5
Résistance des matériaux II
Instabilité et flambement
Section 3 : Instabilité et flambement
• Objectifs
– Comprendre le phénomène d’instabilité
– Calculer la charge limite d’une membrure rigide
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
161
5
Résistance des matériaux II
Instabilité et flambement
Section 3 : Instabilité et flambement
3.1 Introduction
3.2 Stabilité d’une membrure rigide
3.3 Stabilité d’une membrure élastique en compression (colonne)
3.4 Formule d’Euler
3.5 Colonne rotule-rotule soumise à une charge excentrée
3.6 Conception d’une colonne
3.7 Poutre colonne
3.8 Déversement latéral des poutres (Pas de fichier)
3.9 Voilement des sections à parois minces (Pas de fichier)
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
162
5
Résistance des matériaux II
Instabilité et flambement
Instabilité
3.1 Introduction
Système en
équilibre stable
Système en
équilibre neutre
Système en
équilibre instable
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
163
5
Résistance des matériaux II
Instabilité et flambement
Instabilité
Stabilité d’une membrure rigide
P
Pas de déformation
P
P

P

Un chargement de tension définit
un système en équilibre stable.
Un chargement de compression met le
système en équilibre instable.
la membrure est
articulée sur une rotule
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
164
5
Résistance des matériaux II
Instabilité et flambement
3.2 Stabilité d’une membrure rigide
• Membrure rigide retenue par un appui élastique
– Pour stabiliser la membrure sous un chargement en
compression, on l’attache à l’aide d’un ressort (appui élastique)
– Déterminer la force P qui rend le système en équilibre neutre
k
P
Rappel: ressort
L
F
k
x
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
165
5
Résistance des matériaux II
Instabilité et flambement
3.2 Stabilité d’une membrure rigide
1. Membrure rigide retenue par un appui
élastique
2. On applique une petite force latérale F;
La membrure subit une rotation 
3. On enlève la force F et la membrure
demeure dans sa position inclinée si:
 MO  0  P  x  k  x  L
Px  k xL
x  L
k
L
(1)
x
kx
P
x
kx
P
F

Ceci est la condition
d’équilibre neutre
P
L
O
L

O
( 2)
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
(3)
166
5
Résistance des matériaux II
Instabilité et flambement
L’équation d’équilibre P  x  k  x  L a deux solutions :
1. x = 0 pour toute valeur de P
2. P = k·L pour toute valeur de x <<L
P = k·L est appelé la charge critique Pcr .
C’est le chargement de transition entre la région
d’équilibre stable et celle d’équilibre instable
P
Région d’équilibre instable
Pcr  k  L
Région d’équilibre neutre
Comportement d’un
système idéal
Comportement d’un
système réel
Région d’équilibre stable
x
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
167
5
Résistance des matériaux II
Instabilité et flambement
Stabilité d’une membrure rigide initialement inclinée
Soit une membrure installée avec un décalage latéral
qui représente les imperfections de la membrure.
La membrure peut être déplacée d’une distance x de
sa position verticale si :
M
O
k e
P
L
 0  P  x  k  ( x  e)  L
x  ( P  k  L )  ( k  L )  e
x  ( P  Pcr )   Pcr  e
x
k  ( x  e)
x
1

e 1  P / Pcr
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
P
L

O
168
5
Résistance des matériaux II
Instabilité et flambement
Stabilité d’une membrure rigide initialement inclinée
La condition d ’équilibre pour un système imparfait contenant un
décalage initial est : x
1

e 1  P / Pcr
où Pcr est la charge critique pour un système parfait.
P
Pcr
e
x  e
1
1  P / Pcr
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
x
169
5
Résistance des matériaux II
Instabilité et flambement
Exemple 1: Un vérin hydraulique articulé à sa base est chargé en compression.
Déterminer la charge Pcr si le vérin est considéré comme une membrure rigide.
P
Poutre
Pcr
Coulisseau
Vérin
L1
L2

k

F
Poutre
Vérin
k
F

Articulation
F  L32

3 E  I
3 E  I
3  E  I  L1
;k  
; Pcr  k  L1 
3

L2
L32
F
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
170
Résistance des matériaux II
5
Instabilité et flambement
Rappel: En appliquant le théorème de Castigliano :
a) Les efforts internes entre A et C
M M AC
Px
 A   AC
dx  
 x  dx
P
0 EI
0 EI
L
L
P
y
A
L/ 2
y
z
x
C
B
L
V
x
z
P
M AC  P  x
P  L3
A 
3 E  I
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
171
5
Résistance des matériaux II
Instabilité et flambement
Problème
Calculer Pcr pour cette structure. Les membrures AB
et BC sont rigides. La membrure DE est élastique et
ne sert que de support latéral à la membrure AB. Les
joints A, D, B et C sont des rotules.
E
P
L
Solution
•
•
•
B
On applique une petite force latérale F
La structure se déplace latéralement
On enlève la force F et la structure demeure dans
sa position inclinée si P= Pcr
C
L
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
D
A
172
5
Résistance des matériaux II
Instabilité et flambement
A
E
E
L
Pcr
P
B
B
C
C
Pcr
k
B
F
L
D
A
D
A
A
État d’équilibre neutre
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
173
5
Résistance des matériaux II
F/2
E
Pcr
C
F
B
C
F
E
x
F
B
F
x
C
D
Pcr
C
F/2
A
o
MDC
V
F
D
B
C
A
Pcr
Effort interne dans DC:
MDC = F x/2
x
F/2
161
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
174
5
Résistance des matériaux II
Instabilité et flambement
Selon Castigliano, appliqué sur la membrure DE :
L
M
M DC dx
U
x  C 
 2  DC 
F
EI
F
0
x  C 
où MDC = F x/2
L
U
F
x dx F L 1
 2   x 

F
2  2 E  I 2 3 E  I
0
6EI
k

C
L3
F
3
Rigidité équivalente
de la structure
La membrure AB est considérée rigide.
Pour une membrure rigide retenue par un ressort,
Pcr = k L ou :
Pcr 
E
Pcr
x
L
C
B
C
L
A
D
Pcr
k
B
6E I
L2
A
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
175
5
Résistance des matériaux II
Instabilité et flambement
Problème
P
Déterminer Pcr pour la membrure rigide
AC, en fonction des dimensions L et  L.
L’attache en B est une rotule.
A
1
P
A
L
L

F
B
B
L
 L
C
k
Solution
1.
2.
k
k
C
k
P
2 
On applique une petite force latérale
F. La structure se déplace d’un
angle .
On enlève la force F et la structure
demeure dans sa position inclinée si
P = Pcr
A
B
L
k
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.

