Test Pattern
)/999DJM21/322//3)
(0999DJM210322003)
DISTANCE LEARNING PROGRAMME
(Academic Session : 2022 - 2023)
JEE(Main)
TEST # 03
31-07-2022
JEE(MAIN) : LEADER TEST SERIES / JOINT PACKAGE COURSE
Time : 3 Hours
12th Undergoing/Pass Students
Maximum Marks : 300
Test Type : Unit Test # 03
Immediately fill in the form number on this page of the
Test Booklet with Blue/Black Ball Point Pen. Use of pencil
is strictly prohibited.
2.
3.
4.
5.
6.
egRoiw.kZ funsZ'k :
1. ijh{kk iqfLrdk ds bl i`"B ij vko';d fooj.k uhys@dkys ckWy ikbaV
isu ls rRdky HkjsaA isfUly dk iz;ksx fcYdqy oftZr gSaA
The candidates should not write their Form Number 2.
anywhere else (except in the specified space) on the Test
Booklet/Answer Sheet.
3.
The Test Booklet consists of 90 questions.
There are three parts in the question paper 1,2,3 4.
consisting of Physics, Chemistry and Mathematics
having 30 questions in each subject and each subject
having Two sections.
(i)
Section-I contains 20 multiple choice questions
with only one correct option.
Marking scheme : +4 for correct answer, 0 if not
attempted and –1 in all other cases.
(ii)
Section-II contains 10 Numerical Value Type
questions. Attempt any 5 questions. First 5
attempted questions will be considered for marking.
Marking scheme : +4 for correct answer, 0 if not
attempted and –1 in all other cases.
Use Blue/Black Ball Point Pen only for writting
particulars/marking responses on Side–1 and Side–2 of the
5.
Answer Sheet. Use of pencil is strictly prohibited.
No candidate is allowed to carry any textual material,
printed or written, bits of papers, mobile phone any 6.
electronic device etc, except the Identity Card inside the
examination hall/room.
Rough work is to be done on the space provided for this
purpose in the Test Booklet only.
8. On completion of the test, the candidate must hand over
the Answer Sheet to the invigilator on duty in the Room/
Hall. However, the candidate are allowed to take away
this Test Booklet with them.
9. Do not fold or make any stray marks on the Answer Sheet.
10. Take g = 10 m/s2 unless otherwise stated.
7.
Name of the Candidate (in Capitals)
ijh{kkFkhZ dk uke (cM+s v{kjksa esa) :
Form Number
: in figures
QkWeZ uEcj
: vadksa esa
: in words
: 'kCnksa esa
Centre of Examination (in Capitals) :
ijh{kk dsUæ (cM+s v{kjksa esa) :
Candidate’s Signature :
ijh{kkFkhZ ds gLrk{kj :
7.
8.
9.
10.
ijh{kkFkhZ viuk QkeZ ua - (fu/kkZfjr txg ds vfrfjä) ijh{kk
iqfLrdk@mÙkj i= ij dgha vkSj u fy[ksaA
bl ijh{kk iqfLrdk esa
90
iz'u gaSA
bl ijh{kk iqfLrdk esa rhu Hkkx 1, 2, 3 gSa] ftlds izR;sd Hkkx esa HkkSfrd
foKku] jlk;u foKku ,oa xf.kr ds 30 iz'u gSa vkSj izR;sd fo"k;
esa 2 [k.M gSA
(i)
[k.M-I esa 20 cgqfodYih; iz'u gAS ftuds ds oy ,d fodYi
lgh gSaA
va d ;ks tuk : +4 lgh mÙkj ds fy,] 0 iz;kl ugha djus ij
rFkk –1 vU; lHkh voLFkkvksa esaA
(ii) [k.M -II es a 10 la [;kRed eku iz d kj ds iz 'u gS A fdUgh 5
iz'uksa dk mÙkj nhft,A fd;s x;s iz'uksa esa ls dsoy izFke ik¡p
iz'uksa dks gh vad fn;s tk;saxsA
va d ;ks tuk : +4 lgh mÙkj ds fy,] 0 iz;kl ugha djus ij
rFkk –1 vU; lHkh voLFkkvksa esaA
mÙkj i= ds i`"B–1 ,oa i`"B–2 ij okafNr fooj.k ,oa mÙkj vafdr djus
gsrq dsoy uhys@dkys ckWy ikbaV isu dk gh iz;ksx djsAa isfUly dk iz;ksx
loZFkk oftZr gSA
ijh{kkFkhZ }kjk ijh{kk d{k @ gkWy esa ifjp; i= ds vykok fdlh Hkh izdkj
dh ikB~; lkexzh eqfær ;k gLrfyf[kr dkxt dh ifpZ;ksa] eksckby
Qksu ;k fdlh Hkh izdkj ds bysDVªkfud midj.kksa ;k fdlh vU; izdkj
dh lkexzh dks ys tkus ;k mi;ksx djus dh vuqefr ugha gSaA
jQ dk;Z ijh{kk iqfLrdk esa dsoy fu/kkZfjr txg ij gh dhft;sA
ijh{kk lekIr gksus ij] ijh{kkFkhZ d{k@gkWy NksM+u s ls iwoZ mÙkj i= d{k
fujh{kd dks vo'; lkSai nsaA ijh{kkFkhZ vius lkFk bl ijh{kk iq fLrdk
dks ys tk ldrs gSaA
mÙkj i= dks u eks M+ s a ,oa u gh ml ij vU; fu'kku yxk,s aA
g = 10 m/s2 iz;q Dr djs a ] tc rd fd vU; dks bZ eku ugha
fn;k x;k gks A
ds vuqns'kksa ds fcuk eqgjsa u rksM+s
1.
bu funsZ'kksa dks /;ku ls i<+sa
DO NOT BREAK THE SEALS WITHOUT BEING INSTRUCTED TO DO SO BY THE INVIGILATOR/fujh{kd
READ THE INSTRUCTIONS CAREFULLY/ Ïi;k
Important Instructions :
Invigilator’s Signature :
fujh{kd ds gLrk{kj :
Your Target is to secure Good Rank in JEE(Main) 2023
Corporate Office : ALLEN CAREER INSTITUTE, “SANKALP”, CP-6, Indra Vihar, Kota (Rajasthan) INDIA-324005
+91-744-2757575
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Topic : Laws of Motion and Friction & Capacitors
PART-1 : PHYSICS
भाग-1 : भौतिक विज्ञान
SECTION-I : (Maximum Marks: 80)
This section contains 20 questions. Each question has 4 options for correct answer. Multiple-Choice Questions
(MCQs) Only one option is correct. For each question, marks will be awarded as follows:
Full Marks
: +4 If correct answer is selected.
Zero Marks
: 0 If none of the option is selected.
Negative Marks : –1 If wrong option is selected.
खण्ड-I : (अधिकतम अंक: 80)
इस खंड में 20 प्रश्न हैं। प्रत्येक प्रश्न में सही उत्तर के लिए 4 विकल्प हैं। बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs) के वल एक विकल्प सही है। प्रत्येक प्रश्न के
लिए, अंक निम्नानुसार दिए जाएंगे:
पूर्ण अंक
: +4 यदि सही उत्तर चुना गया है।
शून्य अंक
: 0 यदि कोई भी विकल्प नहीं चुना गया है।
ऋणात्मक अंक : –1 यदि गलत विकल्प चुना गया है।
1. If acceleration of block B is 'a' then acceleration of block A will be :-
प्रदर्शित चित्र में यदि ब्लाॅक B का त्वरण a है तो ब्लाॅक A का त्वरण होगा :-
(A)
a
2
(B)
a
3
(C) 2a
(D) 3a
Ans. D
2.
In the given diagram, if the string connecting B and C is cut then what will be the accelerations of blocks
A, B, C, D at that instant ?
प्रदर्शित चित्र में यदि B तथा C को जोड़ने वाली रस्सी को काटा जाता है तो उस क्षण पर A, B, C, D ब्लाॅकों के त्वरण होगें?
(A)
(B)
(C)
(D)
Ans. B
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3.
A block of mass m lying on a rough horizontal plane is acted upon by a horizontal force P and another
force Q inclined at an angle θ to the vertical. The block will remain in equilibrium if the coefficient of
friction between it and the surface is :-
m द्रव्यमान का एक ब्लाॅक घर्षणयुक्त समतल पर रखा है इस पर एक क्षैतिज बल P और ऊर्ध्व से θ कोण पर झुका एक अन्य बल Q
कार्यरत है। ब्लाॅक साम्यावस्था में रहेगा यदि ब्लाॅक और सतह के मध्य घर्षण गुणांक हो :-
(A)
P + Q sin θ
mg + Q cos θ
(B)
P cos θ + Q
mg − Q sin θ
(C)
P + Q cos θ
mg + Q sin θ
(D)
P sin θ + Q
mg − Q cos θ
Ans. A
4.
