Divisione per zero
Come è noto, la divisione di un numero per 0 non è possibile nel campo dei numeri reali; nel medesimo campo, altre
oprazioni nono sono possibili: ad esempio la radice quadrata di -1 non è definita nel campo dei reali.
Però estendendo il campo dei reali a quello dei numeri complessi, otteniamo un insieme in cui anche la radice pari di un
numero negativo diventa possibile; allora potremmo porci la seguente domanda: esiste un qualche campo numerico in
cui è possibile che anche la divisione per 0 dia come risultato un valore che appartiene a tale campo numerico ?
Allo stesso modo, considerando l’insieme Z dei numeri interi relativi; se ad esempio volessimo effettuare l’operazione 1
/ 2 essendo il risultato non appartenente a Z, per poter fa rientrare il risultato in un insieme numerico dobbiamo
estendere Z al campo dei numeri frazionari Q.
In questo insieme è vero che moltiplicano un intero > 0 per il suo inverso otteniamo sempre 1;
2 * 1/2 = 3 * 1/3 = ... n * 1/n = 1
Poniamo allora di assumere che sia anche vero per n = 0
0*1/0=1
applicando le regole dei campi numerici noti, questa identità sarebbe assurda, in quanto risulterebbe 0 = 1, ma in un
nuovo ipotetico campo di numeri, potrebbe essere invece vera ?
Partiamo da queste considerazioni:
x=1*x
prendendo come vera 0 = 1, risulterebbe anche che
x=1*x=0*x=0
cosi facendo definiamo la esistenza di un campo numerico in cui ogni numero è uguale a 0; più precisamente abbiamo
creato un gruppo di tipo anello cosi fatto: R = {0} (che è un particolare sottogruppo dei numeri reali), ovvero l’unico
elemento di questo insieme è 0. Qundi se l’unico elemento è 0, per questo gruppo risultano vere tutte le seguenti
operazioni:
0 + 0 = 0 | 0 - 0 = 0 | 0 * 0 = 0 ma anche 0 / 0 = 0
Proprio per come è definto questo gruppo, poiche 1 (o qualsiasi altro n) non è che un simbolo diverso per denotare la
stessa unica entità di questo gruppo, cioè 0, allora per questo gruppo risulta che n = 0 e quindi anche 1 = 0.