L
C
k
176
5
Résistance des matériaux II
Instabilité et flambement
La membrure s’incline d’un angle  :
x1 x2

L L
M
B
x1
P
x1   L
A
x2    L

L
 0  P x1  2  k  x2  (  L)
P   L  2  k    L(  L)
Pcr  2  k   2  L
B
L
k x2
k x2
C
x2
Qu’est-ce qui se passe lorsque k est très élevée?
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
177
5
Résistance des matériaux II
Instabilité et flambement
Stabilité d’une membrure rigide (exercice 1)
La figure a) illustre en isométrique un système est composé d’une membrure ABC (L = 4 m), d’une poutre DEF (L = 4 m) et
d’une membrure rigide CF. La membrure ABC est articulée en A où la rotation de la section est permise uniquement autour
de l’axe z. La poutre DEF stabilise la membrure ABC dans le plan x-y. Les joints C, D, E et F sont des rotules. La poutre DEF
a une section rectangulaire (fig.b) et la membrure ABC a une section W200  52 (fig. c). Les deux membrures sont faites
d’un acier (E = 200 000 MPa ; SY = 300 MPa).
La membrure ABC supporte une charge P appliquée au point C.
Déterminez la force de compression Pcr qui engendra l’instabilité en mode rigide de la membrure ABC dans le plan x-y.
x
F
P
y
C
2m
z
60 mm
E
100 mm
Fig. b) Section de la poutre DEF
B
2m
y
D
z
y
A
z
y
z
Fig. a) Membrures ABC et DEF et le chargement
A = 6660 mm2
Iz = 52,7 x 106 mm4
rz = 89,0 mm
Iy = 17,8 x 106 mm4
ry = 51,7 mm
Fig. c) Propriétés géométriques de la membrure de type W200 x 52
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
177
5
Résistance des matériaux II
Instabilité et flambement
Instabilité et flambement
• Objectifs
– Comprendre le développement mathématique de l’équation
différentielle d’une membrure élastique (colonne)
– Démontrer les expressions de la charge critique Pcr en
fonction des conditions limites d’une membrure élastique
– Calculer la charge critique à l’aide de la formule généralisée
d’Euler
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
178
5
Résistance des matériaux II
Instabilité et flambement
Section 3 : Instabilité et flambement
3.1 Introduction
3.2 Stabilité d’une membrure rigide
3.3 Stabilité d’une membrure élastique en compression (colonne)
3.4 Formule d’Euler
3.5 Colonne rotule-rotule soumise à une charge excentrée
3.6 Conception d’une colonne
3.7 Poutre colonne
3.8 Déversement latéral des poutres (Pas de fichier)
3.9 Voilement des sections à parois minces (Pas de fichier)
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
179
5
Résistance des matériaux II
Instabilité et flambement
3.3 Stabilité d’une membrure élastique en compression (colonne)
Démonstration de l’équation différentielle d’une colonne
y
q(x)
P
P
v
x
v  v
x
Flèche
q( x )  x
M  M
V
P M
v
O
P
V  V
x
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
180
5
Résistance des matériaux II
Instabilité et flambement
3.3 Stabilité d’une membrure élastique en compression (colonne)
q  x
F
 V  (V  V )  q ( x)  x  0
 x0
si
M
y
O

V
P M
v
  M  ( M  M )  V
2
 ( V  V )
x
2
P
V  V
x
dV
 q ( x)  0 (11.5)
dx
x
O
M  M
 P  v  0
En divisant partout par x et en négligeant les termes du second ordre,
on obtient, si x  0:
dM
dv
 V  P  0 (11.6)
dx
dx
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
181
5
Résistance des matériaux II
Instabilité et flambement
3.3 Stabilité d’une membrure élastique en compression (colonne)
q  x
En dérivant (11.6) par rapport à x :
2
V
2
d M dV
d v