In which of the following cases is the contact force between A and B is maximum. If mass of each block is
1 kg :निम्न में से किस स्थिति में A तथा B के मध्य लगने वाला सम्पर्क बल अधिकतम है यदि प्रत्येक ब्लाॅक का द्रव्यमान 1 kg है :(A)
(B)
(C)
(D)
Ans. A
5.
A man of mass 60kg is standing on a platform of mass 20kg suspended with the help of rope pulley
arrangement as shown in figure. If he pulls the rope and applies 400N force on the platform then
acceleration of the system will be -
(A) 2 m/s2
(B) 3 m/s2
(C) 4 m/s2
(D) None
60kg का एक व्यक्ति 20 kg द्रव्यमान के एक प्लेटफार्म पर जो घिरनी तथा रस्सीयों की सहायता से लटका हुआ है पर खड़ा हुआ
रस्सी को चित्रानुसार खींच रहा है यदि वह प्लेटफार्म पर 400 N का बल लगाता है तो निकाय का त्वरण होगा -
(A) 2 m/s2
(B) 3 m/s2
(C) 4 m/s2
(D) कोई नहीं
Ans. A
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6.
For the given arrangement if all surfaces are frictionless then acceleration of 2 kg block will be :
प्रदर्शित व्यवस्था में यदि सभी सतहें घर्षणरहित है, तो 2 kg द्रव्यमान के ब्लाॅक का त्वरण होगा :-
(A)
100
11
m/s2
(B)
100
13
m/s2
(C)
50
11
m/s2
(D)
50
13
m/s2
Ans. A
7.
If all surfaces are frictionless then what will be the value of mass 'm' so that 1 kg block does not slip :
(A) 5 kg
(B) 10 kg
(C) 15 kg
(D) None
यदि सभी सतहें घर्षणरहित है, तो द्रव्यमान m का मान क्या होगा यदि 1 किलोग्राम का ब्लाॅक नहीं फिसले:-
(A) 5 kg
(B) 10 kg
(C) 15 kg
(D) कोई नहीं
Ans. C
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8.
In the figure the block A is released from rest when the spring is at its natural length. For the block B of
mass M to leave contact with the ground at some stage, the minimum mass of A must be:-
(A) 2M
(B) M
(C)
M
2
(D) a function of M and the force constant of the spring
नीचे प्रदर्शित चित्र में, ब्लाॅक A को विरामावस्था से छोड़ा गया है जबकि स्प्रिंग अपनी मूल (natural) लम्बाई में है। M द्रव्यमान का
ब्लाॅक B किसी अवस्था पर जमीन से सम्पर्क छोड़ दे इसके लिए A का न्यूनतम द्रव्यमान आवश्यक रूप से होना चाहिए :-
(A) 2M
(B) M
(C)
M
2
(D) M और स्प्रिंग के बल नियतांक का एक फलन
Ans. C
Sol.
kx = Mg
x=
Mg
k
1 2
kx
2
m=
=
mgx
M
2
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9.
With respect to figure shown which of the following statements are correct :-
(A) If F = 9N Friction is kinetic & particle will move with acceleration 0.5 m/s2
(B) If F = 9N Friction is static & particle is at rest
(C) If F = 11N Friction is static & particle is at rest
(D) If F = 11N Friction is kinetic & particle will move with 0.5 m/s2
दिये गये चित्र के लिए निम्न में से कौनसा कथन सत्य है :-
(A) यदि F = 9N घर्षण गतिज है और कण 0.5 m/s2 से गति करता है।
(B) यदि F = 9N घर्षण स्थैतिक है और कण विराम अवस्था में है।
(C) यदि F = 11N घर्षण स्थैतिक है और कण विराम अवस्था में है।
(D) यदि F = 11N घर्षण गतिज है और कण 0.5 m/s2 से गति करता है।
Ans. B
Sol.
10.
For F < 10 N Block with not move. Therefore for F < 10 N static friction will act on the block. For F
> 10 N Block will start sliding therefore kinetic friction will act on the block.
In the given arrangement, n number of equal masses are connected by strings of negligible masses. The
tension in the string connected to nth mass is :-
(A)
mMg
nm + M
(B)
mMg
nmM
(C) mg
(D) mng
नीचे दी गई व्यवस्था में, समान द्रव्यमान के n द्रव्यमानों को नगण्य द्रव्यमान की रस्सियों से आपस में जोड़ा गया है तब n वे द्रव्यमान से
जुड़ी डोरी में तनाव होगा :-
(A)
mMg
nm + M
(B)
mMg
nmM
(C) mg
(D) mng
Ans. A
Sol.
Mg
mn + M
mMg
mn + M
a system
T
=
=
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11.
A charged capacitor is connected with a resistor. After how many time constants, does the energy of
capacitor becomes 1/10 th of its initial value ?
(A) 2.3
(B) 1.15
(C) 0.69
(D) None
एक आवेशित संधारित्र तथा एक प्रतिरोध जोड़ा गया है तो कितने समय नियतांक के प'pkत् उसकी ऊर्जा पहले मान की 1/10 हो
जायेगी?
(A) 2.3
(B) 1.15
(C) 0.69
(D) कोई नहीं
Ans. B
1
C V02
2
t, U = 1 C V 2 = 1 ( 1 C V02 )
2
10 2
V0
Sol. t = 0, U =
0
V=
−
−
√
10
V = V0e–t/t
V0
−
−
√
=
10
V0
t=
12.
V0 e
−
−
√
10
=
t
τ
− /
V0 e
t
τ
− /
Two parallel plate capacitors whose capacitances are C and 2 C respectively, are joined in parallel. These
are charged to V potential difference. If the battery is now removed and a dielectric of dielectric constant K
is filled in between the plates of the capacitor C, then what will be the potential difference across each
capacitor ?
दो समान्तर प्लेट संधारित्र जिनकी धारिता C तथा 2C है, समान्तर क्रम में जुड़े है। इन्हें V विभवान्तर से आवेशित किया गया है।
यदि अब बैटरी हटा ली जाये तथा संधारित्र C की प्लेटों के मध्य K परावैद्युतांक का परावैद्युत भरे तो प्रत्येक संधारित्र पर
विभवान्तर होगा V
(A)
K +2
(B)
2V
K +2
(C)
3V
K +2
(D)
2 + K )V
3
(
Ans. C
Sol. V =
com
q1 + q2
C1 + C2
=
CV + 2CV
KC + 2C
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=
3V
K +2
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13.
Three identical capacitors are given a charge Q each and they are then allowed to discharge through
resistance R1, R2 and R3. Their charges as a function of time shown in the graph below. The smallest of the
three resistance is :-
(A) R3
(B) R2
(C) R1
(D) Cannot be predicted
तीन एकसमान संधारित्राें को प्रत्येक को Q आवेश दिया जाता है तथा फिर इन्हें R1, R2 तथा R3 प्रतिरोध द्वारा निरावेशन नीचे दिये
ग्राफ मे दर्शाये गये है। तीनों प्रतिरोध में से सबसे छोटा है :-
(A) R3
(B) R2
(C) R1
(D) अनुमानित नहीं किया जा सकता
Ans. C
Sol. Slope
dq
dt
=
i = i0 e
At t = 0, Slope = i0 =
∵
∴
14.
t
τ
− /
V
R
Q
CR
=
Slope 1 > Slope2 > Slope3
R1 < R2 < R3
A parallel plate capacitor has plate area A and separation d. It is charged to a potential difference V0. The
charging battery is disconnected and the plates are pulled apart to three times the initial separation. The
work required to separated the plates is :
एक समान्तर प्लेट संधारित्र का प्लेट क्षेत्रफल A और उनके बीच की दूरी d है। यह V 0 विभवान्तर तक आवेशित किया जाता
है। आवेशन बैटरी हटा देते है और प्लेटों को खींचकर प्रारम्भिक दूरी का तीन गुना कर देते है। प्लेटों के बीच दूरी बढ़ाने में
कार्य होगा :(A)
3ε 0 AV02
(B)
d
ε 0 AV02
(C)
2d
ε 0 AV02
3d
(D)
ε 0 AV02
d
Ans. D
Sol.
