Ecole Nationale Supérieure
d’Arts et Métiers- Meknès.
Première Année: 2020-2021
Chapitre 1: Fonctions usuelles
.
Pr.: Driss ZEGLAMI
1
Introduction
Dans ce chapitre I et J désignent des intervalles de R:
L’objet de ce chapitre est d’introduire les di¤érentes fonctions utilisées de manière usuelles en mathématiques, en physique et autres. Aux fonctions logarithme, exponentielle et trigonométriques connues
depuis le lycée s’ajouteront, les fonctions puissances ainsi que les réciproques des fonctions trigonométriques.
Nous introduirons aussi une nouvelle famille de fonctions : les fonctions hyperboliques (qui sont à
l’hyperbole équilatère ce que les fonctions trigonométriques sont au cercle unité) ainsi que leurs réciproques.
Les e¤orts que vous devrez fournir, pour tous les chapitres, sont importants : tout d’abord comprendre
le cours, ensuite connaître par cœur les dé…nitions, les théorèmes, les propositions... sans oublier de
travailler les exemples et les démonstrations, qui permettent de bien assimiler les notions nouvelles et les
mécanismes de raisonnement.
Nous utiliserons à plusieurs reprises dans ce chapitre des théorèmes classiques. Parmi lesquelles,
notons les trois suivants :
2
Théorèmes d’analyse
n
':E!E
Dé…nition 1 Soit E un ensemble. L’application
s’appelle application identité et se note
x 7! x
IdE ou simplement Id:
C’est la fonction qui met x en relation avec lui même. Cette fonction identité est importante parce
que l’on a les propriétés suivantes :
a) Id f = f Id = f pour toute fonction f : E ! E. Autrement dit la fonction identité se comporterait
comme l’élément neutre pour la loi de composition .
b) Soit f une fonction: La question que l’on peut se poser, est la suivante: existe-t-il une fonction g telle
que l’on ait f g = g f = Id. Ce type de fonction g peut exister (c’est le cas si f est bijective) et
c’est la fonction réciproque de f que l’on notera f 1 .
Theorème 2 (Théorème de la bijection)
Soit f : I ! R une application. On note J = f (I). On suppose que la fonction f est continue et
strictement monotone sur I. Alors:
la fonction f réalise une bijection de l’intervalle I sur l’intervalle J et sa bijection réciproque f
est une fonction continue et strictement monotone sur J (de même sens que f ).
1
Les courbes représentatives de f et f 1 ; dans un repère orthonormé, sont symétriques par rapport
à la droite d’équation y = x (la première bissectrice):
Pour tout x 2 I : f
1
et Pour tout x 2 J : f
f (x) = x; c-à-dire f
f
1
1
(x) = x; c-à-dire f
1
f = IdI ;
f
1
= IdJ :
Theorème 3 (Dérivation de la bijection réciproque) Soit f : I ! R. On suppose que :
I f est strictement monotone sur l’intervalle I.
I f est dérivable sur I.
I 8x 2 I : f 0 (x) 6= 0.
f
alors f réalise une bijection de l’intervalle I sur l’intervalle J = f (I) et son application réciproque,
est dérivable sur J et
1
0
pour tout x 2 J:
f 1 (x) = 0
f (f 1 (x))
1
Theorème 4 (Théorème de composition des fonctions dérivables) Soient f : I ! J et g : J ! R
deux fonctions dérivables. Alors g f est dérivable sur I et
(g f )0 (x) = g 0 (f (x))
3
f 0 (x) pour tout x 2 I:
Fonctions logarithmes, exponentielles et puissances
3.1 Fonctions logarithmes, exponentielles
Dé…nition 5 (Logarithme népérien)
On appelle logarithme népérien et on note ln l’unique primitive s’annulant en 1 de la fonction dé…nie
sur ]0; +1[ par x 7! x1 : On a donc
Z x
1
8x 2]0; +1[: ln(x) =
dt:
1 t
y=ln(x)
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
-1
Remarque 6 i) Il existe un nombre unique appelé nombre de Néper e ' 2; 71828 tel que ln(e) = 1.
