Nro. 6.14. Además, el grafico parece indicar que en el modelo
H5 las tensiones de corte son más homogéneas que en el modelo SR.
Figura Nro. 6.14 – Tensiones normales en el hormigón (𝝉𝒙𝒚 [𝐌𝐏𝐚]) Modelos H5 vs SR
79
En la figura Nro. 6.16 la biela de compresión del modelo SR reduce su capacidad de
distribuir las tensiones de compresión que le llegan del bloque de compresión de la viga
hacia las columnas en esa etapa de carga respecto del modelo H5. Según la explicación
de (Haach et al., 2008), en el modelo H5 los campos de compresión se extienden en
dirección vertical hacia las columnas, mientras que en el SR se quedan alrededor del
núcleo. Al mismo tiempo que las tensiones 𝝈𝟏 no sufren cambios significativos.
Figura Nro. 6.15 – Tensiones principales en el hormigón (𝝈𝟏 [𝐌𝐏𝐚]) Modelos H5 vs SR
Figura Nro. 6.16 – Tensiones principales en el hormigón (𝝈𝟐 [𝐌𝐏𝐚]) Modelos H5 vs SR
Los estudios de (Taylor, 1974) concluyen que la capacidad resistente de la unión vigacolumna no es suficiente para que le momento máximo resistente de la viga sea alcanzado.
80
Es posible que el refuerzo horizontal añadido del modelo H5 pueda ayudar a que el nudo
viga-columna no falle antes y permita que la viga desarrolle su resistencia última, ya que
se observa en la figura 6.17, el modelo H5 ralentiza el incremento de tensión de tracción
en el acero principal de la viga, mientras que en el modelo SR las tensiones de tracción
en el acero principal son mayores para la misma etapa de carga.
Figura Nro. 6.17 – Tensiones normales en el acero (𝝈𝒔 [𝐌𝐏𝐚]) Modelos H5 vs SR
El modelo H5 se muestra superior al modelo SR en su respuesta mecánica frente a la
carga, al igual que en los diagramas carga-deformación de cada modelo:
Figura Nro. 6.18 – Desplazamiento máximo vertical (𝑼𝒚 [𝐦𝐦]) Modelos H5 vs SR
81
La distribucion de elementos fracturados en esta determinada etapa de carga muestra que
el refuerzo del modelo H5 mitiga la propagación de fisuras que se extienden desde la zona
de tracción de la viga hasta la zona de compresión como se puede ver en la figura Nro.
19, fenómeno que deteriora la rigidez de la union viga-columna como señala (Alva, 2004)
Figura Nro. 6.19 – Elementos finitos “fisurados” Modelos H5 vs SR
Figura Nro. 6.20 – Fenómenos asociados al deterioro mecánico de la unión viga-columna de
extremo (Alva, 2004)
Tomando en cuenta todo lo comentado hasta ahora, el modelo H5 muestra una mejoría
en las etapas I y II de un elemento de hormigón armado. Estos resultados demuestran la
importancia que tienen estas barras horizontales, presentes tanto en el modelo H5 como
en el CR, en reducir la propagación de las fisuras producidas por los momentos negativos
82
de la viga. Estas fisuras deterioran la capacidad mecánica de las uniones viga-columna.
A continuación, se muestra un resumen de los resultados obtenidos:
Tabla Nro. 6.1 – Resumen de los Resultados del modelo SR y H5 y las variaciones de resultados
cuantificadas en porcentaje
Tipologías la unión viga columna
Carga de Prueba [KN]
Deflexión Máxima [mm]
Elementos fracturados
Tensión normal máxima de compresión
en el hormigón en dirección X [MPa]
Tensión normal máxima de tracción en
el hormigón en dirección X [MPa]
Tensión normal máxima de compresión
en el hormigón en dirección Y [MPa]
Tensión normal máxima de tracción en
el hormigón en dirección Y [MPa]
Tensión tangencial máxima positiva
[MPa]
Tensión tangencial máxima negativa
[MPa]
Tensión principal S1 en el hormigón
[MPa]
Tensión principal S2 en el núcleo de
hormigón [MPa]
Tensión axial de compresión del acero
principal de la viga [MPa]
Tensión axial de tracción del acero
principal de la viga [MPa]
Tensión axial de compresión del acero
principal de la columna [MPa]
SR
35.7
3.43
86
H5
37.5
2.71
94
Dif.