W = Uf – Ui =
=
C V0 ) 2
(
2 ( C3
)
C V0 ) 2
2C
(
−
= CV02
∈ 0 AV02
d
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15.
Given R1 = 1Ω, R2 = 2Ω, C1 = 2µF, C2 = 4µF. The time constants (in µS) for the circuits I, II, III are
respectively :-
दिया है, R1 = 1 ओम, R2 = 2 ओम, C1 = 2 माइक्रो फै रड, C2 = 4 माइक्रो फै रड, परिपथ I, II, III के लिये समय स्थिरांक (µS में)
क्रमशः हैं :-
(A)
18,
8
,4
9
(B)
18, 4,
8
9
(C)
4,
8
, 18
9
(D)
8
, 18, 4
9
Ans. D
16.
Two capacitors C1 and C2 are charged to 120V and 200V respectively. It is found that by connecting them
together the potential on each one can be made zero. Then :
दो संधारित्र C1 एवं C2 क्रमशः 120V एवं 200V पर आवेशित किये गये हैं। यह पाया जाता है कि उन्हें एक दूसरे से जोड़ देने पर
प्रत्येक पर विभव शून्य किया जा सकता है। तब :
(A) 5C1 = 3C2
(B) 3C1 = 5C2
(C) 3C1 + 5C2 = 0
(D) 9C1 = 4C2
Ans. B
Sol.
C 1 V1 − C 2 V2
C1 + C2
0 = C 1 V1 − C 2 V2
Vcom
=
C 1 V1
=
C 2 V2
120C 1
=
3C 1
5C 2
=
200C 2
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17.
Figure (a) shows two capacitors connected in series and joined to a battery. The graph in figure (b) shows
the variation in potential as one moves from left to right on the branch containing the capacitors, if :-
(A)
(B)
(C)
(D)
C1 > C2
C1 = C2
C1 < C2
The information is not sufficient to decide the relation between C1 and C2
चित्र (a) में एक बैटरी के साथ दो श्रेणी क्रम में बैटरी से जोड़े गये संधारित्र दिखाये गये हैं। चित्र (b) में दर्शाया गया आरेख संधारित्राें को
जोड़ी गयी शाखा (branch) में बांये से दांये विभव में परिवर्तन को दिखाता है, यदि :-
(A)
(B)
(C)
(D)
C1 > C2
C1 = C2
C1 < C2
C1 व C2 के बीच सम्बन्ध निर्धारित करने के लिये सूचना पर्याप्त नहीं है
Ans. C
Sol. It is clear from the graph that potential difference across C1 is more than that across C2.
Now, q = C1V1 = C2V2
or
C1
C2
=
V2
V1
Since, V1 > V2
∴ C1 < C2
18.
Five identical capacitor plates are arranged such that they make capacitors each of 2μF. The plates are
connected to a source of emf 10 V. The charge on plate C is :-
पाॅंच समरूप संधारित्राें को इस प्रकार जोड़ा जाता है कि वो 2μF की धारिता वाले दो संधारित्र बनाते है। प्लेटे 10 V emf के स्त्राेत से
जुड़ी हुई है तो प्लेट C पर आवेश होगा:-
(A) +20 μC
(B) +40 μC
(C) +60 μC
(D) +80 μC
Ans. B
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19.
Find the potential difference between the points A and B and between the points B and C figure in steady :-
(A) 75 V and 25 V
(B) 35 V and 65 V
(C) 25 V and 75 V
(D) 65 V and 35 V
स्थिर अवस्था की स्थिति में बिन्दु A तथा B और बिन्दु B तथा C के मध्य विभवान्तर ज्ञात करों :-
(A) 75 V तथा 25 V
(B) 35 V तथा 65 V
(C) 25 V तथा 75 V
(D) 65 V तथा 35 V
Ans. C
20.
In the circuit shown, the cell is ideal, with emf = 15 V. Each resistance is of 3Ω. The potential difference
across the capacitor is :-
(A) zero
(B) 9 V
(C) 12 V
(D) 15 V
दिए गए चित्र में आदर्श सेल का emf = 15 V है और प्रत्येक प्रतिरोध 3 Ω का हो तो संधारित्र की प्लेटों पर विभवान्तर ज्ञात
करो :-
(A) शून्य
(B) 9 V
(C) 12 V
(D) 15 V
Ans. C
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SECTION-II : (Maximum Marks: 20)
This section contains 10 questions Candidates have to attempt any 5 questions out of 10. If more than 5 questions
are attempted, then only first 5 attempted questions will be evaluated.
The answer to each question is a Numerical Value Type questions.
For each question, enter the correct integer value (in decimal notation, the answer should be rounded off to the
nearest Integer).
Answer to each question will be evaluated according to the following marking scheme:
Full Marks
: +4 If correct answer is selected.
Zero Marks
: 0 If none of the option is selected.
Negative Marks : –1 If wrong option is selected.
खण्ड-II : (अधिकतम अंक: 20)
इस खंड में 10 प्रश्न हैं। उम्मीदवारों को 10 में से किसी भी 5 प्रश्न का प्रयास करना है। यदि 5 से अधिक प्रश्नों का प्रयास किया जाता है, तो
के वल पहले 5 प्रश्नों का मूल्यांकन किया जाएगा।
प्रत्येक प्रश्न का उत्तर संख्यात्मक मान (Numerical Value) है।
प्रत्येक प्रश्न के लिए, सही पूर्णांक मान दर्ज करें (दशमलव संके तन में, उत्तर को निकटतम पूर्णांक में गोल किया जाना चाहिए। )
प्रत्येक प्रश्न के उत्तर का मूल्यांकन निम्नलिखित अंकन योजना के अनुसार किया जाएगा:
पूर्ण अंक
: +4 यदि सही उत्तर चुना गया है।
शून्य अंक
: 0 यदि कोई भी विकल्प नहीं चुना गया है।
ऋणात्मक अंक : –1 यदि गलत विकल्प चुना गया है।
1. A block attached to a spring, pulled by a constant horizontal force, is kept on a smooth surface as shown in
the figure. Initially, the spring is the natural state. Then the maximum positive work that the applied force
F can do is
NF
K
2
then N is : [Given that spring does not break]
चित्रानुसार चिकने क्षैतिज सतह पर रखा गुटका स्प्रिंग से जुड़ा है। इस गुटके को नियत क्षैतिज बल द्वारा खींचा जाता है। यदि स्प्रिंग
प्रारम्भ में इसकी सामान्य स्थिति में है तो आरोपित बल F द्वारा किया गया अधिकतम धनात्मक कार्य
: दिया है : रस्सी टूटती नहीं है।
NF
K
2
है तो N का मान है
Ans. 2
Sol. Applying work energy theorem on block
WF + WS = 0
1 2
kℓ
2
2F
∴ ℓ=
k
Fℓ −
=
0
or work done = F ℓ =
2F 2
k
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2.
The elevator shown in figure is descending with an acceleration of 2 ms–2. The mass of the block A = 0.5 kg.
The force exerted by the block A on the block B is 2x (take g = 10 ms–2). find the value of x.
चित्र में दर्शायी गयी लिफ्ट 2 मी/ सेकण्ड2 के त्वरण से नीचे आ रही है। A गुटके का द्रव्यमान 0.5 kg है। A गुटके द्वारा B गुटके पर
आरोपित बल 2x है। (गुरूत्वीय त्वरण g = 10 ms–2).
x का मान ज्ञात करें।
Ans. 2
Sol.
Let A applies force N1 on B
Then B also applies an opposite force N1 on A
As shown
For A mg – N1 = ma
N1 = m(g – a) = 0.5 (10 – 2)
N1 = 4
N1 = 2x ⇒ x = 2
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3.
Three blocks A, B and C of equal mass m are placed on a smooth surfaces as shown. Coefficient of friction
between any blocks A, B and C is m. The maximum value of mass D so the block A, B & C move without
slipping over each other is
nmμ
. Find the value of n ?
(1 − μ)
समान द्रव्यमान m के तीन गुटके A, B व C दर्शाए अनुसार चिकनी सतह पर स्थित है। प्रत्येक गुटके A, B व C के बीच घर्षण गुणांक
m है। द्रव्यमान D का अधिकतम मान
nmμ
(1 − μ)
है तो n का मान क्या है ? जिससे गुटके A, B व C एक दूसरे पर फिसले बिना गति
करते है।
Ans. 3
Sol. For D Mg – T = Ma
For A
…….(1)
T – f = ma
T – 2mmg = ma
…….(2)
Assuming (B + C) as a single block
So
f = 2 ma
2mmg = 2ma
a = mg
By equation (2)
T – 2mmg = mμg
T = 3μmg
By (1)
Mg – 3mmg = Ma
M
=
3μm
1−μ
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4.
