Uploaded by Arles Siloam Hernandez Sanchez

alfonse-gobran-algebra-elemental-libro

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|=óRMuLAs BÁSICAS
Reciúngulo
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Triángulo
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Triángulo rectángulo
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Teorema de Pitágoras: rr' + b' = r:'
P=rr4 It ër'
mb oalotos
área
.Fl1 123' 7.: "U§h
e
hipotenusa
perímetro
base
altura
lados
Angulo
Una manera de medir los ángulos es con grados (°).
Un ángulo
Un ángulo
Un ángulo
Un ángulo
Si la suma
de
de
de
de
de
90° se llama ángulo recto.
180" se llama ángulo llano.
0° a 90° se llama ángulo agudo.
90° a 180° se llama ángulo obtuso.
dos ángulos es de 90°. istos se llaman ángulos oomplerrtentarios.
Si la suma de dos ángulos es de 130", los ángulos se llaman supl emenlarios.
La suma de los ángulos de un triángulo es de l80°.
Si uno de los ángulos de un triángulo es de 90". éste se llama triángulo rectángulo.
Interés simple
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Temperatura
A=P l Pr:
C
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Distancia. rapidez, ilompo
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interés simple
principal
monto
tasa de interés
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tiempo (en años)
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grados Fahrenheit
grados Celsius
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distancia
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rapidez
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I.
Alfonse Gobran
Troduclor:
Eduardo O|odo
Univorsldod Autonomo do Guudololnro
Guodoloioru. Jalisco, Mèxico
Grupo
Iberoamérica
/il. :r (lÍ=rr.«; †.± *.~f .lis oi' ¿ì'iíEïl9. 1/ntrm flf ~ Û'¿r_ .ífƒifƒf
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I.|
Version en español de la obra Beginning Algebra
por Alfonse Gobran
Edicion original en ingles publicada por PWS›KENT
Publishing Company
Copyright 1990 en Estados Unidos de América.
ISBN 0 534 92443 3
I`).R. © 1990 por Grupo Editorial Iberoamérica, SA. de CN. yƒo
Wadsworth International!Iberoamérica, Belmont, California 94002.
Ninguna parte de este libro puede ser reproducida, archivada o
transmitida en forma alguna o mediante algún sistema, ya sea electronico.
mecánico, de lotorreproduccion, de almacenamiento en memoria o cualquier otro
sin el previo y expreso permiso por escrito de Grupo Editorial Iberoamérica yfo
Wadsworth International!Iberoamérica, división de Wadsworth Inc.
ISBN 968 72.70 51 9
Impreso en Mexico
Editor: Nicolás Grepe P.
Productor: Enrique Fradera T.
Revision tecnica: Francisco Fragoso
Fotografia de Cubierta: Sup erstoclt lnc.¡Uiseño: Susan M.C`. Calfey
Grupo Editorial Iberoamérica, ELA. de C.`V.
Rio Ganges No. 64, Col. Cuauhtémoc, 06500 México, l).F.
Apolo. 5 192. Tela. 511 2517, 203 ÍÚ41, 208 7631, 5`l›=l 0424.
Reg. CNIEM 1332
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Álgebra Elemental, es una introducción a los fundamentos de álgebra para los estudiantes con
poco o ningún conocimiento sobre el tema. El texto lc da al estudiante una herramienta eficaz
para aprender los fundamentos del álgebra durante un trimestres y un semestre. Mis objetivos
al preparar este libro fueron presentar claramente al estudiante el material y elaborar logica y
sencillamente los conceptos en cada capitulo.
ÉI'lf0CIU6_
Creo que la matemática se entiende mejor si se aplican los conceptos a ejemplos especificos; en
consecuencia, este testo remarea el dominio de la destreza algebraica mediante ejemplos. Las
explicaciones matemáticas son concisas y las siguen numerosos ejemplos. Tuve gran cuidado en
preparar dichos ejemplos, de tal manera que fueran paralelos a los problemas del grupo de ejerci
cios. En la obra se encuent.ran más de B O00 ejercicios de mecanización, que van de fáciles a com
plcjos y convenientemente dosificados_
El planteamiento de los problemas con palabras tiene un lugar especial en mi enfoque con respec
to a los fundamentos del álgebra. Se presenta una diversidad de problemas para plantearse con
el lenguaje común en forma gradual y se refuerza continuamente dicho procedimiento con nume
rosos ejercicios. El tema de las expresiones verbales escritas en forma de ecuaciones algebraicas
se presenta en el Capitulo 4. Una amplia variedad de problemas planteados en lenguaje común
se incluyen también en los Capitulos 7. 8 y ll.
l!`lfl0V3CÍOfl6$ U8 9513 GCÍÍCÍÓIT.
Se han conservado todas las caracteristicas que han hecho que Álgebra Elemental tenga tanta
aceptacion en sus ediciones anteriores. Además, se ha agregado material sobre el redondeo de
fracciones decimales en el capitulo 2. En varias secciones se incluyen ahora notas aclaratorias
y otros ejemplos para que sirvan de ayuda alos estudiantes. Se incluyen varios problemas nuevos
en los ejercicios de repaso de cada capitulo y en los que abarcan varios capitulos. Estos ejerci
cios nuevos eontribuyen a los ya de por si abundantes tan apreciados por los usuarios del texto.
IX
Pnotooo
Que se incluyera este material nuevo fue en respuesta a los comentarios y recomendaciones que
proporcionaron profesores de matemáticas, Agradezco a todos ustedes que me mantienen infor
mado sobre las necesidades actuales de su salon de clase. Su información constante es determi
nante para que este libro siga siendo eficaz en la enseñanza y aprendizaje,
Material auxiliar.
Hay un material muy completo que pueden utilizar quienes adopten esta edicion para su curso
que incluye:
l_ EXPTEST_ Un banco computarizado de exámenes que contiene cientos de preguntas dc se
leccion mtiltiple y que pueden ser editados, reacomodados o amplil`icados_ Los usuarios pueden
agregar también sus propias preguntas aldisco. EXPTEST está disponible para computadoras
personales IBM y compatibles, tanto en discos de 3 II2" conto de 5 I/4". PWS KENT Pu
blishing (2o_ dispone de ttn disco de muestra de IEXPTEST (discos de 3 I/2" 3 S lf4").
2. Libro de respuestas. Disponible para los instructores, este suplemento tiene las respuestas a
los ejercicios con número par del texto.
3. Banco dc exámenes. Disponible para los instructores, este libro de exámenes modelo ofrece
ayuda adicional para examinar a los estudiantes sobre los conceptos algebraicos presentados
en el texto
Agradecimientos
Quiero agradecer a todos aquellos que usan mi libro como ayuda en su trabajo. Mediante sus
comentarios al personal de ventas de PWS KENT y sus respuestas a nuestra encuesta han ayuda
do en gran medida a la revision del texto. Agradezco también a las personas siguientes que con
sus evaluaciones escritas han contribuido a las ediciones anteriores:
Roger K. Anderson, West Los Angeles College ; Thomas Arbutisl ti, Corrtrrrrrrriry College of
Allegheny County; Joseph Cleary, Messusolt Courrrrtrnlty College; Helen H. David, Diablo
Valley College; James C. Davis, Mesa College; Joseph Dclšlassio, Commurtlty College of
ftllegheny County; Arthur Dull, Diablo Valley College; Nancy Hyde, Hrotvoru' Corrurrurrlry
College; .loltn Lenhert, Long Beuelr City College; Gerald Marlette, Ctryuhogu Corrrrnunlty
Cottage: Kalman Mccs, Courrrrunity College of /tlleglreny County; Juanita O'Donley,
University of Oklulrorrre: Ron Pottorff, Cuyultogu Corrrrrtunity College; Ronald A.
Stoltenberg, Sent Houston Store University; James O. Thomas, Southern University; Robert
l.. Traughbcr, Somo Burlruro (.`_'t,v College; W. R, Utz_ University of Missouri er Coltrrublu;
Richard Watl tins, Tlrletvuter Corrrrrrturlfy College.
En especial deseo agradecer a las siguientes personas cuyas evaluaciones por escrito
contribuyeron significativamcntc a esta revision.
Dr. Charles Cool t, Urtlverslty of South Carolina Surnrer; Michael Perlcotvslti, Uuiverrdry of
Missouri Colurrtblu; Dr. Gloria B. Shier, Norrƒt Hennepln Corrtrrtunlty College; Fred Stiles,
San Arrtoulo College; Katherine McKcnzic_ Urriverslry of Mirtrtesotet Richard B. Ruth, Jr.
_'ih_'¡ipert_rbtrrg Unlttersityt Niclt Nickoloff, bjnokane Firfls Corrtir_trr_l__r College.
Por último. expreso mi agradecitniettto al cuerpo tecnico de PWS KENT Publishing
Company por su ayuda para hacer que este libro tenga el mejor de los exitos
CONTENIDO
1 CONJUNTOS
1
Introducción
2
Representación Geomótrictt de los
Erttcros no Negativos
3
Conjuntos. Definiciones 3,'
Notación
6
Subconjuntos
9
Opcraciottes con (Íonjuntos
Repaso del Capitulo l
ll
13
DESARROI._I.O DEI. COHJUNTO
DE LOS NUMEROS
REALES
15
El Conjunto de los íìnleros No
Negativos
ló
Suma dc Enteros No
Negativos
I6
Multiplicación de E. lnteros No
Negativos
1'?
Sustraeción de Enteros No
Negativos
2!
El Conjunto de los Enteros
21
Suma de Números Enteros
22
Sustracción o Resta de Números
Entcros
25
Multiplicación de Números
linteros
29'
División de' Números Enteros
División entre Cero
33
Factnrización de Números
35
El Cottjttttto de los Números
Racionalcs
37
Reducción de Fracciones
39
Suma de Números Racionaies
43
Sustracción de Números
Racionales
45
Multiplicaeiótt de Números
Raciottales
49
División de Números
Racionales
49
Operaciones (fontbinadas
52
Forma Decimal de Números
Racionales
54
Números Mistos
5?
Números irracionales y Números
Reales
59
Valor Absoluto dc Números
Reales
60
Repaso del Capitulo 2
62
OPERACÍONES BÁSICAS CON
POLINOHIOS
65
Notación y Terminología
Algehraicas
66
Evaluación de Expresiones
66
Adición de Polinomios
68
Sttstracciótt de Polinornios
70
Simbolos de Agrupación
73
3 5 Multiplicación de Polinomios
l)el`inieión 1,' Notación
76
Multiplicación de Monomios
76
79
CONTENIDO
Multiplicación de un Polinomio por
un Monornio
85
Multiplicación de Polinomios
B8
División de Polinomios
9l
División de Monomios
91
División de un Polinomio por un
Monomio
96
División de dos Polinomios
99
Repaso del Capítulo 3
IOS
Cuadrados v Raices
Cuadradas
209
Diferencia de Cuadrados
210
6.3 Factorización de un
Trinomio
212
Trinomios de la Forma si + bit +
c, b, c
ly b = 0. c = 0
212
Trinomios de la Forma asi + btt +
c. a = l a, b, c
I. b = 0.
c = O
ECUACMNES UNEALFS ¡N
UNA VARIABLE
Repaso del Capitulo 6
109
7 FRACCIOHES
Ecuaciones Equivalentes
IIÚ
Solución de Ecuaciones
I l2
pmwemas p¡am¿,_¡,¿¡Ú5 con
pa|ab¡ as
¿¡|| g¡gg¡¡¢¿$
223
227
7 1 Simplilicación de Fracciones
¡23
Algcbraicas
pmbmmas Rcfcmnuä a
Númm 05
2l7
223
7.2 Adición de Fracciones
132
Algcbraicas
pfobkmas ¿E pmcenmc
¡37
234
Fracciones con Denominadores
Problemas de Mezclas
igual@
Problemas de Valor Monetario
Problemas de Movimiento
149
p, ¿,b¡¿.ma5 de 1 cmpu aw¡ 3
152
Mmm" Cilmún MÚ¡¡¡P¡iï' de
P°|¡“°""¡°5
233
Fracciones con Denominadorcs
Problemas Referentes a Edades
pmbtemas dg patam ¿as
155
Problemas de Geometría
158
Rcpasü ¿Q Cap¡m|Ú 4
¡¿¡
DESIGUILDÃDES IJHEÃLES Y
VALORES Assaunos EN UNA
VARMBLE
167
Definiciones y Notación
168
Propiedades de las Relaciones de
Orden
170
Solución de Desigualdades Lineales
en una Variable
l72
Solución de Sistemas de
Desigualdades Linealcs en una
Variable
183
Solución de Ecuaciones Linealcs con
vmüres ¿bsÚ¡um5
¡$6
sepan» del capitulo 5
Repaso acumu¡a¡¡,_,u
192
234
Diäiìnms
24!
7.3 Multiplicación de Fracciones
Mgebfaìcas
243
7.4 División de Fracciones
Algebraicas
252
7.5 Operaciones Combinadas y
¡;¡,acc¡Dn,¿S ¿_ 0mp¡eja5
25 ¡
7 (1 Ecuaciones Litcrales
265
7.7 Ecuaciones que Contienen Fracciones
A|É¢b"a¡¢a5
259
73 Pmbifmaï P¡3“¡°fldÚ5 C0"
Palabras
275
Repam de' Capii' 11° 7
232
3 E¢UA¢|0p¡¡$ Y
pgflçyflpgpgg ¡_¡fl5¡||_55 Ey
DOS VARMBIES
291
_
8.! Loordenadas Rectangulares o
Ci'~f'“5ìH““ 'i
¡95
292
8.2 Graficas de Ecuaciones Lineales en
Dos Variables
297
8.3 Pendiente de una Recta
¡Acrofluåcmu DE
Pouuoiuos
3.4 Ecuaciones de Rectas
20,
308
Ecuación de una Recta que Pasa por
Dos Puntos Dados
Factores Comunes a Todos los
terminos
204
Factoriaación de un Binomio
303
208
303
Ecuación de una Recta Dados Uno
de sus Puntos P, (xp v|) y su
Pendiente m
309
Gontenido
Ecuación de una Recta Dadas sus
lntercepciones
3 lo
8.5 Sistemas de Dos Ecuaciones Lineales
en Dos Variables
3ll
8.6 Solución de Sistemas de Dos
Ecuaciones Lineales en Dos
Variables
3ll
Solución Gráficas
312
Solución Algebraicas
314
Método de Eliminación
314
Método de Sustitución
319
8.7 Sistemas de Ecuaciones Lineales en
Dos Variables que Contienen
Simbolos de Agrupación y
Fracciones
322
8.8 Ecuaciones Fraccionarias que Pueden
Hacerse Lineales
323
8.9 Problemas Planteados con
Palabras
326
8.lO Gráficas de Desigualdades Linealcs
en Dos Variables
336
Repaso del Capitulo 8
339
9
EXPONENTE5' Y
APLICACIONES
365
9.1 lšisponenles Fraccionarios Positivos
9.2 Esponentes Cero y Negativos
Repaso del Capitulo 9
362
“IO
RADICALES
365
10.1
10.2
10.3
10.4
10.5
10.6
Definiciones y Notación
366
Forma Estándar de Radicales
372369
Combinación de Radicales
Multiplicación de Radicales
375
División de Radicales
379
introducción a los Números
Complejos
385
Repaso del Capítulo IO
386
11
ECUACIONES CUADRATICAS EN
UNA VARIABLE
339
ll.l Introducción
390
ll.2 Solución de Ecuaciones Cuadrtiticas
por Factorización
390
ll.3 Solución de Ecuaciones Cuadráticas
Completando el Cuadrado
395
¡L4 Solución de Ecuaciones Cuadráticas
por la Fórmula General
400
11.5 Ecuaciones que Dan Lugar a
Ecuaciones Cuadráticas
404
ll.ó Problemas Planteados con
Palabras
407
11.? Gráficas de Ecuaciones
Cuadráticas
41 l
Coordenadas del Vertice y Ecuación
de la Recta de Simetria
4l3
Solución Grtifìca de Ecuaciones
Cuadráticas
417
Repaso del Capitulo
4l9
Repaso acumulativo
422
APÉNDICES
435
A Facroriaacidn de nn Binomio
Suma de Cubos
436
Diferencia de Cabos
43 7
436
B Facrorizacidn de Polinomios de
Cuatro Terminos
438
Agrupación en Tres y Uno
438
Agrupacion en Parejas
439
C Teorema de Pitágoras
444 M5
¿
RESPUESTAS A LOS
EIERCICIOS DE NUMEROS
IMPAI
445
ÍNDICE
524
r 'I'
__ ._..______ï________
CAPÍTULO 1
F
Conjuntos
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
introduccion
Representación geométrica de los enteros no negativos
Conjunto, definiciones v notación
Suoconjuntos
Operaciones con conjuntos
1
2
1IC0N.IIIII`l'O$
Introducción
El conocimiento de las matemáticas se ha vuelto esencial en tantos campos de la activi
dad humana y en tantos aspectos de la vida, que la existencia sin cierta relación con
las matemáticas elementales, por lo menos, resulta sumamente difícil.
Los principios de las matemáticas se han utilizado desde los albores de la civiliza
ción. La construcción de las pirámides de' Giza en Egipto hace más de S 000 años, cons
tituye un monumento a la habilidad matemática de los ingenieros egipcios de la época.
Aunque ellos sólo poseían las herramientas básicas, median y construían brillante
mente. Construyeron figuras geométricas a partir de lineas rectas, trataron ángulos rectos
y establecieron una unidad de medición llamada codo (aproximadamente igual a
52.49 am a 20% pulgadas).
La aritmética se inicia con la necesidad del concepto del conteo. Si bien es virtualmente
imposible establecer con exactitud cuando entró en uso el proceso de contar, se sabe
que el sistema egipcio de jeroglíficos numéricos se remonta al año 3000 a.C.
En la actualidad algunas tribus no poseen nombres para los números, mientras que
otras agrupan a todas las cantidades superiores a 1 o 2 en el término "muchos". Supo
nemos que asi fue como se originaron los números. Una vez que las cantidades fueron
reconocidas y denominadas, el siguiente paso fue aprender que los mismos números
se podían utilizar para contar cualquier colección de objetos. Incluso hoy en dia, en
algunos paises, se utilizan diferentes conjuntos de números para contar distintas clases
de objetos, tales como por ejemplo personas, animales, dias o árboles. Fue igualmente
importante aprender a contar por medio de correspondencias', ya sea con los dedos de
las manos o bien colocando piedreciilas en un mortal. Llevar la cuenta con los dedos
dió lugar al sistema numérico de base 10 o decimal. Probablemente una de las primeras
y más importantes formas de correspondencia fue la de contar rebaños de tal manera
que el pastor pudiera saber si una oveja se había perdido o un camello habia nacido.
Fue por la necesidad y el deseo de saber exactamente “cuántos” en palabras, y luego
en simbolo, que se desarrollaron los sistemas de numeración.
El sistema egipcio de numeración con jeroglíficos contenía símbolos para los nú
meros I, 10, 100, 1000, etc. Los egipcios utilizaron el principio repetitivo para expresar
números entre l y ia base, o sea el lO, y entre potencias de la base y escrìbian los simbo
los sin un orden definido.
Los romanos, al igual que los egipcios, emplearon el principio repetitivo en su sis
tema de numeración de base ll). A diferencia de los egipcios, los romanos hicieron uso
del concepto de orden en su esquema. Modificaron su sistema introduciendo simbolos
para los números 5, S0, etc., los pasos intermedios de la base.
El sistema indoarábigo de numeración sc inició con nueve símbolos para represen
tar a los números del 1 al 9 inclusive. El concepto de cero apareció mucho mas tarde
y se inventó para expresar la cantidad de elementos de una colección carente de obje
tos. Durante miles de años los matemáticos usaron un espacio vacío en medio de un
número para indicar un cero. Alrededor del año 300 a.C. se utilizó un punto para deno
tar el lugar vacio. Incluso hoy en dia. el punto es el simbolo que se emplea en cl lengua
je tirabe para de notar el número cero. El sistema de numeración indoarabigo es de base
10, A diferencia del sistema egipcio de jeroglíficos y el romano, el ¡ndoarribigo es un
sistema de valor nosir innni.
1.2
Renressntadónøeontétrteadelosenterusnuneçatlvos
3
En la actualidad se utiliza una extension y modernización del sistema indoarábigo.
Se usan diez simbolos digitos para representar los números: 0, l, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9. Estos digitos se combinan en un sistema de valor posiciona! para representar cual
quier número que se desee expresar.
Cuando se escribe un número, por ejemplo 273, el 3 se encuentra en el lugar de
las unidades, el 7 en el de las decenas y el 2 en el de las centenas. Es decir, hay 3 unida
des, 7 decenas y 2 eentenas.
Los números I, 2, 3, ete. se llaman números que se usan para contar o números naturales.
Los números O, l, 2, etc. se llaman enteros no negativos.
Representación geométrica de los
enteros no negatrvos
A veces es conveniente hacer uso de la geometria para ilustrar algunos resultados im
portantes del álgebra. Es útil disponer de una representación geométrica dc los enteros
no negativos. Para este fin, se traza una linea recta y se elige un punto de ella para
representar el número cero. Dicho punto se llama origen. Se toma otro punto de la rec
ta a cierta distancia y a la derecha del origen, el cual se asocia con ei número 1. El seg
mento dc recta que va del origen al punto que representa al número l es la unidad de
medida y es la escala que se emplea sobre la recta. Luego, a una unidad de distancia
a la derecha del punto que representa al número I, se coloca otro punto para represen
tar al 2. Este procedimiento se continúa hasta donde se quiera, estableciéndose asi una
asociacion entre los enteros no negativos y puntos sobre la recta.
unidad
*Iii
1Oí0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
FIGURA 1.1
La Figura 1 1 muestra la recta numérica. La flecha al final de la recta indica que se
continúa en esta forma y también la direccion en la que aumentan ios números. El seg
lü unidades
I í
|›
if
0
10
25 unidades
4
í+
20
30
40
S0
í n
me
0
25
100 unidade 5
S0
75
100
125
0
200
300
400
500
100
1 1 CONJUNTOS
mento de la recta que representa la unidad de distancia, esto es, la escala empleada en
la recta, se toma según convenga (ver Figura 1.21.
Eligiendo una escala conveniente 5' extendiendo la recta tanto como se requiera.
puede asociarse cualquier entero no negativo con un punto único dela recta. Cada pun
to mareado sobre la recta es la grafica del número correspondiente. Los números se
llaman coordenadas dc los puntos.
Nota
Si tr v h son las coordenadas de dos puntos
cualesquiera de la recta y si la grafica de Ir está
a la derecha de la de rr, entonces b es mayor
que rr, lo cual se denota b ::› rr. o cr es menor
que b. que se e: :presa tt < 'I b.
Para graficar algunos números. se traza una recta v se elige el origen. Se torna una
unidad de distancia conveniente v se muestran los números asociados con algunos seg
mentos conseeutivos de la recta numérica sólo para establecer la escala.
Reeuerdesc que debe emplearse la misma escala sobre toda la recta numeriea.
Traaar la grafica de los números 4. 8, 10, IE, lo.
SOLUCIÓN Consìderese que cada segmento unitario de la recta representa al 2 (ver
liigura 1.3).
1 1 0
D
2
Q
1
Q
@
4
(1
ti
IU
ll
I4
lo
lis
30
FIGURA 1.3
Para leer las coordenadas de puntos sobre una recta numérica. primero se determina
la escala a utilizar, es decir, que tanto representa cada segmento unitario de la recta.
Encontrar las coortlenttdas de los puntos ettcer|'at.ios en circttlo en la recta
numérica mostrada en la Figura 1.4.
SDLUCIÓN (Íada diria .itin de la recta ttuinerica tlatla representa 25; tie modo que las
coordenadas de los puntos indicados son ISU. 215, 3. iri, 125. 17:?.
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1.2
Representación geométrica de los enteros ne negativos
5
Ejercicios 1.2
(irafiquc los nt'tnte|'t¬›s siguientes utiliitartdo una recta numérica diferente en cada
problema.
':*'
PHP'
0. 4, ii. Iö. 28
E
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Gi.9° if',
'i'. I4. 23. 35 . 42
20. 25. 30. ' lll. 45
98. 100. 104. 105. 103
6.9, l5. IS
3 6 IS. 21. 2.4
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"lll, 42. 48. 51.54
212. 213. 215. 216. 2.20
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[ineuentre las coordenadas de los puntos encerrados en circulo en las rectas numéricas
mostradas cn la Figura l_5
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Si en un mapa cada centímetro (cm) representa S0 kilómetros (km), determine la dis
tancia que separa a cada uno de los siguientes pares de puntos:
21.
24.
AyB ' "'†'
ByC
22. AvC
25. Byt)
23. AyD
26. CyD
dado que en el mapa AB = 2cm, AC = 32 mm (milímetros), AD = 36mm, BC =
43mm, BD = 51 mm y CD = 22mm.
Conjuntos, definiciones y notación
El concepto de conjunto ha sido utilizado de forma tan generalizada en todas las mate
maticas modernas, que es preciso su conocimiento por' parte de todo estudiante de nivel
universitario. Los conjuntos son un medio por el cual los matemáticos hablan de colec
ciones de objetos de una manera abstracta.
Segun G. Cantor (1845 1918), el matemático que desarrollo la teoria de conjuntos,
“un conjunto es una agrupacion de objetos simples en un todo".
Nótese que no se supone ninguna propiedad uniforme de los objetos que forman
un conjunto fuera de que estan agrupados para constituirlo.
La totalidad de estudiantes que estén cursando actualmente algebra elemental, for
ma un conjunto. La coleccion formada por una pluma, una silla y una flor es otro
conjunto.
Los números l, 2, 3, etc., constituyen el que se llama conjunto de los números na
turales, que se denota por N. Los números 0, l, 2, 3, etc., forman el conjunto de los
enteros no negativos, denotado por W.
Existen dos maneras de definir un conjunto. La primera consiste en hacer una lista
de los objetos que lo componen y scpararlos con comas. La lista definitoria se escribe
entre llaves { }_
Por ejemplo, A = {Marte, Venus, Neptuno} y N = {l, 2, 3, .__}_
Los tres puntos indican que se continúa en la misma forma.
Nota
Se acostumbra emplear letras mayúsculas para
representar conjuntos, y minúsculas para los
objetos pertenecientes a los mismos.
Si X = {o, b, c, d}, entonces rr, b, c y d se llaman miembros o elementos del conjunto X.
La notación rr E X se lcc “rr es un elemento del conjunto X
Para denotar que un objeto e no es elemento de un conjunto X, se escribe e e X_
"ata
El orden en que se escriban los elementos de
un conjunto es indiferente. Por ejemplo,
{l, 2, 3] y {3, 1, 2} definen el mismo conjun
to. No es necesario, aunque si conveniente,
escribir los números en orden creciente.
1.3
contentos, definiciones tr natacion
Nota
7
Cuando se hace una lista delos miembros de
un conjunto, cada elemento debe escribirse so
lamente una vez, ya que de lo contrario se es
taria haciendo referencia a un mismo miem
bro en más de una ocasión. El conjunto de
numerales del número 83 837 es {3, 7, 8}_
La segunda manera de definir un conjunto consiste en proporcionar la regla que
identifica a sus elementos. Dicha regla se escribe también entre llaves.
E = itodos los números naturales que son múltiplos de 2}
Cuando un conjunto se define por medio de una regla, ésta debe expresarse con pala
bras o bien, por brevedad, con simbolos.
DEFINICIÓN
dado.
Una variable es una literal que adquiere varios valores en un problema
Para nombrar a un miembro genérico de un conjunto de números, se emplea una varia
ble tal como x, y, a, rn, rr,
El conjunto X cuyos elementos cumplen una propiedad P se denota por
X = {_t'|_r tiene la propiedad P}
lo cual se lee “X es el conjunto de elementos x, tales que x tiene la propiedad P". La
barra vertical empleada en la notación anterior es una abreviatura de la expresión “ta
les que”.
Enumerar los elementos del conjunto X = {x|x = Zn, rr G WL
Primeramente se encuentran los valores que toma n.
n toma los valores 0. l, 2, 3,
Se determinan ahora los valores que adquiere Zn (Zn significa 2 por rr).
Zn se obtiene multiplicando cada uno de los números 0, 1, "Z, _ _ _ por 2.
De modo que .r = 2n toma los valores 0, 2. 4, 6, _ _ _
Por consiguiente X = {0, 2, 4, 6, _ _ _}
Nata
Lt.
x = Zn, n e W} se puede escribir como
l2n|n te W}.
Enumerar los elementos del conjunto X = lxlx = Zn, n E WL
Se encuentran los valores que toma ft.
t
_ ,.
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1rI¦'0NJl#I'I'O$
n toma los valores I, 2, 3, 4,
Luego se detenninan los valores que adquiere 2:1 que son 2, 4, ó. 8, _ _
Se obtienen ahora los valores que toma 2:: l que son l, 3, 5, 7, __
Asique
X={l,3_5,7,___|
NOÚ3
La expresión 2 <'_ _r ct 8, .r E N se refiere a
los números naturales entre 2 y 8. Es decir,
.r toma los valores 3, 4, 5, 6, 7.
Enumerar los elementos del conjunto X = {3_r|t] <: ,r <: lt), .r G NI:
.r toma los valores l, 2, 3, 4, 5, 6, 7. 8, 9.
3x toma los valores 3, 6, 9, 12, 15, 18, 2i, 24, 27.
Entonces
X = {3, 6, 9, l2, 15, 18, 21, 24, 27}_
DEFINICIÓN El conjunto que no tiene ningún elemento se llama conjunto nulo o va
cio y se denota por et.
El conjunto de números naturales entre l _v 2 es vacio. El conjunto de satélites naturales
del planeta Venus también lo es,
Ejercicios 1.3
Enumere los elementos de cada uno de los conjuntos siguientes:
Los nombres de los dias de la semana.
Los nombres de los meses del año que tienen exactamente 30 dias.
Los nombres de los meses del año que tienen exactamente 31 dias.
Los
Los
Los
Los
?¦.T*'?"E":F'E"'i ¦_"'
nombres
nombres
nombres
nombres
de
de
de
de
las
los
los
los
estaciones del ano.
continentes de la Tierra.
rios del mundo que corren de sur a norte.
estados de la Unión Americana que comienza con la letra A
Idem con la letra B.
9.
10.
ll.
idem con la letra (_`_
Los nombres de los cinco primeros presidentes de los Estados Unidos.
Los números naturales pares entre l y 15.
12.
13.
14.
IS.
Los
Los
Los
Los
16,
17.
18.
Los números naturales divisibles entre 7.
Los números naturales divisibles entre lll.
Los números naturales entre 2 y 10 que son divisibles entre 9.
números naturales ìmpares entre IU y 30.
números naturales.
enteros no negativos.
números naturales divisibles entre 5.
1.4
subconjuntos
19,
20_
21,
22,
23,
2,4,
25_
Los
Los
Los
Las
Los
Las
Los
26.
23.
30.
32.
34.
36.
{_rl_r=rt+4,nEN]
{_r | .r = fin, tt E Nj
{_r | .r = 3:1 + l, rr E li"}
{_r I _r = 4:1
2, rr E Ni
{2n+3|nEW}
{3rt
2 I tt EN¦
37.
{_r I _t' ' =
{_r]_t' =
{_r|_r =
{5n + l
{6rt
3
33.
{3.r|_r>4,.r€iN}
39.
{4_r|_r< 5__rE W}
{2.r|__r<ó,_rEW}
{2_r|2<__r =íl(),_t'EN]
4].
43.
{7.r|_r<l..tEN}
{3.r|l<'i_t' =ï7,_rEN}
{5.r|3<_r<.'ti,_rEW¦
45.
{4_r|0 r:_r<:ll__rEW}
31%?
números naturales entre 40 3; 55 que son divisibles entre 15.
números naturales entre 15 3' 25 que son divisibles entre 13.
números naturales entre 20 y 30 que sort divisibles entre I7.
letras de la palabra Mississippi
numerales que forman al número 54 745.
vocales del alfabeto.
satélites naturales de la Tierra.
{_r | .r = rr + 7,1: EN]
5:1, rr E W}
5:1 1 2. rr E l'l"}
'in r: 3,nEN}
|nEW}
I rtEN}
SUDCOHÍUHÚOS
DEFINICIÓN
Un conjunto _ l es subconjunto de un conjunto B, si todo elemento de
A es un elemento de B_
Si A es subconjunto de B, se escribe A C B_
Not3
Todo conjunto es subconjunto de si mismo.
¬
I. Si xt = il, 2, 3} v B _ {l, 2, 3, 4}, entonccsfi C B.
2. Los subconjuntos del conjunto {l, 2, 3} son
llt 21 'gls lis 2'* III
l2t
Nota
lt
Q'
El conjunto vacio es subconjunto de todo
conjunto.
l_a notación A (I B se lee “A no es sttbeon_iunto de B”. Esto significa que existe por
lo menos un elemento de A que no esta en B.
Si A = {rr, b, el y B == {t, 2, e, bj, entonces A a B.
'IICOIUUNTOS
DEFINICIÓN Dos conjuntos A y B son iguales, lo cual se expresa A = B, si todo ele
mento de A es elemento de B y todo elemento de B es elemento de A.
Nata
A = B significa que las relaciones A C B 3.'
B C A se cumplen simultáneamente.
Si A = {l, 2, 3| y B = {3. l,2}, entonces/l = B.
La notación A di' B, que se lee “A no es igual a B", significa que existe por lo menos
un elemento que pertenece a A pero no a B. o bien por lo menos un elemento que perte
nece a B pero no a A.
Si A = Il, 3, 5] y B = {I, 2, 3, Si, entoncesA =f=B(¡Jero A C B).
Ejercicios 1.4
Sean A y B dos conjuntos.
Si todo elemento de A es elemento de B, ¿entonces A C B?
Si todo elemento de A es elemento de B, ¿es A = B?
Si/YC Vyae Y,¿eEX?
Si x te A, ¿es {x} subconjunto de A?
. Si _v E B, ¿es _r subconjunto de B?
.
Escriba todos los sttbconjuntos del conjunto {0}.
. Escriba todos los subconjuntos del conjunto {l}.
. Escriba todos los subconjuntos del conjunto la, bl.
Si A = {o, b}, use uno de los símbolos { L EE, C, o GZ para hacer verdadera cada
una de las siguientes expresiones:
9.
o'
A
12. f. cf:
15.
18.
{o.b}
{a.b}
10.
b
A
16.
bC{r1. b}
13. {a} A
A
{b.a}
ll.
tí'
A
17.
{a.c}
14. r›c{r›}
A
DadoslosconjuntosA = {l, 2, 3},B = {l, 3, S},C = {2, 4, 6},D = {l, 2, 3, 4, 5}
y E = {l, 2, 3, 4, 5. 6, ?}, determine cuáles de los enunciados siguientes son verdade
ros yr cuáles son falsos.
19.
23.
27.
ACB
ACD
BCB
20.
24.
28.
ACE
BCD
ECE
21.
2.5.
29.
BQIC
CCD
QCA
22.
26.
30.
DCE
A=C
QÍQIC
1.5
Operaciones con conjuntos
11
Operaciones con coniuntos
DEFINICIÓN La unión de dos conjuntos A y B, la cual se denota por A U B, es el
conjunto de todos los elementos que estan en el conjunto A y/o en el conjunto B.
Es el conjunto de elementos que pertenecen por lo menos a uno de ios dos conjuntos.
A U B = {.r|xE›A o xEB}.
ìì
1.. SeaA = {l,2,3j y B: {l,3,5};
entonces
A U B = ll, 2, 3, 5}.
2. Sea A = {2, 4, 6} y B = jo, 11, ej;
entonces
A U B = {2, 4, 6, o, h, ej.
Nota
Para dos conjuntos cualesquiera A y B,
I.
C iio
5*' ìsšs Cfl Uflìrs =BUA
2.
C
4. ILU: CPI EL = El sii:
DEFINICIÓN La intersección de dos conjuntos A y B, la cual se denota por A F1 B,
es el conjunto de elementos que están a la vez en ambos conjuntos A y B.
A Ft B = {.›:|.r E A y xa B}.
ì{ì
í
Lx
entonces
f .H
;,_._.i`“'
3" I "'
Cb
LM
L FI
¡bie = (1, 3 }.
2. Si A = ja, h, ej y B = jd, e,f};
entonces
A fl B = Q.
DEFINICIÓN
Dos conjuntos A y B son disjuntos o ajenos si A ("| B = ø.
Nota
Para dos conjuntos cualesquiera A y B,
':* *: eses DD nao:
rw
A
=Bf`l./1
Pl
Pl” LL 33 ou:
=
_&'¢c
1 1* CONJUNTOS
Dados los conjuntos
A = {.r|(l fc: .r zi lO, .HI NI y
B = {3.t'|0 fr: .r «I 6, .Jr E Nj,
encontrar A U B jr A (`l B.
SOLUCIÓN
tonces,
El conjunto A
ll. 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 'Jl 3* B = {3, (1, 9, 12, lSl. lin
AUB ={l,2,3,4,5,6,7,3,9,l2,l5jyAfiB={3,6,9}.
DEFINICIÓN
Se llama conjunto universal a aquel que contiene todos los elementos
que interesan en tttta situación determinada. Se denota usualmente por U.
SiA = {l, 2, 3. 4},B = {4, 6, 8},C` = {8, ll, l4} y A,B1rCcompren
den el conjunto universal U, entonces
U = {l, 2, 3, 4, ti, 8, ll, l4¦.
EÍGPCÍCÍOS 1.5
Sean A y B dos conjuntos.
.
íí
.
.
=so n~oa~e.n. .n;o
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
tt E A, ¿debe ser entonces rr elemento de A LJ B?
rr e. A, ¿debe ser entonces rr elemento de A Fl B?
rr E A U B, ¿debe ser entonces n elemento de A '?
tt E A U B, ¿debe ser entonces tt elemettto de B?
of E A U B, ¿debe ser entonces rr elemento de A Ft B?
rr G A O B, ¿debe ser entonces af elemento de A?
a E A F1 B. ¿debe ser entonces tr elemento de B?
tt e A r`t B, ¿debe ser entonces u elemento de A U B?
A GC B y cr E A, ¿debe ser rr elemento de B?
A (Z B jr rr C A U B, ¿dchc ser ct elemento de A ?
A tí B y tr E A F1 B, ¿debe ser rr elemento de A?
Sean A = ll, 2, 3, 4, Sl. B = {2, 4, tij. (Í = {6, 7, 3} ¿tf D = {5, 7, ill.
Enumere los elementos de cada uno de los conjuntos siguientes:
12.
16.
20.
24.
AUB
BUD
AUD
BU@
I3,
I7.
21.
25.
AUC'
CLJD
BÑC
DU@
14.
18.
22.
Dados A = {n|0«=: rr < 9,nEN}, B =
AUD
A HB
BÑD
IS.
19.
23.
BUC
A (WC
Cl"lD
{3rt lll) si n < 6, ne lfl/} y C =
{2n + l|0 <: n =: 6, n e N}, encuentre cada uno de los siguientes conjuntos:
Repaso del Capitulo 1
26.
29.
AUB
AFIB
27.
30.
AUC'
Al"lC.`
28
31
BUC
BNC
Entnnere los elementos de cada uno de los conjuntos siguientes
32.
34.
{2.r I .It E Nj Fl {3.r I .tr E Nj
{3.t' | .r E. Wi Pl {5.r I .tr E W}
33.
35.
{2.t' | .r E Wj H {5x I tr E W)
{2x | .tr E W} Fl {7x I r E W}
Determine el conjunto universal U para cada uno de los ejcructtis siguientes, st los con
juntos dados comprenden U:
36.
37.
33.
39.
40.
41.
= {l.2.3, l .5}, B:
= {l,3,5,7,9}. B = I"'I*“'
= {l,5.9, 13. iïj. B = !"“*!“* li " §3'~t.›.›G~
=MJo M
t;'={3.e
¡I "_l.¡I IW L
'Jn 3=›3=›¦t› C B:
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l
Repaso del Capítulo 1
Determine cuales dc las relaciones. C. (I . = . son vtilidas ntre los conjuntos
1.
A
{rr,h,t',rI}, B = jrƒ, ej, (Í ¬ ln, b, c'j,D = Io', t tt y L = {r, 11, ¿tj (Com af
A con B, A con C, A con ¿J jr A con 1;', luego compare B con C B con D jr asi sucest
vtttncnle.)
Etttltttere los elementos dc cada uno de los siguientes conjuntos
2.
4.
6
(t|t
.' .'=3n+2.nE .Wi
{5n IinEN}
{.r+2|3<í.r =Il0,.rEN}
3.
5.
7.
{.›:|.t'=6n ln
{4n 3|n
{.r 4|5<Zt äl3t
Sean A 5' B dos conjuntos.
Si 3 tï tr y A C B, ¿debe ser 3 elemento de B?
Si tt E .4 1.' B C A, ¿dche ser rr elemento de B?
Si 2 C A jr 2 fi B, ¿debe ser A = B?
Si 5 et A U B, ¿debe ser 5 elemento de B U A?
Si a E A Pt B, ¿tlcbc ser rr clentettto de B Ft A?
Si b C A 1 ' ¿J C B, ¿debe ser I; elemento de A fl B 7
SÍHIUH
A, ¿debe ser B sulaconjunto de A?
SÍ. ill JH
A, ¿debe ser A subconjunto de B?
SÍ. IÑB
B, ¿debe ser B subconjunto de A?
,ts 3 ca
B, ¿debe ser A subconjunto de B?
_ .
__
Â'
É GEILT ›tÚ."'¦;¡ :ge
.í
_¿_
Dados A = {n, ti, e, dl, B = {rr, c. el, C' = jo, rifl y D = {e,f gl enumere
elementos de los conjuntos siguientes:
s
5
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›
_;. ›.¿
_ I.
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1
CAPÍTULO
2
Desarrollo del coniunto de los
numeros reales
2.1 El COHÍUHÉO U9 IOS 9l'll'9I`0S HO FIQQBÉIVOS
2.2 El COFUUHÉO G9 IOS GHÉEFOS
2.5 El conjunto de los números racionales
2.4 Números irracionales y reales
2.5 valor absotuto de números reales
2 * DESIRRÓILÓ DEI. CONJUNTO DE LOS NÍIIIEROS QEÂLES
Este capitulo se ocupa del desarrollo del sistema de los números reales. Se presentan
propiedades y leyes de los números para proporcionar las herramientas básicas necesa
rias con objeto de entender ciertos conceptos algebraicos. Para realizar lo anterior, se
ntiliitan letras del alfabeto, llamadas números literales, en vez de números especificos.
Las operaciones basicas con los números son la suma o adición, multiplicación,
sustracción o resta jr tlivisitin. Estas cuatro operaciones se denominan operaciones bi
narias puesto que están definidas para operar solo en dos números a la ver..
Los simbolos que se usan para indicar dichas operaciones son
+
o
><
:
llamado
llamado
llamado
llamado
más, para indicar la suma
por, para indicar la rnttltiplicacitin
menos, para indicar la resta
entre o dividido por para indicar la división
EI COHÍIIIIÍO CIE IOS BIIÚGFOS I10 IIEQBÉIVOS
lil conjunto de los enteros no negativos li”
{0. l. 2, 3, , . . } se itwentti a partir dc
la necesidad de contar. Lil analisis de las operaciones btisicas en este conjunto mostrará
la necesidad de ampliarlo al tie los nr'tmcros reales.
Suma CIE €I'|f9I'Ó$ IIÓ IIGQHIIIVÓS
Para dos enteros no neg.atis'os cualestjuiera n gr Ii existe utt entero no ttcgatitfo tinico
llamado su suma. I.a sutna dc tr 1. ' lt se denota por tt + IJ.
La suma de do . enteros no ttcgatisos tt y fr puede represetttarse en una recta nume
rica. Partiendo del origen 3' motiéndose tr ttnitladcs tt la derecha, se llega a la gráfica
del tnìmero rr, Desde este punto se recorren luego h unidades en la misnta dirección.
Esto et.intlueirti a un punto que cstti a n + ri unitlatlcs del origen. La coordenatla de
la! punto es la stttna de los tttitntcros tr 1.' JJ (l¬`igttra .?.. ll.
1 tttt|tl.itleH
|
II tt:¦|tl;t¬ .I .rs
ïnnïw unnnrï 1 I HI il 'r:úIusu\§I
I
I
I
H
n
n+h
ì_
FIGURA 2.1
Las sigttietttcs son leg. cs dc la sutna dc enteros no nc¿t_ati~.fos.
LEY CÓNMUTRTIVÃ
DE U¡ SUMA
,_ ,
,
_ _ _ _ . _,
__ ,
l ata dos numeros cualcstjutcta tt, ¡J t. lflf.
trtb
bs tr.
2.1
Eloonluntodolosentenosnoneøaflvos
17
5 + 7 = 7 + 5.
Nfltã
_
__
_
_
En ocasiones se utilizan parentesas (
) para
agrupar los números.
LEY
Para tres números cualesquiera a, b. c E W,
a+(b+c)=(a+b)+c
7 + (3 + 14) = (7 + 3) + 14.
ELEIIENTD IDENTIDAD
¡MRA ¿A slmm
_
_
_ _
Existe un numero unico 0, llamado elemento
identidad aditivo, tal que para cualquier a E
W.
a+O=0+a=a.
8 + 0 = (J + 8 = 8.
Nflfã
Obien
_ _
_
_ _
Si bien la suma es una operación bmana, se
puede extender para obtener la suma de tres
o más números sumando los dos primeros y
luego cada número sucesivo al resultado de
la suma anterior.
8+6+lI=(8+6)+lI=l4+l1=25_
8+6+ll=8+(6+ll)=8+l'¡=25.
Multiplicacron de enteros no negativos
III'
DEFINICIÓN
El producto de dos enteros no negativos a y
b se define como el entero no negativo a ' b
que representa la suma
b + I; + b +
+ b atérminosigualcs H Ú
Los números o y b se llaman factores del
producto.
2 1 DE$IlIDLlDÉ.DDH.llIITDDElD$I'ïD$Il'EIlE$
3 * 4 = 4 + 4 + 4
"w'flpucAc¡Ó~ POR “Ro
3 términos iguales a 4 to 3 veces 4).
Para cualquier a E W,
a 0=0+(l+t]+
avecesü.
Por consiguiente a
+0
O = O.
6'0=0
El producto de dos números especificos tales como 5 y 3 se denota por 5 ' 3. 5 :>< 3.
5(3) ó (5)(3)_ El producto de un número especifico y uno literal tales como 3 y a se de
nota por 3 ' o, 3 >< e, 3( sr). (3)(a), o simplemente 3a. Cuando se multiplican un núme
ro especifico y uno literal, se escribe el especifico como primer factor, es decir, se escri
be 3a y no a3.
El producto de dos números literales tales como a y b se denota por a ' b, a x
b, o(b), (o)(b), o simplemente ab. Las siguientes son leyes de la multiplicación de ente
ros no negativos:
|.EY CÚNHUTÃTÍVÃ
DE LA
_
_
Para (105 UUHICTÚS CUHIESQUIETH ti', É?, E W,
ab = ba.
5 X 6 = 6 X 5.
DE LA
Para tres números cualesquiera a, b, e G W,
atbe) = (ab)c_
5 >< (8 >< 7) = (5 ><: 8) .X 7.
ELEMENTO IDENTIDÃD PH
LA
EKÍSIE l.¡I'l HÚITIEFG ÚIIÍCD l, dülìümiflfldü idén
tico rnultiplicativo, tal que para cualquier a E
W.
u><l=l><o=a_
9: <:1=l><9=9_
2.1
BCOIÚIIIÉOGQIDIII' IllII'II¦lìOlII¶3flV'tl$
DE LALEHYUL !"PIuchrågfi
SOBRE LA SUMA
l.
4(fl+b)=4a+4b
2.
6(a+7)=6 a+6><7
19
Para tres números cualesquiera tr, b. c E W,
(b+c)a=a(b+c)=ab+ac_
=6a+42
3.
(a+5)b=ab+5b
“ata
Si bien la multiplicación es una operación bi
naria, se puede extender para obtener el pro
ducto de tres o mas números como se hizo
para la suma.
6><5><3=(6><5)><3=30><3=90
Obien
6><5x3=o›<(5:›<3)=6><l5=90
Ndta
Cuando una expresión contiene sumas y mul
tiplicaciones sin simbolos de agrupación,
como los paréntesis. se efectúan las multipli
caciones antes que las sumas.
l.7><8+2=56+2=58
2.4+6><l2=4+72=76
3.5x7+3x8=35+24=59
Nota
Cuando una expresión contiene símbolos de
agrupación con solamente números especifi
cos dentro de ellos, es más fácil realizar pri
mero las operaciones dentro de los símbolos
de agrupación.
2
naaeeouonawmunromtosnúlmoslenms
l.
7(3+8)+9=7(ll)+9=7'?+9=86
2.
6+5(3+4)=6+5{7)=6+35=4l
3.
3(4 + 2) + 5(6 +3) = 3(6) + 5(l4) = IB + 70= 33
Ejercicios 2.1
Efectúe las operaciones indicadas:
l.
4.
7.
I0.
5» <(4><7)= I ' if
50 x (2 :›< 28); if Í
(2 x 8) x 5 's É"
9 x 2 x 4 _~; J
16.
|2(l3)(5)::
I9.
|l(8)(0)(23) if'
13. 7(4›(2)
__
22. ls ›< 4ì+ s 1_<:=f.{¢›
25. 8 x 7 + 5 2 2155
28. 15(3) + 9 1514
Jl.
17(2) + llI'_¿'i`§
34. 8 + 6 x 2=ݕ0
37. IU + 5 x 41 9 Mi
40. 5 + 3(7) = .?.¿'
2.
5.
s.
11.
14.
11.
zo.
za.
26 .
4><(f›><3)f F Zr
_ 3 >< (7 :K 2)I " L5
(7 X 6) >< 3 '1¿_fj_..
(5 >< 9) >< 4=AE.U
Qtlail
(3 ›< 4) x 25:' :Im 9. 2 zx 3 x 5 ' 311.»
s›<4><s= ffs
12. ll ›< 5 x 6 1 ?= se
10(3}(s)' 2%
ls. 9(15)(2) = 2 9@
25 ›< 9 ›< 4 >< sfsac ta. 16 x 7 x 5 x 8 1* litlåfi
ssusitmtoizc
21. l9(0)t2l )(87) :_ G
tz x s3_+ 7 esta
24. \3 x 4`\+ 101.1 so
6 x 1 0)+ 2 _". LJ.
27. (13 ›< 9\+ 1 = MQ
29. 7(l2) + 3 lI= te
30. 20(3) + 12 1;?,
32.
33.
13(7) + 3 ~= ¿M
14(8) + 7:.l¡ Cl
ss. 3 +(7 ›< si :ee
ss.
38. 6 + 9 x 4; :ff if
39.
41.
44.
7 + Biol 'Í Ce
20 + 5(8);. $0
42.
45.
9 + 3(9)_ 3@
5 +í4 >< 3i ti?
s + 12 >< s)=z,§
17 + |3(1e)† lili
43.
7 + l3t4)':J=j;†1
46.
5(3 + 9)*:(¢x,`¡
47. 2t2e + 511 5”
43. s(|2 + 41 .=.iz›E
49.
l2(5 + ó) 1 ¿'91
50.
l3(7 + 0) =' 44
Sl.
l9(U + 6) ' 'JIM
6(8 + 7) + l5:_1*_sf;`}
l2(4 + 9) + 21.15€
54.
57.
20(2 + 7) + 1 '_;t¿?I
55. 9(6 + 3) + 7 ' '
53.
56.
59.
9 l l(3+6): 2,3
60.
7 + 3(8 + 71:5 7..
62.
l2+3(5+3):$ic›~
te + nz + 9) :W
(7 x 5i+(5 rx 3\=5e
(3 x 8\~i is ›< 431 ¿W
sz. «ne + 2; + sf H"
58.
61.
4 + 2(3 + 4) .† C"'¬:›0 ¬ lt _
5 + 5(l0 + 12121111
64. 3 x s\+(2 x 5) _ cg ss _
67. 6 rx l2i+(8 x 9f_±_,ii¡ti
ss. 4 s; 5* +15 ›< sì+(zo1 :so
71. (5 x SL (2 >< lt)+ 4 295
73. 3(7+2)+o(4+ l):5i
75. I5(7 + 3) + 8(6 + 9) _ ..?§H)
77.
4(6 + 24) + 0(l7 + 25) '_;l9 G*
63
23(3 + 2) + 5 :f 20
(2 ›< 7\+(4 ›< s\+ 2; _ _
.(3 ›<s}+E4><9\ii t
Ir
*` i6`«nIID
. 'L.
(ox 9+ ll x4+ lo ' Ulf
5(l1+ 4) + l2(6 + 4); 540
130 + 2) + ou: + si; ¡'59
3412+ is;+2u3+7).: is@
I
79. 2(n + lifsmiz 80. Sta + 6)
mi + 3);.4a no sz. eta + 2) = '~lfUl
83. atb + 3);tti›t¶rL84. atb + 1)
atb + 5):nt;{›5'186. e(b + lO) ab t IW' '
87.
3(2a + l)=í:t_t5 88.
4(3a + 5)
91.
2(a + 2b)1¡¡.|q( _, 92.
3(2a + b)
1e(2a + sminso. me + s›2,la†=S`&f
6(2a + 3b)
IZQ t| _1,g_l¿,
94. 5(3n + 4b)151 +2@
2.2
Ei GOIIII mtb de los enteros
21
sustracción de enteros no negativos
De la suma de enteros no negativos se tiene 4 + 2 = 6. Esto es, 2 es el número que
sumado con 4 da por resultado 6. El número 2 también se llama diferencia entre ti
v 4. En simbolos se escribe 6 4 = 2.
Del mismo modo, puesto que 7 + 12 = 19, se tiene 19 7 = 12. La operación
designada por el simboio , leido “menos”, se denomina sustracción o resta.
Considérese ahora la diferencia que hay entre los enteros no negativos 4 y 9. No
hay ningún número a E W tal que 9 + a = 4.
Para tener un conjunto en el que exista el número a, se extiende el conjunto de
los enteros no negativos agregando los enteros negativos, 1, 2, 3, _ _ __
El conjunto de los enteros
DEFINICIÓN
La unión del conjunto de los enteros negati
vos y de los enteros no negativos constituye
el conjunto de los enteros, que se denota por
I:
1:.{..., 3, 2, 1,0,1,2,a,.._|.
Cuando se juega a las cartas, es posible representar por + $10 una ganancia de $10,
mientras que una pérdida de $8 se puede representar por $8. Cierta posición de 1000
metros sobre el nivel del mar puede denotarse por +1000 metros, mientras que una
de 50 metros bajo dicho nivel, se puede denotar por 50 metros.
A partir de estos dos ejemplos se ve que es posible emplear los signos + y para
indicar dos direcciones opuestas.
Puesto que los enteros positivos se sitúan a la derecha del origen en la recta numeri
ca, los negativos deben ubicarse a la izquierda del origen. De esta manera las graficas
del conjunto de los enteros negativos constituyen puntos a la izquierda del cero. En
general, los enteros a y tt son coordenadas de puntos situados en lados opuestos con
respecto al origen y equidistantes de él (Figura 2.2).
'I%ifi_|i¡I¡ D I
¦<n ¬'¬ H ¦
3
2
1
o
1
2
1
4
FIGURA 2.2
Obsérvese que al hacer un recorrido hacia la derecha sobre la recta numérica, los números
aumentan de valor y al hacerlo hacia la izquierda, disminuyen éste.
2
oanuottonaconnnroostosmnnosmtts
Por ejemplo,
2 <: l,
3 < 0,
1 > 3,
l .> 2.
La dirección positiva es hacia la derecha, mientras que la negativa es hacia la izquierda
Suma de números enteros
Para sumar dos enteros negativos ( rr) y ( b) en la recta numérica, se empieza en el
origen. (Figura 2.3).
ti unidades
u unidades
||
I
t
I
(o+ bi
“ii
0
íi
í»
FIGURA 2.3
Se recorren a unidades en la dirección negativa, hacia la izquierda del cero, y se
llega a la gráfica del entero negativo ( a). A partir de este punto, se recorren b unida
des en la misma dirección y se alcanza asi el punto que está a a + b unidades a la iz
quierda del cero. La coordenada de este punto es to + b) e igual a la suma de los
enteros negativos ( o) y ( bj.
Observación
La suma de dos enteros negativos cualesquie
ra, existe y es un entero negativo.
Sumar 4 y 3 en la recta numérica.
SOLUCIÓN En la Figura 2_4, se recorren 4 unidades en la dirección negativa partien
do del origen y, luego, 3 en la misma dirección. De esta manera se llega al punto cuya
coordenada es 7.
Por consiguiente
( 4) + ( 3) = 7.
3 unidades
4 unidades
||
I
I
¿ió
'I
6
5
4
3
2
I
«
l
0
FIGURA 2.4
Nota
TEOIEIIA
( 4) + ( 3) =
7 =
Si o, b E N, entonces ( n) + ( b) = to + b).
(4 + 3).
2.2
Etcolthntodolosettturos
23
( 5) + ( 8) = (5 + 8) = 13.
Para sumar un entero positivo o y uno negativo o, esto es, con el fin de encontrar
o + ( b), se empieza en el origen (Figura 2.5). Se recorren o unidades en la dirección
positiva y se alcanza la gráfica del número o. A partir de este punto, se recorren b uni
dades en la dirección negativa y se llega asi al punto cuya coordenada es a + ( b).
H
¦
1
I
¬'›"
I
|
¿
Ú
ii»
U+i Iii
¿I
FIGURA 2.5
WE
Calcular 8 + ( 6) en la recta numérica.
SOLUCIÓN En la Figura 2.6, partiendo del origen, se recorren 8 unidades en la direc
ción positiva y se alcanza la grafica del número + 8. A partir de este punto, se recorren
6 unidades en la dirección negativa y se llega al punto cuya coordenada es + 2.
Por consiguiente,
8 + ( 6) = 2.
||+3
¦
I
.
0
2
|
|
6
4
I
6
3
FIGURA 2.6
Calcular 5 + ( 5) en la recta numérica.
SDLUCIÓN En la Figura 2.7, se empieza en el origen v se recorren 5 unidades en la
dirección positiva para alcanzar el punto cuya coordenada es + 5. A partir de este pun
to, se recorren S unidades en la dirección negativa y se llega al punto cuya coordenada
es 0.
Por lo tanto,
5 + ( 5) = 0.
1
+5
I
|
S
i
I
|
I
I
0
FIGURA 2.7
1
2
3
4
s
2
orsntntouottawnamrooetosmhtmosnutes
Calcular 2 + ( 9) en la recta numérica.
SOLUCIÓN En la Figura 2.8, partiendo del origen, se recorren 2 unidades en la direc
ción positiva y se alcanza el punto cuya coordenada es 2. A partir de este punto, se
recorren 9 unidades en la dirección negativa y se llega al punto cuya coordenada es 7.
Por consiguiente,
2 + ( 9) =
7.
te
+ t.›
(1
.I
5
4
3
2'.
I
0
l
2
FIGURA 2.8
El mismo resultado puede obtenerse si se recorre primero en la dirección negativa (Fi
gura 2.9). Empezando en el origen se recorren 9 unidades en dicha direccion y se alcan
aa el punto cuya coordenada es 9. A partir de este punto, se recorren 2 unidades en
la dirección positiva y se llega al punto cuya coordenada es 7.
Por lo tanto,
( 9) + 2 = 7.
__ i)
I
I
l
+2
I
dit
9
8
I
1
lo
:
+
'I
6
S
4
i
2
l
G
FIGURA 2.9
"fm |
a + ( ei = ( .tn + H.
EÍBÍCÍCÍOS 2.2A
Calcule gráficamente las sumas siguientes:
+
I' 'tt
_l)+(._._
S
( 3)+( 5)
6+( 3)
WI ft .
10 + ( 6)
2 + ( 10)
4+( 4)
( 2 )+6
( 3) +7
IU t ( 6)+( 3)
6)
( 2)
_g)
_7)
""" .« ._ ¬
)+ l2
5 )+2
¿__ ( 3 )+ 2
Br ¡lluPl Fl!tn“FnZ~_':“¦
ot ¬_iu~›t= ++++
La I
hi
ll
14
17
20
23 .
I
'l
3. ( 2) 1 ( 2)
6. 8+( 5)
9.
12.
15
18
21
24
Ó
II
II
4 + ( 7
6 + ( 12)
3) + 10
l)+8
I' "ti fl_" . "_'Ii. I'_I.
|t))+1O
15)+20+(
|
2.2
HCOIIIIDÍOOCIOSEITÍBÍOS
25
sustracción o resta de números enteros
oermtctón
_Si la suma de dos numeros
_
_
es cero, se dice que
los números son inversos aditivos.
Para cada número o E I existe un número único ( rr) en I tal que
o + ( tt) = 0.
Por consiguiente, los números o 3* ( o) son inversos aditivos.
El número ( a) se denomina algunas veces el negativo del número tr.
Observación
El negativo del número (tr) es (rr) o simple
mente nf.
mi
1. ( 5) es el inverso aditivo de 5;
5 + ( 5) = 0.
2. 8 es el inverso aditivo de ( 8):
( 8) + 8 = 0.
TEOREIIA 'I
Si rr E N, entonces ( a) = tr.
DEIIOSTRACION Se hizo notar antes que no solamente es ( u) el inverso aditivo de
rr, sino que también rr lo es de ( nf).
Puesto que ( tr) + [ ( o)] = 0, ( o) es el inverso aditivo de ( o).
De esta manera ( rr) 3* o son inversos aditivos de ( rr).
Puesto que los inversos aditivos son únicos, ( cr) = o.
( 10) = IO.
°EF'""7'Ú"
si a, e c ¡_ entonces a
s = tv + ( bt; e
sea, sustraer o restar b de tr es igual a sumar
el inverso aditivo de b al número o.
+( 4) =
TEOREIIA
4.
Si d, b G N, entonces ( o) + b = a' + b =
(tr
b).
2 I DESIRROLI ODE.COI.IlHTODEI.O$HII$D5REAI.B
"ata
a b=o+( b)=( b)+o= b+o.
Observación
Cuando a es numéricamente menor que b y
se tiene tr + b, se escribe como + b o y
luego se efectúa ia operación.
7 +19 = +19 7 = 12.
Cuando n es numerieamente mayor que b y
se tiene tr + b, se escribe en la forma
(e b) y luego se realiza la operación
lÚ+3= (10 8)= 2.
1. ( 8)+6= 8 +6
2.
5 3= 3 l 5
" (3 6)” '(2)' 2
"
(3
5)*
3.10 ( 6)=l()+6=l6
NOM
d b = ( rr) + ( b) = (d + b).
9 13 = ( 9) + ( 13) =
(9 + 13) =
Ndfã
Si n > b, entonces o
365 294 = 71.
b 2: 0.
Si a = b, entonces o
259 259 = 0.
b = 0.
Si n <: b, entonces o
b : 0.
2641
14023
22.
5473 =
=
=
5473 + 2641
(5473
2641)
2832.
Sio,be¡ya=#b,entoncesn bath a
7 5 = 2
mientrasque
5 7 = 2.
2.2
Bconimtiodolosanceros
I.
7
l5=
U'
(7+ l5)=
22
2.3 3+( 7) ( 6)=3 3 7+6=3+6 3 7
=(8+6) (3 I 7)
=l4 lO=4
3.
l0+(4 l2)=l0+( 8)=lO 8=2
4.7 I (2 l5)=7'+( l3)= l3+7= (13 7)= 6
5.
IT i (6 l4)=
l7+( 8)=
17 8 =
6.
6 ( 4+8)=6 [4)=6 4=2
7.
l2 (3 l0)=l2 ( 7) =l2+7=l9
(17 l S)=
25
1. Restar (5) de (7).
(7) (5) =7 5=2
2. Restar (IO) de (3).
(3) (l0)=3
l0=
l0+3 =
(10 3)=
7
3. Restar ( 5) de (7).
(7) ( 5)=7+5=l2
4. Restar (5) de ( 7).
( 7) (5)=
7 5=
(7+5)=
12
5. Rcstar ( 5) de ( 7).
( 7) ( 5)=
7+5=
(7 5)=
2
6. Restar ( 15) de ( 9).
( 9) ( l5)=
9+ l5= 15 9=6
Ejercicios 2.23
Obtenga los valores de las siguientes expresiones:
3)+( 6)
9)+( I)
+
3)
«n_n |_I " "' f" tf 1I'I" I +( ll)
¡Iii
í
9249?'
2.
5.
3..
ll.
( 5)+( 3)
( l2)+( 7)
20 + ( 14)
22+( 19)
( 4)+( 10)
l5)+( 3)
25 + ( 13)
l3+( 16)
.ilïh
Í
PFP?
2
omnenouooetcomtntrooetosntinmoseentes
12)
13
20)
16. FOo
19. ___ U'I++ + _ ¬_ I
22. 12 4
25 4 74 8
28 _ [2 l6+2
31 _4 9 6
7+ll 8
34 _
37 .17+(4 10)
40 _ l5+(l4 22)
43 _9+(6 25)
4+( |5+2)
46 _
49 .S (6 4)
52 _ 17 (16 7)
10 (6 IS)
55
S8 2 (l3 2l)
61 _
64 _
67
69
71 _
73 _
75 _
77
2 ( 4 10)
ts ( e+2)
(8)+( 201 (
14.
17.
20_
23.
26.
29
32
35
33
41
44
47
50
53
56
S9
62
65
(9) + ( 8) ( 4)
( 13)+( 7) (20)
( 7) (14)+(
0I¦ l" J" IU"\
6 (7 9)+(3 1 l )
9+(10 16) (7 15)
5 + ( 10)
12 +( 15)
6 15
Í
20+t3
ll 4+6
16 27+5
12 21 9
l7+6 4
8+(l2 16)
6 1 (8 20)
4+(2l 34)
3+ ( 13 i 8)
10 (3 6)
8 (15 7)
13 (9 l6)
l2 ( 2 3)
5"
18.
21.
24.
27_
30.
33.
36.
39.
42.
45.
48.
Sl.
54.
57.
60.
63.
66.
11)
ze)
te
++un 2
7 zo +1s
is ss +19
4 13 14
22 + 33 ts
zo+(1 12)
11+(2 11)
1e+( to+4)
s+ (9 23)
(zo 12)
(io 4)
(10 is)
I'* JND
_ ._ »_
I 'É'
Lú
' I FI¦I\' I
( 8
14 ( 11 + si
15 ( 3 +9)
ze ( e+14)
68. l0+( 2) ( ts) (zo)
6 ( ó 13)
70.
72.
74.
l2+( t'›) (10) ( 3)
18 ( 9)+ ( 8) (6)
tl +( 4) ( 16) (30)
3 m tu ut n
rs. 6 (12 20) (23 9)
76.
Efectúe la suma de cada una de las siguientes parejas de números:
79
81
33.
85
87
354 y 73
215 y 370
280 y 573
735 v 216
164 y 253
80.
82.
84.
86.
38.
792 y 439
428 y 853
217 y 306
827 y 359
628 y 513
En los ejercicios siguientes reste el primer número del segundo:
89.
91.
93.
95.
97.
99.
101.
103.
105.
IO de 13
20 de 12
8 de 6
4 de 15
2 de 9
lt) de 7
14 de 25
30 de 18
164 de 238
107. 891 de 274
l09_ 274 de 642
lll. 632 de 315
113.
115.
117.
119.
138 de 264
849 de 372
249 de 764
774 de 568
2)
90.
92.
94.
96.
98.
100.
102.
104.
106.
108.
110.
112.
114.
116.
118.
120.
8 de 17
19 de 14
9 de 2
3 de 8
ll de 22
13 de 6
23 de 42
25 de 4
207 de 529
712 de S36
298 de 423
923 de 487
241 de 570
504 de 263
391 de 473
S62 de 474
2.2
EIOOIÚIIIICOOOIOSDIICOIDS
29
Multiplicación de números enteros
La multiplicación de enteros positivos es la misma que la de los números naturales. Se
requiere solamente definir el producto de un entero positivo y uno negflivo y el de dos
enteros negativos.
TEOREIIA
Si rr, b E N, entonces et b) = (ob).
Es decir, el producto de un entero positivo y uno negativo es un entero negativo_
3( 4) = (3 :>< 4) = 12.
TEOREHA
Si rr, b E N, entonces ( o)( h) = oh.
DEMOSTRACION
( a)( b) = l (e)l( b)
= l(e)( b)l
= I (eb)l
= ob
0 sea, el producto de dos enteros negativos es uno positivo.
mi
1.
2.
mui'
íí_
( 6)( 9) = 6 X 9 = .'54
s›<4.><3=[ 5x41(3›
= t 20)(3) = 60
3 'it 8)(6) = l7( Siltó)
= ( Seite) = 336
4.
2( 9)(l0) = [ 2( 9)i(i())
= (lB)(l0) = ISO
5.
3( 4)( 8) = 1 3( 4)l( 8)
= (t2)( si = se
NDCQ
__
_
Cuando una expresion contiene sumas, restas
v multiplicaciones sin simbolos de agrupación,
se efectúan estas últimas antes que las sumas
y restas.
2
oesnneouooctcorwnronrtosnúttmositutes
1.
4( 8)+7=
32 i 7=
2.
10
10 _ lfi( 4)]
6( 4)
25
10 ( 24)=l0+24=34
3.
40 42 + 108
(40 + 42) + 108
32 + 103 = 26
5 >< 8 + 7( 6) 12( 9)
NOC8
I.
2.
12(3
12( 6) 10
72 10 =
10
9)
ó(4 7)+2
12 + 4( 9)
12
13
3(3
5.
15
6.
20( 4
7.
13
13
6)
7(2
3(o + 2b
36 =
24
3(2)
e=1
15 7( 9)
15 + 63 = 73
ll)
1)
82
6( 3)+2
13 i 2=20
3. l2+4(3 12)
4.
__
_
_
Cuando una expresion contiene simbolos de
agrupación con solamente números especifi
cos en su interior, es más fácil realizar prime
ro las operaciones incluidas en dichos
simbolos.
13( 3 +2)
5)
= 20( 5) i3( 6)
100 + 78 = 22
3( 4) + ( 3)(2b) + ( 3)( 5)
3o ób +15
4
2.2 flcottlllncodetosenteros
Ejercicios 2.26
Encuentre los valores de las siguientes expresiones
I.
4.
7.
lt).
13.
16.
19.
22.
25.
28.
31.
34.
37.
40.
43.
46.
49.
52.
S5.
5( 6)
4(12)
8(5)(6)
6( 3){9)
9(7)( 2)
2(4)( 3)
4( 5)t 8)
5 x 7 2
20 >< 3 3
7 + 3
4
csrsiw XXX oesci 3
19 9 zx 4
20 + 5 tx 12
le 4 >< 3
18
12 >< 7
13(5 7)
7(8 23)
23(ó 4)
2_
S.
8.
ll.
14.
17.
20.
23.
26.
29_
32.
35.
38.
41.
44.
47.
S0.
3( 9)
15( 4)
13t3)(4)
5( 4)(0)
12(3)( 1)
8(3)( 2)
4( ó)( 10)
11 :›< 10 9
17 >< 4
14
)()('l.i›.lL.i 'I + te.i te
23
17 + 2 x 8
12 8 x 6
l5(7 3)
2()(8 ~ 12)
53.
1()(3 + 2)
unen
to 1
4i
óI_
64.
67.
70.
15( 7 + 7)
10 8(5 + 2)
12 5(7
10)
18 8(6 15)
56. ó(15
ll)
59. 7(5 21)
62. 30( 17 + 17)
65. 8 4(3 2)
68. 9 3(8
ll)
71. 16 9(7
14)
73.
9(1i
74.
S8.
i4(l2
5)
15)
ló
4(3
77.
5(1
76. ó(4 13) 7
79. 20 ( 18)+8( 2)
B1. 12 2><8+2 ( 9)
83. 9 >< 7 6x10 7( 4)
85. 8 + 2( 4) 6(7 8)
87. 8 >< 12 5( 4)+7(2 10)
89. 4 6(t() 8)+6(4 15)
91. 3 3( 2 5)+3( 3+7)
93. 2( 2 6) 7 1 4(3 1)
95. 9( 8+6) t 9 4('7 3)
97. 6 X 7( 1) 3 X 8( 2)
99. 3( 2)( 3)+7( 4)( 3)
17)
8
3. 7(8)
6.
6( 7)
9. 7( 2)(3)
12. 9(0)( 6)
15.
l7(4)( I)
18.
21.
24.
27.
30.
33.
36.
39.
42.
45.
48.
Sl.
54.
57.
60.
63.
66.
69.
72.
75.
78.
ó( 5)( 7)
2( l2)( 3)
6 x 12 7
2 >< 6 + 4
8 >< ll + 9
2 x 17 2
15 6 x 5
6 + 4 >< 13
11 + 6 x 9
13 7 zx 5
9(2() 6)
Btó 9)
8(9 + 3)
11(8 3)
12(l5 18)
7 ó(4 + 3)
13 7(8 5)
20 10(2) 7)
ó(8
10) 9
2(7
12)
7(ó
lo)
9)
80.
82.
19
3 x' 4 + 5( 2) 6
3( 8) 6( 7)+( 20)
34.
l1><3+3( 4) 2( 13)
9( 3)
l2( 5)
13(4
9( 4)
6( 6)
7(3
3)
_ 3+2( 2 3) 'i(1 5)
_ 5 10(8 6) 3(2 17)
_ ó( 3 7)+3 8(3 5)
_ 7(3
10) 12+2(ll
6)
_ 7( 4)(s) 9 >< s( 2)
šssassas 6(9)( 5) 10( 7)( 6)
Efectúc las multiplicacioncs indicadas:
101.
104.
107.
110.
113.
4(d
2)
5(3d
4)
12(3)
ri)
B(3b 6)
2(3d
b
I)
102.
105.
103.
lll.
114.
3(b
2(a
7(a
2(a
9(o
5)
+ 6)
8)
b
4)
+ b
1)
103. 8(2a
106.
109.
6(o + 7)
2(4
So)
112. 3(2a
115.
3)
3(o
b + 6)
b
2)
2
DESARROLLODEIOOHJUNTODELOSIIÚIHBSREALB
División de números enteros
De la multiplicación se tiene 4 >< 6 = 24. Cuando el número 6 se multiplica por 4, el
resultado es 24. Dicho número se llama cociente de 24 dividido por 4. En simbolos,
escribimos 24 + 4 = 6, o bien
= 6. El simbolo + se lee “entre” o “dividido
por" y significa división.
DEHMCIÓN
Si rr, b. c E I con b 1* 0 y d = bc, enton
CCS H
b
_ C_
Cuando 3; = c, el número o se denomina dividendo, b es el divisor y c o % se llama
cociente. El cociente % también se denomina fracción: e es el numerador v b el deno
minador de la fracción. A veces, nos referimos a rr y b como los términos de la fracción.
ló
l_ ï=8
yaque
2.
21
†_ ;¡ = 3
3.
%=
9
4. _T“= s
2><8=ló
puesto que ( 73(3) = 21
dado que ( (5)( 9) = 54
saque 3( s›= is
NOÍB
_
_
__
El cociente de dos ntimcros positivos o dos ne
gativos es uno positivo. El cociente de un nú
mero positivo dividido por uno negativo, o
bien un número negativo entre uno positivo
es un número negativo.
Cuando una expresión contiene inultiplicaciones y divisiones sin simbolos de agrupa
ción, se efectúan dichas operaciones en el orden que aparezcan.
2_2
Elfifilbïllfiflfldldiêflføfds
33
l_6><2+4=l2+4=3
2.
24( 3) : 9= 72 : 9= 8
3.48 s 8><2=ó>t2=l2
4.96 : ( (›)><8= 16><8= 128
5.104 : 13 1 2=8 2 2=4
Cuando una expresión contiene las cuatro operaciones aritméticas sin simbolos de agru
pación, se realizan las multiplicaciones y divisiones en el orden que aparc; :can, antes
de efectuar las sumas y restas.
l.
36 I l2+6=3+6=9
2.
l6+8 4=2 4= 2
3. 7+28+( 7)='i+( 4)=7 4=3
4.
27+9:›<3+2><8 8=3><3+16 8
=9+l6 3=25 8=l7
5.
32 : 4x'2 6 : 2+4= 8x2 3+4
= 16 3+4
= l9+4= 15
Si la expresión contiene simbolos de agrupación con solamente números especificos en
su interior, primero se llevan a cabo las operaciones incluidas en dichos simbolos.
1. (21 .t nss+4(s v;=(z4)+s+4( 2)
=3 s= 5
2.
72 i ( 8)x2 4+(6 4)=( 9)><2 4+(2)
= 18 2
= 20
El cero y la división
El producto de cero y cualquier número ri E I es cero.
()><5=0,
O( 6)=0_
2 I DESAIIOLLODELC OUJUITODELOSNÚIIHOSIEILES
La división se define a partir de la multiplicación:
É =4
porque
2›<4=8
Y
% = 3
ya que
at 3) = ts.
_ _
0
.
.
Constderese š ; se busca un numero a E I tal que 8 X o = 0. Este numero es el cero
_
_
4
_
Ahora bien. consideremos ~ò ; en este caso buscamos un numero o G I tal que 0 ><
4.
H
Tal número a no existe, puesto que 0 :›< tr = 0 para todo a 6 I.
_
. .
0
.
Constdérese por ultimo H; ahora se busca un numero b E 1 tal que 0 x ¡J = 0.
Este enunciado es cierto para cualquier número b e I:
0) t4=Ú,
0( l2)=O
0) <0=0.
Es decir. b no es un número único y un cociente debe serlo.
Por consiguiente, para cualquier número u af 0 se tiene:
0
= U
¿J
o
Ó
o
U
no está definido
no es un número único, es indeterminado.
observación
Puesto que g no está definido cuando q =
0, todos los denominadores de las fracciones
se supondrán diferentes a cero.
Ejercicios 2.20
Obtenga el valor de cada una de ias siguientes expresiones:
II
O
I
U
Itl i le ¢\t.H\¦›I.nH I
56 : 8
2.
24+( 6)
6.
l6~r 8
10.
18 1 ( 9)
98 : { 14)
54 + 9
3. 48 I 16
4. 51 : 17
20 : ( 4)
7. 48+( 8)
8. 57 : ( 19)
35 e 7
ll.
36 +4
12.
52+ 13
14.
36+( 4)
IS..
63+( 7)
17. 2x8 +4
18.. 3x14 e 7
2.2
Elfiflfflllfllflflfllfiibifffifflfi
19.
IO >< 6 +
22_
25.
16 >< 9 :
lo +
28. 20 +
31.
ut
› 6)
I
XX t _›ro
43 + s_n r= S}><3
22 +11 >=I( 4)
34.
37. 43 + 4 + 6
40_ 49 e 7 : 7
43. 36 6 + 6
46. 64
32
lo
49. 24 + ( 6)
52. 84 + ( 7)
55. 24 + 12 + 6
_8 ><5+l0
18 X 4 : ( 8)
28% _ 30 2 6><5
29. 18 2 ( 3):›<2
32. 32 fe ( 2)><:8
35.
38.
41.
44.
47 _
50.
53 _
56.
59.
62.
65.
68.
71.
se
21.
24.
27.
30.
33.
24><4 : __3)
32><
18 1 6
54
l5+
3)
lo :
72 Lg_.t ooooU|>< __. _7'iï
be I. t><)<"'t.J"¬r"~
54
: 9><{ 4)
96+ 3+3
3 6.
39.
40 8+2
24. 8 +4
42. o0+ l0+5
3
"H F'
45. i6 : 16 8
48. 72 1 9 1
98: I4 7
¡Z
Sl. 68 +( 17) 17
32 ( 4)
54. 12 i 9 5 3
6+ l2+4
57. 18
l2+6
i5+ 20+5
60. 56
I4 +7
27 18 e 9
58. 16
3 : 4
63. i4+7+( 7)
i6+ 4+( 4)
61. 9 + 6 : ( 3)
66. i3+26+( 13)
9+ 9 : ( 9)
64. 18 + 12 2 ( 6)
69. 32 16 + ( 3)
20 10 + ( 5)
67. 12 6 + ( 3)
72. 55 33* ( ll)
42 28+{ 7)
24 1 ( 6)
70. 48
74. 28 +?+l5+5
73. 6 1 2+9+ 3
76.
6~: 2 24 : 8
75. 48 : lo 4><:2
78. 16 e ( 8)+20+4
77.15 2 ( 3)+B I 2
$0_
20 : 4 Ó( 5)
79. 18 + ( 3) + l4( 2)
82. 3+2> (4 6 e 3><3
81. 9+3><2+7:›<8 3
84. 36+9><2 15 + 5><3
83 _ l2+4><3 8+4><2
86. 8›<6+
5(3
7)
85. 27) :3+9+2(o 4)
Kw I J 8(l2 7)
87 _ 24:›<5+l2 i0(6 3]
88. 64+
_ 2(7 55 Ch + (4 IO)
89_ 7+3(8 S) 4+( 2)
_ 4+3( l2)+(6 34) I ( 7)
91. IS 2( 5) (20 4) 2 8
12)
_ (5 2l)+( 8)+3(9 I)
IOÍS
93. (26 + 2) : ( 4)
.36 I ( 6)><6 6>~' 23 l
95. (4 l4)+( 2) 7(2 3)
_ 2(}( 4) : IO o+(5 7)
97. 8+( 4):›<2 2><6 5
_ '?2 : ( l8)><4"(3 l2)+( 9)
99. l8+3> 16 '(7 35) : 14
1
Gn
!
tt
¡_
F
í
_
šeaees
Factorización de números
nenutctón
El conjunto de ios números primos consta de
todo aquel número natural mayor que 1 que
sea divisibic únicamente por él mismo y 1.
Los números primos menores que 100 son 2_ 3_ 5, 7, ll, 13, 17, 19, 23, 29. 31, 37
41. 43. 47. 53. 59.. 61. 67, 71. 73, 79, 83, 39. 97.
osrtmctóu
Un número natural mayor que 1 se llama
compuesto si no es primo.
2 I DE$_IEIfll_I_ODEI_CO#JUflTODEI.OSI|ÚIIHO$IEÃLE$
Todo número compuesto puede expresarse como un producto de primos en una y sola
mente una forma, sin tener en cuenta el orden de los factores_ Este enunciado se conoce
como el Teorema Fundamental de la Aritmética. Las notas siguientes son útiles para
factorizar un número compuesto en sus factores primos:
NOÍ3
Un número es dieisible por 2 si termina en 0.
2, 4, 6, 8.
El número 714 es elivisiblc por 2, ya que termina en 4,
NOM
_
_ _ _
_
Un numero es drrtstble por 3 st la suma de sus
digitos es divisible por 3.
E@ ist nútnem szs es diva. tinte por 3. cada que ta suma de un _ digitos es s +
2 + 8 = l5_
NOÍEI
_
_ _ _
_
_
Un numero es titvtstble por 5 si termina en O
o5_
EI número 930 es dìvisible por 5, puesto que termina en t)_
Para encontrar los factores primos de un número dado, se empieza con los números
primos ett orden. Se verifica si ei número es tlivisibie por 2: si es asi, se divide por 2
y se obtiene ei cociente. Si este último también es divisiblc por 2, se divide nuevamente
por la misma cantidad, 3' asi sucesivamente, hasta obtener un cociente que no sea divisi
bie por 2.
Luego se analiaa si el cociente es divisibie por 3. Citando se haya dividido por 3
todas las veces posibles, se verifica si el cocieme resultante es divisible por 5, 3; asi se
continúa con los primos mayores sucesivos hasta que el cociente sea I. Todos ios divi
sores obtenidos son los factores primos del número dado.
wm
Encontrar todos los factores primos de 780.
SOLUCIÓN
I
780
I
'Í
n
390
195
65
+
+
+
13
+
I
I
*"~.I'LúI*~JLH
l¬~J
2.3
B conjunto de los números raclonates
37
Por lo tanto, los factores primos de 780 son 2, 2, 3, 5, 13.
Estoes,'?8{ì = _' 1 2' 3 5 13.
Nota
Es posible concluir la prueba de divisibilidad
de un número dado cuando se llega a uno pri
mo tal, que al multipliearse por si mismo, da
como resultado un producto mayor que el nú
mero dado.
I. 59 es primo y las únicas pruebas que se requieren son las de 2, 3, 5 y 7_ El número
siguiente que hay que probar es ll, pero ll X ll = 121, que es mayor que 59.
2. En el caso de 1 19 se analizan 2. 3. 5, 7 y ll y se finaliza, ya que 13 xt 13 = 169.
Ejercicios 2.25
Escriba ios números siguientes en terminos de sus factores primos.
1.
5.
9.
13.
IT.
21.
25.
29.
33.
37.
41.
45.
12
24
36
44
50
64
73
96
131
157
225
396
2. 16
6. 26
10. 38
14. 45
18. 52
22. 63
261 30
30. 108
34. 137
_ 168
_ 252
_ 468
aaa
3. 18
7. 28
ll. 40
15. 46
19. 56
23. TU
27. 84
31. ll2
35_ 144
39. 176
43. 344
47. 504
4.
B.
12.
16.
20.
24.
28.
32.
_
_
_
seca
20
30
42
48
60
72
92
ll3
156
216
360
319
El conjunto de los números racionales
Dados rr, b ef. I, li se O, el cociente
no siempre existe en el conjunto de los enteros,
por ejemplo cuando a = 2 y b = É*"'b et Esto pone de manifiesto la necesidad de ampliar
el conjunto de los enteros.
2 › iiesmtottooacoruunroosiossúnaoseiaitas
DEFINICIÓN
Cuando el conjunto de los enteros se extien
de para incluir todos los cocìenies de la for
ma
donde p, q E 1, q ri 0, se obtiene el
conjunto de los números racionales, denota
do por Q.
Q={å
p,qE!_q=›t=0}
Observamos que 5 en Q es igual a o en ¡_ Del mismo modo gg en Q es igual a of
I
2
en ¡_ De este hecho resulta que las representaciones fraccionales de los enteros no son
únicas, lo cual coiiduee a la siguiente definición.
DEFINICIÓN
ff
f'
._._t¿ .ƒ
5 si y solo
Si q 3' É E Q, t.ntont_es Q
si ps
_ _ ._
_
qr_
_
ii
De la definicioti se tiene que si ig 6 Q 1.* K et I, k si 0, entonces % = 1% _
,z..Q
tf1
'3_5(3) is
) __21
,' ;t4 _ 1'›<:›*
st)
12
__
nota
_
Si
4
_
¡J it Q, entonces
ff
oerimctoiv
Las
_
fracciones
E _
rr
R¿›
t iH
i
¡H
Iii fi)
B 3.'
se llaman
fƒ
kr;
nes equivalentes.
ip
fi
_
fraccio
Citando la fraccion % se escribe en la l`orina
It 1
_
_
_ _
¡á , se dice que esta en terminos mayores.
I
_
Si
P
la
_lraccion
_ _ RV
kit
se expresa en la forma
_
_
É, donde p y q no tienen factores comunes,
se considera que esta en términos mínimos,
o reducida.
2.3
Erconiuntodelosnúmeresracionates
39
5
Escribir utia fraccion equivalente 7 con 42 como denominador.
SOLUCIÓN
Puesto que 42 = ( 6)?, se tiene que
5
l 61(5)
30
7
i aim L 42
Expresar la fraccion
SOLUCIÓN
72
8 zx 9
L
30
_
.
en su forma reducida,
9
í
8 >< IO
i
IO
Reducción de fracciones
DEFINICIÓN
El entero mayor que divide a un conjunto de
enteros se denomina su máximo común divi
sor to factor) y se denota con la abreviatura
M.C_D_
El máximo común divisor de un conjunto de números contiene todos los factores pri
mos que soii comunes a todos los miembros del conjunto, y a cada factor primo lo con
tiene el niiiiimo número de veces que esta contenido en cualquiera de los números.
Encontrar el M_C_D_ de los números 60, 72, 84.
SOLUCION
Primero factorìzamos los números eii sus factores primos:
so = 2 2 ~ 3 5
'72 = 2 2 2 3 3
84 = 2 2 3 7
El máximo nútiiero divisor es 2
2
3 = t2_
Cuando el máximo común divisor de dos números e y b es 1, decimos que ambos son
relativamente primos. El M_C_[)_ de 64 y 75 es 1. Por lo tanto, estos núrrieros son rela
tivamente primos.
2 0 OESIIIIIOLLO DEL CONJUNTO DE LOS NÍIIHOS REALES
Una aplicacion del M_C.D_ es la reducción de una fracción a sus terminos mini
mos, empleando la regia
.ffcsc
M
e
24
Reducir la fraccion
SOLUCIÓN
Í a sus términos minimos.
Se expresan 24 y 36 eii sus factores primos y luego se obtiene su M_C_D_
24 = 2 2 2 3
36 = 2 2 i 3 3
(Í.¡CD== 2 2 3 = 12
P
_ _
§_|r2_g
GI' CÚHSIQUIEULC
'
3
3
_
._ 252
_
_ _
Reducir la fraccion 2 83 a sus términos minimos.
sotucioni
zs2=z›z 3 3 i
zss=z 2 2 2 2 3 3
iu.c.n. =2 2: 3 3=3e
Por lo tanto,
252
288
=
36 ~ 7
36~8
=
7
8
Nota
I* J' U1 I* JI
ã=
I* ¡É
I* J
Es posible reducir una fraccion sin calcular el
ii i_C_ D. Se factorizan ambos números v se di
t ide tanto el numeraclor como el denomina
dor por los factores eomuiies_
=
6H
šh I
í
$J
2.3
El Cønittnto de los números racionales
NOM
9% significa (rr + b) + t'
l_
4+9_g
s
s
3.
ì†lZ'___'_5._§
9
215 4_Q
'
iz "u
"9`3
NOI.'3
5% significa rr : (b + c)
I.
3.
3+4
7
'v 3_4
_J__JL__i
9 w 40" 5
NOL3
% ïiå significa (u + b) : (e + df)
1.
3.
Observación
s+9=g
4+3 r
ir+4_ä_3
is s`7`
216 4_3
'is 2'n
,
__ _,
_
Reduzcase siempre la fraccion linal_
EÍEÍCÍCIOS 2.511
Encuentre el niimerador o denominador faltante:
i
l'2`s
i
* s'm
i
2's`E
2_ _
5 3`u
i
1 s_n
3
a 4 5
2
iiesiitiritottoost conwnroestosnúirseosnsniss
5
°'~ 'rio
10.
í_4_2
ti
13.
5
7
lO
16.
4
=
9
I6
ir. í=_
13
65
22.
25.
5=_
ts
4
s
S
36
28.
;4 _.
31
_L=:_g§
'
34'
7 ` se
13
7
is _ I 64
14
17
20
2
is :ía
É E
7
É __ is
4
É
9
Z
s
26
29
2__.3í
13"
Li
3
¿___
ti
44
.L2 _;3
3
.15 18
40
_
7
ll
3
2
T: 54
4
l_.._¡Í
s
9
32
'
1:
35
[6
27
3_
23
.1 2
iii
4
ll
28
__Í5___.._'2
12
í
63
_; 7*.
is
66
í
Iï
:_§
iz
36
'
:is
ní
¡_
43
Reduzca las fracciones siguientes a sus terminos tiiininios_
4
37. iz
41. 12
su
45. El
40
49. É
to
se
s.
3 12s
í
is
E
20
39.
Ã
12
40
2.
21
43_
'_6
64
44
E
ss
É.
is
47.
É
:ts
48
.É
72
Sl.
22.
ies
52
'ji
ire
55.
E
56
360
43
se
.É
ios
Éië
360
Obtenga los valores de las expresiones siguientes:
57_
2 + ll
_
2
6 + 9
60. í
6
58.
3
+4
_
3
6
I7
61. 1
3
S9
_
7 + 4
í
4
14
30
_ *
62
7
2.3
El conjunto de los niinieros racionales
m_ëÉ%Í
66.
M.
s
is
w
67.
9
n
rn m 1
3
13. iz n
s+r
76 _
30
ll
'T
s
su EÍÉ
s
12. 4 _ 16
5+3
'7_
5 3+'
73.
s
s
m_
3_4
B4.
r
m
m. _?
9
1.
¡is m
m
74.
io w
M
9
1_
7 u+3
6+4
13
20
3 + 5
9
5
s
m_ s
l4+|0
12
79.
IO 4
5 2
80.
m_
6 22
3 ll
m
iz
m.7 3
s
m
sa ￶;
25
36
5 9
85.
14 6
7 3
Suma de números racionales
osriivicióiv
Si
¡J
Q
r
'II
¿I
E Q, entonces
p
¡I
+
r
pi r
fl
ff
Es decir, la suma de dos números racionales con un mismo denominador es un iitimero
racional cuyo numerador es la su ma de los numeradores y cuyo denoiiiinador es el de
nominador común.
¡_â,5
2+å 1.
2
3+§___å_l_
' U
3'_
is" U 'n
5
' m"is"ie
m
2
La definìcid tt de sunia se puede extender al caso de ntimeros racionales con denomina
dores distintos.
Puesto que
=
y
=
2
omuitottoustcoiininroosiosirústuositenies
r
seticne
s +
r
%+%=%+ 3 š= F%Sf ' Y _
1
I
El número qs cs un múltiple común de q jr s.
5+ 1: Q + mm no _+ g1_¿i_i¿
1 6 no (tito ' mio
24 + 7 U 31
`
42
definicion
`4i
El menor entero positivo divisible por cada
uno de los ntiettibros de un conjunto de ente
ros se llama sti minimo común múiliplo v se
denota con la abreviatura iii_c_iu_
El miitiino común tnúltiplo dc uit conjunto de enteros debe contener todos los factores
primos, cada uno de ellos el maximo número de veces que esté contenido en cualquiera
de los números.
Encontrar el minimo común múltiplo de 12, 16, l8_
SOLUCIÓN
Se factotixan los números en sus factores primos:
l2 =
i 1. .
l6 =
18 =
m.c_m=
I¬ Jl' ›.I ”~J'_ i
il_› .li 1. tir ._›t_l ›i~Í_›t_` _ 2
3 3=I44
Obtener el niiiiimo común múltiple de 36, 48, 60.
SOLUCIÓN
Se factorizan los números en sus factores primos:
36 =
48 =
$0 =
m_c_m =
I' JI”¬Jl.'* JI* J
i¬Í.~_¬i~Í_›i~Í.›iÍ.› i1.»_L›iÂ_›«_` _› il_› 6. _Í ›_ `_ el»eli
¿__
5 = 720
El minimo común múli.ìplo de los dciiominadores de un conjunto de fracciones se de
nomina mínimo común denominador 3.' se denota con ia abreviatura nt_c_d_ (N. del T.
con minúscuias para distinguirlo del M_C_D_, que es ia del máximo común divisor.)
2.3
Hconjuntodelosnúnierosracíonales
45
Para suniar fracciones con denominadores diferentes primero se halla el minimo
común denominador de las fracciones, Se escriben fracciones equivalentes con el m_c.d_
como su denominador y luego se conibinan uiiliitando la regla
e,:=a:¿
¿I
¿I
Q
Efectuar Í ¡E + F2 + ã
SOLUCIÓN
El minimo común denominador es tti_c_d_
36, Etitoitccs
l+í,2=ä+E+å
12 ts 9 ss se se
_2i+w+s_39_n
"*ï__'š"E
En vc: i de escribir fracciones equivalentes con denominadores iguales al minimo común
denominador m_c.d_ y luego combinar los numeradores de las fracciones, se escribe una
sola fraccion con el m_c.d_ como denoininador_ Se divide el m_c.d_ por el denominador
de la primera fraccion y luego se multiplica el cociente resultante por el iiumerador de
dicha fraccion para obtener la primera expresion del numerador_ Se repite el procedi
miento para cada fracción 1.* se conectan las expresiones obtenidas empleando los sig
nos de las fraccioiics correspondientes.
Combinar É +
SOLUCIÓN
7
+ %
m_c.d_ = 24
§_+:i'_+_l_l _4(5)+3(7_)+¿2(lI)
6
8
12
24
_2t)_†2l+22__6§__ë
24
`24' s
sustracción de números racionales
_ _ _
_ __
_
"
De la definición de adicioii o suma se tiene que ig + qp _
'
U
«P +¿¡É p) == 5 = 0.
2
ossiutitotio ost ixwuiiiro es ios uúirecos rentes
,_ _
“P
_
_ _
P
Por consiguiente, T es el inverso aditivo de
También 'É
PDI' lO
% = O; o sea, rr
,Ieifllü,
_
P
fra
I?
2
2
PDI' CJEIUDIO, “T 2
es el inverso aditivo de
ri
í_q _
2
sí
_3 _
l_a sustracción o resta de números racionales se define en base a la adición. Esto es,
p
ï.
r
í
¢?
_
p+ r
:P
¿I
í
í
fi
ii'
p+( r)
:
p
Li'
r
í
'fi
fi
También
p
r
q
rr
:
p
ti
1
r
_
S
pts) + (q)( r)
.=
í
els)
(cif
osririiciolv
ps + q( r)
_ '
ft Y
__ ¡_t_ r
Si q _ q
Ó
í
ps
qr
=*_i“
fi F
r
5 C Q, entonces
I
H
_.¡Í_r__íp#'
c
Ef'
¡å_Í._3__"7 ;4_ _l
's
2
3"
s
` s _
2__!_=§(å)___`(5)
5
2
51(2)
,
9
Lfectuar ¡Ó
SOLUCIÓN
2
ç_5. .L
IO
10
5
12.
El iniiiinio común denominador es
in_e_d_ = 48.
ï_5___3(9› 45_s¿_27 2o_1_
te 12
is
" «is "vis
fi
.fl__Í____P""'7f_
yc
r”
es
2.3
Bconiuntodelosniirnerosracionales
5
5 +
Combinar É
SOLUCION el m.i_ .u.
= 36.
l_§+¿§Lnn nn+ani
m 9 m
M
“_ 2U+_ë_§_š
36
36
4
Eiercicios 2.35
Encuentre el miniino común múliiplo de cada uno de los siguientes conjuntos de numeros
1
2
oeI" .II
'7
10
I3
16.
19.
IIIg!
l
8
Il.
14.
17.
20.
ui'LJ1
IImf
.i'.rs
" `_1*'“0,
?`*I “N 20, 30
14, 21, 28
52, 65, 78
Ln O\Lidca
.J
I* JI¬ J
'°?” 21
PPP " '25,
3, l2_ I6
12, 16.24
24, 36, 43
60, Sil, IDO
t_,i ¡___
PNP? nos0,
IS
12_ IS. 24
30, 45, 60
56, 64, 72
Efectúe las siguientes operaciones con fraceioncs y exprese cl resultado en forma reducida
22.
26.
30.
l
5
2 ri
ll
6
_
I4
13
I E
I
š
n
M_
9
38.
2
5
31
â l
'e
s
39.
5
6
É
4I_ 7 + +
7 7
9 U 7
M w+É É
9
É
27 .
2
cl
7
7
351616
3 i 3+'á'
20
24
í_E
* C3' il' 'L.rJLIi
i
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3 3
28_ É + Í
9 9
1
32 2
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M m`is
23 .3 lrš
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U n+n
42.
4
4
5
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J +2 t 3
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í+_.__,_.í,
45.1 1+ 2 L ã
16 16
lo
3
Il
s
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1 _ w _s
w i9+w
n 3
9+9
7
ll
10
ll
___1 .í..,.+,ì._
49
2 Ii DESAIIOLLOOELCONJLINTODELOSNLIIEROSREÃLES
6416
l5ll
Si r for
7
3
ll
5.3.
'stats
9 ¿"¿'s'
l_l§_
“ '24 24
7 i
1
3
1
2
60.
2
3
É
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5
64.
É
3
1
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2
2
82
6.3
â
s
Í
6
56_
72.
¶
+
33.
86,
2
3
sin E' "
95 _
98.
101.
0'ten*ir.U'4
1
4
66.
É _l
4 3
M. s§__ 14
Í
s
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l
n
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É
4
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s
_
iz 9
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i
2
4
É
6
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6 s
37.
Í _fl
s Q
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É ,Í
6 9
9 6
+
IS
asu 1
1 + § _Q
e 9 IÉ
É 3 7
e+s u
sI
4 7
n ii M
_ .i.i._.E,,í_í_
90.
H
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2
1
3
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š_l+å
4 s s
7
8
l
12
2
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l
2.
1
_. 4.
'¡T_f, i
i,2_å
2 3 4
+1
3
4
ri5 "
l
1
É.. EL
4 14
71.
3
7. _ I2
3
i
+1
_
88'
|
*É ii I
í
2 1
s n
I* JI* '
9'.
3
96.
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2.3
El conjunto de los números raolonaies
es
Multiplicación de números racionales
oeriiiición
,p
Si
r
_p
r_
¡Y &Q,< .ntoncesï '>< ?
pr
T5 _
Es decir. el producto dc dos números racionales es un número racional cuyo numera
dor es el producio dc los respectivos numerodores y cuyo denominador es el producto
de los denominadores respectivos.
2 5
2x5
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1.
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2'âxjÉ.=
5
21
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5(2l)
I05
7 X I5
7
División de números racionales
DEHMCIÓN
Si el producto de dos números es igual a 1.
se dice que los números son inversos multi
plicalivos o reciprocos.
P
Q'
PG
Si. .iiQ E Q y Pqafiüenioirs
=_
,
¡ces q ><¬~
p
gp = 1.
_ _. .
P
G'
.
Por consiguiente.. H Y B son rcciprocos.
La division de números racionales sc define a partir de la multiplicación.
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Si
r
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P
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De modo que dividir por una fraeciòn es equivalente a multiplicar por el recíproco de ella.
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Cuando las operaciones con fracciones son multiplieaciones y divisiones, primero se
cambian éstas últimas a multiplicacioncs. Simplìfiear el producto es escribir la respues
ta como una fracción en forma reducida. Se Factorizan los números tanto en los nume
radores como en los denominadores de las fracciones. Se consideran los numcradorcs
como en solo numerador, y ios denorninadores como un único denominador. y se reduce.
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4
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2.3 Hwnluntodelosnónicrosraclonaies
Ejercicios 2.36
Efeciúc las operaciones indicadas y simplifique.
2 3
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(35 se
2
oesniiirotto oe: oonuiinfo of tos ivúnimos ¡entes
Operaciones combinadas
Los ejemplos siguientes ilustran como encontrar el valor de una e: :presión aritmética
que contiene operaciones combinadas.
1l+§x§=¿+ie›<p3=¿+4_1(1_›±2_@
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9
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24
`
24
` 24
Efectuar las operaciones indicadas:
2+±2_±
3
2 9 6
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2+t(2
3 29
1)_2 i(14 3
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2
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18
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3 36
36
_m+n_§
se "36
Efectuar las operaciones indicadas:
ll _ 1 _.. 2 _ _!
iz
12 `
3
is
2.3
El conjunto de los números racionales
SOLUclóltl
11
_.._.._...