 P 2  0 (11.6a)
2
dx
dx
dx
de (5.28), on sait :
d 2v
M  EI 2
dx
P M
v
O
M  M
P
V  V
x
(5.28)
En remplaçant (5.28) et (11.5) dans (11.6-a):
d 4v
d 2v
EI 4  P 2  q ( x) (11.10)
dx
dx
EI est constant
le long de x
Si q(x) = 0
d 4v
d 2v
EI 4  P 2  0 (11.10)
dx
dx
Équation d’une poutre -colonne
(section 11.7.3)
Flexion et compression
Équation d’une colonne élastique
Compression seulement
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
182
5
Résistance des matériaux II
Instabilité et flambement
3.3 Stabilité d’une membrure élastique en compression (colonne)
La solution générale de
est de la forme :
d 4v
d 2v
EI 4  P 2  0 (11.10)
dx
dx
v ( x )  C1  C2 x  C3 sin(n  x)  C4 cos(n  x )
(11.11)
où n2 = P/EI
Ci : constantes d’intégration à déterminer à partir des conditions aux rives. Il faut
connaître au moins quatre de ces conditions. Les quatre conditions seront:
– le déplacement latéral v
– la pente  = dv/dx
– le moment fléchissant M
– l’effort tranchant V
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
183
5
Résistance des matériaux II
Instabilité et flambement
3.3 Stabilité d’une membrure élastique en compression (colonne)
Les quatre conditions sont
1.
Déplacement latéral v
2.
Pente (x)
3.
Moment fléchissant M
M ( x) d 2 v
 2  C3n 2 sin(nx)  C4 n 2 cos(nx) (11.13)
EI
dx
4.
Effort tranchant V
v( x )  C1  C2 x  C3 sin( nx )  C4 cos(nx) (11.11)
 ( x) 
dv
 C2  C3n cos( nx )  C4 n sin(nx ) (11.12)
dx
V ( x)
 C2 n 2
EI
(obtenu de 11 .6)
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
(11.14)
184
5
Résistance des matériaux II
Instabilité et flambement
3.3 Stabilité d’une membrure élastique en compression (colonne)
• Démontrer les valeurs de P qui rendent le système d’équations
instables (lorsque v ) pour différentes conditions limites
d’une colonne élastique
v(x)
Pcr
Pcr
Pcr
x
L
v(x)
L
v (x)
x
Colonne rotule-rotule,
déplacement latéral bloqué
(référence)
Colonne encastrée-rotule,
déplacement latéral bloqué
L
Et autres…
Colonne encastrée-encastrée,
déplacement latéral bloqué
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
185
5
Résistance des matériaux II
Instabilité et flambement
Colonne rotule-rotule, déplacement latéral bloqué
Pcr
v ( x )  C 1  C 2 x  C 3 sin( n  x )  C 4 cos( n  x )
 ( x )  C 2  C 3  n  cos( n  x )  C 4  n  sin( n  x )
M (x )
  C 3  n 2  sin( n  x )  C 4  n 2  cos( n  x )
EI
P
V (x)
2
n

 C 2  n
EI
E I
Rappel
L
v(x)
Conditions limites
À x =0 :
x
v(0)  0  C1  C 4  0
(a)
M ( 0) / E I  0   C 4  n 2  0
(b)
Àx=L:
v(L)  0  C1  C 2  L  C 3  sin(n  L)  C 4  cos(n  L)  0
M (L) / E I  0  C 3  n 2 sin(n  L)  C 4  n 2 cos(n  L)  0
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
(c)
(d)
186
Résistance des matériaux II
5
Instabilité et flambement
Systèmes aux valeurs propres de 4 équations à 4 inconnues
•
v(0)  C1  C4  0
(a)
M (0) / E I  C4  n 2  0
(b)
v( L)  C1  C2  L  C3  sin(n  L)  C4  cos(n  L)  0
(c)
M ( L) / E I  C3  n 2 sin(n  L)  C4  n 2 cos(n  L)  0
(d)
Il y a deux solutions possibles
• Solution 1
– La solution triviale C1 = C2 = C3 = C4 = 0
– Cette solution ne permet pas d’obtenir Pcr
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
187
5
Résistance des matériaux II
Instabilité et flambement
Systèmes aux valeurs propres de 4 équations à 4 inconnues
v (0)  C1  C4  0
(a)
M ( 0 ) / E I  C 4  n 2  0
(b)
v ( L)  C1  C2  L  C3  sin( n  L)  C4  cos(n  L)  0
(c)
M ( L) / E I  C3  n 2 sin( n  L)  C4  n 2 cos(n  L)  0
(d)
• Solution 2
Les éq. a) et b)  C4  C1  0
l' éq. d)  C3 sin( n  L )  0 car n 
l' éq. c)  C2  0
P
0
EI
– À P = Pcr , le système est en état d’équilibre neutre et la flèche a une
valeur quelconque
– La valeur de C3 est donc arbitraire, mais non -nulle.
C1 = C2 = C4 = 0
et
C3  0
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
188
5
Résistance des matériaux II
Instabilité et flambement
Systèmes aux valeurs propres de 4 équations à 4 inconnues
v (0)  C1  C4  0
(a)
M ( 0 ) / E I  C 4  n 2  0
(b)
v ( L)  C1  C2  L  C3  sin( n  L)  C4  cos(n  L)  0
(c)
M ( L) / E I  C3  n 2 sin( n  L)  C4  n 2 cos(n  L)  0
(d)
• Solution 2 (suite) C1  0
– Puisque C3  0,
– D ’où :
; C2  0 ; C3 sin( n  L)  0 ; C4  0
 sin(n·L) = 0, ou n·L = , 2, 3,.…,N
N   EI

P
N

 Pcr 
EI
L
L2
2
n
Pour trouver Pcr seulement, il est plus simple de solutionner le système aux valeurs propres en
écrivant les équations sous forme matricielle
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
189
Résistance des matériaux II
5
Instabilité et flambement
Interprétation physique des solutions
Colonne rotule-rotule, déplacement latéral bloqué
Pcr
N 2
P
P
Pcr
Pcr 
L/2
4 2 E I
L2

N 2
Instable
Pcr 
 EI
2
N 1
L2
Stable
v (x)
P
P
L/2
Pcr
P
v( x )  C3 sin 2  x / L 
P
N 1
Pcr
v( x )  C3 sin   x / L
Pcr
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
190
5
Résistance des matériaux II
Instabilité et flambement
Colonne rotule-rotule, déplacement latéral bloqué
Pcr
v ( x )  C 1  C 2 x  C 3 sin( n  x )  C 4 cos( n  x )
 ( x )  C 2  C 3  n  cos( n  x )  C 4  n  sin( n  x )
M (x )
  C 3  n 2  sin( n  x )  C 4  n 2  cos( n  x )
EI
P
V (x)
2
n

