Definizioni
1. Matrici
Una matrice 𝐴𝑚×𝑛 = (𝑎𝑖𝑗 ) si dice:
1. Quadrata se 𝑚 = 𝑛
2. Diagonale se 𝑎𝑖𝑗 = 0, ∀𝑖 ≠ 𝑗
3. Triangolare inferiore se 𝑎𝑖𝑗 = 0, ∀𝑖 > 𝑗
4. Triangolare superiore se 𝑎𝑖𝑗 = 0, ∀𝑖 < 𝑗
2. Matrici speciali
● Una matrice 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 si dice:
1. Trasposta se 𝐴𝑇 = (𝑏𝑖𝑗 ) con 𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗
2. Simmetrica se 𝐴 = 𝐴𝑇
3. Anti-simmetrica se 𝐴 = −𝐴𝑇
4. Hermitiana se 𝐴 = 𝐴𝐻
5. Anti-hermitiana se 𝐴 = −𝐴𝐻
3. Inverse di una matrice
Sia 𝐴𝑚×𝑛 si dice:
1. Inversa sinistra ogni matrice 𝐿 per la quale 𝐿𝐴 = 𝐼𝑛
2. Inversa destra ogni matrice 𝑅 per la quale 𝐴𝑅 = 𝐼𝑚
3. Inversa bilatera, se 𝑚 = 𝑛, ogni matrice 𝑋 per la quale 𝑋𝐴 = 𝐼 = 𝐴𝑋
4. Matrici elementari
1. 𝐸𝑖𝑗 è ottenuta da 𝐼𝑛 scambiando la 𝑖-esima riga e la 𝑗-esima riga
2. 𝐸𝑖𝑗 (𝛼) è ottenuta da 𝐼𝑛 sommando alla 𝑖-esima riga 𝛼 volte la 𝑗-esima riga
3. 𝐸𝑖 (𝛽), 𝛽 ≠ 0, è ottenuta da 𝐼𝑛 moltiplicando la 𝑖-esima riga per 𝛽
5. Lineare indipendenza
Sia 𝐴 = [𝑐1 𝑐2 … 𝑐𝑛 ] le colonne 𝑐1 , 𝑐2 , … , 𝑐𝑛 sono linearmente indipendenti se 𝛼1 𝑐1 + 𝛼2 𝑐2 + ⋯ +
𝛼𝑛 𝑐𝑛 = 0 → 𝛼1 = 𝛼2 = ⋯ = 𝛼𝑛 = 0, con 𝛼1 , 𝛼2 , … , 𝛼𝑛 ∈ ∁
6. Rango: definizioni equivalenti
Il rango di una matrice 𝐴 equivale a:
1. Numero di 1-leader della matrice in scala di Gauss
2. Numero di colonne dominanti
3. dim 𝑅𝑜𝑤(𝐴)
4. dim 𝐶𝑜𝑙(𝐴)
7. Incognite dominanti
Sia 𝐴𝑥 = 𝑘 si dicono incognite dominanti le incognite che corrispondono alle colonne dominanti di 𝐴
8. Matrice aggiunta
Sia 𝐴𝑚×𝑚 si dice matrice aggiunta (Adj 𝐴) la matrice 𝑚 × 𝑚 che ha al posto (𝑖, 𝑗) il (𝑗, 𝑖)-cofattore 𝑎𝑗𝑖 di 𝐴
9. Autovalore e autovettore
Sia 𝐴𝑚×𝑛 si dice autovalore di A se esiste 𝑣𝑚×1 ≠ 0 tale che 𝐴𝑣 = 𝜆𝑣 e in tal caso 𝑣 si dice autovettore
di autovalore λ
10. Cosa vuol dire che una matrice è diagonalizzabile
Sia 𝐴𝑚×𝑚 si dice diagonalizzabile (𝐷) se esiste una matrice 𝐻𝑚×𝑚 invertibile tale che 𝐻 −1 𝐴𝐻 = 𝐷
11. Matrici simili
Siano 𝐴𝑚×𝑚 e 𝐵𝑚×𝑚 si dicono simili se esiste una matrice invertibile 𝐻 tale che 𝐻 −1 𝐴𝐻 = 𝐵
12. Sottospazio di uno spazio vettoriale
Sia V uno spazio vettoriale si dice che 𝑈 ⊆ 𝑉 è un sottospazio di V se:
1. 0𝑣 ∈ 𝑈
2. 𝑢1 + 𝑢2 ∈ 𝑈, ∀𝑢1 , 𝑢2 ∈ 𝑈
3. 𝛼 ∗ 𝑢 ∈ 𝑈, ∀𝑢 ∈ 𝑈 con 𝛼 ∈ ∁
13. Combinazione lineare di un numero finito di vettori
Sia V uno spazio vettoriale e 𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑛 ∈ 𝑉 si dice che 𝑣 = 𝛼1 𝑣1 + 𝛼2 𝑣2 + ⋯ + 𝛼𝑛 𝑣𝑛 è una combinazione
