UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA Y DISEÑO
INDUSTRIAL
Modelado y simulación de descargas parciales internas,
arborescencias eléctricas y vida útil de dieléctricos poliméricos
sólidos utilizados en activos eléctricos
TESIS DOCTORAL
Johnatan Mauricio Rodríguez Serna
Magíster en Ingeniería e Ingeniero Electricista
2021
Departamento de Ingeniería Eléctrica, Electrónica,
Automática y Física Aplicada
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA Y DISEÑO
INDUSTRIAL
Modelado y simulación de descargas parciales internas,
arborescencias eléctricas y vida útil de dieléctricos poliméricos
sólidos utilizados en activos eléctricos
TESIS DOCTORAL
Autor:
Johnatan Mauricio Rodríguez Serna
Magíster en Ingeniería e Ingeniero Electricista
Director:
Ricardo Albarracín Sánchez
Dr. en Ingeniería Eléctrica, Electrónica y Automática
2021
LECTURA DE TESIS
El acto de lectura y defensa de la Tesis Doctoral se realizó el día ___ de _______ de _____, en la
Escuela Técnica Superior de Ingeniería y Diseño Industrial de la Universidad Politécnica de Madrid,
ante el tribunal aprobado por la Comisión de Doctorado de la UPM el __ de __________ de _____,
formado por los siguientes doctores:
Presidente:
Vocal:
Vocal:
Vocal:
Secretario:
El Presidente
El Secretario
Fdo.:_______________________
Fdo.:__________________________
El Vocal 1º
El Vocal 2º
Fdo.:___________________ Fdo.:___________________
El Vocal 3º
Fdo.:___________________
DEDICATORIA
A mi familia y a todos quienes me han acompañado en este proyecto.
I
AGRADECIMIENTOS
A mi familia por su apoyo y fe, a mi director de tesis por su guía y consejos y a todas las entidades que
de una manera u otra han apoyado para la realización de esta tesis: Fundación Carolina, Universidad
Politécnica de Madrid y Universidad de Antioquia.
II
1| RESUMEN Y GUÍA AL LECTOR
1.1 Resumen
Las sociedades modernas dependen altamente de un suministro confiable de energía eléctrica, lo que
implica que los equipos y sistemas que se utilizan en la cadena de generación, transporte y suministro
deben mantenerse operando de manera continua, evitando salidas inesperadas o no programadas.
Ningún equipo o sistema está libre de averías o faltas que pueden ser generadas por ausencia de
mantenimiento, uso inadecuado o problemas de fabricación, entre otros. Es claro que, si se desea
garantizar la operación confiable y segura de un equipo eléctrico, inherentemente deberá verificarse el
funcionamiento adecuado de su sistema de aislamiento eléctrico y, además, en caso de detectarse la
existencia de fallos en éste, dicha detección deberá hacerse en una etapa temprana de la falta, de manera
que se puedan planear de manera anticipada las acciones correctivas y que los costos asociados a las
reparaciones y pérdida del suministro eléctrico se puedan reducir.
En dieléctricos poliméricos sólidos las Descargas Parciales (DP) en cavidades en el interior de aquellos
representan el mecanismo de degradación dominante, induciendo la aparición de arborescencias
eléctricas que se propagan rápidamente a través del dieléctrico sólido desde la superficie de las
cavidades hasta que se produce la falta total del aislamiento eléctrico. Debido a este hecho, las
mediciones de DP en los sistemas de aislamiento de activos eléctricos brindan una información muy
valiosa acerca del estado de envejecimiento y, como se propone en esta tesis, pueden usarse para
estimar la vida útil remanente en conjunto con resultados de simulación.
Esta tesis doctoral es resultado de una investigación basada en modelamiento y simulación en busca de
comprender y aportar al conocimiento acerca de los diferentes procesos físicos relacionados con los
fenómenos de DP en cavidades en el interior de dieléctricos poliméricos sólidos y como ésta actividad
de DP en cavidades degrada el material dieléctrico hasta ocasionar la ruptura del sistema de aislamiento.
En esta tesis se revisan y discuten los diferentes modelos que permiten la simulación de DP internas, de
la propagación de arborescencias eléctricas y la estimación de la vida útil remanente en dieléctricos
sólidos poliméricos. A partir del estudio y análisis teórico de los fenómenos y de los modelos existentes,
se proponen varios modelos novedosos que permiten mejorar la precisión de las simulaciones,
considerar las características multifísicas de los fenómenos estudiados y características de no
homogeneidad de los materiales dieléctricos.
Entre los modelos propuestos para simular DP en cavidades y arborescencias en el interior de
dieléctricos sólidos se tienen:
1. Un modelo analítico mejorado
2. Un novedoso modelo analítico multifísico
3. Un modelo de tres condensadores mejorado
4. Un novedoso modelo electrostático de elementos finitos
5. Un nuevo modelo híbrido de elementos finitos
6. Un modelo determinístico mejorado para la simulación de DP en arborescencias eléctricas
7. Un novedoso modelo estocástico para la simulación de DP en arborescencias eléctricas
8. Un modelo físico mejorado para la simulación de propagación de arborescencias eléctricas en
sólidos dieléctricos poliméricos
Los modelos fueron validados mediante comparación entre resultados de simulación y mediciones
experimentales reportadas por otros autores. Adicionalmente, el análisis de los resultados de
simulación de diferentes casos de estudio ha permitido obtener conclusiones acerca de los procesos y
mecanismos de degradación inducida por las DP en cavidades y arborescencias en el interior de
dieléctricos sólidos, discutir la validez y pertinencia de parámetros de medios y variables definidas en
modelos previos y proponer hipótesis adicionales acerca del efecto de los materiales compuestos en la
propagación de arborescencias y la relación entre la energía disipada por las DP en las arborescencias y
la tasa y dirección de propagación. La verificación de estas últimas hipótesis requerirá de comprobación
experimental que se realizará en el futuro, en el marco de un proyecto internacional con financiación
pública y privada.
III
De igual manera, se propone una novedosa metodología que permite estimar la degradación inducida
por la actividad de DP en cavidades en el interior de dieléctricos sólidos poliméricos y calcular la vida
útil remanente a partir de resultados de simulación, considerando las interacciones a nivel microscópico
de la estructura de los materiales dieléctricos poliméricos sólidos y los mecanismos de degradación
activados por las DP a través de una novedosa función de daño. Además, se presenta un novedoso y
original modelo de vida para dieléctricos sólidos poliméricos en función de la energía de impacto de los
electrones durante las DP y se propone un nuevo, original y práctico indicador de la tasa de degradación
con base en el valor pico de la corriente inducida por las DP.
El estado del arte, los modelos, metodología e indicador de degradación propuestos, así como los
resultados de la investigación y principales aportaciones al conocimiento, fueron presentados en varias
publicaciones en revistas indexadas posicionadas en los primeros cuartiles (nueve) y en congresos
internacionales (tres). Algunas de las publicaciones de revista (seis) se incluyen en el cuerpo de este
documento y permiten la presentación de esta tesis en la modalidad de compendio de artículos.
Los modelos y métodos propuestos en esta tesis son útiles, no solamente desde un punto de vista
meramente analítico, sino además en el campo práctico de la ingeniería, ya que pueden usarse en
conjunto con medidas experimentales y técnicas de inteligencia artificial para implementar
herramientas de diagnóstico de equipos eléctricos en servicio. Además, pueden desarrollarse otras
futuras líneas de investigación a partir de los resultados obtenidos y los modelos presentados en esta
tesis.
El contenido y estructura de esta tesis de doctorado se describen en la siguiente sección.
1.2 Guía del lector
Esta tesis se presenta en la modalidad de compendio de publicaciones por lo que este documento no
pretende ser una monografía completa y en lugar de ello, la esencia de este documento radica en la
colección de artículos realizados por el autor. De acuerdo a los lineamientos establecidos por la
Universidad Politécnica de Madrid (UPM) para la presentación de tesis doctoral en esta modalidad, las
publicaciones deben cumplir con los siguientes requerimientos: “El doctorando deberá ser primer autor
de un mínimo de tres artículos en revistas que figuren en los listados JCR o Scopus en posiciones Q1 o
Q2, realizadas durante el periodo de duración de la tesis doctoral, con la afiliación a la Universidad
Politécnica de Madrid”. Las publicaciones compendiadas en el Capítulo 4 de esta tesis satisfacen los
anteriores requerimientos, como puede verificarse en este mismo capítulo y en el Anexo D. De igual
manera, la UPM establece lineamientos claros acerca de la estructura del documento de tesis y su
contenido, como a continuación se describe.
En el Capítulo 2 se presenta la introducción general del documento de tesis. En la Sección 2.1, se presenta
el interés de la investigación, donde se muestra la situación problemática y la motivación para la realizar
la misma. Los aspectos relevantes del conocimiento previo que conducen a los avances de la tesis se
presentan en la Sección 2.2, donde se describen los materiales considerados para las simulaciones y
análisis, y se muestran sus aplicaciones en los sistemas de aislamiento de diferentes equipos usados en
las redes e instalaciones eléctricas de diferentes niveles de tensión y potencia. Se presentan los aspectos
relevantes del conocimiento previo y un estado del arte del modelamiento y simulación de DP en
cavidades en el interior de dieléctricos poliméricos, de propagación de arborescencias en sólidos
dieléctricos, de DP en arborescencias y de estimación de vida útil de dichos materiales aislantes.
Finalmente, en la Sección 2.3 se presentan los objetivos de la tesis e hipótesis de partida planteados para
aportar a la solución de la situación problemática.
En el Capítulo 3, se presenta la metodología empleada para el desarrollo y evaluación de los resultados.
En la Sección 3.1 se presentan la metodología y recursos utilizados para dar cumplimiento a los objetivos
establecidos. Posteriormente, en la Sección 3.2 se describe el proceso de experimentación y evaluación
de resultados. Finalmente, en la Sección 3.3 se muestra el procedimiento para el análisis estadístico de
los resultados.
En el Capítulo 4, se presenta la colección de publicaciones escogidas entre las realizadas a lo largo de los
estudios de doctorado para cumplir los requerimientos de presentación en la modalidad de compendio
de artículos. Se presentan seis artículos de revista relacionados con los objetivos establecidos de la
siguiente manera: tres para el objetivo 1, dos para el objetivo 2 y una para el objetivo 3. Para cada
IV
documento se incluye un cuadro en el cual se resumen características de los artículos y las revistas tales
como: título del artículo, autores, nombre de la revista, volumen y número, año y rango de páginas,
clasificación en JCR y Scopus, ISSN, DOI, si es de acceso abierto, palabras clave y resumen en inglés. Cada
una de las publicaciones incluidas corresponde a la versión definitiva publicada por la revista en sus
bases de datos de acceso electrónico.
En el Capítulo 5, se presenta la discusión general de resultados reportados en los artículos del Capítulo
4. En la Sección 5.1 se realiza la descripción integrada de la solución implementada para lograr el
cumplimiento de los objetivos establecidos. En la Sección 5.2 se analizan los principales resultados
obtenidos y presentados en las publicaciones del Capítulo 4, se incluyen además tablas y figuras
complementarias obtenidas a partir de los resultados en las publicaciones y se indican las aportaciones
de estas al cumplimiento de los objetivos establecidos. Las conclusiones generales obtenidas durante el
desarrollo de la tesis, así como algunas específicas obtenidas a partir del análisis de los resultados
mostrados en las publicaciones del Capítulo 4 se presentan en la Sección 5.3. Finalmente, en la Sección
5.4 se describen algunas futuras líneas de investigación que se pueden desarrollar a partir de los
resultados obtenidos y los modelos propuestos y validados en esta tesis.
En el Capítulo 6, se presentan las referencias bibliográficas.
Finalmente, se incluyen cuatro anexos (A, B, C y D). El Anexo A, contiene un informe no publicado aún
en el que se muestran los resultados de un estudio de la propagación de arborescencias eléctricas en
sólidos dieléctricos poliméricos no homogéneos y con carga espacial. El Anexo B contiene un artículo de
revista realizado en conjunto con investigadores internacionales (Virginia Tech.) en el cual se revisan y
discuten los modelos de elementos finitos para la simulación de DP en cavidades en el interior de
dieléctricos sólidos y se propone un modelo analítico mejorado. En el Anexo C, se presenta un artículo
de conferencia (TPEC-2021) en el cual se propone un modelo nuevo de vida basado en la energía de
impacto de los electrones durante las DP y un novedoso indicador de la tasa de degradación inducida
por la actividad de las DP en función del valor pico de la corriente inducida por aquellas en los electrodos
de alta tensión. Para terminar, en el Anexo D se resumen los resultados científicos de la investigación
realizada para dar cumplimiento a los objetivos establecidos: publicaciones, participación en proyectos,
asesorías a trabajos de fin de grado y registro de software.
1.2.1 Palabras clave
A continuación, se listan las palabras clave relacionadas con el contenido de este documento de tesis:
Modelamiento y simulación de descargas parciales, modelamiento y simulación de arborescencias
eléctricas, envejecimiento de dieléctricos, ruptura dieléctrica, estimación de vida útil remanente,
diagnóstico de sistemas de aislamiento, alta tensión, activos eléctricos, dieléctricos poliméricos sólidos,
monitoreo de la condición.
V
1.3 Abstract
Modern societies are highly dependent on a reliable supply of electrical energy, which implies that the
electrical assets and equipment used in electric power generation, transmission and distribution
systems must be maintained in constant operation, avoiding unexpected or unscheduled outages. No
equipment or system is free from defects or failures that can be due to a lack of maintenance, improper
use or, among others, manufacturing problems. It is necessary to verify the proper operation of
electrical-asset insulation systems in order to confirm reliability and safety conditions. In addition, in
the case of faults in the insulation system such detection must be made at an early stage so that
corrective actions may be planned and costs associated with repairs and loss of electrical supply
reduced.
In solid polymeric dielectrics, internal partial discharges (PD, in the singular form) in cavities represent
the dominant degradation mechanism. The PD activity in cavities causes the inception of electrical trees
that propagate rapidly through the solid dielectric from the surface of the cavities until electrical
insulation breakdown. For this reason, PD measurements obtained in electrical asset insulation systems
provide highly valuable information about the aging state and, as will be proposed in the doctoral thesis,
may be used to estimate the remaining lifespan in conjunction with simulation results.
The thesis entitled Modelling and Simulation of Internal Partial Discharges, Electrical Treeing and
Lifetime Prognosis of Solid Polymeric Dielectrics Used in Electrical Assets is the result of research based
on modelling and simulation with the purposes of both understanding, and contributing to, what is
known about the physical processes related to the phenomena of PD in cavities inside solid polymeric
dielectrics. It also seeks to comprehend how PD activity in cavities degrades the dielectric material in
causing a breakdown of the insulation system. The models for simulating PD in cavities, simulating
propagation of electrical trees and estimating the remaining lifespan in polymeric solid dielectrics are
reviewed and discussed. Based on the study and theoretical analysis of the phenomena and existing
models, several new models are proposed that allow improvements in the precision of simulations and
consideration of the multiphysics characteristics of the studied phenomena and inhomogeneity of the
dielectric materials.
Among the models proposed for simulating PD, both in cavities and in electrical trees, and propagation
of electrical trees inside solid dielectrics are the following:
1. An improved PD analytical model
2. A novel multiphysics PD analytical model
3. An improved three-capacitance PD model
4. A novel electrostatic PD finite element model
5. A new hybrid PD finite-element model
6. An improved deterministic model for simulating PD in electrical trees
7. A novel stochastic model for simulating PD in electrical trees
8. An improved physical model for simulating the propagation of electrical trees in solid polymeric
dielectrics
The models were validated by comparison between simulation results and experimental measurements
reported by in the published literature. Additionally, analysis of the simulation results of case studies
allowed conclusions to be obtained about the processes and mechanisms of the degradation induced by
PD in cavities and in electrical trees inside solid dielectrics. In addition, this also enabled the validity and
appropriateness of media parameters and variables defined in previous models to be discussed. Lastly,
hypotheses about the effect of composite materials on tree propagation and on the relationship between
the energy dissipated by PD, and the tree growth rate and direction of propagation, were formulated.
Verification of these last hypotheses will require experimental validation that will involve future
international in-laboratory research supported by funding from the public and private sectors.
Similarly, a novel methodology for estimating the degradation induced by PD activity in cavities inside
solid polymeric dielectrics and, consequently, calculating the remaining lifespan from simulation
results, is proposed. This methodology uses a novel damage function that considers the interactions at
the microscopic level between the structure of solid polymeric dielectric materials and the degradation
mechanisms activated by PD. In addition, a novel life model for solid polymeric dielectrics as a function
VI
of the impact energy of the electrons during PD, and a new and practical indicator of the degradation
rate, based on the peak value of the PD-induced current, are presented.
The state of the art, proposed models, methodology and indicator of degradation, as well as the results
obtained from the research and main contributions to the field, have been published in nine indexed
journal articles (journals positioned at the first three quartiles in the Journal Citation Report, JCR)
indicator and presented in three international conference papers. Six of the indexed articles are included
in the body of this document and allow the presentation of the thesis in the form of a compendium of
publications.
The models and methods proposed are useful not merely from an analytical point of view but also in the
practical field of engineering, given that they may be used in conjunction with experimental
measurements and artificial-intelligence techniques to implement diagnostic tools for electrical
equipment in-service. In addition, other future lines of research could be developed from the results and
the models presented.
The content and structure of the thesis are described in the following section.
1.4 Reader’s guide
The thesis is presented in the form of a compendium of publications, given that the manuscript is a
collection of articles written by the author instead of a monograph. According to the guidelines
established by the Universidad Politécnica de Madrid (UPM) regarding doctoral theses, “the PhD student
must be the lead author of a minimum of three articles in journals that appear in the JCR or Scopus lists
in positions Q1 or Q2, carried out during the duration of the doctoral thesis, with affiliation to the
Universidad Politécnica de Madrid”. The publications summarised in Chapter 4 satisfy such a
requirement, as may be verified in the chapter and in Annex D. Similarly, the UPM establishes clear
guidelines about the structure of the thesis document and its content, as described below.
The general introduction is presented in Chapter 2. In section 2.1, the interest of the research is
presented, where the problem to be addressed and the reason for carrying out research are provided.
The aspects regarding the prior knowledge are presented in Section 2.2, where the materials considered
for the simulations and analysis are also described (along with applications in the insulation systems of
equipment used in the networks and electrical installations at various voltage and power levels). The
current state of the art of the modelling and simulation of PD in cavities, propagation of electrical trees,
PD in electrical trees and estimate of the lifespan of solid polymeric dielectrics, are also presented.
Lastly, the thesis objectives and initial hypotheses formulated for contributing to the solution of the
aforementioned situation are included in Section 2.3.
In Chapter 3, the methodology used for the preparation and evaluation of the results is presented. In
Section 3.1, the methodology and resources used to fulfil the established objectives are provided.
Subsequently, the processes of experimentation and evaluation of results are presented in Section 3.2.
Lastly, the procedure for the statistical analysis of the results is shown in Section 3.3.
Chapter 4 corresponds to the compendium of publications which includes six journal articles related to
the stated objectives. They are presented as follows: three for Objective 1, two for Objective 2 and one
for Objective 3. For each paper, a table is included in which characteristics of the articles and journals
are summarised such as article title, author details, journal name, volume and number, year and page
range, classification in JCR and Scopus, the International Standard Serial Number (ISSN), the Digital
Object Identifier (DOI) if it is open-access, keywords and abstract in the English language. Each of the
publications in Chapter 4 corresponds to the final version published by the journals and included in the
respective electronic database.
In Chapter 5, the general discussion of the results reported in the articles in Chapter 4 is presented. In
Section 5.1, the integrated description of the solution implemented for the fulfilment of the established
objectives is made. The analyses of the main results obtained and presented in the publications in
Chapter 4 are presented in Section 5.2. Complementary tables and figures, obtained from the results in
the publications, are also included and the contributions of publications to the accomplishment of
objectives are indicated. The general conclusions obtained during the development of the thesis, as well
as certain specific ones obtained from the analyses of the results shown in the publications of Chapter
4, are presented in Section 5.3. Lastly, future lines of research that may be developed from the results
VII
obtained and the models proposed and validated, are described in Section 5.4. In Chapter 6, the
bibliographic references are presented.
Lastly, four annexes are included and named A, B, C and D. Annex A contains an unpublished report that
shows the results obtained from a study on the propagation of electrical trees in inhomogeneous and
with space charge, solid polymeric dielectrics. Annex B contains a journal article written in conjunction
with international researchers at Virginia Tech. in which the PD finite-element models are reviewed and
discussed, and an improved PD analytical model proposed. In Annex C, a conference paper (TPEC-2021)
is presented in which a new life model and a novel indicator of the degradation rate induced by the PD
activity are presented. Additionally, the Annex D summarises the scientific results obtained from the
research: publications, participation in projects, advice provided to students in their end-of-degree
project and software registration.
1.4.1 Keywords
The keywords related to the content are as follows: modelling and simulation of partial discharges,
modelling and simulation of electrical trees, aging of dielectrics, dielectric breakdown, estimate of
remaining lifespan, diagnosis of insulation systems, high voltage, electrical assets, solid polymeric
dielectrics, condition monitoring.
VIII
CONTENIDO
DEDICATORIA ......................................................................................................................................I
AGRADECIMIENTOS ...........................................................................................................................II
1| RESUMEN Y GUÍA AL LECTOR ..................................................................................................... III
1.1 Resumen ................................................................................................................................................................................... III
1.2 Guía del lector......................................................................................................................................................................... IV
1.2.1 Palabras clave.................................................................................................................................. V
1.3 Abstract ..................................................................................................................................................................................... VI
1.4 Reader’s guide ...................................................................................................................................................................... VII
1.4.1 Keywords ...................................................................................................................................... VIII
CONTENIDO ...................................................................................................................................... IX
2| INTRODUCCIÓN .............................................................................................................................1
2.1 Interés de la investigación .................................................................................................................................................. 2
2.1.1 Situación problemática................................................................................................................... 2
2.1.2 Motivación e interés de la investigación ....................................................................................... 3
2.2 Aspectos relevantes del conocimiento previo que conducen a los avances de la tesis ............................. 4
2.2.1 Materiales considerados para las simulaciones y análisis .......................................................... 4
2.2.2 Modelamiento y simulación de DP en cavidades esféricas en el interior de materiales
dieléctricos poliméricos sólidos ............................................................................................................. 7
2.2.3 Modelamiento y simulación de propagación de arborescencias eléctricas en dieléctricos
poliméricos sólidos ................................................................................................................................ 21
2.2.4 Modelamiento y simulación de DP en arborescencias eléctricas ............................................. 24
2.2.5 Evaluación de la degradación inducida por DP en materiales dieléctricos poliméricos y
estimación de la vida útil ....................................................................................................................... 26
2.3 Objetivos de la tesis e hipótesis de partida ............................................................................................................... 29
2.3.1 Hipótesis de partida...................................................................................................................... 29
2.3.2 Objetivos ........................................................................................................................................ 30
3| METODOLOGÍA ............................................................................................................................31
3.1 Metodología y recursos para los objetivos ................................................................................................................ 31
3.1.1 Objetivo 1: Modelamiento y simulación de DP en cavidades al interior de sólidos dieléctricos
poliméricos ............................................................................................................................................. 31
3.1.2 Objetivo 2: Modelamiento y simulación de propagación de arborescencias eléctricas en el
interior de sólidos dieléctricos ............................................................................................................. 36
3.1.3 Objetivo 3: Modelar la expectativa de vida útil de los sistemas de aislamiento eléctrico sólido
................................................................................................................................................................. 38
3.2 Experimentación y evaluación ....................................................................................................................................... 39
3.3 Análisis estadístico .............................................................................................................................................................. 40
4| COMPENDIO DE PUBLICACIONES ..............................................................................................41
5| DISCUSIÓN GENERAL, CONCLUSIONES Y FUTURAS INVESTIGACIONES .............................151
5.1 Descripción integrada de la solución ........................................................................................................................ 151
5.2 Análisis de resultados ..................................................................................................................................................... 152
5.2.1 Objetivo 1: Modelamiento y simulación de DP en cavidades en el interior de sólidos
dieléctricos poliméricos ...................................................................................................................... 154
IX
5.2.2 Objetivo 2: Modelamiento y simulación de propagación de arborescencias eléctricas en el
interior de sólidos dieléctricos poliméricos ...................................................................................... 161
5.2.3 Objetivo 3: Modelar la expectativa de vida útil de los sistemas de aislamiento eléctrico sólido
polimérico............................................................................................................................................. 170
5.2.4 Publicaciones complementarias ................................................................................................ 175
5.2.5 Otras publicaciones .................................................................................................................... 177
5.3 Conclusiones ....................................................................................................................................................................... 177
5.3.1 Conclusiones generales e hipótesis ............................................................................................ 177
5.3.2 Conclusiones específicas .............................................................................................................. 181
5.4 Conclusions ......................................................................................................................................................................... 182
5.4.1 General conclusions and hypotheses ........................................................................................... 182
5.4.2 Specific conclusions ...................................................................................................................... 186
5.5 Futuras líneas de investigación................................................................................................................................... 187
6| BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................................................189
7| ANEXOS.......................................................................................................................................203
Anexo A: propagación arborescencias en dieléctricos homogéneos y no-homogéneos ............................ 203
A.1 Caso de estudio 1, caso base........................................................................................................... 203
A.2 Casos de estudio 2, 3 y 4, propagación de arborescencias en dieléctricos sólidos con barreras
dieléctricas ............................................................................................................................................. 205
A.3 Casos de estudio 5 y 6, propagación de arborescencias en dieléctricos sólidos con nohomogeneidades en la carga espacial y la conductividad eléctrica ...................................................... 207
A.4 Casos de estudio 7 y 8, propagación de arborescencias en dieléctricos sólidos homogéneos de
distinta conductividad eléctrica ............................................................................................................ 210
A.5 Conclusiones complementarias de los casos de estudio 1 a 8 en el Anexo A................................. 213
Anexo B: publicación complementaria O1-2C .............................................................................................................. 216
Anexo C: publicación complementaria O3-1C .............................................................................................................. 228
Anexo D: resumen de publicaciones y productos de investigación..................................................................... 235
LISTA DE FIGURAS ..........................................................................................................................239
LISTA DE TABLAS............................................................................................................................241
X
2| INTRODUCCIÓN
Esta tesis es el resultado de una investigación meticulosamente realizada sobre las temáticas de
modelado y simulación de Descargas Parciales (DP) internas, arborescencias eléctricas y vida útil de
dieléctricos poliméricos sólidos utilizados en activos eléctricos como alternadores de centrales
hidráulicas, transformadores de potencia, cables aislados, etc. Durante la elaboración de esta tesis se
revisaron y discutieron los diferentes modelos existentes y se propusieron modificaciones y modelos
novedosos que mejoran los procesos de modelamiento y simulación existentes. Se simularon varios
casos de estudio que permitieron validar los modelos novedosos propuestos y además permitieron
obtener una mejor comprensión de los fenómenos modelados y simulados. Se estudió el fenómeno de
las DP en el interior de cavidades y canales de arborescencias eléctricas en dieléctricos sólidos como
fuente causal del proceso de degradación de los materiales dieléctricos poliméricos sólidos y se
propusieron métodos y modelos novedosos y originales que permiten la estimación de la vida útil
remanente usando resultados de simulación. Adicionalmente, se propuso un indicador que permite la
estimación de la degradación inducida por las DP en el interior de dieléctricos poliméricos sólidos
usando mediciones experimentales en activos eléctricos en servicio. Finalmente, se propusieron futuras
líneas de investigación que pueden desarrollarse a partir de los modelos, métodos y resultados
obtenidos en esta tesis.
Este documento de tesis se organiza de la siguiente manera: en este Capítulo 2, se presentan el interés
de investigación y objetivos de la tesis, y se incluye una sección en la que se tratan los aspectos
relevantes del conocimiento previo que conducen a los avances de la tesis, adicionalmente, se describen
los materiales, tipos de DP y geometría del objeto de ensayo para los análisis presentados en esta tesis.
En el Capítulo 3, se expone la metodología implementada para el cumplimiento de los objetivos
establecidos y la verificación de las hipótesis planteadas. En el Capítulo 4, se exhibe la colección de
artículos publicados en revistas científicas que permiten la presentación de esta tesis en la modalidad
de compendio de publicaciones. El Capítulo 5 muestra la discusión general de resultados presentes en
los documentos científicos del capítulo previo, las conclusiones obtenidas con el desarrollo de esta tesis
y las posibles futuras investigaciones a partir de los resultados obtenidos. Finalmente, se presentan
cuatro anexos (A, B, C y D):
- El Anexo A contiene un informe, no publicado aún, acerca de la simulación de propagación de
arborescencias en dieléctricos sólidos no uniformes y con carga espacial
- En el Anexo B se presenta un artículo de revista realizado con investigadores de un centro de
investigación extranjero, Virginia Tech. (Estados Unidos de América), en el que se propone un
modelo analítico mejorado para la simulación de DP en cavidades
- En el Anexo C se muestra un artículo de conferencia en el que se propone un novedoso modelo
de vida basado en la energía de impacto de los electrones producidos durante la actividad de DP.
Este artículo fue presentado en la conferencia TPEC-2021, realizada en Texas, Estados Unidos
de América
- Para terminar, en el Anexo D se incluye una tabla que resume todas las publicaciones y otros
resultados como producto de investigación realizada durante los estudios de doctorado
Esta tesis se presenta en modalidad de compendio de publicaciones, por lo que este capítulo, sirve
además como resumen del estado del arte e introducción general a las temáticas tratadas en las
divulgaciones que han sido seleccionadas para satisfacer los requerimientos establecidos para la
presentación de la tesis en esta modalidad y que dan sustento al cumplimiento de los objetivos
planteados. Por lo anterior, el lector podría obviar la lectura de las secciones de introducción y estado
del arte en cada una de las publicaciones presentadas en el cuarto capítulo de esta tesis y se seguiría
manteniendo la unidad temática.
Por otro lado, en la Sección 2.2, al final de la presentación de los aspectos relevantes del conocimiento
previo en cada temática de interés, definidas a partir de los objetivos planteados, se describen
brevemente las aportaciones logradas con las publicaciones relacionadas a cada una de dichas
temáticas.
Este capítulo se organiza de la siguiente manera: en primera instancia, se presenta el interés de la
investigación en la Sección 2.1; luego, se presentan los aspectos relevantes del conocimiento previo que
1
conducen a los avances de la tesis, en la Sección 2.2; y finalmente, las hipótesis de partida y objetivos de
la tesis en la Sección 2.3.
2.1 Interés de la investigación
En esta sección se presentan la situación problemática de interés, así como la motivación para el
desarrollo de esta tesis. En primera instancia, se describen los efectos de las DP en el envejecimiento de
los sistemas de aislamiento eléctrico sólido y se muestran resultados de diagnósticos de faltas y daños
en alternadores de centrales hidráulicas, reportados por otros investigadores, que permiten tener una
idea ponderada de la situación problemática. Posteriormente, se describen las dificultades y retos
planteados por la situación problemática para la estimación adecuada de la vida útil remanente de los
sistemas de aislamiento de equipos eléctricos. Finalmente, se describen brevemente, el enfoque de
solución, los resultados esperados y las temáticas a las que se busca aportar con el desarrollo de esta
tesis.
2.1.1 Situación problemática
El dimensionamiento económico y confiable de los equipos que hacen parte de los sistemas de
generación, transmisión, distribución y uso final de la electricidad, tales como alternadores,
transformadores de potencia, cables aislados, motores, etc. así como de los accesorios que permiten su
operación confiable y segura, como terminales, aisladores, protecciones, equipos de maniobra, etc.,
necesariamente requiere de la estimación de la vida útil de todos sus componentes, entre ellos, los
sistemas de aislamiento eléctrico. Para la estimación y evaluación de la vida útil de los sistemas de
aislamiento eléctrico sólido existen modelos macroscópicos basados en una descripción
fenomenológica del proceso de envejecimiento y degradación en materiales dieléctricos causada por
esfuerzos globales (no localizados) de tipo eléctrico, mecánico y térmico (Montanari, 2013). Sin
embargo, debido a deficiencias durante la construcción e instalación, así como consecuencia del mismo
proceso de envejecimiento, pueden aparecer cavidades esféricas llenas de gas en el interior de los
materiales dieléctricos sólidos en las cuales, debido a un efecto de intensificación local de la intensidad
de campo eléctrico por la diferencia relativa de la permitividad eléctrica, pueden presentarse DP que
activan procesos de degradación localizada y acelerada que reducen drásticamente el tiempo hasta la
ruptura (Montanari, 2009; Montanari & Cavallini, 2013). En algunos equipos eléctricos tales como los
alternadores usados en centrales hidráulicas y transformadores de potencia, las DP aparecen como una
de las principales causas de faltas eléctricas en los sistemas de aislamiento eléctrico (CIGRE WG A1.10,
2009; CIGRE WG A2.37, 2015; Tenbohlen et al., 2015), Figura 1.
3%
7%
24%
Envejecimiento
3%2%
31%
10%
Daños de aislamiento
Daños térmicos
56%
Contaminación de
devanados
Descargas parciales
internas
Aflojamiento de barras
en las ranuras
Daños mecánicos
Daños de rodamientos
17%
Ciclos térmicos o
sobrecargas
22%
25%
Protección de corona
defectuosa
Sobretensiones
(a)
(b)
Figura 1. a, Distribución de causas de daño en alternadores usados en centrales hidráulicas, b, Causas fundamentales del daño
del aislamiento en alternadores usados en centrales hidráulicas. Adaptado de (CIGRE WG A1.10, 2009).
Es claro que las DP en el interior de cavidades esféricas pueden llevar hasta la ruptura total del sistema
de aislamiento, ya que como resultado de la degradación inducida por aquellas en la superficie de la
cavidad, aparecen cráteres y pozos, en los cuales, debido a un efecto de intensificación del campo
2
eléctrico, se originan arborescencias eléctricas que se propagan rápidamente a través del material
dieléctrico hasta que se produce la ruptura completa del aislamiento (Shibuya et al., 1977).
Como se mencionó previamente, las DP activan los procesos más rápidos de degradación en materiales
dieléctricos poliméricos por lo que las variables medibles asociadas a los eventos de DP brindan
información bastante valiosa y significativa del estado de envejecimiento del material aislante
(Temmen, 2000). Sin embargo, la cuantificación precisa del tiempo hasta la ruptura una vez las DP han
sido detectadas sigue siendo hasta hoy una tarea compleja porque, entre muchas cosas, no se tiene
totalmente definido el mecanismo predominante de degradación asociado a las DP (Bahadoorsingh &
Rowland, 2007; Morshuis, 1995; Tanmaneeprasert et al., 2017). Además, como resultado de la
degradación misma, la conductividad de la superficie y su morfología, así como la composición, presión
y temperatura del gas al interior de la cavidad, cambian durante el tiempo bajo el cual el sistema está
sometido a las DP (Tanaka, 1986), lo cual implica que la tasa de degradación no es constante, y aunque
muchos de estos cambios pueden inferirse a través del análisis de la evolución de los patrones resueltos
en fase y en el tiempo (Holboll & Henriksen, 1992), la evaluación precisa del daño acumulado y la
cuantificación del tiempo hasta la ruptura usando variables medidas externamente, es una tarea aún
pendiente de resolver, ya que no existe una relación directa y explicita entre las magnitudes que
producen daño al interior de las cavidades y aquellas que se pueden medir en terminales del equipo
(Kurrat, 1992).
2.1.2 Motivación e interés de la investigación
Con el fin de aportar a la solución de la situación problemática previamente descrita, se desarrolló ésta
tesis doctoral en la cual se utiliza un enfoque basado en modelamiento y simulación para comprender
la forma en la que las DP en el interior de las cavidades llenas de gas degradan el material aislante
polimérico sólido, iniciándose el proceso de ruptura dieléctrica, y como resultado esperado poder
evaluar el daño inducido y cuantificar el tiempo remanente de vida útil. Para ello, es necesario, en
primera instancia, modelar y simular las DP que afectan al interior de las cavidades. Posteriormente, se
requiere modelar y simular el proceso de propagación de arborescencias eléctricas en materiales
dieléctricos sólidos. Finalmente, es necesario cuantificar el tiempo remanente de vida útil usando los
modelos y resultados de simulación obtenidos en las dos actividades de investigación previas.
Ésta tesis se centra en el modelamiento y simulación como estrategia fundamental para analizar los
procesos físicos y químicos asociados a la actividad de DP y su efecto en los materiales dieléctricos. Con
el desarrollo de esta tesis doctoral se busca aportar al conocimiento en tres ejes temáticos
fundamentales:
1. Modelamiento y simulación de actividad de DP en cavidades internas de dieléctricos sólidos
2. Modelamiento y simulación de arborescencias eléctricas que afectan al interior de dieléctricos
sólidos
3. Estimación de la vida útil remanente de materiales dieléctricos sólidos una vez se detecta la
presencia de DP en su interior
Las temáticas listadas anteriormente están interrelacionadas entre sí, teniendo en cuenta la raíz causal
de la degradación inducida por las DP en el interior de las cavidades y su evolución hasta la ruptura del
aislamiento, como se describió en la presentación de la situación problemática. Además de la
comprensión de los diferentes fenómenos implícitos asociados a las tareas de modelamiento y
simulación descritas anteriormente, se busca la obtención de métodos y herramientas útiles en el campo
de la ingeniería eléctrica para el diagnóstico de los equipos con base en medición de DP.
3
2.2 Aspectos relevantes del conocimiento previo que conducen a los avances de
la tesis
En esta sección del documento de la tesis se describen los materiales considerados durante las
simulaciones y se incluye un breve resumen de sus aplicaciones en los sistemas de aislamiento de
equipos eléctricos, lo que permite visualizar el amplio panorama de las posibles aplicaciones de los
modelos y resultados obtenidos en esta tesis. Posteriormente, se presentan los aspectos relevantes del
conocimiento previo y una breve presentación del estado del arte de las diferentes temáticas asociadas
a las tareas específicas planteadas para dar cumplimiento a los objetivos propuestos. Se muestran y
discuten los diferentes modelos existentes para la simulación de DP en cavidades esféricas, de
propagación de arborescencias en sólidos dieléctricos, de DP en arborescencias eléctricas y de vida útil.
Finalmente, se presentan las aplicaciones de los diferentes modelos, así como sus ventajas y
limitaciones.
2.2.1 Materiales considerados para las simulaciones y análisis
Para los diferentes análisis presentados en esta tesis se utilizan materiales poliméricos ya que estos han
sido ampliamente probados y caracterizados en sus parámetros eléctricos y se dispone de la
información suficiente, reportada por otros autores a partir de pruebas experimentales realizadas,
principalmente, en resinas epóxicas para parametrizar los modelos físicos de simulación desarrollados
y validar los resultados obtenidos.
Los materiales dieléctricos sólidos, así como las resinas polimerizables, se utilizan en diferentes
subsistemas de los sistemas de aislamiento eléctrico debido a sus excelentes características dieléctricas,
térmicas y mecánicas (Toliyat & Kliman, 2004). Además, su uso en equipos eléctricos y electrónicos ha
permitido incrementar su confiabilidad, disminuir los costos de construcción y mantenimiento e
incrementar la de densidad de potencia, cuyas unidades son en kVA/m3, con equipos más compactos,
debido a que los aislamientos poliméricos sólidos permiten una mayor capacidad aislante del equipo
con un volumen menor (Chanda & Roy, 2008; Rhebergen et al., 2015; Yoshitake et al., 2011). La Tabla 1
resume las resinas poliméricas más usadas para aplicaciones eléctricas y electrónicas (Chanda & Roy,
2008).
Tabla 1. Aplicaciones eléctricas y electrónicas típicas de las resinas poliméricas, adaptado de (Chanda & Roy, 2008).
Resina
Acrilonitrilo Butadieno Estireno (ABS)
Epóxica
Etilvinilacetato (EVA)
Polietileno de Alta Densidad (HDPE)
Polietileno de Baja Densidad (LDPE)
Nailon
Fenólicas
Policarbonato
Poliéster (no-saturado)
Poliéster (termoplástico)
Resinas de óxido de p-fenileno
Polipropileno
Poliestireno
Policloruro de vinilo (PVC)
Urea
Aplicaciones típicas
Aparatos electrónicos de consumo, envolventes, telecomunicaciones.
Laminados eléctricos, sistemas de aislamiento de equipos eléctricos.
Alambres y cables.
Alambres y cables.
Alambres y cables.
Aparatos eléctricos y electrónicos, alambres y cables.
Aparatos eléctricos y electrónicos, laminados eléctricos.
Aparatos eléctricos y electrónicos, envolventes, discos de almacenamiento.
Aparatos eléctricos, envolventes.
Aparatos eléctricos y electrónicos.
Aparatos eléctricos y electrónicos, envolventes.
Alambres y cables.
Casetes, carretes, envolventes.
Alambres y cables, enchufes, conectores, envolventes, cintas eléctricas.
Aparatos eléctricos.
Las resinas epóxicas son uno de los materiales poliméricos más usados para la construcción de los
sistemas de aislamiento en equipos eléctricos (Kinloch, 2003; Zhao et al., 2010). Además de muy buenas
características mecánicas y eléctricas, presentan mínima contracción durante el curado, así como una
mínima generación de subproductos volátiles durante el proceso de solidificación (Shibuya et al., 1977).
Adicionalmente, debido a que son resinas termo-endurecibles, pueden moldearse en estructuras rígidas
4
formando geometrías sólidas en las que la distribución del campo eléctrico es uniforme y pueden ser
impregnadas como fluidos o polvos en superficies porosas, tales como alambres esmaltados o cintas de
mica, donde se curan y solidifican mediante polimerización, rellenando poros y cavidades (Dakin, 1974).
En la Tabla 2 se presenta un resumen de las principales características de las resinas epóxicas más
utilizadas en aplicaciones industriales (Jin et al., 2015).
Tabla 2. Principales características de las resinas epóxicas para aplicaciones industriales (Jin et al., 2015).
Resina epóxica
Bisfenol-A (BPA)
Cicloalifáticas
Trifuncionales
Tetrafuncionales
FenolFormaldehído
Biobasadas
Con contenido de
fluor
Con contenido de
fosforo
Con contenido de
silicio
Características
El proceso de curado puede ocurrir a temperatura ambiente con la adición de
trietilentetramina.
Tiene una estructura molecular completamente saturada, lo que contribuye a una buena
estabilidad UV, buena estabilidad térmica y excelentes propiedades eléctricas.
Es un material plástico no cristalino de baja viscosidad que se puede curar a bajas
temperaturas.
La resina epoxi curada presenta una excelente resistencia química, un buen efecto de
bloqueo de los rayos UV y una buena estabilidad térmica.
Excelentes propiedades térmicas, químicas y de resistencia a los solventes debido a sus
altas densidades de reticulado.
Bajo costo y biodegradabilidad.
Alta resistencia química, bajo coeficiente de fricción, baja constante dieléctrica, baja
absorción de agua y amplia temperatura de uso.
Ignífugo, producen menos gases y humo que los compuestos que contienen halógenos.
Ignífugo, respetuoso del medio ambiente.
2.2.1.1 Aplicaciones de las resinas epóxicas en sistemas de aislamiento de equipos eléctricos
Las resinas epóxicas presentan excelentes propiedades eléctricas y mecánicas, son no higroscópicas y
retardantes al fuego (Woods & Heinrichs, 1963). En comparación a los aisladores de porcelana, los
fabricados con resinas epóxicas presentan ventajas tales como peso ligero, facilidad para moldearlos en
formas complejas, resistencia superior a los impactos y son autolimpiantes (Shoemaker & Mack, 2017).
Además, tienen la ventaja de que el mismo material, es decir la resina epóxica, satisface los
requerimientos eléctricos y mecánicos de los aisladores, de manera que no son necesarios aisladores
compuestos como los que tienen núcleo de fibra de vidrio y envolvente de elastómero para soportar
ambos tipos de esfuerzos (Iyer et al., 2011). Las resinas epóxicas, tienen una alta adhesión a metales,
resistencia al calor de hasta 260 °C, rigidez dieléctrica de hasta 210 kV‧cm-1, y son resistentes a solventes
comunes, aceites y químicos (Brady et al., 2002).
Las resinas epóxicas son polímeros termo-endurecibles que se pueden verter, fundir o exprimir en
cualquier forma requerida, mediante fundición, moldeo por compresión, devanado de filamentos,
laminado, pultrusión o moldeo por inyección y transferencia (Bainbridge, 1999). Luego se solidifican
mediante reacciones químicas que forman múltiples enlaces covalentes primarios que producen redes
tridimensionales reticuladas de cadenas de polímeros que no se pueden ablandar ni recalentar para su
reutilización (Schoch, 2004).
En equipos eléctricos que utilizan sistemas de aislamiento mica/epoxi y fibra de vidrio/epoxi, como las
máquinas eléctricas rotativas y electrobarras (busway), se utiliza un procedimiento de impregnación y
curado, en el cual las resinas epóxicas se impregnan sobre las cintas de mica o de fibra de vidrio que
envuelven los conductores y conforman el aislamiento primario (Andraschek et al., 2016; Dakin, 1974).
Posteriormente, se realiza un proceso de curado y de esta manera se llenan las posibles cavidades
existentes y se brindan al sistema de aislamiento rigidez mecánica y protección contra factores
ambientales. Además, en los sistemas de aislamiento de los motores y alternadores se utilizan resinas
epóxicas en el aislamiento entre espiras y para la impregnación completa de los devanados
completamente construidos; incluyendo conexiones, cuñas y núcleo de hierro del estator, para la
conformación de una estructura integrada con mejor resistencia a factores ambientales, a la abrasión, a
daños mecánicos y a productos químicos, como ácidos y álcalis (Metwally et al., 2008). El proceso de
5
impregnación se realiza usando un sistema de impregnación a presión de vacío para lograr una mayor
hermeticidad en atmósferas húmedas y corrosivas, y para evitar la aparición de cavidades llenas de aire,
este proceso, además, incrementa la resistencia mecánica y la conductividad térmica (Kiameh, 2003).
En transformadores de potencia aislados y refrigerados con aceite, los conductores de cobre de los
devanados se cubren primero con compuestos de resina epóxica y luego se envuelven en papel
impregnado en aceite (Zhuang et al., 2010). Por otro lado, los transformadores de tipo seco de media
tensión, hasta 36 kV y 24 MVA (Borsi, 1993), se construyen usando procesos de fundición en resina o de
impregnación de resina (Dasgupta, 2002). En el caso de los transformadores fundidos en resina, los
devanados están embebidos en resinas epóxicas fundidas (Metwally, 2011), para incrementar la rigidez
mecánica, a la resina se le agrega fibra de vidrio (Borsi, 1993). Por su parte, los transformadores
construidos mediante el proceso de impregnación de resina, tienen los devanados aislados usando
sistemas mica/epoxi o fibra de vidrio/epoxi y posteriormente se impregnan con resinas usando un
procedimiento similar al descrito previamente para las máquinas eléctricas rotativas. Para la
impregnación se utilizan resinas epóxicas, las cuales no tienen solventes, lo que ayuda a lograr la
máxima retención de impregnación en el devanado después del curado (Leijon et al., 2001). Los
transformadores de tipo seco impregnados en resina presentan una clase de temperatura máxima
mayor que los de resina fundida, 220 °C los primeros y 155 °C, los segundos (Dasgupta, 2002). Debido
al encapsulamiento de los devanados en la resina epóxica sólida, los transformadores de tipo seco no
tienen la misma eficacia para disipar el calor que los transformadores sumergidos en fluidos (Al-Amin
et al., 2013). La conductividad térmica de los devanados aislados en los transformadores de tipo seco se
puede mejorar mediante la adición de micropartículas y nanopartículas de nitruro de boro (BN), Al2O3
(Yu et al., 2011) y de SiO2 (Kochetov et al., 2010). La reticulación se mejora con la adición de SiC
(Chisholm et al., 2005).
Por otro lado, estructuras de geometría compleja a base de resinas epóxicas se pueden construir usando
técnicas de manufactura aditiva, tales como: estereolitografía, procesamiento digital de la luz, escritura
directa (direct-ink writing) e impresión por inyección (inkjet printing) (Peerzada et al., 2020). Los
sólidos tridimensionales construidos se utilizan en espaciadores, en interruptores de potencia y
cambiadores de taps (Woods & Heinrichs, 1963), aisladores para subestaciones y redes de distribución
y transmisión exteriores en la intemperie (Beisele & Kultzow, 2001; Watanabe et al., 1990),
espaciadores y terminales de cables (Heid et al., 2015; Kochetov et al., 2009) y en separadores utilizados
para la fabricación de interruptores aislados en gas en HVDC (Andritsch, 2010). Para ésta última
aplicación, la acumulación de carga espacial en el dieléctrico de resina epóxica se controla modificando
las características de transporte de carga mediante la introducción de una capa fluorizada en la
superficie (Mohamad et al., 2015).
Otras de las aplicaciones de las resinas epóxicas incluyen: terminales de cables y conectores,
transformadores de instrumentación, encapsulado de componentes de electrónica de potencia e
interruptores automáticos (Cherney, 2013; Tanaka & Imai, 2013). Las resinas epóxicas también se
aplican en los sistemas de aislamiento de pasatapas, bujes (Dakin, 1974), aisladores, espaciadores y
bujes en SF6 (Stone et al., 1979) y condensadores de alta tensión (Mohanty & Srivastava, 2013). La Tabla
3, resume las aplicaciones de las resinas epóxicas en sistemas de aislamiento de equipos eléctricos.
2.2.1.2 Nanocompuestos basados en resinas epóxicas usados en sistemas de aislamiento de equipos
eléctricos
La adición de materiales como el dióxido de silicio (SiO2) son indispensables para lograr ventajas
económicas y mecánicas tales como la resistencia al esfuerzo de tracción, la resistencia al fuego y la
resistencia a descargas superficiales (Adnan et al., 2019; Shin et al., 2009).
6
Tabla 3. Resumen de aplicaciones de las resinas epóxicas en sistemas de aislamiento de equipos eléctricos
Resina epóxica
Bisfenol-A (BPA)
Cicloalifáticas
Trifuncionales
Epiclorhidrina
Éster de cianato
Aplicaciones en sistemas de
aislamiento eléctrico
Transformadores de tipo seco de
media tensión.
Espaciadores en interruptores y
cambiadores de taps, bujes,
pasatapas, aisladores y
separadores.
Máquinas eléctricas.
Aisladores y separadores en
aplicaciones de HVDC.
Aislamiento entre espiras de los
devanados de transformadores de
potencia inmersos en aceite.
Aisladores, espaciadores y bujes en
SF6.
Aisladores tipo pin y poste, bujes,
transformadores de
instrumentación de tensión y
corriente, separadores y
componentes de interruptores de
baja y media tensión.
Aisladores para uso exterior.
Transformadores de
instrumentación de uso exterior.
Aisladores para redes
subterráneas.
Máquinas eléctricas con sistemas
mica/epoxi.
Condensadores de alta tensión
Transformadores de tipo seco de
media tensión.
Aisladores y separadores en redes
HVDC.
Referencia
(Borsi, 1993)
(Dakin, 1974; Woods & Heinrichs,
1963)
(Shin et al., 2009)
(Mohamad et al., 2015)
(Borsi & Cachay, 1992)
(Stone et al., 1979)
(Iyer et al., 2011)
(Beisele & Kultzow, 2001)
(Watanabe et al., 1990)
(Shoemaker & Mack, 2017)
(Andraschek et al., 2016)
(Mohanty & Srivastava, 2013)
(Borsi, 1993)
(Koo, 2019)
Además, las características de las resinas epóxicas pueden mejorarse para su aplicación en sistemas de
aislamiento eléctrico usando nanopartículas inorgánicas (Pleşa et al., 2016). Algunas de las
nanopartículas usadas, así como su efecto en el compuesto con resinas epóxicas, se resumen en la Tabla
4.
Una descripción detallada de las características y propiedades de las resinas epóxicas, así como de varios
de sus nanocompuestos, usadas en sistemas de aislamiento eléctrico puede encontrarse en la Sección 2
del artículo (Rodríguez-Serna, Albarracín-Sánchez, Dong, et al., 2020).
En todas las simulaciones realizadas durante el desarrollo de esta tesis se asume que los materiales son
lineales, homogéneos e isotrópicos de parámetros constantes y conocidos. Cada una de las publicaciones
compendiadas en el Capítulo 4 de esta tesis, presenta una descripción detallada de los materiales, y sus
parámetros, considerados para las simulaciones implementadas en cada una de ellas.
2.2.2 Modelamiento y simulación de DP en cavidades esféricas en el interior de materiales dieléctricos
poliméricos sólidos
Como ya se ha mencionado previamente, debido a procesos de manufactura y dinámicas de curado, en
el interior de los materiales dieléctricos poliméricos sólidos pueden aparecer cavidades llenas de gas en
las cuales se originan DP (Ahmed & Srinivas, 2001). Estas DP internas son uno de los principales
mecanismos de fallo de los sistemas de aislamiento eléctrico sólido (Kemp, 1995; F. H. Kreuger et al.,
1993) por lo que su caracterización y análisis son de suma importancia para la evaluación del estado del
aislamiento.
7
Tabla 4. Nanopartículas usadas con resinas epóxicas y su efecto en las propiedades del nanocompuesto. S. Inf.: Sin información.
Nanopartícula
Propiedades
Arcilla (Kavitha et al., 2017) y Alúmina (Al2O3) (Qi
Wang et al., 2010; Shirazi et al., 2011).
Dióxido de titanio (TiO2) y Alúmina (Al2O3) (Kavitha
et al., 2017)
Valores reducidos de permitividad y
resistividad.
Altos valores de tensión de ruptura
en corriente alterna.
Elevado valor del tiempo hasta la
ruptura.
Dióxido de silicio (SiO2) (Yan et al., 2011).
Alúmina (Al2O3) (Kochetov et al., 2009), Dióxido de
silicio (SiO2), Nitruro de boro (BN) (Xiao & Du, 2016),
Óxido de magnesio (MgO) y Nitruro de aluminio (AIN)
(Andritsch, 2010)
Carburo de silicio (SiC) (Chisholm et al., 2005)
Alúmina (Al2O3) y Dióxido de silicio (SiO2) tratadas con
silano (SiH4) (Watanabe et al., 1990)
Nitruro de boro (BN) (Heid et al., 2015) y Alúmina
(Al2O3) (Mohanty & Srivastava, 2013)
Fibras de kevlar, boro, vidrio y grafito (Brady et al.,
2002)
Nanofibras de carbono y nanotubos de carbono (Koo,
2019)
Mejor conductividad térmica que las
resinas base.
Incrementa la reticulación.
Elevados valores de resistencia a la
flexión, resistencia al agrietamiento
y resistencia a las descargas
superficiales.
Elevada rigidez dieléctrica del
compuesto y mayor resistencia a la
erosión.
Alta resistencia mecánica.
Alta conductividad eléctrica del
nanocompuesto.
Contenido de
nanopartículas (wt %)
0,10 - 15
2 - 15
2
0,50 – 10
10 – 60 (BN)
1,50 - 3
S. Inf.
1 - 10
S. Inf.
0,50 - 3
Según la norma IEC 60270 (International Electrotechnical Commission [IEC], 2000) las DP se definen
como descargas eléctricas localizadas que sólo atraviesan parcialmente el aislamiento entre
conductores y que pueden ocurrir, o no, adyacentes a un conductor. Las DP aparecen debido a un
incremento localizado de la magnitud de intensidad de campo eléctrico y pueden clasificarse como
(Gutfleisch & Niemeyer, 1995):
-
Descargas tipo Streamer
Descargas tipo Townsend
Microdescargas tipo enjambre (Swarming)
Descargas pseudoluminosas (Pseudoglow)
Descargas luminosas (Glow)
Aunque en todos los procesos de descarga está presente el mecanismo de Townsend (Kuffel E. et al.,
2000), la anterior clasificación está principalmente relacionada con la duración y magnitud de las DP.
Las descargas tipo Townsend ocurren después de excitar el espacio entre electrodos con luz Ultra Violeta
(UV) de alta intensidad y se caracterizan por una baja magnitud (< 10 pC), pero mayor duración (> 100
ns) lo cual está directamente relacionado a las corrientes iónicas. Por otro lado, las descargas tipo
Streamer se caracterizan por pulsos de carga y corriente estrechos (1-100 ns), con un frente discontinuo
muy rápido (< 3 ns) y altas amplitudes (> 10 pC), son el tipo de descarga dominante en condiciones de
mayor sobretensión (tensión aplicada/tensión de incepción > 2,50) (Devins, 1984; Morshuis & Kreuger,
1990). Con el envejecimiento, las descargas tipo Streamer son menos propensas a aparecer y las
descargas tipo Townsend son dominantes lo cual se debe a la formación de una capa conductora en la
superficie de la cavidad que tiende a reducir el tiempo de retardo hasta cero ya que las DP inician una
vez la magnitud de la tensión aplicada es igual a la magnitud de la tensión de incepción (Morshuis, 2005).
Por su parte, las microdescargas tipo Swarming aparecen después de una prolongada exposición de la
cavidad a las DP, las cuales dejan una gran cantidad de carga residual en la superficie de la cavidad
provocando que la tensión de incepción tenga un valor cercano al de extinción. Se caracterizan por
pulsos con magnitudes bajas, 1 pC o menos, y una alta tasa de repetición, microsegundos (Tanaka, 1986).
Las descargas luminosas o tipo Glow son descargas no pulsantes con magnitudes del orden de 10 pC y
8
con duraciones que se extienden a lo largo de casi todo el semiciclo de la señal de tensión de Corriente
Alterna (CA). Finalmente, las descargas tipo Pseudoglow consisten en pulsos, que generalmente son de
una magnitud mucho menor, ~0,50 pC (Danikas, 1997), y un tiempo de frente considerablemente
mayor comparado al caso de las tipo Glow, 0,03 μs – 0,10 μs (Lusuardi et al., 2019). Las descargas
Pseudoglow generalmente se conocen como microdescargas, descargas Swarming o Streaming (Danikas,
1993). Las descargas Glow y Pseudoglow tienen magnitudes relativamente significativas, sin embargo
no son predominantes en cavidades llenas de aire (Bartnikas & Novak, 1992).
Por otro lado, Morshuis (Morshuis, 1993) clasificó las DP, según el mecanismo de propagación de la
avalancha de electrones, en descargas tipo Townsend y descargas tipo Streamer. Las descargas tipo
Streamer, a diferencia de las de tipo Townsend, son auto-sostenidas debido a la fotoionización provocada
por el campo eléctrico entre la cabeza y cola de avalancha. Las descargas tipo Streamer involucran
corrientes significativamente mayores (10 mA - 1000 mA), debido a la mayor sobretensión y mayor
número de partículas cargadas, que las de tipo Townsend (1 μA - 1 mA) (Morshuis, 1995). En
comparación a las descargas tipo Townsend, las descarga tipo Streamer producen una degradación más
severa a los polímeros (Dissado & Fothergill, 1992), esto permite concluir que cavidades con
dimensiones menores a 10 μm no serán erosionadas por las DP (Laurent & Teyssedre, 2003).
Para el desarrollo de esta tesis, solo se consideran las descargas tipo Streamer ya que como se mencionó
previamente son las más nocivas para los materiales dieléctricos poliméricos sólidos, y además, son las
que tienen pulsos de mayor magnitud de carga y se pueden medir usando técnicas estandarizadas y bien
conocidas (International Electrotechnical Commission [IEC], 2000).
El procedimiento de modelamiento de las DP puede describirse de la siguiente manera (Niemeyer,
1995):
1. Es necesario definir la geometría, parámetros de los medios materiales del objeto bajo prueba y
de la fuente de excitación de alta tensión
2. Es necesario determinar si bajo las condiciones consideradas, una DP puede tener lugar debido
a la estocasticidad inherente al proceso de generación de portadores de carga
3. Finalmente, si las condiciones para la descarga se satisfacen, es necesario calcular la magnitud
de la carga y su variación con el tiempo en la superficie de la cavidad. Las DP pueden
considerarse como fenómenos autorregulados debido a que el campo eléctrico generado por la
carga eléctrica al interior de la cavidad se opone al campo eléctrico establecido en el dieléctrico
por la fuente de tensión aplicada
Existen diferentes modelos para simular las DP en cavidades en el interior de dieléctricos sólidos los
cuales se diferencian en la forma en la cual se calcula el campo eléctrico al interior de la cavidad y se
pueden clasificar como: analíticos, de condensadores y elementos finitos (He et al., 2018; H. Illias et al.,
2012).
Con respecto a la geometría, para las diferentes simulaciones y análisis presentados en ésta tesis, se
utiliza el objeto de ensayo presentado en la Figura 2.
Figura 2. Geometría del objeto de ensayo considerado para las simulaciones.
9
El objeto de ensayo corresponde a una cavidad esférica llena de gas, que se asume como aire, de radio
a (m), en el centro de un bloque de material dieléctrico sólido, lineal, homogéneo e isotrópico puesto
entre dos electrodos planos de longitud W (m) separados la distancia D (m) entre sí. En la Figura 2, U s
(kV) es la tensión sinusoidal de CA aplicada al electrodo superior, el electrodo inferior se considera
efectivamente puesto a tierra, ε (F‧m-1) es la permitividad eléctrica del sólido dieléctrico, por ejemplo
de la resina epóxica, ε 0 (F‧m-1) es la permitividad eléctrica del aire. Aunque los modelos desarrollados
e implementados, que se describen en los Capítulos 3, 4 y 5 de esta tesis, permiten la simulación de
cavidades esferoidales, los análisis presentados en esta tesis se centran en cavidades esféricas para
facilitar la comparación con mediciones experimentales reportadas por otros investigadores.
Las cavidades esféricas son inclusiones llenas de aire al interior de dieléctricos sólidos que resultan de
procesos de manufactura deficientes, sobre todo durante la etapa de curado (Bartnikas, 1975; Koyanagi
et al., 1978; Tanaka, 1986), o procedimientos de instalación poco cuidadosos (Hazlee Azil Illias, 2011).
Además, se ha encontrado que, en materiales libres de cavidades sometidos a esfuerzos de alta tensión,
éstas pueden aparecer como consecuencia del bombardeo de electrones durante un tiempo prolongado,
efecto que provoca el envejecimiento (Shibuya et al., 1977). Sin embargo, si su tamaño es inferior a 1
μm, no afectan la rigidez dieléctrica del material, ya que las DP serán menos frecuentes y de una
intensidad muy baja, << 1 pC (Shibuya et al., 1977). Una vez aparecen las cavidades al interior del
material dieléctrico sólido, la alta energía de los electrones acelerados durante los eventos de DP, induce
modificaciones en la morfología de la cavidad tales como aparición de cráteres y cristales en la superficie
interna y el aumento de la conductividad superficial de la cavidad (Hudon et al., 1990).
Las DP en cavidades en el interior de dieléctricos sólidos son eventos estocásticos que se presentan
cuando se satisfacen las siguientes dos condiciones:
1. La magnitud de la intensidad de campo eléctrico en el interior de la cavidad es mayor o igual a
un valor crítico requerido para iniciar las descargas tipo Streamer (incepción de Streamer)
2. Existe al menos un electrón libre en la cavidad para dar inicio a las avalanchas (tasa de
generación de electrones)
La primera condición, conocida como incepción del Streamer, establece un valor de umbral por encima
del cual los electrones en la cavidad son acelerados hasta adquirir una energía suficiente como para
causar la ionización del gas en la cavidad y originar descargas auto-sostenidas. La magnitud de la
intensidad de campo eléctrico de incepción, E inc (V‧m-1), está dada por la siguiente ecuación (Crichton
et al., 1989):

B
E inc = (E1 / p )cr p1 +
n
 (2 pa )

,


(1)
donde (E1 / p )cr , B y n son parámetros asociados al proceso de ionización en gases y dependen de cada
gas específico, por ejemplo, en aire los valores son, respectivamente, 24,20 V‧Pa-1‧m-1, 8,60 Pa1/2‧m1/2 y
0,50. Por otro lado, p (Pa) es la presión del gas al interior de la cavidad. A pesar de que la ecuación (1)
fue determinada usando resultados experimentales en un objeto de ensayo diferente a una cavidad llena
de gas rodeada por un sólido dieléctrico, Callender (Callender, 2018) encontró que para el objeto de
ensayo mostrado en la Figura 2, esta ecuación es consistente con resultados obtenidos mediante
pruebas experimentales y simulaciones usando modelos de plasma. La ecuación (1) establece una
condición determinística para el fenómeno de las DP que depende de parámetros del medio, el tamaño
de la cavidad y la presión del gas dentro de la cavidad. Por otro lado, la existencia de electrones libres
para iniciar la avalancha es una condición estocástica (Brunt, 1991). Desde un punto de vista teórico, los
primeros electrones libres para las avalanchas se desprenden principalmente mediante mecanismos de
emisión volumétrica y superficial (Forssén, 2008). La tasa de emisión volumétrica de electrones está
relacionada con ionización del gas por irradiación de fotones de alta energía y la separación de
10
electrones desde iones negativos debido a la alta magnitud de la intensidad de campo eléctrico y se
puede calcular, en s-1, usando la siguiente expresión (Niemeyer, 1995):
N et = C rad Φ rad (ρ / p )0 p (πa 3 )(1 − ν −1 / n ) ,
(2)
 Φ dt − eE cav (t ) (4πε 0 ) 
 t − t PD 
,
N dt = N dt 0 exp −
v 0 exp −


kT
τ




(3)
donde C rad Φ rad (kg-1‧s-1) es la densidad de flujo cuántico cósmico y radiactivo, (ρ / p )0 (kg‧m-3‧Pa-1) es
la densidad reducida del gas, ν = E cav / E inc , E cav (V‧m-1) es la magnitud de la intensidad de campo
eléctrico al interior de la cavidad y ∆t (s) es el periodo de tiempo considerado. La ionización
volumétrica es la principal fuente de electrones libres en cavidades sin actividad previa de DP y debido
a que la tasa de emisión asociada a este mecanismo es muy baja, siempre hay un tiempo de retardo
considerable para la aparición de las primeras DP.
Por su parte, la emisión superficial de electrones en la cavidad depende de la separación de electrones
acumulados en la superficie de la interfaz entre el sólido dieléctrico y el gas, de la emisión de electrones
debido a la colisión de fotones con la superficie del dieléctrico y los conductores, de la emisión de
electrones por impacto de iones y la emisión de electrones desde el conductor debido al campo eléctrico
(Borghei et al., 2020). De los anteriores, el mecanismo dominante es la separación de electrones
acumulados en la superficie de la cavidad (Schifani et al., 2001), su tasa de generación de electrones
obedece a la ley de Richardson-Schottky (Brunt, 1991), y se puede calcular, en s-1, con la siguiente
ecuación:
donde e (C) es la magnitud de la carga fundamental del electrón, 1,60x10-19 C, Φ dt (eV) es la función de
trabajo de liberación efectiva de electrones, la cual depende de las condiciones físicas y químicas de la
superficie de la cavidad (Gutfleisch & Niemeyer, 1995), y su valor, en el rango 1 eV a 1,30 eV (Niemeyer,
1995), debe ajustarse usando resultados experimentales. τ (s) es la constante de tiempo de
decaimiento efectivo de carga en la superficie de la cavidad, k (eV‧K-1) es la contante de Boltzmann,
t − t PD (s) es el tiempo transcurrido desde la última descarga parcial, v 0 (Hz) es la frecuencia
fundamental del fonón y T (K) es la temperatura del gas al interior de la cavidad. N dt 0 = ξ (q / e ) siendo
ξ un factor de proporcionalidad que describe la fracción de portadores de carga que resulta en la
creación de electrones separables y depende de la polaridad de las cargas sobre la superficie y la
polaridad de la intensidad de campo eléctrico. La tasa de generación de electrones se calcula como la
superposición de las componentes volumétrica y superficial, por lo que la probabilidad de generar un
electrón en el intervalo de tiempo [t , t + ∆t ] (s) se calcula como:
(N et
+ N dt )∆t ,
(4)
donde ∆t (s) es el paso de tiempo utilizado para las simulaciones. Las ecuaciones (2) y (3) dependen de
parámetros que son desconocidos para la mayoría de materiales y condiciones experimentales típicas,
por lo que otros autores, usando un enfoque de análisis fenomenológico, han propuesto variaciones al
modelo estocástico a partir de resultados experimentales. C. Forssén y H. Edin (Forssen & Edin, 2008),
propusieron la siguiente función adimensional de distribución de probabilidad para las DP:

 t
FPD (t ) = 1 − exp − ∫ N e (t ' )dt '  ,

 0
11
(5)
donde N e (t ) = N e 0 exp(U cav (t ) / U inc
) (s−1) y N
e0
(s−1) es una constante que depende de la frecuencia de
la tensión aplicada. Para determinar esta expresión, se asumió que el mecanismo de emisión dominante
es el superficial y no se considera el aporte a la tasa global de generación de electrones debido a la
ionización volumétrica. De manera similar, Illias (H. Illias et al., 2011b), definió la siguiente expresión
para calcular la tasa de generación de electrones, en s-1, para el instante de tiempo t (s):
N est (t ) = (N ed (t ) + N ei ) exp(U cav (t ) / U inc ) ,
(6)
donde N ed (t ) = N ed 0 U cav (t PD ) / U inc exp(− (t − t PD ) / τ trap ) (s−1), N el (s−1) es un parámetro correspondiente
a la tasa de liberación de electrones desde las terminaciones de las cadenas poliméricas, U inc (V) es la
tensión de incepción de las DP, N ed (s−1) es la tasa de generación de electrones debido a la liberación de
cargas desde trampas de electrones poco profundas cerca de la superficie de la cavidad, U cav (t PD ) (V)
es la tensión en la cavidad para el instante de tiempo t PD (s) en el cual ocurrió la última DP y τ trap (s) es
la constante de tiempo de decaimiento de carga debido al movimiento de estas hacia trampas más
profundas. Las constantes N ed 0 , N el y τ trap se determinan mediante análisis de ajuste contrastando con
mediciones experimentales. La probabilidad de que una DP ocurra en el intervalo de tiempo [t , t + ∆t ]
(s) se calcula como L(t ) = (N est + N dt (t ))∆t , luego este valor se compara con un número generado
aleatoriamente con una distribución uniforme entre 0 y 1.
Los modelos estocásticos previamente descritos fueron usados para implementar diferentes análisis y
comparar los resultados de simulación obtenidos a través de los modelos propuestos con resultados
experimentales reportados por otros investigadores. El procedimiento para la selección de los
parámetros variables, es decir aquellos que no corresponden a constantes de los medios, se realizó
mediante un método de ajuste discreto manual comparando resultados experimentales reportados por
otros autores con resultados de simulación obtenidos con los modelos propuestos en este trabajo. Esta
presentación de los modelos estocásticos ha sido tomada de la Sección 3.1 del artículo (Rodríguez-Serna,
Albarracín-Sánchez, Dong, et al., 2020), allí junto con lo presentado en las Secciones II A. y II B. del
artículo (Borghei et al., 2020), podrá encontrarse mayor detalle acerca de las definiciones,
aproximaciones y consideraciones de estos modelos estocásticos.
2.2.2.1 Modelo analítico
El modelo analítico también es conocido como modelo de dipolo o de carga inducida. Este es un enfoque
basado en teoría electromagnética y algunas consideraciones que, bajo condiciones prácticas, son
válidas (Pedersen, 1987). Después de un evento de DP, las cargas eléctricas en el dieléctrico y la cavidad
inducen proporcionalmente una distribución de carga en los electrodos de alta tensión que se puede
calcular como (Hauschild & Lemke, 2014):
N
q ' = − ∫ λρ c dΩ − ∑ ∫ λσdS ,
j =1 S j
Ω
(7)
donde q ' (C) es la carga inducida por la DP, λ es una función escalar, continua y adimensional de
proporcionalidad, Ω (m3) es el volumen de todo el sistema dieléctrico, S j (m2) es la superficie de la j-
ésima cavidad, N es el número de cavidades, ρ c (C‧m-3) es la densidad volumétrica de carga y σ (C‧mes la densidad superficial de carga. λ puede calcularse solucionando la misma configuración de
electrodos y material dieléctrico, pero sin carga espacial. De esta manera, λ satisface la ecuación de
Laplace:
2)
12
∇ ⋅ (ε∇λ ) = 0 .
(8)
A partir de la ecuación (8), λ puede interpretarse como la distribución de potencial escalar en el sistema
por unidad de tensión aplicada. Después de la DP, la carga depositada sobre la superficie de la cavidad
produce un campo de Poisson que se opone al campo Laplaciano establecido por la tensión aplicada a
los electrodos de alta tensión (Boggs, 1990), además, la carga neta en la cavidad debe ser cero,
provocando la aparición de un momento dipolar como el mostrado en la Figura 3.
Figura 3. Momento dipolar debido a la distribución de carga en la superficie de la cavidad. E0 (V‧m-1) es la intensidad de campo
eléctrico fuera de la cavidad debido a la tensión aplicada a los electrodos de alta tensión y s es el vector unitario dipolar.
En la Figura 3, s (m) es el vector unitario que va dirigido desde la carga negativa hacia la positiva. El
momento dipolar se puede expresar de la siguiente manera:
p = ∫ ρ c rdΩ + ∫ σrdS ,
S
Ω
(9)
donde p (C‧m) es el momento dipolar de las cargas en la superficie de la cavidad y r (m) es el vector
posición del elemento de carga. Si se considera que la cavidad es pequeña en comparación a las
dimensiones del sistema dieléctrico, el gradiente de λ dentro de la cavidad será uniforme y la carga
inducida debido al dipolo en el circuito de medición estará dada por:
q ' = − p ⋅ ∇λ ,
(10)
E ext = γ (E / p )cr p ,
(11)
q ' = − KΩε (E inc − E ext ) ⋅ ∇λ 0 ,
(12)
donde ∇λ = K∇λ 0 , λ 0 es la función respuesta en la posición de la cavidad, calculada para la condición
de un sistema sin cargas y sin cavidades, K es un factor adimensional de forma que depende de la
geometría de la cavidad. Si es una esfera, K =3 (Takuma & Techaumnat, 2010).
Durante las DP, debido a la alta conductividad del canal del Streamer, la magnitud de la intensidad de
campo eléctrico al interior de la cavidad se reduce hasta alcanzar una magnitud, E ext (V‧m-1), por debajo
de la cual no se producen avalanchas y el proceso de descarga se extingue. Su magnitud se puede calcular
como:
donde γ es un factor adimensional dependiente de la polaridad del Streamer. Para cavidades
esferoidales la ecuación (10) se puede reescribir como (Crichton et al., 1989):
donde E inc (V·m−1) es el valor de la intensidad de campo eléctrico de incepción, ε (F·m−1) es la
permitividad del dieléctrico.
Las cargas eléctricas depositadas por las DP sobre la superficie de la cavidad son redistribuidas y
neutralizadas por corrientes superficiales. Esto hace que la intensidad de campo eléctrico al interior de
13
la cavidad presente una dependencia bastante compleja del tiempo, ya que no solo depende de la
variación con el tiempo de la tensión aplicada a los electrodos de alta tensión, sino además de las
dinámicas de decaimiento de carga con el tiempo en la superficie de la cavidad (McAllister, 1992;
Rodríguez-Serna, Albarracín-Sánchez, Dong, et al., 2020). En el modelo analítico, la dinámica de la carga
superficial se modela usando un enfoque aproximado basado en la ley de Ohm (Gutfleisch & Niemeyer,
1995). En (H. Illias et al., 2011b), usando un análisis de movilidad de cargas sobre la superficie de la
cavidad y resultados experimentales, se propuso modelar el decaimiento de carga como una función del
campo eléctrico variando dinámicamente la conductividad superficial de la cavidad, dependiendo de la
polaridad del campo eléctrico al interior de la misma con respecto al campo eléctrico producido por la
distribución de carga superficial. La disminución con el tiempo de la carga se modela con una constante
de tiempo equivalente a los circuitos Resistivos-Capacitivos (RC) (H. Illias et al., 2009; H. A. Illias et al.,
2012).
Una generalización del modelo analítico fue presentada en (Niemeyer, 1995) para simular DP en
cavidades y protrusiones. De igual manera, en (Gutfleisch & Niemeyer, 1995), se presentó un modelo
estocástico, basado en el modelo analítico, que presenta buenos resultados comparado con mediciones
experimentales para diferentes condiciones de envejecimiento y se encontró que la conductividad
superficial de la cavidad afecta sustancialmente los resultados de simulación para las distintas fases de
envejecimiento. Este modelo analítico ha sido utilizado para determinar la magnitud teórica de las
cargas de DP en análisis de defectos en cables aislados (Chan et al., 1991). En (He et al., 2018), se usó el
modelo analítico para estudiar las características de las DP bajo tensión de Corriente Continua (CC) y se
encontró que la tensión de incepción, la tasa de repetición y la magnitud de las descargas, dependen
sustancialmente de la conductividad eléctrica. Por otro lado, considerando que la conductividad
superficial de la cavidad incrementa proporcionalmente con la temperatura, resultados de simulación
usando el modelo analítico han permitido mostrar que, a temperaturas mayores a la ambiental,
incrementa el retardo de incepción de las DP, lo cual a su vez provoca una disminución sustancial de la
tasa de repetición de las DP y una mayor dispersión en la distribución de los valores máximos y mínimos
de la carga de las DP (Schifani et al., 2001).
Considerando que el campo de Poisson es producido por la carga total en el sistema, distribuida en el
volumen completo y sobre la superficie de la cavidad, la ecuación (9) debe considerarse para calcular la
carga de la DP. Lemke (Lemke, 2012) usó este enfoque de momento dipolar y un análisis de balance de
energía para calcular la carga inducida por las DP como:
q' = p ⋅
E inc
.
U inc
(13)
Considerando las DP como Streamer y asumiendo que el campo Laplaciano se mantiene constante
durante el breve tiempo que duran las DP (Lemke, 2013), el momento dipolar puede calcularse usando
la siguiente expresión semiempírica:
p = (270pC/mm )d c2 ,
(14)
donde d c (mm) es el diámetro de la cavidad. Esta expresión es válida para cavidades sin DP previas y
con diámetro entre 0,10 mm y 2 mm. Lemke uso esta expresión para analizar la carga transferida por
las DP en cables poliméricos de potencia (Lemke, 2013).
Se han propuesto también modelos analíticos determinísticos para las DP que pueden representar de
manera aproximada la magnitud de carga de las DP, sin embargo, son incapaces de reproducir
características estocásticas, como el retardo de incepción o la distribución en fase de los pulsos de DP,
que han sido verificadas de manera experimental (Hoof & Patsch, 1997; Patsch & Hoof, 1998). Por otro
lado, otros modelos analíticos utilizan relaciones matemáticas entre variables eléctricas y geométricas
para establecer funciones de distribución de probabilidad para la ocurrencia de las DP (Heitz, 1999). En
estos modelos, el fenómeno de las DP se trata como un proceso estocástico consistente de descargas de
corta duración e intervalos de tiempo entre DP en los cuales ocurren procesos de recombinación y
deriva de cargas eléctricas. Además, no se utilizan simulaciones debido a que los cálculos implican muy
14
pocos parámetros y una sola ecuación principal en la que las variaciones dinámicas del campo eléctrico
al interior de la cavidad se consideran mediante un proceso de Markov determinista por partes (Davis,
1984). A pesar de que estos modelos analíticos-estocásticos presentan buenos resultados cuando se
comparan con mediciones experimentales, no consideran todos los procesos y fenómenos físicos
involucrados durante las DP, tales como el efecto memoria, el decaimiento de carga y las variaciones de
la temperatura y presión durante y después de la actividad de DP (Rodríguez-Serna, Albarracín-Sánchez,
Dong, et al., 2020).
La aplicabilidad del modelo analítico, y por lo tanto la validez de los resultados de simulación, está ligada
al cumplimiento de las siguientes condiciones:
1. La intensidad de campo eléctrico al interior de la cavidad es uniforme
2. La distribución de la intensidad de campo eléctrico en el sólido dieléctrico permanece inalterada
durante las DP
3. Todo el volumen de la cavidad participa y es afectado por las DP
En (McAllister, 1992), se mostró que la intensidad de campo eléctrico dentro de la cavidad después de
las DP no es uniforme, su distribución depende del proceso de decaimiento de carga superficial.
Adicionalmente, el campo eléctrico en el dieléctrico por fuera de la cavidad es afectado por la
distribución de carga en la superficie de la cavidad (McAllister & Crichton, 2000; Mcallister & Johansson,
2000). Sin embargo, en este modelo, los cálculos de campo eléctrico se consideran en el centro de la
cavidad, donde el campo eléctrico es casi uniforme. Una discusión crítica de las consideraciones y
aproximaciones del modelo analítico, listadas anteriormente, es presentada en (Borghei et al., 2020) y
retomada en el Anexo B de esta tesis. Adicionalmente, se presenta una modificación a este modelo
analítico con el fin de mejorar la precisión y generalizar el método para cavidades de diferente tamaño.
En la Sección 3.2 de (Rodríguez-Serna, Albarracín-Sánchez, Dong, et al., 2020) se realiza una
presentación detallada de este modelo. Además, sus ventajas y desventajas, así como los parámetros
requeridos para los cálculos y simulaciones, se resumen y comparan con las del modelo de tres
condensadores. También, se simula un caso de estudio y los resultados se comparan con mediciones
experimentales y resultados de simulación, obtenidos mediante un modelo de elementos finitos,
reportados por otro investigador (H. A. Illias et al., 2017). Conclusiones y mayores detalles de ese
estudio pueden verse en las Secciones 4 y 5 de dicho artículo.
Finalmente, cuando se presenta una DP, el campo eléctrico en el interior de la cavidad cambia
abruptamente por lo que la energía electromagnética existente previo a la ocurrencia de la DP será
convertida en otras formas de energía. De las ecuaciones (1) - (3) y (11) puede verse que los fenómenos
de DP son multifísicos, que dependen simultáneamente de variables y parámetros eléctricos, térmicos
y mecánicos. En la Sección 2 de (Rodríguez-Serna & Albarracín-Sánchez, 2019) se presentó una versión
multifísica del modelo analítico en el que se usa el teorema de Poynting (Magid, 1972) para calcular la
densidad fuente de calor al interior de la cavidad. Adicionalmente, en la Sección 3 de aquel mismo
documento se presentan los resultados de simulación de la temperatura y presión al interior de
cavidades esféricas para diferentes condiciones de envejecimiento.
2.2.2.2 Modelo de condensadores
El modelo de tres condensadores fue inicialmente propuesto por Gemant y Philippoff (Gemant &
Philippoff, 1932) para estimar las pérdidas de potencia en cables debido a las DP en las cavidades.
Posteriormente, Whitehead (Whitehead, 1951) propuso el circuito equivalente modificado que se
muestra en la Figura 4 y que usualmente es conocido como modelo “abc”.
15
Cb'
Us
Ca
Cb
Us
Cc
Ca
Cb''
Cc
F
Uc
Figura 4. Modelo de tres condensadores, o "abc", de Whitehead. F es el Spark-Gap para simular las DP.
El circuito de la Figura 4, permite calcular una relación numérica entre la carga en el circuito de medición
y la carga interna en la cavidad. C a (F) representa la capacitancia del bloque dieléctrico, C b (F), la
capacitancia equivalente del bloque dieléctrico en serie con la cavidad, resultante del paralelo entre C b '
y C b ' ' , y C c (F), la capacitancia de la cavidad. Las DP se simulan mediante el Spark-Gap F, en el circuito
de la derecha en la Figura 4, el cual se cierra cuando la tensión a través de la cavidad U c (V) es igual o
mayor que la tensión de incepción U inc (V) y hasta que U c sea igual a, o menor, que la tensión de
extinción U ext (V). Las tensiones que controlan los cambios en el Spark-Gap se pueden calcular usando
las ecuaciones (1) y (11). La tensión a través de la cavidad, antes de que se presente una DP, se puede
calcular usando la ecuación (15).
Uc =
Cb
Us ,
Cb + Cc
(15)
donde U c (V) es la tensión a través de la cavidad y U s (V) es la tensión aplicada a los electrodos. Cuando
una DP se presenta, C c es cortocircuitada a través del Spark-Gap F y fluye una corriente transitoria
debido al cambio en la tensión. La carga, en C, se puede calcular como:

