FISICA GENERALE II FORMULARIO di ELETTROMAGNETISMO 1) Elettrostatica = o r = costante dielettrica assoluta ; r = costante dielettrica relativa Nel vuoto( e nella maggior parte dei gas, condizioni STP)r 1 − → Legge di Coulomb nel vuoto : F = 1 q1 q2 r̂ 4πo r 2 − → − → F − → dF − → o E = Campo elettrostatico : E = q dq P − → → − Potenziale : forma integrale :V (P1 ) − V (P2 ) = P12 E · dl −−→ − → − → forma differenziale : E = −grad V = − ∇ V Conservativitá del campo elettrostatico − → → − Forma integrale : E · dl = 0 − → − → Forma differenziale : ∇ × E = 0 Campo elettrostatico e potenziale generati da : 1 q 1 q − → -carica isolata puntiforme : E = r̂ V = 2 4π r 4π r 1 qi 1 qi − → r ˆ V = -distribuzione discreta di carica : E = i 4π i ri2 4π ri ρdτ ρdτ 1 1 − → -distribuzione continua di carica : E = r̂ V = 2 4π Ω r 4π Ω r Dipolo elettrico → → 1 − 1 − p ·− r − → 1 → = − p · ∇( ) 3 4π r− 4π r − → → p 1 3( → p ·− r )− − → → r − 3] Campo : E = [ 4π r5 r − → → Energia del dipolo in un campo esterno : U = −− p ·E − → − → − → → − → Forza agente su un dipolo costante: F = − ∇ U = ∇ (− p · E) − → → → Momento meccanico agente : − τ =− p ×E Potenziale : V = Multipoli Il potenziale generato da una distribuzione di carica, a grande distanza dalle cariche, puó venir espresso tramite uno sviluppo in serie i cui primi termini sono : → → 1 Q 1 − p ·− r V = + + ..... 3 4π r 4π r → (Q carica totale e − p momento di dipolo della distribuzione) − → distribuzione discreta : p = ( i qi xi , i qi yi , i qi zi ) 1 → distribuzione continua : − p = ( ρ x dτ , ρ y dτ , ρ z dτ ) Legge di Gauss − Qint → E · n̂ dS = Σ o ρ − → − → Forma differenziale : ∇ · E = o Forma integrale : (Σ superficie chiusa) Conduttori − → • E int = 0 •conduttore è sempre equipotenziale σ − → •campo in vicinanza di un conduttore(Teorema di Coulomb): E = n̂ o σ2 dF = •forza per unitá di superficie su un conduttore : dS 2o Equazione del potenziale elettrostatico ρ Equazione di Poisson : ∇2 V = − o Equazione di Laplace : ∇2 V = 0 (dove ρ = 0) Condensatori Q Definizione di capacitá : C = ∆V S Capacitá cond. piano : C = d Capacitá cond. cilindrico : C = 2π Capacitá cond. sferico : Condensatori in parallelo : Condensatori in serie : Energia del condensatore : Forza tra armature : (cond.piano) L log(rest /rint ) rint rest C = 4π rest − rint C = C1 + C2 + ... + CN 1 1 1 1 = + + ... + C C1 C2 CN 1 1 1 Q2 U = Q ∆V = C ∆V 2 = 2 2 2 2C Q F = 2S Dielettrici Vettore polarizzazione : → ∆− p − → P = lim∆τ →0 ∆τ (momento dip. per unitá volume) mezzo isotropo e lineare : − → − → P = o χ E 3 Suscettivitá dielettrica : χe = N[αdef + αorien ] N[4πRat + (N = no. molecole per unitá di volume) Costante dielettrica relativa: r = χ + 1 − → − → − → − → Vettore spostamento elettrico : D = o E + P = o r E − → Cariche di polarizzazione : σpol = P · n̂ − → − → : ρpol = − ∇ · P 2 1 p2o ] 3o kT Equazioni dell’elettrostatica in presenza di dielettrici − → − → − → → − ∇ × E =0 ; E · dl = 0 − → − → − → D · n̂dS = Qlib ∇·D =ρ ; Σ Condizioni di continuitá all’interfaccia fra due mezzi Et1 = Et2 ; Dn1 = Dn2 Dielettrici densi − → P − → − → Campo di Lorentz : E m = E + 3o Nα r − 1 = Formula Clausius-Mossotti : r + 2 3o Energia elettrostatica Energia distribuzione discreta : U = 1 1 1 qi qj = qi Vi 2 4π rij 2 i i,ji=j (Vi potenziale di tutte le cariche = i) 1 Energia distribuzione continua : U = ρV dτ 2 1 Qi Vi Energia sistema conduttori : U= 2 i (Vi potenziale conduttore i con carica Qi ) 1− → − → 1 Densitá energia del campo : u = E · D = o r E 2 2 2 Densitá energia interazione di un dielettrico in un campo esterno: 1− → − → 1 u = E · D = o r E 2 2 2 2) Correnti stazionarie − → → → : j = nq − v =ρ− v ∂ρ − → − → Equazione di continuitá : ∇ · j = − (ρ=densitá di carica) ∂t dq − → = Intensitá di corrente : i= j · n̂ dS dt Σ − → − → Legge di Ohm (forma locale) : j = σ E (σ=conducibilitá) per elemento finito : V = R i l 1 l = ρs Resistenza conduttore di sezione costante : R = σS S N resistenze in serie : R = R1 + R2 + ... + RN 1 1 1 1 = N resistenze in parallelo : + + ... + R R1 R2 RN Leggi di Kirchhoff - legge dei nodi : i = 0 k k i R = legge delle maglie : k k k k Vk Effetto Joule(potenza P = dW/dt,W =energia): → − → − in forma locale : dP = j · E dτ conduttore finito : P = V i = i2 R Densitá di corrente 3 3) Magnetismo Magnetostatica nel vuoto → → v ×− r − → µo − q Campo generato da una carica in moto : B = 3 4π − → r− dl × → r − → µo Campo generato da una corrente : B = i 3 4π r − → µo i τ̂ -filo rettilineo indefinito : B = 2π r R2 − → µo -spira circolare ( sull’asse !) : B = i k̂ 2 (R2 + z 2 )3 Nspire ] -interno solenoide indefinito : B = µo i n [n = L → − − → − → Forza agente su una corrente : F = i dl × B − → − → → Forza su carica in moto(Forza Lorentz) : F = q − v ×B Equazioni della magnetostatica nel vuoto: − → − → − → ∇· B =0 ; B · n̂dS = 0 Σchiusa − → − → − → → − − → ∇ × B = µo j ; B · dl = µo iconc Dipolo magnetico 1 − − → − → → Momento dipolo distrib. correnti: m = r × j dτ 2 → Per una spira piana: − m = i S n̂ → → m ×− r − → µo − Potenziale Vettore : A = 3 4π→ r − → → m m ·− r )− − → µo 3(− → r − 3] [ Campo : B = 5 4π r r − → → Energia dipolo in campo esterno : U = −− m·B − → → − → Momento agente su dipolo in campo esterno : M = − m×B Momento magnetico e momento angolare di una q − → → L carica q, massa m, in moto circolare uniforme: − m= 2m Precessione (di Larmor) in campo esterno: qB ωL = m Potenziale vettore − → − → − → Definizione : B = ∇ × A − → − → Equazione del potenziale : ∇2 A = −µo j → → m ×− r − → µo − Potenziale generato da un dipolo : A = 4π r3 Proprietá magnetiche della materia → ∆− m − → : M = lim∆τ →0 ∆τ (momento dipolo per unitá di volume) Vettore magnetizzazione 1 χ − → − → − → B =χ H M = µo 1 + χ mezzo isotropo e lineare : 4 Suscettivitá magnetica: χm = χdia + χpar −µo NZe2 < r 2 > N m2o + µo 6me 3 kT → − → − → 1− Vettore campo magnetico