Statistiques à deux variables
Lois de probabilités
Corrélation
Nuage de points
Un nuage de points est la donnée de n points du plan (que l’on supposera
distincts).
Point moyen
Lois discrètes
Variable aléatoire discrète
𝑥̅ =
Covariance
𝑛
𝑛
𝑖=1
𝑖=1
1
1
∑ 𝑥𝑖 𝑒𝑡 𝑦̅ = ∑ 𝑦𝑖
𝑛
𝑛
𝒏
𝒄𝒐𝒗(𝒙, 𝒚) =
𝟏
̅)( 𝒚𝒊 − 𝒚
̅)
∑(𝒙𝒊 − 𝒙
𝒏
𝒊=𝟏
Propriétés :
1.
2.
3.
̅𝒚
̅
𝒄𝒐𝒗(𝒙, 𝒚) = ( ∑𝒏𝒊=𝟏 𝒙𝒊 𝒚𝒊 ) − 𝒙
𝒏
𝒄𝒐𝒗(𝒙, 𝒙) = 𝑽(𝒙)
∀(𝜶, 𝜷, 𝝀, 𝝁) ∈ ℝ, 𝒄𝒐𝒗(𝜶𝒙 + 𝜷, 𝝀𝒚 + 𝝁) = 𝜶𝝀𝒄𝒐𝒗(𝒙, 𝒚)
Coefficient de corrélation
Définition : Soient 𝝈𝒙 et 𝝈𝒚 les écarts-types des deux caractères, 𝒄𝒐𝒗(𝒙, 𝒚)
la covariance du couple (𝒙, 𝒚). Le coefficient de corrélation noté 𝝆(𝒙, 𝒚) de
la série statistique à deux variables est par définition le réel :
𝒄𝒐𝒗(𝒙, 𝒚)
𝒓=
𝝈𝒙 𝝈𝒚
Théorème : |𝒓| ≤ 𝟏
Ajustement linéaire
Principe
On dispose d'un certain nombre de points (𝒙𝒊 , 𝒚𝒊), 𝟏 ≤ 𝒊 ≤ 𝒏, formant un
nuage statistique, et on cherche à traduire la dépendance entre 𝒙 et 𝒚 par
une relation de la forme 𝒚 = 𝒂𝒙 + 𝒃 ou 𝒙 = 𝒂′𝒙 + 𝒃′ où 𝒂, 𝒃, 𝒂′ et 𝒃′
sont des réels.
Méthode des moindres carrés
- Soient 𝑴𝒊 les points du nuage de coordonnées, dans un repère
orthonormal et 𝑫 une droite d'équation : 𝒚 = 𝒂𝒙 + 𝒃.
- Désignons par 𝑯𝒊 le point de 𝑫 d'abscisse 𝒙𝒊.
- La méthode des moindres carrés consiste à choisir pour une droite
d'ajustement celle pour laquelle la quantité :
𝒏
𝒇(𝒂, 𝒃) = ∑ 𝑴𝒊 𝑯𝒊 ²
𝒊=𝟏
𝑐𝑜𝑣(𝑥, 𝑦)
𝑉(𝑥)
𝑏 = 𝑦̅ − 𝑎𝑥̅
𝑎=
Equation de la variance
Variance résiduelle
𝒏
𝑽𝒓 =
𝟏
∑(𝒚𝒊 − 𝒚̂𝒊 )²
𝒏
𝒊=𝟏
Variance expliquée
𝒏
𝑽𝒆 =
𝟏
̅)²
∑(𝒚̂𝒊 − 𝒚
𝒏
𝒊=𝟏
Théorème de la variance
𝑉(𝑦) = 𝑉𝑟 + 𝑉𝑒
𝑛
𝑉(𝑦) =
1
∑(𝑦𝑖 − 𝑦̅)²
𝑛
𝑖=1
1.
2.
3.
4.
Espérance
ℙ𝑋 (𝑥) = ℙ[𝑋 = 𝑥], ∀𝑥 ∈ 𝑋(Ω)
𝑁
Expression de 𝑉𝑒 et 𝑉𝑟 en fonction de 𝑉(𝑦) et 𝑟
𝑉𝑒
𝑟2 =
𝑉
𝑉𝑒 = 𝑟²𝑉
𝑉𝑟 = 𝑉 − 𝑉𝑒 = 𝑉(1 − 𝑟 2 )
Interprétation du coefficient de corrélation
Si |𝑟| = 1, il y a une dépendance linéaire totale (corrélation linéaire parfaite
et les points de nuage sont alignés).
