Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
О. В. Бесов, Интерполяция пространств дифференцируемых функций на
области, Труды МИАН, 1997, том 214, 59–82
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement
Параметры загрузки:
IP: 95.214.210.185
24 января 2024 г., 06:40:16
ТРУДЫ
УДК
МАТЕМАТИЧЕСКОГО
ИНСТИТУТА
ИМ. В.А. СТЕКЛОВА,
1997, т. 214, с.
59-82
517.518.23
Интерполяция пространств дифференцируемых
функций на области
1
© 1 9 9 7 г. О. В . Бесов
П о с т у п и л о в январе 1996 г.
В работе устанавливаются интерполяционные теоремы для пространств дифференцируе­
мых функций многих действительных переменных B* (G),
q
s
L (G),
определенных на откры­
vq
п
том множестве G n-мерного евклидова пространства Ш и обладающих анизотропной глад­
п
костью с показателем s = ( $ i , . . . , s ) £ ( 0 , о о ) в метрике L (G),
n
1 < p , q < oo. Рассматри­
P
вается лишь случай согласованности геометрических свойств множества G с анизотропией
гладкости. Так, например, изотропные пространства ($i = . . . = s ) изучаются на открытом
n
множестве G со свойством гибкого конуса. Интерполяционные теоремы для рассматриваемых
п
пространств в случае G = Ш хорошо известны (см. [1-4]).
Мурамату [5] изучил интерполяцию пространств B (G),
pq
s
L {G)
в изотропном случае для
v2
области G с условием конуса и некоторыми дополнительными требованиями, влекущими, в
частности, существование линейного ограниченного оператора продолжения этих пространств
п
соответственно до Вр (Ш ),
П
д
2
(М ).
С помощью такого оператора продолжения интерполя­
П
п
ция пространств функций, определенных на G С М , может быть сведена к случаю G = Е .
В работах [6,7] нами получены интерполяционные теоремы для изотропных и анизотроп­
ных пространств B* (G),
q
L £ ( G ) , определенных на открытом множестве G с соответству­
g
ющим так называемым усиленным условием Л-рога (в изотропном случае — с усиленным
свойством конуса).
В работе [8] с помощью построения ретракции и коретракции вопрос интерполяции рассма­
триваемых здесь пространств для открытого множества G с условием гибкого Л-рога сведен
к вопросу интерполяции более простых весовых пространств последовательностей многочле­
нов. Этот последний, однако, без дополнительных требований на множество G пока остается
открытым.
Здесь изложено решение вопроса об интерполяции (анизотропных) пространств функций
B* (G),
q
s
L (G)
pq
для открытого множества G с условием гибкого Л-рога (в изотропном случае
— гибкого конуса) и с некоторыми дополнительными требованиями "плавности" изменения
гибкого Л-рога (гибкого конуса) при сдвиге вершины.
1.
ОБОЗНАЧЕНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
п
N — множество натуральных чисел, No = N U {0}, n G N, Ш — n-мерное евклидово
1
n
x e%
пространство со стандартным базисом { е , . . . , e } , x = (a?i,..., х ) = Yli i
п
1
=
x
( i)i ^ —
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект
96-01-00243).
59
60
БЕСОВ
я
л
= ( A i , . . . , A ) e ( 0 , о о ) , |Л| = E i г . f = ( f i ) . При x,y G К", t > 0 xy = (x ),
n
V> = (*«),
iyi
x
A
|ж|л = max \xi\ i,
n
п
\x + y | < с | х | + с |у|л, где c = m a x 2 i . При х,у € M , а € М (или
A
л
л
л
x
1
l<t<n
п
1< <
1
1
n
а G M ), h G К , E , G c M , m, m, G N, t > 0 положим x ± а £ = {y: y = x ± az, z G
I
m
i
k
- ДГ(Л)/(«) = E(- rA?{h,
1
+ khe%
ky
£ ) / ( * ) = Д^(Л)/(х)
Д ? (h, E)f(x)
n
_ f(*
kl{m
= 0
при [ж, ж + mhj] С £ ,
при [ж, x + ra/ie*] £ £ ,
n
x
x
Qo = [ - 1 , l ] , х о : R - > { 0 , 1 } — индикатор Q , G(t ) = {х:х + t Q
0
С G},
0
ДГ(Л,С,Л)/(ж) = Д^(Л,С(|Л|^))/(»),
1
Д > - (Л, G, А)/(х) = У
* I Д Г («Л, G, Л ) / ( х ) | du,
-1
1
[t]i = min{£, 1}, L (G) — лебегово пространство функций f:G -¥ Ш с нормой | | / | L ( G ) | | =
P
P
= ll/lko.= (/ l/(*)l
p
1 < p < oo, ||/|Loo(G)|| - 11/Hoo.o = e s s s u p | / | , | | / | | = ||/|L„|| =
G
p
= l№,(R")||.
n
Определение 1. При Л G ( 0 , o o ) открытое множество G c i
n
называется множеством
со свойством гибкого Л-рога (гибкого конуса при Х\ = . . . = Л ), если при некоторых So G (0,1],
п
Со, T G (0, оо) для любого x eG существует путь
x
p(t )
x
x
= ( {t *),...,p (t »))
Pl
= p{t\x),
n
0 <t
<Т,
со свойствами:
Л
a) для всех i G { l , . . . , n } Pi(u) абсолютно непрерывны на [0,Т *], |/>((^)| < Со для почти
Л
всех и G [0,Т «];
x
b ) р(0) = 0, x +
x
U [p(t\ х) + t 5 Q ]
0
С G.
0<t<T
Определение 2. Пусть 0 / J с N , ш = ( r a i , . . . , r a ) G NQ. Открытое множество G
n
со свойством гибкого Л-рога (и гибкого конуса при \
т
г
= . =
Л ) называется множеством
п
т
со свойством С - г и б к о г о Л-рога (и свойством С -гибкого конуса при Л1 = . . . = Л ) , если
существует такое покрытие {G^}j^j
множества G открытыми множествами, для которого
выполнены следующие условия:
п
e
c) \JG(iï = \JGÜ* ) = G при некотором s > 0, где
j
з
G^
= {х:хе G^\ {x + sQo) П (ÔG^ \dG) = 0};
ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 1997, т. 214
ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ПРОСТРАНСТВ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИИ НА ОБЛАСТИ
d) существует постоянная С
такая, что для каждого j G J можно для каждого x G G ^
т
x
X x
выбрать такой путь p(t ,x)
= p{t , ,j),
удовлетворяющий условиям а), Ь), что
-J^Û р\, как функции (t, х), непрерывны на (О, T] x G^
n
61
x
p{t ,x,j)j
при v — О , . . . , га*, г, к = 1 , . . . , га, и
m*
г,/с=1 i/=0
A?
2
т
Приведем пример области G С M со свойством С -гибкого конуса, используя комплексные
переменные:
10
2
G = {z: z = r e , e~ * < г <
0 < 0 < oo}.
Покажем, что G удовлетворяет требованиям определений 1, 2. Для точки zo = хо + гуо =
1
= re**° G G с Qo € (1,оо) в качестве пути р из определения 1 возьмем кривую z = е^*" ^,
гв
О < в\ < в < 0 , сдвинутую на е~~ °. Точнее говоря, возьмем путь
О
p{t,z )
0
= С(Мо) - С(<Мо) = e ^ W M o ) _ (1-0Ь«о
Е
о < t < Т,
|
где Т > 0 достаточно мало, t = е~ °, С(Мо) = ( -*')' ч(«.*о) ^(^,f0) = t 0 rç(£), »? € С°°([0, оо]),
в
1
0
п
е
>
г/ > 0, »7(£) = 1 при 0 < t < 5, »/(£) = £ при t > 2. При этом
e
df --
--*>•
0
два
дх
- ^ - а м о ) ^ - ! ) ^ ^
-yo
xl + yl'
0
д0
ду
0
0
x
г,
а>о + Уо'
0
2
^
2
|*о| = | х | + M
t,
0
« t\
2
0
Заметив, что
1
di,{t,tp)
ij(Mo)
ôt
_4(i)-r/(j)i;
=
t y(±)
0
0
1
ti/tt)
t
tln{±)
0
1
обращается в нуль при t > 2to и оценивается величиной C^Q , легко убеждаемся, что p(t,zo)
и
2
Pt(*»*o) удовлетворяют оценкам из определения 2 при любом m G N .