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ll 24
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13
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Efectuar las operaciones indicadas:
1 22222
is 32 (9 411)
solución
l_Q_L(2__E)___1_¿›___ 32 si
is 32's 4s"|a 32'
144
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is
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32 19
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Ejercicios 2.3D
Electric las operaciones indicadas 3; simplifique:
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GG .I '¬ . _ _, . v"
Forma decimal de los números racionales
El sistema hindú arábigo es un sistema de valor relativo o posicional. Se usa un punto
decimal para indicar el valor posicional de un numeral (simbolo numérico). Dicho pun
to separa los valores relativos menores que l de los que son iguales o mayores que l.
2.3
Elooltlllntotlelosiiúnierosraclonales
55
Cada valor relativo es ¡ 0del que sigue a su iaquicrda, El primer numeral a la izquierda
del punto decimal ocupa el lugar de las unidades. El segundo a la izquierda de dicho
punto está en el de las decenas. El tercer numeral a la izquierda del punto decimal se
encuentra en el lugar de las centenas, etc. El primer numeral a la derecha del punto
decinial ocupa el de las décimas. El segundo numeral a la derecha del punto decimal
está en el lugar de las centésimas, etc.
De esta manera el número 325.68 significa
+
l
'l'
'fr 6 XT Ó + 8
1
X fm.
Cuando no hay numerales a la derecha del punto decimal, iiorrnalmcnte no se escribe
dicho punto. De manera que 674 es igual a 674.0 y significa 6(l00) + 7(l0) + 4(l).
Dado un número decimal, podemos encontrar su equivalente fraccional, también
llamada fracción común como se muestra en los ejemplos siguientes:
l
101
. .25= l><m+
l
10
2
100
2
1
1
><l00+5><l00Ú
_
_
5
1000
100
1000
20
IOUO
5
IOOO
125
1000
Asique
0.125
125
¡O00
l
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2. o.es=
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225
si
.
_
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=
3 2 25 me 4
nos
:in
.
,
=_=
4 '2 68 ion 25
Dada una l`raccit'in ctiimin, es posible obtener su decimal equivalente empleando la ope
ración de división larga. A partir de ésta hallar:
I.
l
* = 0.5
2
3.
3
25= O12
.
2.
l
= 0.25
4
4.
6
ï=
125
0043
_
Al usar de nuevo la división larga à = 0.333: la raya colocada arriba del último nu
meral indica que dicho numeral se repite infinitamente. Obsérvcse que % sé 0,333.
.
l
. . _
Cuando se escribe T = 0.l428S7l 42857 la raya superior indica que el grupo de nume
rales se repite en forma infinita.
2
oesneeouooaconitiiwooetosntiuatosneates
Nota
Cuando el denominador de una fraccion co
mún es un múltiplo de 2 o 5, la forma d
mal finaliza; delo contrario, se rcpetira cier
to grupo de números indefinidamente
Algunas veces, especialmente cuando se trabaja con números en forma decimal
sc requiere redondear ari miiiiero a una cantidad determinada de cifras deciinales
Para redondear un número se observan las siguientes reglas
l. Si el priiner dígito de la parte que se va a descartar es menor que 5, se eliminan todos
los digitos de la parte descartada.
6.2743 = 6.274
a tres cifras decimales
2. Si el primer dígito de la parte que se va a descartar es mayor que 5 o bien si dicho
dígito es 5 y los dígitos restantes de tal parte no son todos cero, se incrementa el
último dígito en una unidad.
57.261 = 57,3
8.9'?53 = 8.98
a una cifra decimal.
a dos cifras decimales,
3. Si el dígito a descartar es 5, se suma uno al último dígito retenido si este es impar,
de lo contrario, se deja sola la parte retenida.
2.475 = 2.48
7.25 = 7.2
a dos cifras decimales.
a una cifra decimal.
EÍGFCÍCÍOS 2.35
Obtenga la fraccion común equivalente a cada uno de los números decimales siguientes
i*"':"
É
FP
'Fien
0.04
324
18.336
!`¬'
6.
10.
14.
F3 ï
0,025
7 .05
11.064
5'"
7.
ll
15.
P Si
0,003
13 45
l.l44
es
8.
12
16
0.36
0.334
9.16
2.884
Escriba las siguientes fracciones comunes en forma decimal:
17.
É2
21.
9
16
18.
22
24
L3.
ió
19..
2
23.
2
5
3
Z
s
l
25
Eioonjtintoilelosnúineresmlonales
ll
25
2
e
l
12
É
33
El
25
2
7
Ã
15
2.
sr
26
30
34
33
__3_
125
É
9
E
33
Él
32
3.2.
125
1
11
22
33
L
lei
Redondee los siguientes núiiicros a dos cifras decimales
9376
4.6371
9.4523
53.635
24,385
42
46
50
54
58
7.7815
68.1782
37.7352
32,1 15
69.345
l .S946
26.2573
3.6151
21.595
33,925
46.8529
74.139
6.3454
18.355
42.765
Números mixtos
DEHMUÓH
Fracción propia es aquella cuyo nutnerador
es menor que su denominador.
Fracción impropia es aquella cuyo nuinrador
es mayor o igual a su derioniiriador
i
1.
u
al
ii
1
Considereinos la traccion impropia †. El numerador se puede escribir como la
suma de dos números: Un número es divisible por el denominador y cl otro es menor
que el deiioininador.
__'l__14+ i
7
7
Usando la definición de suma de fracciones,
" ii
ir
"'¦
Ii
CJ" l
c
.i›+a
si.. obtiene
l7
*'_7 *
__
14
'_T7¬
'l'
3 __
2 +
3
ï.
2
DESIIIULLDDELCGIJIITODEIGSHÚIHGSIEJILES
Cuando se trata con núineros especificos se acostumbra escribir 2 +
como 2 ~
lo cual se llama número miitto.
l7
De esta manera †
_
3
2 7.
El número I7 se denoinina dividendo, 7 es el divisor, 2 cl cociente y 3 el residuo Obser
vese que este último siempre es tiienor que el divisor,
Para escribir una fraccion intpropia como niimero mixto, se emplea la opcracioii
de division larga. Para escribir %38 como número misto, se tiene
I9 cociente
divisor 23 i 448 dividendo
.ë_
21s
E
11
448
Por lo tanto, 2 Í
residu U
ll
19 Í
Para convertir un número mixto a fraccion coinún (dc la adicion de fracciones) se ticni.
l25_l2+5
8
1
8
I2:›<8+5
8
101
8
De modo que para convertir un número mi: no en fraccion, se multiplica el cociente por
el divisor, y ltiego se suma el residuo al producto resultante. Se escribe la suma como
cl nurnerador de la fraccion y el divisor como el denominador.
Ejercicios 2.3F
Escriba las fracciones impropias siguientes como números mixtos:
l.
5.
9.
2
2
É
3
322
s
13,
ÉQÉ'
13
17
_@
'21
Í
4
ÉÉ
6
É
5
É
9
É
7
L'
s
152
4
É
ii
É
12
14.
ìïìë
15
22
te
.É
la
18.
E?.
23
Íìå
19' 29
22':
3:1
2.
6.
10.
2.4
ltleineros ¡nacionales tf reales
59
Convierta los números mixtos siguientes en fracciones comunes:
21.
2
l
3
22.
3
2
5
23.
6
2
7
25 ' 27 354
26 ` 31;6Í
27 ' 15%ii
29.
3
l2a
30.
2
313
31.
4
41:
33.
3
ÉIE
34.
13
IÓE
35.
9
läfi
37.
I9
Büš
38.
8
IÉ27
39.
3
3632
24
.
8
39
23 ' 2537
32.
9
lfií
36.
li
23'@
40.
25
Zfiïl
Números irracionales y reales
Dado un número racional cualquiera, podemos encontrar tin pttnto en una recta nume
rica que es la griilica de tal número. Sin embargo, dada una recta numérica, existen
infinidad de puntos eii ella cuyas coordenadas no son números racionales.
En la Figura 2.10 se muestra el ejemplo de un punto en la recta cuya coordenada
no es un número racional. Se traza la recta numérica OX con el punto 0 como origen.
Se toma el punto /l como la grafica del número l. En A sc traza A Y perpendicular
a OX. Se toma B en .fl Y de modo que AB = OA, Se unen los puntos (J y B y se toma
el punto C en OX de tal manera que OC = OB.
es
'H
\
\
1
I
o
,ii c
X
FIGURA 2.10
La coordenada del punto C no es uri número racional. Su valor se Ilatna raíz cuadrada
de 2 ¿v se denota por i.'2.
DEHMCIÓN
Un número que no pueda ser expresado en la
forma %, donde q se 0, p, o E I, se denomi
na número irracional.
2 I* DESIIRROLIO DEL CONJUNTO DE LOS IIIÍIIHOS REALES
nsruwclóu
Nota
I_.a union de ¡os números irracionales y racio
nalos constituye cl conjunto de los números
reales, que se denota por R.
Supondmnìos que dada una recta numérica,
cs posible graficar en olla cualquier número
real. Además, dado cualquier punto en una
recta numérica. existo un númflo real que es
la coordenada do dicho punto.
valor absoluto de números reales
nsnmclón
El valor absoluto do un número nf, denotado
por Iul _ es uno de los dos números + a o a.
el que sea se considera positivo, y el núm .=:ro
0 si u = 0.
_
_
a
si a 2 0
Es dcclr.
|a| =
u
si a si 0
Por consiguiente. |u| 2 0 para :odo a E R.
1. |3|=3
2. | 1u|= 1 10)=10
3. |s f›|=|2|=2
4. |7
1s|= | 1 ;|= m as) = as
La distancia entre dos puntos cuyas coordenadas son a y b cs la
b|.
NOÍ3
la bI=ìb HI
|n s|=|6|=fi
ys n|=| @|= < fi›=@
2.5
valor absoluto de números mates
I. La distancia entre los puntos cuyas coordenadas son 5 y 12 es
Ii5)
(Í2)i _ i 7| _ 7
2. La distancia entre los puntos cuyas coordenadas son IO y 3 (Figura 2 li) Ls
|(l0) (' 3)] = IIO + 3| = |i3| = 13.
3. La distancia entre los puntos cuyas coordenadas son 8 y 20 es
|( 3) ( 20)| = I 8 t 20] = |l2| = 12.
4
í
ia
2
O
2
4
(1
'5
3
Í
FIGURA 2.11
I'
Ejercicios 2.5
Encuentre el valor de cada una de ias expresiones siguientes:
I.
4.
tutti”
2. |9| f
5. | e|
1 al H i
n.Uo+nf
m.p0 dia
n.U4 H
.U9 wl
*" . w td
|2|; "
|50| “
1. 201
10. 1 + ts! » 1' If
13. Lia ist 1
ts.
to + :sl
19. I 8 8|
zz. |s ts| »__
zs. | 3 t|t
zs. | 20 2o|
¿
J
sus
¶
I lla `
'flåttfld
12
15
IB
21
24
27
í
|3+Ói
1'
|23+5|
| 6+U|f
32 16| _
'2 lll
,to 30|
' t3 9|i
Determine la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son:
un .':" '1"¦'
37.
41.
451
¬.":?.i '."
Dt n É
8;
*'t:›ut
.à.n ›
_8
àfiäïä
.99
~ot~. › * .taco
7;
.tr .›
6; 16
31.
35.
2; 20
2; 8
.
7; 18
1; 16
13; 2
43.
47.
5; 6
20; “ 5
$33?É
6; 14
2 I DESÃIIOLLODHCOHHWIÍUDELOSIIÍIEROSIEALES
Repaso del Capítulo 2
Obtenga el valor de cada una de las siguientes expresiones:
1.
4.
8><:4+6><3
t5+5(it+9)
9›<7+3:><l2
l2+( 7) ( 8)
7.
ll)
_(|2..
l5+( l6+7)
6 t 4( 3)
20 8( 5)
8+| 2(3
9)
15 SÍ4 10)
20 lO"ï"("5]
10.
12 (13 4)
7 6(4)
13.
16.
I9.
22.
IOÍ 8)+
9)
6(|3
9
33 ll st ll)
44.
Reste 12 de 20
.
3.7+8(4+5)
6. 134 (8 10)
9.
12.
15.
IB..
21.
24.
3 (9 15)
l5+5( 2)
7( 3) l 6
4 + 7(7
12)
35 14 : 7
l2 8 I ( )
20
23
40+4+4
27. lt;'›+8><( 2)
25.
l8+t'›+3
26
29. 10 +5( 4) 6( 2) '7(3)
23.7 2( 3)+6(4) 8
31. 9 9( 2]+3( I) 7
30. ló+4( 5)+7(2) I
33. 6 >=: 2+3( 8) 7+( 3)
32. 13 3><5+6( 8)+lI
35. 15 5(6 l0)+4(7+2)
34. IO 5(3 6)+2(8 7)
37. 7 2(8+4) 7(2 5)
36. 9 4(5 5)+ó(2+3)
` 39. 28 ~: 4+3 3 1 4+2
38. 4 +4x4 4x4+4
4 7: 7 + 3
41. 32 + 8 x 4
40. l2+6><2 2+B><2
43. Reste 8 de 9
42. Reste 15 de
45.
Restc 16 de 3.
Encuentre el M.C.D. 5 ' el m.c.m. de ios números siguientes:
46.
49.
4. 6. 15
9.12 15
55.
34. 63. 102
6. 8. 10
8. l8.3f›
24. 32. 40
36. 45. 54
sz. 24. sit. se
48.
51.
54.
57.
7, 3.14
21.23.42
27. 36. 54
39. 52. 65
Efectúe las siguientes operaciones con fracciones 37 reduzca:
58.
62 .
5 B
ì+§
ll
2
Ó
9
"†*
70.
+
73
+
79.
63.
Sš+š5
66.
76.
59
Ó?.
+
U +
61.
7
l
4
6
2 7
7 9
' '_
M'§`š
65 n_s
10
i5
4 s
4
s_
.'19
m.
9 r
5
'aqii
6
_l
72.
6
+ _i
TS.
n
L.I'¡D¢L ' F ›'«.›J
7
.._+.7 Í
78.
FI LhG'\Lfl'L› il* J
9
n
tu
9
BL
C¦'\'l J! +1 "ide
OG 1C
m
o\ o t4cr
1
2
__+i
+
84.
14 R
UN'l J'I
'HD
U
83' 'PJ
9
7
+__
fi. t~¡l" J' Ph' *b J'
Tí
H 5
82' TE _`ts "24
~.|°`*'“'
60.
[0
_. ..|.. .í
í
I¦?\Lfl'LnJÚ\Lfl nJ'
4
+ïï.±
1.
+
7
7
m+t2
.Fi
bJ¬ J
L1 Ilëbåfdå
1f.:lLJ'IF' l.rI
ltepaeodettanftuloz
9
85' te
7
te
13
24
19 s tt
86 2 U2 3 +ì
E_E_ï
so 35 40
Efectúe las operaciones indicadas y simplifique
88.
91.
94.
18
I4
.is
X
35
27
24
34
16
20
97' Ex ts X 21
15
§É.x:2
95
_ë+(_§)
l2
46
93
7
12
16
_~>(_><_
8
28
9
7
9
22
ts
>< t
7 14
55
E st+27
8 xzt
36
92
st X 40
En _@
ss'
ss
9
26 32
s 39
12 _ ts
šš†š
89.
. ._
10
4
Wtarnxs
101
í
X
.tí
24
_ë:ë
s1'1s
38
S7
E
103.
10
64
IÓX 3 = 20
104
106.
32
6417
1
1
39
Si
52
107
¿ateos
ss' 57 13
110
_+_><_
5
4
7
w9'33f›
112.
IIS.
9
3
4
3
105
108
lll
i_Bxl
114
š+š†2
116
z+2:s
3 4't3
117
ÃÉ_ÃsÍ
119
ü_ës9
120
3
14
?
ìx É
5
t_s
tt ` 3
l
6
É
123.
'
2
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1n. àw
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+ >t
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9
3
9
26
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[5 . _
La G, .t
+
L _B
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25
23 .J "'_"'“ , n 7
131' ã`iì ¬' (as 9)
69
9
8
3
34
130.
132.
8
ššx'í7+Tš
?_5.s.i_§s.å
2s`t4`9
ía ¶,,;.1.â
27'
st
te
7 5 4
4 te ts
5 17 3
12 12 34
15. + E al
9 27 ` 3
B__?..._ì*.
s s`9
.í
í
í.
ía.
IZB.
27
8
6
5
122. 1 _ì,<§.+l
2 to 4 s
3
___t_+
124.
GDLI"I
32 4
126. _+Z(É'.._.'.§
fl'\U't
612 ts
í¡
129.
102
113
IU
ns' tt
121.
3
3
42
1,1ut_
ll
ll I4
7
11_¿:(§_n
17
l7'89
a:¿:@
1
zo 2o`31o
_,,. .I_¦I JI
X
í
2 I DBSARROLLODHCONJUHTODELOSNÚHHDSIEIIES
Redondee los siguientes números a dos cifras decimales:
133. 2.8614
137. 43.7152
141. 54.275
134. 89.7323
133. 23.4653
142. 72.165
135. 1263
139. 7.3l5
143. 18.345
136. 48.6131
140. 23.635
144. 29.725
Halle el valor para cada uno de los siguientes valores absolutos:
145. | s|
149. |6 ts|
tee. | 3s|
150. |7 23|
147. |s tt
151. ¡ts + 41
uta. |to 21
152. | 29 + 91
Encuentre la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son:
153. 1:12
157. IS: l
lól. 2; 3
154. S' 1 I
158. 12: 6
162. 4; 10
Í
U1U1
159.
163.
'¬' il 3
'
* 19
160. 8: O
IM. 12; 7
Í U1
'
I IkflliW
1' MDHÚ
3
P
P
Encuentre el valor de cada una de las siguientes expresiones:
165. Juan hizo un trabajo por $100 dolares. Si el material que empleo lc costo $13 do
lares. ¿cuánto gano por hora si en total trabajo 6 horas?
166. Un comerciante compro 30 piezas de lechuga a 30€! cada una. Si vendio 75 de
ellas a razon de 60€ la pieza v desecho el resto. ¿cuanto obtuvo de ganancia?
167. Tomas corta el césped de un prado una vez cada dos semanas y cobra S 19.50 dola
res al mes. ¿Cuánto cobra cada vez que corta el césped?
N58. Un pescador capturo 72 libras de pescado en 6 horas. Decìdio cortar el pescado
en filetes 3' venderlo a un restaurante a razón de $1.30 dólares la libra. Si se des
. _ l
.
.
perdtcto E del total del pescado y el pescador demoro 2 horas en cerrarlo ¿cuanto
gano por hora?
169. Maria manejo 432 millas, de las cuales 42 fueron en la ciudad y el resto en carrete
ra. Su automovil tiene un rendimiento de 28 millas por galón de combustible en
la ciudad y de 36 en carretera. ¿Cuánto le costó el viaje si un galon de combustible
cuesta $1.20 dolares?
CAPITULO
3
Operaciones básicas con
polinomios
__ ._í__í..__.Z___.__í___
5.1 Notación V terminologla algeoraicas
3.2 Evaluación de expresiones
3.3 Adición de polinomios
3.4 Sustracción de polinomios
3.5 Simbolos de agrupación
3.6 Multiplicación de polinomios
3.7 División de polinomios
65
3 I OPERACIONES BÁSICIS CON POLINOIIIOS
El álgebra se ocupa de sistemas matemáticos. El más fundamental de ellos es el sistema
numérico. El álgebra elemental es una generalización de la aritmética.
Mientras que en la aritmética usamos números reales, que son especificos, en el
algebra se emplean simbolos, que normalmente son letras del alfabeto, considerados
como números generales o literales. Los números literales que se utilizan cn el álgebra
para permitirnos considerar propiedades generales de los números, y no sus atributos
especificos.
Notación y terminología algebraicas
La notacion que se emplea en algebra es siinple y compacta. Para representar el pro
ducto del número especifico 5 y el literal e, escribimos Se. Asimismo se escribe 217
para indicar el producto del número específico 2 y el literal b. En cuanto al producto
dc dos números literales, por ejemplo ir y b, se escribe simplemente eii.
Un término puede ser un número específico, tin número literal, un producto de
.
.,
.
.
So
7
.
ellos, cociente, o una cxtraccioit de raiz, Las cantidades 5, 3a, xy,
¿_¬ , ¬~. 7: consti
tuyen ejemplos de términos.
Normalmente se escribe el número especifico presente en un térinino como el pri
mer simbolo de éste y se le llama coeficiente numérico del término. Cuando no aparece
ningún número especifico en un término, como por ejemplo en xy, el coeficiente numé
rico es l. Si un térinino no tiene signo indicado que lo preeeda, como en 3a. se toma
como implícito el signo positivo,
En la multiplicacióii numérica, cada uno de los números contenidos en el producto
se denomina factor del producto. De esta manera algunos de los factores de l4abc son
2, 7, 14, ri, b, c, 2:7, Tb, 2c, ab, Zbc.
El coeficiente numérico de un término puede ser asociado con cualquier factor lite
ral del término, no solamente el primero de ellos.
Una expresión simboliza una combinacion dc términos mediante adicion y sustrac
cion. Las cantidades 12, od, 10.1'
gi, ïnbc
+ w/šson ejemplos de expresiones.
Cuando los iitiineros literales de una expresion aparecen únicamente en sumas, di
ferencias o productos, se dice que la expresion es un polinomio. Las cantidades l2ab,
Se dede, Ivy + cz 211 + 3 son polinomios. Se llama monomio a un polinomio que
contiene solo un término, como 2xy. Un polinomio con dos términos, como Ilab 2,
se llama binomio. Uno con tres, como tïuryt: 'ly + a, se denomina trinomio.
Evaluación de expresiones
El valor numérico de una expresion puede calctilarse cuando a cada número literal de
la expresion se le asigna un valor especifico. Se llanta evaluacion al proceso de calcular
el valor numérico de una expresion.
3.2
Eïãlllâflåfl GH GIFIUSÍOIIOS
G?
Para evaluar una expresion se sustituye el valor especifico dado de cada número
literal. Los cálculos se facilitan, y la posibilidad de errores se reduce, cuando el valor
especifico de cada literal se sustituye usando paréntesis antes de efectuar las operaciones.
Nfifêl
El valor especifico asignado a una literal pue
de variar de un problema a otro, pero perma
nece fijo para dicha literal durante un proble
ma determinado.
Evaluar la expresion 3:7 + Soc, dado que
i:i=2,b=3yc= l.
sowciolti
se + sar = mi + soii ti
= 6 is
= 9
"Wa
s sis s›=s :itzi
sais si
=5 6
=1
Calcular el valor de la expresion o
2(3b + c) cuando
a=3,o== i yc=* 4,
sowcioiii
71
zoe + fi =
2[3( 1) + ( 4)]
2[
í
.í
3 4]
#= ll 3 4]
2( 7)
i
_
+
=i'= l( 7)
14
Iì
í
3 ab
Hallar el valor de _
solucion
sas
4 te
Zcd
Í, puesto que ri = 2,19 = 3, c = 1 y ci = 2.
27. ri __ si ziisi
"
zi i)t2›
«it 2›< 1)
l3+4
14
7
=_""s_=T=_Z
.ff
3
OFEIIICIOIIES BÁSICAS COI POIJIOIIIOS
Emnmmmäfl
Evalúe las expresiones siguientes, dado que ri = 2, [7 =
La 4
5.a+b
9.
3ri+d
2.b 2
6.ci b
10.
3.6 b
7.b d
2a 3c
ll.
4a d
13.2o l 3d'
14.217 3d
15.3o b 6
17. tt 2b+c
l8..a+2b 3c
20. d+3c 4o
2l.oo Sb d
23. b+d Sc
24. 3b 8c+2d
26.3o' 4€ 2b+o
27.a b+2c+3d
29.4o b 3c+d
30.0 4b+3c 7d
32. ¿ri +(c+d)
33 Q'
(c 2d)
35. b
2(3c
dl
36. a + 3(b
2d)
33.
2: + 5(7i:'
3d)
41.
44.
47.
oi c
Ése + Sbd
2a l b(2a d)
4.
5 d
3.2o+b
12.
2€
16.
2b+4o' 7
'33'
i:i b
Eì'
4c+3b Bin
.ii 3o 2d+l0
ri+2b c+Ód
(b rc)
*(2G'*d)
2[3c 279)
seas ~ ri
39.
ab+d
42.
45.
48.
bd 3€
Soc
Sao'
3b b(3 d)
ab 3cd
ocd 3bda
n+d
ct d
ì+3c
ri l 3c
a+2b
c d
2bc+bd
ab
bd Zab
2d
50.
3c+b(2o+d)
51
53.
al b
a c
54
Sad + 417:'
57
56
3, c = l v d = 72:
'
3er!
3n+d(b dl
3d
ac
c
59.
3b
Zad
T
60.
20€
Bbd'
T
E+ë
62.
d
b
E + H
63.
E_É
3€
d
ä_E
b
ri
c
b
Adición de polinomios
La suma de dos números especificos se puede escribir como un tercer número especifi
co. Dados los números especificos 2 37 3, podemos expresar su suma como 2 + 3, o
bien 5.
La suma de dos números literales a y o puede indicarse simplemente como a + b
Los números ri v b se llaman términos de la suma.
Se denominan términos semejantes los que poseen factores literales idénticos: Zabi:
3bai:, lücbri son ejemplos de dichos términos. Por otro lado, Zebc y Jafbd son térmi
3.3 Adldon de polinomios
69
nos no semejantes, va que 2eoc tiene a e como fr.ctor, mientras que 3. :rbd no lo tiene.
Los coeficientes numéricos de los términos no afectan la semejanza o no de éstos.
Cuando los términos que hay que sumar son seriejantes, tales como Se y Ta, la
suma Se + ia se puede simplificar mediante el uso de la ley distribntiva de la multipli
eacion.
LEY
Si e, b, c G R, entonces
alo + el = eli + cc
elo el = rilb + { †cj| = elo) t al e) == ab
i.i(o + e) = alo) + ( e){c) = eh ac
aio cl = l alihl ( clic) = cb + er.
tic
Utilizando la ley distributiva de la mtiitiplicacion, se tiene
5a+7a=(5+7)a= 12a
También
4a+n Se =(4+ l)a Su
=5a 80
=(5 8)n
= 3o
obien
4~a+a 3a=(4+l 3}a
== 3a
Es importante observar que
2a + 4a = (2 + 4}a = oa
y
Sa
Ja = (5
3)e = la
(no solamente 2),
Cuando se suman polinomios, se combinan únicamente los términos semejantes pre
sentes en ellos.
Suinar 3a
sowcioiti
Sb ji 2a + 317.
oa si››+t 2t~i+si››=:is si 2a+si›
=(3a 2u)+( 5b+3b)
=<3 z)a+( s+:ni›=s 2.9
Sumar ,ia
Zb + c y tio + 4o
Sc.
soiucioivtsa .2i›+¢)+(ea+4b sr )=se 2i›+. ;+sa+4i› se
=(3e+6a_)+( 2t›+4i›)+(c Sc)
=(3+6)a+( 2¬ 4)i›+(i s)¢
=9a+2b 4c
3 I OPEIÃCÍONE5 BÁSICÃS COI! FOIJHGIIIOS
Una manera sencilla de encontrar la suma de polinomios consiste en escribirlos en ren
glones sucesivos, de manera que los términos semejantes queden colocados en una mis
ma columna. Esto se asemeja a la adición de números especificos, cuando los escribi
mos por renglones, de manera que las unidades, decenas, ceiitenas, y asi sucesivamente,
quedan en columnas separadas.
Obtener la suma de los polinomios siguientes:
solucion
zas
er + ri;
se
sa;
me
zu
aaa + «ir
Zab 6c+ d
+3c Sd
4ab+4c+2d
2ab+ c 2d
(Zab 6c+a')+(3c Sd)+(2d 4ab+4c)= 2ab+c 2d
sustracción de polinomios
En lenguaje algebraico la operación de sustraer o restar b de ri se simboliza a'
b, que
es lo mismo que a + ( b). O sea, para restar ii de ri, sumamos el inverso aditivo to
negativo) de b al número ci.
El inverso aditivo de t ox es 6x. Es decir, ( iox) = ox,
El inverso aditivo de l0,v es + l0y. O sea, ( l0y) = + l0y.
Cuando los términos que hay que restar son semejantes, se puede simplificar la di
ferencia empleando la ley distributiva de la multiplicacion.
I. Sustraer (3a) de (Sa)
(Sa)
(3a) = 8:7
3o = (8
3)u == Se.
2. Sustraer ( Ba) de (Hu).
(3fi') l 3o) = Sri + 3a = (8 + 3)a = lla
3. Sustraer (3a) de ( Se)
( Su)
(3a) =
Se
Ba = { 8
3}ri =
lla
4. Sustraer ( Bo) de ( Be)
( Sc)
( 30) =
8:7 + 3a = ( 8 + 3)d =
Sd,
3.4
$lI$tl'3¢€|6fl GB IIQIÍIIUIDIOS
.
71
Para efectuar la sustracción de un polinomio, llamado el sustraendo, de otro polino
mio, llamado el rninuendo, se suma este último con el inverso aditivo del sustraendo
y se combinan los términos semejantes. El inverso aditivo de un polinomio es el que
se obtiene sumando los inversos aditivos de todos los términos del polinomio.
El inverso aditivo de Se Gb + 8 es Sa + ob 8. 0 sea,
(Sr: 6b+ 3) = 5n+ Gb 8
Sustraer (3a
sowclón
tea
511) de (6a
rs) « «sa
Tb).
sin = sa
'rs
su + sa
=(6a 3a)+( 7b+5b)
=(6 3)a+( 7+5)b
=3a 21?
__
Sustraer t3a r 2b + S) de (Sa + ób 2).
sotuctóu
(8a+6b 2i t,Íiu 2h+5ì=3a+6b 2 3o+?.b 5
=(8a 3a)+(ob+2b)+( 2 5)
=(3 3)a+(6+2)b+(
2 5)
=5u+Bb 7
La sustracción df polinomios puede efectuarse de una manera más sencilla escribiendo
Ios en renglones Se escribe el minucndo en el primer renglón y el sustraendo en el sc
gundo, de manefa que los términos semejantes queden colocados en una misma colum
na. El inverso aditivo de un polinomio es el que se obtiene cambiando los signos de
los términos del polinomio. Así que se cambian los signos de cada uno de ios términos
dei sustraendo, se escriben los nuevos signos encerrados en circulos arriba de los signos
originales, y se suman términos semejantes usando los nuevos signos.
l
solución
De 'lab
2e + 8 sustraer Sab
Sc + 4.
ras 2.1 + s
61 ) ( 3 ( 9
¡Sab 5c+4
ab+3c+4
(Tab 2c+3) (Sab 5t¬+4)= ab+3C I 4
Sustraer 2x
3)'
6 de 4x
3y + 10.
3
urnnåslsrcnseonrotsvoluos
SOLUCIÓN
41
G)
3y + IO
É)
G)
211 32
6
u+w+w
Dado que 0
y = 0, no es necesario, escribir ese término.
(41 3y+ IO) (lr 3y 6)=2r+ 16
Sustraer (tab + Zc
Sowclón
4 de Bob
2b + 3.
sao
se + 3
6
GD G
ms
4+a
2@ eb+1 a
(Sab 2b+3) (6ab+2c 4)=2ab 2b t 7 2€
Ejercicios 3.5 3.4
Reduzca terminos semejantes en cada una de las expresiones siguientes:
PE'
7.
So si
2.
“É” 5b+4b
5.
É+ lübx Qbx 4a.r
3.1 7.r+.r
3. 3 I2y 3)?
Zab bi óab
6. l0xy+y 7xy
8. 3xy zy+51jv Zye
Obtenga la suma de los siguientes polinomios:
9.
ll.
13.
IS.
17.
18..
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
.
.
una
2a + ób, 7a
2b
10. 4x
3)', 2.r
Óy
x 3y,2y Sir
12. 7o+b, 3a 4b
.r+y 3.2.1 _v 5
I4. 3x+2y 4.6y 4.1r+l
2x 3y+4.2}= Jr 2
16. .r+y 7.3y 4x I
3x 8,7 4.x,2.r i
5.1r+6. 3.1r+2,.r 9
21 3y. 4.1: + 7y. .r
23;
x 33:, 61 33;, .r + 23:
3x 2y+l_.2x+5y 6,3 Jr 3y
4x 3y+l3.7.r+8y 6,2y 5 8x
5x 3y+l,2y Jr 7,i2+6_v l5x
2x 3y+z,2_v .1r,3y 22 3x
a+iOb 9.3.2 5b+4c.2c+b 6
Sab 2a+b,ab+2a 3.5a ob
l0b+5be 6c7bc 4b+c,9r: Bbc
Sxy 2_vz.2xy ,z+6yz.9yz 7y.r 32
En cada uno de los ejercicios siguientes sustracr
29. Sa de Ta
30. 2a de 3a
3l. 9:1' de rr
3.5
Simbolos de Ififllflâdón
73
32. 6o de 2o
35. a de 4a
38. 2o de 9o
33. 6o de 3a
36. Ta dc lüo
39. 2 de Zn
34. 2o de So
37. 3o' de 2. :t
40. rr de ab
En cada uno de los siguientes ejercicios sustraiga el primer polinomio del segundo:
41. 3x l,:r IO
43. 2x l,.r+3
45.2x y 3.2.1: 3y 6
47. 4x 3y+l2,6x 23, +9
49. 2a+3b+6c,3a 2b+c
Sl.. 6o lOb+3C.5o+'7b c
52.
ob+4bc
2,3ab
Zbc +
4x, 10
. 'I .r,7.r
.r+y 2° Quo + _v 5
._v r+
2.
1*' 1 t 51.* 15
Sâåfitñ.2a+5b 5§`=. .›
Taiiåb Gt*
Efcctúe las sustraeciones indicadas:
53. De 2a Sb + 8 sustraer a 611 + 3.
54. De 3x + 4y + z sustraer 9.1' Sy I.
55. De (ix + Zy + 3z sustracr 8x 3_v + 3.
56. De Sax + Zby 'Ice sustraer Zby 3ax 7 cz.
¿Qué debe sumarse al primer polinomio para obtener el segundo?
57.
60.
63.
65.
67.
69.
ct, So
S3. 20, 2ob
S9. 10, lüa
6, Óab
61. x+ l,2x 1
62. 3x 1,2x+l
.x+4y,3.r 4y
+
'LJ
21*
2x
3y 12,41: + Sy + 20
2x)t 2.6.r 7v 8
'hr
Óy 17,31 +_v 13
'Lv 10. 8.1' + IJ; ; 6
.tr 2y+z,0
iit*
:"*3` '~¬ r FH3" G
'I`
ëââï
Efectúe las operaciones indicadas:
71. Sustracr la suma de 5.1' + óy
72.
73.
74.
5:/r + 7y 9.
Sustraer la suma de 8:1'
7x IS.
Ty
8 y 'iy
_;
2.1'
t
1
ulí
3 de la suma de dx
4 y Iv 4y + 5 de la suma de 4.1'
Sy
2_v + I y
9 v 9y
De la suma de Ze + b e y 3o b + Zc sustraer la suma de e 2b + tic y
Se + ób + 4c.
De la suma de 3a b + 9c y 2a' + .fio Se sustraer la suma de .ia + Mb 2:'
ya Zb +c.
Símbl
o os de agrupacion
"
'
Los simbolos de agrupación, como son los paréntesis ( ), llaves { } y corchetes [ ], se
utilizan para señalar, de una manera sencilla, más de una operacion.
Cuando se escribe el binomio 3a + Sb como (3a + 51;), se está considerando la
suma dc 3a y So como una cantiad. La expresion a (b + e) significa que la suma
de b y c se va a sustraer de e.
3
onsenctoutulstcns oourouuomos
El enunciado “tres veces .ir menos cuatro veces la suma de y y z", puede escribirse
en notación algebraica como
3x 4(y + 2:).
Eliminar o suprimir los simbolos de agrupación significa el`ectuar las operaciones indi
cadas por ellos. Se eliminan los simbolos de uno en uno, empezando con el que este
situado mas adentro, siguiendo el orden propio de las operaciones que hay que efectuar.
Eliminar los simboios de agrupación y reducir terminos semejantes:
2x
(Sx
SOLUCIÓN
2,1 f) + (ir
lr
óy)
(Ss:
2_v) + (Jr
6_v) = lr
= (Zx
=
5x + 23 4 Jr
6_v
5.r + .r) + (2y
by)
2.1:
41'
II
Suprimir los símbolos de agrupación v reducir terminos semejantes:
Ta + 2(2b ' 3(3o
Solucion!
5b)]
7a + 212@
3t3a
sw] = ra + 212»
sa + ¡sal
=7a + 4?)
l8a + 3015
= 34h
llo
Eliminar los simbolos de agrupacion y reducir términos semejantes:
Go {2b+ [3 (rr+ b) + (Sa 2)]}
SOLUCIÓN
ea {2a+|3 (a+m+t5a 211}
=6a {2b+[3 ut b+5fl 2I}
=oa {2b+3 a b+5a 2}
=f›t1 Zb 3 l~rt+b 5r1+2
=(6u+a Sa)+( 2b+b)+( 3 +2]
=2a b l
A veces, es necesario agrupar algunos términos de una espresion. Esto se puede llevar
a cabo mediante el uso de paréntesis.
Cuando un simbolo de agrupacion esta precedido por un signo positivo (“más"),
los signos de los términos no se alteran: cuando va precedido por un signo negativo
(“mcnos"), se utilizan los inversos aditivos (negativos) de los términos.
3.5
SÍMIIOÍOS GB ãflfllflãdfill
Agrupar los tres últimos terminos del polinomio 3a Sb + c 2 con un
simbolo de agrupacion en dos formas, una precedida por un signo positivo y la otra
precedida por uno negativo.
SUIUCÍÓH
3:1
Sb + t'
2 = 3a + tt* SI: + t'
2]
I
ÍIÚ
hay cambio
de signos
3a 5b+c 2=3o (Sb r +2)
I
_.l
negativos
Ejercicios 3.5
Elimine los simbolos de agrupacion y reduzca términos semejantes:
28.
30.
32.
34.
36.
38.
39.
3u+(2+5a)
n+(2a+3)
2a+(8 a)
3r1+(4 2a)
.7a (n+7)
PP' 2a (a+6)
.r
('2x
4)
3r
(Jr
3)
9. 5.: (I 3x)
lr
(2
Jr)
4 + 6(.r
I)
12. S+5(2x 3)
7
2(3.r
3)
3(2.r
ii .*F"'?9°'*"! ' 6
I)
I5. I3
3(5x
I)
I7
7(3,r
4)
17, (Zr
3,v)
4[.r
Sy)
2(5x
4y)
(7.r + Jr)
I9. 3(2n
b) " 4(o + b)
SU)
4a)
6(b
3o)
21. (rr
3b)
3(t' I
Zb)
8(2a
b) _ 4(b
ri)
23. 3a {2b+3o) +(b+a)
9 2(a+3)+(u+2)
25. l3+2(u+5) (7+a)
.r 3(2_x + 3) + (.r + I)
27. l2.r (12 5.1:) + 2(3.r 4)
7
4(2.r
5) + 3(x
3)
29. 3.r+[2 (J: 3)]
5.r + [6
(lr
1)]
31.
9_v + [lr
Lv + 4.rli
33. 10
[3
2[.r + 5)]
ct
[7
3(4
a)]
35. .t 17 nz; 4)]
3x
[6
2(2
3x)]
37. 4.1:
[9
4(3
x)]
_4.r + lx
(lr
3)]
[5
2(l
.r)]
x
[31 + (4
.til
[8
3l.r
2)]
40
3 1' r ly
(I ~ 2_\')I ' ll* _ U' _ 21)!
41
3)' r lx
2(3.r
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
S2.
lr
Lv + (1
.r)]
Il
(_v
31)]
7
2].r + (lr
l)]
[S
2{;r + 3)]
6 + 4|,r
(lr + 3)]
I? + 3(.t:
2)]
3 + 2[2r
(3.r
l)] + [9 H 4(.r + 3)]
8
3]3 + 4(x
4)]
|2,r
3(1r
3)]
15 : 514
2(.r + l)]
[fix
5(.r + 4)]
lr
{5_v
[lr
jr + Li:
y)]}
IO + {.r
[y + (Jr
3] _ (F _ 6)]}
3o+{b 2 ](a b)+(b l)]}
{ 2b [3 +5a
(
r1+
2 b) (7a+ 2)]}
2a ¬ {2b + [ 4
(3a
Zb) + [ba
b)|}
1.
4.
7.
10.
13.
16.
18.
20.
22.
24.
26.
m + tv rs › ›1
:ol
123*
of + 3_rll
s
omtnctones slstcits con Potmosuos
53. 2:1 + {3rr
[5 + 2(rt + 3b)
3(b
rI)]}
54. rr
{2a
[7
3(rt
b) + 2(2a
bil)
SS.b 2{ n+]b+2(u I) 3(2b 3)]}
56. 3 + 2{2b
lu
2(b
4) + .3{o
2)]}
57. 6
5{a + 2[3b
2(a
I) + 2(a ¬ b)]}
58. 4+4¦b¬ [ n+5(b 3) 2{:"l u)l+3}
S9.8 3{u 2]a (b 2)+3(b 3)]: 6}
En cada uno de los ejercicios siguientes escriba un polinomio equivalente en el que los
tres últimos términos esten encerrados entre parti ntcsis prcccdidos por (a) un signo po
sitivo, (b) uno negativo:
60.3a+5b+6c+7
62..x+2_v :+8
64.1: y+z 4
66.
5.1: 6y+3z 1
61.
a+b+c 2
63.
.ir by 32 6
65.31: 23.' :+5
67.
61 3y 42 2
Esprcse los siguientes enunciados en notación algebraica:
68. Tres veces x más dos veces y.
69.
Dos veces Jr más cinco veces y.
70.
La suma de x y cuatro veces _v.
71.
72.
73.
74..
75.
76.
La suma de cuatro veces x y siete veces y.
Ocho veces .›: menos y.
Seis veces x menos dos veces y.
Tres veces .rr menos diez veces y.
Dos veces x menos tres vcccs y.
Sustraer ocho veces x de y.
77.
78.
79.
80.
81.
Sustracr .v de nueve veces y.
Siete veces la suma de x y y.
Cuatro veces la suma de .r v y.
z más tres veces la suma de .ir v y.
Tres veces z más dos veces la suma de x y y.
82.
83.
B4.
Dos veces z más cinco veces la suma de x y y.
Seis veces z más once veces la suma de x y _v.
z menos dos veces la suma de .ir v y.
85.
B6.
87.
Cuatro veces z menos tres veces la suma de .r y y.
Sustraer tres veces 2 de cinco veces la suma de x jr y.
Sustracr cuatro veces z de once veces la suma de .ir y y.
Multiplicacion de polinomios
flal'
Definición y Notación
El producto de dos números naturales, 3 y 4 por ejemplo, se define como
3 >< 4 = 4 + 4 + 4
tres términos de 4.
se Iwtttøtlcactønacpouncnua;
77
Análogamcnte, Sa = 5 a = a + a + n + a + a
cinco términos de tr
4ah = ab + ab + ab + ab
cuatro términos de ab
ub=a><b=b+b+ +b
aterminosdeb
Las siguientes son algttnas de las leves de la multiplicación de números reales
1. Ley conmutativa de la multiplicación:
2. Ley asociativa de la multiplicación:
3. Ley distributiva de la multiplicación:
no = ba.
tito: ) = (nb)r.
rrtb + ff) = tb + c)a
= db + dt'
4. Multiplicación de números con signo: (+ :Ill +11) = +ui›:
( cN+b)= ob:
(+¢1l( Í?
l tt)( b)
lí
í
ob
+nb
Cuando se tiene 2 2 2 2, esto cs, cuatro factores de 2, se emplea la notación 2*',
la cual se lee, “dos a la potencia cuatro", o bien “dos a la cuarta potencia"
Del mismo modo, a a c ' rr o = ci significa cinco factores de o. El número
rr se llama base 5' el 5, exponente. Cuando no hay este último, como en .r, se supone
siempre .r a la potencia l.
DEHMCIÓN
Si rr ER, rn E N, entonces
rn factors
a'"=u orfla
Nótse la diferencia entre
(~2)"= ( 3' )( 2)( 2)( 2)= +16
r
~2"=
Obsérvesc también que
2:13 = 2(a ora)
mientras .|tte
(1"1)=
¬(2~2 2:2) =
lö
(2a)3 = Í2rt)(2d)(2rr)
= (2 2 2)(u rr rr)
: 21a; = sus
Observación ]
2
,
.
tt, rr , tr ,
L
7a o:rr~a=7r.t"
2
"('*3)( 3)(“3)( 3) =
_
no son terminos semejantes.
( 3)*
3. a « tr 't sit t›)( si = ai
.
(af
I
3
orennclonsssflsrcascoflnolmømos
4.
(x
1)
l)3 = (x l)(x l)(x
5. ;›_1+23=:_›. 2+2 2 2=4+3=12
6. 2* 2=2 2 2 2=s
1.
22 3*
8.
a2(
bi)
í
$1
9. 2f*( 41)
103
a rr ( b b
128
S( 16) =
10. 3% 5)*
4 27 =
(2 2 )(3 3 3)=
iv
_
6
2:
9(25) = 225
Ejercicios 1.2
Escriba las siguientes expresìunes empleando exponentes:
U1
Í
4
7
10.
=¬¿.
auu Q* .lb I fu _:
(2x)(2x)(2.r)
í
13. (5m(5 f.\')(51›')
16.
18.
20.
23
26
29.
32.
35
un
41
Iínl
amp
'Ñ
)(3b}(3b)
uàghp:.LlJ"'1
._ 3)
3b b b b
(ub)(ab)(ab)
Í 2)( 21( 21(
í ' IJÍ ' I)
Í b)( b)f b)
5.1.' .I ' .r .Ir _:
U'
_2.2.3.
'U
I
2 2'2 2 2
a a
í 5f)( 51')
U'b¦,à
gl
I
I I IB
( 5}( 5)( 5)
( fl)( a)( u)( a)( a)
2a u a
21
24
27
1*JI J ¢Í.›¿› f L .L¿J¿.› «.`¬.›
30
333
33
.r . r ' vc v v
36
'("¿"¿')
39
42
It' › *ta :aura gun ++ mw gw
1
3.
U1
_..
_b)
I'
“ta
U1
* 'JI
F2!Ñ@.«JHI' J
°“=:*=.;.
=Í~.=}.±Í.›" É"2 .=+Í.I¿› f.+'€'?¿.~l.'› É''?"'°?"`:"=å ¿J
' I
' .I
ÉIÍHJ
QI'~J¦¦|
519
N@
É:
lu
= Wwa:
fi"'*""JÑJJ
Escriba las siguientes expresiflncs un fnrnma desarrollada'
44.
.23
45 .
3*'
46. af
47.
20"
43.
115
49
4fl3
50.
51.
aba
55.
cI2b4
59.
53
63.
31114
67.
'7l.
75.
79.
:lay:
( a)`*
(x
2)1
ag + bf'
1'
52.
.r“_v
53
rïv*
55.
¬ Zñ
57
_ 31
6 0..
64.
68.
72.
51:3
72.r3
( 2)3
¢:3( b):
61
3.14
65
ab]
6.1:"
54. aìba
58.
25
62.
22.11
66.
agb*
70. ( ar):
69
(__.
73 .
:ff ba)
74. (x + 1)*
76. (zx +1 )J
77 .
(Jr
78. ,maz I bz
80.
81
.ta _v3
3)
v)`*
4
Í`”.ï`
no
¦ 'I"" J
3.6
lluttíplkraeidn de polinomios
79
Obtenga el valor numérico de cada una de las siguientes expresiones:
sz.
ss.
90.
94.
21 + 31
(2 + 3)*
(5 7)*
( 2)*
H
_Ji.: I
t)*'(2“)
2 " )( 2)*
2 *)( 3*)
1I. I
› " ' . " ~.
I i lt @
l1nl||fl`=I'
te §¦'ât~¬tW
lIg!
_. Im., " 'u.øIP"H.,_ I
*Hu I" 'hu H'
33.
B7.
st.
ss.
99
103
to?
111
ns
11 + 2*
(3 + 1)*
(s 9) 1
( 3)*
84.
sa.
92.
96.
too.
104
los
112
no
l“¬ J
I li! I
. " ' t.« I' tu .al I .\!J~|
. * . ¿_
4)
›""¦":. I ~.
|)*(« 2)*
3=)( 2)*
21')( 31)
IIII
5 * 4*
(4 3)”
( 3)*
( 3)*
21 31
. 2.' 21')
t) *( 3)*
5*' )( 2) *
51)( 2*)
ss.
ss.
93.
97.
101.
105
109.
113..
3* 2*
(6 2) *
( 4)*
( 2)*
21 31
2`( 3*)
( 2) '*( 3)*
( 4)2( 5*)
f In. "' . I ' .,1_, ¿
Faetoriee los números siguientes en sus factores primos y escriba sus respuestas usando
exponentes:
117.
123.
13
96
IIS.
124.
32
103
119.
125.
36
120
120.
126.
43
I44
121.
127.
Sl)
162
122.
123.
72
216
Multiplicación de monomios
Se examinará la multiplieaeìon de monomios, luego la de un monomio y un polinomio
y. por úitìmo, la de dos polinomios.
De la definicion de exponentes se tiene que
al as=(o o a)(o ct o o a)
=a o o~a o a o'a
:U3
:at s
TEOREMÂ 1
Si of E R y rn. tt E N, entonces a'" * af” = a"'*".
m factores n faetores
i
If
I
uemosrmctóu a" fl"=w a ww a fa)
(nt + rr) factores
=
,_
i
ft ~ a
:I l'I'1'+fl
1. 2” zf*=2t****=2“
3.
5.
_24_23 :_
ct
' 'I
_2 ¡+3 =
2. a= ¿~_.==a2+ ==af
_2?
4'
_3x1.I2 =
.ri x=.t:5"' =x°
6. (a +1)1 (a +1)~* = (a + 1) 1** = (a + 1)*
__3x3I2=
_3_¡.5
3 I UPERICIOHES IÁSFCÃS CON POIJIIOHIOS
Observación
2; _ 2, = ZM = zw* y no 4,.,_
observación
2" ' 35 = 2" ' 35'; para encontrar el produc
to se multiplica 2" = 16 por 35 = 243; esto
es, 2*
3* = t1s)(243) = ases.
Puesto que las leyes conmutativa y asociativa de la multiplicación son validas para nti
meros, lo mismo especificos que generales. se tiene
1.
(2ab2)(3o`*be1) = (2 3)(a'
a'*)(b2 b')(c2)
= safbfië
2.
( 3b1¢'3)(8eb3c) = (_ 3 3)(b1 b3)(c3 e)(o)
=
24b5t"'a
3
(2 fiyziìt 4.1'“y“) = (2)( 4)(r* ' rilty * y2)(z”) = 8.1 f_v “R
4.
( 31x_v2)( 5.r3}=3) = ( 9.ry2)( 5x2_)†3)
= ( 9)( 5)(I' f2)(›'1'›†`) = 45 viv”
De la definicion de exponentes se tiene
W = (fl'i)(fl2)(fl2)
í
.í
.í
(ai =12)(e2)
al r 2 _ al
'_
a2+2 2
í
alt C2 ___.: aìi C3
i.
tí
U6
TEOREMA 2
Si o E R y m, ft E N. entonces (a"')" = a””'.
n factores
Iííil
DEMOSTRACIÓN
(fl"')“ = ( fl'“)(¢1”')
I
(ff '")
rn factores
=(asa
tt
E
1
=¿¡”"'
H
n
t
m factores
|'_“”“¬
a...a)
.a).(a.a...a)...(a
mn factores
Í
m factores
n
1
a
_
3.8
&NMMfii
¡_
(32) t = 32 4 =
2.
(a3)5 = om = o 15
33
3. ( 32) `* = 3” = 3*
¿_
(_aJ)2 = as 2 = as
NOÍG
23
24 = 23” = 27, mientras que
3)* =
23* 1 :___ 212.
De la definición de exponentes se tiene
s*=(z a)~†=
(2 3)(2 ~ 3)(2 3)(2 3)
(2 sz 2 zya
( 3 3 3)
2*' 3
TEOREHÃ 5
Si o, b E R y m E N, entonces (ob)'" = o"'b'".
m factores
nsuosmtctóttt
(at›)~ = (ab) (as)
(ab)
rn factores m factores
'._._.
Il
I
(ero "a)(b b* 'b}
a"'b'“
Nota
oybson l`actores.Sia= 3 b=.1rym =
5, (3.x)i = 35x5. No olvidar elevar el name
ro 3 a la potencia 5.
Aplicando el Teorema 3 repetidamente
obtenemos
(abcd)1' 'I
l(flb)(fd)]
(fl¿*)'”(¢d)'"
ct"'b'"C”'a'"
3
oranaouesstlscnsoourotmomos
observación
La cantidad (a + b)5 se ai + bi'
ts + 3)* = (sf = 64, pero
52+31= 2s+9=s 4.
Si consideramos (rr + b) como una cantidad
EHÍUHCES
(a + mi =
to + b)(a + b)(a + b)(a + b)(a + b)
El método para calcular el producto se explicará mas adelante.
COROLÃRIO
Al aplicar los Teorema 3 y 2, cuando a, b E R y nt, rr. k E N, se obttenc
(a”'b" )* =
l(¢1"')(b")l*
(I "" )*(b")*
=
1. (5. .~. 1t›)f'* = (5) *(ai)1*(b)1 = s“a°t›* = tzsafitfl
2
(_2a2b3)3 __: (_2)3(“2).'t(b3)3 = ___8aob9
3.
( 3ob2)`i = ( 3)"(o)4(b1)'* = Bloibii
Efectuar la siguiente multiplicación: 2i'o"'(ob'i)'.
SOLUCIÓN
'
SÚLUCÍÓN
22o3(ob3)3 =
4o3(a2b°) =
4(. si ~ a1)(b"') =
4a5b
ñ
Efectuar la siguiente multiplicación: (3xïy)'i(2xy3)i'.
(3*r*xi)(2iIir°) = (32*2"')(1"~ri)(Jfi vi)
(3x2)=)1(Zxy3)3
í
il
(9 _ 3)x7yil
= ïzxïyll
3.6
%flcad6n de polinomios
Ob$Ervt ICÍÓI1
Primero se toman en cuenta los exponentes
exteriores.
Efectuar la siguiente multiplicación:
sowctófl ( zas*)2( 3a1f›)3( t›.±~1)"
( 2at›1) ' *( 3a2t›)”( «¬ tm* = ( 2)2a2¿›* ( 3)%1°t›f* ( t)*'t›*'t~t'
= ( 2)i( 3)3( l)"(fli e°)(b" ' bi b"')( 1'"
= (4)( 27)(+1)a“o"c*
=
l03a3b“c3
Efectuar las operaciones indicadas y simplifiearlas.
solución
(:o1›)*( rfit›)1
( 3.. 12)*(a2t›*)1
(zae )*( tf. f*t›)1'
( sa1)*(a2tf )2 = (1ea*t›*)(afib2)
( mfi)(a*t›fi)
= 1ea'"t›“ + 21a*"¿›°
= 43rt'"b"
NOÉB
Para evaluar expresiones que contienen expo
nentes, primero se reemplaza cada literal con
su valor especifico indicado. Se usan simbo
los de agrupación donde sea necesario con el
fin de no confundir signos de operaciones con
los de números.
Evaluar eibi, dado que a =
sotuctón
3 jr b = 2.
afb* = ( 92(2)* = (9)(8) = 72
Evaluar la expresión hi
a2(c:3
bi), dado que tr =
c= 1.
SOLUCIÓN
ff etc* bt) = 0)* ( 2)*l( 1)* (3) "J
(+4)l( 1) (27)1
4( t 27)
4( 28)
9 I ll2
= tzt
2, I) = 3 y
3 I*
“Qfl$wNPfl..flOÚO5
Ejercicios 3.68
Efectúe las operaciones indicadas y simplifique:
1.
21 23
5.
2 2*
2.
2:2”
3.
s.
_22 . 25
7..
23 23
_23 . 21
4.
2* 22
s.
_22 _ 26
“Las
9.
rr oi'
10.
ai oi
ll.
ui ai
12.
L3.
ha ' b
14.
te bi
15.
Tal ' bi
16.
3a 'bl
17.
5:12 bi'
18.
19.
To oi*
512 x"
22.
.
20.
24.
28.
29.
tI(
bg)
.
33.
tI(
b)3
fiää
Zai ai'
3x .ri
lr* xi'
a“( bi)
ai'( b)i
3:13 a`i
21.
25..
9:13 bi
oa ct
37.
40.
44.
( o)2( b)3
r"( .x)3
41.
(.r l)2(x I)
46.
43.
3(x + l)i'(.r + 1):
.ri + .tr
49.
52.
56.
.rz
x
31:3 + .ri
3x4
sr"
(a2b)(a3)
53.
57.
til.
65.
60.
64.
ss. (21"iy)(>*i)
11. (1I2)(31o'2i)
14. ( › ob)(3oi)
17.
3riri(2I“›')
so. ( 21 ni )(u3b)
33. _ 2sxs},( _ 523,2)
ss. ___x3y1( _ 339,5)
sr. 3x(4.r3y)( .r'i_v3)
89.
4.1r3: .ri
rr'i(
102.
tos.
109.
113.
117.
( 23)*
( mi"
(3x1):'
(zv*_v)2
106.
110.
114.
us.
31.
u3( __
35.
38.. xi( .r)"
_¡:›( _x)s
42.
39.
x2( .r)"
si
x"
1'
71:2 + xr
3x2
5x2
(aib)(bi)
69. (r.ݠi)(fr)
72. (4ab)(abi)
75. za `*( sala)
78.
81.
(HEY
(¬1i)i
( 115)*
(2ir)i
(3›o›i)i
_¿,,2.x
91° .ri
==2( b)“'
36.
cil 1?)
32.
.r2(
.r)i
:ri t xi
ri” .ri
51': + 5.12
31:5
Tr"
(u2b2 )(a3
70.
(.r2jv )(.ry)
73.
(3a2b)(ob3)
21: )
79
82.
1'f}'( "' 3:39)
21 a1b( Qnbi)
34. _ 2.i›x2( ___ 32x},.i)
ss. (7 ri›'i)(4 o*)( 2r)
ss. .r¬i.ri( _t'3`:)(2.r4jt*)
90. 6.r'i_vi(_r'si')( 31:22)
92. .ri( 4.r_v2 )( Sxiv)
94.
2o'ib(3o2)(
96. (22 ii
99. (sti) i
103. Í '" 22?
107. Í " Hi):
tn. (21 'f'i)2
115..
119.
)
76. 4«2¿›( cole)
or'(2o"')
52ab2(
.r3( Jr) 3
43.
45. (ax + |)=(zr +1)
47. Zlr + y)*`( r + r)"
st.
su. .ri + .ri
54. 1,. :_ ts
ss.
ss.
ss. se + er*
63.
sz. 4.r'i 6x3
ss. (ob'i)(a")
67.
x + .ri
91. 3r›:i'( 5 =fi:›:')( 4›*2)
93. 3»o*( 2i›')(5 ri)
ss. 3r:t2b1(22ob" )( 32u3b)
97. (31*)2
98. (ei):
(a2)`i
27.
bi)
rir(3r2x“)( ri)
101.
23.
(Zara):
(2 1372)*
52113)
100.
104.
103.
112.
116.
120.
l 113)"
(_ 32):
(_a]) il
(3f1i)i
(32xs)s
(3 *2›")i
3.6
H Iflllllclldfifl GE DOEFIDINOI
121.
tzs.
129.
132.
tas.
tas.
(s.r1y2)f*
122. (zä ,›*)2
123. ( xy2)“
( .t2y)1*
126. ( :u1y)1
121. ( .=. t›>)f '=
( 2 `*. .tl›2)f*
tau. ( sao? )“
131.
:u(.r 1)*
133. 4;(.r2)=
134.
1 =(2fi)“
136. 3;3(3;2)°
131.
3at›2(2t›1)~'*
139. sa2t›(2tu›2)2
140.
124. ( 13y*)"'
tzs. ( ztaib
;(zx*)2
sx(z=1'*)1
a%›(at›1)=
141.
(rI1b)2(2Gb2 )3
142.
(5o2b3)2(a2c)3
143.
145.
147.
(22ab)i(ob2)3'
(22ab" )3(3a2b )“'
(ab1)2(2bci)3(aic)
144.
(23ob3)¡(o2c)3
(ob2)3(3a2)2
146. (2ia2t›)i(b*¢)*
148.
(ub2)3(2o2bc2)1(oc2)
149 (1iy)“( ri.v)i
lso. ( z2ab*)*(a2b)f
151.
153.
( .r2y)3( 2ix3y)2
( xyi)i'(2.r2yzi)2( 5x23)
152
(_ I2)3( _.v)°( _ I2)'2)3
154.
( 2ob2)2(3o2b3)( oie 3)*
155.
(ob1c)1(
156.
(2ob3)2(
151. ( a1t›2)i(2iflt›¢i)*( str'c”)"
153
Ífl2(r _ y)i][fl( I _ 10212
159.
160.
[a(x
161. [xi(x + 3)1']2[.r3(.x + 3)i]
152
(12)( Ii) _ (_ f2)(I)
163.
164.
166.
( 22a2)(e3) + (32o3)( oz)
3o3(o3b) + ( o")(o2b)
167. 2a2( bi) + (4a2)( t›)i
163.
( 22612?
l69.
(3o)3(
170
(_5X3)2(_J"') _ (_6J*2 13):
171.
( 21oi)( b2)3 + ( 3a)2( bi):
165.
2bc3)3(3o2bc)""
[2o2(x + l)]2[ 3a(x + l)]¡
2o2(b1)
( 2ox)i
oi( b)3
( o2)(x:")
o2)3 + a(
a")2
agb
173.
176. rs. 1"
177. bai
lso. Â
me
134. 3. si + sb i
136.
183.
190.
¡st '
fi
oi t Zbcï + di
oi
d2(3b2
od)
bi l d2(oe + Zbzd)
192. ai
2. :to'2
2t›2(t~2 + dt)
.ie
d,
174.
178.
taz. d,
tas. te zab
131. si + 21»
189. 8
l)]¡
¢l2( 241)*
I, c = 4 v d =
dzc
a'id2
bc?
o"bc2)5
l)2]3[o2(x
Evalúe las siguientes expresiones cuando o = 2, b =
172.
32a2c)3(
175.
179.
2
b2c2
bc4
3b3d
133. _a,c
si
sa*
a3(d1 + bi)
191. st; 2 2a2(a3 cl)
193. 2a=t› + f1(2t›= ba)
Multiplicación de un polinomio por un monomio
A veces, es necesario usar muchos números literales en un problema. Para no emplear
gran parte del alfabeto, puede utilizarse una letra con subindices, como en a, , que se
lee “a sub uno", al, que se lee “tt sub dos", o; que se lee “rr sub tres”, y asi sucesiva
mente. Recuérdese que a, , a 2, a3, . _ . representan números diferentes.
3 I OPHICDHEIÁSICISCOHPOLINOIDS
La ley distributiva extendida de la multiplicación,
a(b| + bg +
+ bn) = ai: 1+ ob; +
+ ab,,
se aplica para multiplicar un monomio por un polinomio.
Multiplicar 3x2 + x
50|_UC|fiN
x(3.r1 + .r
2') = .t{3x3) + .r(.r) l ,r( 2)
= 3x3 + .ri
2x
Multiplicar .ri
sotuctont
2 por x.
Jr + 4 por 23:2.
_
Multiplicar agb
SOLUCIÓN
3oib(aib
8x2
Zhlc + Sega por Brtzb.
3u3b(a2b) + 3o:b('_2b2f.') + 3rt3b(5r:2rt
Zbic + Sega)
3o4b2
Óulbic + l5o3bc2
Efectuar las operaciones indicadas y simplificar:
2X(3x _ 4) _: 6x{.tt' _ 2)
2x(3:r
Multiplicar 2'?
sowctotv
4)
6x(.x'
2) = 6x3
8.1:
ox: + 12.1: = 4.1:
ï6_¿ por 12.
12 í.
:tr 2 2.; 1__12
3;___2 ._
1:1 lr 1 J
_.
tu
I
4
6
l
4
l
6
sta.t: 2) ztzr n
í
Í
9.r
5.r
6 4.1: + 2
4
Ejercicios 3.66
Efeetúe las multiplicaciones indicadas:
l.
4.
7.
_
(~ 2»fi)(t "`* _ X + 4) = ( ¿till tz) + (U 2Ii)(_I) + ( 2 ri)(4)
2:" + 2x3
SOLUCION
_
6(x + 7)
8{x
I)
4(x
2)
2.
5.
8.
5(.x + 3)
2(2x + 5)
5(x
3)
3.
6.
9.
7(x
4)
3(4.1r + 1)
.r(y + 3)
3.6
llllfliflitãdúlì dfiflflflliøflllos
10.
13.
16
19
7 ' 'U' + 1)
IU” _ 2)
22.
25
3x(x I 2)
28.
31.
34.
37.
Zrtfiy
5)
2r(2.v
7)
Ú«\'( 1' _ 3)
4x(.r
4)
2x(3x2
lr)
4x2(x + 2)
.r3(3
2x)
z±*(s,± + 3)
4.t:2(.r3
'ëåãgfiå
52
54
56
53
60
62
64
66
l)
ll.
r(2y + 5)
12.
2›:(3y + 4)
14
17
20
23
26
29
32
35
38
41
44
3x(_y
15.
5x(2y
7.r(2.r2 + x
4)
.r(.r2 + .x
5)
4x(3x2
Jr
l)
3x2(x3
21:2 + l)
2.›:3(.r2
31
2)
3at›(2a2 + 4t › ° 1)
a t›=( si zaãb + bt)
ob3(a1
Zab
4b2)
a 2b(3a2 + bl' ~ 1)
3x(2.›t t) so 3)
x(3x
2)
3.r(x + 2)
63
70
r( ri
1x+ 5) +s2(zt
3I2(2 X2 + x
4) x(3.r2
'71
x2(2r2
4)
3:r
.t{x3
l1"'¡
3 *+1
12. eí+
3
2
.I+2
74.
or;
13.
31@ _ 2)
2yl
21.
arts
2x(x + 4)
x(2x + 7)
24.
113
_3 fl? I 1)
4x(2.r2 + 1)
.r2(x + 6)
x3(2
x)
x2(.r2
1)
.r(x2 Zr+
47.
49.
Sl.
S3.
55.
57.
59.
61.
63.
65.
67.
4)
69.
2113.1' + 3)
30.
33.
5x(.r2
2)
6.r(x2
4.1:)
36.
2.r2(.x
II Il
L"""'Ht .JI*hGHJ.g
l'ï" 'I "ïiI|'i¬f 1
t 1+
'U J
¡ 4
ti
x(Zr2
Jr
3.1:*
Zt:(3.r2
.tr
3.r(3
5.1:
2.x3(3.r2 + J:
.r4(x3
4)
Jrz)
5)
.tr l~ 2)
2at›( a2 + sab bi)
zaibw + sais* 35')
5a'ib2(ob2
b + 4a)
zas' (2fl=
2.r(5.1r
4..r[.r
ste
2)
6)
3.:r(x
4) É 1›:(2›:
2x(3.r2
4)
3)
4.: + 6)
x2(Jr
4;)
x+4
x+l
;3,4___+___
2
4
¡+2
l8[
st.
x 8
9 +
.r I l
79.
1)
3.\'(J.'2 _ 3.1' + 2)
3.1: l
77.6_
[2
lx*
le
3)
x2(3.r + l)
2x2(.r2
2)
45.
3
Jr l
í_+“"_'
9
4:|
' 7J
6)
27.
75.
_?
4.r(.r
39.
42.
I)
ty;
9x + I)
.tr 4_.r+2
78
3)
3)
if +'† ]
il t
76
80
.1"'i"3
I)
ZIICÍ5
2.1' l
“ls
1
3
2:r+3
_
3]
Jr 2
7
]
x 8
si
_
8)
3 I Wfllïflfiflflfllåwfllflí
Multiplicación de polinomios
La multiplicación de dos polinomios es semejante a ia de un monomio y un polinomio,
donde el primer polinomio se estima como una sola cantidad.
Para multiplicar (x + 2) por (Jr 3), se considera (x + 2) como una cantidad y
se aplica la ley distributiva:
of
1› =
< 1 1+ ( 31
= .I(I + 2) + ( 3)(..'t' + 2)
Luego se vuelve a aplicar dicha ley:
= .ri + 2.1'
= .rz
.r
3x
6
6
Nótese que cada término del segundo polinomio ha sido multiplicado por cada uno de
los términos del primer polinomio.
Es posible obtener el mismo resultado acomodando los polinomios en dos renglo
nes v multiplicando el polinomio superior por cada uno de los términos del polinomio
inferior. Los términos semejantes obtenidos en el producto se adorno dan en una misma
columna, de manera que la adición se facilite.
.rt.r + 2) =
3l.r+2l=
sumar
De esta manera
¡+2
x 3
.tz + 2x
3x 6
xi
x
6
(Jr + 2)(x
3) = xl
observacion
Multiplicar (3x
x
6.
(x + mx _ 3) 9, X, _ ¿_
4)2.
Sotllclóltl (ss 4)2 = (sx 4).;3.x 4)
31 4
3x 4
3.t est _ el =
413. .~ tu =
sumar
Por consiguiente
(3x
91
121
12; + te
912 24; + te
4)i = 9x2
°””"“'°"
'
1
24.1' + 16.
3.6
Iuldpllcoclondepollnontlos
le
notas
1. (a+b)2=ai+2oo+b2
z.(a ¿›)=' =a 2 2e¿›+t›i
3. (d+b)(a b)=o2 bz
Multiplicar (xi
2x + 1) por (Zx H 3).
SOLUCION
x2 2x+l
2.1' 3
2r(.r2 2x+l)=
3(.r2 2.x+l)=
sumar
Por lo tanto,
(x2
2x + l)(2.x
213 4x2 l 21
3.r2+6.r 3
2:3
712 + 8.:
3) = 2x3
Tx* + 8x
3
3
Efectuar las operaciones indicadas y simplificar:
(Zx
3)(x + 4)
(Jr + 2)(x
6)
SOLUCION
(21 3)(x+ 4) (:r+2)(x 6)=(2›:"i+5.r 12) (Jr: 4x 12)
=2t2+5.r 12 x2+4x+l2
=x2+9Jr
Efectuar las operaciones indicadas y simplificar:
(sx + 2)(.t + 6)
sotttclóll
so.
2)*
(sx + 2)@ + 6)
so
2)* = (asi + zox + 12) 3(.r2
4x + 4)
= sx* + zm + 12 3.1 2 +12.v 12
= 32x
Elercicios 3.60
Efectúe las operaciones indicadas y simplifique:
Fl"
7.
10.
13.
16.
(Jr
(Jr
(x
(x
(x
(x
l 3)(x + l)
+ 4)(.r + 3)
+ 3)(x
6)
4)(x + 6)
+ l)(.r
1)
7)(x + 7)
Ulb J
8
ll
14
17
(.r + 2)(x + 4)
(x + 5)(x 2)
(x + 1)(x 8)
(Jr
7)(.r + 4)
(x + 3)(x
(x
l)(x
3)
6)
flltfifl
9
12
15.
18
(x + 6)(.r + 2)
(x + 7)(x
3)
(J:
l)(x + 3)
(Jr
9)(x + 2)
(J:
6)(x + 6)
(J:
2)(x
4)
3
GPHICIOIBIÁSICÂSCOIPUIJÉOIIOS
(x
3)(:c
5)
(3.1: + 2)(x + 4)
(4.1:
I)(.r + 7)
(3x
l)(x
6)
(3.r
l)(3x + 4)
(21: + 7)(2x
3)
(lt + 1)(2x
1)
(4.1: + 3)(4x
3)
(9x
2)(4x
3)
(4 + x)(5
x)
(2
x)(2 + x)
(6
.r)(2
x)
(3
2J:)(3 + 4.1:)
(x + 3)(2
x)
(x + 7)(3
x)
823%
29
32
35
33
41
44
47
50
53
56.
59
62.
65.
(1
69. (X
2)2
(_: + 2y)(.t + 3y)
(I + 5›')(x
(3.1: + 2)(3x
(3x
(2 1'
(6
(6
(5
(2
(x +
4)*
T3.
31')
2)
I)(4x
3)
' 5)(3x ' 7]
x)(4 + x)
.r)(6 + x)
x)(7
x)
9x)(3 + x)
l)(6
x)
(lr + ¡)(3
(.r + 3)*
66.
(x + 1)*
(Zx + l)(x + 3)
(31: + 2)(x
6)
(lr
3)(x
4)
(41 + l)(6x + 5)
(3.1 I I)((4x
1)
(51: + 2)(3x
S)
(21: + 5)(2.r
5)
(2.1:
4)(3x
2)
(2 + .r)(3
x)
(1
.r)(9 + x)
(3
x)(l
x)
(4
.r)(9
x)
(7 + 3.r)(8
Sx)
(x + 4)(l
x)
(x
2)(x
3)
(lt + l)(x
5)
(Sx
2)(x + 2)
(lr + l)(3.r + 2)
(Zx
3)(3.t + 5)
(4: + 1)(2x
9)
lr)
(2: + 1):
10. (2.1
1)2
(3x + 4)(2
67. (2x + 3):
11. (31
2)2
(x + y)(.r + 5y)
74. (x + 3)')(x
76 . (2.x + 5Jf)(lr
Sy)
4y)
77.
79.
(3.1: + 2}')(3x
(x
4)')(3.r
231)
43;)
81.
(xy + 3)(1')'
4)
(lr 3y)(3r 2?)
(xy + 21(1)» 2)
(xy 61(1)* 4)
33
(rr
5)
(xl + 3)(x2
35.
87.
39.
91.
(Zar:
3)(3x2
5)
(x + !)(?.x2
7.1' + 3)
(x
2)(x2 + 2x
4)
(Jr + l)(.t2
x + 1)
93.
(21
95.
(Jr
97.
4(.t + 3)(.t
7)(1?~'
93.
l)(3.1'3
2:
2)
(x + 2)(3x1
61
5)
2(.' r + l)(x + 4)
2(.r +
3(x
.r(2.v:
(xa + 3.1
108.
(212 _ 3.! + Ó)(.I2 + 2.!
4)
110.
(x2 + x + 1):
(.12
113.
115.
117.
(xa
2.: 1):
(x + l)(.t
l)(x
2)
(lr
3)(.r
2)(3.r + I)
127.
129.
131.
(Jr
(2 I
100 .
102.
104.
106.
119. (x + 1) ”'*
123. (x 1)*
y):
3)(_.r2 I 3x + 9)
(3x + l)(9.r1
2_v)(x1 + 2.1@ + 43,3)
2)(2x
1)
3)(x + 5)
l)(.r
3)
+ 2)(.r2
3x + 2)
lll.
120. (.›; + 2)*
124. (1 3)*
(x + l)(x + 3) + x(x
4)
(2.1: + l)(x
2) + .x(x + 3)
(x + 2)(x
4)
x(x
2)
2)
(31
(x
l)(4I2+2X+ 1)
1)
3x)
101
3x + 1)
›')(4 I* + 2 0' + F2)
99.
3(x + 2)(x
4)
4(.1: + 3)(.r
2)
2(2.r + l)(.r
4)
›:(3x
l)(3x
2)
(x3+2x l)(x“1' 2x+l)
(3):: x+2)(2x2+x 3)
x + 2):
(x
112.
(xl + lt
1)(.r + 2)(x
3):
3)
(Zx + l)(x
i)(.x
(.r + 2)(2x
1)(3;
(.± + _›~)f'
122. (zu + 1)*
(Zx
126. (Br
1)”
4)
2)
2)*
(.r+ 2)(x 3)+x(x+ 1)
(x 1)(.r+4) x(x+3)
(2.r+3)(x+ 1) ›:(2x+5)
3.7 Divlolúndepolinomlos
3)(3.1r
91
133.
(lt
4) + (.r + 6)(.r
134.
(31: i l_)(4,r
135.
137.
(x + |)(.r
2)
(x + 2)[.=r
(.r
2)(.:r + 8) + (Jr
3):
5) + (3
2)
21')(i + 69:)
3)
139. (31 + 1)(.r + 4) (.± + 2)*
1n,(m 3m«+n cu+3F
1a.@ of u+6f
136.
138.
(x + 4)(x
3)
(x + 5)(x
(Jr
3)(x + 5) + (Jr
l)2
4)
140. (ss 2)(3.t + 1) (sx 1)*
nm 01 Uu+s) ns U*
1M.ua+flL4m 3?
Exprcsc los siguientes enunciados en notación algcbraica:
145.
146.
Z más el producto dc .tr y y.
Dos veces z más tres veces el producto de Jr y y.
147. Tres veces z menos dos veces el producto de :r y y.
148. Cinco veces z menos cuatro veces el producto de x y y.
149. z multiplicado por la suma de x y y.
150.
151.
152.
El doble de .T multiplicado por la suma de x y y.
El producto del triple dc E 3' la suma de x y y.
El producto dc cuatro veces z y la suma de Jr y el doble de y.
153. x más tres veces el cuadrado de y.
154. El doble de Jr más cinco veces el cuadrado de y.
155. 2 menos cl cuadrado de la suma de .tf y y.
156.
Cuatro veces z menos cl cuadrado de la suma de x y y.
División de polinomios
Las siguientes son algunas de las propiedades propias de las fracciones. estas propieda
des se tratan en el Capítulo 2.
,_2='ï
b
bc
2_f¿fa=2¬.2
c
c
Nflfã
c
3
É:
fi _Ef`..
TI
É .I
"aa
. . ..
4
E.:..E. E
._a
's'a"tݢ
.
Puesto que la drvtston por cero no está defi
nida, todos los denominadores se suponen dis
tintos de cero.
Primero consideraremos la division de monomios, luego la de un polinomio por un mo
nomio 5', finalmente, la de dos polinomios.
División de monomios
De las propiedades de las fracciones y reglas que rigen a los exponentes se tiene
Gs
a s rr 3
a3
3:?? '1'=T=
as
=
as _ 5
92
3 I OPBÃCIOUB IÁSICÃS CDIPOLÄOS
ad
l
a4
tt?
aro
ni l
av as
1
as
L
ID 'J'
a
Si of G R, a ¢ 0, y m. n E N, entonces
TEOREMA 4
f _
tt" _
o'"""
cuando rn 3: rr
l
cuandom = rr
i
añ HI
oetnosrnnclon É
afl
É
nn'
Í
tr'
cuando m < n
n,afn n
= % T* = fl”'_"
cuando m 3 1
H
a"
= É = I
cuando m
H
a”"l
I
=fi=a'ï,
cuandom
<'. H
26
1. 22
“T
2. H,
: 26 2 = 24
:aa s=az
(fl
1)*
3.
(G
U3 =(fl l)'*'“=(fl 1)
54
4. 5,,
5.
6.
(x+ l)3
(x
. .ii ) 5
+
3"
8.
1
1
312 _ 312 8 _ 34
as
7.
1
1
¿.19 _ a9 3 _ añ
(.r+2)“"__
1
_
1
(1 + 2)* _ (1 + 2)fi'* " (1 + 2)*
3.7 Dlvislondopollnonlios
93
_
. .
30o3b2
.
Simplificar W aplicando las leyes de los exponentes.
sotucioiv
_ .3°f¢3¿'Í
izan; 4
2 ' 3 ' 5“"'f>2
2 t 2 sata*
“L
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I
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1
1 I 1 ¬ inf
rou ns: .2L
bI
__§.e.i
F
21 bi
_ Si
zbl
De las propiedades de las fracciones y la definicion de exponentes se tiene
g_"_g_z_2_z _2 2 2 2 Ej
3 's 3 :i 3 3 3 3 3`s*
TEOREIIÃS
Si e,bER,bsf0,yni€N, entonces
es
1;
'se
rn factores
nsiuosrnncion
«ff tí ¬
= _._. _
¦ l"'¡'¦i
TQ
m I'actores
__
'¦3"fi'i
13 2
% _ gl3
l_í__.I
m factores
COROLARIO Si tr, b, c, d E R, c ss 0, d se 0, y in, ri, p, q. k E N, entonces haciendo
uso de los Tcorcmas 2 y 3 de la Seccion 3.6 v el Teorema S, tenemos
¿tmbn
I: _
_ amkbnk
Zlì F * (Mr * ms*
.
.
_ .
.
Al aplicar las leyes de los exponentes, simplificar ia expresión
SDLUCIÓN
Zxirs 3
.
Podemos simplificar la fracción primeramente antes de aplicar el expo
nente exterior.
[2r"yz]3
[x3zJ3
.r°z3
x9z3
fixyï'
_ 3).
_' 33)? _ 27y3
3 It OPHICIOIIEBÁSICÃSCGHFDUIOIIDS
siist ` te(2 32)@
.3›* `.rf2* 3*
34
_ÉÍ.Í...Í.L..2
"'23 s*`i 32'" 9
Simplificar
SOIUCIÓN
2 3 J
aplicando las leyes de los exponentes.
a _
En este caso no es posible simplificar primero, ya que el ntimerador y de
nominador tienen potencias diferentes. Primeramente se aplican los exponentes exte
riores y luego se simplifica.
(2a2bc3)3
Ziafibici' _ Suicq
(3a bi): 3
32a2b"
9b
Efectuar las operaciones indicadas y simplificar:
idea* : ( zas) * + ames* + ( 3a=i›)2
solución
isa W + ( 2ai›)i + ssaibi + ( 3a2s)2
_ isrrvfi + sama* _ tartas + santa@
"` ( za; )1 ( sa›2t›)1 ztatte 3%. *f›2
ieaiai seafiiil'
=' _a:f›~n+W=“*'†““=2“
Ejercicios 3. 7A
Simplifique aplicando las leyes de los exponentes.
L
5.
22
Í
2
13.
( 2)3
T
a2
53
ll)
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36
ll.
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17.
1. 36
35
34
24
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27
3.
26
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9.
28
32
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( 2lrÍv°25)3
3a' + ( ag) + a(3a2)2
905 : ( a)3 + 3a(3o
127.
sab* + ( bi): Sa *b = ( 2flb)*
aafibfl + ( aa 2)f* + 3of1"'¿›** + (3fl2b)*
430% '° + (zob*)* azofibf 1 ( 2›:rf›)"
IZS.
(2o1b)“ + ( 'H *f=)" + 540%* 1 ( 3flb)”
126.
( 25
"5' (aab2¢2)1
(l8a2b )'1
119.
125.
Divisuon de un polinomio por un monomio
De las propiedades de las I`rm:cioncs lenennos que
(I
fͦ+[Íì+"'+a
|
_
1 I.__r_I_*E!
Íl
_.__
l'_J
(I
1+.
III
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Rccuérdcse que
a + b
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sìgnifìwzn tu + b) +
Í'
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(12af›3)*
( _ 6x3y2z2 )3
123.
( 10)'
(6a›ib2)§
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111. _§;_¢_ry2r)'
( _ 2_¡_.2F¿,3 )3
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24
114.
(l6a2b2)3
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(E3
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(fl:"b)”
108. (a3b2
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(02:73 ) 1
rs*
os. 6€,
192
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1
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21 s
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I
1
I
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3.7
DIVISIÓN GB DUÚIHBÍOS
97
NOÍ3
%_b ifi b.
a+b
o
pero
f)
b
“T ='iï+'ä'=1+Tr
Para dividir un polinomio por un monomio, se divido cada término del polinomio por
el monomio.
:_
1
Dividir
ysimplificar.
wwwfl
mi if* +.1§›f. _ 12 5'; + _ of + of
fix
6.1.'
= 2.1::
3 3
Dividir 'ii
21121;
ab
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za 3
a
_
bz
5°*"°'°^'
ÚI
.ic + 3
y simplificar.
2
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_
2
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.i3 +
ob
Dividir Q X `*
ÓX
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2
2iib+
ob
_
2
2
¢i¿›=_§_¢¿__+2a+b
ab
2 ._
+3S'” `ì`l) y simplificar.
(3x + ir):
a{3x + of)
(ax + .ii
(3.1: + rr): ___ a(.'{i{ +_ :Q
oi. + ai
iii + ai
=(3x+a} of
= 3x+a a=3x
Efectuar las operaciones indicadas y simplificar:
12a* + #2
of
SOLUCIÓN
b
4
3 _
12@ + Liz
32.91
(aii
mi + 1)
2
32o _ Ga __ Wa + U
=(3a3+o 3) (3a: Sa 8)
=3a2+a 8 3a2+5a+3==6a
3 I OFERJICIOIIESBÄSICASCONPGLHOIIIBS
EIEVCÍCÍOS 3.73
Efouiúc las operaciones indicadas y simpiifiquc:
lr + 2
2
7 + 7.1'
T
1.
4.
ta
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_+_
El
3
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lr
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' "'_"':¿';T
"_" “ (ff _ 5)'
'
Division de dos polinomios
La diifisioii se define como la operación im er: ia de la multiplicación; aiii que empera
mos con un prohienia de multiplicación 3,* luego deducinios la operación de division.
(12 + 3.1'
5)(2.r
7) = :r2(2.r
= Ínl' 1:3
= 2:r3
7) + 3x(2.r
7) + ( 5)(2.a:
7)
7.r'i) † (ox:
2l.r) + ( 10,1: I 35)
Jr:
31.1: + 35
Por eonsiguienle si (2..r5 ¬ .ri 31.1: + 35) se divide por i2.r 7), el resultado es
(xl + 3.\'F 5). es decir, el primer polinomio del problema de multiplicaeiòn. El poïi
nomio (2.r3 .ri 3l.r + 35) se llama dividendo. (2.i: 7) es. el divisor, y
l.r7" i 31: 5]. el eoeienle. El primer uirniìno del dividendo, 2x1. proviene de mulii
pliear el primer término del cociente. 1:2. por el primer término del divisor. 2.1', De
modo que para obtener ei primer iérmino del eoeienie. xl. dividìiuos el primer 1érrnì›
no del dividendo. 2.i:3 . por el primer lèrmino del divisor, 2.1:. ivlultìplieanclo todo el di
visor (2.r 7) por eiie primer término del cociente. AJ', oblenenms 2x3' 'i'.'r“i. M rest ar
Zxi
7.r2 del dividendo, resulta
rar* › .ii
sm + ss)
(zii
ri 'fi = avi
31.i + :is
3 r OPHIQOIB BÁSICAS COI POLlflOIIiD$
La cantidad 6x2 3lx + 35 es el nuevo dividendo. El primer término, org, del nuevo
dividendo proviene de multiplicar el segundo término del cociente, 3x, por el primero
del divisor, 2x. Así que para obtener el segundo término del cociente, 3x, se divide el
primero del nuevo dividendo, 6x1, por el primer término del divisor, 2x. Multiplican
do el divisor (ZX
Restando ox:
(avi
7) por el segundo término del cociente, 3x, se obtiene 6x2
21.1',
2l.r del nuevo dividendo, resulta
str + 35)
(eri
21.1 i = ¡ox + 35
La cantidad lüx + 35 es ahora el nuevo dividendo. M dividir el primer término, ( lüx).
de este nuevo dividendo por el primero del divisor, 2x, se obtiene el tercer término,
( 5), del cociente. Multiplìcando el divisor (Zx
7) por el tercer término del cociente,
( 5), se obtiene l0x + 35. Restando ( l0x + 35) del dividendo ( lO.r + 35), resulta
cero. lniciemos nuevamente el problema dìsponiéndolo de una manera semejante a la
de la division larga en aritmética.
El primer termino del
cociente es
¿rs
is
2
i
.
n
divisor 21
+ x + 3'* _ 5
Cücìi 'nie
I
lr
.r
31,1: + 35 ÚWIÚÚUÚÚ
3
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_
2
'
"
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zx
1
El segundo término del
cociente es
9
ru! _ 7) =
is 9* Í = +31.
2Y
3 ®
L: _ 7':
613 '_ 311€ + 35
9 ¡G3
3I( 21 " 7) ='
El tercer término del
cociente es
¡S “ 101 __ _5_
2
ox
5(? r v' 7) =
|
..
Por consiguiente
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10; + 35
G)
9
101 + 35
'
2.1'
211
restar
restar
0
2ri~.i2 31.i+35
Í_ 7
DEFINICIÓN
,
1 .r + 3x
5
El grado de un polinomio con respecto a un
número literal es el exponente mayor de este
número presente en el polinomio.
xsy
7x"y2
2x3y3 + 9y" es un polinomio de grado S en x y de gra
do 4 en y.
Para efectuar la division de dos polinomios, se procede como sigue:
l. Se ordenan los términos del dividendo de acuerdo a los exponentes decrecientes de
una de las literales, incluyendo términos con coeficientes cero para las potencias l`al
tantes, o bien dejando espacios para los términos con dichas potencias faltantes.
2. Se ordenan los términos del divisor también de acuerdo a los exponentes decrecien
tes de ia misma literal empleada en la ordenación de los términos del dividendo.
3.7
Dlïiiiórl G8 IIOIIHOWIIOS
101
3. Se divide el primer término del dividendo por el primer termino del divisor para ob
tener el primer término del cociente.
4. Se multiplica el primer termino del cociente por cada uno de los términos del divisor
y se escribe el producto resultante poniendo sus terminos debajo de los correspon
dientes términos semejantes del dividendo.
5. Se resta el producto del dividendo para llegar a la obtención de un nuevo dividendo.
6. Para encontrar el siguiente y todos los términos consecutivos del cociente, se trata
el nuevo dividendo como si fuera el original.
7. Se continúa este procedimiento hasta obtener cero o bien hasta que el grado del poli
nomio recién obtenido, con respecto a la literal empleada en la ordenación del divi
dendo, sea por lo menos una unidad menor que el grado del divisor en dicha literal.
É Dividir (eri
SOLUCIÓN
rtvi + ts) por (sr 4).
Escribimos el dividendo como 6x3
divisor 3x
613 = +2_v2
3
.r
_9x2
3
+ Zri
i 613
4
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I
I
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2
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(3
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9.1:* + 12.1
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Por consiguiente
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17 2
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T Dividir (1<, tri
1
= 21:2
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3x
SOLUCIÓN Se escribe el dividendo corno .ri + Uxi'
divisor como ,v2 2x + I.
.ri 2.r+l
7x +
lOx3 + l9.v2
3
|.r5+0x" l0.r3+l9x2 I4.r+6
G 36)@
x5 2.r"`+
13
zri t1.r 3+ 1912
(É)
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(9
4.r3+
residuo
4
14; + si por (ri + 1
x3+2x1
restar
212
7:3 + 17.12
l4x+ 6
zx).
141' + 6, y el
3
arsuaosssustcnscounanmomas
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'?.1+3+x¿_2 l_+l
= .I3 + 2.11 _' 7.1' 4.* 3 _*
Nota
.
Esta furma es semujunlc
a la usada en arn.
métìca cuandu se escribe:
2€)
.?~
É Dividir zar*
SOLUCIÓN
3_v*
6
2 I 7.
11.1 ~*_» 2 + 14.11; 3) pm (.11 + 2.1 y ~ JW).
Sc escribe ul divìchrndu corno 23"' + U.\'7'_1'
lr:
.1 1 + zw
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.r'1 'lr *ïí
+1
I3.r3_v1 + l4.~:,›'3
4x__v + _1,f3
2.1 + ofy
13.63.» “ ' + 14.1; *
al
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Dividir 1l2(2.1r. ¬ _» F 1 7[..'?..\" ' y) ' |.?.| pm* [3(2.~:
SOLUCIÓN
Entonces
Sea 2.1'
l2(2.r
4 + ¬
J ¬*
y] + 4].
_v = 2,.
3 ): + 7(I'.1:
1')
12 = 12:3 + 7:
12
3_v“'.
3.7
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Y
3(2_x y)+4=3.~.›+.4
I2:=+7z 1
13 = 4; ._ 3
3z+4
Puesto que
[g¡¬¡.[1_ 11195
= ¿{'2_ ¿ ,_ F] _ 3
jr) +4
3(2r
EflHUÑWNH17C
Efectúe las divisiones siguiemf. s
2
I.
4.
7
10.
.
.r + 3.1:' + 2
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2.
.r+3
.I 1 l
.ri + 7:: + 12
I + 4
5.
.t :+21 15
x 3
8
x3 9.r+20
__
_
x 5
8x5 '+l6.r+€›
13.
+
2.r+1
lfi.
20.1: + 412 + 25
i
19.
13.1: ~ 5 + 6.1::
¬
22.
25.
27.
29.
31.
34.
5+ 2.1:
3.1:
1
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2
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12%* † F 3 _+ 255:'
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3.1: 4
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2
lr + l
3 + 4.1:
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xa i4x4 43
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x1+.f 2
.x1+3,± 12
¿r::+5.r;+ 6
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'lr 7
3
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12.11
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(239
53.
54.
(4,±~* 4,›. 1 1318+ 10; 2) = (212 4+x)
(m * + ms 19, R 21; ax* 30) + (s I + 612)
SS.
(151 f
56.
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57
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59.
(1r*' ¡lx3+3x5+1{1x+4)+(I+ 12 2)
60
(2512
61
(2.1 * 1112 40x 20)+(2r*'* 3 6x)
62
(1615 11 40.r+ 16) : (4x2+x 6)
2712
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21) 1 (49
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7; + es) 1 (512 + 1
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21 +1)
Bxzyz + 7xy3) +(r1 + 3 Y? _
5,1 y3 + 3x3y + 3x2y2) 2 (212
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y") I (112 + 2 fy + 1*)
yz)
13. (af + 27,9) + (3y + 21)
75 («'f° Byfi) + (11 _ 2y')
llønãødeltapftuløs
105
76.
[(.r + y)2+2(x+_v) 3] : [(.r+y) 1]
77
[(1 _ NE _ 4( I _ Jr) _ 12] _ [fr _ Y) + 2]
73.
[4(x + 2y)2
4(x + 23:)
79.
[6(:c _ 3y)2
25(x
80.
[2(x + y)2 + Sfx + y)
12] : [2(x + y)
81.
[SLI
15] + [4(.r
32.
]2l(2I I y): l› 2(2r + y)
_v)2
2(.r
3] + [2(.x + 2y)
3y) + 14] e [3(: r
_v)
3]
3y)
2]
3]
_v) + 5]
3] + [7(2.r + y)
4]
Repaso del Capítulo 3
Sume los siguientes polinomios:
2y+l,4y 2x 7,.: y+2
2.r+3y 6,2y 3.r 1.4.1: 5y+3
3.ry 5y+6.3}*_2.Iy_3.3_xy_2y
noH
mi 1sx 30.7s 9s1+2o,1s ax 1311
13+2.12 2x+5,Zr2 5.r3+7.r+4,8x 5x2 6
'.?"'P¦¡*É" !"'¦"' llx2y+5xy2_3.8xy2 2.r1y+ l0.7x2y .ry2+3
Reste el primer polinomio del segundo:
7.
10. 2;, 10,:
8.
11.
.r, 4.1:
312,11
12.
13.
14.
4)',
15.
16..
19.
21.
23.
26..
61'. 4x
Ty, _3y
9.
2)*
5x, _ 21
612, sx*
15.1: _ 1, 101' _ 4
31: + 6, 7.: + 2
17. 21:2
.r, 2x
1
18. 9x
2,x1 + 3x
l5Jr+6y 4,101 5_v+l
20. 3.r_v 101 5.6.1.3' 3.1' 5
212 + 3y2, 2/rzy + 3y2
22. x2,.r3
x, .II
24. 5.1:, Sxy
25. 4a, 4a:
az, aïb
27.
3.112, 3 al
28.
8, Ba
Elimine los simbolos de agrupación y reduzca términos semejantes:
29.
31.
33.
3(.I _ 4) + 4(x + l)
5(2x _ I) _ 2{3.lr + l)
ZÍ4 _ (x _ 3)]
35. 3|y+2(.r 3) 4b›+fa)1
30.
32.
34.
4(x _ I) + (lt _ 2)
2(3.I _ 4) _ 31(2); _ 7)
3[l _ 2(3x _ 4)]
ss. 4¡_v 2(.r+1)+9(y 1)]
37.
23;
33.
7 + 3120:
39.
40.
J:
3.1'
41.
42.
412
2{3.r + 2[.r
x(.r
3)I]
9 _ 4{x
[?.r(x
6)
x(3x + l)]}
[5.r(x
_v)
2y(3
x)]
4)
(2: + 1)]
[7 + 3(.I:
4)] + 2[9 _ 4(2.›: + 3)]
2[2y + 3(x
1)] _ 3|5 _ 2(y _ 2)]
Escriba expresiones equivalentes en las que los tres últimos términos estén encerrados
entre paréntesis precedìdos por (a) un signo positivo, (b) un signo negativo:
43.x+2y 3z+l
45. x3 3x2+.r 2
44.6x+2y 32 8
46. x4 3x3 x2+x
3 I OPEQMHOHES IÁSJCAS CON PGIJNOMIOS
Evalúe las siguientes expresiones alado que rr = 2, b = 3, r: = 1 y ¿I = _
47. fiar* _ da
S0. oe?
bd
rr(:›2 «
53. se
56. aa + . fa (b t
59.
62.
65.
63.
48.
51.
42)
4ab + cid
.?.ae2(ab _ cd)
54. sa*
:›=(.. 1
ss. aa .›¬ + ¢P(a1
ab _ 453d
sa › a
60'
4€ )
61'
63
zs ma ai
M sa* sf*
b + r:{2d _ n)
a'
gi 3c(o _ ri)
5:: + dtb + F)
.
i
o2_b2+2{'2
2
ar' + Zb
c a
(rr _ b)(r' _ d)
of + b
Zbì
r 3)
4d + ab:
c3(od _ 3r:b)¡
21:2) 57. (e + z›)*(sd + aim* ss. (sì + aa)f'(a= + af)
Zar" _ bd
ai
49.
52.
64.
bd
C1 + ÉHUP _ F)
.ic + bib _ ri)
67 4a* .41
30': + Se:
69.
a a
44:12 + ([2
70.
a'
Zb _ c
a' _ f'
t
_
d
'd
H
Realice las operaciones indicadas v simplifiquc:
71.
2.x_v2(_ry2)
72.
74
'76
'78
( _ 2ri;v'2z)( _ 3.r;r3)
( _ .tjw ")(y4z )( _ I ] 1])
75
( _ =r2›*")(2 r==)( _ 1423)
( _ f3J~')( _ 5 '0'3)( _ 1`2)'2)
79..
(.r:;v3)"'
(3 o*2)“
3.r_v( _.r2}')
73.
.r_v3( _x3_:~)
rr. < se†›< 1¬e 2›(4›››f›
31
(_2r›"`)*
( n›*')i(3rÍs)3
( _ lr*›'3)1(3 ffs)
sz. ( :ml )*
B3. t 2,6; . )“
85.
(1r2.:)3(5.r_v'2):
( _ 3x3_v~2)3( _ 2:.r2_:*"`)( _.r_v:)"
37
89.
Í " 12\'2)']Í_ ï3}`3)3
(5s}*3)3(_v:3)`*( _ .r5z)*'
Éëäïâ
4(_2rI1b)3 _ b3( _r¡)¡'
st. st a1›~')f
92
94
(_rr"'b3)3 + b(rt3b1)"
93.
Íir1(o= _ 2a + 4) + 6u:(n + l)
ss. 2a(sat + za*
96
97
a(2a*] _ 3:11 + l) _ a2(2a2 + 3)
a3(a3 _ 2o + l) _ a(a3 _ Zar + o )
98.
un + nn + 3)
lül.
( 4x _ Iii ox _ 3)
104
(4.r + 5):
105.
(7.1: _ 4):
106
(2a
107.
(Ea + l)(4a'i _ 2a + l)
108.
(21 _ 3)(4.r1 _ lr + 1)
110
(x2 +1: _ l)(.r3
HZ
(x3_ 21:
II 4.
99. rar + sim
102.
(r:5b)3 + 2ub(u"b)1
2)
(5.1: _ 2)l5.r + 2)
3)( W + ou + 9)
zsïaa 1)*
1)
4«2(3a"
mo. (ar + 3)@
1 03.
3)
{4x _ 9)(4.r + 9)
109. (si + l)(3.i 1 + tir
8)
lll.
(xx _ .r + 2)(.r3 + .r + 2)
II3..
(lr: _ x _ 3)(2r3 + .r + 3)
(xa + .tr _ I):
U5.
(lr: _ 3.1' + I):
116.
(I + 2)(.l' _ 2){.I + 1)
Il?.
(x l l](2r _ l)(.t _ 3)
118.
Jï(2.X _ 1) † (J: __ l)(2I+ 3)
119.
3.r(.r + 2) + _(.r + 3)(.r _ 9)
.r
I)
l)(x3 + lr P l)
Repaso del Capítulo 3
10?
120.
(lr 1)* _ (1: + 1)*
12].
(Jr _ 3)(2..r + S) _ (lr I 2)(,r _ l)
122
(.r _ 2)(,r3 + 2.1' + 4) _ (x + 2)(.r _ 2)
123
(2 .r + 3)`(4.r2 _ 6:: + 9) _ (x _ 2)(.r1 + 2.1: + 4)
_.22x5v7)'¡
124.
127.
130.
133.
(I4_¡.1`. I
___ _'_
125.
( lIx°_t'5 ,
(3 *$2513
5
!$x2\,1
___
Zlxyi
126
Í3~fJ'1)?'
(ra *)1
128' tema*
(63.r3_¬ve )2
(_
t*':›'=`)"
131. (9.r_t~3e)2
¬,3
(4r_v =' 'l
( __ ¿_¡s},s¿,'t )z
(_ ¿$1 T tZe)s
134
,
2
l0.rjv")
(.51J}'ì']
'29' u:.›.t=,. 2)> 4
(3 W* =r')*`
132'
(9xa_1.¬"e°)2
( _ HXEFZJ ) l
*
( _ l6,t=j›.'3:'1)7]
'
(43.r4_vei)"'
136.
138.
(6.152 _ 13.1' _ 23) _ [31 + 4)
U7.
(Illa _ 23.1.' ¬` 10)
(ISI: _ |".7¡. .*. ' + |2) 5 (SI _ 3)
I39.
(X3 _ ft": _ 14.! + 8) _ (I _ 4)
140.
142.
143.
(Bu 3 + at
144.
145.
146.
147.
l 18.
«tr 1 + s) f (3.1 + 2)
141. (ar1 ~ 7.1
Í (4 .tt _ 5)
.t »¬ + 1) : (zx ~ ty
(.r" + 64': _ (ur + Sr] _ 18.) I Lt + 3)
(l'2.t'3 + 31;" _ 37.1' _ 4.11 + 30) E (3.t _ 4)
(l8.r" _ 242:: _ 3.r3 _ lr _ 27) 2 (3.t'i + 2)
(2.r" + 31"* + llt _ 36) + [ri + 4)
(28.1: _ 5x3 + 3.15 _ lil.r" + lä) _ (3.r'i _ 4.1' _ l)
(tlf + ze*
25.6
los + un + (sf 6+ es
2)
(lrfi _ l ix _ 1"' _ .rx + 6) + (Jr: _ lt* +1)
(sf
.H
sr*
3... 2
sn) : (5. _ 1 _ uu + 7)
149.