In the given figure, the maximum value of force ‘F’ for which the block does not slide is 10n. Find the
value of n :-
बल ‘F’ का वह अधिकतम मान, ताकि चित्र में प्रदर्शित गुटका गतिमान न हो सके 10n है, तो n का मान क्या होगा :-
Ans. 2
Sol.
N = Fsin60 + √–3g
fL = m(Fsin60 + √–3g )
fL =
F
4
+
g
2
Fcos60 = fL
5.
F
2
=
F
4
=
F
4
+
5
5⇒F
=
20N
A 1 kg block is resting on a vertical wall when a force ‘F is applied perpendicular to it. If coefficient of
friction is 0.2 then the minimum value of F is :एक 1 kg के पिण्ड को एक दीवार के लम्बवत् F बल लगाकर दीवार के साथ रोके रखा गया है। यदि घर्षण गुणांक m = 0.2 है, तो
बल F का न्यूनतम मान है :-
Ans. 49
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6.
What is the potential difference between A and B in the circuit shown ?
दिये गये परिपथ में A व B के बीच विभवान्तर है ?
Ans. 2
Sol.
4
VA – Vy =
VB
7.
−
Vy
4+2
2
=
4+2
×
6
×
6
If the charge on a capacitor is increased by 2 coulomb, the energy stored in it increases by 21%. The
original charge on the capacitor is :
यदि एक संधारित्र के आवेश को 2 C बढ़ा दिया जाता है, संचित ऊर्जा 21% बढ़ जाती है। संधारित्र का प्रारम्भिक आवेश है :
Ans. 20
Sol.
Ui =
q2
2C
Uf
Ui
−
Uf
,
×
Ui
q + 2)2
(
−
q2
q + 2)2
2C
(
=
100
q2
×
=
21
100
=
21
⇒ q = 20C
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8.
For the circuit shown in the figure, the charge on 4µF capacitor is :
चित्र में दिये गये परिपथ के लिए, संधारित्र 4µF पर आवेश होगा :
Ans. 24
Sol.
q = CeqV
= (
4×6
) × 10μC
4+6
= 24µC
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9.
In the given circuit if point C is connected to the earth and a potential of + 2000 V is given to point A, then
potential at B is :
दिये गये चित्र में यदि बिन्दु C को पृथ्वी से संयोजित कर दे तथा बिन्दु A पर + 2000 वोल्ट विभव दे तो बिन्दु B का विद्युत विभव
होगा -
Ans. 500
Sol.
VB – 0 = = 500 V
10.
Find equivalent capacitance across AB (all capacitances in μF) :-
AB के मध्य तुल्य धारिता ज्ञात करों (सभी धारिताएं μF में हैं) :-
Ans. 9
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Topic : GOC (Complete)
PART-2 : CHEMISTRY
भाग-2 : रसायन विज्ञान
SECTION-I : (Maximum Marks: 80)
This section contains 20 questions. Each question has 4 options for correct answer. Multiple-Choice Questions
(MCQs) Only one option is correct. For each question, marks will be awarded as follows:
Full Marks
: +4 If correct answer is selected.
Zero Marks
: 0 If none of the option is selected.
Negative Marks : –1 If wrong option is selected.
खण्ड-I : (अधिकतम अंक: 80)
इस खंड में 20 प्रश्न हैं। प्रत्येक प्रश्न में सही उत्तर के लिए 4 विकल्प हैं। बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs) के वल एक विकल्प सही है। प्रत्येक प्रश्न के
लिए, अंक निम्नानुसार दिए जाएंगे:
पूर्ण अंक
: +4 यदि सही उत्तर चुना गया है।
शून्य अंक
: 0 यदि कोई भी विकल्प नहीं चुना गया है।
ऋणात्मक अंक : –1 यदि गलत विकल्प चुना गया है।
1. Arrange the following in increasing order of pKa value ?
निम्न को pKa मान बढ़ते हुए क्रम में व्यवस्थित कीजिए?
(A) II < I < III
(B) III < I < II
(C) III < II < I
(D) II < III < I
(C) z > v > x > y
(D) x > v = z > y
(C) z > v > x > y
(D) x > v = z > y
Ans. A
2.
Sol. pKa ↑ ­, Acidic strength ↓, basic strength ­↑
Select correct decreasing order of C – O bond length.
(A) x > y > z > v
(B) x > y = z > v
C – O बंध लम्बाई का, घटता हुआ सही क्रम चुनिए -
(A) x > y > z > v
(B) x > y = z > v
Ans. D
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3.
Choose the correctly matched order ?
(A)
(B)
(Acidic strength)
(C)
(Basic strength)
(D)
(Basic strength)
(Acidic strength)
सही रूप से सुमेलित क्रम का चयन कीजिये ?
(A)
(B)
(अम्लीय सामर्थ्य)
(C)
(क्षारीय सामर्थ्य)
(D)
(क्षारीय सामर्थ्य)
(अम्लीय सामर्थ्य)
Ans. D
4.
Identify correct order of heat of hydrogenation ?
हाइड्रोजनीकरण की ऊष्मा का सही क्रम बताइये(A)
(B)
(C)
(D)
Ans. C
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5.
Arrange in decreasing order of acidity of the following compounds :-
निम्नलिखित यौगिकों में अम्लीयता के घटते हुए क्रम है :-
(A) a > b > c > d
(B) c > b > a > d
(C) b > a > c > d
(D) c > d > a > b
Ans. D
Sol. Acidit strength ∝ stability of conjugate base.
6.
Which of the following longest C–O bond is present :निम्न में से किस में सर्वाधिक लम्बा C–O बन्ध उपस्थित है :(A)
(B)
(C)
(D)
Ans. B
Sol. Bond length ∝ no. of Resonating structure.
7.
Which of the following is not aprotic solvent :(A) DMF
(B) Dimethylsulphoxide
(C) Tetrahydrofurance
(D) Ethanol
निम्न में से कौन अप्रोटक (aprotic) विलायक नहीं है :(A) DMF
(B) डाईमेथिल सल्फाॅक्साइड
(C) टेट्राहाइड्रोफ्यूरान
(D) एथेनोल
Ans. D
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8.
Pair of groups exerting (–I) effect is :(A) –NO2 and –COO–
(B) –Cl and –CH3
(C) –CH3 and
(D) –OCH3 and
(–I) प्रभाव डालने वाले समूहों का युग्मक हैं :(A) –NO2 तथा –COO–
(B) –Cl तथा –CH3
(C) –CH3 तथा
(D) –OCH3 तथा
Ans. D
9.
Bond angle of 120o is not present in this compound ?
(A) Ethylene
(B) Benzene
(C) Isobutylene
(D) Methylacetylene
किस यौगिक में बंध कोण का नाम 120o नहीं होगा ?
(A) एथिलीन
(B) बेन्जीन
(C) आइसो ब्यूटिलीन
(D) मेथिल ऐसीटिलीन
Ans. D
Sol.
∴ B.A. = 180o
10.
Which of the following compound has maximum ka value ?
निम्नलिखित में से किस यौगिक का ka मान सर्वाधिक है ?
(A) Me–COOH
(B) Ph–CO2H
(C)
ϕ–OH
(D)
Ans. D
Sol. Due to most stable conjugate base.
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11.
Arrange in decreasing order of basic strength of the given compound :(a) CH2=CH–NH2 (b) CH≡C–NH2
(c) CH3–CH2–NH2 (d) CH3–NH–CH3
दिए हुए यौगिकों को क्षारियता के घटते हुए क्रम में व्यवस्थित करें :(a) CH2=CH–NH2 (b) CH≡C–NH2
(c) CH3–CH2–NH2 (d) CH3–NH–CH3
(A) a > b > c > d
(B) d > c > a > b
(C) b > a > c > d
(D) c > d > a > d
Ans. B
Sol.
B. S. ∝
1
delocalisation
electron relea sin g group
electron withdrawing group
12.
Which is the most stable carbocation among the following :कौन सा कार्बधनायन निम्नलिखित में से सर्वाधिक स्थायी है :(A)
(B)
(C)
(D)
Ans. B
Sol. Stability of Carbocations ∝ No. of hyperconjugating str.
∝ No. of ∝ – Hydrogen.
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13.