Заметим, что для покрытия {G^}j^j
жение единицы {<fj}jeJi
<PjiG
открытыми множествами G^
существует разло­
подчиненное этому покрытию, точнее говоря, множество функций
1
R со свойствами:
1°. О < <pj < 1 на G,
3°. YljeJ Vi =
2°. <pj(x) = О
4°. \D <pj(x)\
на G \ G<*f ),
a
1
н а
< C
< 00
a
G
>
на G ( | a | > 0)
при некоторых G .
a
Такое разложение единицы можно построить следующим образом. Пусть \ji
дикаторы соответственно множеств G^\
fudx
£)
e
G^' \
= 1, ф,(х) = Xj(s)(o> * Xj )(^)> VjOO =
n
—
и н _
и G Go°(IR ), suppu; С { x : | x | < e } , и > 0,
х :
х
ФЛ ) ИкЫ )'
ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 1997, т. 214
62
БЕСОВ
n
Определение S. Пусть s = (s ...,s )
u
mi G N, m > s , ' = ^ , G C M
n
n
G (0,oo) , £ =
n
Л G ( 0 , o o ) , |Л| = n,
— открытое множество со свойством гибкого Л-рога, 0 < h < 1.
t
0
s
Пространствами B^ (G)
(1 < p,q < оо), L (G)
q
(1 <
pq
< оо) называются банаховы
пространства локально суммируемых на G функций с нормами соответственно
ll/I^^INII/IM^II + è l / l l A r ^ ^ A ) / ! ! ^ - ^ ^ }
5
(1.1)
i=l о
(при q = оо вместо Lç-нормы по мере ^ берется Х^-норма),
?
11/1^, (С)|| = | | / | М С ) | | + е | | { / [ А Г Ч Л , С , Л ) / ] ' х ^ ' ^ } | | .
9
1=1
(1.2)
р
о
Пространством B +£(G) назовем замыкание в B (G)
удовлетворяющих условию
p
множества функций / G
poo
B (G),
pQO
n
Д
Y, I I Г
i'=i
л
h
S%
G, )/11Р ~
-*
Можно показать, что пространство B +£(G)
p
0
при /i -» 0 + 0.
совпадает с замыканием по норме
множества финитных функций из G°°(G, loc) П B {G)
pQO
Пространства H (G) = B {G)
p
ства B (G)
pq
poo
s
s
L {G)
vq
V s > s.
носят название пространств Соболева-Лиу­
v2
n
— пространств Лизоркина-Трибеля. При s G N пространство
pq
p2
poo
были введены и изучались С М . Никольским, простран­
— автором. Пространства L {G)
вилля, а пространства L (G)
L {G)
B (G)
совпадает с пространством Соболева W (G). Эквивалентные нормировки пространств
p
приведены в [7].
Нормы (1.1) при различных ho,rrii эквивалентны, то же верно для нормы (1.2). Будем
считать, что h достаточно мало (0 < h = hois,
0
2.
m
n <M < ! ) •
0
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ЧЕРЕЗ РАЗНОСТИ
Приведем сначала интегральное представление функции через разности по гибкому Л-рогу,
являющееся некоторой модификацией представления из [9]. Оно будет использовано затем для
построения интегрального представления функции через разности для открытого множества
G с га-свойством гибкого Л-рога. Приведем необходимые обозначения и пояснения. Пусть
1
г, га G M ,
г
г)еС?(т ),
7 G (0,1),
пи en,
suppr/C ( - 7 , 7 ) ,
Jv(u)du=l
1
C K n ) = (и + т )т1(и),
г
ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 1997, т . 214
ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ПРОСТРАНСТВ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИИ НА ОБЛАСТИ
х{ выбрано из условия jUi{u,T)du
x
Л-рога, <Jo, p(t ,x)
63
= 1 Vr, G — открытое множество со свойством гибкого
взяты из определения 1. Положим
n
t=i
m
причем параметр 7 = "/{So,X,J2 i)
€ (0,1) взят достаточно малым. При к 6 No, достаточно
x
0
малом b — 1 > 0, х(°) € G и взятом из определения 1 p(t ,x( ))
Щу,
*
( 0 )
) = И
А |
кХ
кХ
и(-Ь у,
кХ
\Ь р(Ь~ ,
введем ядра усреднений:
ж(°))),
(2.1)
(
^*
0
)
) = <Ы-,х(°)) *«*(-, х(°))
(при вычислении свертки х(°) считается параметром).
Пусть / € L(G, 1ос), /о = / на G, /о = 0 вне G,
Л-*А(*,*<°>) =
.П*(-,*<°>) * / о ] ( х ) .
(2.2)
"Четырехкратное" усреднение (2.2) аналогично "двукратному" усреднению из [9]. В силу того
что fb-k\(x,ж(°))
-> / ( х ) при к -> оо для почти всех ж 6 G и в смысле L(G, 1ос), получаем
представление / ( ж ) для почти каждого a: G G в виде суммы ряда
оо
fix) = /i(* *<°>) + £(/Ь-*А(*,*(°)) - f - - (x,xM)).
f
(2.3)
b {k 1)x
*=1
Будем считать, что х^ находится в достаточно малой окрестности точки ж.
Положим fî_i = 0, fijj" = Qk + Qk-i- Тогда
Л(х,х(°)) = (По(-,х(°)) * По(.,х(°)) * / ) ( х ) = (П^(-,х<°)) *
0
* / )(х),
0
(2-4)
( 0 )
(0)
Л-.л(*,х(°)) - Д - < » - . ) Ф , * ) = [Of ( - , * ) */( (-,x(»))](x),
fc)
где
/
(fe)
( x , x ( ° ) ) = Ш-,хЮ)
-
(0)
fiw(-,i )]
* /о)(х).
(2.5)
В силу финитности Çîk и положения suppft* правая часть (2.4) зависит на самом деле не
о
т
/(*)(*>#^)
и
з
(2.5), а от сужения / ( * ) ( - , х ^ ) на некоторое множество Ек = Ек(х,х(°)).
этом множестве Ек (как показано в [9]) справедливо равенство
fc-fc
1
1
- М" -оо
ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 1997, т. 214
На
64
БЕСОВ
(
Х
С«(^7
0>)
-*У '
\
x(0)
^
A
)) T'(^G,
\)f(x
+ у) dudydt.
(2.6)
Подставляя (2.6) в (2.4) и затем (2.4) и (2.2) в (2.3), получаем представление / ( х ) в виде
суммы ряда из сверток, зависящих от х(°) как от параметра. Выберем в этом представлении
значение х(°) = х.
т
Пусть теперь G = (J G^
— открытое множество со свойством С - г и б к о г о Л-рога,
x
p(t , x,j) взяты из определения 2,
— разложение единицы, подчиненное покрытию { G ^ } .
Конкретизируем описанное представление, считая x G G^\
0
fifc(x,x( ))
G^\
будем писать при этом соответственно
x
p(t ,xW)
x
= p(t , x(°\ j).
Вместо
Q (x,x(°\j).
k
Пусть j G J, к G N. Положим при x € G, x(°) G G ^
(5/)o(x,x(°),i) = ( ^ ( . , x ( ° ) , i ) * / o ) ( x ) ,
ь-к
хС«(^7 - ^
Доопределив (Sf) (xj
( t A
^
0 ) , j )
«-in« щ
'i^H^'^
( 0 )
, i ) ) A r ( ^ , ^ A ) / ( a : + j ) ^rft/^.