0.72
8
%
Nota
21 Reduce
9.3 Aumenta
29.21
21.72
7.50
25.7 Reduce
6.77
7.50
0.73
10.8 Aumenta
20.35
20.18
0.17
0.8 Reduce
1.72
1.72
0.00
0.0
4.41
4.01
0.40
9.1 Reduce
9.25
8.96
0.29
3.2 Reduce
10.70
10.70
0.00
0.0
34.12
29.98
4.14
12.1 Reduce
79.25
73.11
6.14
7.8 Reduce
240.64
153.30
87.34
36.3 Reduce
89.25
88.11
1.14
7.8 Reduce
Sin
cambio
Sin
cambio
6.3.1 Comparación de los resultados del código con los de otros autores
Se realiza una comparativa entre los resultados obtenidos por el código del análisis
realizado con los resultados obtenidos por los autores mencionados en este trabajo:
Tabla Nro. 6.2 – Tabla comparativa de resultados entre (Medina, 2022) y (Lamas, 2019)
Medina, 2022
• Control de fisuras mediante estribos
abiertos en el nudo en las etapas
iniciales de carga
• Los estribos abiertos reducen el
desplazamiento total de la estructura
• Los estribos abiertos absorben parte
las tensiones que soporta el refuerzo
longitudinal de la viga
Lamas, 2019
• Resistencia mejorada por una
configuración de armado (CR) que
incluye estribos abiertos
• Los ganchos abiertos reducen el
desplazamiento total de la estructura
• La presencia de refuerzo en la unión
colabora a captar las tensiones de
tracción del refuerzo principal de la
viga
83
Tabla Nro. 6.3 – Tabla comparativa de resultados entre (Medina, 2022) y (Haach et al., 2008)
Medina, 2022
• La cuantía de estribos no afecta
significativamente al desempeño
mecánico de la unión en la fase I y II
• Los estribos abiertos reducen las
tensiones principales en el núcleo
• Sin carga axial variable
Haach, 2008
• Los estribos homogenizan los
esfuerzos principales en el núcleo
reduciendo las tensiones
• La carga axial mejora la rigidez en la
unión viga-columna
Tabla Nro. 6.4 – Tabla comparativa de resultados entre (Medina, 2022) y (Roeser, 2002)
Medina, 2022
• Los resultados no muestran el
agrietamiento diagonal, ya que el
comportamiento diverge antes de que
las fisuras aparezcan en el núcleo
Roeser, 2002
• El agrietamiento diagonal aumenta la
deformación global de la estructura
Tabla Nro. 6.5 – Tabla comparativa de resultados entre (Medina, 2022) y (Taylor, 1974)
Medina, 2022
• El alcance del código no permite
mostrar la fluencia del acero de la
viga o el momento de rotura del nodo
Taylor, 1974
• La capacidad resistente de la unión es
rebasada antes de que la viga alcance
el momento resistente máximo
6.3.2 Comparación entre la configuración de refuerzo propuesta y el de la ACI 352
Se muestra una comparación entre el modelo H5 y el refuerzo según la norma en la figura
Nro. 6.21 en donde el refuerzo adicional propuesto esta de color azul.
Figura Nro. 6.21 – Comparación de configuraciones de refuerzo entre el modelo H5 (izquierda) y el
propuesto por la ACI 352 para uniones viga-columna de tipo 1 (derecha)
84
VII. CONCLUSIONES
7.1 Conclusiones
De la recopilación de bibliografía especializada y de los resultados obtenidos mediante el
análisis de elementos finitos se puede establecer las siguientes conclusiones:
Las variables más importantes en el comportamiento de la unión viga columna son:
•
El grado de confinamiento de la unión que a su vez determina su clasificación.
•
La intensidad de carga sobre las columnas.
•
La capacidad de resistencia a cortante del nodo.
•
La armadura transversal en el núcleo.
•
La resistencia a compresión y tracción del hormigón.
La normativa propone un procedimiento de refuerzo basado en la capacidad resistente a
cortante del núcleo basado en un modelo de bielas y tirantes (Kassem, 2016) el cual no
toma en cuenta fenómenos como la fisuración del hormigón y comportamientos plástico
de materiales.
Las limitaciones en el alcance del código se producen al no incluir criterios de
plastificación y endurecimiento del hormigón y el acero, los cuales son necesarios para
poder replicar la fase III de plastificación de (Lazzari, 2015).
El alcance del código tampoco incluye la evaluación sobre el efecto de la carga axial
sobre el nodo viga-columna, ya que solo se puede obtener información de este fenómeno
a partir de la variación de esta carga como en el caso de (Haach et al., 2008)
Los resultados sobre la variación de cuantía de estribos en los modelos E1 y E2 parecen
indicar que un aumento en la cuantía del refuerzo transversal en el núcleo no altera el
diagrama carga-deformación en las fases de convergencia.
Las armaduras verticales propuestas en base al modelo de Bielas y Tirantes no mejoran
el rendimiento de la unión viga-columna al menos hasta antes de la etapa de plastificación.
Este resultado que coincide con los de otros autores según (Kassem, 2016).
El modelo H5 de dos barras horizontales propuesto en este trabajo presenta un mejor
desempeño mecánico que el modelo SR al menos durante la fase I y II del
comportamiento del hormigón armado. Esto se debe al trabajo que realizan las barras
85
horizontales mitigando la propagación de la fisuración que se produce en la viga, lo que
lo convierte en un modelo de refuerzo de acero óptimo durante las fases mencionadas.
La comparativa de resultados del código con los obtenidos por otros autores muestran que
determinados elementos de refuerzo de acero mejoran el rendimiento de la unión vigacolumna en las distintas fases de respuesta mecánica del hormigón armado descritas por
(Lazzari, 2015) como es el caso de los estribos cerrados que adquieren relevancia en la
etapa de agrietamiento diagonal del núcleo en etapas avanzadas de carga o la barra
diagonal del modelo CR la cual está dispuesta según la distribución de tensiones
principales de tracción en la etapa final de carga como muestra (Lamas, 2019)
VIII. RECOMENDACIONES
8.1 Recomendaciones
Cualquier análisis que realice el código propuesto en este trabajo posee una convergencia
con modelos experimentales solo hasta antes de la plastificación de materiales. Esta
limitante obliga al usuario a comparar los resultados del código con resultados
experimentales para identificar la zona de convergencia entre el modelo numérico y los
datos de laboratorio para poder delimitar su alcance en la investigación.
8.2 Sugerencias para trabajos futuros
El código puede ser complementado para poder incluir la plastificación de materiales para
que pueda realizar un análisis completo de cualquier estructura o subestructura de
hormigón armado. Así mismo se puede incluir el método de Newton-Raphson Para poder
solucionar el sistema no lineal de la estructura. También se puede incluir más variedad
de elementos finitos de más nodos tanto en 2D como en 3D. De hecho, la intención de la
investigación es la de proporcionar un código de base al cual se le añadan mejoras o sea
optimizado y pueda servir como una herramienta más versátil y confiable para el
calculista o investigador.
86
IX. BIBLIOGRAFIA
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