Valorile funcţiilor trigonometrice în primul cadran :
π
π
π
0
6
4
3
2
0
1
2
2
2
2
2
3
2
1
2
1
3
1
3
sinx
cosx
0
3
2
1
3
/
3
1
tgx
ctgx
0
/
0
IA
1
1
N
x
π
Semnele functiilor trigonometrice şi monotonia pe cadrane:
x
I
II
III
sinx
cosx
tgx
+
+
+
+
−
−
ctgx
+
−
−
−
+
+
IV
−
+
−
−
x
I
II
III
IV
sinx
cosx
tgx












ctgx




A
Identităţi fundamentale
R
π

π

=
=
sin 
- x
cos
x
cos 
- x
sin x
 2

 2

π

π

=
=
tg 
- x
ctgx
ctg 
- x
tgx
 2

 2

=
+ cos 2 x
=
sin 2 x
1
tgx ⋅ ctgx
1
Reducerea la primul cadran
II → I
III → I
IV → I
sin x =
− sin ( x − π ) ,
sin x =
− sin ( 2π − x )
cos x =
− cos (π − x ) ,
cos x =
− cos ( x − π ) ,
cos x =
cos ( 2π -x )
tgx =
−tg (π − x ) ,
tgx =
tg ( x − π ) ,
tgx =
−tg ( 2π − x )
ctgx =
−ctg (π − x ) ,
ctgx =
ctg ( x − π ) ,
ctgx =
− ctg ( 2π − x )
T
sin x =
sin (π − x ) ,
1
Formule paritate
− sin x
sin ( − x ) =
arcsin ( − x ) =
− arcsinx
arccos ( − x ) = π − arccos x
−tgx
tg ( − x ) =
arctg ( − x ) =
− arctgx
−ctgx
ctg ( − x ) =
arcctg ( − x ) = π − arcctgx
Formule periodicitate
sin ( 2kπ + x ) =
sin x
N
cos ( − x ) =
cos x
tg ( kπ + x ) =
tgx
cos ( 2kπ + x ) =
cos x
+ x ) ctgx , k ∈ 
ctg ( kπ =
tgx + tgy
tg ( x + y ) =
1 − tgx ⋅ tgy
tgx − tgy
tg ( x − y ) =
1 + tgx ⋅ tgy
ctgx ⋅ ctgy − 1
ctg ( x + y ) =
ctgy + ctgx
ctgx ⋅ ctgy + 1
ctg ( x − y ) =
ctgy − ctgx
IA
Formule pentru sume şi diferenţe de unghiuri
sin( x + y ) = sin x cos y + sin y cos x
sin( x − y ) = sin x cos y − sin y cos x
cos( x + y ) = cos x cos y − sin x sin y
cos( x − y ) = cos x cos y + sin x sin y
Formule pentru unghiuri duble
sin 2 x = 2sin x cos x
cos 2 x = cos 2 x − sin 2 x = 2 cos 2 x − 1 = 1 − 2sin 2 x
A
ctg 2 x − 1
2tgx
=
tg 2 x =
ctg 2 x
1 − tg 2 x
2ctgx
Formule pentru unghiuri triple
sin 3 x =
3sin x − 4sin 3 x
cos 3 x =
4 cos3 x − 3cos x
ctg 3 x − 3ctgx
3tgx − tg 3 x
ctg
x
3
=
1 − 3tg 2 x
3ctgx − 1
Formule pentru jumătăţi de unghiuri
R
tg 3 x
sin
x
1 − cos x
sin x
1 − cos x
=
±
==
2
1 + cos x 1 + cos x
sin x
T
tg
x
1 − cos x
x
1 + cos x
=
±
cos =
±
2
2
2
2
Formule pentru substituţia cu t = tg
ctg
x
1 + cos x
sin x 1 + cos x
=
±
=
=
2
1 − cos x 1 − cos
sin x
x
2
2
N
x
x
2tg
1-tg 2
2t
1− t2
x
2
2
=
sin x =
=
cosx
=
unde t tg
2
2
x
x
1+ t
1+ t
2
1 + tg 2
1 + tg 2
2
2
x
x
2tg
1-tg 2
2
t
1− t2
2
2
tgx =
=
ctgx=
=
x 1− t2
x
2t
1-tg 2
2tg
2
2
IA
Formule pentru trasformarea sumelor în produse
x+ y
x− y
x− y
x+ y
=
sin x + sin y 2sin
cos=
sin x − sin y 2sin
cos
2
2
2
2
x+ y
x− y
x+ y
x− y
−2sin
cos x + cos y =
2 cos
cos
cos x − cos y =
sin
2
2
2
2
π
π