/
х(°), j) = 0 при x G G, х(°) G G\G^\
k
(2.7)
(2.8)
положим
$ / ( * , * < ° \ i ) = {(Sf) (x,xW,j)} .
k&0
(2.9)
= {a (x,x(°\j)} s ,
(2.10)
k
Пусть
a(x,x(°\j)
k
kel
Q
где
a :GxGxJ-+R\
a {x,x(°\j)
k
k
= 0
при
(x, x ^ ) £ G
( j )
( j )
x G .
(2.11)
Рассмотрим оператор
7га(х) = 7г а(х,х),
(2.12)
0
где
оо
0
Koa( ,x( ') =
I
0
^£%W[fi+(.,x( ),i).fl*(,x(°)j)]( ).
А:=0 j'eJ
I
Тогда представление функции / G L(G,loc) на G можно записать в виде
/ = TIS f.
(2.13)
Т Р У Д Ы МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. С Т Е К Л О В А , 1997, т. 214
ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ПРОСТРАНСТВ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ НА ОБЛАСТИ
3.
Р Е Т Р А К Т Ы ПРОСТРАНСТВ
3
B^ (G),
L
Q
65
(G)
PJQ
Символом Lp(A), где А — банахово пространство, 1 < р < оо, будем обозначать простран­
п
ство Л-значных сильно измеримых функций д:Ж —ï А с конечной нормой
\\g\L (A)\\=
(J\\g(x)\\> dx)
p
при
A
l<p<œ,
||flf|Loo(A)|| = ess sup ||flf(ar)|U.
В дальнейшем будет использоваться следующая теорема (см. [10, 11, 4, 12]), изотропный
вариант которой содержится в [12].
Теорема 1. Пусть В\, В — два банаховых пространств а, р G (1,оо), M > 0. Пусть
2
n
n
A: L (lR , В\) —> L (R ,
Po
1°.
n
n
2
P0
линейный ограниченный
°-
n
\\Af\L (m ,B )\\<M\\f\L (R ,B )\\
P0
оператор,
2
Пусть существует
2
0
В ) — линейный ограниченный
P0
V/€L (K ,ßi).
1
w
п
локально суммируемая
на М \ { 0 } функция х —» К(х), где К(х) —
оператор,
для которой при некотором г > 0
из В\ в В
2}
b\ >T\y\№W-K(*-y)\Bi^Mdx<M
Vy G К".
X
Пусть еще
Af(x)
для каждой функции f G Ь (В\)
=j
K(x-y)f(y)dy
с компактным носителем при почти всех x £ s u p p / .
Ро
Тогда для всех p G (1, оо)
n
n
||A/|Z 0R ,ß )|| <
p
C M\\f\L (m ,Bi)\\.
2
Определение 4. Символом l (Ak),
q
p
p
где 1 < g < оо, 0 < а < оо, А — банахово простран­
к
с
ство, будем обозначать весовое пространство последовательностей а — {dk}k&
0
элементами
<*>к € Akt нормированное следующим образом:
E^'IKIIAJ'
fc=o
'
при 1 < Ç < <Х>,
||a|^(A )|| = s u p ^ | K l k .
fc
a
Символом l (Ak)
q
обозначим подпространство пространства l {Ak)
q
тех последовательно­
стей {a*}fceN , для которых а = 0.
0
0
ka
Символом co{b
Ak) обозначим подпространство пространства /^(А*) тех последователь­
а
ностей {afc}fceN > для которых Ь* ||а*|Ц*
0
Пусть
волом
0 при к —> оо.
— покрытие открытого множества G открытыми множествами G^\ Сим­
будем обозначать банахово пространство функциональных последова­
IOO(C^(GW))
тельностей {hj(x)}j j
e
1
с элементами hy.G —> M , hj = 0 на G\G^\ имеющими соответственно
на GW непрерывные производные
Dihj(x),
5
v = 0,1,...,т ;
г
г = 1,...,гг,
ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 1997, т. 214
БЕСОВ
66
норма в котором имеет вид
s u p £ £
J
i£
Теорема 2. Пусть G c i
А
к
n
b- *\Dïhi{x)\.
t=l |/=0я?€*)
Т
— открытое множество со свойством С -гибкого
= Zoo(C$j(Gk"))). Пространства
s < m, являются ретрактами
kx
sup
s
B^ (G),
B +£{G)
q
соответственно
ka
C (b 'L (G,A )).
0
K
При этом операторы S {коретракция)
Пространство
L {G),
том пространства
задаются
L {G,l *{Ak)).
p
p
k
и 1Z {ретракция) задаются формулами (2.9), (2.12).
1 < p,g < оо, s —
pq
0 < s* < оо, 5 < га, является
При этом операторы S {коретракция)
q
0 < s„ < оо,
пространств
l?(L {G,A )),
P
при 1 < p,g < оо, s =
p
\-рога,
ретрак-
и 1Z {ретракция)
формулами (2.9), (2.12).
Доказательство.
В соответствии с определением ретракта требуется показать, что
операторы <S, 1Z обладают свойствами:
(В-1)
S:B}JG)->l' -(L (G,A )),
Q
P
k
k
B* +Z(G)^c (b L (G,A )),
p
(L-l)
S:L
0
P T Q
p
k
(G)^L (G,l?(A )),
(B-2)
P
K
H:l' -{L {G,A ))-4B' (G),
Q
P
k
M
k
co(b L (G,A ))^B^(G),
p
k
a
(L-2)
lZ:L {G,l '(A ))
(B-3)
KSf = f
V/€££,(<?),
(L-3)
KSf = f
V/€Z£ (G).
p
q
L^ (G),
k
q
g
Свойства (B-3), (L-3) выполнены в силу (2.13).
Установим (В-1). Учитывая финитность К{, Q
в
x
x
(2.7) и ограниченность \t~ p{t ,
х(°\ j)\\,
равномерную по j , х^°\ £, получаем из (2.8) при k > 1 следующую оценку, в которой А'о, Со —
некоторые финитные непрерывные функции:
(x)
9k
^
C
kW+kXi
È f [b
t=i
J
kX
=
kXi
\\(Sf) (x,;-)\A \\<
k
k
i
K (b y)<;o(b u)\A'? (u,G,\)f(x,y)\dudy
(к > 1),
0
J
g (x) = \\(Sf)o(x,
0
-,
.)\AQ\\
K (y)\f (x
<CJ
0
0
+ y)\dy.
(3.1)
Из последней оценки получаем
\\9o\L \\
p
< C.WML.W
= C \\f\L (G)\\.
x
p
(3.2)
ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 1997, т. 214
ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ПРОСТРАНСТВ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИИ НА ОБЛАСТИ
67
С помощью неравенства Минковского для интегралов и неравенства Гельдера получаем
из (3.1) и (3.2) оценку
s
\\{9k}?\l *(L (G))\\<
q
<C \\f \L \\
1
0
+
p
C J2{
2
L
t=l
< dll/olLpH +
f > * 4
i = 1
k
J
j
к
Ь °*
{ £
2
/b^o^'iiJIIAr^^^AJ/lLpllrfJ'}
L J
*=1
C J2
p
=
1
5
<
J
T^Y'
q
\\/S?i{u,G,\i)f\Lp\\
kX
\u\<cb' i
Меняя порядок интегрирования и суммирования по к, завершаем при 1 < q < оо дока­
зательство (В-1) для B (G).
При q = оо оно проводится аналогично.
pq
попутно, что свойство (В-1) для B +£(G)
Легко проследить
также имеет место.
p
Установим (L-1). Из (3.1) имеем при к > 1
k
Ы*) < C i £
kx
Jb ^Ko(b y)\A^(cb^
«= 1 п
И
Отсюда следует при некотором с > О оценка
11ЫГ1МоЛ;-)||<с е||{дг'и-* ,с,А)/}Г1мс,?;-)11.
А(
а
1=1
доказательство которой приведено в теореме 4.1 из [7]. Вместе с оценкой (3.2) она приводит к
доказательству свойства (L-1).