Si |𝑟| ≈ 1, il y a une dépendance linéaire de 𝑥 et 𝑦 d’autant plus forte que 𝑟
est voisin de 1).
Si |𝑟| = 0, il y a une indépendance totale de 𝑥 et 𝑦.
Si |𝑟| ≈ 0, on a une corrélation linéaire très faible ou inexistante.
𝑁
𝔼[𝑋] = ∑ 𝑝𝑖 𝑥𝑖 = ∑ 𝑥𝑖 ℙ[𝑋 = 𝑥𝑖 ]
𝑖=1
𝟏
est minimale.
Détermination de 𝒂 et 𝒃
Ω→ℝ
𝑋: {
𝜔 → 𝑋(𝜔)
Loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète
𝑖=1
Variance
La variance mesure ainsi la déviation moyenne autour de la moyenne
espérée E[X], et est définie par
𝑵
𝑽(𝑿) = 𝔼[(𝑿 − 𝔼[𝑿])𝟐 ] = ∑ 𝒑𝒊 (𝒙𝒊 − 𝔼[𝑿])²
𝒊=𝟏
𝑽(𝑿) = 𝔼[𝑿𝟐 ] − (𝔼[𝑿])²
Théorème de la non-linéarité de la variance
Pour toute variable aléatoire 𝑋 et 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅, on a
𝑉(𝑎𝑋 + 𝑏) = 𝑎²𝑉(𝑋)
Ecart-type
Etant donnée une variable aléatoire discrète X qui possède une espérance
𝔼[𝑿] et une variance 𝑽(𝑿), on appelle écart-type de 𝑿 le réel
𝝈(𝑿) = √𝑽(𝑿)
Pour mesurer la dispersion d’une variable aléatoire 𝑿 autour de sa
moyenne, on considère souvent en statistiques l’écart-type. En effet, la
variance était homogène à 𝑿² tandis que l’écart-type est homogène à 𝑿.
Propriété
𝜎(𝑎𝑋 + 𝑏) = |𝑎|𝜎(𝑋)
Inégalité de Markov
𝔼[𝑋] = 𝑚
𝑚
∀𝑎 > 0, ℙ[𝑋 ≥ 𝑎] ≤
𝑎
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
𝔼[𝑋] = 𝑚
𝜎²
∀𝑏 > 0, ℙ[|𝑋 − 𝑚| ≥ 𝑏] ≤
𝑏²
Lois classiques discrètes
Loi uniforme
Situation modèle : Tirage, ds le cas d’équiprobabilité, d’un élément parmi n
éléments numérotés de 1 à n et X = num tiré.
Définition : 𝑋 → 𝑈(𝑛) ou 𝑋 → 𝑈({1, 2,· · · , 𝑛}) si
1
𝑋(Ω) = {1,2, … , 𝑛}, ∀𝑘 ∈ {1,2, … , 𝑛}, ℙ[𝑋 = 𝑘] =
𝑛
𝑛+1
𝑛2 −1
Espérance et Variance : 𝔼[𝑋] =
et 𝑉(𝑋) =
2
12
Loi de Bernoulli
Situation modèle : Epreuve de Bernoulli, p = probabilité de succès, X =
nombre de succès.
Définition : Epreuve de Bernoulli = expérience aléatoire →2 éventualités
« succès » et « échec »
𝑋 → 𝐵(𝑝) ou 𝑋 → 𝐵(1, 𝑝) si
𝑋(Ω) = {0,1}, ℙ[𝑋 = 1] = 𝑝, ℙ[𝑋 = 0] = 1 − 𝑝
Espérance et Variance : 𝔼[𝑋] = 𝑝 et 𝑉(𝑋) = 𝑝(1 − 𝑝)
Loi binomiale
Définition : Répétition en nbr fini d’une épreuve de Bernoulli ds les mêmes
condit° et de manière indé.
𝑋 → 𝐵(𝑛, 𝑝) si
𝑋(Ω) = {1, … , 𝑛},
𝑛
∀𝑘 ∈ {1,2, … , 𝑛}ℙ[𝑋 = 𝑘] = ( ) 𝑝𝑘 (1 − 𝑝)𝑛−𝑘
𝑘
Proba d’échec : 𝑞 = 1 − 𝑝
Espérance et Variance : 𝔼[𝑋] = 𝑛𝑝 et 𝑉(𝑋) = 𝑛𝑝(1 − 𝑝)
Loi de Poisson
Situation modèle : Il n’y en a pas vraiment. Les lois de Poisson mesurent
par exemple des flux d’individus pendant un temps donné : nombre de
clients à une caisse de supermarché pendant une heure, ou nombre de
voitures se présentant à un péage d’autoroute pendant une période fixée
ou le nombre d’appels reçus par un standard téléphonique, etc.
