IPSA
AERO3 VH
MMC - Élasticité linéaire (Mé324)
Partiel
Pr. Walid LARBI
Madame Sarah Benakli
Durée : 2 heures
Documents autorisés – Calculatrice autorisée
Exercice 1
On considère une plaque carrée dans le plan (x, y) de dimensions L=H=1 m.
Cette plaque subit une déformation bi-axiale représentée sur la figure cidessous. On suppose bien entendu que a et b sont très faibles par rapport aux
dimensions de l’échantillon (la transformation étant très exagérée sur la figure).
1. Donner en fonction de a et b les déformations normales 𝜀!! et 𝜀""
2. En tout point M appartenant à la plaque et de cordonnées initiales (𝑥, 𝑦),
on définit le vecteur déplacement par 𝑢
(⃗(𝑥, 𝑦) = 𝑢! (𝑥, 𝑦)𝚤⃗ + 𝑢" (𝑥, 𝑦)𝚥⃗ . Trouver
𝑢! (𝑥, 𝑦) et 𝑢" (𝑥, 𝑦).
3. En supposant que le matériau constitutif de la plaque est isotrope défini
avec les deux coefficients de Lamé 𝜆 et 𝜇, trouver le tenseur des contraintes
𝜎2.
4. Tracer les cercles de Mohr dans le cas où a=b.
Déduire la contrainte de cisaillement maximale : 𝜏#$! .
Exercice 2
Nous avons testé trois solides déformables. Pour chaque solide, nous avons
trouvé les contraintes et les déformations suivantes en un point donné :
et
a) Solide 1 :
𝜎%% = 10,8 ; 𝜎&& = 3,4 ; 𝜎'' = 3,0 ; 𝜎%& = 𝜎%' = 𝜎&' = 0
𝜀%% = 10 ∙ 10() ; 𝜀&& = 2 ∙ 10() ; 𝜀'' = 2 ∙ 10() ; 𝜀%& = 𝜀%' = 𝜀&' = 0
b) Solide 2
𝜎%% = 10 ; 𝜎&& = 2 ; 𝜎'' = 2 ; 𝜎%& = 𝜎%' = 𝜎&' = 0
et
𝜀%% = 10 ∙ 10() ; 𝜀&& = 𝜀'' = 𝜀%& = 𝜀%' = 𝜀&' = 0
c) Solide 3
et
𝜎%% = 𝜎&& = 𝜎'' = 0 ; 𝜎%& = 𝜎%' = 𝜎&' = 10
𝜀%% = 𝜀&& = 𝜀'' = 0 ; 𝜀%& = 𝜀%' = 𝜀&' = 20 ∙ 10()
Question : Est-ce que le matériau constitutif de chaque solide testé est
isotrope ou non (réponse justifiée avec des calculs) ?
Exercice 3
Soit une roche isotrope dont les paramètres élastiques (module de Young et
coefficient de Poisson) sont : 𝐸 = 10%* Pa et 𝜈 = 0,25.
1. Compression uniaxiale :
On découpe dans cette roche un échantillon cylindrique de hauteur L=20 cm
et de rayon R=5 cm. On soumet cet échantillon à une compression uniaxiale
d’intensité 1MPa.
Donner la matrice du tenseur des contraintes dans le repère de votre choix.
Déterminer, en appliquant la loi de comportement, la variation de longueur et
la variation du rayon de l’échantillon.
Calculer la variation relative de volume subie par l’échantillon.
2. Cisaillement simple :
On découpe maintenant un échantillon de forme parallélépipède que l’on
soumet à un essai de cisaillement simple. On mesure l’angle de glissement 𝛼 =
0,0025 𝑟𝑎𝑑.
Donner la matrice du tenseur des déformations dans le repère de votre choix.
Déduire l’intensité de la contrainte de cisaillement appliquée à l’échantillon.
Quelle est la variation de volume.
3. Compression uniforme :
Soit maintenant une boule de rayon R=5 cm constituée par cette roche
soumise à une pression de confinement uniformément répartie p=1 GPa ;
Donner la matrice du tenseur des contraintes.
Que vaut le module de compressibilité ? En déduire la variation relative de
volume subie par la boule et la nouvelle valeur de son rayon.