Установим (В-2). Пусть а € l *(L (G,
q
А*)). Оценим ||7ia|ßp (G)||. Оценивая разность
p
g
от произведения функций через разности сомножителей, при \h\ < ho с достаточно малым ho
имеем
|ДИ^С,А)7га(х)| < С ^ Г ^ Г ' - ' х
(3.3)
^ k=ojeJ
I n »V-
7
'
Оценивая разность через интеграл от производной при \h\ < b
kXi
значений функции при \h\ > b~ ,
kXi
и через сумму модулей
получаем из (3.3) с учетом конечности кратности покрытия
{G&}
оо
\\A™'(h,G, Х)Па\Ь (С)\\
< d £
m,
р
А
£
|ЛГ--"[6* -|ад M L ( G ,
P
A;=0 f = 0
Полагая a* = адо при A: > 0, а* = 0 при к < О, оцениваем правую часть через
оо
оо
k
Ximi
С J[b \h\] \\a \\dk<C
2
k
О
оо
Ximi
J[u\h\]
3
1
din u
In Ь
du
Ii
m
< с / Mî' '
4
dv
fl
ln(v|h|-l)
In b
о
. ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 1997, т. 214
v
68
БЕСОВ
Теперь с помощью неравенства Минковского для интегралов имеем
ho
Л
{ j IIДГ' (/г «, G, \)na\L {GWh-°*«
о
^}
v
оо
ho
* <
i
ОО
ОО
„
,ч dv
dk\
— <
q
m
<С*5
s
J[v)ï 'v- '{J
к1
\Ы\Ч "
<Сб{£б - 1Ы|4\
Ь
9
(3.4)
;
^ Аг=0
С помощью неравенства Минковского для интегралов имеем, очевидно,
ОО
||Яа|М<У)|| <С^\\а \Ь (С,А )\\
к
к=0
р
<
к
Отсюда и из (3.4) следует (В-2) для B (G).
Легко проследить попутно, что (В-2) имеет
pq
место и для
СМЫЩЧ
B +£(G).
p
Установим свойство (L-2). Пусть a G L (G, 1*{А ))- Оценим
p
к
II /
П
\\пa\IS„{G)\\
ОО
ч
< ||fta|L (G)|| + C £
-
Л)Яа(-)]' У \L (G)
p
(3.5)
P
11
t'=l
1
}
к=0
Оценка первого слагаемого правой части непосредственно очевидна. Для оценки других
слагаемых правой части (3.5) имеем в силу (3.3) при h > О
оо
i
x
1
hX
mi
m,
)
\b? (h \G,\)Ka(x)\<C Y, EY * ~'' x
1
l
^=о
к=о jeJ
Xi
x%(h ,G,\№t(;x,j)*a (;x,j)](x).
k
Записывая разность от fi£ * а* в виде интеграла, содержащего производную того же по­
k
рядка (если О < h < b~ ), либо в виде линейной комбинации значений fi£ * а
к
(если h >
получаем при некотором в £ (О,1] следующие оценки:
x
x
À4(h \G,\){Sli(;x,j)*a (;x,j)](x)
kX
kx
< Ch ^b ^x(0b -)
k
* ||a (-)|A*||(x)
fc
при О < h < b~ ,
k
x
Д?(h -,G,\)[Qt(;x,j)*a (.,x,j)](x)
<
k
< С Ь Ы (вЬ .)
к
кХ
х
x
k
k x
+ h- <b- 4 \ \ ( -J b .)
x
b
+h
ie
*
\\a (-)\A \\]{x)
k
k
b~ ),
k
при h > b -k
ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 1997, т. 214
ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ПРОСТРАНСТВ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ НА ОБЛАСТИ
Из них, учитывая конечность кратности покрытия {G^},
69
получаем
оо
А:=0
где
k
K (x)
k
x
s
kX
= b ^ ^ ^~ ^x{b x)
kl
(3.6)
при / > к,
Кф) =
[j «
(6
M'-^x( . ;. ,)]
x) +
t
tA+
l>ie
(3.7)
при 0 < / < к.
п
Теперь для доказательства (L-2) остается убедиться в ограниченности оператора А: Ь (Ш ,
р
п
lq) —> Ь (Ш ,1 )
р
вида Af(x)
д
= / К(х — y)f(y)
с матрицей, элементы которой Кы{х),
dy, где К(х) — оператор матричного умножения
k,l > О, определены в (3.6), (3.7). Эта ограниченность
установлена в теореме 4.1 из [7] с помощью приведенной здесь теоремы 1. Этим свойство (L-2)
установлено и доказательство теоремы 2 завершено.
В разд. 4 теорема 2 будет использована для получения интерполяционных теорем для
3
пространств B* (G),
L (G).
q
Здесь же мы установим еще одну теорему о ретрактах, которая
pq
также может служить основой получения интерполяционных теорем. Приведем необходимые
обозначения и определения.
Воспользуемся интегральным представлением функций из L{G, loc) для открытого мно­
жества G с условием гибкого А-рога из [9]. На его основе так же, как при выводе (2.13), для
т
открытого множества G — (J G^
с условием С -гибкого А-рога получаем справедливое для
почти всех x € G представление
/(*)
= 'о'"'
/ £
J
о
W ( * ) * ö ( & . * % ^ ) / ( * + У) аУ+
f
jeJ
P i {
%[*
l J
Xl
\ \pi(t ,
*, j)) А Г
n
Здесь y,t
0
h
je J
»-^n
xO ( ^ 7 -
o
G, X)f(x + y) dy du dt.
n
(3.8)
n
б (0,1) достаточно малы, Ф G G°°(IR x M ), Ф (-, z) G Go°(M ) и ради определенно­
г
x
сти записи считается p(t , x,j)
= 0 при x G
г
G\G^.
Через Z/*^(A), где A — банахово пространство, l < ç < o o , 0 < с г < о о , будем обозначать
пространство Л-значных сильно измеримых функций д: (0,1) —» А с конечной нормой
i
1Ы%)(А)||-{/||О(011^7}
о
i
9
ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 1997, т. 214
БЕСОВ
70
при 1 < q < оо,
11^1^иМ)11 = 1Ь1^ооиИ)11 = е88 sup
0<t<l
\\g(t)\\ t-°.
A
Через L*^ при 1 < q < оо, 0 < а < оо будем обозначать пространство измеримых функций
1
д: (—1,1) —>• Ж с конечной нормой
i
1 , 1
1Ы%)|| = { / ( /
О
Через L X L*^(L )
p
\g(ut)\du
-1
при 1 < p, # < оо, 5 = ^ , 0 < so < оо будем обозначать пространство
P
измеримых функций
П
g(x,t)
= Ы * ) , Ы М ) , . . . , Ы М ) ) : М х (-1,1)-> M
n + 1
(3.9)
с конечными нормами
\\g\L
x
p
N
L; (L )|| = |NLp(K )||
W
+
p
1= 1
Через L x L (L*^) при 1 < p, </ < oo, s =
p
0 < s < oo будем обозначать пространство
p
измеримых функций вида (3.9) с конечными нормами
п
\\g\L, x L (l; )\\
p
= \\до\Ь (Ж )\\ + £
(a)
\ШЬ (Ц \\.
р
Р
М
1=1
п
т
Теорема 3 . Пусть G С М — открытое множество со свойством С -гибкого
Пространство
B (G)
пространства
L X L*^(L )
ветствующие
операторы X (коретракция)
pq
1 < p,q < оо, 5 =
}
p
0 < $о < °°> s < т, является
(в категории линейных нормированных
p
и V (ретракция)
g (x) = (lf)o(x)
(x,t)
= (lf)i(x,t)
gi
К
= \
0
1=0
0
T
oo
определяются
Соот­
формулами
(3.10)
= ДГ(*,С,А)/(х),
(3.11)
n
= £
7>;<7o(*) = Т"
ретрактом
пространств).
;
n
Ы*)
Х-рога.