L’existence du nombre de Néper est une conséquence du théorème des valeurs intermédiares et l’unicité
est une conséquence de la stricte monotonie de ln.
ii) Les résultats sur les limites (Proposition 8 ci-dessous sur les limites usuelles) liées à la fonction ln
sont également à connaître et à savoir redémontrer.
iii) Il sera utile quelques fois de connaître les logarithme de base 10 (en général pour des applications
en physique, chimie, économie, ou biologie), et donc plus généralement le logarithme de base a noté loga
(où a est un réel strictement positif) dé…nie par
loga (x) =
2
ln(x)
:
ln(a)
Proposition 7 (Exponentielle népérienne)
La fonction ln dé…nie une bijection de ]0; +1[ sur son image R (car elle est continue et strictement
croissante sur ]0; +1[). L’application réciproque est appelée fonction exponentielle népérienne et est notée
exp.
exp
R !]0; +1[
x 7! exp(x)
:
8x 2 ]0; +1[:
8x 2 R :
y=exp(x)
exp(ln(x)) = x
ln(exp(x)) = x:
10
8
6
4
2
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
x
Proposition 8 (Propriétés algébriques des fonctions logarithme (ln) et exponentielle (exp))
Pour tout a; b 2]0; +1[; x; y 2 R et n 2 Z :
a
ln b ; ln( ) = ln a ln b ; ln(an ) = n ln a:
b
1
exp(x)
exp(x + y) = exp(x) exp(y) ; exp( x) =
; exp(x y) =
;
exp(x)
exp(y)
exp(nx) = (exp(x))n :
1
ln(ab) = ln a + ln b ; ln( ) =
b
Les fonctions logarithmes transforment les produits en sommes tandis que la fonction exp transforme une
somme en un produit.
Remarque 9 Si on prend x = 1 dans la formule exp(nx) = (exp(x))n , il vient exp(n) = (exp(1))n = en .
on conviendra de noter pour tout x 2 R; exp(x) = ex .
Proposition 10 Limites usuelles
ln(x)
ln(x + 1)
= 0 ; lim+ x ln(x) = 0 ; lim
=1
x!0
x!+1
x!0
x
x
exp(x) 1
exp(x)
lim
= +1 ;
lim x exp(x) = 0 ; lim
= 1:
x!+1
x! 1
x!0
x
x
lim
Inégalité de convexité
8x 2 ] 1; +1[: ln(1 + x)
8x 2 R : exp(x) 1 + x:
x;
Remarque 11 Comme conséquences directes du théorème de composition des fonctions dérivables, il
vient:
3
i) Si u : I ! R+ est une fonction dérivable alors la fonction x 7! ln(u(x)) est dérivable sur I de
dérivée:
u0 (x)
:
pour tout x 2 I; (ln u)0 (x) =
u(x)
ii) Si u : I ! R est une fonction dérivable alors la fonction x 7! exp(u(x)) est dérivable sur I de
dérivée:
pour tout x 2 I; (exp u)0 (x) = u0 (x) exp(u(x)):
3.2 Fonctions puissances
La fonction puissance quelconque (ou fonction puissance “non entière”) est dé…nie de la façon suivante:
Dé…nition 12 Soit
par:
2 R. On appelle fonction puissance d’exposant
' :
]0; +1[! R
x 7! x = exp( ln x)
Remarque 13 Pour tout n 2 N et x 2 R+
x
n
la fonction dé…nie sur ]0; +1[
Dé…nition classique
Nouvelle dé…nition
.
&
= x
|
x {z
n facteurs
x}
xn = exp(n ln x)
Notre nouvelle notion de puissance est bien une généralisation de la notion classique et les propriétés
algébriques des fonctions puissances de la dé…nition classique sont aussi valable pour notre nouvelle dé…nition.
Theorème 14 Soit
2 R.
i) La fonction x 7! x est dé…nie et dérivable sur R+ . Sa dérivée est la fonction x 7! x
1
.
ii) Si 6= 0, la fonction x 7! x réalise une bijection de R+ sur R+ . Sa réciproque est la fonction
1
x 7! x :
Preuve. i) Utiliser la dé…nition x = exp( ln x):
1
ii) Calculer les composées f f 1 et f 1 f où f (x) = x et f 1 (x) = x :
p
p
1
Remarque 15 i) Pour tout n 2 N la fonction x 7! x n est généralement notée n : x 7! n x et est
appelée fonction racine neme . En vertu du Théorème précédent, elle est la réciproque de la fonction x 7! xn
sur R+ .
p p p
ne sont pas dérivables sur R+ mais seulement sur R+ .