sin x + cos x= sin x + sin  − x = 2 cos  x − 
4
2


Formule pentru trasformarea produselor în sume
1
sin ( x + y ) + sin ( x − y ) 
2
1
cos x ⋅ cos
y
=
cos ( x − y ) + cos ( x + y ) 
2
1
sin x ⋅ sin
y
=
cos ( x − y ) − cos ( x + y ) 
2
sin x ⋅ cos
y
=
A
Probleme
1) Arătaţi că:
sin x
1 − cos x
=
1 + cos x
sin x
2
2
b) 2sin x − 1 = 1 − 2cos x
2
2
2
c) ( cos x − sin x ) + ( cos x + sin x ) =
R
a)
2) Arătaţi că:
2tgx
1 + tg 2 x
1 − tg 2 x
b) cos 2 x =
1 + tg 2 x
2tgx
c) tg 2 x =
1 − tg 2 x
T
a) sin 2 x =
3
3) Arătaţi că:
a) sin ( x + y ) + sin ( x − y ) =
2sin x cos y
b) sin ( x + y ) − sin ( x − y ) =
2sin y cos x
b) cos ( x + y ) − cos ( x − y ) =
−2sin x sin y
N
c) sin ( x + y ) + cos ( x − y=
) ( sin x + cos x )( sin y + cos y )
4) Arătaţi că:
a) cos ( x + y ) + cos ( x − y ) =
2cos x cos y
c) cos ( x + y ) − sin ( x − y=
) ( cos x − sin x )( sin y + cos y )
5) Arătaţi că:
a) sin ( x + y ) ⋅ sin ( x − y=
) sin 2 x − sin 2 y
b) cos ( x + y ) ⋅ cos ( x − y=
) cos 2 x − sin 2 y
6) Arătaţi că:
π
π

sin x cos x
 ⋅ cos  x −  =
2
2

IA


c) sin  x +
a) 1 + sin 2 x = ( sin x + cos x )
b) 1 − sin 2 x = ( sin x − cos x )
2
2
− cos 2 x
c) ( sin x + cos x )( sin x − cos x ) =
7) Arătaţi că:
1 + cos 2 x
= cos 2 x
2
1 − cos 2 x
b)
= sin 2 x
2
2
2
c) 1 − 2sin x = 2cos x − 1
A
a)
8) Arătaţi că:
4
2
2
4
a) sin x + cos x = sin x + cos x
3
3
b) sin x + cos x = ( sin x + cos x )(1 − sin x cos x )
3
sin 6 x + cos 6 x =
1 − sin 2 2 x
4
R
c)
9) Arătaţi că:
a) cos x cos 2 x =
sin 4 x
4sin x
T
b) cos x cos 2 x cos 4 x =
c)
sin8 x
8sin x
cos x cos 2 x cos 4 x cos8 x =
sin16 x
16sin x
4
10) Arătaţi că:
a)
b)
(1 + cos x )(1 − 2cos x ) =cos3x + 1
sin3 x
( sin x + sin 2 x )( 2cos x − 1) =
1) cos3 x + 1
( cos x + cos 2 x )( 2cos x −=
2
a) E cos 2 x ( sin 2 x + tg 2 x + cos 2 x )
=
b) E =sin x + cos 2 x − cos x
4
4
c) E = sin x + 4cos x +
12) Calculaţi :
4
cos 4 x + 4sin 2 x
2
π
2π
4π
cos cos
7
7
7
2π
4π
8π
π
cos cos
b) E = cos cos
15
15
15
15
π
2π
4π
8π
16π
cos cos cos
c) E = cos cos
31
31
31
31
31
IA
a) E = cos
N
c)
11) Arătaţi că următoarele expresii sunt constante:
13) Calculaţi :
A
sin 9o cos9o
=
E
−
a)
sin 3o cos3o
sin180 cos180
=
−
b) E
sin 6o
cos6o
sin 36o cos36o
=
−
c) E
sin12o cos12o
14) Calculaţi :
π
3π
5π
7π
+ sin 2
+ sin 2
+ sin 2
8
8
8
8
3π
5π
7π
9π
11π
2 π
+ cos 2
+ cos 2
+ cos 2
+ cos 2
+ cos 2
b) E =cos
12
12
12
12
12
12
2
R
a) E =sin
c) =
E sin 2 1o + sin 2 2o + ... + sin 2 90o
15) Calculaţi :
a) E = cos 20 ⋅ cos 40 ⋅ cos 60 ⋅ cos 80
2
o
2
o
2
o
2
b) E = sin 10 ⋅ sin 30 ⋅ sin 50 ⋅ sin 70
c) E sin 2 1o ⋅ sin 2 3o ⋅...⋅ sin 2 89o
=
o
2
o
2
o
2
o
T
2
o
5