л
£ <Pj(*)Vij9i(*) = E
je J
t'=o
(3.12)
y"Ф (Х,
(3.13)
0
р ( Г
у
,
а ! ,
л
- ) ? о ( » + У) dy,
7 )
1
i
•
\
0 -oo
ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 1997, т . 214
ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ПРОСТРАНСТВ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИИ НА ОБЛАСТИ
PiitX
хС.(^7 Пространство
пространства
L (G),
L X L (L*^)
+ y u)dydudt.
i
(3.14)
1
0 < SQ < оо, s < m, является
(в категории линейных нормированных
P
Соответствующие
x
1 < p, q < оо, s =
pq
p
Xi
^ y\\pi(t ,xJ))g (x
операторы I (коретракция)
71
ретрактом
пространств).
и V (ретракция)
определяются
форму­
лами (3.10)-(3.14).
Доказательство.
m
Поскольку параметр t = to(s, Yl t > ^) £ (О» 1] в (3.8) можно считать
0
1
x
достаточно малым, выберем его таким, чтобы из [ж, x+mrfe ]
С G(t ),
0 < t < to, [х,
1
х+т$е ]П
1
flsupp ifj ф 0 следовало, что [х,х + т^е ] С G^\ В соответствии с определением ретракта [4,
с. 191] требуется показать, что линейные операторы J , V обладают свойствами:
(В-1)
l:B° (G)^L xL* (L ),
PTQ
(В-2)
V:L
(B-3)
Vlf = f
P
XL;
{
S
)
p
(L
P
q{s)
p
)^B;JG),
V/ۧ*,,(G),
(L-l)
I:L° (G)->L xL (L* )
PTQ
(L-2)
p
p
q(s)
}
V:L xL (L* )^L (G),
p
(L-3)
Vlf = f
p
q{a)
PTQ
V/€L»,,(G).
Свойства (B-3), (L-3) выполнены в силу интегрального представления функций (3.8).
Свойства (В-1), (L-1) следуют из определения пространств B (G),
pq
s
L (G)
vq
и поточечной
оценки разности функций через разность с половинным шагом.
Установим свойство (В-2). Пусть g G L x L*^(L ).
p
P
Оценим 11^51^^(^)11.
Покажем
сначала, что при г, k G { 1 , . . . , n } , 0 < h < ho
J [|^]* ||ft'(-,«)llp^f,
fc
\\A^(h,G,X)V \\ <C
I9I
P
(3-15)
M<i
где Vigi(x) = T jeJ't>i(x)'Pij9ij(x),
l
9ij{x,u)
= Xj{x)gi(x,u),
%j — индикатор G ^ \
Оценивая при \t\ < ho разность от произведения функций через разность сомножителей,
имеем
\A^(t,G,X)V (x)\
i9i
<
d ^ l t n - ' X ; Ди«,С,Л)^(*)/=о
Представим Vijgij(x)
16
(З- )
j
для каждого j в виде суммы двух слагаемых, разбив интеграл по и
в (3.14) на два интеграла:
Vi (x)
jgij
= I (x)
jxh
+ Ij, ,h(x),
2
0<h<h ,
o
(3.17)
в первом из которых интегрирование производится по {и: \и\ < /г}, а во втором по {и: h <
l
< \и\ < 1 } . Для оценки \A (h,G,\)Ij,\,h(x)\
k
заметим, что подынтегральное выражение в
ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 1997, т. 214
БЕСОВ
72
силу финитности Ф,, Ct может отличаться от нуля лишь тогда, когда переменные подчинены
условиям
Л
1
*' >
{
t > с\у - ч~ ие \ь
(3.18)
\и\ < 1,
где С — некоторая постоянная. Поэтому
k
|AU*,G^)W*)|<C É
\gij(x + rhe
/
3
+ у,
u)\dydu
A
l
Для оценки A (h G,\)Ij$,h
k
заметим, что
y
1
\А[(к,0,\)11,2л(х)\<
Заменив в
7j,2,/i
(3.19)
A
(lvU + |«RI I+ -
г = 0 ,|u|<fc
Г,1
h j \-öj-I (x
+
jxh
vhe ) dv.
k
переменную у на у - х и вычисляя затем производную -^rlj^h
x
интеграла, получим с учетом свойства d) пути p(t ,x,j)
П
°Д
знаком
и финитности ядра (как и при выво­
де (3.18)) оценку
l
\A (h,G,\)I^ (x)\
k
<С [
h
[
4
[ ^
М
х
+
+
^
У
^ауаи^.
(3.20)
О А<|и|<1
l
Слагаемое \A (h,G,
k
\)Vijgij(x)\
правой части
(3.16) оценивается в силу (3.17), (3.19), (3.20)
через сумму правых частей (3.19), (3.20). Поэтому для Lp-нормы левой части (3.16) с помощью
неравенства Минковского для интегралов получаем оценку
sup
\\A™*(h,G,\)V \\ <C
i9i
p
5
[пГ1^о-(-
/
+ «М«)1
du
M'
Отсюда в силу конечности кратности покрытия G^ и малости h получаем (3.15). Из (3.15)
с помощью неравенства Минковского для интегралов имеем
0
/10
y\\A^(h,G,X)V ,\\lh-^f]<
i9
flQ
<С,
k
™ h-°4\ (.,hv)\\ ^.
gi
0
<С
6
p
о dh'
<
H<f
j { j *-"1ы->>«£}*[аГй=
Л
°< <я
Т Р У Д Ы МАТЕМАТИЧЕСКОГО
ИНСТИТУТА ИМ. В.А. С Т Е К Л О В А , 1997, т. 214
ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ПРОСТРАНСТВ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ НА О Б Л А С Т И
= С
6
/ { /
, „ - «
t
a
(
, «
)
; * } ' , .
ü
n
g
r
*
S
C
{
l
/
, ,
Ы
73
« у .
К
|<|<1
1<1<1
Последняя цепочка неравенств дает основную оценку в доказательстве свойства (В-2).
Другие необходимые для этого оценки выводятся проще, и мы на них не останавливаемся.
Доказательство (В-2) в случае q = оо проводится аналогично.
Установим (L-2). Пусть g G L x L (L*^).
Оценим 11^51^^(0)11. Воспользуемся прежде
всего оценкой (3.16). Представим далее Vijgij(x)
для каждого j в виде суммы двух слагаемых,
p
P
разбив интеграл по t в (3.14) на два интеграла
x
Vij9ij{ )
J
x
= iX\h\{ )
+'Jj^\h\(x),
в первом из которых интегрирование по t ведется по (0,
l
оценки \A (h,G,
k
X)Jj ^(x)\
%1
(3.21)
1
Н ^*),
1
а во втором по (Щ ^*, Т). Для
заметим, что подынтегральное выражение может отличаться от
нуля лишь тогда, когда переменные подчинены условию (3.18). Поэтому
^G A)J,
f
i l i W
(x)|<c/
/
/ ^ -
|
A
|
^ T x c ( ^ ^ ) x
г
о
XXi(^)gij{x
=
0
+ y,u)dudtdy,
(3.22)
п
где х ъ Хс — индикаторы соответственно интервала ( - 1 , 1 ) и куба с(—1,1) при некотором
с > 0.
l
x
Оценку A (h,G,\)Jj£,\h\( )
k
x
farJj,2,\h\{ )*
1
начнем с оценки разности А
через интеграл от производной
к
x
Последнюю будем вычислять под знаком интеграла Jj 2,\h\{ )i
T
заменив предва­
x
рительно переменную у на у — х. Тогда в силу свойства d) пути p(t , я, j) и финитности ядра
получим оценку
j
\Al(h,G,\)J j (x)\<C\h\'J
j<2 hl
x
jt-^-^'j (y±^)
Xc
x
u
x x i {jj~)9iji
+ У, ) drdudtdy.