150.
ISI.
l52.
(S.r" _ lU.r]r _ .tlf _ l2_r~'*) + (lr: _ .r_v + lva)
Lt* _ IÚ.r "sf + 25.111: 'E _ 6_v") L (Jr: _ 6.r_r + 3_v:)
Í lS.r" _ 29.r¿}'2 + lS.r_v] _ 4_v`*) I (3.13 + 2.r_r _ 4_v=)
153.
(at '
9.11» 1 + 1|.t v`
et "› : ( t~ 1 + .tv
2» 1)
Er tprese los enunciados siguientes en notación algebraica:
154 El perímetro P tie un rectángulo es igual al doble de la suma de su longituclJ y
su anchura tv.
155 El área A de un triángulo es igual a la mitad del producto de su base 1': v su altura h.
156 El área .fl de un circulo cs igual a 3.14 veces el cuadrado de su radio r.
157 El volumen V de una esfera es igual a 3.14 veces los cuatro tercios del cubo (terce
ra potencia) de su radio r.
158
El volumen V de un cilindro circular recto es igual tt 3.14 veces el protlucto del
cuadrado de su radio r y su altura It.
159 El tirea de la superficie S de una esfera es igual al producto de 3:14 _v cuatro veces
el cuadrado de su radio r.
l60. El área A de un trapecio es igual al protlttcttt de la mitad de su altura ft y la suma
de sus bases paralelas h, y bg.
cAPí'ru|.o 4
Ecu_ac¡ones lineales en una
varlable
4.1 Ecuaciones equivalentes
4.2 Solucion de ecuaciones
4.3 Pf`ODfE'm3$ DBFIÉEBÓOS COU D3Í3D!`ä5
109
4 I ECUACIONES UHEÃLE5 EN Uflå VARIABLE
Los siguientes son ejemplos de enunciados de igualdacl de dos expresìiirics aigebraicas:
.L
4(.r
3)
3.
5.
.Í ¬"' 2 = IO
+5=:r 7
aii
4.1:
'í'
12
.
3
+ f. 1
'
2.
Ji* + .i'
4.
6.
x2
3.ir= IS
.ri 4.ir=.r1 4(:r+3)
1'
'1 .ir
if..
l_.os enunciiidos I 3' 2 son veriladeros para todos los valores permisibles de Jr. Tales emin
ciados se llaman identidades. Nótese que no es permisible asignar el valor lì a Jr en el
eiiiirieiado 2.
Los eniiiieìados 3 5 4 son verdaderos para algunos pero no lodos los valores de .r.
FI enunciado 3 es verdadero iinicanieiiie si .ir es igual a 8. El enunciado 4 es verdadero
verlo si .ir es 3 o 6. Dichos enunciados se llaman ecuaciones.
Los eniiiieiados 5 3' 6 no son verdaderos para niiigiiii valor de .v 1.' se denominan
eiiiineinrlos falsos
li
Í
Ir
DEHMCIÓN
El conjunto de todos los niirneros que satis
facen una ecuacion llama conjunto soiueión
de dicha ecuacion. Los elementos del corijiinto
solucion se denominan raices de la ecuación.
I
to
1
I
I
I
I
l
Para ieriiicar si un valor de la iariabie es raw de una eciiaciuii, se reernplafa dicha va
rialile en la ecuaeioii por el valor, con objeto de ver si los valores niiiiicrieos de ambos
niiembiiis. de la eciiiicioii son igiiaies
r
r
Ii
1:
I
.
_;
¬
1
'I
1.
:
_
1
'I
l
I
I
0
1
_
1
'
la
¡I
¡I
I
I
I
I
1
'
1
I
'
..
li
I
Q
Dspmmmn
I
U
I
|
I
Si, di .e que una ee iiacioii es lineal si iodas las
1
*
1
r
1
iv
L
.
I
.
I
1
+
ii 1
ii
_;
variables
presentes
en ella
tiuien
etponenies
1.,
I
J
I
F
r
1
1
_
ii r
iguales ii 1 \ niiigun terniiiio de la ecuacioii
1
1
i
¬
tiene
ines
di.ii una variable
Lomo
factor
'
I
_
.r
1
1
I
r
.
Iii
.
I
I
Il
I
I
la eeiiacioii i ~L i
l es una eeiiiicion lineal en 1 i 3
.| *
1 I
¡I
La c.i.iiai.ioii
a"' i _ 'i
fi no es lineal
La ei.uai.ion li' i iv _ 9 no es eenacioii lineal en i. if
I
I
\
Í'
I
I
I
.
*
II
'Hi
.
I
_
.
1'
¡I
i
II
1
I
'I
I|
1
I
__
'I
pl
1
.
I'
1
'
.I
"
1
l
'
.
p
1
5
I
H
ii
'
I.
Í'
1
II
'F u
'I
Fate capittilii traia de las eeuaciiiiies liiienlcs en una iariabli.
¿
I
I
'If
¡U Ii
*_
.
1"
1
'
_
I'
I'
1
'I
il'
I
i ii 1
Pg
i.
1
1,
_
¡
I
1.,
.
Ecuaciones equivalentes
DEFINICIÓN
_
i
u
'I
u
Se dice que dos eeuiieioiies son equivalentes
si iieiieii el niisiiio coiijitnto solución.
4.1
Eetlaclenes equivalentes
111
Las ecuaciones 5.1' + 7 = 2 y .r = I son equivalentes. Las dos ecuaciones. tienen el
mismo conjunto solucion, l l | .
Dichos conjuntos de algunas ecuaciones resultan ser obvios por inspección. El con
junto solucion de la ecuacion .v + ' 1 = ID es {6}, ya que este núrnero es el único que
suniado con 4 da por resultado 10.. El conjunto solucion de la ecuacion 5.1' 2 = 3t;v + 4)
no es tan obvio.
Para resolver una ecuación. esto es. criconl rar su conjunto solucion, se pueden aplicar
dos teoremas con el fin de obtener una ecuacion equivalente cava soiiiciún sea obvia
TEOREMA 1 Si P. Q 3.' Tson polinomios cn una inisnia variable y P = Q es una ecua
cion, entonces P = Q y P i T = Q + Tson eqiiivaleiues.
El Teorenia I dice que, dada una ecuacion P = Q, es posible sumar cualquier polino
mio Ten la inìsina variable que P y Q a ambos niieinbros de Ia eciiacidn, obteniéndose
asi' una ecuacion equivalente P + T = Q + T.
Las ecuaciones 4.v t = 3.v + 5 si 4.1
i + ti lr) = 31' t 5 + (1
cual se reduce a .v = 6. son equivalentes. Su conjunto solucion es {€›}.
3x) la
TEOREIUI 2 Si P y Q son polinomios en la rriisma variable. ri cf R. ri si 0.. y si P =
Q es una eeuaeióiii entonces P = Q sf' nf' = nQ son equivalentes.
El Teorema 2 establece tine.. dada una solucion P = Q. podemos multiplicar ambos
miembros de ella por un número real ci se ll, obtenìendosc así una ecuación equivalente
:IP = oQ.
Las dos ecuaciones .sv = 2 1; Six) = S(2), esto es. 5.1: = 10. son equivalentes. Sii
conjunto solucion es {2}.
Cuando ambos miembros de una ecuacion se multiplican por una constante dife
rente de cero, la ecuacion resultante es equivalente a la original. Sin embargo, citando
dichos miembros se ntultiplicnn por una espresióri que contiene a la variable. la ecua
cion rcsi Iiante puede no ser equivaleine a la original.
Las iios ecuaciones Ex s S 3' :r(2.r) = .r{8). esto es. 29:: : Ss', no son equivalen
tes. El cor junio solucion de la ecuacion 11.1 = 8 es Hi. inieniras que el de 2.i ii = Ba'
es 10. 4}.
Las dos ecuaciones .v = 3 y .i¬(.v : 2) == 3t.v + 2) no son equivalentes. El conjun
to soliicidn de x = 3 es {3}. mientras que el de .v(.v + 2 ) = 3(.r + 2) es { 2. 3}.
De manera semejante, si elevamos ambos niienibros de una ecuacion a cualquier
potencia, difereiite de cero o uno. la ecuación rcsultanie puede no ser equivalente a la
original.
Las ecuaciones .v = 5 ji' tir): = (5):, es decir, .ri = 25. no son eqiiivalenies. El con
junto solución de .r = 5 es {5'}, mientras que el de .vi = 25 es l 5, Sl.
"ata
lil conjiiiito solucion de una ecuacion lineal
en una variable tiene exactamente un
eleinento.
4 I ECUICIOHES LINEÃLES EN UNA VARIABLE
Solución de ecuaciones
Dada una ecuación lineal en una variable, puede hacerse uso de uno o ambos de los
dos teorenias anteriores para formar una ecuacion equivalente de la forma lx = ri, cuyo
conjunto solucion es {o}.
_ .
.
.
la
Cuando el coelicieiite de la variable en la ecuacion no es 1, como en Tx = ri,
se puede obtener una ecuacion equivalente de la forma lx = ri multiplicando ambos
miembros de la ecuacion por el inverso multiplicativo (recíproco) del coeficiente de iv
en la ecuacion original.
¬ .
. . .
¡J
c
_
b
l:l inverso multiplicativo de F es 5 , ya que E
c
5 = l.
Asi que cuando el coeliciente de la variable es de la forma T, se multiplican ambos
.
..
c
miembros de la ecuacion por Í.
Encontrar el conjunto solucion de la ecuacion 14.1: = 21.
SOLUCIÓN
El coeficiente de .tr es 14.
El inverso multiplìeativo de 14 es
Se multiplican ambos miembros de la ecuacion por
¬ I (l4.r) r I t' 21'
14
` 14
l
¡.x=_ë.
I4
.r_ 2É
_
.
..
El conjunto solucion es
3
2 .
.
_.
..
x
Encontrar el conjunto solucion de la ecuacion _? = l2.
SULUCÍÓN
El término _`il¡
=
åx.
4.2
Solución de ecuaciones
. .
El coeficiente de .ir es
113
1
3 _
._ ,
. _ .
lil inverso multiplicativo de
1
E es
4
1.
. .
_
.,
Se multiplican ambos miembros de la ecuacion por
4
.ir
4
1.
'l
'I (T4) ` Um)
.r =
48
El conjunto solucion es { 48}.
.
_.
.
5
Encontrar el conjunto
solucion
de la ecuacion
Tx
= IS.
sotuclólii si essficissis es .t si
_
. . .
5
7
El inverso niultiplicativo de T es ï.
_ .
.
,
7
Se multiplican ambos miembros de la ecuacion por É .
7
S
7
:_š' 5.1' = šllfil
. .
7
Por consiguiente, .v = ï r I 15 = 21.
El conjunto solucion es (21 }.
Encontrar el conjunto solucion de la ecuacion 1.3.1' =
SOLUCIÓN
Cuando el coeficiente de la variedad está en forma decimal, será mas fá
cil si se cambia a una fracción común:
.
es equivalente a
l.3.t' = “.39
13
1 Ó .ir =
39.
. .
.
_.
10
Se multiplican ambos miembros de la ectiacion por 1 T .
to 13
_..__.
is io'
39.
=
tu
__
13'
_,3
9)
4 I* ECUICIOHESLIIEILESHUIÄVIRIÃBLE
Por lo tanto,
10
39
10 x 39
30
x=fiXi "13
El conjunto solucion es { 30]
Encontrar el conjunto solucion de la ecuacion
SOLUCIÓN
7x
8
=
35
35.
El coeficiente de ir es
El inverso multiplicativo de % es
2.
Se multiplican ambos miembros de la ecuación por
2, .
ã _?._, = §(š2
i
s
en
Por consi uiente
3
x '
Sig
E
veas
9
El conjunto solución es {
Ejercicios 4.2lt
Encuentre el conjunto solución de cada una de las siguientes ecuaciones
I.
4.
7.
10.
13.
16
lr = 4
ox = 6
o4.r = lo
38.r =
.I
Z
.r
'É
= 8
= 27
l
3x =
19 .
22 .
l33
1
l
šI=š
2
3x=27
lox=0
o4.r=
7.r= 14
7x= 5
26.r= 91
I
ll.
¬=v
21
I
14.
i=u
n
Í
ir
17.
.tr
_2_5
20 .
l
'r
61 = ' 3
l =__4
.__
8.1'
2.
S.
3.
23.
fi
9
.t, _ ¿
3
=4
31
8 64
2 =4
._
3x
4.2
solución de ecuaciones
25.
31:
7
23.
5
4x 60
9
26.
33:9
27
_r=20
29.
z = 72
si_
*rd
OD* D_¡¡_
31 o
si
sy
_
=
6
By
_
=
_
5
33.
6
Hz
10
36 _.
ï'¿
7 =42
35 _
5
ay
31. Í; gi' = 2
38.
By _
5
2
4
4ii.sx = 9
i
s
is
41 _ =
'ly is
42
44
ELE
4 2
45.
1 I .ir
3
47
25: 19
ti
33
48
2,
50.
5¿_ 16
8
25
34.
1,
¿L
6
7)'
32:
7
" J'Il“' 3 Dl!¦fL.n
=3
3;:
27
_ =
l1
22
2
2
“ti
_?
2
šx
49.
52 _
55 .
53 .
42
7
E
3_lx = 62
l.'l'.r = 0.34
0_03x = 0.06
53
56.
59.
12
l_ly = 33
2.3.r = 0.69
0.02311 = 0.46
39. E.
__8
51
21
=
4
31 2..
's
'
'
54 _.
57 .
G0.
zo
É
8
7
E
7y _
6
56
12
35
1,32 = 5.2
O_`7y = 2.1
0.19: = 0.038
Cuando la ecuacion tiene más de un término que contiene a la variable como factor,
se combinan los términos, utilizando la ley distributiva de la multiplicación
Encontrar el conjunto solucion de la ecuacion 3x + 4x
ggujçjág
3.: + 4x
(3 + 4
2:
2),:
5.:
=
=s
s
s
Por lo tanto, x 1
_
._
8
El conjunto solucion es I š 1.
Cuando algunos términos de una ecuacion contienen fracciones, para facilitar la reduc
cion de términos semejantes, se forma una ecuacion equivalente que contenga solamen
te enteros. Con objeto de lograrlo anterior, se multiplican ambos miembros de la eeuu
cion por el minimo común múltiple de los denominadores de las fracciones
4 Il ECUACIONES UHHLES EN WII WIRIÃILE
Recucrdese que al multiplicar ambos miembros de una ecuacion por un número
diferente de cero, se obtiene una ecuacion equivalente.
Nota
El minimo común múltiple puede obtenerse
como sigue:
1. Se factoriaait los enteros en sus factores
priinos, ji escriben los factores empleando
eiipottctttcs.
2. Se toman todas las bases, cada una de ellas
con su exponente maximo.
Encontrar el m_c.m_ de 12, 16, 18.
solucion
i2=z 2 aa .22 :i
is=2 2 2 2 =2 '
is=2 3 a=2 :ii
l_as bases soii 2 y 3. El exponente máximo de 2 es 4 y el de 3 es 2. Por consiguiente
el m.¢.m. == 2*
32 e to 9 = 144.
.
_
._
_
3
Encontrar el conjunto solucion de la ecuacion É _v
SOLUCIÓN
4=2i_
I
ía: = 5.
Primeramente sc obtiene el in_c_m_ de 4 3,' 3.
3= 3
m_c_rn. = 23 ' 3 = 12
Se miiltiplican ambos miembros de la ecuacion por l†2;
to
Lo
12 3
I
1 lex
2 ii
_
=
I2
i l J
tu
Tliifi *Tl"*l =“°
tu .i
H
9.1'
4_r = 60
Ss = 69
.r = I?.
El conjunto solucion es ll2]_
S
4.2
SOHICÍÓH UB ECUQCÍOHGS
lmlg
Encontrar el eonjunto solucion de la ecuaeión
§9'” __L1.
.1.
12' 3'
Comprobar la respuesta.
SOLUCIÓN
Primero se obtiene el rn.c.m. de 9. I2.› y 8
9=3*.
12.=2= 3,
s=23
m.c.m. = 23 ~ 33 = 72.
Se multiplican ambos miembros de la ecuación por
?2 3
1
3
E I
_ ¿Ji _ SI)
(af) + H) + 1 ( auf)
7_2 8
É
I!
72
3
64.1'
¡lr
(64 12
=9
54.r
9
54l.r =9
zx 9
í
í
r=
Para eomprobar la respuesta, se sustituye
r~.›~¬i':›" "`°
ecuación original separadamente.
en vez de x en Lada miembro de la
i
Primer miembro
3€ fi)
I
9
1
1
2
j
1( 9)
1
ïpfln
6
2
_...
Segunda ppreirfbrø
_;
3( 9)
_ 1,1
1
4
2
3
3
4
4+ +5B
Í
_ 32+6~¡ E2
8
J.
_.l
*s
I
.
..
9
El eomtmto solucion es te ir.
'
erar los elementos del conjunto {.1r|2i. + .Lx
5
= O, r E R}
4 ' ECIIICIOHESLIHEÃLESHUIIÃVÃRIIBLE
SOLUCIÓN
Consideremos el enunciado
?.›.'+3x 5,1: = O
(2+3 5):r = 0
0.1' = 0
Dado que Ox = 0 es falso para cualquier valor real de x. se sigue que
{x\2.r + 3x
5x = 0,.rER} = {.r[xER}
Listar los elementos del conjunto
{x|l0x
SOLUCIÓN
8x
2.1' = 4. x E R}
Consìderese el enunciado
l0.r Ex 2x= 4
(IO 8 2)x= 4
01 = 4
Dado que (lx = 4 es falso para cualquier valor real de .r se sigue que
{.'ril0..r
8.1
2x = 4..1'ER} = Q
Ejercicios 4.28
Encuentre el conjunto solucion de cada una de las siguientes ecuaciones
.lLnI. | Jr I
9
ll
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
33
35
37
?_r+ 3x==
7x 4.r=
5.! lr.. HOHLH =20
2x+ 5.1: 3x=32
lr
.r+üx= 4
7.: 5.1t+.r= 3
.r 6.r+l0.1r=
l3.r 3x 7.r= 9
lóx .r 8.t= l4
.t lI.r+13: r= 12
9.1r 6x 3.1: = 20
3.r Jr l2.r== 30
4x 2.t+6.I= 0
7.1' l0.r+lr=0
x+4.r 9;r= l2
.r+ox lÚJt= 20
lr l0x+5x=8
'lx 2.x+9.r=2l
åx+%.r=9
33.
3.r+x=3
10.1'
4.1: = 12
F'*“!`° 4x+2x 3x=9
8.1: 3x+5.r=l0
10 3.r+4x ?.r=7
12 5x+9:r 8x=ll
14 8.r 3x x= 16
16 2x 5x+9x
18 6x 8x+l5.r=
20 3x+5x lOx= 6
22 x 17.1' +51: =ll
24 2.1r+4x 9x =2l
26 SJ: '7.r+4x =0
llx 6x 7.r= 0
23
3.r llx+.r=
2.r 3x 5x=
3.1: 20.t+llx=
äiífifiä l3x+4x 'Zx=
åx +%.r=7
39.
åur I É
=
4.2
soluclóndeecuaclones
4112+ !=l0
' sx
43.
41
4*'
4
å'J¡+šI=3
es.
.t
49. x
.I ¡¦ Iä 'LH
119
' 2
42
6
45.
21 s
41
4a.
x=2
50
llx
43
=1
HH=5
¦ t¡vc
Lu I * ¦h›L| 'l
D * '1 A ìl'~J
7x
5.r
É .1r+lx=l9
' 7
2
l
44.š.1' ì.I=' Ó
I',u_u¿.,]|_›
71
§ x+l.r=3
2
l
l
šx šJt'=3
if
Sl. x
I¦l' à ION' '
9
3.1'
H
=2
x=l
I¦ '\ PI Pe'
41
2
52' É+T`_t›
53' tt_2z`22
54' ï_5"ì
4.:
.
55
5
3.1'
S.
6
4
5x
.
S7
12
7x
9
=
8
20
2.:
5.1'
17
llx
58' É_`Tš""1z
59'
61.
62.
64.
%x+3.1r=23
5
7
.r ~2x=
3
14
65.
81
5
=
9
18
'Tx
5
3.1'
s "t›"3
9
.r+.r=
2):
1
6°' "s" 9`”4
É x 2.r=%
l
7.1:
ll
=
8
3
63.
5
66.
2
šx .r= â
5
.tr Jr
12
=
7
ã
Enumere los elementos de los conjuntos siguientes, dado que x E R.
67.
69.
{x|6x
{:r¦5.t
.tr
5.1: = 0}
8.1' + 3x = 0}
71. {.v|3.t + ¿tr
73.
75.
77
79
81
{.r|4x + 5x
{.r|3.tr + .vr
71 = s}
9:: =
l}
2;: = 0}
šx + åx = 0}
7.1'
9.1'
.r
Sx
É
llx
x
4 +4 0}
tí §+4 5]
68.
70.
{x|l2x + x
{x|9x
lt
12. {.v|s.t
l3x = 0]
7x = 0}
10; + zv = |5}
74.
76.
{x|lr + 6.1'
3x = 2}
{.r].r 1 4x + Sx = 0}
78.
{.t: ga: + šcr = Ú}
3.1'
2.1:
80.
{.r 5+5 .r
4}
82.
x
31
131
{.r3+4 12 0}
En algunos casos ambos miembros de una ecuación contienen términos con la variable
como factor. y también términos que no tienen a esta última como factor. Para encon
trar el conjunto solucion de la ecuación. se forma una ecuación equivalente que tenga
todos sus terminos con la variable como factor en un miembro de la ecuación. Los ter
minos que no tengan a dicha variable como factor deben aparecer en el otro miembro
de la ecuación.
4 I ECUÄCIOHES LIHEILES EN UNA VÃRÍIBLE
La ecuación equivalente se puede formar sumando los negativos (inversos aditivos)
de los términos a ambos miembros de la ecuacion.
Consìdérese la ecuacion
8x
Se suma {+ 5) a ambos miembros:
31
5 = Gir + 7
5 + 5 = 6x + 7 + 5
Eltr + O = (ix + 12
3.1' = 6.12 + I2
Se suma ( 6.1:) a ambos miembros:
8x + ( 6x) = ox + 12 + ( 61)
2: = 12
.r =6
El conjunto solución es {6}.
obsewaflón
Es importante darse cuenta de la difereiicìa
que hay entre las dos ecuaciones
3.1.' = IS
y
3 + .ir
IS.
En 3x = 15, 3 es el coeficiente de x; asi que para despejar Jr, se niiitiplican ambos miem
_.
l
bros de la ecuacion por
l
3(3.r)
1
3(l5)
.ir = 5
El conjunto solucion es {5|.
En 3 + .ir = 15. 3 es un termino; asi' que para despejar Jr. se suma ( 3) a ambos iniein
bros de la ecuación.
3+.1r+( 3)=l5+( 3)
:r=l2
El conjunto solución es 112].
Resolver la ecuación 2.1' .ir 3 = 10 + 'Lv 4.
SOLUCION Sumainos (+ 3 Tx) a ambos miembros de la ecuacion.
2.: .r 3+t+3 7.ri=t0+7x 4+t+3 ?.ri
lt x 3+3 7.r=l0+7x 4+3 7.1'
6.r=9
x _ _? _ __?.
6
.
..
El conjunto solucion es {
3
2
1.2
solución de ecuaciones
Nata
Cuando la ecuación contiene ntimeros mixtos,
estos se transforman en fracciones impropias
Resolver la ecuación
I ._ _:
7 )..5
li)
_
_
32.1:
48
...ó.x+324.
SOLUCIÓN
Primeramente sc cambian los números mixtos a fraccioiics impropias
z,._¢:2..i1,+a
2
8
6
24
Se multiplican anibos miembros dc la ecuacion por el minimo común múltiplo de 2
3, 6 y 3. cl cual cs 6.
É'lÍ__32..?i!l_I+9_'
i2“'s`is
24
E22
i 2"
+?ì(_ë)_ë(.L"..,)+ë(*2J.)
i
s
8 'lx
Se suma (+ I I?
"i
s'
1 24
117 = 68.1: + 91
681) ambos miembros de la ecuacion.
34.r 117 + II7'
68
68.: + 91 i 117
ox
203
68.:
l3
J'
El conjunto solucion cs {l3 j.
Ejercicios 4.26
Resuelva las ecuaciones siguientes:
I..r 8=0
4.
2 21:0
'7..r t 5:5
10. .ir l= 2
I3.5~.r=3
16.
19.
lr+7=ll
3.r+6=ó
22.
ha l5=l
25.
28.
3.1:* 5=4
Il r fi =27
2
S
B
Il
I4.
I7.
20.
23.
26.
29.
IIII
=ti
+
í
í
I el t.s›.¦ r
P Ú
Ii
:ti
=i
=3
7
i J I:it. ›i. i =Q
3.r + 1 =iti
5.r + 4=4
1l'+ 17 =7
4.r
l0=l0
H = 20
3.r
+
r~. ›¦I ti ri :t.A
í
.
.
.
= 2
C¡Ht
I'*I¬ Ji.¢ el ¦ =
i
+
is
+
13
+ llf 4
4.ir
fur
7.1'
6.r
ar _.
1!
=t›
=3
=s
3:
9:.
3
. 1
I ECUÃCIOHES IJHEALES EN URI VMIMEIE
31.
34.
37.
40.
43.
46.
49.
52.
55.
58.
61.
63.
65.
67.
69.
71.
73.
32 5x 6
31
33. 3x+3
7.: 3= 17
lo
4
36. lr + 5
35 3x+5
lìir +lI=l2
61+7
38 4x+3
20
7
39. 9x + 1 =
l
42. ll + 3.1: = 2
3
41 8+2_r
6+4.r
13 7.ir=l5
44
2
5.›:= w
45. IO
4.1: = 7
9.. 4.r
47 2 6x= I4
3
48. 8
3x =
4+ X
Sl. 5.1: = 8+3.x
S0 4x=3 + .ir
3x
6+ 4x
7x
S3 2.r=7
54. 6x=ll
5.1:
5x
8_ 3x
7x
3x
S7. 2: + l2=7.r+
56 9.ir=2
4+x
59 3x+6
5.1:
2x+7
60. 8 .›:=2
' J@
5.: 9
3x
62. 3.r+l5=8+x
Sx I 4: .ir 3
64. l0x+2l=25 2x
23 .ir 3=3.i: +7
66. 7.r+ll=2 2).'
6+ 5.t 2=4 5.1'
63. Ilx 6.r 6=20 8.1:
4+ 5.r
8x 3+.r
70. lr 3 .ir=l0+7.r
8+2x l=.t' 2
72. l0+5.r 2=4.r+4
7x+2 '9.r=6+4.ir 3
74. l0x+5 l8.r=7 5.ir
75.
2
77.
2 í_ i_l
79.
mi
í
í.
_
if
D
í
í
í
_
'ír
_'
í
ìl
Í@
í
í
Í
l
+
2
6
2x
3
2
3
4
323
.r
:ir
x
l
_+_
1222
ë_â ,_t
73.
f_l l_i
80.
í
4
76.
3
2"
3
2
4`3
5.1:
4
l
2.1'
l
4+i2`3 Í
i_a+±
6
3
4
81.
B
3
1:
5
3.1'
464
82.
E
33.
2
6
37.r2
8
4
3
34.
ë_Z_ä_i
85.
E
3
2
B6.
E_â_2_Zf
87.
E ¿_ë+l
88 .
89.
2 É: É 2
90
91
ã
92.
95.
3.1'
4
7
18
_ _+._.
9
1s"e
5
6 +4
'1
93.
4
_+.ï
l
s
w+s
4
9
Zrl
9
3
ï._|,....
l
l
22.' t'+7 E Ji'
l
l
.ir
26.1' l'2š 5 2
8
4
8
12
3
4
9
llx
9
lo
8
+
12
18
x
5
3
12
= +
2í_§_ä_2
'12
4
5
3
2x
9
l
4
3.1'
3
l
13
94 .
96 .
.___=í+í
1
1
2
32.1' IU š lšx
3
2
l
34.1.' ISI .I 4'š
4.2
solución de ecuaciones
3
2
I
l
97.119: 23 13x 6
2
2
98.
2
99.š.'(+2šJ 3I+3
101 .
5
1
5
33 = las
llzx
1
I
I
2
1
l
4
.
lgr
3
1
I
23x l5
5.1: 3
100.161 13 8 Ã
l
l 02.
22
24 =
6
3
Cuando una ecuación contiene simbolos de agrupación, primero se eliminan estos util:
zando la ley distributiva.
Resolver la ecuacion 3(2.ir
SOLUCION
I)
2(5
5) = 3
Aplicamos la ley distributiva para eliminar los paréntesis
fix 3 lU+2.r
3
3x=l6
.x=2
El conjunto solucion es {2j.
Resolver la ecuacion 3.1r(:i:
SOLUCION
(3.r2
I)
(x + 3)(3.v
2) = 26
Primeramente se efectúan las multiplica ciones
3.1:)
(3.r2 + 7.1'
6) = 26
Es importante encerrar los productos entre paréntesis primero v, luego. aplicar la ley
distributiva, para evitar cometer errores con los signos de algunos de los terminos
311'
:u
3.1. 2
9.1. +
t5=
10.1:
I
zs
zo
2
EI conjunto solucion es { 2}
Resolver la ecuacion (sr 4)(x + 6) (x 3)' =
SOLUCION Se efectúan las multiplicaciones y se encierra el producto entre parentc
sis. luego se aplica la ley distributiva.
(si + 2.1
24)
ts 1
se + 9) = is
.tri + 2.1* 24 .ri + (tr 9 =
8x =
x=6
El conjunto solucion es {6}.
4 Ii ECUACIONES LIIIEÃLESEHUHI VÄRIABLE
EÍGTCÍCÍOS 4. 2D
Rcsuelva cada una de las siguientes ecuaciones:
' ¬IUIb ti
2(.r+4)+7=l9
7(.t + 6) + lt)
4(3:r+7)+5=33
3(2.r + 9) + 4
t it.: i 3)+4=22
9+2(x+2)=19
FFF
7 + 2(3:r+ l) =0
9+ 2(2.t+ 3) =17
8+ 2(_3.r
I) =2i
l3+3(4x 3)= 3
3 2(3x 4)=l4
I 7(3 .i:)= 20
4(2 .1r)+3(.r l)= IS
2(7.=r 8_)+7(2 .it)= 26
7(.r 1) 2(x+l)= 41:
.
4(3 Jr) 3(2 .r)=6
2(_3.r
1) = ll +(3 _r)
2(3 .r)=4+3(4 x)
5(8.r
3) = 3
2(4.r
3)
3(7.1r
2) = ll
4(2x 3)
2(3
3.1:) = 5 _ 4(| _. I)
(5 Jr)(2 x) .r(.r 3)=0
2(.r + l)(.r
I)
(Zar + 3)(.ir
2) = 0
Óxlx
3)
(lr
l)(3.r + 5) = 50
(4.r
3)(3.r + 2)
(6.1:
7)(2.r
5) =
(x + 4)(3.i:
5)
3(.i: + 6)(x
l) = 0
(ZX
3_)(3.t' + 2)
6(.t:
2)(.r I 3) =
46.
47.
4(x
l)2
(4.r + 3)(.r
(2.1:
3):
4(x
49
(1t'+ 3)(2.t
51
(.r
2)(4.r + I)
53.
{.r
3):
2
3
2)
6)(_.r + 2)
(lr +1): = U
(lr + 3) 1' =
(.r
l2(.1r + 3) + 5
i
8. t1+4(.r+1)
9.
ll.
13.
15.
17
19
21
23 ..
25
27
29
31
33.
35.
37.
39.
41.
42.
43.
44.
45.
5)
45
31
50
3
4): = 3
10. 5+ 3(2›r+ l) =
0
I2.
I3+3(4,r+5)=4
14.
16
I + 5(Zr
17 + Elx
18.
20..
22.
8 3(.i: 4)=2
2 5(2 x)= 5
3(Zx 2)+2(l .ir)=
2(7x+ l)+5tL`4.r 2)=9
l3(3 +x) 3(5 x)=
2(.r 5) 3(2.r 3)=
5(2.r
1) = 25+3(x )
3(5
2x) = 8 +71
l
3(4.r + 3) = 5 4(.ir
6(2x
3) = 2 _7(3...
5(4 xl= l3 3(5
(2 + 3x)[4 Jr)
3.113
24.
26.
23
Sëäfitifi;
14
1
9)
I)
2
3
48.
(.r
2)(.r + 4)
(.r + 't
50.
[lr
4)(4.r + 3)
(lr
52.
(lr
2)(3.t' + 4)
tf
54.
(Ílr l 3):
(.?.r
_`¬l)` = 6
Enurncre los elementos de los conjuntos siguientes dado que .ir E R:
57
{.r|s 3(.i 4) = 20
{.r||5 str + 4) = 2
59
{.r*(.r + l)(.r
60
61
{.i'l(.r
55
62
2)(?_tr
I)
I)
{x (.r + 2)(.ir + 3)
{.rl(.r + l)(x
4)
3.1. }
5.1 }
.r(.t:
ss. {.r|ii su
ss. {.r|7 2(3x
ir)
1)
¿I _
ii tn)
2) = _ ¡t
2.r{.fr
.t(.r + 5)
.r(.r
3)
3)
_
. 1
1
É.
=
= 2;
Uì
_4}
.
.. rr + I;
.
La traccion ic es otra forma de expresar el cociente to + b)
É.
=
_
._ 3
4.2
solución de ecuaciones
Cuando una ecuacioii contiene fracciones de esta forma, es aconsejable eticcrrar los
numeradores entre paréntesis antes de multiplicar por el iniiiinio comun denoimiiador.
como se ilustra eii los ejemplos siguientes:
Resolver la ecuacion
2. *_†_ã___?¿:__t 2
4
3
SOLUCION
"'
Se multiplican anibos miembros de la ecuacion por l2
12 3.r+5
il 4
:ts I
12
't ]`i(2)
l2 ._
(31 +
5)
l2 (2.r
_
_í..._..
___ll = 4
l
4
l
3
2
3{3.r+5) 4(2.ir l)=24
9.1. +15 8.t+4=24
x=5
El conjunto solucion es {5}.
Resolver la siguiente ecuacion y comprobar la rcspiicsta
5
š(6.it
3
š(3.r
7)
SOLUCION
_
2)
2
š(5.r
6)
Miiltiplicamos ambos miembros de la ecuacitin por 2 l
24 5
|[6{6.r
7)
3
8(_3x
24 2
¡[3(5.t
2)]
6)]
24 5
24 3
24 2
T št6.t 7) T'š(3.r 21 T štii 6)
.Ílülox
7)
llllx
9(3.t'
2) = lÓ[5.ir
l4'U " 271 + lll = lillstt
6.)
96
l3.t' = 26
.r = 2
Para comprobar, sustittiimos 2 en vez de .ir en la ecuacion original evaluando cada iniem
bro ¡Sor separado.
:L
Prfrrier tri: `erri¿ir'o
5
¿(64
íí
i
ii
í
G'~LI'tO*~'U"t
7)
3
¿tir
2)
ÍÓI2) " 7] _ šl3(2)
(12
3
7) šf(ú 2)
2|
i
Segtrnrlo rttierttbru
_
.
2
3(5x
l
= 'l5(2) _ 61
'
=*ll0 6)
La l' ~J'l .I \'I* J
6)
«II *I ECIMCIONES IJHEÂLE5 EN UNA VÃRMBLE
5
3
¿(5)
8(4)
¬.› il* J
G
í
É_2
If' J
UJOUDJÉ
DIGG@
El conjunta salución es {2].
Resulvcr la ecuación 0.05x + 0.06(30000
SOLUCIÓN
1:) =
630
Se cambian los decimales a fraccnoncb Lomunes
åx + i%](30,00Ú
x) = 1680
Muìtìplicamos ambos miembros de la ecuacion por IO I)
x) = 163.000
6x = 168.000
12.000
I = 12,000
Sx + 600.000
5.1' + 130.000
El conjunto solución es {12000}.
Ejercicios 4.25
Resuchfa las siguientes ecuaciones:
I.
.r
.r+3
.
3
Ó
2+
1 _:
¡_
7.
3
x+4
2
x+2
"_
2
+
.t+|
4
x I 5
2 4+
4 ?¿:_ì+f. _,
'
x
3
'
6
.r+3
n
3
x
2
1
1.
~=
3
3 + 2
3
M
§___2 __
%3_
8.
i:
7
5 .>¿L1_,ë_
3
.fl.'x_:S4:_1+.2;.;;l.=¡
x
í:
4
.x I 3
6
x+l0
2'
x+4
'Í
.r:+7
12_2ìil_¡_¿.=
I
x
4.
3
2
=
2
Soludún de ecuaciones
3x I_2r+3_¡
2
3
16
*`
x 4_2x+3___L
'
3
4
'12
_"ï._â 1' '_t¿_l
la _f*_ 'f_+_2__12“_1_l
2¿+_4._›±¿..±
s
3 "4
2.,' §_›1=_±_4__~_4 ±_1_1
'2
12
4
.r+2
9
3
x 8
3
x 3
.I 7
234 6
'
24.
ï:_1._~.Fi...Z
5
6 "a
26.
í_4i L
â 'i_§¿:_%..l.
1
4
14
"3
2
2x I
3.1: 5
*"T'=T
4
`
3
6
5
3
š(.t' '*9)+4(.t l)
13
5
7
š(Zx I)+4(l 1)
3
2
š(x 3)+ šíx 2)=5
3
š(2x
4
2
3) š(.r 2)=š
2
3
l
3
3
ã(x 3) š(2x 5) 3 z(2.x
9
_
12
,_ì_±'_i2
3
6
36
%(x+4)+%(.r l)= 14
38.
g{x+l)+å(.›: l)=Í
3
4
3
7
5
40
š(2.r 5)+š (x ›4)
42
ë(ll'+l) ÉL! 2)=l
7
44.
I)
1
x+l_x 2_.ï
3
7
2
S
¿(1 1) š(2 r I)
l
%(3.1: + 5) = ã (2
2 7.1:
4
š(6 I) ¿(5 7 I) š(3 I)
š(4x + 7)
`12
21: l_4x 3_ __l_
3*'
.›:+3__2 x_x+l
2
`T"†=š
32
3
x 4
4
4
x 3
30
3 8x_7 x_.ï
3
9
28.
1 1 1
6
2
22.
x 4_5 2x_l
8
3
4
4
2.r+l3
3
3
I
5
l
1'?
5
E
4 ' ECUACIONES LIHEÃLES EN UPUI VARIABLE
5
.
43 . 7:
33.
7
._ s)
4m si = 2 ~ani
49.
Sl.
0.Ú3(.r + 20] ~ {i.{)3.t' = 2.4
0.07(l2,()(l()
.t')
0.03: t' = 600
50.
52.
S3.
55.
(1.251 * Ú.l(|2.Ú'ÚU ¬' .ri = 3713
Ú.25Í30.0U0
I] “t U.lt' = 3ÚÚ'Ú
54.
56.
57.
O.{l65(.r + 2400)
58.
0.0751: = l38
300
520
1080
0.0.5.1
Ú.ÚÓ(X * 20.000)
1330
Ú.l5(|5.,ÚÚU _ Jr)
0.081
0.05259: + 0.075(_20.0Ú0
1') = l3o*i
(3.033:
0.()3(2l,000
.ri
()._(l6(6U,000
.t')
0.031
.í
í
ï.
tí'
í
P|"Ob|Em3$ D|3|1f€3dOS COU II3|3UI"3$
Los problemas planteados con palabras son enunciados que expresan relaciones entre
cantidades numéricas. Nuestro objetivo es traducir la expresion del problema a una cena
cion algebraìea que 'pueda resolverse por medios conocidos.
Para resolver un problema planteado con palabras, se procede como sigue:
_ Se determina la cantidad incógnita 3' se le representa con una variable.
Todas las demás cantidades incógnitas se deben expresar en terminos de la nnsma tartabl
. Se traducen los enunciados del problema relativos a la variable a una ecuacion algcbratea
. Se resuelve la ecuacion para la incógnita y luego se encuentran las otras cantidades reouertdi
'.I' I '.u›L.›Il"~J ' . Se comprueba la respuesta en el problema original planteado con palabras, no en la eeuaetti
Las siguientes son ilustraciones de ciertas frases y problemas verbales 3.' sus equivalente. s
algcbraicos:
1. Un número aumentado en (1.
.ir + 6
2. Un número disminuido en 3.
.tr 3
3. Un número supera en 8 a otro.
Primer mimero
Segtrnrƒo rnirnero
.r + 8
.r
4. Un número es 3 unidades tncnor que otro.
Primer rnirriero
.tr H 3
Segurrdo mimero
.r
4.3
Problemas planteados con palabras
5. La suma de dos números es 20.
Primer ntimero
Segundo rnimero
.r
20
X
6. Tres enteros consecutivos.
Primer entero
x
Segundo entero
.rr + 1
Tercer en¡ero
Jr + 2
7. Tres enteros imparcs consecutivos.
Primer emero
x
Segundo entero
.ir + 2
Tercer entero
x + 4
8. Tres enteros pares consecutivos.
Primer entero
Segundo entero
Tercer emero
:r
.fr + 2
.tr + 4
9. Un número es la mitad de un segundo número.
Prirner rnimero
Segtmdo rnirnero
2
' .t
.
.v
2.1'
v
o bien
10. Un número es el triple de otro.
Primer número
3.r
Segundo mimero
x
ll. Un número es 3 unidades menor que el doble de un segundo número
Primer rnimero
2.1: 3
Segundo rnimero
.tt
12. Un número supera en 5 al triple de un segundo número.
Primer mimero
Segtrrrdo rnirnero
3.1: + 5
.tr
13. Ei número rr supera en 6 al ntimero Ir.
a
6=b
obien
e==b 1 6
14. El nt'|tnero rr es ll) unidades menor que el número h.
o'+i0 ' ¡J
obien
rr* =b 10
4 r ECUACIOHESIJIEAI.E$B¡UIUIIfARlABI.E
15. Escribir el número 128 en forma desarrollada.
128 = ¡(8) + 10(2) + l00(l)
16. ¿Cuál es el número cuyo dígito de las unidades es 3x y el de las decenas es Jr?
Dijgim de ¡ns unidades
3x
Dilgiio de los decenas
.vr
El número es l(I lx) + 10{x) = 3.1' + l0x
I7. ¿Cuál es el número cuyo dígito de las decenas es el doble del de las unidades?
Drfgiro de ios unidades
x
Dr"gr`ro de ¡as decenes
2x
El número es l(x) + l0(2..r) = .r + 20x.
18. ¿A que es igual la suma de los digitos de un número de tres cifras cuyo dígito de
las unidades supera en 3 al de las decenas, y el de las ccntenas es I unidad menor
que el de las decenas? ¿Cuál es el número?
Drjgiro de los unidades
Drfgirn de ¡os decenas
x + 3
x
.tt
La suma de los digitos es tx + 3) + x + (ar
El número es 1(x + 3) + l0(.1r} + 10 D{x
Dúgiro de ¡us cenrenns
1).
1).
19. Un 6% de impuesto sobre .r dolares.
Impuesto › 6°¡nx _ 6 >< Ñ1 Ó .t_
n
Í 06 5.1.
20. Un descuento de 15% sobre x dolares.
Descuento = l5%x = 15 ><
`
i .›:
100
o
E r
100 '
21. El valor de x estampìlla de veinticinco centavos.
Valor = 25(x) = 25.141'
22.. El valor de x cuartos de dólar en centavos de dolar.
Valor = 25(.r) = 25x¢
23. El valor de (x + 2) monedas de cinco centavos de dolar en centavos.
Valor = 5(x + 2)@
1
4.3
PI"0UÍOI'I'l3I PÍQÍIÚBIGOS Cflll DQÍIUPBS
131
24. El valor en dolares de x billetes de cinco dólares.
Valor = 5(x) = $5x
25. La cantidad de plata contenida en Jr libras de una aleación de plata al 6%.
Cantidad de plata = 6%x libras.
26. La cantidad de alcohol en (x + 5) galones de una solución de alcohol al 80%.
Cantidad de alcohol = 80%(x + 5) galones
27. Si Roberto puede caminar .tr millas por hora, ¿que distancia recorrerá en 3 horas?
Distancia = 3.1' millas
28. Si Catalina conduce a 55 millas por hora. ¿qué distancia puede recorrer en I horas?
Distancia = 55:' millas
29. Si J uan tardó 20 minutos en conducir 15 millas, ¿a que velocidad estuvo manejando?
_
20 ITIIIHIIÚS
20
É
l
3 hüffl
velocidad = ¡S minas
15 ›< Í = 45 minas por hera
11 hora
30. Gregorio puede viajar en su bicicleta a una velocidad promedio de 15 millas por
hora, ¿cuánto dernorará en recorrer .tr millas?
Tiempo =
›
minas _ = x horas
15 millas por hora
1.5
31. La anchura de un rectángulo es de x pies. ¿Cuál es su perímetro si su longitud es
el doble de su anchura?
Anchura
.tr
Longitud
2x
Perlmetro = 2(x + 2x) pies, o bien 2(x) + 2(2x)
32. La anchura de un rectángulo es de x pies. ¿Cuál es el área del rectángulo si su longi
tud rnide 4 pies más que su anchura?
Anchura
Jr pies
Longitud
(x + 4)
pies
Área = (x)(.›: + 4) pies cuadrados.
4
ecuaciones mentes su unit vnniasts
Pffiblemas Que Se fêfleffifl 3 nUmQfO$
La tercera parte de un numero es 7 unidades menor que la mitad di.
Encontrar el número.
SOLUCIÓN
Sea el número =
3'
2' 1'
3
2
Multiplicando ambos miembros de la ecuacion por 6 obtenemos
2.r+42=3x
.r=42
El número = 42
EJEM
Un número es el quintuplo de otro La suma de ambos es 9€) Determiiiar
los dins números.
SOLUCIÓN
Primer riiimero
Segiiririo mmiero
5.1
1.
5.r+x=90
6x=90
.ir=l5
Primer número = 5 tx: 15 =
Segundo número = 15.
Hallar dos números cuya siiriia ica 27 ii que i.l scatuplo del menor supere.
en 9 unidades al triple del mayor
SOLUCIÓN
Número menor
.rl + 9
(it ' = M27
6.1.' = 31
Niinicio mayoi
li' + *J
9.i' = 90
.ir = IO
Número meiior
Número mayor
1
_
.
.
1 r
l0=
Encontrar dos enteros pares coii icciitivos tales que el cuadriiplo del nm; or
sea 8 unidades meiios que el quintuplo del menor
4.3
Problemas planteados con palabras
SOLUCION
Printer entero por
Segundo entero por
(ir + 2)
X
4(x+2)+8= 5x
4.r+8 8= 51
xì
l6
Primer entero par = 16.
Segundo entero par = le + 2 = I8.
a suma e tres numeros es 63 El seguiido numero es el doble del primero
y el tercero supera en 3 al segundo. Determinar los números.
SOLUCION
Printer niirnero
Segundo ntirnero
Tercer ntimero
.tr
2.1:'
(2.t' + 3)
x+2x+(2.r+3)=63
5.r+3=63
5x=60
x=l2
Primer número = 12.
Segundo número = 2 >< l2 = 24
Tercer número = 24 + 3 = 27.
La dil`erencia de dos números es 4 y la de sus cuadrados es 5 unidades mc
nos que nueve veces el menor de los números. Obtener los dos números.
SOLUCION
Núrriero menor
Niirriero nioyor
.Y
(..i: + 4)
(.r+4)2 .ra 5
.r'!+8x+l6 x2
í
Iì
5
II
í
8.r+l6
_ _
9.1:
lo
(.r+4)2 x2= x
]
'I 1
.r
Número menor = El
Número mayor = 21 + 4 =
El dígito de las decenas de un número de dos cifras supera en 3 al di no
de las unidades. Si el número supera en 8 al seiiluplo de la suma de los digitos, liallar
el número.
SOLUCION
Digite de las unidades
Digiio de las decenas
i
(Jr + 3)
Número = l(..r) + l0(:r + 3) = lla: + 30.
4 I' ECUICIONESLINEÃLBSENUNÃVÃIMBLE
Suma de los dígitos = x + (ir + 3) = 2.1' + 3.
|l.r+3ti=t.':›{2_r+3}+tt
ll.r+30=llr+ I8 l li
.r=4
Dlgito de las unidades = 4.
Digito de las decenas = 4 + 3 = 7.
Número = 74.
J En cierto número de tres cifras el dígito de las centenas es una unidad me
nor quc el de las decenas y la suma de los tres digitos es 17. Si se intercambian los digi
tos de las unidades y las centenas. el número disminuye en 495. Encontrar el número
original.
sotucióu
Drjgiro de los unidades
Digno de los decenas
Digite de los centenos
l7 [;r+(x 1)]
13 2x
x
.tt
(J: 1)
(J: 1)
_
(18
21') + l0(x)+100(.x
l]
495 =(x
1) + l0(.ir) + l00(l8
lx)
l8 2.r+l0x+100x IOO 495=Jr l+l0x +1800 200.r
2971 = 2376
x = 3
Digito de las unidades = 18
2(8) = 2.
Digito de las decenas = 8.
Digite de las centenas = 8
I = 7.
El número original cs 782.
Ejercicios 4.3A
Si a un número se le suma 15, el resultado es 21. Determine cl número.
. Cuando se resta ll de cierto número, el resultado es 52. Obtenga el número.
. Si al doble de un número se le aumenta 7. resulta 35. Halle el número.
El triple de un número disminuido en 19 es 53. determine el número.
t.I1¿Ih¦.fiI.Ir 1 Ocho veces un número es 30 unidades más que 6 veces el mismo. Encuentre el
numero.
Problemas planteados con palabras
135
Si a siete tantos de un número se le suma 6., resulta el número aumentado en 24.
Obtenga el número.
La mitad de un número supera en 2 a un tercio de éste. Detcrniinelo.
Dos terceras partes de un número exceden a la mitad de el en 3 unidades. Encuen
tre el número.
Tres medios de un número superan a cinco serios del número en 4 unidades. Ob
tenga el iiúntero.
La diferencia entre tin tercio de un entero y un cuarto del mismo es 3. Halle el
número.
Dos séptimos de un número es 30 menos que el mismo. Encuentre el número..
Un número supera en 35 a tres octavos del mismo. Determine el número.
Un número es igual al cuadruplo de otro y la suma de ambos es 80. Halle los dos.
Un número es igual a 7 veces otro, y la suma de ambos es 176. Encuentre los dos.
La suma de dos números es 24. Uno de ellos es el triple del otro. Obtenga ambos.
Un número supera en 7 a otro número. Determine los dos si su suma es 29.
Un número es 40 unidades menor que otro. Obtenga ambos si su suma es
280.
I
4
P
Un numero es 3 de otro numero y la suma de los dos es 126. Encuentre los
números.
Un número es ã de otro y la suma de ambos es 230. Hállelos.
La suma de dos números es 48. El cuádruple del menor es igual al doble del ina
yor. Encuctitrc los números.
Un número es 3 unidades menor que otro. Determine ambos si el cuúdrtiplo del
menor es una unidad menos que el triple del mayor.
La mitad de tin entero es igual a dos quintos de otro. Obtenga los dos si su sunia
es 27.
Un entero supera en 4 a otro. Encuentre ambos si un cuarto del meiior es igual
a un quinto del mayor.
Un número es 9 unidades menor que otro. Halle los números si tres medios del
mayor superan al menor en 3.
La diferencia de dos números es 5. Si el triple del mayor supera en uno al quintu
plo del menor, obtenga ambos.
La suma de dos números es 34. El quintuplo del mctior supera en 10 al triple del
mayor. Encuéntrelos.
Un número supera en 7 a otro. Determine ambos si el doble del mayor excede
al triple del menor en 2.
La suma de tres números es 44. El segundo es el doble del primero. y el tercero
es 4 menos que el primero. Htìllelos.
La suma de tres números es 78. El segundo es el doble del primero. 3' el tercero
es el triple del primero. Obtenga los números.
La suma de tres números es 94. El segundo es 2 unidades menor que el primero,
y el tercero supera en ti al primero. Encuentrelos.
La suma de tres números es 136. El segundo supera en 8 al primero. y el tercero
es 15 menos que el segundo. Obtenga los números.
La suma de tres números consecutivos es 51. ¿Cuáles son esos números?
La suina de tres números ìmpares consecutivos es 69. ¿Cuáles son ellos?
I' ECUACIONES IJNEÃLES EN UNI VÃRMBLE
La suma de tres números pares consecutivos es 54. Determínelos.
Encuentre tres enteros consecutivos tales que la sunta del segundo v el tercero sea
9 unidades menor que el triple del primero.
Halle tres enteros consecutivos tales que la suma del primero y el segundo supere
en 20 al tercero.
Obtenga tres enteros ímpares consecutivos tales que el doble de la sunta del pri
mero y el segundo supere en uno al triple del tercero.
Determine tres enteros pares consecutivos tales que el doble de la suma del segun
do y el tercero sea 28 unidades menor que el quíntuplo del primero.
La suma de los dígitos de un número de tres cifras es l5. El dígito de las unidades
es el cuádruple del de las centenas. El doble dígito de las decenas es igual a la
sunta de dígitos de las unidades y las centenas. Obtenga el número.
La suma de los dígitos de un número de tres cifras es 20. El dígito de las unidades
supea en uno al de las centenas. El cuádruple del dígito de las centenas supera
en 2 al doble de la suma de los dígitos de las unidades y de las decenas. Encuentre
el número.
Halle dos enteros consecutivos tales que la diferencia de sus cuadrados sea 31.
La diferencia de los cuadrados de dos enteros pares consecutivos es 84. Determine
ambos enteros.
El producto de dos enteros consecutivos es 28 unidades menos que el cuadrado
del segundo. Encuéntrelos.
Halle tres enteros impares consecutivos tales que el producto del primero y el ter
cero menos el producto del primero y el segundo supere en 3 al tercero.
Determine tres enteros pares consecutivos tales que el producto del segundo y el
tercero supere en 20 al producto del primero y el tercero.
Obtenga dos números cuya diferencia sea 3, y la diferencia de sus cuadrados su
pere cn uno al séptuplo del núntcro menor.
Halle dos números cuya diferencia sea 8 y la de sus cuadrados supere en 20 a I3
veces el número mayor.
Encuentre dos números cuya diferencia sea 2 y cuyo producto supere en 24 al cua
drado del menor.
Determine dos números cuya diferencia sea 5 y cuyo producto sea 195 unidades
menos que el cuadrado del número mayor.
La suma de los dígitos de un número de 2 cifras es 13. Si el número supera en
2 al quintuplo de la sunta de sus dígitos, ltúllelos.
El dígito de las unidades de un número de dos cifras es 2 unidades menor que
el dígito de las decenas. Si el número es uno menos que 8 veces la suma de sus
digitos, encuentre el número.
La suma de los dígitos de ttn número de tres cifras es 12. El dígito de las unidades
sttpera en 1 al de las centenas. Si 90 veces el dígito de las unidades supera en 6
al número. obtenga el número..
La suma de los digitos de un número de tres cifras es 17. El dígito de las unidades
supera en l al de las decenas. Si el número es 2 menos que 40 veces el dígito de
las decenas, halle el número.
En cierto número de tres cifras el dígito de las centenas es el triple del de las dece
nas, v la suma de los dígitos es 13. Si el número supera en 25 al céntuplo del dígito
de las centenas, encuentrelo.
4.3
PFODÍQITIRS DIBIIÍEQIIOS COI! B31317735
55.
En cierto número de tres cifras el dígito de las unidades es el doble del de las cen
tcnas, y la suma de los dígitos es 19. Si se intercambian los digitos de las unidades
56.
137
v las centenas. el número se ittcrementa en 396. Obtenga el número original.
En un núntero de tres cifras el dígito de las centenas supera en uno al de las dece
nas, v la suma de los digitos es IQ. Si los digitos de las unidades y las centenas
se intercambian, el número aumenta en l98. Halle el número original.
57.
En un número de tres cifras el dígito de las unidades supera en dos al de las dece
nas, y la suma de los digitos es 16. Si sc intercambian los dígitos de las unidades
_v las ccntettas, el número disminuye en 2.97. Encuentre el número original.
Problemas de porcentaje
A veces la relacion entre dos números se expresa como un porcentaje. Tonto por cíertro
sigttifìca “por cada cien" y se representa con el simbolo 07:1. De esta manera
49% 45'l00 dfix
I
45
' “
`
` ` too' too
t = te
23 ¡¬=23 +too ~te
sii
s
s X too son
|
300
soon = son + t oo = set 1 st mu = Im
Para determinar que tanto por ciento es utt número de otro, se divide el primer número
entre el segundo, se multiplica el cociente por 100% y se simplifica.
Obsérvese que 100070 = IO 0 : 100 = l.
mg
¿Qué tanto por ciento es 24 de 40'?
5°' "Cia"
E s |oosf.¬ = me = atte
40
40
¿Que tanto por ciento es 238 de 350?
sotucrón
23 ,., ,,;.,,t,;;, = ...___
23800 Q, = ,M
__ì
un
no
Para expresar un número como tanto por ciento, se multiplica el número por 100%
y se simplifica.
Escribir 2 como un tanto por ciento.
$0|.'UCtóN
4 = 4(tot1f et = 400%
4 tt ECUJICIGHES IJHEILES H UH! VARIABLE
í
57
.
Expresar šš como un tanto por ciento.
solución
sr= 100%
sr
89
89(
= svoo
%=64 4%
)
89
89
Para obtener un porcentaje de cualquier número, se cambia el símbolo de tanto por
ciento a
luego se multiplica por el número y se simplifica.
¿Cual es el 70% de 48'?
5°' "má"
rentes) = 70 st lå 0 ›< es = 33.6
l
¿A que es igual el 9 ; % de 360?
sotucton
9,Ef
%3w) 914KlmX
1 360 4Xï(ï)'X3Ú'Ú
3; 1
33.3
La mayoría de los problemas de negocios y mezclas se relacionan con porcentajes. En
esta seccion tratamos problemas de negocios.
Cuando se realizan depositos de dinero en un banco, la cantidad que se deposita
se llanta capital o principal y denota por P.
La tasa de interés anual se denota por r.
El interés que se recibe está representado por I.
El interés recibido al cabo de un año es el producto del capital y la tasa de interés.
.F = Pr
La fòrtnula anterior es útil en la solucion de problemas de tanto por ciento.
El precio de venta al menudeo de una máquina de coser es de $360 dola
res. Si se ofrece en venta a precio de $297, ¿cuál es el porcentaje de reducción?
sotuctótv Reducción de pas.. tu = ase 291 = ses.
Porcentaje de reduccion =
>< 100%
633603
“Fe = 17.5%.
¿A que es igual el impuesto sobre un artículo que costó $540 si la tasa de
impuesto es 6*/suis?
4.3
Problemas planteados con nalabras
SOLUCIÓN
139
Impuesto = 6%%(5 40)
13
I
É X ñ K
= $35.10
¿,'E n cu
¬' á nto .se ven d era' un re frtg
` crador si el precio marcado es de $760 y
la tienda ofrece un 12% de descuento?
SOLUCIÓN Descuento = l2%(760) = $91.20
Precio de venta = 760 91.20 = $668.80
Al Sr. Noble le costó $17 466 comprar un coche, incluido tm 6.5% de im
puesto de venta, ¿Cuál era el precio de venta del coche antes de agregar el impuesto?
SOLUCIÓN
Sea el precio de venta del coche sin impuesto = Sx.
Impuesto = $6.5%.t:
Precio de venta sin impuesto más impuesto igual a precio de venta total.
.
. i". = 17,466
Í + 6 SM
o
.r + Fã0.r = 17,466
_
_
(Se multtpltca por 100)
I000.r + 65.r = l7.46t'›.lì0f)
l0f›.5.r = 17.466.000
.r = 16.400
Precio de venta sin impuesto = $Ifi.400.
El precio de venta de una caja fuerte es de S350 luego de aplicar un 30%
de descuento. ¿Cual es el precio regular de la cata fuerte?
SOLUCIÓN
Sea el precio regular = Ss',
Descuento = $300/ïox
(no solo 3()%).
El precio de venta es igual ai precio regular menos el descuento.
x
30%.r = 350
.tr
%.r = 350
100.1:
(Se multiplica por 100)
30:: == 35,000
70.1' = 35.000
Jr = 500
Precio regular de la caja fuerte = $500.
4 I* ECUACIONES IJHEIIIES EN UPM VÃRIÃBLE
DEFINICIÓN Margen de utilidad es la cantidad que se agrega al costo de un articulo
para determinar el precio de venta de tai articulo. El margen de utilidad se expresa nor
ntalmente como un tanto por ciento del costo o del precio de venta.
Un radio costo $80. ¿Cuál es el precio de venta si el margen de utilidad
es el 20% de dicho precio?
SOLUCIÓN Sea .rr el costo cuando el margen de utilidad se calcula sobre el costo ,
si dicho margen se calcula sobre el precio de venta, este se denota por x.
PCTÚ
Sea el precio de venta = San
Margen de utilidad = $200; 'u.t:.
El precio de venta menos el margen de utilidad es igual al costo.
Jt'
' 2Ú°It'rix = 30
x
2
¿sr = 80
IÚOI
(Se multiplica por 100)
20.1' = 800 0
8.1' † 8000
.r = 100
Precio de venta = S100.
El precio de venta de un campo de tiro es de $584. ¿Cuál es el costo si la
utilidad es el 25% del mismo?
SOLUCIÓN Sea el costo = = Sx.
Utilidad = S25°ïu.t'.
Costo más utilidad sobre el costo es igual al precio de venta.
,t + 25% .r = 584
+ is
584
x
|00'r _
(Se multiplica por 100)
100.1 + 25.r == 58.400
l25x = 58 400
.tt = 467.2
Costo = $467.20.
Dos sumas de dinero que totalizan $20 000 ganan, respectivamente, 5% y
6%' de interes anual. Encontrar las cantidades si juntas ganan $l(l30.
SQLUCIÓN
Capital
Tasa
Interés
Primera eartridad
$1:
5%
5%x
Segunda r.'frnn`o'a'd
$(20000 * Jr)
6%
6°?s(20000
x)
4.3
Problemas planteados con palabras
5'%.r + 6%i2Ú.ÚÚ'U
141
I) = IÚSÚ
5
Ó
100.1' + Í6(2Ú.Ú'ÚÚ '_ X)
IOBO
[Se multiplica por 100)
5.1' + 6(20.D00 ¬~ .r) = 103.000
51 + 120.000
fu' = 108.000
.tr = 12.000
Cantidad invertida al 5% = $12000.
Cantidad invertida al 6% = $8 000.
Una persona realizó dos inversiones de un total de $10000. En una de las
inversiones obtuvo un 10% de utilidad, pero en la otra tuvo ut a pérdida de 12%. Si
la pérdida neta fue de S540. ¿Qué cantidad tenia en cada inversión?
PFÍIÍIÉÍH ÍHVEÍSÍÓH
Sx
Ganancia ganada = Iüflíux
Sfgufldy ¡'f¡1r¿=r_§ já”
SU0000 xl
Perdida de 12%
Cantidad ganada = l0%.t'
Cantidad perdida = l2%(l0000 _c).
Cantidad perdida menos cantidad ganada igual a perdida neta.
|2¶'=ÍI(l,()0D ' I) “t 10% .t = 540
[2
10
B D(l0.ÚÚU
l2(l0.000
120.000
Il
mt' = 540
.ri
lle
(Se multiplica por I00)
10.1: = 54.000
10.1' = 54.000
.I = 3000
Primera .nversion = $3000.
Segunda inversion = $7000.
EJEMPLO
El interés anual producido por $24000 supera en $156 al producido por
$17000 con una tasa anual de interés 1.8% mayor. ¿Cuál es la tasa anual de interés
aplicada a cada cantidad?
sotuctdttt
$24.000
$17.000
.r%
(Jr + l.3)%
24.0U0l.r%)
l7.000[(x + l.8)%|
2›fl,000x
17.0000: + 1.8)
24.0001:
17.0001:
30.600
7000.1;
x
Las tasas de interes son 6.6% 1; 8.4".f'a.
1
1 un
¡
1
I tg
i
_
II
IS6
(se multiplica por l00)
15.600
15.600
46,200
6.6
J I ECUICIDNES IJIEILES E UPM VJIRIIBLE
Ejercicios 4.33
Cierto automovil se vendió en $16000 dolares hace dos años. El mismo modelo
se vende este año en S18 000. ¿Cuál es el porcentaje de aumento en el precio de
compra?
Ana obtiene en sus exámenes un total de 240 puntos de 320 posibles. ¿Cuál es
su calificación porcentual?
El precio por libra de cierto corte de carne es $2.52 dolares en el año presente.
Si el precio correspondiente fue de $2.40 el año pasado, ¿cuál es el porcentaje de
aumento del precio por libra?
Si se asignan 8.4 millones de barriles de petroleo diarios para el consumo de cierto
pais y solamente se utilizan 6.3 millones, ¿qué porcentaje de la asignación no se
consume?
Edith gasta S75 dolares a la semana en alimentos. ¿Cuánto deberá gastar a la sc
mana si su precio aumenta 8%?
Martín gana $2 100 dolares al mes. ¿Cuánto ganará mensualmente si su salario
se incrementa un 6W'o.
El ingreso bruto de una empresa es de $450 000. ¿Cual es el nuevo ingreso si las
ventas aumentan |2%?
Una casa se vendio en S 168 50 0 dólares. ¿Cuánto recibe el propietario si el corre
dor de bienes raices tiene una comision del 6% sobre el precio de venta?
Este año, la depreciación de un automovil es de $22608 dolares en base a una
tasa de depreciación del 12%. ¿Cuál era el precio del auto?
Un corredor de bienes raices recibio una comision de S31 440 por la venta de una
casa en Los Angeles. ¿En cuánto se vendió la casa si el corredor cobro un 6%
del precio de venta?
El descuento aplicado a un equipo estereofónico fue de $1 164.6 en base a una tasa
del 18%. ¿Cuál era el precio normal del equipo?
Juana compro un abrigo de pieles con un impuesto del 6.5% incluido, en $8 903.
¿Cuál fue el precio de venta del abrigo sin impuesto?
El Sr. Gil compro un televisor a color con un impuesto del 6.5% incluido, en S788. l .
¿Cual es el precio de venta del televisor antes de aplicar el impuesto?
¿En cuanto se venderá un sofá si su precio normal es de $840 y la tienda ofrece
un t'5"?u de descuento?
Un equipo de aire acondicionado fue vendido en $345 luego de aplicar un 25%
de descuento. ¿Cuál era el precio normal del equipo?
¿Cual es el precio normal de un traje si se ha vendido en $245 luego de aplicar
un l2.S% de descuento?
El costo de un alimentador para aves es de $45 y su precio de venta es de $63.
¿Cuál es el margen de utilidad sobre el costo?
El costo de una botella de licor es 5.19.25 y su precio de venta es $25. ¿Cuál es
el margen de utiiidad sobre ei precio de venta?
El precio de venta de un reloj es de S126. ¿Cuál es el costo si el margen de utilidad
es el 40% del costo?
El precio de venta de una estufa electrica es de $756. ¿Cuál es el costo sì la ganan
cia es el 35% del costo?
El costo de una alfombra cs de $581. ¿Cuál es el precio de venta sì el margen de
utilidad es el 30' i ia del precio de venta?
4.3
Pfülllfifllài PIGIIÚBBGGS t¦0l'l flãlflhrãi
143
22.
El costo de un automóvil es de $7 320. ¿Cuál es el precio de venta si el margen
de utilidad es el 25% del precio de venta?
23. Dos sumas de dinero que totalizan $30 000 ganan, respectivamente, 6% v 9% de
interés anual. Encuentre ambas cantidades si, en conj unto, producen una ganan
cia de S2 340.
24
27
Dos sumas de dinero que totalizan $45 000 ganan, respectivamente, 6.8% v 8.4%
de interes anual. Halle ambas cantidades si juntas dan una ganancia de $3 524.
Diana tiene $10000 invertidos al 6%. ¿Cuánto debe invertir al 7.5% para que el
interés de ambas inversiones le den un ingreso de $2 400?
Jorge tiene $9000 invertidos al 7%. ¿Cuánto debe invertir al 9.2% para que el
interés de ambas inversiones le den un ingreso de $4 862?
La Sra. Pérez invirtió dos sumas iguales de dinero, una de 5.25% y la otra de
28.
7.75%. ¿Cuánto invirtió en total si su ingreso por interes fue dc $1 040?
El Sr. Ramirez rcalieó dos inversiones cuya diferencia es $18000. La inversión
25
26
29.
menor es al 7.8% v la mayor al 8.6%. Determine las cantidades invertidas si el
ingreso anual total por intereses es de $2 860.
El Sr. Barba invirtió una parte de $40 000 al 6.2% v el resto al 7.4%. Si su ingreso
por la inversión al 7.4% fue de Sl 440 más que el de la inversión al 6.2%, ¿qué
tanto estaba invertido a cada tasa?
30.
31.
Alfredo v Juana invirtieron parte de $52000 al 7.5% y el resto al 11.5%. Si su
ingreso por la inversión al 7.5% fue de $670 más que el de la inversión al l 1.5 %,
¿cuánto fue invertido a cada tasa?
Francisco tiene $12 000 invertidos al 5.5%. ¿Cuánto dinero adicional debe inver
tir al 8% para que su ingreso anual total sea igual al 7% de la inversión total?
32.
33.
Beatriz y .l uan tienen S8 500 invertidos al 6%. ¿Qué cantidad adicional deben in
vertir al 13% para que su ingreso anual total sea igual al 10.5% dela inversión total?
Guillermo hizo dos inversiones que sumaban $15 000. En una de ellas obtuvo 8%
de utilidad, pero en la otra tuvo una perdida de 15%. Si la pérdida neta fue de
34
35.
Sl 330, ¿cuánto tenia en cada inversión?
Roberto realizó dos inversiones con un total de $30 000. En una de ellas obtuvo
20% de ganancia, pero en la otra perdió un 25%. Si la pérdida neta fue dc $3 000,
¿cuánto tenia en cada inversión?
Arturo hizo dos inversiones con un total de $20 000. En una de ellas obtuvo una
utilidad de 24%, pero en la otra perdió un 11%. Si la ganancia neta fue de $600,
¿cuánto tenia en cada inversión?
36.
El monto de interés anual producido por S15 000 cs Si l4 menos que el producido
por $18 000 con 0.5% menos de interes anual. ¿Cuál es la tasa de interés aplicada
a cada cantidad?
37.
_
38.
39.
El monto de interes anual producido por $8 000 es $180 menos que el producido
por $12 000 con 0.75% menos de interés anual. ¿Cuál es la tasa de interes aplica
da a cada cantidad?
El monto de interés anual producido por $20000 es $540 más que el producido
por $14000 con 1.5% más de interés anual. ¿Cuál es la tasa de interés aplicada
a cada cantidad?
El monto de interés anual producido por $28 000 es de $448 más que el producido
por $16 000 con 2% más de interés anual. ¿Cuál es la tasa de interes aplicada a
cada cantidad?
144
4 I* ECUACIONES LINEALES EN IINÃ VÂRIABLE
PI'0bIEII'I3$ OE MGZCIBS
¿Cuántos litros de agua deben agregarse a 6 litros de una solución de sal
al 8% y agua, para producir otra solución al 5% de sal?
SOLUCIÓN
Una solución de sal al 8% significa que el 8% de esta es sal v el 92% agua.
Dicha cantidad en la solucion original mas la cantidad en el agua agregada debe ser
igual a la cantidad de sal en la solución final.
Cantidar! origina!
Cantidad agregada
Cantidad _/irte!
6 litros
8% de sal
.tr litros
0% de sal
(Jr + 6) litros
5% de sal
3%(6) + 0%(.t) = 5%(.r + 6)
åtn) + åtx) = ¡%U(.r + 6)
(Se multiplica por 100)
SÍÓ) + 0(.t'l == 5(.t' + Ó)
48+0=5.r+30
5.r = l8
.r =? .6
La cantidad de agua que debe agregarse es 3.6 litros.
i
Un hombre mezcló 48 onzas de una solución dc yodo al 4% con 40 onzas
de una solución al 15% de la misma sustancia. ¿Cuál es el porcentaje dc yodo en la
mezcla?
SOLUCIÓN
Cottsidcrcrnos la cantidad de yodo en la solución.
Primerrr ,solttr.v'rirr
Segunda solueidrt
.Mearflu
48 onras
4% de yodo
40 onzas
15% de yodo
88 onzas
.Wa de yodo
4" iïrl48) + I5%( 40) = .r%[33)
5
.
åüt ist + ätctn = àtsst
. _
(se nmtnpttea por too)
4( 43) + !5( 10) = 83.1'
l92 + 600 = 88.1'
792 = 3i'l.r
.r = 9
La ntcacla es una solución al 9% dc yodo.
4.3
Problema planteados con nalabras
145
Carlos mezcló una aleación de aluminio al 48% con otra al 72% para pro
ducir una aleacion de aluminio al 57%. Si hay 20 libras más de la aleación al 48% que
de la aleacion al 72%, ¿cuántas libras hay en la mezcla total?
solución
of + zo) libras
s libras
(zx + zo) libras
43%
72%
57°7t|
48% (.r + 20) + 72% (x) = 57%(2r + 20)
(Se multiplica por 100)
48(.r + 20) + 72.1: = 57(2r + 20)
48.1: + 960 l 72.1' = Il4.r +1140
ox = [80
J: = 30
El peso de la mezcla total = 2(30) + 20 = 80 libras.
EÍEPCÍCÍOS 4.3C
I.
¿Cuántos galones de agua deben agregarse a 2 galones de una solución de sal al
10% y agua, para producir una solución al 4%?
2,
3,
¿Cuántas onzas de alcohol deben añadirse a 100 omras de una solucion al 12%
de yodo en alcohol para obtener una solución al 8% de yodo?
¿Cuántos litros de una solucion de sal al 30% deben agregarse a 10 litros de igual
solucion al 16% para producir una al 20%?
4,
5,
6.
7,
8.
9
¿Cuántas onzas de una solución de yodo al 16% deben añadirse a 60 onzas del
mismo tipo de solucion al 3% para obtener una al 8%?
¿Cuántas pintas dc una solucion con desinfectante al 4% deben agregarse a 20
pintas de otra igual al 30% para obtener una al 12%?
¿(."t|ántos litros de una solucion de ácido al 80% deben añadirse a 15 litros de igual
solucion al 6% para hacer una al 20%?
Un hombre mezelo 100 libras de una aleacion de cobre al 90% con 150 libras del
mismo tipo de aleación al 60%. ¿Cuál es el porcentaje de cobre en la mezcla?
Un platero mezclò 20 kilogramos de una aleacion de plata al 70% con 55 l :ilogra~
mos de la misma aleacion al 40%. ¿Cuál es el porcentaje de plata en la mezcla?
Susana mezclò 800 gramos de una solucion de yodo al 6% con 700 gramos de
una solucion de yodo al 9%. ¿Cual es el porcentaje de yodo en la mezcla?
10.
.lairne mezclò 45 litros del mismo tipo de solución al 18% con 60 litros de una
Il.
al 32%. ¿Cuál es el procentaje de ácido en la mezcla?
Rodrigo mezcló GO libras de una aleacion de aluminio al 30% con 140 libras de
la misma aleacion. ¿Cuál es el porcentaje de aluminio en la segunda aleación si
la mezcla es de 65% de aluminio?
4 I' ECUIIUONES UNEILES EN UPM VARIABLE
12.
Un quimico mczcló 200 gramos de una solucion de yodo al 30% con 500 gramos
de otra solucion de yodo. ¿Cuál es el porcentaje de yodo en la segunda solucion
si la mezcla es de 20% de yodo?
13. Margarita mczclo 30 litros de una solucion desinfectante al 46% con 55 litros de
otra. ¿Cuál es el porcentaje de desinfectante en la segunda si la mezcla contiene
24% de desinfectante?
14. René mczcló 42 kilogramos de una aleación de cobre al 80% con '78 kg de otra
aleacion. ¿Cual es el porcentaje de cobre en la segunda aleacion si la mezcla es
dc 57.25% de cobre?
15. Julia mezclo una aleacion de plata al 40% con otra. al 90%, para hacer una al
75 %. Si hay 20 onzas más dela aleación al 90% que de la de 40%, ¿cuantas onzas
hay en la mezcla total?
16. Un agricultor mezcló un fertilizante que contiene 20% de nitrógeno con otro de
60% para hacer nn fertilizante con 34% de nitrogeno. Si hay 36 kg menos del fer
tilizante de 60% que del de 20%, ¿cuántos kilogramos hay en la mezcla total?
17. Una planta procesadora de alimentos desea producir I 020 litros de salsa de toma
: con 30% de azúcar. Si tienen una salsa con 16% de azúcar y otra con 50%.
,qué cantidad de cada clase de salsa deben emplear?
18. Joa planta procesadora de alimentos desea producir 1 200 litros de mermelada
:on 55% de azúcar.. Si disponen de una mermelada con 30% de azúcar y otra con
70%. ¿qué cantidad de cada clase de mermelada deben utilizar?
li.
Un joyero mezclo I 000 gr de una aleacion de oro con 2 000 gr de otra que contie
ne 37.5% mas de oro que la primera. Si la aleación resultante tiene 75% de oro,
¿cuál es el porcentaje de dicho metal en cada aleacion?
20.
La Casa de Moneda mezclo l0 000 gr de una aleacion de plata con 4 000 gr de otra
que contiene 35°? menos que la primera. Si la aieacidn final contiene 85% de pla
ta. ¿cual es el porcentaje de este metal en cada aleación?
Problemas de Valor Monetario
Elenca tiene $4.45 en monedas de 10€ y 25117. Si dispone en total de 28
monedas. ¿cuántas tiene de cada clase?
SOLUCIÓN Monedas de 1002
Monedas de 25€
.r monedas
(28 Jr) monedas
La suma de los valores de las monedas es igual a la cantidad total de dinero.
loto + 2508
xl = 445
l0x + 700
25.1 = 445
l5x = 255
(Nota: 445. no 4 45)
.r = 17
23
.r = ll
Número de monedas de 10€ = l'7.
Número de monedas de 25€ = 28
17 = ll.
4.3
Problemas planteados con palabras
147
Ramona compro $l0.o0 dolares de estampillas de l0¢ . 15€ y 25€ con
un total de S2 estampillas. Si la cantidad de estampillas de 25 Gi que com pro es el cuá
druplo de la de ltltlf. ¿cuantas estampillas de cada clase compro?
sowctont
me
:sc
:r estampillas
(52
:ise
5.r) estampillas
4x estampillas
La suma de los valores de las clases individuales de estampillas cs igual a la cantidad total.
l0(.r) + 15(52
10.1' + 780
5.1 J + 25{4.r) = 1060
(Nota: 1060. no 10.60).
'?5x + l00.r = 1060
35:: = 280
.tr = 8
Núrncro de estampillas de 10€ = 8.
Número de estampillas de 15412 = 52 5{8) = 12.
Número de estampillas de 25@ = 4(8) = 32.
Un carnicero mezcla 2 clases de carne molida. una de 1890.” la libra y otra
de 129€ . Si la combinacion pesa 450 libras y se vende a l45 GT cada una. ¿cuántas Ii
hras de cada clase forman la mezcla?
SOLUCIÓN tasa ¡mr :rafa
¡zac ¡rar rom
145 c por ¡ram
(450 sr)
libras
450 libras
.tr libras
La suma de los precios de las clases individuales es igual al precio de la mezcla.
l39(.t) + 1290450
Jr)
139.1' + 58.050
129.1'
60.1'
.r
=
=
=
=
450045)
65.250
7200
120
Número de libras a l89¢ = l20 libras.
Ntimero de libras a l29(l`
= 330 libras.
Ejercicios 4.30
1.
Guillermo tiene $3.40 en monedas de 5 G1 y 10€. Si dispone en total de 4? mone
das. ¿cuántas de cada clase posee?
2.
Roberto tiene $4 en monedas de 5 ¡I y 25 III . Si posee en total 32 monedas, ¿citan
tas tiene de cada clase?
3. Cristina tiene $7.60 en monedas de 10@ y 25€ . Si en total dispone de 40 mone
das, ¿cuántas de cada clase posee?
4
ECUÃCMIIES LIHEALES EH UNI VIRMBII
Diana tiene 6 monedas mas de 25€ que de 10€ . Si el valor total es de $9.20.
¿cuantas tiene de cada clase?
Nadia posee 8 monedas mas de 5 € que de 10€ . Si el valor total es $3.10, ;,cuán~
tas monedas de cada clase dispone?
Marcos compro 38.7 dolares de estampillas de 15 € y 25 € . Si adquirió 42 de éstas
en total. ¿cuántas de cada clase compro?
Rogelio tiene S99 dolares en billetes de $1, S5 5' S10. Hay 26 de ellos en total y
la cantidad de billetes de $1 es el doble de la de S5. ¿Cuántos tiene de cada clase?
Raymundo tiene $13 dolares en monedas de 5€ . 10€ 3,' 25€. Si en total posee
92 monedas y el número de éstas de 10€ es el doble del de 5€ , ¿cuantas posee
de cada clase?
Norma tiene el doble de monedas de 25€ que de 5€ y tiene 3 mas de 5€ que
de 10€ . Si el valor total de las monedas es $8.15, ¿cuántas tiene de cada clase?
Isabel compro $9.20 dolares de estampillas de 10€ . 15 € y 25 € con un total de
50. Si la cantidad de las de 25€ que compro es el doble de la correspondiente
a las de 15€ , ¿cuantas estampillas adquirió de cada clase?
Cristobal compro $615 dolares de estampillas de 10€ . 15€ y 25€ con un total
de 39. Si la cantidad de estampillas de 15€ es el triple de la de 10€. ¿cuántas
consiguio de cada clase?
David compro $11 dolares de estampillas de 10€ . 15€ y 25€ con un total de
58. Si la cantidad de las de 25€ es el cuádruple de la de 15€ , ¿cuantas obtuvo
de cada clase?
Un abarrotero mezcla 2 clases de nuez.. una vale $2.59 la libra y, la otra, $3.99.
Si la mezcla pesa 84 libras y vale $3.09 la libra. ¿cuántas libras de cada clase utiliza?
Un tendero mezcla 2 clases de grano de café uno vale $2.79 la libra y el otro, $3.09.
Si la mezcla pesa 400 libras y se vende a $3.09 la libra. ¿cuántas libras de cada
clase de grano emplea?
Un conl`itero mezcla caramelo que vale 139€ la libra con otro a 84€ la libra.
Si la mezcla pesa 240 libras y se vende a 177€ la libra. ¿cuantas libras de cada
clase de caramelo usa?
¿Cuántas libras de to de $4.59 la libra deben mezclarse con 27 del mismo produc
to de $3.79 la libra para producir una mezcla con ttn precio de $3.99 la libra?
Migttelina compro $13.55 de estampillas de 10€ . 15€ y 25€ con un total de 62.
Si hay 2 estampillas más de 15€ que el doble de las de 10€ , ¿curintas adquirió
de cada clase?
Rosa Maria compro $10.70 de estampillas de 10€ . 15€ y 25€ con un total de
53. Si el número de las de 25 € es 4 menos que ci quirttuplo delas de 10€ . ¿cuan
tas consiguio de cada clase?
Sofia tiene $7 dolares en monedas de 5 € . 10€ y 25 € . Si posee 39 en total v hay
5 más de 25 € que el doble de las de 10€ . ¿cttántas monedas de cada clase tiene?
Beatriz dispone de $20 dolares en monedas de 10€. 25 € y 50€. Si en total tiene
110 v hay 2 menos de 10€ que el séstuplo de las dc 50€ . ¿cuántas posee de cada
clase?
La recaudacion por la venta de 35 000 boletos para un partido de fútbol america~
no fue de $305 500.00. Si se vendieron a S8 3* $1 1. ¿cut 'tntos de cada clase fueron
vendidos?
Una sala de cinc vendio 800 boletos por un total dc $4 150. Si se vendieron a $4.50
3' $6.50, ¿cutìntos se vendieron de cada clase?
4.3
Pl'Ob|EII'I3$ DIBIICQHGOS IDH DIIBUFQS
149
23.
Los ingresos por la venta de 68 000 boletos para un partido de fútbol americano
fueron de $6000Ot). Los boletos se vendieron a $14, $10 y $6, y la cantidad de
los de $6 fue 3.5 veces la correspondiente a los de $14. ¿Cuántos fueron vendidos
de cada clase?
24. Un abarrotero mezcla 3 tipos de grano de cafe, uno vale $1.95 la libra; otro, $2.45,
y el tercero, $3.50. La meacla pesa 1 660 libras y se vende a $2.75 la libra. Si la
cantidad del grano de $1.95 es el doble de la correspondiente al de $2.45, ¿cuántas
libras de cada tipo de grano utiliza?
Problemas de movimiento
La distancia recorrida, en millas, es igual al producto de la velocidad, en millas por
hora, y el tiempo, en horas. En simbolos,
ri = rr.
Dos automóviles que se encuentran a una distancia de 375 millas entre si
y cuyas velocidades difieren cn 5 millas por hora, se dirigen cl uno hacia el otro. Se
encontrarán dentro de 3 horas. ¿Cuál es la velocidad de cada automovil?
SOLUCIÓN
Primer auto
Segundo anto
Velocidad
Tiempo
.r mph
3 hrs
(A: + 5) mph
3 hrs
Distancia
3x millar
3(x + 5) millas
La suma de las distancias recorridas es igual a 375 millas.
3.r+3(x+5)= 375
3x+3x+l5=37S
ox=36Ú
x=60
Velocidad del primer auto = 60 millas por hora.
Velocidad del segundo auto = 65 millas por hora.
I
Dos automoviles parten de un mismo lugar y viajan en direcciones opues
tas. El primer automovil hace un promedio de 55 millas por hora, mientras el segundo
tiene uno de 65 millas. ¿En cuántas horas se encontraran a 720 millas entre sí?
SOLUCIÓN
Velocidad
Tiempo
Distancia
Primer anto
55 mph
.r hr
55.1' millas
Segundo auto
65 mph
.lr hr
65.r millas
J If ECUBCIONESLIHEILESEHUNÃVARMBLE
La suma de las distancias rccorrìdas es igual a 720 millas.
55x + 65.1*
l2Ú.r
Í'
í
11
í'
720
720
x=o
Tiempo en el que los autos estarán a una distancia de 720 millas entre si = fi horas
Un avion a reacción que vuela a una velocidad de 650 millas por hora ia
a alcanzar a otro que lleva una delantera de 4 horas 1: está volando a una velocidad
de 400 millas. ¿Cuánto tardará el primer avion eii alcanzar al segundo*
SULUCIÓN
Velocidad
Tiempo
Distancia
Primer atviriri
650 mph
Segiritdo avion
400 mph
i tir
650: iniìlas
(1 + 4) lir
4000 + 4) millas
El primer avion alcanzará al segundo cuando ambos hayan recorrido la inisina distaiieia
650:
650:
250:
4 Elüti + 4)
400: + 1600
:see
62
"' 5
í
11
_
.
.
2
.
.
E .l tiempo requerido es (i š horas, o 6 horas, 24 minutos.
Q
Paula condujo sii automovil 45 minutos a cierta velocidad. Luerio la aiinieii
to en 16 millas por hora durante el resto del viaje. Si la distancia total recorrida fue
de l l 4 millas, y le llevó 2 horas 15 minutos, ¿que distancia manejo ala velocidad mas or”
soi.uctdm
velar ¡aaa
.v min
Tiempo ett mittittos
45
(Jr + lo) mph
135 ¬' 45 =
90
.
Tiempo en horas
3
H
_ 3.
2
.
.
.
Distancia recorrida
3
3
Epi) + É (,r + 16) = 114
3.1* + 6{.r + lol
3x 1 6.1: i 96
9.:
.tr =
3
_
3
2'
ji (Ji)
[.\
.|..
.
16]
. _ por 4)
(se multiplica
456
456
369
40
Distancia recorrida a la velocidad mayor =
(40+ 16) = 84 millas
43
Problemas planteados con palabras
151
Ejercicios 4.35
Dos clubes que se hallan a 25 millas entre si decidieron acampar juntos eii cierto
punto inierniedio. Si uno de los grupos cantina % de milla por hora mas aprisa
que el otro y se encuentran en 3 horas, ¿cuál es la velocidad de cada grupo?
Dos automoviles que están a una distancia de 464 ttiillas entre si 1; cuyas velocida
des difieren en 8 mph, se dirigen el uno hacia el otro. Se encontrarán dentro de
4 horas. ¿Cuál es la velocidad de cada automovil?
Dos automóviles parten del mismo lugar 3; viajan en direcciones opuestas. El pri
mer auto hace un promedio de 45 mph y el segundo, tiene uno de 50 mph. ¿En
cuantas horas se encontrarán a 570 niillas entre si?
Dos coches parten de un mismo punto en direcciones opuestas. Uno de ellos hace
un promedio de 6 inph más que el otro. Determine las velocidades de ambos si
al cabo de 5'/i horas se encuentran a 528 millas entre si.
Un avion a reaccion que vuela a una velocidad de 750 mph va a alcanzar a otro
que partio 2 horas antes y que vuela a una velocidad de 500 mph. ¿A qué distan
cia dcl punto de partida encontrara el primer avion al segundo?
Un automovil parte a una velocidad de 50 mph. Un segundo sale 3 horas más tar
de a una velocidad de 65 mph para alcanzar al primero. ¿En cuantas horas alcan
aará el segundo auto al primero?
Un hombre cabalgo de ida a una velocidad de 30 inph y de regreso a una de 35 mph.
Su viaje redondo duro 6!/i horas. ¿Qué distancia recorrio?
Bertha condujo su automovil 43 niinutos a cierta velocidad. Una descontpostura
la obligo a reducirla cn 30 mpli por el resto del viaje. Si la distancia total recorrida
fue de 65 millas v le tomo 2 horas v 3 minutos, ¿qué distancia nianejo a la veloci
dad baja?
Enrique manejo 40 millas. En las primeras 20 hizo un promedio de 60 mph 3. con
dujo Ias restantes 20 a una velocidad promedio de 40 mph. ¿Cuál fue la velocidad
promedio del recorrido total?
Un hombre manejo 20 millas a una velocidad media de 30 mph gr las siguientes
80 a la de oümph. ¿Cuál fue la velocidad promedio del recorrido total?
Samuel viajo cn autobús a una ciudad a 60 millas de distancia 1,* regresó a casa
en su bicicleta. El autobús viajo al doble de la velocidad de la bicicleta y cl' viaje
redondo duro 4% horas. ¿A que velocidad viajo Samuel en su bicicleta?
Jorge tenia una cita para una comida a 96 millas de distancia. Manejo a una velo
cidad media de 28 mph en la ciudad y a óllntph en carretera. Si el viaje duró 2
horas, ¿quo distancia manejo en la ciudad?
Un tnuchaelio que se encontraba en una parada de autobús se entero qiie este par
tiria dentro de 38 minutos; asi que decidió irse corriendo a casa. Corrio a una
velocidad promedio de I2 mph y llego a su casa al mismo tiempo que el autobús.
Si éste viajo a una velocidad promedio de 50 inph ¿a quo distancia estaba de su
casa el muchacho?
El oficial de un portaaviones no alcanzó a abordar su nave. Cruzo en avion el
inuelle, 17 minutos después de que el barco lo habia abandonado. El portaavio
nes viaja a tin promedio de 36 mph, mientras que el avion viaja .i uno de 240 mph.
Si transcurrieron 5 minutos para que el avión alcarizara y aterrizara en el porta
viones, ¿a quo distattcia se hallaba el barco del muelle cuando el oficial salio del
avion?
Il I ECUICIBIESLIHEILESEHUIIVAIIIÃBLE
15.
Una division rnecanizada del ejército se mueve en columna a 12 mph. Un mensa
jero va desde el final de la columna hacia el frente de la misma, y luego regresa
a la parte posterior, contabilizando en total 15 minut.os. Si el mensajero viajó a
una velocidad de 20 mph, determine la longitud de la columna.
Pl'Ob|B|I'I3$ de fêlflpefãfflfã
Tres escalas que se emplean para medir temperatura son las de Fahrenheit, Celsius (cen
tígrados) y Kelvin. En la escala Fahrenheit, el punto de congelacion del agua se calibra
como 32, y el de ebullicion como 212. Existen 180 divisiones iguales entre la temperatu
ra de congelación del agua y su punto de ebullición, Cada división constituye un grado
Fahrenheit y se denota por °F.
En la escala Celsius, el punto de congelacion del agua se calibra como ll, y el de
ebullicion del agua, como 100, I lay 100 divisiones iguales entre el piinto de congelación
del agua y el de ebullición. Cada division es un grado Celsius y se denota por "C,
La escala Kelvin tiene las mismas divisiones que la Celsius, excepto que el punto
de congelación del agua en la escala Kelvin es 273. Cada division se denota por °K,
Observese que 180 divisiones de la escala Fahrenheit equivalen a 100 divisiones de
la escala Celsius, Cada grado Fahrenheit es igual a % de un grado Celsiiis. Cada grado
9
Celsius es igual a É de uno Fahrenheit. Puesto que una lectura de 32 en la escala
Fahrenheit equivale a una de 0 en la escala Celsius, tenemos lo siguiente:
1, Dada una lectura Fahrenheit, se resta 32 de ella 3' se multiplica por 3 para obtener
la lectura Celsius correspondiente.
se = ¡É ter 32).
. ,
.
9
2. Se multiplica utia lectura Celsius por É , y se suma 32 para obtener la lectura
Fahrenheit equivalente.
“F = %°C + 32.
3. Se suma 273 a una lectura Celsius para obtener la correspondiente lectura Kelvin.
“K = “C
273.
La temperatura normal del cuerpo humano es de 37°C. ¿A qué equivale
en la escala Fahrenheit?
sauna"
F = gc + 32 = gran + 32
= 66.6 + 32
= 93,6
4,3
Pfflbiüfllfli Illãlltfiãdfli MH D3l3IN'3$
153
La temperatura ambiente normal es de ?l)"li. ¿Cutil es su equivalente en
la escala Celsius?
solucion
C = åfl, __ 32) = _(.,0 _ 32)
LflfiDLH
= 608)
= 2l.ll
Nota
Dada una lectura en la escala Falirenhcit, para
obtener la correspondiente lectura Kelvin, pri
mero se encuentra la lectura Celsius equiva
lente jr luego se deterinina la lectura Kelvin,
Eiicontrar la temperatura Kelvin que corresponda a una lectura de 86“F,
SOLUCIÓN
Para obtener la temperatura cn la escala Kelvin determinantes primero
la lectura Celsius correspondiente,
C = å(8o
32) = š(54)
= 30
K=C+273=30+273
= 303
Ejercicios 4.3F
Convierta las siguientes lecturas Fahrenheit en las que corrcspondcii a las escalas Cel
sius y Kelvin:
1.
4.
o8F
239F
2.
5.
95F
22F
3.
6.
l49F
SF
Convierta las lectiiras Celsius siguientes en sus correspondientes lecturas Fahrenheit:
7.
ll).
30€
273€
8.
Il.
4lC
I25C
9.
12.
SOC
600€
Convierta las siguientes lecturas Kelvin a las que corresponden a la escala Fahrenheit:
13.
15.
28814.
7001€
14.
16.
SOSK
IOÚK
II ' ECUACIONES IJNEALES EN UNI VAIÍAILE
17.
18.
Si la temperatura desciende 45°F, determine el descenso que corresponde a la es
cala Celsius.
Si la ternperatttra aumenta 15°C. determine el aumento correspondiente en la es
cala Fahrenheit.
Problemas referentes a edades
Catalina tiene actualmente la mitad de la edad de Dora. y dentro de doce
años tendra 5 de la que Dora tenga entonces. ¿Cuales son sus edades actuales?
ll
5
\
SOLUCIÓN
Crrrrrlirtrr
Jr años
(Jr 1 12)
Edad actual
Edad dentro de I2 años
_¡ .;. 12 = .å(2_¡ + [21
I
Dora
2.1: años
(Zar + 12)
(se multiplica por 6)
t'1(.c + 12) = 5(2.t: + 12)
ox + 7?. = l0.r + 60
4.1' = 12
.r = 3
Catalina tiene actualntente 3 años.
Dora tiene fi.
. I
.
Hace dos años Blanca lenta í de la correspondtente edad de su madre.
5 de la que entonces tenga su manta. ¿Cttál
Dentro de catorce la edad de Blanca sera. ¡É
es la edad actual de Blanca?
Edad hace 2 años
Edad dentro de I4 años
5
J: + lo = ïãlåa' 4
16)
l2l.r + tm ¬ St8.t + ts)
12.1: + [92 = 40.1* t 80
23.1: = 112
J; = 4
Edad actual de Blanca =~ 4 + 2 = 6 anos.
Bffln('U
Azlafnd
_¬›;
.tr ¬+ 16
¿
8,1 1» 16
43
F|"0b|8I'l'I3$ Plflflfflilflfli CON DRIBIWBS
155
Ejercicios 4.36
La edad actual de Pablo es el doble de la de su hermano. Hace cuatro años Pablo
tenia el triple de la correspondiente a su hermano. ¿Cual es la edad actual de Pablo?
La edad actual de Bernardo es el triple de la de Amalia. Hace dos años él tenia
el quintuplo de la edad que correspondía a Amalia. ¿Cuales son sus edades actuales?
.
.
1
.
.
Ricardo tiene actualmente E de la edad de su padre. Dentro de dtez años tendra
la mitad de la edad correcpondiente de su padre. ¿Cuál es la edad actual de Ricardo?
l
.
La edad actual de Dulce es í de la de su hermana. Dentro de stete años Dulce
. 2
.
tendra É de la edad de su hermana. ¿Coal es la edad actual de su hermana?
_
. . .
. l
.
Hace dos anos (rtstma tema (5 de la edad que correspondta a la de su mamá.
. . .
7
.
_ .
Dentro de lo años Cristina tendra lš de la edad de su mama. ¿Cual es la edad
actual de la manta de Cristina?
_
. l
, 2
Hace 3 años Linda tema 6 de ia edad de su padre y dentro de once. tendra 3
de la de su papa. ¿Cuáles son sus edades actuales?
_
l
Hace dos años la edad de Caroltna era š~ de la de su padre y dentro de cuatro
l
I'
'I
I
¡
años sera T de la de su papa. ¿Cual es la edad actual del padre?
Yolantla es seis años menor que Teresa. Dentro de cinco años la primera tendrá
5 de ia edad de la segttnda. ¿(.uales son sus edades actuales?
4
1
.
_ .
_
É
.
.
4
Vtrgtnta es 8 años menor que Soma y hace diez años la edad de aquella era $
de la de esta. ¿Cuales son sus edades actuales?
Problemas de palancas
Cuando una barra uniforme de peso despreciable se pone en equilibrio sobre un sopor
tr. con cargas en ambos lados del soporte, se tiene una palanca (Figura 4.1 ). El soporte
se denomina punto de apoyo o fulero 5' se denota por F. Las cargas se representan por
_W_ ¿_ lfl '_,, _ _ ., (primera. segunda carga, etc.)
1'
|
t
í¡,,
tt _ › .t ¬'mi 1,, it
¦
t* 1
It',
FIGURA 4.1
it',
|
¬› 1
t
IIIII
jíl íl I I H
lt '_,
lt 1,,
4 I ECUACIONES UHEILES EN UNA VÃRIIILE
La distancia de una carga al punto de apoyo se llama brazo de palanca de la carga.
La longitud de tal brazo de la primera carga se representa por L, , la segunda por L1.
y así sucesivamente.
Para que la palanca quede en equilibrio, la sttma de los productos de las cargas
situadas de un lado del punto de apoyo por sus respectivos brazos de palanca, debe
ser igual a la suma de los productos de las cargas del otro lado del punto de apoyo por
sus brazos de palanca.
H"'|f.¡
'l'
i"'V1f 2 =
I"V_ ¡L_1
'I'
H/¿L4
Algunas maquinas simples a las que se aplica la ley de las palancas son el subibaja. el
cascanueces, las tijeras y la balanza.
Beto y Paty pesan juntos 75 libras. Si en un subibaja el primero se sitúa
a 4 pies del punto de apoyo y la segunda a 6 pies del mismo, quedan en equilibrio. De
terminar sus pesos respectivos.
SOLUCIÓN
Véase la Figura 4.2.
Peso de Beto = .r libras.
Peso de Paty = (75
4.1:
4x
10.1'
.tr
=
=
=
=
6(75
450
450
45
Jr) libras.
.r)
6x
Peso de Beto = 45 libras.
Peso de Paty = 75 45 =› 30 libras.
4'
suma
F
45'
uâ
a
libras
FIGURA 4.2
Una barra de peso despreciable se encuentra en equilibrio cuando una car
ga de 9') libras se sitúa a 8 pies de un lado del punto de apoyo, y dos cargas de 40 y
120 libras se ubican a 2 pies de distancia entre si del otro lado del punto de apoyo, con
la carga de 40 libras mas cercana a diclto punto. ¿A que distancia del punto de apoyo
se encuentra la carga de 40 libras?
43
Problemas planteados con palabras
SOLUCIÓN
157
Véase la Figura 4.3.
Supongamos que la carga de 40 libras está a .r pies del punto de apoyo.
La carga de 120 libras estara a (Jr + 2) pics del punto de apoyo.
90(8) = 40(.r) + l20(.t' + 2)
720 = 401: +1201: + 240
60.›:=480
.r=3
La Larga de 40 libras está a 3 pies del punto de apoyo.
|
I
¡_.
Mí
H.
mi
|
I
901
libras
tx t 2) en t
I
'
.
¡gi .T
I
i.¬
I
40
p libras
120
pt libras
FIGURA 4.3
Ejercicios 4.3H
Juana pesa IIS libras y se sienta en un subibaja a 8 pies del punto de apoyo. Si
Beatriz lo hace a 10 pies del punto de apoyo para lograr el justo equilibrio. deter
mine el peso de Beatriz.
Sofia pesa 80 libras y se encuentra en un subibaja a 3 pics del punto de apoyo.
Si Nadia se situa a 5 pies del punto de apoyo, se equilibra con Sofia. ¿Cuanto
pesa Nadia?
David pesa 96 libras y se halla en un subibaja a 5 pies del punto de apoyo. Si Mar
_cos pesa 60 libras, ¿a que distancia del punto de apoyo se debe situar para ponerse
en equilibrio con David?
Guillermo pesa 240 libras y se sienta en un subibaja a 6 pies del punto de apoyo.
Si Gustavo pesa 180 libras. ¿a que distancia del punto de apoyo se debe situar
para lograr cl equilibrio con Gttillernto?
A y B pesan juntos 250 libras. Si en un subibaja A se encuentra a 6 pies del punto
de apoyo yt B a 4 del mismo, quedan en equilibrio. Determine sus pesos.