C a Cb
q = ∆U  C c +
C a + Cb


 ,

(16)
donde ∆U (V) es el cambio de tensión a través de la cavidad debido a la DP. El cambio en la carga
inducida en los electrodos se puede calcular, en C, usando la ecuación (17).
q ' = C b ∆U .
(17)
De las ecuaciones (16) y (17) puede verse que las cargas real e inducida tendrán magnitudes diferentes
en función de los valores de las capacitancias de los condensadores equivalentes (International
Electrotechnical Commission [IEC], 2000). Estas relaciones involucran una violación a la ley de
causalidad, ya que se asume que la tensión aplicada a los electrodos provoca el posicionamiento de
cargas eléctricas sobre la superficie de la cavidad, lo cual implica que se tendría carga interna incluso
antes de que la actividad de DP se hubiese iniciado (Hauschild & Lemke, 2014).
En este modelo, a diferencia de lo que ocurre en los modelos analítico y de elementos finitos, se hacen
análisis en función de tensiones y corrientes en las terminales de capacitancias equivalentes, lo que hace
que no se requieran complejos análisis para obtener las ecuaciones que describen el modelo. Además,
las simplificaciones inherentes a la aproximación electrostática de los circuitos eléctricos ayudan a la
16
comprensión del proceso de DP, desde un punto de vista fenomenológico, con la analogía a las descargas
de circuitos RC, sin necesidad de utilizar variables y funciones de campos electromagnéticos. Estos
últimos factores han hecho que este modelo haya sido bastante utilizado, sobre todo para cavidades
cilíndricas, y se hayan propuesto diferentes variaciones buscando incrementar la precisión y
aplicabilidad a diferentes condiciones de esfuerzos aplicados. Estos modelos tienen además la ventaja
de poderse implementar fácilmente en software dedicados para análisis de circuitos y redes como
MATLAB/SIMULINK® (Gopinath & Sathiyasekar, 2014; Sabat & Karmakar, 2011), PSpice® (Kolev et al.,
1998) y EMTP® (Christina et al., 2017; Nafar, 2012).
Durante las DP, la baja conductividad del canal de plasma provoca un cambio súbito en la tensión sobre
la capacitancia equivalente de la cavidad. En (Rodríguez-Serna, Albarracín-Sánchez, Dong, et al., 2020)
se propuso la clasificación de los modelos de DP basados en condensadores, a partir de la forma como
se simula dicho cambio de tensión. La clasificación obtenida fue la siguiente:
1. Simulación del Spark-gap mediante un interruptor
2. Cavidad de resistencia equivalente variable
3. Cavidad de capacitancia variable
En la primera categoría, el Spark-gap asociado con la caída de tensión a través de la cavidad durante las
DP, ver Figura 4, es simulado con un interruptor ideal que se pone en paralelo con el condensador
equivalente de la cavidad. Este interruptor se controla mediante funciones lógicas dependientes de las
condiciones de incepción y extinción de las DP, o si se dispone de distribuciones experimentales de la
magnitud de la carga en fase (q - φ) o en el tiempo (q - t), se puede accionar para instantes de tiempo
específicos y durante el tiempo de duración de las DP. Este modelo ha sido utilizado para diferentes
análisis de las características estocásticas de las DP en cavidades (Hikita et al., 1990; Okamoto et al.,
2001) y diferentes arreglos de electrodos (Okamoto et al., 1992; Okamoto & Yashima, 2017). También,
se ha usado para estudiar el comportamiento de las DP en cavidades bajo esfuerzos de tensión en CC (F.
Kreuger & Fromm, 1994) y alta frecuencia (Negm et al., 2016), así como para diferentes condiciones de
envejecimiento (Haghjoo et al., 2012) y temperatura (Candela et al., 1999). Las formas de onda de los
pulsos de corriente en el circuito se han analizado usando métodos de análisis en el domino de la
frecuencia (Bhatt et al., 2018). Finalmente, algunas modificaciones también se han propuesto para
incluir el efecto de la carga espacial dejada por las descargas previas, sin embargo, su simulación es
compleja, requiere altos esfuerzos computaciones y presentan limitaciones en cuanto a los modos no
repetitivos de los dispositivos utilizados para simular el interruptor (Arief et al., 2012).
Por su parte, en la segunda categoría de modelos de tres condensadores, se utiliza una resistencia
variable que se pone en paralelo con el condensador equivalente a la cavidad y simula la resistencia
finita del canal del Streamer. El valor de la resistencia puede calcularse usando una función dependiente
del tiempo y la magnitud de la tensión resultante en la cavidad como superposición de la tensión
aplicada a los electrodos y la debida a la carga en la superficie de la cavidad (Alsheikhly et al., 1992). La
resistencia del canal de plasma no depende solamente de la tensión en la cavidad, sino, además de la
magnitud de la corriente a través de aquel. En (Gafvert et al., 2003) se propuso una función matemática
para la resistencia del Streamer dependiente de la tensión, para controlar las condiciones de incepción
y extinción, y la corriente, para controlar el valor de la resistencia durante las DP. En este modelo se
introdujeron, además, resistencias adicionales para considerar la conducción en la superficie de la
cavidad y a través del dieléctrico. En (Ala et al., 2011) se presentó un enfoque para modelar la variación
con el tiempo de la resistencia del canal de plasma desde un punto de vista multifísico con una función
matemática dependiente de los coeficientes de ionización y recombinación en el aire, además de una
variable de activación que a su vez depende del cumplimiento de las condiciones de incepción y
extinción, y considera el comportamiento estocástico de las DP mediante una función de Weibull
(Silvestre et al., 2013). Para cada instante de tiempo en el cual se presentan las DP un generador de
corriente inyecta un valor de corriente equivalente al valor instantáneo de la conductividad. Este
modelo fue modificado para simular la actividad de DP bajo condiciones de forma de onda CC incluyendo
17
resistencias que simulan la conducción a través de la superficie de la cavidad y el material dieléctrico
(Imburgia et al., 2017).
Finalmente, en (Achillides et al., 2008) se propuso un método de capacitancia variable con el fin de
conciliar las consideraciones que dan sustento a los modelos de tres condensadores con los procesos
físicos reales que suceden durante las DP. El modelo consta de un condensador equivalente para la
cavidad, cuya capacitancia es función de las condiciones de incepción y extinción de las DP, el volumen
y forma de la cavidad, y la separación entre electrodos. En paralelo con el anterior, se dispone un
condensador equivalente al material dieléctrico sólido. Sin embargo, los resultados del modelo
propuesto no son validados ni contrastados con mediciones experimentales.
Como puede verse, al comparar el número de diferentes variaciones encontradas para los modelos de
tres condensadores y las encontradas para el modelo analítico, los primeros han sido ampliamente
utilizados lo cual puede deberse a las ventajas de análisis, por la simplificación del fenómeno, y solución
del circuito mencionadas previamente. Además, en estos modelos la dinámica de la carga superficial se
puede modelar usando el enfoque de resistencia variable, debido a que la magnitud de la resistencia
puede ser controlada numéricamente para tomar en cuenta la polaridad de la tensión aplicada y el
tiempo transcurrido después de la última DP, de manera similar al enfoque de constante de tiempo RC
en los modelos analíticos (H. Illias et al., 2009; H. A. Illias et al., 2012). Sin embargo, la fuerte nolinealidad incluida en el circuito por la resistencia del Streamer genera dificultades numéricas. La rigidez
del problema hace que sea necesario utilizar un método de paso de tiempo implícito con pasos de tiempo
reducidos, lo cual implica grandes esfuerzos computacionales y que no se puedan encontrar soluciones
para todos los posibles casos de interés, como por ejemplo cavidades de tamaño comparable a la
separación entre electrodos.
En la Sección 3.3 del artículo (Rodríguez-Serna, Albarracín-Sánchez, Dong, et al., 2020) se realizó un
amplio y detallado estudio del estado del arte, así como un análisis crítico a los modelos de
condensadores, se resumieron los parámetros de los medios y el objeto de ensayo necesarios para
implementar los modelos. Adicionalmente, en la Sección 4 de este artículo, se propuso una modificación
al circuito equivalente presentado en (Gafvert et al., 2003) para considerar la estocasticidad de las DP y
las condiciones de múltiples esfuerzos (multifísicos) que se presentan durante las DP utilizando el
mismo método descrito al final de la Sección 2.2.2.1 de este capítulo de la tesis. Además, se propuso un
método para calcular la capacitancia equivalente de la cavidad esférica que permite conciliar los
modelos de condensadores y de campos electromagnéticos. En la Sección 5 de (Rodríguez-Serna,
Albarracín-Sánchez, Dong, et al., 2020), se comparan los resultados de simulación con valores medidos
experimentalmente reportados por otro investigador (H. A. Illias et al., 2017), y se pudo comprobar que
el circuito modificado y método propuestos permiten mejorar la precisión del proceso de modelamiento
y simulación. Mayores detalles son presentados en el Capítulo 5 de análisis de resultados.
2.2.2.3 Modelo de elementos finitos
Como se mencionó al principio de éste capítulo, los diferentes modelos de DP se distinguen por la forma
como se calcula la intensidad de campo eléctrico al interior de la cavidad, resultante de la superposición
del campo eléctrico debido a la aplicación de la fuente de alta tensión y el campo eléctrico producido
por la carga dejada en la superficie de la cavidad por las DP previas. El modelo de elementos finitos
soluciona numéricamente las ecuaciones de campos en derivadas parciales y prácticamente, no
presenta limitaciones en cuanto a la geometría del objeto de ensayo, la forma de onda de la tensión
aplicada e incluso la linealidad o isotropía de los materiales. Además, se pueden considerar las múltiples
físicas; eléctrica, térmica y mecánica, interrelacionadas durante las DP (H. A. Illias et al., 2012), y las
corrientes y cargas, real e inducida, se calculan numéricamente en la cavidad y en los electrodos usando
condiciones de frontera y soluciones de campo, sin la necesidad de usar aproximaciones electrostáticas
o expresiones analíticas. Por otro lado, muchas de las condiciones de aplicabilidad de los modelos
analítico y de condensadores no son requeridas para los modelos de elementos finitos, lo que facilita su
generalización. Dependiendo de la forma en la cual se simula el proceso de DP, los modelos de elementos
18
finitos se subdividen en las siguientes dos categorías (Rodríguez-Serna, Albarracín-Sánchez, & Mas’ud,
2020):
1. Modelos de corrientes eléctricas
2. Modelos electrostáticos
En los modelos de corrientes eléctricas, las DP se simulan como un cambio súbito en la conductividad
de la cavidad, o un cierto volumen de la cavidad asociado al canal del Streamer, donde se tiene un
número elevado de cargas eléctricas. La ecuación en derivadas parciales que describe el fenómeno de
las DP usando el modelo de corrientes eléctricas es la siguiente:
− ∇ ⋅ (k s ∇U ) − ∇ ⋅
∂
(ε∇U ) = 0 ,
∂t
(18)
donde U (V) es el potencial escalar eléctrico, k s (S‧m-1) es la conductividad, t (s) es el tiempo y ε (F‧m1) es la permitividad eléctrica. Cuando la condición de incepción se satisface y hay al menos un electrón
para iniciar las descargas, la conductividad de la cavidad se incrementa, lo cual a su vez provoca un
incremento en la corriente del Streamer a través de la cavidad y la magnitud de la intensidad de campo
eléctrico al interior de la misma se reduce debido al campo eléctrico producido por la carga depositada
sobre la superficie de la cavidad. Cuando la magnitud de la intensidad de campo eléctrico se reduce por
debajo de la magnitud de extinción, la DP finaliza. El decaimiento de carga debido a recombinación y
conducción volumétrica o superficial, se modela usando una región delgada equivalente a la superficie
de la cavidad donde la conductividad se modifica como una función de la magnitud de la intensidad de
campo eléctrico al interior de la cavidad y su polaridad, las magnitudes de la corriente y la carga, y la
temperatura.
Los modelos de corrientes eléctricas se han usado para análisis del comportamiento de las DP en
cavidades bajo diferentes condiciones de frecuencia (H. Illias et al., 2011b; H. A. Illias et al., 2009b),
forma de onda de la tensión aplicada (He et al., 2018; H. Illias et al., 2012), amplitud de la tensión
aplicada (H. A. Illias et al., 2010), tamaño y ubicación de la cavidad (H. Illias et al., 2011a; H. A. Illias et al.,
2009a), temperatura (H. A. Illias et al., 2012, 2015a) y número de cavidades (H. A. Illias et al., 2011). Los
resultados de simulación son consistentes con las mediciones experimentales (G. Chen & Baharudin,
2008; Forssen & Edin, 2008).
Por su parte, los modelos electrostáticos simulan el proceso de las DP como un cambio en la densidad
superficial de carga en la superficie de la cavidad. La ecuación en derivadas parciales que describe el
fenómeno de las DP usando el modelo electrostático es la siguiente:
∇ 2U = −
ρ
,
ε
(19)
donde ρ (C‧m-3) es la densidad volumétrica de carga. Cuando las condiciones mínimas requeridas para
la aparición de las DP se satisfacen, la densidad superficial de carga se incrementa de manera discreta
hasta que la magnitud de la intensidad de campo eléctrico dentro de la cavidad se reduce por debajo de
la magnitud de extinción. El proceso de decaimiento de carga se puede modelar modificando la
distribución superficial de carga para cada paso de tiempo o mediante un proceso de conducción
superficial.
Los modelos electrostáticos han sido usados para analizar los cambios en el comportamiento de las DP
durante el proceso de envejecimiento (K. Wu et al., 2003) y a altas frecuencias (K. Wu et al., 2007).
También, se analizó el efecto en el comportamiento de las DP debido a la distribución de carga, el tamaño
de la cavidad (Hazlee A. Illias et al., 2011), y la magnitud y forma de onda de la tensión aplicada (H. A.
Illias et al., 2014, 2015b). En (H. A. Illias et al., 2016) se utilizó un modelo electrostático en 3D para
estudiar el fenómeno de las DP en una geometría similar a la encontrada en un cable de potencia de
19
dimensiones prácticas. En (Callender, 2018) se presentó un modelo electrostático generalizado para
simular las DP que utiliza una distribución superficial de carga continua. Sin embargo, dicha distribución
está descrita por una función matemática que depende de dos parámetros que no están claramente
definidos ni se establece el procedimiento para determinarlos para cualquier caso de estudio.
De los dos modelos de elementos finitos, el más preciso es el electrostático ya que el tiempo durante el
cual las cargas permanecen en estado de conducción en la cavidad es demasiado breve para considerar
el establecimiento de una corriente eléctrica y el movimiento de las cargas parece responder más a las
dinámicas de un plasma (Villa et al., 2017). Sin embargo, en el modelo electrostático, se presentan
dificultades en cuanto a la distribución superficial de carga y su variación con el tiempo y en el espacio
(H. A. Illias et al., 2017).
En la Sección 2 del artículo (Rodríguez-Serna, Albarracín-Sánchez, & Mas’ud, 2020) se presenta una
revisión completa y detallada de los modelos de elementos finitos, sus aplicaciones, estado del arte,
ventajas y desventajas. Además, en la Sección 3, se propone un novedoso modelo híbrido, el cual conjuga
las ventajas de los modelos de corrientes eléctricas y electrostático y además permite superar las
dificultades acerca de la distribución superficial de carga de los modelos electrostáticos existentes, ya
que después de las DP y usando un enfoque de teoría electromagnética, se obtiene la distribución
superficial de carga para cada instante de tiempo como una función continua del espacio, por lo que no
se tienen puntos sobre la superficie de la cavidad en los cuales la magnitud de la intensidad de campo
eléctrico sería una indeterminación (Hazlee A. Illias et al., 2011). Este modelo, incluida una versión
multifísica, presentada en la Sección 4 del artículo y que parte de los conceptos resumidos al final de la
Sección 2.2.2.1 de esta tesis, fue implementado en MATLAB® y COMSOL Multiphysics®. En la Sección 5
del artículo, los resultados de simulación se comparan con mediciones experimentales reportadas por
otros investigadores (Gutfleisch & Niemeyer, 1995), y se concluye que el modelo propuesto presenta
excelentes resultados bajo diferentes condiciones de envejecimiento.
A modo de ilustración, la Figura 5 muestra la distribución de potencial escalar eléctrico para el caso de
estudio de una cavidad esférica de radio 0,70 mm en el medio de un dieléctrico sólido, resina epóxica,
de permitividad relativa 4,40. El bloque dieléctrico de altura 2 mm, se pone entre dos electrodos planos,
al superior se aplica una tensión de CA sinusoidal de 18 kV pico y 50 Hz, mientras que el inferior se pone
a tierra. La línea horizontal a lo largo del radio de la esfera en la Figura 5, define la superficie de
integración para calcular la corriente real de las DP.
Figura 5. Solución en COMSOL Multiphysics ® para el potencial escalar eléctrico para t = 5 ms. Cavidad de 0,70 mm de radio y
llena de aire, separación entre electrodos de 2 mm, permitividad relativa del dieléctrico 4,40, al electrodo superior se aplica una
señal sinusoidal de 18 kV, CA, mientras el inferior permanece puesto a tierra.
20
Existen otros modelos avanzados en los cuales los procesos físicos de ionización por impacto, adición,
recombinación, difusión y deriva de portadores de carga son cuantitativamente definidos mediante
ecuaciones de fluidos para describir las dinámicas de plasma en la cavidad durante las DP (Pan et al.,
2018). En estos modelos se consideran de manera precisa y detallada los fenómenos químicos y físicos
que suceden durante las DP en las cavidades (Leon-Garzon et al., 2018). Estos modelos prácticamente
no tienen limitaciones en cuanto a los materiales, geometría del objeto de ensayo y tipos de esfuerzos
aplicados. Sin embargo, requieren de un gran número de parámetros físicos que deben determinarse de
manera experimental para cada caso de estudio y hacen que los resultados de simulación y los modelos,
no se puedan extender a otras geometrías y/o materiales (Borghei et al., 2020). Adicionalmente, la
solución de estos modelos requiere un alto consumo computacional, lo que los hace imprácticos para
análisis de envejecimiento y múltiples DP, donde se requiere la simulación durante cientos de ciclos de
la señal de tensión de CA. Por lo anterior, estos modelos no serán considerados en el desarrollo de esta
tesis.
2.2.3 Modelamiento y simulación de propagación de arborescencias eléctricas en dieléctricos
poliméricos sólidos
Los sistemas de aislamiento son diseñados de tal manera que la magnitud de la intensidad de los campos
eléctricos, y en general de todos los esfuerzos, aplicados a los materiales dieléctricos sean inferiores a
los valores de incepción de los mecanismos de ruptura. Sin embargo, debido a problemas de fabricación
o condiciones operativas no previstas, pueden aparecer contaminantes metálicos o cavidades llenas de
aire donde el campo eléctrico presenta una intensificación. Las DP en cavidades esféricas en el interior
de dieléctricos sólidos degradan la superficie de la cavidad e inducen la formación de pozos y cráteres
en ella a partir de los cuales se propagan rápidamente arborescencias eléctricas a través del dieléctrico
sólido hasta que se produce la ruptura total del aislamiento (Danikas & Adamidis, 1997;
Tanmaneeprasert et al., 2017). Las arborescencias eléctricas son estructuras tubulares compuestas por
canales gaseosos de diámetro microscópico que se propagan a través del material mediante un
mecanismo controlado, principalmente, por la actividad de DP en dichos canales gaseosos (Dissado &
Fothergill, 1992; Seralathan et al., 2008). Los modelos para simular la propagación de arborescencias a
través del dieléctrico sólido se pueden clasificar así:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Estocásticos
Físicos
Empíricos
Determinísticos
Multifísicos
Autómatas celulares
Para los propósitos de esta tesis, se supone que la fuente de inicio de la propagación de las
arborescencias son las DP en cavidades en el interior de los dieléctricos sólidos que conllevan a la
generación de cráteres en la superficie de la cavidad (Bahder et al., 1982). Para esta sección se supone
de interés la propagación de la arborescencia una vez se ha detectado la existencia incipiente de ésta. La
creación del primer canal de la arborescencia, incepción, desde la superficie de la cavidad y a partir del
cual aquella se propaga de manera independiente de las descargas en la cavidad, se analizará en la
Sección 2.2.5 de este capítulo.
2.2.3.1 Modelos estocásticos para simular la propagación de arborescencias en sólidos dieléctricos
Los modelos estocásticos están basados en el modelo propuesto por Niemeyer, Pietronero y Wiesmann,
también conocido como NPW (Niemeyer et al., 1984) y la versión mejorada implementada por
Wiesmman y Zeller (Wiesmann & Zeller, 1986). En este modelo se considera que la arborescencia crece
de manera discreta y que la probabilidad de propagación en una dirección dada depende de la magnitud
21
de la intensidad de campo eléctrico local elevada a un exponente η que permite controlar la dimensión
de la estructura fractal. Este modelo ha sido usado para diversos estudios como análisis estadísticos y
probabilísticos (Barclay et al., 1990; Wiesmann & Zeller, 1986; Zeller, 1987), evaluación del efecto de
barreras dieléctricas en la propagación de arborescencias (Farr et al., 2001; Sweeney et al., 1992),
propagación de arborescencias en medios no uniformes o con carga espacial (M. D. Noskov et al., 1995;
Seralathan et al., 2008). Las principales desventajas de este modelo son que el exponente η no tiene una
explicación física y el tiempo no se incluye como una variable física en el modelo (Kai Wu et al., 1995).
2.2.3.2 Modelos físicos para simular la propagación de arborescencias en sólidos dieléctricos
El modelo físico o de avalancha (DAM), está basado en el modelo de envejecimiento eléctrico y ruptura
dieléctrica propuesto por Bahder et al. (Bahder et al., 1982) en el que se asume que las DP en una cavidad
o canal de la arborescencia inducen avalanchas dentro del aislamiento en los puntos donde terminan las
DP, y se considera que el número de ionizaciones en una avalancha es proporcional al daño que esta
produce (Dissado & Sweeney, 1992). Una repetición de este proceso provoca que el daño se acumule
hasta que alcance un nivel crítico, cuando se formará un nuevo canal. La longitud de cada nuevo
segmento de canal se asume constante, igual a 10 μm, a partir de las observaciones experimentales de
Hozumi y Okamoto (Hozumi & Okamoto, 1989). Para calcular el campo eléctrico local, se asigna una
caída de potencial a cada segmento a lo largo de la arborescencia desde el electrodo de alta tensión, lo
que permite considerar los efectos de la carga homopolar en la punta del canal y que no necesariamente,
toda la estructura de la arborescencia se descarga cada vez que se induce una avalancha. Fluctuaciones
locales del campo eléctrico, resultantes del mecanismo mismo de ruptura o de no-homogeneidades
espaciales en las propiedades eléctricas del aislamiento (Dissado et al., 1997; Quiña et al., 2010), se
modelan asignando valores diferentes a la caída de potencial en los segmentos. Los resultados del
modelo son consistentes con mediciones experimentales presentadas por Noto y Yoshimura (Noto &
Yoshimura, 1974), además, permite describir de manera cuantitativa la dependencia entre la
propagación de las arborescencias y la tensión aplicada (Fothergill et al., 1994).
2.2.3.3 Modelos empíricos para simular la propagación de arborescencias en sólidos dieléctricos
Los modelos empíricos utilizan expresiones analíticas obtenidas mediante procesos de ajuste de curvas
a resultados experimentales. En (Champion et al., 1994) se presentó un modelo empírico que permite
reproducir las curvas tiempo-longitud que se miden experimentalmente durante la propagación de
arborescencias. Usando este modelo se pudo concluir que existe una correlación lineal entre la
dimensión fractal y el tiempo hasta la ruptura. Este mismo modelo fue utilizado en (Champion & Dodd,
1995) para estudiar el efecto de la edad de fabricación de las muestras en el proceso de propagación de
las arborescencias en resinas epóxicas.
2.2.3.4 Modelos determinísticos para simular la propagación de arborescencias en sólidos dieléctricos
En (Dodd, 2002) se presentó un modelo físico-determinístico para la propagación de arborescencias en
el cual el daño en el material que rodea la arborescencia se calcula usando la disipación de energía
electrostática por las DP en los canales gaseosos de esta. Este modelo permite la obtención de
arborescencias ramificadas sin la necesidad de usar una variable aleatoria ya que las inestabilidades en
el campo eléctrico están controladas por las cargas de las DP. Los resultados de simulación, curva
longitud-tiempo y tasa de crecimiento como función de la tensión, son consistentes con las mediciones
experimentales en arborescencias no conductivas. Además, se demuestra que la estructura ramificada
se produce, principalmente, debido a las inestabilidades en el campo eléctrico provocadas por la carga
eléctrica de las DP, más que por las no-homogeneidades del material.
22
2.2.3.5 Modelos multifísicos para simular la propagación de arborescencias en sólidos dieléctricos
Recientemente modelos multifísicos para la propagación de las arborescencias han sido propuestos a
partir del modelo presentado en (M. Noskov et al., 2001). La ruptura de sólidos dieléctricos ocurre
debido a la propagación de canales de plasma en el sólido. Se considera que la propagación de los canales
de plasma se debe a las inestabilidades electromecánicas, electro-térmicas y de los procesos de
ionización, a su vez, producidas por el comportamiento dinámico de los campos eléctricos, la carga y la
energía dentro de los canales y el material dieléctrico (Wildman & Gazonas, 2015). En (Ding & Varlow,
2002) se presentó un modelo físico-cinético para la propagación de las arborescencias en dieléctricos
poliméricos que permite evaluar el tiempo de vida útil del aislamiento como una función de la tensión
aplicada, la temperatura ambiental y la dimensión fractal en una sola ecuación. En este modelo, se
considera que la propagación se da a través de microdefectos alrededor de la arborescencia, por lo que
el intervalo de tiempo entre dos incrementos consecutivos de esta, depende de la distribución aleatoria
de los microdefectos en el material. En (Ding & Varlow, 2003) se presentó una variación al anterior
modelo cinético para incluir el efecto de las tensiones residuales de compresión y tracción en el proceso
de propagación de las arborescencias.
2.2.3.6 Modelos basados en autómatas celulares para simular la propagación de arborescencias en
sólidos dieléctricos
Los autómatas celulares, más que un modelo, son un método para la solución de las ecuaciones de
Laplace y Poisson en medios no homogéneos considerando solamente interacciones locales (Chopard,
2012). Este método se ha usado para simular la propagación de arborescencias eléctricas en sólidos
dieléctricos aplicando configuraciones punta-plano y considerando condiciones de no uniformidad en
la permitividad dieléctrica del material que puede ser consecuencia de procesos de deterioro químico
de volúmenes elementales (Danikas et al., 1996). También, se ha utilizado para estudiar el efecto de la
carga espacial (Vardakis et al., 2002), partículas (Vardakis & Danikas, 2005) y nanopartículas (Pitsa
et al., 2010) en la propagación de las arborescencias.
En la Sección 3 del artículo (Rodríguez-Serna, Albarracín-Sánchez, & Carrillo, 2020) se realizó una
presentación detallada del estado del arte de los modelos previos para simular la propagación de
arborescencias eléctricas en dieléctricos sólidos. Además de la presentación de sus ventajas y
limitaciones, también se realizó una discusión crítica de los parámetros de los medios utilizados en
dichos modelos. También, en la Sección 4 de dicho artículo se propuso un nuevo modelo físicoestocástico basado en el modelo DAM, pero a diferencia de éste, en el nuevo modelo el tiempo requerido
para conformar un nuevo canal se calcula a partir de un análisis del cambio de energía durante la
propagación. Adicionalmente, el modelo propuesto permite el análisis de propagación de
arborescencias en medios no homogéneos o cuando se tiene carga espacial. En el modelo propuesto, al
igual que en el modelo DAM, se asume que las avalanchas se presentan durante las DP. En la Sección 5
del artículo, a partir de un análisis comparativo entre los resultados de simulación y los obtenidos
experimentalmente en (Champion et al., 1994), se concluye que el modelo permite obtener valores de
tiempo hasta la ruptura y dimensión fractal que se encuentran dentro de los rangos de los valores
medidos.
A modo de ilustración, en la Figura 6, se muestran resultados de simulación de propagación de
arborescencias en medios no homogéneos. En el caso de estudio de la parte superior, Figuras 6a a 6c, se
considera la inclusión de una región rectangular, conductora ideal en equilibrio ( ε → ∞ ), mientras que,
para el caso de estudio de la parte inferior, Figuras 6d a 6f, se considera la inclusión de una región
circular de diámetro Dr = 0,16 mm y con carga espacial (3 nC‧m-2). El arreglo de electrodos para ambos
casos de estudio corresponde a una configuración punta-plano con una separación de 1 mm, el radio de
la punta se considera igual a 20 μm, la tensión aplicada a la punta es sinusoidal de 50 Hz CA y 15 kV RMS,
la permitividad relativa del dieléctrico sólido es de 4,40.
23
1.2
1.8
1.6
1
1.4
(mm)
1.2
max
0.6
1
0.8
L
Y (mm)
0.8
0.6
0.4
0.4
0.2
L
0.2
0
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.
L
0
2
(b)
1.2
1
8
Y
10
12
10
7
(c)
1.4
1.2
1
(mm)
0.8
max
0.6
0.8
0.6
L
Y (mm)
6
Tiempo (s)
X (mm)
(a)
4
0.4
0.4
0.2
0.2
L
L
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
X (mm)
0
0
1000
2000
3000
4000
Y
5000
Tiempo (s)
(d)
(e)
(f)
Figura 6. Resultados de simulación para casos de estudio de propagación de arborescencias considerando barreras metálicas,
superior, y regiones con carga espacial, inferior. De izquierda a derecha: Configuración geométrica, estructura de la
arborescencia y característica en el tiempo de la longitud máxima (L) y la longitud máxima en el eje Y (LY). Esta figura se ha
tomado del Anexo A, el cual se usará para escribir un artículo de revista que se someterá a revisión próximamente.
Mayores detalles, así como otros casos de estudio se presentan en el Capítulo 5, análisis de resultados,
y en el Anexo A de esta tesis.
2.2.4 Modelamiento y simulación de DP en arborescencias eléctricas
Las arborescencias son el resultado de acumulación del daño provocado por la actividad continuada de
las DP en los canales gaseosos y sus estructuras describen formas bien caracterizadas, arbusto (“bush”),
ramificada (“branch”) o combinaciones entre ambas (“bush/branch”) que son dependientes de la tensión
aplicada, la geometría del arreglo de electrodos y propiedades físicas del material (Champion & Dodd,
1996; Dissado & Fothergill, 1992). Cuando los equipos se encuentran instalados no se pueden realizar
inspecciones detalladas de las componentes del sistema de aislamiento por lo que se utilizan mediciones
no invasivas como las de las DP y sus patrones resueltos en fase (Albarracín-Sánchez et al., 2020) que
permiten inferir la existencia de condiciones de daño y potencialmente peligrosas para la vida útil del
aislamiento (Rodríguez-Serna, Albarracín-Sánchez, Garnacho, et al., 2019). Para el caso de las
arborescencias, estos patrones no solo cambian dependiendo del tipo de arborescencia sino también del
tiempo de propagación (X. Chen et al., 2014; Guangning Wu et al., 2000; Kaneiwa et al., 2001; Mammeri
et al., 1995), del tipo de tensión aplicada (Zheng et al., 2020), o si se tienen arborescencias y otros
defectos (Kasinathan et al., 2017). Pero, sí presentan comportamientos similares para diferentes tipos
de materiales (Champion & Dodd, 1996). Por lo anterior, un análisis de estos patrones junto con medidas
estadísticas puede permitir inferir el tipo de arborescencia, así como la vida útil remanente del
aislamiento (Dodd et al., 2008; Guastavino & Cerutti, 2003).
Aunque la simulación precisa de las DP en las arborescencias requiere un enfoque multifísico del
fenómeno, el modelamiento y simulación se pueden realizar de manera aproximada y confiable
considerando solamente las dinámicas de la carga depositada en la interfaz entre los canales gaseosos
y el dieléctrico (Borishade, 1977), y esto gracias a que la carga depositada sobre la superficie tiene un
tiempo característico, dependiente de procesos como difusión en el gas, conducción y atrapamiento en
24
la superficie del sólido dieléctrico, mucho mayor al que tienen otras variables físicas como la
temperatura y la presión (Champion et al., 1996).
En (Suwarno, Suzuoki, Komori, et al., 1996) se realizaron mediciones experimentales de DP durante la
propagación de arborescencias en LDPE (low-density polyethylene), EVA (ethylene–vinyl acetate) y
EAA (ethylene–acrylic acid). El análisis de los resultados experimentales les permitió proponer un
modelo de condensadores y una resistencia para simular las DP en arborescencias. Sin embargo, el uso
de la resistencia, que no tiene explicación física en el modelo y las capacitancias, que implican
condiciones de equipotencialidad, no están del todo analizadas y explicadas. Por otro lado, se asume que
solo puede ocurrir una DP en cada semiciclo. Este modelo permite obtener patrones de DP cuyas
distribuciones en fase son bastante cercanas a las encontradas experimentalmente, sin embargo, como
las capacitancias son constantes, la magnitud de las DP en cada rama es en principio constante, lo cual
contradice las mediciones experimentales.
En (Champion & Dodd, 1998) se presentó un modelo que simula las DP como el resultado de avalanchas
localizadas de electrones que ocurren en segmentos de la arborescencia, que se representa usando un
reticulado uniforme en 2D, cuando la diferencia de potencial entre los puntos inicial y final de dichos
segmentos supera un valor critico de incepción. Después de las DP, en la estructura de la arborescencia
se establecen dipolos de carga que definen las nuevas condiciones de campo eléctrico al interior de los
canales de la arborescencia y en el dieléctrico sólido alrededor de aquella. Se encontró que el modelo
puede simular las variaciones en los patrones resueltos en fase durante los periodos de propagación de
las arborescencias modificando las condiciones de incepción y extinción de las DP. En (Champion &
Dodd, 2001) se propuso como mejora al modelo, la inclusión de la conductividad lo cual permite simular
DP en arborescencias en materiales de diversas características. Este modelo es determinístico por lo
que es incapaz de reproducir las características de los patrones resueltos en fase medidas
experimentalmente en algunos materiales (Dodd et al., 2010).
En (Malinovski et al., 1998) se presentó un modelo estocástico-determinístico que vincula y permite la
simulación simultanea de la propagación de arborescencias y DP en los canales de la arborescencia (M.
D. Noskov et al., 2000). La propagación de la arborescencia se simula usando un modelo estocástico en
el cual se considera que el daño acumulado en el material sólido es proporcional a la energía disipada
dentro de los canales tubulares. Este modelo considera de manera explícita las DP durante el proceso
de propagación de las arborescencias, y la selección de la dirección de propagación se hace de manera
estocástica en un espacio 3D en cualquier dirección y ángulo. La forma y distribución de los patrones
resueltos en fase para señales sinusoidales y triangulares de CA, es cualitativamente comparada con
resultados experimentales y se encuentra buena consistencia. Además, se encontró que la geometría
fractal y tiempo hasta la ruptura de las arborescencias simuladas, son similares a los reportados en la
literatura para resinas epóxicas (M. D. Noskov et al., 2001). Una mejora al modelo se presentó en (M. D.
Noskov et al., 2003), para incluir la conductividad del canal de descarga, el transporte de carga usando
la ley de Ohm y la redistribución de campo eléctrico en los canales de la arborescencia durante la
propagación. Los resultados de simulación permiten concluir que este modelo es bastante poderoso, sin
embargo es bastante general y no se tienen en cuenta ciertos cambios específicos en los modos de
propagación que ocurren por las variaciones fisicoquímicas de los medios o la dependencia de la
polaridad de los parámetros del medio (Champion et al., 1996). Por otro lado, los resultados de
propagación no se analizaron estadísticamente de manera que se pudieran obtener conclusiones
cuantitativas de la variación de la longitud o la dimensión fractal con el tiempo (Vogelsang et al., 2006).
En (Kai Wu et al., 1999) se presentó un modelo físico para simular las DP en canales artificiales, los
cuales pueden reproducir patrones resueltos en fase similares a los encontrados en arborescencias
reales (Suwarno, Suzuoki, & Mizutani, 1996). Se realizaron comparaciones entre simulaciones y
mediciones experimentales y se encontró que el modelo reproduce de manera adecuada el
comportamiento de los patrones resueltos en fase cuando se cambia la longitud del canal y se modifica
la tensión aplicada. Sin embargo, la definición de capacitancia de los segmentos del canal en este modelo
no es realista ya que se asume que la carga yace en las paredes de los canales y que los segmentos, que
conforman la estructura de la arborescencia, son equipotenciales a lo largo de la trayectoria de la
arborescencia con los electrodos. Además, esta capacitancia se asume como constante, pero su valor
25
debería cambiar dinámicamente para modelar los cambios súbitos en los patrones durante los cortos
periodos de tiempo en los cuales la longitud radial de la arborescencia aumenta.
Un modelo determinístico fue propuesto en (Lv, Rowland, Chen, & Zheng, 2018) en el que se utilizan
resultados experimentales de las tensiones de incepción y extinción que se obtienen directamente de
las mediciones de la secuencia de pulsos (PSA). El modelo reproduce adecuadamente las principales
características de distribución y magnitud de los patrones de DP. Sin embargo, la dependencia de los
valores experimentales de las tensiones de incepción y extinción no permite su generalización para
cualquier tipo de material y objeto de ensayo.
En la Sección 2 del artículo (Rodríguez-Serna & Albarracín-Sánchez, 2021) se realiza una revisión
detallada de los modelos para simular DP en arborescencias eléctricas, se describen sus diferentes
aplicaciones, así como sus ventajas y limitaciones. Adicionalmente, en la Sección 3, se proponen dos
modelos mejorados, uno determinístico y otro estocástico, que presentan un adecuado desempeño y
reproducen de manera adecuada, con errores menores al modelo determinístico presentado en
(Champion & Dodd, 1998), las distribuciones de los patrones resueltos en fase y las magnitudes de las
DP medidas experimentalmente, ver Secciones 4 y 5 del artículo. Asimismo, los modelos propuestos
permiten considerar como parámetro de entrada la conductividad, por lo que se pueden realizar
simulaciones de distintos tipos de materiales y se pueden simular arborescencias con estructuras
fractales similares a las encontradas experimentalmente. Por otro lado, en las Secciones 4 y 5, los
resultados de simulación se utilizan para analizar el comportamiento estocástico de las DP en
arborescencias eléctricas y concluir acerca de sus características caótico-determinísticas con base en
hipótesis planteadas por otros investigadores.
A manera de ilustración, la Figura 7b, muestra los resultados de simulación de las DP en la arborescencia
de la Figura 7a. Es una arborescencia no conductiva de dimensión fractal aproximadamente igual a 1,5.
La separación entre electrodos es de 2 mm, se utiliza un mallado uniforme de 45 x 45 retículas con
h=50 μm. El dieléctrico sólido tiene una permitividad relativa de 4,80. La tensión aplicada al electrodo
es sinusoidal CA de 10 kV pico y 50 Hz.
(a)
(b)
Figura 7. Ejemplo de simulación de DP en arborescencias usando el modelo estocástico mejorado propuesto. De izquierda a
derecha: a, geometría de la estructura de la arborescencia; b, patrón resuelto en fase obtenido usando el modelo estocástico
propuesto.
2.2.5 Evaluación de la degradación inducida por DP en materiales dieléctricos poliméricos y estimación
de la vida útil
Las DP en cavidades en el interior de dieléctricos sólidos inducen una aceleración del proceso de
envejecimiento del material dieléctrico sólido que rodea y delimita dichas cavidades. Los principales
mecanismos mediante los cuales las DP inducen el daño son (Dissado & Fothergill, 1992; Tanaka, 1986):
1. Bombardeo de la superficie de la cavidad por parte de portadores de carga y fotones
2. Incremento local de la temperatura debido a gases calientes generados durante las DP
3. Reacciones químicas en la cavidad activadas por moléculas y partículas altamente energéticas,
oxígeno y ozono
26
El proceso de envejecimiento del material aislante se inicia con la erosión de la superficie de la interfaz
gas-sólido (Temmen, 2000). Inicialmente, la superficie es atacada químicamente y en esta se forman
cristales que producen la intensificación local del campo eléctrico. Alrededor de los cristales se forman
pozos a partir de los cuales se puede dar la incepción de arborescencias (Wang et al., 2012). En este
estudio, se considera que el tiempo necesario para que se forme un pozo con una longitud crítica a partir
de la cual se pueda generar un primer canal de la arborescencia, corresponde al tiempo de vida útil
remanente una vez se ha iniciado la actividad de DP. Es claro que dicho tiempo no es exactamente el
tiempo hasta la ruptura dieléctrica, sin embargo, se aproxima bastante teniendo en cuenta que el tiempo
de propagación de la arborescencia es bajo en comparación con el tiempo necesario para su incepción
(Rodríguez-Serna, Albarracín-Sánchez, & Carrillo, 2020).
En las aplicaciones prácticas es posible determinar mediante mediciones no invasivas si los equipos
eléctricos están experimentando DP debido a la presencia de defectos en los sistemas de aislamiento.
Los tipos de defectos (Albarracín-Sánchez et al., 2020), así como algunas de sus características
(Guastavino & Cerutti, 2003), se pueden determinar a partir de un análisis de los patrones resueltos en
fase de dichas DP. Además, las DP inducen cambios en la superficie y el gas al interior de la cavidad que
pueden deducirse a través de los cambios en el tiempo de los patrones resueltos en fase y esto puede
usarse como herramienta de diagnóstico (Callender et al., 2016; Temmen, 2000). Sin embargo, un
diagnóstico preciso de las condiciones del sistema de aislamiento con base en mediciones de DP es
imposible sin analizar el fenómeno de las DP a una escala microscópica desde un punto de vista químico
y físico (Laurent & Mayoux, 1992). Un método preciso para la estimación de la degradación, y
correspondiente reducción de vida útil, debida a las DP en cavidades al interior de dieléctricos sólidos,
aún no se tiene (Chang et al., 2013; Montanari et al., 2019). En ésta tesis se propone un método para
evaluar la degradación inducida por DP en cavidades esféricas usando simulaciones. El método
propuesto está basado en la evaluación de la ruptura de cadenas poliméricas mediante procesos de
disociación por adición de electrones (DEA) (Munro et al., 2012), y permite cuantificar la vida útil
remanente bajo unas condiciones establecidas por los esfuerzos aplicados.
En este punto se hace claridad nuevamente en el hecho de que los materiales considerados para los
análisis son polímeros, sin embargo, los principios fundamentales de los modelos y métodos propuestos
pueden aplicarse a materiales orgánicos, tales como los sistemas papel-aceite, considerando los
respectivos ajustes y validaciones con mediciones experimentales a que dé lugar.
Al contrario de lo que ocurre con los modelos de envejecimiento térmico, todavía no existe un modelo
de envejecimiento eléctrico definitivo que sea aplicable a todos los materiales y condiciones de
esfuerzos aplicados (Dissado & Fothergill, 1992). Los modelos fenomenológicos, o macroscópicos, de
envejecimiento eléctrico son el resultado de procesos de ajuste de resultados experimentales obtenidos
mediante pruebas de envejecimiento acelerado, y permiten hacer una extrapolación para las
condiciones de diseño (Simoni, 1973; Starr & Endicolt, 1961; Stone et al., 1979). Algunos ejemplos de
estos modelos son los modelos de Dakin, potencia inversa, termoeléctricos y Eyring y Zurkov (Gjaerde,
1997; Mazzanti & Montanari, 2005). En estos modelos la tasa de envejecimiento es constante y
uniforme, no se considera una superposición de campos Laplacianos y Poissonianos, pero, si se conoce
la distribución espacial de carga, este tipo de modelos se pueden usar con la magnitud correspondiente
de intensidad de campo eléctrico Poissoniano. Existen otros modelos macroscópicos complejos como el
Fowler-Nordheim (Montanari et al., 2002), que consideran características morfológicas típicas de los
polímeros tales como la presencia de fases cristalinas, paracristalinas y amorfas, o la presencia de
defectos de tamaño nanoscópico, donde la intensidad de campo eléctrico es intensificada o se acumulan
portadores de carga (Crine, 2005), y que pueden incrementar su tamaño como consecuencia de un
proceso de envejecimiento térmicamente activado (Crine, 2007).
Debido a que los esfuerzos de diseño son menores a los aplicados durante las pruebas de envejecimiento
acelerado, y además se utilizan factores de seguridad, con los modelos macroscópicos se obtiene un
dimensionamiento bastante conservativo de los sistemas de aislamiento (Montanari, 2013), y el
envejecimiento y la ruptura dieléctrica bajo dichos esfuerzos, será causada por mecanismos de
degradación localizada, tales como las DP en cavidades, antes que por una degradación global debida a
esfuerzos macroscópicos como la tensión, la temperatura o la tracción mecánica (Mazzanti & Montanari,
27
2005). Esto es coincidente con el hecho de que la ruptura dieléctrica es causada por la condición más
severa o la mayor tasa de envejecimiento (Mazzanti et al., 2007).
Por otro lado, los modelos microscópicos brindan una explicación física al proceso de envejecimiento y
no se requieren ajustes, mediante extrapolación, de parámetros relativos a los medios o condiciones de
prueba. Además, ofrecen relaciones comprensibles directas entre las características físicas, químicas y
microestructurales de los polímeros y los mecanismos de degradación asociados con las DP en los
defectos (Mazzanti et al., 2007).
La estimación del tiempo hasta la ruptura, vida, con base en mediciones de DP requiere la utilización de
modelos de vida que permitan correlacionar magnitudes de cantidades diagnósticas de las DP; carga,
corriente, energía, tiempo efectivo, etc., con un valor del tiempo hasta la ruptura a través de una relación
funcional. Teniendo en cuenta que los mecanismos de degradación activados por las DP en cavidades al
interior de dieléctricos sólidos erosionan el material dieléctrico localmente, se requieren modelos
microscópicos que consideren los distintos fenómenos químicos y físicos presentes durante las DP y su
interrelación con las características microestructurales de los materiales (Chang et al., 2013). En la
literatura, hasta el mejor conocimiento de este autor, se tienen solamente dos modelos que satisface
tales requerimientos. El primer modelo (Serra et al., 2005), está basado en un mecanismo de
degradación químico (DEA) y considera las DP en cavidades como avalanchas de electrones en el gas. El
número de electrones en dichas avalanchas se determina usando el primer coeficiente de Townsend
(Kuffel E. et al., 2000) y la distribución de energía de los electrones que impactan con la superficie del
polímero durante las avalanchas, se calcula solucionando la ecuación de Boltzmann en el dominio del
tiempo y energía, y en función de la magnitud de la intensidad del campo eléctrico al interior de la
cavidad. Finalmente, la tasa de escisión de cadenas poliméricas por bombardeo de electrones se
determina utilizando los resultados experimentales de las mediciones de Sanche (Sanche, 1997).
Por otro lado, el segundo modelo es el resultados de la trasformación del modelo DAM (Bahder et al.,
1982), en un modelo de vida (Montanari, 1995):
t br =
Df
lc
,
k 2 (E app − E th )
nU
(20)
donde t br (s) es el tiempo hasta la ruptura, l c (m) es la longitud crítica del primer canal de la
arborescencia a partir de la cual se da la propagación de manera independiente de las DP en la cavidad,
D f es la dimensión fractal de la arborescencia, nU es el coeficiente de resistencia a la tensión (voltage
endurance coefficent) del material y k 2 (s-1‧mDf‧V-nU‧mnU) es una constante que depende de la tensión
aplicada y la dimensión fractal. En este modelo, se asume que la carga espacial producida durante las
DP ingresa al material dieléctrico sólido a través de microcanales desde la superficie de la cavidad. E app
(V‧m-1) es la magnitud de la intensidad de campo eléctrico aplicada y E th (V‧m-1) es la magnitud de la
intensidad de campo eléctrico por debajo de la cual no se inyectan cargas eléctricas en el aislamiento.
Este es un modelo basado en un mecanismo de degradación físico. Comparaciones con mediciones
experimentales permiten inferir un valor de la dimensión fractal en el rango 2,70-5,50, el cual es
bastante diferente de los valores reales que están en el rango 1,70-2,50 (Montanari, 1995). Una ventaja
de este modelo es que el tiempo hasta la ruptura se puede poner en función de la carga medida ya que
en el modelo DAM, se asume que la longitud de las ramas de la arborescencia es proporcional a la carga,
lo que permite reescribir la ecuación (20) como (Bahadoorsingh & Rowland, 2007):
t br = k 3
[ln((q
(E
lc
app
k 4 ) + 1)]
Df
− E th )
nU
,
(21)
donde q lc (C) corresponde a una carga acumulada proporcional a la longitud crítica l c (m),
k 3 (s‧1-Df‧VnU‧m-nU) y k 4 (C) son constantes que dependen de la magnitud de tensión aplicada y la
28
dimensión fractal. La principal desventaja de este modelo es que es necesario establecer un valor límite
para la carga de DP directamente relacionada con la longitud de las ramas de la arborescencia y esta
magnitud puede verse encubierta por la magnitud de la carga de DP en la cavidad. Por otro lado, el
comportamiento estocástico de las DP puede causar un diagnóstico erróneo, porque la magnitud de la
carga de DP asociada con una longitud de árbol específica, puede aparecer en la cavidad antes del inicio
de la propagación de la arborescencia.
La evaluación precisa de la tasa de degradación causada por la actividad de DP requiere del
conocimiento detallado de las condiciones al interior de las cavidades, sin embargo, esto no es posible
de manera sencilla para la mayoría de condiciones prácticas (Kurrat, 1992). Diferentes parámetros han
sido usados para evaluar el riesgo de daño potencial asociado a la actividad de DP, tales como el
producto de la tasa de DP por la magnitud de carga ( ∑ N PD q )(Wang et al., 2012) y el valor máximo de
la carga de las DP, ( q max (C)) (Laurent & Mayoux, 1992). Hay un consenso casi generalizado en que el
valor máximo de la carga de las DP es un buen parámetro indicador para evaluar la nocividad de las DP
(Laurent & Mayoux, 1992). Sin embargo, no hay una relación directa entre este parámetro y el tiempo
hasta la ruptura, vida, y los métodos de diagnóstico basados en este criterio no son confiables. Durante
el envejecimiento, el comportamiento de las DP exhibe periodos de cesación durante los cuales las DP
se extinguen debido a cambios en la superficie y la presión del gas en la cavidad. La incepción de las DP
está controlada por esos factores que a su vez dependen de parámetros geométricos y del material, así
como de los esfuerzos aplicados, por esa razón el comportamiento de las DP durante el envejecimiento
presenta patrones irregulares, lo cual implica que la tasa de envejecimiento también presenta dicho
comportamiento, y conclusiones generales, modelos, nocividad, criterios, etc., aplicables a todos los
materiales y arreglos de electrodos son casi imposibles de obtener.
En la Sección 4 del artículo (Rodríguez-Serna & Albarracín-Sánchez, 2021a), se ha propuesto un método
eficiente basado en simulaciones para estimar la vida útil del dieléctrico usando una función de daño
novedosa inspirada en el trabajo de Serra et. al. (Serra et al., 2005). En la Sección 5 de este artículo, se
comparan los resultados de simulación con mediciones experimentales reportadas por otros autores
para validar el modelo propuesto y, además, los resultados de simulación se utilizan para concluir acerca
de la predominancia de los mecanismos de degradación durante el tiempo de envejecimiento.
Adicionalmente, en esta misma sección del artículo, se utilizan dos casos de estudio para analizar el
efecto de la magnitud y frecuencia de la tensión aplicada en la tasa de envejecimiento. Otra función de
daño basada en la energía de impacto de los electrones, así como un indicador de la tasa de
envejecimiento en función del valor pico de la corriente inducida, se presentan en la publicación del
Anexo C de esta tesis.
2.3 Objetivos de la tesis e hipótesis de partida
En esta sección se presentan las hipótesis de partida y los objetivos específicos planteados para aportar
en la solución de la situación problemática.
2.3.1 Hipótesis de partida
Las siguientes son las hipótesis planteadas a partir del análisis del estado del arte y del conocimiento
previo:
1. El desarrollo de modelos precisos para la simulación de DP en cavidades en el interior de
dieléctricos sólidos y considerando las diferentes físicas implícitas, ayuda a la comprensión del
fenómeno de DP, así como del efecto que tienen en la degradación y envejecimiento de los
materiales dieléctricos sólidos como pueden ser los materiales poliméricos ampliamente
utilizados como sistemas de aislamiento en diversos dispositivos eléctricos. Además, debido a
que los modelos no tienen limitaciones en cuanto al tipo de fuente de tensión considerada para
simular los esfuerzos eléctricos aplicados, estos modelos permiten simular diferentes
condiciones impuestas por aplicaciones no convencionales tales como las fuentes renovables,
29
alta tensión en CC (HVDC), vehículos eléctricos y aeroespacial, para estudiar el comportamiento
de las DP bajo dichas condiciones sin necesidad de realizar costosas mediciones experimentales
2. El modelamiento y simulación de arborescencias eléctricas en dieléctricos sólidos permite
comprender el proceso de ruptura de los materiales aislantes y su dinámica espacial y temporal.
Además, posibilita el análisis de los parámetros y variables de los que dependen las formas de
las arborescencias y su velocidad de propagación, así como las estrategias que permiten su
inhibición y propagación
3. Los resultados de simulación de DP en cavidades y arborescencias eléctricas, pueden usarse
para evaluar la degradación inducida en dieléctricos sólidos y estimar la vida útil remanente
junto con modelos de vida y funciones de daño. Asimismo, los resultados de simulación permiten
proponer indicadores de daño para relacionar variables medidas con la degradación en la
superficie de la cavidad
2.3.2 Objetivos
Los siguientes son los objetivos planteados para el desarrollo de esta tesis:
1. Modelar el fenómeno de DP en sólidos dieléctricos poliméricos usando un enfoque multifísico e
implementar simulaciones usando MATLAB® y COMSOL Multiphysics®, para realizar
diferentes análisis considerando variaciones de excitación, temperatura, materiales, entre otras
2. Modelar el fenómeno de propagación de arborescencias en sólidos dieléctricos poliméricos para
analizar la ocurrencia, evolución y comportamiento de dicho fenómeno mediante simulaciones
en MATLAB® y/o COMSOL Multiphysics®, considerando variaciones de materiales y esfuerzos
aplicados
3. Modelar la expectativa de vida útil de los sistemas de aislamiento eléctrico sólido polimérico a
partir de los resultados de simulación obtenidos en los objetivos anteriores
30
3| METODOLOGÍA
En este capítulo se presentan las actividades implementadas para el cumplimiento de los objetivos
establecidos en el capítulo anterior y que hacen parte de la metodología empleada para el desarrollo de
la tesis. Además, se describe la metodología empleada para la evaluación de los resultados. Este capítulo
se organiza de la siguiente manera: primero, en la Sección 3.1, se presentan la metodología y los recursos
para el cumplimiento de cada uno de los objetivos establecidos; después, en las Secciones 3.2 y 3.3,
respectivamente, se describen brevemente los procesos de experimentación y evaluación de resultados,
así como de análisis estadístico de los resultados.
3.1 Metodología y recursos para los objetivos
Con el desarrollo de esta tesis se busca aportar al conocimiento de las debilidades y faltas en sistemas
de aislamiento eléctrico sólido polimérico a partir de los análisis de los resultados de simulación y la
generación de nuevas herramientas computacionales de análisis que pueden usarse para el diagnóstico
y evaluación de las condiciones de vida útil, en conjunto con mediciones de DP. A continuación, se
presenta la metodología implementada para lograr los objetivos establecidos en la Sección 2.3.2 del
segundo capítulo de esta tesis.
3.1.1 Objetivo 1: Modelamiento y simulación de DP en cavidades al interior de sólidos dieléctricos
poliméricos
Las siguientes corresponden a las actividades específicas realizadas para el cumplimiento del primer
objetivo:
a. Estudio y análisis del marco teórico y normativo de las DP en dieléctricos sólidos polímericos,
su medición y modelamiento matemático.
El estado del arte del modelamiento de DP se revisó y actualizó de manera continuada. Se revisaron
textos clásicos de la teoría de alta tensión, pruebas y fallos en dieléctricos sólidos como los de Kuffel et
al., Hauschild y Lemke y Wadhwa (Hauschild & Lemke, 2014; Kuffel E. et al., 2000; Wadhwa, 2007).
Además, se han estudiado diferentes artículos de revista y tesis como las de C. Forssen (Forssén, 2008)
y H. Illias (Hazlee Azil Illias, 2011) relacionadas con el modelamiento del proceso de DP en dieléctricos
sólidos, tipos de descargas y su clasificación, campo eléctrico de incepción, generación de carga en las
cavidades e ionización, efecto de la conductividad superficial, generación y decaimiento de carga, efecto
de la temperatura y presión, retardo de tiempo y generación probabilística de los electrones en la
descarga inicial, estocasticidad del proceso de descarga (Brunt, 1991; Heitz, 1999; Okamoto et al., 2001).
Finalmente, diferentes definiciones y conceptos relacionados a las DP, así como los circuitos de medición
se estudiaron de la norma IEC 60270 (International Electrotechnical Commission [IEC], 2000).
b. Implementación, validación y análisis de diferentes modelos matemáticos para simular DP en
dieléctricos sólidos poliméricos usando MATLAB® y COMSOL Multiphysics®.
Una vez realizada la búsqueda bibliográfica y revisado el estado del arte, se estableció la estructura de
los modelos matemáticos que permiten simular el proceso de DP en cavidades al interior de sólidos
dieléctricos. Los modelos fueron implementados en MATLAB® y COMSOL Multiphysics®. Los modelos
se validaron usando un enfoque de comparación entre resultados de simulación y mediciones
experimentales reportadas por otros autores. Los resultados de las comparaciones y el análisis del error
se presentan en las publicaciones compendiadas en el Capítulo 4 de esta tesis.
El modelo analítico descrito en la Sección 2.2.2.1 del segundo capítulo de esta tesis, se implementó en
MATLAB® para simular las DP en cavidades esferoidales como se muestra en el diagrama de flujo de la
Figura 8.
31
1. Establecer valores iniciales
y definir constantes.
2. Realizar cálculos
intermedios.
3. Para cada paso del tiempo, hacer:
a)
Ecav(t)>Einc
b) Calcular Net y Ndt
c) Calcular un número P1 con la
probabilidad (Net + Ndt) Δt
d)
f) Calcular q(t+Δt), Eq(t+Δt),
Ecav(t+Δt)=f*E0+Eq
P1=1
e) Calcular q(t+Δt), q´(t+Δt),
Eq(t+Δt), Ecav(t+Δt)=Eext
4. Imprimir resultados
Figura 8. Diagrama de flujo del algoritmo implementado para simular DP en cavidades esferoidales usando el modelo analítico.
En el primer paso de este diagrama de flujo, se definen las constantes y parámetros del medio y la
geometría del objeto de ensayo; en el segundo paso, se realizan los cálculos de las tensiones de incepción
y extinción y el factor de intensificación, ecuaciones (1) y (11); en los pasos 3c) y 3d), la simulación
estocástica del fenómeno de las DP se calcula usando el generador de números aleatorios de MATLAB®
y una distribución de probabilidad dependiente de las condiciones mínimas requeridas y calculadas con
las ecuaciones (1) y (4). f * E 0 (V‧m-1) es la intensidad de campo eléctrico al interior de la cavidad
establecida por la fuente de alta tensión aplicada a los electrodos, E q (V‧m-1) es la intensidad de campo
eléctrico producida por la distribución de carga en la superficie de la cavidad.
32
El diagrama de flujo correspondiente a la versión multifísica del modelo analítico se muestra en la Figura
9. Para resolver la ecuación diferencial de transferencia de calor en derivadas parciales que describe la
conversión de energía durante las DP, ver Sección 2.3 del artículo (Rodríguez-Serna & AlbarracínSánchez, 2019), se utilizó el PDE toolbox de MATLAB® que emplea un método de elementos finitos para
solucionar numéricamente las ecuaciones en derivadas parciales (Partial Differential Equation Toolbox
- MATLAB, s. f.).
1. Establecer valores iniciales
y definir constantes.
2. Realizar cálculos
intermedios.
3. Para cada paso del tiempo, hacer:
a)
Ecav(t)>Einc(p(t))
b) Calcular Net (p(t)) y
Ndt(T(t))
c) Calcular un número P1 con la
probabilidad (Net (p(t))+Ndt(T(t))) Δt
f) Calcular q(t+Δt), Eq(t+Δt),
Ecav(t+Δt)=f*E0+Eq, Q=0,
p(t+Δt), T(t+ Δt)
d)
P1=1
e) Calcular q(t+Δt), q´(t+Δt),
Eq(t+Δt), Ecav(t+Δt)=Eext, Q(t),
p(t+Δt), T(t+ Δt)
4. Imprimir resultados
Figura 9. Diagrama de flujo del algoritmo implementado para simular DP en cavidades esferoidales usando la versión multifísica
del modelo analítico.
33
En la Figura 9, p (Pa) y T (K) son la presión y temperatura del gas al interior de la cavidad,
respectivamente y Q(t ) (W‧m-3) es la densidad de la fuente de calor. A diferencia de lo presentado en el
flujograma de la Figura 8, en el caso multifísico, las condiciones de incepción, extinción y tasas de
generación de electrones se calculan como funciones de la temperatura y presión del gas al interior de
la cavidad y la temperatura en la superficie de la cavidad.
En la Figura 7 del artículo (Rodríguez-Serna, Albarracín-Sánchez, Dong, et al., 2020), se presenta el
circuito equivalente propuesto en esta tesis para modelar las DP mediante el enfoque de tres
condensadores descrito en la Sección 2.2.2.2 de esta tesis. La Figura 10, muestra el diagrama de flujo del
modelo de tres condensadores implementado en MATLAB®.
1. Establecer valores iniciales
y definir constantes.
2. Realizar cálculos intermedios
3. Para cada paso de tiempo hacer:
a) Calcular U1, Uc e i.
No
b)
Uc(t)>Uinc
Si
c) Calcular probabilidad
de DP PPD.
f) Calcular
No
d)
Rstr(t+Δt) = R0, T(t+Δt),
P(t+Δt), Uinc(t+Δt),
Uext(t+Δt)
PPD=1
Si
e) Calcular q(t+Δt), q´(t+Δt),
Rstr(t+Δt), Q, T(t+Δt), P(t+Δt),
Uinc(t+Δt), Uext(t+Δt)
4. Imprimir Resultados
Figura 10. Diagrama de flujo de la herramienta computacional implementada para la simulación de DP usando el modelo de tres
condensadores.
34
Las tensiones de incepción y extinción se calculan con las ecuaciones (1) y (11) usando la definición
cuasiestacionaria de tensión y considerando la intensidad de campo eléctrico al interior de la cavidad
como uniformemente distribuida. La simulación estocástica de las PD, mostrada en los pasos 3b) y 3c)
de la Figura 10, se puede calcular de igual manera como en el modelo analítico de las Figuras 8 y 9. El
procedimiento para calcular las capacitancias de la cavidad y del dieléctrico sólido, pasos 1 y 2 en la
Figura 10, así como el método de solución de las ecuaciones diferenciales que describen el circuito, se
detallan en la Sección 4 del artículo (Rodríguez-Serna, Albarracín-Sánchez, Dong, et al., 2020).
Con respecto a los modelos de elementos finitos descritos en la Sección 2.2.2.3 de este documento,
durante el desarrollo de esta tesis se propusieron dos modelos novedosos: un modelo híbrido, en el cual
las DP se simulan cambiando la conductividad de la cavidad y posteriormente, la distribución de carga
en la interfaz es calculada usando expresiones de campos; y otro modelo, puramente electrostático, en
el cual las DP se simulan modificando la distribución de carga en la interfaz. En la Sección 3 del artículo
(Rodríguez-Serna, Albarracín-Sánchez, & Mas’ud, 2020) se realiza una descripción detallada de estos
modelos y se presenta un diagrama de flujo del modelo implementado usando COMSOL Multiphysics®
y MATLAB®.
c. Simulación y caracterización de DP para diferentes configuraciones de defectos y esfuerzos
aplicados.
Los modelos descritos en el literal anterior fueron validados usando casos de estudio presentados por
diferentes autores y que han sido medidos experimentalmente (Gutfleisch & Niemeyer, 1995; H. A. Illias
et al., 2017). Además, se realizaron análisis para diferentes condiciones de esfuerzos aplicados y
variaciones de los parámetros de los medios. Algunos de dichos análisis fueron presentados en las
publicaciones listadas en la Tabla 5, y compendiadas en el Capítulo 4 de esta tesis, para cada tipo de
modelo. Entre los análisis y simulaciones realizadas se tienen:
-
Análisis de DP en cavidades de diferente diámetro para la misma separación entre electrodos
Análisis de las DP para diferentes formas de onda, sinusoidal y rectangular
Simulación de DP y estudio de la temperatura y presión para diferentes condiciones de
envejecimiento
Simulación y análisis de la distribución de carga de DP en materiales de diferentes
permitividades y conductividades
Análisis de sensibilidad de los modelos a los parámetros de temperatura y presión, entre
otros
Adicionalmente, se realizó un análisis crítico del proceso de modelamiento y se han propuesto
modificaciones a los modelos para considerar otros fenómenos y mejorar su desempeño físico y
computacional (Borghei et al., 2020).
d. Reporte y divulgación de resultados.
Usando los modelos implementados se han realizado varias simulaciones y los resultados y análisis se
han presentado en algunas publicaciones. Los resultados de simulación se han comparado con
mediciones experimentales para validar los modelos y, además, algunos resultados de la búsqueda
bibliográfica también se han usado para realizar aportaciones a divulgación como se mostrará en el
Anexo D donde se resumen en una tabla todas las publicaciones realizadas durante la realización de la
tesis. En la Tabla 5 se resumen las publicaciones relacionadas con el modelamiento de las DP en
cavidades en el interior de dieléctricos sólidos, se presentan las principales características de los
modelos propuestos y/o modificados, y se muestran las referencias de su publicación.
Adicionalmente, se desarrolló una aplicación (app) de MATLAB®, llamada PDSym1S, para simular DP
usando los modelos analíticos y de condensadores, que se registró ante la Oficina de Transferencia de
Resultados de Investigación (OTRI) de la UPM.
35
Tabla 5. Resumen de los modelos implementados para la simulación de DP en cavidades en el interior de sólidos dieléctricos y
publicaciones relacionadas.
Modelo
Principales características
Publicación
Analítico mejorado
Mejora la precisión de las simulaciones al considerar la no
uniformidad del campo debido a las dimensiones relativas de
la cavidad respecto a la separación entre electrodos.
(Borghei et al.,
2020)
Analíticomultifísico
Considera la temperatura y la presión como variables
dinámicas en el proceso de simulación y permite acoplar las
físicas electromagnética y térmica-mecánica.
Condensadores
mejorado y
multifísico
Se establece una capacitancia equivalente de la cavidad
esférica, se consideran la temperatura y la presión como
variables dinámicas en el proceso de simulación.
Diferencias finitas,
híbrido y
electrostático.
La distribución de carga en la superficie de la cavidad es
calculada como una distribución continua, el modelo puede
considerar variaciones espaciales en la conductividad de la
superficie. Son modelos precisos y multifísicos.
(RodríguezSerna &
AlbarracínSánchez,
2019)
(RodríguezSerna,
AlbarracínSánchez,
Dong, et al.,
2019)
(RodríguezSerna,
AlbarracínSánchez, &
Mas’ud, 2020)
Revista
IEEE
Transactions
on Power
Delivery
Energies MDPI
Polymers MDPI
High Voltage
IET
Los recursos utilizados para la realización de las actividades específicas son: Ordenador personal,
superordenador MAGERIT, colaboración estudiantes de excelencia de México, colaboración con
investigadores extranjeros (Virginia Tech.-Estados Unidos de América, Jubail Industrial College-Arabia
Saudí, Xi’an Jiaotong University-China) y acceso a principales bases de datos bibliográficas (IEEE, IOP,
IET, Elsevier, etc.).
Apoyo económico: Beca Fundación Carolina, Fondo Sapiencia-Alcaldía de Medellín y programa de
ayudas a la investigación y doctorado de la ETSIDI (Modalidad de ayuda A2).
3.1.2 Objetivo 2: Modelamiento y simulación de propagación de arborescencias eléctricas en el interior
de sólidos dieléctricos
Para cumplir con el segundo objetivo se establecieron las siguientes actividades específicas:
a. Estudio de la teoría, estado del arte y experimentación del fenómeno de arborescencias en
dieléctricos sólidos.
El estado del arte del modelamiento y simulación de propagación de arborescencias eléctricas en sólidos
dieléctricos se revisó y actualizó de manera continuada. Se realizó una búsqueda bibliográfica en las
bases de datos especializadas como IEEE, Science Direct e IET, entre otras, y se elaboró un resumen de
los diferentes modelos junto con una propuesta para su clasificación, que se presentó en (RodríguezSerna, Albarracín-Sánchez, & Carrillo, 2020).
De manera similar, la teoría y estado del arte del modelamiento y simulación de DP en arborescencias
eléctricas al interior de sólidos dieléctricos se revisó y en (Rodríguez-Serna & Albarracín-Sánchez,
2021), se presentó un compendio de los modelos y se elaboró una tabla, Tabla A1 en apéndice A de este
artículo, en la que se resumen las ventajas y desventajas de los diferentes modelos.
b. Implementación y análisis de diferentes modelos matemáticos para simular arborescencias en
dieléctricos sólidos usando MATLAB® y/o COMSOL Multiphysics®.
36
Para la simulación de la propagación de arborescencias eléctricas en sólidos dieléctricos, de los modelos
discutidos en la Sección 2.2.3 de este documento, los siguientes fueron implementados:
1. Modelo NPW (M. D. Noskov et al., 1995; Wiesmann & Zeller, 1986)
2. Modelo físico de avalanchas (DAM) (Quiña et al., 2010)
3. Modelo de autómatas celulares (Danikas et al., 1996)
Los modelos listados anteriormente son electrostáticos, las distribuciones del potencial escalar eléctrico
y la intensidad de campo eléctrico se calculan solucionando las ecuaciones de Laplace y de Poisson con
el método de diferencias finitas y relajación (Gaviria, 2004). Estos métodos, así como los modelos fueron
implementados en MATLAB®. Con la implementación de estos métodos se obtuvieron herramientas
para el análisis de la propagación de arborescencias eléctricas en sólidos dieléctricos bajo diferentes
condiciones de materiales y tensiones aplicadas. Los modelos no guardan relación entre sí, ya que sus
orígenes conceptuales y enfoque de solución, son distintos pero su implementación y análisis permitió
obtener sus ventajas y desventajas.
Con el modelo NPW se tiene una herramienta que permite la simulación de arborescencias en materiales
dieléctricos considerando un enfoque estocástico y, además, analizar el efecto en la propagación de las
arborescencias de diferentes condiciones en el medio material, tales como no homogeneidades en la
permitividad eléctrica y la conductividad. Adicionalmente, este modelo permite considerar la existencia
de carga espacial o carga en regiones específicas del dominio, como la dejada por arborescencias previas
o la distribución de carga en nanopartículas. Por su parte, el modelo físico de avalanchas (DAM) permite
la simulación de la propagación de arborescencias en sólidos dieléctricos usando un enfoque físicoestocástico mediante el cual se pueden reproducir muchas de las características medidas
experimentalmente, tales como la distribución y dimensión fractal, así como la cuantificación del tiempo
de ruptura. Finalmente, los modelos de autómatas celulares son modelos bastante poderosos para la
simulación de las arborescencias en medios no homogéneos, sin embargo, su aplicación se reduce a
análisis meramente cualitativos ya que los rangos de variación de los parámetros del medio, usado en
este modelo para representar la no-homogeneidad del medio, son muy amplios como para considerar
que las oscilaciones en sus valores sean las responsables de la estructura fractal de las arborescencias.
El modelo físico-estocástico para la propagación de arborescencias eléctricas propuesto en esta tesis,
que se describe en la Sección 2.2.3 de este documento y se presenta en (Rodríguez-Serna, AlbarracínSánchez, & Carrillo, 2020), fue implementado en MATLAB®. En la Sección 4 de este artículo se realiza
una presentación detallada de este modelo y se incluye un diagrama de flujo.
Por otro lado, los modelos propuestos en esta tesis para simular las DP en arborescencias eléctricas, y
que se describen en la Sección 2.2.4 de este documento, fueron implementados en MATLAB®. El
diagrama de flujo del modelo implementado se presenta en la Sección 3 del artículo (Rodríguez-Serna
& Albarracín-Sánchez, 2021).
c. Simulación de arborescencias en aislantes sólidos bajo diferentes condiciones de materiales,
condiciones de falta (ruptura) y esfuerzos aplicados.
El modelo para propagación de arborescencias en dieléctricos sólidos fue validado comparando los
resultados de simulación con mediciones experimentales reportadas en (Champion et al., 1994). En esta
referencia se presentan resultados de medición de arborescencias bajo diferentes condiciones de
tensión aplicada. Por su parte los modelos de DP en arborescencias se validaron comparando los
resultados de simulación con mediciones experimentales reportadas en (Champion & Dodd, 1998; Dodd
et al., 2010). Los resultados de la validación y el análisis de error se presentan en las publicaciones
listadas en la Tabla 5. Diferentes análisis y simulaciones considerando variaciones en los medios y
esfuerzos aplicados se han realizado, entre los cuales se tienen:
-
-
Simulación de la propagación de arborescencias en dieléctricos sólidos bajo diferentes
condiciones de tensión aplicada
Análisis de las variaciones en el tiempo de ruptura y la dimensión fractal como una función
de la tensión aplicada
37
-
Simulación del efecto de barreras conductoras y dieléctricas, inclusión de regiones con carga
espacial y la conductividad en la propagación de arborescencias en dieléctricos sólidos
Simulación de DP en arborescencias eléctricas conductoras y no-conductoras
Análisis del efecto de la permitividad en el comportamiento de DP en arborescencias
eléctricas
d. Reporte y divulgación de resultados.
En la Tabla 6 se muestran las publicaciones relacionadas con el modelamiento y simulación de
arborescencias en dieléctricos sólidos. Además, se presentan las principales características de los
modelos propuestos de las que se derivan dichas publicaciones, así como las referencias de su
publicación.
Tabla 6. Resumen de los modelos implementados para la simulación de propagación de arborescencias y DP en arborescencias, y
publicaciones relacionadas.
Modelo
Principales características
Físico-estocástico
mejorado para
simular la
propagación de
arborescencias
Permite modelar curvas longitud-tiempo similares a las
medidas experimentalmente. Permite simular condiciones de
no-uniformidad en los materiales. Incluye el tiempo como una
variable física durante la propagación y se pueden hacer
análisis cuantitativos del tiempo hasta la ruptura.
Estocástico y
determinístico
mejorados para
simular DP en
arborescencias
Reproducen adecuadamente la distribución de pulsos de los
patrones resueltos en fase. Permiten la simulación de DP en
arborescencias conductoras y no conductoras. Se pueden
simular arborescencias de diferente dimensión fractal.
Publicación
(RodríguezSerna,
AlbarracínSánchez, &
Carrillo,
2020)
(RodríguezSerna &
AlbarracínSánchez,
2021)
Revista
Polymers MDPI
High Voltage
IET
Los recursos utilizados para la realización de las actividades específicas son: Ordenador personal,
superordenador MAGERIT, colaboración con estudiantes en trabajo fin de grado, colaboración
profesora Isabel Carrillo (Departamento de Ingeniería Mecánica, Química y Diseño Industrial-ETSIDI),
acceso a principales bases de datos bibliográficas (IEEE, IOP, IET, Elsevier, etc.).
Apoyo económico: Beca Fundación Carolina, Fondo Sapiencia-Alcaldía de Medellín y programa de
ayudas a la investigación y doctorado de la ETSIDI (Modalidad de ayuda A1).
3.1.3 Objetivo 3: Modelar la expectativa de vida útil de los sistemas de aislamiento eléctrico sólido
Para cumplir con el tercer objetivo se establecieron las siguientes actividades específicas:
a. Estudio y análisis del fenómeno de envejecimiento; indicadores, expresiones y modelos, para la
determinación de la expectativa de vida útil de los sistemas de aislamiento sólido.
Se realizó una búsqueda para elaborar el estado del arte de los diferentes modelos, macroscópicos y
microscópicos, que permiten evaluar la expectativa de vida útil de los materiales dieléctricos sólidos
debido a la degradación inducida por DP en cavidades en su interior. Se estudiaron los diferentes
mecanismos de degradación (Dissado & Fothergill, 1992) y definiciones asociadas a los estudios de
envejecimiento y modelos de vida (Montanari, 2013). Un resumen de lo anterior se presenta en la
Sección 2.2.5 de esta tesis, y en la Sección 3 del artículo (Rodríguez-Serna & Albarracín-Sánchez, 2021a),
se realiza una presentación detallada de los mecanismos de degradación inducida por las DP en
cavidades.
b. Evaluación de la expectativa de vida útil de sistemas de aislamiento a partir de simulaciones.
Durante el desarrollo de esta tesis se propuso una novedosa función de daño y un método que permiten
la cuantificación de la vida útil remanente usando resultados de simulación de DP obtenidos con los
38
modelos propuestos. En (Rodríguez-Serna & Albarracín-Sánchez, 2021a), la función de daño y el método
se validaron comparando el tiempo estimado hasta la ruptura, vida, con mediciones experimentales
reportadas por otros investigadores. Adicionalmente, en las Secciones 5.2 y 5.3 de este artículo se
analizaron los efectos en la tasa de degradación debido a variaciones en la magnitud y frecuencia de la
tensión aplicada. Por otro lado, se propuso un modelo microscópico de vida basado en la energía de
impacto de los electrones durante las DP y un indicador de la tasa de degradación que es función del
valor máximo de la corriente inducida por las DP. Esto último es presentado en el artículo titulado
Simulation of Polymeric Insulators Ageing Induced by the Impact Energy of Electrons During Partial
Discharge Activity el cual fue expuesto en el evento IEEE-TPEC 2021 y que se incluye en el Anexo C de
esta tesis.
c. Reporte y divulgación de resultados.
Usando los modelos propuestos, se han realizado varios análisis que han sido publicados en los artículos
que se resumen en la Tabla 7. En esta misma tabla se presentan las principales características de los
modelos implementados y propuestos para la estimación del tiempo hasta la ruptura.
Tabla 7. Resumen de los modelos implementados para la estimación de tiempo hasta la ruptura y cálculo de vida junto con las
publicaciones correspondientes.
Modelo
Microscópico con
función de daño
novedosa
Microscópico con
energía de
impacto de
electrones
Principales características
Es un modelo químico aplicable a las primeras etapas de
degradación durante las cuales se induce la generación de
canales desde la superficie de la cavidad. Permite estimar el
tiempo hasta la ruptura usando resultados de simulación de
DP en cavidades.
La degradación inducida por las DP se calcula como una
función de la energía de impacto de los electrones durante las
DP. Se puede relacionar la nocividad de las DP con variables
medibles externamente y se pueden proponer indicadores de
daño en función de la corriente inducida por las DP.
Publicación
(RodríguezSerna &
AlbarracínSánchez,
2021a)
(RodríguezSerna &
AlbarracínSánchez,
2021b)
Revista/Evento
Polymers MDPI
TPEC-2021
Los recursos utilizados para la realización de las actividades específicas son: Ordenador personal,
superordenador MAGERIT, acceso a principales bases de datos bibliográficas (IEEE, IOP, IET, Elsevier,
etc.).
Apoyo económico: Beca Fundación Carolina y Fondo Sapiencia-Alcaldía de Medellín.
3.2 Experimentación y evaluación
Durante el desarrollo de esta tesis la experimentación se limitó a la simulación de diferentes casos de
estudio y validación con resultados experimentales presentados por otros investigadores. En primera
instancia, se simularon casos de estudio que permitieran validar los modelos mediante una comparación
directa entre resultados de simulación y mediciones experimentales.
Los parámetros de los medios a estudiar se tomaron de las referencias que reportaban tales valores
junto con resultados de medición. Para los casos de estudio en los cuales se tenían los resultados
experimentales, pero no los parámetros de los medios, como en el caso de la propagación de
arborescencias, éstos se determinaron mediante un proceso de ajuste por prueba y error, hasta obtener
una diferencia máxima razonablemente tolerable entre los valores medidos y simulados, que se
consideró como 3 %.
Los errores obtenidos con respecto a las magnitudes medidas y los análisis respectivos se presentan en
las publicaciones listadas en las Tablas 5, 6 y 7. Posteriormente, una vez los modelos fueron validados,
se simularon diferentes casos de estudio como los mencionados en las Secciones 3.1.1c, 3.1.2c y 3.1.3b
de este documento.
39
3.3 Análisis estadístico
Teniendo en cuenta que las DP al interior de dieléctricos sólidos son fenómenos estocásticos, los
resultados de simulación de los modelos de DP, tanto en cavidades como en arborescencias, se reportan
y validan usando los valores máximo, mínimo y medio de las variables calculadas, tales como la carga
real, carga inducida, valor pico de la corriente inducida, etc., obtenidas durante el número de ciclos de
la onda de tensión de CA considerados para cada simulación.
Igualmente, debido a la estocasticidad de las DP, la tasa de degradación inducida por estas en los
materiales dieléctricos sólidos será variable y de acuerdo a la teoría probabilística de fallas eléctricas
(Cacciari & Montanari, 1992), el tiempo hasta la ruptura causada por las DP debe tratarse usando la
función estadística de Weibull (Montanari, 1995):
  t br  β 
F (t br ; E ) = 1 − exp −    ,
  α  
(22)
donde F (t br ; E ) es la función de distribución acumulada, t br (s) es el tiempo de ruptura, E (V‧m-1) es el
esfuerzo eléctrico aplicado y α (s) y β son los parámetros de escala y forma, respectivamente, que son
función del esfuerzo aplicado. Para cada caso de estudio en el cual interesa estimar el tiempo hasta la
ruptura, como en la propagación de arborescencias y la estimación de vida útil, se realizaron al menos
30 simulaciones de cada caso de estudio de manera que se obtuviesen estadísticos confiables (Barclay
et al., 1990). A las distribuciones obtenidas se aplicó un proceso de ajuste para determinar los valores
de los parámetros de escala y forma con máxima probabilidad de la función de Weibull así como los
intervalos de 95% de confianza de los parámetros estimados. Para lo anterior se utilizó la función
“wblfit” de MATLAB® que utiliza el método de máxima probabilidad (Lawless, 2011). A modo de
ilustración, la Figura 11 muestra la curva de probabilidad de Weibull obtenida para 50 valores aleatorios
de tiempo tomados de la distribución de Weibull con valores de los parámetros de escala y forma
2916,90 s y 8,10, respectivamente. Los valores de los parámetros se tomaron de la Tabla 4 del artículo
(Rodríguez-Serna, Albarracín-Sánchez, & Carrillo, 2020).
0.99
0.96
0.90
0.75
Probabilidad
0.50
0.25
0.10
0.05
0.02
0.01
1500
2000
2500
3000
3500
Valores de tiempo (s)
Figura 11. Ejemplo de curva de probabilidad de Weibull con α=2916,90 s y β=8,10.
En cada publicación del Capítulo 4 de esta tesis se detallan de manera explícita el número de
simulaciones realizadas y el número de ciclos de la señal de CA considerados para cada una de ellas.
40
4| COMPENDIO DE PUBLICACIONES
En este capítulo se presenta una colección de seis artículos de revista seleccionados entre las 12
publicaciones realizadas durante los estudios de doctorado (nueve artículos de revista y tres artículos
de congreso), para cumplir con los requerimientos establecidos para la presentación de la tesis en
modalidad de compendio de publicaciones. Las publicaciones se presentan de manera ordenada según
su relación con los objetivos establecidos en el Capítulo 2 de esta tesis de la siguiente manera:
-
-
Las publicaciones 1, 2 y 3 están relacionadas con el modelamiento y simulación de DP en
cavidades esféricas en el interior de dieléctricos poliméricos sólidos, objetivo 1
Las publicaciones 4 y 5 están relacionadas con el modelamiento y simulación de la propagación
de arborescencias eléctricas en dieléctricos poliméricos sólidos y DP en arborescencias
eléctricas, objetivo 2
La publicación 6 está relacionada con la estimación de la vida útil remanente de dieléctricos
poliméricos sólidos debido a la degradación inducida por la actividad de DP, objetivo 3
En estos artículos de revistas y congresos se presentan estados del arte, se discuten los modelos
existentes y se proponen modelos novedosos. Además, se presentan y analizan los resultados de
simulación de diferentes casos de estudio que permiten validar los modelos propuestos y estudiar
diferentes condiciones que se describen en las Secciones 3.1.1c, 3.1.2c y 3.1.3b del Capítulo 3 de esta
tesis. Las características de los modelos y análisis presentados en las publicaciones se resumen en las
Tablas 5, 6 y 7 del Capítulo 3 de este documento.
Para cada publicación se incluye un cuadro que contiene el título de la publicación, los autores, el
nombre de la revista, su clasificación en JCR y Scopus, y su ISSN. Además, se agrega información general
de la publicación, como el volumen y número, si es o no de acceso abierto, el año y rango de páginas, el
DOI, las palabras clave y el resumen en inglés.
El análisis de los resultados presentados en estas publicaciones, se presenta en el Capítulo 5 de esta
tesis.
41
Publicación
Título
Autores
Universidades
colaboradoras
Revista
Clasificación
ISSN
Volumen
(número)
Año, páginas
DOI
Publicación de
acceso abierto
Keywords
Abstract
1
Computer Simulation of Partial Discharges in Voids inside Epoxy Resins Using
Three Capacitance and Analytical Models
Johnatan M. Rodríguez-Serna, Ricardo Albarracín-Sánchez, Ming Dong, Ming Ren
Universidad Politécnica de Madrid, Xi’an Jiaotong University (China)
Polymers
JCR: Q1, Scopus: Q1.
2073-4360
12 (1)
2020, 77
https://doi.org/10.3390/polym12010077
Sí
X
No
partial discharges, epoxy resin, three-capacitance model, induced-charge concept,
insulation aging, condition monitoring
Epoxy resin is one of the most common polymers used as part of the insulation
system in key electrical assets such as power transformers and hydrogenerators.
Thus, it is necessary to know their main characteristics and to evaluate their
condition when subjected to High Voltage (HV). A brief review of epoxy resins’
applications as insulating materials is made, their main characteristics as
insulating media are given, the improvements with nano-fillers are summarized
and the main electric properties required for Partial Discharges (PD) modelling are
listed. In addition, the theoretical background and state-of-the-art of the threecapacitance and analytical models for simulating PD in solid dielectrics, such as
epoxy resins, are reviewed in detail. Besides, their main advantages and
disadvantages are presented, some critical arguments to the modelling procedure
and assumptions are made and some improvements are proposed, taking into
account conclusions made from other authors using models related to the PD
development process. Finally, a case study was simulated using a modified threecapacitance model and the analytical model. The PD rate, q-φ-n diagrams and the
minimum, mean and maximum PD electric charge are compared with
measurements reported in the literature. Simulation results are in reasonable
agreement with measured values. Capacitance models can be implemented in
general purpose electric circuit simulation packages; however, its simulation is
computationally expensive. Additional to this, although the modified threecapacitance model is not as accurate as finite elements or analytical models, results
are also in agreement with real data.
42
polymers
Review
Computer Simulation of Partial Discharges in Voids
inside Epoxy Resins Using Three-Capacitance and
Analytical Models
Johnatan M. Rodríguez-Serna 1, *, Ricardo Albarracín-Sánchez 1, * , Ming Dong 2 and Ming Ren 2
1
2
*
Department of Electrical and Electronic Engineering, Automatic Control, and Applied Physics,
School of Industrial Design and Engineering (ETSIDI), Universidad Politécnica de Madrid (UPM),
Ronda de Valencia 3, 28012 Madrid, Spain
State Key Laboratory of Electrical Insulation for Power Equipment, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049,
China; dongming@mail.xjtu.edu.cn (M.D.); renming@mail.xjtu.edu.cn (M.R.)
Correspondence: johnatan.rodriguez.serna@alumnos.upm.es (J.M.R.-S.);
ricardo.albarracin@upm.es (R.A.-S.)
Received: 15 November 2019; Accepted: 20 December 2019; Published: 2 January 2020
Abstract: Epoxy resin is one of the most common polymers used as part of the insulation system in
key electrical assets such as power transformers and hydrogenerators. Thus, it is necessary to know
their main characteristics and to evaluate their condition when subjected to High Voltage (HV). A brief
review of epoxy resins’ applications as insulating materials is made, their main characteristics as
insulating media are given, the improvements with nano-fillers are summarized and the main electric
properties required for Partial Discharges (PD) modelling are listed. In addition, the theoretical
background and state-of-the-art of the three-capacitance and analytical models for simulating PD in
solid dielectrics, such as epoxy resins, are reviewed in detail. Besides, their main advantages and
disadvantages are presented, some critical arguments to the modelling procedure and assumptions are
made and some improvements are proposed, taking into account conclusions made from other authors
using models related to the PD development process. Finally, a case study was simulated using a
modified three-capacitance model and the analytical model. The PD rate, q-ϕ-n diagrams and the
minimum, mean and maximum PD electric charge are compared with measurements reported in the
literature. Simulation results are in reasonable agreement with measured values. Capacitance models
can be implemented in general purpose electric circuit simulation packages; however, its simulation
is computationally expensive. Additional to this, although the modified three-capacitance model is
not as accurate as finite elements or analytical models, results are also in agreement with real data.
Keywords: partial discharges; epoxy resin; three-capacitance model; induced-charge concept;
insulation ageing; condition monitoring
1. Introduction
Modern societies mostly demand a constant and reliable supply of energy which indeed requires
an increased availability of equipment in power systems [1]. Solid dielectric materials are fundamental
for the adequate operation of electrical equipment; they are used as insulating materials in applications
ranging from electronics to high voltage equipment [2]. Polymeric materials appear as a novel
alternative to traditional insulating materials because they have many advantages such as, elasticity,
cost of manufacturing, resistance to chemicals and thermal stability [3]. In addition, characteristics such
as, breakdown voltages, relative permittivity and dissipation factor can be modified using additives
and nanofillers [4]. Epoxy resin is one of the most successful polymers for electrical insulation systems
in power equipment; it has good mechanical and electrical characteristics, has good adhesion and
Polymers 2020, 12, 77; doi:10.3390/polym12010077
www.mdpi.com/journal/polymers
Polymers 2020, 12, 77
2 of 26
minimal shrinkage during curing. In addition, volatile by-products are not produced during the curing
process [5].
When electric devices and equipment are connected to a power grid, usually they cannot be
disconnected for commissioning in order to evaluate the real operating conditions of the insulation
system. However, power equipment, such as power transformers and generators, are expensive
and availability and adequate operating conditions are essential for stability and reliability of power
systems. The most frequent sources of failure in power transformers and hydrogenerators are related
to weaknesses in their insulation systems [6]. Additionally, PD in cavities are one of the main causes
of dielectric breakdown in solid insulators and are also symptoms of ageing in high-voltage (HV)
equipment [7–9]; indeed, in hydrogenerators, 22% of failures are due to internal partial discharges [10].
According to the IEC 60270 standard [11], PD are localized electrical discharges that only partially
bridges the insulation between conductors and which can or cannot occur adjacent to a conductor.
They are very-fast-transient phenomena that appear due to a high-field enhancement that exceeds the
local dielectric strength, for instance, inside cavities.
The modelling and simulation of PD allow us to analyse the process from an incipient state to
breakdown and to understand the dielectric ageing process [12] as well as its relationship with factors
and variables such as temperature, voltage amplitude and frequency [13]. In addition, PD simulation
can complement measurement systems in order to improve diagnosis procedures [14].
In order to model the PD activity in voids inside epoxy resins, there currently are models that can
be classified as the following [15–17]:
•
•
•
Three-capacitance or “abc” model.
Analytical model.
Finite-Element-Algorithms (FEA) model.
As expected, FEA models are more accurate than others, allowing us to consider the non-uniform
distribution of the electric field, the real PD charge distribution and the multi-stress conditions for PD
phenomena [18]. In addition, variables such as currents, real and induced charge and voltages can be
calculated dynamically and correlated with experimental data [19]. FEA models have been recently
used for modelling the PD in gas-filled cavities as filamentary dielectric barrier discharges where
fluid equations are used to simulate the PD development process, considering the ionization process,
charge drift, diffusion, recombination [20], the plasma chemistry and boundary phenomena [21]. Those
plasma models allow to investigate PD inside voids for different stages of discharge activity and
show good agreement when compared with measured and simulated values [22]. However, using
FEA models requires high-computational consumption, which hinders the simulation of multiple PD,
as for example, for simulating phase-resolved partial discharge (PRPD) patterns or q-ϕ-n diagrams
for hundreds or thousands of periods of applied voltages at a power frequency. On the other hand,
considering basic variables such as PD rate and PD charge, analytical and FEA models present very
similar results when compared with experimental results [15].
Analytical and three-capacitance models can be useful when small void sizes are considered;
the charge distribution along the void surface is not required and short-simulation time is necessary as
in the case of ageing process analysis [23].
In this paper, the main characteristics and dielectric properties of epoxy resins for applications as
insulating material are presented. In addition, a comparison between analytical and three-capacitance
models is made in order to show its advantages for using them in academic and condition monitoring
environments for PD modelling in epoxy resins. A case study was simulated using both models
and results are presented to be compared with experimental values reported in the literature. It is
organized as follows. First, a review of the epoxy resins characteristics and applications as insulating
materials is presented in Section 2. Second, the state-of-the-art and the theoretical background of
the three-capacitance and analytical models are presented in Section 3. Then, a case study and the
Polymers 2020, 12, 77
3 of 26
simulation results are presented, respectively, in Sections 4 and 5. Finally, some conclusions are drawn
in Section 6.
2. Epoxy Resins Characteristics, Properties and Applications as Insulating Materials
Epoxy resins are cross-linked polymers produced by a polymerization reaction between a fluid
prepolymer that form linear chains (base resin), and a hardener (curing agent) [24]. Their properties
depend on the specific type of epoxy resin and curing agents used, Table 1 shows a summary of epoxy
resins used in industrial applications and its characteristics [25].
Table 1. Epoxy resins for industrial applications [18].
Epoxy Resin
Characteristics
Bisphenol-A
The curing process can occur at room temperature with the addition of
triethylene tetramine.
Cycloaliphatic epoxy
Has fully saturated molecular structure, which contributes to a good Ultra Violet (UV)
stability, good thermal stability and excellent electrical properties.
Trifunctional
The cured epoxy resin exhibits excellent chemical resistance, good UV blocking effect
and good thermal stability.
Novolac
Excellent thermal, chemical, and solvent-resistance properties due to their high
cross-linking densities.
Biobased
Low cost and biodegradability.
Fluorine-containing
High-chemical resistance, low coefficient of friction, low dielectric constant, low water
absorption, and broad use temperature.
Phosphorus-containing
Flame-retardant, they produce less toxic gas and smoke than halogen-containing
compounds.
Silicon-containing
Environmentally friendly flame retardant
As curing agent, anhydride and amine type are basic. The latter can be classified as aliphatic,
aromatic, or cycloaliphatic. Anhydride agents have ideal characteristics for dielectrics [25].
During the preparation of epoxy resins, in order to obtain a highly cross-linked three-dimensional
polymeric network, a curing process in which chemical reactions of epoxide groups and curing agents
(hardener) is required [26]. The curing process can be done at room temperature or at elevated
temperatures, higher than 100 ◦ C [27]. Room temperature cured epoxy resins have a lower glass
transition temperature (Tg ), higher flexibility, greater impact resistance, and greater electrical and
thermal shock resistance. On the other hand, epoxy resins cured at greater temperatures have a higher
Tg , greater tensile strength, higher heat resistance, greater chemical resistance resins and excellent
electrical properties [25].
In room temperature curing processes, the hardener is generally an amine (aliphatic, aromatic, or
cycloaliphatic) such as diethylene triamine or triethylenetetramine, while for elevated temperature
curing processes, a number of different curing agents could be utilized, including aromatic amines
and acid anhydrides [3]. Curing processes can also be done by photoirradiation using catalytic curing
agents such as benzylsulfonium, benzylpyridinium, benzylammonium, and phosphonium salts [25].
Table 2 shows a list of amine curing agents used in epoxy resins and its main characteristics [3].
The properties of epoxy resins depend on the conditions of preparation, and in order to attain
the best mechanical and electrical properties, variables such as temperature, humidity and pressure
have to be controlled [28], specially for avoiding void formation and minimizing residual mechanical
stresses [5].
Temperature is critical in order to achieve the correct cross-linking density. The mechanism of
epoxy resin curing is complex, and the adequate preparation must consider the kinetic dynamics
under conditions different from those of the laboratory. The rate of polymerization increases with
temperature [27]. At greater temperatures and/or heating rates, epoxy materials cure at about 100%,
Polymers 2020, 12, 77
4 of 26
which is characterized by the glass transition temperature (Tg ). On the other hand, under isothermal
conditions below Tg , epoxy materials do not cure completely, the curing process stops below 100%,
and the percentage diminishes as the temperature is reduced below Tg [29].
Table 2. Characteristics of amine hardeners used in low-molecular-weight bisphenol A-based epoxy
resins, adapted from [3].
Hardener
Parts Used per
100 Parts Resin
Typical Curing
Temperature
Maximal Heat
Distortion Temperature
of Cured Resin (◦ C)
Applications
Diethylenetriamine (DETA)
10–11
Room-Temperature
110
General
purpose
Diethylaminoropylamine (DEAPA)
7
Room-Temperature
97
General
purpose
Meta phenylene di amine (MPDA)
14–15
150 ◦ C (4–6 h)
150
Laminates
28.5
165 ◦ C (4–6 h)
160
Laminates
4,4-Diamino diphenyl sulphone
(DADPS)
30
160 ◦ C (8 h)
175
Laminates
Piperidine
5–7
100 ◦ C (3 h)
75
General
purpose
Triethylamine
10
Room-Temperature
-
Adhesives
Benzylideneacetone (BDA)
15
Room-Temperature
-
Adhesives
4,40 -diaminodiphenylmethane
(DADPM)
Tri(dimethtylaminomethyl)phenol
(TDMAMP)
6
Room-Temperature
64
Adhesives,
coatings
2-Ethyl hexoate salt of TDMAMP
10–14
-
-
Encapsulation
Acid anhydrides have good solubility in resins and are used in castings and laminates applications.
Table 3 shows a list of anhydride curing agents used in epoxy resins and its main characteristics [3].
Table 3. Characteristics of anhydride hardeners used in low-molecular-weight bisphenol A-based
epoxy resins, adapted from [3].
Hardener
Parts Used per
100 Parts Resin
Typical Curing
Temperature
Maximal Heat
Distortion Temperature
of Cured Resin (◦ C)
Applications
Phtalic
35–45
120 ◦ C (24 h
110
Casting
◦C
Hexahydrophtalic
80
120
(24 h)
130
Casting
Pyromellitic
26
220 ◦ C (20 h)
290
High
temperature
Nadic methyl
80
120 ◦ C (16 h)
202
High
temperature
Dodecenylsuccinic
80
100 ◦ C (2 h) + 150 ◦ C (2 h)
38
Flexibilizing
Chlorendic
100
180 ◦ C (24 h)
180
Flame retarding
The curing process is affected by gelation and vitrification processes [30], which are related
to the epoxy system mobility. At the beginning, the curing process rate is controlled by chemical
reactions and at the gel point, the growing individual macromolecules become connected into a single
network and the epoxy system cannot flow but it is able to achieve long-range motion of polymer chain
segments. Additional crosslinking within the network leads to vitrification, the polymer system has not
long-range mobility and the polymerization process stops. At this point, the rate of curing process is
controlled by diffusion. There is a change in the curing process regime from kinetic to diffusion. In [31]
the processes of gelation and vitrification were analyzed using Temperature Modulated Differential
Scanning Calorimetry (TMDSC) and Dynamic Rheometry (DR) methods in a DGEBA—m-PDA epoxy
Polymers 2020, 12, 77
5 of 26
compound. It was found that that the onset of the diffusion regime may be associated with gelation
rather than vitrification.
The properties of the cured epoxy resin depend on the cross-linking state and the adequate cure
must be evaluated. In [32], a dimensionless criterion is proposed for quantifying the curing state
of a thermoset. The cure index is calculated as a function of temperature and the total heat values
released during the cure reaction taken from nonisothermal Differential Scanning Calorimetry (DSC)
thermograms. The advantage of this criterion is that information about chemistry of curing reactions is
not needed. In addition, it is found that polymeric systems containing a reactive additive, experience
an efficient cure because they allow to control the chemical kinetics during the early state of curing
process, retarding the gelation and vitrification phenomena appearance.
The value of Tg is related to the degree of cure. Some studies, related to partial discharges in
tree channels, have found that conductive trees appear in glassy epoxy resins and non-conductive
trees in epoxy resins above their glass transition temperature [33], which can be a result of carbonized
products, due to PD activity, condensing on the surface of glassy epoxy resins [34]. In this work, it is
asssumed that epoxy resins are above its glass transition temperature, in its flexible state.
One of the main advantages of epoxy resins for insulation applications is that they are thermosetting
resins that can be castable into rigid structures forming solid geometries in which the electric field
distribution is uniform. On the other hand, they can be impregnable as fluids or powder into porous
surfaces such as, enameled wires or mica tape paper, where they are cured and made solid by
polymerization filling pores and cavities. This procedure is used for the insulation of windings in
rotating machines, bus bars and condenser bushings [27]. Other applications of epoxy resins include:
cable terminations, instrument transformers, switchgear spacers, spacers for gas-insulated substations,
bushings, power electronics components packaging and components in circuit breakers [35,36].
The characteristic parameters of epoxy resins depend on the type of primary epoxy compound,
the hardener and the accelerator compound used for each specific epoxy compound. Aliphatic amines
exhibit higher conductivities due to formation of amine salts or adducts with water. The best dielectric
properties are obtained with aromatic anhydride cured resins [27]. Table 4 summarizes the main
electrical properties of epoxy resins and factors that influence their magnitudes [26].
Table 4. Electrical properties of epoxy resins (information adapted from [26]).
Property
Value
Factors Affecting Its Magnitude
Permittivity
3–6
Frequency (Higher frequencies cause slight increase),
Temperature (Higher temperatures cause increase), Fillers.
tan δ
0.003–0.03
Frequency (Higher frequencies cause slight increase),
Temperature (Higher temperatures cause increase), Fillers.
Conductivity
10−10 –10−13 S·m−1
Temperature (Higher temperatures cause sharply increases),
moisture content and humidity exposure.
Fillers and curing agents also affect the properties of the final cured epoxy compound. Table 5
summarizes the main electrical properties of various amine-cured formulations [26].
Table 5. Electrical properties of cured epoxy resin (information adapted from [26]).
Property
Value
Permittivity at 1 kHz and 27 ◦ C
tan δ at 1 kHz and 27 ◦ C
Conductivity at 27 ◦ C
4.25–6.35
0.005–0.30
1.67 × 10−12 –1.25 × 10−9 S·m−1
In [37], relative permittivity and conductance of bisphenol-A epoxy resin, as a function of frequency
and temperature, were characterized using dielectric spectroscopy and it was found that below the
Polymers 2020, 12, 77
6 of 26
glass transition temperature, the above parameters remain almost constant in the frequency range
considered (1 × 10−4 –10 kHz).
Certain characteristics of the epoxy resins can be improved with the addition of nano-sized
inorganic fillers [38]. With the addition of nanofillers to epoxy resins, the DC conductivity increases,
the permittivity decreases, PD and tracking resistance improve and thermal conductivity and glass
transition temperature are increased [39].
The inclusion of nanofillers in epoxy resins increases the resistance to PD activity and enlarge
treeing lifetime. In addition, the space charge can be significantly improved. In order to reduce
the size of apparatus with gas–solid insulation systems, it is necessary to reduce the electric field
strength stress due to the difference in permittivity between dielectric media. Epoxy composites have
higher permittivity than neat epoxy resin due to the inclusion of materials such as, alumina (Al2 O3 ) or
silica (SiO2 ), with high permittivity. Permittivity decreases when a high-permittivity filler, such as,
titanium dioxide or titania (TiO2 ) is incorporated. However, the improvement in breakdown strength
is no so clear because it is more sensitive to spatial distribution, complex interfaces relationships and
morphological characteristics associated with ions, dipoles and traps [35].
The addition of SiO2 to epoxy resin allows achieving the same low thermal expansion as aluminum
or copper conductors. In addition, excellent electrical insulation properties are maintained. However,
the viscosity and costs increase [40]. Nanocomposite epoxy resin has higher viscosity than conventional
epoxy resin, which affects manufacturability and lifetime [41].
Some of the nanofillers used for dielectric materials include: Barium titanate (BTO), calcium copper
titanate (CCTO) [42], silica (SiO2 ) [43], alumina (Al2 O3 ) [44,45], clay [46], magnesium oxide (MgO) [47]
and zinc oxide (ZnO) [28]. Through the analysis of experimental results, it can be concluded that epoxy
nanocomposites with clay and Al2 O3 exhibit low values of permittivity and resistivity [48]. However,
the AC breakdown voltage is higher with the inclusion of clay than TiO2 and Al2 O3 [46]. On the
other hand, the addition of SiO2 , improves the dielectric characteristics of the nanocomposite [49].
In [43], a surface plasma treatment was applied on SiO2 nanoparticles (NP) before fabrication of
nanocomposites with epoxy resin (bisphenol-A). It was found that the AC breakdown voltage increases
100% for plasma-treated NP-filled nanocomposites with respect to pure epoxy resin and the PD
inception voltage magnitude increases in 32.4%. With the inclusion of SiO2 , the permittivity and tan δ
values are slightly affected [50]. In addition, unlike the effect of inclusion of nano-fillers such as TiO2
and ZnO, SiO2 particles allow to increase the time to breakdown [28].
3. PD Modelling Using the Three-Capacitance and Analytical Models
Under high voltage (HV), PD could occur in small gaps or voids inside the resin, resultant from
incomplete degassing during the curing process. Different studies about the PD magnitude, rate,
gas composition and material degradation have been made in epoxy resins [51–53]. It was found that
PD characteristics such as PD rate and magnitude are directly dependent on the voltage amplitude.
In addition, it was found that the PD magnitude is related to the affected area or void size in the
insulation system, however, it cannot be used as the only factor for indicating the insulation life
expectancy. The gas content also affects the PD magnitude and rate as well as the material degradation.
When oxygen disappears after the early PD stage, nitrogen, moisture and other gases remain that
facilitate the appearance of swarming micro PD that cause local erosion, called pits, which indeed
result in the initiation of a tree if the electric field strength at the tip of the pit is highly enough.
In [5], three epoxy resins were used for studying the process of void formation and ageing, finding
that if a specimen is free of voids, a void can be formed after prolonged electron bombardment in high
fields. Once voids are present, they will grow due to deterioration of material produced by high energy
electrons accelerated in the cavities. However, it was concluded that voids less than 1 µm in size do not
impair the dielectric strength. In [54], it was shown that epoxy surfaces subjected to PD activity suffer
chemical and physical modifications, such as the apparition of drops and crystals, and the increase of
surface conductivity after few hours of applied voltage.
Polymers 2020, 12, 77
7 of 26
The PD modelling procedure could be described as follows [55]. First, it is necessary to determine
the geometry and electrical characteristics of the object under test and the electric source applied for
stablishing the electric field. Second, it is necessary to determine if under the considered conditions,
a PD could start. Third, if conditions for a PD are fulfilled, it is necessary to calculate the charge
deployed by the streamer discharge and the induced charge in the measurement circuit. Finally, it is
necessary to analyse the evolution of charge distribution on cavity surface. The electric field strength
inside the cavity is the superposition of the electric field generated by the external source applied to
the electrodes, and the electric field strength inside the void created by the surface charge distribution
left by previous PD events. The PD models differentiate in the way the electric field inside the cavity is
calculated [19].
3.1. Stochastic Model for PD Calculations
Through experimentation and analytical studies, it has been found that PD phenomenon is
a stochastic process where their properties are describable by time-dependent random variables.
The following analysis applies to voids containing electronegative gases, such as air. Essentially, there
are two necessary conditions for a PD to start:
•
•
The electric field inside the cavity is greater than the critical value for starting an avalanche
(streamer inception)
A first electron for starting the first avalanche is present (electron generation rate)
These conditions outcome into the stochastic behavior of PD phenomenon determining
characteristics such as inception delay, phase occurrence and the number of PD per cycle. The
fulfilment of these conditions is affected by factors such as those described in [56]: Probability of first
electron injection as a function of electric field strength, ionizing radiation, dynamics of surface charge
decay and generation rates of ions and metastables.
3.1.1. Streamer Inception
Streamers are self-sustained discharges controlled by a critical avalanche criterion that defines an
inception value given by [57]:
!
B
Einc = (E1 /p)cr p 1 +
(1)
(2pa)n
where Einc (V·m−1 ) is the inception electric field strength magnitude, (E1 /p)cr , B and n are parameters
related to the ionization process in gases and depend on each specific gas, for example, in air the values
are, respectively, 24.2 V·Pa−1 , 8.6 Pa1/2 ·m1/2 and 0.5. On the other hand, p is the pressure in Pa and a is
the radius of the void in m. Although Equation (1) was determined in a configuration different to a gas
filled void surrounded by a solid dielectric, Callender [16] found that shows good agreement with
advanced plasma models and experimental values.
The first condition, related to the threshold value calculated with Equation (1) is merely
deterministic and depends on parameters of media, the cavity size and the pressure of gas inside
the void.
3.1.2. Electron Generation Rate
Volume and surface emissions are the main mechanisms for the first electron generation rate [55].
Volume generation is related to radiative gas ionization and field detachment of electrons from negative
ions. This is the main source of first electrons in voids without previous PD activity. The electron
generation rate by volume ionization can be calculated using Equation (2) [23].
Net (t) = Crad Φrad (ρ/p)0 p
4 3 πa 1 − ν−1/n
3
(2)
Polymers 2020, 12, 77
8 of 26
where Crad is a factor which describes the interaction of the radiation with the gas, Φrad (kg−1 ·s−1 ) is the
radiative cosmic and radioactive quantum flux density, (ρ/p)0 (kg·m−3 ) is the pressure reduced gas
density, ν = Ucav (t)/Uinc , Ucav (t) (V) is the voltage across the cavity center and Uinc (V) is the inception
voltage. After a PD event, there are charges on the surface of void that plays an important role in the
second mechanism of electron generation. The electron generation rate due to surface de-trapping
obeys the Richardson–Schottky law and can be written as in Equation (3).
p