 C 2  n
EI
E I
v(0)
M (0)/E I
v(L)
M (L)/E I

0
0
0
0

Rappel
v(x)
L
x
1
0
0
1
C1
0
0
0
- n2
C2
1
L
sin(nL)
cos(nL)
C3
0
0
- n 2 sin nL 
- n 2 cosnL 
C4
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
191
5
Résistance des matériaux II
Instabilité et flambement
Colonne rotule-rotule, déplacement latéral bloqué
v(0)
M (0)/E I
v(L)
0
0
0
0

M (L)/E I

1
0
0
1
C1
0
0
0
- n2
C2
1
L
sin(nL)
cos(nL)
0
0
- n 2 sin nL 
- n 2 cosnL 
A
A  0   n2
1
1
0
L
0
sin(nL)
0
0
- n 2 sin nL 
  n2
Pcr
C3
v(x)
C4
L
x
L
sin(nL)
0
- n 2 sin nL 
 n 2  L  (  n 2 ) sin( nL)  n 4 L  sin(nL)  0  sin( nL)  0
nL   , 2 , ..., N
2
P
 
n 2     cr
EI
L
 Pcr 
 2 EI
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
L2
192
5
Résistance des matériaux II
Instabilité et flambement
Colonne encastrée-rotule, déplacement latéral bloqué
x
v( x )  C1  C2  x  C3  sin( n  x )  C4  cos( n  x )
M( x )
 C3  n 2  sin( n  x )  C 4  n 2  cos(n  x )
EI
( x )  C 2  C3  n  cos(n  x )  C 4  n  sin(n  x )
(a)
(b)
(c)
n
P
EI
v(x)
L
Conditions limites
À x =0 : v(0)  0  C1  C4  0
 ( 0)  0  C 2  C 3 n  0
À x = L : v( L)  0
 C1  C2 L  C3 sin(n L)  C 4 cos(n L)  0
M ( L) / E I  0
 C3 n 2 sin(n L)  C 4 n 2 cos(n L)  0
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
193
5
Résistance des matériaux II
Instabilité et flambement
Colonne encastrée-rotule, déplacement latéral bloqué
x
v ( 0)  0
 C1  C4  0
 ( 0)  0
 C 2  C3 n  0
v( L)  0
 C1  C2 L  C3 sin(n L)  C 4 cos(n L)  0
M ( L) / E I  0
v(0)
(0)
v(L)
M ( L)
EI

n
P
EI
v(x)
L
 C3 n 2 sin(n L)  C 4 n 2 cos(n L)  0
1
0
1
0
1
L
0
n
sin nL 
1
0
cosnL 
0
0 n 2 sin nL  n 2 cosnL 
C1
C2
C3
C4
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.

0
0
0
0
194
5
Résistance des matériaux II
Instabilité et flambement
Colonne encastrée-rotule, déplacement latéral bloqué
x
1
0
0
0
1
1
L
n
sin nL 
0
0 n 2 sin nL  n 2 cosnL 
Solution triviale :
1
C1
0
cosnL 
C2
C3

C4
0
0
0
0
v(x)
L
C1  C2  C3  C4  0  v x   0
Autre solution : dét = 0 =
n 3 L cos (n L)  n 2 sin (n L)
tg n L   n L
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
195
5
Résistance des matériaux II
Instabilité et flambement
Colonne encastrée-rotule, déplacement latéral bloqué
Solution (suite)
Ceci est ce que l’on appelle une équation
transcendante. Les méthodes de solution
d’une telle équation sont la méthode
graphique ou la méthode itérative
n L  1, 43 
n
P
EI
f ( n L)  n L
tg (n L)  n L
f (n L)
P 
2
 1, 43    L2  cr 
EI
nL
0
d’où : P 
cr
 2E I
 /2

0,7 L 
2
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
3 / 2
1,43 
f (n L)  tg (n L)
196
5
Résistance des matériaux II
Instabilité et flambement
Colonne encastrée-encastrée, déplacement latéral permis à x = L
v ( x )  C1  C2 x  C3 sin( n  x )  C4 cos( n  x )
 ( x)  C 2  C3  n  cos( n  x)  C 4  n  sin( n  x)
M ( x) / E I  C3  n 2  sin( n  x)  C4  n 2  cos(n  x)
V ( x ) / E I  C 2  n 2
Conditions aux rives
À x =0 : v(0)  0  C1  C4  0
 ( 0)  0  C 2  C 3 n  0
Àx=L:
P
Pcr
P
Pcr
L
Fig. 11.15(f)
V ( L ) / E I  0  C 2 n 2  0
 ( L)  0  C2  C3 n cos(n L)  C4 n sin( n L)  0
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
197
5
Résistance des matériaux II
Instabilité et flambement
Colonne encastrée-encastrée, déplacement latéral permis à x = L
v(0)
(0)
V(L) 
EI
(L)
0
0
0
0

1
0
0
1
C1
0
1
n
0
C2
0
- n2
0
0
1
n cosnL 
0
C3
- n sin nL 
C4
A
1
n
1
0
n cosnL 
A  0  1 - n2
0
0
 n2
- n sin nL 
n 2  ( n 2 )  sin( nL)  0  sin( nL)  0
nL   , 2 , ..., N
0
n cos(nL)
2
P
 
n     cr
EI
L
2
n
 Pcr 
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
- n sin nL 
 2 EI
L2
198
5
Résistance des matériaux II
Instabilité et flambement
Colonne encastrée-encastrée, déplacement latéral bloqué à x= L
Pcr
v(0)
(0)

v(L)
(L)
0
0
0
0

1
0
0
1
C1
0
1
n
0
C2
1
L
sin nL 
cosnL 
0
1 n cosnL 
- n sin nL 
C3
C4
v(x)
L
Fig. 11.15(c)
A  0 1
1
L
1
n
sin(nL)
n cosnL 
0
cos(nL)
- n sin nL 
0
1 1
0
1
L
1
n
sin(nL)
n cos nL 
nL sin( nL)  2 cos( nL)  2  0
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
199
5
Résistance des matériaux II
Instabilité et flambement
Colonne encastrée-encastrée, déplacement latéral bloqué à x= L
v(0)
(0)