Un subibaja de 7 pies de longitud es puesto en equilibrio por A y B que pesan
90 3; 120 libras. respectivamente. Halle la distancia de cada uno de ellos al punto
dc apoyo.
Una barra de peso despreciable esta en equilibrio cuando una carga de 200 libras
se sitúa a 12 pies de ttn lado del punto de apoyti, 3; dos cargas de 80 y 240 libras
se encuentran a 2 pics de distancia entre si del otro lado del punto dc apoyo. de
la carga de 80 libras mas cercana a dicho punto. ¿A que distancia del punto de
apoyo se ubica la carga de SO libras?
4
ECUACIONES IJIIEALES EN UNA VARIABLE
Una barra de peso despreciable se pone eii equilibrio cuando una carga de Iótl
libras se coloca a 9 pies a un lado del punto de apoyo, y dos cargas de 90 y 108
libras se sitúan a 6 pies de distancia entre si del otro lado del punto de apoyo,
con la carga de 90 libras más cercana a tal punto. ¿A que distancia del punto de
apoyo está la cttrga de 90 libras?
Una barra de peso despreciable se equilibra cuando una carga de 240 libras se ubi
can a 8 pies de un lado del punto dc apoyo, y dos cargas que difieren en 30 libras
se encuentran del otro lado de este punto, detal manera. que la carga menor está
a 6 pies del punto de apoyo y la mayor a 14 pies del mismo. Determine los valores
de las cargas.
Una barra de peso despreciable se equilibra si una carga de 300 libras se coloca
a 12 pies de un lado del punto de apoyo, y dos cargas que difieren en ISO libras
se sitúan del otro lado de dicho punto, de tal modo, que la carga menor queda
a 16 pies del punto de apoyo y la mayor a 9 pies de éste. Encuentre los valores
de las cargas.
Problemas de geometría
El perímetro de un cuadrado es igual a cuatro veces la longitud de su lado.
El área de un cuadrado es igual al cuadrado de la longitud de su lado.
El perímetro de un rectángulo es igual al doble de su base mas el doble de su altura.
LI área de un rectángulo es igual al producto de su base por su altura.
La suma de los ángulos de un triangulo es igual a 180°.
El área de un triángulo es igual a un medio del producto de la base por la altura.
Se dice que dos ángulos son complementarios si su suma es 90”.
Dos angulos son suplementarios si su siima es ISO”.
La base de un rectángulo es 3 pies menor que el doble de la altura, 3* el
perimetro es de 42 pies. Obtener las dimensiones del rectángulo.
sotuctotit veas@ is Figura 4.4.
Altura
.ir pies
2(x) + 2(2r
Base
(2.r
3) = 42
2.r+4.t* o=42
6.r=48
.x=3
3) pies
4.3
Pmblamas planteadas con palabras
159
lr
3
.I
.r
11.'
3
FIGURA 4.4
Altura del rectángulo = 8 pics.
Base del rectángulo = 2(S) ~ 3 = 13 pies.
La base de una pi nfulra r Éctanštiïar as É pulgadas ruanarïfualel doble de
su altura. Si al marca tiene 4 pulgadas de ancha 1.' un area de 816 pulgadas cuadradas,
hallar las dimcnsiuncs de ia pintura sin al marco.
SOLUCIÓN
Véase la Figura 4.5.
Altura
.tr pulgadas
Base
8) pulgadas
Área
.u[2.1' H 8)
Sin marca
{2x
Con marca
(Jr + S) pulgadas
2.1' pulgadas
2.1r(;r + 8)
El arca de la pintura incluyendo al marca. me nos el área dr: la pintura sin esta último,
es igual al arca del marco.
2t(.r + 8)
1x1 + lar
.r(2.x
3) = 816
2.1 1 + 8x = San
24.1' = S16
.r = 34
Altura fic la pintura = 34 pulgadas.
Base de la pintura = 2(3 4) S
60 pulgadas.
.t'
lr ~ 8
li'
FIGURÃ 4.5
.I + 8
4 I ECUACIONES MUELLES EN UIA VARIABLE
La suma de la base y la altura de un triángulo es 28 pies. Encontrar el area
del triángulo si su base es de 8 pies menos que el doble de su altura.
SOLUCIÓN
_
Base
(2.1: 8)
i
(2.t'
Altura
.Jr
3) + .tr = 28
zx s + s = es
3.r = 36
.tr = 12
ase = 2(l2)
8 = lo pies.
Altura = 12 pics
Area = %(l6)(l2) = 96 pies cuadrados.
Ejercicios 4.3!
La base de un rectángulo mide 6 pies más que su altura y el perímetro es de 96
pies. Encuentre las dimensiones del rectángulo.
La altura de un rectángulo mide 8 pies menos que la base. Si el perímetro del rec
tángulo es de 60 pies. halle las dimensiones de éste.
La base de un rectángulo es ei triple de la altura, y el perímetro es de 256 pies.
Obtenga las dimensiones del rectángulo.
La base de un rectángulo mide 4 pics más que el doble de la altura, y el perímetro
es de 146 pies. Determine las dimensiones del rectángulo.
La base de un rectángulo mide 7 pies menos que el doble de la longitud, y el perí
metro es de 58 pies. Encuentre el área del rectángulo.
La base de un rectángulo mide IO pics más que el doble de su altura 3' el perímetro
es de 170 pies. Haile el área. del rectángulo.
Si dos lados opuestos de un cuadrado se incrementan en 3 pulgadas cada uno 3 '
los otros dos disminuyen 2 cada uno, el área aumenta 8 pulgadas cuadradas. En
cuentre el lado del cuadrado.
Si dos tados opuestos de un cuadrado aumentan 5 pulgadas cada uno y los otros
dos disminuyen 3 cada uno, el área de incrementa en 33 pulgadas cuadradas. Oh
tenga el lado dei cuadrado.
Si dos lados opuestos de un cttadrado se ìncrententan en 6 pulgadas cada uno y
los otros dos lados disminuyen 4 cada uno, el área permanece constante. Determi
ne ei lado del cuadrado.
Si dos lados opuestos de un cuadrado aumentan 10 pulgadas cada uno 3; los otros
dos disminuyen S cada uno, el area decrece 20 pultaas cuadradas. Halle el lado
del cuadrado.
La base de un cuatlro sin marco mide el doble de su altura. Si el marco tiene 2
pulgadas de ancho 1.' su area es de 208 pulgadas cuadradas, encuentre las dimen
siones del cuadro sin el marco.
Repaso det capítulo 4
12.
161
La base de una pintura sin marco es 3' pulgadas menos que el doble de su altura.
Si el marco tiene l pulgada de ancho y su área es de 34 pulgadas cuadradas, ¿cuá
les son las dintensiones de la pintura sin marco.
13.
Un edificio ocupa un terreno rectangular que mide de largo 30 pies menos que
el doble de su ancho. La banqueta que rodea al edificio tiene 10 pies de anchura
y un área de 4 600 pics cuadrados. ¿Cuáles son las dimensiones del terreno que
ocupa el edificio?
14.
Una construcción se asienta en un terrno rectangular que mide de largo 10 pies
menos que el doble de stt ancho. La banqueta que rodea a la construcción tiene
8 pies de anchura y su área es de 2 496 pies cuadrados. Determine las dimensiones
IS.
del terreno de la construcción.
La longitud de un edificio es de 20 pics menos que el doble de su anchura. El alero
de la asotea es de 2 pies de anclto en todos los lados del edificio y su área es de
536 pies cuadrados. Si el costo del techo por pie cuadrado es de $3.60, determine
el costo total del techo.
16.
17..
La longitud de un cuarto es de 9 pies menos que el doble de su anchura. La alfom
bra del cuarto está a 1.5 pies de las paredes. El área de la parte descubierta del
piso es de 99 pies cuadrados. Si el costo de una yarda cuadrada de la alfombra
es de $162, obtenga el costo total de la alfombra.
Un lado de un triángulo mide el doble de otro. El tercer lado es de 6 pulgadas
y el perímetro es de 18. Encuentre la longitud de cada uno de los lados.
13.
l..a suma de la base 3; la altura de un triángulo es 35 pies. Encuentre el área del
triángulo si su base mide IO pies menos que el doble de su altura.
19.
La suma de la base y la altura de un triángulo es 62 pies.. Encuentre el área del
20.
triángulo si su altura mide 22 pies menos que el doble de su base.
La suma de la base y la altura de un triángulo es 8] pies. Determine el área del
21.
22.
triángulo si cl triple de su altura supera cn 18 pies al doble de su base.
l.a suma de la base y la altura de un triángulo es 63 pies. Obtenga el área del trián
gulo si el triple de su base supera en 7 pies al cuádruple de su altura.
El segundo ángulo de un triángulo es 10" mayor que el primero. El tercero mide
IO" menos que el doble del segundo. ¿Cuántos grados mide cada uno de los án
gulos?
11
Út
24.
Uno de dos ángulos complementarios mide 6*" más que el doble del otro. Encuen
tre las medidas dc los dos.
Si uno de dos ángulos suplemeutarios es el cuádruple del otro, obtenga ambos.
Repaso del Capítulo 4
Resuelve las siguientes ecuaciones:
l5.r 9+Í.›'.r=7+3.r
3.4.17 20 1r=5 3x
5. 2.r+l2 9.r=3 6.1:
Jr
l
l
.r
7 z"z=§'§
2.b.r+4+3.r=4 7x
4..r 3 7.t'=4 2.!
6..r+l0 3x=4.t I2
2.1.'
l
.I
2
b s"z=a+§
I* Eflllflflãllflflliiiflüfllïllillli
9
.
ll.
.tr
2
l
3.r
l
=
6
8+3
21
5
l
.r
I
l
5 z+6
0
12
f_.!._.1._i
s
3`"e
4
7¿+â ilf+Z
12 2 3 4
3(zt+7› nz .t ›=3
9 suas 6)=11(2 su
I3. 7(2x
3) + 2(3.r
I) = 17
14
15. ll
l3(2
xl = 5(3x
7)
16
1) + 3(3
51') = 25
17. 5(3
x)
6(3
21) = 13
13 1l(2.¦r
IO) = 7(3x
l)
19. 6(5x
2) + 7(2
3x) = 5
20 6 + 4(3.1r
21. 8(.r + 3) ¬ 7(2x + 1) = 4(x
2)
22. 9(2x
1) 3(3.r
2) = 4(3.r + 1)
41:) = ll
l6(2.r
3)
24. 4(6.r
17) = 20
l9(7
Jr)
23 . 5('?
25. 2(5
4.1:) + 5(l + x) = 3(3.r
7)
26. 4(3 8x)+7(2.x 9)=6(l 21)
27. 6{.r
3)
4(5 + 31) = 'i'(x
6)
28. 3(;r l) 2(2.r 3)=5(.r 3)
29. (4x
7)(.t'
5) + (3
2x)(l + 2x) ==
30. (3.1: + l)(x
2) 3(.t
4)(.r + 6) = 4
3l. x + 4.r{.r
2) = (41 + 5)(.r
8)
32. 3x
.r(3
Sr) = (5.1:
2)(.r + 4)
2(3.r
4)(x
3) = (9
Zx)(8 + 31)
33 . l
34. (3.1:
l)2
3(.r + 4)(3x
7) = 15
35. 6(2.r + l)(.t'
7)
(3.1:
2)(4.r
1) = 23
5)(x + I)
(2.1: + 9)(3.r + 4) = IO
36 . (dr
37. (5.1: + 2)2
(7.r + 3)(3x
2) = 4x1
38. (8x+ 3)(5.1r 9) (dx 7)2=4(x2 1)
39 .
.tr 2
T=l
40.
x+2
.r 2
l
41 . í6 _ 3 = 2
4.
2
43
,
45 .
:_
l
.r 3
2.1' 3
_
13
3(4x
5
Jr 4
l
_=
6
9
1)
44.
4::
3 = es 5
ztzx
7)_3(3
rr):
í 4 1
47 .íïå
5(.r 2)
,
i
49
4
'l(.r 3)
2
ï =
6
3
2(.r+3)
2.1: l
í ¿ =
Sl .
5
2
3(2 x)
¿
4
2 Tx
5(3x 4)
4
+
9í =
53 .í
2
f¿_t,a;t_,
s
s '
§__:_3_í i
9
3 'Q
ii... l
12
4
e
46.
†¿Lft__1'¿fï_ ri.
43.
7{x l0)_S(3.t:
6
3
50.
10 .r_3(I 4x)_S(2›:+7)
3
8
24
52.
54.
s
3(l
2
_
.r)+4x+5
2
3
12§9.r+4_)_
ll
9(?.r
4
3
l)=l
_S(x l)
6
l)=4
RB|¦l2$0dO|C3|IÍl.'IliD4
ns
vs) + so + .t › sts 21)
22
tt
4
3(.t+1o›_2(2.t+ u)=s+s
7
3(2x 3)
11
5
2
.r
+ _'
=s
2
3
l
1
ss. 31:
7
3
3
5
z(l Gx) š(lr+5) .r
2
= 3(x+4)
60.13.1r
2
3
l
4
0.(l6(32000 ¬¬ x) + 0.0'?2Jr = 2088
62
63
64
0.068(26000 rr) + 0.0841' = 1960
0.076(x + 8000) ~ 0.07:r = 698
0.08x 0.03(21 000 ar) = 800
Enumere los elementos de los conjuntos siguientes, dado que .r E R
{.r|3x(.r
l)
{.r|(2.r + 3)(.r
67.
lxlrlx
4]
ss ts ¡(11 + nos
(31 + l)(.t
2)
3) ' '(2 'f ' 3)
fx
21 + 2]
I
Z;
_ gt
í
í.
2l(x t 2) = l " 4 fl
2)
sxtzr
1) = 2.r}
69{x|(2x 3l(.r 1)'(2x + ¡K f'”4l = "'
70{sus + 2)(3s 1) (31 + 2)t.r 1) = ol
En los Ejercicios 65 76, dada la primera ecuación resuelva la segunda para .Y
Dada y = .tr + 7, resolver Sa' y = el para t
Dada y = 5 Jr, resolver 3x y = 3 para Ji
Dada y = 2x 3, resolver 3x 2_r = 4 para r
Dada y
5 2x, resolver 5.1: + 4y = ll para r
l
I
:_
3,1
+
1,
resolver
3
.tf
+
Í
y = 6 ara r
Dada y
Dada y = 2
3
2
3
Ty
=
x, resolver :›: +
Dada ,r = 'r
5 resolver 5 Jr Í y
'
6
8
Dada _v = ir
2, resolver
Dada y = x
Dada y = .rr
Dada y = Jr
8, resolver xl'
3, resolver x2
9. resolver (2.r
9 para 1
2
(Jr+ l) +
Dada y = 3x 4, resolver É (2,r
para t
1)
Í (y
4 .= 3 parax
117 (y + 6) =
xy = 3 para .r
,vi = 6 para x
3):
4y
= l5 para t
1 para t
4 I* ECUICIOIESUNEÃLESENIINÃVÃRMBLE
83.
La suma de dos números es 56. El septuplo del menor supera en 12 al triple del
mayor. Halle los dos.
La suma de los dígitos de un número de tres cifras es 17. El dígito de las unidades
es uno menos que el de las centenas. El sestuplo del dígito de las centenas supera
en 2 al cuádruple de la suma de los digitos de las unidades y decenas. Obtenga
el ntimero.
85. Encuentre tres enteros impares consecutivos tales que el producto del primero v
el tercero menos el del primero y segundo supere en ll al tercero.
86
Determine dos ntinteros cuya diferencia sea 4 y la diferencia de sus cuadradas sea
uno menos que el septuplo del número mayor.
87. La suma de los digitos de un número de tres cifras es I4. El dígito de las unidades
supera en 3 al de las decenas. Si el numero es 2 menos que 20 veces el dígito de
las unidades, encuentre el número.
88. El costo de una grabadora es S570 dolares. ¿Cuál es el precio de venta si el mar
gen de utilidad es el 40% de dicho precio?
89. una persona paga por concepto de impuestos el 35% de su salario. Teniendo en
84.
cuenta los impuestos, ¿cuánto debe ganar para cubrir una deuda de $78?
90.
Georgina tiene $3 300 invertidos al 6%. ¿Cuánto debe invertir al 11.75% para que
91.
el interés de ambas inversiones sea de $1,044?
Alicia tiene 52400 invertidos al 5.75%. Determine que cantidad adicional debe
92..
93.
94
invertir al 12% para que el interés anual total sea igual al ltl.5% de la inversión
total.
Un tendero compro 500 libras de naranja. Incremento su precio en un t '›O"fn y ven
dio 490 libras; las otras 10 libras se echaron a perder. Su ganancia fue de S71.
Obtenga el costo y el precio de venta por libra.
Jacinto decidio comprar regalos de Navidad para sus amigas. Sin embargo. gas
tando 25 "fu menos en cada uno de los regalos, pudo adquirir un regalo equivalen
te para su hermana, y ahorrar $3 dolares. ¿Cuánto gasto en cada regalo?
Cecilia invirtió una parte de S20 000 al 7.4% y el resto al 9.2%. Si los intereses
de la primera inversión superaron en S484 a los de la segunga, determine que can
tidad invirtid en cada una de las tasas.
95.
El monto de interés anual producido por S 18 000 supera en $296 al producido por
96
$16000 u un interés anual menor un 0.8%. ¿Cuál es la tasa de interés aplicada
a cada cantidad?
¿Cuántos litros de una solucion de ácido al 90% se deben agregar a 30 litros de
otra igual al 50% para obtener una al 74%?
97.
Una persona meztelo 120 libras de una aleacion de plata al 54% con 40 libras de
otra al 78%. ¿Cuál es el porcentaje de plata presente en la mezcla?
93.
99.
Gabriel tiene $5.70 en monedas de SG? , 10€ y 250?. Si en total son 37 monedas
y hay el doble de las de 25@ que de las de 5€ , ¿cuántas tiene de cada clase?
Juan compró $9.20 dolares de estampillas de 10€, 15€ y 25€ con un total de
55 estampillas. Si el ntimcro de éstas dc 15 II fue el quintuplo del de las de l0(I`,
¿cuántas de cada clase compro?
I00.
Juana compró $8.10 dolares de estampillas de IOGÍ, l5Q` 3' 25€ con un total dc
42. Si de las de 25€ hay 3 menos que el cutidruplo del ntimero de las de ltlfif .
¿cuántas de cada clase compro?
Repaso del Caflffltto 4
165
Un carnicero mezcla 2 clases de carne molida, una de $1.59 y la otra de $2.49
la libra. Si la combinacion pesa 240 libras y se vende a $2.19 cada una. ¿cuántas
libras de cada clase emplea?
¿Cuántas libras de cafe de $5.25 la libra se deben mezclar con 45 de café de $3
cada una para formar una combinación que se venda a $4 la libra?
El propietario de un bar gana, después de gastos, un promedio de $2.50 por bebi
da mezclada y $1.60 por cerveza. Si obtiene una ganancia de $1518 en 780 ventas,
¿cuántas cervezas se vendieron?
Un negocio de barbacoa para llevar a casa gana $1.65 en cada orden de pollo y
53.42 en cada orden de carne. En cierto día hubo una venta de 250 ordenes con
una ganancia de $571.80. ¿Cuántas órdenes de cada clase se vendieron?
Los ingresos por la venta de 800 boletos para utt partido de basketbol, fueron de
54 363. Si los precios de éstos fueron de $4.95 y $6.50, ¿cuántos boletos de cada
clase se vendieron?
Dos automóviles que se encuentran a una distancia de 6l8 millas entre si y cuyas
velocidades difieren en 7 mph, se dirigen el uno hacia el otro. Se encontrarán den
tro de 6 horas. ¿Cuál es la velocidad de cada automovil?
Un automovil parte a una velocidad de 45 mph. Un segundo automóvil sale 4 ho
ras más tarde a la de 60 mph para alcanzar al primero. ¿En cuántas horas lo logrará?
Encuentre la lectura Celsius correspondiente a 230°F.
Determine la lectura Fahrenheit que corresponde a l40"C.
Fclipellicnc actualmente el cuádruple de la edad de stt hermano. Dentro de IS
. 3
.
.
anos tendra í de la correspondiente de su hermano. ¿Cual es la edad actual de
Felipe?
La edad actual de Miguel es % de la de su hermana y dentro de 4 años tendrá
I
.
É de la que entonces tenga su hertnana. Determtne la edad actual de la hermana.
Hace 2 años la edad de Marcela era É de la que tenia su hermano, y dentro de
. 4
6 años tendra 3 de la que entonces tenga su hermano. Encuentre la edad actual
de Marcela.
Una barra de peso despreciable se pone en equilibrio cuando una carga de 465
libras se sitúa a 8 pies de un lado del punto de apoyo, v dos cargas que difieren
entre si en 80 libras se colocan del otro lado de ese punto, de tal manera, que la
carga mayor está a 9 pies del punto de apoyo y la menor a 6 del mismo. Determine
los valores de las cargas.
Una barra de peso despreciable se pone en equilibrio cuando una carga de 400
libras se sitúa a 9 pies de un lado del punto de apoyo, y dos cargas que difieren
entre sí en 150 libras se colocan del otro lado de ese punto, de tal manera, que
la carga mayor está a 12 pies del punto de apoyo y la menor a 8 del mismo. En
cuentre los valores de las cargas.
El doble de la longitud de un lote rectangular supera en 40 pies al triple de la an
chura. El perímetro del lote es de 440 pies. Encuentre el área del lote.
El doble de la longitud de un edificio rectangular es de 80 pies menos que el triple
de su anchura. El perímetro del edificio es de 1120 pies. Determine el área que
ocupa el edificio.
4
ECUÄCIOHÉSLIHEÃIHHIHIVAIIIILE
Si dos lados. opuestos de un cuadrado se incrementan en 7 pulgadas cada uno y
los otros dos disminuyen 3 pulgadas cada uno. el área aumenta 31 pulgadas cua
dradas. Obtenga el lado del cuadrado.
Un edificio ocupa un terreno rectangular que mide de largo 15 pies menos que
el triple de su ancho. La banqueta que rodea al edificio tiene 7 pies de anchura
y un área de 2 506 pies cuadrados. ¿Cuáles son las dimensiones del terreno que
ocupa el edificio?
La suma de la base y la altura de un triángulo es de 69 pies. Encuentre el área
del triángulo si el triple de la altura es 3 pics menor que el doble de la base.
La suma de la base y la altura de un triángulo es 104 pies. Encontrar el área del
triángulo si el cuádruple de la base es 24 pies menor que el triple de la altura.
cAPí†uLo 5
Desigualdades lineales
y valores apsolutos
en una variable
5.1
5.2
5.3
5.4
Definiciones v notación
Propiedades de las relaciones de orden
Solucion de desigualdades lineales en una variable
Solución de sistemas de desigualdades lineales en una variable
5.5 SOIUCÍÓH UE BCUHCÍOHGS lÍi`l€ãl€$ COU VBÍOFBS HDSOIUÉOS
167
5 I DESIGUILDÃDESLIIIEÃLESYVILOIESIBSDLUTOSHIUHA VARIABLE
Definiciones y Notación
Cuando dos números reales tr y b se representan por puntos sobre una recta numérica.
se cumple una de las siguientes relaciones:
L Si la grafica de u se encuentra a la derecha de la de b, entonces a es mayor que b,
lo que se denota por of > b.
2. Si u y b representan un mismo punto, entonces o es igual a b, lo cual se expresa rr = b.
3. Si la grafica de o esta a la izquierda de la de b, entonces u es menor que b y se denota
por o =: b.
Obsérvese que los enunciados a '.:› b y b <: a son equivalentes.
mi
5 se encuentra a la derecha de 2, entonces 5 2: 2.
8 esta a la izquierda de 6, luego 8 ci 6.
El conjunto de los números positivos es {.›:|.t' > O, .rr E Ri.
:'*i~"!"°'! * El conjunto de los números negativos es {.t'|x <: 0, .r E R1.
El enunciado 10 :.> 4 significa que si se resta 4 de 10, se obtiene un número positivo,
10 4 = +6.
El enunciado 3 > 8 quiere decir que si restamos 8 de 3. resulta un número positi
vo. [ 3)
( 3) =
3 l 8 = +5.
DEFINICIÓN
Si tr
Para tr, ¡J E R., rr > b significa que of
un número positivo.
b cs
ir es un número positivo, podemos escribir
de b=k,
Como rr
e la b
b = k
dottdcn,iJ,kER,k2:= 0.
3'
significa
a = b + .it son enunciados equivalentes,
u = b + ir
donde k t> 0.
Si nf es mayor o igual a I), se emplea la t¬ :nación u 2 b. De esta manera. rr 2 b significa
que rr ::› b. o bien tr = b.
Si tr es menor o igual a b, se utiliza la notación ar 5 h. De modo que rr 5 b quiere decir
quer: < bobientr = b.
nsrlulctóu
Las relaciones :›. <:, 2, 5 sc llaman rela
ciones de orden.
5.1
DGFIIIÍCÍOIIGS Y flfiflflfifl
169
Para representar el conjunto {x¦.r > 3, x E Rl gráficamente, se traza un rayo a par
tir del punto cuya coordenada es 3 en la direccion positiva. Se coloca un circulo hueco
en el punto para denotar que éste último no está incluido en el rayo (Figura 5.1.)
3
FIGURA 5.1
Para representar gráficamente el conjunto {x|.r =: 5, .r E R} se traza un rayo a partir
del punto cuya coordenada es 5 en la direccion negativa. Se pone un circulo hueco en
el punto para indicar que este no se incluye en el rayo (Figura 5.2).
›
5
FIGURA 5.2
Para representar el conjunto lxlx ' 2: 2, .r E Rl grálicamente, se traza un rayo desde
el punto cuya coordenada es 2 en la direccion positiva. Se coloca un circulo lleno en
el punto para señalar que este último está incluido en el rayo (Figura 5.3).
2
FIGURA 5.5
Para representar gráficamente el conjunto {x|.r 5 l, x E R) se traza un rayo desde
el punto cuya coordenada es 1 en la direccion negativa. Se pone un circulo lleno en
el punto para señalar que dicho punto se incluye en el rayo (Figura 5.4).
.
s1
FIGURA 5.4
5 I DESIGUÃLDADESLIHEILESYVQLOIESIBSGLUTOSEIIHIIVARIÁILE
Propiedades de las relaciones de orden
Como o > b y b < e son enunciados equivalentes, de los teorcntas que se dan a conti
nuacion para la relacion “mayor que” se pueden obtener tcoremas análogos para la
relación “menor que".
TEOREIIÂ 1
Sean tr, b, ce R; si a > b y b > c, entonces d 2> c.
"ora
Sean of, h, c E R; si rr <: b y lr < c, entonces
e <:ï c.
1. 2 :.› 10 y 10 > 20:
por consiguiente
2. l
2 > 20.
='.17y7 1:13;
¡por lo tanto
TEOREHA 2
I ¬ :I I3.
Sean rr, 11, c, d E R; si of := Lt y c '.> ri, entonces d + c : = b + d.
Nota
1.
5 3 2
5 + ( S) =
3
Sean ef, L1, c, de R; si rr <: b y c <: ci, en
toncesa + c < b + d.
y
8 Ia
20
jr
2 + ( 20) =
13
Como 3 :› 18, entonces 5 + ( 8) 7: 2 + ( 20).
2.
2 <: 0
y
ll) <I I4
2+l0=8
y
0+l4= I4
Dado que 8 =: 14, entonces se cumple que 2 + 10 =: t) + 14.
TEGREIIÃ 3
Scan rr, b, c E R; si te 2: b, entonces n + e 3: b + c.
Nata
Sean tr, b, c E R; si rr < b, entonces rr t c <
b+c.
5.2
Propledaclcsdelasrelaclonesrleorden
l.
171
20 :> 7
20 + ( 30) =
Como IO :==
10
y
7 + ( 30) = 23
23, entonces 20 + ( 30) I: › 7 + ( 30).
2.
lü+5
5
lO <: 2
y
2+5=3
Puesto que 5 <: 3, entonces 10 + 5 < 2 + 5.
TEGREIM 4
Sean u, lr, c, cf G R y e, b, c, d > 0; si a ::› ir y c > d, entonces ec >
bd.
Nota
Sean o, h, c E R y a, b, c, o' :> 0;
si rr <I b 5' r: <: d, entonces de < bd.
1.
7 > 3
y
S > 2
703) = 56
Y
3(2) = 6
Dado que 56 > 6, entonces 7(8) > 3(2).
2.
4 <: 9
4(5) = 20
y
y
5 < 7
9(7) = 63
Como 20 < 63, entonces 4(5) si 9(7).
TEOREMA 5
Sean u, b, c G R, c :› O; si u > ii, entonces ec :> bc.
Nota
1.
S> 2
S(3) = 15
y
y
Sean o, b, c E R, r' > 0; si tr <: b, entonces
ec 1' bc.
3: 0
2(3) = 6
Puesto que IS > 6, entonces 5(3) :› 2(3).
2.
8 <: 3
8{5) = 40
y
y
5 ':› 0
3(5) = 15
Dado que 40 < IS, entonces 8(5) < 3(5).
5 ' DEÉÍGUÃIDÃDES UÑEÃIES Y VÃIORES Ã5$0lUTO$ FN UHÃ VÃRIÃHIE
TEGREMÃ 5
Scan tr, fr, c E R, t' =: U; si rr 1> I), entonces oc :Z ht',
Nota
Scan rr. b, c E R, c 1: (1: si rr ei b, entonces
oc > he.
I.
15 3° l2
l5( 2) =
1.'
30
jr
2 si 0
l2( 2) 2
2=l
Como 30 <: 2:1, entonces l5( 2) < I2( 2).
2.
IO si 3
y
4 22 0
lÍ)( 4) = 40
Y
3( 4) = ¬ l2
Puesto que 40 :=›
12, entonces lO( 4) 3: 3( 4).
Nota
Si rr, 11 e R y tr > b, entonces rr c ~b.
20 > 6
Nota
por consiguiente
20 <
l
15 :›
4
por lo tanto
El I": ›
9
entonces
l,¿J¡#fl
Si uf, ¡J t "_ R gr a < b, entonces rr >
2 <: 7
por consiguiente
"'10 < 4
15 <:
por le tanto
l
por consiguiente
AA 9*~.o¿t:›.
b.
2 :›
7
10 :=› 4
IS :› I
Solucion de desigualdades lineales en una
variable
J'
Los siguientes son ejemplos de enunciados de orden entre dos espresions algebraicas:
l.
5.r si 5.r + 2
3.'7.r+2<:3s l8
S. 3x + 7 E 3(x + I)
2.
4(.r + 8) :> 4(.r + 2)
4. 2r+9ax+20
6. o(.r + 3) r=› 2(3.r + IO)
Los enunciados l 3; 2 son verdaderos para todos los valores reales de las variables con
tenidas. Los enunciados de este tipo se llaman enunciados absolutos. Los enunciados
5.3
Solución de deslaualdadas llneaies en una variable
173
3 y 4 son verdaderos para algunos, pero no todos los valores reales dela variable inclui
da. El enunciado 3 es verdadero cuando :r es menor que 5. El enunciado 4 es verdade
ro cuando x es mayor o igual a l l. Los enunciados de este tipo se denominan desigual
dades eendieionales o simplemente desigualdades.
l.os enunciados 5 y 6 no son verdaderos para ningún valor de .r y se llaman entrttcfurios
_f.5`t'J.ï .
DEFm'c¡Ó~
El conjunto de todos los números que satis
facen una desigualdad se llanta conjunto so
lucion de la desigualdad.
Nata
Una ectmcidn lineal en una variable tiene un
solo elemento en su conjunto solucion. El con
junto solucion de la ecuacion 3.1' 4 = 5 es
l3l
Una riesigrtalritrri lineal en una variable posee más de un elemento en su conjunto
solucion. El conjunto solucion de la desigualdad 3.1' 4 > 5 es {.r|,t' :› 3], es decir,
todos los números reales mayores que 3.
DEFINICIÓN
Se dice que dos desigualdades son equivalen
tes si poseen el mismo conjunto solucion.
Para encontrar el conjunto solucion de una desigualdad. se deben establecer primero
algunos tcorcmas.
TEOREMÃ 1
Si P, Q y Tson polinomios en una misma variable y P 1: Q es una desi
gualdad, entonces P :> Q jr P + T > Q + T son equivalentes.
Nota
Si P, Q 3' Tson polinomios en una misma va
riable y P ci Q es una desigualdad, entonces
P < Q sf P + T _: Q + Tson equivalentes.
El Teorema I muestra que se puede sumar un mismo polinomio a ambos tnietubros
de una desigualdad y obtenerse asi una desigualdad equivalente.
ìí__í
I. Si
.r + 7: l5
entonces
_t + 7 +{ 7): 15 + 1 7)
.tr 3 3
5 1* DESIGUÃLDIDES LIHEÃLES Y VILOIES 185010705 EN UNI VIRMBIE
x :> 8 es equivalente ax + 7 > IS
2.Si
2.1* 13* Z.: 2
entonces
2.1: 13 + (13
x) fix
2 + (13
x)
.Ir ' ill
.tr < ll es equivalente a 2x
13 < x
2.
Con objeto de encontrar el conjunto solucion de una desigualdad lineal en una vana
ble, se aplica cl teorema anterior para obtener una desigualdad equivalente de la forma
.r :=› a cuyo conjunto solucion es {x|x > rr, x 6 R1,
o bien de la forma
x =: b cuyo conjunto solucion es {x|x ' 1 b, x E R}.
NDÚEI
Cuando ambos miembros de una desigualdad
contienen términos con la variable conto fac
tor, y términos que no la tienen, se forma una
desigualdad equivalente que tenga todos los
terminos en los que la variable es factor en
un miembro, y los restantes, en el otro miem
bro. Esto se puede lograr sumando los inver
sos aditivos (negativos) de los términos a los
dos lados de la desigualdad.
Encontrar el conjunto solucion de la desigualdad
x+5:>2.
SOLUCIÓN Sumando 5 a ambos miembros de la desigualdad. obtenemos
.r+5 5? = 2 5
I)
Por consiguiente el conjunto solucion es {x|x 2:
3, x te Rj (Figura 5.5).
3
FIGURA 5.5
Hallar el conjunto solucion de la desigualdad
5Jt'+l 2x52.r
__
1'
5.3
Saittclúndedesløttalttadesllrtealosentrnavarlable
SOLUCIÓN
175
Al reducir términos semejantes, se obtiene
3.1: + l 5 lr + 3
Sumando ( 1
2x) a ambos lados de la desigualdad, se tiene
3x+l I 2,rs.2.r+3 1 lr
x52
Por lo tanto el conjunto solución es {x|x 5 2. x G R} (Figura 5.6).
<
_
*
2
FIGURA 5.6
"ata
Cuando una desigualdad contiene simbolos de
agrupacion, primeramente se efectúan las ope
raciones señaladas por ellos.
Determinar el conjunto solucion de la desigualdad
3(2›:
SOLUCIÓN
5)
7(l
.r) 2 4(4
3.1:)
Aplicando la ley distributiva para eliminar los paréntesis, resulta
3(2r
lír
S)
7{l
l5
x) se
4(4 ~ 3.1:)
7 +'7.r1 "_
16 + ¡lr
Al reducir términos semejantes, se obtiene
l3.r
Sumando (22
22 1'
lfi + llr
l2x) a ambos lados de la desigualdad, se tiene
l3x 22+22 11:2 t6+ l2.r+2.2 Ilr
.rštft
Por consiguiente el conjunto solucion es {.r|x .=.± 6, x E Rj.
Nota
El Teorema l establece que se puede sumar
un mismo polinomio a ambos miembros de
una desigualdad para obtener una equivalen
te. El teorema no menciona nada acerca de
multiplicar la desigualdad por ningún núme
ro. Por lo tanto, sien una desigualdad el coe
ficiente de la variable en el paso final es ne
gativo, se suma el positivo del término a
ambos lados de la desigualdad.
5 1 OESIGUALOAOES IJNÉLES Y VALORES AISOLUTOS El UNA VARIABLE
Encontrar el conjunto solucion de la desigualdad
SOLUCION
.r + 2( 4.1'
5) te 5(2.r
3)
.tf + ?.[4,t'
.r t 8::
5)` 1* Sllt'
IO? > l0.r
3)
lS
Rcducìendo términos semejantes, se obtiene
9.1:
Al sumar (IS
IO la lllx
15
9x) a ambos miembros, resulta
9.1:
IÚ +15
'~).r ` 7' IÚJI H IS +
If»
91
5>.r
O sea,
I '=ï 5
El conjttnto solucion cs {x'I,t' 1': 5, :r E Rj.
Hallar el conjunto solucion de la desigualdad
(et
satuctóm
3):
(31
2) 1 a.f(r.t
( tt»
(ref
3) ”
24.: + 9)
l6.r3
(9.6
(sx
af 2 .mat
tau. + 4) 1. 7.11
92:3 + ¡lr
ts)
13.:
4 2 7.r'i
13.1:
Reducicndo términos semejantes, se obtiene
7.1 3 12:: + 5 2 7.r1
13.1:
Al sumar ( 5
24.1: + 9
ts)
7x2 + l3x) a ambos miembros de la desigualdad.
1
71:2
llt' i 5
El conjunto solucion es {.t'|.t' 2
5
71: t l3.t' 3 Tx*
.r 2 5
_
llt
5, .tr E Rj.
Describir los elementos del conjunto
{.t|l{.r
SOLUCION
5) + 7 f 13
(3
2.r),rER}
(Íonsidéresc el enunciado
.?.t.r 5)+7<'.'.8 (3 ?..r)
lr lü+7 :'18 3+2.r
lt' lr '.'.8*3+l0 7
0.1: $23
Puesto que Ox =: 3 es verdadero para todo valor real de Jr, tenemos
{..tI2l.r
Sl + 7 si 8 H (3
1r),.rER} == {.r|.rE R}
_
ft
›
¬
7.1" + Int'
5.3
$0III¢ItII1¢IBt'I¢$IfllI¢IdIIHIINIB$`0fltlII3V¡I'IflIQ
i
177
Describir los elementos del conjunto
{.t:|5
SOLUCION
3(2
x) >4
3(l
_
.r),.xER}
Considérese el enunciado
5 3(2 x`)> 4 3(l x)
5 6+3.r3= 4 3 1 3.r
3.1' 3x.`> 4 3 5+6
01:» 2
Dado que Ox :=› 2 no es verdadero para ningún valor real de Jr, se tiene
{.r|5
3(2
x)ï` >4
3(l
.r),xER} = ø
Ejercicios 5.3A
Encuentre el conjunto solucion de cada una de las desigualdades siguientes:
.r 3>5
.r 2 =':3
.r+l> 2
x t 354
21t+61ì .rr 2
' lU'IiHI I
9
l1
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
33
35
37
39
4l
43
44
45
46
47
49
Sl
S2
Gt Fhlthl
8 x (4 2.:
6.1: 8>'I.r+2
3.r+5<7+4.r
9 4x?_ 6 3x
3.1r 2 lr =.24
3.
10.
12.
14
16
18
20
22
24
26
28
4.r+7 .r<Z2.t' 3
lüx 1 2.r>7.r S
l3.r 15 6.r27.t' .r
IÚ.t'+5 l3.›:<.'S 7.1'
t5.v+ 1 20121 4x
SII
Zt').`>5(3
Ó+(2 .r)'55
31)
2) + l9.1r5(4.r + 3)(2.t'
.r(l
mr)
(2.r+ l)(.r 2) Zr(.r 3):>2x
lle l)(.r+4) lrtx I 3)ì'0
fiàäääää
3.r 2(l +.r)<Z2
5 3(2 .r)52(5+2.r)
6 7(2 3..r)>5[l +4.x')
8+4(8 7x) sil 9(l +3.r)
lO 9(.r l)> 6 8(.r+2)
3.r{x+ l)<(3x l_)(.tt+ l)
48
50
5.1'
3.r(l
(x + l)(x
53.
(3.1:
I)
.?.x+2.r{.r 8)3 (2.r l)(,r 7)
l3x + 5.t'(.r
3)~<i5.r
3){:r l I)
.r .r(.tr+3) ' I(2 x)(3+.r]
(A: 4)[.r+ 2)5.3
l0(x + 2) =:3(l + 3.1 )
2.1.' (.r+ l)3= 7
4 tx 63210
'I 2(l xl ==í8+.r
3
2(7
8.1122 3(4+5.r)
4+2(2 .t')`3>7 3t`.r 1)
7 + 3(2
7.r) =:3
2(l0.r
6)
Ztlx l]1 1'(2.1r+l)(.r¬ 2)
3.r(2.r + 7)
9.r> (Zr + 5)(3.tr
2]
3.1r{.r
3.1* 2521: I
12 2›:<'.'.l5 3x
3x l5a2+9x
10.1' I 654+ llx
ll ?.r>7 3.1'
o,r l 5.r<7
4.'r 8' .r<2`.4+2x
lr 6+.r2= 2.: 12
3x x+65.I:+7
7.r+2 9.r? = 2 .r
3.1: 9 4x5 9
xl 2 tx + 2)(3.r
5)
3)5.r
x(4
xl
2)(.r + 3)
3.r(.r + 2) S 0
5 * OESIGUALOADESLINEALESYVALOIESABSOLUTOSHUNAVAIIIABLE
54.
55.
56.
57.
58.
3x(x
(3x
(4.r
(4): +
(3,r +
1) (3x+4)(.r 2)<Z l
l)(x I l)
(31 + 2)(.r
3) . 2 8x
3)(x + 2)
(lr
l)(2x + I) 1" >4.t
l)(x
3)
(2.1:
l)(2.r
S) '10
2)(6x
5)
2(3,t'
1)* 5 SI
59. (2.r 3)i (2.:+ 0155 l7.r
60.
(3.1: +1):
(3.t'+ 2)2 23 7.1:
Describa los elementos de los conjuntos siguientes, dado que x E R:
61.
63.
65.
sv. tt ls
69.
70.
62
{.r|3(x
4) .`> 3x
l7}
{›:|7.r + 6 <Z 'I(x + 3)}
{x|o(.r
2) si ox
i9}
{x|6(2x
{xl2(7.r
11. {.v|s
3; > ste
{.r|4(x + 2) : › 3(.r
I) + xl
{.r|5(x
l) <.' Sx + 4}
{.r\4x + ll <4(x + l)}
ââì
,vn
{.v|9
71 > 'for
3))
3) La 7(.r
4) + 5.r}
I) > 9
l4(I
.r)}
ser +n<11
sus
72.
{.I|4(.I
I) _ 5 '¬ ' Í 7 * 2(3
73.
{.t'l7(3.t' + 1) *fl 3 _ 3(2
n}
2.1))
7x)}
74. {.t|5 4t3x 5) <: 5 + 2(7 ex)}
75. {.=|(2.r 3)(4.r + 1) ::› sm 1) 2.:}
vs. {;|(3.t + |)(sx 4) (sx 1)* :› sx)
11. {,t|(4x 1)(.v + 3) (zw + 3)' f =:1 1}
73. {;|(1t
t)2
4(.›. + 2)* =; 1
20s}
TEOREIIA 2 Si P y Q son polinomios en una misma variable, a :› 0, a e R, y si P :›
Q es una desigualdad, entonces P :› Q y aP ':› r:rQ son equivalentes.
Nota
Si P y Q son polinomios en una misma varia
ble, rr > 0,aER,ysi P :I Qcs una desi
gualdad, entonces P < Q y aP =': uQ sort
equivalentes.
El Teorema 2 muestra que si multiplicamos ambos miembros de una desigualdad por
un mismo número real positivo, obtenemos una desigualdad equivalente.
1.
2.1 .`> 6
l
l
ã(2x) 3> š(6),
esto es, .:c > 3
x > 3 es equivalente a 2x :> 6.
5.3
SOIII¢¦ItII'IIl9€I9$I¶IIäI!3¢IO$IIl'I88IG$&IfIIII'IflIf2I'I3lIIB
2.
ã_t si
Í3 :Í4 Y
:r =: 12 y
3
1.79
9
:it
3 9 lv
'
es d ec1r,x<
12
.
.r <: 9 son equivalentes.
Determinar el conjunto solucion de la desigualdad
3(7.t' H 2) 5 7
4(2.x'
SOLUCIÓN
3)
3(7.r
2) E 7 ~ 4(2_t' * 3)
21.1' 657 3x+ 12
Sumando (6 + 8x) a ambos lados de la desigualdad, obtenemos
2l.r o+o+8.r57 8x+l2+6+8,r
29x:f 325
Al tnultiplicar ambos miembros de esta desigualdad por ¿IT resulta
.tr 5 É
29
El conjunto solucion es: {.r|.r es
25
.r E R}.
Hallar el conjunto solucion de la desigualdad
§,,t,z,_2
2
6 3
3
SOLUCION Se multiplican ambos miembros de la desigualdad por el minimo común
denominador, que es 6.
9x + l La 4.1'
Sumando [ 1
4.
4x) a ambos lados, se obtiene
5x :> S
AI multiplicar ambos miembros de esta desigualdad por %, resulta Jr :›
..r 3*
l
El conjunto solucion es {.r|x :>
l, x es R).
I.
5 ' OESIGLIALOAOBLÉALÉYVALOIISAISOLUTOSHIUNAVAIIABLE
TEOREMA 5
Si P y Q son polinomios en una mismarvariablc, rr <: 0, a E R, y sì P >
Q es una desigualdad, entonces P .T › Q y aP < ¿IQ son equivalentes.
"ata
Si P 3. Q son polinomios en una misma varia
ble, rr <: 0, ae R, y si < Qes una desi
gualdad, entonces P : Q y ¿IP I> aQ son
equivalentes.
El Teorema 3 establece que si multiplicamos ambos lados de una desigualdad por
un mismo número negativo, se obtiene una desigualdad equivalente con la direccion
de la relacion de orden invertida.
ãtäfiä
1.
5.r l'> 10
l
gi Sxl <: š(lÚ).
esto es, .tt <
x í 2 y
fix :> ll) son equivalentes.
2.
4.1: si
l
z( 4.1:) 3*
3
l
El 3),
2
o sea, .r > 2.
.r > 2 y 4x <: 8 son equivalentes.
Hallar el conjunto solucion de la desigualdad
3.r(.r
7)
SOLUCION
(Jr
2)(3.r + l) ` 2 2(4
3.r(.r
7)
(Jr
3x)
2)(3.r + l)=:2(4
3.1:)
312 2ts~ (sf sx 2)as sv
sf 21.1: 3s2+5.v+2as es
21.v+ss +2as tu
Sumando ( 2 + ox) a ambos lados de la desigualdad, se obtiene lU:r Is: 6.
10.1' 21 6
Se multiplican ambos miembros de esta desigualdad por
cion de la relacion de orden:
l
ìöf
l
lili) 'Ã r* 10(6)
.te 35
_
3
El conjunto solucion es {.r|.r E š. x E R}.
v se invierte la direc
5.3 Soltrclortrtedcsløualdadcslncalccenurtavartable
Encontrar el conjunto solucion de lt desigualdad
(41 + 5)(3x
SOLUCIÓN
2)
4(.r + l)(3.r
(41 + 5)(3.v
2)
I) <
6
4o + 1›(3.›.~
1) <: 6
llri+7.r 10 tlf* 8.1 +4< 6
.r 6 = Í 6
Al sumar (+6) a ambos lados:
.r < 0
Se multiplican ambos miembros de esta desigualdad por ( l) y se invierte la dtrcceton
de la relacion de orden:
x>0
El conjunto solucion es {x|x > 0, x 6 R).
Hallar el conjunto solucion de la desigualdad
5(x + 4)
2
SOLUCION
4(Jr
1)
†<9.
Multiplicando ambos miembros de la desigualdad por 6, se obtiene
l5(.r+4) B{.r
l)<S4
l5Jr+óO 8.r+8<I54
'7.r<'. I4
El conjunto solucion es {.r|.r < 2, x E R).
Ejercicios 5.38
Obtenga el conjunto solución de cada una de las desigualdades siguientes
Il lnn hi I¬~¦I . ' nt.¢ al I›
15
17
3.1: i 5 .r?:7
2.1: 3<2 3.:r
.1r+o<Il0 4.r
4x+7220x 9
l2+5.r>2lJ+ lüx
91' 2<f.l7.r+4
5x l 8<.`l?_r+8
lx
3
5
gr <2 + I r
5'
l5'
3
123' _ ZIP:
3
l0.r+457.r 8
3.11
QsfiN
3
10
12
14
l0>5x
IO
2.r+I5 =:3 tir
9 23:59 1 6:
6 7.r<4.r
lo
5x 352.: 3
1 ox? o,r+9
16.
2
l
l
3 .r+6x_2.t o
18
I 1+ âx ígx l
5
15
3
5 I OESIGUALIIADES LÉALBYVALOIESAISOLUTOSHIINA VARIABLE
l
l
ll
19.
šr 5.1'>ìx i E
21.
2
71
23.
4
ì?í.ï+3Sñ'.t'+5
25.
šx åIr›%.r l
27.
l
l
3
l
2?!! + 25 3' lšzl' _ E
29.
31.
3(x I) 31=š2*"5(.1:+l)
7(2 .r)+3<.'6 (x l)
i_
2<I9.1r
7
20.
2
tz'
2.
6
l
22t
.
I
I3
r sil
1
261'
28.
Iiåx
lllì :la
lšs'
.
.
.tr 2(3
7
4(.r
5.1'
(2
3x(2
x)
43.
(2.x 3)(2.1r l)`.>4(.r+1)[x
I)
44.
(3.r + l)(3.x
2)
46.
.r + 3.r(.1r + 7) '1 (J:
48.
50.
3.1:
.r
.t')28 (o+.t')
6) 111 3(.r + l)
7.r) si 7
3(8x
3)
PI (3.r
ll(2 xl
.
.
.
.
52
e a aea
3)(x
6)(3.1r + 8)
47,
.r)
lr)
49.
51.
lrlr ¬ 4)
(lr + l)(.t + 4) E 13
53.
54.
4.r(.r + 1)
(4.r + 3)(.1r
S5.
56.
(21 + l)(3.t'
2) r ('61
l)(.t' + 2) l'>0
(lr
l)(x + 2)
(3.r + 2)(.t'
l) 120
53.
59.
60.
61
'
63.
t)2 + (av
.r 3
3
s
si
2(l 31) 43›l()+3(I Jr)
5(3 lr) '8<l 2(3 x)
2x+5(l
2.r)>x 2(l + Jr)
l 3(.t' l_)>2(.r 3)
.r 3(lr ~ l)53 3(.r l)
..r(6.r
l)<ï(3.r + 5)(lr
7)
2)2 a (sv
4x l
l
3
<8
69 . s<.=+2›_2o+s)>_1
6
9
18
6) 2 (3
x`)(l + .r)
l) 5 '.(l + 3..r)5
sr)
(.r +l)(?..1r + 3) si 5
(Jr + 2)(3.r
4) 2 0
1):
"s
su
1›
«aer
u
ss.
í
3
s >
21
1
so
2)
s
67.
3
4 < :Ó
2.r
.r(.r +
.r
3.r(.r
.r{2.r
3)
.r(3.t'
2)
2) > ll
(51
l):
(4.r
3)i :S (4 + .r)(2 + 9.t'
(..r 2)2 (.r+3)353.r 2(l .r)
(6.r+ 7):
(4x+ 3)35 l0.r(2x+ 3)
3x+l
2.x+â_:_l
62.
4
ts
2›(2_x + t)
2.r(.r + 2) 3: (l + 2x)(4
4x{.r
2) 5 (l + 2x)(7
57. (41
Í r
6+4(2r+l) 113 4(2+.r)
35.
37.
39.
41.
tt) + :tri <:: zo.
5
Ex Zxšåx
I lx <l 2
24.
33. 9 3(e+.r):=›7+2t4 .ri
45. for
3
š.\' ã.If.`3 `rš.I'+l
22.
2) `:= 9(.r
5
64.
1
ss.
lr l
5
.r l
3
.r 3
41 3
l
5
íìíïììåï
2
_
s
'I(.r
3)
il(.t'
Hi
4)
l
_ ._í......í.¢_ :__
s
9
2
ss. .ï':ì_'t_1___§lï"_32;,_L
s
4
12
70.
2(6 r)_ 3(5 Zxlqfl
3
4
24
5.4
Solución de sistemas de desfoualtlades lineales en una variable
183
Solqcion de sistemas de
_
desigualdades lineales en una variable
ÚI'
A veces se requiere determinar la solucion común, o conjunto solucion, de dos o más
desigualdades, las cuales forman lo que se llama un sistema de desigualdades. El con
junto solucion de ttn sistema de desigualdades es entonces la intersección de los conjun
tos solucion de cada una de las desigualdades del sistema.
Encontrar el conjunto solucion del sistema siguiente:
fur l 322.1 5 and 3.r `7<i5.t' 9
SOLUCION
Primeramente se obtiene el conjunto solucion de cada desigualdad.
6x+3ë:2x 5
4x1.: 8
1:2 2
3.r 7 =í5.t: 9
lr si 2
.r>l
El conjunto solucion es
{.tl.r 13
El conjunto solucion es
2)
{.t'l.t' le l}
no
_
ir
¡_
lili
~ 2
l
FIGURA 5.7
El conjunto solucion del sistema (Figura 5.7) es
{.tl.t' ïì'
2) F) {x|.t' D I) = {.r|.=r `.> l}
Hallar el eonjuiito solucion del sistema siguiente:
4[3
SOLUCION
.r) sí? l 3(2 H .r)
and
3(.r I) «'14
(1 .r)
Primero obtenemos el conjunto solucion de cada desigualdad.
4(3 .tt :'r+3(2 .ri
12 4.r<'.'i l 6 3.r
xr fl
.t`> I
sti t›<:4 il .n
L
3.r 3 214 I+.r
¿rio
.ti 131;.
El conjunto solución es
El conjunto solucion es
lll 1' > ~1l
l fl I < 3)
5 I DåGIIALDADESLIIIHLEYVALOIESA.ISOLU1'OSHIflAVAEIABLE
¢
ï_
l
*É
3
o
i
4
ir
o
FIGURA 5.8
El conjunto solucion del sistema (Figura 5.3) es
{.t'|x.`>
l}|"){,r|.r< 3} = {.rl l <ïx*' 1 3)
Encontrar el conjunto solucion del sistema
5(2.t.'
SOLUCION
1)
3(Jr
3) T: 13
y
2('?x + 1) r 5(4Jr + i) 2
15
Primero se encuentra el conjunto solucion de cada desigualdad.
Stlx I) 3o: 3)zl8I
lux 5 3x+9.=el8
Ham
2(7,r+l) 5(4x+ U2 15
14;: l 2 2o.r Sa IS
ma H
x22
x52
El conjunto soliicìon es
{x|x 2 2)
Q
El conjunto solucion es
{.1r|:r 5 2)
ii
I .ir
FIGURA 5.9
El conjunto solucion del sistema (ver Figura 5.9) es
{.1r|.t' 2 2) F) {x|x 5 2} = l2}.
Elercicios 5.4
Determine el conjunto solucion de cada uno dc los sistemas siguientes:
l.
xï>l,
,rr 2.'4
2..
_r';= 3.
.rsïtl
3.
xïe l.
.r ==ï5
4.
1:22.
.ir tí?
5.
.ra 2.
6.
.ree 8.
7.
.ri > 3,
S.
2:25.
,iso
9. .r 26.
.IS l
.i si 4
10. x <8.
.r =í3
,tal
ll. .va 7.
.r S7
.r>9
12. .va 1.
.ri 1
5.4
soluclóndesisteniasdedesløualdadesllnealesenunavarlaote
I4.
.ir Dr 4,
1:54
.r1> 4,
Jr < 6
Jr) ll,
J: <9
.r Z> 3,
¿'53
17.
3.r 5<.`?.ir l 6,
4.1: l2?.r+9
13.
4.1r+5 2.›:`.`> 4.1' 7,
5.r+2 3,rï¿:6.r' '10
19.
6x+ll> 3x+2.
5x 2a7x 6
20.
4x+9Ex+l2,
21.
4:: 3 <4 3.r,
7(x l)a2{2.r+ 7)
22. 3ox
7(5.v
23.
6(3.t'+ l)>7(8 Jr).
3.! 4x<C3(2.r 7)
24.
2(x
4(,1r
5) 3* 3(:t'
2),
3) 3* S[,ir + 3)
25.
.ir 9<I2 3(2.r I),
3(7x 2)? 7 4(.r 3)
26.
2(l
7x)E3
1I+llšÚ.l` 9
27.
'I(.t I) 4(.r+2)23,
2(.›.' 5)+5(,r 3)5l7
2.8.
4(.r+2) (,t' ?)¬:. =ll'l,
6(.It'
3(2›: ~ I)
S(x + 3)
30.
ox(x
(41
31.
lx
(Jr
32.
(.r + 3)(.t + l)
33.
34.
3) E55 + (2:
l)(3.r + 5),
|)(2›:
3)E4I(2 Y _ 5) _ 9
.rlx + 2)E=7,
.r(.r + 3)5 6
.r(.r
2) E: 3,
l)(.lr +1) (3.t' + 2](.Jt ' 3)5
(x + 4)(.lt'
(2x
4(.r + U2 l,
3(3.r + U2 4
3)(.r ~ I)
2)(.r
l)
I)
(21 + l)(.tf
4
.t'(.'r + 2) .E ' 2,
l)(.r t 1)
3)
2(.r
2)(x + 3)> 7
(I + 2)(2x
3). EU.
(3x 2)(2.x+l) (61 l)(x+l)<I2
2)
I)
35.
(4.1:
l)(.r
(3.r + 2){.t'
36.
(ir
3)(x + 2)
,r[.r + 3)3> 0,
(2.r+3)(.r 2) 2r(.›r+3)'.:›8
37.
(J.' 4)(.1'+5') 1(.ll' ' |).T > 10,
2(lt
1)(.r + 2)`.>0
3x{x + 3) E4
(4.1: l)(.1r+ 1) 2(2 I 3)( \'+2)7 '°'Ú
38.
(SX
(lr
l)(x + 2) * 3(.r
3)(Jr + 1] 2 13
l)(3x + 1)
2x(3.x + 4) C ll
39..
(41
3)(.1' +1) (2.1: + 5)(Zr
(3.r
4)(x + 4)
40.
(4.r + l){2.r
(2.1: + 3)(3.t
3)
l)
IS.: a 4(3 + Sr),
2) < 6(6 i 5.1:)
4 2(3x
I) 'I(.Ir 2)57
29.
(fix
IS.
16.
13.
l)Í >9
3.1:(.r + o) < 36
4.r(2_r
l) 1' I2,
.rlox + S)29
5(2.r
7),
3)I¿ l4+3(.r )
5 I OESIGUALOAOES LINEALES Y VALORES ABSOLUTOS EN UNA VARIABLE
Solución de ecuaciones lineales con
valores absolutos
El valor absoluto de un número real ri E R, denotado por Iril, es + rr o ri, cualquiera
resulta positivo, y cero si ri o 0. Es decir,
rr
rli
Si ri P' ll
_
'il
Sl tt * 1 ll
Éfirí
_____"'í_
t. |sl=s
2. | 4|= ( 4)=4
Observar que el valor absoluto de cualquier número real es cero o un ittimero positivo,
nunca un ntitnero negativo, o sea, |rr| 2 0 para todo rr G R.
Cuando se tiene el valor absoluto de una cantidad que contiene una variable, tal
como [.r ll, la cantidad, en este caso x l, puede ser
1. mayor o igual a cero,
o bien
2. menor que cero.
Si .ir
l es mayor o igual a cero, o sea, .ir
l:r
Si .ir
ll = Jr
I.
l es menor que cero, es decir, .ir
lx
ll =
(x
I 2 O, cittoitces
l) =
l < 0, entonces
.r +1.
Los ejemplos siguientes ilustran como resolver una ecuacion lineal eii una variable que
incluye valor absoluto.
Resolver la ecuacion |.›:
3| = 5.
SOLUCION Para encontrar el conjunto solucion de esta ecuacion, tenemos que consi
derar dos casos.
Printer caso:
Citando .ir 3 1;: ll,
esto es,
.ir 2 3
lx ~ 3| = ,ir
3.
La ecuacion se convierte entonces en
lx 3|=:r 3:5
o
x=8.
5.5
sotuclondeecuaclonesllriealescon valores absolutos
137
El conjunto solucion es la intersección de los conjuntos solucion de
Jr 2 3
y
.ir L 8.
[il conjunto solucion (Figura 5.10) es {8).
Q
I
_
ïíi›
3
li
FIGURA 5.10
Segundo ceso:
Cuando .ir
3 <: 0
|.ir
(.r
3| =
es decir, .ir < 3
3) =
.r + 3.
La ecuacion se convierte entonces en
lx 3|= x+3=5
o
x= 2.
El conjunto solucion es la interscccion delos conjuntos solucion
de
.ir si 3
3*
Ji' =
2.
El conjunto solucion (Figura 5.1 I) cs { 2].
I
2
3
FIGURA 5.11
El conjunto solucion de lx 3] = 5 es la union de los conjuntos solucion de los dos
casos. por lo tanto, el conjunto solucion es { 2, 8].
Hallar el conjunto solucion de |2x + 3| = 9,
SOLUCIÓN
Primer coso:
Cuando 2.1 + 3 2 0,
esto es,
.r ar %.
l2.r + 3| == 2x + 3.
La ecuacion se convierte entonces en
l2.r+3|=2.r+3=9,
o
x=3.
5 I DESIGUALDADES LINEAL$ Y IIALDIESAISOLUTOSEN UNA VARIAILE
El conjunto solucion es la intersección de los conjuntos solucion
3
df
.IE ' E
Y
J' = 3.
El conjunto solución (Figura 5.12) es {3}.
Í
É
3
2
FIGURA 5.12
Segundo caso:
Cuando 2.1' + 3 < 0,
es decir,
|2.r + 3| = (ZX + 3) =
.ir <
âi,
2..ir 3.
La ecuación entonces se convierte en
|2.r+3|= 2:r 3=9,
o
x= 6.
El conjunto solucion es la interseccion de los conjuntos solucioii
de
Ji' <:
3
í
y
.ir =
6
El conjunto solucion (Figura 5.13) es { 6).
I
+
fi
_§_
2
FIGURA 5.13
El conjunto solucion de l2.r + 3| = 9 es la unión de los conjuntos solución de los dos
casos.
Por consiguiente, el conjunto solucion es I 6, 3).
NOIJ3
.
.
Puesto que el valor absoluto de cualquier nu
mero real nunca es negativo, el conjunto so
lucion de la ecuación l3.ir + SI = 4 es d›.
Determinar el conjunto solución de |2.r
5] == .ir + 3.
5.5
SUIICÍÚHÚGGCIIICÍGIIOSÍÍHGIÍGSCDIIVGÍOIBSBUIOÍIIÍOS
sol.uctóu
.
Primer caso.
Cuando 2.1'
139
5
5 2 0, esto cs, .tr 2 Í ;
se tiene que |2.It'
Así que |2x
SI = 2.1' ¬ 5.
SI = x + 3 se convierta cn
2x 5=x+3,
obien
x=8.
El conjunto solucion es la tntcrscccton de los conjuntos solución dc ..t' 2 É y x = 8
I
x
5
8
FIGURA 5.14
'
El conjunto solución (ver Figura 5.14) es {8}.
Segundo raso:
es decir, x <_' â ; Si 2,1
resulta que |2.t'
SI =
Dc esta manera, |2.›:
(2x
5) =
5 <.: 0,
2,1; + 5,
5] = .r + 3 se convierte en
_
2.t+5=_x'+3,
o
2
x=ï.
.
_
..
.
._
.
..
5
2
El conjunto solucion es la ¡nte rscccion de los conjuntos solucion de x <: Í y x = ._¡
Q
¡
HGURA 5.15
2
S
3
2
'
.
_
..
.
El conjunto solucion (ver Figura 5.15) es
El conjunto solución do [2..t'
ción de los dos casos.
2
SI = .t' + 3 «constituye la union dc los conjuntos solu
Por lo tanto, el conjunto solución us
3}.
5 I* DESIGUÃLDÃDES UHEILES Y VÃLOIES ÃBSÚLUTDS EN Uflfl VÃRIÃBLE
Hallar cl conjunto solucion dc |2.i:
SOLUCIÓN
Cuando 2.1:
PFÍIIIPF <'¿ 'S0 '
sc tiene que |2.i'
5.
1 2 0, esto es. .ir 2
ll = 2x
De modo que 122:
2.1'
ll = 6x
I = ox
l.
ll = (ix
5 sc convierte en
5, esto es..1r = I.
El conjunto solucion es la intersección dc los conjuntos solucion de ic 1; ~ï 3: :c = 1.
I
i}
.I
1
I
FIGURA 5. 16
.
El conjunto solución (ver Figura 5.16) es
. . .
¬_
S€3""m' 'mw'
|
Quando 2.1'
1 =: U, esto es. x 2 ì .
se tiene que ]2x
Así que 2.1*
I
I
I
Í
(2.t'
I I = 6x
2x + I = (ix
li
Il =
l) = 2.1* + l.
5 se convierte en
.
3
5. es decir, .ir = 4~.
F
1
I
I
3
El conjunto solucion es la intcrscccion de los conjuntos solucion de .if < 2 y .ir == É .
_
_ Q
.
1
2
_ݓ
4
FIGURA 5.17
9
El conjunto solucion (ver Figura 5.17) es ¢.
E] conjunto solucion de |2.r
l I = 6.1' 5 cs la union de los conjuntos solucion dc
los dos casos.
Por consiguiente cl conjunto solucìciti es {l}.
Hallar cl conjunto solucion de I4
3x| = 3x
4.
5.5
someten de ecuaciones tlneates con valores absolutos
191
SOLUCIÓN
Primer caso:
_
Cuando 4
,
4
3.1' 2 O, es decir, x 5 í;
(1)
se tiene que [4 3.r| = 4 3x.
Así que I4 3x| = 3.1' 4 se convierte en
4
3.v = 3.1'
4,
es decir,
.ir =
_.
.
_
.
_
.
.
4
4
El conjunto solucion es la intersección de los conjuntos solución de .v 5 É y .tr = Í.
I
.
x
¿Í
7.
FIGURA 5.18
.
El conjunto solucion (ver Figura 5.18) es
Segundo caso:
Cuando 4
3.1 <: 0, esto es, x > %;
(3)
resulta que [4 3x| = (4 31:) = 4 + 3x
De modo que [4 3x| = 3x 4 se convierte en
4+3..e=3.v 4,
o
0x=0
lo cual es verdadero para todo .ir E R.
(4)
El conjunto solucion es la interscccion de los conjuntos solucion de Jr :› 3 y 0.1' = 0.
.
Qí_
±›
x
3
3
FIGURA 5.19
El conjunto solucion (ver Figura 5.19) es {_›_›],¡ :>
El conjunto solucion de I4
dos casos.
. .
_
3x| = 3x
_
es la union de los conjuiitos solucion de los
Por consiguiente, el conjunto solucion es {x|.ir 2
4
5 I DESIGUALDADES UNEALE5 'FVALORESAISDIUTOSEIUPIA VARIABLE
1
Ejercicios 5.5
Encuentre el conjunto solucion de cada una de las ecuaciones siguientes:
L
¡I “jj =j
4.
Ix
7.
|.ï.'+Ú|=3
10
13.
16.
19.
22.
25.
28.
3l.
33.
35.
2»
4 |=Ú
jr
9|
0
f`x| = 4
lx + l3| = 3
i|= 9
2.1'
3.1:
5|= 7
7.1: + 9|= I2
'Sr + f›|= 6
7|= x+l
3.1:
=5
Ix t 5; =7
¦x+8 =2
.r + 3, =ti
.t| = ic
15
¿__
18
IX
`2.i:
.
37.
39.
3|= lt t 3
4x
.x+9|=2.1: 9
7.t IU
1r+
31 7
3x
41.
4.1: +
I
ll
n_
III
s|=
z|=
3|= lr
l
4x 7
I.
.ir 3|=3 .i:
st. _.'u 3|=s z›.
24
lx 3l~=3
I.i*+7|=l
|.t ll|=0
|.tf+l2|=t)
|.if+9|= I
|.t 10 =
|3.t 2 =8
|5.t+'?_=23
27
|sx 3 =ii
30
|4.i'+3 =3
Ó
9
12
13
21
Il
|4x+
|9.t' + 4| = 5
I 3.1: + ll l
32 Ilr
34 |e
36
38 |3.i:
40 I4.:
43. 71 4|=
ts. 1 i|=f |
41. 2.1 i|=;u i
49.
3.
2]
1 .
1
42
|5..i'
44
46
48
50
I3.r
52
|3x
+ II = .ir + 3
su = zi
1
4|=3x 3
+
+
_
_
_
í
1
I
Sx
Sx
3.1*
2.›:
'|. I'tJ¦I l' J'l. H
2|=i' 2
|3.r
I
2| =3t' 2
4 l =4 .ir
4|=4 3.:
Rep3$O del Cãpíftllfl 5
Determine el conjunto solución de cada una dc las desigualdades siguientes
.
.
ji
toi:
':la.I .
4.t'+'?ï .':?`_i† 3
2.
3.t'+8Z '>.r 4
3.
2.t'+3<5.1t
.i'+l 56s 4
.r 2<Z4x+t'›
5.
8.
7x 2>l0.r 9
4.1' lri¢9x+l4
6.
9.
2.t 7;:. 8.i'+
6 2(.i' lja
7
.ir
1:1». .i. '«ti'~›'J¬.
Stx
4) 2
4
14. (1 .t )(s + .1 )e 2.1 .fo + 1)
ie. .i 1' + us ii :~› te + 4;(2.f 3)
17.
13.
19.
t_.i'
(31
(4.r
II
13.
'?v .=1r't .
ox
is. (zw
(›)t3.t'
5)
3(.t'
2)(_.t' + l) > 40
2)(.i: + 4)
3(x
l)(x + 5) E: 0
5)¿
4(2.i;
3): =ii 1
71:
.irtx + 3) ¬=Z (2
if + 7 := 4(.t
1
t
,i'i(2 4 il
2):
Itenamdetcanfwlos
20
21
22
(3x
4)2
(Sx + 2):
(ox +1):
23.
4x
3
5
6
(4.1:
l)(2x
l)>x2
(Gx + l)(4x
3) D xl
(5.1:
2)(7.t + 8) =:.r2
10
l
_. > _.
3.1'
2
_ ....
2
3
“ a'5<z+z
25
2
5 3;
:=
3 4
t
6
2:
3x
3<: 3
26 .
7
4
2'?
24
2x
l
29
E2
B
+
3 t ,ir
4
l.r7.ir3
28 .
l C1 ¬ ~
3
4
I
5.1:
¡0>3
3
2 .ir
3
31.
..ì>
33.
2(x
3
35.
3(.;i: + 6) + 5(2x
8
9
8.1:
3.1'
9 l>2¬t 9
47.1:
EL
,r+l1...
6
32
2)_3x l_:5.r+l
2
_
6
34
23
5x
ll
e"4<2'jn
3(x
'
2
l)_x+2>3(x
4
Éüïïl
'
s
3
3)
s
7'4,ì;2
3 " U
l)< 7(3x + 2)
12
su 1 ì%í<2 ïšì
Obtenga el conjunto solución de cada uno de los sistemas siguientes:
37.
3.1: 5>x+7.
33.
7.r+ l<4x 3
3') . 9(2x+ l)+8(x 6)? '0.
2(2 .r) (5 4.t)<1l3
40 .
41 .
5( l+fix)+9(3+.r)+7<Ú,
.T
2{.r + 3) si 5.:
3(.r
4)
42.
43
3t7.r
2) fi ll
4t2.x
3).
44.
5(3
8.1:) 1'. 1` 16
7(4.i:
5)
4(8
IO
x)e7(l
lx)
45.
47.
5.
46.
l3(2
I) ` 1' 5(3.t'
2)
2(3.i'
8) 3> 'I(`l + Jr)
27,
4(2r+5)<.Z9('2+.r) 2
49 ,
.r(3.t'
.t'(2›t'
50.
2.r(.r 4)
(x 5)(2x+ l)::› I,
3x(.t + 3)
(Jr + 4)(3x
Sl .
l) (3.17
2)(.t' + I) Z> 2,
l)
(.t' + 4)(2.r + 3)' 210
2) > 1
x(2.r+3) (2.x I)(x+ U23.
4x(x l) (2.t'+3)(2.r 3)=¿'5
48.
4.1' l 2<.i: 4,
2.1'+7> 5.1' 2
2(5x 3)+7(2 3.ir)<I 14
7 3(x+ l)a2(.t' 3)
2 2(7 21) =ï3[3 x).
3(4,t + 3) ':= I7
4(.t
2)
7(2r
3) 5 I7
2(3x
1).
3(2x+7) 4(2 x) 53
ll(2x
9) E 25
8(3
4x),
9(x + 15)
2(3
.ir) 5 19
5(.r
2) < ötli'
3)
I3,
6+4(x 6)Z>3(2.r 5)
5 I' DEflGUALDADE5I.lIfifilE$YVAlORE$AB$OlUI'O$HlUHAVARIABlE
52 .
3x(x
4)
4.ic(x + 3)
53 .
6.t(.r
.i:(4x
l)
5)
54. xtlr
(3x
2.
2.r+I)(2.r+3)=¿~ 19
l)(3x + l)< 9,
(2.1:
l ) >3
( 4.t+3x
)(
1) Ztx
4x(3x + 1)
2)(x
3) ' 2
2)(.x + l)<: 2.
3(.i' + l)(4x + l) < 19
Describa los elementos de los conjuntos siguientes, dado que x E R:
55, {.›.~|3t'2x + 5)
m.lx|2(4x
3)
4(l
2(3
57,
¦.t|2.t
md.r|3.if
2(6.:
1) <: 61)
3(3.r + 1) > .ir}
31) <I 7(2x + l)}
x) > 5(x
2))
Halle el conjunto solucion de cada una de las ecuaciones siguientes:
,Jr
' _4|= 0
m
o.h+u 3
m.h H 4
n IZI II = 5
|4.i:
74,
61
.ic 5|=4
64
67
70 _,
73
x+l|= 7
76
79
% U=
4
l| = lfi
jlt + 3] = 3
|3x
2| =x +6
|2.±+5|
I? X 7|
ãää
u.h Q
Ix
63.
66,
59, ls + 7| = 0
72, 13.1: 2| = 13
75, 17.: + 4| = 3
|3.r + SI = ll
n.D d =4
mlfi+fl .ir+
il
í
78.
l0
4| = 8x 9
l| = 3x l
=fi.I.' 7
83.
|5x
=n 1
86.
|3x
89.
|4x + l| = 2x 5
8|=8 .r
Ix
8| = 4
|.t + 3| = 9
I3
lr| = 7
31, |.r+3|=2x 1
84.
B7.
90.
|2x+3[=4.r
lx 6|=6 .r
|Sx+9|=2.t' 3
Repaso acumulativo
amüwoz
Some 528 y 469
.
:O¬ lf.I1Ll I I
Rcste
Reste
Reste
Reste
94 de IS
62 de 87
54 de 28
47 de 80
.
.
Siime 256 jf 94
Reste 85 de 72
.
Reste *30 de 12
.
Iii* penes i=›i .›
Rcste 18 de 36
Rcste 32 de 17
Efectúe las operaciones indicadas y simplifìque:
2) ' 3(6)
7{4)
ÍHJ'
2) + 7(8
9)
'7{4
L¡¡.› . . .LH
in un 1 ti
:“'5*"S* '."'
19.
21.
23.
Ea 'ifltn
IS+J <+
IS :
28 +
' ( 3)
5 +( 4]
X..L vá
3+
__I\ `I D
HG*
28.
6
_
7
31.
1 6
s+s
16
3)
6)
0*
T
4
_
+
27
_9(4_
+
Gi@
Fl. I i
G* H f
un
"l"
' I . t.
ll' f
8)
Í . nLa 1 ¬ '
4(7 3)+6(3 1)
4 H.
F.`ï. 'G
>( l
24 4 oe"'I~: u
3(l2
5
10)
._
..._
4(9
*I roceoo +( 7)
`*"t.uoe
mxii
'lu I I* J
1 (II
26.
n. s_7
9
l4
29.
§_H__
7
9 12 w
m
1
m
3
E_§_å
m 9 s
n. H
H.
ëxëså.
x. É
i
15
34.
ãxãïí
37..
6
27
45
§ + i<:
35
23
lo
38'
22
äsäxë
n'e3
M
19)
5
864
§
2,z
649
56
32 ` 123
l2_)
.:.(_..2)
i_§,u
6
812
3
1
7
5. 4+s ~3
_
12
14
16
IB
20
22.
24.
o
39.
2
u
E2 E
xisxn
4064
.Li
57
Sl
xi
_26_49
5 *I RPASO ACUIUI.A'l'lVO
is_ 2 7 _ lo
4°' ti9†sa ' zi
41
3 5
7
43. d t _¡:› :8
no
axe
'5i'ss 27
“
i_§.,.'_4
7 3`9
l
'_22_§
49.. 3
+ s(:i 3)
4 2 5 'i
51. 9
ii is 4
3 ii_7s
53' §"`í†(f› 9)
.
7
2
*I
55 4 + 21
5
(9
7
,,'44`99i2s
m,(Q,,_
3
2
3
*ata
e
5
5
5
3
45 zrsxn
5
1
9 _3
7_å2_l
5° s :(9 2)
3 16(9) 7
52.
+
4 3 te 12
5 i3_32
54' s is`(4 1)
7
3
56.
iz)
2
+
5
9
3
(4
¬
8
9)
Encuentre la fraccion común equivalente a cada uno de los siguientes números decimales
57.
61.
.4
l.2S
58.
62.
.08
2.48
59.
63.
.U72
3.04
60.
64.
.O75
3.032
Escriba las siguientes fracciones comunes en forma decimal:
65.
5
7
69.
4
IS
66.
ll
9
7 .
0
8
33
7.
6
7
ll
.
IO
33
71
68
72
.
17
12
.
4
3'?
Redondce los siguientes núnieros hasta dos cifras decimales:
73.
77.
8.6729
2.845
74.
78.
28.4643
5.365
75.
79.
l5.325l
9.275
76.
80.
32.2354
l.ol5
Obtenga la distancia entre los dos puntos cuyas coordenadas son dadas:
81.
85.
4:9
l5:.3
82.
86.
8:l2
l8:ll
83. 7: I3
84.
87.
38.
2: I4
6: IO
7; l
Capítulo 3.
Elimine los símbolos de agrupacion jr reduzca términos semejantes:
89. 4::
2(.r 5)
91. 3[.r
4t.r
l)]
93. li
|4
2t.r + l)|
95. 6 + { 2[5tx
I)
3(.i: + 4lll
90. 'Fx
3t4.r + l)
92. 2|3
'?(.r
2)|
94. 4,: + lo
4t.r
3)]
96. 7
{ 3|(x
4)
2(.r + 3))}
RGDHSD Elflllllllãflïfl 5
Evalúe las siguientes expresiones. dado que rr = 2, b = 3 y e = 2:
97.
100.
3a
ble
Sc + abjcj
ios. af* i›(a=..~
3a+2f›
105. b _ (_
98.
101.
bj'
Zac!
2a(ub
cz)
t›)
99.
102.
104. te atz. 1 'f
«I
ef
106. 6a __ zbc
4b
3ur3
b(nc
bz)
atfi)
Efcctúe las operaciones indicadas jf sìmplifique:
107.
( 3x2j†e)(4j*2e3)
103.
(41jv2)( 33x2j'3)
109.
( 22.ry2)3
tie. (3.›Fy“)'*
iii. ( 23.qe)1
iiz. ( 3.¢=;;=1')='
iia. ( 2iv*;t~=)*( 3.1 ;w`*)=
114. ( 2äf'y2)1( .±1j~“)=
115 t .fä =)=(2~› “=)( 442)*
116. t4xìv)1(››*z)“( .t W*
117.
[a2(.r
118.
[n3(x + l)2]2[ a3(.r + l)]3
119.
4n( a3)3
3a3( a)"
120.
a:"( 311)" + a3( 22a)3
I2l..
(lr
.ir + 1)
122.
(.r
2)]2[ 2a(.i:
3)(.t2
2)2]:"
4)(3.›:2 + .ir
123. (.i
t)(.€+s + i)
124. (3x
125.
2)(.r2 + 2x + 4)
I26.
(Jr
2)
t)(9x*+3.r+ 1)
(lx: + .ir
3)(2r1
.ir
3)
127. (st "+.t 2)(3x2 x 2)
tzs. (2.12 3.: |)(2§+3.t i)
129.
3)
130..
1)*
isz. (1 + 2)(:u
i)
4
I wz:
xsyzrs
2x(.r
ist. (4.1
133 '
I)
(Jr + l)(x
i)(.›. + i)
6”4x 3),gyúi 3
i
4
,±yi
~
f*
,›
3
i: ie. ( 2Ix,},z,)
(zu
134 *
(3.1: + l)(3.t
3(.r
5)
2)*
J
12*
ias. W
(4a2b 4)]
'í'
(allb l›)3
.
'_'
(óaìb' I _
)1
.
(2la:bc ) 5
"' ""_.,:†
(l4u3b*t*" )"'
142.
(3n"b3)3
'í . , .;
(loasff )"
145.
4a3b" E ( ob)" + u:( ar)
147.
(lt "
6.1:" + 413) + (lrz)
(_: + l)(x
148.
(915
3.r“' + 6x3) + (313)
(31 + l)(.t
M3
146.
1
.
144..
'_
' " ,_'
(9a2b.)
1
(25113b"c3)3
" "¬'_;
(I5a3b'T )"
Blowb' + (2rt3b)2
4)
2)
149. tm* sf 51 + 2) : (zu i)
iso. (4.1 1 its* + io.: 3) + (41 3)
ist. (fa ' +11' 14. ; io) + (3.1 + 2)
152.
4)
rss '
is*
131. 20,
(af b5)1
.
6" U3
9x2},r›
3x(.t:
(o.r3 + Ir* + 9x + IS) a (lr + 3)
153. tr' + 3;* + ir* + 4; 4) + (1 1' +1 1)
154.
(6.t" 5x2 2x7`+3.r 6)+(3x1 1+2)
155.
(8.r" 4x2+3.x 2)+(2x2 x+l)
( 311%):
5 I* E9150 ÃCUIIUIJHVO
156.
(1334 ¬ 23.12 + IÚI 3) 1 (612 2.1'+ 1)
151. (9.1. *
158..
159.
160.
'uz + ex 12)+(3,r2
.r + 3)
(I6x"' 5x2+8x 3)+(4x2+3x I)
(3.x" + Bxìy + I9.ry3
6y") + (xa + 31)*
yg)
(2x"
3x33' + Ilxyj
I2y") i (x2
2.@ + 3312)
Capitulo 4..
Resuelve las siguientes ecuaciones:
161.
163.
165.
167.
169.
170.
171.
172.
173
"S
3+2(x l)= 3
162. 7 3(.r+2)=I0
2(.r 3) 3(x+l)=4
164. 4(.r+l)+5(.r I)=8
3(x
1) = 2{x + 2)
6
166. 7(.r
2) = 10
2(x + 3)
(x
l)(.r + 3) x(x + 4) = I
168. (x 3)(.r + 4) .r(.r
5) = 0
(3.r + I)(x
4)
3.r(x
2) = ll
(lr
l)(4x + 3)
x(3.r
1) = 3
(Zr + 3)(x 4)
(J:
l)(2r 5) = 3
(Gx
l)(2x
1) 4(x
l)(3.r + 2) =l
3.1: 2
.r+4
3.1' 4
2.1 3
T_"+†
.
_
4
I
5
174.
_= 2
+
6
3
179.
2
6
2
EÍZI 7) š'(3x l)=š
0.06(2 4.000
0.()7(l5.000
0.065(l3.000
0.l2(20.000
xl + 0.08x =
.ri + 0.091 =
.tì + 0,105.1'
1:)
O.U4x =
"'
.Ir l
3
I
6
x I 4
l
2
e
3
=
3x+4
17.
8
2
x+5
=
3
2
I
130.
¡sn . ¿(3
3.1'
1) ¿fs
3.1'
n 1
2
133.
184.
185.
186.
2
x +6
11.
2x 5
.r 6
I
.í _ =
"T
4
3
2
1
2x 3
2
7
š'(3.t 2)+'i(2.r+l) E
¡sz 4¿(2.1 3) âu 1;=1
1740
IIIO
= 1330
640
Describa ¡os elementos de los conjuntos siguientes:
ns?. {.r|4
213.1 + 3› = 315
I83.
{.1r|9 + 3( 4.1' + 5) = 4{3x
189.
{.r|3 + 2(.1r
191. {.\ |.±(.f
193.
{.›:]2.t{3.r
194.
{x|x(4x
2.f›}
2)}
I) == 2(x + 5)}
2)
(1
190.
1)* = 1}
5) " (3.1: + I)(2.r
3) ~ (x + l){4.e
{.t]5 + 4(3.r + 1) = 3(4.r + 3)}
wz. {.f|›(,w + 4)
(1 + 2)* = 4}
3) = 3}
I) = l}
195. Un número es 9 unidades menor que otro. Encuentre ambos números si ei químu
plo del menor supera en 7 al triple del mayor.
ÉBPQSO ilfillflllflãflïfi 5
199
196. Halle tres enteros pares consecutivos tales que el triple de la suma del segundo
y el tercero supere en 4 al séptuplo del primero.
197. Determine 2 números cuya diferencia sea 7 y que la diferencia de sus cuadrados
supere en 9 al producto de 12 por el número mayor.
198. El dígito de las decenas de un número de dos cifras es 3 menos que el de las unida
des. Si el número es 7 menos que el quintuplo de la suma de los dígitos, obtenga
dicho número.
199. La suma de los dígitos de un número de tres cifras es I9. El digíto de las unidades
es 2 menos que el de las centenas. Si el número es 26 menos que 80 veces el dígito
de las decenas, encuentre tal número.
200. En cierto número de tres cifras, el dígito de las unidades supera en 3 al de las dece
nas y la suma de sus digitos es 16. Si se intercambian los dígitos de las decenas
y centenas. el número se incrementa en 180. Halle el número original.
201. El descuento aplicado a una aspiradora fue de $20.14 dólares en base a una tasa
del 10.6%. ¿Cuál era el precio regular del aparato?
202. Un horno de microondas se vendio en $287.76 dolares tras un descuento del 12.8%.
¿Cuál era el precio normal del horno?
203. El precio de venta de una lavadora es de S435 dólares. ¿Cuál es el costo si la ga
nancia es 16% de dicho costo?
204. Dos sumas de dinero que totalizan $68 000 dolares ganan, respectivamente. 6%
y 8% de interés anual. Obtenga ambas cantidades si juntas producen una ganan
cia de $4 960.
205. Daniel tiene S12 000 dolares invetidos al 6.5%. ¿Cuánto debe invertir al 9% para
que el interés de ambas inversiones le produzca un ingreso de $2040?
206. El monto de interés anual producido por $11 000 dólares es $265 más que el pro
ducido por $8 000 a un interés anual 0.5% menor. ¿Cuál es la tasa de interés apli
cada a cada una de las cantidades?
207. ¿Cuántos galones de una solución de ácido al 8% deben agregarse a 32 galones
de otra igual al 28% para producir una solución al 12%?
208. Una persona mezcld 40 libras de una aleación de cobre al 96% con 24 libras de
otra al 72%. ¿Cuál es el porcentaje de cobre en la mezcla?
209. Una persona mezcle 36 libras de una aleación de aluminio al 40% con 80 libras
de otra semejante. ¿Cuál es el porcentaje de aluminio de la segunda aleación, si
la mezcla contiene 80% de este último?
210. Ricardo tiene $12.40 dólares en monedas de 10€ . 25 df y 50€. Si son 46 monedas
en total. y hay 6 monedas más de 25 (if que de 10 (I , ¿cuántas posee de cada clase?
211. Bárbara compró S I0.85 dólares de estampillas de l0¢, 15€ y 25 'I con un total
de S9 estampillas. Si el número de estampillas de 10€ es 4 menos que el de 15 ¢ ,
¿cuantas compró de cada clase?
212. Los ingresos por la venta de 42 O 00 boletos para un juego de béisbol totalizaron
$241 500 dólares. Los boletos se vendieron a $4.50, $6.50 y $9.50. El número de
boletos vendidos de $4.50 fue el quintuplo del de los de $9.50. ¿_Cuanto_s se ven
dieron de cada clase?
213. Carlos tenia una cita a 98 millas de distancia y condujo su automóvil a una veloci
dad promedio de 24 millas por hora en la ciudad y de 54 en carretera. Si el viaje
duró 2 horas, ¿qué distancia manejó en la ciudad?
214 Encuentre las lecturas Celsius y Kelvin correspondientes a una temperatura de 86” F.
215. Halle la lectura Fahrenheit que corresponde a 22°C.
5
IEPASO ICIIIULIUVO
Hace 4 años Cristina tenia 'A de la edad de su madre y dentro de 8 años tendrá
la mitad de su edad. ¿Cuál es la edad actual de ésta?
Tomás pesa 54 libras y se sienta en un subibaja a 8 pies del punto de apoyo. Si
Roberto pesa 72 libras, ¿a qué distancia de dicho punto se debe sentar para equili
brarse con Tomás?
Una barra de peso despreciable se pone en equilibrio cuando una carga de 148
libras se coloca de un lado del punto de apoyo a 6 pies del mismo y 2 cargas de
60 y 72 libras se sitúan a S pies de distancia entre si del otro lado del punto men
cionado, con la carga de 60 libras mas cercana a este último. ¿A qué distancia
del punto de apoyo está la carga de 60 libras?
Si dos lados opuestos de un cuadrado se incrementan en 7 pulgadas cada uno y
los otros dos disminuyen también 2 pulgadas, el área aumenta 41 pulgadas cua
dradas. Halle el lado del cuadrado.
Un edificio ocupa un terreno rectangular que mide 20 pies menos de largo que
el doble de su ancho. La banqueta que rodea al edificio tiene 12 pies de anchura
y un área de 3 336 pies cuadrados. ¿Cuáles son las dimensiones del terreno que
ocupa el edificio?
El segundo ángulo de un triángulo mide 6" menos que cl primero y el tercero mide
3° menos que 1.5 veces el primero. ¿Cuántos grados mide cada ángulo?
La suma de la base y la altura de un triángulo es 113 pies. Encuentre el area del
triángulo si el triple de la altura mide 1 pie menos que el doble de la base.
La suma de la base y la altura de un triangulo es 95 pies. Determine el área del
triángulo si el triple de la base supera en 19 pics al cuádruple de la altura.
Capítulo 5.
Determine el conjunto solucion de cada una de las desigualdades siguientes:
3.: 4`.>.r+6
225..
5.1: 2<2_r 3
2x 954.1 +3
227. 4x+la7.r 5
3+4(2.t l):> 7
229. 7+2(.r 3) ==:9
10 3(4.r+ll 5. 2
(.r + 5)(.r
I)
xl.:
231.
4 ïlx 2)> 3
3) > l2
lx 6ll.t'+2)* .tl.t Slš 12
(Jr + 4)(.'r
2)
.ttlx + 3) 1 3
(Jr + l)(.r
6.r(:r
I)
7) .rlx
l}<3
(lr + l)(3.x 2)>
3
Sx(.t' 2) (417 l l){2.t 5)I> l
r
_
lr
3
x
5
71:
3
" fï"§
E.
4 '">a'z
www
2” s"'¿Es"z
5:'
2*' 'r'§>s"z
r
9
.t +12; I
6 =: 4
x+3
243.
2
x 1 lr I
3 =: Ó
24s.x+l
2: l__=_3x 2
6
:¬
.Jr l
.r+2>2.r+l
`T"`T""`_¿"`
:=
i H Ft
un
"'§""_š`"'“"_ i`_
Renan acumtllatlvo 5
Halle el conjunto solucion de cada uno de los sistemas siguientes:
2x+t'›>3.r+5.
5.r+42.r 4
4.r+]l]<í7.t' l 1,
247.
3.r 2å'2r 3.
4.r 3>5.r 8
243. .tr 6<3x +2
2x+7<.t: +6
250. 2.r+5.=2:.r +3
3x las + I
252. .t 3<4.t +6.
S.r l>3.1r 3
l.
254. 'lr 7<.r
3x 2?. 4x 5
256. 4.1: 32.r+3.
SX 75x+l
253. Zr+724.1r l.
5.: 621' + ll)
Zfilfl. 3:.r+23= x+ 3.
.r l S>4.1r
262. 3x 7) 5
1'.
4.1' 3<x
l2
4.
264. .r 853,1'
3
(1x+7<2.r
246.
249.
ox 9~=:2x+ 15
251.
3.r Zšex + 2.
4.r+3=¿'3.r+ Il)
253 .
2.! *9< "7,t'+2l.
.r+8 =215.r 8
255 .
3.1' 5521: 9,
4x 82= 7x ll
lt 623.1' .S,
7.1' t 5a3.x+l
3x+72x+3,
úx+l52r 7
x+9<2x+5,
6.r+I|<x l Ó
5:: 2* '17x 3,
3x 2 flíx 9
7x 41.' ' '3.t'+ lo.
.r+9`;>4.r 6
257 .
259 .
261 .
263 .
265 .
Describa los elementos de los siguientes conjuntos:
266. {sl3(s + 3)
268.
{.r19(_.r
2o:
{.r|4(3.v 1) cm ti :› |}
269. ts leo 2) su + 2; <.t }
1) r › x}
267.
ll ' 3(3.t' + l) < Úl
270. {.rf2t3.r
272. {.r 9(2.r
4)
I)
6(.r 2) =: 3}
613.: + 2) > Ill
273.
3)
3l3.r
{.r 6(4x
271.
{x|4(2.r + l)
7(.r
3) <'.;r}
ll 3°' 7l
Encuentre el conjunto solucion de las ecuaciones siguientes:
214. ls
sl = 4
275. fs
277.
lx + Sl = 5
278.
.It
280.
|.r + 8] = 0
281.
fx
133, |4_r 2|=7
9
3
5|
0
234. 'mt 7|=3
276.
279.
232.
|.t' + 2] = 3
|.r + II = 4
|3.r 4|=S
235. |3.r+s|=t0
zas. ¡st 1|=.t+3
zar. |ar+s|= .t 5
288. |.r+6|=2r 5
289. |2x+7|=4.t +3
291.
|4.r + 3] = 7.1'
.I
l
II = 3
6
]4.1r l SI = I
293..
[112 3l=3 2.1.'
295.
|7x + '.!| = 5.1* + l
|'.?..r
292.
|3.t'
294.
l| = dr
S
290.
Ó
CAPÍTULO
6
Factorízacíón de polinomios
6.1 Factores comunes a todos los términos
6.2 Factorizacion de un binomio
6.3 Factorlzacion de un trlnomlo
,
I Z
G › rncrotttznctont oe Pounomos
Cada uno de los números que se multiplican entre si para obtener un producto, se llama
factor. Algunas veces es deseable escribir un polinomio como el producto de varios de
sus factores. Este proceso se llama factorizacion. En particular, nos ocuparemos de fac
torizar polinomios con coeficientes enteros.
Se dice que un polinomio está faetorizado completamente si se expresa como el pro
ducto de polinornios con coeficientes enteros y ninguno de los factores de la expresion
se puede ya escribir como el producto de dos polinomios. con coeficientes enteros.
A continuacion, consideratnos la factorizacion de algunos polinomios especiales.
Factores comunes a todos los términos
El máximo factor común (M.F.C.) o máximo común divisor (M.C.D.) de un conjunto
de enteros se define como el entero mayor que divide a cada uno de los números de
dicho conjunto.
El M.F.C. se puede obtener como sigue:
I. Se factorizan los enteros en sus factores primos.
2. Se escriben los factores empleando exponentes.
3. Se toman las bases comunes, cada una con su exponente minimo.
Encontrar el M.F.C. de 30, 45, ol).
sotucton
se = 2 3 5
45=3 'f 5
se =2“ `* 3 5
Las bases comunes son 3 y 5.
El minimo exponente de 3 es 1, 3.' el de 5 es l.
Por consiguiente, el l'vl.F.C. = 3' ' 5'
IS.
Hallar el M.F.C. de 48, 72. l20.
SOLUCIÓN
48 = 2'* 3
72 = 23 ~ 32
120 = 2] ~ 3 ' 5
Las bases comunes son 2 v 3.
El_minimo exponente de 2 es 3 y el de 3 es I.
Por lo tanto, el M.F.(J. = 23 ' 3' = 24.
El máximo factor común de un conjunto de monomios puede determinarse tomando
el producto del M.F.C. de los coeficientes de los monomios y las bases literales comu
nes, cada una a su minima potencia.
6.1
Factores comunes a todos los términos
É obtener el 1vt.r~'.c. tu ts 3. sti, tzx.
sotuctolv
4.@ =
2213
on' 3
2 3.1":
12.1: = 23 3.1'
l as bases comunes son 2 y x.
El mínimo exponente de 2 es l y cl de :c es l.
Por consiguiente, el M.F.C. == 2'.r' = 2x.
É Hallar el tvt.F.c. de si iyä 12.1 iv, ts.v“.
SOLUCIÓN
9.r3jv3 = 32.t'i_t'2
l2.r"l_t' = 21 ' 3.t"'_jv
l5.t5 =
3
5.15
Las bases comunes son 3 y .r.
El minimo exponente de 3 es l y el de x es 3.
Por lo tanto, el M.li.C. = 3x3.
Encontrar el M.F.C. de .r3y1, .v'*_v, .c3_v3.: :.
SOLUCIÓN Las bases comunes son x v y.
El minimo exponente de .r es 2 y el de y es I.
Por consiguiente, el M.F.C. = xly.
Obtener el M.l*`.C. de 6n"(x
SOLUCIÓN
sam
1. ii = 2 3.fr't.r
9n3(.r ¬ _v)3 = 31u`(.r
l2a3(.r
"ma
_v)".
j 11
_v)“'
y).
El mínimo exponente de 3 es 1, el de a es 2 y el de (Jr
Por lo tanto, cl M.F.C. = 3a2(.x
yli, l2tr3(.r
y)3
_v)"' = 22 3n"*'(.t
Las bases comunes son 3. rr y (x
y)2, 9n3(x
y) es 2.
ylz.
Dado que (1
nlx l)1v b(I
.vi =. ot 1). el 1vt.F.c. de
:c)es(.r
l)o bien (I
x).
6 I FÃCYORIZAC 'ION DEPOLIIIOHÍOS
Cuando los términos de un polinomio tienen un factor común, se emplea la ley dism
butìva
ob, + air; + ob; +
+ nb,, = alo, +11; + b; +
+ b,,)
para factorizar el polinomio. Uno de los l`actorcs es el M.F.C. de todos los términos
del polinomio. El otro es el cociente completo, que se obtiene dividiendo cada ter
mino del polinomio por el factor común; esto es.
rrb¡
b_
uh;
l tro" rr
+ + +
rt
rr
rr
'U
nl: ¡
+ rtlr . rtrltt t
b
"I
=n(b,+b2+b ,+
"
+
rr
+t:›,,)
Factorizar el polinomio 3o: ' n.
SOLUCION
El máximo factor común es cr
3G: ü=rt(ï É)
rl
tt
= ttlfirt
1)
Factorizar el polinomio 8x3
SOLUCIÓN
4x2 + l2x.
El máximo factor común es 4x.
.t
2
3.1t3 4x2+l2..t.'=4.t8i ï l gr
41
41
41
= 4.x(2.r2 .tr + 3)
1
Ú
III
Factorizar el polinomio óxiyz + l2x2y2
SOLUCION
24xy2.
El máximo factor común es oxyï.
Óïayg + llïzjfl _ 24.I'_[ll2 =
¬ 613yz
f).t'_'t"(É
:Q
+
12.1: zyi
E ":'.¿"
ty
= f›«o¬“( si + 2 I
Factorizar el polinomio 4x3(2x
SOLUCION
l)
El maximo factor común es 4x(2x
4x2(2x
l)
8x(?.r
8x(2x
24.ry2
_'
4)
I):
l).
_
4.r2(21r
l)1 =
41(2J _ “li 4x(2.t'
1) _ 3.r(2.r
I)
4.t'(2.t'
4..t'(2.t
l)[.t'
2(2.t'
4x(2.r
4.t(?.r
l)[x
l)(2
4x + 2]
3x)
1)]
6.1
Fattoreseonmrtesatodostostfirnttnos
Factorìzar 24x(x
207
2)* + 36x2(2
x).
sowctou El maxima factor común es tzrtv 2).
'.l'
24.r(.r
2): + 36.r2(2
rr) = |2,r(.r
+
= 12 'ft " 21
2) 1
= t2.r(.r
2)|2(r
2)
= 12.r(r
2)(2r
4
= t2.r(.r
2)( .r
=
Nota
24.r(r
l2.r(.r
serits
“ en :srl
: ;.r1
ar)
4)
2)(.r + 4)
1. (x
tr) = (nf ¬ Jr)
2. lx
tt): = (rr ~¬ x)2.
3. tr . ni = (rr .ri `*
Ejercicios 6.1
Encuentre el máximo factor común en cada uno de los ejercicios siguientes:
I.
4, 6. ll)
2.
4.12, 20
3.
l2, IS, 24
4.
lo, 24, 40
5.
15, 20, 25
6.
I4, 21. 23
7.
ri. .tu .tg
3.
21:1, 313. 4x
9.
org, 9x3, llr
to. sr *_ 1€. sr'
ta. 4.1 = '_ s.r»*_r . tar; 2 ~
tt. tsri. 25.1 tt. sor” '
tz. 12.1 1.. 1s.r'.:st›r
14. zry*,s.r1', 2. sr 'f
ts. tar 5 _ 1sr~i_ri. eri
ts. seryi, 4s.r;r, eo.r;.~ *
17.
19.
2].
23.
25.
27..
29.
18.
20.
22.
24.
26.
28.
30.
54x3_v2. 72r2_t¿'z, 90x:y":1'
6(.r + 2), 9(.r + 2)
9(.r + I). 3(x + I):
.r(.r + 2)¿', .r3(.r 1 2)
(_r + 3)2. (Jr + 3)(x + l)
(rr + 4)(x
l), (x
2)(.r + 4)
4(.r
3), 8(3
x)
31. tr
2) 1, s(2
r)
28x3_vr. 42r3_v2z2, 56.r"_jv“
3x(x
3), o.r3(.r
3)
4(x › l)3, o(.r ¿ I)
x3(.r
2), 2.r(x
2)2
(Jr + l)2, (rr + l)(.x + 2)
(.r ~ 3)(.t'
2), (.t
3)(.r
x`(.r
4), x2(4
x)
32. (.r
3)i, (3
r)1
Factorice los siguientes polinomios:
33.
36.
39.
4x + 4
l2x+ 6
10.1:
5
34.
3'?.
40.
6x + 12
3.r 6
l8.r
27
35.
38.
41.
3.1' + 9
4.1: 6
8
4x
2)
l)
6
FACTORIZÃCION DE POLINOHIOS
46. eri + zr
49. tir* › 119
44.