ii) Les fonctions :; 3 :; 4 :;
iii) Retenez bien la séparation des cas [0; 1] et [1; +1[:
8x 2 ]0; 1]; 8 ; 2 R :
8x 2 [1; +1[; 8 ; 2 R :
)x
x ;
)x
x :
(Utiliser l’écriture x = exp( ln x))
Proposition 16 Comparaison des fonctions logarithmes, puissances et exponentielles
Pour tout ; ; > 0 :
(ln x)
= 0 ;
lim x jln xj = 0;
x!+1
x!0+
x
e x
lim
= +1 ;
lim jxj e x = 0;
x!+1 x
x! 1
Principe général: la fonction exp est plus puissante que les puissances, qui sont elles même plus
puissantes que le logarithme.
lim
4
Preuve. La preuve est laissée en exercice.
Exercice 17 Montrer que :
8x >
x et en déduire que :
1; ln(1 + x)
8n > 1; (1 +
1 n
)
n
e
(1
1
)
n
n
Exercice 18 Résoudre les équations suivantes après avoir déterminé leur domaine de validité :
x
log3 x log2 x = 1.
+
+ 2x+n = 3x + 3x+1 +
x+1
2 +2
+ 3x+n où n 2 N:
Exercice 19 Soit un entier n > 1 . On considère l’équation
n
xx = n:
Montrer qu’il existe une unique solution à cette équation puis déterminer cette unique solution.
4
Fonctions circulaires réciproques
La fonction sin : R ! R (resp. cos : R ! R) n’est évidemment pas bijective, l’idée est de restreindre
l’ensemble de départ et celui d’arrivée de telle sorte qu’elle le soit.
4.1 Fonction Arcsinus
La fonction sinus que l’on note sin : R ! R n’est évidemment pas bijective (voir la courbe ci-dessous de
sin):
il faut donc restreindre l’ensemble de départ et celui d’arrivée de telle sorte qu’elle le soit.
Intuitivement on va donc restreindre l’ensemble de départ où la fonction sin est strictement monotone.
Il est donc naturel de choisir la fonction sinus dé…nie par : sin : [ 2 ; 2 ] ! [ 1; 1]:
Dé…nition 20 La fonction sinus est continue et strictement croissante sur [ 2 ; 2 ]: Alors elle présente
une bijection de [ 2 ; 2 ] sur [ 1; 1]. On appelle fonction arcsinus sa fonction réciproque notée arcsin : On
a alors
arcsin
:
[ 1; 1] ! [
; ]
2 2
x 7! arcsin(x):
Conséquences de la dé…nition:
8x 2 [
; ]; y 2 [ 1; 1] :
2 2
sin x = y , arcsin y = x;
ainsi on obtient
x
arcsin x
1
1
2
2
6
5
0
0
1
2
6
p
p
4
3
2
2
3
2
1
2
y=arcsin(x)
2
1
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
-1
-2
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé la courbe représentative de la fonction Arcsinus est la
courbe symétrique par rapport à la première bissectrice de la courbe représentative de la restriction de
sinus à l’intervalle [ 2 ; 2 ].
Proposition 21 i) La fonction arcsin est dé…nie, continue et strictement croissante sur [ 1; 1]: De plus
elle est impaire.
ii) 8 x 2 [ 1; 1] : sin(arcsin x) = x et 8 x 2 [ 2 ; 2 ] : arcsin(sin x) = x:
p
iii) 8 x 2 [ 1; 1] : cos(arcsin x) = 1 x2 et tan(arcsin x) = p1x x2 :
iv) La fonction arcsin est dérivable sur ]
1; 1[ et pour tout x 2]
arcsin0 (x) = p
(La fonction arcsin n’est dérivable ni en
1
x2
1
1; 1[:
:
1+ ni en 1 .)