Définition : Une variable aléatoire discrète X suit la loi de Poisson de
paramètre 𝝀 ∈]𝟎, +∞[, ce que l’on note 𝑿 → 𝑷(𝝀), si
𝑿(𝛀) = ℕ, ∀𝒌 ∈ ℕ, ℙ[𝑿 = 𝒌] =
Espérance et Variance : 𝔼[𝑿] = 𝝀 et 𝑽(𝑿) = 𝝀
𝝀𝒌
𝒌!
𝒆−𝝀
Lois continues
Fonction de répartition
Définition :
1.
2.
3.
4.
5.
Loi normale générale 𝑵(𝝁, 𝝈)
Définition : 𝑋 → 𝑁(𝜇, 𝜎 2 ) si 𝑍 =
𝐹𝑋 (𝑥) = ℙ[𝑋 ≤ 𝑥] = ℙ[𝑋 < 𝑥]
Propriétés :
0 ≤ 𝐹𝑋 ≤ 1
𝐹𝑋 tend vers 0 en −∞ et vers 1 en +∞
𝐹𝑋 est croissante
𝐹𝑋 est continue à droite
ℙ[𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏] = 𝐹𝑋 (𝑏) − 𝐹𝑋 (𝑎)
Densité de probabilité
Densité : 𝑓(𝑥) =
𝑏
𝑎
3.
Propriétés :
∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑓(𝑥) ≥ 0
+∞
∫−∞ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1
√2𝜋𝜎
𝑒
𝜎
suit une loi normale centre réduite.
Espérance et Variance : 𝔼[𝑋] = 𝜇 et 𝑉(𝑋) = 𝜎²
Théorème
Cas discret : X et Y indé ssi
ℙ[𝑋 = 𝑥, 𝑌 = 𝑦] = ℙ[𝑋 = 𝑥]ℙ[𝑌 = 𝑦]
Cas continu : X et Y indé ssi
𝑓(𝑠, 𝑡) = 𝑓(𝑠)𝑓(𝑡)
Théorèmes limites
Loi des grands nombres
Soient 𝑋1 , … , 𝑋𝑛 des VAR indé, de même loi
𝜇 = 𝔼[𝑋1 ], ∀𝜖 > 0,
𝑋1 + ⋯ + 𝑋𝑛
ℙ (𝑎
− 𝜇 > 𝜖) →
0
𝑛→+∞
𝑛
Théorème central limite
ℙ[𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏] = ∫ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡
1.
2.
1
𝑋−𝜇
−(𝑥−𝜇)2
2𝜎2
𝐿
Soit (𝑌𝑛 )𝑛∈ℕ une suite de VAR et Y une VAR admettant une var. (𝑌𝑛 )𝑛∈ℕ → 𝑌
si en tt pt 𝑥0 , on a :
𝐹𝑌𝑛 (𝑥0 ) = ℙ[𝑌𝑛 ≤ 𝑥0 ] →
𝐹𝑌(𝑥0 ) = ℙ[𝑌 ≤ 𝑥0 ]
𝑏
𝑛→+∞
ℙ[𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏] = 𝐹𝑋 (𝑏) − 𝐹𝑋 (𝑎) = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
Si VA X a une densité f, alors ∀𝑎, 𝑃[𝑋 = 𝑎] = 0.
Paramètres d’une loi continue
Espérance :
Théorème (TCL)
Soient 𝑋1 , … , 𝑋𝑛 des VAR indé, de même loi, admettant une var. On note 𝜇 =
𝔼[𝑋1 ] et 𝜎 2 = 𝑉(𝑋1 ). Alors
𝑋1 + ⋯ + 𝑋𝑛 − 𝑛𝜇 𝐿
→ 𝑁(0,1) 𝑙𝑜𝑟𝑠𝑞𝑢𝑒 𝑛 → +∞
𝜎√𝑛
Approximation d’une loi binomiale
Approximation par une loi normale
𝔼[𝑋] = ∫ 𝑡𝑓(𝑡)𝑑𝑡
ℝ
Soit g(x) une fct quelconque :
On peut approcher la loi de la VAR
𝔼[𝑔(𝑋)] = ∫ 𝑔(𝑡)𝑓(𝑡)𝑑𝑡
ℝ
Variance :
𝑉(𝑋) = 𝔼[(𝑋 − 𝔼[𝑋])2 ] = ∫ (𝑡 − 𝔼[𝑋])2 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
ℝ
2
𝑌−𝑛𝑝
√𝑛𝑝(1−𝑝)
par une loi 𝑁(0,1) 
approcher la loi de 𝑌 par 𝑁(𝑛𝑝, 𝑛𝑝(1 − 𝑝)).