Which of the following is most basic
(A)
(B)
(C)
(D) All are equal basic
(B)
(C)
(D) सभी समान क्षारीय है
(B) I, II and IV
(C) II, III and IV
(D) I, II and III
(B) I, II तथा IV
(C) II, III तथा IV
(D) I, II तथा III
निम्न मे से सर्वाधिक क्षारीय है।
(A)
Ans. C
Sol. Basic Strength ∝
14.
1
Stability of anion
Which of the following are aromatic :
(A) I, III and IV
निम्न मे से ऐरोमेटिक है :
(A) I, III तथा IV
Ans. B
Sol.
4n + 2 = 6 Aromatic
4n + 2 = 6 Aromatic
Nonplaner Nonaromatic
4n + 2 = 6 Aromatic
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15.
Which order is incorrect for stability :
(A)
(B)
(C)
(D)
स्थायित्व हेतु निम्न में से गलत क्रम होगा :
(A)
(B)
(C)
(D)
Ans. C
Sol.
(1) Carbanion ⇒ 3o < 2o < 1o
(2) Carbon free radical = 3o > 2o > 1o
(3) Stability of carbocation ∝
(4) Stability of CFR ∝
16.
I
I
+
−
I
−I
+
Which of the following will have lower pka value :
निम्न में pka का न्युनतम मान होगा :
(A)
(B)
(C)
(D)
Ans. A
Sol. Acidic strength ∝ Ka ∝
1
pKa
A.S. ∝ stability of conjugate base
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17.
Most stable carbocation is :
सर्वाधिक स्थायी कार्बधनायन है:
(A)
(B)
(C)
(D)
Ans. A
Sol.
18.
Due to Resonance is
most stable.
Arrange the following compounds in the order of reactivity towards nucleophilic addition reaction
निम्न यौगिकों को नाभिकस्नेही यौगात्मक अभिक्रिया की क्रियाशीलता के क्रम मे व्यवस्थित कीजिए :
(A) a > b > d > c
(B) c > b > a >d
(C) b > c > a > d
(D) b > c > d > a
Ans. C
Sol.
Reactivity for N.AR ∝
M/ − H/ − H
+I / + M / + M
−
–CH3 ⇒ +H
–NO2 ⇒ –M
–Cl ⇒ –I
–OCH3 ⇒ +M
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19.
Which of the following compounds has most acidic hydrogen.
निम्न मे से किस यौगिक मे सर्वाधिक अम्लीय हाइड्राेजन उपस्थित है।
(A)
(B)
(C)
(D)
Ans. B
Sol. Acidic strength µ stability of conjugate Base.
most stable due to vacant d-orbital Resonance.
20.
The decreasing nucleophilicity order of the following compound is :
(i) Ph–SO3
(ii) C2H5SO3
⊖
⊖
⊖
(iii) C2H5COO (iv) C N
⊖
⊖
(v) OH
निम्न यौगिकों के लिए नाभिकस्नेही का घटता क्रम होगा:
(i) Ph–SO3
(ii) C2H5SO3
⊖
⊖
⊖
(iii) C2H5COO (iv) C N
⊖
⊖
(v) OH
(A) v > iv > iii > ii > i
(B) i > ii > iii > iv > v
(C) iv > v > iii > ii > i
(D) i > ii > iii > v > iv
Ans. A
Sol. Nucleophilicity ∝ Basic strength
⊖
Nucleophile center of C N is different but belong to the same period.
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SECTION-II : (Maximum Marks: 20)
This section contains 10 questions Candidates have to attempt any 5 questions out of 10. If more than 5 questions
are attempted, then only first 5 attempted questions will be evaluated.
The answer to each question is a Numerical Value Type questions.
For each question, enter the correct integer value (in decimal notation, the answer should be rounded off to the
nearest Integer).
Answer to each question will be evaluated according to the following marking scheme:
Full Marks
: +4 If correct answer is selected.
Zero Marks
: 0 If none of the option is selected.
Negative Marks : –1 If wrong option is selected.
खण्ड-II : (अधिकतम अंक: 20)
इस खंड में 10 प्रश्न हैं। उम्मीदवारों को 10 में से किसी भी 5 प्रश्न का प्रयास करना है। यदि 5 से अधिक प्रश्नों का प्रयास किया जाता है, तो
के वल पहले 5 प्रश्नों का मूल्यांकन किया जाएगा।
प्रत्येक प्रश्न का उत्तर संख्यात्मक मान (Numerical Value) है।
प्रत्येक प्रश्न के लिए, सही पूर्णांक मान दर्ज करें (दशमलव संके तन में, उत्तर को निकटतम पूर्णांक में गोल किया जाना चाहिए। )
प्रत्येक प्रश्न के उत्तर का मूल्यांकन निम्नलिखित अंकन योजना के अनुसार किया जाएगा:
पूर्ण अंक
: +4 यदि सही उत्तर चुना गया है।
शून्य अंक
: 0 यदि कोई भी विकल्प नहीं चुना गया है।
ऋणात्मक अंक : –1 यदि गलत विकल्प चुना गया है।
1. Number of C–H bonds involved in hyperconjugation in given structure are :-
दिए गए संरचना में अतिसंयुग्मन में भाग लेने वाले C–H बंधों की संख्या है :-
Ans. 5
2.
How many given species are –M effect showing groups ?
(a) –OH
(b) –NO2
(c) –CN
(e) –COOH (f) –CH=NH (g)
(d) –CH2CH3
(h)
दिए गए में से कितने स्पीशीज –M प्रभाव दर्शाएगा ?
(a) –OH (b) –NO2
(c) –CN (d) –CH2CH3
(e) –COOH (f) –CH=NH (g)
(h)
Ans. 4
3.
Number of Pi-electrons present in furan are :फ्यूरान में उपस्थित पाई-इलेक्ट्राॅनों की संख्या होगी :-
Ans. 6
Sol.
one l.p. of oxygen atom takes part is resonance So, the total no. of π-electrons = 6
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4.
Use the following data to answer the question below :
Calculate the resonance energy of anthracene.
नीचे दिये गये प्रश्न के उत्तर हेतु निम्न मानों का उपयोग कीजिए :
एन्थ्रासीन हेतु अनुनादी ऊर्जा की गणना कीजिए:
Ans. 84
Sol.
ΔHexpect = 7 × 28.6 = –200.2 k cal mol–1
ΔHreal = –116.2 kcal mol–1
Reronance Energy = ΔHexcepted – ΔHreal
=84kcal mol–1
5.
How many 1,2-shifts are involved in the following rearrangement of carbocation?
दिये गये कार्बधनायन में कितने 1,2-स्थानान्तरण भाग लेते है।
Ans. 4
Sol.
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6.
How many of following are soluble in NaHCO3
(1)
निम्न में NaHCO3 में विलेय की संख्या होगी-
(1)
Ans. 6
Sol. (1), (2), (3), (5), (6), (8) are soluble in NaHCO
3
7.
How many πe– in given compound ?
दिये गये यौगिक मे कितने πe– है। ?
Ans. 6
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8.
In given pairs no. of pairs in which I compound is more stable than II.
दिये गये युग्म में से कितने युग्मों में यौगिक I यौगिक II से अधिकतम स्थायी है।
Ans. 4
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9.
How many of the following compound have less pKa than benzoic acid :
(i) HCOOH
(ii) CH3COOH
निम्न में से कितने यौगिकों का pKa मान बैन्जोइक अम्ल से कम है।
(i) HCOOH
(ii) CH3COOH
Ans. 5
10.
Number of π electrons involve in resonance in the following structure is
निम्नलिखित संरचना में अनुनाद में सम्मिलित π इलेक्ट्राॅनों की संख्या कितनी होगी
Ans. 8
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Topic : Trigonometric Equations, Height and Distance, Differential, Calculus (Limit, Continuity,
Differentiability & Differentiation)
PART-3 : MATHEMATICS
भाग-3 : गणित
SECTION-I : (Maximum Marks: 80)
This section contains 20 questions. Each question has 4 options for correct answer. Multiple-Choice Questions
(MCQs) Only one option is correct. For each question, marks will be awarded as follows:
Full Marks
: +4 If correct answer is selected.
Zero Marks
: 0 If none of the option is selected.
Negative Marks : –1 If wrong option is selected.