Preuve. i) résulte de la dé…ntion de arcsin et du Théorème de la bjection (ci-dessus). Montrons que
arcsin est impaire: soit x 2 [ 1; 1]
arcsin( x) = y ,
x = sin(y) , x =
sin(y) , x = sin( y) ,
y = arcsin(x):
Alors arcsin( x) = arcsin(x) pour tout x 2 [ 1; 1].
ii) est une conséquence du fait que f
1
f = IdI et f
f
1
= IdJ pour toute bijection f : I ! J:
iii) Pour tout x 2 [ 1; 1] :
sin2 (arcsin x) + cos2 (arcsin x) = 1 , cos2 (arcsin x) = 1
6
x2 :
La fonction cos est positive sur [
0: D’où
2
; 2 ] et pour tout x 2 [ 1; 1] : arcsin x 2 [
p
8 x 2 [ 1; 1] : cos(arcsin x) = 1
x
sin(arcsin x)
=p
tan(arcsin x) =
:
cos(arcsin x)
1 x2
2
; 2 ] donc cos(arcsin x)
x2 et par conséquent
iv) En appliquant le théorème de dérivation de la bijection réciproque: arcsin est dérivable sur J =
sin(] 2 ; 2 [) =] 1; 1[. Pour tout x 2] 1; 1[, on a
arcsin0 (x) =
1
1
1
:
=
=p
sin (arcsin x)
cos(arcsin x)
1 x2
0
4.2 Fonction Arccosinus
Dé…nition 22 La fonction cosinus est une bijection de [0; ] sur [ 1; 1]. Sa bijection réciproque est
appelée fonction arccosinus et est notée arccos : On a alors
arccos : [ 1; 1] ! [0; ]
x 7! arccos(x):
Ainsi, 8x 2 [0; ]; y 2 [ 1; 1] :
suivant
cos x = y , arccos y = x; ainsi à l’aide du cercle trigonométrique
on obtient
x
arccos x
p
p
1
5
6
3
2
2
2
5
6
2
3
1
2
0
1
2
2
3
p
p
4
6
2
2
3
2
1
0
Du tableau ci-dessus on constate que arccos n’est ni paire ni impaire.
Remarque 23 Pour tout t 2 R : cos(
x 2 [ 1; 1]:
cos t. Alors arccos( x) =
t) =
arccos(x) pour tout
y=arccos(x)
3
2
1
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
7
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé la courbe représentative de la fonction Arccosinus est la
courbe symétrique par rapport à la première bissectrice de la courbe représentative de la restriction de
cosinus à l’intervalle [0; ].
Proposition 24 i) La fonction arccos est dé…nie, continue et strictement décroissante sur [ 1; 1]:
ii) 8 x 2 [ 1; 1] : cos(arccos x) = x et 8 x 2 [0; ] : arccos(cos x) = x:
p
p
2
iii) 8 x 2 [ 1; 1] : sin(arccos x) = 1 x2 et tan(arccos x) = 1x x :
iv) La fonction arcsin est dérivable sur ]
1; 1[ et pour tout x 2]
arccos0 (x) = p
1
x2
1
1; 1[:
:
Preuve. i) résulte de la dé…ntion de arcsin et du Théorème de la bjection (ci-dessus):
1
ii) est une conséquence du fait que f
f = IdI et f
f
1
= IdJ pour toute bijection f : I ! J:
iii) Pour tout x 2 [ 1; 1] :
sin2 (arccos x) + cos2 (arccos x) = 1 , sin2 (arccos x) = 1
x2 :
La fonction sin est positive sur [0; ] et pour tout x 2 [ 1; 1] : arccos x 2 [0; ] donc sin(arccos x)
0: D’où
p
8 x 2 [ 1; 1] : sin(arccos x) = 1 x2 et par conséquent
p
sin(arccos x)
1 x2
tan(arccos x) =
=
:
cos(arccos x)
x
iv) En appliquant le théorème de dérivation de la bijection réciproque arcsin est dérivable sur J =
cos(]0; [) =] 1; 1[. Pour tout y 2 J, on a
arccos0 (x) =
1
=
cos0 (arccos x)
1
1
=p
:
sin(arccos x)
1 x2
Proposition 25 Pour tout x 2 [ 1; 1] :
arcsin(x) + arccos(x) =
:
2
arccos(x) + arccos( x) = :
La première identité signi…e que les graphes des fonctions arcsinus et arccosinus sont symétriques par
rapport à la droite d’équation y = 4 :
8
Preuve. La preuve est laissée en exercice. Il su¢ t de dériver ou bien d’utiliser les dé…nitions des fonctions
arcsin et arccos :
Exercice 26 1) Simpli…er les expressions arcsin(sin( 173 ) ; arcsin(sin( 23 )) et arccos( 645 ):
2) Résoudre l’équation arccos 45 + arccos 18 = arccos x
3) Soit f (x) = arcsin(x2
1). Déterminer Df ; Df 0 et calculer f 0 (x) quand c’est possible.