 Φdt − eEcav (t)/(4πε0 ) 
t − tPD


Ndt (t) = Ndt0 exp −
ν0 exp−

τ
kT
(3)
where e (C) is the elementary charge, Φdt (eV) is the effective de-trapping work function, k (eV·K−1 ) is
the Boltzmann constant, t − tPD (s) is the time elapsed since the latest PD, ν0 (s−1 ) is the fundamental
frequency of phonon Ecav (V·m−1 ) is the electric field strength inside the void and T de temperature in K.
Ndt0 = ξ(q/e) and ξ is a proportional factor. ξ describes the fraction of charge carriers, which result in
the creation of de-trappable electrons and depends on the polarity of charges deployed on the surface
and the electric field strength polarity. The initial electron generation is modelled using a random
numbers generator, which produces an electron in the time interval [t, t + ∆t] with the probability
(Net + Ndt )∆t.
Equations (2) and (3) depend on parameters that are unknown for many materials and conditions,
for this reason, other authors have proposed some variations for modelling the stochastic behavior of
PD phenomena. In [13], C. Forssén and H. Edin assumed that the generation of free electrons in the
void is mainly due to surface emission and the distribution function for a PD is calculated using the
Equation (4).
 t

 Z



F(t) = 1 − exp− Ne (t0)dt0
(4)


0
where Ne (t) = Ne0 exp Ucav (t)/Uinc (s−1 ) and Ne0 (s−1 ) is a constant depending on the applied
frequency. The instant for a PD is determined comparing the value obtained using the Equation (4)
with a random number uniformly distributed between 0 and 1.
Similarly, Illias et al. [58], neglecting the initial electron generation rate from volume ionization,
defined the total electron generation rate due to surface emission at the instant t as in Equation (5).
Nest (t) = (Ned (t) + Nei ) exp Ucav (t)/Uinc
(5)
where Ned (t) = Ned0 Ucav (tPD )/Uinc exp −(t − tPD )/τtrap (s−1 ), Nei (s−1 ) is a parameter corresponding
to the charge de-trapping from polymer loose chain ends, Ned (s−1 ) is the electron generation rate due
to charge de-trapping from shallow traps near the cavity surface, Ned0 (s−1 ) is a constant depending
on the polarity of the electric field in the cavity, Ucav (tPD ) (V) is the cavity voltage at the time tPD
(s) of the previous PD event and τtrap (s) is the time constant for charge decay through charge
movement into deeper traps. The likelihood of a PD occurrence in the interval [t, t + ∆t] is calculated
as L(t) = (Net + Ndt (t))∆t, then is compared with a random number uniformly distributed between 0
and 1.
This stochastic modelling procedure is also used in the three-capacitance model. Considering a
uniform distribution of the electric field strength inside the void, the likelihood can be calculated using
the voltages in the equivalent circuit for controlling a switch that is in parallel with the void capacitance
or the value of the streamer equivalent resistance [59]. More details area presented in Section 3.3.
3.2. Analytical Model
The analytical model is also known as induced charge or dipole moment model. This is a field
based approach that was initially proposed by Pedersen [60], in which is considered that all the void
Polymers 2020, 12, 77
9 of 26
participates in the PD process, the electric field strength inside the void is uniformly distributed and
the charge left by previous PD forms a dipole that induces a charge distribution on the HV electrodes.
The PD starts once there is an electron in the cavity that can be accelerated by the applied electric
field and a streamer, a self-sustained discharge, can take place [19]. Due to the high conductivity of the
streamer channel, the electric field in the cavity is reduced and below an extinction magnitude, Eext
(V·m−1 ), the streamer development stops. The change in the field within the cavity causes a change
in the charge on the electrodes and the charging process is due to the creation of charge carriers as
consequence
process in the gas-filled cavity. After a PD event, the electric charges
Polymers
2020, 12,ofx the
FORionization
PEER REVIEW
9 of in
25
the dielectric bulk and voids will induce a proportional charge distribution on the HV electrodes that
can be calculated using Equation (6) [61].
N
q' = − λρ c dΩ −
λσdS
(6)
Z
N Z
jX
=1 S j
Ω
q0 = − λρc dΩ −
λσdS
(6)


j=1 S
where q ' (C) is the induced PD charge, Ωλ is a proportionality
positive scalar function, which is
j
continuous and dimensionless, Ω (m3) is the volume of the entire dielectric system, S j (m2) is the
where q0 (C) is the induced PD charge, λ is a proportionality positive scalar function, which is
3) is the volume charge density 2and σ
ρ c of(C/m
surface
of the
j-thdimensionless,
void, N is theΩnumber
continuous
and
(m3 ) is of
thevoids,
volume
the entire
dielectric system, S j (m ) is the
2
3 ) is the
(C/m
) is
surface
density.
beρdetermined
solving
thecharge
samedensity
electro-geometrical
surface
of the
the j-th
void,charge
N is the
numberλof can
voids,
(C/m
volume
and σ (C/m2 )
c
configuration,
but
considering
it
as
free
of
charges,
so
λ
satisfies
the
Laplace’s
Equation
(7).
is the surface charge density. λ can be determined solving the same electro-geometrical configuration,
but considering it as free of charges, so λ satisfies the Laplace’s Equation (7).
∇ ⋅ ε∇λ = 0
(7)
(
)
) =scalar
∇·(as
ε∇λ
0
(7)
From Equation (7) λ can be interpreted
the
potential distribution in the free charge
system per unit of applied voltage and must fulfil the boundary conditions established by (8).
From Equation (7) λ can be interpreted as the scalar potential distribution in the free charge system
λ = 1 the
at HV
electrodeconditions established by (8).
per unit of applied voltage and must fulfil
boundary
λ = 0 at grounded electrode
(8)
λ = ∂1λat HV electrode
∂λVOID
DM
=
λ ε=r 0 at grounded
electrode
(8)
∂r ∂λ ∂r
∂λDM
VOID
εr ∂r = ∂r
where λDM and λVOID are the solutions at each side of the interface between void, VOID , and
where λDM
and λVOID
are, and
the solutions
each side
of the to
interface
between
void,
VOID,
andthe
dielectric
r is the at
dielectric
material,
DM
normal
direction
the interface.
After
a PD
event,
spatial
material,
DM,
and
r
is
the
normal
direction
to
the
interface.
After
a
PD
event,
the
spatial
charge
charge deployed on the void surface produces a field, a Poisson field, that opposes the electrostatic
deployed
on the
surfaceinproduces
a field,
a Poisson
field, thatfield
opposes
electrostatic
field
field
produced
byvoid
electrodes
the dielectric
material,
a Laplacian
[62]. the
In addition,
the total
produced
by
electrodes
in
the
dielectric
material,
a
Laplacian
field
[62].
In
addition,
the
total
charge
in
charge in the void must remain zero, giving rise to the appearance of a dipole moment as is shown
theFigure
void must
in
1. remain zero, giving rise to the appearance of a dipole moment as is shown in Figure 1.
is the
the electric
electric field
field strength outside the
Figure 1. Dipole moment due to charge on cavity surface. E00 is
void due to applied electrodes and s is the unit dipole vector.
vector.
In Figure 1, s is the vector pointing from the negative to positive polarity charges. The dipole
moment can be expressed as in Equation (9).


p = ρ c rdΩ + σrdS
Ω
S
(9)
where p (C·m) is the dipole moment of the charges on the void surface and r is the position vector of
the element of charge. Considering that the void is smaller than the dielectric bulk, the gradient of
λ inside the void is uniform and the induced charge due to the dipole in the measurement circuit is
given by the Equation (10).
Polymers 2020, 12, 77
10 of 26
In Figure 1, s is the vector pointing from the negative to positive polarity charges. The dipole
moment can be expressed as in Equation (9).
Z
Z
ρc rdΩ +
p=
Ω
σrdS
(9)
S
where p (C·m) is the dipole moment of the charges on the void surface and r is the position vector of
the element of charge. Considering that the void is smaller than the dielectric bulk, the gradient of
λ inside the void is uniform and the induced charge due to the dipole in the measurement circuit is
given by the Equation (10).
q0 = −p·∇λ
(10)
calculated as ∇λ = K∇λ0 , where λ0 is the response function 10
atofthe
25
void location for the condition of dielectric system without voids and free of electric charges, and K is a
void
factor factor
that depends
on the on
geometry
of the void.
ellipsoidal
voids Equation
(10) can(10)
be
K is ashape
void shape
that depends
the geometry
of theFor
void.
For ellipsoidal
voids Equation
rewritten
as
in
Equation
(11)
[57].
can be rewritten as in Equation (11) [57].
In 2020,
Equation
(10),
∇λREVIEW
can be
Polymers
12, x FOR
PEER
= −−KΩε
KΩε ((EEinc −−EEext ))⋅·∇λ
∇λ0
q0q'=
ext
0
inc
(11)
(11)
where E inc (V·m−1) is the inception value of electric field strength, ε (F·m−1) is the dielectric
where Einc (V·m−1 ) is the inception value of electric field strength, ε (F·m−1 ) is the dielectric permittivity
permittivity of media and E ext (V·m−1) is the electric field strength below, which there is not
of media and Eext (V·m−1 ) is the
electric field strength below, which there is not ionization and the
ionization
and
the
streamer
development
Because
the
cavity is small
comparison
withsize,
the
streamer development ceases. Because theceases.
cavity is
small in
comparison
within
the
dielectric bulk
dielectric
bulk
size,
it
could
be
assumed
that
the
electric
field
strength
inside
the
cavity
is
uniform.
it could be assumed that the electric field strength inside the cavity is uniform.
PD events
events leave
leaveelectric
electriccharges
chargeson
onthe
thesurface
surfaceofofvoids
voids
that
redistributed
neutralized
PD
that
areare
redistributed
andand
neutralized
by
by
surface
currents.
For
that
reason,
the
electric
field
strength
inside
cavities
has
a
complex
surface currents. For that reason, the electric field strength inside cavities has a complex dependence
dependence
on time
because
it varies
on time
variations
of external
applied
electric
field
on
time because
it varies
depending
ondepending
time variations
of external
applied
electric
field and
the decay
and
the decay
of electric
the voidofastime.
a function of time.
of
electric
charges
on the charges
void as aonfunction
Figure
2
shows
the
behavior
of
surface
charge
density distribution
distribution on
on the
the cavity
cavity surface
surface as
as aa
Figure 2 shows the behavior of surface charge density
ε
=
4
.
4
function
of
time
for
a
spherical
cavity
immersed
in
an
epoxy
resin
with
.
function of time for a spherical cavity immersed in an epoxy resin with εr r= 4.4.
Figure 2. Surface charge
charge distribution
distributionon
onthe
thevoid
voidsurface
surfaceasasaafunction
functionofoftime
timefor
for0 0≤ ≤θθ≤≤π.
π.σσ00 == q/4πa
q/4πa22
−12
−1
−12
−1
and ττ =
a/kss..ItItisisassumed
assumedqq==8080pC,
pC,ksk=s =
× 10 S·mS·m
a = 0.55
= εε00a/k
1 ×1 10
andand
a = 0.55
mm.mm.
In Figure 2 σ 0 = q / 4πa 2 (C·m−2) and τ = ε 0 a / k s (s) where k s (S·m−1) is the cavity surface
conductivity. As can be seen, the density of charge is symmetrically distributed on the cavity surface
around the axis of symmetry and has a time constant that is mainly dependent on the relative
permittivity [63].
In the analytical approach, the surface charge dynamics is modelled using the Ohm’s law [23]:
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11 of 26
In Figure 2 σ0 = q/4πa2 (C·m−2 ) and τ = ε0 a/ks (s) where ks (S·m−1 ) is the cavity surface
conductivity. As can be seen, the density of charge is symmetrically distributed on the cavity surface
around the axis of symmetry and has a time constant that is mainly dependent on the relative
permittivity [63].
In the analytical approach, the surface charge dynamics is modelled using the Ohm’s law [23]:
−
dq
π
ks Ecav 2a
=
dt
2
(12)
Illias et al. [58] through an analysis of mobility of charges on the surface and experimental results,
proposed modelling the surface charge decay using a cavity surface conductivity as a function of
electric field. In this model, surface conductivity is dynamically changed depending on the polarity of
the electric field inside the cavity respect to electric field produced by surface charge density. The time
decay is considered as an equivalent RC time constant τs that can be expressed as [64]:
τs =
ε0 a
2ks
(13)
Considering that the Poisson field is produced by the charge in the system distributed in the
entire volume and deployed on the void surface, this equation has to be considered to estimate the PD
charge. Lemke [65] used the dipole moment approach and an energy balance analysis for expressing
the induced charge as in Equation (14).
Einc
q0 = p·
(14)
Uinc
Considering PD as streamer discharges and assuming that the Laplacian field remains constant,
because the PD process is in the order of nanoseconds [66], the dipole moment can be assessed using
the following semi-empirical expression:
|P| = (270pC/mm)d2c
(15)
where dc (mm) is the void diameter. Lemke used this expression for analyzing the PD charge transfer
in polymeric power cables. This expression is applicable for virgin voids, without previous PD,
and 0.1 mm < dc < 2 mm.
A generalized approach to PD modelling was presented by Niemeyer [55], where the analytical
model is used including the effects of charge decay and memory, and simulation results for different
voids and protrusions were presented. In the same way, in [23], a stochastic discharge model based on
the analytical approach is presented and some comparisons with measurements for different periods
of time of the applied voltage showed good agreement. This analytical approach has been used
for determining the theoretical magnitude of PD charges in analysis of defects in solid dielectric
cables [67]. Through a mathematical procedure, the minimum theoretical discharge initiation voltage
can be determined, however, as PD will not initiate at this voltage, this value should be increased in
order to promote the PD appearance during laboratory tests. In [68], the analytical approach is used
for determining the discharge characteristics at DC voltage and it was found that for this case the
electrical conductivity plays a fundamental role in the inception voltage, repetition rate and discharge
magnitudes, however there is not experimental validation.
In this model, it is considered that the electric field strength inside the cavity is uniform, the electric
field strength in the bulk of dielectric material remains unaltered during the PD event and the entire
cavity surface is affected by the PD event. In [63], through the analytical solution of field equations,
it was shown that the electric field strength inside cavity after a PD, is not uniform, its distribution
depends on the surface charge decay process. Additionally, the electric field outside the cavity is
affected by the charge distribution on the cavity surface [69,70]. However, in this model, the electric
field calculations are considered in the center of the void, where the electric field is almost uniform.
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12 of 26
Other Analytical Models
Other analytical models have been proposed [71,72], where analytical expressions are used.
However, the deterministic formulation is in contrast with the stochastic behavior of PD phenomena
that is deduced from theoretical and experimental studies. On the other hand, other analytical models
have been presented where the PD process is modelled using mathematical relationships between
electric and geometric variables and the result is the probability density for a PD occurrence [73]. The PD
phenomenon is treated as a stochastic process consisting of short-duration discharges and charge
carrier drift, and recombination intervals between the discharges. In this approach, no simulations are
required because, the calculations involve few basic physical parameters and a master equation in
which the dynamics of the internal field forms a piecewise deterministic Markov process. This is an
analytical approach with good agreement with experimental results. However, it does not consider all
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12 of 25
the physical elements involved, such as memory effect and charge decay, because this dependency
is reduced
to a single
decay the
time
constant.
On constant
the otherduring
hand, the
the simulation
inception and
residual
values of
values
of electric
field inside
cavity
remains
process,
disregarding
electric
field
inside
the
cavity
remains
constant
during
the
simulation
process,
disregarding
changes
in
changes in temperature and pressure.
temperature and pressure.
3.3. Three-Capacitance Model
3.3. Three-Capacitance Model
The three-capacitance model was initially proposed by Gemant and Philippoff in 1932 for
The three-capacitance model was initially proposed by Gemant and Philippoff in 1932 for
estimating the power losses in power cables due to discharges in voids [74]. They made experimental
estimating the power losses in power cables due to discharges in voids [74]. They made experimental
measurements and found that the PD rate was in good agreement with theoretical calculations using
measurements and found that the PD rate was in good agreement with theoretical calculations using
the equivalent circuit [61]. In 1951, Whitehead proposed the modified equivalent circuit shown in
the equivalent circuit [61]. In 1951, Whitehead proposed the modified equivalent circuit shown in
Figure 3, usually known as the “abc” model [75]. This circuit allows calculating a numerical
Figure 3, usually known as the “abc” model [75]. This circuit allows calculating a numerical relationship
relationship between the charge in the measurement circuit and the internal charge in the cavity.
between the charge in the measurement circuit and the internal charge in the cavity.
(a)
(b)
Figure
Figure 3.
3. Whitehead
Whiteheadthree-capacitance
three-capacitance model:
model: (a)
(a)bulk
bulkof
ofdielectric
dielectricmaterial
material with
with aaspherical
spherical void
void and
and
capacitances
capacitances of
of components
components in
in series
series and
and parallel
parallel with
with the
the void;
void; (b)
(b) “abc”
“abc” equivalent
equivalent circuit,
circuit, FF is
is the
the
spark-gap representing
representing the PD event.
spark-gap
In Figure
Figure3,3, Caa (F)
bulk of
of dielectric
dielectricmaterial,
material, C
Cbb (F)
equivalent
In
(F)isisthe
thecapacitance
capacitance of
of the
the bulk
(F) is
is the
the equivalent
00
capacitance of
ofdielectric
dielectriccolumn
columnininseries
serieswith
with
void,
resultant
from
0 C' 'b, ,and
and CCc (F)
is the
CbC' ||bC
capacitance
thethe
void,
resultant
from
b
c (F) is the
capacitance of the void which is short-circuited by the spark gap F.
capacitance of the void which is short-circuited by the spark gap F.
A PD is simulated with the closing of the spark gap F. F will be closed when the voltage across the
A PD is simulated with the closing of the spark gap F. F will be closed when the voltage
void capacitance Uc (V) is equal to or higher than the inception voltage Uinc (V) until Uc (V) is equal to
across the void capacitance U c (V) is equal to or higher than the inception
voltage U (V) until
or lower than the extinction voltage Uext (V). The voltages controlling the changes on theinc
spark gap F
U
is equal tousing
or lower
than the extinction
voltage
The voltages
controlling
thevoid
changes
c (V)
ext (V).
can
be calculated
the inception
and residual
fieldsUand
considering
the geometry
of the
[55].
on the spark gap F can be calculated using the inception and residual fields and considering the
geometry of the void [55].
When a PD occurs, Cc is short-circuited thought the spark gap F and a transient current will
flow due to the change in voltage as it is shown in Figure 4, where i F = ic + ib (A). The real PD
charge, q (C), in the void can be calculated using the Equation (16).

C ⋅C 
q = ΔU ⋅  C c + a b 
(16)
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When a PD occurs, Cc is short-circuited thought the spark gap F and a transient current will flow
due to the change in voltage as it is shown in Figure 4, where iF = ic + ib (A). The real PD charge, q (C),
in the void can be calculated using the Equation (16).
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!
Ca ·Cb
q = ∆U· C +
(16)
induces charges on the cavity surface, which cmeans
Ca +that
Cb the internal charge has already been
produced just before a PD event is ignited. This is a violation to the causality law [61].
(V) is the PD
whereFor
∆Umodelling
voltage
change
across the void produced
the PD.efforts
From Figure
4, it is clearhave
that
using
the three-capacitance
method, by
different
and applications
during
the
PD
event,
the
current
associated
to
∆U
will
flow
through
C
and
C
.
The
change
in
the
a
b
been made, which can be classified into the following categories:
charge on the electrode, the induced charge, can be calculated as in Equation (17).
•
Spark gap simulated using a switch
•
Variable gap resistance
q0 = ∆U·Cb
(17)
•
Variable capacitance
Figure
4. Three-capacitance
Three-capacitancemodel
model
representation
during
a PD
event.
When
PD occurs,
Cc is
Figure 4.
representation
during
a PD
event.
When
a PD aoccurs,
Cc is shortshort-circuited
by
the
spark
gap
F
and
a
transient
current
will
flow.
In
addition,
voltages
will
be
circuited by the spark gap F and a transient current will flow. In addition, voltages will be modified
modified
by
the
transient
phenomenon.
by the transient phenomenon.
can Gap
be seen
from Equations
(16) and (17), the real charge in the void and the charge in the
3.3.1.As
Spark
Simulated
Using a Switch
measurement circuit are different [11]. The above relationships assume that the applied test voltage
In this
category,
the streamer
simulated
using
a switch,
which
is in
induces
charges
on the cavity
surface,propagation
which meansprocess
that the is
internal
charge
has already
been
produced
parallel
to aCPD
it is is
shown
in Figure
just
before
event
ignited.
This is 5a).
a violation to the causality law [61].
c , as
For modelling PD using the three-capacitance method, different efforts and applications have
been made, which can be classified into the following categories:
•
•
•
Spark gap simulated using a switch
Variable gap resistance
Variable capacitance
3.3.1. Spark Gap Simulated Using a Switch
In this category, the streamer propagation process is simulated using a switch, which is in parallel
to Cc , as it is shown in Figure 5a).
The switch operation can be controlled using logical operations when the voltage across the
(a)
(b)
void exceeds the threshold value or, when experimental q-ϕ data are available, for specific instants.
In addition,
closure can
be controlled
into account
thea stochastic
behavior
Figure 5.the
PDswitch
three capacitance
equivalent
circuit: taking
(a) PD simulation
using
switch in parallel
to Cof
c. the
The switch is controlled
using
voltage,
phase andmodel
time aswas
variables;
simulation using
a variable PD
PD phenomena.
In [76], this
three
capacitance
used (b)
forPD
determining
the theoretical
resistance
in parallel
to CCarlo
c. The value
of the resistance
is controlled
using voltage, results.
current and
time
distribution
using
a Monte
simulation
taking into
account experimental
They
found
as variables.
that the
discharge area, the oxygen content and the pressure of gas in void affect the extinction
voltage, which indeed, affects the PD inception time lag. In a similar way, in [77], an integral equation
The switchfor
operation
can the
be controlled
logical operations
when the
across
the void
was proposed
describing
stochasticusing
fluctuations
of PD occurrence
involtage
the three
capacitance
exceeds the threshold value or, when experimental q-φ data are available, for specific instants. In addition,
the switch closure can be controlled taking into account the stochastic behavior of the PD phenomena. In
[76], this three capacitance model was used for determining the theoretical PD distribution using a Monte
Carlo simulation taking into account experimental results. They found that the discharge area, the oxygen
content and the pressure of gas in void affect the extinction voltage, which indeed, affects the PD inception
Figure 4. Three-capacitance model representation during a PD event. When a PD occurs, Cc is shortcircuited by the spark gap F and a transient current will flow. In addition, voltages will be modified
Polymers
12, 77
14 of 26
by 2020,
the transient
phenomenon.
3.3.1. Spark Gap Simulated Using a Switch
model when the gap closure have stochastic fluctuations in the time delay under ac voltage. This
this category,
the for
streamer
propagation
process is simulated
switch,[78]
which
is in
sameInapproach
was used
explaining
the PD characteristics
obtainedusing
in theaIEC(b)
electrode
parallel
to Cc , as it is shown in Figure 5a).
system [79].
(a)
(b)
Figure 5. PD three capacitance
capacitance equivalent
equivalent circuit:
circuit: (a)
(a) PD
PD simulation
simulation using
using aa switch
switch in
in parallel
parallel to
to C
Ccc..
The switch is controlled using voltage, phase and time as variables; (b) PD simulation
simulation using a variable
variable
resistance
resistance in parallel to Ccc.. The
The value
value of
of the
the resistance
resistance is
is controlled
controlled using
using voltage,
voltage, current and time
as variables.
On the
other
hand, the
model
canoperations
be used for
simulating
PD across
under the
DCvoid
and
The
switch
operation
canthree-capacitance
be controlled using
logical
when
the voltage
higher frequency
voltages.
In when
[80], aexperimental
modified three
model for specific
describing
the PD
behavior
exceeds
the threshold
value or,
q-φcapacitance
data are available,
instants.
In addition,
for switch
DC voltage
was
where
resistances
for considering
were added.
the
closure
candeveloped
be controlled
taking
into account
the stochasticconduction
behavior ofprocesses
the PD phenomena.
In
When
comparing
simulated
results
with
measurements,
some
differencesPD
were
found that
werearelated
[76],
this
three capacitance
model
was
used
for determining
the theoretical
distribution
using
Monte
to the simulation
assumed discharge
area
and voltage
drop. The
distribution
functions
the discharge
Carlo
taking into
account
experimental
results.
They found
that theofdischarge
area, magnitude
the oxygen
and the and
timethe
between
two
throughvoltage,
simulations.
was found
that
content
pressure
of discharges
gas in void was
affectstudied
the extinction
which It
indeed,
affects
thethe
PDextinction
inception
and ignition
were in
similar
the PD equation
rate is dependent
on the
voltage and
its ripple
time
lag. In avoltages
similar way,
[77], and
an integral
was proposed
fortest
describing
the stochastic
content. A similar
three-capacitance
model with
resistances
in [81] for
studying
the
fluctuations
of PDmodified
occurrence
in the three capacitance
model
when was
the used
gap closure
have
stochastic
effect of applying higher frequency voltages on the PD behavior in cavities with different size and
location in the dielectric. They found that the PD rate decreases at higher frequency, although the PD
magnitude increases.
In [82], PD pulse waveforms from the three-capacitance model were obtained and studied on
different supply voltages and different void sizes. Time–Frequency (TF) analysis was performed
by applying Short-Time Fourier Transform (STFT) and different characteristics such as amplitude,
occurrence, frequency distribution, intensity of the frequencies, were analyzed.
In [83], the three-capacitance model was modified including a resistance for modelling the surface
conduction process and the insulation resistance variation with aging. Also, an empirical expression
for taking into account that the PD magnitude increases when temperature is elevated is included [84].
A three-capacitance model implemented in Simulink for a cylindrical void was used in [85] to
make a characterization of the PD pulses on duration, magnitude and frequency content for different
geometries. A similar study, but also including the measurement circuit was reported in [86], the effect
of the void axis orientation respect to the applied electric field on the PD magnitude was analyzed.
It was found that the PD magnitude is higher when the void axis is perpendicular to the applied
electric field.
In [87], a modified three-capacitance model was implemented in Simulink which includes and
additional capacitor in series with the gap whose operation is controlled externally using values
taken from experimentally measured q-ϕ diagrams. The additional capacitor allows considering the
additional electric field inside the void generated by previous PD. However, the discharge occurred
once because of the non-repetitive switching mode of the breaker. A similar study, but implemented
in EMTP-RV was reported in [88] where different void sizes and types of dielectric materials were
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15 of 26
considered and an additional resistor and a capacitor were included in the three capacitance model for
taking into account the additional electric field generated by the electric charge of previous PD.
3.3.2. Variable Gap Resistance
The streamer propagation can be modelled using a variable gap resistance approach. The circuit
in Figure 5b) is a modified version of the three capacitance model of Whitehead [75]. The value of the
resistance is dynamically modified taking into account the voltage threshold and the solution of the
electric circuit allows considering some of the physics related to PD phenomena: stochastic behavior,
thermal and pressure effects, charge decay, streamer propagation, extinction voltage, etc.
In [89], the nonlinearity of the PD phenomena is considered using a voltage-and time-dependent
resistance. The proposed model considers the measuring circuit and the voltage associated to surface
charge on the void through a mathematical function controlling the value of the resistance of streamer
(Rstr ) after a PD event, which allows the voltage across the capacitance of the void to build up after
the PD event. The mathematical function considered is the decay exponential function given by the
Equation (18).
Rstr = R0 · exp(−t/τR )
(18)
where τR (s) is the time constant of the simulated discharge and R0 (Ω) is the initial insulation
resistance of the gap.
In [59], a similar approach as previously described is used. The PD current path is represented
using a voltage and current-dependent streamer resistance, which allows maintaining its low resistance
state during the avalanche due to the current dependence. Additional resistances for considering the
conduction around the cavity and the effect of the conductivity of the bulk of dielectric material were
added. The functional form for Rstr (Ω) corresponds to Equation (19).
Rstr = R0 · exp(−|Uc /Uinc | − |i/I0 |)
(19)
where Uinc (V) is the inception voltage, I0 (A) is the critical current for an avalanche. A comparative
analysis with measured data showed good agreement with simulation results.
In [90], it was presented an approach for modelling PD in spherical voids in epoxy resin which
is based on a time varying conductance of the void considering multi-stresses conditions (voltage,
temperature and pressure). The PD phenomena is modelled with a variable conductance of plasma,
G(t) (S), considering only direct ionization and recombination as shown in Equation (20).
dG(t)
= Kprod W (Ui )G(t) − K2rec G(t)2 − K1rec G(t)
(20)
dt
where Kprod (s −1 is the ionization coefficient and Knrec (s −1 are the recombination coefficients, n = 2
for higher conductance values. The trigger function W (Ui ) is used for checking the fulfilment of the
required conditions for a PD event and takes into account the stochastic behavior of the PD phenomena
through a Weibull probabilistic function. Simulation results exhibit good agreement with experimental
data found in the literature [91]. This model was modified with the inclusion of surface and volume
resistances of the bulk of dielectric material for modelling the PD behavior under a voltage stress close
to the DC waveform [92]. The simulation results show that the PD rate decreases when the sample
is subjected to a voltage stress close to the DC waveform, which could depend on the space charge
accumulation phenomenon.
3.3.3. Variable Gap Capacitance
In order to conciliate the three-capacitance method assumptions with real PD physics, a method
of variable capacitance was proposed in [93]. In this study, a detailed analysis of the critics to the
three-capacitance method was made. It was concluded that the capacitive model is able to represent
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16 of 26
the transient current in electrodes caused by the space charge and the PD charge, which is linked to
the partial capacitances and new potentials of the electrodes. The total capacitance of the system is
expressed as in Equation (21).
C00 = C0 (F) +
KΩε(Einc − Eres )
·∇λ0
U − ∆U
!
(21)
where C0 (F) is the capacitance of the capacitor with the insulation immersed between the plates.
Terms in the second parenthesis are defined as in [57], K is a dimensionless shape factor, Ω (m3 ) is the
volume of the void, ε (F·m−1 ) is the permittivity of the dielectric media, Einc (V·m−1 ) and Eext (V·m−1 )
are, respectively, the inception and extinction electric field strength magnitudes, λ0 is the electric scalar
potential per unit of applied voltage and U − ∆U (V) is the voltage after the PD event. The proposed
model was implemented in Matlab. However, any results or comparisons were presented.
3.3.4. Transients in Measured Variables and Critics to Capacitive Model
After a PD event, the potential on the electrode drops by ∆U but the charge on the electrode
increases by ∆Q, due to charge supplied to the electrode from the external system. PD can be detected
in measurement circuits as transient variations in voltages and currents, so it is necessary to relate
those variables with the charge on the void surface, which is the main variable of interest. Before a PD
event, the potential and the charge at the HV electrode are, respectively, U and Q. After a PD event,
the potential and charge are U − ∆U and Q + ∆Q, where ∆Q is the charge transferred to electrodes
from the applied HV source. Using the Green’s reciprocal theorem and the definition of capacitance in
electrical circuits [94], the induced charge can be expressed as follows:
q0 = C∆U + ∆Q ≈ C∆U
(22)
where C (F) is the capacitance of the system. The impedance of the circuit is large enough for the
current related to a PD event, so ∆Q (C) can be disregarded in comparison to C∆U. Taking into account
that the capacitance of the systems does not change during the PD event, transients cannot be related
to a change in the capacitance of the system. On the other hand, during the PD process, the transient
current related to the streamer must be equal to the displacement current in the dielectric material in
series with the void. This means that the charge detected at the electrodes in the measurement circuit
must be equal to the internal PD charge, which is in contrast to the apparent charge concept presented
in the capacitive model [61].
In the three-capacitance model, the surface charge dynamics can be modelled using the variable
gap resistance approach because the magnitude of the resistance can be numerically controlled taking
into account the polarity of the applied voltage and the time elapsed after the latest PD event, similar
to the RC time constant approach.
Table 6 exhibits a summary of the main parameters required for implementing simulations in
three capacitance and analytical models, their main advantages and disadvantages are also included.
Models can be used for analyzing media where parameters listed in Table 6, are known. However,
it must be considered that parameters in the stochastic model must be also known for the same media
under analysis. Parameters of stochastic model listed in Table 6, and related to Equations (1)–(3),
correspond to epoxy resins [23]. The model can also be applied to other materials if the stochastic
model is modified using experimental measurements [18,59].
Polymers 2020, 12, 77
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Table 6. Summary of main characteristics of analytical and three-capacitance model.
Model
Three
Capacitance
Analytical
Parameters for
Implementing
Simulations
Advantages
Disadvantages
Permittivity of media,
void surface conductivity,
volume resistivity.
The current pulse through the
electrodes can be directly
calculated. The PD phenomena is
analyzed though voltages
relationships.
It is difficult to implement due to
non-linearities in the circuit. It is
assumed that void surface is
equipotential and that the internal
charge has already been produced
just before a PD event is ignited.
Permittivity of media,
void surface
conductivity.
Computationally efficient.
Reliable results due field
approach. Multiphysical analysis
can be easily implemented for
different geometries and
electrodes configurations due to
field analysis.
The current pulse cannot be
directly calculated. The surface
charge density is uniformly
distributed. PD affect all the cavity
volume. It is considered that the
electric field strength inside the
cavity is uniform.
4. Case Study
A case study is simulated using the analytical and three-capacitance models and the results are
compared with measured values in order to analyze their performance and capabilities. Figure 6,
shows the geometry of the case study. It corresponds to a linear, homogenous and isotropic dielectric
bulk of epoxy resin (bisphenol-A) of 3 mm thickness and 10 mm diameter between 2-parallel plates.
A spherical
void,
filled
air, with a 1.1 mm diameter is included in the center of the geometrical
Polymers
2020, 12,
x FOR
PEERwith
REVIEW
17 of 25
shaping. An 18 kV, 50 Hz sinusoidal voltage source (Us ) is applied to upper electrode while the lower
is grounded.
This same
configuration
was used was
by Illias
et al.
foretcomparing
the comparing
performancethe
of
lower
is grounded.
This
same configuration
used
by [15]
Illias
al. [15] for
analytical andofFEA
modelsand
forFEA
PD analysis.
performance
analytical
models for PD analysis.
Figure 6.
6. Geometry
Geometry of
of the
the case
case study.
study. AA spherical
spherical void
void with
with 1.1
1.1 mm
mm in
in diameter
diameter immersed
immersed in
in an
an
Figure
epoxy-resin dielectric
dielectric bulk
bulk between
between two
two parallel
parallel plates.
plates.
epoxy-resin
Table 7, summarizes the parameters considered during the simulation process. In order to analyze
Table 7, summarizes the parameters considered during the simulation process. In order to
the applicability and the performance of analytical and three capacitance model, comparisons with
analyze the applicability and the performance of analytical and three capacitance model, comparisons
measured values reported in [15] are made, and for this reason, the same stochastic approach used by
with measured values reported in [15] are made, and for this reason, the same stochastic approach
the authors of the that article, which is similar to Equation (5), is used in the present study.
used by the authors of the that article, which is similar to Equation (5), is used in the present study.
The value of the initial electron generation rate due to surface emission, Nes0 , depends on the
polarity changes of the
cavity
voltage between
two
PD.
defined in Table 7, also
Table
7. Parameters
definition
forconsecutive
the simulation
of Parameters
the case study.
correspond to parameters required in the analytical model.
Parameter
Description
Value
ε mat
ε cav
σ mat
σ scav
Material relative permittivity
4.4
Cavity relative permittivity
1
Material conductivity
1 × 10−13 S·m−1
Cavity surface conductivity
1 × 10−12 S·m−1
Einc
Electric field strength magnitude for streamer inception
3.40 × 106 V·m−1
E ext
Electric field strength magnitude for streamer extinction
0.44 × 106 V·m−1
Polymers 2020, 12, 77
18 of 26
Table 7. Parameters definition for the simulation of the case study.
Parameter
Description
Value
εmat
εcav
σmat
σscav
Einc
Eext
Nes0
Nev
τdec
Material relative permittivity
Cavity relative permittivity
Material conductivity
Cavity surface conductivity
Electric field strength magnitude for streamer inception
Electric field strength magnitude for streamer extinction
Initial electron generation rate due to surface emission
Initial electron generation rate due to volume ionization
Charge decay time constant
4.4
1
1 × 10−13 S·m−1
1 × 10−12 S·m−1
3.40 × 106 V·m−1
0.44 × 106 V·m−1
10,000/5000 s−1
10 s−1
2 ms
Three-Capacitance Model Parameters Definition
Polymers 2020, 12, x FOR PEER REVIEW
18 of 25
In this study, a modified version of the equivalent circuit presented in [59] is implemented for
R0 7isshows
variation in the
the same
resistance
of the
streamerasdue
to conduction
heating.
normally
chosen much
considering
stochastic
approach
in the
analytical model.
Figure
the dielectric
bulk
Rc and
its value
toequivalent
control thecircuit
numerical
convergence.
greater
with
thethan
HV source
applied
(a),allows
and the
implemented
for PD simulating (b).
(a)
(b)
Figure 7.
7. Equivalent circuit for modelling PD considering the variable resistance of gap:
gap: (a) Epoxy
resin dielectric bulk with the measurement circuit; (b) three-capacitance equivalent circuit including
the variable resistance.
In
Figure
7, R1 and
C1 are, from
respectively,
series
impedance
coupling
capacitor in the
Using
the analogy
principle,
Equationthe
(17),
the apparent
PD and
charge
in the three-capacitance
measurement
circuit.
C
is
the
equivalent
capacitance
corresponding
to
C
+
C
,
R
a
1 PD
b represents
charge in the
the
model can be calculated1+asa q' = ΔU ⋅ Cb (C) , while from Equation (11) the apparent
conductivity of the bulk of dielectric material,
R
represents
the
surface
and
bulk
conduction
around
c
analytical model can be calculated as q' = ΔU ⋅ g (C) , where ΔU is the change in voltage through the
the cavity. Rstr (Uc , t, i) is the resistance of the PD streamer and is a function of voltage and current of
void due to a PD event. As can be seen g , is a constant that is equivalent to the capacitance of the dielectric
the streamer, Equation (19). Many mathematical functions, simulating the discharge behaviour in the
materialhave
in series
the void.
Onoptimum
the other representation
hand, the other proved
capacitances
the circuit
can be calculated
cavity,
beenwith
studied
and the
to be in
a decay
exponential
function
using
the
capacitance
definition
applicable
to
electric
circuits
given
by
Equation
(23)
[94].
as Equation (19) [95]. In addition, this expression allows considering the variation in the resistance of
the streamer due to conduction heating. R0 is normally
chosen much greater than Rc and its value
εE 2 dvol
allows to control the numerical convergence.
(23)
C = vol
Using the analogy principle, from Equation
(17),
2the apparent PD charge in the three-capacitance
U
model can be calculated as q0 = ∆U·Cb (C), while from Equation (11) the apparent PD charge in the
Tablemodel
8, shows
of q0
the=electric
circuit
for this
study.
), where
analytical
canthe
be parameters
calculated as
∆U·g (C
∆U is
the change in voltage through the
void due to a PD event. As can be seen g, is a constant that is equivalent to the capacitance of the
Table 8. Parameter definition for the three-capacitance model.
dielectric material in series
with the void. On the other hand, the other capacitances in the circuit can
be calculated Parameter
using the capacitance definitionDefinition
applicable to electric circuits givenValue
by Equation (23) [94].
R0
R of streamer
Initial resistance
1 × 1016 Ω
εE2 dvol