खण्ड-I : (अधिकतम अंक: 80)
इस खंड में 20 प्रश्न हैं। प्रत्येक प्रश्न में सही उत्तर के लिए 4 विकल्प हैं। बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs) के वल एक विकल्प सही है। प्रत्येक प्रश्न के
लिए, अंक निम्नानुसार दिए जाएंगे:
पूर्ण अंक
: +4 यदि सही उत्तर चुना गया है।
शून्य अंक
: 0 यदि कोई भी विकल्प नहीं चुना गया है।
ऋणात्मक अंक : –1 यदि गलत विकल्प चुना गया है।
1. For n ∈ Z, the general solution of the equation ( –3–1) sinθ + ( –3 + 1) cosθ = 2 is :√
√
n ∈ Z, तो समीकरण ( √–3–1) sinθ + ( √–3 + 1) cosθ = 2 का व्यापक हल होगा :(A)
θ
=
2nπ
(B)
θ
=
nπ
θ
=
2nπ
(D)
θ
=
nπ
4
(− )
π
±
+
+
1
+
(C)
π
±
n
1
(− )
12
π
n
π
+
4
−
4
π
12
π
12
π
π
−
4
12
Ans. A
Sol.
(√
⇒
–
3
−
(√
–
3
−
1)
–
2√2
⇒ sin
π
12
⇒cos(θ
⇒θ
1) sin θ
−
sin θ
sin θ
−
π
12
+ (√
cos
)
=
12
=
2nπ
3
±
1) cos θ
+
+ (
+
π
–
π
12
=
2
–
3+1
) cos θ
2√–2
√
cos θ
cos
=
cos
=
1
√
–
2
π
4
π
4
π
4
[ ∵ cos θ = cos α ⇒ θ = 2nπ ± α]
⇒ θ
=
2nπ
±
π
4
+
π
12
,
n is any integer.
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2.
The solution set of the system of eqation :
x
y
+
2π
, cos x
3
=
cos y
+
=
3
, where x and y are real in :2
(A) a finite non-empty set
(B) null set
(C)
(D) None of these
∞
समीकरण :
x
y
+
2π
, cos x
3
=
cos y
+
=
3
, का हल समुच्चय होगा, जहाँ x व y वास्तविक है :2
(A) एक परिमित अरिक्त समुच्चय
(B) रिक्त समुच्चय
(C)
(D) इनमें से कोई नहीं
∞
Ans. B
Sol.
cos x
+
⇒ 2 cos
⇒ 2 cos
⇒ cos
x
cos y
x
+
y
2
π
3
−
cos
=
cos
x
y
2
3
2
=
−
x
y
y
−
=
2
3
2
=
2
3
2
which is not possible
∵
(
3
2
∵ x
(
3
2
>
+
y
=
2π
)
3
1)
Hence the system of equations has no solution.
3.
If sin A and cos A are the roots of the equation
4x2 – 3x + a = 0, sin A + cos A + tan A + cot A + sec A + cosec A = 7 and 0 < A <
π
2
, then the value of a
must be
यदि sin A और cos A समीकरण 4x2 – 3x + a = 0,
π
के मूल है, sin A + cos A + tan A + cot A + sec A + cosec A = 7 और 0 < A < , तब a का संभावित मान है।
2
(A)
7
25
(B)
25
7
(C)
28
25
(D)
25
28
Ans. C
Sol.
3
4
sin A and cos A are the roots of the equation 4x2 – 3x + a = 0 ⇒ sin A + cos A = and sin A cos A
Also, (sin A + cos A) + (tan A + cot A) +
=
a
4
(sec A + cosec A) = 7
sin A + cos A
(
sin A cos A
3
) = 7 ⇒
4
⇒ (sin A + cos A) +(
+
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1
a
4
+
3
4
a
4
=
7⇒
3
4
+
4
a
+
3
a
=
7⇒
1
)
sin A cos A
+
7
a
25
28
⇒ a=
4
25
=
7
−
3
4
=
0999DJM210322003
E + H / 31072022
ALLEN
4.
The set of all values of 'a' for which the equation cos 2x + a sin x = 2a – 7 has a solution is
a के सभी मानो का समुच्चय, जिनके लिए समीकरण
cos 2x + a sin x = 2a – 7 का एक हल है, हैं:(A) (– ∞, 2)
(B) [2, 6]
(C) (6, ∞)
(D) (– ∞, ∞)
Ans. B
i.e. 2 sin2x – a sin x + 2a – 8 = 0
Sol. cos 2x + a sin x = 2a – 7
sin x =
sin x =
5.
−
−
−−
−−
−−
−
−−
− (
− )
a ± √a 2
8 2a
8
=
4
a−4
2
or 2 Hence, −1 ⩽
a ± (a − 8)
4
(a − 4)
⩽ 1 The range of a is [2, 6].
2
A value of θ ∈ (0, π/3), for which
∣
1 + cos2 θ
sin 2 θ
4 cos 6θ
∣
∣
∣
∣
∣
cos2 θ
1 + sin 2 θ
∣
4 cos 6θ
∣ =
∣
∣
∣
∣
cos2 θ
∣
sin 2 θ
1 + 4 cos 6θ ∣
θ ∈ (0, π/3),का एक मान, जिसके
∣
2
2
1 + cos θ
sin θ
लिये
4 cos 6θ
∣
∣
∣
∣
∣
cos2 θ
1 + sin 2 θ
∣
4 cos 6θ
∣ =
∣
∣
∣
0, is
∣
cos2 θ
(A)
0, है
∣
sin 2 θ
1 + 4 cos 6θ ∣
7π
24
(B)
π
(C)
18
π
9
(D)
7π
36
Ans. C
Sol. R → R – R
1
1
2
∣
1
0
1
−
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
2
2
∣
cos θ
1 + sin θ
4 cos 6θ
cos2 θ
sin 2 θ
1 + 4 cos 6θ ∣
∣
=
0
∣
R2 → R2 – R3
∣
1
1
0
−
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
0
1
cos2 θ
sin 2 θ
1
−
∣
∣
=
0
∣
1 + 4 cos 6θ ∣
⇒ (1 + 4 cos6θ) + sin2θ + 1 (cos2θ) = 0
1 + 2 cos6θ = 0 ⇒ cos6θ = –1/2
6θ =
2π
π
⇒ θ=
3
9
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6.
The angle of elevation of a jet plane from a point A on the ground is 60°. After a flight of 20 seconds at the
speed of 432 km/hour, the angle of elevation changes to 30°. If the jet plane is flying at a constant height,
then its height is :
धरती पर एक बिन्दु A से एक जैट का उन्नयन कोण 60° है। 432 km/hour की गति से 20 सैकण्ड की उड़ान के बाद उन्नयन कोण
30° हो जाता है। यदि जेट एक स्थिर ऊँ चाई पर उड़ रहा है, तो उसकी ऊँ चाई है:
(A) 1800√–3 m
(B) 3600√–3 m
(C) 2400√–3 m
(D) 1200√–3 m
Ans. D
Sol.
tan 60
∘
√
h
y
–
3=
tan 30
∘
1
√
–
3
h
y
=
–
⇒ h = √3y
h
x+y
=
=
.....(1)
h
–
⇒ √3h = x + y
x+y
......(2)
Speed 432 km/h
⇒
√
√
432 × 20
12
⇒
km
60 × 60
5
–
12
5
+
y
–
12
5
=
y
3h =
3h −
=x
from (1)
–
–
h = √3 [√3h −
h = 3h −
h=
12
]
5
12√–3
5
6√–3
km
5
–
h = 1200√3 m
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7.
A tower BCD surmounted by a spire DE stands on a horizontal plane. At the extremity A of a horizontal line BA
it is found that BC and DE subtend equal angles. If BC = 3m, CD = 28 m and DE = 5m, then BA is equal to :एक मीनार BCD जो क्षैतिज तल पर खड़ी है पर एक खम्भा DE रखा हुआ है। क्षैतिज रेखा BA के शीर्ष A पर BC व DE समान
कोण अन्तरित करते हैं। यदि BC = 3m, CD = 28 m और DE = 5m हो तो BA का मान होगा :(A)
−
−
−
−
−
−
√
×
18
93
(B)
−
−
−
−
−
−
√
×
36
93
(C)
−
−
−
−
−
−
√
×
34
93
(D)
−
−
−
−
−
−
√
×
34
36
Ans. A
Sol. Let ∠BAC = ∠DAE = θ ∠DAB = α, AB = x.
Now BC = 3m, CD = 28m, DE = 5m.
∴ tan(α + θ) = 36/x
tan(α) = 31/x, tan θ = 3/x
so, tan (α + θ) =
⇒
⇒
⇒
⇒
8.