v(L)
(L)
0
0

0
0
1
0
0
1
C1
0
1
n
0
C2
1
L
sin nL 
0
1 n cosnL 
Pcr
C3
cosnL 
C4
- n sin nL 
nL sin( nL)  2 cos(nL)  2  0
v(x)
L
Fig. 11.15(c)
Équation à résoudre avec méthode numérique
Solution
n
2 N
L
Avec N  1 
où N  1,2,...
n2 
Pcr
2
 ( )2
EI
L
Pcr 
 2 EI
(0,5 L) 2
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
200
5
Résistance des matériaux II
Instabilité et flambement
3.4 Formule d’Euler
On appelle la formule :
Pcr 
2EI
L2
la formule d’Euler, mathématicien Suisse qui a développé le premier cette formule.
Depuis, la formule d’Euler a été généralisée sous la forme:
Pcr 
2EI
K L 2
dans laquelle on appelle le facteur (K L ) la longueur équivalente.
KL est la longueur de la colonne d’Euler (rotule-rotule) qui a la même rigidité que
celle considérée
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
201
Résistance des matériaux II
5
Pcr
P
 EI
2
2
L
L
K  2,0
K  0,7
2 EI
 2E I
Pcr 
Pcr
P
2 L 
2
Pcr 
v (x )
L
K  0,5
0,7 L 
2
Pcr 
K  1,0
2 E I
0,5 L 
2
Pcr 
2EI
L2
Fig. 11.15.a)
Fig. 11.15.d et e)
Fig. 11.15.b)
Fig. 11.15.c)
Fig. 11.15.f)
Rotule-rotule
Encastré-libre
ou encastré-rotule
Déplacement
latéral permis
Encastré-rotule
Encastré-encastré
Encastré-encastré
Déplacement
latéral bloqué
Déplacement
latéral bloqué
Déplacement
latéral permis
Déplacement
latéral bloqué
Pcr
L
v (x )
K  1,0
Pcr 
Pcr
ou
L
v (x )
Pcr
Pcr
Pcr
Instabilité et flambement
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
202
5
Résistance des matériaux II
Instabilité et flambement
Stabilité d’une membrure élastique (exercice 2)
La figure a) illustre en isométrique un système est composé d’une membrure ABC (L = 4 m), d’une poutre DEF (L = 4 m) et
d’une membrure rigide CF. La membrure ABC est articulée en A où la rotation de la section est permise uniquement autour
de l’axe z. La poutre DEF stabilise la membrure ABC dans le plan x-y. Les joints C, D, E et F sont des rotules. La poutre DEF
a une section rectangulaire (fig.b) et la membrure ABC a une section W200  52 (fig. c). Les deux membrures sont faites
d’un acier (E = 200 000 MPa ; SY = 300 MPa).
La membrure ABC supporte une charge P appliquée au point C.
Déterminez la force de compression théorique Pcr qui engendra le flambement de la membrure élastique ABC.
x
F
P
C
y
2m
z
60 mm
E
100 mm
Fig. b) Section de la poutre DEF
B
2m
y
D
y
A
z
z
y
z
Fig. a) Membrures ABC et DEF et le chargement
A = 6660 mm2
Iz = 52,7 x 106 mm4
rz = 89,0 mm
Iy = 17,8 x 106 mm4
ry = 51,7 mm
Fig. c) Propriétés géométriques de la membrure de type W200 x 52
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
177
5
Résistance des matériaux II
Instabilité et flambement
3.4 Formule d’Euler
• On rencontre aussi la formule d’Euler exprimée sous la forme
– où (KL/r) est appelé le facteur d’élancement
– r est le rayon de giration
• où I est le second moment de surface de la section
• A est l’aire de cette section
r
Pcr 
2E A
 K L


 r 
2
I
A
• Pour faire la conception des pièces en compression, il faut considérer :
– la stabilité de la pièce comme une colonne, Pcr
– la résistance du matériau dont est fabriquée la pièce, cr
• La résistance fait intervenir la notion de contrainte cr
Flambement
Pcr
2E
 cr 

A  K L 2


 r 
Écoulement
(chargement uniaxial seul.)
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
  SY
203
5
Résistance des matériaux II
Instabilité et flambement
Contenu
•
•
•
•
Limites d’applications de la formule d’Euler
Colonne rotule-rotule soumise à une charge excentrée
Utiliser le code ACNOR pour la conception d’une colonne
Utiliser le code ACNOR pour la conception d’une poutre-colonne
(flexion dans 1 plan et flexion dans 2 plans)
• Introduction de notions avancées comme le déversement latéral,
voilement, flambement de plaques minces
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
204
5
Résistance des matériaux II
Instabilité et flambement
Limites d’application de la formule d’Euler

cr
c
SY
Sp
b
ET = d /d
Module tangent
c’
 cr 
d’
d
SY
Sp
b’
E =  /
Module d’Young
 cr 
 2 ET
( KL / r )2
 2E
( KL / r )2
a’
a

Cp
KL/r
où Sp est la limite de proportionnalité (fin du régime linéaire)
2
en b’:   S   E
cr
p
( KL / r )
2