H : H = M χ − → − → − → − → − → − → Relazione fra B e H : B = µo H + µo M = µo µr H : µr = χ + 1 − → Correnti di magnetizzazione : jsup = M × n̂ − → − → : jvol = ∇ × M Equazioni della magnetostatica nei mezzi materiali − → − → − → − → − → ∇ × H = j libere ; H · dl = iconc − → − → − → ∇· B =0 ; B · n̂dS = 0 Σchiusa Condizioni di continuitá all’interfaccia fra due mezzi Ht1 = Ht2 ; Bn1 = Bn2 Circuiti magnetici Legge di Hopkinson : F = RΦ F = Ni (forza magnetomotrice) 1 l (Riluttanza) R= µS Riluttanze in serie : R = R1 + R2 + ... + RN 1 1 1 1 Riluttanze in parallelo : + + ... + = R R1 R2 RN 4) Campi variabili Campi quasi-statici Legge di Faraday-Neumann − d dΦ → − → → − =− B · n̂dS Forma integrale : E · dl = − dt dt Σ − → ∂B − → − → Forma locale : ∇ × E = − ∂t Coefficiente di mutua induzione fra due circuiti : Φ2 = M12 i1 ; Φ1 = M21 i2 ; M12 = M21 Coefficiente di autoinduzione :Φ = Li Induttanza solenoide : L = µo n2 l S Energia magnetica 1 Φk ik 2 k 1− 1 B2 → − → 1 2 Densitá energia del campo : u = H · B = µo µr H = 2 2 2 µo µr 1 2 Energia induttore : U= Li 2 Energia sistema circuiti : U= 5 5) Circuiti elettrici Grandezze variabili sinusoidalmente e fasori : i = io cos(ωt + φ) ≡ [io exp (iφ) exp (iωt)] = [I] I = I˜o e(iωt) ; I˜o = io eiφ dq q Circuito RC :R + =V dt C Carica C : q = CV (1 − exp (−t/τ ) ; τ = RC Scarica C : q = qo exp (−t/τ ) di +R i=V dt V Extracorrente chiusura : i = (1 − exp (−t/τ ) ; τ = L/R R V Extracorrente apertura : i = exp (−t/τ ) R Circuito RL :L d2 i 1 di +R + i=V 2 dt dt C 1 Frequenza di risonanza : ωr = 2πνr = √ LC Impedenze complesse : resistenza : Z = R 1 capacitá : Z = iωC induttanza : Z = iωL Circuito RLC serie : L 6) Onde elettromagnetiche Equazioni di Maxwell Forma differenziale − → − → ∇·D =ρ − → − → ∇· B =0 − → ∂B − → − → ∇ × E =− ∂t − → − → − → − → ∂D ∇×H = j + ∂t Forma integrale − → D · n̂dS = Qi nt Σ − → B · n̂dS = 0 Σ − ∂ → ˆ − → E · dl = − B · n̂ dS Γ ∂t Σ − ∂ → ˆ − − → → H · dl = Σ j · n̂ dS + D · n̂ dS Γ ∂t Σ − → − → ∂D Densitá corrente di spostamento : j = ∂t − → − → Legge di Ohm(per conduttori) : j = σ E Caratteristiche generali propagazione per onde 1 ∂2φ =0 v 2 ∂t2 1 ∂2φ ∂2φ − =0 Equazione delle onde (1D) : ∂z 2 v 2 ∂t2 Equazione delle onde (3D) : ∇2 φ − 6 parametri dell’onda sinusoidale : ω 2π = numero d’onda : k = λ −−−− v −−−−−−−−→ − → vettore d’onda : k = k (versore propag.) v lunghezza d’onda : λ = ν pulsazione : ω = 2πν onda piana sinusoidale progressiva(1D) : φ = φ0 sin(kz − ωt) ≡ φ0 ei(kz−ωt) onda sferica sinusoidale progressiva(1D) : − →− φ0 → − → → φ= sin( k · − r − ωt) = φ0 ei( k · r −ωt) r Caratteristiche delle onde elettromagnetiche 1 c ; c= √ Velocitá di propagazione(fase) : v = √ r µr o µo − → − − → Trasversalitá onde e.m. : E = → v ×B Onda piana (polarizzata asse-x) : E = Ex = Eo sin(kz − ωt) B = By = Bo sin(kz− ωt) µo 377Ω Eo = vBo = Zo Ho ; Zo = o c dω Velocitá di gruppo : vg = = dn dk n(ω) + ω dω Effetto Doppler (c=velocitá