I0
0.01 nA
Rc
Critical current
for avalanche
vol
Equivalent resistance to conduction
around the cavity
U2
6.37 × 1011 Ω
Cc
Capacitance of the cavity
2.69 × 10−14 F
Rb
Series resistance of the insulation
1 × 1013 Ω
Cb
Series capacitance of the insulation
2.47 × 10−14 F
R1
Series resistance of measurement circuit
1 × 105 Ω
Capacitance of the homogenous part of the insulation
1.01 × 10−12 F
C
C=
(23)
Polymers 2020, 12, 77
19 of 26
Table 8, shows the parameters of the electric circuit for this study.
Table 8. Parameter definition for the three-capacitance model.
Parameter
Definition
Value
R0
I0
Rc
Cc
Rb
Cb
R1
Ca
Uinc
Uext
Initial resistance of streamer
Critical current for avalanche
Equivalent resistance to conduction around the cavity
Capacitance of the cavity
Series resistance of the insulation
Series capacitance of the insulation
Series resistance of measurement circuit
Capacitance of the homogenous part of the insulation
Cavity voltage magnitude for streamer inception
Cavity voltage magnitude for streamer extinction
1 × 1016 Ω
0.01 nA
6.37 × 1011 Ω
2.69 × 10−14 F
1 × 1013 Ω
2.47 × 10−14 F
1 × 105 Ω
1.01 × 10−12 F
3.740 kV
0.484 kV
A Matlab code was implemented for simulating each model. The differential equations for the
circuit in Figure 7, were solved using the Matlab function ode45, which allows the solution of nonstiff
differential equations using the medium order method.
5. Results and Discussion
The case study was simulated using the analytical and three-capacitance model for 500 periods of
the AC 50 Hz, 18 kV voltage wave. The time step when there is not feasibility of PD is defined as 4.0 ×
10−5 s, and during PD, as 1 ns. Simulation results are summarized in Table 9, in addition, measured
values for the same case study reported in [15] are presented in order to make comparisons.
Table 9. Simulation results summary and measured values for the case study.
Measured 1
Method/Variable
PD per cycle
Minimum PD magnitude, qmin (pC)
Maximum PD magnitude, qmax (pC)
Mean PD magnitude, qmean (pC)
6.5
80
373
101
1
Analytical
Three-Capacitance
Magnitude Error (%)
Magnitude Error (%)
6.490
80.302
321.650
104.100
0.154
0.378
13.767
3.069
6.134
81.318
296.980
101.610
5.631
1.648
20.381
0.604
Measured values reported in [15].
As can be seen from Table 9, the results obtained using the analytical model are in reasonable
agreement with measured ones, presenting the higher difference, 13.767%, for the maximum PD
magnitude. On the other hand, comparing with measured values, the three-capacitance model, presents
less accurate results, with the higher difference, 20.381%, for the maximum PD magnitude. As expected,
the three-capacitance model is less accurate than the analytical model. However, the calculated values
are of the same order when compared with measured values and allows an approximated quantitative
and qualitative indication of the phenomenon.
Simulations were made using eight processors (CPUs) Intel Xeon E5-2670. The simulation using
the analytical model took 270 s, while the three-capacitance model took 2780 s.
Figure 8 presents the q-ϕ-n diagrams for the case study using the analytical and the
three-capacitance models.
calculated values are of the same order when compared with measured values and allows an
approximated quantitative and qualitative indication of the phenomenon.
Simulations were made using eight processors (CPUs) Intel Xeon E5-2670. The simulation using
the analytical model took 270 s, while the three-capacitance model took 2780 s.
Figure
8 presents
the q-φ-n diagrams for the case study using the analytical and the 20
threePolymers
2020, 12,
77
of 26
capacitance models.
(a)
(b)
(c)
(d)
Figure 8. q-φ-n
q-φ-n diagram using the
q-ϕ-n diagrams
diagrams for
for the
the case study: (a)
(a) 2D
2D representation
representation of the q-ϕ-n
analytical model; (b)
(b) 3D representation of the q-ϕ-n
analytical
q-φ-n diagram using the analytical model; (c) 2D
representation of the q-ϕ-n diagram using the three capacitance model; (d) 3D representation of the
q-ϕ-n diagram using the three capacitance model.
The q-ϕ-n diagrams in Figure 8 exhibit a structure in good agreement with the measured one [15],
are composed by a horizontal bar distribution close to the minimum PD charge magnitude plus
a rabbit-ear like distribution where higher PD charge magnitudes occur. However, in Figure 8c,d,
it can be seen that the PD rate is different in comparison to the analytical model results, with a lower
concentration of PD on the horizontal bar. The rabbit-ear-like distribution is due to PD events after
changes in polarity of Ucav and the three-capacitance model is able to reproduce this behavior, however,
the charge decay and memory effects are not well modelled using fixed values resistances as Rc and Rb
in Figure 7. The resistance of the series insulation affects not only the PRPD pattern structure, also
affects the PD rate because it controls the magnitude of the applied voltage to the cavity, represented
by Cc in the equivalent circuit of Figure 7. On the other hand, the equivalent resistance to conduction
around the cavity, Rc , controls the charge decay effect on the void of surface. These two parameters are
very important for the good performance of the model, however sometimes are determined through
empirical procedures [83]. A good approximation may be using an adaptive fitting procedure for
adjusting the values taking in to account the measured PRPD pattern. Simulations were carried
out using a MATLAB application implemented by authors named PDSym1S developed for these
purposes [12].
6. Conclusions
A brief summary about epoxy resins characteristics, properties and applications as insulating
materials have been made. The theoretical background and state-of-the-art of analytical and
three-capacitance models are presented. The analytical and three-capacitance models were implemented
in a computer algorithm and a case study was simulated. Results of both models show good agreement
Polymers 2020, 12, 77
21 of 26
with experimental values. The three-capacitance model presents greater differences compared to
measured values.
The modified three-capacitance model implemented here allows considering the same stochastic
approach used in analytical and FEA models and the charge decay process due to conduction around
the cavity and through the dielectric bulk. On the other hand, the functional expressions for streamer
resistance permit considering the variation in the resistance of the streamer due to conduction heating.
However, the strong non-linearity included in the equivalent circuit by the streamer resistance generates
numerical difficulties and some variables, such as, the initial resistance of the streamer, R0 and the series
resistance of the insulation, Rb , must be adjusted to avoid numerical errors. In addition, the stiffness of
the problem makes it necessary to use an implicit time step method with minor steps, which makes the
simulations computationally demanding.
Although the three-capacitance model is not as accurate as the analytical one, it can be used
as a qualitative tool in teaching environments and as a complement of condition monitoring tools,
for example, in locating PD in power transformers using electrical measurements.
Extinction field magnitude as the PD stop criterion must be revised according to deductions
made by Callender [22]. Multhypisical analysis must be implemented under ageing conditions when
pressure in the cavity, which affects the stochastic model, is a complex function temperature and
applied voltage [96]. Simulation results at different ageing conditions must be correlated with patterns
used in diagnosis analysis. Future work must consider physical and chemical interactions on the void
surface through the cavity surface conductivity [97].
The curing process plays a fundamental role in the achievement of ideal epoxy resin characteristics.
Vitrification and gelation processes must be considered when modelling epoxy resins. Future work
must consider the PD behavior in epoxy resins under both conditions.
Author Contributions: The authors have contributed in different parts of the paper preparation, as follows,
conceptualization, methodology and analysis, J.M.R.-S. and R.A.-S. Software, J.M.R.-S. Writing-original draft
preparation, J.M.R.-S. Finally, writing-review and editing, R.A.-S.; M.D. and M.R. All authors have read and
agreed to the published version of the manuscript.
Funding: This research received no external funding.
Acknowledgments: The authors thankfully acknowledge the computer resources, technical expertise and
assistance provided by the Supercomputing and Visualization Center of Madrid (CeSViMa). The authors gratefully
acknowledge Fundación Carolina, Universidad de Antioquia-Electrical Engineering Department, Universidad
Politécnica de Madrid and Fondo Sapiencia-Alcaldía de Medellín.
Conflicts of Interest: The authors declare no conflict of interests.
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© 2020 by the authors. Licensee MDPI, Basel, Switzerland. This article is an open access
article distributed under the terms and conditions of the Creative Commons Attribution
(CC BY) license (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/).
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Año, páginas
DOI
Publicación de
acceso abierto
Keywords
Abstract
2
Finite-Element-Analysis Models for Numerical Simulation of Partial Discharges in
Spherical Cavities within Solid Dielectrics: A Review and a Novel Method
Johnatan M. Rodríguez-Serna, Ricardo Albarracín-Sánchez, Abdullahi A. Mas’ud
Universidad Politécnica de Madrid, Universidad de Antioquia (Colombia), Jubail
Industrial College (Arabia Saudí)
High Voltage
JCR: Q2, Scopus: Q1.
2397-7264
5 (5)
2020, 556-568
https://doi.org/10.1049/hve.2019.0392
Sí
X
No
partial discharges, finite-element analysis model, multiphysical models, epoxy
resin
During the last two decades, partial discharges (PDs) modelling methods have
been used as a complement of insulation diagnosis systems of electrical assets.
Finite-element-analysis models for simulating PDs in cavities within solid
dielectric materials are reviewed and a novel model is presented, which combines
the main advantages of electrostatic and electric current models. The theoretical
background is presented and some limitations and restrictions are discussed. A
case of study was implemented for three different aging conditions and simulation
results exhibit good agreement with reported values by other authors in the
literature. An analysis of variations of PD behaviour with aging as a function of
temperature and pressure is briefly presented. It is concluded that more research
is needed to include physical and chemical interactions on the void surface and
that the cavity surface conductivity plays a fundamental role in the PD simulations
at advanced aging conditions.
69
High Voltage
Review Article
Finite-element-analysis models for numerical
simulation of partial discharges in spherical
cavities within solid dielectrics: a review and
a novel method
eISSN 2397-7264
Received on 22nd December 2019
Revised 18th February 2020
Accepted on 17th March 2020
doi: 10.1049/hve.2019.0392
www.ietdl.org
Johnatan M. Rodríguez-Serna1,2 , Ricardo Albarracín-Sánchez1, Abdullahi A. Mas'ud3
1Department
of Electrical and Electronic Engineering, Automatic Control, and Applied Physics, School of Industrial Design and Engineering
(ETSIDI), Universidad Politécnica de Madrid (UPM), Ronda de Valencia 3, 28012, Madrid, Spain
2Department of Electrical Engineering, Universidad de Antioquia, Calle 67 No. 53–108, Medellín, Colombia
3Department of Electrical and Electronic Engineering Technology, Jubail Industrial College, 31961, Jubail, Saudi Arabia
E-mail: johnatan.rodriguez.serna@alumnos.upm.es
Abstract: During the last two decades, partial discharges (PDs) modelling methods have been used as a complement of
insulation diagnosis systems of electrical assets. Finite-element-analysis models for simulating PDs in cavities within solid
dielectric materials are reviewed and a novel model is presented, which combines the main advantages of electrostatic and
electric current models. The theoretical background is presented and some limitations and restrictions are discussed. A case of
study was implemented for three different ageing conditions and simulation results exhibit good agreement with reported values
by other authors in the literature. An analysis of variations of PD behaviour with ageing as a function of temperature and
pressure is briefly presented. It is concluded that more research is needed to include physical and chemical interactions on the
void surface and that the cavity surface conductivity plays a fundamental role in the PD simulations at advanced ageing
conditions.
1
Introduction
Solid dielectric materials are vital for the adequate functioning of
electrical equipment. They are used as insulating materials in
applications ranging from electrical and electronic wires to power
generators and high-voltage power transformers [1, 2]. Partial
discharges (PDs) in cavities play a significant role in the ageing
mechanisms of solid dielectrics due to ion bombardment,
molecules excitation, and changes in the temperature and pressure
inside the cavity, which produce local erosion and deteriorations
that lead to a final dielectric breakdown [3–6]. Internal PDs are one
of the main mechanisms for a dielectric breakdown of solid
dielectrics [7, 8] and the correct and accurate evaluation of the state
of insulation systems depends on their adequate characterisation
and analysis. PD modelling is a good alternative for understanding
complex relationships in the phenomenon occurrence, determining
the main parameters affecting the PD behaviour and analysing the
effect of variables such as the voltage magnitude and wave-shape,
room temperature, and cavity geometry. In addition, PD modelling
can be used as a complement to equipment diagnosis [9, 10].
During the last few years, some studies on PD modelling have
proposed models that can be categorised into
• Analytical [11].
• Three-capacitance or ‘abc’ [12].
• Finite-element-analysis (FEA) models [13].
In essence, all the aforementioned models use the same approach
for simulating the PD process, however, they differ in the way the
electric field strength generated by the electric charge on the void
surface after a PD occurrence is calculated.
In the analytical model, analytical solutions of the electric field
strength inside the void for defined geometries are used and the
real and induced PD charge is calculated using analytical
expressions [14]. It is considered that the electric field within the
cavity and surface charge distributions on the cavity surface is
uniform, which is unreal [15]. However, this model is accurate
enough because it is based on a field approach and exhibit good
agreement when compared with experimental studies for different
conditions of ageing and stresses [16, 17].
On the other hand, the three-capacitance model is less accurate
than the analytical because its applicability is based on unphysical
assumptions such as the equipotential void surface and the preexistence of electrons for starting an avalanche on the cavity
surface [13]. However, the three-capacitance approach is the most
used model due to its simplicity and ease of implementation in
general-purpose electric circuit simulation software. Variations in
the equivalent circuit have been implemented to consider the effect
of the surface charge distribution, in which some use an additional
capacitor [18], others use mathematical functions for controlling
the PD process externally and consider the effect of charge on the
void surface left by previous PD [19]. The three-capacitance
model, despite its simplicity, is difficult to solve numerically
because of the non-linearities related to PD phenomena [20]. The
induced and real PD charges are calculated as a function of
capacitances and currents in the equivalent circuit. On the other
hand, during the PD process, the transient current related to the
streamer must be equal to the displacement current in the dielectric
material in series with the void. This means that the charge
detected at the electrodes in the measurement circuit must be equal
to the internal PD charge, which is in contrast to the apparent
charge concept presented in the three-capacitance model [21].
FEA models permit the numerical calculation of the distribution
of electric field strength and the electric scalar potential in the
entire geometry, and there are no restrictions on the geometry or
uniformity of electric field distribution. In fact, non-linear or
anisotropic media could be considered. In addition, multi-stress
conditions, electrical, thermal, and mechanical, can be considered
to analyse the PD behaviour [22]. The real and induced PD charges
are calculated numerically on the cavity and electrodes boundaries
using boundary conditions and field solutions without the need to
use the electrostatic (ES) approximations or analytical expressions.
FEA models can be subdivided into two categories [23]
• Conductance or electric current (EC) models.
• ES or Poisson models.
High Volt.
This is an open access article published by the IET and CEPRI under the Creative Commons Attribution -NonCommercial License
(http://creativecommons.org/licenses/by-nc/3.0/)
1
ES models are physically more accurate than the EC models due to
the recombination of charge in the gas during the streamer current
propagation is likely to be a fairly rapid process [24].
Other kinds of FEA models that could be considered as
advanced, simulate the PD process in a detailed manner using the
drift-diffusion equations that describe the plasma dynamics of the
discharge [25]. In these models, physical processes such as impact
ionisation, attachment, recombination, diffusion, and drift of
charges are quantitatively defined by fluid equations. The solution
of plasma models allows considering a detailed chemical and
physical analysis of the discharge development of a single PD [26].
Different geometry, gas content, surface effect, and conditions can
be considered in the simulation process. However, plasma models
imply large computation consumption. For this reason, they are
impractical in ageing and multiple PD analysis where simulations
for thousands of power frequency AC cycles are required.
This paper is organised as follows. The theoretical background
and state-of-the-art PD FEA models are presented in Section 2. In
addition, a novel hybrid PD FEA model and heat transfer FEA
model are, respectively, presented in Sections 3 and 4. A case of
study and simulation results for three different ageing conditions
are presented in Section 5. Finally, some conclusions are depicted
in Section 6.
2
PD arise from local electric field enhancements inside the defects,
such as voids, in dielectric materials [27] and are modelled as
streamer discharges because they are self-sustained [28] and have
charge magnitude pulses that can be measured using standardised
and well-known techniques [29].
For the analysis presented in this section, it is assumed that
voids are spherical and immersed in a homogeneous solid material
of circular cylindrical shape between two parallel plates and a
high-voltage (HV) AC power frequency sinusoidal is applied to
electrodes. Finally, it is considered that the void is centred in the
cylinder to ensure a 2D axisymmetric configuration.
2.1 PD stochastic model
For a cavity engulfed in a solid dielectric material, there will be PD
if the two following necessary conditions are achieved [30]:
• The electric field strength magnitude inside the void is greater
than the critical value for starting an avalanche (streamer
inception).
• A first electron for starting the first avalanche is present
(electron generation rate).
The behaviour and variation of these conditions cause the
stochastic behaviour of PD phenomenon, determining
characteristics such as inception delay, phase occurrence, and the
number of PDs per cycle.
2.1.1 Streamer inception: The streamer inception can be
interpreted as a threshold value, which defines an electric field
strength magnitude greater enough to create and sustain an electron
avalanche. The electric field strength inception magnitude can be
calculated using the following expression [31]
B
2pa
0.5
(V m−1)
(1)
where E1 / p cr and B are parameters associated with the ionisation
process in gases and depend on each specific gas, e.g. in the air the
values are 24.2 V Pa−1 m−1 and 8.6 Pa1/2 m1/2, respectively. On the
other hand, p is the pressure in Pa and a is the radius of the void in
m. Although (1) was determined in a configuration different to a
gas-filled void surrounded by a solid dielectric, Callender [24]
found that it shows good agreement with plasma models simulation
results and experimental values.
2
Net(t) = CradΦrad ρ/ p 0 p
4 3
πa 1 − ν−1/0.5 s−1
3
(2)
where Crad and Φrad kg−1 s−1 are parameters related to the interaction
of gas with radiation, ρ/ p 0(kg m−3 Pa−1) is the pressure reduced
gas density, ν = Ucav(t)/Uinc, Ucav(t) (V) is the voltage across the
cavity centre and Uinc(V) is the inception voltage.
The electron generation rate owing to surface detrapping
follows the Richardson–Schottky law and can be written as:
Ndt(t) = Ndt0exp −
⋅ exp −
t − tPD
ν0
τ
Φdt − eEcav(t)/ 4πε0
kbT
(3)
s−1
where Φdt(eV) is the effective detrapping work function, kb (eV K
is the Boltzmann constant, e(C) is the elementary charge,
t − tPD(s) is the time elapsed between the new PD event and the
latest one, ν0(Hz) is the fundamental frequency of phonon and T is
the temperature in K. Ndt0 = ξ q/e and ξ is a proportional factor
that describes the fraction of charge carriers, which results in the
creation of detrappable electrons. It also depends on the polarity of
charges deployed on the surface and the electric field strength
polarity. Net + Ndt Δt is the probability that an electron is
generated in the time interval t, t + Δt .
Equations (2) and (3) depend on parameters that are unknown
for the majority of materials and experimental conditions. Other
authors, based on experimental measurement observations
proposed some variations. In [32], Forssén and Edin, considering
that the generation of free electrons in voids is mainly due to
surface emission, proposed the following distribution function for a
PD:
−1)
PD FEA models
Einc = E1 / p cr p 1 +
2.1.2 Electron generation rate: Volume and surface emissions
are the key mechanisms for the first electron generation rate [14].
Volume generation is associated with radiative gas ionisation and
field detachment of electrons from negative ions and its rate can be
obtained using (2) [27]
F(t) = 1 − exp −
∫
0
t
Ne(t′)dt′
(4)
where Ne(t) = Ne0exp Ucav(t)/Uinc s−1 , Ucav(V) is the voltage
over the cavity centre and Ne0 (s−1) is a constant depending on the
applied frequency.
Similarly, Illias et al. [33] defined the total electron generation
rate due to the surface emission at instant t as
Nest(t) = Ned0 Ucav(tPD)/Uinc exp − t − tPD /τtrap +Nei
exp Ucav(t)/Uinc s−1
(5)
where Nei (s−1) is a parameter corresponding to the charge
detrapping from material loose chain ends, Ned0 (s−1) is the
constant depending on the polarity of the electric field in the cavity,
Ucav tPD (V) is the cavity voltage at the time tPD(s) of the previous
PD event and τtrap(s) is the time constant for charge decay through
charge movement into deeper traps. The likelihood of a PD
occurrence in the interval
t, t + Δt
is calculated as
L t = Net + Ndt t Δt.
2.2 EC FEA model
In the EC FEA models, the dielectric breakdown of the gas within
the cavity is simulated by an increase of gas conductivity for
modelling a large number of charges along the discharge channel
during the discharge development. The streamer current increases
and the resultant electric field strength inside the void decreases
when the gas conductivity is increased, due to the charge
High Volt.
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Table 1 Summary of approaches used for simulating the
PD process in EC FEA models
References
Cavity conductivity, S m−1
kcav
[32]
= 1 × 10−4
kcav = kcavmax
[22, 33–35]
kcav = kcav0exp Ucav /Uinc + I /Icrit
[36]
kcav = kcavmax 1 − exp − Ucav /Uinc + I /Icrit
[37–39]
Fig. 1 Subdomain and boundaries definitions in the EC FEA model
deployment on the cavity surface. The gas conductivity is
gradually increased until the electric field strength inside the cavity
is below an extinction magnitude Eext and the PD process stops.
After that, the cavity conductivity is reset to its original value. The
basic equations that describe the physics in the EC FEA model are
∇ ⋅ D = ρ(C m−3)
∇⋅J = −
∂ρ
(A m−3)
∂t
(6)
(7)
Equation (6) is also known as Coulomb–Gauss law, D (C m−2) is
the electric displacement vector field and ρ (C m−3) is the free
volume charge density. Equation (7) is the current continuity
equation, where J (A m−2) is the free current density.
If it is considered that the media are linear, homogeneous, and
isotropic, (6) and (7) can be rewritten in the following form:
−3
∇ ⋅ εE = ρ(C m )
∇ ⋅ kE = −
∂ρ
(A m−3)
∂t
(8)
(9)
where E (V m−1) is the electric field strength, ɛ (F m−1) is the
permittivity and k (S m−1) is the electric conductivity of media.
In addition, using the quasi-static definition of the electric
scalar potential, E = − ∇U, and replacing (8) in (9), it gives
−∇ ⋅ k∇U − ∇ ⋅
∂
ε∇U = 0 (A m−3)
∂t
(10)
where U (V) is the electric scalar potential. Table 1 summarises
different approaches that have been used for modifying the cavity
conductivity in the EC FEA model.
In Table 1, kcav0(S m−1) is the initial conductivity in the streamer
channel, I (A) is the streamer current, the current along the cavity
during the PD event, and Icrit (A) is the critical current magnitude
for starting an avalanche. kcavmax in the second and fourth row of
Table 1 is a constant between 1 × 10−4 and 1 × 10−2 S m−1, its
magnitude depends on the maximum PD charge magnitude in
experimental references and allows to control the numerical
accuracy and convergence [36]. In [33], the following expression
was proposed for calculating the maximum cavity conductivity
during the PD event:
kcavmax = 0.85e2neλe / mece (S m−1)
(11)
Equation (11) allows calculating the conductivity of the streamer
channel using the electron conductivity in the plasma because the
conductivity due to ions is assumed to be negligible. e (C) is the
electric charge of the electron, me (kg) is the electron mass, λe (m)
is the electron mean-free path, ce (m s−1) is the electron thermal
velocity and ne (m−3) is the electron density.
A FEA software can be used for solving (10) and determine the
electric scalar potential in the model. Fig. 1 shows the subdomain
definitions in the EC FEA model: 1, the cavity subdomain; 2, the
cavity surface subdomain; and 3, the homogenous dielectric
material. The cavity surface is modelled as a thin layer for
simulating the surface charge decay through conduction along the
cavity wall.
In addition, the exterior boundaries are HV source at the upper
electrode, ground (0 V) at the lower electrode and electric
insulation at side boundaries interfaces. In all the interior
boundaries, the continuity condition is applied considering that
there are no surface currents and the quasi-stationary
approximation.
Equations (12)–(15) establish the boundary conditions for the
EC FEA model
U(t) = U0sin(2π × freq × t) Vat ∂3 ∩ HV electrode
(12)
U(t) = 0 V at ∂3 ∩ grounded electrode
(13)
in ⋅ J = 0 at ∂3 ∩ lateral exterior boundaries
(14)
in ⋅ Ji − Ji + 1 = 0 at ∂i ∩ ∂i + 1, for i = 1, 2
(15)
where in is the unit normal vector to boundary surface and ∂i ∩ ∂i+1
is the boundary between regions i and i + 1, for i = 1, 2.
The magnitudes of apparent and real charges are dynamically
calculated using time-domain integration operations. The real PD
charge magnitude can be calculated integrating the current IPD(t)
(A) flowing through the cavity centre, while the apparent PD
charge can be calculated integrating the current through the
grounded electrode, IGE(t) (A), as it is established by the following
expression:
qPD =
∫
t
t + ΔtPD
I t dt(C)
(16)
where ΔtPD(s) is the time elapsed during a PD event.
In this model, the electric field within the void and the charge
distribution on the void surface are assumed as uniform under the
consideration that a PD event affects the entire volume of the
cavity.
Different applications of this model are briefly summarised in
the following. In [32], it was presented a charge consistent EC FEA
model, which allows to dynamically simulate PD in a cylindrical
cavity in the 0.01–100 Hz frequency range. Variables such as the
PD magnitude, PD phase, PD rate, and PD distribution were
analysed with the varying applied frequency for different voltage
amplitudes, cavity sizes, and cavity locations. A discharge in the
cavity is simulated increasing the cavity conductivity (changing
from 0 to 1 × 10−4 S m−1) in a small cylinder, coaxial with the
cylindrical cavity. After a PD event, the cavity surface conductivity
is increased until the total amount of charge is below a critical
value, then the cavity surface conductivity is diminished to its
original value. Measured and simulated values are in good
agreement. It was found that in the 0.1–10 Hz frequency range, the
statistical time lag is proportional to frequency. On the other hand,
surface charge decay is reduced when the frequency is increased in
the frequency range of 0.1–100 Hz. A similar work was presented
by Chen and Baharudin [36], who made measurements and
simulations on a cylindrical cavity in polycarbonate material in the
same frequency range. They used a different stochastic model and
an improved computational procedure.
High Volt.
This is an open access article published by the IET and CEPRI under the Creative Commons Attribution -NonCommercial License
(http://creativecommons.org/licenses/by-nc/3.0/)
3
Using the EC FEA model, in [37], the electric field distribution
inside a spherical cavity was characterised as a function of two
frequency-dependent time constants that allow to modelling the
surface charge decay phenomenon: the cavity surface time
constant, which depends on the cavity surface conductivity and the
material time constant, which depends on the material conductivity.
It was found that at greater frequencies, the effect of time constants
is less significant and time lag is almost negligible.
In [40], the EC FEA model was applied for illustrating the PD
activity in spherical cavities of various sizes and at different
locations within the insulating material. It was found that the
phase-resolved partial discharge (PRPD) pattern depends on the
geometrical characteristics of the void and dielectric bulk because
it depends on the local electric field strength distribution. It was
found that the measured maximum discharge amplitude, the
surface charge density due to the PD on the cavity surface, the total
apparent charge, and the mean charge magnitude are larger in the
higher cavity diameter. On the other hand, the measured number of
PD per cycle is lower in larger spherical cavities due to their lower
extinction voltage and greater PD charge magnitude which indeed
affects their time lag. The PD charge magnitude appears to be
greater when the cavity is situated near to the electrode because the
electrode is producing more charges during the PD activity.
In [38], an EC FEA model was implemented for studying the
effect of the voltage amplitude on PD activity within a spherical
cavity inside solid insulating material. In this study, the φ–q–n
plots, the number of PDs per cycle, the total charge per cycle, the
mean charge magnitude, and maximum discharge magnitude were
obtained for different applied voltage amplitudes. In addition, the
temperature in the cavity was also simulated. It was found that the
initial electron generation rate, the detrappable electron effective
lifetime, the cavity surface conductivity, the inception and
extinction voltages, and the temperature decay time constant are
the critical parameters that affect the PD behaviour as a function of
the applied voltage magnitude. In addition, when the applied
voltage magnitude increases, the electron generation rate increases
and the effects on PD activity due to the surface charge decay and
temperature changes are more significant. Surface charge decay
through conduction along the cavity surface controls the ‘rabbitear’-like structure in the φ–q–n plots because the maximum PD
magnitude depends on the surface charge density at the PD instant.
In [41], the EC FEA model was used for studying the influence
of cavity diameter on local electric field distribution and PD
activity. Experimental measurements in epoxy samples with single
cavities of different diameters were made and it was found that
when the cavity diameter is larger than 1 mm, the magnitude of the
electric field strength at the centre of the cavity decreases when the
cavity diameter increases and its value is different to calculate
using the theoretical enhancement factor [14].
In [33], the EC FEA model was used to study the behaviour of
PD within spherical cavities as a function of frequency and
amplitude of the applied voltage. It was concluded that when the
applied frequency increases, the number of PDs per cycle increases
due to a higher electron generation rate. When the amplitude of the
applied voltage increases, the number of PDs per cycle increases
because the electron generation rate increases. In addition, it was
found that greater applied voltage magnitudes cause an increased
charge decay rate.
In [34], a 3D EC FEA model of two spherical voids in dielectric
material was presented. The spherical voids were arranged
vertically and horizontally to each other with respect to the applied
electric field orientation. The distance between the two voids and
their sizes were varied to observe the electric field behaviour inside
the voids under the different conditions. It was found that when the
voids are close to each other in the vertical arrangement, the
electric field in each void is not uniform before a PD occurrence,
however, when the two voids are positioned far from each other,
the PD behaviour is similar to be observed for a single void. It was
also found that the inception field is hardly dependent on the void
size. From simulations, it was concluded that the maximum electric
field magnitude is lower but the inception voltage is higher for the
vertically-arranged voids than horizontally-arranged voids.
4
In [22], an EC FEA model is applied for studying the PD
behaviour under different material temperatures. Comparisons
among simulation results and measurements were made for
different temperatures and it was found that when the temperature
of the material is raised from 20° C to 65° C the measured number
of PDs per cycle increases due to a greater electron generation rate.
On the other hand, charge decay, through surface conduction,
increases with material temperature because of faster charge
movement in the cavity. It was concluded that the inclusion of
temperature in the model slightly improves their accuracy because
the average increment in the cavity temperature due to PD activity
is <10° C.
In [42], an EC FEA model was used for simulating PD within
spherical voids inside solid dielectrics under AC sinusoidal,
damped AC, and impulse voltages. Under damped AC sinusoidal
voltage, it was found that the φ–q–n plots are similar to under AC
sinusoidal signal. However, the ‘curvy’ shape in the PRPD is less
evident and the maximum PD charge magnitude decreases when
the charge decay time constant is higher. For studying the PD
behaviour under impulsive voltages, a wave shape with 300 kV
peak, 50 µs tail time, and variable front time was used. It was
found that when the front time of the impulse voltage increases, the
number of PDs per cycle increases.
In [35], an EC FEA model was used for determining the
relationship of statistical time lag with applied voltage magnitude,
frequency, and material temperature. A comparison between
measured and simulated data was used for analysing the statistical
time lag, defined as the time interval between the field in the void
exceeding the inception field and the occurrence of a PD. It was
found that when the applied voltage amplitude, frequency, and
material temperature increases, the statistical time lag is reduced.
In [43], an EC FEA model was implemented for PD simulations
under DC conditions and was applied for a case of study in a HV
DC XLPE cable. Surface charge decay due to charge
recombination by charge propagation on the cavity wall was
neglected because, at DC voltage, the electric field due to the
surface charge is always against the applied electric field, there is
no polarity change. The PD rate under DC conditions is much
lower than under AC conditions due to the only variation in time of
electric field inside the cavity depends on the change of the
residual electric field generated by the charge distribution on the
cavity surface.
2.3 ES FEA model
In the ES FEA model, it is considered that for a PD event, charges
from one part of the surface spread diametrically across the cavity
along the symmetry axis and reach the opposite part of the surface.
Once the opposite side of the cavity wall is reached, the charges
propagate on the cavity surface. In this way, the PD development
process is modelled as a gradual increase in the surface charge
density at the cavity wall, σs (C m−2). The explicit presence of
scalar sources of electric fields requires the solution of the
Coulomb–Gauss law (6). If it is considered that the media are
linear, homogeneous, and isotropic and the electric field changes
slowly in time, (6) can be rewritten as
ρ
∇2U = − (V m−2)
ε
(17)
Equation (17) is known as Poisson's equation and describes the
physics related to ES problems.
A FEA software can be used for solving (17) and calculating
the electric scalar potential distribution in the entire domain as well
as the electric field using the electric scalar potential definition. For
simulating the PD event, the specification of the surface charge
density as a function of spatial coordinates at each time step is
required. Fig. 2 shows the subdomains and boundaries definitions
of the ES FEA model: 1 is the cavity subdomain and 2 is the solid
homogenous dielectric material subdomain.
In comparison with the geometry shown in Fig. 1, in the ES
FEA model, the cavity surface subdomain is not necessary. The
exterior and interior boundary conditions of the model are
High Volt.
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U(t) = U0sin(2π × freq × t) V at ∂2 ∩ HV electrode
(18)
U(t) = 0 V at ∂2 ∩ grounded electrode
(19)
in ⋅ D1 − D2 = σ at ∂1 ∩ ∂2
(20)
in × E1 − E2 = 0 at ∂1 ∩ ∂2
(21)
It is considered that electric charges are only present at the void
surface. When a PD happens, the surface charge density is
increased from the distribution remaining from the preceding PD
using the superposition principle.
Table 2 summarises different approaches used for modelling the
surface charge density increasing due to a PD event. In approaches
of the first and second rows of Table 2, the cavity surface is
subdivided into a finite number of segments in which a surface
charge density, calculated using the corresponding expressions, is
discretely added. On the other hand, the approach in the third row
uses a continuous surface charge distribution.
In addition to approaches listed in Table 2, in [44], an approach
was proposed in which point charges are added to the end of
segments on the void surface. The magnitude of charge density has
to be controlled to satisfy the extinction criterion [27].
In the ES FEA model, no currents are involved, therefore real
and apparent charges have to be determined as a function of charge
density at boundaries. The induced charge can be calculated as the
integration in the space domain of the change of charge density on
the HV electrode, σse (C m−2), after the time elapsed during the PD
event, ΔtPD (s), using the following expression:
q′ =
∫
Se
σse(t) − σse(t − ΔtPD) dSe C
(22)
where Se (m2) is the surface of the HV electrode. The magnitude of
the real PD charge is calculated as the summation of the total
charge left by the PD event on the cavity surface Sc (m2) using (23)
q=
∫ σ dSc(C)
Sc
s
(23)
This model is more accurate than the EC model, however,
phenomena such as charge movement speed along the cavity wall
and the spatial distribution need more research [13].
Different applications of this model are briefly summarised in
the following. In [44], an ES FEA model for simulating PDs was
proposed considering the PD propagation along the streamer
channel and in the perimeter segments around the PD paths. The
model allows considering the changes on the PD behaviour due to
ageing in terms of surface conductivity and electric field strength
magnitudes. The electric field inside the cavity was dynamically
calculated by varying the surface charge distribution. The PD
propagation was obtained by the instantaneous electric field
distribution. The model allows considering the effects of charge
distribution on the void surface left by the previous PD on the
variations of PD discharge area and PD magnitude under AC
voltage. In [49], the previously described model was applied for
studying the PD characteristics under 200 Hz, AC sinusoidal, and
AC square voltages at different ageing conditions in five samples
of a cylindrical void inside polyethylene (PE). It was concluded
that surface conductivity and the discharge area might contribute to
the PD occurrence after the voltage rise time. However, both of
them cannot describe the PD transition for the different stages of
ageing considered.
In [45], an ES FEA model for simulating PD in spherical
cavities within homogeneous dielectric material was developed.
The influence of the cavity surface charge distribution on the PD
behaviour was analysed. The surface of the cavity was discretised
into a finite number of sections where the cavity surface charge
distribution is determined by charge propagation on each section
during a PD event and charge movement along the cavity wall
under the influence of the electric field depending on the polarity
Fig. 2 Subdomain and boundaries definitions in the ES FEA model
Table 2 Summary of approaches used for simulating the
PD process in ES FEA models
References
Surface charge density, C m−2
σs = σs0 1 +
Ecav(tn) − Eext
Einc − Eext
σs =1 × 10−4, C m−2
σs a, θ, ϕ =
−
αPD
…
1 + exp ηPD dv+ a, θ, ϕ − λPD
[45]
[46–48]
[24]
αPD
1 + exp ηPD dv− a, θ, ϕ − λPD
of resultant electric field strength. The upper and lower cavity
surfaces were divided into ten equal regions, each of equal area to
the others, for ensuring that the charge density and the amount of
charge propagation on each surface region are identical. The real
charge magnitude due to a PD event was calculated using the
electric field change as in the analytical approach [31]. It was
found that the surface conductivity increases with the applied field
and cavity size.
In [46], the ES FEA model was used for studying the PD
behaviour in a cylindrical cavity immersed in PE under square
waveform voltage at different magnitudes, 3.5–6 kV. The critical
charge-propagation field concept was introduced in this study to
consider the effective charge propagation along large void surfaces.
A comparison between measured and simulated results allowed
concluding that the most important parameters influencing the PD
behaviour under square waveform voltage are the inception,
extinction, and critical charge propagation field magnitudes and the
electron generation rate. The maximum charge magnitude in the
simulation model was reproduced just modifying the value of the
surface work function in the stochastic model. Experimental and
simulated results showed good agreement.
In [47], an ES FEA model was used for studying the PD
behaviour in a rectangular void within PE insulation under impulse
voltage. The void surface was divided into nine regions having the
same area to model discharge occurrences within a certain portion
of the void surface, and not, as it is usual, along the symmetry axis.
Different analyses at variable peak magnitude and front and tail
times were made. It was found that when the front and tail times
are greater, the number of PDs during the voltage rise time and the
fall time increases for each case. In addition, the total charge
magnitude per ms increases when the front and tail time increase
and the maximum PD charge magnitude remains almost constant
because it is mainly dependent on the voltage peak amplitude.
In [48], a 3D ES FEA model was used for studying the PD
phenomena in a cylindrical cavity in a geometrical structure similar
to found in power cables. The model consisted of a cylindrical
section of cable; the inner conductor of 6 mm diameter is the HV
electrode while the outer conductor of 25 mm diameter is grounded
for simulating the screen. It was observed that the PD rate and the
peak PD charge magnitude increases if the applied voltage
increases. A similar behaviour was found for the cavity diameter.
In [24], the authors presented a general improved method for
PD modelling in which some assumptions and considerations of
High Volt.
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5
analytical, EC, and ES models were discussed and some
improvements and corrections were implemented. This model is
ES in essence but contrary to previous ES models, the surface
charge is not a discrete distribution that leads to an infinite electric
field at the boundary of the surface charge distribution or rather
clearly unphysical. Taking into account that the experimental
evidence proposes that the charge distribution from a PD is bipolar,
the distribution of surface charge in PD is described by two logistic
functions of equal magnitude and opposite polarity, see the last row
in Table 2. Simulated results have been shown to be in agreement
with the measured results. Great applicability of this model is
shown in which the free parameters required for the modelling
process are reduced in comparison with conventional EC FEA
models. In addition, the author presented a discussion on the main
considerations and assumptions made on the analytical and FEA
models and concluded that the electric field extinction magnitude
concept as the parameter controlling the PD process ending must
be reviewed.
2.4 Surface charge decay
The charges left on the surface of the cavity due to the previous PD
may decay in time through recombination, diffusion, and
conduction. Under AC voltage, recombination is the dominant
process [43]. In analytical-based models [27], the surface charge
decay rate is usually modelled as an exponential decay function,
exp(−t/τins), where t (s) is the time elapsed since the last PD and
τins (s) is the material time constant that depends on the void
surface conductivity. In EC FEA models, taking into account that is
an electric current-based model, the surface charge decay is
modelled increasing the cavity surface conductivity to greater
value for simulating the charge movement due to surface
conduction along the void surface [33].
On the other hand, in ES FEA models, the cavity surface charge
distribution is defined by charge propagation on the void surface
during PD activity and charge movement along the void wall under
the influence of electric field within the cavity [45], the surface
charge decay on each void surface area is obtained using the
following expression:
Δqs = − ksΔt
∫ E dS(C)
S
st
(24)
where Est (V m−1) is the tangential field along the cavity wall of
surface dS (m−2). Δqs (C) is obtained from a cavity surface region
and is added to the contiguous surface zone, depending on the
charge movement direction on the void wall.
In the approach presented by Callender [24], the surface charge
decay is simulated using the following exponential expression:
σs(t) = σs(tPD)exp −
t − tPD
(C m−2)
τσ
(25)
where σs tPD (C m−2) is the initial charge density on the void
surface immediately after a PD event and τσ(s) is a time decay
constant.
3
Hybrid PD FEA model
FEA models allow to dynamically calculate the electric field
distribution, the PD charge magnitude, and electrical currents in
measurement circuits without the same physical and geometrical
restrictions as analytical or three capacitance models.
The EC FEA models, despite their good agreement with
experimental results, are not physically realistic because the
electric field in the whole cavity volume is not influenced by a
single PD event [46]. In addition, it is considered that the electric
field distribution in the cavity is uniform as well as the surface
charge distribution [45], which affects the PD rate and PD charge
magnitude [37].
On the other hand, the ES FEA models appear to be more
accurate than the EC models because the recombination of charge
6
Table 3 Summary of the main characteristics of the EC and
ES FEA models
Model
Advantages
Disadvantages
EC
ES
the PD event can be easily the minimum value of cavity
simulated changing the
conductivity must be controlled
cavity conductivity in time to avoid numerical convergence
problems
during the PD event, the
a subdomain at the cavity
current pulse through the surface is required to calculate
cavity and electrodes can
the surface charge dynamics
be calculated using
boundary variables
the surface charge decay
it is assumed that the whole
due to conduction can be
cavity is affected by the PD
easily modelled increasing
event
the cavity surface
conductivity
the PD event is not
the current pulse through the
modelled through abrupt cavity cannot be calculated from
changes in parameters of
the FEA model
media
conductivity of media is not the surface charge dynamics are
required, which reduces the difficult to represent and if the
number of parameters of
surface is divided into a finite
the model in comparison number of segments, unphysical
with the EC model
field magnitudes will appear
a subdomain for modelling if the surface charge distribution
the cavity surface is not is represented as in the present
required
work, the number of partial
differential equations increases,
which is computationally
expensive
in the gas during the PD event is likely to be a fairly rapid process
[24]. In addition, the electric field within the void is determined by
the surface charge distribution and a subdomain to model the
surface charge decay due to conduction is not needed. However,
charge movement due to conduction along the cavity surface is
difficult to determine because it is necessary to estimate the
propagation characteristics, speed and distance, of charges on the
cavity surface once they have reached the cavity wall during the
PD event [13]. For solving this, discrete distributions for the
surface charge density have been implemented [47, 48]; however,
this produces unphysical electric fields of infinite magnitude at the
boundary of surface sections that simulate the surface charge
distribution. Table 3 summarises the main advantages and
disadvantages of the EC and ES FEA models.
In this study, a novel approach for PD modelling using FEA
models is proposed, which combines the main advantages and
strengths of the EC and ES models and the main difficulties related
to discrete surface charge density are overcome. The proposed
approach is hybrid and could be implemented as ES pure as will be
described below. The charge propagation during the PD event is
neglected taking into account the short time duration of the PD
event [50] compared to the time constant of the surface charge
decay process [15]. However, the surface charge dynamics after the
PD events is precisely modelled using a theoretical approach as it
is detailed below.
3.1 Dynamics of surface charge density
After PD event charges are deposited on the void surface, they
produce an electric field that opposes the externally applied field.
As the physical materials exhibit finite magnitude parameters, the
cavity wall shows a finite surface conductivity and the surface
charges will become counteracted in time by surface currents on
the void surface. This behaviour will lead to a time-dependent
electric field produced by surface charges. However, as it will be
shown below, the theoretical time variation of the surface charge
density after a PD event permit considering the dynamics of
High Volt.
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where u1 (V) and u2 (V) are the potential distributions as a function
of space variables at time zero, Θ 0 = 1. Θ t is a function that
relates the time variation of potential distribution and depends on
the HV source applied.
Using the definition, E = − ∇U, replacing (27)–(30) in (26)
and using the boundary condition (20), the electric scalar potential
distribution in space and time can be found through the following
expression:
ks ∂ 2 ∂u1 a, θ, ϕ
r
Θ(t)
∂r
r2 ∂r
∂u a, θ, ϕ
∂u a, θ, ϕ dΘ(t)
+ ε2 2
− ε1 1
= 0 (C m−2)
∂r
∂r
dt
(31)
The terms within brackets in (31) are time-independent and u1(V)
and u2 (V) are solutions of Laplace's equation in each medium for
the surface charge density at the instant immediately after a PD
+
(s).
event, t = tPD
The scalar potential distribution in space and time is determined
as follows: first, the spatial solutions ui are calculated using the
Laplace's equation in each medium and second, the solutions in
time are calculated using the following time functions [52]:
Θ(t) = exp( − ζt)
(32)
ks ∂ 2
r ((∂u1(a, θ, ϕ))/∂r)
r2 ∂r
ζ=
(s−1)
ε2((∂u2(a, θ, ϕ))/∂r) − ε1((∂u1(a, θ, ϕ))/∂r)
(33)
Replacing (32) in (29) and (30) gives
Fig. 3 Hybrid FEA model flowchart
surface charge decay as quasi-stationary and the simulation model
as eminently ES. On the cavity surface, the continuity equation is
∂σs
= 0(A m−3)
∇Σ ⋅ Js +
∂t
(26)
where Js(A m−2) is the surface current density and ∇Σ ⋅ Js is the bidimensional divergence of Js.
If the media is linear, homogeneous, and isotropic, the
following constitutive relationship can be used between the
tangential component of the electric field strength, Et(V m−1), and
the surface current density
Js = ks Et(A m−2)
(27)
If a spherical coordinate system centred in the origin of the cavity
is considered, the tangential component of the electric field
strength on the spherical boundary surface can be obtained by the
following expression [51]:
Et = ir × Ei × ir (V m−1)
(28)
where ir is the unit vector on the radial direction and Ei(V m−1) is
the electric field strength on the boundary interface, for i = 2, the
cavity and i = 1, the homogeneous material. On the other hand,
using the variables separation approach [51], the scalar potentials
on the void surface are defined as follows:
U1(a, θ, ϕ, t) = u1(a, θ, ϕ)Θ(t) (V)
(29)
U2(a, θ, ϕ, t) = u2(a, θ, ϕ)Θ(t) (V)
(30)
U1 = u1exp( − ζt) V
(34)
U2 = u2exp( − ζt) V
(35)
The surface charge density on the boundary surface for any instant
of time can be determined from (20) using the following
expression:
σs a, θ, ϕ, t = ε2
∂U2
∂U
− ε1 1 (C m−2)
∂r
∂r
(36)
3.2 Hybrid FEA model implementation
Two modules compose the hybrid FEA model. First, an ES module
in which the electric scalar potential distribution and electric field
are determined by solving (17). Second, an electric current (EC)
module implemented for modelling the PD events in which the
electric field and electric scalar potential distribution are
determined solving (10) in the whole domain. The ES module is
used for determining the electric field and electric scalar potential
distribution before and after the PD occurrence while the EC
module is used during the PD event. A flowchart that describes the
hybrid FEA model is presented in Fig. 3.
The model was implemented in COMSOL and MATLAB.
COMSOL is used for solving the partial differential equations that
allow calculating the electric field distribution and electric scalar
potential, and a MATLAB code is used for controlling the PD
process, evaluate the conditions in the stochastic model and modify
the parameters of media along the simulation time.
When simulation starts, the parameters of media have to be
defined. The required parameters for each FEA module are listed in
Table 4. In addition, geometrical parameters such as cavity radius
and dielectric bulk thickness and radius, are required. Finally, the
parameters related to the kind of HV applied source are required.
In this study, an AC 50 Hz, 19.25 kV sinusoidal source is
considered, however, other kinds of sources, such as squared or
impulse, could be used. The simulation procedure can be described
as follows:
(i) Before a PD event, the electric field strength magnitude is lower
than the inception value, the model is under static conditions and
High Volt.
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7
Table 4 Parameter definition of the EC and ES FEA models
Parameter
Description
EC ES
k
ks
ɛ
σs0
kcPD
conductivity of media (material and void), S m−1 X —
X X
cavity surface conductivity, S m−1
permittivity of media, F m−1
X
X
initial surface charge density during a PD event, — X
C m−2
X —
void conductivity during a PD event, S m−1
Fig. 4 Surface charge density distribution as a function of time ɛrm = 4, ks
= 1 × 10−18 S/m, q = 800 pc and a = 1.25 mm
the electric field inside the cavity is only generated by the applied
external field. The electric scalar potential and electric field
distributions can be determined using the ES module.
(ii) When the inception criterion is fulfilled, the stochastic model is
simulated using (1)–(3) for determining if a PD event will occur
during the next time step.
(iii) If inception and electron-generation-rate criteria are achieved,
the time step is reduced and the EC module, (10) and (12) to (15),
is used for determining the electric field and electric scalar
potential distribution in the whole domain. Then the EC module is
used until the electric field strength magnitude in the centre of
cavity is below the extinction value. During the PD process, it is
considered that there is no electric charge propagation on the void
surface.
(iv) When the extinction criterion is met, the PD process ends, the
time step is increased to the initial value and real charge is
calculated as the integration of current through the centre of the
cavity, IPD (A), during the time elapsed by the PD event, ΔtPD (s),
using the following expression:
q(tPD + ΔtPD) =
∫
tPD + ΔtPD
tPD
IPDdt C
(37)
The PD apparent charge magnitude is determined as the integration
of current through the grounded electrode, IGE (A), during the PD
event using (38)
q′(tPD + ΔtPD) =
∫
tPD + ΔtPD
tPD
IGEdt C
(38)
(v) After a PD event, the surface charge distribution for each time
step is calculated using (36). With the surface charge density
calculated previously, the electric scalar potential and electric field
strength distributions are calculated solving the Poisson's equation
using the ES module and boundary conditions (18)–(21).
8
For the specific case of a spherical cavity (36) can be analytically
expressed as [15]
∞
σs a, θ, ϕ, t = 2σ0 ∑
n=0
4n + 3 P2n + 1 cos θ
t − tPD
2n + 1 2n + 2
⋅ exp −
2n + 2 εrm + 2n + 1
τ
(39)
−2
(C m )
where σ0 = q/4πa2(C m−2), t − tPD (s) is the time elapsed from the
last PD event, Pn cos θ is a Legendre polynomial of order n and
εrm is the relative permittivity of the solid homogeneous dielectric
bulk.
The solution presented in (39) assumes that when the charges
arrive at the void wall can be determined equivalently as a pointcharge configuration using the superposition principle.
Fig. 4 shows the behaviour of surface charge density
distribution on the surface of a spherical cavity as a function of
time for a spherical cavity immersed in a dielectric with εrm = 4
calculated from (39).
In Fig. 4, τ = ε0a/ks (s), a (m) is the cavity radius and ks (S m−1)
is the conductivity of the cavity surface. As can be seen, the charge
density is symmetrically distributed on the cavity surface around
the axis of symmetry and has a time constant that is mainly
dependent on the relative permittivity. The time dynamics of
surface charge decay due to conduction on the void surface is
significantly slow, for the case in Fig. 4, τ = 1.107 × 104 s, which
allows considering that during the PD process, there is no charge
propagation on the cavity surface.
Taking into account the aforementioned information, it is also
reasonable to establish a time step of 5 × 10−5 s for the simulation
before and after the PD events to consider the time variations due
to the AC power frequency signal and reduce the computational
time. The time between consecutive PD events depends on the
magnitude and frequency of applied voltage, the stochastic model
and the surface charge decay time constant. On the other hand, the
time step is reduced to 1 × 10−9 s during the PD development
process whose duration is variable, depending on the extinction
criterion fulfilment and is in the range of tens of ns [24].
As was previously stated, the PD process can also be modelled
only using the ES module. In the novel pure ES approach, the PD
process can be simulated using the ES module under the following
approach:
(i) When the necessary conditions for a PD are achieved, the time
step is reduced and a small magnitude of initial charge density is
added to the void surface, σ0 (C m−2).
(ii) From σ0 (C m−2), the surface charge distribution is determined
using (39) and the electric scalar potential and electric field
distributions are calculated solving the Poisson's equation and the
boundary conditions (18)–(21).
(iii) More charge is discretely added on the void surface until the
extinction criterion is achieved. The principle of superposition and
charge conservation is applied and the calculation process
described in the previous step (ii) is used.
(iv) When the PD process ends, the real PD charge is calculated as
the surface integration of charge density on the void surface at the
end of the PD process
q=
∫
Sc
σs(a, θ, ϕ, tPD + ΔtPD) − σs(a, θ, ϕ, tPD) dS (C)
(40)
where tPD + ΔtPD is the time elapsed during the PD event. The
induced charge is calculated using (40) but replacing the surface
charge density on the grounded electrode.
(v) After a PD event, the time step is increased and the surface
charge density is calculated for each time step using (39). The
electric scalar potential and electric field distributions are
calculated solving the Poisson's equation and boundary conditions
(18)–(21).
High Volt.
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where Jcent(A m−2) and Ecent(V m−1) are, respectively, the current
density and electric field strength at the centre of the cavity during
the PD event.
The heat source density within the homogeneous material is
maintained as zero during all the simulation, Qmat = Q2 = 0.
Equation (43) defines the boundary conditions through (46)
Fig. 5 Subdomain and boundaries definitions in the thermal flow FEA
model
Table 5 Parameters of media for the case of study, taken
from [27, 39]
Parameter
Description
Value
ɛrm
relative permittivity of dielectric
material
relative permittivity of the cavity
1
cavity surface conductivity
1 × 10−18 S m−1
kmat
material conductivity
1 × 10−18 S m−1
kcav
cavity conductivity during PD
5 × 10−3 S m−1
material heat capacity
1179 J kg−1 K−1
Cpcav
air heat capacity
1005 J kg−1 K−1
kTmat
material thermal conductivity
0.35 W m−1 K−1
ɛrcav
ks
Cpmat
4
kTair
air thermal conductivity
0.0257 W m−1 K−1
ρmat
material volume density
561 kg m−3
ρair
air volume density
1.205 kg m−3
The main advantages of the above approach are that surface charge
dynamics, in space and time, are considered just through a unique
equation and the surface charge distribution is a continuous
function that avoids the appearance of unphysical infinite
magnitude electric fields.
4
Heat transfer and pressure model
During a PD event, the energy in the dielectric system varies
suddenly and could be considered under quasi-stationary
conditions, without changes in ionisation, polarisation, and
magnetisation of media that the change in the energy stored in the
electric field is transformed into other forms of energy, neglecting
the radiated component. It is considered that the electric energy is
converted into heat that is transferred to the cavity and
homogeneous material through heat conduction. The partial
differential equation for simulating the heat transfer is [39]
ρmCp
∂T
− ∇ ⋅ kT∇T = Q (W m−3)
∂t
(41)
where T (K) is the temperature, ρm (kg m−3) is the density of
media, Cp (J kg−1 K−1) is the heat capacity of media and kT (W m
−1 K−1) is the thermal conductivity of media. Q (W m−3) is the heat
source density.
Equation (41) can be solved using FEA in COMSOL. Fig. 5
shows the boundaries and subdomain definition for the thermal
flow analysis model.
The heat source density within the cavity is calculated as in [53]
Qcav = Q1 = Jcent ⋅ Ecent (W m−3)
(42)
iz ⋅ k∇T = 0 at ∂2 ∩ HV electrode
(43)
−iz ⋅ k∇T = 0 at ∂2 ∩ grounded electrode
(44)
ir ⋅ k∇T = 0at ∂2 ∩ exterior boundaries
(45)
ir ⋅ k1∇T 1 − k2∇T 2 = 0 at all interior boundaries
(46)
Boundary condition (46) is not necessary if COMSOL is used as
the FEA solver because it previously converts the partial
differential equations into the weak form.
If it is considered that the cavity volume does not change during
each PD event, according to the ideal gas law, changes in
temperature produce changes in pressure and vice-versa. The
pressure in the cavity after a PD event can be calculated using (47)
PtPD + ΔtPD =
T tPD + ΔtPD
PtPD Pa
T tPD
(47)
where PtPD and PtPD + ΔtPD, are, respectively, the pressure in the void
before and after the PD episode.
5
Case of study
A case of study was simulated using the hybrid FEA model and the
results are compared with measured values reported by other
authors in the literature, to analyse their performance and
capabilities. The geometry of the case of study corresponds to a
linear, homogenous, and isotropic dielectric bulk of epoxy resin of
3.5 mm thickness in the middle of two parallel plates. A spherical
void, filled with air, of 2.5 mm diameter is included in the centre of
the geometrical shaping. A 19.25 kV, 50 Hz sinusoidal voltage
source is feeding the upper electrode while the lower is grounded.
This same configuration was used by Gutfleish and Niemeyer [27]
for simulating the PD behaviour under different ageing conditions.
Table 5 summarises the parameters of media.
Simulations using the novel hybrid model were implemented at
three different ageing phases as follows:
(i) Phase A corresponding to the first period of the ageing process
with time duration in the order of 10 min.
(ii) Phase B is the period when the PD charge magnitude tends to
increase and the maximum PD charge magnitude appears. It has
time duration in the range 20–50 h.
(iii) Phase C is an intermediate period between the phenomenon
starting and the final breakdown, it is characterised by low
magnitude discharges at a very high rate.
This case of study was simulated during ten periods of the applied
50 Hz HV source at ageing phase A, while for phases B and C,
during 20 periods. Table 6 exhibits the simulation results for PD
charge magnitude and PD rate for the three considered ageing
phases. Table 7 summarises the parameters of the stochastic model
and initial pressure and temperature for each ageing phase
considered.
In the implemented model, contrary to the implementation
made by Gutfleisch and Niemeyer [27], the electron generation
rate, (2) and (3); the inception electric field strength magnitude, (1)
and the extinction electric field strength magnitude, calculated as
Eext = γ E/ p cr p, are dynamically calculated as a function of
pressure and temperature for each instant of time.
Fig. 6 shows the results of the PRPD pattern at the three
considered ageing phases.
At ageing phase A, the PRPD pattern exhibits a horizontal bar
structure with the PD charge magnitudes very close between them
High Volt.
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9
Table 6 Simulation results for PD charge and PD rate at
the three considered ageing phases
Variable
Phase A
Phase B
Phase C
qmin, pC
825.22
838.87
qmean, pC
921.10
927.38
167.71
206.80
qmax, pC
991.69
1321.60
271.70
Einc, kV mm−1
2.63
2.63
0.47
Eext, kV mm−1
0.55
0.55
0.05
PD/cycle simulated
PD/cycle measured
error, %
12.10
13
6.92
11.47
11.6
1.12
66.50
94
29.26
Table 7 Parameters of the stochastic model for the case of
study taken from [27]
Parameter
Description
Phase A Phase B Phase C
T0
p0
B
ε0
E/ p
cr
initial temperature of the
300
gas inside the cavity, K
initial pressure of the
65
gas inside the cavity,
kPa
parameter of gas
8.6
ionisation, air, Pa1/2
m1/2
permittivity of vacuum, 8.854 ×
F m−1
10−12
parameter of gas
24.2
ionisation, air, V Pa−1 m
300
300
65
6
8.6
8.6
8.854 ×
10−12
24.2
8.854 ×
10−12
24.2
1 × 10−5
1 × 10−5
2 × 106
2 × 106
−1
ρ/ p
0
CradΦrad
γ
ξ+
ξ−
τ
ν0
Φdt
reduced gas density, air, 1 × 10−5
kg m−3 Pa−1
reduced radiative
2 × 106
cosmic and radioactive
quantum flux density, kg
−1 s−1
factor of streamer
0.35
propagation
detrapping factor for
1
positively charged
surfaces
detrapping factor for
1/50
negatively charged
surfaces
effective detrapping
2
time constant, ms
fundamental phonon 1 × 1014
frequency, Hz
effective detrapping
1.0
work function, eV
Fig. 6 PRPD pattern simulation results for the case of study at three
ageing phases
0.35
0.35
1
1
1/50
1/50
2
2
1 × 1014
1 × 1014
1.1
0.98
and the mean magnitude. At ageing phase B, the ‘rabbit-ear’-like
structure begins to appear and the minimum PD charge magnitude
is close to ageing phase A. However, the maximum PD charge
magnitude begins to increase and the number of PD per cycle is
reduced due to the increase of the electric field produced by the
electric charges on the void surface left by previous PD activity.
Finally, at ageing phase C, the PRPD exhibits a structure similar to
the ageing phase A. Although, the PD charge magnitude is reduced
about 22.45% of the PD magnitude comparing with ageing phase
A. The number of PD events per cycle increases in about 549.59%
of the case of ageing phase A and the overlapping angle is small,
which means that the cavity experiences PD continuously and the
time lag is almost 0. The PD behaviour at ageing phase C is
controlled by the pressure in the cavity and the cavity surface
conductivity. When compared with simulated and measured values
10
(a) Phase A, (b) Phase B, (c) Phase C
and figures presented in [27], Fig. 6 and values in Table 6 exhibit
good agreement.
Numerical magnitudes for the number of PD per cycle were
presented in [27] and are also listed in Table 6 for the three ageing
phases considered and it can be seen that the highest difference
with simulated results, 29.26%, was obtained for ageing phase C,
while for ageing phases A and B were 6.92 and 1.12%,
respectively.
PD characteristics such as PD rate and maximum PD charge
magnitude are dependent on the gas volume and pressure in the
cavity [54]. Another parameter that influences the PD activity is
the void surface conductivity. Owing to the PD activity, gaseous
by-products affect the void surface. Hudon et al. [55] found that
the surface conductivity can be affected due to PD activity,
however, after ∼100 h, the conductivity reaches a constant value.
On the other hand, Ku and Liepins [56] showed that the surface
conductivity of epoxy resin increases proportionally with
temperature. However, taking into account that the average
increase in temperature is below 15% [16], for simulations
presented here, it was considered the conductivity as a constant
parameter.
Table 8 summarises the simulation results for temperature and
pressure at the three ageing phases and simulation periods
considered. On the other hand, Fig. 7 shows the results of
temperature and pressure at the three ageing phases during the first
three periods of applied AC voltage.
It was found that at ageing phases A and B, the increments on
temperature and pressure due to PD are small, about 1 K and 0.22
kPa. After the PD event, the heat source density disappears and the
media begin to cool down until a new thermal equilibrium is
reached. The final equilibrium temperature will increase, however,
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Table 8 Summary of simulation results for temperature and pressure at the three considered ageing phases
Variable
Phase A
Phase B
Phase C
Mean
Max
Mean
Max
Mean
Max
Tcav, K
300.32
301.27
300.39
301.46
318.25
330.01
Tscav, K
300.22
300.73
300.30
300.91
314.65
326.31
Tmat, K
300.13
300.26
300.22
300.44
311.10
ΔT/cycle, K
P, kPa
Δp/cycle, kPa
0.0258
65.07
0.0221
65.29
0.0008
65.09
65.33
0.00057
322.21
1.1103
6.356
6.585
22.5135
Fig. 7 Temperature and pressure simulation results for three ageing phases
(a), (b) Phase A, (c), (d) Phase B, (e), (f) Phase C
at ageing phases A and B the increment is negligible. On the other
hand, at ageing phase C, despite the reduced magnitude of PD, the
increases in temperature and pressure are noticeable, about 7 K and
140 Pa in a half period. However, when compared with phases A
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11
and B, at phase C, the magnitude of pressure is lower due to
phenomena that are explained below.
During the early stages of the ageing process, the changes in
pressure are low, on the contrary, when the time during the void is
subjected to PD activity increases, the pressure in the cavity
exhibits a continuous reduction until final breakdown [57] with a
decreasing rate that is dependent on voltage and temperature. The
pressure behaviour depends on the gas consumption and gaseous
by-products generation rates during the ageing process. The
variation of pressure with time can be subdivided into three stages
[58]
• Stage 1 is characterised by a continuous reduction on cavity
pressure due to the oxygen consumption rate that is higher than
the generation rate of gaseous by-products, the ratio O2/N2 and
the gas density decrease, which reduces the effective ionisation,
which implies a reduction on the PD rate, it lasts 10–15 min.
• Stage 2 begins when the pressure reaches the minimum value
and starts to increase, which could be due to an increase in the
generation rate of gaseous by-products, such as CO2, and
oxygen releasing by dissociation of CO and CO2, it lasts about
30 min.
• Stage 3, the pressure starts to decrease again due to an increase
in the gas consumption rate, the decreasing rate is dependent on
room temperature and the applied electric field and can be
modelled using the following expression [59]:
∂p
= ap(T)exp bp(T)U(t) (kPa s−1)
∂t
(48)
where U(t) (V) is the applied voltage and ap(T) and bp(T) are
functions of temperature. The pressure behaviour described by
(48) is unaffected by any changes in PD activity, it starts after
about 30 min.
Changes in the cavity gas composition and pressure allow us to
explain some characteristics of the PRPD pattern, however, the
condition of the cavity wall interface plays an important role in the
PD evolution because electron bombardment, chemical radical
erosion, and by-product deposition affect the surface conductivity
[58]. In addition, the changes in PD behaviour with temperature
can be related to cavity surface conductivity variations [60].
Temperature consequences on surface degradation can be
ignored in comparison with chemical reactions and particle impact
[17]. At the end of the ageing process, it is assumed that the ratio
O2/N2 is very small which promotes the apparition of swarming
microPDs and pits that originates treeing [3].
The main advantages of the novel hybrid method proposed can
be summarised as follows:
• The surface charge dynamics after PD events are considered
through a continuous surface charge distribution theoretically
determined using field equations.
• The pulse current during the PD event through the electrodes
and the cavity can be determined in the time domain using the
electric currents module.
• Division of the void surface into a finite number of sections is
not required, which allows avoiding computational efforts and
unphysical magnitudes of field.
• Finally, local spatial variations on the void surface can be
considered through the void surface conductivity.
This method allows simulating PD in spheroidal cavities inside
solid dielectrics when HV is applied to the dielectric bulk.
Numerical simulations considering AC voltage and parallel plate
electrodes have been implemented and results exhibit good
agreement with measured values provided by other authors.
Currently,
simulations
considering
different
electrodes
configurations and voltage sources are being implemented and
simulations results will be presented in future works.
7
The authors would like to acknowledge Fundación Carolina,
Universidad de Antioquia-Departamento de Ingeniería Eléctrica,
Universidad Politécnica de Madrid and Fondo Sapiencia-Alcaldía
de Medellín.
8
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
6
Conclusions
The state-of-the-art PD FEA models were reviewed and found that
ES models appear to be more physically accurate than EC models
due to the recombination rate of charges during the PD process.
The theoretical background of FEA models was presented and
limitations and restrictions were discussed.
Novel hybrid FEA and ES FEA models were presented, which
combine the main advantages of ES and EC FEA models and some
limitations of the ES model, such as the surface charge distribution
and dynamics were overcome. In addition, the appearance of
unphysical infinite magnitude electric fields was avoided by the
use of a continuous surface charge distribution. The hybrid FEA
model allowed obtaining the PD current pulse for making future
analysis in frequency.
Simulation results for a case study at three different ageing
phases exhibited good agreement with measured values reported by
other authors. The changes in PD behaviour with ageing were
analysed as a function of temperature and pressure and was
concluded that detailed modelling taking into account chemical
interactions on the void surface is necessary. Cavity conductivity
and pressure are the main parameters affecting the PD behaviour at
prolonged ageing phases.
12
Acknowledgments
[8]
[9]
[10]
[11]
[12]
[13]
[14]
[15]
[16]
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High Volt.
This is an open access article published by the IET and CEPRI under the Creative Commons Attribution -NonCommercial License
(http://creativecommons.org/licenses/by-nc/3.0/)
13
Publicación
Título
Universidades
colaboradoras
Autores
Revista
Clasificación
ISSN
Volumen
(número)
Año, páginas
DOI
Publicación de
acceso abierto
Keywords
Abstract
3
Numerical simulation of temperature and pressure changes due to partial
discharges in spherical cavities within solid dielectrics at different ageing
conditions
Universidad Politécnica de Madrid
Johnatan M. Rodríguez-Serna, Ricardo Albarracín-Sánchez
Energies
JCR: Q3, Scopus: Q2.
1996-1073
12 (24)
2019, 4771
https://doi.org/10.3390/en12244771
Sí
X
No
partial discharges, electrical insulation, PD analytical model, insulation aging,
finite-element analysis
Partial Discharges (PD) behaviour during aging of the insulation systems exhibits
variations that depend on changes in gas filling characteristics and surface
condition. In this article, numerical simulations of temperature and pressure
behaviour in an air-filled spherical cavity within a homogenous solid dielectric
material due to PD activity are presented. An Analytical-Finite Element Analysis
simulation approach was implemented in MATLAB® and results exhibit
reasonable agreement with experimental measurements reported by other
authors. Simulation results allow concluding that pressure changes are directly
related to variations in the PD behaviour. In addition, affectations to cavity surface
due to temperature increments can be discarded.
83
energies
Article
Numerical Simulation of Temperature and Pressure
Changes due to Partial Discharges in Spherical
Cavities Within Solid Dielectrics at Different
Ageing Conditions
Johnatan M. Rodríguez-Serna * and Ricardo Albarracín-Sánchez *
Department of Electrical and Electronic Engineering, Automatic Control, and Applied Physics, School of
Industrial Design and Engineering (ETSIDI), Universidad Politécnica de Madrid (UPM), Ronda de Valencia 3,
28012 Madrid, Spain
* Correspondence: johnatan.rodriguez.serna@alumnos.upm.es (J.M.R.-S.); ricardo.albarracin@upm.es (R.A.-S.)
Received: 19 November 2019; Accepted: 12 December 2019; Published: 13 December 2019
Abstract: Partial Discharges (PD) behavior during ageing of the insulation systems exhibits variations
that depend on changes in gas filling characteristics and surface condition. In this article, numerical
simulations of temperature and pressure behavior in an air-filled spherical cavity within a homogenous
solid dielectric material due to PD activity are presented. An Analytical-Finite Element Analysis
simulation approach was implemented in MATLAB and results exhibit reasonable agreement with
experimental measurements reported by other authors. Simulation results allow concluding that
pressure changes are directly related to variations in the PD behavior. In addition, affectations to
cavity surface due to temperature increments can be discarded.
Keywords: partial discharges; electrical insulation; PD analytical model; insulation ageing;
finite-element analysis
1. Introduction
Partial Discharges (PD) are one of the main causes of dielectric breakdown in solid insulators and
are also a symptom of ageing in high-voltage (HV) equipment [1,2]. Its simulation allows analyzing
different conditions such as, waveform, ambient temperature and initial pressure, and geometrical
configuration, among others. In addition, it allows to characterize the PD phenomena and determine
the main parameters that affect the PD behavior under some specific conditions [3,4].
PD in cavities within solid dielectrics are modelled as streamers because they are self-sustained
discharges and have greater magnitudes than other kinds of internal discharges [5]. There are different
models for simulating the PD activity inside cavities within solid dielectrics and they differentiate in
the way the electric field produced by the electric charge on the void surface, left by previous PD,
is calculated [6]. PD models can be classified into [7]: analytical [8–10], three-capacitance [11] and
finite-element analysis (FEA) [12,13] models.
In the three-capacitance models, the cavity is represented by an equivalent capacitance and PD
are simulated reducing the magnitude of a resistance in parallel with that [14]. Analytical models use
analytical expressions, that were theoretically determined using an electrostatic field approach [8],
for calculating the electric field strength and the real and induced PD charge magnitude. On the other
hand, FEA models use numerical methods for solving the partial differential equations (PDE) that
describe the PD phenomena, and the real and induced charges are dynamically calculated integrating
field expressions on HV electrodes boundaries [6].
Energies 2019, 12, 4771; doi:10.3390/en12244771
www.mdpi.com/journal/energies
Energies 2019, 12, 4771
2 of 11
Analytical models, in spite of their simplicity, are electrostatic field-based approaches and when
homogeneous and symmetrical conditions are considered, such as cylinders or spheroids, the solutions
obtained through analytical and FEA models are similar [15], and have the advantage that less
computational time is required when simulations for a great number of periods of the AC-voltage
signal are required such as in ageing analysis.
PD are inherently multi-physical phenomena where electrical, thermal and mechanical physics
are involved in each PD event [16]. Processes such as electron generation rate and surface charge decay
through surface conduction are temperature and pressure dependent [17–19]. On the other hand,
temperature affects the ageing process in solid dielectrics mainly due to the acceleration of chemical
ageing dynamics [1].
In this paper, the analytical and thermal models are presented in Section 2. In Section 3, PD in a
spherical cavity are simulated using the analytical model at different ageing phases and results are
compared with measured values reported by other authors. In addition, temperature and pressure
variations due to PD events are calculated using a heat transfer FEA model, and the effect of
temperature and pressure along ageing on the electron generation rate and in inception and extinction
field magnitudes is analyzed and correlated with measured variables. A discussion on the simulation
results is presented in Section 4. Finally, a conclusion is presented in Section 5.
2. PD Analytical and Temperature Models
In this study, an analytical-FEA approach is used for implementing simulations. With the analytical
model, the electric phenomena related to PD events are simulated, and variables such as real and
induced charge magnitudes are calculated [8]. On the other hand, temperature and pressure in gas
and solid dielectrics due to PD activity are determined solving the heat transfer equation using a FEA
model [20].
2.1. PD Stochastic Model
Through experimentation and analytical studies, it has been found that PD phenomena are
stochastic processes where their properties are describable by time-dependent random variables [21].
The streamer development process depends on the achievement of the two following necessary
conditions:
1.
2.
The electric field strength magnitude inside the cavity is greater than the inception value;
There is at least an electron for starting the avalanche.
The achievement of necessary conditions for PD occurrence outcome into the stochastic behavior of
PD phenomena, determining characteristics such as inception delay, phase occurrence and the number
of PD per cycle. The electric field strength inception magnitude is calculated using Equation (1) [9]:
"
Einc
#
B
= (E/p)cr p 1 +
,
(2pa)n
(1)
where p is the pressure of gas within the cavity in Pa, a is the cavity radius in m,
(E/p)cr = 24.2 V·Pa−1 ·m−1 , B = 8.6 Pa1/2 ·m1/2 and n = 0.5. The magnitude calculated using
Equation (1) is the critical electric field strength magnitude for starting an avalanche.
Volume and surface emissions are the main mechanisms for the first electron generation rate [22].
Volume generation is related to radiative gas ionization and field detachment of electrons from negative
ions and can be calculated as [23]:
4
Net (t) = Crad Φrad (ρm /p)0 p πa3 1 − ν−1/n ,
3
(2)
where Crad Φrad = 2 × 106 kg−1 ·s−1 , is the reduced radiative cosmic and radioactive quantum flux
density and (ρm /p)0 = 1 × 10−5 kg·m−3 ·Pa−1 , is the pressure reduced gas density.ν = Ucav (t)/Uinc ,
Energies 2019, 12, 4771
3 of 11
Energies 2019, 12, x FOR PEER REVIEW
3 of 11
Ucav (t) is the voltage across the cavity center at instant t and Uinc is the inception voltage calculated
electron
with The
Equation
(1). generation rate due to surface detrapping obeys the Richardson–Schottky [6] law
and can
be
calculated
using the
following
expression:
The electron generation
rate
due to surface
detrapping obeys the Richardson–Schottky [6] law
and can be calculated using the following expression: 
 dt  eEcav(t ) /(40 ) 
 t  t PD 
N dt (t )  N dt0 exp 
,
 0 exp 
(3)
p kT

 
 

b (t) / (4πε ) 


Φ
−
eE
t − tPD
cav
0 
dt

Ndt (t) = Ndt0 exp −
ν0 exp−
(3)
,
τ
k
T
b
where e is the elementary charge, 
is the effective detrapping
work function, k is the
dt
b
t  t PDcharge,
 0  function,
1 1014 Hzk isisthe
Boltzmann
constant,
is the time
since the
latest PD,work
where
e is the
elementary
Φdt iselapsed
the effective
detrapping
thefundamental
Boltzmann
b
14
q / e and