 2E
Cp
2
 2E
 KL 
Cp  
 
Sp
 r p
Note: - la formule d’Euler est limitée au domaine élastique
- le plus petit facteur d’élancement possible est Cp
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
205
5
Résistance des matériaux II
Instabilité et flambement
3.5 Colonne rotule-rotule soumise à une charge excentrée
x
e
P
Conditions aux rives
v(L) = 0
M(L) = - Pe
L/2
vmax
- L’équilibre est fait sur la structure déformée
L/2
v (x)
Notes:
- Ce n’est pas un système aux valeurs propres
- Le système est instable lorsque vmax  
v(0) = 0
M(0) = - Pe
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
206
5
Résistance des matériaux II
Instabilité et flambement
3.5 Colonne rotule-rotule soumise à une charge excentrée
x
e
P
Équations générales
v(x) =
C1 + C2x + C3sin(nx) + C4cos(nx)
M(x) / EI =
- C3n2sin(nx) - C4n2cos(nx)
L/2
vmax
L/2
v (x)
Lorsque x = 0 et x = L
v(0) =
C1 + C4 = 0
M(0) / EI = - C4n2 = -eP/EI = -en2
v(L) =
C1 + C2L + C3sin(nL) + C4cos(nL) = 0
M(L) / EI = - C3n2sin(nL) - C4n2cos(nL) = -en2
Rappel: n 
P
EI
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
207
5
Résistance des matériaux II
Instabilité et flambement
3.5 Colonne rotule-rotule soumise à une charge excentrée
x
e
P
Représentation matricielle
L/2
vmax
L/2
v (x)
 0  1
 en 2  0


 0  1


2

en

 0
0
0
1
  C1 
0
0
 n 2  C2 
 
L
sin nL
cos nL  C3 
 
0  n 2 sin nL  n 2 cos nL C4 
Solution
C4 = e
C1 = -e
C2 = 0
C3 = e(1-cosnL)/sinnL
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
208
5
Résistance des matériaux II
Instabilité et flambement
3.5 Colonne rotule-rotule soumise à une charge excentrée
x
e
P
Expression de la flèche devient (pas arbitraire)
sin nx


v ( x )  e   1  (1  cos nL)
 cos nx 
sin nL


e
sin nx  sin n( L  x )  sin nL
v( x ) 
sin nL
L/2
vmax
L/2
v (x)
Flèche maximale à x = L / 2
nL


2
sin

 
nL 
2
vmax  e
 1  e sec
 1
2

 sin nL
 


Avec la propriété: sinnL = 2 sin(nL/2) cos(nL/2)
et:
sec(x) = 1/cos(x)
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
209
5
Résistance des matériaux II
Instabilité et flambement
3.5 Colonne rotule-rotule soumise à une charge excentrée
x
e
P
Flèche maximale
vmax
 L
 e sec

 2
P
EI
 
  1
 
 
Formule de
la sécante
Flèche devient instable (vmax  ∞) lorsque
L/2
donc,
vmax
L/2
v (x)
cos(nL/2) = cos(/2)
Pcr 

EI 2
 2 EI
Pcr  2
L
L
2
Force en compression qui rend
le système instable
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
210
5
Résistance des matériaux II
Instabilité et flambement
3.5 Colonne rotule-rotule soumise à une charge excentrée
Avec l’expression du Pcr
Pcr 
 2 EI
L2

1
1  

 
EI Pcr  L 
En remplaçant 1/EI dans
l’expression de la
flèche maximale
vmax
 L
 e sec

 2
P
Pcr
e =0.25
2
e =0
1
Rapport de
charge
P / Pcr
e =2.5
Flèche maximale, vmax
 
  1
 
 
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
211
5
Résistance des matériaux II
Instabilité et flambement
3.5 Colonne rotule-rotule soumise à une charge excentrée
x
e
Évaluation de la contrainte maximale dans la colonne
P
en flexion
en compression
σ max
L/2
P M max c P P (e  vmax )c
 
 
A
I
A
Ar 2
bras de levier
rayon de giration
vmax
SY
L/2
v (x)
Philosophie du code
ACNOR
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
212
5
Résistance des matériaux II
Instabilité et flambement
3.6 Conception d’une colonne
Code: ACNOR S16-1969, ACNOR S16.1-m78, ACNOR S16.1-94
(Association canadienne de normalisation)
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
213
5
Résistance des matériaux II
Instabilité et flambement
3.6 Conception d’une colonne
Code:ACNOR S16-1969 = délimité en 3 régions
Colonnes trapues
Facteur
d’élancement
KL
 Co
r
Contrainte
Sa  0,6SY
Colonnes moyennes
Co 
KL
 Cp
r
 KL

Sa  0,6SY  m
 Co 
 r

Vérifie l’écoulement
Paramètres:
Colonnes élancées
Similaire à Euler
Co  30 
SY
34,5
Cp   2
E
SY  90
Cp 
Sa 
KL
r
 2E
 KL 
1,92

r


2
106
0,6 SY  2
Cp
m
C p Co
~ Sp
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
214
5
Résistance des matériaux II
Instabilité et flambement
3.6 Conception d’une colonne
Code:ACNOR S16.1-M78 = délimité en 5 régions
Introduction d’un nouveau paramètre:
(coefficient d’élancement normalisé)