Замечая, что в силу конечности кратности покрытия
x
(3.23)
{G^}
u
^2dij( ^ ) <
Cgi{x,u),
jeJ
и положив gi(x,t)
= j\gi(x,ui)
du, из (3.8), (3.13)-(3.15) имеем
\h\h
Е/
/
r=0
0
1
*~ "
| А |
Хс(
У
\[
6
)9i(x +
Т Р У Д Ы М А Т Е М А Т И Ч Е С К О Г О ИНСТИТУТА ИМ. В.А. С Т Е К Л О В А , 1997, т . 214
X
y,t ')dtdy+
БЕСОВ
74
+ /*/ / (Uf)-r'-Wx.(t!^-)i (»
i
0
+
v . i * ' ) * 4
1
T-
О т с ю д а , з а м е н и в /i н а
и и н т е г р и р у я по гг 6 (—1,1), п о л у ч а е м (0 < h <
™к
k
:
À^ (h,G,X)V g (x)<c( £+
i
J
i
x //[^]^--w
f
c
(ï±^)
M
dA
J
_
,
0
1
п
r=0
h)
du
л
,.^)**.
+
О ц е н и в а я и н т е г р а л по ?z, имеем о к о н ч а т е л ь н о п р и н е к о т о р о м с > 0 и 0 < / г < / 1 о
т
t
J
л
drjJJ
n
к
£ +
т—0
A
£ *Jl
x
t k+rh'
(3.24)
В самом деле,
Xk
t
, (
ГИЛ
< — m i n \2с,2-г-\
max
|v|<m*J
Xk
Xk
и достаточно рассмотреть д в а случая: h < t ,
Xk
f(x,t )
Л
Л
= 5t(x,£ *)£"~ * =
л,
3
л
fif,'(ar,£ )£~ * *,
h > t .
/у
L\
Хс(тт + ^е j
Sk
Деля обе части (3.24) на h
и полагая
с в о д и м оценку ( L - 2 ) к д о к а з а т е л ь с т в у р а в н о м е р н о й
по г G [0, га*] о г р а н и ч е н н о с т и о п е р а т о р а
f-+A f:L (L;)->L (L* ),
r
p
p
q
где
V w
*) = ЯЙГ (т) ( r a ) * ( ? Ä ? ) / c f *,
+
0 — н е к о т о р а я н е п р е р ы в н о д и ф ф е р е н ц и р у е м а я ф и н и т н а я ф у н к ц и я , L (L*)
p
— банахово про­
с т р а н с т в о с нормой
\L (L;)\\
P
= {J ( / | / ( « , t)l'f)'
п
Ш
О
ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 1997, т. 214
ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ПРОСТРАНСТВ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИИ НА ОБЛАСТИ
75
Воспользуемся теоремой 1, которую будем применять в случае В\ — В2 = L*. Проверим
условие 1° при ро = с, используя перестановочность L - и LJ-норм. С помощью неравенства
p
Минковского для интегралов имеем
1
.
dt
со
f j-lim
„
О
fc
О
Оценим £*-норму левой части с помощью неравенства Минковского для интегралов:
1_
ОО
ОС
1_
ОО
<
00
1_
?
<C'{/||/(,.)||^} .
о
Проверим условие 2° теоремы. Имеем
сю
щх,у)
оо
^{/f/[^г]"
= \\к(х + у)-к(х)\ь;-и;\\<
о
х
( т ) (т^ттк) Hwrb)
О
4
г |А|
-
<WÏ7KS)
И т] т} •
5
Оценивая разность значений ф через интеграл от производной по направлению, если шаг
разности не превосходит единицы, имеем с некоторым с > О
A
' *'-KiTO)-*(irô)|s-
о
Если шаг разности больше единицы, будем применять оценку
С помощью неравенства Гельдера по t и неравенства Минковского для интегралов получаем
теперь
о
о
<сг(/* е)7{йг(Сг^(А) [Ей, [А],
,
+
+
ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 1997, т. 214
76
БЕСОВ
Оценим интеграл в левой части 2° с помощью последней оценки для N(x,y)
и, вынося
fr]dO + J2j o из-под знака интеграла по х и заменив в нем х + ву на х, сводим проверку
=
условия 2° к оценке
j
n
N {x,y)dx
Vy£]R \{0},
0
(3.25)
\*\\>R\v\\
где R > О можно считать достаточно большим. Разбивая в No(x, у) область интегрирования по
-1
Л
- 1
Л
h на (0, г £ * ) и ( г £ * , оо) и обозначив соответствующие интегралы через NQ(X, у), NQ(X, у),
имеем N < Щ + N{{.
0
Заметив, что в NQ \ Х \ \ < et, а в Л^' \х'\\ < et, при достаточно малом е > О получаем
оо
оо
0
1*1»
A
MA
оо
-
V|x'| ;
»
х
у
A
t fc+|**l
ч ь + \х \'
t -
к
1
1Л
\\х>\х'
1
1А
MA
Остается проверить (3.25) для NQ И TVQ вместо TVo- При этом можно считать, что |у| = 1
(воспользовавшись заменой х на |у|д£). Проверка (3.25) для NQ
оо
г
J' =
j
e
-
W
\x\- ~ dx<Y^
оценке
оо
J
k|^
| A |
2
rfa: < С7^ "
к
\x\x>R
СОСТОИТ В
М е + | Л | ) 2 Л | А |
<
К О
° 2*<|*| <2*+1
л
Проверка (3.25) для NQ
СОСТОИТ В
/"=
/
доказательстве конечности
|*1гф
Л , +
' М - ' ^ * = /;•+/?,
Л
\*\\>R
где
1Ц отличаются от I" дополнительными ограничениями на область интегрирования
i
Xk
соответственно \х'\\ > \xk\ ,
е
i
Xk
\х'\\ < \xk\
. Подынтегральное выражение в /{' оценивается
Л
через |ж|д "' ', откуда
< СГ < оо.
Представим интеграл
в виде повторного, считая внутренним интегрирование по ж .
hi.
После замены Х{ = \xk\ у; (1 < i < n, i ф к) имеем при некотором г > О
7
Хк
IS<
/
I**l>
к*!"*"
r
1
/
(I^A +
^ - ^ l y l ^ - ^ d y ' ^ ^ O O .
ИА>0
ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 1997, т. 214
И Н Т Е Р П О Л Я Ц И Я П Р О С Т Р А Н С Т В Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И Р У Е М Ы Х Ф У Н К Ц И Й НА О Б Л А С Т И
Этим проверка условия 2° теоремы 1 завершена.
77
Таким образом свойство (L-2) уста­
новлено с точностью до оценки слагаемого Vogo в (3.12), которую ввиду ее простоты опу­
скаем.
Теорема 3 доказана.
4.
ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ПРОСТРАНСТВ B;JG),
L^ (G)
q
Символами (B ,Bi)o ,
(J3 ,£i)[0], где Во, В\ — банаховы пространства, будем обозна­
чать интерполяционные пространства между Во и Б получаемые соответственно методами
вещественной и комплексной интерполяции.
0
ir
o
1 т
Имеет место (см. [3]) следующая
Теорема 4. Пусть В, Во, В\, В к, В\
0
к
— банаховы
пространства,
Ро,Рг,Яо,Я1,г
€
G [1,оо], (Т , ai е (0,оо), 0 < в < 1,
0
1 1 - 0 0
1
-
-
=
P
+ — ,
Ро
Pi
1
-
=
0
0
.
Я
л ч
( 7 = 1 - в)оо + ва .
+ — ,
г
Яо Яг
Тогда
(L (Bo),L (B ))e,p
po
Pl
= L ((B ,Bi)o )
l
p
L
B
0
Po
Pl
в
о
(Loo(B)
p
e L (B)
0l
p
( С (Bok), Q (B ))e,
lk
при 1 < po, Pi < oo,
(4.3)
1 < po < P\ = oo
(4.4)
0
множества
00
(4.2)
P
$
финитных
= r ((B ,
q
q
ok
(l%(Bk),l%(B )) ,
k
к
при 1 < qo, q < oo,
lk e q
t
приа фа
k
{Г {В ),Г т)
п
п
функций),
B ),)
= Ç{B )
e r
0
М
k
u
(l (2 '°B ),l (2! '*B ))
O0
k
0O
k
(4.7)
к
('£(A>*K№*))[«] = £((Д)*,ВД )
«P« 1 < 9o < сю,
(4.8)
ка
(4.9)
= С (2 В ).
w
0
(4.5)
(4.6)
ъ
= Г,(В ),
9л
(4.1)
L (B),
= L (ß ,ßi)[ö]
0
— замыкание
=
= L {(B Bi)[ ])
[e]
(L (B ),LOO{BI)^^
P0
0
( ))в,р
L
( Po( ), Pi
(L {Bo),L (Bi))
при 1 < р , р\ < оо,
lP
к
Доказательства (4.1)-(4.9) приведены в [3] при дополнительном ограничении Bk = В
в (4.6), (4.7), (4.9).