N

frequencyt of
is
the
permittivity
of
vacuum
and
T
the
temperature
in
K.
constant,
− tphonon,
is
the
time
elapsed
since
the
latest
PD,
ν
=
1
×
10
Hz
is
the
fundamental
0
dt0 frequency
0
PD
) and ξ of
of
ε0 is thefactor,
permittivity
of vacuum
T theoftemperature
in K.
Ndt0
= inξ(the
q/ecreation
is
 phonon,
is a proportional
which describes
theand
fraction
charge carriers
that
result
adetrappable
proportional
factor,
which
describes
the
fraction
of
charge
carriers
that
result
in
the
creation
of
electrons. It depends on the relative polarity of electric field strength produced by charges
detrappable
electrons.
It depends
on theofrelative
polarity
offield
electric
field strength produced by charges
on the surface
related with
the polarity
resultant
electric
strength.
on the
surface
related
with theatpolarity
ofinterval
resultanttelectric
field the
strength.
, t  t  with
An
electron
is generated
the time
probability Net (t )  N dt (t )t .
An electron is generated at the time interval [t, t + ∆t] with the probability (Net (t) + Ndt (t))∆t.
2.2. PD Analytical Model
2.2. PD Analytical Model
In this model, it is considered that all the cavity volume is affected by a PD event and the electric
In this model, it is considered that all the cavity volume is affected by a PD event and the electric
field strength inside the cavity is uniform; for that reason, all calculations are referred to the cavity
field strength inside the cavity is uniform; for that reason, all calculations are referred to the cavity center.
center. During a PD event, charges of different polarity are deployed on the void surface, which
During a PD event, charges of different polarity are deployed on the void surface, which produces a
produces a dipole moment as shown in Figure 1.
dipole moment as shown in Figure 1.
Figure
Dipole moment,
moment, s,
to surface
surface charge
charge distribution,
distribution, σ(θ),,after
s ,within
Figure 1.
1. Dipole
within the
the cavity
cavity due
due to
after aa Partial
Partial
Discharge (PD) event.
Discharge (PD) event.
In Figure 1, s is the direction vector of dipole, pointing from negative to positive charges, σ(θ) is
In Figure 1, s is the direction vector of dipole, pointing from negative to positive charges,   
the surface charge density and E0 is the electric field strength established by the HV electrodes inside
is the
surface charge
densitymaterial.
and E0 is the electric field strength established by the HV electrodes
the
homogeneous
dielectric
inside
the
homogeneous
material.
For
ellipsoidal
voids,dielectric
the induced
charge on the HV electrodes by the dipole in the cavity can be
For
ellipsoidal
voids,
the
induced
charge on the HV electrodes by the dipole in the cavity can be
calculated as Equation (4) [9]:
0
calculated as Equation (4) [9]:
(4)
q = −KΩε(EcavPD − Eext ) · ∇λ0 ,
q'   Kon
 the
EcavPD
 Eext   
, cavity and for spherical cavities(4)
where K is a dimensionless factor dependent
geometry
of0the
is
K
= 3 [24],
is the cavity volume,
ε is the permittivity
of media,
∇λ0cavity
is theand
electric
field strength
by
K isΩ
where
a dimensionless
factor dependent
on the geometry
of the
for spherical
cavities
unit
of
applied
voltage
in
the
homogeneous
material
without
cavity
and
charges,
and
at
the
cavity
is K  3 [24],  is the cavity volume, ε is the permittivity of media, 0 is the electric field strength
center location. EcavPD is the electric field strength at the cavity center just before a PD event occurs.
by unit of applied voltage in the homogeneous material without cavity and charges, and at the cavity
Eext is the electric field strength below there is no ionization and the streamer extinguishes, this can be
center location. EcavPD is the electric field strength at the cavity center just before a PD event occurs.
calculated using Equation (5).
Eext is the electric field strength below there is no ionization and the streamer extinguishes, this can
Eext = γ(E/p)cr p,
(5)
be calculated using Equation (5).
where γ is a dimensionless factor depending on the polarity of the streamer. As average for positive
E / p cr p ,
  [22].
(5)
and negative streamers, it is assumed as γ =E ext0.35
where  is a dimensionless factor depending on the polarity of the streamer. As average for positive
and negative streamers, it is assumed as   0.35 [22].
Energies 2019, 12, 4771
4 of 11
The real charge on the void surface is proportional to the electric field change due to a PD event
and can be calculated as Equation (6) [9,22]:
q = ε0 πa2 [1 + εr (K − 1))](EcavPD − Eext ),
(6)
where εr is the relative permittivity of the solid dielectric.
The charge magnitude on the cavity surface left by previous PD decay due to recombination,
conduction and diffusion phenomena [25]. However, recombination due to surface currents is the
dominant process [26]. The decay of charge as a function of time can be approximately described by
the Ohm’s Law as in Equation (7) [23]:
−
dq
π
ks Ecav 2a,
=
dt
2
(7)
where ks is the cavity surface conductivity.
2.3. Temperature and Pressure Model for PD
During a PD event, the energy stored in the electric field changes abruptly, and using the Poynting’s
theorem [27], it is concluded that the change in the accumulated energy is due to an energy conversion
into heat which is transferred to cavity and solid material through heat conduction. The heat transfer
can be simulated solving the following PDE in Equation (8) [20]:
!
∂T
ρm Cp
− ∇ · (kT ∇T ) = Q,
∂t
(8)
where ρm is the density of media, Cp is the heat capacity of media and kT is the thermal conductivity of
media. Q is the heat source density and can be calculated as Equation (9):
Q =
!
1 |EcavPD |2 − |Eext |2
ε
,
2
∆tPD
(9)
where ∆tPD is the time elapsed during the PD event. In this study, the PDE toolbox of MATLAB [28] is
used for solving Equation (8), considering there is not a heat source density within the homogenous
material and exterior boundaries as thermally insulated.
The pressure in the cavity after a PD event can be calculated using the ideal gas law:
ptPD+∆tPD =
!
TtPD+∆tPD
ptPD ,
TtPD
(10)
where ptPD and ptPD+∆tPD are, respectively, the pressure in the cavity before and after the PD event.
Similarly, TtPD and TtPD+∆tPD are, respectively, the temperature in the cavity before and after the
PD event.
3. Case of Study and Simulation Results
The simulation model was implemented as follows: the analytical model, Expressions (1)–(7) were
implemented using a code in MATLAB. On the other hand, the temperature model in Equation (8),
was solved using the PDE toolbox of MATLAB which implements a finite element analysis method
and uses, in turn, an internal solver based on the variable order method [28]. The absolute and relative
tolerances of the solver are, respectively, 1 × 10−6 and 1 × 10−3 . Finally, the pressure was calculated for
each time step using Equation (10).
Simulations were implemented for a considerable number of cycles (100 at phases A through C,
200 at phase E and 300 at phase C) in order to consider the stochastic variations in the model. A time
Energies 2019, 12, 4771
5 of 11
step of 1 × 10−5 s was used for executing simulations when there are not PD acting (inception and
electron generation rate criteria are not satisfied) and 1 × 10−9 s during PD events.
The same case used in [23] is considered in this study. However, in order to analyze the temperature
and pressure
behavior
after
PD activity and its effects on PD behavior, Equations (1)–(3)
Energies 2019,
12, x FOR PEER
REVIEW
5 of 11 and (5),
are dynamically calculated along the simulation time. The geometry consists of a linear, homogenous
The same case used in [23] is considered in this study. However, in order to analyze the
and isotropic dielectric bulk of epoxy resin of 3.5 mm thickness between two parallel plates, and a
temperature and pressure behavior after PD activity and its effects on PD behavior, Equations (1)–(3)
spherical
with air,
of 2.5 mm
is included
the middle
of the
bulk.
and void,
(5), arefilled
dynamically
calculated
alongdiameter
the simulation
time. Theingeometry
consists
of adielectric
linear,
A 19.25
kV, 50 Hzand
sinusoidal
voltage bulk
source
is applied
electrode
while
the lower is
homogenous
isotropic dielectric
of epoxy
resin of to
3.5the
mmupper
thickness
between two
parallel
plates,Table
and a1 spherical
void, the
filled
with air, ofof
2.5media
mm diameter
middle of the
grounded.
summarizes
parameters
related istoincluded
the caseinofthe
study.
dielectric bulk. A 19.25 kV, 50 Hz sinusoidal voltage source is applied to the upper electrode while
the lower is grounded.
Table 1 summarizes
parameters
media related
to the
case[20].
of study.
Table 1. Parameters
of case ofthe
study.
Thermalofparameters
taken
from
case of study. Thermal parameters taken from [20].
Parameter Table 1. Parameters ofDescription
Value
a
hm
εr_mat
εr_cav
Cp_mat
Cp_air
kT_mat
kT_air
ρm_mat
ρm_air
Parameter
CavityDescription
radius
a
radius
Homogeneous Cavity
material
thickness
hRelative
Homogeneous
material thickness
m
Permittivity
of dielectric
material
 r _ mat
 r _ ca v
C p _ mat
C p _ air
kT _ mat
kT _ a ir
m _ mat
m _ air
Relative Permittivity
Permittivity ofof
dielectric
Relative
cavity material
Material
capacity
Relativeheat
Permittivity
of cavity
AirMaterial
heat capacity
heat capacity
Material thermal
conductivity
Air heat
capacity
Air thermal conductivity
Material thermal conductivity
Material volume density
Air thermal conductivity
Air volume density
Material volume density
Air volume density
Value1.25 mm
1.25 mm3.5 mm
3.5 mm 4
4
1
1179
J·kg−1 ·K−1
1
−1 ·K−1
1005
J·kg
−1‧K
−1
1179 J‧kg
−1 ·K−1
0.35−1‧K
W·m
−1
1005 J‧kg
−1 ·K−1
0.0257
W·m
0.35 W‧m−1‧K−1
−3
561
kg·m
0.0257 W‧m−1‧K−1
1.205 kg·m−3
561 kg‧m−3
1.205 kg‧m−3
In order to make comparisons with measurements presented in [23], it is considered that cavity
In order to make comparisons
with measurements presented in [23], it is considered that cavity
surfacesurface
conductivity
is 0 S·m−1 .
conductivity is 0 S‧m−1.
Five different
consecutive
ageing
phases
namely:
phase
A, with
a duration
up to
Five different
consecutive
ageing
phaseswere
were considered,
considered, namely:
phase
A, with
a duration
up
10 min;tophase
B, lasts
about
20 to
50 h;
C, lasts
about
100about
to 200
h;tophase
D, lasts
about
1200 h and
10 minutes;
phase
B, lasts
about
20phase
to 50 hours;
phase
C, lasts
100
200 hours;
phase
D, lasts
about
hours
and phase E, and
lasts simulations
50 hours. Measurements
and simulations
using
the
analyticalin [23] for
phase E,
lasts1200
50 h.
Measurements
using the analytical
model
were
reported
model
were
reported
in
[23]
for
each
of
the
above
ageing
phases.
Figure
2
shows
the
phase-resolved
each of the above ageing phases. Figure 2 shows the phase-resolved partial discharge (PRPD) pattern
partial discharge (PRPD) pattern and q-φ-n diagrams obtained for the case of study at the five
and q-ϕ-n diagrams obtained for the case of study at the five considered ageing phases.
considered ageing phases.
(a)
(b)
(c)
(d)
Figure 2. Cont.
Energies 2019, 12, 4771
6 of 11
Energies 2019, 12, x FOR PEER REVIEW
6 of 11
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
Figure 2. Phase-resolved partial discharge (PRPD) patterns and q-φ-n diagrams for the five different
Figure 2. Phase-resolved partial discharge (PRPD) patterns and q-ϕ-n diagrams for the five different
ageing phases considered: (a) and (b), phase A; (c) and (d), phase B; (e) and (f), phase C; (g) and (h),
ageing phases considered: (a,b), phase A; (c,d), phase B; (e,f), phase C; (g,h), phase D; (i,j), phase E.
phase D; (i) and (j), phase E.
Table 2Table
exhibits
the parameters
ofofthe
model
and
initial
conditions
used
for simulating
2 exhibits
the parameters
thestochastic
stochastic model
and
initial
conditions
used for
simulating
each ageing
phase,phase,
as well
as aassummary
resultsforfor
electric
charge
magnitude.
each ageing
as well
a summaryofofthe
the main
main results
thethe
PD PD
electric
charge
magnitude.
2. Parameters
PD model
simulation
at ageing
each ageing
phase,
taken
Table 2.Table
Parameters
for thefor
PDthe
model
simulation
at each
phase,
taken
fromfrom
[23],[23],
andand
simulation
simulation results summary for PD charge magnitude.
results summary for PD charge magnitude.
Parameter
Parameter  d t (eV)
Phase A
Phase A1
 (s)
Φdt (eV)
1 0.002
p0 (kPa)
τ (s)
0.002 65
p0 (kPa) T0 (K)
65 300
 / 
T0 (K)
300 50
ξ+ /ξ− qmax (nC)
50 0.809
0.8090.800
qmax (nC) q (nC)
min
0.800
qmin (nC) q
0.805
mea n (nC)
0.805
qmean (nC)
NHW simulated
6
NHW simulated
6
NHW measured [23]
5–7
NHW measured [23]
5–7
NHW error (%)
14.286
Number of simulated cycles
100
2.642
Eincm (kV·mm−1 )
0.592
Eextm (kV·mm-1 )
Phase B
Phase
1.1 B
0.002
1.1
65
0.002
300
65
300
50
50
1.585
1.585
0.800
0.800
0.824
0.824
5.6
5.6
~5.8
~5.8
3.448
100
2.641
0.592
Phase C
Phase D Phase E
Phase C 1.45 Phase
D
0.98
1.33
0.002
1000
0.98 1000
1.45
6 0.002
2
10002
300 6
300
50 300
50
2300
3001
50
0.17150
5.519
3.753
0.171
5.519
0.162
0.092
0.085
0.162
0.092
0.166
3.438
1.300
0.166
3.438
33
0.03
2.2
33
0.03
~30
0.03–0.06
~3
~30
0.03–0.06
10
0
100
300
0.468
0.235
0.055
0.018
Phase E
1.33
1000
2
300
1
3.753
0.085
1.300
2.2
~3
26.667
200
0.235
0.018
Energies 2019, 12, x FOR PEER REVIEW
7 of 11
NHW error (%)
Number of simulated cycles
Ein cm (kV‧mm−1)
14.286
100
3.448
100
10
100
0
300
26.667
200
2.642
2.641
0.468
0.235
0.235
Eextm (kV‧mm )
0.592
0.592
0.055
0.018
0.018
Energies 2019, 12, 4771
-1
7 of 11
In Table 2, Ein cm and Eextm , respectively, are the average inception and extinction-field strength
In Table 2, Eincm and Eextm , respectively, are the average inception and extinction-field strength
magnitudes
is the number of PD per half cycle, and p0 and T0 are,
magnitudes along
along the
thesimulation
simulationtime,
time,NNHW
HW is the number of PD per half cycle, and p0 and T0 are,
respectively,
the initial
initial pressure
pressure and
and temperature
temperature of
of gas
gas inside
inside the
thecavity.
cavity.
respectively, the
Simulation
agreement
withwith
measured
values
reported
in [23].inWhen
Simulation results
resultsshow
showreasonable
reasonable
agreement
measured
values
reported
[23].
compared
with measured
values, values,
the simulated
number number
of PD per
(NHW
) present
maximala
When compared
with measured
the simulated
of cycle
PD per
cycle
(NHW )a present
difference
of 26.667%ofat26.667%
phase E at
(Nphase
HW measured
and simulated
2.2).
However,
at this
phase itatmust
maximal difference
E (NHW~3measured
~3 and
simulated
2.2).
However,
this
be
considered
the pressure
behavior
with time
has a complex
on temperature
phase
it must that
be considered
that
the pressure
behavior
with timedependence
has a complex
dependenceand
on
applied
voltage
that
the
ideal
gas
law
cannot
represent
completely
[29].
temperature and applied voltage that the ideal gas law cannot represent completely [29].
Figure
Figure 33 shows
shows the
the temperature
temperature and
and pressure
pressure simulation
simulation results
results for
for the
the case
case of
of study
study during
during the
the
first
AC-applied voltage
voltage at
at ageing
ageing phases
phases A,
A, B
B and
and E.
E.
first five
five periods
periods of
of the
the AC-applied
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Figure
Figure 3.
3. Temperature
Temperature and
and pressure
pressure simulation
simulation results
results during
during the
the first
first 0.1
0.1 ss for
for three
three different
different ageing
ageing
phases
andphase
(b), phase
A; phase
(c) andB;(d),
phase
B; E.
(e) and (f), phase E.
phases considered:
considered: (a)
(a,b),
A; (c,d),
(e,f),
phase
In Figure 3, Tmcav is the average temperature in the cavity volume and Tscav is the average
temperature at the void surface. Taking into account that maximal changes in pressure and temperature
at phases C and D are below 1 K and 0.01 kPa, they were not plotted. Table 3 shows the summary of
simulation results for the five ageing phases considered and simulation periods in Table 2.
Energies 2019, 12, 4771
8 of 11
Table 3. Temperature and pressure, summary of simulation results at each ageing phase.
Variable
Phase A
Phase B
Phase C
Phase D
Phase E
Max Tmcav (K)
Min Tmcav (K)
Mean Tmcav (K)
Max Tscav (K)
Min Tscav (K)
Mean Tscav (K)
Max p (kPa)
Min p (kPa)
Mean p (kPa)
302.7
300.0
301.0
301.5
300.0
300.6
65.6
65.0
65.2
305.0
300.0
301.0
302.9
300.0
300.6
66.1
65.0
65.2
300.3
300.0
300.2
300.2
300.0
300.1
6.0
6.0
6.0
347.4
300.0
300.1
327.2
300.0
300.0
2.3
2.0
2.0
321.9
300.0
300.9
312.6
300.0
300.5
2.2
2.0
2.0
4. Discussion
At phase A, the PRPD pattern exhibits a “bar-like” structure in which the PD charge magnitude
is almost constant with an average magnitude very close to the minimum value. The measured
minimum magnitude and number of PD per half cycle were, respectively, 0.9 nC and about 5 to 7 [23].
Simulated values in the second column of Table 2 are in good agreement with measured values. On the
other hand, in Figure 3a, it can be seen that after each PD event, the temperature in both the gas
in cavity and the void surface, increases. However, the average increase in temperature along the
simulated periods is just 1.0 K. A similar behavior is found for pressure, shown in Figure 3b, where the
increase in average pressure is 0.2 kPa.
At phase B, Figure 2c, the PRPD pattern exhibits a “bar-like” plus a “rabbit ear-like” structure.
The “bar-like” structure is close to around the minimum PD charge magnitude, while the tip of the
“rabbit ear-like” structure tends to increase. For the number of simulated cycles, the maximum PD
charge magnitude calculated was 1.6 nC. In order to reproduce the experimental measurements at
this phase, the detrapping work function is increased to 1.1 eV. This produces an increase in the time
lag, and this in turn, a reduction in the number of PD per half cycle and an increase in the PD charge
magnitude. The increased time lag also means that more energy stored is converted into heat at each
PD event, which can be seen at Table 3. However, the average temperature in cavity gas and cavity
surface is reduced in comparison to phase A, because the time for cooling after a PD event is increased
if the number of PD per half cycle is reduced. A similar behavior is found in pressure; the increment of
maximum pressure magnitude is negligible.
In order to reproduce experimental measurements at ageing phases C to E, the initial pressure
has to be decreased for considering the changes in the gas consumption and gaseous by-products
generation rates [30]. After about 30 min, in ageing phase B, the pressure in the cavity starts to decrease
continuously [18] with a decreasing rate that is voltage and temperature dependent [29].
At phase C, Figure 2e, the PRPD pattern exhibits a “bar-like” structure similar to phase A. However,
the magnitude of the PD charge decreases in comparison to phase A by 20.2%, and the number of PD
per half cycle increases up to 550.4% compared with phase A. On the other hand, the q-ϕ-n diagram
exhibits an almost continuous distribution, which means an almost constant PD condition in the cavity.
The latter can be seen also in Figure 3e,f where the average temperature is continuously changing.
The initial cavity gas pressure is reduced to 6 kPa, which involves a decreasing in the inception and
extinction field magnitudes; this produces a decrement in the time lag and a reduction in the PD charge
magnitude. In spite of almost continuous PD activity inside the cavity, the temperature and pressure
in the cavity remains almost constant, and the average increment in temperature and pressure is just
0.1% when it is compared with room and initial conditions.
At phase D, Figure 2g, the PRPD pattern exhibits an irregular behavior with marked intermittency
in the PD time lag. The PD charge magnitude exhibits a great increase with regard to phase A of
581.7% while the number of PD per half cycle is just 0.03. The measured number of PD per cycle is in
the range 0.02 to 0.06, which means that simulation results are in reasonable agreement with values
Energies 2019, 12, 4771
9 of 11
measured in [23]. In order to reproduce experimental measurements, the detrapping work function
and the effective detrapping time constant are increased while the initial pressure is set to 2 kPa.
With these changes, the time lag is hardly increased. Despite the reduction of inception magnitude,
the reduction of the electron generation rate dominates the stochastic PD behavior. The average
temperature and pressure exhibit a light increase of 0.03%. Despite the increase of energy transformed
into heat, the maximum temperature increases in 47.4 K compared with room temperature, and the
larger time between consecutive PD eases a rapid cooling.
At phase E, Figure 2i, the PD behavior is continuous and the PD charge magnitude seems to
be uniformly distributed between two sinusoidal envelopes in the PRPD pattern. The magnitude of
the PD charge is reduced in comparison to phase D by 32%. However, the number of PD per half
cycle is increased up to 2.2, which is in reasonable agreement with the experimental value of about
3 [23]. Pressure and temperature exhibit similar behavior and magnitudes as for phase D, Figure 3i,j,
with slight differences in average temperature and pressure, as shown in Table 3.
Despite the agreement with experimental measurements, the PD behavior at advanced ageing
conditions, such as phase E, cannot be explained only considering the changes of the gas filling the
cavity. The physical and chemical interactions at the solid—gas interface must be considered.
In this study, the effect of cavity conductivity on PD behavior and its variation along the ageing
process is neglected in order to analyze the effects of temperature and pressure variation on the
stochastic behavior; however, cavity conductivity plays a fundamental role at PD activity and is related
to surface conditions, and for that reason, in future works it will be considered.
Simulations were carried out using a MATLAB application implemented by authors named
PDSym1S developed for these purposes.
5. Conclusions
Temperature and pressure changes inside an air-filled cavity within a homogeneous dielectric
material after PD events were calculated using an analytical-FEA model. Simulation results exhibit
reasonable agreement with experimental measurements. Pressure in the gas filling the cavity is one of
the main parameters affecting the PD behavior at ageing phases. Taking into account that the highest
temperature increase along the simulated phases was only about 15%, temperature effect on surface
degradation can be neglected in comparison to chemical reactions and particle impact, which is in line
with other experimental studies. Future work will include the consideration of different electrodes
geometries and unevenness of electrodes surfaces.
Author Contributions: The authors have contributed in different parts of the paper preparation, as follows,
Conceptualization, methodology and analysis, J.M.R.-S. and R.A.-S; software and simulations, J.M.R.-S.;
writing—original draft preparation, J.M.R.-S.; writing—review and editing, R.A.-S.
Funding: This research received no external funding.
Acknowledgments: The authors gratefully acknowledge Fundación Carolina, Universidad de AntioquiaDepartamento de Ingeniería Eléctrica, Universidad Politécnica de Madrid and Fondo Sapiencia-Alcaldía de
Medellín. The authors thankfully acknowledge the computer resources, technical expertise and assistance
provided by the Supercomputing and Visualization Center of Madrid (CeSViMa).
Conflicts of Interest: The authors declare no conflicts of interest.
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(CC BY) license (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/).
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Abstract
4
An Improved Physical-Stochastic Model for Simulating Electrical Tree Propagation
in Solid Polymeric Dielectrics
Johnatan M. Rodríguez-Serna, Ricardo Albarracín-Sánchez, Isabel Carrillo
Universidad Politécnica de Madrid, Universidad de Antioquia (Colombia)
Polymers
JCR: Q1, Scopus: Q1.
2073-4360
12 (8)
2020, 1768
https://doi.org/10.3390/polym12081768
Sí
X
No
electrical tree propagation, epoxy resin, physical-stochastic models, insulation
aging, dielectric breakdown
The dielectric breakdown of solid polymeric materials is due to the inception and
propagation of electrical trees inside them. The remaining useful life of the solid
dielectrics could be determined using propagation simulations correlated with
non-intrusive measurements such as partial discharges (PD). This paper presents
a brief review of the different models for simulating electrical tree propagation in
solid dielectrics. A novel improved physical-stochastic model is proposed, which
allows quantitatively and qualitatively analysing the electrical tree propagation
process in polymeric dielectrics. Simulation results exhibit good agreement with
measurements presented in the literature. It is concluded that the model allows
adequately predicting the tree propagation behaviour and additional experimental
analyses are required in order to improve the model accuracy.
95
polymers
Article
An Improved Physical-Stochastic Model for
Simulating Electrical Tree Propagation in Solid
Polymeric Dielectrics
Johnatan M. Rodríguez-Serna 1,2 , Ricardo Albarracín-Sánchez 1, *
1
2
3
*
and Isabel Carrillo 3
Departamento de Ingeniería Eléctrica, Electrónica, Automática y Física Aplicada, Escuela Técnica Superior
de Ingeniería y Diseño Industrial (ETSIDI), Universidad Politécnica de Madrid (UPM), Ronda de Valencia 3,
28012 Madrid, Spain; johnatan.rodriguez.serna@alumnos.upm.es or jmauricio.rodriguez@udea.edu.co
Departamento de Ingeniería Eléctrica, Facultad de Ingeniería, Universidad de Antioquia (UdeA), Calle 67
No. 53–108, Medellín 050010, Colombia
Departamento de Ingeniería Mecánica, Química y Diseño Industrial, Escuela Técnica Superior de Ingeniería
y Diseño Industrial (ETSIDI), Universidad Politécnica de Madrid (UPM), Ronda de Valencia 3, 28012 Madrid,
Spain; isabel.carrillo@upm.es
Correspondence: ricardo.albarracin@upm.es
Received: 14 July 2020; Accepted: 5 August 2020; Published: 7 August 2020
Abstract: The dielectric breakdown of solid polymeric materials is due to the inception and
propagation of electrical trees inside them. The remaining useful life of the solid dielectrics could
be determined using propagation simulations correlated with non-intrusive measurements such as
partial discharges (PD). This paper presents a brief review of the different models for simulating
electrical tree propagation in solid dielectrics. A novel improved physical-stochastic model is
proposed, which allows quantitatively and qualitatively analyzing the electrical tree propagation
process in polymeric dielectrics. Simulation results exhibit good agreement with measurements
presented in the literature. It is concluded that the model allows adequately predicting the tree
propagation behavior and additional experimental analyses are required in order to improve the
model accuracy.
Keywords: electrical tree propagation; epoxy resin; physical-stochastic models; insulation ageing;
dielectric breakdown
1. Introduction
Insulation systems are designed in such a way that the electric fields applied to the materials
are lower than the inception values for breakdown mechanisms. However, due to unforeseen
manufacturing problems or operating conditions, metal contaminants, mechanical defects, conducting
projections or air-filled cavities may appear, causing excessive local electrical field stresses within small
regions of the solid dielectric [1,2]. These defects can lead to a complete breakdown of the dielectric
through the formation of tubular structures made up of gaseous channels of microscopic diameter,
known as electrical trees, that spread across the material by a mechanism controlled, mainly, by partial
discharges (PD) in the gaseous channels [3,4].
The dielectric breakdown in solid insulation, such as polymers and synthetic resins, used in
electrical equipment insulation systems such as cables, circuit breakers and bushings, is due to the
appearance of electrical trees [5,6]. Therefore, it is necessary to study the behavior of electrical trees in
solid dielectrics in order to understand the phenomenon and predict the useful life times, or in other
words, the time to breakdown [7].
Polymers 2020, 12, 1768; doi:10.3390/polym12081768
www.mdpi.com/journal/polymers
Polymers 2020, 12, 1768
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PD activity directly influences the aging of insulation, with physical–chemical degradation in
the area of its occurrence. This electrical insulation aging is due to a combined effect of thermal,
electrical, ambient and mechanical stresses [8]. The electrical aging involves a permanent change in the
polymer’s chemical and structural features, which could accelerate the physical and chemical aging of
the polymers that weakens their ability to sustain electric stress [9].
The continuous PD activity may modify the dielectric properties of solid dielectric materials
making them less effective as electrical insulators. In spite of different chemical composition and
morphology among the insulating polymeric materials, they shared a similar behavior to the breakdown
previously described by [10].
To increase the properties of these materials in terms of mechanical and electrical erosion
reduction, mechanical strength enhancement, electrical breakdown/endurance behavior, lower dielectric
permittivity, less space charge mitigation and less electrical tree formation, new materials such as
polymer nanocomposite have been developed [11–13]. Further, different nanofillers such as silicon
dioxide (SiO2 ), aluminum oxide (Al2 O3 ), zinc oxide (ZnO), magnesium oxide nanofiller (MgO), titanium
oxide nanofiller, and montmorillonite nanofiller have been used [14]. However, some problems such
us a decreased breakdown strength have been detected when nanofillers are aggregated [14] that has
questioned their reliability and applications. To avoid agglomeration, nanofillers are modified using
chemical coupling agent, which improves the dispersion of the nanofiller considerably [15]. Different
surface modification strategies for the amelioration of nanofiller dispersion in the polymer matrix
have been intensively attempted by linking the small organic molecules or long polymeric chains on
the surface of nanofillers [15,16]. Another important factor is the concentration of fillers due to the
trade-off between the difficulty in film processing and the enhancement of dielectric properties [17].
Degradation of polymers is a process driven by physical, chemical, thermal and mechanical
factors [4]. In the case of electrical trees in solid dielectrics, from a physical point of view, its propagation
is due to the breakdown of polymer chains, which is caused by a large number of interactions between
molecules and electrons with high kinetic energy [18]. The electrical trees initially propagate quickly and
then stop. This behavior has been related to changes in pressure and the PD rate [9,19,20]. The spatial
charge around the tree structure limits the magnitude of the local electric field and acts as a negative
feedback term in the dynamics of the tree propagation process and its relation to the parameters that
cause them, such as the applied voltage, dictate the propagation regime [21]. If the negative feedback
term dominates, the tree propagation process stops; and if the forcing term dominates, a runaway
uncontrolled growth process occurs. On the other hand, if there is a balance between forcing and
negative feedback terms, the tree propagation slows down. This explains the shape of the characteristic
curve of propagation length versus time [22].
This paper is organized as follows: first, the materials and methods are presented in Section 2.
Second, a brief review of the current models for electrical-tree propagation in solid dielectrics is
depicted in Section 3. Third, an improved physical-stochastic model for simulating tree propagation in
polymeric materials is presented in Section 4. Fourth, a case of study and the simulation results are
discussed and compared with real measurements in Section 5. Finally, some conclusions are depicted
in Section 6.
2. Materials and Methods
The performance of the improved model proposed here will be analyzed by comparing simulation
results with experimental measurements reported in [22], where the authors experimentally studied
tree propagation in solid dielectrics under various applied voltages. The authors used CT200 and
CY1311 epoxy resins manufactured by Ciba-Geigy, Basel, Switzerland. CT200 is a diglycidil ether of
bisphenol A epoxy resin and CY1311 is a flexibilized bisphenol A epoxy resin, and both are used in
insulators, bushings and circuit breakers [23]. Authors in [22] implemented a pin–plane arrangement
with voltages between 6 and 16 kV RMS, AC, 50 Hz, the pin tip radius was 2 µm and the pin tip–plane
distance was 2.25 mm.
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3 of 16
For the simulations presented in this work, the electric potential and electric field strength
distributions for each propagation step are calculated according to the Coulomb–Gauss law:
∇ · D = ρ,
(1)
where D = εE (C·m−2 ), ρ(C·m−3 ) is the free charge density and ε(F·m−1 ) is the permittivity of media.
Equation (1) is solved using the finite differences and relaxation methods [24], with the potentials at the
pin, plane and tree segments as boundary conditions. Because the conductivity in the tree structure
is higher than that in the dielectric bulk, charges are injected in the dielectric between the electrodes
during the tree propagation, which modify the potential distribution. This phenomenon is modelled
using the relative conductivity approach presented in [25]. The electric potential at each lattice site in
the dielectric, previously discretized using a 2D uniform squared lattice, is calculated as:
U = Uint + Uext ,
(2)
where Uint (V) is the electric potential calculated from Equation (1) when the potential at the tree
0 (V). Similarly, U
structure and pin are equal to Uint
ext (V) is the electric potential calculated from
0 (V) and ρ = 0 (C·m−3 )
Equation (1) when the potential at the tree structure and pin are equal to Uext
0 /U0 . U0 (V) corresponds to the electric potential applied to the pin tip U (V). More
and σch = Uint
0
ext
ext
details are given in the results and discussion section.
3. Brief Review of Current Models for Simulating the Propagation of Electrical Trees in Solid
Dielectrics
For the purposes of this paper, it is considered that the time required for the first channel growth,
t < 200 s, is very low compared to its propagation time, t > 10 × 103 s [26]. The models for simulating
tree propagation through solid dielectrics can be classified as follows:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Stochastic,
Physical,
Empirical,
Deterministic,
Multiphysical, and
Cellular Automata.
3.1. Stochastic Models
Stochastic models are based on the model proposed by Niemeyer, Pietronero and Wiesmann, also
known as the NPW model [27]. In this model, it is considered that the tree structure grows discretely
and the propagation probability in a given direction depends on the magnitude of the local electric
field strength raised to a power η, that allows controlling the fractal dimension of the tree structure.
This model has been used for various studies such as statistical and probabilistic analyses [28–30], the
evaluation of the effect of dielectric barriers [5,31] or the space charge on tree propagation [3], and
tree propagation in inhomogeneous media or including space charge [25]. The main disadvantages
of this model are that the power η does not have a physical relationship with the tree propagation
phenomenon and the time is not included as a physical variable in the model.
3.2. Physical Models
The physical or avalanche model (DAM) is based on the electric aging and dielectric breakdown
model proposed by Bahder et al. [32]. In this model, it is assumed that the PD in a cavity or tree channel
induce avalanches within the insulation at the points where the PD end and the number of ionizations
in an avalanche is considered to be proportional to the damage it produces [33]. The repetition in time
of this process causes the damage to accumulate until it reaches a critical level, when a new channel
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will form. The length of each new channel is assumed equal to 10 µm from Hozumi’s and Okamoto’s
experimental observations [34].
For calculating the local electric field strength, a regular squared lattice is defined in the solid
dielectric and a potential drop is assigned to each bond, which allows considering the effects of
charge distribution at the end of the channel and that the entire structure of the tree is not necessarily
discharged each time an avalanche is induced. In addition, stochastic variations of that voltage drop
also allow modelling local fluctuations of the electric field resulting from the breakdown mechanism
itself or from spatial non-homogeneities in the electrical properties of the insulation [21,35]. Simulation
results using this model are consistent with Noto’s and Yoshimura’s experimental measurements [36],
in addition, this model allows a quantitative description of the dependence between tree propagation
and applied voltage [26].
3.3. Empirical Models
Empirical models use analytical expressions obtained through curve-fitting processes to
experimental results. In [22], an empirical field-driven model was presented that allows calculating
the length–time relationships during tree propagation. Using this model, it was concluded that there is
a linear correlation between the fractal dimension and the breakdown time. This same model was
used in [37] for studying the effect of the manufacturing age of the samples on the tree-propagation
process in epoxy resins. It was found that there is a time window in which the resin is more prone
to breakdown—60 to 200 h for the CT200 resin, in a pin–plane arrangement with 15 kV, 50 Hz, AC
voltage, 2 mm electrode gap and 3 µm pin tip radius.
3.4. Deterministic Models
In [38], a physical-deterministic model for tree propagation was presented in which the damage
to the material surrounding the tree is calculated using the dissipation of electrostatic energy due to
PD in its gaseous channels. This model allows obtaining branched trees without the need to use a
random variable, since fluctuations in the electric field strength are controlled by PD. The simulation
results, propagation length–time curve and growth rate, as a function of voltage, are consistent with
experimental measurements in non-conductive trees. Furthermore, it is shown that the branched
nature of the tree structures occurs, mainly, due to instabilities in the electric field caused by the electric
charge of the PD, rather than by the non-homogeneities in the material.
3.5. Multiphysical Models
Recently, multiphysical models for tree propagation have been proposed based on the model
presented in [39]. The breakdown of solid dielectrics occurs due to the propagation of plasma channels
in the solid. The propagation of plasma channels is considered to be due to electromechanical and
electrothermal instabilities as well as ionization processes, in turn, produced by the dynamic behavior
of electric fields, charge and energy within the channels and the dielectric material [40].
In [41], a physical-kinetic model was presented for the propagation of electrical trees in polymeric
dielectrics, which allows evaluating the useful life of the insulation as a function of the applied voltage,
the ambient temperature and the fractal dimension in a single equation. In this model, it is considered
that the propagation occurs through microdefects around the tree, so the time interval between two
consecutive tree length increments depends on the random distribution of the microdefects in the
material. In [42], a variation to the previous kinetic model was presented to include the effect of
residual compressive and tensile stresses on the tree propagation process. It was found that residual
compressive stresses tend to contract the discharge channel, which tends to slow down the tree
propagation, while tensile stresses tend to open the channels, which accelerates the tree propagation.
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3.6. Cellular Automata Models
Cellular automata is a method that allows analyzing physical systems, which are discrete in time
and space, using only local interactions [43]. This method has been used to simulate the propagation
of electrical trees in solid dielectrics applying pin–plane arrangements and considering conditions
of non-homogeneity in the permittivity of the material that may be a consequence of chemical
deterioration processes of elementary volumes [44]. Further, it has been used to study the effect of
space charge on tree propagation [45]. In [46], the tree propagation was studied in a polymeric material,
polymethylmethacrylate, containing a conductive spherical particle, modelled as a region that has
infinite permittivity, under applied DC voltage conditions. In [47], this model was used to study the
influence of nanoparticles (NPs) on the propagation of electrical trees. Dielectric NPs are simulated as
100 × 100 nm rectangles, with a permittivity of twice the value corresponding to the base dielectric.
The NPs are arranged in uniform configurations of up to 12 NPs in front of the pin tip electrode.
It was demonstrated that the NPs, together with the space charge, act as a barrier that slows down the
tree propagation.
4. A Novel Improved Physical-Stochastic Model for Simulating Tree Propagation in
Polymeric Materials
From the analysis of the state of the art and the study of the tree propagation process in solid
dielectrics, a new physical-stochastic model is proposed. The proposed model is based on the DAM
model [33], but unlike in that, the time required to form a new channel in the new model is calculated
from an analysis of the change on the potential energy in the dielectric.
When the electrical tree propagates along a specific path, depending on the local electric field
strength magnitude, the time average electric potential energy around the new channel increases due
to the increment in the electric field strength magnitude induced by the electric potential in the tree
structure. In our model, it is considered that the increment in the potential energy is produced by
the tree propagation and, according to the Poynting’s theorem [24], this increment must be directly
proportional to the energy required for the new channel development. Therefore, the increment in
the potential energy around the new channel will be equivalent to the kinetic energy transferred by
the electrons after avalanches and can also be associated with the dielectric material vaporization
energy [48,49].
On the other hand, the proposed model allows analyzing tree propagation in non-homogeneous
media or cases where there is space charge, as shown in Equation (1).
In this model, as in the DAM model, it is assumed that avalanches occur during PD. The charges
left by the PD at the interface between the solid dielectric and the gaseous channels intensify the
electric field strength at the points of the solid dielectric beyond that interface and electron avalanches
are induced within the propagation distance, which from experimental measurements is assumed
as Lb = 10 µm [34]. This is the length of each new channel that is added during the time step ∆t
(s). Each electron is accelerated by the local electric field and acquires a kinetic energy that can be
high enough to ionize the molecules in its path and thus generates more charge carriers. This process
continues until the electrons cannot gain more kinetic energy for ionization and are thermally trapped.
It is considered that due to the PD in the gas channels, there are enough available electrons for starting
avalanches from the channels surface.
On the other hand, it is assumed that the electric field strength is constant during each avalanche.
This can be justified taking into account the short duration of PD, <100 ns [50]. Furthermore, the media
are considered to be linear and isotropic and only one channel is added at each time step. This is
consistent with the discrete propagation behavior experimentally observed by other authors [51].
The channels are the result of polymeric chains, C–C bonds, scission due to consecutive avalanches
caused by PD under AC voltage conditions. Electron avalanches involve the existence of inelastic
collisions with the ion network in the polymeric material (polyester, polyethylene, and epoxy resins,
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6 of 16
among others), and therefore, the creation of a new channel implies, in turn, that the potential energy
of the system changes [52].
If λ (m) is the mean free path in direction of the local electric field strength magnitude E (V·m−1 ),
then the average energy gained by an electron in that same distance is ∆W = eEλ·(J). To cause impact
ionization, this energy must be greater than or equal to the ionization energy of the molecule, I (eV).
Assuming the Classius distribution [52] and if it is considered that said distribution will not be altered
by the speed of the electrons in the field direction, all the electrons that acquire an energy greater than
or equal to I (eV), will cause ionization. The number of ionizations per avalanche, NA , can be calculated
as [33]:
NA = [exp(α(E)Lb ) − 1],
(3)
where α(E) is the ionization coefficient, defined as the number of ionizations per electron per unit of
path length and corresponds to:
α(E) = (1/λ) exp[−I/(eλE)],
(4)
In solid materials, λ (m) and I (eV) are treated as adjustable parameters. In polymeric insulation,
they are taken as 60 nm and 9.6 eV, respectively [53].
The energy transferred to the solid polymeric after an avalanche will be ∆Wt = Nt ∆W·(J). The
number of ionizations in a period of time, t (s), of an AC voltage signal of frequency f (Hz), when there
are Nb avalanches per half cycle, can be calculated as [33]:
Nt = 2 f tNb [exp(α(E)Lb ) − 1],
(5)
The energy gained by the ion network in that time will be ∆WA = NA ∆W·(J). A channel will be
created after a time, tch (s), during which, from Equation (5), there will be the following number of
ionizations:
Nc = 2 f tch Nb [exp(α(E)Lb ) − 1],
(6)
Nc is the critical number of ionizations for a new channel development. In polymeric materials, from
measurements in polyester, Nc = 1 × 1013 [41]. The energy transferred to the ion network during this
time will be ∆Wc = Nc ∆W·(J), and the time for a new channel development is:
tch =
∆Wc
1
,
∆W 2 f Nb [exp(α(E)Lb ) − 1]
(7)
where ∆Wc (J) is calculated as the change in the average potential energy around the new channel
before and after its creation using the following equation:
wc =
1 2
εE ,
4
(8)
where wc ·(J·m−3 ) is the local average potential energy density. With this model, it can be considered
that the damage is accumulated in each region of space through the energy density stored there.
The creation of a channel at a specific point in the tree structure will be a stochastic process that
will depend on the magnitude of the local electric field strength, as long as the conditions for ionization
are met. From ∆W = eEλ·(J), a critical value of the electrical field strength for the tree propagation
can be calculated as:
Ec = I/eλ,
(9)
This critical value can also be calculated from the definition of the ionization coefficient function,
Equation (4), establishing a lower limit from which α(E) > 0 and is approximately equal to 37 kV·mm−1
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7 of 16
when I = 18.5 eV [26]. The probability that a channel is added to the tree structure from a point will
depend on the magnitude of the electric field strength there and is calculated as:
η
p(E ) =
(
Eη /
Pz
η
Ei , E ≥ Ec
,
0, E < Ec
i
(10)
where η has the same function as in the NPW model, and although it is clear that it does not have a
physical relationship with the tree propagation process, it is included here taking into account that
its value allows adequately controlling the fractal geometry of the tree structure [54]. Furthermore,
Polymers
2020, 12, evidence
x FOR PEERsuggests
REVIEW that electrical trees are deterministic processes that exhibit certain
7 of 16
experimental
chaos in propagation [55] and it is considered that said behavior can be modelled with the value of
chaos
in propagation
it is considered
that said behavior
be modelled
the value ofin
η
η because
this defines[55]
theand
oscillations
of the stochastic
model to can
a certain
extent. with
The summation
because
thealloscillations
of bonds
the stochastic
model
to atree
certain
extent. The summation in
Equationthis
(10)defines
includes
the probable
around the
current
structure.
Equation
(10)
includes
all
the
probable
bonds
around
the
current
tree
structure.
The computational procedure can be summarized as follows. First, the solid dielectric geometry
The
computational
procedure
can beusing
summarized
as follows.
the
geometry
and electrode
arrangement
are modelled
a squared
lattice ofFirst,
length
Lbsolid
(m). dielectric
See Figure
1.
and electrode arrangement are modelled using a squared lattice of length Lb (m). See Figure 1.
Figure 1. Tree structure propagation in a squared lattice of length L (m).
Figure 1. Tree structure propagation in a squared lattice of length Lbb (m).
The parameters of media and initial boundary conditions, potential at the HV electrodes, are
The parameters
media
boundary
conditions,
at the
HV electrodes,
are
defined.
Second, for of
each
timeand
step,initial
the electric
scalar
potential, potential
electric field
strength,
and average
defined.
Second,
for
each
time
step,
the
electric
scalar
potential,
electric
field
strength,
and
average
energy are calculated by solving the Poisson’s equation using the finite differences and relaxation
energy
are
calculated
by solving
the(10)
Poisson’s
equation
usingbond
the finite
differences
methods
[24].
In addition,
Equation
is calculated
for each
around
the currentand
treerelaxation
structure.
methods
[24].
In
addition,
Equation
(10)
is
calculated
for
each
bond
around
the
current
tree
structure.
The bond with the highest probability is added to the tree structure by a new channel of length
Lb (m)
Lb
The
bond
with
the
highest
probability
is
added
to
the
tree
structure
by
a
new
channel
of
length
and the time step magnitude is calculated from Equation (7). Third, the boundary conditions and vector
(m)
time step
magnitude is
calculated
(7). Third,
the boundary
timeand
are the
updated
and simulations
will
continuefrom
up toEquation
the tree structure
reaches
the planeconditions
electrode. and
The
vector
time
are tree
updated
and issimulations
will continue
up channel
to the tree
structure reaches
the plane
potential
in the
structure
calculated using
the relative
conductivity,
σch , approach
[25]
σ ch
electrode.
potential
in the
tree
structure
is calculated
using
relativefor
channel
conductivity,
presentedThe
in the
Materials
and
Method
section.
Although
thethe
material
the case
of study in this
,paper
approach
[25] presented
the Materialsmodel
and Method
section.
Although
the material
for thebecause
case of
is homogeneous,
theinimplemented
is able to
consider
inhomogeneous
materials
study
in this
paper is
homogeneous,
the implemented
is able
to consider
inhomogeneous
the electric
potential
distribution
is calculated
solving themodel
Poisson’s
equation,
Equation
(1).
materials
because
the electric
potential
distribution
is calculated
The input
parameters
of the
model are
summarized
in Table 1. solving the Poisson’s equation,
Equation (1).
The input parameters of the model are summarized in Table 1.
Table 1. Input parameters for the proposed improved model.
Parameter
λ (m)
I (eV)
σ ch
εr
Description
Mean free path, depends on the material and experimental conditions, for polymers 60–120
nm [21]
Ionization energy, depends on the material, for polymers 8–10 eV [53]
Relative conductivity of the tree channels—0 for non-conductive channels and 1 for highly
conductive channels [25]. Depends on the material and experimental conditions [56]
Relative permittivity of media, depends on the materials. It is assumed that the tree channel
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Table 1. Input parameters for the proposed improved model.
Parameter
Description
λ(m)
I(eV)
Mean free path, depends on the material and experimental conditions, for polymers 60–120 nm [21]
Ionization energy, depends on the material, for polymers 8–10 eV [53]
Relative conductivity of the tree channels—0 for non-conductive channels and 1 for highly conductive
σch
channels [25]. Depends on the material and experimental conditions [56]
Relative permittivity of media, depends on the materials. It is assumed that the tree channel and solid
εr
dielectric have the same permittivity
Critical number of avalanches per half cycle and electron is considered a random magnitude from the
Nc /Nb
Gaussian distribution truncated at the maximum value of Nc /Nb = 1 × 108 [33]
Critical
magnitude
of electric field strength for tree propagation, depends on the material [37]. Also
Ec (V·m−1 )
can be calculated from Equation (9)
η
Power for stochastic model (0–2), depends on the experimental conditions [27,29,30]
Polymers 2020, 12, x FOR PEER REVIEW
8 of 16
In addition, the frequency, f (Hz), and the RMS value of the applied voltage, U
(V), are also
In addition, the frequency, f (Hz), and the RMS value of the applied voltage, U00 (V), are also
required. The model was implemented in Matlab and Figure 2 shows the flowchart.
required. The model was implemented in Matlab and Figure 2 shows the flowchart.
Parameters definition, set the
initial boundary conditions and
initialization of variables, t=0.
Mesh generation in calculation
domain.
Solve the Poisson equation at
the points of the domain,
calculate U, E, wc.
Calculate 𝑝 𝐸 𝜂 , (10) at all the
points around the tree.
𝑝𝑖𝑚𝑎𝑥
𝐸
𝜂
>0
True
False
Calculate α(E) (4), ΔWc (8)
and tch (7). Increase the time
vector in t=t+tch. Update
boundary conditions.
𝐿𝑡𝑟𝑒𝑒 = 𝐿𝑔𝑎𝑝
False
True
Print results
−1 ) is the electric field
Figure
U (V)
potential,
E (V·m
E (V
Figure2.2.Model
Modelimplementation
implementationflowchart.
flowchart.
U is
(V)the
is electric
the electric
potential,
·m−1) is the electric
−3
strength
magnitude,
w
·(J·m
)
is
the
potential
energy
density,
L
(m)
is
the
tree
alongalong
the
−3
c
tree
tree length
field strength magnitude, wc ·(J‧m ) is the potential energy density, Ltree (m) is thelength
symmetry axis and L gap (m) is the pin–plane distance.
the symmetry axis and Lgap (m) is the pin–plane distance.
5. Results and Discussion
5. Results and Discussion
In our simulations, the novel improved model described in the previous section was used.
We reproduced
the experimental
arrangement
described
in the Materials
and Methods
using
In our simulations,
the novel
improved model
described
in the previous
section section
was used.
We
areproduced
100 × 100 squared
lattice, andarrangement
the pin length
was considered
as 6 lattice
which
means
thata
the experimental
described
in the Materials
andunits,
Methods
section
using
L100
µm.squared
According
to experimental
measurements
Nc =1 ×as
10613lattice
in tubes
10 µm
in length
b = 24
Lb
× 100
lattice,
and the pin length
was considered
units,
which
means[41],
thatand
13 L /10 µm during simulations in
for this reason Nc had to be adjusted proportionally as Nc = 1 × 10
b
13
= 24 μm. According to experimental measurements N c =1 × 10 in tubes 10 μm in length [41], and
order to consider tubes of different length.
for this reason N c had to be adjusted proportionally as N c = 1 × 1013 Lb /10 μm during simulations
in order to consider tubes of different length.
From the experimental cases considered in [22], for comparison purposes, only simulation
results for 7, 10 and 15 kV will be presented in this paper. The parameters of the media used for the
simulations are presented in Table 2.
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From the experimental cases considered in [22], for comparison purposes, only simulation results
for 7, 10 and 15 kV will be presented in this paper. The parameters of the media used for the simulations
are presented in Table 2.
Table 2. Parameters of media used for simulating the case study, taken from [21,22].
Voltage (kV RMS)
I (eV)
λ (nm)
Nc /Nb
Ec
(kV·mm−1 )
εr
η
7
10
15
8
8
8
60
60
60
1 × 107
4 × 108
4 × 108
14
14
14
4
4
4
1
1.8
1
It is further assumed that the tree branches are highly conducting, σch = 1, and the tree structure is
equipotential with the pin electrode.
In the original DAM model, a value of Nc /Nb is assigned to each lattice bond, while a random
value from the Gaussian distribution is assigned uniformly to all bonds for each simulation in [21].
Similar to [21], in this study, it is considered that the value of the parameter Nc /Nb is fixed for each
simulation. However, it is considered that its magnitude must be dependent on the applied voltage
because the number of avalanches in a half cycle is proportional to the PD rate and this is dependent on
the peak value and wave shape of the applied voltage as well as the tree length [57]. The parameters
Nc /Nb and η were adjusted through a trial and error process considering the relative difference between
the average value of the time to breakdown obtained from simulations and the measured average
breakdown time reported in [22]. A maximum difference of 3% was considered as reasonably tolerable.
In total, 50 simulations were performed for each voltage in Table 2 and typical simulation results
are shown for the three considered voltages in Figure 3. Figure 3 shows the typical simulation results
of the tree structure, the characteristic curve of length versus time during tree propagation from the pin
tip and the calculated fractal dimension for each time step. From left to right, the simulation results
are organized as follows: the simulation results for 7 kV are shown in the first column, Figure 3a,d,g.
Results for 10 kV are depicted in the second column, Figure 3b,e,h. Finally, simulations obtained for
15 kV are shown in the third column, Figure 3c,f,i.
In Figure 3d–f, L (m) is the maximum length along the tree structure, the green line in Figure 3a,
and LY (m) is the maximum length of the tree parallel to the symmetry axis, Y, for each time step.
See Figure 3a. Additionally, these curves were overlapped with the measured propagation curves,
in red lines with solid dots (LM ), reported as typical in [22]. It should be taken into account that the
measured curve is interrupted in Figure 3d since, during the measurement period reported by the
authors, 60 min, there was no dielectric breakdown at a voltage of 7 kV.
In Figure 3a–c, it can be seen that the tree structures obtained for the three considered voltages are
branched. The highest branch density was obtained for 15 kV, and the lowest for 10 kV. The lower
branch density at 10 kV is explained by the greater value of η, which means that the propagation
probability is almost proportional to the square of the local electric field strength magnitude. Because
of this, the branches are mainly developed in those sites with the highest field magnitudes, that is,
along the symmetry axis and parallel to developed main branches. This can be seen in Figure 3b,e
where it is shown that the tree initially propagates rapidly along the symmetry axis, Y, where the
electric field strength is greater and the time required to create a new channel is low, Equation (7), until
it reaches a point, at approximately 1 mm, where the electric field strength magnitude along the radial
direction, X axis, is comparable to that on the Y axis. At this time, new branches are created from the
branches initially developed close to the pin electrode, where the electric field strength magnitude is
greater, and the fractal dimension increases. See Figure 3h.
In Figure 3d–f, it can be seen that for the three considered voltages, the propagation length
versus time curves exhibit a similar behavior, that is, there is a rapid propagation initially followed
by a deceleration period when the fractal dimension increases—see Figure 3g–i—and finally another
parameters Nc Nb and  were adjusted through a trial and error process considering the relative
Y (mm)
difference between the average value of the time to breakdown obtained from simulations and the
measured average breakdown time reported in [22]. A maximum difference of 3% was considered as
reasonably tolerable.
In total, 50 simulations were performed for each voltage in Table 2 and typical simulation results
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are shown for the three considered voltages in Figure 3. Figure 3 shows the typical simulation results
of the tree structure, the characteristic curve of length versus time during tree propagation from the
pin
tip and the
calculated
dimension
for each
time
step.
From
left to right,
the simulation
acceleration
period
appearsfractal
when the
tree structure
is near
to the
plane
electrode.
That behavior
can be
results
organized
as follows:
the measured,
simulationLresults
for
7
kV
are
shown
in
the
first
column,
Figure
seen inare
both
the simulated,
LY , and
,
curves,
which
allows
demonstrating
the
reliability
M
3a,d,g.
Results
for model
10 kV for
aresimulating
depicted in
second
column, Figure 3b,e,h. Finally, simulations
and efficacy
of the
thethe
physical
phenomenon.
obtained for 15 kV are shown in the third column, Figure 3c,f,i.
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
Lmax (mm)
(a)
Figure
results for
for the
thecase
casestudy.
study.From
Fromthe
thetop
toptotothe
thebottom:
bottom:(a–c)
treetree
structure
in
Figure 3.
3. Typical
Typical simulation results
structure
2D,
evolution
in time ofinthe
maximum
simulatedsimulated
length (L),
the maximum
simulatedsimulated
length onlength
the Y
in 2D;
(d–f) evolution
time
of the maximum
length
(L), the maximum
on the
and the measured
on the
(g–i) the calculated
fractal dimension.
axis
(LYY
), axis
and (L
the
length onlength
the Y axis
(LMY) axis
and (L
the
calculated
fractal dimension.
From the
Y ),measured
M );
From
left to applied
the right,
applied7,voltage:
7, kV.
10 and 15 kV.
left
to the right,
voltage:
10 and 15
In Figure 3e, it can be seen that the initial accelerated growing period is longer at 10 kV than at 7
and 15 kV. This behavior can be seen in the simulated and measured curves. In the model, again, this
is because η σ 2, which allow us to hypothesize that η could be a parameter of the media related to the
rate of energy conversion during the tree propagation. However, more experimentation is required to
confirm this hypothesis.
The fractal dimension, Df , was calculated for each time step using the axial extension method [58].
In Figure 3g–i, it can be seen that the fractal dimension initially increases rapidly, then continues
growing at a very low rate, after that, and finally decreases. This final decrement is due to the final
accelerated growing, with low branching, when the tree structure is close to the plane electrode. An
interesting fact is that the changes in the Df magnitude are related to the changes in the slope of the
propagation curve in Figure 3d–f.
On the other hand, in Figure 3h,i it can be seen that the number of time steps for 15 kV is almost
twice that for 10 kV, but the time to breakdown is lower, but not half, for 15 kV than 10 kV, because
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the energy increases when the applied voltage increases, as described by Equation (8). This allows
demonstrating that simplified methods in which the propagation time is considered as proportional to
the number of time steps through a conversion constant are not adequate [25,59].
Table 3 shows the simulation results of the fractal dimension calculated for each voltage in Table 2.
Table 3. Fractal dimension results. Df-sim , simulated; Df-M , measured. Measured values from [22].
Voltage (kV RMS)
Df-sim
Df-M
∆Df (%)
7
10
15
1.55
1.50
1.64
1.65
1.55
1.66
6.06
3.23
1.21
The values in the last column of Table 3, ∆Df (%), correspond to the difference between the average
values of the simulated, Df-sim , and the measured, Df-M , results with respect to the latter. From the
results in Table 3, it is concluded that the model can adequately reproduce the experimentally deducted
fractal dimension. The precision of the model, especially for the 7 and 10 kV cases, can be adjusted to
reduce the difference (∆Df ) by modifying the parameter η in Table 2. However, it should be noted that
the value of the fractal dimension reported in [22] is in fact a calculated value, using the empirical
model. In addition, there is no single method to determine this dimension [28].
The distribution of the simulation results for the time to breakdown were adjusted to the Weibull
distribution, which is considered adequate for the representation of the probabilities in failure and
aging studies [28]. The cumulative probability of failure P for a time t (s) is given by:
h
i
P(t) = 1 − exp −(t/αt )β ,
(11)
where αt is the characteristic time parameter and β is the shape parameter. These parameters are
estimated using the maximum likelihood method [60]. The calculated values of αt and β as well as the
limits of the 95% confidence intervals, represented with the angled brackets, are shown in Table 4 for
the time to breakdown distribution.
Table 4. Weibull distribution parameters for the time to breakdown. Typical measured breakdown
time tmeas taken from [22].
Voltage
(kV RMS)
β
αt (s)
tmin (s)
tmax (s)
tmean (s)
tmeas (s)
∆tm (%)
7
10
15
8.3 < 10.4 < 12.9
4.5 < 5.6 < 6.9
6.6 < 8.1 < 9.9
5576.9 < 5735.4 < 5898.5
3457.2 < 3644.5 < 3842.0
2813.0 < 2916.9 < 3024.6
4211.2
2262.1
2074.0
6589.6
4881.1
3577.2
5457.6
3370.3
2753.7
5329.4
3404.3
2812.1
2.4
0.9
2.1
The ∆tm (%) values in the last column of Table 4 correspond to the difference between the average
time to breakdown obtained in the simulations, tmean (s), and the average value reported from the
measurements, tmeas (s), with respect to the latter. The maximum difference was obtained for 7 kV,
which can be reduced changing the value of the Nc /Nb parameter in Table 2. However, it is considered
that 2.4% is a reasonably tolerable difference. An ideal comparison also requires the analysis of
αt . However, the paper from which this case study was taken does not include this value for the
experimental results.
In terms of the voltages analyzed, it can be concluded that both the time to breakdown and the
63% probability quantile, αt , decrease almost linearly when the voltage increases. This conclusion
is totally confirmed based on simulation results because there is no overlapping in the confidence
intervals of αt .
From the results presented in Figure 3, Tables 3 and 4, and on comparing these with the
experimentally measured values in [22], it is concluded that the model allows obtaining values of time
to breakdown and fractal dimension that are within the ranges of the measured values. See Table 4.
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For the time to breakdown, as in the experimental cases, there is high dispersion, which is explained
by the values of the parameters used in the simulation, since values Nc /Nb , I and λ are reported as
typical for polymers based on measurements made of polyester [21]. Results that are more accurate
can be achieved by modifying those parameters. However, said modification should be the result of
measurements of those parameters in the type of resins used for the simulations. On the other hand,
from our experience in PD simulation at different defects [61] and measurements reported by other
authors [56], it is considered that the parameter Nc /Nb must be variable along the tree propagation
because it is dependent on the PD behavior, which is variable, in magnitude and rate, during the tree
propagation. A further experimental study should be focused on the evolution of the Nc /Nb parameter
as the tree propagates.
The implemented model yields a propagation length versus time curve quite similar to that found
experimentally, which describes a shape similar to an inverted sigmoidal, with an accelerated growth
at the beginning, followed by a deceleration period and an uncontrolled accelerated growth at the
end until the breakdown. This can be seen by comparing the curves—orange, simulated, and red
with solid dots—measured experimentally, in Figure 3d–f. Both curves not only have a similar shape
but also have a similar rate during propagation, which allows us to demonstrate the validity of the
proposed physical model. It should be pointed out here that most of the other existing physical models,
except for the empirical ones, are unable to reproduce the changes in the propagation characteristic
curve over time measured experimentally, whereas the model presented here can. So this model can be
considered as an improvement to the physical models. On the other hand, other stochastic models
do not directly involve time as a physical variable. However, the proposed model does this through
energy analysis, so this model can be considered as an improvement to stochastic-physical models.
From results in Tables 3 and 4, it is concluded that there is no direct linear correlation between
the fractal dimension and the time to breakdown, as deducted from empirical methods [22], and the
applied voltage must be considered in that relationship because the time to breakdown is dependent
on the applied voltage through the potential energy.
The parameters Nc /Nb , I, η and Ec allow simulating tree propagation in materials under different
conditions—for example, with variations in the glass transition temperature, flexible and rigid materials
can be taken into account through Ec and the conductivity of media [62].
On the other hand, non-homogeneity conditions can be considered, taking into account the
conductivity of the channels of the tree structure, composite materials, NPs, and space charge,
among others.
6. Conclusions
A review of the different models for simulating tree propagation in solid dielectric was carried
out and a new improved physical-stochastic model, based on the DAM model, for tree propagation in
polymeric materials was proposed using an energy analysis approach. The novel improved model
allows quantitatively and qualitatively analyzing the electrical tree propagation behavior under
different material conditions and applied stresses. In addition, the model is able to adequately predict
the time to breakdown and propagation curves, which describes the same dynamical changes during
tree propagation as found in experimental studies.
Furthermore, parameters of the media required for implementing the simulations can be
determined experimentally or typical values reported in the literature can be used. The physical
relationship between the parameters and the propagation process was discussed. In addition, a revision
of the critical number of avalanches per half cycle as a constant parameter was proposed, taking into
account its dependency on the PD behavior as the tree propagates. The novel model is implemented
using a 2D squared lattice, and for this reason, only electrical trees with a fractal dimension below two
can be successfully simulated. However, the model can be extended to a 3D lattice using the same
approach if a 3D solver of the Equation (1) is employed.
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On the other hand, from the simulation results, it was shown that the time to breakdown reduces
when the applied voltage increases because there is no overlapping in the confidence intervals. In
addition, it was found that there is no direct correlation between the fractal dimension and the time
to breakdown, and further there is no direct correlation between the fractal dimension and applied
voltage. There is an inverse relationship between the fractal dimension and the magnitude of the
parameter η—Df increases when η decreases and vice versa. It was hypothesized that η could be a
parameter of media related to the rate of energy conversion during the tree propagation. However,
this requires experimental confirmation.
Finally, other simulations, considering different conditions of materials, space charge, frequency
and applied voltage, could be implemented using the novel proposed model and their simulation
results will be implemented and their results presented in another document.
Author Contributions: Conceptualization, methodology and analysis, J.M.R.-S. and R.A.-S. Software, J.M.R.-S.
Writing—original draft preparation, J.M.R.-S. Writing—revision of material and chemical sections, I.C.
Writing—review and editing, all authors. All authors have read and agreed to the published version of
the manuscript.
Funding: This research received no external funding.
Acknowledgments: The authors gratefully acknowledge Fundación Carolina, Universidad de AntioquiaDepartamento de Ingeniería Eléctrica, Universidad Politécnica de Madrid and Fondo Sapiencia-Alcaldía de
Medellín. The authors thankfully acknowledge the computer resources, technical expertise and assistance
provided by the Supercomputing and Visualization Centre of Madrid (CeSViMa).
Conflicts of Interest: The authors declare no conflict of interests.
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43.
44.
45.
46.
47.
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© 2020 by the authors. Licensee MDPI, Basel, Switzerland. This article is an open access
article distributed under the terms and conditions of the Creative Commons Attribution
(CC BY) license (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/).
Publicación
Título
Autores
Universidades
colaboradoras
Revista
Clasificación
ISSN
Volumen
(número)
Año, páginas
DOI
Publicación de
acceso abierto
Keywords
Abstract
5
Improved Deterministic and Stochastic Models for Simulating Partial Discharges
in Non-Conducting Trees Inside Solid Dielectrics
Johnatan M. Rodríguez-Serna, Ricardo Albarracín-Sánchez
Universidad Politécnica de Madrid, Universidad de Antioquia (Colombia)
High Voltage
JCR: Q2, Scopus: Q1.
2397-7264
6 (1)
2021, 82-94
https://doi.org/10.1049/hve2.12038
Sí
X
No
partial discharges, electrical trees, non-conducting trees, stochastic models, epoxy
resin
Electrical trees are defects originated and driven by partial discharges (PD)
activity and this is the reason why their modelling and simulation are fundamental
for the aging mechanisms comprehension and diagnosis analyses of insulation
systems compound by solid dielectrics. This study presents a brief review of the
different models implemented to simulate PD in electrical trees inside solid
dielectrics. In addition, an improved deterministic model as well as a stochastic
model are presented, which allow predicting adequately the PD pulses
distribution, in magnitudes and phase, for non‐conducting electrical trees of
different shape and length. Two case studies were simulated and their results
exhibit good agreement when compared with measurements presented in the
literature. It is concluded that the main parameters that state the PD behaviour in
trees are the inception and extinction voltage magnitudes, including their
probability distributions, and the tree geometry. The models can be used for
prognosis analysis based on on‐line measurements.
112
Received: 24 June 2020
- Revised: 6 August 2020
Accepted: 21 August 2020
DOI: 10.1049/hve2.12038
O R I G I N A L R E S E A R C H PA P E R
Improved deterministic and stochastic models for simulating
partial discharges in non‐conducting trees inside solid dielectrics
Johnatan M. Rodríguez‐Serna1,2 | Ricardo Albarracín‐Sánchez1
1
Department of Electrical and Electronic Engineering, Automatic Control, and Applied Physics, School of Industrial Design and Engineering (ETSIDI), Universidad Politécnica de Madrid
(UPM), Madrid, Spain
2
Department of Electrical Engineering, Universidad de Antioquia, Medellín, Colombia
Correspondence
Johnatan M. Rodríguez‐Serna, Department of
Electrical and Electronic Engineering, Automatic
Control, and Applied Physics, School of Industrial
Design and Engineering (ETSIDI), Universidad
Politécnica de Madrid (UPM), Ronda de Valencia 3,
28012, Madrid, Spain.
Email: johnatan.rodriguez.serna@alumnos.upm.es
Ricardo Albarracín‐Sánchez, Department of
Electrical and Electronic Engineering, Automatic
Control, and Applied Physics, School of Industrial
Design and Engineering (ETSIDI), Universidad
Politécnica de Madrid (UPM), Ronda de Valencia 3,
28012, Madrid, Spain.
Email: ricardo.albarracin@upm.es
[Correction added on 13 November 2020, after
online publication: A correction was requested to the
original article and this updated version addresses
this. On page 1, below correspondence the affiliation
of Ricardo Albarracín‐Sánchez ‘Department of
Electrical Engineering, Universidad de Antioquia,
Calle 67 No. 53 ‐ 108, Medellín, Colombia.’ has been
changed to ‘Department of Electrical and Electronic
Engineering, Automatic Control, and Applied
Physics, School of Industrial Design and
Engineering (ETSIDI), Universidad Politécnica de
Madrid (UPM), Ronda de Valencia 3, 28012, Madrid,
Spain.’.]
Abstract
Electrical trees are defects originated and driven by partial discharges (PD) activity
and this is the reason why their modelling and simulation are fundamental for the
ageing mechanisms comprehension and diagnosis analyses of insulation systems
compound by solid dielectrics. This study presents a brief review of the different
models implemented to simulate PD in electrical trees inside solid dielectrics. In
addition, an improved deterministic model as well as a stochastic model are presented,
which allow predicting adequately the PD pulses distribution, in magnitudes and
phase, for non‐conducting electrical trees of different shape and length. Two case
studies were simulated and their results exhibit good agreement when compared with
measurements presented in the literature. It is concluded that the main parameters
that state the PD behaviour in trees are the inception and extinction voltage magnitudes, including their probability distributions, and the tree geometry. The models
can be used for prognosis analysis based on on‐line measurements.
1 | INTRODUCTION
Electrical trees are the result of damage accumulation caused
by partial discharges (PD) activity in the gas channels that make
the tree structure up [1,2]. They exhibit well known geometrical shapes: bush, branch or bush/branch, depending on the
applied voltage, the electrodes and test arrangement, and
physical properties of the materials [3].
When the electrical equipment is in use, detailed and
exhaustive inspections are not feasible and non‐intrusive
techniques such as PD measurements are employed [4]. PD
measurements and the characterization of their q‐φ‐n patterns
allows inferring the existence of insulation defects and
potentially dangerous conditions for the equipment life [5,6].
In electrical trees, the behaviour in phase, φ, of those patterns
are not dependent on the material [3]. However, they change
depending on the tree shape and its propagation time [7–10],
the voltage amplitude and wave shape [11] and the coexistence
of various defects [12]. For the aforementioned reasons, the
analysis of q‐φ‐n patterns together with statistical calculations
-
This is an open access article under the terms of the Creative Commons Attribution‐NonCommercial License, which permits use, distribution and reproduction in any medium, provided
the original work is properly cited and is not used for commercial purposes.
© 2020 The Authors. High Voltage published by John Wiley & Sons Ltd on behalf of The Institution of Engineering and Technology and China Electric Power Research Institute.
High Voltage. 2020;1–13.
wileyonlinelibrary.com/journal/hve2
1
2
-
RODRÍGUEZ‐SERNA
allows inferring the tree shape as well as predicting the
remaining insulation lifetime [13,14].
In this study, two improved models for simulating PD in
electrical trees are presented. Simulation results for 2 case
studies are compared with experimental measurements found
in the literature. A good agreement was found between
simulated and measured q‐φ‐n patterns and further improvements are also suggested. This study is organized as follows:
first, a brief review of the capacitive, avalanche, self‐consistent
and artificial channel models for PD simulation in trees is
presented in Section 2. Second, the improved deterministic and
stochastic models (SMs) are explained in detail in Section 3.
Third, the cases of study and the simulation results using the
improved models are shown in Section 4. Finally, some conclusions are depicted in Section 5.
2 | MODELS FOR SIMULATING PD IN
ELECTRICAL TREES INSIDE SOLID
DIELECTRICS
Although the accurate simulation of PD in electrical trees requires a multi‐physical approach, their modelling and simulation can be implemented on an approximated and reliable way
just considering the dynamics of charge on the gas–solid
boundary [15]. This is because of its time constant depends on
process such as gas diffusion, conduction and trapping on the
surface of the solid dielectric, and is much greater than the
related to other physical variables such as the temperature and
pressure [16].
2.1 | Capacitive model
ALBARRACÍN‐SÁNCHEZ
F I G U R E 1 Equivalent circuit of the capacitive model. (a) a branch,
(b) a tree with N branches
PD phenomenon is modelled using the following probability
density function:
�
pR ðtÞ ¼
kp ðU R ðtÞ
0
U Rth Þ U R ðtÞ > U Rth > 0
U Rth > U R ðtÞ > 0
ð2Þ
where kp (V 1) is a constant and U Rth (V) is a critical threshold
value.
Comparison between simulated and measured values
exhibit good agreement. However, there is not a physical
explanation for the inclusion of the series resistance and the
equipotential conditions required for the capacitances calculations, are not explicitly analysed and explained. On the other
hand, it is assumed that just a PD pulse can occur at each half
cycle and, since the capacitances are constants, the PD
magnitude in each branch is constant.
2.2 | Avalanche model
In [17], it was presented a capacitive model for simulating PD
in electrical trees based on experimental measurements of PD
during tree propagation in low‐density polyethylene, ethylene‐
vinyl acetate and ethylene‐acrylic acid. The model is shown in
Figure 1.
In Figure 1 C g (F) represents the capacitance of a single
tree channel, C b (F) is the capacitance of the rest of the solid
dielectric bulk, C a (F) is the coupling capacitance and U s (V) is
the high voltage (HV) source. They found that the PD
magnitude is proportional to the instantaneous voltage
magnitude and the phase separation between consecutive PD
is dependent on the time derivative of the applied voltage. For
that reason, they introduced, although without a physical
explanation, the series resistance R (Ω). The PD occurrence is
controlled by the voltage magnitude in the resistance and can
be approximately calculated as follows:
U R ðtÞ ¼ RC
AND
dU s ðtÞ
dt
ð1Þ
where U s ðtÞ (V) is the applied voltage and
C ¼ C g C b =ðC g þ C b Þ (F). The stochastic behaviour of the
An electrostatic model, which simulates the PD activity as the
result of one or more local electron avalanches was presented
in [18]. This model is able to consider trees with different
geometries that are constructed using linear segments in a
uniform lattice. The size of the cells in the lattice is equal to the
pin tip radius h (m). Each segment in the lattice belonging to
the tree structure corresponds to an electric dipole, which
defines the maximum length span of each avalanche. An
avalanche will appear in a tree segment when the electric potential difference along the segment U seg (V) is greater than the
inception value, U on (V). Due to the local avalanches, charges
are discretely added to the segment ends, simulated as dielectric
spheres of radius h/2 (m) with uniform density, until U seg (V)
is lower than or equal to an extinction magnitude, U of f (V).
U on (V) and U of f (V) depend on the characteristics of the gas
in the tree tubules. A detailed explanation of this model is
presented in Section 3.
Comparisons with measured values in epoxy resins allowed
to conclude that the model adequately predicts the pulses
distribution in phase with similar magnitudes and PD rate in
each half cycle [18]. It was found that the changes in the q‐φ‐n
patterns during the tree propagation can be controlled through
RODRÍGUEZ‐SERNA
AND
-
ALBARRACÍN‐SÁNCHEZ
the relative values of U on (V) and U of f (V) comparing with the
peak value of the applied voltage.
In [19], this avalanche model was improved including the
channel conductivity as a parameter for simulating PD in
conducting and non‐conducting trees. For each segment in the
tree structure a resistance value, Rseg (Ω), is assigned and the
change in the charge distribution along the tree for each time
step is calculated as follows:
�
�
ΔQseg ¼ U seg Rseg Δ ts
ð3Þ
where Δts (s) corresponds to the time step magnitude during
the charge conduction calculations.
Comparison with measurements in flexible resins (non‐
conductive), Rseg ¼ 1 � 1012 (Ω) and glassy resins (conductive), Rseg ¼ 1 � 108 (Ω) showed good agreement, which
allowed to conclude that the charge transport mechanisms in
glassy resins are dominated by conduction. On the other
hand, the simulated q‐φ‐n patterns in non‐conductive trees
are symmetric. However, the measured ones are asymmetric
[20], this is due to the deterministic nature of the simulation
model.
2.3 | Self‐consistent model
In [21], it was presented a tree propagation model that
explicitly simulates the PD activity during the tree advance. It is
considered that the accumulated damage is proportional to the
energy dissipated in the channels during PD activity [22].
Similarly to [18], it is considered that the tree structure is
composed by linear segments of finite length with dielectric
spheres of uniform charge density at their ends. A PD acting in
a segment is simulated as an increase in its conductivity when
the local electric field strength is greater than the inception
magnitude Einc (V‧m 1). Due to the conductivity increment,
charges are transferred between consecutive segments until the
electric field strength magnitude is equal to or lower than a
residual magnitude, Eres (V‧m 1). If Δqti (C) is the electric
charge transferred through the i‐th channel segment during a
PD activity, the increment in the damage in that segment for
the instant t (s) is:
ΔW ti ¼ kW Ei Δ qti
ð4Þ
where kW is the portion of the energy dissipated during the
PD activity causing material damage and Ei (V‧m 1) is the
local electric field strength along the channel calculated from
the difference of potential at the segment ends.
A new channel is added to the existing structure when the
energy and the electric field strength are equal to or greater
than the critical values W c (J) and Ec (V‧m 1). The PD charge
magnitude is calculated from the change in the charge, qi (C),
on the dielectric spheres with:
�
tstep
Q ¼ ∑ qi
i
tstep 1
qi
3
�
ð5Þ
where tstep is the current time step and the summation is made
over all the tree segments.
It is considered that after and before each PD event the
tree segments are no‐conductive. The magnitude and distribution of simulated q‐φ‐n patterns for alternating current
(AC) sinusoidal and triangular voltages are qualitatively
compared with measurements and a reasonable agreement
was found [23]. An improvement to this model was presented in [24] for including the charge transport process
using the Ohm's law, which allows to obtain the individual
PD pulses of current along the tree structure. This powerful
model is too general and does not consider specific changes
in the propagation modes due to physical‐chemical variations in the media and the dependence on the polarity of
the parameters of media [16].
2.4 | Artificial channel model
It has been demonstrated that the q‐φ‐n patterns produced by
PD in straight artificial channels are similar to those found in
trees of different size [25]. In [26], it was presented a physical
model, which is in fact an improvement to the capacitive
model [17], for simulating PD in artificial channels. It is
considered that PD will occur when the electric field strength
at the pin tip is greater than the inception magnitude Einc
(V‧m 1) and will propagate along the channel until the average
electric field is lower than or equal to a residual field Eres
(V‧m 1). The residual field is assumed as uniform and is
calculated as Eres ¼ 0:2 þ 0:14N r (kV‧mm 1) where N r is a
random number between zero and one. The above expression
for Eres allows to consider the stochastic behaviour of PD
pulse magnitudes found experimentally [17].
Figure 2 shows a representation of the electric field distribution along the channel length before and after the i‐th PD
pulse is acting, respectively, E1 (V‧m 1) and E2 (V‧m 1). The
field distribution after a PD is mainly dependent on the charge
distribution on the channel walls, because of that charges can
be trapped and will migrate slowly when the channel conductivity is low.
For calculating the induced charge due to the i‐th PD,
which propagates to the distance ri (m) along the channel, this
is subdivided into various segments of length rs (m), with 0<rs
<ri . Using the superposition principle, the induced charge by
the i‐th PD is calculated as follows:
Qi ¼ ∫0ri C rs ðErs 0
Eres Þdr
ð6Þ
where Ers 0 (V‧m 1) is the electric field strength in the segment
rs when the PD propagate to that segment and C rs (F) is its
equivalent capacitance.
4
-
RODRÍGUEZ‐SERNA
AND
ALBARRACÍN‐SÁNCHEZ
the normal distribution with a mean value of 1 and a standard
deviation of 0.2.
An artificial channel of 120 μm long was simulated
in a pin‐plane arrangement with AC applied voltages in
the 6–10 kV range. It was found that the model
adequately reproduces the main characteristics, distribution
and magnitude of the q‐φ‐n patterns and, for this
reason, its quantitative results are reliable.
Table A1 in Appendix summarizes the main advantages
and disadvantages of existing current models for simulating
PD in electrical trees.
F I G U R E 2 Electric field distribution along the channel length. E1 (V‧
m 1) is the electric field before the i‐th PD and E2 (V‧m 1) is the electric
field distribution after the PD activity. PD, partial discharges
3 | IMPROVED MODELS FOR
SIMULATING PD IN ELECTRICAL TREES
INSIDE SOLID DIELECTRICS
Comparisons with measured q‐φ‐n patterns allowed
concluding that the model adequately reproduces the main
characteristics of the patterns when the channel length and
applied voltage are changed. It was found that the q‐φ‐n
pattern changes from turtle‐like to wing‐like when the channel
length is increased. In addition, there is a proportional relationship between the number of PD and the applied voltage
and a quadratic relationship between the PD magnitude and
the applied voltage.
The definition of segments capacitance in this model is not
physically realistic due to the equipotential conditions and
charge distributions assumed for its calculation. It was found
that when the model is implemented in 2D the PD magnitude
is much lower than the experimentally measured and for that
reason the model must be implemented in 3D.
The improved models proposed in this study are based on the
electrostatic‐deterministic model presented by Champion and
Dodd [18]. According to what was concluded in [27], PD in
electrical trees are controlled by five key parameters:
2.5 | Improved avalanche model
In [27], it was proposed an SM based on the deterministic
model presented by Champion and Dodd [18] and using
experimental measurements of inception and extinction voltages obtained from Pulse Sequence Analysis (PSA) [28,29]. It