lineare di un numero finito di vettori
14. Sottospazio generato da un numero finito di vettori
Sia 𝑉 uno spazio vettoriale e 𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑛 ∈ 𝑉 si dice sottospazio generato da un numero finito di vettori
l’insieme {𝛼1 𝑣1 + 𝛼2 𝑣2 + ⋯ + 𝛼𝑛 𝑣𝑛 ∶ 𝛼1 , 𝛼2 , … , 𝛼𝑛 ∈ ∁} = ⟨𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑛 ⟩ ed in particolare ⟨∅⟩ = 0𝑣
15. Famiglia di vettori linearmente indipendenti
Sia 𝑉 uno spazio vettoriale si dice che {𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑛 } ⊆ 𝑉 è una famiglia di vettori linearmente indipendenti
se 𝛼1 𝑣1 + 𝛼2 𝑣2 + ⋯ + 𝛼𝑛 𝑣𝑛 = 0𝑣 → 𝛼1 = 𝛼2 = ⋯ = 𝛼𝑛 = 0, con 𝛼1 , 𝛼2 , … , 𝛼𝑛 ∈ ∁
16. Base e dimensione di uno spazio vettoriale
Sia 𝑉 uno spazio vettoriale si dice che 𝑣1 ; 𝑣2 ; … ; 𝑣𝑛 ∈ 𝑉 sono una base se 𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑛 sono:
1. Generatori di 𝑉
2. Linearmente indipendenti
Invece la dimensione equivale al numero di elementi di una base
17. Coordinate di un vettore rispetto alla base
𝛼1
Si dicono coordinate di un vettore 𝑣 ∈ 𝑉 rispetto ad una base 𝐵 = {𝑣1 ; 𝑣2 ; … ; 𝑣𝑛 } la matrice 𝐶𝐵 (𝑣) = [ ⋮ ]
𝛼𝑛
tale che 𝑣 = 𝛼1 𝑣1 + ⋯ + 𝛼𝑛 𝑣𝑛
18. Spazio delle colonne, delle righe e nullo
𝑟1
Sia 𝐴𝑚×𝑛 = [ ⋮ ] = [𝑐1 ⋯ 𝑐𝑛 ] si dice spazio:
𝑟𝑚
1. Delle righe: Row (𝐴) = ⟨ 𝑟1 , … , 𝑟𝑚 ⟩ = {𝛼1 𝑟1 + ⋯ + 𝛼𝑚 𝑟𝑚 ∶ 𝛼1 , … , 𝛼𝑚 ∈ ∁} ≤ ∁𝑚
2. Delle colonne: Col (𝐴) = ⟨ 𝑐1 , … , 𝑐𝑛 ⟩ = {𝛽1 𝑐1 + ⋯ + 𝛽𝑛 𝑐𝑛 ∶ 𝛽1 , … , 𝛽𝑛 ∈ ∁} ≤ ∁𝑛
3. Nullo: N(𝐴) = Soluzioni di 𝐴𝑥 = 0 ≤ ∁𝑛
19. Enunciato somma di sottospazi
dim(𝑈1 + 𝑈2 ) = dim 𝑈1 + dim 𝑈2 − dim(𝑈1 ∩ 𝑈2 )
20. Somma diretta di sottospazi
Siano 𝑈1 , 𝑈2 ≤ 𝑉 si dice che la loro somma è diretta (𝑈1 ⊕ 𝑈2 ) quando 𝑈1 ∩ 𝑈2 = {0𝑣 }
21. Prodotto hermitiano
Siano 𝑢, 𝑣 ∈ ∁𝑛 si dice prodotto hermitiano → (𝑢 | 𝑣) = 𝑢𝐻 𝑣, con 𝑢𝐻 𝑣 ∈ ∁
22. Proiezione ortogonale
Sia 𝑈 = ⟨𝑢1 ; 𝑢2 ; 𝑢3 ⟩ allora 𝑃𝑢 (𝑣) = (𝑢1 | 𝑣) ∗ 𝑢1 + (𝑢2 | 𝑣) ∗ 𝑢2 + (𝑢2 | 𝑣) ∗ 𝑢2
23. Matrice unitaria e matrice normale
Una matrice 𝑈𝑚×𝑚 si dice unitaria se 𝑈 𝐻 𝑈 = 𝐼𝑛 = 𝑈𝑈 𝐻
Una matrice 𝐴𝑚×𝑚 si dice normale se 𝐴𝐴𝐻 = 𝐴𝐻 𝐴
24. Enunciato teorema spettrale
Una matrice 𝐴𝑚×𝑚 si dice unitariamente diagonalizzabile se e solo se è normale
25. Applicazione lineare
𝑓
Sia 𝑉1 → 𝑉2 , 𝑓 si dice lineare se:
1. 𝑓(𝑢 + 𝑣) = 𝑓(𝑢) + 𝑓(𝑣), ∀𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉1
2. 𝑓(𝛼𝑣) = 𝛼𝑓(𝑣), ∀𝑣 ∈ 𝑉1 , ∀𝛼 ∈ ∁