onda e.m.): 1 − (voss /c) cos θ ν = ν 2 /c2 1 − vsor Effetto Doppler nel moto collineare(non relativistico, v=velocitá onda): v − voss ν ν = v − vsor Energia e impulso dell’onda 1 B2 1 Densitá di energia : u = E 2 + µH 2 = E 2 = 2 2 µ (energia per unitá di volume) − → − → − → Vettore di Poynting : P = E × H → − Intensitá (istantanea)dell’onda : I = P = vE 2 = vu (potenza per unitá di superficie) Intensitá (media) dell’onda(sinusoidale) : < I >= v − → P − → Quantitá di moto dell’onda : p = uon k̂ = v (per unitá di superficie e unitá di tempo) 7 E2 2 Dipolo elettrico oscillante p(t) = po sin ωt Campo a grandi distanze(vuoto) : ω 2 ω 2 1 po 1 po sin θ( ) sin(kr − ωt) ; Bφ = sin θ( ) sin(kr − ωt) Eθ = 4πo r c 4πo cr c p2o ω 4 Intensitá(media) irraggiata dal dipolo : < I >= sin2 θ 32π 2 o c3 r 2 (energia per unitá superficie e unitá di tempo) p2 ω 4 dE >= o 3 Potenza(media) totale irraggiata dal dipolo : P =< dt 12πo c Carica accelerata Potenza(media) totale irraggiata (carica q oscillante sinusoid. z = zo sin ωt : dE q 2 zo2 ω 4 >= dt 12πo c3 Intensitá irraggiata da carica accelerata nella direzione θ(rispetto all’accelerazione): q 2 a2 dP = I(θ) = sin2 θ dθ 16π 2 o c3 dE q 2 a2 Potenza istantanea irraggiata da una carica accelerata : P = = dt 6πo c3 P =< 7) Ottica Ottica geometrica √ ; r = r (ω) cost. dielettrica c velocitá della luce in un mezzo : v = n cammino ottico : d = i ni li sin θ1 n2 v1 Leggi di Snell : θinc = θrif l ; = = sin θ2 n1 v2 n2 angolo limite : sin θlim = ; se n2 < n1 n1 n2 angolo di Brewster : tan θBre = n1 Formule di Fresnel (µ1 = µ2 µo): Indice di rifrazione : n = r n2 cos θ1 − n1 cos θ2 tan(θ1 − θ2 ) Erif l ) = = Einc n2 cos θ1 + n1 cos θ2 tan(θ1 + θ2 ) n1 cos θ1 − n2 cos θ2 sin(θ1 − θ2 ) Erif l )⊥ = =− ( Einc n1 cos θ1 + n2 cos θ2 sin(θ1 + θ2 ) Etra 2n1 cos θ1 2 cos θ1 sin θ2 ( ) = = Einc n2 cos θ1 + n1 cos θ2 sin(θ1 + θ2 ) cos(θ1 − θ2 ) Etra 2n1 cos θ1 2 cos θ1 sin θ2 ( )⊥ = = Einc n1 cos θ1 + n2 cos θ2 sin(θ1 + θ2 ) Etra 2 trasmittivitá : t = ( ) Einc Erif l 2 riflettivitá : r = ( ) Einc ( 8 Caso di incidenza normale di √ onda non polarizzata: 2 n1 n2 2 ) t=( n1 + n2 n1 − n2 2 r=( ) n1 + n2 1 1 1 1 1 1 Formula lenti sottili: + = ; = (n − 1)( − ) p q f f r2 r1 Interferenza Interferenza fra onde piane,sinusoidali, lin. polarizzate: E1 = A1 sin[(kz − ωt) + φ1 ] E2 = A2 sin[(kz − √ωt) + φ2 ] I = I1 + I2 + 2 I1 I2 cos(φ1 − φ2 ) Due sorgenti coerenti(alla Young) : I = Io cos2 β πd β= sin θ (d = distanza fra sorgenti) λ sin2 (Nδ/2) ] N sorgenti coerenti : I = Io [ sin2 (δ/2) 2π δ= d sin θ (b = larghezza fenditura) λ Diffrazione Diffrazione(di Fraunhofer) da fenditura rettangolare : sin2 α I = Io ( 2 ) α πb sin θ (b = larghezza fenditura) α= λ λ condizione per i minimi ; sin θ = n [n = 0] b Diffrazione(di Fraunhofer) da foro circolare : 2J1 (2πR sin θ/λ) 2 ] I = Io [ 2πR sin θ/λ condizione per il 1o minimo ; sin θ = 1.22 λ 2R Diffrazione(di Fraunhofer) da reticolo di N