KL SY
r  2E
Déterminer la résistance pondérée (Cr) d’une colonne
Cr = ASY
(0 ≤  ≤ 0,15)
Vérifie l’écoulement
Cr = ASY (1,035 – 0,202  - 0,22 2)
(0,15 ≤  ≤ 1)
Cr = ASY (-0,111 + 0,636 -1 + 0,087 -2)
(1 ≤  ≤ 2)
Cr = ASY (0,009 + 0,877 -2)
(2 ≤  ≤ 3,6)
Cr = ASY -2
(3,6 ≤ )
Similaire à Euler
où  est le coefficient d’efficacité (ex.  = 0,6)
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
215
5
Résistance des matériaux II
Instabilité et flambement
3.6 Conception d’une colonne
• Norme S-16.1-94 de l’ACNOR
– Conception d’une colonne en acier selon la méthode CAEL
• CAEL: Calcul aux états limites (résistance et charge pondérées)
– Résistance pondérée (Cr) est donnée par la formule empirique:
Cr  ASY (1  2 n ) 1 / n
• A = aire de la section de la colonne
• SY = limite d’écoulement du matériau
• n = paramètre qui dépend du procédé de fabrication du profilé
– n = 1,34 pour profilés laminés à froid sans traitement de relaxation des contraintes
résiduelles (plus défavorable)
– n = 2,24 pour profilés avec traitement de relaxation des contraintes résiduelles
•  = coefficient de tenue de la colonne (selon la variabilité statistique de la résistance des
matériaux (ex. 0,9)
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
216
5
Résistance des matériaux II
Instabilité et flambement
3.6 Conception d’une colonne
• Norme S-16.1-94 de l’ACNOR
– Design d’un élément structural en compression selon la méthode CAEL est
acceptable si la charge pondérée est inférieure à la résistance pondérée
 D D   ( L L  WW  T T )  Cr
Résistance pondérée
Charge pondérée
•
•
•
•
•
•
•
D = charge permanente
L = charge d’exploitation
W = surcharge due au vent
T = surcharge due aux changements de température
D, L, W, T = facteurs de pondération des charges (ex. L = 1,5)
 = coefficient de simultanéité des charges
 = coefficient de risque
Dans notre cas:
 L L  Cr
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
217
5
Résistance des matériaux II
Instabilité et flambement
3.7 Poutres-colonnes
Structure chargée en compression et flexion
w
P
d 4v
d 2v
Équation fondamentale: EI 4  P 2  q( x )
dx
dx
L
Solution de l’équation: v ( x )  C1  C2 x  C3 sin nx  C4 cos nx  v p ( x )
– La solution exacte de l’équation différentielle ne sera pas discutée dans
ce cours.
– Nous aborderons une méthode de résolution approximative.
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
218
5
Résistance des matériaux II
Instabilité et flambement
3.7 Poutres-colonnes
Méthode de résolution approximative
w
Flexion seulement
v*(x): flèche avec P = 0
M*(x): moment interne avec P = 0
v*(x)
w
Flexion et compression (amplification)
P
v*(x)
v (x)
v(x) = v*(x)Famp
M(x) = M*(x)Famp
Famp
Facteur d’amplification:
Charge critique (Euler)
Famp 
1
1
P
Pcr
6
5
4
3
2
1
0
0,5
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
1,0
P/Pcr
219
5
Résistance des matériaux II
Instabilité et flambement
3.7 Poutres-colonnes
w
Méthode de résolution approximative :
P
Comparaison avec la solution exacte
v (x)
(en utilisant Famp)
Pcr
Flexion
seulement
v et M à la mi-longueur
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
220
5
Résistance des matériaux II
Instabilité et flambement
3.7 Poutres-colonnes : Chargement combiné
Flexion dans 2 plans (selon le code ACNOR)
C Famp / z M z Famp / y M y


 1,0
Cr
M rz
M ry
• C: charge axiale en compression sur la poutre-colonne
• Cr: charge axiale maximale permise en compression lorsque toutes les autres
charges sont nulles
• Mz, My: moment de flexion maximal par rapport à z ou y, respectivement
• Mrz, Mry: moment de flexion maximal à l’écoulement permis par rapport à z ou y,
lorsque toutes les autres charges sont nulles; (MY)y ou (MY)z
• Famp/z, Famp/y: facteurs d’amplification des moments de flexion par rapport à z ou y,
respectivement
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
221
5
Résistance des matériaux II
Instabilité et flambement
3.7 Poutres-colonnes : Chargement combiné
Flexion dans 2 plans (selon le code ACNOR)
V
C = .P
Famp / z ,/ y 
1
C
1
Pcr
Formule d’Euler
 EI z , y
M
2
Pcr 
(KL) 2
: Facteur de pondération à
appliquer sur toutes les charges
Cr  ASY (1   )
Flexion 2 plans: prendre
le Cr le plus critique
x
Identifier les max à partir des
diagrammes V et M
Mz,y = .Mzmax,ymax
C Famp / z M z Famp / y M y


 1,0
Cr
M rz
M ry
2 n 1 / n
x
KL SY

rz , y  2 E
Moments de flexion au
début de l’écoulement
Mrz,y = .Sz,y.SY
Flexion 2 plans:
utiliser  le plus grand
rz , y 
I z, y
A
Sz, y 
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
I z, y
c
222
5
Résistance des matériaux II
Instabilité et flambement
3.7 Poutres-colonnes : Chargement combiné
Flexion dans 1 plan (selon le code ACNOR)
– (1) Plan en compression uniquement
C
 1,0
Cr
Calculé avec le  de ce plan
– (2) Plan en flexion et compression
C Famp / i M i