was found that the residual electric field strength inside the
channels is lower than the calculated from the PSA residual
voltage [30]. For this reason, it is assumed that the PD
extinction in the segments adjacent to the pin tip is controlled
by an extinction voltage magnitude, U of f (V), while inside the
tree channels is controlled by a residual voltage U res (V), where
U res <U of f . The analysis of PSA patterns allowed inferring that
the voltage difference between consecutive pulses exhibits a
normal distribution, which can be simulated through the
inception voltage as:
U son ¼ randð1; 0:2Þ U on
�
U of f þ U of f
ð7Þ
where U son (V) is the inception voltage used during the simulations, U on (V) is the measured inception voltage and
randð1; 0:2Þ is a random numbers generation function from
i.
ii.
iii.
iv.
v.
Geometry of the trees
Applied voltage
Inception voltage
Extinction voltage
Residual voltage
The electrostatic‐deterministic model allows defining and
controlling these parameters. In addition, it is able to consider
tree structures with fractal dimensions similar to those found
experimentally.
The model is based on electrostatic theory. The following
are the assumptions of the model: there is not tree growth
during PD simulations, each PD event consists of one or more
local electron avalanches within the gas tubules of the tree,
avalanches are instantaneous and there is no charge transportation by conduction during PD.
The tree structure and electrodes arrangement are reconstructed using a square lattice as it is shown in Figure 3. The
tree structure is constructed using linear segments of length
h (m), where its magnitude is equal to the pin tip diameter and
states the maximum distance of each avalanche. After an
avalanche, a dipole is stablished over that distance. It is
assumed that the permittivity of the tree structure is the same
as the solid dielectric. Although this model can be used for
calculating PD in conducting trees [19], we are going to
consider the tree structure as non‐conducting in order to
compare with measured values reported by other authors.
The electrical tree structure must be reproduced in a 2D
square lattice to be simulated, so the only limitation to the
geometry of the tree structure that can be simulated lies in the
possibility of representing it using the 2D square lattice and for
this reason, only trees with fractal dimension below 2 [11] can
be modelled.
The electric field strength and electric potential distribution
along the tree structure in a pin‐plane arrangement are
RODRÍGUEZ‐SERNA
AND
-
ALBARRACÍN‐SÁNCHEZ
5
where ϵ (F‧m 1) is the permittivity of media, r pin (m) is the
position vector of pin tip and r pin ' (m) the position vector of
pin tip image respect to the plane electrode.
UðtÞ ¼ U 0 sinð2πf tÞ (V) is the applied AC voltage to the pin
electrode with frequency f (Hz).
Using Equation (8), the potential at any location, r (m),
within the tree structure or the solid dielectric, can be calculated as:
U app ðr ; tÞ ¼
FIGURE 3
lattice
Tree structure and electrode arrangement on a 2D square
Qapp ðtÞ
4πεh
�
1
|r r pin |
|r
1
r 'pin |
�
ð9Þ
The charge distribution in the tree structure is modelled
using dielectric spheres with uniform charge density and radius
h/2 (m) at the segments ends as it is shown in Figure 4, where
�Q (C) is the charge added to the tree segment ends by a local
avalanche, r þQ (m) and r Q (m) are the position vectors of the
tree segment ends and ΔU ¼ U seg (V) is the potential difference along the tree segment. In Figure 4, it can be seen that
each tree segment corresponds to an electric dipole of length
h ¼ |r þQ r Q | (m).
The potential at the pin tip corresponds to
Uðr pin ; tÞ ¼ U app ðr pin ; tÞ þ U im ðr pin ; tÞ þ U Q ðr pin ; tÞ (V)
where U Q ðr pin ; tÞ (V) is the potential at the pin tip due to
the charges within the tree structure and U im ðr pin ; tÞ (V)
is the potential of the induced image charge on the
pin tip for maintaining the boundary condition
Uðr pin ; tÞ ¼ U app ðr pin ; tÞ. The induced image charge is calculated from Equation (8) as:
Qim ðtÞ ¼
3
4πϵh
1 | r 'pin
�
r pin |
�U im r pin ; t
�
ð10Þ
Taking into account that the image charge and the applied
charge occupies the same location, the potential at any location
r (m) and time t (s) is:
F I G U R E 4 Tree structure defined as composed by tree segments of
same length, h, and dipoles distribution
calculated as the superposition of the electric field due to the
applied HV AC source and the electric field due to the charges
left by the avalanches in the tree segments. The electric potential due to the HV source can be calculated using the charge
simulation and images methods [31]. The pin tip is modelled as
a uniformly charged sphere of radius h/2 (m) and charge Qapp
(C), Figure 4, calculated for each time step as [18]:
Qapp ðtÞ ¼
3
4πϵh
1 | r 'pin
�
r pin |
� UðtÞ
ð8Þ
Uðr ; tÞ ¼ U app ðr ; tÞ þ U im ðr ; tÞ þ U Q ðr ; tÞ
ð11Þ
U im ðr ; tÞ (V) is calculated using Equation (10) in Equation (9), and U Q ðr ; tÞ (V) from the dipoles and their images
[18].
The electric field strength at the centre of each segment of
the tree structure can be calculated using the potential difference between its ends and it is considered as uniform along the
tree segment length. For ease of computation, the analysis and
calculations are made in function of the potential difference
instead of the electric field strength, both related through U ¼
Eh (V). A PD occurs when in a segment is met:
U seg ≥ U on
ð12Þ
6
-
RODRÍGUEZ‐SERNA
where U seg (V) is the difference of potential between the
segment ends and U on (V) is the inception voltage which is
associated with the minimum magnitude necessary for the
separation of electrons from the gas or at the surface, where
could have been left by previous PD.
Due to the local avalanches, charges are added to the
dielectric spheres at the segment ends. Those charges produce
an electric field that opposes to the applied Laplacian field and
the electric potential difference is reduced. In those segments
where Equation (12) is met, charge dipoles will be added
discretely until the following is fulfilled in all segments of the
tree:
U seg ≤ U of f þ U err
ð13Þ
where U of f (V) is the extinction voltage below which avalanches can no longer be sustained, because the ionization
coefficient is equal to the electron trapping coefficient. U err
(V) is a small tolerable error (<10 V) which permits to control
the convergence time. U on (V) and U of f (V) depend on the
characteristics of the gas in the tree tubules and the surface at
the channel walls, their magnitudes can be directly calculated
from experimental measurements [30].
It is assumed that all the tree segments have identical U on
(V), U of f (V) and U err (V) magnitudes. For each time step,
t þ Δt (s), the change in the induced charge is calculated as
ΔQim ðt þ ΔtÞ ¼ Qim ðt þ ΔtÞ Qim ðtÞ (C) and the change
in the charge distribution along the tree is calculated using
Equation (3). Equations (3) and (8)–(13) define the electrostatic‐deterministic model, however, it has been shown that
the behaviour of PD in electrical trees, as well as the
propagation of these in solid dielectrics, is a chaotic‐
deterministic phenomenon [10]. In [20], it was shown that
this purely deterministic model does not allow obtaining
q‐φ‐n patterns with the asymmetries found in the experimental measurements. From the above, the following
stochastic variations for the inception voltages are introduced
in the model:
þ
U on
¼ U on
U on ¼ rand norm ð1; 0:2Þ U'on
ð14Þ
�
U of f þ U of f
ð15Þ
þ
where U on
(V) and U on (V) are the inception voltages of the
positive and negative PD, respectively, used during the simulation, U on (V) and U of f (V) are the inception and extinction
voltages experimentally measured [30]. U'on (V) is introduced
to take into account that the inception voltage of negative PD
is lower than the inception voltage of positive PD [27].
rand norm ð1; 0:2Þ is a function that generates random numbers
with a mean of 1 from the normal distribution with a standard
deviation of 0.2. This distribution and its standard deviation
have been used since the measured and simulated distributions
presented in [20], visually have the appearance of this type of
AND
ALBARRACÍN‐SÁNCHEZ
distribution and the simulation results in [27], which use
this same distribution, are consistent with experimental
measurements.
The stochastic variation for the inception voltage of
negative PD is based on the conclusions of the analyses of
PD time sequences during tree propagation carried out by
Kaneiwa et al. [8]. The model described by Equation (3) and
Equations (8)–(15) corresponds to the proposed improved
SM. The second improved model corresponds to a deterministic model in which the inception voltages are defined as
follows:
þ
¼ U on
U on
ð16Þ
U on ¼ U'on
ð17Þ
with U'on =U on ¼ 0:9 [27]. This same relationship applies to
Equation (15). The model described by Equations (3), (8)–(13)
and Equations (16) and (17) corresponds to the improved
deterministic model (IDM).
Both models were implemented in Matlab. Figure 5 shows
a flowchart of that implementation.
For calculating the electric field strength produced by the
source equivalent charge, the Laplace field, and by the charge
distribution due to the PD in the tree structure, the charge
simulation and images methods were used [31]. The incoming
parameters of the IDM and SM are:
i. The tree structure geometry. The tree structure t must be
modelled using a 2D squared lattice o be simulated. As a
first approximation, the lattice size is considered as the pin‐
tip diameter. However, it can be reduced as necessary in
order to improve the modelling accuracy
ii. The relative permittivity of the dielectric, εr. It is assumed
that the tree structure and the solid dielectric have the same
permittivity
iii. The peak value and frequency of the applied voltage, U 0
(V), f (Hz). Besides, different frequencies and non‐
sinusoidal voltage wave‐shapes can be modelled. However,
experimental validation is required
iv. The inception and extinction voltages, U on (V) and U of f (V).
They can be determined from PD PSA measurements [30].
v. The electric resistance of the tree segments, Rseg (Ω).
Different values of resistance can be assigned to the main
tree channel and the tree tips for modelling the PD
behaviour in conducting trees.
4 | CASE STUDIES AND SIMULATION
RESULTS FOR PD IN NON‐CONDUCTIVE
ELECTRICAL TREES
Two case studies, which were experimentally measured by
other authors, were simulated. The first case study corresponds to a non‐conducting electrical tree in bisphenol‐A
flexible epoxy resin CY1311 whose growing in a pin‐plane
RODRÍGUEZ‐SERNA
AND
-
ALBARRACÍN‐SÁNCHEZ
F I G U R E 5 Proposed improved stochastic and
deterministic models flowchart
arrangement under 10 kV was previously analysed using a
light emission and PD activity correlation approach [20]. The
distance between the pin‐tip and the plane is 2 mm, the
applied voltage to pin electrode is AC 50 Hz, 10 kV peak and
the plane is grounded. This first case study was included in
this study in order to demonstrate the efficacy of the proposed models for predicting the PD characteristics in
magnitude and phase.
On the other hand, a second case study was included in
this study in order to analyse in detail the asymmetry in the
induced PD charge magnitude during the positive and negative
half cycles as well as the effect of the inception and extinction
voltage magnitudes on the PD activity. The second case study
corresponds to a non‐conductive electrical tree in a flexible
epoxy resin of relative permittivity 2.1 used for simulating the
PD activity in non‐conducting trees in polyethylene and for
analysing the effect of relative permittivity on the PD behaviour in different materials [18]. A pin‐plane arrangement is
used applying a 14.14 kV peak, 50 Hz voltage to pin electrode,
while the plane is grounded. The distance between the pin tip
and the plane is 2 mm.
Comparisons between simulated and measured results
allow evaluating the validity, applicability and capabilities of the
proposed models. Each case study was simulated using the
original deterministic model (ODM), Equation (3) and Equations (8)–(13), as well as the SM and IDM models.
F I G U R E 6 Case 1: tree geometry. Non‐conductive tree, 45 � 45
lattice, pin tip at (23,5) in lattice units, h ¼ 50 μm
7
-
8
RODRÍGUEZ‐SERNA
T A B L E 1 Parameters for simulation of Cases 1 and 2. Taken from
[20], Case 1, and [18], Case 2
TA B L E 2
AND
ALBARRACÍN‐SÁNCHEZ
Summary of simulation results for Case 1
Variable/
Model
Case 1
Case 2
U0 (kV)
10
14.142
þ
MaxðqPD
Þ (pC)
156.9 (60.8)
Uon (kV)
3.5
2.2
MaxðqPD Þ (pC)
161.8 (59.6) 266.6 (33.4) 284.6 (28.9) 200
Uof f (kV)
1
1.5
MinðqPD Þ (pC)
Rseg (Ω)
1 � 1012
1 � 1012
ϵr
4.8
2.1
h (μm)
50
50
U'on =Uon
0.9
0.9
Δt1 (μs)
5.6
5.6
Δt2 (μs)
0.28
0.28
4.1 | Case study 1
Figure 6, shows the geometry of the first case study, Case 1,
taken from [18,20]. The tree structure is non‐conductive,
Rseg ¼ 1 � 1012 Ω, the fractal dimension is about 1.5 and the
pin tip‐plane separation is 2 mm. A 45 � 45 uniform lattice
with h ¼ 50 μm is used for modelling the geometry and the pin
tip is at (23,5) in lattice coordinates. Table 1, summarizes the
model parameters.
In Table 1, Δt2 (μs) is the time step used during charge
conduction simulations, Δt2 ¼ Δts (s). Simulation results for
Case 1 during 50 cycles of the applied voltage are shown in
Figure 7. As can be seen in Figure 7d, g the ODM model does
not allow the q‐φ‐n patterns to be adequately simulated since
there is a symmetry between the positive and negative PD
distributions that does not appear in the experimentally
measured patterns.
The simulation results using the IDM model are shown in
the second column of Figure 7. It can be seen in Figure 7e, h
that this model yields q‐φ‐n patterns with asymmetry in the
positive and negative PD. Because of the inception voltage for
negative PD is lower than for positive PD, there are more
negative PD than positive, in addition, these occur at a lower
phase than with the ODM. On the other hand, the greater
number of negative PD increases the charge left in the tree
channels, which produces an increase in magnitude and the
number of subsequent positive PD because of the intensification of the electric field.
Finally, it is observed in Figure 7f, i that, with the SM
model, the q‐φ‐n patterns exhibit a distribution similar to that
obtained in the experimental measurements. On the other
hand, the maximum values of the positive and negative PD are
close to that experimentally measured for this case study in
[20], Table 2. The values between parentheses in Table 2
correspond to the % error with respect to the measured values
reported in [20].
The improvement to the deterministic model proposed
here (IDM), using U'on (V) for negative PD, reduces the error
and allows obtaining asymmetric patterns, however, the
þ=
ODM
17
IDM
SM
Measured
[20]
Parameter
311 (22.3) 449.7 (12.4) 400
15.1
3.4
‐
Abbreviations: IDM, improved deterministic model; ODM, original deterministic
model; SM, stochastic mode.
proposed SM not only reduces the error even further, but
also, the distributions of the q‐φ‐n patterns are similar to
those experimentally measured in which it can be seen that
the positive PD are of greater magnitude than the negatives
and those are concentrated in clouds around the phase values
corresponding to the voltage increments when the resultant
voltage within the tree structure is equal to or greater than
U on (V), while the negative discharges have an approximate
normal distribution.
In spite of the reasonable agreement for the maximum PD
magnitudes, the accuracy of the models can be improved
adjusting the inception voltage distribution using PSA experimental measurements.
4.2 | Case study 2
The second case of study is included here for analysing the
time behaviour of the induced charge on the pin electrode for
verifying if the asymmetries in the PD pulses are also reflected
in the induced PD charge. On the other hand, the permittivity
of media is reduced to 2.1, similar to polyethylene, which allows to evaluate the effect on the PD behaviour of the solid
material parameters.
The Case 2, corresponds to the same geometry shown in
Figure 6. For this case study, a 41 � 44 uniform lattice with
h ¼ 50 μm is used for reproducing the tree geometry. The pin
tip is at (21,4) in lattice coordinates. The parameters of the
model are presented in the third column of Table 1. Figure 8,
shows the simulation results for the Case 2 during 50 cycles of
the applied voltage.
In Figure 8, q’ (C) is the induced PD charge on the pin
electrode. For this case, the q’‐φ‐n distributions obtained using
each model have similar characteristics to that shown in Figure 7.
However, the number of PD is greater due to the applied
voltage is greater and the inception voltage is lower than in the
Case 1. On the other hand, in despite of the increased applied
Laplacian field to the same geometry, the PD magnitudes,
maximum and minimum values, are lower than in Case 1. This
is because the extinction voltage is greater and the voltage
difference between inception and extinction is lower than in
the Case 1, see Table 1. Table 3 summarizes the simulation
results for the Case 2.
In Table 3, Max NPD is the maximum number of PD for
any phase in the q’‐φ‐n pattern. It can be seen that when the
RODRÍGUEZ‐SERNA
AND
ALBARRACÍN‐SÁNCHEZ
-
9
F I G U R E 7 Simulation results for Case 1. From top to bottom: Pulse sequence figure, q‐φ‐n pattern in 2D, q‐φ‐n pattern in 3D. (a), (d) and (g), Original
deterministic model (ODM); (b), (e) and (h), improved deterministic model (IDM); (c), (f) and (i), proposed stochastic model (SM)
permittivity of media is reduced the inception voltage decreases and the extinction voltage increases. Due to this, PD
exhibit a phase advance, it is, they appear earlier in phase.
This behaviour is similar to that found during periodic bursts
when electrical trees propagate in conductive materials. From
that it can be concluded that periodic bursts [16] can be
modelled changing the inception and extinction voltages. On
the other hand, the magnitude of induced charge decrease by
a factor of almost 2, when the permittivity is reduced from
4.8 to 2.1 [18].
Additionally, Figure 9 shows the induced charge on the
pin for the first five cycles of applied voltage using the ODM,
IDM and SM. It can be appreciated that the induced charge
on the pin electrode also exhibits an asymmetry similar to PD
pulses and the proposed models are able to predict this
behaviour with reasonable accuracy. The ODM model always
presents symmetry while the other models present an asymmetry similar to that found in the experimental measurements
in [18]. During the real acquisitions, the maximum value of
the induced charge on the electrode for the positive half cycle
of the AC signal is 40 pC while in the negative half cycle it is
60 pC, which implies an asymmetry of two‐thirds in [18].
Using the results of the SM model, the maximum value in the
positive half cycle is 60 pC, while in the negative half cycle it
is 80 pC, which implies an asymmetry of three‐fourths.
Regarding the measurements, the SM model presents a difference of 12.5% in the asymmetry and 33.33% in the
maximum values of the induced charge. This same error was
found using the ODM model in [18] and it was associated
with the inception and extinction voltages magnitudes used
during the simulations, Table 1. Those voltage magnitudes can
be adjusted in order to reduce the error. However, that task is
out of the scope of this study. This allows us to demonstrate
that the proposed models, not only calculate adequately the
magnitude of the PD, but also their distribution as a function
of phase and time.
The proposed improved models present an adequate performance and permits predicting with minor errors to the
10
-
RODRÍGUEZ‐SERNA
AND
ALBARRACÍN‐SÁNCHEZ
F I G U R E 8 Simulation results for Case 2. From top to bottom: Pulse sequence figure, q’‐φ‐n pattern in 2D, q’‐φ‐n pattern in 3D. (a), (d) and (g), Original
deterministic model (ODM); (b), (e) and (h), improved deterministic model (IDM); (c), (f) and (i), proposed stochastic model (SM)
TA B L E 3
Summary of simulation results for Case 2
Variable/Model
ODM
IDM
SM
þ
MaxðqPD
Þ (pC)
137.9
158.4
178.3
MaxðqPD Þ (pC)
162.1
117.3
78.3
MinðqPD Þ (pC)
þ=
17
15.1
3.4
Max NPD
19
10
12
Abbreviations: IDM, improved deterministic model; ODM, original deterministic
model; SM, stochastic mode.
ODM, the distributions of the q‐φ‐n diagrams and the magnitudes of the PD pulses.
It should be borne in mind that the model only considers
charge transport by conduction at the interface between the
gaseous and dielectric channels and does not take into account
other transport processes, such as in the gas or charge trapping
at the surface, which can affect the distribution of the electric
field strength. However, the results are considered to be
reasonably accurate.
The changes on the PD behaviour during tree propagation
depends on the changes on the tree shape and length [13] and
the spatial and temporal variations in the tree channels conductivity [16]. In non‐conductive trees the PD pattern during
the tree propagation evolves from turtle to wing‐like distribution and the maximum PD increases proportional to the tree
length [27]. On the other hand, in conductive trees, the PD
behaviour during tree propagation is characterized by low PD
magnitudes, practically undetectable due to noise levels, at a
very high rate with some periodic bursts when the PD pulse
magnitude increases, those bursts are related to new branch
formation. The variations in the PD behaviour in conductive
trees can be modelled using the IDM and SM models assigning
a lower resistance to the main tree channel than at the tree tips,
in addition, the bursts can be modelled reducing the inception
and extinction voltages which allows both, to increase the PD
RODRÍGUEZ‐SERNA
AND
-
ALBARRACÍN‐SÁNCHEZ
F I G U R E 9 Induced charge on the pin electrode using the ODM, IDM
and SM models during the first five cycles of the applied voltage. IDM,
improved deterministic model; ODM, original deterministic model; SM,
stochastic mode
magnitude at low voltage phases and to increase the PD
propagation length.
Detailed images and figures of the measurement results can
be seen in [18,20].
Table A2 in Appendix, summarizes the advantages and
disadvantages of the IDM and SM models.
11
The parameters that affect the most the PD behaviour are,
the geometry, the magnitude of the inception and extinction
voltages and the probability density function for the inception
voltage of the negative PD.
Other improvements to the proposed models can be made
by adjusting the inception voltages and the probability density
function using distributions experimentally determined.
The simulation results through the improved models and
their similarity to the experimental measurements, corroborate
the hypothesis of other researchers that PD in trees are
chaotic‐deterministic phenomena.
The models can also be used for simulating PD in conducting trees. However, the validation analysis is quite
difficult due to the high rate of PD pulses and their very low
magnitude [19].
This model will be used in future works for correlating
electrical tree characteristics, tree length and shape, with PD
behaviour as a prognosis tool for evaluating the useful life of
solid dielectrics.
A C K N OWL E D G E M E N T
The authors would like to acknowledge Fundación Carolina,
Universidad de Antioquia‐Departamento de Ingeniería Eléctrica, Universidad Politécnica de Madrid, Fondo Sapiencia‐
Alcaldía de Medellín and Ministry of Science and Innovation of
Spain, National Program of Scientific and Technical Research
and Innovation (project PID2019‐107126RB‐C21).
R E FE R E N CE S
5 | CONCLUSIONS
The state‐of‐the‐art of models for simulating PD in electrical
trees was reviewed and it was found that the electrostatic‐
deterministic model appears to be the most adequate for
simulating PD in trees mainly because it allows considering
trees of different shape and length. The theoretical background
of the models was briefly presented and their advantages and
disadvantages were discussed.
Two novel models, IDM and SM, were proposed which
can be considered as improvements to the ODM that serves
as a basis since they allow obtaining q‐φ‐n patterns with
distributions and magnitudes approximate to those found
experimentally for PD in electrical trees and with smaller
errors than those obtained with the ODM. The main advantages of the proposed model can be summarized as
follows:
i. Electrical trees of different shape can be modelled
ii. The q‐φ‐n patterns obtained have magnitudes and phase
distributions very close to those found experimentally
iii. The models are able to predict the asymmetric behaviour
of the induced charge
iv. The models can be used for considering different frequencies and voltage wave shapes
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-
RODRÍGUEZ‐SERNA
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How to cite this article: Rodríguez‐Serna JM,
Albarracín‐Sánchez R. Improved deterministic and
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non‐conducting trees inside solid dielectrics. High
Voltage. 2020;1–13. https://doi.org/10.1049/
hve2.12038
APPENDIX
TA B L E A 1
Advantages and disadvantages of models for simulating PD in electrical trees inside solid dielectrics
Model
Advantages
Disadvantages
Capacitive [17]
Its calculation algorithm can be easily implemented. The q‐φ‐n The PD in the gaseous channels is controlled by the voltage in a
patterns present distributions similar to those measured
resistance that does not have a physical explanation. Only
experimentally. The stochastic behaviour of the PD is
one PD can occur in each half cycle. The channel
simulated by varying the extinction voltage.
capacitances are constant, so the PD will be of constant
magnitude.
Avalanche [18,19]
It is an electrostatic model whose parameters and variables are It is a purely deterministic model, so the distributions of the q‐φ‐
physically justified and can be measured experimentally.
n patterns do not present the asymmetries found in the
Trees of different geometries can be simulated. Both
experimental measurements.
conductive and non‐conductive trees can be simulated.
Self‐consistent PD þ
propagation [21,22]
It is a physical model that allows the simultaneous simulation of It is a fairly general model and does not take into account
PD and the propagation of trees. The q‐φ‐n patterns are
changes in tree propagation modes due to physical and
similar to those measured experimentally with sinusoidal and
chemical variations in materials caused by PD. Dependence
triangular AC signals. The model uses the charge simulation
of polarity on media and model parameters is not
method. Quite different geometries can be simulated since a
considered.For the simulation of the PD it can be
predefined lattice is not used for the propagation of the
considered as equivalent to the avalanche model.
trees.
RODRÍGUEZ‐SERNA
AND
-
ALBARRACÍN‐SÁNCHEZ
13
Model
Advantages
Disadvantages
Artificial channel [26]
It is an improvement to the original model of capacitors.
The capacitance between the channel tip and the plane electrode
Multiple PD can be considered in a half cycle of a sinusoidal
is constant so sudden changes in PD cannot be modelled by
AC signal. The model adequately reproduces the
increasing the radial length of the tree structure. Only
experimentally measured q‐φ‐n patterns in artificial channels
artificial, straight channels can be modelled.
when the applied voltage or length is changed. The
dependence of polarity on the model parameters is
considered.
Improved avalanche [27]
The distributions and magnitudes of the simulated q‐φ‐n
The model does not consider the dependence on the polarity of
patterns are quite close to those measured experimentally, so
the model parameters, so the q‐φ‐n patterns are symmetric.
the quantitative results are reliable.
Abbreviations: AC, alternating current; PD, partial discharges.
TA B L E A 2
Summary of advantages and disadvantages of proposed models for simulating PD in electrical trees
Model
Advantages
Original deterministic
model (ODM)
It is an electrostatic model whose parameters and variables are It is a purely deterministic model, so the distributions of the q‐φ‐
physically justified and can be measured experimentally. Tree
n patterns do not present the asymmetries found in the
of different geometries can be simulated. Allows modelling
experimental measurements. The trees must be represented
and simulating conductive and non‐conductive trees.
using a 2D square lattice to be simulated.
Improved deterministic
model (IDM)
The same as aforementioned for ODM. Besides, allows
considering a lower inception voltage magnitude for the
negative PD.
Stochastic model (SM)
The same as aforementioned for ODM. Additionally, includes a The trees must be represented using a 2D square lattice to be
stochastic variation in the inception voltage for negative PD
simulated, for this reason only trees with fractal dimension <
with a distribution based on experimental measurements. The
2 can be modelled. It is only considered charge transport by
q‐φ‐n diagrams show an asymmetric behaviour similar to
conduction at the gas‐solid interface.
measured ones. The PD behaviour simulated using this
approach allows to explain the chaotic‐deterministic conduct
of tree propagation.
Abbreviation: PD, partial discharges.
Disadvantages
In spite of the different voltage inception magnitude for positive
and negative PD, the q‐φ‐n patterns exhibit a symmetric
wing‐like distribution in both, negative and positive half
cycles. The trees must be represented using a 2D square
lattice to be simulated. It is only considered charge transport
by conduction at the gas‐solid interface.
Publicación
Título
Autores
Universidades
colaboradoras
Revista
Clasificación
ISSN
Volumen
(número)
Año, páginas
DOI
Publicación de
acceso abierto
Keywords
Abstract
6
A Study on the Life Estimation and Cavity Surface Degradation due to Partial
Discharges in Spherical Cavities Within Solid Polymeric Dielectrics Using a
Simulation Based Approach
Johnatan M. Rodríguez-Serna, Ricardo Albarracín-Sánchez
Universidad Politécnica de Madrid, Universidad de Antioquia (Colombia)
Polymers
JCR: Q1, Scopus: Q1.
2073-4360
13 (3)
2021, 324
https://doi.org/10.3390/polym13030324
Sí
X
No
partial discharges, time-to-breakdown, polymer degradation, prognosis, dielectric
breakdown
Partial Discharges (PD) in cavities are responsible for the greatest aging rate in
polymeric solid dielectrics due to chemical and physical deterioration mechanisms
activated by the charge carriers, Ultra Violet (UV) radiation and local temperature
rising during PDs activity. From the above, it is necessary to develop prognosis
tools based on PDs measurements as diagnostic quantities in order to infer the
time-to-breakdown, life, of solid dielectrics for improving the reliability of
electrical assets, especially in current applications where they are subject to great
electrical stresses in voltage frequency and magnitude. In this paper, the
degradation in polymeric materials induced by PDs in cavities is briefly discussed
from a phenomenological point of view, and then it is quantitatively evaluated
using a simulation-based approach and a new proposed damage function. The
time-to-breakdown calculated from simulations exhibits good agreement when
compared with experimental measurements. Additionally, an analysis on the effect
of the magnitude and frequency of the applied voltage on the degradation rate is
also presented and the effectiveness of a degradation indicator, proposed by other
authors, is evaluated under different stress conditions.
126
polymers
Article
A Study on the Life Estimation and Cavity Surface Degradation
Due to Partial Discharges in Spherical Cavities within Solid
Polymeric Dielectrics Using a Simulation Based Approach
Johnatan M. Rodríguez-Serna 1,2, *
1
2
*
Citation: Rodríguez-Serna, J.M.;
Albarracín-Sánchez, R. A Study on
the Life Estimation and Cavity
Surface Degradation Due to Partial
Discharges in Spherical Cavities
within Solid Polymeric Dielectrics
Using a Simulation Based Approach.
and Ricardo Albarracín-Sánchez 1
Departamento de Ingeniería Eléctrica, Electrónica, Automática y Física Aplicada, Escuela Técnica Superior de
Ingeniería y Diseño Industrial (ETSIDI), Universidad Politécnica de Madrid (UPM), Ronda de Valencia 3,
28012 Madrid, Spain; ricardo.albarracin@upm.es
Departamento de Ingeniería Eléctrica, Facultad de Ingeniería, Universidad de Antioquia (UdeA),
Calle 67 No. 53-108, 050010 Medellín, Colombia
Correspondence: johnatan.rodriguez.serna@alumnos.upm.es
Abstract: Partial Discharges (PD) in cavities are responsible for the greatest ageing rate in polymeric
solid dielectrics due to chemical and physical deterioration mechanisms activated by the charge
carriers, Ultra Violet (UV) radiation and local temperature rising during PDs activity. From the above,
it is necessary to develop prognosis tools based on PDs measurements as diagnostic quantities in
order to infer the time-to-breakdown, life, of solid dielectrics for improving the reliability of electrical
assets, especially in current applications where they are subject to great electrical stresses in voltage
frequency and magnitude. In this paper, the degradation in polymeric materials induced by PDs
in cavities is briefly discussed from a phenomenological point of view, and then it is quantitatively
evaluated using a simulation-based approach and a new proposed damage function. The time-tobreakdown calculated from simulations exhibits good agreement when compared with experimental
measurements. Additionally, an analysis on the effect of the magnitude and frequency of the applied
voltage on the degradation rate is also presented and the effectiveness of a degradation indicator,
proposed by other authors, is evaluated under different stress conditions.
Keywords: partial discharges; time-to-breakdown; polymer degradation; prognosis; dielectric breakdown
Polymers 2021, 13, 324. https://
doi.org/10.3390/polym13030324
Academic Editor: Emin Bayraktar
Received: 26 December 2020
Accepted: 19 January 2021
Published: 20 January 2021
Publisher’s Note: MDPI stays neutral
with regard to jurisdictional claims in
published maps and institutional affiliations.
Copyright: © 2021 by the authors.
Licensee MDPI, Basel, Switzerland.
This article is an open access article
distributed under the terms and
conditions of the Creative Commons
Attribution (CC BY) license (https://
creativecommons.org/licenses/by/
4.0/).
1. Introduction
In order to improve the maintenance actions on electrical assets, it is necessary to make
an adequate diagnosis of the equipment health using measurements and indexes that allow
to evaluate the actual operating conditions of the equipment [1]. For insulation systems
and dielectric materials, phenomenological macroscopic life models allow to infer the
time-to-breakdown using extrapolation from accelerated tests results [2]. However, local
defects as cavities, protrusions or impurities, induce the acceleration of ageing rates, which
makes difficult the precise and reliable life estimation under different stress conditions [3].
Polymeric materials, as well as polymerizable resins, are used in the different subsystems of the electrical assets insulation systems because of its good dielectric properties,
elasticity, thermal stability and resistance against moisture, dirt and chemical contamination [4]. In addition, they allow to increase the reliability, cost effectiveness and power
density of electrical apparatus, e.g., electrical machines, in modern applications such as
mobility, aerospace and high speed [5–7].
Cavities can appear in polymeric materials as a consequence of the manufacturing
and curing processes [8], and Partial Discharges (PD) activity can be started inside them,
accelerating the ageing process of the dielectric materials [9]. During PDs in cavities,
electrons, and also ions, can acquire high-kinetic energies due to the increased fields and
long-free paths [10]. These highly energetic electrons collide with the gas–solid interface
Polymers 2021, 13, 324. https://doi.org/10.3390/polym13030324
https://www.mdpi.com/journal/polymers
Polymers 2021, 13, 324
2 of 23
and can cause the dielectric degradation via impact ionization, C–H bond scissions and
chemical reactions induced by free radicals [11,12]. The latter chemical processes, along
with oxidation, are the most obvious mechanisms for polymer degradation driven by PDs
in cavities [9,13].
As PDs activate the fastest degradation mechanism in polymeric solid dielectrics
due to chemical and physical deterioration mechanisms activated by the charge carriers,
UV radiation and local temperature rising during PDs activity [8,14], their measurable
magnitudes, i.e., partial discharge (PD) charge, PD energy, PD pulse shape, etc., can be
used as effective diagnostic quantities, specially, in organic dielectric materials or oilpaper [15,16]. In addition, the types of defects [17], as well as some of their characteristics,
such as, shape, diameter and ageing conditions, among others, can be inferred from PD
measurements [18,19]. However, an accurate prediction of the remaining useful life of the
equipment from PD measurements is still not available.
On the other hand, nowadays applications such as hybrid AC and DC transmission
schemes and nonlinear loads impose stresses conditions different to those considered
at rated conditions. In hybrid AC and DC systems, dynamic ageing and life modeling
is required because ageing factors and mechanisms are changing depending on power
planning and dispatch constrains [20]. Under DC voltage applied, the field distribution is
different from the case of AC voltage, which causes that the inception of PDs activity at
internal cavities is variable depending on their location and the type of applied voltage,
AC or DC. In addition, at DC, the PD inception voltage can become lower than under AC
because the conductivity increases due to the temperature rising by load increments [20].
Harmonic components are also able to increase the thermal and electrical stresses due to
superposition with the fundamental component causing increments in the PD rate, the
PD pulse magnitude and, consequently, the degradation rate [21]. In medium-voltage
rated motors, the PD pulse magnitude and PD rate will increase under an inverter supply,
however longer life times are obtained when both, the number of inverter voltage levels
and the impulse rise time, increase, with a maximum when the voltage corresponds to a
sinusoidal wave shape [22].
In this paper, it is presented a study on the degradation of polymeric materials induced
by PDs in spherical cavities inside solid dielectrics implementing an innovative simulation
based approach that uses a novel damage function and allows to quantitatively inferring the
time-to-breakdown of the insulation system. Additionally, based on simulation results, the
effectiveness as well as the period of predominance above each other of the chemical and
physical degradation mechanisms are discussed. On the other hand, the simulation-based
approach is used for numerically evaluating the effect of the applied voltage frequency
and magnitude on the degradation rate and analytical expressions for the trend lines of
the accumulated damage or ageing as a function of voltage magnitude and frequency
were determined.
In this study it is considered that the ageing of the solid dielectric material is driven
mainly by PDs in cavities which is supported by the fact that the breakdown is determined
by the most harmful condition and the greatest ageing rate [13]. The degradation induced
by PDs in spherical cavities at different stages, phases, during ageing is estimated through
a method that uses a microscopic life model inspired in the Serra et al. work [23], in which
the polymer C–H bonds are broken via Dissociation by Electron Attachment (DEA). DEA
is a chemical process where electrons are temporarily trapped in a resonant state of the
molecules causing its fragmentation [24]. The implemented method makes it possible
to infer quantitatively the time-to-breakdown under the electrical stresses imposed at
each phase of the aging process. It is assumed that the ageing phases can be clearly
differentiated by the variations in the Phase-Resolved PD (PRPD) patterns that have
already been analyzed and characterized by other researchers in [25]. On the other hand,
the effects of applied voltage magnitude and frequency on the ageing rate are analyzed
using simulation results. The effect of the space charge and physical mechanisms on the
ageing rate are also discussed and an ageing rate indicator, proposed by other authors
Polymers 2021, 13, 324
3 of 23
in [26], is also evaluated under different stress conditions. Statistical analyses are included
for considering the stochastic characteristics of the PD behaviour.
The paper is organized as follows: first, the materials and methods employed for
the case studies are summarized in Section 2; then, the degradation induced by PDs
in polymeric materials is briefly discussed in Section 3. The method for calculating the
degradation induced by PDs and for estimating the life is presented afterwards in Section 4;
next, the simulation results for the considered case studies are presented and discussed in
Section 5. Finally, some conclusions are depicted in Section 6.
2. Materials and Methods
For this work, three case studies were implemented. The first case study allows
evaluating the degradation along different ageing phases differentiated by the variations
in the PRPD patterns. The time-to-breakdown from unaged conditions is calculated
using the life estimated at each ageing phase. Then, numerical results are compared with
measurement observations, which allows showing the effectiveness of the implemented
method for estimating the life of solid dielectrics subject to PDs in cavities using simulations.
On the other hand, the second and third case studies allow analyzing, respectively, the
effect on the degradation rate of the applied voltage magnitude and frequency.
The first case study was presented in [25], while the second and third were presented,
respectively, in [27,28]. The sample preparation is described in each corresponding reference. The Table 1, summarizes the materials description for each case study as well as the
characteristics of the test arrangements.
Table 1. Description of the materials and applied electric stress in the case studies.
Case Study
1
2
3
Material
Cavity Gas
Epoxy resin, EP 100
(Araldite D/HY 956)
Epoxy resin, Araldite Rapid
Epoxy resin, Araldite Rapid
Cavity Radius, a [mm]
Electric Stress
Air (2–65 kPa, 300 K)
1.25
AC, 50 Hz, 19.25 kV, D = 3.50 mm
Air (77 kPa, 293 K)
Air (101 kPa, 293 K)
0.70
0.78
AC, 50 Hz, 14 kV–20 kV, D = 2 mm
AC, 1 Hz–50 Hz, 14 kV, D = 2 mm
The test arrangement for all the case studies corresponds to a spherical cavity immersed in a solid dielectric bulk, which is put into a flat electrode configuration with a
dielectric separation D (m), see Table 1. An AC voltage source is applied to the upper
electrode while the lower is grounded.
The parameters of media for the first case study at each ageing phase were presented
in [29]. It was assumed that during aging the ionization characteristics of the gas in the
cavity are similar to those of air. This approximation is reasonable in the sense that the
gaseous decomposition and the products of the reactions (such as CO2 , CH4 , and NOx) are
not very different from air in their ionization characteristics [25]. Similarly, the parameters
of media for the second and third case studies are presented, respectively, in [27,28].
The method for calculating the induced damage and the time-to-breakdown due to
PDs in spherical cavities inside solid dielectrics consists of the following two steps:
•
•
PDs simulation; and
PD induced damage calculation.
At the first step, PDs are simulated for each case study using the hybrid PD-Finite
Element Analysis model presented in [29]. The following assumptions were made for the
simulations and calculations:
•
•
•
Discharges propagate along the symmetry axis and are streamer-like [30].
The PD deploys charge carriers of opposite sign at the cavity surface where all they
are initially concentrated at the intersection point between the symmetry axis and the
cavity surface. After that, the charge assumes a field-dependent distribution [29].
As the damage depends on the charge carrier collision and they are initially concentrated on the intersection point between the symmetry axis and the cavity surface,
Polymers 2021, 13, 324
4 of 23
where the streamer impacts with the cavity surface, it is considered that the damage
accumulates at that point [19].
In comparison to Townsend-like, streamer-like PDs cause severe degradation to polymers which allows to conclude that cavities with dimensions < 10 µm will not be eroded
by PDs [10]. Streamer-like PDs produce local degradation because they inject charge and
produce oxidation locally, generating semiconducting patches in the colliding area [8].
At the second step, the degradation induced by PDs in the solid dielectric, polymer
C–H bonds broken via DEA [23], is calculated as a function of the PD-electrons energy
distribution and the scattering rates in the polymer, this is detailed in Section 4. As
the electrical tree propagation is faster than its inception [31], the time-to-breakdown,
life, is considered as the time required to the formation of a damaged zone of size large
enough for sustain PDs independent from the PDs in the cavity and the tree propagation
can be incepted.
3. Degradation of Polymeric Material Induced by PDs in Cavities
The continuous PD activity induces the formation of pits and craters on the cavity
surface due to the erosion of the dielectric material through the following physical and
chemical mechanisms [8,32,33]:
•
•
•
Bombardment of the cavity surface by charge carriers and photons;
Increment on the local temperature by high temperature discharge gases; and
Chemical reactions activated by excited molecules or chemical compound in the gas
and solid phase, particularly oxygen and ozone.
Those pits and craters can lead to the propagation of electrical trees due to local field
enhancements [3,34]. In oxygen free conditions, the continuous ion bombardment of the
surface is able to produce craters or pits. However, due to their low energy, is required the
simultaneous occurrence of great temperature risings and under normal conditions it only
appears as a worsening factor of existing damage [8]. On the other hand, the increment on
the local temperature in the cavity can accelerates the chemical reactions, but other thermal
degradation mechanisms, such as, the direct melting are negligible [35].
PDs in cavities inside solid dielectrics are cause and consequence of material ageing
and the effectiveness of the aforementioned mechanisms on the material degradation,
depends on the gas and solid composition, temperature, gas pressure, cavity surface
conductivity, and roughness, as well as the energy dissipated by the PDs [36]. In turn,
the cavity gas and surface characteristics influences the PD behaviour because the gas
ionization parameters are function of its composition, and the charge drift or recombination
and emission rates at the cavity surface depend on its conductivity and roughness [26].
In oxygen rich conditions appear large PD pulses, which erode uniformly the cavity
surface by ion bombardment and oxidation. On the other hand, in nitrogen and moisture
conditions appear swarming micro PD pulses that produce localized degradation due to
ion bombardment. In air, the PD degradation exhibits the combined effect [32].
Chemical reactions activated by hot electrons determine the rates of oxygen consumption, in gas and solid phases, and by-products generation, which modifies the cavity gas
composition and pressure, as well as the cavity surface roughness. At the initial ageing
phases, in oxygen rich conditions, the PD energy allows creating active oxygen species
(O, O2 , and O3 ) which degrade uniformly the cavity surface and a synergy may exist
between DEA and autoxidation [37]. The dissociation of C–H bonds produces H− ions and
polymer free radicals, R˙ which are formed after an initiation step X, caused by oxidation,
UV absorption, electron collisions or ionizing radiation as [8]:
X + Ra+b → Ra∗ + Rb∗
(1)
Those polymer free radicals are very reactive and promote the chain scission and
cross-linking through chain reactions, especially in oxygen rich conditions, that finish when
all the energy has been consumed or an antioxidant reaction occurs. The activation energy
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5 of 23
for autoxidation is low and this is the reason why this process is very important in the tree
inception under AC voltage [12].
During ageing, an oxidized layer containing carbonyl radicals (=CO) appear at the
cavity surface, which modifies its conductive characteristics, affecting indeed the PD
inception and extinction magnitude, the electric field distribution and streamer landing
pattern [32]. The non-uniform deposition of by-products cause that some areas are prone
to experience intensive bombardment [38]. In epoxy specimens, the oxidation process is
dependent on the curing process because it has been shown that when anhydride hardener
is used it reacts with most of the oxygen leaving an atmosphere that is 80–98% nitrogen.
Nevertheless, in air and nitrogen the PD behaviour is quite similar [39], which allows to
infer that chemical reactions in the surface are the most important and that the oxygen in
the gas or in the polymeric matrix participates in the surface oxidation.
After experimental observations of PDs that induced degradation in spherical cavities
enclosed in epoxy resin [40], it have been found that despite some by-products were
encountered at the equatorial zones perpendicular to the electric field in the cavity, the
surface degradation is severe at the polar zones closer to the High-Voltage (HV) electrodes.
At those polar zones, semiconducting crystals made of oxalic acid were found, which
due to field enhancement, concentrate the PD activity in their vicinity, increasing pitting
and originating channels from the void surface. From that observation, it was concluded
that crystals formation is in fact the first stage in the tree inception [40]. As the crystals
modify the cavity geometry and the PDs inception location, the appearance of crystals
can be detected analyzing the asymmetries in the PRPD pattern, however the appearance
of the channels cannot be easily detected because the low magnitude of the PD pulses
in them [41].
The cavity gas pressure diminishes due to oxygen consumption in chemical reactions,
in the gas and the cavity surface, and diffusion of gases into the dielectric bulk [42]. Both,
the cavity surface conductivity and cavity gas pressure determines the PD inception voltage
and rate and are considered as the main parameters that affect tree initiation [43].
On the other hand, due to the aforementioned changes on the cavity surface and gas
composition and pressure, the PD behaviour along the ageing period changes. This means
that the ageing rate changes, and probably the degradation mechanism too, and for this
reason the ageing and life models have to clearly specify the ageing phase for which it
applies [44]. In this study, it is considered that the chemical mechanism is the predominant
and it is active along all the ageing phases.
Under practical conditions, the changes in the gas and surface conditions, previously
mentioned, can be inferred from the PD behaviour and PRPD patterns, analyzing the
changes in the PD rate, pulse shape and magnitude, time lag, etc., which can be used
as diagnostic indicators. However, a precise and meaningful diagnostic of the dielectric
and life estimation based on PD measurements is impossible without analyzing the PD
phenomenon at a microscopic scale from a physical and chemical point of view [45]. In
addition, the overall ageing process is determined by thermal, electrical, environmental
and mechanical stresses and the stochastic behaviour of PDs, requires the estimation of life
from a statistical framework [46].
Microscopic life models provide a physical explanation to the ageing process and
fittings of parameters relative to media or conditions of tests, as in the phenomenological
macroscopic life models, are not required [47]. Furthermore, microscopic life models can
give direct comprehensive relationships between the physical, chemical and microstructural
characteristics of polymers and the degradation mechanisms associated with PDs in local
defects [48]. In addition, microscopic life models with measurements can be used as
prognosis tools [49,50].
4. Calculation of the Degradation Induced by PDs and Life Estimation Approach
Taking into account theoretical and experimental studies [38,51], it is assumed that
PDs in spherical cavities can incept treeing, these being the last stage of the aging process
Polymers 2021, 13, 324
6 of 23
before breakdown. Once the electrical tree is incepted, i.e., the first tree channel has a length
enough for develop self-sustained PDs independent from those at the cavity, electrical tree
continues propagating via a physical degradation mechanism [31,41]. On the other hand,
chemical degradation due to PD in tree channels tend to increase the channel diameter [10].
As it was described in the Section 3 of this document, both, physical and chemical
mechanisms are able to produce chain-scissions. The simulation-based approach implemented in this study limits the scope to consider only the chemical mechanism for the
different ageing phases. This chemical mechanism also induces irregular morphological
changes, as the formation of crystals that cannot be simulated using the approach proposed
here. Experimental measurements, should allow inferring the crystals growth rate and
location, in order to improve the modeling and simulation of the cavity geometry and
their effect on the PD inception voltage and rate and the streamer landing location, which
indeed affects the most damaged area and the time to reach the critical length for starting
the self-sustained tree propagation.
4.1. Calculating the PD Induced Damage by DEA
Highly energetic electrons, hot electrons, accelerated by the local electric field during
PDs collide with the cavity surface and release their energy upon a region close to the
collision point, and if the scattering rates of the polymer are known [52], the damage,
assumed as the number of broken C–H bonds through a DEA process, can be estimated. It
is also assumed that hot electrons in the solid dielectric are far below critical conditions for
breakdown. i.e., the electric field strength magnitude at the solid bulk is lower than in the
cavity gas and the dielectric breakdown strength magnitude is higher in the solid than in
the gas and undergo a fast thermalization by impact ionization and DEA of C–H bonds.
DEA is responsible for chemical damage that irreversibly accumulates in the polymer
because of consecutive avalanches over time. All the thermalization process occurs in a
slab of thickness Ddis ∼ 400 Å [13], for this reason, the damage induced by hot electrons
must be confined to this slab.
The method of analysis implemented in this study is based on the microscopic model
proposed by Serra et al. [23]. The PD activity is simulated using the hybrid PD-Finite
Element Analysis model presented in [29]. The number of electrons generated during the
i-th PD is calculated as:
qi
Neli = PD ,
(2)
q0
where qiPD (C) is the PD charge and q0 (C) is the elementary charge. The rate of electrons
colliding with the polymer surface during the i-th PD corresponds to:
Riel =
Neli
∆tiPD
,
(3)
where ∆tiPD (s) is the duration of the i-th PD. According to the model in [23], the time to
dissociate by DEA the half of the C–H bonds, NCH , in the volume of a disrupting slab of
size enough for starting an electrical tree can be calculated as:
tdis =
NCH
,
2Rel Fhot Fe f f
(4)
where Fhot and Fe f f are, respectively, the fraction of hot electrons produced during the PD
and the fraction of collisions effective for DEA. From Equation (4), the following damage
function can be defined:
2Riel Fhot Fe f f i
i
f PD
=
∆t PD ,
(5)
NCH
i is the damage accumulated, as a portion of broken C–H bonds in a cylindrical
where f PD
slab of length Ddis = 400 Å and circular cross section of Sc = π (1)2 [µm2 ] [53], at the cavity
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7 of 23
i
= 1 when t = tdis (s). The
surface due to the i-th PD. The damage accumulates until ∑ f PD
damage continues accumulating up to the deteriorated region reaches a critical length, dc
(m), from which an electrical tree can be started and propagates independently from the
PDs at the cavity, dc = 3 µm [13]. The life, L (s), can be calculated as:
L=
dc tsim
,
i
Ddis ∑ f PD
(6)
tsim
i is the accumulated damage during the simulation time t
where ∑ f PD
sim (s). For determintsim
ing Fhot the following approach is used: first, the electron energy distribution function is
determined as a function of the electric field strength magnitude in the cavity, and then the
fraction of hot electrons, electrons with energy ≥8 eV, is calculated. The electron energy
distribution function is calculated using the Maxwellian shape [54]:
wβ 2
−3/2 1/2
f (w, Ecav ) = w
w β 1 exp −
,
(7)
w
where w (eV) and w (eV) are, respectively, the electron energy and mean electron energy,
β 1 = Γ(5/2)3/2 Γ(3/2)−5/2 , β 2 = Γ(5/2)Γ(3/2)−1 and Γ is the Gamma function. The mean
electron energy is calculated as:
(8)
w = λe q0 Ecav ,
where λe ( p, T ) (m) is the mean free path of electrons in a gas, for air λe = 3.792 × 10−7 m
at p = p0 = 100 kPa and T = T0 = 273.15 K [55], and Ecav (V·m−1 ) is the electric field
strength magnitude at the cavity centre. Fhot can be calculated as a function of the electric
field strength magnitude in the cavity as [13]:
R∞
Fhot =
f (w, Ecav )dw
w=8eV
R∞
.
(9)
f (w, Ecav )dw
0
For determining the fraction of hot electrons effective in producing DEA, Fe f f , it
is necessary to solve the Boltzmann equation in the energy-time domain in the solid
dielectric [56]:
∂n(w; Ecav , t) ∂F (w; Ecav , t)
+
= G,
(10)
∂t
∂w
where n(w; Ecav , t) [m−3 ] is the volume density of free electrons with energy in the range
[w, w + dw], F (w, Ecav , t) (W·m−3 ) is the electron power density and G (m−3 ·s−1 ) is the
factor accounting for the electron generation or removal through inelastic impacts within
the dielectric media. Alternatively, considering that Fe f f depends on the electron scattering
parameters of the solid dielectric and on the energy distribution of electrons impinging
the surface, which is independent on the cavity diameter, Fe f f can be calculated from the
curves reported in [13], assuming that Fe f f ≈ 0.2 for Ecav ≥ 60 kV·mm−1 . Using the least
squares method, the following analytical expression was determined:
Fe f f = 0.0574 ln( Ecav ) − 0.0472,
(11)
Ecav is in kV·mm−1 and the coefficient of determination obtained was R2 = 0.981. It is
assumed that the scattering parameters of epoxy are similar to that of polyethylene. For
considering, that during each PD event the electric field strength magnitude inside the
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8 of 23
cavity is quenched by the field produced by the PD charge, Fhot and Fe f f are calculated for
the i-th PD event as:
i
Fhot
=
Fei f f =
1
Ecav tiPD − EExt
1
Ecav tiPD − EExt
Ecav (tiPD )
Z
Fhot ( Ecav )dEcav ,
(12)
Fe f f ( Ecav )dEcav ,
(13)
EExt
Ecav (tiPD )
Z
EExt
where Ecav tiPD (V·m−1 ) and EExt (V·m−1 ) are, respectively, the electric field strength
magnitude in the cavity at the inception of the i-th PD and the extinction electric field
strength magnitude.
4.2. Space Charge Effect and Physical Degradation Mechanism
According to the discharge avalanche model [57], once the void surface is sufficiently
degraded, charges in the form of ionized gas can be injected through microscopic channels
in the polymer and C–H bonds can be broken due to induced electron avalanches. The
number of ionizations per discharge is calculated as [58]:
h
i
i
i
ND
= N0i exp α Eloc
Lb − 1 ,
(14)
where Lb = 10 µm is the unitary tree length channel [59], N0i is the initial number of
i (V·m−1 ) is the
electrons available for starting the avalanches at the cavity surface, Eloc
i
local electric field strength magnitude at the injection point and the ionization rate, α Eloc
,
corresponds to [31,60]:
!
Ip
1
i
,
(15)
α Eloc =
exp −
i
λp
q0 λ p Eloc
where I p (eV), is the ionization energy and λ p (m) is the infinite field limit of the collision ionization path length. For polymers, they correspond, respectively, to 9.6 eV and 60 nm [60].
From Equation (15) a threshold field magnitude, Eth (V·m−1 ), below which there is not
charges injection in the micro-channels, can be defined as Eth = I p /q0 λ p (V·m−1 ).
The charge left by PDs on the cavity surface increases the electric field strength magnitude in the solid dielectric, in points near the solid-gas interface, to values greater than
the electric field strength at the centre of the cavity. The electric field strength magnitude
produced by the surface charge density on the cavity surface at the distance r > a (m) from
the centre of the cavity in the solid dielectric after a PD, can be calculated as [29]:
Ech (r, θ ) =
q PD ∞
(4n + 3)(2n + 2) a 2n+1
P
cos
θ
,
(
)
2n
+
1
2πε 0 r2 n∑
=0 (2n + 2) ε r + (2n + 1) r
(16)
where P2n+1 (cos θ ) is the Legendre polynomial of cos θ of degree 2n + 1, ε r is the relative
permittivity of the solid dielectric, ε 0 (F·m−1 ) is the permittivity of vacuum and θ (rad) is
the polar angle in spherical coordinates with origin at the cavity centre.
5. Results and Discussion
The geometry of the case studies is shown in the Figure 1. The specifications of the
material, applied voltage and dimensions are presented in Table 1 for each case study.
where P2 n 1 cos  is the Legendre polynomial of cos of degree 2n  1 ,  r is the
relative permittivity of the solid dielectric,  0 (F‧m−1) is the permittivity of vacuum and
 (rad) is the polar angle in spherical coordinates with origin at the cavity centre.
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5. Results and Discussion
9 of 23
The geometry of the case studies is shown in the Figure 1. The specifications of the
material, applied voltage and dimensions are presented in Table 1 for each case study.
Figure1.1. Geometry
Geometry of
specifications,
applied
voltage
andand
dimension
Figure
of the
thecase
casestudies.
studies.Material
Material
specifications,
applied
voltage
dimension
magnitudespresented
presentedininTable
Table1.1.
magnitudes
consideredthat
thatthe
thedamage
damageinduced
inducedby
bythe
thehot
hotelectrons
electronsduring
duringeach
eachPD
PDevent
event
ItItisisconsidered
dependson
onthe
thepolarity
polarityof
ofthe
theresultant
resultantelectric
electricfield
fieldstrength
strengthinside
insidethe
thecavity.
cavity.Besides,
Besides,itit
depends
accumulatedat
atthe
thecentre
centreof
ofthe
theanode
anodeon
onthe
thecavity
cavitysurface,
surface,which
whichunder
underAC
ACfields,
fields,itit
isisaccumulated
alternatesamong
amongthe
theupper,
upper,blue,
blue,and
andlower,
lower,red,
red,hemispheres
hemispheresatatthe
theinner
innercavity
cavitysurface,
surface,
alternates
respectively,
S
1
and
S
2
in
Figure
1.
respectively, S1 and S2 in Figure 1.
Thehybrid
hybridPD-Finite
PD-FiniteElement
ElementAnalysis
Analysismodel
modelcan
canbe
besummarized
summarizedasasininthe
thefollowing
following
The
steps
steps[29]:
[29]:
1.1.
2.
2.
3.
3.
4.
4.
5.
5.
6.
6.
The
geometrical
constants,
boundaries
and subdomains
are defined;
Theparameters
parametersofofmedia,
media,
geometrical
constants,
boundaries
and subdomains
are deFor
each time-step the electric field strength is calculated using a Finite Element
fined;
Analysis
solver at all
For each time-step
thedomains;
electric field strength is calculated using a Finite Element AnalFor
time-step
the inception criteria are electron existence and minimal electric
ysiseach
solver
at all domains;
field
strength
magnitude
and bothcriteria
are verified;
For each
time-step
the inception
are electron existence and minimal electric
If
the
inception
criteria
are
fulfilled,
the verified;
cavity conductivity is increased and the timefield strength magnitude and both are
step
diminished.
Theare
high-conductivity
condition
is maintained
untiland
thethe
electric
If theisinception
criteria
fulfilled, the cavity
conductivity
is increased
timefield
magnitude
is lower or equal to
an extinction
magnitude;
step strength
is diminished.
The high-conductivity
condition
is maintained
until the electric
If
inception
criteria
are not
fulfilled,
the charge
distribution
on the cavity surface
field
strength
magnitude
is lower
or equal
to an extinction
magnitude;
deployed
by
previous
PDs
is
calculated
as
a
function
of
the
electric
fieldsurface
strength
If inception criteria are not fulfilled, the charge distribution on the cavity
deinside
the
cavity,
the
time
and
the
cavity
surface
conductivity;
ployed by previous PDs is calculated as a function of the electric field strength inside
The
inducedthe
charge
calculated
evaluating
boundary conditions at electrodes and pathe cavity,
time is
and
the cavity
surface conductivity;
rameters
of
media
are
reset
for
the
following
the following
The induced charge is calculated evaluatingtime-step.
boundaryCalculations
conditions for
at electrodes
and
time-step
are
executed
as
in
step
2
until
the
required
simulation
time
is
reached.
parameters of media are reset for the following time-step. Calculations
for the fol-
In
the hybrid
PD-Finite
Element Analysis
model
usedthe
here,
as in thesimulation
conductance
andis
lowing
time-step
are executed
as in step
2 until
required
time
plasma
models [30], the initiation and ending locations of the PDs are considered fixed
reached.
specific points on the inner cavity surface, the centre of surfaces S1 , A, and S2 , B, Figure 1.
This is because the electric field strength magnitude is the greatest at those points, which
increases the probability of first electrons emission for incepting PDs [61]. Additionally,
it is considered that once the PDs are incepted at points A or B, they propagate along the
cavity symmetrical axis. This is because charges are accelerated by the electric field in
the direction of the greatest electric field strength magnitude, until the opposite surface is
reached at points B or A, where the charges left by PDs produce a field that opposes to the
externally applied, quenching the PDs processes [62].
As the charges deployed by PDs are initially concentrated close to points A and B,
Figure 1, where the streamer impinges the cavity surface and the electric field strength
magnitude and the energy distribution of electrons are the greatest [14,61], it is assumed
that the damage induced by hot electrons is accumulated at those points on the inner cavity
surface. A precise evaluation of the real affected area requires the precise determination
of the initiation and ending locations of PDs and the consequent damage accumulation at
those locations. Plasma models can give a good alternative for modeling the precise PD
landing pattern [30].
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5.1. Case Study 1, PDs Induced Degradation at Different Ageing Phases
The first case study is the same than that considered in [25]. It corresponds to an air
filled spherical cavity of radius a = 1.25 mm in the middle of a linear, homogeneous and
isotropic dielectric bulk of epoxy resin, see Table 1, of thickness D = 3.5 mm, between two
parallel plates. An AC 19.25 kV, 50 Hz voltage source is applied to the upper electrode
while the lower is grounded. Simulations were implemented for five consecutive ageing
phases, differentiated by the changes on the PD behaviour during the time under stress, as:
•
•
•
•
•
Phase A, from unaged to 0.17 h;
Phase B, from end of Phase A to 35.17 h;
Phase C, from end of Phase B to 185.17 h;
Phase D, from end of Phase C to 1235 h; and
Phase E, from end of Phase D to 1285 h.
The parameters of media and the PD simulation model for each ageing phase are
presented in [25,29]. The number of C–H bonds in the unitary slab is calculated as
NCH = ρCH Ddis Sc , where ρcH (m−3 ) is the volume density of C–H bonds. Using the
material parameters for epoxy resin presented in [63], the volume density of C–H bonds is
calculated as 1.1507 × 1029 m−3 .
At each ageing phase, thirty simulations were carried out during 500 cycles of the AC
applied
voltage.
Figure 2 shows typical simulation results for the PRPD pattern
as well as
Polymers
2021, 13,
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the accumulated damage during the simulation time.
Figure 2. Cont.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
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12 of 25
(g)
(h)
(i)
(j)
Figure 2. Typical simulation results of Phase-Resolved PD PRPD pattern and accumulated damage function for the five
Figure
2. Typical
simulation
results
ofA;Phase-Resolved
PD(f)PRPD
and Daccumulated
ageing phases
in the first
case study: (a) and
(b) Phase
(c) and (d) Phase B; (e) and
Phase C;pattern
(g) and (h) Phase
and
(i) and (j) Phase E.
damage
function for the five ageing phases in the first case study: (a) and (b) Phase A; (c) and (d) Phase B; (e)
Figure
2 “Damage
is the
and (f) Phase C; (g) andIn(h)
Phase
D and(A.U.)”
(i) and
(j)magnitude
Phase E.of the accumulated damage at each
separate ageing phase during the simulation time calculated with Equation (5). S1 and S2
correspond to the hemispherical surfaces described in Figure 1. In Figure 2 it can be seen
In Figure 2 “Damage
(A.U.)”
is the
magnitude
of themagnitude
accumulated
damage at each
that the PD behaviour
at each
ageing
phase: PD rate, charge
and phase distribution, is variable and for this reason, as can be inferred from the slopes in the damage
separate ageing phase
during
the
simulation
time
calculated
with
Equation
(5). S1 and
curves, the degradation rates are also variable. During the ageing Phase C, Figure 2f, the
hemispherical
inhotFigure
1. InPDs,
Figure
2 it can be
S2 correspond to the
induced
damage is zero. Thissurfaces
is because indescribed
spite of there are
electrons during
the
electric field strength magnitude in the cavity is very low and those hot electrons are not
seen that the PD behaviour at each ageingF phase:
PD rate, charge magnitude and phase
effective in C-H bonds dissociation, eff  0 , see Equations (5) and (11). In Figure 2b,f the
distribution, is variable
and for this reason, as can be inferred from the slopes in the damage
damage curves S and S are overlapped. In the case of Figure 2b, the overlapping is due
to the almost
deterministic
PDsvariable.
behaviour at the
ageing Phase
PDs magnitude
and C,
rate,Figure 2f, the
curves, the degradation
rates
are also
During
theA,ageing
Phase
independent on the polarity of the applied AC voltage. On the other hand, in the case of
induced damage isFigure
zero.
This
is
because
in
spite
of
there
are
hot
electrons
during PDs, the
2f, the overlapping is due to the fact that the surfaces S and S are not damaged
during
the ageing Phasein
C. Table
summarizes
the typical
simulation
results for
the electrons
numelectric field strength
magnitude
the 2,cavity
is very
low
and those
hot
are not
ber of PDs per cycle, N , the estimated life with Equation (6), L (h), and the mean and
effective in C–H bonds
dissociation,
F
≈
0,
see
Equations
(5)
and
(11).
In
Figure
2b,f
f f and induced, q ' (pC), PD charge at the five ageing
maximum values of the real, q e(pC),
the damage curves
S
and
S
are
overlapped.
In
the
case
of
Figure
2b,
the
overlapping
phases
1 considered.
2
is due to the almost deterministic PDs behaviour at the ageing Phase A, PDs magnitude
and rate, independent on the polarity of the applied AC voltage. On the other hand, in
the case of Figure 2f, the overlapping is due to the fact that the surfaces S1 and S2 are not
damaged during the ageing Phase C. Table 2, summarizes the typical simulation results for
the number of PDs per cycle, NPD , the estimated life with Equation (6), L (h), and the mean
and maximum values of the real, q (pC), and induced, q0 (pC), PD charge at the five ageing
phases considered.
1
2
1
2
PD
Table 2. Summary of the typical simulation results at the five ageing phases considered.
Ageing
Phase
A
B
C
D
E
NPD
NPD-meas
Di f f (%)
qmean (pC)
qmax (pC)
q0 mean (pC)
q0 max (pC)
L (h)
11.99
10–14
14.29
834.09
850.91
529.58
540.26
3.83 × 104
11.01
~11.60
5.05
848.23
2050.70
538.56
1302
1.86 × 104
64
~60
6.67
177.14
205.18
112.47
130.30
Inf.
0.06
0.06
0
2978.90
5660.90
1891.40
3594.20
1433.75
5.15
~6
14.23
1407.60
3859.20
893.72
2450.30
184.63
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In Table 2, it can be seen that despite the number of PDs per cycle is the highest at
phase C, there is not induced damage and on the contrary, at phase D, when the number of
PDs per cycle is the lowest, the cavity surface is highly degraded. This allows inferring
that the induced damage is dependent on the maximum value of the PD charge rather
than on the mere PD rate. The measured number of PDs per cycle, NPD-meas , were taken
from [25] and the difference among the simulated and measured number of PDs per cycle,
Di f f (%), is also shown in Table 2. The maximum difference was 14.29% at the ageing
Phase A, the analysis of this difference and the validation of the simulation results were
presented in [29]. In Figure 2 and Table 2, it can also be seen, with exception during Phase
C that the degradation rate increases with ageing. This can be explained by the fact that
with ageing the cavity gas pressure is diminished and the mean free path increases, causing
those electrons during PDs acquire higher kinetic energies even under electric fields of
lower strength magnitude. Additionally, in Table 2, it can be seen that the cavity surface is
highly degraded during Phases E and D and despite of the PD charge is higher at Phase
D than at Phase E, the estimated life at Phase E is lower than that at Phase D. This allows
inferring that the maximum PD charge magnitude cannot be taken as the only indicator of
the ageing rate.
The life was estimated with Equation (6) and the distributions obtained at each of
the five ageing phases considered were fitted to the Weibull function using the maximum
likelihood method [64]. The results of the scale, α L (h), and shape, β L , parameters, as well
as the minimum and maximum values of the estimated life and the time span, tspan (h), of
each ageing phase are shown in Table 3.
Table 3. Parameters of the Weibull function fitted to the life estimations from simulation results at each ageing phase as well
as their maximum and minimum values.
Ageing Phase
A
B
C
D
E
tspan (h)
0.17
3.83 × 104 (3.83 ×
104 –3.83 × 104 )
Inf.
3.83 × 104
3.83 × 104
35
2.06 × 104 (1.98 ×
104 –2.15 × 104 )
8.89 (6.81–11.62)
2.47 × 104
1.38 × 104
150
1049.83
2082.86
(1760.11–2464.83)
2.26 (1.72–2.95)
3566.67
708.78
50
225.93
(216.46–235.81)
8.88 (6.85–11.53)
273.18
179.99
α L (h)
βL
Lmax (h)
Lmin (h)
Inf.
—
Inf.
Inf.
The values between parentheses in Table 3 correspond to the 95% confidence intervals. As the damage in the cavity surface accumulates along the ageing phases, the
time-to-breakdown under the last ageing phase can be calculated using the Miner law
as follows [20]:
j
tspan
(17)
∑ L j = 1,
j
j
where tspan (h) is the time span of the j-th ageing phase and L j (h) is the life estimated during
the j-th ageing phase. Using the Equation (17) and the results for α L presented in Table 3,
the time-to-breakdown under the last ageing phase can be calculated as tbr = t5 = 111.67
(106.99–116.55) h, where the values between parentheses were calculated using the confidence intervals for α L in Table 3. From unaged conditions, the time-to-breakdown corresponds to tbr = 1346.67 (1341.99–1351.55) h. Authors in [25], reported that tree inception
was detected at ~1300 h, i.e., the time-to-breakdown calculated with the simulation results
exhibit a difference of 3.59% compared with the measured one. This allows inferring
that the implemented approach based on simulations is reliable and that the chemical
degradation mechanism is active and predominates during the ageing phases A, B, D and
E while during the ageing phase C, remains inactive.
Figure 3 shows a superposition of the electric field strength magnitude at the cavity
centre during the first period of the ageing Phase A.
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tion results exhibit a difference of 3.59% compared with the measured one. This a
inferring that the implemented approach based on simulations is reliable and tha
chemical degradation mechanism is active and predominates during the ageing phas
B, D and E while during the ageing phase C, remains inactive.
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Figure 3 shows a superposition of the electric field strength magnitude at the c
centre during the first period of the ageing Phase A.
Figure
3. Superposition
the electric
field strength
magnitudes
during
firstageing
cycle of the a
Figure
3. Superposition
of theofelectric
field strength
magnitudes
during the first
cyclethe
of the
Phase
A. A.
Phase
In Figure 3, ELAP (V·m−1 ) is the
Laplacian electric field strength magnitude at the
In Figure 3, E LAP (V‧m⁻1) is the Laplacian electric
field strength magnitude a
cavity centre imposed by the applied voltage source, Eq (V·m−1 ) is the electric field strength
−1 ) electric
1) (V
cavity centre
imposed
by the
applied
voltage
is·m
the
magnitude
produced
by the charge
deployed
by the
PDs onsource,
the cavityEsurface,
E Inc
q (V‧m⁻
−
1
is the PD inception magnitude and Eres (V·m ) is the resultant electric field strength at
strength magnitude produced by the charge deployed by the PDs on the cavity su
the cavity centre. Using the Equation (16) the electric field strength magnitude in the solid
1
PDthe
inception
and Etree
(V‧m⁻1)[59],
is the
E Inc (V‧m⁻
res channel
dielectric
at r =) ais+the
5 µm,
half of themagnitude
length of a unitary
andresultant
θ = 180◦ electric
Polymers 2021, 13, x FOR PEER REVIEW
15
was
calculated
during
thecentre.
first period
of the
Phase
A and
the resultfield
is presented
strength
at the
cavity
Using
theageing
Equation
(16)
the electric
strength magn
ininFigure
4. dielectric at r  a  5 μm, the half of the length of a unitary tree channe
the solid
and   180° was calculated during the first period of the ageing Phase A and the
is presented in Figure 4.
Figure
field
strength
magnitude
in the solid
dielectric
at r = a + 5 µm
during
Figure4.4.Electric
Electric
field
strength
magnitude
in the
solid dielectric
at rand
= a θ+ =5 180
μm◦ , and
θ = 180°, d
the
first
cycle
of
the
ageing
Phase
A.
ing the first cycle of the ageing Phase A.
In Figure 4 Ech (V‧m⁻1) is the electric field strength magnitude in the solid diele
and E th (V‧m⁻1) is threshold magnitude for incepting avalanches in the microscopic c
nels detailed in Section 4.2. In Figure 4, it can be seen that the electric field strength m
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14 of 23
In Figure 4 Ech (V·m−1 ) is the electric field strength magnitude in the solid dielectric and Eth (V·m−1 ) is threshold magnitude for incepting avalanches in the microscopic
channels detailed in Section 4.2. In Figure 4, it can be seen that the electric field strength
magnitude in the solid dielectric close to the gas-solid interface is more than three orders of
magnitude higher than both, the electric field strength at the cavity centre and the threshold
magnitude for avalanches. This result allows deducing that during the first ageing phases,
the surface is not sufficiently degraded for avalanches to be generated from the gas-solid
interface across the solid dielectric and the chemical degradation mechanism predominates.
At the final ageing phases, when the surface is highly degraded, is very likely that the
physical mechanism of avalanches in the solid predominates, which can explain why the
magnitude of the time-to-breakdown calculated using the chemical mechanism is slightly
higher than the experimentally observed. Additionally, from the Figure 4, it can be concluded that avalanches can be generated even between, or without, PD in the cavity and as
the resultant electric field is much higher than the threshold and the degradation process is
very fast. The degradation rate associated with the physical mechanism will be dependent
on the time dynamics of the surface-charge-decay process.
Despite the good results, the values obtained using the simulations based approach
implemented here must be regarded as merely quantitative inferences because the effect
of the other degradation mechanism in conjunction with the chemical, e.g., physical, UV
radiation, autoxidation, etc., should be considered as well as the simultaneous variations
in the cavity morphology as described in Section 3.
5.2. Case Study 2, PDs Induced Degradation at Different Applied Voltage Magnitudes
In the previous case study, it could be verified that the implemented approach allows
inferring quantitatively the ageing rates and that the calculated time-to-breakdown is close
to the measured one. For those reasons, the same approach is used for evaluating the effect
of the applied voltage magnitude on the ageing rate. The second case study was presented
in [27], it corresponds to a spherical cavity of radius a = 0.7 mm filled with air immersed in
a solid dielectric bulk of epoxy resin between two parallel plates, D = 2 mm, see Figure 1.
The parameters of the media are presented in Table 1 and in [27]. The stochastic model
presented in [27] was implemented in the hybrid PD-Finite Element Analysis model [29].
A 50 Hz, AC voltage source was applied to the upper electrode in the range 14 to 20 kV,
while the lower electrode remained grounded. A total of 30 simulations were implemented
at each voltage magnitude during 500 cycles of the AC voltage, and Figure 5 shows typical
simulation results for the PRPD pattern and the accumulated degradation function curve.
In Figure 5, it can be seen that the ageing rate, the slope of the damage function curves,
increases with the magnitude of the applied voltage. Table 4 summarizes the typical
simulation results for NPD , q0 mean and L at each applied voltage magnitude. Additionally,
the typical distributions of the induced PD charge obtained at each voltage amplitude were
fitted to the Weibull function and the obtained scale parameter, αq0 (pC), is also shown
in Table 4.
The Figure 6, shows a comparison among the accumulated damage, 1/L (p.u.), and
the product NPD αq0 (p.u.), calculated using the values presented in Table 4 normalized to
their relative maximum values. The trend line of the accumulated damage curve, as well
as its equation, calculated using the least square method, are also presented as “linear”
in Figure 6.
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16 of 25
and Figure 5 shows typical simulation results for the PRPD pattern and the accumulated
15 of 23
degradation function curve.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
Figure5.5. Typical
Typical simulation
accumulated
damage
function
for for
the the
fourfour
applied
voltage
magFigure
simulation results
resultsof
ofPRPD
PRPDpattern
patternand
and
accumulated
damage
function
applied
voltage
nitudes
in
the
second
case
study:
(a)
and
(b)
14
kV;
(c)
and
(d)
16
kV;
(e)
and
(f)
18
kV;
(g)
and
(h)
20
kV.
magnitudes in the second case study: (a) and (b) 14 kV; (c) and (d) 16 kV; (e) and (f) 18 kV; (g) and (h) 20 kV.
also shown in Table 4.
Table 4. Summary of the typical simulation results for each applied voltage magnitude in the second case study.
Polymers 2021, 13, 324
16 of 23
Applied Voltage
Magnitude (kV)
14
16
18
20
N PD
2.58
4.15
5.66
7.27
Table 4. Summary
of the typical simulation
results
for each applied
voltage magnitude523.46
in the second
q' mean (pC)
768.38
678.11
594.85
case study.
 q ' (pC)
876.89
726.60
642.64
573.07
Applied
L (h)Voltage
Magnitude (kV)
10.62 14
7.17
6.11 18
5.8120
16
The Figure 6, shows a comparison among the accumulated damage, 1 / L (p.u.), and
NPD
2.58
4.15
5.66
7.27
the product
0 N PD q ' (p.u.), calculated using the values presented in Table 4 normalized
q
mean
(pC)
768.38
678.11
594.85
523.46
αq0 (pC)
642.64 damage
573.07
to their relative
maximum values.876.89
The trend line726.60
of the accumulated
curve, as
L
(h)
10.62
7.17
6.11
5.81
well as its equation, calculated using the least square method, are also presented as “linear” in Figure 6.
Figure6.6.Comparison
Comparisonofofthe
theaccumulated
accumulateddamage
damage
and
the
ageing
rate
function,
NPD
, fordifferent
differFigure
and
the
ageing
rate
function,
NPD
αqα0 ,q’for
ent
voltage
magnitudes.
voltage magnitudes.
1 / L ,and
canbe
be seen
seen that
that the accumulated damage,
andthe
theproduct
product NN
increase
ItItcan
damage, 1/L,
PD
PDα
q0q 'increase
it
was
proposed
the
with
the
applied
voltage
at
an
approximate
similar
rate.
In
[26],
with the applied voltage at an approximate similar rate. In [26], it was proposed the prodproduct
N
α
0 as an indicator of the energy dissipated by the PDs during each voltage
PD
q
uct N PD q ' as an indicator of the energy dissipated by the PDs during each voltage cycle.
cycle. In Figure 6, it can be seen that the magnitude of this product increases as the life
In Figure 6,which
it candemonstrates
be seen that the
of this
product
as the life
diminishes
thatmagnitude
this is a good
indicator
of increases
the degradation
ratedimineven
ishes which
demonstrates
that this
a good
the degradation
even
under
under
different
applied voltages.
Theislife
was indicator
estimatedofusing
the Equationrate
(6) for
each
of
different
applied voltages.
The life
was estimated
using thedistributions
Equation (6)were
for each
ofto
the
30
the
30 simulations
at each applied
voltage
and the obtained
fitted
the
simulations
at
each
applied
voltage
and
the
obtained
distributions
were
fitted
to
the
Weibull function. The results of the scale and shape parameters, as well as the minimum
Weibull
function.
Theofresults
of the scale
shape parameters,
as well as the minimum
and
maximum
values
the estimated
life,and
are presented
in Table 5.
and maximum values of the estimated life, are presented in Table 5.
Table 5. Parameters of the Weibull function fitted to the life estimations from simulation results at each applied voltage
magnitude and their maximum and minimum values.
Applied Voltage
Magnitude (kV)
14
16
18
20
α L (h)
βL
Lmin (h)
Lmax (h)
11.23 (11.07–11.40)
25.39 (19.41–33.21)
10.13
11.92
7.16 (7.10–7.22)
45.35 (35.12–58.56)
6.69
7.45
5.98 (5.94–6.02)
53.53 (40.64–70.52)
5.63
6.11
5.60 (5.55–5.65)
46.58 (35.95–60.37)
5.36
5.81
From results in Table 5, taking into account that the confidence intervals for α L do
not overlap, and damage curves in Figure 5, it can be inferred that the degradation rate
increases with the applied voltage magnitude. Additionally, in Figure 6 it can be seen that
the increment in the degradation rate with the voltage magnitude is approximately linear.
Magnitude (kV)
 L (h)
14
16
18
20
11.23 (11.07–11.40)
7.16 (7.10–7.22)
5.98 (5.94–6.02)
5.60 (5.55–5.65)
L
25.39 (19.41–33.21)
45.35 (35.12–58.56)
53.53 (40.64–70.52)
46.58 (35.95–60.37)
10.13
6.69
5.63
5.36
11.92
7.45
6.11
5.81
Polymers L
2021,
13, 324
min (h)
Lmax (h)
17 of 23
From results in Table 5, taking into account that the confidence intervals for  L do
5.3.
Case
Studyand
3, PDs
Induced
Degradation
at 5,
Different
Applied
Voltage
not overlap,
damage
curves
in Figure
it can be
inferred
thatFrequencies
the degradation rate
The third
study isvoltage
used for
evaluatingAdditionally,
the effect of the
frequency
of the
applied
increases
withcase
the applied
magnitude.
in Figure
6 it can
be seen
that
voltage
on the in
ageing
rate. It corresponds
to avoltage
spherical
cavity ofisradius
a = 0.775linear.
mm
the increment
the degradation
rate with the
magnitude
approximately
filled with air, immersed in a solid dielectric bulk of epoxy resin of thickness D = 2 mm.
The
ofPDs
the media
the test arrangement
are presented
Table 1 and in [28].
5.3. parameters
Case Study 3,
Inducedand
Degradation
at Different Applied
Voltagein
Frequencies
A 14 kV,
AC
voltage
source
was
applied
to
the
upper
electrode
in
the
range
Hz,applied
while
The third case study is used for evaluating the effect of the frequency1–50
of the
the
lower
electrode
is
grounded.
At
each
frequency,
30
simulations
were
implemented
voltage on the ageing rate. It corresponds to a spherical cavity of radius a  0.775 mm
during
300 cycles
of the AC
and Figure
7 shows
typical
results for mm.
filled with
air, immersed
in voltage
a solid dielectric
bulk
of epoxy
resinsimulation
of thickness
D  2 the
PRPD pattern and the accumulated degradation function curve.
The parameters of the media and the test arrangement are presented in Table 1 and in [28].
In Figure 7, it can be seen that the degradation rate increases with the frequency
A 14 kV, AC voltage source was applied to the upper electrode in the range 1–50 Hz, while
of the applied AC voltage. Table 6 summarizes the typical simulation results for NPD ,
the lower electrode is grounded. At each frequency, 30 simulations were implemented
q0 mean and L at each of the applied frequencies. Additionally, it is also shown the scale
during 300 cycles of the AC voltage and Figure 7 shows typical simulation results for the
parameter, αq0 , found after the fitting of the Weibull function to the typical induced PD
PRPD pattern and the accumulated degradation function curve.
charge simulation results.
(a)
(b)
(c)
(d)
Figure 7. Cont.
Polymers2021,
2021,13,
13,324
x FOR PEER REVIEW
Polymers
1819ofof2325
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
Figure7.7. Typical
Typical simulation
simulation results
function
forfor
thethe
five
applied
voltage
freFigure
results of
of PRPD
PRPDpattern
patternand
andaccumulated
accumulateddamage
damage
function
five
applied
voltage
quencies in the third case study: (a) and (b) 1 Hz; (c) and (d) 5 Hz; (e) and (f) 10 Hz; (g) and (h) 20 Hz and (i) and (j) 50
frequencies in the third case study: (a) and (b) 1 Hz; (c) and (d) 5 Hz; (e) and (f) 10 Hz; (g) and (h) 20 Hz and (i) and
Hz.
(j) 50 Hz.
In Figure 7, it can be seen that the degradation rate increases with the frequency of
the applied AC voltage. Table 6 summarizes the typical simulation results for N PD ,
q' mean and L at each of the applied frequencies. Additionally, it is also shown the scale
parameter,  q ' , found after the fitting of the Weibull function to the typical induced PD
charge simulation results.
Polymers 2021, 13, x FOR PEER REVIEW
Polymers 2021, 13, 324
20 of 25
19 of 23
Table 6. Summary of the typical simulation results for each applied voltage frequency in the third
case study.
Table
6. Summary of the typical simulation results for each applied voltage frequency in the third
case study.
Applied Voltage
Frequency
(Hz)
Applied Voltage
Frequency
(Hz)
N
PD
NPD
(pC)
q' mean
0
q
(pC)
 qαmean
' q0 (pC)
(pC)
(h)
L L(h)
1
2.17
5
1
2.83
10
5
3.20
20
10
2.17 1198.70
2.83
3.20
1296.70
1082.16
1296.70
1198.70
1082.16
1279.20
1279.20 1214.50
1214.50 1092.50
1092.50
561.42
114.36
57.49
561.42
114.36
57.49
20
3.49
3.49
1066.36
1066.36
992.86
992.86
27.33
27.33
50
50
5.26
5.26
753.38
753.38
687.18
687.18
25.20
25.20
Figure88shows
showsaacomparison
comparison among
among the
the accumulated
accumulated damage,
(p.u.),and
andthe
the
1 / L (p.u.),
Figure
damage, 1/L
N