fenditure : sin2 α sin2 Nβ ) I = Io ( 2 )( α sin2 β πb α= sin θ (b = larghezza fenditura) λ πp β= sin θ (p = distanza fra fenditure) λ massimi di intensitá ; p sin θ = nλ [ p= passo] dθ n = dλ p cos θ λ = nN Potere risolutivo del reticolo ; ∆λ Potere dispersivo del reticolo ; 9 8) Operatori vettoriali e trasformazioni di coordinate Coordinate cartesiane Elemento di volume : dτ = dx dy dz ∂f ∂f ∂f − → îx + îy + îz grad f ≡ ∇ f = ∂x ∂y ∂z − → → ∂vx ∂vy ∂vz → div − v ≡ ∇ ·− v = + + ∂x ∂y ∂z ∂v ∂vx ∂vz ∂vx ∂vy ∂v − → y z → → − ]îx + [ − ]îy + [ − ]îz rot− v ≡ ∇ ×− v =[ ∂z ∂y ∂x ∂z ∂y ∂x ∂2 ∂2 ∂2 Laplaciano : ∇2 = 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z Coordinate cilindriche Trasformazione da (x, y, z) ⇔ (ρ, θ, z) : x = ρ cos θ ; y = ρ sin θ Elemento di volume : dτ = ρ dρ dθ dz ∂f 1 ∂f ∂f − → grad f ≡ ∇ f = îρ + îθ + îz ∂ρ ρ ∂θ ∂z 1 ∂ ∂ − → → 1 ∂ → (ρvρ ) + vθ + vz div − v ≡ ∇ ·− v = ρ ∂ρ ρ ∂θ ∂z ∂v ∂v ∂vz 1 ∂v 1 ∂(ρvθ ) ∂vρ − → z θ ρ → → − ]îρ + [ − ]îθ + [ − ]îz rot− v ≡ ∇ ×− v =[ ρ ∂θ ∂z ∂z ∂ρ ρ ∂ρ ∂θ 1 ∂ ∂2 ∂ 1 ∂2 Laplaciano : ∇2 = (ρ ) + 2 2 + 2 ρ ∂ρ ∂ρ ρ ∂θ ∂z Coordinate sferiche Trasformazione da (x, y, z) ⇔ (ρ, θ, φ) : x = ρ sin θ cos φ ; y = ρ sin θ sin φ ; z = ρ cos θ Elemento di volume : dτ = ρ2 sin θ dρ dθ dφ 1 ∂f 1 ∂f ∂f − → îρ + îθ + îφ grad f ≡ ∇ f = ∂ρ ρ ∂θ ρ sin θ ∂φ 1 ∂ 1 ∂ 1 ∂vφ − → → → (vθ sin θ) + div − v ≡ ∇ ·− v = 2 (ρ2 vρ ) + ρ ∂ρ ρ sin θ ∂θ ρ sin θ ∂φ 1 1 ∂vρ ∂(ρvφ ) 1 ∂(vφ sin θ) ∂vθ − → → → [ − ]îρ + [ − ]îθ + rot− v ≡ ∇ ×− v = ρ sin θ ∂θ ∂φ ρ sin θ ∂φ ∂ρ 1 ∂(ρvθ ) ∂vρ [ − ]îφ ρ ∂ρ ∂θ 1 ∂ ∂ 1 ∂2 ∂ 1 ∂ [ (sin θ )] + Laplaciano : ∇2 = 2 (ρ2 ) + 2 ρ ∂ρ ∂ρ ρ sin θ ∂θ ∂θ sin θ ∂φ2 Relazioni vettoriali utili − → → − → → − − → − → → → a ×( b ×− c ) = b (− a ·→ c )−− c (− a · b) − → − → rot grad f ≡ ∇ × ∇ f = 0 − → − → → → div rot − v ≡ ∇ · ∇ ×− v =0 − → − → → − →− → → → → v rot rot − v ≡ ∇ × ∇ ×− v = ∇(∇ · − v ) − ∇2 − − → − → − → − → − → − → − → rot(f v ) ≡ ∇ × (f v ) = f ( ∇ × v ) − ∇ f × v − → − → → − → → → → div(f − v ) ≡ ∇ · (f − v ) = f(∇ · − v ) + ∇f · − v 10 9) Costanti di uso frequente Costante dielettrica del vuoto : o = 8.85 10−12 F/m Permeabilitá magnetica del vuoto : µo = 4π 10−7 H/m Carica dell’elettrone : e = 1.60 10−19 C Massa dell’elettrone : me = 9.1 10−31 kg Rapporto e/m dell’elettrone : e/m = 1.76 1011 C/kg Massa del protone : mp = 1.67 10−27 kg Velocitá delle onde e.m. nel vuoto : c = 3.0 108 m/s Impedenza del vuoto : Zo = 376.7 Ω Costante di Planck : h = 6.626 10−34 J · s Magnetone di Bohr : µB = 9.42 10−24 A m2 Costante gravitazionale : G = 6.672 10−11 m3 kg−1 s−2 Numero di Avogadro : NA = 6.02252 1023 mol−1 Costante di Boltzmann : k = 1.38054 10−23 J K −1 Costante dei gas : R = 8.314 J/(mol K) = 1.986 cal/(mol K) Volume di una mole(STP gas ideale) : k = 22.414 10−3 m3 mol−1 Unitá astronomica : AU = 1.49598 1011 m Raggio(equatoriale)della terra : R = 6.378 106 m Massa della terra : M = 5.973 1024 kg Massa del sole : M = 1.989 1030 kg 11