47.
S0 .
24
8x
91"*
6
lr'
t
lt
3b.r + fib
52.
90.1' r llid
S3.
r_r + t t
3o.r + oa_v
55.
4.r_r
S6.
l0a.t'3
l3x2_t†
SB.
61.
.tj
.r3_t'
|3x'lv3
9.r2_t'2
64.
67.
3.t'3_v" H l2.r"_t*"
ot:
t'xr_v
ox
I2
Itlx
43.
5
4.r1' + 4.r
tr* 14.1 '*
?.4.t:_v2
lb.rl}'3 l .'?.4.r`*_t*
9.t¿_v'l + 2'ix3_'r1
9.r3 + 6.1; + 3
4.1:"
8.r2_t*
70 .
Sr' + lic:
1rl_v + x3_v
1.1%
l5x
5.r_v
72.
74 .
to.r'*_t›~“ + cris”
l5n1x
59. 4.r' ff
62.
1111
4.tr3;v2
65. sr 2
t
4r + te
63. Eur" + 9ra +
.t2_t'3 _ x_v3 + 33:3
o.t¿_v
4.r_v3 + l0.t'_t
.t'¬`,t"1
?_r3_i"'
4.t'_v5
`
le¡_t~3
+ 4x :srl
.t:_t* I
27.t *_~.~
e.r 5 1 + 3f›.r~'_r i
76.
Óllt' l
l) + .tllr + ll
73
4t2.r
3(3.t* + l) + .t*(3:r + l)
30
Zlx
2): + l(_.t'
3(.r + 4)* r o(.r + 4)
82
4(.r
3): + 6(.'t
6(lr+ I):
84
|5(3.r + |)=
9(Jt+l)' 3(.t'+l)2
B6
S(.r + 3)
4(.r + 1)
S(x
.r2('.r
4)
1)
(J: + l)(..t
lx
2(1Lr+ l)
5(3r +
l0(.t'
4):
38
'?(.r H* 5)
l4(.t'
.r(.t'
I):
90
x3(.r + 2)
.rlx + 7
2) + (,r
2.)(.r + 3)
l)(_.r + I) + Lt'
l)(x + 2)
(_: + 2)(?.r + I)
tx + Zltlr
(lr
(lr
l)(x + 4)
4) le (I + 1r)(4
(lr + 5)(.r
3)
(7 + .r)(3
2): + 4(2
3)
l)(3.r +1)
(3.1 + 2)(.r
l2(.r
l) + .rllt
.r)
Jr)
x)
93
2x(2.r
3)* + .r1(3
et (sr
1)* + 2.r1(t
sr)
too 4.r=(í tr
l3(3.r
4):
lt)
102
x(lr
I):
.t2(3.t'
2):
.t'(2
3.t')`
104
4x3(,r
tr):
.t3(2.r
513 + .r{5
2.t)"
106.
.r2(4.1r
3): + .t(3
l2I(4
5)1 + sr* 5
(1
21
...tr
llrlo
)
r
Factorizacton de un binomio
'III'
l os métodos de factoriracìon de polinomios se presentaran según el numero de termi
nos del polinomio que hay que factorixar. Un monomio es una forma factortzada, ast
que el primer tipo de polinomio que se considerará es el binomio. Aqui trataremos la
laetorizacion de cierta clase de binomios.
s.2 ramnxacron ne un etnomto
m
CUOÚTHCIOS Y fakes Cuadfadafi
Los cuadrados de los números
3,
2
52,
o,
x2,
y
b3
22
son, respectivamente,
.
32,
5*',
ng,
2
x",
y
bi'
.
22
Los numeros 3, 53, É, tr, xa y bi' se llaman raices cuadradas de 32, S", 5, tt 2, Jr* y
3
'[1
o , respectivamente.
La raíz cuadrada de un número n se denota por \i/Ã. El simbolo w/ se denomina ra
Qal, el 2 que se incluye es el índice y el número a se llama radieando. Cuando no se
gfieribe ningún indice, se supone que es 2.
si.'121%
1°)
Aunque los cuadrados de ( + 3) y ( 3) son iguales a 9, cuando se hable de la raiz
"cuadrada de 9, nos referiremos al número positivo 3 y no a ( 3).
.”,¬~
DEHNICIÓN
Se dice que un número es un cuadrado per
fecto si su raiz cuadrada es un número ra
cional.
La raiz cuadrada de un número especifico puede encontrarse descomponiendo el núme
ro en sus factores primos, con sus exponentes respectivos, y luego dividir entre 2 a cada
exponente de su potencia original (cuando se eleva un número al cuadrado, multiplica
mos su exponente por 2).
1.
2.
=
=2*=s
2 3
go _ ìš
:
2 3
2
osrtmcton
4
I:
12
lo r:
3. \/2;
2
\/;
_
2
2
5
=
=
4
5
Si rr es un número literal y n E N, se define
\/nz" como (v'Í )1"' = rr". Si el exponente no
es divisible por 2, el número no es cuadrado
perfecto.
l.
= al
sin
= 13:3
3.
=
= mi
Los números 2, 3, 5, 7, 8, lt), etc., no son cuadrados perfectos. Esto significa que no
existen números racionales cuyos cuadrados sean 2, 3, 5, etc.
6 I' FICTOIIIZIGÓNBEPÚLWOIIOS
_
DEFINICIÓN Las raices cuadradas de los números que no son cuadrados perfectos.
se llaman números irracionales.
Diferencia de cuadrados
El producto de los factores (e + b) y (e h) es ea ~ bi. es decir, la diferencia de dos
términos euadrados perfectos. Los faetores de una diferencia de cuadrados son la suma
y diferencia de las raíces cuadradas respectivas de dichos cuadrados.
Faetorìzar 9a3
SOIUCIÓN
4.
La raíz cuadrada de 9:11 es 3a y la de 4 es 2.
Por consiguiente, 9:12 H 4 = (3a + 2)(3a
Nata
2).
Reeuerdese factorìzar el polinomio comple
IHITIEHIE.
Faetorizar eompletamente Jr"
SOLUCIÓN
x"
81y4.
81 y""' = (xz + 9y2)(.r2
9y1)
= (12 + 9y2)(› ' + 3r)(1
"ata
31v)
Antes de verìfìear si el binomio es una dife
reneìa de euadrados, véase si hay algún fae
tor común. Este es siempre el primer paso a
efectuar.
Faetorizar completamente 6x*
SOLUCIÓN
6x"
6 = 6(x“'
6.
I)
= 6(.1'2 +1)(x2
l)
= 6(.r2 + l)(.r + l)(x
Nata
(a + b)(a
I)
h) = (a
b)(e + b).
6.2
Factorixadón de un binomio
Faetorizar completamente xl
SOLUCIÓN
.ri
4(_v
3)*
4( y
[I + 2(.v
'ì
.í
(x + 23:
ní
í
3_)1.
3)ll 1'
6)(x
2(y
2y + 6)
I' `aelori;›:ar eomplelamente (x ' l)~[ + yztl
SÚLUCIÓN (x __ U1 _¡_ yan __ I)
¬1)(.f 1+, )(_f 1 ,»›)
._
._
Paetoruzar completamente x2
SOLUCIÓN
x).
=(r 1)* y'°'(1 I)
= (X 1)[( f U3 fl
:(1
_
3)]
La raíz cuadrada de
9
es
f¬%=(~%>(~%)
Ejercicios 6.2
Faetoriee eompletamente:
1ÉLII I
.tz
11
xa +
Sl
64;:
4x2
1
4')
25
xt
2
6
10
14
18
22
13
17
I
21
81
25
1612 9
26
29 4
491:?
30
33 41.2 _ yì
34
37 912
43;"
41 añ _ bd
45. 4x3
[6
àâä
49. 19 @
52. 28%*
635%
55 òxj
24.:
58
l44x2_v“
3la"b2
61. .rá
16
64. mx 1 _ ye
67. 21'*
323.13
70 x7
x3
Jr 2
9
xa 64
xl l Sl
II
l2l
31.13
1
9x2
16
1611
49
9
25.1' 2
9.112
16312
xd 64
2x1
3. x2 16
1. .x2 100
11. 4 1:2
ls. 9x2 1
19. 411 9
23. 9x2 25
21. 16:2 81
31. 49 l2lx2
ss. 912
25y2
39. mx.: _ ya
43. sx* 13
41. 611 + 24
18
9.1: 2_ 8 l
50. 3ax2
27:13
$3 9xzyz _ ye
56. 201%
45)@
59. 36¿¡Bbl2 _ gclü
62. x'
81
65. 31:4
yd
GB. 30:45
5.1:
71.
4x°
641::
51.
S4.
57..
60.
63.
66.
G9.
72.
4.
xl
36
.
.
.ri
25
I4 4
1:3
. 3611
1
4x2
49
.
9.12
100
.
4
25113
x2 _ 9)@
. x"
Blyz
.
404 * 9b2(.'2
.
.
3x2
12
13
x
72.02
šìïe exe aeaew
H*Hb
75:11
¬¦'.'h
*
161:"
8ly"
3x"
4333
(x +1):
yz
6 I FÄCTDIIZÃCIÓNDEFULIÉOS
73.
76.
74. (_:
(.r + 3):
43,12
.ri (y+ 1)*
19. ref
77.
se. 12
(y + 5)*
41:2
(3)
41:2
83.
86.
1):
82.
85.
.r 3 x2(_r+ I) 2
33.
90.
2)'=
18(3)'
8x2
(.t' 2): (_v+ I)2
9x2
3:42
2)?
sy*
rs
(y + 3):
'73
(y 1)*
st
(23:
l)2
27(y
4):
89. .rzyl
93.
94. (1
95. (sx
98.
l02 1
I
X2
2
E
_
1)
99.
4
1
31
1
03o
I
X2
5
X2
16
49
_
_'
Ã
106.
2512
108
.ir ›__1
16
(2.1
412
9(y
3):
1:1
32(2y + 1)*
4)2
(zy + 1)1
l)2
(_r
1)* + _» 1 '(1
4
100 _ 11 9
104.
I):
16312
(jr + 4)!
x2__(y_2)2
84
37
y2(_v
91. (r + 3)?
oz. (r_ I) 2 (›» 1)*
3)* + v1(3
(Jr
9x2
l
412
lo
101.
2)*
sx)
4
25
.11
¬.
105. 9.1*
I
25
107. 49.6 g
IÓ
109.
16
1
_
._
.r
8]
Factorización de un trinomio
La factorizacìdn de trinomios se divide en dos casos:
1. El trìnomio es de la forma .ri + bx + c, c, c e I, b rs O, c af U.
2. El trinomio tiene la forma ax; + bx + c, rr es I., rr, b, c E I, b es O, c ae O.
Trínomios dela forma
X2 +bX+ C,b,Ce|Vb¢0,C¢0
Considerense los productos siguientes:
+(m+n)x+mn
(.r + m)(.r + rr)
m)(x
(.r + m)(.r
(1 rrr)(.r + rr)
1 +( rn rt).r+mn
(Jr
r'I'_
Ii'
.r1+(m n).r mn
x2+( m+n)x mr:
Se observan las siguientes relaciones entre los productos y sus factores:
I. El primer término de cada factor es la raiz cuadrada del término que aparece al cua
drado en el trinomìo.
6.3
Factormción de un trinonio
213
2. El producto de los segundos términos de los factores es el tercer término del trinomio.
3. La suma de los segundos términos, con sus respectivos signos, es el coeficiente del
término central del trinomio.
Nota
Para encontrar los segundos términos de los
factores, se buscan dos números cuyo produc
to sea el tercer término del trinomio y cuya
suma sea el coeficiente del término central del
trinomio.
Ndfã
Cuando el signo del tercer término del trino
mio es positivo los dos números tienen signos
iguales al signo del término central del tri
nomio.
NOÍ3
Cuando el signo del tercer término del trino
mio es negativo. los dos números tienen sig
nos opuestos y el de mayor valor absoluto tie
ne el signo del término central del trinomio.
Factorizar .cz + Sar + 15.
SOLUCIÓN
El primer término de cada factor es Hi = x.
Por consiguiente,
.ri + 8x + 15 = (Jr
)(.r
)
Como el signo del último término (+ 15) es positivo, los números que faltan en los fac
tores deben tener el mismo signo.
Dado que el signo del termino central ( + 8x) es positivo, los dos números faltantes
también deben serlo.
x2+sx+15=(x+ )(x+›
Buscamos dos números naturales cuyo producto sea l5 y cuya suma sea 8. Los núme
ros son 3 y 5.
Por lo tanto,
x2 + 81 + 15 = (I + 3)(Jr + 5)
Factorizar X2
SOLUCION
lüx + 24.
El primer término de cada factor es ¬/.ri = x.
Por consiguiente..
xl
lüx + 24 = (x
)(.r
)
Puesto que el signo del último término (+ 24) es positivo, los números faltantes en los
factores deben tener signos iguales.
6.3
Facmrlxadóndeuntrtncnio
213
2. El producto de los segundos términos delos factores es el tercer término del trinomto
3. La suma de los segundos términos, con sus respectivos signos, es ei coeficiente dei
término central del trinomio.
NOI73
Para encontrar los segundos términos de los
factores, se buscan dos números cuyo produc
to sea el tercer término del trinomio y cuya
suma sea el coeficiente del término central del
trinomio.
NOII3
Cuando ei signo del tercer término del trino
mio es positivo los dos números tienen signos
iguales al signo del término central del tri
nomio.
NOÚG
Cuando el signo del tercer término del trino
mio es negativo, los dos números tienen sig
nos opuestos y el de mayor valor absoluto tie
ne el signo del término central del trinomio.
Faetorizar x2 + 8.1' + IS.
SOLUCION
El primer término de cada factor es VÍÍ2 = Jr.
Por consiguiente,
.ri + 8x + 15 == (x
)(x
)
Como el signo del último término { I 15) es positivo, los números que faltan en los fac
tores deben tener el mismo signo.
Dado que el signo del término central (+ 8x) es positivo, los dos números faltantes
también deben serlo.
.t'2+8x l
l5=(.r+
)(.r+
Buscamos dos números naturales cuyo producto sea IS 3* cuya suma sea 8. Los núme
ros son 3 y 5.
Por lo tanto,
1 'I 4' 3 1' + 15 = (J ' + 3)( 1' + 5)
Factorizar .ri
SOLUCION
10.1: + 24.
El primer término de cada factor es Jr* = x.
Por consiguiente,
xl
10.1' + 24 = (x
)(.r
)
Puesto que el signo del último término (+ 24) es positivo, los números faltantes en los
factores deben tener signos iguales
6.3
Factorización de un trinomio
SOLUCION
215
El primer término de cada factor es \/y" = yi.
Por lo tanto,
324 _ Óyì ' 16 = (yz _ 3)(J 'I + 2)
Factorizar y"
SOLUCION
jr*
l3yi + 36 completamente.
133;: + 36 = (jr:
4)(_v2
= (jr + 2)(_v
'
2ì(y + 3)Í_'|›'
3)
Factorìzar 3yz + 2 tyz *¬ 60272.
SOLUCION
33:2 + 24_vs
60:2 = 3(_v2 + Bye ~ 2022)
= 3(_t' + l0z)(}'
22)
Factorixar .ri
SOLUCION
9)
18
'?.r.
Primeramente escribimos el trinomio en la forma .ri + bx + c.
.fi ls 7r=,r1 r.r 1s=(.r s)(,r+2›
af,t1f tt
SOLUCION
(.r
_r):
_; › 1 su yy 10.
3 tx
y)
IO es de la forma si
3a
10, cuyos factores son
(rr ¬ 5)(rr + 2).
Por consiguicntt,
(_r
_t )¿'
Nota
3(,r
3:)
IU =
= (.r
jr)
5][(.r
jr) + 2]
jr
5)(.r
_v + 2)
Cuando el tercer término del trinomio es un
número grande 3' sus factores no son inme
diatos, se escribe cl número como ei produc
to de sus factores primos, luego se analizan
productos de factores formados con combi
naciones de los primos.
NOI3
No todo polinomio es factorizablc en el con
junto de los enteros; por ejemplo:
.ri + .ir + 2,
.ri + 3.1' + 4,
.ra Jr 8.
Nm | (_: + ans + at = of + rm ¬ 1).
i
6 r Elfiflflflflflfllfllflififllllflflfii
EIEFCICÍOS OJÃ
Factorice completamente
1
4.
7
10
13
16
19
22
25
28
31
34
37
40
43
46
49.
S2.
S5
58.
61.
64.
67.
70.
73.
76.
79.
82.
35.
X2
+3.r+2
X2
+8.t'+l2
xa +9.r+2O
.tz + 15.r+56
5.r+6
l3.r+30
l2x+35
+7.r 8
+41: 21
+7x 44
x 2
HI
Gx 16
2.1' 24
4x 60
+.r+4
+ i0x+2l
8x+l2
13. r+36
+ 101 39
4x 21
3.r+8
l8+ll.r
40 13.1
++
+ 48 191
i8+7.r
42 .r
+ I3x+42
I5.r+56
5x 24
l?_x) +3235
+
12:) +2031:
*6rr+9.v2
238
96
98
100
102
104
106
103
110
112
114
116
+
l9.ty+84y2
+51) 50312
+4.ry 60_r2
Hw wru uwr.iuaorurwu
HHHHHHHH
.ri
oxi
31:2
7.1r2
8x2
bxz
.rzy
_.¿y._ 30y2
l0.r_v
24; 2
+ 30.1: + 24
24, r + 21
42
+ 71
24.1:
32
+ l4b.r + 45h
4xy+4y
xlyl _ 213,2 _
7.r+6
Tx +12
› tu
4 F + 101 + 24
2r+l
7x+l0
9.r+20
l3.r+42
I'¬.Il'¬1'I¬JI'›I"il nì
+ 6.r 16
2 +
12: 45
2 +
2x 35
2
5:: 6
2
3.r
2
7.1: 44
2
.tr 3
1 +
.r+6
FJÍNJ
giligfrfiznegnp
29
32
35
38
41
44
47
50
53
S6
S9
62
65
68
71
74
77
80
83
86.
II|_
il
+ llx l 24
+
+
2
7x+
4x
4..r
9.r
7.1:
18
ll.r
24 !
18
lH.iI'¬.I ' .iI'¬.I'~vJI'¬|I'J .I'
HHHHHHHHHH
16.: + 63
ar
es
39
91
93
ss
97
99
101
103
los
107
espe
+
+
ir
í
60+
+
+
x2
+4:r+4
+ 9.r+l8
+ li.r+30
6.r+5
8.r+l5
l2.r+32
3
30
36
+4 + +
48
2.: 8
40
72
13,1 48
3x 40
5.1: 4
6tr+8
8x+l6
l5.r+36
+ ox 27
8.: 20
ÚU.
3x 28
+ 604 171
63.
P J'
+ 28+ll.1:
56.
+ 32 IB.:
69.
72.
80+2.r
M
75.
35 2.1:
78.
36 161
ll.r+30
31.
84. 9ti ¦vrnti1' tir¦›tä~ ¦19tH*3¡it'r13tìi' + .r 30
87. I ruwwwwwMHM HMH MH M+ l2.ry + 27y2
30+ l3x
++
9.
¡Z
15.
13.
21.
24.
27.
30.
33.
35.
39.
42.
45.
43.
51.
54.
57.
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2
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12.
1
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109.
41:2 + 24.1: + 36
212
l8x + lb
Sxï + 5.1:
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115
117
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111 mi +5a.r+6a
113 si 12:2 +20.:
sx:
l8x
6.3
118
120
122
124
126
128
131
134
137
140
143
146
149
151
153
F3¢f0fI¦'ã|¦I6I'ItI8IlIltI'IIl0|IÍO
lriy
81)
24)
119.
121.
123.
.rlyz + 1813: + 32
.rlyi
l4xy + 24
xa; 2 + 4.1.3.'
45
xzyì
Sxy
14
1'* + 7.1:: + I2
+ 3x2
4
31:2
4
.riyl + l6xy+60
xiyz
l2xy+36
.rzyz + 3x) 54
125. .tiyi
tu y
42
127. Jr" + 5x3 + 6
3x2
10
130
+ 312
129
13
I Tx:
132
3
133
+ x3
20
135
4x2 + 3
136
712 + 6
'Lri + 12
139
138
oxi + 8
S.r2 + 4
lüxi + 9
141
37.r2 + 36
142
50x2 +' 49
la
HHHHH
144
2O.r1 + 64
40.r2 + 144
145
212 + 1
rr 1.lso «ne 8x2 + 16
147 if15tH¦ti tir ¿stonesun
131* + SI
148 HHHHHHH slas»rs .rs 32;* + 256
(:r+y)1+3(.r+y)+2
150. (.r + y)i + 4(x + y) + 3
152. (x
2y)2
l2(.r
23;) + 32
(.r+3y)2 9(..r+3y)+ 18
(Jr+y)2+(.t'+y)
2
154.
(x
(2.›: + y)2 + 6(2x + y)
(x
3y)2
7(.r
33;)
(2.1'
155
157
(.r+2y)2+(.r+2y) 6
(lr y)i (lr y) 20
156.
158.
159
(31 y)2 4(3.r y) 32
160.
y): + (x
3y)2
y)
9(Ztr
12
3) 1)
16
18
36
Trinomios dela forma ax2 + bx + c, a ¢ 1 ,
a,b,cG|,b†0,¢¢0.
Considérese el producto
(zx + out + 3) = 2.›. 2 + 10.1 + 12
El primer factor a Ia izquierda contiene el factor común 2:
x+4=2(..r+2)
También el producto desarrollado contiene el factor común 2:
2x3 +10): +12 = 2(x2 + 5x + 6)
En general, si un factor de un producto contiene un factor común entonces el producto
desarrollado también contendrá ese factor común.
Por otro lado, si ningún factor de un producto, por ejemplo (x + 5)(3x 2), con
tiene un factor común, entonces el producto desarrollado, en este caso 3x2 + l3x
IO, no tendrá factor común. Reciprocamente, si los términos de un producto no poseen
un factor común, entonces tampoco lo tendran ninguno de sus factores.
Para aprender a factorìzar un trinomio de la forma ax* + bx + c, veamos pri
meramente cómo se multiplican dos factores para obtener un producto de esta forma
Se multiplica (Zx + 3)(4.r
2.t+3
fi Y 5
_
s.f2+|2r
1.0~t' 15
sx* t zx ts
5) como sigue:
213
6 I FICTOIÍIICION DE POIINOIUS
'I
Ettamincmos nuevamente esta multiplicación, como se muestra en la Figura 6.1.
_,_,_, ,_ +l2x
"Pr
+3
H
flür
5
c
H
SI 3
Q
=
gps
ii
il
sri
+ 111'
lO.r
+21
_
4
ls
its ""`* 10 *
8:1 2
1S
FIGURÃ 5.1
Las flechas cruzadas >< se denominarán tijeras.
A la izquierda de las tijeras, ix >< son factores de 89:1, que es el primer térmi
.r
no del trinomio.
..
. 'I' + 3
A la derecha de las meras. X __ 5 son factores de 15, que es el tercer térmi
no del trinomio.
La suma de los productos en dirección de las flechas,
zx
+3
><:
= 10. r
5
><
4x
=+t2.r,
|0.r
+t2_x
+ 2.1:
es el término central del trinomio.
El siguiente ejemplo ilustra como emplear las tijeras en la lactorizaciún de un trinomio
ax: + ¿zur + c, aa* l, a, b,cEI.
Factorizar 6x3
SOLUCION
Ss'
6.
Se encttentran todas las parejas de factores posibles cuyo producto sea el
primer termino del trinomio; cada factor debe contener la raiz cuadrada del número
literal. Se escriben estos factores del lado izquierdo de las tijeras.
Ñ ><:
.r
lx ><
3.r
Se determinan todas las parejas de factores posibles cuyo producto sea el tercer término
del trinomio, sin tener en cuenta los signos, y se anotan del lado derecho de las tijeras.
6.3
Factorfracidrl de un trinomio
6x
6
219
6x
l
6x
2
6.!
3
.r><l
x>.<'/16
x><:3
,r><2
(1)
(2)
(3)
(4)
h><6
2.r><l
2r> <2
2.r><:3
3.r
3x
3,1'
3x
l
(5)
6
(6)
3
(7)
2
(3)
Se escriben todos los arreglos posibles con los factores del primero y tercer terminos.
Las ocho tijeras mostradas ofrecen todos los arreglos posibles de los factores del prime
ro y tercer término del trinomio,
Los términos de la parte superior de las tijeras forman el primer factor del producto,
y los de la parte inferior, forman el segundo.
Puesto que no existe ningún factor común en el trinomio, no debe haber factor común
entre los términos de la parte superior de las tijeras y los de la parte inferior. Si existe
factor común entre los términos de la parte superior o entre los de la inferior, el arreglo
no puede estar correcto. Los arreglos (I), (3), (4), (5), (6) 3. (7) tienen factores comunes
y, por tanto, se eliminan.
Los candidatos se limitan ahora a los dos arreglos
6.:
l
2.r
><:
.tr
r
6
y
J, 3
X
3x
2
El término central del trinomio, el cual es igual a la suma de los productos en la direc
ción de las flechas, indicará cuál arreglo es el correcto.
Dado que el primer arreglo da .r y 36.1: para formar el término central, de lo cual no
puede obtenerse 5x como suma, dicho arreglo no es el correcto. El segundo arreglo
da 9x y 4x para formar el término central, y tomando 9.1' con signo negativo y 4x con
signo positivo, se obtiene 9.r + 4. r = 5x.
Por consiguiente. el arreglo correcto es
2r>< 3
3x
2
Los factores del primer termino del trinomio se toman siempre positivos. De esta ma
nera, para llegar a obtener 9x, el 3 a la derecha de las tijeras hay que tomarlo con
signo negativo, mientras que ei 2 se debe tomar con signo positivo para obtener + 4x.
El arreglo completo es
zr><: 3
3.1'
Por to tanto, 61:2
+2
5.1'
6 = (2.r
3)(3x + 2).
6 I FÄCÍURIZACION DE POLINOHIOS
"ata
Cuando el trinomio tiene un factor común,
este se determina antes de intentar factorizar
con el método de las tijers.
Nota
No hay razon para escribir arreglos con fac
tor común entre Ios términos de la parte su
perior o entre los de la inferior.
Nota
Cuando el coeficiente del primero o tercer tér
mino del trinomio, es un número grande, se
escribe el número como el producto de sus
factores primos, y se analizan productos de
factores formados con combinaciones de los
primos.
Factorizar óxi + 19,1 + 15.
2.1'
SOLUCIÓN
+3
><
3,r
+5
Por to rante.
tn* + un + ts = (lr + 3›(3r + 5)
Factorizar 12. ri
SOLUCIÓN
+91 + 10.1' = + I9.r
mi
45.1: + 42.
45.: + 42 = 3(4.t “f
4.r
7
><
rr
Por consiguiente,
71
|2.ri'
45.1 + 42 = 3t4.t
x
+5
3x
4
Factorizar 36
I5.t'
llri
3'7.r
mr
2)
20.
4;
Por lo tanto,
8.1' =
2
Factorizar l2x'¬"'
sowctón
rss + 14)
.r
20 = (4x + 5)(3.r
48x¡".
4)
6.3
Factcrlracldn de un trinomio
SOLUCION
4
9
><
Por consiguiente,
~l 3.r
+ :vt
16;
36
37.1:
Factorizar 3611"'
sotuctotr
221
au
37 1.
4812 = (4 + 3.r)(9
I6.r)
24l.r2 + 100.
ol' >< 25
912
Int 1
:est 1 = 241.1 `
4
Por lo tanto,
361*
241.1 3 + 100 = (4.1. 3
25)(9,r2
= (2. r + 5)(2.1.'
'
Factoria :ar 2(x
y)i
5(.r
SOLUCION 2(.r y)2
son (Ze + 3}(a 4).
5(x
y)
Por consiguiente,
2(.r
3 ):
y)
5)(3.1' i 2)(3x
y)
Se
I2, cuyos factores
12 = [2(.r › y) + 3][(;r
y)
=(2t 2_v+3)(.r _~,› 4)
una
No todo trinomio es factorizable en el con
junto de los enteros; por ejemplo:
31:1 4x 6, 4x2 Sur 3, óxi + 5.1' + 2.
Ejercicios 6.SB
Factoricc completamente:
1.
4.
7.
13.
16..
Zri + 3.r + l
4x2 + l3.r + 3
Bxi + l4.r + 8
mi + 'ix + 2
lr:
4.r+ I
lri
5.11 +2
19.
22.
4x3 ¬~ B.r+3
Zri + ll.r 6
25.
lr: + .r 6
31 3 + l6x l2
ari lr 2
10.
28.
31.
+
.
.
lr?
4.r2
+
l
212
.
4x2
.
31:3
6.r2
.
.
.
21:2
Zrz
4ri
2x3
*l
l
l
2)
12.
12 es de la forma 21. ri
5(.r
4)
9.r+4
7.r+6
li.r+6
5.r+2
9x+2
ll.r+6
llrr l 4
l5x 8
5x I2
9.: 9
7x 4
3.
313
s. 212
9.
12.
15.
18.
21.
24.
27.
3 0.
33.
'i
7x+2
+
l3:r+l5
4.r3 + 4.:r+l
2x
llx t 5
2:
9x+9
412
7.r+3
2x2 + 5.1: 3
312 I ll.r 4
3,1 2 + 'Tx 6
412 + 2l.r
18
2x2
í.
13.1'
7
4]
6 I FICTOIIZÄCIONDEPOLINOIIOS
34.
37
4 0.
43
46
49
52
55
58
61.
64.
67.
70
73
76
79
82
34
36
88
90
92
94
96
98
100
102
104
106
103
111
114
1 I?
119
121
124
13?
130
133
136
139
142
E451
148.
151
153.
155
157.
3x2
8.1'
2.r2 ~ 9.r
4.r2
5.r
3.r2 + 7.r
tn
,
6x2
7.1' t 2
6x2
7.r
3
6x2 + ll. r
4
3x2 14.1: + 3
412
l7.r
15
61:2
. + llx+3
63.
4x2 20x+9
3
69.
4.r2 + 8.17 + 5
4 ss.
61 2+ 23s
l(1.r
8.r2
ts
en + s
fui + su + ts
_
F
6r2 I l9.r
llr2
5.1:
35.1' + 36
rs
43 .
S1.
9r2
6x2 + l7.t.' + 12
sti
l3.r + IS
2
6.r2 + .r
3.r2 + 12 + zar
191
4.r2 + t2
4s 4
tu +5
sr 4
mi
6 + 5.1'
4x2 + 27.1' + lg
6tr2
4.r2 l5.r 4
. mi
211
11:2 + :r
3
4x2
161
9
6.r2
36.
71
2
kn
212 + |5.1r + IS
ari + s
l7x 6
312
3x2
3
13
6
4
20
36
2
33. tzriyi
39. 312 las to
42. 3.ti+«=u›+7
45. 21 i+|t.r+|2
54. «tri + 12 + nu
57. eri 3 + rs
60.3.» 1 3 zr
sc. 9.6 + su
12 . tz1:2
'ts . 6x 1'
78 .
81.
l2.r2y2 + xy
l2.r2_v2
7,t'_v
oxï' + 1 l.r_v
+ 43"°
9x2 + 1213 + 4_r2
91.
6x2 + i3.r;v + 6). 2
93.
6x2
ari
97.
6.r2 + 5.r_}
4;r2
99.
912 + 6111'
3322
3x2
41:2
63:2
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23.t_ , + 21_vi
63:2 + .r_r
6x2 l 7.r_v
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6.r2
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312
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51" + 3x2
4
4
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1314
5x2
12
29.12 + 3
41:4
l3.r2 + 9
9.112'
i3.r2 + 4
16x2
12
llxjt + 3_v2
zssy + t2,v1'
7.1)
8.r_v
tos. 9.1 2 1+ ser + 12
6_t'2
20,1: + 4
4;* + 1512
101.
103.
12_ ri
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16.152
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tu _t~ + |2_t 2
l3.r + 6
6
ss. 4.1 1 + sn + sy*
24
6
tun + 2
35.
37.
23.@
l7.r
l2r2 + 5x
2
6x23, 2 + 2313 + 20
l2x2y2 + 25x11 + 12
l2r2) 2
l7.r_v + 6
l2r2t 2 + l9.rv
IB
lztiyi
4
107.
6x2 + 27;:
312 + 512
lr" +
2r"
118.
l0.r
45;: + 20
15
110. 28.r2 + 2lx
7
lr
113. 2x2y + 5.ry + 3;
6x2
116. 3.1:"
8x2 + 4x2
4.r2_v2 + |3.rjt 2
123. 2
120. sexi
ts sr «tt 1
15 7.: 2.6
sexi
123.
126.
3 + Jr
129.
4 + to.
132.
18 + 2311
6x2
612 + 23.r2
4
91:2
29.r2 + 6
lr* x2
1
12 + .r
ef' +
. tr'
sf' +
st 'i
2; si
«tt 1
3.12 1' l
Bix*
l3.r2 t 1
3(.r + y)2 l l0(. r +3 )+3
4x2
6.12
'tri + 2
11.6 + e
1412 s
st 2 27
sor* + s
45.6 + st
152.
154.
156.
158.
I
1 sr
3
21
2r
5x
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612
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135.
tits.
141.
144. sr' zas* 12
147. sex* 1312 + 1
150. 2 36:2 85.3 + 9
25.r"
104,1: + 16
16.12
72x2 + 81'
256x"
238.112 + 81
4(.r y)2+9(.r y)+2
Renasodeicaaltubs
159.
6(?_r y): 25(2 I y)+4
2(x+y)2 3(x+y)+l
S(x
3(1
y): + (I
Ú(?.1r Py): +(2..1:+y) 12
36(x
6(.r
l2(.r
y)2 + 5(x y)
24
23'):
ll(x
Zy)
2
3y)?'
5(x
33')
3
F)
2y)1
l4(x
6(.r + 2y)2
2
4(.r
23;) + 3
l1(x + 2y) + 4
y):
ll(x
y)
3
Ú(2 *“"}')2"5(2I"}')"'Ú
l2(3x + y):
7(3x + y)
l2
Repaso del Capítulo 6
I acmrice compleiameme:
1
24.1' + 13
4
9.r2}'
.
40«1
9x2
la
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38.
41.
44.
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úxs
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12.
IS.
I8.
21.
24.
xx
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J
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11.1'
161
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6. af + 4413
21. 9
45.
48
Sl
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xl + l4x + 40
151; + 50
161 + 63
54
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57
+ 5x sa
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35.: + 23
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89.
91.
84. 5.11 + ¡sx 20
B1. 3.6 9x 30
13 + 132:: + 45.1'
xzy
lSxy + 723,1
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rncrmlznaúnnslmmounos
$23
98.
100
103
106
109
112
115
113
121
123
125
127
129
131
133
135
133
141
144
147
149
151
153
156
159
162
165
167
93.
x" + 6x2
7lr2
x2
22:4
80.12
21:2 + 5x + 2
3x2 + 17.: + IO
612 + 35.1: + 36
3x2
20.1' + 12
99. 3.1:' 2 + Mx + 3
101
104
107
110
113
116
119
I
21:2
3.1:'
9
6x2
19.1'
36
6.r2y2 + 2313; + 21
6x2y2
23.r_v + 20
1212312 + 71:3'
12
4x2y2
21.13*
IS
12x2 + l7.ry + 63:2
ax*
2x2
15.1: + 13
4x2
105.
4x2
l6.r + 15
lll.
4x2 + 161:
1212
154
4.12
157
4x2
160
2x2
163
4x2
x(x + 2)
+ 6(x +1)
2(x
2)2
169
171
(x
173
175
178
181
(21 1): _ 311
2)2 + 3(2
41; + 24
132.
134. 412
241 * + 32.: + 3
13@ 12;@
137. 1312 + sm + 12
4x2
5 ' 1x2
140.
143.
x)
21')
22.: + 24
9x
9
9.1 2 + 6x2 + x
3x” + 5.1: 3
148.
150. af"
3
152. 4
.r 4x2
5 sx 412
5 + 14x
312
15 + 4.1: 4x2
166. 4(.r
13.1 y + 43,
9.1
212
155. 10 13.1'
3x2
1ss.fi+|11 211
8 + 101
164. 12 + 2x
1] x(x
I)
3x2
24.r2
163. su + 3)* + 12(,f + 3)
rm. x(3x 1) 4(3x 1)*
172.
174.
625.12
I
(J:
(3.1:
Jr" + 3.12
4x2
45
184 .E2
187 'xd 65x2+64
7.12 I 3
190 41:2
135
.r`2
1712 + 16
133
12
8212 + Sl
191
sx*
35.1 1 + 13
243y'*
180. 51 '*
23
IB3.
136.
189.
xd
x4
x"
9
192. sf'
4x2
4x2
1312
75
25.x'2 + 36
(x + 3)2
414
3'?x2 + 9
91'*
l48x2 + 64
198.
zoo .12
l)2 + 4(l
x)
2)2
2(2
31')
177. 3112
16y`2
2612
194.
196.
(1 2)* 9y2
3.1:
'lx
6
7
_ 2x2
161.
¡sz
197
199
1212 + 21.1:
5612
I4.:
146. 3,: 2y
16
121*
9
sx* + 2; 21
114. 4.11 1.: 2
ar? x 2
117. 9; 1 sx 3
12;* 19.: la 120. 3.f1;.›2 + 11@ + o
122. 4.63. 1 27.1 y + la
124. 4.17231 1 + 4x3; 3
126. 4x2y2 9.@ 9
Iza. 9.12 + I8xy + 8y2
43;*
.H + 15.@
los. 4;* + 23.; › f›
3
176
179
193
195
1631"
64
15.1' + 9
3x2 + l0x
4.».
5
l9x
15
17.1'
8 + 15.1:
3 + 4x
3(x + 2)
2(,r + l)2
x(x
2)
x4
4x2
102.
31111: + l8y2
4x2 + 4.1)* ' l5y2
zm + 21;. 1'
4.12
1212 + 35.1: + IS
130. 6x2
12.x2 + 2313*
24y2
136
IZI2
.ty
6y2
139
8x2 28.1: + 12
142
15.12 + 5x
10
145
8x2 + lUx2 + 3.1'
4x2y
llry + 5)'
8x"' + 10.r2'
3x2
43;*
48x2
95. 1* 11:* 4511
97. 4.6 + 25.1 + 6
91;* 15; + 4
212 + 9; ls
1112 + .I
Jr" + 3x2
(zy + 1)*
405,1
7x2
13
26x2 + 25
29x2 + 100
mi + 1
3:2
201. xl
(3y + 2)1
Rfllliflidllüäpítllløô
202
'I f Y 312
203 12 (y 2)*
205
( 1' + y)2 + 2( Y + jv)
207
(21 4' 1'):
209
311 + 3/12 " 5(.r + y)
211.
4(2.x + y)2
213.
|2(.r
23 )2
(I y)2+3(1 y) 28
IS
3(2x + y)
204. 9x2 46 1)*
13
2
8(2,r + y) + 3
5(; _ gy) _
(31
y):
5(3Jr
21 1' “ 3112 “ 911
y)
24
y)
18
6(.r + 2y)2 + 13(.r + Zy)
6(2x
y)2
17(2):
y) +
cAPí†uLo 7
Fracciones algebraicas
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
7.7
7.8
Simplificación de fracciones algebraicas
Adición de fracciones algebraicas
Multiplicación de fracciones
División de fracciones
Operaciones combinadas v fracciones complejas
Ecuaciones literales
Ecuaciones que contienen fracciones algeoraicas
Problemas planteados con palabras
7 I FRACCIONES .ILGERIICIS
Las fracciones algebraicas son semejantes a las aritnu 'iiicas en cuanto que ambas indi
can una operacion de division. El numero especifico 5 significa 3 + 4; en numeros
_
ri _ _
_
_ _
_ _
_
literales, 5 signilìca ii : b. Cuando un numero especifico se divide entre uno literal,
_
_
_ _
_
_
2
P or eJ em P lo ¿_
b o uno literal se divide entre otro i B nal, por ejemplo H_ el resultado
es una fracción algebraica.
__
La noiacioii
'^ IC
ri + b
C
significa
quiere decir
1ü..'¬ '."rtí'
Hit
,
_
H
,
(H + bl I C
(ii + b) + (c + ci).
._
. .
En la fraccion 5 _ el numero n se llama numerador y el b denominador de la fraccion_
Nota
A los números literales que aparezcan en los
denominadores de fracciones algebraieas, no
se ies puede asignar valores específicos que ha
gan que el denominador sea igual a cero, ya
que la división por cero no está definida.
Simplificación de fracciones algebraicas
_
_
_
_
_
n
ec
De las propiedades de fracciones estudiadas en el Capiiulo 2. se tiene que Í; = ¶ _
_
_
ri
de
_
_
_
Las fracciones algcbraicas Í y ¿ì¡ se llaman equivalentes. Dos fracciones algebraicas
son equivalentes, si tienen el mismo valor cuando se asignan valores especificos a sus
números literales.
Una fraccion está expresada en términos minimos, o reducida. cuando ci numera
dor y el denominador no poseen factor común.
_
_
_ _
__
_
ni
_
_ _
_ _
Para reducir o simplificar la fraccion algebraica E5 a sus tiirmiiios minimos, divi
dimos tanto el numerador como el denominador por su factor común c, para obtener
a
b _
Nota
_
__
nc
Los numeros ii y i: en la expresion W son
l`actores del numerador, no terminos como en
ii + e. También los números b y e son I`acto
res del denominador, no tiI:rminos_
¡Ii
7.1
slnintiflcadonderriiocionesalgeoraicas
La fracción
ci cl
E. si
sa=ii ++ ri si
229
no se puede reducir a ninguna forma más simple; no es igual a
í _ Análogamente,
ci =ii ++
5ii+b
5+b
í=r= ï
oa
6
5n+b Se
b
5
b
__= +__= +
6a
6a 6a 6 oa
pero
Para encontrar el máximo factor común, M_F_C_, de un conjunto de polinomios,
se factorìzan los polinomios completamente y se tornan todos los factores comunes,
cada uno con el minimo exponente con que aparece en los polinomios dados.
Para reducir a sus términos minimos una fraccion cuyo numerador y denominador
son monomios, se dividen tanto el numerador como el denominador entre su máximo
factor común.
Reducir
a sus términos m'n`m s
s4aiݢ 1
2 ' °'
SOLUCIÓN El máximo factor común de los monomios 36o2b2c y 54ribe2 es l8abc_
Dividiendo numerador y denominador entre lârrbc, se obtiene
36a2b2c __ grill:
54abc2
3c2
Reducir a su minima expresión
36.r2_v2'(x
2)
zoifiiif
2) 1"
SOLUCIÓN
El máximo factor común es 4xy2(_r
2).
Al dividir el numerador y denominador entre 4xy2(x
36x2y'2'(x
20_rji=2(x
2), obtenemos
2) = 9.r2_v"
2)*
5(x
2)2
Para reducir a sus términos minimos una fraccion cuyo numerador o denominador o
ambos son polinomios, se factorizan completamente, se determina su máximo factor
común y luego se dividen por este.
,
30
2
3
13
Reducir 42 2íì IT”
_
términos
2 a sus
5010053
301232 _ 13 ff = fi1)*2(5 fi' '* 3)
l2Jr2)'2
minimos.
lZr2y2
7 0 FIÃCCIDÉ llfiïllfilã
Dìvidìendo numerador y denominador por óxyz, se'obtiene
30x2y3
l8.ry2 i 6.\f(§,›.')__›__~: __3_›_)_ = Sxy
l_2.X2jP2
_
1212);
24.9
2.1'
_
Reducir ï¡F;
a su mínima expresión.
24x3y
.. »
36.r3y* + 4S.r"y
solución
3
=
24x3y
_
I2x3'yÍ_3y + 49:)
Se dividen numerador y denominador entre 12.13'y para obtener
24x3y
__
24x3y
__ _ 2
36.z"'*y2 + 48.r"_v
l2x3y(3y + 4x)
3y + 4.1'
.
21:2 + x
Reducir ~
SOLUCIÓN
IE
l
3
, _
_,
a su minima expresion.
Al faetorizar el numerador y denominador. obtenemos
2.f=+x 3H(2;_+3)ç.r _|_›
1: I
(x+l)(.r
I]
Dìvidiendo el numerador y denominador entre su máximo faelor común, (x
1), resulta
1
.ë*:~
'f
3
<_1'~f_+2'››<›
+›
2
›f+â
x2 1
(,¢+1)(.e_ T 1 ›`,±+1
NOÍ3
..
2x + 3
.
_
La fraccion ?:_ ì esta reducida; el nu
merador 3* el denominador no poseen ningún
faelor eomún.
Nata;
l.a b= fr+a= (b a).
2 (ff rn” = I (b ol* = mb af
3. (a ¿nf " = 1 (b ml? = (b af.
?.1
sírnøliñeaclón de fracciones algebraicas
231
ì'...1'”;'*').__,
I; el
(b er)
§%1 §;= 1(f '_;¿f')¬}Í= (1 ¢.›=.i 1
e
obsen
.(.f:.:_UÍ
.(“í'.l'Í eo _.
U_U): (a_|)2
l
_ . rr + h
.
La fraccion _? no puede reducirse a una
"ata
a b
forma más simple, ya que a + b no se puede
escribir como rnúltiplo de a b.
Hay que observar también que
.11 __
+b 'L
+9.
b _
_".
b'
_
312
14.1
+
3
Reducir 2 _ 7; _ 415.
$g|_Uc|Ó"
8.1::
2
I4.: + 3 _ (4:
7.:
l)(1r
4x* _ (2 + .nu
3)
an'
= u~= 1«~›<:›.f 3)
(2+x)(J = 4=r”›
__
2.: 3
__.r+2
Reducir
1
2
SOLUCIÓN
5.
6
3x + 1"
.tz
5.r + É
2 3x+x2
(_:
3)(.x 2 )U'(
.(2 1 )(l Jr)
_
i
lx
3)
I
.t F
3
1
| _
.
obien
x
= _
x_
g_, ;¦.¡>. ¡
_
[W
__
I) _ U ` 4*”
7
FRACCIOFE ILGEIAICAS
Ejercicios 7.1
Reducir las siguientes fracciones a sus términos mínimos:
ff
re
*ens
.E
¡IU
1.2
F
xr
.ëì
l lx"
| 2.12
I Br'
É
¿_ sv:
xzyi
P
í
24x°
40.13
2 1:13
54a"b3c
17Gfi›'
63¿I2b$C2
64.rgy"z5
Süxfiyazì
_ ¿webs
57x”y3'z
96.t5y7z"
72x°y"z'*
l2a2b2
Tfixfiyfi
1301:; 2
7203.5
3603112
Züabci'
l5o2b
_ asbscs
óoaib
a3b4c3
o2b"c
afibscz
(W)
( ___a4b5)4
zaïìb
(2fl3b)3
(l4aGb9)2
(6a2b2)2
< :+«1f››*
(2la'5'b")3
(fiflblf
( 1)*
( 13):
( ' I2)3
(
4x2(x + y):
8.r(x + y)
3x3(a + b)3
6.t(a + b):
5x'(2a + 1)*
1zx=(,±
2)2
25a2(x
3)3
`1ex^(2¿ + 155
14fr*( r y):
l6x(x 2)3
l0a3(x
3)*
Tr
24o
b
aóbi
4r')3
_3,1)2
21o*”( I
41.
3)
Jr):
¿S
'
5 .r
42.x_5
l2(x
l8(2
(1
(x + 2)(.x + 4)
(x + 3)(x
51'
(I _ 1):
T3
4)*
(4 ' I):
(I
(2
3)*
cx + 2)
43.
x(.r
2)3'
x)
(1 1)*
(1 + si
l0x"')3
,r + 4
.x
x+3
x 3
3_x
3
( 1519)*
_3_.
.v)"
x+2
x_2
x2(x
x(3
( r as)
30177
( 1)*
F'~.f 'H
9s«=z›*
1)
2)*
1)*
( x + l)(x + 2)
(x + 2)(.r + 3)
7.1
Slnmüflcadóndemeeimesalfiebfzlcas
(x
i)(x + I)
__ :mx
Z _ (I
U
53.
(ar + 2)(x
56.
54.
3)
( i :$6 :_ 5
$9.
62.
4:r+4
†
í
3x2
T
68.
4x"
1215 + 41"
74.
77.
63.
.I
G5.
71.
60.
¡"1)'
6:3
66.
69.
312 + 4x
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313
72.
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75.
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78.
x3+x2
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84.
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S7.
.tz l0x+24
x2 x 12
2x2+.r IS
101.
1611 + 24.1: + 9
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2:2
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í _
41:2 9
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23x+ 20
í
6x2+x 12
2011+
131
15
_ _
m' 1211 13; 35
ios.
6 5x x2
(x + 4)(3.r
1)
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16:2 + 32.9
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9°
99.
55.
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í _
.ri o.r+S
I4
15;* + sx » 12
6 x .tz
.
í
104 x2+2x 8
(x + i)(2.r + I)
ss. 4;1+11; 3
12.12 + 25.1 + 12
611 + 17.1'
2)(.r +' 1)
4:.r2+7.x 2
2.›:2+J: I
._
_
95 3x2+4x+l
98.
57.
2(x
¿¡2_b2
.tz 1
:c2+4.x+3
'
X2 3x i 2
.tz Gx i 5
I
mi
1
x2+9x+20
.r2+2.t 15
94
91:2 1
91:2
3.1'
2
97
.
9
100
14.12 + 19.:
211::
311 +
lex*
45.:
l8.r2 33x
nos
12 I x .tz
xz 2.: 3
'“
10 + 13.1'
31:2
.tz 21 15
7 1 FRACGONES ALGEBIAICJIS
arms 2
107. ii
3 4.1: 4.1::
110.
ros.
3174+ |4x2 24
..r" + 4x2
l2
lll.
14 s 4;*
2
12.1: l3.r 14
tos..
31* 1112 4
ta
ox Jr I
2(x+_u)2+(.r+_}') Ó
'
¬
'
í
2(.r + y)* + 5(.r + 3:)
12
Adición de fracciones algebraicas
La adición de fracciones algebraicas es semejante a la de fracciones aritméticas. Empe
zaremos tratando la suma de fracciones algebraicas con denominadores iguales y, lue
go. estcndercmos cl análisis a la suma de fracciones algebraicas con denominadores dis~
tintos.
Fracciones con denominadores iguales
En el Capitulo 2 se definio la suma de fracciones con denominadores iguales mediante
la relacion
a_.
c
¡J
c
+
1
1
a + h
c
oi
Esto muestra que la suma de dos fracciones con el mismo denominador es una fraccion
cuyo numerador es la suma de los numeradorcs, y cuyo denominador es el denomina
dor común.
Efectuar 2 +
.I
sowctóu
I
3X
2Jl.”
observación
1*`+2_5_
Jl'
.X
Para evitar errores al sumar los numeradores,
es recomendable encerrarlos entre paréntesis.
aplicar la ley distributiva y luego efectuar ope
raciones.
ohsewacmn
Despues de combinar las dos fracciones en
una sola, se reducen términos semejantes y la
nueva fracción a su.n1inima expresión.
7.2
Adicióndefraccionesalpebraicas
Efectuar 2 +
2.x
235
2x
.i:+3
.r 3__(x+3)+(.r 3) __.r+3+x 3
_ë_l
2x2
.r
Efectuar L +
.ir + 2
x + 2
.r+2
.r+2
.r+2
.r+2
"
1
Efectuar
x'
1
2
Jr*
.r2+.t 2
2x
'_
x2+.1r 2
.ri 2
5°' “°'°"
___
si lr
(x2 2) (x2 2x)
.ri 2 .r3+2.I
2.1' 2
2(.r I)
(x+2)(x I)
H
' '*'““a' 4.6
*°“*'°'°"
:ri + flr
tu
51:2
3
3x
412 11.›.
.ri + 9x
2
.r+2
'
3
Ss? ~ 3x
:ri + 9.1'
.ri + 9x
5x2
=( 4,. =)_ 1Í:fï“")
5.1:: + 31
= _ÍÍ=T|_1ͬÍ
12.1'
` 16
411
4x(3
in l 3
4Jr(.r
3x
3)
.r)
(4.rÍ H fit? _ïn
_
4x
:(4.1 +1›(.= 3)' "4,i+t
1
reacciones Atcmurcns
Observación
La regla para sumar fraccioncs se puede cx
tender a cualquier número de ellas.
u+o+o+H.
1"":
fi
f"'.'i
+fi=.a lá _ +a2+EÉ+...+&
C
C'
C
C
_fl|+fl2+fl3+"'+fln
If
Efectuar
4x2 + x
_
2:1 sx 12
souflóu
2.12 + l5.r
5x2
211 51 12
4.r¡+.r
L
+
_
141
2.11 ss; 12'
___?:r2+i5x
211 ss 12
+
212 5.: 12
(4x2 + x)
5x2 l4x
2.12 5.: 12
(lr: + l5x) + (5.r2
l4x)
zw* sx 12
_4.±2+.± 212 |s.r+s.r2 14.r
`
7.12
Ii'
Iì
28x_ _
7x(x
4)
16 51 12"(21+3›(.r 4)
7x
_ 1: + 3
Ejercicios 7.2A
Efeetúe las siguientes operaciones con fracciones y simplifique:
,_2+2_§
Jr
Jr
.r
20
15
'ílï
4'
.tz
5
.I
írlíilliíín
Jr:
x
,_1__¿_¿
2x
2.:
Zx
.xz
4
7'2.r ¡+21 1
en
5'
3
1'
Iii
x+2+,r+2
2.1:
,_¿,,±_§_
.rz
.tz
xl
5
¿'31 s+3.r 5
mi
6'
_
1
i
x+3+x+3
.ir
2
9'zr+7_:›.x+7
3.1'
4
w'5x 4 51: 4
x+l
.r
¡Lx 2 .r 2
.ir 3
21
n'2x+l+2.x+I
.'f_*_2i.__
13' .:+4+x+4
1*;'"3*._L_
“'21 1 s+2.x+:s
i._._3_
15' 4; 3 4.: 3
7.2
Iflldúlidfiflãotiülldiäfldbfàltãi
s
1s.
L
I s 15
3.r+2
1
1
1
;
.
17 2.: :+21: 3
x 2
lr+I
19' 2.f+3+2;+3
22'
25
23'
7
312
612
29'
t
3.1:*
26'
_
4x2
2
31__6~=_.__"¿_
3x 4
.ir 6
33' 2.:
s+:.u
3x+l
37.
.r+4
4x2
8.1'
39
.ri
' 4.12 1
7x3 3
2
x l
.r
32'
x2+.r .r2+x
34
4.r2+3x+.r2 x
5x i 2
5.r+2
'
2:r+3
J: l I
4.1: 2 4x 2
41:2
xa
5
35'
_
2x
30.
_
x I
3x3
6.1: 7
2:2 1
23 "$ '_a="'
1
61 7
Jr+2
3x 2
6:3 + 6x3
24'
.ti 3
31:2
M3
7x 2
2" 'n+2"`rx+2
Zrii 1
.r2+4
9.1:: + 7
M3
14.1'
4.1: i
3x+l
5x2 + 5.12
3.T'+ï
27.
x+8
mas 1'3x 7
.ir I
x+l
31:2 + 3x2
51:2 4
2;
1
1
2.:
.
18 sx 2+: ix 2
3 x
“'31 6 3; 6
x 4
412
3x
71:2
38' su 2 4' 9;* 4
x ,ri
4.12 1
Gx 212
40.
2x3 t .r
12 21'
.ri 9_.r2 9
51 7
l J:
'
_m_,....L_
.tz 3x 4
x2 3x 4
42.
43.
xa 3.1'
¬.
x* 3.r+2
.ri r
+ ,m '*'
Jr' 3x+2
ex* 11.r+3+fi.¢= 1i1+3
.ri 4.r
4; 4
44'
xl
46
.r3+3x
xl 12
Tí l2" x+x
ii'12
x+.r
41
45.
47
2x2
2.x2+S.r 3
x
i
í
2.r2+5.1r 3
_.r 2 + 2
_
1x 2 _ Gx
..3x' 5x 2
3x' 5x 2
6_r1+x
212 x
«wíì
'srl 1 2_s;= .f 2
51.
53.
3.r+|6
' :; í 1'
x* lr 8
3x 4.1::
6x1+5x 6
.r3+3.r
Tí"
.r
2x 3
_
212 .r
6.t2+5.t 6
48
'
í
Jr
Iíl
í
6* si
_
x
_
ii
6
2.12 3.1'
_
x1+3x
2:2 Ilx 6
2x1 lla' 6
l6xi+3
3 4x
.
5°' ì'š=`+1s.e+_:s` 'tex=+|s;+3
2.r1+9
2x*+6x
52'2.›f2 11.r+12'2.v1' 11.r+i2
3.1' .ri
54. í
ar* zx t
3.r3'+.:~r
i
ari 2: 1
?'ÉICflÚflEfl
55.
58
59
60
61
62
l
=
2r1+7
56
57
.ri 3
lr l
,
¬,
.i:* 8.r+I2+x* 8.r+I2
'I
.ri 3x
.v2+zv 3'
_6.r1'+.r
I
'7
.v
+2; 3+,vT +1: 3
F `__2.r + 9_|
?.t2 9.174 9
'
31:2 2
3.r1+IO.r 8
eri* ox
3x:+l0,r 3
_ _?.r2 2_Q¿r _
+_
_4.r ff
2x3 91 I 9
' tar 1 43. . +27
`22.r+l5
'
.r+2
xl 8.r+l2
.r 4
'
.r+l0
3.r1+l0x 8
_t:'_ix1:†_¬l0i__
ter" ' 4s.v+27
_
l2.r1+52.r 9
2x2 9.1r+9
20 30,1:
_
t2.r2+52r 9
__
61 3x2
taxi 4s.r+2r
4 2x
l2x2+5?_r 9
_ ¿Hitos __
12;* 31
'
20x2+7.r 6
20x2+7x 6
'
x2+4Jr
+
.rz 2x
_
3x
4x4 I3.r2+3
41" l3.r2+3
4.1:" l3.r2+3
63
_.r2_ _l_y2
'x2_(›,_2)2
64
í
'
_
y2+3y
_
5.f+9.r2
20.r2+7x 6
_.r2 3:: 6
x2__(›,_2)z
xz___(y_2)z
.r2+2.r 12
_
.ra yz
(.r+y)2 8(x l y)+l2
(x 1 y)2 8(x+y)+l2
_
sz 2y
(.r+y)2 3(x+y)+l2
Mínimo común múltiple de polinomios
Para obtener el minimo común múltiple (m.c.m.) de un conjunto de números, se des
componen estos en sus factores primos y se escriben con sus exponentes respectivos
Luego se toman todas las bases, cada una a su potencia mayor.
DEFIHIGÓN
Un polinomio P cs el mínimo común múlti
ple (m.c.m.) de un conjunto de polinomios, si
I. cada polinomio del conjunto divide a P, y
2. cualquier polinomio divisible por todos los
polinomios del conjunto, es también divi
sible por P.
7.2
AIIICIÓII de Frätdoflei EIIOIIPBICIIS
239
Para encontrar el m.c.m. de un conjunto de polinomios. se factorizan los polinomios
completamente y se toman todos los factores distintos, cada uno a la máxima potencia
que aparezca en los polinomios dados.
Determinar el m.c.m. de ,1r"_v, a'y'¡ 5' yzz.
SOLUCIÓN
Los factores literales son Jr, y y .:.
La potencia máxima de x es 2, la de ,tf es 3. y la de 2.' es 1.
Por consiguiente, m.c.m. = xiyic.
Hallar el m.c.m. de 60.r'¡, '?2y' y Süxy.
solucion
I
se = 22 3 s
12=2f'› si
so=2“ 5
Por lo tanto, el m.c.m. de los coeficientes = 2"' ' 33 ' 5 1 720.
El m.c.m. de los monomios _ 'i20.1r3y2.
'
SOLUCIÓN
Determinar le m.c.m. de .r(x
2), (Jr
Los factores distintos son x, ix
La mayor potencia de .r es I, la de (x
Por consiguiente, m.c.m. = .r(.r
Obsérvese que el m.c.m. de (Jr
_ '
'
2') y lx
2) 3* (Jr
2)2(x
3) es I.
3).
3) y (Jr
5) cs tx
3)(.rr
5).
íí_í
.r y xr
l.
Primeramente se factoriza cada polinomio completamente.
.tz .r=.r(x l)
.ra l=(.x+i)(.r l)
Por lo tanto, m.c.m. = xtx
l)(›: + I).
Hallar el m.c.m. de 2x1 + 3x
solucion
2)*.
3).
2) es 2, y la de (x
_ Encontrar el m.c.m. de xr
SOLUCION
3)(.›."
zi* + sx
2 = (zx
2 y 2.1 5
no + 2)
2x2 7.1r+3=(2x l)(x 3)
Entonces, m.c.m. = (Zx
l)(x + 2)(x
3).
'lx + 3.
7 II FIIICCIOÉÃIÉJIICÃS
Determinar el m.c.m. de 9x*
sowclólll
av*
4 y 9x! + l2x + 4.
4 = (ar + 2›(3x
2)
9.». 2 +12; + 4 = (3.1: + 2)(3x + 2) = (3.1: + 2)*
Por consiguiente, m.c.m. = (3.:r + 2)3(3.r
Obtener el m.e.rn. de 2x*
Solución
2.6
2).
3x + l, l
xï y 2x' + .vr
1.
3.1 +1=(2.± no n
1 .r2=(l+..r)(l x)
2.x1+x 1=(2x 1)(x+1)
Puesto que (I
como (1
x) =
tx
1), podemos escribir (l
x) como (x
I), o bien (x
x).
Recuérdese que I + x = x + l.
Por lo tanto,
2x3
3x+l=(2r l){x 1)
t s1= (s+t)(x 1)
2.r2+.± t=(21 nn±+t)
Asi que. m.c.m. = (Zx
l)(x
l)(x + 1).
EIEFCÍCÍOS 7.28
En cada uno de los siguientes ejercicios. encuentre el minimo común múltiplo:
I.. 8,12 y 18
4. 18, 24 y 30
7. x, .ri y 4.1'
6, 8 y 14
24, 28 y 42
9x, l2:r y 4x2
10 .r1..ry r yi
Í
¦" ?°I '¬'!*
13. 4xy, l4xy3 y Sxiy
Xïv. avi Y fi'
É'
18.
6›.'(x
2), 9(x
19, .r2(.r + 3), x{.r t 3) yr 3 (x + 3)
n if A *tx n
21,
.'r+l,x 2y{.c+l)(x 2)
22,
2x
l,2x 3;; (2x l)(2x 3)
23. x 4.4(x I) r (r 4l(x I)
24. tx + 211', .v + s v tt + zip + si
25. (X
26.. tr
27.
2.8.
3)l r
2)( Y
6) Y (I r 2)l.r
4) r (X 2)( 1'
xy. tri Y «¬o""
ts. si y, tzt By y tsxïv
xlx + 3), 4x3 y 2(x + l)
zo. tx ni, xo
PP??
I4. 4.r2y, l0y1 y l4x
ts. ss , tu 'fy v 32;» *
17.
12,15 y 20
36, 48 y 60
3x, Sy y 2x2
6)
3)
{3x + l)( .r + 3) y (3..r + I):
(Jr 3)(x + 2), (x + 2)(.r 6) y (x
3)(x
6)
2) 3' xllx
2)
1)
12
Ãl¦IICIåI'|dBI°I"IO¢IOII98flflOB|'3I¢ã$
29.
30.
31.
32.
(2: + 3)(3.r + 2), (lr + 3)(.r
4),
(Jr
l)(.r l 3), (3 + .r)(2 ¬¬ .r), y
(Zar
l)(.r + 4),(x + l)(.r + 4`),ly
(lr + 3)(3.r
I). (2.1: t 3)(.r + 5).
34.
35.
36.
37.
38.
(4 + .r)(2
..r), (Jr + I)(.r
2), y ix + l)(.r + 4)
(2.1
3)(3.x + 1). (3
2x)(l + .r), y (3.r + l)(.r + 1)
.tz + l,x + l, ¿v (.r + I):
(x 2)2..r"'+4, y .r 2
4x I6,(tx 24.51 9x 36
33. (1
zm
6). tx
241
y (31: + 2)(.r
4)
(x
l)(.tr
2)
lil
2.›:)(l + 1)
y (5 + .r)(l
3x)
zjn + 21, y (2 + .nte
xl
39. .ri 3.1 ,ex 6. v 7.: 21
40. 6.r+3.8,r+4,y 4.1 2+2.r
41..
42.
43.
44.
45.
46.
47.
2.r3+2Jr,3.r2+3.r,
x2 .r,.r3 xa, y
.ri 16,2: 8, y
II
9. l2.r
IS,
?.r..r2 4, y
.r,x2 l,y
12;, .ri
48
49.
50.
51.
52.
ts; + 43.
1'
4;
5.1: I 6, .ri + 2.1:. ' E
`†~.l J
' Ito
3..r2
4x, 3.'
l i at
i,.r3+4.r+3.y .r* l lr 3
+l
2.x2 4.r+3,y .ri .r 6
3x 4,.r2+3.r+2.y xl 2.1: 8
' ì1=
=¬e
53.
5 4.
55.
56.
y 4x+4
2): 2
3›:+i2
3' I8x
27
.r2+2.r
.r2+x
+.r e.r=+2x ay .±1+7x+t2
wuw wro duw à ¦
3.r+l2,.r'i 6tt'+li. 3' .rg l0x l 24
.ri 7.r+ I2,.r1 llx+24, y 1:2 i2x +32
?.x2+7.r 4,3.r2+l0.r 3,y 6x3 7.r+2
>eltie ti :l ¦~r ti I'=~
57. 3x*+7.r+2,1r "f+5.r+2. 3,
tin? '+5x+l
58.
59..
8.1:: + ox
9, 211 + l5.r + 18, y 4.13 + Zlx
3.r3+ll.r 4,2 5x 3.r2. y ,ri+6.r t 8
61.
62.
3.1::
.vc
14,13 + Tx + IO, 3' 35
8.1:
31:2
24.r2 7.r~6,8,r2 + lI.r+3. 1 f 2 .r 313
ee. 412
tn + 4.6
23.1»
4.6. y si + :uf
IS
24
Fracciones con denominadores distintos
Las fracciones se pueden sumar solamente cuando sus denominadores son iguales. Si
los denominadores no lo son, se obtiene su minimo común múltiplo, llamado minimo
común denominador, m.c.d. (no confundir con M.C.D. que significa máximo común
divisor). Se cambia cada fraccion a una equivalente que tenga el m.c.d. como denomi
nador mediante la regla
¿_
b
ec
bc'
7 I RICCIOIIES IILOÉAICIS
y luego se efectúan operaciones. l a suma de ffacciones algebraicas con denominadores
distintos es, por lo tanto, una fraccion cuyo numerador es la suma de los numeradores
de las fracciones equivalentes, y cuyo denominador es el minimo común denominador
(m.c.d.). La fraccion final debe reducirse a sus términos minimos.
7
6
Efectuar 5 + _; ¿
2
solucion Et m.c.d. = se.
Escribimos fracciones equivalentes con denominador 6x3 y luego se realizan opera
ciones.
7
2x
i
'I'
Ó.,
.rr
_
tí
2
31
E'
II
7(3.r)
2.r(3.r)
7(3.r)
+
6(6)
2(2›r)
.r*"(o)
3x(?_›:)
6(o)
2{2.rl
¿_
j
I.
1 l
12
__ 7(3x) + 61(6)
2(2.r)
_ i... _
ma
_21.v+3s 4.f_17.v+3<›
_
.r + 2
Efflüllliìl' T
SOLUCION
'
3.1'
6x2
_
6 1.2
1
El m.c.d. = l2s'2.
Jr+2
3x l _3x(x l 2)
2(3.r 1)
_4.tr_ _T5.rï_ H 3x(4x) ü 2(6.r2)
_ 3x(x + 2)
2(3x
1)
W" ' tm?
_ 3x(.r + 2)
2(3.r 1)
_*Ts,†*'
3.r2+6.r 6ur+2_3x2+2
= _¬rs_ W'
Efectuar la operacion y simplificar 4.1' + I
7.2
edicion de fracciones oløebralcas
N
_4.x__+ l
1
solucló
243
_ l
3.1' 2
_ _(_4.r _+ l)(3.r
(3:r 2)
,_
l_
(3.r
_
2)
.*l
_
(3.1:
12.1 1
12;:
_
2)
ss
(lr
__
2)
2 1
2)
5.1'
3x
3 *
2
(3.1: + l)(4.r
_
(lr 2)
3)
Efectuar la operacion y simplificar
.¿.,_2_.
x+3
.tr 2*
sotucloltl e.1m.¢.a. = ts + no
2).
Al escribir fracciones equivalentes con denominador (Jr + 3)(.r
2) y efectuar luego
la suma, obtenemos
.r
.r+3
2
xlx 2)
(.r+3)(.r 2)
2(x+3)
(Jr 2)(.r+3)
í._.+i_.=.___í._..__.+_í._.íí
.r 2
= ss. 2>+2< *+32
(x+3)(x 2)
_¿r_f 2.r+?.r+6__
1146
(x+3)(.r 2) "(.r+3)(.r 2)
Realizar la operacion y simplificar
91
20_ _ 6x
13
.tz t .r 12
.ri .r 6'
SOLUCIOII
_
Prirreramente se factorizan los denominadores.
9x 20
,r 1+.: 12
_
6x 13
.ri lr 6
_
9.1: 2€)
t.r+4)(.r 3)
_
6.1' 13
of 31(,v+2)
El m.c.d. = (Jr + 4)(x r 3)(x + 2).
En vez de escribir fracciones equivalentes con denominador igual al m.c.d., y luego com
binar los numeradores de las fracciones, escribimos una sola fraccion con el m.c.d. como
denominador. Se divide el m.c.d. por el denominador de la primera fracción y luego
se multipiea el cociente resultante por el numerador de esa fracción para obtener la pri
mera expresion del numerador. Se repite el procedimiento con cada fracción y se rela
cionan con los resultados mediante los signos de las fracciones correspondientes.
7 *I FIÃCCIOÉILÉIICIS
®
(9.1: 20) _ (sx 13) _ of +. zjtsu 20)
@ 4`)(.= 3) of :nlx + 2) Z(í§+i4)ì._›.
of + ore;
3)o + 2))
13)
(3
El numerador no se encuentra factorizado; asi que no es posible efectuar reduccion.
Hay que asegurarse de poner el producto entre paréntesis precedido por el signo
adecuado.
_ (9.r2 lr 40)
(fur 2 + ll.r 52)
(.r + 4)(.r
3)(.r + 2)
_9.r2 2r 40 ott2 ll.r+52
_
of + nt.:
:ntr + 2)
sti 13.1 + 12 _ __ (31 cin 3)
of + 4)t.t :nn + 2) _ of L 4)(.v :no + 2)
_
3.: 4
` of + «not + 2)
Em
Efectuar operaciones v simplificar
.r+2
_
;›_x1 ,t 1
$°““ "°"
3.1' _2
_+
2.1 * +9.r+4
x l 2
5
4 3x .ri
3x 2
5
E _.trï"r:f+t›r+t+4 st .t=
I .r~l 2
(lr + l)(x
Tomamos el m.c.d. = (2.r + l)(.r
.tr + 2
í
í
(lr + l)(.t
l)
It
¿
I)
l)l`.r + 4)
3.1:
2
5
|
›¬
(lr + l)(_r + 4)
(4 + .r)(.r
=
H
'É
3.r_ 2
+
5
(21 l l)(.r + 4)
(4 + .r)(l
ííí
.r + 2
3x
2
(lr + l)(.r
l)
(lr + l)(.r + 4)
(.r + 4)(.r + 2)
(.r
l)f3.r
2)
(2.1: + l)(.r
l)(.r + 4)
E4
|
í
1
5
(4 +.r)(.r
$(2r +1)
í
_(.ri~+f›.r+8) (3.r1 5x+2_) ltlx 5
_
(zx + llo
no + 4›
___; 2 +s1+s :tr 2 +5x A2 10; 5
_
(2.r+1›(.r t)t.›.› +4)
_
1+; 112
_ (t+zr)t1 1)
_ (2.1 + no no + 4)_(2r+1›(.r t)(.v + 4)
_
*"l_¡+2I)(.r 1) ___
_(2.r+t)t.v nt.r+4¡_
l
J. +4
I)
U
sr)
7.2 Adlclonderraceionesalnenralcas
Efectuar operaciones y simplificar:
5x 4_F+
3.r+4
_
3.1:
_
212 llx 6
2x2+7.r+3
x2 É' x l8
solucion
5;: 4
lr: llx 6
+
3.r+4
3.1'
p
2.x1+7x+3
.ri 3.1 18
(5.1: 4) _
(3.r+4)
3.1:
(Zr+ l)(.r 6)+(2.r+ l)(.t+3)_(.r+3)(x 6)
(_.r + 3)(5.r ~ 4) + (x
6)(3.r + 4)
3.\'(2r t 1)
(lr + l)(.r
6)(.r + 3)
ufi+in in+(nL me M) mf+3fl
l
_
_
(2 Y 4' Illa'
6)( T + 3)
5.r2+ Ilx l2+3.r1 l4x 24 6x2 3.1:
__
(lr + l)(.i:
6)(.r + 3)
2x2
6x
36
2(.ir2
3.1:
18)
(lr + Iltx
oil.: + 3)
2(.r + 3)(x
(2: + t)(x
Ó)
_
6)t.r + 3)
2
'í
í
(m+im sm+sƒ_u+i
Ejercicios 7.2c
Reducir a una sola fraccion y simplificar:
5
4.
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3
35
48
7
2
27
32
I3
24
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13.
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13
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ll
lr
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5x
3
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31
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_ +
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9.
.É._1+É.
¿+1 3 L
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E+ï_.L
x
II
3.1:
212
3x
xl
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3
l4.¶ +6!
1
3x+2
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1* T*T
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4.:
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3x3
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2x2
1
7¢FlMCClONE$AI.GÉM¬CA5
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3.1'
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2.r+ I
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47
49
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4x 3
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3
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7.2. AdId6n`defl'acclonesaueh|"alcas
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4.1: 4
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_ _.'t_2'.._..
2.1:: 5x 3
5113+.: I
_ 2'rÍ2_.
31': lUx+3
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4.±2+4.f 3
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rs.
41 +
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11:2 3_1+1
I
1,f2+.1 3
__
2.11 +1 6
Gx: 7.1' 3
l
7
3.: +5.r+2
6x2+.r 2
1' _ 3
3r2+7.t+.'?.
3.1
11
+.r 1
19. ____l?___+_f!~ï_:_i .
6x1+5.± 6 3;* sx+4 zx* .~¢
2x*+llx+15
3x=+7x 6
6.x*+11,r 10
+
1
I
Jr* 7x+
2@
7 I FIICCIOHB ILGTBRAICAS
7
17
3x+7
a1. __í_
í__+_.._i
a,r=+1o; 3+4.±2+1s.r 4 2.±1'+11.r+12
al __1o _
13
4; 7
ax* 2; 3 4.12 19. r+12+211 7; 4
ex 20
83
_
+__.í.ìí
12:2 5.: 2 4;* 23.r 6 3x2 2ox+12
“_
4x+r
+
sir 15
+ 5.1 3
3.r1+10;+3 126 71 12 ox* 5.: 4
__!
_?. b
3I“"5
.r+x
6
2
2.r+5x
2
35
7x 5
+
3
4.11
5
2x
2 .r+
5
.1r+l4
2
.r+7
'3;* 5.r+'i+3.=2+1.r e_12+2.± 3
Multiplicación de Fracciones
El producto de las fracciones % y â sc definió en cl Capítuio 2 como få: o :aca
¿,¢¿=L
b
d
bd'
Asi quc cl producto dc dos fracciones es una fraccion cuyo numerador es el pro
ducto dc los numcradorcs, y cuyo denominador lo cs dc los dcnomìnadorcs. En gcncral,
*Tr
01 ' '13
H» _¢`¡1fl: 03 04
G»
bi
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bn
bn
bj
b,¦,
“1..“2“; _ _ “fa . .à
515253 54
___.
I
1
bn
1
v.b1a, › ››,,
Nota
Encontrar el producto
27;; 11;* and ¡mir
sfiy
alaibi'
Rcdúzcasc sicmprc la fraccion resultante a sus
mínimos términos.
7.3
Illllfllilítãflfifl G8 FIHUCIOIFBS
5g|_U¢¡ÓN
249
27a3b1' _ lútrly =
311;
sraibi
NW@
l6a"'b3x3¿' :_ gr :cr
s atxäaiai
sa
E s mas. I.,au__' rcd ucrr. 218†816¡ que E4
432É , que
cs cl rcsultado dc los productos dc los coefi
cicntcs.
Es decir, no sc dc bcn multiplicar los núrncros hasta quc la fraccion haya sido simplificada.
Simplifìcar
< r=›a››~'
=
›*
_
<4ff›2
1 1 2
,3 3'
(2'fy”)
(99.1 )
( 32 r1›†")”' _ (4152): _ ( 3”I2.v“')3 _ (22r”.v“)'
5°“'°'°"
(21.1 *›P)* (QHW " (2ä2››”)* ìïfïfi
_
_3fi¡byì2
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' 3o_¡.9_vs›
3!! i ZÃIIZIFIÍI
=
za _ 3s¡|sy|s
=
L = _.ï
23.1'
4.1:
Para multiplicar Fracciones cuyos numcradorcs o dcnominadorcs son polinomios. pri
meramente sc factorizan éstos completamente. Sc consideran las fracciones como una
sola, y sc dividen los numcradorcs y dcnomìnadorcs por su máximo factor común para
obtcncr una fraccion cquivalcntc ya reducida.
Simplifìcar
.ri 3x
2.r2+llx l 5
6.1r1+x I
3.1:: l0x+3`
sor.uctón
.ra 3x
6.: 2 + .r I
í ii
12
f
lr +ll.r+5 3.1'
l0.1+3
Í
1
1
1
.r(1r "'37 iii
( 31 'f'I')(%t 'F"l')
l 2:r íF"1”){.r+5)
:í
I
.r+5
7
1
nuccromrs uomtuucns
Sìmplìficar
_
6
l_.'!.r3
131 ij3__?.rL' .r
3.1:: Ss 2 9 ox Srl'
sowctóu
111 1
.,
13s + 3 2:2
'_
si ía" al
_
_
_
s
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(3. ; ~ nraf fin la zyt ±r F*3)
rs
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.
1
4..
.
1
__.ìLï
_
übicn
_
¿__? 'É
3.1r+l`
l+3x
Ejercicios 7.3
Efcctúc las siguicntcs multiplicacioncs 3; simplifìquc:
, 'ssuna
32 27
28 xl
3x
s. .ri 42 5
9.
H
13
3'$52743
§±..8§.; 15.
.6 _'1f'2.É?...'.*Í
35 ai' I4
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12.
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39rr3i: 6l'}.rfl_v°
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24.1'
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6.1:" 30x_ 3.1r2+.r
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_
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30
.,
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31'
6.1'
14.1' + 34x
7.3
Ilultlølicadfindefiracdønes
27_
.$2 + 31 + 2 _
.1i3'}*3 __
.r"y
29
.ri
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HL
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47 _
.ri + 3x
4
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.ri +6.r+ 9H.rÍ + 'ï}¿+ 20
“_
.rr 3.r 4_.1f+Sx+6
xl 7x+l2 .ra 3x IS
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10.: + 16
1:* 9x+l4 .r¡"'+2.r IS
“_ .ra + 'ix + l(i_.r1 + 9x +18
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.r2+3x l3_x2+2.r+3
40,
42.
4.r2+ll.r+6_2.r2
44.
[lx 6
3.1* tio. 6
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.r2+2x 35
¿L 2.r2+1s.›f+1s_|2s1 23; 24_¿2x1 2s,g+¿:§
12.12 41.±+24 4.r1+2'n +13 3x1+1ox 3
División de fracciones
Dc la dcfinición dc división dc fracciones, considerada cn cl Capitulo 2. tcncrnos que
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Ii
El resultado anterior muestra como transformar la division dc fracciones cn una multi
plicacion dc fracciones.
_
.
t:
d
.
_
.
.
Las Iraccroncs J y 7 sc llaman nnversas multipltcatrvas o recrprocas.
Nota
La rcciproca dc la cxprcsidn a + b cs
1
no 1 + L
a + b'
rr
b'
Nota
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1
1
La rccrproca dc
+
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7.4
División de Fracciones
253
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Simplifìcar
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Simpiificar
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SOLUCIÓN
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15 _ 6.112
37.1: + 35'
Como cn la multiplicación dc fracciones, factorizamos los nttntcradorcs
y dc nominadorcs:
3,» 1+2.t 3
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__@ 1¿r_ tr + 3)
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1
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F.t`cctuar las opcracioncs indicadas y siniplificar.
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_
54.1' 1 +'š'n
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83 72.11 + IBI
14 1 `27.i=`ï 301
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SOLUCIÓN
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_
54.1 1* + su
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14
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77
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311 + 20
5)(3.r + 8) ___ (3.1: + 3](l2.r
rat + v)(<›.r
l
2) ` ws
l
:
2)(3.x + 4)
4
Ejercicios 7.4
Efcctúc las operaciones indicadas jr simplifiquc:
L5. .._±ã
26 '39
3.
56
38
...Q 27
5.
22
34
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12 6x+9'x1+3x 13
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.1:2+5.r+4
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x2+l2.1r+32+x1+3.r 40
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43.
45.
47.
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1h¿2.r1+|3.r+6
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5.r+3 ' zf2+u.1 +12
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3x1 l9.r+6¿3x'É+5x 2
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4.111 + 25.: + 6
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54.
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57.
59.
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31:2
56.
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53.
55.
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50
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23:
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1913; + l5y2
13@ + 129 ` 3.6 + my
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312 + 10.@
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34x2+32.r+3
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.11 3¿y+2;~=¿_v*+2.±y 312
xa 21)* 3y2'}~¡"+4.r_3u+3.r3
6., .____›f
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64.
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65.
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66.
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sx1+2m+2¡
611 11.¢+1o'3x2 zf 21:ml 23.r+1s
I'
.v)
3
7.5
67
øperaclones combinadas y Fracciones comnielas
12;* ass + ls ¿_ 9.1* 23.» 1s_¿4_.¿2 + 19.1» + 12
' 212 |v.=+3s ` asi 191 se 11€ 11; 36
68.
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3.: +5.r 12
69
257
.
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'=+.r 12
4.1.' +9.r 9 6x" 5x 21
srl ze; + 21: Ef __+_2s.i 5e_3s1+|o.r 12
'
3.r¿"
20.1' +12 ' 31:3
ll.r 42
fir1+5.r
21
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1
4
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___
111*
17.1
+
s
_
_4.s
2
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13;
:
112
70
' 4.6 + 23.1 + 2s`s.r1 + 2.1 21 mi 19.: ls
15.6 ns 42
27.6 su zs 10.6 3.1 rs
11 ' 12.6 641 + 45 : 14si 75.1 + 54 54.6 21.1 20]
40.6
+
sas
gl
[4312
+
ses
1__
.ri
+
es
12]
7 .
.,
,
_,
.
2
101:
43.1: + 12
121:* + l43.r
12
llìr*
65.1*
28
Operacipnes combinadas y Fracciones
comp|e¡as
En las secciones anteriores tratamos la adición y sustracción de fracciones, asi como
su multiplicación y division. En todos los casos la respuesta final fue una fracción en
forma reducida. En esta seccion se usarán las cuatro operaciones en un solo problema
gr también se requerirá que la respuesta final sea una fracción reducida.
Cuando no hay simbolos de agrupacion en el problema, primero se efectúan las
neultiplicaeiones y divisiones en el orden en que aparecen. Solamente después de que
todas las multiplicaciones y divisiones se han realizado, se efectúan las adiciones y sus
lra ccioncs.
Efectuar las operaciones indicadas y simplificar:
5
2x'+l
sorucróu
zi +6
_2.ri+5ir 3
.tí 4x+3'2..\'2 3.r+l
L_
zr+1
=
1' + Ó.
_..
si 4s+3'2.r2 3.r+1
5 _ zfs +3) ¿rar 1›(.f+s)
2.1 +1 o. 3›(.r 1141: 1›(.s 1)
5
lr +1
1
P
2{±r ¬Fl'3)|
(x
3)Er TD
1
l
7 I RÃCGOHESMGEIINCIS
.r 3) 2(2x+
=_5__._2_=L_______l!
2x+l
(2.1 + l)(.1r 3)
3
.r
_s.›.› 15;4.›. ¿_
(2.r + l)(.r
3)
.›. 17
(lr i l)(.r
3)
Cuando hay simbolos de agrupacion, como en el problema
I
x+2
Jr 2
se tiene la opcion de efectuar primero la multiplicación o bien las operaciones de los
términos, dentro de los paréntesis. Esto último es mas sencillo como se ilustra en los
ejemplos siguientes:
Efectuar las operaciones indicadas y simplificar:
(1
'
_ï.
3+.L
.r+2
.vc 2
solución
(gg _ 41 )(§_ + 12 )
1
.r i 2
sr 2
l
.r(.r+2) 4x 3(x 2)+
=
(.r+2)
i
(x 2)
__.r2+2x 4.r_3.r 6+ 12
_
(s +2)
rs 2)
x2 2x'3.r+6
(x+2) (J: 2)
.r(x
2)_3(x + 2)
(Jr i 2)
(Jr 2)
=3x
Realizar las operaciones indicadas y simplificar:
x
L
2x 3
+(x+
9 _)
1x+9
solución
(.¿__
l
9 )¿(¿+_9 )_.i(1r 3) 9_.a2.r+9)+9
"11
_3)_'" (2.1 +9)
21 3 '
1
2.1' +9
(
2.; '* 3.: size +9x+9
= (zu 3) " (zi+9›
í
Ii
_
í
(2x+3)(.r 3)_
(2x l 9)
(lr
3)
(2.1: + 3)(.r + 3)
(J:
3)(?.r + 9)
(Zx
3)(x + 3)
7.5
Operaciones combinadas 1 fracciones comprarlas
Nota
259
Puesto que (a + Ii) : (e + d) se puede es
. .
a + b
cnbir como
(3
e' l d
. podemos expresar
I I+%) : (3+Í
.r
.r
.r
4
1)
x*
en la forma
3
3 +
ll
6
_ + .›
.r
xr
4
x
_
4
'5
x
la cual se llama fracción compleja
Dada una fracción compleja, es posible simplificar el problema como está, en fo: ma
de fracción. o escribirlo en forma de division, y simplificar. A veces puede simplificarse
facilmente una fraccion compleja multiplicando numerador y denominador por el mi
nimo común múltiplo de todos los denominadorcs que intervienen.
I]
Simplifiear
4
9
3
8
7
ll'
ii " E
SOLUCIÓN
El m.c.m. de los denominadores es 72.
4 3
sìws
7
ÍÉ(É__)
'9 CIDLPJ
Il=72
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7.5
operaciones combinadas y Fracciones complejas
261
Simplilìcar
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Ejercicios 7.5
I`:`I`ec1úe las operaciones indicadas y simplifique:
2
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7.6
Ecuaciones ltterates
87.
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ECUBCÍOHES |Íf9|"3|€S
Algunas ecuaciones, llamadas ecuaciones literales, contienen más de un número literal.
Se puede resolver la ecuación para alguna delas Iiterales, llamada la variable. en térmi
nos de las otras. De esta manera, asignando valores a esas otras iiterales. se obtienen
los valores correspondientes de la variab_e..Para encontrar el conjunto solución de una
ecuacion literal, se forma una ecuacion equivalente con todos los términos que tengan
la variable como factor en un miembro de la ecuación, y aquelios que no la tengan,
cn cl otro miembro. Se saca como factor de variable de los lermios que la contengan
1. ' luego sc dividen ambos tniembros de la ecuacion entre el coeficiente de la varible.
Se simplifica la respuesta y comprueba sustituyendo ei valor obtenido para la va
riable en la ecuacion original.
Resolver la siguiente ecuación para Jr: 2_v
sowctóu
2;
3; = s
n=s n
___8 2)'
.t
ii),
_
.
.
_
Por consiguiente el conjunto solucion es
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23
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x
3
S
¿_ _
La contprobacirin se deja como ejercicio.
Em
Resolver la siguiente ecuación para .vz
_::r(.r 3) =2(l
solución
3.1: = 8.
x)
ao
3) =2(_
1)
ax 3a=2 2.1:
a.r+2_r=3o+2
x(a+2)=3a+2
7 I' FRACCIONES ÃLÉÃICÄS
Si nf + 2 af 0,, o sea, a =# 2, podemos dividir ambos miembros de la ecuación entre
(cr + 2)' para obtener
_,,_§_e_+_2
a+2
_
,_
Por lo tanto. el conjunto solucion es
Nota
3:1 + 2
m
a =#
2 .
Cuando a = 2. se tiene un enunciado falso.
Resolver para Jr la ecuación Iiox + 4 = 2x + 6a.
sowclófl
swf + 4 =z; + en
3a.x
.r(3a
2.1: = Ga
2) = 6a
Si (3a
2) =f= 0, esto es, a #=
por (3a 2) y obtener
4
4
se pueden dividir ambos miembros de la eeuaeion
I _ í _ _ 'Wi _ 2
3:1
Por
2
.
consiguiente.
3o
el
2
_
.
conjunto solucion
NOÉB
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a 4=
2š
_
2
Cuando u = É. la eeuaei rm se convierte en
una identidad. es deeir, un enuneìado que es
verdadero para todo:¬ los valores de x.
Resolver la siguiente ecuación para .r 3' eomprobar:
a(.r + 2) = oi + 4(.t
2)
sowclóu
|
a(.r+2)=o1+4{.1r 2)
a.1r+2a=a3+4.r S
ax 4x=a2 8 2a
.r(a 4}=a2 2a 8
7.6
Efillãfiíflllfi HIEPHOI
Si (a 4) ss 0, o sea, a ss 4. podemos dividir ambos miembros de la ecuacion entre (a
4) para obtener
al 2a 8
.r
ü
o 4
(ti
_
4)(r:.t + 2)
tt
4
=o+2
Para comprobar, sustìtuimos (cr + 2) en vez de x en la ecuacion original.
PFÍIHGF fllfülflbfü
S@g¡¡fl¿¡'g y,\¡|`g¡¡¡f)r¡)
a[(a + 2) + 2]
o2+4l(ct+2) 2]
o(a + 2 + 2]
a '*+4(a+2 2)
r:t( :t + 4)
rt2+4(a)
a2+4a
ai + 4o
Por lo tanto. el conjunto solucion es {a + 21a es dl.
Nata
Cuando a = 4, la ecuación se convierte en
identidad. esto es, un enunciado que es ver
dadero para todos los valores de .r.
l. ss Formulas son reglas expresadas por medio de simbolos o números literales. Se usan
ampliamente en muchas áreas de estudio. Las fórmulas pueden considerarse como tt
pos especiales de ecuaciones literales. Muchos problemas requieren resolver una for
mula para una de las literales involucradas.
La resistencia R equivalente a dos resistencias R, y R1, dispuestas en pa
ralelo, esta dada por la ecuacion
I
1
l
R
R,
R;
_.=._...+..._.
Resolver para R y R1.
1
I. IN
SOUCÓ
l
I
R =R1+R2
R1
R1 R:
___R¡+
Por lo tanto,
R =
R,R2
R2 + R.
_
263
7 I Fflñflfíí ÃLGEBRÃICÄS
L_._'__i
R, R R2
R2 R
:WT
_ .
Por consiguiente,
RR
R1 = 1 2
R2
R
Ejercicios 7.6
Resuelva las siguientes ecuaciones para 1:, y compruebe sus respuestas:
1
4
Zy =
y =
2.
5.
.r t 3_v=0
3. x y+2=0
2x 331 =s
6. 3.1t+_v=9
7
S. 3.r:+2y= 12
!?'!ì“' + y = LACIJCI
9. 4.r+7_v=l4
10. 2.r + y + 3 = 0
ll. 3x+5_v+ |s=e
12. 4x 3y+l2= 0
13. ox 2_v+9=O
14. 3)' .r= 2
15. y 2x=5
16. 23'
4.: = 7
17. y 3.1'
18. 7_v 4.t'= 2
19. 2.1: + 5 = a
20. 7.1' 2
3a
21. 2a 2x=3
22. Sa
3.1' = 6
23. a.x+2=a
24. ox 3=o
25. ax
2a = 5
26. 4a 3ex
27. Se 5o.r=2
28. 3a
3a.x = 4
29. 2o.r a= 4
30. Sax 3a
2
31. str
b = ct
32. bx b
33. 3a.r¬3o
b
2a
34. ar
y = 2
35. b:r+_v =4
36. tt.: y=b
37. ox
by = c
38. o.r+by=c
39. 3ax=a.r+6
40. Tex = ' lex + 9
41. 6ox=l4 ax
42. 8ox=3c1x 10
43. ox = a 3x
44. ar=3o lr
45. 3u.t'=a+7x
46. 4.1' + So = Zea'
47. Sa x=o.r 5
48. x+l2o=4ax+
49.11 3.r=cor 3
S0. 2x+a=ar 2
S1. 7.1: 4=ax az
52. a.r+2=2a1+ .r
J:
S3. 1+ Zwt = 402
54. a(x+l)=a2+2(x I)
55. az 4(x+2)=a(x 2)
56. . :t(2r+3)=2a2+x+l
2) + 302 = o(3x
4)
57. 2(.t'
ss. su 3)+2a==a(1t 3 )
su +4) = a(.›.~ +1)
59. al
60. ea* 4(.t + 1) = «(3.1 5)
61. atar + 13) = 3a 1 + tot;
t)
62. 3a(.x
ct) + 100 = 4(3.r
lüa
63. 3r1(.r + at) = 2(x + 4)
2)
64. 4(x + 3)
Sa = 3¿t(a + x)
oz = a(x + b)
65. 2b(3b + x)
Iì
í
i
í
66.
El area A de un rectángulo es /l = tw, donde ¡es la medida de la base del rectan
gulo, y tv es la medida de la altura. Resuelva para tv.
67. La distancia d'recorrida a una velocidad de r kilometros por hora durante t horas
es d = rr. Resuelva para r
68. El área A de un triángulo es A = % bh. donde b es la medida de una base del
1
69.
triángulo y h es la altura correspondiente. Resuelva para It.
El interés simple I está dado por I == Prt, donde P es el principal (o capital) r
es la tasa de interés anual y 1 es el tiempo en años. Resuelva para r.
7.7 Ecuaciones que contienen mociones atøeoraicas
70.
269
l.a fuerza de atraccion gravitacional F entre dos objetos de masas ni, y iii; es
F o
krtnrir 1
gy* , donde ir es una constante if (1 es la distancia entre los centros de
gravedad de los dos objetos. Restielva para ni,.
71
La lectura Celsius de uiia teiiipcratura C esta dada por (I = %t_F
72.
l ` es la correspondiente lectura en la escala Fahrenheit. Rcsuelva para F.
La aceleracion niedia ri de tin objeto durante tin periodo de tiempo r es rr =
iii
"ri
_
. . .
.
' †, donde v,, es la velocidad inicial y if, la final. Resuelva para v,,.
73.
74.
32), donde
El monto /1 acumulado en la inversion de un capital P a interés simple es A =
P + Fri, donde r es la tasa de interes anual v r es el niimero de años. Resuelva
para r 3.' P.
l.a suma 5,, de ri términos consecutivos de una progrcsion aritmética es 8,, =
H
.
.
.
.
.
.
3 (rr, i rr,,), donde ri, y r.i,, soii el primero y el ri ésiino terminos. respectiva
75.
mente. Resuelva para ri v rr,.
El ii ésimo término rr,, de una progresion aritmética es rr,, ; rr, + (ri Ud, don
de a, cs cl primer termino y d es la diferencia coniún. Resuelva para ri y ri.
76.
l...a distancia focalfdc una lente delgada está dada por % = di + % . donde
Í)
77,
Í
r¡,, es la distancia entre el objeto 3; la lente, 5' di es la distancia entre la imagen
y la lente. Resuelve para fy ri, _
La suma s,, de rr términos consecutivos de uiia progresión aritmética es
ri [2a, + (ii
5,,. = ~ï
.
. _
.
.
lldl. donde ri, es el primer
terinino
y ri es la difcreiicia
cointin. Resuelva para rr, if d.
Ecuaciones que contienen fracciones
algebraicas
Cuando uiia ecuacion contiene Fracciones, puede escribirse en una forma más sencilla
si se mitltiplican ainbos tnieinbros por el minimo comtin denominador (m.c.d.) de to
das las fracciones de la ecuacion.
Si una ecuacion se multiplica por el m.c.d. (que es un polinomio en la variable),
la ecuacion resultante puede no ser equivalente a la original. Dicha ecuacion puede te
ner tin conjunto solucion coii eleiiieiitos que no satisfagan la ectiacion original. En to
dos estos casos, los eleineiitos del conjunto solucion deben comprobarse en la ecuacion
original. Los valores de la variable que no satisfagan la ecuacion original se llaman rai
ces extrañas.
7 I FIUICCIOHESÃLGBIÄICÄS
Resolver la ecuacion
.¿.i__L__5_
4.1'
3.iri_o.r'
SOLUCIÓN
3(_3.r)
9.1:
Multiplicamos ambos miembros de la ecuacion por t2 i
4 = 5(lr_l
4= IOJ:
.r= 4
El conjunto solucion es { 4].
Resolver la ecuacion
lt'
_ 2=U.
31 4
SOLUCIÓN
Se inultiplica la ecuacion por t3t
)
li: 2(3.r 4)=0
lr 6x+8=0
4.i:= 8
.t:=2
El conjunto solucion es {2}.
La coinprobacion se deja como ejercicio
Resolver la siguiente ecuacion 3 comprobar
3
Jr 4
xí
.ir
2x+3
sotucioiii
í
.ri
2x2 5.i:~
I
.Í
.›.~
I _.
I
'2_~¢+3_:›.t ss 12
.__±_..
l'¦Ii›'l.n¬l äl .i 1
2.1' F3
X”
(2x+3)(.r 4)
in.c.d. = tx 4)(2.v + 3).
Multiplicando ambos miembros de la ecuacion por (t
(2x + 3)(.r
3) x(x
4)
(zii 3.: 9) (si 4;
2.12 3:: 9 x2+ 4x
x
4)(2¬t + 3) obtenemos
7.7
Ecuaciones que contienen fracciones atgenratcas
Para comprobar, se sustituye 9 en vez de x en la ecuacion original.
Printer mieriioro
9 s_
9 4
.Segtmdo miembrri
9
m
l8+3
162 45 I2
'É'
'iv
3.
_'
_
___
. i<.›.iE,¿,
Ui¬D\l.J'iO\
R
í
E
'!_¡..J
i_DO
I L"
E.
E
ss
'ss
El conjunto solucion es {9}.
Resolver la siguiente ecuacion:
.ir 2”
212 si +3
3:;
eii ri 3
sotucioiii
Iv
(lr
3
se zi 1
_
31(3); + ll
.r 2
(lr
3`l(.r
_
ll
{3.i: + l)(.t
Al tnultìplicar ambos niicmbros de la ecuacion por {2.ir r 3](3:r + l)(.t'
3.=:(.r
l)
(J:
2)(3x +_l) = 3(2x
3)
(3x2 3x) (3ir2 5x 2)=6x 9
3.6 3.i~3.ti+5x+z=sx 9
3.r+5.r 6x= 9 2
4.r= ll
,..u4
.
_.
El conjunto solucion es
ll
La comprobacion se deja como ejercicio.
Resolver la siguiente ecuacioii
.ir 13
'3_›.†i"ï=í__
131::
27.1' + 4
X
3
comprobar:
sotucio. ii
2.1' 5
.t 3
zx s_
.t is
3.: 4`s; i"rss tits; 4)
3
1), obtenemos
7 I FRIECIONE5 MÉMCIS
Muliiplicando ambos miembros de la ecuacion por (6.1:
l)(3x
4), se obtiene
(6.r l)(x 3} [3.r 4)(2.x 5)=x 13
(6xi l9.r+3) (612 23x+20)=x 13
(tri 19s +3 6 xi'+23x 20=
13
3:: =
.r=
La I ä li ¡ut
1.
1
4
1 ;
r
1
I
Al stistttuir 3 en vez de .ir en la ecuacion original, resulta que cl denominador dc la
priniera fraccion se hace cero. Puesto que la division por cero no esta definida, el con
junto solueion de la ecuacion es 21
EÍGFCÍCÍOS 7. 7
Resuclva las ectiacioncs siguientes y compruebe sus respuestas:
7
3
l.;~¬Z, §
5
2
5
l
Lïr *É 2
z,¿_1
.ir
.ri
2.1:
¿,¿_¿
41'
21:2
1:2
7
4' 4; _ 3;. _ ti
3
1.2.1'
10.
I
5
¬=
tt
3r
3
1
.it Z?.
2
x+2 5
9
13. 3x_2 1
3.1'
1
š_2__
1
.r * 2'.
5
*="
.=r+4
o
.tz
41
2.:
4x
1+±_¿_
ox
.r2_9.i:2
_¿_
,
21' 3
¿_3=,,
0
4.1*
m . h_5i =o
l_í_H
4
_5_+3=
I
9.
2
3
I3
3.1 l' sx 2
.ir l
11 2
0
:r+5
3
.t l
3
.ir 4
3
4
zz i=š
I
I
5
2
9
22'.r+4+2.x+5_4.r¬` lO
23'
M'ss +fi_,?
,
i
i ¡+4 sum
5
H__±_s¿_=___
zi 4 s+2 4.1.. +3
3
2
4
” ;?3"rrï sia
28
,
7
_
5 .ir
l
3
=
l .ir
2 lr
1
I
3
2.r l+3x+2_4x 2
2
l
1
”*i+i s 4"sss
29.
4
2 .ir
2
3
_=í
3 .r
4 21
7.7 Ecuaciones que contienen fracciones algebraicas
l
4
7
1
I
l
3° m'ï.=¿"3.t+9
3' íñïïfsrm
32.
3
¿._+
x+l
34.
¿_=.íL_
x 2
xl
x
2
3
3
7.r+l9
9
+,_
=
_
x+3
.tt +5.t+6
x+2
ss.
7
3
9x+26
36' .x 6+.1t+4_.i:2 2.: 24
¿_+i_=ïíL
2.! l l
6
37' x+3
2x
5
2.12 3
;r+2_x l=.t†2+.r 2
40.
2
2
"i 'í+' ií= ';L
.ir +5x+6
.ir2+x 2
.t:2+2.t 3
41
.___.;xí._+i;4_í
_¿.í_
;5____;_
1
';2+2x 24
42'
x2 .ir 6
s*+4.t 12's* sx+s
.i:1+.r 2
.tri 4x+3
,, '2.i:=
.__f›____¿_
_1*›__
' ss 2 312 sx+4`s;2 1 2
4,, __ *í___«*i__.._l_
'2.f2+s.i 3 2x*+3.± 2 .s2+si+ti
._|
2 3
_
6x +7.: 3
3x l
45'
2x+3
Jr +2
x+o
46
41.