36
x
31
x
=
1−
tan α + tan θ
1 − tan α tan θ
+
31
x
3
x
×
3
x
36(x2 – 93) = 34x2 ⇒ 2x2 = 36 × 93
x2 = 18 × 93
−
−
−
−
−
x = √−
18 × 93.
The angle of elevation of the top of vertical tower standing on a horizontal plane is observed to be 45°
from a point A on the plane. Let B be the point 30 m vertically above the point A. If the angle of elevation
of the top of the tower from B be 30°, then the distance (in m) of the foot of the tower from the point A is:
क्षैतिज तल पर खड़ी एक ऊर्ध्वाधर मीनार के शिखर का तल पर एक बिन्दु A से उन्नयन कोण 45° है। माना बिन्दु A से 30 m
उर्ध्वाधर ऊपर बिन्दु B है। यदि B से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30° है, तो मीनार के पाद की बिन्दु A से दूरी (मीटर में) है :
(A)
–
15 (3 − √3)
(B)
–
15 (3 + √3)
(C)
–
15 (1 + √3)
(D)
–
15 (5 − √3)
Ans. B
Sol.
tan 45
=
tan 30
=
∘
∘
x + 30
⇒ x + 30 = y
y
y
1
x
– = y ⇒x= –
√3
√3
1=
from (i) and (ii)
(ii)
–
y = 15 (3 + √3)
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(i)
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9.
ABCD is a rectangular field. A vertical lamp post of height 12 m stands at the corner A. If the angle of
elevation of its top from B is 60° and C is 45°, then the area of the field is :ABCD एक आयताकार खेत है। एक 12 m ऊचाॅई का उर्ध्वाधर खम्बा एक शीर्ष A पर रखा जाता है। यदि खम्बे के शीर्ष का B व C
पर उन्नयन कोण 60° व 45° है तो खेत का क्षेत्रफल होगा :–
(A)
48√2 sq m
(B)
48√3 sq m
–
(C) 48 sq m
(D)
–
12√2 sq m
Ans. A
Sol. In ΔABE,
tan 60
∘
=
12
AB
–
AB = 4√3 m
⇒
and in ΔACE,
tan 45
∘
=
12
AC
AC = 12 m
⇒
In ΔABC,
BC
−
−
−
−
2−−−−−−
2
= √
−
AC
−
−
−
−
−
−
−
= √
−
=
144
∴
48
AB
–
4√6 m
Area of rectangular field
AB × BC
–
–
=
4√3 × 4√6
=
48√2 sq m
–
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10.
A vertical pole consists of two parts, the lower part being one third of the whole. At a point in the
horizontal plane through the base of the pole and distance 20 meters from it, the upper part of the pole
1
2
subtends an angle whose tangent is . The possible heights of the pole are :
(A) 20 m and 20√–3m
(B) 20 m and 60 m
(C) 16 m and 48 m
(D) None of these
एक ऊर्ध्वाधर छड़ के दो भाग हैं, निचला भाग सम्पूर्ण ऊँ चाई का एक.तिहाई है। छड़ के आधार से जाने वाले क्षैतिज समतल में छड़ से
20 मीटर दूर स्थित एक बिन्दु पर छड़ का ऊपरी भाग जो कोण अन्तरित करता है उसकी स्पर्शज्या
है :
–
(A) 20 m तथा 20√3m
(B) 20 m तथा 60 m
(C) 16 m तथा 48 m
(D) इनमें से कोई नहीं
1
2
है, तो छड़ की सम्भावित लम्बाई
Ans. B
Sol.
H
cot α = d and H cot β = d
3
H
H
or
= tan α and
= tan β
3d
d
tan(β − α) =
1
2
=
H
d
−
1+
H2
4H
=
2
3d
3d
⇒ H 2 − 4dH + 3d 2
H
3d
H2
3d 2
⇒ 1+
=
0
⇒ H 2 − 80H + 3(400) = 0 ⇒ H
11.
f (x)
1 − cos[7(x − π)]
=
5(x − π) 2
,
=
20 or 60 m
x ≠ π.
If f is continuous at x = π, then f(π) should be defined as
f (x)
1 − cos[7(x − π)]
=
5(x − π) 2
,
x≠π
यदि f, x = π, पर संतत् है तो f(π) परिभाषित है(A) 4.7
(B) 4.8
(C) 4.9
(D) 0.7
Ans. A
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12.
x
lim
x→0
2
x
+| |+
x
x 2 − |x| + 3x
equals
(A) 1
(B) 0
(C) –1
(D) does not exist
x 2 + |x| + x
lim
x→0
x 2 − |x| + 3x
बराबर है
(A) 1
(B) 0
(C) –1
(D) अस्तित्व नहीं है
Ans. D
13.
1−
(
lim
n→0
1−
(
1−
(
lim
n→0
(A)
1
22
1
22
1−
(
−
1−
)(
1
32
1−
)(
1
42
1−
)....(
1
1
1
1
) (1 −
) (1 −
) . . . . . (1 −
n
2
3
4
1−
)(
1
32
1−
)(
1
42
1−
)....(
1
1
1
1
) (1 −
) (1 −
) . . . . . (1 −
n
2
3
4
1
2
1
n2
)
equals
)
1
n2
)
)
बराबर है
(B)
(C) 2
1
2
(D) –2
Ans. B
14.
If f(x) =
is differentiable at x = 1, then the value of A + 48 is :
यदि f(x) =
, x = 1 पर अवकलनीय है, तब A + 48 का मान है।
(A) –3
(B) 0
(C) 3
(D) 6
Ans. C
Sol. contiunity at x = 1
⇒ A + B = A+ 3 - 8
⇒B=
3
2
Differentiable at x = 1
⇒ 2B = A + 6
⇒A=3
∴ A + 4B = -3 + 6 = 3
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15.
∣
Let f (x) = ∣(x +
∣
∣
1
) [x]∣, when – 2 ≤ x ≤ 2. where [.] represents greatest integer function. Then
2
∣
(A) f(x) is continuous at x = 2
(B) f(x) is continuous at x = 1
(C) f(x) is continuous at x = – 1
(D) f(x) is discontinuous at x = 0
∣
यदि f (x) = ∣(x +
∣
∣
1
) [x]∣
2
∣
जब – 2 ≤ x ≤ 2 जहाँ [.] महत्तम पूर्णाक फलन है, तब
(A) f(x), x = 2 पर संतत् है
(B) f(x), x = 1 पर संतत् है
(C) f(x), x = – 1 पर संतत् है
(D) f(x), x = 0 पर संतत् है
Ans. D
16.
If f(x) = {x} & g(x) = [x] (where {.} & [.] denotes the fractional part and the integral part functions
respectively), then discuss the continuity of :
h(x) = f(x) + g(x) at x = 1
(A) Dis-continuous
(B) Differentiable
(C) Continuous
(D) None
यदि f(x) = {x} और g(x) = [x] (जहाँ {.} और [.] भिन्नात्मक भाग व महत्त्तक पूर्णांक फलन को दर्शाता है तब
h(x) = f(x) + g(x) तो x = 1 पर चर्चा करें
(A) असंतत्
(B) अवकलनीय
(C) संतत्
(D) कोई नहीं
Ans. C
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17.
The function f(x) =
sin 3x + A sin 5x + B sin x
x 4 tan 1 x
−
,
x≠0 and f(0) = C. If f is continuous at x = 0, find the value of
फलन f(x) =
sin 3x + A sin 5x + B sin x
x 4 tan 1 x
−
(A) 14
AB + C
A
, x ≠ 0 और f(0) = C यदि f, x = 0 पर संतत् है, तब
(B) 15
(C) 16
AB + C
A
का मान है।
(D) 17
Ans. A
Sol. Using expansions of sin 3x, sin 5x and sin x, we get
c = f(0)
for limit to exist coefficient of x = 0 and coefficient of
x3 = 0
3 + 5A + B = 0
125A
B
+
=0
6
6
1
Solving A = – ; B = – 2
5
and
9
2
+
∴ f(0) = coefficient of x
1
5
AB + C
A
5
16
5
=–
Hence, A = – ; B = – 2 and C = –
Hence,
18.
16
;
5
= 14
The function f (x) = ∣∣x 2 − 2x − 3∣∣
⋅ e 9x
∣
∣
2
12x+4∣∣
−
is not differentiable at exactly :
(A) four points
(B) three points
(C) two points
(D) one point
फलन f (x) = ∣∣x 2 − 2x − 3∣∣
⋅ e 9x
∣
∣
2
12x+4∣∣
−
(A) ठीक चार बिन्दुओं पर अवकलनीय नहीं है।
(B) ठीक तीन बिन्दुओं पर अवकलनीय नहीं है।
(C) ठीक दो बिन्दुओं पर अवकलनीय नहीं है।
(D) ठीक एक बिन्दु पर अवकलनीय नहीं है।
Ans. C
Sol. ƒ(x) = |(x – 3) (x + 1)| . e 3x
(
2
− )
2
Clearly, non-differentiable at x = –1 & x = 3.
