Kompletterande formelblad
MVE018 Matematisk analys i en variabel∗
Oscar Lindqvist†
2023-01-08
Innehåll
1 Grundläggande formler och räkneregler
1.1 Potenser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Logaritmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Trigonometriska formler . . . . . . . . . . . .
1.4 Exakta värden för trigonometriska funktioner
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
2
2
2
2
2 Integraler
2.1 Räkneregler . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Bestämd integral . . . . . .
2.1.2 Obestämd integral . . . . .
2.2 Lösningsmetoder . . . . . . . . . .
2.2.1 Variabelsubstitution . . . .
2.2.2 Partiell integration . . . . .
2.2.3 Rationella funktioner . . . .
2.2.4 Trigonometriska funktioner
2.2.5 Rotuttryck . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
3
3
3
3
3
3
4
5
5
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3 Volym- och ytberäkningar
6
4 Följder och serier
4.1 Talföljder . . . . . . . . . . .
4.2 Serier . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Vanliga serier . . . . .
4.2.2 Konvergenskriterier .
4.2.3 Potensserier . . . . . .
4.3 Taylorserier och -polynom . .
4.3.1 Taylors olikhet . . . .
4.3.2 Kända Maclaurinserier
4.4 Tillämpningar av serier . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5 Differentialekvationer
5.1 Separabel . . . . . . . . .
5.2 Integrerande faktor . . . .
5.3 Av andra ordningen . . .
5.3.1 Homogenlösningen
5.3.2 Partikulärlösningar
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
9
. 9
. 9
. 9
. 10
. 10
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
∗ Används
† Tack
på egen risk!
till JAS som stått för en stor del av underlaget.
1
6
6
6
6
6
7
8
8
8
8
1
Grundläggande formler och räkneregler
1.1
Potenser
ax
= ax−y
ay
a x
ax
=
bx
b
ax ay = ax+y
ax bx = (ab)x
1.2
a−x =
1
an =
√
n
1
ax
a0 = 0
a
Logaritmer
ln x − ln y = ln
ln x + ln y = ln xy
1.3
y
(ax ) = x(xy)
x
y
ln xp = p · ln x
Trigonometriska formler
Finns på formelblad som fås vid tentamen
sin (x + y) = sin x · cos y + cos x · sin y
sin x · sin y = 21 (cos (x − y) − cos (x + y))
cos (x + y) = cos x · cos y − sin x · sin y
tan x + tan y
tan (x + y) =
1 − tan x · tan y
sin2 x = 21 (1 − cos 2 x)
cos x · cos y = 21 (cos (x + y) + cos (x − y))
sin x · cos y = 12 (sin (x + y) + sin (x − y))
cos2 x = 12 (1 + cos 2 x)
Övriga
sin2 x + cos2 x = 1
1.4
sin 2x = 2 sin x cos x
Exakta värden för trigonometriska funktioner
Vinkel (θ)
sin θ
cos θ
tan θ
1
√
3
2
0
0◦
0
0
30◦
π
6
1
2
45◦
π
4
1
√
2
60◦
π
3
1
√
2
√
3
2
1
2
√
90◦
π
2
1
0
ej definierad
1
√
3
1
3
2