4) Véri…er que 2 arccos 34 = arccos 81 :
5) Tracer le graphe de la fonction f (x) = arcsin(sin(jxj)):
4.3 Fonction Arctangente
La fonction tan est dé…nie et dérivable (donc continue) sur D = R r
x 2 D : tan0 x = 1 + tan2 x > 0:
Dé…nition 27 La fonction tangente est une bijection de ]
fonction arctangente et est notée arctan :
2
2
+k jk 2Z
et pour tout
; 2 [ sur R: Sa bijection réciproque est appelée
arctan : R !] 2 ; 2 [
;
x 7! arctan(x)
8x 2]
2
; 2 [; y 2 R : tan x = y , arctan y = x:
p
x
arctan x
3
1
3
4
0
0
p1
3
1
p
6
4
3
3
Proposition 28 i) La fonction arctan est dé…nie, continue et strictement croissante sur R: De plus elle
est impaire.
ii) 8 x 2 R : tan(arctan x) = x et 8 x 2]
iii) 8 x 2 R : cos(arctan x) =
p 1
1+x2
2
; 2 [: arctan(tan x) = x:
et sin(arctan x) =
p x
:
1+x2
iv) La fonction arctan est dérivable sur R et pour tout x 2 R :
arctan0 (x) =
9
1
:
1 + x2
Preuve. i) et ii) voir les preuves des Propositions précédentes.
iii) Si on remplace t par arctan x dans l’identité: 1 + tan2 t =
1 + x2 =
d’où le résultat.
iv) La fonction tan est dérivable sur ]
arctan est dérivable sur R et
arctan0 x =
2
1
cos2 (arctan x)
1
;
cos2 t
on trouve
;
; 2 [ et pour tout x 2]
2
; 2 [: tan0 x = 1 + tan2 x 6= 0 alors
1
1
1
=
=
:
2
tan (arctan x)
1 + tan (arctan x)
1 + x2
0
Proposition 29 Pour tout x 2 R :
arctan x + arctan
1
=
x
2
2
si x > 0
si x < 0 :
Preuve. La preuve est laissée en exercice. Il su¢ t, là encore, de dériver.
Exercice 30 1) Résoudre l’équation arctan(2x) + arctan(3x) = 4 :
2) Résoudre l’équation arcsin x = 2 arctan x
5
Fonctions hyperboliques - Fonctions hyperboliques
réciproques
Tout comme les fonctions cosinus et sinus permettent de paramétriser le cercle unité, les fonctions ch et
sh donnent une paramétrisation de l’hyperbole équilatère de sommets (1; 0) et ( 1; 0).
5.1 Fonctions hyperboliques
Dé…nition 31 Sinus, Cosinus et Tangente hyperboliques
Les fonctions sinus hyperbolique sh , cosinus hyperbolique ch et tangente hyperbolique th sont dé…nies
sur R par
ex + e x
ex e x
shx
ex e x
ch(x) =
;
sh(x) =
et th(x) =
= x
:
2
2
chx
e +e x
Remarque 32 i) Les fonctions sinus hyperbolique , cosinus hyperbolique et tangente hyperbolique seront
notées parfois sinh; cosh et tanh; respectivement.
ii) La fonction ch est paire et les fonctions sh et th sont impaires.
iii) Toute fonction f : I ! R se décompose de manière unique en la somme d’une fonction paire g et
d’une fonction impaire h.
8x 2 I : f (x) = g(x) + h(x) =
La fonction x 7!
de f .
f (x)+f ( x)
2
f (x) + f ( x) f (x) f ( x)
+
:
2
2
est la partie paire de f et la fonction x 7!
f (x)+f ( x)
2
est la partie impaire
Ainsi les fonctions cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique sont respectivement la partie paire et la
partie impaire de la fonction exponentielle.
10
Proposition 33 Pour tout x 2 R:
chx + shx = ex
, chx
shx = e
x
, ch2 x
sh2 x = 1:
Preuve. La troixième formule résulte du produit des deux autres.
Le formulaire de trigonométrie hyperbolique ressemble fort au formulaire de trigonométrie classique.
Donnons à titre d’exemples les formules suivantes.