product
(p.u.),
calculated
using
the
values
presented
in
Table
6
and
normalized
product NPDPD
αq0 q(p.u.),
calculated using the values presented in Table 6 and normalized to
'
their
relative
maximum
values.
to their
relative
maximum
values.
Figure8.8.Comparison
Comparisonof
ofthe
the accumulated
accumulated damage and ageing rate
ααq’,q0for
different
Figure
rate function,
function, N
NPD
, for
different
PD
voltagefrequencies.
frequencies.
voltage
In
αq0 q 'increases
InFigure
Figure8,8,ititcan
canbe
beseen
seenthat
thatthe
theproduct
product NN
increaseswith
withfrequency
frequencyand
and
PD
PD
increases
as
the
life
diminishes
which
allows
to
infer
that
it
is
a
good
indicator
of
the
ageing
increases as the life diminishes which allows to infer that it is a good indicator of the agerate,
even even
at different
frequencies.
The trend
line ofline
theof
accumulated
damage
curve curve
as wellas
ing rate,
at different
frequencies.
The trend
the accumulated
damage
as
its
equation,
calculated
using
the
least
square
method,
are
also
presented
as
“linear”
well as its equation, calculated using the least square method, are also presented as “linin Figure 8. In this figure, it can be seen that the increment in the degradation rate with
ear” in Figure 8. In this figure, it can be seen that the increment in the degradation rate
frequency seems to be higher for frequencies below 20 Hz than that above this frequency
with frequency seems to be higher for frequencies below 20 Hz than that above this frevalue. Besides, equation of the trend line can be rewritten as: y = 0.046x − 0.0098, for
quency value. Besides, equation of the trend line can be rewritten as: y = 0.046x − 0.0098,
frequencies below or equal to 20 Hz, and y = 0.0026x + 0.87, for frequencies higher than
for frequencies below or equal to 20 Hz, and y = 0.0026x + 0.87, for frequencies higher than
20 Hz. For each of the 30 simulations at the 5 different frequencies considered, the life
20 Hz. For each of the 30 simulations at the 5 different frequencies considered, the life was
was estimated using the Equation (6) and the obtained distributions were fitted to the
estimated using the Equation (6) and the obtained distributions were fitted to the Weibull
Weibull function. The values of the scale and shape parameters, as well as the maximum
function. The values of the scale and shape parameters, as well as the maximum and minand minimum values of the estimated life are presented in Table 7.
imum values of the estimated life are presented in Table 7.
From Table 7, taking into account that the confidence intervals do not overlap, and
the damage curves in Figure 7 it can be inferred that the degradation rate increases with
the frequency of the applied voltage. However, in Figure 8 it can be seen that the increment in the degradation rate is linear in two different frequency ranges i.e., between 1 Hz
and 20 Hz and between 20 and 50 Hz, with the highest increment trend in the first range.
This can be explained by the fact that when the frequency diminishes, the PD charge increases, see Table 6, increasing the number of electrons for collisions. In addition, the time
Polymers 2021, 13, 324
20 of 23
Table 7. Parameters of the Weibull function fitted to the life estimations from results at each applied voltage frequency and
their maximum and minimum values.
Applied Voltage
Frequency (Hz)
α L (h)
βL
Lmin (h)
Lmax (h)
1
5
610.44
(599.56–621.56)
21.08 (16.14–27.53)
538.83
658.69
113.57
(111.16–116.04)
17.72 (13.78–22.79)
100.59
124.50
10
20
50
54.03 (53.29–54.79)
28.07 (27.73–28.41)
24.68 (24.34–25.02)
27.53 (21.50–35.24)
50.53
57.58
31.29 (23.94–40.89)
26.03
29.50
27.46 (20.99–35.92)
21.78
26.18
From Table 7, taking into account that the confidence intervals do not overlap, and the
damage curves in Figure 7 it can be inferred that the degradation rate increases with the
frequency of the applied voltage. However, in Figure 8 it can be seen that the increment
in the degradation rate is linear in two different frequency ranges i.e., between 1 Hz and
20 Hz and between 20 and 50 Hz, with the highest increment trend in the first range. This
can be explained by the fact that when the frequency diminishes, the PD charge increases,
see Table 6, increasing the number of electrons for collisions. In addition, the time lag
between consecutive PDs also increases and the electric field strength magnitude during
PDs will be higher increasing the effectiveness of electrons in produce bond dissociation by
each PD, see Equation (11).
5.4. General Discussion
The implemented approach based on simulations and the proposed damage function,
Equation (5), allows evaluating quantitatively the degradation induced by PDs activity
inside solid dielectric polymers. The degradation induced by PDs in cavities is mainly
driven by chemical mechanisms activated by hot electrons during PDs. It was found that
the cavity surface was not degraded if the electric field strength magnitude in the cavity,
determined from Equation (11), is below 2.28 kV·mm−1 , when the hot electrons are not
effective in DEA, Fe f f → 0 .
It was deduced that during the first ageing phases the chemical degradation mechanism predominated over the physical one because the surface is not sufficiently degraded
for allowing electron avalanches across the solid dielectric to be started. On the other hand,
at the last ageing phases, the physical mechanism predominates and the degradation is
faster than under the chemical mechanism due to the enhancement of the local electric
field strength at the charge injection points by the space charge. Finally, it can also be
deduced that, supposing the existence of ionized gas in the cavity before and after PDs,
avalanches can be generated between PDs due to the dynamics of the space charge decay.
More research is needed for corroborate this.
The time-to-breakdown calculated with simulation results for a case study is close to
the measured one and allows inferring that the implemented approach based on simulations is reliable. Additionally, the simulation-based approach was used for evaluating the
effect of the magnitude and frequency of the applied voltage on the degradation rate and
it can be concluded that the degradation rate increases, life diminishes, in a proportion
approximately linear with the magnitude of the applied voltage. Similarly, the degradation
rate increases, life diminishes, linearly with the frequency of the applied voltage, but at a
steeper rate below 20 Hz than over this frequency value.
The value of the product NPD αq0 is indicative of the degradation rate and the simulations results at different frequencies and magnitudes of the applied voltage allows to
infer that it is a good indicator of the degradation rate even under different electrical stress
conditions and can be used with online measurements for implementing prognosis tools.
As the microscopic model employed is based on electron scattering theories, a precise
characterization of the streamers landing pattern is required, so it is necessary to accurately
model the PD propagation trajectory from different inception points along the cavity
surface. Improvement to the calculation results can be obtained using the same simulation
Polymers 2021, 13, 324
21 of 23
based approach for evaluating the PDs induced degradation presented in this study with
PD plasma models instead of PD Finite Element Analysis (FEA) models. On the other
hand, in the considered microscopic model it is considered that C–C single bonds are
transformed into double bonds plus H− ions. Under real conditions, the damage growth
rate is increased due to oxidation, cross-linking between different chains, graphitization
and mass reduction by C–C bonds dissociation. Due to the above, the results obtained with
this method should only be considered a rough estimate of the time-to-breakdown.
The simulation-based approach proposed in this paper can be used in practical applications for implementing prognosis tools in conjunction with Artificial Intelligence (AI)
methods applied to PDs diagnosis. Machine learning and AI allow to infer the location and
size of cavities inside solid dielectrics as well as the cavity surface conditions [65]. Then, the
simulation-based approach proposed here can be used for inferring the time-to-breakdown
under the conditions previously inferred using AI.
6. Conclusions
In this paper, a brief phenomenological description of the degradation of solid polymeric materials induced by PDs activity in spherical cavities was presented. Then, the
accumulated degradation and expected time-to-breakdown or remaining life of the insulation system were calculated using a proposed simulation based approach and a novel
damage function. Simulation results showed good agreement when compared with measurements reported by other authors. Finally, the proposed simulation based approach
was applied for studying the effects on the degradation rate due to variations on the applied voltage frequency and magnitude. Analytical expressions were determined for the
accumulated damage as a function of the applied voltage frequency and magnitude.
Author Contributions: Conceptualization, methodology and analysis, J.M.R.-S. and R.A.-S. Software,
J.M.R.-S. Writing—original draft preparation, J.M.R.-S. Writing—review and editing, J.M.R.-S. and
R.A.-S. All authors have read and agreed to the published version of the manuscript.
Funding: This research received no external funding.
Institutional Review Board Statement: Not Applicable.
Informed Consent Statement: Not Applicable.
Data Availability Statement: Not Applicable.
Acknowledgments: The authors would like to acknowledge Fundación Carolina, Universidad
de Antioquia-Departamento de Ingeniería Eléctrica, Universidad Politécnica de Madrid, Fondo
Sapiencia-Alcaldía de Medellín and Ministry of Science and Innovation of Spain, National Program
of Scientific and Technical Research and Innovation (project PID2019-107126RB-C21).
Conflicts of Interest: The authors declare no conflict of interest.
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38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
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23 of 23
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5| DISCUSIÓN GENERAL, CONCLUSIONES Y
FUTURAS INVESTIGACIONES
En este capítulo se presenta una discusión general de los resultados obtenidos, los cuales son
presentados en las publicaciones del Capítulo 4 y que aportan al cumplimiento de los objetivos
establecidos en el Capítulo 2. Además, se incluyen tablas y figuras adicionales derivadas de los
resultados numéricos presentados en las publicaciones que permiten ratificar algunas conclusiones y
abordar análisis complementarios a los presentados en aquellas. Para cada una de las publicaciones se
indican de manera específica las aportaciones al cumplimiento de los objetivos establecidos y las
actividades específicas planteadas en la Sección 3.1 cuyos resultados se presentan en las publicaciones.
Por otro lado, se presentan las conclusiones generales obtenidas durante el desarrollo de la tesis, así
como las hipótesis planteadas que se verificaron a través de los resultados obtenidos y los modelos
implementados. Además, se presentan algunas conclusiones específicas extraídas de los resultados
presentados en las publicaciones. Finalmente, se plantean futuras líneas de investigación que pueden
emprenderse a partir de los resultados obtenidos y los modelos propuestos y validados en esta tesis.
Este capítulo se organiza de la siguiente manera: primero, en la Sección 5.1, se realiza la descripción
integrada de la solución; luego, en la Sección 5.2, se muestran y analizan los resultados obtenidos a la
luz del cumplimiento de los objetivos establecidos; posteriormente, las conclusiones obtenidas se
presentan en la Sección 5.3; y finalmente, algunas futuras líneas de investigación se esbozan en la
Sección 5.4.
5.1 Descripción integrada de la solución
El enfoque basado en simulaciones establecido para el desarrollo de esta tesis, implica que se deben
desarrollar e implementar modelos de simulación para lograr el cumplimiento de los objetivos
establecidos validando su desempeño mediante comparación de los resultados de simulación con
medidas reales, en este caso, extraídas de otras investigaciones encontradas en la literatura científica.
Para ello, en primera instancia, fue necesario hacer un estudio exhaustivo y detallado de los procesos
físicos, axiomas y teorías que permiten explicar, desde puntos de vista fenomenológico y teórico, los
fenómenos de las DP en cavidades en el interior de dieléctricos poliméricos sólidos, la propagación de
arborescencias en dieléctricos poliméricos sólidos y el envejecimiento causado por la actividad de DP
en cavidades en el interior de dieléctricos poliméricos sólidos. La comprensión de estos fenómenos,
sobretodo su parte física, permitió proponer e implementar diversos modelos para aportar a la solución
de la situación problemática descrita en el Capítulo 2 de esta tesis y que presenta como retos principales
la estimación de la degradación inducida por la actividad de DP en cavidades en el interior de
dieléctricos poliméricos sólidos y el pronóstico de la vida útil remanente con base en resultados de
simulación, mayor detalle de la situación problemática se encuentra en la Sección 2.1.1. Se desarrollaron
los siguientes modelos novedosos:
-
-
-
-
-
Modelo analítico multifísico mejorado para la simulación de DP en cavidades en el interior de
dieléctricos sólidos (Rodríguez-Serna & Albarracín-Sánchez, 2019)
Modelo mejorado de tres condensadores para la simulación de DP en cavidades en el interior de
dieléctricos sólidos (Rodríguez-Serna, Albarracín-Sánchez, Dong, et al., 2020)
Modelo híbrido de elementos finitos para la simulación de DP en cavidades en el interior de
dieléctricos sólidos (Rodríguez-Serna, Albarracín-Sánchez, & Mas’ud, 2020)
Modelo electrostático de elementos finitos mejorado para la simulación de DP en cavidades en
el interior de dieléctricos sólidos (Rodríguez-Serna, Albarracín-Sánchez, & Mas’ud, 2020)
Modelo físico-estocástico mejorado para la simulación de propagación de arborescencias
eléctricas en dieléctricos poliméricos sólidos (Rodríguez-Serna, Albarracín-Sánchez, & Carrillo,
2020)
151
-
-
-
Modelo determinístico mejorado para la simulación de DP en arborescencias eléctricas
(Rodríguez-Serna & Albarracín-Sánchez, 2021)
Modelo estocástico mejorado para la simulación de DP en arborescencias eléctricas (RodríguezSerna & Albarracín-Sánchez, 2021)
Modelo de vida para estimar la vida útil remanente usando la energía de impacto de los
electrones durante DP en cavidades en el interior de dieléctricos poliméricos sólidos
(Rodríguez-Serna & Albarracín-Sánchez, 2021b)
Además, se propuso una novedosa función de daño basada en el modelo microscópico de Serra et al.
(Serra et al., 2001), y un novedosos método basado en simulaciones, para estimar la vida útil remanente
en solidos dieléctricos con DP en cavidades en su interior (Rodríguez-Serna & Albarracín-Sánchez,
2021a). La función de daño y todos los modelos propuestos fueron validados comparando los resultados
de simulación con mediciones experimentales reportadas por otros investigadores en la literatura. Este
proceso de validación se describe de manera detallada en cada una de las publicaciones del Capítulo 4.
Las propuestas e implementaciones de estos modelos son en sí mismas un aporte a la solución de la
situación problemática ya que se obtienen herramientas y métodos de análisis útiles en ingeniería para
el diagnóstico de sistemas de aislamiento eléctrico que pueden usarse en conjunto con mediciones de
DP. Adicionalmente, con los modelos validados, se realizaron simulaciones de diferentes casos de
estudio y los análisis de resultados permitieron adquirir conocimientos adicionales, entre otros, acerca
de los procesos de descarga y de los mecanismos de degradación asociados a las DP, acerca de la
propagación de arborescencias en medios dieléctricos no homogéneos y acerca de los efectos de la
magnitud y frecuencia de la tensión aplicada en la tasa de degradación de los dieléctricos poliméricos
solidos debido a la actividad de DP en cavidades en su interior. Además, se propuso un indicador de la
tasa de envejecimiento debido a las DP actuando en cavidades en el interior de dieléctricos sólidos que
depende del valor máximo de la corriente inducida durante eventos de DP.
Todos los modelos propuestos e implementados anteriormente mencionados, tienen la potencialidad
para usarse en herramientas de diagnóstico de equipos eléctricos en servicio usando resultados de
simulación, mediciones experimentales y métodos matemáticos, como la inteligencia artificial. En las
publicaciones compendiadas en el Capítulo 4 de esta tesis, para cada uno de los modelos utilizados, se
muestran sus posibles aplicaciones para el diagnóstico de equipos eléctricos.
En la siguiente sección se presentan detalles de los resultados científicos obtenidos y su contribución a
la solución de los objetivos planteados.
5.2 Análisis de resultados
En esta sección se discuten los resultados científicos de esta tesis presentados en las publicaciones del
Capítulo 4 y teniendo en cuenta su relación con los objetivos establecidos en el Capítulo 2. En la Figura
12 se muestra la relación entre las publicaciones realizadas y los objetivos establecidos.
Las publicaciones en la Figura 12, se han ordenado teniendo en cuenta su relación con el desarrollo de
las actividades específicas definidas en la Sección 3.1 de esta tesis para dar cumplimiento a los objetivos
establecidos en la Sección 2.3.2 y que para comodidad del lector se presentan nuevamente a
continuación. Objetivos:
1. Modelar el fenómeno de DP en sólidos dieléctricos poliméricos usando un enfoque multifísico e
implementar simulaciones usando MATLAB® y COMSOL Multiphysics®, para realizar
diferentes análisis considerando variaciones de excitación, temperatura, materiales, entre otras
2. Modelar el fenómeno de propagación de arborescencias en sólidos dieléctricos poliméricos para
analizar la ocurrencia, evolución y comportamiento de dicho fenómeno mediante simulaciones
en MATLAB® y/o COMSOL Multiphysics®, considerando variaciones de materiales y esfuerzos
aplicados
3. Modelar la expectativa de vida útil de los sistemas de aislamiento eléctrico sólido polimérico a
partir de los resultados de simulación obtenidos en los objetivos anteriores
152
Figura 12. Compendio de publicaciones de esta tesis, organizadas de acuerdo a su relación con los objetivos establecidos.
Objetivo 1, O1-1 a -3C; Objetivo 2, O2-1 a -2; Objetivo 3, O3-1 a -1C y Otras, OT-1 a -2.
En la Figura 12, al inicio del título de cada publicación, se ha agregado una numeración de la siguiente
manera: Oi-j, donde, i corresponde al objetivo cuyo cumplimiento se relaciona con dicho documento y j
es el número de la publicación entre las correspondientes al objetivo i. A las publicaciones
complementarias se ha agregado una letra C al final de la numeración, Oi-jC, mientras que las
publicaciones en la categoría de otras, se han numerado como OT-1 y OT-2.
De las publicaciones mostradas en la anterior figura, las siguientes corresponden a artículos de revista:
O1-1, O1-2, O1-3, O1-2C, O1-3C, O2-1, O2-2, O3-1 y OT-2, para un total de nueve, y las siguientes
corresponden a artículos de congresos: O1-1C, OT-1 y O3-1C, para un total de tres. Mayores detalles de
las revistas y congresos se resumen en la Tabla 27 en el Anexo D de esta tesis.
Los artículos de revista en los recuadros de color azul claro corresponden a las publicaciones centrales
realizadas durante el desarrollo de la tesis y que cumplen con los requerimientos establecidos por la
UPM para su inclusión en el compendio de publicaciones, ver guía al lector en Sección 1.2 de esta tesis.
Por su parte, las publicaciones en los recuadros de color verde claro corresponden a publicaciones
complementarias a las anteriores que, si bien están relacionadas con los objetivos planteados, no
cumplen con los requerimientos para incluirse en el Capítulo 4 del compendio de publicaciones, porque
corresponden a artículos de congresos o, aunque siendo artículos de revistas de los primeros cuartiles
en JCR, se han realizado con otros investigadores quienes figuran como autores principales. Por otro
lado, las publicaciones en los recuadros de color amarillo en la categoría de otras, no están directamente
relacionadas con los objetivos planteados, sin embargo, son producto de investigación desarrollada
durante los estudios de doctorado.
A continuación, para cada objetivo, se describe brevemente el método de solución, para mayores
detalles ver Capítulo 3 de esta tesis, y se presentan las publicaciones asociadas. Para cada una de las
153
publicaciones se detalla la solución implementada y se discuten los resultados presentados en ellas, los
cuales contribuyen al cumplimiento de los objetivos establecidos.
5.2.1 Objetivo 1: Modelamiento y simulación de DP en cavidades en el interior de sólidos dieléctricos
poliméricos
Para contribuir a este primer objetivo de modelamiento y simulación de DP en cavidades en el interior
de dieléctricos sólidos, en primera instancia, se estudiaron los fenómenos físicos implícitos durante las
diferentes etapas de los procesos de DP: generación de primeros electrones e incepción, descarga y
extinción, y decaimiento de carga en la superficie de la cavidad. Además, se realizó un exhaustivo y
detallado estado del arte del cual se obtuvieron los principales modelos y sus ventajas y limitaciones,
Sección 2.2.2 en Capítulo 2. Posteriormente, se realizó una implementación de varios modelos en
MATLAB®, como se describe en la Sección 3.1.1 del Capítulo 3 de esta tesis, para simular las DP en
cavidades en el interior de dieléctricos sólidos.
5.2.1.1 Publicación O1-1: Computer simulation of partial discharges in voids inside epoxy resins using
three-capacitance and analytical models (Rodríguez-Serna, Albarracín-Sánchez, Dong, et al., 2020)
En este artículo de revista se realizó un compendio de las principales características, propiedades y
aplicaciones de las resinas epóxicas como materiales aislantes. Se discutió el proceso de curado como
etapa principal durante la preparación de las resinas epóxicas ya que características como la
temperatura de transición vítrea, la flexibilidad, la resistencia al impacto, la resistencia eléctrica,
resistencia al calor, tensión de rotura y la resistencia a agentes químicos, dependen del proceso de
curado, principalmente, del tipo de agente de curado, la temperatura, la humedad y la presión. Se
clasificaron los agentes de curado como aminas y anhídridos de ácido y se resumieron en sendas tablas
las características de los procesos de curado y las principales aplicaciones (fundición, laminados,
adhesivos y encapsulamiento) de las resinas epóxicas resultantes, Tablas 2 y 3 de la publicación.
Adicionalmente, se discutió el efecto de los procesos de gelificación y vitrificación durante el curado y
de las características del compuesto epóxico primario, el agente de curado y el compuesto acelerador
en los parámetros eléctricos, mecánicos y térmicos de los compuestos de resina epóxica. Se encontró
que las mejores características dieléctricas se obtienen con resinas curadas con anhídrido aromático y
los factores que afectan las magnitudes de los parámetros anteriormente descritos se resumieron en la
Tabla 4 de la publicación O1-1.
Adicionalmente, se discutió el efecto de la adición de nanopartículas en los parámetros eléctricos:
tensión de ruptura, permitividad, resistividad, tiempo hasta la ruptura y tan δ, del compuesto de resina
epóxica, ver Tabla 4 en Capítulo 2 de esta tesis.
Luego se realizó una breve presentación del modelo estocástico de las DP en el que se describe el
proceso estocástico de incepción y los diferentes modelos que permiten su simulación, ver Sección 2.2.2
de esta tesis.
Posteriormente, se realizó una presentación detallada de los modelos analítico y de tres condensadores
en la que se discuten los conceptos físicos, ecuaciones y aproximaciones que dan sustento a estos
modelos. Además, se presentó un completo estado del arte en el cual se resumen las principales
aplicaciones de estos dos modelos, los parámetros de los medios necesarios para las simulaciones y se
muestran sus ventajas y desventajas desde el punto de vista de precisión del proceso de modelamiento
y eficiencia computacional. Para el modelo de tres condensadores se propuso una clasificación de las
diferentes versiones con base en la forma en la que se simula la variación en la tensión a través de la
capacitancia equivalente de la cavidad durante la actividad de DP y se presentó una expresión para la
capacitancia equivalente de la columna de dieléctrico en serie con la cavidad, C b (F), que se obtuvo de la
siguiente manera, a partir de la ecuación (17) en el artículo O1-1:
q' = ∆UC b ,
154
(23)
donde q ' (C) es la magnitud de la carga inducida y ∆U (V) es el cambio en la tensión a través de la
cavidad durante las DP. Para una cavidad esférica, la ecuación (11) en el artículo O1-1, y (12) en el
Capítulo 2 de este documento, se puede escribir como:
q' = K
2 2
πa ε∇λ 0 ∆U .
3
Usando el principio de analogía entre las ecuaciones (23) y (24) se obtiene lo siguiente:
2
C b = K πa 2 ε∇λ 0 .
3
(24)
(25)
La ecuación (25) corresponde a una constante equivalente a la capacitancia de la columna de dieléctrico
en serie con la cavidad, ver Figura 3a en la publicación, y que depende de la geometría de la cavidad, de
la permitividad del dieléctrico sólido y de la configuración de electrodos. Esta expresión permite
conciliar los modelos de tres condensadores con los modelos analíticos basados en expresiones de
campos electromagnéticos. Para las simulaciones presentadas en este artículo, la capacitancia de todo
el arreglo de prueba, ver Figura 2 en Capítulo 2 de esta tesis, se calculó usando COMSOL Multiphysics®
y la definición de capacitancia aplicable a los circuitos eléctricos, ecuación (23) en el artículo. De manera
que la capacitancia equivalente de la cavidad, C c (F), se calcula como:
Cc =
C b C bc
,
C b − C bc
(26)
donde C bc (F) es la capacitancia resultante de la capacitancia de la columna de dieléctrico en serie con
la cavidad, C b (F), en serie con la capacitancia de la cavidad. Se propuso una mejora del modelo de tres
condensadores presentado en (Gafvert et al., 2003) considerando el modelo estocástico de DP descrito
en la Sección 2.2.2 del Capítulo 2 de esta tesis y las capacitancias definidas en las ecuaciones (25) y (26).
Se simuló un caso de estudio usando los modelos analítico y de tres condensadores mejorado y los
resultados se compararon con mediciones experimentales reportadas en (H. A. Illias et al., 2017). Este
caso de estudio corresponde a una cavidad esférica llena de gas en el centro de un dieléctrico polimérico
sólido (resina epóxica bisfenol-A) puesto entre dos electrodos planos paralelos a los que se les aplica
una tensión sinusoidal de CA de 18 kV y 50 Hz, mayores detalles del objeto de ensayo se presentan en la
Sección 4 del artículo. Se encontró que, aunque el error obtenido con el modelo de 3 condensadores
mejorado es mayor al obtenido con el modelo analítico, aproximadamente 7 %, los patrones resueltos
en fase y los valores mínimo y promedio de la carga son bastante cercanos a los medidos
experimentalmente, error menor a 2 %, lo que permitió concluir que el modelo de tres condensadores
mejorado que se describió anteriormente, puede reproducir de manera cualitativa y cuantitativa el
comportamiento de DP en cavidades esféricas en el interior de dieléctricos sólidos, con un error cercano
al modelo analítico. Por otro lado, analizando los patrones resueltos en fase, se encontró que la
distribución en fase de las DP obtenida con el modelo de tres condensadores mejorado es ligeramente
diferente con respecto a la obtenida con el modelo analítico y la medida experimentalmente. Si bien el
modelo de tres condensadores mejorado es capaz de reproducir de manera adecuada la distribución en
forma de oreja de conejo, ver Figura 8 de la publicación, la distribución de pulsos en la barra horizontal,
que se debe a descargas consecutivas de baja magnitud, ~ 100 pC, que se presentan durante el mismo
semiciclo de la forma de onda de tensión de CA, es levemente diferente con respecto al caso del modelo
analítico: la tasa de DP por ciclo obtenida con el modelo analítico es 6,49, mientras que con el modelo
de tres condensadores mejorado es 6,13, ver Tabla 9 en la publicación. Esto se debe a que en el modelo
mejorado de tres condensadores se usan dos resistencias de magnitud fija para modelar el fenómeno de
155
decaimiento de carga después de la aparición de DP a través de procesos de conducción en el volumen
del dieléctrico sólido y en la superficie de la cavidad, pero este último proceso depende de la magnitud
y polaridad de la carga en la superficie de la cavidad y de la polaridad de la intensidad del campo
eléctrico resultante en el interior de la cavidad (H. Illias et al., 2011b). El valor de esta resistencia no solo
permite controlar la magnitud de las descargas, sino además la tasa de repetición, ya que su valor afecta
a la magnitud de la tensión aplicada a la capacitancia equivalente de la cavidad. La magnitud de la
resistencia puede calcularse en función de las características de los patrones resueltos en fase y su
comparación con mediciones experimentales mediante un método de ajuste adaptativo con el cual se
determine el valor que permita reproducir mediante simulación las principales características de los
patrones resueltos en fase medidos experimentalmente (Lin, 2012).
5.2.1.2 Publicación O1-2: Numerical simulation of temperature and pressure changes due to partial
discharges in spherical cavities within solid dielectrics at different ageing conditions (Rodríguez-Serna &
Albarracín-Sánchez, 2019)
En este artículo de revista se introduce una modificación al modelo analítico de DP, que se describe en
la Sección 2.2.2.1 de esta tesis, para calcular las variaciones de temperatura y presión durante los
eventos de DP y convertirlo en un novedoso modelo analítico-multifísico. Se hace uso del teorema de
Poynting para estimar la densidad de energía eléctrica que se convierte en calor, ver Sección 2.3 de la
publicación, y las temperaturas en el gas y en la superficie de la cavidad se calculan para cada instante
de tiempo solucionando la ecuación diferencial (8) en el artículo, la cual describe la transferencia de
calor por conducción. El cambio en la presión durante las DP se calcula en función del cambio en la
temperatura usando la ley de los gases ideales, ecuación (10) en el artículo. Adicionalmente, de las
ecuaciones (1) - (3) y (11) en esta tesis, puede inferirse que las DP son fenómenos multifísicos, porque
las tensiones de incepción y extinción y la tasa de generación de electrones son dependientes de la
temperatura y presión del gas en el interior de la cavidad y en la superficie de la misma. Por lo anterior,
para el caso de estudio analizado en esta publicación, estos parámetros que controlan el proceso
estocástico no se consideran constantes, sino que fueron calculados dinámicamente para cada paso de
tiempo durante la simulación, convirtiéndose en variables internas cuya magnitud es controlada por la
actividad de DP y el mismo proceso estocástico. El diagrama de flujo correspondiente a la herramienta
de simulación implementada en MATLAB®, PDSym1S, y usada para este caso de estudio, se muestra en
la Figura 9 del Capítulo 3 de esta tesis. El caso de estudio considerado en esta publicación se describe en
la Sección 3 de la misma, se analiza el comportamiento de DP en una cavidad esférica llena de aire en el
interior de un dieléctrico sólido (resina epóxica Araldite D/HY 956) entre dos electrodos planos
paralelos a los que se aplica una tensión sinusoidal de CA de 19,25 kV y 50 Hz, bajo diferentes
condiciones de envejecimiento. Se consideran cinco fases de envejecimiento consecutivas, definidas de
esta manera en (Gutfleisch & Niemeyer, 1995) a partir del análisis de los cambios en los patrones
resueltos en fase para distintos periodos de tiempo hasta que se detecta la incepción de arborescencias
eléctricas en la superficie de la cavidad, aproximadamente 1300 h después de aplicada la tensión e
iniciada la actividad de DP en la cavidad. Los resultados de simulación se compararon cualitativa y
cuantitativamente con las medidas reportadas en (Gutfleisch & Niemeyer, 1995) y se encontró que el
error máximo, aproximadamente 27 %, se obtuvo para la fase más avanzada del envejecimiento, es
decir, para la cual se intuye que la superficie estará más degradada y el gas en el interior de la cavidad
habrá sufrido los mayores cambios, no solo en la presión sino además en su composición. Esto permitió
demostrar que para esta fase de envejecimiento la variación con el tiempo de la presión del gas en el
interior de la cavidad no depende solamente de las variaciones de temperatura debidas a las DP, sino
además de la tasa de generación de subproductos gaseosos como resultado de la degradación de la
superficie de la cavidad por la actividad de DP y del consumo del oxígeno en el volumen gaseoso de la
cavidad en procesos de oxidación. Se concluyó que este comportamiento es demasiado complejo y no
puede ser solamente modelado mediante la ley de los gases ideales.
Se encontró que durante los periodos de tiempo durante los cuales predominan las DP de baja magnitud,
~ 170 pC, las variaciones en la presión y temperatura son muy bajas, menores a 1 K y 0,01 kPa. Se
156
-1
)
observó que a medida que incrementa el envejecimiento, el valor máximo de la temperatura durante los
eventos de DP incrementa hasta 347,40 K, mientras que el valor promedio de la temperatura permanece
sustancialmente constante, alrededor de 300 K. Esto se debe a que, con el aumento de la función de
trabajo de liberación efectiva de electrones, el retardo de tiempo de incepción incrementa lo que hace
que más energía eléctrica sea transformada en calor y el valor máximo de la temperatura aumenta, sin
embargo, el valor promedio de la temperatura no incrementa debido a que el número de descargas por
ciclo disminuye y el sistema se enfría rápidamente entre DP consecutivas.
La Figura 13 muestra el comportamiento de la presión y las magnitudes de la intensidad de campo
eléctrico de incepción, E inc (V‧m-1), y extinción, E ext (V‧m-1), para las fases de envejecimiento. Los
valores fueron tomados de la Tabla 2 de la publicación.
70
60
2.5
Intensidad de campo eléctrico (kV.mm
Presión (kPa)
50
40
30
20
10
0
3
A
B
C
D
E
Fases de envejecimiento
2
1.5
1
0.5
0
A
B
C
D
E
Fases de envejecimiento
(a)
(b)
Figura 13. (a), Variación de la presión en la cavidad durante las fases de envejecimiento. (b), Magnitudes de la intensidad de
campo eléctrico de incepción y extinción para las distintas fases de envejecimiento.
Comparando las curvas de las Figuras 13a y 13b, puede verse que los valores de las magnitudes de la
intensidad de campo eléctrico de incepción y extinción son proporcionales a la presión del gas en el
interior de la cavidad para las distintas fases de envejecimiento. El envejecimiento aumenta desde la
fase A, 0 h (inicio de las pruebas), hasta la fase E, aproximadamente 1300 h (justo antes de la incepción
de arborescencias). En la Figura 13b puede verse que, con el aumento del envejecimiento, la diferencia
entre las magnitudes de la intensidad de campo eléctrico de incepción y de extinción, disminuye, lo cual
explica que el valor mínimo de la carga de las DP disminuya con el envejecimiento.
Usando los valores de las Tablas 1 y 2, y la ecuación (9) en el artículo, se calculó el valor mínimo de la
densidad de la fuente de calor durante las DP, Qmin (W‧m-3), y los resultados se presentan en la Tabla 8.
Tabla 8. Cálculo de la densidad fuente de calor y la energía disipada por las DP.
Fase
Qmin (W‧m-3)
W PD − mean (J)
A
B
C
D
E
2,93x1010
2,93x1010
9,56x108
2,43x108
2,43x108
3,19x10-5
3,05x10-5
6,40x10-6
6,06x10-8
1,68x10-6
Adicionalmente, en la Tabla 8, para las fases de envejecimiento se agregaron los valores de la energía
media disipada por las DP por medio ciclo, W PD − mean (J), calculada como el producto del valor medio de la
carga, q mean (C), por el valor medio de la tensión de incepción, 2aE inc − mean (V), y el número de DP por
medio ciclo, N HW , tomados de la Tabla 2 de la publicación. Se puede ver que, a medida que incrementa
el envejecimiento, el valor mínimo de la densidad fuente de calor disminuye, lo cual explica que la
temperatura media en la cavidad permanezca sustancialmente constante a pesar de que el valor máximo
157
de la temperatura durante las DP aumente a causa del retardo de incepción. La energía media disipada
por las DP por medio ciclo presenta un comportamiento similar, lo que permite concluir que la
degradación inducida por las DP no se debe al aumento de la temperatura como consecuencia de la
actividad de DP, sino que se debe a mecanismos de degradación a nivel microscópico que también
dependen de la presión del gas y la magnitud de la intensidad de campo eléctrico en la cavidad. Esto
último se analizará en detalle en las publicaciones asociadas al objetivo 3. Por otro lado, comparando
los valores en la anterior Tabla 8 con los de la Tabla 2 del artículo de revista O1-2, se encuentra que no
hay una correlación directa entre la magnitud máxima de la carga inducida por las DP y la energía media
disipada. Esto último permite concluir que inferencias de la condición de degradación en la cavidad con
base en medidas externas, tomadas en los electrodos, de la carga inducida y variables relacionadas,
como la corriente, la potencia y el tiempo efectivo (Albarracín-Sánchez et al., 2020), entre otros, deben
complementarse con análisis de otras variables calculadas en función de la intensidad de campo
eléctrico en la cavidad. De esta manera se pueden obtener evaluaciones confiables de la degradación
inducida por la actividad continua de DP e implementar análisis de pronóstico del tiempo remanente de
vida útil del dieléctrico sólido. Esto se discute con detalle en el documento del Anexo C.
La comparación con resultados de medición reportados en (Gutfleisch & Niemeyer, 1995) permite
verificar que el modelo analítico-multifísico implementado es razonablemente confiable, el error
promedio entre valores simulados y medidos del número de descargas por medio ciclo es de 10,88 %.
Además, esta comparación permite concluir que la variación de la conductividad superficial con la
temperatura no tiene un efecto significativo en el comportamiento de las DP.
Por otro lado, debido a que el aumento máximo de temperatura obtenido mediante las simulaciones
durante las fases de envejecimiento con respecto a la temperatura ambiental es de 15 %, se puede
considerar que el efecto de las variaciones de temperatura debido a la actividad de DP sobre la
degradación de la superficie interna de la cavidad puede despreciarse en comparación con otros
mecanismos de degradación, químicos y físicos.
Finalmente, debe tenerse en cuenta que el error máximo, 27 %, se encontró para la última fase del
envejecimiento, cuando las DP exhiben un comportamiento intermitente, por lo que el análisis debería
hacerse usando variables estadísticas determinadas a partir de un número representativo de
simulaciones y mediciones experimentales de la misma condición de envejecimiento, sin embargo, no
se dispone de estos datos medidos experimentalmente.
5.2.1.3 Publicación O1-3: Finite-element-analysis models for numerical simulation of partial discharges in
spherical cavities within solid dielectrics: a review and a novel method (Rodríguez-Serna, AlbarracínSánchez, & Mas’ud, 2020)
En este artículo de revista se incluye un estado del arte completo y detallado de los modelos de
elementos finitos para simular las DP presentes en cavidades en el interior de dieléctricos sólidos. Tanto
para los modelos de corrientes eléctricas y electrostáticos, ver Sección 2.2.2.3 en Capítulo 2 de esta tesis,
se presentaron las ecuaciones en derivadas parciales que describen el fenómeno, las definiciones de
dominios y fronteras, los parámetros necesarios para su modelamiento, así como los diferentes métodos
utilizados para modelar la variación de la conductividad de la cavidad, la distribución superficial de
carga y el decaimiento de la carga superficial después de los eventos de DP. Adicionalmente, se
recopilaron las aplicaciones de dichos métodos para diferentes casos de estudio, así como sus ventajas
e inconvenientes.
Entre las principales ventajas que tienen los modelos de elementos finitos es que se solucionan
directamente las ecuaciones en derivadas parciales de campos eléctricos, y la cargas y corrientes,
inducidas y reales, se calculan usando expresiones de campo eléctrico y condiciones de frontera, por lo
que no se requieren expresiones analíticas ni aproximaciones cuasiestacionarias como en los modelos
analítico y de condensadores. Por otro lado, la carga computacional para la solución de las ecuaciones
de campos electromagnéticos mediante el método de elementos finitos es mayor que en los modelos
analítico y de condensadores, para la misma simulación los modelos de elementos finitos tardan un
tiempo más de diez veces mayor que los modelos analíticos (Rodríguez-Serna, Albarracín-Sánchez,
158
Dong, et al., 2020), pero esto se ve compensado por un aumento en la precisión del modelamiento y
disminución de las limitaciones a los objetos de ensayo.
Los modelos de elementos finitos de corrientes eléctricas son poco realistas debido a que consideran
que todo el volumen de la cavidad es afectado por cada una de las DP (H. A. Illias et al., 2014) y que la
distribución de campo eléctrico, así como la distribución de carga en la superficie de la cavidad, es
uniforme (Hazlee A. Illias et al., 2011). Adicionalmente, los procesos de recombinación de cargas en el
gas durante las DP impiden que se establezca una corriente de estado estable durante la actividad de DP
(Callender, 2018), y se requiere un subdominio en la superficie de la cavidad para modelar el
decaimiento de carga por conducción. Por lo anterior, el modelo de elementos finitos electrostático es
más preciso, sin embargo, tiene la dificultad de que es necesario establecer la distribución superficial de
carga durante y después de los eventos de DP como una función del tiempo y el espacio sobre la
superficie de la cavidad (H. A. Illias et al., 2017). Algunos investigadores han usado distribuciones
discretas (H. A. Illias et al., 2015b, 2016), sin embargo, esto produce la aparición de indeterminaciones
en la magnitud de la intensidad de campo eléctrico en la superficie de la cavidad.
En el artículo de revista O1-3 se presenta un novedoso modelo híbrido de elementos finitos que combina
las ventajas de los modelos de corrientes eléctricas y electrostático. En el modelo híbrido, durante los
eventos de DP, las distribuciones del potencial escalar eléctrico y la intensidad de campo eléctrico se
calculan con el modelo de corrientes eléctricas y la duración de las DP se controla usando como criterio
de parada la magnitud de la intensidad del campo eléctrico de extinción, ecuación (11) en esta tesis.
Después de las DP, la distribución superficial de carga se calcula de manera precisa usando un enfoque
de teoría de campo electromagnético que se describe de manera detallada en la Sección 3.1 de la
publicación. Para cada instante de tiempo, t (s), se resuelve la siguiente ecuación:
∇Σ ⋅ J S +
∂σ S
=0,
∂t
(27)
donde ∇ Σ ⋅ J S (A‧m-2) es la divergencia bidimensional de la densidad superficial de corriente en la
superficie de la cavidad y σ S (C‧m-2) es la densidad superficial de carga. Una vez las DP han finalizado,
la solución a la ecuación (27) permite determinar la distribución superficial de carga para luego calcular
las distribuciones del potencial escalar eléctrico y la intensidad de campo eléctrico en los dominios de
interés, ver Figura 2 en el artículo, usando el modelo electrostático. La solución de la distribución
superficial de carga para cada instante de tiempo, obtenida usando el método de separación de
variables, se muestra en la Sección 3.1 del artículo. Ésta corresponde a una función continua del espacio,
por lo que no se tienen puntos sobre la superficie de la cavidad en los cuales la magnitud de la intensidad
de campo eléctrico sería una indeterminación (Hazlee A. Illias et al., 2011).
El modelo fue implementado usando COMSOL Multiphysics® y MATLAB®, la descripción completa del
modelo implementado, incluyendo el diagrama de flujo, se presenta en la Sección 3.2 del artículo O1-3.
Para considerar las condiciones multifísicas durante las simulaciones, se utilizó el mismo modelo de
transferencia de calor y presión presentado en el artículo (Rodríguez-Serna & Albarracín-Sánchez,
2019) y que se describe en la Sección 4 de la publicación.
Se realizaron simulaciones para un caso de estudio que fue medido experimentalmente y cuyos
resultados se presentan en (Gutfleisch & Niemeyer, 1995). El objeto de prueba corresponde a una
cavidad esférica llena de aire en el interior de un dieléctrico sólido (resina epóxica Araldite D/HY 956)
entre dos electrodos planos paralelos a los que se aplica una tensión sinusoidal de CA de 19,25 kV y
50 Hz. Mayores detalles del objeto de ensayo se presentan en la Sección 5 de éste artículo de revista. La
comparación entre mediciones experimentales y resultados de simulación permite concluir que el
modelo híbrido propuesto presenta buenos resultados, error menor a 7 %. En la Sección 5 del artículo
se realiza un análisis del error y se concluye que éste se puede disminuir modificando el modelo de
transferencia de calor y presión para considerar la tasa de disminución de la presión con el tiempo en
función de la magnitud de la intensidad del campo eléctrico aplicado y la temperatura.
159
El método de solución propuesto para determinar la distribución superficial de carga, Sección 3.1 de la
publicación, también permite considerar variaciones en la morfología de la cavidad, lo cual lo convierte
en un modelo bastante novedoso y poderoso sobretodo en análisis de envejecimiento cuando se
requiere modelar el comportamiento de DP en cavidades degradadas por la misma actividad de DP. Una
herramienta de diagnóstico puede implementarse complementando este modelo con mediciones
experimentales en las cuales se midan directamente las variaciones en la morfología de la cavidad
mediante métodos ópticos y mediciones eléctricas de los patrones resueltos en fase (Tanmaneeprasert
& Lewin, 2016). Una vez se haya ajustado el modelo para reproducir los patrones resueltos en fase
medidos experimentalmente, se pueden simular cambios en la morfología de la cavidad y las
consecuentes variaciones en el comportamiento de las DP para condiciones de envejecimiento avanzado
y estimar la vida útil remanente.
De acuerdo a mediciones experimentales, la conductividad superficial de resinas epóxicas incrementa
en función del tiempo de exposición a la actividad de DP en varios ordenes de magnitud (Morshuis,
2005). Usando las ecuaciones (26) a (36) y (39) en el artículo, se calcularon la distribución de carga en
la superficie de la cavidad y la magnitud de la intensidad de campo eléctrico en el interior de la cavidad
a lo largo del eje de simetría para un instante de tiempo específico después de la primera DP,
t = τ (k s = 1x10 −18 S ⋅ m -1 ) = 1,11x10 4 s , y para diferentes valores de conductividad, k s (S‧m-1), tomados de
la Tabla 5 en la publicación, donde τ = ε 0 a / k s s. Los resultados se muestran en la Figura 14.
60
10
40
8
20
6
0
4
-20
2
-40
-60
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(a)
(b)
Figura 14. (a), Distribución superficial de carga en la cavidad y (b), magnitud de la intensidad de campo eléctrico en el interior
de la cavidad a lo largo del eje de simetría, en función de la conductividad superficial para t=1,11x104 s.
Para los cálculos mostrados en la Figura 14, se han asumido los mismos valores de los parámetros
presentados al pie de la Figura 4 de la publicación. En la Figura 14b, E in − r (V‧m-1) corresponde a la
magnitud de la intensidad de campo eléctrico en el interior de la cavidad y a lo largo del eje de simetría,
2
θ = 0° , E 0 = q / 4πε 0 a V‧m-1,
q = 800 pC y
a = 1,25 mm. En la Figura 14a, puede verse que la
distribución superficial de carga tiende a hacerse más uniforme a medida que la conductividad
superficial aumenta. Por otro lado, en la Figura 14b se puede ver que la magnitud de la intensidad de
campo eléctrico en el interior de la cavidad a lo largo del eje de simetría, para un mismo instante de
tiempo, igual posición radial, r (m), y una DP de igual magnitud, es menor a medida que aumenta la
conductividad superficial de la cavidad y que su distribución a lo largo del eje de simetría es más
uniforme. Una discusión completa de este fenómeno y una versión mejorada del modelo analítico, o
modelo de carga inducida (ICC), se presentan en el artículo de revista titulado: “A Finite Element Analysis
and an Improved Induced Charge Concept for Partial Discharge Modeling” (Borghei et al., 2020) y que se
incluye en el Anexo B de esta tesis.
160
Los resultados de temperatura y presión para las primeras condiciones de envejecimiento, fases de
envejecimiento A y B, son similares a los encontrados en el trabajo O1-2 (Rodríguez-Serna & AlbarracínSánchez, 2019). Por otro lado, para la condición de envejecimiento más avanzada, fase de
envejecimiento C, a pesar de la baja magnitud de las descargas, menos de 300 pC, la temperatura
promedio en el gas y en la superficie de la cavidad, tienen una tasa de crecimiento de aproximadamente
1,10 K por ciclo de la señal de CA, mientras que la presión 22,50 kPa por ciclo de la señal de CA. Esto se
debe a que el número de descargas por ciclo pasa de 12,10 y 11,47, en las fases A y B, respectivamente,
a 66,50 durante la fase C, lo que implica un aumento del 450 %. Aunque las magnitudes de las descargas
y de la densidad fuente de calor durante las DP disminuyen con el envejecimiento, el elevado número
de DP hace que el gas en la cavidad y la superficie de ésta, no se enfríen nuevamente hasta alcanzar las
condiciones de equilibrio impuestas por la temperatura ambiental durante los periodos de tiempo entre
eventos de DP. A pesar de la tendencia de incremento positiva de la temperatura, esto sigue siendo
consistente con el hecho de que estos aumentos de temperatura no son significativos como para
considerar que pueden degradar directamente el material polimérico (Morshuis, 2005). Sin embargo,
cuando las condiciones de envejecimiento son avanzadas, el incremento en la temperatura puede
acelerar reacciones químicas en la superficie de la cavidad, lo que a su vez precipita el proceso de
degradación por mecanismos químicos (Rodríguez-Serna & Albarracín-Sánchez, 2021a).
Por otro lado, en la Sección 3.2 de la publicación se describe un método para implementar un modelo
novedoso electrostático puro, en el cual las DP se simulan agregando de manera discreta carga sobre la
superficie de la cavidad, con una distribución continua en el espacio y en el tiempo, hasta que se cumple
la condición de extinción.
Las principales ventajas del nuevo modelo híbrido propuesto pueden resumirse de la siguiente manera:
- Se considera la dinámica de carga superficial después de los eventos de DP a través de una
distribución de carga superficial continua teóricamente determinada mediante ecuaciones de
campo
- Los pulsos de corriente durante los eventos de DP a través de los electrodos y la cavidad se
pueden determinar en el dominio del tiempo utilizando el modelo de corrientes eléctricas
- La división de la superficie de la cavidad en un número finito de secciones no es requerida, lo
que permite reducir los esfuerzos computacionales y evitar la aparición de indeterminaciones
en la magnitud de la intensidad de campo eléctrico sobre la superficie de la cavidad
- Finalmente, las variaciones espaciales locales en la superficie de la cavidad pueden ser
consideradas a través de una función de la conductividad de la superficie de la cavidad que sea
dependiente de las coordenadas espaciales
5.2.1.4 Contribuciones de las publicaciones al cumplimiento del objetivo 1
En la Tabla 9 se resumen las aportaciones a la tesis de cada una de las publicaciones incorporadas en el
Capítulo 4 y asociadas al objetivo 1, ver Figura 12, y cuyos resultados fueron previamente discutidos en
las Secciones 5.2.1.1, 5.2.1.2 y 5.2.1.3. Adicionalmente, se listan las actividades específicas planteadas en
la Sección 3.1.1 de esta tesis para el cumplimiento del objetivo 1 y para cada publicación se señalan
aquellas cuyos resultados son presentados en la misma.
5.2.2 Objetivo 2: Modelamiento y simulación de propagación de arborescencias eléctricas en el interior
de sólidos dieléctricos poliméricos
Para aportar al cumplimiento del segundo objetivo, primero, se estudió el marco teórico y conceptual y
se realizó un exhaustivo y detallado estado del arte, del cual se obtuvieron los principales modelos que
permiten simular la propagación de arborescencias eléctricas en dieléctricos sólidos y las DP en
arborescencias eléctricas.
161
Tabla 9. Resumen de contribuciones de las publicaciones al objetivo 1.
Publicación
O1-1
O1-2
O1-3
Contribuciones
Se propuso una expresión para determinar la capacitancia equivalente de la cavidad
esférica que permite conciliar el modelo analítico, de base electromagnética, y el modelo
de condensadores, de base de circuitos.
Partiendo del modelo de condensadores presentado en (Gafvert et al., 2003), se propuso
una versión mejorada incluyendo la capacitancia equivalente de la cavidad determinada
con el enfoque de campos electromagnéticos y el modelo estocástico descrito por las
ecuaciones (1) – (4) en el Capítulo 2 de esta tesis. Se mostró que el modelo de
condensadores mejorado presenta resultados de simulación cercanos a los medidos
experimentalmente por otros autores. El modelo permite obtener los pulsos de corriente
en el circuito de medición, a los que se pueden aplicar análisis en el dominio del tiempo y
la frecuencia.
Se presentó un modelo analítico mejorado que incluye la presión y temperatura en la
cavidad como variables dinámicas del modelo y la transformación de energía durante las
DP como magnitud de acople entre las físicas electromagnética y térmica-mecánica. Se
mostró que los resultados de simulación son cercanos a los medidos experimentalmente
para diferentes condiciones de envejecimiento y se pudo concluir que la principal
afectación de las DP al material se debe a la ruptura de cadenas poliméricas por
bombardeo de portadores de carga o reacciones químicas activadas por éstos antes que a
esfuerzos térmicos. Se pudo demostrar que para las fases de envejecimiento avanzadas las
variaciones en la presión no se relacionan con las variaciones de temperatura a través de
la ley de los gases ideales, esto debido a la generación de subproductos gaseosos por la
degradación inducida por las DP en la superficie de la cavidad y el consumo del oxígeno en
la cavidad debido a procesos de oxidación.
Se propusieron dos modelos novedosos, un modelo híbrido, en el cual la DP se simula
cambiando la conductividad de la cavidad y, posteriormente, la distribución de carga en la
interfaz es calculada usando expresiones de campos electromagnéticos, y otro modelo,
puramente electrostático, en el cual la DP se simula modificando la distribución de carga
en la interfaz. La ventaja principal de estos modelos es que la distribución de carga
resultante en la interfaz es continua, lo que evita la aparición de indeterminaciones en la
magnitud de la intensidad de campo eléctrico sobre la superficie de la cavidad como en
otros modelos (H. A. Illias et al., 2017). Los modelos pueden calcular la distribución de
carga en la superficie de la cavidad cuando se presentan variaciones espaciales en la
conductividad, como las debidas a las modificaciones en la morfología causadas por la
actividad de DP. Son modelos precisos y multifísicos. Los resultados de simulación se
compararon con mediciones experimentales reportadas por otros autores y se pudo
comprobar la validez y aplicabilidad de los modelos propuestos.
Actividad
específica
a b c d
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
De los modelos para simular la propagación de arborescencias se obtuvieron sus ventajas y limitaciones,
y posteriormente, se realizó la implementación de varios de ellos en MATLAB®, como se describe en la
Sección 3.1.2 del Capítulo 3 de esta tesis. Adicionalmente, se propusieron y validaron, un novedoso
modelo para simular la propagación de arborescencias eléctricas en dieléctricos poliméricos sólidos que
permite considerar el tiempo como una variable física durante la propagación, y dos modelos para
simular las DP en arborescencias eléctricas en dieléctricos sólidos que permiten reproducir las
principales características de los patrones resueltos en fase medidas experimentalmente. Finalmente,
se realizaron varias simulaciones bajo diferentes condiciones de materiales y esfuerzos aplicados.
5.2.2.1 Publicación O2-1: An improved physical-stochastic model for simulating electrical tree
propagation in solid polymeric dielectrics (Rodríguez-Serna, Albarracín-Sánchez, & Carrillo, 2020)
En la Sección 3 de esta publicación se presenta una breve revisión de los modelos para simular la
propagación de arborescencias eléctricas en dieléctricos sólidos y se hace una clasificación de los
modelos en estocásticos, físicos, empíricos, determinísticos, multifísicos y de autómatas celulares,
dependiendo de la forma en la que se calculan la dirección y velocidad de propagación.
Por otro lado, en la Sección 4 de este artículo de revista, se propuso un novedoso modelo físicoestocástico mejorado para simular la propagación de las arborescencias en materiales dieléctricos
poliméricos sólidos. El modelo está basado en el modelo DAM (Dissado & Sweeney, 1992), y el tiempo
162
requerido para formar un nuevo canal, se calcula usando un análisis del cambio en la energía potencial
del sistema de aislamiento durante la propagación de las arborescencias. Haciendo un balance de
energía mediante el teorema de Poynting, se considera que el incremento en la energía potencial del
sistema es proporcional a la energía cinética disipada por los electrones durante las avalanchas y que
puede asociarse con la energía de vaporización del material dieléctrico (Lv et al., 2017; Schurch et al.,
2015). La trayectoria de propagación depende de la magnitud local de la intensidad de campo eléctrico.
Como en el modelo DAM, se asume que las DP producen una intensificación de la magnitud de la
intensidad de campo eléctrico en los puntos donde terminan las DP provocando la aparición de
avalanchas en el material dieléctrico sólido dentro de una distancia de propagación que se considera
igual a 10 μm (Hozumi & Okamoto, 1989). Se considera que las avalanchas inducen un daño que es
proporcional al número de ionizaciones causadas por éstas.
En la Sección 4 de esta publicación se describen de manera detallada el modelo y el procedimiento de
simulación. La región de interés en la cual se estudia la propagación de la arborescencia se representa
de manera discreta usando un reticulado uniforme en 2D con una separación entre retículas igual a la
longitud máxima de propagación de las avalanchas (Hozumi & Okamoto, 1989), ver Figura 1 en la
publicación. La distribución del potencial escalar eléctrico y la intensidad de campo eléctrico en los
diferentes puntos de la región se calculan resolviendo la ecuación de Poisson usando el método de
diferencias finitas y relajación (Gaviria, 2004). Además, para considerar que se pueden inyectar cargas
en el dieléctrico desde los electrodos durante la propagación de las arborescencias, debido a que la
estructura de la arborescencia tiene una conductividad mayor que el dieléctrico sólido, se utiliza el
método de conductividad relativa de los canales de la arborescencia (M. D. Noskov et al., 1995).
El modelo propuesto permite considerar materiales no homogéneos o con carga espacial. Los
parámetros de los medios requeridos para las simulaciones, incluyendo una descripción de éstos con
sus rangos de valores, y un diagrama de flujo del modelo implementado en MATLAB® se muestran,
respectivamente, en la Tabla 1 y Figura 2 de este artículo.
En la Sección 5 de esta publicación se muestran los resultados de simulación de un caso de estudio en el
cual se simula la propagación de arborescencias en una resina epóxica (bisfenol-A) que se pone en una
configuración punta-plano. Este caso de estudio fue medido experimentalmente por Champion et al. y
los resultados se presentan en (Champion et al., 1994). Las características y especificaciones del objeto
de ensayo y los parámetros del material se describen en la Sección 2 de materiales y métodos de esta
publicación. El objeto de ensayo se reprodujo usando un reticulado uniforme de 100 x 100 en 2D, ver
Figura 1 en este artículo, por lo que el parámetro del número crítico de avalanchas, N c , que se tiene
medido experimentalmente como 1x1013 en canales de 10 μm de longitud (Ding & Varlow, 2002), se
ajustó proporcionalmente para considerar la longitud de los canales usada en la simulación de la
siguiente manera:
1x1013
Nc =
Lb ,
10 μm
(28)
donde Lb (m) es la longitud de la retícula de simulación que es coincidente con la longitud de
propagación de las avalanchas. En este estudio, como en (Quiña et al., 2010), se considera que el
parámetro N c / N b , número crítico de avalanchas por medio ciclo y electrón, ver Tabla 1 en artículo O21, es constante e igual para todos los enlaces en el reticulado. Sin embargo, como el número de electrones
libres generados en los canales en cada medio ciclo depende de la actividad de DP y ésta de la tensión
aplicada (Lv, Rowland, Chen, Zheng, et al., 2018), en éste estudio se considera que el valor de este
parámetro debe ser dependiente de la tensión aplicada. Los parámetros N c / N b y η , ver Tabla 1 de la
publicación, se determinaron mediante un procedimiento de prueba y error considerando como
variable de prueba la diferencia relativa entre el valor promedio del tiempo hasta la ruptura obtenido
mediante las simulaciones y el valor promedio medido experimentalmente que se reporta en (Champion
et al., 1994). Se asumió que una diferencia máxima de 3 % es razonablemente tolerable.
163
Se consideró que las ramas de la arborescencia son altamente conductivas σ ch = 1 , como en el caso de
resinas rígidas o en estado vítreo, “glassy”, (Champion & Dodd, 2001). Este modelo, cambiando la
conductividad relativa de los canales de la arborescencia, también permite simular la propagación de
arborescencias eléctricas en resinas flexibles, por encima de la temperatura de transición vítrea.
Se realizaron simulaciones para tres condiciones de tensión, 7, 10 y 15 kV RMS. Para cada valor de la
tensión se realizaron 50 simulaciones, es decir un total de 150 simulaciones, sin contar las realizadas
durante el procedimiento de ajuste de parámetros, y se realizaron comparaciones con valores medidos
experimentalmente de la dimensión fractal y el tiempo hasta la ruptura. Además, en la misma figura se
realizó una superposición de las curvas longitud versus tiempo medidas experimentalmente y las
obtenidas mediante simulación, ver Figura 3 en la publicación, y se pudo comprobar que existe una
buena concordancia entre ambas. La Tabla 10 muestra los resultados del Error Medio Cuadrático (EMC)
calculado entre los valores de longitud medidos experimentalmente y los obtenidos mediante
simulación que se muestran en las curvas LM (mm) y LY (mm), respectivamente, de las Figuras 3d a 3f en
el artículo de revista.
Tabla 10. Resultados del cálculo del error medio cuadrático entre las curvas medidas, LM, y simuladas, LY, en las Figuras 3d a 3f
de la publicación.
Figura
EMC
3d
0,03
3e
0,02
3f
0,03
Los resultados presentados en la Tabla 10, permiten comprobar que el modelo propuesto es capaz de
reproducir las curvas longitud versus tiempo, no sólo en sus magnitudes, sino también en su forma
característica de sigmoidal invertida, incluso para diferentes condiciones de tensión aplicada. Las curvas
obtenidas presentan la misma tasa de crecimiento durante la propagación que las curvas medidas
experimentalmente. La mayoría de modelos existentes son incapaces de reproducir esta característica
para diferentes magnitudes de la tensión aplicada, por lo que se puede considerar que el modelo
propuesto es un modelo físico mejorado, por otro lado, los modelos estocásticos no involucran el tiempo
como una variable física, mientras que el modelo aquí propuesto sí puede hacerlo a través del análisis
de balance de energía previamente descrito, por lo que se puede considerar que el modelo propuesto es
un modelo físico-estocástico mejorado.
La dimensión fractal se calculó para cada paso de tiempo usando el método de extensión axial (Barclay
et al., 1990; Kudo, 1998):
Df =
ln (t p / ∆t p )
ln(L Y / Lb )
,
(29)
donde t p (s) es el tiempo de propagación, ∆t p (s) es el paso de tiempo durante la propagación y L Y
(m) es la longitud de la arborescencia a lo largo del eje de simetría. Se encontró que el valor promedio
de la dimensión fractal justo antes de la ruptura, calculado a partir de las 50 simulaciones para cada
magnitud de la tensión aplicada, es cercano al valor reportado experimentalmente, siendo el error
máximo entre el valor calculado y el simulado del 6,06 %. Este error puede reducirse mediante un ajuste
de parámetros, sin embargo, debe tenerse en cuenta que el valor reportado como experimental
corresponde a un valor determinado mediante un proceso de ajuste usando el modelo empírico
(Champion et al., 1994) y que no existe un único método para calcular la dimensión fractal (Barclay et al.,
1990).
Para todas las tensiones, se encontró que el comportamiento de la dimensión fractal con el tiempo es
similar. Inicialmente, el valor de la dimensión fractal es bajo ya que la propagación se da, principalmente,
a lo largo del eje de simetría donde la magnitud de la intensidad de campo eléctrico es mayor. Luego,
cuando la arborescencia se ha propagado hasta cierto punto en el cual la magnitud de la componente
radial de la intensidad de campo eléctrico es comparable a la magnitud de la componente axial, la
164
dimensión fractal incrementa. Posteriormente, cuando la arborescencia se ha propagado hasta
aproximarse al electrodo plano, la propagación se da, principalmente, de forma paralela al eje de
simetría y las ramificaciones principales, y por ende perpendicular al electrodo plano, debido a que la
magnitud de la intensidad de campo eléctrico es mayor en estas direcciones y, consecuentemente, la
dimensión fractal tiende a reducirse nuevamente. De las Figuras 3d a 3f en la publicación, puede verse
que el anterior análisis también explica la forma de sigmoidal invertida de la curva longitud de
propagación versus tiempo. La variación de la dimensión fractal durante la propagación de las
arborescencias, que puede calcularse a partir de mediciones de los patrones resueltos en fase de las DP
en arborescencias (Schurch et al., 2017), puede dar indicios de alguna metodología que pueda usarse
como mecanismo de inferencia del estado de la propagación y alarma de la ruptura inminente, una
futura línea de investigación podría desarrollarse en esta dirección.
Los resultados de simulación del tiempo hasta la ruptura para cada valor de la tensión aplicada se
ajustaron a la función de Weibull, como se describe en el Capítulo 3 de esta tesis. Los valores promedio
del tiempo hasta la ruptura obtenidos mediante simulación se compararon con los valores promedio
reportados experimentalmente en (Champion et al., 1994) y se encontró una diferencia máxima de
2,40 % para el caso de 7 kV RMS. Este valor de error puede reducirse ajustando los valores de los
parámetros de los medios, sin embargo, se considera que esta magnitud de error es razonablemente
tolerable. Lo anterior permite concluir que el modelo propuesto es capaz de reproducir adecuadamente
arborescencias en dieléctricos sólidos con dimensión fractal y tiempo hasta la ruptura coincidentes con
mediciones experimentales, incluso bajo diferentes condiciones de tensión aplicada.
La Figura 15, fue obtenida usando los valores presentados en la Tabla 4 del artículo de revista.
6000
t
5500
t
-IC
t
(s)
5000
4500
4000
3500
3000
2500
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Tensión (kV RMS)
Figura 15. Factor de escala de la función de Weibull de las distribuciones del tiempo hasta la ruptura para las tensiones
consideradas en el caso de estudio.
En ésta, se puede ver que el valor del parámetro de escala de la distribución de Weibull del tiempo hasta
la ruptura, α t (s), es decir el tiempo para el que el 63,20 % de los experimentos habrá presentado
ruptura dieléctrica, decrece con la magnitud de la tensión aplicada y que esto, teniendo en cuenta que
los intervalos de confianza, α t -IC (s), no se traslapan, se mantiene para cualquier tensión en el rango
estudiado de 7 a 15 kV RMS. Este mismo comportamiento se encontró para el valor medio del tiempo
hasta la ruptura, t mean (s), y usando los valores presentados en la Tabla 4 de la publicación, se puede
afirmar que éste decrece linealmente a medida que la magnitud de la tensión incrementa de la siguiente
manera:
10000 − 700U (s) para 7 ≤ U ≤ 10
t mean = 
,
4600 − 120U (s) para 10 ≤ U ≤ 15
165
(30)
donde U es la magnitud de la tensión aplicada al electrodo en kV RMS. Por otro lado, en la Tabla 4 de la
publicación, se muestra que el factor de forma de las distribuciones del tiempo hasta la ruptura
obtenidas para cada tensión aplicada, es mayor que la unidad, por lo que se puede afirmar que la tasa
de faltas crece con el tiempo (Galar & Kumar, 2017). En la Tabla 11 se muestran los valores del Tiempo
Medio Hasta la Ruptura (TMHR) y la confiabilidad para el valor mínimo del tiempo hasta la ruptura,
R(t min ) , calculados con los valores de la Tabla 4 del artículo y las definiciones dadas en (Galar & Kumar,
2017).
Tabla 11. Valor del tiempo medio hasta la ruptura y confiabilidad para el tiempo mínimo hasta la ruptura para diferentes
magnitudes de la tensión aplicada.
Tensión (kV RMS)
7
10
15
TMHR (s)
5465,34
3368,04
2748,62
R (t min )
0,96
0,93
0,93
De los valores presentados en la Tabla 11, puede concluirse que el valor del tiempo medio hasta la
ruptura y la confiabilidad para el tiempo mínimo de ruptura, decrecen cuando el valor RMS de la tensión
aplicada incrementa. Otra conclusión interesante puede obtenerse al comparar los valores de α t en la
Tabla 4 del artículo de revista y el valor del TMHR en la anterior Tabla 11. Se puede ver que la diferencia
entre ambos valores se reduce a medida que el valor RMS de la tensión aplicada aumenta, lo que implica
que las distribuciones del tiempo hasta la ruptura se hacen menos anchas, disminuye la dispersión, a
medida que la tensión aumenta.
Adicionalmente, en la Sección 5 de la publicación, se presentó una discusión acerca de los parámetros
de los modelos de propagación de arborescencias y se concluyó, que el parámetro N c / N b , número
crítico de avalanchas por medio ciclo, debe ser una variable dependiente del comportamiento de las DP
a medida que la arborescencia se propaga. Este parámetro debe determinarse de manera experimental
mediante un trabajo independiente.
De los resultados presentados en la Figura 3 y la Tabla 3 de este artículo de revista, puede concluirse
que la mayor densidad de ramificaciones se obtuvo para 15 kV RMS y la menor para 10 kV RMS. La
menor dimensión fractal para 10 kV RMS se explica por el hecho de que se tiene un mayor valor del
exponente η , ver Tabla 1 en el artículo, lo cual significa que la probabilidad de propagación en una
trayectoria dada es proporcional al cuadrado de la magnitud de la intensidad de campo eléctrico local.
Esto provoca que las arborescencias se propaguen en los sitios de mayor magnitud de la intensidad de
campo eléctrico, esto es, a lo largo del eje de simetría y paralelo a las ramas existentes.
En la Tabla 12, se resumen las magnitudes del valor medio del tiempo hasta la ruptura y el número de
pasos durante la propagación, N steps , tomados de la Tabla 3 y Figura 3 de la publicación. En esta tabla
también se han agregado la velocidad de propagación de las arborescencias, Vel Y (m‧s-1), y el valor
promedio del tiempo característico para la conformación de un canal de la arborescencia, t ch − mean (s).
Tabla 12. Valores del tiempo promedio hasta la ruptura, tmean, (s), número de pasos, Nsteps,, velocidad de propagación y tiempo
característico medio para las tensiones aplicadas. Valores calculados usando los resultados en las Tablas 3 y 4 y Figura 3 de la
publicación.
Tensión (kV RMS)
t mean (s)
7
10
15
N steps
5457,60
3370,30
2753,70
Vel Y (m‧s-1)
4,12x10-7
6,68x10-7
8,17x10-7
t ch − mean (s)
485
0,38
166
450
0,35
841
0,04
La velocidad de propagación de la arborescencia se ha calculado usando la distancia entre la punta del
electrodo y el plano, 2,25 mm, y el valor promedio del tiempo hasta la ruptura tomado de la Tabla 4 de
la en el artículo O2-1. Por otro lado, el valor promedio del tiempo característico para la conformación
de un canal en la arborescencia se ha calculado usando el modelo de Bahder (Kudo, 1998), de la siguiente
manera:
t mean
t ch − mean
 L
= 
 Lb