2
2

cos x − sin x
cos 2x = 2 cos2 x − 1


1 − 2 sin2 x
(1)
(2)
(3)
2
Integraler
2.1
Räkneregler
2.1.1
Bestämd integral
ˆ
ˆ
a
a
ˆ
ˆ
b
a
ˆ
ˆ
ˆ
g(x) ≤ f (x) i [a, b]
b
f (x) dx
a
a
Obestämd integral
ˆ
ˆ
k f (x) dx = k
f (x) dx
ˆ
ˆ
ˆ
(f (x) + g(x)) dx =
f (x) dx + g(x) dx
ˆ ′
f (x)
dx = ln |f (x)|
f (x)
2.2
b
f (x) dx
f (x) dx ≤
a
f (x) dx
a
a
b
f (x) dx
a
2.1.2
ˆ
b
k f (x) dx = k
ˆ
b
b
c
g(x) dx ≤
a
a
b
ˆ
b
f (x) dx +
a
g(x) dx
f (x) dx +
(f (x) + g(x)) dx =
a
ˆ
c
f (x) dx =
ˆ
b
ˆ
b
f (x) dx = 0
ˆ
1
f (x) f ′ (x) dx =
· f (x)2
2
ˆ
x
dx
1
=
arctan
a2 + x2
a
a
ˆ
x
dx
√
= arcsin
a
a2 − x2
Lösningsmetoder
2.2.1
Variabelsubstitution
ˆ
ˆ
t = g(x)
′
f (g(x)) g (x) dx =
= f (t)dt = F (t)
dt = g ′ (x) dx
Tre olika varianter:
(a) Känner igen inre derivata.
(b) Sätter t till nåt i uttrycket som verkar ”svårt”.
(c) Sätter x = g(t) som förenklar integralen.
2.2.2
Partiell integration
ˆ
ˆ
f (x) g(x) dx = F (x)g(x) −
F (x) g ′ (x) dx
Kan ibland vara bra att lägga till en konstant till den F man tänker på först. Går också att integrera en osynlig
1:a.
Tic-tac-toe (ej från JAS)
f (x)
f ′ (x)
f ′′ (x)
f (3) (x)
..
.
Ger att
´
g(x)
´
˜g(x)
˝g(x)
g(x)
..
.
+
−
+
..
.
f (x) g(x) dx = f (x) +
´
g(x) − f ′ (x) +
˜
g(x) + f ′′ (x) +
3
˝
g(x)
Upprepad partiell integration
Integraler av typerna
ˆ
p(x) cos (a x) dx
ˆ
p(x) sin (a x) dx
ˆ
p(x) ea x dx
löses med upprepad PI där polynomet p(x) deriveras bort.
Cyklisk partiell integration
Integraler av typerna
ˆ
cos (a x) eb x dx
ˆ
sin (a x) eb x dx
löses med cyklisk PI. Det spelar ingen roll vilken term som väljes att integrera, men det måste vara samma hela
tiden. Tillslut återkommer den integral som var från början, men multiplicerad med en konstant. Då går det
att lösa.
2.2.3
Rationella funktioner
Partialbråksuppdelning gör det enklare att integrera.
Irreducibla polynom går inte att skriva som en produkt av två polynom med grad ≥ 1. De är alltid av
antingen
(a) grad 1
(b) grad 2 och saknar reellt nollställe.
Metod för integration av
p(x)
q(x)
(1)
Gör polynomdivision så att p är av grad < q:s grad.
(2)
Faktorisera q(x) som en produkt av irreducibla polynom.
(3)
Ansätt ett bråk för varje faktor i q(x) där täljaren ska vara en grad lägre än nämnaren.
(4)
Identifiera konstanterna i ansättningen.
(5)
Integrera resultatet.
4
2.2.4
Trigonometriska funktioner
Vid. . .
. . . substituera
ˆ
f (cos a x) sin a x dx
t = cos a x
dt = −a sin a x dx
f (sin a x) cos a x dx
t = sin a x
dt = a cos a x dx
ˆ
ˆ
dt = (1 + tan2 x) dx,
f (tan a x) dx
t = tan x
dt
= dx
1 + t2
Förbered om nödvändigt för att få av rätt typ:
Skriv om. . .
ˆ
f (cos2 a x) dx
ˆ
f (sin2 a x) dx
Produkter med
cos a x och sin a x
2.2.5
. . . med hjälp av