Доказательства (4.6) и (4.9) без этого ограничения можно получить,
дословно повторяя приведенные в [3] доказательства теоремы 1.18.2 и соответственно равен­
ства (16) из 1.18.1. Равенство (4.7) следует из (4.6) с помощью теоремы о реитерации 5.2.4
из [4] так же, как это сделано для случая Bk = В при доказательстве теоремы 5.6.1 в [4].
71
Теорема 5 . Пусть G СМ
n
— открытое множество
со свойством
m G N , A G (0,оо) ,
s
= у ,
* = у ,
5
=
д >
a
o,°i,o-
€
т
С -гибкого
п
(0, ос),
Т Р У Д Ы М А Т Е М А Т И Ч Е С К О Г О ИНСТИТУТА ИМ. В.А. С Т Е К Л О В А , 1997, т. 214
Х-рога,
78
БЕСОВ
qo, <7i, r G
ро, Pi € [ l , o o ] ,
0 < 0 < 1,
Тогда
a) при s ф s ,
0
1
I
2
ß
ß
- =
+ —,
P
Po
Pi
<7 = (1-0)сТо + 0СГь
1<p<
<qo
0 0 ,
=
qi
B; (Gy,
<r
go Ф Яг
c) при Со, Я1 < оо,
1 < р , Pi < 0 0 ,
Рофр\,
0
р=я
ß
B
0
1 < ро. Pi <
0 0 ,
=
G
Pi,qA ))o,p
в
( й,яо(°)'
d) при 1 < g <
\
\
ß
ß
- =
+ —•
9
Яо
Я1
0 0
(B;° (G),B;] (G))e,r
b) npu 1 < p <
[1,00],
G
p,p( );
0 0
ß
G
ß
G
( pLo( )' P1,?I( ))M ^ p,J );
1
e) при s° ф s ,
1< p<
0
0 0
Bp (G))[0]
B
( P°OO(G),
Доказательство
G
— ßp^(G).
iOO
проводится по стандартной схеме.
В силу теоремы о ретрактах
(см. 1.2.4 и 2.4.1/10 в [3] и 6.4.2 в [4]) и теоремы 2 имеет место эквивалентность норм
||/|(< ДС),<
д
9 1
(^))*,г||~
~ \\Sf\(Q(L (G,A )),
Po
(G,A*)))*.r||,
k
(4.10)
||/|(<,JG),< (G))[*]ll~
9 l
~ | | 5 / | ( C ( b ( G , A ) ) , Q(L (G,A ))) \\.
P0
fc
Pl
k
(4.11)
[e]
В правых частях (4.10), (4.11) нормы интерполяционных пространств можно заменить на
нормы пространств l?(L (G,
p
ka
Л*)) (или c {b
L (G, Ak))) при соответствующих значениях г в
0
P
силу (4.1)-(4.9). Воспользовавшись снова теоремой 2, получим все утверждения теоремы 5.
Более детально: утверждение а) следует из (4.6) с Bk = L (G, Ak)] утверждение b) следует
p
из (4.7); утверждение с) следует из (4.5) с
= L {G,
Pi
Ak), г — 0 , 1 , и (4.1); утверждение d)
следует из (4.8) и (4.3); утверждение е) следует из (4.9).
Теорема 6. В условиях
ства:
а) при s ф s
0
теоремы 5 при р$,Р\,р,<7о,дъ<7
£ (1>оо) имеют место
равен­
1
<,JG),
L \ (G))e,
p tqi
P
= BMG) =
L'„(G);
ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 1997, т. 214
ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ПРОСТРАНСТВ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ НА ОБЛАСТИ
b ) при Яофяг,
79
p= q
L
G
( PO,9O( ')' рияЛ°))в<р
ь
=
В
L
-
Р Л ° )
G
P,P( );
c) при ро ф pi
(L; , (G),
L> (G)) ,
0 q
d)
puq
=
$ p
L; (G);
<q
(Lf (G),L \ (G))
0M
p tqi
=
w
L^(G).
Доказательство с помощью теоремы о ретрактах и теоремы 2 проводится по той же схе­
ме, что и доказательство теоремы 5. Утверждение а) следует из (4.1) и (4.6), утверждение Ь)
из (4.1) и (4.7), утверждение с) из (4.2), утверждение d) из (4.3) и (4.8).
Замечание 1. Теоремы 5, 6 обобщаются на пространства
a
B , (G),
n
L; (G),
p q
p=(pi,...,p„)€[l,oo] ,
I 9
п
построенные на основе смешанной £ -нормы (p G [1, о о ] ) вместо обычной лебеговой Lp-нормы.
р
Доказательство проводится по тому же плану. Используемое обобщение теоремы 1 на случай
смешанной L -нормы
имеется в [10-12].
v
п
Теорема 2 легко переносится на случай смешанной £ -нормы с p G [1, о о } для пространств
р
п
В
и с p G ( 1 , о о ) для пространств L .
рд
pq
Остается воспользоваться теоремой о ретрактах и
соответствующими формулами из (4.1)-(4.9).
5.
ПЛОТНОЕ ВЛОЖЕНИЕ
Пусть А, В — банаховы пространства и А вложено в В (А С В). Говорят, что А плотно
вложено в В, если образ А при этом вложении плотен в В. В следующей теореме для откры­
того множества G С 1 со свойством С -гибкого Л-рога установлена, в частности, плотность
о
вложений B%~(G) С B (G),
а также плотность в B {G)
множества L o o ( ^ ) П C°°(G)
П
о
П
ш
s
8
pq
(lB^ (G),
q
n
vq
где L o o ( ^ ) — множество существенно ограниченных финитных функций,
n
C°°(G)
— множество бесконечно дифференцируемых функций с ограниченными на G производными
п
любого порядка. Соответствующие результаты для G = Ш хорошо известны, равно как и
плотность в B* (G)
q
множества бесконечно дифференцируемых на G функций из B (G)
pq
(см.,
С -гибкого
\-рога,
например, [13]).
71
Теорема
7. Пусть G С Ш — открытое множество
т
со свойством
п
A G (0, о о ) , |Л| = n, s= *f <т, 1 < p < оо, 1 < q < о о .
о
Тогда в B (G)
pq
плотно множество
функций f G {nB~-(G))n
гае первое
n
Loo(^ ),
пере­
сечение берется по всем s — ^f-, s* > s*, p, q G [1,оо].
о
В частности,
множество
Доказательство.
n C ° ° ( G ) П B (G)
pq
плотно в
B (G).
pq
Пересечение Г\В~ -(G) из условия теоремы в силу теорем вложения [9]
совпадает с пересечением Г\В[д(С)
Покажем, что
n
Loo{^ )
по всем s =
> 0 существует функция f G
e
> s. Пусть / G B (G),
pq
1 < p, q < oo.
П B{ i(G) такая, что
| | / - / . | B ^ ( G ) | | < e ( l + 3||Ä||),
ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 1997, т. 214
(5.1)
80
БЕСОВ
где ||Тг|| — норма оператора V,: l*(L (G,
s
S:B° (G)
->• l *(L (G,A ))
q
q
p
a(x,x(°\j)
где а имеет вид
j)}fe6H )
г
0
Д
Пусть А
(2.12).