Proposition 34 (Formulaire de trigonométrie hyperbolique). Pour tout x; y 2 R:
1
ch2 x
thx + thy
th(x + y) =
1 + thxthy
thx thy
th(x y) =
1 thxthy
ch(x + y) = chxchy + shxshy
ch(x
y) = chxchy
shxshy
sh(x + y) = shxchy + chxshy
sh(x
y) = shxchy
th2 x =
1
chyshx:
5.2 Fonctions hyperboliques inverses
Proposition 35 Les fonctions ch et sh sont dérivables sur R et pour tout x 2 R:
ch0 x = shx
;
sh0 x = chx > 0 ;
th0 x =
1
=1
ch2 x
th2 x > 0:
De la dernière Proposition, il vient
i) les fonctions sh et th sont strictement croissante sur R.
ii) La fonction ch est strictement croissante sur R+ et strictement décroissante sur R (voir tableau ci
dessous)
Courbe de la fonction x 7! ch(x):
y=ch(x)
6
4
2
-4
-2
0
11
2
4
x
Courbe de la fonction x 7! sh(x):
y=sh(x)
6
4
2
-4
-2
2
-2
4
x
-4
-6
Dans le même repère voici les courbes des deux fonctions ch et sh
Courbe de la fonction x 7! th(x):
y=th(x)
1.0
0.5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
-0.5
-1.0
L’étude précédente justi…e les dé…nitions suivantes
Dé…nition 36 i) La fonction sinus hyperbolique dé…nie une bijection de R sur son image R. Son application réciproque est appelée fonction argument sinus hyperbolique et notée argsh.
ii) La fonction cosinus hyperbolique, restreinte à R+ , dé…nie une bijection de R+ sur son image [1; +1[.
Son application réciproque est appelée argument cosinus hyperbolique et est notée argch.
iii) La fonction tangente hyperbolique dé…nie une bijection de R sur son image ]
réciproque est appelée Argument tangente hyperbolique et est notée argth.
argsh : R ! R
x 7! argsh(x)
;
argch : [1; +1[! R+
x 7! argch(x)
argth :] 1; 1[! R
:
x 7! argth(x)
12
;
1; 1[. L’application
La proposition suivante détermine le lien entre chacune des fonctions argsh; argch et argth et la
fonction ln :
Proposition 37 Expessions logarithmiques.
p
i) Pour tout x 2 R : argsh(x) = ln(x + x2 + 1):
p
ii) Pour tout x 2 [1; +1[: argch(x) = ln(x + x2
iii) Pour tout x 2]
1):
):
1; 1[ : argth(x) = 12 ln( 1+x
1 x
Preuve. ii) Soit x 2 R.
ey + e y
= x , e2y 2xey + 1 = 0
2
On résout l’équation e2y 2xey +1 = 0 ; y 1: En posant T = ey , on se ramène à T 2 2xT +1 = 0; T
qui a comme racines:
p
p
T1 = x + x2 1 et T2 = x
x2 1;
dont une seule est supérieure ou égale à 1. Donc
p
argch(x) = y = ln(T1 ) = ln(x + x2 1):
argch(x) = y () ch(y) = x ,
0,
On procède de la même manière pour (i) et (iii).
Proposition 38 Pour tout x 2 R
8x 2 R :
ch(argsh(x)) =
8x 2 [1; +1[: sh(argch(x)) =
p
x2 + 1
p
x2
1
x
th(argsh(x)) = p
;
x2 + 1
p
x2 1
th(argch(x)) =
:
x
et
et
Preuve. La preuve est laissée en exercice. Il su¢ t, là d’appliquer la formule ch2 (t) sh2 (t) = 1 pour
tout t 2 R et de remarquer que les fonctions ch et sh sont positives, respectivement, sur R et [1; +1[.
Proposition 39 i) La fonction argsh est dérivable sur R et
8x 2 R : argsh0 (x) = p
1
x2
+1
:
ii) La fonction argch est dérivable sur ]1; +1[ et
8x 2]1; +1[: argch0 (x) = p
iii) La fonction argth est dérivable sur ]
8x 2]
1
x2
1
:
1; 1[ et
1; 1[ : argth0 (x) =
1
1
x2
:
Preuve. Il su¢ t d’appliquer le théorème de dérivation de la fonction réciproque et du Proposition 31.
Remarque 40 En utilisant les relations d’Euler:
cos x =
Il vient, pour tout x 2 R :
eix + e
2
ix
et
sin =
eix
cosh(ix) = cos(x)
sinh(ix) = i sin(x)
tanh(ix) = i tan(x):
13
e
2i
ix