INTEGRALI notevoli indefiniti
 F(x) si dice “primitiva” di f(x) in un intervallo [a; b] se F(x) è derivabile nell’intervallo e:
F’(x) = f(x). Esistono infinite primitive di f(x): F(x) + c.
 L’integrale indefinito ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 è l’insieme di tutte le primitive.
 Condizione SUFFICIENTE per l’integrabilità è che f(x) sia continua in [a; b].
1) ∫ 𝑑𝑥 = x + c
2) ∫ 𝑥 𝑛 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑛+1 + 𝑐
𝑛+1
con 𝑛 ≠ −1
3) ∫ 1 𝑑𝑥 = ln|𝑥 | + 𝑐
𝑥
4) ∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 + 𝑐
𝑥
5) ∫ 𝑎 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎 + c
𝑙𝑛𝑎
6)
∫ 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐
7)
∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐
8)
∫ 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑐
9)
∫ 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑐
1
1
10) ∫ 1 𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐
√1 − 𝑥 2
11) ∫ 1 𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑐
1+ 𝑥 2
PROPRIETA’ DI LINEARITA’:
1) ∫[𝑓(𝑥 ) + 𝑔(𝑥 )]𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥 )𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
2) ∫ 𝑘𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥 = 𝑘 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
1
INTEGRAZIONI DI FUNZIONI COMPOSTE
E’ praticamente il procedimento inverso delle derivate di funzioni composte. Ricordiamo l’esempio delle
“scatole cinesi”: si trattava di derivare ogni funzione da quella più esterna a quella più interna, come se
dovessimo cercare le scatole una dentro l’altra.
In questo caso, devo fare in modo che le derivate delle “scatole cinesi” siano già tutte presenti
nell’integrale da calcolare per arrivare ad una soluzione “facile” la cui derivata mi restituisca la funzione
integranda.
Esempio:
∫ cos(5x)dx =
1
1
∫ 5𝑐𝑜𝑠(5𝑥 )𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛(5𝑥 ) + 𝑐
5
5
Come vedi, abbiamo dovuto “inventare” la moltiplicazione per il numero 5 nell’integrale per poter inserire
anche la derivata della funzione più interna (5x); siccome, però, questo numero 5 prima non esisteva,
abbiamo anche dovuto dividere per lo stesso numero 5 (infatti 5/5 =1) e, quindi, abbiamo moltiplicato per
1/5 fuori dall’integrale. A questo punto l’integrale di 5cos(5x) fa semplicemente sin(5x) moltiplicato per 1/5
per i motivi di cui sopra. Puoi verificare che la derivata di questo risultato restituisce la funzione integranda
che c’era all’inizio.
INTEGRAZIONI PER SOSTITUZIONE
Si effettua un cambiamento di variabile. Ricordarsi, alla fine, di tornare alla variabile iniziale.
INTEGRAZIONI PER PARTI
Formula:
∫ 𝑓 (𝑥 )𝑔′(𝑥 )𝑑𝑥 = 𝑓 (𝑥 )𝑔(𝑥 ) − ∫ 𝑓 ′ (𝑥 )𝑔(𝑥 )𝑑𝑥
In pratica, la funziona integranda è costituita dal prodotto di due funzioni differenti. Si tratta di decidere,
opportunamente, quale funzione considerare la f(x) da derivare e quale funzione considerare la g’(x) da
integrare per poi usare la formula scritta.
Es. pag. 1980 numero 349
Calcolare ∫ 𝑥𝑙𝑛(𝑥)𝑑𝑥
- Decido di considerare f(x) = ln(x)
1
- Calcolo f’(x) = 𝑥 e g(x)= ∫ 𝑥𝑑𝑥 =
e g’(x) = x.
𝑥2
2
- uso la formula: ∫ 𝑥𝑙𝑛(𝑥)𝑑𝑥 = ln(𝑥 )
𝑥2
2
1 𝑥2
−∫𝑥
2
𝑑𝑥 = ln(𝑥 )
𝑥2
2
−
𝑥2
4
+𝑐 =
𝑥2
2
1
(𝑙𝑛𝑥 − 2) + 𝑐
2
TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE
Se una funzione f(x) è CONTINUA in un intervallo [a; b], la sua funzione integrale F(x) è derivabile in [a; b]:
𝐹 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑥)
∀ 𝑥 ∈ [𝑎 ; 𝑏]
Possiamo calcolare l’INTEGRALE DEFINITO in questo modo:
𝑏
∫𝑎 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹 (𝑏 ) − 𝐹(𝑎) (teorema di Leibniz-Newton)
PROPRIETA’ DEGLI INTEGRALI DEFINITI
𝑎

∫𝑎 𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥 = 0

∫𝑎 𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥 = − ∫𝑏 𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥

∫𝑎 𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥 = ∫𝑎 𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥 + ∫𝑏 𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥

|∫𝑎 𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥 | ≤ ∫𝑎 |𝑓 (𝑥 )|𝑑𝑥

∫𝑎 𝑘𝑑𝑥 = 𝑘(𝑏 − 𝑎) dove k è una funzione costante.
𝑏
𝑐
𝑎
𝑏
𝑏
𝑐
con a < b < c
𝑏
𝑏
TEOREMA DELLA MEDIA INTEGRALE
Se una f(x) è CONTINUA in un intervallo [a; b] esiste ALMENO un punto z nell’intervallo per il quale:
𝑏
∫𝑎 𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥
𝑏
= (𝑏 − 𝑎)𝑓(𝑧)
da cui 𝑓 (𝑧) =
∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏−𝑎
, valore medio di f(x) nell’intervallo.
3
CALCOLO DELLE AREE
𝑏
 Se l’Area dell’intervallo [a; b] considerato è solo POSITIVA (sopra l’asse x) ∫𝑎 𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥 fornisce
proprio il valore dell’area compresa tra la funzione e l’asse x nell’intervallo [a; b].
 Se l’Area, nell’intervallo [a; b] considerato si estende sia sopra l’asse x (POSITIVA) sia sotto l’asse x
(NEGATIVA) si sommeranno le due aree calcolate con gli integrali (quella positiva avrà segno
positivo e quella negativa segno negativo)
 Se si deve calcolare l’Area, in un certo intervallo [a; b], della parte di piano compresa tra due
funzioni f(x) e g(x), si dovrà prima di tutto individuare quale tra le due funzioni, nell’intervallo, è
𝑏
superiore all’altra e poi fare la seguente differenza: 𝐴 = ∫𝑎 [𝑓 (𝑥 ) − 𝑔(𝑥 )]𝑑𝑥 se f(x) ≥ g(x).
 AREA DI UNA SUPERFICIE DI ROTAZIONE ATTORNO ALL’ASSE X:
𝑏
𝐴 = 2𝜋 ∫ 𝑓(𝑥)√1 + [𝑓 ′ (𝑥 )]2 𝑑𝑥
𝑎
CALCOLO DEI VOLUMI
 VOLUME DI UN SOLIDO DI ROTAZIONE ATTORNO ALL’ASSE X:
𝑏
𝑉 = 𝜋 ∫ 𝑓 2 (𝑥)𝑑𝑥
𝑎
 VOLUME DEI SOLIDI SAPENDO LA FUNZIONE AREA S(x):
𝑏
𝑉 = ∫ 𝑆(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
 VOLUME DI UN SOLIDO DI ROTAZIONE ATTORNO ALL’ASSE Y:
𝑏
𝑉 = 2𝜋 ∫ 𝑥𝑓 (𝑥)𝑑𝑥
𝑎
4