 1,0
Cri
M ri
Où i = z ou y
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
223
5
Résistance des matériaux II
Instabilité et flambement
3.7 Poutres-colonnes : Chargement combiné
(exercice 3)
• Problème: flexion dans 2 plans
– QUESTION: Vérifier si le cadre a une capacité
suffisante pour résister au chargement externe
illustrée
•
•
•
•
•
Structure d’acier (E = 200 GPa, SY = 350 MPa)
Pondération de charge,  = 1,5
Coefficient de tenue, = 0,9
Acier laminé à froid (n = 1,34)
Propriétés de la section
– Iy = 6,35 x 106 mm4 ; Sy = 125 x 103 mm3
– Iz = 18,8 x 106 mm4 ; Sz = 185 x 103 mm3
– A = 3610 mm2
Figure de l’exemple 11.7
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
224
Résistance des matériaux II
5
Instabilité et flambement
3.7 Poutres-colonnes : Chargement combiné
•
Solution
–
Identifier s’il y a flexion dans 1 ou 2 plans (diagramme V et M)
Plan x-y (flexion autour de z)
x
80 kN
x
x
3 kN
L=4m
y
Vy
Mz
Mzmax = 3 kN * 4m = 12 kN.m
Condition limite: encastrée – libre (K = 2)
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
225
5
Résistance des matériaux II
Instabilité et
et flambement
flambement
Instabilité
Simulation ÉF (vue de profil)
Déformation amplifiée 20 fois
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
226
Résistance des matériaux II
5
Instabilité et flambement
3.7 Poutres-colonnes : Chargement combiné
•
Solution
–
Identifier s’il y a flexion dans 1 ou 2 plans (diagramme V et M)
Problème hyperstatique: trouver MB = ?
Plan x-z (flexion autour de y)
x
160 kN
(1) Approche énergétique avec Castigliano
(2) Truc du point d’inflexion
[voir document supplémentaire sur le site]
MA = MB = 5 kN.m
80
x
x
MB
2,5 kN
5 kN
L=4m
z
2,5
MA
80
Vz
My
Mymax = MA = MB = 5 kN.m
Condition limite: encastrée – encastrée avec déplacement latéral permis (K = 1)
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
227
5
Résistance des matériaux II
Instabilité et flambement
Simulation ÉF (vue de face)
Déformation amplifiée 2.5 fois
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
228
5
Résistance des matériaux II
Instabilité et flambement
3.7 Poutres-colonnes : Chargement combiné
•
Solution
–
Pondération de toutes les charges
•
•
•
–
C = α . P = 1,5 * 80 = 120 kN
Mz = α . Mzmax = 1,5 * 12 = 18 kN.m
My = α . Mymax = 1,5 * 5 = 7,5 kN.m
Valeurs à utiliser pour
tous les autres calculs
Capacité de résistance des colonnes en compression pure
(calcul de Cr)
•
•
Plan x-y:
Plan x-z:
 KL  2  4000
 110,8

 
r
72,
2

z
 KL  1 4000
 95, 2

 
42
 r y
Coefficients d’élancement
Pour la flexion dans 2 plans:
prendre la valeur la plus grande
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
229
5
Résistance des matériaux II
Instabilité et flambement
3.7 Poutres-colonnes : Chargement combiné
•
Solution
–
Capacité de résistance des colonnes en compression pure
(calcul de Cr) (suite)

KL SY
350

110,8
 1, 475
r  2E
 2  200 103
Cr   ASY 1   2 n 
1/ n
 0,9  3610  350  (1  1, 4752,68 ) 1/1,34
Cr  417,14 kN
n = 1,34 (pas de traitement pour
relaxer les contraintes résiduelles)
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
230
5
Résistance des matériaux II
Instabilité et flambement
3.7 Poutres-colonnes : Chargement combiné
•
Solution
–
Capacité de résistance des colonnes en flexion seulement: plan x-y
(flexion autour de z)
–
Au début de
l’écoulement (MY)z
Mrz = SzSY = 0,9 x 185 x 103 x 350 = 58,28 kN.m
Pcr / z 
 2 EI z
( KL)
2

 2  200  103  18,8 106
 2, 0  4000 
2
Formule d’Euler
Pcr / z  579,84 kN
Prendre K dans le plan approprié
Famp / z 
1
1

 1, 261
C
120
1
1
Pcr / z
579,84
Facteur d’amplification
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
231
5
Résistance des matériaux II
Instabilité et flambement
3.7 Poutres-colonnes : Chargement combiné
•
Solution
–
Capacité de résistance des colonnes en flexion seulement: plan x-z
(flexion autour de y)
–
Au début de
l’écoulement (MY)y
Mry = SySY = 0,9 x 125 x 103 x 350 = 39,38 kN.m
Pcr / y 
 2 EI y
( KL)
2

 2  200 103  6,35 106
1, 0  4000 
2
Formule d’Euler
Pcr / y  783, 40 kN
Prendre K dans le plan approprié
Famp / y 
1
1

 1,181
C
120
1
1
Pcr / y
783, 40
Facteur d’amplification
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
232
5
Résistance des matériaux II
Instabilité et flambement
3.7 Poutres-colonnes : Chargement combiné
•
Solution
–
Capacité de résistance des colonnes
C Famp / z M z Famp / y M y


 1,0
Cr
M rz
M ry
Rappel du code
ACNOR
120
1, 261 18 1,181 7, 5


 0,902  1
417,14
58, 28
39, 38
Donc, le cadre possède une capacité de résistance suffisante.
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
233
5
Résistance des matériaux II
Instabilité et flambement
3.8 Déversement latéral des poutres
• Exemple d’une poutre encastrée-libre
– Moment fléchissant: Mz
– Flambement
• Flexion latérale
• Rotation autour de l’axe longitudinal
d ²
Mz ²
 m²  0 où m² 
dx ²
EI y GJ
Rectangulaire
Poutre en I
( M z )cr 
( M z )cr 

L

EI y GJ
flexion
flexion
E 
2
EI y GJ  
 I y Cw
wL
 L 
torsion
Coefficient de gauchissement
flexion
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
234
5
Résistance des matériaux II
Instabilité et flambement
3.9 Voilement ou flambement local des sections à parois
minces
• Solution théorique (domaine élastique)
 cr 
K 2 E
b
12(1   )  
t
2
2
où K = condition d’appui
b/t = rapport d’élancement de la plaque
• Considération d’ordre pratique
b
B

t
SY
où B = constante qui dépend de la partie
considérée dans la section
(phénomène localisé)
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
235
5
Résistance des matériaux II
Instabilité et flambement
Illustration du flambement
Flambement d’un rail causé par l’élévation de température
(Source: MEC 430 Mécanique des Milieux Continus I, Jean-Jacques
Marigo, école Polytechnique)
Flambement d’une
canette métallique
(Source: ETUDE DE LA
RESISTANCE AU
FLAMBEMENT DE
CANETTES
METALLIQUES, ENSMP
1ère année, Mécanique des
Matériaux Solides)
Flambement d’une colonne
(Source: Interdisciplinary Research
Drivers and Serendipity Factor: An
Applied Mechanics Perspective,
Chih-Kung Lee & al.)
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
236
5
Résistance des matériaux II
Instabilité et flambement
Formulaire type à l’examen
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
237