J: 3
31:2
_'=†'“'
4.1: l
4.1' +2311 6
.ir 2
_
212 3x
.ir 3
3x +14; +8
3.i:+2
, __ ví
x+4
.r+l
.ir 2
x2+6
48' zx a`s.t +1=si* 'uf 3
,, ' x¿._¿=_._10__
3
21 1
2x2 Tx l 3
S0
Jr
__
4
__3.t2 11.1' 5
'2.1 +1
5,_
si i
1512+; i
2.6
_2f__2í“fli$_=_fi_.
3x+4
3.: +'l9x+20
x+5
2x2 7x 4
3
l0x+5
6
¿+
†
_=_
2.1: l
Zr 7x+3
Jr 3
3, ' ¿__¿=._›=_¿
3.1: 1
lx 3
611 1l.r+3
39'
x 4
9
lr 59
2.: Tfllxz .ir 21
7 I FIICCIUHES ÃLGÉÃICÃS
_¿__Ei;&LLE__å_.
52 n 2
mP+m 6 "u+s
¿+1
2.1' 3
¿i:+i__
.tz
31 4
Gx: l7x+l2
53.
.ri 2
2.1: l
.t'+2
5* m'1T<›3ñ"'añ=_m
2;: 3 +_.ir 4__
3.1:
.ri .ir 2
Jr: 5.r+6
x2 2.1: 3
S5.
;+s
56'
r i
_
u 1
.1r2+3x+2+x2 Jr 6_.r1 2x 3
3x+l
57
_
xk o iz
_
.it 5
E im+a4"fi 2; s
3x 4
58.
2x 3
_
oi ms+5
.i: l
_
ze in+i5
2x+l
mi Ms+3
3x
2.: 5
ox
_'_i__"`__'=_ïí'
6x :_
l l9x+3
61 +l7x 3
36.1'
l
59'
8.1' l
_
2x 7
m
__
.ir 5
'añ 7; 3 ze iu+i2 mi us 4
n+s _ n 3 H n+m
61.
zfl ss 3 mi+h i 4% in+3
62
.
63'
64.
x2+l
3.it+l
__ '¬.*'* ' "=l
x2 3.1' 18
sr* 5x 24
J: l
Jr l 2
4x+5
2:2 7.r+3+2.1t2 5.: 3_4.r2 l
n 2
+ n+s _
n 5
iukim zs mP+n 2i"os n1+u
2.1: I 7
1*
.it
51 l
$
3?.I+ÓÚ.li' 27
'+"ï
_*=
1_
"
24.1' *
+5Ú.l'
9
43.!
2fiX+
66..
_¿i;ì___jìiì_=,
7_
6
.tz 7x+i0
.ri x 20
.ic l
3
x 3
__ 'I' __.____=_ _
.ir1+.r
3x2+7.i:+4
x2 2.1'
68
_..._.._í_2x+I +._.ïiç__
'
41:2 4.r+l
2x2+7x 4
í.._.ì.ï
.i:2+.t: l2
7.8
PFOIIIEMBS DIBMGOGOS Cflll Dãiäflfãã
2?5
PFODIEIIIBS D|3I`IÍ.'€3dO$ COI1 D3|3b|"ã$
Las siguientes constituyen una ilustracion de algunas frases y problemas verbales con
sus equivalentes algebraicos:
1. El denominador de una fraccion supera al nuiiicrador en 5. ¿Cual es la fraeción?
Sea .ir el numerador.
El denominador es .ir + S.
i
La fracctoii es
lx
x + 5
.
2. ¿Cut il es la fraccion cuyo numerador es 2 unidades menor que sti denoininador?
Sea .v el denoininador.
El nutiierador es .ir 2.
_
..
.tr 2
La traccion es ir .
3. Si 72 se divide por x. el cocieiite es 5 v el residuo cs 7.
ji 5+ l.
.v
.ir
4. Si un hombre puede realizar un trabajo en 40 horas, ¿qué parte del trabajo puede
desarrollar en 27 horas?
El hombre puede hacer 4% del trabajo eii una hora.
El hombre puede realizar %å del trabajo en 27 horas.
5. Si una persona puede efectuar un trabajo en .ir horas, ¿qué parte del trabajo puede
desarrollar en '2 horas?
.
l
.
En una liora la persona puede hacer T del trabajo.
En 12 horas. puede realizar
del trabajo.
6. Si Arnulfo puede desarrollar un trabajo en 72 horas y Bruno puede hacer el mismo
en 96 horas, ¿qtie parte del trabajo pueden efectuar ambos trabajando juntos du
rante .ir horas?
Tƒerrtpo de Arrnrifo .soio
72 horas
Tiempo de Brtmo .solo
96 horas
Tiempo de trabajo en conjunto
.tr horas_
7 I FRICCIONB'ilI.GBRiIICA$
Arnulfo puede realizar
del trabajo.
J
Bruno puede efectuar É 1 ¿T del trabajo.
Trabajando juntos pueden llevar a cabo .§% + 5% del trabajo.
7. Si el agua que sale de una tuberia puede llenar una piscina en 30 horas, y la de otra
tuberia en x horas, ¿qué parte de la piscina se llenará en l l horas si ambas tuberias
se abren al mismo tiempo?
Tiempo de la primera tuoeriitt
Tiempo de Io segimdrt
Tiempo en conjirnto
30 horas
.ir lioras
ll horas
_
_
ll
_ _
La irimera tuberia llena ã Ó de la piscina.
_
ll
_ _
La segunda tuberia llena T de la piscina.
I
ll
_ untas llenan 3 Ó +
ll
_ _
T de la piscina.
¿Qué número debe suinarse tanto al nttmerador como al denominador de
la fraccion gg para que resulte una fraccion igual a .É ?
SOLUCIÓN
Sea .ir el número que hay que sumar.
å±_›*`__å
B+;"7
Multiplicando ambos niiembros de la ecuacion por 7('i3 + x), obtenemos
7(25 + .r) = 3(73 + Jr)
l75 + 'lx = 219 + 3x
4x = 44
.tt = ll
El número que debe sumarse es Il.
El denominador de una fraccion simple excede al numerador en 32. Si se
_
._
5
suma 3 al numerador y 7 al denominador. el valor de la fraccion resulta ser 8_ En
contrar la fraccion original.
SOLUCIÓN
Sea .ir el numerador de la fraccion, entonces el denominador de la frac
cion = x + 32.
7.8
Pl"0H0|II85DliI'IIO3fl080DlIP&làlIf3$
La fracción es asi,
E .
.r + 32
.r+3
5
_í=
obìen
x+32+7
3
x i 3
i= â
.r i 39
AI multiplicar ambos miembros de la ecuacion por 8(x + 39), obtenemos
3(x + 3) = 5(x + 39)
8x+24=5.r+l95
3x=l7l
.r=57
. .
_.
57
Por consiguiente, la fraccion es 8 9 .
Un número supera en 34 a otro. Si el mayor se divide entre el menor el
cociente es 3 y el residuo es 2. Determinar los números.
SOLUCIÓN
Sea .ir el número menor y Jr + 34, el mayor.
x+34
2
.í.=3.|...
J:
x
Multiplicando ambos miembros de la ecuacion por Jr, se obtiene
x + 34 = 3x + 2
2.1: = 32
x = 16
Por lo tanto, los números son 16 y 50.
El dígito de las decenas de un número de dos cifras supera en 5 al de las
unidades. Si el número se divide entre la suma de sus digitos, el coeficiente es 7 y el
residuo es 3. Hallar el número.
SOLUCIÓN
Drjeiro de las unidades
.r
Drjgifo de fas decem:r.s
(Jr + 5)
Suma de los digitos = .vr + {.1r i 5) = 2.1' + 5.
El número = .ir + l()(.r + 5) = llx +
Ilx + 50
3
2x+5
2.r+5
_.._i._.....='7_¡._......í
AI multiplicar ambos miembros de la ecuación por (lx + 5), se obtiene
ll.r t›50=7(2_r+5)+3
ll.r+50=l4.r+35+3
3.r=l2
.r=4
El número buscado es 94.
7 I FUNCIONES ILGÉIICAS
_.
.
.
1
Si una persona puede realizar un trabajo en IO horas, entonces puede efectuar 16
del trabajo en una hora. Esta es la idea básica para resolver problemas de trabajo. La
parte del trabajo realizado por una persona en una unidad especifica de tiempo mas
la parte del trabajo efectuado por otra en la misma unidad de tiempo es igual a la parte
del trabajo realizado por ambas actuando juntas durante la misma unidad de tiempo.
Si A es capaz de hacer un trabajo en 55 horas y B puede realizarlo en 66
horas, ¿cuanto demorarán efectuando juntos ese trabajo?
sotuctóra
A
B
AyB
55 horas
66 horas
.ir horas
A puede efectuar š] 5 del trabajo en I hora.
B es capaz de realiaar àã del trabajo en 1 hora.
A v B pueden hacer
_
Entonces
1
55
+
del trabajo en l hora.
l
66
__ _L
_
_* _
I
Multiplicando ambos miembros de la ecuacion por 330.1', obtenemos
úr+ 5x= 339
llx=330
x=30
Por consiguiente, A y B emplearán 30 horas para llevar a cabo el trabajo juntos.
_
.
4
.
.
.
A realiza un trabajo en 5 del tiempo en que B lo efectua. Si A y B pueden hacer el
trabajo juntos en Iütl horas, ¿cuanto demora cada uno en realizar el trabajo solo?
Sflwctóu
A
B
g .tr horas
A 1,» rr
Jr horas
100 horas
A es capaz de hacer ¿L del trabajo en 1 hora.
š 1'
B puede realizar
del trabajo en 1 hora.
A y B juntos pueden efectuar
del trabajo en 1 hora.
7.8
Protiteniasptaimiadosceri%I›ras
_'_+.'._._ì_.
4
r
5
x
100
ob bere “q”4_m5“m'
t~ u~ I
'É 1
i
,
_
.
f
š"l
'I'
'É
ì+l.___'_.
4_r
.r 100
Al multiplicar ambos miembros de la ecuacion por l00x, obtenemos
I25 +1010
.ir
225
I
Por lo tanto,
A puede efectuar el trabajo en %(225) = 180 horas
B puede realizar el trabajo en 225 horas.
Un tanque puede ser llenado por una tuberia eii IS horas. y vaciado por
otra en 20 horas. ¿En cuanto tiempo se llenará el tanque si ambs se abren simultá
iieaiiiente?
SULUCIÓN
Primerrr tirberiir
IS horas
_
_
Segiirtrfu tiiìierfu
20 horas
Ambar iirberrrrs
.r horas
I
La primera tuberia llena ¡T del tanque en I hora.
La segunda tubf ria vacia
del tanque en I hora.
1 del tanque en _i hora_
Arribas llenan T
1"
L__.l...'
15
20
.r
Se multiplica por 60_r.
4.:
3.1*
x
í
í
í
í
60
60
Por eotlsiguiettte, las dos tubería i llenan juntas el tanque eri 60 horas.
EÍEÍCÍCÍOS 7.3
I.
¿Qué número debe sumarse tanto al nuriieradiir como al denominador de la frac
_
ción
10
_ _
_
_ para obtener una fracción igual a É ':
27
1 FIÃCCUÉILÉÃICJS
¿Qué número debe sumarse al numerador y al denominador de la fracción %
__ _
2
para que resulte una fraccion igual a Í?
¿Qué número debe restarse tanto del denominador como del denominador de la
_
Sl
__ _
2
fracción É para que resulte una fraccion igual a 5 _
¿Qué número debe restarse tanto al numerador como al denominador de la frac
ción
% para obtener una fracción igual a É?
¿Qué número debe restarse al numerador v sumarse al denoiniriador de la frac
__
59
__ _
29
cion É) Í para obtener una fraccion igual a .T _
¿Qué número debe restarse al numerador y sumarse al denominador de la frac
_ _ 113
._ _
3 _,
cion Í É Í para que resulte una fraccion igual a ï _
El denominador de una fraccion simple supera en 5 a sii numerador. Si se suma
_
_
_
l
l al numerador y 2 al denominador, el valor de la tracción es 3 _ Encuentre la
fraccion original.
El denominador de una fracción simple supera en 4 a su numerador. Si se suma
_
__
2
_
I al numerador y 3 al denominador, el valor de la fraccion es í. Determine la
fraccion original.
El denominador de una fraccion simple excede a su numerador en 5. Si se resta
l al numerador y se suma 2 al denominador, el valor de la fraccion resiiltantc es
â _ Halle la fracción original.
El denominador de una fracción simple supera a su numerador en lo. Si se rcst.a
ll al numerador y se suma 3 al denoniinador, el valor de la fracción resultante
2
__
_ _
es 5 _ Obtenga la fracciori original.
El numerador de una fraccion simple es 7 unidades menor que su denominador.
Si se suma 2 al numerador y se resta 2 al denominador, el valor de la fracciún que
_
4
__
_ _
se obtiene es É. Halle la fraccion original.
El numerador de una fraccion simple es 24 unidades menor que su denoininador_
Si se suma S al nunierador 1.' se resta ll al denominador, cl valor de la fraccion re
6
_
_ _
sultante es .Í _ Encuentre la fracción original.
Un número supera en 22 a otro. Si el ni'imero mayor se divide entre el inciior,
el cociente es 3 gr el residuo es 6. Halle ambos números.
Un núniero excede en 94 a otro. Si el mayor se divide entre el menor, el cociente
es 4 y el residuo es 13. Obtenga ambos números.
Un número supera en 79 a otro. Si el mayor se divide entre el menor, el cociente
es 5 y el residuo es ll. Determine ambos números.
Un número escede en 141 a otro. Si el mayor se divide entre el nieiior, el cociente
es 4 5' ei residuo es 3. Halle ambos números.
El dígito de las unidades de un número de dos cifras excede al de las decenas en
Ffüblfllilãfilllifllffiãflflififllìflflållfflã
281
5. Si el número se divide entre la suma de sus digitos, el cociente es 3 ji el residuo
es 5. Obtenga el número,
El dígito de las decenas de un número de dos cifras excede al de las unidades en
2. Si el número se divide por la suma de sus digitos, el cociente es 6 y el residuo
es 2. Encuentre el número.
El dígito de las unidades de un número de dos cifras supera en 2 al de las decenas.
Si el número se divide entre la suma de sus digitos, el cociente es 4 ji el residuo
es 3. Halle el núniero_
El dígito de las decenas de un número de dos cifras supera en 4 al de las unidades,
Si el número se divide por la suma de sus digitos, el cociente es 7 y el residuo es
3. Determine el número,
El dígito de las unidades de un número de dos cifras excede en 2 al de las decenas.
Si el número se divide por el séptuplo del dígito de las unidades, el cociente es
1 y el residuo es 4. Encuentre el número,
El dígito de las unidades de un número de dos cifras supera en 6 al de las decenas.
Si el número se divide por el triple del dígito de las unidades, el cociente es l jr
el residuo es 4. Halle el número,
Si A es capaz de hacer un trabajo en 78 horas y B lo puede desarrollar en 91 ho
ras, ¿cuánto tiempo emplearán en realizarlo juntos?
Si A puede efectuar un trabajo en 35 horas y B puede hacerlo en I4 horas, ¿citan
to tiempo demorarán para realizarlo en conjunto?
Si A puede desempeñar un trabajo en 104 horas, v A jf B trabajando juntos lo
efectúan en 40 horas, ¿cuánto tiempo demora B en hacerlo solo?
Si A puede desarrollar un trabajo eii 110 horas ji A ji B trabajando en conjunto
lo realizan en 60 horas, ¿cuánto tiempo demora B en hacerlo sólo?
B demora el doble de lo que A tarda en realizar un trabajo, Juntos, terminan el
trabajo en 4 horas. ¿Cuanto. tiempo empleará cada uno en efectiiar separadamen
te dicho trabajo?
4
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_
_
_
A demora É del tiempo que emplea B en hacer un trabajo. Si A jr B juntos pue
den efectuar el trabajo en 20 horas, ¿cuánto tarda cada uno solo en realizar ese
trabajo?
A demora 3 del tiempo que utiliza B en hacer un trabajo, Si A y B juntos pueden
efectuarlo en 12 horas, ¿cuánto tardará cada uno solo en desarrollar dicho trabajo?
2
_
_
_
_
A demora 3 del tiempo que emplea B en hacer tin trabajo. St A y B juntos pue
den efectuar el trabajo en 36 horas, ¿cuánto tardará cada uno solo en realizar ese
trabajo?
Un tanque puede ser llenado por una tuberia en 10 minutos, y por otra en IS.
¿Cuánto tiempo demorarán ambas tuberias en llenar juntas el tanque?
Uri tanque puede ser llenado por una tuberia en 42 minutos, jr por otra en 56 mi
nutos, ¿Ciiáiito tiempo tardarán ambas en llenar el tanque juntas?
Una tuberia demora el doble de lo que einplea otra eii llenar un tanque. Si ainbas
tiiberias juntas llenan el tanque en l2 minutos, ¿cuánto tarda cada una en llenarlo
sola?
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2
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Una tuberia demora ï del tiempo que emplea otra eii llenar un tanque. Si am
bas llenan el tanque juntas en 6 minutos, ¿cuánto tarda cada una en llenarlo sola?
I' FRÃCCIOÉ ILGÉIIICIS
Un tanque puede ser llenado por una tuberia en lS minutos, y vaciado por otra
en 24 minutos. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarse el tanque si ambas tuberias
se abren al mismo tiempo?
Una iiiberia de abastecimiento puede llenar un tanque en 35 minutos. ¿Cuánto
tardará un sistema de dreriaje en vaciar el tanque si cuando ambos sistemas fiin
cioiian simultáneamente, dicho tanque se llena en 84 tninutos?
Viviana manejo 5 millas a través de la ciudad en el mismo tiempo en que manejo
18 millas en carretera, En esta velocidad fue de 39 millas por hora más que su
velocidad en la ciudad. ¿Cual fue sii velocidad media en la ciudad?
Felipe manejo 12 inillas por la ciudad durante el mismo tiempo en que manejo
19 millas eii carretera. Su velocidad en ésta fue de 21 millas por hora mas que
su velocidad en la ciudad. ¿Cuál fue la velocidad media en carretera?
Susana y Jaime emplearon en manejar 15 millas, el mismo tiempo que utilizaron
en volar 100 inillas_ La velocidad media del avion fuc de 8 mph, menos que el
séptuplo de la velocidad del automovil, ¿Cuál fue la velocidad inedia del coche?
Guillermo tardo en manejar 30 millas el mismo tiempo que le llevo volar 378. La
velocidad media del avion fue de 20 mph, menos que 13 veces la velocidad del
automovil, ¿_(Í`uá| fue la velocidad inedia del avion?
Repaso del Capítulo 7
Ltecrúe las operaciones indicadas gr simplifique:
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Resuelve las siguientes ecuaciones para ,r y compruebe sus respuestas:
113.
3.1:
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II4.
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121.
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123.
126.
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122.
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125. a.1r=a2 4x
127. ax a=a2 3.: 6
123. 2a(_t+3j=saf =~3(_v 3)
129. zar.: 2a+s)=9(_r 1)
130.
132.
131.
133.
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5(l .i:)=2a(.r 2a 6)
a(4_r+ l)=2a1 6(_ir+ I)
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134.
2a(6x
5) = 3a2 + 8(x 1)
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138.
135.
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1412 su 27
El volumen Vde una caja rectangular es V = Itvh, donde I, tv y h son la longitud,
anchura y altura, respectivamente, de la caja. Despeje h
El perímetro P de un rectángulo es P = 2(I + tv), donde I es la longitud de la
base y tv la de la altura. Resuelva para w.
Pl
V.
La ley general de los gases es T
|
Ps*/1
.
ar a, donde P. y P; son las presiones,
1
If, y V3 los volúmenes y T, y T2 las temperaturas Kelvin. Encuentre V, y T¡.
La adición 5,, de rr términos consecutivos de una progresión geométrica es S., =
e,,r el
,_ : Í , donde rr, y en son el primero y el rr esimo terminos y r es la razón co
mún. Resuelva para a,y r.
El área A de un trapecio es A = '/rhtb, + bg). donde b1 y bz son las longitudes
de las bases paralelas y h es la altura. Obtenga para h y b,.
La ecuación del efecto Doppler del movimiento colineal cuando la fuente emisora
.
,
v + v
y el observador se mueven una hacia otro, está dada por f = f T_ v ¿L , don
s
def ' es la frecuencia observada, f la frecuencia emitida, v la velocidad de la onda
en el medio trasmisor, v,, la velocidad del observador, y v, la velocidad de la I'uen
te. Resuelva para v,, y v.
¿Qué número debe restarse del numerador y sumarse al denominador de la frac
..
86
.. .
3 .,
cion É para que resulte una fraccion tgual a í.
¿Qué número debe sumarse al numerador y restarse del denominador de la frac
.
67
._ .
6
cion Í Ó Í para obtener una fraccion igual a 7?
El denominador de una fraccion simple supera en S al numerador. Si se suma 9
.
.
8
al numerador y 19 al denominador, el valor de la fracción resulta ser Í. En
cuentre ia fraccion original.
El numerador de una fracción simple es 19 unidades menor que el denominador.
Si se suma 7 al numerador y 14 al denominador, el valor de la fraccion resultante
es
Halle la fracción original.
Un número supera en 43 a otro. Si el mayor se divide entre el menor, el cociente
es S y el residuo es 7. Obtenga ambos números.
Un número excede a otro en 77. Si el mayor se divide entre el menor, el cociente
es 4 y el residuo es 17. Determine ambos números.
El dígito de las unidades de un número de dos cifras es 4 menos que el de las dece
nas. Si el número se divide por el quíntuplo del dígito de las decenas, el cociente
es 2 y el residuo es 3. Halle el número.
Retraso del Capitulo 7
289
El dígito de las decenas de un número de dos cifras supera cn 3 al de las unidades.
Si el número se divide por la suma de sus digitos, el cociente es 6 y el residuo es
7. Encuentre dicho número.
Si A puede hacer un trabajo en 120 lioras y A y B demoran juntos 72 horas en
rcali; :ar el niisrno trabajo, ¿cuánto tiempo empleará B en efectuar el trabajo solo?
S
.
.
n
.
A demora (T del tiempo que eniplea B en hacer tin trabajo. Si 1 A y B juntos pue
den efecttiario cn 90 horas, ¿cuåitto tarda cada uno en realizar ese trabajo?
_
3
_
_
.
Uiia tuberia demora T del tiempo que otra en llenar un tanque. Si las dos juntas
llenan el tanque en 45 minutos, ¿ctiiinto tiempo dura cada tuberia sola eii llenar
el tanque?
Un tanque puede ser llenado por una tuberia en 24 miniitos y vaciado por otra
en 1 hora. ¿En cuánto tieinpo se llenará el tanque si ambas se abren simultá
iteameiite?
CAPÍTULO
8
Ecuaciones y desigualdades
lineales en dos variables
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
8.6
8.7
Coordenadas rectangulares o cartesianas
Gráficas de ecuaciones lineales en dos variables
Pendiente de una recta
Ecuaciones de rectas
Sistemas de dos ecuaciones lineales en dos variables
Solucion de sistemas de dos ecuaciones lineales en dos variables
Sistemas de ecuaciones lineales en dos variables que contienen
simbolos de agrupación y fracciones
8.8 Ecuaciones fraccionarias que pueden hacerse lineales
8.9 Problemas planteados con palabras
8.10 Gráficas de desigualdades lineales en dos variables
291
B I ECUJICIOIES 'I' DESIGUÃLDÃDES LIHEÃLES EN DOS VARIABLES
Ett el Capitulo 4 se trataron las eciiaciones liiteales en uiia variable 3 ' sii soluciiiin. En
el presente estudiarentos ecuaciones lineales en dos variables 5' sisteinas de ellas.
Coordenadas recïngulares o cartesianas
Cuando se habla de la cotttbiiiaciiiii de uiia cerradura. como por ejemplo SI, 200, se
esta tratando coii lo que se llama una pareja ordenada de números. Es iiiiporiante sa
ber que núinero se usa priniero _v cuiil después para poder abrir la cerradura. El primer
iiúniero se denomina primera eompiiriente, o bien primera coordenada de la pareja,
y el segundo es la segunda componente o segunda coordenada. La pareja ordenada cu
yas coordenadas soii u y ii se denota por {u, fi).
Para establecer la relacioit entre parejas ordenadas de números reales 3. ' puntos de
tin plano. se construyen dos rectas numéricas pcrpeiidictilares, una horiaontal 1.' otra
vertical, como aparece eii la Figura 8.1.
eje _i'
4
J
II
.t
I
i
4 1 2
toni
“tasa
i
eje .r
i
" 2
[kt
3
4
FIGURA 8.1
DEFINICIÓN Se dice que dos rectas son perpendiculares si se iniersectan forniaiido
un iingtilo de 90".
La recta nuinérica horir. ontal se llama eje ir, v la vertical, eje _i'. Se hace que las dos
rectas nuinéricas se iiitersecteii en sus origenes. Los números positivos de la recta hori
zontal se enctientran a la derecha de su origen. y los de la vertical, arriba de sii origen.
Las rectas horizontal 3; vertical se denominan ejes coordenadas, v su ptinto de iii
icrscccitin cs el origen. El sisteina coinpieio se llama sistema de coordenadas rectangu
lares o carlesianas. Los dos ejes dividen el plano en cuatro regiones denoiuiitadas cua
8.1
Coordenadas rectangulares o eartesianas
293
drantes. El cuadrante superior derecho se conoce eoino primer cuadrante. el superior
izquierdo, coiiio segundo cuadrante; el inferior izquierdo, como tercer cuadrante; y el
inferior derecho, como cuarto cuadrante.
Dado un sistema de coordenadas cartesianas en tiii plano, cualquier punto P de
dicho plano se puede asociar con una pareja ordenada de ntimeros reales, la cual se
denota por (Jr, yl. como se muestra en la Figura 8.2.. Las componentes .i.' 3.' ,tf de la pareja
Lv, __r) se llaiiiati r. riorderiao'u.s del punto P.
eje _i
Mmm
0
ìfí
l
eur
FIGURA 3.2
l.a primera coordenada, .ir se deiiomina abscisa o coordenada .ir del punto P. La segun
da coordenada, _v, se llaiiia ordenada o coordenada _v del punto P. La abscisa de un
punto describe el ntinicro de unidades a la dereclia o izquierda del origen. La ordenada
de tin punto describe el número de unidades arriba o abajo del origen. Se emplea la
iititacitin P(.t'. Ji) Para iiidicar el punto P cuyas coordenadas soii tx, jr).
Las coordenadas de tin punto dado del plano se pueden determinar trazando per
pendiculares a los ejes coordenadas. La coordenada del punto de intersección de la per
pendicular sobre el eje .r es la ahscisa del punto. La coordenada del puitto de intersec
cion de la perpcndictilar sobre el eje y es la ordenada del punto.
Para localizar un punto P cuyas coordenadas soii (rr, fi), se dibuja una recta verti
cal a traves del punto cuya coordenada en ei eje .tr es ri, gr una recta lioriziiiital a traves
del punto ctiva coordenada en el eje _if es ii (Figura 8.3). El putito de intersección de
estas dos rectas es el punto P correspondiente a (ri, bl, o la gráfica de la pareja ordena
da to, ii).
eje _i'
†¬,IE
H
FIGURA 8.3
iii
b
0
eje .tr
3 tt ECUACIUNESYUÉGUALDADESLINEALESENDOSVARIABLES
Localizar en un sistema de coordenadas cartesianas el punto P cuyas coor
denadas son (4, 3).
SOLUCIÓN
Se construye un sistema de coordenadas cartesianas.
Se traza una recta vertical a través del punto cuya coordenada en el eje x es 4, y una
recta horizontal a traves del punto cuya coordenada en el eje y es 3 iFigura 8.4).
El punto de intcrscccióI_i de estas dos rectas es el punto P cuyas coordeiiadas soii
(4, 3). P se encuentra en el printer cuadrante.
ejc_v
4
3
(4,11
_ _ _ _ _ _ __ _...
._
tu.
. . . __.. ._. .†._;.
1
2
i
0
1
2
3
4
mx
FIGURA 8.4
Localizar en un sistema de coordenadas cartesiaitas el punto P cuyas coor
denadas son ( 2, l).
SULUCIÓN
Se construye un sistema de coordenadas cartesianas.
Se traza una recta vertical por el punto cuya coordenada en el eje .ir es 2, v una recta
horizontal por el punto cuya coordciiada eii el eje y es 1 (Figura 8.5).
eje _v
2
Pi
tu :
I
:Í
'í
:ig 10123
i
mx
FIGURA 8.5
El punto de intersección de estas dos rectas es el punto P cuyas coordeiiadas soii
; 2, I). P se halla en el segundo cuadrante.
8.1
COOPIIEHQCIBS ffitfâflfllllãfêi O Cãftflfiífllifli
295
Localizar en un sistema de coordenadas cartesianas el punto P cuyas coor
denadas son ( 4, 2).
SOLUCIÓN
Se construye un sistema de coordenadas cartesianas.
Se dibuja una recta vertical por el punto cuya coordenada en el eje x es 4 y una recta
horizontal por el punto cuya coordenada en el eje y es 2 (Figura 8.6).
El punto de intersección de estas 2 rectas es el punto P cuyas coordenadas son
( 4, 2). P se encuentra eii el tercer cuadrante.
eje ,v
2
4 3 2 1012
1
id'
11111
4,
1
34
ejex
_2
21!
3
Fiouim 3.6
4
Localizar en un sistema de coordenadas cartesianas el punto P cuyas coor
denadas son (3, 4).
SOLUCION
Se construye un sistema de coordenadas cartesianas.
vivir
3
2
l
_2
IL
0
eje .tr
lä
'LI il
2
s
is._
I
I._ I l lil
J l
'Í3Í 4)
""I|i
riouiui a.7
"5
B I ECUACIONES Y DESIGUALDADES IJNEALES EN DOS VARIABLES
Se traza una recta vertical por el punto cuya coordenada en el eje Jr es 3, v una recta
horizontal por el piinto cuya coordenada en el eje _v es 4 (Figura 8.7),
El punto de intersección de estas dos rectas es P cuyas coordenadas son (3, 4).
P se halla en cl cuarto cuadrante.
observación
Dado que las coordenadas del origen de un
sistema de coordenadas cartesianas son (0, 0).
se tiene:
. Todos los puntos del eje ii' tienen ordenada cero.
. Todos los pinitos del eje y tienen abscisa cero.
Todos los puntos del primer cuadrante tienen ambas coordenadas positivas.
eee
Todos los puntos del segundo cuadraiiic tienen abscisas negativas v ordenadas po
sllivas.
5. Todos los puntos del tercer cuadrante tienen ambas coordenadas negativas.
6. Todos los puntos del cuarto ctiadrante tiencii abscisas positivas v ordenadas negativas.
Ejercicios 8.1
Diga en que cuadrante dc un sistema de coordenadas cartesianas se localiza la griifica
de cada una de las siguientes parejas ordenadas, suponiendo que las coordenadas del
origen son (0, 0).
I.
(l.3)_
2.
(l5.4l
4. to. 8)
5. ( 7. IO)
7*
B
3.
(5. 2)
ri, t 20, 30)
Cirafiqtie las siguientes parejas ordenadas de numeros en un conjunto de ejes de tin sis
tema de coordenadas cartesianas, v marque cada punto coii sus coordenadas.
9.
iz.
is.
is.
i2.2›
iz. si
( 4. fo
i 2.ei
io.
is.
is.
19.
ti. ti
toa)
i 1. .ii
i 1.0;
ii.
14.
17.
20.
ts. ii
(ti. si
i 3.ii
14.01
Proporcioiie las coordenadas de los siguientes puntos que aparecen en la Figura 8.8:
21.
14.
A
D
22.
25,
B
E
23.
26.
C
F
27.
(irafique las parejas ordenadas (4, Il y ( 2, 2) y concctclas con una recta. ¿Cuáles
son las coordenadas de los puntos de intersección de la recta con los ejes coor
denados?
8.2
Graficas de ecuaciones lineales en dos variables
297
eje _v
1
b
í
ï
1
_
_Il
í
II
1
í
1!
il
1
í
_
í
í
í
Z
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í
j
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íìjìv
11
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í
ï
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í
III
hn
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1
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í
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1
1
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lI l Il lI l _I +++¢+ +~+ l++ +=+.+›~I l+ +++s+ + + + +I+ +l+_:l +_+w ++`+ + +¿É`f+ ~+ + |+ + + +¿4` + #" ¡ *+ I'+ï'+ + I l l +M;+ l ++++s+ + +1+.l
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+1+ +i Í+.+ I +s. 1+ + + +.+J + r† + +†<†=+=+
I
If¬l l l:"Fl" †:" L.: . l ++~+ + +_ _ `+ + +
1
FIGURA 8.8
28.
29.
Cirafique las parejas ordenadas (2. 3) jr ( 1. ¬6)1r únalas con una recta. ¿Cuales
son las coordenadas de los puntos de intersección de la recta con los ejes coor
donados?
Graf¡que las parejas ordenadas (0. 4) gv (2, 0) 3' únalas con una linea recta. En el
mismo sistema de ejes grafique las parejas ordenadas (2. 5) jv ( I, 4) y conec
Iclas con una linea recta. Encuentre las coordenadas del ponlo de imerseccion de
ambas rectas.
30.
(iraiique las parejas orclenadas (I. I ) v (2, 3] v trace una linea reela. En el rnis
mo sistema de ejes grafique las parejas ordenadas (I. O) v ( 3, 6) v (malas con
una Ii nea recta. Halle las coordenadas del punto de intersección de ambas rcclas.
Gráficas de ecuaciones lineales en dos
variables
La forma general de una ecuación lineal en dos variables .v viv es ,fix + B_v
(Í, donde
A. B. C te R. 3' A v B no son cero a la ver.. Los elementos del conjunlo solucion de
una ecuacion lineal en dos variables son las parejas ordenadas Lv, _v) que salisfacen la
ecuacion. El conjunto solución de la ecuacion. 1.1' l By = C es |(x.. _v)|A.v + By = (.."}.
Para determinar algunos de los elementos del conjunlo solucion. se asignan valores
arbitrarios a .v._. v se calculan los corrcspondienles valores de _v. El conjunto solución
de la ecuacion contiene un ruimero infinilo de parejas ordenadas. ya que podemos asig
nar cnalqnier valor real a Jr.
Encontrar algunos elementos del conjunto solucion de 2.1: + y = 4.
SOLUCIÓN
Sustiluimos 2 en ve¿ de .v en la ecuacion para obtener
2( 2)+_v=4
obien y
4+ 4: 8.
8 ' ECUACIONESYDESIGUALDÃDESLJHEILESEIIDDSUÃRIÃBLES
Por consiguiente, la pareja ordenada ( 2, 8) es un elemento del conjunto solucion.
Sustituimos 0 en vez de Jr en la ecuacion, y resulta 2(0) + y = 4 o y = 4.
Por lo tanto, la pareja ordenada (O, 4) pertenece al conjunto solución.
Sustituimos .r por l en la ecuacion y se obtiene 2(l) + y = 4 o y = 4 2 = 2.
Asi que la pareja ordenada (1, 2) es otro elemento del conjunto solucion.
De manera semejante, las parejas ordenadas (2, 0) y (3, 2) son elementos del con
junto solucion de la ecuacion dada.
Si introducimos un sistema de coordenadas cartesianas en un plano v loealizamos
las parejas ordenadas obtenidas anteriormente, se obtiene como resultado la Figura 8,9,
eje _v
9
t' 2.310
3
7
6
5
4
lU,~ll
3
2
'
5,4 3 21:7
2
,u.2›
t:.o›
ejex
123456
IU.
Él
3
FIGURA 8.9
Si unimos estos puntos con una linea suave, observamos que se encuentran sobre
una linea recta. Dicha recta se llama gráfica de la ecuación lineal 2.1' + y = 4.
Para simplificar el trazo de la gráfica, se tabulan algunos elementos del conjunto solu
cion cotno se ilustra enseguida.
Las flechas incluidas en los extremos de la gráfica indican que la recta continúa
indefinidamente en ambas direcciones (Figura 8.10).
La grafica de cualquier pareja ordenada de números que satisfagan la ecuacion,
tal como (4, 4), se halla sobre la linea recta. Además si se escoge un punto P sobre
esta recta, la pareja ordenada de números formada con las coordenadas del punto P,
( I, 6), satisface la ecuacion.
2x+y=2( l)+(6)= 2+6= 4.
8.2
Gráficas de ecuaciones lineales en dos variables
299
eje _t '
H+r†4
lo
9
2.t+y=4
Br
H
t as)
l t›
El
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IEEE
“H _ _
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(1.2)
L. 4P.t,W I lI I
(2. 0)
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eje .v
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24
(3. 2)
_3
¡at
4I
acusa s.1o
'
La gráfica de cualquier ecuacion lineal de la forma Ax + By = C, donde A, B, C E
R, y a y b no son cero a la vez., es una recta. l.a gráfica de cualquier pareja de números
que satisfagan la ecuacion, se encuentra sobre la linea recta. Además las coordenadas
de cualquier punto situado sobre la recta, satisfacen la ecuacion.
NOÍB
Si bien dos puntos son suficientes para deter
minar una recta única, conviene hallar por lo
menos tres puntos como comprobación,
Trazar la grafica de la recta cuya ecuacion es 4.v
SOLUCIÓN
3y + 12 = 0.
Se construye un sistema de coordenadas cartesianas. Hacemos una tabla
con tres parejas ordenadas de números que satisfagan la ecuacion 4x
3y + l2 = 0,
y se localizan los puntos que representan a tales parejas ordenadas.
Unitnos estos puntos con una linea recta. La gráfica de la recta se ilustra en la Figu
ra 8.1 1.
Traztar la gráfica de la recta cuya ecuacion es 3.1' + Zy = 6.
SOLUCIÓN
Se construye un sistema de coordenadas cartesianas. Se hace una tabla con
tres parejas ordenadas de números que satisfagan la ecuación 3.1' + 2y = 6, y selocali
aan los puntos correspondientes.
B «I ECUACIONES Y DESIGUALDADES LINEALES EN D O5 VARIABLES
cjc _v
kv
fit' + If! =ii
7
_ ' + I*. .
:L
"
ti.
5
(2'::i 6)
6
4
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( 3, O)
"iit
rooi1:
s s 4
ejes:
3 2 1;912 3 4 s
FIGURA 8.1 1
ejc_i'
.¬i.t' l It' *" ti
7
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( _2` 6.)
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3 2
í
í
10
II
(2.0)
1
2 3 4 5
6
bcje.t'
:I
FIGURA 3.12
Se unen estos puntos ctin uiia linea recta. l.a Figura 8. I2 es la grtilica de la recta.
La ecuacion By
C es equivalente a Ia ecuacion 0.1' + By 1 C_ Asi que para todos
i
_
los valores
dc .v se tiene que jr = C
É . Por coiisiguieute, By ; L¬ representa una recta
horiitontal,
Trazar la gráfica de la recta cuya ecuacion es _v + 3
SOLUCION
U.
La ecuacion y + 3 = 0 es equivalente a la ecuación Oi: + _v = 3.
Graficas de ecuaciones tlneales eri dos variables
8.2
301
Se hace una tabla con tres elementos del conjunto solucion de la ecuacion gr se loca
liiian sus puntos correspondieiites, eii un sistcina de coordenadas cartesianas.
Se unen estos puiitos con una linea recta. l.a Figura l š.l3 es la gr: .il`ica dc la recta.
eje _i'
4
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'†' "..i i
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¶.
1
¬s 5 4
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"LiLt.ii .lI'l
( 2, 3)
sicunii 3.13
2
12 3
4
ii, 3)
5 s
c_|e.t'
_t +3 =ii
(3.
4
3)
La ecuacion Ax
(T es equivalente a Ax + Qif _ (Í. De modo que para todo valor
_
C'
. .
.
dc _v se tiene .ir = Í . Por consiguiente 11.1'
C' representa una recta vertical.
Trazar la grafica de la recta cuya ecuacion es le = 5.
SOLUCION
La ecuacion 2.1' = 5 es equivalente a 2.t' + tl_i' = 5.
cjey
le ¬ 5
6
5
li' = 5
4
3
2
2
2
2
(É fi
I
4
1
4 3
2 1012 3
4
2
1!
si__4
FIGURA 8.14
(É ')
(%› 3)
5
6
ejes'
3 ' ECUACIONES Y DESIGUALDADES LINEALES H DOS VARIABLES
Se hace una tabla con tres elementos del conjunto solución de la ecuación, toman
do prìmerarnente valores para y, y se localizan los puntos correspondientes en tin siste
ma de coordenadas cartesianas. Se unen estos puntos con una recta. La Figura ti.l4
es la grafica de la ecuacion.
Nota
La ecuacion del eje .v es _v = 0.
Nota
La ecuacion del eje y es ,ir = 0.
DEFINICION La abscìsa del punto de intersección de una recta con el eje ir se llama
intersección .ir (o abscisa en el origen). La ordenada del punto de interseccion de una
recta con el eje y se denomina intersección y (u ordenada en el origen).
Nata
La intersección .tr de una recta es el valor de
.ir cuando y = 0.
Nota
La intersección y de una recta es cl valor de
y cuando .ir = 0.
Encontrar las interseccìones .ir y y de la recta cuya ecuación es
3,1' * 4_,v = 9.
SOLUCION
Cuando _v = 0, tenemos 3,1: = 9, o .ir = 3.
.
.
(..uando .ir = tl, se tiene que 4_v = 9, o _v =
Por consiguiente,
9
lá .
la intersección .ir es 3;
.
..
9
la intersección y es í.
Nota
Si los valores que se obtienen para .v o _v soii
fracciones con denominador 3, se toman las
escalas en los ejes, de tal manera, que cada
tres divisiones del papel cuadriculado repre
senten uiia unidad.
Ett general, si los valores que se obtieiieii para las variables son fracciones con de
nominadores ri y b, se toman cada no divisiones del papel cuadrìculado para represen
tar una unidad.
3.3
PEHUÍGHÉQ G8 llflã ÍGCÍB
303
Ejercicios 8.2
Dclcrmìnc si la pareja ordenada dada satisface la ecuacion indicada:
I.
3.
5.
3x + y
U. (0.0)
.fr
2)' + I =0., (5.3)
y + lr
5. (3.1)
2.
4.
6
í.
_ ¡_
2.: 3y=0..
(3. 23
_). '+4.r 6=Ú. (2. 2)
41
.Ir
ll. ( I. 3)
l
_
í
í
_.
1
Tracc_Ias gráficas dc las rectas rcprcscntadas por las siguicntcs ccuaciones:
7.
10.
13
IG.
19.
22.
25.
28.
31.
34.
37.
.1:+y=l
›:+2y= 2
x y=5
4.r + y
6
3.1: + y
9
x
33 '
4
3.1: + _'1› '
0
.r = 3
gr = 4
41 H 3;*
12
3.1*
43;
7
8.
ll.
I4.
17.
20.
23.
26.
29.
32.
35.
38.
ì
1. .
í
í
x+__v
=:s
y =3
31 +
.Ir
2)'
.t
5)'
lr + _\'
lt
I _
4
lo
=s
y
2;*
0
.'?_r= 3
2.1: 3v= 6
3x
5)'
15
4): + 71'
I4
F
í
í
'_
í
É
9
12
IS
18
21
24
27
30
33
36
39
.It + Jr
'rx
.V
4
=2
.xt + 3)' =
lr ¬~ J.
.Ir + 2)* =
x+_1.'=O
s
s
3
2.: 3¬r=0
2.v
3x
3.1:
6.1
+
s
2)* =1z
2)* =s
S_1' =s
Hallc las intcrscccioncs x y y dc las rectas rcprcscntadas por las ccuacioncs siguientes:
40.
43.
46.
49.
4.1' +
5x +
4.1'
5x.
7.›'
61»
5:
i.
1
1
n_
1
I0
2
6
41
44
47
50
3
I
I
I
l
2.1' 1 5)'
4:;
7.1"
3.1:
Sy =
7
21'
I'
3
I
42.
2
45.
48.
51.
3.: + By = 4
2x
3)' = 4
3x= 2
lh' = 8
Pefldfeflfê de Uflã l'€Cf3
Considcrcsc un sistema dc coordenadas cartcsianas. Scan .›1{x, , _v,) y B(.\'¡, yg) dos
puntos dc una rccta 1.. Traccmos una recta horizontal por cl punto A y una vertical
por cl punto B. Sea C' cl punto dc inlcrscccion de estas dos rectas. Las coordenadas
cjc J'
L
BÍ `*'a › J'1)
[1 '¬
1 1)
Atxlwyl)
fx;
0
FIGURA 3.1 5
.\'| }
C(x2syl
)
cjc .r
8 I ECUACIONES Y DEIGUÃLDIDES IJIUEÃLES EN DOS VARMBLES
del punto C son (:r _¿. ,iq }. (Figura 8.15.) La distancia dirigida de A a C es tx;
distancia dirigida de (Í a B cs LP; _t',).
.
.'*'::
_
_1
.it
_
_
.cl i; la
_
F.I coctente üíwïi , st .'r¿. se .r,, se llanta pendtcnte de la recta. Cuando 1:; = xt la
pendiente no esta definida.
TEOREMA 1
La pendiente de una recta cs independiente dc los pares de puntos selec
ciütlntltts.
DEMOSTRACIÓN
Por geometria, los triattgttlos /lBt'.` 1»' A DE dc la Figura 8.16 son
scrncjalttcs.
Por ctntsiguiente
`
=
.f\(_`
AE `
EJE' _I*
D
L
H
I
(I
Í' `
0
eje .tr
FIGURA 8.16
listo es. la pendiente de la recta calculada con respecto a los puntos A y B es igual a
la calculada en relacion con los puntos fi 1.' D.
Nota
Dadas las coordenadas de dos puntos de una
recta, se puede calcular la pendiente de ésta
dividiendo la diferencia dc la ordenada del se
gundo punto 3.' la dei primero entre la dife
rencia de ia abscisa del segundo punto y la del
primero.
Encontrar la pendiente de la recta que pasa por los puntos At 3. 6) y
B(3.
2).
SOLUCIÓN
_\'¡
Si totnaznos .fl corno primer punto. lcnctnos
1 1. ' _t'
*t't.
8.3
PBIHÍOHÍOGOUIIHIECII
505
Si B es el segundo punto, se tiene
X2 = 3 Y ys = 2
La pendiente de la recta es = m
12 “ It
__ t 2) t o
_ (3)
( 3)
=:ìi2=i=2
3+3
Nota
6
3
Las coordenadas de un punto de una recta
forman una pareja ordenada de números que
satisfacen la ecuación de la recta.
Hallar la pendiente de la recta cuya ecuación es 3x + 4y = 7.
SOLUCÍÓN Primeramente se obtienen las coordenadas de dos puntos cualesquiera de
la recta, esto es, dos parejas ordenadas de números que satisfagan la ecuación.
Consideremos por ejemplo, los puntos P¡ y P; cuyas coordenadas son (1, l) y
( 3, 4), respectivamente.
Entonces
x, = 1,
yl = l,
Jr; = 3,
y
yz = 4.
La pendiente de la recta es _
(4) _ U)
( 3) ' (1)
_ 41
" 3 1
=_å
4
Nota
La ecuación By = C es equivalente a la ecua
ción Gx + By = C.
Consideremos las parejas ordenadas (I,
ecuacion.
Q
La pendiente de la recta es =
1
í.
_'
'ì
_
C
Q
y (2,
las cuales satisfacen la
8 *I ECUICIÚÉYDESIGIM LDIIIEUHEÃLESEHDDSVIIIIBLES
Por lo tanto. la pendiente de una recta cuya ecuación es de la forma By = C, o sea
una recta horizontal, es U.
Nota
La ecuación /lx = C es equivalente a la ecua
cion Ax + Uy = C.
.
.
C
Consideremos las parejas ordenadas ( Ã , l
C
. .
y 2 , 2 , las cuales satisfacen la ecua
ción.
.
2
La pendiente de la recta es =
C
A
l
1
_. _
= , la cual no está delinida.
C
0
A
Por consiguiente, la pendiente de una recta cuya ecuacion es de la iornia Ax _ C. o
sea una recta vertical. no está definida.
TEOREIIÄ 2
La pendiente de una recta cuya ecuacion es y = mx + Ii, es iii.
DEIIOSTRACIÓN
Consideremos los puntos cuyas coordenadas son (0, b) v (I, in + Ii).
.
b
La pendiente de la recta es = !Eï;_ ) E É = $ = ni
Nota
Si la ecuacion de la recta se escribe en la for
ma y = mx + b, entonces la pendiente es m,
o sea el coeficiente de .r.
Nota
Cuando la ecuación de la recta esta en la t`or
ma general Ax + By = C. B si 0, entonces
jr' =
/1
_ ¿ix 1
C
É'
.
v la pendiente es ni _
1
Encontrar la pendiente de la recta cuva ecuacion es 3)'
SDLUCIÓN
.
La ecuacion 3y
v = ¿tr + Â
W
'
3
.
2
La pendiente de la recta es É.
2.1' = 8 es equivalente a la ecuacion
2.1' == 8.
8.3
Pendiente de una recta
Hallar la pendiente de la recta cuya ecuación es 5.1* + Ty =
SOIJICIÓN
t»
_
La ecuacion 5.1' + Ty = 3 es equivalente a la ecuacion
it
1' + Â
7'
La pendiente de la recta es % .
De lo anterior podemos ver que dada la ecuacion de una recta, se puede calcular la pen
diente eii una de las dos formas siguientes:
I. Se deterininan las coordenadas de dos puntos de la recta y se sustituyen en la relación
V1 "' F1
I: ""` X]
` xl
a .r I .
2. Se escribe la ecuacion de ia recta eii la forma y = mx + b. El cocI`ii.u.ntt. dr. 1 es
la pendiente de la recta.
Ejercicios 8.3
Encuentre las pendientes de las rectas que pasan por las puntas indicados
A(0, 7), B(2, 3)
A(9, 6), B(3, 2)
A(4, 2). B(8. 4)
PFP A(3, 5), B(5, 1)
A(2, 4), B(6, 4)
3. A(2, 4), B(l0, 4)
"45".'!" A(5, 2).. B(8, 2)
9. A(4, 6). B(7, 6)
10. A( 3, 1), B(3, l)
ll. A(3,
I), B(3, 3)
12. A( I, 6), B( I, 2)
13. A( 5,4). B( 5, 2)
14. A(6, 7). B(6, 9)
15. A( 5.11). B(I, 2)
16. A[4. 0), B( 16, 4)
17. A( 4, 5), B(ll, 7)
18. A(3, 8), B( 2, 7)
19. A( 12, 9), B(0. 15)
20. A(r 3,4), B( 1, 2)
Obtenga las pendientes de las rectas representadas por las siguientes ecuaciones, en dos
formas:
1
A(2, I), B(5, 7)
22.
24.
27.
30.
33.
36.
39.
42.
45.
48.
4x 3y= 0
4.r+5y= 0
2x+5=0
x+y=2
.r+4y= 5
3.1' 2y= 5
4x+3y= 6
2x+Sy= 1
4.i:+6y= 7
3y 2.x= O
23.
25..r+3_v=0
28. ?.1r+7y=0
31. 4y+9=O
26.
34.
3.x+y=4
37.
40.
43.
46.
49.
.tr 2y=3
2.1: 3y== 6
2y 5.r= 3
7.i:+8y= 10
2.r+6y= 3
29.
32.
35.
38.
41.
44,
47.
50.
Zy 5x=0
3x+ 2y=O
3x 8
2)*
3
.r + Gy
QWGG
y
2.1'
2x 4y=9
4y 3x=7
9.r+4_v=
5x+2y=3
8 I' ECUÃCHESYDÉGUÃLDIDESLÉEILESHDOSVAIIIILES
Ecuaciones de rectas
Una ecuacion lineal en dos variables representa una recta. Dada la ecuacion, podemos
encontrar coordenadas de puntos de la recta, ias intersecciones x y y, y también la peti
dìente de la recta. Ahora estudiaretnos como encontrar la ecuacion de la recta, contan
do con parte de la informacion sobre ella.
Ecuación de una recta que pasa por dos puntos dados
Dada la ecuación de una recta y un sistema de coordenadas cartesianas, es posible en
contrar Ias coordenadas de dos de sus puntos Y hallar asi, tal recta. Puesto que dos pun
tos distintos deterrninan una recta única, encontraremos la ecuacion de una recta dados
dos puntos de ella.
Su aongamos que los dos puntos dados son P, (x, , y,) y P¿(.r¡ , yz). Sea Ptx, y) un
punto tenérìco de la recta, diferente de los puntos P, y PE, como se muestra en la Fi
gura F.I7.
eje _i '
P¡t.t¿, _r;_›l
Pla', _v)
Pifïi .Vil
0
A
B
eje .tr
FIGURA 8.17
La pendiente de la recta calculada con respecto a los puntos P,(x, , ,i ,) v P(.r, _i›) es
.V " .Vi
X _ .xt '
La pendiente de la recta calculada en relacion con los puntos P¡(.r¡, _v,) y P, ¿(.=r¿, y_ 3) es
Ji:
.Vi
' ì."'“_'“'__`2
_, xl ', Â: ¢ Ã] .
Puesto que la pendiente de una recta es la misma pat'a todos sus puntos, tenemos
J' "` Jit
.V2 _ .Pt
Ã' _' .Yi
X3 _ .ri
que es la ecuacion de la recta que pasa por dos puntos dados.
3.4
Ecuitdoiiesderectias
HOÚBS
1. Cuando x1
x, = o, la pendiente de la
recta no esta definida. La recta es vertical
y su ecuacion es x = tt.
La ecuacion del eje y es x = O.
2. Cuando yz = y, = b, la recta es horizon
tal y su ecuacion es y = b.
La ecuación del eje x es y = 0.
Encontrar la ecuacion de la recta que pasa por los puntos A(3, 2)
BU, 3).
SOLUCION
O SGH.
La ecuacion dela recta es y
( 2)
x '(3)
H: +
H
_
ili I
Lai
5
.
=†= 4',
o bien,
5x
3
l 2)
7 3'
4y = 23.
Ecuación de una recta, dado uno de sus puntos
P1tx1, y.,) y su pendiente m
Para cualquier punto Pix, y) si P,(x, , y,) de una recta, la pendiente es m =
%
Por consiguiente, la ecuacion de una recta, dado un punto v la pendiente, es
y_
.Pi_
¡._xl ni.
Obtener la ecuacion de la recta que pasa por el punto At 4, 1) con pen
diente 3
SOLUCION
Esto es,
La ecuacion de la recta es
'He
H +
FI
,
o bieii
NOÉ3
y _ 1 P ~ 3.
x ( 4)
3.r y =
13.
La ecuación de la recta que pasa por el punto
b
(0, bl y de pendiente ni es
= rn, esto
es,y b = m:roy= mx+ b.
Puesto que ni es la pendiente de la recta
y b es la ordenada al origen, la ecuacion y =
mx + b se llama ecuacion de la recta dados
la pendiente y la ordenada al origen".
8
ECUiItCtOiiE$ Y BESIGUALDADES IJNEALES EN Do! VARIABLES
Ecuación de una recta, dadas sus intersecciones
Si ri v ii soii las intersecciones ir y _if, respectivamente, y ambas son distintas de cero.
entonces los puntos ta, O) v (0, ii) pertenecen a la recta. Por lo tanto. la ecuacion de
la recta es
v 0
.ir a1
__'
_
_
_
Es decir,
1
ii
0
ti
si `
_
_i '
X. _ ¿, =
ti
_?
_
o bien
¿ix + ey = db.
Í
Divìdicndo atnbos mienibros de la ecuacion por ob, obtenemos
xtry t
tt
b_
que es ia llamada ecudcitin si'irieiri`cri de la recta o bien su formo iriierseccidn.
Nota
Si la recta pasa por el origen, no se puede eit
presar en la forma intersección. ¿Por que?
Determinar la ecuacion de la recta cuyas intersecciones .ir y _i«' son 2 y 7,
respectivamente.
SOLUCION
O sea,
La ecuacion de la recta es
7.1'
+
= l.
2_v = I4.
Ejercicios 8.4
Encuentre la ectiacìon de la recta que pasa por los puntos dados:
. M0, 0). B(2, 3)
. A(0, 3), B(4, 0)
. M0,
l), B(2..U)
A( 2, 2), B(3, I)
lUIi'. n I .I
9. A(l, l), B(2, 2)
ll. A(2, l), B( 4, 2)
13. A(3, 5), B(3, 2)
15. A( 2,
l), B(6, 1)
.
fliàgd.
3.
10.
12
I4.
16.
M0, 0). Bl _ l, 2)
A(0, 2). Bi 5, 0)
A(0, 4). Bi 6, 0)
A( 3, 4). B(o, 2)
A(4,
l), B( 4, 5)
:lb f
4), BU, 2)
A('
B( 2, 9)
A( PPT _F_f f ¿I B(7, 4)
Determine la ecuacion de la recta que pasa por el punto dado coii la pendiente indicada:
17.
20.
23.
26.
A(3,
A(0,
A(3,
A(2,
ll; U
4); 0
1); 2
1); 3
13.
21.
24.
27.
A(2,5); 0
A(l,2); 3
A(4, 3); l
A{3,2); 5
19.
22.
25.
28.
A( 2. ll; O
A(2,4); 5
Atl, 3);
2
A(2,2); 4
8.4
Ecuaciones de rectas
29.
2
At *3,2l, 3.
32.
A(2.
3);
311
30.
l
r;
A(5,
33.
.fl( l.
3
I), Z
2):
31.
5
5
34.
2
A( l,4), š
3
5
A( 5, 3):
Halle la ecuacion de la recta correspondiente a las ìntersecciones .ir y _i dadas:
E
39.
4s.3
41.
Sl.
.33
'io
IJ
t
H'
4
3.3
te
2:
.PF
1
.ta oi¦"'I."'
5 9@
La J'
3
'
U1
.Hbui
.s;
49. 3; t›
IiUI
53.
o:
$5
so.
54
_t ,›osÍ. Ã.
2*'
7; 2
3:
Lhb1
I' J
ss.
N
Lai
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lä
te1 »¡opio ¿si
I' J
¬J
sv.
l''U't
J¬ J
U1
FI
CT*
ss.
lä
tu .i
'J
Li I'
¡í
sistemas d_e dos ecuaciones lineales
en dOS V3|'|3bIe$
Los elctnciitos del conjunto solucion de una ccttacion lineal dx + by = t* constituyen
una caiitìdad itil`init ide parejas ordetiadas tx, iv) que pueden representarse gráficatiien
tc con tina línea recta.
Cuando se dibujan las gráficas de dos ecuaciones lineales en dos variables en tin
sistema de coordenadas cartesianas surge utia de las siguientes posibilidades:
I. Las dos rectas coinciden.
2. Las rectas nt. se iittersccttn: en tal caso se llaman rectas paralelas.
3. Las rectas se ititersccan precisamente en un punto.
QI'
QOIUCIOII U6 SISÍGITIQS U9 O05 ECUBCÍOIIES
I|I'I93I€$ EN UOS VBFIBDIES
A veces se requiere cticontrar la solucion común, o conjunto solución común de dos
ti mas ecuaciones que iortnan lo que se denomina tin sistema de ecuaciones.
El conjunto solucioti de un sistema de ecuaciones es, por consiguiente, la intersec
cion de los conjuntos solucion de cada una de las ecuaciones del sistema.
DEFINICION
El conjunto solución de un sistetna de dos ecuaciones en dos variables
es el conjttnto de todas las parejas ordenadas de ntiiiieros que constituyen soluciones
comunes a las dos ecuaciones. Es la intersección del conjunto solucion de una de las
ecuaciones con el de la otra.
I *I ECIMUOÉYDEGUILDIDBLÉILISBIDOSVIIIIHB
El conjunto solución del sistema
al r+b1r=f|
Y
fl2r+b2r=f±
GS
{( ï›.'F)|flt Í + bt? = ft] n {( f JÚIU2 Í + ¿LV = Czi
Nata
1. Cuando las dos rectas coinciden, el con
junto solución del sistema es el de cualquie
ra de las ecuaciones.
2. Cuando las dos rectas no se intersecan, el
conjunto solución del sistema es fa.
3. Cuando las dos rectas se intersecan exac
tamente en un punto, el conjunto solución
del sistema es la pareja ordenada forma
da por las coordenadas del punto de inter
seccion.
Solución gráfica
Para resolver grtifìcamente un sistema de dos ecuaciones lineales en dos variables, se
dibujan las gráficas de ambas ecuaciones en un sistema de ejes coordenados. Las coor
denadas del punto de intersección, si existe, proporcionan la pareja ordenada de núme
ros que es el conjunto solución del sistema.
Nota
Las coordenadas del punto de intersección no
siempre se pueden leer exactamente, de esta
manera, la solución gráfica resulta ser apro
: timada.
El conjunto solución del sistema 5x + Sy = 14 3* 9x + 4y = 18 es (1.36, 1.44).
NOCH
Las rectas se podrian intersecar en un punto
muy alejado del campo visual abarcado por
la gráfica, dando por consiguiente la aparien
cia de ser paralelas. El conjunto solución del
sistema 3x + fly = 5 y 2x + 3y =
(35, 25).
Encontrar gráficamente la solución del sistema de ecuaciones.
x+,if=6
y
3.1' y=2.
5 es
8.6
solttelúndesütemasdedoseerradoneslnealenndasvafiables
SDLUCIÓN Se dibujan las rectas correspondientes a las dos ecuaciones en un mismo
sistema de coordenadas cartesianas.
Se trazan perpendiculares del punto de intersección de las dos rectas a los ejes x
y y, y se determinan las coordenadas de dicho punto (Figura 8.18).
El conjunto solución es {(2, 4)}.
eje y
7
6
31' y=2
S
4
3
2
ss a4 es 2
x+y=ó
eje .r
B
112345678
“Ñ
4
í
Ii'
FIGURA 3.18
Ejercicios 8.6A
Resueiva gráficamente los sistemas de ecuaciones siguientes:
I.
x = l
.r l y = 2
4.' y=
3
lr y='?
7.
10.
13.
.r y
3
l
.r+y
x+y
D
2x+ Y =4
.r y= 5
3.r+2y=5
2.
.r
2
x+3y=5
5.x+y=3
2.1: 1 y= 4
8 x+2y= 5
2x
5
ll. 5 t _.2},= 0
y= 6
I4.
y=2
9"? 3y=l
±}!'= ""
3.y= I
3.r+y= 2
6..r+y=4
.r+2_v=7
9.x 3y=4
lr 3y=
12.1f+; =n
3x 2y=
1s.:›.r+3y=
3;: y=
8 I ECUÃCIONESYDESIGUAIDÃDESLINEALESEHDOSVÃRMBLES
16.
.r 2_v=3
2.r+3y= fl
19. 5.: + 4;* = 2
?.r+3y=5
22. 5.r+2_v=2
4.r+3jv= 4
25.x+2_v=3
2x+4_v=l
I7.
20.
23.
26.
3.r+
=7
3
2x
=ii
3x
2x+ SF: ll
.tr 2_jv=3
3.1' 4_V= 6
lr _,v=4
ox 3jr=4
18.1' 2v=4
I'
3.1' i v=
21.41' 3t'=2
24.
27.
5.r+v=
2.1: v=
4.r+v=5
21r+6_r=ll
.r+3_jv=3
Solución algebraica
La solución algebraica de un sistema de dos ecuaciones lineales en dos variables pro
porciona el conjunto solucion preciso, no uno aproximado, como en el caso del nte
todo gráfico. Existen dos métodos para resolver algebraicamcnte un sistema de dos ecua
ciones lineales en dos variables: eliminación (o adición) y sustitución.
Método de eliminación
Las rectas .r
rr 3' _t' = h se intersecan en el punto cuyas coordenadas son (rr, b). Asi
que cl conjunto solucitin del sistema de ecuaciones lineales .vr = of y y = b es {(a, b)}.
Para obtener algcbraicamcntc cl conjunto solución de un sistema de dos ecuaciones
lineales en dos variables, transformamos las ecuaciones dadas en ecuaciones equivalen
tes de la forma .r = a y y = b, entonces el conjunto solución es
lts. _r)|x = Hi Ñ llx. _r1|:›" = bl = lla. bil
TEOREMÃ 3 Si (Jr, . _v¡) es una solucion de la ecuación ara' + bl): + c, = 0 y tam
bién de la ecuacion es + bgy + cg = 0, entonces es solución de la ecuacion
p(a,.r + bry + cl) + q(a1x + hay + cg) = 0
donde p, 1; E R y ¡J y q no son cero a la vez.
DEMOSTRACIÓN
Dado que tx, , ju) es solución de la ecuación
u,.t* + 11,31 + c, = 0
entonces
(I)
u,.r| + b,y¡ + cl = 0.
Como Lv, , y|) es también solución de la ecuacion
azar + bay + ¿ 3 = (_)
(2)
8.6
Solución de sistemas de dos ecuaciones lineales en dos variables
entonces
315
agar, + t›¿›_.v¡ + c; = 0.
Consiclérese la ecuación
p(u|.r + b,_v + c.) + r¡(u¿.v + b_ ¿ty + t'_¬, `) = 0.
(3)
Sustituvendo X v y en la ecuación (3) por los valores x, v _v¡ , respectivamente, se obtiene
Asi que si (x1, yl) es una solución de las ecuaciones (I) v (2), también es solución de
la ecuación (3).
El primer miembro de la ecuación (3) se llama combinación lineal delos primeros miem
bros de las ecuaciones (1) y (2).
Puesto que el conjunto solución del sistema formado por las ecuaciones (1) y (2)
es subconjunto del conjunto solución de la ecuación (3), el sistema formado por las
ecuaciones (3) y (1), o las ecuaciones (3) v (2), es equivalente al sistema formado por
las ecuaciones (l) v (2).
La ecuación (3) se puede reducir a una de la forma rx + r = 0, (o r'y + f' = 0),
eligiendo p y q, de tal manera, que los coeficientes de y (o x) se vuelvan inversos aditi
vos Una vez que se ha encontrado el valor de x (o y), se puede determinar el valor
de y to Jr) a partir de la otra ecuación del sistema. Puesto que p v q se eligen, de tal
manera que el coeficiente dc y sea cero, esto es, se elimina y, el método se llama de
eliminación.
Aplicando el método de eliminación, determinan el conjunto solución del
sistema de ecuaciones
2x y 7=O
SOLUCIÓN
y
3,v+4_v 5:0.
Consideremos la ecuación p(2..t'
Tomando p
jv
7) + r¡(3.v + 4_v
3 v q = 2, se tiene
3(2›.' Y"7]+( 2)@ f+4}"'5)=Ú
Gx 33; 2] óx 3jv+l0=0
ll_v=ll
y= l
Por lo tanto, el sistema original es equivalente al sistema
2.1: y 7:0
y
Al sustituir y por ( l) en 2.1'
2.1'
( I)
Por consiguiente,
x=3.
7 = 0,
_v= l.
_t *
o bien
7 = 0, se obtiene
2x = 6.
5) = 0.
8
Ewlí Y LMflBHDG WIIIIAIIB
El sistema original es equivalente al sistema
x == 3
v
y =
1.
En consecuencia, el conjunto solución es
ll Y. yìl 1' = 3l U ltsnyìly = 1l={(3.. I)l
Cuando las ecuaciones están escritas en la forma ax + by = c, la tecnica de solu
ción del sistema dc ecuaciones por eliminación empleando el principio anterior, se ilus
tra mediante el ejemplo siguiente:
Utilizando el método de eliminación, hallar el conjunto solución del siste
ma de ecuaciones
3x+2_v=l2
y
Sx 3y=l.
SOLUCIÓN Con el fin de eliminar x, nacemos sus coeficientes en ambas ecuaciones
numértcamente iguales al minimo común mtiltiplo de sus coeficientes originales pero
con signos opuestos.
El minimo común mtiltiplo de 3 y 5 es I5.
¡(1
3.r+2y=l2
4 It
l5x+l0y=6Ú
sx 3y=1to
1 t_s_t †sy= 3
Sumando, obtenemos
Por lo tanto.
19)' = 37
.V = 3
El sistema original es equivalente al sistema
3x + 2y = l2
y
y = 3.
Al sustituir y por 3 en 3x + 2y = 12. obtenemos
3.1: + 2(3) = 12 o bien 3x = 6.
Por consiguiente, x = 2.
El sistema original es equivalente al sistema
I = 2
Y
y = 3.
el cual tiene el conjunto solución.
lts ›*)| X = 2l f`1l(r.›')|y = 3l = l(2. 3)l
Para comprobar la solución, se sustituye (2, 3) en la ecuación 5x
SX 3y=5(2) 3{3)=l0 9=l
Por lo tanto, el conjunto solución es {(2, 3)).
y
I=l.
3y = l.
8.6
Sotuciúndcsistienrasdedosectlacioneslínealcsendosvarlattlcs
Nota
317
Sumar las ecuaciones (I) y (2) del Teorema 3
de la página 314, tal como se ilustró en el
ejemplo anterior, es otra forma de escribir
p(c¡.r i b,_v + c¡) + elegi* + by + cg) == 0.
Aplicando el método de eliminación, hallar el conjunto solución del sistema
de ecuaciones
4x + 3y =
SOLUCIÓN
6
3,'
3.t' óy = 10.
El minimo común múltiple de los coeficientes de y es 6.
4.r+3y= 6
ii ›
3.r+óy= l2
3.1' 6,v= 10
_
Li* La
3.1: ó_v= 10
llx = 22
Al sumar_ se_, obtiene
Por consiguiente, .r = 2.
.t_ _ _ 2
El sistema original es equivalente al sistema
4.t'+3_v= 6
y
.r= 2.
Sustituyendo, Jr por ( 2) en 4.1: + 3y =
4{ 2) + 3)* =
6
o bien
ó, se obtiene
3_v = 2.
Por lo tanto, y = É .
El sistema original cs eqiiivalente al sistema
Ji' =
"'2
Y
2
ji = É .
Por consiguiente, el conjunto solución es
its. ,vil 1' = "Él Ñ {(I.›') _v =
Nota
= H
2.
{(.r,_v)|0x + Uy = a. a ss 0} = (25
y
lor. :dlllt + Uy = 0} = lts iflls. y E R}
Con cl método de eliminación, encontrar el conjunto solución del sistema
x+2y=3
y
2.r+4y=7.
8 I ECUICIOHES Y DESIGUILDIDE LIIEILES EN DOS VÃRIÃBLES
SOLUCION
El miniino común múltiplo de los cocficiciitcs de J: es 2.
.r+2_v=3
lr dy
2.r+4_v=7
ía
2x I;_4_v
Sumando se obtiene
0.1: + Uv
l
6
.I
í
í II
l
El sistema original es equivalente al sistcnia
.v + 2,v = 3
y
Us + Oy =
Por lo tanto, el conjunto solución es
(ts, _ _t››|.i + 2; = 3} n toi. .viltn + ev = ll
= {(.r¬.}')|.t + 2)' = 3} Fl 21 = ø
Aplicando cl método dc eliminación, hallar el conjunto solución del sistema
2x
SOLUCIÓN
2x
,if = 5
y
Eur
3_v = 15.
El niinimo coiniin múltiplo de los coeficientes de y es 3.
v=
(ur 3v=l5
ir
fix 3_v=
Al sumar se obtictie
l5
(lx + Oy =
El sistema original es equivalente al sistema
2;: f _v = 5
3'
0.1' + Oy = 0.
Por consiguiente, el coiijunto solución es
{(_x, _v)|2.t
_v = 5} 1') {(.t, y)|0x + Oy = 0}
= ll r.y)l? I _ .v = 5i f`l {(.r.}')lI Y G Rl
= lt I. ›')|lf _ if = Sl
Ejercicios 8.63
Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por eliminación:
l..r+y=2
2.t'* y=l
4. .r+4_v = 5
3:: 4y= I7
7o
10.
3x+2_v= *Í
2J.'+y=4
3.1' 2y=27
3.1' _v
2.i'+_v
5. .r+ 23'
.r+3_v
MJOGCHLHCJ*
su
J'
2x+.iy=9
ll..1: 2_v== l2
6x+_v= I9
4.1: _v=6
3x+y=l
J: l 4y=3
x y= 2
2.
2.: y=3
12.
3.r+2y=8
3x 2y=7
4x+y=2 4
3.6
Satuctóndesistetnasdedosccuaclonesllncatesendosvariabtes
13.
,t:+3y= 2
3x + 5_v= 6
Tx
6y=l7
3x + y=* 13
4x + 3y=ó
5y=l9
3.1'
3.1:
r=*l
Zx + : '=6
.tt y=l
2x+ 3y=
16.
19.
22.
25.
23.
31.
34.
2.: 3y=l2
4.t'+5y= 20
5.r+2y=3
'ix 3y=lO
61 7y=l0
8x l3_v=ó
5x l _v= l
ll.t+4y= l
2.1 4j;=l
4x 2y=3
l5.t: 9y= 5
8x l y=7
fur 3y=4
2x y=3
5x 5y=3
.r y=7
3.r+4_v=5
9x+4y=9
.ir 2y=l
2x 4y=3
3x + r=1
ox + 2y=5
37.
40.
2y=7
3x
óx _. 4y=l4
3x
›*=: 1
2y 6x=2
381
4.1: óy=3
41. _v 3.r=l
9.1' 3y= 3
21' 7y= 26
5.t'+y=9
2x+5y= l
3x 2y=27
3.r+y=l
.r+2_v=3
? I .v =2
6.: 7y=3
4.1' 9y= 9
2.t+óy=l3
4.t:+6y=7
3x+5y=6
2.t+y=3
3.t'+4y=9
.t'+3_v=3
2.r+6_v=l3
x+2y= 2
3x+óy= 6
3y .r=2
x 3y= 2
Método de sustitución
El conjunto solución de un sistema de dos ocuacioiics lineales en dos variables contiene
parejas ordenadas de números reales (ir, y) que satisfacen ambas ecuaciones. Esto es, si
(x, y) pertenece al conjunto solución del sistema, entonces (Jr, y) debe estar en el conjun
to solución de cada uiia de las ecuaciones.
El método de sustitución para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales en dos
variables se basa eii este principio..
Para determinar el conjunto solución dc un sistema dc dos ecuaciones lineales en
dos variables por sustitución:
I. Se expresa una de las variables en terminos de la otra a partir de una de las ecuaciones.
2. Se sustituye la csprcsión obtenida en el paso l en la otra ecuación para hallar una
ecuación lineal eii una variable.
3. Se resuelve la ecuación lineal resultaiite en una variable para encontrar el valor especi
fico de esa variable.
4. Se sustituye la solución obtenida eii el paso 3 en la ecuacióii resultante en el paso I
para determinar el valor especifico de la otra variable.
Resolver por sustitución el siguiente sistenia de ecuaciones:
.v
ji' = 6
SOLUCION
.ir
3'
3.1: + fit = 2.
De la primera ecuación cspresamos .ir en terminos de y.
_v + 6.
B I ECUICIOIESYDESIGUILDADBLHEIIBHDOSVAHIIIH
Sustìtuimos x por (y + 6) en la segunda ecuación.
3(y+6)+y
3y+l3+y
4)'
J'
2
2
.__
'12
í
í
14.
í
4
í
í
El sistema original es equivalente al sistema
x=y+6
y
y= 4.
Sustituyendo y por ( 4) en x = y + 6, obtenemos
2.
x=( 4)+6
El sistema original es equivalente al sistema
x 2
y
y
4
El conjunto solución es
{( r.y)| If = 2} Ñ {(1 ›')|.v = 4} = {(2. 4>}
Con el método de sustitución, obtener ci conjunto solución del sistema de
ecuaciones
dx 9y=l2
SOLUCIÓN
y
2x+6y= I.
De la primera ecuación, x
.
Susmuycndo .rc por
91ȓ+ 12
__ 9y +12
4
..
en la segunda ecuacion
2(9%2) +6y= 1
9)* + 12
__
2
+ 6¿Y =
1
Al multiplicar ambos miembros de la ecuación por 2, obtenemos
9)» + 12 + l2y
2ly
í
j
Por consiguiente,
v=
'
14
2]
2
3
3.5
SOIIICÍÓII UE SÍSÍEIIIHS G9 UU! ECIIHCÍÚIIBS IÍIIBEIES EN UDS UHFÍBIIÍES
El sistema original es cqttivaiente al sistema
`
9*+ [2
4
1' : L
3:
._ _
bnstltuycndo y por
2
~_š
9< at 2
'V'
_
4
V =
2
3
en Jr =
9'+
17._
t
resuita
1*':'±3._É=§
4
4 2
El sistema origittal es equitfalente al sistema
1.
.,
2
tf
t
, _ ..¿_* .
El conjunto solucion es
s~tt=t<;~s>t
E¡erc|c|os 8.66
C't¬›n el metodo de sustitución, resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones
1.
4.
7.
.tt _v=ü
3.t+2y=5
.c+ 2y=0
3.t'+2y= 4
J: 31 '=2
2)
4.1:
lr
4,1'
9.r
lr
4.1'
F1
10.
13.
16.
41' +
22..
3.t +
3.1' +
4.1: +
23.
4x
'?.t'
L
3
7
+
_
+I
IO
1 7y= l3
19.
25.
Sy
_
I u I_
=s
35*
33:
23*
Zu
3)'
Sy
2.1: 2y=0
.r+2_y=8
S r _; =l
2x+y= 8
x y= 5
x+4_\†= IO
5x+
3.t' Íy = IO
4.1: 3,
Il
3.1: Sy= 4
21...
9
7.I+ 2;* =
2.r+ Sy =
3.t'+ Ty =
ln
í.
=
=
=
=
SÃ _
Ty
Im
'_
'Lt 4_,v
5
3x 41v
4.1' 51.' = l
2x+ 3y = 3
.t'+5y= 4
_
í
=
6.1' + St' =
'Lt + by =
í
_'
't fl¬ Jafl ìü ' JL› ¡LH .I
F1 Lnu ¡=
3..t:+3y
421 y
6.1' 21'
.r+3_v
5.1'
.V
3x+_1u
í.
í
i
í
ì
í
'
í.
í
yn.
Iï
_
3x+ Y
_
í
~3l .1 . i .I' 1¦=
5
4.t'+ 3 }'= 5
3.1' y=l4
5x 7)*
2
1,... 3y = 6
3x 2y
3.r+ 4y= l
21: t~ 3y
5x+ óy = lO
4x+ 9)'
zx 33; = S
3.r+ 4›
lx + 6y= 5
'ix J'
l
P
:
B ' ECUICIOHESYDESIGUÃLDIDESLIIEILESEHDOSVIRIJIBLES
sistema; de ecuaciones lineales en
dps variables que contlenen _
simbolos de agrupaclón y fracciones
Cuando alguna o ambas ecuaciones contienen simbolos de agrupacion, se aplica la ley
distributiva para eliminarlos. Se escriben ecuaciones equivalentes de la forma ax + by =
c ¬_v, luego, se resuelve.
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
3(.t' + y) = 2(.1r
fly) + I3
y
5(2x + y) = 3x + 19.
5€ simplìfican ambas ecuaciones separadamente:
SOLUCIÓN
3(x + y)
3.1r+3y
í
ig.
2(x
45') + 13
lt' 8y+l3
5(2x + y)
¡U1 I Sy
7x+5y
Jr t ll,v=l3
Resolvemos ahora el sistema .tr + lly = 13
x+lly=t3
7x+
5y=
í
.j
K il? 2 1»
7.1: 773;
19 _*
211' $2
Sumando resulta
72y
Por lo tanto,
3,
_
Í
y
LX
Ii
72
í
Tí
í
7:: + Sy =
m
_w
_
í
Iì
3x + 19
3x + 19
19
1
El sistema es equivalente a
.t'+lly=l3
y
y=l.
Sustìtuyendo y por l en .tr + lly = i3, obtenemos
x + 11(1) = I3
o bien
.tr = 2.
El sistema original es equivalente al sistema
J: = 2
y
y = 1.
El conjunto solucion es
{u›.. ¿olx = 2} n {t.r.y›|,v = ll = {t2. t)}
Cuando una ecuacion lineal tiene coeficientes fraccionarios, se puede obtener una ecua
cion equivalente con coeficientes enteros, multiplicando ambos miembros de la ecuacion
por el minimo común mtiltiplo de los denominadores presentes en la ecuacion.
8.8
Ecuaciones fracclonarlas que pueden hacerse lineales
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones
l
3
it
1 t~
'I
SOLUCIÓN
solvemos.
zi
7
I
3 _
v
5
3 .t + É _; 313
_
1
Mnltiplicamos la primera ecuacion por 4 ia segunda por I2 y luego re
sy = ze
3 › ztn
lll'
su + toy = lso
”"i'i ››
:toy
í
27.: + 30;;
I
Sumando se obtiene
Por consiguiente,
47.1'
J:
El sistema es equivalente al sistema
2:r
3,1; =
28
y
.tr = 4.
Sustituyendo .ir por 4 en 2.1'
2(4)
Jy =
23,
3y =
o bien
28, obtenemos
y = 12.
El sistema original es equivalente al sistema
.tr = 4
y
y = 12.
El conjunto solucion es
lts. sil 1' = 4}1¬l(.r.yJ|›f = l2} = lt 4, 12)}
Ecuaciones fraccionarías que pueden
hacerse lineales
A menudo, encontramos ecuaciones fraccionarias con tartables en el denominador La
eliminacion de las fracciones da lugar a ecuaciones de grado mayor En algunos casos
un cambio de variables proporciona una ecuacion lineal
Consideremos por ejemplo la ecuacion
Ã,
.tr
5
2_v
_3_3_
_
l2'
l'v1ultiplicando por el m.c.m., l2.t'_v, se obtiene la ecuacion 24» + 30.t = 2311', la cual
no es lineal.
8 r ECUACIONES Y DESIGUILDJIDE LIIEÄLES EN DOS VAIIIIIBLES
..
.
I
Sam embargo. st hacemos rr =
ecuacion
2«
y
b :
l
. ..
entonces la sustuucton da lugar a la
e
que es ttna ecttaciún lineal en rr 3' b. De esta manera se obtienen ecuaciones lineales en
a y li que pueden resolverse por los metodos vistos. Despues de encontrar los valores
de rr gr ii, podernos calcular los de .tr 3.* _t '.
Resolver el siguiente sistema de ecttaciones:
.å+_.§__ _ ? _3f_
t'
,_.
.?.v_l2
SOLUCÍON
__1__+Ã....Â
'
2.1:
AI rccmpittaar
5
Ze + 241
v 3
por rr 3;
por It. obtenemos
23
¡rá
(1)
L
tÍ
2a+3[J_ 3.
(2)
Se multiplica la ecuacion ll) por 12 y la (2) por 6, y se resuelve.
24a+sot›=23 Li” ›
sa+tst›=1o L”,
72a+eot›= se
tsa aet›= se
Sumando resulta
57a
=
Por consiguiente.
tt =
l9
l
3
El sistema es equivalente a
24:: + Jüb : 23
v
n =
Al sustituir rr por ã en 24a + 30h = 23, se obtiene
24(å) + 30b = 23
Puesto
q
ue rr
Jr = 3
I
I
.t
y
Esto es. b =
'b f L
.t 1*
_t '
_t
i
2'
se tiene
2.
El conjunto solucicin del sistettta original es
lts. _v›|.t s sl U tor. _v)|,t› _ :tt _ lts, zi).
'
8.8 Ecuaclrmes Fraccionaria: que pueden hacerse lineales
EIEÍCÍCÍOS 3.7 8.3
Resuclva los siguientes sistemas de ecuaciones:
I
.ix + 2{_v
2.1:
3) † 2_v
2,
2(_v + 7)
:2
4(.t' + 6) + 7;, =2s
5 2l3..r
4) + 3l2_v
7) = 35
lt rr l3_v + .r) = 7
7. 3(:r
2_'v) + 2{.r + 3) = 4
4t I' + _vi
3(.r 1 25') = 2
9. 5{.r
31') 2(2.r 5_v) = El
212.1 + _v)
Lt' ._¡,}=9
2[.r l Syl : 3l.t'
21:) = 10
7(.t'
3_r) =
4_v_) + 2l.r
2
IJ. 21'
3
1 t|_ __
¡xv
=
II Q
:
UI I' '. › I
15.
`1I
__
'f"¦
`.*I
t
to" + Ei' "
.r
M
i
+
I rd"
1.
“I +
'ft
v=7
.lt st. t
H
'
12
.IL | 1
_
_.=4
11
¦ tI t ll
:I
trs.:. ›J.ta›
11
Í
3
tt = L?
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_.¡.= 1.
24
F=›t.›t~.t' .¦ J,_nt. ›~_›.¡:t.
1
es
2.r t: 3_v
3
_
,._.___¿
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_.
_
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1
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_,
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_,\1
I:
r+ v=
+ '_:
___
5
3
so out eatuioe soesp
.r+_v
“alM”»Js
3.1'
í
.t"`2
.r
3.r
Sv
~_l
3
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I
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Ú
.r
_í*+ ig 'E
2
3
.r+_v__3..r+4_v
s
I_
`fi
t~¬›_f. cot.›vsr.t~icr~t. t =
.t'+_t
...__
.t + .ir
_í¡__
12
l2
v
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J' 4
1 ir
¿tr
4
2
r
_ __,,___1_
_¡,
i
25
§,_.+l ..3
tt' 23'
H
9I
¡¡,
C3* Ii MJ
(Jr + _v) = 19
5(3.r + 8_vl + 2t.x + Zv) = 3
55
r + :.__.= ii.
21
C71' .J'?|
23.
4(?.r + 7_v)
29
H '11
$C"¬.r il' JI¬ .lU'Il"\J'
21.
3t2r + 33') + 4{`3.r
t) =
6(.r + _v)
(4.r + _; ) =
13
II
3t,r + 2) =
3(2t + :ri = 2tx Zy) + 26
P (I jr) = 3(2.t + 3;) 22
L¡.I 1 u
. t' “_
19. _
6.
5.1: + 4(,t'
3) =
9
3.1:
2(2_v + 3) = 4
7( 1' '_ JF) + 2(_;r + 4_v) =
3.
~:›.
1
t
U1
17.
*lts + I)
mts.:
Ls
l*~. 'tL . ›¬.iDo
=
4
2
"¡_
3_tf) + 3(2_v
411 ~ |› tu _»›
(_t ' + 2.1:) = 4
3. 3.1:
.'.i(.r
6
"s
ZÍI
1.1
I
2
Zr _v_.r _t__l
3
2
6
3x _t
.t 3_t_
4
t
1
“tz
3 ' ECUACIONES Y OESIGIMLDIOES IJIEALES EN OOS VARIABLES
27.
2y_ .r
4yi.r
1
e
2 "s
n sy_o+sy_§
4
3 "4
ze. f_ï_ “._§~*+>'._. 1
3
s
e
4
9
4
v
41'
3x ....___¡
1
4
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23.2
_T"' Í_'2s
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2
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12
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it. t~I¦' It iv t
n.__É=š
Z
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Z
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2
y
.___¦¡"l'iJ'I
3.:
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2
.íìï
. í
¦ tt
lä
ìwí
3_vd2
4
7
+
v
6
I
v F 2
11'
1 21
1'.._å
4?
1.*
54
..31_fi
.__Ltnwti tlf .t +3. _. 1.?
2 2
+
M..
3v
23;
l2
l
5
7
3): + 4)*
3
1'
24
3x
5
e
t v_
4
+
_v
ïlt "~.r 'I¦"tI* 1
39.
_'
3
ji'
35
3I:_____
être if .±*=__,
3
31.
I+_y
5
I3
?.r3_v6
4
Zv
F'
v
.tl_ j*».r:§_ft. nl;' .t
3
IS
Lil
'5 jr 6
É l_?_3.
.r
2_v
I2
Problemas planteados con palabras
Muchos problemas planteados con palabras se pueden resolver usando ecuaciones en dos
variables. Se representan dos de las cantidades incógnitas del problema mediante dos va
riables. Las demas cantidades incógnitas se cspresan en términos de las dos variables.
Se traducen los enunciados verbales a dos ecuaciones. Se resuelven las ecuaciones ett las
variables y se calculan las cantidades incógnitas. Por último se comprueba la respuesta
ett el problema inicial planteado con palabras.
Los ejemplos siguientes ilustran algunos tipos de problemas que pueden resolverse
utilizando ecuaciones en dos variables.
8.9
Pfflfilflfllãã Dlàlìffiitlfli l¦0|I PIIHIIIIS
327
El doble de un número supera en 9 al triple de otro mientras que 12 veces
el segundo excede en 12 unidades al séptuplo del primero. Hallar ambos.
SOIUCIÓH
Prirrrer mimcro
Segundo número
.r
y
zx
=
'i'
9,
esta es,
l2_v = 'ix + 12,
Resolviendo el sistema 2x
Zr
es decir,
3_,v = 9 y 7.1'
3y=9
st n
›
7.1' l2_v= 12
2.1' H
_ +
Sumando, se obtiene
Tx
l2y =
:
9
l2y = 12.
I2, se obtiene
8x+ l2y=
36
7.1: l2y= 12
x
= 48
.r = 48
Al sustituir x por 48, resulta
y =
29
Los números son 48 v 29.
Un número de dos cifras es 6 unidades menor que el séptuplo de la suma
de sus digitos. Si los dígitos se intercambian, el resultado excede 3 a ll veces el dígito
de las unidades del número original. Encontrar dicho número.
SOI.IJCION
Número original
Número nuevo
Drfgilo de los
Drigiro de los
Drgilo de las
Dtjgiro de los
unƒrƒrrrƒes
.tr
decerras
y
trnidndes
_v
decertns
.tr
Número = .tr + 10)'
Número = _v + l0x
Suma delos digitos = .r + y
.tr + l0y = ?(:r + _v) 6
_v + 10.1' = ll.¬r + 3
.t:+ l0y=7.t'+?y 6
ox + 3_v = 6
lr _v = 2
Resolviendo el sistema 2.t'
lr v=
2
J _ Iv: . . 3
.t
_v = 2 3.' Jr
it
ll
.L
Q
AI sumar resulta
Sustituvendo .tr por 5, se tiene
Por consiguiente, el número es 85.
y=3
_v = 3, se obtiene
2.1: v=2
'I'
.I
+\_'Z3
= 5
_v = 8
B I' ECUACIONES Y DESIGUALOADES LIHEALE EH DOS VARIABLES
Si se resta 4 al numerador 1; se stima 3 al denominador de una fracciòit, sti
l
.
valor resttlta ser Í _ Sii se suma 2 tanto al numerador como al denominador, el valor
'i
qtie se obtiene es 2 . Hallar la fraccion.
SOLUCION
.tr
Sea
la fracciriit buscada.
'ill
1
jr * 3
2
.r+2ñ_..fi ,
CS!
2 ur
esto es,
3.1'
*_
Fl'
ll.
"'
2__v =
(|)
2.
(2)
_v t 2 3
Resolviendo el sistema 2.v
lr
3.t'
_v
2)' =
mi
..ï.
ii
fe
_i ' = ll v 3.1'
al El
›
_›
Sumando resulta
2_t ' =
2. obtenemos
at +› 2; = 2::
3. . .tv = 2
ig.
.r
=
.r =
Al sustituir x por 24, se obtiene
_v =
24
24
37
Por lo tanto. la fraccion es
Catalina invirtió parte de sti dinero al ii'ïVti y el resto al l2“Fu. El ingreso oh
tenido por ambas inversiones totaliao S2 440. Si hubiera intercambiado sus inversiones,
el ingreso habría totaliitado $2 760. ¿Que cantidad de dinero habia en cada inversión?
SOLUCIÓN
ƒrittersitiiies riri'gi'riu!c.s
S .v al
S _v al
3%
8%.r + l2%_t*
iltr + l2_v
'lr + 33
Iitttersioites irtrr rt'uriibiur!rr.s
S .v al
S _l' al
12%
12%
3%
_
'íf
2240
Í
ÄÍ
24 4,000
Ilr + 33'
f›l.0ü0
3.1: + 2_v
i
_
Resolviendo el sistema 2.r = 3,1 '
12* `ri*.t: + 8%_v
2760
276.000
69.000
61000 1v 3.1: t 2__v ~= (19 tllltl, obtenetnos
at + st = 61.000
3.1: + ?._'r = 69.000
.tt
6)' =
_ ?_t:_+ Éijir
:
Sumando resulta
5.1'
.í
34.
.T =
Sustituyendo .tr por 17 Otltl, sc obtiene
Las inversiones son S17 0.00 y S9 (100.
¿v =
122.000
39.7 9@
85,000
17,000
9,000
8.9
Problemas planteados con palabras
Si tiria solución de glicerina al 40% se agrega a otia al 60% la mezcla resul
ta al 54%. Si hubiera IO partes mas de la solucion al 60% la mcrcla seria .il 55% de
glicerina. ¿Cttántas partes de cada solticion se tienen*
SOLUCION
Primero: Sean
.tr partes
40%
_v parte
(t + v) partes
fiüiiit
5494
4(i'"ii .r + fi(l%_v = 54*`i islx + jr]
flllr + t'iU_v
'Í
í
l4.r + ot'
'I
_
54(.r + _vi
0
'Tx
3)' = O
.r partes
t_v i IO) partes
40%
60%
Segundo: Scan
40'%x + f›ll%t_v + IO)
40.1: + 60(_v + IO)
40.r + 60_v + 600
l5.r t Sjr
3.1:
jr
Rcsolviendo el sisteina 7.v
is
3.r
3,» == ti
í
_
í
í'
:I
1+
í
ít
L
'tt
:ri 1.)
` ` r
5511.1: + _v + 10)
55.r + 55_v + 550
50
lll
_v = lll st. oliticiti.
3; =
9,i:+3_ji'==
Sumando resulta
_i i 10) pa
ii
55%(Jt + _t. + IU)
3__v = ll y 3.t:
it ›
_v= 10
H'
t
lr
=
U
30
30
15
Al sustituir .v por IS. obtenemos
_v =
35
Las partes corrcspoiidienlcs a las soluciones de gliccritta son IS t 35
Uti avion empleó 4 Itoras eii recorrer 2400 millas con cl siento a su favor
mientras que volando en coittra del viento dentoro 6 horas Dctcriitiintr la ttlottdatl del
viento gr la del avion con el viento en calma
SOLUCION Sea la velocidad del viettto = .vmph
Sea la velocidad del avion coit cl viento eii calma = i mph
Entonces, la velocidad dei avion coii el viento a l`avor sera dt. i i t mph t con el siento
en contra, de __t ' " .t'm|¬ih.
l
:¡:~_
4(_v+.rl=2400
ii
›
y+.t=60'U
5 ' i
__v : .tj 400
j:i .
6(y
.r) = 2400
Sumando rcstilta
2v
Por consigttiente,
Al sustituir y por 500, se obtiene x
'Iv'
í
.í
il
_
l OOO
500
l U0
8 ¢ ECUÃOOIESYDEIGUÃLHÃDESLIIEÃLESEIDOSVÃIIÃBIES
Velocidad del viento = 100 millas por hora.
Velocidad del avion con el viento en calma = 500 mph.
Hace seis años Beatriz tenía % de la edad de Guillermo. y dentro de 12 años tendrá
â de su edad. Hallar sus edades actuales
SOLUCIÓN
en años.
.tr
ü
Sea .rr la edad actual de Beatritt en años. Sea y la edad actual de Guillermo
6 = â (y
6), esto es. 3.1' ~ 2_v = 6.
.r + l2 L já (y + 12), es deeir, 6x Sy =
Resolviendo el sistema 3.1'
3;
:tv
6
6x 5y=
I2
Zy == 6 y ox
Sy =
ie
“H”
6x+4y
1
1
i +
6x Sy
ir
í
Al sumar resulta
jr
Sustituyendo y por 24. SC Dbliflflfl
l2.
12, se obtiene
tz
12
24
24
ts
Por lo tanto. Bcatria tiene IS años y Guillermo 24.
Un punto de apoyo se sitúa, de tal manera, que dos cargas de 60 y l20 li
bras se equilbren. Si se agregan 30 libras a la carga de 60, la de l20 debe recorrerse a
un pie mas de distancia del punto de apoyo para mantener el equilibrio. Hallar la dis
tancia original entre ambas cargas.
SOLUCIÓN Sea ,tr el brazo de palanca en pies de la carga de 60 libras. Sea _v el brazo
de palanca en pies de la carga de 120 libras. Entonces
oüx = 120)',
esto es,
x
Zy = 0.
(1)
Slüx = l20(y + 1),
es decir,
3x
4y = 4.
(2)
Resolviendo el sistema x
x 2y=0
3.: 4y=4
2y = 0 y 3.1'
iís
1
Sumando resulta
AI sustituir .tr por 4, obtenemos
fly = 4, se obtiene
Zr+4y
3:r 4y
.r
y
Por consiguiente, la distancia original entre las cargas es 6 pies.
as emblemas ptarimrtos een patata as
351
Si la base de un rectángulo disminuye 2 pulgadas y la altura aumenta 2, su
área se incrementa en 16 pttltadas cuadradas. Si la base aumenta S pulgadas y la altura
disminuye 3. el área aumenta 15 pulgadas cuadradas. Encontrar el área del rectángulo
original,
SOLUCIÓN Sea la altura del rectángulo en pulgadas = .tz
Sea la base del rectángulo en pulgadas = y.
Primero.”
Segtrrtrƒn:
(y 2)(..r+2)=.¬ry+l6
xy 2x+2y 4 ;.r_v+l6
2x + Zy = 20
.t:+ _v= IO
(y+5)(.t' 3)=.ry+l5
xy+ 5.1' 3y l5=:ry+l5
Ss' 3_v = 30
Resolviendo el sistetna .r + y == lO y 5.1'
y x=l0
it
Sx 3y=30
3,v = 30, se obtiene
3x+3y=3l)
it
Al sumar resulta
5.ï3_v=30
21
Sustituyendo x por 30 obtenemos
= 60
.tr = 30
y = 40
Por consiguiente. el área del rectángulo original = 30 ><: 40 = 1200 pulgadas cuadradas.
A y B juntos pueden realizar un trabajo en 42 horas. Si A trabaja solo du
rante l5 horas y luego B completa el trabajo en 60 horas. ¿Cuántas horas demorará cada
uno en hacer el trabajo solo?
SOLUCIÓN Sea el número de horas en las que A puede realizar el trabajo solo = .tn
Sea el número de horas ett las que B puede efectuar el trabajo solo = y.
2+ Q=t
(1)
E r@=I
.r
¬›
(2)
x
_r
1'
I
AI sustituir
por tt y
por b y resolver para tt y b, obtenemos
42a + 42s =t ¿La ›
ftzoa + 42ot›= to
1sa+eot›= t É
rosa 42ot›= 1
Sumando resulta
315o
= 3
8 I ECUÃCIOIES Y DESIGUÃLDÃDES LWEALES El DOS VARMILE
I
Po titanio, tt =_*
' "
tos
. _
l
_
.
Al sustituir tr por T”. st. obtiene ¿J
. . " 1' _'
"
_
Por t..onsigiiii_ntt.,
i
:
l
H_
ll 151 y _i 1'
:
l
.m .
I
¡J
2
:
70 _
A puede realirar el trabajo solo ett l05 horas.
B puede efecttiarlti stilo en 70 horas.
Ejercicios 8.9
I.
2.
3.
4.
5.
F.I triple de tin nt'|niet'o supera eii I a otro, mientras que el ttiiintuplo del primero
es 4 unidades ntenor que el doble del segundo. Eiieuentre ambos números.
El doble de utt itiinicrti es 4 unidades nienoi' que otro, mientras que el quintttplo
del primero cs 3 unidades menor que el doble del segundo. Halle los dos números.
El triple de uti ntìttiero es 3 unidades menor que el doble de otro, mientras que
el sépttiplo del primer supera en 5 al t.'tiátlrtiplo del segundo. (`)bteiiga anihos
tiúmeros.
El cuádrttplo de tin niiniero excede en 6 al triple de otro, mientras que el òetttplo
del prin o es 22 unidades nienor que el séptuplo del segundo. l)etcrniitie ambos
numeros.
_. l
.
l
._
I
Si Í de tin nutnero se suma a 1 de otro, el resultado cs 9. Si se resta ., del scgtiii
5
.
.
do a los 6 del primero, el resultado es I. Encueiitre ambos nutiieros.
6..
_
_
t
S
.
3
La mitad de un tiuiiiero nieiios _, de otro es 2. gi' 15 del primero menos ¡~ ¿ del
segiiitdo es ll. Halle los dos números,
7.
.
l
2
I.a tercera parte de un numero stipera en 2 a T de otro. 5' 1 del segundo esccdc
l
,
._ ,
_
ett 2 a 5 del primero. ¿L uales son esos ittimeros?
8.
tu
.
1
5
,g
Siete octatros de un numero es 4 unidades tiiciios que ¿ de otro, si É del segundo
.
l
.
_
es Ill riias que ï del primero. Obtenga atnhos numeros.
9.
l a suma de los rcctproeos de dos numeros es 1., . 3' la dilcrciicta de tliclios reci
I
.I
procos es S4 . Determine aiiibos numeros.
10.
.
,
I
.
.
,
l.a stima de Ilos reciprocos de dos ttitmeros
es
.M
,
gr
la
difereiicia
de
tales
reci
I
.
prontos es W. Encuentre ambos nuineros.
8.9
Pfflllllêlflflâ IIIBIIÍBEIIOS CON Pãtlãbfäfi
333
Il.
_
_
3 jr sii diferencia
_
_ es 6I _ ¿C_ uales
_
l_a suma de los rectprocos
de dos numeros
es 7..
soii esos itt'tniet'os?
12.
_
_
_ .
_ es ¡ 52 _ ltiiciicn
_
l_a suma de los reciprocos
de dos nutneros
es 43 _ sf sti tlitcrencia
tre aiii bos numeros.
13.
Un iitìittero de dos cilras supera eii 4 al sestuplti de la suma de sus digitos. Si los
digitos se intercambian, cl resultado es 2 ttiiidades meiior que el octttplo del dígito
de las decenas del niiinero original. Halle diclto |itiittero_
I4.
Un núiiiero de dos cifras es 6 unidades menor que el cuádrupto de la suma de
'
stts digitos, Si los digitos se intercambian, el nuevo número es 5 unidades menor
que el óctuplo de la suma de los digitos. Determine el ntimero original.
IS.
Un número de dos cifras supera cn 3 al septuplo de la sunta de sus digitos. Si estos
16.
se intercainbian, el ntievo número esccdc en 4 al quintuplo del dígito de las dece
nas del número original. Halle diclto rit'imero_
Uit ntiinero de dos cifras supera en 5 al sestuplo de la sunta de sus digitos. Si los
digitos se intercanibiati, cl resultado excede en 3 al ctiádruplo de la suma de los
digitos. Obtenga ei número original.
17.