Df
,
(31)
donde L (m) es la longitud total de los canales de las arborescencias. Los valores de la dimensión
fractal, D f , y la longitud unitaria de los canales, Lb (m), se han tomado de la Tabla 3 de la publicación.
En la Tabla 12 se puede ver que el número de pasos durante la propagación para 15 kV RMS es casi dos
veces el número que para 10 kV RMS, N steps −15 kV / N steps −10 kV = 1,87 , pero el valor medio del tiempo hasta la
ruptura es menor para 15 kV RMS que para 10 kV RMS, t mean −15 kV / t mean −10 kV = 0,82 , esto es debido a que la
energía incrementa cuando la tensión aplicada también lo hace. Esto permite demostrar que modelos
simplificados en los que el tiempo de propagación se considera proporcional al número de pasos
durante la propagación a través de una constante de conversión, (M. D. Noskov et al., 1995; Wiesmann
& Zeller, 1986), no son adecuados.
En la Figura 16, se muestran los resultados de la velocidad de propagación de la arborescencia y el valor
promedio del tiempo característico de conformación de los canales, tomados de la anterior Tabla 12.
10
9
-7
0.4
y = 4.8e-08*x + 1.2e-07
y = - 0.0068*x
8
2
+ 0.11*x - 0.05
Tiempo característico (s)
-1
)
0.3
Velocidad (m.s
7
6
5
4
7
8
9
10
11
12
13
14
15
0.2
0.1
0
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Tensión (kV rms)
Tensión (kV rms)
(a)
(b)
Figura 16. (a), Velocidad de propagación de las arborescencias y curva lineal de ajuste, norma de los residuos = 8,36x10-8. (b),
Valor promedio del tiempo característico para la conformación de nuevos canales en la arborescencia y curva cuadrática de
ajuste, norma de los residuos = 1,05x10-16.
En la Figura 16, se puede ver que la velocidad de propagación tiende a crecer de manera
aproximadamente lineal con la tensión aplicada, mientras que el valor promedio del tiempo
característico para la conformación de canales, tiende a decrecer de manera cuadrática con la tensión
aplicada, lo que se debe a la relación cuadrática entre la energía disipada y la tensión aplicada. En las
Figuras 16a y 16b se han superpuesto las líneas de ajuste, lineal y cuadrática, respectivamente, que han
sido determinadas usando la función “Basic Fitting” de MATLAB® y las normas de los residuos
encontrados se muestran al pie de la Figura 16. En la Figura, también se muestran las ecuaciones de las
curvas de ajuste.
Además, se pudo demostrar, usando resultados de simulación y experimentales reportados en
(Champion et al., 1994), que no hay una correlación lineal entre la dimensión fractal y el tiempo hasta
la ruptura, como se deduce de los modelos empíricos. Esto se puede verificar en la Figura 17, en la cual
167
se superponen los resultados de simulación, normalizados, del valor medio del tiempo hasta la ruptura,
t mean − N , y la dimensión fractal, medida, D f − M − N , y simulada, D f − sim − N , para las tensiones consideradas.
1
Valores normalizados
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Tensión (kV RMS)
Figura 17. Resumen de los resultados obtenidos del tiempo medio hasta la ruptura y la dimensión fractal para las tensiones
aplicadas en el caso de estudio. Valores tomados de las Tablas 3 y 4 de la publicación.
Los valores fueron tomados de las Tablas 3 y 4 de la publicación y fueron normalizados con respecto a
los valores máximos de cada distribución para superponerlos en la misma figura. De la Figura 17 se
puede concluir que la correlación entre la dimensión fractal y el valor medio del tiempo hasta la ruptura
debe considerar la magnitud de la tensión aplicada debido a que el tiempo hasta la ruptura es
dependiente de ésta a través de la energía potencial.
El modelo propuesto, validado e implementado, permite considerar la propagación de arborescencias
en medios no homogéneos y considerar la conductividad de los canales de la arborescencia, además la
presencia de materiales compuestos, nanopartículas y carga espacial. Por otro lado, los parámetros de
los que depende el modelo, y que se listan en la Tabla 2 de la publicación, permiten la simulación de
propagación de arborescencias en materiales dieléctricos poliméricos sólidos flexibles y rígidos
(Champion & Dodd, 2001).
Con el modelo implementado se realizaron simulaciones de propagación de arborescencias en medios
de diferentes características, incluyendo barreras dieléctricas y conductoras, medios con carga espacial
y diferentes conductividades, ver Anexo A.
5.2.2.2 Publicación O2-2: Improved deterministic and stochastic models for simulating partial discharges
in non‐conducting trees inside solid dielectrics (Rodríguez-Serna & Albarracín-Sánchez, 2021)
Una revisión del estado del arte del modelamiento de DP en arborescencias es presentada en la Sección
2 de este artículo de revista. En ésta, se discuten de manera detallada los modelos capacitivos, de
avalancha, auto-consistente, de canal artificial y de avalancha mejorado. En el apéndice de este trabajo
se incluye la Tabla A1 que resume las ventajas y desventajas de estos modelos. En la Sección 3 de este
artículo se presentan 2 modelos electrostáticos mejorados para simular DP en arborescencias eléctricas
basados en el modelo propuesto por Champion y Dodd (Champion & Dodd, 1998). Durante las
simulaciones se asume que la arborescencia no se propaga, y que las DP corresponden a avalanchas
locales de electrones dentro de la estructura gaseosa de la arborescencia. Además, se considera que las
avalanchas son instantáneas, que no hay transporte de carga por conducción durante las DP y que la
permitividad de la estructura de la arborescencia es igual a la del dieléctrico sólido. En los modelos
propuestos, la estructura de la arborescencia y el arreglo de electrodos se representan usando un
reticulado uniforme en 2D con una separación entre retículas que es igual al radio de la punta del
electrodo. La separación entre dos puntos consecutivos del reticulado define la longitud máxima de
propagación de las avalanchas locales, tras las cuales, se establecen dipolos de carga eléctrica en
168
aquellos puntos. Estos modelos permiten la simulación de DP en arborescencias conductoras y no
conductoras, y aunque en esta publicación se modelan arborescencias con dimensión fractal, ecuación
(29), menor de 2, los modelos propuestos pueden extenderse para representar estructuras de
arborescencias en 3D. La intensidad de campo eléctrico en la estructura de la arborescencia se calcula
como la superposición entre la intensidad de campo eléctrico debida a la fuente de alta tensión aplicada
y la intensidad de campo eléctrico debida a las cargas en los segmentos de la arborescencia debido a las
avalanchas. La intensidad de campo eléctrico debida a la fuente de alta tensión se calcula usando el
método de simulación de la carga e imágenes (Gaviria, 2004). El procedimiento para calcular la
intensidad de campo eléctrico y el potencial escalar eléctrico debidos a la distribución de carga en la
estructura de la arborescencia por las avalanchas locales se presenta en la Sección 3 del trabajo O2-2.
En el modelo estocástico propuesto se considera que la magnitud de la tensión de incepción de las DP
positivas es constante y está definida por valores medidos experimentalmente (Lv, Rowland, Chen,
Zheng, et al., 2018), mientras que para las DP negativas, la magnitud de la tensión de incepción tiene una
variación estocástica definida por una distribución aleatoria normal (Dodd et al., 2010). Por otro lado,
en el modelo determinístico se considera que la magnitud de la tensión de incepción de las DP positivas
y negativas es constante, sin embargo, se considera que la magnitud de la tensión de incepción de las DP
negativas es menor que la de las positivas (Lv, Rowland, Chen, & Zheng, 2018), ver Sección 3 de esta
publicación. Las ecuaciones que definen los modelos estocástico y determinístico son, respectivamente,
(3), (8) – (15), y (3), (8) - (13), (16) - (17) de esta tesis.
Los parámetros de entrada para las simulaciones se resumen al final de la Sección 3 y el diagrama de
flujo de los modelos implementados en MATLAB® se presenta en la Figura 5 de este artículo.
Se simularon dos casos de estudio. El primer caso de estudio corresponde a una arborescencia no
conductora de dimensión fractal aproximadamente 1,50 en una resina epóxica (bisfenol-A) de
permitividad relativa 4,80 y una configuración de electrodos punta-plano a la cual se le aplicó una
tensión sinusoidal de CA de 10 kV y 50 Hz. Este objeto de ensayo fue caracterizado experimentalmente
usando mediciones eléctricas de los patrones resueltos en fase correlacionados con mediciones ópticas
(Dodd et al., 2010). El segundo caso de estudio corresponde a una arborescencia no conductora de
geometría igual a la del primer caso de estudio, en una resina epóxica (bisfenol-A) de permitividad
relativa 2,10 y que fue utilizada por otros investigadores para inferir experimentalmente el
comportamiento de las DP en arborescencias en polietileno (Champion & Dodd, 1998). Para este caso
de estudio se utilizó la misma configuración punta-plano del primer caso de estudio y se aplicó una
tensión sinusoidal de CA de 14,14 kV y 50 Hz. Los parámetros de los medios, los esfuerzos de tensión
aplicados y características de los objetos de ensayo se resumen en la Tabla 1 de la publicación.
Los resultados de simulación usando los dos modelos propuestos se compararon con mediciones
experimentales y resultados de simulación usando un modelo existente en la literatura, modelo
determinístico original, (Champion & Dodd, 1998). Se encontró que ambos modelos propuestos
presentan errores menores que el modelo determinístico original, 12,40 % el modelo estocástico
mejorado y 22,30 % del modelo determinístico mejorado frente a 60,80 % del modelo determinístico
original. Los errores de los modelos propuestos pueden reducirse ajustando las distribuciones de las
tensiones de incepción, sin embargo, esto requiere de mediciones experimentales, y dentro de un marco
de análisis estadístico experimental, adicionales a las presentadas en las publicaciones de las que se han
tomados los casos de estudio para validación de los modelos (Champion & Dodd, 1998; Dodd et al.,
2010). El modelo estocástico mejorado propuesto, es el más preciso, ver Tabla 2 del artículo, además,
permite obtener patrones resueltos en fase con distribuciones asimétricas, como los medidos
experimentalmente, en los que las DP positivas son de mayor magnitud que las negativas y están
concentradas en nubes alrededor de los valores de fase correspondientes a la tensión de incepción,
mientras que las DP negativas tienen una distribución aproximadamente normal. La Tabla 13 muestra
los resultados de simulación de los dos casos de estudio usando el modelo estocástico propuesto,
tomados de las Tablas 2 y 3 de la publicación.
169
Tabla 13. Resultados de simulación de los casos de estudio 1 y 2 usando el modelo estocástico propuesto en la publicación.
Variable
+
Max ( q PD
) (pC)
Caso 1
Caso 2
449,70
178,30
Max N PD
4
12
−
Max ( q PD
) (pC)
+ / − ) (pC)
Min ( q PD
284,60
3,40
78,30
3,40
En comparación a lo obtenido para el caso de estudio 1, para el caso de estudio 2, usando el modelo
estocástico, el número máximo de DP por ciclo, Max N PD , incrementa en 200 %, mientras que el valor
+
máximo de la carga de las DP positivas, Max ( q PD
) (pC), se reduce en 60,35 %. Esto se debe a que la
magnitud de la tensión aplicada y la magnitud de la tensión de extinción aumentan, mientras la
magnitud de la tensión de incepción disminuye. Comparando los patrones resueltos en fase de las
Figuras 7 y 8 del artículo, se encontró que, al disminuir la tensión de incepción, las DP presentan un
adelantamiento en fase, es decir: para el caso de estudio 2, las DP aparecen antes en el tiempo en
comparación al caso de estudio 1. Esto permite concluir que al modificar las tensiones de extinción e
incepción se pueden modelar los periodos de propagación de arborescencias de alta conductividad
eléctrica (> 1x10-8 S‧m-1 (Dodd et al., 2010)) (Champion et al., 1996).
El porcentaje en que se reduce el valor máximo de la carga de las DP entre los casos de estudio 1 y 2, es
cercano al porcentaje en el cual se reduce la permitividad relativa de la resina epóxica entre los mismos
casos de estudio, 56,25 %, lo que permite inferir que hay una relación de proporcionalidad entre la
permitividad relativa y el valor máximo de la carga de las DP.
Por otro lado, el segundo caso de estudio se usó para analizar el comportamiento de la carga inducida
en estado estable en el electrodo de alta tensión durante el tiempo de simulación, ver Figura 9 en la
publicación. Mediante simulación, se encontró que la carga inducida en el electrodo en estado estable
también presenta una asimetría similar a la medida experimentalmente en (Champion & Dodd, 2001),
lo que permite demostrar que los modelos propuestos permiten reproducir de manera adecuada la
magnitud y distribución en fase de las DP. Los modelos propuestos permiten la simulación de DP en
arborescencias conductoras y no conductoras variando la resistencia de los canales de descarga,
además, la simulación de las ráfagas periódicas (“periodic bursts”) durante las cuales las arborescencias
conductoras se propagan, se puede hacer variando las tensiones de incepción y extinción. La precisión
de los modelos puede incrementarse ajustando los valores de las tensiones de incepción usando
mediciones experimentales de secuencias de pulsos de DP (Pulse Sequence Analysis – PSA en inglés).
Por otro lado, la precisión del modelamiento del comportamiento dinámico de la carga en la estructura
de la arborescencia puede mejorarse considerando los procesos de liberación de cargas eléctricas en la
superficie de las arborescencias y conducción en el gas.
5.2.2.3 Contribuciones de las publicaciones al cumplimiento del objetivo 2
En la Tabla 14 se resumen las aportaciones a la tesis de cada una de las publicaciones incorporadas en
el Capítulo 4 y asociadas al objetivo 2, ver Figura 12, y cuyos resultados fueron previamente discutidos
en las Secciones 5.2.2.1 y 5.2.2.2. Adicionalmente, se listan las actividades específicas planteadas en la
Sección 3.1.2 de esta tesis para el cumplimiento del objetivo 2 y para cada trabajo se señalan aquellas
cuyos resultados son presentados en la misma.
5.2.3 Objetivo 3: Modelar la expectativa de vida útil de los sistemas de aislamiento eléctrico sólido
polimérico
Para el cumplimiento de este objetivo se realizó en primera instancia un estudio del fenómeno de
envejecimiento de materiales poliméricos dieléctricos sólidos haciendo énfasis en los mecanismos de
degradación asociados a las DP en cavidades en el interior de este tipo de materiales aislantes.
170
Tabla 14. Resumen de contribuciones de las publicaciones al objetivo 2.
Publicación
O2-1
O2-2
Contribuciones
Se presentó un modelo físico-estocástico que reproduce con una confiabilidad aceptable
las principales características de las arborescencias eléctricas en sólidos dieléctricos, tales
como la curva longitud versus tiempo, el tiempo hasta la ruptura y la dimensión fractal.
Adicionalmente, el modelo permite predecir los cambios en las anteriores características
de las arborescencias debido a cambios en la tensión aplicada. Es un modelo físico de base
electromagnética que tiene en cuenta las variaciones estocásticas (caóticasdeterminísticas) del fenómeno de propagación de arborescencias en sólidos dieléctricos
detectadas experimentalmente. Los parámetros del medio requeridos para las
simulaciones usando el modelo físico-estocástico propuesto tienen una justificación física
y se pueden obtener experimentalmente. Además, permiten simular arborescencias en
materiales bajo diferentes condiciones, por ejemplo, se pueden tener en cuenta
variaciones con respecto a la temperatura de transición vítrea, materiales flexibles y
rígidos, ya que los parámetros permiten controlar la dimensión fractal y tener en cuenta
el efecto de la conductividad en la actividad de DP cuyo comportamiento es diferente en
cada caso (Champion & Dodd, 2001). Por otro lado, se pueden considerar condiciones de
no-homogeneidad, tener en cuenta la conductividad de los canales de la estructura de la
arborescencia, materiales compuestos, presencia de nanopartículas, carga espacial (muy
importante en sistemas de alta tensión en CC) y barreras dieléctricas y conductoras. Por
otro lado, se presentaron resultados de simulación de arborescencias bajo diferentes
condiciones de tensiones aplicadas.
Se presentaron dos modelos novedosos que permiten reproducir de manera adecuada los
patrones resueltos en fase de DP en arborescencias no conductoras en dieléctricos sólidos.
Los modelos propuestos pueden usarse para simular arborescencias de cualquier
dimensión fractal < 2. Los modelos permiten la simulación de DP en arborescencias
conductoras cambiando el parámetro de la resistencia de los canales, así como la
simulación de los periodos de propagación de las arborescencias conductoras,
modificando las tensiones de incepción y extinción. Los modelos de simulación
propuestos, e implementados de acuerdo al diagrama de flujo de la Figura 5 en la
publicación, permiten simular las DP en arborescencias bajo diferentes tipos de forma de
onda de la tensión aplicada. Por otro lado, se presentaron resultados de simulación de DP
en arborescencias conductoras en materiales de diferentes características y bajo
diferentes magnitudes de tensión aplicada.
Actividad
específica
a b c d
X
X
X
X
X
X
X
Posteriormente, y recogiendo los avances adquiridos en los objetivos anteriores, se utilizaron los
modelos y resultados de simulación, principalmente, de DP en cavidades en el interior de dieléctricos
sólidos, objetivo 1, y conclusiones del modelamiento y simulación de propagación de arborescencias en
dieléctricos sólidos, objetivo 2, para evaluar la expectativa de vida útil. Para ello, se propusieron una
novedosa función de daño, un método nuevo de estimación de la vida útil remanente y un modelo de
vida original, como se describe en la Sección 3.1.3 del Capítulo 3 de esta tesis.
5.2.3.1 Publicación O3-1: A study on the life estimation and cavity surface degradation due to partial
discharges in spherical cavities within solid polymeric dielectrics using a simulation based approach
(Rodríguez-Serna & Albarracín-Sánchez, 2021a)
En la Sección 3 de este artículo de revista se realiza una discusión detallada acerca de la degradación
inducida por las DP en cavidades en el interior de dieléctricos poliméricos sólidos. En aquella sección se
presentan los mecanismos de degradación químicos y físicos activados por las DP en oquedades de
dieléctricos sólidos, se discute sobre la relevancia y predominancia de cada uno de ellos y se concluye
que para la estimación de la degradación causada por las DP, se requieren modelos microscópicos que
consideren las relaciones entre las características químicas, físicas y microestructurales de los
materiales poliméricos y los mecanismos de degradación activados por las DP en los defectos locales.
En la Sección 4.1 de este artículo, se presentó un método para estimar la degradación inducida usando
una novedosa función de daño que se propone en esta publicación, y en la Sección 4.2, se resumen las
expresiones que definen el modelo físico de avalanchas (Bahder et al., 1982).
171
Para este trabajo, se simularon tres casos de estudio cuyos resultados se presentan en la Sección 5 de
dicho documento. Para todos ellos, la geometría corresponde a una cavidad esférica llena de aire en
medio de un dieléctrico sólido (bisfenol-A) puesto entre dos electrodos planos a los cuales se les aplica
una tensión sinusoidal de CA. La Tabla 1 del artículo resume los parámetros del medio y demás
especificaciones del objeto de ensayo.
El primer caso de estudio se utiliza para evaluar y validar el desempeño del método cálculo y la función
de daño propuestos. Para ello se simuló el caso de estudio medido experimentalmente en (Gutfleisch &
Niemeyer, 1995), en el que se consideran cinco fases de envejecimiento que se distinguen por tener
comportamientos de DP diferentes. En cada fase anteriormente mencionada los eventos de DP se
simulan usando el modelo híbrido presentado en el documento O1-3 y se calcula la vida útil remanente
al final de cada fase de envejecimiento usando la ecuación (6) en el artículo. Posteriormente, usando la
ley de Miner, ecuación (17) del artículo, se calculó la vida útil remanente al final de la última de las fases
de envejecimiento debido al daño acumulado en cada una de las fases previas. Se encontró que la
diferencia entre los valores calculados y los medidos experimentalmente es de tan solo 3,59 %, lo que
demuestra que el método de estimación propuesto que se basa en simulaciones es confiable. Se encontró
que para la fase de envejecimiento C, que inicia a las 35,17 h y termina a las 185,17 h una vez comenzada
la actividad de DP en la cavidad, ésta no se ve degradada por la acción de DP. Esto se debe a que la
magnitud de la intensidad de campo eléctrico resultante en la oquedad es muy baja y los electrones
generados durante las DP no son efectivos para disociar los enlaces C-H en la superficie polimérica de
la cavidad, Sección 4.1 de la publicación. Adicionalmente, excepto durante la fase C, se encontró que la
tasa de degradación incrementa con el envejecimiento, lo cual se explica por el hecho de que a medida
que aumenta el tiempo durante el cual la cavidad está sometida a la actividad de las DP, la presión del
gas en el interior de la cavidad disminuye, por lo que la longitud libre media aumenta y los electrones
pueden adquirir mayor energía cinética, aún en campos eléctricos de menor intensidad.
Por otro lado, usando las expresiones analíticas presentadas en la Sección 4.2 del artículo y los
resultados de simulación durante el primer ciclo de la señal de CA en la fase de envejecimiento A, que
va desde las 0 h hasta las 0,17 h después de que la actividad de DP inicia en la cavidad, se calculó la
intensidad de campo eléctrico al interior del dieléctrico sólido a una distancia muy corta de la interfaz,
r = a + 5 μm y θ = 180° , y que coincide con la mitad de la longitud de propagación de las avalanchas en
el polímero sólido, Lb (m), los resultados se muestran en la Figura 4 de este artículo de revista. En esta
figura se puede ver que después de la primera DP la magnitud de la intensidad de campo eléctrico en el
material dieléctrico es de E loc = 8x10 9 V‧m-1 y usando las ecuaciones (14) y (15) en el artículo, se puede
calcular el número de ionizaciones por descarga y electrón, asumiendo la intensidad de campo eléctrico
como uniforme a lo largo de la longitud de propagación, como:
N D / N 0 = exp(α (E loc )Lb ) − 1 = 1,93x10 21 .
(32)
El número de enlaces C-H en un canal unitario, como se describe al inicio de la Sección 5.1 del artículo
O3-1, es de 1,08x1012, nueve órdenes de magnitud menor al resultado de la ecuación (32), lo que
implicaría que la tasa de degradación, que se asume proporcional al número de ionizaciones por
descarga y electrón sería muy rápida y una vez las DP se extinguen, la intensidad de campo eléctrico
generada por la carga en la superficie de la cavidad sería lo suficientemente elevada como para seguir
produciendo avalanchas en el sólido dieléctrico y el tiempo hasta la ruptura, usando este modelo físico,
sería una fracción del medido experimentalmente. Lo anterior permite demostrar que, durante las
primeras fases de envejecimiento, el mecanismo de degradación predominante es químico,
posteriormente, cuando la superficie está lo suficientemente degradada y cargas eléctricas se pueden
inyectar desde la superficie a través de microcanales ocasionados por la ruptura de enlaces C-H debido
a disociaciones por adición de electrones, el mecanismo físico predomina, lo que explica que el tiempo
de propagación de las arborescencias sea menor al tiempo de incepción (Rodríguez-Serna, AlbarracínSánchez, & Carrillo, 2020).
172
Por su parte, los casos de estudio 2 y 3 se utilizan para estudiar las variaciones en la tasa de degradación
debido a cambios en la magnitud y frecuencia de la tensión aplicada, respectivamente. Para el caso de
estudio 2, se reproduce el objeto de ensayo utilizado en (H. A. Illias et al., 2010) en el que se analiza el
comportamiento de las DP en una cavidad esférica cuando la magnitud de la tensión de CA aplicada se
varía en el rango 14 a 20 kV. Se encontró que cuando aumenta la magnitud de la tensión aplicada, la tasa
de envejecimiento, correspondiente a la pendiente de las curvas de la función de daño en la Figura 5 del
trabajo O3-1, también aumenta como se puede ver en la Tabla 15, complementaria a lo presentado en la
Figura 6 del artículo.
Tabla 15. Tasa de degradación para diferentes magnitudes de la tensión aplicada.
Magnitud de la tensión aplicada (kV)
Daño acumulado / s
14
0,19x10-2
16
0,29x10-2
18
0,34x10-2
20
0,35x10-2
De lo presentado en la Tabla 15, puede concluirse que la tasa de degradación incrementa con la
magnitud de la tensión aplicada y que dicho incremento es menor a medida que aumenta la magnitud
de la tensión aplicada. El incremento en la tasa de degradación con la magnitud de la tensión aplicada
responde aproximadamente a una relación lineal como muestra la ecuación en la Figura 6 del artículo.
En la Figura 18 se muestran los valores de los factores de escala de la función de Weibull calculados para
las distribuciones de vida obtenidas para cada magnitud de la tensión aplicada y que se muestran en la
Tabla 5 de la publicación.
12
L
11
L
-IC
L
(h)
10
9
8
7
6
5
14
15
16
17
18
19
20
Magnitud de la tensión (kV)
Figura 18. Factor de escala de las distribuciones de la vida calculadas para cada magnitud de la tensión aplicada, tomado de la
Tabla 5 de la publicación.
Como los intervalos de confianza, α L -IC (h), no se traslapan se puede concluir que cuando aumenta la
magnitud de la tensión aplicada, la vida (tiempo hasta la ruptura) disminuye. En la Tabla 16 se muestran
los valores del TMHR y la confiabilidad para el valor mínimo de vida, R(Lmin ) , calculados con los valores
de la Tabla 5 de la publicación.
Tabla 16. Valor del tiempo medio hasta la ruptura y confiabilidad para el valor mínimo de vida para diferentes magnitudes de la
tensión aplicada.
Magnitud de la tensión (kV)
14
16
18
20
173
TMHR (h)
10,99
7,07
5,92
5,53
R (Lmin )
0,93
0,96
0,96
0,88
De los resultados en la Tabla 16 se puede concluir que el valor del TMHR, o valor medio de la vida,
disminuye con la magnitud de la tensión aplicada. Al comparar los resultados para 14 kV y 20 kV, puede
concluirse que, al aumentar la magnitud de la tensión aplicada, la confiabilidad calculada para el valor
mínimo de vida obtenido en las simulaciones, decrece.
El caso de estudio 3, corresponde al objeto de ensayo presentado en (H. Illias et al., 2011b), en el que se
analiza el comportamiento de las DP para diferentes frecuencias de la tensión de CA aplicada en el rango
1-50 Hz. Se encontró que cuando aumenta la frecuencia de la tensión aplicada, la tasa de envejecimiento
también aumenta como se puede ver en la Tabla 17 complementaria a lo presentado en la Figura 8 de la
publicación.
Tabla 17. Tasa de degradación para diferentes magnitudes de la tensión aplicada.
Frecuencia de la tensión aplicada (Hz)
Daño acumulado / s
1
3,70x10-5
5
1,80x10-4
10
3,60x10-4
20
7,30x10-4
50
8,30x10-4
De los resultados en la Tabla 17, se puede ver que la tasa de degradación incrementa con la frecuencia
a una razón mayor para el rango entre 1 y 20 Hz que para el rango entre 20 y 50 Hz. Las ecuaciones que
describen las razones de incremento con la frecuencia de la tasa de degradación en los rangos
anteriormente mencionados se presentan debajo de la Figura 8 en el artículo. La Figura 19 muestra los
valores de los factores de escala de las distribuciones de vida calculadas para cada valor de la frecuencia
aplicada.
700
L
600
L
-IC
L
(h)
500
400
300
200
100
0
0
10
20
30
40
50
Frecuencia de la tensión (Hz)
Figura 19. Factor de escala de las distribuciones de vida calculadas para cada valor de frecuencia aplicada.
En la Figura 19, se puede ver que al aumentar la frecuencia la vida se reduce, sin embargo, la reducción
es menos notoria cuando la frecuencia aumenta por encima de 20 Hz. Esto puede explicarse usando el
producto N PD α q ' (C), el cual es una medida de la energía media disipada por las DP por ciclo de la señal
de CA (Wang et al., 2012). En la Figura 8 del artículo, se puede ver que este producto permanece
aproximadamente constante cuando la frecuencia aumenta por encima de 5 Hz, lo que implica que la
tasa de degradación no aumenta significativamente cuando la frecuencia se aumenta en dicho rango. Lo
anterior se mantiene para cualquier valor de frecuencia en este rango ya que los intervalos de confianza,
α L -IC (h), no se traslapan.
En la Tabla 18 se muestran los valores del TMHR y la confiabilidad para el valor mínimo de vida, R(Lmin )
, calculados con los valores de la Tabla 7 de la publicación. En la Tabla 18 se puede ver que el valor del
tiempo medio de vida se reduce a medida que aumenta la frecuencia de la tensión aplicada. Por otro
lado, la confiabilidad para el valor mínimo de la vida obtenido durante las simulaciones tiende a
aumentar con la frecuencia en el rango 10 a 50 Hz.
174
Tabla 18. Valor del tiempo medio hasta la ruptura y confiabilidad para el valor mínimo de vida para diferentes valores de la
frecuencia de la tensión aplicada.
Frecuencia de la tensión (Hz)
1
5
10
20
50
TMHR (h)
595,03
110,21
52,97
27,58
24,19
R (Lmin )
0,93
0,89
0,85
0,91
0,97
5.2.3.2 Contribuciones de las publicaciones al cumplimiento del objetivo 3
En la Tabla 19 se resumen las aportaciones a la tesis, logradas con el artículo de revista incorporado en
el Capítulo 4 y asociado al objetivo 3, ver Figura 12, y cuyos resultados fueron previamente discutidos
en la Sección 5.2.3.1. Adicionalmente, se listan las actividades específicas planteadas en la Sección 3.1.3
de esta tesis para el cumplimiento del objetivo 3 y se señalan aquellas cuyos resultados son presentados
en la publicación.
Tabla 19. Resumen de contribuciones de las publicaciones al objetivo 3.
Publicación
O3-1
Contribuciones
Se propuso un método basado en simulaciones que permite evaluar la expectativa de vida
útil con base en una novedosa función de daño que considera las interacciones a nivel
microscópico de la estructura de los polímeros y los mecanismos de degradación activados
por las DP. El método y función de daño propuestos permiten calcular el tiempo hasta la
ruptura con una precisión bastante razonable (3,59 %) cuando se compara con mediciones
experimentales. Adicionalmente, se realizaron simulaciones de casos de estudio adicionales
que permitieron demostrar que, al aumentar la magnitud y frecuencia de la tensión aplicada,
la tasa de degradación aumenta.
Se demostró usando resultados de simulación que durante las primeras etapas del proceso
de envejecimiento predominan los mecanismos de degradación químicos, y que una vez se
da la incepción de las arborescencias, estas se propagan principalmente mediante
mecanismos de degradación física.
Usando los resultados de las simulaciones se evaluó el desempeño de un indicador de la tasa
de degradación,
Actividad
específica
a
b
c
X
X
X
N PD α q ' , que permite estimar la energía media disipada por las DP por ciclo
y se encontró que presenta resultados adecuados incluso para diferentes valores de la
magnitud y frecuencia de la tensión aplicada.
5.2.4 Publicaciones complementarias
Como se describió anteriormente, las publicaciones complementarias son producto del estudio en las
líneas de investigación asociadas a los objetivos establecidos para la tesis de doctorado y corresponden
a presentaciones en congresos y artículos de revista redactados en colaboración con otros
investigadores. A continuación, se hace una breve descripción de las publicaciones teniendo en cuenta
la codificación establecida en la Figura 12. También, se incluyen las aportaciones al cumplimiento de los
objetivos logradas con estas publicaciones.
5.2.4.1 Publicación O1-1C: Partial discharges measurements for condition monitoring and diagnosis of
power transformers: a review (Rodríguez-Serna, Albarracín-Sánchez, Garnacho, et al., 2019)
En este artículo de congreso se demuestra la necesidad de la monitorización de DP en trasformadores
de potencia y se hace una breve revisión de los diferentes métodos de medición de DP, convencionales
(eléctrico) y no convencionales (UHF, acústicos, etc.) en transformadores de potencia. Se muestran las
ventajas y desventajas de cada uno de ellos, así como los circuitos de medición. Por otro lado, se incluye
una revisión de los modelos de los devanados para los estudios de propagación de señales de DP usados
en los análisis de localización de DP en transformadores de potencia. De éstos, se muestran sus
175
principales características, aplicaciones y limitaciones y se propone que las actividades de
modelamiento y simulación pueden ser complementarias de las tareas de diagnóstico de DP en
transformadores de potencia.
Aportaciones: Se estudiaron los métodos de medición convencionales y no convencionales de DP en
transformadores de potencia y su marco normativo. Se estudiaron los diferentes modelos para la
propagación de señales de DP en devanados de transformadores. Se propuso el modelamiento y
simulación de propagación de señales de DP en los devanados de los transformadores como
herramienta complementaria a las tareas de diagnóstico de DP en transformadores.
Actividades específicas establecidas en la Sección 3.1.1 y que se cumplen con esta publicación: a y d.
5.2.4.2 Publicación O1-2C: Finite element analysis and an improved induced charge concept for partial
discharge modeling (Borghei et al., 2020)
En este artículo de revista se realizó una revisión detallada de los modelos de elementos finitos usados
para la simulación de DP en cavidades en el interior de dieléctricos sólidos. Adicionalmente, se presentó
una crítica al modelo de carga inducida (modelo analítico de dipolo) teniendo en cuenta las
consideraciones que dan sustento teórico y conceptual al modelo. En la Sección III de esta publicación,
se presenta una versión mejorada del modelo de carga inducida con el cual se mejora la precisión del
modelamiento y se puede generalizar para simular DP en cavidades de dimensiones comparables a la
separación entre electrodos. Finalmente, se realizó un análisis de sensibilidad del comportamiento de
las DP a los parámetros de presión, conductividad y radio de la cavidad. Este documento, se incluye
como Anexo B en esta tesis.
Aportaciones: Se propuso un nuevo modelo de carga inducida mejorado para la simulación de DP en
cavidades en el interior de dieléctricos sólidos. Se realizó un análisis de sensibilidad de la magnitud de
la carga, real e inducida, de las DP ante variaciones de la presión del gas al interior de la cavidad, el radio
y geometría de la cavidad, y la conductividad de la superficie interna de la cavidad.
Actividades específicas establecidas en la Sección 3.1.1 y que se cumplen con esta publicación: b, c y d.
5.2.4.3 Publicación O1-3C: Separation of partial discharge sources measured in the high-frequency range
with HFCT sensors using PRPD-teff patterns (Albarracín-Sánchez et al., 2020)
En este trabajo, se presenta una revisión de varios métodos usados para separar e identificar fuentes de
DP que están presentes de manera simultánea en equipos de alta tensión. Se propuso un método
eficiente para la separación de las fuentes de pulsos de DP, en el cual se considera el tiempo efectivo
como una dimensión adicional a los patrones resueltos en fase y se hacen representaciones
tridimensionales que facilitan la separación de las fuentes a los expertos. Adicionalmente, se muestra la
aplicación de una herramienta computacional implementada en MATLAB® que permite la separación e
identificación de las fuentes de DP usando representaciones gráficas interactivas y con colores
dinámicos que facilitan la visualización de patrones y grupos.
Aportaciones: Se estudió el método de medición de señales de DP en cables de potencia aislados usando
transformadores de alta frecuencia (HFCT). Se estudiaron los métodos de separación y clasificación de
fuentes de DP. Se implementaron procedimientos de separación y clasificación de fuentes de DP usando
el método de tiempo efectivo y la herramienta computacional implementada en MATLAB® “PRPD-time”.
Actividades específicas establecidas en la Sección 3.1.1 y que se cumplen con esta publicación: a y d.
5.2.4.4 Publicación O3-1C: Simulation of polymeric insulators ageing induced by the impact energy of
electrons during partial discharge activity (Rodríguez-Serna & Albarracín-Sánchez, 2021b)
En este artículo de conferencia se presenta un novedoso y original modelo microscópico de vida basado
en la energía de impacto de los electrones durante las DP. Además, se presenta un método para calcular
la vida útil remanente utilizando un enfoque basado en simulación y el modelo microscópico propuesto.
El modelo y el método fueron validados usando mediciones experimentales reportadas en (Gutfleisch &
Niemeyer, 1995). Un análisis de la carga inducida y la energía de impacto para diferentes fases de
176
envejecimiento, permitió concluir que la magnitud de la carga inducida por las DP no puede tomarse
como una variable independiente para evaluar las condiciones de envejecimiento. Adicionalmente, se
propuso un indicador de la tasa de envejecimiento en función del valor pico de la corriente inducida por
las DP. Este trabajo se incluye como Anexo C en esta tesis.
Aportaciones: Se presentó un novedoso y original modelo microscópico de vida con base en la energía
de impacto de los electrones durante las DP. Se propuso un novedoso indicador de la tasa de
degradación en función del valor pico de la corriente inducida.
Actividades específicas establecidas en la Sección 3.1.3 y que se cumplen con esta publicación: a, b y c.
5.2.5 Otras publicaciones
Las publicaciones categorizadas como otras, OT-1 y OT-2, en la Figura 12 son fruto del trabajo realizado
durante los estudios de doctorado en líneas de investigación que no están directamente relacionadas
con los objetivos establecidos para esta tesis.
5.2.5.1 Publicación OT-1: Streamer simulation in nano-based dielectric fluids at different Fe3O4
nanoparticle concentrations (Rodríguez-Serna, Albarracín-Sánchez, Velasco, et al., 2019)
En este artículo de conferencia se presentaron resultados de simulación de la propagación de Streamer
en fluidos dieléctricos con diferentes concentraciones de nanopartículas de Fe3O4. Se realizó una
discusión crítica acerca de los métodos experimentales para determinar el diámetro de las
nanopartículas y acerca del efecto del surfactante en la permitividad eléctrica del fluido nanodieléctrico.
Se muestran resultados de análisis de temperatura en la punta del Streamer, la velocidad de propagación
del Streamer y el tiempo hasta a ruptura. Usando los resultados de simulación se determina la
concentración más adecuada para controlar la propagación de este tipo de eventos eléctricos en líquidos
dieléctricos comúnmente utilizados en transformadores de potencia.
5.2.5.2 Publicación OT-2: Modeling oil-paper insulation frequency domain spectroscopy based on its
microscopic dielectric processes (Xie et al., 2019, p.)
En este artículo de revista, se presenta un modelo funcional que permite reproducir la curva
característica que se obtiene en pruebas de espectroscopia en el dominio de la frecuencia en muestras
papel-aceite con base en procesos microscópicos de conducción y relajación. Este modelo físico puede
proporcionar varios parámetros característicos relacionados con el contenido de humedad o el grado
de envejecimiento en aislamiento papel-aceite utilizado en transformadores de potencia.
5.3 Conclusiones
En esta sección, se presentan las conclusiones generales relacionadas con el cumplimiento de los
objetivos establecidos en la Sección 2.3.2 del Capítulo 2 de esta tesis y obtenidas durante el desarrollo
de la misma. Además, se presentan algunas conclusiones específicas de fundamental relevancia
obtenidas a partir de los análisis y estudios presentados en las publicaciones. Finalmente, para las
hipótesis planteadas en la Sección 2.3.1 del Capítulo 1 de esta tesis se incluye la descripción de su
verificación a través de los resultados obtenidos y los modelos implementados.
5.3.1 Conclusiones generales e hipótesis
5.3.1.1 Conclusiones acerca del modelamiento y simulación de DP en cavidades en el interior de sólidos
dieléctricos poliméricos
Se estudió el fenómeno de las DP en cavidades en el interior de dieléctricos poliméricos sólidos y se
implementaron varios modelos de simulación usando MATLAB® y COMSOL Multiphysics®. Para los
177
procesos de modelamiento y simulación se utilizó un enfoque multifísico en el que se analizó el
fenómeno de las DP desde el punto de vista eléctrico, térmico y mecánico. Se implementaron varios
modelos presentados en la literatura y se propusieron varios modelos novedosos que mejoran la
precisión del proceso de modelamiento y permiten superar las limitaciones que tenían, hasta antes de
las mejoras propuestas en esta tesis, en cuanto a la generalización y aplicabilidad de las consideraciones
de partida, y la falta de conciliación entre los modelos basados en circuitos eléctricos y los de base
electromagnética. Los modelos propuestos fueron validados comparando los resultados de simulación
con mediciones experimentales reportadas por otros investigadores en la literatura. Entre los modelos
propuestos y mejorados se tienen:
-
-
-
-
Modelo analítico-multifísico (Rodríguez-Serna & Albarracín-Sánchez, 2019): Como mejora al
modelo analítico se propuso la inclusión de la presión y temperatura en la cavidad como
variables dinámicas del modelo ya que la tasa de emisión de electrones y las magnitudes de las
intensidades de campo eléctrico de incepción y de extinción, son dependientes de estas variables
(Niemeyer, 1995), y las DP conllevan implícitamente un proceso de transformación de energía
que interrelaciona las físicas electromagnética y térmica-mecánica
Modelo analítico (de dipolo o de carga inducida) mejorado (Borghei et al., 2020): Mediante
simulación, se analizó la distribución de campo eléctrico dentro de las cavidades esferoidales de
diferente diámetro y se encontró que la distribución de campo eléctrico en la cavidad es
uniforme sólo si el diámetro de la cavidad es mucho menor (<1/10) a la separación entre
electrodos, por lo que la magnitud de la intensidad de campo eléctrico pronosticada mediante
las expresiones analíticas (Takuma & Techaumnat, 2010) será errónea si no se cumple esta
condición. Por lo anterior, se propuso la inclusión de un factor de modificación de la magnitud
de la intensidad de campo eléctrico en el interior de la cavidad en función del diámetro de la
cavidad y la separación de electrodos
Modelo de condensadores mejorado (Rodríguez-Serna, Albarracín-Sánchez, Dong, et al., 2019):
Usando un análisis de analogía entre el modelo analítico, de base electromagnética y el modelo
de condensadores, de base de circuitos, se propuso una expresión para determinar la
capacitancia equivalente de la cavidad esférica. Además, partiendo del modelo presentado en
(Gafvert et al., 2003), se propuso una versión mejorada incluyendo la capacitancia equivalente
de la cavidad determinada con el enfoque de campos electromagnéticos y el modelo estocástico
descrito por las ecuaciones (1) – (4) en el Capítulo 2 de esta tesis
Modelos de elementos finitos (Rodríguez-Serna, Albarracín-Sánchez, & Mas’ud, 2020): Se
propusieron dos modelos novedosos, un modelo híbrido, en el cual las DP se simulan cambiando
la conductividad de la cavidad y, posteriormente, la distribución de carga en la interfaz es
calculada usando expresiones de campos, y otro modelo, puramente electrostático, en el cual las
DP se simulan modificando la distribución de carga en la interfaz. Las principales ventajas de
estos modelos son que la distribución de carga resultante en la interfaz es continua, lo que evita
la aparición de indeterminaciones en la magnitud de la intensidad de campo eléctrico en la
superficie de la cavidad (H. A. Illias et al., 2017), y que permiten considerar variaciones no
uniformes en la morfología de la superficie de la cavidad, tales como la existencia de pozos,
cráteres y parches semiconductivos, para simular condiciones de envejecimiento en las cuales
la superficie de la cavidad es degradada por la actividad de DP. De estos dos modelos, el modelo
puramente electrostático es más preciso ya que no modela las DP como variaciones súbitas en
la conductividad del gas en la cavidad. Por su parte, el modelo híbrido permite modelar la
corriente a través de la cavidad durante los eventos de DP para análisis de su magnitud, duración
y forma de onda
La implementación de los modelos de DP en cavidades en el interior de dieléctricos poliméricos sólidos
permitió realizar diferentes simulaciones y análisis cuyos resultados se muestran de manera detallada
en las publicaciones del Capítulo 4 de esta tesis. Entre los estudios y simulaciones realizados se tienen:
178
-
Análisis de DP en cavidades de diferente diámetro para la misma separación entre electrodos
Análisis de las DP para diferentes tensiones aplicadas considerando formas de onda
sinusoidal y rectangular
Simulación de DP y estudio de la temperatura y presión para diferentes condiciones de
envejecimiento
Simulación y análisis de la distribución de carga de DP en la superficie de cavidades en el
interior de materiales de diferente permitividad y conductividad
Simulación de la distribución de la intensidad campo eléctrico en el interior de cavidades de
diferente diámetro e igual separación entre electrodos
Simulación y análisis de la magnitud de la intensidad de campo eléctrico en el dieléctrico
sólido después de los eventos de DP
Análisis de sensibilidad del comportamiento de las DP en cavidades en el interior de
dieléctricos sólidos ante variaciones de los parámetros de temperatura y presión, entre otros
5.3.1.2 Conclusiones acerca del modelamiento y simulación de propagación de arborescencias eléctricas
en el interior de sólidos dieléctricos poliméricos
Se estudió el fenómeno de propagación de arborescencias eléctricas en dieléctricos poliméricos sólidos
y se implementaron varios modelos en MATLAB®, tales como el modelo estocástico (M. D. Noskov et al.,
1995; Wiesmann & Zeller, 1986), el modelo físico de avalanchas (DAM) (Quiña et al., 2010) y el modelo
de autómatas celulares (Danikas et al., 1996). Se propuso un novedoso modelo para la propagación de
arborescencias basado en el modelo DAM (Rodríguez-Serna, Albarracín-Sánchez, & Carrillo, 2020) que
permite reproducir las principales características medidas experimentalmente de las arborescencias
eléctricas que se propagan en materiales dieléctricos poliméricos sólidos, tales como la curva de
longitud de propagación versus tiempo y el tiempo hasta la ruptura. Además, el modelo permite analizar
la propagación de arborescencias en medios no homogéneos o con carga espacial. El modelo propuesto
fue validado comparando los resultados de simulación con mediciones experimentales reportadas por
otros investigadores en la literatura. Entre las simulaciones realizadas se tienen:
-
-
Efecto de la magnitud de la tensión aplicada en la propagación de arborescencias eléctricas
en dieléctricos poliméricos sólidos
Propagación de arborescencias en medios dieléctricos poliméricos sólidos de distinta
permitividad y conductividad eléctrica
Efecto de la inclusión de barreras dieléctricas y conductoras en la propagación de
arborescencias eléctricas en medios dieléctricos poliméricos sólidos
Propagación de arborescencias eléctricas en medios dieléctricos poliméricos sólidos no
uniformes y con carga espacial
Los resultados de estas simulaciones se presentan en la publicación 4 del Capítulo 4 así como en el Anexo
A de esta tesis.
Se estudió el fenómeno de las DP en arborescencias eléctricas en el interior de dieléctricos poliméricos
sólidos y se propusieron dos modelos novedosos para su simulación que permiten reproducir las
principales características de los patrones resueltos en fase medidos experimentalmente. Se realizaron
simulaciones de casos de estudio de arborescencias no conductoras, sin embargo, los modelos
propuestos también permiten la simulación de DP en arborescencias conductoras. Los modelos
presentados fueron validados comparando los resultados de simulación con mediciones experimentales
reportadas por otros investigadores en la literatura.
5.3.1.3 Conclusiones acerca del modelamiento de la expectativa de vida útil de los sistemas de
aislamiento eléctrico sólido polimérico
179
Se estudió el fenómeno de envejecimiento de materiales dieléctricos poliméricos sólidos debido a la
degradación inducida por las DP en cavidades en el interior de aquellos. Se propuso una novedosa
función de daño para estimar la degradación inducida por las DP y evaluar la vida útil remanente basada
en mecanismos de degradación local activados por las DP y su interacción con la estructura de los
materiales poliméricos dieléctricos a nivel microscópico. Se propuso un método novedoso para estimar
la vida útil remanente de materiales poliméricos dieléctricos sólidos basado en simulación y usando la
función de daño propuesta. La función de daño y el método propuestos fueron validados comparando
los resultados de simulación con mediciones experimentales reportadas por otros investigadores en la
literatura. Se realizaron varias simulaciones entre las que se tienen:
-
-
Análisis de la degradación inducida por las DP para distintas condiciones de envejecimiento
de la cavidad
Análisis del efecto de la magnitud de la tensión aplicada en la tasa de degradación inducida
por las DP en cavidades
Análisis del efecto de la frecuencia de la tensión aplicada en la tasa de degradación inducida
por las DP en cavidades
Se propuso un novedoso modelo de vida en función de la energía de impacto de los electrones que puede
usarse con simulaciones para estimar la vida útil remanente de dieléctricos poliméricos sólidos con DP
en cavidades. El modelo se validó comparando los resultados de simulación con mediciones
experimentales reportadas por otros investigadores en la literatura. Adicionalmente, se propuso una
novedosa variable indicadora de la tasa de degradación en función del valor pico de la corriente inducida
por las DP y que puede ser usada como medida diagnóstica en análisis de DP.
5.3.1.4 Conclusiones generales complementarias
Con los modelos implementados y validados se obtuvieron herramientas computacionales que son
útiles en actividades de análisis y diagnóstico de sistemas de aislamiento, y que son complementarias a
métodos de medición de DP. En este punto vale la pena aclarar que, aunque las validaciones de los
modelos se realizaron con resultados experimentales de pruebas de envejecimiento acelerado, los
modelos se pueden ajustar para reproducir cualquier condición medida experimentalmente.
El desarrollo de esta tesis implica un avance importante en la comprensión de los procesos de
degradación de los materiales dieléctricos sólidos debido a DP en cavidades en su interior ya que se
analiza desde la incepción del fenómeno de las DP en cavidades, hasta la ruptura de los sistemas de
aislamiento por la propagación de arborescencias originadas en la superficie de las cavidades. Todo esto
desde un formal enfoque teórico y conceptual, usando análisis de campos electromagnéticos, en
conjunto con modelos físicos y simulaciones.
Como uno de los resultados principales se tiene la estimación de la vida útil remanente usando un
método, que, hasta el mejor conocimiento del autor de esta tesis, es único y utiliza resultados de
simulaciones de DP en cavidades las cuales pueden complementarse con medidas experimentales y
herramientas de inteligencia artificial para desarrollar metodologías de diagnóstico de equipos en
servicio.
A pesar de que los materiales considerados para las diferentes simulaciones y análisis presentados en
esta tesis, incluida la validación de los modelos, son poliméricos, los principios fundamentales de los
modelos y métodos propuestos pueden aplicarse a materiales orgánicos, tales como los sistemas papelaceite típicos de transformadores de potencia, considerando los respectivos ajustes y validaciones con
mediciones experimentales a que dé lugar.
De las 12 publicaciones realizadas durante los estudios de doctorado que se muestran en la Figura 12,
siete de ellas son de acceso abierto, lo que incrementa sustancialmente la visibilidad y difusión de los
resultados obtenidos. Por otro lado, siete de las publicaciones están en revistas del primer cuartil (Q1)
y dos en revistas del segundo cuartil (Q2) de la clasificación Scopus, mientras que según la clasificación
JCR, cinco están en revistas del primer cuartil (Q1), tres en revistas del segundo cuartil (Q2) y uno en
180
revistas del tercer cuartil (Q3). Además, los artículos de conferencia fueron presentados en eventos
organizados por asociaciones adscritas al Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE), por lo
que
aquellos
se
incluyen
en
las
bases
de
datos
de
IEEE
Xplore
(https://ieeexplore.ieee.org/Xplore/home.jsp). Mayores detalles se muestran en la Tabla 27 del Anexo
D. Por último, a la fecha, 26 de mayo de 2021, las publicaciones realizadas han recibido un total de 49
citaciones, lo que permite demostrar que dichas contribuciones han sido aceptadas favorablemente por
la comunidad científica.
5.3.1.5 Hipótesis validadas
Finalmente, con esta tesis las siguientes hipótesis fueron validadas:
Hipótesis 1. El desarrollo de modelos precisos para la simulación de DP en cavidades en el interior de
dieléctricos sólidos y considerando las diferentes físicas implícitas, ayuda a la comprensión del
fenómeno de DP, así como del efecto que tienen en la degradación y envejecimiento de los materiales
dieléctricos sólidos. Esto ha sido validado a través de la implementación de los modelos novedosos que
pueden reproducir de mejor manera las principales características del comportamiento de las DP en
cavidades. Los resultados de simulación para diferentes condiciones de esfuerzos aplicados y
parámetros del arreglo de prueba, se han utilizado para concluir acerca de los mecanismos de
degradación y la nocividad de las DP.
Hipótesis 2. El modelamiento y simulación de arborescencias eléctricas en dieléctricos sólidos permite
comprender el proceso de ruptura de los materiales aislantes y su dinámica espacial y temporal. Esta
hipótesis se valida a través de la implementación de diferentes modelos y la propuesta de uno nuevo
para la propagación de arborescencias que es capaz de reproducir la curva característica longitud versus
tiempo y el tiempo hasta la ruptura medidos experimentalmente.
Hipótesis 3. Los resultados de simulación considerando el efecto combinado de DP en cavidades y
arborescencias eléctricas, pueden usarse para evaluar la degradación inducida en dieléctricos sólidos y
estimar la vida útil remanente junto con modelos de vida y funciones de daño. Se propusieron una
función de daño y un modelo microscópico que permiten la estimación de la degradación inducida por
las DP. La vida útil remanente se puede calcular usando la función de daño y el modelo microscópico a
través de un método basado en simulación que es capaz de reproducir el tiempo hasta la ruptura medido
experimentalmente. Lo último demuestra la validación de esta hipótesis.
5.3.2 Conclusiones específicas
La comparación entre los resultados de simulación y las mediciones experimentales permite concluir
que las variaciones en el comportamiento de las DP a lo largo del periodo de envejecimiento se deben,
principalmente, a los cambios en la presión del gas en el interior de la cavidad y de la conductividad de
la superficie de la cavidad. Por otro lado, y también acorde con lo concluido por Callender (Callender,
2018), los criterios de la magnitud de campo eléctrico de incepción y extinción deben revisarse usando
mediciones experimentales ya que corresponden a expresiones determinadas en configuraciones
experimentales distintas a las de una cavidad llena de gas en el interior de un dieléctrico sólido.
Mediante simulación, se pudo demostrar que los incrementos en la temperatura al interior de la cavidad
como resultado de la actividad de DP no son lo suficientemente elevados, apenas 15% con respecto a la
ambiental, como para degradar directamente el material polimérico sólido. Mediante un análisis de
sensibilidad se encontró que al reducir el radio de la cavidad en un 33 %, la magnitud de carga de las DP
se reduce en un 50 %. Por otro lado, en el rango de presión de 5 a 25 psi, se encontró que la magnitud
de la carga de las DP permanece constante en los rangos de 5 a 15 psi y 16 a 25 psi, sin embargo, la
magnitud de la carga de las DP en el segundo rango es un tercio de la magnitud en el primero.
Finalmente, en el rango de 0 a 3 mS‧m-1 se encontró que la magnitud de la carga de las DP aumenta
181
linealmente con la conductividad, y a partir de 3 mS‧m-1, la magnitud de la carga de las DP decrece a una
tasa muy reducida, 5x106 pC‧m‧S-1.
Los resultados de simulación de propagación de arborescencias permiten concluir que cuando aumenta
la magnitud de la tensión aplicada, el tiempo hasta la ruptura disminuye a una tasa que es dependiente
de la magnitud de la tensión aplicada, como muestra la ecuación (30) en la Sección 5.2.2.1 de esta tesis.
Además, se pudo comprobar que no existe una correlación entre la dimensión fractal y la tensión
aplicada. Por otro lado, se planteó la hipótesis de que el parámetro exponencial en los modelos
estocásticos, η , que controla la tasa de propagación y aún no tiene una explicación física, puede
relacionarse con la tasa de conversión de energía durante la propagación de las arborescencias. La
comprobación de esta última hipótesis requiere de mediciones experimentales.
Los parámetros fundamentales que definen el comportamiento de las DP en arborescencias eléctricas
son: la geometría de la arborescencia, las magnitudes de la tensión de incepción y extinción, y la función
de densidad de probabilidad de la tensión de incepción de las DP negativas. La dependencia de esta
función de probabilidad hace que las DP en arborescencias se puedan considerar como fenómenos
caótico-determinísticos.
Usando resultados de simulación, se demostró que, durante las primeras fases del envejecimiento, el
mecanismo de degradación químico predomina sobre el físico y que una vez la superficie ha sido lo
suficientemente degradada para que cargas puedan inyectarse a través de canales microscópicos desde
la superficie de la cavidad, el mecanismo físico predominará, y arborescencias eléctricas se propagarán
rápidamente, llegando incluso hasta la situación en la que se rompa el dieléctrico completamente.
Se encontró que la tasa de degradación inducida por las DP en cavidades aumenta, y por ende la vida
útil disminuye, en una proporción aproximadamente lineal con la magnitud de la tensión aplicada. De
manera similar, la tasa de degradación aumenta linealmente con la frecuencia de la tensión aplicada,
pero a una tasa más pronunciada por debajo de 20 Hz que por encima de este valor de frecuencia.
Se encontró que los productos N PD α q ' y N PD (α i ' ) son buenos indicadores de la tasa de degradación
2
inducida por las DP, incluso para distintas magnitudes y frecuencias de la tensión aplicada, y pueden
usarse con mediciones en línea para implementar herramientas de pronóstico en conjunto con
mediciones de patrones resueltos en fase y en el tiempo. Para esto se requiere comprobación
experimental.
5.4 Conclusions
In this section, the general conclusions obtained during the development of the thesis and which are
related to the fulfilment of the objectives established in Section 2.3.2 are presented. In addition, certain
specific and relevant conclusions acquired from the analyses of the results of the case studies considered
in the publications are provided. Lastly, a description of the verification of the hypotheses formulated
in Section 2.3.1 through the results obtained from the thesis and the implemented models is included.
5.4.1 General conclusions and hypotheses
5.4.1.1 Conclusions about the modelling and simulation of PD in cavities inside solid polymeric
dielectrics
The phenomenon of PD in cavities inside solid polymeric dielectrics was studied and several simulation
models were implemented by using MATLAB® and COMSOL Multiphysics®. For the modelling and
simulation processes, a multiphysics approach was employed in which the PD phenomenon was studied
by considering the electrical, thermal and mechanical physics simultaneously. Certain models presented
in the published literature were implemented and several novel models proposed which increase the
accuracy of the simulations and allow limitations (in terms of the generalisation and applicability of the
considerations that the existing models had before the improvements proposed in the thesis) to be
182
addressed. Additionally, improvements to the existing models based on electric circuits were proposed
in order to provide agreement with those based on electromagnetics. The models proposed were
validated by comparing the simulation results with experimental measurements reported by other
researchers in the literature. Among the proposed and improved models are the following:
-
-
-
-
A multiphysics analytical PD model (Rodríguez-Serna & Albarracín-Sánchez, 2019): Since the
rate of emission of electrons and the inception and extinction electric field strength magnitudes
are dependent on the cavity gas pressure and temperature (Niemeyer, 1995), the study
proposed an improved multiphysics analytical PD model in which the electromagnetic and
thermal-mechanical physics are coupled through the energy transformation and dissipation
during the PD events
An improved analytical PD model (Borghei et al., 2020): By simulation, the electric field strength
distribution within spheroidal cavities of a different diameter was analysed, with it being found
that the electric field strength in the cavity is uniformly distributed only when the diameter of
the cavity is much smaller (<1/10) than the separation between electrodes. Thus, the electric
field strength magnitude predicted by the analytical expressions (Takuma & Techaumnat, 2010)
will be inaccurate if the last condition is not met. In order to address this limitation, an
expression was proposed for adjusting the analytically predicted electric field strength
magnitude inside the cavity depending on the relationship between the diameter and separation
of electrodes
An improved three-capacitance PD model (Rodríguez-Serna, Albarracín-Sánchez, Dong, et al.,
2019): By using an analysis of analogy between the electromagnetic-based PD analytical model
and the circuit-based three-capacitance PD model, an expression was formulated for calculating
the equivalent capacitance of the spherical cavity. In addition, an improved version of the model
presented in (Gafvert et al., 2003) was proposed, which includes the equivalent capacitance of
the cavity determined with the expression formulated here and the stochastic model described
by equations (1) - (4) included in Chapter 2
Two finite-element PD models (Rodríguez-Serna, Albarracín-Sánchez, & Mas’ud, 2020): Two
novel finite-element PD models were proposed. One was a hybrid model, in which the PD are
simulated by changing the cavity conductivity and, subsequently, the charge distribution at the
gas-solid interface is calculated by using field expressions, The other, and purely electrostatic,
was one in which the PD are simulated by modifying the charge distribution on the cavity
surface. The main advantages associated with these models are that the surface charge
distribution resultant at the gas-solid interface after the PD is continuous, which avoids the
appearance of indeterminacies in the electric field strength magnitude at the surface of the
cavity (H. A. Illias et al., 2017) and that allows consideration of non-uniform variations in the
cavity surface morphology, such as the existence of pits, craters and semi-conductive patches, to
simulate aged conditions in which the cavity surface is degraded by the PD activity. Between
these two models, the purely electrostatic model is more accurate than the hybrid model, as it
does not model the PD as sudden variations in the cavity gas conductivity. The hybrid model, for
its part, allows calculation of the current through the cavity during the PD events which makes
it possible to analyse magnitude, duration and waveform
The implementation of models for simulating PD in cavities inside solid polymeric dielectrics allowed
various calculations and analyses to be carried out (the results are shown in detail in the publications
in Chapter 4. Among the studies and simulations carried out, are those that follow:
-
-
Analysis of the PD behaviour in cavities of different diameters for the same separation between
electrodes
Studies of the PD behaviour under different magnitudes and waveforms (sinusoidal and
rectangular) of the applied voltage
183
-
-
-
-
Analysis of the PD charge amplitude and distribution in phase, as well as the temperature and
pressure variations, under different aging conditions
Studies of the PD charge distribution on the surface of cavities inside materials with different
permittivity and conductivity
Analysis of the electric field strength distribution inside cavities of different diameters and the
same separation between electrodes
Study of the electric field strength magnitude at the solid dielectric around cavities after PD
events inside them
Sensitivity analyses of the PD behaviour in cavities inside solid dielectrics due to variations in
temperature and pressure, among others
5.4.1.2 Conclusions about the modelling and simulation of the propagation of electrical trees inside solid
polymeric dielectrics
The phenomenon of propagation of electrical trees in solid polymeric dielectrics was studied and several
models implemented in MATLAB ®, such as the stochastic model (M. D. Noskov et al., 1995; Wiesmann
& Zeller, 1986), the discharge avalanche model (DAM) (Quiña et al., 2010), and the cellular automata
model (Danikas et al., 1996). A novel model for simulating electrical tree propagation, based on the DAM,
was proposed (Rodríguez-Serna, Albarracín-Sánchez, & Carrillo, 2020). This model allows reproduction
of the main experimentally measured characteristics of electrical trees that propagate in solid polymeric
dielectric materials, such as the curve of propagation length versus time and time to breakdown. In
addition, the model allows analysis of the propagation of electrical trees in inhomogeneous or with
space-charge media. The proposed model was validated by comparing the simulation results with
experimental measurements reported by other researchers in the published literature. Among the
simulations and analyses carried out there are those that follow:
-
-
Analysis of the effect of the applied voltage magnitude on the propagation of electrical trees in
solid polymeric dielectrics
Study of the propagation of electrical trees in solid polymeric dielectric media of different values
of permittivity and electrical conductivity
Study of the effect of dielectric and conductive barriers on the propagation of electrical trees in
solid polymeric dielectric media
Analysis of the propagation of electrical trees in non-uniform and with space-charge solid
polymeric dielectric media
The results obtained from these simulations are presented in the respective publication of Chapter 4
and in Annex A.
The phenomenon of PD in electrical trees inside solid polymeric dielectrics was studied and two novel
simulation models proposed which reproduce the main features of the experimentally measured phase
resolved PD patterns. The PD behaviour in non-conductive trees was simulated and analysed in Paper
4 in Chapter 4; however, the proposed models also allow the simulation of PD in conductive trees. The
models were validated by comparing the simulation results with experimental measurements reported
in the literature.
5.4.1.3 Conclusions on the life expectancy modelling of electrical insulation systems with solid polymeric
dielectrics
The phenomenon of aging of solid polymeric dielectric materials due to degradation induced by PD
activity in cavities inside was studied. A novel damage function was formulated to evaluate the PDinduced degradation and estimate the remaining lifespan based on PD-activated local degradation
mechanisms and the interaction with the structure of dielectric polymeric materials at the microscopic
scale. A novel method was proposed for calculating the remaining lifespan of solid dielectric polymeric
184
materials based on simulations and for using the damage function formulated here. The damage
function and the proposed method were validated by comparing the simulation results with
experimental measurements reported in the published literature. Several simulations were carried out,
including the following:
-
-
Analysis of the PD-induced degradation under different aging conditions in the cavity
Study on the effect of the applied voltage magnitude on the degradation rate induced by PD in
cavities
Analysis of the effect of the applied voltage frequency on the degradation rate induced by PD in
cavities
A novel life model as a function of the impact energy of electrons was also proposed which may be used
with simulations to estimate the remaining lifespan of solid polymeric dielectrics with PD in cavities.
The model was validated by comparing the simulation results with experimental measurements
reported in the literature. Additionally, a novel indicator was proposed for evaluating the degradation
rate as a function of the peak value of the PD-induced current. This indicator may be used as a diagnostic
measure in PD analysis.
5.4.1.4 Complementary general conclusions
Computational tools for simulation were developed through using the implemented and validated
models. Such tools are complementary to PD measurements in condition analysis and diagnosis of
insulation systems. At this point, it is worth clarifying that although the models were validated by
comparing simulation results with experimental measurements taken during accelerated aging tests,
the models may be adjusted to reproduce any experimentally measured condition.
The development of the thesis exhibits an important advance in the understanding of the degradation
processes of solid dielectric materials due to PD activity in cavities, since it is analysed from the
inception of the phenomenon of PD in cavities to the breakdown of the insulation systems by the
propagation of electrical trees originated at the surface of cavities. All of the above has been carried out
by using a formal theoretical and conceptual approach, implementing electromagnetic field analysis in
conjunction with physical models and simulations.
One of the main results is the estimate of the remaining lifespan by using a method which, as far as the
thesis writer is aware, is unique and uses simulation results of PD in cavities that may be complemented
with experimental measurements and artificial intelligence methods to develop diagnostic and
prognosis tools for equipment in service.
Although the materials considered for the simulations and analyses presented (including the validation
of the models) are polymeric, the fundamental principles of the proposed models and methods may be
applied to other organic materials, such as the oil-paper systems typically used in power transformers,
considering the respective adjustments and validations with experimental measurements.
Of the 12 submissions for publication accepted during the PhD studies shown in Figure 12, seven are
open-access and lead to increases in the visibility and dissemination of the obtained results. In addition,
seven of the papers are published in journals of the first quartile (Q1) and two in journals of the second
quartile (Q2) of the Scopus classification, while according to the JCR classification, five are in journals of
the first quartile (Q1), three in journals of the second quartile (Q2) and one in a journal of the third
quartile (Q3). In addition, given that the conference papers were presented at events organised by
associations attached to the Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE), they are included
in the IEEE Xplore databases (https://ieeexplore.ieee.org/Xplore/home.jsp). Further details are shown
in Table 27 of Annex D. Lastly, and at the time of writing (26 May 2021), the publications had received
a total of 49 citations, which shows that a favourable acceptance by the scientific community.
185
5.4.1.5 Validated hypotheses
Lastly, the following hypotheses have been validated:
Hypothesis 1. The development of accurate models for the simulation of PD in cavities inside solid
dielectrics which consider the different implicit physics helps to understand the phenomenon of PD, as
well as the effect they have on the degradation and aging of the solid dielectric materials. This has been
validated through the implementation of novel models that correctly reproduce the main characteristics
of the PD behaviour in cavities. The simulation results for different applied stress conditions and
parameters of the test arrangement have been used to provide conclusions on the degradation
mechanisms and the PD harmfulness.
Hypothesis 2. The modelling and simulation of electrical trees in solid dielectrics allow an
understanding of the process of dielectric breakdown of solid insulating materials and its spatial and
temporal dynamics. This hypothesis is validated through the implementation of various models and the
proposal of a new one for simulating the propagation of electrical trees. The new model is capable of
reproducing the experimentally measured tree length versus time characteristic curve and the time to
breakdown.
Hypothesis 3. The PD simulation results that consider the combined effect of PD in cavities and in
electrical trees may be used to evaluate the degradation induced in solid dielectrics and to estimate the
remaining lifespan in conjunction with life models and damage functions. A damage function and a
microscopic life model are proposed that allow the estimate of the PD-induced degradation. The
remaining lifespan may be calculated by using the damage function and the microscopic life model
through a simulation-based method that is capable of reproducing the experimentally measured time to
breakdown. The latter shows the validation of such a hypothesis.
5.4.2 Specific conclusions
The comparison between the simulation results and the experimental measurements allowed it to be
concluded that the variations in the behaviour of the PD throughout the aging period are mainly due to
changes in the pressure of the gas inside the cavity and in the conductivity of the cavity surface. In
addition, and in accordance with what Callender concluded (Callender, 2018), the analytical expressions
used for calculating the electric field strength magnitude for the PD inception and extinction should be
reviewed by using experimental measurements given that they correspond to equations determined in
experimental configurations other than those of a gas-filled cavity inside a solid dielectric.
By simulation, it was possible to demonstrate that the increases in the temperature inside the cavity as
a result of the PD activity are not high enough, only 15% greater than the environmental, to degrade the
solid polymeric material directly. Through a sensitivity analysis, it was found that by reducing the radius
of the cavity by 33%, the magnitude of the PD charge is reduced by 50%. In addition, for pressures
between five and 25psi, it was found that the magnitude of the PD charge remains constant in the ranges
five to 15psi and 16 to 25 psi; however, the magnitude of the PD charge in the second range is one third
of the magnitude in the first. Lastly, in the range of zero to 3 mS‧m-1 it was found that the magnitude of
the PD charge increases linearly with the conductivity, and from 3 mS‧m-1 that the magnitude of the PD
charge decreases at a very low rate of 5x106 pC‧m‧S-1.
The simulation results of electrical tree propagation allowed it to be concluded that when the magnitude
of the applied voltage magnitude increases, time to breakdown decreases at a rate that is dependent on
the magnitude of the applied voltage, as shown by equation (30) in section 5.2.2.1. Furthermore, it was
found that there was no correlation between the fractal dimension and the magnitude of the applied
voltage. It was also hypothesised that the exponential parameter in the stochastic models, η , which
controls the propagation rate and does not yet have a physical explanation, could be related to the
186
energy conversion rate during tree propagation. The verification of this last hypothesis requires
experimental measurements.
The fundamental parameters that define the PD behaviour in electrical trees were the geometry of the
tree, the magnitudes of the inception and extinction voltages, and the probability density function of the
negative PD inception voltage. The dependence of this probability density function means that the PD
activity in electrical trees should be considered as chaotic-deterministic phenomena.
By using simulation results, it was shown that during the early stages of aging, the chemical degradation
mechanism predominates over the physical one. The physical mechanism will predominate when the
surface had been sufficiently degraded so that electrical charges could be injected through microscopic
channels from the surface of the cavity. At the end, electrical trees will spread rapidly, even reaching the
situation where the dielectric is completely broken.
It was found that the degradation rate induced by PD in cavities increases, and therefore the lifespan
decreases, in an approximately linear proportion with the magnitude of the applied voltage. Similarly,
the degradation rate increases linearly with the frequency of the applied voltage, though at a more
pronounced rate below 20 Hz than above this frequency value.
The products N PD α q ' and N PD (α i ' ) were found to be good indicators of PD-induced degradation rate,
2
even for different magnitudes and frequencies of the applied voltage, and may be used with online
measurements to implement prognosis tools in conjunction with phase and time resolved PD patterns
measurements. It should be noted that this requires experimental verification.
5.5 Futuras líneas de investigación
En esta tesis se utiliza un enfoque centrado en simulación, por lo que la principal línea futura de
investigación deberá ser centrada en experimentación. Las mediciones experimentales permitirán
verificar algunas de las hipótesis planteadas y conclusiones obtenidas a partir de los resultados de
simulación. Durante la propagación de arborescencias se requiere la medición simultanea del
comportamiento de las DP y la característica de propagación longitud versus tiempo, de manera que
algunos parámetros, como el número crítico de ionizaciones por electrón y avalancha, N c / N b , puedan
obtenerse, los cuales permiten la generalización de los modelos. Adicionalmente, a través de
experimentación, las conclusiones obtenidas en esta tesis, considerando principalmente resinas
epóxicas, se pueden verificar para otro tipo de materiales, no solamente poliméricos, sino orgánicos en
general.
El comportamiento de las DP en cavidades depende de las características del gas en el interior de la
cavidad y de los cambios en los parámetros eléctricos y la morfología de la superficie de la cavidad. En
una investigación futura, se pueden usar análisis experimentales detallados de las variaciones con el
tiempo de la morfología de la superficie de la cavidad, junto con el modelo híbrido de elementos finitos
propuesto en esta tesis, para inferir la evolución de los defectos, pozos y cráteres, y determinar el tiempo
hasta la ruptura. Mediciones y simulaciones en un marco estadístico permitirán la generalización de las
conclusiones obtenidas.
Los modelos implementados pueden aplicarse a diferentes condiciones de esfuerzo eléctrico aplicado,
definidas por la magnitud y forma de onda de la tensión, así como la configuración de electrodos. Futuras
investigaciones pueden centrarse en el uso de los modelos propuestos para simular diferentes
condiciones de forma de onda; tales como señales armónicas, impulsivas, formas de onda rectangulares
y HVDC, y arreglos de electrodos diferentes como esfera-esfera u otro tipo que se aproxime más a las
condiciones prácticas reales, como las encontradas en cables polifásicos, o incluso electrodos con no
uniformidades en su superficie. Además, en HVDC y en general en tensiones aplicadas en tensión de CC,
interesa analizar el efecto de la carga espacial y la conductividad del material dieléctrico sólido en la
tasa de degradación inducida por la actividad de DP en cavidades.
Futuras líneas de investigación pueden centrarse en el mejoramiento adicional de los modelos
propuestos y desarrollados en esta tesis de la siguiente manera:
187
-
-
-
Los modelos desarrollados e implementados para la simulación de DP en cavidades pueden
extenderse para analizar el comportamiento de DP en condiciones de múltiples cavidades y
arreglos de prueba en 3D
El modelo de propagación de arborescencias en dieléctricos poliméricos sólidos puede
extenderse a 3D para considerar estructuras de geometría fractal mayor que 2
Un modelo preciso autoconsistente puede desarrollarse acoplando los modelos de
simulación de DP en arborescencias y el modelo de propagación de arborescencias en
dieléctricos poliméricos sólidos usando como variable de acople la energía disipada por las
DP
Resultados de simulación usando modelos de plasma pueden usarse junto con los modelos
de vida y la función de daño propuestos en esta tesis para incrementar la precisión de la
estimación de la degradación inducida por las DP ya que esta depende del patrón de
colisiones de los Streamer con la superficie de la cavidad
Considerar las variaciones en los materiales debido a los procesos de vitrificación y
gelificación durante el curado
Los modelos de elementos finitos propuestos, así como el de condensadores, para simular las DP en
cavidades en el interior de dieléctricos sólidos permiten obtener la forma de onda de los pulsos de
corriente inducida por las DP en los electrodos de medición. Un futuro estudio puede hacerse para la
caracterización de dichos pulsos en el dominio del tiempo y la frecuencia para diferentes condiciones
de prueba, tales como, diferentes condiciones de envejecimiento, diferentes formas de onda de la
tensión aplicada, variaciones en la morfología de la superficie de la cavidad, entre otras.
Una línea de investigación futura se desarrollará en torno a la utilización de los modelos desarrollados
en esta tesis para análisis de defectos en sistemas de aislamiento líquidos y papel-aceite. Los análisis de
simulación se realizarán de manera conjunta con mediciones experimentales. Se analizarán diferentes
tipos de líquidos dieléctricos como aceites minerales y ésteres.
Una futura investigación se centrará en la utilización conjunta de los modelos de simulación de DP, en
cavidades y arborescencias, con herramientas de inteligencia artificial para correlacionar características
físicas de las cavidades y arborescencias con los patrones resueltos en fase medidos experimentalmente
y junto con los modelos de vida y función de daño, también propuestos en esta tesis, para poder estimar
la vida útil remanente de equipos eléctricos en servicio.
Se elaborará un plan de mejora de las instalaciones del laboratorio de alta tensión de la Universidad de
Antioquia de manera que se puedan realizar mediciones experimentales relacionadas con los objetivos
establecidos para el desarrollo de esta tesis y se puedan explorar nuevas hipótesis derivadas de los
resultados aquí presentados. Así mismo, en dicho plan se considerará la posibilidad de adquirir equipos
de medición y diagnóstico de DP que permitan a la Universidad de Antioquia prestar servicios de
extensión y consultoría a empresas del sector eléctrico en Colombia.
188
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