1

(1 + cos 2 x) Jämn potens, a = 1

2
2
cos a x =

1


Annars
2
1
+
tan
ax
1
(1 − cos 2 x) Jämn potens, a = 1


2
sin2 a x =
2


 tan a x
Annars
1 + tan2 a x
trigonometriska formler som finns i 1.3.
Rotuttryck
Vid integral med. . .
r
ax + b
cx + d
p
a2 − x2
. . . substituera
r
ax + b
t =
cx + d
x = a sin t,
så att
p
p
x2 + a2
x = a tan t,
så att
p
p
x=
x2 − a2
a
,
cos t
så att
a2 − x2 = a cos t, dx = a cos t dt
x2 + a 2 =
a dt
a
, dx =
cos t
cos2 t
p
a sin t dt
x2 − a2 = a tan t, dx =
cos2 t
Vid andragradare, gör kvadratkomplettering:
p
(√ p
√ √
a (x + b)2 + c = {t = x + b} = a t2 + c
a x2 + b x + c = √ p
√ √
−a −(x + b)2 + c = {t = x + b} = −a c − t2
5
när a > 0
när a < 0
3
Volym- och ytberäkningar
ˆ
Skivformeln
b
A(x) dx
ˆ b
2π
x(f (x) − g(x)) dx
a
ˆ bp
1 + f ′ (x)2 dx
a ˆ
b
p
2π
f (x) 1 + f ′ (x)2 dx
ˆab p
x 1 + f ′ (x)2 dx
2π
rotation runt x-axeln
a
Skalformeln
Båglängden
Rotationsarea runt x-axeln
Rotationsarea runt y-axeln
rotation runt y-axeln
a
4
4.1
Följder och serier
Talföljder
En talföljd kan vara:
Konvergent om lim an = L. Annars divergent.
n→∞
Monoton om den är antingen växande eller avtagande.
Begränsad antingen uppåt och nedåt, eller båda.
4.2
Serier
En serie är konvergent när gränsvärdet L = lim
n
X
n→∞
4.2.1
ai finns och inte är ∞.
i=1
Vanliga serier
Harmoniska serien
Geometrisk serie
∞
X
1
divergent
n
n=1
∞
X
1
rn =
, −1 < r < 1
1−r
n=1
4.2.2 Konvergenskriterier
P
P
Om
an ,
bn är konvergenta och c en konstant gäller följande.
(a)
P
(b)
P
P
P
(an + bn ) är konvergent med summa
an + bn
(c)
P
P
P
(an − bn ) är konvergent med summa
an − bn
c an är konvergent med summa c
P
an
Integralkriteriet Om f (x) > 0 är kontinuerlig och avtagande på [1, ∞] och an = f (n) gäller följande.
ˆ
∞
(a) Om
f (x) dx är konvergent så är
1
ˆ
(b) Om
an konvergent.
n=1
∞
f (x) dx är divergent så är
1
∞
X
∞
X
an divergent.
n=1
Jämförelsekriteriet Om 0 ≤ an ≤ bn slutligen, gäller följande.
6
(a) Om
P
bn konvergerar, gör även
(b) Om
P
an divergerar, gör även
P
P
an det.
bn det.
P
Jämförelsekriteriet på gränsvärdesform När
lim
n→∞
gäller att
P
an och
P
an och
P
bn är positiva serier och
an
= L > 0, L ̸= ∞
bn
bn båda är divergenta eller båda är konvergenta.
Kvotkriteriet Anta att an > 0 slutligen och att lim
n→∞
är
P
an+1
= ρ existerar eller är ∞. Då gäller att serien
an
an
(a) konvergent när ρ < 1
(b) divergent när ρ > 1 eller ρ = ∞.
Om ρ = 1 kan serien vara både konvergent och divergent.
Kriteriet för alternerande serier När an avtar mot 0 gäller att lim (−1)n+1 an är konvergent.
n→∞
P
an är absolutkonvergent om
Serien
konvergent men inte absolutkonvergent.
4.2.3
P
|an | är konvergent. Betingat konvergent är en serie som är
Potensserier
Konvergensintervall är de x för vilka potensserien p(x) =
för funktionen p(x).
P
an xn konvergerar. Samma som definitionsmängden
Konvergensradien är ett tal R ≥ 0 som finns till varje potensserie p(x) så att när
(a) R = 0 konvergerar p(x) bara när x = 0
(b) R > 0 konvergerar p(x) när |x| < R och divergerar när |x| > R
(c) R = ∞ konvergerar p(x) för alla x.
Metod för att ta reda på konvergensradie
(1)
Bestäm lim
m→∞
1
an+1 xn+1
= |x| L. Kvotkriteriet ger konvergens när |x| < = R
n
an x
L
Potensserie kring a är p(x) =
∞
X
an (x − a)n . Har samma konvergensradie som
P
an tn (substituerat
n=0
t = x − a). Konvergensintervallet är symmetriskt kring a.
För en potensserie (kring a) p(x) =
∞
X
an (x − a)n gäller följande.
n=0
(a) Definitionsmängden är konvergensintervallet.
(b) p(x) är kontinuerlig.
(c) p(x) är deriverbar (termvis) inom konvergensintervallet. Får samma konvergensradie, men konvergensintervallet kan krympa.
(d) p(x) kan integreras termvis. Får samma konvergensradie, men konvergensintervallet kan vara större.
7
4.3
Taylorserier och -polynom