к
=
1оо(С^ (СЩ,
к)
(2.9),
( 0 )
0
a (a;,-,-) € А , a e l '(L {G,A )).
s
fc
к
а
= к при А; < к ,
е
из
p
= {(5/)*(х,х<°),Я}*ен = ( M * , * , Л Ь е м о ,
= Sf(x,x(°\j)
(2.11),
к
B JG)
к
— коретракция
k
s
А ))
p
q
х
Пусть а( )(аг,
k
j) =
{a£\x,x(°\
при к > & . Взяв к достаточно большим, в силу
= 0
£
p
£
Е
q < оо будем иметь
\\a-aW\l?(L (G,A ))\\<e.
p
a
:
(5.2)
k
G
Построим функцию а^ ) = {'а£^}*ен » ^
~*
следующим требованиям (что возможно в силу р < оо):
2
а 2
1)
aj^ =
0
ж
1^(» ^ ^ » i ) ?
=
0
удовлетворяющую
при к > к ;
е
2)
2) 4 ( - , x ( ° ) , i ) = 0 на G\Kj,
где Kj — компакт, К, С G&\
2)
3) 8 и р | | 4 ( х ) | Л , | | < о о ;
xeG
1
4) I l o W - a P l M G . A f c î l K * . - ^
Тогда
\\aW - aW\l?{L {G,A ))\\<e.
p
2
V 5
Очевидно, что a( ) G /j* (Li(G,
B
* >
(5.3)
k
С И Л
5
2
5
3
У ( - )' ( - )
\\a-aW\l° '(L (G,A ))\\<2e.
q
p
(5.4)
k
3)
Пусть
€ Cg°(GÜ)), </>j =
(0)
2)
0
= Vj(x )ai (x,x( ),i).
Vs» > s» и в силу
1
на K
jt
Тогда a£
3)
а™ =
{4 } , a[ :G
3)
Л*, о^ = а£ (я:,х^, j) =
3)
fceHo
3
s
= 0 при * > к , a( ) € l '(L (G,
е
q
3)
А )) П / j ' (Li(G, А*))
p
к
(2.12)
3
2
7г«( ) = 7га( ).
Из
(2.13), (5.5),
утверждения
(В-2)
теоремы
II/ - HaW\B-„(G)\\
где ||7г|| -
норма К: I?(L (G,
P
2
и
(5.4)
(5.5)
следует, что
= \Ща - Па^\В^(С)\\
< \\Щ2е,
(5.6)
А )) -> £ £ , ( G ) .
к
Но каждую функцию из C ^ j ( G ^ ) , равную нулю вне некоторого компакта Us(Kj)
с наперед заданной точностью можно аппроксимировать в
го радиуса, принадлежащим
)
CQ (G^).
C^(G^)
С
G^\
ее усреднением мало­
Следовательно, можно построить
4
= {а£ ^}^ ,
еКо
0,^1 G —> Ак, со свойствами:
1)
= 0
при к > к ;
е
2) aW G /**(L (G, A*)) n / ; * ( L i ( G , A ) ) VS. > s*, Vfc > 0;
P
Ä
ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 1997, т. 214
ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ПРОСТРАНСТВ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ НА ОБЛАСТИ
3)
откуда
81
\\aW-aW\l°-(L (G,A ))\\<e,
p
k
\\Па^-Па^\В^(С)\\<\\Щ\е.
(5.7)
A
По функции IZa^ вида (2.12) построим функцию TZ^a^ \ отличающуюся от IZa^ лишь тем,
Я
что при описании TZa^ через TZoa^(x,x^)
ДР°
(х,
j ) заменено на его усреднение
по я?(°):
1 f /
¥ J \
W
6
— v\
) к( 1УЛ) У,
П
х
f
Jw(y)dy
а
= l,
с достаточно малым радиусом усреднения S > 0 . С помощью тех же выкладок, что и при
доказательстве (В-2) в теореме 2, легко убедиться, что
\\Ua^-H^aW\B' (G)\\<e
(5.8)
Pt9
при достаточно малом S = 6(e) > 0 , а также что f
e
:= TZ^a^ G ß f i ( G ) при любом s =
= ^f, s* > s*. Из (5.6)-(5.8) следует (5.1).
Заметим, что f G L (G) в силу теорем вложения. Домножив f на усреднение харак­
теристической функции шара с центром в точке 0 и достаточно большого радиуса, получим
последнее утверждение теоремы.
Замечание 2. В условиях теоремы 7, но при q = оо тем же методом показывается, что в
о
пространстве B*+£(G) является плотным множество функций / G ( f] В £ ) П Loo(^ )£
00
e
n
)00
п
Теорема
т
8. Пусть G СШ — открытое множество со свойством С -гибкого
Х-рога,
X G ( 0 , o o ) , IА| = n, s = ^ < m, 1 < p < оо, 1 < q < о о .
n
о
плотно множество функций / G ( П ^ î , i ( G ) ) П Ьоо(1& )-
3
п
Тогда в L (G)
vq
о
5 частности,
n
s
множество Loo(^ ) ПС°°(С?) П L (G)
vq
плотно в
3
L (G).
pq
Доказательство проводится аналогично доказательству теоремы 7.
Примечание при корректуре. Можно показать, что открытое множество G со свой­
т
ством С°-гибкого Л-рога является также и открытым множеством со свойством С -гибкого
А-рога при любом m G NQ (СМ. определение 2).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Lions J.-L.,
P. 5-68.
Peetre J. Sur une classe d'espase d'interpolation / / I n s t . Hautes Etud. sei. Publ. Math. 1964. V. 19.
2. Magenes E. Spasi di i n t e r p o l a t i o n ed equazioni a derivate perziale / / A t t i VII Congr. Unione Math. Ital. Genova,
1963. Roma: Cremonese, 1965. P. 134-197. Т о же на рус. яз.: Мадженес Е. Интерполяционные пространства
и уравнения в частных производных / / У М Н . 1966. Т. 21, № 2. С. 169-218.
3. Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. М.:
Мир, 1980.
4. Берг И., Лефстрем
И. Интерполяционные пространства. М.: Мир, 1980.
5. Muramatu Т. On Besov spaces and Sobolev spaces of generalized functions defined on general region / / P u b l .
Res. Inst. Math. Sei. Kyoto Univ. 1974. V. 9, N 2. P. 325-396.
6. Бесов O.B. Применение интегральных представлений функций к интерполяции пространств дифференци­
руемых функций и мультипликаторам Фурье / / Т р . МИАН СССР. 1989. Т. 187. С. 3-21.
6
Т Р У Д Ы МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 1997, т. 214
БЕСОВ
82
7. Бесов O.B. О пространствах Соболева-Лиувилля и Лизоркина-Трибеля на области / / Т р . МИАН СССР.
1990. Т . 192. С. 20-34.
8. Бесов О.В. Интерполяция пространств дифференцируемых функций, заданных на области / / Т р . МИРАН
СССР. 1992. Т. 201. С. 26-42.
9. Бесов О.В. Оценки интегральных модулей непрерывности и теоремы вложения для области с условием
гибкого рога / / Т р . МИАН СССР. 1985. Т. 172. С. 4-15.
10. Benedek A., Calderon А.P., Panzone В. Convolution operators on Banach space valued functions / / P r o c . Nat.
Acad. Sei. USA. 1962. V. 48. P. 356-365. To же на рус. яз.: Бенедек А., Кальдерон А.П., Панцоне Р.
Операторы свертки на функциях со значениями в банаховом пространстве / / М а т е м а т и к а . 1963. Т. 7, M 5.
С. 121-131.
p
11. Krée P. Propriétés de continuité dans L
334.
12. Rubio de Francia J.L., Ruiz F.T.,
Math. 1968. V. 62. P. 7-48.
de certains noyaux / / B o l l . Unione mat. ital. 1967. V. 22, N 3. P. 3 3 0 -
Torrea J.L. Calderon-Zygmund theory for operator-valued kernels / / A d v .
13. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский СМ.
М.: Наука, 1975. 480 с ; 2-е изд., 1996.
Интегральные представления функций и теоремы вложения.
Т Р У Д Ы МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. С Т Е К Л О В А , 1997, т. 214