Pr que cette approx st bonne, il faut que la moy de la binomiale soit
suffisamment grde devant son écart-type, donc 𝑛𝑝 ≫ √𝑛𝑝(1 − 𝑝), donc
𝑛𝑝 ≫ 1 − 𝑝. Ds la pratique, on considère que l’approx est bonne lorsque 𝑛 ≥
30, 𝑛𝑝 ≥ 5 et 𝑛(1 − 𝑝) > 5. 𝑝 ne doit dc pas être trop proche de 0 ou de 1.
𝑉(𝑋) = 𝔼[𝑋 2 ] − (𝔼[𝑋])2 = ∫ 𝑡²𝑓′𝑡)𝑑𝑡 − (∫ 𝑡𝑓(𝑡)𝑑𝑡)
ℝ
•
•
•
ℝ
Propriétés :
𝑉(𝜆) = 0
𝑉(𝑋 + 𝜆) = 𝑉(𝑋)
𝑉(𝜆𝑋) = 𝜆²𝑉(𝑋)
Ecart-type :
Soit 𝑌𝑛 une VAR binomiale (n,p). On suppose que 𝑛 → +∞ et 𝑝 =
∀𝑘 ∈ ℕ,
lim ℙ[𝑌𝑛 = 𝑘] =
𝜎(𝑋) = √𝑉(𝑋)
𝑛→+∞
Quantile q :
𝑖
𝐹𝑋−1 ( ) , 𝑖 ∈ {1,2, … , 𝑞 − 1}
𝑞
Lois usuelles
Loi uniforme
𝑋 → 𝑈([𝑎, 𝑏]) si sur [a,b] :
1
𝑠𝑖 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]
0 𝑠𝑖𝑛𝑜𝑛.
𝑏+𝑎
(𝑏−𝑎)²
Espérance et Variance : 𝔼[𝑋] =
et 𝑉(𝑋) =
Densité : 𝑓(𝑥) = {𝑏−𝑎
2
12
0 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 𝑎
𝑠𝑖 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]
𝑥−𝑎
Fonction de répartition : 𝐹𝑋 (𝑥) = {𝑏−𝑎
1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 𝑏
Loi exponentielle
Définition : 𝜆 > 0, 𝑋 → E(λ)
−𝜆𝑥
𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0
Densité : 𝑓(𝑥) = 𝜆𝑒 −𝜆𝑥 1ℝ+ (𝑥) = {𝜆𝑒
0 𝑠𝑖𝑛𝑜𝑛
1
1
Espérance et Variance : 𝔼 = et 𝑉(𝑋) =
𝜆
𝜆²
Fonction de répartition :
𝑥
−𝜆𝑥
𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0
𝐹𝑋 (𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = {1 − 𝑒
0
𝑠𝑖𝑛𝑜𝑛
−∞
La loi exp est utilisée en fiabilité. 𝜆 rép le taux moyen de défaillance alors
1
que 𝜃 = est le temps moyen de bon fonctionnement.
𝜆
Loi normale
Loi normale centrée réduite (loi gaussienne) 𝑵(𝟎, 𝟏)
Définition : 𝑋 → 𝑁(0,1)
Densité : 𝑓(𝑥) =
Approximation par une loi de Poisson
Lorsque 𝑝 est très petit, 𝑝 < 0.1 et 𝑛 > 50.
1
√2𝜋
𝑥2
𝑒− 2
Fonction de répartition :
𝑥
𝐹𝑋 (𝑥) = ∫
1
𝑡2
𝑒 − 2 𝑑𝑡
−∞ √2𝜋
Espérance et Variance : 𝔼[𝑋] = 0 et 𝑉(𝑋) = 1
𝜆𝑘 −𝜆
𝑒
𝑘!
𝜆
𝑛
où 𝜆 > 0.