Polynomet
pn (x) = f (a) + f ′ (a)(x − a) +
f ′′ (a)
f (3) (a)
f (n) (a)
(x − a)2 +
(x − a)3 + . . . +
(x − a)n
2!
3!
n!
är f :s Taylorpolynom av ordning n i punkten a. Om a = 0 kallas det Maclaurinpolynom.
Metod för bestämning av Taylorpolynom eller -serie
(1)
Skriv funktionen f (x) som en potensserie kring a. Kan vara bra att sätta t = x−a och göra en omskrivning
av f (t + a) för att kunna använda kända Maclaurinserier (finns i 4.3.2).
(2)
Potensserien är Taylorserien kring a.
(3)
Taylorpolynomet av ordning n är summan av termerna i potensserien av grad ≤ n.
4.3.1
Taylors olikhet
Sätt M så att f (n+1) (t)
≤ M . Då gäller följande.
| f (x) − pn (x) | ≤
4.3.2
M
n+1
|x − a|
(n + 1) !
Kända Maclaurinserier
Finns på formelblad som fås vid tentamen.
ex
cos x
sin x
ln(1 + x)
=
=
=
=
arctan x
=
(1 + x)α
=
∞
X
xk
k=0
∞
X
k=0
∞
X
k=0
∞
X
k=0
∞
X
k!
= 1+
x
x2
xk
+
+ ··· +
+ ···
1!
2!
k!
för alla x
(−1)k x2k
x2
x4
x2k
= 1−
+
+ · · · + (−1)k
+ ···
2k!
2!
4!
(2k)!
för alla x
(−1)k x2k+1
x1
x3
x2k+1
=
−
+ · · · + (−1)k
+ ···
(2k + 1)!
1!
3!
(2k + 1)!
för alla x
(−1)k
xk+1
x2
x3
xk
= x−
+
+ · · · + (−1)k−1
+ ···
k+1
2
3
k
x2k+1
x3
x5
x2k+1
= x−
+
+ · · · + (−1)k
+ ···
2k + 1
3
5
2k + 1
k=0
∞ X
α k
α 2
α k
x = 1 + αx +
x + ··· +
x + ···
k
2
k
(−1)k
när − 1 < x ≤ 1
när − 1 ≤ x ≤ 1
när − 1 < x < 1
k=0
α
α!
=
k
k!(α − k)!
4.4
Tillämpningar av serier
Beräkning av närmevärden. Använd Taylors olikhet (4.3.1) och att du kan skriva om vissa funktioner som
potensserier.
Beräkning av gränsvärde.
Metod när
f (x)
0
är av typen
när x → a:
g(x)
0
(1) Skriv f (x) och g(x) som Taylorserier kring a.
8
(2) Bryt ut den potens av x − a som dominerar i täljare och nämnare (den lägsta när x → a).
(3) Avläs svaret.
Beräkning av seriens summa.
(1) Skriv serien
P
bn som en potensseries p(x) värde i nån punkt a,
P
bn = p(a).
(2) Bestäm (med hjälp av integrering och derivering) potensserien med hjälp av elementära funktioner.
(3) Seriens summa är nu p(a).
Beräkning av derivator.
(1) Uttryck funktionen f som en potensserie f (x) =
(2) Du har nu att
P
an (x − a)n kring punkten a.
f (n) (a)
= an ⇒ f (n) (a) = an n!
n!
Lösning av begynnelsevärdesproblem med ansats. (A 20.2)
(1) Ansätt y till en potensserie y =
P
an xn .
(2) Sätt potensserien i vänstra ledet av differentialekvationen och uttryck allt som én potensserie.
(3) Uttryck högra ledet som en potensserie.
(4) Identifiera koefficienter och försök bestämma en formel för an .
(5) Försök identifiera potensserien du får med hjälp av elementära funktioner.
5
5.1
Differentialekvationer
Separabel
På formen y ′ · h(y) = g(x)
dy
· h(y) = g(x)
dx
h(y) dy = g(x) dx
ˆ
ˆ
h(y) dy = g(x) dx
H(y) = G(x) + C
5.2
Integrerande faktor
På formen y ′ + a(x) · y = b(x)
(1)
Bestäm primitiv funktion A(x) till a(x)
(2)
Multiplicera båda sidor i ekvationen med integrerande faktorn eA(x)
(3)
Ger ekvationen D(y eA(x) ) = eA(x) b(x))
(4)
Integrera och lös ut y
5.3
Av andra ordningen
På formen y ′′ + a y ′ + b y = f (x)
9
y = yh + yp
yh : homogenlösningen till y ′′ + a y ′ + b y = 0
yp : partikulärlösning till y ′′ + a y ′ + b y = f (x).
5.3.1
Homogenlösningen
Lösningarna till karakteristiska ekvationen r2 + a r + b = 0

r1 x
r2 x

A e + B e
yp = (Ax + B)er1 x

 αx
e (A cos βx + B sin βx)
5.3.2
ger
två reella lösningar
dubbelrot
saknar reella lösningar
Partikulärlösningar
Vid resonans multipliceras ansatserna med x.
Högerledet h(x)
Metod
ett polynom
yp = [polynom av samma grad som h(x)] Om b = 0, multiplicera ansatsen med x.
c sin kx + d cos kx
yp = a sin kx + b cos kx, även om b, c = 0.
Cekx
yp = aekx
har faktorn ekx
Gör variabelbyte så att yp = ekx zp
Om h(x) är en summa, dvs h(x) = h1 (x) + h2 (x): Bestäm partikulärlösningarna yp1 och yp2 till h1 (x) och h2 (x).
yp = yp1 + yp2 .
10