Si se suma 3 tanto al numerador como al denominador dc ttiia fraccion, su valor
2 __
_
_
resitlta ser _, _ Si se resta 2 al iiutncrador y al denominador. el valor se convierte
I
_ Í
__
en Í. ¿Cual es la fraccion?
18.
Si se resta l al titiitterador 1.' se sttma l al denominador de una traccion. su valor se
convierte en _ Si se suma 3 al numerador 1; se resta 3 al denominador. el valor
I* .Ji I
resultante es 2. Encuentre la fraccion.
19.
Si se suma 2 al nuincrador gr 4 al denotiiittador de una fraccion, su valor resulta
2
'Ii
I
Q
ser ï_ bi se resta 2 al iitttnerador gr se suma l al detiomtnador, el valor dela trac
__
_
l
_
__
cioti se convierte eii 5 _ Halle la traccion.
20.
Si se suma 3 al ntitnerador y 5 al denominador de una fraccioii, su valor resulta
4
_
_
_
5
ser 1,.. _ Si se resta 2 tanto al numerador como al denominador, se obtiene 6 _
Encuentre la fracción.
21.
22.
23.
Guillermo invirtió parte de su dinero al 12% y el resto al 15%, El ingreso por
ambas inversiones totalizò S300 D. Si hubiera intercambiado sus inversiones, el in
greso habria totalizado $2940. ¿Qué cantidad tenía en cada inversion?
Utia señora invirtió parte de su dinero al 9%, y el resto al 13%. El ingreso por
ambas inversiones dio un total de $3690. Si hubiera intercambiado sus inversio
nes, el ingreso habria sido de $3570 en total. ¿Que cantidad tenia eii cada inversion?
El interés total de dos inversiones de $20,090 3* $25,000 t`iie de $4,900. Si las inver
siones se intercanibiaran, el interés total seria de $5,000. Determine la tasa de in
teres de cada inversión.
8
ECUÃCIUIESYDBIGUÃLDADHLIHEILBHDDSUAIIIBLES
El interés total de dos inversiones de $4.000 y $6,000 fue de $1,320. Si las inver
siones se intercambiaran, el interes total seria de $1,280. Obtenga la tasa de inte
rés de cada inversion.
Si 5 libras de almendras y 4 de nueces cuestan $30.30 dolares, mientras que 8 li
bras de almendras v 6 de nueces cuestan $47.20 dolares, encuentre el precio por
libra de cada producto.
Si 6 libras de naranja y 5 de manzanas cuestan $4.19 dolares, mientras que 5 Ii
bras de naranjas y 7 de manzanas cuestan $4.88 dolares, determine el precio por
libra de cada fruta.
Si lO paquetes de maiz y 7 de chicharos cuestan $12.53, mientras que 7 de maiz
y 9 de chicharos cuestan $12.52 dolares. halle el precio por paquete de cada
producto.
Si 12 libras de papas y 6 de arroz cuestan $7.32 dolares, mientras que 9 libras de
papas y I3 de arroz cuestan $9.23 dólares, ¿cuál es el precio por libra dc cada
producto?
Si una solucion de ácido al 20% se agrega a otra al 50%, resulta una mezcla al
38%. Si hubiera 10 galones más de la solucion al 50%, la nueva mezcla resultaría
al 40% de ácido. ¿Cuántos galones se tienen de cada solucion?
Si una aleación de plata al 8% se combinara con otra al 20%, la mezcla conten
dria 10.4% de plata. Si hubiera 10 libras menos de la aleacion al 8% v 10 más
de la aleacion al 20%, la mezcla resultaría al 12.8% de plata. ¿Cuántas libras de
cada aleacion se tienen?
Un joyero combina oro de 24 y de 8 quilates y obtiene oro de 12. Si tuviera 6
onzas más de oro de 24 quilates, obtendría oro de 14.4. ¿Cuántas onzas de cada
clase tiene?
Una bolsa contiene S3 dolares en monedas de 5 y l0 centavos. Si las monedas de
10€ fueran de 5 (II y viceversa, el valor total de las monedas seria de $3.30 dola
res. ¿Cuántas hay de cada clase en la bolsa?
Una bolsa contiene $13.80 dólares en monedas de 10€ y 25€ _ Si las de 25tlï fue
ran de 10€ y viceversa, el valor total resultaría ser de $15.60 dolares. ¿Cuántas
monedas de cada clase hay en la bolsa?
Un hombre remo 8 milias en un rio contra corriente durante 2 horas, 3' de regreso
hizo una hora. Encuentre la velocidad de la corriente y la del hombre re mando
en aguas tranquilas.
Un avion dcmoro 5 horas en recorrer 3,500 millas volando en direccion del vien
to, mientras que en contra de él, demoró 7 horas. Determine la velocidad del vien
to y la del avion con el viento en calma.
Un avion voto 640 millas en direccion del viento en una hora y 36 minutos. De
regreso, voló contra el viento y demoro 2 horas en realizar el vuelo. Obtenga la
velocidad del viento y la del avion con el viento en calma.
Cuando una persona maneja de su casa al trabajo a 60 millas por hora, arriba
4 minutos antes de lo normal, y cuando lo hace a 40 millas por hora, llega 6 minu
tos después de lo usual. Halle la distancia de la casa a su oficina y la velocidad
a la que normalmente conduce.
Hace S años la edad de un muchacho era % de la que tenia su papá, y dentro
de 10 años el hijo tendra la mitad de la edad del papá. Determine las edades actuales.
PI'0II|9I'II3$ lllâllfflãflúå COI! 93130735
335
Hace 30 años la edad de una señora era % de la edad de su esposo, y dentro de 15
años ella tendrá É de la edad de el. Halle las edades actuales.
Un punto de apoyo se sitúa, de tal manera, que dos cargas de 80 y 120 libras que
dan en equilibrio. Si se agregan l0 0 libras a la carga de 80, el punto de apoyo
debe recorrerse un pie hacia la carga de 80 libras para preservar el equilibrio. En
cuentre la distancia entre las cargas originales.
El punto de apoyo de una palanca está situado, de tal manera, que dos cargas
de 36 y 48 libras colocadas en sus extremos quedan en equilibrio. Si se agregan
28 libras a la carga de 36, el punto de apoyo debe recorrerse un pic hacia la carga
de 36 libras para preservar el equilibrio. Obtenga la longitud de la palanca.
Un punto de apoyo está situado, de tal manera, que 2 cargas de 60 y 90 libras
quedan en equilibrio. Si se agregan IS libras a la carga de 60, la de 90 debe reco
rrerse 2 pies más lejos del punto de apoyo para preservar el equilibrio. Halle la
distancia original entre las cargas de 60 y 90 libras.
Si la base de un rectángulo aumenta 2 pulgadas y la altura disminuye 2, el área
disminuye lo pulgadas cuadradas. Si la base disminuye l pulgada y la altura aumen
ta 2, el área se incrementa en 20 pulgadas cuadradas. Determine el área original
del rectángulo.
Si la longitud de un lote rectangular disminuye 10 pies y la anchura aumenta 10,
el área del lote se incrementa en 400 pies cuadrados. Si la longitud crece 10 pies
y la anchura disminuye 5, el área del lote permanece constante. Halle el área del
lote original.
A y B juntos pueden realizar un trabajo en 24 horas. Si A trabaja solo durante
6 horas y luego B completa el trabajo en 36 horas, ¿cuántas horas dernorará cada
uno en hacer el trabajo solo?
A y B juntos pueden efectuar un trabajo en 36 horas. Si A trabaja solo durante
l0 horas y luego B completa el trabajo en 75 horas, ¿cuántas horas demorará cada
uno desarrollando el trabajo solo?
A y B juntos pueden realizar un trabajo en 24 horas. Despues de que A trabajó
solo durante 7 horas, B se unio al trabajo y juntos terminaron el resto en 20 ho
ras. ¿Cuánto tiempo demora cada uno en hacer el trabajo solo?
Un tanque puede ser llenado por dos tuberias abiertas simultáneamente durante
80 minutos. Si la primera tubería estuvo abierta durante solamente l hora y la
segunda lleno cl resto del tanque en l05 minutos, ¿cuánto tardaría cada tuberia
en llenar el tanque separadamente?
Un edificio de oficinas con un área total de piso de 60,000 pies cuadrados está
dividida en 3 oficinas A, B y C. La renta por pie cuadrado de área de piso es de
$4 dolares para la oficina A, S3 dolares para la oficina B y $2.50 para la oficina
C. La renta de la oficina B es el dobla de la de C. Si la renta total del edificio
es de $l92,500, ¿cuál es el valor de la renta de cada oficina?
Un edificio de oficinas con un área total de piso de 8000 pies cuadrados está divi
dido en 3 oficinas A, B y C. La renta por pie cuadrado de área de piso es de $5
dolares para la oficina A, $3 dolares para la B y $2 para la C. La renta de la ofici
na A es $1,500 más que el cuádrtiplo de la renta de C. Si la renta total es de $27,900,
¿cuál es el valor de la renta de cada oficina?
3 I ECUÃCIOHES Y DESIGUÃLDÃDES IJIÍEÃLES EN DOS VIRIIBLES
Gráficas de desigualdades lineales en dos
variables
l ll conjunto stiliicioit de una desigualdad litieal en dos variables, por ejemplo _i ,r :>
3, es nit conjunto itifittito dc parejas ordenadas de iii'tmcros_ lts', _v)l_t
.r :> 3}_ Para
graficar el coiijtitito solttcioii de la desigualdad _r
v 2: 3 se considera primeramciite
la ecttaciott lineal ,it
.r
3.
l_a grtilica del conjunto solucioii de esta ectiacion es titia recta, como se muestra
cn la Figiira 8.19. Si .r r l, entonces _v
4: o sea, (I, 4) es titt elctttciito del conjtiiiio
solucion de la ecuacion. Tambitl ii (2, 5). tel. 2) y l _' 1, l) son elementos del conjunto
soiticit`m_
,_
5
4
3
I
4
3
2
i
1012
3
4
FIGURA 8.19
(.`o|isidcrcit'ios ahora la tlcsigttaldttd __v rr .r ':› 3.
(_Ítiatit_lt:i,t' ; l, se tiene _t
I 2 3; es decir, __v : 4. Asi que para .ir
l, cualquier
iiiiittcio real y mayor que 4 satisface la desigualdad. l__as coordenadas de todos los pini
tos dc la recta _r
l que sc cnctietitrati arriba de la recta ,v .r 1 3 soii elementos del
_;titijttttlt`”~ t 't_ilti :ititt de la tii: «ii_t_ttttt|f.iít¢.|_
~__`uat.do.r
_?, sc tieiie__ .
2 : : 3; cstoes_v > 5. Asi que paras* = 2, todo número
icul rita; or que F satisface la desigualdad. Las coordettadas de todos los puntos de
la |'ccta _r = _? utic se cticucntriin arriba de la recta y _t' L 3 son elementos del conjun
to solucion tlc la tlesigiialdad_ l ti itiisino se cumple para las coordenadas de todos los
puntos de las rectas .r ¬ "I y _' :
¬2 que se hallan arriba dela recta _i' .r
3, como
aparece eii la Figttra l i_2tl_
l)c modo que para .r _ _ i. las ct'i›ord eitttdas de todos los puntos de la recta x = rr que
se encuentran arriba dt. l:t recta _r r ¬ 3 soii elementos del conjunto solucion de la
dcsigtialtlad_ l_as ctiorrlt n .idas de cada ptinto del plano que se halla arriba de la recta
_l' .r = 3, satisfacen la desigtialditd _i' .r > 3.
3.10
Gráficas de desigualdades lineales en dos variables
5
4
3
ìïíìhïhHS!
ïí j
4 3 2 1012
I
34
FIGURA 3.20
Por consiguiente, la solucíoit gráfica de la desigualdad _i ' ,ir "_> 3 es el semiplano
que se cticucntra arriba de la rccta_v .r
3, La gráfica de esta desigualdad se muestra
en la Figura 8.21 mediante el semíplano sombreado. l_a recta putiteada ,v J: = 3 itidi
ca que la recta no es parte del conjunto solucion de la desigualdad,
3.
2
l
3 2 i
Gt
2
t
4
.r
3
\</¿¿ //
3
FIGURA 8.21
Iii
,
I
'I
FIGURA 8.22
l_a gráfica de la desigualdad .r + 2_v st 4 es el semíplano sombreado que se halla bajo
la recta .tr + 2_t' = 4 mostrado ett la Figura 3,22. La líiiea recta continua itidica tinc
la ret:ta es parte del conjunto solticion de la desigualdad,
8 I EflM$ÉY lflIL5HDfiVöflB
Para resolver gráficamente una desigualdad lineal en dos variables. se reemplaza la re
lacion de orden por un signo de igualdad. Se dibuja la recta que representa la ecuación.
Se traza una recta punteada si la relación de orden es > o <: (la recta no es parte del
conjunto solución), y una recta continua si la relación de orden es 2 o 5 (la recta es
parte del conjunto solución).
Se consideran las coordenadas de un punto que no pertenezca a la recta. Si éstas
satisfacen la desigualdad, el semíplano en el cual el punto se localiza es el conjunto so
lucion de la desigualdad; de lo contrario, el conjunto solución es el semíplano comple
mentarìo _
Graficar el conjunto solucion de la desigualdad x + y 2 2.
$O|.l.ICIÓN Se dibuja la linea recta continua x + y = 2 (Figura 8.23).
El punto (0, 0) no satisface la desigualdad.
Por consiguiente, el semíplano que se encuentra arriba de la recta es la gráfica de
la desigualdad. La propia recta es parte de la solucion.
Jf'
2
I
I
1
0
1
"Í
I
1
FIGURA 8.23
Nota
El conjunto solución de un sistema de desi
gualdades es la intersección de los conjuntos
solucion de cada una de las desigualdades del
sistema.
Graficar el conjunto soluc.ion del sistema de desigualdades
2x+y> 4
y
x 2y> 2.
SOLUCIÓN Se dibujan lineas rectas punteadas que representan las gráficas de las ecua
ciones lineales
2x+y=4
y
x 2y=2.
Se sombrea el conjunto solucion de cada desigualdad.
“m$0 mmwmw
mn mn mm ms omb TQ ad ofi dm `njur| ws MM.mn m¡ 5151€ m
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Repaso del Cap..¡gmc 8
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y+ W'O
8 I ECUÃCIOHES Y DESIGUILDIDES LINEÃLES EN DOS VÃIIIÁBLES
Determine la ecuacion de la recta que pasa por los puntos dados
7. mz. 5).B{ 3,4)
l
9. A(3. 2)
ll.
3. .› t( 2. 1).B(
7
B(5.2)
I 2
2
5
A(3. I). B(3
10.
7 8
fi(š.3), Bqš 3)
)
5
l2.
)
I
/l( 4.
3). B('¿¬3)
Obtenga la ecuación de la recta que pasa por el punto dado con la pendiente tntlteada
2
13. A(_ 4. 3): 3
16 1
i
2
f1(l n _2) :ut _5
I4.
A(3. 2):
3
17 1
2 4
A(51 _3) ;
5
_ _
3
IS.
18 n
A(
A
( '_
)
5
'_
6)
_
7
_
6
Encu ntre la ecuacion de la recta con las interseceiones .r s 1 trtdtcadas
19.
1:6
20.
23
22' š'E
3;5
21.
:'›_ 3
23 2' 7
_§ _f_t_
24' s 3
Resuelva gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones
.tr + _¬_v
.r
jr
27.
3.1' + 2)'
ss
26.
3
3
25.
4
3
4¬,«
28.
lr t†=
lt+_1,†=
2r+_'r=
.r+2y=
1'
LH* 'LALH
lincuent re ios siguientes sistemas de ecuaciones por el metodo de el1nnn.n.1on
29.
3l.
3.1*
2)*
21' 3)*
. 1
.Ir + 3_t' = 3
lt + *Jr
í
¡__
'Í
33.
?
3
30.
11' + 3)* =
Óur 7): =
32.
4.:
3.1:
34.
3.1* +
_» 2
Rx
31: = 28
3_v=
5
1r+t'=3
3.1;
4». ' = 12
2
3.1* + 41'
I
i
35.
¡ïn
í
1
ftt
31. .t
l2_\f=
st =
36.
I
38.
lr 6\'=3
8
.tt + 2\
3.1 + sy = ll
lr
t
l
2
4.t'
4
3.1' + 2)*
8
(Lt + 43
I'
39.
41.
43.
¡
__..
í
121»
40.
12.
í
í
'ÁT
1
'
44.
5.1
Si =
45' =
7.1: i lljr = 17
lr + Iv : 4
4.1' + ?.jr=7
.tr t'=5
3.1'
31 213
lt' + jr = 3
fix ¬l 31' ' = 9
.tr
21' ' ' 5
3.1'
(iv ' ¬ 15
ttepaso det ünftuto 3
341
Halle los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de sustitución:
45.
3x
v =
9
47.
2.r+3__tf=5
3.1: + |4_r = 2
46. .r
48.
x 2_r= I
49.
51.
41* == 17
3.1'+y= 1
lr + 3y = 1
4.1 +_v=I
7.r + 21* = 3
6.r+_v= I
5x 2_v= 9
S0.
'I'
52.
4.1' S_t'= 3
.r
3)' = l
5x ll_r=9
7.r 5_t'= 5
9.r 3jl*= 19
Determine los sistemas de ecuaciones siguientes:
U1
P'
3
IÍÃ
_ 3 r *i “=
nl":
'¶+¶=ñ
I'¬JLnJ
L|l'I " 1'
“wm
tt:
I
55.
S7.
amunwh
3
=3
_v= 4
'5 r5 4
1:
S6.
=¿t o¬tu¬›°'°`
2.1* _v_
4
5.r+y
3
lr y
+
_l_
4
58.
61.
3
I
`¬!2' *'¬'¦I J
2
y
67..
f
3' tb J¦ t'Lh
69.
13
=
2
1:'
y
.=
w
3
4
3y+x
4
=
6
2¿:_~ ì_
4
5(4x + je)
(.r
3)*) = 5
2{.=r
Zy) + (Zx
jr) = I9
63. 2{x+_v) (x+3_v)= I
5(2.r
331) + 2[3.r + jr) = I
Ii
M..r + =t
É ._ ._ = 10
3x+y_l_l
2
6
Wwmuhmu +
7
v+.r
=
6
2
3
wmmmwww
mua@
3.1: 5y__2.r 3y__l
í_.?»f_ .¿*t._l
4
y=
.r+ t~=
'H
3.1' 2_';_.t'+2y__§
3
4
3
sn
1 315r
t*=3
3_v
5
h|_I`
'J
LH
62.
64.
`
"' 1$'¡bJl I
3(1r
3;) * (Jr
y) = 6
5(3.r
Zy) + (x
23;) = 3
3(.r+y) 2(lt' y)=7
4(.r
231) + 3(.r + 33:) = 13
m.Í+§=
1
.I
jr
Ó
É _ Z ,_ É
.r
,tf
3
7
3
15
.
=
68 x+}*
2
å+É=J.
x
y
2
El quíntuplo de un número es 2 unidades menor que el triple de otro, mientras
que el oetuplo del primero es I I menos que el quíntuplo del segundo. Encuentre
ambos números.
B
EWl%ÉY l$IlBHDfiVlfllflB
.
l
.
.
La tercera parte de un numero excede en 5 a Í de otro numero, mientras que
2
il
3
I
ï del primero es 6 unidades menor que 5 del segundo. Halle ambos numeros.
.
.
13
.
.
1
.
La suma de los reeiprocos de dos numeros es B y su diferencia es í. ¿Cuales
son esos numeros?
Un número de dos cifras supera en 3 al cuadrúplo de la suma de sus dígitos. Si
los digitos se intercambian el nuevo número es 3 unidades menor que ll veces
el dígito de las unidades del número original. Determine dicho número.
Si se suma 2 al numerador y 7 al denominador de una fracción, su valor resulta
3
.
'P
_
ser í. Si se restìa 3 tanto al numerador como al denominador, el valor de la frac
.
2
_.
. .
cion resultante es ã . Haile la fraccion original.
Una persona invirtió parte de su dinero al 12% v el resto al 15%. El interés total
por ambas inversiones fue de $3930 dólares. Si se hubieran intercambiado las in
versiones, el interes total seria de $4440 dolares. ¿Qué cantidad tenía en cada in
versión?
El interés total de dos inversiones de $18 000 y $8 000 fue de $3 960. Si se inter
cambiaran las inversiones. el interés total seria de $4 360. Obtenga la tasa de inte
rés de eada inversión.
Si una solucion de ácido al 30% se agraga a otra al 45%, la mezcla es una solu
ción de ácido al 36%. Si hubiera 10 galones más de la solucion al 30%, la nueva
mezcla sería una solucion de ácido al 34.5%. ¿Cuántos galones de cada solucion
se tienen?
Una bolsa contiene $9.80 dólares en monedas de 10 y 25 centavos. Si las monedas
de 25 (li fueran de 10€ y viceversa. el valor total de las monedas seria de $7.70.
¿Cuántas monedas de cada clase hay en la bolsa?
Un avión voló l 920 millas con el viento a favor en 2 horas y 40 minutos. De re
greso volo contra el viento y empleo 3 horas en realizar el viaje. Encuentre la velo
cidad dcl viento y la del avión con el viento en calma.
Un avion voló l 890 milas con el viento a favor en 3'/1 horas. De regreso lo hizo
contra el viento y tardó 4'/Lt horas en realizar el viaje. Determine la velocidad del
viento y la del avión con el viento en calma.
Cuando una persona maneja de su casa a trabajo a 60 millas por hora, llega 6
minutos antes de lo usual. Cuando lo hace a 36 millas por hora, llega 10 minutos
más tarde de lo normal. Halle la distancia de la casa a su oficina y la velocidad
a la que normalmente conduce.
Hace 3 años una niña tenia Á de la edad que tenia su papa y dentro de 9 años
tendra % de la edad de su papá. Encuentre sus edades actuales.
Un punto de apoyo se sitúa, de tal manera, que 2 cargas de 80 y 120 libras quedan
en equiiibrio. Si se agregan 20 libras a la carga de 30, la carga de 120 debe reco
rrerse un pie más lejos del punto de apoyo para preservar el equilibrio. Obtenga
la distancia original entre las cargas de 80 y 120 libras.
J
IOPBSDGQICIDÍIIIIDB
83.
84.
.
313
Si la longitud de un lote rectangular disminuye 20 pies y la anchura aumenta 16
pies, el área del lote permanece constante. Si la longitud crece 10 pies y la anchura
disminuye 5, el área lo hace en ISO pies cuadrados. Obtenga el area del lote original.
A y B pueden realizar un trabajo en 24 horas trabajando juntos. Después de que
A trabajo solo durante 20 horas, 3 se unió al trabajo y juntos terminaron el resto
en I6 horas. ¿Cuánto tiempo tardaría cada uno en hacer el trabajo solo?
Grafique el conjunto solución de cada uno de los siguientes sistemas de desigualdades:
3:53
89.
x+y<3
.ir y>3
90.
1:55
.ir+y>l
3.1' ys4
91.
.i:+3y< l
.ir y< 2
.tr ys 4
.tr 2y<' 20
92.
x 2y> 2
.ir+2y<4
CAPÍTULO 9
,
Exponentes y aplicaciones
9.1 Exoonentes fraccionarios positivos
9.2 Exponente cero v exponentes negativos
_
í
l
345
9' YlWflfl0%
_
El proposito de este capitulo es extender el campo de accion de las reglas de los expo
nentes tratadas en el Capitulo 3, y estudiar alguna de sus aplicaciones en álgebra.
Si a. b e R, a si 0, b si 0, v m, n e N, tenemos los siguientes teoremas del Capitulo 3:
TEOREIIÃ 1
t:i”' si" = n"'“'
(página 79)
TEGREHÃ 2
(n'")" = n'""
(página 80)
TEOREHÃ 3
(nb)"' = a"'b"'
(página 3])
TEÚREMÃ 4
m
[1
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; =
I
rsoeiaun s
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in .`> ri:
cuando si = ii;
i
afl
cuando
,
cuando
H1'
.
.
(resina 92)
rn si ii.
,,~›
á_
)
(P 2131393
Exponentes fraccionarios positivos
Con el fin de que el Teorema 2 para exponentes sea válido para exponentes fracciona
rios positivos, se debe tener la siguiente definición:
DEFINICIÓN
Si tt E R y rn, ri E N, se define
I
1 ni
E
(fl'"% = (tf) = tt"
De la defitticitfin se tiene
ln
5
(ti) =fl"=a
Cuando nt es un número par, o”' es positiva tanto si rr es positivo como negativo; por
ejemplo,
(+2)'* = te
y
( 2)" = is.
Cuando in es un número impar, nm es positivo si ir lo es, y es negativo si e lo es: por
ejemplo,
(+3) i = 21
y
( 3)* =. 27.
9.1
exponentes H aocionarloltiodtlvos
547
I
DEFINICIÓN
I
La notación ri" representa un número cuya potencia ri ésima es a (si a" =
b, entonces b" = ii), con las condiciones siguientes:
i
I. Siiies pary nI>0. e"> 0.
1
(I6)" = 2
I
Si ii es par v e < 0. a" no es un número real.
1
( 4)*
no es real.
1
2. Sinesimpary ri; O. a":= 0.
1
(27)3 = 3
1
Siri es impar y a<O. a" <D.
1
( 32)* = 2
1
DEFINICIÓN
Para ri e R y iii, ri E N, siempre que a" esté definido, definimos
af
ii"
J. 'H
como
(tf)
De acuerdo a las definiciones anteriores, se puede demostrar que los Teoremas 1 a 3
de la página 346 son válidos cuando ii > O, b > 0, y iii, ii son exponentes fracciona
rios positivos.
"ata
Los Teoremas I 3 son ciertos para exponen
tes fraccionarios positivos cuando ri y b lo son.
Por consiguiente, no se puede asignar valo
res especificos negativos a los números li
teraies.
Las siguientes son aplicaciones directas de los teoremas:
1. 22 22=2 i=2i
iii
T.: J
'UI
:i. si si=3ì+ì=s2=s
2.1 ,ti=,t i=s i
¡1
4. R fi=
'LH
'I'
linu
I iütl "'
›1¬JI1
=ii
9 I EXPOHEHTES Y APLICÃCIDNES
'
@
.=
5. (2 *) * = 2'* *= 2? = 4
7.
1
1
_;
cs. (s|)* = (3*)* = 34 * = af* = 27
g
La
5
Íx`)" = Jr "= .F
3 au
90
_
'Jl ¿II
E
¡I ¡F
u. (=H')f' = .f
= H
_.
H
ww
1
8.
_
:
.. É”,
14
¡_
(51) = 53 4 = 53 = 25
Í
g
ÉÍ
I* J
I JaI' :II
H
r» ,›__
É
= 23'
_ E
13.11
.J
IHÍ
= .H
¦J\fl""
I
_:
¿IL |.
'fih
12. (3.1) '* = sw
_ _
ns. (.13 )1 = ,».~_¬. %
¡ ,¡ «I Q
._¡¬,f |
Nota
Cuando a, b G R. a > 0, [J lv 0, y p, f¡. r,
s. u, v E N, se tiene
E Í."
aq bc 1
L' 'l'
,___ aqrbn
ï1í
|
Multiplicar 3.1:: 3' 2.t1_¬r.
7
(
SÚLUCÍÓN
1 )
3.r2 11%*
(X
= (3 * 2)
!
3 +1
2 '.r2)_v = 6.1'
É'
ly = 6x1_\*
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2
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Ejercicios 9.1A
Efectúc las operacìuncs indicadas 5' sìmplìfìque:
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De .=.u:11 crnlu 11 las r.lflfi¦1if.:i0ncs dadas en las págìna:›; 346 3.' 34'?. Ius Teorennas 4 x 5 :IL
lu piìgina 346 mn válidas cuundu u > 0, b :'› O. y m, n sun uxpuxnelìlcs Iraççlunarlu
|1m.ìl iv ns.
Las siguientes son aplicacìonìcs directas de los lcorema:¬:
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Efeclúe las opcracionc s indicadas y simplìlìquez
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Exponente cero y exponentes negativos
(Len el fin de que la primera 3; la segunda partes del Teorema 4 para exp¢1r1e|1tes(pz'1gì11a
346) sean eongruenles. se debe tener. para n = m y e #= 0,
a'" '" e 1.
e bien
rr" +
I
Por ennáguiente. se define
si
¢~. †n,u“ † ¡_
Cuando a = 0, se tiene 0". le eual es ìndelermìnadn.
De acuerde a esta definieiún. puede de|nC›strurse que les teuremas anierieres para
er »ipnnenles son válidos cuando se presenta un e:› :pnnente eeru.
1. 2° = 1
2. ( 20)" = 1
3.
(a3b")“ == 1
Notas
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Zu" = 2(l) : 2.
Si u al ¬b. (ef . b)“
“ $ ¬I "
I r I
PH."ln
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I.
2.
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Nue». ameme. een el fin de que las partes primera 3.* lereera del Tenrema 4 para eme
nentes sean eeuìgruenlee, se debe tener. euancìe m
0 u we U..
l
l)n______
H
_an(ì
9.2 exponente :ere v exponentes neeatlves
De mode que definimos
_
Si
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357
1
tt " = ";
fl
_ _
.
_
._
l
Cen base en la definición de expcnentes negativos, ((51 a se 0, a " = T,
probar que les teeremas para exponentes sem aún válidos.
. se puede
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1. 3 s2_l_!.
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01,59"amó"
Les Teoremas 1 S de ia página 346 sen ver
daderos cuande ct > 0. b > 0. Y HL H 5011 UÚ
nterns racionales.
Ahora el Tenrema 4 puede escribirse ce mo
fL”'=,_,»› ~
af!
las siguientes sen aplicaciones directas de los teuremas:
l..r1 x5=.r"2*i'=r`
_ fi
3'
_: xlf
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: 1
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(I É)'f' _: I
II
5] = xill
1
F5
_
_ ,_
I
2.
.r2 .t3¬=x'3=.t'5=15
4.
(It
6.
(xy)'2 = X
_
3 _Í
3 1'
tz
='
1
F2
2'}|'1 = xy:
I' \*¡_.
7_
1
T3: ¡=x3 Í m=.x3`°=x9
E
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B.
x 4
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IÚUO
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1093
X
9
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Notas
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2.Í="l"'=a"
a
n
l
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4.(fl+b)_"=
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1
1
¿›"+e"
5. " t›"=
= _
“ +
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wa"
'
sotuclóu
Expresar .t1tf`* ctm exponentes pnsitivns.
_
I
.t
1*
yt
.fy 2 = 1 1; = ¬
E
'
sowclónr
Multiplicar .r"y" E 3; .1r'“_t"" y escribir la respuesta con expetterttes pnsitivas.
(1 'v *)(,f2» 2) = (fui *)(r› 15» 1')
= I I+.`±}, 3 2
_
I
J"
Simplìficar (_3x"'_v) E y escribir Ia respuesta con expnnentes positives.
1
SOLUCIÓN
J
SOLUCIÓN
(3x`2y)3 = 33x"'5y3 = 33
3
¿_ yi = %
r
.r
Sintplificar (2.t'*_t " i) ' y escribir la respuesta con csponctttes positivas.
(2x3_v`3)`2 = 2'1.r`4}"i`
_l.l. <› .Lfi.
22 x"' y _4:r"
Sirnpiifìcar (xy 'Ia ")"2`|.t'"“}':"¡)“¡ y escribir la respuesta con exponentes
pnsitives.
9.2
exponente cero ir exponentes negativos
SOIUCÍÓN
359
(.ry"z`2)2(2"x`2yz`3)`3 = (x3y`2z"')(23x°y 32")
= 2*<›f2›«°›o~1,i~1›<f*z*›
= 818317515 =.
.
_.
.r`3y2z"2
. .
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Simplificar †_1;_ 3 y escribir la respuesta con exponentes positivos.
x.r
JL....._.._.& 2
IE), 4z+3
_'¡;3..;)ì.å.Í
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1
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C' dd
22
ri
1
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b2fl( 1
1
es decir 1 cuando se tiene
un factor en el numerador de una fraccion y
se escribe en el denominador. o bien un factor
en el denominador y se escribe en el numera
dor, se torna dicho factor con el negativo de
SU BXPOÍIBTIÍQ.
(xa iii) 2
Simplifiear ( 1 3 _ g 53 y escribir la respuesta con exponentes positivos.
x y z
txìyj 423) ã 2 Ieårflï
(Ir
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Sirnplificar
SGLUCIÓN
3)! 13 1)?
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= x2yl2
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2fl'*
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ar, + 2b_¡ y escribir la respuesta con exponentes positivos.
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2a ¡__ 3b 1
i =í
a" + 2b` 2
_l_ + __
i .i'¢;', _,t.›.i
ri
bl
AI multiplicar numerador y denominador de la fraccion compleja por noi.. obtenemos
_2b2 3a
' 1›2+2a
9¢
Y
Se puede llegar al último resultado, multiplicando tanto el numerador como el de
nominador de la fraccion original por ahi.
za ' si; 2 a¿›i(za ' abri) es 1 su
tf' +2i. › 2 "fii›1(a'+2t› 2) = .i›2 i za
I
ii
'
.
_ . .
._
_
...
2 + 3o '
Escribir con exponentes positivos 3,' simplilicar T_ 3??.
mm
2+3fl'I=G2(2+3fl_')=ü(2ü+3)
4
es 'I
¿(4
aari)
of
o(2fl+3)
(h+3)(2a 3)
9
a
20 3
Todo número positivo en notación decimal se puede escribir como el producto de un
número entre I y IO y una potencia de 10. Por ejemplo:
I.
32.5 = 3.25 X 10'
2.
733.6 = 7.336 >< 100 = 7.386 :> t 102
3.
6.73 = 6.78 >< 10"
4.
0.967 ==
5. 0.064
6.4 __ en
mo É 102
6.4 ›< IO
= 9.67 K 10'!
_:
3.0
3.Ú
_
0.(Í)S= l'(ìí)='¡ì)"§=l'l.0>( ll] 3
Ó.
El punto decimal se sitúa siempre después del primer dígito distinto de cero contando
desde la izquierda. Esta se conoce como notación cientifica de un número.
Ejercicios 9.2
Sirriplifique las siguientes expresiones 3' escriba las respuestas con exponentes positivos:
1. it*
2.
2
4.
7.
3"
3. ro 4)"
,Ii
'55
25 0
E
io. (2i*)'""
3
si
3
Ó.
8.
lr"
9.
ti. (.i °)“
0
3°x
iz. (3“°)"
9.2
EIDODIÍIÍO CEN Y GIPBIIHIÉBS Ileflãflïflä
13. (2 + 70)*
(sti + 1)*
is
(3
16.
(4
(5 f°)'i
18
(2t_l_¡.)it
19.
22.
(3.r")°
4.r(.r3 + 12)"
JU
21
24
2.r°(x
3fl]3
(2 + .r")3
25.4'
al
28»
F
27
_1_.
3 5'
30
7%' 4
l
LHLA
1.11%'
3.6: : 10 2
39. 4x10"
x'3
44. è
I _.
47.
50.
53.
IW"
20"'
ss
se 2'* 2 '*
24_2 1
34. 3 ' 3*
41.
(2
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lr`3~.r "
Íixly 2 Zr""r
.
2
38.
2.17 `.>( lll
40.
7.83 x IO"
_'l
3.r"'
43.
L
x 3
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46
.r 5 .ri
2.15 .ir " 7
49
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S2
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¿ev ii ,I 3):
T.
ss. zru '=* .†= 2 tt tt» *
i_i
'I'
1
54.
56.
2.ri 3:" .i" _i` :'
4.r 'r 4 3 *i.i"i¬r '
57.
59.
2'3x3y*' i 2".r'3jr3
(xa) 3
53.
3“".i'"3;r"" ' 3"1rr"i
60.
(x ')"
61.
(x 3') 2
fi2.
(lr 3) 3
63'
(_¡3}, l)2
64.
(.r':_i' 3)i
65.
(Jr 'y2)`i'
66.
(.i' `i'_i" I) 3
57.
(xa), 22 4)
Lt t},2)_¬l(¿. EYE) 3
71.
73.
70.
(.r3_i¬ ` ' )2{.i'_i'1) ` 1
(x`3y_')"2(x2_i'l '
'72
(ir 1 i
(2 I 'r"')"(2 'I Ey) `
1
i
14. (2 to 1) 1(:›. tf 't )=
i
i
76. (3'=a“i›¬'f) *(3¢i"¬z›“') “'
Í
15. (21u**s") `f(za†'s 1) 1'
77.
(3.r" + 2)(.r`¡
79.
(.t"' + 2):
2i
3)
78.
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2
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ss. (t_~*~_¬. *¬ '* )
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59.
81.
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5°?
2 1
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88.
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89.
_
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EXPONHTES Y ÃPUCÃCÍIDNES
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]__†¿| §'
112
l+ Íåeiil
ì
I
9a'2
"
_
_
cl'
114
+ 3:1”
l + 2a`1
_
'
Escriba los siguientes nunit.ros cn iiotacitin cicntilica
115
119
l23
127
26.7
98.600
0.645
0.0059
117
25 138
0 524
000314
84
125
129
000
0 0163
000031
0 098
000014
RQDBSO del CãD|fl||0 9
Efeciuc las opcracioiics indicadas y sirnpliliqui.
1
_.
x A2
2
x
í
"i.....nio
*ts ”'t. . .
H.. "'i=~..
Hg
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19
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20
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ROP350deIC8DÍüI|09
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21. 273
2
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2
23. izsi
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21. (sisi:
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31.
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Efcctúe las operaciones indicadas 5' escriba las respuestas con exponentes positivos:
64.
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.r 'y"'1"
67.
(2 'ir 'yïf
70
Í? T 'Jr' :)'iÍ4 1' 'i_\*4) 1
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65.
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66.
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68.
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69.
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ii
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_
ii
"
_
.
CAPÍTULO
10
Radicales
10.1
10.2
10.3
10.4
10.5
10.6
Definiciones v notación
Forma estándar de radicales
Combinación de radicales
Multiplicación de radicales
División de radicales
Introducción alos números complejos
365
10'RIDlCåLE$
Definiciones y notación
Las potencias ri esinias de 2, rr. 33 y bi' son, respectivamente, 2", af", 33" 3 oi".
Los iiúmeros 2, o, 33' v bi se Ilaniaii raices ri esimas de 2". ri”. 3:” y bw.
Nota
Cuando n es un número par. rr" es un núme
ro positivo si rr es positivo o negativo. Por
ejemplo.
(+3)*' = +81 y ( 3)* = +31.
Cuando n es un número impar, e" es un nú
mero positivo si cr es positivo, y un número
negativo si of cs negativo. Por ejemplo,
ii 2)* = +32 v i zii = 32.
DEFINICIÓN La raiz rr ésima de un número real u se denota por el simbolo %, el
cual se llanta radical. La raiz ri ésima de n es un número cuya potencia ri ésinia es e:
esto es, (\i/n)" = af, con las condiciones siguientes:
1. Cuando ii es par y of > 0, \'/Ã :› 0. llamada raiz principal.
Citando ri es par y o =ii 0, \'/.É no es número real.
2. Cuando ri es irnpar y cr > 0, % 3: 0.
Cuando ri es impar 3* o <: 0. Wo ci 0.
El número natural ri presente eii el radical % se llama indice u orden del radical,
y n se denomina radicando. Citando no se escribe ningún indice, como en s/rr, se so
breentiende que el indice es 2 y se lee “raiz cuadrada de at". Si el indice es 3. como
en como en Yi/H. se lee “raiz eúhica de ni".
La expresiúii
se define como (liiin )"' . siempre que
observación
1.
\/ ì=@=(\/i)1=7
42': oi fien fl@
e definida.
El indice de un radical siempre es un núincro
iiatural mayor que uno.
10.1
oeflniciones y natacion
367
2.
\/z_s= \/G_)f= (\/š)1= 5
3. \/74 no aun suma of est.
4.
9/š=\V(2_)5= (\`/ì)i=2
s.\i7 _32=“5`/(†D*=(\1`/'T2)i= 2= \f7;E
s. \"'/?=\*/i.ï±`1T=(\"/.?)*=,±=
7. Q/š'3=\*`/(?í*= (si/P) *=ii
De la definicion de exponentes fraccionarios (página 347) y de la de radicales, para
o E R, rn, n E N, tenemos
I
e
W = ri"
y
V" 0"' = ri"
i
siempre que 'Í'/Ã y n" estén definidos.
Las relaciones anteriores nos permiten expresar radicales como potenceias fraccio
narias y viceversa.
i
i. \Vš=:ii
i
4. f= x5/P
i
2.. W=2i
s
s. 3x*= sx*/P
i
3.\/1+3=(s+3)2
ii
s. ›1yi= \/R/P
Cuando el valor de un radicales un número racional, se dice que es una raíz perfecta.
Puesto que Ñ'/o¶ = ed', un radical es raiz perfecta si el radicando se puede expre
sar como un producto de factores, cada uno de los cuales con un exponente que sea
un múltiple entero del indice del radical.
El valor del radical se obtiene formando el producto de los factores, donde el expo
nente de cada factor es su exponente original dividido por el indice del radical.
1.
2.
_@
\/§'i=5i=5i
a
\/..tim=x2=x5`
3
3
ise
3. x/sšiyi = \/FF? = zifiyi == 212;@
10
IEADICALES
HOÍB
Las raices que no son perfectas, como por
»ri oflr›1<1\/i,\¿'7ì, \/5, \'Vš. \*'71i. 1 + '\/'I Í. r
5
\3/*Í son números irracionales. Un núme
ro irracional cs aquel que no puede expresarse
eii la forma
ii
donde p. q r: I. q =ii 0.
NOM
I. Puesto que
para todo ri := 0,
tire
R. v ,iqiii. ri F E N,
li' te Q, lr > 0. se tieneIr
.
_
Vd" = \/n""¡ , siempre que nk y :fix E Ps.
\i'q=\{ytT!
ji'
V4i'Il"=%
P
2.l"=
I
:if
<'±=
=l.
l
Ejercicios 10.1
Escriba las sigiiieiiics expresiones eii forma de radical.
l
I
li J
_
i
ha
52
3. si
4. 7"
=':
É
É
2.
s. ii
is
7.
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2
9.
._2
10
1
1
5311
17.
7¬. i " '.LI
[4
'I
.t ji
(.t'_v)3
_i')"
.i
Sxi'
l2..
2¿.r
l
.i:i 3
15. .r2_ii2
16. .r i
20.
f _ri.JI
R1 *Ii JIU*
1
(_2.r)'i
19.
22
i
(I + 3)”
za. (1 mi
24. is + yii
1
i
1
1
.ri
_v'i
.ri
Zyi
1
i
(.r
xa
18
i
25.
ll.
3.r 3
U
3.
E
1
13.
21.
.ri
1
,ri
2
16
1
.ri + _ ,F
27.
(3.t')š
23.
(x_v)å
Escriba las exprttsitiiics siguieiites eniplcaiido exponentes:
29. \/É
í
33.
\/xr"
so. \;`/EL
34. Vi'
G, ""`?I'
31. t'/If
ss.
41.
ia.
*~ 'ff
3 \'/.i
45. vi.t Í». i
is
C/f W
49.
50
\i.r
Vx + 2
ri
31.
ss
se
43
sz. \/F
sii.
40. s`/:E
44. @
47
si. \/3. ¬ F Ta
43. t'/P?
52. \/Fït
10.2
53.
FOHIIH Bifåfldill' dé FBUINIES
VE + ya
S4.
51. \/(.›. |)›`*
61. \/E + \/3
V1.r"
_\"1'
SS.
ss. V" (1 2) *
62. víf \/š
N/.v3 + jr 3
\/(x + I):
sa. \/" (1 + 2)*
Vb( f+3)*
63.
\/Í' \/Í*
\/Ã +
F.vaIúc los radicales sìguicnics:
ss. \/ã
69.
as.
10.
74.
vs.
sz.
36.
\/36
13. \/144
77. \/P
31.
85.
'V1 _r31'f`
\/šì
\/E
xìfš
\/F'
71
75
Lala;
ââåã
79. xfa?
33.
V(.t
2)4
sv. V* mx =
VU' + 2)¡
\/4 311”
Forma estándar de radicales
TEOREMÃ 1
Si af, ¿J E R, ¿J I:= 0. h :› U 3. ' n 5 N., cnI:ons:es *Í Í; ~ *$5 Í: Ã.
É
DEMUSTRÃCIÓN
II fi'
1 1
_
_
*Í ""r:I: = (uh)" L u“J.›"' ; `¢"f: *Í "E1
¡IFÍ
¿fu?
1. »'32 = vr = x '2 ~2'
; x» 2 * xrì
= 2 V5 = 4\›":Í
.ai
2.
¡¬_
\ "I('›.\1\' = Rf 24.1 _\
_
,_
__r__
\`2".\".\'_'f
4
¬ \ ' 24.1' \ .ur
_
_
__
'~ 211 `\ .r.'_\
4.\'\ .U
3.
*if
*.¬r¬~' .›
1.' 'r'¬ 2'
\ 27.\'_\"' = \ ' 3 _\'_\' = \ 3.1 jr _».
; \Í“'_1 1 1.1 1 \.`* I†"†
3\ \ì~aÍP]
..
.
.
La :c.¬~.pr«:~.
›u¬›11 3_~. \“J _r_~.¬ su llama forma estandar du V¡.f'._í'›'_"
27.1"_v". Se dm:
que un radlu
¡I cada.
un Ínrina uslaìndm' ai se «:mn¡?±I<ì n [an ¬.:1;mdi::iu||c. ¬› ~§.i§_.111icI1t±2*.¬~2:
I. I. LI radhzzuldu us pmiliu 1;,
2. El índice clul radical ua cl nìcnor |m: .ibI¢:.
10 ' RRDICÃIES
3. El exponente de cada factor del radicando es un mi mero natural menor que el indice
del radical.
1. No hay fracciones en el radicando.
5. No hay radicales cn el denominador de ninguna traccion.
Sintplifìcar un radical significa espresarlo en forma estandar. (Tuando el radicando es
negativo, la dcfinìciútt da lugar a io siguiente:
Si n es par y tr 1:» 0.
V" *ri no es número real.
Sin cs irnpar jr a .'> 0. V"
1.
¬ì`/Í _5= N"/š
2.
V5 x'y3=
n =
\'.'/fr.
Ñ5/P?
Cuando el índice del radica! y los exponentes de todos los factores del radicando poseen
un factor común. tanto el indice dei radical como los exponentes de los factores del
radicando se dividen entre su factor común. Es decir. se aplica
= \'Jf”`F para ob
tener el minirno índice del radical posible.
.
í'/Eft?=\`/F1
Cuando los exponentes dc algunos factores del radicando sort mayores que cl índice
del radical. pero no tntiltìplos enteros de este, cada uno de dichos factores se escriben
como producto de dos factores: uno con exponente múltiple entero del indice del radi
cal y cl otro con exponente menor que el índice del radical. Por ejemplo,
<1"_
«J ==
*r"tï*_
'\.«f.t" .r
Luego se aplica el teorema V" ab = \'/Ã \'.'/É. Se escriben los factores que tienen espo
ncmcs que son rn últiplos enteros del indice dentro de un radical, obteniéndose así una
rain perfecta y ios demás factores con exponentes menores que el indice., dentro dei
otro radical.
NV? =
ã
s
.r
= *É/F \"/.É = .r1\3/Í?
Los casos en los que hay fracciones cn el radicando y radicales en el denominador de
una t`racciòtt_, se tratarán posteriormente.
10.2
Forma estandar de radicales
Expresar ¬~¬/2 ¡J3 en forma estattdat'.
$°“'°'°"
= \/'if
. :re .›
= V2"'.r"
= zrfx/ïr
'
SOLUCIÓN
Expresar V315; 'P en forma estándar.
\/¡§1:;z;:› _
'V 2§xzy"z*' \/fue
2ryz3'\/2ì*
'
SOLUCIÓN
E. WTCSEII' V3 2".r¡_t3z¡ü en forma estandar.
V; 2¡.r°)r;zlü = V3 (2 ' Í' ).t"`(_\'
jr' IÍI" ' I)
= V3 23.rE_¬,t'¡z§ V3 2_t".=:
= 2.r 2_t=:3 V3 23;":
'
sotuctón
Expresar V3 _?.r“_~_r3 cn forma estándar.
e/ ¬'1¬_
1,, 3,.
V" 2Í.t" ~ .t"' ](_t
í
í
_t')
_ ¬.3;'¿.§}.3 x3/lx 5).
x33.'V3 Zrjr
f
'
SOLUCIÓN
Expresar \"ff;4_r'*_ ¡JH en forma estandar.
=
=
= \/(21 z›.f=t * _~ ›
= 11 . * \/ïf
ll', "
X Hub" = (lb
V"(rr + b)" = (rr + b)
\/"rr' + tr' ± (a + 1›)
10
RADICALES
Ejercicios 10.2
Expresc los siguientes radicales cn l`orn1a cslándttr:
1.\/ía
s. zsfš
9. \/E
13.
17.
21.
25.
29.
sx/f_›u
\/su
\/162
\/9 4
s “Fi
z.\/E
ts. \/13
10. 3x/E
14. \/ã
3 \/tì
s@
7.
11. s/šö
15. \/:E
ttt. \fÍ›
22.
4
19
23
4
33. ¬~”P}`
$333.
ìsaas
35
50;. _t
39
37.
9:r'_t"i
41.
\ i6.t'*_'_r':¦
42.
\ 'lZt'_t«*".›':'¡
44.
`Vi20.r"_r:“
45.
Vxj + 3
\/rr4t'i'(.r + 'r)"
41. via i(.t 1
SU.
_» 1)
Q
Í
43
46
49
52
V.ry'i(.r + 2)'
54
ss ¬if' 54
57. \/*sz
ss
59
st. VU. *+t† *
ss. s`/ .HP
sz
66
Vi .ratdzã
70 .
aìga
Í
Éïgäfimn
32.
'II
'I'
I
if
lr”
rtz
É?
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I
r
Í
H'
\/a * *(~. “ 2) 1
ii
tuI rL1'"
56.
8:1:ijtri
V" 144
60.
74. \/"st.r '_r~i`“
77.
73.
rs
64.
_.<j¿. .f=,.
V
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68.
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72.
\3f' 54.t'¡¡_t*5
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76.
Wii' 64.r3t¬¿`
71
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Mi
I
i
63 ~<}"T3ì¬
¬s f «¡ __?,.,
sr
,__
73. V"st ~*_~ri
VG 9.r¿_r“
'I
L
ss. s/"st
69.
sx/É
zxfšã
\/iš
'I
\/fì
\/E
21. \/í5Í+í|6
31
.r
's/20
I
Vh 3.t'¡}"`
'III'
COMDÍHHCIOI1 de l'3dÍC3|€$
DEFINICÍÓN Se dice qttc dos o más radicales son semejantes si tienen el rnisnto tntltu.
sf el mismo radicando.
__
[_ Los radicales Ss? Ã _s' Ss Í son semejantes
2, Se puede detn ost rar que los radicales s Í 'l jr s 54 son scnteiantcs.
,_Í
. 11 1í
_
.
s/2_4=s»'2 3 V2 2 3 :We
s
v§=\/2 3 *=\/2. 3 ` 3=s\/E
10.3
Combinación de radicaies
373
3. los radicales V 18 y \ "'ï'i'. no son semejantes.
\/ts = V2 3 ' = 3\/E
±.
\/2`v=¬~/í *=\/3 ` 3=sv'š
F.s posible combinar los radicales solamente cuando son semejantes. Primero se escri
bcn los radicales ett Forma estandar st luego se combinan radicales sctncjantes emplean
do la Icy distributiva.
'
50| UCÍÚN
Sirnplificar \/É
V2 4 + V150 5' combinar radicales semejantes.
\/É \/ÍÍ+\/ͧÓ=\/2 3* \/2 'E 3+\/2 3 5*'
=3\/Ei '¿'.\f¿'+5\/fi
=t3 2 ssix/E
=r›\/5
Sintplificat' .rïf 147; F' + _r\/'75 '“'_
JF
\/4l±l.r~_r E 5' contbinat' radicales seme
ul*
jantes.
sal UCÍÓN
.rs/147)" + yk/75.r"_r
's/48.r'_t"¡
=
+
= 7.t gr + 5.r_r\/É
= l 7x'_¬r + 5.r_r
'
james.
Simpliiicar 3\/Í;
sdtuctóttt
ss/'š
\`/Ñ
V3 Si
Q
1
4.r_r)
+ S.
'
4.r3r\/Í
= 3.r_r\/íji'
al 1»' cotnbinar radicales sente
4.Q
\/ïš + \/`:ns = sx/5 '
=3 2\/§
= es/'E
= to
oa
¿JI
\/El + V"3 5 *
2s"\/§+5\"/Í
*_ .fl
sti/'fi
ss/E + 5€/3
8)\ 5 + t 3 + 5)\"/Í
= 2\/. 2 + 3\i"§
Ejercicios 10.3
f¬`implil`iqt|e gr combine radicales sctnejantcs:
1. t›\/i sx/ì+s/Ii
2. \/3 mx/3 .±\/3
10
'iä' lI`.hloi+
RÃDICÃLES
'fx/š 10\/š 4\/š
3\/:I 4\/ï+\/5
3\3/Í+4\i/Í Mi/É
?.\'i/Ã 5*:/Ã+\3fi
ss"/ã ss*/š~s\f7š
efi zx/.I 4\/.i
ss*/§+s\'*/ã si'/ã
ax/.?;t= es/,É~†+2\/ït
.r\/Í + 2y\/Í
3.r\/_i' 2.r\/_i›+.r\/;'
3.1 X"/5
4.r\/Í
6; xi/5 + mi/E
VW 2\/Ñš \/Tšñ
8\/É 4\3/§+6\"/Í 7\/É
6\"/Ã 2\/Í+\'i/Ã 3\/Í
\/1 17 \/'f'i+\/.É
\/š+\/1 2 \/4 9
\/Íš \/tÍ)+\/É
\/Í \/Éš+\/Íšö
\/fÍ+\/§+\/É
\/§+\/ÍÍ+\/Í@
27
29
3I
33
35
37
\/Íii +\/š+\/4 5
\/Ñ+\/3_t'›+\/É
\/4 9 \./'27 \/4 8
\/¡Íš+\/É \/fiï
\/t_É+\/É
\/'E \/:Ti \/4 3
\/Ñ \/iš \/'É
39
6.r\/f: '7\/P+
s. iv? + :ts/.I * És/.P
13.
IS..
17.
19
21
23
25
1€/6 sx/š+5\/š t"/E
4\/É t~\/Ñ \/3 2
2\/Ñ t à \/3_6
\/Í \/ š+\/Wii
\/Íi+\/É
\/¶ \/Í
. _a.~%
.É
\/ «E Vš +
\/E \/371
\/Ñ \/É+\/mii
"ãšâ
J
41.
Vdiìr + ¿V lll?
;33V32.r'¦
43.
3.r\›'.r'¡_r + 2jt'\/.r_r¡ + 2V.r5_'r
4S.\/5§+¬ti/_8_| \/É Í'/ÍTBÍ
47. \/:íi xi/ì+\/ 4 5 Y"/ã
2.r\/.r_r*
3_jr\/F + 4V.r;_v*
2V.t"i_t= + 'šV25.r'¡_t"¡
%'v'x¡_r
\i/iͧ+\/É \/9 8 \"/Í:
\/WS' t N71 Í \3/ÍÍ \./"É
49.\/š~+\/Ír \3/'§.i *É/'fif
50.%+\;i/' 2Ílx_“' \/.%' i+\"/'ST'
51.
x V1 8.tjr'¡
l
;V1.r¦jr'¡
I
1
_,
3
sz. \/"54.1%' + ¿\”/is.t y
sa.
ss.
sr.
ss.
ss.
so.
¿Vi
1. 64.r¡_r¡i
'I'
|¿ \/" t2sr"'_t~ '
\/"c4+\/E sx/se
siii' + \/3 st ~\%›
\/rst P + vi 2 añ' + \/“`nea*
\'7.. ii? ~ av”sr. tr* t›\/3zvtcs
1*/'tzsai ax/" za? + x/'*Mali*
vea ia 1 + sx/"' isa “si sv”aiii*
$4. \/“`ts V” s4+\/“ass
ss. \/"' isa '* + \/*s1a~" \/asa
10. tt
Iluitiøiicación de radicales
375
Multiplicación de radicales
La multiplicaci :in de radicales es posible aplicando la regla
“if
*fi it
Ñ' nit
|?tttt'tt
tt. lt 5.' it', tr
ll. it
li
t. \/:ix/'3=\/1 ì=\/E
2. \/š\/?Íš=\/6_ Í! =\/"Í _Í› _It=3\/.Í
3.2\/}\/iZr=2v's_ .Fy=z\/E1; =2s\@
4. s€@›2\"/š=t† 2)\”72_ 5=f›*\"/1_ti
5. si/ » i¬€/'š=\i”ši=\Vï*_›_š=2€”/É
Nata
I
El radical I`inal debe estar en forma estandar.
i
Para multiplicar t.n radical por una expresion que contiene mas de un ter mino. se em
plea la Icy tlistrilttt ira: rrih + t') = ¿tir + nc.
Ítt¡sIit'ar 3*» '”'§(5`sf"š
SOLUCIÓN
3\f'ì(s~t«"ë
2\/ITÍ) 1.' simplil`icat'.
asfìïi) = ssfì sx/B s\/ì zsfiñ
= tssfñ fo/'."±_e
= sm/`š
Multiplicttt'
SOLUCIÓN
tax/š
y_sitt1plil`icttr.
2s›"Í'š}(4\f'I
.ts "I ) = s\/s.t 1_¬. ~ es›f's.rs~ "P = s.it s fšì
e_w"šÍi
Para multiplicar dos cxpresioncs radicales. cada una con mas dc ttn termino, sc sigue
el mismo orden que se entplca . n la tnttltiplicaciott dc polinomios.
Multiplicar (1 + s'5) por (3
SOLUCIÓN
l ~t
3
\/ƒš
:ts "Íš
3 + 3\ “É
2x/š › zxfš
3 + < un
lvš
.is Si jr sitttplil`icttr. A
_
10
RIIDICILES
Por lo tanto
(1 ¬. \,/§)(3 _ 3\/š)
't+\/É 2\/25
't+\/É IO
'i+\/§
í
'il
Multiplicar (2s3
solución
4x92) por (3s§ t t2) 5 sttttpltftcat
ws/5 rwã
3\/` + \/Si
en/`§
t2\/'E
2\/E
4%
eva Í tu\/E
«tx/Ã
Por consiguiente,
(2\/§
es/š tm/E 4\/Z
4\/ì)(3\/3 + \/':Í)
Int
4 tr
1s to\/š
to 1\/E
uItrpltcar \/ Í*
SOLUCIÓN
por 5\/Iii' + 2\/5;' s stmpltl`tt.ar
\/53
3
sx/:ff
+
5 V 9.1:
+
5 'V 9.1:
zx/5
s\/G
2\/tíy
sx/aty
zx/Z'
2\/Ñ
Por lo tanto
(\/Í'
+
s\/«F :tx/ìï z\/¿E?
15.1 ss/sí; 4;;
15.1'
|
solucion
esttrrollar
\/r + 3 + Vfr
sf + 3
3
\r”t+3):
+
\/
+ 3)*
Xfx
+
sit .t'
+
7)
Lu 1'
*~/55»
3 stntpltltcar
\»_r
I
†
fly
___
r
»fra mt;
2"' »"i(.t
(tr
_
7
_
_
+_ ;*¬
4
t
_
I
1n.4
Multiplicación de radicales
Por consiguiente.
1'.
2)
(Nr
'. + 3 l~ \ ".r
¬ \ f"(.t + 3)* + 2\f'l.r + Íiillft
Él + ¬v'(.r e 2)'
r+`l+2\ "t" +1' i'1+t .Í
|
= lt + I i 2V.r' ¬t .r
nota
6
f
(\ rr i \ h)' ± tt ir lr
(sfš + \ Ã): s (NZ + sB)(s« I] +» \ ti)
s rr › :ME + rr»
ri
mi
.~" aiii.
Cuando los radicales tienen indices difcrnctrcs. aplicamos la regla \ 'rt"'
\ tr" p ra
hacer los indices iguales a su ntininto comtin tnultiplo. lr luego aplicamos ti' ¿Q \'_' Í, .
'grill
fs
,I
2.
<..
'sal
;:
Ti” = s{ïf"š
\T«"'
4
\/ti* \/É =
(fo
:rc ,I
:T5:
#1!"¬~
*il
ai]
si
Il? s
= rr\f rr
EÍGFCÍCÍOS 10.4
Efecttic las mttltipiicacioncs indicadas y sitnplil`it:|uc:
I.
4.
7.
\/'E \/É
S\r“2( 4x fi )
:va( sv: )
/_
\/_i\/"i
5
3v%( asa)
ts/E;( ss/š)
3
3x t"š( t\@)
. :HVE I
sf?
v€(«2v§)
ví siii'
\/š \/iš
10.
5v'i`('›\ 3)
lI
13.
*Ji_. \/I e
I4
16.
l7
25.
\s'Ñ sf'6
X»“É \ /37;
2 \fÍi(3 vii )
ts/Tr \/ii
28.
19.
3 s/Í:_ \ 'Íš
2
.ws \.~"_ti
s if:_, \ i"
te_
2.0
\/14 \/'ii
vii s/É
3 le .t' V _r
. sx/:z`T (twfii)
2.3
4\»"I(3\ fr)
26
SX *'_r_t' \"_t'
\/.i' \/.r + l
29
\ f”.t' \ 'It'
31.
\./3 \/.tr + 3
32
\f"ir + 3 \ "'.t' + 3
\ "sr
2 VJ:
2
34.
37.
\/.r+ I Vx
\/.t+2\/.r+.3
\/.ti Vxjt ¬ + .r
Vx
2 Vx
8
\/:ifvxy .tr
\'Í'/ï~i/«i
xl/Ex*/t_r,›
s*/sì~:2/3
\%'t\/3 a
22.
40.
43.
\/š\/as
T
3
Vljy +.r
xi/š\/125
35
38
41
44
I
I
l
I
sx/E VF
l
\/ii \ *'.r + 2
10 *I RÃDICALES
\`/Tñf/5
x3/Ex*/G
x*/11
V*sa' ¬â'/21«~*
\/5 ¡off V" rw*
41.
so.
53.
\/3 ¡oy
sn. V*na " V*M
59. \/E WE
43. íx/3 49
60 _
V Zu V1 4a
62.
É V3 9:15
63.
'V 2a\Í/4?
65.
\/Í(\/É + \/Í)
66.*/.§(V3
51.
54. \/*` 6.: *V1 law
51. V”4a ' \/5sa*
\/š \"/š
V 3:1 V4 9a
\/§(\/É 2\/Í) 68. \/ì(2\/'F + \/É)
. \/š(3\/Ñ + 2\/É)
\/'š(\/6 \/Í)
\/š(s\/É \/T2)
\/.ì(2\/Í \/ì)
\/E(3\/(71 + 2\/Í H)
v'}(\/E + \/jf)
vfí. (\/E + xfš)
(3 + \/š)(3
\/'š (\/ií.{{
\/5)
\/ã)
(1 + \/5)(|
(3 + \/š)(3
\/E)
\/3)
(5 + \/Í)(7
(›\/É)
(\/š + \/§)(\/š \/i)
(\/ã 2v§)(\/E + 2\/iì)
(3\/Í
4\/š)(\/5
3\/Í)
\/fi(\/Ei'
\/fr)
(2 + \/§)(2
(2 + \/.Í)(2
\/É)
\/Í)
(2 + \/§)(4 3\/Í)
(\/Í + \/§)(\/Í \/.'.'Í)
(\/É \/§)(\/É + \/Ã)
(3\/É + \/§.)(\/É 4\@)
(\/É + 2\/ï)(3\/š + \/ff)
(I + VE):
(2
(3
(I + 2\/Í):
zx/5)*
\/ÉÍ~)
V5):
(\/É + 5\/É):
(\/É + 2\f2)"~"
(zx/fš \/3):
(2 + x/})(3 \/1)
(\/E
:ax/š)1
(\/.É
3)(\/Í + 4)
(x/5
1f)(z\/5 + x)
(V5 +
3x)
(1 + \/ì)(.f
x Tr)
(.r + \/:ï)(.1
(.r + \/I )(_f
\/É)
(2.1 + \/š)(.2x \/É)
(1 + 2\/_? )(~ 2\/_í†)
(\/E \/§)(\/E + ví)
(\/I + 3\/_Í4)(2\/fr
\/_¬Í~)
\/š)
(31 + \/Ã *)(3x
(\/Tv + \/ͧ*)(\/5'
(\/ìì + \/.T )(\/ïf + INE)
(VE + I):
(J
(\/3* \/5):
(Vš + \/ï~)*
(\/1 ~ 2\/5)*
(\/šš ~ 2\/EF
(\/.Í + 2)*
(\/.1:_4 2 + 4)*
(\/¿T3 2)*
(3 \/ATP
(\/Í
(4
(\/Ã* + \/'.Í+íl)'2
V2_r
3):
\/5)
(f›
3)2
\/2.†|)1'
10.5
División de radicaies
379
129. (VE _ \/_ ..†|)=
131. (\/3_3› + 2\/Í?
130. (2v'ÍE + 3v'1†í)2
132. (\/. LT: E › \/Tï_2)=
133. (\/Íf Í \/Í):
135. (vi + 3 + zx/.Ía)2
IM. (\/SÍ + v'.ïÍ_3)=
136. (\/2.iÍ_1 iii?
3
_
É
l
División de radicales
_
H
TEOREMA 1
4
Si fi, ii F R, u :› (I, 1: > 0. 5' nf 1 N. irnluiices
|
.fn
'
.~
*Í 'Ji
' '
.É
nmosrnAciu
ó
V" bš~
“H (“)š={fi'
Mi
b
b
Las |'adical¢:3 ¡3L|c:dc|1 clivìdiiac de acuercin al li; nrirma afin: rior mlarincillu cuancln Im in
dica: 3 dc las radicales. sun los nlìsmos. Para iiidices ciifermilca. se debia rfraiizar cl paso
pneliminar (lc liairc |'li3s iguales.
\/T5'
U1
*~ T/;=\/3**/3
2.
11
\,*' il 1 333
ff
d 3 ,5
` =
\/.r*_v
ššç = 'V.r_¬›"` = _v2\/_;
_'
Algunas ¬.=f.¬:cc~1'› el miinü ra¢.i0r de un rafilicaildo I`rai:i:i011a|'io no es un múllipln u.¬~:actn del
dcnnmìnadur. Cuandu hay |`ra¬.:cìum:s un el |'ai|icamìo. se multiplican el numcradnr 3;
el dcnominadnr del radicandn pm al m`nm:ru mininm que haga que el df. nnminador ¿ea
una raí¿ pi: rI`i:i:la.
Nata
I.
3=
\/3
32
\/ìš
%=. í
V2 2
2
iz! ilcimmiiìailor es raiz |1i3ri`i: uta si el i::~;po|1<':n ›
li: di": ¢:a<ia unn Lic :als factores es un múltipln
cnttro del indìcir del radical.
“
1
2`/F'
10 * RÄDICALES
2
`/EE ¬
'
Iuiiì
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\¡l*›'b
fr
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3. É 3 =
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'IJ
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(1.
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(Íuando ziparccc un radical cn el clennrninadur dc una l`:'aci:iú|1. 1301110 por cjenipln
ri
. .
_
, 1 _
í dmuii: m :í fi. .c luulupliiran numerador y dcnnminador por Va" '".
H/I F'
¡_¿__ 2 \/3_2v'š
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2
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\ 1,5 \ 1@
2%'/š _ Ñ,/š
2
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1
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3\/ii:
a = i'
3€/E va*
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Dividir V 15€ ntrev 21 gr expresar cl resultado en forma estándar.
solucion
_`f_'5 ._ \/L2 .¬ ¡É
\/5 '
21 " V1
/Ñ
_1
" W? W@
'
Dividir
entre N/'4_frEi.› y expresar cl re.~;ulladn un Ibrma estándar.
ii 3.l'ì'
SOLUCIÓN
) 337)'
uh
V 4.1; ¡b _ \/2211311 _ \ 2' Écilb iii*
_
3.'I:_\'rIfJ
_
221140:
I
,fi
== _¬, V 3.\'_\`¢iÍJ
Zirh
10.5
División de radicales
381
l _ `
_
Íìillbx
E~.xpresar
_ _
_.
“_____
_
F en Ioima ic: aaiidai.
.`L"'t"
i 3a 3 b 3. : J Ein 3 b3 _;¬_i_\ ,
2.0.r_r*
21 ' 5.\'_r5 Ii 1 1
5g¡_U¢|0fl
_
P
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3\/5
10 I* IMDICALES
SOLUCIÓN
3\/5
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3\/i
'Éhïf/Í
_\/6 zx/lì
`_\7`_\_/É*
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7.1' _
J:
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1 2 `
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23
2)'
14.1'
iafifiaa
7z_¡:
_ _ \/_
7.1' Tx
Si se multiplican las e:<¡iresienes de radicales (xfa + vb) y (vii vb), se ebtiene la expre
sión racional ia bi. Cada una de las expresiones (xfa + eii) 1; (va sb) se llama fae
tnr raeinnaliitadnr de la mira.
1. x 2
x3 es I`a elur raeienalizader de \«2 + U3.
2. 2 + Ji '2 es laelur racim1'=|Ii.›fadm' de 2
J. x5
33. '='2.
I es faelnr riieinilalifadur :le 15 + I.
Cnando se tiene una fraeeiön een nsas de un radical en el deneminador, per ejemplo
_; ”
. se cambia la l`ra<;eiún a una equivalente een denominador racional. Este se
vb + ¬. 'e
puede lograr multiplieaecle numeraclor ga dene minader per el faemr raeiemalizader del
deneminader. wii af .
10.5
división de radicaies
Nota
El faelor raeionalizador de iirr + iii no es
ie
iib.. ya que (ifrr + i 'b)(iu ih)
ifar' ifƒii. el eual no es número rauonal
.
¬`
¬ omnia
R auona
i'¡zar e I d en
` d or d e 2 _V3\/ã.
SOLUCIÓN
\/'Í
\/Í?.'(2 + \/3)
2\/Í + \/É
í \,f;r'(;›. \/;.†›(2;~';/3")**“:"†;›,_=1`*”ï+*/"
_
_
\/§+\/É
Rarionalimr
L
I
Lil denomimdor
I
d¬'L en
+ W
solución
_\_/š_ + \/3 __ (~/'zi + \/š)(3\/ã \/ì_)_
zx/ã + Vš ` (zx/5 + \/:i)(2\/ã \/3)
_1+\/É
` s~3
=š(|+\/É
EIerC¡Cí0$ 10.5
Dividir y simplificar las siguientes expresiones de radicales:
vi
\/Í + vs
+ vi
I. \/§ +
4.
7
2.
S.
+› \/É
:~ \/É
8.
+ \/fi
flâåâ
11. + 3\/š
14 7 : 3./:Ñ
10
E
13
+
16
19. fi +
20. 4x/š + ex/5
22. rx/3 +
23. 3\/É : lx/E
25.
28.
31.
34.
26.
29.
s##¿_ mas
\/Í +
\/§ +
\37Í› +
*Í/Í +
ssšagäâ
17..
IO + \/45
\/É + Ñ
\/Í) : \/Í ›
32. \V3_l 1 \i/É
35. Ni/É ~+ Ñ
I
mi
'I
\/š
\/'i
I
í
'F
Ii
'ì
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I
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í
1
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asas
_
$ ââ
äšâaâa
I
1 1
'I
H
10 I RADICÃLES
\/314 : \/“as
37.
\J/iñ : 315
38.
40.
43.
xf'/1É+ Q@
41. z+\/_?
46.
49.
52.
55.
58.
+\/¢Í
+V¡l_2_ if
; \`/šïf
+\f›~ïi.ì
+\/Tx
47.
+\"/SÉ
+¬š`/Ñ
50.
1; H
e
ri
67.
66.
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: V3 oaìb
72.
;
74.
s a s as aesreÍ
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V.r 2 2 V.t+2
30.
81.
B3.
BS.
(2\/ñ+ 4\/Ñ) r \/.Í
(5\/Í)
2\/E) : \/3
(i2+\/š)+\/3
82.
87. (3 \/2_l)+\/'Í
89. (\/'§+\/§)+\/É
91.. (3\/É 2\/.¶)+\/l_ 4
93. (\/5r+\/§')+\/«E
88.
90.
92.
94.
96.
98.
J
+\/.r+2
'
r+'i
76.
73.
í
OI
I '\/21.17.'
(\/fTf+\/É.i')
V 3U:r_1
4 +(I+\/Í)
.'i+(l VE)
\/š : (3+\/Í)
\/li : (3 \/É)
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31,
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~3
34.
(N/Flïf
+ \/Í
(\/Í; + \/É) + \/Í
(4 + \/É) + \/Í
36.
(2
\/Ñ) + \/É
+
:
(3\/Íš ~ zx/B) + x/Ñ
+ He) : \/.;'
\/nï ) +
: \¡Fer
2 1 (I + Vi)
100..
1 ~:~ (I
\ 5)
102.
V3 : (2 + \/Fi)
\f 7 2 (1
\/É)
109.
lll.
113.
\/Í + (ZX/'Í + 3* /3)
(2+\/Í_]+(2 \/Í)
(\/É \/š) s (\/€i+\f..'i)
104.
106.
103.
110.
112.
U4.
II5.
(sx/'E + vio) + (3~¿Í:`
xfš)
116.
(\"Tš re \/E) :~
II?.
(ví + zx/fi) : (ENE
.1\f})
IIS.
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II9.
\/És (\/§~
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\/š+V'_,r
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57.
70.
77.
79.
95.
97.
99.
101.
103.
105.
107.
54.
63.
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61.
69.
71.
73.
75.
44.
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\/5)
+ (?.\/F1?
\/Ã : (VE + X/Í)
X/Tí : (Vï
\ fì)
(1 3+ \/5) + (1
(VE + \/Í) +
vii)
\/Í)
(2\/Í + 3\fÍ) + (4\/Í + \/Í)
:
+
10.6
Introducción a los niinieros compleios
385
introducción a los números complejos
Cuando el indice ri del radical % es par. el nútiiero rr se restringe a los reales positivos.
En el sistema de los números rcalessiïf no esta definida. Para que la raiz cuadrada
de tin número negativo tenga significado se introdiice una iiueira unidad llamada uni
dad imaginaria, sti. denotada por i. Puesto que (ire): se defiiiio como rr, por confor
midad i` se define de manera que il = l.
DEFINICIÓN
Si rr E R, ri > O, se define s. " rr
¬. " 1 »Í = iii?.
Todo iiúmero de ia forma ui, e G R, i' = QÍT, se llama número imaginario puro.
i.
2.
3.
\/ 4=\/ ixf'Z=r\fÃ=2t
\/ 7=\/ iv"ì=Nì
\/ i2=\/ i \/E=r(2v”š)=2i\/Íi
Nota
Se escribe i' if? en lugar de Wi para indicar cla
ramente que el núniero i iio esta incluido deri
tro del signo radical.
Cuando rr. b gr c soii niinicro reales.. rr ' b + c tanibien es real. Sin embargo. la espre
sion oi hi + ci = abr' + ci = ab i ci no es numero real ni imaginario puro.
1
.
DEFINICIÓN
. 1
.
+
.i
1
ii
1
|
Un número complejo es un número de la forma rr + Iii', donde cr y b
son itúnicros reales e i' = ¬~. I. El número rr se llama parie real del núiiicro complejo
3.' ¡J se deiioniiiia parte imaginaria.
El conjunto de niinicros complejos. denotado por C`. es
C _ ta + ¿›r|a, se R, i = ¬rï`ii.
Cuando un ntiniero complejo se escribe eii la forma ri + hi, se dicc que esta en forma
simplificada o estándar.
La forma ri + iii se denoniìiia a veces forma eartesiana o rectangular de un niiiiiero
com plejo.
NOÉH
I. El núnicrocompiejoe + Oi
cres un nú
niero real. lis decir, ci conjunto de los nú
meros reales R es un subconjunto del con ›
junto de los números complejos e.
10
IUIDEALES
El iiiiniero complejo O + bi, ii as 0, es un
ntimero imaginario puro. Es decir, el con
junto de los niirneros imaginarios puros es
un subconjunto del conjunto de los minie
ros complejos.
Ejercicios 10.6
Eitprese los siguientes radicales en forma estandar:
i
s.
9.
13.
iv.
21.
zs.
133
›
_
W333
'Tìš
is. \/Tin
\/` Éã
\/Tri
x/Tí
si
14.
is. ví
22. \/~_.'rii
23. \/ïì
sf †is
za. \/"Í._~tti
27. xfflì
29. V
72
\/T6
\/É
\/ _3í=›
vì
ie. \/ Tx)
._
<ïïï
Éäš
ifiäïë 'É
31. m
\/Tai
3 0.
4.
3.
12.
is.
Repaso del Capitulo 10
Eitprcse los siguientes radicales en forma estandar:
É
íí
i. vias
5. sïfäš
9. i'/íš
L3.
2.
6.
10.
Vl2.r'i}'1
17.
I
_
4
_ .icI* J
'É
<=.s _.. ceCH3€
`|
ci_,r .i
14.
`¡I
I8
V3 8 x' _it"
I
" :¬".:*'
x unf,_]1u_I¦"ifl'\ãJ'* LH
II
:TI_ <:<Í_ Q¢i
19
3
viïrš
23.
É + \/É
\/Íš
24.
[N/75.r`l_i. 3 + j \/3x2y'¡
25.
.r
y
l
';Vl3.X'_)i:!
l
ti Jt¬ J
List t G»O
ii'
16.
2.1:
_i
20
“iii
zz. \/to ~ \/zs + \/¡iz
V27.r5_i 'i
l
V3?y5 + I; V755)
I'
l
26. 1 V4.r;y3 ›
27.
l
+ V.r¡_r*¡
VP+P_}¬+\/xy“+y3 '\r'(x+yP`
zs. W \/*ie +=€/E
U1
12.
Simplifique y combine las expresiones de radicales semejantes:
zi. \/54 + \/iso
_
za. \/“ai \i/š+\/*si
Li1» I
' f'
*I
._¿:
Repaso del Capitulo 10
30. vize + . fzx/3543 *
32. _i.
ïì
¿¡
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xv” tar
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.rï/¡Í! š`_?'
33. .t stay* +
31. visiii + Qšv”27.~fi_v“
4
lv”.±'
,ir
,
\'Vs±*_T'*
Realice las operaciones indicadas y simplifique:
34.
av.
40.
43.
WT \/ E
VE;
v“ÍšÍi i/'š` Ti'
si/6 Mi
35.
33.
41.
44.
\/si
vš \/1775
v'ì`.ì \/«FH
il/'E V"25
36.
\/Ei.i'_i' V2Iy
39. vfi \/.›. + 2
42.
45.
V2.r_i' + _i'
si/E V”36
4o.
V"es "
41. \Í'«"«E MF
48. V"211 ” vi'49.:
so. (zx/ã + 3)(2fi 3)
49. (2 + \/š_)(2 \/5)
sz. (4\/6 + \/ši)(\/E 2\/3)
si. (xfi 2\/š)(3\/i ¬ x/E)
54. (2 + vai + 3)1
ss. (\/?+_3 + 3)*
ss. (vÍ›.~ 12 + :i)1
ss. (\/':iÍ~
57. (\/fi + \/'Í T2 )i
58. (\/ÍFÍÍ3'
59.
+ \4/_*
E
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66.
69.
¡ILS e
152.2 r
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4 : \/Í
61.
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6
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2
í
35`2 \/fi
3
86's N/5
4
si. Z
\/š+i
3
3.5
ss. ___
3+\/5
s+\/š
so. _ 5__`/š
\/š+\/š
90. _í\/¿_\/5
zx/'i+\/i
91. í_\/5
\/ìTi+\/E
92. \/ñ_ñ
í
zx/si
\/Wi
93.
\/Í. + zx/ã
3% “r
3\/ji
95*
\/5?
Esprese los siguientes radicales eii forma estándar:
9 .¡. â
tuo. \/733
91. x/756
ini. É
GNCIO
ss. \/T_
102. \/' sì
99. \/ _.I0*
ios. \/É
CAPÍTULO
11
Ecu_ac¡ones cuadráticas en una
varlable
11.1
11.2
11.3
11.4
11.5
11.5
11.6
introduccion
Solución de ecuaciones cuadraticas por factorizacion
Solución de ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado
Solucion de ecuaciones cuadráticas por la formula general
Ecuaciones que dan lugar a ecuaciones cuadratlcas
Problemas planteadas con palabras
Gráficas de ecuaciones cuadrálficas
339
11 ' ECUACIONES CUADRÁTICÃS EN UIM VARIÂBIE
í
'U
I
J'
||1fl'OdUCClO|'|
Un polinomio en unn variable Jr ee una ci;preaion dc la lortnn
rr,,.\'” + r:¡:c”"' + o¿.'c"_3 +
donde rr”. cn.. u¿,
i un
., ri 1,, .son nutncros. reales 3. ' n le ll 1. tes decir, n es entero no ne
gufivoL
Si un af 0. el polinomio ci. dc grado n. (Íuando n
ll. el polinomio es de la forma
uu. se llama polinomio constante 3.' nu grado es cero. Cuando n = I. el poliuoinio
tiene la forma d¡,.'c + n'¡ y se denomina polinomio lineal. (`uundo n = 2. cl polinoruio
es de la forma ufix + u,.¬e + u¿. y se llama polinomio cuadrático. F.l min :ero rr., se
denomina coeficiente del término de mayor grado. gr un en el término constante.
L! na ecuacion polinomial (o polintimica) en J: es un polinomio en x. con n f; N,
igualado a cero. Una ecuacion polinomio! de la forma ox: + hx + c
0, donde o #
0.. o. h, c G R y :e es la variable, se llama ecuacion de segundo grado o ecuacion cua
drática en la variable x. La expresion c.\"i + llo: + c
U se denomina forma estándar
de la ecuacion cuadrática. Los valoren. de .c que satisfacen la ecuacion son las raices
de la ecuacion o los elementos del conjunto solución de la ecuacion.
TEOREMA 1
Si Py Q son polinomios 1; P * Q
DEMOSTRÃCÍÓN
(J. entonces. P = U o hicn Q _ U.
Si P if 0. se dìciclc la cctlaci fui entre P ' Q
P Q_U
T F
_*
i;: ,toes
ll entre P.
_
Q ll
Por cotlnigtlielìtc, Si P ' Q = 0. entonces. P ¬ 0 o bien Q 1* ll.
Solucion de ecuaciones cuadráticas
por factorizacton
III'
(Íuundo cl polinomio ox: + 1.1.1* + c se puede factoriaar cn el producto de dos l`actore±›
Iiriealesr. la ecuacion cuadratica ox: l ox + ¢
0 puede re~solveree ig._ualundo ;eparu
damentc cada uno de Im I`uclorcf~. u cero. De cata ntancrn. lu ecuacion cuaL'l1'; itica quccln
cirprcsada como dm ecuaciones Iineaien. El conjunto s.olucion de la ecuacion cuadrati
ca cf» la union de los conjuntos soluctin de las dos ecuaciones lineales..
í
I
I
I
I
I
`
Enconmu' el conJunto solucion de la ecuacion 3.1" + tío'
SOLUCIÓN 3.t“i + fo: = 3.1r(.c + 2) _ ll.
Por cotuiiguicnlc.
3.1' = U
o sea.
.lr
o hicn
.r =
.ir + 2 L 0
es decir.
ff)
2.
ti.
11.2
Solucion de ecuaciones cuadrãttcas por Factorizacion
391
Por lo tanto., el conjunto soliicion de la ecuacion cuadrática 3.1": + ox
O es la union
del conjunto solucion de la ecuacion Jr = 0 con el de la ecuacion .r = 2.
El conjunto solucion de la ecuacion cuadràtica es l 2, (ll.
Hallar cl conjunto solucion dc la ecuacion .r“
soiuciotii ,t 1 .i
iz = u
Por ciitisigiiictitc,
.ir
o hicn
.e + 3
.ir
l2 = ll.
uu + si 1 ii.
4 = ll
ti
esto cs..
.fc 2 4
es decir.
J: = 3.
El conjunto solucion de la ecuacion cuadriitica es { 3. 4}.
Encontrar el conjunto solucion de 6.1' i + .ir = I2.
SOLUCIÓN
Priineranicnte se escribe la ecuacion en l`orn'ia estandar.
Por lo tanto.
3.1'
_
o hicii
.
4 = 0
le + 3
4
es decir.
0
:r = T
o sea.
x ;
3
5.
.
.
.
4
l. .I conjunto solución es [c ã , 1
Resolver para .ir la ecuacion sc
SOLUCION
.ri
ro: + Ziller
Li'
altar i Zbl == 0
.t 1 + i a + zliu
ox l Zbx
2ab = O.
Zrii; = tl
zas _ ti
Por lo tanto .ir cr
0, esto es, Jr
o _r i 2o = 0. esto es. :r ¬ 211.
o
lil conjunto solucion es la. 2b}.
DEFINICION Cuando las dos raices dc una ecuacion cuadrálica soii iguales, se dice
que la ecuacion tiene una raia doble.. o de multiplicidad dos.
Encontrar el conjunto solucion de 'lx' t 4.17 t Í ¬; O.
soiucioiii at 2 + «is t i = os to iitzs + ii = 0,
Por consigtiiente.
2.1: + I
ll
o sea,
.ir =
†
o bien
2.¬r + I
0
es decir.
.tr =
JI '|“ l" *
_
.
El conjunto solucion es
I
2 .
l
Í _
11 II ECUACIONES CUAORÁ1'ICå$ EN UNI VIRIANE
Nfltá
El conjunto solucion se escribe como
l
É.
l
I
í . y no
l
_.
1_
ï , para iitdicar qui.
.
.
..
Í es una raiz doble. Lo anterior tambien
espresa que la ecuacion original es la ecuacion
cuadrátiea 4.1:: + 4.1* + I = (l y no la ecua
cion Iineal 2.1' + l = 0.
DEFINICION
Una ecuacion cuadrática pura es aquella que tiene la l`orrna .el
Resoltficndo .ri
.ri
ei = lx
rr: = 0
al = 0 por factorizaeioii. se obtiene
e)(.t: + al = 0
Por consiguiente,
Jr
rr = 0
o bien
.ir + e = 0
es decir,
.r
o sea,
.tr
rr
it.
El conjunto solucion de la ecuacion euadriitica piira .ri ai
0 es la union del con
junto solucion de la ecuacion .tr = + rr y el de la J: = tri. Ambas ecuaciones lineales
se escriben. a menudo. como una sola ecuacion en la forma .ir = ±o.
E .I conjunto solucion es { ri. o}
Por consiguiente.
.
ci htctt
si xi = ai,
.
1
si :c'" = tt 2 ,
se escribe
x = ±e
EIIIDIICES,
ii, E3 ; ±\fg1
Encontrar el conjunto solucion de la ecuacion x*
3 = 0.
sotucioiit ,t 1 3 = ii.
Jr: 3=0
.t'2=3
.r=±_\/É
El conjunto solucion es { U3. s'3}.
Hallar el conjunto solucion de la ecuacion 3.1"
soiuctóiti .is 2
3.1:: 2=(l
.ti == Éfi
2 = ii.
2 = U.
11.2
Solución de eotitatlonltts tttädráflcas por Fattflrlfltlón
I
es
1
š_...,/_.Ä*..+l
\/i"
ì
3 3"
í
El conjunto solucion es {
i
í
avg
i
É \/5.. 5
II
Encontrar el conjunto solucion de la ecuacion .r' + 4 f tt.
SOLUCION
t“+4
X
í
...__
2
0.
4
im
.Í
=±\/ 4=±2i
El conjunto solucion es {2i.
lil
Resolver para :r la siguiente cctiacion: (Jr + 3u)'
SOLUCIÓN
uf + :tail
loli "~ =
loli* = 0.
0
(Jr + fin): = lobi
(Jr + 3a) = 1. \/¡ob ' = ± to
I
=
3a ±4b
El conjunto solucion es { 3o + 411, 3a
«lol
Resolver para .c la ccuacioii ,vi = «lui
SOLUCIÓN
.r
40:
.ri
l ga... ik):
.li
l2nb + 91: 3.
l2ob + 9b3
Q
±\/(za
±(2a
sin*
3h)
El conjunto solucion es {(2u
3o), (Ein
3o)|.
EÍerCíCÍO$ 1 1.2
Resuclva para .r las siguientes ecuaciones:
.ri .r= 'O
.12 l 7x=0
.I ¡' 1 F
Z' ri 3.x= 0
10 . 2.12 +4x= 0
13
16 .
l=U
.tri 36=0
2.
S.
8.
ll.
I4.
17.
1'
3.r=[l
3'"
.
.t3+lr=0
4x2 + .tr = 0
5.r3+.r=0
3.13
lüf
3.ri+ox=
21' 50
l5.r =
*L
_4=U
*is
2=o
0
of 4.t= 0
.xa 9=0
..t'3 l2=0
11 I ECUACIONES CUÃDEÄTICAS EN UNA WIRIABLE
3=o
19.
4.12
22.
lor:
=o
tt =o
m+bfi=o
w.
n.
zo
w.
n.
x.
aa
0
2.t'i+3
713 h
0
'l
il.*ll
~or=o
o'i+b2=0
41.
Lt'
44.
lx
+
í
7 = 0
25. .to + 2 =o
28. Jr* + l2 =o
1
31.
lt +4
34.
5.12
37. xr
40.
¿ 1
.ri
í.
'Q
3
94'! _2= 0
3.t _4_= 0
21.
25 ri 3=0
24.
.tri + 3 = 0
27.
8=0
.r'i+9=0
Zrii + l =o
lr: + m=o
.ri o l b=ü
*is ¬o2 b"=
I
L'
(.r + ll” š=Ú
46.
(Jr
l
of %=o o.
(.r
49.
52.
.ri
xl
i
.r 2=0
50.
.I
l
3.1: = lll
53.
.ci
ox
S7
8 = (J
9.1:
'
_ "t. *t¬.*'is°'ts + ox + 9 = 0
63.
65.
l0.ir+25=0
.ri
.ri 4.r+4=O
67.
69.
71.
73.
2x1 6.: 3=0
3x1
llt'+9=0
3x3
5x = 2
4.1r3 + 4.1:
3
75.
of
+
.tt
77.
4.t'3
le
4.t: '= IS
79.
3x1
31.
83.
35.
87.
39.
91.
91: + 4 = llr
4x3
llr + 9 = U
.ci + ou.: + ilirti = 0
.ri + 2n.t'
fin: = ll
lr:
rt.t' ~ oo: = 0
93.
.tj + a.t + ht + nl: * ll
411.
97.
.ri
99.
101.
.tri
.tri
l03.
.tz
=i
.í
í
í
í
í
tr
0
45.
(I + ct):
0
0
48
Sl.
(tr
x'i+7.r+l2=
S4.
.ri 4.r=2l
=l2
2a) 1
m .r3+21 IS (J
w .tr2+ l0x= 24
w .tc + 4.: l 4=0
m .ri 3.t:+l6 0
M .I2 2t'+l=0
M 3.1": 3.t'=lS
m 41:3 4x
0
m ha 3.1:
0
n 4.11 3.1:
M lt: +3.t'=
m (tir: 35.1: = 6
H mi 64 5.t'
m (ari I?. .r
m of 4.r+l 0
M 9.t“" o.t:+l li
M .ti o.t l2o3=0
w .Í 2 9o.r + lflai = 0
w li''i ~ 7m' tia: = U
M ot'3 I 9nur + 3:11 = 0
M .l.` + tir ~ bar no = 0
M.
mi
4b.t' l fictb =
m.
rr! l Ztlb + bg
tw. *'1.*"t. *`i. 4:12 + 4úlb + Í):
+ 2a,r+a2
im.
hi'
im. I' l 2a.r+a'i ¿lb
b =
3s=
í
q. .
1,.
'í'
oí
¡ 1
1
*I
q..
(1 no = O
tft: 4 ttb l 4h
1
9:12 oab+b3
2ax+u3=o3
I ›
í
1
ha + tub = 0
2u.r + 3h¬t'
5.1: +4
42.
í
í
llrt.t' 1» .itti ¬ ll
nt'
o
2
_4l , __.:
3
ll
'LAI *'I¬ l¦l'¦
ll?. ¬ 5.1'
. 1.
+
mi
39
í
.í
.í
%.H
'í
í
1
2
É
3
36.
'J
18
lil .
Gx:
Í
IU
33.
í
5.1' = 36
'I Â'
S9
+
30.
¡_
Iru
43.
55
0
+
3.13
1
xl
1
1
nf
0
11.3
Solución de ecuaciones cuadraticas completando el cuadrado
395
Solucion de ecuaciones cuadráticas
completando el cuadrado
QI'
La cantidad Lt' + nl: es tin citatlratlo perl`ccIo. Pticstti t|ue Lt' + rr):
Jr: + Zeit' +
ill. la csprcsiott .ri + 2tr.r i af: cs tiii trinomio cttttdraclo pcrl`ecto. La csprcsioii .tri i
2n.v no es un cuadrado perfecto. sin eiiiliititgo. si se siuiia tii.. el resultado es un trino
inio cuadrado perfecto.
Obsürvcse que el lorniitto tu: es el ciitnlrado de la tititad del coeficiente de .tz
Del tnisnio motlo. Jr:
lao: sc puede con'vci'tir en tin trinoinio cuadrado perfecto
siiintitidolc tri. puesto que (.v
ali
.vi
NOÍB
.`l'.a.v + ui.
El totritino cjuc til suniarsc a ln csprcsioti
Ji" t l't_t' la convierte eii ttit trinoiiiio ctttttlra
_
li 3
dit ¡*it:rlccltt es
.Ii
¡.13
__*
_
Lncoiitrar el termino que debe siiniarse a .vr + 4.1', para obtener tin trino
mio cuadrado perl`ccto jr csprcsar ostc cn l`ornia l`actot'i;l:titla.
SOLUCION
.
._ _
_ 4
La ntitatl del coclictentc de J; es .¡¬
°
_,
.__
l .l torniino buscado es till” _ 4.
_t;i + f lx + 4
Lt" i 21:.
T
_
Hallar el termino une ilcbe suinarsc a .vr
?.v para oliteiiet' titi trinorriio
cuadrado perfecto gr espresar il sic en forina l`actori2.ada.
SOLUCION
Í
.
.. .
la initad del coelicientc de .r es
j
El tcrrriino biiscado cs K
7* f
¿j
''
7
T.
te
¡_.'
.
.
.t'"
ll?
'
7.1' ~ _4 _ (1
7
*I
ïf
)
'
I
mi
¬
Dctcrnntiar el termino que debe sumarse a Jr'
"_ï_
3
_
.
¡ .tr para obtener un trinoinio cuadra
do perfecto 3. csprcsar osle en forma l`actori.›fada.
11 I' ECUÃCIONES CLIIOÉÄTICÃS EN UNÃ VÃIIÃBLE
SOLUCION
La mitad del coeficiente de :r es
5
J
.¬_ _ 5__¿_
+ 25
__
3
se
_:
I .I 't
_
El tcrinino buscado es ( ~
(~i)=~å
:is
í'
=
E
l _ 5)*
_
s
El mii todo de completar el cuadrado permite expresar cualquier ecuactiäit cuadratica
en la I`orma de una cuadrtitiea pura y. por consiguiente, obtener facilmente el conjunto
solucion.
Consideremos la ecuacion
dl.t'2+b.tt+t*= U..
oil)
ari + ln' =
t
Se dividen ambos miembros de la ecuacion entre ir:
,
b
t
x*+ .t'
ct
c
ri
El cuadrado de la mitad del coeficiente de x es
lili li = lili
De modo que
¿ti
.
_
.
.
_
H es el termttto que hara que el printer miembro de la ecuacion st.
_
_
_
iii
convierta en un trinomio cuadrado perfecto. Sumamos T;
ü a ambos ntieinbros dt. la
ecuacion y se obtiene
.tr
2 + ox + b:
ri
¿lui
=
bz
c'
4o:
ti
Se lactoriza luego el primer miembro v restilta
( .1'+ l›)1
r
al
=
si tae
«ta
La ecuacion anterior es la forma cuadrritica pura de la eciiacion ut
Ahora se puede resolver la ecuacion como euadr: :itica pura.
Nota
+ ht' + t = O
El mi”. todo de lactorizacion proporciona el
conjunto solución de una ecuacion ciiadrati
ca solamente citando se puede laetorizar el po
linomio cuadrtitico. El metodo de completar
el cuadrado, ett cambio. proporciona el con
junto solucion de ciialqiiicr ct. nacion cuadra
tica.
11.!
Solucion de ecuaciones ctiadrátlcas completando el cuadrado
Resolver s"
SOLUCIÓN .i 1
.tz
5.:r l 6 = 0 completando el cuadrado
ss + is = ii.
5.1::
Ó
ll
5 "
25
:;
= 1 a atnbos miembros dc la ecuacion.
Se sutna I
X2 5.t:+2Í5= o+2ìâ
(J i)¬
si
1
..t' §=±$
2
4
5
l
.:___,___
,i
¬..2
.
_.
El conjunto solucion es
5
+
¿_
H JL!!
Ji
Resolver 2.1" + 3.t'
solucion
:it 1 + st
2.
ll completando cl cuadtado
2 =o
1
lr* t .ii
1
tt iii. zi.
¿_
ii
2
1 _
_:
_
t+¬t
I
1
i
_
i kt
Se suma
,
1
t"+ t;+
§
I
7
.i
= '41
'il
=
I I»
lfi
"i
¬
IF' a ambos niientliros di. la eciiacion
il
lfi
'io
3
.+__í
`4
.r
ll
__
'.i I lä t¬. t'i
J'
_
.
_,
lil cott_|uttto solucion es
si
3
5
*_
5
_..
4
_ 5
4
É 4.obii.n
.fi
,
4
'
5.
11 1 ECLIÃCIONES CUIDIÄTICÃS EN UNÂ UARIÃBLE
Resolver 3.'r'
SOLUCIÓN
3.1 l'
'ls'
7.1 3
_ 7
.t"
.
7
r'
3 == I) completando cl cuadrado.
3
i' I
3
W
fr +
(.
ti
l +
fi fi
(ii
_
_ fifi
fi
ti
A
t. 'ss
" ts
o+ sas
_t»` t›
,lt
_
_
,iii
Í): _ 3 Í
ji
FI
il)
I __
7
' ll Iljlclll I lil HU
'
'
'_'
Lli
l.I'l...iÚI'l
LH
7
“'
6
l*
Resolver 2.v*" + .r + 'l
SOLUCION
*Í
_
6
6
citfš
'
' "*
ó
.
0 conipletaitdo el cuadrado.
lil + ir + 4 = 0
lt: + .tt =
4
1 + .t = 2
I . .li 1n
¬,
l
.t*¬+
2
l
l
.ri = c2+~
lo
lo
( _r+ if
.i
=
¡›i.l
i
si
te
l;_E.
"4_"\l
.t'¬
is
'Ti
±t`\/:lg
I
.
+± '\f`.3l
4l'
s= .t
__
El conjunto solucion es {
1
I _ ..
Á ¬ ;i'v'3l.
l
I _
EH/3l}.
11.3
solucion de ecuacioiies cuadráticas completando el cuadrado
Resolver para .v Ifi ecuacion 3.1::
4u_v
399
Zrii
0 completando el
cuadrado.
sotucioiti
3.6
tai
af = ti
3.1::
lio: = Iii:
__
_t*
lo
2:13
3
1
~.t
'F'
_
4o
_
__
Se suma ~9_ a ambos itneinhros de la ecuacion.
I: _ 4:1
2o: + __.
*lui
__¡. + 402
__ = ..._
3
9
3
9
(
.r
Zn):
lllai
_ == _
3
9
1"
'lllui
r _ï==±vl_.š_.
2o
\/Illa
_r =
1
3
3
_
_j
El conjunto solucion cs
2a
* 7; +
V 10a lo
rš
V Illa
T .
Elercicios 11.3
Etictieiitre el término que debe sumarse a cada una de las siguientes espresiones para
obtener un trinomio cuadrado perfecto jr exprese oste en forma factoriaada:
'I
1
l.
ir* + 6.1'
2.
x" + I0_r
3.
.tz
4.
.ti
l.?.i:
5.
.ri + .r
6.
.ri
7.
ici
9x
8.
.ri
l3_t
9.
.ri +
ll.
.ri
.tr
12.
IO.
7
ir' + _t"
30.1'
+
.tz
.t
I .It lä
13.
.ri + .lr
I4.
.ri t
IG.
.ri ~
17.
.ri
.r
t .¡l'L.nl' J ¬ .t
r
ft
"~¡l'. ¦l Ii 'l.t›¬ l'~¬.lf I
lt J
1 `t i
t. i ¬.t' .` '
I IiI
P'5. "
+
t i3 _
1Hi
l I't* D I: un
Rcsuclva para ir las siguientes ecuaciones completando el cuadrado:
19.
zz.
+ 'lt' 3=0
*is*ls s
~i2=o
20.
_r2+7_r+6=0
2a..t1 'tt 3o=o
21.
xl 3x l0=0
24. .ii 3.: is=o
11
ecuaciones cuitoiuincits en una vittttitate
25. .ri + 14 = l5x
26.
.el + 4x = 2l
27. .ti + 14.1 =
28.
_t'2 = x l 72
29.
.cl + 4_li' =
30. .tz = oi'
3l.
.il + 3x + 5 == U
32.
.ri + 3 = lr
33.
34
.ri + 8 =
35.
xa + .tr = O
36. 16
37
3.1:: + 5_t' = 0
33.
2.12
40
1» ¬ ' = t +1
43
3.t'i = 32 + 2U_r
44.
3.1::
46
41: + 24 = 35.1*
47..
4_r3
49
4.1:: + *J + llt = Ú
50.
it:
52
lr: ¬ 6_i i 3 = (J
53.
4_r'i + 2U_r =
55
3_t'i
lt'
56.
3x:
53
1 ti'
'ls + 4 = ii
4.1:
ii. zi 2
2 = ll
4
Tx
+
Sir f c
+
8 = l4_t:
2
3 8.1:
l¬l2.'r=l)
.tri + 7 = Ss'
:ix = o
42.
4x3 + l = 5.1:
45.
Siri 'lr l3.t +6=
48.
9_tri=2+3.tr
51.
25
I 3.1"
QI:
I + 5_t
57.
fix: + 3 = l0_r
c0.t›.t 1 <›.t+2
ss. si si + 10
66'.
lr:
4 = ll
62.
lr:
64
.ri + 3_r + ll ¬ O
65.
lr:
3_t'
67
.ri + ¿tr
3rt'¬' = 0
68.
.ri
69 .
.ti + 3tt_t' + ti: = U
70.
.ri + 7u_r + 3a: = ll
7l
.ti
72. .ii
73
lil ~ iii'
75
lt 1 + su + af'
77
3_i'
_`iti_t' e Sil: = il
4
t.t.r
3_t'3
5.1: + 3
4tt3 = U
su
auf =¬ ti
74.
lt": 4 3ri_r
76.