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LTS - Page 42/48
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x
19.
dt
Let S be an interval in which f (x) = ∫
1 + t3
0
is an invertible function. Suppose g is the inverse of f, then
which of the following statement is true?
x
मान लिजिए S एक अंतराल है जिसमें f (x) = ∫
0
dt
1 + t3
प्रतिलोम फलन है। मान लिजिए g, f का प्रतिलोम है, तो निम्नलिखित में
से कौनसा कथन सत्य है।
(A)
g′ (x) =
(C)
g′ (x) =
1
f (f ′ (x))
1
g (f ′ (x))
(B)
g′ (x) =
(D)
g′ (x) =
1
g (g′ (x))
1
f ′ (g (x))
Ans. D
Sol.
1
∵ f ′ (x) =
1 + x3
g(x)
Also
f (g (x)) =
∫
1 + t3
0
g(x)
⇒x=
dt
dt
∫
1 + t3
0
1
Now, 1 =
1 + (g (x))
3
g′ (x)
⇒ g ′ (x) = 1 + (g (x)) 3
=
20.
1
f ′ (g (x))
d 2x
dy 2
equals
d 2x
dy 2
बराबर है।
1
d 2y
(A)
(
(B)
−(
(C)
(
(D)
−(
dx 2
−
)
1
d 2y
dx 2
−
)
d 2y
dx 2
dy
)
dx
3
−
(
dy
)
dx
2
−
)(
d 2y
dx 2
dy
)
dx
3
−
)(
Ans. D
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SECTION-II : (Maximum Marks: 20)
This section contains 10 questions Candidates have to attempt any 5 questions out of 10. If more than 5 questions
are attempted, then only first 5 attempted questions will be evaluated.
The answer to each question is a Numerical Value Type questions.
For each question, enter the correct integer value (in decimal notation, the answer should be rounded off to the
nearest Integer).
Answer to each question will be evaluated according to the following marking scheme:
Full Marks
: +4 If correct answer is selected.
Zero Marks
: 0 If none of the option is selected.
Negative Marks : –1 If wrong option is selected.
खण्ड-II : (अधिकतम अंक: 20)
इस खंड में 10 प्रश्न हैं। उम्मीदवारों को 10 में से किसी भी 5 प्रश्न का प्रयास करना है। यदि 5 से अधिक प्रश्नों का प्रयास किया जाता है, तो
के वल पहले 5 प्रश्नों का मूल्यांकन किया जाएगा।
प्रत्येक प्रश्न का उत्तर संख्यात्मक मान (Numerical Value) है।
प्रत्येक प्रश्न के लिए, सही पूर्णांक मान दर्ज करें (दशमलव संके तन में, उत्तर को निकटतम पूर्णांक में गोल किया जाना चाहिए। )
प्रत्येक प्रश्न के उत्तर का मूल्यांकन निम्नलिखित अंकन योजना के अनुसार किया जाएगा:
पूर्ण अंक
: +4 यदि सही उत्तर चुना गया है।
शून्य अंक
: 0 यदि कोई भी विकल्प नहीं चुना गया है।
ऋणात्मक अंक : –1 यदि गलत विकल्प चुना गया है।
1. The number of solutions of the equation
tan2x – sec6x + 1 = 0 in (0, 13) is :समीकरण tan2x – sec6x + 1 = 0 के (0, 13) में, हलों की संख्या है :-
Ans. 4
Sol. tan2x – sec6x + 1 = 0 ⇒ sec2x = sec6x
If sec2x ≠ 1, sec2x < sec6x as |sec x| > 1.
Hence only possible solutions are sec2x = 1
i.e., x = nπ as 0 < x < 13,
possible solutions are π, 2π, 3π, 4π
2.
Let f(x) = max {tan x, cot x}. Then the number of roots of the equation f(x) =
1
2
in (0, 2π) is
माना f(x) = max {tan x, cot x} तब समीकरण
f(x) =
1
2
का (0, 2π) में हलों की संख्या है -
Ans. 0
Sol.
From the graph of tan x and cot x, we see that the range of f(x) is [–1, 0] ∪ [1, ∞).
Hence, f(x) = max {tan x, cot x} and g(x) =
1 1
2 2
do not cut each other
⇒ The number of solution is zero.
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LTS - Page 44/48
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3.
If α, β, γ and δ are the solutions of the equation tan(θ +
tangents, then the value of tan α + tan β + tan γ + tan δ is
π
4
)
= 3 tan 3θ, no two of which have equal
π
यदि समीकरण tan(θ + ) = 3 tan 3θ के मूल α, β, γ व δ है इनमें से किन्हीं दो स्पर्शज्या का मान समान नहीं है तो
4
tan α + tan β + tan γ + tan δ =
Ans. 0
Sol. We have,
π
tan(θ +
⇒
⇒
⇒
) = 3 tan 3θ
4
1 + tan θ
3 tan θ − tan 3 θ
= 3.
1 − tan θ
1 − 3tan 2 θ
1+t
3t − t 3
= 3(
) [putting t = tan θ]
1−t
1 − 3t 2
3t4 – 6t2 + 8t – 1 = 0
So, t1 + t2 + t3 + t4 =
∴
4.
0
3
=
0
tan α + tan β + tan γ + tan δ = 0
A house of height 100 m subtends a right angle at the window of an opposite house. If the height of the
window be 64 m, then the distance between the two houses is
एक मकान जिसकी ऊँ चाई 100 m हैं। उसके सामने स्थित मकान की खिड़की पर समकोण बनता हैं। यदि खिड़की की ऊँ चाई 64 m हैं,
तब दोनों मकानों के बीच की दूरी ज्ञात करों।
Ans. 48
Sol.
tan θ =
64
d
......(1)
tan (90 – θ)
= cot θ =
36
d
.......(2)
(1) & (2)
d = 48 m
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5.
Two vertical poles of heights, 20m and 80m stand a part on a horizontal plane. The height (in meters) of
the point of intersection of the lines joining the top of each pole to the foot of the other, from this
horizontal plane is :
20 मी. तथा 80 मी. ऊँ चाई वाले दो खंभे, एक क्षैतिज समतल पर सीधे खड़े हैं। प्रत्येक खंभे के शिखर को दूसरे खंभे के पाद से मिलाने
वाली रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु की इस समतल से ऊँ चाई (मीटरों में) है :-
Ans. 16
Sol.
by similar triangle
h
x1
by
=
80
...(1)
x1 + x2
h
x2
20
=
..(2)
x1 + x2
by (1) and (2)
x2
x1
⇒
=
h
x1
4 or x2 = 4x1
=
80
5x 1
or h = 16m
π
6.
Lim ℓ = xlim
→∞
2
tan
1
−
x
ln(1 + 1/x)
π
Lim ℓ = xlim
→∞
−
2
−
tan
1
−
x
ln(1 + 1/x)
equals
बराबर है
Ans. 1
Sol.
l = x→∞
lim
xcot
1
−
x
x ln(1 + ( 1x ))
=1
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ALLEN
7.
If f(x + y) = f(x) . f(y) ∀x, y and f(5) = 2, f'(0) = 3 then the value of f'(5) is ____.
यदि f(x + y) = f(x) . f(y) ∀x, y तथा f(5) = 2, f'(0) = 3 तब f'(5) का मान है।
Ans. 6
8.
The number of points, at which the function f(x) = |2x + 1|
–
3|x + 2| + |x2 + x
–
2|, x
∈
R is not
differentiable, is _______.
उन बिन्दुओं की संख्या जिन पर फलन f(x) = |2x + 1| – 3|x + 2| + |x2 + x – 2|, x ∈ R अवकलनीय नहीं है।
Ans. 2
9.
Let f : R → R be defined as
The value of λ for which f"(0) exists, is
माना f : R → R इस प्रकार परिभाषित किया जाता है।
तब λ का मान जिसे लिए f"(0) मौजूद है, है
Ans. 5
10.
The derivative of f(x) = |x2 – x| at x = 2 is :
f(x) = |x2 – x| का x = 2 पर अवकलज है।
Ans. 3
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Space for Rough Work/कच्चे कार्य के लिए स्थान
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