_`i.t'3 + ri_t' * 3o: = 0
lt": + 7ti_t + Ãtl: = ll
73.
lt: + ti_t'
79
lio'
30.
lr: + tor + 403 == ll
81
3 1": + Értt' te Zrii '* U
82.
3.1::
fin: _ ll
ii
iii + ri: = ll
tt: = 0
Zrii = ll
4ti.t + 2a: = 0
solucion de ecuaciones cuaclrátícas
por la fórmula general
CJ'
La l`ortna cuadratica pura de la cciiacion rav: + bie + c
+ b )'
_
.l.`
"'“'
2n_
bg
filtiit'
= '_"" ___'
4o:
Rcsolviendo esta ecuacion para .r_ se obtiene
.
.r
l
+ b
lb
1
ltïlt*
É'
H = I 1 __¬¬:'_'
2::
N
slo'
ƒ 1
, = __! '_ ._. \/*_';4±
Z
i
"il
i'
I
4rt:
J
_\ :':
h
±¬
lil
Vo'
_
~
lt I
4rit'
›
li ± \›"h'
'
_1
..t'l
'kit'
_'
0
' 24.1' + IÓ =
6I
+
2 =
S4.
si +s=ti
si t
59. 3.6
9
39. 2.1 1 + 3x + I
.n.n.|.
í.
1 .
í
24
0 es
4 ...
í.
Pi
_.
11.c
sotiictondeecuaclones cuadratlcasportafdrntulapenerat
401
Por consiguiente, si aiii + ox + c = 0, rr =ii 0,
¬¬
o±
“It 1'" \ It
.it
'
_.
lu;
Zn
Esta expresion se conoce como fórmula cuadråtica (o formula de las euadrálieas).
De la formula euadrtitica resulta que el eonjtinto solucion de ta ecuacion i:r.r¡" +
bi: + c = 0 es
{ l› + \/si
«tae s
2a
`
\/si i ~¬ «im }
2o
Para resolver utia ecuacion cuadratica dada mediante la formula cuadratiea, se compa
ra la ecuacion con la forma estándar, aiii + oir + c = 0. con el fin de encontrar los
valores de ci, o y c. Luego se sustituyen dichos valores en la formula.
Obsérvese que at es el coel`icientc de .trit O es el de x, y e es el tértnino constante
cuando la ecuacion se escribe en forma estándar.
En la ecuacion
3x2 + 2_r
En ui ecuacion
En is ecuacion
rs 2
is*
Resolver _r"
5 = 0.
o = 3, b = 2 gr c =
5.
zi = t›_ fi = 1, ls = 2 y f ; o.
si .= 0, ri = 4. i› = 0 y e = 9.
2x = 24 mediante la formula cuadrática_
*L 2.›t=24
*ts lr 24=Ú
SOLUCÚ
tt'l
ft*
2
i' '~ 2 l
Siistituyendo ct por l_ tb por 2 y e por 24 en la formula.. se obtiene
¡._ _t 2l ± \/(~2)"'
Ztll
2 ± V4 + 96
3
z±\/tod z±io
”
2
" 2
2(l±5)
1†
= l ± 5
ir, = I + 5 = fi
.rs = l
5 ==
4
El conjunto solucion es { 4. 6l_
4(ll( 24)
11
:cunciones cunmuimas En una vnmms
Rcsnlvcr 3.1" + 5.1' = O mediante la fórmula Luadralluì
3.1:: + 5.1' = 0
SULUCIÓN
u"3
11:5
±'=l)
Al sustituir' u por 3. ¡J por S y c pnr (1 cn la fórnmla resulta
_.1%_ m ± \/(1 "F ` 4T3›f0›
213)
5 ± *UE
6
5±5
:T
1 ~
1:
~ 5+5
' 0
6
IU
5
5 5
*_±s_:T=_š
El .mljunlü süluciún c.=.{
Rcsulvcr 3.1"
SOLUCIÓN
3x3
5
O3.
6x + 2 = 0 medìantc la Iurmula <.uadr..1Iu..1
6.1: + 2 = 0
U =
Í? 1"
Ó
1
Í _ 1 6) ± v”< 961*
'
zm
= 2
4ì3`›(i`ì
§± V3_6 24
6
Ci
1;»
±
x/E
í
6
6±2\/5
<:›
2(3 1 ví)
6
3±\/É
3
El conjunto sfllución ¢S
{3+\/É3 \/§}
*
1 _
3
3
11.4
Solución de ecuaclnnei cuadráflcas por la fdrmuia general
Rcsulvcr 2x'
sowcmn
16
3.1* + 6 = 0 mediante la fórmula cuadraìtìm
3.1 + 6 = 0
u 2",
I:
3
r Í)
f 3) ± \/( 3)*
4r2›uf››
12(2) .
±
V9
43
=
_3±\/ 39
3±f\/E
4
4
El ccmjuntn solución es
'
Resolver 2.13
sowcmn ze
{3 + fx/39 3
~
~.
4
¬. ' I lx
fx/3<›}
4
3 = 0 por la fórmula cuadrátìcn.
\/¡T1 3 = o
=2. ¿›= x/11. «. = 3
_ ( \/1 1) ± V( \/Ñ): 4(2)( 3)
I'
zm
H
= \/fi+\/|1+24
"4
,= \/1_1+\/E
'Ã
_
El conjunto snlucìú|1 es
{% 4 ¬ ¬› }%
\/Ñ \/1 ›*_5\/fi+\/:E
Ejercicios 11.4
Rusm Iva las siguicrwlcs fxuaciunfirss nwdìantc la fórmula cuadrálicaz*
I.
r1+2.r=
2.
xl
6x2 + .r = Í)
4.
Íìrz + 3.1: = 0
5.
7.
Jr!
4 = 0
3. .H
10.
xl
3 = 0
13.
I6.
41:1
31:3
I =
I9.
2.152 +
r
í
.í
í
ll.
36 = 0
.ra + 3 = 0
14. 9.11
17. 511
20.
3.1: == U
25 = 0
6=0
4.1:: + 9 = 0
3x2
4x2
5.1'
3.1'
x3 ~2={)
xa i 9=0
2:3
3
3x1
7
5.1:: + 3 =0
11' ECUMIIOÉ CUÃDIÄTICÃS EN UNA VARIÃBLE
22.
25.
2.3.
31..
34.
37.
8.1: l `7 =o
xl'
.ri + `?x+ 12 =o
xl' + óx 16 =o
3x= IB
.rx
4= 4.1'
x2
xl + 6x+9 = Í)
.rx + 2x l 2 =ii
+
$33
32.
3.1'
4 = 0
._6.= 0
s=o
í
xl
í
Eli* =2
35.
2 3x
38.
.r + 36= un
.I 2 3x+4=0
53.
41
44 .Jr 1 _: i 7= mi
.E + 2.r+3 =u
2
l8.r3 Z7x+4=0 47 .óx +.r 2=0
50 2.1_: = l7.r 36
9.r2=3x § 20
S3 . 24.r3+2l=65.r
l0.r2+9x 9=
S6 . lr! 41 3=0
3.1:: + I0.r+f›=
0 59 .9.r+l 6,1: =0
512 9+3.r
61.
ak n+s =o
62 .2.5
64.
67.
4,: 1+
.r3+\/šx=4
65
63 1
70.
Jr:
2\/šx
72.
.[2
5 \/ir
74.
2xI+\/šx
76.
3\/ìr'1'+7.t+\/§= 0
73.
\/šxz 3x 2\//š= 0
40.
43.
4 Ó.
49.
S2.
S5.
'I
vu
2.1r+l=0
.Ir l l=0
13 +6x+3=0
X2
8
24.
27.
30.
33.
36.
39.
1
x'_±
xl
'ii
.r*
x2+
1
x" =
_ ra
42.1: 1
24=0
5x
91 + 20=0
4.1:
í.
íll
2x
í
í.
4x
I
Í
32
4
4
+1 =ii
lx +5=0
+IO=l9.r
fi.afi
fi.sr*=|m+1s
51.
54.
57.
60.
63.
66.
lll' 3+9=3l.r
lie: = 30.1: + 27
3.1:: + 6.: _;›_= 0
4.113 + 9+ lle =
3x2
P.: +2 =ii
sr: + \/ir = 5
\/:Ju: = 5
xl'
R/š.r = 2
69.
71. xl + 3\/Í.: = s
73. 11'
6\/ lx = 1
4\/:hr + I = 0
75. 3.1::
0
77. \/ir: + 5x
2\/Í
0
79. \/ax: + 4.:
2\/6
í
fI _
Ecuaciones que dan lugar a
ecuaciones cuadráticas
Cuando una ecuación contiene fracciones puede escribirse cn una forma mas simple
si ambos miembros de la ecuación se multiplican por el minimo común clcnu|11in:.u.lur
(m.c.d.) de las fracciones prcscmcs en la ecuación.
Si una ecuacion se multiplica por un polinomio en la variable, la ecuacion resultan
te podría no ser equivalente a la original. Esto significa que la ecuación resullame puc
clc poseer raices que un salisI`ace|1 la ecuacion original. Los valores cluenirlos para la
variable que satisfagan la ecuación original. son las raices lle esla.
o
_,
Resolver la ecuacion 2.1:
14
_; = I.
.Í
_
¿
11.5
Ecuaciones que dan lunar a ecuaciones cuadràticas
SOLUCIÓN
1r(.r
Se multiplican ambos miembros de la ecuacion por (x
2)
I4 == (.r
2).
2)
1:1 4.†~ 14=s 2
21:1'
5.r~ 12 =ii
(2.1: + 3){.r
4) = ll
3
5
21 +3=0. estoes. .1:=
o bien
x
4 = ll. cs decir, .t = 4
._
FJ conjunto solucion es {
Í'
3
4} . La comprobaeron se deja como ejercicio
lO.
Í
.r3+.r (fr
Resolver
3
ï
=
x3+2.t' 8
.ri l 7.r+I2
I0.r
5°' "U9"
3
I2
ft §`+ 1 6 si + zi s _
___tos
h 3
_
12
of zm + 3) (1 no + 4) _ of + :no +11)
Se multiplican ambos miembros de la ecuacion por (x
l0.r(.t + 4)
3(.tf + 3) = l2{.r
10.11 + 40.1 3.1 9 = 121
10.12 + 251 + 15 = 0
2)(.r + 3)(.r + 4).
2)
24
lr2+5.r+3= 'U
(Zr + 3)(.r + I) === 0
2r+3=0. esdccir, x=
o bien
El
_
conjunto
.
solucion
es {
.r + l = 0. esto cs.,
3
.r =
e IÍ.
La comprobación se deja como ejercicio.
Ejercicios 11.5
Resuelva las ecuaciones siguientes:
8
1.1: =2
x
2.
l
3x+ =4
x
3;
I
11 I ECUICIOIES CUIDRÁTICÃS EN UPM VARMBLE
4
6.r = 5
.it
3.
x
5.
8.
10 .
¿I =3x 1 8
2 3.1
1
I3.
15
12
L =3.t 2
x+l
4
2
J: 2
.1r+l
1
.r l
.=:+2
19
_5 f_+_¿_._.3
2.1' l
3.: 1 2
2.1:
3
23.
3.1'
.tí + .r
24
25
'
23 _
30
22
.tr + 5.1' + (1
.t'3+5x+4
si
.t'3+x¬I2
IS
ìií*
.r*
4.1'
S
.r
_.í_
+. _
.trl 1 .r 2
.\3+3.t'+2
32..
_.L_
.tt 2
5
+1: 4
24
+ í=5
..í_= ¿Ó
.t I 3
_±§L_ï_,
3.1' 4
lr 3
2l
.r 4
+
I 7.1*
lt+3
3
.ri
2
.ff +1
6.1::
12
71.:
5.1' r 6
I3
.,_
lr'
lr
1':
P.
í=i
_
20
H
3.1' + I
.is 1' + un
4
.tj I
I I .tr
¿
mi
14
3.1'
'l'
no
lr:
| III
.tï lt' 3
.r
“ *
9.1: + 20
H
5.1' + 2
9.1'
31
.T É
2
.12 + lr:
+
lr:
I
7
=Zr+l
.r
IS
ll
si
+¬.
~
es
_
1
L5
x'
ox + 8
.r' « 3.1'
4
.r*
.r
5.1'
2
2
+
.rì .I 6
.r3+.r 2
xl 4.r+3
3.1'
22
lll
1 su
29
'ñ
Jr
22
I
le + l
2
9
20
1
I
26.
27
_...
l
I
13
17
3.1:
19
%'=lI.'+7
lo
4
í
É' ~2X+9
14.
_2L+._í=5
21
l
x+3=
x
151:
6.
_ =4
K
.r l 3
.tr
15
Ó.
7
4
=5
I
x 2
21
5.r+x+4 6
9.
H
I
5 l l=;_
7
lle 12 1 B=0
x
4.
.rr
I'
4
81'
ll]
|4.r + 3
+
.t'
7.1'
,
.r
12.
3.1' + 2
8
__
si 1
†
un + 3
19.1
llc: i 5.1'
2
38.1
+
=ii
ll
21. : + llr + IS
_
+80
11.6
33 v
34
'
Problemas planteados con palabras
Ilšrr _ _
1
(sv + r
2.0
31:3
lx
ss. lr'
¬.
36
37
38
39
40
41
42
I
.15 l 4
+
1
"
6.1" i 5.1' + I
+
4.r
+
33.1'
8
4.14
9x + 2
lle: + 13.1'
se
3
.r
lt":
c.
3.1:'
+
lr:
13.1 + 4
3¿t
.i:*
lr
zu
4
3
'I
'
.r' + 2.1;
+
1
3.1 1
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3.1'
.r o
~
.rr
6.1: + 8
.L
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7.1
4
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5
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4
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1" “ir ï
.r
9
¬.†
3
.r
+1
3
__
'
167
.tr
:r e 5
r' ' ir i 2
.r + 7'
.
al 1
.t 3
.r
'I'
2
lr + 4
.r 4 5
1.
__
.t
1
' 111 1 + s
0
I
5.1' + 2 '_ 4.r"' +4.r
4.1'
I
3.1'
|
4 H
1
s 6.1”=, Il.t'
__
+3
3.1' + I
.r
6
lr + l
' 3.6
3
4lr
1+
4.1' + lll
'
25.r
1
9.1*
l
l
__
.1' 8
'1 _
r' \' (1
Jr 3
í
Jr' +1'
6
1:"
.i:+ 2
~
1:3
3.1'
__
4
3.1' +
15
.r + 4
1':
.r
7
PI'Ob|Gm3$ p|3l1f€3dO$ COI1 D8|3D|'3$
H."
La suma tic dos ntimeros naturales es 18 s la dri`e|enua de sus cuadrados
supera cn 36 al producto de los números. Encontrar ambos numeros
SÚLUCÍÓN
Prhrrer rrrirrierrr
.'S`egu.odo mhiienir
1:
(48
Jr:
148
sf):
36
í
dí
.cl
.r(4l'l
1)
.cl ¬ 2304 + 96.1'
.ri
36 = 48.1'
2
+ 48.1'
.Í
2340
ll
l .r + 78)( .r
30ì
0
í
ai
.í
o bien
.r + 78 = U.
esto es. .r =
.t
cs decir. .r = BU
Los nú|nc|'os. son 3 (1 1.' 48
Se elimina
30
ll.
30 = 13.
78 porque no es numero natural.
78
11
ecuaciones cunnulncns en un emm:
La diferencia de dos números naturales es 8 y la diferencia de sus recipro
2
.
eos es ;¡ ;¡ . Hallar los numeros.
SOLUCION
Primer mimero
Segundo nuimero
(.r + 8)
X
1
¬]
.K
â
I+8
Nt I: .=›
77
oa 1
77(.r + 3)
77.r
77.: + 616
77.1:
2.ri.r + 8)
2x2 + l6.r
211 + lúx
6l6
0
.ra + 3.1'
308
14)
0
0
(x + 22)(,r
o bien
í
Hí
.r + 22 = 0,
esto es,
.tr
.r
es decir,
.r = I4
I4 = 0,
1
¡+8
22
Los números son 14 y 14 + 8 = 22.
Se elimina 22, puesto que no es número natural.
U rta persona realizo un trabajo por $192 dolares. El trabajo le llevó 4 ho
ras más delo que se suponía y entonces ganó $2.40 menos por hora de lo previsto. ¿En
cuanto tiempo se suponía que llevaria a cabo ese trabajo?
SOLUCIÓN Sea x horas el tiempo esperado para efectuar el trabajo.
La tarifa horaria que esperaba recibir, menos $2.40 es igual a la tarifa horaria real
que gano la persona.
@_.,,,,__2¿_
.r
M
Jr l 4
l92(.t' + 4)
1921' l 763
2.4.r(.tr + 4) = l92.r
2.4.r3
9.6.1' = l92r
2.413 l 9.6.1' " 763 = 0
.r2+4.r 320=U
(Jr + 20)(.r
o bien
lb) = 0
,r + 20 = 0..
es decir,
.r =
.r
o sea,
.r = lö
lo = 0,
20
El tiempo esperado para realìaar el trabajo es 16 horas. Se elimina 20 porque carece
de sentido.
' La base de un rectángulo mide 4 pies más que el doble de su altura. El área
del rectángulo es de 448 pies cuadrados. Encontrar las dimensiones del rectángulo.
11.6
Problemas planteados con palabras
SOIUCION
A It ura
Ba se
x pies
(2.v + 4) pics
x(2r + 4) = 448
2.r2+4.1r 448=0
.ri + 21:
(.r + l6)(.r
224=l)
I4) = 0
.ir+lf› = 0,
.r
I4 = 0.
o bien
esto es,
es decir,
.ir
.ir
#1!
í
.1 _
_
te
I4
La altura del rectángulo es l4 pies y su base es 2(l4) + 4
32 pies.
Un equipo de remeros puede viajar 16 millas rio abajo y regresar en un
total de ti horas. Si la velocidad de la corriente es de 2 millas por hora, hallar la veloci
dad a la que el equipo puede remar en aguas tranquilas.
SOLUCION
Sea Jr ntillas por hora la velocidad a la que puede remar cl equipo en aguas
tranquilas. El tiempo para remar rio abajo más el tiempo para remar rio arriba es igual
a óhoras.
¿_ _, ._'f'_
.r + 2
lotx
.r
6
2
2) + Io(.ir + 2)
lfix * 32 + lfix + 32
tir*
32.r
24
3;*
ist
12
(fix + 2)(.r
6)
tí
'
6(.ir + 2)(.r
í
nt*
HI É
í
í
í
í
_
í
24
0
0
0
3.1: t 2=0, estocs, .r=
o bien
,ir
2)
2
5
6 = 0, es decir, .r = 6
La velocidad de remo en aguas tranquilas es de 6 millas por hora.
Ejercicios 11.6
1. El producto de dos números naturales consecutivos supera en 2 al séxtuplo del
siguiente número consecutivo. Encuentre los dos primeros números.
2.
El producto de dos números pares consecutivos es IO unidades menor que 13 ve
ces el siguiente número par. Halle los dos números.
3.
4.
5.
l..a suma de dos números es 2! y de sus cuadrados es 225. Obtenga los dos números.
La suma de dos números es 25 v la de sus cuadrados es 317. Encuentre los números.
La diferencia de dos números naturales es 8 y la suma de sus cuadrados es 194.
Halle los números.
419
11 1 ECUJICIONES CUAORÄTICIIS EN UNII WIRIABLE
La diferencia de dos ntimcros naturales es 9 _v la suma de sus cuadrados es 305.
Obtenga los números.
7. La stima de dos ntimeros nattirales es 1'?. l.a diferencia de sus cuadrados supera
en l9 al producto de los números. Determine dichos ntiinerds.
8. La suma de dos números es 28 v la de stis cuadrados es 16 menos que el triple
del producto de los números. Halle los números.
.
_
_
7
.
9. l.a suma de dos numeros es 14 gr la de sus rectprocos es sm . Obtenga los nu
6.
l0.
meros.
..
.
.
_
.
4
La dtlcrcncia de dos numeros naturales es 4 y la stima de sus rectprocos es 7 .
ll.
Encuentre los números.
La difereiicia de dos números tiaturales es o si la de sus reciprocos es
¡
Halle
los números.
12.
Una ettcursion geológica costo $120 dolares. Si ltttbicran ido 3 estudiantes más,
cl costo por estudiante habri, sido de S?. menos. ¿Cuantos estudiantes fueron a
la excursion?
13. Uiia ei tcursion a esquiar costo $300. dolares. Si hubieran sido 3 miembros menos
en el club, el costo por persona habria sido de S5 mi tis. ¿Cuantos miembros hay
en cl cltib?
I4.
Un hombre pinto una casa por S800 dolares. El trabajo le llevo 20 horas menos
de lo que se suponía 5' cntoriccs gano $2 más por hora de lo previsto. ¿En ctttintti
tiempo se suponía que pintaria la casa?
5.
Una persona realizo un trabajo por S90 dolares. Empleo 3 horas nias de lo que
sc suponía 1: entonces gano S5 menos por hora de lo que esperaba. ¿_F.n ctitinto
tiempo se suponía que llevaria a cabo el trabajo?
16.
17.
La base de tm recttingulo mide 4 pies mas que sti altura 3' el tirea es de 192 pies
cuadrados. lincuentre las dimeiisiottes del rectaitgulo.
l.a base de tin rcctritigtilo mide 3 pies mas que el doble de sti altura y el iirea es
de l89 pies cttadrados. l lalle las dirnensìones del rectángulo.
18.
19.
20.
21.
Un hombre desea construir una caja metalica abierta. l.a caja debe tener una base
cuadrada, los lados de 9 pulgadas de altura y una capacidad de 5 184 pulgadas
ctibicas. Determine el tamaño de la pieza cuadrada de metal que debe comprar
para construir la caja.
Si cada uno de dos lados opuestos de tin ciiadrado se duplica 3.' cada uno de los
otros lados opuestos se disminuye 2 pies, el tirea del rccttingulo rcstiltantc sttpera
eii 32 pies cuadrados al area del cuadrado original. lincuetitre la longitud del lado
del cuatlrado,
Si cada uno dc dos lados opuestos de un cuadrado se ittcrcntcnla 5 pulgadas mas
que el doble del lado del cuadrado. 3 ' cada uno de los otros lados opuestos se dis
minuye en 7 pulgadas. el tirea del rcctiingulo rcsttltantc supera eii 55 pulgadas cua
tlradas al tirea tlcl cuadrado inicial. Halle la longitud del lado del cuadrado.
llo ctiuipo de remcros puede recorrer 12 millas río abajo v regresar en un total
de 5 horas. Si la velocidad de la corriente es de I milla por hora. encuentre la velo «
cidad a la que puede remar el equipo cti aguas tranquilas.
22.
Un equipo de rcmeros puede viajar IS millas rio abajo gr rcgres.ar en tm total de
9 horas, Si la velocidad de la corricntc cs de l ie millas por liora, liallc la velocidad
a la que ci equipo puede remar ett aguas tranquilas.
23.
Un avion vuela entre dos ciudades separadas 300 millas. Cuando el viento sopla
11.7
24.
25.
26.
Graficas de ecuaciones cuadratlcas
411
a favor a 30 millas por bora, el avion alcaiira sti destino '. 'lt ltora antes, ,'_(.`tiriI
es la velocidad del avion?
Un avion vuela entre dos ciiidadcs separadas 3 20 0 tnillas. Citando el viciito sopla
en contra a 40 millas por liora, el avion alcanza su destino ,?.ll minutos mtis tarde.
¿Cual es la velocidad del avion?
Paulina vive a 30 millas de su oficina. Si maneja su automovil a 5 millas por hora
mas de lo usual, llega a su oficina 5 minutos mas teiitpraito. ¿A quo velocidad
maneja normalmente?
lneremeiitando la velocidad de un automovil en 3 millas por liora. fue posible rea
liitar tin viaje de 360 millas en '/1 llora menos de tieiiipo. ¿_(.`u.til era la velocidad
27.
28.
29.
30.
31.
32.
original?
_
Un inucliaclio desea cortar cl césped de tiit prado rectangular de (tt) por 45 vardas
cii dos períodos iguales de tiempo. Dcterniinc la anclittra de la I`raiija qtie debe
cortar alrededor del prado en el printer periodo.
l.a base de un tritittgtilo mide 4 pies ittciios que la altura. El tiren es de 48 pies
cuadrados. [iiiciientre la base si la altura del triangulo.
La altura de tin triángulo mide 2 pies menos que el doble de la base. Fl arca es
de 56 pies cuadrados. Halle la base gr la alttira del triringtilo.
El porcciitaje de utilidad de tin traje fue igual al precio de costo eii dolares. Si
el traje se vendio a S144, ¿cual fue el precio de costo del traje?
A demora 5 horas mtis en realizar tin trabajo de lo que demora B. Si A gr B traba~
jando juntos pueden cfcctuario en 6 horas, ¿cutirtto tarda cada uno cn ltaccrlo solo?
A demora 7 horas mas eii realirar tin trabajo de lo que demora B. Si . \ v li traba
jaitdo juntos pueden efecttiarlo eii 12 horas, ¿cuoiito tarda cada tiiio eii liaccrlo
solo?
33.
34.
A demora I l lloras metios del doble del tiempo que tarda B eii realirtar un iiiisiiio
trabajo. Si A sf B trabajando juntos ptiedeii tertiiiiiarlo cii 23 horas. ¿ctitiiito tarda
cada uno en liacerlo solo?
A demora I4 horas menos del doble del tiempo que emplea B en realixar tin mis
mo trabajo. Si A y B trabajando juntos pueden tcrrninarlo en 45 lioras, ,'_cttaiito
tarda cada uno en liaccrlo solo?
Gráficas de ecuaciones cuadráticas
l.a gt'til`ica de una ccttacioit cttatlrtilica _i'
ii.t'3 i hƒr t it', rr i¿ 0. ri, li, t' E R, cs cl coti
Jtmto de puntos cuyas cooideiiadas soii las parejas ortleiiadas Lv, _r) qtie satis|`accii la
cctiacion. l a representacion grafica de la ectiacioii ctiadrt`ttica es iiiia curva llamada pa
rtiliiila. Las parejas ordenadas se pueden encontrar asigiiaiido t alorcs arbitrarios ti .v.
v detei'iiiiiiaiido los valores corrcsponi.lieiites de _t _
f;`oiisidei'einos la ecuacioii _i *
.vi 2.v 3.
(.`titttii;lo .r
3. _i' = l 3)”
ll 3)
3 “ 12: por ctiitsigttieitlc. la pareja iirdc
nada t¬3, 12) es una soliicioit de la ecuacion.
(fiiaiido .v = _?. _v ¬ ( 2):
2( 2) 3 f 5: por lo tanto. la pareja ordctiada
l 2, 5) es una solucion de la cctiacioii.
11
ECUICFOIES CUÄDRÂTICÃS EN UNA VÃIMILE
eje _i
1:
I2
10
8
6
4
1
2
il
I'¬I_'¦
I 1I*1
G
H
'ue
un
~tu. h
6
eje .ir
4 _: `
4
6
_2
¬4
I
I
FIGURA 11.1
Dei mismo mode, las parejas ( 1, 0), (0, 3). (I, 4), (2. ¬3). (3, 0), (4, 5) y (5, 12)
son solucìnnes de ia ecuación.
Se ccinstruye una tabla con las parejas ordenadas.
Ai localizar estas parejas ordenadas de números 3.' ceneclarlas con una curva suave
se nbliene la grafica de la ecuación. cemo aparece en la Figura 11.1.
Nüfà
A medida que .rr aumenta, la curva desciende
(es decir, y disminuye) hasta que X = I. y
4, la curva deja de descender y empieza a
elevarse cuando .r aumenta. El punto dende
la curva deja de descender y empieza a ascen
der se llama punln minima de la curva; tam
bién se denomina vértice de la parábola.
NOÍB
La recta vertical que pasa per el vértice divi
de a la curva en dos ramas simetricas. Esta
recta se llama recta de simetría e eje de la pa
rábula. Cualquier par de puntos de ia pará
bola cuyas abscìsas Jr. y :cg sen sirnérricas con
respeclef al eje de la parábola (equidislanles
de ei) tienen ordenadas iguales.
11.7
Graficas de ecuaciones cuadràttcas
413
Coordenadas del vértice y ecuación de la recta de
símetría
Conslderese la ecuacion y
lx'
=
ax: + ¿Lv + ir". u ifi U, rr. fr, tr' E R.
furl + bat) t e
`I
= ¿I
I'
+
É _ 1]
+ t
H
.Z
=` t'.'I.l.+
le
.r
+
tf!
= 1
(
Jr + b
_. .
Cal
'2
.ti +
ba
,
4:1'
1
4:1*
2 ~ br..
2:1
b
113
l r'
4:1'
2
bì
r
211)
_ + tr'
4 rr
b 1'
f›`'
= rr .ir + ~
Zo)
, ¬., «i 1
4ac
40
Para cr > 0. puesto que ,v +
.
adquiere cuando .i t
+ t
IJ
Zrr
1
'
. .
2 0. el valor minimo
de v
'
¿J
¿Í _ ti., o .t
1
ir*
"
4 Hl'.`
4o
b
ìà .
De esta manera las coordenadas del punto minimo. el verlicc de la parábola. son
l
_ì._ .52 «
20
40
4ae
)
..
.
.
l.a ecuacion del eje dc la parabola es .v
¿J
1” .
ÚD$El'V3CÍÓfl
Cuando e <: il, el vértice de una parábola es
su punto máximo, y la parábola se cstiende
hacia abajo.
NOÍB
Cuando se construye una tabla, se colocan
las coordenadas del vertice de la parábola
como la pareja central de la tahla. Puesto
que los valores de .v que son sitnetricos con
¡J
respecto a ,U _ dan lugar a valores tle _t '
iguales. el trabajo se retlttce a la mitad. Se
_ . .
toman valores de .v su11etr1co›s
a †”fr 3.' los
valores de _v correspondientes a ellos, son
iguales.
11
ECUACIONES CUÃDRÁTICÄS EN UNA VÄRIÃBLE
I: . . Encontrar lasli coordenadas del vcrtict. 3 la eciiacioii del eje de l. .i paranoia
eiiva ecuacion es _i'
2.v
3.
solución _t _ zx* 3 s as
of 3.
las coordenadas del vértice son (il, 3).
l.a ecuación del eje es .r
lv*
0.
Hallar las coordenadas del vértice y la ci. nacion del eii. dc la parabola ii =
3.v + l.
SOLUCIÓN
3.1: +l
_v =¬
¬.
LJJ
.i
I
2" J'
3.ir + ì_ì
k
I
J
lr'
.Ó . «,)
2
,¬
'IA
'A
1
..i
¬J
9
3 lo
Fši ›'. . J
i í.
+l
F4*.,ff_
DJ
=2.=: )
4
+l
I
32
=2.¬r
. " '“"' . " " '
.
Haciendo .v
4)
É' 'ï'¬ Cl'
3
Í = . U. obtenemos .ir
3
4 .
_ .
3
las coortlciiadas del verticc son (3 ,
l
8 .
..
_
3
la ecuacion del cie es .ir = í.
Graficar y
soi.ucióiii
4.1"
4.r2
4(.r2
4.1'
4;:
Jr)
3.
3
3
ri)
,r x+1
.~
12
i
(f 2)
í.
_ _
i
al
12
E) l 3
IP.
: =ritis=t
H
H
2)
4
3
11.7
Gráficas de ecuaciones cuadráticas
4
_ _
I
Las coordenadas del verticc soii ( 5 _ 4 _
Se construye ahora una tabla coii (
4) como pareja central
¦ ,_| .
,
_
_
_
I
_
_
Se tornan valores de _v simetricos a 5 gr se obtienen los correspondientes valores de y
_
Ohservese que .v
.
_ _ _
0 gr .v = I son sinietricos con irespeeto a _i'
Iores de _i' son iguales, _r =
Para .t
l
3
2 jr _i. = É ,_i«
Para .ir =
I jv _v = 2, _r
l
ï v ciitonces los vt
3.
5.
.__3 isa
.__ 2__i
5.
Puras
AI localizar las parejas ordenadas de nt'iit1eros jr i:oncetarlas con una curva suase ob
iiemos la grafica deseada como se iniiesirii en la I `i_eura I I_2_
eje
H
fl'
6
* el
5
4
3
l*ͬ11lJ~a I
ll
¡._.....
_¦..h. i J
2
s «ie
l
3
§
I
3
_]
0
4
3
2
2
eje .i
i l
l
2345
4
FIGURA 11.2
Dibujar la grafica de _r * _v* t 2.v + 2.
SOLUCIÓN
_v
'll'
__v'i 2_v+2
+11: i l)+l
+ l)""+ I
11
ectincmries cuannfincas su me ramas
eje ,v
l2
ll
,O
4 to
“P
T
22
_ I
_
6
l
5
0
4
¡
3
_ 2
2
Ii II1
I
O
~Ó 5
4 3 2~ll
ejes'
I
2
3
4
5
(It
2
FIGURA 11.5
Las coordenadas del vertice son ( l, 1).
Se construye una tabla con t l, I) corno pareja central.
Localizando las parejas ordenadas de números v uiiiciidolas con una curva suave, se
obtiene la grafica buscada, tal como se ilusrra en la Figura II_3_
Traxar la _i__ti'ál`icti de _r
SOLUCIÓN
v r
.r " + li + s
tf
==
"
xv" + 2.1: i 8.
(.i:"
[liw
~t.t
lt) 1 s
li' + I
ll'
l] + 8
l] + li
iif`+s›
las coordeiiadas del se' i'ticc soii (l. 9).
(`oiistruìiiios un:_i ialil:_i con ijl, fi) coiiii_i pareja central.
Al le calircai' las parejas oislciiailas ile iitiniei eis 3. ' conectarlas con una curva suave,
obtenemos la _i_:rai`ica tleseada {l~'¡1.f ,urzi ll_› l).
11. 7
Graficas de ecuaciones cuadráticas
eje _i
.I
ji'
'
3
7
l 2
U
I
5
l'
1U
I
0i8
I
A 2
2
9i
s
8
6
4
2
¿J ion» eje Ji'
tr
8
2
Ao
3
4
5
4
4
U
t___í_
(1
5 7
8
IO
FIGURA 11.4
Solución gráfica de ecuaciones cuadráticas
Si existen las abscisas de los puntos de iiiterseccìon eii las graficas de la pariibola cuia
ecuacion es y rr rr_v'i i br + c v la recta cuya ecuaciciii es _r = 0 (el eje 1), son las rai
ces reales de la ecuacion ax* s bs* t c
0.
,
,
*I
_. ..
.
. ,
'li
Encontrar gralicaiuentc cl coiijurito ioluciori de _v“ + _v
cje_v
S
4
3
2
__'1
s a4 3
FIGURA 11.5
l
eje .v
2345
_.
il
11
ecuaciones cunoiulricas eiii uiu viiitinete
SOLUCION Se grafica la parábola cuya eciiaeion es y = _v'i + .r 2.
Las abscisas de los puntos de intersección de la parábola con la recta y = 0, el eje .i
son 2 y I (Figura ll_5)_
Por consiguiente. el conjunto solución es { 2, l}_
Hallar gráficamente el conjunto solución dc _r" + 2_v + 4 = 0
SOLUCIÓN Se traza la gráfica de la parábola _r = .vi + lx + 4.
De la Figura I 1.6 encontramos que la parábola no interseeta al eje _r_ De rriodo que
el conjunto solucion es
eje _r
8
6
4
s __ i 3 2
110123 is
cjc .v
FIGURA 11.6
Ejercicios 11.7
Encuentre las coordenadas del vértice, las cciiaciones de las rectas de siinetria, i. clibuii
las parábolas cuyas ecuaciones se indican:
1.
v = ir
2.
4.
_1r ' ri 3
sl
7.
10.
13.
v= iii' l~l
_v =
_v =
N
Jr'
.ls L 1
i' I lr:
= .tri
li.
ll.
14.
4
J.
ti.
.ri + 2
9
=s
1
1.
1
¬ i"
1
41 r 4
li
.__
í
$1
1
,
s
I
3 + 1
il
I
12.
15.
í
í
.¬_¡.
í
1
lt."
tii' + *J
Repaso del Capitulo 11
16.
_v = 1:3 + 8.1' + IÓ
_
_
_
_
_
_
_
_v = .ri + 2_r › 3
3_r + Ó
_v = si
25. _v = (lr 3):
23. y = t3.i + 4)?
31. _v = si + .ir
34. jv = .ri
8_r
37. _v = 11':
l0_r i 5
39. v = 6 + .r
lei'
42. _t = 3_r'i 4.1' + 2
19.
22.
jr
_v
_v
_v
_v
_r
_v
=
=
=
=
=
=
=
'I
Ir..
3_ir+`?_.
1
1. ..
+3_t 4
3+2_t _'
t'
72
(li
1
ti + lt
_v =
si
21.
ii' =
si + lr + 3
24.
_v = 8 + lr
27.
_v = t3_r + 2):
_v = .ri + 4_r
30.
= .t
'i
.ri + lt
33.
_v
T:
36.
jr = .ri
5_r
38.
_
18.
tu + 3
.ri
isi
7.1:
jr = Zrii + 9_ir + 4
_v = 4 + 7.1'
lr:
41.
5
44.
2_v = ri + 3.1'
_v == lr: + lr + l
3_v = .ri
J: + 2
Determine gráficaineiite los conjuntos solucion de las siguientes ecuaciones:
45.
.il
43.
.ri 1 4=U
SL
.ri 3.1' t l2=Ú
1r=Ú
_
_
1
.Í
1
.ft
T
54.11' .i |2=o
57__r3 _r 2=0
60__t'i+2.r+3=(i
63. 'iii
tir + I = 0
66.
69.
2
3
0
1'
4_r + 3=(l
.ri + lr __ 1.5 = ti
_r 1
li'
l =ii
X'
í
2
_'
_2
4_ri
3_ir*i+7_r 6=0
'l_r: + 4_1r
3 = 0
47.
50.
í
si + I=U
_ti _?__r 8=0
ss. .if si IO =ii
ss. .t ' '*+1i› i =ii
59. .ri
4_r + 2 =ii
62. .ri
3_r + 3 =ii
3_i:
I = 0
1 ii + 4 = 0
iii* + =ii
iss_:›_ ;1' :›.i› 2=o
(sr 2
'is
6 = 0
63.
4_r¿' + 4.1'
lr:
5.1' + 4 = 0
71 _
7__i:3+3_ir+_"1=0
l5=U
RED3$O OEI G3DÍfUIO 11
Resuelva las siguientes ecuaciotics por factorittacidii:
I
_ 1.2=0
JI'
2..i 1~9.i +s=0
i3.i 4s=o
1112 ~ i =ii: = 21
24_t›P + zi = is
s. 20.t 1"~.i 3e=ti
tur.i
¡I t5 t
?°9"*_'F'¦"'
1.0.
ari' i .ri
12. .r"'
l5_r = il
“I
7..
l2.i + 35.1: = 52
9.
54.1":
¡
II..
los* + s) = ti
U' _ ¿U1 + fl' ¬' til]
3..i 1'+5,t 6:0
l7_r
llt” + 5.1::
=sts
3;; = 0
13, ,fi _ 5,, 1 + 4 = 0
6 = fi
(1 + ff):
{_i; + Q) «
=
0
Resuelva las siguientes ecuaciones por el nietodo de completar el cuadrado:
16.
¬
.r' + hs' = U
is. _ tf
si + 4
22. .if
si
I?.
0
si = ii
25..
3.173 .L li =
l
28.
ti'i_r: i brt_t ¬r 27 " = 0
i
li"
zii. .i 'f
7_i: ' 1 0
si i la _= ii
23. lt 2
ss
26.
7_t =
41 3
29.
i = ii
aLhI .i ___É
'J
18.
3x2
5.1' = 0
21.
24.
.ti 3.1: 4=0
3x1 + 4_t
2 =ii
27.
51:3 '
3.1' i 2
4a.t ¬ 21 = Ú
=ii
11
ecuitcioim cwtoitäricns su una viiitatete
so. a=.if zac s=u
sz. ,il zas :asii 'f = 0
si. .if +ia 3o«2=o
33. .t 1' isa; + ica* = 0
Resuelva las siguientes ecuaciones por medio de la formula euadrática:
34. ai* 7=0
35. tai 1 i3=u
ss. 3.›. 2 4.i=0
37.
(ix: + Il_r = il
38.
39.
40.
43.
46.
4s.
so.
2511 + sui = ~ i 41. si 1 + 'is = 4
42.
sisi 1 + «iv = ios
44. ii 1 si + 4 = 0 45.
.tf + aa sal = ii
47. .G izia +
.i 1+\/š.t~ ti =o
49. _i 1' \/ìi
\/iii si + si/E = ii
si. \/šf zi
3_i':
'_!tl_r = 32
8x3 + llx = 54
ise' + si = 2 tt
su 'f + is + 2 =
3202 = 0
i2=o
zx/š = 0
Resuelva las ecuaciones siguientes:
52.
3.1'
I
+ ¬ = I
_i+I
.r 3
53,
54.
3.'
_r'i + .ir
_'
.r
551
5_r
1
_r" + .r
Sfi I
S7.
53.
.
S9.
¿
_
1.
11"
+ ía
(1
li
5.1:
9.
i
lr
_
2
_
1
lt'
3
_;
I2_r' + II_i'
+
5
1.
2.1."
+
l5_t
_'
IS
_i:
5_r + 2
_
J
_
_.
lS_r'
253'
2
_r'
2
":'
__
1
fix'
.tf
_
i ,
4_r'
l
4.'
i
`?_t i 3
2
35.1*
Á
f = ~ ii
ll_r + 2
2(l_r* + i'I_i'
_
e.i1 .t
3
_¡____Lj.l_í..._ïL___._
lr: 3_i' 9
lr: .r 6
.ti 5_i'+(i
62.
_t+l
3.1::
4_i: + l
_r+l
,
lr' + _t'
1
,
”
fit* + 'Is'
.it + 6
1.71
4.r"
9.1'
.r + 2
'ii
lr'
5_i:
.it ll
_r'
2x 3
_
i "asi ›11t +5
'
63*
l
IU_t
, f
3_i" + lili' ~ 8
2
_i'
2.1'
_r 2
3
7.1 + l2
1
|l_r
'e_i 1 131 5
61..
_
%
.ti
7
+
1
2
lr' + '*)_t + 4
9.1:
60
1
4_r
§
_
.rr + lt'
20
oo:
,†
tin'
.r
;
8.1:'
2
.rr + 4.1' + 3
tii'
¬
_r I
9
.r l
_t“' 5_r+t'i
64. _ í+..
3
_*
3
_'
3
I
1
_
ist" + |(l_i: + 3
.rr 3
.rr
_i' 2
aí
IO
3
REDES!! del CIDIÚIIIO 11
65
I
+1
__i+e
_. :+6
1
+ «_
_r*+5_t+(¬i
_r'+_r (›
«_
_i'“ 4
Encuentre las coordenadas del vértice, la ecuacion de la recta de simetría, y trace la
gráfica de cada una de las parábolas indicadas por su ecuación:
66.
jr = si
2
67.
69.
v = xi
4.1'
70.
72.
75.
v = .ri + 5_r + 4
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El producto de dos ntinicros naturales pares consecutivos es 24 tinidades nienor
que [2 veces el siguiente número par. Halle los dos números.
La suma de dos números naturales es 48 v la diferencia entre sus cuadrados es
36 unidades más que su producto. Encuentre los dos números.
_
_
_
La stima de dos numeros
naturales es 20 y la de sus reciprocos
es 25¿ _ Determine
los dos númcros_
Una excursirfiii geológica costo S288 dolares. Si hubieran ido 4 estudiantes más,
ei costo por estudiante habria sido Si menos. ¿Cuántos estudiantes fueron a la
excursión?
Un hombre pintó una casa por $1200 dolares. El trabajo le llevo 10 horas más
de lo que se suponía y entonces ganó S0@ menos por hora de lo previsto. ¿En
cuánto tiempo se suponía que pintaria la casa?
La base de un rectángulo mide 6 pies más que la altura. El área es de 216 pics
cuadrados. Encuentre las dimensiones del rectángulo.
Si cada uno de los dos lados opuestos de un cuadrado se duplica y los otros dos
se disminuyen 3 pies, el área del rectángulo resultante es de 27 pies cuadrados más
que el área del cuadrado. Halle la longitud del lado del cuadrado.
Un hombre reina cn un bote 20 millas rio abajo y regresa en I I horas y 20 minutos
en total. Si puede rentar 4% millas por hora en aguas tranquilas, ¿cuál es la velo
cidad de Ia corriente dci rio?
La base de un triángulo inide 6 pics menos que la altura. El área es de 216 pies
cuadrados. Encuentre la base si la altura del triángulo.
La altura de un triángulo mide 10 pies menos que el doble de la base_ El área es
de 1 I lo pies cuadrados. Determine la base y la altura del trianguio_
El gerente de un teatro encontró que coii un cobro de admision de $2.50 dolares
por persona, la asistencia diaria promedio era de 4000, mientras que por cada
aumento de 25 (E la asistencia disminuia en 200 personas. ¿Cuál debe ser el precio
de admisión para que el ingreso economico diario sea el másinio posible?
Un nuevo contrato de trabajo estipuiaba un incremento salarial de $1 dolar por
liora y una reducción de 5 horas en la semana laboral. Un trabajador que habia
estado recibiendo $240 dolares seinanales obtendría $5 dolares de auinento a la
semana según el nuevo contrato. Determine dc cuántas horas era ia semana labo
ral antes del nuevo contrato.
Repaso acumulativo
C3DÍI.'UIO 5
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123
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127
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122
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ll
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REPASO ACUIIULATWO
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3
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6.1:: 7.r 3
139.
¿Que número debe sumarse tanto al numerador como al denominador de la frac
..
23
_
.. .
3 ,,
cion 47
140
lr: 5x+3i 3x1 lr l
para obtener una lracctott igual a 5 .
El denominador de una fraccion simple excede al nutnerador en 29. Si se suma (1
.
..
7
al numerador y 22 al denominador. cl valor dela nueva fraccion es IT. Encuen
14].
tre la fraccion original.
Un número supera en 57 a otro. Si el número mayor se divide entre el menor.
el cociente es 3 y el residuo es 5. Halle los números.
142. El dígito de las decenas de un número de dos cifras supera en 4 al de las unidades.
Si el número se divide entre la suma de sus digitos. el cociente es 6 y el residuo
es ll. Encuentre el número.
143. El dígito de las unidades de un número de dos cifras supera en 2 al de las decenas.
Si el número se divide entr el doble del dígito de las unidades. el cociente es 4 y
el residuo es 1. Obtenga el número.
144.
Si A puede hacer un trabajo en 42 horas y B en 56 horas, ¿cuánto demoraran
en hacer el trabajo juntos?
145. Si A puede realizar un trabajo en 60 horas y /l y B haciéndolo juntos lo efectúan
en 35 horas, ¿cuánto tardará B en hacer el trabajo solo?
146. Juan tardó en manejar 14 millas el mismo tiempo que em pico en volar 45. La ve
locidad media del helicoptero fue 9 mph superior al triple dc la del automovil. ¿Cuál
I`ue la velocidad media del auto?
CQDÍCUIO 8
Encuentre las pendientes de las rectas representadas por las siguientes
ecuaciones, de dos maneras distintas:
147.
.r
21' == 0
153.
156.
3.1'
4)' ¬ 7
5,1: + 41.' = IB
1
iso. .t + t = o
143.
I
'r
IS4.
157.
4.1.' + 7_¬r = ll
9x
81' = I
151. _t
lt* = 0
149.
2=0
lr
¡_
+
1
lun
¿
1
_
1.
_
1 rr
tsz. 1.
155.
ISS.
71'
Zur
6.1'
O
5
lt
Obtenga las ecuaciones de las rectas que pasan por los puntos dados:
159.
161.
I63.
.~'t[0.{l). Bll.
Il
Al ¬ I.. Il. Bll. 4]
M3. I). Blc?. 31
160.
162.
16 ' I.
Alli. I). B(3.Ú)
All. 2). Bl 2. 7)
A(2.ü). Bi 4.
Encuentre la ecuacion dela recta que pasa por el punto dado con la pendìentt. prcscrtta
165.
163.
l7l.
M2. I): U
M3. 2): 4
A(l.4): ã
166.
169.
All. ~3): U
Al I. 2): * 1
167.
170.
All. I). 3
fl{5.2l1 * 2
172.
2
Al 2.5); "É
173.
Al 4.2); É
Repaso aeumulativo
Determine la ecuacion de la recta con las interseeeiones .v _v _v indicadas:
174. 2: 2
178. I : 2
175. 1:4
179. 2; 5
176.
180.
2; 3
3: 7
177.
ISI.
3, 6
4:
Resuelva gráficamertte los siguientes sistemas de ecuaciones:
132. .r _ |
:O3
I
1' s +
2.r+_t' __
I* J
«'~=5
¿=`“`
185. 2; r=2
1
"i*"'¦E' .il
2.
187
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.T + 3jr = 8
QJ' iI"t¦"'¢' 'L' ++_
3
i`:`”'*ì:'
9
'É'
I
ín
í
í.
«st
Soiuciotte por eliminacion los siguientes sistemas de ecuaciones:
N58.
lr
3x l _v =
Jr ._3_.,.=
at.
l9l.
`¡
139.
=
192.
2.1' + _t' =
194.
197.
UULH PG*
lt' + 3_v = I
4.1' + 63* = 5
.c + 5): = 2.
Zr+lli_v=4
195.
.Ir v=5.,
2.1: + _t
4
.t' + 2)*
3.
lr + 3)' =3
.tr 2; =4.
lr 4v=9
x + 3_'| ' = ¬2.
3.t'+9_v= 6
190.
U
2x y= 3
x+2_v=9
3x
4y = 10,
5.1: l 3y= 7
193.
Í
i
196.; 3y=
3.r 9y= 4
I'
l93.
2.
199.
3x
y =
6_x 2y=
Despeje los siguientes sistemas de ecuaciones mediante el metodo de sustttuuon
200.
.r
í
`*
0
':'
1
6
_
5.
2v= 7
201.
lr
204.
lt' + v
2x
3t'
3.:
21.'
lt' I _'t' =
203.
.r
I It. ›
I
mi
:
v
0.
IO
202.
I.
x+y= 2.
lt l y=3
lr + 33; = 2
3.r+5y= 2
205.
6
Resuelva los sistemas de ecuaciones siguientes:
ztts. .t + ett + 3; = 5.
'ilr
2l3.t'
' ll lr
Q
203.
I)
Zlv + 2) = 0
Jr) ¬ 5(.r
jr) = 5..
3_v)
`7(.fr
2_v] = 4
I
3.1'
St:
2.
104 t == 2.
É
212.
214.
5_
.t
' :
_.í
.+....L.
_ ,_,r¿_.›t. J
t
'
2
._t'_+_t:
4
stas
¬J
2.
213.
__.
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215.
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2
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2.1: 3():+l)=3,
3(.r+2}+5y= 6
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211
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4
3
49
+ =
.tt
lv
4
+
3r
l 2.
=l.tt'
3):
36
El doble de un número supera en 7 al triple de otro, mientras que ll veces el se
gundo número es 6 unidades menor que el septuplo del primero. Encuentre am
bos números,
Un número de dos cifras supera en 5 a 8 veces la suma de sus dígitos. Si los dígitos
se intercambian, el resultado excede en 4 al doble del dígito de las decenas del
número original. Halle este número.
Si se suma l al numerador y 4 al denominador de una fraccion, su valor se con
.
2
.
_
vterte en 3 . St se resta 4 del nutnerador v se suma 9 al denominador, el valor
l
_
..
_ _
resultante es 2 _ Determine la fraccion ortgtnal.
Un hombre invirtió parte de su dinero al 6% y el resto al 7.5%. El ingreso por
ambas inversiones totalizo S3 600 dolares. Si hubiera intercambiado sus inversio
nes el ingreso habría totaliaado $3 420. ¿Que cantidad tenia en cada inversion?
Si una aleacion de cobre al 60% se combinara cott otra al 90%, la mezcla conten
dría 66% de cobre.. Si hubiera 20 libras mas de la aleacion al 60%, la mezcla resul
taría al 65% de cobre. ¿Cuántas libras hay de cada aleacion?
Un punto de apoyo esta situado, de tal manera, que dos cargas de 90 y 120 libras
quedan en equilibrio. Si se agregan 30 libras a la carga de 120, la de 90 debe mo
verse 2 pies más lejos del punto de apoyo para mantener el equilibrio. Encuentre
la distancia original entre las cargas de 90 y 120 libras.
Si la base de un rectángulo se incrementa 4 pulgadas y su altura disminuye 2, su
area aumenta 6 pulgadas cuadradas. Si la base disminuye 3 pulgadas y la altura
aumenta 2, el área disminuye 6 pulgadas cuadradas. Obtenga el área del rectangu
lo original.
A y B pueden realizar un trabajo juntos en 18 horas. Si A trabaja sólo durante
6 horas y luego B lo completa en 36 horas, ¿cuántas horas demorarri cada uno
en hacer el trabajo solo?
Grafique el conjunto solucion de cada uno de los siguientes sistemas de desigualdades:
x l _}'<3..
3.1' _v<Zl
.tt 2y>2,
2.r+y54
231.
234.
.tr
_vEO,
x+2_rE3
Jr 3y< l,
x t 2_v> 4
232.
235.
lr
_t*E5.
.t'+2jr3¬ 0
lr _t 52.
.r+3;t :58
REDBSG BCUIIIUÍBÍÍUD
CBDÍÚIIIO 9
1
Efeetúe las operaciones indicadas y simpliiique:
2
1
2: : 22
2.36
237.
_
238 .
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Simplifitguc las siguientes csprcsiones ,\' escriba las respuestas con exponentes postttttts
dado que .r si U, _t ' a '= U:
ll
283.
3”
284.
( 6)"
287 .
t .t ')"
zas. ts"
291.
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292. 4.t 1
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285.
286.
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294. 3* tt r *
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302.
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303.
305.
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307
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)
320.
(¿..iI.`. Irl J I
I
321
'
I' 3.1::
l 5.1" + or":
322.
Escriba los números siguientes en notación cicntífica:
323.
327.
3.78
0.413
324.
328..
Câpíflllü 10
325.
329.
X/|6.r"t '
\/(.r
U5
344.
\/.ri + 1
348.
*Í/.r:¡y“
sst. x/ïš \/E x/ši
as; t. WW vi 54 si ""`en
.r\/4.rt 1 l t 1 D
I
.r 3 \/3otr3
.t'\/_. 5 t
1. 1 '
'l
357. .t vs. t
s,~t \'/
t=\/48.t"¡t'*
334. \/tzs
sas. V” se
342. \/(tt + tt*
V” nui
3 ts. \/Javi; °
349
'V5 .tr 13:3
350.
:tsz
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+
*ii .r'_v1'
tae
tt
t t I' ''S HH? *Í e
I F1'
1'
l2l.3
0.00333
345
Simplifiqtte 3' combine radicales semcjatcs:
353.
326.
330.
sas ¬t/'šã
337 ~'l~"T2'
\/si 'vi
341
332. \/35
sas. \/*` 1:1:
sao.. ví? F
set. \"/st.= Ef
355.
356.
98.6
0.039!
Escriba los siguientes radicales en forma estándar:
331. ¬t/«i`ti
sets. \/`32
339.
343.
6.32
0.573
sf ”343.ti
'li gí
ft r
.r”*Ú"l44.t't>ã + .rt"\/'ullilitrte
II
D
Ó
Eiecttic las rnultipiicaciones indicadas gr simplifique:
ass. tfš vì
aso. \/Ex/Tš
361. ¬$f'? ix*/6
asa. vi ts \/25
ass. vi* to ti'/ vs
:«tr›4. % wifi?
ass. VE \/ts@
äP*
369.
se
Hi
+
3É
veJ
367. ¬~Í"ÍE É/F
368.
\f.r + t \/.r + l
310. \/5 fl/É
371. v"š V'27
¡terme aeumulatlva
\/3 x?/sì
\/š(\/Tš
313. \/E xl*/4?;
\/E) ans. si/`<.š(s“/ Tt xl/ã
\/§)(l \/5)
sw (3
(I +
(\/É + \/§)(\/Í \/Í)
(4\/Í \/§)(3\/É \/ÍÍ)
(zx/š
(V1
\†'; Í ()
)
\/5)
(\/Í + \./É):
. (\/_? + 4\/,I )(2\/_? + \/_í )
I + 2)(V:r
i
2)
387
(\/.T7 _t` + t)2
sas. (3\/.›. + 2
(\/:Tr + zx/:tt 2)*
'tt/.tt
+ \/'_?_)(2
(zx/':š + \/ì)(2\/É
\/§)'=
(Vx + 3
314. fitjz + \/5)
371. VE x/5 + \/T
4):
(viv + 2 + 3)(\/.t + 2 3)
4)* ase. (\/Tr + .ws'ii
~
(zx/.r + 3
\/.t
t)1'
(lt/lr I I
2'*/2.1'
I):
Dtvtda 'fr simplifiqttc las siguientes expresiones de radicales:
, | lío
\/E
âjo
.Lie
vn
¿
V l 2.t'_t"`
\/2,r_t"
V 2?.t*¡_t*'*
V 3rt'b
.Jl
\/it
51:11;
â
x/¿Ei
lt/4.r¡
\«“'27n*¡l':›"
t<~set
/"'_.."
.
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V Ttt ¡ff i
V i5rtb4
'I ¬t
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lil' I lt' t"
ts
4 \/Ef'
415.
Vlr
413.
.5
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1+\/Í
1
416.
¬v 5
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2 V3
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\/3 V2
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xr ¬ .
vii + ¬v'Íï
w'1`tÍ{
___
\/*Í
ì
I
_
*tf3.1: + `v'2.v
lscrtba los siguictttcs radicales en forma estandar:
ezt
425
*_/' 13
tf _ no
422. ví ts
42s. v* se
423. v' ¡st
427. vt' ss
424. v 144
423. \/ ss
42
v' so
430. sf az
431. xt sv
432. \/ t::'š
4
CHDICIJID 11
l'_íï¬'_
Resuclva para .r las siguientes ecuaciones por factorizacidn
3. .~ 1' + at = tt
134. :tf
:ts = tt
ri + 4 = tt
43?. .lt ›. 1' + 5 = 0
435. tt 1
se = 0
438. 3.1 1' + 2 = 0
2
11 I* REPÄSO ACUIIUUITIIIO
439.
44I.
444.
.rx
(tt
lt): = ll
.tr1 + lr + 3 ' ' 0
tt:
lr
8 = U
446. it.. “ + tttt
440. (x + Zu):
Bb =
ctii'
ri
8x + l2 = 0 4 43
445. 91':
3:r
2 = c. ›+
.r*`
442.
s = tt
441. tar 1' + st
2 =t=
3 = tt
Solucionc las siguientes ecttaciottcs cotnpletattdo el cuadrado:
449. .t ¬
lt' e 5 == ll
:ts = ts
443.
.ri
451.
453.
.rr + 7.1. l 3 ' ' ll
.t*
31' i 3 _ U
452.
455.
2.1::
456
.r
4
45?. 311' + st
459.
.rr
lt": + Sn' + l = tt
0
l
.?..'t'¿ + 3.1'
tt
3.6' + 'lt' +
l)
51:2 P 1 tt
454.
(J
¿t = tt
l
453.
41': + *lr + 4 = 0
460.
461. lv* + .t + 4 = tt
450. .t 1' + ss + t = tt
lr + 4 = tt
462. 3.6 +
lr
0
i
Rcsuelva las siguientes ecuaciones con la fútrntttla cuaclrritica:
463. .tf
3
tt
464. .tt 1
466. .ir
4= tt
468. .vi + .t
I = ll
470 .."t¬ _.t'+5¬0
7
2 = tt
465. tf
4t57.t1+t
t tt
.'
.
1
.tr + .tr
5 = U
,ri +1t'+2=ll
:uf ' + 'i.r+l 0
lt 1' lt' l I (1
U
lt'' + 4.1' +3
469.
471.
472. si 1 .tt t tt
414. lt 1' + st + t = tt
476. 2.t'~* t 3.r + 2 = tt
es = tt
473.
475.
417.
Rcsuelva las siguientes ecuaciones:
9
413. _
4.r +
480.
432.
433.
484.
485.
486.
487.
488.
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3.r2
4.r
4
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.
4
490. La suma de dos números naturales es 41 y la de sus cuadrados 853. Encuentre
ambos nútncros.
491. La diferencia entre dos números naturales es li. La que hay entre sus cuadrados
supera en 6I al producto de los números. Halle ambos números.
492. La diferencia entre dos números naturales es 8 y la sutna de sus reciprocos es
'tt
Í 5 . Determine los numeros.
493. A tarda 28 horas mas que B en hacer un mismo trabajo. Si A y B juntos pueden
realizar el trabajo en 48 horas, ¿cuánto tarda cada uno en hacer el trabajo?
A demora 8 horas menos del doble del tiempo que tarda B en hacer cierto trabajo.
494. Si A y B juntos pueden realizarltt en IS horas, ¿cuánto tarda cada uno en efectuar
el trabajo?
495. Un hombre hizo un trabajo por $96 dolares. El trabajo le llevó 2 horas menos
de lo que suponía y, por consiguiente, ganó $4 más por hora de lo que esperaba.
¿En cuánto tiempo se suponía qtte terminaría ei trabajo?
496. Un hombre hizo un trabajo por $150 dolares. El trabajo le llevo 2 horas mas de
lo que suponía 3', por consiguiente, gano $2.50 menos por hora de lo que espera
ba. ¿En cuánto tiempo se suponía que terminaría el trabajo?
497. La longitud de un lote rectangular mide 100 pics más que el doble de la anchura.
El área del lote es de 6600 pies cuadrados. Encuentre las dimensiones del lote.
498. Un equipo de rcmeros puede recorrer 30 millas río abajo y regresar en un total
de 8 horas. Si la velocidad de la corriente es de 2 mph, halle la velocidad a la que
el equipo puede remar en aguas tranquilas.
499. Un avion vuela entre dos ciudades separadas 2 450 millas. Cuando el viento sopla
en contra a 40 mph, el avion alcanza su destino 15 minutos mas tarde que cuando
no sopla el viento. ¿Cuál es la velocidad del avion con el viento en calma?
Determine las coordenadas del vértice, ia ecuacion de la recta de simetría y dibuje cada
una de las parábolas cuya ecuacion se indica:
500.
jr =
I J'
sos. _~. =
506.
S09.
jr =
tf =
stt. _t =
¦...|¡
l¬.|I |l¬.t
tf t¡ r t. ›.t
.ri
ox t 9
lr
3
.r
ft
501.
t
504.
507.
t
_v
Í
i.
í.
.ri
ft
ri
1+ 5.r
510. _t
512. v
502.
S05.
508.
.rz
.tr
í
'It'
v
.rl
3
t'
.tri + 2x i l
¡2
v
lr
2
I2
il
Z
APÉNDICE
A Factorizacion de un binomio
B Factorizacion de polinomios de cuatro términos
C Teorema de Pitágoras
D Tabla de medidas
rtsétttntces
Factorización de un binomio
Liu esta scccitin se consideran otros dos tipos de binotttios que se pueden factorizar.
Suma de cubos
Cottsidcrcnttts los siguientes productos:
(tt + h)(_o'i
(I + 2_v)( ri
(2 + 3u)( 1
(3.r2 + 4_v'i)(9.r"
ab + bg) = oi' + bi
ltzr + 4:5) = si + St”
oa + 9a i) = 8 + 27 si
12123;: + lójtfl) = 27.r" + 6434'
En cat tt caso cl producto es la stttna de dos terminos que son cubos perfectos.
F.l pri t :r factor es la suma cle las raíces cúbicas respectivas de los dos terminos cúbicos.
(13 + 27b3 = (ct + 3b)i_
L
_)
l raiz ciibicaj
raiz cúbica i
El segundo factor consta de tres terminos Lv se puede obtener facilntetttc a partir del
|_trin"tcro.
Los terminos del segundo son
el cuadrado del primer termino del primer factor.
el negativo del producto dc los dos terminos del pritner factor.
cl cuadrado del segundo tertttitto del printer factor.
tteeat ivo
[__¡:?I¬.Iel ri roducto¬|
(tt + 3b)(t.t:
3ttb
I Qbg)
cuadrado _ I
cuadrado
1. s.f*+ t =(zt + t)(4.r1 1r+ t)
2.
t€›4+b~"=(4+i›)(t6 4t›+i›'i)
3.
(tt + b):" + te* = [(u + ii) + t ][(a t ii):"
c(u + b) + ai]
4. staff + tab* = ztatai + sai) = 1(:ta + sattsai
5.
.th + y? = (tr: + y2)(:r"
.cif + _v`*)
sus + tai)
Anéndices
437
DÍÍEFGHCÍ8 de CUDOS
(_`onsideremos los siguientes productos:
(a
b)(a3 + ab + bé) = a3
(za
.t›)(4a= + zas + bi) = sai
(Sa
3)(25a2 + 15a + 9) = l25a"
bl
tf*
27
En cada easo ei producto es la diferencia de tios términos que son eubos perfectos.
El primer factor es la diferencia de las raices cúbieas respectivas de los dos términos
cúbicos.
F.i segundo consta de tres términos y se puede obtener fácilntente a partir del primero.
Los términos del segundo factor son
el cuadrado del primer término del printer factor.
el negalit o del producto de los dos términos del primer factor y
el euadrado del segundo término del primer faetor.
I.
af* 64=(a 4)(n3+4¬a+ I6)
2. 211 *
1 = (3.1
3.
250_'r3 = 2(8.r3
loxé'
t)(s›f + 31 + 1)
1253;; )
= 2(:u
4.
(a
M3
= [(fl
(e
5; )(4.f= + 10.@ + 25;. 2)
d)3
bi
(f
d)]l(¢1
NOCB
.rfi
iv): + (H
.
b)(f
d) + (f
_
.
Cuando el polinomio se puede faetorlzar eo
mo diferencia de cuadrados o de cubos, debe
faetorizarse como diferencia de cuadrados.
3*" = (xl + _v3)(x1 H 323) =(.r + y)(.t 2 qtjv + y2)(.r
y)(.r3 + xy + yé)
Ejercicios del Apéndice A
Faetoriee eompletamente:
l..x"*+l
2.
df]
.›.3+8
3._1t3+27
Antuntcss
s
7.
10.
13.
15.
17.
19.
21.
2.3.
l
xt.
.tr
Í
5. fl+2|f›
6. _ .J 1
833
8.
27
9.
ll.
8.15
64.1' 1
3'"
.›. ›f*_¬, + _ te
54. s* + 2.1; 1
.t *si .rs fi
1.6* say*
.te + se
40.9 + sf
.ri
27_r'¬
14.
16.
is.
20.
22.
24.
zs. :ue + to 3
27. 54.: '
23. so “
29.
.th
.ri
30
32.
x"
l
33
33. .t * + ty
4.1” + 32; 1'*
te ~ ze
250.1 1 2
4.1 ' 32
tati + 54;. 1
str* + 24_~.~›*
125
.ri + 8.1'
26. .o{¬. tf + tu
:tt
35. 64.1 ' " + I
12.
.tj
"
39
_"
É
27_t'“
+ I
36
3) *
te
+
'
=¬=*Í
3SGH
:
+ (gr + 2)*
'LH
'LH
'
II: I
'i'
H Á.
'IIIIJ
ts
É
2
III
I¬IIÍ
2)”
I.
4l.
(Jr + 2)` + si
45.
(tr + bli + (r'
43. (1 + 3)* _ 27; *
42.
(.r
46.
(Jr + _r)'i
44. tt
dll
I)'i + Sjri
2) *
sy*
(tt
17)!
Factqrizacron de polinomios de cuatro
termmos
til'
Los métodos de factoriracion de polinomios que contienen más de tres términos se lia›
man ftrr'rori.:uc¡r:irr por tr_grupucr`rin. Has' dos tipos de polinomios de cuatro término . que
pueden ser factoriatados. En el primer tipo se reúnen tres términos en un grupo, 3: el
cuarto fortna el otro grupo. En el segtnttlo tipo los términos se agrupan cn parejas.
Agrupación en tres y uno
El polinomio Lt' t _; J: :il puede ¦`actori¿arse como diferencia de cuadrados.
Cuando ix + _r)'
:gr se desarrolla. ohtenemos
'\
(x + j.')'3
1
:I = si + 2.r_r + ri
:3
Ohsérccse que, sin letter en cuento los signos, tres de los cutttro térmi|to~.. 1:3. _t ':. 3:.
son cuadrados. El cuarto término. 2.t'_r. es igual a 2* .\'3*~_t':. lìste cuarto término gt los
dos términos cuadrados re acionados forman un grupo que al l`actori¿a1'se da por resul
tado una cantidad al cuadrado.
Jr: + 2.111' + _t': _ Lt' + _r]:.
lfactoriaar Jr'
_1 '“ + 4:'
4.\':.
439
Apénditfiâ
SOLUCIÓN Hay tres términos cuadrados xl. yï' y 4.13.
El cuarto término es 4.rr. = 2\/F \/4:*".
Los dos términos cuadrados relacionados con lara, son .tri y 4:.:¬.
Por consiguiente. xi, 4.1:: _: 3.' 42:: forman un grupo.
.ri
3:3 + 4:2
4.r: = (xa
(Jr
í
..._
= (.r
Factorizar 9.1:'
9.1 1
_t«=
22) + .r]I( f
2: : + jr)(.r
_r'
25; 1 + rose
'II
a
í
i
JIU
í
í
solucion
.t 1 _»~=
y'
22) ~ .ri
2a
jr)
25:” + lU}':.
T
Factorìzar Jr'
je:
1
[(1
.í
.gi
sotuctónt
4.1:: + 4:3)
tr'
22):
9
su 1
(si
'ici e (r
[lr + (sf
(3.1: + gr
too. + 25:1)
S: :)3
5e)][3.r
(v
52)]
5:)(3.›; › y + 52)
6_v.
9 sy =. . 1
(_t 3 + 6).' + 9)
(jr + 3)¿
JI'
.= ¡1
=. (_._
+
(F + 3)|l«t
+
_r + 3)(.r
(Jr + 3)]
_r
3)
Agrupacicin en parejas
Cuando los términos no pueden agruparse en tres gr uno. se agrupan en parejas.
Los ejemplos siguientes ilustran el principio en que se basa la agrupacion en parejas.
l actorizar _' :'¦ + nc' t 2.1' + 2.
SOLUCIÓN
Se reúnen los dos primeros términos en un grupo 3; los dos últimos en otro.
.H + .t 1 + 2.1 + 2 = ts* + .Hi + 1.1.1 † 2;
† .t ts f 11 ;~ :(1 ¬~» 11
'.l
Ahora se tiene el factor común Lt + I)
.ri + .ri + 2.1' + 2 = {.r + l)(.r: + 1)
Factorìzar ox + uy + ¡sr + Lu .
Avances
sor.ucton
af + ay + at + by
= (ax + ay) + (br + by)
o(.r + gr] + b(x + _\=)
tx + site + bl
NOC3
En algunos problemas es posible una agrupa
cion dìferente, pero recuérdese que los facto
res finales deben ser los mismos. excepto por
el orden.
wc + ay + bx + by
í
.__›
(ro: + bx) + (ajr + by)
í
.í
.rio + Ia) + y(o + b)
í
Í
Factorizar Ilax
(H + bill' + _i')
20b.c
9a_,v + Iãby.
SOLUCIÓN 1211.1' 2011.1* *I lay + l5b_t' = (l2o.t' 20t'r.=r) (Stay
l5b_v).
Cuando se encierra Quy + lSb_v en un paréntesis precedido por un signo menos. se
obtiene (9oy
l5!1›_r).
l2wr
20b,t'
9d_'_r + lfiby
4.r(3o
(3a
NOÉB
SII]
3y(3o
5b}(4.r
33;)
Sb)
Si no hay ningún factor, se agrupan los tér
minos en forma diferente.
Faetoriaar xl + Jr' + 2.1'
SOLUCION
8.
Reuniendo los dos primeros términos en un grupo y los otros dos en otro,
no resulta ningún factor común.
.x3+x2 Zx S=(x3+.t'z) (2.r+8)
=.fio. +1) 2t.=+4)
Puesto que no hay factor común. se prueba otra agrupación.
xJ+.1r2 2x 8
(r*
(I
(x
(x
(x
3) + (.1rz 21')
Iìv
ì
í
al
2).:
(2 +2.x+4)+.r(x 2)
2)[(.x 2 + 2x+4) +x]
2)(.r3+2.r+4+.x)
2)(.t'1+3.r+4)
Apéndice!
4 G1
_
Nota
Cuando aparecen dos cubos en el polinomio,
se intenta agruparlos.
.
_ Factortzar 211: + 9.1" + _v + y .
SOLUCION
27x3
911 + yi + 3 3 = (27.r3 + yi)
(9.13
= (lr + y)(9.t'2
yz)
3x) * + yi)
(lt + _v)(3.r
= (3 I + .i')Í(9I3 '* 31)' + F2)
= (3.t + _¬r)(9.r2
Factorizar 8..r'E + 12.1:
sotucróu
sf* + zx
yt
Nota
¡ri
3.r_v + yz
(3.r
yli
3:: + _v)
__r.
y = (ae
yfl) + (zx
_» )
= (2›:
r)(4 si + lo + ri) + (21 ~¬ Jr)
= (2x
= (lr
y)[(4.r2 + Zxy + 3:1) + I]
;r)(4.ri + 2.13 + yz + I)
Cuando se saca un factor común, el segundo
factor resulta de dividir cada término del po
linomio entre dicho factor común.
Ejercicios del Apéndice B
liactorizar completamente:
. x2+2.ry+y2 si
. 4x3
4x_v + ya
4:2
.xl y2+4.r+4
9x3 + by + 9
amu. ya
9. 4.1:: + 4.r_t*
25 + 3:3
11. 4.6 + 4;@ + s.t _¬.
25
13.
15.
17 .
19.
21.
23.
25.
2x3 + 2_v2
l8
4.1)'
x3
16.1 + ?.r2_t' + sy:
x2
ya
:tz
23;.:
9x:
9
yi
by
25.x3
93;:
9
¡By
4
4.ry
.ri
dyi
9
41:3
813*
4;@
29.
,(3
21. 2.6
zyf
.t
tay
.ryi
2.ry
32
.
.
dog un.
10.
.ri 2.t'y+_1.f2 zi'
.ri + 4.9* + 411 ri
1622
vii 4x2+2y+l
.ri
4 + 4_'r2
4xy
91:2 + yi
6.1)'
36
14.
16.
18.
20.
22.
24.
26.
4x3
I + 24.13 + 36_v2
4.r2y
9);
4.r_t 2 + _v3
4.1::
4:2
ra
4'r:
xl
43':
löy
16
l
.ri
3:3
ley
l6
32
4x1'
4.ry
49
Elx:
54.10'
93':
30.
16
tz. 91*
28. io*
4 + 9; 1
12;*
41'*
3:1
4_v2
lsxy
12, 2
Sxiy
y)
Ammmoa
31.
33.
yz
9x'
37.
I
43.
6.1', ': + 3_'r1
47 .
49.
51.
53.
55.
57.
59.
Ól.
lriy
lr:
.ri
ox) '
2713
l4a.r
l2x3
Ii'
35. tesi
4 xl
4:2
.ti + 4.r.¬:
9_'r'i
4 + 123'
_»*
st"
1
4.1:*
Bojri
ts + ss 2
4y2 + 4.ri_r
39. 9 4; 1 sad + 24.@
41. 25 .H + sa se
45. 4 + ao .f
3.1.3
125;*
.
4.1' + _v3'
67.
6.9.
71.
73.
75.
77.
813
6.1: + jrì
3)'
.ri
Sjri
by + 3.1:
Sri
4x3
27_t*"1 + 9_\;3
.ri
2533 + I2.5_tr` + .ri
,ri + 3.t'2
9.1'
27
41'* + 2
I ¬ 811
54
|
4
tae
25.6
Sl + 543*
l i lr:
yd + 413 :
tay + 321 y
25;@ + 50.@
1
'I
ISI
183*
45.12 + 45 5;» 1
.t{¬›,~i sf' + les
.r*+_r+.r+r_v
21:3 + 5.1'
2.t'_v3
5_\'2
8.r_¬r + 32
8x:
3)'
2o.r + Bb): + 2b.e + 3n_jr '
úaixi + 3ni_3.›' + Óbixi + 3h3y
40m:
45b.r + 24o_1 ~ 27b_v
8.13 + 27y3 + 2.1: + 3)'
3.1: + 27.=ri
2)' ' 3293'
4x t si
4¬r
66 . .ri
68 x3+6y ox sti
'I
1
s
2
1
3)*
43
70 . .tr + .r
361::
72 . ,tri + 311 + 2i{1.t"
logra + .ri
.ri
6439
74
'76 . .ri+3 lr 4.1*
'78
l3.r3
lo
32.1: + 91:1
80 . .r"' 16% 213 81
82 M+MH+wm
_\*
I
a.
il'
í
I
í
`&
1
W.fi+H+x+1
st. se
413
ìãâä flä àãfi ëä ïid
.r
65.
1
9)"
.rá
4
30.1 y
sm*
Ms 1
+ 4.1'
.tri
.rra
.ry
fur + 2_t *
3y
3.1' + xy
33':
l4x + 72
+ l2x
lSxjr
8)'
+ 7I›_r
l4¿åy
7i›.t'
4.113.*
4_tf' t llrjri
:r
_tr'i + :f
ss. .H + sy
zi' + 23223
8 + 36tr3.'
322
tes*
ya
2.9 + 27.:
Teorema de Pitágoras
rsOREMA
1~cuadraa o de la si potcnusa
~ i de un triangulo
"
LI
rtr.t.tt1,+___ulo es igttal ft la suma
de los cuadrados de los otros dos lados tcatctos).
Consideremos el triángulo recttingulo ,›«'lBt' ` cuyo angulo C' es recto. El lado opuesto
al angulo recto se denomina hipolenusa del triangulo.
F
A
b
C'
Si se denota el lado opuesto al angulo .›1 por rr. el opuesto al angulo B por ¡J 1» la lupotl.
nusa por tt. el teorema de Pitágoras establece que
1
t"
'It
1
tr' + Ir.
Apéndice!
Dados dos lados de un tritingiilo iecttingtilo. se puede encontrar el tercero aplicando
la rclticion anterior.
Eiicoiitrar la longitud de la liipotenusa del triángulo i*ectaiigiilo cusos La
tetos miden 2 gr 3.
SOLUCION
Longitud dela liipotenusa = V2* + 3* = V4 + 9 = \/T3'
Hallar la longitud del tercer lado de im triángulo rcctangiilo cuya lnpoic
ntisa mide 7 gr tino de los catctos 5.
SOLUCION
longitud del tercer lado = V7'
5* = V49
25 = \/Ñ = 2\/5
Ejercicios del Apéndice C
Si ri sf ii deiiotaii las longitudes de los catetos de un triangulo rcctaiieiilo s t la di. la
liipotenusa.. calcule la longitud del lado faltante:
=4
*'¦:i"ü fl'. ¢.:
1
=2\/ii
=\/ì
í
í
§,."_3"''. i
IUUÍ ali 1
ìïifitfläfi
9
¿.
3.,o=2
10
C
ll
13
if'
2.o= \/E
2\/š.i::i= \/Í
12
14
C
¿_.
C
1
Wfli BN
'š*:" ' L üià
í.
Fx
gr. .'.~›".I:s e'i o
ifr
=\/5
i
i. “ = 2
\/2_2.e=2
4fi.o=2\/Í
ÃPÉPIDICES
Tabla de M9dÍU3$
Pasos ss' sii;iiiinis i :si et sistema sii ':'t'iti(:o
Longhud
lil niilíinctros (mm)
lll centimetros
ltì decirnctros
I ceiitimctro tcnil
= 1 dcciinetro tdiiii
l inetro ltttl
lt) metros
l(l dcciiinctros
it! hectonictros
I ilecaniciro (dani)
l Iieciornctio thnil
l ltiloriieiro lltnil
IODO metros
ltt litros
IO tlccalitros
lll Iicctolitros
I decalitro [dalt
I hectolitro lhll
l ltilolitro (lil)
1000 litros
Voltiiiicii
lll niililitros tnil)
lü ccntilitros
lo deciliiros
I ceritiliiro tell
l deciliiro (dll
_i.
l litro lll
Peso
lll rriiligraiiios littitl
ltì ceiiiieranios
ID dcciitraiiios
J
lil gramos
l ccritigramo leg)
I tlcci__eraino ldgl
l gramo lg)
,_ .
1
IO dccagraiiios
lt) heciogranios
_
_
l decagraino tdagl
l hectogramti lhgl
I kilogramo tltgl
IODG gramos
1000 liilogrtiiiios = I tonelada métrica lil
coisveitsiori ni: Mizinniss
Loiigiiud
l ¡iiilgada
l pic
I 1. aida
¬ 2.5 lllll cin
li.3il' ¡S m
_ ll." Jl Li nt
l cm
l iii
l milla
= l.(iÚ93 l tltt
I ltm
ll.393'l pulg.
í
Ii
3.2309 pics
1.0936 yardas
ll.62l~l millas
Volumen
l piilgaila ciibica
l pic cúbico
l galoii
_ tl.tllo 1 litros
2tt.3It31 '. litros
I litro
I litro
3.7853 litros
I litro
l litro
1
r
1
_..
til .[1250 pulgadas ciiliictis
0.0353 pics cúbicos
0.2642 galones
l.lt5ñ7 cuartos de galoii
Peso Masa
I onza
l libra
es el peso de 28.3 495 g
es el peso de 0.4536 ke
l tonelada (corta) es el peso de 9U`i.Ili IS kg
l g pesa 0.0353 onaas tcial
l l tg pesa 2.2046 libras llhl
l I te pesa 0.0011 lottelatias (cortas)
Respuesças a los ejercicios de
numero impar
445
RESPUESTAS A LOS EJEÉCICIOS DE NÚMERO IIIPAR
Ejercicios 1.2, página 5
I.
3.
5.
i
Q
__¡.._¢
ti
2
7.
is
+
1
l
F3
ts
l Qlr
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I* J 'LT
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P
I* ¬J' Ir
iz
I* J 'Z
'HI I* J
ii
I
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is
i
7
I4
2I
23
49
56
zo
Q
zs
su
ss
35
42
.ui
l_
~
.is
se ss
¬
96
ll.
15.
19.
23.
o= =›
l
¬
0
9.
s~=
"'l""'
93
III)
l02
104
2. 5. 7, 10. ll
36. 42, 54, 63, 72
77,91, lil. |I9, l33. l 10
ISO km
106
13.
17.
21.
25.
IUS
lll]
6, lú. 23, 46. 56
26, 42, 66. 74. I 14, l22
100 km
255 km
Ejercicios 1.3, página 8
lluncs, inartcs, miércoles, jueves, viernes, sabado, domingol
lencro, mareo, mayo. julio, agosto, octubre, diciembrel
{At`rica, América, Antartida, Asia, Europa, Occanial
i./klabitma, Alaska, Arizona, .=1ir.ltansasl
lCalil`ornia, Colorado, (Ionriectictitl
{2,=i.6,it, lll, I2, l4l
13.
lfi, It), 15, 31.25. _ . .l
17.
ïjì
'~ãf.l't ¬© .I!ih'LiI
23
27
31
35
39
43
45
{l.2.3.4.5..6, . . .l
lll), 20. 30, 40, . _ .}
{4s}
21. ø
{ 4. 5. 7l
{8. 9. lil, II, . . .}
25.
29.
lla Lunal
l0.5. IO, 15,. . .}
ll. 7,12.. I7,.. .l
33.
l l. ll. 13. 25, . .
lI,(i,|l,l(i,...i~
37.
l3.'~).l5,2I,.,.}
lis. 12.24. i. ut
41. 121
las. I2. 15. ist
t i. tt. iii. is. .tr _ 14. 214.32. ss. =io}
RESDUESCBS 3 III! EIBICICIDS CIE |II.il'l1El"fl IMDB?
Ejercicios 1.4, página 10
I.
9.
Si
ri E A
3.
ll.
No
if' É A
{ri} C A
17.
lrt, el GI El
19.
F
V
25.
F
27.
V
No
l I l, 9
7.
I5. lo. bl C A
23.5.'
V
l"JI\l' F i°i"'i""i"'
Ejercicios 1.5, página 12
1.
7.
13.
is.
si
Si
ll.2 . .'i . 4 . _.
s ia, 7. it] i "'1'¦"':"*
21
21. to
27
ll.2,3,4.5.ú,7,8 9, ll}
29.
33.
37.
39.
{2, 5., 8}
ii fï
No
S.,
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Ejercicios 4.38, página 142
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Ejercicios 5.3A, página 1 77
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Ejercicios 6.2, página 211
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17
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Respuestas a los ejercidos de número impar
Ejercicios 6.3A, página 216
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109
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153.
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2)
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14)
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Ejercicios 6.53, página 221
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27.
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33.
6)
39.
45.
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(lr + 33(1)' + 2!
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(11:
3)(x
(11
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(3.1:
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(lr + ZM'
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31
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3)
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5)
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55 .
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67 .
73.
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57
63.
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85.
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75.
B1.
37
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(3.1: + 4)(2.r S)
9'?.
(2.1 _ _)')(3.t + 4y)
103. (lr
5) )(2r + _v)
(3.1: _ 4_v)(4x _ 33')
101.
107.
113 .
(3.1: + 2y)(x _ 3y)
(4x_\' + 3)(3x}* _ 4)
(lx _ 3}')(3.r _ 3')
105.
(3x + 4) )(3.t
23:)
3(3x + l)(x + 4)
3(ZI _ UU; + 5)
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IÍZI' + l)(.l' _ 3)
IIS .
121.
127.
133 _
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(2 _ 3x)Í2 +
(2 + 3x}(l _
(11 2 + l)(.r2
117.
123.
129.
135.
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(3 + 4x)(l _ 21)
(4 _ x](l + 3.1:)
(fur: _ ¡)(.fi + 4)
139.
143.
141 .
151 .
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(1 R + 3)(z›f + 3)(:›_x 3)
141
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119.
125.
131.
137. (4.11
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223
(2 + 3x)(2
27
(3 + 4J.')(3 _ 41)
31.
37.
43.
49.
55.
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6)
(x + 9)(.r _ 8)
33.
39.
45
51
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31)
15
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(Jr
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_
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9)(x + 3)
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Repaso del capitulo 6, pàgina
6(4.t + 3)
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131.
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137. 6{3x + 2)l.r + I)
143. 7(4.w + llílr
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155. (2
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161. (4
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¡Nx +1)
173. 2(.?.t
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(.12 + l6)(.r + I)(.r
I)
185.
189.
193.
197.
(Jr + 4)Í.1'
201 .
205.
209.
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2)
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3)
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(3.1: + 3)' + |1(.t + jr
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Ejercicios 7.3, página 250
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Respuestas a los ejercicios de número impar
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Respuestas 2 los ejercicios de número impar
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Repaso del Capitulo 7, página 282
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Ejercicios 8.3, página 307
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Ejercicios 8.10, página 339
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Ejercicios 10.1, página 368
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Repaso Acumulativo, página 422
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Capítulo 7
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Respuestas a los ejercidos de número impar
375..
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385.
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399.
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Capítulo 11
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8 horas
640 mph
_/(0. 6);x = 0
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{ 3.5}
489.
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112 horas: 84 horas
55 pies; 120 pics
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¡apuestas a nos elerdcíos de número impar
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nsseuesnsn Los ¡Juanes ne minimo mas
Ejercicios del Apéndice A, página 457
I.
(_: + |)(.1 1
.r + I)
3. (_: + 3)(x1
5.
(1 + 6)(.Ir1
(zu: + 36)
7.
9.
(I
5)(.r: + 5.1.' + 25)
ll.
(lt
15.
21131 + y)(9.r2
I9.
23.
7(.t
2_v)(.r2 + Zry + 4_v2)
5x1(2.t + l)(4.r1
lr + I)
13.
_\'(.t + _v)(.1*`
xy + _v2)
17.
21.
.r_1r3(x
_\')(x*` + .xy + yz)
(xa + _\')(.\"'
.ray + _v2)
zs. 2(.6 + 2_»~)(f'
29.
.r`(.t
¿fly + 4; 1)
33. (2 + .r)(4
35. (412 + 1)(1fif'
37.
31.
lx + .r1)(2
(x ~ 2_r)(.t2 + '2..t_v + 4192)
3_'_r}(4.r2 + (uy + 93:3)
27. 2143.1
I)(.r2 + .›: + I)
3.: + 9)
(12
Iìxy + ya)
|)(9.› 2 + 3; + 1)
3_v¿)(x'* + 3.r2y2 + 9394)
x)(4 + 2.1 + E)
4.16 + 1)
[Jr + (jr + 'Jill 1':
x{_¬_›' + 2) + (_\= + 2)2]
39. [11 ~<2_¬. + 1›1l4,r= + zffzg. + 1) + rzy + 112]
41.
[lx + 2) + _». ][{.›; + 2)!
43.
[(11 + 3)
111 + 2) + yz]
3_'r][(.r + 3)1 + 3_v{_.t + 3) + 9_}*:]
45. [ia + by + (f
d›][¢. .~.› + L . F
(a + bin.
da + (<
df]
Eiercicios del Apéndice B, página 441
(x + _v + : .')(.t + _v
2)
3.
Lx + 2 + _v)(.r + 2 gr)
`:'°S "¦" (lr + y + Slflr + 3,
S)
13.
2(x
y + 3)(.1:
_\'
17. (x + _~. + :)(.r
21.
.mr + y + l)(.r
33.
(lr: + 3).'
37.
(1 + .12
41 .
(5 + .r
2)(3.r2
2}')(I
3_\*)Í5
(lr
sv.. 'zm
61.
(.r
(x
x(.r + _v + 4)(.r + y
2;. J
3)
(2 + .r + 2_v)(_2 ' .I
2y)
I)
31.
(_v + 1:
3_v + 2)
35.
(4.1: + ya
39.
(3 + 6.1:
43.
3{_1.' + .r
›
lr + 4; 1
4)(4.r
3': + 4)
2j.')(3
~
6,1' + 2_\*)
47. x12 + .r _; n12
Sl. ur 3›(,r + gr!
_: + gr)
zm
1›
59. 4(3.\
63.
I)
x + 2:)
.t + . .)
55.
I)
22)@
..){_\'
7)
4.19 + _»1
4)
27. 20: + _¬. + 4ìr.f _ 3,. _ 4)
xa + 23')
_\ )(.r: + .ty + _» 3
2:)
3
::}(3_\'
os. (4.1: + _» )(|m1
69.
23.
.r + 3;]
4a. 4(| + 11
4; )(|
49. 13.: y}¢_f 21
53.
3)
zx
_;
jr
19. (3x + _v + 3){3.r
3):
25. (3 + 'lx + 2_¬›*›(3
29.
15.
2)
(5.1: + 3)' ' + 3)(5.t
jr + 2:](11:
7. (y + 3 + 3.=r)i_~. + 3
3x)
II. (21: + 2;. + 5}t2x + 2.3
5)
3)
3
(2.1:
(9.r + 4)(3,r
(x
_¬. )(,›. 1 + _\~=)
5_\')(x2 + Sxjr + 253::
67.. (2.1 + ; )( 4.f=
2_v)(.t: + .?.r_v + 4] " i 3)
71. (zw 3_¬.~)(4.f † + cm + 9;@ 2: 3; )
73. (.r + 5; )(.f 5;» + .fl 5.13 + zsf)
ly)
my + _@
3
Respuestas a los ejercicios de número impar
75.
Íx
3)(,r + 3)2
79.
(x + l):(.x3
.Ir + I)
77.
Lt
Éiflr + Iiílt
31.
(1
2)(:r + 3)(.r:
I)
31 + 9)
Ejercicios del Apéndice C, página 443 ir
1. 5
9. \/š
3. \/š
5. \/21
11. \/5,
13. 3\/ì
7. 3v"ã
índice
MC \'€¡«'¡~H. 293
ángulos:
(`.`o ordcnadaislt
al origen. 302
complcrncrnarios, ISS
dc un punto. 4. 293
supluriezitarioa, 158
,›. _ 292
Área de:
un cuadrado. ISS
un reetãilsulo. 158
un triángulo. 158
y. 293
Cata superior. HD
Cuadrado perfecto. 209. 395
Cuadrantca. 293
BBK. 2. 77
Dcnominador. 32, 228
Binomio. oh
Dcsigualdadas, ¡T2
Brazo de palanca dc la carga. I$6
condicionaiea. 173
Cffüï
equivalentes.. l'?3
aistenta de. 1173
düuoifiiún nor. 33
er sponeme. 356
multiplica :ion pm. 11
Cflcicnic. 32. 57. 99
Codo. 2
wlueion oe. 113
Desigualdades lineales:
grafieae ne. 113
con una variable, I73
Diferencia de cubos. 43o
Coelìcierite numérico. no
de cuadrados. 210
Cúlnbinaciún lineal, 315
Común mftllìplo. 44
Dircci:it'in negativa, 21
positiva. 22
C0“JUIll06($). G
de niunerm complejos. 385
enteros. 6
natural es. ti
racionales. 37
reaiea. S4
Distancia entre dos puntos. 60
Dividcn do. 32. $8. 99
División, 32
dc monornios. 33
de polinomios. 99
por oero, 33
I1i$jLmlflo. il
l)ivis.or, 32, 58, 99
eiemcntos de z ruiz. 15
enteros. 21
¡$1181 GS. IO
intersección de ll
miembro dc. 5
nulo. 3
Ecuación de una recta. 309
dado un punto y la pendiente. 309
dados doo puntoa. 308
inreraeocionca. 310
Ecnaciónteal:
Unión dl?. ll
Uflìreffifli. 12
ratio. 3
524
con literales, 265
con ra.cia.Ie S. 365
combinación de. 372
división de 3?9
multiplicación de. 372
similares, 3'T2
conjunto solución, IIO
euadráriixn. 390
pura. 392
forma estándar de., 390
Solucion oomple montando el cuadrado. 395
solución grálìm. 4l'?
solucion mediante la fònnuia cuadrática.
390
solucion por factoiiración. 390
equivalentes, Ilü
fraccionarias. 269
gráficas de, 29?. ill
lineales. HO
oon una variable, 110
con dos variables. 291
método de eliminacion. 314
método de mstitucion. 319
rnétodo graifco, 312
que contienen frnccåoriea, 322.
que contienen signos de agrupación, 322
solucion de aigebraieas. 314
con valores absolutos. IGS
literal. 265
polinornial. 390
grado dc, 390
que contienen fi aoeiones, HS, 118
que oonti encn :simbolos de ilEl1lP›H=¢'¡Ún. 123
que oonlienen valores absolutos, IES
que se pueden llevar a la forma cuadrática.
404
raices. llü
Eje(s}:
ooordcnados. 292
ir. 292
,r. 292_
Índice
Elemento identidad aditivo, 1?
muhiplicaiivo. ri
Enteros. 21
'I Iipotenusa. 44!
ltlmtidad. I?. IIO
literales. to
naiumtä 3
para contar. 3
division de. 32
Índice. 209
primos. 35
multiplicación de. 29
negativos. 21
resta de. 25
suma de. 22
interés, 138
interseo. it'_in con el eje. 302
inverso aditivo, 25
multipliearivo. 49. 252
racionales. 37
division de. 49
fuma ¢|¢,; ¡msj df 54
muttiplìeaeion de. 49
Enunciatlos absolutos. 172
re .eta de, 45
Estela. 3
Celsius. 152
Fahrenheit. l52
Kelvin. 152
Ley asociativa de la multiplicación. IS
de la suma. I?
oonmulativa de la muhipiicacion, iii
de la suma. lo
Efilflfiïífiflflfi. 66
E XP0fl<¦I1l=! . 77. 346
cero. 355
distributiva de la multiplicación, 69
Leyes de la multiplicación. 18
de ia suma. ió
Ordenado al origen, 301 302
de un punto. 292
Operaciones binarias. lo
combinadas, 52. 25'?
Linea de simetría, 412
Origen. 3. 292
fraecionario. 346
positivo. 3 46
negativo. 356
reglas. T9. 91
Expresiones faim. 110, 173
Factor. IT. tio, 204
de
332
común a todos los términos. 20 l
Factores primos. 36
Faetoriaaciún. 35. 204
GI flüfllfiflïo. 35
de polinomios. 204
9€ UH bìflflmifir 213 . 435
Clífflfflit 'ii ¿C llfl CI Hhdradfl. 204
diferencia de cubos. 436
Fomia decimal de los números
lflfiíflflfilfifi 54
Lin ms mraiclas. 31!
suma de. 43
reales. S9
Palanca. 155
Mayor o igual a. 168
que, 4
Máitimu divisor común. 39
factor errrniin, 39. 201, 229
Menor o igual a, [68
que, 4, las
Minimo común denominador. =l 1. 241
múltipio. 44. 238
Minuentto, 'il
Mmm ¡¡m_ 155
Multiplicación:
de enteros, 29
de expresiones radicales. 375
dc fracciones. 49, 248
Paráh ola. dll
ejes, =ll2
linea de simetría. 412
Pares de números, componentes de 292
ordenados de números 292
gráfica de. 292
primer componente. 292
segundo componente. 292
Pendiente de una linea, 30 1
Perinietro dc:
un cuadrado, 158
un rectángulo. 158
Perpendicular. 292
Polinomiotsl. 66. 390
de monomioe, 19
constante. 390
¡k | ¡11|11,¢|'Q5 g¡'¡¡¢¦ 05. [5
tìllêldfâillfü. 391)
cuadnirien, 401
de números racionales. 49
division de. 91. 99
Fracsiéntol. 32. 2:28
ae polinomios, vs. ss., ss
ecuacion. 390
algobraicas. 228
por cam, 13
facloriraeion. 204
complejas. 25?
Mi ttipfieidad de una
FÚl`iTlI.Iiil{!i}. 257
comunes. 55
division de. 252
equivalentes. 33. 228
impropias. 5?
Pl'9P¡fi$ 57
reducidas. 38. 228
suma de. 234. Í HI
ténninos de. 32
mayores. 38
minimos. 38. 223
Grado de un polinomio. IW. JW
Grtilìcas:
de desigualdades lineales. 336
de ecuaciones cuadráiicas, 411
lineales. 297
de números. 3. 21. 292
de paràbolas. 41!
Grupo. 2
391
Negativo de un número. 25
Notación cientifiea de un ninriero. ìotì
Numerador. 228
Númerois):
combinados. S8
complejos. 385
forma earn siaria. 385
fomia estsindar. 385
forma rectangular. 385
parte itntntinaria. 385
parte rtai. 335
compuestos. JS
enteros. 3. lo
mpecilioos, IIS
generales. no
iniagjnarios. 385
puro. 385
i|'¬¦“'._*¦¡,_'i¡¦f†r'|_1l1I""1
¡Q
'_ "fl
Íftfi
grado de. 99. 390
lineal. 390
minimo común rnúlnplo 238
nnrltiplieacitin tlf. 33
resta de. 90
suma dc. 68
Por ciento.. 137
Porcentaje. 13'?
Potencia. 2
Primo relativo. 39
Pfiflfiimì 133
Pfüblflflllìfl
con eaiores. 1 $6
de geometria. ISS
de meaclas. I4 fl
de movimiento. I49
de palancas. 155
de porcentaje. 137
de temperatura. IS2
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Tìpográfìea Bnrse. SA.
Pino Ne. 343 ¬ I m:. 'H 72
C01. Nueva Santa Mana
06400 Méxien. DJ?.
Oelu bre, 1990.
4.11109 ejemplares más sebrantes
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e:uaeiòn mn. 186
s|s'r|aMA Mêrnuco
Prefiios Básicos
kilo
kiln significa [O00 veces la unidad básica
heeln significa 100 veces la unidad basica
dee: significa Hi veces la unidad basica
IU 1 ff iüflfl
hecln
deca
HF = 100
Ifl
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deci
Iii ' =
1 = 0.1
10
deci significa 0.1 veces la unidad básica
ccnli
IO": =
L = 0.01
me
centi significa 0.01 veces la unidad basica
mili
10 ' =
L ._ 0.001
mou
mili significa 0.001 veces la unidad basica
Longitud
El metro es la unidad basica
1 kiiómetre = 1000 metres
1 hertómclru = IDO metros
1 decámelre = IO metres
I km = 1000111
l hm
[00 rn
I (lam = IO m
I deeimeire
I dm
= 0.1 m
I cm
: 0.01 m
l mm
= 0.001 m
= lg de melru
1 centímetro =
_ .
1 mllimclre
=
1 de metru
100
I
i íiflfl
de rnetrn
Volumen
[ii Iiirn es la unidad basica
I kilniitru
I heclnlirrn
1 decaiitrc
= 1000 litros
= iü 0 Iitres
= 10 litros
lkl.
1 hi.
ldal.
== 1000 L
1 HK) l.
= ID L
I ilecililfn
= 1 de Iirre
1 dl.
; 0.1 l.
1 eenliiiire
=
1 eL
= 0.01 L
10
I
.
de htrn
100
'I
Musa
HI grama es ia unidad básica
I kiingramu
E000 graxnus
I kg
l Ileetugrarnu = ltiti granms
I deeagramn
_
I decrgrame
I ¡tg
_ IO grarnus
I dag
I
= 1 Ó de grama
n_n.
í.
1
_...
'ri
de
I eentigrarriu
Tâ G de granie
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l miligramu
1
I mg
de _s_.f_..ramn
tuna g
100 2.
Hi 11
O.Ig
0.01 g
= fJ.tiU¡ g
IÚÚÚ
Algunas Comparaciones Aprnxirnadas Entre los Sistemas Mritricu e Ingles (snnbuin
significa “es aprnuiimadameme igual a“).
Longitud
1 pulgada
i pie
2.54 eemimetrus
3il.48 centinlclres
I cenlimelru
tì 39 df.. pulgada
I cenlimetrcr
ti [H de ¡nc
l guarda
0.' Jl de melru
I melru
LD9 de yardas
I milla
1.61 I zilúrnetrns
I kilúnielru
ti 62 de milla
Volumen
I pinta
0.48 de litro
I euarte de galón
0.95 de Iitru
I galón
3.79 Iitrus
l Iilru
I litre
1 litro
Peso
I
I
I
I
unaa es el peso de 28.35 grarne s
enaa :reg: es el ne su de 3I.l granies
libra es el ¡iesu de 453.6 gramos
libra es el pese de 0.45 de un kilugranm
2.08 pintas
1.05 euarlus de gaien
(1.26 ch. ealnn
Musa
I
I
I
I
grama pesa 0.04 de unaa
gramo pesa 01102 de libra
kiiogramn pesa 2 2 libras
kilcgrarnu pesa 0 001! tunetadas teoria]
I.
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Ear W. Swokowski
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flly
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Wadsworth InternacionaIllberoamårica
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